ЛЕКЦИИ
ПО ГЕОМЕТРИИ
Семестр I
м. м. постников
АНАЛИТИЧЕСКАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
До гу цено Министерством высшего
и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия
д 1Я студентов вузов, обучаю цчкся
по специальности ^.Математика»
МОСКВА сНАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1 979

22.151.5
П 63
УДК 516
Михаил Михайлович Постников
Лекиии по геометрии
Семестр I
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
М., 1979 г., 336 стр с илл.
Редактор В. Л. Попов
Техн редактор Н. В. Коше лева
Корректор О. М. Кривенко
ИВ № 11406
Сдано в набор 13.09.78. Подписано к печати 09.02.79. Бумага 84Х1081/», типо-
типографская .\s 1. Литературная гарнитура. Высокая печать, Условн. печ.
лист. 17,64. Уч.-изд. л. 16,07. Тираж 37 000 экз. Заказ № 1273. Цена книги 80 коп.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография .\г 2 имени Ев-
Евгении Соколовой «Союзполиграфпрома» при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии н книжной торговли, 198052, Ленинград, Л-52,
Измайловский проспект, 29
© Главная редакция
,-.20203 — 045 .„ _„ .„„„„,„,.„„ физнко математической
П лсо ,ЛО\ 7О 129- 1702040000 литературы
05J @2)-79 издательства «Наука», 1979

Содержание
Предисловие . 7
ЛЕКЦИЯ 1 9
Предмет аналитической геометрии. — Векторы. •— Сложение векто-
векторов. — Умножение вектора на число. — Линейные пространства. —
Примеры — Линейные пространства над произвольным полем.
ЛЕКЦИЯ 2 12
Простейшие следствия аксиом линейного пространства. — Независи-
Независимость суммы любого числа векторов от расстановки скобок.—Поня-
скобок.—Понятие семейства.
ЛЕКЦИЯ 3 .... г 22
Линейная зависимость и независимость — Линейно независимые
множества. — Простейшие свойства линейной зависимости. — Тео-
Теорема о линейной зависимости.
ЛЕКЦИЯ 4 29
Коллинеариые векторы. — Компланарные векторы. — Геометрический
смысл коллинеарности и компланарности. — Полные семейства век-
векторов, базисы, размерность. — Аксиома размерности. — Критерий ба-
базиса. — Координаты вектора. — Координаты суммы векторов и про-
произведения вектора на число.
ЛЕКЦИЯ 5 .37
Изоморфизмы линейных пространств. — Координатные изоморфиз-
изоморфизмы. — И.зоморфиость линейных пространств одной и той же раз-
размерности. — Метод координат. — Аффинные пространства.— Изо-
морфность аффинных пространств одной и той же размерности. —
Аффинные координаты. — Прямые в аффинном пространстве. — От-
Отрезки.
ЛЕКЦИЯ 6 46
Параметрические уравнения прямой — Уравнение прямой па пло-
плоскости. — Каноническое уравнение прямой иа плоскости. — Общее
уравнение прямой на плоскости — Параллельные прямые — Вза-
Взаимное расположение двух прямых на плоскости. — Теорема един-
единственности. — Расположение прямой по отношению к осям коорди-
координат — Полуплоскости, на которые прямая разбивает плоскость.
ЛЕКЦИЯ 7 56
Мнт\рт1т!!вное понятие бивектора — Формальное определение бивек-
бивектора. — Совпадение обоих определений.— Нулевой бивектор —
Условия равенства бивекторов. — Параллельность вектора и би-
бивектора. — Роль условия трехмерности. — Сложение бивекторов.
ЛЕКЦИЯ 8 64
Корректность определения суммы бивекторов. — Произведение би-
бивектора на число — Алгебраические свойства внешнего умноже-
умножения. — Линейное пространство бивекторов. — Бивекторы на плоско-
плоскости и теория площадей. — Бивекторы в пространстве.

ЛЕКЦИЯ 9 i « , i , . : = . .... 75
Плоскости в пространстве. — Параметрические уравнения плоско-
плоскости.— Общее уравнение плоскости. — Плоскость, проходящая через
три иеколлинеарные точки.
ЛЕКЦИЯ 10 -. 80
Полупространства, на которые плоскость разбивает пространство. —
Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. — Прямые
в пространстве. — Плоскость, содержащая данную прямую и про*
ходящая через данную точку. — Взаимиое расположение прямо» и
плоскости в пространстве. — Взаимное расположение двух прямых
в пространстве. — Переход от одного базиса линейного простран-
пространства к друюму.
ЛЕКЦИЯ И : 93
Формулы преобразования координат векторов. — Формулы преобра-
преобразования аффинных координат точек. — Ориентации. — Индуцирован-
Индуцированная ориентация прямой. — Ориентация прямой, задаваемая уравне-
уравнением. — Ориентации плоскости в пространстве.
ЛЕКЦИЯ 12 -. 105
Деформации базисов. — Одноименность деформируемых базисов. —
Эквивалентные базисы и матрицы. — Совпадение деформируе-
деформируемости с одноименностью. — Эквивалентность линейно независимых
систем векторов —Тривекторы. — Произведение тривектора на чис-
число. — Внешнее произведение трех векторов.
ЛЕКЦИЯ 13 , . -. , 116
Тривекторы в трехмерном линеале. — Сложение тривекторов. — Фор-
Формула для объема параллелепипеда. — Скалярное произведение.—
Аксиомы скалярного умножения. — Евклидовы пространства. — Дли-
Длина вектора и угол между векторами. — Неравенство Коши — Буия-
ковского. — Неравенство треугольника. — Теорема о диагоналях па-
параллелограмма. — Ортогональные векторы и теорема Пифагора.
ЛЕКЦИЯ И , 125
Метрическая форма и метрические коэффициенты. — Условие поло-
положительной определенности.—Формулы преобразования метрических
коэффициентов при замене базиса. — Ортонормированные семей-
семейства векторов и коэффициенты Фурье. — Ортонормированные ба-
базисы и прямоугольные координаты. — Разложение положительно
определенных матриц. — Процесс ортогоиалнзации Грама — Шмид.
та. — Изоморфизм евклидовых пространств. — Ортогональные ма-
матрицы.— Ортогональные матрицы второго порядка. — Формулы
преобразования прямоугольных координат.
ЛЕКЦИЯ 15 . « ; -. HI
Тривекторы в евклидовом ориентированном пространстве. — Сме-
Смешанное произведение трех векторов. — Площадь бивектора в евкли-
евклидовом пространстве.—Вектор, дополнительный к бивектору •
евклидовом ориентированном пространстве. — Векторное умноже-
умножение. — Изоморфизм линеалов векторов и бивекторов. — Выражение
векторного произведения в координатах.— Нормальное уравнение
прямой на евклидовой плоскости и расстояние от точки до пря-
прямой.—Углы между двумя прямыми на евклидовой плоскости.
ЛЕКЦИЯ 16 , . ; 153
Плоскость в евклидовом пространстве. — Расстояние от точки до
плоскости. — Угол между двумя плоскостями, между прямой и
плоскостью, между двумя прямыми, — Расстояние от точки до пря-
прямой в пространстве. — Расстояние между двумя прямыми в про-
пространстве. — Уравнения общего перпендикуляра двух скрещиваю-
скрещивающихся прямых в пространстве.

ЛЕКЦИЯ 17 . . - : :.. i t ,..'...; 159
Парабола. —Эллипс. — Фокальное н ДFтpeктopвaль!loe свойства
эллипса. — Гипербола. — Фокальное и дирекюриальнос свойств!
гиперболы.
ЛЕКЦИЯ 13 . . . . = !69
Уравнения эллипсов, парабол и гипербол, отнесенные к вершине. —
Полярные координаты. — Уравнения эллипсов, парабол и гипербол
в полярных координатах. — Аффинные эллипсы, параболы, гипер-
гиперболы. — Алгебраические линии. — Линии второго порядка и свя-
связанные с ними трудности. — Комплексная аффинная геометрия и ее
недостаточность.
ЛЕКЦИЯ 19 , 180
Вешеетвенно-комплекспые линейные пространства. — Их размер-
размерность. — Изоморфизм вещественно-комплексных линейных про-
пространств. — Комплексификания. — Вещественно-комплексные аффин-
аффинные пространства. — Комплекснфикация аффинных пространств.—
Вещественно-комплексные евклидовы пространства. — Веществен-
Вещественные, минмые и действительные линии второго порядка.
ЛЕКЦИЯ 20 . . , ;.,,*.... 188
Вводные замечания —Центр линии второго порядка. — Центры
симметрии. — Центральные и нецентральные линии второго поряд-
порядка. — Прямые неасимптотического направления. — Касательные. —
Прямые асимптотического направления.
ЛЕКЦИЯ 21 . . , , 198
Особые в неособые направлении. — Диаметры. — Диаметры и цент-
центры. — Сопряженные направления и сопряженные диаметры. — Упро-
Упрощение уравнения центральной линии второго порядка. — Необхо-
Необходимые уточнения.—Упрощение уравнения нецентральной линии
второго порядка.
ЛЕКЦИЯ 22 ;.,,i: 209
Линии второго порядка на комплексной аффинной плоскости. —
Линии второго порядка иа вещественио-комплексиой аффинной
плоскости. — Единственность уравнения линии второго порядка. —
Линии второго порядка на евклидовой плоскости. — Окружности.
ЛЕКЦИЯ 23 ,,,...,....,.,. , 223
Эллипсоиды. — Мнимые эллипсоиды. — Мнимые конусы второго по-
порядка. — Двуполостные гиперболоиды. — Однополостные гипербо-
гиперболоиды. — Прямолинейные образующие однополостного гиперболои-
гиперболоида. — Конусы второго порядка. — Эллиптические параболоиды. —
Гиперболические параболоиды. — Эллиптические цилиндры. —
Остальные поверхности второго порядка. — Формулировка теоремы
классификации.
ЛЕКЦИЯ 24 , . s : , , . , - , 247
Координаты прямой. — Пучки прямых. — Собственные н несобствен-
несобственные пучки. — Расширенные плоскости. — Модели аффинно-проектнп-
ной геометрии.
ЛЕКЦИЯ 25 ..,,,, , 257
Однородные аффинные координаты. — Уравнения прямых в одно-
однородных координатах. — Линия второго порядка иа аффинио-проек-
тивиой плоскости. — Окружности иа евклндово-проектнвиой веще-
ствеиио-комплекспой плоскости. — Проективные плоскости. — Одно-
Однородные аффинные координаты в связке прямых. — Формулы пре-
преобразования однородных аффинных координат. — Проективные ко-
координата. — Лииин второго порядка на проективной плоскости.
ЛЕКЦИЯ 28 ..,.,....:.,,, , 263
Координатные изомофизмы линейных пространств. — Координат-
Координатные изоморфизмы аффинных пространств. — АффиннО-проективныи
5

пространства. — Проективные пространства. — Пучки плоскостей.—
Связки плоскостей. — Расширение пространства несобственными
элеменпами,— Ортогональные, аффинные и проективные преобра-
преобразования.
ЛЕКЦИЯ 27 282
Выражение аффинного преобразования в координатах. — Примеры
аффинных преобразований. — Разложение аффинных преобразова-
преобразований. — Ортогональные преобразования. — Движения плоскости. —
Симметрии и скользящие симметрии —Разложение движения пло-
плоскости в композицию двух симметрии. — Вращения пространства.
ЛЕКЦИЯ 28 296
Теорема Дезарга. — Теорема Паппа — Паскаля. — Теорема Фано. —
Принцип двойственности.—Модели проективной плоскости.—»
Моде.ш проективной прямой и проективного пространства. — Ком-
Комплекс-пая проективная прямая. — Дробно линейные преобразова-
преобразования — Линейные преобразования — Инверсия. — Инверсии и дроб-
дробно-линейные преобразования — Два свойства дробно-линейных
преобразований —Неподвижные точки дробно-линейных преобра-
преобразований. — Параболические, эллиптические, гиперболические и лок-
локсодромические дробно-линейные преобразования. — Теорема о трех
точках. — Множитель дробно-линейного непараболического преоб-
преобразования.— Классификация дробно-линейных преобразований.—»
Формулы стереографической проекции — Вращения сферы как
дробно-линейные преобразования плоскости. — Самосовмещения ку-
куба.
Предметный указатель , 334

Предисловие
Эта книга представляет собой почти точную за-
запись лекций, которые автор читал в первом семео';.з
первого курса на механико-математическом факультете
МГУ им. М. В. Ломоносова для студентов-математикои
в рамках единого двухлетнего курса «Геометрия». Со-
Содержание этих лекций определялось учебным планом,
сложившимися иа кафедре высшей геометрии и тополо-
топологии мехмата традициями, потребностями курса второго
семестра и личными установками автора, а последова-
последовательность изложения, кроме того, — необходимостью со-
согласования с параллельно читаемыми курсами алгебры
и анализа, учетом требований ведущих семинарские за-
занятия ассистентов и другими подобного рода малоприн-
малопринципиальными, но на практике первостепенными сообра-
соображениями. Например, решение об отнесении тех или иных
вопросов к последним нескольким лекциям в основном
определялось практической невозможностью закрепить
материал этих лекций иа упражнениях. Содержание са-
самой последней лекции определялось тем, что из-за про-
пропусков лекций в праздничные дни эта лекция часто при-
приходится на время зачетов и поэтому ее не всегда удается
прочитать, и т. д. и т. п.
Специального упоминания заслуживают, по-видимо-
по-видимому, только две особенности книги. Первая состоит в том,
что с самого начала изложение ведется на основе аксиом,
а геометрическая наглядность привлекается только в
пропедевтических целях. По понятным причинам, из
многочисленных возможных систем аксиом выбрана вос-
восходящая к Вейлю «векторно-точечная» аксиоматика. Э<о
объясняет непривычно раннее введение в курсе обпито
понятия линейного пространства. Как показывает опы ,
трудностей у студентов с усвоением этого материала,
как правило, не возникает.

Другая — более спорная — особенность книги состоит
в систематическом развитии и использовании бивекто-
бивекторов и тривекторов. Это позволяет четко отделить аффин-
аффинную часть теории от метрической и дает подготовку
к общей теории поливекторов во втором семестре.
Каждая «лекция» в книге, как правило, на самом де-
деле является изложением двухчасовой устной лекции. Это
объясняет, почему часто в середине лекции кончается
старая тема и начинается новая. Исключением является
последняя, 28-я, лекция, в которой соединены вместе два
различных варианта заключительной лекции. Из-за спе-
специфики устного и письменного изложений «изохронные»
лекции оказались имеющими в книге разный объем. Их
число объясняется тем, что хотя по учебному плану на
курс аналитической геометрии отводится 36 лекций, но
на практике приходится кончать чтение этого курса не
позже 28-й лекции.
27 октября 1977 г. М. М. Постников

Лекция 1
ПРЕДМЕТ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. - ВЕКТО-
ВЕКТОРЫ.—СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ.— УМНОЖЕНИЕ ВЕК-
ВЕКТОРА НА ЧИСЛО. —ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.—
ПРИМЕРЫ. —ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА НАД ПРО-
ПРОИЗВОЛЬНЫМ ПОЛЕМ.
Аналитическая геометрия, которой посвящены эти лек-
ции, не является каким-либо определенным отделом ма-
математики, а представляет собой учебный предмет (курс)
с переменным содержанием, концентрирующимся в ос-
основном вокруг понятия координат. По традиции в этот
курс во всяком случае включается теория линий пер-
первого и второго порядков (прямых и конических сечений)
на плоскости и, как правило в меньшем объеме, теория
поверхностей первого и второго порядков в простран«
стве. В остальном же его содержание довольно сильно
варьируется.
Мы, прежде чем переходить к собственно аналитиче-
аналитической геометрии, т.е. к координатам, постараемся подве*
сти под геометрию надежную аксиоматическую базу.
Обычно аксиоматическое построение элементарной гео»
метрик основывают, следуя в этом, по существу, Евкли*
ду, на понятиях точки, прямой и плоскости. Как показы*
вает опыт, это приводит к довольно сложной аксиома*
тике, содержащей до двух десятков аксиом и, что само§
плохое, не использующейся ни полностью, ни частично
нигде больше в математике.
Оказывается, что значительно более удобную и про»
стую аксиоматику можно получить, положив в ее осно"
вание понятие вектора. Упрощение здесь достигается за
счет того, что «векторная» аксиоматика использует тео«
рию вещественных чисел, обширный раздел которой
9

Вектор АВ.
волей-неволей приходится воспроизводить в аксиомати-
аксиоматиках «евклидова» типа. Кроме того, отдельные фрагмен-
фрагменты этой аксиоматики играют в современной математике
исключительно важную роль и с ними надо все равно
рано или поздно знакомиться. Таким образом, аксиома-
аксиоматическое построение геометрии на базе понятия вектора
позволяет нам одним камнем убить
двух зайцев.
Содержательно вектор представ-
представляет собой не что иное, как направ-
направленный прямолинейный отрезок.
Направление вектора фиксируется
тем, что одна его конечная точка
считается началом, а другая кон-
концом. Вектор с началом А и концом
В обозначается символом АВ. На
чертеже вектор изображается стрел-
стрелкой.
В физике векторами являются
силы, скорости, ускорения.
Два вектора считаются равны-
равными, если они имеют одинаковые
длины и одинаковые направления,
т. е. расположены на параллель-
параллельных прямых и направлены в одну
сторону. Подчеркнем, что здесь, как
и всюду далее, совпадающие пря-
прямые мы считаем параллельными.
Из физики (механики) известно,
что действие двух сил на материаль-
материальную точку эквивалентно действию
одной силы, определяемой по известному правилу парал-
параллелограмма. В соответствии с этим суммой a -j- b двух
векторов а = ОА и Ь — ОВ называется вектор, являю-
являющийся диагональю ОС параллелограмма, сторонами ко-
которого являются векторы а и ft.
Поскольку Ь = АС, определение суммы можно запи-
записать простой формулой:
Равные векторы.
Сложение векторов.
10

Правило сложения векторов, выражаемое этой форму-
формулой, часто называют «правилом треугольника».
Операция сложения векторов обладает свойством
ассоциативности, т. е.
A) а + F + с) = (а + 6) + с
для любых векторов а, Ь и с. Действительно, если
а = ОА, Ь = АВ и с = ВС, то
Поэтому в сумме трех (или большего числа) векторов
скобки можно не писать: символ а + b + с имеет только
одно значение.
Ассоциативность сложения век- Коммутативность ело-
торов. жения векторов.
Операция сложения векторов также и коммутативна,
т. е.
B) а + Ь^Ь + а
для любых векторов а и Ъ. Действительно, если а = ОА,
Ъ = ОВ и а + Ъ — ОС, то а = ВС, и поэтому
Вектор АВ рассматривается и при А —В. Такой век-
вектор АВ называется нулевым. Он не зависит от Л и
обозначается символом 0. Длина нулевого вектора, по
определению, считается равной нулю, а направления
11

он не имеет (можно также считать, что его направление
какое угодно).
Формула
показывает, что вектор 0 является нулем сложения, т.е.
C) 0 + а = а
для любого вектора а.
Переставив концевые точки вектора а = АВ, мы по-
получим вектор ВА, который обозначается символом —а.
Формула
показывает, что вектор —а является противоположным
вектору а по отношению к сложению, т. е.
D) а + (-а) = 0
для любого вектора а.
Произведением вектора а на (вещественное) число k
называется вектор ka, длина которого равна длине век-
вектора а, умноженной на абсолют-
абсолютную величину числа k, а направ-
направление совпадает с направле-
направлением вектора а, если k > О, и
противоположно ему, если k < 0.
В этом определении случаи а=0
или k=0 не исключаются. В каж-
Умножение вектора на ДОМ ИЗ НИХ ka = 0.
число. Определение умножения век-
вектора на число согласовано с опре-
определением сложения в том смысле, что, как нетрудно
видеть непосредственно по рисунку,
па = а+ ... + а
1 !
п раз
для любого натурального п. Кроме того, ясно, что
(-1)а = -а.
Легко видеть, что
(б)
12

F) (kt) a = k (la)
для любых чисел k, l и любого вектора а (доказатель-
(доказательство сводится к перечислению всех возможных случаев
распределения знаков чисел k и /, в каждом из которых
утверждение очевидно).
Далее, из того, что при гомотетии (и центральной
симметрии) параллелограмм переходит в параллело-
параллелограмм, непосредственно вытекает, что
G) k(a + b) = ka+kb
для любого числа k и любых векторов а и Ь.
Наконец, очевидно, что
(8) \а = а
для любого вектора а.
Установив эти наглядно-геометрические, интуитивные
факты, мы можем теперь обратить точку зрения и при-
принять их за аксиомы. В этих аксиомах (см. ниже соотно-
соотношения 1°—8°) по причине, которая вскоре выяснится,
символом К обозначено множество R всех вещественных
чисел.
Определение 1. Пусть У— некоторое множество, эле-
элементы которого мы будем называть векторами, хотя их
природа может быть произвольной. Предположим, что
любым двум векторам аевУ и ЬевУ как-то сопостав-
сопоставлен третий вектор, обозначаемый символом а + 6 и на-
называемый суммой векторов а и Ь. Кроме того, предпо-
предположим, что любому числу k ев К и любому вектору аевУ,
как-то сопоставлен новый вектор, обозначаемый симво-
символом ka и называемый произведением вектора а на чис-
число k. Если при этом выполнены перечисленные выше
свойства A) — (8), т.е. если
1°а-(- (Ь +с) = (а-\-Ь) -\-с для любых векторов
а, 6, севТ;
2° a -f- b = b + о. для любых векторов я,ЬевУ;
3° существует такой вектор OgF, что 0 + о =а Для
любого вектора неУ;
4° для любого вектора а ев У существует такой век-
вектор —а ев У, что а + (—а) = 0;
5° (k -f I) a — ka-{- la для любых чисел k,leBX и
любого вектора eeF;
13

6° (kt)a = k(la) для любых чисел k,(^K и любого
вектора eEf;
7° k(a-\- Ъ) = ka -f- kb для любого числа йеКи лю-
любых векторов a,iET;
8° la = а для любого вектора аеГ,
то множество У называется линейным (или векторным)
пространством (или, короче, линеалом).
При k — -r- вектор &а обозначается символом -г--
Подчеркнем, что определение 1 не накладывает ни-
никаких ограничений на природу элементов множества Т
(векторов) и на конкретное воплощение операций
(а,Ь)\—>а-\-Ь (сложение) и (k, a)\—>ka (умножение на
число). Поэтому могут существовать (и действительно
существуют) много различных линейных пространств.
Примеры.
1) Даже интуитивно-геометрические векторы (на-
(направленные отрезки), с которых мы начинали, позво-
позволяют построить несколько различных линеалов Т. Имен:
но, можно рассматривать либо всевозможные векторы в
пространстве, либо только векторы па плоскости, либо,
наконец, лишь векторы на прямой. Это даст нам три
различных линейных пространства.
2) Простейшим линеалом является линеал {0}, со-
состоящий лишь из одного нулевого вектора 0. Для упро-
упрощения обозначений мы будем этот линеал обозначать
тем же символом 0, что и его единственный вектор. При
минимальной внимательности это к недоразумениям
привести не должно.
3) Пусть X — произвольное множество и &~(Х) —
множество всех (вещественнозначных) функций, опре-
определенных на X. Определив сумму f-\-g двух функций
f и g и произведение kf функции f на число k обычным
образом («по значениям»), т.е. формулами
мы без труда проверим, что все аксиомы Г—8° будут
выполнены. Это означает, что по отношению к опера-
операциям (9) множество @~(Х) является линеалом.
Таким образом, в этом примере «векторами» являют-
являются функции.
14

4) При X = R (или, более общо, при X, являющемся
произвольным подмножеством числовой оси V:) имеет
смысл говорить о множестве 'ё'(Х) всех непрерывных
функций, определенных на X. Из курса анализа изве-
известно, что сумма / + ? непрерывных функций н произве-
произведение kf непрерывной функции на число являются не-
непрерывными функциями. Поэтому множество <&{Х)
всех непрерывных функций является (по отношению
к операциям (9)) линеалом (аксиомы 1°—8° можно не
проверять, поскольку <&{X)cz&r(X) и, значит, эти аксио-
аксиомы выполнены автоматически).
Аналогичным образом, линеалами являются множе-
множества дифференцируемых (данное число раз) функций,
множество функций, удовлетворяющих условию Лип-
Липшица, и многие другие классы функций, с которыми
имеет дело математический анализ.
Эти примеры так называемых «функциональных» ли-
линеалов объясняют, почему в современной теории функ-
функций понятие линеала играет, пожалуй, еще большую
роль, чем в геометрии. По понятным причинам мы этими
линеалами заниматься здесь не будем. Отдел матема-
математики, изучающий функциональные линеалы, называется
«функциональным анализом». Его основы включены в
курс «Анализ III».
5) Всевозможные многочлены (от одной перемен-
переменной) также, очевидно, составляют линеал.
Линеалом будет, конечно, и совокупность всех много-
многочленов, степень которых не превосходит данное число п.
(Таким образом, в зависимости от п мы получаем беско-
бесконечно много различных линеалов.)
Мы видим, что линеалы играют первостепенную роль
и в алгебре.
6) Пусть п — произвольное натуральное число. Рас-
Рассмотрим множество 1<" всех n-членных последовательно-
последовательностей (ai а„) вещественных чисел. Определив век-
векторные операции «покомпонентно», т.е. формулами
(oi, .... а„) + (Ьи .... bn) = (а, + b{, .... а„ + bn),
к{аь ..., an) = (ka kan),
мы, очевидно, превратим ]\" в линеал.
Этот линеал в дальнейшем будет играть очень важ-
важную роль, и поэтому на него необходимо обратить осо-
особое внимание.

Замечание 1 (которое следует прочитать, когда в па-
параллельном курсе алгебры будут введены поля и коль-
кольца). В определении 1 то обстоятельство, что К является
множеством (полем) вещественных чисел, никак на са-
самом деле не используется. Дословно та же формулиров-
формулировка будет иметь смысл, если под К понимать произволь-
произвольное поле (даже конечной характеристики). В результате
получается определение линейного (векторного) прост-
пространства над полем К- При К = R мы возвращаемся
к прежним линейным пространствам.
Для определенности(и имея в виду геометрические
приложения) мы будем в дальнейшем считать, что К =
— R. Однако на самом деле вся развиваемая далее тео-
теория (если только явно не оговорено противное) спра-
справедлива для произвольного поля К.
Собственно говоря, определение 1 имеет смысл и тог-
тогда, когда К является всего лишь кольцом (с единицей),
поскольку в аксиомах Г—8° нигде не говорится о деле-
делении. В этом случае вводимый определением 1 объект
называется модулем (над кольцом X). Теория модулей
существенно сложнее теории линеалов (из-за отсутствия
деления), и заниматься ею мы не будем.
Замечание 2. Аксиомы 1°—4° означают, что по отно-
отношению к сложению линейное пространство У является
абелевой (т.е. коммутативной) группой. Аксиомы же
5°—8° выражают тот факт, что поле (кольцо) К являет-
является полем (кольцом) операторов этой группы. Таким
образом, можно сказать, что линеалы (модули) над
К—это (аддитивно записанные) абелевы группы с по-
полем (кольцом) операторов К.

Лекция 2
ПРОСТЕЙШИЕ СЛЕДСТВИЯ АКСИОМ ЛИНЕЙНОГО
ПРОСТРАНСТВА.-НЕЗАВИСИМОСТЬ СУММЫ ЛЮ-
ЛЮБОГО ЧИСЛА ВЕКТОРОВ ОТ РАССТАНОВКИ СКО-
СКОБОК — ПОНЯТИЕ СЕМЕЙСТВА.
В теории линейных пространств геометрическая интуи-
интуиция является неоценимым гидом и ею необходимо ши-
широко пользоваться как для геометрической интерпрета-
интерпретации доказанных результатов, так и для формулирования
новых теорем. Однако из доказательств ее следует тща-
тщательно изгонять и основывать их исключительно на ак-
аксиомах 1°—8°. Поэтому, в частности, прежде чем пере-
переходить к действительно интересным и важным понятиям
и конструкциям, нам придется вывести из аксиом Г—8°
ряд геометрически «очевидных» следствий.
Пусть У — произвольное линейное пространство.
1) Аксиома 3°, утверждая существование в У нуле-
нулевого вектора, ничего не говорит о его единственности.
Оказывается тем не менее, что нулевой вектор суще-
существует только один, т.е. если Oj и 02 — такие векторы из
У, что
Oi + a = a и 02 + а = а
для любого вектора flEf, то 0i=02. Действительно,
полагая а = Oi в соотношении 02 + a = a, мы получим,
что 02 + 0i=0i, а полагая а = 02 в соотношении 0t —}—
+ а — а, мы получим, что 0i + 02 —02. Следовательно,
О, = 02. ?
2) Аналогично, хотя аксиома 4° ничего не говорит
о единственности противоположного вектора —а, этот
вектор единствен, т.е. если
a + 6 = О и а + с = 0,
\7

то Ь =с. Действительно,
6 = o-fft = (a + c) + 6 = (a + 6) + c = O + c = c. ?
3) Для любых двух векторов а, Ь^.Т уравнение
имеет единственное решение х = Ь-\-(—а). Действительно,
если а + х = Ъ, то
и, с другой стороны,
а + (Ь + (-а)) = (а + (-а)) + Ь = О + Ь = Ь. D
В дальнейшем вместо Ь + (—а) мы будем писать
Ъ — а.
4) При умножении направленного отрезка а на число
О получается, очевидно, нулевой вектор:
0а = 0.
Легко видеть, что это верно и для векторов а произволь-
произвольного линеала. Действительно,
Од = @ + 0) а = 0а + 0а,
и потому
0а = Ос — Ос = 0. П
5. Аналогично,
?0 = 0
для любого АеК. Действительно,
/еО = k @ + 0) = ДО + k0,
и потому
k0 = k0 — k0 = 0. ?
6) Формула
(-l)a=-a
также справедлива в любом линеале. Действительно,
a + (—l)a=la + (—l)a = (l — 1)а = 0а = 0,
и поэтому, в силу единственности противоположного век-
вектора, (—1)а = —а. ?
Интересно, что аксиома 2° коммутативности сложе-
сложения вытекает из остальных аксиом и единственности про-
противоположного вектора. Действительно, в силу утверж-
13

дения 6), в доказательстве которого использовалась
лцшь единственность противоположного вектора,
(а + Ъ) - (Ь + а) = а + Ъ + (-1) (Ъ + а) =
= а + F — Ь) — а=а — а = 0,
и поэтому
7) Аксиома 1° утверждает, что сумма трех векторов
не зависит от расстановки скобок, т.е. от порядка, в ко-
котором она вычисляется. Оказывается, что аналогичное
утверждение справедливо и для суммы любого числа
слагаемых. В отличие от предыдущих утверждений, до-
доказательство этого утверждения не совсем тривиально и
требует введения ряда вспомогательных понятий.
Складывая п слагаемых, мы при любой расстановке
скобок производим п— 1 сложений, причем одно и толь-
только одно сложение мы производим последним. Это озна-
означает, что при сложении п слагаемых а\, ..., ап для лю-
любой расстановки скобок существует такой однозначно
определенный индекс k, 2 ^ k ^ п, что сумма слагае-
слагаемых flt[, ..., ап, отвечающая этой расстановке, имеет вид
а+Ь,
где а — сумма слагаемых а\, ..., ak-i (отвечающая не-
некоторой расстановке скобок), а Ь — сумма слагаемых
а*, ..., ап (также отвечающая некоторой расстановке
скобок). При k = 2 сумма а сводится к одному слагае-
слагаемому а], а при k = 3 является суммой а.\ + а2 без ско-
скобок; аналогично, при k — п сумма Ь сводится к слагае-
слагаемому ап, а при k = n— 1 является суммой ап-\ + а„ без
скобок.
Этот индекс k мы назовем рангом рассматриваемой
расстановки скобок (или соответствующей суммы).
Определим теперь по индукции сумму п ^ 3 слагае-
слагаемых с нормальной расстановкой скобок (или, короче,
нормальную сумму). При « — 3 такой суммой мы будем
считать сумму (а{ -\- а2) + а3.
Пусть нормальная сумма п— 1 слагаемых уже опре-
определена. Тогда нормальной суммой п слагаемых а\,...,ап
мы назовем сумму вида а + а„, где а — нормальная
сумма п — 1 слагаемых а{ ап-\.
19

Таким образом, нормальная сумма п слагаемых
имеет вид
п — 2 скобок
Очевидно, нам достаточно доказать, что сумма п ^ 3
слагаемых с произвольной расстановкой скобок равна
сумме тех же слагаемых с нормальной расстановкой
скобок.
С этой целью мы проведем индукцию по числу п.
При « = 3 утверждение сводится к аксиоме 1°.
Пусть уже доказано, что каждая сумма не более чем
п—1 слагаемых равна их нормальной сумме. Рассмот-
Рассмотрим произвольную сумму п слагаемых а\, ..., а,. Пусть
k — ее ранг. Если k < n, то наша сумма имеет вида+6,
где Ь — сумма не менее чем двух (и не более чем п— 1)
слагаемых а*, ..., а,:. В силу предположения индукции
сумма Ь не зависит от расстановки скобок, так что, не
меняя окончательного результата, мы можем расставить
в ней скобки как хотим (при k = n— 1 предположение
индукции неприменимо, но в этом случае скобок в сум-
сумме Ь вообще нет, так что и говорить не о чем).
В частности, мы можем считать, что
где с — некоторая (безразлично, с какой расстановкой
скобок) сумма слагаемых я*+ь ..., а„ (при k = n— 1 —
одно слагаемое а„). Но тогда, в силу аксиомы Г,
a -f Ь = a + (a» + с) = (a + ak) + с,
где справа получилась сумма ранга k-\-l.
Таким образом, повышая шаг за шагом ранг, мы по-
получим из данной суммы сумму ранга п, т.е. сумму вида
а' + ап, где а' — некоторая сумма п—1 слагаемых. По
предположению индукции последняя сумма равна нор-
нормальной сумме а". Ыо тогда и данная сумма будет равна
нормальной сумме a" -f- "п. П
В силу доказанного утверждения в сумме любого
числа слагаемых скобки можно не писать.
На следующей лекции мы перейдем к более содер-
содержательным понятиям и теоремам, имеющим нетривиаль-
нетривиальный геометрический смысл. Для этого нам понадобится
общее понятие семейства элементов, которое стоит сей-
20

час напомнить, поскольку его часто путают с понятием
подмножества, что является ошибкой.
Пусть X— произвольное множество. Семейством (или
последовательностью) п элементов множества К назы-
называется произвольное отображение
A) [1 п]-*Х
множества [1, ,.., п] первых п натуральных чисел в
множество X.
Образ числа /, 1 ^ i ^ п, при этом отображении обо-
обозначается обычно символом х, и называется i-м членом
семейства, а все семейство обозначается символом (.vi,
Х2, • ¦ ¦ , Хп) ИЛИ ПРОСТО Х\,Х% . . . , Хп.
Семейство A), являющееся инъективным отображе-
отображением, т.е. такое, что Хгфх, при i?= j, называется семей-
семейством без повторений. Оно определяет /z-элементное под-
подмножество в X, состоящее из элементов х\, х2, ..., хп.
Мы будем говорить, что это подмножество отвечает се-
семейству (оно является не чем иным, как образом ото-
отображения A)), а также что данное семейство получене
некоторой нумерацией этого подмножества.
Очевидно, что для любого л-элементного подмноже-
подмножества существует п\ семейств без повторений, которым от-
отвечает это подмножество. Мы будем говорить, что эти
семейства получаются друг из друга посредством пвре-
нумеровывания.
Наконец, напомним, что подсемейством семейства
(х\, ..., хп) называется произвольное семейство вида
(*<! xim), где 1 < и < ,.. < im < га.

Лекция 3
линейная зависимость и независимость.—
линейно независимые множества. — про-
простейшие свойства линейной зависимости.—
теорема о линейной зависимости.
Пусть Т — произвольное линейное пространство и аи ...
..., ат — некоторое семейство его элементов.
Определение 1. Линейной комбинацией векторов
а\, ..., ат с коэффициентами k\ km называется
вектор
A) Mi + ... +kma
kmam.
Об этом векторе говорят также, что он линейно выра-
выражается через векторы Яь ..., ат.
Ясно, что нулевой вектор 0 линейно выражается че-
через любые векторы аи ..., ат (достаточно положить
*i =0, ?2 = 0, .... fcm = 0).
Определение 2. Линейная комбинация A) называется
нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов
k\, .... km отличен от нуля. В противном случае линей-
линейная комбинация называется тривиальной.
Ясно, что тривиальная линейная комбинация произ-
произвольного семейства векторов равна нулю (является ну-
нулевым вектором).
Определение 3. Семейство а{, ..., а,п называется ли-
линейно зависимым, если существует равная нулю нетри-
нетривиальная линейная комбинация вектороваь ..., ат, т.е.
если существуют такие числа k\, ..., km, не все рав*
н ы е нулю, что
... + kmam
22

В противном случае семейство а\ ат называется
линейно независимым.
Чтобы избежать частого и докучливого рассмотрения
отдельных случаев, удобно к классу линейно независимых
семейств векторов добавить пустое семейство векторов,
отвечающее случаю т = 0. Таким образом, по опреде-
определению пустое семейство линейно независимо. Это, быть
может, несколько парадоксальное определение вполне
удовлетворительно согласуется со всеми утверждениями,
касающимися непустых семейств.
Ясно, что любое семейство с повторениями линейно
зависимо. Действительно, если, например, а,\ == а2, то
и два коэффициента этой линейной комбинации отличны
от нуля. ?
Пусть теперь яь ..., ат — произвольное семенсию
без повторений и а\ а'т — семейство, которое полу-
получено некоторым его перенумеровываиием (так что обоим
семействам отвечает одно и то же множество векторов).
Очевидно, что семейство а[, ..., а'т тогда и только тог-
тогда линейно зависимо, когда линейно зависимо семейство
fli, ..., ат. Это обеспечивает корректность следующего
определения:
Определение 4. Конечное подмножество линейного
пространства У называется линейно (не)зависимым,
если хотя бы при одной (и, значит, каждой) нумерации
его элементов получается линейно (не)зависимое се-
семейство.
Согласно сказанному выше пустое множество линей-
линейно независимо. Что же касается одноэлементного под-
подмножества (состоящего из одного вектора а), то оно
линейно независимо тогда и только тогда, когда а ф 0.
Действительно, если ka = 0, где k Ф 0, то о = k~l (ka) =
= ?-10 = 0, а если а = 0, то, например, 1а = 0. ?
Установим теперь несколько простых, но полезных
свойств введенных понятий.
1) Если вектор а линейно выражается через векторы
Ои ..., ат и если каждый вектор alt ..., am линейно вы-
выражается через векторы Ъ\, ..., Ь„, то вектор а линейно
выражается через векторы Ьу Ьп.
23

Доказательство очевидно. ?
Это свойство называется транзитивностью ли-
линейной выражаемости.
2) Семейство (множество) векторов, обладающее
линейно зависимым подсемейством (подмножеством),
линейно зависимо.
Достаточно добавить к равной нулю нетривиальной
линейной комбинации векторов подсемейства все осталь-
остальные векторы семейства, снабдив их нулевыми коэффи-
циентами. ?
Это свойство оправдывает следующее определение,
которое иногда бывает полезно:
Определение 5. Бесконечное множество векторов на-
называется линейно зависимым, если оно обладает конеч-
конечным линейно зависимым подмножеством, и линейно не-
независимым, если любое его конечное подмножество ли-
линейно независимо.
3) Семейство (множество) векторов, содержащее ну-
нулевой вектор, линейно зависимо.
Действительно, чтобы получить равную пулю нетри-
нетривиальную линейную комбинацию, достаточно нулевой
вектор снабдить коэффициентом 1, а все остальные век-
векторы — коэффициентами 0. Можно также сослаться на
утверждение 2), поскольку нулевой вектор составляет
линейно зависимое семейство. ?
4) Семейство (множество) векторов тогда и только
тогда линейно зависимо, когда хотя бы один из его век-
векторов линейно выражается через остальные.
Действительно, если
где, например, к\фО, то
«¦ = (-?)¦.+ ••¦
Обратно, если
«1 = hai + • • • + lmam,
то
где—1=^0. ?
Для семейств (но, конечно, не для множеств) векто-
векторов имеет место и более точный результат;
24

5) Семейство векторов а.\, ..., ат тогда и только
тогда линейно зависимо, когда некоторый вектор а,,
1 ^ i ^ ш, этого семейства линейно выражается через
предыдущие векторы а,\, ..., a,_i.
Доказательство. Если вектор а,, \ ^ i ^m, ли-
линейно выражается через векторы аь ..., ah-\ (при i = 1,
в соответствии с принятым выше общим соглашением,
это означает, что а\ = 0), то семейство аь ..., а, линей*
но зависимо (утверждение 4)), а потому (утвержде*
ние 2)) линейно зависимо и семейство а\, ..., ат.
Обратно, пусть семейство аи ..., ат линейно зави«
симо. Тогда существует такое наименьшее i, I ^ i ^ т,
что семейство а\, ..., а, линейно зависимо (?= 1 тогда
и только тогда, когда fli =0). Пусть
Mi+ ••• +*/«! = 0
— равная нулю нетривиальная линейная комбинация
векторов в], ..., а,. Ясно, что kt Ф 0, ибо при k, = 0 по-
получится, что, вопреки предположению, линейно зависимо
семейство а{ а,-1ш Поэтому на k, можно делить, и
мы получаем, что
п
6) Семейство векторов аь ..., ат тогда и только тог*
да линейно независимо, когда любой вектор, линейно вЫ'
ражающийся через эти векторы, выражается через них
единственным образом.
Действительно, пусть вектор а двумя разными спосо*
бами выражается через данные векторы:
а = kxa\ + • • • + kma
mam,
где ki Ф U хотя бы для одного i — 1, ..., m. Тогда, вычи-
вычитая одно равенство из другого, мы получим равную ну-
нулю нетривиальную линейную комбинацию
(kl-ll)al+ ... +(km-tm)am = O
векторов аи .. ., ат.
Обратно, если существует равная нулю иетривиаль*
ная линейная комбинация
25

то любой вектор
линейно выражающийся через векторы а\, ..., ат, мож-
можно будет выразить через эти векторы и другим способом:
a = (kl + Ki)a1+ ... +(km + lm)am. Q
Все эти свойства линейной зависимости более или
менее тривиальны. Следующее же свойство, напротив,
отнюдь не тривиально. Чтобы отметить этот факт, мы
возведем его в ранг теоремы.
Теорема 1 (теорема о линейной зависимо-
зависимости). Пусть каждый вектор семейства
B) а, ат
линейно выражается через векторы
C) Ьи...,Ьп.
Тогда, если m > п, то семейство аи ..., а,п линейно за-
зависимо.
Для доказательства этой теоремы нам понадобится
следующая лемма:
Лемма. Предполагая по-прежнему, что каждый век-
вектор семейства B) линейно выражается через векторы C).
допустим, что семейство B) линейно независимо. Тогда
для любого s = О, ..., п существует семейство векторов
D) с<*> с'*,
обладающее следующими свойствами:
а) каждый вектор семейства B) линейно выражает-
выражается через векторы D);
б) первые s векторов семейства D) совпадают с пер-
первыми s векторами семейства B):
Мы докажем эту лемму индукцией по числу s. При
s = 0 она очевидна (за семейство D) можно принять
семейство C)). Пусть она уже доказана для числа s,
докажем ее для числа s + 1. Рассмотрим семейство
E) as+l, ** c<f.
Это семейство линейно зависимо, ибо вектор as+i линей-
линейно выражается через векторы c[s\ ..., с{*К Поэтому, со-
26

гласно свойству 5) линейной зависимости, какой-то век*
тор семейства E) линейно выражается через предыду-
предыдущие векторы. Этим вектором не может быть первый век-
вектор as+\, ибо он отличен от нуля (семейство B) по усло-
условию линейно независимо). Если i ^ s, то вектор at = с^>
будет выражаться через векторы as+i. "l. •••, я<-1 и се-
семейство B) окажется, вопреки предположению, линейно
зависимым. Поэтому i > s. Следовательно, существует
такое i, что вектор c[s) линейно выражается через век-
векторы as+l, cf> с</!,.
Удалим теперь из семейства E) вектор cfK Получен-
Полученное семейство состоит из п векторов и обладает, очевид-
очевидно, тем свойством, что через него линейно выражается
каждый вектор семейства D), а значит (свойство 1)), и
каждый вектор семейства B). Таким образом, оно удо-
удовлетворяет условию а).
Это свойство сохранится, очевидно, если мы переста-
переставим вектор as+i на s+ 1-е место. Но тогда семейство бу-
будет удовлетворять и условию б) по отношению к числу
s-f-1. Тем самым по индукции лемма полностью дока-
доказана. ?
Доказательство теоремы 1. Предположим,
что теорема неверна, т.е. что в ее условиях семейство B)
линейно независимо. Тогда к этому семейству будет при-
применима доказанная лемма. Но при s = n эта лемма дает,
что каждый вектор семейства B), и, в частности, вектор
ат, линейно выражается через векторы с', = а,, ..., «Jj1* =
— ап. Поскольку т > п, это означает, что семейство A)
линейно зависимо. Полученное противоречие доказывает
теорему. ?
Другое доказательство теоремы 1. Из
курса алгебры известно, что система линейных однород-
однородных уравнений, число неизвестных которой больше
числа уравнений, обязательно имеет ненулевое решение.
Из этого утверждения теорема 1 вытекает почти автома-
автоматически. Действительно, по условию существуют такие
числа
кц, ¦ • •, «in,
27

что
а2 = k2\bi + ... + k2nbn,
Рассмотрим систему уравнений
k2nx2 + ... + kmnxm = 0.
Так как по условию т> п, то по указанной алге-
алгебраической теореме существуют числа х\)], xf, ..., х?\
не все равные нулю, удовлетворяющие этим уравнениям.
Но тогда
= 06,+ ... +0ftrt = 0,
и, следовательно, семейство ci, ..., ат линейно за-
зависимо. П
Здесь конечно, вся тяжесть доказательства перело*
жена на плечи алгебры.

Лекция 4
КОЛЛИНЕАРНЫЕ ВЕКТОРЫ. — КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕК-
ТОРЫ.— ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ КОЛЛИНЕ:АР-
НОСТИ И КОМПЛАНАРНОСТИ.—ПОЛНЫЕ СЕМЕН*
СТВА ВЕКТОРОВ, БАЗИСЫ, РАЗМЕРНОСТЬ.—АК-
РАЗМЕРНОСТЬ.—АКСИОМА РАЗМЕРНОСТИ.-КРИТЕРИЙ БАЗИСА.-КО-
БАЗИСА.-КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА. —КООРДИНАТЫ СУММЫ ВЕК-
ВЕКТОРОВ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО.
В предыдущей лекции мы установили, что одноэлемент-
одноэлементное множество векторов тогда и только тогда линейно
независимо, когда оно состоит из отличного от нуля век-
вектора. Рассмотрим теперь аналогичный вопрос для двух-
и трехэлементных множеств.
Определение 1. Два вектора называются коллинеар-
ными, если они составляют линейно зависимое мно-
множество.
Пусть а и Ь — коллинеариые векторы. По условию су-
существуют такие числа k и /, хотя бы одно из которых
отлично от нуля, что
ka + lb = 0.
Если (гфО, то а —/г&, где Л = — у, а если 1ф0, то
b = ha, где h = —-. Ясно, что, и обратно, если a — hb
или b = ha, то векторы а и Ь коллинеарны.
Определение 2. Говорят, что вектор b пропорционален
вектору а, если существует такое число h, что b = ha.
Мы, таким образом, доказали, что два вектора тогда
и только тогда коллинеарны, когда хотя бы один из них
пропорционален другому. ?
29

Полезно иметь в виду, что если векторы а \\Ь отлич-
отличны от нуля и один из них пропорционален второму, то и
второй пропорционален первому. Оговорка «хотя бы
один» нужна, следовательно, только для того, чтобы не
исключить случай, когда один (н только один) из дан-
данных векторов равен нулю.
Определение 3. Три вектора а, Ъ, с называются ком-
компланарными, если они составляют линейно зависимое
множество.
Согласно общей теории (см. в предыдущей лекции
свойство 4)) векторы а, Ъ, с тогда и только тогда ком-
компланарны, когда один из них линейно
выражается через остальные. При
этом, если никакие два из векторов
а, Ъ, с не коллинеарны, то каждый из
этих векторов будет выражаться че-
через остальные. Если же, например,
векторы а и ft коллинеарны, то три
вектора а, Ь, с компланарны при про-
произвольном векторе с.
Коллинеарные век-
векторы.
Векторы, лежащие
в одной плоскости.
Наглядно геометрически коллине-
коллинеарность означает, очевидно, что оба
вектора параллельны одной и той же
прямой или (что то же самое) распо-
расположены на одной и той же прямой.
Что геометрически означает компла-
компланарность'
Пусть векторы а = ОА и Ь = ОВ
не коллинеариы. Тогда три точки О, А,
В определяют единственную плоскость. Этой плоско-
плоскости принадлежат векторы а, Ь, а потому и любой век-
вектор с вида ka + Ib. Таким образом, если векторы с, ft и
с компланарны, то все они лежат в некоторой плоскости
(или, что то же самое, параллельны ей). Ясно, что этот
вывод сохранится и в случае, когда векторы а и Ь кол-
коллинеарны
—> —> - >
Обратно, пусть три вектора а = ОА, Ь = ОВ, с = ОС
расположены в одной плоскости. Докажем, что они ком-
компланарны. Если векторы о и ft коллииеарны, доказывать
нечего. Поэтому мы можем считать, что векторы а = О А
30

и 6= OB не коллинеарны и потому определена пло-
плоскость ОАВ. По условию точка С лежит в этой плоско-
плоскости. Прямая, проходящая через точку С параллельно
прямой ОВ, пересекает прямую ОА в некоторой (един-
(единственной) точке d. По определению сложения векторов
Но вектор ОС\ параллелен вектору ОА = а и потому
ему пропорционален, так что ОС\ = ka. Аналогично,
С\С = 1Ъ. Тем самым доказано, что
c = ka + lb,
т. е. что векторы а, Ь и с компланарны. D
Ск
О-
в)
Линейно независимые векторы: а) в пространстве, б) иа плоскости,
е) на прямой.
Если мы возьмем теперь четыре точки О, А, В и С,
не лежащие в одной плоскости, то, по доказанному, век-
векторы а=ОА, Ь = ОВ, с = ОС будут линейно незави-
независимы. Таким образом, в пространстве существуют линей-
линейно независимые тройки векторов.
Аналогично, на плоскости существуют линейно неза-
независимые пары векторов (достаточно взять три точки О,
А, В, не лежащие на одной прямой), а на прямой — ли-
линейно независимые одноэлементные множества векторов
(достаточно взять любые две различные точки О и Л).
При этом любые два вектора иа прямой, так же как
и любые три вектора на плоскости, будут линейно зави-
зависимы. Аналогичным образом, будут линейно зависимы и
любые четыре вектора в пространстве.
31

Действительно, достаточно рассмотреть случай, когда
из четырех векторов
а = ОА, Ь = ОВ, с = 6с, d = OD
первые три вектора а, Ь, с не компланарны, т. е точки
О, Л, В, С не лежат в одной плоскости (и потому точки
О, А, В не лежат на одной прямой), Тогда прямая, про-
проходящая через точку D параллельно прямой ОС, будет
пересекать плоскость ОАВ в некоторой (однозначно
определенной) точке D\. Так как векторы а, Ь и OD\
компланарны, а векторы а и Ь не
коллпнеарны, то вектор ODi ли-
линейно выражается через векторы
а и Ь. Следовательно, по-
поскольку
^
и поскольку вектор D[D пропорцио-
пропорционален, по построению, вектору с =
¦—> —>
Четыре вектора в про- = ОС, вектор d = OD линейно
странстве. выражается через векторы а, Ь
и с.
Чтобы единообразно сформулировать полученные ре-
результаты, мы положим п = 3, если мы рассматриваем
геометрию в пространстве (стереометрию), и п = 2, если
мы ограничиваемся геометрией плоскости (планимет-
(планиметрией). Тогда, согласно доказанному, будут иметь место
следующие утверждения:
1. Любое семейство векторов, состоящее более чем
из п векторов, линейно зависимо.
2. Существуют линейно независимые семейства векто-
векторов, состоящие из п векторов.
Для векторов на прямой эти утверждения справед-
справедливы при п — 1.
Утверждения 1 и 2 не вытекают из аксиом 1°—8° век-
векторного пространства. Поэтому в аксиоматическом по-
построении геометрии надо либо принять их за аксиомы,
либо ввести какую-то другую аксиому, с помощью кото-
которой можно их доказать.
Чтобы сформулировать эту аксиому, удобно ввести
следующее определение:
32

Определение 4. Семейство alt ..., а,п векторов ли-
линеала Т называется полным, если любой вектор из Y,
линейно выражается через векторы а\, ..., ат.
Легко видеть, что если полное семейство векторов ли-
линейно зависимо, то из него можно удалить один
вектор так, чтобы оставшееся семейство было также
полно.
Действительно, если семейство а,\, .... ап линейно
зависимо, то хотя бы один его вектор линейно выра-
выражается через остальные. Пусть для определенности это —¦
вектор ап. Тогда каждый вектор семейства аь ..., а,п
будет линейно выражаться через векторы аь .... ат-\,
и потому, в силу свойства транзитивности линейной зави-
зависимости (см. в предыдущей лекции свойство 1)), любой
вектор, линейно выражающийся через векторы а.\, ...
...,ат, будет линейно выражаться и через векторы
аи ..., ат-\. Следовательно, если семейство векторов
Ci ат полно, то ceiieiicTBO а\, ..., ат-\ также пол-
полно. D
Определение 5. Линеал Т, в котором существуют (ко-
(конечные) полные семейства векторов, называется конеч-
конечномерным.
В силу только что доказанного утверждения в любом
конечномерном линеале У существуют полные линейно
независимые семейства векторов Действительно, чтобы
получить такое семейство, достаточно нз произвольного
полного семейства удалить необходимое число векторов,
следя за тем, чтобы полнота сохранялась.
Определения 6. Каждое полное линейно независимое
семейство векторов называется базисом линеала Т.
Подчеркнем, что, по определению, базисом является
именно семейство (а не множество) векторов. Вместе
с тем и полнота, и линейная независимость сохраняются
при любом перенумеровывании (любой перестановке)
векторов базиса. Поэтому, переставив векторы базиса,
мы снова получим базис, но другой.
Пусть «1, .... е„ — некоторый базис, а аь ..., ащ—¦
произвольное семейство векторов линеала У.
Шредлвже*же 1. Если семейство аи ..., ат
а) линейно независимо, то tn ^ /г,
б) полно, то т~^п.
Доказательство. Так как базис е\, ..., е„ яв-
является полным семейством векторов, то любой вектор
семейства Ci, ..., ftm линейно через него выражается.
2 М. М. Постников 33

Следовательно, но теореме 1 предыдущей лекции, если
семейство ai, ..., а,„ линейно независимо, то т ^ п.
Если семейство а.\, ..., ат полно, то любой вектор
базиса е\, ..., еп линейно через него выражается. Так
как базис является линейно независимым семейством
векторов, то т 2э п по той же теореме 1. ?
Следствие. Все базисы конечномерного линеала У со-
состоят из одного и того же числа векторов.
Определение 7. Это число называется размерностью
линеала Т и обозначается символом dim У.
Если AimT = п, то линеал Т называется п-мерным
и обыкновенно обозначается символом Тп.
Заметим, что dimF = 0 тогда и только тогда, когда
Теперь мы уже можем сформулировать дополнитель-
дополнительную аксиому 9°. В этой аксиоме фигурирует некоторое
натуральное число п, которое мы считаем равным либо 3
(«стереометрический» вариант), либо 2 («планиметриче-*
ский» вариант). Впрочем, формально возможен и слу-
случай п = \ (когда получается тривиальная «геометрия
прямой») и даже совсем уже вырожденный случай /г = 0
(«геометрия точки»).
Аксиома 9° (аксиома р а з м ер ности). ЛинеалТ,
конечномерен и dimF3= п.
Заметим, что в таком линеале сформулированные
выше утверждения 1 и 2 очевидным образом справед-
справедливы. Действительно, утверждение 1 равносильно пун-
пункту а) предложения 1, а утверждение 2 является не чем
иным, как утверждением о существовании базисов,
В «-мерном линеале каждый базис
а) состоит из п векторов,
б) является полным семейством,
в) является линейно независимым семейством.
Замечательно, что при выполнении для некоторого
семейства векторов свойства а) каждое из свойств б) и
в) вытекает из другого:
Предложение 2. Семейство векторов п-мерного лине-
линеала Т, состоящее из п векторов, тогда и только тогда
является базисом, когда оно либо полно, либо линейно
независимо.
Доказательство. Нужно показать, что если
семейство е\, ..., еп полно, то оно также и линейно пе-
34

зависимо, а если линейно независимо, то также и
полно.
Но если семейство еи ..., еп полно и линейно зави-
зависимо, то мы можем, удалив из него подходящий вектор,
получить полное семейство, состоящее из п — 1 векто-
векторов, что, в силу пункта б) предложения 1, невозможно.
Следовательно, полное семейство е\, ..., е„ линейно не-
независимо.
Пусть теперь семейство еи .... е„ линейно незави-
независимо. Нам нужно показать, что оно полно, т. е. что лю-
любой вектор eef через него выражается. Рассмотрим
с этой целью семейство е\, ..., е„, а. Оно содержит п + 1
векторов н потому (пункт а) предложения 1) линейно
зависимо. Следовательно, один из векторов этого семей-
семейства линейно выражается через предыдущие. Так как се-
семейство е\ еп, по условию, линейно независимо, то
этим вектором может быть только вектор а. ?
Пусть ei, ..., еп — произвольный базис линейного
пространства Т. Тогда для любого вектора eef суще-
существуют такие однозначно определенные числа а1, ..., ап
(где верхние индексы являются номерами, а не показа-
показателями степени), что
A) a = alei+ ... +апеп.
Существование чисел а1, ..., а" обеспечивается полно-
полнотой базиса, а их единственность — его линейной незави-
независимостью.
Определение 8. Числа а1, ..., ап называются коорди-
координатами вектора а в базисе е\, ..., еп.
Формула A) называется разложением вектора а по
базису еи ..., е„. Мы будем ее (и аналогичные фор-
формулы) записывать в виде
предполагая, что по двум повторяющимся индексам, од-
одному верхнему, другому нижнему, происходит суммиро-
суммирование от 1 до п. Эта сокращенная запись была предло-
предложена Эйнштейном.
Пусть а и Ь — два вектора, а а1, ..., а" и Ь\ ..., Ьп-~
их координаты (в одном и том же базисе е\, ..., e.t).
Тогда
а = а{ех+ ... + апеп, 6 = 6'^,+ ... + Ьпеп,
2* 35

и потому
а + Ь = а]е1+ ... + anea + blel + ... + bnen =
= a'e, + 6'e, + ... + Л» + 64 =
(В обозначениях Эйнштейна эта выкладка записывает-
записывается совсем коротко: a -f- b — а'е, + b'e, =(al + Ь')е,.)
Этим доказано, что координаты суммы векторов являют-
являются суммами соответствующих координат слагаемых, или,
короче, что при сложении векторов их соответствующие
координаты складываются.
Аналогично, для любого числа k мы имеем
ка = k (a'e, + ... + anen) = (kal)ei+ ... +(kan)en
(т. е. ka — k(aiel) = (ka')el). Таким образом, при умно-
умножении вектора па число его координаты умножаются иа
то же число.

Лекция 5
ИЗОМОРФИЗМЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ —КО-
—КООРДИНАТ! 1ЫЕ ИЗОМОРФП ЗМЫ. — ИЗОМОРФНОГТЬ
ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ ОДНОЙ И ТОЙ ЖЕ Р^З-
МНРНОСТИ —МЕТОД КООРДИНАТ. —АФФИННЫЕ
ПРОСТРАНСТВА —ИЗОМОРФНОСТЬ АФФИННЫХ
ПРОСТРАНСТВ ОДНОЙ И ТОЙ ЖЕ РАЗМЕРНОСТИ —
АФФИННЫЕ КООРДИНАТЫ —ПРЯМЫЕ В АФФИН-
АФФИННОМ ПРОСТРАНСТВЕ. —ОТРЕЗКИ
Установленные в предыдущей лекции свойства коор-
координат могут быть сформулированы в более инвариант-
инвариантных терминах.
Определение 1. Пусть Т и Т' — два линейных про-
пространства. Биективное отображение
пространства Т на пространство Т' называется изомор-
изоморфизмом, если оно сумму переводит в сумму и произведе-
произведение на число в произведение на то же число, т. е. если
Ф (а + Ь) = ф (а) + ф F)
и
Ф (ka) = кц> (а)
для любых векторов а, Ь е Т и любого числа k.
Линейные пространства Т и У" называются изоморф-
изоморфными, если существует хотя бы один изоморфизм Т-*-У".
В этом случае пишут Т « Т'.
Ясно, что тождественное отображение Т-*-Т яв [яст-
ся изоморфизмом, отображение, обратное к изоморфиз-
изоморфизму, является изоморфизмом и композиция (произведе-
(произведение) изоморфизмов является изоморфизмом. Отсюда
следует, что отношение изоморфности является отноше-
37

пнем эквивалентности, т. е. оно рефлексивно (У « У°),
симметрично (если У та У, то У « У) и траизитивно
(если У « У и F' да У", то F « Г"). Поэтому совокуп-
совокупность всех линейных пространств (над данным нолем К)
распадается в непересекающиеся классы изоморфных
пространств.
В аксиоматической теории векторных пространств мы
интересуемся (и можем интересоваться) лишь теми их
свойствами, которые могут быть выражены в терминах
операции сложения и умножения на числа. Ясно, что
такого рода свойства у двух изоморфных пространств
одинаковы. Поэтому в аксиоматической теории изоморф-
изоморфные пространства рассматриваются как одинаковые. Это
позволяет применять утверждения, доказанные для од-
одного пространства, ко всем пространствам, ему изоморф-
изоморфным. На этом обстоятельстве и основан, в сущности, ме-
метод координат, па котором базируется аналитиче-
аналитическая геометрия.
Действительно, координаты а1, ..., ап каждого век-
вектора nef (в данном базисе еи ..., е„) составляют по-
последовательность (а1, ..., а"), являющуюся элементом
пространства R" (а в случае произвольного основного
поля X—элементом аналогично строящегося простран-
пространства Xя). Поэтому формула
(I) ф(а) = (а', .... о")
определяет некоторое, очевидно биективное, отображе-
отображение
Тот факт, что координаты суммы равны суммам коорди-
координат, выражается, очевидно, формулой
а тот факт, что координаты вектора ka равны произведе'
пням координат вектора а на k,— формулой
Ф (ка) = kq> (a).
Таким образом, мы видим, что отображение ф: y-*-Rn
является изоморфизмом.
Определение 2. Изоморфизм, задаваемый формулой
A), называется координатным изоморфизмом, опреде-
определенным базисом е\, •• •, «я.
38

Особую роль в пространстве R" играют п векторов
A, 0, 0, .... 0),
@, 1, 0, .... 0),
(О, 0, 1, ..., 0),
(О, 0, 0, .... 1).
Ясно, что они составляют базис (называемый стан'
дартным базисом пространства R"), причем координата-
координатами произвольного вектора (а1, ..., q")eR" в этом ба-
базисе являются как раз его компоненты а1, ..., ап, т. е.
(а1, .... а") =
= а'A, 0,..., 0) + аг@, 1, .... 0)+...+а"@, 0 1).
Координатный изоморфизм A), очевидно, однозначно
характеризуется как изоморфизм T-*-Rn, переводящий
данный базис еи ..., е„ пространства Т в стандартный
базис пространства R". Отсюда следует, что любой изо-
изоморфизм У-*-:1п является координатным изоморфизмом,
соответствующим некоторому базису (а именно базису,
состоящему из векторов, переходящих при данном изо-
изоморфизме в векторы стандартного базиса пространства
R").
Факт существования изоморфизмов y-^R" означает,
что справедлива следующая теорема:
Теорема 1. Каждое п-мерное линейное пространство
У°п изоморфно пространству Rn. ?
В частности, мы видим, что любые два линейных про-
пространства одной и той же размерности изоморфны (и,
конечно, разной размерности не изоморфны).
Таким образом, хотя различных линейных прост-
пространств существует необозримо много, классов изоморф-
изоморфных пространств имеется только счетное число. При jt'>\i
для любого целого неотрицательного п ^ 0 существует
один и только один такой класс; он состоит из всех п-
мерных линейных пространств.
Каждый изоморфизм ц>: Т-*Т' двух линейных про-
пространств определяется двумя базисами в\, ..., е„ и
е[, ..., е'п этих пространен; и перегюднт вектор x—x'ei
в вектор х' = х'е'1, имеющий в базисе е\, ..., е'п те же
39

координаты, что и вектор х в базисе «i, ..., еп. На этом
основании иногда говорят, что изоморфизм <р устанавли-
устанавливается по равенству координат.
Координатный метод аналитической геометрии (при-
(применительно к линейным пространствам) в том и состоит,
что посредством коордппатного изоморфизма A) произ-
произвольное линейное пространство W заменяется вполне
конкретным пространством К". Извлекаемая из этого
польза состоит в том, что при доказательстве теорем
в пространстве R" мы можем пользоваться всей анали-
аналитической техникой обращения с числами, что, конечно,
существенно упрощает доказательства и часто позволяет
доказывать теоремы почти автоматическим вычислением
(тогда как вывод нх из аксиом, т. е., как говорят, их
«синтетическое» доказательство, почти всегда требует
определенной изобретательности).
Однако при этом нужно быть внимательным и сле-
следить за тем, чтобы окончательный вывод имел «геомет-
«геометрический смысл», т. с. формулировался только в терми-
терминах основных операций и потому посредством обратного
изоморфизма ф~': !\"->У мог быть перенесен в исход-
исходное пространство Т. Если это условие не соблюдено, то
доказанное в К" утверждение, вообще говоря, даже не
имеет смысла в У (безотносительно к выбору базиса).
Все дело здесь в том, что изоморфизм A) зависит от
выбора базиса, и потому, работая в х", мы автоматиче-
автоматически включаем в исследование этот базис. «Геометриче-
«Геометрический смысл» имеют только те утверждения, которые от
произвола в выборе базиса не зависят. Таково, напри-
например, утверждение, что некоторый вектор равен нулю, но
отнюдь не утверждение, что равна пулю его первая ко-
координата.
Заманчивая мысль полиостью алгебраизнровать гео-
геометрию, отождествив раз и навсегда посредством изо*
морфизма A) каждое линейное пространство Тп с про-
пространством j\", потому и не проходит, что это отождеств-
отождествление осуществляется с большим произволом, ограни-
ограничить который как-либо не представляется возможным.
Для построения полноценной геометрии одних век-
векторов, конечно, недостаточно; как минимум нужны еще
точки. Аксиоматизируя построение вектора по двум точ-
точкам, м>ы введем следующее определение:
40

Определение 3. Аффинное пространство — это множе-
множество si- элементов произвольной природы, называемых
точками, для которого задано
а) некоторое линейное пространство У;
б) отображение, сопоставляющее любым двум тот-
кам Л, fiei некоторый вектор из У, обозначаемый
символом АВ и называемый вектором с началом в А
и концом в В. При этом требуется выполнение следую-
щих двух аксиом:
10°. Для любой точки ieiii любого вектора
существует единственная точка В е si, для которой
11°. Для любых трех точек А, В, Се^ имеет место
равенство
АВ + ВС = Л~С.
Полагая в аксиоме 11° А = В = С, мы получим, как
и следовало ожидать, что АА =0. Полагая теперь С—А,
мы получим, что ВА = —АВ.
Линейное пространство У называется ассоциирован-
ассоциированным с аффинным пространством з&. Его размерность
й\тУ называется размерностью аффинного простран-
пространства si и обозначается символом dini.s#.
Мы, естественно, будем пока интересоваться аффин-
аффинными пространствами размерности п ^ 3. Пространство
размерности 1 называется прямой, размерности 2 — пло-
плоскостью, а размерности 3 — увы! — пространством. Пу-
Путаница усугубляется тем, что, как мы увидим ниже, пря-
прямыми и плоскостями называются также некоторые под-
подмножества пространства. Все это, конечно, очень непри-
неприятно, но таково сложившееся словоупотребление.
Часть математики, изучающая аффинные простран-
пространства, называется аффинной геометрией. При нашем по-
построении в этой геометрии имеются два первоначальных
неопределяемых понятия (точка и вектор) и три неопре-
неопределяемых отношения (отношение между тремя векто-
векторами а, 6, с, состоящее в том, что вектор с является
суммой векторов а и Ь; отношение между двумя векто-
векторами а, Ъ и числом к, состоящее в том, что Ь = ka\ отно-
отношение между двумя точками А, В и вектором а, состоя-
состоящее в том, что АВ = а). Эти отношения должны удов»
•41

летворять восьми «векторным» аксиомам 1°—8°, аксиомо
размерности 9° (при данном п) и двум «аффинным»
аксиомам 10° и 11°. '
Примеры аффинных пространств.
1) Пусть У— произвольное линейное пространство.
Мы определим аффинное пространство si, полагая si =
— >
— У и аЪ = Ъ — а. Аксиомы 10° и 11°, очевидно, выпол-
выполнены (для любой «точки» а е= si- и любого вектора cef
«точка» Ъ = a -f- с является, очевидно, единственной точ-
точкой, для которой ab — c; для любых трех точек а, Ь и с
имеет место равенство с — а = (Ь — а)-\-(с — &)). Та-
Таким образом, любое линейное пространство У можно
рассматривать как аффинное пространство. В этом его
качестве мы будем иногда обозначать его символом
г афф-
2) В частности, мы получаем, что множество Rn есте-
естественным образом является аффинным пространством,
с которым ассоциировано линейное пространство !К".
(Таким образом, символ R" у пас обозначает два разных
объекта: аффинное пространство и линейное простран-
пространство. Когда требуется их различать, можно писать, на-
например, р;фф и R3,,,,.) Если Л =(а«, .... о") и В =-.
= F\ ..., Ьп) — точки нз К'афф, то вектор АВ из R?llH
определяется формулой
АВ = (Ь1—а1, ..., Ьп — ап).
Пусть si и s4-' — два аффинных пространства, и
пусть У н У — ассоциированные линеалы.
Определение 4. Изоморфизмом пространства si- па
пространство S4-' называется такое биективное отобра-
отображение
рассматриваемое вместе с некоторым изоморфизмом
ф: У'-*¦"/" ассоциированных линейных пространств, что
для любых двух точек А, В е si- имеет место равенство
Пространства si и si' называются изоморфными,
если существует хотя бы один изоморфизм пространства
si на пространство si'. Ясно, что отношение изоморфно-
42

cut аффинных пространств является отношением экви-
эквивалентности.
Легко видеть, что любое линейное /г-мерное прост-
пространство Тп, рассматриваемое как аффинное (см. при-
пример 1)), изоморфно аффинному пространству Rn. Соот-
Соответствующим изоморфизмом г);: У^фф -> К"фф является
произвольный координатный изоморфизм Tn-+-Rn (с ним
же — в роли изоморфизма <р: Т"»п—^К",,,,). Таким обра-
образом, изоморфизм У'"фф с Р?ф-ь задается выбором в Т
базиса.
С другой стороны, любое аффинное пространство зФ
изоморфно ассоциированному линейному пространству
Т\ рассматриваемому как аффинное пространство. Что-
Чтобы задать такой изоморфнзм, надо выбрать в $Ф произ-
произвольную точку О и положить
B) 6А
Очевидно, что так определенное отображение if: $Ф-±У
является изоморфизмом аффинных пространств $Ф и 7"a<j><t>
(в этом случае ф — тождественное отображе[1ие У-+-У).
Вектор B) обычно называется радиус-вектором точ-
точки А. Подчеркнем, что он зависит от выбора точки О.
Комбинируя оба доказанных утверждения, мы полу-
получаем следующую теорему:
Теорема 2. Каждое п-мерное аффинное пространство
si4 изоморфно аффинному пространству R".
Иначе говоря, все аффинные пространства одной и
той же размерности изоморфны.
В этом состоит полнота аксиом аффинной
геометрии: с точностью до изоморфизма они одно-
однозначно определяют соответствующее пространство.
Изоморфизм s&n на К" задается произвольной точкой
Облг (ее выбор определяет изоморфизм st" на У^фф)
и произвольным базисом eit . .., еп пространства У" (его
выбор определяет изоморфизм У^фф на К"фф)-
Определение 5. Совокупность, состоящая из точки О
и базиса еи . . ., е„, называется аффинной координатной
системой в si-. Обозначается она символом Ое, ... еп.
Например, при /г = 3 (в пространстве) аффинная ко-
координатная система имеет вид Oe^e-i, при п = 2 (на
плоскости) — вид Ое}е2 и при п = 1 (на прямой) —
вид Оеи
43

Согласно сказанному выше каждая аффинная коор-
координатная система Ое\ ., . еп определяет некоторый изо-
изоморфизм г?: ^->х". Он называется координатным изо'
морфизмом.
Пусть Л е $4>, и пусть
Ъ(А) = (аК ..., ап).
Определение 6. Числа а1, ..., а" называются аффин-
аффинными координатами (илн просто координатами) точки А
в аффинной координатной системе Ов\ .,. е„.
S) в)
Аффинная координатная система: а) в пространстве, б) на пло-
плоскости, в) на прямой.
Эти координаты являются не чем иным, как коорди-
координатами радус-вектора О А в базисе ех е„:
ОЛ = й'е,+ ... -\-апеп.
При п = 3
О А = а)ех -f a2e2 + с?ег,
а при п = 2
По поводу роли и значения аффинных координат
можно дословно повторить все, сказанное выше по по-
поводу координат векторов.
Аффинная геометрия, основывающаяся па аксиомах
1°—11°, представляет собой ту часть элемелтарной гео-
геометрии, которая не использует измерения длины отрез-
отрезков и величин углов. Эта часть, как мы увидим, не так
мала. В частности, в ней имеет смысл понятие прямой
линии.
44

Как аксиоматически ввести прямые? Как всегда, для
этого нужно предварительное рассмотрение на интуитив-
интуитивно-геометрическом уровне.
На этом уровне ясно, что любая прямая (на плоско-
плоскости или в пространств*) полностью определяется произ-
произвольной своей точкой Мо н произвольным отличным от
нуля вектором а, параллельным этой прямой. При этом
условие, что некоторая точка М принадлежит прямой,
состоит в том, что вектор МСМ коллинеарен вектору а,
т. е. существует такое число /, что
C) M~Jl = ta.
При аксиоматическом построении нужно обратить
это утверждение и принять его за определение.
Пусть $$> — произвольное аффинное пространство с
ассоциированным линейным пространством У.
Определение 7. Прямой в пространстве •$#, задавае-
задаваемой точкой Д/0е«9/ и отличным от нуля вектором aef,
называется множество всех точек M^s4>, для которых
вектор М(,М коллннеареп вектору а, т.е. для которых
при некотором t имеет место равенство C).
Вектор а называется направляющим вектором пря-
прямой. Любой коллипеарнын ему вектор называется парал-
параллельным данной прямой. В силу этого определения век-
векторы тогда и только тогда кол.шнеарны, когда они па-
параллельны некоторой прямой (этот факт выше был уста-
установлен в рамках интуитивной теории; теперь же мы его
получили и в аксиоматической теория).
Легко видеть, что каждая прямая в пространстве si-
естественным образом наделяется структурой аффиннога
пространства разяерпости 1 (на этом основании одно-
одномерные аффинные пространства— даже когда опп зада-
заданы абстрактно — также называются «прямыми»; см,
выше).
Действительно, ясно, что
а) все векторы, параллельные прямой, образуют ли-
линеал размерности 1;
б) для любых точек А, В прямой соответствующий
—> - >- —>
вектор АВ = М<\В — Mr А принадлежит этому линеалу;
в) возникающее соответствие (А, В)+—*-АВ удовлет-
удовлетворяет аксиомам 10° и 11°. ?

Поскольку при / = 0 получается точка Мо, мы видим,
что точка Мо принадлежит рассматриваемой прямой.
Поэтому об этой прямой говорят также, что она прохо-
проходит через точку Мо параллельно вектору а.
Ясно, что точка Мо и вектор а составляют на прямой
(рассматриваемой как аффинное пространство размер-
размерности 1) аффинную координатную систему. Координатой
точки Л1 в этой системе является фигурирующее в соот-
соотношении C) число t.
Предложение 1. Пусть No — произвольная точка пря-
прямой, проходящей через точку Л/о параллельно вектору а,
и пусть Ь — произвольный отличный от нуля вектор, па-
параллельный этой прямой. Тогда точка No и вектор Ь за-
задают ту же прямую.
Доказательство. По условию существуют такие
числа t0 и h0 Ф 0, что
М0Ыо = tQa и Ъ = пф.
Поэтому, если
ЩМ=--1а,
то
i\VW -= AVW - AVV"O = ta — /о« = тб,
/ — 'о
Г
Обратно, если
то
а = ta,
где / = тЛо + ^о- ?
Таким образом, прямая может задаваться любой
своей точкой и любым отличным от нуля вектором, па-
параллельным этой прямой.
При этом легко видеть, что для любых двух точек Мо
и Ми принадлежащих прямой, соответствующий вектор
MoMi параллелен этой прямой. Действительно, согласно
C) существует такое t\, что
i ,
Следовательно, прямая однозначно определена любы-
любыми двумя ее различными точками Мо и Mi, поскольку
46

она однозначно определена точкой Мо и отличным от
—>
пуля вектором МСМХ. Другим» словами, через две раз-
различные точки Мо и М\ проходит не более одной прямой.
Если такая прямая существует, то ее точки М опре*
деляются из условия
где / — произвольный параметр. Обратно, но определе-
определению, это соотношение для любых двух различных точек
Л/о и М\ задает некоторую прямую. Поскольку М = Мо
при t = 0 и М = М\ при / = 1, эта прямая проходит че-
через точки Л1() и М\.
Тем самым нами доказано следующее предложение:
Предложение 2. Через любые две различные точки
Мо и М\ аффинного пространства проходит одна и толь-
только одна прямая.
Эта прямая обозначается символом М0М\.
В случае, когда основное поле является полем R ве-
вещественных чисел, можно ввести следующее опреде-
определение:
Определение 8. Говорят, что точка М прямой AIoAf[
лежит между точками Mq n Mi, если соответствующее
этой точке значение параметра t удовлетворяет неравен-
неравенствам 0 < t < 1.
Множество всех точек прямой МОМХ, лежащих между
точками Л10 и Mi, вместе с самими этими точками, на-
называется отрезком с концами Мо и М\. Таким образом,
для точек отрезка 0 ^ t ^ 1. Обозначается отрезок сим-
символом М0М\.

Лекция 6
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ -УРАВ-
-УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ -КАНОНИЧЕ-
-КАНОНИЧЕСКОЕ УРХВНЕНИЕ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ. - ОБ-
ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ. — П \-
РАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ — ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕ-
РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ. —ТЕОРЕМА
ЕДИНСТВЕННОСТИ.— РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ ПО
ОТНОШЕНИЮ К ОСЯМ КООРДИНАТ.— ПОЛУПЛО-
ПОЛУПЛОСКОСТИ, НА КОТОРЫЕ ПРЯМАЯ РАЗБИВАЕТ ПЛО-
ПЛОСКОСТЬ.
Пусть в аффиьшом пространстве s& выбрана произ-
произвольная точка О. Тогда соотношение C) предыдущей
лекции, которое определяет точки прямой, проходящей
через точку Мо параллельно вектору а, мы можем запи-
записать в виде
A) r = ro + ta,
где
го = ОМ0, г = ОМ
(напомним, что М0М = г — г0). При изменении парамет-
параметра t от —-оо до +оо точка М с радиус-вектором г, зада-
задаваемым формулой A), пробегает всю рассматриваемую
прямую. Па этом основании равенство A) называется
векторным параметрическим уравнением прямой.
Пусть я =2 (случай прямой па плоскости). Выбрав
произвольную аффинную координатную систему Оехе2,
обозначим через х, у координаты точки М (т.е. коорди-
координаты вектора ОМ в базисе ех, е2), через х0, у0 — коорди-
координаты точки Мо и через /, m — координаты вектора а (в
48

базисе ей e-i) ¦ Тогда равенство A) будет равносильно
двум числовым равенствам:
B)
л- = л-0 + //,
Oiin называются (координатными) параметрическими
уравнениями прямой на плоскости.
При п =3 (в пространстве) к уравнениям B) добав-
добавляется еще одно уравнение, и координатные параметри-
параметрические уравнения прямой в p
пространстве приобретают вид
х = х0 + а,
C)
Задание прямой точкой и
вектором.
(третья координата вектора а
по традиции обозначается бук-
буквой п; мы имеем па это право,
поскольку, зафиксировав раз-
размерность 3, мы освободили букву п от обозначения раз-
размерности).
При задании прямой двумя точками Мо и М\ с ра-
радиус-векторами г0 и Г\ (п — при п = 3—координатами
Xq, tjo, Zq и Х\, у\, z{) мы можем считать, что а = М{]М\ =
= Г]—г0 (и, соответственно этому, что 1 = х\—х0, tn =
= У\ — Уа и п = Z\ — z0). Отсюда следует, что векторное
параметрическое уравнение прямой М0Ми проходящей
через точки MQ и Ми имеет вид
г = г0 + / (г, — га),
Т. е. аид
D) r = (l-t)rQ + <ri,
а ее координатные параметрические уравнения
л-= A-0 *a + '*i.
вид
(в прострааехве; на плоскости посдедмее урааненне от-
отсутствует),
49

Рассмотрим более внимательно прямые на плоскости
(т.е. в двумерном аффинном пространстве). Если на
плоскости фиксирована аффинная координатная система
Ое\в-2, то каждая прямая будет иметь параметрические
уравнения вида B). Исключив из этих уравнений пара-
параметр t, мы получим соотношение
(Г)) (х — х0) т — (у — УоI = 0.
Таким образом, если точка М принадлежит прямой, то
ее координаты х, у удовлетворяют уравнению E). Об-
Обратно, если числа х, у удовлетворяют уравнению E) и
если, например, 1ф0, то соотношения B) будут удов-
удовлетворены при / — х~ * - (а если тфО, то при
/ = у ~ Ув j , т. е. точка М с координатами х, у будет при-
принадлежать рассматриваемой прямой. На этом основании
соотношение E) называется уравнением прямой, за-
заданной точкой Л/о и вектором а.
Если т ф 0 и / ф 0, то уравнение E) можно перепи-
переписать в виде
ia\ х — хд __ у — уд
\ ' 1т'
Условимся придавать смысл этому равенству и тогда,
когда / = 0 (но тфО) или т==0 (по 1Ф0). Именно,
будем считать, что при /—-0 оно равносильно соотноше-
соотношению х — хо = 0, а при т = 0 — соотношению у — уо = 0.
В силу этого соглашения уравнение F) при любых /, т
(не равных одновременно пулю) будет равносильно урав-
уравнению E) и потому также будет уравнением рассматри-
рассматриваемой прямой.
Уравнение вида F) называется каноническим урав-
уравнением прямой.
В дальнейшем всегда символ Мо(хо,Уо) означает, что
точка Мо имеет координаты *о, Уо- Аналогично, символ
аA, т) означает, что вектор а имеет координаты /, т.
Для прямой М0Ми проходящей через точки М0(хо,уо)
и М\{х\,у\), коэффициенты / и т выражаются форму-
формулами / = .v'i — ха, т — у\ — уо. Таким образом, канони»
50

ческое уравнение прямой, проходящей через -точки
Л1(о.Уо) » М\(хиу\), имеет вал
X — Хо У — Уо
Это уравнение может быть также записано в виде
X — Хо У — У
= 0.
Пола1ая А = — т, В = /, мы уравнение E) можем
переписать в следующем виде:
Это — общее уравнение прямой, проходящей через точку,
Мо(хо,уо).
Полагая С = —Ах0 — Вуп, мы можем переписать это
уравнение и виде
G) Ах + By + С = 0.
Заметим, что для прямой G) направляющий вектор
имеет координаты В, —А.
Легко видеть, что любое уравнение вида G), где
либо А ф 0, либо В Ф 0, определяет некоторую прямую.
Действительно, найдем такие числа ха, уо, чтобы Ахо +
+ fi(/o + C = O (при АФО можно взять, например,
дго = — С/А, уа = О, а при В Ф 0, — например, ха = 0,
г/о= — С/В), и построим прямую, проходящую через точ-
точку Мо(хо, Уо) параллельно вектору а(В,—А). Уравне-
Уравнение E) этой прямой лишь знаком отличается от данного
уравнения G). ?
Рассмотрим теперь вопрос о взаимном расположении
двух прямых на плоскости.
Определение 1. Две прямые (безразлично — па пло-
плоскости или в пространстве) называются параллельными,
если их направляющие векторы коллинеарны (и потому
могут быть выбраны одинаковыми).
Если параллельные прямые имеют хотя бы одну об-
общую точку, то они совпадают (ибо прямая однозначно
определяется точкой и направляющим вектором). Таким
образом, различные параллельные прямые общих точек
не имеют (не пересекаются).
51

На плоскости рассматриваемые прямые имеют урав-
уравнения вида
(8) Ах + Ву + С = 0
и
(9)
Поскольку направляющие векторы этих прямых имеют,
соответственно, координаты В, —А н В\, —А\, а векторы
коллннеарны (т. е. пропорциональны) тогда н только
тогда, когда пропорциональны их координаты, то пря-
прямые (8) и (9) параллельны тогда и только тогда, когда
Л __ В
А{- ВГ
Здесь и в дальнейшем такого рода формулы надо вое»
принимать не как равенство чисел, а как «пропорции»,
т. е. как утверждение о существовании такого числа
р ф 0, называемого коэффициентом пропорциональности,
что Л = рЛ1 и В = [)В\. Поэтому, например, не исклю-
исключается равенство пулю «знаменателя» А\, что имеет ме-
место тогда и только тогда, когда равеп нулю «числитель»
А. Это — то же самое соглашение, которое выше мы при><
и ял и в отношении канонических уравнении прямой.
Если прямые (8) и (9) имеют общую точку М 0 (х0. у»),
т.е. имеют место равенства
Лхо+Вуо + С = О
( '
и если эти прямые параллельны, т. е. при некотором
рфО имеют место равенства А=рА[ и В = рВ\, то,
умножив второе из равенств A0) на р и вычтя из пер-
первого, мы получим, что С — рС\ = 0. Следовательно, если
ах — в, ^ с, •
то равенства A0) невозможны, общих точек нет и пря-
прямые (8) и (9) не пересекаются. Если же
А _ В _ С
А1~ Вх~~ С, '
то каждое из уравнений (8) и (9) является следствием
другого, так что в этом случае прямые (8) и (9) совпа»
дают.
52

Если же прямые (8) н (9) не параллельны, т. е.
Л в
то уравнения (8) н (9) имеют единственное решение
/Ш .. _ ВС,-С В, СЛ,-ЛС|
(l l> Л° ~~ АВ{ - ВЛ1 ' 1Jo ~ АВ1 - ВА1
(это — так называемые «-формулы Крамера», написан-
написанные для частного случая двух уравнений с двумя неиз-
неизвестными). Это означает, чго непараллельные прямые
пересекаю гея в единственной точке (с координата-
координатами (II)).
Поскольку найденные условия исчерпывают все воз-
возможности и не перекрываются, каждое из них необхо-
необходимо и достаточно. Этим доказана следующая теорема:
Теорема 1 (о взаимном расположении
двух прямых на плоскости). Две прямые на
плоскости
а) либо не имеют ни одной общей точки;
б) либо имеют одну и только одну общую точку,
в) либо совпадают.
Случай а) характеризуется тем, что
_А В С .
л, — д, ^ сг
случай б) — тем, что
л, ^ 5, •
случай в) — тем, что
А В С
л, — д, — с, •
В случаях а) и в) прямые параллельны, а в случае
б) — не параллельны. О
В частности, мы видим, что два уравнения (8) и C)
тогда и только тогда определяют одну и ту же прямую,
когда эти уравнения пропорциональны. Это утвержде-
утверждение известно как теорема единственности (для
прямых на плоскости).
Аффинная координатная систем Оеуеъ определяет две
замечательные прямые, имеющие, соответственно, урав-
53

пения х = 0 и у = 0. Прямая х — О называется осью
ординат (рассматриваемой координатной системы), а
прямая у = 0 — осью абсцисс. Ось ординат однозначно
характеризуется как прямая, задаваемая точкой 0@,0)
и вектором е2, а ось абсцисс — как прямая, задаваемая
точкой 0@,0) и вектором е\.
Из теоремы о взаимном расположении двух прямых
непосредственно вытекает, что прямая
A2) Ах + Ву + С = 0
тогда и только тогда
а) параллельна оси ординат, когда 5 = 0;
б) параллельна оси абсцисс, когда А = 0.
Для полноты можно добавить, что прямая A2) тогда
и только тогда проходит через начало координат О,
когда С = 0.
Если В Ф 0, т. е. прямая не параллельна оси ординат,
то, полагая k = —А/В и Ь = — С/В, мы можем се уравне-
уравнение записать в знакомом из школы виде:
у = kx + b.
В нижеследующем определении существенно, что
основным нолем X является ноле R вещественных чисел.
Определение 2. Предполагая заданной произвольную
прямую A2), назовем две точки М\, М2 плоскости, не
принадлежащие прямой A2), неразделенными (прямой
A2)), если эти точки либо совпадают, либо (при М\ ф
фМ2) отрезок Л1)Л12 не имеет общих точек с прямой A2).
Положим для сокращения записи
Предложение 1. Тонки Mi(x],y\) и М2{х2,у2), не при-
принадлежащие прямой A2),тогда и только тогда неразде-
лены, когда {отличные от нуля) числа F(xu t/,) и F(x2, у2)
имеют одинаковые знаки.
Доказательство. Без ограничения общности мы
можем предполагать, что Mi Ф М2. Тогда определена
прямая М\М2, координатные параметрические уравнения
которой имеют вид
54

(ср. с уравнением D)). Чтобы найти общие точки пря-
прямой Af|Af2 и прямой A2) (если они существуют), надо
эти выражения для к и у подставить в уравнение A2)
и решить получившееся уравнение относительно /. Ре-
Результат подстановки имеет, очевидно, вид
откуда следует, что
(\3) F(x,,!/
(если F(x\, у\) = F(x2, у2) - то решения не существует,
т.е. прямая М{М2 параллельна прямой A2)).
С другой стороны, по определению точки М\ и М2
тогда н только тогда разделены прямой A2), когда чис-
число A3) существует и удовлетворяет неравенствам 0 -<
</<1.
Таким образом, мы видим, что точки Afi it М2 тогда
и только тогда разделены прямой A2), когда F{x\,У\)Ф
?-F(x2,y2) и
0< П^.у.) < 1
^ Fixi.yii-Fixt.yt) ^ '*
Если F(xi,ij\) > F(x2,y2), то это возможно тогда и толь-
только тогда, когда F(x\,y\) > 0 и F(x2,y2) -< 0, а если
F(xi,yi) <Z F(x2,y2), то тогда и только тогда, когда
F(xi,y\) <0 и F(x2,y2) > 0. В обоих случаях числа
F(xi,(/i) и F(x2,ij2) имеют разные знаки. Поэтому точки
Mi я М2 тогда и только тогда неразделены, когда знаки
этих чисел одинаковы. D
Из предложения 1 непосредственно вытекает, что
отношение неразделенное™ является отношением экви-
эквивалентности и что соответствующих классов эквивалент-
эквивалентности имеется точно два.
Определение 3. Эти классы эквивалентности назы-
называются полуплоскостями, определенными прямой A2).
Таким образом, две точки M\{xi,iji) и М2(х2, у2), не
принадлежащие прямой A2), тогда и только тогда при-
принадлежат одной полуплоскости, когда отрезок М\М2 че
пересекает эту прямую, т.е. когда числа Ах\-\- Btji-\- С
и Ах2 + Ву2 + С имеют одинаковые знаки.

Лекция 7
ИНТУИТИВНОЕ ПОНЯТИЕ БИВЕКТОРА. —ФОРМАЛЬ-
—ФОРМАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ БИВЕКТОРА. — СОВПАДЕНИЕ
ОБОИХ ОПРЕДЕЛЕНИИ. —ПУЛЕВОЙ БИВЕКТОР.—
УСЛОВИЯ РАВЕНСТВА БИВЕКТОРОВ.—ПАРАЛЛЕЛЬ-
БИВЕКТОРОВ.—ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ВЕКТОРА И БИВЕКТОРА. —РОЛЬ УСЛОВИЯ
ТРЕХМЕРНОСТИ. — СЛОЖЕНИЕ БИВЕКТОРОВ.
Прежде чем рассматривать прямые в пространстве, це-
целесообразно исследовать основные свойства плоскостей
в пространстве. Оказывается, что теория плоскостей
в пространстве полностью аналогична теории прямых на
плоскости. Однако, чтобы сделать эту аналогию полной,
необходим «плоскостной» аналог понятия вектора.
Подобно тому как геометрически вектор представляет
собой направленный отрезок (т.е. часть прямой), сво-
свободно «плавающий» в пространстве, «плоскостной век-
вектор» должен быть «направленной» частью плоскости
(«площадкой»), вообще говоря, произвольной формы,
также свободно плавающей в пространстве. «Направлен-
«Направленность» такой площадки означает, что на ней задано на-
направление вращения по или против часовой стрелки. Две
площадки считаются, в точной аналогии с векторами,
одинаковыми, если
а) они имеют одинаковую площадь;
б) параллельны одной и той же плоскости;
в) направления вращения на них совпадают.
(Эти условия описывают, что значит «площадки «сво-
«свободно плавают» в пространстве».)
Ввиду условия а) нам нет нужды рассматривать пло-
площадки произвольной формы; не уменьшая общности, мы
можем ограничиться, например, параллелограммами. Но
параллелограмм ОАСВ однозначно задается векторами
а = ОА н Ь = ОВ. Более того, взятые в определенном
?6

порядке, эти векторы задают в параллелограмме ОАВС
и направление вращения (например, для определенно-
определенности можно услопиться, что векторы а = О А и Ь = ОВ —
в;ятыс именно в этом порядке! — определяют вращение
иокруг точки О, при котором точка А движется по крат-
кратчайшей дуге к точке В).
Все это означает, что вместо площадок мы можем
рассматривать упорядоченные пары (а, Ь) векторов. Две
такие пары считаются одинаковыми (пли, лучше сказать,
эквивалентными), если для построенных на них парал-
«Плоскостном вектор».
Бивектор.
лелограммов выполнены условия а), б) ив). Класс
эквивалентных пар (это и есть «плоскостной» аналог
вектора) называется бивектором.
С интуитивной точки зрения условия а), б) и в) впол-
вполне ясны, но, к сожалению, мы не можем включить их
в нашу аксиоматическую систему, поскольку в ней нет
еще таких понятий, как «площадь» и «плоскость». Бо-
Более того, мы имеем в виду в дальнейшем ввести эти по-
понятия именно на базе понятия бивектора. Поэтому, что-
чтобы избежать порочного круга, мы должны отношение
эквивалентности пар векторов ввести другим способом,
имеющим смысл в любом линейном пространстве.
Определение 1. Пусть а, Ь, а\ и Ъ\ — векторы произ-
произвольного линеала Т. Говорят, что пара (щ, Ь\) получена
из пары (а, Ь) элементарным преобразованием, и пишут
(а, &)=>(аь &,), если либо
A) al = a, bi = b-\-ka пли а, = a-\-kb, Ь{ = Ь,
где k — произвольное число (элемент основного поля К),
либо
B) ах = У,а, Ь{=~Ь,
где К Ф 0 — произвольное, отличное от нуля число.
57

Обратим внимание, что если векторы а, Ъ не коллн-
пеарны, то векторы а.\ и Ь\ также не коллииеарны. Эго
делает осмысленным следующее определение:
Определение 2. Две пары векторов называются экви-
эквивалентными, если либо каждая пз них состоит из коллн-
иеариых векторов, либо одна может быть получена из
другой некоторой последовательностью элементарных
преобразований.
Ясно, что (а, Ь) =ф> (а, Ь) (достаточно применить A)
с k = 0). Кроме того, если (а, Ь) ==> (аи Ь\), то (ai,6i) ~>
==> (а, Ь) в случае A) а = а{ и Ь = Ьх -\- k\Oi или а =
а) Элементарное преобразование A), б) элементарное преобразова-
преобразование B).
= Й1 + kibi и b = b[, где k\ — —k, а в случае B) а =
= %iu\ и Ь = — Ьи где Хх = j- ¦ Отсюда следует, что
отношение «получаться последовательностью элементар-
элементарных преобразований» действительно является отноше-
отношением эквивалентности.
Определение 3. Соответствующие классы эквивалент-
эквивалентности называются бивекторами линейного пространства
У. Бивектор, определенный парой (а,Ь), мы будем обо-
обозначать символом а Л 6, а множество всех бивекторов —
символом Y Л Т.
Чтобы оправдать это определение, мы должны, воз-
возвратившись на наглядно-интуитивную точку зрения, по-
показать, что получающиеся бивекторы совпадают (для нс-
коллннсариых пар) с введенными выше бивекторами-
площадками. Другими словами, мы должны показать,
что формальное отношение эквивалентности, введенное
68

определением 2, совпадает с «геометрическим» опреде-
определением, основывающимся на условиях а), б) и в).
Параллелограммы, построенные на векторах а, Ь и
па векторах a, b -\- ka, имеют, очевидно, одно и то же
основание и одну и ту же высоту. Поэтому их площади
одинаковы (условие а)). Оба они расположены в одной
и тон же плоскости (условие б)), и, как непосредственно
видно нз рисунка, направления вращения па них совпа-
совпадают (условие в)). Аналогично рассматривается н ел)
чай элементарного преобразова-
преобразования B). Таким образом, если па-
пары (неколлипсарных) векторов
эквивалентны в смысле опреде-
определения 2, то они эквивалентны и
как площадки.
Обратно, пусть площадки (а,
Ь) и (в|, &,) эквивалентны. Тогда
все четыре вектора а, Ь, а.\, Ь{
лежат в одной плоскости (ус-
(условие б)), а так как векторы а
и Ь, по условию, ие коллипсарпы,
то но ним можно разложить
векторы ai и Ь[. Следовательно, имеют место равенства
вида
«I = ka + lb,
Эквивалентные
кн.
А
площад-
причем б = kl\ — lk\ ф 0 (ибо в противном случае век-
векторы а\ и Ь\ были бы коллинеарны).
k I I
В алгебре число б обозначается символом , , и
называется определителем.
Лемма 1. Если векторы а, Ь, а\, Ь\ произвольного ли-
линеала У связаны соотношениями C), причем 8фО, то
элементарными преобразованиями пару (а, Ь) можно
перевести в пару (а(, "rOil-
Доказательство. Если k ф 0, то
(а, Ь)-
59

Аналогично, если k = 0 (и потому / Ф 0 и k\ ф 0), то,
поскольку
D) (а, 6)=Иа, *-а)=>(а + (Ь-а), 6 - а) =
= (&, 6 —а) =>(&,—а)
(этот промежуточный результат нам еще пригодится) и
= (/&, |(М + /,&)) = (а,, -[&,),
мы снова получаем, что пара (ah -гЬЛ получается нз
пары (а, Ь) последовательностью элементарных преоб-
преобразований. ?
В силу уже доказанного из этой леммы следует, что
площадка \аь -§ЬЛ эквивалентна площадке (а, Ь),
а значит, и площадке (ab bx). Но ясно, что площадь
площадки \аь -^-бЛравна площади площадки (а{, bi),
умноженной на -^-, а направления вращения иа них сов-
совпадают тогда и только тогда, когда -г- > 0. Поэтому (ус-
(условия а) ив)) 6= 1. Значит, пара (а\,Ь\) получается из
пары (а, Ь) последовательностью элементарных преоб-
преобразований. ?
Тем самым мы полностью оправдали определения
1—3.
Заметим, что, по определению, все коллинеарпые па-
пары задают один и тот же бивектор. Этот бивектор назы-
называется нулевым и обозначается символом 0. Таким обра-
образом, по определению, векторы а и Ь тогда и только тогда
коллинеарны, когда a A b = 0.
Пусть заданы два бивектора а Л & и а{ Л Ьи Как
узнать, равны этн бивекторы илл нет? Если хотя бы один
из этих бивекторов равен нулю, ответ тривиален: бивек-
бивекторы равны, если векторы а, Ь, так же как и векторы а\,
Ь], коллинеарны. Поэтому без ограничения общности мы
можем искать ответ только для бивекторов, отличных
от нуля.
60

Предложение 1. Два отличных от нуля бивектора
а Л Ь и fli 'Л bi равны тогда и только тогда, когда имеют
место равенства вида
а, = ka 4- lb,
k l
и число 6 = &/, — lki=
равно единице.
Доказательство. Согласно лемме 1, если имеют
место равенства E), то а /\Ь = а{ /\-rbi. Поэтому при
б = 1 бивектор ai У\ Ь\ равен бивектору а ЛЬ.
Для доказательства обратного утверждения доста-
достаточно, очевидно, установить, что
а) если (a, b) -> (a\, &i), то имеют место соотноше-
соотношения E) с б = 1;
б) если пара (аь 6|) связана с napoii (а, Ь) соотно-
соотношениями вида E) с 6= 1 и если пара (а2, Ь2) аналогич-
аналогичным образом связана с парой {аи Ь{), то пара {а2, Ь2)
также связана с п«арон {а, Ь) соотношениями вида E)
сб= 1.
Но утверждение а) очевидно, а утверждение б) не-
непосредственно проверяется вычислением: если
Д| = ka + Л, а2 = ft'a, + 1'К
b^kp + ifi ь2 = *>, + /;*„
то
<Ь = (W + ft/) a + {Ik' + //) b,
причем
(**' + *,/') (ik[ + /,/;) - (/*' + //') {kk\ + kxi\) =
=(kix- ikx){k'i\- i'k\).
(Осведомленный читатель немедленно обнаружит здесь
формулу умножения матриц и теорему об определителе
произведения н тем самым освободит себя от каких-либо
выкладок.) П
Определение 4. Будем говорить, что вектор е парал-
параллелен отличному от нуля бивектору a = а ЛЬ, и писать
e||ct, если он линейно выражается через векторы а и Ь.
61

Если а = 0, то мы, по определению, будем считать, чго
е\\а для любого вектора е.
Из предложения 1 следует, что это определение кор-
корректно (не зависит от произвола в выборе векторов а
и Ь).
Заметим, что, согласно определению 4, нулевой век-
вектор параллелен любому бивектору.
Ясно, что если а = е'Ла, то е\\а. Обратное предло-
предложение верно в следующей форме:
Предложение 2. Если е\\а и еФО, то существует та-
такой век гор а, что
а = е Л а.
Доказательство. Если а = 0, то можно поло-
положить а = е (или а = 0). Пусть а = а1Л&1=^0. По ус-
условию существуют такие числа k и /, что
Подберем такие числа ki и U, чтобы kh — Iki = I (на-
(например, при кфО можно положить &|=0 и ll=k~x,
а при к = 0 можно положить к\ =—/-' и U = 0; случай
к — 0 и I = 0, в силу условия е ф 0, невозможен), и по-
положим
a = klal + /,&,.
Тогда, в силу предложения 1, будет иметь место равен-
равенство а = е Л а. ?
До сих пор, говоря о бивекторах, мы никак не ис-
использовали аксиому размерности 9°. Теперь же мы пред-
предположим, что n = diniy^3 (на самом деле интересен
только случай п = 3).
Предложение 3. Для любых двух бивекторов а и Ь
существует такой отличный от нуля вектор е, что e|ict
и ejlb.
Доказательство. Если хотя бы один из бивек-
бивекторов а или b равен нулю, то существование вектора е
очевидно. Поэтому без ограничения общности мы можем
считать, что а Ф0 иЬф 0.
Пусть а = а Л tti и Ь — Ь Л Ъх. Четыре вектора о, а.\,
Ь, Ь\ в линейном пространстве размерности ^3 необхо-
необходимо линейно зависимы, т. е. существуют такие числа к,
к\, I и 1\, не все равные нулю, что
ka + k&t +/&-ИЛ = 0.
62

Мы положим
Ясно, что е\\а и е\\Ъ. Кроме того, ефО, ибо векторы а и
а\ линейно независимы. ?
Определение 5. Суммой двух бивекторов вида е Л а
и е/\Ь называется бивектор еА(а-\-Ъ). Таким обра-
образом, по определению,
F) е А а + е А Ь = е А (а + Ъ).
Из предложении 3 и 2 следует, что эта конструкция
позволяет определить сумму любых двух бивекторов а
и Ь: пользуясь предложением .3, находим такой вектор
е ф 0, что е|[а и е||Ь; затем, пользуясь предложением 2,
находим такие векторы а и &, что а — еЛа иЬ = еЛ&;
наконец, полагаем
а + Ь = е Л (а + &),
Видно, что эта конструкция бивектора а-\-Ъ содержит
значительный произвол. Поэтому требует доказательства
корректность этого определения, т.е. независимость сум-
суммы а + Ь от произвола в выборе векторов е, а и Ь. Мы
докажем это в следующей лекции.

Лекция 8
КОРРЕКТНОСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СУММЫ БИВЕКТО-
БИВЕКТОРОВ — ПРОИЗВЕДЕНИЕ БИВЕКТОРА ПА ЧИСЛО —
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ВНЕШНЕГО УМНО-
УМНОЖЕНИЯ — ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО БИВЕКТО-
БИВЕКТОРОВ — БИВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ И ТЕОРИЯ
ПЛОЩАДЕП. —БИВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ.
При доказательст&е корректности определения суммы
а + Ь бивекторов а = в 'Л а и b — е Л b приводится рас-
рассматривать несколько случаев.
Пусть еЛа = «'Ла' и еЛЬ = е'ЛЬ', причем
е'ЛаФО и еЛЬфО. Тогда, согласно предложению 1
предыдущей лекции, будут иметь место равенства
е' = ke + la, e' = k'e -f I'b,
af = kle + lla, Ь' = k[e + t[b,
причем ktl — lkl = \ и k'l[ — l'k\=\.
Случаи I = 0, т. e. e' = ke, где k Ф 0. Тогда
(k'— k)e + l'b = 0 и потому k' = k п /' = 0 (ибо по
условию векторы е и b линейно независимы). Кроме
того, h = l\ = k~~ . Значит, в этом случае
(е', а' + b') = (ke, (ft, + k[)e + AT1 (a + ft))=>
=>(e, k(k1 + k[)e + (a + b))=>{e, a + b),
e' A (a' + b') = e A (a + b).
Тем самым в случае / = 0 корректность сложения дока-
доказана.
Случай /' = 0 Этот случаи полностью симметри-
симметричен предыдущему случаю и исследуется точно так же
64

{только всюду у коэффициентов надо поставить штрихи
там, где их нет, и убрать штрихи там, где они есть). Та-
Таким образом, и в этом случае сумма бивекторов е/\ а
и е /\Ь определена корректно.
Случай / Ф О и V ф 0. В этом случае
= k,e + (ха + k[e + /J* - j- {ke -f la) - ? (*'e + f &)
+
~ + jr) e' = | (Лв + la) + jr (k'e + /'*) =
Поэтому
(e\ a' + b') => (*', (a' + 6') -
=> (a + Ь + e, - e) => (a + b + e, a + b) => (e, a + b),
т. е. снова
в'Л(а' + 6/) = «Л(в + *).
Осталось рассмотреть случай, когда хотя бы один из
данных бивекторов, скажем бивектор е'Ла, равен нулю.
Но если е Л а = 0, то необходимо a = ke, где fe — неко-
некоторое число (напомним, что, по условию, еФО). По-
Поэтому
(е, а + Ь) = (е, ке+Ь)^(е, Ь),
т. е.
где Ь = е А Ь Таким образом, при a = 0 сумма a + Ь не-
независимо от случайностей построения равна Ь и, следо-
следовательно, корректно определена. Аналогично показы-
показывается, что a + 0 = а и, следовательно, что сумма a -f- 0
корректно определена.
3 М М Постников 65

Тем самым, корректность определения сложения би-
бивекторов доказана во всех случаях. D
По ходу дела мы доказали также, что, как и следо-
следовало ожидать, нулевой бивектор является нулем сложе-
сложения бивекторов, т.е. а + 0 = 0 + а = а для любого би-
зектора а.
Это показывает, в частности, что формула F) преды-
предыдущей лекции справедлива и при е = 0, т. е. для любых
векторов е, а, Ь.
Заметим, что для любых векторов е и а и любого
числа k имеет место соотношение
(е, ka)=>{ke, a),
показывающее, что
е Л ka = ke Л «•
Определение 1. Произведением ka бивектора а=еЛа
на число k называется бивектор ke Л а = е Л ka.
Таким образом, по определению
A) k{e f\a) = ke /\a — e A ka.
Конечно, это определение также нуждается в провер-
проверке корректности.
Если е Л а = 0, то также ke Л а — 0, т. е. ka = O,
если а = 0. Таким образом, при а = 0 бивектор /га опре-
определен корректно.
Пусть е /\афО, и пусть е Л а = е' Л а', т. е.
е' = kxe -f lid, a' = k2e + ha,
где k[l2 — /|fc2=l- Тогда при k Ф 0
ke' = kl(ke) + (tlk)a, а' = \ {ke) + 1,а,
причем k\l2 — hk-~ = kxli — lxki = 1. Следовательно,
ke' Л о.' = ke Л а.
Поскольку при k = 0 это равенство, очевидно, выполне-
выполнено, тем самым корректность определения 1 полностью
доказана. D
Операцию построения по векторам а и Ь бивектора
а ЛЬ можно рассматривать как своего рода умножение,
66

Поскольку при этой операции мы выходим за пределы
векторов, она называется внешним умножением.
Название операции а, Ь\—>аЛ& умножением оправ-
оправдывается формулой F) предыдущей лекции, которая
представляет собой не что иное, как утверждение о ди-
дистрибутивности внешнего умножения но отноше-
отношению к сложению.
Аналогично, формула A) утверждает однород-
однородность внешнего умножения по отношению к умноже-
умножению на числа.
Полученное в предыдущей лекции соотношение D)
означает, что
оЛ& = бЛ(-а),
т. е., в силу однородности, что
Это свойство называется антикоммутатив-
антикоммутативностью.
Как мы знаем, а Л Ь = 0, если векторы а и Ь колли-
неарны. Отметим, что этот факт непосредственно выте-
вытекает из свойств антикоммутативности и однородности
внешнего умножения (если только характеристика основ-
основного поля отлична от двух). Действительно, согласно
свойству антикоммутативности а Л а = —а/\а и потому
оЛо = 0 для любого вектора а. Значит, а Л Ь = О,
если векторы а и Ь коллипеарпы.
Однако то обстоятельство, что ни для каких других
векторов а и Ь их внешнее произведение а Л & не равно
нулю, из антикоммутативности не вытекает и является
независимым свойством внешнего умножения. Его мож-
можно назвать свобод и остью внешнего умножения.
Собирая все сказанное вместе, мы получаем следую-
следующую теорему:
жебреМй 1 (об алгебраических свойствах
внешнего умножения). Внешнее умножение
а) дистрибутивно:
для любых векторов е, а и Ь,
б) однородно:
k (а Л Ь) = ka Л Ь = а Л kb
для любых векторов а, Ь и любого числа k\
3* 67

в) антикоммутативно:
а л & = - (& Л а)
для любых векторов а и Ь;
г) свободно:
аЛ6==0
тогда и только тогда, когда векторы а и Ь коллинеар-
ны. ?
В различных выкладках с бивекторами часто полезно
иметь в виду, что если
то
B) a'Ab' = \l lh\(aAb).
Эта формула, по существу, составляет содержание лем-
леммы 1 предыдущей лекции, но теперь ее доказательство
сводится к тривиальному вычислению, использующему
дистрибутивность, однородность и антикоммутативность
внешнего умножения.
В частности, мы видим, что если а\\<х и Ь\\а, то бивек-
бивектор а ЛЬ пропорционален бивектору а. ?
Имея па множестве У ЛУ всех бивекторов (напом-
(напомним, только при dimy ^3) операции сложения и умно-
умножения на число, мы можем поставить вопрос: является
ли множество У АУ по отношению к этим операциям
линейным пространством?
Теорема 2. Множество У АУ при dimF^3 является
линейным пространством.
Доказательство. Проверка всех аксиом 1°—8°,
кроме аксиомы 1° ассоциативности сложения, абсолютно
тривиальна. Например, аксиома 7° проверяется следую-
следующей выкладкой (где е Ла = а и еЛЬ = Ь):
= е A ka 4- е A kb = ka + kb.
Единственная трудность состоит в проверке аксиомы
1°, т.е. в доказательстве того, что для любых трех би-
бивекторов а, Ь и с имеет место равенство
C) (а Н- Ь) + с = a H- F + с).
€8

Если хотя бы один из бивекторов а, Ь или t равен
нулю, то соотношение C) очевидно. Поэтому без огра-
ограничения общности мы можем предполагать, что лфО,
Ь ф О и с ф 0.
Пользуясь предложепиями 3 и 2 предыдущей лекции,
мы можем бивекторы а и с представить в виде
где ефО. Если е||Ь, т. е. (см. предложение 2 предыдущей
лекции) если существует такой вектор Ь, что Ь — еЛЬ,
то все сводится к ассоциативности сложения векторов:
(а +Ь) + с = е Л (« + &) + « Л с = е Л ((<* + &) +с) =
= е Л а + (е Л Ъ + е Л с) = а + F + 0.
Таким образом, единственный нетривиальный случай
возникает, когда еЯ&-
Пусть Ь = 6гЛ 62. Так как Ь^О, то при ejfb три век-
вектора е, bu b2 линейно независимы. Поэтому случаи е\\Ъ
возможен только при dimF = 3, и тогда векторы е, Ь\,
*2 будут составлять базис. Разложим вектор а по этому
базису:
а = ke + kibi -f kjb-i.
Тогда е Л а = e Л а', где а' = k\b\ -\- k%bi. Это означает,
что без ограничения общности мы можем предполагать,
что а\\Ь.
Аналогично, мы можем предполагать, что с||Ь.
Пусть, таким образом,
а = &I&1 -f k2b2, с = /i&i + /262-
Тогда (см. формулу B))
где Ь = к112-Ы1 f
h '2
Поэтому, если б ф 0, то
'2
Так как, с другой стороны,
с = е л с = (е — j с) Л с,
69

то
D) (а + Ь) + с=
Аналогично,
Ь + с = j (а Л с) + е Л с = (-J- а + е) Л с
и
E) а + (Ь + с)
Для завершения доказательства (при 6=^=0) остается за-
заметить, что разность правых частей формул D) и E)
равна нулю:
(е - 1 с) Л (а + с) - A а + е) Л (а + с) =
= (е — ус - -i- а — е) Л (а + с) =
Наконец, если 6 = 0, то существует такое число А,
что с = ha. Кроме того, поскольку а\\Ъ, существует такой
вектор Ь, что Ь = а Л Ъ. Поэтому
(а + Ь) + с = (е Л а — Ь Л а) + е Л ha =
п, аналогично,
Тем самым, формула C), а значит, и теорема 2 пол-*
ностью доказаны. ?
При п = 1 существует, очевидно, только нулевой би-
бивектор. Таким образом,
н, следовательно, dim (У1 Л ^°|) = 0.
При /г = 2 рассмотрим произвольный базис е\, е%
пространства Т2. Согласно формуле B), если
a = alel + a2e2, b = b]el-\~ b2e2,
70

то
1 «2
F)
bl Ъг
(«i
Поскольку в\ Л егф 0, этим доказано, что
Таким образом, в У1 («на плоскости») любые два би-
бивектора пропорциональны и любой базис е\, е2 простран-
пространства Y2 определяет базис в\ Л е2 пространства У2 AT2.
а1 а2 I
Координата бивектора аЛЬ в этом базисе равна ., ,2 .
Мы видим, что пространство Т2 Л Т2, как и следова-
следовало ожидать, алгебраически малоинтересно.
Тем не менее и с его помощью можно получить содер-
содержательные геометрические результаты. >
Снова становясь на интуитивную точку зрения и ин-
интерпретируя бивекторы как площадки-параллелограм-
площадки-параллелограммы, мы немедленно получаем, что если два бивектора do
и а связаны соотношением а = ka0, то отношение пло-
площади бивектора а к площади бивектора а0 равно \k\.
В частности, если площадь бивектора а0 равна единице,
т. е бивектор а0 является, как говорится, эталоном пло-
площади, то площадь бивектора а равна \k\. В свете фор-
формулы F) этим доказано следующее предложение:
Предложение 1. Если базис е{, е2 обладает тем свой-
свойством, что площадь параллелограмма, построенного на
векторах е\ и е2, равна единице, то площадь паралле-
параллелограмма, построенного на произвольных векторах
а(а\а2) и Ъ{Ь\Ь2), равна абсолютной величине опре-
определителя
т. е. равна
| а'й2 - а26' |. ?
Площадь треугольника ОАВ, построенного на векто-
векторах а = ОА и 6 = ОВ, равна половине площади парал-
параллелограмма, построенного на этих векторах. Следова-
Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах
а(а\а2) и b{bl,b2), равна абсолютной величине числа
h2 • а
J_ а1 а2
2 б1 &2
71

Если вершины О, Л, В треугольника имеют, соответ-
соответственно, координаты (хо,уо), (xuyi) и {х2, у2), то а1 =
= *! — х0, a2 = i/i — г/о, &' = лг2 — *о, Ь2 = у2 — уо. Сле-
Следовательно, площадь треугольника с вершинами в точ-
точках (х0, г/о), (*i,#i) « (*2, #2) равна абсолютной величине
числа
х0 г/о 1
— х0
Ui — Уо
г/г — г/о
г/г
а
В аксиоматической теории площадей начальные ша-
шаги, как всегда, обращаются: после того как некоторый
бивектор а0 ф 0 выбран в качестве эталона, площадь
произвольного бивектора а = ka0 определ яется как
число \k\. Окончательные вычислительные формулы по-
получаются, конечно, те же самые. Подробное проведение
всех необходимых здесь рассуждений мы оставим ини-
инициативе читателя.
В круге тех же идей может быть определена и так
называемая «ориентированная площадь». Она равна k.
Пусть теперь п =3, и пусть еь е2, еъ — произвольный
базис пространства У3. Тогда, вычислив для векторов
а =
+ сте2 + аяе3, Ь — Ь]ех + Ь2е2 + b3es
их внешнее произведение а Л Ь, мы, как легко видеть,
получим, что
+ (aW - a]b3) (е3 Л <?,) + (аф2 - a2bl) (e, Л е2).
С помощью определителей эта формула записывается
следующим образом:
G) а Л 6 = S f3 feAe3)-
б1 б3
(е3 Л в,) +
Л е2).
Для ее запоминания удобно эту формулу записать
в следующем условном виде (мы предполагаем, что в
параллельном курсе алгебры уже введены определи-
определители):
«2 Л «з вз Л в! в| Л ег
(8) о Л 6= fll а2 
/J1 б2 б3
72

Действительно, формально разлагая этот определитель
по элементам первой строки, мы как раз получим фор«
мулу G).
Теорема 3. Размерность линеала Т3 AT'3 равна трем:
dim (F3 Л F3) = 3.
Доказательство. Формула G) означает, что се-
семейство, состоящее из бивекторов е2 Л е3, е3 Л в\ и
*i Л е2, полно линейно независимо.
Пусть k\, k2 и k3— такие числа, что
ki (е2 Л е3) + k2 (е3 Л *i) + *з (е{ Л е2) = 0.
Предположим, что, например, k^Q, и рассмотрим
векторы
а = — k2e{ + M21 6 = — k^i + ^i^3.
Если Яо + \ib =¦ 0, то
- (А62 + ц^з) е, + (A*i) е2 + (ti*i) e6 = 0,
откуда следует, что Xki = 0 и jj/ei = 0, т. е. что X = 0
и ц = 0. Следовательно, векторы а и Ъ линейно незави-
независимы, и, значит, а Л Ь Ф 0.
Но, с другой стороны,
а А Ь = (— /г^ + /г|в2) Л (— k3ex + ?,e3) =
= k\ (е2 Л е3) + kxk2 (ел Л е,) + &,&3 (е, Л е2) =
= *i l*i (е2 Л в.,) + ?2 («з Л в,) + *3 (в, Л в2)] = 0.
Полученное противоречие показывает, что k\ = 0 и, сле-
следовательно, что
h (е3 Л ех) + fej (е, Л е2) = (k2e3 — fe3e2) Л «i = 0,
а это, в силу линейной независимости векторов е(, е2, ^з»
возможно только при k2 = 0 и k3 = 0.
Таким образом, любая равная нулю линейная комби-
комбинация бивекторов е2'Ле3, е3/\е\ и е|Лег необходимо
является тривиальной комбинацией, что, по определе-
определению, и означает, что эти бивекторы линейно независи-
независимы. ?
Одновременно доказано, что для любого базиса еь
е2, е3 линеала У'3 бивекторы е2 Л е3, е3 Л в\ и е\ Л е2 со-
составляют базис линеала Т3 Л У3- При этом разложение
любого бивектора по этому базису дается формулой G)
(или (8)).
73

Отсюда, в частности, следует, что вектор I с коорди-
координатами I, ш, п (в базисе в\, е^, е3) тогда и только тогда
параллелен бивектору <х Ф 0 с координатами А, В, С (в
базисе е2Ае3, е3 Л еи в\ Л е2), когда
(9) А1 + Вт + Сп = 0.
Действительно, если а = а Л Ь, то соотношение /||а
равносильно тому, что вектор / линейно выражается че-
через векторы а и Ь. Поэтому, если а1, а2, а3 и Ь\ Ь2, Ь3 —
координаты векторов а и Ь, то в определителе
A0)
первая строка будет линейной комбинацией остальных
двух строк, и, значит, определитель будет равен нулю.
Обратно, из теории определителей известно, что если
определитель равен нулю, то его строки линейно зави-
зависимы. При этом в определителе A0) последние строки
линейно независимы (ибо аЛЬфО). Поэтому, если
этот определитель равен нулю, то его первая строка ли-
линейно выражается через две последние строки, т. е. /||а.
Тем самым доказано, что вектор /(/, т, п) тогда и
только тогда параллелен бивектору а = а Л 6, когда
m
a2
ft2
n
a3
b3
(П)
т
б2 б3
= 0. П
Формула (9) следует отсюда непосредственно: достаточ-
достаточно разложить определитель A0) по элементам первой
строки и воспользоваться тем, что, согласно формуле G),
A2) А =
a*
b2
a1
b1
a'
b1

Лекция 9
ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. — ПАРАМЕТРИЧЕ-
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ. — ОБЩЕЕ УРАВНЕ-
УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ.-ПЛОСКОСТЬ, ПРОХОДЯЩАЯ ЧЕ-
ЧЕРЕЗ ТРИ НЕКОЛЛИНЕАРНЫЕ ТОЧКИ.
Теперь мы уже можем строить теорию плоскостей в про-
пространстве, почти дословно повторяя теорию прямых на
плоскости.
Пусть зФ — М-3 — аффинное (трехмерное) простран-
пространство, а Т — У3 — ассоциированное с J& линейное прост-
пространство.
Определение 1. Для любой точки Mo e s4> и любого
отличного от нуля бивектора aeFAF плоскостью
пространства si>, задаваемой точкой Мо и бивектором а,
называется множество всех таких точек Merf, что
A) AM! || а.
При а = а Л Ь это условие означает, что существуют
числа и, v, для которых имеет место равенство
B) M^M = ua + vb.
Бивектор а называется направляющим бивектором
плоскости. Вектор asF или бивектор и'еУЛУ назы-
называются параллельными плоскости, если, соответственно,
fl||a или a' = ka.
Все векторы, параллельные плоскости, образуют, как
легко видеть, линейное пространство размерности 2. До-
Дословно так же, как для случая прямых (см. лекцию 5),
отсюда следует, что любая плоскость естественным обра-
образом наделяется структурой аффинного пространства раз-
75

мерности 2 (с ассоциированным линеалом, состоящим из
всех векторов, параллельных плоскости).
Так как 0 || а, то точка Мо принадлежит рассматри-
рассматриваемой плоскости. Поэтому плоскость, задаваемую точ-
точкой Л10 и бивектором а Ф 0, называют также плоскостью,
проходящей через точку Мо параллельно бивектору а.
Точка Мо и линейно независимые векторы а и Ь об-
разуют на плоскости аффинную
координатную систему. Коорди-
патами точки М в этой системе
являются фигурирующие в соот-
соотношении B) числа и и v.
Предложение 1. Пусть No —
произвольная точка плоскости,
проходящей через точку Мо па-
параллельно бивектору а, и пусть
b — произвольный, отличный от
нуля бивектор, параллельный
этой плоскости. Тогда точка No и
бивектор Ь задают ту же пло-
плоскость.
Доказательство. По условию существуют такие
числа и0| и0 и Ло ф- 0, что
Плоскость, задаваемая
точкой Ма и бивектором
й?0
Поэтому, если
то
= иоа + Vgb и Ъ = поаЛЬ.
М0М — иа -f vb,
VoM = ЛИ —m^N0=(u-uo)a + (v- v0) b=u'
v%
где и =
г и —«о
и v = v — v0.
Обратно, если
N0M = и' (М) + v%
то
М0М = N0M — N0M0 = иа + vb,
где и = и'ho + и0 и v ¦= v' + Щ- ?
Таким образом, плоскость может задаваться любой
своей точкой и любым отличным от нуля бивектором, ей
параллельным,
76

Пусть в s4- выбрана начальная точка О, и пусть
rQ=OM0, г = ОМ.
Тогда формула B) приобретет вид
C) г = Го + иа + vb.
Когда параметры и и и независимо изменяются от —оо
до +°°, точка М с радиус-вектором, задаваемым фор-
формулой C), пробегает всю рассматриваемую плоскость.
Эта формула называется поэтому векторным параметри-
параметрическим уравнением плоскости.
В произвольной аффинной координатной системе
Оеуе2еъ уравнение C) равносильно трем уравнениям для
координат:
x = x0Jr иа} + vbl,
D) y = yQ + ua2 + vb2,
г = zo -f иа? + vb3.
Эти уравнения называются координатными парамет-
параметрическими уравнениями плоскости.
Условие A), т. е. условие (г — го)Ца, можно анали-
аналитически выразить и принципиально иными способами.
Так, например, из соотношения A1) предыдущей лекции
немедленно вытекает, что это условие равносильно обра-
обращению в нуль определителя, составленного из координат
векторов г — г0, а и Ъ. Таким образом, точка М(х, у, г)
тогда и только тогда принадлежит рассматриваемой пло-
плоскости, когда
E)
х — *о у — Уо г ~
а1 а2 а3
Ь1 Ь2 б3
= 0.
Короче говоря, E) есть уравнение плоскости, проходя-
проходящей через точку Мо(л'о, г/о, 20) параллельно бивектору
а ЛЬ.
Разлагая E) по элементам первой строки и полагая
!
л—
ьг
г-
С—
К 
мы получим общее уравнение плоскости, проходящей че-
через точку Мо(хо, f/o, 2о):
А(х - хо) + В (у - г/о) + С(г — го) = 0.
77

Полагая D = — Ах0 — Ву0— Cz0, мы можем его запи-
записать в виде
G) Ах + By + Cz + D = 0.
Сравнение формул F) с формулами A2) предыду-
предыдущей лекции показывает, что коэффициенты А, В, С урав-
уравнения G) являются координатами направляющего би-
бивектора а (в базисе е2Л е3, е3 Л е\, е\ Л е2)-
Теперь легко видеть, что любое уравнение вида G),
где {А, В, С) ^@,0,0), определяет некоторую плоскость.
Действительно, решая уравнение G), найдем какую-ни-
какую-нибудь тройку чисел (лго, Уо, z0), ему удовлетворяющую
(например, если А Ф 0, то можно положить хо = — -^,
у0 = 0, го= 0), и построим плоскость, проходящую через
точку Мо(хо, уо, 2о) параллельно бивектору й(А, В, С).
Из сказанного выше непосредственно следует, что урав-
уравнением этой плоскости будет уравнение G). D
Мы будем говорить, что вектор /(/, т, п) лежит в
плоскости G) (или, что все равно, параллелен этой пло-
плоскости), если он параллелен ее направляющему бивек-
бивектору а (А, В, С), т. е. (см формулу (8) предыдущей лек-
лекции), если
(8) Л1 + Вт + Сп = 0.
Легко видеть, что для любых двух точек Mo(x0,y0,Zo),
Mi(xi,yi,Z{) плоскости G) вектор М0М\ (с координа-
координатами А'[ — дго, У\—уо и z\—zC\ лежит в этой плоскости.
Действительно, если Ах0 + ByQ + CzQ + D = 0 и Axt -)-
+ By, + Czi + D = 0, то
A(xi-xo) + B(yl-yQ) + C(zl-za) = 0. ?
Если векторы о и 6 лежат в плоскости (параллельны
ее направляющему бивектору а), то их внешнее произве-
произведение а АЬ пропорционально бивектору а и потому так-
также является направляющим бивектором (если только
оно отлично от нуля). Отсюда и из предыдущего утверж-
утверждения вытекает, что для любых трех не лежащих на од-
одной прямой (или, как говорят, неколлинеарных) точек
Мо, Mi, M2 плоскости бивектор AloAIj'A MoM2 является
направляющим бивектором этой плоскости.
78

Полагая в E) а = М0М\ и Ь — M0Mi, мы получаем,
что уравнение плоскости, проходящей через неколлине-
арпые точки Мо(хо, yo,zQ), M{ (л, yu z\), M2{x2,y2,z2),
может быть написано в виде
(9)
х — хй У — Уо г — г0
v, — хп //, — у0 г, — г0
*г — <о г/г— Уо г2 — г0
==0.
Это доказывает, в частности, единственность такой пло-
плоскости.
С другой стороны, уравнение (9) имеет смысл для
любых трех неколлинеарных точек Мо, М\, М2 и, являясь
(после раскрытия определителя) уравнением вида G),
определяет некоторую плоскость, очевидно содержащую
данные точки.
Тем самым доказано следующее предложение:
Предложение 2. Через любые три неколлинеарные
точки Л/о, М\ и М2 аффинного пространства проходит
одна и только одна плоскость. ?
Обозначается эта плоскость символом М0М\М2.

Лекция 10
ПОЛУПРОСТРАНСТВА. НА КОТОРЫЕ ПЛОСКОСТЬ
РАЗБИВАЕТ ПРОСТРАНСТВО.— ВЗАИМНОЕ РАСПО-
РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ.—
ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ. —ПЛОСКОСТЬ, СОДЕР-
СОДЕРЖАЩАЯ ДАННУЮ ПРЯМУЮ И ПРОХОДЯЩАЯ ЧЕРЕЗ
ДАННУЮ ТОЧКУ.—ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ
ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ.—
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ В ПРО-
ПРОСТРАНСТВЕ. — ПЕРЕХОД ОТ ОДНОГО БАЗИСА ЛИ-
ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА К ДРУГОМУ.
Пусть
A) Ax + By + Cz + ?> = 0
— произвольная плоскость в пространстве, и пусть ос-
основным полем К является поле R вещественных чисел.
Определение 1. Две точки Afi и М2, не принадлежа-
принадлежащие плоскости A), называются неразделенными (пло-
(плоскостью A)), если они либо совпадают, либо отрезок
MiM2 не имеет общих точек с плоскостью A).
Положим для сокращения формул
F (х, у, z) = Ах + By + Cz + D.
Предложение 1. Точки M\{x\,ij[,Z\) и М2{х2,уг, z2), не
принадлежащие плоскости A), тогда и только тогда не-
разделены, когда {отличные от нуля) числа Fi =
= F(x\, г/i, z\) и F2 — F(x2, y2, z2) имеют одинаковые
знаки.
Доказательство. Без ограничения общности мы
можем предполагать, что Mi Ф AU. Тогда определена
80

прямая MiM2, координатные параметрические уравнен»»
которой имеют вид
Подставив эти выражения в уравнение F(x, у, г) = 0, мы
получим для t уравнение
A- l)F{ + iFi = О,
откуда следует, что
FF
(если Fi = Ft, то решения не существует, т. е. прямая
М{М2 параллельна плоскости A)). С помощью уже из-
известного нам рассуждения (см. лекцию 6) отсюда выво-
выводится, что 0 <[ t <[ 1 тогда и только тогда, когда числа
F\ н F2 имеют разные знаки. Поэтому отрезок тогда и
только тогда не пересекает плоскость (I), когда знаки
этих чисел одинаковы. ?
Из предложения 1 непосредственно вытекает, что от-
отношение неразделенности является отношением эквива-
эквивалентности и что соответствующих классов эквивалент-
эквивалентности имеется точно два.
Определение 2. Эти классы эквивалентности назы-
называются полупространствами, определенными плоскостью
A).
Таким образом, две различные точки M[(xi,yi.zi) и
М2(х2,У2,z2), не принадлежащие плоскости A), тогда и
только тогда принадлежат одной полуплоскости, когда
отрезок М{М2 не пересекает эту плоскость, т. е. когда
числа F(xi, г/i, z\) и F(x2,y2,z2) имеют одинаковые знаки.
Пусть снова основное поле "К произвольно.
Определение 3. Две плоскости называются парал-
параллельными, если их направляющие бивекторы пропорцио-
пропорциональны (и потому могут быть выбраны одинаковыми).
Если параллельные плоскости имеют хотя бы одну
общую точку, то они совпадают (ибо плоскость одно-
однозначно определяется точкой и направляющим бивекто-
бивектором). Таким образом, различные параллельные плоско-
плоскости общих точек не имеют (не пересекаются).
81

Рассмотрим теперь две плоскости, имеющие общую
точку. Пусть Го — ее радиус-вектор, а а и Ь—направляю-
Ь—направляющие бивекторы заданных плоскостей.
Согласно предложениям 2 и 3 лекции 7 для бивекто-
бивекторов а и Ь существует такой вектор е Ф О, что
а = еДо, Ь = е /\Ь.
Поэтому векторные параметрические уравнения рассма-
рассматриваемых плоскостей можно записать в виде
г = Го + «е + va, г = r0 + f/e -f- vb.
Отсюда следует, что прямая
B) г = го + (е
содержится в каждой из данных плоскостей (ее точки
получаются при u = t, v = 0). Этим доказано, что если
пересечение двух плоскостей не пусто, то оно содержит
целую прямую.
Предположим, что это пересечение содержит хотя бы
одну точку Мь не принадлежащую прямой B). Тогда
вектор с = М0М{ будет принадлежать обеим плоскостям,
т. е. будут иметь место соотношения с || а и с || Ь. Так как
по построению е || а и е || Ь, то бивектор е Л с пропорцио-
пропорционален обоим бивекторам а и Ь. Поскольку по условию
е Ас ФО, отсюда следует, что бивекторы а и b пропор-
пропорциональны, т. е. что данные плоскости параллельны и
потому, имея общие точки, совпадают.
Таким образом, пересечение двух различных плоско-
плоскостей, когда оно не пусто, представляет собой пря-
прямую. D
Априори возможен также случай, когда плоскости
не параллельны, но их пересечение пусто. Однако ока-
оказывается, что этот случай невозможен, т. е. непараллель-
непараллельные плоскости обязательно имеют хотя бы одну общую
точку (и потому, согласно доказанному, пересекаются по
прямой). Действительно, пусть
Ах + By + Cz + D = О,
C)
¦—уравнения двух непараллельных плоскостей. Так как
координатами их направляющих бивекторов являются,
соответственно, числа А, В, С и Аи Вь С\, то (в силу не-
параллелыюсти) тройка (Л, В, С) не пропорциональна
82

тройке (Аи Ви Ci), т. е. либо -т- Ф -^-, либо -т- ф -тг-,
, В , С „ А . В
либо -ц- Ф -гг-. Пусть для определенности -j-ф -б-¦•
Тогда система двух уравнений
Ах + By + D = 0 и Л,* + В,//+ Я, = О
будет иметь единственное решение а-=а-0, у — Уо- Это
означает, что точка с координатами (хо,уо,О) принадле-
принадлежит обеим плоскостям. П
Если плоскости C) параллельны, то тройки (Л, В, С)
и (АиВиС\) должны быть пропорциональны, т. е. дол-
должны иметь место равенства
А _ в _ С
Л, в, с, #
Если при этом
то общих точек у плоскостей, очевидно, нет (ср. в лек-
лекции 6 соответствующее рассуждение для прямых), а если
_А _о_
И, ~ D, '
то плоскости совпадают. Поскольку обратные утвержде-
утверждения также, очевидно, справедливы, тем самым нами до-
доказана следующая теорема:
двух
лоскости в
казана следующая теорема:
Теооема / (о взаимном рас пол ожени и
плоскостей в пространстве). Две плоско
пространстве
а) либо не имеют ни одной общей точки;
б) либо имеют одну и только одну общую прямую;
в) либо совпадают.
Случай а) характеризуется тем, что
_А И _ с D
/1, ~ л, ~~ с, ^ о1 '
случай б)—тем, что имеет место хотя бы одно из нера-
неравенств
Л _В_ А ,_С_ В С
л, ^ в, ' л, ^ с, ' в, ^ сч '
а случай в) — гел, чго
J1___B___C_ D_
л, — й, — d о, •
83

В случаях а) и в) плоскости параллельны, а в слу-
случае б) не параллельны. D
В качестве следствия мы получаем (теорема
единственности), что уравнения C) тогда и только
тогда определяют одну н ту же плоскость, когда эти
уравнения пропорциональны.
Кроме того, мы видим, что прямые в пространстве
могут характеризоваться как пересечения двух плоско-
плоскостей, т. е. задаваться двумя уравнениями вида
U I AlX+B{y
Требуется, конечно, чтобы коэффициенты А, В, С и А\,
В\, С\ этих уравнении не были пропорциональны.
При этом легко видеть, что любая прямая в про-
пространстве является пересечением двух плоскостей, т. е.
может быть задана уравнениями вида D).
Действительно, по определению (см. лекцию 5) каж*
дая прямая состоит из всех точек М (х, у, z), для которых
вектор MqM, где М0(х0, ijo,zo) — данная точка, коллине-
арен данному вектору a(l,m,n). Это означает, что для
координат векторов М0М и а должна иметь место про-
пропорция
/rv х — хо У — У о г — г0
(°> ~—— ~ ~~а~~'
т. е. координаты х, у, z точки М должны удовлетворять
двум уравнениям:
х — хо у — Уо
~ — m '
х — дг0 2 — го
/ п
Переписав эти уравнения в виде
( т{х — хо) — 1(у — уо) = О,
\ п(х — х0) — I (г — г0) = О,
т. е. в виде
тх — 1у — (тх0 — ///о) = О,
nx — lz — {пхо — lz0) = О,
84

мы и получим уравнения вида D) (с непропорциональ-
непропорциональными коэффициентами А = т, В = — /, С = 0 и А\ = п,
Bi=0,Ci = — l). П
Уравнения E) называются каноническими уравне-
уравнениями прямой в пространстве.
В качестве примера на использование полученных
результатов мы докажем следующее предложение:
Предложение 2. Для любой прямой и любой не ле-
лежащей на ней точки существует единственная плоскость,
содержащая эту прямую и эту точку.
Доказательство. Пусть M\(x\,y\,z{)— данная
точка и
х — л-р _ у — уд г — г0
I m n
— канонические уравнения данной прямой. Предполо-
Предположим, что искомая плоскость существует. Тогда векторы
a(l,m,n) и MqM\ принадлежат этой плоскости и потому
их внешнее произведение Af0AfiAa (по условию отлич-
отличное от нуля) будет ее направляющим бивектором. Этим
доказано, что рассматриваемая плоскость задается точ-
точкой Ali и бивектором МйМ\ Л а. Поэтому она определена
единственным образом.
Существование требуемой плоскости теперь очевид-
очевидно: ею будет плоскость, задаваемая точкой А10 и бивек-
бивектором М0М\ А а. ?
Уравнение этой плоскости имеет вид
х — х0 у — у о z — z0
— 20
t m п
=0.
Изучим теперь взаимное расположение прямой и пло-
плоскости в пространстве.
Определение 4. Прямая называется параллельной
плоскости, если ее направляющий вектор аA,пг,п) па-
параллелен направляющему бивектору а(А, В, С) пло-
плоскости.
Как мы знаем (см. формулу (9) предыдущей лекции),
это имеет место тогда и только тогда, когда
F) А1 + Вт + Сп = 0.
85

Согласно предложению 2 лекции 7 при а || а суще-
существует такой вектор 6, что а = а Л 6. Поэтому, если пло-
плоскость и параллельная ей прямая имеют общую точку Л/о
с радиус-вектором г0, то векторное параметрическое
уравнение прямой может быть записано в виде
G) г = r0 + ta,
а векторное параметрическое уравнение плоскости —
в виде
(8) г = г0 + на 4- vb.
Поскольку каждый вектор G) имеет вид (8) (при и = /
и и —0), этим доказано, что плоскость и параллельная
ей прямая либо не имеют пи одной общей точки (не пе-
пересекаются), либо прямая целиком содержится в пло-
плоскости.
Иначе этот факт можно установить, подставив пара-
параметрические уравнения прямой
х = х0 + //,
У = Уо + *т>
z = zQ + In
в общее уравнение плоскости
Ах + By + Cz + D = 0.
Результат этой подстановки имеет вид
(9) (А1 + Вт + Сп) t + (Лаго + Ву0 + Cz0 + D) == 0.
Поэтому, если прямая параллельна плоскости, т. е. вы-
выполнено условие F), то уравнение (9) относительно /
(дающее значения параметра t для общих точек прямой
и плоскости) либо удовлетворяется тождественно (ко-
(когда точка Мо принадлежит плоскости, т. е. когда Ах0 +
+ Вуо-{- CzQ + D = 0), либо вообще не имеет решений
(в противном случае).
Более того, так как уравнение (9) при Al + Вт-\-
-\- СпФО имеет одно и только одно решение, мы также
получаем, что плоскость и не параллельная ей прямая
всегда имеют одну и только одну общую точку.
Соберем все эти результаты в единую теорему.
Теорема 2 (о взаимном расположении пря-
прямой и плоскости в п р о с т р а и с тв е). Плоскость
и прямая в пространстве

а) либо не пересекаются;
б) либо имеют единственную общую точку;
в) либо прямая целиком содержится в плоскости^
Случай а) характеризуется тем, что
Л1 + Вт + Си = 0 и Лх0 + Ву0 + Сг0 + D ф О,
случай б) — зтл, чго
Л/ + Вт + Сп ^ О,
а случай в) — тем, что
Al + Bm + Cn = 0 и Ахо + Byo + CzQ + D = O.
В случаях а) и в) прямая параллельна плоскости, а
в случае б) — не параллельна. О
Аналогично исследуется возможное расположение
двух прямых в пространстве.
Мы уже знаем (см. лекцию 6), что параллельные
прямые либо не пересекаются, либо совпадают.
К этому мы можем сейчас добавить, что несовпадаю-
несовпадающие параллельные прямые лежат в одной и только од-
одной плоскости.
Действительно, выбрав на первой прямой произволь-
произвольную точку M\{x\,yi,Z\), а на второй прямой произволь-
произвольную точку М^(х2, Уг, zi), рассмотрим плоскость с вектор-
векторным параметрическим уравнением
(Ю) r^ri + tiir.-rj + va,
где аA,пг,п) — направляющий вектор данных прямых, а
г, и г2 — радиус-векторы точек уИ[ и М2. Поскольку
вектор г2 — Г] не коллинеарен вектору а (в противном
случае рассматриваемые прямые совпадают), формула
A0) действительно задает некоторую плоскость. Так как
при ы = 0 получаются точки г = г\ + va первой прямой,
а при и=\—точки г = r2 + va второй прямой, этим
существование плоскости, содержащей данные прямые,
доказано. В координатной форме уравнение этой пло-
плоскости имеет вид
(И)
¦ — *i У — У\
= 0.
/
Для доказательства единственности плоскости, содер-
содержащей данные прямые, ДССТаточнр заметить, что, по-
87

скольку любая такая плоскость содержит точки Mi и М%
и параллельна вектору а (и, значит, имеет направляю-
направляющий бивектор вида М\М2/\а), ее векторное параметри-
параметрическое уравнение может быть записано в виде A0). ?
Рассмотрим теперь две непараллельные прямые. Та-
Такие прямые имеют не более одной общей точки (если
прямые имеют две общие точки, то они совпадают и по-
потому параллельны). Легко видеть, что, подобно парал-
лельнчм прямым, непараллельные прямые, имеющие
общую точку (пересекающиеся), лежат в одной и только
одной плоскости.
Действительно, плоскость с векторным параметриче-
параметрическим уравнением
Г = Г0 + НО, + VU2,
где го — радиус-вектор общей точки Мп данных прямых,
а п\ и а2 — их направляющие векторы, содержит, оче-
очевидно, обе прямые (они получаются, соответственно, при
и = 0 и у = 0). Единственность этой плоскости обеспе-
обеспечивается тем, что она проходит через данную точку Л/о
и имеет данный (с точностью до пропорциональности)
направляющий бивектор а! Л а2. ?
В координатах уравнение этой плоскости имеет вид
х — х0 У — У а г — 20
n%
= 0,
где 1\,т\,П\ и h,mi,n<i — координаты векторов а.\ и а2,
а д'о, у о, Zq— координаты точки Af<>.
Если непараллельные прямые с направляющими век-
векторами п\ и а2 не пересекаются (такие прямые назы-
называются скрещивающимися), то они не могут лежать в
одной плоскости. С другой стороны, каждая из этих'пря-
этих'прямых параллельна любой плоскости с направляющим би-
бивектором п{ Л аг, т. е. либо содержится в такой плоско-
плоскости, либо с ней не пересекается. Выбрав на одной из
прямых точку Mi и проведя через нее плоскость с на-
направляющим бивектором а\ Ла2, мы получим плоскость,
содержащую эту прямую и потому не пересекающуюся
со второй прямой. Поэтому для любой точки М2 второй
прямой вектор М\А12 линейно не выражается через Век-
Векторы Oi, в2, и, значит, три вектора MiM2, aly а2 линейно
88

независимы. Следовательно, определитель, составленный
из их координат, отличен от нуля:
2 — -<Ч У 2 — У1 Z2 —
/, m, tii
h ' 
Тем самым нами доказана следующая теорема:
Теорема 3 (о взаимном расположении двух
прямых в пространстве). Две прямые в про-
пространстве
а) либо не лежат в одной плоскости (скрещиваются)
и тогда не пересекаются;
б) либо лежат в одной плоскости и не пересекаются;
в) либо лежат в одной плоскости и пересекаются в
единственной точке;
г) либо совпадают.
Случай а) характеризуется тем, что определитель
матрицы
(Хг — х^ 1J —У\ гг — 2i \
I, ' и. )
/а тг «а /
отличен от нуля; случай б) — тем, что последние две
строки матрицы A2) пропорциональны, но не пропор-
пропорциональны первой строке; случай в) — тем, что последние
две строки матрицы A2) не пропорциональны, но пер-
первая строка является их линейной комбинацией, и, нако-
наконец, случай г) — тем, что все три строки матрицы A2)
пропорциональны.
В случаях б) и г) данные прямые параллельны, а в
случаях а) и в) не параллельны.
Замечание. Поскольку прямая задается двумя пло-
плоскостями, теорема 3 является специальным случаем не-
некой общей теоремы о взаимном расположении четырех
плоскостей в пространстве. Аналогично, теорема 2 пред-
представляет собой частный случай общей теоремы о распо-
расположении трех плоскостей в пространстве. Различные
возможности расположения этих плоскостей оказывает-
оказывается удобным характеризовать равенством нулю (или от-
отличием от нуля) некоторых миноров матрицы, состав-
составленной из коэффициентов общих уравнении плоскостей.
Это представляет собой не что иное, как геометрическую
переформулировку (для случая трех неизвестных и трех
или четырех уравнений) общих алгебраических ут-
утверждений о решениях систем линейных уравнений. Здесь

мы це можем всем этим заниматься,- но очень рекомен-
рекомендуем самостоятельно разобраться в этом • вопросе со
всеми подробностями.
В лекции 5 мы уже отмечали, что координаты (в ли-
линейном или аффинном пространстве) могут быть вы-
выбраны многими различными способами. Изучим имею-
имеющийся здесь произвол. Собственно говоря, это надо было
сделать еще в лекции 5, но тогда в курсе алгебры еще
не были введены необходимые для этого понятия (мат-
(матрицы и действия над ними).
Мы начнем со случая линейных пространств. Раз-
Размерность п мы пока будем считать произвольной, ХО1Я
на самом деле нам нужны лишь значения п = 1, 2, 3.
Пусть в линейном пространстве Т заданы два базиса:
(обратите внимание, что штрихи мы помещаем у индек-
индексов; это па первый взгляд странное обозначение оказы-
оказывается очень удобным; впрочем, это относится только к
рассмотрениям общего характера, подобным тем, кото-
которыми мы сейчас занимаемся; в конкретных вычислениях
штрихи лучше ставить у букв). Разлагая векторы
е,-, ..., еп' по базису еи ..., еп, мы получаем формулы
вида
A3)
которые в обозначениях Эйнштейна имеют вид
Можно эти формулы записать и в матричных обозна-
обозначениях.
Матрица
называется матрицей перехода от базиса еь ..., еп к ба-
базису «,', ..., еп>. (Заметим, что координаты векторов
90

€{¦,'.-.., еп' располагаются в этой матрице по столбцам.)
Введя« состоящие из векторов матрицы-строки
е = (вь ..., е„) и e' = (ei', ..., еП'),
мы сможем формулы A3) записать в виде одного ма-
матричного равенства:
A4) е' = еС.
Здесь мы переносим известные для числовых матриц
операции на матрицы с векторными элементами, фор-
формально считая, что для любого вектора а и любого числа
k символ ak обозначает ка. Легко видеть, что при этом
все обычные правила действий с матрицами сохраняют
свою силу. В частности, для любых двух матриц С и С
будет иметь место равенство (еС)С' = е(СС).
Если теперь
ev, ..., еп"
— некоторый третий базис и
т. е.
е" = е'С,
где С' = (Cj-) — матрица перехода от базиса е,„ ..., еп,
к базису еу, ..., еп«, а е" = (еу, ..., е„»), то, в силу
формулы (еС)С'= е(СС'), будет иметь место равенство
е" = е (СС).
Этим доказано, что если С — матрица перехода от ба-
базиса е\, ... ,еп к базису еу, ..., еп>, а С — матрица пере-
перехода от базиса еу, ..., еп> к базису еу, ..., еП", то ма-
матрица СС будет матрицей перехода от базиса еи ..., е„
к базису ег, ..., в„». ?
В обозначениях Эйнштейна это доказывается также
очень просто: так как er = cll,ei и ег = с['„ег, то
т. е. cii. = citicii,.
В частности, при е" = е мы получаем, что СС' — Е,
где Е — единичная матрица, т. е. что С' = С~1. Таким
образом, если С — матрица перехода от базиса еи ..., еп
к-базису еу, ..., еп<, то обратная матрица С~[ будет

матрицей обратного перехода от базиса ev еп
к базису ei en. О
Заметим, что в наших обозначениях элементы матри-
матрицы С~' имеют вид cj' (т. е. отличаются от элементов ма-
матрицы С только положением штриха).
Факт существования матрицы С~1 показывает, что
любая матрица перехода С невырождена. П
Легко видеть, что, и обратно, любая невырожденная
матрица С является матрицей перехода от базиса
ей ..., еп (который можно задать произвольно) к неко-
рому базису в\', ..., е„', т.е., другими словами, что для
любой невырожденной матрицы С векторы е^, ..., е, ¦,
задаваемые формулами A3), составляют базис. Дей-
Действительно, их п и они линейно независимы (в против-
противном случае столбцы матрицы С будут линейно зависимы
и потому, вопреки предположению, ее определитель бу-
будет равен нулю). ?

Лекция 11
ФОРМУЛЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ ВЕКТО-
ВЕКТОРОВ—ФОРМУЛЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АФФИННЫХ
КООРДИНАТ ТОЧЕК. — ОРИЕНТАЦИИ. — ИНДУЦИРО-
ИНДУЦИРОВАННАЯ ОРИЕНТАЦИЯ ПРЯМОЙ. —ОРИЕНТАЦИЯ
ПРЯМОЙ, ЗАДАВАЕМАЯ УРАВНЕНИЕМ, —ОРИЕНТА-
—ОРИЕНТАЦИЯ ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ.
Найдем теперь формулы, связывающие координаты в
двух различных базисах е\, ..., еп и е?, ..., ея\
По определению координаты а1, ..., хп произволь-
произвольного вектора х в базисе е\, ..., еп находятся из формулы
A) *=А,
а координаты х1', ..., хп' того же вектора *, но в ба-
базисе еу, ..., е„' — из формулы
B) * = jc''e,'.
Поэтому, если
О) «, = <.Ч.
то
и, значит,
D) *' = cj^'',
Заметим, что если в формулах C) «новый» базис
«г ,..., еп> выражается через «старый» elt ..., еп, то в
93

формулах D), наоборот, «старые» координаты Л'!, ..., хп,
выражаются через «новые»*1', ..., хп'. Кроме того, со-
соответствующая матрица является не матрицей С, а
транспонированной матрицей Ст. Формально это выра-
выражается в том, что в формуле C) суммирование идет по
нештрихованным индексам, а в формуле D)—по штри-
штрихованным.
Конечно, легко написать и выражения «новых» коор-
координат через «старые». Они имеют вид
Изменение положения штриха означает, как мы знаем,
переход к обратной матрице.
Обратим- внимание на структуру получающихся фор^
мул: во всех них слева и справа одинаковые индексы, по
которым не производится суммирование, стоят па одина-
одинаковых местах (сверху или снизу). Этот формальный при-
признак вместе с соглашением Эйнштейна (из индексов, по
которым происходит суммирование, один находится ввер'
ху, а второй — внизу) очень часто позволяет почти авто-
автоматически писать правильные формулы (н обнаружи-
обнаруживать неправильные).
Формулы D) (называемые формулами преобразова-
преобразования координат) легко можно получить и в матричных
обозначениях.
Вводя, наряду с матрицей-строкой е = (е\, ..., еп)
(см. предыдущую лекцию), также и матрицу-столбец
X —
мы можем формулу A) написать в следующем виде:
х = ех
(здесь порядок множителей, как всегда при умножении
матриц, существен). Аналогично, формула B) в матрич-
матричных обозначениях приобретает вид
= е'х',
94

гдз e' = (ei', ..., е„) и
л1
х' =
Поэтому, если
(см. формулу A4) предыдущей лекции), то
и, значит,
E) x = Cxf,
что в точности равносильно формуле D) (фактически пе-
переход к транспонированной матрице отразился в том,
Нто в формуле E) умножение на матрицу С происходит
слева).
Рассмотрим теперь аналогичный вопрос для аффин-
цых координат в аффинном пространстве.
, Координаты х\ .. ., х" точки М в аффинной коорди-
координатной системе Ое\ ... еп определяются в два этапа:
сначала строится радиус-вектор ОМ, а затем вычисляют-
вычисляются его координаты в базисе eit ..., еп. Поэтому, если две
координатные системы Оех ... еп и О'еу ... еп- имеют
одно и то же начало О = О', то переход от координат в
системе Ое\ ... епк координатам в системе Оег ... ел-
осуществляется по уже известным нам формулам для
координат векторов.
Другой крайний случай возникает, когда две коорди-
координатные системы отличаются лишь начальными точками,
т. е. имеют вид Ов\ ... еп и О'е\ ... еп. Поскольку
ОМ = О'М + 00',
координаты я1,..., х'1 и х'1, ..., х'п векторов ОМ и ОМ
связаны формулами
где б1, ..., Ь" — координаты (в базисе в\, ..., е„) век-
вектора Тю1.
В общем случае возникает, естественно, комбинация
этих преобразований. Таким образом, если х\ ..., хп—
95

координаты точки М в координатной системе Оех ... еп,
ах1', ...,хп'— координаты той же точки в координат-
координатной системе О'ех, ... е,,-, то
F) х1 = с[,х1' + Ь1,
где (c(f,) — матрица перехода от базиса в,, .. ., еп к ба-
базису вг, ..., еп', а &1, ..., Ьп — координаты вектора 00'
в базисе е{ еп.
В раскрытом виде формула E) записывается так:
а в матричном — так:
G) х
где Ь — матрица-столбец
С вопросом о преобразовании координат тесно связа-
связано очень важное понятие ориентации, формально
эксплицирующее интуитивное представление о направле-
направлении движения на прямой (вправо или влево), направле-
направлении вращения на плоскости (по часовой стрелке или
против) и винта в пространстве (правого или левого).
В отличие от всего предыдущего, здесь существенно
предположение, что основным полем [< является поле
вещественных чисел R.
Определение 1. Два базиса ех еп и ev, ..., еп>
линейного пространства У называются одноименными,
если определитель матрицы перехода С от первого ба-
базиса ко второму положителен:
detC>0.
Если del С < 0, то базисы называются разноименными.
Две аффинные координатные системы Ое\ ... е„ и
О'еу ... еп- аффинного пространства s& называются од-
одноименными {разноименными), если одноименны
96

ноименны) базисы ей ..., еп и е^, ..., еП' ассоциирован-"
ного линейного пространства Т.
Поскольку множество матриц с положительным опре-
определителем является группой (т.е. замкнуто относи-
относительно произведения и взятия обратной матрицы), отно-
отношение одноименности базисов (координатных систем)
является отношением эквивалентности.
Определение 2. Классы одноименных базисов (коор-
(координатных систем) называются ориентациями линейного
пространства Т (аффинного пространства $&).
Ясно, что существуют точно две ориентации: базисы
(координатные системы), принадлежащие одной ориен-
ориентации, одпоименны, а разным — разноимепны. Ориента-
Ориентация, отличная от ориентации о, обозначается символом
¦—о и называется противоположной ориентацией.
Одноименные базисы (координатные системы) назы-
называются также одинаково ориентированными.
Очень часто приходится определять одноименность
или разноименность двух базисов а^ ап и Ь\, ..., Ьп,
векторы которых заданы их координатами в некотором
третьем базисе еь ..., еп. Пусть Аа (соответственно
А/,) — определитель, столбцами которого являются столб-
столбцы координат векторов а\, ..., ап (соответственно &ь...
..., Ъ„). Ясно, что, скажем, Аа есть не что иное, как оп-
определитель матрицы перехода от базиса еь ..., еа к ба-
базису а\, ..., а„. Поэтому базисы аь ..., аа и Ь\, ..., Ьп
тогда и только тогда одноименны, когда определители
Аа и А/, имеют один и тот же знак. ?
Определение 3. Линейное (или аффинное) простран-
пространство называется ориентиоованным, если в нем выбрана
некоторая ориентация. Эта ориентация называется по-
положительной, а противоположная ориентация — отрица-
отрицательной. Соответственно этому, базис (координатная си-
система), определяющий (щая) выбранную ориентацию,
называется положительно ориентированным (ной), а ба-
базис (координатная система), определяющий (щая) про-
противоположную ориентацию, — отрицательно ориентиро-
ориентированным (ной).
Обратим внимание, что из двух возможных ориента-
ориентации линейного (аффинного) пространства часто внутрен-
внутренним математическим образом нельзя выделить какую-
нибудь определенную. Для этого приходится обращаться
к соображениям, математике посторонним (скажем, к
вращению Земли или к анатомии человека),
4 М М. Постников 97

Например, на прямой выбор ориентации означает вы-
выбор одного из двух возможных на прямой направлений.
Если прямая изображена на рисунке горизонтальной ли-
линией, то обычно на ней выделяют направление «слева
направо». Это направление наиболее привычно (хотя бы
потому, что большинство культурных народов пишет в
этом направлении), и потому ему присвоено наименова-
наименование «положительного» направления («положительной»
ориентации). Однако следует отчетливо понимать, что
фиксация этого направления никакого инвариантного
(не зависящего от рисунка) смысла не имеет: поверните
рисунок «вверх ногами»— н
«положительное» направле-
направление перейдет в «отрицатель-
«отрицательное».
Аналогично, на верти-
вертикальных прямых «положи-
«положительным» направлением
принято считать направле-
направление снизу вверх.
На плоскости задание
ориентации равносильно за-
заданию некоторого «направ-
«направления вращения» (по часо-
часовой стрелке пли против), а
именно направления, в кото-
котором следует вращать первый
вектор базиса, определяю-
определяючтобы кратчайшим путем со-
совместить его направление е направлением второго век-
вектора. При этом «положительной» ориентацией рисунка
принято считать направление «против часовой стрелки»
(ось абсцисс — направо, а ось ординат- вверх). Это со-
соглашение, конечно, также не инвариантно: посмотрите па
плоскость с другой стороны — и ориентация сменится.
Если посмотреть па правую руку со стороны ладони,
то большой и указательный пальцы будут образовывать
базис, ориентированный против часовой стрелки. На этом
основании ориентацию плоскости «против часовой стре-
ки» обычно называют «правой» ориентацией, а ориента-
ориентацию «по часовой стрелке» — «левой».
Аналогично, в пространстве «правой» ориентацией
называется ориентация, определенная «базисом», состоя-
состоящим из большого, указательного и среднего пальцев пра-
98
Правая ориентация простран-
пространства.
щего данную ориентацию,

вой руки. В современных учебниках «положительной»
ориентацией пространства считается обычно его правая
ориентация; однако во многих старых сочинениях эта
ориентация считалась «отрицательной».
Заметим, что термины «правая» и «левая» по отно-
шению к ориентации пространства имеют инвариантный
смысл, поскольку посмотреть на пространство «с другой
стороны» мы не можем (а левую руку не можем совме-
совместить с правой). Тем не менее определить их внутрен-
внутренним математическим способом нельзя.
Без дополнительных данных ориентация плоскости
(аффинного пространства размерности 2) и ориентации
расположенных в этой плоскости
прямых (аффинных пространств
размерности 1) никак друг с дру-
другом не связаны. Чтобы связать
их, можно, например, задать
«сторону» прямой.
Определение 4. Говорят, что у
прямой d на плоскости задана
сторона, если выбрана одна из
двух полуплоскостей, на которые
прямая разбивает плоскость. Вы-
Выбранная сторона называется по- _
г „ Стооока прямой.
ложительнои, а противоположная v '
сторона — отрицательной.
Пусть п — произвольный вектор, не параллельный
прямой d (и, в частности, отличный от нуля). Выбрав на
прямой произвольную точку Мо, отложим от нее вектор
я, т. е. найдем такую точку Nn, что я = MqNo-
Определение 5. О стороне, содержащей точку jVo. го-
говорят, что она определена вектором л, а также что век-
вектор п направлен в эту сторону.
Здесь, конечно, необходимо проверить корректность,
т. е. независимость стороны, содержащей точку No, от
выбора точки Мо. Но это легко. Действительно, если
Af 1 — другая точка прямой rfo = MtNi, то
и, значит, прямая NoNi параллельна прямой d=MnM\.
Следовательно, точки No и Ni расположены по одну сто-
сторону прямой d. П
4* 99

Пусть а — направляющий вектор прямой d. Вместе
с вектором я он составляет базис а, я плоскости, и пото-
потому любой третий вектор п\ разлагается по этим век-
векторам:
л, = /,а + In.
Пусть вектор п.\ не параллелен прямой d (и, значит,
1фО). В этом случае, как легко видеть, вектор rt\ тогда
и только тогда направлен в ту же сторону прямой d, что
и вектор п, когда I > 0. Действительно, отложив от точ-
точки Мо е d с радиус-вектором г0 вектор пи мы получим
ту же точку, что и отложив от точки Afied e радиус-
вектором г0 + ha вектор In. Поэтому без ограничения
общности мы можем считать, что п\ = In. Но тогда точки
No и Nu для которых л = Л1оЛ^о и
п.\ = AfcvVi, будут на прямой г =
= ro+ tn соответствовать значениям
t = 1 и t= I параметра t, и, значит,
отрезок NqNi будет определяться
неравенствами 1 ^ t ^ /. С другой
стороны, точка ;М0 этой прямой (яв-
(являющаяся ее точкой пересечения с
прямой d) соответствует значению
t = 0. Следовательно, точки No и jVi
тогда и только тогда лежат по одну сторону прямой d,
когда / > 0. П
Ориентация прямой d задается направляющим век-
вектором а (составляющим базис на прямой), причем два
вектора а и а{ = ka тогда и только тогда задают одну
и ту же ориентацию, когда k > 0.
Пусть нам задана ориентация прямой d (направляю-
(направляющим вектором а) и некоторая сторона этой прямой (век-
(вектором л). Тогда на плоскости возникает базис а, л. Лег-
Легко видеть, что ориентация плоскости, задаваемая этим
базисом, не зависит от выбора векторов а и я и опреде-
определяется исключительно данной ориентацией и данной сто-
стороной прямой d. Действительно, если векторы п\ и rti
задают ту же ориентацию и сторону, то, согласно ска-
сказанному выше,
ах — ka,
ni = ha + In,
100

,*де k > О и / > 0 и потому
q J1 | = */>0. П
Таким образом, из трех объектов:
а) ориентация прямой d,
б) сторона прямой d,
в) ориентация плоскости
— первые два однозначно определяют третий.
Впрочем, легко видеть, что любые два из этих объек-
объектов однозначно определяют третий. Если задана ориента-
ориентация плоскости и задана сторона (или ориентация) прямой
вектором п (вектором а), то соответствующая ориента-
ориентация (сторона) прямой задается вектором а (вектором п),
обладающим тем свойством, что базис а, п положитель-
положительно ориентирован. Корректность этого построения прове-
проверяется на основе тех же формул, что и выше. ?
На все это можно посмотреть несколько иначе, если
ввести понятие ориентации полуплоскости.
Определение 6. Ориентацией полуплоскости называ-
называется ориентация содержащей ее плоскости. О векторе
на плоскости говорят, что он направлен внутрь данной
полуплоскости, если он направлен в сторону этой полу-
полуплоскости в смысле определения 5.
Каждая ориентация полуплоскости определяет ориен-
ориентацию ограничивающей эту полуплоскость прямой. Эта
ориентация задается направляющим вектором а, состав-
составляющим вместе с произвольным вектором я, направлен-
направленным внутрь полуплоскости, положительно ориентирован-
ориентированный базис плоскости. О ней говорят, что она индуциро-
индуцирована данной ориентацией полуплоскости.
Хотя это является повторением сказанного выше в
несколько иных терминах, в своем месте мы увидим, что
эта переформулировка оказывается полезной.
Поскольку ориентация прямой есть, по существу, ори-
ориентация ассоциированного линеала, имеет смысл утвер-
утверждение о совпадении и различии ориентации на двух
различных, по параллельных прямых. Поэтому у парал-
параллельных прямых можно сравнивать и стороны.
Заметим, что ориентации (н стороны) непараллель-
непараллельных прямых сравнивать нельзя.
Задание на плоскости координатной системы Ов[е2
определяет некоторую ее ориентацию (а именно ту, в ко-
Ш

торой базис е\, е2 положительно ориентирован). С дру»
гой стороны, задание уравнения
(8) Ах + By + С = О
прямой определяет некоторую ее сторону, а именно ту,
для точек М(х, у) которой Ах-\- By + C> 0. Таким об-
образом, когда написано уравнение прямой (а значит, за-
задана и координатная система), эта прямая оказывается
автоматически ориентированной.
При умножении уравнения (8) на положительное чи-
число эта ориентация (и сторона) не меняется, а при умно-
умножении на отрицательное число переходит в противопо-
противоположную.
Легко видеть, что в положительную сторону прямой
(8) направлен вектор я с координатами (Л, В). Действи-
Действительно, если я = MqN0, где Мо(х<\, у0) — точка прямой (8),
то для координат х0 + А, у0 -f- В точки No будет иметь
место неравенство
АУсо + А) + В(уо + В) + С =
= Л2 + В' + (Ахо + Д//о + С) = Л2 + В2 > 0. П
Отсюда следует, что определяемую уравнением (8) ори-
ориентацию прямой задает направляющий вектор а (В,—А).
Действительно,
-А
Совершенно аналогичные результаты имеют место и
для плоскостей в пространстве.
Определение 7. Говорят, что у плоскости в простран-
пространстве задана сторона, если выбрано одно из двух полу-
полупространств, на которые эта плоскость разбивает про-
пространство.
Дословно так же, как для случая прямой, доказы-
доказывается, что
1) для любого не параллельного плоскости вектора л
н любой точки Мо плоскости сторона плоскости, опреде-
определенная точкой No, для которой я = Л1оЛ'о, не зависит от
выбора точки Л10, т. е. определяется этим вектором я;
говорят, что вектор п направлен в эту сторону;
2) вектор вида а +/я, где а — произвольный вектор,
параллельный плоскости, тогда и только тогда направ-
направлен в ту же сторону, что и вектор п, когда / > 0;
102

3) из трех объектов:
а) ориентация плоскости,
б) сторона плоскости,
в) ориентация пространства
— любые два определяют третий.
Например, если ориентация плоскости задана бази-
базисом а, Ь, а сторона плоскости — вектором я, то ориента-
ориентация пространства, по определению, задается базисом
а, Ь, п. Если
п\ = k\CL -f- kib,
bi = k[a -f- k'2b
— одноименный с базисом а, Ь базис плоскости, а
rti = l\a + lib + In
— вектор, направленный в ту же сторону, что и вектор я,
то базисы а, Ь, п и ait b\, ri\ одпоименпы, поскольку опре-
определитель их матрицы перехода равен
ft, fc(
ft, ft;
о о
значит, положителен, ибо по условию
ft, ft,
>0
Следовательно, ориентация пространства, задаваемая
базисом а, Ь, п, определена корректно.
Несколько иначе можно описать это построение, вво-
вводя (понятным образом) ориентацию полупространства.
Тогда получится, что каждая ориентация полупростран-
полупространства будет естественно определять ориентацию (назы-
(называемую индуцированной ориентацией) ограничивающей
это полупространство плоскости. Эта ориентация задает-
задается базисом а, Ь, составляющим вместе с произвольным
вектором я, направленным внутрь полупространства, по-
положительно ориентированный базнс а,Ь,п пространства.
Если в пространстве задана аффинная координатная
система Oeie2e3, то задана и орисм1тация. Уравнение же
плоскости
Ах + By + Сг + D = О
103

задаст ее сторону (условием Ах + By -f Cz + D > 0).
Поэтому уравнение плоскости задает ее ориентацию, ко-
которая остается прежней при умножении уравнения (9)
на положительное число и переходит в противоположную
ориентацию при умножении на отрицательное число.
Аналогично случаю прямой, вектор п с координатами
А, В, С направлен в положительную сторону плоскости
B). Что же касается определяемой уравнением (9) ори-
ориентации плоскости, то она задастся произвольной парой
а, Ь линейно независимых векторов, параллельных пло-
плоскости и обладающих тем свойством, что
A0)
а' сг
Ь] Ь2
AB
где а1, а2, а3 и Ь\ Ъ2, Ь3— координаты векторов а и Ь.
(По традиции здесь использован транспонированный
определитель.)
Впрочем, вместо векторов а и Ь удобно рассмотреть
их внешнее произведение а Л Ь. Действительно, из пред-
предложения 1 лекции 7 непосредственно вытекает, что если
а Л Ь = Я| Л Ь\ = а, то базисы а, Ь и а.\, Ь\ линеала раз-
размерности 2, определенного бивектором а, одноименны.
Поэтому ориентацию двумерного линеала У можно за-
задавать произвольным отличным от нуля бивектором из
Т Л Т. Другими словами, подобно тому как ориентация
прямой представляет собой не что иное, как класс поло-
положительно пропорциональных ее направляющих векторов,
так и ориентацию плоскости мы можем рассматривать
как класс положительно пропорциональных ее направ-
направляющих бивекторов.
Согласно формулам A2) лекции 9 существуют такие
линейно независимые векторы а и Ь, параллельные пло-
плоскости (9), что координаты бивектора а'ЛЬ, т. е. алгеб-
алгебраические дополнения элементов последнего столбца
определителя A0), будут как раз элементами А, В, С
этого столбца. Поэтому для таких векторов определи-
определитель A0) будет равен А2 + В2 -f С2 и, следовательно,
будет положителен. Это доказывает, что определяемую
уравнением (9) ориентацию плоскости задает направ-
направляющий бивектор а{А, В, С). ?

Лекция 12
ДЕФОРМАЦИИ БАЗИСОВ. —ОДНОИМЕННОСТЬ ДЕ-
ДЕФОРМИРУЕМЫХ БАЗИСОВ. —ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ БА-
БАЗИСЫ И МАТРИЦЫ. —СОВПАДЕНИЕ ДЕФОРМИ-
ДЕФОРМИРУЕМОСТИ С ОДНОИМЕННОСТЬЮ. — ЭКВИВАЛЕНТ-
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ линейно независимых систем векто-
векторов — ТРИВЕКТОРЫ, —ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРИВЕКТО-
ТРИВЕКТОРА НА ЧИСЛО. —ВНЕШНЕЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРЕХ
ВЕКТОРОВ.
Отношение одноименности базисов (а значит, и понятие
ориентации) можно описать совсем другим способом, не
связанным непосредственно с матрицами перехода. Для
этого нам понадобятся некоторые общие определения,
касающиеся непрерывности вектор-значных функций.
Пусть tv—>a(t)—функция, значениями которой яв-
являются векторы линеала У. Для определенности будем
считать, что эта функция задана при 0 ^ t ^ 1.
При заданном базисе еи ..., еп функция t>->a(t)
однозначно определяется координатами
A) а1 @ а" (О
вектора a(t), являющимися п числовыми функциями.
Определение 1. Функция /н-=>a(t) называется непре-
непрерывной, если все функции A) непрерывны.
При изменении базиса функции A) заменяются не-
некоторыми их линейными комбинациями с постоянными
коэффициентами и потому остаются непрерывными. Это
показывает, что определение 1 корректно.
Определение 2. Деформацией базисов линеала У на-
называется такое семейство п непрерывных функций
B) а, (/),..., ап {(),
105

определенных при 0 ^ / =SC 1, что для каждого / векто-
векторы B) составляют базис линеала У.
Базис п[, ..., а„ называется деформируемым в базис
6i Ьп, если существует такая деформация базисов
а, (/), .... ап (/),
что
а,@) = а,, ..., а„@) = а„
а,A) = 6„ ..., а„A) = 6„.
Об этой деформации говорят, что она связывает первый
базис со вторым.
Предложение 1. Отношение деформируемости базисов
является отношением эквивалентности.
Доказательство. Это отношение рефлексивно,
поскольку для любого базиса а,\, ..., ап формулы
определяют, очевидно, деформацию, связывающую этот
базис с самим собой. Оно симметрично, поскольку для
любой деформации базисов ai(/), ..., an(t) формулы
определяют деформацию, связывающую базис Ь\ =
= fli A), . . . , Ьп = ап(\) с базисом п\ = at @), ..., а„ =
= а„@). Оно транзитивно, поскольку для любых двух
деформаций базисов ai(t) a,,(t) и 6i(/), ..., 6„(/),
обладающих тем свойством, что ai(l)=6i@), ...
..., апA) =Ь«@), формулы
0,B0, если л^ч^-L
, i=\ я,
6,B/—1), если y^'^1'
определяют деформацию, связывающую базис а{ =
= ai@), .... ап — Оп@) с базисом d = 6] A), ..., с„ =
= Ь„(\). П
Легко видеть, что деформируемые друг в друга бази-
базисы одноименны. Действительно, пусть Д(/)—определи-
Д(/)—определитель матрицы перехода от базиса fli=ai@), .... а„ =
= а„@) к базису a{(t) an(t). Ясно, что Д(/) непре-
непрерывно зависит от г и Д@) = 1. Кроме того, Д(/)^0
для всех t, 0 ^ / ^ 1. Но из анализа известно, что не-
106

прерывная, не обращающаяся в нуль на отрезке функ-
функция сохраняет постоянный знак. Поэтому ЛA)>0, п,
значит, базис 6i=fli(l), ..., Ьп = ап{\) одноименен
с базисом fli, ..., ап. П
Обратное утверждение также верно и легко доказы-
доказывается при п= 1 (т.е. для случая прямой).
Действительно, при п=1 базисами являются одно-
одночленные семейства, состоящие из отличного от нуля век-
вектора. Любые два таких базиса а и Ь пропорциональны,
т.е. существует такое б <= 1R, что Ь = 8а. При этом, если
базисы одноименпы, то 6 >¦ 0. Поэтому формула
C) а(/) = A+/(б-1))а
определяет деформацию базиса а = а@) в базис й =
= аA), ибо если б > 0, то функция 1 + /(8—1) при
0 ^ t ^ 1 в пуль не обращается.
Таким образом, при п = 1 одноименные базисы де-
деформируемы друг в друга. ?
Что же касается случая п > 1, то мы вынуждены на-
начать его изучение издалека, с вопросов, которые на пер-
первый взгляд не имеют отношения к делу.
Определение 3. Пусть а\, ..., ап — произвольный ба-
базис (или более общо — произвольное семейство векто-
векторов). Операцию, состоящую в прибавлении к некоторо-
некоторому элементу базиса другого его элемента, умноженного
на произвольное число k, мы назовем элементарным
преобразованием типа A), а операцию, состоящую в
умножении некоторого элемента базиса на произвольное
число 1#0 с одновременным умножением другого эле-
элемента на — , —элементарным преобразованием типа B).
Пример элементарного преобразования типа A):
(аи а2 а,,) =>- (а{ + kalt а,, ..., ап),
и типа B):
(«I, ui ап) => ().аи | а,, ..., а„) .
При п = 2 это в точности элементарные преобразо-
преобразования в смысле определения 1 лекции 7.
Пусть С — матрица перехода от базиса п\, ..., а^
к базису Ь\, . .., Ьп. Если мы подвергнем базис 6Ь ...
•..., Ьп элементарному преобразованию, то в матрице С
один столбец, умноженный на it, прибавится к другому
107

или, соответственно, один столбец умножится на %,
а другой — на у Аналогичному преобразованию (но
только по отношению к строкам и с измененными k и к)
подвергнется матрица С, когда мы произведем элемен-
элементарное преобразование базиса аь ..., ап.
Такого рода преобразования матриц мы будем также
называть элементарными преобразованиями (типа A) и
B) соответственно).
Определение 4. Два базиса (или матрицы) называют-
называются эквивалентными, если их можно связать цепочкой
элементарных преобразований.
Лемма 1. Любая квадратная матрица эквивалентна
диагональной матрице.
Доказательство. Пусть в некоторой строке мат-
матрицы имеются два отличных от нуля элемента с и с'.
Тогда, прибавив к содержащему элемент с' столбцу
умноженный на k = столбец, содержащий эле-
мент с, мы получим матрицу, в которой число отличных
от нуля элементов рассматриваемой строки уменьши-
уменьшилось на единицу. Повторяя этот прием, мы получим мат-
матрицу, в данной строке которой содержится точно один
отличный от нуля элемент с, а применяя затем тот же
процесс к столбцу, содержащему элемент с, — матрицу,
у которой и в этом столбце нет отличных от нуля эле-
элементов, кроме элемента с.
К построенной матрице (и к произвольному ее отлич-
отличному от нуля элементу с{) мы заново применим те же
преобразования, обратив в нуль все элементы строки и
столбца, на пересечении которых расположен элемент с\,
за исключением самого этого элемента. Ясно, что эле-
элементы строки и столбца, содержащих элемент с, при
этом по-прежнему останутся нулями.
Не более чем за п шагов (где п — порядок матрицы)
мы получим матрицу, в каждой строке и в каждом
столбце которой имеется самое большее один отличный
от нуля элемент, причем если исходная матрица невы-
невырождена, то точно один такой элемент (ибо при элемен-
элементарных преобразованиях определитель матрицы не ме-
меняется и, значит, матрица остается невырожденной).
Другими словами, мы придем к матрице, которая полу-
получается из некоторой диагональной матрицы перестанов-
перестановкой строк и столбцов.
108

С другой стороны, в лекции 7 (см. формулу D) лек-
лекции 7) мы доказали (правда, применительно к парам
векторов, а не к парам строк или столбцов матрицы, но
ясно, что это никакой роли не играет), что цепочкой эле-
элементарных преобразований можно в любой матрице пе-
переставить любые две строки (любые два столбца) с
одновременным изменением знака одной (одного) из
них. Это, очевидно, доказывает лемму 1. П
Заметим, что в этом доказательстве мы пользовались
только элементарными преобразованиями типа A).
Лемма 2. Любая невырожденная матрица С эквива-
эквивалентна матрице вида
(Ь 0 ... 0\
».!:¦: .4
О 0 ... 1/
где б == det С.
Доказательство. Согласно лемме 1 матрица О.
эквивалентна матрице вида
0)
о
где CjCs ... Сп = det С ф 0. (Как уже было выше замече*
но, при элементарных преобразованиях определитель
матрицы не меняется.) Произведем над последней мат-
матрицей п— 1 элементарных преобразований типа B), со-
состоящих в умножении первого столбца последовательно
иа Сг, с3, .... с„ и в делении остальных столбцов соот-
соответственно на те же числа. Ясно, что в результате мы
получим матрицу требуемого вида. ?
Переформулируем лемму 2 для базисов:
Лемма 3. Два произвольных базиса, для которых
определитель матрицы перехода равен 6, элементарными
преобразованиями можно перевести в базисы ait ..., ап
и Ь\ Ьп, связанные соотношениями
D) bi = 6ah 62 = а2) .... 6„ = я„. ?
Чтобы применить эти результаты к проблеме дефор-
деформируемости базисов, достаточно заметить, что эквива-
эквивалентные базисы деформируемы друг в друга. Действи*
109

тельно, ввиду предложения 1 достаточно доказать это
для базисов Яь ..., ап и Ь\, ..., Ь„, связанных элеме»-
тарным преобразованием. Но, если, например,
6, = a-f- ka2, 62 = fl2. •••> bn = an,
то соответствующую деформацию можно задать фор-
формулами
а, (/) = а, + Шаг, %@ = а, ап (I) = а,„
а если
6i=Afl[, 62 = -j^fl2. Ьл = а3, ..., bn = an,
где Я > 0, то к каждому из векторов 6i и Ьг можно при-
применить деформацию, описанную выше при я=1 (см.
формулу C)). Наконец, в случае Я, = —1 (единственно
оставшемся) можно воспользоваться деформацией, за-
задаваемой формулами
п\ (/) = (cos л/) п[ — (sin л/) а>,
Я-> @ = (s<n л0 fli + (cos л/) я2,
fl3(/) = flj, .... а„@ = а„. П
Теперь мы можем уже доказать основную теорему:
Теорема 1. Два базиса тогда и только тогда одно-
именны, когда они деформируемы друг в друга.
Доказательство. Тот факт, что деформируемые
базисы одноименны, был доказан выше. По только что
сделанному замечанию и лемме 3 любые два одноимен-
одноименных базиса могут быть продеформированы в базисы
аь ..., а„ и Ь[, ..., bh, связанные соотношениями D),
где б > 0. Так как б > 0, то к векторам fli и Ь\ приме-
применима деформация C). Следовательно, исходные базисы
деформируемы друг в друга. ?
Таким образом, мы имеем право определять ориента-
ориентации как классы деформируемых друг в друга базисов.
Вернемся теперь к исследованию введенного опреде-
определением 4 отношения эквивалентности. Как мы уже ми-
мимоходом замечали, понятие элементарного преобразова-
преобразования, а значит и соответствующее отношение эквивалент-
эквивалентности, имеет смысл для любых семейств векторов. Впро-
Впрочем, оказывается, что его целесообразно исследовать
только для линейно независимых семейств. Поэтому мы
ограничимся только такими семействами. Чтобы под-
110

черкнуть их возможную неполноту, мы будем обозна-
обозначать число векторов в этих семействах буквой т (сохра-
(сохраняя по-прежнему букву п для обозначения размерности
рассматриваемого линеала Т).
При m = 2 определение 4 (для линейно независимых,
т. е. неколлинеарных, векторов) совпадает с определе-
определением 2 лекции 7. Поэтому и в общем случае классы
эквивалентных /п-членных линейно независимых се-
семейств векторов естественно называть m-векторами, до-
добавляя к ним еще нулевой пг-вектор, по определению
состоящий из всех m-членных линейно зависимых се-
семейств векторов.
Чтобы сформулировать условия равенства двух т-век-
торов (т.е. найти аналог предложения 1 лекции 7),
удобно ввести следующее определение:
Определение 5. Два семейства векторов называются
линейно эквивалентными, если любой вектор каждого
семейства линейно выражается через векторы другого
семейства.
Линейно эквивалентные линейно независимые семей-
семейства состоят, очевидно, из одного и того же числа век-
векторов. Для любых двух таких семейств аи ..., а,п и
Ь\, ..., bm имеют место формулы вида
Ь, = cja, + .. . + с™а1П,
Ьгг = С',«, + • • • + С",п>
коэффициенты которых составляют невырожденную
матрицу
называемую матрицей перехода от семейства аь ..., а,п
к семейству Ь\, . . . , Ъ,п.
Если определитель этой матрицы равен единице:
detC=l,
то семейства аи ..., ат н Ь\, . . ., Ьт называются унимо-
дулярно эквивалентными.
Легко видеть, что лемма .3 остается в силе для любых
линейно эквивалентных линейно независимых семейств
векторов. Этот факт является ключевым при доказатель-
1A

стве следующего предложения, переходящего при т=2
в предложение 1 леками 7:
Предложение 2. Два линейно независимых семейства
векторов тогда и только тогда унимодулярно эквивалент-
эквивалентны, когда они эквивалентны в смысле определения 4
(переводятся друг в друга цепочкой элементарных пре-
преобразований), т.е. когда они определяют один и тот же
пг-вектор.
Доказательство. Два линейно независимых се-
семейства, связанных элементарным преобразованием,
очевидно унимодулярш) эквивалентны. Поскольку, с дру-
другой стороны, отношение упимодулярной эквивалентности
транзитивно (ибо произведение двух унимодуляряых
матриц снова является упимодулярной матрицей), этим
доказано, что эквивалентные семейства унимодулярно
эквивалентны. Обратно, согласно лемме 3 унимодулярно
эквивалентные семейства эквивалентны одному и тому
же семе11ству (ибо 6 = 1) и, значит, эквивалентны. ?
Случай 2-векторов (бивекторов) был подробно иссле-
исследован в лекциях 7 и 8. Рассмотрим поэтому случай 3-век-
торов (называемых также «тривекторами»).
Для ясности повторим для этого случая основные
определения.
Элементарное преобразование тройки векторов (а,
Ь, с) состоит либо в прибавлении к одному из векторов
другого, умноженного па произвольное число k, либо
в умножении двух векторов тройки соответственно на
числа Я и —.
Две тройки векторов называются эквивалентными,
если либо они обе состоят из компланарных векторов,
либо одна получается из другой цепочкой элементарных
преобразований.
Классы эквивалентных троек называются тривекто-
тривекторами.
Тривектор, задаваемый тройкой (а, Ь, с), обозначает-
обозначается символом а ЛЬ Л с.
Тривектор, состоящий из троек компланарных векто-
векторов, называется нулевым и обозначается символом 0.
Таким образом, а Л Ь Л с = 0 тогда и только тогда, ког-
когда векторы ауЪ и с компланарны.
Предложение 2 приобретает теперь следующий вид
(полностью аналогичный предложению 1 лекции 7):
112

Предложение 3. Если а Л b 'f\c Ф О, то равенство
«i Л &i Aci = a ЛЬ Ас
•цмеет место тогда и только тогда, когда
&! = ko/a + l2b -f- m2c,
причем
h h
= 1. П
По аналогии с бивекторами (и векторами) следует
ожидать, что в интуитивно-геометрической ситуации три-
тривекторы задаются «свободно плавающими» в простран-
пространстве ориентированными телами данного объема. Пока-
Покажем, что это действительно так.
Поскольку мы интересуемся только объемом, вместо
тел произвольной формы мы можем рассматривать лишь
параллелепипеды, т.е. тройки (пекомпланарпых) векто-
векторов. Мы должны считать, что две такие тройки опреде-
определяют один и тот же «геометрический тривектор», если
а) построенные на них параллелепипеды имеют один
и тот же объем;
б) их ориентации совпадают.
Но ясыо,. что элементарные преобразования не ме-
меняют объема параллелепипеда, построенного па векто-
векторах а, Ь, с (для преобразований типа B) это очевидно,
а для преобразований типа A) вытекает из того, что они
не меняют площадь основания и длину высоты паралле-
параллелепипеда), а также не меняют ориентации тройки (а,
Ь, с) (ибо определитель матрицы перехода от тройки
(а, Ь, с) к эквивалентной тройке равен единице и по-
потому положителен). Поэтому тройки, эквивалентные
«алгебраически», эквивалентны и «геометрически».
Обратно, пусть две некомплаиарные тройки векторов
удовлетворяют условиям а) и б). Поскольку мы рабо-
работаем в трехмерном «геометрическом» пространстве, обе
тройки являются базисами, и потому к ним применима
лемма 3. Согласно этой лемме данные тройки эквива-
эквивалентны («алгебраически», а следовательно, по уже до-
доказанному, н «геометрически») двум тройкам вида (а,
Ь, с) и Fа, 6, с), которые,, таким образом, также удов-
113

летворяют условиям а) и б). По для таких троек «это,
очевидно, возможно только при 6=1. Следовательно,
исходные тройки эквивалентны «алгебраически» (пере-
(переводятся друг в друга элементарными преобразования-
преобразованиями). ?
Из предложения 3 непосредственно следует, что для
любого тривектора аЛбЛс^О и любого числа кф§
имеют место равенства
E) ка Л Ь Л с = а Л кЬ Л с = а А b A кс
и что если ai А Ь{ А с{ — а А Ь А с, то
ka{ Ab{ Aci = ka Ab Ас.
Кроме того, ясно, что оба утверждения сохраняются и
когда а А Ь Л с = 0 или к = 0.
Это оправдывает следующее определение:
Определение 6. Произведением тривектора 51 = а Л
ЛбЛс на число k называется тривектор E). Этот три-
тривектор обозначается символом Ш.
Таким образом, по определению
к{а АЪ Ас) = ka Ab А с = а АкЪ Ас = а Ab Акс.
В обозначении а АЬ Ас оба символа Л нераздельны
и вместе выступают как единый знак операции (кото-
(которую, по аналогии с бивекторами, также можно назвать
внешним умножением), сопоставляющей векторам а, Ь,
с тривектор а АЬ Ас.
Впрочем, этот символ можно «расщепить», если вве-
ввести операцию внешнего умножения бивектора па вектор.
Определение 7. Внешним произведением а Ас бивек-
бивектора й = аАЬ па вектор с называется тривектор а А
АЬАс. Таким образом, по определению
(а А Ь) А с == а А Ъ А с.
Аналогично определяется внешнее произведение вектора
:ia бивектор:
а А (Ь А с) = а А Ъ А с
Мы видим, следовательно, что в силу этих определе-
определений для внешнего умножения трех векторов выполнен
закон ассоциативности:
(а А Ь) Л с = а А (Ь А с).
114

Определение G) также нуждается в проверке кор-
корректности.
Пусть а Л6 = в| Л 6ь т.е. (см. предложение 1 лек-
лекции 7; очевидно, достаточно рассмотреть лишь случай,
когда а ЛЬфО) пусть
а, = ka + lb,
где
Тогда
и поэтому
= 1.
=1,
a.\ Ah Ac =
Ac.
Аналогично доказывается, что aAbiAC[=aAbA
Л с, если &i Л С[ = Ь 'Л с. ?
Теперь легко видеть, что при перестановке двух век-
векторов в тривекторе а АЬ'Ас этот тривектор меняет знак
(свойство антикоммутативности). Например,
бдаЛс==(&Ла)Лс = (— а АЬ) Ас = — аАЬ Ас.

Лекция 13
ТРИВЕКТОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЛИНЕАЛЕ. —СЛОЖЕ-
—СЛОЖЕНИЕ ТРИВЕКТОРОВ. —ФОРМУЛА ДЛЯ ОБЪЕМА
ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА, — СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕ-
ПРОИЗВЕДЕНИЕ.—АКСИОМЫ СКАЛЯРНОГО УМНОЖЕНИЯ.—
ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. —ДЛИНА ВЕКТОРА И
УГОЛ МЕЖДУ ВИКТОРАМИ. —НЕРАВЕНСТВО КО-
ШИ — БУНЯКОВСКОГО. — НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬ-
ТРЕУГОЛЬНИКА.—ТЕОРЕМА О ДИАГОНАЛЯХ ПАРАЛЛЕЛО-
ПАРАЛЛЕЛОГРАММА.— ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ВЕКТОРЫ И ТЕОРЕМА
ПИФАГОРА.
До сих пор в теории тривекторов размерность п линеала
У не играла у нас никакой роли. Однако, чтобы по-
построить операцию сложения тривекторов, необходимо
предположить, что п < 4 (подобно тому как для сложе-
сложения бивекторов надо было считать, что п^.3). В соот-
соответствии с нашей общей установкой случай п = 4 мы
рассматривать не будем и ограничимся случаем п ^ 3.
Так как при п ^ 2 любая тройка векторов линейно
зависима, то при я ^ 2 никаких тривекторов, кроме ну-
нулевого, нет. (По аналогичной причине при я ^ 3 нет ни-
никаких отличных от нуля m-векторов с т > 3.) Поэтому
интересен лишь «пространственный» случай я=3.
Если два базиса а, Ь, с и а\, Ь\, с\ трехмерного ли-
линеала Т связаны соотношениями
A) aj = 6a, ft, = 6, Ci = c,
то, по определению (см. определение 6 предыдущей лек-
лекции),
B) a,A&iAc,
С другой стороны, согласно лемме 3 предыдущей лекции
любые два базиса линеала У_ эквивалентны базисам,
116

связанным соотношениями A), причем б равно опреде-
определителю соответствующей матрицы перехода. Поэтому
формула B) справедлива для любых двух базисов (пе-
компланарных троек векторов) а, ft, с и аи Ь\, сх линеа-
линеала Т.
Более того, формула B), очевидно, верна и для ком-
компланарных векторов аи 6|, с\.
Таким образом, мы видим (меняя обозначения), что
для любого базиса еи е2, е3 линейного пространства Т и
любых векторов а, Ъ, с имеет место формула
C) а д & Л с =
а1 а'
ь1 ьг ь3
„I .2 r3
(«1 Л <?2 Л
где а1, a2, a3, ft1, б2, б3, с1, с2, с3 — координаты векторов
а, 6, с в базисе е\, е2, е3 (ср. с формулой F) лекции 8).
Это, в частности, означает, что произвольно выбрав
некоторый тривектор % Ф 0. мы можем любой другой
тривектор %, представить в виде
где k — некоторое (очевидно, однозначно определенное)
число.
Определение 1. Суммой двух тривекторов 9t = Шо и
fd — Шо называется тривектор
Если я5==АЯо, где к Ф 0, то Я = 4Я" и 23 = T9t°''
Поскольку тривектор Г-г- + -jr) 9lo» очевидно, равен три-
тривектору (? + /)Я0, этим доказано, что определение 1 кор-
корректно.
Очевидные выкладки показывают теперь, что относи-
относительно введенных операций сложения и умножения на
число совокупность Т AT AT всех тривекторов яв-
является линейным пространством размерности 1.
Наглядно-геометрически ясно, что если объем три-
тривектора Шо равен единице, то объем тривектора k% при
кфО равен \k\. Поэтому, согласно формуле C), если
объем параллелепипеда, построенного на векторах бази-
базиса ей е2, е3, равен единице, то объем произвольного па-
117

раллелепппеда О ABC равен абсолютной величине опре-
определителя
о! о2 о3
Ь1 Ь2 Ь*
строками которого являются координаты векторов ОА,
¦—>¦ — >
ОБ и ОС в базисе е\, е2, е3.
В формально-аксиоматической теории следует вы-
выбрать некоторый тривектор 910=^=0 и объявить объемом
произвольного параллелепипеда ОАВС абсолютную rse-
лнчипу \k\ числа k, удовлетворяющего соотношению
О А ЛОВ AOC = k%.
Само число k будет при этом так называемым ориенти-
ориентированным объемом указанного параллелепипеда.
На этом мы временно прекратим изучение аффинной
геометрии и обратимся к вопросу о том, какие аксиомы
надо добавить к аффинным аксиомам 1°—11°, чтобы
получить известную из школы евклидо-
евклидову геометрию с ее измерениями отрезке.в
и углов.
Как всегда, мы сначала примем на-
наглядно-интуитивную точку зрения.
Пусть а и Ь — два («геометрпческнх>)
вектора. Предполагая их отличными от
пуля, рассмотрим угол между ними. Этог
f угол имеет два значения: ф и 2л — ф, ко-
косинусы которых одинаковы. Поэтому
Угол между дву- ф0рЧу1а
мя векторами. 4"-У-™У-1<1
D) ab = ab cos q\
где а и b—длины векторов а и b, однозначно определит
некоторое число ab.
Определение 2. Число ab, определенное формулой D),
называется скалярным произведением векторов а и Ь.
Если а = 0 или 6 = 0, то, по определению, аЬ = 0. Опе-
Операция а, Ъ\ *¦ ab называется скалярным умножение"..
Ясно, что скалярное умножение коммутативно:
ab = ba
для любых векторов а и Ь.
118

Кроме того, легко видеть, что оно однородно, т.е.
E) k (ab) = (ka) Ь = а (Щ
для любых векторов а, Ь и любого числа к. Действитель-
Действительно, при а = 0 или Ъ = 0, а также при k = 0 формула E)
очевидна. Если же а Ф О, Ь ф 0 и к ф О, то длина век-
вектора ka равна \k\a, а угол \|з между векторами ka и Ъ
равен углу ф между векторами а и 6, когда k > 0, и
равен л — ф, когда k < 0.
Поэтому &cos ф = |&| cos \|),
и, значит,
(Ла) ft = ( | Л | а) 6 cos 1|з =
= ab (j k | cos -ф) = abfe cos ф=
= k (ab cos ф) = k (ab).
Формула a(kb)= k (ab) дока-
доказывается аналогично (мож-
(можно также воспользоваться
коммутативностью). ?
Значение скалярного про-
произведения состоит в том,
что через него выражаются и длины и углы. Действи-
Действительно, так как ф = 0 при а = Ь, то для длины а любого
вектора а имеет место формула
-ка
Случай А<0
а
Случай к>0
где 'а2 = аа («скалярный квадрат вектора равен квадра-
квадрату его длины»), и, значит, для угла ф между отличными
от нуля векторами — формула
COS ф = -
ab
В частности, мы видим, что
а2 ^г 0 для любого вектора а, причем а2 — 0 тогда и
только тогда, когда а == 0.
Это свойство скалярного умножения называется его
положительностью.
Известная из тригонометрии теорема косинусов:
с1 = а2 + b2 — 2ab cos ф
119

может быть переписана в следующей векторной форме:
{а-ЪJ = & + &-2аЬ,
справедливой, очевидно, для любых векторов а и Ъ.
Заменяя здесь Ь на —Ь и учитывая, что (—а)Ъ =
= —аЬ, мы получим соотношение
из которого следует, что для любых трех векторов а, Ь
и с справедливы равенства
(а + Ь + сJ = (а + (Ь + с)J=а2 + (Ь + сJ+2а(Ь + с)=*
= а2 + Ь1 + с2 + 26с + 2а (Ь + с),
(а + Ь + сJ = ((а + Ъ) + сJ = (а + ЬJ+ с2+ 2(а + Ь)с =
= а2 + Ь2 + <г + 2аЬ+ 2 (а + Ъ)с,
а значит, и равенство
а (Ь + с) — (а + Ъ) с = аЬ — Ъс.
Заменяя здесь с на —си складывая, мы получим, что
а (Ь + с) + а (Ь — с) = 2аЪ.
Наконец, применяя последнюю формулу к векто-
векторам а, ¦ ? (вместо 6) и —гг^- (вместо с) и учитывая,
что
Ь + с , Ь — с , Ь + с Ь — с
мы окончательно получим, что
а (Ъ + с) = а& + ас,
т.е. что скалярное умножение обладает по отношению
к сложению свойством дистрибутивности (что и
оправдывает наименование операции a, 6f—>ab «умно-
«умножением»).
В аксиоматической теории мы, как всегда, должны
«обернуть» полученные результаты и принять их за
аксиомы.
120

Пусть У— произвольное линейное пространство (над
полом R вещественных чисел).
Определение 3. Скалярным умножением на простран-
пространстве У называется произвольная функция a, b >—=>а&пары
векторов, принимающая числовые значения и обладаю-
обладающая следующими свойствами (мы продолжаем единую
нумерацию аксиом):
12° (дистрибутивность). Для любых векторов
а,Ь,с<=Т
а (Ь + с) = аЬ + ас.
13° (однородность). Для любых векторов а, Ь&
gFh любого числа k
14е (коммутативность). Для любых векторов
а,Ь<=Т
аЬ = Ьа.
15° (положительность). Для любого отличного
от пуля вектора а е У
а2>0.
Число ab называется при этом скалярным произве-
произведением векторов а и Ъ.
Замечание. Обозначение ab неудобно, когда элемен-
элементами пространства Т являются, скажем, функции. По-
Поэтому вместо ab часто пишут (а, Ь). К этому обозначе-
обозначению также следует привыкнуть.
Определение 4. Линейное пространство У, для кото-
которого выбрано и зафиксировано некоторое скалярное
умножение с, by-^>ab, называется евклидовым линейным
пространством, короче —¦ евклидовым линеалом. (Неко-
(Некоторые авторы называют такое пространство также веще-
вещественным унитарным пространством и даже, не мудр-
мудрствуя лукаво, пространством со скалярным умножением.)
Евклидовым (точечным) пространством называется
аффинное пространство si-, в ассоциированном линей-
линейном пространстве которого выбрано скалярное умноже-
ние (т.е. которое превращено в евклидово линейное
пространство).
Раздел математики, в котором изучают евклидовы
пространства, называется евклидовой геометрией. По
сравнению с аффинной геометрией, евклидова геомет-
121

рия имеет одно дополнительное первоначальное понятие
(«скалярное умножение») и четыре дополнительные
аксиомы 12°—15°.
В евклидовом линейном пространстве длина вектора
а (обозначаемая обычно символом \а\, а иногда ||а||)
определяется формулой
F) I а | = У**
(в других обозначениях: | а | = -\J(a, а)), а угол q> между
двумя отличными от нуля векторами а и b — формулой
G) cos9 = n ab
которая дает для ф два значения (в сумме составляю-
составляющие 2л).
В евклидовом точечном пространстве расстояние
\М0М\\ между двумя точками определяется фор-
формулой
а угол ф между двумя прямыми — формулой G), в ко-
которой а и Ь — произвольные направляющие векторы дан-
данных прямых. (Эта формула дает для ф — в зависимости
от выбора векторов а и Ь — четыре различных значе-
значения, а если наложить па ср ограничение 0 ^ ф ^ л, то
два.)
Аксиома положительности 15° обеспечивает, что для
любого вектора а формула F) однозначно определяет
его длину \а\, являющуюся вещественным неотрицатель-
неотрицательным числом. При этом \а\ > 0, если афО, и \а\ =0,
если а = 0 (последнее следует из аксиомы однородности
13° при k = 0).
Хуже дело обстоит е формулой G). Здесь требует
специального доказательства, что ее правая часть при-
принадлежит области определения арккосинуса, т.е. что
|а6|<|а|.|Н
или, иными словами, что
(8)
122

Это неравенство называется неравенством Ко-
ш и — Б у и я к овского. Для его доказательства мы
рассмотрим функцию
числовой переменной /. Согласно аксиоме 15° для
всех t имеет место неравенство /(/)^0. С друго'1
стороны,
а из элементарной алгебры известно, что если квадрат-
квадратный трехчлен принимает лишь неотрицательные значе-
значения, то его дискриминант (подкоренное выражение в
формуле для корней квадратного уравнения) неположи-
неположителен. В нашем случае этот дискриминант равен (а&J—
— а2&2, что и доказывает неравенство (8). ?
Если векторы а и b коллинеарны, то в (8) имеет ме-
место равенство. Обратно, если (abJ=a2b2, то при Ь=^0,
согласно формуле для корней квадратного уравнения,
/(/0)=0, где /0 = |г- Поэтому а + /с& —0. Таким
образом, неравенство Коша—Буняковского обращается в
равенство только для коллинеарных векторов а иЬ. ?
При а=^0 и &=?^0 это означает, что угол ср между
неколлинеарнымч векторами отличен от нуля и от .ч,
тогда как между коллинеариыми векторами он равеи
либо нулю (если векторы положительно пропорциональ-
пропорциональны), либо л (в противном случае).
Из неравенства Кошп — Буняковского вытекает, что
| а + 6 |- = (а + &)'== а2 + 2а6 + 62<
<|а,2 + 2|а:.|Ы + !6Р = (|а! + !6'J
и, аналогично, что
\- 2аЬ + Ь2 >
la-f&p
Отсюда
(9)
= (i
еле
i + l
Д\'СТ
l;a
»): = a2
, что
— ,61!
123

Если ABC — произвольный треугольник и а = АВ,
Ь = ВС, то а + Ь = АС и мы получаем нз (9) знакомые
неравенства:
|-| ВС ||<|ДС|<| ЛЯ | +
(«сторона треугольника не больше суммы двух других
сторон и не меньше их разности»). На этом основании
неравенства (9) обычно называются неравенства-
ми треугольника.
Скалярное умножение является мощным средством
доказательства геометрических теорем. Мы уже видели,
что теорема косинусов есть просто формула квадрата
суммы. Вот другой пример.
Пусть ОАСВ— произвольный па-
параллелограмм. Полагая а = О А и
Ь = ОВ, мы получим, что ОС =
= а + b и А В = b — а. Поэтому
\ОС? + | ЛВ|2=(с + bf + (Ь-аJ=
= 2(а2 + &2)= 2(|ОЛ|2 + |ОВ|2) =
= | О А |2 +1 ЛС |2 + | ВС |2 + | ОВ |2,
т. е. сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма
равна сумме квадратов длин его четырех сторон.
Определение 5. Векторы а и b называются ортого-
ортогональными, если их скалярное произведение ab равно
нулю:
а6 = 0.
При а Ф 0 и b ф 0 это равносильно тому, что угол
между векторами а и 6 равен -^-.
Если векторы а и Ь ортогональны, то
A0) (а + ЬJ = а2 + Ь2.
При а = ОА, b = ОВ, когда b — а=АВ, мы полу-
получаем отсюда теорему Пифагора:
(«квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов»).
На этом основании равенство A0) также называется
теоремой Пифагора,

Лекция 14
МЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА И МЕТРИЧЕСКИЕ КОЭФФИ-
КОЭФФИЦИЕНТЫ.—УСЛОВИЕ положительной опреде-
определенности.—формулы ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МЕТРИ-
МЕТРИЧЕСКИХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРИ ЗАМЕНЕ БАЗИСА —
ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СЕМЕЛСТВА ВЕКТОРОВ И
КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ. — ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ
БАЗИСЫ И ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ. — РАЗ-
РАЗЛОЖЕНИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫХ МАТ-
МАТРИЦ. — ПРОЦЕСС ОРТОГОНАЛИЗАЦИ11 ГРАМА —
ШМИДТА. —ИЗОМОРФИЗМ ЕВКЛИДОВЫХ ПРО-
ПРОСТРАНСТВ. — ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ. - ОРТО-
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА —
ФОРМУЛЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ
КООРДИНАТ.
Найдем выражение скалярного произведения в коорди-
координатах.
Пусть еи ..., е„ — произвольный базис евклидова
линейного пространства У, и пусть
— два произвольных вектора этого пространства.
В обозначениях Эйнштейна
ху = (*Ч) (у'е,) = (е,е,) х'у1,
т. е.
(О xy = gilxiy1,
где положено
B) gti = e,ej, i, 7 = 1 п.
125

Заметим, что
C) ?</ = ?/« Для любых i, /=1, ..., п.
При п=\ формула A) имеет вид
где Яп = е,ег,
при п = 2 — вид
где
+ gn (XY + *V) +
при n = 3 — вид
+ g[2(x4f
4f
где
gll = «2*2. &23 = g32 = «2*3. ^23
В общем случае мы также можем привести «подоб-
«подобные» члены:
ху=Z г„*У + Z «,/ (jc'ir7 + Л')-
В первой сумме суммирование производится по i от 1
до п, а во второй сумме — по i и / от 1 до п при условии,
что j < /.
Формулу A) можно написать и в матричных обо-
обозначениях. Пусть, как и в лекции 11,
X =
*')
1*1
У=\
X" ) [ у"
и пусть G — квадратная п X «-матрица
f
j
grtl •-• gnn
126

Рассмотрим матрицу
xTGy,
где г/1" = (г/', ..., уп) (индекст —знак транспонирова-
транспонирования). По правилу умножения прямоугольных матриц эта
матрица имеет размер IX1. т. е. представляет собой
число. Вычисляя его, мы немедленно найдем, что оно
равно
t t
E) t t S,/*V.
т. е. равно A). Тем самым доказано, что
F) ху = хт0у.
При х = у мы получаем, что
G) я3 = gljxlx' = ? gu (x'f + 2 ? gllxlx' =
« K/
и, в частности, при «=1
при п = 2
и при п — 3
х2 = g,, (л-1J + 24',,*'^ +
Стоящее в правой части формулы A) алгебраическое
выражение (в менее условном виде записывающееся
в виде (о)) представляет собой однородный многочлен
от двух наборов неременных х1, ..., х" ну1, ..., у", ли-
линейный по каждому из этих наборов. Однородные много-
многочлены вообще называются формами, а многочлены вида
E) — билинейными формами. Формы E), коэффициен-
коэффициенты которых обладают свойством C), называются сим-
симметрическими формами.
При _// = л:1, ..., уп = хп симметрическая билинейная
форма превращается (см. формулы G)) в однородный
многочлен второй степени от переменных х\ ..., хп, т.о.
как говорят, в квадратичную форму. Ясно, что эта
форма однозначно определяет соответствующую симмет-
симметрическую билинейную форму (т.е. коэффициенты g,,).
127

Согласно аксиоме 15° форма G) обладает тем свой-
свойством, что
gttx'x!>0,
если (х1, .... хп)=^@, ..., 0). Такие квадратичные фор-
формы (а также соответствующие билинейные симметриче-
симметрические формы) называются положительно определенными.
Таким образом, в этой терминологии формула A)
(а также равносильная ей формула F)) утверждает,
что скалярное произведение двух векторов является би-
билинейной, симметрической и положительно определен-
определенной формой от их координат.
Оказывается, верно и обратное:
Предложение 1. Пусть Т — произвольное линейное
пространство, е\, ... ,еп — некоторый его базис и gi,x'y'—
произвольная билинейная, симметрическая и положи-
положительно определенная форма от переменных х1, ..., хп и
у1, ..., у". Тогда формула A) определяет в У некоторое
скалярное умножение.
Доказательство. Дистрибутивность и однород-
однородность (аксиомы 12° и 13°) следуют из билинейности:
glt 0! + А-0 У1 = glIx[yl + g^tjl,
8„ (kxl) у1 = gtlx' {ky1) = kgllxly!.
Коммутативность (аксиома 14°) вытекает из симметрич-
симметричности:
g,,y'x! = ghi/x> = gnxty' = g,jX{y'.
В последнем преобразовании использовано то, что ин-
индекс, по которому происходит суммирование, может быть
обозначен любой ранее не использованной буквой; по-
подробно это преобразование делается так:
gjtx'y' = gaiXayl (заменяем / новой буквой а),
— ga.iXay! (заменяем I освободившейся буквой /),
— gijX'y* (заменяем а освободившейся буквой /).
Наконец, положительность (аксиома 15°) обеспечи-
обеспечивается, по определению, положительной определен-
определенностью формы gi,xlyi. ?
Таким образом, мы видим, что в одном и том же ли-
линейном пространстве существует много различных ска-
скалярных умножений, т. е. оно многими различными спо-
способами может быть обращено в евклидово пространство.
128

Определение 1. Форма gi,x'y> (а также соответстиуо-
тая квадратичная форма g4xlxt) называется метриче-
метрической формой данного базиса еь ..., еп, а ее коэффици-
коэффициенты g,,—метрическими коэффициентами этого базиса.
Условие положительной определенности накладывает
на коэффициенты g,, определенные снраничения. Напри-
Например, ясно, что
g,i > 0 для любого 1 = 1, ..., п.
При п=\, когда имеется один коэффициент gu,
условие gu > 0 не только необходимо, но, очевидно, и
достаточно для положительной определенности формы.
Пусть п = 2, и пусть gu > 0. Тогда
gn
откуда следует, что рассматриваемая форма положи-
положительно определена тогда и только тогда, когда gi2gu—
— ??> > 0. Тем самым доказано, что симметрическая
матрица
2l g22
тогда и только тогда является матрицей метрических ко-
коэффициентов некоторого базиса двумерного евклидова
линеала, когда
Вг\ gu
Аналогичные условия при п = 3 имеют вид
fl! gl! #13
f3l ff32 gll
Мы докажем это в следующем семестре.
> 0,
gu 8n
По построению метрическая форма зависит от вы-
выбора базиса е\, ..., еп. Найдем, как она меняется при
замене этого базиса другим. Проделаем вычисление в
матричной символике.
5 М Л\ Постников
129

Пусть в[ еп и ci еа—дна базиса,
v
X
х —
X =
— столбцы координат одного и того же вектора х в этих
базисах, С = (с!,) — матрица перехода от базиса ег .... ел
к базису е,„ ..., еп, и G = (gi;) — матрица метрических
коэффициентов базиса еь ..., еп. Тогда
.V = Сх' и *2 = ,v;tGa:.
Поэтому
*2 = (х/ТСт) G (Сх') = /т (CTGC) jc'.
Эта формула означает, что матрица G' = (gri-) метри-
метрических коэффициентов базиса е^, ..., еп- выражается
формулой
(8) (У = CTGC.
Иначе говоря,
Определение 2. Семейство е\, ..., ет векторов евкли-
евклидова пространства называется ортонормированным, если
а) длина каждого вектора равна единице;
б) любые два различных вектора ортогональны,
т. е. если
{1,
О,
{когда i = /',
О когда 1ф}.
Определение 3. Коэффициентами Фурье вектора х по
отношению к семейству е\, ..., ет называются скаляр-
скалярные произведения х\ — хв\ хт = хет.
У нулевого вектора все коэффициенты Фурье равны
пулю, но обратное, вообще говоря, неверно. Если из
Х[ — 0, ..., хт = 0 следует, что х = 0, то семейство
в[. ..., е.п называется замкнутым.
Предложение 2 (неравенство Бесселя). Если
семейсню е{, ..., е,п ортонормировано, то для любого
вектора х
130

причем вектор х' = х — ххе\— ... —х,„е,п ортогонален
всем векторам еи ..., ет {т. е. все его коэффициенты
Фурье по отношению к семейству eit .,., em равны
нулю).
Доказательство. Достаточно заметить, что
(т \ / т
in m m
2 — 2 Z Xi (xet) + Z Z XiXj (etei) =
i=l i=l ?-1
И ЧТО
et (x — xxex — ... — xmem) = <?,* — л;,е,-е,- = л:,- — xL = 0
для любого i= I, ..., т. О
Напомним, что семейство векторов (не обязательно
ортонормированное) называется полным, если любой
вектор пространства через него линейно выражается.
Определение 4. Ортонормированное семейство векто-
векторов называется максимальным, если при добавлении к
нему какого бы то ни было вектора оно перестает быть
ортонормированным.
Предложение 3. Следующие свойства ортонормиро-
ванного семейства векторов е\, ..., е„ равносильны:
1) семейство максимально;
2) семейство замкнуто;
3) семейство полно;
4) для любого вектора х
х = х]е1+ ... +хпеп,
где х\, ..., хп — коэффициенты Фурье вектора х;
5) для любых векторов х и у
(Ю) ху = х1у1+ ... +хпуп;
6) для любого вектора х
т. е. в неравенстве Бесселя имеет место равенство.
Доказательство.
1)=^>2). Если для некоторого вектора х ф 0 имеют
место равенства Х\ = 0 *n = 0, то, добавив к се-
5* 131

X
меиству в\, ..., е„ вектор—г, мы получим ортонорми-
ортонормированное семейство.
2)-->3). Если вектор х линейно не выражается через
векторы в\, ..., е„, то построенный в предложении 1 век-
вектор х' отличен от нуля и вместе с тем все его коэффи-
коэффициенты Фурье равны нулю.
3)=Ф-4). Если * = /?]?]+ ... + knen, то
4)=*-5). Если x=y?ixiel и у = ?«//«/, то
5)=*-6). Достаточно в A0) положить х = у.
6)=>1). Если бы к векторам ei, ..., еп с сохранением
ортонормировапиости можно было добавить еще один
вектор х, то имело бы место равенство
ибо, будучи ортогональным векторам е\, ..., еп, вектор
х имел бы все коэффициенты Фурье Х\, ..., х„ равными
нулю. ?
Равенство A0) называется равенством Парсевлля.
Замечание. Вывод, что xt = ki (см. доказательство
импликации 3)-"^>4)), использует только ортонормиро-
ваипость семейства е\, ..., еп и применим (без каких-
либо дополнительных предположений об этом семей-
семействе) к любому вектору вида x = kle\+ ... -\-knen. Но
если х = 0, то xi = 0 и потому ki = 0. Это показывает,
что любое ортонормированное семейство векторов линей-
линейно независимо.
Определение 5. Ортонормированпое семейство векто-
векторов, являющееся базисом, называется ортоноржирован-
ортоноржированным базисом.
Согласно предложению 3, для того чтобы ортонорми-
ровамное семейство векторов было базисом, необходимо
н достаточно, чтобы оно было либо максимальным, либо
замкнутым, либо полным (либо состояло из п = dimY;
векторов). При этом координатами произвольного век-
вектора в ортопормированном базисе являются его коэфч
фицненты Фурье (утверждение 4) предложения 3).
П2

Поэтому в дальнейшем в стии с ортонормировании-
ми базисами мы термин «коэффнцент Фурье» употреб-
употреблять, как правило, не будем. Вместе с тем мы сохраним
для координат в ортонормированием базисе обозначения
A'l, ..., х„ со спущенными вниз индексами.
Векторы орненормированного базиса мы обыкновен-
обыкновенно будем обозначать через ii, ..., /„ (при « = 2 — через
i, /', а при п = 3 — через i, /, k).
Определение 6. Координатная система Ое\ ... е„ в
точечном евклидовом пространстве, для которой базис
в\, ..., еп ортонормирован, называется системой прямо-
прямоугольных (пли евклидовых, а иногда — что с точки зре-
зрения истории математики совершенно необоснованно —
декартовых) координат. Соответствующие координаты
называются прямоугольными (евклидовыми или декар-
декартовыми) координатами. Тот же термин употребляется и
по отношению к координатам векторов евклидова линей-
линейного пространства в ортонормироваппом базисе.
Ортонормнрованпый базис характеризуется тем, что
матрица G его метрических коэффициентов является еди-
единичной матрицей Е. Поэтому в прямоугольных координа-
координатах все метрические формулы существенно упрощаются:
... + хпуп,
+Х'п>
-х1У+ ... +(уп-х„У
{xi, ..., хп— координаты точки Л, а у\, ..., уп — коор-
координаты точки В) и т. д.
По этой причине в изучении евклидовых пространств
обычно пользуются лишь прямоугольными координатами.
При этом факт существования (при й\тТ > 0) орто-
нормированных-базисов и прямоугольных координат не-
непосредственно вытекает из того же предложения 3. Дей-
Действительно, взяв произвольный, отличный от нуля век-
вектор а и умножив его на число г—г, мы получим вектор
е=-р-т единичной длины (кстати сказать, такие век-
векторы иногда называются ортами), т. е. ортонормпрован-
ное семейство, состоящее из одного вектора. Этим дока-
133

запо, что ортонормированные семейства векторов суще-
существуют. Поскольку любое такое семейство не может со-
содержать (в силу линейной независимости) более чем
п = dim У векторов, среди ортонормированных семейств
есть максимальные, т. е. базисы.
Любопытно, что из одного лишь факта существова-
существования ортонормированных базисов вытекают нетривиаль-
нетривиальные алгебраические утверждения. Например, пусть G —
произвольная симметрическая положительно определен-
определенная матрица (т. е. такая, что квадратичная форма хт Gx
положительно определена). Произвольно выбрав в неко-
некотором линеале У (например, в R") базис еь ..., ^.пре-
^.превратим этот линеал в евклидов, полагая ху = хтGy для
любых векторов х, yef (см. предложение 1), т. е. при-
принимая матрицу G за матрицу метрических коэффициен-
коэффициентов базиса е\, ..., еп. Согласно сказанному в Y суще-
существует ортонормированныи базис i\, ..., in. Пусть С —
матрица перехода от базиса ii, ..., 1„ к базису еи ..., еп.
Тогда, как мы знаем, матрица G будет равна СТЕС =
= СТС, где Е— матрица метрических коэффициентов
ортонормироваиного базиса iu ..., i,,, т. е. единичная
матрица. Обратно, пусть С — произвольная невырожден-
невырожденная матрица, i\, ..., i,, — некоторый ортонормировапный
базис произвольного евклидова линеала У \\ е\, ., е„- -
базис, связанный с базисом ii, ..., in матрицей перехода
С. Тогда матрица G метрических коэффициентов этого
базиса (являющаяся, как мы знаем, симметрической по-
положительно определенной матрицей) будет равна
СтЕС = Ст С. Тем самым доказано, что матрица G то-
тогда и только тогда является симметрической положи-
положительно определенной матрицей, когда существует такая
невырожденная матрица С, что
A1) G = CTC.
Однако практическая значимость этого результата
сужена, поскольку в нем не дается никакого рецепта,
как найти по матрице G матрицу С. Чтобы устранить
этот недостаток, нужно указать явный способ построения
но любому базису е\, ..., е„ некоторого ортонормиро-
ортонормироваиного базиса i\ in. Мы опишем один такой спо-
134

соб, называемый процессом ортогонализации
Шмидта.
Этот процесс состоит в постепенном, шаг за шагом,
преобразовании данного базиса е\, ..., е„ в ортонорми-
рованный. Пусть 0 ^ k ^ п. Назовем базис еи .... еп
ортонормированным до номера k, если его подсемейство
в\, ..., ек ортонормироваио. В соответствии с этим опре-
определением любой базис ортонормирован до номера 0, а
базис, ортонормированный до номера п, является не чем
иным, как обычным ортонормированным базисом. По-
Поэтому нам достаточно указать способ преобразования
произвольного базиса е\, ..., еп, ортонормированного до
номера k < n, в базис, ортонормированный до номера
k+l.
Предложенный Грамом и Шмидтом способ состоит в
том, что в данном базисе меняется лишь вектор ек+\, ко-
который сначала заменяется вектором
е
k+\ ek+\ x\e\ '" xkek>
где х\, .,., xk — коэффициенты Фурье вектора х =
по отношению к ортонормированному семейству в\, ...
..., вк (при k = 0, естественно, ничего не происходит).
Ясно, что после такой замены базис останется базисом.
Кроме того (см. предложение 2), вектор e'k+l будет орто-
ортогонален всем векторам е\ ек. Поэтому для заверше-
завершения построения нужно этот вектор лишь «пронормиро-
«пронормировать», т. е. разделить на его длину. В результате, оче-
очевидно, и получится базис, ортонормированный до номера
k+l. D
Заметим, что получающийся в конце концов ортонор-
ортонормированный базис связан с исходным базисом треуголь-
треугольной матрицей перехода. Таким образом, мы не только
нашли практический способ осуществлять разложение
A1), но и доказали, что для любой симметрической по-
положительно определенной матрицы G существует разло-
разложение A1) с треугольной матрицей С.
Выше мы уже отмечали, что одно и то же линейное
пространство можно превратить в много разных евкли-
евклидовых пространств. Например, можно всегда сделать
так, чтобы любой наперед заданный базис оказался ор-
ортонормированным.
135

Однако, несмотря на это, для любого п ^>. О суще-
существует в некотором точном смысле только одно евкли-
евклидово (линейное или точечное) пространство.
Определение 7. Пусть Т и У" — евклидовы линейные
пространства. Отображение <р: У-+У называется изо-
изоморфизмом, если оно является изоморфизмом линейных
пространств (см. определение 1 в лекции 5) и, кроме
того, сохраняет скалярное произведение, т. е.
Ф («) Ф (У) = ху
для любых двух векторов х,у^Т.
Евклидовы линейные пространства У и У называют-
называются изоморфными, если существует хотя бы один изомор-
изоморфизм Г-+Г'.
Теорема 1. Любые два евклидовых линейных про-
пространства одной и той же размерности п изоморфны.
Изоморфизм осуществляется по равенству координат
в любых двух ортонормированных базисах.
Доказательство. Достаточно заметить, что во
всех ортопормировапных базисах скалярное произведе-
произведение выражается одной и той же формулой:
ху = х1у{+ ... +хпуп. О
Естественный способ превратить пространство R" в
евклидово состоит в том, чтобы объявить ортонормиро-
ванным стандартный базис, т. е. для любых векторов
х = (х], ..., хп) и у=(у\, ..., Уп) положить, по опре-
определению,
ХУ = -Ч'/l + • ¦ • + ХпУп-
Тогда для любого ортонормированного базиса i\, ..., in
произвольного евклидова линейного пространства У со-
соответствующий координатный изоморфизм У^-R" будет
изоморфизмом евклидовых пространств.
Аналогичные определения и результаты имеют ме-
место, конечно, и для евклидовых точечных пространств.
Рассмотрим в заключение вопрос о матрицах, связы-
связывающих два ортонормированных базиса.
Определение 8. Матрица С перехода от одного орто-
ортонормированного базиса к другому называется ортого-
ортогональной матрицей.
136

Так как в обоих базисах матрицей метрических коэф-
коэффициентов является единичная матрица Е, то матрица С
тогда и только тогда ортогональна, когда
A2) СТС = Е.
Положив
Си ... С1п
/Си . .. Сщ ч
= ( )
ч ('л1 ¦ • • СПП /
мы видим, что равенство A2) равносильно -" 2
соотношениям вида
1, если i = /,
где t,/= 1, .... « и i^ /, выражающим тот факт, что
столбцы матрицы С составляют ортонормированмое се-
семейство (базис) векторов пространства К" (как и долж-
должно быть, поскольку эти столбцы состоят из координат
ортопормированных векторов в ортопормпровапном ба-
базисе).
Равенство A2) равносильно равенству
которое в свою очередь равносильно соотношению
ССТ = Е.
Последнее соотношение означает, что
1, если / = /,
0) сслн .фи
для любых i,j=\, ..., п, т. е. что ортонормированное
семейство составляют также и строки матрицы С.
Сопоставив все эти утверждения, мы получим сле-
следующее предложение:
Предложение 4. Матрица С тогда и только тогда ор-
ортогональна, когда она обладает одним (а потому и лю-
любым другим) из следующих пяти свойств:
а) СТС = Е;
б) столбцы матрицы С ортонормированы;
в) С-* = СТ;
г) ССТ = Е;
д) строки матрицы С ортонормированы. ?
137

Переходя в соотношении а) к определителям и учи-
учитывая, что det С =det С, мы получим равенство
(detCJ= 1,
т. е. равенство
detC=±l.
Таким образом, определитель ортогональной матрицы
равен + 1.
Определение 9. Ортогональная матрица С называется
собственной (или унимодулярной), если det С = 1.
Ясно, что матрица, обратная к ортогональной (соб-
(собственной ортогональной) матрице, а также произведение
двух ортогональных (собственных ортогональных) мат-
матриц является ортогональной (собственной ортогональ-
ортогональной) матрицей (скажем, если CjC\ = E и С2ГС2 = ?,
то (С,С2)Т(С,С2) = С7(С7С,)С2 = С7А = ?)- На языке
алгебры это означает, что совокупность всех орто-
ортогональных (собственных ортогональных) матриц
данного порядка п образует группу. Эта группа
обозначается символом О (п) (соответственно символе?*!
SO(n)).
При п = 1 ортогональная матрица С = (сп) является
не чем иным, как числом Си, удовлетворяющим соотно-
соотношению с2п ==¦ 1. Это означает, что группа 0A) состоит из
двух элементов ±1, а группа SOA)—из одного:
0A) = {1, -1}, SOA) = {1}.
При я = 2 имеется три условия ортогональности:
с?,+ 4 = 1-
с2 4- с- = 1
12 * 22 '
Рервое и последнее означают, что найдутся такие углы
аир, что
Си = cos а, с-21 = sin а,
а второе —что эти углы связаны соотношением
cos a cos р + sin а sin р = О,
138

т. с. соотношением
cos (P — а) = 0.
т Чтт
Таким образом, либо |3 = a + 7j-> либо Р = а+-л-, т. е.
матрица С имеет либо вид
/ cos ы — sin a \
V sin а cos а / '
Йибо вид
/ cos а sin а \
V, sin а — cos а ) '
В первом случае матрица собственная, во втором — не-
несобственная.
В частности, мы видим, что любая собственная
ортогональная матрица второго порядка имеет вид
cos a — sin а
. sin а cos а
)¦
Это означает, что два ортонормирован-
иых одноименных базиса плоскости i,
j и i', j связаны формулами
i' = cos a • i 4- sin а • /,
Угол а.
/" = — sin а • i -\- cos а • /,
а соответствующие координаты х, у и x',i/ — формулами
х = cos а • х' — sin а • у',
у = sin а • х' + cos а • у'.
Так как i'i = cosa, /'«" = —sin a и |<| = |i'|=l, то,
чтобы получить базис i', /', нужно повернуть базис /, / на
угол ее.
Аналогичное описание ортогональных матриц треть-
третьего порядка довольно сложно, и мы ими заниматься не
будем.
В точечном евклидовом пространстве формулы пре-
преобразования прямоугольных координат имеют вид (в
матричной записи; см. формулу G) лекции 11):
139

где С — ортогональная матрица (а Ь — произвольный
столбец). В частости, при га = 2 мы получаем (обозна-
(обозначая координаты символами х и у) следующие фор-
формулы преобразования прямоугольных координат на
плоскости:
х = cos а • х — sin а • у' + х^,
у = sin а • х' + cos а • у' + /у0,
где а — угол между положительными направлениями
осей абсцисс старой и новой координатных систем, а
(*о, У а)—координаты «нового» начала О' в «старой»
координатной системе.

Лекция 15
ТРИВЕКТОРЫ В ЕВКЛИДОВОМ ОРИЕНТИРОВАННОМ
ПРОСТРАНСТВЕ, —СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
ТРЕХ ВЕКТОРОВ. — ПЛОЩАДЬ БИВЕКТОРА В ЕВ-
КЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ.— ВЕКТОР, ДОПОЛНИ-
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ К БИВЕКТОРУ В ЕВКЛИДОВОМ ОРИЕН-
ОРИЕНТИРОВАННОМ ПРОСТРАНСТВЕ.—ВЕКТОРНОЕ УМНО-
УМНОЖЕНИЕ. — ИЗОМОРФИЗМ ЛИНЕАЛОВ ВЕКТОРОВ И
БИВЕКТОРОВ.— ВЫРАЖЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПРОИЗ-
ПРОИЗВЕДЕНИЯ В КООРДИНАТАХ. —НОРМАЛЬНОЕ УРАВ-
УРАВНЕНИЕ прямой па евклидовой плоскости и
расстояние-: от точки до прямой, —углы .ме-
.между ДВУМЯ ПРЯМЫМИ ПА ЕВКЛИДОВОЙ ПЛО-
ПЛОСКОСТИ.
В евклидовом (трехмерном) пространстве теория бивек-
бивекторов и тривекторов существенно упрощается и, по суще-
существу, сводится к теории векторов. Займемся сначала слу-
случаем тривекторов, как более простым.
Пусть ^ — произвольное евклидово пространство
(трехмерное). Предполагая его ориентированным, рас-
рассмотрим в нем произвольный ортонормировапный поло-
положительно ориентированный базис i, j, k. С любым дру-
другим таким базисом «', /', k' базис /, /, k связан собствен-
собственной ортогональной матрицей перехода. Поскольку опре-
определитель этой матрицы равен +1» мы получаем, следо-
следовательно (см. формулу B) лекции 13), что
Таким образом, тривектор $Ь = i Л / Л k не зависит от
выбора базиса i, j, k, т. е. один и тот же для всех бази-
141

сов (орюнормнрованпых и положительно ориеитнрован-
i;i>ix).
Поскольку Sl0 Ф 0, любой тривектор Ш.^Т ЛТ ЛТ
имеет вид
где а — некоторое число.
Определение 1. Число а называется величиной (или
ориентированным объемом) тривектора 21, а его абсо-
абсолютная величина \а\ — объемом тривектора 21.
В соответствии с общей теорией объема определение
1 означает, что мы принимаем за эталон объема в про-
пространстве тривектор 2to- Другими словами, объем единич-
единичного куба (т. е. куба с ребром длины 1) мы считаем рав-
равным единице. Мы видим, таким образом, что евклидова
структура линейного пространства однозначно опреде-
определяет в нем измерение объемов.
Определение 2. Величина тривектора аЛЬЛс назы-
называется смешанным (или тройным) произведением векто-
векторов а, Ь, с и обозначается символом аЬс.
Согласно формуле C) лекции 13, если a = a\i-\-
+ a2j + a3k, Ь = bxi + Ьч) + bzk и с = C\i + c2/ -f c3fe, то
A)
Ьг Ь3
с2 с3
Заметим, что смешанное произведение зависит от
ориентации пространства и при замене ориентации на
противоположную меняет знак.
Алгебраические свойства смешанного произведения,
естественно, те же, что и внешнего произведения: оно
дистрибутивно (относительно сложения), однородно (по
отношению к умножению векторов на числа), аитиком-
мутативио (меняет знак при транспозиции сомножите-
сомножителей) и свободно (равно нулю тогда и только тогда, ко-
когда перемножаемые векторы компланарны).
Заметим, что это в точности известные из алгебры
свойства определителей. Можно сказать, что смешанное
произведение является не чем иным, как геометрической
интерпретацией определителей третьего порядка.
Таким образом, в евклидовом (и ориентированном!)
пространстве тривекторы естественным образом (без ка-
какого-либо произвола) заменяются числами (их величи-
142

нами), а внешнее произведение троек векторов — их сме-
смешанным произведением.
Для бивекторов ситуация оказывается, как и следо-
следовало ожидать, ботее сложной.
Пусть а = а Л Ь — произвольный отличный от нуля
бивектор (в некотором евклидовом пространстве Т).
п «. «. °i>
При замене вектора о вектором о ^а, ортогональ-
ортогональным вектору а, бивектор а, очевидно, не изменится. По-
Поэтому без ограничения общности мы можем с самого
начала считать векторы а и Ь ортогональными. Норми-
Нормируя эти векторы, т. е. деля их на их длины, и вынося об-
общий множитель, мы получим для бивектора а представ-
представление вида
B) n = a (<?i Л е2),
где векторы в\,е2 ортонормированы, аа>0.
Представление B) (с а = 0) имеет место и при а = 0.
Легко теперь видеть, что в представлении B) число
а ^ 0 однозначно определено бивектором а. Действи-
Действительно, равенство
где а > 0, а' ~> 0, а пары векторов е{, е,2 и е[, е,' орто-
ортонормированы, означает, что имеют место соотношения
причем
k l
k' Г
Но тогда
откуда следует, что матрица
= 1.
143

ортогональна и потому се определитель а/а' равен ±1.
Этим доказано, что а' = ±а. Но числа а и о', по усло-
условию, положительны. Поэтому а' = а. ?
Определение 3. Фигурирующее в представлении B)
число а называется площадью бивектора а.
По доказанному это определение корректно
Таким образом, евклидова структура пространства
позволяет в каждой плоскости ввести эталон площади,
причем эти эталоны па различных плоскостях в некото-
некотором смысле (который при желании можно уточнить)
одинаковы
Заметим, что в аффинном пространстве нет никакого
естественного способа сравнивать эталоны площади на
различных (непараллельных) плоскостях.
Предположим теперь, что рассматриваемое евкли-
евклидово пространство трехмерно (бивекторы в двумерном
пространстве мало интересны, будучи полностью ана-
аналогичны тривекторам в трехмерном пространстве и
представляя собой геометрический эквивалент определи-
определителей второго порядка) и, кроме того, ориентировано.
В первую очередь, заметим, что для любых двух
ортонормированных векторов еи е2 существует один и
только один вектор ез, составляющий с этими векторами
положительно ориентированный ортонормированный ба-
базис в\, е2, е3.
Действительно, так как ортоиормированное семей-
семейство, состоящее из векторов в\, е2, не полно, и, следова-
следовательно (см предложение 3 предыдущей лекции), не мак-
максимально, то существует такой вектор е3, что векторы
ei,e2, е3 составляют ортопормпровапный базис. Если этот
базис положительно ориентирован, то тем самым суще-
существование вектора ?3 доказано. В случае же, когда ори-
ориентация базиса в\, е2, е3 оказалась отрицательной, доста-
достаточно у вектора е3 изменить знак.
Пусть существует другой вектор
е'3 = агх + Ье2 + сеЛ,
составляющий с векторами е\ и е2 положительно ориен-
ориентированный ортонормированный базис в,, е2> е'у Тогда
матрица
144
1
0
0
0
I
0
а
Ь
с

как матрица перехода от базиса еь е%, е3 к базису
е{, е0, е'л будет ортогональной и собственной, что, оче-
очевидно, возможно только при а = Ь = 0 и с= 1. Это до-
доказывает единственность вектора е3- П
Определение 4. Вектором, дополнительным к бивек-
бивектору B), называется вектор, обозначаемый символом а х
ч определяемый формулой
а-i = ае3,
где е3— такой вектор, что векторы в[, е^, е% составляют
положительно ориентированный ортонормированный
базис.
Здесь в первую очередь нужно проверить коррект-
корректность определения, для чего достаточно, очевидно, дока-
доказать, что если е,, ег, е3 и e'v е'„ е'Л— такие одноимен-
одноименные ортонормированные базисы, что e\l\e\ — ex/\ e2, то
Пусть
(
kx k2 k3
/, h h
m, m2 m%
— матрица перехода от базиса ev e2, ел к базису е[,
е'о, е'у Эта матрица ортогональна и собственна, так
что
к\ кг кг
h h k
1Tt\ till W%
й + /j + /з = 1, и
m\ + nij + mj = 1
С другой стороны, так как е\ Л е'2 = et Л fj, то
, т2 — О
и матрица
W, /i J
(очевидно, ортогональная) унимодулярна. Таким образом,
k
•¦•
145

Из выписанных соотношений непосредственно вытекает,
что *3 = 0,/з=0и т3 = 1. Таким образом, е[ = еу П
Определение 5. Векторным произведением а X Ъ век-
векторов а \\ Ь называется вектор, дополнительный к нх
внешнему произведению а ЛЬ:
Следующее предложение объясняет название «сме-
«смешанное» для произведения abc.
Предложение 1. Для любых трех векторов а, Ъ, с
имеет место формула
abc = (а X Ь) с.
Доказательство. При аХЬ — 0 эта формула
очевидна. Пусть аХЬ Ф 0. Для построения вектора а%Ь
мы в первую очередь должны представить бивектор
аЛЬфО в виде
а Л Ь = а (е, Л е2),
где а > 0, а е\, е2 — ортонормированные векторы. Следуя
описанному выше способу построения такого представле-
представления, мы, очевидно, будем иметь формулы вида
Из этих формул следует, что а Л Ь = alb2(ei Л е^). По-
Поэтому а = а\Ь2 и, значит, а X Ь = а\Ь2еъ, где ег — вектор,
дополняющий векторы еие2 до положительно ориентиро-
ориентированного ортопормированного базиса е\, е2, е3.
Следовательно, если
с = ctfi + с2е2
то (аХ Ь)с = аф2сл. С другой стороны,
а, й, с,
О b2 сг
О О с3
abc —
Таким образом, (flX6)c = flic. ?
Предложение 2. Векторное умножение дистрибутивно
относительно сложения, т. е.
для любых трех векторов а, Ь, с,
146

Доказательство. Пусть х— произвольный век-
вектор. Тогда, в силу дистрибутивности смешанного и ска-
скалярного умножений,
(л X (Ь + с)) х = а (Ь + с) х = аб* + асх =
Принимая за х векторы некоторого базиса е\, е2, е3, мы
получаем отсюда, что все коэффициенты Фурье векторов
аХ(Нс) и aX^ + flXc одинаковы. Следовательно,
эти векторы также одинаковы. ?
Следствие. Дополнительный вектор суммы бивекто-
бивекторов равен сумме дополнительных векторов слагаемых,
т. е.
для любых бивекторов а и Ь. ?
Это следствие является лишь переформулировкой
предложения 2.
Предложение 3. Векторное умножение однородно и
антикоммутативно, т. е.
для любого числа k и любых векторов а и Ь.
Доказательство. Первое утверждение непосред-
непосредственно вытекает из однородности смешанного и скаляр-
скалярного умножений (ср. с доказательством предложения 2).
Второе следует из первого и из антикоммутативности
внешнего умножения. ?
Следствие. Для любого числа k и любого бивектора a
имеет место равенство
(fea)x = ka\ о
Заметим, что это следствие можно легко вывести и
непосредственно. Действительно, если a = a(eiAe2) и
ах = ае3,то ka = ka(е\ Л е2) при *>0 и потому (ka)x =
= kaeA = ka1. Если же k < 0, то ka =|fe|a(e2 Л е,) и
потому (kaI = \k\a(— e3) = kae3 = ka1, так как базис
е2, в[, — е3 ортонормирован и положительно ориентиро-
ориентирован. ?
Это дает прямое доказательство и предложения 3
(аналогичного достаточно простого доказательства пред-
предложения 2, по-видимому, не существует).
147

Теорема 1. Соответствие ai—э*ах представляет собой
изоморфизм линеала У AT на линеал Т.
Доказательство. Ввиду следствий предложений
2 и 3 нужно лишь доказать, что отображение a i—^ а-1- би-
биективно, т. е. что для любого вектора а существует един-
единственный бивектор а такой, что a-L = a.
Пусть а — длина вектора а, т. е. пусть а = асз, где
е3 — вектор длины 1 (определенный однозначно, когда
а Ф 0, и произвольный, когда а = 0). Пусть, далее, е\ и
е2 —такие векторы, что векторы еи е2, е3 составляют по-
положительно ориентированный ортоиормированныи базис
(существование таких векторов очевидно), и пусть а =
= o(ei Лег). Тогда, по определению, а- = а. Тем са-
самым существование бивектора а доказано.
Для доказательства его единственности достаточно,
очевидно, установить, что для одноименных ортонорми-
рованных базисов е{, е,„ е3 и е[, в.', е'3 из равенства е'3 = е3
вытекает равенство е[ Ле' = е, Л е2. Но это почти оче-
очевидно. Действительно, так какез = ез> т0 матрица пере-
перехода от базиса ег е2, е3 к базису е[, е'2, е'3 имеет вид
I /, h о .
\Ш! m2 1 /
Условие ортогональности для последней строки дает
откуда следует, что т\ = 0 и т2 = 0. Поэтому
причем
h U
= 1.
Следовательно, е\ Л е'2 = е, Л е2. П
Следствие. Векторное умножение свободно, т. е. a X
X Ь = 0 гогс)а и только тогда, когда векторы а и Ь кол-
линеарны. ?
148

Подчеркнем, что обеспечиваемое теоремой 1 полное
сведение бивекторов к векторам возможно только в трех-
трехмерном пространстве и только при выборе определенной
ориентации этого пространства.
Очевидно, что для любого положительно ориентиро-
ориентированного оргонормированпого базиса i, j, k имеют место
формулы
т. с. формулы
Отсюда следует (ср. с формулой (8) лекции 8), что
для любых векторов
а = axi + а2/ + алк и Ъ = bj -f b2j + bji
имеет место формула
i j k
а, а2 а.
b\ b2 b3
Подчеркнем, что базис (, /', k здесь предполагается не
только ортонормированным, но и положительно ориен-
ориентированным (правым).
По построению длина |аХ&| векторного произведе-
произведения аХ& равна площади 5 параллелограмма, построен-
построенного на векторах а и Ь. Поэтому
VI
пг а3
b2 b3
•I
"¦"
b,
as
b*
¦2
at
b^
«2
b,,
Наличие в плоскости или в пространстве евклидовой
структуры (скалярного умножения) позволяет сущест-
существенно дополнить также и теорию прямых и плоскостей.
Как всегда, рассмотрим сначала прямые на плоскости.
Пусть в евклидовой плоскости задан произлольпып
отличный от нуля вектор п и некоторая точка Мо.
Легко видеть, что множество всех точек М плоскости,
для которых вектор п ортогонален вектору МаМ, т. е.
для которых имеет место равенство
C)
пММ = О,
149

является прямой, проходящей через точку Ма. Действи-
Действительно, в прямоугольных координатах условие C) имеет
вид
Л (х - хо) + В (у - г/о) = О,
где Л, В — координаты вектора я, а х, у и Хо, г/о— коор-
координаты соответственно точек М и Мо. ?
О векторе я говорят, что он ортогонален прямой.
С точностью до коллинеарности он однозначно опреде-
определен прямой. Любое уравнение прямой
D) Ах + Ву + С = 0
(в прямоугольных координатах) определяет вектор
п(А,В), ортогональный прямой. Если этот вектор нор-
нормирован (имеет длину 1), т. е. если Л2 + В2 = 1, и если
С eg: 0, то уравнение D) называется нормальным урав-
уравнением прямой. Обыкновенно нормальное уравнение пи-
пишут в виде
E) х cos а + у sin а — р = О,
где ос— угол между вектором я и единичным вектором i
оси абсцисс. Чтобы привести уравнение D) к виду E),
достаточно разделить его на УЛ2 + Б2, когда С^О, и
на — V'Л2 + Вг, когда С > О-
Вводя радиус-вектор г(х,у) и единичный вектор
п(cos a, sin а), мы можем уравнение E) записать в век-
векторной форме:
F) пг — р = 0.
Определение 6. Две прямые называются перпендику-
перпендикулярными, если их направляющие векторы ортогональны.
Пусть Л^ —точка пересечения прямой, проходящей че-
через данную точку М и перпендикулярной прямой F)
(легко видеть, что такая прямая всегда существует и
единственна), с прямой F). Длина d=\NM\ отрезка
NM называется расстоянием от точки М до прямой F).
Это расстояние равно, очевидно, абсолютной величи-
величине скалярного произведения nNM = n(r — s), где г и s—
радиус-векторы точек М и N. Но точка W лежит на пря-
прямой F), и потому ns = р. Следовательно,
G) d = | пг — p\ = \xcosa-\- г/sin a — р\.
150

Эта формула объясняет, зачем нужны нормальные
уравнения.
При рфО величина пг-^р-положительна (и, значит,
равна d) тогда и только тогда, когда точка М лежит не
в той полуплоскости, которой принадлежит начало коор-
координат 0.
Вообще говоря, угол ф между двумя прямыми на ев-
евклидовой плоскости определить единственным образом
не так-то просто. Как мы уже замечали (см. лекцию 13),
его безыскусственное определение как угла между на-
направляющими векторами этих прямых дает, вообще го-
говоря, четыре различных значения. Даже если наложить
ограничение 0 ^ ср ^ л (такие углы можно назвать «эле-
меитарно-геометрическими»), то все равно останется вы-
выбор между двумя смежными углами (в сумме дающи-
дающими л).
Пусть рассматриваемые прямые заданы (в прямо-
прямоугольных координатах) уравнениями
(8) Лх+Ву + С = 0 и А1х+В!у + С = 0.
Тогда за угол ф естественно принять угол между на-
направляющими векторами а(В, —Л) и fli(Si, —Ai) (за-
(задающими ориентации прямых, определяющиеся данными
уравнениями; см. лекцию 12). Значит,
(9)
ЛЛ, + ВВ.
= —i=V
Вместе с условием 0с^ф<я это однозначно определит
угол ф. Этот угол — острый при АА\ -f- BB\ > 0, тупой
при AAi -f- ВВ\ < 0 и прямой при АА\ + ВВ\ = 0.
В частности, мы видим, что прямые (8) тогда и толь-
только тогда перпендикулярны, когда
Вместо того, чтобы накладывать на угол ф элемен-
элементарно-геометрическое ограничение 0 ^ ф < я, можно по-
потребовать, чтобы сумма ф + -п-была одним из углов
между векторами а(В, —Л) и tii(Ai, J3|). Поскольку
151

-п-I = —ып ф, эк) равносильно треоовапню,
чтобы имело место равенство
A0) sin ф = — ' ' ~ —'¦
Формулы (9) и A0) однозначно определяют угол ф,
удовлетворяющий условию —л <(р^л. Его абсолют-
абсолютная величина равна элементарно-геометрическому
углу ф.
Еще один способ фиксировать угол ф состоит в том,
что ищется элементарно-геометрический угол, имеющий
тот же тангенс, что и угол, определяющийся по второму
способу. Другими словами, этот угол однозначно опре-
определяется формулой
и условием 0 ^ ф < я.
Последний способ обыкновенно употребляется, когда
прямые заданы уравнениями вида
A2) у = kx + Ь и y = k\X -\-bv
Для таких прямых формула A1) приобретает вид
k, — k
1 + /г/г, -
В частности, мы видим, что прямые A2) тогда и только
тогда
параллельны, ~\ ( k = k\,
\ когда \ ,. ,
перпеноикулярны, ) (, kk\ — — 1.

Лекция 16
ПЛОСКОСТЬ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ.—
расстояние от точки до плоскости. — угол
МЕЖДУ ДВУМЯ ПЛОСКОСТЯМИ, МЕЖДУ ПРЯМОЙ
И ПЛОСКОСТЬЮ, МЕЖДУ ДВУМЯ ПРЯМЫМИ.— РАС-
РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ В ПРОСТРАН-
ПРОСТРАНСТВЕ.—РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ДВУ\\Я ПРЯМЫМИ В
ПРОСТРАНСТВЕ.— УРАВНЕНИЯ ОБЩЕГО ПЕРПЕН-
ПЕРПЕНДИКУЛЯРА ДВУХ СКРЕЩИВАЮЩИХСЯ ПРЯМЫХ В
ПРОСТРАНСТВЕ.
Совершенно аналогично дело обстоит и для плоскостей
в евклидовом пространстве.
Для любого отличного от нуля вектора п(Л, В, С)
множество всех точек М(х, у, z) пространства, для ко-
которых
пМаМ = О,
где Ма(х0, г/о, г0) —некоторая фиксированная точка, яв-
является плоскостью
А(х-Хо) + В(у- г/о) + С (г - г„) = 0.
О векторе п говорят, что он ортогонален этой плоскости.
Он является не чем иным, как вектором, дополнитель-
дополнительным к направляющему бивектору плоскости. Поэтому
с точностью до коллинеарности вектор п однозначно
определен плоскостью.
Любое уравнение плоскости
A) Ax + By+Cz + D = 0
(в прямоугольных координатах) определяет вектор
я (Л, В, С), ортогональный плоскости. Если этот вектор
153

нормирован, т. е. А2 -\- В2 + С2 = 1, и если D ^ О, то
уравнение A) называется нормальным уравнением пло-
плоскости. Обыкновенно нормальное уравнение пишут
в виде
B) л; cos a -+- ycos$ + 2 cos у — р = 0,
где а, р, у— углы между вектором п и векторами базиса
/, /, k, а р ^ 0. Чтобы привести уравнение A) к виду B),
достаточно разделить его на л/А2 -\- В2 + С2, когда D ^ 0
и на — д/л2 4- В'2 + С2, когда D>0.
В «векторной» форме уравнение B) имеет вид
C) пг - р = 0.
Определение 1. Прямая называется перпендикуляр-
перпендикулярной плоскости C), если ее направляющий вектор колли-
неарен вектору п. Пусть Af — точка пересечения прямой,
проходящей через данную точку М и перпендикулярной
плоскости C), с этой плоскостью. Длина d = \NM\ от-
отрезка NM называется расстоянием от точки М до пло-
плоскости C).
Дословно так же, как для расстояния от точки до
прямой, доказывается, что расстояние от точки М до
плоскости C) выражается формулой
d = \nr — p\,
где г — радиус-вектор точки М.
Угол между двумя плоскостями определяется как
угол между ортогональными этим плоскостям вектора-
векторами. Его можно однозначно фиксировать теми же тремя
способами, что и угол между двумя прямыми па плоско-
плоскости, и получить аналогичные формулы. За полной три-
тривиальностью мы не будем тратить на это ни времени, пи
места. Отметим только, что две плоскости
Ax + By + Cz + D = 0 и
тогда и только тогда перпендикулярны (т. е. угол между
ними равен л/2), когда выполнено соотношение
Аналогично, угол между прямой и плоскостью опре*
деляется как дополнение до -т- угла между направляю*
154

щим вектором аA, т, п) прямой и вектором п(А, В, С),
ортогональным плоскости, с дополнительными ограниче-
ограничениями того или иного характера, обеспечивающими един-
единственность. Для него имеет место формула
А1 + Вт + Си
sin ф — уЛ2 + В2 + С2 у/2 + т2 + па •
В частности, мы видим, что прямая и плоскость тогда и
только тогда перпендикулярны, когда
Сп = 0.
Наконец, угол между двумя прямыми в пространстве
определяется по общему правилу (как угол между их
направляющими векторами аA, т, п) и а\ (U, т\, п\)),
и потому для него имеет место формула
Более интересны вопросы о расстоянии от точки до
прямой в пространстве и о расстоянии между прямыми.
Произвольная прямая г = го+/аи произвольная не
лежащая на ней точка М(г) принадлежат одной и толь-
только одной плоскости (а именно плоскости, проходящей
через точку М0(гЛ и имеющей направляющий бивектор
М0М Л а). Расстояние d от точки М до прямой в этой
плоскости и называется расстоянием от точки М до
прямой в пространстве.
По определению, чтобы его вычислить, нужно найти
на прямой такую точку Лг, чтобы прямая NM была пер-
перпендикулярна данной прямой, т. е. чтобы вектор NM был
ортогонален вектору а. Тогда d будет равно длине век-
вектора NM, т.е. будет иметь место равенство
где в[ — некоторый единичный вектор, а следовательно,
и равенство
NM Л а = ad (e{ Л е2),
где а — длина вектора а и е> = —. Так как векторы е\
и е2 единичны и ортогональны (т. е. составляют ортонор-
155

мнрованпое семейство), отсюда следует, что \NM Л а\ —
= ad, т. е. что
С другой стороны, так как точка N принадлежит дай-
дайной прямой, ее радиус-вектор s имеет вид r0 + tta, г i"
t\ — некоторое число. Поэтому NM — г — (ro+
= (г —Го) — t{a, и, значит,
а = (г- го) X а.
Этим доказано, что
rf=»i|(r-ro)Xa|,
или, в координатах, что
d2=
у — t/o г —
т п
х — ха г — г0
— х0 г/ — г/о
1г
Пусть теперь
D)
1 = r0 + sa, т = \
— две непараллельные прямые в пространстве, не лежа-
лежащие в одной плоскости (скрещивающиеся прямые). Ока-
Оказывается, что существует одна и только одна такая пара
чисел (so,tQ), что прямая N0N], проходящая через точки
М)(л0) и iVi(rti), где п0 = га + soa, n1=n + tob, перпен-
перпендикулярна обеим прямым D).
Действительно, прямая NoNi имеет направляющий
вектор п\ — ло= (г\ — га) + tob — soa, и потому она тог-
тогда и только тогда перпендикулярна прямым D), когда
(«1 — ло)а — 0 и («1 — л0)b = 0, т. е. когда
(Г[ — г0) а + toba — s0a2 = 0,
Для завершения доказательства остается заметить, что
эта система линейных уравнений относительно so, *o
имеет единственное решение
(r,
('1
-r0)
— rr.)
a'
ab
a
b
ab
b1
ab
62
аг
ab
(fi
(r\
d*
ab
— r0) a
-ra)b
ab
1Б6

(Знаменатель отличен от нуля, поскольку векторы а \\ Ъ
не коллипсарпы.) ?
Прямая NUN\ называется общим перпендикуляром
скрещивающихся прямых, а длина d=\NuN\\ отрезка
WojVi — расстоянием между этими прямыми.
Название числа d объясняется тем, что, как нетрудно
видеть, для любой точки Мо прямой г = rQ-\- sa и любой
точки Mi прямой г = Г[-\- tb имеет место неравенство
причем равенство достигается только при Мо= \г0 и
M{ = N]. Действительно,
| AUI, |2 = ((г, - г0) + Л - say- =
= {[(ri - г0) + tob - soa] + (l-to)b-(s- s0)a}-' =
= ((л, - no) + (l-to)b-(s- s0) aJ =
= (л, - n0J + [(/ - tQ) b - (s - so) a}2,
ибо
Поэтому
—яо)а = О и (ni — n0) 6 = 0 (теорема Пифагора).
причем равенство имеет место только при s = sq, t —
Заметим теперь, что смешанное произведение
М0М\пЬ не зависит от выбора точек Мо и М\ на прямых
D), поскольку при изменении этих точек к вектору
М0М\ прибавляется линейная комбинация векторов а
и Ь. Но при s = 0, ^=0 это произведение равно
¦— >-
(п —ro)ab, а при s = so и t = to оно равно NqN\ (ayjj) =
= ±\NQN\\ • |аХЬ| (ибо векторы NqNi и аХ& колли-
неарны). Следовательно,
. I (г\ — Го) аЪ |
В координатах
E) d =
157
VI
X
т
т,
h —
/ т
/, nil
п
г
/
г/о
п
п,
z\ -
п
rtl
2
z0
I
h
m I2
m, 1

где
/, tn, n — координаты направляющего вектора а,
/ь /7гь п.\ — координаты направляющего вектора 6,
Xq, Уо, zq — координаты радиус-вектора г0,
xi> У\> Z[ — координаты радиус-вектора г\.
Таким образом, формула E) дает расстояние между
двумя непараллельными прямыми
(РЛ х — х0 у — г/з z — га х — х, у — у, _ г — г.
/
У —Уз
т
от,
я,
A-
(г,
(г,
0 1"о -
-Го)
-Го)
f
а
Ь
trx
а*
аЬ
-A
аЬ
Ь2
-t)a
а2
аЬ
1Ь
аЬ
Ь2
Для прямой N0N\ мы знаем радиус-вектор ее точки
Л^ и направляющий вектор JVoAV Поэтому мы можем
сразу же написать параметрическое уравнение этой пря-
прямой. После очевидных тождественных преобразований
оно приобретает вид
г =
Эту прямую можно охарактеризовать как линию пе-
пересечения двух плоскостей: одной, проходящей через
точку Mq(xq, г/о, zQ) и имеющей направляющий бивектор
а Л NqNi (или, что равносильно, направляющий бивек-
бивектор а Л (а X Ь)), и другой, проходящей через точку
Mi (лгь г/i, 2)) и имеющей направляющий бивектор 6 Л
Л(аХ^), т. е. уравнениями
= 0,
= 0.
х —
/
т
т{
х —
т
ш,
д-о
У
п
я,
1
1
Х\ У
я
я.
1
1
— Уо
от
п
1 «I
— У\ z
от,
п
I «1
/
h
го
п.
т
от,
— 2
«1
от,

Лекция 17
ПАРАБОЛА. —ЭЛЛИПС—ФОКАЛЬНОЕ И ДИРЕК-
ТОРИАЛЬЫОЕ СВОЙСТВА ЭЛЛИПСА — ГИПЕРБО-
ГИПЕРБОЛА. — ФОКАЛЬНОЕ И ДИРЕКТОРИАЛЬНОЕ СВОЙ-
СВОЙСТВА ГИПЕРБОЛЫ
В этой лекции мы начнем изучение трех замечательных
линий на евклидовой плоскости — параболы, эллипса и
гиперболы. Несмотря на нх внешнее несходство, мы уви-
увидим, что они естественным образом объединяются в одну
группу.
Определение 1. Линия на евклидовой плоскости на-
называется параболой, если существует система прямо-
прямоугольных координат х, у, в которой уравнение этой ли-
линии имеет вид
A) У2 = 2рх, где р>0.
Заметим, что мы не даем никакого общего определе-
определения, что такое линия, поскольку никаких теорем о «ли-
ни'лх вообще» мы доказывать не собираемся. Употреб-
Употреблять же термин «линия» мы будем как синоним термина
«подмножество плоскости», но имеющий более узкое зна-
значение, определяющееся исключительно традицией.
«Уравнением» линии мы будем называть произволь-
произвольное соотношение между координатами х и у, выполняю-
выполняющееся тогда и только тогда, когда точка М(х,у) с этими
координатами принадлежит линии. Это не является стро-
строгим определением, а лишь словесным описанием в до-
достаточной мере нечеткого понятия. Поэтому о связи
«уравнений» н «линий» мы не утверждаем ничего: ни
того, что любая линия имеет уравнение, и ни того, что
159

любое уравнение задает линию. Па практике, определяя
конкретную линию (нлн класс линий), мы всегда будем
указывать некоторое ее (их) уравнение.
В принципе можно было бы обойтись без понятий ли-
липни н ее уравнения, по это приведет к непривычным и
утяжеленным формулировкам. Например, определение
1 примет тогда следующий вид; множество точек пло-
плоскости называется параболой, если существует такая си-
система прямоугольных координат х, у и такое число р>0,
что точка М(х, у) тогда и только тогда принадлежит
этому множеству, когда у2 =
= 2рх.
Предусмотренные определе-
определением 1 прямоугольные коорди-
координаты х, у называются канони-
каноническими координатами для
данной параболы, а уравнение
A) — ее каноническим уравне-
уравнением.
I Ось абсцисс системы кано-
х~Р' пических координат является
Парабо.ча. осью симметрии параболы
(ибо при изменении у у знака
уравнение A) не меняется). На этом основании эга
прямая называется осью параболы (иногда фокальной
осью).
При х < 0 точек, удовлетворяющих уравнению A),
не существует. Это означает, что вся парабола располо-
расположена в полуплоскости х ^ 0.
Ось ординат х = 0 парабола (i) пересекает только
в точке 0@,0), которая называется вершиной параболы.
Из этих двух замечаний непосредственно следует, что
ось параболы является ее единственной осью симметрии.
Отношение
х V*
стремится к нулю, когда л:->+°о. Это означает, что, на-
начиная с достаточно большого х, парабола содержится
в любом симметричном угле, охватывающем положи-
положительную полуось оси абсцисс. Наглядно это означает, что
если смотреть вдоль этой полуоси, то парабола будет ка-
казаться сходящейся, хотя на самом деле она сколь угодно
160

далеко отходит от оси абсцисс (|/у|->+оо, когда *-+¦
—*¦ +сю).
Подчеркнем, что ось и вершина параболы однозначно
характеризуются чисто геометрически, без обращения
к каким-либо координатам: ось есть ось симметрии, а
вершина — общая точка оси и параболы. Это означает,
что оси системы канонических координат также одно-
однозначно характеризуются параболой: ось абсцисс — как
ее ось, а ось ординат —как прямая, проходящая чсро.»
вершину перпендикулярно оси. Положительное направ-
направление оси абсцисс также определяется параболой (как
направление, задающее полуплоскость, в которой распо-
расположена парабола).
Этим доказано, что, с точностью до изменения ори-
ориентации оси ординат (т.е. знака у координаты у), кано-
канонические координаты однозначно определены параболой.
Поэтому все объекты, определяющиеся с помощью
канонических координат, но не зависящие от ориентации
оси ординат, будут инвариантно (т. е. без какого-либо
произвола) связаны с параболой. К ним относятся:
число р, называемое фокальным параметром,
число у, называемое фокусным расстоянием,
точка (¦—, 0J, называемая фокусом,
прямая х= — у, называемая директрисой.
Легко видеть, что парабола является множеством
(или, как предпочитают но старинке говорить, «геомет-
«геометрическим местом») всех точек, равноудаленных от фо-
фокуса и директрисы. Действительно, условие равноуда-
лениости
после возведения в квадрат и приведения подобных чле-
членов превратится в уравнение A), и, наоборот, если у2 =
= 2рх, то это условие, очевидно, выполнено. ?
Определение 2. Линия на евклидовой плоскости на-
называется эллипсом, если существует система прямо-
прямоугольных координат х, у, в которых уравнение этой
6 М М Постников 161

линии имеет вид
B)
-лг + тг=1. где a>ft>0.
Координаты, в которых уравнение эллипса имеет вид
B), называются каноническими (для этого эллипса), а
само уравнение B) называется каноническим уравне-
уравнением эллипса.
При Ь = а эллипс имеет уравнение
C) х2 + у2 = а2,
являющееся, очевидно, уравнением окружности радиуса
а с центром в точке 0@,0). Следовательно, окружность
является частным случаем
эллипса.
При b < а сравним эл-
эллипс B) с окружностью C).
Пусть k = — .Если точка с
координатами х, у принад-
а х лежит окружности C), то
точка с координатами х, ky
будет принадлежать эллип-
су B) (^ибо -р. + -5-^=
х2 + у2
= г2— =
Эллипс.
C) преобразованием
б
= 1 ) и наоборот.
Это означает, что эллипс B)
получается из окружности
() рр (х, у) н-* (х, ky), геометрически
представляющим собой сжатие плоскости к оси абсцисс
в отношении k. Это не только дает вполне удовлетвори-
удовлетворительное представление о форме эллипса, но одновремен-
одновременно и доказывает (поскольку k < 1), что, за исключением
точек ±(а, 0), все точки эллипса B) лежат внутри
окружности C).
При Ь = а любая прямая, проходящая через точку
О@,0), будет осью симметрии эллипса. Так как в урав-
уравнение B) входят только квадраты координат, то коор-
координатные оси будут осями симметрии эллипса и при лю-
любых а и Ь. Являясь точкой пересечения осей симметрии,
точка О@,0) будет центром симметрии эллипса.
Оказывается, что при Ь < а эллипс никаких других
осей симметрии не имеет. Действительно, любая ось сим-
симметрии эллипса проходит через его центр симметрии
162

0@,0) и, значит, является осью симметрии окружно-
окружности C). Поэтому симметрия в этой оси должна сохра-
сохранять пересечение окружности C) и эллипса B), состоя-
состоящее, как мы выяснили, из двух точек (±а,0). Следова-
Следовательно, эта симметрия либо оставляет на месте обе
точки (а, 0) и (—а, 0), либо их переставляет.
В первом случае осью симметрии является ось абсцисс
системы канонических координат, а во втором —ось ор->
динат.
Этим доказано, что при Ь < а оси системы канониче-
канонических координат однозначно характеризуются эллипсом,
т. е. что с точностью до знаков канонические координаты
единственны.
Поэтому при Ь < а все объекты, определяющиеся
с помощью канонических координат, но не зависящие
от ориентации координат осей (не меняющиеся при про-
произвольных изменениях знаков координат), будут инва-
инвариантно связаны с эллипсом.
К ним относятся:
число а, называемое большой полуосью;
число Ь, называемое малой полуосью;
число c — -\ja2 — Ь2, называемое линейным эксцент-
эксцентриситетом;
число 2с, называемое фокусным расстоянием;
число е = — = л/1 5" > называемое (числовым)
эксцентриситетом (очевидно, что 0 ^ е < 1);
число р = —, называемое фокальным параметром
(или просто параметром);
ось абсцисс, называемая большой (или фокальной)
осью;
ось ординат, называемая малой осью;
точка О@,0), называемая центром;
точки (±а, 0) и (О, ±Ь), называемые вершинами;
точки (±с, 0), называемые фокусами;
при еФО прямые *=± —, называемые директри-
сами.
Фокус (с, 0) и директриса х = -2- называются пра-
выми, а фокус (—с, 0) и директриса х = — -j — левыми.
Фокус и директриса называются одноименными, если
6* 153

они оба — правые или оба — левые. Ясно, что это отно*
шение между фокусом и директрисой геометрически ин«
вариантно, тогда как свойство фокуса (директрисы)
быть правым (ой) или левым (ой) зависит от ориента-
ориентации оси абсцисс.
Для окружности b — а, с = О, е = О, р = а, фокусы
совпадают с центром, а директрисы не определены.
Отрезок, соединяющий точку М(х, у) эллипса с фо-
фокусом, называется фокальным радиусом этой точки,
Имеется два фокальных радиуса — правый и левый.
Для длины т\ левого фокального радиуса имеет ме-
место формула
= е?х2 + 2хеа + а2 = (ех + аJ.
Поскольку |*| ^ а и, значит, \ех\ < а, отсюда следует,
что
Г! = а + ex.
Аналогично доказывается, что для длины гг правого фо-
фокального радиуса справедлива формула
г2 = а — ex.
Следовательно,
Г\-\-г2 = 2а.
Обратно, пусть М(х, у) —такая точка плоскости, что
сумма ее расстояний от фокусов эллипса равна 2а:
2а.
Уединяя один корень, возводя в квадрат, приводя подоб-
подобные члены, еще раз уединяя корень и снова возводя в
квадрат, мы после очевидных преобразований получим
уравнение B). Этим доказано, что эллипс B) является
геометрическим местом точек, сумма расстояний которых
от фокусов равна 2а.
Это свойство эллипса называется его фокальным
свойством.
164

Расстояние точки М(х, у) эллипса B) до левой ди-
ректрисы х=— — равно
а до правой — j
Обратно, если
эавно
/(х±
а
е
с)
_\ех
| ех
2 1 „2
+ а
— а
е
= е
е '
е
е
то
и потому
A - е2) л:2 + г/2 = а2 - с2,
что, очевидно, равносильно уравнению B). Этим дока-
доказано, что эллипс B) является геометрическим местом
точек, отношение расстояний которых от фокуса до одно-
одноименной директрисы равно е.
Это свойство эллипса называется его директориаль-
ным свойством. Оно вполне аналогично соответствую-
соответствующему свойству параболы, в которое оно превращается
при е=1. На этом основании удобно считать параболу
своего рода эллипсом с эксцентриситетом е= 1.
Определение 3. Линия на евклидовой плоскости на-
называется гиперболой, если существует система прямо-
прямоугольных координат х, у, в которых уравнение этой ли-
линии имеет вид
W ^--^- = 1, где а>0, Ь>0.
Координаты, в которых уравнение гиперболы имеет
вид D), называются каноническими (для этой гипербо-
гиперболы), а само уравнение D) называется каноническим
уравнением гиперболы.
При Ь = а гипербола называется равнобочной. В ко-
ординатах _
и = ^~ (х — у), v = ~ (х + у)
(также, очевидно, прямоугольных) ее уравнение
E) jc2-«/2 = a2
165

приобретает вид
uv = 2а2,
откуда следует, что по отношению к координатам и и v
равнобочная гипербола представляет собой известный
из школы график обратной пропорциональ-
пропорциональной зависимости. В координатах х и у мы полу-
получаем, следовательно, тот же график, но повернутый на i
При «->±оо (а также при у-»-±оо) график обрат-
обратной пропорциональной зависимости все теснее прибли-
приближается к оси абсцисс v = 0 (соответственно к оси орди-
ординат и = 0), т. е., как говорят, имеет эти оси своими асим-
асимптотами (двусторонними). В канонических координатах
х, у эти асимптоты являются
биссектрисами у == х ау = —х
координатных углов.
Чтобы перейти от равнобоч-
равнобочной гиперболы E) к произ-
произвольной гиперболе D), доста-
достаточно произвести ежа i ие
(х, y)t—^(x, ky) к оси абсцисс
с коэффициентом k=— (заме-
Гнпербола. ТИМ( чт0> в отличие от случая
эллипса, этот коэффициент
вполне может быть теперь больше единицы, так что
наше «сжатие» может быть на самом деле растяже-
растяжением). Это дает вполне удовлетворительное представле-
представление о форме гиперболы.
В частности, мы видим, что гипербола состоит из двух
связных частей, получающихся, соответственно, при х >•
> а и при х < —а, и обладает двумя асимптотами с
Ь Ъ
уравнениями у — — х и у = х, располагаясь в двух
вертикальных углах, образованных ими.
Эти части называются ветвями гиперболы, соответ-
соответственно — левой и правой.
Так как в уравнение D) входят только квадраты ко-
координат, то координатные оси будут осями симметрии
гиперболы, а точка 0@,0) будет ее центром симметрии.
Покажем, что гипербола никаких других осей сим-
симметрии не имеет (в том числе и при Ь = а). Действи-
Действительно, любая ось симметрии гиперболы проходит через
166

ее центр симметрии и потому является осью симметрия
окружности
х2 + у2 = а2.
Но из сказанного выше непосредственно вытекает, что
гипербола D) пересекает эту окружность в двух точках
(±а, 0). Поэтому рассматриваемая симметрия либо
оставляет каждую из этих точек на месте (и, значит,
является симметрией относительно оси абсцисс), либо
переставляет эти точки (и, значит, является симметрией
относительно оси ординат).
Тем самым доказано, что оси системы канонических
координат однозначно определены гиперболой, т. е. что
с точностью до знаков канонические координаты един-
единственны. Поэтому все объекты, определяющиеся с по-
помощью канонических координат, но не меняющиеся при
изменении их знаков, инвариантно связаны с гипербо-
гиперболой. К ним относятся-
число а, называемое действительной полуосью;
число Ь, называемое мнимой полуосью;
число с = л/а2 + Ь2, называемое линейным эксцент-
эксцентриситетом;
чясло 2с, называемое фокусным расстоянием;
1 +-^г » называемое (числовым)
эксцентриситетом (очевидно, что 1 < е <С оо);
число р = —, называемое фокальным параметром;
ось абсцисс, называемая действительной (или фо-
4сальной) осью;
ось ординат, называемая мнимой осью;
точка 0@,0), называемая центром;
точки (±а, 0), называемые вершинами;
точки (±с, 0), называемые фокусами;
прямые х = ± —, называемые директрисами.
Левые, правые и одноименные фокусы, директрисы
и фокальные радиусы определяются для гиперболы точ-
точно так же, как для эллипса. Формулы
для квадратов длин фокальных радиусов также сохра-
сохраняются (вместе с доказательством). Однако теперь из-
167

влечение корней следует проводить с осторожностью,
поскольку для гиперболы \ех\ > |л'| ^а и потому
а-\-ех при х > О,
— а — ех при х < О
— а + ех при л; > О,
а — ех при л: < 0.
Следовательно,
2а при х > 0,
— 2а при х < 0,
т. е. для всех Л'
1 /"i — r-2 f == 2а.
Обратно, если абсолютная величина разности рас
стояний некоторой точки М(х, у) от фокусов гиперболы
равна 2а, т. е. если
| -yj(x — cf -\- у2 — У(л; + сJ -f- у2 | = 2а,
то после практически тех же преобразований, что и в
случае эллипса, мы получим для х и у соотношение D),
Этим доказано, что гипербола D) является геометриче-
геометрическим местом точек, абсолютная величина разности рас-
расстояний которых от фокусов равна 2а (фокальное свой-
свойство гиперболы). ?
Из формул для г\ и гч дословно так же, как для
эллипса, выводится директориальное свойство гипербо-
гиперболы, т. е. что гипербола является геометрическим местом
точек, отношение расстояний которых от фокуса до одно-
одноименной директрисы равно е.
Таким образом, эллипс, парабола и гипербола могут
быть получены одной и той же «директориалыю-фокаль-
ной» конструкцией. Все различие будет лишь в величине
эксцентриситета е.

Лекция 18
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПСОВ, ПАРАБОЛ И ГИПЕРБОЛ,
ОТНЕСЕННЫЕ К ВЕРШИНЕ. —ПОЛЯРНЫЕ КООРДИ-
КООРДИНАТЫ. — УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПСОВ, ПАРАБОЛ И ГИ-
ГИПЕРБОЛ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ.—АФФИН-
КООРДИНАТАХ.—АФФИННЫЕ ЭЛЛИПСЫ, ПАРАБОЛЫ, ГИПЕРБОЛЫ.—АЛГЕ-
ГИПЕРБОЛЫ.—АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ.—ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
И СВЯЗАННЫЕ С НИМИ ТРУДНОСТИ. — КОМПЛЕКС-
КОМПЛЕКСНАЯ АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЕЕ НЕДОСТАТОЧ"
НОСТЬ.
Единство эллипсов, парабол и гипербол можно прояс-
прояснить и с другой точки зрения.
Рассмотрим для произвольной гиперболы
х2 и8
¦j-r — |г=1. а>0, 6>0,
ее уравнение в координатах
х' = х — а, у' = у,
получающихся при переносе начала канонических коор-
координат в правую вершину гиперболы. Это уравнение
имеет вид
(*' + аI у'* _ 1
т. е. вид (мы убираем штрихи)
A) у2 = 2рх + qx2,
где <7 = —= е2— 1 > 0 (а Р — —» как и раньше).
Аналогичный перенос начала координат в леву» вер-
вершину (—а, 0) эллипса приведет, как нетрудно видеть, его
169

уравнение к тому же виду A), причем q будет выра-
выражаться формулой
q e*l
и, значит, будет удовлетворять неравенствам —1 ^ q <3
<0.
Наконец, при «7 = 0 мы получим из A) каноническое
уравнение параболы.
Таким образом, все гиперболы, параболы и эллипсы
могут быть заданы одним и тем же уравнением A), где
р > 0, a q > 0 для гипербол, q = 0 для парабол и —1 ^
^ q <С 0 для эллипсов (при q = —1 получается окруж-
окружность).
Если в уравнении A), оставляя р неизменным, ме-
менять <7, то при q очень большом получится сильно «рас-
«раскрытая» гипербола, прижатая к оси ординат. При умень-
уменьшении q ветви гиперболы постепенно смыкаются, причем
левая ветвь отодвигается все дальше влево (абсцисса ле-
левой вершины равна ~), пока, наконец, при q = 0
левая ветвь не исчезнет («уйдет в бесконечность»), а
правая не превратится в параболу. При дальнейшем
уменьшении q парабола сомкнётся в сильно вытянутый
эллипс (с правой вершиной в точке с абсциссой — j,
который, постепенно округляясь, перейдет при q = —1
в окружность.
Интересно посмотреть, что получится, если в уравне-
уравнении A) взять q <—1. С этой целью введем новые ко-
координаты
В этих координатах линия A) имеет уравнение (мы сно-
снова отбрасываем штрихи)
т. е. уравнение
где а2 = — —, Ь2 = -^-. Поскольку b < а, это — кано-
каноническое уравнение эллипса. Однако теперь эллипс вы-
вытянут в вертикальном направлении (вдоль старой оси
170

ординат). Его фокальный параметр равен /—— , а экс-
эксцентриситет равен дЛ + <7~'.
Мы видим, таким образом, что при изменении q от
— 1 до —оо окружность, изменяясь в размерах, посте-
постепенно вытягивается в вертикальном направлении, одно-
одновременно прижимаясь к оси ординат (старой). В «пре-
«пределе» при q-*—оо получается точка.
Обратим внимание, что при изменении q от —1 до
¦—оо меняется и фокальный параметр, который при
q <—1 равен не р, а :Р . Поэтому при q-*-—оо не
V— <?
получается параболы (хотя и е-*-1), поскольку фокаль-
фокальный параметр стремится к нулю.
Согласно первому закону Кеплера планеты движутся
по эллипсам (а кометы — по параболам и гиперболам),
в одном из фокусов которых находится Солнце. Поэтому
для астрономических нужд эллипсы, параболы и гипер-
гиперболы удобно задавать в так называемых полярных коор-
координатах. Опишем прежде всего эти координаты.
Полярные координаты задаются
а) некоторой ориентацией плоскости (обычно «про-
.тив часовой стрелки»);
б) некоторой точкой О, называемой полюсом;
в) некоторой ориентированной прямой, проходящей
через точку О и называемой полярной осью (обычно по-
полярная ось выбирается горизонтальной с ориентацией
«слева направо»).
Ориентация плоскости и ориентация полярной оси
позволяют однозначно сопоставить каждому вектору
г Ф 0 так называемый «ориентированный
угол» ф от оси до вектора, принимающий
значения от —п (исключительно) до л
(включительно). Если г направлен по
оси, то ф = 0; если г имеет противопо-
противоположное направление, то ф = л; если г ¦
направлен в положительную сторону
полярной оси («вверх»), то 0 < ф < л, а в противном
случае — л < ф < 0.
Вместе с длиной г вектора г этот угол ф однозначно
определяет вектор г. Числа / и ф для вектора г = ОМ
и называются полярными координатами точки М (число
171

г — полярным радиусом, а угол ф — полярным углом).
При М = О угол ф считается имеющим какое угодно зна-
значение (а г — 0).
Если х и у — прямоугольные координаты, согласован-
согласованные с полярными координатами г, ф, т. е.
а) задающие данную ориентацию плоскости;
б) имеющие точку О началом координат;
в) имеющие осью абсцисс полярную ось,
то
SHiq> = -
(ясно, что последние два уравнения однозначно опреде-
определяют угол ф).
Пусть теперь
B) г/2 = 2рх
— произвольная парабола. Согласно директориальному
свойству параболы расстояние г произвольной ее точки
до фокуса равно дс + у. Но это расстояние является
полярным радиусом полярной системы координат, согла-
согласованной с прямоугольными координатами х—-j- У>
получающимися из канонических координат переносом
начала координат в фокус. Поэтому
X — 2 == Г C0S(P>
что вместе с равенством г —* + -|- дает соотношение
г — р — r соэф,
т. е. соотношение
Обратно, если выполнено C) и .v — ^ —rcoS(P»
«= г sin ф, то
X + -j = Г COS ф + р = Г
172

и, значит (по директориальному свойству), точка
М(х,у) принадлежит параболе B). Таким образом, C)
является уравнением параболы B) в полярных коорди-
координатах г, <р.
Для эллипса
D)
мы поместим полюс полярных координат в левый фокус,
а полярную ось по-прежнему направим по оси абсцисс.
Тогда согласованными с г и ф прямоугольными коорди-
координатами будут координаты х+ с и у, так что, в частности,
будет иметь место равенство * + с = г cos ф. С другой
стороны, полярным радиусом будет левый фокальный
радиус r\ = a -f- ex. Поэтому
г = а + е (— с + г cos <р) = р + er cos ф
(ибо а — ес = р), т. е.
Г==
l-ecos<p '
Обратно, если выполнено E) и
= r sin ф, то
= rcos<p,
а
а р + er cos <в г
и потому (по директориальному свойству эллипса) точка
М{х, у) принадлежит эллипсу D). Таким образом, E)
является уравнением эллипса D) в полярных коорди»
натах г, ф.
Наконец, для гиперболы
173

мы поместим полюс в правый фокус (с, 0) и ограничим-
ограничимся лишь правой ветвью (х>0). Тогда будут иметь ме-
место равенства
г = ex — а
х — c = r cos ф,
из которых следует, что
* ' 1 — е cos ф
По директориальному свойству гиперболы из G) обрат*
но следует F) (для х = с + г cos ф > 0 и у = г sin ф),
Таким образом, G) является уравнением правой ветви
гиперболы F) в полярных координатах г, ф.
Мы видим, что эллипс, парабола и гипербола (точ«
нее, одна ее ветвь) могут быть заданы в полярных коор-
координатах одним и тем же уравнением
W т== 1 - е cos <р '
что снова подчеркивает единство всех этих линий.
При этом полюс координат г, ф находится для пара-
параболы в ее единственном фокусе, для ветви гиперболы —
в фокусе, одноименном с этой ветвью, а для эллипса —
в любом из фокусов. Полярной осью во всех трех слу-
случаях является фокальная ось рассматриваемой линии,
а ее ориентацией — для параболы каноническая ориен-
ориентация, а для ветви гиперболы и для эллипса — та, в ко-
которой данный фокус следует за одноименной вершиной.
Ориентация же плоскости значения не имеет. Таким об-
образом, для параболы и гиперболы есть две системы
полярных координат (отличаюшиеся ориентацией пло-
плоскости, т. е. знаком угла ф), в которых имеет место урав-
уравнение (8), а для эллипса — так все четыре (отличаю-
(отличающиеся, кроме того, выбором фокуса в качестве полюса).
Причиной этому служит наличие у эллипса двух осей
симметрии, а у параболы и ветви гиперболы — одной.
Перейдем теперь от евклидовой плоскости к аффин-
аффинной, т. е. снова вернемся к аффинной геометрии.
Напомним, что любая евклидова плоскость является
аффинной и что любую аффинную плоскость можно мно-
многими различными способами превратить в евклидову
плоскость, т. е., как говорят, ввести в нее евклидову
174

структуру. В частности, это можно сделать так, чтобы
любая наперед заданная аффинная координатная си-
система превратилась в евклидову систему прямоуголь-
прямоугольных координат.
Определение 1. Линия на аффинной плоскости назы-
называется аффинным эллипсом, если в плоскость можно
ввести евклидову структуру, относительно которой дан-
данная линия будет эллипсом в смысле определения 2 лек-
лекции 17. Аналогично определяются аффинная парабола и
аффинная гипербола.
Таким образом, линия на аффинной плоскости яв-
является эллипсом, если существуют такие координаты х,
у, что уравнение этой линии имеет вид
х2 и2
^ + 4=1.
а2 Ь2
Но тогда в координатах
х = — , у — х
а v b
уравнение этой линии приобретает вид (мы убираем
штрихи)
(9) х2 + у2 = 1.
Этим доказано, что для любого аффинного эллипса су-
существует система аффинных координат х, у, в которой
его уравнение имеет вид (9). Мы будем называть это
уравнение и соответствующие координаты аффинно-ка-
ноническими.
Введя в аффинную плоскость евклидову структуру,
в которой аффинно канонические координаты прямо-
прямоугольны, мы получим окружность радиуса 1 («единич-
(«единичную окружность»). Таким образом, линия на аффинной
плоскости тогда и только тогда является эллипсом, когда
в плоскость можно ввести евклидову структуру, относи-
телыю которой эта линия будет единичной окружностью.
Аналогично, для любой гиперболы существуют
аффинные координаты, в которых она является «еди«
ничиой гиперболой», т. е. имеет уравнение
и для любой параболы — аффинные координаты, в кото-
которых она является «единичной параболой»
У- = 2х.
175

Эти уравнения и соответствующие координаты назы-
называются аффинпо-ка ионическими.
Напомним, что многочленом F(x,y) от двух перемен-
переменных х и у называется сумма одночленов вида ax"yq, где
а — некоторое число. Если а ф О, то говорят, что одно-
одночлен axpyq входит в данный многочлен. Степенью одно-
одночлена ах"у4 называется число р -j- а, а степенью много-
многочлена F(x,y) —наибольшая из степеней входящих в не-
него одночленов.
Ясно, что при любой обратимой линейной замене пе-
переменных, т. е. при замене вида
х =спх-\- с12у + сп,
у' — спх + с22у + с23.
где
многочлен от х, у перейдет в многочлен от х', у' той же
степени (возрасти степень не может, а в силу обратимо-
обратимости не может и уменьшится).
Определение 2. Алгебраической линией п-го порядка
на аффинной (или евклидовой) плоскости называется
множество точек, координаты (х, у) которых в некоторой
(а потому и в любой) аффинной координатной системе
удовлетворяют соотношению вида
(Ю) F(x,y) = 0,
где F(x,y) —многочлен степени п. Это соотношение на-
называется уравнением алгебраической линии.
Некоторая неуклюжесть этого определения объяс-
объясняется тем, что по причинам, указанным на стр. 159—160,
мы избегали в нем употребления терминов «линия» и
«уравнение линии».
Следует подчеркнуть, что в связи с определением 2
возникают существенные трудности. Например, впелне
возможно, что одна и та же линия в одной и той же ко-
координатной системе будет иметь дза непропорциональ-
непропорциональных уравнения, быть может, даже различных степеней.
Поэтому о порядке алгебраической линии можно гово-
говорить лишь тогда, когда выбрано ее уравнение A0).
Линии первого порядка задаются уравнениями вида
Лх + Ву + С = 0,
176

где хотя бы один из коэффициентов А или В отличен от
нуля. Как мы знаем (см. лекцию 6), это в точности все
прямые и только они.
Линии второго порядка должны иметь уравнение
вида
A1) аих2 + 2а12ху + а22у2 + 2аих + 2a2iy + an = О,
где хотя бы один из коэффициентов ац, ai2, а22 отличен
от нуля.
Примеры линий второго порядка.
[1] Линия с уравнением
Х2 Ц_ у2 _ 1 = 0.
Это известный нам эллипс.
[2] Линия с уравнением
х2 + У2 + 1 = 0.
Эта линия называется мнимым эллипсом.
[3] Линия с уравнением
Х2 _[- у2 = 0.
Это пара мнимых пересекающихся прямых.
[4] Линия с уравнением
х2 — у2 - 1 = 0.
Это гипербола.
[5] Линия с уравнением
х* — j/2 = 0.
Это пара пересекающихся прямых.
[6] Линия с уравнением
у2 — 2х = 0.
Это парабола.
[7] Линия с уравнением
У2- 1=0.
Это пара различных параллельных прямых.
[8] Линия с уравнением
У2 + 1 - 0.
Это пара мнимых параллельных прямых.
177

[9] Линия с уравнением
Это пара совпадающих прямых.
Определение 3. Перечисленные девять уравнений на-
называются аффинно каноническими уравнениями линий
второго порядка.
Для уравнений [1], [4]. [5], [6], [7] названия соот^
ветствующих линий вполне понятны (хотя можно сомне-
сомневаться, соответствует ли, например, пара пересекающих*
ся прямых интуитивному представлению о линии). На-
Название же линии [9] вполне условно и служит лишь для
того, чтобы напомнить о том, что ее уравнение имеет
степень 2; на самом же деле (как множество точек) эта
линия является прямой. Столь же условны названия
остальных «линий», которые служат лишь для того, что*
бы указать па сходство их уравнений с уравнениями со*
ответствующих «действительных» линий. Линия [2] яв-
является пустым множеством, линия [3] состоит из одной
точки, а линия [8] снова является пустым множеством.
Мы видим, таким образом, что для линий второго по-
порядка алгебраическое рассмотрение не адекватно гео-
геометрическому; при переходе от уравнений к линиям те-
теряются алгебраические аналогии и смазывается общая
картина (что проявляется, скажем, в том, что разные
уравнения дают — в качестве соответствующей линии —
одно и то же пустое множество).
Хотелось бы поэтому усовершенствовать «геометрию»
с тем, чтобы она точно отражала «алгебру».
Для этого, конечно, нужно ввести «мнимые» точки
с комплексными (вообще говоря, невещественными) ко-
координатами На первый взгляд кажется, что для этого
мы располагаем всеми необходимыми понятиями Дейст-
Действительно, мы уже неоднократно отмечали, что понятие
линейного пространства имеет смысл над любым полем
К и, в частности, над полем С комплексных чисел. В ак-
аксиомах 10°, 11° аффинного пространства основное поле
фигурирует только косвенно, и, чтобы получить понятие
аффинного пространства над полем К (и, в частности,
понятие комплексного аффинного пространства), надо
только в этих аксиомах предполагать ассоциированный
линеал Т линеалом над полем К (соответственно над
полем С). Вся аффинная теория (за исключением во-
178

просов, связанных с ориентацией) полностью остается
в силе и для случая любого поля .<• Евклидова же гео-
геометрия на этот случай не переносится (по крайней мере
непосредственно), потому что аксиома 15° положитель-
положительности имеет смысл только над полем IP.
Однако переход в теории линий второго порядка
к комплексной аффинной геометрии имеет свои недо-
недостатки. Рассмотрим, например, линии [1] и [2] И гео-
геометрически, и алгебраически они различны. Тем не ме-
менее комплексная замена координат х'=х, у' = iy пере-
переводит одну из них в другую.
Дело здесь в том, что в рамках комплексной геомет-
геометрии нет места понятию «вещественной» точки все точки
в ней совершенно равноправны Для того же, чтобы со-
сохранить контакт с геометрией, нужно уметь отличать
обычные («вещественные») точки от новых («мнимых»),
которые мы добавляем только в силу суровой алгебраи-
алгебраической необходимости. Поэтому, хотя координаты и мо-
могут теперь принимать любые комплексные значения, но
формулы перехода от одной системы координат к другой
должны иметь вещественные коэффициенты (иначе точ-
точка с вещественными координатами может стать «мни-
«мнимой», и наоборот).
Соответствующим аксиоматическим построением мы
займемся в следующей лекции.

Лекция 19
ВЕЩЕСТВЕННО-КОМПЛЕКСНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ПРО-
ПРОСТРАНСТВА. — ИХ РАЗ МЕРНОСТЬ. — ИЗОМОРФИЗМ
ВЕЩЕСТВЕННО-КОМПЛЕКСНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ПРО-
ПРОСТРАНСТВ. — КОМПЛЕКСИФИКАЦИЯ. - ВЕЩЕСТ-
ВЕЩЕСТВЕННО-КОМПЛЕКСНЫЕ АФФИННЫЕ ПРОСТРАН-
ПРОСТРАНСТВА. — КОМПЛЕКСИФИКАЦИЯ АФФИННЫХ ПРО-
ПРОСТРАНСТВ. — ВЕЩЕСТВЕННО-КОМПЛЕКСНЫЕ ЕВ-
ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. — ВЕЩЕСТВЕННЫЕ
МНИМЫЕ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЛИНИИ ВТОРОГО
ПОРЯДКА.
Определение 1. Вещественно-комплексным линейным
пространством называется комплексное (т. е. над полем
С) линейное пространство У, в котором задано подмно-
подмножество У^, элементы которого называются веществен-
вещественными векторами, и которое обладает следующими свой-
свойствами (мы продолжаем нашу общую нумерацию
аксиом):
16°. Если a, 6 е= FR. то с + Ь е= У*.
17°. Если а е Ук, то ka e FR для любого веществен-
hofo числа k.
18°. Для любого вектора се У существуют такие
векторы а, Ь е У^, что
A) c = a + ib.
19°. Если a + /ft = 0, где с, ie^, то а = 0 и Ь = %
Из аксиомы 19° следует, что предусмотренное аксио-
аксиомой 18° разложение A) единственно. Участвующий в
нем вектор а называется вещественной частью вектора
с и обозначается символом Re с. Аналогично, вектор Ь
называется мнимой частью вектора с и обозначается
180

символом Imc. Условно аксиому 18° можно записать
мнемонической формулой У — У l>i -\- if'*.
Аксиомы 16° и 17° означают, что подмножество FR
является линейным пространством над полем R веще-
вещественных чисел. На этом основании Уи называется ве-
вещественным подпространством пространства У.
Пусть п — размерность линейного пространства У?-.
Чтобы подчеркнуть, что речь идет о размерности лине-
линеала над R, мы будем обозначать ее символом dimRFR.
Аналогично, размерность линеала У как линеала над
С мы обозначим через dimcF.
Предложение 1. Имеет место равенство
Любой базис линеала Уы является базисом линеала У.
Доказательство. Пусть в\, ..., еп — базис ли-
линеала У-, и пусть с = а-{- ib e7. Тогда, если а —
= а]в\ + ••• + аПвп и 6 = &'«i+ ... +Ьпе„, то с —
= (a1 -f ibl)e{ + ... + («" 4- ibn)en. Следовательно, семей-
семейство векторов в\, ..., еп полно в У.
С другой стороны, если схех -+-... + с"еп = 0, где с1 =
= а1 + ibx сп = ап + ibn, то (а'е, + ¦ • • + апе„) +
-f i(bxex + ... + bnen) — 0 и по аксиоме 19° а'е, + • • •
... + апеп = 0 и &'<?! + ¦ • • + Ьпе„ = 0. Поэтому а1 = 0,...
..., а" = 0, bl = 0, ..., Ьп = 0 и, значит, с1 = 0, ...
..., с" = 0. Следовательно, семейство в\, ..., еп линейно
независимо в У. ?
Базисы в У, являющиеся базисами в yR, мы будем
называть вещественными базисами. Они обладают тем
свойством, что в них координаты вектора сеУ тогда и
только тогда вещественны, когда вектор с веществен.
Примером вещественно-комплексного линеала может
служить линеал С", в котором вещественными вектора-
векторами считаются последовательности, состоящие из вещест-
вещественных чисел. Для этого линеала
Определение 2. Два вещественно-комплексных линеп-
ла У и У\ называются изоморфными, если существует
их изоморфизм У-+У\ как линеалов над С, отобра-
отображающий вещественное подпространство Y* на вещест-
181

венное подпространство У* (и потому индуцирующий
изоморфизм Ум->уТ).
Согласно сказанному выше каждый вещественный
базис еи ..., еп определяет изоморфизм вещественно-
комплексного линеала У на вещественно-комплексный
линеал С Таким образом, как и следовало ожидать,
все вещественно-комплексные линеалы одной и той же
размерности изоморфны. ?
Любой вещественно-комплексный линеал У мы мо-
можем рассматривать просто как лцнеал над С , не обра-
обращая внимания на то, вещественны или нет его векторы.
Эту операцию перехода от вещественно-комплексного ли-
линеала к комплексному мы будем называть игнорирова-
игнорированием вещественности.
Обратно, в каждый комплексный линеал мы можем
«ввести вещественность», выбрав произвольный базис
в\, ..., е„ и объявив вещественными векторы, имеющие
в этом базисе вещественные координаты. Ясно, что ак-
аксиомы 16°—19° окажутся при этом выполненными.
Очевидно, что это построение, примененное к двум
разным базисам, тогда и только тогда дает одно и то
же вещественно-комплексное пространство, когда матри-
матрица перехода от одного базиса к другому вещественна
(состоит из вещественных чисел).
Более интересно, что для любого вещественного ли-
линейного пространства Ж существует вещественно-комп-
вещественно-комплексное пространство У, вещественное подпространство
У* которого совпадает с пространством Ж (или, точнее,
естественно ему изоморфно). Конструкция этого прост-
пространства У полностью повторяет известную конструкцию
поля комплексных чисел (и переходит в нее при 3JP=R).
За векторы пространства У мы примем пары вида
(а, Ь), где а, &е/Р. Сложение таких пар мы определим
формулой
(а,Ь) + (аи 6,) = (а + аь & + &i),
а умножение их на комплексные числа — формулой
(k + it) (а, Ь) = (ka — tb, kb + la).
Автоматическая проверка показывает, что в результате
мы получаем линеал У над полем С.
Чтобы превратить его в вещественно-комплексный
линеал, достаточно объявить вещественными векторами
182

пары вида (а, 0). (Аксиомы 16°—19° проверяются авто-
автоматически; например, аксиома 17° следует из того, что
kb + la = 0 при 6 = 0 и / = 0, а аксиома 18° — из того,
что @, 6) = i(b, 0). Отождествив каждую пару (а, 0)
с соответствующим вектором aeF, мы и получим, что
jr = rR. а
Построенное пространство У называется комплек-
сификацией пространства Ж. Оно обозначается симво-
символом Жг.
Перейдем теперь к пространствам точек.
Определение 3. Вещественно-комплексным аффинным
пространством называется комплексное аффинное прост-
пространство «9^, в котором
а) зафиксировано некоторое подмножество s?s, эле-
элементы которого называются вещественными точками;
б) ассоциированное линейное пространство У являет-
является вещественно-комплексным пространством,
причем выполнены следующие аксиомы.
20°. Для любых двух вещественных точек А, В
вектор АВ веществен:
А, В<*
21°. Если точка А и вектор АВ вещественны, то точка
В также вещественна:
Из аксиомы 21° (и аксиомы 17°) следует, что если
точка В и вектор АВ вещественны, то точка А также
вещественна (достаточно перейти к вектору В А = —АВ).
Аксиомы 20° и 21° означают, что подмножество j^R
является вещественным аффинным пространством с ас-
ассоциированным линеалом TR. Оно называется вещест-
вещественным подпространством вещественно-комплексного
пространства s4-. Его размерность («вещественная») рав-
равна размерности («комплексной») пространства М-.
Аффинная координатная система Ов\ ... е„ простран-
пространства s4- называется вещественной, если точка О и базис
е\, ..., еп вещественны. Такие координатные системы
характеризуются тем, что в них координаты точки из $Ф
тогда и только тогда вещественны, когда эта точка ве-
вещественна.
183

Две точки вещественно-комплексного пространства
s4- называются комплексно-сопряженными, если в неко<
торой (а потому и в любой) вещественной координатной
системе они имеют комплексно-сопряженные коорди-
координаты.
Изоморфизм вещественно-комплексных аффинных
пространств определяется очевидным образом. При
этом, как и следовало ожидать, все вещественно-комп-
вещественно-комплексные аффинные пространства одной и той же раз-
размерности изоморфны.
Любое вещественно-комплексное аффинное простран*
ство мы можем, «игнорируя вещественность», считать
просто комплексным аффинным пространством. Обрат-
Обратно, любое комплексное аффинное пространство мы мо-
можем обратить в вещественно-комплексное пространство,
выбрав произвольную аффинную координатную систему
Ое\ ... е„ и объявив точки и векторы вещественными,
если они в этой системе имеют вещественные коорди-
координаты. При этом две координатные системы тогда и толь-
только тогда приводят к одному результату, когда формулы
перехода от одних координат к другим имеют веще-
- ствснпые коэффициенты.
Несколько сложнее, чем для линеалов, доказывается,
что для любого вещественного аффинного пространства
& существует такое вещественно-комплексное аффинное
пространство s? = @c (называемое комплексификацией
пространства <%), что «9?R = ,$. Для этого следует
сначала построить комплексификацию T = WC ве-
ществепного линейного пространства Ж, ассоци-
ассоциированного с аффинным пространством 38, а затем
рассмотреть всевозможные пары вида (А, с) (т. е.,
собственно говоря,-тройки (А,а,Ь)), где А — произ-
произвольная точка из 98, а с = а -\- ib — произвольный век-
вектор из Т = ЖС.
Введем в множество всех таких пар отношение-экви-
отношение-эквивалентности, полагая
(А, с)~(Аи с,)
тогда и только тогда, когда с — С\ = АА\ (так что Imc=
= Imci). Тот факт, что это есть действительно отноше-
отношение эквивалентности, проверяется автоматически. Содер-
Содержательно пару (А,с) следует рассматривать как точку,
получающуюся из точки А прикладыванием вектора с.
184

Эквивалентность пар будет тогда означать, что получает-
получается одна и та же точка.
Пусть «9^ — множество всех классов эквивалентности
пар. Обозначая эти классы квадратными скобками, мы
определим отображение
[А, с], [В, d\^[A,c][B,d]e=r
формулой
[А, с) [В, d] = AB + d-c.
Корректность этого определения проверяется автомати-
автоматически: если (А, с)~(Аи с,) и (В, d)~{B{, dj, т. е. если
с — Ci = АЛу и d — dl = BBi,
то
p4,?i + d, — с, = AiB} + d — ВВ{ — с + AAX =
= AB + d - с
Аксиома 10° также очевидна: для любой точки
[А, с] s^ и любого вектора х^У имеет место равен-
равенство
[А,с][А,
причем если
[А,с][В, rf] = «,
т.е. если AB-\-d — с = х, то (c + x) — d = AB, т.е.
[В, d] = [A, c-\-x\. Столь же легко проверяется и
аксиома 11°:
[И, с][В, d] + [B,d][C, e] =
-d=*AC + e-c = [A, c)[C, e].
Таким образом, si> является аффинным (комплексным)
пространством с ассоциированным линейным простран-
пространством Т.
Чтобы завершить построение, осталось определить
в si> вещественные точки. Мы будем считать точку [А, с]
вещественной, если вектор с веществен. Это определение
корректно, так как если (А, с) ~ (Л i, Ci) и вектор с ве-
Шествен, то вектор С\ =-с-\-АА такле веществен. Аксио-.
185

мы 20° и 21° очевидны. Кроме того, для любой вещест-
вещественной точки [А, с] е s?s корректно определена точка
fleji, обладающая тем свойством, что АВ = с. Отож-
Отождествив точку [А, с] с точкой В, мы и получим, что s4$ =
= #. D
Для полноты введем еще вещественно-комплексные
простоанства с евклидовой структурой.
Определение 4. Вещественно-комплексное линейное
или аффинное пространство называется евклидовым,
если в его вещественное подпространство введена евкли-
евклидова структура.
В таком пространстве формулы, определяющие дли-
длины (расстояния) и углы, можно применять и для неве-
невещественных объектов. Однако вне вещественной области
никакой хорошей (с привычными свойствами) теории не
получается (например, длина отличного от нуля вектора
может быть равна нулю). Тем не менее выход за эту
область иногда бывает полезен.
Вернемся теперь к случаю п = 2, т. е. рассмотрим ве-
вещественно-комплексную аффинную (или евклидову)
плоскость.
Определение 5. Алгебраическая линия на веществен-
вещественно-комплексной плоскости называется вещественной,
если в некоторой (а потому и в любой) вещественной
координатной системе она может быть задана уравне-
уравнением, левая часть которого является многочленом с ве-
вещественными коэффициентами.
Например, вещественная линия второго порядка
должна иметь уравнение вида A1) из предыдущей лек-
лекции, в котором все коэффициенты ац, а12, а2г, а\3, агз.
а3з вещественны Перечисленные там же девять аффин-
но-канонических уравнений [1] —[9] все вещественны.
Названия соответствующих линий (кроме, конечно,
линии [9]) приобретают теперь полный смысл. Эпитет
«мнимый» попросту означает, что рассматриваемая ли-
линия не пересекает вещественного подпространства (или,
как линия [3], имеет с ним только одну общую точку).
«Немнимые» линии мы будем называть действительны-
действительными. Таким образом, здесь этот термин уже не будет
синонимичен термину «вещественные»; все линии [1]-"
J9] вещественны, но только некоторые из них деястви-
186

тельны. Вещественные линии называются также линия-
линиями, определенными над R.
Следует подчеркнуть, что, например, действительные
эллипсы [1] и аффинные эллипсы в смысле определе-
определения 1 предыдущей лекции представляют собой, строго
говоря, различные объекты, поскольку первые имеют не-
невещественные точки, а вторые (будучи, но определению,
линиями на вещественной плоскости) таких точек иметь
не могут Связь между ними состоит в том, что аффин-
аффинные эллипсы являются пересечениями действительных
эллипсов с вещественной плоскостью. Поэтому, напри-
например, хотя аффинные эллипсы асимптот, очевидно, не
имеют, действительные эллипсы, как мы в своем месте
увидим, асимптотами обладают (для эллипса х2 -f- у2 =
= 1 ими будут мнимые прямые у = ±и).
Аналогично дело обстоит, конечно, и для других дей-
действительных линий из списка [1]—[9] (парабол, гипер-
гипербол и пар вещественных прямых).
Наша ближайшая цель будет состоять в доказатель-
доказательстве того, что любая вещественная линия второго поряд-
порядка на вещественно-комплексной плоскости является од-
одной (и только одной) линией из списка [1] — [9] Для
этого нам придется в следующих лекциях достаточно
далеко развить общую теорию этих лилий.

Лекция 20
ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ. - ЦЕНТР ЛИНИИ ВТОРОГО
ПОРЯДКА. — ЦЕНТРЫ СИММЕТРИИ. — ЦЕНТРАЛЬ-
ПЫЕ И НЕЦЕНТРАЛЬНЫЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯД-
ПОРЯДКА. — ПРЯМЫЕ НЕАСИМПТОТИЧЕСКОГО НАПРАВЛЕ-
НАПРАВЛЕНИЯ. - КАСАТЕЛЬНЫЕ. — ПРЯМЫЕ АСИМПТОТИЧЕ-
АСИМПТОТИЧЕСКОГО НАПРАВЛЕНИЯ.
Начальные этапы теории линий второго порядка не зави-
зависят от основного поля R (требуется лишь, чтобы харак-
характеристика этого поля была отлична от двух). В более
тонких вопросах необходимо считать это поле полем С
комплексных чисел, т. е. работать в комплексной аффин-
аффинной плоскости. При этом, чтобы не потерять полностью
контакта с наглядными представлениями, эту плоскость
следует считать вещественно-комплексной. Чтобы разли-
различить последние два случая, мы будем называть первый
ситуацией С, а второй — с и т у а ц и е и (С, ^).
В ситуации (С, R) мы иногда будем ограничиваться
лишь вещественной плоскостью (ситуация R).
Во всей этой лекции через х и у обозначаются произ-
произвольные, но фиксированные аффинные координаты. В си-
ситуации (С, К), естественно, предполагается, что sin
координаты вещественны, т.е. для вещественных точек
являются вещественными числами.
Все наши утверждения будут относиться (ec^Hi.толь-
(ec^Hi.только явно не оговорено противное) к некоторой фиксиро-
фиксированной линии второго порядка
A) аих2 + 2al2xy + a22t/ + 2апх + 2а23у + aiZ = 0.
В общей теории (над произвольным полем К характери-
характеристики, отличной от двух) коэффициенты этого уравнении
могут быть произвольными числами поля К, ао, конечно,
188

хотя бы один из коэффициентов аи, ai2, a22 должен быть
отличен от нуля. В частности, в ситуации С они могут
быть любыми комплексными числами. В ситуации же
С , R) мы будем предполагать их вещественными.
Для симметрии формул мы введем также коэффи-
коэффициенты п2\, аз1 и а32, считая, по определению, что
#21 = #12> «31 = «13> а32 = «23-
Мы начнем с того, что исследуем изменение коэффи-
коэффициентов уравнения A) при переносе начала координат
в произвольную точку Мо(х0, уо), т. е. при переходе к ко-
координатам
х' = х — х0, у' = у — Уо-
Основное поле К мы пока считаем произвольным по*
|ем (характеристики, отличной от двух).
Обозначив левую часть уравнения A) через F(x, у),
||ы получим, что в координатах х', у' уравнение рассмат-<
риваемой линии будет иметь вид
F{x' + xu, у' + уо) = О.
Пусть
= а'п {x'f + 2а'12х'у' + а'п (y'f + 2a\zx'
Тривиальное вычисление показывает, что
а'п = ап, а'12 — а12, а'^
B) а[3 = апх0 + аХ2у0 + а№ а'^а^
В частности, мы видим, что при переносе начала коорди-
координат коэффициенты при членах второй степени не ме-
меняются.
Определение 1. Точка Мо(дго, Уо) называется центром
линий-{1), если
аХ + аУ + <k-i = 0.
т. е. если при переносе начала координат в эту точку
в уравнении A) пропадают члены первой степени.
Это определение представляется малоудовлетвори-
малоудовлетворительным, поскольку оно привязано к данному уравне-
189

нию A). Пока у нас нет никакой гарантия, что для дру-
другого уравнения той же линии (в той же системе коорди-
координат) уравнения C) не получатся совсем другими, т. с
что определение 1 не окажется некорректным. На самом
деле эти опасения беспочвенны, но доказать это в полной
общности мы пока не можем.
Единственный случай, доступный непосредственному
исследованию, возникает, когда линия A) «не распола-
располагается на прямой», т.е. на ней существуют хотя бы три
неколлинеарные точки. Оказывается, что в этом случае
центры линии A) могут быть охарактеризованы чисто
геометрически, без апелляции к ее уравнению. Следова-
Следовательно, для таких линий определение 1 корректно.
Мы начнем с замечания, что понятие центральной
симметрии (в отличие, например, от понятия осевой сим-
симметрии) может быть корректно определено в
1 любом аффинном пространстве (над произ-
произвольным полем). Именно, мы скажем, что точ-
точка М' получается из точки М симметрией в
центре О (или относительно О), если ОМ' =
= —ОМ. Точка О называется центром сим-
симметрии некоторого множества (например, ли-
линии), если вместе с каждой точкой М этому
множеству принадлежит симметричная точка
М'. Начало координат О тогда \\ только тогда является
центром симметрии линии F(x,y) = О, когда из равен-
равенства F{x, у) = 0 следует равенство F(—х, —у) = 0.
Отсюда непосредственно вытекает, что любой центр
линии A) является ее центром симметрии (это, в част-
частности, и объясняет происхождение термина «центр»).
Действительно, если центр линии A) находится в нача-
начале координат, т.е. если в уравнении A) отсутствуют ли-
линейные члены, то имеет место тождественное равенство
F{—x,—y) = F{x,y), и потому указанное выше условие
выполнено. D
Если же, наоборот, в начале координат находится
центр симметрии линии A), то для любой точки М(х, у)
линии A) вместе с равенством F(x, у) = 0 будет иметь
место равенство F(—х, —у) =0, а потому и равенство
F(x, y)—F(—x, —у) = 0, т. е. равенство
D) апх + ачъу = 0.
190

При а^ФО или а^фО это означает, что точка М(х, у)
принадлежит прямой D), так что линия A) целиком
расположена на этой прямой. Этим доказано, что если
линия A) не расположена ни на какой прямой, то лю-
любой ее центр симметрии является ее центром. ?
Таким образом, для линии A), не расположенной ни
на какой прямой, центры — это в точности центры сим-
симметрии. Поэтому для таких линий определение 1 кор-
корректно.
В общем же случае нужно помнить, что это опреде-
определение формально зависит от выбора уравнения A).
Вообще говоря, соотношения C) означают, что цент-
центры линии A) являются общими точками двух прямых:
E) апх + а12у + а13 = 0 и
и потому либо отсутствуют (прямые E) параллельны),
либо имеется только один центр (прямые E) пересека-
пересекаются), либо центры заполняют целую прямую (прямые
E) совпадают). Может, конечно, случиться, что одно
из уравнений E) удовлетворяется тождественно или,
наоборот, уравнение несовместно, т. е. не существует ни
одной точки плоскости, ему удовлетворяющей (с первым
уравнением так будет при ап=0, ai2 = 0, а^фО).
Однако ничего нового при этом не получается (если
одно из уравнений E) удовлетворяется тождественно,
то имеется прямая центров, а если оно несовместно, то
центров вообще нет). Таким образом, для линии A)
возможны следующие 3 случая:
I. Существует единственный центр.
II. Не существует ни одного центра.
III. Имеется целая прямая центров.
Определение 2. В случае I линия A) называется
центральной линией второго порядка, а в случаях II и
III — нецентральной.
Согласно доказанной в лекции 6 теореме о взаимном
расположении на плоскости двух прямых, случай I
имеет место, когда — ф —, т. е. когда аиа22 — а\. Ф 0;
случай II — когда ^- = ^-фМ.1 а случай III — когда
Oj| <*22 в23
•^- = —= —. Удобно эти условия записать в не-
191

сколько ином виде, введя в рассмотрение определители
6 =
«11 а ц
И
Д =
агг ai3
«32 «33
называемые, соответственно, малым и большим опреде-
определителями уравнения A).
Поскольку б = апа2, — а\2, мы видим, что 6=5^=0 в слу-
случае I и 6 = 0 в случаях II и III. Кроме того, А = 0 в слу-
случае III (первые две строки этого определителя пропор-
пропорциональны). Обратно, пусть Д = 0 и 6 = 0. Разложив
определитель А но элементам последнего столбца, мы
получим, что
Л = аи
Последним определителем является равный нулю опре-
определитель 6. Кроме того, из равенства 6 = 0 следует, что
существует такое число k, что аи =кп2\, а\ч=кап, и
потому
021 а22
#31 ^32
— а
23
Оц
031
а,2
032
¦
а,,
а21
012
022
аи
а12
аз 2
а ,2
аз!
«32
Этим доказано, что при 6 = 0
Ol2 О22
Поэтому, если А = 0, то либо ai3 = ^агз (и, значит, пер-
первые две строки определителя А пропорциональны), либо
а 12 0 22 _ о( и потому существует такое число /, что
аз1 = /fli2, а32 = /й22, и, значит, а31 = 1ац == /fea22 =
= fea32 = ^агз, так что и в этом случае первые две стро-
строки определителя А пропорциональны. Этим доказано,
что случай III имеет место тогда и только тогда, когда
6 = 0 и А = 0. Оставшаяся возможность 6 = 0 и А Ф О
характеризует поэтому случай II.
Собирая вместе все доказанное, мы получаем сле-
следующую теорему:
Тесрема 1 (о центрах). Линия второго порядка
тогда и только тогда является центральной линией, ког-
когда 8 фО.
Линия второго порядка тогда и только тогда не имеет
ни одного центра, когда 6 = 0 и А Ф 0.
Линия второго порядка тогда и только тогда обла-
обладает прямой центров, когда 6 = 0иД = 0. D
192

В порядке дополнения к этой теореме интересно вы-
выяснить геометрический смысл условия Д = 0. Поскольку
при 6 = 0 ответ дается теоремой 1 (равенство А = 0 рав-
равносильно существованию прямой центров), достаточно
ограничиться случаем 6=^0.
Предложение 1. При 8фО равенство А = 0 имеет ме-
место тогда и только тогда, когда центр линии A) ей
принадлежит.
Доказательство. Пусть центр М0(х0, уо) липни
A) ей принадлежит. Тогда для его координат имеют
место равенства C), а также равенство A), в котором
положено х — хо и у = Уо- Умножив первое из равенств
C) на Хо, второе — на г/о и вычтя их из A), мы, очевид-
очевидно, получим соотношение
aslx0 + а32у0 + ауз = 0.
Вместе с равенствами C) оно означает, что три числа
Л'о, г/о. 1 составляют нетривиальное решение системы
однородных уравнений
аи* + al2y + anz = 0,
<h\X + а-пУ + а-хр = О,
a3lx + аJг/ + a33z = 0.
Следовательно, определитель А этой системы равен ну-
нулю. Заметим, что предположение 6=^0 мы в этом рас-
рассуждении не использовали.
Обратно, если А=0, то написанная система имеет
нетривиальное решение х0, у0, z0. При этом 2о Ф 0, ибо
6=7^=0. Поэтому без органичения общности можно счи-
считать, что zo=l. Тогда первые два уравнения покажут,
что точка М0(х0,уо) является центром линии (I). С дру-
другой стороны, умножив первое из этих уравнений (в ко-
которых положено х = Хо, у — г/о и z = 1) на Хо, второе —
на уо и сложив с третьим, мы, очевидно, получим урав-
уравнение A) (в котором положено х = х0, у = Уо). Следо-
Следовательно, центр М0(хо, Уо) лежит на линии A). D
Примеры. Найдем центры линий [1] — [9].
[1] Действительный эллипс: 5 = 1 и А = — 1. Имеет-
Имеется один центр @,0).
[2] Мнимый эллипс: 6=1 и А = 1. Имеется один
центр @,0).
[3] Пара мнимых пересекающихся прямых: б = 1 и
Д = 0. Имеется один центр @,0).
7 М. NL Постников 193

[4] Гипербола: б = —1 и А — 1. Имеется один центр
@,0).
[5] Пара действительных пересекающихся прямых:
б = —1 и Д = 0. Имеется один центр @, 0).
[6] Парабола: 6 = 0 и Л = —1. Центров нет.
[7] Пара действительных параллельных прямых: 6=
= 0 и Д = 0. Имеется прямая центров у = 0.
[8] Пара мнимых параллельных прямых: 6 = 0 и
А = 0. Имеется прямая центров у = 0.
[9] Пара совпадающих прямых: 6 = 0 и Д = 0. Име-
Имеется прямая центров г/ = 0.
Мы видим, что центральные линии (из списка [1] —
[9])—это оба эллипса, гипербола и пары пересекаю-
пересекающихся прямых (действительных или мнимых). Во всех
случаях центр является, как и полагается, центром сим-
симметрии.
Нецентральной линией без центра является только
парабола.
Нецентральными линиями с прямой центров являют-
являются пары параллельных прямых (действительных или
мнимых, различных или совпадающих).
Заметим, что для линии [9], единственной из списка
[1] — [9], расположенной (в ситуациях С и (С,R)) на
прямой, центры симметрии и центры тем не менее сов-
совпадают.
Изучим теперь взаимное расположение линии A) и
произвольной прямой
!
Общие точки линии A) и прямой F) определяются из
уравнения F(x0 + tl, yo-\-ttn) =0, т. е. из уравнения
(ап12 + 2аХ2Ьп + a22m2)t2 + 2(ац1х0 + ai2(ly0 + тх0) +
+ а22ту0 + аи1 + а23т) t + F (х0, у0) = 0.
Определение 3. При ац12 + 2ai2lm + а22т2 ф 0 гово-
говорят, что прямая F) имеет неасимптотическое направле-
направление (по отношению к линии A)), а при
(8) аи/2 + 2al2lm + a22m2 = 0
— что эта прямая имеет асимптотическое направление.
Для прямой неасимптотического направления урав-
уравнение G) является уравнением второй степени. Поэтому
194

оно имеет (в основном поле К) либо два корня, либо
один (двойной) корень, либо не имеет ни одного корня.
В первом случае прямая F) пересекает линию A) в
двух различных точках, во втором случае имеет с линией
A) одну общую точку, в третьем — прямая F) и линия
A) не пересекаются.
В ситуациях .G и (С, К) третий случай невозможен,
причем в ситуации (С, R) в первом случае общие точки
могут быть либо вещественными (и тогда в ситуации R
будет иметь место также первый случай), либо комп-
лексно сопряженными, невещественными (и тогда в си-
ситуации R будет иметь место третий случай).
Определение 4. Прямая неасимптотического направо
ления, для которой уравнение G) имеет один (двойной)
корень, называется касательной к линии A), а соответ-
соответствующая этому корню ее точка (единственная точка,
общая с линией A)) —точкой касания.
Пример. Пусть линией A) является эллипс
х2 + у2 = I, и пусть точка М0(х0, у0) прямой F) при*
надлежит этому эллипсу. Уравнение G) имеет в этом
случае вид
и обладает двойным корнем тогда и только тогда, когда
1х0 + myo = 0, т.е. когда 1:т=—у0: х0. Поэтому каса-
касательной к эллипсу х2 + у2 = 1 в его точке Мо(х0, у0) яв-
является прямая
(9) х = Хо — /г/о. У = Уо + 1х0.
Если теперь плоскость евклидова и координаты х, у
прямоугольные (и потому рассматриваемый эллипс
является единичной окружностью), то
arQ = (— у0) х0 + хоуо = О,
где Го — радиус-вектор точки Мо- Это означает, что пря-
прямая (9) перпендикулярна радиусу точки Мо и, следова-
следовательно, является касательной к окружности в обычном
смысле.
Аналогично проверяется, что на евклидовой плоско-
плоскости касательная в любой точке произвольного эллипса,
параболы или гиперболы является касательной, опреде-
определяемой в анализе как предельное положение секущей.
7* 195

Для линий A), являющихся парами различных прямых,
касательные — это всевозможные прямые, отличные от
этих прямых п проходящие через их общую точку. Для
линии г/2 = 0 касательной будет любая прямая, отлич-
отличная от прямых y = k.
Для прямой асимптотического направления уравне-
уравнение G) линейно и потому имеет либо один корень (когда
коэффициент при / отличен от нуля), либо не имеет ни
одного корня (когда коэффициент при / равен нулю, но
свободный член отличен от нуля), либо удовлетворяется
тождественно (когда все коэффициенты равны нулю).
В первом случае прямая F) пересекает линию A) в од-
одной точке (но касательной не является!), во втором слу-
случае не имеет с линией A) ни одной общей точки,
в третьем — целиком принадлежит линии A).
Поскольку произведенное исследование покрывает
все случаи, мы, в частности, видим, что прямая, имеющая
с линией A) три общие точки, целиком принадлежит
этой линии.
Определение 5. Прямая асимптотического направле-
направления, не имеющая общих точек с линией A), называется
ее асимптотой.
Примеры.
Для линий [1], [2] и [3] уравнение (8), определяю-
определяющее асимптотические направления, имеет вид /2 + т2=0
и потому вещественных решений, отличных от нулевого
(/, т) = @,0), нам не нужного, не имеет. Таким обра-
образом, в ситуации R для этих линий прямых асимптотиче-
асимптотического направления не существует, а в ситуациях С и
(С, R) имеется два асимптотических направления: l:t
и 1 :—i. Для линий [1] и [2] асимптотами будут пря-
прямые y = ix и у =—ix. Линия [3] (пара прямых) асим-
асимптот не имеет.
Для линий [4] и [5] асимптотические направления
определяются уравнением Р — ш2 = 0. Поэтому (над
любым полем характеристики, отличной от 2) их два
A : 1 и —1 : 1). Для линии [4] (гиперболы) асимпто-
асимптотами будут, как и полагается, прямые у = х и у = —х.
Линия [5] (пара прямых) асимптот не имеет.
Для линий [6], [7], [8] уравнение асимптотических
направлений имеет вид ш2 = 0, так что имеется одно
(двойное) асимптотическое направление 1 : 0. У линии
[6] (параболы) асимптот нет, а у линий [7] и [8] (пар
196

параллельных прямых) асимптотой будет любая парал-
параллельная им, но отличная от них прямая.
В общем случае линии A) (и произвольного поля К)
уравнение (8) имеет 0, 1 или 2 решения. Случай 0 реше-
решений (нет асимптотических направлений) имеет место
тогда и только тогда, когда в [< нет элемента У— б, где,
как всегда, б = апа22 — а{2. Если же У^б е X, то ре-
решения даются любой из двух формул:
. . /:/п = (—а,2±У—б):ап,
При а\\ ФО и агг^О обе эти формулы равносильны, а
при ап = 0 или а2г = 0 следует пользоваться той из них,
которая имеет смысл. Единственное асимптотическое на-
направление имеется тогда и только тогда, когда 6 = 0.
Предположим теперь, что мы находимся в ситуации
(С, nj) (или R). Тогда все коэффициенты уравнения A)
вещественны и потому число б вещественно.
Определение 6. Линия A) называется линией
эллиптического типа, ") ( б > О,
гиперболического типа, f если \ б < О,
параболического типа, ) I 6 = 0.
Линия эллиптического типа имеет два мнимых асим<
птотических направления, линия гиперболического ти-
типа— два действительных асимптотических направления,
а линия параболического типа — одно (действительное)
асимптотическое направление.
Заметим, что линии параболического типа — это в
точности нецентральные линии.

Лекция 21
ОСОБЫЕ И НЕОСОБЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ. —ДИАМЕТ-
—ДИАМЕТРЫ. — ДИАМЕТРЫ И ЦЕНТРЫ.— СОПРЯЖЕННЫЕ НА-
НАПРАВЛЕНИЯ И СОПРЯЖЕННЫЕ ДИАМЕТРЫ.—
УПРОЩЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЦЕНТРАЛЬНОЙ ЛИНИИ
ВТОРОГО ПОРЯДКА — НЕОБХОДИМЫЕ УТОЧНЕ-
УТОЧНЕНИЯ.—УПРОЩЕНИЕ УРАВНЕНИЯ НЕЦЕНТРАЛЬНОЙ
ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
Пусть по-прежнему
A) аих2 + 2апху + а22у2 + 2alzx + 2апу + а^ = О
— произвольная линия второго порядка на аффинной
плоскости.
Для любого направления 1:т координаты х0, Уо то-
точек М0(х0, Уо), для которых равен нулю коэффициент
при t в уравнении G) предыдущей лекции, удовлетво»
ряют уравнению
B) (аи/ + а12т) х + (а12/ + а22т) у + (ап1 + а23т) = 0.
Определение 1. Направление /: т называется особым,
если
а12/ + ai2m = 0;
в противном случае оно называется неособым.
Для неособого направления уравнение B) опреде-
определяет некоторую прямую. Эта прямая называется диа-
диаметром, сопряженным с неособым направлением /: т.
Поскольку
апР + 2ai2/m + a22tn2 = (anl + апт) I + (al2l + a22m) m,
каждое особое направление является асимптотическим,
198

Обратное, вообще говоря, неверно. Например, при
6=^=0 уравнения C) относительно / и т имеют только
тривиальное решение (/, т) = @, 0) (ибо б является
определителем этой системы однородных уравнений),
так что для каждой центральной линии все направления
неособы (в том числе и оба асимптотических, когда они
существуют). ?
Если же 6 = 0, то уравнения C) имеют единствен-
единственное (с точностью до пропорциональности) нетривиальное
решение (/, т) Ф @, 0). Для этого решения l:m =
= —а\г\а\\ = —022:^12- Таким образом, для нецент-
нецентральных линий существует единственное особое направ-
направление—а\2: а\\ = —022:012. ?
Но из формул A0) предыдущей лекции следует, что
при б = 0 это есть (единственное) асимптотическое на-
направление линии. Таким образом, для нецентральных
линий асимптотическое направление особо. ?
В случае параболы оно представляет собой, как по-
показывает непосредственное вычисление, направление ее
оси, а в случае пары параллельных прямых — направле-
направление этих прямых.
Рассмотрим теперь диаметр B), сопряженный с не-
неособым направлением /:ш. Ясно, что от этого направле-
направления он зависит корректно, т. е., задав то же направление
другой (но пропорциональной) парой чисел / и m и
построив для этой пары уравнение B), мы получим ту
же прямую (ибо уравнение B) заменится пропорцио-
пропорциональным).
Вопрос же зависимости прямой B) от выбора урав-
уравнения A) рассматриваемой линии второго порядка — су-
существенно труднее. Поскольку мы пока не знаем, с ка-
каким произволом может быть выбрано это уравнение,
единственный путь установления корректности опреде-
определения диаметра B) состоит в том, чтобы дать ему пря-
прямое геометрическое описание, не апеллирующее к урав-
уравнению A).
Для неособого направления /:m диаметр B) имеет
направление —(a\J-\-а22гп) : (ац1-\-а^т). Поэтому,
если направление /: т является асимптотическим (что
возможно, напомним, только при 6=^0) и, значит,
(anl + al2m) I + (al2l + а22т) т = О,
то оно будет совпадать с направлением диаметра B).
199

Кроме того, по определению, для любой точки Мо(хо, f/o)
этого диаметра коэффициент при t в уравнении G) пре-
предыдущей лекции равен нулю. Поэтому диаметр B)
является либо асимптотой направления 1:т (что его
однозначно характеризует), либо прямой направления
/: т, целиком принадлежащей линии A) (что ввиду
центральности линии A) также, как мы увидим ниже,
однозначно его характеризует). Таким образом, для
асимптотического направления 1:т диаметр B) опре-
определен корректно.
Пусть теперь направление I: m не является асимпто-
асимптотическим. Рассмотрим произвольную прямую этого на-
направления (т. е. имеющую направляющий вектор
аA,т)). Предположим, что эта прямая пересекает ли-
линию A) в двух различных точках М\ и М2, и примем
середину отрезка М\М2 за точку Мо(хо,уо), задающую
вместе с вектором аA, т) эту прямую. Пусть
D) х = Хо + tl, y = yo + tm
— соответствующие параметрические уравнения, и пусть
ti и t2— значения параметра t, отвечающие точкам TWi
и М2. Тогда MqM\ = t^a и М0М2 — ha. Но по условию
М0Мi = —М0М2, и потому ti -f-12 = 0.
Поскольку, согласно формулам Вьета, сумма t\ + t2
является взятым с обратным знаком и разделенным на
коэффициент при t2 коэффи-
коэффициентом при t в уравнении G)
предыдущей лекции, этим до-
доказано, что указанный коэф-
коэффициент равен нулю. Это озна-
означает, что координаты (хо, г/о)
середины отрезка, высекаемого
линией A) на каждой прямой
направления /: т, удовлетво-
удовлетворяют уравнению диаметра, сопряженного с направле-
направлением I: т, т. е. что эта середина принадлежит диа-
диаметру B).
Обратно, пусть Мо(Хе.Уо) —произвольная точка диа-
диаметра B). Предположим, что прямая D) направления
1:т, проходящая через эту точку, пересекает линию A)
в двух точках М\ и М2. Тогда отвечающие этим точкам
значения ?i и t2 параметра t будут корнями уравнения
200

G) предыдущей лекции. Но, поскольку точка Мо{хп, уо)
принадлежит диаметру B), коэффициент при t в этом
уравнении равен нулю. Поэтому t\ + ^2 = 0, и, значит,
точка Мо будет серединой отрезка М^М2.
Определение 2. Направление 1:т называется хор-
дальним (для линии A)), если существуют по крайней
мерс две прямые этого направления, каждая из которых
пересекает линию A) в двух различных точках.
Любое хордальное направление является неасимпто-
неасимптотическим.
Согласно только что доказанному диаметр линии A),
сопряженный с хордальным направлением /: т, одно-
однозначно характеризуется как прямая, проходящая через
середины отрезков, высекаемых линией A) па прямых
этого направления.
Таким образом, диаметры, сопряженные с хордаль-
ными направлениями, определены корректно.
По отношению же к диаметрам, сопряженным с не-
хордальными направлениями, нам не остается ничего
другого, как примириться с возможной некорректностью
их определения и всегда помнить об этом.
Заметим, что для линий [1] — [8] все (неасимптоти-
(неасимптотические) направления хордальны. Поэтому для этих ли-
линий определение 2 корректно. Тривиальное вычисление
показывает, что для пары совпадающих прямых [9] диа-
диаметром, сопряженным с любым неасимптотическим на-
направлением, будет каждая из этих прямых. Следова-
Следовательно, и для этой линии определение 2 корректно.
Уравнение B) может быть переписано в виде
(аи* + ai2y + а13) / + (а21х + а22у + а2з) т = 0,
откуда непосредственно следует (ср. уравнение C) пре-
предыдущей лекции), что ему удовлетворяют координаты
любого центра линии A). Таким образом, все диаметры
линии A) проходят через каждый ее центр. ?
В частности, отсюда следует, что нецентральная ли-
линия, обладающая прямой центров, имеет единственный
диаметр, совпадающий с этой прямой. Этот диаметр со-
сопряжен с каждым неособым (т. е. неасимптотическим)
направлением.
Направление
l':m' = — (а12/ + а22т): (а„/ + апт)
201

диаметра B), сопряженного с направлением 1:т, удов-
удовлетворяет соотношению
{anl + al2tn) I' + {al2l + a&m) т' = О,
т. е. соотношению
E) anW + аХ2 (lm' + ml') + а22тт' = О,
Это мотивирует следующее определение:
Определение 3. Направление /': т' называется сопря-
сопряженным (по отношению к линии A)) с направлением
/: т, если выполнено условие E).
Это условие сохраняется при перестановке I, m с /',
т'. Следовательно, отношение сопряженности симмет-
симметрично, т.е. направление /: m сопряжено с направлением
/': т'. Поэтому можно говорить о сопряженных направ-
направлениях I: т и I': т'.
Для неособого направления /: т сопряженное на-
направление V: т' является направлением сопряженного
диаметра и потому определено однозначно. С особым
же направлением 1:т сопряжено любое направление.
Кроме того, направление /: т (особое или нет) тогда
и только тогда является асимптотическим, когда оно са-
самосопряжено, т. е. сопряжено с самим собой.
Определение 4. Два диаметра центральной линии A)
называются сопряженными, если они имеют сопряжен-
сопряженные направления, т. е. каждый сопряжен с направлением
другого.
Для нецентральных линий понятие сопряженных диа-
диаметров не определяется.
Диаметр тогда и только тогда самосопряжен, т. е. со-
сопряжен с самим собой, когда он является асимптотой.
Обратно, каждая асимптота (центральной линии) яв-
является самосопряженным диаметром.
Исследуем теперь вопрос о возможном упрощении
уравнения линии A) за счет целесообразного выбора
аффинных координат.
Условие D) показывает, что направления 1:0 и О: 1
координатных осей тогда и только тогда сопряжены,
когда
«12 = 0.
Действительно, условие D) для направлений l:m = 1 :0
и /': т' = 0 : 1 выполнено тогда и только тогда, когда
«12. ?
202

Поэтому, выбрав координатные оси, имеющие сопря-
сопряженные направления, мы уничтожим в уравнении A)
член с произведением ху координат х и у.
Поместив же начало координат в центр, мы уничтожим
и линейные члены. Этим доказано следующее предложе-
предложение:
Предложение 1. Для любой центральной линии вто-
второго порядка существует система аффинных координат
х, у, в которой ее уравнение имеет вид
(I) апх2 + апу2 + а;>з = 0. где апф0, а22ф^-
Система аффинных координат тогда и только тогда об-
обладает этим свойством, когда начало координат лежит
в центре данной линии, а координатные оси являются
сопряженными диаметрами. ?
Условие аи =7^0, а^ф® выполнено потому, что в про-
противном случае уравнение (I) не было бы уравнением
центральной линии.
К сожалению, изложенное доказательство предложе-
предложения 1 содержит серьезную логическую ошибку. Как мы
выше подробно обсуждали, определение центра и со-
сопряженных направлений в общем случае привязано к
фиксированному, с самого начала заданному, уравне-
уравнению A) рассматриваемой линии второго порядка. По-
Поэтому, если быть абсолютно строгим, надо говорить не
«центр», а «центр по отношению к уравнению A)», не
«сопряженные направления», а «направления, сопряжен-
сопряженные по отношению к уравнению A)» и т.п. Имея это
в виду, изложим еще раз доказательство предложения 1.
Чтобы сделать логическую структуру этого доказатель-
доказательства до конца прозрачной, разобьем его на отдельные
элементарные этапы.
Этап 1. Выбираем произвольное неасимптотическое
(по отношению к уравнению A)) направление и прини-
принимаем его за направление оси ординат новой координат-
координатной системы.
Этап 2. Сопряженное направление (по отношению к
уравнению A)) принимаем за направление оси абсцисс.
Этап 3. По условию рассматриваемая линия имеет
единственный центр (по отношению к уравнению A)).
Примем этот центр за начало координат.
Этап 4. Окончательно фиксируем координатную си-
систему, произвольно выбрав направляющие векторы коор-
координатных осей.
203

Этап 5. Обозначив координаты относительно так
построенной координатной системы символами х', у', на-
напишем уравнение нашей линии в этих координатах:
F) а'п (х'J + 2а[2х'у' + а'22 (у'J + 2а[,х' + 2а'2,,/ + a'3i = 0.
Этап 6. Так как координатные оси сопряжены, а
центр находится в начале координат, то
а'а = 0, а'и = 0, <4 = 0.
Следовательно, уравнение F) имеет вид (I) (с точ-
точностью до штрихов).
Ошибка теперь бросается в глаза: на последнем эта-
этапе сопряженность и центр понимаются по отношению
к уравнению F), а не по отношению к уравнению A)!
Поэтому, чтобы спасти доказательство, мы должны
показать, что переход к уравнению F) ничего не пор-
портит. Оказывается, что это на самом деле так, если
уравнение F) выбирается не как попало, а получается
из уравнения A) подстановкой вместо координат х и у
их выражений
У = С2\Х' + С22У' + Уо
через координаты х\ у'. Однако соответствующие вычис-
вычисления, если их проводить «кустарно», без выдумки, до-
довольно громоздки. Для их упрощения мы воспользуемся
символикой матричного исчисления (есть и другие спо-
способы, например, символика Эйнштейна).
Левая часть условия сопряженности
+ «12 {Imi + ml\) + U2imnii = 0
(по отношению к уравнению A)) является билинейной
формой с матрицей
022
и потому может быть записана в виде
Л („',)•
Аналогичным образом, левая часть уравнения A) выра-
выражается формулой
204

С другой стороны, в матричных обозначениях формулы
G) имеют вид
где
C2l C22
— матрица перехода. Поэтому после подстановки в ле-
левую часть уравнения A) вместо координат х, у их вы-
выражений G) мы получим многочлен
= (xr, у') CrAC (*,')+ (л-', у') СГА |
+ (лго, г/о) АС ( *' ) Ч- (*„, Уо) Л ( *° ) Ч- 2 (а'3' п2з) С ( J' ) +
+ о / \ ^ •*
^ W3, ^23/ ^ ц
+ 2 [(а,з,
+ (хо, Уо)АB)+2 (а-з- «2з) ( 2 ) + «зз
Гв преобразованиях мы воспользовались симметрич-
симметричностью, Ат = Л, матрицы А и тождеством (а, 6) f . J ==
= (с, с?)Г?)).Этим доказано, что если уравнение F)
получено подстановкой в уравнение A) выражений G), то
матрица
А' = [
выражается формулой
А' = СТАС,
а строчка (а'ы, а'23) и свободный член a'i3 — формулами
205

Если теперь а — произвольный вектор, а!, и и /',
т' — его координаты в старой и новой координатных
системах, то
С
Поэтому для любых двух векторов а и а!
) tf«О СТЛС ( ) " ('! «I) Л' (
и, следовательно, соотношения
e0 и tf
равносильны друг другу.
Этим доказано, что направления прямых с направ-
направляющими векторами а и а\ тогда и только тогда сопря-
сопряжены относительно уравнения A) в координатах х, у,
когда они сопряжены относительно уравнения F) в ко-
координатах х', у'. Таким образом, в этапе 6 мы имеем
право понимать сопряженность в нужном смысле (под-
(подчеркнем: при описанном выборе уравнения F)).
Аналогично дело обстоит и для центра. Координаты
х, у центра рассматриваемой линии относительно урав-
уравнения A) ищутся из соотношений
ацх + а22у + Я23 = 0.
равносильных одному матричному сооотношению
(8) (х, у)А + (аа, а23) = @, 0).
Поэтому координаты х', у' центра той же линии, но отно-
относительно уравнения F) удовлетворяют соотношению
(9) (x',y')A' + (a[v <4) = @> 0).
Но в силу доказанных выше формул
=[с~' К ХУ) - (И WсТлс+[(а1зГа2з)+{х°'уо) Л]с==
= [(*> у)-(хо, Уо)](С-1)тСтАСш+[(аа, а23) + (х0, уо)А]С =
Поэтому (матрица С обратима) соотношения (8) и (9)
равносильны друг другу.
206

Те_м_ ^амым этап 6 доказательства предложения 1
полностью обоснован. ?
Для нецентральной линии мы за направление 0:1
оси ординат примем произвольное неособое (т. е. в этом
случае неасимптотическое) направление, а за ось абс-
абсцисс примем диаметр, сопряженный с этим направле-
направлением (тем самым мы фиксируем не только направление,
но и положение оси абсцисс). Согласно общей формуле
B) диаметр, сопряженный с направлением 0:1, имеет
уравнение
(здесь мы, конечно, имеем в виду коэффициенты соот-
соответствующего уравнения F) и координаты х', у' с от-
отброшенными штрихами). Поэтому из условия, что этот
диаметр является осью абсцисс у — О, следует, что а^—
= 0, а22 ф 0 и а2з = 0, откуда, далее, вытекает, что
аи = 0 (ибо апа22 — а^2 = 0). Таким образом, при таком
выборе оси абсцисс и направления оси ординат уравне-
уравнение нецентральной линии приобретает вид
A0) а22у2 + 2аах + а33 = 0, где а22фО.
Так как для этого уравнения
Л =
0 0 я13
О 022 О
2
о " 13'
то линия A0) при 013=7^=0 принадлежит типу II (не
имеет центров), а при ai3=0 — типу III (обладает пря-
прямой центров).
При ai3 = 0 мы получаем, таким образом, следующее
предложение:
Предложение 2. Для любой нецентральной линии вто-
второго порядка, принадлежащей к типу III, т. е. имеющей
прямую центров, существует система аффинных коорди-
координат х, у, в которой ее уравнение имеет вид
(III) а22г/2 + «зз = 0. где а22 Ф 0.
Система аффинных координат тогда и только тогда об-
обладает этим свойством, когда ось ординат имеет неосо-
неособое направление, а ось абсцисс является диаметром,
сопряженным с направлением оси ординат, ?
207

Пусть теперь 0|3 =#= 0. Тогда ось абсцисс пересекает
линию A0) в точке с абсциссой х — к^~ • Выбрав
начало координат в этой точке (что фиксирует положе-
положение оси ординат), мы добьемся того, что в уравнении
A0) свободный член а3з обратится в нуль. Тем самым
доказано следующее предложение:
Предложение 3. Для любой нецентральной линии вто-
второго порядка, принадлежащей к типу II, т.е. не имею-
имеющей центров, существует система аффинных координат
х, у, в которой ее уравнение имеет вид
(II) a22tf-\-2ацх = 0, где
Система аффинных координат тогда и только тогда об-
ладает этим свойством, когда ось ординат имеет неосо-
неособое направление, ось абсцисс является диаметром, со-
сопряженным с направлением оси ординат, и начало коор-
координат принадлежит линии. ?
Доказанные предложения целесообразно объединить
в единую теорему:
Теорема 1. Для любой линии второго порядка на
аффинной плоскости существует система аффинных ко-
координат х, у, в которой ее уравнение принадлежит
к одному из трех следующих типов:
(I) an^2 + «22y2 + a33 = 0, где апФЪ, а22фО;
(II) а22у2 + 2а13х = 0, где
(III) а22у2 + а3ъ = 0, где
При этом ни для одной линии не существует двух систем
координат, в которых уравнение данной линии принад-
принадлежало бы к разным типам. ?
Последнее утверждение вытекает из того, что каж-<
дый из трех типов характеризуется геометрически: цент-
центральные линии, линии без центра и линии с прямой
центров.
Подчеркнем, что теорема 1 справедлива в аффинной
плоскости над произвольным полем К.

Лекция 22
ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА КОМПЛЕКСНОЙ
АФФИННОЙ ПЛОСКОСТИ. —ЛИНИИ ВТОРОГО ПО-
ПОРЯДКА НА ВЕЩЕСТВЕННО-КОМПЛЕКСНОЙ АФФИН-
АФФИННОЙ ПЛОСКОСТИ.-ЕДИНСТВЕННОСТЬ УРАВНЕНИЯ
ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. —ЛИНИИ ВТОРОГО
ПОРЯДКА НА ЕВКЛИДОВОЙ ПЛОСКОСТИ. — ОКРУЖ-
ОКРУЖНОСТИ.
В зависимости от равенства или неравенства нулю от-
отдельных коэффициентов и после деления на коэффи-
коэффициент, отличный от нуля, мы получим из теоремы 1 пре-
предыдущей лекции следующие типы уравнений второго по-
порядка:
(I,)
A0) Дх2 + Вг/2 = О,
A1) у2 = 2Ах,
(III.) У2 + А=0,
(П1о) t/2 = 0,
где А Ф О, В Ф 0.
Возможность дальнейшего упрощения этих уравнений
зависит от арифметических свойств основного поля К.
Например, если в поле К для любого элемента сущест-
существует квадратный корень (этим свойством обладает, в ча-
частности, поле С комплексных чисел), то в случаях A|)
и A0) можно ввести новые координаты х'', у' по фор-
формулам _ _
*' = л/Ах, у' = ^Ву,
209

а в случаях (II) и (III!) —по формулам
Это даст нам следующую теорему:
Теорема 1 (о приведении к каноническо-
каноническому виду в ситуации С). Для любой линии вто-
второго порядка на комплексной аффинной плоскости су-
существует система аффинных координат х, у, в которой
уравнение данной линии является одним из пяти сле-
следующих уравнений:
[1] *2 + </2=1,
[2] х* + у* = 0,
13] у2 = 2х,
[4] t/2+l=0,
[5] у* = 0.
При этом ни для одной линии не существует двух си-
систем координат, в которых эта линия имела бы различ-
различные уравнения из этого списка.
Последнее утверждение вытекает из того, что линия
[2] представляет собой пару пересекающихся прямых,
линия [4]—пару параллельных прямых, линия [5] —
пару совпадающих прямых, линия [3] не имеет центра
(симметрии), а линия [1] представляет собой централь-
центральную линию (с центром симметрии) и не содержит ника-
никакой прямой (если тождественно по t имеет место равен-
равенство вида
то
что возможно только при (/, т) = @, 0)). G
Следствие (теорема классификации линий
второго порядка в ситуации С). В комплекс-
комплексной аффинной плоскости любая линия второго порядка
является либо
а) центральной линией [1], на которой не лежит ни
одной прямой, либо
б) линией без центра [3], либо
в) парой прямых (пересекающихся [2], параллель*
ных и различных [4], совпадающих [5]). D
210

Линию а) можно с равным правом называть эллип-
эллипсом или гиперболой. Некоторые авторы называют ее
овалом.
Линию б) вполне можно называть параболой.
В ситуации (С, R), чтобы не нарушить вещественно-
вещественности коэффициентов, следует в случаях (Ii) и Aо) ввести
новые координаты по формулам
а в случаях (II) и (IIIi) •— по формулам
Учитывая возможность умножения уравнений на —I,
мы получим отсюда следующую теорему:
Теорема 2 (о приведении к каноническому
виду в ситуации (С, R)). Для любой вещественной
линии второго порядка на вещественно-комплексной
аффинной плоскости существует вещественная аффинная
координатная система, в которой уравнение данной ли-
линии является одним из следующих девяти аффинно-ка-
нонических уравнений:
[1] х2 + У2-1=0,
[2] x2+*/2+l=0,
[3] *2 + г/2 = 0,
[4] х2-у2-\=0,
[5] х2-у2 = 0,
[6] у*-2х = 0,
[7] у2- 1=0,
[8] у2+1 = 0,
[9] у2 = 0.
При этом ни для одной линии не существует двух си-
систем координат, в которых эта линия имела бы различ-
различные уравнения из этого списка.
Последнее утверждение вытекает из того, что каж-
каждая из линий [1] —[9] может быть охарактеризована
геометрически:
[1] Центральная линия, высекающая на веществен-
вещественной плоскости эллипс,
211

[2] Центральная линия, не пересекающая веществен-
вещественной плоскости.
[3] Пара комплексно-сопряженных пересекающихся
прямых.
[4] Центральная линия, высекающая па веществен-
вещественной плоскости гиперболу.
[5] Пара вещественных пересекающихся прямых.
[6] Линия без центров (высекающая на веществен-
вещественной плоскости параболу).
[7] Пара вещественных параллельных и различных
прямых.
[8] Пара комплексно-сопряженных параллельных н
различных прямых.
[9] Пара совпадающих прямых (автоматически ве-
вещественных). ?
Аффинные координаты, в которых уравнение данной
линии второго порядка имеет указанный в теореме 2
вид, называются каноническими (для данной линии).
Как уже говорилось, линия [1] называется действи-
действительным эллипсом, линия [2]—мнимым эллипсом, а
линии [4] и [6] — соответственно гиперболой и парабо-
параболой (с прибавлением или без эпитета «действительной»).
Следствие (теорема классификации линий
второго порядка в ситуации (С, R)). В ве-
вещественно-комплексной аффинной плоскости любая ве-
вещественная линия второго порядка является либо
а) эллипсом (действительным [1] или мнимым [2]),
либо
б) гиперболой [4], либо
в) параболой [6], либо
г) парой прямых (пересекающихся комплексно-со-
комплексно-сопряженных [3], пересекающихся вещественных [5], па-
параллельных различных и вещественных [7], параллель-
параллельных различных и комплексно-сопряженных [8], совпа-
совпадающих [9]). ?
Чтобы завершить теорию линий второго порядка (в
ситуациях С и (С, R)), осталось рассмотреть вопрос
о единственности их уравнений.
Ясно, что если линия второго порядка задана неко-
некоторым уравнением вида
F (х, у) = О,
где F(x, у) —многочлен второй степени, то пропорций*
212

нальное уравнение
kF(x, у) = 0,
где k — произвольное отличное ог нуля число, будет за-
задавать ту же линию. Такие уравнения естественно рас-
рассматривать как одинаковые.
Оказывается, что (в ситуациях С и (С, R)) этим ис-
исчерпывается весь произвол:
Теорема 3 (о единственности уравнения
линии второго порядка). Если на комплексной
или вещественно-комплексной аффинной плоскости два
уравнения второй степени
F(x,y) = 0, G(x,y) = O
задают (в одной и той же системе аффинных координат
х, у) одну и ту же линию, то эти уравнения пропорцио-
пропорциональны:
G (х, у) = kF (x, у), k^=0.
Эта теорема показывает, что проявленная нами при
доказательстве теоремы 1 предыдущей лекции скрупу-
скрупулезность была, на самом деле, напрасной. Однако, во из-
избежание логического круга, пользоваться там теоремой 3
мы не могли, поскольку ее доказательство опирается на
теорему классификации (и, значит, па результаты пре-
предыдущей лекции).
Доказательству теоремы 3 мы предпошлем ряд об-
общих замечаний, имеющих и самостоятельный интерес.
Основное поле К мы пока будем считать произвольным.
Тот факт, что линия второго порядка
апх2 + 2аюху + а22у2 + 2а1зх + 2ai3y + а.зз = О
проходит через точку М0(х0, г/о), означает выполнение
соотношения
A) апх\ + 2ai2xijy0 -f- а2гу\ + 2a13xQ + 2a23y0 + an = 0,
представляющего собой линейное однородное условие на
шесть коэффициентов
B) ЙЦ, Й12, 022, Я13, а23> Я33
ее уравнения. Но из алгебры известно (это частный слу-
случай общей теоремы о числе фундаментальных решений
системы однородных уравнений, для которой, кстати ска-
213

зать, в следующем семестре мы дадим геометрическую
интерпретацию и новое доказательство), что система п
линейных однородных уравнений от п + 1 неизвестных
имеет единственное с точностью до пропорциональности
нетривиальное решение, если уравнения этой системы
линейно независимы. Поэтому, если пять различных точек
C) Ми Мъ Ма, М4, М5
обладают тем свойством, что соответствующие им пять
условий вида A) на коэффициенты B) линейно незави-
независимы (будем на время доказательства теоремы 3 назы-
называть такие точки независимыми), и если существует ли-
линия второго порядка, проходящая через эти точки (из
теоремы об уравнениях существование этой линии не
вытекает, так как у решения могут оказаться равными
нулю все три компоненты ац, fli2, «22), то любые два
уравнения этой линии пропорциональны. Это означает,
что справедливо следующее предложение:
Предложение 1. Если на линии второго порядка су-
существуют пять независимых точек, то любые два уравне-
уравнения этой линии (вида F(x, у) = 0, где F(x, у) —много-
—многочлен второй степени) пропорциональны. ?
Важным дополнением к этому предложению являет-
является следующая лемма:
Лемма. Точки C) независимы, если никакие четыре
из них не лежат на одной прямой.
Доказательство. Предположим, что точки C)
зависимы, т.е. что соотношение вида A), отвечающее
одной из этих точек (скажем, точке М5), является ли-
линейной комбинацией соотношений, отвечающих осталь-
остальным точкам. Это означает, что любая линия второго по-
порядка, проходящая через первые четыре точки, прохо-
проходит также и через точку Ms. Но одной из таких линий
будет пара прямых М\М2 и М3М4. Поэтому точка М*,
принадлежит одной из этих прямых. По аналогичным
соображениям эта точка принадлежит также одной из
прямых М\М3 и М2Мц. Но очевидно, что это возможно
только тогда, когда хотя бы две из этих четырех прямых
совпадают, т. е. когда хотя бы три точки четверки М\,
М2, М3, М4 лежат на одной прямой.
Пусть это будут точки М], М2 и М3. Тогда линия вто-
второго порядка, состоящая из прямой М\М% и произволь-
произвольной прямой, проходящей через точку М*, будет содер-
содержать все четыре точки Mh Af2, M3, Mt и потому будет
214

содержать точку Ms- Ясно, что это возможно только
тогда, когда точка М5 принадлежит прямой MiM2. Но
тогда, вопреки предположению, точки Mi, M2, М3 и М5
будут лежать на одной прямой. Полученное противоре-
противоречие доказывает лемму. ?
Теперь мы уже можем непосредственно перейти к до-
доказательству теоремы 3.
Доказательство теоремы 3. Согласно пред-
предложению 1 достаточно на каждой линии второго поряд-
порядка найти пять независимых точек. При этом в случае си-
ситуации (.С, К) нет нужды, чтобы эти точки были веще-
вещественны (поскольку мы не строим по этим точкам урав-
уравнение линии, а лишь доказываем его единственность).
Поэтому, не уменьшая общности, мы можем ограничить-
ограничиться ситуацией С.
Если рассматриваемая линия второго порядка не со-
содержит ни одной прямой (т. е. является овалом или па-
параболой), то любые ее три (и тем более четыре) точки
не лежат на одной прямой. Следовательно, согласно
лемме ее любые пять точек независимы. Тем самым для
такой линии теорема 3 доказана.
Ясно, что пять точек, удовлетворяющих условию лем-
леммы и потому независимых, можно найти и на любой па-
паре различных прямых. Поэтому для пар различных пря-
прямых теорема 3 также верна.
Для остающегося случая совпадающих прямых тре-
требуется отдельное исследование.
Пусть F(x, y) = 0, где F(x,y)—многочлен второй
степени, — произвольное уравнение пары совпадающих
прямых. Согласно теореме приведения (в ее аккуратной
формулировке) от координат х, у можно перейти к дру^
гим координатам:
х' = спх + с12у + х[,
у' = с21х + с22у + у'о,
обладающим тем свойством, что после подстановки в
многочлен F(x, у) выражений координат х, у через коор-
координаты х', у' получится многочлен, пропорциональный
многочлену у'2. Но тогда ясно, что сам многочлен F(x,y)
пропорционален многочлену (c21jc + с2,# + #цJ- Этим до-
доказано, что любое уравнение пары совпадающих прямых
имеет вид (Ах + By + СJ = 0, где Ах-\- Ву-\- С = О —
уравнение каждой из этих прямых.
215

Пропорциональность любых двух уравнений пары
совпадающих прямых вытекает теперь из пропорцио-
пропорциональности любых двух уравнений прямой.
Тем самым теорема 3 полностью доказана. ?
Замечание. В случае произвольного основного поля
(характеристики ф2) легко показывается, что линии
типа (I]) и (II) (см. начало лекции) не содержат ни
одной прямой, линия типа (Ь) является либо точкой, ли-
либо парой пересекающихся прямых, а линия типа (IIIi)--
либо пустым множеством, либо парой параллельных пря-
прямых. Кроме того, множество точек каждой линии типа
(II) равномощно множеству элементов поля "<', а мно-
множество точек каждой непустой линии типа (Ь) равно-
мощно множеству элементов поля [< плюс еще один эле-
элемент (докажите!). Таким образом, для случая произ-
произвольного поля К дело формально обстоит точно так же,
как в случае поля R.
Поэтому, если число элементов поля X больше трех,
то теорема 3 будет справедлива для любых линий вто-
второго порядка на аффинной плоскости над полем К, со-
содержащих более одной точки. Для пустых же и одното-
одноточечных линий она в принципе не может быть верной.
Обратимся теперь к линиям второго порядка на
евклидовой (вещественной или вещественно-комплекс-
вещественно-комплексной) плоскости. Координаты х, у мы будем теперь счи-
считать прямоугольными.
Определение 1. Направление 1:т называется глав-
главным по отношению к данной линии второго порядка
апх2 + 2а\2ху + a-i-iif + 2ai3x + 2а2зу + а33 = О,
если перпендикулярное к нему направление —т : I с ним
сопряжено (и, в частности, не является особым).
Это условие, конечно, выполнено для особого направ-
направления —а\2: йц = —а2г : й[2- Таким образом, для каждой
нецентральной линии особое направление (т. е. направ-
направление оси для параболы, а для параллельных прямых —
их направление) является главным направлением.
Главным является и направление, перпендикулярное
особому. Других главных направлений нецентральная
линия второго порядка не имеет. Таким образом, для
любой нецентральной линии существует два и только
два перпендикулярных главных направления. ?
216

Вспомнив теперь изложенный в предыдущей лекции
метод приведения уравнения линий второго порядка к
простейшему виду (II) или (III), мы немедленно обна-
обнаружим, что на евклидовой плоскости это можно сделать
в классе прямоугольных координат: достаточно на на-
начальном этапе построения направление оси ординат вы-
выбрать главным и неособым. Таким образом, для любой
нецентральной линии второго порядка на вещественной
или вещественно-комплексной евклидовой плоскости су-
существуют прямоугольные координаты х, у, в которых ее
уравнение имеет вид (II) или (III). ?
Аналогичное утверждение для центральных линий
будет, конечно, также доказано, если мы докажем суще-
существование хотя бы одной пары сопряженных перпенди-
перпендикулярных (и, следовательно, главных) направлений. Но
это легко. Действительно, сопряженность неособого на-
направления /: m с перпендикулярным направлением
—m : / означает, что имеет место равенство
/ (a2it + a22tn) — m {aul + al2m) = 0,
т. е. равенство
D) a2lP+ (а22 — а11Iт — а12т2 = 0.
Таким образом, направление I: т тогда и только тогда
является главным направлением, когда выполнено соот-
соотношение D). ?
(Непосредственная проверка показывает, кстати ска-
сказать, что это верно и тогда, когда направление i.tn особо.)
При й12 = 0 и а\\=а22 соотношение D) удовлетво-
удовлетворяется тождественно, т. е. в этом случае любое направ-
направление является главным. При а^фО соотношение D)
представляет собой квадратное уравнение относительно
/: т, решения которого можно написать в одном из двух
равносильных видов:
Г.т = (аи — а22± д/(ап — апJ + 4af2) : 2а12,
т
= - 2а1я: (а„ - ай
Эти же формулы пригодны и при ai2 = 0, аХ\Фа22\
нужно лишь пользоваться той формулой, которая имеет
смысл, т. е. верхней, когда корень берется с положитель-
положительным знаком, и нижней — в противном случае.
Таким образом, при (а,, — а22J + 4а212 > 0, эти фор-
формулы дают для 1:т два вещественных значения. Эт
217

означает, что для центральной линии второго порядка
либо существует два и только два главных направления
(автоматически сопряженных и перпендикулярных), ли-
либо любое направление является главным. ?
Тем самым, в частности, доказано, что для любой та-
такой линии существуют прямоугольные координаты, в ко-
которых ее уравнение имеет вид (I), т. е. либо вид (Ii),
либо вид A0).
Умножая (если нужно) на —1, мы можем считать,
что в этом уравнении А > 0. Мы положим
Более того, в случае (Ь) при В > 0, а также в случае
Aо) можно дополнительно считать, что а^Ь (иначе
надо переименовать координаты). Кроме того, в случае
Aо) мы можем добиться и того, чтобы имело место ра-
равенство
+ 1
Аналогично, в случае (II) (изменив, если нужно ори-
ориентацию оси абсцисс) мы можем считать, что А > 0.
Мы положим р = А.
В случае же (IIIi) мы положим
Тем самым мы получаем следующую теорему:
Теорема 4 (о приведении к каноническому
виду на евклидовой плоскости). Для любой
(вещественной) линии второго порядка на вещественной
или вещественно-комплексной евклидовой плоскости су-
существует (вещественная) система прямоугольных коор-
координат, в которой уравнение данной линии принадлежит
к одному из следующих девяти типов:
[1]
[2]
[3]
И)
*2 , у2
а2 "^ Ьг ~
х-2 и2
а2 -Г Ь2 —
х* у2
а2 Ь2~
1,
-1,
0,
1,
где
где
где
где
а>
а>
а>
а>
b
ь
b
о,
>
>
>
ь
0;
0;
0
>
и
0;
1
218

[5]-?-f! = 0, еде a>0,b>0 и ~, + p=U
[6] у2 = 2px, где р > 0;
[7] у* - b2 = 0, где 6 > 0;
[8] r/2 + 62==0) gEe 6>0.
На вещественной плоскости это, соответственно,
эллипс,
пустое множество,
точка,
гипербола,
1
2
3
4
5] пара пересекающихся прямых,
6] парабола,
71 пара параллельных, но различных прямых,
пустое множество,
пара совпадающих прямых,
а на вещественно-комплексной плоскости —
[1] действительный эллипс,
[2] мнимый эллипс,
[3] пара комплексно-сопряженных пересекающихся
прямых,
[4
[5
[6
[7
гипербола,
пара вещественных пересекающихся прямых,
парабола,
пара вещественных параллельных различных
прямых,
[8] пара комплексно-сопряженных параллельных
различных прямых,
[9] пара совпадающих прямых.
При этом ни для одной линии, содержащей в вещест-
вещественном случае более одной точки, не существует двух си-
систем координат, в которых эта линия имела бы различ-
различные уравнения из этого списка.
Последнее утверждение в отношении уравнений раз-
разных типов вытекает из соответствующего утверждения
для аффинного случая, а в отношении уравнений одного
типа — из того, что (в случаях [1] — [8]) коэффициенты
этих уравнений могут быть охарактеризованы геометри-
геометрически:
219

[1] Числа а и Ь равны длинам отрезков, высекаемых
линией на осях симметрии.
[2] (Относится только к вещественно-комплексному
случаю.) Числа ia и ib равны длинам отрезков, высе-
высекаемых линией на осях симметрии.
[3] (Относится только к вещественно-комплексному
случаю.) При а = Ь длина любого отрезка каждой id
прямых, составляющих линию, равна нулю (такие пря-
прямые называются изотропными), а при афЬ косинус
а2 + Ь2 г,
угла между этими прямыми равен 2_ ,г-¦ Вместе с
нормирующим условием —г + тт — 1 это однозначно
определяет числа аи Ь, подчиненные неравенствам
а ^з Ъ > 0.
[4] Число 2а равно длине отрезка, высекаемого лм-
а2 — Ь2
ииеи па оси симметрии, а число 2 , 2 — косинусу угла
между ее асимптотами.
[5J Число а2 г равно косинусу угла между пря-
прямыми, составляющими линию.
[6] Число — равно расстоянию от фокуса до вер-
вершины.
[7] Число 2Ъ равно расстоянию между прямыми, со-
составляющими линию.
[8] (Относится только к вещественно-комплексному
случаю.) Число Tib равно расстоянию между прямыми,
составляющими линию. ?
Следствие (теорема классификации линий
второго порядка на евклидовой плоско-
плоскости). Любая вещественная линия второго порядка на
вещественно-комплексной евклидовой плоскости (любая
линия второго порядка на вещественной евклидовой
плоскости, содержащая более одной точки) является
либо
а) эллипсом (действительным [1] или мнимым [2]),
либо
б) гиперболой [4], либо
в) параболой [6], либо
г) парой прямых (пересекающихся комплексно-сопря-
комплексно-сопряженных [3], пересекающихся вещественных [5], парал-
параллельных различных и вещественных [7\, параллельных
220

различных и комплексно-сопряженных [8], совпадаю-
совпадающих (9)). D
Рассмотрим в заключение вопрос о геометрическом
описании центральных линий, для которых любое на-
направление является главным.
На вещественной евклидовой плоскости примером та-
такой линии является окружность, т. е. геометрическое ме-
место точек, расстояние которых от данной точки (центра)
равно данному числу R. Действительно, уравнение
окружности (в прямоугольных координатах х, у) имеет,
очевидно, вид
E) (x-af + (y-bJ = R2,
где а, Ъ — координаты центра, т. е. вид
F) х1 + if — 2ах —
где c = a2 + b2 — R2. Таким образом, для окружности,
действительно, а\2 = 0 и ап = а2г- ?
На вещественно-комплексной плоскости мы примем
последнее свойство за определение:
Определение 2. Вещественная линия второго порядка
на вещественно-комплексной евклидовой плоскости на-
называется окружностью, если а]2 = 0 и ац = а22, т. е.
если ее уравнение может быть записано в виде F).
Точка (вещественная) с координатами a, b называется
при этом центром окружности, а число/?= -\/а2-\-Ь2—с —
ее радиусом.
Непосредственно проверяется, что эти определения ¦
корректны, т. е. не зависят от выбора прямоугольных
координат х, у.
Возможны три случая:
Случай а2 + Ь2 — с>0. В этом случае радиус R
окружности является положительным вещественным чис-
числом. Ее пересечение с вещественной плоскостью пред-
представляет собой обычную окружность радиуса R с цент-
центром (а, Ь). Как линия второго порядка такая окруж-
окружность имеет тип [1], т.е. является действительным
эллипсом. Обычно она называется действительной
окружностью.
Случай а2 + Ъ2—с = 0. Радиус R окружности ра-
равен нулю. С вещественной плоскостью она имеет един-
единственную обш^ю точку @, 0)—центр. Как линия иш-
221

рого порядка эта окружность принадлежит типу [3] и
является парой пересекающихся (в точке @, 0)) комп-
лексно-сопряженных изотропных прямых.
Случай а2 + Ь2 — с < 0. В этом случае обычно по-
полагают R= Vl fl2 + b2 — с \, обозначая тем самым ра-
радиус окружности через iR. Вещественных точек такая
окружность не имеет. Она принадлежит типу [2] и обыч-
обычно называется мнимой окружностью.
Во всех трех случаях окружность представляет собой
геометрическое место точек вещественно-комплексной
евклидовой плоскости, расстояние которых от центра
равно данному вещественному или чисто мнимому числу.
При желании это можно принять за ее определение.

Лекция 23
ЭЛЛИПСОИДЫ. - МНИМЫЕ ЭЛЛИПСОИДЫ. - МНИ-
МНИМЫЕ КОНУСЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА. — ДВУПОЛОСТ-
ДВУПОЛОСТНЫЕ ГИПЕРБОЛОИДЫ. —ОДНОПОЛОСТНЫЕ ГИПЕР-
ГИПЕРБОЛОИДЫ.—ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗУЮЩИЕ ОД-
НОПОЛОСТНОГО ГИПЕРБОЛОИДА. — КОНУСЫ ВТО-
ВТОРОГО ПОРЯДКА. —ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ПАРАБОЛОИ-
ПАРАБОЛОИДЫ. — ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ПАРАБОЛОИДЫ. — ЭЛ-
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЦИЛИНДРЫ. —ОСТАЛЬНЫЕ ПО-
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.—ФОРМУЛИРОВКА
ТЕОРЕМЫ КЛАССИФИКАЦИИ.
Аналогом линий второго порядка являются в простран-
пространстве поверхности второго порядка, имеющие уравнение
вида
F (х, у, г) = О,
где F(x, у, z) —некоторый многочлен от х, у, г второй
степени. Для этих поверхностей можно повторить с соот-
соответствующими изменениями и усложнениями все сказан-
сказанное выше о линиях второго порядка. Не имея на это
времени, мы ограничимся тем, что вкратце опишем все
возможные их типы. Работать мы будем в евклидовом
пространстве в прямоугольных координатах.
Тип [1]. К этому типу принадлежат поверхности,
имеющие в некоторой системе прямоугольных координат
х, у, z уравнение вида
х2 у2 гг
где а ^ Ъ ~^ь с > 0. Они называются эллипсоидами.
При а = Ь = с эллипсоид является сферой радиуса а.
223

Чтобы представить себе форму произвольного эллип-
эллипсоида, проще всего изучить его сечения плоскостями, па-
параллельными координатным плоскостям. Рассмотрим,
например, плоскость z = h, параллельную плоскости
Оху. На этой плоскости числа х, у являются координа-
координатами (относительно координатной системы ////, где t,
j — орты осей Ох и Оу, а Н — точка с координатами
(О, О, А)), а уравнение линии, высекаемой на ней эллип-
эллипсоидом A), имеет в этих координатах вид
т. е. вид
= 1.
Следовательно, плоскость z = h при |ft| > с не пересе-
пересекает эллипсоид A), при |Л|=с имеет с эллипсоидом A)
2 единственную общую точ-
точку (@, 0, с) при h = с и
(О, 0, —с) при h = —с)
и при |А| <с пересекает
эллипсоид A) по эллип-
эллипсу с полуосями
Эллипсоид наибольшими (и равными
а и Ь) при h — 0 и моно-
монотонно уменьшающимися до нуля, когда |Л| возрастает
от нуля до с.
Аналогично показывается, что плоскость у = h при
\у\ > b не пересекает эллипсоид A), при \у\ =Ь имеет
с эллипсоидом A) единственную общую точку ((О, Ь,0),
когда у = Ь, и (О, —Ь, 0), когда у = —Ь) и при \у\ < b
пересекает эллипсоид A) по эллипсу с полуосями
наибольшими (и равными а и с), когда Л = 0, и моно-
монотонно уменьшающимися до нуля, когда |ft| возрастает
от нуля до 6,
224

Точно так же плоскость х = h при |Л| > а не пере-
пересекает эллипсоид A), при \h\=a имеет с эллипсоидом
A) единственную общую точку ((а, 0, 0), когда h = a,
и (—а, 0,0), когда h = —а) и при |Л|<а пересекает
эллипсоид A) по эллипсу с полуосями
V
1 ~ "Р"'
~
Мнимый эллипсоид.
наибольшими (и равными & и с), когда /г=0, и моно-
монотонно уменьшающимися до нуля, когда |Л| возрастает
от нуля до а.
Все это дает вполне удовлетворительное представле-
представление о форме эллипсоида A). В частности, мы видим, что
эллипсоид A) целиком рас-
расположен в прямоугольном
параллелепипеде (вписан в
этот параллелепипед) с
центром в точке О @, 0, 0),
с гранями, параллельными
координатным плоскостям,и
со сторонами, имеющими
длины 2а, 2& и 2с.
Можно еще добавить, что
так как уравнение A) не
меняется при изменении зна-
знаков координат х, у, z, то ко-
координатные плоскости яв-
являются плоскостями симметрии эллипсоида A), а нача*
ло координат—его центром симметрии.
При а> b > с никаких других плоскостей симмет-
симметрии эллипсоид не имеет.
Тип [2]. К этому типу принадлежат поверхности,
имеющие в некоторой системе прямоугольных координат
х, у, z уравнение вида
У2 /;2 ?2
B) 17 + fr + fr = -l.
где а $г b ~zz с > 0. Они вещественных точек не имеют и
называются мнимыми эллипсоидами.
Тип [3]. К этому типу принадлежат поверхности,
имеющие в некоторой системе прямоугольных коорди-
координат х, у, z уравнение вида
C) 4?
ьг
8 М М Постников
225

1 I I
где a ^ fr ^ с > О и —т + -гг Н—г = I • Они имеют един-
единственную вещественную точку О@, 0, 0) и называются
мнимыми конусами второго по-
порядка.
Мнимый конус второго
порядка.
Двунолостмый гипербо-
гиперболоид.
боле с полуосями
Тип [4]. К этому типу при-
принадлежат поверхности, имеющие
в некоторой системе прямоуголь-
прямоугольных координат х, у, г уравнение
вида
(л\ ?1 д. ML — Л1 i
к ' а2 ~ ьг с' ~~ '
где а ^ Ъ > 0, с > 0. Они назы-
называются двуполостными гипербо-
гиперболоидами.
Плоскость 2 = h при |ft| <с
не пересекает гиперболоид D),
при |/г| =с имеет с гиперболои-
гиперболоидом D) единственную общую
точку (@, 0, с) при h = c и
@,0, —с) при h = —с) и при
\h\ >c пересекает гиперболоид
D) по эллипсу с полуосями
л 1
.2 * »
монотонно возрастающими (от 0
до +°°), когда \h\ возрастает
от с до 4-°°-
Любая плоскость y = h пере-
пересекает гиперболоид A) по гипер*
боле с полуосями
монотонно возрастающими (от с
и а до +°°), когда \h\ возрас-1
тает от нуля до +оо.
Любая плоскость x = h пере-
пересекает гиперболоид A) но гипер-
S26

монотонно возрастающими (от г и & до -т-°°)> когда |Л|
возрастает от нуля до -f- со.
Этим форма двуполостного гиперболоида полностью
выяснена. В частности, мы видим, что этот гиперболоид
состоит из двух симметричных частей («пол»), располо-
расположенных, соответственно, в полупространствах z ^ с и
г<—с.
По тем же соображениям, что и для эллипсоида, ко-
координатные плоскости являются плоскостями симметрии
двуполостного гиперболоида, а начало координат — его
центром симметрии.
Тип [5]. К этому типу принадлежат поверхности,
кмеющие в некоторой системе прямоугольных координат
х, у, z уравнение вида
E)
ьг
где а ^ b > 0, с > 0. Они назы-
называются однополостными гипербо-
гиперболоидами.
Любая плоскость z = h пере-
пересекает гиперболоид E) по эллип-
эллипсу с полуосями
монотонно возрастающими от а и
Ъ до +оо, когда \h\ возрастает
от нуля до +°°-
Эллипс
о2 ^ Ь2 ~
Одиополостный гипер-
гиперболоид.
получающийся при /г = 0, называется горловым эллип-
эллипсом гиперболоида E).
Что же касается плоскостей у = h и x — h, то плос-
плоскость y = h при \h\ <C Ь пересекает гиперболоид E) по
гиперболе с полуосями
монотонно убывающими от а и с до пуля, когда |/г| воз-
возрастает от нуля до Ь; при |Л| =& она пересекает гипер-
227

болоид E) по паре прямых, имеющей в координатах
х, z (являющихся, очевидно, прямоугольными координа-
координатами на этой плоскости) уравнение
Л ? л
и2 с2
и при | h ! > Ь — по гиперболе с полуосями
V, 2™
монотонно возрастающими от нуля до +оо, когда \h\
возрастает от b до + °°- Мнимые (действительные) оси
гипербол, получающихся при \h\ > b, параллельны дей-
действительным (мнимым) осям гипербол, получающихся
при |Л| < Ь.
Аналогично, плоскость x = h при |/г| < а пересекает
гиперболоид E) по гиперболе с полуосями
монотонно убывающими (от & и с до нуля), когда |Л|
возрастает от нуля до -f-°°; при |/г| —а она пересекает
гиперболоид E) по паре прямых, имеющей в координа-
координатах у, z (являющихся, очевидно, прямоугольными коор-
координатами на этой плоскости) уравнение
,,2 ,2
Ь2 с' ~"'
и при | h | > а — по гиперболе с полуосями
монотонно возрастающими от нуля до +°°. когда |Л|
возрастает от а до +оо. Мнимые (действительные) оси
гипербол, получающихся при |Л|>а, параллельны
действительным (мнимым) осям гипербол, получающих-
получающихся при |Л| <о.
Кроме того, подобно предыдущим поверхностям, ги-
гиперболоид имеет координатные плоскости плоскостями
симметрии, а начало координат — центром симметрии.
Самым замечательным свойством гиперболоида E)
является наличие прямых, целиком на нем лежащих.
Определение 1. Поверхность в пространстве назы-
называется 1-кратно линейчатой поверхностью, если через
228

любую ее точку проходит / (и только /) различных пря-
прямых, целиком на ней лежащих. Эти прямые называются
прямолинейными образующими линейчатой поверхности.
Предложение 1. Однополостной гиперболоид E) яв-
является дважды линейчатой поверхностью.
Доказательство. Пусть Мо(л'о, уо, Zo) — произ-
вочьная точка гиперболоида E). Прямая, проходящая
через точку Мо и имеющая направляющий вектор
а(/, in, n), тогда и только тогда целиком лежит па ги-
гиперболоиде E), когда тождествен-
тождественно по t имеет место равенство
(л:0 + <1J . (ye + ^iJ (г0 + tn)!
Ь2
-=1.
Раскрывая скобки и учитывая, что,
согласно условию,
мы получим отсюда два соотноше-
соотношения:
1х0 |^ тур пга
а2 """ б2 с2 '
= 0.
Прямолинейные обра-
образующие однополоет-
иого гиперболоида.
Из первого соотношения следует, что пФ-§ (так как
иначе имело бы место равенство (/, т, п) = @, 0, 0)).
Поэтому без ограничения общности мы можем считать,
что п = с.
Тогда для / и т мы будем иметь уравнения
I2
/(о
туg
г0
с
Цолагая во втором уравнении
мы немедленно получим (учитывая первое уравнение),
что
1Х, , _'"</!._ Q
229

Кроме того, так как
4 А
ТО
т. е. точка (л:), yi) принадлежит горловому эллипсу ги-
гиперболоида E).
Поэтому числа Xi и у\ не равны одновременно нулю,
и, значит, равенство
/*i I ту, п
„2 -Г" Ь2 —V
однозначно определяет отношение /: т =—a2yi :
Мы положим
l = — jijiu, m = ~xiu,
где и — множитель пропорциональности. Так как
2 2 / ^ 2
Р" + IF = V"F + "?¦ J »2.
то и2 = 1, т. е. и = ±1. Кроме того,
~- = Xi — и j -^- г/,,
Уо У1 + т
откуда мы находим хх и г
a zo
b
a
1з.:
с :
b
a
— X
с
Обратно, непосредственная проверка показывает, что
для любого t точка с координатами
— xlt, z = zo-\-ct,
230

где « = ±1, а числа Х\ и у\ вычислены по формулам (*);
лежит на гиперболоиде E) (а точка (х\, у{)—на его
горловом эллипсе). ?
Полученные параметрические уравнения
х — хо — и j yxt,
У = Уо + и — Xj,
Прямолинейных образующих гиперболоида E) удобно
ререписать по-иному, заметив, что
т. е. что при / = —— получается точка (*ь у и 0). По-
Поэтому, полагая /' = / + ~ и опуская штрихи, мы иолу-
чим для прямолинейных образующих те же уравнения,
но с заменой Хо, Уо и го на х\, у\ и 0. Этим доказано сле-
следующее предложение:
Предложение 2. Любая прямолинейная образующая
однополостного гиперболоида пересекает его горловой
эллипс. Параметрические уравнения прямолинейных об-
образующих, проходящих через точку (xlt y{) горлового
эллипса, имеют вид
х — х{ — и-г-У iff
y = iji + и — х{(,
где и = ± 1. ?
Две прямолинейные образующие гиперболоида E)
мы будем называть одноименными, если им соответст-
соответствует одно и то же значение и. Тем самым все образую-
образующие разбиваются на два класса: одноименные образую-
образующие принадлежат одному классу, разноименные — раз-
разным. Эти классы обычно называются семействами пря-
прямолинейных образующих гиперболоида E),
231

Теорема 1 (о свойствах прямолинейных
образующих однополостного гиперболои-
гиперболоида). Имеют место следующие утверждения:
A. Через любую точку однополостного гиперболоида
проходит одна и только одна прямолинейная образую-
образующая каждого семейства.
Б. Любые две разноименные образующие однопо-
однополостного гиперболоида лежат в одной плоскости
B. Любые две одноименные несовпадающие образую-
образующие однополостного гиперболоида скрещиваются.
Г. Никакие три одноименные попарно различные об-
образующие однополостного гиперболоида не параллельны
никакой плоскости
Доказательство. Свойство А фактически дока-
доказано выше. Пусть (ЛГ[, у{) и (vr2, у2) —две точки горло-
горлового эллипса. Тогда, согласно предложению 1, направ-
направляющие векторы двух разных прямолинейных образую-
образующих, проходящих через эти точки, имеют вид
а Ь \
—»2уу2) u2 — x2,cj,
где и\ = ±1 и «2 = ±1, и поэтому эти образующие тогда
н только тогда скрещиваются, когда отличен от нуля
определитель
Х2~ХХ 1/2 — У\ О
а Ь
я.ТУ| «.-*> с
а Ь
Ui — 1/2 Ч2 — Х2 С
— — и abcГ (Гг~ *iH*a —цу>) 1 (и* — У\){У1 — иу.) 1
где н = «1«2- Но если «=1, то
(х2 — у,) (х2 — uxj) 1 (У2 — У)) dj2 — иу\)
а2 "т~ б2 ~~
_ (х2 — XjJ
(при ы^1 оба равенства Xi = х2, У\—У2 невозмежпы,
ибо тогда обе образующие были бы одинаковыми), а
232

если и =— I, то
(*2 — Г,) (Х2 — «Г,)
(г/г — Ух) (Уз — иух)
Ь2
2
Этим доказаны свойства Бп В.
Для доказательства свойства Г достаточно устано-
установить, по лля любых трех попарно различных точек
(*ь I/O, (^2, г/г), (*з, Уз) горлового эллипса векторы
Ь
и-хь
Ь
" — АГг,
Ь
итх3,
с),
Где « = ±1, ие компланарны, т. е. что определитель
b
a
b
и —
a
x3
с
с
= с
х\
хг
Хз
2/1
Уг
Уъ
1
1
1
а
отличен от нуля По это на самом деле так, поскольку
точки (дг|, г/0> (Х2, Уъ) и (^з, Уз) не лежат на одной пря-
прямой D
Продолжим теперь перечисление возможных типов
поверхностей второго порядка.
Тип [6]. К этому типу принадлежат поверхности,
имеющие в некоторой системе прямо) юльных координат
х, у, z уравнение вида
„2 ,,2 ,2
F) -т- + |т - -V = О,
где а ^ 6 > 0, с > 0 и ~~г + "/л"Н—г = 1 • Они назы-
называются действительными конусами второго порядка.
Координатные плоскости являются плоскостями сим-
симметрии конуса F), а начало координат — его центром
симметрии.
233

Вообще, конусом называется линейчатая поверхность,
все прямолинейные образующие которой проходят через
одну точку, называемую вершиной конуса.
Для любой точки Мп(х0, г/о, г0) поверхности F),
отличной от точки 0@,0,0), каждая точка вши»
(tx0, /г/о, feo),T. e. каждая точка пря-
прямой ОМ0, принадлежит этой поверх-
поверхности:
Кон^с второго
рядка.
по-
Таким образом, поверхность F)
действительно является конусом.
Направляющей конуса называет-
называется произвольная расположенная на
нем линия, обладающая тем свой-
свойством, что любая прямолинейная
образующая пересекает ее в одной
и только одной точке.
Примером направляющей кону-
конуса F) может служить его сече-
сечение произвольной плоскостью вида
z = А, где кФО. Это сечение является эллипсом с по-
полуосями
монотонно возрастающими вместе с |/г| от нуля до -{-оо.
Прямая, проходящая через центры эллипсов, получаю-
получающихся таким способом при различных А, т. е. ось Ог,
называется осью конуса. Интересно, что, пересекая ко-
конус F) плоскостями, не перпендикулярными оси, мы мо-
можем получить окружность (докажите!). Поэтому конус
F) называется также круговым конусом или — когда
желают подчеркнуть, что ось конуса не проходит, во-
вообще говоря, через центр этой окружности, — косым кру-
круговым конусом. В случае, когда ось конуса проходит че-
через центр этой окружности, — что имеет место тогда и
только тогда, когда плоскость окружности перпендику-
перпендикулярна оси, или, иначе, когда а=Ь, — конус F) назы-
называется прямым круговым конусом.
234

Направляющими конуса F) —или, точнее, этого кону-.
са без двух образующих — будут также его сечения пло-
плоскостями у = h и х = 1г, где
h Ф О, являющиеся гипербо-
гиперболами с полуосями
hi -?-
II
—l л I, a l л I»
также монотонно возраста-
возрастающими вместе с \h\ от нуля
до -{-co.
Плоскость 2 = 0 пересе-
пересекает конус F) по точке, а
плоскости у = 0 и х = 0 —
по парам прямых (двум об-
образующим).
Плоскими сечениями (и
направляющими) конуса F)
являются не только эллипсы
и гиперболы, но и парабо-
параболы. Так, например, парабо-
параболой будет сечение конуса F)
любой плоскостью вида 2 =
= -- х + h, где h ф 0. Дей-
Действительно, числа х, у яв-
являются на этой плоскости
аффинными (не прямоуголь-
прямоугольными!) координатами, а
уравнение линии, высекае-
высекаемой на ней конусом F),
имеет в этих координатах вид
Л I М,
„г ~г 1,2
= 0.
а' • Ьг
Несложными преобразова-
преобразованиями это уравнение приво-
приводится к виду
о lib2 ( , ha\
J ас V 2с )
Сечения конуса второго поряд-
порядка, являющиеся а) гиперболой;
б) параболой.
с очевидностью
параболу.
показывающему, что оно определяет
233

Мы видим, что и эллипс, и гипербола, и парабола
являются плоскими сечениями конуса F). На этом осно-
основании эти линии обычно называются коническими сече-
сечениями.
Тип [7]. К этому типу принадлежат поверхность1,
имеющие в некоторой системе прямоугольных координат
х, у, г уравнение вида
G)
где р ^ q >> 0. Они называются эллиптическими пара-
параболоидами.
Плоскость z = h при h < 0 не пересекает парабо-
параболоид G), при h = 0 имеет с ним единственную общую
точку @, 0, 0) и при h > 0
пересекает параболоид по
эллипсу с полуосями
монотонно возрастающими
вместе с h от нуля до +°°-
Плоскости у = h и х = h
пересекают параболоид G)
по параболам с фокальными
параметрами р н ц, с вер-
вершинами в точках (о, h, j-J
и (Л, 0, -?-Л и с «рогами»,
направленными вверх.
Плоскости х = 0 и г/ = 0
являются плоскостями сим-
симметрии параболоида G). При р Ф q других плоскостей
симметрии у него нет.
Ясно, что эллиптический параболоид (подобно эл-
эллипсоиду и двуполостному гиперболоиду) линейчатой
поверхностью не является.
Тип [8]. К этому типу принадлежат поверхности,
имеющие в некоторой системе прямоугольных координат
236
Эллиптический параболоид.

х, у, г уравнение вида
где р ~> 0, q >> 0. Они называются гиперболическими па-
параболоидами.
Из всех поверхностей второго порядка форму гипер*
болического параболоида представить себе труднее всего.
Плоскость г = h при
И < 0 пересекает парабо- z
лонд (8) по гиперболе с
полуосями
\-2qh, У-
монотонно убывающими
от +оо до нуля, когда h
возрастает от —оо до
нуля. Действительная ось
этой гиперболы парал-
параллельна оси Ох, а мни-
мнимая — оси Оу.
Гиперболический параболоид.
Плоскость 2 = 0 пересекает гиперболоид (8) по паре
прямых, имеющей (в координатах х, у) уравнение
а плоскость z—h при h > 0 — по гиперболе с полу-*
осями
монотонно возрастающими вместе с h от нуля до -f-oo,
В противоположность случаю h ¦< 0, действительная ось
этой гиперболы параллельна оси Оу, а мнимая — оси Ох.
Плоскости у = h и х = h пересекают гиперболиче*
ский параболоид (8) по параболам с фокальными пара-
параметрами р и q и с вершинами, соответственно, в точках
{0, h, —-о") и О1' 0> if"I *Р°га* пеРВ0И параболы на-
направлены вверх, а второй — вниз. Вершины парабол, вы*
секаемых плоскостями y = h, лежат на параболе, высе<
каемой плоскостью х = 0, а вершины парабол, высекае-
высекаемых плоскостями x = h, — па параболе, высекаемой
плоскостью у = 0.
237

Плоскости х = 0 и у = 0 являются плоскостями сим-
симметрии гиперболического параболоида (8).Никаких дру-
других плоскостей симметрии этот параболоид не имеет.
Предложение 3. Гиперболический параболоид яв-
является дважды линейчатой поверхностью
Доказательство. Пусть М0(х0, у0, z0) — произ-
произвольная точка параболоида (8). Если проходящая через
точку Мо прямая
+ l
z~zo-\-ln
целиком лежит на параболоиде (8), то тождественно по
t должно иметь место равенство
т. е. равенство
Р Я ) ' V Р Я
что возможно только при
и
Р Я
С точностью до пропорциональности эти уравнения
имеют два и только два решения
где и = ± 1.
Обратно, непосредственная проверка показывает, что
обе прямые
х = хо + ( Vp t
целиком лежат на параболоиде (8). ?
238

Если -—- — и -Щ= Ф 0, то при / = /ь где
Vp V<7
i
= I —=- -4- U —-=¦ \,
_Цо_ 2 VVp у/Ч )
найденные прямолинейные образующие пересекают пло»
скость z = 0 и, следовательно, одну из лежащих на пара-
параболоиде прямых
х У п
j= 7= = 0 нли
V
Vp V<7
принадлежащих этой плоскости. Поскольку
V Vp
Vp V? V Vp V<7 /
этой прямой является прямая
--^ + « -^ = О
Vp V?
с параметрическими уравнениями
-оо<т< + оо.
При этом точке пересечения
отвечает отличное от нуля значение
Vp Vp H Vp V<7 /
параметра т. Геометрически число ti равно расстоянию
точки пересечения от начала координат, деленному на
длину вектора (У/?, —u^Jq), т. е. на л/р + q-
Полагая t' — t—tit мы получаем отсюда, что
= Уо + /« V<7 = (l/o + ^i
= «(/'- т,)
Если же -4^ — г<-^ = 0 и потому (согласно урав-
Vp V<?
нению (8)) го = О, то рассматриваемая прямолинейная
5139

образующая целиком лежит в плоскости z — О и прохо-
проходит через начало координат. По-прежнему полагая ? =
= t— ti, мы можем ее параметрические уравнения запи-
записать в виде
x = t\rp, y = ul'^Tq, z = 0,
т. е. в том же виде, как и раньше, но с х\ = 0.
Z
Тем самым нами доказано следующее предложение
(мы снова обозначаем /' через /, a ti — через т):
Предложение 4. Каждая прямолинейная образующая
гиперболического параболоида (8) пересекает плоскость
г = 0 или лежит в этой плоскости. Ее параметрические
уравнения могут быть записаны в виде
т) У Р".
у = иA —
z = 2ti,
где ы = ±1, а число т либо равно нулю (если образую-
образующая целиком лежит в плоскости 2 = 0), либо равно делен-
деленному на -у/р + q расстоянию от начала координат до
точки пересечения образующей с плоскостью г = 0. G
Так же как и в случае однополостного гиперболоида,
две прямолинейные образующие называются одноимен-
одноименными (принадлежащими одному семейству образую-
образующих), если им отвечает одно и то же значение и.
Теорема 2 (о свойствах прямолинейных
образующих гиперболического параболо-
параболоида). Имеют место следующие утверждения:
А. Через любую точку гиперболического параболоида
проходит одна и только одна прямолинейная образую-
образующая каждого семейства*
240

Б. Любые две разноименные образующие гиперболы-
ческого параболоида пересекаются (и, значит, лежат в
одной плоскости).
В. Любые две одноименные несовпадающие образую-
образующие гиперболического параболоида скрещиваются.
Г. Все образующие одного семейства параллельны
одной плоскости.
Мы видим, что свойства образующих гиперболичен
ского параболоида вполне аналогичны свойствам обра-
образующих однополостного гиперболоида (причем свойство
Б даже несколько сильнее — исключена параллельность
образующих). Единственное фундаментальное различие
заключено в свойстве Г.
Доказательство теоремы 2. Свойство А мы
выше \же фактически доказали. Длг того чтобы две об-
образующие
х = (/ + Tt) л/J, х = (I + т2) УJ,
y = ii[(t — т^Уд, и y=iiz(t — т2)У<?.
не скрещивались, необходимо и достаточно, чтобы был
равен нулю определитель
VV «1 V<7 2т i
Vp «2 V<7 2Tj
= 2 Vpa (tii + u2) (t2 — TiJ,
Это доказывает свойство В. Для доказательства же свой-
свойства Б нужно еще дополнительно заметить, что, по-
поскольку
«2
разноименные образующие ие могут быть параллельны.
Наконец, ясно, что все векторы вида (У/?, «У?, 2т)
параллельны плоскости
Это доказывает свойство Г. ?
Тип [9]. К этому типу принадлежат поверхности,
имеющие в некоторой системе прямоугольных координат
241

х, у, z уравнение вида
(9)
4 + 4 = i,
где
а 3? Ъ > 0.
Эллиптический цилиндр.
Они называются эллиптическими цилиндрами.
Координатные плоскости являются плоскостями сим-
симметрии цилиндра (9), а начало координат — его центром
симметрии. При а ф b других
плоскостей симметрии цилиндр
(9) не имеет.
Вообще, цилиндром называет-
называется линейчатая поверхность, все
прямолинейные образующие ко-
которой параллельны друг другу.
Если цилиндр имеет центр сим-
симметрии, прямая, проходящая че-
через этот центр параллельно обра-
образующим, называется осью ци-
цилиндра (она будет его осью сим-
симметрии).
Ясно, что для любой точки
М')(х0, г/о, 2о) поверхности (9)
каждая точка вида (х0, у0, г), т.е.
каждая точка прямой, проходящей через точку (хо, Уо)
параллельно оси Oz, принадлежит этой поверхности.
Таким образом, поверхность (9) действительно является
цилиндром. Его осью служит ось Oz.
Направляющей цилиндра называется произвольная
расположенная иа нем линия, которую каждая образую-
образующая пересекает в одной и только одной точке. В частно-
частности, плоские направляющие — это в точности линии, вы-
высекаемые* на цилиндре плоскостями, не параллельными
образующим. Например, каждая плоскость z = h (пер-
(перпендикулярная образующим цилиндра (9)) пересекает
цилиндр (9) по эллипсу, имеющему в координатах х, у,
определенных на этой плоскости, уравнение (9). Это
объясняет прилагательное «эллиптический» в названии
цилиндра (9).
Интересно, что одной из плоских направляющих ци-
цилиндра (9) является окружность (докажите!). Поэтому
эллиптические цилиндры называются также круговыми
242

цилиндрами или, точнее, — ко-
когда следует подчеркнуть, что
плоскость, высекающая окруж-
окружность, не перпендикулярная
оси, — косыми круговыми ци-
цилиндрами. В случае, когда эта
плоскость перпендикулярна
оси, т. е. в случае, когда а = Ь,
цилиндр (9) называется пря-
прямым круговым цилиндром. Это
и есть цилиндры, рассматри-
рассматриваемые в школьном курсе ма-
математики.
Все остальные поверхности
второго порядка также пред-
представляют собой цилиндры (на-
(направляющими
ляюгся другие
порядка).
Тип [10].
принадлежат
имеющие в некоторой системе
прямоугольных координат х,
у, г уравнение вида
(Ю) ¦^- + 'F=:-1-
где а ^ b > 0. Они веществен-
вещественных точек не имеют и назы-
называются мнимыми эллиптиче-
эллиптическими цилиндрами.
Тип [11]. К этому типу
принадлежат поверхности,
имеющие в некоторой системе
прямоугольных координат х, у,
г уравнение вида
которых яв-
линии второго
К этому типу
поверхности,
A1)
где а > 0,
v
. 9 *~Г" К9 I •
Вещественные точки каждой
такой поверхности составляют
Мнимый
эллиптический
ликдр.
ци-
Пара мнимых плоскостей.
ТТ
._[^
1
к
Z
0
у-
*
¦ ¦
\
^-
¦ 1
г
I'miepOo.iimecKHii цилиндр.
243

——-J
4,
i
%
Пара
пересекающихся
плоскостей.
Параболический цилиндр.
Пара параллельных раз-
различных плоскостей.
244
прямую. В вещественно-комплек-
вещественно-комплексном пространстве поверхность
A1) представляет собой пару
мнимых (комплексно-сопряжен-
(комплексно-сопряженных) плоскостей, пересекающих-
пересекающихся по вещественной прямой.
Тип [12]. К этому типу при-
принадлежат поверхности, имеющие
в некоторой системе прямоуголь-
прямоугольных координат х, у, z уравнение
вида
v2 .,2
A2) i^-|r=l,
где а > О, Ь > 0. Они называют-
называются гиперболическими цилиндра-
цилиндрами. Каждая плоскость z = h пе-
пересекает цилиндр A2) по гипер-
гиперболе, имеющей в координатах х,
у на этой плоскости уравне-
уравнение A2).
Тип [13]. К этому типу при-
принадлежат поверхности, имеющие
в некоторой системе прямоуголь-
прямоугольных координат х, у, z уравнение
вида
где а > О, 6>0 и -^- + -^-=1.
Каждая такая поверхность пред-
представляет собой пару пересекаю-
пересекающихся плоскостей.
Тип [14]. К этому типу при-
принадлежат поверхности, имеющие
в некоторой системе прямоуголь-
прямоугольных координат х, у, z уравнение
вида
A4) У2 = 2рх,
где р > 0. Они называются пара-
параболическими цилиндрами. Каж-
Каждая плоскость z=h пересекает

цилиндр A4) по параболе, имеющей в координатах х, у
на этой плоскости уравнение A4/.
Тип [15]. К этому типу принадлежат поверхности,
имеющие в некоторой системе прямоугольных координат
х, у, г уравнение вида
A5) </2-&2 = О,
где b > 0. Они представляют собой пару параллельных
различных плоскостей.
Тип [16]. К этому типу принадлежат поверхности,
имеющие в некоторой системе прямоугольных координат
х, у, z уравнение вида
A6) //2+&2 = 0,
где b > 0. Они представляют собой
пару мнимых (комплексно-сопря-
(комплексно-сопряженных и различных) плоскостей.
Тип [J7J. К этому типу принад-
принадлежат поверхности, имеющие в не-
некоторой системе прямоугольных ко-
координат х, у, z уравнение вида
A7) if = 0.
Каждую такую поверхность можно
рассматривать как пару совпадаю-
совпадающих плоскостей.
г~-
r—^
Пара мнимых различ-
различных плоскостей.
Теорема классификации
поверхностей второго по-
порядка утверждает, что перечислен-
перечисленными семнадцатью типами исчерпы-
исчерпываются все поверхности второго по-
гядка в евклидовом пространстве,
причем ни для одной поверхности
не существует двух систем прямо-
прямоугольных координат, в которых она
бы имела различные уравнения
A) — A7). Таким образом, все по-
Еерхиости второго порядка исчерпы-
исчерпываются
а) эллипсоидами (действительными [1] и мнимыми
[2]),
б) гиперболоидами (одиополостиыми [о]
лостными [4]),
Пара совпадающих
плоскостей.
и двупо-
245

в) параболоидами (эллиптическими [7] и гиперболи-
гиперболическими [8]),
г) конусами второго порядка (мнимыми [3] и дей-
действительными [6]),
д) цилиндрами второго порядка (действительными
эллиптическими [9], мнимыми эллиптическими [10], па-
параболическим» [14] и гиперболическими [12]),
е) парами плоскостей (мнимых пересекающихся [11],
действительных пересекающихся [13], действительных
параллельных и различных [15], мнимых параллельных
[16], действительных совпадающих [17]).
Мы эту теорему доказывать не будем, поскольку в
следующем семестре докажем ее обобщение на случай
пространств любой размерности.

Лекция 24
КООРДИНАТЫ ПРЯМОЙ —ПУЧКИ ПРЯМЫХ -СОБ-
-СОБСТВЕННЫЕ И НЕСОБСТВЕННЫЕ ПУЧКИ. — РАСШИ-
РАСШИРЕННЫЕ ПЛОСКОСТИ —МОДЕЛИ АФФИНПО-ПРО-
ЕКТИШЮН ГЕОМЕТРИИ.
До сих пор мы считали основным элементом геометрии
точку. Но это совсем необязательно. Можно, например,
строить геометрию, в которой основными элементами
являются прямые. Мы рассмотрим сначала прямые на
плоскости (аффинной).
Предполагая, что па плоскости фиксирована некото-
некоторая система аффинных координат х, у, мы можем любую
прямую на этой плоскости охарактеризовать тремя чис-
числами А, В, С — коэффициентами ее уравнения
A) Ах + Ву + С = 0.
Подобно тому, как координаты однозначно определяют
точку, эти числа однозначно определяют прямую. По-
Поэтому их естественно называть координатами прямой.
Однако если точка однозначно определяет свои коорди-
координаты, то для прямой это не так — ее координаты опреде-
определены только с точностью до пропорциональности. Это
свойство координат прямой называется их однород-
однородностью Чтобы указать это в обозначениях, мы будем
прямую с координатами А, В, С обозначать символом
(А: В: С).
Другое отличие координат прямых от координат то-
точек состоит в том, что не любая тройка чисел А, В, С
может быть тройкой координат прямой, для этого тре-
требуется, чтобы хотя бы одно из чисел А или В было от-
отлично от пуля, тогда как на число С никаких ограниче-
ограничений не накладывается. Эта несимметричность координат
247

(особая роль координаты С) приводит, как мы увидим
ниже, к многочисленным оговоркам и осложнениям. По
пока мы вынуждены с ней мириться.
Если для прямой A) коэффициент А отличен от нуля,
то мы можем эту прямую характеризовать нсоднород-
в с
ними координатами -г-, -у, которые уже однозначно
определены прямой. Поэтому прямые можно изображать
точками плоскости, сопоставляя прямой A) точку
\~А' А) -Однако при этом из рассмотрения исключают-
исключаются прямые с А — 0. Однородные координаты тем н хо-
хороши, что они не предполагают никаких исключений.
Координаты точек М(х,у) прямой, проходящей через
две различные точки М0(х0, ус) и M\{x\,iji), выражаются,
как мы знаем, формулами
По аналогии для любых двух различных прямых
(A0:B0:Ci) и (Ai: В{: Ci), имеющих неоднородные ко-
( Но Со Л / В, С, \
ординаты I-j-. -j-\ и \-^-> ~А -)> можно ввести в рас-
рассмотрение всевозможные прямые (А : В : С), для которых
B) Т~0-'>^-+/-?. Т-С-'^ + 'Х-
Множество всех этих прямых будет тогда аналогом пря-
прямой, проходящей через две точки.
Переписав равенства B) в виде
В ^ (l-t)A.B0 + tA0Bl _ |<1 -t)A]]B0+[tA0]Bl
А А0А, [A-(}А1]Ло+[1Ао]А{ '
С _ (I -t)A,C0 + iA0C, _ [(!-/) Ai)C0+[IA0]Cx
A A0Ai l(\-t)Al]A0+[tA0]Al '
мы получим для коэффициентов А, В, С следующие
выражения:
где р — произвольный множитель пропорциональности,
Полагая
248

MUt можем эти формулы переписать в следующем виде:
C) B
При выводе этих формул мы пользовались неоднород-
неоднородными координатами, т. е. предполагали все прямые не
параллельными оси ординат. Однако формулы C)
имеют смысл для произвольных прямых (Л0:В0:Сс),
(А\: Bi:C\) и для любых допустимых значений пара-
параметров (.1 и v (т. е. таких, что либо А Ф- О, либо В фО)
определяют некоторую прямую (А: В: С). Впрочем, ин-
интересен только случай, когда прямые (Ao'.Bq-.Cq) и
(Ay-.Bi'.Ci) различны, поскольку если (Ao:Bq:Co) =
= (А\ : В\ : Ci), то для любых ц и v будет получаться
одна и та же прямая (Ао: Во: Со).
Все это мотивирует следующее определение:
Определение 1. Множество всех прямых (А: В: С),
получающихся по формулам C) при всевозможных до-
допустимых значениях параметров ц и v, называется пуч-
коч прямых, определенным прямыми (А0:В0:Со) а
{А\ : В\ : С\) (предполагаемыми различными).
Пучки прямых являются, таким образом, аналогами
прямых в геометрии точек.
Если положить / = Aqx + Воу -f- Co и g = Axx-\-
¦f B]j/+Ci, то прямые пучка C) будут иметь уравне-
уравнения вида
Гакая запись пучка часто бывает удобна.
Прямые на плоскости можно задавать не параметри-
параметрическими уравнениями, а уравнениями вида A). Соответ-
Соответствующим аналогом в геометрии прямых будут множе-
множества прямых {А: В: С), выделяемые условиями вида
или, в более общей форме (ие предполагающей, что
Л Ф 0), вида
KB + LC + MA = 0,
?49

где К, L, М — фиксированные числа. Несколько меняя
обозначения, мы будем последнее соотношение записы-
записывать в виде
D) А Хо + BY0 + CZ0 = 0,
где Хо, Yo, Zo—некоторые числа. В точной аналогии с
«точечным» случаем следовало бы предполагать, что
хотя бы одно из чисел Хо, Yo отлично от нуля. Однако
мы несколько обобщим (и «симметризируем») постанов-
постановку и будем лишь требовать, чтобы было отлично от ну.\я
хотя бы одно из чисел Хо, Yo, Zo (в противном случае
соотношение D) будет удовлетворяться тождественно).
Замечательно, что этот подход к понятию пучка при-
приводит к тому же результату.
Предложение 1. Множество прямых тогда и только
тогда является пучком прямых, когда принадлежащие
ему прямые (А:В:С) характеризуются условием вида D).
На этом основании соотношение D) называется урав-
уравнением пучка.
Мы предпошлем доказательству предложения 1 сле-
следующую лемму:
Лемма. Если две различные прямые (Ао: Во: Со) и
(A{:Bi:C{) удовлетворяют соотношению D), то опре-
определенный ими пучок C) совпадает с множеством пря-
прямых, удовлетворяющих соотношению D).
Доказательство. Если прямая (А: В: С) при-
принадлежит пучку C), то
= (цЛ0 + vA{) Хо + (Ийо + vB,) Го + (nQ + vC>) Z° =
= fi (А0Х0 + B0Y0 + C0Z0) + v (AiX0 + B,Ko + CXZQ) = 0.
Обратно, пусть прямая (А : В : С) удовлетворяет соотно-
соотношению D). Тогда в матрице
/А В С \
I Ло Во Со ]
V.4, В, С,/
столбцы будут линейно зависимы, а потому будут линей-
линейно зависимы и строки. По по предположению две по-
последние строки не пропорциональны, т. е. линейно неза-
независимы. Поэтому первая строка линейно выражается че-
через последние две, и, значит, прямая (А : В ; С) принад-
принадлежит пучку C). Q
250

Доказательство предложения 1. Пусть
цан пучок C). Рассмотрим систему двух однородных
линейных уравнений с тремя неизвестными:
А0Х + BQY + C0Z = 0,
ДХ + BiF + C,Z = 0.
Из алгебры мы знаем, что такая система обязательно
имеет нетривиальное решение (А'о, Уо, Zo) ф (О, 0, 0). Это
решение даст нам соотношение D), по отношению к ко-
которому данные прямые удовлетворяют условиям леммы.
Следовательно, пучок C) будет характеризоваться этим
отношением.
Обратно, пусть дано соотношение D). Чтобы приме-
применить лемму, и тем самым доказать предложение, доста-
достаточно найти две непропорциональные тройки (Ло, Во, Со)
и (A\,Bi,Ci), удовлетворяющие соотношению D) и. мо-
могущие служить тройками координат прямых (т. е. такие,
что хотя бы одно из чисел Ло, Во или, соответственно,
А\, В{ было отлично от нуля). Но это легко. Действи-
Действительно, если, например Zo ф 0, то можно положить
Aq = Zq, Во = 0, Со = — Хо>
Л, = 0, Bt = Z0, С, = -Уо. ?
В связи с предложением 1 интересно выяснить гео-
геометрический смысл соотношения D).
Предположим сначала, что Zo^O. Тогда, полагая
X Y
х0 — -^-, Уо — -т-> мы сможем переписать условие D)
в виде соотношения
Лх0 + Ву0 + С = 0,
означающего, что прямая (А: В: С) проходит через точ-
точку Мо(хо, уо). Мы получаем, следовательно, что совокуп-
совокупность всех прямых, проходящих через данную точку Мо,
является пучком. ?
Определение 2. Пучки такого вида, т. е. пучки с урав-
уравнением D), для которого Zo^O, называются собствен-
собственными. Точка Мо, через которую проходят прямые соб-
собственного пучка, называется его центром.
Пучки же, имеющие уравнение D) с Zo = 0, назы«
ваются несобственными.
.251

Таким образом, прямые несобственного пучка харак-
характеризуются условием вида
означающим, как мы знаем, что прямая (А : В : С) па-
параллельна вектору с координатами Л"о. Yo. Тем самым
доказано, что несобственные пучки есть в точности мно-
множества, состоящие из всех прямых, параллельных др'.г
другу (т. е. имеющих общий направ-
направляющий вектор a{Xo,Yo)). ?
Заметим, что для собственного пуч-
пучка C) имеет место соотношение
и потому для любых A и v мы полу-
. чаем некоторую прямую (А: В: С).
Для несобственного же пучка имеют-
. ся «запрещенные» пары (ц, v), а имен-
именно пары, для которых ц : v = —А\ : Ао.
Пучки прямых. Этим парам никакой прямой не соот-
соответствует.
Доказанные утверждения могут быть объединены в
следующем предложении:
Предложение 2. Для любых двух пересекающихся
прямых f = 0 и g = 0 каждая прямая вида
E) nf + vg = O
проходит через их общую точку Ма и, наоборот, любая
прямая, проходящая через точку Мо, имеет вид E).
Аналогично, для любых двух параллельных прямых
f = 0 и g = 0 каждая прямая E) им параллельна и, об-
обратно, любая параллельная им прямая имеет вид E).
При этом в первом случае E) будет уравнением np.t-
мой для любых ii и v, о во втором будет иметь место
единственное (с точностью до пропорциональности) ис-
исключение (возникающее при n:v = — Ai:A0). ?
Хотя в этом предложении пучки явно не фигурируют
(и оно может быть поэтому доказано без них), но все же
только на базе понятия пучка может быть до конца
понят его геометрический смысл.
Многочисленные оговорки, которые нам выше при-
пришлось делать, и неполная симметричность между точ*
252

камн и прямыми громко вопиют, чтобы их устранили.
В свете всего сказанного выше довольно ясно, что при-
причиной всему — отсутствие у несобственных пучков цен-
центров. Попробуем поэтому снабдить каждый несобствен-
несобственный п>чок центром.
Поскольку все точки плоскости уже заняты под цен-
центры собственных пучков, для этого мы должны расши-
расширить плоскость и добавить к ней новые точки, которые
уместно назвать «несобственными». Этих точек нужно
добавить столько же, сколько имеется несобственных пуч-
пучков, т. е. классов параллельных прямых. Если мы доба-
добавим меньше, то некоторые пучки останутся без центров,
а если больше, то некоторые точки не будут центрами
пучков. Тем самым мы приходим к следующему опреде-
определению:
Определение 3. Множество s4-+ называется расширен'
ной плоскостью, если оно содержит аффинную плоскость
М- и задано отображение d*-^dr множества всех пря-
прямых d плоскости М- на дополнение j^+\ si-, обладающее
следующими свойствами:
а) любой элемент нз s&+\s& имеет вид d+ для неко-
некоторой прямой d;
б) dt = dj тогда и только тогда, когда прямые d\ и
с?2 параллельны.
Расширенная плоскость s4- называется также аффин-
но-проективной плоскостью, а ее геометрия — аффинно-
проективной геометрией.
Элементы множества s&*-\s& называются несоб'
ственными точками аффишю-проективной плоскости s4-,
а точки из бФ — собственными точками.
Прямыми (собственными) плоскости $& называются
прямые d плоскости J&, к каждой из которых добавлена
несобственная точка d+. Эти прямые обозначаются теми
же символами d, в связи с чем точку d+ приходится на-
называть несобственной точкой прямой d. Иногда, впрочем,
в этом словосочетании под прямой удобно понимать и
исходную прямую плоскости s&.
Таким образом, получается, что «нарост» st-v\s4-
обладает характеристическим свойством прямых, имея
с каждой прямой d единственную общую точку. На этом
основании уместно называть его несобственной прямой
аффинно-проективной плоскости j#+.
253

Пучками аффннно-проективной плоскости л?+ назы-
называются собственные пучки плоское!и s? (конечно, под-
подразумевается, что к каждой прямой пучка добавлена ее
несобственная точка) и несобственные пучки плоскости
М, к которым добавлена несобственная прямая.
В соответствии с этим любой пучок на плоскости si
состоит из всех прямых, проходящих через некоторую
фиксированную точку (собственную для собственных
пучков и несобственную для несобственных). Эта точка
называется центром пучка.
В аффинно-проективнон геометрии, так же как в аф-
аффинной геометрии, через любые две различные точки про-
проходит единственная прямая, но, кроме того (свойство,
отсутствующее в аффинной геометрии), любые две раз-
различные прямые пересекаются в единственной точке.
В полной аналогии с этим, в аффинио-проектпвной гео-
геометрии две различные прямые определяют единственный
пучок и (что неверно в аффинной геометрии) два раз-
различных пучка имеют единственную общую прямую.
Очень важно отметить, что в определении 3 не уточ-
уточняется, над каким нолем задана аффинная плоскость .аЛ
Если эта плоскость является аффинной плоскостью iki i
полем К, то и аффинно-проективная плоскость s&+ также
называется плоскостью над полем [(. В частности, гпш
[< =С мы получаем комплексную аффинно-проективную
плоскость. Если М- является вещественно-комплексной
плоскостью, то s&+ называется вещественно-комплексной
аффинно-проективной плоскостью.
Более того, плоскость s4- в определении 3 мы вполне
можем считать евклидовой плоскостью. Тогда получает-
получается евклидово-проективная плоскость s&+, и даже в днух
вариантах: вещественном и вещественно-комплексном.
Таким образом, мы имеем целый букет различных
«плоскостей», а значит, и различных «геометрий». Отно-
Относительно каждой геометрической конструкции и теоремы
следует всегда отчетливо представлять себе, к какой,
собственно, геометрии она относится, т. е. в какой пло-
плоскости выполняется. Хотя почти всегда это бывает ясно
из контекста, но все же имеются ситуации, когда недо-
недостаточное внимание к этому обстоятельству может при-
привести к ошибке.
Чтобы наглядно представить себе аффинно-проектнн-
ную плоскость, рассмотрим в аффинном пространстве
254

произвольную плоскость л и некоторую точку О, не при<
надлежащую этой плоскости. Пусть s& — множество всех
прямых, проходящих через точку О и пересекающих
плоскость л. Это множество находится в биективном со-
соответствии с множеством точек плоскости л (точке А
плоскости отвечает прямая ОА), и потому его также
можно считать аффинной плоскостью (или, как предпо-
предпочитают иногда говорить, моделью, или интерпретацией
аффинной геометрии). В этой модели точками являются
прямые вида ОА, а прямым» — множества прямых вида
ОА, принадлежащих плоскостям,
проходящим через точку О (и,
конечно, не параллельным пло-
плоскости л). На этом основании
иногда говорят, что в рассматри-
рассматриваемой модели прямые изобра-
изображаются плоскостями (проходя-
(проходящими через точку О и не парал-
параллельными плоскости л).
Естественным расширением
множества s& является множе-
множество s4-o всех прямых в про-
пространстве, проходящих через точ-
точку О (такое множество называет-
называется связкой прямых). Пусть d — произвольная прямая в бФ.
Она изображается некоторой плоскостью в пространстве,
проходящей через точку О. В этой плоскости существует
единственная прямая, проходящая через точку О парал-
параллельно плоскости л. Мы примем эту прямую за несоб-
несобственную точку прямой d. Ясно, что тем самым мы пре-
превратим связку s&o в аффинпо-проектпвную плоскость,.
Эта плоскость называется моделью (интерпретацией)
аффинно-проективной геометрии в связке.
Окружив точку О произвольной сферой (поверх-
(поверхностью шара), мы можем от прямых перейти к парам
точек, которые они высекают на этой сфере. Получится
новая интерпретация аффинно-проективной геометрии.
В этой интерпретации точки изображаются парами анти-
подальных (диаметрально противоположных) точек сфе-
сферы, а прямые — большими кругами сферы (окружностя-
(окружностями, высекаемыми па сфере плоскостями, проходящими
через центр). Эта модель называется моделью на сфере.
Несобственная прямая в этой модели изображается
большим кругом (экватором), параллельным плоскости
255

я. Рассмотрим одну из полусфер, на которые этот эква-
экватор разбивает сферу. Каждая прямая, проходящая через
точку О и пересекающая плоскость л (собственная точ-
точка модели бФо), имеет с этой полусферой единственную
общую точку. Ортогонально спроектировав эту точку на
плоскость экватора, мы получим некоторую внутреннюю
точку круга &', ограниченного этим экватором (в прохо-
проходящей через точку О плоскости, параллельной плоскости
л). Таким образом, мы можем изображать собственные
точки плоскости s&o внутренними точками круга <§. Чго
а) б) в)
а) Модель на сфере, б) переход к модели в круге, а) модель в круге,
же касается ее несобственных точек, то их мы по-нреж-
нему вынуждены изображать парами диаметрально про-
противоположных точек граничной окружности круга &'. По-
Полученная модель аффинно-нроективной геометрии назы-
называется ее моделью в круге. Имея в виду именно эту мо-
модель, иногда говорят, что аффинно-проективная пло-
плоскость получается из круга отождествлением диамет-
диаметрально противоположных точек его границы.
Модель в круге, по-видимому, наиболее наглядна,
хотя бы потому, что собственные точки в ней изобра-
изображаются «настоящими» точками. Ее недостатком являет-
является то, что прямые в ней изображаются, вообще говоря,
кривыми линиями (половинками эллипсов). Эти линии
соединяют диаметрально противоположные точки гра-
граничной окружности, и, следовательно, любые две из них
имеют общую точку. Таким образом, тот факт, что па
аффинно-проективной плоскости две различные прямые
имеют единственную общую точку, в модели на круге
наглядно очевиден.

Лекция 25
ОДНОРОДНЫЕ АФФИННЫЕ КООРДИНАТЫ. - УРАВ-
УРАВНЕНИЯ ПРЯМЫХ Ь ОДНОРОДНЫХ КООРДИНАТАХ.—
ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА \\\ АФФИННО-ПРОЕК-
ТИВНОЙ ПЛОСКОСТИ. —ОКРУЖНОСТИ НА ЕВКЛИ-
ДОВО-ПРОЕКТИ^ОИ ВЕЩЕСТВЕННО-КОМПЛЕКС-
НОЙ ПЛОСКОСТИ.-ПРОЕКТИВНЫЕ ПЛОСК^ТИ.-
ОДНОРОДНЫЕ АФФИННЫЕ КООРДИНАТЫ В СВЯЗ-
СВЯЗКЕ ПРЯМЫХ.— ФОРМУЛЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОД-
ОДНОРОДНЫХ АФФИННЫХ КООРДИНАТ.— ПРОЕКТИВ-
ПРОЕКТИВНЫЕ КООРДИНАТЫ -ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
НА ПРОЕКТИВНОЙ ПЛОСКОСТИ.
Пусть $&+—произвольная аффипно-проективная пло-
плоскость, s4 cz st+ — аффинная плоскость ее собственных
точек, и пусть в плоскости бФ задана аффинная коорди-
координатная система Ое\въ. Как разумным образом ввести
координаты точек плоскости ^#+?
Каждая (собственная или несобственная) точка пло-
плоскости является центром некоторого (собственного или
несобственного) пучка. Согласно предложению 1 преды-
предыдущей лекции этот пучок однозначно характеризуется
коэффициентами X, Y, Z его уравнения (см. уравнение
D) предыдущей лекции; индексы у Хо, Ко, Zo мы опу-
опускаем). Естественно поэтому принять их за координаты
рассматриваемо"? точки. Эти координаты определены с
точностью до пропорциональности, т. е. являются одно*
родными координатами.
Определение 1. Координаты X, У, Z называются одно-
однородными аффинными координатами, определенными аф-
аффинной координатной системой Ое^.
Точка с координатами X, Y, Z обозначается символом
(X:Y:Z).
9 М, М. Постников 257

Из данного в предыдущей лекции описания собствен-
собственных и несобственных пучков в связи с их уравнениями
немедленно вытекает следующее предложение, которое
дает правила явного вычисления однородных аффинных
координат (и потому может служить другим их опреде-
определением) ¦
Предложение 1. Точка (X : У : Z) тогда и только тогда
является собственной точкой, когда Z ф 0. В этом случае
ее обычные (неоднородные) координаты х, у выражают-
с я формулами
— JL —L
х—z, У — z •
Несобственная точка (X : У: 0) тогда и только тогда яв-
является несобственной точкой прямой с направляющим
вектором аA, пг), когда
X:Y = l:m* ?
Заметим, что любая тройка (X, У, Z)Ф@, 0, 0) яв-
является тройкой однородных аффинных координат неко-
некоторой точки аффинно-проективной плоскости.
Рассмотрим теперь прямые. Согласно предложению
1 однородные координаты точек произвольной прямой
(А : В : С) на аффинной плоское^ s4- удовлетворяют
уравнению
т. е. уравнению
A)
Па аффинно-проектпвной плоскости j^+ это означает,
что координаты собственных точек собственной прямой
(А: В: С) удовлетворяют уравнению A). Но направ-
направляющий вектор прямой (А: В: С) имеет, как мы знаем,
координаты В, —А, откуда, в силу предложения 1, сле-
следует, что единственная несобственная т^учка этой прямой
имеет однородные координаты (В:—Л:0). Поскольку
эти координаты удовлетворяют, очевидно, уравнению A),
мы получаем, что на аффинно-проективной плоскости
уравнения вида A), где либо А =й=0, либо ВфО, пред-
представляют собой уравнения собственных прчгых. ?
Если же А = 0, В == 0, но СФО (иначе соотношение
A) будет удовлетворяться тождественно), то уравнению
258

A) будут удовлетворять все несобственные точки (и
только они). Следовательно, при А = О, В = 0 уравне-
уравнение A) представляет собой уравнение несобственной
прямой.
Таким образом, на афф^шно-проектнвной плоскости
любое уравнение вида A) с (Л, В, С)Ф@, 0, 0) являет-
является уравнением прямой. Иными словами, подобно тому
как любая тропка чисел (X, Y, Z) ф @,0, 0) является
тройкой однородных координат некоторой точки, так и
любая тройка чисел (А, В, С)ф@, 0, 0) является трой-
тройкой однородных координат некоторой прямой.
Мы видим, что введение несобственных точек восста-
восстанавливает полную симметрию между точками и пря-
прямыми. Аналитически эта симметрия проявляется в том,
что одно и то же соотношение A) является (при посто-
постоянных Л, В, С и переменных А', У, Z) уравнением прямой
и (при переменных А, В, С и постоянных X, У, Z) урав-
уравнением пучка, т. е. своеобразным «уравнением» его цен-
центра.
Обратим внимание, что на вещественно-комплексной
плоскости несобственная прямая является вещественной
прямой.
По аналогии мы можем теперь ввести следующее
определение:
Определение 2. Линией второго порядка па аффинно-
проектнвной (скажем, комплексной или вещественно-
комплексной) плоскости называется множество всех ее
точек, однородные координаты X, У, Z которых удовле-
удовлетворяют уравнению вида
B) аиХ2 + 2al2XY + a22Y2 + 2а, .XZ + 2a2iYZ + ai3Z2 = 0.
Аналогичным образом определяются на аффинно-
проективной плоскости алгебраические линии произволь-
произвольного порядка.
Если хотя бы один из коэффициентов аи, а\2, а22 от-
отличен от нуля, ^то собственные точки линии B) состав-
составляют на аффинной плоскости линию второго порядка
C) аих2 + 2а12ху + а22у2 + 2а13х + 2а23у + а33 = 0.
Ее несобственные точки (X : У : 0) удовлетворяют урав-
уравнению
9* 259

откуда видно, что они представляют собой несобственные
точки асимптотических направлений линии C). Таким
образом, в рассматриваемом случае линия второго по-
порядка B) на аффинно-проективной плоскости получает-
получается из линии второго порядке C) на аффинной плоскости
добавлением несобственных точек ее асимптотических
направлений.
Отсюда следует, что если линия C) является парой
прямых, то линия B) будет парой «тех же» прямых
(т. е. с добавленными несобственными точками).
Линия B) называется эллипсом, параболой или ги-
гиперболой, если, соответственно, эллипсом, параболой или
гиперболой является линия C).
Таким образом, в аффинно-проек-
аффинно-проективной (вещественной или веще-
вещественно-комплексной) плоскости
эллипс, не имея вещественных не-
аснмптотпческнх направлений, не
пересекает несобственную пря-
прямую в вещественных точках, пара-
парабола имеет с несобственной пря-
прямой одну точку — несобственную
точку ее оси (говорят, что парабола касается несобствен-
несобственной прямой в этой точке), а гипербола имеет с несоб-
несобственной прямой две общие точки. .
В случае, когда ац — fli2 — «22 =0, уравнение B)
имеет вид
2anXZ + 2a2iYZ + aJ3Z2 = 0
и потому удовлетворяется точками Несобственной пря-
прямой Z =0 и прямой
которая может быть собственной (если п\гф® или
023=^0) или несобственной (если а13 = 0 и агз = 0).
Резюмируя, мы получаем следующую теорему (кото-
(которую для определенности сформулируем для ситуации
(С, R)):
Теорема 1 (теорема классификации веще-
вещественных линий второго порядка на а ф -
ф и и н о -п р о е к т и в н о й вещественно-комп-
вещественно-комплексной плоскости). Каждая вещее"/венная линия
второго порядка на аффинно-проективной вещественно-
260

комплексной плоскости является одной из следующих
одиннадцати линий:
[ 1 ] Действительный эллипс (X2 +Y2 — Z2 = 0).
[2] Мнимый эллипс (X2 + Y2 + Z2 = 0).
[3] Пара различных мньШых (комплексно-сопряжен-
(комплексно-сопряженных) прямых, пересекающихся в собственной точке
(X2 + У2 = 0).
[4] Гипербола (X2 — Y2 — Z2 = 0).
[5] Пара различных вещественных собственных пря-
прямых, пересекающихся в собственной точке (X2 — К2 = 0),
[6] Парабола (Y2-2XZ = 0).
[7] Пара различных вещественных собственных пря-
прямых, пересекающихся в несобственной точке (У2—Z2=0).
[8] Пара различных мнимых (комплексно-сопряжен-
(комплексно-сопряженных) прямых, пересекающихся в несобственной точке
[9] Пара совпадающих вещественных собственных
прямых (Y2 = 0).
[10] Пара прямых, состоящая из вещественной соб-
собственной прямой и несобственной прямой (YZ = 0).
[11] Пара совпадающих прямых, каждая из которых
является несобственной прямой (Z2 = 0). ?
В скобках здесь выписаны уравнения, получающиеся
при соответствующем (каноническом) выборе однород-
однородных аффинных координат.
Аналогичные результаты справедливы, конечно, и в
евклидово-проективной вещественно-комплексной пло-
плоскости. Мы не будем их формулировать (это было бы из-
излишним повторением), а вместо этого рассмотрим более
интересный вопрос о характеризации окружностей в ев'
клпдово-проективной геометрии.
Естественно, что однородные координаты X, У, Z на
евклидово-проективной плоскости мы будем считать од-
однородными прямоугольными координатами, т. е. опреде-
определенными координатной системой Ое^е2 с ортонормиро-
ванными векторами в\, е2.
Определение 3. Окружностью на евклидово-проектив-
евклидово-проективной вещественно-комплексной плоскости называется ли-
линия второго порядка, имеющая в однородных прямо-
прямоугольных координатах X, Y, Z уравнение B), в котором
261

Несобственные точки (X: Y: 0) такой окружности
определяются уравнением X2 -+- У2 == 0, т.е. имеют вид
(±l:t:0). Они называются циклическими точками
евклидово-проектпвпой плоскости.
Таким образом, мы в\1дим, что при переходе or
евклидовой к евклидово-проективпой геометрии к окруж-
ностям прибавляются лишь две новые точки, одновре-
одновременно несобственные и мнимые.
Поскольку циклические точки принадлежат каждой
окружности, невозможно разумным образом ввести по-
понятие нх расстояния от собственных точек. Во всяком
случае нет никаких причин считать это расстояние бес-
бесконечным. Это показывает несовер-
несовершенство распространенной (особенно
в прошлом) терминологии, в которой
несобственные точки называются «бес-
«бесконечно удаленными» (мы не говорим
уже о том, что в рамках аффинной
теории этот термин вообще не имеет
нрава на существование).
Пересечениеэл1ип- Целесообразно причислять к окру-
сов- жностям еще и пары прямых, по край-
крайней мере одна из которых является
несобственной прямой (такие «окружности» характери-
характеризуются условиями ац = а22=:0 и ai2 = 0). Тогда среди
всех вещественных линий второго порядка окружности
будут характеризоваться тем, что они проходят через
циклические точки. Действительно, если уравнение B)
удовлетворяется при X = +1, Y = i и Z = 0, то
(аи —а22)±2ш12 = 0,
откуда следует, что аи = а22 и аи = 0.
Тот факт, что все окружности проходят через цикли-
циклические точки, объясняет многие особенности этих липни.
Например, два эллипса пересекаются, вообще говоря,
в четырех точках. Почему же окружности могут иметь
только две общие точки? Ответ: другие две общие точки
являются циклическими.
Выше мы уже подчеркивали полную симметричность
(или, как обычно говорят, двойственность) точек и пря-
прямых в аффинно-проективной геометрии.fОднако па са-
самом деле в стройной мелодии этой двойственности име-
имеется неприятнейший диссонанс, связанный с различием
262

собственных и несобственных точек и прямых. Действи-
Действительно, несобственных точек существует много, а несоб-
несобственная прямая имеется только одна! Чтобы избавиться
От этой последней шероховатости, надо проигнорировать
различие между собственными и несобственными точ-
точками или прямыми и считать их полностью равноправ-
равноправными и взаимно-заменяемыми.
Определение 4. Аффинно-ироективная плоскость, в ко-
которой игнорируется различие между собственными и не-
несобственными точками и прямыми, называется проек-
проективной плоскостью, а ее геометрия — проективной гео-
геометрией.
Это определение равным образом годится для пло-
плоскостей на,; любым полем X. Таким образом, мы полу-
получаем, в частности, вещественную проективную плоскость
и комплексную проективную плоскость, а также, конеч-
конечно, и вещественно-комплексную проективную плоскость.
Каждую проективную плоскость можно превратить в
аффиино-проективную плоскость, произвольно выбрав на
ней прямую и объявив точки этой прямой несобствен-
несобственными. Таким образом, одну и ту же проективную пло-
плоскость можно бесконечным (если основное поле :•< бес-
бесконечно) числом способов сделать аффипно-проективкой
плоскостью, тогда как каждая аффннно-проектнвная
плоскость однозначна определяет соответствующую про-
проективную плоскость. Поэтому, в порядке формальной
расшифровки определения 4, проективную плоскость
можно определять как класс в понятном смысле эквива-
эквивалентных аффинно-проективных плоскостей. Но мы этой,
довольно бесплодной, игрой в определения заниматься
не будем, а предпочтем другой, более интересный путь.
Моделью аффинно-проективной геометрии, которую
проще всего превратить в модель проективной геометрии
(проективную плоскость), является модель в связке s&o
(а не, скажем, модель в круге). Действительно, несоб-
несобственными точками этой модели являются прямые в про-
пространстве, параллельные плоскости л, и потому, чтобы
превратить ее в модель проективной геометрии, доста-
достаточно просто забыть про эту плоскость. Модель s4-o, рас-
рассматриваемую как модель проективной геометрии, мы
.рудем обозначать символом 9Р0.
Модель .»-о позволяет дать красивую «стереометрн-
»ескую» интерпретацию однородным аффинным коорди-
263

патам. Согласно определению 1 однородные аффинные
координаты на аффинно-проективпой плоскости задают-
задаются некоторой аффинной координатной системой Oe^e2,
заданной в ее «аффинной части» (в множестве собствен-
собственных точек). Для аффиппо-пр'оектпвной плоскости s4-o эта
«аффинная часть» отождествляется с плоскостью л, и,
следовательно, чтобы задать в «s?0 однородные аффинные
координаты, надо задать в л некоторую аффинную ко-
координатную систему О'е\е2 (буква О у нас уже занята).
Но вместо того, чтобы задавать точку О', можно задать
ее радиус-вектор е$ = 00', очевидно линейно не выра-
выражающийся через векторы е\, е2 и
потому составляющий вместе с
ними базис в\, е2, е3 в простран-
пространстве. Обратно, любой базис е\, е2,
е3, для которого конец О' векто-
вектора <?3 = 00' принадлежит пло-
плоскости л, а векторы е1; е2 парал-
параллельны этой плоскости, задает
аффинную координатную систему
О'е\е2 на плоскости я и потому
однородные аффинные коордипа*
ты на плоскости s&o-
Каждая точка плоскости s?0, т. е. прямая в простран-
пространстве, однозначно определяется ее направляющим векто-
вектором. Если X, Y, Z — координаты этого направляющего
вектора (в базисе еье2, е3) и Z ф 0, то эта прямая
пересекает плоскость л в точке с координатами
X У
х=^ и у = -^-(относительно координат системы О'е^е2),
а если Z = 0, то эта прямая параллельна прямым па
плоскости л, имеющим направляющий вектор с коорди-
координатами X и У (относительно базиса е<, е2). Согласно
предложению 1 это означает, что определяемые базисом
еь ^2, ез (т. е. соответствующей аффинной координатно1!
системой О'е\е2) однородные аффинные координаты на
аффинно-проективной плоскости j&0 являются не чем
иным, как координатами X, Y, Z направляющих векто-
векторов точек этой плоскости, рассматриваемых как прямые
в пространстве.
Это позволяет без каких-либо дополнительных вы-
вычислений написать формулы перехода от одной системы
264

^однородных аффинных координат к другой. Действи-
Действительно, это должны быть просто формулы перехода от
^координат векторов в одном базисе к координатам вдру*
[;гом. Как мы знаем, эти формулы имеют вид
D) рУ = спХ + c22Y + c^Z, где
C\l
^22 ^23
C32 СЗЗ
?=0.
Здесь мы ввели еще произвольный множитель пропор-
пропорциональности р, чтобы подчеркнуть тот факт, что мы
имеем дело с однородными координатами.
Однако здесь следует учесть, что мы рассматриваем
не произвольные базисы, а определенным образом свя-
связанные с плоскостью л (два первых вектора базиса
должны быть параллельны плоскости л, а конец послед-
последнего должен принадлежать этой плоскости). Учтя эти
требования, мы немедленно получим, что в формулах D)
коэффициенты С31 и С32 должны быть равны пулю, а ко-
коэффициент Сзз — единице.
Тем самым мы доказали, что две произвольные
системы однородных аффинных координат X: Y: Z и
X' :Y':Z' на аффинно-проективной плоскости связаны
формулами вида
pX'^enX + c^Y + CuZ,
c22Y + C23Z,
\jtae р — множитель пропорциональности, а
Си С 22
Конечно, это утверждение справедливо для любой
аффпнно-проективнон плоскости. 1?го можно было бы
доказать и непосредственно, вспомнив формулы преобра-
преобразования неоднородных аффинных координат и восполь-
воспользовавшись предложением 1. Преимущество же выбран-
выбранного нами способа состоит в том, что его непосредствен-
непосредственно можно применить к связке зфо, рассматриваемой как
модель проективной геометрии.
Определение 5. Проективными координатами точек
проективной плоскости ?Р0 называются координаты X,
'У, У в произвольном базисе еи e<i, e% направляющих век-
горов этнч точек как прямых в пространстве.
?05

Проективные координаты, конечно, являются одно-
однородными координатами. Их отличие от однородных аф-
аффинных координат состоит в том, что участвующий в нч
определении базис е\, е2, е$ совершенно произволен и ни
с какой плоскостью л не связан.
Согласно сказанному выше переход от одной системы
проективных координат к другой описывается формула-
формулами вида D).
Заметим, что определение 5 дает проективные коор-
координаты, собственно говоря, только для модели 9Р0. В лю-
любой другой модели их проще всего определить как коор-
координаты X', У, Z', связанные с некоторыми аффипно-иро-
ективными координатами формулами вида D).
Большая свобода в преобразованиях проективных ко-
координат позволяет нам сократить число канонических
уравнений липни второго порядка.
Например, перейдя в уравнении гиперболы X2 — У2 --
— Z2 = 0 к новым координатам
X' = Y, Y' = Z, Z' = X
и умножив его на —1, мы получим (убрав штрихи)
уравнение эллипса Л'2 + У2 — Z2 = 0. Аналогично, ураи-
неиие параболы У2 = 2XZ в координатах
X' = Y, Y' = X-Z, Z' = X-\-Z
также совпадет с тем же уравнением эллипса. Это по-
показывает, что на проективной вещественной (или комп-
комплексной) плоскости имеется только одна невырожденная
(т. е. не распадающаяся на прямые) линия второго и >-
рядка. Если мы, введя несобственную прямую, превра-
превратим нашу плоскость в аффиипо-проективную, то эта ли-
линия окажется эллипсом, если введенная прямая ее не
пересекает, параболой, если эта прямая касается линии,
и, наконец, гиперболой, если эта прямая пересекает ли-
линию в двух точках.
На вещественно-комплексной плоскости, кроме этой
«действительной» линии, будет еще только «мнимая»
линия X2 -f- У2 -f- Z2 = 0, не имеющая вещественгьт\
точек. г
Аналогичным образом сократится и число классов
пар прямых.
266

Окончательная теорема имеет, очевидно, следующий
вид:
Теорема 2 (т е о р е м а классификации линий
второго порядка на проективной п л о с к о -•
сти). На вещественно-комплексной проективной пло-
плоскости каждая вещественная линия второго порядка
является одной из следующих пяти линий:
[1] Невырожденная действительная линия (Х2-\-У2—¦
— Z2 = 0).
[2] Невырожденная мнимая линия (X2 + У2 -f- Z2 =
-0).
[3] Пара вещественных различных прямых (X2—
— У2 = 0).
[4] Пара мнимых (комплексно-сопряженных) пря-
прямых (Х2 + У2 = 0).
[5J Пара совпадающих (вещественных) прямых
(Х2 = 0).
На комплексной проективной плоскости имеется толь-
только три линии второго порядка:
Невырожденная линия (X2 + У2 + Z2 = 0).
Пара различных прямых (X2 -\- У2 = 0).
Пара совпадающих прямых (X2 = 0). ?
В скобках здесь выписаны канонические уравнения.

Лекция 26
КООРДИНАТНЫЕ ИЗОМОРФИЗМЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРО-
ПРОСТРАНСТВ.—КООРДИНАТНЫЕ ИЗОМОРФИЗМЫ АФ-
АФФИННЫХ ПРОСТРАНСТВ. — АФФИННО-ПРОЕКТИВ-
НЫЕ ПРОСТРАНСТВА. —ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАН-
ПРОСТРАНСТВА.—ПУЧКИ ПЛОСКОСТЕЙ.— СВЯЗКИ ПЛОСКО-
ПЛОСКОСТЕЙ.—РАСШИРЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА НЕСОБ-
НЕСОБСТВЕННЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ. — ОРТОГОНАЛЬНЫЕ,
АФФИННЫЕ И ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.
Конечно, способ введения проективных координат через
аффинно-проективиые в достаточной степени неуклюж
и малоэстетичен. Но в общем случае мы не имеем дру-
другого выхода, поскольку само понятие проективной пло-
плоскости мы определили через посредство аффинно-проек-
тнвных плоскостей. Дать же этому понятию независимое
определение совсем не так просто. Мы сделаем это, быть
может, не самым элегантным, но, по-видимому, самым
простым и идейно достаточно богатым способом.
Мы начнем с того, что дадим новое определение лп-
нсиному пространству.
Заметим прежде всего, что для любого поля К и лю-
любого п ^ 1 формулы вида
A)
где
268
- c[
к
Л"' + •
...c\
••• cn
• +
Ф0
cnx ,
J

задают биективные отображения множества К" на себя.
Эти отображения представляют собой изоморфизмы ли-
линеала К" на себя (т. е. его автоморфизмы). Они назы-
называются однородными линейными преобразованиями и,
очевидно, составляют группу. Эта группа обозначается
символом GL(rt; Y) и называется полной линейной груп-
группой. Она изоморфна группе невырожденных матриц по*
рядка п.
Для любого линейного пространства У размерностип
над полем К его координатные изоморфизмы (см. лек*
цню 6) представляют собой биективные отображения
B) а: У->Кп,
обладающие следующими свойствами (запись а<=
eCoor(F) означает, что а представляет собой коорди-
координатный изоморфизм вида B)):
Свойство 1. Если aeCoor(^) и (peGL(«;X), то
фсае Coor(F).
Свойство 2. Если a,a'(= Coor (У), то а' о cH(=GL (и; К).
Свойство 2 утверждает попросту, что координаты з
двух различных базисах связаны формулами вида A),
а свойство 1 — что если х\ ..., хп—координаты, то
у\ ..., уп — для любого преобразования A) — тоже ко-
координаты (но, конечно, в другом базисе).
Оказывается (и этЪ для нас новый факт), что свой-
свойства 1 и 2 полностью характеризуют координатные изо-
изоморфизмы:
Предложение 1. Если для некоторого множества У
задано множество Соог (У) его биективных отображений
У-*-".\п, обладающее свойствами 1 и 2 (достаточно даже
только свойства 2), то в У можно единственным образом
ввести структуру линейного пространства так, чтобы ото-
отображения из Соог (У) стали координатными изоморфиз-
изоморфизмами (всеми, если выполнено свойство 1).
Доказательство. Выбрав произвольное отобра-
отображение aeCoor(^), перенесем с его помощью линейные
операции из Xя в У, т. е. положим
kx = a (ka (x))
для любых элементов я, у^У и любого числа isK,
Ясно, что тем самым мы превратим У в линеал, а a — в
координатный изоморфизм (соответствующий базису
269

> ..., a~'(er,), где в|, ..., en—стандартный базис
линейного пространства К"). Поэтому для доказатель-
доказательства предложения 1 достаточно установить, что эти опе-
операции не зависят от выбора а. Но это непосредственно
следует из свойства 2 и из того, что однородные линей-
линейные преобразования являются автоморфизмами прост-
пространства К". Действительно, если ос' = ф=а, где фе
eGL(/t;S<), то
(a'
= а (ф (Ф (а (*)) + Ф (а (у)))) = а (а (х) + а (у))
о'"' (Ы (х)) = а"' (Ф- > (*<р (а (*)))) = а-' (*а (*))
для любых элементов х, у^Т и любого числа fee К.
Единственность структуры линеала на У очевидна. D
Мы видим, что предложение 1 дает нам совсем новуо
аксиоматику линейных пространств. Основными неопре-
неопределяемыми понятиями в ней являются отображения (!),
а свойства 1 и 2 представляют собой аксиомы.
Совершенно аналогично можно аксиоматически опре-
определять и аффинные пространства. Здесь следует начи-
начинать с группы Aff(n; К) всех автоморфизмов множе-
множества К" как аффинного пространства, т. е. неоднород-
неоднородных линейных преобразований вида
у' = с\х1 + ... + с' *" + Ь\
где
ФО.
Для любого аффинного пространства «s? над полем К
множество Соог(^) его координатных изоморфизмов
а: а^Кп
обладает теми же свойствами 1 и 2 (в которых, конечно,
Coor(F) надо заменить на Coor(«s?), а GL(n; К) —"а
Aff(«; К)). Имеет место и аналог предложения 1:
Предложение 2. Если для некоторого множества с4
задано множество Соог(^) его биективных отображе-
отображений .50-»-К", обладающих свойствами 1 и 2 (по отноше-
270

нию к группе Aff (n; К)), то в зФ можно единственным
образом, ввести структуру аффинного пространства над
полем К так, чтобы отображения из Соог(^) стали ко-
координатными изоморфизмами.
Доказательство. Выбрав в .s# некоторую точку
О, обозначим через Coor°(«s$) подмножество множества
Соог(^), состоящее из всех отображений аеСоог(^),
переводящих О в точку @, ..., 0) ел". Легко видеть,
что, положив У = s4- и Coor(F)= Coor°(^), мы удов-
удовлетворим всем условиям предложения 1. Тем самым
множество У оказывается линеалом. Определим теперь
отображение А, В^-^АВ, положив
где аеСоог°(^). Легко проверяется, что вектор ЛВе
?f не зависит от выбора а и что, тем самым, множе-
множество s4- наделяется структурой аффинного пространства
с ассоциированным линеалом У. Его единственность оче-
очевидна. ?
Чтобы тем же методом получить аффинно-проектив-
ные пространства (мы не будем ограничиваться случаем
л = 2 и дадим общее определение; аффинно-проектив-
ные плоскости получатся при я = 2), надо предвари-
предварительно определить аффинно-проективный аналог про-
пространства К". Совершенно ясно, как это надо сделать.
Рассмотрим подмножество '<"+' \ 0 линейного прост*
ранства К"+|, состоящее из всех отличных от нуля век-
векторов (л;0, х\ ..., х'1) ф @, 0 0). Отношение про-
пропорциональности:
(.v°, х\ ..., Xя) ~ (у0, у\ .... у"),
если существует такое число k Ф 0, что
— является на этом подмножестве отношением эквива»
лентности. Класс эквивалентности, содержащий вектор
(л:0, х1, ..., х"), мы будем обозначать символом
C) (хо:х'\ ... : х").
(Эти классы суть не что иное, как прямые пространства
К"фф, проходящие через точку @,0, ..., 0).)
271

Определение 1. Множество всех классов эквивалент*
ности C) обозначается символом КР" и называется
арифметическим проективным пространством размерно-
размерности п над полем К.
На этом пространстве действует группа Рг-АН(п, }'.),
элементами которой являются однородные линейные
преобразования вида
с\хх
с\х«,
ру"
где
?=0.
Как абстрактная группа эта группа изоморфна группе
Aff(n;K).
В частности, при п=2 мы имеем группу Рг -Aff B; К),
преобразования которой (после простого переобозначе-
переобозначения *° = Z, л:1 = X, л'2 = Y) могут быть записаны в зна-
знакомом нам виде:
У = c2iX + c22Y + c2iZ,
где
C[\ Cl2
C21 C22
0.
Определение 2. Аффинно-проективным пространством
размерности п над полем К называется произвольное
множество s&, для которого задано такое множество
Соог(^) биективных отображений
a: S&-+KP",
что выполнены следующие аксиомы:
Аксиома 1. Если а е Соог(^) и ф е Pr-Aff («; К),
то ф о a g Coor {s4-).
Аксиома 2. Если а, а'е Соог(^), то a'°a~!s
еРг-А//(я, К).
Точки Ле^, для которых а(Л) имеет вид @ : х1 :...
• ..: хп) хотя бы при одном отображении аС(^)
272

'fa значит, и при всех таких отображениях), называются
несобственными точками аффиипо-проективного про-
пространства «в?. Остальные его точки называются соб-
собственными.
В свете всего сказанного выше совершенно ясно, что
аффинно-проективпые пространства s4- размерности 2
в смысле этого определения совпадают с аффиино-про-
ектнвными плоскостями в смысле определения 3 лек-
лекции 24. Для любого же п они совпадают с аффннно-про-
ективными пространствами, которые получаются в по-
порядке очевидного обобщения определения 3 лекции 24.
Теперь уже абсолютно понятно, как следует опреде-
определять проективные пространства.
Пусть Proj(«; л) —группа всех преобразований про-
пространства ХРП, действующих по формулам вида
D)
где
с\х]
.. +сппхп,
cl ••• cn
Как абстрактная группа эта группа изоморфна фак-
факторгруппе группы всех невырожденных матриц порядка
п + 1 по нормальному делителю, состоящему из скаляр-
скалярных матриц.
Определение 3. Проективным пространством размер-
размерности п над полем X называется произвольное множе-
множество 3>, для которого задано такое множество Соог(^))
биективных отображений
а: ^->КР",
что выполнены следующие аксиомы:
Аксиома 1. Если аеСоог(^) и (peProj(«; К),
Аксиома 2. Если а,а'еСоог(^), то a'°a-'
Proj(n; К).
273

Отображения аеСоогС,^5) называются координат-
координатными изоморфизмами, и для каждой точки Ае^1 числа
х°, х1, ..., хп, удовлетворяющие соотношению
= (je°: д:1: ... : хп),
называются проективными координатами точки А, отве-
отвечающими изоморфизму а.
Ясно, что при я = 2 мы получаем проективные пло-
плоскости в смысле определения 4 предыдущей лекции и
проективные координаты, как они были в этой лекции
определены.
После этого экскурса в область общих аксиоматиче-
аксиоматических конструкций вернемся к более содержательным гео-
геометрическим рассмотрениям.
Подобно прямым на плоскости, за основной элемент
геометрии можно принять плоскости в пространстве.
Каждая плоскость аффинного пространства одно-
однозначно определяется коэффициентами ее уравнения
Ах + By + Cz -f- D = О
в аффинных координатах х, у, z; эти коэффициенты
можно поэтому считать ее однородными координатами.
Обозначать плоскость мы будем символом (A: B:C:D).
Пусть даны две различные плоскости
E) A0x + Boy + CQZ + D0^0 и AlX + B:y +dz + Di = 0.
Определение 4. Пучком плоскостей, определенным
плоскостями E), называется множество всех плоскостей
(A:B:C:D), для которых найдутся такие числа ц и v
(конечно, одновременно не равные нулю), что
(плоскость (А : В : С:D) зависит, конечно, только от
отношения ц.: v).
Это определение вполне аналогично определению \
лекции 24.
Дальше мы могли бы точно следовать пути, проло-
проложенному в лекции 24, но, чтобы избежать скучной ли-
линейной алгебры, мы поступим несколько иначе. Для это-
этого нам понадобится следующая лемма:
Лемма 1. Для любой точки пространства Mi(xi,yi, z\),
не принадлежащей обеим плоскостям E), в пучке F)
274

существует единственная плоскость, содержащая точ*
ку М\.
Доказательство. Если искомая плоскость суще-
существует, то для соответствующих чисел \и и v должно
иметь место равенство
+ (цС0 + vC,) г, + (цА> + v/;,) = О,
т. е. равенство
|i (До*, + fioJTi + Сог, + Do) +
+ v (V. + Bl{/i + С,г, + А) - О,
которое однозначно определяет отношение
G) ii:v=-(A1xl+Blyl+Clz,+Di) : (Ло*1+Д#1+Сог, + 0О),
Это доказывает единственность искомой плоскости.
Для доказательства ее существования достаточно
взять .и и v, определяемые соотношением G). ?
Определение 5. Пучок F) называется собственным,
если плоскости E) пересекаются, и несобственным в
противном случае (если плоскости E) параллельны).
Предложение 3. Собственный пучок состоит из всех
плоскостей, содержащих прямую, по которой пересека-
пересекаются плоскости E), а несобственных пучок — ыз всех
плоскостей, параллельных плоскостям E).
Доказательство. Пусть плоскости E) пересе-
пересекаются. Тогда уравнения E), рассматриваемые совме-
совместно, будут уравнениями прямой их пересечения. Если
точка Мо(хо, у о, za) принадлежит прямой E), то для
любых ц и v
Вуо + CzQ + D = (\iAQ + vAt) xQ + (цД, + vfl,) yQ +
+ (цС0 + vC,) 20 + (цО0 + vDO =
= Ц (^o^o + ВоУо + Cozo + Do) +
+ v (AlXo + S,//o + C,20 + D,) = 0,
и потому плоскость F) проходит через эту точку. Зна-
Значит, плоскость F) содержит прямую E). Обратно, рас-
рассмотрим произвольную плоскость, содержащую прямую
E). Выберем в этой плоскости произвольную точку
М\{х\,у\,г{), не принадлежащую прямой E). Тогда, со-
согласно лемме 1, в пучке F) будет существовать единствен-
единственная плоскость (А : В : С : D), проходящая через эту точку.
275

Обе плоскости, исходная и построенная, содержат прямую
E) и точку М\. Поэтому они совпадают. Следовательно,
рассматриваемая плоскость принадлежит пучку F).
Пусть плоскости E) параллельны. Тогда
/1о Во Со
и потому для любых ji и v (для которых хотя бы одно
из чисел ц/4о + v\i41, цВ0 -{¦ vBit fiC0 -j- vCi отлично от
нуля)
цЛо + vii _ цДр + vfli _ цСр + vCi
Ао Во Со
Это означает, что любая плоскость пучка F) параллель-
параллельна плоскостям E). Обратно, рассмотрим произвольную
плоскость, параллельную плоскостям E), и на ней про-
произвольную точку AIi(a'i, r/i, zi). Согласно лемме 1 в пуч-
пучке существует единственная плоскость, проходящая че-
через эту точку. Будучи параллельной плоскостям E), эта
плоскость должна совпадать с исходной плоскостью. Сле-
Следовательно, последняя принадлежит пучку F). ?
Если мы теперь расширим пространство, добавив к
каждой плоскости несобственную прямую (и, следова-
следовательно, сделав ее аффинно-проективиой плоскостью), и
потребуем, чтобы несобственные прямые плоскостей сов-
совпадали тогда и только тогда, когда плоскости парал-
параллельны, то и каждый несобственный пучок станет пуч-
пучком плоскостей, проходящих через фиксированную пря-
прямую.
Пучки являются аналогами прямых. Рассмотрим те-
теперь аналог плоскостей.
Пусть
А Botj + С02 +А) = 0,
(8) AlX + Biy + Clz + D1 = О,
Л2х + В2у + С2г + D2 = О
— три не принадлежащие одному пучку плоскости (т.е.
и не параллельные, и не проходящие через одну пря-
прямую).
Определение 6. Связкой плоскостей, определенной пло-
плоскостями (8), называется множество всех плоскостей
276

(A : В : С : D), для которых найдутся такие числа |Ао, щ,
Иг (конечно, одновременно не равные нулю), что
Л = |Х0/40
В =
( ' С =
Связка называется собственной, если плоскости (8)
имеют единственную общую точку (центр связки), и не-
несобственной, если плоскости (8) не пересекаются (т. е.
если две из плоскостей (8) пересекаются по прямой, па-
параллельной третьей плоскости; эта прямая называется
центральной прямой несобственной связки).
Обозначая левые части уравнений (8) символами [о,
fi и /2 соответственно, мы можем уравнение любой пло-
плоскости связки представить в виде
(Ю) Ио/о + И./. + И2/2 = 0.
Такого рода сокращенные обозначения часто бывают
удобны.
Предложение 4. Собственная связка состоит из всех
плоскостей, проходящих через ее центр, а несобственная
связка — из всех плоскостей, параллельных ее централь-
центральной прямой.
Доказательство. Пусть связка (9) собственная,
и пусть Мо(х0, уо, 20) —ее центр. Тогда для любых ц0,
jii, ц2 значение левой части уравнения A0) в точке Мо
будет равно
Ио/о(*о. Уо> г0) + Hi/, (х0, у0, z0) + H2/2 (хо> У о, г„)
и, значит, будет равно нулю. Следовательно, каждая пло-
плоскость A0) связки будет проходить через точку Мо. Об-
Обратно, рассмотрим произвольную плоскость, проходя-
проходящую через центр Мо связки (9), и па ней две различные
точки Mi(xi,yltzi) и М2(х2, г/2, г2), не лежащие на одной
прямой с точкой Мо- Условие, что плоскость A0) связки
проходит через эти точки, состоит в том, что
H-ofo(х\, 2/ь г,) + n,f 1 (*,, г/ь гО + ji2f2(хь г/,, z{) = 0,
Цо/о (х2, г/г, г2) + Hi/i (х2, Уъ z2) + ^2/2 (х2, г/2, г2) = 0.
Эти два уравнения относительно \л0, \л\, цг имеют (един-
277

ственное с точностью до пропорциональности) нетривин
альное решение
ц0
г, г2)
/2 U2, J/2, г2) /о (*». г/г, г2)
, (/2.
Соответствующая плоскость связки проходит через три
нсколлипеарные точки Мо, Ми М2 и потому совпадает
с данной плоскостью. Следовательно, последняя плос-
плоскость принадлежит связке.
Пусть связка (9) несобственная, и пусть аA,т, п) —
направляющий вектор ее центральной прямой. Так как
вектор а параллелен плоскостям (8), то
А,/ + Вот + Cuii = О,
Л21 + В2т + С,« = 0.
Следовательно, для любых цо, |Дь |Д2
Д, + nHi + ^2^2) / + (М-о^о + HiSi + М.2Д2) т. +
Это означает, что любая плоскость связки (8) парал-
параллельна ее центральной прямой. Обратно, пусть (А : В:
: С : D) —такая плоскость, что
М + Вт + Сп = 0.
Тогда в матрице
¦А В С D
о Во Со Do
Л, В, С, ?>,
4 А2 Вг С2 ?>2'
столбцы будут линейно зависимы (с коэффициентами /,
т, п, 0), а потому будут линейно зависимы и строки.
Кроме того, по условию последние три строки линейно
независимы (в противном случае плоскости (8) будут
принадлежать одному пучку). Следовательно, первая
строка линейно выражается через остальные. Но это
278

и значит, что плоскость (А : В : С : D) принадлежит связ-
связке (9). ?
Чтобы несобственные связки также имели центр,
нужно каждую прямую дополнить несобственной точкок,
каждую плоскость — несобственной прямой и считать,
что несобственная точка прямой тогда и только тогда
принадлежит несобственной прямом плоскости, когда эта
прямая и плоскость параллельны.
Ясно, что для этого достаточно присоединить к каж-
каждой прямой по несобственной точке — одной и тон же
для всех параллельных прямых — и объявить множество
несобственных точек прямых, параллельных некоторой
плоскости, несобственной прямой этой плоскости. При
этом несобственные прямые параллельных плоскостей
будут, как и требуется (см. выше), совпадать.
Множество всех присоединенных к пространству не-
несобственных точек естественно считать плоскостью.
Формальное описание получившегося аффинно-про-
ективного пространства производится по уже известным
нам образцам (см. определение 3 лекции 24 или выше
определение 2). Если в этом пространстве игнорировать
различие между собственными и несобственными точка-
точками, получится проективное пространство (см. определе-
определение 4 лекции 23 или выше определение 3).
К сожалению, у нас нет возможности глубже во все
это вникать.
Из школьного курса мы знаем, какое большое значе-
значение в геометрии имечм понятие конгруэнтности фигур н
тесно связанное с ним понятие движения.
Наглядно, движение (скажем, нлоскости) представ-
представляет собой преобразование, при котором «ничего суще-
существенного не меняется»: длины и углы сохраняются, сум-
сумма векторов переходит в сумму векторов, произведение
вектора на число — в произведение вектора на число и
т. д. С общей точки зрения это означает, что движение
представляет собой изоморфизм евклидовой плоскости
на себя, т. е. ее автоморфизм. Точнее, поскольку движе-
движение сохраняет также и ориентацию, оно является авто-
автоморфизмом ориентированной плоскости. По мы знаем
(см. лекцию 14), что изоморфизм si-^s^-' одного евкли-
евклидова пространства па другое (или на то же самое) осу-
осуществляется по равенству координат в двух системах
273

прямоугольных координат, т. е., чтобы его задать, нужно
выбрать в пространстве s4- прямоугольную координат-
координатную систему Oil ¦¦¦ in, в пространстве зФ' — прямоуголь-
прямоугольную координатную систему O'i[ ... i'n и сопоставить про-
произвольной точке /fei точку Л'е^', имеющую в си-
системе O'i\ .. . i'n те же координаты, которые имела точка
А в системе Oil ... in. Поскольку все это применимо и
к интересующему нас сейчас случаю si' = s4- и посколь-
поскольку движение должно сохранять ориентацию, мы прихо-
приходим, тем самым, к следующему формальному опре-
определению (которое мы сформулируем сразу же для лю-
любого п, хотя нужно оно будет нам лишь при п = 2 и
п = 3):
Определение 7. Движением евклидова я-мериого про-
пространства М- называется произвольное его преобразова-
преобразование по равенству координат в двух одноименных систе-
системах прямоугольных координат. Это означает, что любое
движение однозначно определяется двумя такими систе-
системами Oi\ ... i; и O'i\ . . . i'n (причем первую из них мож-
можно задать произвольно) и переводит каждую точку А
в точку А', имеющую в системе O'i[ ... i'n те же коорди-
координаты, которые имела точка А в системе Оц ... i.t.
Таким образом, если
то
ОМ' = а^+ ... +а/п.
Ясно, что все движения пространства s4- образуют
группу. С точностью до изоморфизма эта группа зависит
только от размерности п. Мы будем ее обозначать сим-
символом Ort|-(«).
Если в определении 7 спять требование одноименно-
одноименности, то получатся более общие преобразования. Они на-
называются ортогональными преобразованиями. Эти пре-
преобразования образуют группу Ог((«), подгруппой кото-
которой является группа движении Ort'^/z).
Аналогичным образом вводятся автоморфизмы аф-
аффинных пространств. Они называются аффинными пре-
преобразованиями и представляют собой преобразован^'!,
действующие: по равенству координат в двух аффипиыч
координатных системах.
280

Наконец, можно ввести и проективные преобразова-
преобразования, действующие по равенству координат в двух систе-
системах проективных координат. «
В евклидовой геометрии конгруэнтные фигуры, т. е.
переводимые друг в друга некоторым движением (или,
более общо, — некоторым ортогональным преобразова-
преобразованием), считаются одинаковыми. Это определение ра-
равенства фигур характеризует евклидову геометрию.
Аналогично, в аффинной геометрии считаются одина-
одинаковыми фигуры аффинно-конгруэнтные (или, как еще
говорят, аффинно-эквивалентные), т. е. переводимые
друг в друга аффинным преобразованием, а в проектив-
проективной геометрии — проективно-эквивалентные фигуры (пе-
(переводимые друг в друга проективным преобразованием).
Это и определяет значение проективных, аффинных
и ортогональных преобразований для геометрии.
К сожалению, на проективные преобразования у нас
нет времени. Аффинными же и ортогональными преоб*
разованиями мы займемся в следующей лекции.

Лекция 27
ВЫРАЖЕНИЕ АФФИННОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В
КООРДИНАТАХ. —ПРИМЕРЫ АФФИННЫХ ПРЕОБРА-
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ,—РАЗЛОЖЕНИЕ АФФИННЫХ ПРЕОБРА-
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ— ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.-
ДВИЖЕНИЯ ПЛОСКОСТИ. — СИММЕТРИИ И СКОЛЬ-
СКОЛЬЗЯЩИЕ СИММЕТРИИ. — РАЗЛОЖЕНИЕ ДВИЖЕНИИ
плоскости в композицию двух симметрии —
ВРАЩЕНИЯ ПРОСТРАНСТВА.
Пусть л:1 хп — фиксированные аффинные координа-
координаты в аффинном пространстве зФ. Тогда любое аффинное
преобразование Ф пространства si-, являясь преобразо-
преобразованием по равенству координат, будет определять не-
некоторые другие аффинные координаты je1' xn' и, об-
обратно, любые аффинные координаты xv, ..., хп' бу.пт
задавать некоторое аффинное преобразование Ф.
По определению для любой точки Ag^ «штрихо-
«штрихованные» координаты точки Л' = Ф(Л) совпадают с «не-
штрихованиыми» координатами точки Л:
yl' HL.1 ytl' ytl
Но, по правилу преобразования аффинных коорди-
координат, «нештриховаиные» координаты точки А' (обозна-
(обозначим их символами у1, ..., уп) выражаются через ее
«штрихованные» координаты xv, ..., хп' по формулам
вида:
yl = c\x1' + .. . + clnxn' + bl,
+ ... +cnnxn' + bn,
где определитель матрицы (с{) отличен от нуля.
282

Заменив здесь координаты*1', ..., хп' точки Л' равными
им координатами х1 хп точки А, мы получим, что
yl = c\x1+ ... + с\хп-\-Ь1,
A)
или, в матричной записи, что
B) у = Сх
где
*= • > У=\ ¦ • Ь=\ ¦
Тем самым нами доказана следующая теорема:
Теорема 1. В заданных в пространстве s& аффинных
координатах любое аффинное преобразование Ф одно-
однозначно определяется некоторой невырожденной матри-
матрицей С и матрицей-столбцом Ь. Это преобразование пере-
переводит точку А с координатами х\ ..., хп в точку А' с ко-
координатами у1, ..., уп, выражающимися формулами A)
или B). ?
Матрица С называется обычно матрицей преобразо-
преобразования Ф (в данной координатной системе).
Обратим внимание, что формулы A) идентичны
формулам преобразования аффинных координат. Они
являются формулами аффинного преобразования, когда
х\ ..., хп н у1, ..., у" представляют собой координаты
различных точек в одной и той же системе
координат, и формулами преобразования координат,
когда х1, ..., хп и if, ..., у" представляют собой коор-
координаты одной и той же точки в различных
системах координат.
Конечно, аналогичное замечание справедливо для
любых преобразований, действующих по равенству ка-
кнх-то других координат (ортогональных, проективных
и т.д.).
283

Замечание 1. Каждое аффинное преобразование лю-
любую прямую переводит в прямую. Можно доказать (мы
этого делать не будем), что при К = R н п > 1 верно и
обратное: каждое биективное преобразование аффин-
аффинного пространства, сохраняющее прямолинейное распо-
расположение точек, является аффинным преобразованием.
Ограничение я > 1 вызвано, конечно, тем, что при п = 1
условие сохранения прямолинейности бессодержатель-
бессодержательно. Ограничение же X=R оказывается существенным.
Например, в комплексном случае преобразование, пере-
переводящее каждую точку в точку с комплексно-сопряжек-
ными координатами, не является аффинным (оно не
имеет вида A)), хотя и сохраняет прямолинейное рас-
расположение точек. Дело здесь в том, что поле С имеет
нетождественный автоморфизм (комплексное сопряже-
сопряжение), а в поле R таких автоморфизмов нет.
Примеры аффинных преобразований.
Во всех примерах можно предполагать для нагляд-
наглядности пространство s4- евклидовым, а координаты пря-
прямоугольными. Конечно, любое ортогональное преобразо-
преобразование будет тогда аффинным преобразованием. Мы
У-.
Гомотетия.
приведем (ограничиваясь случаем плоскости) менее
тривиальные примеры.
1) Любая гомотетия представляет собой аффинное
преобразование. Ее матрица является (в любой системе
аффинных координат с началом в центре гомотетии) ди-
диагональной матрицей с равными диагональными элемен-
элементами, т.е. имеет вид kE, где Е — единичная матрица.
(Как известно, такие матрицы называются скалярными.)
284

2) Аффинное преобразование плоскости, задаваемое
(в координатах х, у) формулами
.Yi = х, г/i = ky,
где k > О, называется сжатием к оси абсцисс. Комби*
я:
Ся-атне.
рация двух сжатий, к оси абсцисс и к оси ординат, за-
задается формулами
Х\ — kx, I/i = ttj,
где k > 0, />¦ 0. Ее матрицей является диагональная
матрица с положительными диагональными элементами
k и /.
Ясно, что любой эллипс можно сжатиями (и движе-
движениями) перевести в любой другой эллипс, например в
окружность. Таким образом, все эллипсы аффинно-кон~
груэнтны. Аналогично, аффинно-конгруэнтны и все г«-
перболы, и все параболы (последние даже гомотетия*
ны, — конечно, при соответствующем расположении).
Аналитически это выражается в том, что для эллипсов,
гипербол и парабол имеется только одно аффнпио-капо-
нпческое уравнение. См. лекцию 22.
285

3) Аффинное преобразование, задаваемое формулами
Х{ = х + ру, ух = у,
где р — произвольное число, называется сдвигом. Оно
обладает тем свойством, что сохраняет площади плоски\
фигур.
Замечательно, что на евклидовой плоскости любой
сдвиг можно разложить в композицию (произведение)
Сдвиг.
ортогонального преобразования (движения) и двух сжа-
тий к взаимно перпендикулярным осям. Более того, это
верно для любого аффинного преобразования:
Предложение 1. На евклидовой плоскости любое аф-
аффинное преобразование Ф является композицией орто-
ортогонального преобразования и двух сжатий к взаимно
перпендикулярным осям.
Доказательство. Рассмотрим на плоскости про-
произвольную окружность радиуса 1. Аффинное преобразо-
преобразование Ф переводит эту окружность в некоторый эллипс,
а ее центр О — в центр О' эллипса (почему?). Пусть
О'Е'Х и ОЕ\—прямые, проходящие через точку О' по
главным направлениям эллипса (егоглавные диаметры),
и пусть е[ и е2' — их направляющие орты (векторы дли-
длины 1), составляющие, следовательно, ортоиормирокан-
ный базис. Предполагая, что Е[ и Е'г являются точками
286

пересечения эллипса с прямыми О'Е[ и О'Е'„ рассмот-
рассмотрим их прообразы Е\ и Е2 при отображении Ф. Тогда
векторы в[ = ОЕ\ и е2 = ОЕ2 будут ортами, а прямые
0Е\ и 0Е2 — диаметрами окружности. Так как аффин-
аффинное преобразование сопряженные диаметры переводит,
как легко видеть, в сопряженные диаметры, а диаметр!/
Ь'Е[ и О'Е'г, будучи главными, сопряжены, то диаметры
!»кружности 0Е\ и 0Е2 сопряжены. Поскольку сопря-
кепные диаметры окружности перпендикулярны, этим
доказано, что базис е\, е2 ортонормирован.
Итак, мы построили две прямоугольные координат-
координатные системы Ое\ег и Ое'{е'.>, обладающие тем свойством,
что аффинное преобразование Ф переводит координат-
координатные оси первой системы в координатные оси второй си-
системы.
Для завершения доказательства остается заметить,
что ортогональное преобразование по равенству этих
прямоугольных координат отличается, очевидно, от пре-
ооразования Ф только двумя сжатиями к прямым О'Е'г
и 0Е[ (с коэффициентами k и /, равными, соответ-
ственно, длинам векторов О'Е\ и О'Е'^. П
Ключевым пунктом этого доказательства является
установление того факта, что на плоскости существуют
два перпендикулярных направления, которые преобра-
преобразование Ф переводит в перпендикулярные направления.
Оказывается, что это можно легко доказать и не обра-
обращаясь к теории линий второго порядка, если воспользо-
воспользоваться (применительно к функциям на окружности)
287

известной из анализа теоремой Вейерштрасса
о том, что на компактном множестве непрерывная функ-
функция достигает своего наименьшего значения.
Рассмотрим с этой целью туже окружность радиуса 1
с центром в точке О. Обозначив для любой ее точки .VI
через f(M) расстояние преобразованной точки М' =
= Ф(М) от точки О', мы получим па этой окружности,
очевидно, непрерывную функцию f:Mt—*-f(M). Пусть
ЛТо — точка, в которой эта функция принимает наимень-
наименьшее значение. Оказывается, что прямую ОМ0 и перпен-
перпендикулярную ей в точке Л/о прямую d (касательную к
окружности) преобразование Ф переводит в перпенди-
перпендикулярные прямые O'Af, и d'. Действительно, если это
не так и точка М'о отлична от основания N'o перпенди-
перпендикуляра, опущенного из точки О' на прямую d' (и поточу
O'N'0\ < | О'М'й\ = /(М0)), то для точки Mi, в которой
прямая ON0, Лго = Ф-1(ЛГц), пересекает нашу окруж-
окружность, будет (ввиду того, что точка Mi расположена на
отрезке ONo и, значит, точка M[ = f(^M[) — на от-
отрезке O'Nq) иметь место противоречащее выбору точки
Мо неравенство
f(Ml) = \O'M[\<\O'N'0\<f(Mv). D
Это рассуждение без труда обобщается на любое
число измерений (получается, конечно, не два перпен-
перпендикулярных направления, а п таких направлений). По-
Поэтому предложение 1 справедливо (с соответствующими
288

изменениями) для аффинных преобразований евклидова
пространства произвольной размерности.
Предложение 1, по существу, полностью сводит тео-
теорию произвольных аффинных преобразований к теории
ортогональных преобразований. Займемся поэтому орто-
ортогональными преобразованиями (и, в частности, движе-
движениями). Все координаты будем предполагать прямо-
прямоугольными.
Будучи частным случаем аффинных преобразований,
ортогональные преобразования записываются в том же
виде B):
C) у = Сх + Ь,
но только матрица С будет для них не произвольной не-
невырожденной матрицей, а (в прямоугольных координа-
координатах) произвольной ортогональной (см. лекцию 14) мат-
матрицей.
Преобразование C) тогда и только тогда является
движением, когда матрица С является собственной орто-
ортогональной матрицей (имеет определитель 1). На этом
основании движения называются также собственными
ортогональными преобразованиями.
Определение 1. При С = Е преобразование C) имеет
вид у = х -j- b, является движением и называется парал-
параллельным переносом. Это преобразование характеризует-
характеризуется тем, что любую прямую оно переводит в параллель-
параллельную прямую. Ни одной точки такие движения (при
Ъ ф 0) не оставляют на месте.
Движения, оставляющие на месте некоторую точку
О, называются вращениями с центром в О. Они состав-
составляют группу, обозначаемую символом Roto (я).
Если О является началом координат, то для враще-
вращений с центром О в формуле C) матрица-столбец b от-
отсутствует (равна нулю). Это показывает, что как абст-
абстрактная группа группа Roto(n) изоморфна группе соб-
собственных ортогональных матриц SO (л).
Согласно формуле C) любое движение является
композицией вращения у — Сх с центром в начале коор-
координат и параллельного переноса у = х -f- b.
Оказывается, что на плоскости вращениями
(с произвольным центром) и параллельными переноса-
переносами исчерпываются все движения:
Ю М М Постников 289

Предложение 2. Любое движение плоскости является
либо параллельным переносом, либо вращением.
Доказательство. Из результатов лекции 14
о виде собственных ортогональных матриц второго по-
порядка следует, что (в произвольных прямоугольных ко-
координатах х, у) каждое движение плоскости записывает-
записывается формулами
х = х cos а — у sin а + bit
D)
у' = х sin а + у cos а + Ь2.
При а = 0 оно является параллельным переносом. По-
Покажем, что при а ф О движение D) обязательно имеет
неподвижную точку и потому представляет собой вра-
вращение.
Условие, что точка Afo(*o, г/о) остается при движении
D) на месте, состоит в выполнении двух равенств:
*o = *ocosa — у0 sin a + b\,
г/о = лго sin a + г/о cos a + b2,
т. е. равенств
A — cos a) x0 + (sin a) y0 = bu
(— sin a) x0 + A — cos a) y0 = b2-
Так как эти равенства представляют собой систему ли-
линейных неоднородных уравнений от хо,уо с определите-
определителем
II—cos a sin a ,, « . . г п/, .
. = A — cosaJ+ sin2 a = 2A — cos a),
— sin a 1 — cos a v ' ' v ''
отличным от нуля при а ф 0, то неподвижная точка Мо
существует (и единственна). ?
Любое вращение плоскости с центром в начале коор-
координат имеет вид
х' = х cos a — у sin a,
у' = х sin a + у cos a,
где a — некоторый угол, единственным образом опреде-
определенный при условии —я <a<it Этот угол называется
углом вращения.
Предложение 2, в частности, показывает, что движе-
движение на плоскости не может иметь более одной неподвиж-
290

ной точки. Для ортогональных преобразований, не со*
храняющих ориентацию, это уже не так.
Определение 2. Нетождественное ортогональное пре-
преобразование плоскости, имеющее прямую неподвижных
точек, называется симметрией (или отражением) в этой
прямой. Прямая, состоящая из неподвижных точек сим-
симметрии, называется ее осью.
Пусть ортогональное преобразование
bu у'= c2ix + с22у + b2
является симметрией с осью х = 0. Тогда тождественно
по у должны иметь место равенства
откуда следует, что с\% = О, с^ = 1 и Ь\ = О, Ь2 =¦ 0. Вви-
Ввиду ортогональности матрицы С это возможно (для не-
нетождественного преобразования) только при C2i = 0 и
сп = —1. Таким образом, рассматриваемая симметрия
выражается формулами
E) х —-Х,
У =У-
В частности, мы видим, что симметрия однозначно опре-
определяется своей осью. При этом любая симметрия обра-
обращает ориентацию и квадрат ее является тождественным
преобразованием.
Для произвольного обращающего ориентацию орто-
ортогонального преобразования Ф и произвольной симмет-
симметрии S композиция S?<?> сохраняет ориентацию, т.е. яв-
является движением. Поскольку Ф = 5°Eоф), этим
доказано, что любое обращающее ориентацию ортого-
ортогональное преобразование Ф является композицией движе-
движения и некоторой симметрии S (которую можно выбрать
одной и той же для всех Ф).
Пример такого преобразования — так называемая
скользящая симметрия
являющаяся композицией симметрии и параллельного
переноса вдоль ее оси.
Предложение 3. Любое обращающее ориентацию
ортогональное преобразование плоскости является сколь-
скользящей симметрией^
10* 291

Доказательство. Из полученных выше резуль-
результатов (а также из сказанного в лекции 14) непосредст-
непосредственно вытекает, что любое обращающее ориентацию
ортогональное преобразование плоскости выражается в
произвольной системе прямоугольных координат х, у
формулами
к' = х cos а + у sin а + Ь\,
у' = х sin а — у cos а + Ь2.
Покажем, что существуют такие числа /, т, что еслп
Ч*— параллельный перенос на вектор аA, т), то преоб-
преобразование О = Ч/~'°Ф представляет собой симметрию,
ось которой параллельна вектору а. Ясно, что этим пред-
предложение будет доказано, поскольку преобразование Ф =
= W о Q является скользящей симметрией.
Для любых / и т преобразование Q = Ч?-1 ° Ф задает-
задается, очевидно, формулами
х' = х cos а + у sin а + Ъ\ — /,
у' = х sin а — у cos а + Ь2 — т.
Следовательно, его неподвижные точки определяются из
уравнений
х{\ — cos а) — у sin а = ЬХ — I,
— х sin а + у({ -\- cos а) = Ь2 — т.
Задача состоит в том, чтобы подобрать / и т так, чтобы,
во-первых, эти уравнения определяли прямую (тогда Q
будет нетождественным — поскольку оно обращает ори-
ориентацию— ортогональным преобразованием, обладаю-
обладающим прямой неподвижных точек, т. е. будет симметрией).
Иными словами, числа / и т нужно подобрать так, что-
чтобы уравнения G) были пропорциональны:
1 — cos а — sin а ft, — /
— sin а 1 + cos а bi — rn
Условие
1 — cos a — sin а
— sin а 1 + cos а
удовлетворяется тождественно, а условие
— sin а _ 1>! — I
1 + cos а bi — т
дает для / и т уравнение
(&я-т)Л+ (&!-/) = О,
292

где для сокращения формул введено обозначение
, sin a
А = -:—: .
1 + cos а
И во-вторых, мы должны потребовать, чтобы полученная
прямая была параллельна вектору а{1, т), т.е. чтобы
имело место равенство
/ sin a 1
т 1 — cos а X
Таким образом, для I и т мы получаем два урав-
уравнения:
(8) l + ml = b2l + bu U — m = 0.
Для завершения доказательства остается заметить, что
уравнения (8) имеют единственное решение
Ясно, что скользящая симметрия с афО не оставляет
неподвижной ни одной точки. Таким образом, если об-
обращающее ориентацию ортогональное преобразование
имеет хотя бы одну неподвижную точку, то оно является
симметрией (и потому оставляет на месте целую пря-
прямую). Но для любого вращения его композиция с сим-
симметрией, ось которой проходит через центр вращения,
является, очевидно, такого рода преобразованием и по-
потому представляет собой симметрию. Поскольку квад-
квадрат любой симметрии является тождественным преобра-
преобразованием, это доказывает, что любое вращение плоско-
сти является композицией двух симметрии.
Аналогично, композиция параллельного переноса с
симметрией, ось которой перпендикулярна вектору этого
переноса, также является обращающим ориентацию
ортогональным преобразованием, обладающим непод-
неподвижной прямой, т. е. симметрией. Например, если пере-
перенос происходит вдоль осн абсцисс, т. е. имеет вид
х' = х + а, у' = У,
то его композиция
х' = — х + а, у' ~У
с симметрией относительно оси ординат имеет неподвиж-
неподвижную прямую х =тг. Этим доказано, что композицией
293

двух симметрии является и любой параллельный пере*
нос.
Таким образом, каждое движение плоскости может
быть разложено в композицию двух симметрии. D
У нас нет времени столь же подробно изучить орто-
ортогональные преобразования пространства. Мы ограни-
ограничимся тем, что опишем его вращения.
По определению каждое вращение Ф пространства
оставляет на месте некоторую его точку О. Приняв 3iy
точку за начало координат, мы получим для Ф формулы
вида
х' = сих + с12у + cl3z,
Попробуем найти все точки (х, у, z) Ф (О, 0, 0), которые
при этом вращении остаются на той же прямой с точкой
@, 0, 0), т. е. такие, что
(9) х' = Хх, у'^Ху, z' = Xz,
где К — некоторое число. Их координаты х, у, z должны
удовлетворять уравнениям
(сн — X) х + cl2y + cuz = 0,
C2iX + (С22 — Я) у + C23Z = 0,
+ СзаУ + (с33 — X) z = 0,
которые, как известно из алгебры, тогда и только тогда
имеют нетривиальное решение, когда
СЦ — А, С]2 С,з
(Ю)
С12 С 22 — Я С23
С31 Сз2 Сзз —
= 0.
Но последнее равенство является относительно X куби-
кубическим уравнением, а известно, что любое уравнение не-
нечетной степени с вещественными коэффициентами обя-
обязательно имеет вещественный корень. Это доказывает,
что точки (х, у, z) Ф @, 0, 0), обладающие свойством
(9), существуют (причем X является корнем уравнения
A0)). Но поскольку преобразование Ф является врачи-
нием, оно сохраняет длины, и потому X = ±1.
Этим доказано, что для вращения Ф существует пря-
прямая, проходящая через точку О, все точки которой либо
294

остаются при вращении Ф на месте (случай К = 1), либо
переходят в симметричное относительно точки О поло-
жение (случай к = —1).
В обоих случаях каждая точка плоскости, проходя*
щей через точку О перпендикулярно этой прямой, оче-
видно остается при вращении Ф в той же плоскости. По-
Поэтому Ф индуцирует в этой плоскости некоторое ортого-
ортогональное преобразование Ф' с неподвижной точкой О.
Поскольку Ф, по условию, сохраняет ориентацию про-
странства и при А.=—1 переставляет стороны плоскости,
преобразование Ф' в случае Х = — 1 обращает ориента-
ориентацию плоскости. Обладая неподвижной точкой, оно будет
. поэтому симметрией плоскости и, значит, будет обла-
обладать прямой неподвижных точек. Все эти точки будут,
конечно, и неподвижными точками вращения Ф.
Тем самым доказано, что любое вращение простран-
пространства оставляет на месте точки некоторой прямой.
Эта прямая называется осью вращения. В каждой
перпендикулярной к оси плоскости вращение ф индуци-
индуцирует вращение этой плоскости на некоторый угол а,
один и тот же для всех плоскостей (почему?). Этот угол
называется углом вращения Ф. Очевидно, что вращение
Ф однозначно определено, когда известны его ось и
угол, так что два вращения совпадают тогда и только
тогда, когда совпадают их оси и углы. (Напомним, что
угол а мы выбираем из полуинтервала —л<а^я;
ясно, что вращения на углы п и —л совпадают.)

Лекция 28
ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА. —ТЕОРЕМА ПАППА — ПАСКА-
ПАСКАЛЯ.— ТЕОРЕМА ФАНО. — ПРИНЦИП ДВОЙСТВЕННО-
ДВОЙСТВЕННОСТИ.—МОДЕЛИ ПРОЕКТИВНОЙ ПЛОСКОСТИ —
МОДЕЛИ ПРОЕКТИВНОЙ ПРЯМОЙ И ПРОЕКТИВНО-
ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА - КОМПЛЕКСНАЯ ПРОЕКТИВ-
ПРОЕКТИВНАЯ ПРЯМАЯ —ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗО-
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. — ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. — ИНВЕР-
ИНВЕРСИЯ. - ИНВЕРСИЯ И ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБ-
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ -ДВА СВОЙСТВА ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫХ
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ - НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ
ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИИ —ПАРАБО-
—ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ, ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ И ЛОКСОДРОМИЧЕ-
ЛОКСОДРОМИЧЕСКИЕ ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ —
ТЕОРЕМА О ТРЕХ ТОЧКАХ — МНОЖИТЕЛЬ ДРОБ-
ДРОБНО-ЛИНЕЙНОГО НЕПАРАБОЛИЧЕСКОГО ПРЕОБРА-
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. — КЛАССИФИКАЦИЯ ДРОБНО-ЛШ1ЕПНЫЧ
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ. — ФОРМУЛЫ СТЕРЕОГРАФИЧЕ-
СТЕРЕОГРАФИЧЕСКОЙ ПРОЕКЦИИ. -ВРАЩЕНИЯ СФЕРЫ КАК ДРОБ-
ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ —
САМОСОВМЕЩЕПИЯ КУБА.
В проективной геометрии имеется отношение между
точками и прямыми, состоящее в том, что точка принад-
принадлежит прямой, а прямая проходит через точку. Чтобы
подчеркнуть симметричность этого отношения, пользуют-
пользуются специальным термином инцидентность и говорят, что
точка инцидентна прямой, а прямая инцидентна точке.
Несмотря на кажущуюся бедность этого отношения,
оно позволяет формулировать и доказывать трудные и
красивые теоремы. Примером может служить знамени-
знаменитая теорема Дезарга (исторически бывшая первой тео-
теоремой проективной геометрии):
296

Теорема 1 (теорема Дезарга). Пусть для по-
попарно различных точек 1, 2, 3, 4, 5, 6 прямые 14, 25 и 36
инцидентны одной точке, отличной от точек 1—6. Тогда
точки 13 • 46, 35 • 62, 51 • 24 инцидентны одной прямой.
Здесь, скажем, символом 13 обозначается прямая, про-
проходящая через точки 1 и 3, а символом 13-46 — точка пере-
пересечения прямых 13 и 46. В аффинной плоскости эта теоре-
теорема неверна, так как прямые не всегда пересекаются.
Доказательство теоремы Дезарга, как
и других подобных теорем, проще всего вести в модели
0>о проективной геометрии. Точками зтой модели являют-
являются прямые пространства, проходящие через точку О.
Каждая такая прямая задается ее направляющим век-
вектором а, определенным с точностью до пропорциональ-
пропорциональности. Поэтому вместо этих прямых можно рассматри-
рассматривать их направляющие векторы. Другими словами, точ-
точки проективной плоскости &0 мы можем интерпретиро-
интерпретировать как отличные от пуля векторы в пространстве, рас-
рассматриваемые с точностью до пропорциональности.
Точки прямой, проходящей через точки а и Ь, будут
тогда иметь вид (да -f- vb, где ([i, v)=t^@, 0).
В этой интерпретации теорема Дезарга принимает
следующий «векторный» вид:
Пусть для попарно не коллинеарных векторов аи а2,
а.\, ou, a5, Яб пространства существуют такие отличные от
нуля числа а\, а2, аз, а4, as, ocr, что
A) сца, + а4а4 = а2а2 + а5а5 = а,а3 + a6aG.
Тогда существуют такие наборы чисел (Pi, Рз, 04, Ре).
(yv 75. Тб, Ts) - F5,61,62,64), каждый из которых содер-
содержит хотя бы одно отличное от нуля число, что имеют
место равенства
зЯз + У5<*5 = \'бЯб + V2U2,
и эти три вектора компланарны.
В этом виде мы ее и будем доказывать.
Поскольку векторы fli_6 нам заданы только с точ-
точностью до пропорциональности и поскольку пи одно из
чисел ai_6 не равно нулю, мы можем каждый вектор а*
заменить вектором a,a,. Тогда A) будет иметь вид
al + a4 = a2 + a-o = a3 + a6,
297

откуда немедленно вытекает, что
«1— ЛЗ = — «4 +
Поскольку
— с, = — а2 + с4.
(с, — а3) + («з — «о) + («з — «О = О»
этим теорема Дезарга доказана. D
Доказательство получилось короче формулировки!
Конфигурация Дезарга.
В теореме Дезарга, кроме точек 1—6, участвуют еще
четыре точки:
14 • 25 = 14 • 36, 13 • 46, 35 • 62, 51 • 24.
Обозначим эти точки (в указанном порядке) цифрами
О, 7, 8, 9. Тогда десять точек 0—9 будут лежать на де-
десяти прямых:
25, 37, 49, 06, 01, 19, 28, 64, 35, 78.
Если мы обозначим эти прямые (в указанном порядке)
цифрами от 0 до 9, то теорему Дезарга можно будет
переформулировать в следующем виде:
(*) Если каждая из точек 1—8 инцидентна прямой,
обозначенной той же цифрой, то точка 9 также инци-
инцидентна прямой 9.
Эти десять точек и десять прямых образуют так на-
называемую конфигурацию Дезарга. В этой конфигурации
298

любая точка инцидентна точно трем прямым и любая
прямая — точно трем точкам.
Два треугольника называются перспективными, если
их вершины попарно расположены на трех прямых, пе-
пересекающихся в одной точке (центре перспективы). На-
Например, в конфигурации Дезарга треугольники 135 и
246 перспективны с центром перспективы 0. В этой тер-
терминологии теорема Дезарга утверждает, что точки пе-
пересечения соответственных сторон перспективных тре-
треугольников лежат на одной прямой (которая называется
их дезарговой прямой).
Замечательным фактом является то обстоятельство
(обнаруживаемое перебором всех десяти точек и десяти
прямых), что в конфигурации Дезарга все точки и пря-
прямые равноправны: любая ее точка (прямая) является
центром перспективы (дезарговой прямой) однозначно
определенной пары перспективных треугольников.
В случае, когда тройки точек 1, 3, 5 и 2, 4, 6 колли-
неарны, теорема Дезарга вырождается в тривиальность
(все три точки 7, 8, 9 совпадают). Зато для таких точек
имеет место следующая теорема:
Теорема 2 (теорема Паппа — Паскаля). Если
из шести различных точек 1, 2, 3, 4, 5, 6 точки 1, 3, 5
инцидентны одной прямой и точки 2, 4, 6 также инци-
инцидентны одной прямой {отличной от первой), причем ни
одна из этих точек не лежит на обеих прямых одновре-
одновременно, то три точки 14 • 23, 45 • 36, 52 • 61 инцидентны
одной прямой.
Доказательство. В «векторной» интерпретации
эта теорема утверждает, что если
1) векторы п\, а2, из, сц, «5, «6 попарно не колли-
неарны,
2) векторы аи а3, аь, а также векторы а2, а4, а6 ком-
компланарны,
3) ни один из векторов аь а3, аь не компланарен век-
векторам а2, «4, Яб и ни один из векторов а2, ait а6 не ком-
компланарен векторам аь а3, as,
то векторы ау, а8, ад, выражающиеся формулами
а7 = Hiflt, + №4 = v2a2 + v3a3,
+ [i5«5 = v,a, +
компланарны.
299

Пусть е0, в[, е2 — такие векторы, что
ах Л л* = е0 Л «ii «2 Л «4 — ео Л «2
(см. предложения 2 и 3 лекции 7). Ясно, что векторы е0,
е\, е3 линейно независимы и векторы ai_6 через них ли-
линейно выражаются. При этом в выражении векторов а,\,
а3, аь (векторов а2, а4, а6) через векторы <?0, еи е2 коэф-
коэффициент при векторе е2 (при векторе е\) равен нулю, а
при векторе ех (при векторе е2) отличен от нуля. По-
Поскольку векторы ai_6 нам заданы только с точностью до
коллинеарности, то без ограничения общности мы мо-
можем предполагать, что
<?i> аг = k2e0 + e2,
еи а4 =
где fei_6 — некоторые числа. Подставив эти выражения
в формулу для вектора а7, мы немедленно получим, что
а7 =
Так как векторы еа, в\, е2 линейно независимы, это ра-
равенство может иметь место только тогда, когда \к\ = v3,
(.и = V2 и (ii/?i ~f- Ц4^4 = Vzk2 + V3&3. Следовательно,
Hi (ki — k3) = ц4 (k2 - ?4)-
Поскольку вектор а7 нам задан также лишь с точностью
до коллинеарности, мы можем считать, что щ = k2 — к^
(очевидно, что k2^kn) и, слодовател лга, что H4=/?i — k$.
Таким образом,
«7 = К*2— *4> ^1 + (*1 — ^) Л4] ^0 + (^2—^4) в, + (А, — /f3) ^2 =
= (*1^2 — *j*4) «о
Аналогично показывается, что
«8 = (^1^2 — hh) е0 + (fe2 —
Но тогда а7Ч-Я9 = аз, и потому векторы а7, а8, аэ ком-
компланарны. П
Кроме точек 1—6, в теореме Паппа — Паскаля уча-
участвуют еще точки 7 = 14-23, 8 = 45-36 и 9 = 5261,
а также девять прямых
69, 46, 27, 58, 13, 38, 14, 78, 25.
зоо

Обозначив эти прямые (в указанном порядке) цифрами
от 1 до 9, мы можем теорему Паппа — Паскаля пере-
переформулировать следующим образом:
(*) Если каждая из точек 1—8 инцидентна прямой,
обозначенной той же цифрой, то точка 9 также инци-
инцидентна прямой 9.
Таким образом, теорема Паппа — Паскаля допускает
дословно ту же формулировку, что и теорема Дезарга!
Отличие их состоит только в том, какие прямые как обо-
обозначены. Оказывается, что формулировку типа (*) (но,
вообще говоря, с другим числом точек и прямых) допу-
допускает целая группа теорем. Эти теоремы называются
конфигурационными теоремами. Теоремы Дезарга и
51 \\
Конфигурация Паппа — Паскаля.
Паппа — Паскаля являются среди них простейшими я
одновременно важнейшими.
Получающаяся в геореме Паппа — Паскаля конфигу-
конфигурация из девяти точек и девяти прямых называется кон-
конфигурацией Паппа. Как н в конфигурации Дезарга, в кон-
конфигурации Паппа через любую точку проходят три пря-
прямых и на любой прямой лежат три точки. Кроме того,
в кон-фигурациях Паппа также имеет место равноправие
всех точек и прямых.
Примером неконфигурационной теоремы проективной
геометрии является следующая теорема:
Теорема 3 (теорема Фан о). Если никакие
три из четырех точек 1, 2, 3, 4, не коллинеарны, то
301

точки
12 • 34, 13 • 24, 14 • 23
также не коллинеарны.
Доказательство. Мы должны показать, что если
из четырех векторов fli, a2, а3, а4 никакие три не компла-
компланарны, то векторы а, Ь, с вида
а =
B) Ь = Ml + Эз«3 = Мг + 0404.
с = Y2a2 + Узвз = Yi«i
также не компланарны.
Но, действительно,
этим равенствам
согласно
— аАа3 — 040.4 = 0,
Pi«i - Ре«2 + РзОз - Р4«4 = О,
= 0.
\
Теорема Фано.
Поскольку векторы ai, a2, a3 по условию некомпланарны
(т.е. линейно независимы), эти равенства возможны
только тогда, когда их коэффициенты пропорциональны.
Таким образом, существуют такие числа k^=0 и 1фО,
что
С другой стороны, первые из равенств B) означают, что
векторы а, Ь, с имеют в базисе п\, а2, а3 координаты
@,Y2.
Так как
р, 0
О Y2
= — «201 Ys — aiPsY2 = —
О,
то эти векторы не компланарны. ?
Появление в последней формуле двойки означает, что
теорема Фано справедлива только тогда, когда характе-
характеристика основного поля К отлична от двух. В то же
802

время теоремы Дезарга и Паппа — Паскаля справедли*
вы для любого основного поля К.
Мы пользовались в доказательствах предыдущих тео-
теорем векторами только для упрощения и сокращения вы-
выкладок. При желании можно было бы провести те же
самые, по существу, рассуждения в произвольной си-
системе проективных координат.
Как мы знаем, в проективной геометрии плоскости
точки и прямые играют совершенно симметричные роли.
Аналитически это находит выражение в том, что условие
инцидентности
C) АХ + BY + CZ = О
точки (X:Y:Z) и прямой {А: В: С) абсолютно симмет-
симметрично по отношению к координатам точки и прямой.
Поэтому, если каждой точке (прямой) мы сопоставим
прямую (точку) с теми же координатами, то инцидент-
инцидентность между точками и прямыми не нарушится, т.е., на-
например, точки, инцидентные некоторой прямой, перейдут
в прямые, инцидентные точке, отвечающей этой прямой.
Этим доказан следующий общий принцип:
Принцип двойственности для проективной плоскости.
Если в некотором верном предложении в точках, пря-
прямых и об инцидентностях между ними всюду поменять
местами слова «тонка» и «прямая», то получится снова
верное предложение.
Это новое предложение называется двойственным ис-
исходному.
Заметим, что этот принцип не является теоремой
проективной геометрии, поскольку он говорит не о точ-
точках и прямых, а о теоремах.
Утверждению «любые две точки инцидентны одной
прямой» двойственно утверждение «любые две прямые
инцидентны одной точке». Заметим, что в аффинной гео-
геометрии первое утверждение верно, а второе — нет.
Более интересный пример мы получим, рассмотрев
теорему, двойственную теореме Паппа — Паскаля. Она
называется теоремой Паппа — Брианшона.
Теорема 4 (теорема Паппа — Брианшона).
Если из шести различных прямых 1, 2, 3, 4, 5, 6 прямые
1, 3, 5 инцидентны одной точке и прямые 2, 4, 6 также
инцидентны одной точке (отличной от первой), причем
303

nit -одна из1' этих прямых не содержит одновременно
обеих точек, то три прямые
14 • 23, 45 • 36, 52 • 61
инцидентны одной точке. ?
Здесь, скажем, 14 обозначает точку пересечения пря-
прямых 1 и 4, а 14-23 — прямую, проходящую через точки
14 и 23.
Подобно теореме Паппа — Паскаля, теорема Паппа —
Брианшона тоже утверждает существование некоторой
конфигурации. Замечатель-
Замечательно, что при этом получается
та же конфигурация Паппо.
Действительно, теорема,
двойственная к формулиров-
формулировке (*), совпадает, очевидно,
с иен самой (как говорят,
эта формулировка сама себе
двойственна). Теорема Пап-
Паппа—Паскаля обеспечивает
построение этой конфигура-
конфигурации, начиная с двух троек
точек, а теорема Паппа —
Брианшона—начиная с двух
троек прямых. ?
По той же причине тео-
теорема, двойственная теореме
Дезарга (конечно, не совпа-
совпадающая с этой теоремой и
даже, более того, как можно легко убедиться, обратная
к ней), обеспечивает построение той же конфигурации
Дезарга из десяти точек и десяти прямых.
Теорема, двойственная теореме Фано, утверждает,
что для любой четверки прямых 1, 2, 3, 4, из которых
никакие три не проходят через одну точку, прямые 12-34,
13-24, 14-23 («обобщенные диагонали четырехугольни-
четырехугольника») также не проходят через одну точку.
Рассмотрим в заключение вопрос о наглядном пред-
представлении моделей вещественной проективной плоскости.
Модель «в круге» представляет собой круг, диаме!-
ралыю противоположные точки которого отождествлены
(«склеены»). К сожалению, это склеивание нельзя про-
произвести в трехмерном пространстве, даже представляя
304
Теорема Паппа — Брианшона.

себе круг сделанным из тонкой резины и разрешая его
как угодно изгибать и растягивать. Положение изменит-
изменится, если мы вырежем в круге меньший круг, оставив
С\
Теорема, двойственная теореме Фано.
кольцо, у которого отождествлены диаметрально проти-
противоположные точки внешней окружности.
Разрезав это кольцо по двум радиусам ab и ей, мы
получим два прямоугольника, для которых нужное скле-
склеивание осуществить уже не представляет труда. После
Ь с
а
¦
«111
/
< '\
а
Л
л
Ь с
И d
Последовательное переклеиванне проективной плоскости «с дырой»
в лист Мебиуса.
склеивания получится прямоугольник, две противопо-
противоположные стороны которого состоят из краев радиальных
разрезов. Склеив эти стороны, для чего прямоугольник
придется перекрутить (и предварительно вытянуть), мы
11 М М Постников 303

получим в пространстве поверхность, которая называет-
называется листом Мёбиуса.
Лист Мёбиуса имеет край, являющийся окружностью
(это — край вырезанного вначале из проективной пло-
плоскости круга). Поэтому, чтобы снова получить проек-
проективную плоскость, достаточно заклеить лист Мёбиуса
кругом по его граничной окружности. Однако без само-
самопересечений это сделать в трехмерном пространстве
нельзя. Это можно сделать только в четырехмерном
пространстве, выбрав произвольную точку (вне трехмер-
трехмерного пространства, содержащего лист Мёбиуса) и по-
построив над краем листа Мё-
Мёбиуса конус с вершиной в
этой точке.
Замечательные свойства
листа Мёбиуса (например,
его односторонность) всем
известны из книг по «зани-
«занимательной» математике. По-
Поэтому мы их описывать за-
заново не будем.
Модель проективной прямой. Аналогичное представле-
представление проективной прямой (од-
(одномерного вещественного проективного пространства)
никаких затруднений не вызывает. Ее моделью, анало-
аналогичной модели проективной плоскости «в связке», слу-
служит пучок прямых на плоскости с центром в некоторой
точке О. Рассмотрев полуокружность с центром в О
и «разогнув» ее в отрезок, мы получим в качестве моде-
модели проективной прямой (аналогичной модели «в круге»)
отрезок (т.е. «одномерный круг»), концевые точки ко-
которого отождествлены. Произведя это отождествление,
мы получим из отрезка окружность. Таким образом,
моделью проективной прямой является окружность.
Для (трехмерного) проективного пространства ана-
аналогом модели «в круге» является модель «в шаре».
В этой модели точки проективного пространства изо-
изображаются внутренними точками шара и парами диа-
диаметрально противоположных точек его граничной
сферы.
Возьмем, в частности, шар радиуса я. Пусть О — его
центр. Любая точка МфО однозначно определяет пря-
прямую ОМ и число а= \ОМ\, 0<сс^я. Отнесем этой
306

точке вращение с осью ОМ на угол а против часовой
стрелки (если смотреть вдоль оси в направлении векто-
ра ОМ). Точке О отнесем тождественное преобразова-
преобразование (вращение на угол 0). Ясно, что при соответствую-
соответствующем выборе точки М в шаре мы можем таким образом
получить любое вращение пространства. При этом двум
разным точкам шара будут отвечать разные вращения,
если только эти точки не являются диаметрально проти-
противоположными точками границы шара, когда будет полу-
получаться одно и то же вращение.
Это показывает, что моделью трехмерного проектив-
проективного пространства является группа RotoC) вращений
пространства. Поскольку эта группа изоморфна группе
собственных ортогональных матриц SOC), мы получаем
окончательно, что множество SOC) собственных орто-
ортогональных матриц третьего порядка является моделью
трехмерного вещественного проективного пространства.
Мы видим, в частности, что матрицы из SOC) мож-
можно параметризовать четверками (а0: а1: а2: а3) чисел,
заданных с точностью до пропорциональности. Можно
записать очень красивые явные формулы этой парамет-
параметризации, но на это у нас нет времени.
Аналогичное наглядное описание комплексных про-
проективных пространств .СР" возможно только при п = 1
(поскольку уже комплексная проективная плоскость СР2
имеет вещественную размерность 4 и потому наглядно
непредставима). Что же касается комплексной проектив-
проективной прямой „СР1, то, по определению, она является мно-
множеством классов пропорциональности (zo:z\) пар ком-
комплексных чисел (zo,Zi). При го^О каждый такой класс
однозначно характеризуется комплексным числом г= —,
а при 20 = 0 он существует только один — @ : 1). Обозна-
Обозначая последний класс символом оо, мы получаем таким
образом, что моделью комплексной проективной прямой
является множество „Q комплексных чисел, пополненное
символом оо.
Каждое комплексное число z = x-\- iy можно изо-
изображать на плоскости (с заданной системой прямоуголь-
прямоугольных координат) точкой (х, у). Поэтому множество С
часто называют плоскостью комплексных чисел (упо-
(употребляемое иногда название «комплексная плоскость»
очень неудачно, поскольку этот термин занят для плоско-
П* 307

Сфера Римана.
сти над полем С, которая с «вещественной» точки зре-
зрения имеет размерность 4), а множество С с добавлен-
добавленным символом оо — попол-
пополненной плоскостью ко if-
плексных чисел С+.
Рассмотрим на сфере S
в трехмерном пространстве
произвольную точку N и
плоскость л, касательную к
S в диаметрально противо-
противоположной точке. Тогда для
любой точки М сферы S,
отличной от точки N, будет
определена прямая NM,
пересекающая плоскость п.
Сопоставив точке М точку
пересечения ЛГ прямой NM с плоскостью л, мы получим
биективное отображение М *—> М' (называемое стерео-
стереографической проекцией) сферы S без точки N на пло-
плоскость я.
Принимая за л плоскость комплексных чисел, мы, в
частности, получаем возможность изображать комплекс-
комплексные числа точками сферы, «проколотой» в одной точке
N. Сопоставив этой точке символ оо, мы получим тем са-
самым биективное соответствие между точками пополнен-
пополненной плоскости С+ и точками сферы S. На этом основа-
основании пополненную плоскость „С.+ часто называют сферой
комплексных чисел или сферой Римана.
Таким образом, мы видим, что сфера является мо-
моделью комплексной проективной прямой.
Для любых комплексных чисел а, Ь, с, d, удовлетво-
удовлетворяющих соотношению
Ь
формула
az + b
cz-\-d
определяет преобразование гн* w пополненной плоско-
плоскости С+ комплексных чисел в себя. (По определению счи-
считается, что w = — при г = оо и w = оо при г = — —; в
частности, если с = 0, то w = оо при г = оо.)
S08

Определение 1. Преобразования С+-»-С- вида D)
называются дробно-линейными преобразованиями.
Эти преобразования тесно связаны с проективными
преобразованиями комплексной проективной прямой
СР1. Действительно, являясь преобразованием по равен-
равенству проективных координат, каждое проективное пре-
преобразование СР"-*СР" должно записываться в одно-
однородных проективных координатах теми же формулами,
что и некоторое преобразование проективных координат
(см. лекцию 27), т. е. формулами D) лекции 26. При
п = 1 эти формулы с точностью до обозначений имеют
вид
dzu
= az0 -f bzu
где
с d
a b
?=0,
и потому, перейдя в них к неоднородным координатам
2 = — и iw = -^-i мы получим как раз преобразование
D). Этим доказано, что дробно-линейные преобразова-
преобразования D) представляют собой не что иное, как проектив-
проективные преобразования комплексной проективной прямой
в модели С+. ?
Ясно, что все дробно-линейные преобразования обра-
образуют группу, т. е. композиция (произведение) двух дроб-
дробно-линейных преобразований и преобразование, обрат-
обратное к дробно-линейному преобразованию, являются
дробно-линейными преобразованиями. При этом дробно-
линейное преобразование, обратное к преобразованию
D), дается формулой
— dw + Ь
cw — a
Согласно сказанному выше, группа дробно-линейных
преобразований изоморфна группе Proj A; С).
Преобразование D) не меняется при одновременном
умножении всех коэффициентов а, Ъ, с, d на одно и то
же число р ?= 0. Поэтому любое дробно-линейное пре-
преобразование можно записать в виде D) с дополнитель-
дополнительным условием
ad — bc= 1.
Такую запись дробно-линейных преобразований мы бу-
будем называть нормированной. Каждое дробно-линейное
преобразование допускает две нормированные записи,
309

переходящие друг в друга при умножении всех коэффи-
коэффициентов на —1.
При а = d = 1 ис = 0 мы имеем преобразование
E) w = г + Ь.
Интерпретируя комплексное число b = b{ -f ib2 как век-
вектор (с координатами Ь\ и Ьг), мы видим, что это пре-
преобразование представляет собой параллельный перепое
на вектор Ъ.
Пусть d = 1, 6 = с = 0 и, значит,
F) ю = аг.
При \а\ = 1, т. е. когда
а = cos a + i sin а
(или, иначе, а = е'а), преобразование F) имеет вид
G) w — etaz
и представляет собой поворот на угол а (чтобы усмо-
усмотреть это, достаточно записать преобразование G) в
прямоугольных координатах x = Rez и y = lmz). При
а = г > 0 вещественном и положительном преобразова-
преобразование F) представляет собой гомотетию с коэффициен-
коэффициентом г. В общем случае а = ге'а преобразование F) яв-
является композицией вращения на угол а= arga и гомо-
гомотетии с коэффициентом г= \а\.
Преобразования E) и F) оба являются частными
случаями дробно-линейных преобразований вида
(8) w = az + b,
получающихся при с = 0 и d = 1. Такие преобразования
называются линейными.
Каждое линейное преобразование является компози-
композицией параллельного переноса E) и преобразования
F). В частности, при \а\ = 1 линейное преобразование
является движением (и обратно, любое движение пло-
плоскости является линейным преобразованием (8) с
\а\ = 1). Отсюда следует, что линейные преобразова-
преобразования — это в точности преобразования подобия. П
Заметим, что запись (8) линейных преобразований
не нормирована (при а ф 1).
Пусть Т — произвольная окружность радиуса R и
Мо — ее центр. Точки М и N (отличные от точки Мо) на-
310

зываются симметричными относительно окружности Т,
если
а) эти точки лежат на одном луче, исходящем из
точки Мо;
б) имеет место равенство
Точка Мо, по определению, считается симметричной
точке оо.
Если точки ЛЬ, М и N изображаются комплексными
числами z0, г и ш, то условия а) и б) могут быть сфор-
сформулированы следующим об-
образом:
а) аргументы чисел z— za
и 19 — z0 одинаковы:
arg (z — z0) = arg (ш — z0);
б) для их модулей имеет
место равенство
\ Z — Zo | • | W — Zo I — R2- Точки, симметричные относи-
относительно окружности.
Согласно условию б),
комплексные числа w — z0 и
R2
¦ имеют одинаковые модули, а согласно условию
г — г0
а) — и одинаковые аргументы. Следовательно, эти числа
равны:
(9) ™-z ^
o
г— га
Таким образом, точки, изображающие комплексные чис-
числа z и w (или, как обычно короче говорят, точки z я w),
тогда и только симметричны относительно окружности
радиуса R с центром в точке z0, когда выполнено соот-
соотношение (9).
Можно считать, что формула (9) задает некоторое
преобразование z t—> w пополненной плоскости С+ ком-
комплексных чисел.
Определение 2. Преобразование (9) плоскости С+,
переводящее каждую точку z в точку w, симметричную
относительно окружности Т, называется инверсией от-
относительно окружности Т.
311

Центр Мо этой окружности оно переводит в точку оо
и, наоборот, точку оо — в центр Mq.
В частном случае, когда Т является единичной окруж-
окружностью (радиуса 1 с центром в точке zo = O), формула
(9) приобретает вид
(Ю) а, = 1-
Из этой формулы следует, что, скомпонировав это пре-
преобразование с преобразованием гн* г, мы получим
дробно-линейное преобразование
Преобразование г—*2 является симметрией относи-
относительно оси абсцисс у = 0. Таким образом, мы видим,
что дробно-линейное преобразование A1) является ком-
композицией симметрии относительно прямой и инверсии
относительно окружности.
В теории дробно-линейных преобразований целесо-
целесообразно все прямые причислять к окружностям. Фор-
Формально-аналитическим основанием этого может служить
тот факт, что уравнение
A2)
при ?"=И=0 (и при А2 -{- В2 > АЕС) дает окружность,
а при Е = 0 — прямую. Соответственно этому инверсией
относительно прямой целесообразно называть симмет-
симметрию в этой прямой. В этой терминологии мы можем, та-
таким образом, сказать, что дробно-линейное преобразова-
преобразование A1) является композицией двух инверсий. ?
Инверсия относительно окружности радиуса R и с
центром в точке z0 = 0 выражается формулой
Поэтому ее композиция с инверсией A0) имеет вид
т. е. является гомотетией с коэффициентом R2. Посколь-
Поскольку любое положительное вещественное число мы можем
представить в виде R2, этим, в частности, доказано, что
312

любая гомотетия является композицией двух инвер-
инверсий. ?
Как мы знаем (см. лекцию 27), любое движение пло-
плоскости также является композицией двух инверсий (сим-
(симметрии относительно прямых). Следовательно, любое
линейное преобразование (преобразование подобия) яв-
является композицией четырех инверсий. ?
Формула
аг+ Ь а_ 1
cz + d с с (cz + d)
(мы предполагаем, что ad — Ьс=\) показывает, что
при с Ф 0 дробно-линейное преобразование D) являет-
является композицией линейного преобразования z ¦—> cz + d,
преобразования zh-э- — и линейного преобразования
zi—?> z Н . Вместе со сказанным выше это дока-
с с
зывает следующее предложение:
Предложение 1. Любое дробно-линейное преобразо-
преобразование является композицией четного числа инверсий. ?
Поскольку
— 2 I 2 ^ •" ^ ^ ™"~" **
^"^ •* " Г" У У ** л I У л; I
? Ail
мы можем уравнение A2) окружности (или прямой)
записать в следующем виде:
т. е. в виде
A3)
где Е и С — вещественные числа, а Р = -%—i-$ неко-
некоторое комплексное число.
Преобразование A1) переводит эту окружность в
кривую с уравнением
Е + Р2 + Рг + Сгг = О,
т. е. снова в окружность (являющуюся при С = 0 пря-
прямой). Поскольку, как выше было замечено, любое дроб-
дробно-линейное преобразование является либо линейным
313

преобразованием, т. е. преобразованием подобия (заве-
(заведомо переводящим любую окружность в окружность),
либо композицией преобразования A1) и двух линейных
преобразований, мы получаем отсюда, что любое дроб-
дробно-линейное преобразование переводит окружность или
прямую в окружность или прямую. ?
Это свойство дробно-линейных преобразований обыч-
обычно называется их круговым свойством.
Так как любая инверсия (9) отличается от дробно-
линейного преобразования некоторой симметрией, то
круговым свойством обладает и каждая инверсия. ?
Лемма 1. Две окружности (или прямые)
A4) Е(х2 + У2)
и
A5) El(xi + yt)
тогда и только тогда ортогональны (пересекаются под
прямым углом), когда
A6) AAl + BBl =
Доказательство. При Е^=0 центр окружности
A4) имеет координаты Г —-^jt» ~ -^г) > а квадрат R2 ее
радиуса выражается формулой
Аналогично, при Е\ ф О центр окружности A5) имеет
координаты Г— -22?-, —~Ш)'г квадРат Ri ee радиуса
выражается формулой
08) ^-Л' + В'14Д'С'-
С другой стороны, очевидное элементарно-геометриче-
элементарно-геометрическое рассуждение показывает, что окружности A4) и
A5) тогда и только тогда ортогональны, когда сумма
^2 4- R\ квадратов их радиусов равна квадрату расстоя-
расстояния между их центрами, т. е. когда
314

Подставив в это соотношение выражения A7) и A8), мы
после упрощений получим условие A6).
Когда ?| = 0, т. е. когда окружность A5) является
на самом деле прямой Ахх-\-В\у + С, = 0, утверждение
об ортогональности этой прямой и окружности A4)
означает, что прямая проходит через центр окружности
A4), т. е. что
После упрощений мы снова получаем условие A6) (с
?!=0).
Наконец, при ? = 0 и ?i = 0 условие A6) превра-
превращается в известное нам условие AAi-\-BBi = 0 перпен-
перпендикулярности двух прямых. ?
В случае, когда уравнения A4) и A5) записаны в
форме A3), т. е. имеют вид
Ezz + Рг + Рг + С = 0
условие A6) приобретает вид
A9) PPi + PPi^ECi + EiC.
Как выше было показано, преобразование A1) пере-
переводит окружность A4) в окружность, для которой роль
коэффициента Е играет коэффициент С, роль коэффи-
коэффициента С—коэффициент Е, а коэффициент Р заменяет-
заменяется комплексно-сопряженным числом Р.
В условных, но понятных обозначениях:
B0) Е^С, С=>Е, Р^Р.
Аналогично для окружности A5)
B1) Ei^Clt С, «*-?,, Л=^Л.
Но ясно, что при заменах B0) и B1) соотношение A9)
остается инвариантным (переходит само в себя). Этим
доказано, что дробно-линейное преобразование A1) со-
сохраняет ортогональность окружностей, т. е. переводит
ортогональные окружности в ортогональные.
Поскольку любое дробно-линейное преобразование
является композицией линейных преобразований и пре-
315

образования A1), отсюда следует, что и любое дробно-
линейное преобразование сохраняет ортогональность
окружностей (ибо линейные преобразования, являясь
преобразованиями подобия, этим свойством обла-
обладают). ?
Замечание, На самом деле дробно-линейные преобра-
преобразования сохраняют любые (а не только прямые) углы
(являются, как говорят, конформными преобра-
преобразованиями), но доказательство этого факта выхо-
выходит за рамки нашего изложения.
Из элементарно-геометрической теоремы о квадрате
длины касательной к oi ружностн непосредственно выте-
вытекает, что точки М и N тогда и только тогда симметрич-
симметричны относительно окружности Т, когда любая окруж-
окружность, проходящая через эти точки, ортогональна окруж-
окружности Т. Ясно, что это утверждение остается справедли-
справедливым и когда Т является прямой. Поскольку каждое
дробно-линейное преобразование ф ортогональные ок-
окружности (прямые) переводит в ортогональные окруж-
окружности (прямые), отсюда следует, что точки М и N, сим-
симметричные относительно произвольной окружности Т,
каждое дробно-линейное преобразование Ф переводит в
точки М' = Ф(М) и N' = Ф(Ы), симметричные относи-
относительно окружности V = Ф(Г). ?
Точка, которую дробно-линейное преобразование (-1)
оставляет на месте, называется неподвижной точкой
этого преобразования. Неподвижные точки определяются
из уравнения
аг + Ь
т. е. из уравнения
B2) c
Поскольку квадратное уравнение имеет не более двух
корней, отсюда следует, что нетождественное дробно-
линейное преобразование имеет не более двух неподвиж-
неподвижных точек. ?
Так как в силу условия нормировки (ad — be = 1)
имеет место равенство
(d - af + 4bc = (a + dJ - 4,
то неподвижные точки нормированного дробно-линейно-
316

го преобразования D) выражаются формулой
а — d ± л/(а -
B3)
ZU2 — '
— 4
2c
При с = 0 (для линейного преобразования) одной не-
неподвижной точкой является точка оо, а другой — точка
d_а- (при d — а, т. е. для параллельного переноса,
также являющаяся точкой оо).
Дробно-линейное преобразование называется парабо-
параболическим, если оно имеет только одну неподвижную
точку. Из формулы B3) следует, что нормированное
преобразование D) тогда и только тогда является пара-
параболическим преобразованием, когда число а + d веще-
вещественно и равно ±2. ?
Параболические преобразования с неподвижной точ-
точкой оо — это параллельные переносы и только они.
Параболическое преобразование с конечной неподвижной точкой.
Каждая заштрихованная область переходит в следующую в на-
направлении, указанном стрелкой.
Пусть дробно-линейное преобразование D) имеет две
неподвижные точки г\ и z2. Рассмотрим семейство Ж
окружностей, проходящих через эти точки, и семейство Ж
окружностей, ортогональных всем окружностям семей-
семейства Ж. Из кругового свойства дробно-линейных пре-
преобразований непосредственно вытекает, что преобразо-
преобразование D) каждую окружность семейства Ж переводит
в окружность того же семейства, а так как это преобра-
преобразование, кроме того, сохраняет ортогональность окруж-
317

ностей, то и каждую окружность семейства Ж оно пе-
переводит в окружность того же семейства.
Может случиться, что под действием преобразо-
преобразования D) каждая окружность семейства Ж переходит
сама в себя, т. е любая ее точка переходит в (вообще
говоря, другую) точку той же окружности. Такое дроб-
ио-линейиое преобразование называется эллиптическим.
Под воздействием эллиптического преобразования каж-
каждая точка двигается по окружности семейства Ж, кото-
которой она принадлежит.
Примером эллиптического преобразования является
вращение с неподвижными точками 0 и оо. Семейство Ж
состоит из концентрических окружностей с центрами в
точке 0, а семейство Ж— из прямых, проходящих через
эту точку.
1
Эллиптическое преобразование с конечными неподвижными
точками.
Преобразование D) называется гиперболическим,
если, наоборот, оно переводит в себя каждую окруж-
окружность семейства Ж и, дополнительно, каждую из дуг, на
которые окружности из Ж разбиваются неподвижными
точками.
Примером гиперболического преобразования являет-
является гомотетия w = az, а > 0, с неподвижными точками О
и оо. Семейства Ж и Ж для этой гомотетии те же, что и
для вращения w = etaz.
Вообще говоря, дробно-линейное преобразование с
двумя неподвижными точками не будет ни гиперболиче-
гиперболическим, ни эллиптическим. Такое преобразование назы-
318

вается локсодромическим. Примером является компози-
композиция гиперболического и эллиптического преобразования
Гиперболическое преобразование с конечными неподвижными
точками.
с одними и теми же неподвижными точками (скажем,
композиция гомотетии и поворота).
Предложение 2. Для любых двух троек (zu z2, z3) и
(w\, w2, Ws) различных точек плоскости С+ существует
единственное дробно-линейное преобразование Ф, пере-
переводящее первую тройку во вторую.
Доказательство. Единственность преобразова-
преобразования Ф очевидна. Действительно, если существует другое
дробно-линейное преобразование W, переводящее тройку
(z\, z% z3) в тройку (w\, w2, Wz), то преобразование
Ч^'-оф будет оставлять на месте три точки Z\, z±, z3) что
для нетождественного дробно-линейного преобразова-
преобразования, как мы знаем, невозможно.
Что же касается существования, то его достаточно
доказать лишь для частного случая, когда (w[t w2, н>3) —
= @,00,1), поскольку, если Ф переводит (zu z2, z3) в
(О, оо, 1), а Ч*" переводит (wu wz, и>з) в @, оо, 1), то
гК~1оф будет переводить (z\, z2, г3) в (wuw2,Ws).
С другой стороны, легко непосредственно подобрать
дробно-линейное преобразование, переводящее (zu z2, z3)
в @,оо,1). Действительно, для такого преобразования
числитель должен обращаться в нуль при z = zu зна-
знаменатель—в нуль при z = z2, а при г = г3 числитель
и знаменатель должны принимать одинаковые значения.
319

Ясно, что этим условиям удовлетворяет преобразование
Замечание 1. В формуле B4) все точки zu z2, z3 пред-
предполагаются конечными (отличными от точки оо). При
zi = оо следует положить
и, соответственно,
W = Z~—z ПРИ z* = °°>
хю = при г = оо.
г — гг
Каждая из этих формул получается из общей формулы
B4) вычеркиванием двух множителей, содержащих оо.
Замечание 2. Изложенное доказательство предложе-
предложения 2 позволяет для дробно-линейного преобразования,
переводящего тройку (zuz2,z3) в тройку (wuw2,w3),
сразу написать формулу, связывающую z и w. Действи-
Действительно, ясно, что такая формула имеет вид
/пс\ ву — ВУ] Wi — ъг>2 z — zt Z3 — Z2
ВУ ~*~ ВУ^ oi-'з — W1 Z ~~ Z2 Z3 ~*~ Zi
Чтобы получить явное выражение D) точки w через
точку z, нужно это уравнение решить относительно w.
Конечно, если среди точек z\, z2, z3 или точек wit w2,
w3 есть точка оо, формулу B5) следует видоизменить
в соответствии с замечанием 1.
Формулу B5) можно рассматривать как соотноше-
соотношение, которому должны удовлетворять две четверки
(zuz2,z3,z) и (w\,w2,ws,w) точек плоскости С+, чтобы
вторая получалась из первой каким-то (согласно пред-
предложению 2, единственным) дробно-линейным преобра-
преобразованием. Обозначая для единообразия z через z4, a w
через Wi, и называя число
Z\ — Z\ Z3 — Z2 Zi — Zi _ Z3 — Zt
Z4 — Z2 Z3 — Z\ Z4 — Z2 Z3 — Z2
двойным отношением точек z\, z2, г3, zit мы можем этот
факт сформулировать в виде следующего предложения:
320

- Предложение 3. Четыре точки Z\, z2, г3, г4 плоскости
С+ тогда и только тогда можно некоторым дробно-линей-
дробно-линейным преобразованием перевести в точки wit ку2> а>з. Wi.
когда двойные отношения этих точек одинаковы. ?
Теперь мы можем без труда написать общий вид
дробно-линейных преобразования Ф с данными непо-
неподвижными точками Z\, z2. Действительно, пусть г3 — лю-
любая другая точка и пусть о>>з = ФBз)- Тогда Ф можно
Описать как дробно-линейное преобразование, переводя-
переводящее тройку (z\,z2, 23) в тройку (zb z2, w3), и, значит, за-
задать формулой
w — Z[ wa — Zi z — Z\ z3 — Zi
W — Zi W3 — Z\ Z — Zi Z3 — 2t '
Положив
мы можем эту формулу переписать в следующем виде:
/97ч И) — Zi у Z— 2]
V> w - z2 — Д г - гг •
Такова общая формула, задающая дробно-линейное пре-
преобразование Ф с неподвижными точками Z\, z% (отли1-
ными от точки оо; если, скажем, z2 = оо, то формула
приобретает вид w — Z\ = K(z — ^i)).
Число К из формулы B7) называется множителзм
дробно-линейного преобразования Ф (с двумя непо-
неподвижные точки, т.е. не параболического). Оно может
быть любым (отличным от нуля) комплексным числом.
Чтобы понять смысл формулы B7), введем в рассмо-
рассмотрение дробно-линейное преобразование
Q:
г — г,
z — z2
и дробно-линейное преобразование
B8) К: z^-^Kz.
Тогда формула B7) будет равносильна равенству
т. е. равенству
321

означающему на языке теории групп, что преобразовав
ние Ф сопряжено в группе всех дробно-линейных
преобразований преобразованию К посредством преобра-
преобразования Q.
Преобразование Q переводит точки z\ и гг в точки О
и оо соответственно, и, значит, окружности семейства
Ж— в прямые, проходящие через точку 0, а окружности
семейства Ж — в концентрические окружности с цент-
центром в точке 0. Преобразование К при К ~> 0 двигает
точки по этим прямым, переставляя окружности, а при
\К\ = 1, наоборот, — двигает каждую точку по окруж-
окружностям, переставляя прямые. Затем преобразование Q-1
снова прямые переводит в окружности семейства Ж, а
концентрические окружности — в окружности семейства
Ж. Поэтому при К > 0 преобразование Ф двигает точки
плоскости по окружностям семейства Ж, переставляя
окружности семейства Ж, т. е. является гиперболиче-
гиперболическим преобразованием, а при |/С|=1, наоборот,—
двигает точки плоскости по окружностям семейства 26,
переставляя окружности семейства Ж, т. е. является
эллиптическим преобразованием. При К невеществен-
невещественном и |/С|=^= 1 преобразование Ф локсодромично.
Это рассуждение можно представить в более ком-
компактном виде, заметив, что оно фактически доказывает,
что для любых дробно-линейных преобразований Q и К
преобразование fi~' °K.°Q имеет тот же тип, что и пре-
преобразование К. После этого нужно лишь вспомнить, что
преобразование B8) гиперболично при К > О, эллиптич-
эллиптично при \К\ =1 и локсодромично при всех других К.
Теперь остается только научиться вычислять множи-
множитель К непосредственно по (предполагаемой нормиро-
нормированной) записи D) дробно-линейного преобразования Ф.
Для этого мы воспользуемся формулой B6), применив
ее к случаю, когда z-i = оо и, значит, w3 = а/с (ясно, что
левая часть этой формулы от выбора z3 не зависит). Со-
Согласно этой формуле,
где z\, Z2 — корни B3) квадратного уравнения B2)'.
Так как, согласно формулам Вьета,
d — а __А
С С
322

и потому
TO
„ _, _1_ a — czt , a — сг2 (a — cz,)* + (a — cz2J
^ ~" "ft ?^7г7 """ a — сг[ (a — бг,) (a — сг2)
— ас
_ 2аг + 2a (rf — a) + (d — aJ + 26c __
a2 + a (d — a) — be
(a + df - 2 (ad - ftc) _ , , ,ч2 о
ad-be (a-f-0) A.
ad-be
Этим доказано, что множитель К является корнем квад-
квадратного уравнения
B9) K+^={a + df-2. ?
(Заметим, что множитель К дробно-линейного преобра-
преобразования с двумя неподвижными точками зависит от ну-
нумерации этих точек; при другой нумерации он заменяет-
заменяется обратной величиной. Поэтому-то уравнение B9) имеет
два корня К и К~х.)
Из уравнения B9) непосредственно вытекает (доста-
(достаточно написать явную формулу для его корней), что К
вещественно и положительно (и, следовательно, пре-
преобразование D) гиперболично) тогда и только тогда,
когда число a-\-d вещественно и |a-}-6?| >2. Анало-
Аналогично, |/С|=1 (и, следовательно, преобразование D)
эллиптично) тогда и только тогда, когда a + d веще-
вещественно и |a + d|<2. Поэтому преобразование D)
тогда и только тогда локсодромично, когда число а + d
невещественно (напомним, что при |a + d| =2 мы вы-
выходим из класса дробно-линейных преобразований с
двумя неподвижными точками, получая параболические,
т. е. имеющие только одну неподвижную точку преобра-
преобразования).
Этим доказана следующая окончательная теорема:
Теорема 5 (о классификации дробно-линей-
дробно-линейных преобразований). Дробно-линейное преобра-
323

зование в нормированной записи
az + d
cz + d
w==
тогда и только тогда нелоксодромично, когда число
а-\- d вещественно. При выполнении этого условия оно
тогда и только тогда
гиперболично л
параболично К, когда
эллиптично )
Опишем в заключение один интересный класс дробно-
линейных преобразований. Предварительно найдем яв-
явные формулы для стереографической проекции сферы 5
на плоскость С+.
Пусть 5 является единичной сферой, задавае-
задаваемой в прямоугольных координатах |, т], ? уравнением
(использовать для координат обычные обозначения х,
у, z мы сейчас не можем, поскольку символ z у нас за-
занят для обозначения комплексных чисел). За плоскость
проекции, отождествляемую с плоскостью С+ комплекс-
комплексных чисел г = х + iy, мы примем теперь экваториаль-
экваториальную плоскость ? = 0 сферы S (что равносильно допол-
дополнительной гомотетии с коэффициентом 1/2). За полюс W
стереографической проекции мы примем точку @,0,1).
Прямая NM, проходящая через точку W и произвольную
точку Л1(|, г\, ?) сферы S, имеет канонические уравнения
вида
X _Г _Z-l
е — п — с—1
(«текущие» координаты точек прямой мы обозначаем
здесь через X, Y, Z) и потому пересекает плоскость
проекции в точке ( ~_ , ¦ ~_^ , 0 j. Это означает, что
точку M(l,r\,t,) стереогратическая проекция переводит
в точку
324

плоскости О (при 1 =0, г| = 0, ?; = 1 мы, естественно,
полагаем z= оо).
Пусть М*(—|, — г\, — С) — точка, диаметрально про-
противоположная точке М(|, т), С), и пусть z* — соответ-
соответствующая точка плоскости С.+. Тогда
^ 2 = — ^ + ^
и, значит,
Обратно, если z*z =—1 и z дается формулой C1), то
для г* будет иметь место формула C2). Тем самым до-
доказано, что точки z и z* плоскости С+ тогда и только
тогда являются образами при стереографической проек-
проекции диаметрально противоположных точек сферы, когда
C3) 2*=-Т- П
Рассмотрим теперь произвольное вращение Е сфе-
сферы S. Переходя с помощью стереографической проек-
проекции П: S—*С+ от S к С+, мы получим дробно-линейное
преобразование Ф = ПоЕ°П~1 плоскости С+, о кото-
котором мы будем говорить, что оно представляет на С*"
вращение 2. Поскольку вращение Z переводит диамет-
диаметрально противоположные точки в диаметрально проти-
противоположные, преобразование Ф переводит точки, свя-
связанные соотношением C3), в точки, также связанные
соотношением C3). Это означает, что если Ф задается
(нормированной) формулой D), то для любых точек z
и г*, связанных соотношением z*z = —1, должно быть
выполнено соотношение
аг* + Ь \ ( пг + Ъ
)
/ аг* + Ь \ ( пг + Ъ \
\cz' + d )\cz + d ) '
т. е. тождественно по z должно иметь место равенство
¦a-bz
\c-dz)\cz +
равносильное равенству
(а - Ы) (аг + Ь) + (с — dz) (cz + d) = 0.
.¦325

Это возможно только тогда, когда все коэффициенты
равны нулю, т. е. при
ah + cd = О, aa — bb + cc — dd = О, ba + dc — 0.
Первое (и третье) соотношения означают, что суще-
существует такое Х=?0, что d = Ха и Ъ = —Яс. Поэтому вто-
второе соотношение принимает вид A—)к) (аа + сс) = 0,
что (поскольку аа + се > 0) возможно только при
1—п = 0, т. е. при |Я| = 1.
С другой стороны, условие нормировки ad—be = 1
равносильно теперь равенству Я(аа + «) = 1, из кото-
которого, в частности, следует, что число Я вещественно и
положительно. Поэтому X = 1 и, значит, d ~ a, b = —с.
Этим доказано, что дробно-линейное преобразование
плоскости О, представляющее вращение сферы, задает-
задается формулой вида
C4) w = 77XT' к"в аа + сг = 1. ?
Для преобразования C4) число а-\- rf = 2Rea веще-
вещественно. Кроме того, если с ^= 0, то \а\2 = аа=\ —
— ее < 1 и потому |Rea| ^ |a| < 1, а если Ima Ф 0,
то |Rea| < |a| s^ 1, так что в обоих случаях |Rea| < 1
и, значит, \а + d\ < 2. Поскольку при с = 0 и Ima = 0
преобразование C4) является, очевидно, тождественным
преобразованием, этим доказано, что каждое нетожде-
нетождественное преобразование C4) эллиптично. ?
Поэтому его множитель К имеет вид е'е. Можно по-
показать (сделайте это!), что этот угол 8 совпадает с углом
исходного поворота сферы.
Замечание. Изложенный вывод формулы C4) содер-
содержит существенный пробел. Именно, мы молчаливо пред-
предположили и оставили без доказательства тот факт, что
преобразование Ф = По1оП-1 плоскости С+, представ-
представляющее вращение 2, является дробно-линейным пре-
преобразованием. Этот факт доказывается достаточно труд-
трудно, и мы только наметим основные этапы доказатель-
доказательства.
Легко видеть, что стереографическая проекция П
каждую лежащую на сфере окружность проектирует в
окружность (или прямую) на плоскости. Поскольку
вращение 2 переводит, очевидно, окружности в окруж-
окружности, отсюда следует, что преобразование ф обладает
326

круговым свойством. Попробуем, поэтому, доказать, что
любое преобразование (биективное отображение) Ф
плоскости О на себя, обладающее круговым свойством,
дробно-линейно. (Заранее предупредим, что это утверж-
утверждение неверно и потому доказательства у нас не полу-
получится.)
Пусть точку оо преобразование Ф переводит в точку
zq. Рассмотрим произвольное дробно-линейное преобра-
преобразование Q, переводящее точку z0 обратно в точку оо.
Тогда преобразование 4r = Q оф, по-прежнему обладаю-
обладающее круговым свойством, будет оставлять точку оо на
месте. Поэтому достаточно рассмотреть преобразование
V: С+—>С+, оставляющее точку оо на месте и обла-
обладающее круговым свойством. Но, поскольку Чг(оо) = оо,
каждое такое преобразование можно считать преобра-
преобразованием обычной (не пополненной точкой оо) плоско-
плоскости. С другой стороны, прямые на плоскости С+ — это
в точности окружности, проходящие через точку оо, и
потому под воздействием преобразования Ч* эти прямые
снова переходят в прямые. Таким образом, на непопол-
ненной плоскости мы имеем преобразование, переводя-
переводящее прямые в прямые. Как мы знаем (см. замечание 1 в
лекции 27), такое преобразование необходимо является
аффинным преобразованием. Итак, на неиополненной
плоскости Ч*1 представляет собой аффинное преобразо-
преобразование, обладающее круговым свойством. Легко сообра-
сообразить, что такое преобразование обязательно ортогональ-
ортогонально, т. е. является либо движением (случай I), либо ком-
композицией движения и симметрии (случай II). В случае I
все доказано, поскольку каждое движение является, как
мы знаем, дробно-линейным (даже линейным) преобра-
преобразованием. Однако случай II нам показывает, что утверж-
утверждение, которое мы пытаемся доказать, ложно, ибо сим-
симметрия гь-»г не является дробно-линейным преобразо-
преобразованием.
Чтобы помочь делу, надо научиться отличать дробно-
линейные преобразования от преобразований типа сим-
симметрии. Оказывается, что в классе преобразований, об-
обладающих круговым свойством, можно корректно выде-
выделить подкласс преобразований, сохраняющих ориента-
ориентацию (что мы пока умеем делать только для аффинных
преобразований), и ограничение этим подклассом авто-
автоматически исключит случай II.
327

Таким образом, любое обладающее круговым свой-
свойством и сохраняющее ориентацию преобразование пло-
плоскости С+ дробно-линейно. ?
После этого для заполнения пробела в доказатель-
доказательстве формулы C4) остается лишь показать, что пре-
преобразование Ф = ПоЕоП~1 сохраняет ориентацию, что
сводится к автоматической проверке.
Для каждого вращения сферы точки, в которых ось
вращения пересекает сферу, являются его неподвиж-
неподвижными точками. Мы будем называть их полюсами вра-
вращения.
Так как полюсы вращения являются диаметрально
противоположными точками сферы, то их образы при
стереографической проекции связаны соотношением C3).
Поскольку эти образы являются неподвижными точками
дробно-линейного преобразования, представляющего дан-
данное вращение, мы получаем отсюда, что дробно-линей-
дробно-линейные преобразования, представляющие вращения сферы,
однозначно характеризуются как эллиптические пре-
преобразования, неподвижные точки которых имеют вид zi
и —zf1- Поэтому эти преобразования выражаются фор-
формулой
w — z, __„ г — г,
w -f г,~ ' z + zf' '
где /С = е'9, т. е. формулой
а-' — г, _ „ г-г]
Решив это уравнение относительно w, мы получим фор-
формулу
«ц — (К + г.гОг + П-Юг, _ ,„
w— {l_K)Si.z + (l + KziSi) . К-е .
Подобно формуле C4) эта формула дает общий вид
дробно-линейных преобразований пополненной плоско-
плоскости, представляющих вращения сферы. Аргумент 8 мно-
множителя К является углом соответствующего вращения
сферы, а число z\ — образом одного из полюсов этого
вращения. Если мы выберем другой (диаметрально про-
противоположный) полюс, то угол 0 сменит знак.
328

Запись C5) дробно-линейных преобразований, пред-
представляющих вращения, не нормирована. Так как
(К + z,z,) (I + Kzxzx) - A - Kf Mi =
то, чтобы получить нормированную запись, следует все
коэффициенты формулы C5) умножить на А = A-}-
Поэтому, положив
мы получим из формулы C5) формулу C4). Но фор-
формула C5) удобнее в конкретных вычислениях.
Рассмотрим, например, вращение вокруг оси абсцисс.
Его полюсами являются точки (±1,0,0), проектирую-
проектирующиеся в точки ±1 пополненной плоскости. Поэтому мы
можем применить формулу C5), полагая в ней zx = I.
Следовательно, дробно-линейное преобразование, пред-
представляющее вращение сферы на угол 8 вокруг оси абс-
абсцисс, задается формулой
Ю е
+К)' Л
Умножив числитель и знаменатель на -г-6 2> положив
а =-5-и воспользовавшись формулами Эйлера
cosa = -z , sina =
мы получим нормированную запись
cos a • г — i sin a
eia - e~ia
— i sin a • г + cos a
этого преобразования. При a = jt/4, it/2, Зя/4, т. е. при
6 = п/2, я, Зп/2, получаются преобразования
z—i 1 z+i
C6) W =
— *г + 1 ' г ' /г + 1
Приняв за ось вращения ось ординат, мы должны в
формуле C5) положить zx= «(или zx = —i). Следова-
329

тельно, соответствующее дробно-лииейное преобразова-
преобразование записывается формулой
{\+К)г+AКI к= {в
-(l-K)iz + (l+K)' л '
( 1 -'-^
и, значит I после умножения на -^е 2 ), — формулой
cos«-* + sin« 0<а<Я,
— sin а • г + cos a ^ '
где а = 8/2. При а = л/4, л/2, Зл/4, т. е. при 9 = я/2,
я, Зя/2, получаются преобразования
C7) ™ = т^> ~
7+Т-
Если ось вращения вертикальна (является осью ап-
аппликат), то неподвижными точками соответствующего
дробно-линейного преобразования будут точки 0 и оо и
потому оно будет вращением
w — e'°z
пополненной плоскости. При 6 =-у, л, -у-получаются
преобразования
C8) w = iz, — z, — iz.
Примем теперь за ось вращения биссектрису пер-
первого координатного октанта, пересекающую сферу в точке
( )-Для этого ^
При произвольном К формула C5) дает сложное и
малоэстетичное выражение, но при Э = 2л/3, т. е. при
V5" ( V") V" /"
р р / р
„ — 1 + i V5" B + V3") V3" + I л/3"
л = g— — > после сокращения на —- 2—¦—5L-
получается формула W = _г^, f.= I г _ t , а при
6 = -jr, т. е. при К= 2 ' после сокращения на
-'"^-формула t0 = f±{. Таким образом,
в этом случае
C9)
330

Аналогично, если ось вращения пересекает сферу
в точке f т= , —=, —]=-), то z\ = ~- ' и при i< =
V _Vs Уз Уз J Уз -i
== ~ % мы полУчаем преобразования
,,т 2+1 .2 — 1
D0) «, = ___, ,__,
а если ось вращения пересекает сферу в точке
/1 l l \ /11 1 \
(—=-, ¦=, —т=-) или в точке (—=-, —7=-, т= )»
/ / ) \ф л/з л/г )
У / / ф /
то для тех же К получаются преобразования
—
И
D2)
Если же осью вращения является биссектриса пер-
первого координатного квадранта в плоскости ? = 0, пере-
пересекающая сферу в точке Го, —¦==¦, —j=-\ iozi=—=J-—-
и при 0==я, т. е. при К= — 1, получается преобразо-
преобразование
D3) ® = 1Т=Т-
Аналогично, вращение на угол л вокруг биссектрисы
второго координатного квадранта в плоскости | = 0,
пересекающей сферу в точке @, ¦=-, —j=]> пред-
представляется преобразованием
D4) w = -i^L,
а вращения на угол л вокруг биссектрис координатных
квадрантов в плоскостях ц = 0 и ? = 0 — преобразова-
преобразованиями
z+l z-\ i i
D5) w =
z—l' z+l ' z
Вращения, представленные дробно-линейными преоб-
преобразованиями C6)—D5), характеризуются тем, что они
переводят в себя вписанный в сферу куб (с вершинами
331

в точках Г±—рг, ±—p-f ±—pr), т. е., как говорят,
\ -уЗ д/3 -уЗ /
являются самосовмещениями этого куба.
Преобразования C6), C7) и C8) представляют по-
повороты куба на углы |,ли -у- вокруг каждой из трех
осей, соединяющих центры противоположных граней
куба, преобразования C9), D0), D1) и D2) —повороты
* 2я 4я „
куба на углы-7J- и -о-вокруг каждой из четырех осей,
соединяющих диаметрально противоположные вершины
куба, и, наконец, преобразования D3), D4) и D5) —
повороты куба на угол л вокруг каждой из шести осей,
соединяющих середины диаметрально противоположных
ребер куба. К этим преобразованиям следует добавить
еще тождественное преобразование, оставляющее все
точки куба на месте. Таким образом, мы всего получаем
24 = 3X3 + 4X2 + 6+1 самосовмещений куба. Легко
доказывается (сделайте это!), что никаких других само-
самосовмещений куб не имеет, т. е. что перечисленными
24 вращениями исчерпываются всего его самосовме-
самосовмещения.
Преобразования C8) плюс тождественное преобразо-
преобразование мы можем записать единой формулой
D6) w = i"z, k = 0, I, 2, 3.
Аналогично второе преобразование из C6), третье пре-
преобразование из D5), второе преобразование из C7) н
четвертое преобразование из D5) также могут быть за-
записаны единой формулой
D7) !» = -?¦•
Точно так же формула
D8) aj^JLt}., k = 0,i, 2, 3,
дает первое преобразование из D5), первое преобразо-
преобразование из C9), первое преобразование из C7) и второе
преобразование из D1); формула
D9) «> = <'* 7ТТ-. * = 0, 1,2,3,
дает третье преобразование из C7), второе преобразо-
332

вание из D0), второе преобразование из D5) и второе
преобразование из D2); формула
E0) w = ik~P-. * = 0, 1,2, 3,
дает второе преобразование из C9), преобразование D3),
первое преобразование из D0) и третье преобразование
из C6); и, наконец, формула
E1) w = fi^±, ? = 0,1,2,3,
дает первое преобразование из D1), первое преобразо-
преобразование из C6), первое преобразование из D2) и пре-
преобразование D4).
Резюмируя, мы получаем следующее предложение:
Предложение 4. Имеется точно 24 самосовмещения
куба. На пополненной плоскости комплексных чисел они
представляются дробно-линейными преобразованиями
D6) —E1). D
Аналогичным образом можно описать самосовмеще-
самосовмещения других правильных многогранников. Для тетраэдра
имеется 12 самосовмещений, которые представляются
преобразованиями D6), D7), E0) и E1) при k = 0,2
и преобразованиями D8) и D9) при k—\, 3. Самосов-
Самосовмещения октаэдра совпадают с самосовмещениями куба,
а икосаэдр (или, что равносильно, додекаэдр) допу-
допускает 60 самосовмещений, которые представляются дроб-
дробно-линейными преобразованиями
., —г*, -S* .*» U + QE'-z+l >ft E'z-O + E)
2л f
где S = e » , a ft, / = 0, 1, 2, 3, 4.

Предметный указатель
Антикоммутативность внешнего умно-
умножения 67
Асимптота 196
Ассоциативность сложения векторов 11
Базис, деформируемый в базис 106
— линеала 33
— ортонормнрованный 132
— стандартный 39
Базисы вещественные 181
—, деформация 105
— одноименные 96
— разноименные 96
— (матрицы) эквивалентные 108
Бивектор 57, 58
Вектор 9,13
—, дополнительный к бивектору 146
—, параллельный бивектору 61
—, пропорциональный вектору 29
Векторы коллннеариые 29
— компланарные 30
—, линейная комбинация 22
—, — — тривиальная 22
Вращение 289
Геометрия аффинная 41
— аффинно-проекгивная 253
— евклидова 121
Гипербола 165
—, асимптоты 166
—, аффинная 175
—, вершины 167
—, ветви 166
—, директориалыюе свойство 168
—, директрисы 167
—, линейный эксцентриситет 167
—, ось действительная и мнимая 167
—, полуось 167
—, фокальный параметр 167
—, фокусное расстояние 167
—, фокусы 167
—, центр 167
Гиперболоид двуполостиый 226
— однополостный 227
Группа автоморфизмов аффинного
пространства 270
— дробно-лннейиых преобразований
309
— полная линейная 269
— проективных преобразований 309
Движение евклидова пространства 280
Двойные отношения четырех точек 321
Диаметры сопряженные 202
334
Длина вектора 122
Изоморфизм аффинных пространств 42
— евклидовых линейных пространств
136
— координатный 38
— линеалов 37
— по равенству координат 40
Инверсия 312
Касательная 195
Конус, вершина 234
— второго порядка 233
—, направляющая 234
Координаты аффинные 44
— вектора 35
— полярные 171
— проективные 265
Коэффициенты Фурье 130
Линеал, ассоциированный с аффип-
ным пространством 41
— евклидов 121
— конечномерный 33
Линеалы вещественно-комплексные
изоморфные 181
— изоморфные 37
Линия алгебраическая п го порядка
176
— вещественная алгебраическая 186
— второго порядка гиперболического
типа 197
нецентральная 191
параболического типа 197
• центральная 191
— эллиптического типа 197
Матрица ортогональная 136
— — собственная 138
— перехода от базиса к базису 90
Множество векторов линейно зависи-
зависимое 24
Множитель дробно-лииейного преоб-
преобразования 321
Модель геометрии 255
Направление асимптотическое 194
— главное 216
— исаснмптотическое 194
— неособое 198
— особое 198
— хордальное 201
Неподвижные точки дробно линейно-
линейного преобразования 316

Неравенство Бесселя 130
— Кошн-Буияковского 123
•- треугольника 124
Объем параллелепипеда ориентиро-
ориентированный 118
— тривектора 142
Овал 211
Окружность 221
Ориентации линейного пространства
97
Ориентация полуплоскости 101
— полупространства 103
Орт 133
Парабола 159
•— аффинная 175
—, вершина ПО
—, директриса 161
—, ось 160
—, фокальный параметр 101
—. фокус 161
—, фокусное расстояние 161
Параболоид гиперболический 237
— эллиптический 236
Перенос паоаллельный 289
Плоскость аффинно-проективная 263
—, задаваемая точкой и бивектором
75
— проективная 263
— расширенная 253
Площадь бивектора 144
Поверхность I кратно линейчатая 228
Подмножество линейно (ие)зависимое
23
Подпространство вещественное 181
Полуплоскости, определенные прямой
оо
Полупространства, определенные пло-
плоскостью 81
Полюсы вращения сферы 328
Преобразования аффинные 280
— дробно-линейные 309
— — гиперболические 318
локсодромические 319
— — параболические 317
эллиптические 318
— линейные плоскости комплексных
чисел 310
— ортогональные 280
— проективные 281
Произведение бивектора на число 66
— векторное 146
— внешнее бивекторов 114
— тривектора на число 114
Пространства аффинные изоморфные
42
— евклидовы линейные 136
Пространство аффинное 41
вещественно-комплексное 183
— аффинно-проективиое 272
— евклидово точечное 121
•— линейное (аффинное) ориентиро-
ориентированное 97
— — вещественно комплексное 180
— проективное 273
арифметическое 272
Процесс ортогонализации Грама —
Шмидта 134
Прямая в пространстве 45
—, параллельная плоскости 85
Пучок- несобственные Ж
— плоскостей 274
— прямых J49
— собственный 251
Равенство Парсеваля 132
Радиус-вектор точки 43
Разложение вектора по базису 35
Размерность линеала 34
Расстояние между точками 122
— от точки до плоскости 154
прямой 150
Самосовмещения додекаэдра 334
— икосаэдра 334
— куба 332
— октаэдра 333
— тетраэдра 333
Свойства алгебраические внешнего
умножения 67
Связка плоскостей 276
Семейства векторов линейно-эквива-
линейно-эквивалентные 111
Семейство векторов ортонормирован-
иое 130
полное 33
Сечения конические 236
Симметрия в центре О 190
— относительно окружности 311
прямой 312
Система координат аффинная 43
•—¦ — аффинно-каноническая 176
— прямоугольных координат 133
Системы координат аффинные однои-
одноименные 96
— разноименные 96
Стереографическая проекция 308
Сторона прямой 99
Сумма бивекторов 63
•— тривекторов 117
Сфера 308
Теорема Дезарга 296
— Паппа — Бриаишопя 303
— - Паппа — Паскаля 299
— Фано 302
Теоремы конфигурационные 301
Точки плоскости, не
прямой 54
разделенные
¦— пространства, не разделенные пло-
плоскостью 80
Угол вращения 295
— между двумя плоскостями 154
Умножение скалярное на линеале
121
Уравнение векторное параметриче-
параметрическое плоскости 77
прямой 48
— прямой каноническое 50
Уравнения линий второго порядка
аффннно-каноннческие 177
Форма билинейная 127
симметрическая 127
— квадратичная 127
335

Форма квадратичная положительно
определенная 128
— метрическая данного базиса
129
Центр линии 189
— симметрии 190
Цилиндр 242
— гиперболический 244
—, ось 242
- параболический 244
— э.типтический 242
мнимый 243
Эллипс 1G1
— аффинный 175
—, вершины 169
— горловой 227
—, директрисы 163
—, ось большая и малая 163
—, полуось большая и малая 163
—, фокальное свойство 163
—, фокальные радиусы 163
—, фокусное расстояние 163
—, фокусы 163
—, центр 163
—, эксцентриситет 163
Эллипсоид 223
— мничый 225