О. В. Сипачёва
Начала общей топологии
Москва
Издательство МЦНМО

УДК 515.12 Издано при поддержке
ББК 22.152.1 Фонда развития теоретической
С49 физики и математики «БАЗИС»
Сипачёва О. В.
С49 Начала общей топологии. — М.: МЦНМО, 2024. — 432 с.
ISBN 978-5-4439-1817-4
Общая, или теоретико-множественная, топология лежит в основе
всех прочих разделов топологии и занимается изучением
абстрактных топологических пространств (т.е. множеств, снабжённых самой
общей структурой, позволяющей определить понятия предельной
точки и непрерывности) — объектов неизмеримо более разнообразных и
удивительных, чем, скажем, многообразия. Книга представляет собой
сильно расширенный курс лекций, читавшийся автором на механико-
математическом факультете МГУ, дополненный многочисленными
задачами самой разной сложности. Все задачи (за исключением самых
простых) снабжены решениями или подробными указаниями. Отдельная
глава посвящена теории размерностей. В заключение совершается
краткий экскурс в топологическую алгебру.
Изложение ведётся в спокойной и доступной манере, но тем не
менее охватывает все основные понятия и конструкции общей топологии
и выходит далеко за рамки стандартных курсов. Для полного понимания
материала достаточно знакомства с самыми начальными сведениями из
математического анализа.
Книга адресована широкому кругу читателей.
ББК 22.152.1
Научное издание
Ольга Викторовна Сипачёва
Начала общей топологии
В соответствии с Федеральным законом № 436-ФЗ
от 29 декабря 2010 года издание маркируется знаком (6+)
Подписано в печать 15.09.2023 г. Формат 60 х 90 Vie. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Печ. л. 27. Тираж 1000 экз. Заказ № 4039.
Издательство Московского центра
непрерывного математического образования.
119002, Москва, Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. (499) 241-08-04.
Отпечатано с электронных носителей издательства.
<^ ООО «Тверской полиграфический комбинат».
Ж 170024, г. Тверь, пр-т Ленина, 5.
Телефон: (4822) 44-52-03, 44-50-34. Телефон/факс: (4822) 44-42-15.
Home page: www. tverpk. ru Email: salesOtverpk. ru
Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая книга»,
Москва, Большой Власьевский пер., д. 11 Тел. (495) 745-80-31. E-mail: biblioQmccme.ru
© О. В. Сипачёва, 2024.
ISBN 978-5-4439-1817-4 © МЦНМО, 2024.

Оглавление
Что такое топология 6
Обозначения и соглашения 13
Глава 1. Множества и отображения 15
§1.1. Система аксиом ZFC 17
§ 1.2. Отношения и отображения 20
§ 1.3. Теорема Цермело и лемма Цорна 26
§ 1.4. Трансфинитная индукция и рекурсия 27
§ 1.5. Отношения эквивалентности 29
§ 1.6. Операции над множествами 30
§ 1.7. Индексированные семейства множеств и операции
над семействами 31
§ 1.8. Операции над отображениями 34
§ 1.9. Мощность множества 35
Задачи 42
Подсказки и решения 45
Глава 2. Метрические и топологические пространства
и их подпространства 48
§2.1. Метрическое пространство 49
§2.2. Топологическое пространство 51
§2.3. Базы и предбазы топологии 56
§2.4. Примеры 59
§2.5. Подпространства 66
§ 2.6. Сравнение топологий 70
Задачи 71
Подсказки и решения 75
Глава 3. Замыкание и сходимость 83
§3.1. Типы точек по отношению к множеству 83
§3.2. Операторы замыкания и внутренности 85
§3.3. Плотные множества в топологических пространствах 87
§3.4. Сходимость 91
Задачи 103
Подсказки и решения 106
Глава 4. Непрерывные отображения и гомеоморфизмы 114
§4.1. Непрерывные отображения 114
§4.2. Гомеоморфизмы 122

4 Оглавление
§4.3. Теорема Брауэра о неподвижной точке 129
§4.4. Графики отображений 134
Задачи 136
Подсказки и решения 138
Глава 5. Аксиомы отделимости 150
§5.1. Аксиомы отделимости Г0—Г4 150
§5.2. Хаусдорфовы пространства 153
§5.3. Нормальные пространства 156
§5.4. Тихоновские пространства 162
§5.5. Примеры 163
§5.6. Аксиомы отделимости в подпространствах 166
§5.7. Аксиомы отделимости и непрерывные отображения 168
Задачи 169
Подсказки и решения 172
Глава 6. Операции над топологическими пространствами 182
§6.1. Суммы топологических пространств 182
§6.2. Факторпространства 184
§6.3. Прямые спектры и индуктивные пределы 189
§6.4. Топологические произведения 191
§6.5. Обратные спектры и проективные пределы 204
§6.6. Гиперпространства 205
Задачи 207
Подсказки и решения 211
Глава 7. Компакты 224
§7.1. Покрытия 224
§ 7.2. Компактные пространства и их свойства 225
§7.3. Теорема Тихонова о компактности произведений 230
§ 7.4. Теорема Бэра о категории 233
§7.5. Теорема Вейерштрасса—Стоуна 237
§7.6. Примеры 241
%7.7. Компактность в классе метризуемых пространств 247
Задачи 252
Подсказки и решения 255
Глава 8. Компактификации 270
§8.1. Компактификации 270
§8.2. Александровская компактификация 277
§8.3. Стоун-чеховская компактификация 280
§8.4. βΝ 283
Задачи 289
Подсказки и решения 291

Оглавление 5
Глава 9. Обобщения компактности 298
§9.1. Локально компактные пространства 298
§9.2. Паракомпактные пространства 305
§9.3. Финально компактные и линделёфовы пространства 312
§9.4. Счётно компактные и псевдокомпактные пространства 314
§9.5. Секвенциально компактные пространства 318
§9.6. Примеры 320
Задачи 325
Подсказки и решения 327
Глава 10. Связность и разные виды несвязности 332
§ 10.1. Связность 332
§ 10.2. Разные несвязности 339
§10.3. Разные нульмерности 342
§10.4. Экстремально несвязные пространства 351
Задачи 354
Подсказки и решения 357
Глава 11. Топологические размерности 365
§ 11.1. Определения и основные свойства размерностей ind, Ind и dim 365
§11.2. Размерность евклидова пространства 376
§11.3. Некоторые дальнейшие факты теории размерностей 383
Задачи 392
Подсказки и решения 393
Глава 12. Краткий экскурс в топологическую алгебру 401
§12.1. Топологические группы 402
§ 12.2. Пространства отображений 417
§ 12.3. Топологические векторные пространства 421
Литература 423
Указатель 425

Что такое топология
Каждый школьник имеет представление о том, что такое
геометрия. Вся математика начиналась с геометрии. С древнейших
времён геометрические задачи возникали решительно везде — при
проектировании и строительстве всевозможных инженерных
сооружений, в астрономии (а значит, и в расчётах движения,
скажем, кораблей) и в других вычислениях. Даже чисто
алгебраические уравнения и системы вавилоняне решали с помощью методов,
основанных на геометрических действиях с линиями и площадями,
а древние греки разработали специальные построения для
выполнения сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения
корней; сейчас этот метод называется геометрической алгеброй.
На рубеже девятнадцатого и двадцатого веков от геометрии
отделилась совершенно новая область — топология, которая во
многом определила развитие современной математики. Именно с
топологией Атья1} связывает главное направление развития математики
в двадцатом веке — переход от локального к глобальному (другие
направления — повышение размерности, переход от
коммутативного к некоммутативному и переход от линейного к нелинейному).
Согласно Атье [7], если «в классический период люди в целом
предпочитали изучать вещи в малом масштабе, в локальных
координатах и т. п.», то в двадцатом веке «центр тяжести сместился к
исследованию и осмыслению поведения глобального... А так как
глобальное поведение понять труднее, это часто делается на качественном
уровне, и очень важными становятся топологические идеи».
Например, современный функциональный анализ изучает не столько
функции, заданные явными формулами, сколько глобальные
свойства функций: расположение особенностей, области определения
и значений. В теории дифференциальных уравнений важную роль
стали играть неявные решения, которые не всегда можно описать
удобными формулами, и на первый план вышли глобальные
свойства, определяемые сингулярностями. В дифференциальной
геометрии тоже произошёл естественный переход от изучения малых ча-
1} Майкл Фрэнсис Атья (1929—2019) — английский математик, обладатель
филдсовской медали и многих других наград.

Что такое топология
7
стей пространства и локальных уравнений к большим масштабам,
к попыткам «понять глобальную картину... в целом, а также
соответствующую топологию». Математическая физика и даже теория
чисел претерпели сходную эволюцию. А при переходе «от малого
к большому именно топологические свойства становятся самыми
важными».
То, что изучает геометрия (размеры, форма, расстояния), можно
назвать количественными характеристиками геометрических
объектов; топология же исследует их свойства на качественном уровне.
Образно говоря, геометра, собравшегося в путешествие из пункта А
в пункт В, в первую очередь волнует длина, форма и рельеф разных
отрезков пути, тогда как для тополога главный вопрос — а можно ли
вообще добраться из пункта А в пункт В? нет ли между ними бурной
реки или бездонной пропасти? или, в случае путешествия по воде,
связаны ли они протоками? То есть вопросы топологии гораздо
более общие (и, если угодно, простые); тем самым они лежат в основе
всех подходов к описанию окружающего нас пространства.
Термин «топология» впервые появился в 1847 г. в книге Листин-
га^ «Предварительные исследования по топологии», где топология
определялась так:
Под топологией будем понимать учение о модальных отношениях
пространственных образов —или о законах связности, взаимного
положения и следования точек, линий, поверхностей, тел и их
частей или их совокупности в пространстве, независимо от
отношений мер и величин.
Разумеется, Листинг не изобретал новую науку; он лишь дал
новое и в конце концов ставшее общепринятым имя тому, что в то
время было известно как analysis situs (анализ положений). Однако
как определение, так и сам труд Листинга имели мало отношения
к современной топологии. Предмет топологии в том виде, в каком
он понимается сейчас, определил Клейн2) в своей «Эрлангенской
программе»—лекции, прочитанной в 1872 г. в Эрлангенском
университете. В этой программе Клейн выдвинул идею
алгебраической классификации разных плохо согласованных наук, на которые
разделилась геометрия к середине девятнадцатого века (евклидо-
1} Иоганн Бенедикт Листинг (1808—1882) — немецкий математик и физик,
ученик Гаусса; внёс значительный вклад в созданную Гауссом теорию узлов.
2) Феликс Клейн (1849—1925) — немецкий математик и педагог. Первым
строго доказал непротиворечивость геометрии Лобачевского.

8
Что такое топология
ва, проективная, сферическая, риманова и пр. геометрии), в
соответствии с группами тех преобразований, с точностью до которых
рассматриваются объекты в этих науках. Например, евклидова
геометрия рассматривает те свойства геометрических объектов,
которые инвариантны (т.е. остаются неизменными) при изометриях,
а проективная — свойства, инвариантные относительно
проективных преобразований. Клейн определил топологию (он по старинке
называл её analysis situs) как науку, которая изучает свойства
объектов, инвариантные относительно преобразований, «составленных
из бесконечно малых деформаций», т. е. преобразований,
непрерывных вместе со своими обратными (сейчас такие преобразования
называются топологическими преобразованиями или
гомеоморфизмами). Впоследствии Пуанкаре^ охарактеризовал топологию как
«особую геометрию, чисто качественную... которая не предполагает
известными ни понятие прямой, ни понятие плоскости...».
Соответственно определяются и сами объекты топологии (топологические
пространства) — это множества, снабжённые структурой,
позволяющей определить понятие непрерывного отображения.
Принято считать, что первые результаты по топологии получил
Эйлер2). В 1736 г. он решил задачу о семи мостах Кенигсберга
(можно ли совершить прогулку по всем мостам, не проходя ни по одному
из них дважды?):
υ Жюль Анрй Пуанкаре (1854—1912) — французский математик, физик,
астроном и философ. Пуанкаре и Гильберт считаются последними математиками-
универсалами. Создатель топологии.
2) Леонард Эйлер (1707—1783) — швейцарский, немецкий и русский математик
и механик.

Что такое топология
9
Второй топологический результат Эйлера — выведенная им в
1758 г. формула В — Ρ + Г = 2, связывающая число вершин В, число
рёбер Ρ и число граней Г выпуклого многогранника (хотя сама
эта формула немедленно вытекает из теоремы о том, что сумма
углов всех граней многогранника равна одновременно 360° (Р — Г)
и 360°(В — 2), доказанной Декартом1) ещё в 1620 г.). Эти
результаты можно назвать топологическими лишь с некоторой натяжкой,
однако затем последовали уже несомненно топологические
достижения: Гаусс2) создал теорию узлов; в 1840 г. Мёбиус3)
сформулировал проблему четырёх красок (всякую ли карту можно раскрасить
в четыре цвета так, чтобы любые две страны, имеющие общий
участок границы, были раскрашены в разные цвета?), которая была
решена (положительно) лишь в 1976 г.; в 1858 г. Мёбиус
придумал одностороннюю поверхность—лист Мёбиуса; Жордан4)
сформулировал и почти полностью доказал (в 1887 г.) теорему о том,
что простая замкнутая кривая на плоскости делит плоскость на
две области, внутреннюю и внешнюю; доказательство завершил
Веблен5) в 1905 г. Важные топологические понятия ввели Бетти6)
и Риман7).
1} Гене Декарт (1596—1650) — французский философ, математик, механик,
физик и физиолог. Создатель аналитической геометрии и современной
алгебраической символики.
2) Карл Фридрих Гаусс (1777—1855) — немецкий математик, механик, физик,
астроном и геодезист. Многие отложенные или заброшенные им идеи
(эллиптические функции, неевклидова геометрия, кватернионы и пр.) позже
воскресли в трудах Абеля, Якоби, Коши, Лобачевского, Гамильтона и др.
3) Август Фердинанд Мёбиус (1790—1868) — немецкий математик, механик
и астроном-теоретик.
4) Мари Энмон Камилъ Жордан (1838—1922) — французский математик.
Известен трудами по теории групп, анализу, линейной алгебре и теории Галуа.
5) Освальд Веблен (1880—1960) — американский геометр и тополог. Его работы
нашли применение в теории относительности и атомной физике. Разработал
(совместно с Уайтхедом) строгое определение многообразия.
6) Энрйко Бетти (1823—1892) — итальянский математик и физик. Известен
основополагающими трудами по топологии (хотя числа Бетти придумал
Пуанкаре). Занимался также общей алгеброй и математическим анализом.
7) Георг Фридрих Бернхард Рйман (1826—1866) — немецкий математик,
механик и физик. За десять лет научной жизни успел преобразовать несколько
разделов математики, включая математический и комплексный анализ,
дифференциальную геометрию, математическую физику и арифметику. Внёс
значительный вклад в развитие топологии.

10
Что такое топология
Однако фундамент топологии, причём детально разработанный
для любого числа измерений, выстроил Пуанкаре. Его первая
статья «Analysis situs» на эту тему вышла в 1894 г. Она вызвала
всеобщий интерес, и в 1899—1904 гг. Пуанкаре опубликовал пять
дополнений к этой основополагающей работе; в последнем
содержалась знаменитая гипотеза Пуанкаре^. Пуанкаре понимал, что при
изучении многомерных объектов чисто геометрический язык
теряет своё главное преимущество — наглядность, и искал подходы
к аналитическому изучению сугубо качественных понятий, таких
как связность, наличие дыр или границ и т. д. Результатом явилось
рождение топологии как отдельной науки.
В полном соответствии с «Эрлангенской программой» Клейна
топология изучает те свойства объектов, которые не меняются при
топологических (взаимно однозначных и непрерывных в обе
стороны) преобразованиях; такие свойства называются
топологическими инвариантами. Если речь идёт о геометрических объектах,
то таковы преобразования, при которых не совершаются разрывы
и склеивания. Если одну фигуру можно превратить в другую лишь
деформируя её (т.е. не совершая разрывов и склеиваний), то эти
фигуры с точки зрения топологии неразличимы. Так, тополог не
видит разницы между чашкой с ручкой и бубликом или между вилкой
и ложкой, и тополог со сцепленными руками легко их расцепит, не
разъединяя пальцев (если только он не носит наручных часов):
Итак, топология занимается поиском и исследованием
топологических инвариантов, и успех исследований во многом зависит от
того, насколько удачными оказались найденные инварианты.
Разумнее всего стремиться к тому, чтобы такими инвариантами
выступали хорошо знакомые математикам объекты, например, числа,
кардиналы (мощности множеств) или группы. Тогда для описания
сугубо качественных свойств можно будет использовать уже
готовый математический аппарат. Именно на этом подходе и основа-
х) Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомео-
морфно трёхмерной сфере. Доказана Григорием Перельманом в 2002—2003 гг.

Что такое топология
11
ны исследования Пуанкаре. Введённые им глубокие и
универсальные топологические инварианты до сих пор играют в топологии
ведущую роль. Уже в первом, основополагающем, мемуаре «Analysis
situs» он ввёл понятие гомологии — сперва на интуитивном уровне,
а затем, в дополнениях к «Analysis situs», совершенно строго. В
своём строгом подходе Пуанкаре взял за основу понятие симплициаль-
ного разбиения (триангуляции) многообразия, т.е. понятие сим-
плициального комплекса, которое стало краеугольным камнем
комбинаторной (алгебраической) топологии. Кроме того, в том же
мемуаре Пуанкаре дал строгое определение фундаментальной группы
и одновременно доказал, что это группа (идея фундаментальной
группы возникла в 1851 г. в диссертации Римана в связи с
продолжением функций, и как множество эта группа была неформально
определена Жорданом в 1866 г.); кроме того, он исследовал и
числовые гомологические характеристики — числа Бетти и
коэффициенты кручения.
Однако алгебраическая топология (т. е. подход, основанный на
использовании алгебры в изучении топологических свойств^)
составляет лишь один из разделов современной топологии. Другие
разделы — дифференциальная топология, которая занимается
гладкими многообразиями и гладкими функциями на них (строго
говоря, это не раздел топологии как таковой, поскольку рассматривает
не топологические, а дифференциальные инварианты), и общая,
или теоретико-множественная, топология, которая изучает
непрерывность в наиболее общем смысле. Общая топология явилась
результатом развития теории подмножеств прямой, введения понятия
многообразия и исследования метрических пространств (в
частности, нормированных линейных пространств в функциональном
анализе). И хотя в современном виде общая топология окончательно
оформилась лишь к сороковым годам прошлого века, будучи
наиболее общей и универсальной теорией, она лежит в основе всех
прочих топологических теорий, подобно тому как теория множеств
лежит в основе всей математики.
} Здесь уместно заметить, что за прошедшие сто с лишним лет
алгебраическая топология превратилась в хорошо развитую область со своими
собственными методами, и сейчас уже нередко случается, что, наоборот, методы
алгебраической топологии применяются для изучения алгебраических структур.
Так, например, теорему о том, что любая подгруппа свободной группы
свободна, проще всего доказать с помощью фундаментальных групп графов.

12
Что такое топология
В традиционном (теоретико-множественном) подходе к общей
топологии фундаментальную роль играет понятие множества.
Множество, в котором задано семейство всех его открытых
подмножеств (и тем самым определено понятие непрерывности),
называется топологическим пространством. Главные понятия теории
множеств (множество, отображение, ординалы и кардиналы,
порядок) играют фундаментальную роль и в общей топологии, хотя и не
являются её предметом. Общая топология изучает свойства
топологических пространств и их непрерывных отображений, операции
над топологическими пространствами и непрерывными
отображениями, топологические инварианты произвольных топологических
пространств; общую теорию размерности тоже можно отнести к
общей топологии. В отличие от алгебраической и
дифференциальной топологии общая топология изучает самые общие
непрерывные отображения — отображения топологических пространств друг
в друга, а не в иные специальные структуры.
Книга начинается с краткого изложения самых основ теории
множеств, без которых невозможно обойтись при изучении общей
топологии. Затем в качестве подготовительного шага вводятся
метрические пространства и связанные с ними понятия: с одной
стороны, структура метрического пространства далеко не так обща,
как структура топологического пространства, и потому её
гораздо проще постичь, а с другой — именно определение абстрактного
понятия метрического пространства стало последней ступенькой
на пути к введению общих топологических пространств. В
основной части книги изучаются общие топологические пространства
и непрерывные отображения, их свойства и связанные с ними
конструкции. Отдельная глава посвящена теории размерностей. В
заключение совершается краткий экскурс в топологическую алгебру.

Обозначения и соглашения
В дальнейшем мы используем ряд общепринятых обозначений
(помимо тех, что вводим по ходу дела):
Ν, Ζ, Q, Р, R и С — множества натуральных, целых, рациональных,
иррациональных, вещественных и комплексных чисел соответственно;
-ι—логическое отрицание; U — объединение множеств;
V —дизъюнкция (логическое «или»); Π — пересечение множеств;
Л — конъюнкция (логическое «и»); \ — разность множеств;
—►,=> — импликация («влечёт за собой»); € — принадлежность
«—>5 <=> __ равносильность; элемента множеству;
V — квантор всеобщности («для любого»); с — нестрогое включение;
3 — квантор существования с — строгое включение;
(«существует»); £?(Х), 2х— множество всех
0 — пустое множество; подмножеств множества X.
\Х\— мощность множества X;
Следуя традиции, вместо «пересечение (объединение, произведение,
сумма) конечного (счётного) числа» [элементов некоторого класса] мы
часто пишем «конечное (счётное) пересечение (объединение, произведение,
сумма)», хотя это и не вполне корректно.
Для удобства мы сразу же введём обозначения некоторых стандартных
объектов, которые встречаются в дальнейшем:
• Rn— π-мерное евклидово пространство с евклидовой топологией;
• Н„ — евклидова норма на R", определённая правилом
Мп = V*i+···+*£ для х =(*!,...,*„) €Rn;
• dn— евклидова метрика на R", определённая правилом
dn(x,y) = |х-у|п рлях,уеЖп;
• D" (х0) = {х€Rn : dn (χ, χ0) < г} с Rn — n-мерный открытый диск (то же,
что шар) радиуса г с центром в точке х0;
• D" (х0) = {х € Rn: dn (χ, х0) ^ г} с R" — п-мерный замкнутый диск (шар)
радиуса г с центром в точке х0;
• S" (х0) = {х € Rn+1: <2п+1 (х, х0) = г} с Rn+1 — n-мерная сфера радиуса г
с центром в точке х0;
• Dn =DJ(0), Dn=Di(0), S""1 =Sn1-1(0), где 0 = (0, 0,..., 0)€Rn;
• Tn =Бг x ... xS\aR2n — n-мерный mop.
η раз

14
Обозначения и соглашения
Если не оговорено иное, когда пространство R", прямая R и их
подмножества (шары, сферы, отрезки, интервалы, лучи, множества
рациональных и иррациональных чисел и пр.) рассматриваются как топологические
пространства, мы подразумеваем, что пространство R" снабжено обычной
(евклидовой) топологией (см. с. 60), а его подмножества —топологией
подпространства (см. с. 67). В частности, пространства N и {0,1} дискретны.

Глава 1
Множества и отображения
Фундамент теории множеств, причём весьма основательный,
заложил Кантора ещё в позапрошлом веке. В частности, он придумал,
как сравнивать множества, ввёл кардиналы и ординалы
(трансфинитные числа) и построил их арифметику. Надо отметить, что уже одно
то, что Кантор решился рассматривать бесконечные множества как
полноправные самостоятельно существующие математические
объекты, требовало незаурядной смелости, поскольку это нарушало
многовековые математические, философские и религиозные традиции
и поначалу вызвало шквал негодования. Однако Кантору претила
идея аксиоматизации теории множеств — он рассматривал понятие
множества как базовую концепцию, интуитивно понятную и не
нуждающуюся в определении. Кантор считал, что любое свойство
выделяет множество объектов, которые этим свойством обладают, а как
мы знаем, этот постулат приводит к многочисленным парадоксам;
чтобы их избежать, приходится вводить интуитивное понятие
класса множеств. Тем не менее построенная Кантором теория множеств
(её ещё называют наивной) вполне обеспечивает основную часть
потребностей математики, и чтобы успешно заниматься
математикой, вовсе не обязательно вникать в аксиоматику теории множеств2^
Современная теория множеств строится на системе аксиом, из
которых выводятся все утверждения теории. Это теория первого
порядка (что это такое, известно из курса математической логики;
здесь мы не будем вдаваться в логические детали). Иными словами,
} Георг Кантор (1845—1918) — немецкий математик, ученик Вейерштрасса.
Наиболее известен как создатель теории множеств. Сделал значительный вклад
в исследование числовых множеств, в частности, предложил одно из двух
первых строгих математических определений вещественных чисел (второе почти
тогда же придумал Дедекинд).
2) Более того, среди выдающихся математиков современности встречаются
интуиционисты — они отрицают возможность оперировать с бесконечными
множествами и признают существование объекта лишь тогда, когда задан
закон его построения. При этом все построения должны быть основаны на
интуитивно ясных понятиях, таких как понятие натурального числа.

16
Глава 1. Множества и отображения
язык этой теории состоит из символов переменных (обычно это
строчные и прописные латинские буквы с индексами и без),
символов обычных логических операций -ι, V, Л и —>, обозначений
кванторов V и 3, служебных символов (скобок и запятых), предикатного
символа = и предикатных и функциональных символов,
специфических для теории. В данном случае такой специфический символ
один —это символ предиката е (отношения принадлежности).
Запись χ e у читается «множество χ принадлежит множеству у» или
«множество χ является элементом (или точкой) множества у» (с
точки зрения теории множеств всё, что существует на свете, — множе-
ства^, в частности, и все элементы всех множеств —множества).
Сама теория, как и любая другая теория первого порядка, состоит
из набора постулируемых нелогических аксиом (специфических для
теории) и всех утверждений, выводимых из аксиом с помощью
стандартного набора логических аксиом логики первого порядка и
двух обычных правил вывода (modus ponens и правила обобщения).
В настоящее время в качестве стандартной системы аксиом
теории множеств используется ZFC (система Цермело2)—Френкеля3)
с аксиомой выбора), хотя существуют и другие системы; так, до
недавнего времени большей популярностью пользовалась
эквивалентная ZFC система NBG (фон Неймана4)—Бернайса5)—Гёделя6)),
2) Такой подход может показаться упрощающим, но на самом деле допущение
существования «метаобъектов» иной природы (не множеств) ничего нового не
даёт, лишь утяжеляет теорию.
2) Эрнст Фридрих Фердинанд Цермело (1871—1953) — немецкий математик.
Внёс значительный вклад в теорию множеств и создание аксиоматических
оснований математики.
3) Абрахам Галевй (Адольф) Френкель (1891—1965) — израильский математик
немецкого происхождения. Известен как один из авторов аксиоматической
теории множеств Цермело—Френкеля.
4) Джон фон Нейман, при рождении Янош Лайош Нейман (1903—1957)
—венгерско-американский математик, физик и педагог, сделавший важный вклад
в квантовую физику, квантовую логику, функциональный анализ, теорию
множеств, информатику, экономику и другие отрасли науки. Заложил основы
учения об архитектуре вычислительных машин.
5) Пауль Исаак Бернайс (1888—1977) — швейцарский математик, известный
своими работами в области математической логики, аксиоматической теории
множеств и философии математики. Друг и сотрудник Гильберта.
6) Курт Фридрих Гёделъ (1906—1978) — австрийский логик, математик и
философ математики. Наиболее известен как автор теорем о неполноте, которые
оказали огромное влияние на представление об основаниях математики.
Считается одним из наиболее выдающихся мыслителей XX века.

§ 1.1. Система аксиом ZFC
17
которая наряду с множествами рассматривает классы множеств.
При использовании системы ZFC тоже удобно ввести понятие
класса, чтобы иметь возможность рассматривать сразу все множества
с некоторым свойством; по существу класс — не что иное, как
формула, описывающая данное свойство. Ниже мы формулируем
аксиомы теории множеств на обычном, человеческом, языке, но их
можно с лёгкостью переписать и в виде логических формул.
§ 1.1. Система аксиом ZFC
Аксиома существования^: множества существуют.
(В виде формулы эта аксиома может выглядеть так2^ Зх(х = х).)
Аксиома объёмности3^: два множества равны тогда и только
тогда, когда они имеют одни и те же элементы, т.е. каждый
элемент одного множества принадлежит другому и наоборот
(например, {х,х} = {х}).
Аксиома пары: для любых множеств хм у существует множество
z = {x, у}, состоящее из двух элементов — χ и у {неупорядоченная
пара элементов χ и у).
Аксиома пары вместе с аксиомой объёмности даёт возможность
образовывать одноэлементное множество {х} из каждого множества х: {х} =
= {х, х}. Отсюда и из аксиомы пары вытекает, что для любых двух множеств
χ и у существует множество {{х}, {х, у}}; оно называется упорядоченной
парой элементов χ и у и обозначается (х, у). При этом χ называется первым
элементом, а у — вторым элементом пары (х, у).
Аксиома объединения: для любого множества χ существует
множество у = [J χ — объединение множеств-элементов х; его
элементами являются в точности все элементы элементов множества х.
х) Строго говоря, аксиома существования не нужна — её можно вывести,
например, из аксиомы бесконечности. Однако многие авторы для красоты всё-
таки включают эту аксиому или даже формально более сильную аксиому
существования пустого множества.
2) При обсуждении аксиом мы обозначаем все множества строчными
латинскими буквами (как это обычно и делается в теории множеств), подчёркивая
тем самым ещё раз, что нет никакой разницы между семействами множеств,
множествами и элементами множеств — всё это множества. Однако в
дальнейшем мы будем придерживаться более привычной традиции — как правило, мы
будем обозначать множества прописными латинскими буквами, их элементы —
строчными, а семейства множеств —рукописными.
3) Эта аксиома известна также как аксиома экстенсиональности.

18
Глава 1. Множества и отображения
Схемой аксиом выделения: любому множеству χ и любому
свойству^ φ отвечает множество, состоящее в точности из тех
элементов множества х, которые обладают свойством φ.
Из схемы аксиом выделения и аксиомы существования вытекает
существование пустого множества — множества, не имеющего
вообще никаких элементов (оно обозначается 0): достаточно в
качестве φ{f) взять -i(t = t)·
Множество всех у Gх, обладающих свойством φ, принято
записывать так: {у gx: φ (у)}. В случае, когда рассматриваются лишь
элементы наперёд фиксированного множества х, иногда пишут
просто {у: φ (у)}.
Схема аксиом подстановки: если φ {и, и) — формула с двумя
свободными переменными, причём для любого множества а
существует единственное множество Ь такое, что ψ (α, b) — истинное
высказывание, то для любого данного множества χ определено
множество у, элементами которого являются те и только те множества ζ,
для которых φ (α, ζ) истинно при некотором a G х.
Формулу φ в этой аксиоме можно воспринимать как
класс-отображение, которое каждому а ставит в соответствие то единственное
множество Ь, для которого высказывание φ (α, Ъ) истинно; тогда у — не что иное,
как образ множества χ при этом «отображении».
Аксиома множества подмножеств: для любого множества χ
существует множество у, состоящее из всех подмножеств
множества х; для него используются обозначения 9 (х), 2х и ехрх.
Заметим, что эта аксиома лишь утверждает существование множества
всех подмножеств данного множества х, но не даёт никакого описания
этого множества. Мы можем проверить, является ли какое-нибудь множество
у подмножеством х, но перечислить каким-либо способом все
подмножества множества χ (если оно бесконечно) невозможно в принципе, разве что
в очень специальных моделях теории множеств.
Аксиома бесконечности: существует множество, которое
содержит (в качестве элемента) 0 и вместе с каждым элементом χ со-
1} На самом деле это не одна аксиома, а бесконечное множество аксиом — по
одной для каждой формулы φ; потому здесь и написано «схема аксиом», а не
«аксиома».
2) Свойство — это любая формула φ — φ{ΐ) со свободной переменной t; говорят,
что множество а обладает свойством φ, если эта формула превращается в
истинное высказывание при подстановке в неё а вместо символа переменной t.

§ 1.1. Система аксиом ZFC
19
держит и элемент S(x) = jc U {jc} (jc U {jc} — множество, элементами
которого являются все элементы множества χ и само множество jc).
Эта аксиома (вместе с аксиомами множества подмножеств и
выделения, которые позволяют выделить минимальное по включению множество
с указанным свойством) даёт нам множество неотрицательных целых чисел
и операцию S прибавления единицы (а вместе с ней и прочие
арифметические операции):
О = 0, 1 = S(0) = 0U{0} = {0}, 2 = S(l) = {0, {0}}, ...
Имея неотрицательные целые числа, мы можем определить отрицательные
и рациональные (как некоторое множество пар целых), а там и
вещественные числа и связанные с ними объекты и понятия — всё то, что
рассматривает математический анализ и другие привычные нам области математики.
Аксиома регулярности^: каждое непустое множество χ
содержит элемент у такой, что хПу = 0.
Из этой аксиомы вытекает, в частности, что не бывает бесконечных
цепочек множеств вида х1 э х2 э х3 э... Отметим также, что множество у в этой
аксиоме может быть пустым — именно так обстоит дело с любым из тех
множеств, существование которых утверждается аксиомой бесконечности.
Аксиома выбора: для каждого множества jc, состоящего из
непересекающихся непустых элементов, существует множество, которое
пересекается с каждым элементом множества jc ровно по одному
элементу.
Это лишь одна из многочисленных равносильных формулировок
аксиомы выбора. Можно было бы отказаться от дизъюнктности элементов χ
и сформулировать аксиому так: для каждого множества х, состоящего
из непустых элементов, существует функция выбора, т.е. отображение
/: х—> [Jx с тем свойством, что f{y)^y для всякого у €х. Здесь
выбрана первая формулировка лишь потому, что формально мы ещё не ввели
понятие отображения. Есть и другие формулировки, совсем не похожие на
те, что приведены выше.
Казалось бы, сформулированные выше аксиомы ZFC превращают
теорию множеств в абсолютно строгую и совершенную математическую
теорию. Так оно и было бы, если бы мы могли доказать, что система ZFC
непротиворечива и полна (последнее означает, что, каково бы ни было
высказывание теории множеств, либо само это высказывание, либо его
отрицание можно вывести из аксиом). Однако одно из следствий
знаменитой теоремы Гёделя о неполноте состоит в том, что если система ZFC
непротиворечива, то она неполна. Хуже того, согласно второй теореме Гё-
1} Эта аксиома называется также аксиомой фундирования.

20
Глава 1. Множества и отображения
деля если система ZFC непротиворечива, то одним из тех утверждений,
которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть, является утверждение о её
непротиворечивости. Пытаться придумать другую, непротиворечивую,
аксиоматику бессмысленно, если только мы не собираемся отказаться от
использования натуральных чисел: в оригинальных формулировках Гёделя
речь идёт как раз о естественной аксиоматике натуральных чисел, а
сформулированные выше утверждения о ZFC — лишь следствия. Так что теорию
натуральных чисел нельзя аксиоматизировать вполне удовлетворительным
образом, а стало быть, в математике всегда есть призрачная возможность
существования верных доказательств взаимоисключающих утверждений
и, как следствие, вообще всех утверждений.
§ 1.2. Отношения и отображения
С помощью аксиом пары, подстановки и множества
подмножеств нетрудно определить знакомое всем понятие декартова
произведения Χ χ Υ двух множеств X и У как множества всех
упорядоченных пар (jc, у), где хеХ и у еУ. Подмножества
декартова произведения называются бинарными отношениями или просто
отношениями между X и Υ. Отношение между X и X называется
отношением на X. Важнейший частный случай отношения между
множествами — отображение, а важнейший частный случай
отношения на множестве — порядок.
Отображение между множествами^ X и Υ (ещё говорят
«отображение множества X в У» или «отображение из X в У») — это любое
подмножество / декартова произведения Χ χ Υ со свойствами^
• УхеХЗуеУ((х,у)е/)и
• С(*,у)€/)л((х,*)€/)->(у = *).
(Подмножества Χ χ У, удовлетворяющие лишь второму условию,
называются частичными отображениями.) Множество X
называется областью определения отображения /, а множество У —
областью значений.
Важное замечание. Из определения отображения как множества
упорядоченных пар следует, что область значений определена неоднозначно —
роль области значений данного отображения / из X в У может играть любое
1} Иногда бывает полезно рассматривать отображения классов, которые
определяются по аналогии с отображениями множеств, но являются не
множествами, а классами.
2) Здесь и всюду ниже вместо записей вида Vx((xgX) —► (...)) и ЗхЦх^Х) А
Λ (...)) мы используем их общепринятые сокращения VxeX(...) и ЗхеХ(...).

§ 1.2. Отношения и отображения
21
множество Ζ со свойством Vx€X 3ζ€Ζ((χ, ζ) €/) (в частности, любое Ζ D 7).
Однако по традиции отображения обычно рассматривают вместе с
некоторой фиксированной областью значений; при таком подходе одно и то же
отображение (множество пар) /, рассматриваемое как отображение из X
в 7 (т. е. как подмножество декартова произведения X х 7), отличается от
того же самого /, рассматриваемого как отображение из X в Ζ D 7 (т. е. как
подмножество произведения Χ χ Ζ D X χ 7). Для отображения / из X в 7
с фиксированной областью значений 7 используется обозначение /: X —> 7.
Мы тоже, как правило, придерживаемся этого общепринятого подхода
(хотя он не всегда удобен), но иногда мы позволяем себе не делать различия
между отображениями /: X —► 7 и /: X —► Z, где Ζ D 7, и рассматривать,
например, отображение в отрезок прямой R как отображение в саму
прямую R.
Образом /Ос) точки хеХ при отображении /, или значением
отображения / в точке х, называется та единственная точка у е У,
для которой (х, у) е /. Говорят при этом, что точка χ переходит
в точку у при отображении /, или что / переводит χ в у, и пишут
х->у. Определены также образ /(А) множества ЛсХ при
отображении / и полный прообраз /_1 (В) множества В с 7:
/(А) - {у € Υ: Зх € А((х, у) € /)},
ГЧЯ) - {х е X: Зу е В((х,у) е /)}.
Образ /(X) всего множества X называется образом
отображения /. Просто прообразом множества β называется любое
множество С с X, для которого /(С) =£. Иногда (когда ясно из
контекста, что речь идёт именно о полном прообразе) слово «полный»
опускают и называют полный прообраз просто прообразом. Если
множество В одноточечно, т. е. В = {у} для некоторого у е У, вместо
/_1({у}) обычно пишут /_1(у) и говорят о (полном) прообразе
точки у, имея в виду (полный) прообраз одноточечного множества
{у}. В случае, когда этот прообраз тоже состоит из одной точки
(а также когда речь идёт об обратном отображении — см. ниже), под
/_1(у) часто подразумевают не сам прообраз, а его единственный
элемент.
Отображение f:X—>Y называется сюръективным, если /(X)=7
(в этом случае мы иногда пишем /: Х-^У), и инъективным,
если прообраз каждой точки у &Y содержит не более одной точки
множества X. Отображение, одновременно являющееся
сюръективным и инъективным, называется биективным или взаимно одно-

22
Глава 1. Множества и отображения
значным. Сюръективные (инъективные, биективные) отображения
называются также сюръекциями или наложениями (инъекциями или
вложениями, биекциями).
Отображения во множество R вещественных чисел называются
функциями. Функция /: X—>R ограничена, если существует Mel
такое, что \f(x) | ^ Μ для всех xgX.
Простейший пример отображения — пустое отображение
(область определения такого отображения пуста^). Один из
простейших примеров непустого отображения — тождественное
отображение непустого множества X на себя; оно равно диагонали {(х, х) е
gXxX: xgX} декартова произведения Χ χ Χ, т. е. переводит
каждую точку множества X в себя. Для такого отображения
используется обозначение idx.
Образы и прообразы отображений обладают несколькими
вполне очевидными, но весьма полезными свойствами; а именно, для
любого отображения /:Х^7и любых множеств Аг с А2 с X
f(A,) с /(Л2),
/(A1UA2) = /(A1)U/(A2),
/(А1ПА2)с/(А1)П/(А2),
и для любых множеств В3 с В2 с Υ
Г1(в1ив2) = Г1(в1)^/(в2),
ГЧв1пв2) = г1(в1)пг1(в2).
Частичный порядок, или просто порядок, на множестве X — это
подмножество ^ декартова квадрата Χ χ Χ, обладающее
следующими свойствами (следуя общепринятой традиции, мы пишем х^у
вместо (х, у) G ^; кроме того, мы иногда пишем у^х вместо χ ^ у):
• ((х ^ у) Л (у ^ ζ)) —> (χ^ ζ) (транзитивность);
• VxgX(x^x) (рефлексивность);
• ((*<у)Л(у^х))—>(х = у) (антисимметричность).
Множество X вместе с заданным на нём порядком (т. е. пара (X, ^))
называется (частично) упорядоченным множеством; про
множество X говорят, что оно (частично) упорядочено отношением ^.
2) Таким образом, существуют отображения (точнее, ровно одно —пустое —
отображение) с пустой областью определения. Однако отображений с пустой
областью значений и непустой областью определения не существует. Всё это
немедленно вытекает из определения отображения.

§ 1.2. Отношения и отображения
23
Запись х^у читается «элемент χ не больше элемента у» или
«элемент χ не превосходит элемента у», а запись χ ^ у — «элемент χ не
меньше элемента у».
Частично упорядоченное множество не является собственно
множеством. Напомним, что упорядоченная пара множеств χ и у определяется
как {{х}, {х, у}}, так что как множество-пара (X, ^) имеет ровно два
элемента— {X} и {X, ^}. Однако в математике принято универсальное
соглашение: когда рассматривается множество X вместе с любой
дополнительной структурой * на нём (* может быть порядком, операцией,
топологией и пр.), такое «оснащённое структурой» множество записывают в виде
упорядоченной пары (X, *), но при этом трактуют эту запись не как
упорядоченную пару двух множеств, а как само множество X вместе с теми
возможностями, которая предоставляет структура * (сравнивать или
перемножать его элементы, составлять из его элементов сходящиеся
последовательности и т. п.; если сама структура * состоит из нескольких объектов
(например, операций · и +), то оснащённое этой структурой множество X
записывают в виде упорядоченной тройки или четвёрки и т. п.). В
частности, под элементами или подмножествами «оснащённого» множества (X, *)
подразумеваются элементы или подмножества самого множества X, а не
упорядоченной пары {X, {X, *}}. В дальнейшем мы будем придерживаться
этого соглашения безо всяких оговорок. Более того, когда ясно, что речь
идёт именно об упорядоченных множествах, мы часто будем называть
упорядоченные множества просто множествами и рассуждать, например, о
минимальных элементах множеств, хотя понятие минимального элемента для
просто множества не определено.
Так что элементами частично упорядоченного множества (X, ^0
считаются элементы самого множества X, а его подмножествами —
подмножества X, и с того момента, как порядок введён, записи (X, ^) и X считаются
равнозначными.
Важную роль играют также отношения строгого порядка:
отношение < на X —строгий порядок (и X строго упорядочено
отношением <), если оно обладает свойствами
• ((* <у) А(у< ζ)) —> (χ < ζ) (транзитивность) и
• Vx g X Vy G X(->(x < у) V ->(y < χ)) (строгая
антисимметричность).
Для каждого порядка ^ на X однозначно определено
соответствующее отношение < строгого порядка: х<у, если х^у и хфу.
При этом говорят, что элемент χ меньше элемента у, а у больше х.
И наоборот, по строгому порядку < очевидным образом
восстанавливается порядок ^, которому он соответствует.

24
Глава 1. Множества и отображения
Два элемента χ и у множества X, упорядоченного отношением
^ (а значит, и строго упорядоченного отношением <), сравнимы,
если либо х^у, либо у ^ х. Говорят, что у GX лежит между xgX
и z G X, если χ ^ у ^ z. Элемент χ множества Υ с X называется
минимальным (максимальным) элементом этого множества, если
VyeY((y^jt)—>(у = х)) (соответственно VyeY(Ot^y)—>(y = x)));
иными словами, никакой элемент множества Υ не меньше (не
больше) элемента х. Говорят, что элемент χ ограничивает множество Y<zX
сверху (снизу), или является верхней (нижней) гранью множества Υ,
если Vy g Υ (у ^ х) (соответственно Vy g Υ (χ ^ у)). Если при этом χ
принадлежит множеству Υ, то он называется наименьшим
(наибольшим) элементом Υ и обозначается minY (maxУ); другими
словами, наименьший (наибольший) элемент множества Υ с X меньше
(больше) всех отличных от него элементов Υ. Множество, у
которого есть верхняя (нижняя, верхняя и нижняя) грань, называется
ограниченным сверху (ограниченным снизу, ограниченным). Наименьшая
(наибольшая) верхняя (нижняя) грань множества Υ, если она
существует, называется также точной верхней (нижней) гранью или
супремумом (инфимумом) множества Υ и обозначается sup У (inf Υ) Ρ
Интервалом2^ упорядоченного множества (X, ^) называется
любое его подмножество / с тем свойством, что для любых х, у GI
всякий элемент zgX между χ и у принадлежит /. Интервалы бывают
восьми типов:
а) {х: х^а}, д) {х: а^х^Ъ}= [а,Ъ],
б) {х: χ < а}, е) {х: а < χ < Ъ} = (а, Ъ),
в) {х: а ^ х}, ё) {х: а ^ χ < Ъ} = [а, Ъ),
г) {jc: a<x}, ж) {jc: a<x^b}= (а,Ъ],
где a,b GX. Интервалы типов а), в) и д) называются
замкнутыми, интервалы типов б), г) и е) — открытыми, а интервалы ти-
:) Из математического анализа хорошо известна теорема о том, что всякое
непустое ограниченное сверху (снизу) множество вещественных чисел имеет
супремум (инфимум). Доказательство этой теоремы зависит от используемого
определения множества вещественных чисел; например, она несложно
выводится из принципа непрерывности Дедекинда, который часто входит в число
аксиом, определяющих вещественные числа. Мы не станем вдаваться в детали
и в дальнейшем будем использовать эту теорему как известный факт.
2) Когда речь идёт о прямой R с обычным порядком, вместо термина
«интервал» иногда употребляется термин «промежуток». В таком случае под
интервалами обычно подразумеваются открытые интервалы.

§ 1.2. Отношения и отображения
25
пов ё) и ж) — полуоткрытыми интервалами, а иногда просто
полуинтервалами. Интервалы типов а)—г) называют лучами, а
интервалы типов д)—ж) —ограниченными интервалами (хотя если
множество {X, ^) содержит наименьший или наибольший элемент, лучи
тоже могут быть ограниченными). Интервалы типов а) и б)
называют также начальными интервалами.
Порядок ^ на X называется линейным, если любые два элемента
χ и у множества X сравнимы. В этом случае пара {X, ^) называется
линейно упорядоченным множеством, а пара {X, <) — строго
линейно упорядоченным множеством.
Наконец, порядок ^ на X полон, если он линеен и любое
непустое множество Υ с X содержит наименьший (в Υ) элемент. Пара
{X, ^), где ^ — полный порядок, называется вполне упорядоченным
множеством, а пара (X, <) — строго вполне упорядоченным
множеством. Всякое непустое вполне упорядоченное множество имеет
наименьший элемент (хотя наибольший элемент существовать не
обязан), и для всякого его элемента, который не является
наибольшим, определён элемент, непосредственно следующий за ним. Этим
свойством обладает множество натуральных чисел с естественным
порядком, а множества вещественных, рациональных и даже целых
чисел уже не обладают (хотя все они линейно упорядочены).
На каждом подмножестве Υ упорядоченного множества (X, ^)
естественно возникает индуцированный порядок, или сужение
порядка ^ на Υ — это пересечение порядка ^ (который является
подмножеством множества X х X) с Υ χ Υ. Как легко видеть,
индуцированный порядок линеен или полон, если таковым является
порядок ^ на X. В дальнейшем, рассматривая подмножества
упорядоченных множеств, мы всегда будем считать, что они снабжены
индуцированным порядком.
В будущем нам понадобится понятие порядкового
изоморфизма: отображение /: X —> Υ между упорядоченными множествами
{X, ^) и (Υ, =0 называется порядковым изоморфизмом, а сами эти
упорядоченные множества — порядково изоморфными, если /
взаимно однозначно и для любых х, у G X соотношение χ ^ у
выполнено тогда и только тогда, когда /(х) ^/(у) (или, что
равносильно, для любых и, ν G Υ имеем и ^ ν тогда и только тогда, когда
f~l(u) ^f~l(y)). Ясно, что в случае линейно упорядоченных
множеств любая изотонная (т.е. сохраняющая порядок, «монотонно
неубывающая») биекция является порядковым изоморфизмом.

26
Глава 1. Множества и отображения
§ 1.3. Теорема Цермело и лемма Цорна
Следующие две классические теоремы (теорема Цермело и
лемма Цорна1)2)) играют исключительно важную роль в математике.
Они равносильны аксиоме выбора в том смысле, что каждая из этих
теорем выводится из системы аксиом ZFC, а из системы,
состоящей из ZF (это все аксиомы ZFC, кроме аксиомы выбора) и любой
из этих теорем, выводится аксиома выбора. Доказательства этих
теорем, точнее, их равносильности аксиоме выбора, можно найти,
например, в книге [8]; здесь мы их не приводим (хотя они вполне
доступны для понимания).
(Теорема Цермело. Любое множество можно вполне
упорядочить.
I Лемма Цорна. Пусть {X, ^) — частично упорядоченное
множество с тем свойством, что у любого подмножества Υ с X, на
котором индуцированный порядок оказывается линейным, имеется
верхняя грань. Тогда в X есть максимальный элемент.
На лемме Цорна основано доказательство существования самых
фундаментальных объектов во многих областях математики (например,
базиса во всяком векторном пространстве, алгебраического замыкания
произвольного поля и пр.). Сам Цорн формулировал эту лемму для отношения
включения: Пусть семейство множеств Μ таково, что если М' с Μ —
любое подсемейство jft с тем свойством, что для любых Χ,Υ ^Μ' либо
X C.Y, либо Υ <ζΧ, то \^*М' е Ж. Тогда Μ содержит максимальное
множество, т. е. множество, которое не содержится ни в каком отличном от
него элементе Ж. Именно в этой формулировке лемма чаще всего и
используется. Например, существование базиса во всяком векторном
пространстве доказывается так:
Пусть V — векторное пространство (над любым полем). Рассмотрим
семейство ЭС линейно независимых множеств векторов в У и упорядочим это
семейство отношением включения. Ясно, что, взяв любой максимальный
элемент S в {ЭС, с) и упорядочив его произвольным образом, мы получим
1} Макс Август Цорн (1906—1993) — американский математик немецкого
происхождения. Доказал лемму Цорна (в 1935 г.). Известен также работами по
алгебре (преимущественно теории групп) и численному анализу.
2) В 1922 г., за тринадцать лет до Цорна, лемму Цорна (причём в несколько
более сильной формулировке) доказал польский математик Казимеж Куратов-
ский, но по историческим причинам это утверждение стало широко известно
как лемма Цорна. Впрочем, иногда на него ссылаются как на лемму Куратов-
ского—Цорна.

§ 1.4. Трансфинитная индукция и рекурсия
27
базис: то, что линейно независимое множество векторов S не содержится
ни в каком большем линейно независимом множестве, означает, что при
добавлении любого вектора x£S к этому множеству нарушится линейная
независимость, т.е. любой вектор χ линейно выражается через векторы
множества S. Чтобы воспользоваться леммой Цорна, надо показать, что
если семейство ^ с ЭС линейно независимых множеств линейно
упорядочено отношением включения, то у него есть верхняя грань. Это
действительно так: в качестве верхней грани можно взять множество [J^.
То, что [J ^ э S для любого множества Sg^, очевидно; надо проверить,
что множество [j^ линейно независимо, т.е. что если xlf ...,xn е (J^
и Яj,..., λη — ненулевые элементы поля, то ]Г А^ — ненулевой вектор.
Итак, пусть xl3 ...,xn е (J^. Для каждого ί ^ π найдём линейно
независимое множество SiG^?, содержащее вектор xt. Поскольку семейство Ή
линейно упорядочено по включению, все множества St попарно сравнимы.
Без ограничения общности можно считать, что S2 с S2 с ... с Sn, а значит,
х1} ...,хп е Sn. Из линейной независимости множества Sn вытекает, что
нулевому вектору может быть равна только тривиальная линейная
комбинация векторов хъ ..., хп, что и требовалось.
§ 1.4. Трансфинитная индукция и рекурсия
Понятие вполне упорядоченного множества и теорема Цермело
позволяют распространить метод математической индукции на произвольные
множества. Пусть X — любое непустое множество и φ (χ)— любое
высказывание об элементах X. Предположим, что нам удалось ввести полный
порядок ^ на X так, что мы умеем доказывать φ(χ0) для наименьшего
элемента х0 и умеем выводить утверждение φ(χ) из утверждения «φ (у)
верно для всех у <х». Тогда мы смело можем утверждать, что φ(χ)
верно для всех χ G X. Действительно, если это не так, т. е. если множество
{х е X: φ(χ) неверно} непусто, то мы можем взять наименьший элемент
в этом множестве и сразу получить противоречие.
Метод рекурсии тоже обобщается на произвольные вполне
упорядоченные множества. Предположим, у нас имеется вполне упорядоченное
множество (X, ^) и нам нужно доказать существование отображения Φ: X —> Υ,
удовлетворяющее определённым условиям φ(χ) во всех точках xgX.
Тогда нам достаточно определить Ф(х0) для наименьшего элемента х0 е X
и указать способ однозначного определения Ф(х) в предположении, что
для всех у <х значения Φ (у) определены. После того как мы всё это
проделаем, предположение о существовании элемента х, для которого
значение Ф(х) не определено (или определено неоднозначно), приведёт к
противоречию — достаточно будет рассмотреть наименьший такой элемент.
Подробные разъяснения можно найти в разделе 2.5 книги [8].

28
Глава 1. Множества и отображения
В качестве примера попробуем доказать методом трансфинитной
рекурсии такую теорему:
1 Теорема об изоморфизме для вполне упорядоченных множеств.
I Пусть (X, ^) и (У, =0— любые вполне упорядоченные множества. Тогда
I либо существует х^еХ такой, что начальный интервал {xgX: х<х*}
I множества X порядково изоморфен вполне упорядоченному множеству У,
I либо существует y*^Y такой, что вполне упорядоченное множество X
Ι порядково изоморфно начальному интервалу {у е У: у -< у*} множе-
I ства У, либо сами множества (X, ^) и (У, =^) порядково изоморфны.
Доказательство. Для удобства добавим к вполне упорядоченным
множествам (X, ^) и (У, =3) ещё по одному элементу х+ и у+ и объявим эти
элементы наибольшими: возьмём х+ <^Х, положим Х+ =Х и {х+} и
продолжим порядок ^ на Х+, добавив в него все пары (х, х+), xgX+. Точно так же
мы определим У+ и продолжение порядка ^ на У+. Мы будем обозначать
продолженные порядки теми же символами ^ и =3.
Заметим, что нам достаточно доказать существование отображения
Φ: Х+—>У+, удовлетворяющего такому условию φ(χ) в каждой точке хеХ+:
Vu6l+((u<x)-*
-> (((Ф(и) -< ФОО) Λ (Ф({у G Х+: у ^ *}) = {у е У+: у ^ Ф(х)})) V
ν((Φ({ι/: ι/ < х}) э У)л(Ф(х) =y+)))).
В самом деле, если отображение Φ окажется не сюръективным, то для
каждой точки χ gX+ будет выполнено условие во второй строке этой формулы,
а там написано, что Φ изотонно и инъективно, т. е. осуществляет
порядковый изоморфизм между Х+ и начальным интервалом {yGY+: у -< Ф(х+)}
множества У+. (Действительно, любые различные v,w e Х+ сравнимы;
пусть для определённости υ < w. Тогда по условию во второй строке,
которое в данном случае будет выполнено для всех хеХ+, включая x = w, будем
иметь строгое неравенство Ф(у)-^Ф(ш). По этому же условию Φ
отображает {ν еХ: ν ^ х+} = Х+ на {w е У+: w ^ Ф(х+)}, причём Ф(х+) -< у+,
а значит, для у* = Ф(х+) е У имеем Ф(Х) = {шеУ: ш -< у,} — это нам и
нужно.) Если отображение Φ сюръективно и биективно, то условие во второй
строке по-прежнему будет выполнено для всех точек хеХ+, и то же
рассуждение показывает, что сужение Ф|х в этом случае является порядковым
изоморфизмом между Х = {иеХ+: и<х+} и У = {у еУ+: у-<у+ = Ф(х+)}.
Наконец, если Φ сюръективно, но не биективно, то нужно посмотреть на
условие в третьей строке. По этому условию для прообразов всех точек
у &Υ выполнено условие из второй строки, так как у+ φΥ, а значит,
все эти прообразы одноточечны. Поэтому можно рассмотреть
отображение Ψ: У —► X, определённое правилом Ψ (у) = Ф_1(у) для всех у GY.
Это отображение будет осуществлять порядковый изоморфизм между У

§ 1.5. Отношения эквивалентности
29
и {xgX: χ < χ*}, где х* — наименьший из всех элементов X, для которых
Ф(х)=у+.
Как построить по трансфинитной рекурсии отображение Ф, понятно:
во-первых, ясно, что оно обязано переводить наименьший элемент
множества Х+ в наименьший элемент множества Y+; если элемент xgX+ не
наименьший и для всех и < χ отображение Φ с нужными свойствами
определено, то надо положить Φ О) равным наименьшему элементу множества
γ+ \ Ф({и еХ+: и < х}), если это множество непусто, а если оно пусто, то
надо положить Φ (χ) = у+. D
§ 1.5. Отношения эквивалентности
Нельзя не упомянуть и другую важнейшую разновидность
отношений — отношения эквивалентности. От отношений порядка они
отличаются тем, что аксиома антисимметричности заменяется
аксиомой симметричности: отношение эквивалентности на
множестве Χ — это подмножество ~ декартова квадрата Χ χ Χ,
обладающее следующими свойствами (мы пишем χ ~ у вместо Ос, у) е ~):
• (Ос~у) Λ (у~2))—>0с~20 (транзитивность);
• VjcgX(jc~jc) (рефлексивность);
• (х ~ у) —> (у ~ х) (симметричность).
Запись χ ~ у читается «элемент χ эквивалентен элементу у» или
«элемент χ ^-эквивалентен элементу у».
Для каждого элемента хеХ множество {уеХ: у~х} называется
классом эквивалентности элемента χ и обозначается [х] или [х]^.
В силу транзитивности классы эквивалентности двух разных
элементов либо не пересекаются, либо совпадают, так что всё
множество X является объединением непересекающихся классов
эквивалентности некоторых своих элементов. Иными словами,
множество Υ классов эквивалентности состоит из непересекающихся
подмножеств множества X, и \^Υ — Χ, т.е. Υ является разбиением
множества X. Множество классов эквивалентности называется
фактормножеством множества X по отношению ~ и обозначается Х/~.
Для каждого отношения эквивалентности ~ на множестве X
правило jc—»[х] определяет сюръективное отображение q: X—>Х/~.
Оно называется естественным отображением множества X на
фактормножество Х/~. С другой стороны, каждая сюръекция /: X —> Υ
порождает отношение эквивалентности ~^, для которого она
является естественным отображением: х~^у, если f(x) — f(y); при
этом Υ = X/^f. Таким образом, по сути отношения эквивалент-

30
Глава 1. Множества и отображения
ности и сюръективные отображения — взаимозаменяемые понятия,
и выбор языка эквивалентностей или отображений — не более чем
вопрос удобства и предпочтений.
§ 1.6. Операции над множествами
Мы начнём с бинарных и унарных операций.
Бинарные операции —это хорошо известные операции Π
(пересечение), U (объединение), \ (разность) и Δ (симметрическая
разность^). К унарным операциям относятся переход к
подмножеству и (при наличии фиксированного множества U, содержащего
все рассматриваемые множества в качестве подмножеств)
дополнение — разность между U и данным множеством; дополнение
множества А обычно обозначается Ас. Последовательность
выполнения операций над множествами задаётся скобками. При отсутствии
скобок сначала выполняется операция дополнения, затем операции
пересечения и разности, которые имеют одинаковый приоритет,
и в последнюю очередь — операции объединения и симметрической
разности.
Основные свойства этих операций таковы.
• Операции П, и и Δ ассоциативны.
• Операции П, и и Δ коммутативны.
• Операции Пии дистрибутивны друг относительно друга: для
любых множеств А, В и С выполнены соотношения
АП(ВиС) = (АПВ)и(АпС),
Аи(ВПС)= (AUC)n(BuC).
• Операция Π дистрибутивна относительно Δ: для любых
множеств Α, β и С выполнено равенство
(Α Δ В) ПС = (АПС) Δ (β ПС).
• Для любого множества А выполнены равенства А П 0 = 0 и
AU0 = A.
• Дополнение множества А до фиксированного объемлющего
множества U обладает свойствами
АсПА = 0, Ac\JA = U, ACAA = U, (Ас)с = А,
0е = 1/, ис = 0.
ΑΔΒ = (ΑυΒ)\(ΑΠΒ).

§ 1.7. Индексированные семейства множеств и операции над семействами 31
Таким образом, множество 2и всех подмножеств U образует алгебру
с единицей над полем F2 относительно сложения Δ и умножения П; роль
нуля в этой алгебре играет 0, а роль единицы— U. Относительно Пии
это множество образует алгебраическую структуру, называемую булевой
алгеброй или дистрибутивной решёткой с дополнениями.
• Операции объединения, пересечения и разности связаны
законами де Моргана: для любых множеств А, В и С
А\(ВиС) = (А\В)П(А\С), А\(ВПС) = (А\В)и(А\С).
Напоследок упомянем две стоящие особняком бинарные
операции—декартово произведение и возведение в степень. Декартово
произведение Ах В множеств А и В — это множество
упорядоченных пар {{а,Ъ)\ а&А, Ъ еВ} (эта операция естественным образом
обобщается до п-арной операции декартова произведения η
множеств). Для любых множеств А и В множество Ав («А в степени В»)
определяется как множество всех отображений из В в А:
Ав = {f:B^A}.
Отметим, что это множество пусто только в том случае, когда А
пусто, а В непусто. Отметим также, что поскольку всякое
подмножество А любого множества X однозначно определяется его
характеристической функцией^ χΑ: Χ—>{0,1}, множество всех
подмножеств множества X естественным образом отождествляется с
множеством 2х, поэтому для множества всех подмножеств наряду с
обозначением &{Х) широко используется обозначение 2х.
§ 1.7. Индексированные семейства множеств
и операции над семействами
Отныне для удобства мы, как правило, будем обозначать
семейства множеств рукописными буквами (хотя они ничем не
отличаются от просто множеств, ибо все множества состоят из множеств
и являются тем самым семействами множеств). Кроме того, мы
будем обозначать импликации двойными стрелками ^,<=и^ (как
это принято в большинстве областей математики), а не
логическими символами —>, <— и <—*, которые легко спутать со стрелками
в обозначении отображений. И вообще, мы будем придерживаться
общепринятой в математике системы обозначений.
1} ^М = 1, если хеД и ХаМ = ®> если χ φ А.

32
Глава 1. Множества и отображения
Во-первых, семейства можно объединять и пересекать: для
семейства множеств & его объединение — это множество всех
элементов всех множеств из ^, а пересечение — это множество тех х,
которые принадлежат каждому множеству из семейства &. Таким
образом, объединение семейства & — не что иное, как |J & из
четвёртой аксиомы (аксиомы объединения) теории множеств.
Однако формально записать определение пересечения не так-то просто.
Для того чтобы это сделать, нужно прежде всего зафиксировать
какое-нибудь множество U (например, IJ^), содержащее в качестве
подмножеств все множества X из семейства &. После этого можно
положить
f| & = {jce[/:VXg &{x e X)}.
Без фиксации такого U дать строгое определение пересечения не
получится, хотя само пересечение от U почти никогда не зависит;
точнее, оно зависит от U лишь в случае, когда семейство & пусто
(его пересечение по определению равно U). С объединением таких
сложностей не возникает — объединение пустого семейства пусто.
Для объединения семейства множеств & используются
также обозначения |J{X: Хе^} и |J X. Возможны вариации —на-
Хе&
пример, если семейство задано некоторым свойством φ, пишут
|J{X: φ(Χ)}. Аналогичные обозначения используются для
пересечений.
Особо следует рассмотреть случай индексированного
семейства. Пусть заданы множество А, семейство множеств & и сюръ-
ективное отображение /: А —> ^. Для каждого а е А положим
Ха — f{a) (множества с разными индексами могут совпадать).
Семейство & вместе с отображением / называется индексированным
семейством и обозначается {Ха: аеЛ}. Множество А называется
множеством индексов или индексным множеством, а его
элементы—индексами элементов индексированного семейства.
Элементами индексированного семейства {Ха: а е Л} считаются
множества Ха. Если /(а) =/(/3) для разных индексов а и /3, то Ха и Χβ —
одно и то же множество, но разные элементы индексированного
семейства. Индексное множество может быть совершенно
произвольным, лишь бы существовала требуемая сюръекция. В
частности, всякое неиндексированное семейство & можно трактовать
как индексированное своими собственными элементами — в
качестве А можно взять с?,ав качестве / — тождественное отображение

§ 1.7. Индексированные семейства множеств и операции над семействами 33
[άβτ: & —> &- Так что описанные ниже конструкции, связанные
с индексированными семействами, применимы также и к неин-
дексированным. Более того, когда рассматриваются
индексированные семейства, нередко бывает, что индексация не играет
никакой существенной роли и семейства индексируют исключительно
для удобства записи. Когда из формы записи семейства множеств
видно, что это семейство индексировано, слово «индексированное»
часто опускается.
Заметим, что в индексированных семействах множеств
индексами снабжены только сами множества из этих семейств, но не их
элементы. Поэтому объединения и пересечения индексированных
семейств определяются точно так же, как объединения и
пересечения соответствующих неиндексированных семейств, и ничем от
них не отличаются. Зато добавляются довольно наглядные
варианты обозначений \}{Ха: α€Λ} и |J Xa (то же для пересечений).
α(ΞΑ
Для объединений и пересечений семейств выполнены законы
дистрибутивности и де Моргана в сильной форме. А именно, для
любого множества X и любого индексированного (для удобства)
семейства множеств {Ya: a е А}
• xn({jYa)={J(xnYa),
α<ΞΑ α<ΞΑ
•*иПуа=П(хиуа),
аеА аеА
•X\{\jYa)=n&\Ya),
аеА аеА
-χ\Γ)γα=Όίχ\Υα)·
аеА аеА
Ещё нам понадобится операция декартова произведения
семейства множеств {Ха: а е А}. Она определяется так:
Π Ха = {/: А - U χα: Va e A(f(a) e Xa)}.
аеА аеА
Другими словами, декартово произведение семейства множеств — это
множество всех функций выбора для этого семейства, так что аксиому
выбора можно сформулировать так: декартово произведение непустого
семейства непустых множеств непусто.
Элемент /: А —> |J Xa произведения Y\ Xa принято записывать
аеА аеА
не в виде отображения, а в специальном виде Оа)а<Ел, где
подразумевается, что ха = f(.a) eXa для каждого а. При этом ха называется
сс-й координатой элемента (ха)аед.

34
Глава 1. Множества и отображения
Заметим, что описанная выше бинарная операция возведения в
степень тоже вписывается в эту схему —чтобы представить Χγ в виде \\ Ха,
достаточно положить А — Υ и Ха = X для всех а е А, В ту же схему
вписывается и обычное декартово произведение Хг χ ... хХп; несмотря на то,
что это множество упорядоченных п-ок элементов множеств Хи а вовсе
не множество отображений {1,..., п}~-> (J X; (элементы которого суть мно-
жества совсем иной природы — это подмножества декартова произведения
{1,..., η} χ [J Χι), между двумя этими множествами имеется соответствие
настолько естественное, что они часто отождествляются без каких-либо
пояснений. Мы не будем вдаваться здесь в очевидные детали.
Вместе со всяким произведением Y\ Xa возникает семейство
проекций. Канонической проекцией произведения Υ\ Χα на сомно-
α<ΞΑ
житель Χβ, где /ЗеА, называется отображение %β\ ΓΊ ^α ~* χβ>
α<ΞΑ
определённое естественным правилом π^((χα)α€Λ) = Χβ для всех
(χα)α<ΞΑ е Π %α· Когда ясно из контекста, что речь идёт именно о ка-
α<ΞΑ
нонических проекциях, мы будем называть их просто проекциями.
§ 1.8. Операции над отображениями
• Композиция отображений /: Χ—>Υ и g: Υ —>Ζ — это
отображение gof:X-+z, определённое правилом χ —>g(/0t)).
• Декартовым произведением отображений /г: Χλ —> Υλ и /2: Х2 —»
—> Υ2 называется отображение /г χ /2: Хг χ Χ2 —> Y\ х У2»
определённое правилом (хъ х2) ·-» (/ι(*ι), /2(^2))· Более общо, декартово
произведение семейства отображений {fa: Xa-*Ya} — это отображение
Π fa ■■ ΓΊ Χα - Π ^α> (*a)«eA ~ (/«(*«))06Α·
α€Λ aeA aeA
• Диагональное произведение, или диагональ, отображений /: X —>
—► У и g: X —> Ζ, определённых на одном и том же множестве, — это
отображение / Ag: Χ->Υ χ Ζ, заданное правилом χ —> (/(χ), g(x)),
а диагональ семейства отображений {fa: X —> Υα: a e A} — это
отображение
Δ/α:*- Π Га, ^(/aMW
аеА аеА

§ 1.9. Мощность множества
35
Всякое отображение f'-X-*Y\Ya является диагональным
произведением своих «координат» fa — na°f (каждое fa переводит точку
xgX в α-ю координату её образа /О)).
• Сужением отображения /: X —> Υ на множество А с X
называется отображение f\A = /η (Λ χ У): А —> Υ; при этом отображение /
называется продолжением отображения f\A на множество X.
Мы будем рассматривать также операции перехода к подотобра-
жению и надотображению, которые обобщают операции сужения
и продолжения; термин «подотображение» встречается в
литературе редко, хотя само понятие весьма полезно и часто используется.
• Для отображения /:1->7и множеств А с X и В с Υ таких, что
/(А) с В, отображение g — f Π (Л χ Б): А —> В называется подотобра-
жением отображения /; при этом / называется надотображением
отображения g. Операция перехода к подотображению отличается
от сужения лишь тем, что область значений сужения отображения /
совпадает с областью значений самого этого отображения, а
область значений подотображения мы можем уменьшать^.
• Наконец, для всякой биекции /: X —> Υ определено обратное
отображение /_1: Υ —>X — это множество {(уд)еУхХ: (х,у) е
€/}. Отображение /_1 удовлетворяет соотношениям f"1 of=zidx
и / о Z"1 = idF. Оно переводит каждую точку у е Υ в единственный
элемент её прообраза при отображении /. Таким образом, в
зависимости от контекста запись f~l{y) может обозначать прообраз у
при отображении / или образ у при отображении /_1.
§ 1.9. Мощность множества
Попробуем взглянуть на теорию множеств с позиций общего
подхода, предложенного Клейном в его «Эрлангенской программе».
В ней Клейн рассматривал разные области геометрии с единой
точки зрения — как науки, изучающие инварианты относительно групп
преобразований, специфических для каждой области; эти
специфические преобразования — в точности те, которые сохраняют
структуры, рассматриваемые в каждой конкретной области (и обладают
обратными с тем же свойством, иначе не получится группа). Если
мы условимся считать, что множества не обладают вообще ника-
1} В дальнейшем мы иной раз позволяем себе не делать различия между
сужением f\A и под отображением А —► /(A) (см. важное замечание на с. 20).

36
Глава 1. Множества и отображения
кой структурой }, то мы увидим, что с точки зрения этого подхода
специфическими преобразованиями для теории множеств являются
биекции (взаимно однозначные соответствия).
Единственный инвариант относительно биекций называется
мощностью —это то, что остаётся от множеств, когда они
рассматриваются с точностью до взаимно однозначных отображений.
Мощность множества X обозначается |Х|. Два множества X и Υ
называются равномощными, если существует биекция между ними;
в этом случае говорят ещё, что мощности X и Υ равны, и пишут
|Х| = \Υ\. В наивной (канторовской) теории множеств мощность |Х|
множества X понимается как класс всех множеств У, для которых
существует биекция Χ ^± Υ. Мощности множеств можно сравнивать:
|Х| ^ \Υ|, если X равномощно подмножеству множества Υ, т. е. если
существует инъекция из X в Υ (или, что равносильно, сюръекция
из Υ на X). Хорошо известная теорема Кантора—Бернштейна2)
гласит, что если |Х| ^ |У| и |У| ^ |Х|, то |Х| = \Υ\. Кантор называл
мощности множеств кардиналами и обозначал бесконечные
кардиналы буквой К («алеф», первая буква еврейского алфавита) с
индексами; индексы были упорядочены так, что большим индексам
соответствовали большие кардиналы. Самый маленький алеф —
это К0 (мощность множества натуральных чисел). Все множества
мощности К0 (т.е. находящиеся во взаимно однозначном
соответствии с множеством натуральных чисел) называются
счётными, а бесконечные множества, не являющиеся счётными,
называются несчётными. Наименьшая мощность несчётного множества
обозначается Къ наименьшая мощность, большая Къ
обозначается К2 и т. д.
При построении этой иерархии возникает целый ряд вопросов.
Во-первых, верно ли, что любые мощности сравнимы в указанном выше смысле?
(Ответ на этот вопрос положителен, точнее, его положительность равно-
1} На самом деле на множествах имеется отношение принадлежности,
благодаря чему теория множеств весьма сложна и богата, и правильнее было бы
рассматривать преобразования, сохраняющие это отношение, однако
подобные вещи завели бы нас слишком далеко от топологии.
2) Феликс Бернштейн (1878—1956) — немецкий математик, первым доказал
теорему Кантора—Бернштейна. Занимался теорией множеств, теорией чисел,
тригонометрическими рядами, интегральными уравнениями, теорией
вероятностей и математической статистикой, а также применением математических
методов в биологии, особенно в генетике. В частности, определил
статистические законы наследования групп крови.

§ 1.9. Мощность множества
37
сильна аксиоме выбора.) Во-вторых, а существуют ли несчётные
множества? Ответ на этот вопрос тоже положителен, он вытекает из следующей
теоремы Кантора.
I Теорема Кантора. Для любого множества X
|^(Х)|>|Х|.
Доказательство. Заметим, что X можно инъективно отобразить в & (X)
по правилу χ -> {*}; значит, |Х| ^ |^(Х)|. Покажем, что |Х| φ |^(Х)|.
Предположим противное и рассмотрим любую биекцию φ: X-*g?{X).
Полоцким γ = {χ g X: χ £ φ (χ)}. Отображение φ сюръективно, иУе^ (Χ).
Значит, Υ = φ(γ) для некоторого у е X. Если у $ 7, то из того, что 7 = φ (у),
и определения Υ вытекает, что у е Υ, а если у е 7, то по определению
множества Υ мы должны иметь у $ φ (у) = Υ. В любом случае получаем
противоречие. D
Таким образом, несчётные множества существуют, однако всё ещё
непонятно, почему среди их мощностей непременно есть наименьшая.
Кроме того, неясно, чем индексировать алефы после того как мы
израсходуем все натуральные номера. Чтобы ответить на этот вопрос, вдобавок
ко взаимно однозначным соответствиям между множествами Кантор
рассмотрел порядковые изоморфизмы между вполне упорядоченными
множествами. Классы порядково изоморфных вполне упорядоченных множеств
он назвал порядковыми типами, или ординалами. Теорема об
изоморфизме для вполне упорядоченных множеств даёт прекрасный инструмент для
сравнения ординалов — достаточно заметить, что никакое вполне
упорядоченное множество (X, ^) не изоморфно никакому своему собственному
начальному интервалу {х е X: χ < χ*}, где χ* е X (это легко доказывается
стандартным рассуждением — нужно рассмотреть наименьший элемент х*,
для которого такой изоморфизм существует, а затем показать, что он не
наименьший, применив этот изоморфизм дважды). После этого останется
лишь объявить, что порядковый тип вполне упорядоченного множества
(X, ^) меньше порядкового типа вполне упорядоченного множества (7, =3),
если (X, ^) порядково изоморфно начальному интервалу множества (7, =3).
Именно ординалами Кантор и индексировал алефы.
В современной (аксиоматической) теории множеств теория
кардиналов и ординалов вполне формализована. Под ординалами понимаются не
классы порядково изоморфных вполне упорядоченных множеств, а
конкретные вполне упорядоченные множества. В определении ординала
фигурирует понятие транзитивности: множество X транзитивно, если каждый
элемент X является его подмножеством; иными словами, для каждого у е X
все элементы множества у являются также элементами X. Ординал (другие
названия — порядковый тип и порядковое число) — это любое транзитивное
множество, строго вполне упорядоченное отношением е.
Соответствующий нестрогий порядок обозначается стандартным символом ^, а сами

38 Глава 1. Множества и отображения
ординалы обычно обозначаются первыми буквами греческого алфавита. Из
определения видно, что каждый элемент ординала сам является
ординалом: если а — ординал и β е а, то β — тоже ординал, причём
β = {Г еа:у< β}.
Иными словами, любой элемент ординала является начальным интервалом
этого ординала, и наоборот.
Из теоремы об изоморфизме для вполне упорядоченных множеств
вытекает, что если а и β — два неизоморфных ординала, то либо один из них
изоморфен начальному интервалу (= элементу) другого, либо наоборот.
Кроме того, из транзитивности и жёсткого определения порядка на
ординалах можно вывести, что в данном случае изоморфизм означает равенство
(в смысле аксиомы объёмности, т. е. полное совпадение): если аи β —два
разных ординала, то либо α е /3, либо |3еа. Таким образом, отношение е
(и ^) упорядочивает не только сами ординалы, но и позволяет сравнивать
любые ординалы друг с другом; допуская некоторую вольность, можно
сказать, что это отношение является порядком на классе всех ординалов. Итак,
для любых двух ординалов а и β либо а ^ β, либо β ^ а, причём записи
а < β и α е β означают ровно одно и тоже, а запись а ^ β означает, что
либо α е /3, либо а = β. Кроме того, в силу аксиомы регулярности в любом
непустом множестве ординалов имеется наименьший элемент, т. е. класс
ординалов строго вполне упорядочен отношением е.
Заметим, что любое транзитивное множество обязано содержать в
качестве элемента пустое множество, иначе нарушится аксиома
регулярности. Все те множества, которые получаются из пустого последовательным
применением операции S(x)=xu {χ} (той же самой, что в аксиоме
бесконечности), являются ординалами по определению — они транзитивны
и строго вполне упорядочены отношением е. Таким образом, ноль (0) и все
натуральные числа — (конечные) ординалы (см. с. 18), а множество всех
натуральных чисел вместе с нулём — наименьший бесконечный ординал.
Он обозначается символом ω. Это счётное множество. Применив к ω
операцию S, мы получим следующий ординал — ω υ {ω}. Его элементы —
ноль, все натуральные числа и одно бесконечное порядковое число ω. Этот
ординал обозначается ω + 1. И вообще, за любым ординалом а всегда
идёт следующий13 ординал а + 1 = S(a) = aU {a} = {β: β ^ α}, а за а + 1
идёт а + 2 и т. д. После того как мы повторим операцию S а раз, мы
получим ординал а + а, который естественно обозначить 2а; действуя
таким образом, легко определить основные арифметические операции над
ординалами — сложение, умножение и возведение в степень. Арифметику
ординалов разработал в подробностях ещё сам Кантор.
1} Однако предыдущий ординал существовать не обязан — например, у ω нет
предшественника.

§ 1.9. Мощность множества
39
Ясно, что все ординалы вида ω + η счётные. Нетрудно показать также,
что счётен и ординал ω · ω и даже ωω (только в смысле ординальной
арифметики, возведение в степень кардиналов определяется совсем
по-другому!). Однако в какой-то момент на сцену должен выйти несчётный ординал.
Действительно, любое вполне упорядоченное множество изоморфно
некоторому ординалу, который называется порядковым типом этого множества
(это доказывается стандартным рассуждением с привлечением
наименьшего элемента — надо рассмотреть все начальные интервалы данного
множества, изоморфные ординалам, взять наименьший «конец» интервала, не
изоморфного никакому ординалу, и построить изоморфизм между
соответствующим интервалом и ординалом). По теореме Цермело всякое
множество, в частности, несчётное множество & (ω), можно вполне упорядочить,
а порядковый тип любого несчётного множества, ясно, несчётен.
Наименьший несчётный ординал обозначается сог. Поскольку он наименьший, все
его элементы — не более чем счётные ординалы, а поскольку никакой
ординал а не может содержать (в качестве собственного подмножества или
в качестве элемента — для ординалов это одно и то же) ординала мощности
больше \а\, все не более чем счётные ординалы принадлежат ωτ, так что
ωτ — это просто множество всех не более чем счётных ординалов.
Подобным образом определяется ω2 (это наименьший ординал мощности больше
|ωχ|, или множество всех ординалов мощности, не превосходящей \ωτ\) и,
по трансфинитной рекурсии, ωα для любого ординала а: в предположении,
что для всех β < а ординалы ω β определены, ординал ωα определяется
как объединение по β < а множеств всех ординалов мощности, не
превосходящей \ωρ\. При этом если а имеет непосредственного
предшественника γ, τ. е.
α = γ + 1 = {β:β^γ},
то ωα — это просто множество всех ординалов мощности, не
превосходящей \ωγ\.
Из теоремы Цермело и того, что всякое вполне упорядоченное
множество изоморфно ординалу, следует, что мощность любого множества
равна мощности некоторого ординала, а значит, и мощности некоторого ωα.
Отсюда немедленно вытекает сравнимость мощностей любых множеств
и существование наименьшего несчётного кардинала Кх (а также и
существование всех прочих алефов). В современной теории множеств
кардиналы (мощности множеств) определяются как ординалы вида ωα; другими
словами, кардинал — это любой ординал а с тем свойством, что мощность
всякого ординала β < а меньше мощности а, т. е. никакой ординал β < а
нельзя сюръективно отобразить на а; можно ещё сказать, что ординал
является кардиналом, если он равен своей собственной мощности. Так что
символы ωα и Ка обозначают одно и то же, и сейчас ωα используются
Для обозначения кардиналов даже чаще, чем Ка (хотя использовать Ка

40
Глава 1. Множества и отображения
для обозначения соответствующих ординалов, когда они рассматриваются
именно как ординалы, а не кардиналы, не принято). Итак, кардиналы — это
конкретные ординалы, и класс всех кардиналов вполне упорядочен тем же
отношением ^, что и ординалы. Кардиналы обычно обозначаются буквами
из середины греческого алфавита или алефом с индексами.
Однако в одном отношении кардиналы радикально отличаются от
ординалов — арифметические операции над ними определяются совсем
по-другому. Кардинальную арифметику тоже разработал Кантор. Поскольку Кантор
рассматривал кардиналы лишь в контексте мощности множеств, при
определении операций над кардиналами он взял за основу операции над
множествами. Так, чтобы определить сумму, произведение и возведение в степень
для кардиналов к и λ, нам понадобятся два дизъюнктных (т. е.
непересекающихся) множества X и 7, одно мощности к, а другое — мощности Я
(на самом деле если к и λ бесконечны, то требование дизъюнктности
излишне и можно взять сами к и λ). Сумма κ + λ равна мощности
объединения X U 7, произведение к-λ — мощности декартова произведения Χ χ 7,
а степень1} κλ — это мощность множества Χγ = {/: 7 —* X}. Таким образом,
операция возведения в степень кардиналов не ассоциативна: мощность
множества (ΧΥΥ далеко не всегда равна мощности множества Х(7 }.
Чтобы не загромождать формулы с «многоэтажными» степенями кардиналов
скобками, мы будем придерживаться общепринятого соглашения, что ВОЗ-
ведение в степень производится справа налево; например, кА = кЛА }.
Легко показать, что если к: и Я бесконечны, то к + Я = тах{к:, Я},
немного сложнее — что для бесконечных к: и Я к · Я = тах{к:, Я}, а проблема
вычисления κλ настолько сложна, что и вовсе неразрешима. Понятно, что,
например, 2ω = |^(ω)| и, следовательно, 2ω ^ ω1} однако уже проверка
равенства 2ω = ωΎ не поддаётся никаким усилиям. Это равенство ещё во
времена Кантора приобрело широкую известность под названием
континуум-гипотезы (обозначение СН), и первая проблема Гильберта заключалась
как раз в его доказательстве или опровержении. Только в 1963 году Коэну23
удалось доказать, что континуум-гипотеза не зависит от аксиом ZFC, т. е.
это одно из тех утверждений, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть.
Независимость континуум-гипотезы от ZFC, т. е. тот факт, что из
аксиом ZFC нельзя вывести ни континуум-гипотезу СН, ни её отрицание ->СН,
доказывается точно так же, как, например, независимость пятого постулата
1} Здесь и всюду ниже возведение в степень понимается в смысле
кардинальной, а не ординальной, арифметики!
2) Пол Джозеф Коэн (1934—2007) — американский математик, обладатель
филдсовской медали и других наград. Достиг значительных успехов в самых
разных областях математики, но наиболее известен как создатель метода
форсинга (вынуждения), который позволяет доказывать совместимость разных
высказываний с аксиомами ZFC.

§ 1.9. Мощность множества
41
Евклида (о параллельных прямых) от прочих аксиом евклидовой
плоскости: строится модель теории множеств, в которой эта гипотеза верна, и
другая модель, в которой она неверна. Модель теории множеств — это
множество Ш, элементы которого удовлетворяют всем аксиомам ZFC. Например,
выполнение аксиомы существования означает, что 9Я непусто, выполнение
аксиомы пары — что для любых х, у е Ш множество {х, у} тоже
принадлежит ШТ, выполнение аксиом выделения — что для любого множества χ е Ш
и любого свойства φ множество xip = {yex: φ (у)} принадлежит 9Я,
выполнение аксиомы множества подмножеств — что для любого χ е 9Л множество
ер®1 (χ) = {у g 9Я: у с х} принадлежит Ш и т. д.1} (Поскольку 2Я ^ 2Я (по
аксиоме регулярности), множества всех множеств в модели 9Я не возникает.)
Существование модели теории множеств, в которой выполнена СН,
доказывает, что ->СН нельзя вывести из аксиом ZFC, а существование модели,
в которой выполнена ->СН, доказывает, что из ZFC нельзя вывести СН.
В дальнейшем нам понадобятся ещё две, не арифметические,
операции, которые для ординалов и кардиналов определяются одинаково: это
уже знакомые нам операции взятия минимума и супремума (см. с. 24).
Напомним, что если I — произвольное индексное множество и aL, ι е 1, —
ординалы, то min{at: te/} — это наименьший ординал среди всех aL,
а sup{at: ι е /} — это наименьший ординал а, удовлетворяющий условию
а^ aL для всех ι е I. Поскольку порядок на ординалах — это отношение
принадлежности, имеем
min{at: ι е /} = f]{aL: ι е /} и sup{at: ι е /} = [j{aL: ι e /}.
Легко понять, что если все aL — кардиналы, то min{at: ι е/} и sup{at: ι e/}
тоже кардиналы: минимум является кардиналом потому, что он совпадает
с одним из кардиналов aL, а супремум является кардиналом потому, что,
во-первых, его мощность к не может быть меньше мощности никакого aL,
а во-вторых, сам он не может быть больше своей мощности к, поскольку
все aL являются кардиналами и потому равны своим мощностям, так что
все они не превосходят к.
Х) На самом деле это не совсем так. Во-первых, отношение е может
интерпретироваться в модели Ш каким-нибудь нестандартным образом, как некоторое
специальное отношение е971 на множестве 9Я, и тогда множество χψ следует
определить как {уешх: φ931 (у)}, где φ931 — формула φ, в которой все е
заменены на е971, а отношение с в определении множества 0?ш(х) следует заменить
на отношение с971, согласованное с е971; однако на практике всегда
рассматривают стандартные модели ZFC, в которых роль отношения е играет само это
отношение, поэтому такие усложнения не нужны. Во-вторых, множество 9Л,
вообще говоря, может оказаться нетранзитивным, и тогда χψ следует определить
как {у ex: (у е Ж) Α φ (у)}; однако на практике рассматриваются только
транзитивные модели ZFC, так что это усложнение тоже оказывается лишним. Есть
Даже общепринятое сокращение СТМ — стандартная транзитивная модель.

42
Глава 1. Множества и отображения
В заключение мы приведём ещё одно полезное утверждение, которое
находит применение в самых разных ситуациях—лемму о Α-системе,
известную также как лемма о А-корне.
I Лемма о Δ-системе. Для любого несчётного семейства & конечных
множеств найдутся несчётное подсемейство &' с & и {конечное,
возможно, пустое) множество R такие, что Χ η Υ = JR для любых Χ, Υ е &'.
Ясно, что R = p|^'/. Любое семейство &' с указанным в формулировке
леммы свойством (Χ Π Υ = f] &' ддя любых Χ,Υ е &') называется
Α-системой, а множество R = f] &' называется её А-корнем.
Набросок доказательства. Лемму о Δ-системе проще всего
доказывать методом индукции (обычной, не трансфинитной) — надо заметить,
что любое несчётное семейство конечных множеств содержит несчётное
подсемейство, состоящее из множеств некоторого одинакового размера п,
а тогда можно считать, что уже само данное семейство & состоит из
множеств размера π и применить индукцию по п. Для η = 0 доказывать нечего.
Предположим, что π > 0 и для семейств множеств меньшего размера
утверждение верно. Воспользовавшись теоремой Цермело, вполне упорядочим
множество (J^" каким-нибудь отношением ^. Для каждого Fе<^
обозначим через minF ^-наименьший элемент F, а через max F — ^-наибольший
элемент F (он существует в силу конечности F).
Если найдётся χе|J&, для которого семейство & = {F^&: minF = χ}
несчётно, то для каждого F е ^" положим F = F\{x} и получим несчётное
семейство & — {F\ Fg&}, к которому применимо индуктивное
предположение. Пусть &' с & — несчётная Δ-система (с Δ-корнем П^О· Положив
&' — {F € &: F е #'}, получим несчётную Δ-систему с Δ-корнем р| #' и {х},
причём &' с &.
Если же такого элемента χ нет, то, как-нибудь вполне упорядочив уже
само семейство & и применив трансфинитную рекурсию, легко построить
несчётное семейство &' с & с тем свойством, что для любых F, G e &'
либо maxF < minG, либо minF > maxG. Ясно, что &' — Δ-система с пустым
Δ-корнем. D
Задачи
1. Докажите, что для любых множеств X и Υ
xn(|Jz) = \J(xnz) и iu f| z= f|(xuz).
ZeF ZgF ZeY ZeY
2. Проверьте, какие из следующих дистрибутивностей верны:
а) (ΧΔΥ)ηΖ=(ΧηΖ)Δ(ΥΠΖ);
б) (ΧΔ7)υΖ=(ΧϋΖ)Δ(7ϋΖ);
в) (ΧΠΥ)ΔΖ=(ΧΔΖ)η(ΥΔΖ);
г) (ΧϋΥ)ΔΖ=(ΧΔΖ)ϋ(ΥΔΖ).

Задачи
43
3. Докажите, что для любых множеств X и Υ выполнены законы
де Моргана
x\({Jz)= Γ)ίχ\ζ) и x\f)z=\Jix\z).
Ζ(ΞΥ Ζ(ΞΥ Ζ(ΞΥ Ζ(ΞΥ
4. Проверьте, что для любых множеств Хг с Х2 с X и Уг с Υ2 с Υ
и любого отображения f:X—>Y
/ЦХг) с /(Х2) и ГЧП) с Г109;
/(Χιпх2) с №)п№) и /"Чп пу2) = /"ЧП)п/^аУ;
/(х1их2) = /(х1)и/(х2) и /-1(yiur2) = /-1(Yi)u/-1(ir2);
/(Χ2\^ι)^/(^2)\/»ι) и /-1(ΐΓ2\ϊΓι) = /"10Γ2)\/"1(ϊΓι);
/(Хг Δ Х2) Э/(Хг) Δ/(Χ2) и /-1(1ΓιΔ72)=/-1(ΥΓι)Δ/-1(^2);
/^UTO) э х2 и /(/"ЧП)) - Υι η/(Χ).
Как изменятся эти формулы для инъективных, сюръективных и
биективных отображений?
5. а) Всякий ли максимальный (минимальный) элемент в
упорядоченном множестве является наибольшим (наименьшим)?
Всякий ли наибольший элемент является максимальным?
б) Может ли упорядоченное множество иметь несколько
максимальных элементов? несколько наибольших элементов? не иметь
ни максимальных, ни наибольших элементов?
в) Верно ли, что если упорядоченное множество имеет
единственный максимальный элемент, то этот элемент наибольший?
6. Пусть к и Я — кардиналы, X и Υ — непересекающиеся
множества, \Х\ — к и \Υ\ = Я. Напомним, что сумма к Л-λ кардиналов к
и Я определяется как мощность множества X U Y, их произведение
к-λ — как мощность множества Χ χ У, а λ-я степень κλ кардинала к
определяется как мощность множества Χγ — {/: Υ —> X}. (Заметьте,
что для каждого множества А существует ровно одно отображение
/:0->Ас пустой областью определения (это пустое множество),
так что к0 = 1 для любого кардинала к; заметьте также, что
степень 0* не определена для к Φ 0.) Проверьте следующие свойства
этих операций (ниже к, Я и μ —кардиналы):
а) ассоциативность сложения и умножения:
{к + Я) + μ = к + (Я + μ), (к · Я) · μ = к: · (Я · μ);
б) коммутативность сложения и умножения:
κ + λ — λ + κ, κ·λ = λ·κ;

44
Глава 1. Множества и отображения
в) дистрибутивность умножения относительно сложения:
к: · (Я 4- μ) = κ·λ + κ·μ;
г) монотонность:
если κ^λ, τοκ + μ^Α + μ, κ:·μ^λ·μΗκ:μ^ λμ;
если 1 ^ к и А ^ μ, то κλ ^ κμ {предупреждение: обратное неверно —
существует модель ZFC, в которой 2К° =2Kl);
д) если к бесконечен, то к · к = к;
е) если хотя бы один из кардиналов к: и А бесконечен и оба они
отличны от нуля, то
к + А = к · А = тах{к, А};
ё) κλ+μ = κλ · κμ, {κ · λ)μ = κμ · λμ, κλ'μ = (κλ)μ;
ж) если хотя бы один из кардиналов к: и А бесконечен, к ^ 2
и А^1, то
тах{к, 2я} ^ кя ^ тах{2к, 2я};
в частности, если А бесконечен, то 2я = κλ для любого к ^ 2я, к: ^ 2.
7. Докажите теорему КёнигсР: если А — произвольное
множество и для каждого α е Α Χα πΥα— множества, удовлетворяющие
условию \Ха\ < \Υα\, то
|υ*«|<|ΓΝ·
α€Λ аеА
Заметьте, что из этой теоремы немедленно вытекает теорема
Кантора: к < 2К для любого кардинала к.
8. Покажите, что если X — произвольное бесконечное
множество, А — произвольное множество мощности |Л| ^ |Х| и для
каждого а е А Ха— множество мощности \Ха\ ^ |Х|, то | (J Ха\ ^ |Х|.
аеА
Останется ли это утверждение верным, если всюду заменить знак
«^» на «<»?
9. а) Докажите, что любое бесконечное множество X равно-
мощно множеству [Х]<к° всех его конечных подмножеств.
б) Покажите, что для любого бесконечного множества X и
любого кардинала к ^ |Х| множество [Х]к всех подмножеств X
мощности к равномощно множеству Хк.
1} Юла Кёниг (1849—1913) — венгерский математик с медицинским
образованием. Внёс значительный вклад в алгебру, комплексный анализ и теорию
множеств. Изучал механизмы научного мышления.

Подсказки и решения
45
в) Верно ли, что любое несчётное множество равномощно
множеству всех его счётных подмножеств?
г) Верно ли, что в предположении справедливости континуум-
гипотезы любое несчётное множество равномощно множеству всех
его счётных подмножеств?
Подсказки и решения
2. Только а).
6. д) Сначала покажем, что ω · ω = ω, т. е. \ω χ ω\ = ω.
Определим строгий порядок -< на ω χ ω так: положим (к, 1) -< (m, ή)
для к, 1,т,п&ω, если либо max{fc, 1} <max{m, η}, либо max{fc, 1} =
= max{m, η} и I < η, либо max{fc, 1} = max{m, π}, ί = η и fc < m.
Нетрудно проверить, что упорядоченное множество (ω χ ω, =0
вполне упорядочено, и что все начальные интервалы в нём конечны,
так что легко построить по индукции порядковый изоморфизм
между (ω χ ω, =0 и ω; этот изоморфизм и будет требуемой биекцией.
Дальше рассуждаем по трансфинитной индукции.
Предположим, что κ — несчётный кардинал и теорема верна для всех
меньших бесконечных кардиналов. Пользуясь тем, что κ является вполне
упорядоченным множеством ординалов, определим строгий
порядок на к χ к, полагая (α, /3) -< (у, δ) для α, /3, γ, δ е κ, если либо
max{a, β} < max{y, δ}, либо max{a, β} = max{y, δ} и β < δ, либо
max{a, β} = max{y, δ}, /3 = δ и а < у. Заметим, что для любого γ е κ
имеем {(а, /3): (а, /3) ^ (г, г)> = (Г + D х (Г + D·
Покажем, что =3 является полным порядком. Ясно, что это
частичный порядок, причём если (α, β) -fl (у, δ) и (у, δ) ^ (α, /3), то
тах{а, β} = max{y, δ}, /3 = δ и а = γ, τ. е. (а, /3) = (у, δ), так что
этот порядок линеен. Чтобы показать, что он полон, рассмотрим
любое непустое множество Ζ <ζ κ χ κ и найдём наименьший
ординал ζ среди всех ординалов тах{а, β} для (α, β) eZ. Положим
Ζλ = {(а, /3) е Ζ: тах{а, β} — ζ}. Пусть /30 — наименьший ординал,
для которого существует ординал а такой, что (α, /30) €ΖΧ. Теперь
положим Ζ2 = {(а, /3) е Ζχ: /3 = /30} и найдём наименьший
ординал а0, для которого (а0, β0) eZ2. Очевидно, (а0, /30) — наименьший
элемент множества Z.
Итак, множество (к χ к, =0 вполне упорядочено, а значит, по-
рядково изоморфно некоторому ординалу ξ посредством
некоторого изоморфизма /: (ξ, <) = (ξ, е) —> (к χ к, -<). Ясно, что ξ не может

46
Глава 1. Множества и отображения
быть меньше к: к —кардинал, а это означает, что все ординалы,
меньшие к, имеют меньшую мощность, тогда как мощность ξ равна
мощности к хкияе может быть меньше к. Предположим, что ξ ж
(т. е. к Ε ξ) и /(к) = (α,)3)€κχ к. Положим у — max{a, β}.
Имеем (α, β) ^4 (у, у), так что сужение f\K: к —> (у + 1, у + 1)
—инъекция, откуда к^|(у + 1)х(у + 1)|. Очевидно, ординал у бесконечен,
и поскольку у е к: и к: — кардинал, мощность у, а значит, и
мощность у +1, меньше мощности к\ По индуктивному предположению
|(у 4-1) х (у + 1)| = |у + 1| < к. Это противоречие показывает, что
ξ = κ.
е) Следует из пункта д).
ё) Первые два равенства следуют из монотонности и пункта е).
Докажем третье. Пусть А, В и С — непересекающиеся множества,
|Л| = к, \В\ = Я, \С\ = μ, и пусть /: В χ С —> Л—любое
отображение. Для каждого с&С определим отображение /с: В —>Л
правилом /c(b) =f(b,c). В результате получим однозначно определённое
отображение Ф^: С —> Λβ, Ф^ (с) = /с. Обратно, для любого Φ: С —> Ав
несложно найти то (единственное) отображение /еЛВхС, для
которого Φ = Ф^: оно определено правилом /(Ь, с) = Ф(с)(Ь). Значит,
соответствие / —> Ф^ — биекция.
ж) Если 2 ^ к ^ 2я, то 2я ^ кя ^ (2Я)Я = 2ЯЯ = 2я. Если к ^ Я, то
2к = (2к)я^кя.
7. Пусть /: | |J Ха| —>| Υ\ Υα| —любое отображение. Нужно пока-
аеА аеА
затк, что оно не сюръективно. Для каждого β&Α обозначим через π β
естественную проекцию Υ\ Υα —> Υβ, а через /β — сужение отображе-
аеА
ния / на Χβ. По условию никакое отображение π β ο/β : χ^ —> Yjg не
может быть сюръективным. Выберем у^ eYjg \/β(Χβ) для каждого
β € А. Точка (у^)^€д € f7 Yjg не принадлежит образу отображения /.
8. Следует из задачи 6д). Заменить нестрогое неравенство на
строгое нельзя: Κω = |J Кп, и Кп <Κω для всех new.
9. а) Как-нибудь линейно упорядочим множество X. С
помощью этого порядка легко построить вложение множества [Х]п всех
η-элементных подмножеств X в декартово произведение Хп
(каждому п-элементному множеству ставится в соответствие
упорядоченная п-ка его элементов, занумерованных в порядке возрастания). Из

Подсказки и решения
47
задачи 6д) следует, что \Хп\ = \Х\, а из задачи 8 —что
im<l<°i = |Ur*]nl = i*i.
Π€Ν
б) Неравенство \[Х]К\ ^ \ХК\ очевидно. Покажем, что \[Х]К\ ^
^ \ХК\. В силу задачи 8 множество X равномощно объединению
γ = (J Χα, где ^а— любые непересекающиеся множества, равно-
мощные множеству X. Очевидно, элементов в произведении Υ\ Χα
(т. е. функций /: к —> |J Ха со свойством /(а) еХа для всех а е к:)
ровно столько же, сколько множеств Ζ с У со свойством \Ζ ПХа\ = 1
д.71я всех аек, а все такие Ζ принадлежат множеству [Υ]κ. Значит,
\ίΥ]κ\ = \[χγ\ζ\ηχα\ = \χκ\-
в) Нет. Проще всего показать это в предположении отрицания
континуум-гипотезы: в этом предположении мощность 2К°
множества всех подмножеств множества К0 (которая, понятно, никак не
больше мощности всех счётных подмножеств множества К2) строго
больше мощности множества Кх.
г) Нет. Рассмотрите кардинал Κω = (J Кп и примените теорему
Кёнига (см. задачу 7). Согласно этой теореме Κω < Κω°, а согласно
пунктуб)!^0!^!^]^!.

Глава 2
Метрические и топологические
пространства и их подпространства
Изучение свойств геометрических объектов, которые не зависят
от измерений (размеров, расстояний и пр.), было лишь одним из
путей, приведших к возникновению и развитию топологии как
самостоятельной науки. Другой путь — обобщение идей сходимости.
Можно считать, что этот процесс начался в 1817 г., когда Больцано^
распространил понятие сходимости с последовательностей чисел
на произвольные ограниченные множества чисел. В 1872 г.
Кантор ввёл понятие множества предельных точек подмножества
вещественной прямой и определил замкнутые подмножества прямой как
множества, содержащие все свои предельные точки, а открытые —
как дополнения до замкнутых. Спустя пять лет в своих лекциях Вей-
ерштрасс2) ввёл понятие окрестности точки на прямой в терминах
сходимости последовательностей, после чего последовал цикл
работ Гильберта3), начатый в 1899 г. и завершённый в 1910 г., в
которых Гильберт изложил полную аксиоматику евклидовой геометрии
и строго определил двумерное многообразие в терминах
окрестностей. В 1905 г. Фреше4) предложил схему аксиом сходимости в аб-
х) Бернард Болъцано (1781—1848) — чешский математик, философ и теолог,
автор первой строгой теории вещественных чисел и один из основоположников
теории множеств.
2) Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815—1897) — немецкий математик,
«отец современного анализа».
3) Давид Гильберт (1862—1943) — немецкий математик-универсал, после
смерти Анри Пуанкаре стал признанным мировым лидером математиков. Наиболее
известны его первая полная аксиоматика евклидовой геометрии и теория
гильбертовых пространств, одна из основ современного функционального анализа.
Внёс значительный вклад в теорию инвариантов, общую алгебру,
математическую физику, интегральные уравнения и основания математики (в частности,
разработал строгую логическую теорию доказательств).
4) Mopuc Реке Фреше (1878—1973) — французский математик. Ввёл
современные понятия метрического пространства, компактности, полноты и др. В
основном занимался топологией и функциональным анализом; работал также
в области теории вероятностей.

§ 2.1. Метрическое пространство
49
страктном множестве, а также (в связи с его исследованиями
функциональных пространств) аксиомы метрического пространства1^*.
Ему принадлежит первое определение компактного пространства,
которое совпадает с современным для метрических пространств, но
несколько отличается от него в общем случае (сейчас пространства,
компактные в смысле Фреше, называются счётно компактными).
Наконец, в 1909 г. Рисс2) предпринял попытку совершенно
отказаться от использования метрики и предложил новый
аксиоматический подход к топологии, основанный на понятии предельной
точки, а в 1914 г. Хаусдорф определил понятие окрестностей точек
абстрактного множества с помощью четырёх аксиом, тем самым
введя понятие абстрактного топологического пространства в том виде,
в каком оно понимается и по сей день. Десять лет спустя, в 1925 г.,
П. С. Александров^ сформулировал современные аксиомы топологии
(семейства всех открытых подмножеств) на абстрактном множестве.
Определения Хаусдорфа и Александрова совершенно равносильны;
единственная разница между ними в том, что Хаусдорф
определял сначала окрестности точек, а потом с их помощью — открытые
множества, а Александров начинал с открытых множеств, а потом
определял окрестности точек в терминах открытых множеств.
§ 2.1. Метрическое пространство
В стандартных ε-δ-определениях фундаментальных понятий
математического анализа — непрерывности числовых функций,
сходимости последовательности чисел, предела последовательности или
функции и т. п.—участвуют лишь расстояния \х — у | между числами
χ и у, а специфика самих чисел никак не используется. Поэтому
распространение понятия расстояния с числовых множеств на мно-
1} Первые шаги в этом направлении сделал ещё Евклид.
2) Фрйдъеш Рисе (1880—1956) — венгерский математик, основатель
современного функционального анализа. Является одним из основателей теории
топологических пространств.
3) Павел Сергеевич Александров (1896—1982) — советский математик, академик
Академии наук СССР. Занимался в основном топологией и теорией функций
действительного переменного. Основатель современной топологической школы;
учитель Л. С. Понтрягина, А. Н. Тихонова и других выдающихся математиков.
Создал теорию бикомпактных пространств, существенно развил теорию
размерности, разработал методы комбинаторного исследования множеств и пространств
общей природы, доказал основной закон двойственности теории гомологии.

50 Глава 2. Метрические и топологические пространства
жества произвольной природы позволяет обобщить на такие
множества все базовые конструкции математического анализа, а это
открывает совершенно новые возможности в связанных с
математическим анализом областях, в первую очередь в функциональном
анализе.
| Определение 1. Метрикой на множестве X называется функ-
1 ция d: Χ χ X —> R со свойствами
I · d (jc, у) — 0 тогда и только тогда, когда х — у
Ι {аксиома тождества)',
Ι · d(jc, y)—d(y, χ) для любых χ, у еХ (аксиома симметрии);
Ι · d(x,z) ^d(jc,y) + d(y, ζ) для любых χ, у, ζ еХ
Ι (неравенство треугольника).
■ Множество X вместе с заданной на нём метрикой d называет-
I ся метрическим пространством и обозначается (X, d) или про-
I сто X (если нет опасности разночтений). Точками метрическо-
I го пространства считаются точки множества X. Значение d(jc, у)
Ι метрики d в паре точек (jc, у) е Χ χ Χ называется расстоянием
I между точками χ и у в метрике d или в метрическом простран-
I стве (X, d). Расстояние между непустыми множествами Л, β с X
Ι определяется формулой d(Л, В) = inf{d(jc, у): jc е Л, у е β}. Вместо
I d({jc}, Л) пишут d(jc, Л).
Замечание 2.1. Из определения метрики вытекает, что d(jc, у) >
> 0 для любых различных jc, у е X.
Ослабив аксиому тождества до условия «d(x, χ) = 0 для любого χ еХ»,
мы получим определение псевдометрики, которая играет в современной
математике ещё более фундаментальную роль, нежели метрика. Значения
псевдометрики, как и значения метрики, не бывают отрицательными.
Пусть (X, d) — метрическое пространство, jceX и ε > 0.
Множество
Bd(x,e) = {y eX:d(y,x) < ε}
называется ε-окрестностъю точки jc или открытым шаром радиуса
ε с центром в точке х, а множество
Bd(x,£) = {yzX:d(y,x)^£}
— замкнутым шаром радиуса ε с центром в х. Говорят, что
множество U с X открыто, если для любого jc e U найдётся такое ε > 0, что
Bd(x, ε) с U. Всякое множество F с X, для которого X \ F открыто,
называется замкнутым.

§ 2.2. Топологическое пространство
51
Иными словами, множество U открыто, если вместе с каждой
своей точкой оно содержит и некоторую ε-окрестность этой точки,
и множество F замкнуто, если у любой не принадлежащей F точки
найдётся ε-окрестность, не пересекающаяся с F.
В силу неравенства треугольника все открытые шары Bd(jc, ε)
действительно открыты: если y€Bd(x, ε), то d(y, jc) < ε, а значит,
найдётся δ > О, для которого d(y, χ) < ε — δ; для любой точки
ζ еBd(y, δ) по неравенству треугольника имеем d(jc, ζ) ^ d(jc, у) +
+ d(y, ζ) < ε — δ + δ — ε, а это означает, что Bd{y, δ) с Bd0c, ε).
Очевидно также, что все замкнутые шары Bd(x, ε) замкнуты.
Таким образом, открытые множества — это в точности
всевозможные объединения множеств вида Bd{x, ε) (с разными χ и ε).
Иными словами, множество U с X открыто тогда и только тогда,
когда U = (J {Bd (jc, εχ): jc e Л}, где Л — произвольное подмножество
множества X и εχ для jc e А—любые положительные числа.
Непрерывность отображений метрических пространств,
сходимость последовательности в метрическом пространстве и прочие
фундаментальные понятия математического анализа определяются
точно так же, как и в случае числовых функций, — например,
отображение / непрерывно в точке jc, если для любой ε-окрестности U
точки /(х) найдётся δ-окрестность V точки jc, для которой /(У) с U.
§ 2.2. Топологическое пространство
Можно пойти ещё дальше — заметить, что природа
ε-окрестностей тоже несущественна, и аксиоматизировать само понятие
окрестности. Это сделал Хаусдорф, введя тем самым понятие
топологического пространства. Мы начнём с аксиоматического
определения системы открытых окрестностей точки — прозрачного
аналога множества ε-окрестностей точки.
I Определение 2. Пусть X — множество и каждой точке jc е X по-
I ставлено в соответствие семейство °11 (jc) подмножеств X так, что
I выполнены следующие условия-аксиомы:
1 Φ любое множество U e ^(jc) содержит точку jc;
1 © для любых U, V е ^(jc) найдётся такое W e ^(jc), что W с
I <=[/ПУ;
I ® для любого множества U e °ll (jc) и любой точки у е [/ найдётся
1 такое У е ^(у), что V с [/.

52 Глава 2. Метрические и топологические пространства
1 Семейство i^M}XGx называется системой открытых окрест-
§ костей. Множество X вместе с заданной на нём системой откры-
1 тых окрестностей называется топологическим пространством-,
I точками топологического пространства считаются точки множе-
I ства X. Подмножество U топологического пространства X на-
1 зывается открытым, если для любой точки хе(/ существует
I такое V е °11 {х), что V с U. Множество F с X замкнуто, если X \ F
I открыто. Любое открытое множество U, содержащее точку χ еХ,
1 называется открытой окрестностью этой точки.
Условие © в этом определении равносильно тому, что всякое
множество U е °иО), χ е X, открыто, а условия φ и © вместе — тому,
что любое множество U е. ^/{х) является открытой окрестностью
точки х.
Легко видеть, что всевозможные ε-окрестности всех точек в
метрическом пространстве {X, d) образуют систему открытых
окрестностей точек множества X (она состоит из семейств
%{χ) = {Βά(χ,ε):ε>0},
где χ e X), и открытые подмножества топологического
пространства X, определённого такой системой окрестностей, — это в
точности подмножества метрического пространства X, открытые в
смысле определения 1. Однако существуют и другие системы открытых
окрестностей точек метрического пространства, которые
определяют те же самые открытые множества. Например, такая система
получится, если определить <% (х) как семейство всех открытых
подмножеств метрического пространства X, содержащих точку х.
В своём оригинальном определении топологического пространства
Хаусдорф определял открытые множества через открытые окрестности
точно так же, как в определении 2, но окрестности он понимал в более
широком смысле: из определения Хаусдорфа видно, что всякое множество,
содержащее некоторое открытое множество, которому принадлежит
данная точка, является окрестностью этой точки. (Именно такое определение
окрестности точки в топологическом пространстве и используется в
современной топологии^.) Зато система окрестностей по Хаусдорфу, в отличие
от системы открытых окрестностей в смысле определения 2, однозначно
определяется набором всех открытых множеств (и, конечно, обе эти
системы однозначно определяют открытые множества).
υ Во всяком случае, в зарубежной литературе; в работах советских и русских
авторов по традиции чаще рассматриваются только открытые окрестности.
Никакого принципиального значения это различие не имеет.

§ 2.2. Топологическое пространство
53
I Определение Хаусдорфа. Пусть X — множество и каждой точке χ е X
I поставлено в соответствие семейство Jf{x) подмножеств X так, что вы-
I полнены следующие условия-аксиомы:
ι φ любое множество JVg/(x) содержит точку х;
Ε (D eamN9MSoY(xXToNr\MSoY(x);
I (D для любого множества N ^jY{x) существует U e jY{x) с тем свой-
I ством, что U C.N и для любой точки у GU найдётся Μ е °1/{у), удо-
I влетворяющее условию Met/;
1 d) eaHiVe^WHiVcMc^ToMG^W.
1 Элементы семейства Jf{x) называются окрестностями точки х, а семей-
I ство семейств {jY(x)}xgX — системой окрестностей. Множество X вместе
I с заданной на нём системой окрестностей называется топологическим
ι пространством; точками топологического пространства считаются точки
1 множества X. Подмножество U топологического пространства X называ-
I ется открытым, если у любой точки xgU имеется окрестность NGjV(χ),
1 для которой N <z U. Множество FсX замкнуто, если X\F открыто.
Условие (D в этом определении говорит, что любая окрестность N
любой точки χ содержит открытую (т. е. являющуюся открытым множеством)
окрестность U этой же точки х.
Заметим, что если задана система открытых окрестностей точек X
в смысле определения 2, т. е. каждой точке хеХ поставлено в соответствие
семейство У/ (х) её открытых окрестностей, то семейства
Jfix) = {Ν с X: N d U ίψη некоторого U е ^(х)}
в совокупности образуют систему окрестностей в смысле Хаусдорфа,
порождающую те же открытые множества. Верно и обратное: из любой
системы окрестностей {jY(x)}xeX в смысле Хаусдорфа можно получить
систему открытых окрестностей в смысле определения 2, порождающую те же
открытые множества, положив
W{x) = {U €ΛΌΟ:
U открыто относительно системы окрестностей {<Ж(х)}хеХ},
т.е. определив <%/(х) как семейство всех открытых окрестностей точки х.
Ясно, что не всякая система открытых окрестностей может быть получена
таким образом. Например, применив такую конструкцию к системе
открытых окрестностей точек обычной плоскости R2, образованной
всевозможными ε-окрестностями, мы увидим, что система окрестностей {jY(x)}xeX,
полученная из этой системы, состоит из семейств
<Л{х) = {N сЕ2: N содержит некоторую ε-окрестность точки х},
и при обратном переходе к системе открытых окрестностей получим
{°1/ (х)}хеХ, где °ίί(х) = {U с R2: U э χ и U — открытое
в обычном смысле подмножество плоскости R2},

54 Глава 2. Метрические и топологические пространства
а эта система, хоть и является системой открытых окрестностей и
порождает те же открытые множества, что и система ε-окрестностей, не совпадает
с последней.
Итак, если заданы окрестности точек некоторого множества, то
тем самым заданы и все открытые подмножества этого множества.
Двигаясь в противоположном направлении — от открытых
подмножеств к окрестностям точек, мы приходим к следующему
определению, которое предложил в 1925 г. П.С.Александров и которое
стало основным определением топологического пространства в
современной науке.
1 Определение топологического пространства. Топологическое
1 пространство — это множество X вместе с семейством 3 его под-
1 множеств, удовлетворяющим следующим условиям-аксиомам:
1 Φ 0g^,Xg^;
Ι © если % с 3, то (J^ g3 (иными словами, если А — произ-
I вольное индексное множество и[/ае^ для всякого aGА, то
В α(ΞΑ
Ι ® если[/,У<Е^, Tot/nVe^.
Ι Семейство 3 называется топологией на множестве X, его элемен-
I ты — открытыми множествами, а их дополнения — замкнутыми
ι множествами. Множества, являющиеся одновременно и откры-
I тыми, и замкнутыми, называются открыто-замкнутыми.
I Для топологического пространства (множества X с топологи-
I ей 3) используется обозначение (X, 3) или X; его точками счи-
I таются элементы множества X.
I Множество U с X называется открытой окрестностью точки
I jc G X, если U э χ и U G 3". Любое подмножество множества X,
J содержащее открытую окрестность точки х, называется окрест-
I ностъю1^ точки х, а любое подмножество вида N \ {х}, где N —
1 окрестность точки х, называется проколотой окрестностью точ-
1 ки х. Окрестности определены и для подмножеств множества X:
Ι открытой окрестностью множества А с X называется любое
I открытое подмножество множества X, содержащее А, а окрест-
I ностъю множества А называется любое подмножество множе-
1 ства X, содержащее некоторую открытую окрестность множе-
1 ства А.
г) В отечественной литературе под окрестностями обычно подразумеваются
открытые окрестности.

§ 2.2. Топологическое пространство
55
Итак, условия на топологию, т. е. семейство всех открытых
множеств в топологическом пространстве, очень просты — пустое
множество и всё пространство открыты, объединение произвольного
семейства открытых множеств открыто, и пересечение любых двух
(а значит, и любого конечного числа) открытых множеств
открыто. Сразу же отметим, что с тем же успехом можно было бы взять
за основу определение семейства всех замкнутых множеств
(обозначим его ^), а открытыми объявить дополнения до замкнутых;
двойственные аксиомы для замкнутых множеств таковы:
@ если ^с^тор^е^ (пересечение любого семейства
замкнутых множеств замкнуто);
® если F, Gg^, toFuGg^ (объединение двух, а значит, и
любого конечного числа замкнутых множеств замкнуто).
Очевидно, семейство открытых множеств, определяемое любой
системой окрестностей или системой открытых окрестностей точек
произвольного множества X, удовлетворяет всем аксиомам из
определения топологии, так что любая система {открытых)
окрестностей точек множества X порождает топологию ^ на X, которая
состоит из всех множеств, открытых относительно этой
системы окрестностей. С другой стороны, ясно, что^если на множестве X
задана некоторая топология !7, то семейства
Jf{x) = {N с X: N — окрестность точки χ
в топологическом пространстве (X, !?)},
где χ пробегает X (а также семейства
°1/{х) — {U с X: [/ — открытая окрестность точки χ
в топологическом пространстве (X, ??)},
где χ пробегает X), образуют систему, удовлетворяющую всем
аксиомам из определения Хаусдорфа (из определения 2), так что
любая топология Zf на множестве X порождает некоторую систему
окрестностей (а также систему открытых окрестностей) точек
множества X, причём 3" состоит в точности из всех множеств,
открытых относительно этой системы окрестностей. Поэтому
определения Хаусдорфа и Александрова (а также определение 2)
равнозначны.

56 Глава 2. Метрические и топологические пространства
§ 2.3. Базы и предбазы топологии
Вернёмся к метрическим пространствам. Мы уже видели, что
семейство £% — {!%{x):xgX}, где &О) = {Bd{x, ε): ε>0} —
множество всех ε-окрестностей точки χ метрического пространства (X, d),
образует систему открытых окрестностей в смысле определения 2,
а значит, порождает некоторую топологию 3d, называемую
метрической топологией:
3d — {U<zX: для каждого χ g U существует Vx G 08 {χ),
удовлетворяющее условию Vx с U}, (1)
или, что то же самое,
3d — {U <zX:U является объединением
некоторого семейства <%' с 08} (2)
(действительно, достаточно положить 9&' — {Vx: jc g U}, где
множества Vx определены как в соотношении (1)). Семейства 08 открытых
множеств, удовлетворяющие условию (2), называются базами
топологии 3d.
1 Определение. Пусть {Х,3) — топологическое пространство.
I Семейство 08 с 3 называется базой топологии 3 или базой топо-
I логического пространства X, если любое открытое множество U
I в X является объединением элементов семейства 08.
Важное замечание. Очевидно, семейство 08 с 3 является
базой топологии 3 на множестве X тогда и только тогда, когда для
каждой точки jc G X и любой её окрестности U найдётся множество
Vg 08, удовлетворяющее условиям χ G V с U.
Из этого замечания следует, что если
щ = {^U):x<eX}
—любая система открытых окрестностей точек множества X,
порождающая топологию 3, то её объединение {U: U G <М{х) для
некоторого xgX} является базой топологии 3, и если 08 — база
топологии 3, то семейства Щ (jc) = {U G 08: jc g U} образуют систему
открытых окрестностей точек пространства X. Единственная
разница между элементами базы и окрестностями из системы открытых
окрестностей состоит в том, что база может содержать пустое
множество в качестве элемента.
Из определения топологического пространства вытекает
следующее утверждение.

§ 2.3. Базы и предбазы топологии
57
Предложение 2.2. Семейство 08 подмножеств множества X
является базой некоторой топологии на X тогда и только тогда, когда
φ \J@=Xu
φ для любых U, V G 08 и любой точки xgU C\V найдётся W G 08
со свойством xgW <zU C\V, т.е. пересечение любых двух
элементов семейства 08 является объединением некоторого
множества элементов семейства 08.
Базы представляют собой один из основных инструментов
задания топологии на множестве, однако выполнение второго условия
в предложении 2.2 не всегда легко проверить, и в таких случаях
удобнее задавать топологию с помощью предбазы.
| Определение. Пусть (X, 3) — топологическое пространство. Се-
I мейство 08 с 3 называется предбазой топологии 3 или предба-
I зой топологического пространства X, если семейство всех конеч-
I ных пересечений элементов^ семейства 08 является базой
τόποι логии Э".
Из предложения 2.2 вытекает следующее утверждение.
Предложение 2.3. Семейство & подмножеств множества X
является предбазой некоторой топологии на X тогда и только
тогда, когда \^08=Х.
Весьма полезны бывают также локальные базы.
| Определение. Семейство ffi{x) (открытых) окрестностей точ-
I ки χ топологического пространства [X,3) называется (рткры-
I той) локальной базой топологии 3 в точке χ или базой (рткры-
I тых) окрестностей точки χ в пространстве {X, 3), если любая
1 окрестность точки χ содержит окрестность из ffi{x).
Всякая предбаза топологии 3" на множестве X однозначно
определяет некоторую базу той же топологии, а значит, и саму
топологию. Семейство локальных баз топологии во всех точках χ GX
образует систему окрестностей и тоже однозначно определяет
топологию. Однако одна и та же топология может иметь (и почти всегда
имеет) много разных баз и локальных баз; например, очевидно, что
топология метрического пространства определяется не только
семейством всех ε-окрестностей всех точек, но и, например,
семейством всех 1/п-окрестностей. Отметим также, что если семейство 08
является базой некоторой топологии 3 на множестве X, то любое
семейство <%' э 08, 08/ с 3, тоже является базой топологии 3.
3 Напомним, что так мы условились называть пересечения конечного числа
элементов.

58 Глава 2. Метрические и топологические пространства
Уже сейчас мы можем ввести две важнейшие характеристики
топологических пространств.
1 Определение. Наименьшая мощность^ локальной базы2) топо-
I логии топологического пространства X в точке xgX называется
1 характером пространства X в точке χ и обозначается χ (χ, Χ):
Ι χ Ο, Χ) — min{ | ^ О) |: <%{x) — локальная база
Ι топологии пространства X в точке jc}.
I Супремум кардиналов χ (х, X) по всем точкам χ^Χ,τ. е. наимень-
I ший кардинал к с тем свойством, что χ О, Χ) ^ к для всех xgX,
Ι называется характером пространства X и обозначается χ (Χ) :
Ι χ(Χ) = ζηρ{χίχ,Χ):χζΞΧ}.
Ι Если характер пространства X не более чем счётен, т. е. X имеет
I не более чем счётную локальную базу в каждой точке, то говорят,
I что X удовлетворяет первой аксиоме счётности.
1 Наименьшая мощность базы топологии топологического про-
I странства X называется весом этого пространства и обозначается
Iш(х):
I w(X) = min{| Jt|: 03 —база топологии пространства X}.
I Если вес пространства X не более чем счётен, т. е. X обладает не
Ι более чем счётной базой, то говорят, что X удовлетворяет второй
I аксиоме счётности.
Для любого топологического пространства X имеет место
неравенство
поскольку любая база любой топологии на множестве X содержит
открытую локальную базу той же топологии в каждой точке xgX.
Замечание 2.4. Если (X, d)—любое метрическое пространство
и 3~ά — топология, порождённая метрикой d (базу которой
составляют всевозможные ε-окрестности точек пространства X), то
характер пространства (X, ??d) всегда не более чем счётен. В самом деле,
ΰ Наименьшая мощность множества из любого семейства всегда определена,
потому что мощности (кардиналы) вполне упорядочены.
2) В этом определении локальную базу везде можно заменить на открытую
локальную базу, поскольку всякая открытая локальная база является
одновременно и локальной базой, а из любой локальной базы ^ (х) в точке х можно
получить открытую локальную базу той же или меньшей мощности, заменив
каждую окрестность JVg <%(х) точки х на ту открытую окрестность U этой
точки, которая обязана содержаться в N по определению.

§ 2.4. Примеры
59
любая окрестность любой точки xgX содержит 1/п-окрестность χ
для некоторого п; значит, семейство 1/п-окрестностей χ для всех
η е N образует локальную базу топологии 3d в точке х, а это
семейство не более чем счётно.
Заметим также, что разные метрики аг и d2 на одном и том же
множестве X могут порождать одну и ту же топологию 5^ = 5^2
на X. Например, метрика на плоскости R2, определённая правилом
d(x,y) = v4*i-yi)2 + (*2-y2)2
для х= (*ι, х2) и у— (уъ у2), порождает ту же топологию, что и
метрика, определённая правилом d(x,у) — \хг - уг\ + \х2 -у21- ПРИ
изучении метрических топологий часто бывает удобно вместо
заданной метрики рассматривать другую, порождающую ту же
топологию.
I Определение. Две метрики аг и d2 на одном и том же
множестве X эквивалентны, если они порождают одну и ту же
метрическую топологию, т. е. если &d1=&k2-
Именно в таком значении термин «эквивалентные метрики»
используется во всех областях математики. Эквивалентность метрик d1nd2,
определённая по аналогии с эквивалентностью норм как существование
положительных констант с и С, для которых всегда выполнены неравенства с · <22 (х, у) ^
^ d2(x, у)^С ·аг(х, у), называется липшицевой эквивалентностью.
§2.4. Примеры
Примеры метрических пространств
1. Произвольное множество X с дискретной метрикой d: X хХ—>
—»R, которая определяется так:
(0, если х-у,
d(x,y) = <( , x,yGX.
[ 1, если χ Φ у,
Эта метрика порождает дискретную топологию 3" = &{Х), в
которой все подмножества множества X открыты (и замкнуты).
Локальную базу этой топологии в любой точке xgX образует, например,
семейство, состоящее из одного-единственного множества {х}
(потому что ε-окрестность точки χ есть {х} для любого ε ^ 1), а
базой является, например, семейство всех одноточечных подмножеств
множества X. Таким образом, в полном соответствии со
сделанным выше замечанием характер пространства (X, 3) не более чем

60 Глава 2. Метрические и топологические пространства
счётен (он равен 1), однако его вес равен мощности множества X
и вполне может оказаться несчётным.
2. Вещественная прямая R с обычной метрикой d: (χ, у) -*
-* \х — у\. Топологию, порождаемую этой метрикой, мы в
дальнейшем будем называть обычной топологией прямой —её базой
служат все открытые интервалы. Из определения базы вытекает, что
интервалы с рациональными концами тоже образуют базу обычной
топологии, так что вес пространства (R, ??d) счётен.
3. Пусть V — вещественное векторное пространство. Нормой на
V называется функция || ·||: V —>R со свойствами
φ ||jc|| = 0 тогда и только тогда, когда χ = 0;
© II* + УII ^ 11*11 + Ну II Для любых х,у GV (неравенство
треугольника для норм);
® ||α·χ|| = |α| · ||jc|| для любых ael и xgV (однородность).
Векторное пространство V вместе с заданной на нём нормой
называется нормированным пространством.
На любом нормированном векторном пространстве V с нормой
||·|| стандартным образом определяется метрика d(x,у) = \\х — у\\.
Таким образом, на векторном пространстве со скалярным произ-
ведением1} (·, ·) возникает метрика d(x,y) — у/(х — у,х — у) — она
порождена нормой ||х|| = у/(х, х). В частности, стандартное
скалярное произведение на евклидовом пространстве Rn, определённое
η
правилом (х, у) = Σ *;У ДО* х= (*ι> ···> *п)еМ" и У = (Уъ ...уп) £^п,
задаёт евклидову норму
14, = JTrt
V i^n
и евклидову метрику
<№у) = ./ЕС^-у)2·
V i^n
Топологию, порождаемую этой метрикой на Rn, мы будем называть
евклидовой топологией. Легко видеть (и ниже мы покажем), что все
евклидовы пространства с евклидовой топологией удовлетворяют
второй аксиоме счётности.
Х) Напомним, что скалярное произведение на вещественном векторном
пространстве — это любая симметричная положительно определённая билинейная
функция.

§ 2.4. Примеры
61
Важнейший пример векторного пространства со скалярным
произведением — гильбертово 'пространство числовых
последовательностей
Ρ = {x=(xn)neN: Σχη < °°}
со скалярным произведением
(х,У)= Σχη'Υη
и нормой
1|х||2 = JYX.
V nGN
Этот пример так важен потому, что пространство i2 универсально
в разных отношениях —с одной стороны, все гильбертовы пространства
счётной размерности ему изоморфны как нормированные пространства,
с другой —любое топологическое пространство со счётной базой
реализуется как его подпространство в естественном смысле (точное
определение подпространства мы дадим ниже), откуда следует (почему —мы тоже
увидим позже), что топология любого такого пространства порождается
некоторой метрикой.
Пространство ί2 входит в целую серию нормированных
пространств
t' = {x= un)nGN: Σ knlp < »}, Nip = ?/Σΐ*πΙρ,
hgN V hgN
где peN; сюда же относится пространство ί°° всех ограниченных
последовательностей вещественных чисел с нормой
1|х|1оо =sup|jcn|.
4. Всякое поле F является векторным пространством над самим
собой, и, хотя это пространство не вещественное (если только поле
не вещественное), для него определено понятие нормирования, или
абсолютного значения (это любая функция ||·||: F —>R с теми же
свойствами, что и у нормы, за исключением однородности,
которая заменяется свойством ||х-у|| = |МН1у11)> и всякое
нормирование тоже порождает метрику по тому же правилу d(x, у) = \\х - у ||,
а вместе с ней и топологию.
Пример нормирования поля Q рациональных чисел — обычный
модуль. Однако на этом поле можно ввести целое семейство других

62 Глава 2. Метрические и топологические пространства
нормирований, которые называются р-адическими нормами (хотя
и не являются настоящими нормами) и порождают метрики, не
эквивалентные обычной метрике d{x, у) — \х — у|.
В1916 г. А. М. Островский13 [34] доказал, что любое нетривиальное
нормирование на Q эквивалентно23 обычному абсолютному значению | · | или
одному из нормирований | · |р.
Они определяются так. Пусть ρ — простое число. Любое не
равное нулю рациональное число г можно представить в виде рпт,
где п, а и Ъ — целые числа, причём α и Ъ не делятся на р; заметим,
что η определено однозначно. Положим \г\р —р~п и |0|р —0. Легко
проверить, что так определённая функция | · |р действительно
является нормированием; более того, она удовлетворяет условию
\r-\-s\p ^max{|r|p,|5|p},
а значит, порождённая ею метрика dp удовлетворяет сильному
неравенству треугольника
dp(x, ζ) ^ max{dpU, у), dp{y, ζ)} для любых χ, у, ζ € Q.
Метрики с этим свойством называются неархимедовыми метриками
или ультраметриками.
Во всяком ультраметрическом пространстве любая точка любого шара
является центром этого шара, и если два шара пересекаются, то один из них
содержится в другом. Отсюда вытекает, в частности, что все шары в таком
пространстве и открыты, и замкнуты одновременно.
5. Ещё один важный пример — метрический ёж. Пусть
к:—любой кардинал. Метрический ёж J {к) колючести к —это
объединение к копий единичного отрезка (иголок) с общим началом 0.
Формально такое определение можно записать как J {к) — {0} и (0,1] хк\
Расстояние между точками χ и у определяется как обычное
расстояние \х — у | между точками единичного отрезка, если χ и у принад-
ΰ Олександр Маркович Остпровсъкий (1893—1986) — немецкий и швейцарский
математик украинского происхождения. Автор трудов по алгебре, теории
чисел, геометрии, топологии, теории функций, дифференциальным уравнениям.
Почётный доктор университетов Франции, Швейцарии и Канады.
2) Два нормирования || · |1ι и || · ||2 поля F эквивалентны, если они определяют
одну и ту же топологию.

§ 2.4. Примеры
63
лежат одной иголке, и как сумма расстояний от этих точек до 0, если
они принадлежат разным иголкам.
d(x,y) = a + b
Формальное определение таково:
d(0,0) - 0, d(0, (χ, α)) - χ, d((x, α), (у, /3)) =
\х~У\,
а
β,
х + у, α^,
для любых х, у е (0,1] и а, /3 е к\ Очевидно, функция d
удовлетворяет всем условиям из определения метрики.
Легко видеть, что вес метрического ежа равен его колючести. В
дальнейшем мы увидим, что всякое топологическое пространство веса не
больше к, топология которого порождена некоторой метрикой, реализуется как
подпространство счётной степени ежа колючести к.
6. Новые метрики можно строить из уже имеющихся.
Например, если d:XxX->I- метрика на множестве X, то для любого
Я > 0 отображения λ · d: (χ,у) —> Я · d(x,у) и min(d, Я): (х,у) —>
—>min{d(x, у), Я} (здесь Я: XхХ—>R — функция, тождественно
равная Я) тоже являются метриками на X, и они порождают ту же
топологию. Вообще, если /: R —> R — функция, не равная тождественно
нулю и удовлетворяющая условиям /(0) = 0, /(а) ^ 0 и /(а + b) ^
$/(а) +/(Ь) для любых а, b€M, то /od: (χ,у) —>/(d(x,у)) —
метрика, эквивалентная d. Кроме того, сумма
d! + d2: (x, у) -^(х^+^^у)
и максимум
max(d!,d2): (х,у) -» max{d1(x,y),d2(x,y)}
любых двух метрик аг и d2 на одном и том же множестве тоже
являются метриками.

64 Глава 2. Метрические и топологические пространства
Примеры топологических пространств
Всякая метрика порождает топологию, так что примеры
метрических пространств являются одновременно и примерами
топологических пространств. Такие пространства играют важную роль
в топологии и смежных науках, а также обладают специфическими
свойствами.
I Определение. Топологическое пространство метризуемо, если
его топология метризуема, т. е. является метрической топологией,
порождённой некоторой метрикой.
Из замечания 2.4 вытекает такое утверждение.
Предложение 2.5. Всякое метризуемое топологическое
пространство удовлетворяет первой аксиоме счётности.
Далеко не все топологические пространства метризуемы. Среди
пространств в данных ниже примерах встречаются как метризуе-
мые, так и неметризуемые, но даже и в метризуемых случаях
топология определена не с помощью метрики, а другими способами.
1. На пустом или одноточечном множестве X существует ровно
одна топология Э" = {0, X}, но на всяком непустом
неодноточечном множестве X есть по меньшей мере две разные топологии:
З' — {0, X} и 3 = 9 (X). Топология 3 = {0, X} называется
антидискретной, и она никогда не метризуема для непустых
неодноточечных множеств X. Топология 3 — 9 (X) называется дискретной,
и она порождена дискретной метрикой.
2. Всякий линейный порядок ^ на множестве X порождает
порядковую, или интервальную, топологию на X; её называют также
топологией линейного порядка ^. Предбазу этой топологии
составляют все открытые лучи {χ: χ < а} и {х: а < х}, где а е X, а базу—
все открытые интервалы0 {х: χ < α}, {χ: α< χ} и {χ: α < χ <b}
для а,Ь&Х. Например, обычная топология прямой R порождается
такими интервалами относительно обычного порядка ^. На
плоскости Ш2 тоже имеется естественный линейный порядок, даже два —
лексикографический и колексикографический2), и каждый из них
тоже порождает некоторую топологию на R2. Однако в этих
топологиях гораздо больше открытых множеств, нежели в евклидовой
1} Если в упорядоченном множестве (X, ^) нет наименьшего или
наибольшего элемента, то соответствующие лучи в базу можно не включать — они тогда
являются объединениями ограниченных интервалов.
2) Строгий (ко)лексикографический порядок определяется так: (а, Ь) < (с, d),
если а<с или а=сиЪ<а (если b<d или Ь — аиа<с).

§ 2.4. Примеры
65
топологии: например, в топологии лексикографического порядка
открыты все вертикальные прямые, а в топологии колексикографи-
ческого порядка — горизонтальные.
Два чрезвычайно важных примера топологических пространств — это
наделённые порядковой топологией множество ω1 всех не более чем
счётных ординалов с обычным строгим порядком < (т.е. е) и множество
ω л. ι = ω1 υ {ωτ}, состоящее из всех не более чем счётных ординалов
и первого несчётного, с тем же порядком. В дальнейшем мы будем
обозначать множество ωλ с порядковой топологией через Wf, а множество
ω ι U {сог} с порядковой топологией — через Wx.
3. Для того чтобы определить топологию на множестве X,
вовсе не обязательно привлекать посторонние структуры (такие как
метрику или порядок) — можно взять почти произвольное
семейство 38 с & (X) и объявить его предбазой топологии (см.
предложение 2.3).
В качестве примера посмотрим, что получится, если объявить
предбазой топологии З' на множестве N натуральных чисел
семейство всех бесконечных арифметических прогрессий1}, т. е. всех
множеств вида
P{a,d) = {a + nd: η € NU{0}},
где and —любые натуральные числа. Легко проверить, что если два
множества такого вида пересекаются, то их пересечение тоже имеет
такой вид, так что наша пред база является и базой топологии 3;
кроме того, никакое непустое конечное множество (в частности,
множество {1}) не открыто в этой топологии, поскольку всякое
непустое открытое множество обязано содержать элемент базы.
Заметим, что любая бесконечная арифметическая прогрессия
Ρ (α, d) с а ^ d не только открыта, но и замкнута в топологии 3'.
Действительно, для любого d e N имеем
N=|JP(b,d) и P(b,d)nP(c,d) = 0 ДшЬ,с ^ d,b ф с.
Следовательно, дополнение N\P(a, d) множества P{a,d) есть
объединение открытых множеств Р{Ь, d), где Ь^аиЬфа, и потому
открыто, а значит, само множество P{d,d) замкнуто.
Строго говоря, надо было сказать «всех множеств значений бесконечных
арифметических прогрессий», потому что арифметическая прогрессия — это
все-таки последовательность натуральных чисел, т. е. отображение N —► N, а не
подмножество множества N. Однако при обсуждении этого примера мы будем
подразумевать под арифметической прогрессией множество её значений.

66 Глава 2. Метрические и топологические пространства
Заметим также, что, поскольку каждое натуральное число
(кроме 1) либо само является простым, либо делится на некоторое
простое число, имеем N \ {1} = |J{P(p, ρ): Ρ простое}. Вспомнив, что
объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто, а
одноточечное множество {1} не открыто (и, значит, дополнение до
него не замкнуто), мы приходим к такому любопытному
заключению: множество простых чисел бесконечно.
4. Многие важные примеры топологических пространств
строятся путём модификации известных пространств, например,
добавлением новых открытых множеств. Такова плоскость Немыцкогог\
которая понадобится нам очень скоро. Как множество это верхняя
полуплоскость IcR2 вместе с граничной прямой I, а топология !?N
на ней задаётся такой системой открытых окрестностей: открытая
локальная база в каждой точке χ φ I состоит из всех
содержащихся в L \ I открытых окрестностей точки χ в евклидовой топологии
плоскости R2, а локальная база в каждой точке χ е I образована
всеми множествами вида Dx U {х}, где Dx — расположенный в верхней
полуплоскости открытый круг, граница которого касается I в
точке X.
X
§2.5. Подпространства
I Определение. Пусть (X, d) — метрическое пространство и Ус
I сХ. Тогда, как легко видеть, сужение dY=d\YxY метрики d:XxX-+
I —»М на Υ χ Υ является метрикой на множестве Υ. Метрическое
I пространство (У, dY) называется подпространством метрическо-
I го пространства (X, d), а метрика dY называется индуцированной
I или относительной метрикой.
Предложение 2.6. Пусть (X, d) — метрическое пространство и
(Y, dY) — его подпространство. Множество U <zY открыто в мет-
х) Виктор Владимирович Немыцкий (1900—1967) — советский математик,
ученик П. С. Александрова и В. В. Степанова. Автор трудов в области
дифференциальных и интегральных уравнений, функционального анализа, топологии.

§ 2.5. Подпространства
67
рическом пространстве (У, dY) тогда и только тогда, когда U =
= V Π У для некоторого открытого в (X, d) множества V.
Доказательство. Множество [/ с У открыто в метрическом
пространстве (У, dY) тогда и только тогда, когда для любой точки у е U
найдётся такое еу > О, что её гу-окрестность Bdy{y, ey)
содержится в U, т. е. U = \J{BdY (у, εу): у € 17}. С другой стороны,
непосредственно из определения ε-окрестностей точек в метрических
пространствах вытекает, что ε-окрестностью любой точки у в (У, dy)
является пересечение ε-окрестности этой точки в (X, d) с У, т. е.
BdY (У> еу) = Bd С/> еу) n y· Значит,
У = LK^dCK, еу) ПУ: у € 17} - У n(|J{Bd(y, ^): у € 17}),
так что U является пересечением с У множества V=|J {£d (у, ε^): у е
еУ}, которое открыто в (X, d), поскольку является объединением
открытых множеств Bd{y, ey).
Обратно, множество V открыто в (X, d) тогда и только
тогда, когда V = \J{Bd(x, εχ): χ е У} для некоторых εχ > 0. Ясно, что
У Π У с {J{Bd(y, ε у): у е У Π У} (поскольку любая ε-окрестность
любой точки содержит саму эту точку). Следовательно,
VПУ = \J{Bd(y,ε^) ПУ: у е VПУ} - \J{Bdy(y,εγ): у е VПУ},
а это множество открыто в метрическом пространстве (У, dy). D
Доказанное предложение вполне согласуется со следующим
определением подпространства топологического пространства.
1 Определение. Пусть (X, вГ) — топологическое пространство и
1 У с X. Тогда, как легко видеть, семейство
I ^7 = {£/ПУ:[/€^}
| является топологией на множестве У. Топологическое простран-
I ство (У, «^у) называется подпространством топологического про-
I странства (X, «^), а топология «^у называется индуцированной или
I относительной топологией.
Таким образом, предложение 2.6 можно переформулировать
так: Пусть (X,d) — метрическое пространство и (У,а¥)—его
подпространство. Тогда топологическое пространство^ (У, ^dy)
является подпространством топологического пространства (X, <^).
Итак, если X — топологическое пространство и У с X, то
множество Λ с У открыто в индуцированной топологии тогда и только то-
Напомним, что &р —топология, порождённая метрикой р.

68 Глава 2. Метрические и топологические пространства
гда, когда А — U Π 7 для некоторого открытого в X множества U <zX,
и Л с У замкнуто в индуцированной топологии тогда и только тогда,
когда А — F Π 7 для некоторого замкнутого в X множества F с X.
Сразу же отметим, что отношение «быть подпространством» тпран-
зитпивно: если Υ — подпространство топологического пространства
X и Ζ — подпространство пространства 7, то Ζ является также и
подпространством пространства X.
Замечание 2.7. Если Υ — подпространство топологического
пространства X, то множество, открытое (замкнутое) в Υ, вовсе не
обязано быть таковым в X. Однако если Υ открыто (замкнуто) в X, то
все его открытые (замкнутые) подмножества открыты (замкнуты)
и в X.
Естественно ожидать по аналогии с метрическими пространствами,
что если (X, ^) —линейно упорядоченное множество, Υ <ζ Χ и ^у
—индуцированный порядок на 7, то 7 с порядковой топологией,
порождённой порядком ^у, является подпространством пространства X с
порядковой топологией, порождённой порядком ^, однако это не так.
Примером служит подмножество Υ = [О,1) и {2} обычной прямой R, топология
которой, как мы знаем, порождается обычным порядком ^.
Одноточечное множество {2} открыто в 7 с индуцированной топологией, поскольку
{2} = (1, 3) П 7, однако любой содержащий 2 интервал относительно
индуцированного порядка ^у на 7 содержит также и точки из [0,1), так как для
любого χ <у 2 имеем χ < 1.
В дальнейшем нам пригодится следующая лемма.
I Лемма о базе подпространства. Пусть X — топологическое
I пространство и Υ — его подпространство.
ι 1. Если 08 —база топологии пространства X, то семейство
I ^y— {Ur\Y:U&@l·} — база топологии пространства Y.
I 2. Если & (у) — (открытая) локальная база топологии прост-
I ранства X в точке y&Y,mo семейство
I ®Y{y) = {UnY: U € т{у)}
I — {открытая) локальная база топологии пространства Υ в точ-
I кеу.
Доказательство. 1. По определению топологии
подпространства все элементы семейства 3&γ открыты в 7 и для любого
открытого в 7 множества U с 7 существует такое открытое в X множество V,
что U = V Π 7, а по определению базы
у = \J{W <Е Я: Wc У},

§ 2.5. Подпространства
69
откуда следует, что
U = {J{WnY: We m, W czV} = \J{W e mY\ W с U};
значит, &γ является базой топологии пространства Υ.
2. По определению окрестности всякая окрестность N любой
точки у е Υ в пространстве Υ содержит некоторую открытую в Υ
окрестность U этой точки, а по определению топологии
подпространства U = V ΠΥ для некоторого открытого в X множества V
(которое является открытой окрестностью точки у в X). По
определению (открытой) локальной базы существует (открытая)
окрестность W точки у в пространстве X, которая содержится в У и
принадлежит ^(у). Имеем И^ПУе^у(у); ясно, что WHY — (открытая)
окрестность у в Υ и WHY <zU с N. D
Наследственные свойства
После того как мы определили понятие подпространства,
возникает естественный вопрос: какие свойства объемлющего
пространства присущи тем или иным его подпространствам?
Пусть & — свойство топологических пространств и * — какое-
нибудь условие на подпространства топологических пространств.
| Определение. Говорят, что свойство & топологических прост-
I ранств наследуется подпространствами, удовлетворяющими усло-
1 вию *, если все удовлетворяющие условию * подпространства
Ι любого пространства со свойством & тоже обладают этим свой-
I ством. Свойство топологического пространства называется на-
I следственным, если оно наследуется всеми подпространствами.
Пока мы успели познакомиться только с тремя свойствами
топологических пространств — метризуемостью и свойствами
удовлетворять первой и второй аксиомам счётности (или иметь вес или
характер, не превосходящий к).
Предложение 2.8. Метризуемость, свойство удовлетворять
первой аксиоме счётности и свойство удовлетворять второй
аксиоме счётности — наследственные свойства.
Доказательство. Наследственность метризуемости составляет
содержание предложения 2.6. Остальные утверждения вытекают из
леммы о базе подпространства. D
Замечание 2.9. Из леммы о базе подпространства вытекает
также, что для любого топологического пространства X, любого его

70 Глава 2. Метрические и топологические пространства
подпространства Υ и любой точки у е У выполняются неравенства
ш(У) ^ ш(Х), χ (у, У) ^ *(у,Х), *(У) ^ *(*)·
Примеры
1. Вещественная прямая R естественным образом содержится
в евклидовой плоскости R2 как подпространство. Топология,
индуцированная на прямой из плоскости, совпадает с обычной
топологией прямой. Вообще, для любых натуральных кип,к<п,
евклидова топология пространства Rn индуцирует на подпространстве Rk
евклидову топологию.
2. Открытая верхняя полуплоскость {(i,y)GR2:y>0}cl2c
топологией, индуцированной из плоскости R2, является
одновременно подпространством евклидовой плоскости R2 и плоскости Немыц-
кого L (если считать, что граничная прямая I плоскости Немыцкого
задана уравнением у = 0).
3. У прямой R имеются подпространства с самыми разными
свойствами. Например, подпространство Ζ (которое состоит из
целых чисел) дискретно: все его одноточечные (а значит, и все
вообще) подмножества открыты, поскольку каждая целая точка а имеет
в R окрестность (а — 1, а +1), пересечение которой с Ζ есть {а}.
В подпространстве Q (состоящем из рациональных чисел),
наоборот, нет ни одного одноточечного открытого подмножества. А в
подпространстве Wo = {1/п: neN}U {0} (его часто, хотя и не вполне
корректно, называют сходящейся последовательностью) все
одноточечные подмножества, кроме {0}, открыты, а окрестности
точки 0, напротив, очень большие — каждая из них содержит все точки
пространства W0, кроме конечного их числа.
Кроме того, у прямой имеются и подпространства, в той или
иной мере похожие по своим свойствам на саму прямую, — это
интервалы и лучи. В дальнейшем при использовании обозначений
вида [а, Ь], (а, Ь), [а, Ь) и (а, Ь], где a,bGR, мы всегда будем
подразумевать, что это промежутки вещественных чисел с топологией,
индуцированной из пространства R, если только не будет явно
оговорено, что они рассматриваются с другой топологией.
§ 2.6. Сравнение топологий
На семействе всех топологий на данном множестве имеется
естественный частичный порядок —по включению.

Задачи
71
ι Определение. Говорят, что топология «^ на множестве X силъ-
I нее или тоньше топологии 3~г на том же множестве, если 2ΓΎ э ^2;
1 в этом случае говорят также, что «^ слабее или грубее тополо-
I гии Sf\. Топология Э^ строго сильнее топологии «3^, если Э^ э !?2
I И^Ф^
Замечание 2.10. Из этого определения вытекает, что если
топология ^i на множестве X сильнее топологии ^ на X, а топология S?2
сильнее топологии !?ъ то топологии 3~Ύ и ^ совпадают. Кроме
того, если топология «^ сильнее топологии ^ъ а топология «^ на X
сильнее топологии <^, то <^3 сильнее «3^. Таким образом, отношение
«быть сильнее» —частичный порядок на семействе всех топологий
на множестве X.
На каждом множестве X есть самая слабая (антидискретная)
и самая сильная (дискретная) топология. Однако если X содержит
хотя бы две точки, то на нём есть и несравнимые топологии.
Например, топологии лексикографического и колексикографического
порядка на плоскости сильнее евклидовой топологии, однако между
собой эти топологии несравнимы.
Множество всех топологий на X с порядком с является полной
решёткой, т. е. у любого множества {^а: aGA} топологий на X имеется точная
нижняя грань /\{^а: аеА} = inf{^*a: аеА} (это f] ^a) и точная верхняя
аеА
грань \1{&а: аеА} = sup{^"a: аеА} (это топология, порождённая предба-
зой U &J.
аеА
Задачи
1. Проверьте, что пары (X, d) являются метрическими
пространствами:
а) X—любое векторное пространство с нормой ||·||, d(x, у) =
= Н*-у||;
б) X —любое векторное пространство со скалярным
произведением (·, .), d(x,у) = у/(х-у,х-уУ,
в) X = R, d(x,y) = |/(х) - /(у)|, где /: Μ -> Μ — инъективная
функция.
2. а) Покажите, что любая метрика d на любом множестве X
эквивалентна метрике, ограниченной единицей, т. е. метрике d с тем
свойством, что d(x, у) ^ 1 для любых х, у еХ.

72 Глава 2. Метрические и топологические пространства
б) Две метрики άλ и d2 на одном и том же множестве X
называются липшицево эквивалентными, если существуют такие
положительные числа с и С, что с · άλ(χ, у) ^ d2{x, у)^С · с^О:, у) для
любых х, у е X. Приведите пример эквивалентных, но не липшицево
эквивалентных метрик.
в) Покажите, что две нормы || · \\г и || · ||2 на векторном
пространстве V эквивалентны (т.е. определяемые ими метрики аг(х,у) =
— II* — ylli и d2(jc,у) = \\х — у\\2 эквивалентны) тогда и только
тогда, когда существуют такие положительные числа с и С, что
с-Цх^^ЦхЦз^С- \\х\\г для любого хе V.
3. а) Покажите, что функции р1,р2:МпхМп-^М, определённые
правилами Pi(x,y) = max|x£ - yt| и р2(х,у) = Σ \χί ~ УО Аля χ =
= (Xi, ...,хп),у = (у1? ...,уп) €1", являются метриками на Rn.
Эквивалентны ли_2Ш£_метрики друг другу и евклидовой метрике
dn(x,у) = j^OCi—yd2 на ^п? Нарисуйте шары относительно этих
метрик для случая π = 2.
б) Эквивалентны ли метрики на множестве числовых
последовательностей {х=(Хг)п<ЕМ: Σχπ<00}> порождённые нормами
1Н12и1Н1»? neN
в) Покажите, что формулы
di(/,g) = J*|/(t)-g(t)|dt и d2(/,g) = JjVw-gW)
о \ о
4t
определяют неэквивалентные метрики на пространстве С ([0,1])
непрерывных функций на отрезке. Сравнимы ли порождаемые ими
топологии?
4. Пусть Рп — η-мерное проективное пространство (его точками
служат все проходящие через 0 = (0,..., 0) прямые в Мп+1). Проверь-
п+1 раз
те, что величину угла между прямыми можно принять за расстояние
между ними в Рп, т. е. функция dn: Рп χ Рп —> R, определённая
правилом ап(1ъ 12) = (1Ъ 12) для 1Ъ 12&¥п, является метрикой на Рп.
5. Могут ли в метрическом пространстве существовать два
таких несовпадающих шара разных радиусов, что шар большего
радиуса содержится в шаре меньшего радиуса?

Задачи
73
6. Проверьте, что дискретная метрика неархимедова.
Покажите, что в ультраметрическом пространстве
а) любая точка любого шара является центром этого шара;
б) если два шара пересекаются, то один из них целиком
содержится в другом;
в) всякий шар одновременно и открыт, и замкнут;
г) все сферы (множества вида {х: d(x, jc0) = ε}) открыты;
д) все треугольники равнобедренны.
Может ли шар меньшего радиуса содержать шар большего
радиуса в ультраметрическом пространстве?
7. а) Проверьте, что для всякого нормирования ||·|| любого
поля F функция d: F x F —> Μ, определённая правилом d(jt, у) = \\х —у ||,
является метрикой.
б) Покажите, что р-адическая норма | · |р является
нормированием и что порождаемая ею метрика dp неархимедова.
в) Эквивалентна ли метрика dp обычной метрике d(x, у) =
= |х — у | на Q? метрикам dp/ для простых чисел ρ'' φρΊ
8. Пусть X — множество, d —метрика на нём, а—любое
положительное число, а : Χ χ X —> Μ — функция, тождественно равная а,
и /: М—>М — не равная тождественно нулю функция со свойствами
/(0) = 0, /(х)^0и/(х + у)^/М+/(у) для всехх, у еМ.
Проверьте, что а · d, min{d, a }, / о d и тт~т тоже метрики. Эквивалентны ли
они друг другу и метрике d?
9. Пусть X — множество и аг и d2 —две метрики на нём. Какие из
функций max{dl9 d2}, mm{dl9 d2}, d1-\-d2, άΎ · d2 и -г тоже являются
метриками? (В последнем случае полагаем -г-(х, х) = 0 для χ€Χ.)
10. Покажите, что топологическое пространство дискретно
тогда и только тогда, когда оно имеет базу, состоящую из
одноточечных множеств.
11. Покажите, что на любом множестве, содержащем хотя бы две
точки, существуют несравнимые топологии.
12. Докажите, что если топологическое пространство обладает
счётной базой, то любая его база содержит не более чем счётное
подсемейство, являющееся базой. Верно ли аналогичное
утверждение для локальных баз? предбаз? Заметьте, что решение этой
задачи переносится без изменений на базы и предбазы любой
бесконечной мощности к.

74 Глава 2. Метрические и топологические пространства
13. а) Приведите пример метризуемого пространства, не
удовлетворяющего второй аксиоме счётности. Может ли такое
пространство быть счётным?
б) Приведите пример топологического пространства, не
удовлетворяющего первой аксиоме счётности. Может ли такое
пространство быть счётным?
14. Симметрикой (квазиметрикой) на множестве X называется
функция р:ХхХ->М, удовлетворяющая условиям
Фр(х,у)^0,
® р(х,у) = 0 <=> х = у и
® р{х,у)—р{у,х) (соответственно © р(х, sQ^p (jc, у)-hp (у, я))
для всех jc, у, ζ еХ (симметрика отличается от метрики отсутствием
требования выполнения неравенства треугольника, а
квазиметрика—отсутствием симметричности). Подобно метрике, каждая
симметрика (квазиметрика) ρ порождает топологию (X, 5^) на
множестве X, в которой открытыми являются в точности те множества,
которые содержат каждую свою точку χ вместе с некоторым
«шаром» В(х, ε) = {у е X: ρ (jc, у) < ε} (заметьте, что сами шары не
обязаны быть открытыми!). Топологическое пространство, топология
которого порождается некоторой симметрикой (квазиметрикой),
называется симметризуемым (квазиметризуемым).
а) Рассмотрите симметрику ρ на множестве
χ = {0} и ({0} u(J:/ign))xN,
определённую правилом
р(х,у) =
( 0, если χ = у,
-, если χ = 0 и у = (0, ή) или у = 0 и χ = (0, η),
^, если χ = (0, η) и у = Q, η) или у = (0,п)их= (£, π),
1 во всех остальных случаях.
Покажите, что симметризуемое пространство (X, «^) не
удовлетворяет первой аксиоме счётности.
б) Покажите, что шары В{х, ε) в квазиметризуемом
пространстве открыты. Выведите отсюда, что квазиметризуемое
пространство всегда удовлетворяет первой аксиоме счётности. Придумайте
порождающую топологию квазиметрику на плоскости Немыцкого.

Подсказки и решения
75
15. Покажите, что топология, порождённая
лексикографическим порядком на плоскости R2, строго сильнее евклидовой
топологии.
16. Докажите, что евклидова топология на плоскости не
порождается никаким линейным порядком.
17. Опишите индуцированную из плоскости Немыцкого L
топологию на граничной прямой I.
18. Сравните следующие топологии на замкнутой верхней
полуплоскости:
а) топология, индуцированная из евклидовой плоскости;
б) топология плоскости Немыцкого;
в) топология, индуцированная из плоскости с топологией
лексикографического порядка;
г) топология, индуцированная из плоскости с топологией колек-
сикографического порядка;
д) топология, порождённая лексикографическим порядком на
верхней полуплоскости;
е) топология, порождённая колексикографическим порядком на
верхней полуплоскости.
Подсказки и решения
_ 2. а) Очевидно, функция d: Χ χ Χ —> Μ, определённая правилом
d(x, у) = min{d(x, у), 1} для χ, у е R, является метрикой, и
семейство Щ всех шаров радиуса меньше 1 относительно этой метрики
совпадает с семейством <%d всех шаров радиуса меньше 1
относительно метрики d. В силу важного замечания на с. 56 семейство
38d — база метрической топологии «^ на X, а 9&% — база
метрической топологии «3^. Значит, 5^ = 5£.
б) Метрики άλ(χ, у) = \х — у| и d20r, у) = min{|x - у |, 1} на
вещественной прямой.
в) Заметьте, что топология, порождённая метрикой dh сильнее
топологии, порождённой метрикой d;, тогда и только тогда, когда
для любой точки χ е V и любого ε > 0 существует такое δ > О, что
^d, (х, δ) с Bd (χ, ε); в частности, для ε = 1 существует такое δλ > О,
что Β^χ,δ^αΒ^χ, 1), т.е. ||у||;<1 для всех у с ΙΜΙ^δ^ а это
условие равносильно неравенству ||·||; ^ 5г || · ||^. Действительно: то,
что из неравенства вытекает условие, ясно, а если ΙΜΙ^δ^ΙζΙΙ,· для

76 Глава 2. Метрические и топологические пространства
некоторого ζ, то \\z\\t < λδτ\\ζ\\] для некоторого Я < 1, и для у = *..
имеем ||у||; < δχ и ||у||;- = \ > 1.
3. а) Все метрики эквивалентны. Чтобы убедиться в этом, надо
проверить, что топология, порождённая любой одной из данных
метрик, сильнее топологии, порождённой любой другой метрикой.
Например, чтобы осуществить такую проверку для рг и р2,
нужно для каждого ε > О и каждого х0 е Rn найти такое δ > О, что
βρι(χ0, δ) с Вр2(х0, ε). Отсюда будет следовать, что любое
множество, открытое в топологии, порождённой метрикой р2, открыто
и в топологии, порождённой метрикой рг (ведь открытые
множества — это те, которые каждую свою точку содержат вместе с
некоторой её окрестностью, т.е. вместе с шаром некоторого радиуса
с центром в этой точке), а это и означает, что топология,
порождённая метрикой ръ сильнее.
б) Нет: рассмотрите все последовательности, содержащие
конечное число одинаковых ненулевых элементов, равных α > 0.
Покажите, что любая окрестность последовательности, тождественно
равной нулю, относительно одной метрики содержит все такие
последовательности для достаточно маленького а, тогда как никакая
ε-окрестность относительно другой метрики не содержит их все ни
для какого а.
в) Вторая строго сильнее. Для доказательства сравнимости
топологий заметьте, что с^(/, g) ^d2(/, g) для любых / и g, — это
вытекает, например, из неравенства Коши—Буняковского О, у) ^
^ у/(.х,х) ' (У, У), которое верно для любого скалярного
произведения (·, ·) на любом векторном пространстве. В нашем случае
скалярное произведение определено формулой
ι
о
так что неравенство Коши—Буняковского имеет вид
ι
1 1
0 ^ 0 О
откуда, подставив φ(t) = |/(t) -g{t)\ Ηψ(ί)Ξ 1, получаем аг(/, g) ^
^d2(/, g). Отсюда немедленно вытекает, что любая ε-окрестность

Подсказки и решения
77
любой точки относительно первой метрики содержит ε-окрестность
относительно второй метрики, а значит, все множества, открытые
в первой топологии, открыты и во второй, т.е. вторая сильнее.
Для доказательства несовпадения топологий для каждого ε > О
рассмотрите непрерывные функции fen на [0,1], каждая из которых
тождественно равна η · ε на отрезке I 0, ^ J, затем линейно убывает
к нулю на отрезке I ^, -J и тождественно равна нулю на Г—, 1J.
Имеем с^СДя, О) < ε и d2(/Ejn, О) > ^ · ε для всех η (здесь О —
функция, тождественно равная нулю). Значит, 1-окрестность
точки О в топологии, порождённой метрикой d2, не содержит никакой
ε -окрестности в топологии, порождённой метрикой dl9 —любая
такая ε-окрестность содержит все функции Дп, тогда как d2(/E п, О) > 1
для достаточно больших п.
5. Рассмотрите метрическое пространство X = {jc el: \x\ < 3}
с метрикой, индуцированной из R, и шары с центром 0 радиуса 3
и с центром 2 радиуса 4 в пространстве X.
7. в) Все попарно неэквивалентны: для каждого простого ρ
любая ε-окрестность нуля относительно метрики dp содержит числа рп
для всех достаточно больших п, тогда как 1-окрестности нуля
относительно всех прочих метрик не содержат ни одно из этих чисел.
Значит, топология, порождённая метрикой dp, не содержит (и тем
более не равна) никакой из топологий, порождённых другими
метриками.
На самом деле топологии, порождённые метриками dp, даже не
сравнимы друг с другом и с топологией, порождённой метрикой d.
Действительно, то, что включения 3"^ с 3"^ / и <^ с 3"^ не
выполнены ни для каких различных простых ρ и р7, видно из
предшествующих рассуждений. Осталось проверить, что включение «3^ с «3^
не выполняется ни для какого простого р. Для этого достаточно
заметить, что любая ε-окрестность нуля в метрике d содержит все
числа -7г для всех простых ρ и всех натуральных η > logp -, тогда как
1-окрестность нуля в метрике dq для любого простого q не содержит
ни одного числа такого вида.
8. Все эквивалентны.
9. Функции max{d1,d2} и аг +d2 всегда являются метриками,
а функции mm{dl9 d2}, аг · d2 и -^ не всегда. Например, если άλ
"9.

78 Глава 2. Метрические и топологические пространства
и d2 — метрики на плоскости М2, определённые правилами
di((*i, Уд, ix2, У2)) = Ι*ι ~ χι\ + 11У1 - УгЬ
d2((*i, yi), (*2> Уг)) = |l*i - хг\ + 1У1 -УгЬ
то для minid^ d2} не выполнено неравенство треугольника
(рассмотрите точки χ = (1, 0), у = (0, 0) и ζ = (0,1)). Если d
—обычная метрика на прямой R (d(x,y) = \х — у\) и άι = ά2 = ά, то для
аг · d2 не выполнено неравенство треугольника (рассмотрите χ = 0,
у = ι и ζ = 2). Если di— метрика на R, определённая правилом
di(x,y) = |х3 — У31, a d2—обычная (индуцированная из прямой)
метрика, то для -г- тоже не выполнено неравенство треугольника
(рассмотрите точки х = 2, у = 0иг = 3).
11. Например, ^ = {0, {*}, X} и «3^ = {0, {у}, X} для разных
х, у е X — несравнимые топологии на X.
12. Пусть 38 —любая база и ^0 — счётная база. Для каждой
пары ([/, У) е J0 χ ^0 зафиксируйте такой элемент W^UtV^ базы ^, что
U с W(LW с V, если он существует; если такого элемента нет,
положите W(UtV) = 0. Покажите, что семейство {W([W: ([/, У) е ^0 χ ^0}
не более чем счётно и является базой. Для локальных баз
рассуждение то же. В случае предбаз заметьте, что если имеется
счётная предбаза топологии, то имеется и счётная база (состоящая
из всевозможных конечных пересечений элементов предбазы; см.
задачу 9а) на с.44). Пусть У—данная предбаза. Из базы 38 =
= {иг Π ... Π Un: η е Ν, иъ ...,Une. У} выделите не более чем
счётную базу 380. Для каждого U & 9&0 зафиксируйте конечное
множество &υ с 5/, для которого U = f]^u, и положите У0= [J &υ.
13. а) Любое несчётное дискретное пространство. Счётным
такое пространство быть не может: если d —любая метрика,
порождающая его топологию, то семейство всех шаров относительно d
радиусов -, η eN, с центрами во всех точках является базой топологии.
б) Простой пример—любое несчётное множество X, в котором
выделена одна точка * и базу топологии составляют все
одноточечные множества {*}, где χ е Χ, χ φ *, и дополнения X \ F до
всевозможных конечных множеств F, не содержащих точку *. Счётный
пример — счётный веер Фреше—Урысона У(К0): как множество он

Подсказки и решения
79
похож на ежа счетной колючести, только его иголки — не отрезки,
а копии пространства {0} и { -: neNj-cM, так что
V(K0) = {0}u{i:neN}xN.
Базу его топологии образуют все одноточечные множества |ί -,к)\,
где η, к е Ν, и всевозможные множества вида {0} и {(-, к): п, к е
eN,п^пЛ, где (nfc)fcGN—любая последовательность натуральных
чисел:
ι
1_.
пз
!х ·
• п.2 · '
Ш
ЩГШ:
Покажем, что веер Фреше—Урысона не удовлетворяет первой
аксиоме счётности. Если бы пространство У(К0) имело счётную
локальную базу в точке 0, то любая локальная база в этой точке
(в частности, локальная база из определения этого пространства)
содержала бы счётное подсемейство, тоже являющееся локальной
базой (см. задачу 12), поэтому нашлось бы счётное множество
S = {(nmk)kGN: w^N} последовательностей натуральных чисел, для
которого множества {0} u|(-,kj:rc, fceN, п^ птк\, т е N,
образовывали бы базу окрестностей точки 0 в пространстве У(К0).
Однако ни одно из этих множеств не содержится в множестве
{0}U \(-,к): п, k e N, n^max{nmк+1}[, которое по определению
топологии на У(К0) является окрестностью точки 0. Так что по
существу то, что веер Фреше—Урысона не удовлетворяет первой

80 Глава 2. Метрические и топологические пространства
аксиоме счётности, следует из того, что для любого счётного
множества S последовательностей натуральных чисел найдётся
последовательность, элементы которой становятся строго больше элементов
любой последовательности из S, начиная с некоторого номера.
14. а) Заметьте, что базу окрестностей точки 0 в топологии !?р
образуют всевозможные множества вида {0} и {(0, ή): η > п0} и
U {(τ, η): η> п0,к> пк\, где (пк)к^0 — произвольная
последовательность натуральных чисел. Рассуждая по аналогии с решением
предыдущей задачи, покажите, что счётной базы окрестностей
точки 0 в X не существует.
б) Пусть d2 — евклидова метрика на плоскости и d = min \ d2, о |
1 1
(здесь « — функция, тождественно равная ~)· Для гг = (хг, уг) Φ г2 =
— (*2> Уг) положим р'(гъ гг) = 0 и
ρ'ΟΊ, г2) -
d(r1?r2)
у/У2 '
1 1
л/Л л/ЗЪ|
1, если у2 — 0.
Наконец, положим р{тъ r2) = min{p/(ri, r2), 1}. Функция ρ
—квазиметрика, порождающая топологию плоскости Немыцкого L.
Действительно, проверим неравенство треугольника для η = {хь у·),
i — 1, 2, 3, например, в случае, когда yt φ 0 для ί ^ 3 и yi < у3
(в остальных случаях проверка аналогична). Предположим, что
р(г1? г2) < 1 и р(г2, г3) < 1 (иначе проверять нечего). Если у2 ^ у3,
то неравенство треугольника, очевидно, выполнено. Пусть у2> Уз-
Тогда
ρ(Γ!,Γ2)+ρ(Γ2,Γ3) =
+ ^(d(r1,r2) + d(r2,r3))=p(r1,r3).
To, что топология З'р совпадает с топологией плоскости
Немыцкого, тоже проверяется несложно: для достаточно маленьких ε > 0
если уг = 0 и у2 Φ 0,
+ min{-i=, -hL}·<*(!■!, г2), если у! # 0 и у2 # 0,

Подсказки и решения
81
+ min{-^,-^r}.d((x,y),(x/,y/))
шар В ρ (0,0), ε) — это объединение точки (х, 0) с открытым кругом
диаметра ε2, граница которого касается прямой I (заданной
уравнением у = 0) в точке (х, 0), шар Bd((x, у), ε) при у > 0 и ε < Jy
содержит шар
Вр((*,у),-^),
так как
_1 _ 1
V7 л/7
-3= --±=| -d((x,y), (*',y'))+min{-^=, -j=) -d((x,y), (χ', /)) £
^^^((х.уЗДх'.у')),
и шар Bp((x,y), ε) при у > 0 и ε < min{| · δ, \ ■ δ}, где δ = —т=,
содержит шар
Bd((*,y),f)>
поскольку если d((x,y),(x/,y/))<g, то |y-y'|^d((x,y),(x/,y'))< 2.
так что у' > -у > 0 и
Ρ ((*, У), (*',/)):
^-^l+min^'^}-d((x'^(x'y))^
^ }l у| —+ ^-d((x,y), (х',у')) ^
15. В топологии ^, порождённой лексикографическим
порядком ^г на Μ2, открыты все вертикальные интервалы
*α№ι, Ь2) - {(а, у): Ъг < у < Ъ2} = {(х, у): (а, Ъ{) <ι (χ, у) <г (а, Ь2)},
где а, Ъг и Ъ2 — любые фиксированные числа, поэтому 3Ί не
содержится в евклидовой топологии ^ плоскости. Все множества вида
(а, Ь) χ (с, d) (они образуют базу топологии &") открыты в &ь так
как (а, Ь) χ (с, d) = |J /х(с, d); поэтому «^ с ^.
л:€(а,Ь)
16. Заметьте, что если топология пространства X порождена
линейным порядком ^ и а е X не является ни наименьшим, ни
наибольшим элементом, то подпространство X \ {а} пространства X
является объединением двух непустых непересекающихся открытых

82 Глава 2. Метрические и топологические пространства
лучей {х е X: χ < а} и {х е X: α < х}. Значит, если топология
плоскости R2 порождена некоторым линейным порядком, то найдётся
такая точка а е R2, что R2 \ {а} является объединением непустых
непересекающихся открытых множеств U и V (это следует из
того, что в линейно упорядоченном множестве есть не более одного
наименьшего элемента и не более одного наибольшего элемента,
а множество R2 бесконечно). Ни U, ни V, будучи открытым
множеством, не может целиком содержаться в прямой. Значит,
найдутся такие точки u e U и ν е V, что соединяющая их прямая не
проходит через а. Поскольку топология плоскости индуцирует на
каждой лежащей в плоскости прямой обычную топологию прямой,
мы будем считать, что прямая, соединяющая иии,и есть R.
Множества [/ПЕиУПМ непусты и открыты в R, они не
пересекаются, и М=[/ПМиУПМ. Таким образом, задача сводится к
доказательству того, что вещественную прямую R нельзя представить как
объединение двух непересекающихся непустых открытых множеств
(это свойство называется связностью).
Итак, предположим, что прямая R несвязна, т.е.М^И^иИ^, где
W1,W2^:0, У/г Π W2 = 0 и оба множества У/г и W2 открыты. (Тогда
эти множества одновременно и замкнуты, потому что У/г = R \ W2
и W2 = R \ ν\ίΎ.) Возьмём w1E:W1 и w2 е W2; будем считать для
определённости, что ιυλ < w2. Положим w = sup{x еИ^П [wl9 w2]}.
Если w eWi, то w < w2 и, поскольку У/г открыто, найдётся ε > О,
для которого (ш - ε, w + ε) с ]/\ίΎ Π [wl9 w2]; имеем w/ — w + § > ^
иш'е^П [wl9 w2]. Если же w e W2, то, поскольку W2 открыто,
найдётся ε > О, для которого (ш — ε, w] с W2 Π [wl9 ш2], так что x^w — ε
для всех χ е И^ П [шъ ш2]. В любом случае получаем противоречие
с определением точной верхней грани.
17. Дискретная.
18. Топология а) строго слабее б)—г) и е); топология в) строго
сильнее б) и д); топология г) совпадает с е); остальные пары
несравнимы.

Глава 3
Замыкание и сходимость
§ 3.1. Типы точек по отношению к множеству
По отношению к любому множеству А в метрическом
пространстве (X, d) все точки χ е X естественно разбиваются на два
типа: те, для которых d(x,A) = 0, и те, для которых d(jt, А) > 0.
Точки первого типа называются точками прикосновения
множества А, а точки второго типа никак не называются. В свою очередь,
точки прикосновения делятся на точки х, являющиеся точками
прикосновения для А \ {х} (их можно назвать точками
существенного прикосновения), и точки, таковыми не являющиеся. Точки
прикосновения первого типа называются предельными точками
множества А, а точки второго типа — изолированными точками
множества А. Заметим, что предельные и изолированные точки
множества имеет смысл рассматривать и при А = X (в этом случае
они называются просто предельными и изолированными
точками), тогда как точками прикосновения пространства X
являются все точки. Точки прикосновения и предельные точки
множества А могут принадлежать или не принадлежать этому
множеству, тогда как все изолированные точки множества А ему
принадлежат.
Разумеется, определение всех перечисленных (а также
некоторых других) типов точек можно дать и в терминах окрестностей,
а не расстояний, причём не только для метрических, но и для
произвольных топологических пространств.
1 Определение. Пусть X — топологическое пространство и А с X.
1 Точка χ называется точкой прикосновения множества А, если вся-
I кая её окрестность пересекает А. Точка χ называется предельной
1 точкой множества А, если всякая её окрестность пересекает А\ {х}.
Ι Точка χ e А изолирована в Л, если у неё имеется окрестность,
I пересечение которой с А есть {jc}. Если некоторая окрестность
1 точки χ целиком содержится в Л, то χ называется внутренней точ-
I кой множества Л. Предельные точки множества Л, не являющие-

84
Глава 3. Замыкание и сходимость
|ся внутренними, называются граничными точками множества А.
Наконец, точка χ е X называется точкой накопления множества А,
если пересечение всякой её окрестности с А бесконечно.
Бывают ещё точки полного накопления и точки конденсации: χ —
точка полного накопления (точка конденсации) множества А, если |С/п А| = \А\
(соответственно |С/п А| ^ К:) для любой её окрестности U.
Для топологических пространств, в которых все одноточечные
множества замкнуты (а именно такие пространства по большей
части и рассматриваются в топологии; к ним относятся, в
частности, все метризуемые пространства), понятия точки накопления
и предельной точки совпадают, поэтому в теории метрических
пространств термин «точка накопления» не используется. Понятие
внутренней точки в терминах метрики можно определить так: χ —
внутренняя точка множества А, если d(x, X \ А) > 0.
Все точки прикосновения множества А с X делятся на
предельные и изолированные точки. Как и в случае метрических
пространств, предельные точки множества А могут принадлежать или
не принадлежать этому множеству, тогда как изолированные и
внутренние точки обязаны ему принадлежать.
I Определение. Множество всех точек прикосновения множе-
1 ства А в топологическом пространстве X называется замыканием
1 множества А и обозначается через А (встречаются также
οδοί значения с1Л, [Л] и др.). Если нужно указать, в каком именно
Ι пространстве берётся замыкание, используется обозначение Ах
I (clxA, [А]х и др.).
Ι Множество всех предельных точек множества А в топологиче-
1 ском пространстве X называется производным множеством мно-
1 жества А и обозначается А' или Ad.
I Множество всех внутренних точек множества А в топологиче-
I ском пространстве X называется внутренностью множества А
1 и обозначается через IntA. Если нужно указать, в каком имен-
I но пространстве берётся внутренность, используется обозначение
I IntxA.
I Множество всех граничных точек множества А в топологиче-
I ском пространстве X называется границей множества А и обозна-
I чается Fr А или Bd А, а иногда и ЗА. Если нужно указать, в каком
1 именно пространстве берётся граница, используется обозначение
1 Frx А или Bdx А.

§ 3.2. Операторы замыкания и внутренности
85
Замечание 3.1. Все точки любого множества А с X являются
точками прикосновения этого множества, и любая точка
прикосновения является либо предельной, либо изолированной, причём все
изолированные точки принадлежат А. Следовательно, А — A U А'.
Кроме того, по определению
FrA = A\IntA.
Замечание 3.2. Положив А = X, мы получим определение
перечисленных выше типов точек в самом топологическом
пространстве X, а не по отношению к некоторому его подмножеству. Однако
при этом некоторые типы становятся тривиальными. Так, все точки
любого пространства X являются точками прикосновения
множества X, и все они внутренние, так что Xх = Intx X = X, а
множество граничных точек всегда пусто. Однако понятия изолированных
и предельных точек (а также точек накопления) топологического
пространства вполне осмысленны и полезны.
§ 3.2. Операторы замыкания и внутренности
Оператор замыкания
Операция замыкания в топологическом пространстве X
сопоставляет каждому множеству Ле^(X) множество Лей9(X),
причём это соответствие удовлетворяет таким условиям:
Φ Ас А (экстенсивность);
© А с В => А с В (монотонность);
® А = А (идемпотентность).
Любое отображение & (X) —> & (X) с этими свойствами
называется оператором замыкания на X; например, операторами
замыкания являются операции взятия линейной или выпуклой оболочки
множества в векторном пространстве, операция порождения
подгруппы множеством в произвольной группе и многие другие.
Оператор замыкания А —> А в топологическом пространстве обладает
ещё и дополнительным свойством
@) A\JB = A\JB
(из которого вытекает монотонность). Такие операторы замыкания
называются операторами топологического замыкания.
I Теорема 3.3. Множество А в топологическом пространстве
замкнуто тогда и только тогда, когда А = А, другими словами,
тогда и только тогда, когда А содержит все свои предельные точки.

86
Глава 3. Замыкание и сходимость
Доказательство. Если А замкнуто, то Х\А открыто, так что
у любой точки хфА есть окрестность Х\А, не пересекающая А.
Обратно, если А не замкнуто, то Х\А не открыто; значит, у
некоторой точки χ φ А нет окрестности, целиком лежащей в Х\А, а это
означает, что любая окрестность точки χ пересекает А, т. е. jc —
предельная точка множества Α. Π
I Следствие 3.4. Замыкание А множества А—это наименьшее
замкнутое множество, содержащее А, т. е. пересечение всех
содержащих А замкнутых множеств.
Всякий оператор ТС: & (X) —> & {X) топологического замыкания на
множестве X порождает на этом множестве топологию, в которой
множество А с X замкнуто тогда и только тогда, когда ТС (А) = А. Это ещё один
способ аксиоматического определения топологии; условия ф, @)и Ф,
определяющие оператор топологического замыкания, называются аксиомами
Куратовского^.
Оператор внутренности
На всяком топологическом пространстве определён оператор,
двойственный оператору замыкания, — это оператор
внутренности Int, который каждому множеству ставит в соответствие его
внутренность; как и оператор замыкания, он идемпотентен и
монотонен, однако экстенсивность заменяется двойственным свойством:
ФЧпгАсА;
(D*AcB=>IntAcIntB;
(D*Int(IntA)=IntA.
Свойство φ оператора топологического замыкания тоже
заменяется двойственным свойством:
©*Int(AnB)=IntAnlntB.
Из определения топологии в терминах окрестностей точек
немедленно вытекает такое утверждение.
I Теорема 3.5. Множество А в топологическом пространстве
открыто тогда и только тогда, когда А = Int А, другими словами,
тогда и только тогда, когда все точки множества А внутренние.
I Следствие 3.6. Внутренность Int А множества А —это
наибольшее открытое множество, содержащееся в А, т. е.
объединение всех содержащихся в А открытых множеств.
υ Казимеж Куратовский (1896—1980) — польский математик и логик.
Занимался главным образом топологией и теорией множеств. Доказал лемму Цорна
на тринадцать лет раньше Цорна.

§ 3.3. Плотные множества в топологических пространствах 87
Двойственность между операторами внутренности и
замыкания. Выше было сказано, что оператор внутренности двойствен
оператору замыкания. Эта двойственность состоит в том, что
внутренности и замыкания множеств в топологическом пространстве X
связаны соотношением
ША = Х\Х\А.
Действительно, для любого А с X множество X \ Int А замкнуто и
содержит Х\А, поэтому X\IntA э X \ А, т. е. Int А с X \ X \ А. С другой
стороны, множество X \ X \ А открыто и содержится в А=X \ {X \ А),
поэтому Int A D X \ X \ А.
Замыкание и внутренность в подпространствах. Если X —
топологическое пространство, У — его подпространство, А с У и у е У,
то, очевидно, у является точкой прикосновения множества А в Υ
тогда и только тогда, когда у является точкой прикосновения
множества А в пространстве X, поскольку окрестности точки у в
пространстве Υ — это в точности пересечения окрестностей точки у в X
с множеством Υ. Следовательно,
Αγ = Ах Π Υ. (Ι)
С внутренностью дело обстоит иначе — по формуле
двойственности имеем
IntyA = У\Г\АУ = ΥΓ)(Χ\Υ\ΑΧ) =
= УП(Х\Х\(Х\(У\А))Х) = У Π Intx(X\YUA). (2)
§ 3.3. Плотные множества
в топологических пространствах
Операция замыкания сопоставляет каждому множеству А
замкнутое множество А, которое его содержит. Однако возникает
и обратное соответствие—для каждого замкнутого множества F
можно рассматривать подмножества А с F со свойством A = F;
вообще, для произвольного множества Υ можно рассматривать
подмножества А с У со свойством У с А.
I Определение. Пусть X — топологическое пространство и Υ с X.
Множество А с У плотно β У, если Αζ>Υ. Множество, плотное
во всём пространстве X, называется просто плотным или всюду

88
Глава 3. Замыкание и сходимость
(плотным1*. Множество У <ζΧ нигде не плотно, если его
замыкание У не содержит никакого непустого открытого множества.
Иногда в литературе упоминаются также плотные в себе множества —
это множества, не содержащие изолированных точек. Замкнутые
множества с этим свойством называются совершенными.
Таким образом, множество У с X плотно в X, если любая
окрестность любой точки в X, т. е. любое непустое открытое в X
множество, пересекает Υ (отсюда следует, что в дискретном пространстве
единственное плотное подмножество — само это пространство),
и множество Ζ с X нигде не плотно в X, если любое непустое
открытое в X множество содержит непустое открытое подмножество,
не пересекающее Ζ, или, что то же самое, если Χ \ Ζ плотно (отсюда
следует, что в дискретном пространстве нет непустых нигде не
плотных подмножеств).
Замечание 3.7. Из монотонности оператора замыкания и
определений следует, что
• если Υ плотно βΧηΥ<ζΖ<ζΧ,ύοΖ тоже плотно в X;
• если Υ нигде не плотно и Ζ с У, то Ζ тоже нигде не плотно;
• если Υ с X плотно в X, а Ζ нигде не плотно, то Υ\Ζ плотно в X;
• если Ζ с У с Χ, Ζ плотно в У и У плотно в X, то Ζ плотно в X.
Мы начнём со следующего полезного утверждения.
Предложение 3.8. Если X — пространство, U — открытое
подмножество пространства X и У — плотное подмножество
пространства X, то
Ό = υηΫ.
Доказательство. Если jc — предельная точка множества U, то
для любой открытой окрестности V точки χ имеем V Π U φ 0, а
поскольку У плотно в X, имеем также V Π U Π У φ 0. Значит, jc является
предельной точкой множества U Π У, откуда вытекает включение
UczUnY. Обратное включение в доказательстве не нуждается. D
Мы уже знакомы с двумя кардинальнозначными
характеристиками топологических пространств — весом и характером. В
связи с понятием плотного подмножества естественно возникает ещё
одна.
1} В отечественной литературе, как правило, используется термин «всюду
плотное», а в зарубежной слово «всюду» вставляется редко.

§ 3.3. Плотные множества в топологических пространствах 89
Определение. Наименьшая мощность плотного подмножества
топологического пространства X называется плотностью этого
пространства и обозначается d(X):
d(X) = min{|A|: А с X, А = X}.
Если плотность пространства X не более чем счётна, т. е. X
содержит какое-нибудь не более чем счётное плотное подмножество, то
говорят, что X сепарабелъно.
В отличие от метризуемости и свойства удовлетворять первой
или второй аксиоме счётности сепарабельность —
ненаследственное свойство: уже знакомая нам плоскость Немыцкого L сепара-
бельна, потому что любое открытое множество в L содержит
точку с рациональными координатами, а множество таких точек
счётно, однако подпространство I с L (граничная прямая) дискретно
и несчётно, а потому несепарабельно. Тем не менее открытыми
подпространствами сепарабельность, очевидно, наследуется.
В метризуемых пространствах ситуация иная: всякое сепара-
бельное метризуемое пространство наследственно сепарабелъно,
т.е. любое его подпространство сепарабельно. Это вытекает из
следующих двух утверждений.
) Теорема 3.9. Всякое сепарабелъное метризуемое пространство
удовлетворяет второй аксиоме счётности.
Доказательство. Пусть X — пространство, топология которого
порождается метрикой d, и пусть Υ — плотное множество в X. Тогда
семейство
^ = {Bd(y,i):yeY, η е ν}
— база топологии пространства X. Действительно, если £/
—открытое множество в X и χ е U, то Bd (jc, ε) с U для некоторого
ε > 0. Возьмём любое натуральное η ^ - и выберем любую точку
у GBdlx, γ-J η У (она существует, так как Υ плотно в X). В силу
неравенства треугольника χеBd(χ, γ-) <zBd(y, -J c£df jc, -J с U.
Мы показали, что ^ — база топологии пространства X.
Осталось заметить, что если множество Υ счётно, то семейство ^ тоже
счётно. D
(Теорема 3.10. Любое пространство со второй аксиомой
счётности сепарабелъно.

90
Глава 3. Замыкание и сходимость
Доказательство. Достаточно взять любую не более чем счётную
базу и выбрать по точке в каждом её непустом элементе. Множество
всех выбранных точек плотно и не более чем счётно. D
ί Следствие 3.11. Любое сепарабелъное метризуемое
пространство наследственно сепарабелъно.
Доказательство. В силу предложения 2.8 свойство
удовлетворять второй аксиоме счётности наследственно. Осталось применить
доказанные теоремы. D
Согласно теореме 3.10 сепарабельность — это ослабление
второй аксиомы счётности. Дальнейшее ослабление приводит к такому
определению.
1 Определение. Говорят, что семейство множеств дизъюнктно,
Ι если его элементы попарно не пересекаются.
Ι Супремум мощностей дизъюнктных семейств непустых откры-
1 тых подмножеств топологического пространства (X,!?) назы-
I вается числом Суслина или клеточностъю1* этого пространства
I и обозначается с (X):
1 с(Х) = sup{|^|: °11 с ?Г \ {0}, Щ дизъюнктно}.
ι Если число Суслина пространства X не более чем счётно, т.е.
I каждое семейство непустых попарно непересекающихся откры-
I тых множеств в X не более чем счётно, то говорят, что X обладает
1 свойством Суслина.
Предложение 3.12. Всякое сепарабелъное пространство
обладает свойством Суслина.
Доказательство. Действительно, если в пространстве X есть
счётное плотное подмножество Y, то каждое непустое открытое
множество в X содержит хотя бы одну точку из Y, а если такие
множества не пересекаются, то они содержат различные точки из Y.
Поэтому дизъюнктное семейство непустых открытых множеств не
может быть несчётным — не хватит точек множества Υ. Π
Как и сепарабельность, свойство Суслина не наследственно
(годится тот же пример плоскости Немыцкого L и её подпространства
I с L: плоскость L сепарабельна и потому обладает свойством
Суслина, а граничная прямая I дискретна, и её одноточечные подмно-
1} В теории множеств и зарубежной литературе свойство Суслина по
устоявшейся традиции обычно называют условием счётности цепей (countable chain
condition), сокращённо у. с. ц. (ссс), хотя на самом деле это условие равносильно
счётности всех антицепей, а не цепей.

§3.4. Сходимость
91
жества образуют дизъюнктную систему непустых открытых в I
множеств). Однако в классе метризуемых пространств свойство
Суслика, как и сепарабельность, равносильно второй аксиоме счётности
и потому наследственно.
ί Теорема 3.13. Всякое метризуемое пространство со свойством
Суслика удовлетворяет второй аксиоме счётности.
Доказательство. Ввиду теоремы 3.9 достаточно доказать, что
всякое метризуемое пространство со свойством Суслина сепара-
бельно. Пусть X — метризуемое пространство, топология которого
порождена метрикой d. Для каждого neN рассмотрим
максимальное (по включению) дизъюнктное семейство £%п шаров радиуса -.
Оно существует в силу леммы Цорна (в качестве частично
упорядоченного множества следует рассмотреть упорядоченное по
включению множество дизъюнктных семейств шаров радиуса -; верхней
гранью линейно упорядоченного подмножества таких семейств
будет объединение всех семейств из этого подмножества). Благодаря
свойству Суслина каждое £%п счётно. Обозначим множество
центров всех шаров из всех семейств через Y; ясно, что оно не более чем
счётно. Пусть [/—любое непустое открытое множество в X. Оно
содержит шар Bd(x, -J для некоторых χеX и neN. Шар Bd(x, γ-)
пересекается с каким-то шаром В Л у, γ-) из семейства £%2п
(иначе это семейство не было бы максимальным). В силу неравенства
треугольника В J у, γ-) cBdi jc, -J. Значит, множество U содержит
шар Bd(у, γ- J вместе с его центром у е Υ. D
§3.4. Сходимость
Топологии на множествах можно задавать не только в терминах
окрестностей точек, семейства открытых подмножеств и оператора
замыкания, но и в терминах сходимости направленностей и
фильтров. Однако начнём мы со сходимости более привычного
объекта — последовательности.
Последовательности
I Определение. Последовательностью элементов множества X
или просто последовательностью в X называется любое
отображение /: Ν—>Х. Точка /(п), neN, называется п-м членом или

92
Глава 3. Замыкание и сходимость
1 п-м элементом последовательности /, или членом (элементом)
Ι с номером п. Обычно п-й член последовательности обозначается
ι буквой с нижним индексом п, а сама последовательность запи-
I сывается в виде (хъ хг,...), (*π)η€Ν или просто Оп); при этом
I подразумевается, что xn — f{n). Множество /(N) сХ называется
1 множеством значении^ последовательности.
Ι Мы будем говорить, что последовательность тривиальна, если
Ι все её члены, начиная с некоторого, равны. Если последователь-
1 ность тривиальна, то множество её значений конечно, но не на-
1 оборот.
ι Подпоследовательность последовательности /: N—>Х — это по-
§ следов ательность вида fog: N —> X, где g: N —> Ν—любая стро-
I го возрастающая последовательность натуральных чисел. (Не-
1 формально говоря, подпоследовательность —это последователь-
I ность, которая получается вычёркиванием из данной последова-
I тельности некоторых членов при условии, что бесконечно мно-
I го членов останутся невычеркнутыми.) Подпоследовательности
I обычно записываются в виде (Jcfc)nGN; при этом подразумевается,
1 4Tofcn = g(n).
Когда множество X снабжено топологией, можно говорить о
сходимости последовательностей точек этого множества.
| Определение. Последовательность On)nGN точек топологиче-
I ского пространства X сходится к точке χ е X, если для любой
I окрестности U точки χ существует такое N е Ν, что хп е U для всех
Ι η ^ Ν (иными словами, все члены последовательности, начиная
Ι с некоторого, принадлежат U). В этом случае говорят, что точка χ
1 является пределом последовательности (xn)nGN, и пишут χ е lim xn
Ι п—*оо
Ι или хп п_^оо> χ. В тех случаях, когда последовательность 0tn)nGN за-
I ведомо не может иметь больше одного предела (так обычно и бы-
I вает2)), вместо χ е lim хп пишут х= lim хп. Последовательность
Ι π—*οο π—*οο
Ι называется сходящейся, если она сходится к некоторой точке.
Ι Точкой накопления или предельной точкой последовательности
1 называется точка, любая окрестность которой содержит бесконеч-
1 но много членов последовательности (эти члены могут совпадать!).
} Не следует путать множество значений последовательности с самой
последовательностью—у постоянной последовательности (х, х, х,...) бесконечное
число членов, но множество значений одноточечно (это {х}).
2) Например, если пространство X хаусдорфово (см. главу 5).

§ 3.4. Сходимость
93
Замечание 3.14. Предельная точка (= точка накопления)
последовательности точек топологического пространства X может не
быть таковой для множества значений этой последовательности
(если множество значений конечно), а предельная точка множества
значений не обязана быть предельной точкой последовательности
(если в X имеются незамкнутые одноточечные множества). Однако
если все одноточечные множества в X замкнуты (обычно это так)
и все элементы последовательности различны, то предельные точки
последовательности совпадают с предельными точками множества
её значений.
В метрическом пространстве X всякая точка прикосновения любого
множества А с X является пределом некоторой последовательности точек
множества А. Топологические пространства с этим свойством называются
пространствами Фреше—Урысона^. Следующая теорема утверждает, что
пространствами Фреше—Урысона являются не только все метризуемые
пространства, но и все пространства с первой аксиомой счётности.
1 Теорема 3.15. Пусть X — топологическое пространство с пер-
I вой аксиомой счётности и А с X. Тогда χ е X является точкой
I прикосновения множества А, если и только если к ней сходится
1 некоторая последовательность точек множества А
Доказательство. Пусть {Un: η е Ν} — счётная база окрестностей
точки х. Положив Vn = P| Ut для η € Ν, получим убывающие (не
обязательно строго) окрестности Уг э V2 э ... точки х, которые,
очевидно, тоже образуют базу окрестностей х. Если х — точка
прикосновения множества А, то каждая окрестность Vn содержит
некоторую точку ап е А. Последовательность (απ)π<ΕΝ сходится к х: любая
окрестность U точки χ содержит некоторую окрестность VN (потому
что {Vn}— локальная база в точке х), а значит, U содержит и все
окрестности Vn с номерами π ^ Ν, а вместе с ними и все точки ап
с номерами η^Ν.
Обратное утверждение (что если последовательность точек из А
сходится к х, то χ — точка прикосновения для Λ) очевидно. D
] Павел Самуилович Урысон (1898—1924) — советский математик. За свою
короткую жизнь успел внести значительный вклад в теорию размерностей и
доказать фундаментальные теоремы топологии — метризационную теорему
Урысона, лемму Урысона о функциональной отделимости замкнутых множеств в
нормальном пространстве и теорему Титце—Урысона о продолжении функций.

94
Глава 3. Замыкание и сходимость
Пример пространства Фреше—Урысона без первой аксиомы счётности
нам уже встречался в подсказке к задаче 13 б) на с. 78 — это счётный веер
Фреше—Урысона
V(K0) = {0}u{i:neN}xN
(с виду он похож на метрического ежа счётной колючести, только его
иголки—не отрезки, а копии множества {0} и |- : η е NJ точек сходящейся
последовательности вместе с пределом). Все точки ( -, к), где п, кeN,
изолированы, а базу окрестностей общей точки 0 составляют всевозможные
множества вида {0}u|i-,/cJ:n,/ceN, п^пЛ, где (nk\eN —любая
последовательность натуральных чисел.
Как и количество иголок у ежа, количество «перьев» у веера Фреше—
Урысона может быть произвольным: для любого кардинала κ веер Фреше—
Урысона мощности κ — это пространство
V(ic) = {0}и{^:пем}хк,
в котором все точки ί -, a J, где η eN и а < к, изолированы, а базу
окрестностей точки 0 составляют всевозможные множества вида {0}и | (-, см: η eN,
а<к, п^пЛ, где {па: а<к}— любое множество натуральных чисел
(занумерованных ординалами, меньшими к).
Веер Фреше—Урысона VM с бесконечным к не удовлетворяет первой
аксиоме счётности — иначе ей удовлетворяло бы и его подпространство
V(K0), а в подсказке к задаче 13 б) на с. 78 доказано, что это не так.

§ 3.4. Сходимость
95
Однако веер Фреше—Урысона любой мощности является
пространством Фреше—Урысона, поскольку, каково бы ни было множество A<zV{k),
точка вида ί -, а) является предельной для А тогда и только тогда, когда
она принадлежит А, а точка 0 является предельной для А тогда и только
тогда, когда пересечение А с хотя бы одним из «перьев» If-, см: η е Ш,
где а — любой фиксированный ординал из к, бесконечно. (Действительно,
если все такие пересечения конечны, то для каждого а<к мы можем
найти такое па еN, что An |(-, a): neN, п^пЛ =0.) Следовательно, если
(i, а) — предельная точка множества А, то к ней сходится тривиальная
последовательность \[-, α), ί-, см, ...J точек из А, а если 0 —предельная
точка множества А, то к ней сходится последовательность, составленная из
точек пересечения Ап|(-,см:пеМ|, где а<к — один из тех ординалов,
для которых это пересечение бесконечно.
Направленности
Для пространств без первой аксиомы счётности теорема 3.15,
вообще говоря, неверна — бывают недискретные пространства, в
которых вообще нет нетривиальных сходящихся
последовательностей. Простейший пример такого пространства — X = D U {*}, где
D— любое несчётное множество, точка * не принадлежит D, все
точки D изолированы в X (так что пространство D с
индуцированной топологией дискретно) и окрестности точки * — всевозможные
множества вида {*} UD \ А, где А — произвольное счётное
подмножество множества D. Однако понятие последовательности можно
обобщить таким образом, что соответствующий аналог теоремы
станет верным для всех топологических пространств. Это
обобщение использует отношения на множествах, которые называются
направлениями; они отличаются от отношений порядка тем, что
аксиома антисимметричности заменяется на существование верхней
грани у любых двух элементов. Множества с такими отношениями
(так называемые направленные множества) используются в
качестве обобщения множества N натуральных чисел.
Определение. Множество X вместе с отношением ^ на нём,
удовлетворяющим условиям
Φ χ ^ χ для всех χ еХ (рефлексивность),
© если х^уиу^я, тох^я (транзитивность) и
® для любых х, у е X существует такой zeX, что х^ги y^z,
называется направленным {вверх) множеством.

96
Глава 3. Замыкание и сходимость
| Определение. Направленность в множестве X — это любое отоб-
I ражение /: А —> X произвольного направленного вверх множе-
I ства А в X. Обычно направленности записываются в виде (χα)α<ΕΑ
1 или просто Оа) (подразумевается, что ха = /(а)).
I Направленность g= (у^)^, где В —множество, направленное
I вверх отношением =^, называется поднаправленностъю направ-
I ленности / = (Χα)α<ΞΑ> гДе ^ — множество, направленное вверх от-
I ношением ^, если существует такое отображение φ: В —> А, что
1 Ύβ—χΨ{β) Для всех β еВ Ст·е· S = f° ΨΪ и Для каждого а0 е А суще-
1 ствует /30еВ с тем свойством, что а0 ^ φ (β) при всех β £= β0 (это
§ означает, что множество φ (В) неограничено в Λ и направлено
1 вверх сужением отношения ^ на это множество).
Как и в случае последовательностей, когда множество X
снабжено топологией, можно говорить о сходимости направленностей в X.
I Определение. Направленность Оса)а<Ед в топологическом про-
I странстве X сходится к точке jc е X, если для любой окрестно-
I сти U точки χ существует такое а0 е А, что xa&U для всех а^ а0.
Ι В этом случае говорят, что точка χ является пределом направлен-
1 ности Оса)а<Ед, и пишут χ e lim ха или ха —* х. В тех случаях, когда
1 aGA
Ι направленность Оса)а<Ед заведомо не может иметь более одного
1 предела (обычно так и есть), вместо χ е Нтха пишут χ = limjca.
I аеА аеА
1 Говорят, что направленность сходится или является сходящейся,
Ι если она сходится к некоторой точке.
I Точка χ топологического пространства X называется предельной
I точкой направленности (χα)α(ΞΑ Β этом пространстве, если для
Ι любой окрестности U точки χ и любого а0 е А существует такое
1 аеА, что а^а0 и хае[/.
Понятия направленности, поднаправленности и сходимости
направленностей хорошо иллюстрирует следующее предложение.
Предложение 3.16. Точка χ топологического пространства X
является предельной точкой направленности Оса)а<Ед тогда и
только тогда, когда некоторая поднаправленностъ направленности
(Χα)α<ΞΑ СХОдитСЯ К X.
Доказательство. Сначала докажем необходимость. Рассмотрим
такое направленное множество (В, =$): множество В состоит из всех
пар ([/, а), где [/ — произвольная окрестность точки х, а а—любой
элемент множества А, удовлетворяющий условию ха е U.
Направление =^ на В определяется естественным образом: ([/, а) =^ (V, β),

§ 3.4. Сходимость
97
если £7 э У и α ^ /3 (здесь ^ — направление на Л). Рефлексивность и
транзитивность отношения =$ очевидны. Для любых ([/, а), (У, /3) еВ
найдётся такое γ е А, что у^аиу^ (потому что множество А
направлено вверх отношением ^), а в силу того, что χ — предельная
точка для (Ха)аел>в л найдётся δ ^ у, для которого x5ellnv. Имеем
(У П V, δ) € В, (17 П У, δ) £ (17, α) и (17 Π У, δ) fc= (У, /3). Значит, =*
действительно является направлением на В. Нетрудно проверить,
что направленность (У(и,а)Хи,а)ев, где у(1/>а) = ха для всех ([7, а) €В,
является поднаправленностью направленности Оса)а<Ед (надо взять
отображение φ: β —> А, определённое правилом φ(ΙΤ, α) = α), и что
У(и,а)-^Х·
Достаточность вытекает непосредственно из определений под-
направленности, предела поднаправленности и предельной точки
направленности. D
I Теорема 3.17. Точка χ в топологическом пространстве X
является точкой прикосновения множества Υ с X тогда и только
тогда, когда некоторая направленность в Υ сходится к х.
Доказательство. Сначала докажем необходимость. Пусть х —
точка прикосновения Y. Очевидно, множество Ч/(х) всех
окрестностей χ направлено отношением ^, обратным включению (U ^ У,
если U э У). Пользуясь тем, что х —точка прикосновения
множества Y, в каждой окрестности U е ^/{х) выберем точку уи е Y. По
построению У^/-—у.
Переходим к достаточности. Пусть (уа)а<ЕЛ — сходящаяся к χ
направленность, причём уа е Υ для всех а е А, и пусть ^ —
направление на А. По определению предела направленности для любой
окрестности U точки χ существует такое а0 е А, что уа е U для всех
α ^ α0; значит, любая окрестность точки χ содержит некоторую
точку из Υ, а это и есть определение точки прикосновения. D
Итак, у нас появился ещё один инструмент задания топологии —
если мы каким-то образом можем описать все сходящиеся
направленности в X, то мы знаем все точки прикосновения (а значит, и
замыкания) всех множеств, т. е. у нас есть оператор замыкания,
который даёт нам все замкнутые множества, а тем самым и топологию.
Фильтры и ультрафильтры
Важнейшую роль в топологии играет понятие фильтра —хотя
бы потому, что окрестности и проколотые окрестности каждой

98
Глава 3. Замыкание и сходимость
неизолированной точки в топологическом пространстве X
образуют фильтр на X.
I Определение. Фильтром на множестве X называется непустое
I семейство & с & (X), удовлетворяющее трём условиям:
Ι φ ®Ф&\
I © если А, В е &, то А П В е & (а значит, и любое конечное пере-
I сечение элементов семейства & принадлежит ^);
I ® еслиЛе^" и AczBczX, то Ве&; в частности, Хе^.
I Фильтр «^ называется свободным, если f]^ = 0. Семейство ^ с
I с & является базой фильтра ^, если любое множество F е & со-
I держит множество В e^L
В силу условий φ и © всякий фильтр обладает полезным
свойством центрированности.
I Определение. Центрированное семейство множеств — это лю-
I бое семейство ^ с тем свойством, что пересечение любого конеч-
I ного множества его элементов непусто: если η е N и Съ ..., Сп е ^,
I тоС1П...ПСп^0.
В дальнейшем нам понадобится также понятие счётно
центрированного семейства — это такое семейство, что пересечение
любого счётного множества его элементов непусто.
Определение фильтра очень похоже на определение семейства
окрестностей точки χ в топологическом пространстве X (см. определение Хаус-
дорфа на с. 53): семейство всех окрестностей χ в X образует фильтр на X,
а если точка χ неизолирована, то семейство всех её проколотых
окрестностей образует фильтр на X \ {х}. Верно и обратное: любой фильтр является
фильтром проколотых окрестностей точки в топологическом пространстве.
Точнее, имеет место следующее утверждение.
Предложение 3.18. Пусть X—множество uY = Xu {*}, где * £Х.
Семейство & с & (X) — фильтр на X тогда и только тогда, когда &
является множеством всех проколотых окрестностей точки * в некоторой
топологии на У, в которой точка * неизолирована.
Доказательство. То, что множество всех проколотых окрестностей
неизолированной точки является фильтром, следует непосредственно из
определений. Для доказательства обратного утверждения достаточно
вспомнить определение Хаусдорфа: если положить сЖ(*) = {F и {*}: FG<f}H
объявить все точки множества У изолированными, т. е. положить сЖ(у) =
= {А с У: у е А} для каждого у е У, то полученная система {jY(x)}x<eX будет
удовлетворять всем условиям в этом определении. D
Таким образом, слова «фильтр» и «система проколотых окрестностей
точки» означают одно и то же, но на разных языках. База фильтра —

§ 3.4. Сходимость
99
то же самое, что база соответствующей системы проколотых
окрестностей.
Замечание 3.19. Очевидно, свободный фильтр может существовать
только на бесконечном множестве X, и при этом любой такой фильтр
обязан содержать все дополнения до конечных множеств. Действительно,
если & — фильтр на X и f] & — 0, то для каждой точки χ е X найдётся
элемент &, не содержащий эту точку. В силу свойства (D имеем X \ {х} е &.
Итак, дополнения до всех одноточечных множеств принадлежат &', и по
свойству (D дополнения до всех конечных множеств тоже ему принадлежат.
Мы показали, что всякий свободный фильтр на X содержит (как
подмножество) семейство всех дополнений до конечных множеств в X. Это
семейство само по себе тоже образует фильтр, который называется
фильтром Фреше. Доказанное утверждение можно переформулировать так: на
всяком бесконечном множестве существует минимальный (по включению)
свободный фильтр — фильтр Фреше.
I Определение. Максимальный (по включению) фильтр называ-
I ется ультрафильтром. Другими словами, ультрафильтр на мно-
I жестве X — это такой фильтр °11 на X, что для всякого фильтра &
I на X со свойством °11 с & имеет место равенство °11 — &. Ультра-
1 фильтр °11 называется главным, если f] <%/ φ 0.
Легко видеть, что ультрафильтр % на множестве X является
главным тогда и только тогда, когда существует точка х0 е X, для которой
^ = {АсХ: х0 е А}. Действительно, если [\°1ί содержит точку х0, т.е.
х0 принадлежит каждому элементу ультрафильтра °U', то семейство & =
= {A<zX: x0gA} является фильтром наХи^с^3а значит, °1/ — & в силу
максимальности ультрафильтра. Неглавные ультрафильтры — это в
точности те ультрафильтры, которые являются свободными фильтрами, т.е.
содержат фильтр Фреше. Доказательство существования свободных
ультрафильтров существенно использует аксиому выбора (точнее, лемму Цорна).
I Теорема 3.20. Любое центрированное семейство Ή на
произвольном множестве X содержится в некотором
ультрафильтре У/ на X.
Доказательство. Упорядочим множество <£ всех центрированных
семейств на X, содержащих *β, отношением включения с. Если £ —любое
линейно упорядоченное подмножество <£, то |j£ — центрированное
семейство. Действительно, любое множество F e |J £ принадлежит некоторому
Центрированному семейству & е£, поэтому для любых neNHF1,...,Fne|j£
найдутся такие &λ,..., &п е £, что Ft е ^ для i ^ п. Поскольку множество
£ линейно упорядочено отношением включения, все &lf ...,&n сравнимы
Друг с другом по включению, и без ограничения общности можно считать,

100
Глава 3. Замыкание и сходимость
что ^с.с^ (данные множества Fl9..., Fn всегда можно
перенумеровать так, чтобы это условие выполнялось). Значит, все множества F1}..., Fn
принадлежат одному и тому же (самому большому) центрированному
семейству &п, так что их пересечение непусто.
Итак, любое линейно упорядоченное подмножество £ частично
упорядоченного множества <£ имеет верхнюю грань, и по лемме Цорна
существует максимальное центрированное семейство ^, содержащее ^. Ясно,
что °U —ультрафильтр: если % содержится в некотором фильтре &', то этот
фильтр содержит ^ и является центрированным семейством (как и всякий
фильтр). Значит, ^GCH^Cf, откуда °l/=&. D
I Следствие. На любом бесконечном множестве X существует
неглавный ультрафильтр.
Доказательство. Любой ультрафильтр, содержащий фильтр Фреше,
является неглавным. D
Следующий критерий играет фундаментальную роль в теории
ультрафильтров и её приложениях. Например, для того чтобы доказать, что при
любой раскраске бесконечного множества X в конечное число цветов
найдётся одноцветное множество с определённым свойством, достаточно
найти какой-нибудь ультрафильтр на X, все элементы которого обладают этим
свойством. В нестандартном анализе вместо чисел рассматриваются
последовательности чисел (λ:π)π€Ν gRn (или, более общим образом,
индексированные наборы (Ха)аеА gRa, где А — любое бесконечное множество) с
точностью до совпадения на элементах некоторого фиксированного
ультрафильтра °1/ на N: две последовательности (хп) и (уп) считаются равными,
если они совпадают на элементе этого ультрафильтра, т. е. {п: хп =упУ е °U.
Обычные числа отождествляются с постоянными последовательностями.
На последовательностях возникает естественный порядок: (хп) ^ (уп), если
{п: хп^уп} £<%/; благодаря доказанному ниже критерию он оказывается
линейным, и возникают бесконечно большие и бесконечно малые
нестандартные числа (это последовательности, которые больше или меньше всех
постоянных последовательностей относительно такого порядка).
I Теорема 3.21. Фильтр & на множестве X является
ультрафильтром тогда и только тогда, когда для любого А с X либо
А(Е&,либо Χ\Α(Ξ&.
Доказательство. Докажем необходимость. Пусть ^ —
ультрафильтр на X, и пусть А с X. Если F \ А = 0 для некоторого F е &,
то F с А, и по свойству ® из определения фильтра имеем Ае^,
что и требуется. Предположим, что F \ А Φ 0 для любого F е &. Если
F1,...,Fne&,ToF1n...nFne&H
(F1\A)n...n(Fn\A) = (F1n...HFn)\A^0,

§ 3.4. Сходимость
101
т.е. {F\A: F е &} — центрированное семейство. По доказанной
теореме оно содержится в некотором ультрафильтре °11 на X. Для
каждого Fе& имеем F\ Ае °11 и, значит, Fe^ (по свойству ©).
Следовательно, & с ^, и из максимальности ^ вытекает, что
J? = ^. Осталось заметить, что Х\Л€^в силу того же свойства ©.
Докажем достаточность. Пусть & — фильтр с тем свойством, что
для каждого А сX либо Ле^, либо Х\Ле^, и пусть ^ —
ультрафильтр, содержащий &. Если β'^^/,το найдётся А€^\^. По
предположению X \ А е ^, а поскольку ^ с ^, имеем Х\Ле^
в противоречие с тем, что Ле^ (см. условия фи@в определении
фильтра). Значит, & — %, так что & —ультрафильтр. D
1 Следствие 3.22. Если °11 —ультрафильтр на множестве X, т е
I €N,A1,...,AmcXue объединении A1U...UAm содержится неко-
I торый элемент А ультрафильтра %, то А{^^/ для некоторого
I i^m. В частности, если Л1,...,Лт— любые подмножества мно-
I жества X со свойством Аг и... и Ат =Х, то At е ^ для некоторо-
1 го i ^ т.
Доказательство. Предположим, что Af ^ ^ для всех ί ^ т. Тогда
по доказанной теореме X \ At е °11 для i ^ т. Значит, (X \ Аг) Π ...
... Π (X \ Am) = Χ \ (Аг U...UAm)€^, а это противоречит тому, что
А€<^и An(X\(A1U...UAm))=0. D
Теперь у нас есть все основные инструменты для работы с
фильтрами и ультрафильтрами и мы можем определить сходимость
фильтров в топологическом пространстве.
1 Определение. Фильтр & на топологическом пространстве X
ι сходится к некоторой точке χ е X, если любая окрестность этой
I точки принадлежит &'. Для сходимости & к χ используется
οδοί значение & —> х. Говорят, что фильтр сходится или является
ατοί дящимся, если он сходится к некоторой точке.
I Теорема 3.23. Для топологического пространства X, множе-
I ства А с X и точки x€l следующие условия равносильны:
1 а) х является точкой прикосновения множества А;
1 б) существует фильтр & на X, который содержит А и сходит-
1 сякх;
I в) существует ультрафильтр °11 на X, который содержит А
1 и сходится к х.
Доказательство. Докажем, что а)=>в). Семейство £%{х) всех
окрестностей точки χ в X центрировано. Поскольку χ — точка
прикосновения множества А, каждый элемент этого семейства пересе-

102
Глава 3. Замыкание и сходимость
кает множество А. Для иъ ..., Um е <%{х) имеем
(АП1/1)П...П(АП1/т)=АП(1/1П...П1/т),
поэтому семейство {Α Π £/: £/е ^(jc)} тоже центрировано и,
значит, содержится в некотором ультрафильтре °11. Из свойства © всех
фильтров вытекает, что °11 содержит как все окрестности точки χ
(а значит, W—>x), так и множество А.
Импликация в) => б) тривиальна, поскольку каждый
ультрафильтр является фильтром.
Наконец, покажем, что б) => а). Поскольку фильтр & сходится
к точке х9 он содержит все окрестности точки jc. To, что он содержит
также и множество А, означает, что пересечение А с любой
окрестностью точки χ непусто (в силу свойства φ всех фильтров), т.е. χ
является точкой прикосновения множества A. D
Таким образом, сходимость ультрафильтров на топологическом
пространстве полностью определяет топологию этого
пространства. Как мы увидим впоследствии, основные понятия топологии
(хаусдорфовость, непрерывность, компактность) просто
формулируются на языке ультрафильтров, и в некоторых ситуациях этот
язык незаменим.
Отображения последовательностей, направленностей
и фильтров
Всякое отображение /: X —> Υ множеств естественным образом
порождает отображения последовательностей, направленностей и
фильтров.
1 Определение. Пусть f:X—> У—любое отображение, А—лю-
I бое направленное вверх множество и Оа)а<Ед— любая направ-
1 ленность в множестве X, т. е. любое отображение φ: А —> X, где
Ι φ(ά) —ха для аеА. Направленность /оψ; А—> Υ, т.е. (/Оа))а<Ед,
I называется образом направленности φ при отображении /. Образ
1 последовательности определяется совершенно аналогично.
ι Определение. Пусть f:X—>У—любое отображение и & — лю-
1 бой фильтр на X. Семейство множеств
I {АСУ: /_1(А) еЯ = {Ас Y: 3F е J*4/(F) с А)}
I называется образом фильтра & при отображении /.

Задачи
103
Предложение 3.24. Образ любого фильтра при любом
отображении является фильтром. Образ любого ультрафильтра при
любом отображении является ультрафильтром.
Доказательство. Пусть /: X—> Y—любое отображение, и пусть
& — фильтр на X. То, что образ фильтра & при отображении /
является фильтром, ясно: выполнение условий φ и © из определения
фильтра очевидно, а выполнение условия © вытекает из того, что
f1 (Α Π Β) = /_1 (Λ) η /_1 (β) для любых множеств Λ, β с У. Если при
этом & является ультрафильтром, то из теоремы 3.21 и очевидного
равенства /_1(Ύ \ А) — Х\ (/-1(А)) следует, что образ
ультрафильтра & тоже является ультрафильтром. D
Таким образом, всякое отображение f:X—>Y порождает
отображение
β/: {ультрафильтры на X} —> {ультрафильтры на Υ}
(причина, по которой выбрано обозначение /3/, станет ясна позже,
при обсуждении стоун-чеховских компактификаций).
Задачи
1. Покажите, что если X — метризуемое топологическое
пространство и d— любая метрика, порождающая топологию X, то
точка jc е X является точкой прикосновения множества А с X
тогда и только тогда, когда d(x, А) = 0, так что А — {х: d{x, A) = 0}.
Выведите отсюда, что замыкание Bd{x, ε) в пространстве X всякого
открытого шара относительно любой метрики d, порождающей
топологию X, содержится в замкнутом шаре Bd(x, ε) того же радиуса
с тем же центром относительно той же метрики. Верно ли, что
всегда Βά(χ,ε) = Bd(χ, ε)?
2. Проверьте, что оператор Fr взятия границы множества в
топологическом пространстве X обладает следующими свойствами:
а) IntA = A\FrA;
б) A-AuFrA;
в) Fr(AUB)cFrAUFrB;
г) Fr(AnB)cFrAUFrB;
д)Рг(Х\А)=РгА;
е) X = IntAUFrAUlnt(X\A);
ё) FrAcFrA;
ж) FrlntAcFrA;

104
Глава 3. Замыкание и сходимость
з) А открыто тогда и только тогда, когда ¥гА = А\А;
и) А замкнуто тогда и только тогда, когда FrA — A\IntA;
к) А открыто-замкнуто тогда и только тогда, когда FrA = 0.
Верно ли, что если А с β, то FrA с FrB? В частности, верно ли,
что Fr(A Π β) с FrA Π FrB?
3. Покажите, что для топологического пространства X
следующие условия равносильны:
а) X дискретно;
б) все точки пространства X изолированы;
в) все подпространства пространства X дискретны;
г) все подпространства пространства X замкнуты.
4. Пусть к — произвольный бесконечный кардинал.
а) Приведите пример недискретного топологического
пространства, в котором все подпространства мощности, не
превосходящей к, дискретны.
б) Покажите, что в топологическом пространстве все
подпространства мощности, не превосходящей к, дискретны тогда и
только тогда, когда все подпространства мощности, не превосходящей к,
замкнуты.
5. Укажите подмножества А и β вещественной прямой с
обычной топологией, для которых (а) АПВф АПВ; (б) IntA U IntB φ
T^Int(AUB). Может ли одно из этих множеств быть замкнутым?
открытым?
6. Для каких множеств внутренность совпадает с замыканием?
Опишите все такие подмножества прямой R.
7. а) Покажите, что каждая последовательность имеет подна-
правленность, которая не является подпоследовательностью.
б) Верно ли, что точка топологического пространства является
предельной точкой последовательности в этом пространстве тогда
и только тогда, когда к ней сходится некоторая
подпоследовательность данной последовательности?
в) Покажите, что если последовательность сходится к
некоторой точке, то и всякая подпоследовательность этой
последовательности сходится к той же точке.
8. Напомним (см. с. 93), что топологическое пространство X
называется пространством Фреше—Урысона, если к любой точке при-

Задачи
105
косновения χ любого множества А с X сходится некоторая
последовательность точек множества А (иными словами, если точка χ φ Α
предельна для множества А тогда и только тогда, когда к χ сходится
некоторая последовательность точек множества Л).
а) Заметьте, что каждое пространство с первой аксиомой счёт-
ности является пространством Фреше—Урысона.
б) Приведите пример бесконечного недискретного
топологического пространства, в котором все сходящиеся последовательности
тривиальны. Может ли такое пространство удовлетворять первой
аксиоме счётности? быть счётным?
9. Пусть X — топологическое пространство и Υ с X. Говорят, что
Υ — множество типа G5 или С5-множество в X, если Υ является
пересечением счётного числа открытых в X множеств. Вместо
«одноточечное множество типа G5» говорят «точка типа G5».
а) Заметьте, что в метризуемом пространстве все замкнутые
множества имеют тип G5.
б) Является ли множество всех рациональных чисел G5
-подмножеством вещественной прямой с обычной топологией? Является ли
таковым множество всех иррациональных чисел?
в) Заметьте, что в пространстве с первой аксиомой счётности
все точки имеют тип G5. Верно ли, что в пространстве с первой
аксиомой счётности все замкнутые множества имеют тип G5?
г) Приведите пример топологического пространства, в котором
нет нетривиальных сходящихся последовательностей, однако все
точки имеют тип G5.
10. Вещественная прямая с топологией, порождённой базой
{[а, Ь): а, Ь еЩ, называется прямой Зоргенфрея1^ и обычно
обозначается S. Подпространство [0,1) с S прямой Зоргенфрея называется
стрелкой Зоргенфрея, а топология прямой Зоргенфрея называется
топологией стрелки. Докажите, что прямая (и стрелка) Зоргенфрея
а) удовлетворяет первой аксиоме счётности;
б) не удовлетворяет второй аксиоме счётности;
в) наследственно сепарабельна, т. е. любое её подпространство
сепарабельно;
г) неметризуема.
2) Роберт Генри Зоргенфрей (1915—1996) — американский математик.
Построил первый пример нормального пространства, квадрат которого не нормален
(см. главу 5).

106
Глава 3. Замыкание и сходимость
11. Пусть W® = {а: α<ωλ} — множество всех не более чем
счётных ординалов с порядковой топологией и И^ = И^° υ{ω1} = {α: α ^
^ ωλ} — множество всех не более чем счётных ординалов вместе
с первым несчётным, тоже с порядковой топологией. Заметьте,
что Wi является открытым плотным подпространством
пространства Wv Покажите, что И^0 — несепарабельное пространство с
первой аксиомой счётности, каждая точка в нём имеет тип G5hk
каждой его неизолированной точке сходится нетривиальная
последовательность. (Заметьте, что отсюда вытекает, что всякий не
имеющий непосредственного предшественника счётный ординал а
является пределом строго возрастающей последовательности
ординалов (απ)π<ΕΝ; на языке порядка это означает, что a = supan = (J an.)
При этом ]/\ίλ содержит точку соъ к которой не сходится никакая
последовательность и которая не имеет тип G5.
12. а) Приведите пример несепарабельного пространства со
свойством Суслина.
б) Покажите, что свойство Суслина и сепарабельность
наследуются открытыми подпространствами.
в) Покажите, что свойство Суслина наследуется плотными
подпространствами, а сепарабельность не наследуется.
13. Наследственное число Суслина hc(X) топологического
пространства X, которое также называется спрэдом пространства X
и обозначается s(X), определяется естественным образом:
ftc(X) = s(X) = sup{c(Y): Υ с X}.
Покажите, что hc{X) = sup{|7|: У—дискретное подпространство
пространства X}.
14. Заметьте, что кардинальнозначные характеристики
топологического пространства X, с которыми мы успели познакомиться,
связаны неравенствами
Приведите примеры пространства X, для которого χ 00 < с(Х),
и пространства Υ, для которого χ(Υ) > hc(Y).
Подсказки и решения
2. Ответ на последний вопрос —нет. Рассмотрите, например,
X = R, А = М\{0}иВ = М\{1}.

Подсказки и решения
107
4. а) Например, X = Υ и {*}, где У —любое множество со
свойствами \Υ| ж и * φ Υ, все точки Υ изолированы и окрестности
точки * — всевозможные дополнения в X до множеств Л с У мощности,
не превосходящей к.
б) Если X — пространство, в котором имеется незамкнутое
подмножество А мощности, не превосходящей к, то для любой точки
χе А\ А множество Аи{х} недискретно, и его мощность не
превосходит к. Если все подмножества множества X мощности не больше
к замкнуты и А с X, \А\ ^ к, то для любой точки χ е А множество
В — А\ {х} тоже имеет мощность не больше к и потому замкнуто
в X и тем более в А; значит, одноточечное множество {х} = А\В
открыто в А, т. е. всякая точка χ изолирована в подпространстве А.
5. Рассмотрите, например, А = [-1, 0] и В — (0,1).
6. Для открыто-замкнутых множеств. У прямой два таких
подмножества -0и1. Это утверждение не так очевидно, как кажется;
оно равносильно связности прямой (см. подсказку к задаче 16 на
с.82): для любого непустого множества Λζΐ имеем R = AUR\А,
и если А открыто-замкнуто, то R \ А тоже открыто-замкнуто.
7. а) Вспомните, что подпоследовательность — это композиция
строго возрастающего отображения Ν-^Νη данной
последовательности, тогда как в определении поднаправленности строгого
возрастания соответствующего отображения не требуется.
б) Нет — см. подсказку к следующей задаче.
8. б) Пусть Χ — Υ Ό {*}, где У —счётное множество и * φ Υ,
и пусть <%/ — любой неглавный ультрафильтр на Υ. Снабдим X
топологией, в которой все точки множества Υ изолированы, а
окрестностями точки * служат всевозможные множества вида Ли{*}, где
Ае^. Пусть ξ = (xn)nGN—любая нетривиальная
последовательность. Перейдя, если нужно, к подпоследовательности, мы можем
считать, что все точки хп различны и отличны от *. Заметим, что
ξ (и вообще никакая нетривиальная последовательность) не может
сходиться к изолированной точке. Если {хп: η е Ν} φ %, то
последовательность ξ не сходится и к *, а значит, вообще не сходится. Если
{хп:neN}€^, топо теореме 3.21 одно из множеств {х2п: ηеΝ}
и {х2п-1: rc^N} принадлежит °11, а значит, второе не принадлежит
(потому что оно не пересекается с первым). Поэтому
последовательность ξ не сходится к *; следовательно, она вообще не сходится.

108
Глава 3. Замыкание и сходимость
Занумеровав произвольным образом все точки множества У, мы
получим последовательность, для которой точка * является
предельной, но которая не содержит никакой сходящейся к *
подпоследовательности.
9. а) Для замкнутого множества F в метрическом
пространстве X рассмотрите множества Un = I χ е X: d О, F) < - J.
б) Множество рациональных чисел счётно. Как-нибудь
перенумеруем его элементы: Q = {qn: η е Ν}. Тогда множество
иррациональных чисел является пересечением открытых множеств R \ {qk},
fceN.
Предположим, что Q имеет тип G5. Пусть Q= f] Vk, где Vk —
открытые подмножества прямой R. Для каждого к е N положим
Wk = Vk\ {qk}; очевидно, все Wk плотны и открыты в R, причём
P[Wk = 0.
Сейчас мы по индукции построим последовательность
непустых вложенных друг в друга отрезков [ак, Ък] с Wk. Выберем
любой непустой интервал (αΎ^Ύ), для которого [а^^Ъ^] с И^. Пусть
отрезок [ак, Ьк] уже построен. Положим гк = -д(Ък — ак); ясно, что
ak<ak + rk<bk~rk<bk- Поскольку множество Wk+1 открыто и
плотно, найдётся непустой открытый интервал (а, Ь), для которого
[а, Ь] с Wk+1 Π {ак + гк, Ък - гк); полагаем \ак+ъ bfc+1] = [α, b].
Для построенной последовательности отрезков [ак, Ък]
имеем [ак+ъ Ък+1] с [ак,Ък] и [afc+1,bfc+1] с Wk, откуда следует, что
Π [ак, Ьк] с Р| Wk = 0, а это противоречит известной из анализа
fceN fceN
теореме о вложенных отрезках. Следовательно, Q не является
множеством типа G5.
в) Нет. Рассмотрите прямую R с топологией вГм, порождённой
базой «^ и Р, где ^ — обычная топология. Таким образом, наше
пространство—это обычная прямая, в которой все иррациональные
точки объявлены изолированными. Это пространство называется
прямой МайклсР и обладает многими замечательными свойствами.
В частности, прямая Майкла удовлетворяет первой аксиоме счётно-
сти и множество рациональных чисел в ней замкнуто, но не являет-
1} Эрнест Майкл (1925—2013) — выдающийся американский математик,
известный своими трудами по общей топологии. Создал теорию непрерывных
селекции многозначных отображений.

Подсказки и решения
109
ся Gs-множеством — иначе оно имело бы тип G5 в обычной
топологии прямой.
г) Дискретное пространство или пространство из решения
задачи 8 б).
10. б) Если у S есть какая-то счётная база, то есть и счётная
база, состоящая из полуоткрытых интервалов (см. задачу 12 на с. 73).
Возьмём любое счётное семейство & = {[ак, Ък):ке. N}. Никакая
окрестность вида [х, у) точки χ φ {ак е Ν} не содержит
окрестности χ из &\ значит, & — не база.
в) Пусть X с S. Нам надо найти счётное множество Υ с X, для
которого Ys D X (этого достаточно, так как Yx = Ys ПХ). Заметим,
что как множество X содержится в обычной прямой R, и, поскольку
прямая R наследственно сепарабельна (будучи пространством со
второй аксиомой счётности), найдётся счётное множество Υ0 сХ,
для которого 70R D X. Пусть χ е X \ 70s, и пусть ах > χ таково, что
[χ, αχ) Π Y0S = 0. Заметим, что интервалы (χ, αχ) и (у, ау) для разных
точек х, у еХ \ Y0S не пересекаются. Действительно, если (для
определённости) χ < у и (χ, αχ) Π (у, ау) ^ 0, то у е (х, ах), и интервал
(х, ах) — окрестность точки у е X в обычной топологии прямой, не
пересекающая У0, а это противоречит условию У0Е ζ> Χ.
Итак, точкам χ е X \ 70s мы поставили во взаимно
однозначное соответствие непересекающиеся непустые открытые
интервалы. Число таких интервалов не может быть несчётным, поскольку
каждый из них содержит хотя бы одно рациональное число, а
множество рациональных чисел счётно. Значит, и множество X \ Y0S
счётно. Осталось положить Υ = У0 и X \ Y0S.
г) Если бы прямая Зоргенфрея была метризуемой, то, будучи
сепарабельной, она бы обладала счётной базой.
11. Вспомните, что для каждого ординала а определён
непосредственно следующий за ним по порядку ординал а +1, так что у
всякого ординала а е И^0, а > 0, имеется не более чем счётная
локальная база {(/3, а +1): β < α}. Заметьте, что ординал а
изолирован в порядковой топологии тогда и только тогда, когда он
равен наименьшему ординалу 0 — 0 или у него есть
непосредственный предшественник а — 1 (в этом случае {а} = (а - 1, а + 1)).
Пространство И^0 не сепарабельно потому, что для любого
счётного множества ординалов {ап: η е Ν} с И^0 определён супремум
а = sup ап = min{)3: ап ^ β для всех η е Ν} (так как ординалы вполне

по
Глава 3. Замыкание и сходимость
упорядочены), причём по определению порядка на ординалах а —
— |J ап. Значит, ординал а счётен, т. е. а < ωλ, и у каждого болыие-
го ординала β е И^0 есть окрестность (α, β +1), которая не содержит
ни одного ап. По той же причине к точке ωΎ в пространстве У/г не
сходится никакая последовательность.
12. а) Годится любое несчётное множество X, снабжённое
топологией, состоящей из пустого множества и всех подмножеств X
с не более чем счётным дополнением. Однако читатель, знакомый
с аксиомами отделимости (см. главу 5), заметит, что это
пространство не вполне регулярно и даже не хаусдорфово, и наверняка
захочет знать, существуют ли вполне регулярные несепарабельные
пространства со свойством Суслина. Ниже мы приводим пример такого
пространства.
Рассмотрим множество
X = if: ωλ -+ {0,1}: \{а < <ог: /(а) - 1}| < К0}
с топологией, порождённой предбазой
т = {W° = {feX: /(/3) = 0}: β < coJUiVty1 -
= {/^Χ:/ίβ) = 1}:β<ω1}.
Очевидно, база этой топологии состоит из всевозможных множеств
вида
wai,...,antei>..., επ) = {/ € Χ: /(α£) = εί для всех i ^ η},
где η € Ν, аг <...<αη<ω1 и εΐ9..., £пе{0,1} (ординалы а{
упорядочены по возрастанию только для удобства обозначений).
Покажем, что X обладает свойством Суслина. Рассмотрим
любое несчётное семейство 4£ непустых открытых множеств в X; нам
надо показать, что хотя бы два множества из этого семейства
пересекаются. В каждом U е 41 выберем непустой элемент базы.
Получим несчётное семейство Ψ элементов базы. Оно состоит из
множеств вида Wai} ап(е1у..., εη). Обозначим множество всех
соответствующих наборов F = {al9..., ап} (нижних индексов) через &. По
лемме о Δ-системе (см. с. 42) найдутся несчётное семейство &' с &
и конечное множество R — {ръ ..., рк} с ωΎ с тем свойством, что
¥Ύ η F2 = R для любых Fl9 F2 g &'. В семействе Ψ рассмотрим
подсемейство Ψ' 9 состоящее из всех Wa ап(εΐ9..., εη) е Ψ с наборами

Подсказки и решения
111
нижних индексов из &'. Это подсемейство несчётно, а разных
наборов (δχ,..., δ^), δ; G {0,1}, существует лишь конечное число. Значит,
найдутся такие набор (δ^,..., δ£) нулей и единиц и несчётное
семейство Ψ" с Ψ', что для каждого Wa^ ап{еъ ..., εη) е Ψ",
во-первых, ati — ръ ..., aik = pfc для некоторых 1ъ ..., ifc ^ η и, во-вторых,
ε. = 5J для всех j ^ к. При этом для разных Wai^n Оъ ..., επ) е 7JP"
числа π и il9..., ifc могут быть разными или совпадать, но разности
{аъ ..., αη} \ {α£ι,..., aifc} для разных W^...j(ZnOi,..., επ) g ^" не
пересекаются, потому что Ψ" с Ψ'.
Пусть W^.^Oi,..., εη) и И^ь ^(δ^ ..., 5т) -любые два
разных множества из семейства Ψ". По определению этого
семейства {аъ ..., αη} Π {βΐ9..., ^m} = {ръ ..., ρ J, и в каждой точке рь
i^k, все функции из W^^O^ ..., επ) и из И^ъ>>.^(δ^ ..., 5т)
принимают одно и то же значение δ*. Рассмотрим такую функцию
/:<ог^{0,1}:
(
εί9 если a = at для некоторого ι ^ η,
/(a) = < δ;, если a = /3, для некоторого j ζ τη,
у 0, если а ф {аъ ..., αη}υ{βΐ9..., j8m}.
Ясно, что функция / принадлежит обоим множествам Wa гЛ {еъ ...
..., εη) и УУръ_фт (5Ъ..., 5т). Эти множества содержатся в некоторых
элементах U и V исходного семейства У/, значит, U Π У ф0, что
и требовалось.
То, что пространство X не сепарабельно, очевидно — каждая
функция из X может принимать ненулевое значение лишь в
конечном числе точек, поэтому функции из любого счётного
множества Υ с X могут принимать ненулевое значение лишь на счётном
множестве ординалов {ап: η е Ν}. Для любого /3>supan
множество Wjg(l) непусто, открыто и не пересекается с Υ. η<ΕΝ
в) То, что свойство Суслина наследуется плотными
подпространствами, понятно. Покажем, что сепарабельность не
наследуется. Трактуя запись 2К° как множество отображений К0 —> {0,1},
рассмотрим пространство
Z = {/:2K°-+{0,1}}
с топологией, база ^ которой состоит из всевозможных множеств
вида
%!,...,¥>„(£!> ···> εη) = {f ^Z: /(>;) = et для всех i ^ η},

112
Глава 3. Замыкание и сходимость
где π€Ν, φΐ9..., φη&2τ° и εΐ9..., επ€{0,1}. Рассмотрим также
пространство
Y = if: *о -{0,1}}
с топологией, база °11 которой состоит из всевозможных множеств
вида
Ϊ4(ει,..., ек) = {/€7: /(О = ε£ для всех ί ^ к},
где к < К0 и ε1?..., efc е {0,1}; очевидно, \°11\ ^ К0. Заметим, что как
множество Υ равно 2К°, так что элементы множества Ζ можно
считать функциями Υ —> {0,1}.
Пусть & — совокупность всех конечных дизъюнктных семейств
{1]ъ ..., Um} с °11. Тогда \&\ ^ К0. Пусть Л — множество всех функций
/: Υ —> {0,1} в пространстве Ζ, для каждой из которых существует
семейство {Ul9..., Um} е^" с тем свойством, что функция /
постоянна на каждом множестве Ui9 ί ^ m, и на множестве Υ \ (1^ и... U LTm).
Покажем, что множество А плотно в Z. Возьмём любое
непустое открытое множество W с Ζ и в нём непустой элемент базы
ν/ψιjmmmj{Pn(el9..., εη). Без ограничения общности можно считать, что
все φ ι различны (и все они являются элементами У). Выбирая
для каждой пары функций φί9 φ^ по точке, в которой эти функции
принимают разные значения, найдём такое конечное множество
F = {nl9..., пк} с К0, что все сужения ψι\ρ попарно различны. Пусть
N = max{nl9..., пк}9 и пусть ε{ = φ;·№) для к ?ζ Ν и j ?ζη. Тогда
множества L^Oi,..., eJN) с разными ;'^ π не пересекаются, так что
{ϋΝ(ε{,..., £дг): ; ^ п} е «^, причём φ; е ϋΝ{ε{9..., ε^) для каждого
j ^ п. Функция /: Υ —> {0,1}, определённая правилом
/Ы
ί ε;, если φ е ί/Ν(ε{,..., ε^) для некоторого ; ^ п,
0, если φ £ (J ϋΝ(ε{,..., ε^),
принадлежит одновременно и множеству W^ ^(εΐ9...,εη) с W,
и множеству А. Из произвольности выбора W следует, что А плотно
βΖ.
Теперь вспомним, что 2К° можно трактовать также и как
кардинал, т. е. наименьший ординал мощности континуум (при такой
интерпретации каждой функции φ: К0 —* {0,1} соответствует
некоторый ординал а < 2К°), и рассмотрим множество
Z = {g:o1->{0,l}} = {f\tul:feZ}

Подсказки и решения
113
(если выполнена континуум-гипотеза 2К° = ωΐ9 то Ζ = Ζ) с
топологией, базу которой образуют всевозможные множества {/|ω : / £ [/},
где t/ е ^. Нетрудно показать, что эта база состоит из всех множеств
вида {geZ: g(ax) = εχ, ...,g(an) = επ}, где neN, ax <...<απ<ω1
и £ι, ···> εη е {0,1}. Очевидно также, что счётное множество А =
= {/| : / е А} плотно в Ζ, поскольку А плотно в Ζ, так что Ζ се-
парабельно. С другой стороны, пространство X, построенное в
решении задачи а), является плотным подпространством
пространства Ζ, а оно не сепарабельно.
13. Положим jc = sup{|y|: У—дискретное подпространство
пространства X}. Ясно, что число Суслина дискретного пространства
равно его мощности, поэтому к ^ ftc(X). Пусть Ζ с X, c{Z) ^ Я,
и пусть °11 —дизъюнктное семейство непустых открытых в Ζ
множеств, \°11\ — Я. Выбрав по точке в каждом U е У/, мы получим
дискретное подпространство Υ мощности Я пространства Ζ, а значит,
и пространства X. Следовательно, к ^ ftc(X).
14. В качестве X годится несчётное дискретное пространство
или пространство И^0 из задачи 11; все точки вида а +1 в этом
пространстве изолированы, так что {{а + 1}: а < ωΎ} — несчётное
дизъюнктное семейство непустых открытых множеств. В качестве Υ
можно взять счётный веер Фреше—Урысона или пространство из
решения задачи 8 б).

Глава 4
Непрерывные отображения
и гомеоморфизмы
Главную цель науки топологии можно сформулировать как
изучение непрерывности с самых общих позиций, и её объекты —
топологические пространства, т.е. множества, снабжённые
структурой (топологией), позволяющей определить понятие непрерывного
отображения.
§ 4.1. Непрерывные отображения
В теории метрических пространств обычно сначала
определяется непрерывность отображения в одной точке пространства, а затем
уже глобальная непрерывность на всём пространстве.
1 Определение 1. Отображение / метрического пространства
J (X, d) в метрическое пространство (У, р) называется непрерыв-
I ным в точке х0 е X, если для любого числа ε > О найдётся такое
Ι δ>0, 4To/O)e£p(/(jt0),e) для всякого jte£d(jt0, δ).
Ι Отображение /: Χ —> У метрических пространств непрерывно,
I если оно непрерывно во всех точках пространства X.
Из этого определения сразу же вытекает такая теорема.
I Теорема 4.1. Для любого метрического пространства (X, d) и
любого непустого множества A<zX функция f: X —> R,
определённая правилом f{x) = d(x,A), xeX, непрерывна.
Доказательство. Для того чтобы доказать теорему, достаточно
проверить, что
|dU,A)-d(y,A)| ^d{x,y) для всех х, у е X; (*)
тогда в качестве δ из определения непрерывности можно будет
взять ε.
Напомним, что d(x, Λ) = inf{d(x, ζ):ζ€Λ}. Поскольку d(x, ζ) ^
^d(jc,у) -fd(у,г) для любой точки zGA (по неравенству
треугольника), имеем
d(x,A)^d{x,y)+d(y,z)

§ 4.1. Непрерывные отображения
115
для любой точки ζ G А. Переходя к точной нижней грани по ζ € А
в правой части, получаем
d(x,A)^d(x,y)+d{y,A).
Меняя местами χ и у, видим, что
d(y,A)^d(x,y)+d<ix,A).
Таким образом, d{x,A) - d{y,A) ^ d{x,y) и d{y,A) - d(x,A) ^
^ d{x, у), откуда вытекает неравенство (*), а с ним и теорема. D
Непрерывность отображения метрических пространств (т. е. его
непрерывность во всех точках) равносильна следующему, зачастую
более удобному, условию.
Предложение 4.2. Отображение /: X —> Υ метрических
пространств непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз f~l(U)
всякого множества U с Y, открытого в Y, открыт в X.
Доказательство. Необходимость. Нам надо показать, что
множество /_1(ί/) открыто, т.е. что каждая точка х0€/_1(С7)
содержится в f~l(JJ) вместе с некоторой своей окрестностью. Пусть
jc0 е/-1(1Г). Поскольку множество U открыто в У и /(jc0) e U>
существует ε > О, для которого £р(/О0), ε) с U. Из того, что
отображение / непрерывно в точке х0, вытекает существование числа δ > О,
для которого f(Bd(x0, δ)) сВр(/(х0), ε) с U, т.е. Bd(x0, δ) с/^Ц/),
что и требовалось.
Достаточность. Для любой точки х0Е:Х и любого ε > О
множество Вр (/0с0)> ε) открыто в Υ. Значит, его прообраз f~l (Bp (/(jc0)> ε))
открыт в X.
Поскольку точка х0 принадлежит множеству /_1(£р(/(*о)> ε))>
некоторая её окрестность Bd (jc0, δ) содержится в этом множестве
в силу его открытости, а это и означает, что / непрерывно в точке х0.
Из произвольности выбора точки х0 следует непрерывность /. D
В топологии свойство, указанное в предложении 4.2,
принимается за определение непрерывности, хотя непрерывность
отображения в точке, разумеется, тоже определена.
I Определение 2. Отображение /: X —> Υ топологических про-
I странств называется непрерывным, если прообраз при этом отоб-
I ражении любого множества, открытого в Υ, открыт в X.
I Отображение / непрерывно в точке х0 е X, если прообраз любой
I окрестности точки /0с0) в пространстве Υ является окрестностью
I точки х0 в пространстве X, т. е. содержит открытую окрестность
1 точки х0.

116 Глава 4. Непрерывные отображения и гомеоморфизмы
Если для топологических пространств X и Υ существует
непрерывная сюръекция /: X —> У, то говорят, что У является
непрерывным образом пространства X.
Замечание 4.3. Легко видеть, что отображение метрических
пространств непрерывно в смысле определения 1 тогда и только
тогда, когда оно непрерывно в смысле определения 2 относительно
порождённых метриками топологий на этих метрических
пространствах.
Есть целый ряд свойств отображений топологических
пространств, равносильных непрерывности.
1 Теорема 4.4. Для отображения /: X —> У топологических про-
I странств следующие свойства равносильны:
1 φ / непрерывно, т. е. прообраз при отображении f любого от-
I крытого множества открыт;
Ι © прообраз при отображении f любого замкнутого множества
I замкнут;
1 © отображение f непрерывно в каждой точке пространства X;
I ® образ при отображении f замыкания любого множества А с X
I в X содержится в замыкании образа /(А) этого множества
β У;
1 © замыкание в X прообраза f~l{B) любого множества В с У со-
1 держится в прообразе замыкания множества В βΥ.
Доказательство. Равносильность условий фи© следует из того,
что замкнутые множества — это в точности дополнения до
открытых, а равносильность условий φ и © доказывается точно так же,
как предложение 4.2. Покажем, что © => ®. Пусть А с X. В силу
условия © множество /-1(/(А)У) замкнуто, и это множество
содержит А; по следствию 3.4 имеем
асгЧдаГ).
Импликация ® => © следует из того, что В =/(/_1(В)), так что
/(/_1 (В)) с В, если выполнено ®. Осталось доказать, что © => ©. Это
действительно так: если F с Υ — любое замкнутое множество в У, то
в силу условия © имеем /_1 (F) с /_1 (F), а значит,
r1(F)X=/"1(F),
т. е. множество /_1(F) замкнуто. D
Непрерывные отображения метрических и топологических
пространств можно охарактеризовать и в терминах сходимости.

§ 4.1. Непрерывные отображения
117
ι Теорема 4.5. φ Отображение /: X —> Υ метрических прост-
1 ранете непрерывно в точке х€Х тогда и только тогда, когда
I образ при отображении / любой последовательности, сходя-
I щейся к х, сходится к /Ос).
Ι © Отображение /: X —> Υ топологических пространств непре-
I рывно в точке jc e X тогда и только тогда, когда образ при
1 отображении / любой направленности, сходящейся к χ,
αχοί дитсяк /Ос).
Ι © Отображение /: X —> Υ топологических пространств непре-
1 рывно в точке χ е X тогда и только тогда, когда образ при
I отображении / любого ультрафильтра, сходящегося к х, схо-
I дитсяк fix).
Доказательство. Доказательства утверждений фи© почти
дословно повторяют друг друга, поэтому мы докажем только ©.
Предположим, что образ при отображении / любой
направленности, сходящейся к точке jc еХ, сходится к /00, и выведем отсюда
непрерывность отображения / в точке jc. Пусть У—любая
окрестность точки /Ос) в пространстве Y. Предположим, что /_1(У) не
является окрестностью точки jc. Это означает, что никакая
окрестность jc не содержится в /-1(У). Множество ^/{х) всех окрестностей
точки jc направлено вверх отношением ^, обратным включению
(£/ ^ V, если U э V). Выберем в каждой окрестности U е ^{х) точку
Хи&и\/~г(У). Направленность Ofy)ire?/ сходится к точке х, но её
образ (/0С[/))[/€^ не сходится к /(jc), поскольку окрестность V
точки /(jc) не содержит ни одного элемента /Ос^) этой
направленности. Мы пришли к противоречию.
Предположим теперь, что отображение / непрерывно в
точке χ еХ, и рассмотрим любую направленность 0са)а€Л в
пространстве X, где А — произвольное множество, направленное некоторым
отношением ^. Если образ (/0са))а€А не сходится к /(jc), to
найдётся окрестность V точки /(jc) в Υ с тем свойством, что, каково бы
ни было а0 е А, существует а ^ а0, для которого f(xa) φ V. Положим
£/ = /_1(V). Это окрестность точки jc в X (в силу непрерывности
отображения / в х), и, каково бы ни было а0 е А, существует а ^ а0,
для которого χα φ U. Значит, направленность 0са)а€Л не сходится
к точке jc, что и требовалось показать.
Докажем утверждение ©. Предположим, что образ при
отображении / любого сходящегося к точке хеХ ультрафильтра сходится
к /(jc). Пусть У—любая окрестность точки /(jc). Если её прообраз

118 Глава 4. Непрерывные отображения и гомеоморфизмы
/ 1(У) не является окрестностью (= не содержит ни одной
окрестности) точки χ в X, то семейство
^ = {χ \ f1 (у)} и {U: U — окрестность точки χ в X}
центрировано и по теореме 3.20 содержится в некотором
ультрафильтре °11 на X. Этот ультрафильтр сходится к точке х, значит, его
образ β/(<20 должен сходиться к /Ос). Однако это не так: поскольку
Х\/-1(У)€^, имеем /(X\/"1(V))=/(X)\V€jB/(V) и,
следовательно, У ^ β/(У/). Это противоречие показывает, что прообраз при
отображении / любой окрестности точки fix) в Υ является
окрестностью точки χ в X, а это означает непрерывность отображения /
в точке jc.
Предположим теперь, что отображение / непрерывно в точке
χ €Х, и рассмотрим любой ультрафильтр °11 на X, сходящийся к х.
Если β/(У/) на Υ не сходится к точке f{x), то у этой точки есть
окрестность V, не принадлежащая ультрафильтру /3/(<20. По
теореме 3.21 имеем У\ Уе/3/(<20, и по определению отображения
ультрафильтров β/ получаем
r1(Y\v) = x\r1(y)s^9
а это противоречит тому, что ^->хи/4 (V) — окрестность точки χ
(поскольку отображение / непрерывно в точке jc). D
Ι Следствие 4.6. φ Отображение метрических пространств не-
I прерывно тогда и только тогда, когда образ при этом отоб-
I ражении любой сходящейся последовательности сходится.
Ι © Отображение топологических пространств непрерывно то-
1 гда и только тогда, когда образ при этом отображении любой
1 сходящейся направленности сходится к образу её предела.
I © Отображение топологических пространств непрерывно то-
I гда и только тогда, когда образ при этом отображении любо-
£ го ультрафильтра, сходящегося к некоторой точке, сходится
1 к образу этой точки.
Доказательство. Утверждения © и © очевидны. Чтобы
доказать ф, достаточно проверить, что если образ любой сходящейся
последовательности сходится и хп —>х, то f(xn)-*f(.x). Это так:
положив х'п — хп для нечётных η и х'п = χ для чётных п, мы получим
последовательность Оп)п, которая сходится к х. Её образ (/0О)п мо_
жет сходиться только к /О), поскольку он содержит тождественно

§ 4.1. Непрерывные отображения
119
равную /00 подпоследовательность (/04η))η·
Подпоследовательность (/(*2η-ι))η образа последовательности (хп)п совпадает с
подпоследовательностью (/(>2η-ι)) последовательности (/(*£))„.
Значит, (/0О)п тоже может сходиться только к /00 (см. задачу 7 в) на
с. 104). D
Из определения непрерывности сразу же вытекает, что свойство
быть непрерывным отображением сохраняется основными
операциями над отображениями, а именно операцией взятия
композиции отображений и операциями сужения и продолжения
отображений (а также более общими операциями перехода к под
отображениям и над отображениям); впоследствии мы увидим, что она
сохраняется также и операциями декартова и диагонального произведения.
Предложение 4.7. Для любых отображений /: X—> Υ и g: Υ—>Ζ
топологических пространств верны следующие утверждения.
• Если отображения fug непрерывны, то их композиция go f
тоже непрерывна.
• Если отображение / непрерывно в точке jc e X, a g непрерывно
в точке /00, то композиция go / непрерывна в точке х.
• Если отображение / непрерывно, A<zX— любое подмножество
пространства X и В с Υ—любое подмножество
пространства Υ, содержащее /(Л), то подотображение /Π(Λχβ):Λ->β
непрерывно. В частности, сужение f\A: А—> Υ непрерывно.
• Если отображение / непрерывно в точке хеХ, А с X—любое
подмножество пространства X, содержащее х,и В с У—любое
подмножество пространства Y, содержащее /(A), то
подотображение / П (А х В): А —> В непрерывно в точке х.
• Если отображение / непрерывно, то для любого
топологического пространства Z, содержащего Υ в качестве
подпространства, надотображение X —> Ζ отображения / {т. е.
отображение f:X—>Z, определённое правилом /00 = /00 для всех χеX)
непрерывно.
• Если отображение / непрерывно в точке χ е X, то для
любого топологического пространства Ζ, содержащего Υ в
качестве подпространства, надотображение X —> Ζ отображения /
непрерывно в точке х.
Весьма полезно следующее утверждение.
Предложение 4.8. а) Если /: X —> Υ — отображение
топологических пространств и существует предбаза топологии Υ,
прообразы всех элементов которой открыты в Х,то / непрерывно.

120 Глава 4. Непрерывные отображения и гомеоморфизмы
б) Если /: X —> Υ — отображение топологических пространств,
хеХ и существует локальная база топологии Υ в точке f(x),
прообразы всех элементов которой являются окрестностями точки χ
в X (не обязательно открытыми), то f непрерывно в точке х.
Доказательство, а) Пусть <% — предбаза топологии Y,
прообразы всех элементов которой открыты, и пусть <M = {U1n...nUn: nе.
е Ν, Ul9..., Un e ^} — порождённая этой предбазой база. Поскольку
/_1([/1η...η[/π)=/_1([/1)η...η/_1(ί7π) и конечные пересечения
открытых множеств открыты, заключаем, что прообразы всех
элементов базы °11 открыты, а из того, что любое открытое множество в
пространстве Υ есть объединение элементов базы и прообраз
объединения любого семейства множеств при любом отображении равен
объединению прообразов элементов этого семейства, следует, что
прообраз любого открытого подмножества Υ открыт, т. е. / непрерывно.
Утверждение б) вытекает непосредственно из определений
локальной базы и непрерывности отображения в точке. D
Примеры непрерывных отображений
1. Любое отображение дискретного пространства в любое
топологическое пространство непрерывно.
2. Отображение /: Х—> Υ антидискретного топологического
пространства X в топологическое пространство Υ непрерывно тогда
и только тогда, когда пространство /(X) с топологией,
индуцированной из Υ, антидискретно.
3. Пусть 3"\ и «^2 —две разные топологии на одном и том же
множестве X. Тождественное отображение idx: {X, &[) —> (X, <^2)
непрерывно тогда и только тогда, когда Zf2 с ^\ (т·е· топологии 3\ и Zf2
сравнимы и 3\ сильнее ^2).
4. Существует непрерывное сюръективное отображение
обычного отрезка [0,1] на квадрат. Такие отображения называются
кривыми, заполняющими квадрат, или кривыми Пеано1^. Ниже
представлен предложенный Гильбертом вариант построения такого
отображения.
2) Джузеппе Пеано (1858—1932) — итальянский математик. Занимался
формально-логическим обоснованием математики. Создатель одной из первых
дедуктивных систем логики высказываний и стандартной аксиоматизации
арифметики натуральных чисел. Построил первую непрерывную кривую, целиком
заполняющую квадрат.

§ 4.1. Непрерывные отображения
121
&5Й
ИЗ
Здесь мы не будем обсуждать детали. Подробное описание и
доказательство непрерывности конструкции такого отображения,
использующей треугольники вместо квадратов (как это делал сам Пеано),
можно найти в книге П. С. Александрова [1, с. 197]. С
использованием подобной конструкции можно построить кривую, заполняющую
куб любой конечной (и даже счётной) размерности.
5. Простая проверка доказывает непрерывность следующих
отображений (относительно обычной топологии на Μ и евклидовой
топологии на Ж2):
+ :Ш2 ->М, (х,у) -> х + у;
-: М2 -► Ш, (х, у) -> χ - у;
max: Μ2 —> Ш, (χ, у) —> max{x, у};
min: Μ2 —> Μ, (χ, у) —> min{x, у};
χ: Μ2 ->Μ, (χ, у) -> χ-у;
/:Ш2-^Ш, (х,у)-*х/у
(здесь Ж2 = {(х, у) € Ш2: у φ О});
π^Μ2-^, (χ, у)-* χ;
π2:Μ2-^Μ, (χ, у)-* у;
|·|:Μ->Μ, х-*|х|.
6. Для всякого топологического пространства X и любых
непрерывных отображений f,g:X—>R диагональ /Δg: Χ —>Μ2
(напомним, что это отображение, определённое правилом χ —> (/(χ), g(x)))
непрерывна. Чтобы убедиться в этом, в силу предложения 4.8
достаточно заметить, что множества вида {(х, у): а < χ < Ъ, c<y<d}, где
a, b, c,d€:R, образуют базу топологии М2 и их прообразы /_1(а, Ь) η
ng_1(c, d) открыты ввиду непрерывности отображений / и g.
С помощью конструкций из двух последних примеров легко
доказывается такое утверждение:
Предложение 4.9. Если X—любое топологическое
пространство и /, g: X —> R — непрерывные функции, то следующие функции

122 Глава 4. Непрерывные отображения и гомеоморфизмы
X—>М тоже непрерывны:
• x>-»fW + gW; · x^max{f(x),g(x)};
• x^fM-g(x); · x^min{/(x),g(>)};
·*-/(*)-/(у); .χ~|/(*)Ι·
Если при этом 0 ^g(X), mo непрерывна ещё и функция х—> "Т^Т·
Доказательство. Достаточно заметить, что каждое из
перечисленных отображений является композицией непрерывного
отображения fAg: X—>М2 или f:X—>М и одного из непрерывных
отображений в примере 5, и применить первое утверждение предложения 4.7
(о непрерывности композиции непрерывных отображений). D
§4.2. Гомеоморфизмы
Мы ввели главные понятия топологии — понятия
топологического пространства и непрерывного отображения. Теперь мы
можем наконец точно сформулировать предмет исследования — те
свойства топологических пространств (инварианты), которые
изучает топология. Другими словами, мы можем сказать, какие
топологические пространства неразличимы с точки зрения топологии,
т.е. имеют совершенно идентичные свойства, и какие
отображения играют в топологии ту роль, которую в теории групп играют
изоморфизмы, в теории евклидовых пространств — изометрические
преобразования и т. п.
1 Определение. Гомеоморфизмом или топологическим отобра-
1 жением между топологическими пространствами X и Υ называ-
I ется непрерывное взаимно однозначное отображение /: X —> Υ
I с тем свойством, что обратное отображение /_1: Υ —> X тоже
1 непрерывно (и, конечно, взаимно однозначно). Таким образом, /
■ является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда /_1 опре-
I делено и является гомеоморфизмом. Говорят, что пространства
1 X и Υ гомеоморфны, и пишут X = Υ, если существует гомеомор-
I физм f:X—>Y. Топологическими свойствами или топологиче-
I скими инвариантами называются те свойства топологических
Ι пространств, которые сохраняются гомеоморфизмами. Другими
I словами, & —топологическое свойство, если, каковы бы ни были
Ι гомеоморфные топологические пространства X и У, из того, что
1 пространство X обладает свойством &, всегда вытекает, что Υ το-
■ же обладает этим свойством (а если X не обладает свойством &>,
I то и У им не обладает).

§4.2. Гомеоморфизмы
123
ι Когда пространство X гомеоморфно некоторому подпростран-
1 ству Ζ пространства Υ, говорят, что X гомеоморфно вложено, или
1 просто вложено, или вкладывается в пространство Υ, а гомеомор-
1 физм между X и Ζ называется топологическим вложением или
I просто вложением.
Замечание 4.10. Отношение = («быть гомеоморфными»)
является отношением эквивалентности на классе топологических
пространств: если X = Y,Y = Z nf: X-^Y, g: Y-^Z — соответствующие
гомеоморфизмы, то go f: Χ —> Ζ, очевидно, тоже является
гомеоморфизмом, так что X = Z, т. е. отношение = транзитивно. Ясно
также, что = рефлексивно и симметрично {для всякого гомеоморфизма
f:X—>Y отображение /_1: Υ —> X тоже является гомеоморфизмом).
Строго говоря, топология изучает не топологические пространства
как таковые, а классы ^-эквивалентных пространств.
Если пространства (X, 3χ) и (У, βΓγ) гомеоморфны, то как
множество У —это просто копия множества X, т.е. множество X,
продублированное с помощью некоторой биекции (гомеоморфизма) /,
и если мы отождествим множества X и Υ посредством этой
биекции, то окажется, что топология Зх сильнее топологии 3Ύ,
поскольку отображение / непрерывно (а значит, все множества,
принадлежащие топологии образа, т. е. открытые в образе, обязаны
принадлежать и топологии прообраза), а топология 3Ύ сильнее
топологии Зх, поскольку/-1 непрерывно, так что эти топологии попросту
совпадают.
Разумеется, не всякое непрерывное взаимно однозначное
отображение является гомеоморфизмом: если X— (X, 3) — любое
недискретное пространство иХ— (Х,^,) —пространство,
совпадающее с X как множество, но снабжённое дискретной топологией, то
тождественное отображение \άχ: X—>Х является взаимно
однозначным и непрерывным (любое отображение дискретного
пространства куда угодно непрерывно), но не является гомеоморфизмом.
Все свойства топологических пространств, с которыми мы
успели познакомиться (свойство удовлетворять первой или второй
аксиоме счётности, метризуемость, сепарабельность, свойства Фре-
ше—Урысона и Суслина и т.п.), а также свойства, которые мы
будем рассматривать в дальнейшем, являются топологическими
инвариантами. Очевидно, топологическими инвариантами
являются также и кардинальнозначные характеристики
топологического пространства — мощность |Х|, вес ш(Х), характер χ{Χ), харак-

124 Глава 4. Непрерывные отображения и гомеоморфизмы
тер в точке χ О, X) (если /: X —> Υ — гомеоморфизм, то χ (χ, Χ) =
= χ(/Μ,Υ)), плотность d(X), число Суслина с(Х) и
наследственное число Суслина ftc(X). Эти и подобные им инварианты принято
называть кардинальными инвариантами.
Примеры нетопологических свойств —это свойство быть
множеством чисел или ординалов (или любым другим конкретным
множеством конкретных объектов) или свойство быть
ограниченным подмножеством прямой Ш (например, ограниченный интервал
(—1,1) гомеоморфен всей прямой R — гомеоморфизмом является
отображение /(jc) = jc/(1 — jc2)). Свойство быть метрическим
пространством с метрической топологией, т.е. топологическим
пространством (X, ^d), на котором задана конкретная метрика d,
однозначно порождающая метрическую топологию !?d9 тоже не является
топологическим. Однако если отказаться от нетопологического
элемента—конкретной метрики d, то останется уже топологическое
свойство: тот факт, что существует некоторая метрика d,
порождающая топологию пространства (X, <^), сохраняется гомеоморфизмами
(если /: X —> Υ — гомеоморфизм, то топология пространства Υ
порождается, например1}, метрикой p(x,y) = d(/-1(jt),/-1(y)) на У).
Мы уже знаем, что это свойство называется метризуемостью.
Точно так же свойство быть линейно упорядоченным множеством,
снабжённым порядковой топологией, не является топологическим
свойством, но свойство быть линейно упорядочиваемым
топологическим пространством (т. е. пространством, на котором существует
порождающий топологию этого пространства линейный порядок2))
уже топологическое.
Понятие вложения в пояснении не нуждается, хотя один
пример привести можно. Пространство W0 = {η: η< ω} υ {ω} всех
конечных и первого бесконечного ординалов с порядковой
топологией вкладывается в обычную прямую Ш: оно гомеоморфно
подпространству прямой Y = {0}u{-: neNJU{2}c]R (гомеоморфизмом
является отображение /: W0 —> Υ, определённое правилом /(0) = 2,
/(п) = £ ддяп<со, пфО, π/(ω) = 0).
υ Подчеркнём, что порождающая топологию метрика всегда определена
неоднозначно — хотя бы потому, что, умножив все расстояния на любое
положительное число, мы получим ту же самую топологию.
2) Этот порядок очень часто оказывается определённым однозначно, в
отличие от метрики.

§4.2. Гомеоморфизмы
125
Топология занимается изучением поведения топологических
свойств (инвариантов) под действием разных операций над
топологическими пространствами и связи между разными инвариантами,
а также между топологическими инвариантами и
(нетопологическими) свойствами, обусловленными наличием каких-либо
дополнительных внешних (нетопологических) структур на топологических
пространствах, согласованных с топологией в том или ином смысле.
До сих пор мы имели дело лишь с двумя операциями —
переход к подпространству и переход к образу при непрерывном
отображении (или, как коротко говорят, переход к непрерывному
образу). Мы уже обсуждали наследственность (= сохранение
подпространствами) топологических свойств, а сохранение известных нам
свойств непрерывными отображениями обсудим чуть ниже.
Разумеется, операции над топологическими пространствами не сводятся
к этим двум, их гораздо больше, и в дальнейшем мы познакомимся
с ещё несколькими, самыми главными, операциями.
Что касается связи между разными топологическими
свойствами — мы уже видели, что, например, в присутствии метризуемости
сепарабельные пространства удовлетворяют второй аксиоме счёт-
ности, хотя в общем случае это не так. В дальнейшем мы увидим,
что топологические свойства бывают весьма разнообразными и
связанными самым неожиданным образом, и задача выяснения связи
между ними часто оказывается сложной и интересной.
Забегая вперёд, приведём в качестве примера теорему А.
В.Архангельского13 [4] (см. также [19]) о том, что мощность любого компакта с первой
аксиомой счётности не превосходит 2К°, —факт удивительный, поскольку
в общем случае первая аксиома счётности (и даже метризуемость) не
накладывает вообще никаких ограничений на мощность.
Изучение свойств топологических пространств, снабжённых
дополнительной структурой, согласованной с топологией, выходит за
рамки этой книги, хотя в конце мы слегка затронем и такие
вопросы; строго говоря, такими свойствами занимается не общая
топология, а смежные науки (такие как, например, топологическая
алгебра), хотя связи между разными структурами зачастую оказываются
столь тесными, что нет смысла строго разграничивать их изучение.
ΰ Александр Владимирович Архангельский (род. 1938) — советский и
российский математик. Достиг выдающихся успехов в разных разделах общей
топологии и топологической алгебры. Создатель топологической теории пространств
функций с топологией поточечной сходимости..

126 Глава 4. Непрерывные отображения и гомеоморфизмы
Мы уже видели, сколько общего у теории метрических пространств
и теории метризуемых топологических пространств.
Отметим, снова в качестве примера связи между разнородными
свойствами, что всякая топологическая группа (это группа, снабжённая
групповой топологией, т. е. топологией, относительно которой групповые
операции непрерывны) с первой аксиомой счётности метризуема и что
существование, например, компактной групповой топологии на группе
накладывает довольно жёсткие ограничения на алгебраическую структуру этой
группы.
Сохранение топологических свойств
непрерывными отображениями
Мы будем говорить, что топологическое свойство &
сохраняется отображениями из класса Ή, если, каково бы ни было
пространство X со свойством & и отображение /: Χ ^ Υ из класса ^, образ
Y — f(X) обладает свойством &.
Среди тех свойств, что нам уже известны, только три
сохраняются произвольными непрерывными отображениями — свойство
иметь мощность не больше к, свойство иметь плотность не больше
к и свойство иметь число Суслина не больше к. Стоит отметить, что
многими «хорошими» свойствами обладают дискретные
пространства, а любое отображение дискретного пространства непрерывно.
1. Чтобы увидеть, что метризуемость, первая и вторая аксиома
счётности и свойство Фреше—Урысона не сохраняются
непрерывными отображениями, достаточно рассмотреть счётное
пространство X = Υ U {*}, определённое в решении задачи 86) на с. 107,
и то же самое счётное множество X, но уже с дискретной
топологией (обозначим его через X). Тождественное отображение Х^Х
непрерывно, и счётное дискретное пространство X метризуемо (его
топология порождается дискретной метрикой) и удовлетворяет
второй, а значит, и первой аксиомам счётности (базу его топологии
образуют все одноточечные подмножества). Однако пространство X
не обладает даже свойством Фреше—Урысона.
2. Свойство быть линейно упорядочиваемым пространством
тоже не сохраняется: топология отрезка [0,1] с Μ порождается
обычным порядком на вещественных числах, однако этот отрезок можно
непрерывно отобразить на квадрат (см. с. 120), а топология
квадрата не порождается никаким линейным порядком—доказательство
этого факта почти дословно повторяет доказательство
аналогичного утверждения для плоскости (см. решение задачи 16 на с. 81).

§ 4.2. Гомеоморфизмы
127
3. Свойство Суслина сохраняется любыми непрерывными
отображениями. Более того, если /: Χ ^> Υ —любая непрерывная сюръ-
екция, то с (У) ^с(Х). Действительно, если °11 — любое
дизъюнктное семейство непустых открытых подмножеств пространства Υ, то
ψ = {f~l (U): U е У/} —дизъюнктное семейство непустых открытых
подмножеств пространства X и \У | = \°11\. Осталось вспомнить
определение числа Суслина.
4. То, что непрерывные отображения сохраняют
сепарабельность и, более того, d(Y) ^d(X) для любого пространства X и
любого его непрерывного образа У, немедленно вытекает из следующего
утверждения, которое, в свою очередь, является прямым
следствием теоремы 4.4 ®:
Предложение 4.11. Если f: X —> Υ — непрерывное отображение
топологических пространств и А —плотное подмножество
пространства X, то /(А) плотно в /(X).
Разумеется, интерес представляет сохранение топологических
свойств не только всеми непрерывными отображениями, но и
отображениями, удовлетворяющими тем или иным дополнительным
ограничениям; точно так же при изучении наследования свойств
подпространствами важно знать не только является ли данное
свойство наследственным, но и (если свойство ненаследственно)
какими специальными подпространствами оно всё-таки
наследуется. Самые естественные условия такого сорта возникают, если
накладывать ограничения не только на прообразы открытых или
замкнутых множеств, но и на их образы.
I Определение. Отображение /: X —> Υ топологических прост-
I ранств называется открытым, если образ каждого множества,
1 открытого в X, открыт в У, и замкнутым, если образ каждого
I множества, замкнутого в X, замкнут в Υ.
Открытые и замкнутые непрерывные отображения сохраняют
больше свойств, чем просто непрерывные отображения; например,
легко видеть, что при сюръективном открытом непрерывном
отображении /: X —> Υ база пространства X переходит в базу
пространства Υ, поэтому w(Y) ^ ш(Х). С другой стороны, бывает так, что
непрерывные отображения пространств из определённого класса
автоматически обладают дополнительными свойствами; всё это мы
ещё обсудим в дальнейшем.
Нельзя обойти молчанием ещё один вопрос, который имеет
важнейшее значение в самых разных областях математики, — это

128 Глава 4. Непрерывные отображения и гомеоморфизмы
возможность продолжения отображений с подпространств на
объемлющие пространства. В самом ближайшем будущем мы
докажем общую теорему Титце1-*—Урысона о продолжении непрерывных
функций, определённых на произвольных замкнутых
подпространствах специальных топологических пространств, значение которой
для топологии и смежных областей математики невозможно
переоценить. С другой стороны, бывают специальные подпространства
с тем свойством, что любое непрерывное отображение,
определённое на таком подпространстве, можно продолжить до непрерывного
отображения всего пространства. Это ретракты, и определяются
они с помощью специальных отображений —ретракций2).
| Определение. Подпространство Υ топологического простран-
I ства X называется ретрактом этого пространства, если существу-
1 ет непрерывное отображение г: X —> У, тождественное на Υ (т. е.
Ι такое, что г (у) = у для всякого у е У). Такое отображение г назы-
I вается ретракцией.
| Теорема 4.12. Топологическое пространство Υ является рет-
I рактом пространства ХэУ тогда и только тогда, когда любое
1 непрерывное отображение Υ —> Ζ в любое пространство Ζ продол-
1 жается до непрерывного отображения X —> Ζ.
Доказательство. Если г: X —> Υ — ретракция, то для любого
непрерывного отображения /: Υ —> Ζ композиция /or: Χ —> Ζ
непрерывна и является продолжением отображения /.
Обратно, если любое непрерывное отображение Υ —> Ζ можно
продолжить до непрерывного отображения X —> Ζ, то и
тождественное отображение idy: Υ —> Υ можно продолжить до непрерывного
отображения X —> Υ; любое такое продолжение, очевидно, является
ретракцией. D
Целый раздел топологии посвящен абсолютным ретрактам в классе
метризуемых пространств и других классах топологических пространств.
Пространство X из класса Ж называется абсолютным ретрактом в этом
классе, если X является ретрактом любого пространства из класса Ж,
1) Генрих Фридрих Франц Тйтце (1880—1964) — австрийский математик.
Доказал теорему о продолжении для метрических пространств. Занимался также
теорией групп и теорией графов. Первым сформулировал проблему
изоморфизма групп.
2) Свои понятия ретрактов и ретракций (с аналогичным значением) имеются
также в теории групп и теории категорий. В некотором смысле ретракции
являются обобщением отображений проектирования произведений на сомножители.

§ 4.3. Теорема Брауэра о неподвижной точке
129
содержащего X в качестве замкнутого подпространства. Абсолютные ре-
тракты в классе метризуемых пространств обладают, помимо возможности
продолжения непрерывных отображений, рядом замечательных свойств
(в частности, все их гомологические и гомотопические группы
тривиальны) . С другой стороны, их не так уж мало — все ретракты выпуклых
подпространств пространств R" (и любых локально выпуклых топологических
векторных пространств) являются абсолютными ретрактами.
Хорошо известна теорема о неретрагируемости шара на сферу1}. Она
тесно связана с фундаментальной теоремой Брауэра2) о неподвижной
точке, которая гласит, что любое непрерывное отображение3) Dn —> Dn имеет
неподвижную точку (её мы докажем чуть ниже).
I Теорема о неретрагируемости шара на сферу. Ни для какого
натурального η не существует ретракции г: Dn —►S"-1.
Теорема Брауэра легко выводится из теоремы о неретрагируемости,
и наоборот. Действительно, предположим, что /: Dn —> Dn — непрерывное
отображение без неподвижной точки. Для каждой точки х eDn рассмотрим
луч с началом /О), проходящий через точку х. Обозначим через г О) точку,
в которой этот луч пересекает сферу Sn_1. Легко проверить, что
отображение г: χ —> г (χ) — ретракция Dn на Sn_1.
Предположим теперь, что г: Dn —> Sn_1 — ретракция. Пусть i: Sn_1 —>
—> Sn_1 — какое-нибудь отображение без неподвижных точек (например,
χ —> —х). Тогда отображение for: Dn —> Sn_1 с Dn непрерывно и не имеет
неподвижных точек.
При доказательстве теоремы Брауэра методами алгебраической
топологии обычно доказывают теорему о неретрагируемости, а затем выводят
теорему Брауэра из неё.
§ 4.3. Теорема Брауэра о неподвижной точке
Теорема Брауэра о неподвижной точке — одна из удивительно
универсальных теорем, которые находят применение в самых разных областях
математики. Она считается одним из первых достижений алгебраической
топологии4) и находит разнообразные применения в топологии, теории
х) Эту теорему в двумерном случае (что не существует ретракции двумерного
замкнутого диска D2 на окружность S1) иногда называют теоремой о
барабане — если бы такая ретракция существовала, то на барабан нельзя было бы
туго натянуть эластичную кожу.
2) Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр (1881—1966) — голландский философ и
математик. Занимался топологией, теорией множеств, математической логикой,
теорией меры и комплексным анализом. Положил начало интуиционизму.
3) См. обозначения в конце вводной главы.
4) Её действительно легко доказать с применением групп гомотопий или
гомологии сфер и дисков или степени отображения.

130 Глава 4. Непрерывные отображения и гомеоморфизмы
размерности, функциональном анализе, теории игр, математической
экономике, теории дифференциальных уравнений, математической физике
и т. п. Ввиду важности теоремы о неподвижной точке было доказано
великое множество её обобщений и версий, в результате чего возникла
отдельная область математики — теория неподвижных точек.
Теорему о неподвижной точке в трёхмерном пространстве первым
доказал Боль1} (в 1904 г.), которому она понадобилась в его исследовании
дифференциальных уравнений. Однако результат Боля остался
незамеченным, и в 1909 г. теорему передоказал Брауэр; в то время он размышлял над
пятой проблемой Гильберта о том, когда локально евклидовы2)
топологические группы3) являются группами Ли, и беседы с Пуанкаре и Адамаром4)
убедили его в необходимости глубокого изучения структуры евклидовых
пространств. В доказательстве этой и следующих за ней теорем Брауэр
систематически использовал теорию гомотопий и степени отображений.
В 1910 г. Адамар и Брауэр независимо разными методами доказали теорему
о неподвижной точке для произвольной размерности5).
Напомним стандартные обозначения Dn и Sn_1 замкнутого единичного
диска (шара) и сферы в евклидовом пространстве Rn, neN:
бп = {х=(х1з...дп)еГ:х12 + ...+х„Ч1}5
S"-1 = {x=(x1,...,xJeRn:x12 + ...+x2 = l}.
Сразу отметим, что диск Dn гомеоморфен6) п-мерному симплексу Δ" —
выпуклой оболочке η + 1 аффинно независимых (т. е. не лежащих в одной
(п — 1)-мерной плоскости) точек а0, ...,ап аффинного пространства Rm,
т^п. Другими словами,
бп^Ап = {х=Яо-а0 + Я1-а1 + ... + Яп-ап:Я0,...,Яп^О, Я1 + ...+Яп = 1}
(мы имеем дело с точками пространства Rm, т. е. m-ками вещественных
чисел; операции сложения m-οκ и умножения их на число определяются
υ Пирс Георгиевич Боль (1865—1921) — русский и латвийский математик и
шахматист.
2) У каждой точки есть окрестность, гомеоморфная евклидову пространству.
3) Т. е. группы с топологией, относительно которой операции умножения
и взятия обратного элемента непрерывны.
4) Жак Адамар (1865—1963) — французский математик и механик. Отличался
разносторонностью научных интересов. Автор множества фундаментальных
трудов по алгебре, геометрии, функциональному анализу, дифференциальной
геометрии, математической физике, топологии, теории вероятностей,
механике, гидродинамике и др.
5) Забавно, что доказательство главной теоремы Брауэра было (и остаётся)
неконструктивным, а это явно противоречило его интуиционистским
убеждениям.
6) См. задачу 10 на с. 137.

§ 4.3. Теорема Брауэра о неподвижной точке
131
покоординатно). Числа Л0,..., Ап называются барицентрическими
координатами точки хеАп.
Точки а0, ...,ап называются вершинами симплекса Δπ, а симплексы
с вершинами аПо,..., ащ, где к ^ η и п0,..., nfc —различные числа из
множества {0,..., п}, называются /с-мерными гранями симплекса Δ". В частности,
вершины симплекса являются его 0-мерными гранями.
ι Теорема Брауэра о неподвижной точке. Для любого натурального η
1 всякое непрерывное отображение Dn-*Dn имеет неподвижную точку.
Для η = 1 теорема Брауэра почти тривиальна. Действительно, диск
б1 —это просто отрезок [—1,1]. Если /: [—1,1] —> [—1,1] —непрерывное
отображение, для которого —1 и 1 не являются неподвижными точками,
то функция /(х) — χ меняет знак на [—1,1], и по теореме Больцано—
Коши о промежуточном значении она обращается в ноль в некоторой
точке х0 е [— 1,1]. Эта точка х0 является неподвижной для /.
В двумерном случае теорема далеко не так очевидна. Согласно ей если
мы возьмём две карты мира разного масштаба, как угодно изомнём ту, что
поменьше, и положим получившийся комок бумаги на большую карту, то на
большой карте обязательно найдётся такая точка, что соответствующая точка
маленькой карты (изображающая ту же местность) находится ровно над ней.
Говорят, формулировка теоремы пришла в голову Брауэру, когда он
размешивал сахар в чашке с кофе: в сладком кофе всегда найдётся точка, которая
занимает точно то же место, какое она занимала перед добавлением сахара.
Теорема Брауэра имеет массу следствий. Одно из них — это то, что
топологическая размерность куба [0,1]п равна п. Отсюда вытекает
негомеоморфность пространств Шп и Rk для η Φ к (до Брауэра никто не мог
удовлетворительно доказать этот, казалось бы, простой факт).
Доказательство теоремы Брауэра. Существует много доказательств
теоремы Брауэра. Мы приведём комбинаторное доказательство. Оно
основано на четырёх леммах, которые используют понятие триангуляции
гс-мерного симплекса Δ" с вершинами а0, ...,ап—это представление
симплекса Δ" в виде конечного объединения п-мерных симплексов Aq,..., Δ£,
в котором пересечение любых двух симплексов Δ" и Δ", ιφ j, либо пусто,
либо является гранью каждого из симплексов Δ" и Δ". Вершины
симплексов Δο, -.·,Δ£ называются вершинами триангуляции. Триангуляция,
вершинами которой являются барицентры^ всех граней симплекса Δ",
называется барицентрическим подразделением симплекса Δ".
Предположим, что вершины /с-мерного симплекса раскрашены в цвета
из набора {0, ..., m}, m^k. Мы будем говорить, что раскраска полна, если
среди цветов вершин симплекса встречаются все цвета 0,..., к (тогда каж-
Напомним, что барицентр, или центр масс, системы точек хг,..., хп — это
точка Χι + -„·+Χ".

132 Глава 4. Непрерывные отображения и гомеоморфизмы
дый из этих цветов встречается ровно по одному разу и ни один из цветов
с номером, большим к, не встречается).
1 Лемма 4.13. Пусть все вершины триангуляции симплекса Ап, η ^ О, рас-
I крашены в цвета из набора {Ο,.,.,η}. Тогда число симплексов триангу-
1 ляции, раскраска вершин которых полна, имеет ту же чётность, что
I и число тех (п — 1)-мерных граней симплексов триангуляции, которые
I содержатся в границе (т. е. объединении (п — 1)-мерных граней) симплек-
1 са Ап и раскраска вершин которых полна.
Доказательство. Рассмотрим п-мерный симплекс, одна из граней
которого является (п — 1)-мерным симплексом с полной раскраской. Если
противоположная этой грани вершина раскрашена в цвет π (т. е. раскраска
самого симплекса полна), то у этого симплекса ровно одна (п — 1)-мерная
грань с полной раскраской, а если в один из цветов 0,..., π — 1 — ровно две.
Таким образом, число π-мерных симплексов триангуляции с полной
раскраской имеет ту же чётность, что и число N пар «п-мерный симплекс — его
(п — 1)-мерная грань с полной раскраской». Кроме того, всякий (п —
1)-мерный симплекс, являющийся гранью одного из симплексов триангуляции,
содержится ровно в одном π-мерном симплексе триангуляции, если он
лежит на границе симплекса Δ", и ровно в двух таких симплексах в
противном случае. Поэтому число N имеет ту же чётность, что и количество
(п — 1)-граней с полной раскраской, содержащихся в симплексах
триангуляции и составляющих границу симплекса Δ". D
1 Лемма 4.14 (лемма Шпернера). Предположим, что вершины триангу-
I ляции n-мерного симплекса Ап, где η ^ 0, раскрашены так, что раскрас-
I ка самого симплекса Ап полна и цвет каждой вершины триангуляции,
I принадлежащей какой-нибудь грани симплекса Ап, совпадает с цветом
I одной из вершин этой грани. Тогда среди симплексов триангуляции есть
I симплекс с полной раскраской (и число таких симплексов нечётно).
Доказательство. Для η = О лемма, очевидно, верна. Предположим, что
к> О и лемма верна для π < к. Докажем её для π = к.
Требуется доказать, что число симплексов триангуляции с полной
раскраской нечётно. По лемме 4.13 это равносильно тому, что число
(к—^-мерных симплексов с полной раскраской, являющихся гранями симплексов
триангуляции и содержащихся в границе симплекса Ак, нечётно. Из
условия на цвета вершин триангуляции следует, что любой (к — 1)-мерный
симплекс с полной раскраской на границе Ак содержится в (к — 1)-мерной
грани симплекса Ак с полной раскраской. Поскольку такая грань единственна,
справедливость леммы Шпернера для /с-мерного симплекса следует из её
справедливости для (к — 1)-мерного симплекса. D
I Лемма 4.15. Для любых точек хиу симплекса Ап с Rm (n^m) с
вершинами а0,..., ап выполнено неравенство
dm(x, у) ^ тах{с*т(а;, а;): i, j ^ π}.

§ 4.3. Теорема Брауэра о неподвижной точке
133
Доказательство. Сначала покажем, что dm(x,y) ^ maxdm(aj,y). Пусть
точка χ имеет барицентрические координаты Я0,..., Яп, т. е. х= Σ Я^· е Δπ;
напомним, что Σ ^*= 1 и ^i ^ О для ί ^ п. Имеем 1^п
<
dm (χ, у) = dm( Σ Afaf, Σ Я1-У )= Σ λί*ί ~ Σ Я;У = Σ Κ (»ί - У) Ι
^ ΣλΜί-Ύ\ηι ^maxlaf-yL = maxdm(ai,y).
^π ι^π ι^π
Повторив то же рассуждение для у и а; (где j — любое фиксированное число
^ п) вместо х и у, мы приходим к нужному заключению. D
I Лемма 4.16. Если nGNu d — максимальная длина ребра симплекса Ап
с вершинами а0,..., ап, то максимальная длина ребра барицентрического
подразделения симплекса Δ" не превосходит —^т · d.
Доказательство. Заметим, что вершины каждого симплекса барицен-
а7Г(0) + а7Г(1) а7Г(0) + · · · + аЯ(п)
трического подразделения имеют вид ая(0), 2 > ···> +Ί '
где π — произвольная перестановка множества {0, ...,п}; это легко
доказать индукцией по п.
Итак, нам надо показать, что расстояние между любыми точками вида
а7г(0) + ---+а7г(р+д-1) атг(0) + · · · + атг(р-1)
P+q И ρ
для любых натуральных ρ и q, удовлетворяющих условию ρ + q^n + l, не
превосходит —^т -d. Имеем
а7г(0) + ---+а7г(р+д-1) &π(0) + ···+&π(ρ-1) _
p + q ρ ~
_ q f a7r(p) + ---+a7r(p+q-l) а7г(0) + ---+а7г(р-1)Л q
~p+ql q Ρ )~P+q{a Djj
где a, b — некоторые точки симплекса Δπ. Осталось заметить, что dm (a, b) ^
^(полемме4Л5)и^<£±^=1-Д^^. Π
Переходим непосредственно к доказательству теоремы Брауэра.
Пусть π е Ν, Δπ — любой п-мерный симплекс и /: Δπ —> Δπ —
непрерывное отображение. Мы докажем, что / имеет неподвижную точку; этого
достаточно, поскольку диск Dn гомеоморфен любому п-мерному симплексу.
Раскрасим точки симплекса. Пусть χ€Δπ и х0, ...,хп —
барицентрические координаты точки х. Точка /(х) также принадлежит симплексу;
пусть у0, ...,уп — её барицентрические координаты. Мы покрасим χ в цвет
j =min{i: у ^ xt φ 0}; существование такого j легко выводится из того, что
Σ χί = Σ Уг = 1 и хь Уг ^ 0 для ί ^ п. При такой раскраске цвета вершин
любой триангуляции симплекса Δ" удовлетворяют условиям леммы Шпер-
нера, потому что каждая вершина at симплекса Δ" имеет цвет ί и если
точка принадлежит грани с вершинами af ,..., af , то у неё отличаться

134 Глава 4. Непрерывные отображения и гомеоморфизмы
от нуля могут лишь барицентрические координаты с номерами i0, ...,ifc,
а значит, она покрашена в один из цветов i0, ...,ifc. По лемме Шпернера
в барицентрическом подразделении симплекса Δπ найдётся симплекс Δ^
с полной раскраской. Выберем в нём точку Хг.
Теперь возьмём барицентрическое подразделение каждого симплекса
барицентрического подразделения симплекса Δ". В результате мы получим
набор симплексов, которые в совокупности тоже образуют триангуляцию
симплекса Δπ — так сказать, вторую итерацию барицентрического
подразделения. В ней тоже найдётся симплекс с полной раскраской. Обозначим
его Δ£ и выберем в нём точку Х2.
Продолжая в том же духе, мы получим последовательность симплексов
Δ", Δ^,... с полной раскраской, диаметры1} которых стремятся к нулю по
лемме 4.16, и последовательность точек Х1,Х2, ··, которая содержит
сходящуюся подпоследовательность (Xt )nGN по известной из анализа теореме
Больцано—Вейерштрасса. Покажем, что X = lim Xf — неподвижная точка
отображения /.
Пусть (х0, ...,хп) и (у0, ...,уп)—барицентрические координаты2)
точки X и её образа /(X), а (х£ 0, ...fxin) — барицентрические координаты
точек Xik. Кроме того, для каждого keN пусть (х|ь0, ...,х|ьП) и (у£,0, ...,;у£,„),
где I = О,..., п, — барицентрические координаты вершин симплекса А£,
содержащего точку Xlfc, и их образов при отображении /. Раскраски всех
симплексов Δ? полны, поэтому для всякого цвета j = О,..., η у каждого
симплекса Δ? есть вершина цвета j, т.е. для некоторого числа I(7с) е{0,..., п}
имеем у^ ^ x-fc(j. Ясно, что для бесконечного множества индексов к
все I(7с) принимают одно и то же значение I. Поскольку диаметры
симплексов Δ? стремятся к нулю и барицентрические координаты непрерывно
зависят от точки, имеем lim xlikj = lim xlfc; =x;, а в силу непрерывности
отображения / и того, что у} · ^ χ■ · для бесконечно многих /с, имеем также
fcHm 4j = у;· иу; ^х; для j =0,..., п.
Мы показали, что у; ^ х; для всех j = 0,..., п. Однако Σ */= Σ 30 = ^
значит, у; = х; для j = О,..., η. ;^п ;^п D
§ 4.4. Графики отображений
Напоследок мы рассмотрим конструкцию, тесно связанную с
непрерывными отображениями.
х) Диаметр множества Л в метрическом пространстве — это точная верхняя
грань расстояний между точками х, у е А
2) Здесь и ниже под барицентрическими координатами всегда
подразумеваются барицентрические координаты относительно точек а0,..., ап—вершин
исходного симплекса Δ".

§ 4.4. Графики отображений
135
δ Определение. Графиком отображения /: X—* У называется мно-
1 жество
| Gr/ - {(χ, у): χ е X, у - /(*)} с Χ χ У.
С точки зрения теории множеств график отображения — это
и есть само отображение. Однако в «обычной жизни», как правило,
удобнее представлять себе отображение как некое соответствие
между точками прообраза и точками образа, а когда нужно
представить его как подмножество декартова произведения, говорят
0 графике.
! Определение 3. На декартовом произведении Χ χ У двух
τόποι логических пространств имеется естественная топология произ-
1 ведения — она порождена базой
ι SB = {U xV:U открыто в X, У открыто в У}.
1
1 Топологическим произведением или просто произведением двух то-
1 пологических пространств называется их декартово произведе-
1 ние с этой топологией.
Когда график отображения топологических пространств сам
рассматривается как топологическое пространство, всегда имеется
в виду, что его топология индуцирована топологией произведения.
I Теорема 4.17. График Gr/ любого непрерывного отображения
/: X —* У топологических пространств гомеоморфен
пространству X.
Доказательство. Отображение φ: X —> Gr/, определённое
правилом φ О) = О, /О)) для любого χ G X, — гомеоморфизм.
Действительно, оно, очевидно, является биекцией; его непрерывность
следует из того, что семейство
§& = {WnGr/: W G т} =
= {(1/хУ)П Gr/: U открыто в X, У открыто в У}
является базой индуцированной топологии на графике, и прообраз
^-1((l/xV)nGr/) = l/n/"1(V)
любого элемента этого семейства открыт в силу непрерывности
отображения /; наконец, открытость отображения φ очевидна —
образ φ (IT) любого открытого множества U с X есть множество
(U χ У) nGr/, которое открыто в индуцированной топологии
графика, поскольку U х У открыто в топологии произведения. D

136 Глава 4. Непрерывные отображения и гомеоморфизмы
Задачи
1. Отображение /: (X, d) —> (У, ρ) метрических пространств
называется липшицевым, если существует такое число L (константа
Липшица отображения /), что ρ (/(χ), /(у)) ^ L · dO, у) для любых
точек х, у GX. Покажите, что всякое липшицево отображение
метрических пространств непрерывно.
2. Приведите пример отображения /: R —> R, которое
непрерывно ровно в одной точке.
3. а) Заметьте, что отображение /: X —> У открыто тогда и
только тогда, когда в пространстве X существует база, образ каждого
элемента которой открыт в У.
б) Покажите, что образ любой (не обязательно открытой)
окрестности точки χ топологического пространства X при открытом
отображении /: X —> У является окрестностью точки f(x) в
пространстве Y.
4. Приведите пример топологических пространств X и Υ и
непрерывной сюръекции /: X —> У, которая
а) не является ни открытым, ни замкнутым отображением;
б) является открытым, но не является замкнутым отображением;
в) является замкнутым, но не является открытым отображением;
г) является замкнутым и взаимно однозначным, но не
открытым отображением;
д) является открытым и замкнутым отображением, но не
является гомеоморфизмом.
5. Пусть /: X —> X — непрерывное отображение
топологического пространства X в себя. Покажите, что подотображение X—>/(Х)
отображения / является ретракцией тогда и только тогда, когда
6. Верно ли, что если график Gr/ отображения /: X —> У
топологических пространств гомеоморфен пространству X, то /
непрерывно?
7. Топологическое пространство называется связным, если его
нельзя представить в виде объединения двух непустых
непересекающихся открытых множеств^. Покажите, что связность
сохраняется непрерывными отображениями, т. е. непрерывный образ любого
связного пространства связен.
1} См. также решение задачи 16 на с. 81.

Задачи
137
8. а) Покажите, что биекция R —> R является гомеоморфизмом
тогда и только тогда, когда она монотонна (т. е. либо всюду
возрастает, либо всюду убывает). Верно ли это для произвольного линейно
упорядоченного пространства с порядковой топологией?
б) Покажите, что всякое непрерывное взаимно однозначное
отображение вещественной прямой R на себя является
гомеоморфизмом. Верно ли это для произвольного топологического
пространства?
9. Ниже перечислены наборы топологических пространств (их
обозначения можно найти в конце вводной главы). Покажите, что
пространства из каждого набора гомеоморфны друг другу, а
пространства из разных наборов — нет:
а) любой отрезок [а, Ь] с R, где а<Ь, диск D1 и любой диск
В} U0)> где г > 0 и х0 е R;
б) любые полуоткрытые интервалы [а, Ь) и (а, Ь], где а, Ь, GR,
а<Ь, и замкнутые лучи (-оо,с] и [с, оо), где cgR;
в) любой открытый интервал (а, Ь), где а<Ь, любые открытые
лучи (—оо, с) и (с, оо), прямая R, окружность без точки S1 \ {5}, где
5 G S1, любая дуга wAB с S1 без концов (где Α, β е S1, Л φ В), диск D1
и любой диск D) (х0), где г>0их0е1;
г) открытое полупространство {(хг, ...,хп) е Мп: хп > 0} с Rn,
сфера Sn без точки, п-мерный сферический сегмент без границы^,
пространство Мп, диск Dn и любой диск D"(x0), где г > 0 и х0 е Rn,
для произвольного η ^ 2;
д) замкнутый диск D2fc, произведение обычных плоских дисков
■р2х...хР2, 2к-мерный куб [-1,1]2/с и 2к-мерный сферический сег-
к раз
мент с границей для к ^ 1.
10. Покажите, что замкнутый диск Dn и любой п-мерный
симплекс Δπ, где η ^ 1, гомеоморфны.
11. Докажите, что тор Г2 гомеоморфен «бублику» — поверхности
в R3, получаемой вращением окружности S1 вокруг оси, лежащей
в плоскости этой окружности и не пересекающей её.
2) То есть пересечение сферы Sn с произвольным открытым
полупространством при условии, что пересечения Sn с самим этим полупространством и с его
дополнением непусты; сферический сегмент без границы можно представлять
себе как усечённую сферу или как сферу, из которой вырезали кружок (вместе
с границей).

138 Глава 4. Непрерывные отображения и гомеоморфизмы
12. а) Вложите D2 x S1, D1 χ Τ2 и D1 χ S2 в Μ3.
б) Докажите, что тор Тп вкладывается в Rn+l для любого
натурального п.
13. Докажите, что прямая Зоргенфрея гомеоморфна стрелке
Зоргенфрея1}.
14. Придумайте два негомеоморфных пространства X и У, для
которых существуют непрерывные биекции X —> У и У —> X.
15. Докажите, что для любых двух счётных всюду плотных
подмножеств Л и β вещественной прямой R существует гомеоморфизм
/: R—»R, удовлетворяющий условию /(А) —В.
16. Покажите, что отображение /: X —> У топологических
пространств
а) непрерывно и замкнуто тогда и только тогда, когда /(А)у =
— /(Ах) для любого множества Л с X:
б) непрерывно и открыто тогда и только тогда, когда f~l (В) —
— f~l{BY) для любого β с У.
17. Покажите, что метрика d: Χ χ Χ —* R на топологическом
пространстве (X, <^) непрерывна относительно топологии
произведения на Χ χ Χ тогда и только тогда, когда порождаемая ею
метрическая топология «3^ слабее (нестрого) топологии &. В частности, на
метризуемом пространстве непрерывна всякая метрика,
порождающая его топологию.
18. Непрерывный путь, соединяющий точки χ и у в
топологическом пространстве X, — это любое непрерывное отображение
а: [0,1] —>X, удовлетворяющее условиям а(0) = хи а(1) — у.
Пусть Π с R2 — прямоугольник, непрерывный путь а: [0,1] —> Π
соединяет точки, принадлежащие двум противоположным
сторонам прямоугольника П, а непрерывный путь β: [0,1] —> Π
соединяет точки, принадлежащие двум другим противоположным
сторонам. Докажите, что образы путей а и β пересекаются, т. е.
существуют 5, tG [О,1], для которых a (s) — β{ί).
Подсказки и решения
2. Отображение /: R —> R, определённое правилом
f(x)^ix> eoiHxeQ,
\ О, если χ G Р,
непрерывно только в точке 0.
1} См. задачу 10 на с. 105.

Подсказки и решения
139
4. а) Тождественное отображение (Χ, ^Ό) —> (X, #"), где |Х| ^ 2,
^—дискретная топология на X, а ^ — любая недискретная
топология.
б) Отображение π2: R2 —> Μ проектирования плоскости на
первую координату, определённое правилом πλ(χ,у)—χ. Оно открыто
в силу задачи 3 и переводит график гиперболы в незамкнутое
множество — прямую без одной точки.
в) Сужение отображения πλ на «крест» — объединение оси
абсцисс и оси ординат.
г) Таких не бывает.
д) Любое отображение непустого неодноточечного
пространства в одноточечное, а также сужение πλ на квадрат D = {Ос, у) еШ2:
М^1, М^1}> рассматриваемое как отображение D—> [-1,1].
6. Нет.
Рассмотрите, например, пространство X = N U (J (-2п, —2п 4- 2)
с топологией, индуцированной из прямой, и отображение /: X —> R,
определённое правилом
| 0, если χ g N,
0, если χ G (-2п, —2п 4-1), где neN,
1, если χ = -2п 4-1, где neN,
2, если χ G {-2п 4-1, -2п 4- 2), где η е N.
/W - {
φΜ= {
Это отображение не является непрерывным в точках — 2п 4-1, η £Ν.
Проверьте, что отображение φ:Χ—>Gr/cXxM, определённое
правилом
( V2' ^)' если х~^п для п G ^>
(-jc, 1), если χ — 2п — 1 для neN,
(§,θ), еслихе (-4п, -4п4-2) для п е N,
[ (|,2), еслихе (-4п4-2, -4п4-4) для neN,
является гомеоморфизмом.
8. а) Всякая монотонная биекция любого линейно
упорядоченного пространства на себя является гомеоморфизмом, поскольку
множество всех открытых интервалов образует базу топологии
такого пространства, а образы и прообразы открытых интервалов при

140 Глава 4. Непрерывные отображения и гомеоморфизмы
монотонном отображении — открытые интервалы, откуда по
предложению 4.8 вытекает непрерывность монотонной биекции в обоих
направлениях.
Обратно, всякий гомеоморфизм, и даже всякая непрерывная би-
екция /: R —> R, является монотонным отображением. Чтобы
доказать это, рассмотрите множество X = {О, у): χ < у} с R2 и
отображение g: X —> R, определённое формулой g(x, у) = /Ос) - /(у).
Покажите, что X связно (см. решение задачи 16 на с. 81) и g
непрерывно. Выведите отсюда, что /(X) cR связно и, следовательно,
является интервалом, причём интервал этот не содержит 0, поскольку
/ взаимно однозначно. Следовательно, отображение g принимает
либо только строго положительные значения, либо только строго
отрицательные, а это и означает, что / либо всюду возрастает, либо
всюду убывает.
Для произвольного линейно упорядоченного пространства X
гомеоморфизм Х->Хне обязан быть монотонным. Например, если
X — (-1, 0) и (0,1) с R — объединение интервалов с обычной
топологией, то X линейно упорядочено (порядок индуцирован
порядком прямой) и отображение /: X —> X, определённое правилом
/00 =х+1, если jcg (—1, 0), и /0с) — х— 1, если xg (0,1), является
немонотонным гомеоморфизмом.
б) То, что любая непрерывная биекция /: R —* R является
гомеоморфизмом, вытекает из доказанных в пункте а) утверждений, что
всякая такая биекция монотонна и что всякая монотонная биекция
линейно упорядоченного пространства на себя является
гомеоморфизмом.
Для произвольного пространства это неверно. В качестве
примера можно рассмотреть множество R с топологией, базу которой
образуют все открытые интервалы и все одноточечные
множества {jc} для отрицательных jceR. Отображение /: R-»R, jc—>jc-hl,
взаимно однозначно и непрерывно относительно такой топологии,
но гомеоморфизмом не является.
9. Сначала покажем, что пространства в каждом наборе гомео-
морфны.
а) Поскольку В) (с) = [с — г,с + г], достаточно показать, что
любой отрезок [a, b],a<b, гомеоморфенотрезку [0,1]. Гомеоморфизм
[0,1] —> [а, Ь] можно получить, например, сдвигая отрезок [0,1]
так, чтобы точка 0 переместилась в а, а затем растягивая сдвинутый

Подсказки и решения
141
отрезок в Ъ — а раз. Это отображение можно задать и формулой:
/(х) = а + (Ь-а)х.
Непрерывность отображений / и /_1 в каждой точке проверяется
непосредственно.
б) Любой полуоткрытый интервал с концами а и Ь, где а<Ъ, го-
меоморфен полуоткрытому интервалу [0,1): гомеоморфизм [0,1) —>
—> [а, Ь) строится точно так же, как и гомеоморфизм между
отрезками [0,1] и [a, b], a чтобы получить гомеоморфизм [0,1) —> (а, Ь],
надо сначала отразить [0,1) относительно точки «, а затем
отобразить получившийся полуоткрытый интервал (0,1] на (а, Ь] всё по
тому же правилу. Гомеоморфизм [0,1) —> [0, оо) проще всего
представить наглядно: нужно сначала изогнуть [0,1) так, чтобы
получилась правая нижняя четверть окружности, а затем спроектировать
эту четверть окружности на прямую из центра. Получится правый
луч.
Это отображение можно задать и формулой: /Ос) ^tg-^-.
Гомеоморфизм полуоткрытого интервала (-1,0] (который, как мы
уже знаем, гомеоморфен любому другому) на левый луч (— оо,0]
строится точно так же. Гомеоморфизмы между замкнутыми лучами
строятся примерно так же, как гомеоморфизмы между отрезками,
только проще. Например, гомеоморфизм [0, оо) —* (— οο,α] можно
определить формулой /(χ) = α — jc.
в) Гомеоморфизмы S1\{s}-^Mh wAOB —>Ж изображены на
рисунке.
0

142 Глава 4. Непрерывные отображения и гомеоморфизмы
Окружность справа расположена так, что отрезок [АВ]
горизонтален, и проектирование производится из середины этого отрезка.
Проектируя из точек плоскости, находящихся над этим отрезком,
мы получим гомеоморфизмы открытой дуги wAOB на открытые
интервалы, а располагая дугу так, чтобы один из концов оказался
в верхней точке окружности, и проектируя дугу на прямую из этой
точки, мы получим гомеоморфизм дуги на некоторый открытый
луч. Значит, аналогично пункту б), дута гомеоморфна любому
открытому интервалу и любому открытому лучу. Осталось заметить,
что диск D}(jc0) — это просто интервал (х0 — г, jc0 + г).
г) Требуемые гомеоморфизмы представляют собой прямое
обобщение гомеоморфизмов из пункта в) на многомерный случай.
Например, гомеоморфизм Sn \ {s} —* Мп, где s e Sn, можно
построить так. Сначала заметим, что Rn гомеоморфно гиперплоскости
π, заданной уравнением хп+1 = 0 в Rn+1. Уложим сферу Sn на эту
гиперплоскость так, чтобы она касалась гиперплоскости в точке
(О,..., 0) eRn+1, а точка s оказалась «на самом верху», т.е. имела
координаты (0, ...,0,2) в Rn+1. Каждая проходящая через точку s
прямая I ft π пересекает сферу ровно в одной точке xt и
гиперплоскость ровно в одной точке yz. Соответствие xt —>у, где I пробегает
множество всех прямых, проходящих через точку s и не
параллельных гиперплоскости π, — гомеоморфизм. Это построение легко
представить себе, глядя на левый рисунок в пункте в).
д) Сначала заметим, что диск D2 гомеоморфен квадрату [-1,1] χ
χ [—1,1]. Гомеоморфизм вполне очевиден — нужно растягивать
диск во всех (кроме горизонтального и вертикального)
направлениях до тех пор, пока его граница не совместится с границей квадрата.
Формальное построение гомеоморфизма основано на том, что
квадрат—замкнутое выпуклое множество с непустой внутренностью
(см. также задачу 10). Для каждой точки xgD2 \ {О}, где 0= (0,0),
обозначим через ρ (χ) точку пересечения луча с началом в О,
проходящего через точку х, с границей квадрата. Поскольку квадрат —
выпуклое множество и начало координат не принадлежит его
границе, точка р(х) определена однозначно. Положим
(χ·\ρ(χ)\2, если χ φ О,
φ(χ) = \
[ О, если χ = О.
Отображение φ: D2 —> [-1,1] χ [-1,1] взаимно однозначно по
построению, а непрерывность отображений φ и φ~ι проверяется непо-

Подсказки и решения
143
средственно. Стало быть, φ — гомеоморфизм между D2 и [-1,1] х
х [—1,1]. Ясно, как с его помощью построить гомеоморфизм
между р2х...хР2^ и [-1,1]х...х[-1,1], —надо лишь заметить, что
к раз 2к раз
декартово произведение гомеоморфизмов всегда является
гомеоморфизмом, так что в качестве искомого гомеоморфизма годится
φ χ ... х φ.
<- ^ '
к раз
Гомеоморфизм между D2k и [-1,1]2к строится с помощью в
точности такого же рассуждения: куб [—1,1]2к является выпуклым
множеством, содержащим О в своей внутренности, так что
гомеоморфизм можно определить той же формулой, что и выше
(точнее, её 2к-мерной модификацией). Вообще, таким способом можно
доказать гомеомофность шара Dn любому выпуклому замкнутому
ограниченному множеству К <zRn с непустой внутренностью (для
любого η ^2).
Гомеоморфизм между замкнутым диском и сферическим
сегментом с границей строится привычным способом —
проектированием сферы на гиперплоскость.
Теперь надо понять, почему пространства из разных наборов не
гомеоморфны. Заметим, что всякий отрезок [а, Ь] содержит ровно
две точки χ с тем свойством, что пространство [a, b] \ {jc}
связно^, —концы отрезка а и Ь. Полуоткрытый интервал содержит
ровно одну точку с этим свойством, открытый интервал вообще не
содержит таких точек, а 1" и D", где η ^ 2, содержат бесконечно
много таких точек. Значит, ни одно пространство из набора а) не
гомеоморфно никакому пространству из наборов б)—д).
Действительно, если бы, к примеру, диск D1 был гомеоморфен замкнутому
лучу, то из транзитивности отношения «быть гомеоморфными» и из
уже доказанной гомеоморфности пространств в каждом из наборов
а)—д) вытекала бы гомеоморфность отрезка и полуоткрытого
интервала, а эти пространства не гомеоморфны. Точно так же ни одно
пространство из набора б) не гомеоморфно никакому пространству
из наборов а) и в)—д) и ни одно пространство из набора в) не
гомеоморфно никакому пространству из наборов а), б), г) и д). Осталось
различить пространства из наборов г) ид). Для этой цели можно
воспользоваться хорошо известной из анализа теоремой Гейне—Бо-
См. подсказку к задаче 16 на с. 82.

144 Глава 4. Непрерывные отображения и гомеоморфизмы
реля (см., например, [15, с. 49]), согласно которой всякое
бесконечное подмножество множества D2k (как и любого другого замкнутого
ограниченного множества в евклидовом пространстве) имеет
предельную точку, принадлежащую этому множеству (заметьте, что это
топологическое свойство пространства D2k\), тогда как, например,
множество
{(i,...,i):ieN} cM"
η раз
предельных точек не имеет.
10. Без ограничения общности можно считать, что начало
координат 0 является внутренней точкой симплекса Δπ. Пользуясь
выпуклостью и замкнутостью симплекса Δπ, можно применить ту
же конструкцию, что и в решении задачи 9д): для каждой точки
xGDn\ {0} взять точку р(х) пересечения луча с началом в 0,
проходящего через точку х, с границей симплекса Δπ и положить
fx-|p(x)|n, если χ 7^ 0,
φ(χ) = <
[ О, если χ = О.
Отображение φ: Dn —> Δπ —искомый гомеоморфизм. Точно так же
строится гомеоморфизм между Dn и любым замкнутым
ограниченным выпуклым множеством с непустой внутренностью в Ж1.
11. Даны две окружности, и каждой паре точек χ и у, одна
из которых принадлежит первой окружности, а другая — второй,
мы должны поставить во взаимно однозначное соответствие точку
бублика, причём так, чтобы соответствие получилось непрерывным
в обе стороны относительно топологии произведения окружностей
и топологии бублика, индуцированной из М3. Как это сделать,
показано на рисунке.
(Большая окружность нарисована на бублике, а маленькая
надета на него, как колечко, и может свободно скользить по большой
О'О

Подсказки и решения
145
окружности в горизонтальном направлении, однако вертеться она
не может — большую окружность она всегда пересекает в жирной
точке.) В качестве второй окружности можно взять не окружность,
нарисованную на бублике, а, например, окружность, образованную
центрами первой окружности (см. решение задачи 126)).
12. а) Вложение D2 x S1 выглядит так же, как в предыдущей
задаче, только на этот раз по большой окружности нам придётся
возить не маленькую окружность, а весь ограниченный ею диск.
Соответственно и точка χ может находиться где угодно на диске,
а точка, соответствующая паре (х, у), может находиться не только
на поверхности бублика, но и где угодно внутри него, так что в
результате получится полноторие.
При построении вложения D1 χ Γ2 в Ш3 удобнее представлять
тор не как бублик, а как произведение двух окружностей. Итак,
нам надо вложить произведение D1 x S1 x S1 в Μ3. Поскольку D1 —
это просто отрезок, произведение D1 x S1 гомеоморфно плоскому
кольцу.
(x,y)->z
X
У
Применив уже знакомую конструкцию, мы видим, что D1 xS1 χ
х S1 (т. е. произведение плоского кольца на окружность)
гомеоморфно «толстому» тору —полноторию, внутри которого проделано
отверстие.
Похожие рассуждения показывают, что D1 x S2 — «толстая»
сфера (сферический слой).
б) Можно заметить, что S1 χ Ж1 = S1 x D1 вкладывается в Ш2,
вывести отсюда, что S1 х Шп вкладывается в Μη+1, и применить
индукцию по размерности тора. Однако для разнообразия мы в явном
виде выпишем уравнение, которое задаёт п-мерный тор
Тп =S1x...xS1
4 ν '
η раз
Ό

146 Глава 4. Непрерывные отображения и гомеоморфизмы
в пространстве Мп+1. Поскольку все окружности, очевидно, гомео-
морфны, мы будем считать, что Тп = S\ x S2 х ... х Sj, где S} —
окружность радиуса Rt — 21.
Начнём с уравнения одномерного тора — окружности S\ — в
пространстве Ш2:
*1 + *2 — ^1 ·
Сдвинем эту окружность вдоль оси Ох2 на 2R1 = R2, чтобы при
последующем вращении не случилось самопересечений, и будем
вращать её вокруг оси Охг; при этом центр сдвинутой окружности S\
будет описывать окружность S\ в плоскости Ох2х3. Заменив х2 на
^х2-\-х3 — R2 (согласно формулам сдвига и поверхности
вращения), мы получим уравнение
*? + (V*2+*3-K2)2 = Ki
тора Г2 в пространстве М3. Сдвинем этот тор по оси Ох3 на 2R2 =R3
и будем вращать его вокруг плоскости Охгх2 так, чтобы его центр
симметрии описывал окружность S3 в плоскости Ох3х4. Заменив
последнюю переменную х3 на д/х|-Ис| — R3, получим уравнение
xl + {ylxl + (Jxl + xl-Ri)2-R2)2=Rl
тора Г3 в пространстве М4. В конце концов мы получим уравнение
тора Тп в пространстве Шп+1.
13. Пусть S — прямая Зоргенфрея, Бг — стрелка Зоргенфрея, т. е.
полуоткрытый интервал [0,1) с топологией стрелки, и S2— луч
[0, оо) с топологией стрелки. Легко видеть, что Бг = S2
(гомеоморфизм строится так же, как между обычным полуоткрытым
интервалом [0,1) и лучом [0, оо)), так что достаточно показать, что S2 = S.
Гомеоморфизм S2-+S можно определить, например, так:
если [х] четно,
+ {х}, если [х] нечётно
(здесь [х] и {х} — целая и дробная части числа х).

Подсказки и решения
147
14. Рассмотрите подпространства X — [J {—n} U |J (2п, 2п + 1)
nY = XU{l} обычной прямой и такие биекции X —* Υ и Υ —> X:
х + 1,
1,
*,
если χ ^ — 2,
если χ = -1,
если jc ^ 0,
(у,
У
1 2'
1 У-1
2 '
1У-2,
если у < 0,
если у € (0,1],
если у е (2, 3),
если у ^ 4.
Их непрерывность в каждой точке легко проверяется. Пространства
X и Υ не гомеоморфны, потому что У содержит полуинтервал (0,1]
в качестве открыто-замкнутого подпространства, а в X нет
открыто-замкнутого подпространства /, гомеоморфного полуинтервалу.
В самом деле, полуинтервал связен (это доказывается так же, как
связность прямой; см. решение задачи 16 на с. 81), так что
подпространство / должно содержаться в одном из интервалов (2п, 2п 4-1).
С другой стороны, каждый интервал (2п, 2п + 1) тоже связен,
поэтому / должно совпадать с этим интервалом (иначе (2п, 2п + 1)
являлся бы объединением двух непустых непересекающихся
открытых подпространств / и [2п, 2п +1) \ /), а интервал не гомеоморфен
полуинтервалу (см. задачу 9).
15. Как-нибудь занумеруйте элементы множеств А и В: А =
~{аъа2,...} и В — {ЬЪ Ь2,...}. Определите /(ап), neN, индукцией
по п, положив f{al) — bl и выбирая в качестве /(ап) точку Ък с
наименьшим возможным номером к так, чтобы выполнялось условие
CLi<CLj<=ф/(а^)</(а;) для i, j^n. Докажите, что / сюръективно:
положите m=min{n:bn<£f№} и fc=min{n:/({a1, ...,α^}):^,..., Ьт_г}},
возьмите наименьший открытый интервал с концами (или концом)
вида /(α^), ί ^ к, который содержит Ьт, и покажите, что его прообраз
при / пуст в противоречие с плотностью А. Затем продолжите /
на R по монотонности.
16. а) Если f(A)Y=f(Ax) для всех А с X, то выполнено
условие ® из теоремы 4.4 и, значит, / непрерывно. Замкнутость
отображения / очевидна.
Обратно, если / непрерывно, то в силу того же условия ®
Для любого А с X имеем f{Ax) с/(Л)У, а если / замкнуто, то
/(Ax)D/(A)y.

148 Глава 4. Непрерывные отображения и гомеоморфизмы
б) Если /-1(£) =/_1(Ву) для любого В с У, то / непрерывно
по условию © из теоремы 4.4. Покажем, что / открыто. Пусть U с X
открыто. Тогда X \ U замкнуто, а поскольку
Г1(У\/Ш)) = Г1ОГ)\Г1№Ю) = Х\и,
имеем /-г(У\/(и))Х =X\U, так что по условию f-1(Y\f(U)Y) =
= X\U. Из совпадения прообразов множеств У\/(LQ и У\/(10
следует совпадение множеств (7 \ /(ΙΟ) Π /(-X") и У \ /(10 Π /(Χ).
Значит, /(10 открыто в /(X). Осталось заметить, что ДХ) открыто
в У, потому что иначе /_1 (У \ /(X) ) ^ 0, тогда как
/-Чу\/(х))х - 0х - 0.
Обратно, если / непрерывно, то в силу того же условия © для
любого β с У имеем f~l{BY) z> /-1CB) . Если / открыто, то
f{X\f-\B)X)^f{X)\W.
С другой стороны, f{X\f-1{B)X)^f{X)\f{f~1{B)X). Значит,
ДХ)\/(/-ЧЯ)*)с/(Х)\Ву,
так что /(/-^ВЗ^э^П/СХ). Следовательно, /"ЧВ)^/"1^).
17. Поскольку шары Bd(x, ε) образуют базу топологии 3d, нужно
доказать, что метрика d непрерывна относительно топологии
произведения на Χ χ X тогда и только тогда, когда все шары Bd(x, ε)
открыты в топологии З'.
Необходимость. Предположим, что метрика d непрерывна, χ е X
и ε > 0. Мы должны проверить, что у каждой точки у eBd(x, ε) есть
окрестность Уе^, которая содержится в Bd(x, ε).
Пусть у e£dO, ε), т. е. d(x, у) — α < ε. Возьмём δ > 0, для
которого а 4- δ < ε. В силу непрерывности функции d у точки О, у) еХ χ Χ
найдётся окрестность в топологическом произведении Χ χ X,
которую d переводит в (а - δ, а 4- δ). По определению топологии
произведения в этой окрестности содержится окрестность вида U χ V, где
U, V е &. Для любой точки zeV имеем О, ζ) е £/ χ V, откуда следует,
что d(x, ζ) < а 4- δ < ε, т. е. ζ eBd(x, ε), что и требовалось.
Достаточность. Предположим, что 3d с^*, т. е. все шары Bd (χ, ε)
открыты в (X, 3"). Покажем, что метрика d непрерывна в каждой
точке. Пусть х, у е X, d(x, у) = α и ε > 0. Нам нужно доказать
существование таких окрестностей U и V точек χ и у в (X, «30,

Подсказки и решения
149
что d{u, υ) е (α - ε, α + ε) для любых и е U и υ е £/. Достаточно
положить t/^вДх, |J и V = Bd(y, |J. Действительно, по
предположению U, V е &, а в силу неравенства треугольника для любых
u G U и ι;€[/ имеем d(u, ν) ^ d(u, χ) 4- d(x, у) -f d(y, у) < α + ε
и d(x, у) ^ d(x, u) + d(u, у) + d(L>, у), откуда следует, что d(u, υ) ^
^ d(x, у) - d(x, и) - d(u, у) > а - ε.
18. Очевидно, достаточно доказать требуемое утверждение для
П=[—1,1]х[—1,1]и рассмотреть отображения аи(5,
определённые на отрезке [—1,1], а не [0,1]. Положим а{ — щ о α, ί = 1, 2; тогда
сц: [-1,1]-> [-1,1], i = l,2, и а = агАа2, т.е. a(t) = (a1(t),a2(0)
для te [-1,1]. Аналогично определим отображения βλ и /32.
Предположим для определённости, что аг(±1) = ±1 и /32(±1) = ±1, т. е.
а соединяет точку на левой стороне квадрата Π с точкой на правой
стороне, а β — точку на нижней стороне с точкой на верхней
стороне.
Допустим, что a(s) φβ(ί) для всех 5, t e [-1,1]. Положим
Ar(s,t)=max{|ai(5)-ft(t)|}
и рассмотрим непрерывное отображение F: [-1,1]2 —> [-1,1]2,
заданное формулой
F(s, О = й±-^ · (ftCt) - a^s), α2(5) - /32(0).
Предположим, что точка (s0, t0) является неподвижной для F.
Образ отображения F состоит из точек вида (±1, х) и (у, ±1);
значит, 50 = ±1 или t0 = ±1. Поскольку аг (±1) = ±1, в первом случае
имеем
F(50, t0) = F(±l, t0) = щщ^ · (Л(t0) ΤΙ, α2(±1) -jB2(t0)).
Число N(±1, t0) положительно и |/3i(to)l ^ 1; значит, знак первой
координаты точки F(s0, t0) не может совпадать со знаком s0, так что
F(so> *ό) Φ (% *ό)· Bo втором случае приходим к тому же
заключению, рассматривая вторую координату.
Таким образом, из нашего предположения, что α(5) φβ{χ) для
всех 5, t е [-1,1], следует, что отображение F не имеет
неподвижных точек. С другой стороны, поскольку квадрат [-1,1] х [—1,1]
гомеоморфен диску D2 (см. задачу 9д)), оно должно иметь
неподвижную точку по теореме Брауэра. Значит, наше предположение
неверно.

Глава 5
Аксиомы отделимости
Зачастую определение топологического пространства
оказывается слишком уж общим. Например, то, что одноточечное
множество может оказаться незамкнутым, а направленность или
ультрафильтр может иметь несколько пределов, во многих ситуациях
неудобно (да и не нужно). По этой причине на топологические
пространства обычно накладывают естественные
необременительные ограничения, в некоторой степени приближающие свойства
топологических пространств к свойствам метрических. Эти
ограничения называются аксиомами отделимости и обозначаются
заглавной латинской буквой Г (от немецкого Trennungsaxiom — аксиома
отделимости).
§ 5.1. Аксиомы отделимости Т0—Т4
Т0. Каковы бы ни были две различные точки, хотя бы одна из них
имеет окрестность, не содержащую другую точку.
Аксиома Г0 равносильна такому условию:
• если χ Φ у, то либо χ φ {у}, либо у ф{х}.
Это вытекает непосредственно из определения замыкания.
Тг. Каковы бы ни были две различные точки, каждая из них
имеет окрестность, не содержащую другую точку.
Равносильные условия таковы.
• Все одноточечные (а значит, и конечные) множества замкнуты.
Действительно, из определения замыкания вытекает, что
аксиома 7\ равносильна выполнению условия хф{у}иуф{х} для любых
различных точек хну, которое, в свою очередь, равносильно тому,
что {х} Г\{у: уфх} — 0 для любой точки х, т. е. {х} = {х}, а это
и означает замкнутость одноточечного множества {х}.
• Все предельные точки любого множества являются точками
накопления этого множества.
Действительно, если х&{у} для двух разных точек χ и у, то
точка χ является предельной точкой множества {у}, но не является его

§ 5.1. Аксиомы отделимости Т0—ТА
151
точкой накопления. Обратно, если в удовлетворяющем аксиоме Тг
пространстве точка χ не является точкой накопления множества А,
то у χ найдётся окрестность U, для которой пересечение F = U Π Λ
конечно и потому замкнуто (в силу предыдущего условия). Значит,
U\p __ не пересекающаяся с Л\{х} окрестность (возможно,
проколотая) точки х, так что χ не является предельной точкой множества А.
• Пересечение всех окрестностей любой точки χ равно {х}.
Это условие нарушается тогда и только тогда, когда существуют
такие разные точки χ и у, что у принадлежит любой окрестности
точки х, т. е. тогда и только тогда, когда нарушается аксиома 7\.
Г2. Любые две различные точки имеют непересекающиеся
окрестности.
Равносильное условие:
• пересечение замыканий всех окрестностей любой точки χ
равно {х}.
Действительно, точка у принадлежит замыканию некоторого
множества U, если любая окрестность точки у пересекается с U,
поэтому то, что у еР| {U: U — окрестность точки jc}, означает, что любая
окрестность точки у пересекается с любой окрестностью точки х.
Поскольку каждая окрестность всякой точки содержит
окрестность из любой локальной базы топологии в этой точке, аксиома Г2
равносильна и такому условию:
• для любой точки jc и любой локальной базы 38 (jc) в этой точке
имеем [){П: Ue@(x)} = {x}.
Т3. У любой точки и любого не содержащего её замкнутого
множества есть непересекающиеся окрестности.
Эта аксиома равносильна такому условию (очень часто за
аксиому Г3 принимают именно это условие):
• для любой точки χ и любой её окрестности U найдётся такая
окрестность V точки jc, что V с U.
Действительно, рассмотрим открытую окрестность U точки χ
в топологическом пространстве X, удовлетворяющем аксиоме Г3,
и её дополнение F — X\U (которое является замкнутым
множеством). Пусть Vx и VF — непересекающиеся окрестности точки χ
и множества F соответственно; поскольку любая окрестность
содержит открытую, можно считать, что Vx и VF открыты. Тогда
X \ VF замкнуто, причём Vx с X \ VF. Значит (см. следствие 3.4),
К ^X\VF czX\F = U. Обратно, пусть F — замкнутое множество

152
Глава 5. Аксиомы отделимости
в топологическом пространстве X, удовлетворяющем
сформулированному выше условию, и пусть χ φ F. Тогда U — Χ \ F —
открытая окрестность точки х, и по предположению существует
окрестность V той же точки со свойством V с U. Ясно, что W — X \ V —
открытая окрестность множества F и V Π W = 0.
Т4. У любых двух непересекающихся замкнутых множеств есть
непересекающиеся окрестности.
Равносильные условия:
• для любого замкнутого множества F и любой его окрестности U
найдётся такая окрестность V множества F, что V с U
(доказательство равносильности этого условия аксиоме Г4
дословно повторяет доказательство аналогичного утверждения для
аксиомы Г3);
• если F и G—любые непересекающиеся замкнутые множества,
то у F найдётся такая окрестность V, что G содержится в
дополнении её замыкания.
Чтобы увидеть, что это условие равносильно первому,
достаточно положить U равным дополнению множества G.
В этот список не включена ещё одна важнейшая аксиома
отделимости, Γ3ι; её мы обсудим позже.
Замечание 5.1. Мы сформулировали все аксиомы в терминах
окрестностей точек и множеств. Если бы мы везде вместо
«окрестность» писали «открытая окрестность», совершенно ничего не
изменилось бы, поскольку каждая окрестность содержит открытую
окрестность. Например, аксиому Г4 можно сформулировать так: для
любых непересекающихся замкнутых множеств F и G существуют
открытые множества U и V со свойствами F <zU, G<zV hU C\V = 0.
В дальнейшем мы будем иметь это в виду и использовать удобные
в каждом конкретном контексте варианты формулировок (в
терминах окрестностей или открытых окрестностей).
| Определение. Топологические пространства, удовлетворяющие
Ι аксиоме Г2, называются хаусдорфовыми^.
1 Пространства, удовлетворяющие аксиомам2) 7\ и Г3, называют-
I ся регулярными.
υ Хаусдорф включил эту аксиому в своё первоначальное (впоследствии
модифицированное) определение топологического пространства.
2) Нетрудно показать, что достаточно было бы потребовать выполнения
аксиом Т0 и Т3 —тогда автоматически была бы выполнена и аксиома Тг; однако

§ 5.2. Хаусдорфовы пространства
153
ι Пространства, удовлетворяющие аксиомам 7\ и Т4, называются
1 нормальными.
I В тех случаях, когда два множества имеют непересекающиеся
1 окрестности, говорят, что эти множества отделены
окрестностями ми. Так, например, аксиома Г4 утверждает, что любые непересе-
I кающиеся замкнутые множества отделены окрестностями.
1 Класс всех топологических пространств, удовлетворяющих дан-
I ной аксиоме отделимости, обозначается тем же символом, что
1 и сама аксиома, так что запись X е 7J, где ί — 1,2,3,4, означает,
1 что пространство X удовлетворяет аксиоме 7). Вместо «топологи-
1 ческое пространство, удовлетворяющее аксиоме отделимости Tt»
I часто пишут «Тгпространство».
Некоторые авторы (см., например, книгу [19]) включают требование
выполнения аксиомы Тг в аксиомы Г3 и Г4. При таком определении
регулярность топологического пространства X равносильна условию X е Г3,
а нормальность — условию X е Г4.
§ 5.2. Хаусдорфовы пространства
Мы уже видели, что все аксиомы отделимости можно
сформулировать в терминах замыканий. Разумеется, их можно
сформулировать также и в терминах сходимости направленностей и фильтров,
поскольку саму топологию можно описать в этих терминах.
Особенно простая и естественная формулировка получается для
хаусдорфовости (аксиомы Т2).
I Теорема 5.2. Топологическое пространство хаусдорфово тогда
и только тогда, когда в нём всякая сходящаяся направленность
имеет ровно один предел.
Доказательство. Пусть пространство X хаусдорфово, х, у е X
и хфу, и пусть U и V — непересекающиеся окрестности точек χ
и у соответственно. Предположим, что (ха)аеЛ—направленность
в пространстве X, для которой x,j€ lim xa. По определению преде-
ла найдутся такие α0, β0 еΛ, что xa&U для всех а ^ а0 и^еУ для
всех β ^ β0. По определению направленного множества существует
γ gA, удовлетворяющее условиям γ^ α0ηγ^ β0; для этого γ имеем
χγ е U П V. Мы пришли к противоречию.
обычно по традиции в определении регулярного пространства фигурирует
аксиома Тг.

154
Глава 5. Аксиомы отделимости
Обратно, предположим, что в пространстве X любая
направленность имеет не больше одного предела, но существуют разные точки
х, у еХ с тем свойством, что любая окрестность точки χ пересекает
любую окрестность точки у. Рассмотрим множество пар
А — {(£/, V): U — окрестность точки х, V — окрестность точки у}
и направим его отношением =^, обратным покомпонентному
включению: QJl9 νΎ) =$ (U2, V2), если υλ э U2 и νλ Э V2. Для каждой пары
(IT, V) € А выберем точку ziuv) et/пУ. Ясно, ЧТО {% (J/ у")) {U,V) еА —
направленность, которая сходится к обеим точкам χ и у. D
1 Теорема 5.3. Для топологического пространства X следующие
I условия равносильны:
I а) X хаусдорфово;
1 б) всякий фильтр на X либо не сходится ни к какой точке, либо
Ι сходится к ровно одной точке;
I в) всякий ультрафильтр на X либо не сходится ни к какой точ-
1 ке, либо сходится к ровно одной точке.
Доказательство. Сначала докажем, что а) => б). Пусть & —
фильтр на X, и пусть &-*х. Возьмём любую точку у е X, у φ χ. Из
хаусдорфовости пространства X следует существование
непересекающихся окрестностей ί/иУ точек хи у соответственно. Поскольку
& -* х, имеем U € &. Значит, V φ β' (так как Uf\V — 0), и β не
сходится к у.
Импликация б) => в) тривиальна.
Покажем, что в) => а). Пусть х, у е Χ, χ φ у. Предположим, что
любая окрестность точки χ пересекается с любой окрестностью
точки у. Рассмотрим семейство
^ — {U f)V: U — окрестность точки х, V — окрестность точки у}.
Ясно, что это семейство центрировано и содержит все окрестности
точки χ и все окрестности точки у (в качестве U или V можно
брать X). По теореме 3.20 семейство β содержится в некотором
ультрафильтре 41'. Этот ультрафильтр тоже содержит все окрестности
точки χ и все окрестности точки у, поскольку он содержит вообще
все элементы семейства β. Значит, ^-^хи^->у. Это
противоречие завершает доказательство. D
Аксиомы отделимости оказывают сильное влияние на свойства
непрерывных отображений. Прежде всего, график любого непре-

§ 5.2. Хаусдорфовы пространства
155
рывного отображения в хаусдорфово пространство замкнут, а
значит, замкнуто, например, и множество неподвижных точек
любого непрерывного отображения хаусдорфова пространства в себя.
Подобные факты играют фундаментальную роль при исследовании
отображений в любом контексте — в топологии, динамике, теории
дифференциальных уравнений, функциональном анализе и многих
других областях.
I Теорема 5.4. График любого непрерывного отображения f: X—>
—> Υ произвольного топологического пространства X в
хаусдорфово пространство Υ замкнут в Χ χ Υ.
Доказательство. Надо показать, что множество (Χ χ У) \ Gr/
открыто, т. е. что если χ е X, у е Υ и у φ /О), то найдутся такие
открытые множества [7сХвХиУсУв7, что (х,у)Е[/хУи zj^f{t)
для любых t e U и ζ е V. Это действительно так: поскольку
пространство Υ хаусдорфово, у точек у и fix) найдутся непересекающиеся
открытые окрестности V и W в У, а поскольку отображение /
непрерывно, множество U = f~l(W) открыто в X. Ясно, что множества U
и V обладают нужными свойствами. D
I Теорема 5.5. Топологическое пространство X хаусдорфово
тогда и только тогда, когда диагональ А = {(хд)еХхХ: jceX}
замкнута в пространстве Χ χ Χ.
Доказательство. Замкнутость диагонали в предположении
хаусдорфовости X вытекает из предыдущей теоремы, поскольку Δ =
= Gridx, а тождественное отображение idx всегда непрерывно.
Обратно, предположим, что диагональ Δ замкнута, и рассмотрим две
любые разные точки х, у е X. Поскольку (х, у) φ Δ, у точки (х, у)
найдётся не пересекающая Δ окрестность в Χ χ Χ, а поскольку
топология произведения Χ χ X порождена базой {U xV: ί/иУ открыты
в X}, для некоторых открытых множеств U, V с X имеем (х, у) е
е U χ V (а значит, x&U и y&V) hU xVnA = 0, т. е. UnV = 0, что
и доказывает хаусдорфовость пространства X. D
1 Теорема 5.6. Пусть f ,g: Χ —» Υ — непрерывные отображения
ι некоторого топологического пространства X в хаусдорфово про-
I странство Y. Тогда множество{хе X: /О) =g(x)} точек их сов-
I падения замкнуто в X.
Доказательство. Мы покажем, что множество Л = {хеХ:/(х)^
7^ #00} открыто в X. Для каждого χ е А имеем f(x) Φ g(x)\
поскольку Υ хаусдорфово, существуют открытые в Υ множества U
и V со свойствами /О) е [/, g(x) е V и [/ П V — 0. Множество

156
Глава 5. Аксиомы отделимости
W = /~~г(и) ng_1(V) открыто в X (так как / и g непрерывны),
содержит точку χ и содержится в А. Мы показали, что каждая точка
jc e А содержится в А вместе с некоторой своей окрестностью W;
значит, А открыто. D
[Следствие 5.7. Множество Fix/ = {χ е X: /О) = х}
неподвижных точек любого отображения f: X —> X хаусдорфова
пространства X в себя замкнуто в X.
Доказательство. Достаточно применить теорему 5.6 к
отображениям / и g — idx. D
Другое очевидное, но очень полезное следствие теоремы 5.6
таково.
I Следствие 5.8. Если f,g: X —> Υ — непрерывные отображения
I произвольного топологического пространства X в хаусдорфово
Ι пространство Y,A(ZX,A = Xuf(<a)= g(a) для всеха€А,то f = g,
I т.е. f (jc) = g(x) для всех χ e Χ.
В частности, любые непрерывные функции на топологическом
пространстве, совпадающие на плотном подмножестве этого
пространства, совпадают и на всём пространстве, т.е. если
определённую на плотном подмножестве топологического пространства
функцию можно продолжить до непрерывной функции на всём
пространстве, то такое продолжение единственно. Это весьма
примечательный факт, хотя он ни в коей мере не гарантирует возможности
продолжения непрерывных функций с подмножеств пространств
до непрерывных функций на объемлющих пространствах. В общем
случае на возможность непрерывного продолжения функций
можно рассчитывать лишь в специальных случаях — например, когда
подмножество, на котором задана функция, является ретрактом
всего пространства. Зато для нормальных и даже Г4-пространств
ситуация радикально меняется: любую непрерывную функцию на
замкнутом подпространстве Т4-пространства можно продолжить до
непрерывной функции на всём пространстве — это теорема Титце—
Урысона о продолжении.
§ 5.3. Нормальные пространства
Прежде чем переходить к теореме Титце—Урысона, мы
покажем, что класс нормальных пространств содержит все метризуемые
пространства.
1 Теорема 5.9. Всякое метризуемое пространство нормально.

§ 5.3. Нормальные пространства
157
Доказательство. Пусть X — метризуемое пространство, и пусть
d— любая метрика на пространстве X, порождающая его
топологию.
Прежде всего заметим, что X — Тг и даже Т2-пространство,
поскольку если х, у е X и χ φ у, то d(x,y) > ε для некоторого ε > О
HBd(^f)nBd(y,§)=0.
Покажем, что X е Г4. Пусть Λ и В—два непересекающихся
замкнутых подмножества пространства X. Рассмотрим функцию
/: Х-> [0,1], определённую формулой
f г ϊ — dpc,A) m
/w ~ d(x,A) + d{x,B)· Uj
В метрическом пространстве точка χ является точкой
прикосновения (т.е. принадлежит замыканию) множества Υ тогда и
только тогда, когда d(x,Y) — 0. Следовательно, для любой точки xgA
имеем d(x, В) > 0 и для любой точки уфА имеем d{y, A) > 0.
Значит, знаменатель в формуле (1) нигде не обращается в нуль, так
что функция / определена корректно. Кроме того, она
непрерывна, так как функции X—>М, определённые правилами Jc—»d(jc,A)
и χ —>d(jt, В), непрерывны. Наконец, ясно, что f\A = 0 и f\B = 1, так
что υ = /~λ( I 0, 2 J J и V = /_1ί ί 2, ljj —непересекающиеся
открытые (в силу непрерывности функции /) окрестности множеств АиВ
соответственно. D
Из этого доказательства видно, что метризуемые пространства
устроены очень удачно—для любых непересекающихся замкнутых
множеств можно построить непрерывную на всём пространстве
функцию, принимающую разные постоянные значения на данных
множествах. Оказывается, таким свойством обладают все Г4-про-
странства. Это фундаментальное утверждение, которое носит
название леммы Урысона, играет ключевую роль в доказательстве
теоремы Титце—Урысона о продолжении функций.
1 Лемма Урысона. Для каждой пары непересекающихся замкну-
1 тых множеств АиВ в Т4-пространстве X существует непрерыв-
I ная функция /: X —> [0,1], удовлетворяющая условиям /О) = 0
1 для всехх&А и /(у) — 1 для всех у ^В.
Доказательство. Сначала мы построим семейство открытых
множеств Vr, r G [0,1] n<Q>, удовлетворяющее условиям
Φ УгсУ5дляг,5€[0, l]nQ, г<5, и
® А^У0,В^Х\Уг.

158
Глава 5. Аксиомы отделимости
Положим гг — О и г2 = 1 и как-нибудь заиндексируем все
рациональные числа в интервале (0,1) натуральными числами, большими 2:
г3, г4, г5,... Введём вспомогательное условие
©п ^ с ^, если η < г,- и i, j ζ η,
и будем строить множества Vr индукцией по номеру (индексу)
рационального числа г. Из второго условия, равносильного
аксиоме Т4, вытекает существование открытой окрестности V0
множества А с тем свойством, что В содержится в дополнении её
замыкания У0. Положим νλ =Х \ В. Тогда V0 с Vl9 т. е. условие фп выполнено
для η = 2 (условие © тоже выполнено).
Допустим, что η ^ 2 и множества Vr. уже определены для j ^ η
так, что выполнено условие Фп. Найдём среди чисел гъ г2,..., гп
числа η и гт, ближайшие к rn+i слева и справа соответственно.
Поскольку гх<гт и Ι,τητζη, из условия фп следует, что Vn с УГт. Из
того, что X G Г4, вытекает существование открытого множества W,
для которого Vrz с W с VK с УГт. Положим УГп+1 = W. Поскольку любое
число η 7^ rz с индексом i ^ п, удовлетворяющее условию η < гп+1,
меньше η, по индуктивному предположению имеем Уг. с Vri для
любого такого ri9 и поскольку любое число г;- φ гт с индексом j ^ п,
удовлетворяющее условию г; > гп+1, больше rm, по индуктивному
предположению имеем УГт с Уг для любого такого г;. Значит,
множества Vri, УГ2,..., УГп, УГп+1 — VK удовлетворяют условию ®п+1.
Результатом индуктивного построения является
последовательность открытых множеств Vr ,Vr,..., удовлетворяющая условиямчф
и®.
Определим функцию /: X—> [0,1] формулой
{inf{r: χ е Vr}, если χ e Vi,
1, еслихеХ^.
В силу условия © имеем /(х) = 0 для χ е Л и /(х) — 1 для jc e В.
Покажем, что функция / непрерывна. Согласно предложению 4.8
для этого достаточно проверить, что все множества вида /_1([0, а))
и /_1((Ь, 1]) открыты в X, поскольку полуоткрытые интервалы
[О, а) и (Ь, 1] образуют предбазу топологии отрезка [0,1].
Для а е (0,1] и χ е X неравенство f{x)<a равносильно
существованию г е [0,1] Π Q, удовлетворяющего условиям г<аихеУг;
таким образом, /_1([0, а)) = (J{Vr: re [0, а) ПQ}, a это множество
открыто, будучи объединением открытых множеств.

§ 5.3. Нормальные пространства
159
Для be [0,1) и χ еХ неравенство f(x)>b равносильно
существованию г е [0,1] Π Q, удовлетворяющего условиям г > Ь и χ φ Vr.
Пусть s e Q, b <s<r. В силу условия ф имеем Vs с Vr; значит, если
/(χ) > Ь, то найдётся 5 е (Ь, 1] Π Q, для которого χ φ Vs. Очевидно,
верно и обратное: если χ φ Vs для некоторого 5 е (Ь, 1] Π Q, то χ φ Vs
и/(х)^5>Ь. Значит, /-1((b,l]) = U{x\^^e(b,l]nQ}, а это
множество открыто.
Мы доказали непрерывность функции /, а вместе с ней и лемму
Урысона. Π
Замечание 5.10. На самом деле лемма Урысона представляет
собой характеристику Г4-пространств: если топологическое
пространство X таково, что для любых замкнутых
непересекающихся множеств А и В найдётся непрерывная функция /: X —> [0,1],
принимающая значение 0 на Л и значение 1 на В, то /_1П 0, j j)
и /_1 ί ί 9 у 1J J — непересекающиеся окрестности этих множеств в
пространстве X.
Говорят, что непересекающиеся множества Л и В в топологическом
пространстве X функционально отделимы, если существует непрерывная
функция /: X —> [О,1], удовлетворяющая условиям /(х) = 0 для всех хеА
и /(у) — 1 А-71*1 всех У^В. (Ясно, что это условие равносильно
существованию непрерывной функции g: X —> R, принимающей разные постоянные
значения на множествах Л и В: если g(A) =a и g(B) = b, то функцию /
г г л |/(х)-а|
можно определить правилом f(x) — ,f( >_ , ,f( ^ιι·) В случае, когда
одно из множеств одноточечно (или оба множества одноточечны), говорят
о функциональной отделимости точки от множества (точек друг от друга).
Таким образом, лемму Урысона можно сформулировать так:
топологическое пространство удовлетворяет аксиоме Т4 тогда и только тогда,
когда в нём любые два непересекающихся замкнутых множества
функционально отделимы.
Теорема Титце—Урысона о продолжении. Пусть X —
^-пространство и F — его замкнутое подмножество. Тогда
а) у любой непрерывной функции /: F —> [-1,1] имеется
непрерывное продолжение /: X—>[-1,1];
б) у любой непрерывной функции f: F —> R имеется непрерывное
продолжение /: X —> ]R.
Доказательство, а) Сначала заметим, что для любой
непрерывной функции /0: F —> R, удовлетворяющей условию |/0 (χ) | ^ α, χ е F

160
Глава 5. Аксиомы отделимости
(где а —любое положительное число), существует непрерывная
функция g: X —> Ш со свойствами
® IgOOI^f для всех хеХ;
® \f0M ~ gM\^^a для xeF.
В самом деле, множества А = /0_1 ([-α, -а/3]) иВ=/0_1([а/3, а])
замкнуты в F (в силу непрерывности функции /0 на F), а значит,
и в X (потому что F замкнуто в X), и они не пересекаются. По лемме
Урысона существует непрерывная функция φ: Χ —> [0,1],
удовлетворяющая условиям φ\Α = 0 и </?|в = 1. Функция g: X —> Ж,
определённая правилом g(x) = ~α ♦ ί(/?(χ) - 2) для χ еХ, непрерывна
и удовлетворяет условиям фи®.
Теперь определим по индукции последовательность
непрерывных функций gn: X —> Μ, удовлетворяющих таким условиям для всех
π€Ν:
® |/W-Eaw|^(|)nAra^€i7·
Функцию g! мы определим, применив сделанное выше замечание
к а = 1 и функции /0, равной над отображению /: F —> R
отображения /: F —> [—1,1] (иными словами, / — это та же самая функция /,
только рассматриваемая как отображение в 1, а не в [-1,1];
формально можно записать f = ц_1Л] о/, где *[_1Д] —тождественное
вложение отрезка [-1,1] в прямую Ж). Допустим, что функции
gi>g2> --->gk уже построены так, что выполнены условия © и ®
сп^к. Применяя то же самое замечание к а — (« J и /0 =/ - ]>] & |F,
мы получим функцию gk+ij удовлетворяющую условиям ® и ®
с η = /с 4-1. Индуктивное построение завершено.
Прямая проверка в каждой точке показывает, что из условия ®
вытекает сходимость ряда функций ^] gn0c) на X к непрерывной
функции /: X—> [-1,1] (можно также воспользоваться известным
из анализа признаком Вейерштрасса и теоремой Коши о
равномерной сходимости). Из условия ® следует, что /(jc) = f(x) для всех
xeF. Значит, / — искомое непрерывное продолжение функции /
наХ.
б) Рассмотрим теперь функцию /: F —> Ш. Пусть ψ: R —> [-1,1] —
функция, определённая правилом гр(х) = τττί- Тогда я/> о/ — непре-

§ 5.3. Нормальные пространства
161
рывная функция F -> [-1,1], причём ψ о /(F) с (-1,1), и к ней
применимо уже доказанное утверждение а). Пусть /г: X —> [-1,1] —
непрерывное продолжение функции ψ о /. В силу его
непрерывности множество G = /1"1({-1,1}) замкнуто в X, и оно не
пересекает F. Значит, по лемме Урысона существует непрерывное
отображение φ: X —> [0,1], удовлетворяющее условиям <р\а=0и φ\ρ = 1.
Легко видеть, что отображение /2: Х—> [-1,1], определённое
формулой /2 00 = /ι Ο) · φ 00, тоже является непрерывным
продолжением отображения ψο/наХ, причём /2СЮ с ^(М) — (-1,1).
Функция /^'Ψ-1 ° Λ — искомое непрерывное продолжение функции /
наХ. □
Замечание 5.11. Утверждение а) теоремы Титце—Урысона
остаётся верным при замене отрезка [—1,1] на любой другой отрезок
[а, Ь], где а,Ь € R, а <Ь. Действительно, для f:F-^>[a,b]
достаточно рассмотреть любой гомеоморфизм ψ: [a,b] —> [—1,1]
(например, ψ (χ) = -— , *) и построить непрерывное продолжение
ψο/: Χ—>[-1,1] функции ψ о/: F—> [-1,1]; после этого останется
положить /— i^'1 oxfjo /.
Теорема Тйтце—Урысона, как и лемма Урысона, характеризует
Г4-пространства: если X таково, что любая непрерывная функция /,
определённая на любом замкнутом множестве F с X, непрерывно
продолжается на X и А, В с X — непересекающиеся замкнутые
множества, то, положив F = AUB, определив /: F —> [0,1] правилом
/00 = 0 для χ е А и /00 — 1 для хеВи продолжив / до непрерывной
функции /: X —> [0,1], мы получим непересекающиеся окрестности
■^d0' 2)) и f'^ih г]) множеств АиВ·
Возникает естественный вопрос —а нельзя ли подобным
образом охарактеризовать Т3-пространства? Другими словами,
верно ли, что если Х — Т3-пространство, χ е X и F с X — замкнутое
множество, не содержащее х, то существует непрерывная функция
f:X—> [0,1] со свойствами /00 =0 и /|F ξ 1? Оказывается, это не
так, хотя пример построить непросто. Однако само свойство весьма
полезно, и им обладают почти все топологические пространства,
возникающие естественным образом,— все метризуемые,
равномерные и функциональные пространства, пространства с
порядковой топологией, топологические многообразия и группы, CW-kom-
плексы и пр., так что просто необходимо ввести соответствующую

162
Глава 5. Аксиомы отделимости
аксиому отделимости. Её ввёл А. Н. Тихонов^, и, поскольку эта
аксиома занимает промежуточное положение между Т3 и Т4, ей был
присвоен номер 3^.
§ 5.4. Тихоновские пространства
Определение. Топологическое пространство X удовлетворяет
аксиоме отделимости Τ3ι, если для любого замкнутого
множества F с X и любой точки χ φ F существует непрерывная функция
/: X —> [0,1], принимающая значение 0 в точке χ и тождественно
равная 1 на множестве F.
Пространства, удовлетворяющие аксиомам 7\ и Τ3ι, называются
вполне регулярными или тихоновскими.
Аксиому Γ3ι можно определить в терминах функциональной
отделимости: X € Г31, если любое замкнутое множество F с X функционально
отделимо от любой точки χ ^ F.
Иногда за определение принимают равносильное условие: X е
е Г31, если для любой точки хеХ и любой её окрестности U
существует непрерывная функция /: X -* [О,1], удовлетворяющая
условиям /Ос) = 0 и f\x\u = 1. Под окрестностью здесь можно понимать
открытую или произвольную окрестность — это ни на что не влияет.
Сразу же отметим, что Τ3ι => Т3. Действительно, если X &Т3±,
F замкнуто в X и χ &X\F, то множества £/ = /_1([о, 2)) иУ =
= /_1( ( о* lj)> гДе /·* ^~> [0> 1] —непрерывная функция, равная О
в точке χ и 1 на множестве F,— непересекающиеся окрестности χ
nF.
В дальнейшем мы будем иметь дело в основном с тихоновскими
пространствами. Класс этих пространств намного шире классов нормальных
и тем более метризуемых пространств, однако топология любого
тихоновского пространства определяется некоторым семейством ty непрерывных
υ Андрей Николаевич Тихонов (1906—1993) — советский математик и
геофизик, основатель факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.
Ввёл ныне общепринятое определение произведения топологических
пространств. Доказал теоремы о компактности произведений и о вложении
пространств в произведения отрезков. Автор вычислительного метода, известного
как регуляризация по Тихонову. Получил фундаментальные результаты в
области математической физики, теоретической геофизики и моделирования
физико-химических процессов.

§ 5.5. Примеры
163
псевдометрик13 в том смысле, что множество {Bd (χ, ε): d e @, χ e Χ, ε > 0}
образует базу топологии X. Существование такого семейства характеризует
Τ ι -пространства: если ХеГ3ь то в качестве $ можно взять семейство
псевдометрик df: (χ, у) —»I/O) —/(у)|, где / — разделяющие точки и
замкнутые множества функции из определения аксиомы Г31, а если X —
пространство, топология которого определяется семейством ££, то требуемые
в определении Γ3ι функции, разделяющие точки χ и замкнутые
множества F, можно с лёгкостью построить с помощью функций d(x, F) —
расстояний от χ до F относительно подходящих псевдометрик d e @.
Теперь у нас есть полный набор аксиом отделимости, и мы
можем их сравнить. Очевидно, имеет место цепочка импликаций
нормальность => тихоновость => регулярность =>
=> т2 => тг => г0.
То, что ни одну из этих стрелок нельзя обратить, не так очевидно,
но тоже верно. Ниже мы приводим соответствующие примеры.
§5.5. Примеры
•т0фтг
Простейший пример —так называемое связное двоеточие. Это
множество {а, Ь}, состоящее из двух точек а и Ь, с топологией
{0, {а}, {а, Ь}}.
•ТгфТ2
Можно взять, например, множество Ε с топологией Зарисского,
в которой открыты все дополнения до конечных множеств и только
они.
На самом деле топология Зарисского — весьма содержательное
понятие, она определяется для произвольной алгебраической системы
(множества с набором операций) как топология, пред базу которой составляют
дополнения до множеств решений уравнений в этой системе. К примеру,
предбазу топологии Зарисского на n-мерном аффинном пространстве Ап
над полем К образуют дополнения до всех множеств корней
многочленов от η переменных, т.е. множеств вида {х= (х15...,хп): /(х) = 0}, где
f(x)eK\_x1}...,xJ.
υ Определение псевдометрики отличается от определения метрики тем, что
аксиома тождества в нём заменяется более слабым требованием <2(х, х) = 0 для
всех xgI,t. е. тем, что расстояние между разными точками может оказаться
нулевым.

164
Глава 5. Аксиомы отделимости
• Т2 φ Т3
В качестве примера годится прямая R с топологией, базу которой
составляют все открытые интервалы и множества вида (—ε, ε) \ S,
гдее>0и5={1,|,|,...}.
Иными словами, мы усилили обычную топологию прямой, объявив
открытым множество R \ S. Когда речь идёт об усилении некоторой
топологии и мы объявляем открытыми определённые множества,
подразумевается, что множества, которые были открытыми, открытыми и останутся,
и к ним добавятся новые открытые множества — все те, которые
получаются из «старых» (если они были) и «новых» (объявленных открытыми)
множеств применением операций конечных пересечений и произвольных
объединений. Проще говоря, «объявить множества из некоторого
семейства & открытыми в новой топологии» — значит «породить новую
топологию пред базой &», а если при этом сказано, что новая топология должна
усиливать некоторую уже имеющуюся топологию βϊ, то предбазой новой
топологии будет & и <^\
Множество S замкнуто в новой топологии и 0 φ S, однако S и О
не отделены окрестностями.
Аналогичный пример получается, если рассмотреть евклидову
плоскость М2 и усилить её топологию, объявив открытым
множество Ш2 \ R, где R = {О, у) е Ж: χ > О, у = 0} — открытый луч с
началом в нуле. Луч R замкнут в новой топологии и (0, 0) φ R, но R
и (0, 0) не отделены окрестностями.
Пример довольно сложен, и мы не будем его здесь излагать. Он
подробно описан в примере 2.4.21 из книги [19].
•Il + Tai*^
Классический пример вполне регулярного ненормального
пространства—плоскость Немыцкого. Мы сначала покажем, что она
вполне регулярна, а потом докажем общий факт, из которого будет
вытекать её ненормальность.
Сперва заметим, что, поскольку топология любого
метрического пространства удовлетворяет аксиоме Тъ плоскость Немыцкого L
тоже удовлетворяет этой аксиоме —её топология сильнее
топологии, порождённой евклидовой метрикой на плоскости, и все
одноточечные множества замкнуты в более слабой метрической
топологии; тем более они замкнуты в более сильной топологии плоскости
Немыцкого.

§ 5.5. Примеры
165
Выполнение аксиомы Τ3ι достаточно проверить ддя точек
граничной прямой Ϊ плоскости Немыцкого — всякая окрестность
любой точки х0 е L \ I содержит некоторую ε-окрестность относительно
евклидовой метрики d на плоскости, а для ε-окрестности нужная
функция из условия, равносильного Γ3ι, существует (притом
непрерывная не только относительно топологии L, но и относительно
более слабой метрической топологии замкнутой верхней
полуплоскости) —можно положить /(jc) =min|—j—, 1 J, а можно и просто
сослаться на нормальность любого метризуемого пространства.
Итак, пусть х0 € Ϊ. Мы будем проверять выполнение условия,
равносильного аксиоме Τ3ι. Пусть [/—любая окрестность точки х0,
и пусть DXq U {х0} — базисная окрестность точ- #
ки х0, содержащаяся в U (напомним, что /
DXq — произвольный открытый круг, располо- ; Ух
женный в верхней полуплоскости, граница ко- -
торого касается прямой ϊ в точке х0). Для fc|l
χ G DXq обозначим через ух точку, в которой t|
луч, выходящий из точки х0 и проходящий че- xri
рез х, пересекает границу круга DXq.
Нетрудно проверить, что функция /: L —> [0,1], определённая
правилом
{О, если χ = х0,
1, если χ € L\(DXoU{x0}),
d{x0,x) _ 0
-J7 τ, если χ е Dx ,
аОсо,УхУ
непрерывна на L, /(х0) = 0 и /|L \ LT = 1 ■ (так как U э DXq).
Мы показали, что плоскость Немыцкого L вполне регулярна.
Вместо того чтобы доказывать, что L не нормальна, мы докажем
несколько более общий факт.
Предложение 5.12. Если сепарабелъное пространство содержит
замкнутое дискретное подпространство мощности не меньше 2К°,
то оно не удовлетворяет аксиоме Г4.
Доказательство. Пусть X — сепарабельное пространство, YczX —
счётное всюду плотное множество в X и D — замкнутое
дискретное подпространство пространства X мощности 2К°. Согласно
следствию 5.8 если непрерывные функции /,g: X—>]R принимают
одинаковые значения в точках множества Y, то они совпадают. Значит,

166
Глава 5. Аксиомы отделимости
на X существует не более чем |М|'7' = (2К°)К° = 2К° разных
непрерывных функций. Поскольку D дискретно, любая функция D —> R
непрерывна, а число разных таких функций равно |D|'E' =22 ° (см.
задачу 6 ж) на с. 44). Если бы пространство X удовлетворяло
аксиоме Т4, то каждая из этих функций допускала бы непрерывное
продолжение на X и все продолжения были бы разными (так как
уже сами функции разные), а это невозможно, поскольку по теореме
Кантора 22*°>2К°. D
Из этого предложения следует, что плоскость Немыцкого не
нормальна — она сепарабельна (счётное всюду плотное подмножество
составляют все точки верхней полуплоскости с рациональными
координатами) и содержит дискретное подпространство
мощности 2К° — граничную прямую I, которая замкнута в метрической
топологии на верхней полуплоскости, а значит, и в более сильной
топологии плоскости Немыцкого.
§ 5.6. Аксиомы отделимости в подпространствах
Легко видеть, что свойство удовлетворять каждой аксиоме
отделимости, кроме Г4, наследственно. Покажем, например, что ес-
ли X е Г3 и Υ с X, то Υ G Т3. Пусть F — замкнутое подмножество Υ
и χ е Υ \ F. Положим G = FX. Поскольку F = G П Υ (см. формулу (1) на
с. 87), имеем x£G; значит, в пространстве X существуют
непересекающиеся окрестности U и V точки χ и множества G
соответственно. По определению индуцированной топологии U ΠΥ и V ΠΥ —
окрестности точки χ и множества F в пространстве Υ, и они не
пересекаются.
С аксиомой Г4 дело обстоит иначе, поскольку из того, что
замкнутые множества F и G в подпространстве Υ пространства X не
пересекаются, вообще говоря, не следует, что их замыкания в X не
пересекаются, т. е. что F и G содержатся в непересекающихся
множествах, замкнутых в X. Простой пример несохранения аксиомы Г4
подпространством — четырёхточечное пространство X = {a, b,c,d}
с топологией {0, {а}, {а, Ь}, {а, с}, {а, Ь, с}, {а, Ь, с, d}} и его
подпространство Υ = {α, Ь, с}: помимо 0 и X, в X замкнуты только
множества {Ь, с, d}, {b, d}, {с, d} и {d}, и все они попарно пересекаются,
так что аксиома Г4 выполняется в X тривиальным образом. Однако
в Υ есть непересекающиеся замкнутые множества {Ъ} и {с}, и они
не отделены окрестностями. Заметим, что пространство X не удо-

§ 5.6. Аксиомы отделимости в подпространствах 167
влетворяет аксиоме Т1у а значит, не нормально. Можно привести
и пример нормального пространства, содержащего ненормальное
подпространство, но сейчас у нас недостаточно средств для этого,
хотя потом мы увидим, что таких пространств очень много.
Тем не менее нормальность наследуется замкнутыми
подпространствами.
Предложение 5.13. Если X е Т4 и Υ— замкнутое
подпространство X,moYe Г4.
Доказательство. Если F и G — непересекающиеся замкнутые
множества в Y, то они являются таковыми и в X, поскольку Υ
замкнуто в X. Значит, они имеют непересекающиеся окрестности U
и V. Ясно, что (УПУиУПУ — непересекающиеся окрестности
множеств F и G в У. D
Нормальность наследуется и счётными объединениями замкнутых
множеств — такие объединения называются множествами типа Fa или
F^-множествами.
1 Теорема 5.14. Если XeT4uY — F^множество в X, то Ye Г4.
Доказательство. Пусть У = (J Yn, где все Уп замкнуты в X. Тогда любые
neN
замкнутые в У непересекающиеся множества F, G с У можно представить
как F = (J Fn и G = |J Gn, где все Fn и Gn замкнуты в X (надо положить
neN nGN
Fn = F ПУп и Gn = Gf)Yn). Без ограничения общности можно считать, что
\ сУп+1, Fn cFn+1 и_Сп cGn+1 для neN.
Поскольку G = Gx П У (потому что G замкнуто в У) и F с У, для каждого
η е N имеем Fn n Gx = 0. Пользуясь тем, что X е Г4, для каждого η найдём
открытое в X множество Un со свойствами Fn<zUn и U* Π Gx = 0. Точно так
же для каждого π найдём открытое в X множество Vn со свойствами Gn С Уп
и Упх riFx = 0. Нетрудно проверить, что множества
и=и(ч.\и^) и у=и(ч.\№)
являются непересекающимися открытыми окрестностями множеств F и G
в X. Значит, UnY и V η У — непересекающиеся открытые окрестности мно-
ysseciB F и G в Υ. D
Однако открытыми подпространствами нормальность уже не
наследуется. Более того, если в некотором пространстве все открытые
подпространства нормальны, то в нём нормальны и вообще все подпространства.
Сейчас мы это докажем, но сначала дадим ещё одно определение.
! Определение. Говорят, что множества Л и В в топологическом
пространстве отделены, если ЛПВ = АПВ = 0.

168
Глава 5. Аксиомы отделимости
| Теорема 5.15. Для топологического пространства X следующие усло-
I вия равносильны:
Ι а) X наследственно удовлетворяет аксиоме отделимости Г4 (т. е. все
I подпространства пространства Xудовлетворяют этой аксиоме);
1 б) любое открытое подпространство X удовлетворяет аксиоме Г4;
I в) любые два отделённых множества в X отделены окрестностями.
Доказательство. Импликация а) => б) тривиальна. Покажем, что б) =>
=> в). Пусть Α,ΒαΧ и АпВ = АпВ = 0. Положим Υ = Χ \ (Α η В).
Очевидно, А, В с 7, а поскольку Αγ = Ах η Υ и W = Вх η Υ (см. формулу (1) на
с. 87), имеем также Άγ ПВ7 = 0. Подпространство 7 открыто в X; значит, по
предположению существуют открытые в 7 множества U и У со свойствами
£/nV = 0, А с £/ и В с V. Ясно, что множества U и У открыты и в X.
Осталось показать, что в)=>а). Пусть 7 — произвольное
подпространство пространства X и А, В с 7 — непересекающиеся множества, замкнутые
в 7. Поскольку А = А*П7 и В = ВХ ΠΥ (см. формулу (1) на с.87), имеем
Ах ПВ = АПВХ = 0, т.е. А и В отделены в X. Значит, у них есть
непересекающиеся открытые окрестности U и V в X. Множества UΠΥ и VΠΥ не
пересекаются и открыты в 7, причём AczUnY и В czVHY, что и
требовалось. D
Подобно сепарабельности, в классе метризуемых пространств
нормальность наследственна, но совсем по другой причине —
просто потому, что все метризуемые пространства нормальны, а
метризуемость наследственна.
§ 5.7. Аксиомы отделимости
и непрерывные отображения
Наконец, рассмотрим сохранение аксиом отделимости
непрерывными отображениями. Ясно, что всеми непрерывными
отображениями не сохраняется ни одна аксиома: дискретные
пространства удовлетворяют всем аксиомам отделимости, и любое
топологическое пространство (X, 3") является образом пространства (X, 5^),
где «^ — дискретная топология, при непрерывном тождественном
отображении, так что для получения примера,
демонстрирующего несохранение какой-нибудь аксиомы отделимости при переходе
к непрерывному образу, достаточно взять пространство (X, 3"), не
удовлетворяющее этой аксиоме.
Однако непрерывными отображениями специальных типов
некоторые аксиомы отделимости сохраняются (пока мы знаем три
таких типа — открытые отображения, замкнутые отображения и го-

Задачи
169
меоморфизмы, но гомеоморфизмы не в счёт, поскольку они
сохраняют все топологические свойства). Например, очевидно, что
образ /СЮ любого 7\-пространства X при замкнутом отображении
f:X-*Y тоже является ^-пространством —каждая точка у €/(Х)
является образом некоторой точки χ е X, и одноточечное
множество {х} замкнуто в X, потому что X е Тг; значит, одноточечное
множество {у} замкнуто в /(X). В дальнейшем нам понадобится
следующее утверждение.
I Теорема 5.16. Если /: X —> У — замкнутое сюръективное
непрерывное отображение нормального пространства X на некоторое
пространство У, то Υ нормально.
Доказательство. Мы уже показали, что FeTj. Пусть F и G —
непересекающиеся замкнутые множества в Y. Тогда /_1 (F) и /_1 (G) —
непересекающиеся замкнутые множества в X. В силу
нормальности X существуют непересекающиеся открытые в X множества
U, V с X, для которых f~l(F) с U, /_1(G) с V и U η V = 0.
Множества X \ U и X \ У замкнуты вХ, и X\UUX\V = X. Значит,
множества /(X \ U) и /(X \ У) замкнуты в У и /(X \ [/) и/(X \ У) = 7.
Следовательно, множества W — Y\f(^X\U) и О = У \ /(X \ V)
открыты в Υ и не пересекаются. Поскольку /_1(F) с [/ и /_1(G) с V,
имеем F с W и GcO. D
Задачи
1. Покажите, что всякое пространство, удовлетворяющее
аксиомам отделимости Т0 и Т3, регулярно. Верно ли, что всякое
пространство, удовлетворяющее аксиомам Т0 и Т4, нормально?
2. Пусть X — метризуемое пространство, топология которого
порождается метрикой d, и пусть F и G — непересекающиеся
замкнутые подмножества X. Постройте в явном виде (в терминах
^-окрестностей относительно метрики d) непересекающиеся
открытые окрестности множеств F и G.
3. Докажите, что любое пространство с топологией линейного
порядка наследственно нормально.
4. Пусть ν/λ — {α: α ^ ωΎ} — множество всех не более чем
счётных ординалов вместе с первым несчётным, снабжённое
порядковой топологией^, и пусть W0 — {а: α^ω} — множество всех конеч-
υ См. также задачу 11 на с. 106.

170
Глава 5. Аксиомы отделимости
ных ординалов вместе с первым бесконечным, тоже с порядковой
топологией^. Пространство W1xW0c топологией произведения
называется плоскостью Тихонова®. Докажите, что
а) пространство У/г χ W0 нормально;
б) пространство (V^ x W^) \ {(соъ ω0)} не нормально;
в) пространство (И^ χ W0) \ {{соъ ω0)}, в отличие от плоскости
Немыцкого, не содержит несчётных замкнутых дискретных
подпространств.
5. а) Покажите, что всякое регулярное пространство со счётной
базой нормально. Всякое ли хаусдорфово пространство со счётной
базой нормально?
б) Покажите, что всякое счётное регулярное пространство
нормально. Всякое ли счётное хаусдорфово пространство нормально?
6. Пусть X — произвольное пространство, Ζ —регулярное
пространство, Υ — плотное подпространство X и /: Υ —> Ζ —
непрерывное отображение. Докажите, что отображение / продолжается до
непрерывного отображения X —> Ζ тогда и только тогда, когда оно
продолжается до непрерывного отображения Υ и {х} —> Ζ для
каждой точки χ е Χ \ Υ.
7. а) Приведите пример двух разных функций /, g: Ж —> R,
сужения которых на всюду плотное в R множество Ρ иррациональных
чисел непрерывны и совпадают.
б) Приведите пример двух разных функций /, g: Ж —> R, которые
в каждой точке всюду плотного в Ж множества Ρ непрерывны и
совпадают.
8. Множество А в топологическом пространстве X называется
функционально замкнутым, или нуль-множеством, если А=/-1({0})
для некоторой непрерывной функции. Множество А с X
функционально открыто, или является конуль-множеством, если А =
= /_1 (R \ {0}) для некоторой непрерывной функции /: X —> R. (См.
также задачу 106) ниже.)
1} Таким образом, точки пространства W0 образуют сходящуюся
последовательность вместе с её пределом ω. Это (и любое гомеоморфное ему)
пространство так и называют — сходящаяся последовательность, хотя оно не является
последовательностью в строгом смысле. Заметьте, что при этом на множестве
νν0\{ω} = ω = Νυ{0} индуцируется обычная — дискретная—топология,
совпадающая с топологией, индуцированной из R, а окрестностями точки ω
являются дополнения до конечных подмножеств множества W0 \ {ω}.
2) Иногда плоскостью Тихонова называют пространство {у\1г χ W0) \ {(ω1? ω0)}.

Задачи
171
а) Докажите, что во вполне регулярном пространстве X точка χ
имеет тип1) G5 тогда и только тогда, когда одноточечное
множество {х} функционально замкнуто.
б) Приведите пример вполне регулярного пространства, в
котором не все точки имеют тип G5.
9. а) Докажите, что в нормальном пространстве X замкнутое
множество F имеет тип1} G5 тогда и только тогда, когда F
функционально замкнуто2).
б) Ti-пространство, в котором все замкнутые множества
функционально замкнуты, называется совершенно нормальным..
Покажите, что пространство совершенно нормально тогда и только
тогда, когда оно нормально и все замкнутые множества в нём имеют
тип G5.
в) Докажите, что любое совершенно нормальное пространство
наследственно совершенно нормально.
г) Приведите пример нормального не совершенно нормального
пространства.
д) Покажите, что в ненормальном пространстве замкнутые
G5-множества не обязаны быть функционально замкнутыми, даже
если это пространство вполне регулярно.
10. а) Докажите, что всякое метризуемое пространство
совершенно нормально.
б) Выведите из пункта а), что множество А функционально
открыто (замкнуто) в пространстве X тогда и только тогда, когда
существуют непрерывная функция /:Х-^1и открытое (замкнутое)
множество Υ с R, для которых А — f~l (У).
11. Покажите, что прямая Зоргенфрея3) S нормальна и даже
совершенно нормальна, однако её квадрат S x S с топологией
произведения не нормален.
12. Докажите, что
а) |Х| ^ 2ш(х) для любого 7\-пространства X;
б) |Х| ^ 22 х для любого хаусдорфова пространства X;
в) ш(Х) ^ 2dm для любого Г3-пространства X.
См. задачу 9 на с. 105.
См. предыдущую задачу.
См. задачу 10 на с. 105.

172
Глава 5. Аксиомы отделимости
Подсказки и решения
2. В метрическом пространстве точка jc является точкой
прикосновения (т. е. принадлежит замыканию) множества А тогда и
только тогда, когда d(jc, А) = 0. Значит, если F и G —два
непересекающихся замкнутых множества в X, то для любой точки jc e F имеем
d(jc, G) > 0 и для любой точки y^G имеем d(x,F) >0. Для каждой
точки jc e F положим εχ = d (jc, G) и Ux = Bd ( jc, у J, а для каждой
точки jc e G положим ex—d{x,F) и Vx = Bd(x, у J. Множества U= (J ί/χ
X<EF
и У = |J Vx — открытые окрестности множеств F и G соответствен-
но. Покажем, что [/ Π V = 0. Достаточно проверить, что для любых
χ е F и у е G выполнено условие
17хПУу = 0.
Пусть ге[/хпУу. Предположим для определённости, что εχ ^ еу.
Тогда
d(x,y) ^ d{x,z)+d{z,y) < у+ у ^ εχ,
а это противоречит тому, что εχ = inf {d (jc, g): g e G}. Значит, UnV =
= 0, что и требовалось.
3. Пусть (X, ^) — линейно упорядоченное множество. Мы
должны доказать, что любые множества А, В с X, отделённые в
порядковой топологии, отделены окрестностями (см. теорему 5.15). Положим
U = \Ji(x,y): *,У € А, (х,у)пВ - 0}
и
v = {J{(x,y):х,у £ВЛх,у)пА = 0}
(здесь (х,у) — открытый интервал с концами jc и у). Заметим,
что U Π V = 0, так как если jc, у е Α, ι/, ι; е β и (jc, у) Π (ι/, ι;) ^ 0,
то либо и е (χ, у) (и тогда (х,у) η Β φ 0), либо у е (ι/, ι;) (и
тогда (и, ν) η Α Φ 0). Кроме того, AnV = J7nB = 0. Действительно,
пусть, например, α е А П V. Возьмём интервал (jca, ya) э α, не
пересекающий В (он существует, поскольку множества А и β
отделены). Пусть ν е (ха, уа) η У. Тогда υ е (jc, у) для некоторых х, у е В,
причём (jc, у) η А = 0. Ясно, что либо jca < jc, либо уа> у — иначе
a G (х, у) η А. Пусть для определённости xa < jc. Тогда и ya < jc —
иначе χе (ха, ya) П В. Следовательно, (ха, уа) Π (χ, у) = 0, что проти-

Подсказки и решения
173
воречит включению ν е (ха, уа) η (χ, у). Случай уа > у разбирается
аналогично. Таким образом, А П V = 0. Точно так же доказывается,
что £7п£ = 0.
Положим DA = А \ U. Возьмём любую точку d&DA. Пусть d e
е (xd, y<i) и (xd> Уа) п В — 0 (такой интервал найдётся, потому что
АПВ — 0). Предположим, что окрестность (xd, yd) точки d содержит
ещё две точки х, у е DA, и пусть для определённости χ < у. Тогда
либо χ < у < d, либо χ <d < у, либо d < χ < у. В первом случае
у е LT, во втором d е [/, а в третьем χ е [/. В любом случае получаем
противоречие с тем, что DA n U = 0. Поскольку, очевидно, любое
линейно упорядоченное пространство удовлетворяет аксиоме
отделимости Tl9 у точки d есть окрестность, которая не содержит других
точек из DA и не пересекается с В.
Положим DB =B \ V. Те же рассуждения, что и выше,
показывают, что у каждой точки множества DB есть окрестность, которая не
содержит других точек из DB и не пересекается с А.
Таким образом, множество D = DA U DB дискретно. Положим
к = \D\ и заиндексируем точки множества D ординалами из к:
D = {da: α < к}. Сейчас мы по трансфинитной индукции построим
попарно непересекающиеся окрестности (ха, уа) точек da.
У точки d0 есть окрестность (х, у), которая не содержит других
точек из D. Если (х, d0) φ 0 (т. е. χ не является непосредственным
предшественником элемента d0), выберем произвольную точку
х0 е (х, d0), в противном случае положим х0 = х. Если (d0, у) φ 0,
выберем произвольную точку у0 е (d0, у), в противном случае
положим у0 =у. Предположим, что попарно непересекающиеся
окрестности (х^у^) точек d^ уже построены для всех β < α, причём
(*/з> У/з) п^ — №β} и если точка х^ (точка у β) не является
непосредственным предшественником (последователем) точки άβ, то она не
принадлежит множеству D. Заметим, что для разных β,γ<α имеем
Χβφχγ и yβ φ yY. У точки da есть окрестность (х, у), которая не
содержит других точек из D. Интервал (х, da) не может содержать
ни одной точки Χβ для β < а: если х^ е (х, da), то либо d^ e (x, da),
либо da e (х^у^), а это противоречит тому, что da
(d^)—единственная точка из D в (х,у) (в (х^у^)). Кроме того, интервал
(х, da) не может содержать больше одной точки у β для β < а: если
•УА' Ур2 е (х> d«) и % < У/з2> то> очевидно, άβι € (χ, da). Аналогично,
интервал (da, у) не может содержать ни одной точки yβ для β < а
и не может содержать больше одной точки х^ для β < а. Значит,

174
Глава 5. Аксиомы отделимости
у точки da есть окрестность (ха, уа), для которой
(ха, da) Π {χβ: β < a} = (χα, da) Π {γβ: β < α} =
= Wa, Уа)η {У/з · jB < a} = (da, ya) Π {χβ : β < a} = 0,
причём если точка χ (точка у) не является непосредственным
предшественником (последователем) точки da, то точку ха (точку уа)
можно выбрать так, что χαφΌ (соответственноγαφΌ). Кроме того,
точка da может совпадать с некоторой точкой у β, β < а, только
если άβ является непосредственным предшественником точки у β,
и da может совпадать с некоторой точкой χ β, β < α, только если jc^
является непосредственным предшественником точки άβ. Отсюда
вытекает, что (ха, уа) η (χβ, yβ) = 0 для всех β < а. Индуктивное
построение завершено.
Осталось заметить, что открытые множества
иг = Uu{jiHxa,ya)\V: а<к,аае DA}
и
Vi = Vu\J{{xa,ya) \U: α<κ,άα(Ξ DB}
не пересекаются, 111эАиУ1эВ.
4. а) Прежде всего отметим, что пространство У/г χ W0
компактно, т. е. любое семейство открытых множеств °11 с тем
свойством, что (J Щ = Wi х Wo, содержит конечное подсемейство с тем
же свойством. Компактные пространства будут рассмотрены в
главе 7, где будет доказана, в частности, нормальность всякого
компактного хаусдорфова пространства; там же будет доказано и то,
что произведение компактных пространств компактно.
Нормальность пространства Wx x W0 проще всего доказать по этой общей
схеме, но здесь мы не будем её излагать, а просто сошлёмся на
утверждения из главы 7. Однако всё равно нужно доказать
компактность пространств W0 и И^. Мы покажем, что для любого кардинала
к замкнутый интервал [0, к] с порядковой топологией компактен
(в частности, пространства У/г = [0, сог] nW0 = [О, ω] компактны).
Одно из возможных доказательств компактности пространства
[О, к] таково. Пусть °и — семейство открытых множеств в [0, к:], для
которого (J Щ = [0, к], и пусть U0 — какой-нибудь элемент этого
семейства, содержащий кардинал к. Если к > О (а в случае к — О
доказывать нечего), то в силу открытости множества U0 найдётся а < к,
для которого (а, к] с U0. Возьмём наименьший ординал аг с этим

Подсказки и решения
175
свойством (ординалы вполне упорядочены, поэтому он существует).
Ясно, что аг φ U0. Выберем иг е °11, для которого a1GU1, и найдём
наименьший ординал а2 < а1? для которого (а2, α-J с ϋΎ. Затем
выберем U2 Ξ ^, для которого а2 ξ ί/2, и найдём наименьший ординал
а3 < «2, для которого (а3, а2] с U2- Будем продолжать этот процесс,
пока возможно. Он оборвётся на конечном шаге с некоторым
номером к е N — иначе мы получим бесконечную строго убывающую
последовательность ординалов аг > а2 > ..., что противоречит
аксиоме регулярности (см. с. 19; здесь используется то, что порядок
< на ординалах — это отношение принадлежности е). Это означает,
что для некоторого ак мы не сможем выбрать ординал afc+1 < ak, для
которого (ак+1, ак] с Uk, несмотря на то, что множество Uk открыто
и содержит ак, а это, в свою очередь, может произойти, только если
ак = 0. По построению имеем
l/fcUl7Jk_1U...Ul70= [0,к].
б) Пусть А — {(ωΐ5 η): η < ω} и В = {(α, ω): а < сог} (здесь
круглые скобки обозначают пару точек, а не интервал!). Тогда Λ и β
замкнуты в (Wi х Wo) \ {{соъ ω)}, поскольку их дополнения открыты.
Пусть [/ — окрестность множества А. Для каждой точки {соъ η) е А
найдётся такой ординал ап < ωΐ9 что {(а, п): ап < а ^ а>г} с U.
Положим
a = supan = |Jan.
π π
Ординал ά счётен, будучи объединением счётного числа счётных
множеств; значит, а < ω1? и (а, а>г] χ [0, ω) с IT, так что любая
окрестность точки (а +1, ω) е В пересекает U. Тем более любая
окрестность множества В пересекает U.
в) Пусть X с (ΠΙ χ И^0) \ {(а>!, ω)} —несчётное замкнутое
дискретное множество. Пользуясь тем, что множество W0 счётно,
найдём а € W0, для которого пересечение Υ = Χ η (У/г χ {α}) несчётно.
Множество Υ замкнуто и дискретно в подпространстве И^ χ {α}
пространства У/г χ W0. Заметим, что если а е ω, то это
подпространство гомеоморфно пространству Wly а если α — ω, то оно го-
меоморфно пространству И^0 = И^ \ {а^}. Значит, чтобы получить
противоречие, достаточно показать, что в пространствах Wi и И^0
все замкнутые дискретные множества не более чем счётны. Мы
покажем даже больше -— а именно, что любое бесконечное множество
А с W® имеет предельную точку а < ωΎ в И^0, а значит, бесконеч-

176
Глава 5. Аксиомы отделимости
ное А не может быть замкнутым и дискретным в И^0 (и тем более
в И^): если А замкнуто, то предельная точка а обязана
принадлежать А, но дискретное множество А не может содержать своих
предельных точек.
Итак, пусть А с W^0 бесконечно. Выберем строго возрастающую
последовательность ординалов из Л: обозначим через а0
наименьший ординал из бесконечного множества А, через аг —
наименьший ординал из бесконечного множества А \ {а0}, через а2 —
наименьший ординал из бесконечного множества А \ {а0, аг} и т. д.
Положим а = sup ап = |J ап. Рассмотрим любую окрестность U точки а.
η η
Она содержит некоторый интервал {β, γ), где β < а и γ > а. Посколь-
ку β < а (т. е. β е а), а а — |J ап, найдётся п, для которого β е ап, т. е.
η
β <ап. Имеем ап е U. Отсюда вытекает, что а —предельная точка
множества {ап: η ^ 0} с А, а значит, и множества А.
5. а) Пусть X — регулярное пространство со счётной базой 38,
и пусть А и В — непересекающиеся замкнутые множества в X.
Для каждого χ е А множество X \ В является окрестностью
точки х, поэтому в силу регулярности найдётся 1/хеЛ, для которого
χ е Ux с Ux с X \ В. Семейство °и — {Ux: χ е А} счётно (так как база
<% счётна); занумеруем все его элементы натуральными числами:
°11 = {Un :neN}. Имеем Ac |J UnnBnDn = 0 для каждого π€Ν.
Точно тем же способом мы можем найти счётное семейство
У = {Vn: /igN} открытых множеств, удовлетворяющих условиям
Bcz[jVnnAnVn = 0 для каждого η€Ν.
Множества Wk = Uk \ (|J Vn) и Ок = Vk \ (|J Όη) открыты.
ПОЛОНЕ п^к
жим U= {JWknV= [J Ок. Покажем, что U и V — непересекающи-
fceN fceN
еся открытые окрестности множеств А и В.
То, что U wV открыты, ясно. Пусть χ е U η V; тогда χ е Wt Π 0;
для некоторых i,j е N. Если ί ^ ;, то
'€0;. = у;.\(иУ„)су;.\г7£,
так что χ не может принадлежать множеству Uh а если ί ^ ;, то χ не
может принадлежать множеству V,. Это противоречие показывает,
что U Π У = 0. Наконец, А с [/, поскольку Ac |J UnnAnVn = 0 для
всех π € Ν, и аналогично В с V. nGN

Подсказки и решения
177
Хаусдорфово пространство со счётной базой не обязано быть
даже регулярным — годится пример на с. 164.
б) Доказательство дословно повторяет решение предыдущей
задачи, только на этот раз семейства ^иУ счётны не потому, что они
содержатся в счётной базе, а потому, что множества АиВ счётны.
Слегка видоизменив пример хаусдорфова нерегулярного
пространства на с. 164, а именно заменив Ш на Q, мы получим счётный
пример.
6. В доказательстве нуждается только достаточность. Для
каждой точки χ е Χ \ Υ из того, что Ζ хаусдорфово и Υ плотно в Υ и {jc},
следует единственность непрерывного продолжения fx: Y U {jc} —> Ζ
отображения /. Определим отображение /: Χ—>Ζ, полагая f(x) =
= fx(x) для jc e X \ Υ и /О) = /О) для jc e Y. Это продолжение /.
Покажем, что оно непрерывно в каждой точке jc0eX. Пусть U —
любая окрестность точки /0с0) в Z, и пусть V — окрестность той
же точки, удовлетворяющая условию V с U. Поскольку f\YU{Xoy
непрерывно, существует окрестность W точки х0 в X, для которой
f(W Π У) с У. Для любой точки x<eW имеем χ е WYU{x} = WnYYU{x}
(см. предложение 3.8). Из непрерывности сужения f\YU{Xy вытекает,
что/(*) e/(Vim Y) с У с [/.
7. В обоих пунктах годятся функции / ξ 0 и
(О, если χ иррационально,
1 Ρ ^ Ρ
- если χ = - где дробь - несократима и q > 0.
В пункте а) в рациональных точках вместо g(x) = - можно
положить g(jc) = l.
8. а) Очевидно, всякое функционально замкнутое множество
F с X имеет тип G5: если функция /: X —> Ш непрерывна м F —
~/_1({0}), то все множества ί/π—/_1ίί--, -JJ открыты иF=f]Un.
Осталось показать, что если хеХ имеет тип G5, то множество {х}
функционально замкнуто.
Пусть {jc} = P| Un, где все Un открыты. Пользуясь регулярно-
стью пространства X, мы можем найти такие открытые
множества Vn с Un, что χ € Уп+1 с Vn для всех η е N. Имеем {х} = f)Vn.
Для каждого η множество X \ Vn замкнуто и χ ^ X \ Уп. Поскольку

178
Глава 5. Аксиомы отделимости
X е Г31, существует непрерывная функция /п: X —> [0,1],
удовлетворяющая условиям /п(х) = 0 и X \ Vn с /п~1({1}). Легко показать
прямой проверкой в каждой точке (или можно применить
известные из анализа признак Вейерштрасса и теорему Коши о
равномерной сходимости), что функция /: X—>М, определённая правилом
/00 = Σ ^τ·/π00 для у еХ, непрерывна, причём {х} = /_1({0}).
б) X = D и {*}, где D —любое несчётное множество, точка * не
принадлежит D, все точки множества D изолированы в X и
окрестностями точки * служат всевозможные множества вида {*} U D \ А,
где Λ — конечное подмножество множества D.
9. а) Поскольку всякое функционально замкнутое множество
имеет тип G5 (см. решение пункта а) предыдущей задачи),
достаточно доказать, что все замкнутые G5 -множества в X
функционально замкнуты.
Пусть F с X —замкнутое G5-множество в X и F = f] Un, где
все Un открыты. Пользуясь нормальностью пространства X, мы
можем найти открытые множества Vn с Un с тем свойством, что
F с Vn+i с Vn для всех п. Для каждого η множества F и X \ Vn
замкнуты и не пересекаются. По лемме Урысона существует непрерывная
функция fn: X —> [0,1], удовлетворяющая условиям F с /п_1({0})
и Х\ Vn с/п_1({1}). Легко показать прямой проверкой, что функция
/: X —> R, определённая правилом /М = Σ 2" ' /η 00 Для х G ^>
непрерывна, причём F —f~l ({0}). "GN
б) Пусть X совершенно нормально. Тогда всякое замкнутое
множество в X имеет тип G5 (см. рассуждение выше в пункте а))
и нам надо лишь доказать, что X е Г4. Пусть F и G —
непересекающиеся замкнутые множества в X, и пусть /, g: X —> R —
непрерывные функции, для которых F = /-1({0}) и G = g-1({0}). Положим
/г(х) = |f. . , ( ., для χ еХ. Мы получили непрерывную функцию
h: X —> [0,1], причём, очевидно, h|F ξ 0 и ft|G ξ 1, так что множества
F и G отделены окрестностями /ι_1( I 0, ^JJ и h_1(( o> ij)·
То, что всякое нормальное пространство, в котором все
замкнутые множества имеют тип G5, совершенно нормально, следует из
пункта а).
в) Пусть X совершенно нормально, и пусть Υ с X. Ясно, что
Υ€7\. Возьмём замкнутое множество F в Υ. Пусть F0 —замкнутое

Подсказки и решения
179
множество в X, для которого F = F0nY. Поскольку X совершенно
нормально, существует непрерывная функция /: X —> 3R, для
которой F0 = /_1({0}). Сужение g = f\Y этой функции на Υ непрерывно
на 7, и g-1 ({0}) - Г1 ({0}) П Υ = F0 η Υ = F.
г) Для любого несчётного ординала к пространство [0, к] с
порядковой топологией наследственно нормально согласно задаче 3.
Покажем, что оно не совершенно нормально. Любое замкнутое
подмножество F пространства [0, к], содержащееся в [0, а>г),
ограничено некоторым счётным ординалом, поскольку у точки ωλ φ F
существует окрестность (α, ωλ], α < ωΐ9 не пересекающая F.
Следовательно, открытое подмножество [0, а>г) пространства [0, к] нельзя
представить как объединение счётного числа замкнутых
подмножеств, а значит, его дополнение (которое замкнуто) нельзя
представить как пересечение счётного числа открытых подмножеств
пространства [0, к].
д) Представим плоскость Немыцкого L с граничной прямой I
как верхнюю полуплоскость {О, у) е М2: у ^ 0}, в которой
прямая I задаётся уравнением у — 0. Заметим, что I = f] Un, где Un =
Г 9 11 nGN
= ι (χ, у) € Μ : 0 ^ у < -1. Каждое множество Un открыто в
евклидовой топологии полуплоскости и тем более в топологии плоскости
Немыцкого. Значит, I имеет тип G5 в L. Любое подмножество А
граничной прямой замкнуто в L и тоже имеет тип G5, поскольку
I \ А замкнуто в L и А = Q (Un \(l\ А)). Таких подмножеств
имеется 22 ° > 2К° штук, тогда как непрерывных функций на L всего 2К°
(см. доказательство предложения 5.12).
10. Для любого пространства X, метризуемого метрикой d, и
любого замкнутого множества F с X имеем F — /_1 ({0}), где /: χ *->
11. Покажем, что пространство S нормально. Выполнение
аксиомы Тг очевидно. Пусть А и В — непересекающиеся замкнутые
подмножества пространства S. Для каждого а е А выберем а' > а
так, что [α, α7) Π В = 0, и для каждого b e В выберем Ъ' >Ъ так,
что [Ь, Ь7) Π Λ = 0. Положим ϊ/ = [J [α, α7) и V = (J [Ь, Ь7). Ясно, что
множества ί/иУ открыты, Λ с U и β с У. Заметим, что для любых
α ^ А и b е В имеем [α, α7) Π [b, Ь7) = 0. Действительно, если а < Ь, то
а7 < b (поскольку [а, а7) П £ = 0), а если а > Ь, то а > Ь7 (поскольку
[Ь, Ь7) η Λ = 0). Следовательно, ί/ Π V = 0.

180
Глава 5. Аксиомы отделимости
Для доказательства совершенной нормальности прямой Зор-
генфрея достаточно проверить, что любое открытое подмножество
пространства S является объединением счётного числа замкнутых
множеств. Пусть U <zS открыто, и пусть О — внутренность
множества U относительно обычной топологии на R. Каждая точка и е U
содержится в U вместе с некоторой своей окрестностью [и, и').
Покажем, что для разных точек х, у е U \ О окрестности [jc, jc')
и [у, у') не пересекаются. Действительно, если [jc, χ') Π [у, у7) φ 0,
то либо jc е (у, у7), либо у е (jc, jc')· В первом случае χ е О, а во
втором у £ О, а это противоречит условию jc, у е U \ О. Значит,
{ [jc, jc') : jc е U \ О} — семейство непустых попарно
непересекающихся открытых множеств в S. Поскольку прямая Зоргенфрея сепара-
бельна (см. задачу 10 на с. 105), по предложению 3.12 она обладает
свойством Суслина. Значит, семейство {[jc, χ') : jce U\ О} не более
чем счётно, а потому и множество U \ О не более чем счётно.
Вспомним, что О —открытое подмножество прямой R с обычной
топологией, а прямая совершенно нормальна, будучи метризуемой.
Значит, О является объединением счётного числа замкнутых в Ш
и тем более в S множеств Fn. Следовательно, U является
объединением счётного числа замкнутых в S множеств Fn и не более чем
счётного числа одноточечных множеств {jc}, jc g U \ О, которые тоже
замкнуты в S.
То, что квадрат прямой Зоргенфрея не нормален, вытекает
из предложения 5.12: пространство S x S, очевидно, сепарабель-
но, и при этом оно содержит замкнутое дискретное множество^
{(jc, — jc) : jcgS} мощности 2К°.
12. а) Пусть ^t—база топологии X мощности ш(Х). Каждой
точке jc еХ поставим в соответствие семейство <^(jc) = {U е &: jc e
е U} с ^. Получили отображение & множества X в множество
ί?(3Β) всех подмножеств базы ^. Имеем {х} = f)&(x). Значит,
&{х) ф&(у), если хфу, так что & инъективно и |Х| ^2W = 2wm.
б) Пусть Υ — плотное подмножество пространства X мощности
d(X),H пусть {0&W}XGX — какая-нибудь система открытых
окрестностей в X. Каждой точке jcgX поставим в соответствие семейство
&М = {U Π Υ: U е $ (х)} подмножеств пространства У. Для любого
открытого множества V имеем V Π Υ = V по предложению 3.8; зна-
х) Напомним, что S представляет собой прямую R с нестандартной
топологией, поэтому элементы пространства S x S — пары чисел.

Подсказки и решения
181
чит,
f]{W: W € &{х)} = f){U: С/ € 5»(jc)} - {*},
так что ^00 7^ «^(у) для χ φ у. Таким образом, построенное
соответствие jr: χ _» ^ (^ (у)) инъективно и |Х| ^ 22'У1 = 22"т.
в) Пусть {Ua: a e Л} — семейство всех непустых открытых
подмножеств пространства X. Поскольку X регулярно, семейство
{IntUa: aGА} является базой топологии пространства X. Выберем
плотное множество Υ с X мощности d{X) и положим Va = Υ Π Ua
для всех а е А. Заметим, что в силу предложения 3.8 из равенства
уа = Vjg вытекает, что ϋα = ϋβ. Значит, число различных множеств
lntUa, аеЛ, не превосходит 2,F| = 2dm.

Глава 6
Операции над топологическими
пространствами
Мы уже познакомились с некоторыми конструкциями, которые
формально можно отнести к операциям над топологическими
пространствами, — это переход к подпространству и применение
непрерывного отображения. Сюда же можно отнести усиление и
ослабление топологии (или, что то же самое, переход соответственно
к прообразу и образу при непрерывном взаимно однозначном
отображении). В этой главе мы рассмотрим основные операции —
сложение, факторизацию и умножение топологических пространств,
а также связанные с ними операции перехода к пределам прямых
и обратных спектров. Начнём с простейшей операции — сложения.
§ 6.1. Суммы топологических пространств
1 Определение. Пусть задано семейство {{Ха, $Ό): аеЛ} попар-
I но непересекающихся топологических пространств. Положим X —
I = |J Ха. Обозначим через 3 семейство всех множеств U с X с тем
1 α(ΞΑ
Ι свойством, что U Π Χα открыто в Ха для каждого а е А. Легко
Ι видеть, что З' — топология на X (порождённая базой |J За). Мно-
1 α(ΞΛ
Ι жество X с этой топологией называется суммой пространств Ха,
I a е А, и обозначается фХа.В случае, когда множество А конечно
1 aGA
I (т.е. А = {al9..., ап}), используется также обозначение Χαι θ ...
I ... 0 Χα .
Отметим несколько очевидных свойств суммы.
1. Множество F с X = φ Χα замкнуто в X тогда и только тогда,
α(ΞΑ
когда FnXa замкнуто в Ха для всякого аеА.
2. Каждое слагаемое Ха открыто-замкнуто вХ=0Ха.
аеА
3. Если пространства Ха, а е А, попарно не пересекаются и7ас
с Ха для всех а е А, то топология суммы Υ — φ Υα совпадает с топо-
α<ΞΑ
логией, индуцированной из суммы Х=фХа.

§ 6.1. Суммы топологических пространств
183
Из этих свойств и определения непрерывности отображения
немедленно вытекает следующее очевидное, но полезное
утверждение.
Предложение 6.1. Отображение f: φΙα->7 суммы топо-
α<ΞΑ
логических пространств Ха в произвольное топологическое
пространство Υ непрерывно тогда и только тогда, когда сужения
f\x : Ха —> Υ непрерывны для всех а е А
Следующие два предложения тоже очень просты, но
заслуживают упоминания.
Предложение 6.2. Если топологическое пространство X
является объединением своих попарно непересекающихся открытых
подмножеств Ха, аеЛ, то X— 0 Ха.
Доказательство. Поскольку пространства X — |J Ха и 0 Χα
α<ΞΑ α<ΞΑ
совпадают как множества, достаточно проверить, что для любого
U с X утверждения «U открыто в X» и «U Π Χα открыто в Ха для
всякого а е X» равносильны. Это так: то, что второе утверждение
следует из первого, вытекает из определения топологии подпространства
на каждом Ха, а обратная импликация вытекает из открытости всех
Ха и того, что объединение открытых множеств всегда открыто. D
Предложение 6.3. 1. Сумма 0 Ха удовлетворяет аксиоме от-
α<ΞΑ
делимости 7J, i ^ 4, тогда и только тогда, когда Ха е 7} для всех
аеА.
2. Вес, характер, плотность и число Суслина суммы связаны
с соответствующими характеристиками слагаемых равенствами
ш(0 Ха) = max{supw(Xa), \А\}, χ(® Χα) = sup*(Xa),
аеА аеЛ аеА аеА
d(0 Xa) = max{supd(Xa), |A|}, c(0Xa) = max{supc(Xa), \A\}.
Эти утверждения вытекают непосредственно из определений.
Примеры
1. Дискретное пространство является суммой всех своих
одноточечных подпространств.
2. Для любой возрастающей последовательности (χη)η(ΞΝ
положительных вещественных чисел прямая Зоргенфрея^ является
суммой полуоткрытых интервалов [хп, хп+1).
υ См. задачу 10 на с. 105 и задачу 13 на с. 138.

184 Глава 6. Операции над топологическими пространствами
3. Обычную прямую R нельзя представить как сумму более чем
одного непустого подпространства. Действительно, при решении
задачи 16 на с. 81 было показано, что прямая связна, т. е. её
нельзя представить как объединение двух непересекающихся непустых
открытых множеств X и Y. Если бы имело место представление
R = 0 Ха, где |Л| ^ 2 и Ха Φ 0 для а € А, то, выбрав любое а е А
α<ΞΑ
и положив Х = Хаи7= |J Χβ, мы бы получили противоречие со
СВЯЗНОСТЬЮ ПрЯМОЙ. β^Α\{α}
§ 6.2. Факторпространства
Пусть ~ — отношение эквивалентности на множестве X и Х/~ —
фактормножество. Естественность конструкции фактормножества
позволяет надеяться, что, когда множество X снабжено топологией,
на фактормножестве тоже возникает естественная топология. Так
и есть, причём строится эта топология самым простым путём:
| Определение. Фактортопология на фактормножестве Х/~ то-
I пологического пространства X по отношению эквивалентности ~
I состоит из всех множеств U с Х/~, для которых множество {хеХ:
I [х] е U} (т. е. объединение всех тех подмножеств пространства X,
J которые являются принадлежащими U классами эквивалентно-
1 сти) открыто в X; легко проверить, что такие множества дей-
I ствительно образуют топологию на Х/~. Множество Х/~ с этой
Ι топологией называется факторпространством пространства X.
I Очевидно, естественное отображение q: X —> Х/~ непрерывно от-
1 носительно так определённой топологии, и оно называется (есте-
1 ственным) факторным отображением.
Мы уже отмечали на с. 29, что всякая сюръекция /: X —> Υ
порождает отношение эквивалентности ~^, определённое правилом
х ~/ У ^ /00 = /(у), и факторпространство Х/~^ естественно
отождествляется с Υ. При таком отождествлении /: X —> Υ = Х/~/ —
не что иное, как естественное отображение по отношению к ~^.
Однако вовсе не всякая непрерывная сюръекция /: X —> Υ
является факторным отображением; иными словами, топология
пространства Υ может не совпадать с топологией факторпространства
X/~f, хотя как множества Υ и X/^f совпадают. Следующая теорема
показывает, что топология факторпространства — самая сильная из
всех топологий на У, относительно которых отображение f:X-*Y
непрерывно.

§ 6.2. Факторпространства
185
ι Теорема 6.4. Для сюръективного отображения /: X —* У топо-
I логических пространств следующие условия равносильны:
I © / факторно (и У' = X/f~f — факторпространство);
I © множество U <zY открыто в У тогда и только тогда, когда
1 /_1([/) открыто в X;
■ © множество F с У замкнуто в У тогда и только тогда, когда
I /_1 (F) замкнуто в X;
I ® / непрерывно, и топология пространства У не слабее топо-
I логии факторпространства пространства X по отношению
I эквивалентности ~^.
Доказательство. Достаточно заметить, что для любых множеств
[/, F с Х/~/ имеем
ГЧЮ = \J{[x] с X: [х] eU} = {xeX: [x] e 17}
и
/-1(Л = Х\Г1(Х/-/\Л,
и вспомнить определения фактортопологии и непрерывности
отображения топологических пространств. D
Условие ©, равносильное факторности, часто принимают за
определение факторного отображения:
I Определение7. Отображение /: X —> У топологических прост-
I ранств называется факторным, если оно сюръективно и множе-
I ство U с У открыто в У тогда и только тогда, когда /_1 (£/) открыто
I вХ.
Замечание 6.5. Легко видеть, что отображение /: X —* У
факторно тогда и только тогда, когда / сюръективно и топология
пространства У самая сильная из всех топологий, относительно
которых / непрерывно.
Несмотря на свою простоту, теорема 6.4 имеет множество
следствий.
(Следствие 6.6. Композиция факторных отображений является
факторным отображением.
(Следствие 6.7. Если композиция go f непрерывных
отображений f:X-+Yug:Y-*Z факторна, то отображение g факторно.
Доказательство. Очевидно, g сюръективно. Если i/cZ
открыто, то g-1(LO открыто в У в силу непрерывности отображения g.
Если U<zZ таково, что g~l{U) открыто в У, то (gofy1(U)=f~1(g~1(U))
открыто в X (так как / непрерывно), и по доказанной теореме U
открыто в Ζ (так как gof факторно). D

186 Глава 6. Операции над топологическими пространствами
I Следствие 6.8. Пусть f: Χ-^Υ — непрерывное отображение.
Если существует А с X, для которого f(A) = Υ и сужение f\A
факторно, то само отображение f тоже факторно.
Доказательство. Пусть ίΑ: А —> Υ — тождественное вложение.
Имеем /|А = / о ίΑ. Осталось применить следствие 6.7. D
I Следствие 6.9. Всякое открытое или замкнутое непрерывное
сюръективное отображение /: X —* У факторно.
I Следствие 6.10. Любое взаимно однозначное факторное
отображение является гомеоморфизмом.
I Следствие 6.11. Факторпространство пространства X по не-
Ι которому отношению эквивалентности (или, что то же самое,
I образ пространства X при некотором факторном отображении)
I удовлетворяет аксиоме отделимости Тг тогда и только тогда,
Ι когда все классы эквивалентности (прообразы точек) замкнуты
1 вХ.
Примеры
1. Стягивание множества в точку. Пусть X — пространство
и F с X. Рассмотрим отношение эквивалентности ~, классами
которого являются множества F и {х} для χ £F. Факторпространство
γ = χ/ъ обозначается X/F; говорят, что У получается из X
стягиванием в точку множества F.
Ясно, что X/F e Тг, если и только если F и все одноточечные
множества {х} для x£F замкнуты. (По этой причине обычно стягивают
в точку только замкнутые множества.)
Подобным образом легко охарактеризовать выполнение и
других аксиом отделимости в X/F. Например, X/F хаусдорфово,
если и только если F замкнуто, любые различные точки х, у е X \ F
отделены окрестностями и любая точка χ е X \ F и множество F
отделены окрестностями, и X/F вполне регулярно, если и только
если F замкнуто, любая точка хфр функционально отделима от
любого не содержащего её замкнутого множества и любое замкнутое
множество, не пересекающее F, функционально отделимо от F.
Таким образом, факторпространство X/F, которое получается при
стягивании в точку замкнутого множества F в хаусдорфовом (вполне
регулярном) пространстве X, вполне может оказаться не хаусдорфовым (не вполне
регулярным). Правда, если X регулярно, то X/F хаусдорфово. Более того,
если X нормально, то X/F не только вполне регулярно, но и нормально,
потому что в этом случае естественное факторное отображение X —> X/F,

§ 6.2. Факторпространства
187
как легко видеть, замкнуто, а нормальность сохраняется замкнутыми
отображениями (см. теорему 5.16).
Мы уже сталкивались с операцией стягивания множества в
точку, когда рассматривали веер Фреше—Урысона (см. с. 94). Веер
у (к) — не что иное, как факторпространство суммы к
непересекающихся копий1) сходящейся последовательности2) {0} u|-:neNJ-c
с Ε (с топологией, индуцированной из R), которое получается
стягиванием в одну точку 0 множества предельных точек всех
последовательностей.
Предупреждение. На первый взгляд может показаться, что метрический
ёж тоже получается из суммы непересекающихся копий отрезка [0,1]
стягиванием в точку всех левых концов отрезков в этой сумме, но это не так —
топология ежа строго слабее факторной топологии.
2. Присоединение пространства по отображению. Пусть X и Υ —
непересекающиеся топологические пространства,
FcX-замкнутое в X множество и /: F —> Υ — непрерывное отображение.
Обозначим через ~ отношение эквивалентности на сумме Χ Θ Υ,
соответствующее разбиению пространства Χ θ Υ на одноточечные
множества {ζ}, где zg(X07)\(FU /(F)), и множества {у} U /_1(у),
где y&f{F). Факторпространство Χ θ У/~ обозначается X U^ Y; при
этом говорят, что X Of Υ получается присоединением пространства Υ
к пространству X по отображению /. Легко видеть, что если
пространство Υ одноточечно, то X Uf Y гомеоморфно факторпростран-
ству X/F. Нетрудно также проверить, что для любого Υ
отображения φ = q о ix\F: χ \F —> XUfY и ψ = qoiY: Υ --+ XUfY — гомео-
морфные вложения (здесь q — естественное факторное
отображение X®Y^>XUfY, a ix\F: X\F->Xe Y и ίγ: Υ -* Χ Θ Υ —
тождественные вложения). Более того, (/?(X\F) открыто в XufY, а ψ (Υ)
замкнуто BXUfY, так что X \ F вкладывается в XUfY как открытое
подпространство, a Y — как замкнутое.
3. Приклеивание и склеивание. Операцию присоединения
пространства по гомеоморфизму часто называют приклеиванием3\
1} Под копией или экземпляром данного топологического пространства мы
понимаем любое пространство, гомеоморфное данному.
Здесь под сходящейся последовательностью имеется в виду топологическое
пространство, а не настоящая последовательность (см. сноску на с. 170).
3) Иногда приклеиванием называют и присоединение по любому
непрерывному отображению.

188 Глава 6. Операции над топологическими пространствами
В случае, когда в одном и том же топологическом пространстве X
имеются два непересекающихся подпространства F и G, связанных
гомеоморфизмом f:F—>G, определена также операция склеивания
подпространств F и G — факторизация по отношению
эквивалентности, порождённому разбиением на одноточечные множества {х}у
χ еХ \ (F и G), и двухточечные множества {χ, /Ο)}, χ eF. При
применении этой операции обычно требуют замкнутости подмножеств
F и G — тогда факторпространство удовлетворяет тем же аксиомам
отделимости, что и пространство X.
Операции приклеивания и склеивания особенно популярны в теории
двумерных поверхностей. Так, всем известный лист Мёбиуса — это квадрат,
две противоположные стороны которого склеены с перекручиванием, т. е.
так, что склеенными оказываются противоположные вершины квадрата,
а не вершины, лежащие на одной стороне; бутылка Клейна — это квадрат,
у которого склеены обе пары противоположных сторон, причём одна
пара склеена без перекручивания, а другая —с перекручиванием; наконец,
проективная плоскость — это квадрат, обе пары противоположных сторон
которого склеены с перекручиванием, или диск, к которому вдоль границы
приклеен лист Мёбиуса.
Часто рассматриваются также операции, в некотором роде обратные
приклеиванию и склеиванию, — вырезание и разрезание. Вырезание
множества X из поверхности S D X — это просто переход к подпространству
S \ X, а разрезание поверхности S вдоль X с S состоит в замене каждой
точки χ е X парой точек χ', х" таким образом, чтобы в результате получилась
поверхность, содержащая множества X' = {χ': χ е X} и X" = {χ": χ € X}
в качестве части края1}, причём как подпространства X' и X" гомеоморфны
пространству X и обратное отображение (при котором каждая пара точек
х', х" переходит в точку х) факторно. Операция разрезания поверхности
вдоль множества определена далеко не для всякого множества, и очень
часто она с топологической точки зрения либо «ничего не делает», либо
сводится к более простой операции вырезания — например, разрезая диск
вдоль радиуса, мы получим пространство, гомеоморфное всё тому же диску,
а разрезая диск вдоль интервала, содержащегося внутри диска, мы получим
диск, из которого вырезан меньший диск. Однако при наличии
дополнительных структур операция разрезания вполне осмысленна.
Центральная теорема теории двумерных поверхностей гласит, что
каждая связная компактная триангулируемая поверхность без края2) гомео-
х) Понятие края строго определяется в теории многообразий, но здесь мы не
будем на нём останавливаться.
2) Так называется связное топологическое пространство, удовлетворяющее
двум условиям: во-первых, само это пространство гомеоморфно объединению

§ 6.3. Прямые спектры и индуктивные пределы 189
морфна двумерной сфере, из которой вырезали некоторое конечное
число открытых дисков, а затем вдоль границы каждого вырезанного диска
приклеили либо лист Мёбиуса (по гомеоморфизму между границами листа
и диска), либо «ручку», т. е. тор, из которого тоже вырезали открытый диск
(по гомеоморфизму между границами дисков, вырезанных из сферы и из
тора). Более того, для каждой конкретной поверхности можно обойтись
приклеиванием либо только листов Мёбиуса, либо только ручек.
§ 6.3. Прямые спектры и индуктивные пределы
Вернёмся к операции суммы топологических пространств.
Применяя её к семейству пространств {Ха: a G А}, мы получаем
топологическое пространство X = 0 Ха, обладающее, в частности, такими
свойствами:
• X содержит все Ха, а е А, в качестве подпространств;
аеА
• множество U с X открыто в X тогда и только тогда, когда U Π Χα
открыто в Ха для каждого а е А (а значит, отображение /: X —> Υ
непрерывно тогда и только тогда, когда все сужения f\Xa
непрерывны).
В более общей ситуации, когда X является просто
объединением, а не суммой своих открытых подпространств Ха, третье условие,
очевидно, тоже выполняется. Однако если не требовать открытости
подпространств Ха, то ждать его выполнения уже не приходится
(например, любое пространство можно представить в виде
объединения всех его одноточечных подпространств, а для такого
представления третье условие выполняется, только если это
пространство дискретно).
Тем не менее иногда это условие выполняется даже для
неоткрытых подпространств Ха. Если при этом семейство подпространств Ха
направлено отношением включения, то говорят, что X является
индуктивным пределом этого семейства. Точное определение
выглядит так.
! Определение. Пусть & — семейство топологических
пространств, направленное вверх отношением включения (т.е. для
конечного числа замкнутых криволинейных треугольников, в котором любые
Два треугольника либо не пересекаются, либо имеют общую сторону или
вершину (а других общих точек не имеют), и во-вторых, у каждой точки этого
пространства есть окрестность, гомеоморфная евклидовой плоскости.

190 Глава 6. Операции над топологическими пространствами
1 любых Χ, Υ G& существует Zg^, для которого X с Ζ и Υ сΖ).
§ Тогда топологическое пространство F = (J ^, топологию которого
1 образуют все множества [/ с тем свойством, что U Π Χ открыто
Ι в X для каждого Х€^, называется индуктивным или прямым
I пределом семейства ^\
Например, любая сумма пространств 0 Ха является индуктив-
аеА
ным пределом семейства | 0 Ха: F с A, F конечно}. Другой при-
мер —обычная прямая Ж: она является индуктивным пределом
семейства отрезков & = {[—п,п]: η еΝ}. Действительно, очевидно, &
направлено отношением включения, R = |J [—η, η] и всякое мно-
riGN
жество i/clc тем свойством, что пересечение U Π [—η, η] открыто
в [—η, η] для любого η, открыто в R. (Для любой точки u€l/
имеем |ιζ| < η для некоторого π е Ν, и, поскольку LT Π [-π, π] открыто
в [—η, η], эта точка обязана содержаться в U Π [—π, π] (а значит,
и в 10 вместе с некоторой своей окрестностью, а это и означает
открытость множества U в EL)
На самом деле приведённое выше определение индуктивного предела
представляет собой лишь частный случай гораздо более общего
определения (которое мы сейчас тоже приведём). Общее понятие индуктивного
предела топологических пространств, в свою очередь, очевидным образом
обобщается на произвольные категории1}, и его модификации для тех или
иных категорий широко используются в самых разных областях математики.
Заметим, что данное нами определение индуктивного предела
допускает такую тривиальную переформулировку: пусть (А, ^) — направленное
множество и {Ха: а € А} — семейство топологических пространств с тем
свойством, что Ха с Χβ для любых α, β € А, а ^ /3. Тогда топологическое
пространство X = {J{Xa · α gA}, в котором множество U с X открыто тогда
1} Категория определяется аксиоматически как класс объектов, связанных
морфизмами («стрелками»), удовлетворяющими естественным условиям
(существование и ассоциативность композиции морфизмов и существование
тождественных морфизмов). Категории придумали, чтобы рассматривать
конструкции, отношения и отображения, сохраняющие структуру математических
объектов, независимо от того, что это за объекты и какова их структура.
Обычно (но не всегда) роль объектов играют множества, а роль морфизмов —
отображения множеств. Например, в категории множеств объекты —это
произвольные множества, а морфизмы—любые отображения множеств, в категории
топологических пространств объекты — топологические пространства, а
морфизмы — непрерывные отображения, а в категории групп объекты — группы,
а морфизмы — групповые гомоморфизмы.

§ 6.4. Топологические произведения 191
и только тогда, когда U Π Χα открыто в Ха для каждого аеА, называется
индуктивным пределом семейства {Ха: аеЛ}.
Обобщением этого определения является конструкция предела
прямого спектра топологических пространств. Пусть (А, ^) — направленное
множество и {Ха: aGA} — семейство топологических пространств.
Предположим, что для любых α,β^Α,α^β, определены непрерывные отображения
fa: Ха -*Χβ с такими свойствами:
• faa = 1^ха · Ха~*Ха — тождественное отображение для любого а;
• ίαγ==ίβγ0ίαβ Для любых α,β,γ,α^β^γ.
Тогда семейство пространств и отображений {Ха, /α/3: α, β^Α,α^β}
называется прямым спектром над А. Индуктивным или прямым пределом
этого семейства, или пределом прямого спектра, называется факторпростран-
ство HmXa= 0Xa/~, где ~ —отношение эквивалентности, определённое
правилом: ха ~ χβ, если для некоторого γ ^ α, β выполняется условие1}
ίαγ(χα) — ίβγ(х/з)· Частное определение индуктивного предела, данное нами
сначала, относится к простейшей ситуации, когда направление ^ на
множестве А согласовано с отношением включения (а ^ /3 Φ=> Ха с Χβ) и
отображения fap — тождественные вложения, так что HmXa= |J Xa. Именно
эта ситуация обычно и встречается в топологии. а€Л
Предел прямого спектра пространств {Хп, fnm: η, т е Ν, η ^ m} над Ν
с обычным порядком называется индуктивным или прямым пределом
последовательности пространств Хп.
§ 6.4. Топологические произведения
Когда мы рассматривали графики непрерывных отображений,
нам уже встречалось топологическое произведение двух пространств
X и Υ — это декартово произведение Χ χ Υ с топологией,
порождённой базой
£$ = {U χ V: U открыто в X, V открыто в Υ}.
Точно так же определяется и произведение произвольного
конечного числа пространств.
В этом параграфе мы рассмотрим топологическое произведение
произвольного семейства топологических пространств.
Напомним, что декартово произведение произвольного
семейства множеств {Ха: а е А} — это множество
Π Ха = {/: А - U *«= Va eA(/(a) GXa)}
аеА аеА
х) Другими словами, limXa —это фактормножество 0 Ха/~, снабжённое
* аеА
сильнейшей из всех топологий, относительно которых все отображения /aj5
непрерывны.

192 Глава 6. Операции над топологическими пространствами
и что элементы /: А —> [J Xa произведения Y\ Xa принято Запи-
сывать в виде {ха)а^А, где ха — f{a) еХа — а-я координата
элемента {ха)а^А Д·7151 каждого аеЛ. Напомним также, что каноническая
проекция произведения Υ\ Χα на сомножитель Χβ, где β е А, — это
аеА
отображение π β: ]~[ Ха —>Х^, определённое естественным прави-
α(ΞΑ
лом πβ((χα)αςΑ)=χβ для всех (xa)aGA € Π Ха-
α<ΞΑ
В случае, когда множества Ха снабжены топологией, естественно
попытаться определить каким-нибудь очевидным образом топологию
и на произведении Χ— Υ\ Χα. Первое, что приходит в голову, — объ-
а<ЕА
явить базой топологии X всевозможные произведения вида ]~J Ua,
α(ΞΑ
где каждое Ua открыто в Ха. Топология, которая получается в
результате, называется ящичной топологией, и произведение X с этой
топологией обозначается D Ха. Однако такой способ определения тополо-
аеА
гии не вполне удачен — произведение бесконечного числа
недискретных пространств редко обладает хорошими свойствами. Например,
такое произведение никогда не бывает метризуемым (и даже никогда
не удовлетворяет первой аксиоме счётности), редко бывает
связным, никогда не сепарабельно и т. п. (Зато с использованием
ящичных произведений было построено множество полезных
контрпримеров в топологии.) Кроме того, диагональное произведение
непрерывных отображений не всегда непрерывно относительно ящичной
топологии, а его непрерывность, как мы увидим, очень важна.
Помимо всего прочего, произведение топологических пространств с
ящичной топологией не является произведением в смысле теории
категорий (см. сноску на с. 190), где произведение объектов Ха, аеА,
определяется как объект X вместе с семейством морфизмов πα: X —> Ха
(называемых каноническими проекциями) с тем свойством, что для любого объекта
Υ этой категории и любого семейства морфизмов fa: Υ —>Ха существует
единственный морфизм f:Y—>X такой, что диаграмма
Ά-
коммутативна (т.е. naof — fa) для каждого ае А. В применении к
категории топологических пространств (где объекты — пространства, а морфиз-
мы — непрерывные отображения) это определение означает, что для лю-

§ 6.4. Топологические произведения
193
бого семейства непрерывных отображений fa: Υ —> Ха диагональное
произведение Δ fa '· Υ ~* Π χα должно быть непрерывным. Впоследствии мы
аеЛ а<=А
увидим, что произведения пространств с определённой ниже тихоновской
топологией отвечают этому требованию; более того, ни для какой другой
топологии оно не выполнено.
Обычно произведения топологических пространств
рассматриваются с топологией, не столь очевидной, как ящичная, но более
естественной в разных отношениях. Она называется топологией
произведения или тихоновской1^ топологией и определяется как
самая слабая топология, относительно которой все канонические
проекции непрерывны. Такая топология существует на произведении
любого семейства {Ха: а е А} топологических пространств; она
порождена предбазой, состоящей из всех множеств вида
rfWfi) = {(xJaeA'-Χβ ^ Up},
где β е А —любой фиксированный индекс, а ϋβ —любое открытое
множество в Χβ. Произведения топологических пространств с
тихоновской топологией называются топологическими или
тихоновскими произведениями. В дальнейшем мы будем рассматривать
произведения именно с этой топологией. Иногда, особенно если речь
идёт о пространствах функций, т. е. подпространствах
произведений вида Rx, топологию произведения называют топологией по-
точечной сходимости: последовательность функций (/n)nGN,
определённых на X, поточечно сходится к функции /, если для любых
ε > О и χ G X найдётся такое N(jc) £ Ν, что |/п(х) - /0)| < ε для
всех η >N(jc), а это как раз и означает сходимость в тихоновской
топологии.
Ясно, что для конечных произведений тихоновская топология
(впрочем, как и ящичная) совпадает с той, что была введена в
начале параграфа. Очевидно также, что евклидова топология на Шп
совпадает с топологией произведения на Шх ... xl.
η раз
Мы начнём с нескольких общих замечаний о тихоновских
произведениях. В дальнейшем мы для краткости иногда будем писать
просто Υ\Χα вместо J~J Ха и (ха) вместо Οα)α<ΕΑ.
аеА
1} Эту топологию впервые определил и исследовал А. Н. Тихонов, в 1930 г. для
произведения отрезков и в 1935 г. для произведения произвольного семейства
топологических пространств.

194 Глава 6. Операции над топологическими пространствами
Предложение 6.12. Для любого семейства пространств {Ха: а €
е А} все множества вида J~J Ua, где каждое Ua — открытое подмно-
аеА
жество пространства Ха uUa=Xa для всех, кроме конечного числа,
индексов а, образуют базу топологического произведения Y\ Xa.
α(ΞΑ
Более того, если для каждого а зафиксирована некоторая база
£%а пространства Ха, то множества вида J~J Ua, где Ua G <%а для
аеА
конечного числа индексов auUa—Xa для всех остальных индексов,
тоже образуют базу топологического произведения Y\ Xa.
аеА
Доказательство. Из определения тихоновской топологии
вытекает, что семейство всех множеств вида f] n~^(Ua.), где iceN,
аг,..., ak е А и каждое Ua. открыто в Ха., является базой
топологического произведения Υ\Χα· Поэтому для доказательства первого
утверждения достаточно заметить, что для любых jSgAh ϋβ<ζΧβ
имеем
rcjs1^) = {(*<z)aeA :χβ^υβ} = 1\ υα, где Ua = Ха для α φ β,
и что ΠΛχηΠβα = Π(Λχηβα) для любых Αα, Βα с Χα, aGA.
Второе утверждение сразу вытекает из первого. D
I Определение. База топологического произведения, описанная
I в первом утверждении предложения 6.12, называется канониче-
1 ской базой, а элементы этой базы — каноническими открытыми
1 множествами1*.
Из предложения 6.12 и задачи 3 а) на с. 136 немедленно вытекает
такой важный факт.
I Теорема 6.13. Все канонические проекции Κβ\ \\ Ха —>Χβ, β е
аеА
е А, любого топологического произведения J~J Xa являются
открытыми отображениями. α<ΞΛ
Предложение 6.14. Если Ха, а е А, — топологические
пространства uYa<zXa для α с А, то топология произведения на Y\ Ya
совпадает с топологией, индуцированной из топологического произве-
Доказательство. В силу леммы о базе подпространства на с. 68
достаточно заметить, что пересечение Y\ Ya с любым элементом ка-
х) Не следует путать канонические открытые множества с канонически
открытыми — так называются множества U со свойством U = lntU.

§ 6.4. Топологические произведения
195
ионической базы произведения Y\Xa является элементом
канонической базы произведения Υ\Υα и каждый элемент канонической
базы произведения J~J Ya является пересечением с [~[ Υα некоторого
элемента канонической базы произведения Π^α· ^
Предложение 6.15. Пусть Ха, а е. А,— топологические
пространства uYa<zXa для а е А. Тогда замыкание произведения [~[ Ya с
скеА
с Υ\ Χα β топологическом произведении Υ\ Χα равно произведению
а^А а<ЕА
замыканий множеств Υα в Ха:
Доказательство. По определению замыкания Οα)α<ΕΑ е Υ\Υα,
если и только если для каждого элемента ]~J Ua канонической базы
Y\Xa, содержащего Оа), имеем
т. е. UanYa^0 для всех а. В частности, для каждого аеАи любой
окрестности U точки ха в Ха должно выполняться условие ΙΙΠΥα^0,
а это и означает, что ха£Уа. Таким образом, П*асП*а· Обратно,
если Οα)α<ΕΑ € 1~[Уа, т.е. ха g Ya для всех а, то для любого а € А
и любой окрестности Уа точки ха в Ха пересечение Уа Π Уа
содержит некоторую точку уа. Имеем (уа) е]^[Уа η J~JУа. Таким образом,
точка (ха) принадлежит замыканию множества Y\Ya с Υ\Χα даже
в ящичной топологии и тем более в топологии произведения. D
I Следствие 6.16. Пусть Ха, а е А, — непустые топологические
I пространства uYa<zXa для а е А. Множество J~J Уа плотно в то-
1 пологическом произведении [~| Ха тогда и только тогда, когда Ya
I плотно в Ха для каждого а е А.
Замечание 6.17. Предложение 6.15 не даёт описания оператора
замыкания в [~[Ха, потому что не все множества У с J~jxa можно
представить в виде Y\Ya, где Υα<ζΧα. Есть много замкнутых
множеств в Υ\Χα, которые не являются произведениями никаких
подмножеств пространств Ха. Но если замкнутое множество 7cf]la
есть произведение некоторых множеств Ya с Ха, то эти
множества Υα замкнуты в Ха. Точно так же следствие 6.16 даёт критерий
плотности в топологических произведениях лишь для множеств,
которые сами являются произведениями.

196 Глава 6. Операции над топологическими пространствами
Предложение 6.18. Пусть Ха, а е А, — непустые
топологические пространства.
1. Для каждого /3 е А пространство Χβ вкладывается в
топологическое произведение Υ\Χα в качестве подпространства.
α(ΞΑ
2. Если все Ха — ТГпространства, то для каждого β е А
пространство Χβ вкладывается в Υ\ Χα в качестве замкнутого
подпространства. а<ЕА
Доказательство. Выберем по точке х* в каждом пространстве Ха.
Для каждого /3 е А положим Χβ — f] Ya, где Υβ=Χβ πΥα = {χ*}
аеА
для αφ β. Очевидно, сужение πβ\χ*: Χβ-^Χβ —гомеоморфизм (оно
взаимно однозначно, непрерывно по определению топологии
произведения и факторно по теореме 6.13 и следствиям 6.8 и 6.9). Значит,
отображение (π^*)-1, рассматриваемое как отображение в [~[Χαζ>
ΌΧβ (см. важное замечание на с. 20), — гомеоморфное вложение.
Если все Ха являются ^-пространствами, то каждое
одноточечное множество {х*} замкнуто в Ха, и по предложению 6.15
подпространства Χβ замкнуты в Υ\Χα для всех β gA. Π
При изучении топологических произведений особую важность
приобретает вопрос о мультипликативности тех или иных
топологических свойств.
| Определение. Говорят, что топологическое свойство & мулъ-
1 типликативно (конечно мультипликативно, счётно мулътипли-
I кативно, к-мультипликативно для кардинала к), если для лю-
I бого индексного множества А (любого конечного множества А,
I любого счётного множества А, любого множества А мощности,
Ι не превосходящей к) и любых топологических пространств Ха,
1 a е А, со свойством & топологическое произведение \\ Ха тоже
I обладает свойством &. aGA
Мы уже знаем, что нормальность не мультипликативна и даже
не конечно мультипликативна, — согласно задаче 11 на с. 179 прямая
Зоргенфрея нормальна, но её квадрат не Г4-пространство. Однако
другие аксиомы отделимости мультипликативны.
I Теорема 6.19. Топологическое произведение J~[ Xa
удовлетворяли л α(ΞΑ
I em аксиоме отделимости Tiy i ^Зтт, тогда и только тогда, когда
§ Ха g Tt для всех а е А.
I Если Υ\ Χα нормально, то все Ха нормальны.

§ 6.4. Топологические произведения
197
Доказательство. То, что произведение Ггпространств является
^-пространством для ί ^ 2, более или менее очевидно (для любых
разных точек (ха) и (уа) в Υ\Χα надо взять координату а, для
которой ха Φ уа, разделить точки ха и уа требуемым образом в Ха
и применить π"1). Покажем, что произведение Г3-пространств
удовлетворяет аксиоме Т3. Пусть (ха) ^Π^α и U —любая окрестность
точки Оа) в Γ1^α· Возьмём элемент Y\Ua канонической базы
произведения Y\Xa, содержащийся в U и содержащий (ха). Число тех
координат а, для которых иафХа, конечно; пусть это координаты
аъ ..., ап. Для каждого ί ^ η найдём такую окрестность Va. точки ха.
в Ха., что Va. cLTa.. Для α^α^, ί^η, положим Va—Xa. Тогда П^а~~
каноническая окрестность точки {ха) и J~J Va с ]^[ LTa с U. По
предложению 6.15 имеем Y\ Va с U, что доказывает выполнение
аксиомы Т3.
Выполнение аксиомы Γ3ι для произведения Τ3ι-пространств
доказывается примерно так же: для точки (jca) g Y\Xa и любой её
окрестности U найдём каноническую окрестность Y\ Ua с U точки
(jca). Пусть аъ ..., ап е А таковы, что Ua =Xa для всех афаь ί^η.
Для каждого ί ^ η возьмём непрерывную функцию fa.: Ха. —> [0,1],
удовлетворяющую условиям /a.0ca.) = 0 и /a (Xa \ LTa) с {1}.
Положим ga. = fa. о πα. и g — max{gai: ί ^ η}. Мы получили
непрерывную функцию g: Y\Xa —* [0> 1] с тем свойством, что g(Oa)) = 0
и #(П*а \ У) с#(Г1*а \ Π Ua) с {1}, что и требовалось.
Мы показали, что для ί ^3^ произведение ^-пространств тоже
является ^-пространством. То, что все сомножители в
произведении, удовлетворяющем аксиоме Ть где ί ^ 3^, удовлетворяют той
же аксиоме, так же как и последнее утверждение (о нормальном
произведении), вытекает из предложения 6.18. D
Следующая теорема — очевидное следствие предложения 6.12,
и мы опускаем её доказательство.
I Теорема 6.20. Первая и вторая аксиомы счётности счётно
мультипликативны.
Доказательство следующей теоремы мы тоже опускаем, но на
этот раз из-за его сложности, а также потому, что оно совершенно
аналогично решению задачи 12 в) на с. 111—113, где сепарабельность
доказана для случая Ха = {О,1} и к = К0. Полное доказательство
можно найти в книге [19].

198 Глава 6. Операции над топологическими пространствами
1 Теорема Хьюитта—Марчевского—Пондицери^. Пусть к — бес-
1 конечный кардинал. Если А—множество мощности, не превосхо-
I дящей 2К, и для каждого ccgA топологическое пространство Ха
I удовлетворяет условию d{Xa) ^ к, то d(]^[Xa) ^ к.
I В частности, сепарабельность ^-мультипликативна.
Марчевский и Пондицери доказали также, что если |Л| >,2К
и для каждого аеЛ пространство Ха хаусдорфово и содержит хотя
бы две точки, то d(Y\Ха) > к (см. задачу 12 б) на с. 171).
Вопрос о мультипликативности свойства Суслина ещё сложнее — ответ
на него не зависит от аксиом ZFC (подобно справедливости
континуум-гипотезы): существуют модели теории множеств, в которых свойство Суслина
мультипликативно, и существуют модели, в которых оно даже не конечно
мультипликативно. Иными словами, мультипликативность свойства
Суслина нельзя ни доказать, ни опровергнуть исходя из аксиом теории множеств.
Однако можно доказать следующее любопытное утверждение (из которого
вытекает, в частности, что в тех моделях ZFC, в которых свойство Суслина
конечно мультипликативно, оно и мультипликативно).
I Теорема 6.21. Если семейство пространств {Ха: aGA} таково, что
§ для любого конечного множества индексов F с А произведение Y\ Xa об-
1 a€F
Ι ладает свойством Суслина, то и всё произведение J~J Xa обладает этим
1 свойством. аеА
Доказательство. Пусть °11 — произвольное несчётное семейство
непустых открытых множеств в ]~] Ха. В каждом U е. °U выберем непустой эле-
а€А
мент U с U канонической базы. Тем самым мы получим несчётное
семейство Ψ = {ϋ: U gW} непустых канонических открытых множеств. Каждое
UеУ имеет вид f] Ua, причём множество Ffi = {aeA: ϋαφΧα} конечно.
Применив лемму о Δ-системе (см. с. 42) к семейству & = {Fq : U е Ψ}, мы
получим несчётное подсемейство &' с ^ и конечное множество F с тем
свойством, что Fqx r\Fij2=F для любых Fqi,Fq2G^/. Семейству &'
соответствует несчётное семейство У = {U: F^ G&'} с У. Осталось заметить, что
^ Эта теорема была доказана независимо и почти одновременно сразу тремя
математиками — американцем Эдвином Хьиттом (в 1946 г.), поляком Эдвардом
Марчевским (в 1947 г.) и американцем Э. С. Пондицери (в 1944 г.). Интересно,
что лишь одно из этих имён настоящее. Эдвард Марчевский до 1940 г. был
известен как Эдвард Шпильрайн; во время депортации евреев в Варшавское гетто
ему удалось укрыться под поддельными документами на имя Эдварда Марчев-
ского, которым он с тех пор и пользовался. Настоящее имя Пондицери (в
оригинале Pondiczery; правильнее был бы перевод «Пондичери», хотя встречается
и версия «Пондишери») — Ральф Филип Боас мл.; Э. С. Пондицери — один из его
псевдонимов.

§ 6.4. Топологические произведения
199
множества ϋλ и U2 из семейства У пересекаются тогда и только тогда, когда
aeF aeF
так как в каждом Ut = J~J t/ia, ί = 1, 2, ограничения накладываются лишь
на координаты из F^. и F^ П F^2 = F. Поскольку по условию теоремы число
Суслина произведения J~J Xa счётно, семейство У' (а значит, и ^) обязано
aeF
содержать пересекающиеся элементы. D
I Следствие 6.22. Любое произведение сепарабелъных пространств
обладает свойством Суслина.
Доказательство. Достаточно заметить, что по следствию 6.16
сепарабельность конечно мультипликативна и всякое сепарабельное
пространство обладает свойством Суслина. D
Отображения топологических пространств
в произведения
Предложение 6.23. Отображение f:X—>Y\Xa непрерывно то-
аеА
гда и только тогда, когда композиция naof непрерывна для
каждого а€А
Доказательство. Доказательства требует только непрерывность
отображения / в предположении непрерывности всех композиций
πα о /. Рассмотрим предбазу
Я = {п~г(У): a e A, U открыто в Ха}
топологии произведения Υ\Χα· Для каждого аеА имеем
Γ1(π-1(1/)) = (παο/Γ1(1/),
а это множество открыто в силу непрерывности отображения πα о f.
Таким образом, прообраз при отображении / каждого элемента пред-
базы Я открыт. По предложению 4.8 отображение / непрерывно. D
Из этого предложения вытекают две важные теоремы.
1 Теорема 6.24. Декартово произведение Y\ fa: Y\ Ха —> [~[ Υα
I aeA аеА аеА
Ι любого семейства непрерывных отображений fa: Xa—>Ya, olgA,
i непрерывно.
Доказательство. Для каждого jSeA обозначим каноническую
проекцию произведения Y\ Xa на Χβ через π^, а каноническую
проекцию произведения Υ\Υα на Υβ— через ηΥβ. Очевидно, для всех
/ЗбА имеем
πΥβ°Π/α=/β°πβ,
аеА

200 Глава 6. Операции над топологическими пространствами
а отображения /β ο π β непрерывны как композиции непрерывных
отображений. Осталось применить предложение 6.23. D
1 Теорема 6.25. Диагональное произведение Д fa: X —> J~J Ya лю-
I аеА а&А
I бого семейства непрерывных отображений fa: X—>Уа, аеА, одного
I и того же пространства X в пространства Уа, аеА, непрерывно.
Действительно, для каждого а е А имеем πα о / = fa9 так что
теорема сразу вытекает из предложения 6.23.
Сделаем несколько полезных замечаний о произведениях
отображений, которые пригодятся нам в дальнейшем.
Замечание 6.26. Для любого семейства отображений fa: Ха —>
—> Ya, a е А, и любых множеств Х'а с Ха и Уа' с Υα выполнены
равенства
(П/«)(П<> = П/«Ю и (П/«Г1(П^') = П/а-1Ю.
Замечание 6.27. Для любого пространства X, любого
семейства отображений fa: X —> Ya, a G А, и любых множеств X' с X
и7дСУа выполнены соотношения
(Δ/«)(*') с П/«(*') и (Д/аГ1(ПУа)=П/«-1Ю.
аеА аеА аеА аеА аеА
Замечание 6.28. Для семейства отображений fa: X —> Ya, a € А,
диагональное произведение Д/а есть композиция отображения
f = ДЛ1ЙХ: X—>ХЛ (диагонального произведения |А| экземпляров
тождественного отображения X —> X) и декартова произведения
ΡΙ/α: Хл —> f7 Уа. Образ Δ — i{X) с Хл называется диагональю
произведения Хл. Легко видеть, что
Δ = {Оа)а€д G ^Λ: *α — χβ ^ля любых а,)8еА} =
- Π {xeXA:np(x) = nr(x)}.
β,γ<ΞΑ
Если Χ — хаусдорфово топологическое пространство, то,
поскольку все канонические проекции ХА —> X непрерывны и
пересечение замкнутых множеств замкнуто, по теореме 5.6 о замкнутости
множества точек совпадения непрерывных отображений
диагональ Δ замкнута в произведении ХА.
Теперь рассмотрим вложения топологических пространств в
декартовы произведения.
(Определение. Пусть X — множество, {Ya: a € А} — семейство
множеств и & — {/д: X —> Υα: а е А} — семейство отображений.

§ 6.4. Топологические произведения
201
| Говорят, что & разделяет точки множества X, если для каждой
1 пары различных точек х, у е X найдётся а е А, для которого
I /„(*)#/в(у).
I Если X и все Уа — топологические пространства и для каждой
1 точки χ G X и любого замкнутого множества F с X, не содержаще-
I го jc, существует такой индекс α е А, что fa(x) &fa(F)Уа, то гово-
I рят, что семейство & разделяет точки и замкнутые множества
I в пространстве X.
Заметим, что если X — Г0-пространство, то любое семейство
отображений, разделяющее точки и замкнутые множества в
пространстве X, разделяет и точки.
I Теорема о диагональном произведении отображений. Если
I семейство непрерывных отображений & — {fa: X —> Ya: a e А}
I разделяет точки пространства X, то диагональное произведение
I / = Δ /α: X —> Υ\ Υα — непрерывная инъекция. Если, сверх того,
I семейство & разделяет точки и замкнутые множества, то f —
1 гомеоморфное вложение.
Ι В частности, если существует а е А, для которого fa — гомео-
1 морфное вложение, то f тоже гомеоморфное вложение.
Доказательство этой теоремы основано на следующей лемме.
| Лемма 6.29. Если непрерывное отображение f:X-^>Y тополо-
I гических пространств инъективно и одноэлементное семейство
Ι {/} разделяет точки и замкнутые множества, то f — гомео-
I морфное вложение.
Доказательство. Нам нужно доказать, что подотображение
отображения / с областью значений f{X), т. е. отображение /: X—>/(Х),
определённое правилом f(x) = f(x) для всех х€Х, является
гомеоморфизмом. Поскольку отображение / непрерывно и взаимно
однозначно по предположению, достаточно проверить, что оно
замкнуто, или, другими словами, что для каждого замкнутого множества
F<zX имеет место равенство
/т=ЛюПХ\ т.е. /(F)=/(X)nJ(F)y. (*)
Пусть F — замкнутое множество в X. Если /(х) G/(X) \/(F), то
x£F и /(jc) £f(F)Y, поскольку {/} разделяет точки и замкнутые
множества. Следовательно, правая часть равенства (*) содержится
в левой. Обратное включение очевидно. О
Доказательство теоремы. Если семейство & разделяет точки,
то для каждой пары различных точек х, у е X существует такое

202 Глава 6. Операции над топологическими пространствами
/а е^, что fa(x) ^fa(y)- Таким образом, /U) т^/Су), а это и
означает, что / инъективно. Непрерывность / следует из теоремы 6.25.
Если семейство & разделяет точки и замкнутые множества,
то семейство {/} тоже обладает этим свойством, так как если
f{x) e/(F) для некоторого F с X, то
fa 00 = πα(/W) e πα(7σ^) с 7ua(/(F)) = Л(Л
для каждого^ € А (здесь мы использовали непрерывность проекций
и теорему 4.4 ®). Осталось применить лемму. D
(Следствие 6.30. Диагональ любой степени ХЛ топологического
пространства X гомеоморфна этому пространству.
Действительно, в силу доказанной теоремы диагональное
произведение ΐ=ΔΛ idx: X—>ХЛ тождественных отображений idx: X—>
—>Х является гомеоморфным вложением, а диагональ — это образ
пространства X при отображении ί.
Другое следствие теоремы о диагональном произведении
отображений — отдельная важная теорема, известная как теорема
Тихонова о вложении в тихоновский куб.
I Определение. Тихоновским кубом называется топологическое
произведение вида [0,1]*, где к—любой бесконечный кардинал.
Тихоновский куб [0,1]к° называется также гильбертовым кубом.
I Теорема Тихонова о вложении в тихоновский куб. Всякое
тихоновское пространство веса к ^ К0 вкладывается в
тихоновский куб [0,1]к.
Доказательство. Пусть X — тихоновское пространство и ш(Х)=
= к ^ К0. Поскольку Χ&Τ3ι, семейство всех дополнений до
прообразов 1 при непрерывных функциях X —> [0,1] составляет базу
пространства X, а поскольку w(X) = к, из этой базы можно выделить
базу <% мощности к (см. задачу 12 на с. 73). Пусть <% — {Ua: ae A},
где \А\ — к. Для каждого а е А возьмём непрерывную функцию
fa: X -> [0,1], для которой l/a =/"1([0,1)).
Семейство & — {fa: a e А} разделяет точки и замкнутые
множества: если хеХ и F <z X — не содержащее точку χ замкнутое
множество, то найдётся окрестность Ua e 38 этой точки, не
пересекающая F. Соответствующая функция fa переводит F в 1, причём
fa(x) φ 1, поскольку /a(l/a) с [0,1) и xg l/a. Значит, /(*) £/№).
Поскольку Х — Г0-пространство, семейство & разделяет также
и точки. По теореме о диагональном произведении Δ/α: χ ~^
—> [0,1]А = [0,1]к — гомеоморфное вложение. D

§ 6.4. Топологические произведения
203
Замечание 6.31. Вес тихоновского куба [0,1]к равен к.
Действительно, из того, что ш([0,1]) = К0, немедленно вытекает, что
каноническая предбаза (а значит, и каноническая база)
произведения [0,1]* имеет мощность к. Значит, вес куба [0,1]к не
больше к:. Но он не может быть и меньше к: —ведь мы только что
доказали, что любое тихоновское пространство веса к (в частности,
дискретное пространство мощности к) вкладывается в [0,1]к, а вес
подпространства не может быть больше веса самого пространства.
Следовательно, ш([0,1]к) = к, и теорему о вложении в тихоновский
куб можно сформулировать так: любое бесконечное тихоновское
пространство вкладывается в тихоновский куб того же веса.
Определение. Пусть Ж — класс топологических пространств.
Топологическое пространство X называется универсальным для пространств из
класса Ж, если X е Ж и любое пространство из класса Ж вкладывается
вХ.
С учётом этого определения и замечания 6.31 теорему Тихонова о
вложении можно сформулировать и так: для любого бесконечного кардинала к
тихоновский куб [0,1Y универсален для всех тихоновских пространств
веса к.
Помимо тихоновского и гильбертова куба, бывает ещё
гильбертов кирпич —это подпространство [~[ I 0, -^1 гильбертова
пространства fcGN
£2 = {x=(Xn)nGN: Σχη < °°}
(скалярное произведение в нём определено правилом (х,у) =2хп -уп;
см. с. 61). Скалярное произведение стандартным образом
порождает норму, а норма — метрику на J~J 0, -^ ; легко проверить, что
эта метрика порождает топологию тихоновского произведения. Так
как все отрезки I 0, -М гомеоморфны друг другу и отрезку [0,1],
заключаем, что гильбертов кирпич с метрической топологией го-
меоморфен гильбертову кубуг) [0,1]к°.
Из этих рассуждений следует, что куб [0,1]к° метризуем.
Впрочем, такой вывод можно было сделать и не рассматривая
гильбертов кирпич —легко указать метрику на самом кубе [0,1]*° = [0,1]N,
которая порождает его топологию. Годится, например, метрика, определённая
1} Гораздо труднее доказать, что гильбертово пространство i2 гомеоморф-
но Ш*°, но это тоже верно [20].

204 Глава 6. Операции над топологическими пространствами
правилом
<i((*n W (y„ W = JEK-y„l2/2".
V neN
Действительно, всякая метрическая ε-окрестность любой точки (χπ)π€Ν
содержит каноническую окрестность
где к удовлетворяет условию —^ < ε, а любая каноническая окрестность
содержит некоторую окрестность вида f] (хп — ε, хп + ε) χ [0, i]^1*-^ Ko-
торая, в свою очередь, содержит метрическую -^-окрестность.
Из метризуемости гильбертова куба, теоремы Тихонова о
вложении в тихоновский куб и теоремы 5.9 (согласно которой
всякое метризуемое пространство нормально и тем более регулярно),
а также задачи 5.7 а) на с. 170 (в силу которой всякое регулярное
пространство со счётной базой нормально и тем более вполне
регулярно) следует такая фундаментальная теорема.
I Метризационная теорема Урысона. Топологическое
пространство со счётной базой метризуемо тогда и только тогда, когда
оно регулярно.
§ 6.5. Обратные спектры и проективные пределы
Конструкция предела обратного спектра родственна конструкции
предела прямого спектра, только все отображения в обратных спектрах
направлены в обратную сторону и вместо факторпространства суммы в
определении предела фигурирует подпространство произведения.
Пусть (А, ^) — направленное множество и {Ха: аеА} — семейство
топологических пространств. Предположим, что для любых а, /3 е Α, α^β,
определены непрерывные отображения π«: Χβ-*Χαο такими свойствами:
• π£ = idXa: Ха —> Ха — тождественное отображение для любого а;
• π« = π« ° Til для любых а ^ β ^ γ.
Такие отображения π« называются проекциями, а семейство пространств
и отображений {Ха, πα: α,β^Α,α^β} называется обратным спектром
над А. Проективным или обратным пределом этого семейства, или
пределом обратного спектра, называется подпространство произведения
UmXa = {(xa)aGA: πγβ(χγ) = χβ для любых β, γ е Α, β ^ γ} с Υ\Χα.
Предложение 6.32. Предел обратного спектра {Ха, Па: а, /ЗеА, α^β}
хаусдорфовых пространств есть замкнутое подпространство
произведения Υ\χα.

§ 6.6. Гиперпространства
205
Доказательство. Для а ^ β положим
Каждое множество Sa/S замкнуто, так как оно состоит из точек совпадения
непрерывных отображений π%οπβ: Π Χγ -> Ха и πα: Υ\ Χγ —» Χα (здесь
уел уел
Яд и πα — канонические проекции произведения на сомножители) и все
пространства Ха хаусдорфовы. Значит, пересечение HmXa = p|Sa/S тоже
замкнуто. αβ Π
В качестве иллюстрации мы приведём два простых примера
проективных пределов.
Пусть А — бесконечное множество и Xai aeA,- любые
пространства. Семейство & всех конечных подмножеств А направлено
отношением с. Для каждого F е & положим Х¥ — \\Ха. Для любых F,G e &,
aeF
F с G, определено отображение Пр: XG —> XF сужения элементов
произведения XG (которые, напомним, суть отображения G —> [J Ха) на F с G,
aeG
причём это отображение непрерывно. Мы получили обратный спектр
{XF, Пр: F, Gе&, FсG}. Для каждого аеА положим Fa = {a}e&.
Несложно показать, что отображение HmXF —► J^J Ха, определённое правилом
(*>)ре^ ·-* (^Fa)aeA == ООаел»— гомеоморфизм. Следовательно, применяя
операцию перехода к пределу обратного спектра, можно выражать
бесконечные произведения через конечные.
Второй пример позволяет понять разницу между индуктивными и
проективными пределами. Пусть {Ха: а £ А} — семейство подпространств
пространства X, направленное отношением, обратным включению, т. е. такое,
что для α,β^Α существует у, для которого Χγ с Ха ηΧβ и отношение а ^ β
выполняется тогда и только тогда, когда Ха э Χβ. Для любых α, β^Α, α^β,
обозначим через π£ тождественное вложение Χβ в Ха. Мы получили
обратный спектр {Ха, π«: a, /3 е Α, α ^ /3}. Несложно показать, что его предел
HmXa гомеоморфен пересечению f] ХааХ. В частности, всякое подпро-
аеЛ
странство Υ любого 7^-пространства X можно представить как предел
обратного спектра открытых подпространств пространства X — дополнений
до конечных множеств, не пересекающих Υ.
§ 6.6. Гиперпространства
Мы рассмотрели почти все основные «арифметические» операции над
топологическими пространствами — сложение, умножение, факторизацию
(которую можно трактовать как обобщение деления) и переход к
подпространству (который можно, хотя и с большой натяжкой, назвать аналогом
вычитания). Напоследок рассмотрим экспоненту.

206 Глава 6. Операции над топологическими пространствами
Разумеется, для любого пространства X определено тихоновское
произведение 2х (где 2 понимается в обычном смысле — как дискретное
пространство {0,1}). Беда в том, что топология произведения на 2х зависит
только от мощности пространства X и совершенно никак не связана с его
топологией. Поэтому экспоненту снабжают не топологией тихоновского
произведения, а специальной топологией, которая называется
экспоненциальной топологией, или топологией Вьеториса**. Её предбазу составляют
множества вида {Y czX: Y<zU} и {YaX: 7nV#0}, где U и V — открытые
подмножества пространства X. Легко видеть, что базу топологии Вьеториса
составляют множества вида
(Uly..., Un) = {F с X: F с иг U... UUn, FnUt φ 0 для ί ^ п}}
где neN и Ul9..., Un —произвольные открытые подмножества
пространства X.
Пространство всех подмножеств X с топологией Вьеториса редко
бывает хаусдорфовым, поэтому обычно вместо семейства всех подмножеств
пространства X рассматривают семейство С1(Х) всех его непустых замкнутых
подмножеств. Это семейство, снабжённое топологией Вьеториса, называется
экспоненциальным пространством пространства X и обозначается^ ехрХ.
Топология Вьеториса обладает тем замечательным свойством, что
естественное отображение ί: X —> С1(Х), определённое правилом ί(χ) = {х}}
является гомеоморфным вложением относительно этой топологии. На
семействе С1(Х) могут существовать и другие топологии с этим свойством.
Множество С1(Х), снабжённое любой такой топологией, называется
гиперпространством над X. Таким образом, экспоненциальное пространство
ехрХ —частный случай гиперпространства3).
В связи с гиперпространствами естественно возникает понятие
многозначного отображения F: X —> Υ — отображения, которое каждой точке
множества X ставит в соответствие некоторое подмножество множества Υ.
Иными словами, многозначное отображение X —> Υ — это отображение
Пусть X и Υ — топологические пространства. Многозначное
отображение F: X—>Y, которое каждой точке χ еX ставит в соответствие подмноже-
2) Леопольд Въеторис (1891—2002) — австрийский математик, занимался
преимущественно алгебраической и общей топологией. Известен не только
своими математическими трудами, но и как старейший долгожитель Австрии за
всю историю. Он умер в возрасте ПО лет, на две недели пережив свою жену
(она была на 10 лет моложе) и оставив 6 дочерей, 17 внуков и 30 правнуков.
2) Часто используют и обозначение 2х, но мы не будем им пользоваться во
избежание путаницы с тихоновской степенью.
3) В некоторых источниках под гиперпространством имеется в виду именно
ехрХ и ничто другое, а иногда гиперпространством называют любое семейство
Ж с & (X) с топологией, согласованной с топологией X в том или ином смысле.

Задачи
207
ство FQt) пространства У, называется полунепрерывным снизу (сверху),
если для любого открытого множества U с У множество {х е X: F(x) Π U Φ 0}
(множество {χ eX: F(x) с £/}) открыто в X. По определению
топологии Вьеториса отображение /: X—>ехрУ непрерывно тогда и только
тогда, когда многозначное отображение F: X —»У, определённое правилом
ρ (χ) =/(х), полунепрерывно снизу и сверху.
Если топология X определяется ограниченной13 метрикой d, то на
пространстве ехрХ возникает метрика, определённая правилом
dH{A, В) = max{supd(x, В), supd(y, A)}
х€А уеВ
для Л,Ве ехрХ. Эта метрика называется метрикой Хаусдорфа. Легко
видеть, что расстояние Хаусдорфа между А и В равно минимальному числу
δ с тем свойством, что А содержится в замкнутой δ-окрестности
множества В, а В содержится в замкнутой δ-окрестности множества А. Вообще
говоря, топология, порождённая метрикой Хаусдорфа на ехрХ, может
отличаться от топологии Вьеториса, но если X компактно23, т. е. любое
семейство °U открытых подмножеств X со свойством (J % =Х содержит конечное
подсемейство с тем же свойством, то эти топологии совпадают.
В заключение мы сформулируем знаменитую теорему Майкла о
селекции [30] (см. также [17]), из которой выросла целая теория, имеющая
широчайшее применение в функциональном анализе, теории
дифференциальных уравнений и других областях.
| Теорема Майкла о селекции. Пусть X — паракомпактное3) прост-
I ранство, Υ — банахово пространство^ и F: X —> Υ — полунепрерывное
I снизу многозначное отображение с тем свойством, что для каждого
Ι хе! образ F (х) — непустое выпуклое замкнутое подмножество про-
I странства Υ. Тогда существует непрерывная селекция многозначного
I отображения F, т. е. непрерывное отображение /: X —»У с тем свой-
I ством, что /(x)gF(x) для каждого xgX.
Задачи
В задачах этой главы А — произвольное индексное множество.
1. Обязано ли отображение / в следствии 6.7 быть факторным?
2) Напомним, что всякую метрику можно ограничить, например, единицей —
порождаемая ею топология от этого не изменится.
2) Компактные пространства будут рассмотрены в следующей главе.
3) Паракомпактные пространства будут рассмотрены в главе 9. Класс пара-
компактных пространств включает, в частности, все метризуемые
пространства.
4) Т. е. векторное пространство с нормой, порождающей полную метрику.

208 Глава 6. Операции над топологическими пространствами
2. Верно ли, что если /: X —> Υ факторно и Ζ с X, то подотобра-
жение Z—>f(Z) отображения / факторно? Что, если Z — f~l{S) для
некоторого открытого множества S с У? для некоторого замкнутого
множества S с Y?
3. Пусть /: X —> Υ — факторное отображение и id: Ζ —> Ζ —
тождественное отображение. Верно ли, что декартово произведение
f xid: Χ χΖ—>Υ χΖ всегда факторно?
4. Приведите пример факторного, но не открытого и не
замкнутого отображения.
5. В задаче 4 на с. 72 (и в курсе аналитической геометрии)
проективная плоскость Р2 определялась как множество всех
проходящих через точку (0, 0, 0) прямых в!3,и расстояние между двумя
такими прямыми полагалось равным углу между ними, а на с. 188
было сказано, что проективная плоскость — это квадрат, обе пары
противоположных сторон которого склеены с перекручиванием, или
диск, к которому вдоль границы приклеен лист Мёбиуса.
Покажите, что все эти пространства действительно гомеоморфны.
6. Покажите, что произведение ϋΜω счётного числа прямых
с ящичной топологией несвязно, т. е. его можно представить как
объединение двух непустых непересекающихся открытых множеств^.
7. Проверьте, что диагональное произведение счётного числа
тождественных функций idR: Μ—>М, т.е. отображение F: ]R—>Μω,
заданное правилом F(jc) — (jc, jc, jc, ...) для jc e Μ, не является
непрерывным относительно ящичной топологии на Μω.
8. Пусть X— любое бесконечное множество. Покажите, что
последовательность функций /п: X —> R, π е Ν, сходится к функции
/ в пространстве Шх с ящичной топологией тогда и только
тогда, когда (/n)nGN сходится к / поточечно (т. е. последовательности
(/π (*))η€Ν сходятся в R к /О) для всех χ е X) и существуют конечное
множество F с X и натуральное число N с тем свойством, что
fn{x) =f(x) для всех ON и xeX\F.
9. Пусть Ха, а е А, — топологические пространства.
а) Покажите, что если Υ с Υ\ Χα плотно в [~jxa, то проекция
аеА аеА
πα(Υ) множества Υ на сомножитель Ха плотна в Ха для каждого
аеА.
2) В дальнейшем мы увидим, что тихоновское произведение любого
семейства связных пространств связно.

Задачи
209
б) Приведите пример произведения X — [~[ Ха и множества
γ с X с тем свойством, что проекция πα(Υ) плотна в Ха для каждого
а^Л, однако Υ не плотно в X.
10. а) Приведите пример топологического произведения X =
z= Yl Xa и замкнутого множества У с X, для которых проекции
па(У) не замкнуты в Ха.
б) Приведите пример топологического произведения X — J~J Χα
и незамкнутого множества У с X с тем свойством, что проекция
πα(Υ) замкнута в Ха для каждого а е А.
11. Докажите, что топологическое произведение непустых
^-пространств удовлетворяет первой аксиоме счётности (удовлетворяет
второй аксиоме счётности, метризуемо) тогда и только тогда, когда
все сомножители обладают тем же свойством и все, кроме не более
чем счётного числа, одноточечны.
12. Докажите счётную мультипликативность сепарабельности
без использования теоремы Хьюитта—Марчевского—Пондицери.
13. Докажите, что канторово множество^ Ccl гомеоморфно
тихоновской степени {0,1}Ν дискретного пространства {0,1}.
14. Докажите, что всякое Г0-пространство X, обладающее
счётной базой из открыто-замкнутых множеств, гомеоморфно
вкладывается в канторово множество^ С с Μ (и, следовательно,
метризуемо).
15. Докажите, что любое счётное метризуемое пространство
вкладывается в пространство Q с R рациональных чисел.
16. Докажите, что пространство Ρ иррациональных чисел
гомеоморфно топологическому произведению Νκ°.
17. Докажите, что топологическое произведение NKl не
нормально.
18. Докажите, что если X — хаусдорфово пространство и <Bf —
семейство его подпространств, то пространство f] {Υ: 7е ^} с X
1} Канторово множество — подмножество отрезка [0,1], которое строится по
индукции так: на первом шаге индуктивного построения имеется один отрезок
[0,1], и из него удаляется средняя треть без концов (интервал ί ^, 3 Р> так
что остаются два отрезка; на каждом следующем шаге из всех имеющихся на
этом шаге отрезков удаляются средние трети без концов. Канторово множество
получается после счётного числа шагов.

210 Глава 6. Операции над топологическими пространствами
с топологией, индуцированной из X, гомеоморфно замкнутому
подпространству тихоновского произведения Y\{Y: Υ е &}.
19. Пусть к — любой бесконечный кардинал. Докажите, что
счётная степень метрического ежа J (к) колючести к (см. пример 5 на
с. 62) с тихоновской топологией универсальна для всех метризуе-
мых пространств веса к, т. е. любое метризуемое пространство веса
к гомеоморфно подпространству пространства^ J (к)*0.
20. а) Покажите, что если Х — Т2 -пространство, то для всякого
π е N множество всех подмножеств пространства X мощности, не
превосходящей п, замкнуто в ехрХ.
б) Покажите, что если X— 7^-пространство, то множество exp<0JX
всех его конечных подмножеств плотно в ехрХ.
в) Покажите, что если X — бесконечное 7^-пространство, то
d(X) = d(expX).
21. а) Проверьте, что ехрХ всегда является Г0-пространством.
б) Покажите, что если X является ^-пространством, то ехрХ
тоже является 7^-пространством. Верно ли обратное?
в) Докажите, что для 7\-пространства X экспоненциальное
пространство ехрХ хаусдорфово тогда и только тогда, когда X
регулярно.
г) Докажите, что если X — 7\-пространство и экспоненциальное
пространство ехрХ регулярно, то X нормально2).
22. Докажите, что expN не нормально.
23. Пусть /: X —> Υ — отображение топологического
пространства X в пространство Υ.
а) Заметьте, что / непрерывно тогда и только тогда, когда
многозначное отображение F: X —> Υ, определённое правилом
ад - {/ω},
полунепрерывно снизу или, что равносильно, сверху.
2) Это утверждение известно как теорема Ковальского, и метрического ежа
иногда называют ежом Ковальского.
Ганс-Иоахим Ковальски (1921—2010) — немецкий математик. Известен
главным образом своими учебниками по линейной алгебре и векторному анализу.
2) На самом деле регулярность пространства ехрХ равносильна
нормальности пространства X и ехрХ регулярно тогда и только тогда, когда ехрХ вполне
регулярно [11, 17].

Подсказки и решения
211
б) Докажите, что / открыто (замкнуто) тогда и только тогда,
когда многозначное отображение G: Υ —> X, определённое правилом
G{y) = {ГЧу)}9
полунепрерывно снизу (сверху).
в) Покажите, что если X е 7\, то отображение ί: X —> ехрХ,
определённое правилом i(x) = {*}, — гомеоморфное вложение.
Подсказки и решения
1. Нет. Если Ζ одноточечно, то композиция g с любым / будет
факторным отображением.
2. Неверно. Рассмотрите факторное отображение отрезка [0,1]
на окружность, состоящее в отождествлении точек 0 и 1, и его
сужение на (0,1]. Это сужение взаимно однозначно, но не является
гомеоморфизмом, а значит, не факторно. Сужение факторного
отображения на прообраз открытого или замкнутого множества факторно.
3. Нет. Рассмотрите X = (0,1] U {1 -f \: η еν} с R, Υ = X/ ~, где
~ —отношение эквивалентности, классами эквивалентности для
которого являются все двухточечные множества | -, 1 + -1 и все
одноточечные множества {х}, где χ е (0,1] \ I -: η ^ 2 J, естественное
факторное отображение f:X—> Υ и Ζ = [О,1)\|-:п^2|сМ.
Покажите, что множество F — {(/(χ), χ): χ € Ζ \ {0}} не замкнуто в У χ Ζ,
поскольку точка (/(1), 0) содержится в F \F, однако (/ χ idz)_1(F) =
= {(z,z):zgZ\ {0}} замкнуто в Χ χ Ζ, а значит, отображение / χ idz
не факторно.
4. Рассмотрите, например, подпространство У=Мх {0}и[0, оо] χ
х Μ евклидовой плоскости и отображение /: Υ —> Ш, определённое
правилом /(jc, у)=х. Образ при этом отображении ветви
гиперболы у = -, х>0, не замкнут. Образ открытого множества (—2, 2) χ
х (1, 2) Π У не открыт. Однако композиция fog тождественного
вложения g: R —> Υ, определённого правилом g(x) = (χ, 0), с / —
тождественный гомеоморфизм, поэтому / факторно в силу
следствия 6.7.
5. Заметьте, что рассматриваемое пространство прямых гомео-
морфно половине сферы S2 (с границей), на граничной окружности

212 Глава 6. Операции над топологическими пространствами
которой каждые две диаметрально противоположные точки
склеены друг с другом: Р2 ^ S+/~, где S+ = {(х, у, ζ) € S2: ζ ^ 0} и ~ —
отношение эквивалентности, классами которого являются все
одноточечные множества {(х, у, ζ)} с г > 0 и все двухточечные
множества {О, у, 0), (-х, -у, 0)}. Гомеоморфизм ставит в соответствие
каждой проходящей через (0, 0, 0) прямой точку пересечения этой
прямой с S+, если прямая не горизонтальна, и склеенную пару точек
пересечения этой прямой с S+, если прямая горизонтальна.
Дальнейшие гомеоморфизмы мы опишем с помощью рисунков.
При этом мы будем пользоваться общепринятыми соглашениями:
помеченные одинаковыми буквами отрезки (или дуги) со
стрелками склеиваются, причём стрелки указывают направление
склеивания. Например, на следующем рисунке слева направо изображены
цилиндрическая трубка, тор (бублик) и лист Мёбиуса.
а
а
-
>Ь
а
а
Ъ·
ι -
>Ъ
ъ\
Ниже показано, как из полусферы с отождествлёнными
диаметрально противоположными точками на границе получить квадрат,
противоположные стороны которого склеены с перекручиванием
(первое преобразование «уплощает» полусферу; две точки
отмечены лишь для наглядности).
о
Вместо того чтобы показывать, что проективная плоскость — это
диск, к которому вдоль границы приклеен лист Мёбиуса, мы
покажем, что проективная плоскость, из которой вырезан диск, гомео-
морфна листу Мёбиуса, причём гомеоморфизм переводит границу
вырезанного диска в границу листа Мёбиуса.

Подсказки и решения
213
6. Представьте множество Μω всех последовательностей
вещественных чисел как объединение множества всех ограниченных
последовательностей и множества всех неограниченных
последовательностей. Покажите, что каждое из этих множеств открыто
в ящичной топологии.
7. Рассмотрите множество U=Y\(— -,-). Оно открыто в ящич-
ной топологии и содержит точку (0, 0,...). Если бы отображение F
было непрерывным, то, поскольку /(0) = (0, 0,...), у точки OeR
существовала бы окрестность (—ε, ε), для которой F((—ε, ε)) с U.
Однако для любого ε>0 имеем |е(—ε, ε) nFi|)"(§' 2' •••)^^·
8. Ясно, что любая последовательность (/Π)Π<ΕΝ>
удовлетворяющая указанным условиям, сходится к / в ящичной топологии.
Докажем обратное. Если последовательность (/п) сходится к / в ящичной
топологии, то она должна сходиться к / и поточечно (т. е. в
тихоновской топологии), поскольку тихоновская топология слабее
ящичной. Предположим, что второе условие не выполнено. Тогда
найдутся такие последовательности разных точек хп е X и
положительных чисел εη, что |/п(хп) — /(хп)1 ^ εη Аш всех п е^· Произведение
υ=ζ Π υχ> гДе ϊ/χπ = (-επ,επ) дляп€М и UX = R для хф{хъх2,...},
хеХ
является окрестностью функции / в ящичной топологии, и /ηφϋ
дляпеМ.
9. а) Вспомните, что непрерывные сюръективные отображения
(в частности, канонические проекции) переводят плотные
множества в плотные.
б) Рассмотрите евклидову плоскость 1х1в качестве X и
прямую, не являющуюся ни вертикальной, ни горизонтальной, в
качестве Υ.
10. а) Рассмотрите Х = 1х1и график гиперболы у = -, χ Φ 0,
в качестве Υ.
б) Рассмотрите Х = 1х1иУ = Х\{(0,0)}.
11. Пусть Ха, a G А, — непустые пространства, и пусть В с А —
множество всех индексов, доя которых Ха неодноточечно. По
предложению 6.14 произведение Π Χα гомеоморфно произведению Υ\ Χα,
α<ΞΑ α<ΞΒ
поэтому задача сводится к доказательству того, что произведение
Тг -пространств, каждое из которых содержит по меньшей мере две

214 Глава 6. Операции над топологическими пространствами
точки, удовлетворяет первой аксиоме счётности (удовлетворяет
второй аксиоме счётности, метризуемо) тогда и только тогда, когда
число сомножителей не более чем счётно.
Сначала докажем достаточность. Для простоты будем
рассматривать случай счётного числа сомножителей (в конечном случае
годится то же доказательство).
Пусть Хп, neN, — 7^-пространства, и пусть каждое Хп обладает
счётной базой S8n. Тогда множества вида J~J Un, где Un G 38п для
nGN
конечного числа индексов η и Un = Хп для всех остальных индексов,
образуют базу произведения Y\ Xn. Ясно, что число таких множеств
счётно.
Пусть теперь Хп, η eN, —7\-пространства, и пусть каждое Хп
метризуемо метрикой dn. Можно считать, что каждая метрика dn
ограничена единицей (иначе заменим её на эквивалентную
метрику dn(x, у) = min{dn(jt, у), 1}). Положим
d((*n)„eN, Шпад = jY>dn{xn-yn)2l2n.
V nGN
Легко видеть, что метрика d порождает тихоновскую топологию на
произведении Y\Xn (см. рассуждение на с. 203—204).
Наконец, предположим, что Хп, neN, —^-пространства и
каждое Хп обладает счётной локальной базой 3&п(х) в каждой
точке xGXn. Возьмём любую точку (xn)neN &Υ\Χη. Множества вида
Y\ Un, где Un е Мп (хп) для конечного числа индексов nnUn = Xn для
всех остальных индексов, образуют локальную базу произведения
Y\ Хп в точке (χπ)π<εΝ. Ясно, что число таких множеств счётно.
Осталось доказать необходимость. Проверим, что если
произведение непустых неодноточечных ^-пространств удовлетворяет
первой аксиоме счётности, то число сомножителей не более чем счётно
(отсюда будет вытекать и всё остальное).
Пусть Ха9 а е А, — непустые неодноточечные 7^-пространства.
В каждом Ха выберем две разные точки ха и уа и положим Υα =
— {χα> Уа}· По предложению 6.14 подпространство Υ\Υα
произведения Υ\Χα гомеоморфно пространству DK, где D =
{0,1}—дискретное пространство ик = \А\.
Пространство DK содержит дискретное подпространство Ό{κ)
мощности к с единственной предельной точкой *. Точки Ό{κ) — это

Подсказки и решения
215
все точки в DK, у которых ровно одна координата равна 1, а у точки
# все координаты — нули. Легко видеть, что окрестности точки *
в D(k)U {*} с DK — это в точности дополнения до конечных
подмножеств множества D(k). Ясно, что если кардинал к несчётен, то
пространство D(k) U {*} не удовлетворяет первой аксиомой счётно-
сти (и тем более не метризуемо и не удовлетворяет второй
аксиоме счётности). Значит, оно не может вкладываться в пространство
с первой аксиомой счётности (и тем более в метризуемое
пространство или пространство со второй аксиомой счётности).
12. Пусть Хп, η е Ν, — непустые сепарабельные пространства.
В каждом Хп выберем не более чем счётное плотное
подмножество Υη и зафиксируем точку х*еУп. Множество {θπ)π<ΕΝ € Υ[Υη:
\{п eN: хп Φ jc*}| < К0} не более чем счётно и плотно в \\Хп.
13. Заметьте, что каждое число χ е С допускает троичную
запись, не содержащую 1, причём именно такая троичная запись
у каждого хеС единственна (хотя, например, записи 1 и 0,2222...
представляют одно и то же число 1 е С). Значит, отображение
/: С —> {0,1}N, определённое правилом /(jc) = (0tn)nGN) для jc =
2х
— 2 -отг, инъективно (и сюръективно). Это отображение непре-
рывно по предложению 6.23. Проверьте, что оно также и открыто^.
14. Рассмотрите счётную базу {Un: π€Ν} пространства X из
открыто-замкнутых множеств и постройте вложение X в С как
диагональное произведение отображений
{1, если jc e Un,
0, еслихеХ\ип.
15. Заметьте, что из предыдущей задачи вытекает, что любое
счётное метризуемое пространство X гомеоморфно
подпространству У с С прямой, поскольку метрика на X принимает лишь
счётное число значений и, значит, X обладает (счётной) базой из
открыто-замкнутых множеств (если метрика не принимает значение а, то
Bd (χ, α) = Bd (jc, а) для всякого χ € X); затем примените утверждение
задачи 15 на с. 138 к Υ и Q и Q.
Х) В следующей главе мы увидим, что такая проверка не обязательна, так как
С —компакт и непрерывное взаимно однозначное отображение любого
компакта является гомеоморфизмом.

216 Глава 6. Операции над топологическими пространствами
16. Стандартный путь доказательства использует разложение
действительных чисел в цепные дроби, т. е. в конечные или
бесконечные дроби вида
[а0; аъ а2, а3,...] =а0-\ ~л ,
где а0eZ и ап eN для π€Ν. Как известно, для каждого числа такое
разложение определено однозначно и вещественное число
рационально тогда и только тогда, когда его разложение в цепную дробь
конечно; с другой стороны, любая последовательность натуральных
чисел является последовательностью неполных частных некоторой
цепной дроби. Возникает взаимно однозначное соответствие между
иррациональными числами и бесконечными
последовательностями из Ζ χ ΝΝ. Нетрудно проверить, что семейство интервалов
вида ([а0; аг, а2,..., ап + 1], [а0;аг,а2, ...,ап]) образует базу топологии
пространства Ρ и что
([а0; аъ а2,..., ап_ъ ап +1], [а0; аъ а2,..., ап_ъ ап]) ПР =
= {[адс^, ..., ап+ 1,ап+1,...]: ап+1, ап+2,... е Ν}.
Следовательно, это соответствие является гомеоморфизмом
относительно обычной (индуцированной из прямой) топологии на
множестве иррациональных чисел и тихоновской топологии на
множестве Ζ χ ΝΝ = Νκ°.
Ту же самую (с топологической точки зрения) конструкцию
можно описать явно, без апелляции к теории чисел. На первый
взгляд это описание кажется громоздким, но суть его проста.
Поскольку Ζ гомеоморфно N и |Ν| = К0, достаточно построить
гомеоморфизм между ΖΝ и Р.
Как-нибудь перенумеруем рациональные числа: Q = {qi, q2, ···}·
Положим 10 = Ш и выберем счётное число рациональных
точек хп, η € Ζ, так, что хп -^^ -оо, хп -^ц^ +оо, хп < хк для п< к,
хп+\ ~ хп < 1 Для каждого η е Ζ и одна из точек хп совпадает с qx.
Например, можно положить хп = qx 4- \ для π е Ζ. В результате мы
получим счётное семейство интервалов 1п = (хп, хп+1) длины
меньше 1, которое покрывает Р, причём q1 является одним из концов
этих интервалов. Если q2 принадлежит одному из интервалов 1п, то
обозначим номер этого интервала через т2, а если q2 не принад-

Подсказки и решения 217
лежит ни одному из них (т. е. q2 совпадает с одним из концов хп
интервалов /п), то скажем, что число т2 не определено.
Затем мы выберем счётное число рациональных точек *(т,П),
ηеΖ, в каждом интервале 1т = (хт,хт+1) так, что ximn) -^-^хт,
Чт,п) ТЦ^ *™+1? *0«.Ό < *("*.« ДЛЯ П< fc И Х(т,п+1) - Xim>n) < \ ДЛЯ
каждого πεΖ; кроме того, если т2 определено, то мы потребуем,
чтобы одна из точек Х(т2,п) совпадала с q2. Например, можно
выбрать любую точку q е 1т (для т — т2 нужно взять q — q2) и поло-
0. - Хт г, Хт+1 - Я.
жить x(mj0) = q, Х(т,п) = хт 2гГ~ для п к ° и *Wo = Хт^ 2л—
для η > 0. В результате для каждого т е Ζ мы получим счётное
семейство интервалов J(mn) — (x(mjn),X(m,n+i)) длины меньше j>
которое покрывает РП/т. При этом q2 является одним из концов либо
интервалов /(т,П), либо интервалов /п, построенных на предыдущем
шаге. Если q3 принадлежит одному из интервалов /(т,П), то
обозначим индекс этого интервала через (m3, fc3), а если q3 не
принадлежит ни одному из них (т. е. является одним из концов
интервалов 1{гп,п) или интервалов 1п, построенных на предыдущем шаге), то
скажем, что пара (т3, к3) не определена.
Снова выберем счётное число рациональных точек Х(т^,П)> η eZ,
в каждом интервале J(m fc) так, что
x(m,fc5n) я^.оо* *(m5k)> хп п^+оо5 *(m,k+l)> Х{т,к,п) < x{m,k,D
для π < Ζ и X(m)k}n+i) — х{т,к,п) < з Д*713 каждого π € Ζ; кроме того, если
пара (m3, fc3) определена, то мы потребуем, чтобы одна из точек
х(.т3,к3,п) совпадала с q3. В результате для каждой пары (т, к) еZ2 мы
ПОЛуЧИМ СЧёТНОе СемеЙСТВО ИНТерваЛОВ 1(т,к,п) — (х(т,к,п)> Х(т)к,п-Ы)^
длины меньше ^, которое покрывает Ρ n/(m fc). При этом q3 является
одним из концов либо интервалов 1(т,к,п)> либо интервалов,
построенных на предыдущих шагах.
Продолжая в том же духе, мы получим семейство открытых
интервалов i(Slj...,Sn), где πΕω = Νϋ{0} и1} (sl9 ...,sn) eZn, со
следующими свойствами:
Φ /0 = Ш, и для любого непустого набора (sl9 ...,sn) множество
^(slf...,sn) —открытый интервал в!с рациональными концами;
© для любых к е ω и (51? ...,sfc) e Zfc выполнены соотношения
7(5ι,...^) ПРС U hs1}...,Sk,Tl) И ^(Sl,...,Sfc) = (J h5l9...t5ktn)l
neZ neZ
1} Естественно, Ъ° — 0, потому что 0 — 0.

218 Глава 6. Операции над топологическими пространствами
© для любых (51? ...,sfc) eZfc и (tl9..., tn) eZn, где fc ^n,
пересечение /(Sl,...,Sjfc) n/(tij tj непусто тогда и только тогда, когда sf = t-
для всех i^fc;
® для любых π € N и (Si,..., 5П) е Ζπ выполнено неравенство
® каждое рациональное число является концом по меньшей мере
одного1} из интервалов вида J(Slj...jSn).
Для каждой последовательности (s1? s2, .·.) £ZN положим
/((Sj, S2, ...))= Π^,Λ)'
В силу условия © имеем f] i(Sl,...,s) = Π ^,.·.^)» так что из теоремы
Коши—Кантора о стягивающихся отрезках и условия ® вытекает,
что для любой фиксированной последовательности (s^ s2,...)
пересечение P| J(s s) состоит из ровно одной точки. По условию ®
эта точка иррациональна, а по условию © каждое иррациональное
число представимо в виде такого пересечения. Значит, / — биекция
между ZN и Р. Очевидно, все пересечения вида /(tl,...,t) Π Ρ, где π€Ν
и tf е Ζ для i ^ η, образуют базу топологии пространства Р, и для
каждого набора (Хъ ..., tn) имеем
кь,...м пр = /«(*ъ ···, ^, t„+i, .··): t„+f € Ζ для i € Ν}),
т. е. прообразы этих пересечений при биекции / образуют базу
топологии пространства ΖΝ. Это означает, что / является
гомеоморфизмом.
17. Рассмотрите непересекающиеся замкнутые множества
F = {Ua)aeKl: К«:^« = п}\ ^ 1 для каждого π € N \ {1}};
G = {OJaeKi : К«: *а = п}| ^ 1 ДЛЯ КЭЖДОГО П € Ν \ {2}}
в пространстве NKl. Предположите, что у множества F
существует открытая окрестность U, для которой U Π G = 0 (такая окрест-
На самом деле ровно двух.

Подсказки и решения
219
ность должна существовать, если Ν τ нормально). Рассмотрите
максимальное (по включению) дизъюнктное семейство °и непустых
канонических открытых множеств, содержащихся в U. Рассуждая от
противного и пользуясь максимальностью семейства °11,
покажите, что {J9/ = U. Заметьте, что семейство У/ не более чем счётно,
потому что пространство NKl обладает свойством Суслина (в силу
следствия 6.22 или по теореме Хьюитта—Марчевского—Пондице-
ри). Выведите отсюда существование не более чем счётного
множества AcKjC тем свойством, что если (xa)ctGK1 еU> (Уа^ае^ £NKl
И У а — Ха Аш всех а е А то (Уа)аеК е ^ (это МНОЖеСТВО А раВНО
объединению |J Fv, где Fv с Кх — (конечное) множество тех ин-
дексов а, для которых πα(ν) τ^Ν). Пусть А — {аъ а2,...}. Заметьте,
что точка (xct)ctGK1 с координатами хап = η для η е N и ха = 1 для
а ф А принадлежит множеству F с U, а значит, точка (yct)aGK1 c
координатами уап = η для п € N и уа = 2 для а ф А тоже принадлежит
этому множеству. С другой стороны, (уа)а^^г €G, что противоречит
условию U (Ί G = 0.
18. Вспомните, что пересечение подпространств гомеоморфно
пределу обратного спектра этих подпространств (см. пример в
конце этой главы), и примените предложение 6.32.
19. Пусть X — метризуемое пространство веса к, и пусть d —
какая-нибудь метрика, порождающая топологию пространства X.
Сначала мы построим удобную для наших целей базу этой топологии.
Возьмём какую-нибудь базу мощности к: и в каждом непустом
элементе этой базы выберем по точке. Обозначим множество
выбранных точек через Y. Очевидно, Υ плотно в X и \Υ | ^ к; на самом
деле \Υ | = к, поскольку вес метризуемого пространства не
превосходит (а значит, равен) его плотности — это доказывается точно так
же, как теорема 3.9. Как-нибудь перенумеруем точки множества Υ
ординалами а < к: Υ = {уа: а < к}. Заметим, что |J Bd(уа, л)=Х
а<к
для всякого п е N, — это тоже доказывается по аналогии с
теоремой 3.9. Сейчас мы для каждого натурального п построим по
индукции последовательность индексированных семейств открытых
множеств al/n j, i eN, и вместе они будут образовывать нужную нам
базу.
Итак, зафиксируем любое натуральное п. Положим иП)0(а) = 0
для всех а<к и 9/п0 — {Un0(a): а<к}. Пусть ieN и семейства ^/п;

220 Глава 6. Операции над топологическими пространствами
определены для всех j < ί. Для каждого а < к положим
Q,,(«) = {xeX: Bd[x, |) с Bd(ya, ±)}\
\(USd(y„4)u U Mr))
β<α ]<ί,γ<κ
И
unM)= U Bd(^i)-
хеСП)1(а) z
Иными словами, LTnji (α) — это объединение (возможно, пустое)
шаров радиуса —{ с центрами jc, удовлетворяющими следующим
условиям:
Φ Bd(x,|)cBd(ya,±);
© χφΒά[γβ, i) для β < a;
© jc φ Unj (β) для любых j <ίπ β <κ.
Наконец, положим 4ίη{ = {[/пДа): а<к:}.
Ясно, что все Uni{a) открыты. Из условия φ следует, что
® Uni(a)<zBd(ya, SJ для каждого а<к:.
Кроме того,
® U Un>i(a)=X.
a<K,ieN
Действительно, пусть jceX. Выберем наименьший ординал а <к,
для которого х^вЛуа, -J, и любое натуральное число i, для
которого Bd ( χ, —[ J с Bd ί ya, - J. По построению либо х е Li^j для
некоторых β < к и j < i, либо jc e [/αι·.
Из доказанных свойств построенных семейств ^/п[ следует, что
°и — |J ^п i является базой топологии пространства X. Действи-
n,iGN
тельно, пусть χеХ-любая точка и [/—любая её окрестность.
Выберем η G Ν, для которого Bd ί jc, - J с U. В силу свойства ® найдутся
а < к и ί eN, для которых χ е LTnji(a), а из свойства ® и неравенства
треугольника вытекает, что Uni(a) <zBd(x, -J с [/. Значит, любая
окрестность точки χ содержит окрестность вида Uni(a).
Мы уже сейчас можем определить вложение X в счётную
степень ежа, но для доказательства корректности этого определения
нам понадобится ещё одно свойство построенной базы °11\
® для любых η, ί е N каждый шар радиуса, не превосходящего тщ·,
пересекает не более одного элемента семейства °11п}i.

Подсказки и решения
221
Чтобы проверить это свойство, достаточно показать, что если у е
<е Un}i{a) иге ϋηί(β) для α Φ β, то d(y,z) > ^. Покажем это.
Пусть для определённости β <а. По определению множеств Uni(a)
и ϋη)ί(β) найдутся точки х' и х", для которых у <EBd{x', ^Л с Uni(a)
и z6Bd(/, ^т) с υηί(β). Из свойства Φ следует, что Bd(x", ^) с
сВ^Гу^, л), а в силу свойства (D имеем х'^Вду^, -J. Таким обра-
зом, d{x', χ") ^ —, откуда вытекает, что
dty, ζ) ^ d{x'9 x") -d(x\ у) -d(x", 2) > i.
Для каждой пары натуральных чисел п, i определим
отображение fny. X—> J(k) правилом
ϊ_ \{\d{x,X\Un>i{d)),a), еслихе[/пДа),
[ 0> если χ φ (J ^n;
(множитель 2 нужен лишь для того, чтобы число d{x,X\ Uni{a))
при п = 1 попадало в интервал (0,1]). Непосредственная проверка
показывает, что все отображения fni непрерывны (здесьпригодится
свойство ®). Кроме того, семейство отображений {/πι·: η, ί е Ν}
разделяет точки и замкнутые множества. Действительно, для
любой точки χ e X и любого не содержащего её замкнутого
множества F с X найдутся n, i € N и α < к, для которых χ е [/пДа)
и Uni{a) nF —0 (потому что ^ является базой пространства X).
Имеем α = d(x, X \ Un f(a)) > 0 (так как множество X\Un f(a)
замкнуто, т. е. X \ Un>i{a) = {уеХ: d{y, X \ Un>i(a)) = 0}) и >пДх) -
= (а/2, а). С другой стороны,
fn>i(F) с /пДХ\[/пДа)) с {0}uUi(y,/3): у € (0, Ύ\9β<κ9βφ а}.
Последнее множество замкнуто в J {к) и не содержит точку (а/2, а),
а значит, /пДх) £fn>i{F).
По теореме о диагональном произведении отображений
η,ί(ΞΝ
— гомеоморфное вложение.
20. а) Для любых попарно различных точек хъ ..., хп+1
множество w = (Ul9..., LTn+1), где Ul9 ..., [/п+1 — непересекающиеся откры-

222 Глава 6. Операции над топологическими пространствами
тые окрестности точек хъ ..., хп+1, открыто в ехрХ, и для любого
FeW имеем |F|>n.
б) Пусть W = {иъ ..., Un) —любой непустой элемент базы
топологии Вьеториса; ясно, что тогда все множества Ut непусты.
Выберем по точке х{ e Ut для каждого i ^ п. Элемент F = {хъ ..., хп}
пространства ехрХ принадлежит W.
в) Примените пункт б) и задачу 9 а) на с. 44.
21. а) Пусть А, ВеехрХ, АфВ. Предположим для
определённости, что А \ В Φ 0. Тогда (X \ В, X) — окрестность точки А в ехрХ,
которая не содержит В.
б) Пусть XеТг и А,ВеехрХ, АфВ. Предположим для
определённости, что найдётся χ € А \ В. Тогда (X \В,Х)— открытая
окрестность точки А в ехрХ, которая не содержит точку В, и (X \ {х}) —
открытая окрестность точки В, которая не содержит А.
Если X — неодноточечное непустое антидискретное
пространство, то ехрХ одноточечно и потому удовлетворяет всем аксиомам
отделимости, тогда как X не является даже Г0-пространством.
в) Пусть X регулярно и А, В е ехрХ, АфВ. Предположим для
определённости, что найдётся хеА\В. Возьмём открытую
окрестность U точки χ в X, для которой U Π В — 0. Тогда (U, X) и (X \ U) —
непересекающиеся окрестности точек Л и β в ехрХ. Мы показали,
что ехрХеГ2.
Пусть теперь ехрХ е Т2. По условию имеем X е 7^. Покажем,
что ХеТ3. Пусть χ е X, F — замкнутое множество в X и χ φ F. Нам
нужно найти непересекающиеся окрестности 1/иУ точки χ и
множества F в X. Если F = 0, то годятся Ϊ/ = X и У = 0. Если F ф0,
то F €ехрХ. Положим G = F U {х}. Имеем G €ехрХ, ΩφΡ. Пусть
(Ui, ..., t/fc) и (Vb ...,УП)—непересекающиеся окрестности точек G
и F соответственно в ехрХ. Положим
U = f){Ui:i^k,x<EUi}.
Если существует у е t/ Π (Vi U... и Vn), то
FU{y}e([/1,...,[/,) Π (УЪ...,УП).
Значит, такая точка у не может существовать, и окрестность t/
точки χ не пересекается с окрестностью Уг U... U Vn множества F в X.
г) Пусть ехрХ регулярно, F —непустое замкнутое
подмножество пространства X и U —- открытая окрестность множества F в X.
Нам надо найти окрестность V множества F со свойством Vet/..

Подсказки и решения
223
Поскольку (10 — окрестность точки F в ехрХ и ехрХ
регулярно, найдутся открытые в X множества Vl9...,Vn, для которых
(Vi,..., У η) — окрестность точки F в ехрХ, замыкание которой в ехрХ
содержится в (U). Положим V = Vi U... U Vn. Имеем F с V. Покажем,
что V = V1u...UVncC/.
Предположим, что j^nnVj\U^0. Пусть x;- e V}Д U. Для
каждого ί^ζη, ιφ), выберем любую точку XjGV;. Положим G = {xl9 ...,Jtn}.
Легко видеть, что любая окрестность точки G в ехрХ пересекает
множество (Vi,..., Vn), т.е. G принадлежит замыканию этого
множества в ехрХ. С другой стороны, G£(U). Это противоречие
показывает, что V с U.
22. Разложите N в объединение двух непересекающихся
бесконечных подмножеств Ν1πΝ2. Возьмите взаимно однозначные
отображения fiiN—*N( для i = 1, 2 и покажите, что
{/i(A)U/2(N\A):AcN}
— замкнутое дискретное подпространство пространства expN
мощности 2К°. Затем примените задачу 20 в) и предложение 5.12.
23. б) Заметьте, что для любого А с X имеем
Y\f№ = {у € Y: Г\у) с Х\А}
и
/(Л)-{у€7:Г1(у)ПА^0}.

Глава 7
Компакты
§7.1. Покрытия
1 Определение. Пусть X — произвольное множество и Υ с X. По-
I крытие множества У —это любое индексированное семейство
Ι ^ = {Са: а е А} подмножеств X, которое покрывает Υ, т. е. удо-
I влетворяет условию (J ^ D У.
Ι Если X — топологическое пространство и покрытие состоит из
I открытых (замкнутых, открыто-замкнутых) множеств, то его на-
1 зывают открытым (замкнутым, открыто-замкнутым) покры-
1 тием.
I Пусть с€/ — ещё одно покрытие множества Υ. Говорят, что *€'
Ι вписано в ^, и пишут *€' ^ ^ или сё/ -< <€, если всякий элемент
Ι С покрытия с€' содержится в некотором С€^. Покрытие с€'
I комбинаторно вписано в ^ или является ужатием покрытия ^,
ι если оба покрытия заиндексированы элементами одного и того
J же множества А (т. е. ^ = {Са: а е А} и <й" = {С„: а е А}) и Са с Са
Ι для каждого α е А.
1 Частный случай вписанного покрытия —подпокрытие: семей-
I ство с€/ с ^ называется подпокрытием покрытия ^, если оно
I само является покрытием, т. е. (J Н>' э 7.
Как правило, мы будем рассматривать ситуации, когда У = X.
Покрытие <#', вписанное в другое покрытие ^, мельче этого
другого покрытия в том отношении, что каждый элемент покрытия *€'
меньше некоторого элемента покрытия ^ (содержится в нём);
иногда так и говорят —что покрытие <€' мельче покрытия ^, а
покрытие ^ крупнее покрытия <€''. Однако, вообще говоря, ни
отношение вписанности, ни обратное ему отношение не является
порядком — не хватает антисимметричности, хотя транзитивность и
рефлексивность присутствуют. Зато обратное отношение >- является
направлением на множестве всех (всех открытых, всех замкнутых,
всех открыто-замкнутых) покрытий, поскольку, каковы бы ни
были покрытия ^ и ^2 одного и того же множества Υ, семейство
<€ = {Сг ПС2: С ι е *€λ9 С2 € ^2} тоже является покрытием множе-

§ 7.2. Компактные пространства и их свойства 225
ства Y, причём оно вписано в^ив ^2> а если ^ и ^2 открыты
(замкнуты, открыто-замкнуты), то этим же свойством обладает и ^.
Заметим также, что среди всех покрытий произвольного множества
всегда есть самое мелкое — это покрытие одноточечными
подмножествами.
Важное замечание. Иногда вместо покрытия множества X
удобнее рассматривать двойственное семейство, состоящее из всех
дополнений до элементов покрытия. Из законов де Моргана
немедленно вытекает, что семейство Ή подмножеств множества X является
покрытием множества X тогда и только тогда, когда двойствен-
ное семейство & — {Х\С': Се ^} имеет пустое пересечение.
§ 7.2. Компактные пространства и их свойства
Мы будем часто пользоваться этим замечанием и начнём прямо
сейчас: мы приведём сразу два равносильных определения
важнейшего топологического свойства —компактности^, эквивалентность
которых вытекает как раз из этого замечания.
| Определение. Топологическое пространство компактно, если
Ι любое его открытое покрытие содержит конечное подпокры-
§ тие. Хаусдорфовы компактные пространства называются компак-
I тами.
I Определение7. Топологическое пространство компактно, если
любое центрированное2) семейство его замкнутых подмножеств
имеет непустое пересечение.
Как уже было сказано, эти определения равносильны: если °11 —
открытое покрытие пространства X, которое не содержит
конечного подпокрытия, то семейство & — {X \U: U е ^} состоит из
замкнутых множеств (поскольку все U е °11 открыты),
центрировано (если бы существовало конечное подсемейство &' с & с
пустым пересечением, то согласно важному замечанию множества
{X\F: F е &'} образовывали бы конечное подпокрытие
покрытия <20 и имеет пустое пересечение (потому что ^ — покрытие).
Точно так же если & — центрированное семейство замкнутых
подмножеств X и р|^" = 0, то ^ = {X\F:Fe^}-открытое покры-
Х) В отечественной литературе долгое время вместо терминов «компактный»
и «компакт» использовались термины «бикомпактный» и «бикомпакт», а
компактами назывались метризуемые бикомпакты.
2) См. определение на с. 98.

226
Глава 7. Компакты
тие1} X, и в силу центрированности семейства & из него нельзя
выделить конечное подпокрытие.
Весьма полезно также и следующее простое замечание.
Предложение 7.1. Пусть X — топологическое пространство и
08 —любая база его топологии. Пространство X компактно тогда
и только тогда, когда любое его покрытие элементами базы <%
содержит конечное подпокрытие.
Доказательство. В доказательстве нуждается только
достаточность. Пусть °11 — {Ua: a G А} —любое открытое покрытие
пространства X. Для каждой точки xgX выберем элемент LTa(jc) покрытия 4ί,
содержащий эту точку, и зафиксируем элемент базы Vx&08, который
содержит точку χ и содержится в выбранном элементе покрытия Ua{xy
Семейство {Vx: хеХ} представляет собой открытое покрытие
пространства X элементами базы 38. По предположению оно содержит
конечное подпокрытие {Vx ,..., VXn}- Поскольку каждое множество Vx
содержится в соответствующем Ua^9 имеем Ua^x^ U ... U LTa(jcj —X,
так что {£/a(jCi),..., LTa(jcj} — конечное подпокрытие покрытия 4ί. D
Для предбаз верно аналогичное утверждение (оно известно как
теорема Александера® о предбазе; его называют также леммой Александера), но
для предбаз доказательство сложнее.
Компактность можно определить эквивалентным образом и на
языке сходимости. Мы ограничимся критерием компактности в
терминах ультрафильтров.
I Теорема 7.2. Топологическое пространство X компактно тогда
и только тогда, когда всякий ультрафильтр на множестве X
сходится.
Доказательство. Необходимость. Существование ультрафильтра
ЧС на X, который не сходится ни к одной точке χ е X, означает,
1} По определению покрытие должно быть индексированным семейством.
Однако на индексное множество никаких ограничений не накладывается,
и в данном случае можно считать, что это множество &, т. е. что семейство W
индексировано элементами F этого множества. Вообще, любое семейство
можно трактовать как индексированное своими собственными элементами, так
что любое семейство множеств, объединение которых содержит данное
множество, можно рассматривать как покрытие этого множества. В дальнейшем
мы не будем останавливаться на подобных деталях.
2) Джеймс Уэдделл Александер II (1888—1971) — американский математик.
Занимался в основном алгебраической топологией. Ввёл понятие когомологий.
Один из основателей современной теории узлов.

§ 7.2. Компактные пространства и их свойства 227
чт0 у любой точки χ е X есть открытая окрестность Ux, не
принадлежащая ультрафильтру Щ. Эти окрестности образуют открытое
покрытие компактного пространства X; пусть {UX,...,UX } —его
конечное подпокрытие. В силу следствия 3.22 имеем Ux e ^ для
некоторого ί ^ т, однако по построению UXi φ °Μ для всех ί. Значит,
ультрафильтра, который не сходится ни к какой точке, существовать
не может.
Достаточность. Если существует открытое покрытие У
пространства X, которое не содержит конечного подпокрытия, то
семейство & — {X \ V: V е У} центрировано (см. важное замечание
на с. 225). По теореме 3.20 семейство & содержится в некотором
ультрафильтре °11 на X. По условию °11 сходится к некоторой точке х.
Пусть V — содержащий эту точку элемент покрытия У. Тогда V е <№,
поскольку °11 —>х, иХ\Уе^ по определению семейства & с <&\
Этого быть не может —любые два элемента любого фильтра
обязаны пересекаться. Значит, всякое открытое покрытие
пространства X содержит конечное подпокрытие. D
Компакты замечательны в самых разных отношениях. По
своим свойствам они во многом похожи на конечные пространства.
Мы начнём с нескольких просто доказываемых, но очень важных
свойств компактов.
I Теорема 7.3. Всякое компактное подпространство любого хаус-
дорфова пространства замкнуто.
Доказательство. Пусть X — хаусдорфово пространство, КсХ —
его компактное подпространство и хфК. Имеем f]{U: [/ —
окрестность точки х} — {χ} (см. условие, равносильное аксиоме Г2, на
с. 151), и, поскольку χ φ К, семейство
% = {X \ U: U — окрестность точки хв X}
представляет собой открытое покрытие компакта К. Пусть {X \ иъ ...
..., X \ Un} — ero конечное подпокрытие. Тогда множество иг Π ...
... ПUn — окрестность точки χ, не пересекающая К, а это означает,
что χ φ К. Следовательно, К — К, т. е. множество К замкнуто. D
! Теорема 7.4. Любое замкнутое подпространство компактного
пространства компактно.
Доказательство. Пусть К — компактное пространство и X с К —
его замкнутое подпространство. Рассмотрим любое
центрированное семейство & замкнутых подмножеств пространства X. Посколь-

228
Глава 7. Компакты
ку X замкнуто в К, & является также и центрированным
семейством замкнутых подмножеств К, так что f] & φ 0. Π
I Следствие 7.5. Компактное пространство не содержит
бесконечных замкнутых дискретных подпространств.
I Теорема 7.6. Любое бесконечное множество в компактном
пространстве имеет точку накопления.
Доказательство. Пусть А — подмножество компактного
пространства, не имеющее точек накопления. Тогда у любой точки χ е А
найдётся открытая окрестность Ux в X, пересечение которой с А
конечно. Подпространство А компактного пространства X
компактно по теореме 7.4, и семейство {Ux η Α: χ G А} является его
открытым покрытием. Выделим из него конечное подпокрытие
{ϋΧι Π А,..., UXk Π Λ}. Из того, что ϋΧι Π A U ... U UXk (Ί А = А и все
множества Ux. Π А конечны, вытекает, что множество А (а значит,
и Л) конечно. D
I Теорема 7.7. Всякий непрерывный образ компактного
пространства компактен.
Доказательство. Пусть К — компактное пространство и /: К ^
ю>Х — непрерывное отображение. Рассмотрим любое открытое
покрытие У/ пространствах. Очевидно, {/_1(С/): Ug9/} — открытое
покрытие пространства К. Оно содержит конечное подпокрытие
{/"1([/1), ...,/_1([/п)}, и {иъ ..., Un} — конечное подпокрытие
покрытия °и. D
(Следствие 7.8. Всякое непрерывное отображение компактного
пространства в хаусдорфово пространство замкнуто.
Доказательство. Пусть /: К —> X — непрерывное отображение
компактного пространства в хаусдорфово. По теореме 7.4 любое
замкнутое множество F с К компактно, а по теореме 7.7 образ
любого компактного множества компактен и, значит, замкнут в X (по
теореме 7.3); следовательно, отображение / замкнуто. D
Применяя следствия 6.9 и 6.10, сразу приходим к ещё одному
очень важному выводу.
I Следствие 7.9. Любая непрерывная биекция из компактного
пространства в любое хаусдорфово пространство является
гомеоморфизмом.
Это следствие можно сформулировать по-другому: если К —
компакт с топологией 3, то любая хаусдорфова топология на К, более
слабая, чем 3, совпадает с 3. Другими словами, топологию
компакта нельзя ослабить.

§ 7.2. Компактные пространства и их свойства 229
(Теорема 7.10. Любая непрерывная функция на компактном
пространстве ограничена.
Доказательство. Если /: X—>R — неограниченная непрерывная
функция, то {/_1((-п, π)): η еΝ} — открытое покрытие
пространства X, из которого нельзя выделить конечное подпокрытие. D
Перейдём к более сложным свойствам компактных пространств.
Начнём с того, что всякий компакт нормален. Доказательство этого
факта проводится поэтапно: сначала нужно показать, что всякое
хаусдорфово компактное пространство регулярно, а затем —что
всякое регулярное компактное пространство нормально.
Предложение 7.11. Во всяком хаусдорфовом пространстве
любые точка и не содержащее её компактное множество имеют
непересекающиеся окрестности.
Доказательство. Пусть X — хаусдорфово пространство, К —
компактное подмножество X и х&Х\К. Для каждой точки уеК
зафиксируем непересекающиеся открытые множества Uy эу и Vy э х.
Открытое покрытие {Uy: у е К} компакта К содержит конечное
подпокрытие {Uy ,..., Uуу. Ясно, что U= [J иу —открытая окрестность
ΐϊζη
множества К, V = f] Vy — открытая окрестность точки хи1/ПУ =
=0. ^п ι π
Из этого предложения и теоремы 7.4 немедленно вытекает
регулярность всякого компакта.
Предложение 7.12. Во всяком Т3-пространстве любые два
непересекающихся множества, одно из которых компактно;а другое
замкнуто, имеют непересекающиеся окрестности.
Доказательство. Пусть X е Т3, К — компактное подмножество
пространства X, F —замкнутое подмножество пространства X и
Kr\F = 0. Для каждой точки х&К зафиксируем непересекающиеся
открытые множества Ux э χ и Vx э F. Открытое покрытие {Ux: χ е К}
множества К содержит конечное подпокрытие {UXi,..., UXn}. Ясно,
что U = (J Ux. — открытая окрестность множества К, V — f] Vx. —
открытая окрестность множества F и [/ П V = 0. Π
Объединяя предложения 7.11 и 7.12 и вспоминая теорему 7.4 (что
в компактном пространстве все замкнутые подмножества
компактны), мы приходим к такому выводу.
I Теорема 7.13. Всякий компакт нормален.
Предложения 7.11 и 7.12 иллюстрируют тезис, что компакты во
многом похожи на конечные пространства. Во всяком случае, с точ-

230
Глава 7. Компакты
ки зрения аксиом отделимости Т2 и Г3 компактные подмножества
ведут себя как точки. Для аксиомы Τ3ι верно аналогичное
утверждение.
Предложение 7.14. Во всяком Τ3ι -пространстве X для любых
непересекающихся компактного множества К и замкнутого
множества F существует непрерывная функция /: X—> [0,1],
тождественно равная 0 на К и 1 на F.
Доказательство. Для каждой точки χ е К возьмём
непрерывную функцию fx: X —> [0,1], принимающую значение 0 в точке χ
и тождественно равную 1 на F, и положим Ux = /χ_1ί Ι 0, ^ J J. Из
открытого покрытия {Ux: x^K} компактного множества К выделим
конечное подпокрытие {UXi,..., UXn}. Функция g = mm(fl9 ...,/n),
определённая правилом g(x)=min{f1W,..., /П(Х)}, непрерывна по
предложению 4.9, причём g(K) с I 0, ~ J и g(F) с {1}. Осталось
положить/(jc)=max|2ig(jc) — 2 ),0| для всех хеХ. D
Ввиду леммы Урысона доказанное предложение можно
интерпретировать как иллюстрацию не только того, что компактные
подмножества тихоновских пространств в некотором отношении ведут
себя подобно точкам, но и того, что их свойства сходны со
свойствами замкнутых подмножеств нормальных пространств. Такое
сходство действительно имеет место. В частности, любую непрерывную
функцию, определённую на компактном подмножестве
тихоновского пространства, можно продолжить до непрерывной функции на
всём этом пространстве. Этот факт проще всего вывести из второй
замечательной теоремы Тихонова — теоремы о компактности
любого произведения компактных пространств.
§ 7.3. Теорема Тихонова о компактности произведений
Теорему Тихонова о компактности произведений обычно называют
просто теоремой Тихонова. Это одна из главных теорем не только общей
топологии, но и всей математики. Она находит применения в самых
разнообразных и неожиданных контекстах. Здесь мы ограничимся тем, что
докажем её равносильность аксиоме выбора.
То, что теорему Тихонова можно вывести из системы аксиом ZF и
аксиомы выбора (т. е. из ZFC), ясно из существования её доказательства — по
сути само это доказательство как раз и есть её вывод. Осталось показать,
как из системы ZF и теоремы Тихонова вывести аксиому выбора.

§7.3. Теорема Тихонова о компактности произведений 231
Напомним формулировку аксиомы выбора: для каждого семейства
{Ха: а е А} непустых множеств существует функция выбора, т. е.
отображение /: А-» (J Ха с тем свойством13, что /(а) еХа для всякого а еЛ.
Заметим, что всякая функция выбора — это просто элемент декартова
произведения J"] Ха, так что аксиома выбора равносильна утверждению, что
декартово произведение непустого семейства непустых множеств непусто.
Итак, пусть {Ха: а е А} — непустое семейство непустых множеств.
В каждом множестве Ха возьмём по точке ха; мы можем это сделать,
поскольку все множества Ха непусты (однако без аксиомы выбора мы не
можем утверждать, что все точки ха образуют множество). Возьмём
произвольную точку * и положим Ya =Xa U {*}. Снабдим каждое множество Υα
топологией &а = {0, Υα, Χα, {*}}. Каждое Υα с этой топологией
компактно. По теореме Тихонова произведение Υ\ Υα тоже компактно (причём
это произведение заведомо непусто, поскольку оно содержит, например,
отображение /: A->{jYa, принимающее постоянное значение * во всех
точках а). Для каждого а е А положим Fa = π~ι(Χα). По определению
топологии произведения все проекции πα непрерывны; значит, каждое
множество Fa замкнуто в ]~] Ya, будучи прообразом замкнутого в Υα мно-
жества Ха. Кроме того, семейство {Fa: аеЛ} центрировано.
Действительно, для любых а19..., ап G А пересечение Fa Г\ ...Π Fan содержит функцию
/: A—* [jYa, определённую правилом /(af) =xai для i ^ η и /(a) = * для
аф{а1з ...,ап}. Такая функция существует, поскольку аксиомы ZF
позволяют нам формировать конечные декартовы произведения (в частности,
Ах (U*aJ) и выделять в них подмножества, определённые конкретными
формулами.
Таким образом, {Fa: а € А} — центрированное семейство замкнутых
подмножеств пространства Y\ Ya. Поскольку это пространство компактно,
пересечение f] Fa непусто. Осталось заметить, что это пересечение совпа-
дает с произведением J~J Xa.
I Теорема Тихонова о компактности произведений. Топологи-
1 ческое произведение J~J Xa непустых пространств компактно то-
1 α(ΞΑ
I гда и только тогда, когда все Ха компактны.
Доказательство. Необходимость немедленно вытекает из
теоремы 7.7 и непрерывности всех канонических проекций Пр: Υ\Χα-*Χβ.
аеА
υ Формулировка, приведённая на с. 19, формально слабее этой, но на самом
деле обе формулировки равносильны, и из теоремы Тихонова мы выведем
именно это, формально более сильное, утверждение.

232
Глава 7. Компакты
Для доказательства достаточности воспользуемся критерием
компактности в терминах ультрафильтров (см. теорему 7.2). Пусть
YI Ха —топологическое произведение семейства компактных про-
аеА
странств и °11 —любой ультрафильтр на множестве \\ Ха. Нам нуж-
но показать, что °11 сходится к некоторой точке. Для каждого аеЛ
положим 9/α = {Υ <ζΧα: π'1 (Υ) е У/}. По предложению 3.24
семейство °иа является ультрафильтром на Ха, и, поскольку Ха
компактно, °иа сходится к некоторой точке ха еХа. Положим х= (ха)аел
и покажем, что °11 сходится к точке х. Пусть [/—любая окрестность
точки χ в \\ Ха. Она содержит каноническую окрестность J~J Va.
По определению канонической окрестности найдётся такое
конечное множество {аъ ..., а„}сЛ, что Va—Xa для a^{a1?..., ап}. Для
каждого ί ^ η ультрафильтр ^/а. сходится к ха., поэтому Va е 9/а.
и n~^(Va.) e °и. Из того, что пересечение конечного числа
элементов любого фильтра принадлежит этому фильтру (см. свойство ©
в определении фильтров на с. 98), вытекает, что
аеА ί^η
а из того, что вместе с каждым своим элементом всякий фильтр
содержит все большие множества (см. свойство ® в определении
фильтров) —что U € Щ. Мы показали, что любая окрестность
точки χ принадлежит ультрафильтру ^, а это и означает, что °и
сходится к х. D
По теореме 6.19 произведение любого семейства хаусдорфовых
пространств хаусдорфово, поэтому из теоремы Тихонова
немедленно вытекает такое утверждение (его называют также хаусдорфовой
версией теоремы Тихонова):
(Следствие 7.15. Произведение любого семейства компактов
является компактом.
С помощью теорем Тихонова мы с лёгкостью можем доказать
сформулированное выше утверждение о продолжении
непрерывных функций на компактах.
I Следствие 7.16. Пусть X — Т31-пространство и К —его компак-
I тное подмножество. Тогда
I а) у любой непрерывной функции f:K-+ [—1,1] имеется непре-
I рывное продолжение /: X—> [—1,1];

§ 7.4. Теорема Бэра о категории
233
16) у любой непрерывной функции f:K-*R имеется непрерывное
продолжение f: X —> Μ.
Доказательство. Используя теорему Тихонова о вложении в
тихоновский куб, вложим X в [0,1]к, где к = ш(х). По теореме
Тихонова о компактности произведений пространство [0,1]К компактно
и, следовательно, нормально. Поскольку К с X с [0,1]К и любой
компакт замкнут в любом объемлющем хаусдорфовом
пространстве по теореме 7.3, мы можем применить теорему Титце—Урысона
(см. с. 159), которая утверждает существование требуемых
продолжений функций не только на пространство X, но даже и на большее
пространство [0,1]к. D
Мы завершим наш краткий обзор общих свойств компактов
двумя классическими теоремами, которые, как и теорема Тихонова,
находят широкое применение в разных областях математики —
теоремой Бэра1} о категории и теоремой Вейерштрасса—Стоуна2).
§ 7.4. Теорема Бэра о категории
1 Теорема Бэра о категории. В любом компакте X пересечение
I G— p| Gr- любой последовательности (G^)^ всюду плотных от-
1 ign
I крытых множеств всюду плотно.
Доказательство. Предположим, что компакт X непуст (в
противном случае доказывать нечего). Возьмём любое непустое открытое
множество U с X. Поскольку Gx открыто и плотно, найдётся
непустое открытое множество иъ для которого U1(zUnG1
(достаточно взять любую точку jc e U Π Gl9 заметить, что UnG1 — окрестность
этой точки, и воспользоваться регулярностью компакта X). Затем
найдём непустое открытое множество U2, для которого U2 с иг П G2,
и т.д. В результате мы получим последовательность (£/π)π<ΕΝ
непустых открытых множеств с тем свойством, что LTn+1 с Un Π Gn+1 для
всех π€Ν. Очевидно, {Un: ηeN} — центрированное семейство. В
силу компактности пространства X пересечение f] Un непусто. С другой
стороны, по построению f] UnсUnG. Из произвольности непустого
открытого множества U следует, что множество G всюду плотно. D
υ Рене-JIyu Бэр (1874—1932) — французский математик, один из создателей
современной теории вещественных функций и дескриптивной теории множеств.
2) Маршалл Харви Стоун (1903—1989) — американский математик. Работал
в области математического анализа, функционального анализа, теории
булевых алгебр и математической физики (особенно квантовой механики).

234
Глава 7. Компакты
В литературе часто встречается двойственная формулировка
теоремы Бэра — в терминах нигде не плотных множеств.
I Теорема Бэра о категории7. В любом компакте дополнение до
объединения любой последовательности нигде не плотных
множеств всюду плотно.
Чтобы увидеть, что обе формулировки равносильны, достаточно
вспомнить, что множество Υ с X нигде не плотно тогда и только
тогда, когда открытое множество Χ\Υ всюду плотно (см. с. 88).
Теорема Бэра называется теоремой о категории в связи с
придуманным Бэром способом различать «большие» и «маленькие» (или,
в общепринятой терминологии, «тучные» и «тощие») множества
в топологическом пространстве. В классификации Бэра множества
первой категории (тощие множества) —это те множества, которые
можно представить в виде счётного объединения нигде не плотных
множеств; все прочие множества называются множествами второй
категории (тучными). Пространства, которые являются тощими
(тучными) множествами в себе, называют пространствами первой
(второй) категории. О пространстве, в котором всякое тощее
множество имеет пустую внутренность, говорят, что оно обладает
свойством Бэра, Отметим, что любое пространство со свойством Бэра
является пространством второй категории, но не наоборот:
примером служит подпространство Q U [0,1] вещественной прямой. -
В этой терминологии теорема Бэра звучит так:
1 Всякий компакт обладает свойством Бэра.
У нас будет возможность убедиться, что свойство Бэра бывает
полезным в самых неожиданных ситуациях, а сейчас сделаем несколько
замечаний о множествах первой и второй категории в R.
Прежде всего заметим, что прямая R — пространство со свойством
Бэра. (Действительно, если R= (J Nif где все Nt нигде не плотны в R, то
ieN
[o,i] = |jWn[o,i]),
ieN
причём, очевидно, все пересечения Nt Π [0,1] нигде не плотны в [0,1], а это
противоречит теореме Бэрах).)
Ясно, что дополнение R \ А до любого тощего множества А в R является
тучным множеством, — иначе пространство R = A U R \ А можно было бы
представить как объединение нигде не плотных подмножеств. Однако
дополнение до тучного множества вовсе не обязано быть тощим. (Ситуация
х) Компактность отрезка [0,1] известна из анализа; см. также пример 2 на
с. 241.

§ 7.4. Теорема Бэра о категории
235
здесь похожа на то, что происходит с нигде не плотными и всюду плотными
множествами, — дополнение до нигде не плотного множества всегда всюду
плотно, однако дополнение до всюду плотного множества нигде не плотно,
только если это множество содержит открытое всюду плотное множество.)
Дополнения до тощих множеств называются остаточными; всякое
остаточное множество является тучным, но не наоборот.
Построить плотное неостаточное множество второй категории в R
легко—годится тот же пример Qu [0,1]. Однако среди таких множеств
встречаются множества со столь удивительными свойствами, что трудно даже
поверить в их существование. Речь идёт о множествах Бернштейна. Так
называются множества В с R с тем свойством, что В и R \ В пересекают
все несчётные замкнутые подмножества прямой (или, что равносильно, все
несчётные компактные подмножества прямой).
Доказательство существования множеств Бернштейна в Ш основано на
двух наблюдениях.
Во-первых, число несчётных замкнутых подмножеств пространства R
равно 2*°. Действительно, каждое открытое подмножество пространства R
является объединением некоторого семейства элементов счётной базы &
топологии пространства R; значит, число открытых (а следовательно, и
замкнутых) множеств не превосходит мощности 2*° множества £?{£%) всех
подмножеств счётного множества 3. С другой стороны, R содержит 2*°
несчётных замкнутых подмножеств [—а, а], а > 0. Значит, R содержит
ровно 2*° несчётных замкнутых множеств.
Во-вторых, мощность любого несчётного замкнутого подмножества R
равна 2*°. Это утверждение доказывается не так просто, но оно тоже верно
(см. задачу 3 в) на с. 252).
I Теорема. Существует 2К° попарно непересекающихся множеств
Бернштейна.
Доказательство. Обозначим через & семейство всех несчётных
замкнутых подмножеств прямой. Пользуясь тем, что \& χ R| = 2*° · 2*° = 2*°,
заиндексируем все пары (F, х), где F е & и χ е R, ординалами а < 2*°:
& х R = {(F, х)а: а < 2*°}. Для каждого а < 2*° положим Fa равным
первому элементу пары (F, х)а, а ха — второму. В результате множество & χ R
окажется заиндексированным несколько непривычным образом:
^xR = {(Fa,xa): a<2*0}.
Заметим, что каждое множество F е & является первым элементом пар
(F, х) со всевозможными вторыми элементами и всем этим парам
присвоены разные индексы, поэтому для каждого Fe«f число индексов .а, для
которых F = Fa, равно 2*°.
Построим по трансфинитной рекурсии множество попарно различных
чисел {Ъа\ а < 2*°}. В качестве Ъ0 выберем любую точку из F0.
Предположим, что 0 < а < 2*° и для всех β < а точки Ъ$ уже выбраны. Множе-

236
Глава 7. Компакты
ство Fa \ {Ь^ : β < а} непусто, потому что |а| < 2К°, так как 2*° — кардинал
и а —ординал, меньший этого кардинала, а значит, мощность множества
{Ьр : β < а} меньше 2*°. Выберем в этом множестве любую точку Ьа.
Теперь для каждого числа χ е R положим
Вх = {Ьа: ха = х}.
Ясно, что если хфу, то ВхГ\Ву=0. С другой стороны, каковы бы ни были
хеШ и Fe&, найдётся а<2*°, для которого (F, х) = (Fa, xa), и по
построению ba€FanBx. Следовательно, любое множество Вх пересекает все
несчётные подмножества прямой, а значит, является множеством Бернштейна —
ведь его дополнение содержит объединение множеств Ву, уфх> каждое из
которых тоже пересекает все несчётные подмножества прямой. D
Очевидно, любое множество Бернштейна плотно в R (оно пересекает
все непустые отрезки, а значит, и все непустые открытые интервалы).
Осталось проверить, что всякое множество Бернштейна является
множеством второй категории, т. е. не является множеством первой категории.
Для этого достаточно показать, что каждое множество первой категории не
пересекается с некоторым несчётным замкнутым подмножеством прямой,
или, иными словами, что любое счётное пересечение плотных открытых
подмножеств прямой (каковым является дополнение до любого множества
первой категории) содержит несчётное замкнутое подмножество.
Пусть Un, η € N,—-плотные открытые подмножества пространства R,
и пусть U= f]Un. Пользуясь тем, что множество ϋλ открыто и плотно,
а пространство R регулярно, выберем два непустых открытых
интервала (а0, Ь0) и (а1? Ь2), замыкания которых не пересекаются и содержатся
в Ul3 и положим /0 = [а0, Ь0] и 1λ = [аъ bj. Затем, заметив, что
пересечения U2 Π IQ и U2 Π Ιλ открыты и плотны в /0 и Ιλ соответственно,
выберем непересекающиеся непустые неодноточечные отрезки /00,101 с U2 П /0
и Ιχο,Ιχι с U2 г\1г. Дальше будем действовать таким же образом: на п-м
шаге, имея попарно непересекающиеся непустые неодноточечные
отрезки Ii^.m.in Для всех наборов iii2...in нулей и единиц, мы впишем в
каждый из них по два непересекающихся непустых неодноточечных отрезка
4ii2...in0> Hii2...inl с ^π+1·
_ _
^00 ^01 МО Ml
*ооо *οοι ■'ою ■'он моо moi мio ■'in
Для каждого π € N положим Сп = (J Uili2...in: ij ξ {0,1} для j^n} (это
объединение всех отрезков, построенных на п-м шаге). Замкнутое
подпространство прямой С = р| Сп имеет мощность 2*°; тем более оно несчётно. В са-
n€N

§ 7.5. Теорема Вейерштрасса—Стоуна
237
мом деле, для каждой последовательности нулей и единиц (in)nGM € {0,1}М
отрезки /Ιιΐ2...ϊη, π€Ν, образуют центрированное семейство замкнутых
множеств в компакте /0 и/1? так что их пересечение f] Jfif . непусто. Кроме
π€Ν
того, для разных последовательностей (in)nGN эти пересечения не
пересекаются. Значит, \С\ ^ |{0,1}N| = 2*°. Осталось заметить, что С с U.
§ 7.5. Теорема Вейерштрасса—Стоуна
Переходим к теореме Вейерштрасса—Стоуна. Она позволяет
равномерно аппроксимировать непрерывные функции на
компактах «хорошими» функциями, например многочленами. Для неё нам
понадобится ещё одно определение и две леммы.
Мы будем рассматривать множества С(Х) и СЬ(Х) всех и всех
ограниченных непрерывных функций на топологическом
пространстве X. Заметим, что каждое из этих множеств является векторным
пространством над полем вещественных чисел относительно
поточечных операций сложения и умножения на число (для функций /
и g полагаем (/ + g)О) = /О) + gO) и (Я/)О) = Я · /О) для всех
х<ЕХ и ЯеМ), поэтому можно говорить о нормах на С(Х) и СЬ(Х).
Заметим также, что по теореме 7.10 для любого компактного
пространства X имеем С(Х) = СЬ(Х).
I Определение. Пусть X— топологическое пространство и СЬ(Х) —
I множество всех ограниченных непрерывных функций на X. Фор-
I мула H/II = sup I/O) | определяет норму на векторном простран-
I χ(ΞΧ
Ι стве СЬ(Х), которая называется sup-нормой. Топология, которая
I порождается соответствующей этой норме метрикой d(/,g) =
1 = II/ "~ &Н> называется топологией равномерной сходимости. По-
I следовательность функций на X, которая сходится в этой тополо-
I гии, называется равномерно сходящейся.
Очевидно, последовательность (/π)π€Ν ограниченных
непрерывных функций на пространстве X сходится к функции / в
топологии равномерной сходимости, т. е. равномерно сходится к /, тогда
и только тогда, когда для любого ε >0 найдётся такое NgN, что
I/O) - /пО)| < ε для всех χ е X и η > N (здесь важно, что N не
зависит от jc!)5 а отсюда уже нетрудно вывести тот хорошо известный
факт, что функция, являющаяся пределом равномерно сходящейся
последовательности ограниченных непрерывных функций,
ограничена и непрерывна.

238
Глава 7. Компакты
I Лемма 7.17. Существует последовательность (ρπ)π<ΕΝ
многочленов с вещественными коэффициентами, равномерно
сходящаяся к функции у/х на отрезке [О,1].
Доказательство. Многочлены рп можно определить, например,
рекурсивными формуламирг(х) = 0ирп+1 (х) = рпО) + ^ Ос - Рп00)
для η — 2, 3,... и jc e [0,1]. Легко показать по индукции, что
Рп 00 ^ Рп+100 ^ л/Зс
для всех neN и хе[0,1]. Значит, для каждого χ е [0,1]
последовательность (рп 00) п сходится, причём ИтрпО) = </х (так как
* = РпЧ*)-2(рп00-рп+100) и lim(pn(x)-pn+1(x)) = 0). Из
монотонности последовательности многочленов (рп)п следует, что она
сходится (к д/jc) не только в каждой точке, но и равномерно — иначе
для некоторого ε>0 убывающие множества Fn={x: </χ—ρη{χ)^ε}
образовывали бы центрированное семейство замкнутых
подмножеств отрезка [0,1] с пустым пересечением. D
В следующей лемме, так же как и в самой теореме Вейерштрас-
са—Стоуна, речь идёт о кольцах ограниченных непрерывных
функций на топологическом пространстве X, замкнутых в топологии
равномерной сходимости (как подмножества пространства СЬ(Х)).
Напомним, что кольцо R — это множество с двумя операциями,
+ (сложение) и χ (умножение); при этом R является абелевой
группой относительно сложения и полугруппой относительно
умножения, причём умножение дистрибутивно относительно сложения:
ах(Ь + с)=ахЬ + ахси(а + Ь)хс = ахс + Ьхс для всех a,b,cG R.
Под кольцом функций на X подразумевается множество функций
на X, которое является кольцом относительно операций
поточечного сложения и поточечного умножения функций, т. е. множество,
замкнутое относительно поточечного сложения, поточечного
умножения и перехода к противоположной функции (умножения на -1).
Ясно, что если кольцо функций R содержит все постоянные
функции и р—любой многочлен с вещественными коэффициентами,
то, какова бы ни была функция / из R, функция g, определённая
правилом g(x) = p(/00) для xgX, тоже принадлежит R.
Для любых ограниченных непрерывных функций / и g на
топологическом пространстве X функции / + g, f · g и -/ тоже
ограничены и непрерывны, поэтому любое кольцо функций, порождённое
(как кольцо) ограниченными непрерывными функциями, целиком
состоит из ограниченных непрерывных функций. Кроме того, по-

§ 7.5. Теорема Вейерштрасса—-Стоуна
239
скольку пространство СЬ(Х) с топологией равномерной сходимости
метризуемо (его топология порождается метрикой, определённой
sup-нормой), в силу теоремы 3.15 замкнутость кольца R с СЬ(Х)
в топологии равномерной сходимости означает, что предел любой
равномерно сходящейся последовательности функций из R
принадлежит R.
Лемма 7.18. Пусть кольцо R ограниченных непрерывных
функций на топологическом пространстве X содержит все
постоянные функции и замкнуто в топологии равномерной сходимости.
Тогда для любых f,gGR функции min(/, g) и max(/, g)
принадлежат R.
Доказательство. Поскольку
min(/,g) = i(/ + g-|/-g|) и max(/,g) = ±(/ + g + |/-g|),
достаточно показать, что если / G R, то |/| G R. Возьмём любую
функцию и число Μ > О, для которого I/O) | ^ Μ при всех χ е X (такое Μ
существует в силу ограниченности функции /). Имеем
для всех χ GX; кроме того,
|/| G R, потому что
Μ
hfM
Μ
^1
g R тогда и только тогда, когда
Μ Л = Μ'-^ и постоянная функция,
принимающая значение тт, принадлежит R по условию. Итак, достаточно
проверить, что если /gR и |/(jc)| ^ 1 для всех χ gX, to |/| g R.
По лемме 7.17 функция |/| = у/J* является пределом равномерно
сходящейся последовательности функций из R, а именно функций
/„(*)=Р„(Я*)2)· π
Теорема Вейерштрасса—Стоуна. Если кольцо R непрерывных
функций на компакте X содержит все постоянные функции,
разделяет точки и замкнуто в С(Х) = СЬ(Х) относительно
топологии равномерной сходимости, то R = C(X).
Доказательство. Нам нужно доказать, что к любой функции из
С(Х) равномерно сходится последовательность функций из R.
Пусть / G С(Х). Сейчас мы для всякого ε > О построим
функцию fe еЯ с тем свойством, что /(χ) - ε <fe(χ) < /(χ) + ε для всех
χ G X, — тогда последовательность (/i/n)nGN будет равномерно
сходиться к /.
Для каждой пары точек а,Ъ&Х, афЪ, выберем и зафиксируем
какую-нибудь функцию habGR со свойством hab(a)^hab(b) (это
возможно, поскольку по условию R разделяет точки). Для всякого

240
Глава 7. Компакты
xgX положим
ga,bW- Ка>ъ{Ъ)-Ка>ъ{аУ
Функция gab является произведением разности двух функций из R
(функции hab и постоянной функции со значением hab{a)) и
постоянной функции со значением τ—тгу^Т—Ту которая тоже
принадлежит R. Значит, gabgR. Кроме того, gab(a) = 0 и ga}b(b) = 1.
Теперь для xgX положим
fa,bM = (/(b)-/(a))gajb(jc)+/(a).
Имеем fa>bgR, /ab(a) = /(a) и fab(b) = /(b).
Для каждой пары разных точек а и Ь рассмотрим открытые
множества
Ua,b = {*· fa,bM < /U) + ε} и Va>b = {χ: fab{x) > /(χ) - ε}.
Они однозначно определены выбранными в начале построения
функциями ha}b, и каждое из них содержит точки α и Ь.
Зафиксируем точку Ь. Семейство {Uab: aGX} образует открытое покрытие
компакта X. Пусть {Ua.b: £ = 1,..., η} — его конечное подпокрытие.
В силу леммы 7.18 функция
fb = min(/aiJb, ...,/anJb)
принадлежит R; очевидно, fb(x) </О) + ε при всех xgX и fb(x)>
> f(x) - ε при xeVb = Vai>bn ...nvan>b.
Семейство {Vb :bGX} образует открытое покрытие компакта X.
Пусть {Vb.: £ = 1,..., к} — его конечное подпокрытие. Положим
/e = max(/bl,...,/bfc).
По построению f{x) — e<fe О) < /О) + ε для всех χ е X, и fe £R по
лемме 7.18. D
Следствие 7.19. Если Λ с Μ плотно в R, К — компакт и R с
с С СЮ — кольцо непрерывных функций на К, разделяющее точки
и содержащее все постоянные функции со значениями в А, то
к любой непрерывной функции на К равномерно сходится
последовательность функций из R. В частности, к любой непрерывной
функции на отрезке равномерно сходится последовательность
многочленов с рациональными коэффициентами.

§ 7.6. Примеры
241
Доказательство. Поскольку А плотно в R, к каждой постоянной
функции на К равномерно сходится последовательность
постоянных функций со значениями в А. Поэтому замыкание R кольца R
в пространстве С (К) с топологией равномерной сходимости
содержит все постоянные функции. Кроме того, R является кольцом.
Действительно, пространство С(Х) метризуемо (его топология
порождается метрикой, определённой sup-нормой), а значит,
удовлетворяет первой аксиоме счётности; поэтому по теореме 3.15 для
любых f,g^R найдутся такие последовательности (/n)nGN и (gn)nGN,
что /п, gn е R для η е N, (gn)nGN равномерно сходится к g и (/Π)Π€Ν
равномерно сходится к /. Ясно, что последовательность (/п -hgn)n(EN
равномерно сходится к / + g, (/п · gn)„eN — к / · g и (-/π)π€ν — к -/_.
Значит, f + g,f · g, —f £ ft, так что R является кольцом. Кольцо R
разделяет точки компакта К, потому что RdR, a R обладает этим
свойством. По теореме Вейерштрасса—Стоуна R — C(K), а по
теореме 3.15 это и означает, что к любой непрерывной функции на К
равномерно сходится последовательность функций из R. D
§7.6. Примеры
1. Всякое конечное пространство компактно.
2. Отрезок [а, Ь] с Ш компактен для любых a,bGR,a<b.
Действительно, пусть <%/ = {Ua: аеЛ}-открытое покрытие
отрезка [а, Ь]. Нам надо показать, что из °11 можно выбрать конечное
подпокрытие, т. е. [а, Ъ] содержится в объединении конечного числа
элементов У/. Положим
X = {х G (а, Ь]: отрезок [а, х] содержится
в объединении конечного числа элементов покрытия ^}.
Заметим, что Χ Φ 0. Действительно, точка α принадлежит
некоторому элементу ϋλ покрытия °и, и, поскольку ϋλ открыто, найдётся
ε > О, для которого [а, а 4- ε) с ΙΙλ, а значит, a -f-1 e X.
Положим c = supX; ясно, что с^Ь. Покажем, что сеХ. Точка с
содержится в некотором \]μ^αί/. Поскольку ϋμ открыто, найдётся
число δ > О, для которого (с — δ, с] с ί/μ, и по определению
точной верхней грани существует χ £ (с — δ, с] Π X. По построению
множества X имеем [а, х] с Uai U ... и ί/α для некоторых индексов
аь ..., ап£А; значит, [а, с] aUai U...UUan υί/μ, так что с£Х.

242
Глава 7. Компакты
Наконец, покажем, что с — Ь. Если с < Ь, то (с — у, с + у) с ί/μ для
некоторого у > 0. Имеем [а, с 4- 2 ] с ^ и · · ·и Uan и ^
следовательно, с+2^Х,а это противоречит тому, что c = supX. Значит, с = Ъ.
Мы показали, что Ъ £ X, т. е. весь отрезок [а, Ь] содержится
в объединении конечного числа элементов покрытия %, что и
требовалось.
2. Канторово множество С — подмножество отрезка [0,1],
которое получается по индукции удалением средних третей (без
концов) из всех имеющихся на данном шаге индуктивного построения
отрезков. Более подробно, мы полагаем С0 — [0,1] и на первом
шаге удаляем из отрезка [0,1] среднюю треть, т.е. интервал Г ^, 3 )·
Оставшееся множество (обозначим его Q) замкнуто и состоит из
двух отрезков: Сг — [0, ^ I и I д, 1 I. Из каждого из этих отрезков
удалим среднюю треть. Оставшееся множество С2 замкнуто и состоит
уже из четырёх отрезков:
с2 = [0,1]и[|,1]и[|,|]и[|л].
Продолжая этот процесс, мы получим убывающую
последовательность замкнутых множеств Сп с [0,1], причём для каждого π
множество Сп является объединением 2п отрезков и Сп+1 получается из
Сп удалением средних третей (без концов) из всех отрезков в этом
объединении. Семейство {Сп: η £ Ν} представляет собой
центрированное семейство замкнутых подмножеств компакта [0,1], поэтому
оно имеет непустое пересечение. Это пересечение и есть канторово
множество: С= f] Сп. Оно компактно, будучи замкнутым подмно-
жеством компакта [0,1].
Канторово множество обладает и многими другими
замечательными свойствами. Во-первых, это классический пример совершенного (т.е.
замкнутого и не содержащего изолированных точек) нигде не
плотного подмножества прямой. Во-вторых, как мы видели (см. задачу 13 на
с. 209), канторово множество гомеоморфно счётной степени
двухточечного дискретного пространства {0,1}. В-третьих, можно показать, что
всякий метризуемый компакт является непрерывным образом канторова
множества. В-четвёртых, канторово множество является универсальным
пространством для класса пространств, обладающих счётной базой из
открыто-замкнутых множеств, т. е. С принадлежит этому классу и любое
пространство из этого класса гомеоморфно вкладывается в С (см. задачу 14
на с. 209). На этом мы остановимся, хотя список можно продолжить.

§ 7.6. Примеры
243
4. Для η G N множество Хс1п компактно тогда и только тогда,
когда X замкнуто и ограничено относительно евклидовой метрики
dn; при этом подмножество А метрического пространства {M,d)
называется ограниченным (относительно метрики d), если оно
имеет конечный диаметр diamdA = sup{d(jt,у): χ,у € Л}. Заметим,
что ХсМ" ограничено относительно dn тогда и только тогда,
когда X содержится в шаре Bdn (О, R) для некоторого R > О (здесь
0= (0,0,..., 0) Gln). Действительно, из неравенства треугольника
следует, что, с одной стороны, diamBd (0, R) ^2R, а с другой —что
любое непустое ограниченное множество X содержится в Bd (0, R)
для R > dn(0,х0) + diamX, где х0—любая точка из X (а пустое
множество содержится в любом шаре).
Докажем сформулированное выше утверждение. Если
множество X с R" не замкнуто, то оно не может быть компактно по
теореме 7.3, а если X с R" не ограничено, то шары Bd(0, R) всевозможных
радиусов R > 0 образуют открытое покрытие множества X, из
которого нельзя выбрать конечное подпокрытие.
Осталось показать, что всякое замкнутое ограниченное
множество X с Rn компактно. Заметим, что любой шар Bd(0, R)
содержится в произведении отрезков [-R, R]n, поэтому X с [—R, R]n для
некоторого Я. Выше мы показали, что всякий отрезок компактен,
так что по теореме Тихонова произведение [—R, R]n компактно,
а потому компактно и X, будучи замкнутым подмножеством
компакта (см. теорему 7.4).
5. Все перечисленные выше компакты метризуемы и даже
обладают счётной базой. Простейший пример компакта произвольного
веса и характера можно построить так.
Пусть к:—любой кардинал, D — множество мощности к и * —
точка, не принадлежащая D. Положим A(fc) = DU{*}. Снабдим
А (к) топологией, в которой все точки множества D изолированы,
а окрестностями точки * служат дополнения до конечных
подмножеств D, т.е. всевозможные множества вида {*}UD \ F, где F —
конечное подмножество множества D. Компактность пространства
А (к) очевидна. Ясно также, что пространство А(К0) гомеоморфно
обычной сходящейся последовательности^ {0} и {1/п: π е N} с R.
х) Понятно, что здесь снова под сходящейся последовательностью
имеется в виду топологическое пространство, а не настоящая последовательность
(см. сноску на с. 170).

244 Глава 7. Компакты
Пространство А (к) для произвольного кардинала к иногда
называют суперпоследователъностъю Александрова. Очевидно, для любого
бесконечного к имеем ш(А(к)) = х(А(к))=с1(А(к))=с(А(к)) = к.
6. Из компактности отрезка по теореме Тихонова следует
компактность любого тихоновского куба, в частности гильбертова куба
(равно как и кирпича). Как и суперпоследовательность А (к),
тихоновский куб [0,1]К является примером компакта веса и
характера к, однако куб [0,1]К обладает свойством Суслина для любого к
(по следствию 6.22), а для к ^ 2К° он ещё и сепарабелен (по теореме
Хьюитта—Марчевского—Пондицери).
7. Примеры компактов с «плохими» свойствами нельзя
получать из имеющихся «простых» пространств путём усиления
топологии (добавления открытых множеств), как, например, плоскость
Немыцкого, потому что согласно следствию 7.9 топологию
компакта нельзя ослабить; иными словами, топология, которая строго
сильнее некоторой другой хаусдорфовой топологии, не может быть
топологией компактного пространства. Однако существуют другие
методы получения «плохих» компактов из «хороших». Один из них —
удвоение по Александрову. Мы продемонстрируем его на примере
окружности с топологией, индуцированной из евклидовой
плоскости (она компактна, будучи замкнутым ограниченным
подмножеством плоскости).
Рассмотрим две окружности
Q = {(х,у) G R2: х2+у2 - i}, i = 1,2.
Положим X = Сг U С2. Пусть ρ: Сг —> С2 — отображение
проектирования окружности Сг на окружность С2 из точки (0,0). Мы
определим топологию на множестве X с помощью системы окрестностей
{^(х):х€Д Для точки jc е Сг и натурального числа π обозначим

§ 7.6. Примеры
245
через VnM дугу окружности Сг длины 1/п с серединой в точке χ
и положим
i/n(jc)-yn(jc)Up(Vn(x)\{jc}).
Множества вида Un(x) составляют базу окрестностей точек χ из Q,
а все точки из С2 изолированы: для х^Сг полагаем М{х) = {[/п(х):
пеЩ, а для χgC2 — 3&(x) = {{x}}.
Легко проверить, что семейство {^(jc): xGX} удовлетворяет
аксиомам (D-d) из определения системы открытых окрестностей
(см. определение 2 на с. 51) и потому порождает некоторую
топологию на X; ясно также, что эта топология хаусдорфова. В дальнейшем
под X мы будем подразумевать множество X с этой топологией.
Топологическое пространство X называется двойной
окружностью Александрова. Подпространство Сг <z X — это окружность
с обычной (индуцированной из евклидовой плоскости) топологией.
Подпространство С2 с X является дискретным подпространством X
мощности 2К°; оно открыто и плотно в X.
Покажем, что пространство X компактно. Пусть {Ua: аеЛ} —
какое-нибудь открытое покрытие пространства X. В силу
предложения 7.1 без ограничения общности можно считать, что
множества Ua являются элементами определённой выше системы
окрестностей. Поскольку подпространство Сг (обычная окружность)
компактно, найдётся конечное множество индексов {аъ ..., ак} с А, для
которого Сг с Ua U... U Uak. Если мы отбросим одноточечные
множества Ua. (базисные окрестности точек из С2), включение будет
по-прежнему выполняться. Значит, можно считать, что Ua. = Un. (х>),
где щ е N и xt е Съ для всех ί ^ к. По определению окрестностей
Un (jcj) имеем
Х\{рЦхг),...,рШУ ^ UaiU...UUak.
Для каждого ί ^ к выберем элемент покрытия Up. e У/, содержащий
точку p(jCf). Семейство {Ua.: ί ^ к} и {ϋβ.: ί ^ к} является конечным
подпокрытием покрытия °11.
Очевидно, двойная окружность Александрова удовлетворяет
первой аксиоме счётности, но не удовлетворяет второй — она не сепа-
рабельна (и даже не удовлетворяет условию Суслина), поскольку
содержит открытое дискретное подпространство С2.
8. Важнейший пример компакта — пространство
Wi = {α: α ^ ωλ}

246
Глава 7. Компакты
всех не более чем счётных ординалов вместе с первым несчётным,
снабжённое порядковой топологией. Докажем, что Wi компактно^.
Пусть °11 — {UL: ι е/} — открытое покрытие пространства У/г
(отметим, что здесь мы обозначаем индексы буквой ι, а не α, а букву а
резервируем для ординалов). Рассмотрим множество А всех а ^ ωΐ9
для которых замкнутый интервал [0, а] содержится в объединении
конечного числа элементов покрытия У/. Нам надо показать, что
множество W-j \ А пусто. Предположим, что Wi \ А непусто, и
обозначим через а0 наименьший элемент этого множества. Существует
б0 GI, для которого а0 € U1q. Ясно, что О < а0 (так как 0 € Л).
Значит, найдётся β < α0, для которого (/3, α0] с ULq. По определению
ординала а0 имеем β € А, а из определения множества А
следует, что [0, β] с UL U ... U ULk для некоторых ьъ ..., ik e I. Поэтому
[О, а0] с ί/ и LTt и ... и ULk, что противоречит определению
ординала а0. Таким образом, \¥г \Л = 0, что и требовалось.
Рассмотрим теперь подпространство W^ = {α: α < ωλ}
пространства \¥г. Оно не может быть компактным, поскольку
вкладывается в качестве незамкнутого подмножества в хаусдорфово
пространство Υ/Ύ {ωΎ является его предельной точкой). Тем не
менее всякое бесконечное множество А с W^ имеет предельную
точку в W® (см. решение задачи 4в) на с. 176), т.е. все замкнутые
дискретные множества в W^ конечны. Это означает, что условие,
сформулированное в теореме 7.6, лишь необходимо, но не
достаточно для компактности.
Кроме того, всякая непрерывная функция на W^
ограничена. Действительно, предположим, что /: W^ —> Ш — непрерывная
неограниченная функция, т.е. f принимает сколь угодно большие
положительные или сколь угодно малые отрицательные значения.
Пусть для определённости / принимает сколь угодно большие
значения. Определим по индукции множество X = {хг, х2,...} в /(W^)
следующим образом: возьмём любое число хг е/(И^0); считая, что
хп уже определено, выберем в /(W^) точку хп+1 > хп + 2.
В прообразе /_1 (хп) каждой точки хп € X выберем точку ап и
положим А = {ап: η G Ν} с W^; ясно, что множество А бесконечно.
Всякая точка a G W® имеет открытую окрестность
/~4(/(α)-1,/(α) + 1)),
2) Одно из доказательств этого факта можно найти в решении задачи 4 а) на
с. 174. Здесь мы предлагаем немного другое доказательство.

§ 7.7. Компактность в классе метризуемых пространств 247
которая содержит не более одной точки из А. Следовательно,
бесконечное множество А с W^0 не имеет точек накопления, а значит,
и предельных точек в И^0, а таких множеств не существует. Отсюда
вытекает, что и неограниченных непрерывных функций на И^0 не
существует. Таким образом, условие, сформулированное в
теореме 7.10 (ограниченность непрерывных функций), тоже лишь
необходимо, но не достаточно для компактности.
Пространства И^ и И^0 обладают и другими замечательными
свойствами, и мы будем неоднократно к ним возвращаться.
§ 7.7. Компактность в классе метризуемых пространств
В общем случае компактность не накладывает ограничений
на кардинальные инварианты (по крайней мере на те, что мы
успели изучить) — компакт может иметь произвольные мощность,
вес, характер, плотность и число Суслина (см. пример 5). Однако
в классе метризуемых пространств все компакты удовлетворяют
второй аксиоме счётности, а значит, все они удовлетворяют первой
аксиоме счётности, сепарабельны и обладают свойством Суслина
(и мощность метризуемых компактов не превосходит континуума —
см. задачу 12 на с. 171).
(Теорема 7.20. Всякий метризуемый компакт удовлетворяет
второй аксиоме счётности.
Эту теорему легко доказать непосредственно, но мы выведем её
из следующей леммы, которая пригодится нам в дальнейшем.
I Лемма 7.21. Если в метризуемом пространстве всякое
замкнутое дискретное множество не более чем счётно, то это
пространство обладает свойством Суслина.
Доказательство. Предположим, что X — пространство,
топология которого порождается некоторой метрикой d, и ul/—{Ua: аеА} —
несчётное семейство попарно непересекающихся непустых
открытых множеств в X. Каждое множество Ua содержит некоторый шар
Bdiха> цг\ где ха ^х и па е ^. Поскольку семейство °11 несчётно,
а множество натуральных чисел счётно, найдутся η е N и
несчётное множество А'сЛс тем свойством, что па = п для всех ае А'.
Заметим, что окрестность В Ах, -) любой точки xsX содержит
не больше одного элемента множества Υ = {ха: а е А'},
поскольку ха &Bd(x, я J тогда и только тогда, когда x€Bd[xa, -J, причём

248
Глава 7. Компакты
п — па для аеЛ7 и семейство {£Д*а> ТГ) ' ае^| дизъюнктно, так
как каждый его элемент содержится в некотором элементе
дизъюнктного семейства °М. Следовательно, несчётное множество Υ
замкнуто и дискретно, что противоречит предположению. Значит,
семейство % существовать не может. D
Доказательство теоремы 7.20. В силу предложения 3.12
достаточно показать, что любой метризуемый компакт обладает
свойством Суслина, а это вытекает из доказанной выше леммы и того,
что в силу следствия 7.5 замкнутое дискретное множество в
компактном пространстве не может быть бесконечным и тем более
несчётным. D
Мы видели (см. пример 8), что бывают некомпактные
пространства, в которых всякое бесконечное подмножество имеет
предельную точку и на которых все непрерывные функции ограничены.
Однако в классе метризуемых пространств компактность равносильна
каждому из этих условий.
I Теорема 7.22. Для метризуемого пространства X следующие
условия равносильны:
φ Χ компактно;
© любая непрерывная функция на X ограничена;
® любое бесконечное множество в X имеет предельную точку;
® любая последовательность точек пространства X содержит
сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство. Пусть X — метризуемое пространство, и пусть
d — какая-нибудь метрика, порождающая его топологию. Мы будем
доказывать теорему по схеме ф=>@=>@=>@=>©=>ф.
Импликация φ => © следует из теоремы 7.10.
Покажем, что © => ©. Пусть Υ — бесконечное подмножество
пространства X без предельных точек. Тогда Υ замкнуто (ведь его
замыкание получается добавлением к нему его предельных точек)
и дискретно (все точки любого пространства делятся на
изолированные и предельные; у Υ нет предельных точек, так что все точки
у еУ изолированы в У). Значит, всякое отображение из Υ с
индуцированной топологией в любое топологическое пространство
непрерывно. Поскольку Υ бесконечно, существует неограниченная
функция /: Υ —> R (достаточно выбрать попарно различные
точки yn^Y, η е Ν, и положить /(уп) = η для всех пеМи /(у) = 0
для y&Y\{yn: ηеΝ}). Пространство X нормально, будучи метри-

§ 7.7. Компактность в классе метризуемых пространств 249
зуемым. По теореме Титце—Урысона функция / продолжается до
непрерывной функции / на X. Очевидно, функция / неограничена.
Докажем импликацию ®=>®. Пусть (xn)GN—любая
последовательность точек пространства X. Если множество {хп: η е Ν}
значений этой последовательности конечно, то она содержит
постоянную подпоследовательность, которая, очевидно, сходится.
Предположим, что множество значений последовательности (хп)
бесконечно. Пусть χ — предельная точка этого множества. Тогда 1-окрест-
ность точки χ содержит бесконечно много точек хп. Выберем какую-
нибудь из них. Пусть это точка xki. В ~ -окрестности точки х,
которая тоже содержит бесконечно много точек хп, выберем точку хк2
с номером к2>кг. Продолжая в том же духе, мы получим
подпоследовательность Ofcn)neN последовательности Οπ)π<ΕΝ с тем свойством,
что d{xkn, х) <л для каждого п. Ясно, что хкп п_^00> х.
Обратная импликация ® => ® очевидна—любое бесконечное
множество содержит счётное множество, а точки счётного
множества можно занумеровать натуральными числами, так что
получится последовательность. Предел любой сходящейся
подпоследовательности этой последовательности будет предельной точкой
данного бесконечного множества.
Наконец, докажем, что ® => ф. Предположим, что X
удовлетворяет условию ©; это означает, что X не содержит бесконечных
замкнутых дискретных подпространств, а значит, обладает свойством
Суслина (по лемме 7.21) и счётной базой (по предложению 3.12).
Мы приведём к противоречию существование открытого
покрытия У/ пространства X, не содержащего конечного подпокрытия.
В силу предложения 7.1 мы можем считать, что семейство %
состоит из элементов счётной базы топологии X и само счётно. Пусть
^ = {jjn: η е Ν}. Для каждого tigN положим Fn = X \ Un; сразу
же отметим, что все множества Fn замкнуты. Множество Fx
непусто (иначе {иг} — конечное подпокрытие покрытия <20; выберем
в нём какую-нибудь точку хг. Множество F1C\F2 тоже непусто
(иначе {\]ъ U2} — конечное подпокрытие покрытия <20; выберем
точку х2 gF-l n F2. Продолжая в том же духе, мы получим
последовательность (xn)nGN точек X с тем свойством, что для всякого η е N
множество Fn содержит все хк с номерами к^ п. Поскольку
пространство X удовлетворяет условию ®, оно удовлетворяет и
условию ®. Пусть х —предел подпоследовательности (хкп)пеп последо-

250
Глава 7. Компакты
вательности 0cn)neN· Возьмём любое π € N и найдём meN, для
которого кт ^ п. По построению все члены последовательности (хкт )iGN
принадлежат множеству Fn. Кроме того, хкт+. —->х. Значит, x^Fn
по теореме 3.15. Таким образом, xGf]{Fn: /igN}; следовательно,
χ φ |J{Un: η G Ν}, т. е. У/ не является покрытием. D
Замечание 7.23. В связи со свойством ® отметим, что бывают
бесконечные компакты, не содержащие ни одной нетривиальной
сходящейся последовательности.
Скажем, что метрическое пространство [X, d) компактно, если
топологическое пространство [X, 5^), где &ά — топология, порождённая
метрикой d, компактно. Компактность метрических пространств можно
охарактеризовать в терминах сугубо метрических (не топологических) понятий —
ε-сетей, последовательностей Коши13 и полноты.
Напомним, что множество Ε с X в метрическом пространстве {X, d)
называется ε-сетъю, если для любой точки χ е X найдётся точка у е Е,
удалённая от χ не более чем на ε. Иными словами, Ε — ε-сеть, если семейство
замкнутых шаров {Bd (χ, ε): χ e Ε} покрывает X. Метрическое пространство
(X, d) называется вполне ограниченным, если для любого ε > 0 в X
найдётся конечная ε-сеть, т.е. если для любого ε > 0 покрытие {Βά{χ, ε): χ е.Χ}
содержит конечное подпокрытие. Ясно, что это условие равносильно тому,
что для любого ε > 0 открытое покрытие {Bd (χ, ε): χ еХ} содержит
конечное подпокрытие.
Последовательность (χπ)π€Ν точек метрического пространства {X, d)
называется последовательностью Коти или фундаментальной
последовательностью, если для всякого ε > 0 существует такое N е Ν, что d [хп, хт) < ε
для любых n,m^N.
Предложение 7.24. Метрическое пространство {X, d) вполне
ограничено тогда и только тогда, когда всякая последовательность в X содержит
подпоследовательность Коши.
Доказательство. Необходимость. Пусть (χπ)π€Ν —последовательность
в X. Пользуясь тем, что X вполне ограничено, покроем X конечным числом
шаров радиуса 1 (неважно, открытых или замкнутых). Хотя бы один из
них содержит подпоследовательность (xkn)neN последовательности (λ:π)π€Ν.
Для удобства обозначений положим х^ = хкп для π е N (аналогичными
обозначениями будем пользоваться и ниже). Покроем X конечным числом
шаров радиуса 1/2 и найдём подпоследовательность (х£2)) последователь-
1} Огюапён Луи. Коши (1789—1857) —французский математик и механик.
Разработал фундамент математического анализа, внёс огромный вклад в самые
разные области математики и механики. Его имя внесено в список величайших
учёных Франции, помещённый на первом этаже Эйфелевой башни.

§ 7.7. Компактность в классе метризуемых пространств 251
ности (Λτίυ), содержащуюся в одном из этих шаров. Продолжая этот
процесс, на (к + 1)-м шаге получим подпоследовательность (χ^+1))
последовательности (xifc)), содержащуюся в шаре радиуса 1/к. Легко видеть, что
диагональная последовательность (уп), где уп = х^п) для π е N, является
последовательностью Коши, поскольку для каждого к € N все её члены,
начиная с к-то, содержатся в шаре радиуса 1/к.
Достаточность. Предположим, что пространство (X, <2) не является
вполне ограниченным, т. е. для некоторого ε > О любая ε-сеть в X
бесконечна. Возьмём произвольную точку хг еХ. Поскольку множество {хг}
конечно, оно не является ε-сетью; значит, найдётся х2 е X, для которого
ά{χ2,*ι) > ε- Множество {хг,х2} тоже не является ε-сетью, поэтому для
некоторого х3 €Х имеем d{x2>,xl)> ε и d(x3, х2) > ε. Продолжая этот
процесс, получим последовательность (хп) с тем свойством, что d(xh х;) > ε для
всех ί φ j. Ясно, что она не содержит подпоследовательностей Коши. D
Очевидно, всякий метрический компакт вполне ограничен, однако не
всякое вполне ограниченное пространство компактно — достаточно
рассмотреть обычный интервал (0,1). Для компактности нужно, чтобы все
последовательности (в частности, все последовательности Коши)
содержали сходящиеся подпоследовательности (см. теорему 7.22), а
последовательность Коши содержит сходящуюся подпоследовательность тогда и только
тогда, когда она сама сходится, — это сразу вытекает из определения
последовательности Коши. Иными словами, вполне ограниченное пространство
компактно тогда и только тогда, когда всякая последовательность Коши
в этом пространстве сходится. Это свойство метрических пространств
(сходимость всех фундаментальных последовательностей) называется
полнотой; метрические пространства с этим свойством называются полными
метрическими пространствами, а их метрики — полными метриками.
Таким образом, верна следующая теорема.
I Теорема 7.25. Метрическое пространство компактно тогда и только
тогда, когда оно вполне ограничено и полно.
Как уже отмечалось, ни полнота, ни свойство быть вполне
ограниченным пространством не являются топологическими свойствами,
поскольку они зависят от конкретной метрики. Например, пространство (R, d)
с обычной метрикой d(x, у) = \х — у\ полно1}, но не вполне ограничено,
тогда как пространство (R, р) с метрикой р(х, у) = |arctgx — arctgyl (она
порождает ту же самую обычную топологию) вполне ограничено, но не
полно. Более того, можно доказать, что метризуемое пространство X се-
парабельно тогда и только тогда, когда среди метрик, порождающих его
топологию, найдётся метрика d, относительно которой пространство {X, d)
вполне ограничено. Понятие фундаментальной последовательности тоже
зависит от метрики — например, составленная из натуральных чисел после-
1} Это следствие известной из анализа теоремы Больцано—Вейерштрасса.

252
Глава 7. Компакты
довательность в R фундаментальна относительно метрики р, но не
фундаментальна относительно обычной метрики d.
Понятия последовательности Коши и полноты можно обобщить на
произвольные тихоновские топологические пространства, причём
теорема о компактности вполне ограниченных полных пространств останется
верной. Фильтр & на тихоновском пространстве X называется фильтром
Коши, если каковы бы ни были непрерывная псевдометрика13 ρ на X и
число ε > О, фильтр & содержит элемент диаметра2) меньше ε относительно
псевдометрики р. Пространство X называется полным по Дъёдонне3), если
всякий фильтр Коши в этом пространстве сходится. Можно определить
и вполне ограниченные тихоновские пространства —это пространства,
в которых для любой непрерывной псевдометрики ρ и любого числа ε > О
найдётся конечная ε-сеть относительно ρ (правда, чаще вполне
ограниченные пространства определяют эквивалентным образом как пространства
с компактным пополнением, но здесь мы не будем обсуждать пополнения).
Задачи
1. Приведите пример нехаусдорфова компактного
^-пространства.
2. а) Докажите, что регулярное пространство компактно, если
и только если оно замкнуто в любом хаусдорфовом пространстве,
содержащем его в качестве подпространства.
б) Докажите, что регулярное пространство компактно, если и
только если любое взаимно однозначное непрерывное отображение
этого пространства на произвольное хаусдорфово пространство
является гомеоморфизмом.
3. а) Точка χ топологического пространства X называется
точкой полного накопления множества Υ с X, если для любой её
окрестности U имеет место равенство \UC\Y\ = \Υ|. Докажите, что
топологическое пространство X компактно тогда и только тогда, когда
каждое бесконечное множество в X имеет точку полного накопления.
б) Докажите, что мощность любого несчётного компакта К с Ш
равна 2К°.
в) Заметьте, что из пункта б) вытекает, что мощность всякого
несчётного замкнутого подмножества прямой равна 2К°.
υ См. с. 50 и 162.
2) См. пример 4 на с. 243.
3) Жан Александр Эжен Дъёдоннё (1906—1992) — французский математик, один
из основателей группы «Бурбаки».

Задачи
253
4. Докажите теорему Александера о предбазе: топологическое
пространство X с предбазой ^ компактно тогда и только тогда,
когда любое открытое покрытие X элементами предбазы % содержит
конечное подпокрытие.
5. Семейство Jf подмножеств топологического пространства X
называется сетъюР этого пространства, если для каждой точки
xgX и каждой окрестности U точки χ найдётся N g Jf, для
которого χ g N с U. Определение сети отличается от определения
базы лишь тем, что элементы сети не обязаны быть открытыми
(таким образом, всякая база является сетью). Сетевой вес nw(X)
пространства X определяется, по аналогии с весом, как
наименьшая мощность сети в X.
а) Докажите, что для всякого хаусдорфова пространства X
существует непрерывное взаимно однозначное отображение этого
пространства на хаусдорфово пространство Υ со свойством w(Y) ^
^пш(Х).
б) Заметьте, что для любого компакта X имеет место равенство
ш(Х)=пш(Х).
в) Покажите, что всякий компакт имеет базу, мощность которой
не превосходит мощности этого компакта.
6. а) Верно ли, что вес компактов не увеличивается при
непрерывных отображениях, т. е. ш(/(Х)) ^ ш(Х) для любого
непрерывного отображения /: X —> Y, где X — компакт?
б) Верно ли, что характер компактов не увеличивается при
непрерывных отображениях?
7. Докажите, что всякий метризуемый компакт является
непрерывным образом канторова множества.
8. Докажите, что компактное подмножество К вполне
регулярного пространства X имеет тип G5 (является пересечением
счётного числа открытых множеств) тогда и только тогда, когда К
функционально замкнуто, т.е. К = /~г({0}) для некоторой непрерывной
функции f:X-*R (ср. с задачей 8а) на с. 170).
9. Заметьте, что плоскость Тихонова2) компактна и, значит,
нормальна, но не наследственно нормальна.
Понятие сети не следует путать с понятием ε-сети!
См. задачу 4 на с. 169.

254
Глава 7. Компакты
10. Покажите, что двойная окружность Александрова υ
наследственно нормальна, но не совершенно нормальна (см. задачу 9 б)
на с. 171).
11. Заметьте, что тихоновское произведение [0,1][0,1], т.е.
пространство всех функций /: [0,1] —> [0,1] с тихоновской топологией,
не удовлетворяет первой аксиоме счётности. Докажите, что
множество всех неубывающих функций /: [0,1] —> [0,1] с топологией,
индуцированной из тихоновского произведения [0,1][0'1],
является неметризуемым сепарабельным компактом с первой аксиомой
счётности.
12. Докажите теорему Бэра о категории для полных
метрических пространств: в любом полном метрическом пространстве
(X, d) пересечение G=f]Gi любой последовательности (G^)^ всю-
ду плотных открытых множеств всюду плотно.
13. а) Докажите, что топологическое произведение Y\ Xn мет-
rieN
ризуемо полной метрикой (т. е. его топология порождается
некоторой полной метрикой) тогда и только тогда, когда каждый
сомножитель метризуем полной метрикой.
б) Покажите, что пространство Ρ метризуемо полной метрикой
(а значит, обладает свойством Бэра).
в) Укажите явно полную метрику на Р.
г) Покажите, что топология пространства Q рациональных
чисел не порождается никакой полной метрикой.
д) Гомеоморфны ли пространства Ρ и Рк°? Q и QK°? P и QK°?
14. Докажите лемму Лебега: для каждого открытого покрытия °11
метрического компакта (X, d) существует число Лебега, т. е. такое
положительное число Я, что покрытие {Bd (jc, Я): χ е X} вписано2)
в Щ.
15. а) Докажите, что всякая непрерывная функция на
компактном пространстве принимает свои минимальное и максимальное
значения.
б) Докажите, что в метрическом пространстве расстояние
между любыми непересекающимися компактным и замкнутым
множествами положительно.
См. пример 7 на с. 244.
См. определение на с. 224.

Подсказки и решения
255
16. Докажите, что пространство X компактно тогда и только
тогда, когда экспоненциальное пространство^ ехрХ компактно.
17. Докажите, что если X — компакт и его топология порождена
некоторой метрикой d, то топология, порождённая метрикой Хау-
сдорфа2) dH на ехрХ, совпадает с топологией Вьеториса.
18. а) Докажите, что линейно упорядоченное пространство X
с порядковой топологией компактно тогда и только тогда, когда для
всякого непустого множества Υ <ζΧ существуют inf Y и sup У.
б) Докажите, что квадрат [0,1] χ [0,1] с топологией
лексикографического порядка компактен.
19. а) Докажите, что всякий симметризуемый3) компакт метри-
зуем.
б) Докажите, что всякий квазиметризуемый4) компакт метри-
зуем.
20. Топологическое пространство X называется однородным,
если для любых точек х, у еX существует гомеоморфизм f:X—>X
такой, что /(jc) = y.
а) Верно ли, что любой компакт является непрерывным
образом однородного компакта?
б) Верно ли, что любой бесконечный однородный компакт
содержит нетривиальную сходящуюся последовательность?
Подсказки и решения
1. Вещественная прямая с топологией Зарисского.
2. а) Для доказательства импликации «<=» возьмите открытое
покрытие °11 некомпактного регулярного пространства X, которое
не содержит конечного подпокрытия, а затем для каждой точки
XGX выберите содержащий её элемент покрытия Ux G У/ и
найдите открытую окрестность Vx со свойством Vx с Ux. Добавьте к X
новую точку * φ Χ и объявите базой её окрестностей все
дополнения в X U {*} до конечных объединений VXi U ... U VXn, а
окрестности точек xgX оставьте прежними. Получившееся в результате
пространство Υ = X и {*} хаусдорфово (у каждой точки χ G X есть
13 См. с. 206.
2) См. с. 206.
3) См. задачу 14 на с. 74.
4) См. задачу 14 на с. 74.

256
Глава 7. Компакты
окрестность Vx, которая не пересекается с окрестностью Υ \ {Vx}
точки *) и содержит X в качестве подпространства, причём X не
замкнуто в Y, так как * является его предельной точкой: если у
точки * есть какая-то окрестность, не пересекающая X, то есть и
базисная окрестность Υ \ (VXi U ... U VXn) с тем же свойством, а тогда
V^ U ... U VXn — X и, значит, {UXi,..., [7^} —конечное подпокрытие
покрытия У/.
Ту же конструкцию можно было бы осуществить с помощью
ультрафильтра, а не покрытия. Если ^ — ультрафильтр на X, который
не сходится ни к какой точке, то, добавив к X точку * и объявив
базой её окрестностей все множества вида {*} и U, где U — открытый
в X элемент ультрафильтра ^, мы снова получили бы хаусдорфово
пространство X и {*}, содержащее X в качестве незамкнутого
подпространства.
б) Для доказательства импликации «<=» снова рассмотрите
открытое покрытие Щ некомпактного регулярного пространства X,
которое не содержит конечного подпокрытия, для каждой точки
χ G X выберите содержащий её элемент покрытия [/хе^и найдите
открытую окрестность Vx со свойством Vx с Ux. Затем выберите
в X произвольную точку х0 G X и ослабьте топологию
пространства X, объявив новой базой окрестностей выбранной точки все
множества вида U U X \ (VXi U... U Vx ), где U — произвольная
окрестность точки х0 в х> и оставив прежними окрестности точек xgX,
χ φ jc0. Получившееся в результате пространство Ζ (то же самое
множество X, но с новой топологией) хаусдорфово: если хфх0, то
у точек х0 и χ есть непересекающиеся окрестности ί/иУв старой
топологии и множества UuX\VxnVnVx являются их
непересекающимися окрестностями в новой топологии. Кроме того, топология
пространства Ζ строго слабее топологии пространства X: если бы
множество UXq e ^, которое является окрестностью точки х0 в X,
оставалось окрестностью этой точки и в Ζ, то мы могли бы найти
базисную окрестность UuX\(VXiU...UVXn)<zUXo, и тогда семейство
{Ux ,UXi,..., Ux} являлось бы конечным подпокрытием покрытия %.
Таким образом, топология пространства Ζ строго слабее
топологии пространства X, так что тождественное отображение idx: X —> Ζ
является непрерывной биекцией, но не гомеоморфизмом.
По сути описанная выше конструкция сводится к тому, что мы
взяли пространство Υ, построенное в пункте а), выбрали точку
х0 GX и стянули в точку (см. с. 186) множество {*, х0} в простран-

Подсказки и решения
257
стве Y. Все элементы получившегося факторпространства (классы
эквивалентности), кроме одного, одноточечны — это просто точки
пространстваX (точнее, {χ} = [χ] дляχ е Χ, χ ^ χ0), аединственный
неодноточечный класс —это {*, х0} = [х0], так что сужение
факторного отображения (стягивания) на X — непрерывная биекция.
По существу факторпространство — это и есть построенное нами
пространство Z.
3. а) Пусть X компактно, и пусть Υ с X. Предположим, что
у любой точки χ g X имеется открытая окрестность Ux, для
которой \UX Π У| < \Υ\. Выберем конечное подпокрытие {Ux , ...,UX}
из покрытия {Ux: χ G X}. Имеем Υ — UXi Π Υ U ... U UXn Π 7. Значит,
1^1 ^ Σ \Uxt n Υ\> так что множество Υ не может быть бесконечным
(см. задачу бе) на с.44).
Предположим теперь, что у любого бесконечного множества
Υ с X имеется точка полного накопления, и покажем, что X
компактно. Допустим, что X не компактно, и положим
к = min{|^|: °и — открытое покрытие X,
не имеющее конечного подпокрытия}.
Пусть °11 — {Ua: а < к:} —открытое покрытие X, не имеющее
конечного подпокрытия. Заметим, что °11 не имеет также
подпокрытий мощности меньше к, иначе из °11 можно было бы выделить
конечное подпокрытие (по определению кардинала к). Для каждого
а < к положим Va= (J ϋβ. В результате мы получим открытое по-
крытие {Va: а < к} пространства X неубывающими множествами
(Ua с Uβ для α<β). Из него нельзя выделить конечное
подпокрытие. Действительно, если X = Vai U... U Van и а0 — тах{аг,..., ап}, то
Va. с VaQ для всех ί ^ η и, следовательно, Vao = X. Осталось
вспомнить, что Vao является объединением элементов ϋβ е 41, β ^ α0,
причём |а0| < к (так как к: — кардинал). Значит, °11 содержит
подпокрытие {ϋβ: β ζ α0} мощности меньше к, а это невозможно.
Итак, у нас есть открытое покрытие У = {Va: а < к}
пространства X неубывающими множествами, которое не содержит
конечных подпокрытий (а значит, и подпокрытий мощности
меньше к). Для каждого а < к положим μα — min{/3 < к: λίβ = Va} иМ =
= {μα: α < к}. Ясно, что {Va: а £М} — подпокрытие покрытия У;
значит, \М\ = к. Множество М, будучи множеством ординалов,
строго вполне упорядочено отношением G; значит, оно порядково

258
Глава 7. Компакты
изоморфно некоторому ординалу γ ^ к. Пусть φ: γ —> Μ —
порядковый изоморфизм. Если γ ж, то |{а еМ: а < (/?(κ)}| = к. Поскольку
φ(κ) = μβ < к для некоторого /3<ки{аеМ:а< μ^} с μ^,
заключаем, что \μβ | = к, а это неверно, потому что к — кардинал. Значит,
ркиМ порядково изоморфно кардиналу к.
В результате мы получили открытое покрытие {ν^(α): а < к}
пространства X строго возрастающими множествами. Для каждого
а < к выберем точку ха G V^(a+D \ νφ(α) и положим У = {ха: а < к};
ясно, что |У| =к. Пусть χgX—любая точка, и пусть α0=ΐϊΐίη{α<κ::
jteV^(ct)}. Для открытой окрестности V^(cto) точки χ имеем ^(ао)ПУ=
={jc^ : /3^а0}. Значит, |V^(cto) η У| = |α0| < к и χ не является точкой
полного накопления множества У.
б) Будем рассуждать по той же схеме, что и при доказательстве
того, что пересечение плотных открытых подмножеств прямой
содержит несчётное замкнутое множество (см. с. 236).
Сначала заметим, что у всякого несчётного множества К в R
имеются как минимум две точки конденсации — это такие точки
jc е R, что U Π К несчётно для всякой окрестности х. Действительно,
возьмём любую точку а е К и предположим, что каждая точка χ е
€;К\{а} имеет окрестность Ux, для которой U η К не более чем
счётно; ясно, что такие окрестности Ux можно выбрать в счётной базе 38
топологии прямой R. Заметим, что К\{a}<z[j{UxnK: хеК\{а}},
причём число разных множеств UxnKne более чем счётно и каждое
из этих множеств тоже не более чем счётно. Значит, \К \ {а}\ ^ К0,
что противоречит несчётности множества К.
Пусть К с R — несчётный компакт. Возьмём две его разные
точки конденсации, а и Ь. Теперь выберем два открытых интервала
(а0, Ь0) э а и (аъ Ьг) э Ъ с непересекающимися замыканиями и
положим /0 = [а0, Ь0] ПК и /г = [а1? Ьг] ПК. Заметим, что /0 и ii
—несчетные компактные подмножества прямой, и повторим процедуру для
каждого из них, получив две пары непересекающихся несчётных
компактов /00, /01 с /0 и J10, Jn с 1г. Дальше будем действовать так
же: на п-м шаге, имея попарно непересекающиеся несчётные
компакты Ii^...^ Для всех наборов ίιί2···ιπ нулей и единиц, мы будем
в каждый из них вписывать по два непересекающихся несчётных
компакта L ,· , η и Ь ,· 7 Ί.
Потом, как и на с. 236, мы положим Сп = [J{Ii f л : ij е {0,1}
для j ^η} для каждого η еN и заметим, что множество С— f]Cn
имеет мощность 2*° и содержится в К. neN

Подсказки и решения
259
в) Всякое несчётное замкнутое множество Fcl можно
представить как объединение счётного числа компактов F Π [—η, ή], η е N.
Хотя бы один из этих компактов должен быть несчётен.
4. В доказательстве нуждается лишь достаточность.
Воспользуемся теоремой 7.2 (критерием компактности в терминах
ультрафильтров). Предположим, что существует ультрафильтр <%/ на X,
не имеющий ни одного предела. Каждая точка iGX имеет
окрестность U, не принадлежащую ультрафильтру °11, По определению
предбазы эта окрестность содержит конечное пересечение иг Π ...
... Π Un элементов предбазы ^; если и{ е °и для всех ί ^ п, то
P| Ut € У/, а значит, U е У/ (см. свойства © и ® в определении
фильтра) — противоречие. Следовательно, U{ φ °1ί для некоторого
ί^η, т.е. существует элемент предбазы <%, содержащий точку χ
и не принадлежащий Щ. Обозначим этот элемент Ux. Семейство
{Ux: jc G X} представляет собой покрытие пространства X
элементами предбазы 08. Пусть {UXi,..., UXk} — его конечное подпокрытие.
В силу следствия 3.22 имеем Ux. G У/ для некоторого i ^ к, а это
противоречит выбору множеств Ux.
5. а) Пусть (X, «30 — хаусдорфово пространство сетевого веса
пш(Х) = к, и пусть оЖ — сеть пространства X мощности к.
Легко проверить, что если к < К0, то X дискретно, так что все
множества в нём открыты и сеть является базой.
Предположим, что к ^ К0; тогда, очевидно, X бесконечно.
Поскольку X хаусдорфово, для каждой пары разных точек х, у е X
найдутся отделённые окрестностями элементы Nxy эχ и Мху эу сети
Jf. Зафиксируем эти элементы, а также какие-нибудь их
непересекающиеся открытые окрестности Uxy z> Nxy и Vxy z> Mxy,
зависящие только от Nxy и Мху, но не от пары (х, у), Положим
& = {Uxy x,y e Χ,χ ϊ y}u{Vxy x,y e Χ,χ ^ у}.
Очевидно, семейство & покрывает пространство X, поэтому оно
является предбазой некоторой топологии З'1 на X. Положим Υ =
= (X, 5^0 · Из задачи 9 а) на с. 44 следует, что мощность базы
топологии SP', состоящей из конечных пересечений элементов
предбазы 3, равна мощности предбазы ^, которая, в свою очередь,
не превосходит \Jf x Jf\ — \Jf\ — nw[X). Значит, w(Y) ^ nw{X).
Кроме того, по построению любые разные точки пространства X
содержатся в непересекающихся элементах семейства £%, поэтому

260
Глава 7. Компакты
Υ — (Χ, 3') хаусдорфово. Наконец, очевидно, 3' с 3, поэтому
тождественное отображение (X, 3") —> (X, 3') — Υ непрерывно.
б) Неравенство nw{X) ^ ш(Х) следует из определения сети.
Неравенство ш(Х) ^ nw{X) вытекает из пункта а) и следствия 7.9.
в) Заметьте, что все одноточечные множества образуют сеть,
а затем примените пункты а) и б).
6. а) Да. Заметьте, что если /: X —> Υ — непрерывное
отображение и Jf — сеть в X, то {/(N): N е .Ж} — сеть в /(X), откуда следует
неравенство пш(/(Х)) ^ пш(Х), и примените задачу 56).
б) Нет. Рассмотрите двойную окружность Александрова X =
= Сг U С2 (см. пример 7 на с. 244), где Сг— обычная окружность
и С2 дискретно, и факторное отображение, стягивающее Сг в точку.
Заметьте, что факторпространство — не что иное, как
суперпоследовательность Александрова Л(2К°) (см. пример 5 на с. 243).
7. Сначала постройте непрерывное отображение канторова
множества С на отрезок [0,1]: вспомните, что С гомеоморфно
пространству {0,1}N с тихоновской топологией (см. задачу 12 на с. 209),
и рассмотрите отображение /: {0,1}N —> [0,1], которое каждой
последовательности (αη)η<ΕΝ нулей и единиц ставит в соответствие
число, имеющее двоичную запись 0, а1а2а3... Заметьте, что счётная
декартова степень отображения / (обозначим её через F) является
непрерывным отображением пространства ({0,1}Ν)Ν = {о, 1}Ν = С
на гильбертов куб [0,1]Ν. Вспомните, что по теореме 7.20 всякий
метризуемый компакт X удовлетворяет второй аксиоме счётности,
а значит, X вкладывается в гильбертов куб [0,1]Ν как
замкнутое подпространство (см. теорему Тихонова о вложении и
теорему 7.3).
В результате компакт X окажется представленным как образ
при непрерывном отображении F замкнутого подмножества F_1(X)
канторова множества. Таким образом, задача сводится к
доказательству того, что любое замкнутое подмножество канторова
множества является непрерывным образом самого канторова
множества. На самом деле всякое непустое замкнутое Л с С является
даже ретрактом канторова множества С = {0,1}N. Чтобы в этом
убедиться, рассмотрите метрику ρ на {0,1}Ν, определённую правилом
00
P((*n)neN> (Уп)пек) = Σ Ты \xi ~ У(\ Сэто вещественное число, деся-
тичная запись которого образована нулём и десятичными знаками

Подсказки и решения
261
|*ί ~" У*!)· Покажите, что эта метрика индуцирует тихоновскую
топологию на {0,1}N и что если ρ (χ, у) = ρ (χ, г), то у = ζ (для любого х).
Выведите отсюда, что для каждого хеС существует единственная
точка ахеЛ, для которой р(х,ах) =р(х,Л). Проверьте, что сюръ-
ективное отображение г: С—>А, которое каждой точке χеС ставит
в соответствие эту единственную точку ах, непрерывно (и является
ретракцией).
8. Доказательство использует предложения 7.12 и 7.14, а в
остальном аналогично решению задачи 8 а) на с. 170.
10. Докажем, что двойная окружность X наследственно
нормальна. По теореме 5.15 достаточно проверить, что если множества
E,GczX отделены в X, т. е. Ε Π F = Ε Π F = 0, то они отделены
окрестностями. Заметим, что Ε Г\Сг и F Π Q отделены в наследственно
нормальной евклидовой окружности Q. Пусть U и У
—непересекающиеся открытые окрестности (в Сг) множеств ЕГ\Сг и F Π Сг
соответственно. У каждой точки хеЕ ПС^ выберем базисную (в X)
окрестность Ux, удовлетворяющую условиям Ux Π Сг с U и Ux η F=0.
Для точек yeFnCi выберем аналогичные базисные окрестности Vx,
удовлетворяющие условиям УуПС1сУиУуП£ = 0. Положим
W= (J Ux\J(EnC2) и 0= (J VyU(FnC2).
Поскольку [/ П У = 0, открытые множества ί7χ и Уу не пересекаются.
Значит, WnO = 0, причём W и О открыты в X, E<zW и F <zO.
Пользуясь компактностью окружности Съ легко показать, что
любое открытое подмножество пространства X, содержащее Съ
содержит все точки множества С2, кроме конечного их числа. Значит,
замкнутое множество Сг с X не является множеством типа G5, и
поэтому X не совершенно нормально.
11. Сначала покажем, что любая неубывающая функция /: [0,1]—>
—>[0,1] имеет не более чем счётное число точек разрыва, причём
все они являются точками разрыва первого рода (т.е. в каждой
точке а е (0,1) существуют оба односторонних предела /~(а) =
= lim /(x) и /+(а)= lim /(x)). Действительно, существование
лг->а-0 JC-XI+0
пределов вытекает из того, что множество А = {/(χ): χ < а}
(множество В = {/(χ): χ < α}) ограничено сверху (снизу) числом /(а),
поскольку / не убывает; легко показать, что supA = /~(a) и inf B =
= /+(a). To, что множество точек разрыва не более чем счётно,

262
Глава 7. Компакты
следует из того, что интервалы (/~ (а), /+(а)) с разными а не могут
пересекаться (так как / не убывает), а множество [0,1] значений
функции / обладает свойством Суслина и не может содержать
счётного числа непустых попарно непересекающихся интервалов.
Покажем теперь, что подпространство X тихоновского куба
[0,1][од], состоящее их всех неубывающих функций [0,1] —> [0,1],
удовлетворяет первой аксиоме счётности. Для /еХ, а е [0,1] и ε > О
положим Uf{a, ε) — {g^X\ |g(a) — /(a)| <ε}. Множества вида
[//(a1,e1)n...n[//(abefc)
образуют базу окрестностей точки / е X. Значит, нам достаточно
найти счётное семейство 3&f открытых окрестностей точки / в X
с тем свойством, что для любых a e [0,1] и ε > О множество Uf{a, ε)
содержит 11г Π... Π Uk для некоторых Ul9..., Uk e 38 f, —тогда счётное
множество всех конечных пересечений элементов семейства 3&f
будет являться базой окрестностей точки / в X.
Пусть А — множество точек разрыва функции / е [0,1] (оно не
более чем счётно), и пусть Q = Q Π [0,1]. Покажем, что счётное
семейство
% = {uf(a,£): aeAuQ,neN}
окрестностей точки / обладает нужным свойством. Пусть a e [0,1]
и ε > 0. Если / непрерывна в точке а, то найдётся такое δ > 0, что
1/00 — /(a)| < f для всех χ е (а - δ, а + δ). Выберем рациональные
ζ 2
числа аге(а—δ, а] и а2&[а, α+δ) и натуральное число п^^. Имеем
Покажем, что
Uf(al9}-)nUf(a2,l·) <zUfia,e).
Если gel/Да!, ^) П[//(а2, ^), то
£(аг), g(a2) € (/(аг) - §, /(а2) + §) с (/(а) - ε, /(а) + ε).
Поскольку g не убывает, имеем g(a) e (/(a) - ε, /(а) 4- ε); таким
образом, ί/Да!, -J Π £/да2, „ J с Iff (α, ε). Если же функция /
разрывна в точке а, то а е А и для любого π ^ - множество £//(а, „ J
принадлежит семейству 3&f и содержится в Uf(a, ε).

Подсказки и решения
263
Очевидно, множество X замкнуто в [0,1][од] (и потому
компактно). Действительно, если ge [0,1][0'1] \ху то найдутся точки
а, Ъ € [0,1], а < Ь, для которых g(a) > g(b), и тогда множество
{й6[0,1]^:«а)€(г(а)-«^^,1],
h(W€[o,g(b) + Si2b^)}
является открытой окрестностью точки g в [0,1][0Д], которая не
пересекается с X.
Если бы компакт X был метризуемым, то по теореме 7.20 он
удовлетворял бы второй аксиоме счётности и каноническая (точнее,
индуцированная канонической) база
т = {i/(a1,01)n...ni/(afc,Ofc): к € N,
at е [0,1] и О^ — открытое множество в [0,1] для ί ^ к},
где U{а, 0) = {/еХ: /(a) eО} для ae [0,1] и О с [0,1], содержала
бы счётную базу (см. задачу 12 на с. 73), а значит, для некоторого
счётного множества Л с [0,1] семейство
fl»A = {l/(a1,01)n...nl//(afc,Ofc):fc€N,
α; е А и Ог — открытое множество в [0,1] для ί ^ к}
тоже являлось бы базой. Однако никакое такое семейство 38А базой
не является: если Ь е (0,1) \ А, то любой элемент семейства 38А,
содержащий функцию
содержит также и функцию
"{ί
если 0 ^ χ ^ Ь,
если Ъ < χ ^ 1,
если 0 ^ χ < Ь,
если Ь ^ χ ^ 1,
а значит, ни одна окрестность функции / из £%А не содержится
в окрестности U(b, [0,1)).
Осталось доказать, что компакт X сепарабелен. Заметим, что
множество Υ = С([0,1]) ПХ1} плотно в X, поскольку любой элемент
1} Напомним, что С([0,1]) — множество всех непрерывных фикций на [0,1].

264
Глава 7. Компакты
1]{аъ Ог) Π ... Π U(ak, Ок) (где а{ < αί+1) базы & содержит
кусочно линейную функцию с узловыми точками (а1? ог),..., (аь ок), где
Oj e Oj для i ^ к (если аг ^ 0, то надо добавить ещё точку (0,0),
и если ак φ 1, то надо добавить точку (1,1)). Итак, достаточно
показать, что Υ сепарабельно. Заметим, что пространство С([0,1])
с топологией равномерной сходимости сепарабельно, потому что
по следствию 7.19 из теоремы Вейерштрасса—Стоуна оно содержит
счётное всюду плотное множество многочленов с рациональными
коэффициентами. Поскольку С([0,1]) ещё и метризуемо (его
топология порождена метрикой, определённой sup-нормой), по
следствию 3.11 оно наследственно сепарабельно. Следовательно,
множество Υ с топологией, индуцированной топологией равномерной
сходимости пространства С([0,1]), —сепарабельное пространство;
тем более множество Υ с более слабой топологией,
индуцированной из X, — сепарабельное пространство. Значит, и само
пространство X сепарабельно.
12. Доказательство повторяет доказательство теоремы Бэра для
компактов с очевидными изменениями. Возьмём любое непустое
множество ί/cX, Поскольку Gx открыто и плотно, существуют
положительное число ελ < 1 и точка χλ е X, для которых
Щх^О с Bd{xl9 ελ) с 1/nGi.
Поскольку G2 открыто и плотно, существуют положительное число
ε2 < о и точка х2 € X, для которых
Βά(χ2,ε2) с Bd{xl9 ελ) ΠG2.
Продолжая этот процесс, для каждого η > 2 выберем положительное
число εη < - и точку хп еХ, для которых
Bd(Xn,eJ <=· Bd(xn_l9 επ_!) Π Gn.
В результате мы получим последовательность 0cn)nGN. Очевидно,
эта последовательность фундаментальна и в силу полноты сходится
к некоторой точке х. Поскольку каждый шар Bd(xn, εη) содержит все
члены этой последовательности, номера которых больше п, имеем
χ е Р| Bd(xn, εη), а поскольку Bd{xn, εη) с U ΠGn для каждого neN,
имеем также jc е [/ η (] Gn.
13. а) Заметьте, что метрика d на множестве X полна тогда
и только тогда, когда полна метрика d(x, у) = min{d(jc, у), 1}.
Покажите (по аналогии с рассуждением о метрике на тихоновском кубе

Подсказки и решения
265
на с. 203), что если dn — ограниченная единицей метрика на Хп для
каждого π е Ν, то
V nGN
— метрика на Υ\ Χη, порождающая топологию тихоновского произ-
ведения пространств Хп с метрическими топологиями &ά .
Докажите, что последовательность точек (xfc)fcGN, где хк = Ομ)Πξν е Π χη
для fc е Ν, сходится к некоторой точке χ = 0cn)nGN € J~[ Хп или яв-
ляется фундаментальной в ί J~[ Хп, d J тогда и только тогда, когда
для каждого η последовательность п-х координат (хьгП)к&* сходится
к точке хп или соответственно является фундаментальной в (Хп, dn).
Выведите отсюда требуемое утверждение.
б) Воспользуйтесь тем, что Ρ = Νκ° (см. задачу 16 на с. 209)
и пунктом а).
в) Годится, например, метрика, определённая правилом
HGN
где ΔπΟ) = mini \х - -ξ |: ρ, q е Ζ, 0 < q ^ π j. To, что это
действительно метрика, проверяется без труда. Покажем, что она полна.
Поскольку ρ (jc, у) > |jc — у | для любых jc, у е Р, любая
фундаментальная последовательность 0cn)nGN в (Р, р) является также
фундаментальной и относительно обычной метрики. В силу полноты
пространства Ш с обычной метрикой последовательность 0cn)nGN
сходится к некоторой точке χ е Ш. Предположим, что jc рациональ-
р
но, т. е. jc = тг для некоторых ρ е Ζ и q e N. Точки хп неограни-
ρ
ченно приближаются к - при возрастании п, поэтому для любого
к е N найдётся такое η е Ν, что число "
хп q
выполнения неравенства
достаточно мало для
> 1. Для этого η имеем
\Aq(xk) Aq(xn).
p(jcfc, jcn) > -rjq, так что вопреки предположению последовательность
Οπ)π<ΕΝ не фундаментальна относительно метрики р.
Теперь предположим, что число jc иррационально. Тогда для
любых а > 0 и т е N можно найти такое δ > 0, что если у удовлетворяет
условию \х — у\<5, то |AfcO:) -Afc(y)| < |· (AfcO))2 при всех fc^m.

266
Глава 7. Компакты
Если при этом а < 1, то для таких у и всех к ^ т имеем также
Afc(y) ^ —^— (потому что в противном случае мы бы получили
1 < а · Ак(х), тогда как, очевидно, Afc(x) < 1) и
\Ак(х)-Ак(у)\ 2-|Afc(x)-Afc(y)|
< ,κ , чч0 < а.
Afc(x) Afc(y)
Afc(x).Afc(y) (Δ, (χ))2
Возьмём любое положительное ε < 1. Найдём meN, для которого
Jr < ε, и такое δ > 0, что |Afc(jc) - Afc(y)| < ^Гк · (Ak(x))2 для всех
k ^ m и всех у, удовлетворяющих условию |х — у| < δ. Вспомним,
что последовательность (χπ)π<εν сходится к jc в обычной метрике,
и найдём такое NеN, что |х-хп| <min|5, ^г г для всех η^Ν. Для
таких η имеем
Р(*,*п)<£+Е^-тЦ|х^-;д-Ы,1}
2fc
Afc(x) Afc(xn)
_1_
2fc ^ 2m ' 2m ' 21
V J- ^ JL_L JL_L J- ^
Таким образом, последовательность (χη)π<ΕΝ сходится к х и в
метрике р.
Заметим, что мы одновременно показали, что
Bd(x,min{6, т~}) сВр(х,е).
Поскольку проведённое выше рассуждение справедливо для
любого иррационального х, тем самым мы доказали, что любая
окрестность любой точки χ е Ρ относительно метрики ρ содержит
некоторую окрестность относительно d, т.е. топология, порождённая
метрикой р, слабее топологии, порождённой метрикой d. To, что
топология, порождённая метрикой d, слабее топологии,
порождённой метрикой р, очевидно. Значит, метрики d и ρ эквивалентны.
г) Если бы топология пространства Q порождалась полной
метрикой, то согласно задаче 12 оно было бы пространством со
свойством Бэра. Однако Q является счётным объединением своих
одноточечных подпространств, каждое из которых нигде не плотно, так
как Q не имеет изолированных точек.
д) Пространства Ρ и Рк° гомеоморфны, потому что Ρ = Νκ° (см.
задачу 16 на с. 209); Q и QK° не гомеоморфны—у них разные
мощности; Ρ и QK° не гомеоморфны, потому что Ρ метризуемо полной
метрикой, a QK° —нет (см. пункты а), б) и г)).

Подсказки и решения
267
14. Каждая точка хеХ содержится в некотором UgW, и,
поскольку U открыто, χ содержится в нём вместе с некоторой своей
ε-окрестностью. Положим λχ = |. Открытое покрытие {Bd(x, λχ): jcGX}
компакта X имеет конечное подпокрытие {Bd{xb λχ.): ί ^ η}.
Число Я = πώι{λχ.: ί ^ η} обладает нужным свойством.
Действительно, любая точка χ G X содержится в некотором шаре Bd(xh λχ),
и в силу неравенства треугольника её Я-окрестность Bd (x, Я)
содержится в шаре Bd(xh 2λχ), который, в свою очередь, содержится
в некотором элементе U покрытия °11. Это означает, что покрытие
{Bd(x, Я): xgX} вписано в °11.
15. а) Пусть К — компактное пространство и /: К —> R —
непрерывная функция. В силу теоремы 7.10 множество /СЮ ограничено,
а в силу следствия 7.8 оно и замкнуто. Осталось заметить, что для
всякого множества X с R числа inf X и supX являются точками
прикосновения.
б) Вспомните, что расстояние до замкнутого множества —
непрерывная функция, и примените пункт а).
16. Покажем сначала, что из компактности пространства X
следует компактность пространства ехрХ.
В силу теоремы Александера о предбазе (см. задачу 4)
достаточно показать, что любое покрытие пространства ехрХ элементами
предбазы его топологии, т. е. множествами вида {U) и (V, X),
содержит конечное подпокрытие.
Пусть семейство °1/ — {(Ua): а € А} и {(νβ, Χ): β € β}
элементов предбазы покрывает ехрХ (здесь А и В — произвольные
множества индексов). Положим Ύ = {Vjg: /3 е В} и F — X \ |J У. Если
множество F непусто, то оно содержится в (Ua) для некоторого
а е А. Если F пусто, выберем Ua произвольно. Открытое покрытие
У υ{ί/α} компактного пространства X содержит конечное
подпокрытие {Ua, Vjgi?..., Vjgn}. Ясно, что любое непустое замкнутое
подмножество X либо пересекает хотя бы одно из множеств Vjg., и
тогда оно принадлежит одному из множеств (Vp.,X), либо содержится
в множестве Ua, и тогда оно принадлежит множеству (Ua). Значит,
{(Uа), (νβ , X),..., (νβη, Χ)} — конечное подпокрытие покрытия %
пространства ехрХ.
Чтобы показать, что если ехрХ компактно, то X тоже
компактно, достаточно заметить, что семейство {Ua: aeA} является
открытым покрытием пространства X тогда и только тогда, ко-

268
Глава 7. Компакты
гда {(Ua,X): аеЛ} является открытым покрытием пространства
ехрХ.
17. Сначала покажем, что топология Вьеториса на ехрХ сильнее
топологии, порождённой метрикой Хаусдорфа. Возьмём F е ехрХ
и ε > 0. Нам нужно найти открытое в топологии Вьеториса
множество W, которое содержит точку F и содержится в её ε-окрестности
Bd{i (F, ε) относительно метрики Хаусдорфа.
Рассмотрим семейство °11 — {X \ F} и J£diχ, |J : χ € FJ. Ясно,
что оно состоит из открытых подмножеств X и что (J <%/ = X. Из
компактности пространства X следует, что найдутся точки хъ ..., хп е F,
для которых X\F\j{jBd(xiy §)=^, т.е. F<z\jBd(xh |).
Множество ί<π ί<π
^-(β,^,ι),...^,^,!))
содержится в Bdfj(F, ε). Действительно, если GeW, то, с одной
стороны, Gc. {JbJxi, § JcBd(F, ε) (и, значит, supd(jc,F)=maxd(jc,F)<
< ε), а с другой — G z> {y1?..., уп}, где у — некоторая точка
множества BdfjCi, § J для каждого i ^ п. Поскольку с?(х,у) < ε для
любого χΕ:Βά\χί} | J и F cBdix1, |J U ... UBd(jt2> § J' заключаем, что
supdQt, G)=maxd(jc, G) <ε.
Теперь покажем, что любая окрестность произвольной точки
FeexpX в топологии Вьеториса содержит ε-окрестность
относительно метрики Хаусдорфа для некоторого ε > 0, т. е. что топология,
порождённая метрикой Хаусдорфа, сильнее топологии Вьеториса.
По определению топологии Вьеториса всякая окрестность точки F
содержит окрестность W вида
р|{У еехрХ: Υ с i/£}n f]{Y € expX: YnVj ^ 0}.
Положим U = иг Π... Π Uk. Тогда
W = {Y еехрХ: Υ с ί/}η f|{7 € expX: УПУ;- ^ 0}.
Поскольку FeW, мы можем выбрать точки χ,- е F η V, для всех j ^ п.
Заметим, что множества X \ Vj замкнуты (в X), поэтому все
расстояния d(Xj, X \ Vj) — ε; положительны. Поскольку X компактно,

Подсказки и решения
269
расстояние d(F,X \ U) = ε0 тоже положительно (см. задачу 156)).
Положим ε==πύη{ε0, еъ ..., εη}. Покажем, что Bdn{F, ε) с W.
Пусть G е Ван (F, ε) с W. По определению метрики Хаусдор-
фа supd{x,F) < ε. Значит, для любой точки jc e G найдётся точка
у е F, удовлетворяющая условию d(x, у) < ε ^ ε0, откуда jc e LT, так
что G C.U. Кроме того, supd(jc, G) < ε ^ ε0. Значит, для каждой
JCGF
точки х;·, j ^ п, найдётся точка у,- е G, удовлетворяющая условию
d(*/, Ур < ε ^ £/> τ·е· У/ е V/· Таким образом, G П V} # 0 для всех j ^ п.
18. а) Доказательство достаточности существования точных
нижней и верхней граней у любого непустого множества Υ с X для
компактности X дословно повторяет доказательство компактности
отрезка (см. пример 2 на с. 241; роль нуля в данном случае играет
infX).
Заметьте, что формально более слабое условие существования
точной нижней грани (т.е. наименьшего элемента) infX и точной
верхней грани sup Υ у любого непустого множества Υ с X тоже
достаточно для компактности (так же как и условие существования
supX и inf Υ у любого непустого множества Υ сХ).
Докажем необходимость. Предположим, что непустое
множество Υ с X не имеет точной верхней грани. Для каждого у е Υ
положим Uу — {х е X: jc < у}, и для каждого zGX\ |J Uy положим
yeY
Uz = {χ e Χ: г < jc}. Нетрудно видеть, что {Ux: jc е X} — открытое
покрытие пространства X, которое не содержит конечного
подпокрытия. Существование inf У доказывается аналогично.
б) Ясно, что (0,0) является наименьшей точкой квадрата [0,1] χ
х [0,1] с лексикографическим порядком. Пусть Ус [0,1] х [0,1],
Υφ0. Положим jc* = sup πλ (Υ). Если множество Υ* = {у: (jc*, у) е Υ}
непусто, то положим у* = sup Y*; в противном случае положим у* = 0.
Покажите, что (jc*, у*) — точная верхняя грань множества Υ
относительно лексикографического порядка, и примените пункт а).
19. а) См. [5]; см. также [13, следствие 10].
б) См. [39].
20. а) Ответ на этот вопрос неизвестен.
б) Ответ на этот вопрос неизвестен. Впервые его задал Уолтер
Рудин в 1956 г. [37], и предпринятые с тех пор многочисленные
попытки ответить на него пока не привели к успеху.

Глава 8
Компактификации
Важнейшее следствие теорем Тихонова состоит в том, что
всякое тихоновское пространство можно компактифицировать, т.е.
вложить в некоторый компакт в качестве всюду плотного
подпространства.
§8.1. Компактификации
I Определение. Пара (1С, с), где К — компакт, а с: X —> К — гомео-
I морфное вложение топологического пространства X в К с тем
I свойством, что с(Х) = К, называется компактификацией про-
I странства X или компактным хаусдорфовым расширением про-
I странства X. Разность К \ с(Х) называется наростом расширения.
Замечание 8.1. Если некоторое пространство X вкладывается
в компакт К, т. е. существует гомеоморфизм /: X —> Υ — f{X) с К, то
пара (Ϋ, i о /), где i — тождественное вложение Υ —> Ϋ, является
компактификацией пространства X. Следовательно, каждое
пространство, вложимое в компакт, обладает компактификацией.
Поскольку все компакты вполне регулярны, а это свойство
наследственно, любое пространство, обладающее компактификацией,
обязано быть вполне регулярным (тихоновским). Таким образом,
из предыдущего замечания, теоремы Тихонова о вложении в
тихоновский куб и компактности тихоновских кубов (которая вытекает
из теоремы Тихонова о компактности произведений) следуют такие
теоремы.
(Теорема 8.2. Топологическое пространство X обладает
компактификацией тогда и только тогда, когда X вполне регулярно.
I Теорема 8.3. Каждое вполне регулярное пространство X имеет
компактификацию СК, с) со свойством w(K) —w{X).
Замечание 8.4. Теоремы Тихонова дают также неиссякаемый
запас примеров, демонстрирующих ненаследственность
нормальности, —любой куб [0,1]К компактен и потому нормален, и он
содержит все тихоновские (в частности, ненормальные) пространства
веса к.

§ 8.1. Компактификации
271
Сама по себе компактификация, предоставляемая теоремами
Тихонова, не так важна, как факт её существования. Он позволяет
нам рассматривать всевозможные компактификации данного
пространства и сравнивать их между собой, что приводит к результатам
исключительной важности.
В дальнейшем под компактификацией пространства X мы будем
понимать не только пару СК, с), но и сам компакт К, содержащий
(гомеоморфную копию) X в качестве плотного подпространства.
Для компактификации данного пространства X принято
использовать обозначения, состоящие из двух символов: сХ, ЬХ, βΧ и т.п.;
при этом второй символ —это обозначение самого пространства,
а первый — обозначение его гомеоморфного вложения в
соответствующую компактификацию. Так, запись сХ не только обозначает
некоторый компакт, но и подразумевает, что этот компакт содержит
гомеоморфную копию пространства X, причём гомеоморфное
вложение X в сХ осуществляется отображением с:Х->сХи с{Х) = сХ.
1 Определение. Компактификации сгХ и с2Х считаются эквива-
1 лентными, если существует гомеоморфизм φ: сгХ —> с2Х, для ко-
I торого с2 = φ о съ т. е. диаграмма
1 сгХ > с2Х
Ι коммутативна (двигаясь по стрелкам сг и φ, мы получим тот же
I результат, что и двигаясь по стрелке с2).
Таким образом, две компактификации пространства X
эквивалентны, если они гомеоморфны и гомеоморфизм между ними
устроен так, что X вложено в них одинаковым относительно
этого гомеоморфизма образом. Чтобы прояснить последнее условие,
приведём пример двух гомеоморфных, но не эквивалентных
компактификации одного и того же пространства.
Пример. Пусть Χ = Χ1ΘΧ2, где Хг = (0,1) и X2 = (Q, l)n<Q>.
Рассмотрим компактификации сгХ и с2Х пространства X,
представляющие собой сумму S1 θ [0,1] окружности и отрезка, в которую X
вложено по-разному: сужение сг \х — это вложение i: Хг —> S1
интервала в окружность, определённое формулой χ —»(cos 2πχ, sin 2πχ), и
ci\x — тождественное вложение Х2 в отрезок [0,1], тогда как
сужение c2\Xi —это тождественное вложение Χλ в [0,1] и c1|X2=i|(01)nQ —

272
Глава 8. Компактификации
вложение Х2 в окружность. Компактификации сгХ и с2Х гомео-
морфны, но не эквивалентны, поскольку при любом
гомеоморфизме суммы S1 θ [0,1] в себя окружность должна переходить в
окружность, а отрезок — в отрезок. Это вытекает из того, что окружность
и отрезок связны и не гомеоморфны (связность отрезка
доказывается точно так же, как связность прямой в решении задачи 16 на с. 82,
связность окружности следует из связности отрезка и задачи 7 на
с. 136, а негомеоморфность отрезка и окружности — следствие того,
что отрезок [0,1] содержит ровно две точки χ с тем свойством,
что разность [0,1] \ {х} связна, а окружность содержит бесконечно
много таких точек).
Легко проверить, что эквивалентность компактификации
действительно является отношением эквивалентности на любом
множестве компактификации данного пространства X, но для того,
чтобы воспользоваться этим обстоятельством, надо выделить
достаточно представительный набор компактификации, который
является множеством (а не целым классом множеств). Прежде
всего, поскольку X гомеоморфно (а значит, равномощно) плотному
подпространству с(Х) любой своей компактификации сХ, имеем
d{cX) ^ \Х\9 а значит, w{cX) ^ 2|х| (см. задачу 12в) на с. 171).
Таким образом, любая компактификация пространства X
вкладывается в тихоновский куб [О, I]2 , так что достаточно рассматривать
только компактификации, являющиеся подпространствами этого
куба. А такие компактификации действительно образуют
множество, и их эквивалентность в смысле данного выше определения
действительно является отношением эквивалентности. Мы будем
обозначать множество всех компактификации
пространства X через ^ (X), а множество классов эквивалентности
таких компактификации — через <£(Х).
Теперь упорядочим множество <£(Х). Точнее, мы введём
транзитивное и рефлексивное отношение ^ на множестве
компактификации ^ (X) и докажем, что сгХ ^ с2Х и с2Х ^ сгХ тогда и только тогда,
когда компактификации сгХ и с2Х эквивалентны, а это означает,
что формула1} [сгХ] =$ [с2Х] «=» сгХ ^ с2Х корректно определяет от-
2) Напомним, что квадратные скобки используются для обозначения классов
эквивалентности.

§ 8.1. Компактификации
273
ношение =3 на <£(Х) и это отношение не только транзитивно и
рефлексивно, но и антисимметрично, т. е. является порядком.
ι Определение. Пусть сгХ и с2Х — две компактификации одного
ι и того же пространства X. Положим сгХ ^ с2Х, если существует
J непрерывное отображение /: с2Х —» сгХ, для которого / о с2 = сг:
1 с2Х > ολΧ.
В случае, когда X не просто гомеоморфно подпространству,
но и само является подпространством каждой из
компактификации сгХ и с2Х (т.е. вложения сх и с2 тождественны),
неравенство сгХ ^ с2Х означает, что существует непрерывное отображение
/: с2Х —> сгХ, которое переводит каждую точку χ в себя.
Заметим, что отображение / в этом определении автоматически
сюръективно, потому что образ /(с2Х) компактен и потому замкнут
в ολΧ, и при этом с1(Х)=/(с2(Х)) и с1(Х) = с1Х.
Ясно, что отношение ^ транзитивно и рефлексивно. Докажем,
что оно индуцирует на £(Х) порядок, а именно, верна следующая
теорема.
(Теорема 8.5. Компактификации сгХ и с2Х эквивалентны тогда
и только тогда, когда сгХ ^ с2Х и с2Х ^ сгХ.
Доказательство. Если компактификации сгХ и с2Х
эквивалентны и φ — гомеоморфизм из определения эквивалентности, то в
качестве непрерывных отображений с2Х-+сгХ и с1Х-^с2Х,
гарантирующих выполнение неравенств сгХ ^ с2Х и с2Х ^ сгХ, можно взять
φ и φ'1.
Предположим теперь, что сгХ^с2Х и с2Х^с1Х, и пусть /х: с2Х—>
-*сгХ и /2: сгХ —> с2Х — непрерывные отображения, для которых
f1oc2 = c1nf2oc1—c2. Если мы покажем, что /х — биекция, то в силу
непрерывности fx по следствию 7.9 отображение fx будет
гомеоморфизмом, причём как раз таким, какой требуется в определении
эквивалентности компактификации. Заметим, что
h ° /ι (У) = У Для всех У е с2^·
Действительно, для композиции /2 о /г: с2Х —* с2Х выполнено
равенство /2 о /г о с2 = /2 о сг = с2; это означает, что /2 о /г (у) = у для
всякого у е с2(Х) с с2Х, т.е. сужение непрерывного отображения

274
Глава 8. Компактификации
/2 о/г на плотное подпространство с2(Х) пространства с2Х
совпадает с сужением тождественного отображения с2Х —* с2Х, так что
в силу следствия 5.8 само /2 °Л и есть тождественное отображение.
Очевидно, отсюда немедленно следует, что fx (так же как и /2)
биективно. D
С помощью этой теоремы можно доказать следующий полезный
критерий эквивалентности компактификации.
1 Теорема 8.6. Компактификации сгХ и с2Х тихоновского про-
1 странства X эквивалентны тогда и только тогда, когда для лю-
I бых замкнутых в X множеств А и В имеет место эквивалент-
1 ностъ
I q(A)ClXn^(B)ClX = 0 <=> ^ШС2Х П^(В)С2Х = 0. (*)
Доказательство. Ясно, что если сгХ и с2Х эквивалентны, то
условие (*) выполнено для каждой пары замкнутых множеств А, В с
СХ.
Пусть теперь сгХ и с2Х — такие компактификации
пространства X, что условие (*) выполнено для любых замкнутых множеств
А, В сX. Положим φ = с2г|с m: с2(Х) —>X и рассмотрим
отображение
ψ =^οφ: с2(Х) -* сгХ.
Покажем, что оно продолжается до непрерывного отображения
гр: с2Х —> сгХ. Согласно задаче 6 на с. 170 для этого достаточно
доказать, что ψ можно непрерывно продолжить в каждую точку
из с2Х \ с2(Х). Возьмём χ G с2Х \ с2(Х). Поскольку с2(Х) плотно
в с2Х, по теореме 3.23 к точке χ сходится некоторый ультрафильтр
на с2Х, содержащий с2(Х) в качестве элемента. Ясно, что
семейство пересечений его элементов с с2(Х)—ультрафильтр на с2(Х),
который содержит все проколотые окрестности точки χ в
пространстве с2(Х) U {х} с с2Х. Обозначим его У/. По предложению 3.24
образ У этого ультрафильтра при отображении ψ является
ультрафильтром на сгХ, а по теореме 7.2 ультрафильтр Ψ сходится
к некоторой точке у G сгХ. Положим ψ (χ) = у. Заметим, что ψ (jc) не
зависит от выбора ультрафильтра У/. Более того, если У/' — любой
ультрафильтр на с2(Х), содержащий все проколотые окрестности
точки х, то его образ У при отображении ψ сходится всё к той же
точке у. Действительно, если У сходится к у' Φ у, то ввиду
регулярности пространства qXy точек у и у7 найдутся окрестности V и У7

§ 8.1. Компактификации
275
с непересекающимися замыканиями (в сгХ). Положим А — с{1{Щ
и в = С1г(У/щ). В силу условия (*) имеем с2(А)С2Х Π c2(B)ClX = 0.
Значит, у точки χ есть проколотая окрестность U, которая не
пересекается либо с с2(А), либо с с2(В); пусть для определённости
U Π с2{А) = 0. Эта окрестность должна принадлежать обоим
ультрафильтрам °и и α1ί'. С другой стороны, V е У (так как У —> у),
а значит, и У е У, и по определению образа ультрафильтра с2(А) =
= '0"1(У) е <&\ Никакой фильтр не может содержать двух
непересекающихся элементов; таким образом, наше предположение о том,
что у' фу, привело к противоречию.
Положив ψ (ζ) = ψ {ζ) для всех ζ е с2(Х), мы получим
отображение \р: с2(Х) U {х} —> сгХ. Покажем, что оно непрерывно в
точке χ (непрерывность во всех прочих точках очевидна). Пусть V —
любая окрестность точки у в сгХ. Нам надо показать, что у точки χ
есть окрестность, которую ψ переводит в V, или, что
равносильно, проколотая окрестность U со свойством ψ(ΙΙ) с V. Предполо-
жим, что это не так. Тогда jc€^"1(c1(X)\V) 2 , и по теореме 3.23
к точке χ сходится некоторый ультрафильтр на с2Х, содержащий
^"■ЧсхСХ") \ V) (а значит, и с2(Х) = '0~1(с1(Х))) в качестве
элемента. Пересечения элементов этого ультрафильтра с с2(Х) образуют
ультрафильтр на с2(Х); обозначим его Ч/. Ясно, что он содержит
все проколотые окрестности точки х. Как мы показали в
предыдущем абзаце, образ ультрафильтра °11 при отображении ψ должен
сходиться к у, т. е. содержать V. С другой стороны, этот образ
обязан содержать сг (X) \ V, а это невозможно. Значит, отображение ψ
непрерывно в точке х.
Подведём итоги. Мы непрерывно продолжили ψ в каждую точку
х^с2Х\с2(Х) и тем самым построили непрерывное отображение
ψ: с2Х -* сгХ,
причём по построению ψ о с2 = сг. Следовательно, сгХ ^ с2Х. Точно
так же доказывается, что с2Х ^ сгХ. По теореме 8.5
компактификации сгХ и с2Х эквивалентны. D
То обстоятельство, что эквивалентные компактификации
совершенно одинаковы с точки зрения топологии, позволяет нам не
делать различия между компактификациями и классами
эквивалентных компактификации. Так, мы будем рассматривать ^ как порядок
между компактификациями, имея в виду порядок =$ между их
классами эквивалентности.

276
Глава 8. Компактификации
Отметим ещё раз, что с(Х) — это просто гомеоморфная копия
пространства X в сХ, которая неотличима от X с точки зрения
топологии (более того, в классе эквивалентности каждой
компактификации X всегда имеются компактификации сХ, содержащие
именно X, а не его гомеоморфную копию в качестве плотного
подпространства с(Х)). Поэтому можно было бы отождествить X с с(Х)
и считать, что само пространство X содержится в сХ, т.е. с
—тождественное вложение. Часто бывает удобно именно так и
поступать. В таких случаях мы пишем X вместо с(Х), а нарост имеет вид
сХ\Х.
Следующее предложение позволяет яснее понять, как устроено
отношение ^ между компактификациями.
Предложение 8.7. Если сгХ и с2Х — компактификации
пространства X и /: сгХ —> с2Х — непрерывное отображение со свойством
f о сг = с2, то сужение f\Cloo — гомеоморфизм, а само отображение f
сюръективно и переводит нарост в нарост, т. е.
/(qX) = c2X, /(Cl(X)) - с2(Х),
/(с1Х\с1(Х))=с2Х\с2(Х).
Доказательство. То, что /|с (х) — гомеоморфизм, было
показано при доказательстве теоремы 8.5, а то, что / сюръективно, было
отмечено сразу после определения отношения ^. Последнее
утверждение (что нарост переходит в нарост) немедленно вытекает из
следующего более общего факта.
I Лемма 8.8. Пусть У с X, X хаусдорфово, Y = Xuf:X-^>Z —
непрерывное отображение. Если f\Y: У —> /(Υ)1* — гомеоморфизм,
то/(Х\У)П/(У)=0.
Доказательство. Предположим противное. Пусть χ € Χ \ Υ и
/(х) е/(У). Без ограничения общности можно считать, что Х =
= Υ U {х} и Ζ = /(X) (иначе рассмотрим подотображение); тогда
имеем также Ζ = /(У). Возьмём у g Y, для которого /(у) = /(х).
Пусть U и V — непересекающиеся открытые окрестности точек χ
и у. Множество /(У \V)= f\Y(Y \ V) замкнуто в /(У) = Ζ, потому
что f\Y: Υ -^ /(У) —гомеоморфизм. Значит, Ζ"1 (/(У \ W) = У \ V
1} Здесь имеется в виду не сужение отображения /, а его подотображение с
областью значений /(У). Такое смешение обозначений не приводит к путанице,
поскольку область значений указана явно, и часто встречается в литературе.
Формально это отображение можно записать как idj(r) of\Y.

§8.2. Александровская компактификация
277
замкнуто в X. Заметим, что χφν, так как χ имеет окрестность U,
не пересекающуюся с V. Поскольку Y = Y\VUV = Y\VUV hxgX =
= Ϋ, получаем xgY. Это противоречие доказывает лемму. D
Применение доказанной леммы завершает доказательство
предложения 8.7. D
Рассмотрим теперь «экстремальные» (наибольшие и наимень-
шие^) компактификации.
§ 8.2. Александровская компактификация
Наименьшие компактификации устроены проще всего, но они
существуют не для всех пространств.
I Определение. Топологическое пространство X называется
локально компактным, если каждая точка xgX имеет компактную
(не обязательно открытую!) окрестность.
1 Теорема об александровской компактификации. Каждое не-
1 компактное локально компактное хаусдорфово пространство X
1 обладает компактификацией аХ, для которой а{Х) = X и нарост
Ι аХ \ X состоит из одной точки. Эта компактификация являет-
1 ся наименьшим элементом множества компактификации *€{Χ),
I а её вес равен весу X.
Доказательство. Возьмём любую точку * фХ и положим а = idx
и аХ = Х U {*}. Объявим открытыми в аХ все множества, открытые
в X, а также все множества вида {*} и (X \ К), где К — компактное
подмножество X. Легко видеть, что аХ — компактификация
пространства X. Значит, X G Т3г (см. теорему 8.2) и мы можем
рассмотреть множество компактификации ^(Х).
Пусть сХ G <€{Χ). Соотношение аХ ^ сХ будет доказано, если мы
покажем, что отображение /: сХ —> аХ, определённое правилом
_ ί а(с~ V)) = с_1 Μ ПРИ х G CW>
I* при χ G cX\c(X),
непрерывно и удовлетворяет условию foc — a (если считать, что
Х — с{Х), то это отображение переводит нарост сХ\Х в
нарост-точку {*}, а остальные точки оставляет на месте). Равенство / о с = а
1} В соответствии со сделанными выше оговорками имеются в виду
компактификации, принадлежащие наибольшему (наименьшему) относительно
порядка =3 элементу множества £(Х) классов эквивалентных компактификации.

278
Глава 8. Компактификации
следует прямо из определения, а чтобы доказать непрерывность,
достаточно проверить, что с(Х) открыто в сХ. Действительно,
прообраз любого открытого множества является либо открытым
подмножеством множества с(Х) (так что если с(Х) открыто, то он
будет открыт и во всём пространстве сХ), либо множеством вида
/~г(аХ\К), где К — компактное подмножество X (а такое
множество является дополнением в сХ до множества с{К), которое
компактно, так как с — гомеоморфизм, и потому замкнуто в силу
теоремы 7.3). То, что локально компактное пространство с(Х) открыто
в сХ, вытекает из следующей леммы.
I Лемма 8.9. Любое локально компактное хаусдорфово
пространство Υ открыто в любом хаусдорфовом пространстве Ζ,
содержащем Υ в качестве плотного подпространства.
Доказательство. Каждая точка у е Υ обладает компактной
окрестностью N. Эта окрестность замкнута, поскольку Υ хаусдорфово
(см. теорему 7.3), и содержит некоторую открытую окрестность U
точки у. Поскольку UycN, по теореме 7.4 замыкание UY
компактно. В силу предложения 3.8 имеем UY — UznY; поскольку это
множество компактно, оно замкнуто и в Z. Имеем Uz — UY = Uz Π Υ с Υ.
Пусть W — открытое множество в Z, для которого U = YnW. Тогда
у € W с Wz = YcVWz = Uz с У,
а значит, каждая точка у е Υ имеет окрестность, содержащуюся в Υ,
т. е. У открыто. D
Покажем теперь, что w{aX) — ш(Х). Заметим, что, поскольку
X не компактно, вес ш(Х) не может быть конечным. Пусть Ό —
любая окрестность любой точки χ е X, и пусть N — компактная
окрестность этой точки. Пересечение U ΠΝ содержит открытую
окрестность точки jc вместе с её замыканием, причём замыкание
этой окрестности компактно, так как является замкнутым
подмножеством компакта N. Таким образом, у пространства X имеется
база, состоящая из открытых множеств с компактным
замыканием. Выберем из неё базу 08 мощности ш(Х) (доказательство того,
что это возможно, совершенно аналогично решению задачи 12
на с. 73). Рассмотрим на X и {*} новую топологию с предбазой
0В и{{*}ϋΧ\ϊ7: U<e38}. Предбаза % имеет мощность ш(Х) и
потому определяет топологию веса w(X), причём эта топология хаус-
дорфова и слабее топологии пространства аХ; по следствию 7.9 она
совпадает с топологией аХ. D

§ 8.2. Александровская компактификация
279
ι Определение. Компактификация аХ локально компактного не-
I компактного хаусдорфова пространства X называется алексан-
I дровской компактификацией, или одноточечной компактифика-
I цией, или минимальной компактификацией этого пространства.
I Теорема 8.10. Если в семействе *€{Χ) всех компактификаций
ι некомпактного пространства X есть наименьший элемент сХ
1 (относительно порядка ^),то Xлокально компактно и компакти-
1 фикация сХ эквивалентна александровской компактификаций аХ.
Доказательство. Сначала покажем, что нарост сХ\с(Х)
является одноточечным множеством.
Предположим, что нарост сХ \ с(Х) содержит две разные точки χ
и у. Очевидно, пространство Υ = сХ \ {х, у} локально компактно,
и его компактификация άΥ является также и компактификацией
пространства X. (Действительно, гомеоморфный образ с(Х)
пространства X — плотное подпространство компакта сХ и х, у φ с(Х);
значит, с(Х) плотно и в У, а потому и в αΥ.) Таким образом,
αΥ — с'Х, где с!: X —» с'Х — гомеоморфное вложение и с'(х) — с{х)
для всех χ е X. По условию теоремы сХ ^ с'Х; значит, существует
непрерывное отображение /: с'Х —> сХ, для которого /|с/(х) = idc/(x).
По следствию 5.8 непрерывные отображения, совпадающие на
плотном подмножестве, совпадают везде; следовательно, f\Y = idy, так
что компакты с'Х и сХ являются компактификациями
пространства Υ (вложения Υ —> с'Х и Υ —> сХ тождественны). В силу
предложения 8.7 имеем f(c'X\Y)=cX\Y. Вспомнив, что с'Х = аУ = Уи{*}
и Υ — сХ \ {х, у}, мы видим, что /({*}) = {х, у} — одна точка
отображается в две, а такого быть не может. Значит, нарост сХ \ с(Х)
действительно состоит из одной точки.
Таким образом, сХ — с(Х) U {*} для некоторой точки * φ с(Х).
Покажем, что с(Х) локально компактно, т. е. любая точка χ g c(X)
имеет компактную окрестность (в с(Х)). Поскольку пространство сХ
регулярно (будучи хаусдорфовым компактом), оно является и
^-пространством, так что множество с(Х) =сХ\ {*} —открытая
окрестность в сХ любой точки χ G с(Х) и любая точка χ g c{X) имеет
окрестность V, замыкание которой (в компакте сХ) содержится в с(Х); это
замыкание и является компактной окрестностью точки χ в с(Х).
Итак, сХ — с{Х) и {*} и пространство с(Х) (а значит, и
гомеоморфное ему пространство X) локально компактно. По теореме об
александровской компактификаций для пространства X определена
одноточечная компактификация аХ = X и {*}. По условию теоремы

280
Глава 8. Компактификации
сХ ^ аХ, т.е. существует непрерывное отображение φ : аХ —> сХ,
для которого φ о [dx = с. По предложению 8.7 имеем (/?({*}) = {*},
а значит, φ биективно и по следствию 7.9 является
гомеоморфизмом. Следовательно, компактификации сХ и аХ эквивалентны. D
§ 8.3. Стоун-чеховская компактификации
Наибольшая компактификация, в отличие от наименьшей,
существует всегда, но устроена она, как правило, гораздо сложнее
(даже для локально компактных пространств).
1 Определение. Компактификация тихоновского пространства X,
Ι наибольшая относительно ^, называется компактификацией
Οποί уна—Чехаг\ или стоун-чеховской компактификацией, или стоун-
1 чеховским расширением, или максимальной компактификацией
I пространства X и обозначается βΧ.
I Теорема 8.11. Для каждого тихоновского пространства X
существует стоун-чеховская компактификация βΧ.
Доказательство. Рассмотрим произведение f~[ сХ и
диагональное отображение схемою
cXetf(X) cX€tf(X)
которое по теореме о диагональном произведении отображений
является гомеоморфным вложением. Обозначим замыкание β{Χ)
его образа в \\ сХ через βΧ. По теореме Тихонова о компакт-
ности произведений и в силу компактности замкнутых
подмножеств компактов пространство βΧ является компактификацией
пространства X, причём эта компактификация наибольшая: для
любой компактификации c0Ig^(X) сужение kCqX канонической
проекции пСоХ: Y\ сХ —> с0Х на β{Χ) удовлетворяет условию
сХе^(Х) f
пс х о β = с0, поэтому с0Х ^ βΧ при всех с0Х G *€{Χ), так что βΧ
действительно стоун-чеховская компактификация. D
Начиная с этого момента мы будем отождествлять
пространство X с подпространством с(Х) любой его компактификации (ко-
х) Эдуард Чех (1893—1960) —чешский математик. Основные работы относятся
к топологии (общей и алгебраической). В 1937 г. явно описал конструкцию
компактификации вполне регулярного пространства, впоследствии названную
компактификацией Стоуна—Чеха. Автор первого опубликованного детального
доказательства теоремы Тихонова о компактности произведений.

§ 8.3. Стоун-чеховская компактификация
281
гда это удобно) без специальных оговорок. В частности, мы
будем считать, что X с βΧ. Такое отождествление позволяет
обсуждать продолжение непрерывных отображений пространства X на
его компактификации сХ без необходимости всякий раз включать
в цепочку отображений гомеоморфизм Χ τ± с(Х).
Стоун-чеховскую компактификацию редко удаётся описать
конструктивно, поскольку доказательство её существования основано
на теореме Тихонова, которая равносильна аксиоме выбора.
Однако её можно охарактеризовать понятным и весьма полезным
свойством.
I Теорема 8.12. Пусть X — тихоновское пространство.
Ι φ Каждое непрерывное отображение /: X —> К пространства
1 X в любой компакт К можно продолжить до непрерывного
§ отображения f: βΧ —> К.
I © Если компактификация сХ обладает тем свойством, что лю-
I бое непрерывное отображение f:X-*K пространства X влю-
I бой компакт К продолжается до непрерывного отображения
§ f:cX-+K,mocX эквивалентна^ стоун-чеховской компакти-
I фикации βΧ.
Доказательство. (Напомним, что мы условились считать, что
для любой компактификации сХ вложение с: Х-^сХ тождественно;
в частности, β: X —> βΧ — тождественное вложение.)
φ Положим c = β Af: Χ-^βΧ хК.По теореме о диагональном
отображении с — гомеоморфное вложение, так что сХ = с(Х) с βΧ χ
х К — компактификация пространства X. В силу максимальности
βΧ существует непрерывное отображение g: βΧ —> сХ, для которого
ξ°β— g\x — с. Пусть π: сХ —>К — сужение проекции πκ: βΧ хК-^К
на сХ. Положим f — nog\ βχ —>К. Отображение / является
продолжением отображения /, так как
f\x — f °β — nogoβ = noc = f.
© По предположению тождественное вложение β: Χ —> β Χ
можно продолжить до непрерывного отображения β: сХ —> βΧ. Имеем
β о с = β, τ. е. βΧ ^ сХ. В силу максимальности компактификации
βΧ имеем также сХ ^ βΧ; значит, сХ и βΧ эквивалентны. D
х) Слово «эквивалентна» здесь не вполне уместно, поскольку сама
стоун-чеховская компактификация определена с точностью до эквивалентности.
Однако по традиции (и из эстетических соображений) принято вести себя так, как
если бы компактификация βΧ была жёстко фиксирована.

282
Глава 8. Компактификации
1 Следствие 8.13. Пусть X — тихоновское пространство.
Ι φ Замыкания в βΧ любых двух функционально отделимых1* под-
I множеств X не пересекаются.
I © Если в компактификации сХ пространства X замыкания лю-
I бых двух функционально отделимых подмножеств X не пере-
1 секаются, то компактификация сХ эквивалентна βΧ.
Доказательство. ® Пусть А и В — функционально отделимые
множества в X, и пусть /: X—> [0,1] —непрерывная функция,
принимающая значение 0 на Λ и 1 на В. По теореме 8.12
отображение / продолжается до непрерывной функции / на βΧ,
причём /(Αβχ) с {0} и f{B$x) с {1} (в силу непрерывности). Значит,
ΑβχΠΒβχ = 0.
© По лемме Урысона (и в силу нормальности компактов)
любые непересекающиеся замкнутые множества в любом компакте
функционально отделимы. Значит, замкнутые в X множества АиВ
имеют непересекающиеся замыкания в сХ тогда и только тогда,
когда они функционально отделимы. Однако в силу уже доказанного
утверждения φ в точности те же пары замкнутых множеств имеют
непересекающиеся замыкания и в βΧ. По теореме 8.6
компактификации сХ и βΧ эквивалентны. D
I Следствие 8.14. Пусть X — тихоновское пространство.
Ι Φ Каждую непрерывную функцию /: X —> [0,1] можно продол-
I жить до непрерывной функции f: βΧ —> [0,1].
Ι © Если компактификация сХ обладает тем свойством, что
1 любая непрерывная функция /: X —> [0,1] продолжается до
I непрерывной функции f: сХ —> [0,1], то компактификация сХ
I эквивалентна стоун-чеховской компактификации βΧ.
Доказательство. Утверждение φ немедленно вытекает из
теоремы 8.12. Из условия утверждения © легко вывести, что замыкания
в сХ любых функционально отделимых в X множеств не
пересекаются, так что применимо следствие 8.13. D
1 Следствие 8.15. Пусть X — тихоновское пространство.
Ι φ Если X нормально, то замыкания в βΧ любых двух непересека-
1 ющихся замкнутых подмножеств X не пересекаются.
Ι © Если в компактификации сХ пространства X замыкания лю-
1 бых двух непересекающихся замкнутых подмножеств X не пе~
V Напомним, что множества А, В с X функционально отделимы, если
существует непрерывная функция /: X —► [0,1] с тем свойством, что /Qc) — 0 для
всех χ G А и /(у) = 1 для всех у еВ.

§8.4.0N
283
1ресекаются, то X нормально и компактификация сХ
эквивалентна компактификации βΧ.
Доказательство. Достаточно вспомнить, что в силу леммы Уры-
сона пространство удовлетворяет аксиоме отделимости Г4 тогда
и только тогда, когда любые непересекающиеся замкнутые
множества в нём функционально отделимы, и применить следствие 8.13.
D
I Следствие 8.16. Для каждой компактификации cY тихоновско-
I го пространства У и любого непрерывного отображения /: X —* У
ι тихоновского пространства XeY существует непрерывное отоб-
I ражение /: βΧ-^cY с тем свойством, что /Ос) — /Ос) для всех
I хеХ.
Доказательство. Надо рассмотреть надотображение f:X-^cY
отображения / и применить теорему 8.12. D
1 Следствие 8.17. Если X — тихоновское пространство, У с X и
I любая непрерывная функция /: У—* [0,1] непрерывно
продолжали ется на X, то Ϋβχ — компактификация пространства У, эквива-
1 лентная βΥ. Если при этом У плотно в X, то βΥ = βΧ.
1 Следствие 8.18. Для каждого замкнутого подпространства F
1 нормального пространства X замыкание F@x является компак-
1 тификацией пространства X, эквивалентной стоун-чеховской
1 компактификации βΕ.
[Следствие 8.19. Если X — тихоновское пространство и Χ<ζΖ<ζ
(ΖβΧ, то βΖ = βΧ.
Доказательство. Ясно, что βΧ — компактификация Ζ. Пусть
/: Ζ —* К — непрерывное отображение в компакт, и пусть g = f\x.
Для непрерывного продолжения g функции g на βΧ имеем g\x ~f\x.
В силу следствия 5.8 g\z=f- Значит, g — непрерывное продолжение
отображения / на βΧ. Осталось применить теорему 8.12. D
§8.4. /3Ν
Из последнего следствия видно, что нарост стоун-чеховской
компактификации может быть устроен очень просто, например,
быть одноточечным: если взять некомпактное пространство X и
положить У = βΧ \ {у}, где у φ Χ, то нарост βΥ \ У будет состоять
из единственной точки у. Однако чаще всего (а если речь идёт
о некомпактных метризуемых пространствах, то всегда) нарост
большой и обладает «плохими» свойствами. В качестве примера

284
Глава 8. Компактификации
мы рассмотрим простейшее некомпактное тихоновское
пространство — счётное дискретное пространство N натуральных чисел.
Прежде всего заметим, что, хотя пространство N дискретно
и потому локально компактно (и нормально), нарост /3N\N никак
не может быть одноточечным. Действительно, по следствию 8.15
любые непересекающиеся замкнутые множества в N (т.е. любые
непересекающиеся множества) должны иметь непересекающиеся
замыкания в βΝ. При этом в силу компактности βΝ каждое
бесконечное множество Л с N имеет предельную точку в βΝ, и эта
точка принадлежит наросту βΝ \ Ν, потому что в N все точки
изолированы. Множество N содержит бесконечно много попарно
непересекающихся бесконечных множеств, и все они имеют разные
предельные точки в βΝ \ Ν, так что нарост как минимум счётен. На
самом деле его мощность равна 22 °.
Компактификацию βΝ можно явно описать в терминах
ультрафильтров (однако сами ультрафильтры, за исключением главных,
явному описанию не поддаются!).
На множестве 11 всех ультрафильтров на N имеется естественная
топология, порождённая базой
Ш = {Л: А с Ν}, где А = {°11 € 11: A e W} для А с N. (*)
Само множество N находится во взаимно однозначном
соответствии с множеством всех главных ультрафильтров:
n^^n = {AcN:{n}EA}eH.
Множество 11 всех ультрафильтров на N с дписанной выше
топологией—это и есть стоун-чеховская компактификация βΝ,
причём вложение β: N —> βΝ определено указанным выше правилом
β {ή) — ^/г. Зная об этом, в дальнейшем мы будем писать βΝ вместо
И и подразумевать, что топология на βΝ порождена выписанной
выше базой ^.
Очевидно, каждое одноточечное множество {^п} открыто в βΝ,
т. е. β (Ν) — открытое дискретное подпространство пространства βΝ
и β —действительно гомеоморфное вложение. При этом β (Ν) = βΝ,
так как любое непустое открытое множество в βΝ содержит
непустой элемент базы, т. е. множество вида А для непустого А с Ν, и для
всякой точки п€Л имеем АеУ/п, откуда следует, что 9/пе А.
Проверим, что наше пространство βΝ компактно.
Предположим, что существует открытое покрытие ^ пространства βΝ, из
которого нельзя выделить конечное подпокрытие. Согласно пред-

§8.4./SN
285
ложению 7.1 можно считать, что покрытие ^ состоит из
элементов базы <%, т.е. множеств вида А. Заметим, что семейство с€' =
г= {А: А е ^} покрывает N. Действительно, если π еΝ \ (|J ^'), то
главный ультрафильтр ^/п не может содержать ни одно из множеств
де^' (поскольку он содержит одноточечное множество {п}, не
пересекающееся ни с одним из этих множеств); значит, °11п^А для
всех Ае ^, т. е. ^ не покрывает пространство /3N.
Если из покрытия Н>' множества N можно выделить конечное
подпокрытие {Аь ..., Ак}, то согласно следствию 3.22 каждый
ультрафильтр °и е /3Ν содержит одно из множеств Al9...,Ak, а значит,
каждый ультрафильтр принадлежит одному из множеств Аъ ..., Ак,
т.е. эти множества образуют конечное подпокрытие покрытия ^,
а это нам и нужно.
Предположим, что покрытие <€' не содержит конечного
подпокрытия. Тогда двойственное семейство & — {N \ А: А е <&'}
центрировано, а значит, оно содержится в некотором ультрафильтре
^e/3N (см. теорему 3.20). Ультрафильтр У/ принадлежит
некоторому элементу А покрытия ^. Значит, Ае^. Однако Ν\Λ€^
и^с^, т.е^ содержит непересекающиеся множества А и Ν\А,
а этого быть не может.
Хаусдорфовость пространства βΝ очевидна — в силу теоремы 3.21
для разных ультрафильтров ^иУ должны найтись
непересекающиеся множества Ле^иВеУ, которые и определяют
непересекающиеся окрестности А и β этих ультрафильтров.
Итак, мы доказали, что /3Ν — компакт. Поскольку /3(Ν) = /3Ν
(где β: Ν—>βΝ — гомеоморфное вложение), βΝ действительно
является компактификацией пространства N. Осталось доказать её
максимальность. Воспользуемся теоремой 8.12. Пусть К — компакт
и /: β(Ν) —>К— любое непрерывное (т.е. вообще любое)
отображение. Для Щ € /SN пусть W = {Χ<ζΚ: (/ο β)~ι(Χ) € ^} —образ
ультрафильтра °11 при отображении / о β: N —* К. По
предложению 3.24 ультрафильтр °11 является ультрафильтром на компакте К,
а значит, сходится к некоторой точке xgK (cm. теорему 7.2).
Положим /(<20 — х. Заметим, что для любого главного
ультрафильтра 9/п имеем {п} е 9/п и, значит, {/(/3(п))} = {/(^п)} € ^п; по
свойству © фильтров любая окрестность точки /(^п) тоже
принадлежит ультрафильтру ^п, т. е. ^/п сходится к /(^п) и/(^п)=/(^„).
Следовательно, отображение / продолжает /. Покажем, что оно
непрерывно.

286
Глава 8. Компактификации
Пусть °11 е βΝ, и пусть /(^) = х. Нам надо показать, что
прообраз при отображении / любой окрестности точки χ в К содержит
окрестность ультрафильтра °11 в /SN. Пусть [/ — любая окрестность
точки х. Пользуясь регулярностью компакта К, найдём другую
окрестность V этой точки со свойством VK с U. То, что /(^) = х,
означает, что ультрафильтр 9/ = {X<zK: (/о β)-1(X) е У/} на К
сходится к точке х, а значит, Уе^. Это, в свою очередь, означает, что
(/ ° β)-1 (У) е ^, т. е. ^ е (/ о β)-1 (У) (здесь черта означает то же,
что в формуле (*)υ). Возьмём любой ультрафильтр Ύ в окрестности
(/°β)_100 ультрафильтра Щ. Пусть /(У)=у, т.е. ультрафильтр
У = {ХсК: (/ о β)-1 (Χ) € У} сходится к точке у в К. Если у £ U,
то множество X" \ VK является окрестностью точки у и потому
обязано принадлежать ультрафильтру У. Но тогда (/o^)~1(JC\ViiC) —
= М\(/о/8)~~1(У*)€У, а это невозможно, так как УеС/о/З)""1^),
т.е. (/о^)"1^) еУ. Мы показали, что образ /(У) любого
ультрафильтра У е (/оβ)"1 (V) принадлежит окрестности U точки х,
а значит, отображение / непрерывно в точке °11. В силу
произвольности выбора <%/ отображение / непрерывно, т.е. f действительно
является непрерывным продолжением отображения / на βΝ.
Описание компактификации βΝ в терминах ультрафильтров полезно
хотя бы потому, что оно позволяет продолжить естественным образом
полугрупповые операции на N на множество всех ультрафильтров, причём
определённые таким образом операции сложения и умножения ультрафильтров
оказываются непрерывными по первому аргументу. Из компактности
вытекает существование идемпотентов и минимальных левых идеалов в
полугруппе βΝ, а ультрафильтры, которые являются идемпотентами или
принадлежат минимальным идеалам, находят самые удивительные и полезные
применения в рамсеевской комбинаторике (науке о раскрасках
бесконечных множеств) и топологической динамике. Мы ещё вернёмся к
полугруппе βΝ в последней главе.
Компакт βΝ обладает рядом любопытных свойств.
Предложение 8.20. Для веса и числа Суслика нароста βΝ \ Ν
выполнены равенства α;(βΝ \ Ν) = ε(βΝ \ Ν) = 2*4
Доказательство. Сначала покажем, что ε(βΝ \ Ν) ^ 2К°.
Возьмём семейство j4 бесконечных подмножеств N со свойствами \j4\~
— 2*° и \А Π В\ < К0 для любых А, В € si. (Такое семейство су-
1} На самом деле Ά в формуле (*) — это просто замыкание множества Λ с N
в пространстве βΝ, так что черта здесь вполне оправдана.

§8.4./SN
287
ществует — например, можно зафиксировать произвольную биек-
цию φ: Q —* Ν, затем выбрать для каждого а е R произвольную
нетривиальную последовательность (<?η(α))π<ΕΝ рациональных
чисел, сходящуюся к а, и положить Аа — {φ((?π(α)): π е N}.
Очевидно, последовательности, сходящиеся к разным числам, могут
иметь лишь конечное число общих членов.) Заметим, что если
q/ GAan Αβ, где α Φ β, то ультрафильтр <%/ содержит конечное
множество ΑαΓ\Αβ и, следовательно, является главным, т. е.
принадлежит множеству /3(Ν), которое мы условились отождествлять с N.
Значит, (Аа ПЛ^П (/3Ν \ Ν) = 0, т. е. {Аа: а е R} —дизъюнктное
семейство непустых открытых множеств в βΝ\Ν мощности 2*°.
Теперь заметим, что из определения базы ^ пространства /3Ν
следует неравенство w(/3N) ^ \3>(N)| = 2К°. Поскольку βΝ\Ncj8N,
имеем также w()8N\N) ^2*°. Осталось применить очевидное
неравенство с(Х) ^ w(X), которое выполнено для всех топологических
пространств X. D
Замечание 8.21. Выбрав по точке из βΝ \ N в каждом
открытом множестве Аа, мы получим дискретное подпространство D
пространства βΝ; объединение DUN —ещё один пример вполне
регулярного ненормального пространства, поскольку оно сепарабельно
и содержит замкнутое дискретное подпространство мощности 2*°
(см. предложение 5.12).
I Теорема 8.22. Каждое бесконечное замкнутое множество F с
с βΝ содержит подмножество, гомеоморфное βΝ.
Доказательство. Из хаусдорфовости пространства βΝ следует,
что F содержит хотя бы одну точку хг, у которой есть открытая
в βΝ окрестность 11г с бесконечным дополнением F \ ΌΎ в F.
Найдём окрестность Уг точки χλ в βΝ, для которой V1<zUl. В
бесконечном замкнутом множестве F \ иг возьмём точку х2 и её
окрестность U2 с бесконечным дополнением bF\[/1 и найдём другую
окрестность V2 со свойством V2 с U2 \ Уг. Продолжая действовать
таким образом, мы определим последовательности точек хъ х2,... gF
и открытых множеств Vly V2,... в βΝ так, что
xt e Vt для всех i е N и Vt Π Vj — 0 для ί Φ j.
Положим X — {хъ х2,...}. Ясно, что пространство X с
индуцированной топологией дискретно. Покажем, что X = βΧ, τ. е. любая
непрерывная функция X—> [0,1] продолжается на замыкание X
множества XbjSN (cm. следствие 8.14).

288
Глава 8. Компактификации
Пусть g: X —> [0,1] —произвольная функция. Функция gN: N -
[0,1], определённая формулой
' gUi), если η G Ν Π Vh
еслип^Мп(и^),
имеет непрерывное продолжение gN: βΝ —> [0,1]. Поскольку N
плотно в /SN, для каждого i G N по предложению 3.8 имеем Vt—Vt ΠΝ,
а поскольку (непрерывная) постоянная функция на Vi9 равная gixj,
на Ν Π Vt совпадает с непрерывной функцией gN\y., в силу
следствия 5.8 функция gN принимает постоянное значение g(xt) на Vt
для каждого ί G N. Значит, gN\x — g и сужение g = gN\x является
непрерывным продолжением функции g на X.
Таким образом, X действительно является стоун-чеховской ком-
пактификацией βΧ пространства X. Поскольку X гомеоморфно Ν,
компактификация βΧ = X<zF гомеоморфна βΝ. Π
! Следствие 8.23. Пространство βΝ не содержит
нетривиальных сходящихся последовательностей.
Доказательство. Если (ап)п~ последовательность разных точек
пространства βΝ, сходящаяся к точке aGβΝ, то {ап: η€Ν}υ{α} —
счётное компактное (а значит, замкнутое) подмножество
пространства /3Ν, которое, вопреки доказанной теореме, не может содержать
гомеоморфной копии несчётного пространства βΝ. D
Следствие 8.24. Компакт βΝ \ Ν не удовлетворяет первой
аксиоме счётности ни в одной точке. Кроме того, ни одно из
счётных пространств^ NUx, где xe/3N\N, не удовлетворяет первой
аксиоме счётности.
В заключение мы покажем, что \βΝ\ = 22 °. Рассмотрим тихоновский
куб [0,1]2 ° (он как раз имеет мощность 22 °). По теореме Хьюитта—
Марчевского—Пондицери [0,1]2 ° содержит счётное плотное множество А.
Как-нибудь перенумеруем его элементы: А = {αΐ5 α2,...}. Отображение
/: N —» [0,1]2 °, определённое правилом f(n) — ап, ri€N, непрерывно
(потому что N дискретно); значит, оно продолжается до непрерывного
отображения /: βΝ —» L0,1]2 °, причём это отображение сюръективно,
поскольку непрерывный образ компакта βΝ должен быть компактен и,
значит, замкнут в [0,1]2 °, а наименьшее замкнутое подмножество куба
[0,1]2 °, содержащее плотное множество A = f(N) c/(/3N),— это сам куб.
Итак, \βΝ\ ^ 22 °. Поскольку пространство βΝ хаусдорфово и сепара-
бельно, имеем также \βΝ\ ^ 22 ° (см. задачу 12 б) на с. 171).
2) Каждое такое пространство имеет единственную неизолированную точку х.

Задачи
289
Задачи
1. а) Заметьте, что обычная прямая R локально компактна.
Опишите её одноточечную компактификацию.
б) Заметьте, что евклидова плоскость Ш2 локально компактна.
Опишите её одноточечную компактификацию.
в) Покажите, что отрезок [0,1] является двухточечной
(нарост состоит из двух точек) компактификацией прямой Ш (т.е.
[0,1] = сМ для некоторого вложения с: Ш —> [0,1] такого, что с(М)
плотно в [0,1]). Заметьте, что aM^cR (поскольку компактифика-
ция аМ наименьшая). Укажите явно соответствующее отображение
сЖ —> aR из определения отношения ^ между компактификациями.
г) Существует ли у прямой R трёхточечная компактификация?
2. Покажите, что компактификация сХ тихоновского
пространства X эквивалентна стоун-чеховской компактификации βΧ тогда
и только тогда, когда всякая ограниченная непрерывная функция
/:Х—*R продолжается до непрерывной функции /: сХ—>М.
3. Пусть X — тихоновское пространство и У —его замкнутое
подпространство. Верно ли, что замыкание множества Υ в стоун-
чеховской компактификации βΧ пространства X является стоун-
чеховской компактификацией βΥ пространства Υ?
4. Докажите, что для любого бесконечного дискретного
пространства D справедливы следующие утверждения:
а) aD — это суперпоследовательность Александрова А(к), где
к = \D\ (см. пример 5 на с. 243);
6)|/3D| = 22lD1;
в) wtfD)=2m.
5. Покажите, что ни для какого некомпактного метризуемого
пространства X стоун-чеховская компактификация βΧ не
является одноточечной; более того, мощность нароста βΧ \ Χ не
меньше 2К°. Если при этом либо ш(Х) = К0, либо ш(Х) > К0 и ш(Х)
нельзя представить как супремум счётного числа меньших кардиналов,
тош(/ЗХ)=2ш(х).
6. а) Покажите, что если X и Υ — тихоновские пространства
с первой аксиомой счётности и компактификации βΧ и βΥ гомео-
морфны, то и сами пространства X и Υ гомеоморфны.
б) Верно ли, что если компактификации βΧ πβΥ произвольных
тихоновских пространств X и Υ гомеоморфны, то и пространства X
и Υ гомеоморфны?

290
Глава 8. Компактификации
7. Заметьте, что пространство И^0 всех не более чем счётных
ординалов с порядковой топологией локально компактно. Докажите,
что aW® = β]/ν® = ν/Ύ (напомним, что У/г = W^0 U {ωλ}). Заметьте,
что отсюда вытекает существование ровно одной компактификации
у пространства И^°.
8. а) Проверьте, что^ β[Χ (ΒΥ] = β Χ θ βΥ для любых
тихоновских пространств X и У.
б) Докажите, что если тихоновские пространства X и Υ
бесконечны и β[Χ χ Υ] — βΧ χ βΥ, то все непрерывные функции на X
и на У ограничены.
9. Заметьте, что, вообще говоря, компактификация,
предоставляемая теоремами Тихонова (т.е. замыкание в [0,1]ш(х) образа
Δ/α СЮ пространства X при вложении Δ/α> гДе fa: х ~~> [0> 1] —
непрерывные функции, указанные в доказательстве теоремы
Тихонова о вложении), не является стоун-чеховской максимальной
компактификацией. Докажите, что если & — {fa: а е Л} —
семейство всех непрерывных функций X —> [0,1], то замыкание образа
пространства X при вложении Δ fa: X —> [0,1]А совпадает с βΧ.
а(=А
10. Пусть αΌλ и aD2 — непересекающиеся одноточечные
компактификации дискретных пространств Όλ и D2 мощности 2К°.
Очевидно, А = αϋλ θ aD2 —двухточечная компактификация
дискретного пространства D = ΌΎ θ D2. Заметьте, что двойная окружность
Александрова X (см. пример 7 на с. 244) тоже является
компактификацией пространства D. Покажите, что компактификации А и X
несравнимы. Выведите отсюда, что αϋφβΌ κΧφβΐ).
11. Покажите, что для всякого Л с N множество
А = {<%: У/ —ультрафильтр на Ν, А е У/}
действительно является замыканием множества Л с N в /SN (см.
описание пространства /3Ν в терминах ультрафильтров на с. 284).
Таким образом, все множества вида А открыто-замкнуты в βΝ.
1} Квадратные скобки здесь означают лишь то, что рассматривается стоун-
чеховская компактификация суммы Χ Θ Υ, а не сумма βΧ и Υ. В литературе для
этой цели обычно используются круглые скобки, так как всякое пространство
считается подпространством своей стоун-чеховской компактификации, так что
гомеоморфные вложения β вообще не рассматриваются и нет опасности
перепутать компактификацию суммы с её образом при таком вложении.

Подсказки и решения
291
Подсказки и решения
1. в) Здесь нам будет удобнее вместо прямой рассмотреть го-
меоморфную ей окружность без точки, т. е. подпространство
X = {(х,у): *2 + у2 - 1}\{(1,0)} - {(cos φ, sin φ): φ e (0,2π)}
евклидовой плоскости R2, а вместо отрезка [0,1] — гомеоморф-
ный ему отрезок [0, 2π]. Тогда одноточечная компактификация
прямой превращается в окружность, а гомеоморфное вложение
с: X —> сХ = [0, 2π] действует по правилу c((cos φ, sin φ)) = φ. В
задаче требуется указать непрерывное отображение /: сХ —> аХ со
свойством / о с = idx. (Напомним, что по определению одноточечной
компактификации аХ гомеоморфное вложение а: X —> аХ — это
просто тождественное отображение idx.) Это отображение
определено правилом /(φ) = (cos φ, sin φ) для φ е (0, 2π), /(0) = /(2π) =
= (1,0). Таким образом, / — это факторное отображение, которое
склеивает точки 0 и 2π.
г) Нет, трёхточечных компактификации у Μ не существует. В
самом деле, предположим, что К — такая компактификация; без
ограничения общности будем считать, что R с К (сразу же отметим, что
R открыто в К, будучи дополнением до замкнутого (трёхточечного)
множества). Пусть К \R= {α, Ь, с}. Возьмём попарно
непересекающиеся открытые окрестности Ua, Ub и Uc точек α, b и с (в К).
Семейство ^ = {Ua, Ub, Uc} U {(х -1, jc +1): jc e R} является открытым
покрытием компакта К. Найдём конечное множество F с R, для
которого семейство
y = {l/a,l/b,l7c}U{(jc-l,jc+l):jc€F}
является (конечным) подпокрытием покрытия %. Объединение
(J (jc—1, jc+l) содержится в некотором отрезке вида [—М, М]. Пред-
xeF
положим, что одно из множеств Ua Π Μ, Ub Π R и Uc Π R (пусть для
определённости это будет Ua Π Μ) целиком содержится в [—М,М].
Тогда замыкание Ua Π RR этого множества в R ограничено, а значит,
и компактно; поскольку любой компакт замкнут во всяком
объемлющем хаусдорфовом пространстве, имеем [/аПМ^ = [/аПМЕсМ.
С другой стороны, по предложению 3.8 из плотности множества R
в К вытекает, что UanRK = U% э а фR. Это противоречие
показывает, что каждое из множеств Ua (Ί R, Ub Π R и Uc Π R пересекается
либо с лучом (-оо, М), либо с лучом (М,+оо), так что с одним
из этих лучей пересекаются как минимум два множества. Пусть

292
Глава 8. Компактификации
для определённости множества Ua Π R и Ub Π R пересекают луч
(Μ, +оо). Тогда У = Ua Π (Μ, +оо) и W = (i/b U i/c) Π (Μ, +οο)
—непустые открытые в R множества, У П VK = 0 и у и W = (Μ, +οο) (это
вытекает из определения покрытия У и того, что все элементы этого
покрытия вида О -1, χ +1) содержатся в [-М, М]). Существование
таких множеств противоречит связности гомеоморфного прямой
луча (М, +оо) (см. решение задачи 16 на с. 81).
Точно так же можно доказать несуществование η-точечной
компактификации у прямой R для любого натурального η ^ 3.
2. Для любой ограниченной функции /: X —> R найдётся такое
Μ > О, что /(X) с [-М, М]. Пусть φ: [-М,Μ] —> [0,1]
—гомеоморфизм. Заметьте, что если функция / непрерывна, то она имеет
непрерывное продолжение /: сХ —> R тогда и только^ тогда, когда
φ о /: χ —> [0,1] имеет непрерывное продолжение φ о f: сХ —> [0,1].
Затем воспользуйтесь следствием 8.14.
3. Нет. Если существует непрерывная функция /: Y—> [0,1],
которую нельзя продолжить до непрерывной функции X—> [0,1] (это так,
например, если X — плоскость Немыцкого и Υ — граничная прямая),
то
γβΧφβΥ: функцию/ можно продолжить до непрерывной
функции βΥ—> [0,1] по теореме 8.12, и любую непрерывную функцию
γβχ-^> [0,1] можно продолжить до непрерывной функции /ЗХ—> [0,1]
по теореме Титце—Урысона {βΧ нормально, будучи компактом).
Поэтому если бы имело место равенство Υβχ = βΥ, то функция /
имела бы непрерывное продолжение даже на βΧ и тем более на X.
4. Доказательство утверждения б) дословно повторяет
доказательство аналогичного факта для /3Ν. Чтобы доказать
утверждение в), заметьте, что ά{βΌ) = \D\, поэтому ιυ{βΌ) ^2'D' (см.
задачу 12 в) на с. 171). По теореме Хьюитта—Марчевского—Пондицери
тихоновский куб [0,1]2° содержит плотное множество А мощности
|Л| = \D\. В силу следствия 8.16 и того, что А плотно в кубе, биекция
D —> А продолжается до непрерывной сюръекции βΌ —> [0,1]2° .
Согласно задаче 6 а) на с. 253 имеем ιυφΌ) ^ 2'DL
5. Сначала заметьте, что пространство X содержит замкнутое
дискретное подпространство D мощности ш(Х). С этой целью (по
аналогии с доказательством теоремы 3.13) для каждого η е N
рассмотрите максимальное (по включению) дизъюнктное семейство
шаров радиуса - и покажите, рассуждая так же, как при доказатель-

Подсказки и решения
293
стве леммы 7.21, что множество Yn центров этих шаров замкнуто
и дискретно. Заметьте, что Υ = {jYn плотно в X и что из равенства
d{X) = w{X) (оно доказывается точно так же, как теорема 3.9)
следует, что для некоторого η имеем \Υη\ = ш(Х) (в этом месте
используется предположение, что w(X)=d{X) либо счётно, либо не
является супремумом счётного числа меньших кардиналов). После этого
останется вспомнить, что X нормально, и применить следствие 8.18
и задачи 46), в).
6. а) Пусть X и Υ — тихоновские пространства с первой
аксиомой счётности и компактификации βΧ и βΥ гомеоморфны.
Будем считать, что X с βΧ = βΥ э Υ. Предположим, что Χ \ Υ Φ 0
и jc*€l\ Υ. Точка jc* имеет счётную базу окрестностей {Un: n€N}
в пространстве X, причём без ограничения общности можно
считать, что LTn+1 с Un для каждого η е N (иначе перейдём к
меньшим окрестностям, которые по-прежнему будут образовывать
базу). Пусть Vn —открытые множества в βΧ, для которых Vn ПХ = Un.
Заметим, что Уп+1 с Vn для η е N и {Vn: η е Ν} — база окрестностей
точки х* в βΧ. Действительно, если найдётся окрестность точки
jc* в βΧ, которая не содержит ни одного множества Vn, то ввиду
регулярности пространства βΧ найдётся и окрестность W,
замыкание которой не содержит ни одного Vn. Пересечение Wf)X
является (замкнутой) окрестностью точки jc* в X, и для любого η е N
имеем Un \ (W Π Χ) = (Vn \W)C\X. Это пересечение непусто, потому
что Vn \ W непусто и открыто в βΧ, а значит, пересекает плотное
подпространство X пространства βΧ. Мы получили противоречие
с тем, что {Un: η еΝ} — база окрестностей точки х* в X.
Итак, точка jc* имеет счётную базу окрестностей в βΧ, и тем
более одноточечное множество {**} имеет тип G5 в βΧ (τ. е.
является пересечением не более чем счётного числа открытых
множеств). Согласно задаче 8 а) на с. 170 множество {jc*}
функционально замкнуто. Пусть /: /ЗХ—> [0,1] —непрерывная функция, которая
обращается в ноль в точке jc* и больше нигде. Вспомним, что Υ
плотно в βΥ = βΧ. Значит, х* — предельная точка для У и её образ
/(jc*) = 0 является предельной точкой для /(У) с (0,1]. Пользуясь
этими обстоятельствами, выберем точки уп е Υ, η е Ν, так, чтобы
выполнялись условия yn G Vn (тогда последовательность (уп)
сходится к х*) и /(yn+i) < /(уп) ^ \ для η € N. Положим Υ' = {уп: η € Ν}.
Заметим, что сужение f\Yt взаимно однозначно и /(70 — замкну-

294
Глава 8. Компактификации
тое дискретное множество в подпространстве /(У) наследственно
нормального пространства [0,1]. Следовательно, любые
непересекающиеся подмножества множества /(У7) функционально
отделимы в /(У), а значит, любые непересекающиеся подмножества
множества Y' функционально отделимы в У. Действительно, для
любых непересекающихся множеств А, В с У' в силу леммы Урысона
найдётся непрерывная функция g: /(У) —> [0,1], удовлетворяющая
условиям g|/(A) ξ 0 и gl/φ) ξ 1. Функция go/ непрерывна на У и
удовлетворяет условиям g о f\A ξ 0 и g о /|β ξ 1.
Согласно следствию 8.13 замыкания множеств {γ2η-ι: π е Ν}
и {у2п: η g Ν} в βΥ не пересекаются. Значит, точки уп никак не
могут составлять сходящуюся к х* последовательность.
б) Нет — см. следствие 8.19.
7. Мы докажем, что β\ν® = У/г (остальные утверждения легко
выводятся из этого равенства). Очевидно, достаточно показать,
что для каждой непрерывной функции /: И^° —> R найдётся такой
ординал а0 < сог, что Да) = /(а0) Д·7151 всех счётных а > а0, — тогда
продолжение / функции / на И^ будет определяться правилом
/(ω^ =/(α0), /(α) =/(α) для всех а < ωΎ.
Сначала покажем, что для любого η е N существует такой
ординал ап < ωΐ9 что |/(а) - /(ап)| < „ при всех а ^ ап. Предположим,
что для некоторого п0 е N и каждого а < ωλ можно найти такой
ординал β>α, что |/(а) - /(β)| ^ jp. Тогда мы можем определить
по индукции две последовательности аг, а2,... и βΐ9 β2,... счётных
ординалов, удовлетворяющие условиям
αη<βη<αη^ и |/(ап)-/(^л)|>^ для η = 1,2,...
Однако существование таких последовательностей противоречит
непрерывности функции /: если γ = sup({an: η е Ν} υ {βη: η e N}),
то, как легко проверить, каждая окрестность элемента γ содержит
все члены каждой из последовательностей, начиная с некоторого.
Однако множество /_1((/(у) - 2гГ>/(т) ~*~ 2тГ)) не может с°ДеР"
жать двух точек ап и βη с одинаковыми индексами. Значит, это
множество не является окрестностью точки γ.
Итак, ординалы ап с требуемым свойством существуют.
Положим а0 = sup ап. Очевидно, а0 < ωλ (поскольку а0 = |J an). По опре-
делению ординалов ап для каждого π е N выполнены неравенства

Подсказки и решения
295
|/(«о) ~ /(«п)1 < \ и |/(а) - /(ап)| < ^ при всех а > а0, а < ωχ.
Значит, каков бы ни был счётный ординал α > α0, имеем
1/(а0)-/(а)1 ^ 1/(«о)-/(«Л+ !/(«)-Л«п)1 < \
для всех neN, т.е. /(а)=/(а0)·
8. б) Предположим, что существует неограниченная
непрерывная функция /: X —>М. Тогда хотя бы одно из дизъюнктных
семейств открытых множеств Θ — {/_1((п - 1, η + 1)): η нечётно}
и & = if'1 in — 1, η -f1): π четно} содержит бесконечное число
непустых элементов. Пусть для определённости это семейство ά. Для
удобства перенумеруем все его непустые элементы натуральными
числами. Получим счётное дизъюнктное семейство ^ = {ί/η:π€Ν}
открытых множеств в X с тем свойством, что у каждой точки хеХ
есть окрестность, пересекающая не более двух элементов
семейства %. Действительно, для xe|J^ такой окрестностью является
содержащий χ элемент а, а если jteX\|j0, то /(χ)
—некоторое чётное число к, и /_1((fc — 1, к +1)) —открытая окрестность
точки х, которая пересекается не более чем с двумя элементами
семейства ϋ.
В пространстве Υ легко строится (например, по индукции)
бесконечное дизъюнктное семейство {Vn: η е Ν} непустых открытых
множеств. Для каждого η £ N выберем точки хп е Un и уп е Vn и
найдём непрерывную функцию gn: Χ χ Υ —> R с тем свойством, что
gn(*n, Уп) = 1 и £πΙ(χχγ)\([/πχνπ) = 0 (она существует, поскольку Χ χ Υ
вполне регулярно). Заметим, что, поскольку у каждой точки хеХ
есть окрестность U, пересекающая не более двух множеств вида Un,
у каждой точки О, у) еХ χ Υ есть окрестность (а именно, U χ Υ),
пересекающая не более двух множеств вида Un x Vn. Следовательно,
на Χ χ Υ определена, непрерывна и ограничена функция g = ^ gn.
Теперь предположим, что существует непрерывное
продолжение g функции g на βΧ χ βΥ. Найдётся натуральное число meN,
для которого существуют такие открытые множества At с βΧ и Bt с
с βΥ, ίτζτη, что
υ\χΒί = βΧχβΥ
и для каждого ί < m и любых двух точек (х, у), (х7, у0 е Д· х В(
выполнено неравенство
Ι£«*^))-£((*',/))Ι<ι.

296
Глава 8. Компактификации
(Действительно, достаточно у каждой точки компакта βΧ χ β Υ
найти открытую окрестность вида Ах В, содержащуюся в прообразе
при отображении g некоторого интервала длины меньше 1, и
выделить из покрытия компакта βΧ χ βΥ этими окрестностями
конечное подпокрытие {Аг χ Въ ..., Ат χ Вт}.) Заметим, что хотя бы одно
множество At x Bt содержит две точки (хь ук) и (хп, уп) с разными
индексами кип. Имеем также (хъУп) е А х βΐ· По построению
g(Ub Xfc)) = 1 и g((xb уп)) = 0 (потому что (хь уп) € Uk х Уп, все
множества вида Us х Vt попарно не пересекаются и функция g
принимает ненулевые значения только на произведениях ϋχ χ VJ множеств
с одинаковыми индексами). Значит, \g{{xk, хк)) — £((**, уп))1 = 1
(так как g продолжает g). Это противоречие доказывает, что
функцию g нельзя продолжить на βΧ χ βΥ, а значит, βΧ χ /ЗУ не
является стоун-чеховской компактификацией пространства Χ χ Υ.
В случае, когда неограниченная непрерывная функция
существует на пространстве Υ, рассуждения аналогичны.
9. Заметьте, что, поскольку каждая непрерывная функция /: X —>
—> [0,1] есть fa для некоторого а е А, непрерывное отображение
πα: [0,1]Л —> [0,1] (проектирование на α-ю координату) есть не что
иное, как продолжение функции f = fa на всё произведение [0,1]л,
а сужение πα \χ является непрерывным продолжением этой функции
наХ.
10. Если Χ ίζ А, то по предложению 8.7 должно существовать
непрерывное отображение А —> X, переводящее нарост А \ D (это
две точки) в нарост X \ D (это обычная окружность; роль D в
двойной окружности X играет подпространство С2). Такого
отображения существовать не может. Непрерывного отображения,
переводящего нарост X \ D в нарост А \ D, тоже не существует, поскольку
окружность связна (потому, например, что она является
непрерывным образом отрезка, связность которого доказывается точно так
же, как связность прямойх)), а связность сохраняется
непрерывными отображениями^. То, что ΧφβΌ, следует, например, из того,
что компактификация /3D, будучи наибольшей, сравнима со всеми
компактификациями пространства D.
11. Напомним, что мы договорились отождествлять точки
множества N с главными ультрафильтрами. При таком отождествлении
х) См. решение задачи 16 на с. 81.
2) См. задачу 7 на с. 136.

Подсказки и решения
297
каждой точке η е N соответствует главный ультрафильтр Wn. Если
^еЛ, то для любой окрестности В ультрафильтра °и (где В€^)
имеем В Π Α φ 0, и для любой точки α е Α η В главный
ультрафильтр ^/а обязан содержать множество В (по свойству ® из
определения фильтров), т. е. принадлежать окрестности В. Таким образом,
любая окрестность любого ультрафильтра °и е А пересекает
множество А = {^/а: α еЛ}, т. е. А содержится в замыкании множества А
в βΝ. Обратное включение очевидно: если <%/ φ А, т.е. А ф %, то
N \ А е <%/ (по теореме 3.21), и N \ А — окрестность ультрафильтра ^,
которая не пересекается с Л.

Глава 9
Обобщения компактности
Как мы видели, компакты обладают многими замечательными
свойствами, каждое из которых ценно само по себе, и изучение
классов пространств, обладающих хотя бы одним из этих свойств,
тоже очень важно. Например, несомненный интерес представляет
изучение класса пространств, на которых ограничены все
непрерывные функции, или класса пространств, в которых любое
бесконечное множество имеет точку накопления (мы уже знаем, что
эти классы шире класса компактов). Интересно также понять, что
произойдёт, если ослабить одно из условий в самом определении
компактности — например, потребовать, чтобы любое открытое
покрытие содержало не конечное, а не более чем счётное
подпокрытие или чтобы не все открытые покрытия содержали конечное
подпокрытие, а только счётные, и т. п. Напомним, что подпокрытие —
частный случай вписанного покрытия^ и требование
существования конечного или счётного подпокрытия равносильно
требованию существования вписанного конечного или счётного покрытия,
так что в обобщениях подобного сорта для пущей общности
имеет смысл говорить не о подпокрытиях, а о вписанных покрытиях.
П. С. Александров даже предложил специальный термин — свойства
типа компактности. Так он назвал топологические свойства,
которые формулируются в терминах двух семейств ^иУ покрытий
топологического пространства и состоят в том, что в каждое открытое
покрытие из семейства У/ можно вписать покрытие из семейства У.
В этой главе мы рассмотрим лишь несколько самых
естественных и фундаментальных обобщений компактности. Начнём с уже
знакомого нам свойства локальной компактности.
§ 9.1. Локально компактные пространства
Напомним, что топологическое пространство локально
компактно, если каждая его точка имеет компактную окрестность.
υ См. определение на с. 224.

§ 9.1. Локально компактные пространства
299
Сейчас это определение стало общепринятым, однако в
литературе, даже современной, часто (а в отечественной литературе почти
всегда) используется другое определение: требуется, чтобы у
каждой точки существовала окрестность (или открытая окрестность —
здесь это неважно) с компактным замыканием. В классе хаусдорфо-
вых пространств эти определения равносильны в силу теоремы 7.3,
однако в общем случае класс пространств, локально компактных
в смысле первого определения, шире. Во избежание недоразумений
нам придётся ввести такое определение.
I Определение. Скажем, что топологическое пространство ло-
I калъно компактно в широком смысле, если у каждой его точ-
1 ки имеется компактная окрестность (не обязательно открытая),
1 и локально компактно в узком смысле, если у каждой его точки
Ι имеется открытая окрестность с компактным замыканием. Когда
1 речь идёт о хаусдорфовых пространствах, пространства, локально
1 компактные в любом (каждом) из этих смыслов, называются
I просто локально компактными.
Встречаются и другие определения локальной компактности. Дело в том,
что определять локальные версии топологических свойств можно
по-разному. Наиболее естественный подход (который, как правило, и применяется) —
сказать, что топологическое пространство локально обладает некоторым
свойством &, если каждая его точка имеет окрестность с этим свойством.
Однако естественно также требовать, чтобы в любой окрестности любой
точки содержалась окрестность со свойством &. Именно так, например,
определяется локальная связность, так что связное пространство вполне
может оказаться не локально связным (и наоборот). С локальной
компактностью та же ситуация — если (как иногда тоже делается) назвать локально
компактным пространство, в котором любая окрестность любой точки
содержит компактную окрестность, то такая локальная компактность,
вообще говоря, не будет вытекать из компактности, хотя в классе хаусдорфовых
пространств все определения локальной компактности равносильны.
Как мы знаем, всякое некомпактное локально компактное хаус-
дорфово пространство можно превратить в компакт добавлением
одной точки (или, как говорят, компактифицировать одной
точкой); иными словами, всякое такое пространство X имеет
одноточечную компактификацию аХ, причём X не только плотно, но
и открыто в аХ (дополнение до точки открыто в любом
^-пространстве). Отсюда вытекают такие свойства локально компактных
пространств.

300
Глава 9. Обобщения компактности
I Теорема 9.1. Локально компактные хаусдорфовы
пространства—это в точности открытые подпространства компактов.
Действительно, всякое локально компактное хаусдорфово
пространство является открытым подпространством своей
одноточечной компактификации. В том, что любое открытое подпространство
компакта локально компактно, тоже нетрудно убедиться: если U —
открытое подпространство компакта К, то в силу регулярности
компактов у всякой точки χ G U есть окрестность V в К со свойством
VK с U; осталось вспомнить, что компактность наследуется
замкнутыми подпространствами.
I Теорема 9.2. Всякое плотное локально компактное
подпространство в хаусдорфовом пространстве открыто.
(Эту теорему мы уже доказали в качестве леммы на с. 278.)
Главные вопросы, которые сразу возникают при изучении любого
топологического свойства —это как оно влияет на аксиомы
отделимости? какими подпространствами наследуется? какими классами
непрерывных отображений сохраняется? как оно ведёт себя под
действием основных операций, в первую очередь, при суммировании
и перемножении пространств? что можно сказать о кардинальных
инвариантах пространств с этим свойством? как это свойство
соотносится с другими топологическими свойствами — из каких свойств
оно вытекает, какие свойства вытекают из него, какие следствия
имеет это свойство в комбинации с другими свойствами, прежде всего
метризуемостью? Примерно по этой схеме мы и будем действовать.
I Теорема 9.3. Всякое хаусдорфово локально компактное
пространство вполне регулярно.
(Действительно, оно ведь вкладывается в компакт.)
Нормальным хаусдорфово локально компактное пространство
быть не обязано: пространство (Wi x W0) \ {(ω1? ω0)}υ хаусдорфово
и локально компактно, будучи открытым подпространством
(дополнением до точки) компакта2) У/г χ W0, но не нормально (см. задачу 4
на с. 169).
2) Напомним, что W1 = {a: a ^ ωλ} — множество всех не более чем счётных
ординалов вместе с первым несчётным, снабжённое порядковой топологией,
a W0 = {а: а ^ ω} — множество всех конечных ординалов вместе с первым
бесконечным, тоже с порядковой топологией.
2) Компактность пространства Шг доказана на с. 245, a W0 компактно хотя бы
потому, что является замкнутым подпространством пространства Wx.
Компактность произведения следует из теоремы Тихонова.

§ 9.1. Локально компактные пространства
301
1 Теорема 9.4. Подпространство локально компактного хаусдор-
I фова пространства X локально компактно тогда и только то-
Ι гда, когда его можно представить в виде F Πϋ, где F замкнуто
I в X, a U открыто.
Доказательство. Необходимость. Если Υ с X локально
компактно, то Υ открыто в Υ по теореме 9.2. Значит, Υ является
пересечением некоторого открытого в X множества с Υ, и можно взять это
открытое множество в качестве 1/,а7-в качестве F.
Достаточность. Сначала покажем, что любое открытое
подпространство U локально компактного хаусдорфова пространства X
локально компактно. Пусть χ е U, и пусть V — открытая окрестность χ
в X, для которой V компактно. Тогда U Π V тоже является
окрестностью точки χ в X. В силу теоремы 9.3 существует открытая
окрестность W точки χ в X со свойством W с U Π V. Она является
открытой окрестностью точки χ и в U, причём замыкание W компактно,
потому что оно является замкнутым подпространством компакта V.
Ещё проще доказать, что любое замкнутое подпространство F
локально компактного пространства X компактно: если χ е F и N —
компактная окрестность точки χ в X, то Ν Π F — окрестность точки χ
в F, и она компактна, поскольку является замкнутым
подмножеством компакта N.
Подведём итоги: если X — локально компактное хаусдорфово
пространство, U <zX открыто и F с X замкнуто, то U локально
компактно, поскольку локальная компактность наследуется
открытыми подпространствами, и F Π U тоже локально компактно, потому
что локальная компактность наследуется замкнутыми
подпространствами, a F Π U замкнуто в U. Π
Следующая теорема становится очевидной, если вспомнить, что
компактность сохраняется непрерывными отображениями (см.
теорему 7.7).
I Теорема 9.5. Если X—локально компактное в широком смысле
1 пространство и
I f:X^Y
Ι — открытое непрерывное отображение, то Υ тоже локально ком-
I пактно в широком смысле.
1 Теорема 9.6. 1. Топологическая сумма 0 Ха локально компакт-
I аеА
Ι на β узком или широком смысле тогда и только тогда, когда все
I пространства Ха локально компактны в том же смысле.

302
Глава 9. Обобщения компактности
1 2. Топологическое произведение J~J Ха непустых пространств
I а<=А
I локально компактно в узком или широком смысле тогда и только
Ι тогда, когда все пространства Ха локально компактны в том же
1 смысле и все они, за исключением конечного числа, компактны.
Доказательство. Первое утверждение очевидно. Докажем
второе.
Необходимость. Пусть а0 е А и xGXaQ. Возьмём точку 0са)а<Ед G
e]~jxa, где ха =х, а остальные координаты произвольны. У этой
точки есть компактная окрестность V (в случае, когда
рассматривается локальная компактность в широком смысле) или открытая
окрестность V с компактным замыканием У. Эта окрестность
содержит каноническую окрестность U — J~J Ua, где каждое Ua — непу-
а(=А
стое открытое подмножество пространства Ха и существует такое
конечное множество F с А, что Ua = Ха для всех индексов aGA\F.
Из того, что U с V, очевидно, следует, что па(У) — па(У) = Ха
для a&A\F. Поскольку все канонические проекции непрерывны,
а компактность сохраняется непрерывными отображениями, мы
сразу же можем заключить, что все пространства Ха, кроме тех, для
которых aeF (а таких конечное число), компактны.
Осталось показать, что у точки χ имеется окрестность с
нужными свойствами (компактная или имеющая компактное замыкание)
в Хао; этого будет достаточно в силу произвольности выбора
индекса a0 e А и точки хеХао. Тут нам придётся отдельно рассмотреть
случаи, когда речь идёт о локальной компактности в широком и
узком смыслах.
В случае локальной компактности в широком смысле
компактной окрестностью точки χ является παο(ν). Действительно,
согласно задаче 36) на с. 136 и теореме 6.13 множество πα (V)
является окрестностью точки х, а из того, что компактность сохраняется
непрерывными отображениями, и непрерывности проекций
следует компактность этой окрестности.
Рассмотрим теперь случай локальной компактности в узком
смысле, когда замыкание V предполагается компактным. Поскольку
каноническая окрестность U содержится в V, имеем U с V, и из
наследования компактности замкнутыми подпространствами
вытекает, что U тоже имеет компактное замыкание. По предложению 6.15
имеем U= J~J Ua, а по теореме Тихонова все Ua компактны. Значит,
α<ΞΑ

§ 9.1. Локально компактные пространства
303
Uao является открытой окрестностью точки χ £ Хао с компактным
замыканием, что и требовалось.
Достаточность. Очевидно, произведение любых двух локально
компактных (в любом смысле) пространств X и Υ локально
компактно: произведение компактных окрестностей (компактных
замыканий открытых окрестностей) любых точек χ е X и у £ X
компактно по теореме Тихонова и является окрестностью (замыканием
открытой окрестности; см. предложение 6.15) точки (х, у) в Χ χ Υ.
Отсюда немедленно вытекает конечная мультипликативность
локальной компактности в любом смысле, а из неё — требуемое
утверждение: если все сомножители Ха локально компактны и
существует такое конечное множество F индексов, что сомножители Ха
компактны для всех а е А \ F, то произведение Υ\ Χα локально
компактов
но в силу конечной мультипликативности локальной компактности,
а произведение Υ\ Χα компактно (и тем более локально компакт-
a<=A\F
но) по теореме Тихонова; ещё раз применяя конечную
мультипликативность локальной компактности, заключаем, что
Π*α=Π*αΧ Π *«
аеА aeF a(=A\F
локально компактно. D
Перейдём к кардинальным инвариантам локально компактных
пространств. Мы знаем, что бывают компакты с произвольным
весом, характером, плотностью и числом Суслина (см. пример 5 на
с. 243). Значит, локальная компактность тоже не накладывает
ограничений на значения этих кардинальных инвариантов. Мы также
знаем из задачи 5 б) на с. 253, что вес компакта не превосходит его
мощности (хотя в общем случае это не так). Этот факт остаётся
верным и для локально компактных пространств, и, чтобы его
доказать, мы введём ещё один естественный кардинальный
инвариант — псевдохарактер.
Рассуждение с сетевым весом, использованное в решении задачи 56)
на с. 253, применимо и к локально компактным хаусдорфовым
пространствам—достаточно рассмотреть одноточечную компактификацию аХ
такого пространства X, вспомнить, что вес компактификации аХ равен весу
пространства X, и заметить, что любую Сеть пространства X можно
превратить в сеть пространства аХ добавлением ещё одного (одноточечного)
элемента — компактифицирующей точки. Однако мы пойдём другим путём

304
Глава 9. Обобщения компактности
хотя бы для того, чтобы ввести и научиться использовать псевдохарактер,
который и сам по себе полезен и интересен.
I Определение. Псевдохарактер 7^-пространства X с топологи-
I ей ^ в точке χ е X — это кардинал
I <ф{х,X) = min{|^|: Щ с *Г, f]<Ы = {х}}.
ι Наименьший кардинал к* с тем свойством, что ψ(χ,Χ) ^ к* для
I всех точек χ е X, называется псевдохарактером пространства X
I и обозначается ^ (X):
1 <ψ (χ) = Sup{i/; (χ, Χ): χ € Χ}.
Ι Теорема 9.7. Характер локально компактного хаусдорфова
пространства в любой точке равен его псевдохарактеру в этой
точке.
Доказательство. Пусть X— локально компактное хаусдорфово
(а значит, и регулярное) пространство и хеХ. Ясно, что ψ{χ,Χ) ^
^ χ (χ, X), так что нам надо доказать, что я/>(х, Χ) ^ χ (χ, Χ). Случай
ψ (χ, Χ) < Κ0 очевиден (в этом случае гр(х, Χ) = χ (χ, Χ) = 1),
поэтому будем считать, что ψ (χ, Χ) = к ^ К0. Пусть Ua, a < к, — открытые
подмножества пространства X и {х}= Q Ua, и пусть W — откры-
а<к
тая окрестность точки χ с компактным замыканием. Для каждого
а<к найдём открытую окрестность Va с W точки х, для которой
Va с Ua. Ясно, что Р| Va = {χ} и все Va имеют компактное замы-
а<к
кание. Возьмём любую открытую окрестность U точки χ и любой
ординал а0 < к. Множества (Va \ U) \ Va, a< к, образуют открытое
покрытие компакта Va \U. Оно содержит конечное подпокрытие
Ш0 \ U) \ Vai: i = 1,...°, π}. Имеем (Уао Π Vai) Π ... Π (Уао η Van) С 17;
значит, Уао Π Уй1 Π ... Π Van с [/. Таким образом, любая открытая
окрестность U точки χ содержит конечное пересечение элементов
семейства {Va: а е А}, т. е. все такие конечные пересечения
образуют базу открытых окрестностей точки х. Осталось заметить, что
мощность множества всех этих пересечений равна к (см. задачу 9 а)
на с.44). D
I Следствие 9.8. Вес любого локально компактного хаусдорфова
пространства не превосходит его мощности.
Доказательство. Сразу же отметим, что для конечных
пространств утверждение очевидно.

§ 9.2. Паракомпактные пространства
305
Для любого пространства X и любой точки χ еХ имеем
ix} = f]{X\iy}:y^X,y^xh
В 7^-пространстве X все множества X \ {у} открыты, и,
следовательно, гр(х, X) ^ |Х|. Если же X хаусдорфово и локально компактно, то
по доказанной теореме χ (χ, X) ^ |Х| для всех х е X, т. е. χ (Χ) ^ |Х|.
Заметим, что для любого топологического пространства X
выполнено неравенство ш(Х)^#(Х)-|Х|. Действительно, если ^(х) —
база окрестностей для каждого χ е X, то ^ = (J { ^ (jc) : jc e X} — база
топологии пространства X, и если #(Х) ^ 1^1> TO все локальные
базы £$ Ос) можно выбрать имеющими мощность, не превосходящую
^ |Х|. В результате получим ш(Х) ^ 193| ^ |Х| · |Х|. Для бесконечного
X имеем |Х| · |Х| = |Х| (см. задачу 6 д) на с. 44), откуда следует
неравенство ш(Х) ^ |Х|. D
На этом мы остановимся и перейдём к следующему свойству.
§ 9.2. Паракомпактные пространства
I Определение. Семейство & подмножеств топологического про-
I странства X локально конечно, если у каждой точки χ е X есть
I окрестность, пересекающая лишь конечное число элементов се-
1 мейства ^.
1 Определение. Топологическое пространство паракомпактно,
1 если в каждое его открытое покрытие можно вписать^ локаль-
1 но конечное открытое покрытие. Хаусдорфовы паракомпактные
I пространства называются паракомпактами.
Замечание 9.9. Паракомпактность действительно является
обобщением компактности, потому что, как легко увидеть (и уже
отмечдлось), из открытого покрытия можно выделить конечное
подпокрытие тогда и только тогда, когда в него можно вписать
конечное покрытие.
Прежде чем переходить к свойствам паракомпактных
пространств, отметим одно уникальное чрезвычайно удобное свойство
локально конечных семейств множеств.
1 Определение. Семейство & подмножеств топологического про-
I странства X называется консервативным, если для всякого &' с
1 с & имеет место равенство (J F = |J F.
1 Fe&' Fe&'
См. определение на с. 224.

306
Глава 9. Обобщения компактности
Предложение 9.10. Каждое локально конечное семейство
консервативно.
Доказательство. Пусть ^"—локально конечное семейство
подмножеств топологического пространства X, и пусть &' с &.
Включение (J F с (J F следует из монотонности оператора замыка-
ния. Проверим обратное включение. Пусть χ φ |J F, и пусть U —
окрестность точки х, пересекающая лишь конечное число
элементов семейства &, а значит, и семейства &'. Пусть Fl9..., Fn — все
элементы семейства &\ пересекающие U. Положим Vr=[/\(F1U...UFn).
Очевидно, V — окрестность точки JCHVrni|jFj = 0. D
Переходим к свойствам паракомпактных пространств.
I Теорема 9.11. Всякое хаусдорфово паракомпактное
пространство нормально.
Доказательство. Пусть X — паракомпакт. Сначала покажем, что
X регулярно.
Пусть F<zX замкнуто и χ е X \ F. В силу хаусдорфовости X у
всякой точки у е F существует открытая окрестность Uy со свойством
x$Uy. Семейство {X \ F} U {Uy: у е F} является открытым
покрытием пространства X. Пусть {Va: a e А} — вписанное в него
локально конечное открытое покрытие. Положим V ~ {J{Va - К* η ^ Φ ®У-
Это открытая окрестность множества F. В силу консервативности
локально конечных семейств имеем V — (J {Va: Va D F φ 0}. Но
всякое Уа, пересекающее F, содержится в некотором Uy, их φ Uy.
Значит, из того, что Уа Г) F 7^ 0, следует, что χ φ Va. Поэтому χ φ V,
Нормальность доказывается аналогично. Пусть F и G
—непересекающиеся замкнутые подпространства пространства X.
Поскольку X регулярно, у всякой точки y&G есть открытая окрестность Uy,
замыкание которой не пересекается с F. Рассматривая открытое
покрытие {X \ G} U {Uy: у е G}, мы так же, как и выше, получаем
окрестность V множества G, замыкание которой не пересекается
с F. Открытые множества X \ V и V не пересекаются и содержат F
и G соответственно. D
■ Теорема 9.12. Паракомпактность наследуется замкнутыми
подпространствами.
Доказательство. Пусть X — паракомпактное пространство, Υ —
его замкнутое подпространство и У = {Va: α е Λ} — открытое
покрытие пространства 7. Для каждого аеЛ возьмём такое открытое

§ 9.2. Паракомпактные пространства
307
в X множество Ua с X, что Ua Π Υ = Va. Семейство
W = {X\Y}U{Ua: aeA}
является открытым покрытием пространства X. Пусть {WJg: /ЗеВ} —
вписанное в него локально конечное покрытие X. Тогда
ЩпУ: β €β}
— открытое покрытие пространства Υ, причём, очевидно, оно
вписано в У и локально конечно. D
I Теорема 9.13. 1. Топологическая сумма 0 Ха паракомпактна,
I аеА
I если и только если все пространства Ха паракомпактны.
I 2. Если пространство X паракомпактно, а К компактно, то
1 произведение X х К паракомпактно.
Доказательство. Первое утверждение очевидно. Докажем
второе.
Рассмотрим открытое покрытие Щ произведения X х К.
Зафиксируем произвольную точку χ e X и для каждой точки уеК
найдём содержащий точку (jc, у) элемент U покрытия У/, а также
открытые окрестности Vy точки χ в X и Wy точки уеК,
удовлетворяющие условию Vy χ Wy с U. Семейство открытых множеств
{Vy xWyiyEiK} покрывает подпространство {χ} χ К пространства
ХхК, которое гомеоморфно компактному пространству К (см.
доказательство предложения 6.18). Выделим из этого семейства
конечное подпокрытие {Vyi x Wyi,..., Vyn x Wyn}. Зафиксируем элементы
иъ ...,Un покрытия 4/, для которых Vy. х Wy. с Ub i ^ п. Положим
Vx = Vyi П...ПУУпи^ = {Ul9..., Un}. Заметим/что Vx χ Κ с \J <WX.
У нас получилось открытое покрытие {Vx: jc e X} паракомпакт-
ного пространства X. Впишем в него локально конечное открытое
покрытие Θ — {Оа: а е А} (здесь А —какое-то множество
индексов). Пользуясь определением отношения вписанности, для
каждого a е А выберем точку ха еX, для которой Оа <zVXa,n положим
<ga = {и η (Οα х К): U € ^Χβ}.
Семейство ^α конечно, и оно покрывает множество Оа х К,
поскольку Оа <zVXa nVXaxK <z{J ^/Ха. Кроме того, 4>а вписано в
подсемейство а1/х покрытия °1/ (а значит, и в само покрытие ^).
Рассмотрим семейство
* = U *а.

308
Глава 9. Обобщения компактности
Все его элементы — открытые подмножества пространства Χ χ К,
и оно является покрытием этого пространства. Действительно, для
любого (jc, у) е Χ χ К точка χ принадлежит некоторому Оа, а
множество ОахК покрывается семейством ^а. Кроме того, ^ вписано
в покрытие <%/, поскольку каждое Ήα вписано в %.
Итак, ^ — открытое покрытие пространства Χ χ К, вписанное
в <&\ Покажем, что оно локально конечно. Возьмём любую точку
Ос, у) еХ χ К\ Пользуясь локальной конечностью покрытия ϋ,
найдём открытую окрестность U точки jc в X, которая пересекается
лишь с конечным числом элементов покрытия ά. Пусть это
элементы Οαι,..., Oafc. Тогда открытая окрестность U х К точки (jc, у)
может пересекаться с элементами семейства Ήα лишь для а из
конечного множества {аъ ..., ак}, а значит, и лишь с конечным числом
элементов составленного из этих семейств покрытия ^ (потому что
каждое семейство с€а конечно). D
Впоследствии мы увидим, что паракомпактность не конечно
мультипликативна, т.е. в этой теореме нельзя заменить
предположение о компактности пространства К на предположение о его
паракомпактности: мы покажем, что прямая Зоргенфрея^ параком-
пактна, и при этом мы знаем, что её квадрат даже не нормален2).
Теорема 9.13 —ещё одно подтверждение схожести свойств компактов
и конечных пространств. Умножение на компакт выдерживает не
только паракомпактность, но и многие другие немультипликативные свойства
(в частности, все свойства, которые мы рассмотрим в этой главе).
Естественно предположить, что и нормальность сохраняется при умножении на
компакт. Однако это не так:
I Теорема (Тамано). Пространство X обладает компактификацией сХ,
для которой произведение Χ χ сХ нормально, тогда и только тогда,
когда X является паракомпактом.
Доказательство этой теоремы можно найти в [19]. Из неё немедленно
вытекает, что пространство X обладает тем свойством, что X х К
нормально для любого компакта К, если и только если X — паракомпакт.
Паракомпактность является важнейшим топологическим
свойством хотя бы потому, что она предоставляет незаменимый
инструмент теории многообразий —разбиения единицы. Разбиения
единицы используются для определения интегралов и римановых
См. задачу 10 на с. 105.
См. задачу 11 на с. 171.

§ 9.2. Паракомпактные пространства
309
метрик на многообразиях, вложения топологических многообразий
в евклидовы пространства, аппроксимации функций и во многих
других конструкциях.
ι Определение. Семейство {fa: a е А} непрерывных функций из
1 топологического пространства X в [0,1] называется разбиением
I единицы на X, если для каждого х€Х значения fa{x) отличны от
I нуля лишь для конечного числа1} индексов а и
Σ faM = Ι-
Ι α<ΞΑ
§ Разбиение единицы {fa}a<EA на X подчинено покрытию Ή про-
I странства Ху если покрытие & — {/а"1((0,1]): а е А} вписано в ^.
1 Разбиение единицы {fa}a^A локально конечно, если покрытие &
I локально конечно.
Предложение 9.14. β любое открытое локально конечное
покрытие Щ — {Ua: а Е: А} паракомпакта X можно комбинаторно
вписать® локально конечное открытое покрытие Ψ = {Va: α Ε: Α}
так, что Va с Ua для каждого а е А.
Доказательство. Поскольку X регулярно, мы можем найти у
каждой точки χ e X открытую окрестность, замыкание которой
содержится в каком-то элементе покрытия Щ (которому принадлежит
точка х), и получить тем самым открытое покрытие Ψ с тем
свойством, что покрытие {W: Wef} вписано в Щ. Возьмём
локально конечное открытое покрытие {О β: β е В}, вписанное в W. Для
каждого β еВ выберем а(/3) е А такое, что О β с Ua^y Для аЕА
положим Va = \^{Οβ : α(/3) = α}, если существует β е α, для
которого а = α(β), и Va = 0, если такого β не существует. Очевидно,
У = {Va: α е А} — открытое покрытие пространства X. В силу
консервативности^ покрытия {Оβ : /3 еВ} имеем
Va= U Οβ С 1/α.
Осталось заметить, что любое семейство, комбинаторно вписанное
в локально конечное семейство, и само локально конечно. D
3 Иногда требуют, чтобы значения значения fa(x) были отличны от нуля для
не более чем счётного числа индексов а и ряд ^ faW сходился к 1.
2) См. определение на с. 224. aGA
3) См, предложение 9.10.

310
Глава 9. Обобщения компактности
1 Теорема 9.15. Для хаусдорфоваг пространства X следующие
1 условия равносильны:
ι φ Χ — паракомпакт;
I © для каждого открытого покрытия пространства X найдётся
I подчинённое ему локально конечное разбиение единицы;
Ι ® для каждого открытого покрытия пространства X найдётся
1 подчинённое ему разбиение единицы.
Доказательство. Докажем, что ©=»©. Пусть Ή — любое
открытое покрытие пространства X, и пусть У/ = {Ua: a e А} —
вписанное в него локально конечное открытое покрытие. По
предложению 9.14 существует покрытие {Fa: а е А} пространства X
замкнутыми множествами с тем свойством, что Fa с Ua для всех а е А.
Пользуясь леммой Урысона, для каждого а е А найдём
непрерывную функцию ga: X —> R, удовлетворяющую условиям ga (χ) = 0 при
χ еХ \ Ua и ga\Fa ξ 1. Полагая g(x) = ^] £α00> мы получим непре-
рывную функцию X —> М, потому что покрытие °11 локально
конечно, а значит, у каждой точки χ е X имеется окрестность, в
которой g есть сумма конечного числа непрерывных функций и
потому непрерывна, откуда немедленно вытекает непрерывность
функции g в точке х. Искомое разбиение единицы — это | -—: а е А \.
Импликация ®=>® тривиальна.
Докажем импликацию ® => ®. Пусть °11 — открытое покрытие
X и {fa}aGA — подчинённое ему разбиение единицы. Зафиксируем
произвольную точку х0еX. Пусть аъ ..., ак — все те индексы а&А,
для которых fa (х0) > 0, занумерованные так, что
fai U0) = max{/a. (x0): i ^ к}.
Положим
(70 = {хех: Σ/αιω+/«1ω>ι}·
Множество U0 открыто в силу непрерывности функций fh ί ^ к,
к
и оно содержит точку х0) поскольку ]>] /α. О0) = 1 и fai (jc0) > 0. Заме-
тим, что /а (х) < fai (χ) для всех а Φ аъ ..., ак и jc е U0, поскольку для
13 На самом деле теорема верна не только для хаусдорфовых, но и для
^-пространств.

§ 9.2. Паракомпактные пространства
311
любого а е А \ {аъ ..., ак} и любого у еХ выполнено неравенство
Σ/«,οο+/«ω^ E//»cy) = i.
£=1 β<ΞΑ
Значит, функция f: X —> Μ, определённая правилом
/(*) = sup{/aU):aeA},
совпадает с функцией χ —> max{/a (jc) : i ^ fc} на окрестности U0
точки jc0 и потому непрерывна на множестве U0 и тем более в точке х0.
Из произвольности выбора точки х0 е X вытекает непрерывность
функции / на всём пространстве X. Заметим, что для каждой
точки χеХ найдётся индекс а&А, для которого fa(x) > 5/00, —ведь
/Ос) является точной верхней гранью всех чисел /а0с). Значит,
семейство
У = {Va: α € А}, где Уа = {* € Χ: /α(χ) > |/(*)} Дляа<ЕА,
является открытым покрытием пространства X. Очевидно, это
покрытие вписано (даже комбинаторно) в покрытие
{/"1((0,1]):аеА},
которое, в свою очередь, вписано в покрытие %, поскольку
разбиение единицы {fa}aeA подчинено этому покрытию. Следовательно, У
вписано в °11. Осталось показать, что покрытие У локально конечно.
Снова зафиксируем произвольную точку х0 е X. Как и выше, пусть
аъ ..., ак — все те индексы а&А, для которых /аОсо) >О· Положим
W = {xeX: Σ/„,(х) +§/(x)>l} = {*€*: |/(х)> Σ /««)·
Множество W открыто, потому что все функции fa и f
непрерывны, и содержит точку х0, потому что Σ/α.Οο) = 1 и /(χ) > 0 для
всех χ еХ, включая х0. Кроме того, пересечение WnVa может
оказаться непустым только для ае {а1у..., afc}, поскольку все функции
/а неотрицательны и, следовательно, ]£j /a (χ) ^ /α (χ) для всех
а${аг,...,ак}ИХеХ. афаъ...,ак □
В заключение мы сформулируем две трудные теоремы о пара-
компактных пространствах. Их доказательства можно найти в
книге [19].
I Теорема (Стоун). Всякое метризуемое пространство параком-
пактно.

312
Глава 9. Обобщения компактности
I Теорема (Майкл). Паракомпактность сохраняется
замкнутыми непрерывными отображениями хаусдорфовых пространств.
Открытыми (тем более, факторными и произвольными)
непрерывными отображениями паракомпактность не сохраняется.
Более того, любое топологическое пространство является образом
некоторого паракомпакта (и даже наследственно паракомпактного
хаусдорфова пространства) при открытом непрерывном
отображении [26].
§ 9.3. Финально компактные и линделёфовы
пространства
Одно из самых естественных обобщений компактности
получается, если заменить требование существования конечного
подпокрытия в каждом открытом покрытии требованием существования
подпокрытия не слишком большой мощности. Такой подход сразу
же подводит к новому кардинальному инварианту.
I Определение. Для топологического пространства X кардинал
i(X) = ппп{кардинал к: любое открытое покрытие пространствах
имеет подпокрытие мощности, не превосходящей к}
называется числом Линделёфа1^ пространства X.
Топологическое пространство X, для которого l(X) ^ К0,
называется финально компактным. Регулярные финально
компактные пространства называются линделёфовыми.
Замечание 9.16. Очевидно, все пространства со счётной базой
финально компактны.
Замечание 9.17. Следующие свойства финально компактных
пространств без труда доказываются по аналогии с подобными
свойствами компактных пространств.
• Пространство финально компактно тогда и только тогда,
когда каждое счётно центрированное® семейство замкнутых
множеств в нём имеет непустое пересечение.
• Финальная компактность наследуется замкнутыми
подпространствами.
1} Эрнст Леонард Линделёф (1870—1946) — финский математик. Занимался
вещественным и комплексным анализом, обыкновенными дифференциальными
уравнениями и теорией гамма-функции, а также топологией.
2) См. определение на с. 98.

§ 9.3. Финально компактные и линделёфовы пространства 313
• Любое несчётное множество в финально компактном
пространстве имеет точку накопления. Другими словами, финально
компактное пространство не содержит несчётных замкнутых
дискретных подпространств.
• Финальная компактность сохраняется непрерывными отобра-
женшши.
Как и паракомпактность, линделёфовость (и тем более
финальная компактность) не конечно мультипликативна; ниже мы
покажем, что пример даёт всё та же прямая Зоргенфрея — она линде-
лёфова, но её квадрат не линделёфов. Однако, как и в случае
паракомпактности, линделёфовость сохраняется при умножении на
компакт; доказательство этого факта совершенно аналогично
доказательству второго утверждения теоремы 9.13 (см. решение
задачи 10 на с. 329).
1 Теорема 9.18. 1. Топологическая сумма φ Χα непустых прост-
I α<ΞΑ
Ι ранете финально компактна тогда и только тогда, когда все
Ι пространства Ха финально компактны и множество А не более
I чем счётно.
I 2. Если пространство X финально компактно, а К компактно,
I то произведение X х К финально компактно.
1 Теорема 9.19. Все линделёфовы пространства паракомпактны.
Доказательство. Пусть ^ — открытое покрытие линделёфова
пространства X. Для каждой точки χ е X зафиксируем
какой-нибудь содержащий её элемент Ux покрытия °и и найдём, пользуясь
регулярностью пространства X, открытое множество Vx с X с тем
свойством, что χ е Vx с Vx с Ux е °1/. Пусть {Vx.: ί е Ν} — счётное
подпокрытие покрытия {Vx: хеХ}. Очевидно, семейство {Ux.: ieN}
тоже является покрытием пространства X. Множества
Wi = UXl и Wi+1=UXi+i\(VXiU...UVXi), i6 N,
открыты и покрывают X: каждая точка χ е X содержится в WiM,
где i(x) = min{n e N: jc e UXn}. Покрытие {V^·: i e N} вписано в °11
(потому что каждое Wt содержится в Ux. e <Ю и локально конечно,
так как каждая точка jcgX содержится в открытом множестве Vx.
для некоторого j иУгПИ^ = 0 для ί > j. D
1 Следствие 9.20. Все линделёфовы пространства нормальны.
■ Теорема 9.21. В классе метризуемых пространств
линделёфовость равносильна второй аксиоме счётности.

314
Глава 9. Обобщения компактности
Доказательство дословно повторяет доказательство теоремы 7.20.
Согласно теореме 9.21 для метризуемого пространства X число Лин-
делёфа Z(X) счётно тогда и только тогда, когда вес ш(Х) счётен. Мы
также знаем, что тем же свойством обладают плотность d(X) и число Сусли-
на с(Х) (см. теорему 3.9 и теорему 3.13). Естественно предположить, что
все эти кардинальные инварианты просто равны в классе метризуемых
пространств. Это действительно так.
! Теорема 9.22. Для любого метризуемого пространства X
ш(Х) = ά{Χ) = с[Х) = hc[X) = Z(X).
Доказательство. Доказательства неравенств w(X)^d(X) и <2(Х)^с(Х)
повторяют доказательства теорем 3.9 и 3.13 (с очевидными изменениями).
Ясно, что наследственное число Суслина hc(X) не может быть меньше
числа Суслина, а значит, w(X) ^ /гс(Х). Покажем, что d(X) ^ Z(X). Для
конечного X это неравенство очевидно. Предположим, что пространство X
бесконечно (тогда 1(Х) тоже бесконечно) и его топология порождена
метрикой d. Для каждого nsN пусть °Un — покрытие пространства X открытыми
шарами радиуса - мощности | % | ^ I (X) (такое покрытие всегда можно
выделить из покрытия всеми шарами радиуса -). Обозначим множество
центров всех шаров из всех покрытий через Y; ясно, что оно не более чем
счётно. Покажем, что Υ плотно в X. Пусть U—любое непустое открытое
множество в X. Оно содержит шар В Ах, -J для некоторых хеХ и η €Ν. Шар
В А х, 2~1 пересекается с тем шаром вАу, «-J из покрытия ^2п> который
содержит точку х. В силу неравенства треугольника Bd(y, «г-J с В Ах, -J.
Следовательно, множество U содержит шар вАу, γ-) вместе его центром
из У. Мы показали, что Υ = Χ. Поскольку 1(Х) бесконечно и Υ является
объединением счётного числа множеств мощности, не превосходящей I (X),
имеем \Y\ ^ Ζ(Χ) (см. задачу 8 на с. 44). Таким образом, d(X) ^ 1(Х), а
значит, w(X)^Z(X).
Итак, имеем ш(Х) ^ d(X), ш(Х) ^ с(Х) ^ hc(X) и ш(Х) ^ Z(X).
Обратные неравенства очевидны. D
§ 9.4. Счётно компактные и псевдокомпактные
пространства
Мы уже отмечали два важных свойства компактов,
достойные отдельного изучения, — это ограниченность всех непрерывных
функций и существование точки накопления у любого
бесконечного подмножества. В этом параграфе мы рассмотрим классы про-

§ 9.4. Счётно компактные и псевдокомпактные пространства 315
странств с этими свойствами. Несмотря на внешнюю непохожесть,
свойства эти очень близки, и мы будем рассматривать их
параллельно.
I Определение 1. Топологическое пространство X называется
счётно компактным, если каждое счётное открытое покрытие
этого пространства содержит конечное подпокрытие.
(Иногда за определение берут равносильное требование
существования точки накопления у всякого бесконечного
подмножества.)
I Определение 2. Топологическое пространство X называется
псевдокомпактным, если оно вполне регулярно и всякая
непрерывная функция X —> R ограничена.
1 Теорема 9.23. Для топологического пространства X следую-
1 щие условия равносильны:
Ι φ Χ счётно компактно-,
I © любое счётное центрированное семейство замкнутых мно-
§ жесте в X имеет непустое пересечение-,
Ι ® любое локально конечное семейство непустых множеств в X
Ι конечно;
I @ любое бесконечное множество в X имеет точку накопления.
Доказательство. Равносильность условий φ и © доказывается
стандартным путём.
Докажем импликацию © => ©. Предположим, что в
пространстве X имеется бесконечное локально конечное семейство {Ап: η £ Ν}
непустых подмножеств. По предложению 9.10 это семейство
консервативно. Значит, для любого π eN множество Fn — [J Aj
замкнули
то. Множества Fn образуют убывающую (по включению) и потому
центрированную счётную систему, и f] Fn = 0 в силу локальной
конечности семейства {Ап: neN}.
Импликация ф=>® очевидна (если А с X не имеет точек
накопления, то семейство {{х}: х£ А} локально конечно).
Докажем, что @ => Ф. Пусть ^ — {ϋη: η е. Ν} —открытое
покрытие пространства X, из которого нельзя выделить конечное
подпокрытие. Сейчас мы по индукции построим бесконечное
множество А =■ {хъх2,...} с X без точки накопления. Возьмём
любую точку хг £ X и выберем натуральное число къ для которого
xiG Uk - Предположим, что уже выбраны попарно различные точки
хъ..., хп £X и натуральные числа кг < ... < кп так, что xt £ Uk. для

316
Глава 9. Обобщения компактности
всех ί ^ π и jcj φ 11г U LT2 U ... U L/^, если 2 ^ i ^ п. Возьмём любую
точку хп+1 GX\(l/1Ui/2U...Ui/fcn) (она существует, так как У/ не
содержит конечных подпокрытий) и выберем кп+1 eN, для которого
хп+1 € i/fc . Ясно, что кп+1 > кп и хп+1 ^ ^ для i ^ п. Индуктивное
построение завершено. Каждая точка jc e X содержится в некотором
элементе Un покрытия ^/, и 1/пПАс {x1?..., хп}, поскольку кп^п
и jcj ^ L/j для j ^ fc^!· Значит, LTn — окрестность точки х,
пересекающая А лишь по конечному числу элементов. D
1 Теорема 9.24Р Для произвольного тихоновского пространства
ι Χ следующие условия равносильны:
Ι © Χ псевдокомпактно;
1 © для любого счётного центрированного семейства ЩУ^щ от-
I крытых множеств в X пересечение f] Vt непусто;
I iGN
ι ® любое локально конечное семейство непустых открытых мно-
1 жесте в X конечно;
I ® любое локально конечное открытое покрытие пространства X
I содержит конечное подпокрытие.
Доказательство. Начнём с импликации ® => ®. Предположим,
что в тихоновском пространстве X существует бесконечное
локально конечное семейство {Lrf}iGN непустых открытых множеств. Для
каждого πεΝ выберем точку хп е Un и непрерывную функцию
fn: X —> [0,1] с тем свойством, что fn(xn) = 1 и fn(X\ Un) с {0}
(это возможно, поскольку пространство X тихоновское) и положим
gn — n'fn. Поскольку семейство {^}^Ν локально конечно, функция
g = J] gn определена и непрерывна в каждой точке xgX. (Действи-
тельно, у χ есть окрестность, пересекающая лишь конечное число
элементов семейства {^}lGN, и в этой окрестности g представляет
собой сумму конечного числа непрерывных функций.) Ясно, что
функция g неограничена. Значит, X не псевдокомпактно.
Импликация ® => ® очевидна.
Покажем, что ® => ф. Пусть X удовлетворяет условию ® и /: X —>
—> R — непрерывная функция. Семейство {/_1(п — 1, π 4-1): η е Ζ}
представляет собой локальное конечное открытое покрытие X. Из
условия @ вытекает, что это покрытие содержит лишь конечное
число непустых элементов, т. е. функция / ограничена.
х) Эта теорема оправдывает требование тихоновости в определении
псевдокомпактности.

§ 9.4. Счётно компактные и псевдокомпактные пространства 317
Перейдём к импликации ®=>@. Пусть X—любое пространство
со свойством ®. Если {Wn}nGN — счётное центрированное семейство
открытых множеств, то найдётся точка χ е X, каждая окрестность
которой пересекает бесконечно много множеств Vn = f] Wt (иначе
ΐϊζη
бесконечное семейство {Vn}nGN непустых открытых множеств было
бы локально конечным). Значит, любая окрестность точки χ
пересекает Wn для каждого π е N (если точка χ имеет окрестность U со
свойством U Π Wn = 0, то U Π Vk = 0 для всех fc^n),T.e.iG f] Wt.
Наконец, © => ©, поскольку для всякой неограниченной
непрерывной функции /: X —> R семейство {Vn}nGN, где Vn — {x: |/0с)|>п},
центрировано, однако f| Vn = 0. Π
1 Следствие 9.25. 1. Всякое счётно компактное тихоновское про-
I странство псевдокомпактно,
I 2. Всякое нормальное псевдокомпактное пространство счётно
I компактно.
Доказательство. Первое утверждение сразу вытекает из
доказанных теорем (ср., например, условия © в этих теоремах).
Докажем второе. Если X нормально и не счётно компактно, то по
теореме 9.23 ® оно содержит бесконечное множество D без точек
накопления. Поскольку X является ^-пространством, D не имеет
предельных точек, а значит, замкнуто и дискретно. Выберем попарно
различные точки хъ х2,... €D и рассмотрим неограниченную
функцию /: D —> М, определённую правилом
{п, если χ = х„,
О, если χ е D\{x1,x2,...}.
Она непрерывна (как и любая другая функция на дискретном
пространстве). По теореме Титце—Урысона / продолжается до
(неограниченной) непрерывной функции на X. D
I Следствие 9.26. Всякое паракомпактное счётно компактное
пространство компактно. Всякое паракомпактное
псевдокомпактное пространство компактно.
Из определения счётной компактности сразу же вытекает, что
любое замкнутое подпространство счётно компактного
пространства счётно компактно. Псевдокомпактность замкнутыми
подпространствами не наследуется; мы продемонстрируем это немного
дальше.

318
Глава 9. Обобщения компактности
Очевидно, сумма непустых топологических пространств
счётно компактна (псевдокомпактна) тогда и только тогда, когда
число слагаемых конечно и все слагаемые счётно компактны (псев-
докомпактны). С произведениями ситуация сложнее. Существуют
(довольно трудные) примеры счётно компактных тихоновских
пространств X и Y, произведение которых не псевдокомпактно. Таким
образом, ни счётная компактность, ни псевдокомпактность не
конечно мультипликативна. Однако оба эти свойства выдерживают
умножение на компакт; это доказывается стандартным путём,
примерно так же, как для паракомпактных и финально компактных
пространств (см. теоремы 9.13 и 9.18, а также задачу 10 на с. 326).
I Теорема 9.27. Для метризуемых пространств счётная
компактность и псевдокомпактность равносильны компактности.
Эту теорему можно доказать непосредственно, но проще всего
сослаться на теорему Стоуна (что всякое метризуемое пространство
паракомпактно) и следствие 9.26.
§ 9.5. Секвенциально компактные пространства
Последнее свойство, которое мы рассмотрим в этой главе, не
является обобщением компактности, но очень тесно с ней связано.
[Определение 3. Топологическое пространство X секвенциально
компактно, если каждая последовательность его точек содержит
сходящуюся подпоследовательность.
Не всякий компакт является секвенциально компактным
пространством—примером служит /3N (в силу следствия 8.23
пространство βΝ не содержит нетривиальных сходящихся
последовательностей). Немного дальше мы покажем, что секвенциально
компактное пространство не обязано быть компактным. Однако
очевидно, что каждое секвенциально компактное пространство
счётно компактно (это следует из теоремы 9.23®).
Непосредственно из определения вытекает, что секвенциальная
компактность наследуется замкнутыми подпространствами.
1 Теорема 9.28. 1. Сумма непустых пространств секвенциально
I компактна тогда и только тогда, когда число слагаемых конечно
1 и все слагаемые секвенциально компактны.
1 2. Секвенциальная компактность счётно мультипликативна.
Доказательство. Первое утверждение очевидно. Докажем
второе.

§ 9.5. Секвенциально компактные пространства 319
Предположим, что Хп, η е Ν, — секвенциально компактные
пространства И Х19 Х2, ... € Π Хп> ПУСТЬ X; = Unji)nGN ДЛЯ ί GN.
Последовательность (л:1п)п точек пространства Хг содержит
подпоследовательность Cx^fc )п, сходящуюся к некоторой точке
х1Е:Х1, Последовательность (х2,к )п точек пространства Х2
содержит подпоследовательность (^2,fc2n)n> сходящуюся к некоторой точке
х2 еХ2- Продолжая в том же духе, для каждого т eN мы получим
последовательность C*m,fc )п> сходящуюся к точке xm eXm, причём
эта последовательность будет подпоследовательностью
последовательностей (хт}П)п и От^.п)п для всех j ^ m. Заметим, что если
из последовательности индексов (fcnn)n выкинуть первые т — 1
членов, то получится подпоследовательность последовательности
(кт,п)п· Значит, xm}knn n-юо» *т Д·7151 каждого meN. Отсюда совсем
легко вывести, что точка χ = (хп)п G J~J Хп является пределом под-
последовательности (Xfcnn)n последовательности (хп)п. D
I Теорема 9.29. Секвенциальная компактность сохраняется
непрерывными отображениями.
Доказательство. Пусть X — секвенциально компактное
пространство, /: Χ ^ Υ — непрерывное отображение и (уп)п
—последовательность точек пространства Υ. В каждом множестве /_1(уп)
выберем по точке хп. Последовательность (хп)п точек
секвенциально компактного пространства X содержит
подпоследовательность (хк )п, сходящуюся к некоторой точке χ еХ. Поскольку
отображение / непрерывно и всякая последовательность является
направленностью, по теореме 4.5 последовательность (/(xfc ))п = (у^ )п
сходится к точке /(jc) в пространстве Υ. Π
§ Теорема 9.30. 1. В классе метризуемых пространств секвенци-
I альная компактность равносильна компактности.
Ι 2. В классе пространств с первой аксиомой счётности секвенци-
I альная компактность равносильна счётной компактности.
Доказательство. То, что секвенциально компактные метризуе-
мые пространства компактны, вытекает из теоремы 9.27 и
очевидного замечания, что из секвенциальной компактности следует
счётная компактность. Обратная импликация вытекает из того факта,
что все метризуемые пространства удовлетворяют первой аксиоме
счётности, теоремы 3.15 и существования предельной точки у
всякого бесконечного множества (в частности, у множества точек любой

320
Глава 9. Обобщения компактности
последовательности с бесконечным множеством значений) в
компакте. Это же рассуждение доказывает и второе утверждение. D
§9.6. Примеры
1. Мы начнём с простейшего примера «плохого» линделёфова
пространства, вес, характер и число Суслина которого равны
произвольно заданному кардиналу к и которое не содержит
нетривиальных сходящихся последовательностей. Оно строится подобно
суперпоследовательности Александрова: возьмём множество D
мощности к и точку *, не принадлежащую D. Положим L(k) = DU{*}.
Снабдим L(k) топологией, в которой все точки множества D
изолированы, а окрестностями точки * служат дополнения до не более
чем счётных подмножеств множества D. Очевидно, пространство
Дк) обладает перечисленными выше свойствами. Его можно
назвать «одноточечной линделёфикацией» дискретного пространства D.
2. Пространство ординалов И^0. Мы уже знаем, что
пространство W® — {α: α<ω} всех не более чем счётных ординалов с
порядковой топологией не компактно, потому что оно не замкнуто в хаус-
дорфовом пространстве Wx = {а: а ^ ω} = W® U {ωΎ}, и локально
компактно, потому что оно открыто в Wl9 a Wx является
компактом — это было показано при обсуждении примера 8 на с. 245. Там
же было показано, что все замкнутые дискретные множества в И^°
конечны, т. е. И^0 счётно компактно, а значит, и псевдокомпактно.
Следовательно, И^0 не паракомпактно (см. следствие 9.26). Кроме
того, очевидно, пространство W® удовлетворяет первой аксиоме
счётности, а значит, секвенциально компактно (см. теорему 9.30).
Наконец, пространство W® нормально. Покажем это.
Пусть А и В —замкнутые множества в W®. Предположим, что
А и В неограничены в упорядоченном множестве И^0. Тогда легко
построить последовательности (απ)π€Ν и (/3Π)Π<ΕΝ счётных ординалов
со свойствами ап € Α, βη е В и ап < βη < αη+1 для любого π е N. Ясно,
что supап = supβη<ωλ. Обозначим этот супремум у. Любая окрест-
ность точки γ в И^° содержит интервал вида (γΐ9 γ2), где γλ < γ < γ2,
а любой такой интервал содержит как точки вида аь так и точки
вида β{. Значит, точка γ является предельной как для множества А,
так и для множества В, и в силу замкнутости этих множеств она
принадлежит их пересечению. Таким образом, если замкнутые
множества А и В в W® не пересекаются, то либо А, либо В ограничено.

§ 9.6. Примеры
321
Пусть для определённости А ограничено, т. е. Л с [0, а0], где а0 —
некоторый счётный ординал. Множество [0, а0] замкнуто в
компакте \¥г и потому само компактно, а значит, компактно и Л. В силу
предложения 7.12 у Л и β есть непересекающиеся окрестности в И^°.
3. Прямая Зоргенфрея S. Напомним, что так называется
вещественная прямая с топологией, порождённой базой {[а, Ь): а, Ь еМ}.
Мы знаем1), что прямая Зоргенфрея неметризуема, удовлетворяет
первой аксиоме счётности и наследственно сепарабелъна, а также2)
совершенно нормальна и, следовательно, наследственно нормальна,
однако её квадрат не нормален. Покажем, что она ещё илинделёфо-
ва; тогда мы будем иметь пример линделёфова (а значит, и параком-
пактного) пространства, квадрат которого не нормален (а значит,
не линделёфов и не паракомпактен).
Пусть ^/ — {Ua: a е А} — любое открытое покрытие
пространства S, и пусть Va — внутренность множества Ua по отношению
к обычной топологии на М. Покажем, что множество L = S \ \J Va
аеА
счётно. Для каждого jcgL найдутся индекс a(jc) e А и
вещественное число r(jc) > jc, удовлетворяющие условиям [jc, r(jc)) с ϋαΜ.
По определению множества L для любых различных jc, у е L
имеем [jc, r(jc)) Π [у, r(y)) = 0. Семейство попарно непересекающихся
непустых полуоткрытых интервалов не может быть несчётным,
поскольку каждый такой интервал содержит рациональное число;
значит, L счётно.
Множество l\Lc индуцированной из прямой топологией
обладает счётной базой, и {Va: aeА} — его покрытие множествами,
открытыми в обычной топологии прямой. Значит, из него можно
выделить счётное подпокрытие {Van: neN}. Семейство {Uan :n€N}
покрывает всю прямую (т.е. всё пространство S), кроме какой-то
части счётного множества L, а непокрытая часть множества L
покрывается счётным числом элементов покрытия Щ.
4. Псевдокомпактное не счётно компактное пространство.
Таково, например, пространство X = /ЗМ \ (/3Ν \ Ν). Оно псевдоком-
пактно, но содержит бесконечное замкнутое дискретное (и,
следовательно, не псевдокомпактное) подпространство N. Таким
образом, этот пример вдобавок показывает, что псевдокомпактность не
наследуется замкнутыми подпространствами.
См. задачу 10 на с. 105.
См. задачу 11 на с. 171.

322
Глава 9. Обобщения компактности
То, что подпространство N замкнуто и дискретно в X, понятно:
по следствию 8.18 замыкание множества N в пространстве /ЗМ — это
βΝ; значит, подпространство X = /Ж \ (/3Ν \ Ν) пространства /ЗМ не
содержит ни одной предельной точки множества N в /Ж.
Покажем, что X псевдокомпактно. Предположим, что
существует неограниченная непрерывная функция /: X —> Ш.
Множество Ш \ N плотно в Ш, а значит, оно плотно в /Ж и в X,
Следовательно, оно пересекается со всеми открытыми множествами
/_1((— оо, -п) U (п, +оо)) (они непусты, потому что функция / He-
ограничена). Выберем попарно различные точки xl9 х2,... £М \ N
с тем свойством, что |/(χη)| > π для каждого neN. Ясно, что
множество {/0сп): η gN} не имеет предельных точек в R; из
непрерывности функции / следует, что множество D = {хп: π е N} не имеет
предельных точек в X и тем более в Ш с X. Итак, D — замкнутое
дискретное подпространство нормального пространства R и D Π Ν = 0.
В силу следствий 8.15 и 8.18 имеем Όβπ Π Νβπ = Όβπ Π βΝ = 0.
Следовательно, ϋβπ с Χ, т.е. DI3M = DX — Ό, Стало быть, бесконечное
дискретное пространство D компактно, а таких пространств не
бывает.
5. Прямая Майкла М. Так называется вещественная прямая R с
топологией, порождённой базой
& = {(a,b):a,beR}u{{p}: ρ € Ρ}
(напомним, что Ρ — множество иррациональных чисел с обычной
топологией). Иными словами, прямая Майкла получается из обычной прямой
объявлением всех иррациональных точек изолированными.
Прямая Майкла паракомпактна1^. Действительно, пусть % —открытое
покрытие пространства М. Мы хотим вписать в него локально конечное
открытое покрытие Ψ. Сначала мы впишем в °1ί покрытие У пространства
Μ элементами базы ^. Обозначим через &ж обычную топологию прямой
и положим У = У H5r. Пусть Υ — |J У. Тогда Υ — подмножество прямой R,
открытое в обычной топологии, причём, очевидно, Q с Υ, и У — его
открытое (в обычной топологии) покрытие. Поскольку обычная прямая обладает
счётной базой, она наследственно линделёфова и, следовательно,
наследственно паракомпактна. Значит, в У можно вписать локально конечное
(в обычной топологии) открытое (тоже в обычной топологии) покрытие Ψ'
х) Можно доказать также, что все конечные степени прямой Майкла параком-
пактны. Доказательство основано на той же идее, что и доказательство
паракомпактности самой прямой Майкла, но значительно длиннее и изобилует
техническими деталями, так что мы его опускаем. Его можно найти в статье [31].

§ 9.6. Примеры
323
пространства Υ. Осталось положить ψ = ψ'υ{{ρ}: peM\Y}. Покрытие Ψ
локально конечно, потому что его элементы, пересекающие открытое
множество Υ, — это в точности элементы локально конечного семейства W,
а каждая точка χ φ Υ иррациональна, и её окрестность {х} пересекает лишь
один элемент {х} покрытия Ψ.
Произведение Μ χ Ρ не нормально. Непересекающиеся замкнутые
множества, которые нельзя разделить непересекающимися окрестностями, —
это
F = {(p,p):peP} и G = QxP.
Предположим, что F с U и G с V, где U и V — непересекающиеся открытые
множества в Μ х Р. Для каждой точки ρ еР выберем ар, Ър €R так, что ρ
является серединой интервала (ар, Ьр) и {ρ} χ ((ар, Ър) ПР) с U. Затем для
всякого η е N положим
Pn={peP:|bp-ap|>i}.
Заметим, что Р= |J Pn. Имеем
neN
IJPnVU^P
neN n€N
(иначе множество (Q? = R \ Ρ имело бы тип G5 в R, а это не так согласно
задаче 96) на с. 105). Значит, для некоторого η eN имеем PnR (f. P. Выберем
рациональное число rGP^.
2 1
Теперь выберем j е N, для которого - < -. Поскольку множество Ρ
плотно в R, существует χ е Р, для которого г--<х<г+-. Имеем (г, х) € G с V.
Выберем т е Ν, для которого — < - и
Поскольку г е PnR, мы можем выбрать у Ξ Рп, для которого г - — < у <
< г + —. Ясно, что (у, х) е V. Покажем, что (у, х) е 17. Заметим, что
|x-yK|x-r| + |r-x|<} + i^|<±.
Вспомним, что числа ау и Ъу удовлетворяют условиям \Ъу — ау\ > -
(потому что у е Рп) и {у} χ ((ау, Ьу) Π Ρ) с U. Поскольку \х - у\ < -, имеем
χ е (ау, Ьу). Следовательно, (у, х) е17, т. е. (у, х) е17 Π V Φ 0.
Из доказанной ненормальности произведения Μ χ Ρ следует, что
счётная степень М*° пространства Μ не паракомпактна. Действительно, Μ
содержит N в качестве замкнутого подпространства; следовательно, не пара-
компактное пространство Μ χ Ρ, которое гомеоморфно Μ χ Ν*° в силу
задачи 16 на с. 209, вкладывается в М*° в качестве замкнутого подпространства.

324
Глава 9. Обобщения компактности
Пространство Μ содержит замкнутое дискретное подпространство
мощности 2*°. Чтобы убедиться в этом, достаточно найти замкнутое в
обычной топологии множество Υ с Ρ мощности 2*°: в топологии прямой Майкла
это множество будет дискретно, поскольку все точки множества Ρ
изолированы в М, и замкнуто, потому что топология прямой Майкла сильнее
обычной топологии прямой. Чтобы найти нужное множество У, вспомним,
что пространство Ρ с R гомеоморфно произведению Ν*0 и что канторово
множество С гомеоморфно {0,1}*° (см. задачу 12 на с. 209). Следовательно,
С вкладывается в Р, причём в качестве замкнутого подпространства
(будучи компактом).
Пространство Μ не линделёфово. Действительно, если УсР — несчётное
замкнутое дискретное подпространство пространства М, то открытое
покрытие {{р}: ρ gY}U{M\Y} пространства Μ не содержит счётных подпокрытий.
6. Пространство Исбелла®—Мрувки2\ Говорят, что семейство
множеств почти дизъюнктно, если пересечение любых двух множеств из этого
семейства конечно. Стандартный пример несчётного почти дизъюнктного
семейства бесконечных подмножеств множества N строится так3).
Занумеруем все рациональные числа натуральными: Q = {ch,(Z2> ···}· К каждому
вещественному числу χ сходится некоторая последовательность
рациональных чисел. Номера рациональных чисел из этой последовательности
в выбранной нумерации образуют бесконечное множество Ах натуральных
чисел. Ясно, что семейство jrf = {Ах: χ е R} почти дизъюнктно.
Пусть j4 — максимальное (по включению) почти дизъюнктное
семейство бесконечных подмножеств множества N; существование такого
семейства вытекает из леммы Цорна. Легко видеть, что семейство я$ не
может быть конечным или счётным —если j4 = {Al9A2,...}, то, выбрав по
точке а{ в каждом множестве Ai+1 \ (Ах и ... и Af), мы получим
бесконечное множество {аг, а2,...} CN, пересечение которого с каждым Ап
конечно, а это противоречит максимальности семейства jtf'. Ясно также, что
N\|J{A: AGjrf} конечно, так что без ограничения общности можно
считать, что (J{A: AGjrf} = N (это допущение ни на что не влияет, но
позволяет сократить формулы).
Рассмотрим одноточечные компактификации А и {рА} множеств A^j4
и положим Ψ С*/) = {рА: Ае j4}UN. Снабдим Ф(а?0 топологией, в которой
1} Джон Ролъф Йсбелл (1930—2005) — американский математик. Занимался
в основном общей топологией, теорией категорий, алгеброй и теорией
графов. Положил начало изучению категории метрических пространств. Большую
часть работ опубликовал под своим собственным именем, но использовал
и псевдонимы Джон Рэйнвотер, Г. М. Стэнли и X. С. Енос.
2) Станислав Гжегож Мрувка (1933—2010) — польский математик. Занимался
общей топологией, теорией размерностей и формальной логикой.
3) Мы уже встречались с ним при доказательстве предложения 8.20.

Задачи
325
все точки множества N изолированы, а базу окрестностей каждой точки рА
образуют множества вида А \ F, где F конечно. Таким образом,
занумеровав произвольным образом элементы множества А, мы получим
последовательность, сходящуюся к рА в Ψ О/), а множество Ρ = {рА: Aejrf} замкнуто
и дискретно в Ψ О/).
Пространство ΨΟΟ псевдокомпактно. Действительно, предположим,
что /: Ψ(^) —> R — неограниченная непрерывная функция. Тогда и
сужение /|Ν неограничено (так как N плотно в Ψ О/)), однако все сужения
f\A ограничены (так как каждое множество А содержится в компакте
Аи{рА}, на котором функция / ограничена, будучи непрерывной). Для
каждого η eN найдём такое kn eN, что f(kn)>n. Пересечение множества
В = {кп: η е Ν} с каждым А е я$ конечно, что противоречит
максимальности почти дизъюнктного семейства j4'.
Из того, что пространство Ψ О/) содержит несчётное замкнутое
дискретное множество Р, следует, что оно не счётно компактно, а значит, и не
нормально. Этот пример, как и пример 4, показывает, что псевдокомпактность
не наследуется замкнутыми подпространствами. В отличие от
пространства в примере 4 пространство Исбелла—Мрувки локально компактно.
Задачи
1. Сохраняется ли локальная компактность замкнутыми
непрерывными отображениями?
2. Верно ли, что если локально компактное пространство мет-
ризуемо, то его одноточечная компактификация тоже метризуема?
3. Докажите, что всякое хаусдорфово локально компактное
пространство можно взаимно однозначно и непрерывно отобразить на
некоторый хаусдорфов компакт.
4. Докажите, что теорема Бэра остаётся верной для локально
компактных пространств.
5. Докажите, что для метризуемого пространства X следующие
условия равносильны:
(i) существует порождающая топологию X метрика с тем
свойством, что подмножество X компактно тогда и только тогда, когда
оно замкнуто и ограничено в этой метрике;
(π) Χ сепарабельно и локально компактно.
6. Топологическое пространство X называется коллективно
нормальным, если элементы всякого дискретного семейства замкнутых
множеств в X имеют попарно непересекающиеся открытые окрест-

326
Глава 9. Обобщения компактности
ности. При этом семейство & с & [X) дискретно, если у каждой
точки χ e X есть окрестность, пересекающая не более одного его
элемента.
Докажите, что всякий паракомпакт коллективно нормален.
7. Верно ли, что всякое хаусдорфово финально компактное
пространство линделёфово?
8. Докажите, что
а) плоскость Немыцкого не локально компактна (поэтому её
нельзя компактифицировать одной точкой);
б) к плоскости Немыцкого можно добавить одну точку так, что
получится линделёфово пространство;
в) к квадрату прямой Зоргенфрея нельзя добавить одну точку
так, что получится нормальное пространство.
9. Докажите, что метризуемое пространство компактно, если
и только если все метрики, порождающие топологию этого
пространства, полны.
10. Докажите теорему 9.18.
11. Приведите пример счётно компактного ненормального
пространства.
12. Пусть Α, Υ и Ха, аеЛ,—множества. Для Л0сЛ обозначим
через пА естественное отображение проектирования
П*«- Т\ха,
аеА аеА0
определённое правилом (ха)аеА -> Оа)аел0.
а) Докажите псевдокомпактность всякого множества X с [0,1]л
с тем свойством, что πΛο(Χ) = [О,1]л° для любого счётного Л0 с А
(о таком X будем говорить, что оно заполняет счётные грани),
б) Пусть А несчётно. Заметьте, что множество
Σ[0,1]л - {х - (ха)аеА € [0,1]л: \{а € А: ха φ 0}| ^ К0|}
заполняет счётные грани. Выведите отсюда, что любое
пространство Υ, для которого Σ [0,1]л с Υ с [0,1]л, псевдокомпактно.
Покажите, что пространство [0,1]л \ {х}, где х —любая точка из [0,1]л,
псевдокомпактно, но не счётно компактно, а значит, и не
нормально^.
2) При этом пространство Σ [0,1]А нормально; доказательство можно найти
в статье [10].

Подсказки и решения
327
13. Докажите, что произведение метризуемых пространств
нормально тогда и только тогда, когда все сомножители, кроме не более
чем счётного их числа, компактны.
14. а) Верно ли, что всякое симметризуемое^ счётно
компактное тихоновское пространство метризуемо?
б) Верно ли, что всякое симметризуемое псевдокомпактное
пространство метризуемо?
в) Верно ли, что всякое квазиметризуемое2) счётно компактное
тихоновское пространство метризуемо?
г) Верно ли, что всякое квазиметризуемое псевдокомпактное
пространство метризуемо?
15. а) Постройте пример наследственно линделёфова несепара-
бельного пространства.
б) Постройте пример вполне регулярного наследственно сепа-
рабельного нелинделёфова пространства.
Подсказки и решения
1. Нет: веер Фреше—Урысона У (к:) является факторпростран-
ством суммы сходящихся последовательностей, и естественное
факторное отображение (которое склеивает пределы
последовательностей) замкнуто —это проверяется непосредственно. То, что
никакая окрестность нуля в У(к) не компактна (для бесконечного к),
очевидно.
2. Нет: несчётное дискретное пространство метризуемо, но его
одноточечная компактификация неметризуема, поскольку она не
обладает счётной базой, тогда как всякий метризуемый компакт
обязан такой базой обладать.
3. Выберите любую точку χ е X и объявите новыми
окрестностями этой точки все дополнения до компактов К с X, К $х. В
результате получится более слабая хаусдорфова компактная топология на X,
а как раз это и требуется.
5. Импликация (i) => (ii) верна потому, что любое метрическое
пространство X является объединением замкнутых шаров радиусов
π е N с центром в одной и той же произвольно фиксированной точке
1} См. задачу 14 на с. 74.
2) См. задачу 14 на с. 74.

328
Глава 9. Обобщения компактности
х0 еХ, а если для метрики выполнено условие (i), то все эти шары
компактны и сепарабельны (будучи метризуемыми компактами).
Объединение их счётных плотных подмножеств является счётным
плотным подмножеством пространства X. То, что X локально
компактно, вытекает из компактности всех замкнутых шаров. Для
доказательства того, что (ii) => (i), заметьте, что пространство X
имеет счётную базу. Если X не компактно (в противном случае
доказывать нечего), рассмотрите его одноточечную компактификацию
К — X U {*}. По теореме об александровской компактификации она
тоже имеет счётную базу и потому метризуема некоторой
метрикой d. Можно считать, что d ограничена единицей. С помощью
метрики d постройте порождающую топологию метрику ρ на X
с тем свойством, что все ограниченные в (X, р) множества А с X
отделены от точки * в К непересекающимися окрестностями. Для
этой цели достаточно положить
р(х,У)
d(*,*) d(y,*)
+ d(x,y).
6. Пусть Χ — паракомпакт и ^"—дискретное семейство
замкнутых множеств в X. Для каждого χ е X возьмём открытую
окрестность Ux, замыкание которой пересекает не более одного
элемента ^". Пусть У —локально конечное открытое покрытие,
вписанное в покрытие {Ux: χ e X}. Для каждого Fe^ положим Up =
= X \ (|J {V: V е У, Vi)F = 0}). Множества UF открыты в силу
консервативности локально конечного покрытия У. Легко проверить,
что они попарно не пересекаются и каждое UF содержит F.
7. Нет—даже хаусдорфово пространство со счётной базой не
обязано быть регулярным (см. пример нерегулярного хаусдорфова
пространства на с. 164).
8. а) Заметьте, что любая окрестность любой точки χ е I в L
содержит некомпактное замкнутое в L множество вида Dx \ (Dx U {jc})
(см. описание плоскости Немыцкого на с. 66).
б) Добавьте к плоскости Немыцкого L точку * и объявите
базой окрестностей этой точки семейство всех множеств вида {*} и
UL\Dx(r) и {*} U L \ D(r) (где Dx (г) — открытый диск радиуса г,
граница которого касается I в точке х, a D (г) — открытый диск
радиуса г, содержащийся в верхней полуплоскости вместе со своим
замыканием), а также всех конечных пересечений таких множеств.

Подсказки и решения
329
Очевидно, пространство L U * хаусдорфово. Заметьте, что каждое
множество вида Dx(r) (или D(r)) содержится в открытом (в L)
множестве Dx{r') U {х} (или Ό {г')) для некоторого г' > г, откуда легко
выводится регулярность пространства L U *. То, что L и * линделё-
фово, вытекает из очевидной линделёфовости всех множеств вида
Dx(r) и D(r) в топологии плоскости Немыцкого.
в) Выберите любую точку χ из S x S и заметьте, что у
добавленной точки должна существовать окрестность, не
пересекающаяся с некоторой окрестностью точки х. С другой стороны, любая
окрестность любой точки χ содержит замкнутую окрестность вида
[а, Ь) χ [а, Ь), которая гомеоморфна пространству S x S (см.
задачу 12 на с. 138) и потому не нормальна. Эта замкнутая окрестность
будет замкнута и в расширенном пространстве.
9. Необходимость в доказательстве не нуждается. Чтобы
доказать достаточность, заметьте, что если метризуемое пространство X
не компактно, то оно и не счётно компактно. Зафиксируйте любую
ограниченную единицей метрику d, порождающую топологию
пространства X, и возьмите строго убывающую последовательность
непустых замкнутых множеств Fn с X с пустым пересечением.
Рассмотрите метрику ρ на X, определённую правилом
р(х,У) =
= Σ ^r(|d(x,Fn)-d(y,Fn)|+max{d(x,Fn),d(y,Fn)}.d(x,y)).
Покажите, что это действительно метрика. Проверьте, что она
порождает топологию пространства X. Для этого нужно показать, что
для любых χ е X и ε > О существует такое δ > О, что Вр{х, δ) с
с Bd{x, ε), а также что для любых χ е X и ε > О существует такое
γ > О, что Bd{x, γ) сБр(х, ε). Затем заметьте, что метрика ρ не
полна—любая последовательность (xn)nGN, удовлетворяющая условию
хп eFn \ Fn+1 для всех п, фундаментальна и никуда не сходится.
10. Первое утверждение теоремы очевидно. Докажем второе.
Рассмотрим открытое покрытие °и произведения X х К,
Зафиксируем произвольную точку χ е X и для каждой точки у &К
найдём содержащий точку (х, у) элемент £/ покрытия У/ и
открытые окрестности Vy точки χ в X и Wy точки у е JC,
удовлетворяющие условию Vy χ Wy с [/. Семейство открытых множеств
{Уу χ Wy: у е JC} покрывает компактное подпространство {χ} χ К

330
Глава 9. Обобщения компактности
пространства Χ χ К. Выделим из этого семейства конечное
подпокрытие {Vyi х Wyi,...,Vyn x Wyn}. Зафиксируем также элементы
1]ъ ...,Un покрытия °11', для которых Vy. x Wy aUi9 i^n. Положим
Vx = Vyi Г) ...ПУУп и <Мх = {иг,..., Un}. Заметам,'что
VxxKc\J<Vx.
У нас получилось открытое покрытие {Vx: χ еХ} финально
компактного пространства X. Выделим из него счётное подпокрытие
{Vx : η е Ν}. Для каждого π е N положим
уХп = {un (VXn xK):U& WXn}.
Семейство ΨΧη конечно, и оно покрывает множество Vx x К, Ясно,
что это семейство вписано в покрытие <&\ Семейство
-у = U %п
nGN
счётно и является открытым покрытием пространства Χ χ К,
Действительно, для любого (jc, у) еХ χ iC точка jc принадлежит
некоторому Ух , а множество Ух χ iC покрывается семейством Ух . Кроме
того, У вписано в °11.
Итак, У — счётное открытое покрытие пространства ХхК,
вписанное в °и'. Перенумеруем его элементы: У = {Уп: π е Ν}. Для
каждого η е N найдём элемент LTn покрытия ^, содержащий
множество Vn. Семейство {Un: π € Ν} — счётное подпокрытие покрытия ^.
11. Пространство И^° χ И^ (см. пример 2 на с. 320) счётно
компактно, потому что W® счётно компактно и \¥г компактно, а счётная
компактность выдерживает умножение на компакт. С другой
стороны, пространство И^° не паракомпактно и\¥г~ его компактифика-
ция; значит, по теореме Тамано на с. 308 И^0 χ W1 не нормально.
12. а) Воспользуйтесь теоремой 9.24®. Предположите, что
существует счётное локально конечное семейство непустых
открытых множеств в X, и заметьте, что эти множества можно считать
пересечениями с X элементов канонической базы произведения.
Каждый элемент канонической базы определяется конечным
набором координат аъ ..., ап € А. Рассмотрите проекцию на (счётное)
объединение этих наборов и покажите, что из сделанного
предположения вытекает существование счётного локального конечного
семейства непустых открытых множеств в гильбертовом кубе, так
что это предположение неверно.

Подсказки и решения
331
б) То, что Σ [0,1]Л заполняет счётные грани, ясно. Все
остальные утверждения, кроме утверждения, что [0,1]Л \ {х} не счётно
компактно, вытекают из предыдущего пункта. Пусть х= (ха)аеА·
Выберем произвольные попарно различные индексы аъ а2,...^А
и любые точки уап φ ха^ в [0,1] для η е N. Для каждого ί е N положим
zi = &i,a)aeA> гДе zi,a=xa Аля афа{ и ζί>α. = ущ. Точка χ является
единственной предельной точкой в пространстве [0,1]А счётного
множества Ζ = {zb z2,...} с [0,1]Л \ {х}, но эта точка не
принадлежит пространству [0,1]А \ {х}. Значит, Ζ не имеет предельных точек
в[0,1]А\{х}.
13. Для доказательства необходимости воспользуйтесь
теоремами 9.23 ® и 9.27 и задачей 17 на с. 209. Для доказательства
достаточности воспользуйтесь задачей 11 на с. 209, теоремой Стоуна на с. 311,
теоремой Тихонова о компактности произведений и теоремами 9.13
и 9.11.
14. а) Да. Доказательство можно найти в статье [13,
следствие^].
б) Нет. Пример — пространство Ψ(^) Исбелла—Мрувки (см.
с. 324). Симметрику ρ на нём можно определить, как-нибудь
занумеровав элементы каждого множества А е j4 натуральными
числами (А = {аъа2,...}; при этом те точки из N, которые
принадлежат нескольким разным множествам А, окажутся обладателями
нескольких номеров) и положив
( 0, если х — у,
рО,у) = } 1, если х, у G N или х,у φ Ν,
\ -, если х = рАиу = апЕ:А или у = рА и χ = ап е А.
в) Да. Доказательство можно найти в статье [40] (см. также
книгу [24, р. 40]).
г) Ответ на этот вопрос неизвестен.
15. а) Вопрос о существовании таких пространств много лет
оставался открытым. Пример был построен лишь в 2005 г. (см. [32]).
б) Существование таких пространств не зависит от аксиом ZFC:
в одних моделях теории множеств они существуют, а в других их нет
(см. [42]).

Глава 10
Связность и разные виды несвязности
§10.1. Связность
Связность играет особую роль, и не только в топологии.
Например, классическая теорема Больцано—Коши о промежуточном
значении — очевидное следствие связности отрезка. Мы уже не раз
пользовались связностью прямой (см. решения задач 16 на с. 82, 8 а)
нас.140и1г)нас.291).
I Определение. Топологическое пространство называется связ-
I ным, если его нельзя представить в виде объединения двух непе-
1 ресекающихся непустых открытых подпространств, и несвязным,
§ если его можно так представить. Связный компакт называется
I континуумом.
Иными словами, X связно, если его нельзя представить в виде
Υ Θ Ζ, где Υ и Ζ — непустые подпространства пространства X.
Замечание 10.1. Очевидно, в определении связного
пространства слово «открытых» можно заменить на «замкнутых», а также на
«открыто-замкнутых».
Теорема 10.2. Для произвольного топологического
пространства X следующие условия равносильны:
1 Φ Χ связно;
Ι ® Χ не содержит открыто-замкнутых подмножеств, кроме 0
1 иХ;
Ι ® если X = Υ U Ζ и множества Υ и Ζ отделены^ в X, то Υ или Ζ
I пусто;
1 ® каждое непрерывное отображение /: X —» {0,1}2) постоянно,
1 т. е. либо /(X) с {0}, либо /(X) с {1}.
Доказательство. Если множество Υ открыто-замкнуто в
пространстве Χ πΥ^0,Χ,το Χ несвязно, поскольку X\Y тоже
открыто-замкнуто и Χ = ΥΘΧ\Υ. Значит, φ =>@.
υ Т.е. ΥΠΖ = ΥΠΖ = 0.
2) Напомним, что мы договорились подразумевать, что множество {0,1}
снабжено дискретной топологией, если не оговорено иное.

§ 10.1. Связность
333
Покажем, что © => ®. Если X — 7 υ Ζ и множества 7 и Ζ
отделены, то 7 = 7 (потому что 7 с Χ \ Ζ = 7), Ζ = Ζ и 7 Π Ζ = 0, т. е. 7 и Ζ —
разные открыто-замкнутые подмножества пространства X, так что
одно из них должно быть пусто.
Чтобы доказать импликацию © => ®, достаточно заметить, что
в силу непрерывности отображения / множества /_1 ({0}) и /_1 ({1})
открыто-замкнуты в X, так что одно из них должно быть пустым.
Наконец, импликация ® => φ вытекает из того, что если X
несвязно, то X = Υ Θ Ζ, где 7 и Ζ — непустые открыто-замкнутые
подмножества X, и непрерывное отображение /: X —» {0,1},
определённое правилом /00 = 0 для χ £ А и /Ос) = 1 для jc е β, не
постоянно. D
I Следствие 10.3. Каждое связное тихоновское пространство,
содержащее хотя бы две разные точки (в частности, любой
неодноточечный континуум), имеет мощность не меньше 2К°.
Доказательство. Пусть X — связное тихоновское пространство,
и пусть jc, у е X, χ φ у. Поскольку X е Тг, множество {у}
замкнуто в X, а поскольку X £ Γ3ι, существует непрерывная функция
/: X —> [0,1], для которой /00 = 0и /(у) = 1. Функция / сюръек-
тивна, потому что если бы нашлось г £ [0,1] \ /(X), то мы бы имели
Х = /_1([0, г)) θ/-1 ((г, 1]), что противоречит связности
пространства X. Значит, \Х\ ^ | [0,1] | = 2К°. D
В теории связных пространств наибольший интерес
представляют не подпространства связных пространств, обладающие теми
или иными свойствами, а связные подпространства произвольных
(вообще говоря, несвязных) пространств.
I Теорема 10.4. Подпространство 7 топологического
пространства X связно тогда и только тогда, когда 7 нельзя представить
как объединение двух непустых множеств, отделённых в X.
Доказательство. Необходимость. Если Υ — ΧΎ UX2 и Хг и Х2
отделены в X, то, очевидно, Хг и Х2 отделены и в 7. По теореме 10.2 ®
подпространство 7 несвязно.
Достаточность. Если 7 несвязно, то по теореме 10.2 © имеем
7 = 7Х U 72, где 72 и 72 непусты и отделены в 7, т. е.
Ϋ?Γ)Υ2 = Υ1ηΫ? =0.
Поскольку Уъ 72 с 7, имеем
Ϋ?ηΥ2α (У?ΠΥ)ηΥ2 = Ϋ?ηΥ2 = 0;
аналогично Υλ Π Υ2 = 0, т. е. ΥΎ и 72 отделены и в X. D

334
Глава 10. Связность и разные виды несвязности
Следствие 10.5. Если Υ с Χ, Υ связно и Χλ и Х2 — отделённые
множества в X, для которых Υ <ζΧλυ Χ2, то одно из множеств
Хг и Х2 содержит Υ.
Теорема 10.6. Пусть Ya, a е А, — связные подмножества
пространства X. Если существует а0 £ А, для которого YaQ не
отделено ни от одного Υα, α Ε: А, то объединение [J Ya связно.
α<ΞΑ
Доказательство. Применим теорему 10.4. Пусть Υ = (J Ya =
а€А
= Хг U Х2, где Хг и Х2 отделены в X. В силу следствия 10.5 либо
Υαο С Хъ либо YaQ С Х2. Пусть для определённости YaQ С Хг. Для
любого α Φ а0, а£А, в силу того же следствия тоже имеем либо
YaczXl9 либо YaczX2. Очевидно, Ya сХг —иначе множества Υα и YaQ
были бы отделены, будучи подмножествами отделённых множеств.
Значит, Υ — (J Ya с Хъ откуда следует, что Х2 = 0. По теореме 10.4
аеА
множество Υ связно. D
(Следствие 10.7. Если Ya, ае А, —связные подпространства
пространства X и f]Ya^0,mo [jYa связно.
аеА а<ЕА
I Следствие 10.8. Если Ya, a е А, — попарно пересекающиеся
связные подмножества пространства X, то объединение Υ = [J Ya
связно. α€Α ^
Доказательство. Предположим, что Υ несвязно. Тогда по
теореме 10.4 имеем Υ = Хг и Х2, где Хг и Х2 отделены в X и непусты.
Пусть Хг Π Υαι φ 0 и Х2 Π Υα2 Φ 0. Согласно следствию 10.7
объединение Ya U Ya2 должно быть связно, однако это не так в силу
следствия 10.5. D
I Следствие 10.9. Если Υ связно, Υ с X и Υ с Ζ czfx, то Ζ тоже
связно. В частности, Υχ связно.
Доказательство. Семейство У и {{ζ}: ζ eZ} удовлетворяет
условиям теоремы 10.6: множество Υ не отделено ни от одного {ζ},
zeZ. Π
I Следствие 10.10. Обычная прямая, а также все интервалы,
отрезки и открытые и замкнутые лучи на прямой связны.
Доказательство. Подробное доказательство связности Ш можно
найти в решении задачи 16 на с. 82. Открытые интервалы и
открытые лучи гомеоморфны прямой (см. задачу 9 в) на с. 137) и
потому тоже связны. Отрезки и замкнутые лучи связны в силу
следствия 10.9. D

§ 10.1. Связность
335
I Следствие 10.11. Если для любых двух точек пространства X
существует содержащее их связное множество Υ <zX,moX связно.
Доказательство. Предположим, что X непусто (иначе
доказывать нечего). Зафиксируем любую точку jc0 еХ и для каждой точки
хеХ выберем связное множество Yx сX, содержащее χ и х0
(отметим сразу же, что X— |J Yx). Множества Υχ, хеХ, удовлетворяют
хеХ
условиям следствия 10.7, поскольку х0е f]Yx; значит, X связно. D
х<ЕХ
Следующее утверждение тоже по сути является следствием
теоремы 10.6, но мы сформулируем его как отдельную теорему ввиду
его важности.
I Теорема 10.12. Тихоновское пространство X связно тогда и
только тогда, когда βΧ связно.
Доказательство. Если X связно, то βΧ тоже связно в силу
следствия 10.9. Если же X несвязно, то по теореме 10.2® существует
непостоянная непрерывная функция /: X—> {0,1}. Непрерывное
продолжение /: βΧ —> [0,1] этой функции на βΧ тоже непостоянно.
При этом /(/ЗХ) с {0,1} по теореме 4.4. D
В каждом топологическом пространстве определены
специальные связные подпространства, которые играют важную роль в
разных разделах математики.
I Определение. Объединение всех связных подпространств про-
I странства X, содержащих точку jc e X, называется компонентой
1 связности, или связной компонентой, или просто компонентой
I ТОЧКИ JC В X.
Сразу же сделаем несколько замечаний.
• Компонента точки х — это максимальное связное
подмножество X, содержащее х: она связна в силу следствия 10.7,
будучи объединением пересекающихся связных множеств, и по
определению содержит всякое связное подмножество, которому
принадлежит х.
• Компонента любой точки замкнута, потому что замыкание
любого связного множества связно (см. следствие 10.9).
• Компоненты любых двух точек в топологическом пространстве
либо не пересекаются, либо совпадают. (Действительно, если
Сх и Су — компоненты точек χ и у и Сх Г) Су Φ 0, то по
следствию 10.7 множество Сх и Су связно, и в силу максимальности
компонент имеем Сх = Су = Сх и Су.) Таким образом, в
совокупности компоненты точек составляют разбиение пространства

336 Глава 10. Связность и разные виды несвязности
на попарно непересекающиеся связные замкнутые множества,
которые называются компонентами связности, или связными
компонентами, или просто компонентами этого пространства.
I Определение. Квазикомпонентой точки χ в топологическом
пространстве X называется пересечение всех открыто-замкнутых
подмножеств X, содержащих эту точку.
Ясно, что квазикомпоненты всех точек замкнуты.
Предложение 10.13. Квазикомпоненты любых двух точек либо
не пересекаются, либо совпадают.
Доказательство. Пусть Qx и Qy — квазикомпоненты точек χ и у.
Тогда либо х,у &QxnQy, либо хотя бы одна из точек χ и у не
содержится в Qx Π Qy. В первом случае всякое
открыто-замкнутое множество, содержащее точку х, содержит также и у, так что
Qx — Qy Предположим, что одна из точек —пусть это будет х — не
принадлежит пересечению QxnQy. Тогда у точки у есть
открыто-замкнутая окрестность U, которая не содержит х, причём по
определению Qy с U. Множество X \ U является открыто-замкнутой
окрестностью точки х, причём по определению Qx<zX\U. Значит,
QxnQy = 0. П
Таким образом, квазикомпоненты точек в топологическом
пространстве тоже (как и компоненты) образуют разбиение
пространства на непересекающиеся замкнутые множества, которые
называются квазикомпонентами этого пространства.
Предложение 10.14. Компонента любой точки в
топологическом пространстве содержится в квазикомпоненте этой точки.
Доказательство. Пусть Сх — компонента точки χ в
пространстве X, и пусть Qx — её квазикомпонента. Если U—любая открыто-
замкнутая окрестность точки х, то множества U и X\U отделены
в X. В силу следствия 10.5 имеем Cx<zU (включение Cx<zX\U
выполняться не может, так как χ £ Сх). Значит, Сх содержится в каждой
открыто-замкнутой окрестности точки jc. D
I Теорема 10.15. Во всяком компакте компонента любой точки
совпадает с её квазикомпонентой.
Доказательство. Ввиду предложения 10.14 достаточно доказать,
что любая квазикомпонента компакта связна.
Пусть X — компакт, xgXhQ- квазикомпонента точки х.
Предположим, что Q = Y\JZ, где Υ и Ζ —замкнутые подмножества
подпространства Q (а значит, и компакта X) и Υ Г) Ζ = 0. Пусть для
определённости xeF.B силу нормальности каждого компакта най-

§ 10.1. Связность
337
дутся непересекающиеся открытые множества 1/,УсХ, для
которых Υ с U и Ζ с У. Имеем Q с U U У. По определению Q = Ρ Wa,
α(ΞΑ
где {Wa: α е Л} — семейство всех открыто-замкнутых окрестностей
точки χ в X. Множества Ua = X \ Wa, а ЕЛ, образуют открытое
покрытие компакта Х\ (LTU V). Пусть {ί/αι,..., LTa } — его конечное
подпокрытие. Тогда W = f] Wa. с LT U У. Ясно, что множество W от-
ίϊζη
крыто-замкнуто. При этом
TJ7wciUnw = unw = UnttUuv)nw) =
= (i/ni7ui7ny)nw = i7nw,
т. е. множество l/nW открыто-замкнуто. Поскольку χ е LT Г) W, по
определению квазикомпоненты имеем Qc[/nW; значит, Q с [/. Из
того, что ZcV и У η LT = 0, следует, что Ζ = 0. Из
произвольности выбора замкнутых множеств Υ и Ζ вытекает связность
множества Q. D
Пример. Для некомпактных пространств доказанная теорема
неверна. В качестве примера рассмотрим пространство
Х = Uft^Hx {J})u{(0,0)}U{(l>0)}czIR2.
[о, ι] χ {1}
[0,1] х Ц}
BUI χ Ш
(0*0) (1*0)
Компоненты точек {(0,0)} и {(1,0)} одноточечны (это
очевидно), тогда как их квазикомпоненты — одно и то же множество
{(0,0), (1,0)}. Действительно, все отрезки [0,1] х {-} открыто-
замкнуты в X и связны, и любая окрестность точки {(0, 0)}
пересекает их все, кроме конечного числа. Значит, в силу их связности, по
теореме 10.2 © любая открыто-замкнутая окрестность точки {(0, 0)}
обладает тем свойством, что она содержит все эти отрезки, кроме
конечного их числа; следовательно, она должна содержать и точку
{(1, 0)}, которая является предельной для любого множества с этим
свойством.

338 Глава 10. Связность и разные виды несвязности
Перейдём к поведению связности при непрерывных
отображениях и операциях над топологическими пространствами.
I Теорема 10.16. Образ связного пространства при непрерывном
отображении связен.
Доказательство. Если /: X —> У — непрерывное отображение и
Υ == Yi Θ Υ2, где Υλ и Υ2 непусты, тоХ = /-10Ί) θ f~l(Y2^ причём
/~1(Υ1) и /"Ч^У тоже непусты. D
Уже из определения связности ясно, что сумма непустых
пространств может быть связной только в случае одного слагаемого.
Зато связность мультипликативна.
| Теорема 10.17. Топологическое произведение f~[ Xa непустых
ι пространств Ха связно тогда и только тогда, когда все прост-
1 ранства Ха связны.
Доказательство. Если J~J Xa связно, то все пространства Ха
аеА
связны, потому что все они являются непрерывными образами (при
проекциях) пространства Y\ Xa.
α(ΞΑ
То, что произведение Χ χ Υ двух связных пространств X и Υ
связно, вытекает из следствия 10.11: любые две точки {хъ уг), {х2, у2) ^
е Χ χ Υ принадлежат множеству (Χ χ {уг}) U ({х2} x γ)> которое
связно, будучи объединением пересекающихся связных множеств
(см. следствие 10.7).
Отсюда немедленно вытекает, что произведение любого
конечного числа связных пространств связно.
Рассмотрим произвольное произведение [~[ Ха связных про-
аеА
странств. Зафиксируем любую точку 0са)а<Ед G Π Χα· Пусть & —
аеА
— {F с Λ: F конечно}. Для каждого F е & положим
XF = Π Υα> гДе Υα = Ха ДЛЯ a G F И Ya = {χα} ДЛЯ α £ F.
аеЛ
Каждое XF гомеоморфно конечному произведению связных
пространств и потому связно. Поскольку все XF содержат точку (ха)а<Ед,
объединение |J XF тоже связно (по следствию 10.7). Рассматривая
элементы канонической базы произведения, легко показать, что это
объединение плотно в J~] Xa. В силу следствия 10.9 произведение
Π Ха связно. аеЛ D
аеА

§ 10.2. Разные несвязности
339
(Следствие 10.18. Все тихоновские степени прямой RK и все
тихоновские кубы [0,1]к связны,
I Теорема 10.19. Компонента точки (ха)а(ЕА в топологическом
произведении Y\ Xa равна произведению J~J Ca, где Са — компонен-
аеА аеА
та точки ха в Ха для каждого а е А.
Доказательство. Пусть С —компонента точки Оа)а<ЕЛ в Π Q·
аеА
Она связна, поэтому все проекции па{С) связны; значит, Са э па(С)
для а&А, откуда следует, что С с Y\ Ca. С другой стороны, Сэ J~J Ca,
а^А аеА
потому что произведение Y\ Ca связно по теореме 10.17, а
команд
понента С — максимальное связное множество, содержащее точку
(χα)α<ΞΑ· Π
Прежде чем переходить к несвязным пространствам, отметим,
что, в отличие от большинства свойств типа компактности,
связность накладывает только одно ограничение на кардинальные
инварианты метризуемых пространств — в силу следствия 10.3
мощность непустого неодноточечного связного метризуемого (как и
любого тихоновского) пространства не может быть меньше 2К°. Любой
бесконечный кардинал может быть весом, а значит, и плотностью,
числом Суслина и числом Линделёфа связного метризуемого
пространства — это видно из того очевидного наблюдения, что
метрический ёж1} любой колючести связен.
§ 10.2. Разные несвязности
1 Определение. Топологическое пространство вполне несвязно2\
I если все его компоненты одноточечны, т. е. если оно не содержит
I связных подпространств, содержащих больше одной точки.
Ι Топологическое пространство вполне разрывно3\ если все его
1 квазикомпоненты одноточечны.
1} См. пример 5 на с. 62.
2) Иногда такие пространства называют наследственно несвязными, а вполне
несвязными называют пространства, в которых одноточечны все
квазикомпоненты.
3) Иногда такие пространства называют вполне несвязными, а вполне
разрывными называют пространства, в которых одноточечны все континуумы;
пространства с одноточечными континуумами называют также пунктиформ-
ными.

340 Глава 10. Связность и разные виды несвязности
Очевидно, всякое вполне разрывное пространство вполне
несвязно, однако обратное неверно (см. задачу 4 на с. 355). Отметим
также, что вполне несвязное и даже вполне разрывное
пространство может быть связным (если оно пусто или одноточечно),
тогда как несвязных связных пространств не бывает, так что,
строго говоря, несвязность не следует из полной несвязности. Однако
все неодноточечные непустые вполне несвязные пространства
несвязны.
Мы видели (см. теорему 10.12), что связность тихоновского
пространства равносильна связности его стоун-чеховской компактифи-
кации. Однако стоун-чеховская компактификация вполне
несвязного пространства не обязана быть вполне несвязной. Это довольно
очевидно —по теореме 10.15 если компакт βΧ вполне несвязен,
то все его квазикомпоненты одноточечны. Нетрудно показать, что
квазикомпоненты пространства X являются пересечениями
квазикомпонент βΧ с X, но, как уже упоминалось, вполне несвязное
пространство X не обязано быть вполне разрывным. Несколько
неожиданнее тот факт, что стоун-чеховская компактификация даже
вполне разрывного пространства не обязана быть вполне
несвязной. Сейчас мы приведём пример такого пространства, но сначала
докажем следующий полезный факт.
Предложение 10.20. Топологическое пространство X вполне
разрывно тогда и только тогда, когда его можно взаимно однозначно
непрерывно отобразить на хаусдорфово пространство, обладающее
базой из открыто-замкнутых множеств.
Доказательство. Пусть X — вполне разрывное пространство с
топологией Э". Поскольку каждая точка χ gX является
пересечением своих открыто-замкнутых окрестностей, любые две различные
точки х, у е X отделены непересекающимися открыто-замкнутыми
окрестностями (потому что дополнение до любого
открыто-замкнутого множества тоже открыто-замкнуто). Следовательно,
множество X с топологией ZF', порождённой базой, состоящей из всех
открыто-замкнутых подмножеств пространства (Х,^*),
—хаусдорфово пространство, причём ZF' с £Г. Ясно, что множества, открыто-
замкнутые в {X, &), открыто-замкнуты и в (X, Э"'). D
Из этого предложения, теоремы 10.15 и следствия 7.9
немедленно вытекает следующее утверждение.
! Следствие 10.21. Всякий вполне несвязный компакт обладает
базой, состоящей из открыто-замкнутых множеств.

§ 10.2. Разные несвязности
341
Пример (Эрдёш1}). Напомним определение гильбертова пространства
вещественных последовательностей С2 и его метрики d (см. с. 61):
t2 = {few Σ 4 < °°}> <*((*„)„, (у„)„) = ,/Σ^π-λ)2.
neN V neN
Рассмотрим пространство X (Ζ С2, состоящее из всех
последовательностей рациональных чисел (rn)n€N, для которых Σ гп < °°· Пространство X
neN
вполне разрывно. Действительно, если (г„)п? (г^)п еХ и Юп # (гп')п> то
найдётся п0 G N, для которого r'nQ φ г£0; пусть а — иррациональное число между
гщ и С Множество {(rn)n€N еХ:гПо<а} = {(r„)neN еX: гщ ^ а} открыто-
замкнуто и содержит ровно одну из точек {г'п)п и (г„')п· Следовательно, все
квазикомпоненты пространства X одноточечны.
Докажем, что βΧ не вполне несвязно. Для этого сначала покажем, что
никакая открытая окрестность U точки 0 = (0, 0,...) G X, содержащаяся
в шаре Bd(0,1), не замкнута.
Определим по индукции последовательность рациональных чисел rlf
г2,..., удовлетворяющую условиям
к О)
для каждого к g N, где rk = (rlf..., гь 0, 0,...).
Очевидно, при к = 1 эти условия выполнены для гг = 0 (напомним, что
U с Bd(0,1)). Предположим, что к > 1 и числа г1?..., г^ уже
определены. Для каждого i ^ /с положим х^ = (г1}..., г^_1? j-, 0, 0, ...J. Все
последовательности xj, i ^ /с, принадлежат X, причём Xq g 17 и х£ <^ 17 (потому что
17 с ВД0,1)). Значит, найдётся т<к, для которого х^ G U и х^+1 ^ 17.
Положим гк = Т- Имеем гк = х^, так что г к G U и d(rb X\U) = d(x^, X \ 17) ^
^Xm>Xm+i) = Y(£) = £, что и требуется.
Мы построили последовательность г= (гп)п рациональных чисел, для
которой выполнены условия (*). Имеем / Σ rn = sup{d(0, rk): /cgN}^ 1.
V neN
Следовательно, во-первых, г G X и, во-вторых, d(rk, г) = / Σ Γη ΊΤ^* °>
а значит, г € {rfc: к G N} с U. Кроме того, поскольку d(rk, X\U) η^* 0> имеем
d(r, X \ U) ^ d(r, rfc) + d(rbX \ 17) ^> 0. Значит, r GX\I7 = X \ U
(напомним, что множество U открыто). Таким образом, г G U Π (X \ 17) = U \ U;
значит, U не замкнуто.
1} Пал Эрдёш (1913—1996) — венгерский математик, один из наиболее
продуктивных математиков двадцатого века. Работал в самых разных областях
современной математики: комбинаторика, теория графов, теория чисел,
математический анализ, теория приближений, теория множеств и теория вероятностей.

342 Глава 10. Связность и разные виды несвязности
Теперь предположим, что К — вполне несвязный компакт. По
следствию 10.21 у К имеется база &, состоящая из открыто-замкнутых
множеств. Если ХаК, то семейство {17 Г)Х: 17 е <М}, которое состоит из
открыто-замкнутых подмножеств пространства X, является базой топологии
пространства X. Однако у X нет базы из открыто-замкнутых множеств — выше
мы показали, что открытый шар Bd(0,1) не содержит открыто-замкнутых
окрестностей точки 0.
Итак, вполне разрывное пространство X не вкладывается ни в какой
вполне несвязный компакт, а значит, компакт βΧ D X не является вполне
несвязным.
Выше мы определили два класса «сильно несвязных»
пространств — вполне несвязных и вполне разрывных пространств,
причём второй класс строго уже первого. В связи с примером Эрдёша
естественно ввести ещё один класс —класс пространств,
обладающих базой из открыто-замкнутых множеств, и предположить, что
стоун-чеховские компактификации хотя бы пространств из этого
класса вполне несвязны. Это предположение неверно, что
открывает путь к дальнейшим усилениям понятия несвязности.
Пространства, имеющие базу из открыто-замкнутых множеств,
а также обладающие ещё более сильными свойствами несвязности,
называются нульмерными. Мы переходим к рассмотрению классов
таких «самых несвязных» пространств.
§ 10.3. Разные нульмерности
I Определение. Топологическое пространство называется
нульмерным, если оно непусто^, является ^-пространством и
обладает базой из открыто-замкнутых множеств.
Замечание 10.22. Ясно, что всякое нульмерное пространство
вполне регулярно: любая точка отделена от любого не содержащего
её замкнутого множества открыто-замкнутой окрестностью;
функция, тождественно равная 0 на этой окрестности и 1 на её
дополнении, непрерывна, и все такие функции обеспечивают выполнение
аксиомы То ι.
Предложение 10.20 даёт такой критерий полной разрывности.
I Теорема 10.23. Непустое топологическое пространство вполне
разрывно тогда и только тогда, когда оно допускает непрерывное
взаимно однозначное отображение на нульмерное пространство.
Пустое пространство удобно считать (-1)-мерным.

§ 10.3. Разные нульмерности
343
Очевидно, всякое нульмерное пространство вполне разрывно,
а пример Эрдёша показывает, что обратное неверно, так что
нульмерность строго сильнее полной разрывности. Однако и её
недостаточно для того, чтобы гарантировать полную несвязность
стоун-чеховской компактификации: существует пример нульмерного
пространства X, для которого компактификация βΧ не нульмерна
(а значит, и не вполне несвязна —см. следствие 10.21); его можно
найти в книге [19, пример 6.2.20]. Тем не менее всякое
нульмерное пространство обладает какой-то (не обязательно
максимальной) нульмерной компактификацией.
I Теорема 10.24. Любое нульмерное пространство X
вкладывается в тихоновскую степень {0,1}шт дискретного пространства
{0,1}.
Доказательство. Пусть X — нульмерное пространство.
Положим к = w{X). Тогда из любой базы пространства X можно
выделить базу мощности к (см. задачу 12 на с. 73). Значит, у X есть
база <% мощности к, состоящая из открыто-замкнутых множеств. Для
каждого U е <% определим отображение fjji X —> {0,1} правилом
fu 00 — 0 Для х G U и fu (jc) — 1 для χ φ U; оно непрерывно, потому что
U открыто-замкнуто. Семейство отображений {fjji ί/e 38}
разделяет точки и замкнутые множества. Действительно, если χ е X \ F, где
F с X — замкнутое множество, то X \ F — окрестность точки х, а
значит, найдётся U е Μ со свойством χ e U с X \ F. Имеем fu(x) = 0ф
Φ fu СЮ — {1} · По теореме о диагональном произведении Д fv: X —>
—> {0,1}к — гомеоморфное вложение. и<Ет D
■ Следствие 10.25. Всякое нульмерное пространство обладает
нульмерной компактификацией.
Доказательство. Пусть X — нульмерное пространство, и пусть
φ: X —> {0,1}ш(х) — гомеоморфное вложение (оно существует по
доказанной теореме). Нужной компактификацией является
замыкание образа φ(Χ) в пространстве {0,1}шт. Это следует из того, что
пространство {0,1}шт компактно (по теореме Тихонова), и
следующих двух очевидных, но важных фактов.
■ Теорема 10.26. Любое непустое подпространство всякого
нульмерного пространства нульмерно.
Действительно, если X —нульмерное пространство и ^t —его
база из открыто-замкнутых множеств, то для всякого Υ с X все
множества U Π Υ, U & 08, открыто-замкнуты в Υ, и они образуют базу
топологии пространства Υ.

344 Глава 10. Связность и разные виды несвязности
! Теорема 10.27. Произведение произвольного семейства
нульмерных пространств нульмерно.
Доказательство. Пусть Ха, а е А, — нульмерные пространства
и &а — их базы, состоящие из открыто-замкнутых множеств. В
силу предложения 6.12 множества вида U = Y\Ua, где Ua € &а для
α<ΞΑ
а из некоторого конечного множества {аг,..., ап} с А и Ua—Xa
для аф аь ..., ап, образуют базу произведения J~J Xa. По предложе-
аеА
нию 6.15 все множества U также и замкнуты, так как все Ua
открыто-замкнуты. D
Применение теорем 10.26 и 10.27 завершает доказательство
следствия 10.25. D
Из теорем 10.24 и 10.27 и того, что w({0,1}к) = к для любого
бесконечного кардинала к (это доказывается по аналогии с замечанием 6.31),
следует, что для любого бесконечного кардинала к пространство {0,1}к
универсально1* для всех нульмерных пространств веса к.
Вернёмся к вопросу о нульмерности стоун-чеховской компак-
тификации. Он важен хотя бы потому, что позволяет ввести класс
пространств, «ещё более несвязных», чем нульмерные
пространства—а именно пространств с нульмерным (= вполне несвязным)
стоун-чеховским расширением. Такие пространства называются
сильно нульмерными. Общепринятое определение сильно
нульмерного пространства основано на понятии функционально открытого
покрытия.
Напомним, что подмножество топологического пространства X
функционально открыто, если оно является дополнением до
прообраза нуля при непрерывном отображении X —> Ш (см. задачу 8
на с. 170). Очевидно, всякое открыто-замкнутое множество
функционально открыто (достаточно рассмотреть функцию, переводящую
это множество в единицу, а его дополнение — в ноль). Очевидно
также, что если F с Ш замкнуто, /: X —> R — непрерывное отображение
и A = X\/-1(F), то множество А функционально открыто: оно
является дополнением до прообраза нуля при непрерывном
отображении φ о /: X —> Ш, где φ: Ш —> R — функция, определённая правилом
V(x) =d(x,F).
Покрытие пространства функционально открытыми
множествами называется функционально открытым покрытием.
1} См. определение на с. 203.

§ 10.3. Разные нульмерности
345
1 Определение. Топологическое пространство называется силъ-
I но нульмерным, если оно непусто и вполне регулярно и в каждое
Ι его конечное функционально открытое покрытие можно вписать
Ι дизъюнктное конечное открытое покрытие (т. е. конечное откры-
1 тое покрытие попарно непересекающимися открытыми множе-
I ствами).
Ясно, что любое дизъюнктное конечное открытое покрытие
состоит из открыто-замкнутых множеств и потому функционально
открыто.
1 Теорема 10.28. Для непустого тихоновского пространства X
Ι следующие условия равносильны:
Ι φ Χ сильно нульмерно;
1 © для любых двух функционально отделимых множеств^ А, В с
I с X существует открыто-замкнутое множество U в X, удо-
1 влетворяющееусловшш AczU и BczX\U;
I © βΧ сильно нульмерно.
Доказательство. Докажем, что ® =>@. Пусть А, ВсХи/:Х—>
—> [0,1] — непрерывная функция, удовлетворяющая условиям /(А) с
с{0} и /(В) с{1}. Множества V = /_1([0, D) и ΐν = /_1((0,1])
составляют функционально открытое покрытие X. Впишем в него
какое-нибудь дизъюнктное конечное открытое покрытие °1£. Каждый
элемент О этого покрытия содержится либо в V, либо в W, причём
если О Π Α φ 0, то О <jL W, а значит, ОсУ и О Г) В = 0. Следовательно,
[/ = {Ое^: О ПАф0} содержит Λ и не пересекает В; это
множество открыто-замкнуто, будучи объединением конечного числа
открыто-замкнутых множеств — элементов покрытия У/.
Вместо того чтобы доказывать импликацию © => ф, мы докажем
индукцией по п, что из © вытекает утверждение, формально даже
более сильное, чем ф, — а именно, что любое конечное
функционально открытое покрытие {иъ ...,Un} имеет дизъюнктное
открытое ужатие2) {Vl9..., Vn}. Для π = 1 утверждение тривиально.
Предположим, что π > 1 и утверждение верно для всех меньших п. По
индуктивному предположению покрытие
{U[,..., U^}, где 17/ = l/f для ί < η- 1 и и^г = I/„_iUt/n,
1} Напомним, что два множества функционально отделимы, если существует
непрерывная функция X—»[0,1], тождественно равная нулю на одном из этих
множеств и единице на другом.
2) См. определение на с. 224.

346 Глава 10. Связность и разные виды несвязности
имеет дизъюнктное открытое ужатие {У/,..., V„_i}. Множества
Vn-ι \ ип_г и νή-ι \ Un не пересекаются, потому что У^_г с ϋ'η_λ =
— ^π-ι υ ^π· Покажем, что они функционально отделимы. Возьмём
непрерывные функции /п_г: X —> [0,1] и /п: X —> [0,1], для
которых
Un-i=fn-i«0>W и ип = /-г«0,Ц)
(они существуют, потому что ип_г и LTn функционально открыты).
Определим ещё одну функцию g: X —> [0,1] правилом g(x) = 0, если
χ € V^i, и g(x) = 1, если χ φ V^-i- Эта функция тоже непрерывна, так
как Vn-\ открыто-замкнуто. Положим
_ fn-1+g
Ψ " fn-1+fn+g'
Эта функция непрерывна и корректно определена, потому что
в каждой точке х€Х\ V„-i имеет место равенство g(x) = 1, а в
каждой точке χ е У^ с ип_г U LTn либо /п_г О) ^ 0, либо /п О) ^ 0. Легко
видеть, что φ ξ 0 на У^ \ [/„__! и φ ξ 1 на У^ \ Un.
Итак, множества У^_х \ ип_г и y^ \ Un функционально
отделимы. В силу условия © существует открыто-замкнутое
множество U, для которого Уп7_! \ Un_i с U и yn7_! \Un cz X \U. Ясно,
что У^! \ I/ с [/„_! и yn7_! П ί/ с ί/π. Осталось положить У£ = V;' для
1<п-1,Уп_1-Уп/_1\^/иУп-У^1П[/.
Наконец, докажем, что © фф ®. Мы уже показали, что
произвольное тихоновское пространство сильно нульмерно тогда и только
тогда, когда оно удовлетворяет условию @, поэтому надо проверить,
что тихоновское пространство X удовлетворяет условию © тогда
и только тогда, когда βΧ удовлетворяет этому условию.
Предположим, что X удовлетворяет условию ©. Пусть А и В —
функционально отделимые подмножества пространства βΧ, и пусть
/:0Х->[О,1]
— непрерывная функция, тождественно равная 0 на Λ и 1 на В.
Открытые множества Λ/ = /~1ί| 1, ^JJ и в' = f~1((-r, ill тоже
функционально отделимы в βΧ (непрерывная функция φ о/: /ЗХ—> [0,1],
где ψ: [0,1] —» [0,1] — непрерывная кусочно линейная функция,
принимающая постоянное значение 0 на I 0, ^J и 1 на ί τ, ll, тож-

§10.3. Разные нульмерности
347
дественно равна 0 на Л7 и 1 на В7). Значит, А7 Г) X и В7 Г) X
функционально отделимы в X. В силу условия © существует открыто-
замкнутое множество ί/cX, которое содержит Α7 Π Χ и не
пересекает В7 Π X. Определим функцию φ: X —> [0,1], положив φ О) = 0
для χ е U и φ (χ) = 1 для χ ф U. Она непрерывна и, значит,
продолжается до непрерывной функции φ: /ЗХ—> [0,1] (см. следствие 8.14).
Заметим, что, поскольку А7 и В' открыты в βΧ, по предложению 3.8
имеем А! П X' = Л7 βχ ζ> Λ7 э Л. Отсюда в силу непрерывности
функции φ получаем
φ (А) С φ(#<ΛΧβχ) с£(А7ПХ)[0Д] = φ(Α7ΠΧ) [0Д] С^Ш[0Д] С {0},
и аналогично φ(Β) с {1}. Кроме того, φ{βΧ) =^φ(Χβχ) с{0,1}[од] =
= {0,1}. Значит, множество φ_1({0}) открыто-замкнуто в βΧ,
содержит Л и не содержит В.
Мы доказали, что если X удовлетворяет условию ©, то βΧ тоже
удовлетворяет условию ©. Обратно, если βΧ удовлетворяет
условию ©, А и В — функционально отделимые подмножества
пространства X и /: X —> [0,1] —непрерывная функция, тождественно
равная 0 на Л и 1 на В, то непрерывное продолжение /: βΧ —> [0,1]
тоже тождественно равно 0 на Л и 1 на В, так что множества А
и В функционально отделимы и в /ЗХ. В силу условия © найдётся
открыто-замкнутое множество U в /ЗХ, которое содержит Л и не
пересекает В. Множество U Π Χ открыто-замкнуто в X, и оно тоже
содержит Л и не пересекает В. D
(Следствие 10.29. Каждое сильно нульмерное пространство
нульмерно.
Доказательство. Действительно, в тихоновском пространстве
(а все сильно нульмерные пространства таковы по определению)
любая точка функционально отделена от дополнения до всякой
своей окрестности. Применяя доказанную теорему, видим, что
любая окрестность любой точки содержит открыто-замкнутую
окрестность этой точки. D
Обратное, вообще говоря, неверно — в силу теоремы 10.28 уже
упоминавшийся пример [19, пример 6.2.20] нульмерного
пространства, стоун-чеховская компактификация которого не нульмерна,
является одновременно примером нульмерного не сильно
нульмерного пространства. Однако для компактов нульмерность равносильна
сильной нульмерности.

348 Глава 10. Связность и разные виды несвязности
I Теорема 10.30. Для компакта X следующие условия равносильны:
Ι © Χ вполне несвязен;
1 © X вполне разрывен;
1 © X нульмерен;
1 ® X сильно нульмерен.
Доказательство. Равносильность условий φ и © немедленно
вытекает из теоремы 10.15. Импликация φ => © — это следствие 10.21.
Импликация ©=>© очевидна, а ®=>© — это следствие 10.29.
Осталось показать, что © => 0.
Пусть X — нульмерный компакт и У/ = {иъ ..., Uk} — его
функционально открытое покрытие. Для каждой точки хеХ выберем
содержащий её элемент Ut покрытия °и и открыто-замкнутую
окрестность VxaUi. Из покрытия {Vx: x eX} выделим конечное
подпокрытие {VXi,...,VX}. Для каждого i ^ т положим W· = Vx. \ (J Vx.. Се-
мейство {W1?..., Wm} является дизъюнктным открытым покрытием,
вписанным ъ°и. D
Следствие 10.31. Тихоновское пространство X сильно
нульмерно тогда и только тогда, когда компактификация βΧ вполне
несвязна.
[Следствие 10.32. Всякое нульмерное пространство обладает
сильно нульмерной компактификацией.
Действительно, достаточно применить следствие 10.25 и
теорему 10.30.
Теорему 10.30 нельзя в полной мере обобщить на линделёфо-
вы пространства: построенное Эрдёшем вполне разрывное
ненульмерное пространство X (см. пример выше) является
подпространством гильбертова пространства ί2. Пространство ί2 метризуемо
(его топология порождается нормой) и сепарабельно (в нём
плотно счётное множество всех последовательностей рациональных
чисел, имеющих лишь конечное число ненулевых членов); значит, оно
имеет счётную базу. Его подпространство X тоже имеет счётную
базу и тем более линделёфово. Тем не менее условия © и ®
теоремы 10.30 равносильны и для линделёфовых пространств.
(Теорема 10.33. Всякое нульмерное линделёфово пространство
сильно нульмерно.
Доказательство. Воспользуемся теоремой 10.28. Пусть X —
нульмерное линделёфово пространство и А, В с X функционально
отделимы. Ясно, что АпВ — 0: если /: X —> [0,1] —непрерывная

§ 10.3. Разные нульмерности
349
функция, тождественно равная нулю на Л и единице на В, то
/(А) с{0}[0Д] -{0} и /(В) с {ϊ}[0'1] =Ш.
У каждой точки χ G X выберем открыто-замкнутую
окрестность Wx, не пересекающую хотя бы одно из множеств Л и β. Пусть
{WXn: η еΝ} — счётное подпокрытие открыто-замкнутого покрытия
{Wx: χ е X}. Множества Un = WXn \ [J WXk, где η е Ν, открыто-за-
к<п
мкнуты, попарно не пересекаются и покрывают X. Легко видеть,
что множество U = {J{Ut: Α(Λ\]ίΦ<Ζ\ открыто-замкнуто, содержит
А и не пересекает В. D
I Следствие 10.34. Каждое непустое не более чем счётное
регулярное пространство сильно нульмерно.
Доказательство. Очевидно, всякое не более чем счётное
регулярное пространство X линделёфово, так что достаточно проверить,
что X нульмерно, т. е. любая окрестность U произвольной точки χ
содержит открыто-замкнутую окрестность. Пусть /: X —> [0,1] —
непрерывная функция со свойствами /(х) = 0 и /(X \ U) с {1}
(такая функция существует, потому что по следствию 9.20
пространство X нормально, а значит, и вполне регулярно).
Поскольку X не более чем счётно, существует а £ (0,1) \ /(X). Прообраз
/_1([0, а)) =/_1([0, а]) является открыто-замкнутой окрестностью
точки х, содержащейся в [/. D
В классе метризуемых пространств нульмерность не
равносильна сильной нульмерности. Первый, очень сложный пример
нульмерного не сильно нульмерного метризуемого пространства был
построен в статье [36]; впоследствии его удалось значительно
упростить (см. [28] и [29]), правда, не настолько, чтобы можно было
изложить его здесь.
В заключение мы обсудим поведение разных типов
несвязности при основных операциях над топологическими пространствами
и непрерывных отображениях.
Очевидно, всякое подпространство вполне несвязного (вполне
разрывного) пространства вполне несвязно (вполне разрывно) и
всякое непустое подпространство нульмерного пространства
нульмерно. Сильная нульмерность не является наследственным
свойством—достаточно вспомнить следствие 10.32. Она не наследуется
даже замкнутыми подпространствами (см. [19, задача 7.4.6]).
Однако из критерия сильной нульмерности (теоремы 10.28) вытекает
такое утверждение.

350 Глава 10. Связность и разные виды несвязности
I Теорема 10.35. Если X сильно нульмерно, Υ с X и любая
непрерывная функция Υ -* [0,1] продолжается до непрерывной
функции X —> [0,1], то Υ тоже сильно нульмерно.
Доказательство. Если А, В с Υ — произвольные функционально
отделимые множества в Υ, /: Υ —> [0,1] —непрерывная функция,
разделяющая А и В в Υ, т. е. тождественно равная единице на одном
из этих множеств и нулю на другом, то непрерывное продолжение /
на X разделяет (в том же смысле) множества А и В в X. В силу
теоремы 10.28 © существует открыто-замкнутое множество U с X,
содержащее Λ и не пересекающее В. Множество U ΠΥ открыто-
замкнуто в Υ и обладает теми же свойствами. Осталось ещё раз
применить теорему 10.28 ©. D
Из этой теоремы и теоремы Титце—Урысона о продолжении
получаем такое следствие.
■ Следствие 10.36. Любое замкнутое подпространство
нормального сильно нульмерного пространства сильно нульмерно.
Ясно, что сумма топологических пространств вполне несвязна
(вполне разрывна, нульмерна, сильно нульмерна) тогда и только
тогда, когда все слагаемые обладают тем же свойством, а из
теорем 10.19,10.23 и 10.27 следует, что полная несвязность, полная
разрывность и нульмерность мультипликативны. Однако сильная
нульмерность даже не конечно мультипликативна [35].
Очевидно, ни одна разновидность несвязности (и нульмерности)
не сохраняется непрерывными отображениями — всякое, в
частности всякое связное, непустое топологическое пространство можно
представить как непрерывный образ непустого дискретного
пространства, а непустое дискретное пространство несвязно и
нульмерно во всех смыслах. Не сохраняются эти свойства и открытыми
(а тем более факторными) отображениями — Исбелл доказал, что
любое топологическое пространство является образом при
открытом отображении наследственно паракомпактного наследственно
сильно нульмерного пространства [26]. Замкнутые отображения
тоже не сохраняют ни одно из рассмотренных выше усилений
несвязности. Действительно, обычный отрезок [0,1] является образом
сильно нульмерного (например, дискретного) пространства X при
непрерывном отображении /. В силу следствия 8.14 отображение /
продолжается до непрерывной функции /: βΧ -* [0,1]. По
теореме 10.28 компакт βΧ сильно нульмерен (и, значит, обладает и всеми
прочими свойствами несвязности), а любое непрерывное отоб-

§ 10.4. Экстремально несвязные пространства 351
ражение компакта в хаусдорфово пространство замкнуто в силу
следствия 7.8. Тем не менее существует естественный класс
отображений, который сохраняет обе нульмерности. Это класс открыто-
замкнутых непрерывных отображений —непрерывных
отображений, которые переводят открыто-замкнутые множества в открыто-
замкнутые.^
Предложение 10.37. Если f: X —> Υ — непрерывное сюръектив-
ное отображение с тем свойством, что образ любого открыто-
замкнутого подмножества X открыто-замкнут в Υ, и
пространство X нульмерно {сильно нульмерно), то Υ тоже нульмерно {сильно
нульмерно).
Доказательство. Сначала предположим, что X нульмерно. Пусть
уе7, и пусть χ е X — какой-нибудь прообраз точки у. Прообраз
/-1(10 любой окрестности U точки у является окрестностью
точки χ (потому что / непрерывно), и эта окрестность содержит
открыто-замкнутую окрестность V точки χ (потому что X нульмерно).
По предположению множество f{V) открыто-замкнуто в Y; кроме
того, у€/(У) с [/. В силу произвольности выбора у и U открыто-
замкнутые множества образуют базу пространства У.
Теперь предположим, что X сильно нульмерно. Пусть А и В —
функционально отделимые множества в Y, и пусть φ: Υ —> [0,1] —
непрерывная функция, тождественно равная 0 на Λ и 1 на В. Тогда
φ о f: X —> [0,1] — непрерывная функция, тождественно равная 0 на
/-1(А) и 1 на /-1(В). Значит, множества /-1(А) и f~l{B)
функционально отделимы в X. В силу теоремы 10.28 © существует открыто-
замкнутое множество в X, содержащее /_1(А) и не пересекающее
/-1(В); его образ открыто-замкнут в Y, содержит А и не
пересекает В. В силу произвольности выбора функционально отделимых
множеств А и β пространство Υ сильно нульмерно. D
§ 10.4. Экстремально несвязные пространства
Имеется ещё целый ряд свойств, которые можно назвать сильной
несвязностью. Одна из самых сильных несвязностей2) так и называется —
экстремальная несвязность. Это свойство на первый взгляд кажется эк-
1} Иногда открыто-замкнутыми называют отображения, одновременно
являющиеся открытыми и замкнутыми.
2) Бывают ещё недискретные совершенно несвязные пространства — в таких
пространствах любые два непересекающихся множества имеют
непересекающиеся замыкания.

352 Глава 10. Связность и разные виды несвязности
зотическим, однако экстремально несвязные пространства играют
фундаментальную роль в категории компактов и их непрерывных отображений
(проективные объекты в этой категории — в точности экстремально
несвязные компакты) и в теории булевых алгебр (класс экстремально несвязных
компактов совпадает с классом пространств Стоуна полных булевых
алгебр), а в теории колец непрерывных функций экстремальная несвязность
пространства X равносильна условной полноте решётки непрерывных
функций С(Х).
I Определение. Топологическое пространство экстремально несвязно,
если замыкание любого открытого множества в нём открыто.
Ясно, что всякое дискретное пространство экстремально несвязно, но
уже, например, обычная сходящаяся последовательность {0} и | - : η € N j
таковой не является —любое бесконечное множество Ac|-:n€N|
открыто, и его замыкание есть А и {0}, а это множество открыто тогда и только
тогда, когда А имеет конечное дополнение.
I Теорема 10.38. Всякое непустое экстремально несвязное пространство
сильно нульмерно.
Доказательство. Пусть X экстремально несвязно и А, В с X
функционально отделимы, т. е. А с /_1 ({0}) и В с /_1 ({1}) для некоторой
непрерывной функции /: X —»[0,1]. Положим U = /-1 (| 0, « J J · Ясно, что
iic/-1([o,i])cx\B.
Значит, открыто-замкнутое множество U содержит Λ и не пересекает В, что
и требуется (см. теорему 10.28d)). D
I Теорема 10.39. Топологическое пространство экстремально несвязно
тогда и только тогда, когда замыкания любых двух непересекающихся
открытых множеств в нём не пересекаются.
Доказательство. Пусть X экстремально несвязно, множества U, V с X
открыты и U Π V = 0. Заметим, что множество X \ V замкнуто и содержит U;
поскольку U — наименьшее содержащее U замкнутое множество, имеем
UСX\V, т.е. UΠ V = 0. Рассматривая теперь пару открытых множеств U
и V, из тех же соображений получаем U Π V = 0.
Обратно, предположим, что замыкания никаких двух
непересекающихся открытых множеств в X не пересекаются, и возьмём произвольное
открытое множество U С X. Открытые множества U и X \ U не пересекаются;
значит, U Π X \ U = 0, откуда следует, что [/cX\X\J7 = Intt/ (см. с. 87), т. е.
U открыто. D
Из определения экстремальной несвязности, а также формулы (1) на
с. 87 и предложения 3.8 вытекает следующее утверждение.

§ 10.4. Экстремально несвязные пространства 353
1 Теорема 10.40. 1. Любое открытое подпространство экстремально не-
1 связного пространства экстремально несвязно.
Ι 2. Любое плотное подпространство экстремально несвязного прост-
Ϊ ранства экстремально несвязно.
Ниже мы покажем, что замкнутыми подпространствами экстремальная
несвязность не наследуется, но сначала докажем следующую теорему.
I Теорема 10.41. Стоун-чеховская компактификация βΧ тихоновского
пространства X экстремально несвязна тогда и только тогда, когда
пространство X экстремально несвязно.
Доказательство. Сначала заметим, что замыкание любого открыто-
замкнутого множества U с X открыто-замкнуто в βΧ: для этого
достаточно рассмотреть продолжение на βΧ непрерывной функции /: X —» [0,1],
тождественно равной 0 на U и 1 на X \ U.
Пусть теперь X — экстремально несвязное тихоновское пространство
и U — открытое множество в βΧ. Поскольку множество U Π Χ открыто в X,
его замыкание U ΠXх открыто-замкнуто в X. По предложению 3.8 имеем
Όβχ = ϋΠΧβχ. Очевидно, ϋΠΧβχ = ϋΠΧχβΧ, и в силу сделанного выше
замечания ϋβχ открыто-замкнуто в βΧ, что и требуется.
Обратная импликация следует из второго утверждения теоремы 10.40. D
Пример. Покажем, что замкнутое подпространство /3Ν\Ν
экстремально несвязного пространства βΝ не экстремально несвязно. Вспомним, что
при доказательстве предложения 8.20 мы построили дизъюнктное
семейство {Аа: а € R} мощности 2*° непустых открытых подмножеств
пространства /3Ν \ N. Выберем по точке ха в каждом множестве Аа и положим
X = {ха: а е R}. Ясно, что X с топологией, индуцированной из βΝ,
дискретно. В силу предложения 5.12 пространство X U N с βΝ не
нормально, причём из доказательства этого предложения вытекает существование
непересекающихся замкнутых (в X UN) множеств F,GdX, которые не
имеют непересекающихся окрестностей. Множества U = [J Аа и V = |J Aa
xa<=F xa<=G
не пересекаются и открыты в ^N \ N. Если бы пространство /3N \ N было
экстремально несвязным, то U и V имели бы непересекающиеся замыкания
в /3N \ N, которые равны их замыканиям в /3N (потому что βΝ \ Ν
замкнуто в /3N). В силу нормальности компакта /3N замкнутые множества ϋβΝ
и νβΝ имели бы непересекающиеся окрестности U' и V в /3Ν и множества
U' Π {X U N) и V Π {X U N) были бы непересекающимися окрестностями
в XUN множеств F и G, а их по предположению нет.
Легко видеть, что сумма топологических пространств экстремально
несвязна тогда и только тогда, когда все слагаемые экстремально несвязны.
Однако с произведениями дело обстоит гораздо хуже.
Теорема 10.42. Квадрат тихоновского пространства экстремально
несвязен тогда и только тогда, когда это пространство дискретно.

354 Глава 10. Связность и разные виды несвязности
Доказательство. Нам понадобится теорема Фролика1} об
отображениях экстремально несвязных компактов [25]. Из неё вытекает, в частности,
что множество неподвижных точек любого гомеоморфизма произвольного
экстремально несвязного компакта в себя открыто-замкнуто. Значит,
множество неподвижных точек любого гомеоморфизма /: X —> X
произвольного экстремально несвязного тихоновского пространства X на себя тоже
открыто-замкнуто: достаточно рассмотреть гомеоморфизм / как вложение
X —> βΧ и продолжить его до гомеоморфизма /: βΧ —»βΧ.
Пусть теперь X — тихоновское пространство с экстремально несвязным
квадратом Χ χ X. Рассмотрим гомеоморфизм f:XxX-+XxX,
определённый правилом f{x, у) = (у, х). Множество неподвижных точек
отображения / — это диагональ Δ — {(χ,χ): χ е X}, и по теореме Фролика это
множество открыто. Значит, X дискретно. D
В заключение отметим, что, как нетрудно показать, экстремальная
несвязность сохраняется открытыми и открыто-замкнутыми
отображениями, но не сохраняется ни факторными, ни даже замкнутыми
отображениями, и что недискретные метризуемые пространства никогда не бывают
экстремально несвязными.
Задачи
1. Проверьте, что если последовательность Сг,С2,... связных
подпространств топологического пространства такова, что Сп Π
Π Сп+1 φ0 при π — 1, 2,..., то объединение |J Cn связно.
2. а) Докажите теорему Серпинского2^: никакой континуум
нельзя представить как счётное объединение попарно непересекающихся
замкнутых множеств, по крайней мере два из которых непусты.
б) Приведите пример связного подпространства плоскости,
которое является счётным объединением непустых попарно
непересекающихся замкнутых множеств.
3. Вспомните, что любое открыто-замкнутое подмножество
тихоновского пространства X является пересечением с X некоторого
открыто-замкнутого подмножества компакта βΧ (см. доказатель-
х) Зденек Фролик (1933—1989) — чешский математик. Занимался в основном
теоретико-множественными аспектами топологии, теорией равномерностей
и функциональным анализом. Один из основателей современной
дескриптивной теории множеств и пространств.
2) Вацлав Франциск Серпинский (1882—1969) — польский математик.
Занимался главным образом теорией множеств (в частности, аксиомой выбора
и континуум-гипотезой) и теорией чисел. Известен также трудами по теории
функций и топологии.

Задачи
355
ство теоремы 10.41). Можно ли распространить это утверждение
с Д на произвольное тихоновское пространство, содержащее X
в качестве плотного подпространства? на произвольную компакти-
фикацию пространства X?
4. Пусть Ε — множество всех концевых точек интервалов,
удалённых из отрезка [0,1] в процессе построения канторова
множества С, описанном в примере 3 на с.242. Положим I = С\Е. Для
каждого сЕ: С соединим точку (с, 0) е Ш2 с точкой ί ^, ^) е ^2 от"
резком Lc и обозначим через Fc множество всех точек (jc, у) £ Lc,
у которых координата у рациональна, если с е Е, и иррациональна,
если се/. Подпространство F = |J Fc евклидовой плоскости назы-
сеС
вается веером КнастерсР—Куратовского; оно известно также как
протекающая2^ канторова палатка и канторов вигвам.
а) Докажите, что пространство F связно.
б) Докажите, что пространство F°=F\ |ί ^, ζ)} вполне несвязно.
в) Докажите, что пространство F0 не вполне разрывно.
5. Топологическое пространство X называется линейно связным,
если для любых двух точек х, у е X существует непрерывное
отображение /: [0,1] —>Х, для которого /(0) = χ и /(1) = у (такое
отображение называется путём, соединяющим точки χ и у). Топологиче-
1} Бронислав Кнастер (1893—1980) — польский математик. Внёс
существенный вклад в теоретико-множественную топологию. Один из авторов процедуры
«последний уменьшивший» в задаче о справедливом дележе торта.
2) В противоположность палатке, сделанной из целых отрезков Lc вместо
множеств Fc. Бывает и «сильно протекающая канторова палатка» (Cantor's leakier
tent) — она получается перестановкой слов «рационально» и «иррационально»
в определении палатки. Такая палатка уже нульмерна.

356 Глава 10. Связность и разные виды несвязности
ское пространство X называется локально связным, если в каждой
окрестности любой точки x€l содержится связная окрестность.
а) Докажите, что любое линейно связное пространство связно.
б) Приведите пример локально связного несвязного
пространства.
в) Приведите пример связного, но не линейно связного и не
локально связного пространства.
6. Приведите пример непрерывного отображения вполне
разрывного пространства X на бесконечное связное пространство Y,
при котором образ всякого открыто-замкнутого подмножества
пространства X открыто-замкнут в Y.
7. Укажите явно замкнутое отображение сильно нульмерного
пространства на бесконечное связное.
8. а) Пусть X — связное метризуемое пространство и d — любая
метрика, порождающая его топологию. Покажите, что для любых
χ,γ&Χ и ε>0
существуют такие к € N и хъ ..., хк е X, что
х = хъ У — хк и d(xi9 χί+1) < ε для i < к.
б) Докажите, что каждый метрический компакт (X, d), в
котором условие (*) выполнено для любых х, у е X и ε > 0, связен.
в) Приведите пример несвязного метрического пространства
(X, d), в котором условие (*) выполнено для любых х, у еХ и ε > 0.
9. а) Докажите, что пространство X cl2, состоящее из всех
точек, у которых одна координата рациональна, а другая
иррациональна, нульмерно. Постройте явно его базу, состоящую из открыто-
замкнутых множеств.
б) Покажите, что пространство Υ с М2, состоящее из всех точек,
у которых либо обе координаты рациональны, либо обе
иррациональны, связно.
10. Покажите, что непустое тихоновское пространство сильно
нульмерно тогда и только тогда, когда каждое функционально
замкнутое множество в этом пространстве можно представить как
пересечение счётного семейства открыто-замкнутых множеств.
11. Докажите, что пространство с одной неизолированной
точкой экстремально несвязно тогда и только тогда, когда фильтр
проколотых окрестностей единственной неизолированной точки
является ультрафильтром.

Подсказки и решения
357
12. Докажите, что ни в каком экстремально несвязном хаусдор-
фовом пространстве нет нетривиальных сходящихся
последовательностей. Выведите отсюда, что всякое метризуемое
экстремально несвязное пространство дискретно.
13. Покажите, что экстремальная несвязность сохраняется
открытыми и открыто-замкнутыми непрерывными отображениями,
но не сохраняется замкнутыми (и тем более факторными)
непрерывными отображениями.
Подсказки и решения
1. Докажите по индукции, что |J Q связно для каждого π е N.
Рассмотрите открыто-замкнутое множество U, пересекающее |J Cn,
и приведите к противоречию предположение, что |J Cn \ U Φ 0.
Затем примените теорему 10.2 ©. neN
2. а) Пусть X — континуум, и пусть X = |J Xn, где все Хп замкну-
ты в X и Xt Π Xj = 0 для ί φ j. Предположим, что по крайней мере два
из множеств Хп, η £Ν, непусты.
Положим 1г = min{n е N: Хп Φ 0} и построим континуум СгаХ
с тем свойством, что Сг С\Х{ — 0 для всех ί ^ ΐλ и по крайней мере
два множества в последовательности С1ПХ1, Сг ПХ2,... непусты.
Возьмём j>i\, для которого Х; φ 0. Выберем непересекающиеся
открытые множества U, V сХ, содержащие Xti и Xj соответственно.
Пусть jc GХ;·, и пусть Q — компонента точки χ в подпространстве V.
Ясно, что Сх — континуум, Сг Г) X; = 0 для i^^nQnlj/ 0.
Заметим, что Q пересекается с границей Fr V множества V.
Действительно, по теореме 10.15 компонента Сг точки χ совпадает с её
квазикомпонентой, т. е. Сг является пересечением семейства &
открыто-замкнутых в V множеств, содержащих точку х. Семейство
& центрировано, a FrV —компакт, так что если СгП¥гУ = 0, то
найдётся множество F€^, не пересекающее FrV, т.е. такое, что
F с Int V. Поскольку множество F открыто и замкнуто в V, оно
открыто и замкнуто в X. В силу связности X множество F должно
совпадать с X, а это не так, поскольку F<zV и0фи<zX\V.
Таким образом, Сг η Fr V φ 0. Имеем также Xj D Fr V — 0 (так как
Χ;· с V с Int V) и Q Г)XL = 0 для 1^1г. Поскольку Χη, η € Ν,
покрывают X, должен найтись индекс к>1г,кф], для которого Q ΠXfc^0·

358 Глава 10. Связность и разные виды несвязности
Рассматривая Сг вместо X и Сг Г) Хп вместо Хп для η е N, мы
положим i2 = min{n e N: С1(ЛХп-ф®} (ясно, что i2 > ii) и
построим точно таким же образом, как и выше, континуум С2 с Сг с тем
свойством, что С2 Π (Q Г) Xt) = С2 Г) Х^ = 0 для ί ^ ί2 и С2 Г) (Сг Г) XJ =
= С2 Π Χη Φ 0 для по крайней мере двух п.
Продолжая в том же духе, мы получим последовательность чисел
h < *2 < ··· и последовательность непустых континуумов С1! э С2 э ...
с тем свойством, что для каждого πεΝ при всех ί ^ in имеем
СпП Xt = 0. Из этого свойства следует, что р) Сп Π ί |J Xn J = 0,
neN Sign
t. e. P| Cn = 0. С другой стороны, все Сп замкнуты в компакте X
и семейство {Сп: π £ Ν} центрировано, поэтому (~}СпФ 0. Это
противоречие показывает, что среди множеств Хп непустым может
быть лишь одно.
б) Как-нибудь перенумеруйте все рациональные числа в отрезке
[0,1]: Qn [0,1] ={г1? г2,...}. Рассмотрите множество
X = [0,1] χ {0}U U КУ х ([0,1] \ Ш) с М2.
Заметьте, что у любого рационального числа гп найдётся
окрестность в [0,1], которая содержит рациональные числа только с
номерами, не меньшими п. Выведите отсюда, что множество
r = [o,i]x{0}uU{rn}x[o,J)
замкнуто в X. Все множества Yn = {гп} χ ί-, 11 тоже замкнуты в X,
будучи пересечениями с X компактов {гп} χ Г-, ll, так что X
является объединением счётного дизъюнктного семейства замкнутых
множеств: X = YU [J Yn. Пользуясь связностью отрезка [0,1], пока-
жите, что всякое открыто-замкнутое подмножество X,
пересекающее множество [0,1] χ {0}, обязано содержать это множество
целиком. Затем выведите из компактности отрезка [0,1], что всякое
содержащее [0,1] χ {0} открытое множество U обязано пересекать
все Υη, за исключением конечного их числа (для этого покройте
[0,1] χ {0} открытыми множествами вида Ua x Va с U); значит, если
такое множество U ещё и замкнуто, то оно обязано совпадать с X.
3. На оба вопроса ответ «нет» — примером служит множество
Qn [0,1] и его компактификация [0,1].

Подсказки и решения
359
4. а) Как-нибудь перенумеруйте все рациональные числа в
отрезке [θ, 2]: Qn [0> 2] ~{ri>r2> ···}"· Для пе^ пусть Нп —
горизонтальная прямая у = гп. Предположите, что F = (F Г) Л) U (F Π В), где
Л и β — замкнутые подмножества плоскости Ш2, AnBnF=0n (для
определённости) ( ~, о) G^· Рассмотрите множества
Jn = {cGC:ADBnHnDLc^0}.
Заметьте, что всякое такое множество замкнуто: если отрезок Lc,
соединяющий точку с с ί «, о )> не пересекает замкнутое
подмножество АпВПНп горизонтальной прямой Нп, то и отрезки,
соединяющие близкие к с точки с ( о> ? )' не пеРесекают это множество.
Заметьте также, что каждое 1п содержится в /, потому что если бы
нашлась точка с е Ε η Ιη, то точка из пересечения AnBnHnnLc
(которая имеет рациональную ординату гп по определению прямой Нп)
принадлежала бы множеству F, а значит, и пересечению AnBDF,
которое по предположению пусто. Выведите отсюда, что каждое
множество 1п нигде не плотно в С (иначе, будучи замкнутым, оно
содержало бы пересечение некоторого открытого интервала с С,
а любое такое пересечение содержит точки из Е).
Для каждой точки с G С плотное подмножество Fc отрезка Lc
содержится в объединении А и В, а значит, и весь отрезок Lc
содержится в AUB (ибо множество Lc \ (AUB) открыто в Lc), откуда
в силу связности отрезка Lc вытекает, что либо LcC)AnB^0, либо
LcDB — 0 (случай 1с(ЛА — 0 невозможен, поскольку i^^J^^c1"1^
для всех с & С). Заметьте, что если се/ и (х, у) е Lc Π Α Π В, то
у рационально — иначе (x,y)€FnAnB. Следовательно, для всех
с€/\ |J 1п имеем FcnB = 0. Вспомните, что множество Е счётно,
а все 1п нигде не плотны в С, покажите, что в силу теоремы Бэра
о категории множество {с е С: Fc с А} плотно в С, и выведите
отсюда и из замкнутости множества А, что FnB = 0.
б) Заметьте, что для любого χ е [0,1] \ С пересечения
полуплоскостей, на которые плоскость разбивается прямой, проходящей
через точки (х,0) и ί 2> о)' с пространством F0 открыто-замкнуты
в F0. Выведите отсюда, что любое связное подмножество F0 целиком
содержится в Fc для некоторого с £ С, и заметьте, что всякое связное
подмножество любого Fc содержит не более одной точки.

360 Глава 10. Связность и разные виды несвязности
в) В предположении, что F0 вполне разрывно, возьмите
открытые подмножества плоскости ί/иУ, для которых выполнены
условия UUV^F0, UnVnF° = 0, (0,0)e[/и (-~г, -7=)€У· Заметьте,
что в силу открытости множеств U и V и плотности множеств Fc
в отрезках Lc у точки 0 найдётся открытая окрестность W в С с тем
свойством, что FC(MJф0 nFcC\Vф0 для всякого с£W. Затем,
повторяя рассуждения из пункта а) для A = UnB = V (и пользуясь теми
же обозначениями), покажите, что для каждого с из плотного
подмножества I \ (J 1п канторова множества С имеем либо FcDA = 0,
либо Рс(ЛВ — 0, что противоречит существованию множества W.
5. а) Примените следствие 10.11.
б) Сумма двух (или большего числа) непустых связных
пространств.
в) Классический пример — график G функции sin- на (0,1],
объединённый с отрезком I = {0} χ [-1,1] с R2, с индуцированной
из R2 топологией («синусоида тополога»). То, что это пространство
связно, вытекает из следствия 10.9: график G связен, потому что
он гомеоморфен полуинтервалу, a G U / = G. Ясно также, что оно
не локально связно. Покажем, что G U J не линейно связно. Пусть
φ: [0,1] —> G U / — путь, соединяющий точки (0,0) и, например,
(1, sinl) (или любую другую точку из G). Для ί — 1, 2 положим
φ ι = nt о φ, где π j —проекция плоскости на ί-ю координату. Пусть
t0 = sup{t € [0,1]: (/^([О, t]) = {0}}. Ясно, что t0 < 1 и φ^) = 0.
Пусть φ2&ο) — а- Предположим для определённости, что а ^ 0 (для
α ζ 0 рассуждения аналогичны). В силу непрерывности отображе-
I-U
оГ
Синусоида тополога Гребёнка тополога
Веник тополога

Подсказки и решения
361
ния φ2 найдётся такое ε > О, что φ2(Χ) > -1 для всех t € [t0, t0 + ε).
Возьмём любую точку t £ (t0, t0 -f- ε), в которой (£i(t) > 0, и найдём
π €Ν, для которого 3π + 4ππ < ^ι^· Πο теоРеме Больцано—Коши
о промежуточном значении (или в силу связности непрерывного
образа отрезка) (^(Г) = 3π + 4πη и> значит, φ2(χ') = sin^py = -1
в некоторой точке t' £ [t0, t], а это противоречит выбору числа ε.
Другие примеры связных не линейно связных и не локально
связных пространств — обломанная «гребёнка тополога», от
которой почти целиком отломили левый зубец {0} χ [0,1], оставив от
него только точку (0,1), и обломанный «веник тополога», от
которого отломили нижний прут [0,1] χ {0}, оставив только точку (1,0).
Они, в отличие от синусоиды, не компактны и даже не локально
компактны.
6. Сначала рассмотрите функцию ρ на пространстве Эрдёша X
(см. пример на с.341), которая каждой последовательности хеХ
ставит в соответствие расстояние d(x, О) от этой
последовательности до нулевой последовательности О £ X (т. е. ρ — это сужение
нормы || · ||2 пространства ί2 на X). Ясно, что эта функция непрерывна.
Заметьте, что для любых фиксированных к £ N и г = (rn)nGN £ X
отображение vk: Х-+Х, которое каждой последовательности (xn)nGN £X
ставит в соответствие последовательность (к ·χΠ)Π€Ν £Χ, и
отображение μΓ, которое каждой последовательности (xn)nGN £ X ставит
в соответствие последовательность (гп + xn)neN G ^f > являются
гомеоморфизмами. Выведите отсюда и из того, что шар Bd(0,1) в
пространстве X не содержит открыто-замкнутых окрестностей точки
О (это доказано при обсуждении примера на с. 341), что никакой
шар Bd(0, R), где R > 0, не содержит непустых открыто-замкнутых
множеств. Пользуясь этим наблюдением, покажите, что если 17 —
любое непустое открыто-замкнутое подмножество пространства X,
rei/ и ρ (г) = а, то ρ (10 э [а, +оо) (если Ъ > а и Ь ф ρ (У), то
Bd(0, Ь) Π U = Bd(0, Ь) Π [/ — открыто-замкнутое подмножество X,
лежащее в Bd(0, Ь), причём оно содержит г и потому непусто).
Следовательно, образ любого открыто-замкнутого подмножества
пространства X при непрерывном отображении sin о ρ: X —> [—1,1]
совпадает с [—1,1].
7. Обратитесь к решению задачи 7 на с. 253.

362 Глава 10. Связность и разные виды несвязности
8. а) Покажите, что для любой фиксированной точки хе!
и любого фиксированного ε > 0 множество всех точек у,
удовлетворяющих условию (*), открыто-замкнуто.
б) Пусть компакт X несвязен, U с X открыто-замкнуто, χ £ U
и у е X \ U. Предположим, что для точек хиу и любого ε > 0
выполнено условие (*). Для каждого π е N положим ε — 1/η, найдём набор
точек хъ ..., л* из условия (*), выберем пару точек xt и χί+1, одна
из которых принадлежит множеству U, а другая — множеству X \ U,
и обозначим выбранную точку из U через ап, а точку из X \ U —
через Ъп. В результате мы получим две последовательности (an)nGN
и (bn)n(EN, одна из которых состоит из точек множества U, а
другая—из точек множества U\X. Они фундаментальны и сходятся
к одной и той же точке. Эта точка должна принадлежать
пересечению^ UnX\U, однако это пересечение пусто, потому что U — U
hX\U = X\U.
в) Пространство рациональных чисел.
9. Обе задачи легко решить, если заметить, что любая прямая
вида χ 4- у = q или x — y = q, где q рационально, целиком содержится
в 7.
а) Открытые квадраты, стороны которых — отрезки прямых
указанного вида, образуют базу топологии плоскости Ж2, и их
пересечения с X открыто-замкнуты в X.
б) Любые две точки из Q2 можно соединить ломаной,
построенной из отрезков прямых указанного вида, и объединение всех таких
ломаных плотно в Y.
10. Необходимость. Пусть X — сильно нульмерное пространство
и множество F с X функционально замкнуто. Пусть /: X —> [0,1] —
непрерывная функция, для которой F — /_1({0}). Для каждого
натурального π множества F и /_1(|йД|) функционально
отделимы, и по теореме 10.28© для некоторого открыто-замкнутого
множества Un<zX имеем F с Un и /_1 ί -, 1 J Π Un = 0. Ясно, что
Достаточность. Пусть X — непустое тихоновское пространство,
в котором каждое функционально замкнутое множество является
счётным пересечением открыто-замкнутых множеств. Тогда,
очевидно, всякое функционально открытое множество в X
является счётным объединением открыто-замкнутых множеств. Пусть

Подсказки и решения
363
{Uk: к = 1,..., fc} — конечное функционально открытое покрытие
пространства Х9 и для каждого ί ^ к пусть У-°п, π е Ν,
—открыто-замкнутые множества, объединением которых является U{.
Тогда |J{V;°n: i ^ fc, π € Ν} = Χ. Зафиксируем какую-нибудь биекцию
/: {1,..., к} χ Ν -* Ν. Для каждой пары (i, π) e {1,..., fc} χ Ν
положим VUn = У£°п \ IJi^m1 /Cb "0 < /Ο,π)}. Все множества \^п
открыто-замкнуты и попарно не пересекаются, и в объединении они
по-прежнему дают X. Теперь для каждого ί ^ fc положим Vt = [J Vi}Tl.
Множества Vt попарно не пересекаются и покрывают X. Каждое
множество Ц_ открыто, будучи объединением открытых множеств;
с другой стороны, Vt = X \ |J Vj и потому замкнуто. По построению
м-
Vt с и{ для всех ί ^ fc. Значит, Щ: ί = 1,..., fc} — дизъюнктное
открыто-замкнутое покрытие, вписанное в {Ut: ί = 1,..., fc}.
11. Пусть X=DU {*}, где D состоит из изолированных в X точек
и * —единственная предельная точка. Тогда любое подмножество
множества D открыто в X и семейство всех проколотых
окрестностей точки * является фильтром на D. Сразу же отметим, что для
любого множества А с D имеем Л с Л U {*} (поскольку D\A
открыто в1).
Если пространство X экстремально несвязно, то для любого
А с D по теореме 10.39 имеем А П D\A = 0. Значит, у точки *
есть окрестность, которая не пересекается с одним из множеств А
и D \ А, а тогда второе множество является её проколотой
окрестностью. Следовательно, фильтр проколотых окрестностей точки *
является ультрафильтром.
Обратно, предположим, что фильтр У/ проколотых
окрестностей точки * является ультрафильтром. Пусть U и V—любые
непересекающиеся открытые множества в X, и пусть для
определённости * φ V. По теореме 3.21 либо U \ {*} е °11, либо D \ U € ^.
В первом случае множество U U {*} является окрестностью точки
*, и оно не пересекает У. Значит, * φ V, и V = У. Следовательно,
LT η V с (LT и {*}) Π У = 0. Во втором случае множество D \ U U {*}
является окрестностью точки *, не пересекающей U. Значит, * φ U, и
ΐ/nvc с/п(Уи{*}) = 0.
12. Заметьте, что если 7\-пространство X содержит
нетривиальную сходящуюся последовательность, то оно содержит и сходя-

364 Глава 10. Связность и разные виды несвязности
щуюся последовательность Οπ)π<ΕΝ со свойством Xi^Xj для ιφ].
В предположении нульмерности пространства X постройте по
индукции последовательность попарно непересекающихся открытых
в X окрестностей Un точек хп. Заметьте, что [J{Un: π нечётно}
и [J{Un: π четно} —непересекающиеся открытые множества в X,
замыкание каждого из которых содержит предел
последовательности (xrt)nGN.
13. То, что экстремальная несвязность сохраняется открыто-
замкнутыми непрерывными отображениями, видно из
определения экстремальной несвязности: если X экстремально несвязно,
f:X^Y открыто-замкнуто и U с Υ открыто, то /_1(ί7) открыто-
замкнуто в X, а значит, V — f{f~l{U)) э U открыто-замкнуто в Y.
В силу непрерывности отображения / имеем V — U (см.
теорему 4.4®).
Сохранение экстремальной несвязности открытыми
непрерывными отображениями выводится подобными рассуждениями из ха-
рактеризации открытых отображений, приведённой в задаче 166)
на с. 138.
Примером замкнутого непрерывного отображения
экстремально несвязного пространства на не экстремально несвязное является
непрерывное продолжение^ /: /3N -* αΝ тождественного вложения
/: Ν—>αΝ, которое существует по теореме 8.12ф. Компакт βΝ
экстремально несвязен по теореме 10.41, а αΝ — это обычная
сходящаяся последовательность, которая не экстремально несвязна в силу
предыдущей задачи. Осталось вспомнить, что любое непрерывное
отображение компакта в хаусдорфово пространство замкнуто (см.
следствие 7.8).
15 Напомним, что через βΧ обозначается стоун-чеховская компактификация
пространства X, а через аХ — его одноточечная компактификация.

Глава 11
Топологические размерности
Понятие размерности евклидова пространства можно обобщать
на произвольные топологические пространства разными
способами. Самые классические обобщения — это размерности ind, Ind
и dim. Рассмотренные в предыдущей главе нульмерные
пространства — это в точности те ^-пространства^ X, для которых ind X = О,
а нормальные сильно нульмерные пространства — это те
^-пространства X, для которых IndX = dimX = 0.
Теория размерности первоначально была построена для мет-
ризуемых компактов и затем распространена на сепарабельные
метризуемые пространства. На топологические пространства она
обобщается только частично. В частности, фундаментальная
теорема теории размерности сепарабельных метризуемых пространств^,
которая утверждает, что для таких пространств размерности ind,
Ind и dim совпадают, не выполняется ни в классе всех метризуемых
пространств, ни в классе всех компактов. Таким образом, для общих
топологических пространств мы фактически имеем три теории трёх
разных размерностей, дополненные утверждениями о
соотношениях между разными размерностями для разных классов пространств.
Теория размерностей включает большое количество примеров,
обычно сложных, и теорем, как правило трудных и довольно
специальных. Поэтому мы не сможем сколько-нибудь далеко
продвинуться в её изучении и ограничимся скромной целью доказать, что
ind Жп = Ind Жп = dimMn = п.
§ 11.1. Определения и основные свойства
размерностей ind, Ind и dim
Определения размерностей ind и Ind основаны на уже знакомом
нам понятии границы множества и более общем понятии
перегородки между множествами.
1} Требование Х^Тг включено в определение нульмерного (и сильно
нульмерного) пространства X для того, чтобы получилось усиление полной
несвязности. В общем определении размерности это требование излишне.
2) Иначе говоря, пространств со счётной базой.

366
Глава 11. Топологические размерности
I Определение. Пусть X — топологическое пространство, А, В с
I с X и А Г) В — 0. Замкнутое множество F с X называется пере-
I городкой между множествами Л и В, если существуют открытые
■ множества U, V с X, удовлетворяющие условиям Act/, В с У,
1 i/ny = 0Hl\F = i/uy. В случае, когда одно из множеств A
1 и β одноточечно, говорят о перегородке между точкой и множе-
I ством.
Например, если χ с X, F с X — замкнутое множество, χ φ F и U —
открытая окрестность точки х, для которой U с X \ F, то граница
Fr U — U \ Int U множества U является перегородкой между {х} и F,
так что X е Г3 тогда и только тогда, когда между любой точкой и не
содержащим её замкнутым множеством имеется перегородка.
Точно так же если А,В сX — замкнутые множества, АПВ = 0 и U —
открытое множество, для которого Act/nt/cX\B, ToFrt/ —
перегородка между А и В, так что X с Г4 тогда и только тогда, когда
между любыми двумя непересекающимися замкнутыми множествами
имеется перегородка.
1 Определение. Малая индуктивная размерность ind X тополо-
I гического пространства X определяется по индукции так:
Ι Φ indX = -l, если Χ = 0;
Ι © ind X ^ π, π ^ 0, если каковы бы ни были точка χ е X и не со-
I держащее её замкнутое множество F, у точки χ есть открытая
I окрестность t/, для которой U с X \ F и ind Fr U ^ π — 1;
Ι © indX — η, η ^ 0, если indX ^ π и неравенство indX ^ π — 1 не
Ι выполнено;
I ® indX = оо, если неравенство indX ^ η не выполнено ни для
Ι какого целого π ^ — 1.
Ι Малая индуктивная размерность называется также размерно-
I стъю МенгераР—Урысона.
Ниже всегда считается, что оо больше любого целого числа.
Замечание 11.1. Непосредственно из определения вытекает, что
любое пространство X конечной размерности indX удовлетворяет
аксиоме отделимости Г3.
х) Карл Менгер (1902—1985) — австро-американский математик. Известен
теоремой Менгера, характеризующей связность конечных графов. Занимался
теорией алгебр, алгеброй геометрий, теорией кривых, теорией размерностей,
теорией игр, а также социологией. Сын известного экономиста Карла Менгера.
Имена отца и сына отличаются написанием: имя Менгера-младшего — Karl,
а имя Менгера-старшего — Carl.

§ 11.1. Определения и основные свойства размерностей ind, Ind и dim 367
Иногда в определение размерности indX включают
требование регулярности пространства X. В этом случае считается, что
малая индуктивная размерность нерегулярных пространств не
определена.
Ясно, что если пространства X и Υ гомеоморфны, то ind X = ind Y,
т.е. размерность ind — топологический инвариант. Ясно также, что
^-пространство X нульмерно тогда и только тогда, когда indX —0.
I Теорема 11.2. Размерность ind монотонна: для всякого
пространства X и любого его подпространства Υ выполнено
неравенство ind Y ^ ind X.
Доказательство. Если indX = оо, то доказывать нечего.
Предположим, что indX < оо, и применим индукцию. Для indX = -1
доказываемое утверждение тривиально. Предположим, что ind X = η ^ 0
и для меньших π утверждение верно. Пусть χ £ Υ и U — окрестность
точки χ в Υ, и пусть Uι — окрестность точки χ в X, для которой
171П7 = 17. Поскольку indX = π, найдётся открытая окрестность Уг
точки χ со свойствами V1<zU1 и indFrV^ ^ η — 1. По индуктивному
предположению ind(Fr Уг П7)^п-1. Осталось заметить, что Уг Π
Π Υ — открытая окрестность точки χ в Υ,
у? = yXnY(Z игПУ = и, IntyVi =Vr1nlr = IntxVr1ny
и
FryVi =^TTry\Intyy1 = iV[rWxnY)\(JxitxV1nY) = ¥гхУгПУ. D
В следующем предложении собраны очевидные, но полезные
переформулировки определения малой индуктивной размерности.
Предложение 11.3. Для пространства X следующие условия
равносильны:
φ indX ^ π, где О ^ π < оо;
© для любой окрестности U любой точки х€Х найдутся
открытая окрестность V той же точки χ и замкнутое множество F
со свойствами V с F' с 17 и ind(F \ V) ^ π — 1;
® между любой точкой χ е X и любым замкнутым множеством
F^x имеется перегородка С, для которой ind С ^ η — 1.
Доказательство. Для доказательства импликации φ => ©
достаточно взять окрестность V точки х, для которой V<zX\(X\U) = U
и ind FrV — η - 1, и положить F = V.
Докажем, что © =>©. Положим U = X\F. Согласно условию ©
найдутся окрестность V точки χ и замкнутое множество G, для ко-

368
Глава 11. Топологические размерности
торых VcGci/и ind(G \ V) ^ η — 1. Ясно, что G \ V — перегородка
между χ и F.
Наконец, докажем импликацию © => ®. Пусть F — замкнутое
множество, не содержащее точку jc e X, и пусть С — перегородка
между {х} и F. По определению перегородки X \ С = U U V, где
множества 1/иУ открыты, xgU, F <ZV hUDV = 0. Ясно, что i/c!\V.
Значит, Fr U с С, и по теореме 11.2 имеем ind Fr U ^ ind С. D
I Определение. Большая индуктивная размерность IndX
τόποι логического пространства X определяется по индукции так:
Ι φ IndX = -l, если Χ = 0;
Ι © Ind X < π, η ^ О, если, каковы бы ни были непересекающиеся
1 замкнутые множества F и G, у множества F есть открытая
I окрестность U, для которой U с X \ G и Ind Fr U ^ π -1;
Ι © IndX = π, π ^ 0, если IndX ^ π и неравенство IndX ^ π — 1 не
I выполнено;
I (?) IndX = оо, если неравенство IndX ^ π не выполнено ни для
I какого целого π ^ — 1.
I Большая индуктивная размерность называется также размерно-
I стью Брауэра—Чеха.
Замечание 11.4. Из определения вытекает, что любое
пространство X конечной размерности IndX удовлетворяет аксиоме
отделимости Г4.
Иногда в определение размерности IndX включают требование
нормальности пространства X. В этом случае считается, что
большая индуктивная размерность ненормальных пространств не
определена.
Ясно, что если пространства X и Υ гомеоморфны, то IndX =
= Ind7, т.е. размерность Ind — топологический инвариант. Кроме
того, из теоремы 10.28© и того, что в нормальном пространстве
множества АиВ функционально отделимы тогда и только тогда,
когда их замыкания не пересекаются (это очевидное следствие леммы
Урысона), вытекает, что нормальное пространство X сильно
нульмерно тогда и только тогда, когда Ind X = 0.
1 Теорема 11.5. Размерность Ind монотонна по замкнутым под-
1 пространствам: для всякого пространства X и любого его за-
I мкнутого подпространства Υ выполнено неравенство Ind 7 ^
I ^IndX.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству
теоремы 11.2, и мы его опустим.

§ 11.1. Определения и основные свойства размерностей ind, Ind и dim 369
Доказательство следующего предложения тоже аналогично
доказательству соответствующего утверждения для размерности ind,
и его мы тоже опустим.
Предложение 11.6. Для пространства X следующие условия
равносильны:
Φ IndX^n, где0^п<оо;
© для любой окрестности U любого замкнутого множества FaX
найдутся открытая окрестность V того же множества F и
замкнутое множество G со свойствами VaGaU и lnd(G\V)^n—1;
® между любыми непересекающимися замкнутыми множествами
F и G имеется перегородка С, для которой Ind С ^ η — 1.
(Теорема 11.7. Для любого ТГпространства X выполнено
неравенство ind X < Ind X.
Доказательство. Если IndX= оо, то доказывать нечего.
Предположим, что IndX = η < оо, где π € {—1, 0, 2,...}, и применим
индукцию по п. Для п — —\ утверждение тривиально. Пусть п^Ои для
меньших размерностей всё доказано. Рассмотрим точку χ е X и не
содержащее её замкнутое множество F <zX. Поскольку IndX < π,
имеется перегородка С между {*} и F размерности Ind С ^ η — 1. По
индуктивному предположению ind С ^ η — 1. D
В определении размерности dim используется понятие порядка
покрытия.
1 Определение. Пусть X — множество и ^ — индексированное^
1 семейство его подмножеств. Если существует π с тем свойством,
I что для каждой точки χ е X число элементов семейства ^, со-
1 держащих х, не превосходит π + 1, то наименьшее такое число
Ι называется порядком семейства & и обозначается ord^\ Если та-
I кого π не существует, то порядок семейства & полагается равным
I бесконечности: ord^= оо.
В частности, порядок семейства, не содержащего непустых
множеств, равен —1, а семейство порядка 0 состоит из попарно
непересекающихся множеств, не все из которых пусты.
Очевидно, порядок семейства & — это наибольшее целое
число π с тем свойством, что & содержит π 4- 1 множеств с
непустым пересечением (если оно существует; если такого числа π нет,
то ord^ = оо). Следовательно, если & — {Fa: a е A}, ord^ ^ π
ц Здесь индексированность важна: элементы семейства с разными
индексами считаются разными, даже если они совпадают.

370
Глава 11. Топологические размерности
и аъ ..., ап+2 с А — любые попарно различные индексы, то Fai Г)...
I Определение. Лебегова размерность dimX топологического
1 пространства X определяется как наименьшее число π с тем
I свойством, что в любое конечное открытое покрытие простран-
I ства X можно вписать конечное открытое покрытие порядка не
I больше п, если оно существует. Если такого числа нет, то лебегова
1 размерность пространства X полагается равной бесконечности:
1 dimX=oo.
Очевидно, dimX = —1 тогда и только тогда, когда X = 0, и
меньших значений размерность dim принимать не может. Ясно также,
что размерность dim сохраняется гомеоморфизмами.
Замечание 11.8. В литературе встречаются и другие
определения размерности dim. Например, в книге [19] размерность dimX
определяется только для тихоновских пространств и
словосочетание «открытое покрытие» в её определении везде заменяется на
«функционально открытое покрытие». Однако чаще всего
размерность dim понимается в смысле данного выше определения, а для
размерности, определённой в книге [19] (через функционально
открытые покрытия), обычно используется обозначение dim0. Можно
доказать, что для любого тихоновского пространства X имеет место
равенство dim0X = dim/3X и для нормальных пространств
размерности dim и dim0 совпадают.
Предложение 11.9. Для пространства X имеет место
неравенство dimX^0 тогда и только тогда, когда IndX^0 (uleГ4).
Доказательство. Пусть dimX ^ 0, множества А, В с X замкнуты
и А Г) В = 0. Рассмотрим конечное открытое покрытие °11
пространства X порядка ord Щ ^ 0, вписанное в покрытие {X \ А, X \ В}.
Поскольку элементы покрытия °11 не пересекаются, открытые
множества
U = \J{W e W: У/ПАф®} и U = \J{W eq/:WDA = 0}
тоже не пересекаются. Ясно, что Act/, B<zV и UuV = X. Значит,
Ft 17 = 0.
Пусть теперь IndX = 0 и У/ = {Ul9 ...,Uk} — открытое покрытие
пространства X. Покажем, что в % можно вписать дизъюнктное
открытое покрытие У = {Vl9..., Vk}, причём так, что V· с t/t для i ^ к.
Применим индукцию по к. Для к = 1 доказывать нечего. Пусть к > 1
и для меньших к утверждение верно. Пользуясь индуктивным пред-

§ 11.1. Определения и основные свойства размерностей ind, Ind и dim 371
положением, впишем в покрытие {Ul9..., Uk_2, ик_г U Uk}
дизъюнктное открытое покрытие {Уъ ..., Vk-2, W} так, что VJ- с и{ для i^k — 2
и W с [/;-._! и L7fc. Поскольку это покрытие дизъюнктно и открыто,
все его элементы (в частности, W) открыто-замкнуты. По
теореме 11.5 и предложению 11.6 найдутся непересекающиеся открытые
множества Vk_l9 Vk с W со свойствами W \ Uk с V^, W \ ик_г с Vfc
и Ук_! U Vk = W. Ясно, что \4_! с 1/к_!, Vfc с l/fc и {Уъ ..., Vk} —
покрытие пространства X. D
I Следствие 11.10. Нормальное пространство X сильно
нульмерно, если и только если dimX^O.
Замечание 11.11. Как уже отмечалось, существуют
ненормальные сильно нульмерные пространства. Поэтому, вообще говоря,
сильная нульмерность слабее равносильных условий dimX = 0и
IndX = 0. Однако для нормальных пространств все три условия
совпадают, а компакты нормальны, так что X сильно нульмерно
тогда и только тогда, когда dim/3X = 0 (см. теорему 10.28).
Наша ближайшая цель —доказать, что dim[0,1]П = п.
Доказательство этого факта основано на важной технической теореме; она
является главным инструментом и при доказательстве многих
других фактов теории размерности dim. Мы начнём с лемм, которые
нужны для доказательства этой теоремы.
1 Лемма 11.12. Для пространства X и целого η ^ 0 следующие
Ι условия равносильны:
Ι Φ dimX^n;
Ι © всякое конечное открытое покрытие {Ul9...9Uk} пространст-
I ва X имеет открытоеужатие {Vl9..., Vk} порядка не больше п;
Ι © всякое открытое покрытие {Ul9...9Un+2} пространства X,
Ι состоящее из η + 2 элементов, имеет открытое ужатие
I п+2
I {Vl9...9Vn+2}9 для которого р| 1^ = 0.
Доказательство. Проверим, что ©=>©. Пусть {Wl9..., Wm} —
открытое покрытие порядка не больше п, вписанное в {Ul9..., Uk}. Для
каждого i ^ k положим
Vi = [JiWj:j*Zm,Wj<2Ui}.
Легко видеть, что {VJ: ί ^ к} — открытое ужатие покрытия {Ul9..., Uk}
и его порядок не превосходит ^ п.
Импликация © =>® очевидна. Покажем, что © => ©. Пусть {Ul9...
..., Uk}~конечное открытое покрытие пространства X. Нам надо

372
Глава 11. Топологические размерности
вписать в него конечное открытое покрытие {W1}..., Wm} порядка,
не превосходящего п. Можно считать, что к^п + 2 (иначе
доказывать нечего). Пусть Il9 ...,JS — все (π+ 2)-элементные подмножества
множества {1,..., к} (нумерация произвольна). Положим Uf — Ui
для i ^ к и по индукции построим открытые покрытия {ϋ{,..., Uk},
j <5, так, что для каждого j, l^j^s, {ϋ{,..., Uk} является ужатием
покрытия {и{~~г,..., и[~г} и Р| U( = 0. Предположим, что покрытие
{U{ 1,..., ϋ[ г} уже построено. Пусть ί;· — наибольший элемент
множества /;·. Рассмотрим (п + 2)-элементное открытое покрытие X,
состоящее из множеств и(~~ с индексами i е/;· \ {ί;·} и множества
Возьмём его ужатие с пустым пересечением. Пусть это ужатие
состоит из множеств W0 и Wu где i ξ/;· \ {ί;·}. Положим U- = Wt для
ielj\ {ij} и U· = WQ n U/~ для i£lj\ {i;·}. Мы получили ужатие
{[/if,..., 1^} покрытия {U{~ ,..., 1^~ }, для которого f] U- — 0. Заме-
тим, что по построению мы также имеем f] U- = 0 для Ζ < j. В конце
концов (на 5-м шаге) мы получим открытое покрытие {Щ,..., Щ},
которое, очевидно, является ужатием покрытия {Ul9..., Uk} и
обладает тем свойством, что f] U- = 0 для любого (п + 2)-элементного
множества I с {1,..., к}, т.е. имеет порядок п. Осталось положить
Wi = Ul,i^k. D
I Лемма 11.13. Любое открытое покрытие {Ul,...,Uk}
нормального пространства X имеет замкнутое ужатие {Ръ ..., Fk}.
Доказательство. Применим индукцию по к. Для к —2
утверждение леммы — это определение нормальности (в качестве
непересекающихся замкнутых множеств следует рассмотреть X \ иг
иХ\ U2). Предположим, что к> 2 и для меньших к лемма доказана.
Пусть {Ръ ..., Fk_2,F} — замкнутое ужатие покрытия
{l/i,...,I/fc-2,Ufc-iUl/fc},
и пусть {Fk_l9Fk} — замкнутое ужатие покрытия {ик_г DF, Uk OF}
нормального пространства F. Ясно, что {Fb ..., Fk} — замкнутое
ужатие покрытия {иъ ..., Uk}. D

§ 11.1. Определения и основные свойства размерностей ind, Ind и dim 373
I Лемма 11.14. Для семейства {(Af, В;): i = 1,..., η} пар непересе-
3 кающихся замкнутых подмножеств нормального пространства X
1 следующие условия равносильны:
1 φ существуют перегородки Q между А{ и Bt для ί ^ п,удовлетво-
I ряющие условию f] Ct = 0;
Ι ι^η
Ι © существуют непересекающиеся открытые множества и{ э At
§ и Vt D Bt для ί ^ η, удовлетворяющие условию |J ОД U V^) = X;
1 ίίζη
Ι © существуют непересекающиеся замкнутые множества Ό{ э At
I и Ei^Bt для ί ^ η, удовлетворяющие условию [J (Dt U Ef) = X.
Доказательство. Равносильность условий ф и © вытекает
непосредственно из определения перегородки.
Покажем, что © => ©. Предположим, что для данного семейства
{(А;, В{): i = 1,..., π} выполнено условие ©. По лемме 11.13 найдутся
замкнутые множества St с и{ и 7} с Vh удовлетворяющие условию
\J(SiUTd=X.
Множества Dt = Sj U At и Ε; = 7)· U В; обладают требуемыми в
условии © свойствами.
Докажем импликацию ® => ®. Предположим, что выполнено
условие ©. Для каждого i ^ π возьмём перегородку Q между
множествами Dj и Е( (она существует в силу нормальности
пространства X). Заметим, что Q является также и перегородкой между
Af и В^, и притом Q Г) (Dj U Ej) — 0 для всякого i ^ п. Из того, что
У {Pi U Ej) = X, следует, что f] Q = 0. D
Семейство {(Al? Bf): i = 1,..., π} пар непересекающихся
замкнутых подмножеств пространства X называется несущественным,
если для него выполнено одно (любое) из условий Ф-® в лемме 11.14.
В противном случае такое семейство называется существенным.
Доказательство п-мерности куба [0,1]П основано на том, что
семейство π пар его противоположных граней существенно.
Теперь мы докажем обещанную техническую теорему,
которая играет фундаментальную роль в теории размерности dim. Она
утверждает, что если X — нормальное пространство и η ^ 0, то
dimX ^ π тогда и только тогда, когда любое семейство, состоящее
из π +1 пары непересекающихся замкнутых множеств в X,
несущественно.

374
Глава 11, Топологические размерности
1 Основная теорема теории размерности dim. Для нормалъно-
1 го пространства X и η ^ 0 следующие условия равносильны:
Ι φ dimX^n;
ι © для любого семейства {(Ai,Bi):i = l,...,n + l} пар непересека-
I ющихся замкнутых подмножеств пространства X существу-
I ют перегородки Q между А{ и Вь ί ^ π +1, удовлетворяющие
I условию Р| Q=0;
Ι ΐϊζη+1
Ι © для любого семейства {{Ai9 В{): ί = 1,..., π + 1} παρ непересека-
I ющихся замкнутых подмножеств пространства X существу-
I ют непересекающиеся открытые множества Ui'DAiuVi'D Bi9
J ί^η + l, удовлетворяющие условию [J (1^и\^)=Х;
£ ® для любого семейства {(Af, Bf): i = 1,..., η +1} παρ непересека-
I ющихся замкнутых подмножеств пространства X существу-
1 ют непересекающиеся замкнутые множества D{ э A; u E; D В^,
Ι ί ^ π +1, удовлетворяющие условию |J (Д U Е{) = Χ.
8 ϊϊζη+1
Доказательство. Условия ©, © и ® равносильны по лемме 11.14,
так что достаточно доказать, что φ => © и © => ®.
Докажем, что φ => ©. Всевозможные пересечения вида Q Of,
где каждое О;—либо X\Ai9 либо X\Bi9 образуют конечное
открытое покрытие ϋ пространства X. В силу условия φ у X имеется
открытое покрытие °М — {Uly..., Um} порядка не больше п,
вписанное в ά. Будем считать без ограничения общности, что Ut φ Uj для
i Φ j. По лемме 11.13 у °М есть замкнутое ужатие & = {Fl9..., Fm}.
Возьмём открытые множества У1;,..., Vn+ij и замкнутые множества
Dlfj9 ---yDn+ij в пространстве X для j = 1,..., m, удовлетворяющие
условию
F,- с Vi}j С Д.; с Vi+1J С Di+1J с Uj
для всех i ^ η и j ^ m; такие множества легко построить
индукцией по jf, пользуясь нормальностью пространства X. Для каждого
i = 1,..., η +1 положим Νι — {j ^ m: Af Г) LT,· 7^ 0} и
^ = U vup Dt = U Aj и Q = д\v;·.
Если Aj Π Uj Φ 0, то по определению покрытия б и в силу того, что
^ вписано в б, имеем Uj аХ\В(. С другой стороны, из того, что

§ 11.1. Определения и основные свойства размерностей ind, Ind и dim 375
& — покрытие X, комбинаторно вписанное в ^, следует, что
Аг С \J{Fj: j ^ m, F^A{ /0}c[J Fj.
Отсюда вытекает, что для открытого множества Vt и замкнутого
множества Dt выполнены включения
Д- с v; cDf сХ\В£.
Значит, Q — перегородка между А( и Bt для каждого i ^ π 4-1.
Предположим, что f] Q ^ 0, и возьмём точку χ £ р| Q.
Для каждого i имеем χ е Д: \ VJ; значит, jc е Д J(i) \ V-j(i) для
некоторого j = j(0 е Nl? откуда следует, что χ £ [/J(0 и χ φ Fj(l). Числа
j(l),..., j (π 4- 1) попарно различны. Действительно, если j(s) =
— j(t) = j для 5 < t, то л: е (Dsj \ Vsj) Г) (Dtj \ Vtj), однако это
невозможно, так как по построению Dsj cVt>J·.
Семейство & покрывает X. Значит, точка χ принадлежит
некоторому элементу F;o этого семейства, причём j0 ^{j(l),..., j(n4-l)},
так как χ φ Fj(i) для ί ^ π 4- 1. Из того, что χ е [/J(i) для i ^ η 4-1
и FJo с UjQ, заключаем, что число элементов покрытия У/,
содержащих точку х, не меньше π + 2, а это противоречит тому, что порядок
этого покрытия не превосходит п. Следовательно, f] Q = 0.
Осталось доказать импликацию © => Ф. По лемме 11.13 у любого
открытого покрытия °и — {\]ъ ..., Un+2} пространства X есть
замкнутое ужатие {Ръ ..., Fn+2}. Поскольку Ft и X\ [/; —непересекающиеся
замкнутые множества, по условию ® для всех i ^ π +1 существуют
непересекающиеся открытые множества VJ и Wi9 удовлетворяющие
условиям
Ffcv;., Х\17£сИ£ и U yiu U И^ = Х. (*)
ίϊζη+l ίϊζη+1
Заметим, что VJ с Ut для i ^ π 4-1. Кроме того, поскольку Ft с 1)^ для
i ^ π 4- 2 и |J Ft = X, имеем
ίϊζη+2
tfn+2 э Fn+2 э х\( (J fJ э х\( (J ν;-),
а из последнего соотношения в формулах (*) имеем также
U щж\( (j v;).

376
Глава 11. Топологические размерности
Значит, С/п+2 Г) ί (J \¥^эХ\( (J V;) и семейство
y = {Vi,...,V„+i,V„+2},
где Уп+2 = £/п+2 Π ί |J WJ J, образует открытое покрытие простран-
ства X. Ясно, что У является ужатием покрытия °11 и что
Π v£c Π νίη( U wj)= U ( П v;.nw;.)c U v,nw, = 0.
i^n+2 i^n+1 ί^π+l j^n+1 i^n+1 j^n+1
В силу леммы 11.12 имеем dimX ^ η. D
§ 11.2. Размерность евклидова пространства
Теперь мы уже можем вычислить размерность куба [0,1]п.
■ Теорема 11.15. Для любого натурального η выполнено
равенство dim[0,1]П = п.
Доказательство. Сначала покажем, что dim[0,1]П ^п.
Воспользуемся условием © основной теоремы. Пусть {(AL, Bt): ί ^ π 4-1} —
произвольное семейство пар непересекающихся замкнутых
подмножеств куба [0,1]П, и пусть Qi,i^n +1, — попарно
непересекающиеся плотные подмножества прямой; например, можно положить
Qi = I \: к е N, а е Z, а не делится на pt J,
где Ρι9..., ρπ+ι —любые различные простые числа.
Каждая точка x&At имеет в Шп открытую окрестность Ux вида
Υ\ (α,·, bp, где a,·, by e QL, со свойством Ц?" Г) BL = 0. Заметим, что
по крайней мере одна координата каждой точки границы FrRn Ux
множества Ux в Rn принадлежит множеству QL.
Множество At замкнуто в [0,1]П и потому компактно. Значит, из
открытого покрытия {Ux: x&At} этого множества можно выделить
конечное подпокрытие {UXi,..., UXk}. Положим и{= |J Ux . Имеем
FrRn Ut = Uf \IntR. Ut с U ϋζ \ (U In% Ux) с U F%n I/
Значит, по меньшей мере одна координата любой точки границы
FrRn Ui принадлежит множеству Qt.

§ 11.2. Размерность евклидова пространства
377
Заметим, что каждое пересечение Q = [0,1]П Г) FrRn Ut является
перегородкой между А{ и Bt в [0,1]п. Кроме того, f] C{ — Q!>. Дей-
ствительно, если χ е. f] Q, то для каждого ί ^ π +1 у точки χ долж-
на найтись координата, принадлежащая множеству Qf. Это
невозможно, так как множества Qt не пересекаются, а координат у
точки χ всего п.
Итак, между множествами А( и Bt мы построили
перегородки Q с пустым пересечением. Согласно основной теореме имеем
dim[0,l]n^n.
Теперь покажем, что dim[0,1]п ^ п. Для этой цели
воспользуемся условием ® основной теоремы и теоремой Брауэра о
неподвижной точке (см. с. 131). Предположим, что dim[0,1]п ^ η — 1, и в
качестве пар непересекающихся замкнутых множеств в [0,1]П
рассмотрим пары противоположных граней куба; а именно, для ί ^ π
положим
Ai = {(x1,...,xn)e[0,l]n:xi-1},
Bi = {(x1,...,xn)e[0,l]n:xi = 0}.
По основной теореме найдутся непересекающиеся пары замкнутых
множеств D( э At и Et D Bh которые в совокупности покрывают
[0,1]п:и(А^) = [0,1]п.
ίϊζη
Для каждого ί возьмём непрерывную функцию f{: [О,1]п—> [0,1]
со свойствами ^(Д) с {0} и f^Ej) с {1} (она существует в силу
леммы Урысона и нормальности компакта [0,1]п). Положим / = Δ/ί·
Отображение / непрерывно по теореме 6.25, и оно отображает куб
[0,1]п в его границу, потому что (J (D£ UBf) = [0,1]п и Л1ди£. €{0,1}
ίϊζη
для каждого i ^ п. Если (x1?..., хп) е Fr[0,1]П, то для некоторого
ί ^ π имеем либо х( = 1, либо xt = 0, В первом случае (хъ ..., хп)€А|
и ./К**) ==0, а во втором —(х!,..., хп) еВ; и ^(^0 = 1. В любом
случае ί-я координата ^((xi,..., хп)) точки /((х1? ...,хп)) отличается
от ί-й координаты самой точки (х1у..., хп). Значит, отображение /
не имеет неподвижных точек, а такие точки должны существовать
по теореме Брауэра. Следовательно, наше предположение неверно
Hdim[0,l]n^n. D
Нам понадобится ещё несколько утверждений, вытекающих из
основной теоремы и предшествующих ей лемм.

378
Глава 11. Топологические размерности
I Теорема 11.16. Размерность dim монотонна по замкнутым
подпространствам: для всякого пространства X и любого его
замкнутого подпространства Υ выполнено неравенство dim У ^ dim X.
Доказательство. Воспользуемся леммой 11.12. Пусть ^/~{иг,...
..., Uk} — открытое покрытие подпространства Υ, и пусть Vi9 i^k,—
открытые подмножества пространства X, для которых Ut = VtC\Y.
Возьмём открытое ужатие {Wb ..., Wk+1} покрытия {Уъ ..., Vk, Χ \ Υ}
пространства X, порядок которого не превосходит dimX. Ясно, что
{Wi Π Υ,..., Wk Π Υ} — открытое в подпространстве Υ ужатие
покрытия °11 и что его порядок не превосходит dimX. По лемме 11.12
имеем dim 7^ dim Χ. □
1 Теорема счётной суммы для размерности dim. Пусть X —
Ι нормальное пространство, и пусть п — либо —1, либо неотрица-
1 тельное целое число, либо оо. Предположим, что Х= |J Х„ где все
1 ί€Ν
I Xt— замкнутые подпространства пространства X и dimX; ^ π
I для всех ί е N. Тогда dimX ^ п.
Доказательство. Для п — — 1 и η — оо доказывать нечего. Пусть
π — неотрицательное целое число. Воспользуемся условием ©
основной теоремы. Рассмотрим произвольное семейство {{Аь Bt): ί ^ π +1}
пар непересекающихся замкнутых подмножеств пространства X.
Пользуясь тем, что X нормально, найдём открытые множества Ui0 z>
d Aj и Vi0 э Bt с непересекающимися замыканиями. Положим Х0 = 0.
Сейчас мы построим для каждого целого т ^ 0 и каждого
натурального ί ^ π + 1 открытые подмножества C7"f m и VJ m
пространства X с такими свойствами:
© UUmnViim = 0;
т п+1
® U*,-cl№>uv;-m).
Применим индукцию по т. Предположим, что т > О и для
меньших m нужные множества построены. Применив основную теорему
к Хт, мы построим непересекающиеся замкнутые подмножества Et
и Fj пространства Хт, удовлетворяющие условиям Хт Π ^ m-1 с Ei9
Хт Π Vijm_i сFt и Xm = |J (Ei UFj). Осталось взять в качестве Uim
и VJ m любые открытые множества в X, для которых t/i>m_i U Et с ^ т,
^i\m-l U^i С К',т и ^i,m П ^,т = 0> они Существуют В СИЛу НОрмаЛЬНО-
стиХ.

§ 11.2. Размерность евклидова пространства
379
Построив открытые множества Uim и Vim для всех i^n + 1
и т ^ 0, мы положим Ut = |J ^ m и VJ = (J Vf m для i = 1,..., π + 1.
По построению Ut и VJ■ — непересекающиеся открытые множества,
Af с Ui9 Bt с Vf и (J (L/j и VJ) = X. По основной теореме (условие ®)
ίίζη+1
имеем dimX ^ п. D
1 Следствие 11.17. Для каждого натурального η выполнено
равенство dimMn = n.
Доказательство. По теоремам 11.15 и 11.16 имеем dimMn ^ π, а из
основной теоремы и теоремы счётной суммы для размерности dim
следует, что dimMn ^ π (так как Rn = (J [—ί, ί]η, а каждый куб [—i, i]n
гомеоморфен кубу [0,1]П). D
(Следствие 11.18. Для разных натуральных чисел пик
евклидовы пространства Шп и Шк не гомеоморфны.
Приведённое выше доказательство этого, казалось бы, очевидного
факта нельзя назвать простым. Как это ни удивительно, доказательства,
которое было бы существенно проще, не существует, хотя есть доказательства,
использующие не размерности, а, например, гомотопии. Впервые
негомеоморфность пространств Rn и Шк для разных η и к была строго доказана
(Брауэром в 1911 г., а затем и Лебегом) именно с помощью размерностных
функций.
Чтобы двигаться дальше, нужны ещё леммы.
| Лемма 11.19- Пусть А и В — подмножества пространства X
I и Ψ — счётное семейство открытых множеств с тем свойством,
Ι что A U В с (J Ψ и для любого W <εψ либо W Π А = 0, либо
I W Г)В = 0. Тогда β Χ существуют непересекающиеся открытые
Ι множества иэАиУэВ. Если вдобавок [j Ψ - X, то X \ (U U V) с
I c|J{FrW: WeW}.
Доказательство. Пусть
ifr = {Wi: i€N}U{W/: i e N}5
где Wlf\A — 0 и W{nB = 0. Для каждого ΐ£Ν положим
Ui = W{\([JWi) и Vi = Wi\({JWj).
j<i j^i
Легко видеть, что все U{ и Vt открыты и Ut Π V}г = 0 для любых i, j e N,
так что U=\<jUinV=[JVi — непересекающиеся открытые множе-
ства. Кроме того, Α<ζ\}ψ и An[{JWj>\ = 0, откуда следует, что
А с U; аналогично β с У. lGN

380
Глава 11. Топологические размерности
Теперь предположим, что (J Ψ — X, и возьмём jc е X \ (U и V).
Поскольку x^W{ — U1dU HxeX=|Jw;u (J W{, либо найдётся
ί e Ν, для которого jc е И^·, либо найдётся ί е Ν, для которого χ е W/+1;
иными словами, χ € WJ U W/+1 для некоторого i е N. Выберем
минимальное i* с этим свойством и рассмотрим случаи jc e W^ и jc §£ И^.
Предположим, что x&W^. Имеем
χgx\v cz x\vu = x\(w^\(\J w;)) = x\wuu [jw;.
Значит, jc e W- для некоторого j ^ i*. Если j = 1, то jc e Fr W^, потому
что jc ^ W/ с [/. Если 1 < j ^ i*, το χ φ Wj в силу минимальности числа
i*, и снова получаем jc eFr W-.
Теперь предположим, что χ φ W^. Тогда jc е W/+1 и, поскольку
xeX\[/cX\^+1-X\(w/+1\( U Wi))=X\W/+1uU^
имеем χ e Wj для некоторого j ^ i*. Если j = ΐ*, το χ e Fr И^. Если
; < i*, το χ φ Wj в силу минимальности числа ί*, а значит, χ е Fr Wj.
Мы показали, что в любом случае χ е FrW для некоторого
Wef,a это и требовалось. D
I Лемма 11.20. Пусть Х~ наследственно нормальное простран-
1 ство, Y — его подпространство и {АЪВ1), (А2, В2) — две пары
Ι непересекающихся замкнутых подмножеств пространства X, для
Ι которых ΫΓ)Α1<ζΫΠ Int А2 и Ϋ Г) Вг с Ϋ Г) IntB2- Тогда для любой
Ι перегородки С между YC\A2uYnB2eY имеется перегородка Сг
1 между Аг и Вг β X, удовлетворяющая условию Υ Г) Q с С.
Доказательство. Пусть [/ и У — непересекающиеся открытые
окрестности множеств ΥΓ)Α2ηΥΓ\Β2βΥ, для которых C = Y\(UUV).
Положим
17' = ?\7\Т7 и V = Y\Y\V
(это наибольшие открытые подмножества пространства Ϋ,
которые в пересечении с Υ дают [/ и У соответственно). Заметим,
что U' Г) V' — 0, потому что Υ плотно в Ϋ, U' и У7 открыты в 7
и [/'ην'πΓ^ί/ην^Θ. Имеем также
FDAi c7DlntA2 с [/' и ГГ^ с FnlntB2 с У7
— это вытекает из условия леммы и определения множеств [/' и У'.
Значит, Аг и U' и Вг и У7 — непересекающиеся замкнутые подмно-

§ 11.2. Размерность евклидова пространства
381
жества открытого подпространства Ζ = (Χ \ Ϋ) и ([/' и V')
наследственно нормального пространства X. Поэтому существуют
непересекающиеся открытые в Ζ (а значит, и в X) множества иг nVl9
для которых Аг U U' с иг и Вг U V с Уг. Ясно, что Сг =Х \ (i^ UУг) —
перегородка в X между Аг и Вг. По построению 7 Π Сг с С. D
I Неравенство Урысона для Ind.1} Если X — наследственно
нормальное пространство uX = YUZ, mo2)
IndX^Ind7 + IndZ + l.
Доказательство. Если Ind Υ = оо, то доказывать нечего, поэтому
будем считать, что Ind7 < оо, и применим индукцию по IndY. Для
Ind Y = — 1 неравенство очевидно. Пусть Ind 7 = π е N и для
наследственно нормальных объединений пространств, одно из которых
имеет меньшую размерность, утверждение верно. Возьмём любые
непересекающиеся замкнутые множества Аг и Вг в X. Найдём
непересекающиеся замкнутые множества А2 и В2 со свойствами
Аг с IntA2 и Вг с IntB2- (Они существуют в силу нормальности
пространства X: надо взять [/ z> Аъ для которого U Г)В1 = 0, а
затем разделить непересекающиеся замкнутые множества U и Вг
непересекающимися окрестностями V и W. В качестве А2
можно взять [/, а в качестве В2 — W.) Возьмём в Υ перегородку С
между Υ Г\А2 и Υ Г\В2, для которой Ind С ^ π — 1. По лемме 11.20
в X существует перегородка Сг между Аг и Въ удовлетворяющая
условию Сг Π Υ с С. В силу замкнутости Q по теореме 11.5 имеем
IndCQ Π 7) = Ind (Q Π С) ^ π - 1 и IndCQ Π Ζ) ^ Ind Z. По
предположению индукции IndСг = IndCCi D7UC1nZ)^n + IndZ. Значит,
IndX^Ind7 + IndZ + l. D
i Лемма 11.21. Пусть Χ — непустое линделёфово пространство
I конечной размерности ind. Тогда между любыми непересекающи-
I мися замкнутыми множествами А, В с X имеется перегородка С,
Ι которую можно представить как С = [J Q, где каждое С ι замкну-
I mou ind Q < ind X для всех i e N. l'GN
Доказательство. Поскольку X регулярно и indX < оо, у каждой
точки χ е X есть такая открытая окрестность UX9 что ind Fr ί/χ < ind X
и либо ΌχΓ)Α = 0, либо Ё7Х Π В = 0. Пусть {1^·: i е N} — подпокрытие
υ Для размерностей ind и dim верны совершенно аналогичные утверждения,
которые тоже называются неравенствами Урысона, но они нам не понадобятся.
2) Здесь и ниже мы считаем, что оо + оо = оо+п = оо (и п< оо) для всех
целых п.

382
Глава 11. Топологические размерности
открытого покрытия {Ux: xeX} линделёфова пространства X. По
лемме 11.19 найдутся непересекающиеся открытые множества U э А
и V э В, удовлетворяющие условию X \ ([/ и V) с (J FrUt. Осталось
положить С — X \ ([/ U V) и Q = С Π Fr [/f и заметить, что по
теореме 11.2 выполнены неравенства ind Q ^ ind Fr Ut < ind X. Π
■ Теорема 11.22. Для всякого линделёфова пространства X
выполнено неравенство dim X^ ind X.
Доказательство. Применим индукцию по indX. Если indX е
е {—1, оо}, то доказывать нечего. Предположим, что indX = π,
О ^ п< оо, и для меньших размерностей утверждение верно.
Рассмотрим пары (А;, В;), ί ^ π 4-1, непересекающихся замкнутых
подмножеств пространства X. По лемме 11.21 в X найдётся перегородка
Сп+1 между Ап+1 и Вп+Ъ удовлетворяющая условию Сп+1 = (J Q+1,
где все С£+1 замкнуты в X и indQ+1 < π (а значит, dimQ+1 < π
по индуктивному предположению). По теореме счётной суммы для
dim имеем dimCn+1 < п. По основной теореме теории dim
множество Сп+1 содержит непересекающиеся замкнутые множества
Et э А( Π Сп+1 и Ft => Вг- η Сп+1, i ^ п, удовлетворяющие условию
Сп+1 = [J (Е{ U Fi). Возьмём любые перегородки Q в X между А; и Е{
и Bf U F( для ί = 1,..., п. Ясно, что f] Ct = 0. По основной теореме
имеем dimX ^ п. ί^π+i rj
Теперь наконец мы можем доказать обещанную в начале главы
теорему.
I Теорема 11.23. Для любого η е N имеют место равенства
indMn = IndRn = dimlT = п.
Доказательство. Начнём со вспомогательных конструкций.
Вспомним, что пространство Ρ иррациональных чисел гомео-
морфно тихоновскому произведению Νκ°. Значит, любая степень
пространства Ρ нульмерна1}, поскольку indN —0 и нульмерность
мультипликативна (см. теорему 10.27). То же верно для
пространства Q рациональных чисел (оно нульмерно по следствию 10.34),
а также для любых произведений сомножителей, гомеоморфных Ρ
и Q. Все не более чем счётные произведения таких сомножителей
х) Напомним, что нульмерность пространства равносильна тому, что это
пространство удовлетворяет аксиоме Тг и его малая индуктивная размерность
равна нулю.

§ 11.3. Некоторые дальнейшие факты теории размерностей 383
имеют счётную базу (см. задачу 11 на с. 209) и потому линделёфовы,
а значит, имеют нулевую размерность dim по теореме 11.22.
Сейчас мы построим конкретные произведения такого вида,
которые понадобятся нам для доказательства теоремы. Пусть π е N
и /с{1,..., п}. Для каждого i е J выберем q(· eQ и положим q=(qi)iej>
а также
P/4q) = {(Χι,..., хп) € Rn: xt = qt для i € /, ^ е Ρ для i φ /}.
Пространство P/4q) гомеоморфно Рп_|/|, если J с {1,..., п}, и
одноточечно, если I = {1,..., п}. Для m ^ π положим
Рт = {(^ι,..., *п) е ^П: ровно т координат xt рациональны}.
Ясно, что Р£ содержит все множества вида P/4q), где |/| —т, в
качестве замкнутых подмножеств. Из того, что число всех т-элемент-
ных множеств / с {1,..., п} конечно, а число всех наборов q= (qi)ieI
рациональных чисел счётно, вытекает, что Р£ является
объединением счётного числа замкнутых подпространств вида P/4q), причём
dimPj(q) = 0 для всех J и q в силу сделанного выше замечания. По
теореме счётной суммы для dim имеем dimP^ = 0 для любых πGN
и/ηξη, апо предложению 11.9 имеем также IndP^ = 0 для любых
пеМит^п. п
Поскольку Шп= |J Р£ и IndP^ = 0 для τη^ζη, из неравенства
Урысона для Ind вытекает, что Ind Шп ^ п. Равенство dimMn = π — это
следствие 11.17. Применение теорем 11.7 и 11.22 завершает
доказательство. D
§ 11.3. Некоторые дальнейшие факты теории размерностей
Совпадение размерностей
сепарабельных метризуемых пространств
Доказательство совпадения размерностей сводится к компактному
случаю, поэтому для начала следует изучить размерность метрических
компактов.
Напомним, что диаметр множества А в метрическом пространстве
[X, d) определяется как sup{d(x,у): х,у еА}.
I Определение. Покрытие °Ы метрического пространства [X, d)
называется ε-покрытием для ε > 0, если диаметры всех его элементов меньше ε.
Предложение 11.24. Для любого метрического компакта [X, d) и
любого натурального η следующие условия равносильны:
φ dimX^n;

384
Глава 11. Топологические размерности
(D для каждого ieN существует конечное открытое --покрытие Щ
компакта X порядка, не превосходящего п.
Доказательство. Для доказательства импликации (D=>(D в качестве Щ
достаточно взять конечное открытое покрытие X порядка не больше п,
вписанное в конечное подпокрытие покрытия компакта X открытыми шарами
радиуса γν
Покажем, что (D => ф. Пусть °1/ — конечное открытое покрытие
пространства X, и пусть ε —его число Лебега (см. задачу 14 на с. 254). Если
- ^ ε, то по определению числа Лебега покрытие °Ы{ вписано в <?/. Π
Предложение 11.25. Для любого метрического компакта {X, d)
справедливо неравенство IndX^dimX.
Доказательство этого предложения основано на следующей лемме.
1 Лемма 11.26. Пусть А и В — непересекающиеся замкнутые подмноже-
1 ства непустого компакта X, и пусть dimX = π < оо. Тогда для любого
Ι конечного открытого покрытия Ш компакта X найдутся такие непе-
1 ресекающиеся замкнутые множества Аг и Blf что А с Int А1? В с 1пгВг
I и б открытое покрытие У = {UПХ\ (Аг иВг): U e °U} пространства
§ X \ (Аг иВг) можно вписать конечное открытое покрытие W порядка,
I не превосходящего η — 1.
Доказательство. В любое конечное открытое покрытие % компакта X
можно вписать конечное открытое покрытие Θ с тем свойством, что для
каждого О € б либо О П А = 0, либо б П В = 0. Поскольку dimX ^ п, мы
можем вдобавок считать, что ord Θ ^ п. Положим аг = {0 е 0: О П А ^ 0}
и а2 = {Ое&: ОПА = 0}. Положим также
A!=X\(UO> Bi=X\(lM) и W = {On(X\(A1UB1)):Oea1}.
Имеем
А1пВ1 =0,
А С X\(|J{0: О € б2}) С IntAi иВс X\(|J{6: О € ^}) с ϊωϊΒ^
Кроме того,
X\(A1UB1) = {\Ja1)n{\Ja2).
Значит, пересечение любых к элементов семейства W содержится в
пересечении к элементов семейства бх и ещё по меньшей мере одного элемента
семейства Θ2. Поскольку ordC^ U ά2) ^ π и семейства бх и б2 не имеют
общих элементов, пересечение π + 1 элемента семейства ψ всегда пусто.
Следовательно, ordΨ^η — l. D
Докажем теперь предложение.
Доказательство предложения 11.25. Если dimX = оо, то доказывать
нечего. Предположим, что dimX = π < оо, и применим индукцию по п. Для
η = — 1 снова нечего доказывать. Пусть п^Ои для меньших π утверждение
верно. Рассмотрим непересекающиеся замкнутые подмножества А0 и В0
компакта X. С помощью доказанной леммы мы для каждого i € N построим

§ 11.3. Некоторые дальнейшие факты теории размерностей 385
непересекающиеся замкнутые множества At и Bt и открытое покрытие ^
пространства Х\ (А{ UBt) с тем свойством, что
Ai_x с Int Д, В{_! с lntBi3 οτάΨΐ^η-Ιπ diam(i7) < 1 для всех U € ψ·λ.
Положим U = (J IntAf и V = (J ШВ{. Имеем 17 П V = 0, Л0 С 17 и В0 С V.
ieN ieN
Значит, С = X \ (17 U V) — перегородка между А0иВ0. Для каждого ί € N
положим % = {WnC: WeWt}. Каждое % является открытым --покрытием
порядка η — 1 перегородки С. По предложению 11.24 выполнено
неравенство dim С ^ π — 1, а по индуктивному предположению имеем Ind С ^ η — 1.
Это доказывает, что IndX ^ п. D
Из доказанного предложения и теоремы 11.22 немедленно вытекает
такое утверждение.
Следствие (тождество Урысона). Для любого метрического компакта
X справедливы равенства indX = IndX = dimX.
Следующие два утверждения нужны для доказательства теоремы 11.29,
которая позволяет свести случай произвольного сепарабельного
метрического пространства к случаю метрического компакта.
Лемма 11.27. Пусть ft: X —»Kt — непрерывное отображение
пространства X в метрический компакт (Ki3 <2{) для i = l,...k (здесь dt —метрика
на JQ). Тогда для любого ε > О существует конечное открытое
покрытие °U пространства X порядка, не превосходящего dimX, с тем
свойством, что diam(/{ (ί/)) < ε для всех U e ^ ui^k.
Доказательство. Для каждого ί ^ к выберем конечное покрытие 08{
компакта Kt открытыми шарами радиуса |. В качестве °1ί можно взять
любое конечное открытое покрытие порядка, не превосходящего dimX,
вписанное в покрытие множествами вида р| /{-1 (В{), где Bt е Щ. Π
i^k
Пусть ^/ — {Ul, ..., Uk} — функционально открытое покрытие
топологического пространства X, и пусть gt: X ~»[0,1], ί ^ к, — непрерывные
функции, для которых g^1 ((0,1]) = J7j. Для χ еХ и ί ^ к положим
Ψιίχ) = YWr
j^k
(У нас получилось разбиение единицы {φί: i ^ к} на X, подчинённое
покрытию <?/.)
Для fc€NHi = l,...,fc обозначим через е{ точку евклидова
пространства Rk, i-я координата которой равна единице, а все остальные
координаты — нули. Положим
Ψ Μ = Σ 4>iMei € м* для χ G Χ.
i^k
Пусть хеХ, и пусть {Ι7ίο, Щ,..., Uim} — множество всех тех элементов
покрытия °U, которые содержат точку х. Заметим, что точка ψ(χ) принад-

386
Глава 11. Топологические размерности
лежит симплексу13 Δ™ cl с вершинами eio, efl,..., eim и (φίο, φίτ, ...,φίηι) —
её барицентрические координаты. Значит, -ψ отображает пространство X
в полиэдр2) Ρ с Шк, состоящий из симплексов с вершинами из множества
{ег, е2,..., ек }, причём симплекс с вершинами eio, efl,..., eim содержится в Ρ,
если и только если3) Uio η L7f П ... П Uim Φ<Ζ>. Таким образом, Ρ состоит из
симплексов размерности не больше ord ^,ииз теоремы счётной суммы для
размерности dim, а также теорем 11.23 и 11.16 следует, что dim Ρ ^ ord °i/.
Очевидно, отображение ψ непрерывно.
Назовём звездой вершины et полиэдра Ρ открытое множество V; =
= {χ = (*!, ..., хк) е Ρ: xt > 0}. Заметим, что ^'_1(Ю = Ut для i ^ к и что
семейство y = {Vlf..., Vk} является открытым покрытием полиэдра Р. Пусть
ε > 0 —число Лебега4) этого покрытия. Если точки х,у еХ таковы, что
dk(xl)(x),\l)(yN < ε, то обе точки ψ(χ) и 'ψ(у) принадлежат некоторому
элементу Ц покрытия У, а значит, χ и у принадлежат элементу Ut
покрытия °U.
Мы будем называть построенное отображение ψ каноническим
°U-отображением.
Предложение 11.28. Пусть /: X ~» К — непрерывное отображение из
метризуемого топологического пространства X в метрический компакт
(К, d). Тогда существуют метрический компакт (К', а") и непрерывные
отображения f':X-*K'u π: Κ' ' -+К, удовлетворяющие условиям dimiC' ^
^dimX, f'{X) = K' и nof' = f.
Доказательство. Если dimX = оо, то доказывать нечего. Предположим,
что dimX = n. Предположим также, что метрика d ограничена единицей
(иначе ограничим её). Положим Р0 = К и я^0 = / (исключительно для
удобства обозначений, компакт К вовсе не обязан быть полиэдром). Затем по
индукции, пользуясь леммой 11.27 и тем фактом, что все открытые
множества в метризуемом пространстве функционально открыты (см. задачу 10 а)
на с. 171), для каждого i € N построим конечное открытое покрытие ^
порядка не больше п пространства X так, что для любых U € °1/{ и j = 0,..., i — 1
выполнено неравенство diam(i^;(l7)) < - (здесь xjjj, j = 1,..., i — 1, —
канонические ^-отображения X —>Ρ;· в полиэдры Р, cR^ размерности, не
превосходящей η).
Для каждого ί е N обозначим через ε{ число Лебега покрытия
полиэдра Pt звёздами его вершин. По определению канонического ^-отображе-
13 См. с. 130.
2) Т.е. объединение конечного числа симплексов. Ясно, что всякий полиэдр
компактен.
3) Абстрактный симплициальный комплекс с этими свойствами называется
нервом покрытия Ш.
4) См. задачу 14 на с. 254. Подразумевается, что метрика на полиэдре Р —
сужение евклидовой метрики dk пространства Rk.

§ 11.3. Некоторые дальнейшие факты теории размерностей 387
ния если ^.(ψ,Μ,Ψίϋ^)) < εί9 то χ и у принадлежат одному и тому же
элементу покрытия %, а значит, dk. (i/>;0:), ^;(у)) < - для всех j < i.
Рассмотрим произведение Y\ Р{ с метрикой
оо
<*'((*£W (И W = d(*o> Уо) + Σ 5ϊ^ (*i, Уё)
i=l z
и отображение ί/> = Δ i/>f: Χ —» ΓΊ^ί· Положим Κ7 = ψ(Χ) и обозначим че-
рез /' подотображение Х-^К' отображения ψ, а через π —сужение
канонической проекции π0: ]~] Р{ —»Р0 = iC на К7. Нетрудно показать, что мет-
рика d' индуцирует топологию произведения на Y\Pt, так что (К7, d') —
метрический компакт. Кроме того, очевидно, πο/' = /.
Пользуясь предложением 11.24, построим открытые £гпокрытия 1^
полиэдров Pt порядка не больше η для всех ί е N. Все покрытия
компакта К7 тоже имеют порядок не больше п. Кроме того, каждое
покрытие % вписано в Щ, поэтому если х, у €1 и точки я/^Ог) и я^£(у)
принадлежат одному и тому же элементу покрытия yi9 то ά{ψ0(χ), я^0(у)) < ~
и dk. (ψ](χ), ^;(у)) < γ для j = 1,..., i - 1, а значит,
d'(/'W,/'(y)) < 1 Σ 57+Σ г < f + φϊ ^ f ·
Следовательно, для каждого WGf; диаметр пересечения Wnf(X) мень-
2 2
ше -. Поскольку f'[X) плотно в К', имеем diam W ^ - для всех WGWt.
Итак, у компакта К' имеется последовательность --покрытий W3i
порядка ^п. В силу предложения 11.24 имеем ашхК' ^ п. Π
Из доказанного предложения вытекает такая теорема.
I Теорема 11.29. У любого сепарабелъного метризуемого
пространства X имеется метризуемая компактификация сХ, для которой dimcX =
= dimX.
Доказательство. Положим К=[О,1]*° и рассмотрим вложение /: Х-+К
(оно существует по теореме Тихонова о вложении). По предложению 11.28
существуют метрический компакт К' размерности dim К' ^ dimX и
непрерывные отображения /': X —> К7 и π: К' ~» К, для которых / = π о /'
и /'ЦО =iC/. Поскольку / — вложение, /' тоже является вложением, а
поскольку /'(X) плотно в К', компакт К' является компактификацией
пространства X. Покажем, что dimX^dimiC'.
Пусть dimit' = m, и пусть {Ul3..., Uk} — открытое покрытие
пространства X. Возьмём открытые множества Vt а К', для которых Ι/j = VJ ПХ. По-

388
Глава 11. Топологические размерности
скольку компакт К' метризуем, каждое VJ функционально открыто, а
значит, является объединением счётного числа замкнутых множеств.
Следовательно, V = Уг U ... U Vk тоже является объединением счётного числа
замкнутых множеств. По теореме 11.16 лебегова размерность каждого из этих
замкнутых множеств не превосходит т, а по теореме счётной суммы для
dim и лебегова размерность их объединения V не превосходит т. Значит,
в открытое покрытие {Vl3 ...,Vk} пространства V можно вписать открытое
покрытие {W1} ...,Wk} порядка не больше т. Семейство {У/гГ\Х, ...,WknX}
тоже имеет порядок не больше т, и оно является открытым покрытием
пространства X, вписанным в {171?..., Uk}.
Мы показали, что dimX ^ dim К', откуда следует, что dimX = dimiC'.
Осталось положить сХ = К''. Π
Наконец, всё готово для доказательства главной теоремы о совпадении
размерностей.
(Теорема 11.30. Для любого сепарабелъного метризуемого
пространства X справедливы равенства ind X = Ind Χ = dim X.
Доказательство. По теореме 11.29 у пространства X имеется метризуе-
мая компактификация сХ, для которой dimcX = dimX, и мы уже доказали
совпадение размерностей для метризуемых компактов. Из теоремы 11.22,
очевидного неравенства indX ^ IndX (см. теорему 11.7) и монотонности
размерности ind следует, что
dimX^indX^ indcX = dimcX = dimX и indX ^ IndX.
Осталось показать, что для любого сепарабельного метризуемого
пространства X выполнено неравенство IndX ^ indX. Как обычно, мы
предположим, что indX = п < оо, и применим индукцию по п. Для η = — 1
доказывать нечего. Пусть п^Ои для меньших η утверждение верно. Пусть А
и В — непересекающиеся замкнутые множества в X. По лемме 11.21 между
А и В имеется перегородка С, которую можно представить как С = |J Q,
где каждое Q замкнуто и indQ < indX для всех i e N. Поскольку, как мы
уже знаем, ind Q = dim Q для ί е Ν, по теореме счётной суммы для dim
имеем dimC(= ind С) < indX. По индуктивному предположению Ind С ^ ind С.
Значит, Ind С ^ η — 1, а это доказывает, что IndX ^ п. Π
Больше мы ничего доказывать не будем и лишь перечислим несколько
фактов, которые дают некоторое представление о теории размерностей.
Большую часть этих фактов можно найти в книге Хараламбуса [22];
полезны также книги [2] и [19]1}. Для удобства в список включены и факты,
доказанные выше.
4 Однако следует иметь в виду, что в книге [19] размерность dim
определяется по-другому, для конечных покрытий функционально открытыми
множествами вместо произвольных конечных открытых покрытий.

§ 11.3. Некоторые дальнейшие факты теории размерностей 389
Соотношения между разными размерностями
1. Для любого пространства X имеют место неравенства indX ^ IndX
udimX^IndX.
2. Для любого сепарабелъного метризуемого пространства X
выполнены равенства ind X = Ind Χ = dim X.
Ни от сепарабельности, ни от метризуемости отказаться нельзя:
• Для каждого натурального π существует такое метризуемое
пространство X, что dimX — indX = п.
• Для любых натуральных π и т, т ^ п, существует сепарабельный
компакт X с первой аксиомой счётности размерностей dimX = m
итаХ = 1паХ = п.
• Для любых целых I, т и п, удовлетворяющих условиям 0 ^ I ^ m и
О < m ^ п, существует нормальное сепарабельное пространство X с
первой аксиомой счётности размерностей indX = Z, dimX = m и IndX = n.
3. Для любого метризуемого пространства X справедливо неравенство
IndX^dimX.
4. Для любого линделёфова пространства X справедливо неравенство
dim X^ ind X.
• Существует компакт X, для которого indX < IndX.
• Для любого η е N существует компакт размерностей dim X = 1 и ind X =
= ΙηάΧ = η.
• Для каждого π е N и { оо } существует нормальное пространство X
размерностей ind X = О и Ind X = dim Χ = η.
Подпространства
1. Если X —любое пространство и Υ' — его подпространство, то ind7 ^
^indX.
2. Если X—любое пространство и Υ замкнуто в X, то IndY ^IndX
и dim 7^ dim X.
• Для каждого π е N и { оо } существуют нормальное пространство X и его
(незамкнутое) нормальное подпространство Υ, удовлетворяющие
условиям dimX = IndX = 0 и dim7 = lnd7 = n.
3. Теорема суммы для Ind. Если X —нормальное пространство, А
и В —его замкнутые подпространства и Х = АиВ, то Ind X ^ Ind A + Ind В.
Теорема счётной суммы для dim. Если пространство X нормально,
Хь i € Ν, — его замкнутые подпространства и X={JXt,mo
dim X ^ sup dim Xt.
Теорема о разложении в объединение нульмерных подпространств.
Любое метризуемое пространство X, для которого dimX = π < оо, можно
представить как Х= (J Хь где dimXt = 0 для всех i ^ π +1.

390
Глава 11. Топологические размерности
• Существуют метризуемое пространство X и его замкнутые
подмножества АиВ, для которых X = А и В, indX = l и indA = indB = 0.
• Пространство Локуциевского1*. Существуют компакт К и замкнутые
множества Кг и К2 в К со свойствами К = Кг и К2, indiQ = IndiQ =
= dimiQ = l для i = l, 2, dimiC = l и indit = Indit = 2.
4. Неравенства Урысона
Если X наследственно нормально и X = YuZ,mo
indX ^ ind7 + indZ + l.
Если X наследственно нормально и X = YUZ,mo
IndX^IndF + IndZ + l.
Если X нормально и X = Y U Ζ, то
dimX ^ dimy + dimZ + 1.
5. Два примера
• Плоскость Тихонова. Для размерностей пространств Х = [0, ωτ] χ [0, ω]
πΥ = Χ\ {(ω1? ω)} выполнены соотношения ind X = Ind X = dim Χ = 0
HindY = 0, Ind7=oo,dim7=l.
• Существуют метризуемое пространство X и точка α е X, для которых
indX = lHindX\{a} = 0.
Промежуточные размерности
1. Если IndX = ηGΝ, то для всякого т<п в X содержится замкнутое
подпространство Υ размерности Ind Y = т. (Это утверждение немедленно
вытекает из определения большой индуктивной размерности.)
2. Если X метризуемо и dimX = neN^ то для всякого т<п в X
содержится замкнутое подпространство Υ размерности dim Y = т.
(Достаточно вспомнить, что dim X = IndX для любого метризуемого пространства X.)
• Существует метризуемый компакт X размерности indX = оо, в
котором любое непустое конечномерное (в любом смысле — для
метрических компактов размерности равны) замкнутое подпространство Υ с X
нульмерно.
• Существует сепарабельный компакт X с первой аксиомой счётности
лебеговой размерности dimX = n > 1, не содержащий замкнутых
подпространств Y, для которых 1 ^ dim7 < п.
Компактификации
1. Для любого нормального пространства X справедливы равенства
Ind X = Ind βX и dim X = dim βΧ.
• Существует нормальное пространство X размерности indX = 1 с тем
свойством, что Ind Ζ = dim Ζ = οο для любого регулярного пространства
г) Олег Вячеславович Локуциёвский (1922—1990) — советский математик,
ученик П. С. Александрова.

§ 11.3. Некоторые дальнейшие факты теории размерностей 391
Ζ Ζ) Χ (в частности, для любой компактификации сХ пространства X
имеем ind сХ = Ind сХ = dim сХ = оо ).
2. Любое сепарабелъное метризуемое пространство X имеет метризу-
емую компактификацию сХ размерности dimcX = dimX.
Суммы и произведения
1. Для любого семейства топологических пространств Ха, aGA, и
любого целого п^О неравенства ind ©Χα^π (Ind 0 Ха ^ η, dim 0 Ха ^ π)
аеЛ аеЛ а€Л
выполнены тогда и только тогда, когда indXa ^ π (IndXa ^ η, dimXa ^ π)
для всех абА
2. Если X нормально и Υ' — компакт, то dim(X хУ)^ dim X + dim Y.
3. Если X и Υ — метризуемые пространства, то dim(X хУ)^ dimX +
+ dim7.
Равенство может не достигаться.
• Пример Эрдёша1* X — сепарабельное метризуемое пространство, гомео-
морфное своему квадрату. Для этого пространства dimX = dimX2 = 1 <
<dimX + dimX.
• Стрелка Зоргенфрея2) S — наследственно линделёфово наследственно
сепарабельное пространство с первой аксиомой счётности, для
которого dimS = 0, но dimS2 > 0 (так как квадрат S2 не нормален).
• Существует линделёфово пространство X с первой аксиомой
счётности, квадрат которого нормален, однако dimX = 0<dimX2.
4. Если пространства Ха, a e А, нульмерны, m. e. indXa = 0 для всех
аеА,то ind Y\ Xa = 0.
aeA
Отображения
1. Любое топологическое пространство является образом при
открытом непрерывном отображении наследственно паракомпактного
пространства X, все подпространства Υ которого (включая само
пространство X) удовлетворяют условию ind Y — Ind Y = dim 7 = 0.
2. Если f: X —> Υ — замкнутая непрерывная сюръекция, X и Υ
нормальны и для каждого у е Υ выполнено неравенство |/_1(у)| ^ к + 1, где
0^к< оо, то dimy^dimX + fc.
3. Если f: X —> Υ — открытая непрерывная сюръекция, X uY —
компакты и для каждого уеУ выполнено неравенство |/_1(у)| ^ К0, то dim Y =
= dimX.
г) Этот пример уже рассматривался на с. 341. Это подпространство
гильбертова пространства последовательностей I2, состоящее из всех
последовательностей с рациональными координатами.
2) Этот пример обсуждался многократно; определение содержится в
формулировке задачи 10 на с. 105.

392
Глава 11. Топологические размерности
4. Для /: X —> У положим dim/ = sup{dim/_1(y): у € У}. Если X
нормально, У тгаракомпактно и /: X —> У — замкнутое непрерывное
отображение, то dimX^dim/-f dimy.
5. Существуют нормальные пространства X и Υ и замкнутая
непрерывная сюръекция f:X-+Yco свойствами dimX = 1, dim У = 0 и dim/-1 (у) = О
для всех у е У.
Задачи
1. Докажите, что если Л — замкнутое подмножество
нормального пространства X, neN, dim Л ^ π и dim β ^ π для всякого
замкнутого множества В, не пересекающего А, то dimX ^ п.
2. Докажите неравенства Урысона для размерностей ind и dim:
а) если X наследственно нормально и X = У и Z, то indX ^
^indy + indZ + l;
б) если X нормально и X = У U Z, то dimX ^ dim У 4- dimZ 4-1.
3. а) Вычислите размерности ind, Ind и dim пространств Qn и Рп
для π е N.
б) Вычислите размерности ind, Ind и dim пространств Мк°, QK°
иРк°.
4. Покажите, что для любого семейства топологических
пространств Ха, а е А, и любого целого π ^ 0 неравенство ind φ Χα ^ π
(Ind 0Ιαίη, dim φΙαζη) выполнено тогда и только тогда, когда
аеА аеА
indXa^n (IndXa^n, dimXa^n) для всех а £ А.
5. Вычислите размерности ind, Ind и dim метрического ежа
произвольной колючести (см. пример 5 на с. 62).
6. Пусть X — пространство Эрдёша, построенное в примере на
с. 341. Докажите, что ind Хп = Ind Хп = dimXn = 1 для каждого π е N.
7. Вычислите размерности ind, Ind и dim
а) прямой Зоргенфрея S (см. задачу 10 на с. 105);
б) её квадрата SxS.
8. а) Согласно утверждению о разложении в объединение
нульмерных подпространств на с. 389 евклидову плоскость R2 можно
представить как объединение трёх подпространств X, У и Z, для
которых dim X = dim У = dim Ζ — 0. Предъявите такие X, У и Ζ.
б) Можно ли представить R2 как объединение двух нульмерных
подпространств?

Подсказки и решения
393
9. Докажите, что если X — компакт и dim С ^п для каждой его
компоненты связности С, то dimX ^ п.
Подсказки и решения
1. Применим основную теорему теории размерности dim. Пусть
{(Ar·,Bj): ί^η +1} — пары непересекающихся замкнутых множеств
в X. Нам нужно найти открытые множества Wt э At и Ot D Bh
удовлетворяющие условиям W{; П Oj = 0 для i^n + 1 и |J (WJ- U Oj) = Χ.
Поскольку dim Л ^ η, для каждого ί ^ π 4- 1 найдутся
непересекающиеся замкнутые подмножества D; э AnAt· и Е; э Л Π Bf
множества А, для которых Л= |J (DiUEi). Ясно, что (А;иД)Г)(В^иЕ;)=0
ϊίζη+1
для каждого i ^ π +1, так что в силу нормальности пространства X
существуют открытые множества и{ d А{ и Ό{ и VJ· z> В; и Е^ с
непересекающимися замыканиями. Имеем Л с (J (L^ и VJ). Множество
В \ ί |J (1^ и VJ) J замкнуто и не пересекается с Л; значит, dim β ^ п.
ίίζη+1
Рассуждая точно так же, как и выше, но для множества В вместо А
и множеств Ut и Vt вместо At и Bh мы найдём открытые множества
Wt э [/L и О ι D V;, удовлетворяющие условиям Wt (ЛО{ — 0 для i ^ η 4-1
и β с (J (WJ U Oj). Эти множества обладают нужными свойствами.
2. а) Заметьте, что, как и при доказательстве неравенства Уры-
сона для Ind (см. с. 381), достаточно рассмотреть случай, когда
ind Υ 4- ind Z < oo, и примените индукцию по ind Υ 4- ind Z. Возьмите
любую точку jc е X и не содержащее её замкнутое множество Л
в X. Пусть для определённости χ е Y. Найдите открытые
множества иэхиУэАс непересекающимися замыканиями. Возьмите
окрестность О точки χ в Υ, для которой Ογ Π ((X \ U) Π 7) = 0
и ind Fry О < ind 7, и окрестность W <zU точки jc в X, для которой
Wx Π Υ с О. Положите Аг = {*}, Вг =А, A2 = WX иВ2 = Ух. Ясно, что
С = Fry О — перегородка между ΥΓ\Α2ηΥΓ\Β2βΥ. Дальше можно
рассуждать точно так же, как как при доказательстве неравенства
Урысона для Ind (с заменой Ind на ind и π на ind Y).
б) Пусть 0^m = dim7< oo и 0^n = dimZ< oo. Положим Α = Ϋ.
Любое не пересекающееся с А замкнутое множество В содержится
в Z, а значит, его размерность не превосходит п. Следовательно,
ввиду задачи 1 достаточно доказать, что dim Λ ^ τη 4- π 4-1.

394
Глава 11. Топологические размерности
Пусть °11 — {1]ъ ..., Uk} — открытое покрытие множества А.
Тогда {иг Π Υ,..., Uk Π Υ} — открытое покрытие пространства Υ, и по
лемме 11.12 у него есть открытое ужатие ϋ = {Ol9..., Ок}
порядка не больше т (напомним, что dim Y ^ m). Для каждого ί пусть
Oi^Vii) Y, где Vt— открытое (в Л) подмножество множества и{.
Положим У = {V^,..., Vk}. Поскольку Υ плотно в А, имеем ordT —
= ord Θ ^ m. Рассмотрим множество C = A\(|JVJJ. Оно замкнуто
в нормальном пространстве X и содержится в Z; значит, С
нормально и dim С ^ п. Следовательно, у открытого покрытия {11г Π С,...
..., ί/*. Π С} пространства С имеется открытое ужатие порядка ^п,
которое, в свою очередь, по лемме 11.13 имеет замкнутое
ужатие & — {Fl9 ...,Fk} (разумеется, тоже порядка ^п). Сейчас мы
построим открытое раздутие семейства & в А, т.е. семейство
Ψ — {Wl9 ...9Wk} открытых подмножеств множества А с тем
свойством, что Wt d F( для ί ^ fc и для всякого J с {1, ...,fc} условие
Р| Wt = 0 равносильно условию f] Ft = 0. При этом будет выполнено
дополнительное условие WJ с Ui9 i ^ fc.
Объединение
si = U{Oi: J c {2, ..„fchflFinFj = 0}
— замкнутое множество в А, которое не пересекает ΡΎ. Значит, у
множества F^ есть открытая (в Л) окрестность W1<zU1, замыкание
которой не пересекаетБг. Очевидно, {Wl9F2, ...,Ffc}n {Wl9F2, ...,Ffc} —
раздутия семейства &.
Предположим, что 1 < j ^ к и мы уже построили открытые в А
множества Wl9..., W^, для которых
{Wl9...9Wj_l9FJ9...9Fk} и {^...,Η^,^·,...^}
— раздутия семейства &'. Объединение
5;^и{П^пП^:/1с{1,...,;-1},/2с{; + 1,...Д},
Шг ie/2
i€/j ie/2
— замкнутое множество в Л, которое не пересекает F;. Значит,
у множества F; есть открытая окрестность Wj с [/;·, замыкание
которой не пересекает Sj. Очевидно, {Wl9..., Wj, F;+1,..., Fk} и {W1?...
..., Wjy Fj+l9..., Fk} — раздутия семейства ^. На fc-м шаге этого алго-

Подсказки и решения
395
ритма мы получим открытое раздутие IV — {Wl9..., И^} семейства
& ъА.
Ясно, что ord Ψ = ord& ^ π и Wt с i/f. Семейство <# = {Vi U Wi,...
..., Vfc U Wfc} покрывает А и является открытым ужатием
покрытия У/. Каждая точка хеЛ принадлежит не более чем т +1
множеству VJ и не более чем η +1 множеству WJ, потому что ordУ^т
и ord Ж ^ п. Значит, ord ^^m + n + 1. Это доказывает, что dim A ^
^ т + π +1, что и требовалось.
3. а) Поскольку Q счётно, в силу следствия 10.34, замечания 11.1
и теоремы 10.27 имеем indQn = 0 для всех η е N. Из тех же
соображений в силу того, что Р = Νκ° (см. задачу 16 на с. 209), имеем также
indPn = 0 для всех η е N. Поскольку все размерности сепарабель-
ных метризуемых пространств совпадают, имеем ind Qn = Ind Qn =
= dimQn = indPn = IndPn = dimPn = 0 для всех π ΕΝ.
б) Те же рассуждения, что и в пункте а), приводят к равенствам
indQK° = IndQK° = dimQK° = indPK° = IndPK° = dimPK° = 0. Из
теорем 11.16 и 11.23 следует, что dimMK° ^ π для всех π GN. Значит,
ind Мк° = Ind Мк° = dim Мк° = оо.
5. Сразу же отметим, что всякий ёж J (к) наследственно
нормален, будучи метризуемым.
Заметим, что ежа J (к) можно представить как объединение
двух подпространств Jq(k) и JP(fc), где Jq(k) состоит из нуля и
рациональных точек копий полуинтервала (0,1], a Jp(k) состоит из
иррациональных точек копий полуинтервала. Вспомним, что мы
формально записывали J(k) как {0} и (0,1] χ к, так что Jq(k)
и JpO) можно формально записать как
JQ0O = {0}U((0,l]nQ)xjc и JP0O = ((0,l]nP)XK
(эти подпространства снабжены индуцированной из J (к)
топологией, которая не имеет ничего общего с топологией произведения
(0,1] хк!). Пространство Jq(k), в свою очередь, представимо в виде
JqW = {0}u{Jiq}XK,
причём каждое слагаемое в этом объединении замкнуто в JqOO
и нульмерно в смысле размерности dim (будучи дискретным).
Следовательно, dim Jq (к) = 0 по теореме счётной суммы для
размерности dim, а значит, Ind Jq (к) — 0 (по предложению 11.9) и ind Jq (к) — 0
(по теореме 11.7). Те же равенства верны и для подпространства

396
Глава 11. Топологические размерности
Jp(fc), поскольку оно является суммой подпространств, гомеоморф-
ных нульмерному (во всех смыслах) пространству (0,1] ПР.
Применяя неравенства Урысона, видим, что все три
размерности ежа Ind J (к) не превосходят 1. С другой стороны, J (к) содержит
гомеоморфную копию отрезка [0,1], так что по теоремам 11.2,11.5
и 11.16 имеем ind J (к) — Ind J (к) = dim J (к) = 1.
6. Заметим, что гильбертово пространство ί2 метризуемо и се-
парабельно^, т.е. обладает счётной базой, а потому и его
подпространство X обладает счётной базой. Значит, все размерности
пространства X совпадают.
Легко видеть, что пространство Хп гомеоморфно X для любого
π € Ν, так что достаточно убедиться в том, что indX = 1. Мы уже
видели, что X не нульмерно (см. с. 341); осталось проверить, что
indX ^ 1. Для этого надо найти базу, все элементы которой
имеют нульмерную границу. Этим свойством обладает база,
состоящая из шаров относительно метрики d, порождённой нормой ||·||2
(см. с. 61). Заметим, что всякий шар гомеоморфен шару с центром О:
гомеоморфизм между шарами Bd(0, r) и Bd(x0, r) осуществляет
отображение, которое каждой точке χ е X ставит в соответствие
точку χ -f- х0. Значит, достаточно проверить, что всякий шар Bd (О, г),
г > О, имеет нульмерную границу.
Заметим, что как множество X является подмножеством
множества RN, но топология пространства X (которая индуцирована из ί2)
сильнее топологии, индуцированной из тихоновской степени ΜΝ.
Другими словами, тождественное вложение /: X —> ΜΝ непрерывно.
Покажем, что сужение / на S(r) = {xeX: d(0,x) — r} — гомеоморф-
ное вложение сферы S(r) с X в тихоновскую степень QN
нульмерного пространства Q. Для этого надо проверить, что всякая
последовательность (x(n))nGN точек из S(r), сходящаяся к некоторой точке из
S(r) в топологии тихоновской степени QN, сходится и в топологии,
индуцированной из ί2 (см. теорему 4.5 ф).
Итак, для каждого π еN пусть х(п) = (Xi(n))i<EN —
последовательность рациональных чисел, удовлетворяющих условию J] xf (п) —г2.
Предположим, что для последовательности х= ΟΟ^ν рациональ-
1} Этот факт был уже отмечен на с. 203. Он вытекает из того, что топология
пространства I2 порождена нормой и оно содержит счётное плотное множество
точек, все кроме конечного числа координат которых равны 0, а остальные
координаты рациональны.

Подсказки и решения
397
ных чисел тоже выполнено условие Σ xf — r2w (x(n))nGN сходится
к х в тихоновской топологии, т.е. х^п) п^о6> xt для каждого ieN.
Пусть ε > 0. Найдём JVeN, для которого Σ х2 < ε. Поскольку норма
каждой точки х(п) в £2 равна норме точки χ (обе лежат на сфере),
имеем
Σ χάη)2 = Σ *iW2 - Σ *Κπ)2 =
ί^Ν ieN i<N
= Σ4-Σ*Μ)2= Σ(^-*ί(η)2) + Σ*?·
ieN i<N i<N i^N
Из того, что Xj(n) n^00> JC; для каждого i < JV, следует, что
lim У X; (π)2 < ε.
Заметим, что для любых a,b€:R имеет место неравенство (а — Ь)2^
^ 2а2+ 2Ь2. Значит,
d(x,x(n))2 - Σ(*£-*ί(η))2 - Σ(^ί-^(π))2+ Σ^ί-^(π))2 ^
ieN i<N i^N
*s Σ(^-^(π))2+2Σ^2+2Σ^(π)2.
i<N i^N i^N
Вспоминая, что Σ xf < ε и *КП) η-^οο* χΐ для кажД°го π е Ν, мы ви-
дим, что lim d(x, х(п))2 < 4ε. В силу произвольности выбора ε име-
п—юо
ем lim d(x,х(п))2 = 0, т.е. последовательность (x(n))nGN сходится
п—»оо
к х в метрике пространства X.
Мы показали, что граница Fr£d(0, r) с S(r) каждого шара с
центром 0 в X гомеоморфна подпространству нульмерного
пространства QN, а значит, нульмерна. Следовательно, границы всех шаров
в X нульмерны, так что пространство X одномерно.
7. а) Ясно, что indS = 0. Поскольку прямая Зоргенфрея линде-
лёфова (см. с. 321), по теореме 11.22 имеем также dimS^O, и по
предложению 11.9 получаем Ind S = 0.
б) По теореме 10.27 имеем ind(S x S) = 0. С другой стороны,
квадрат прямой Зоргенфрея не нормален (см. задачу 11 на с. 171),
поэтому dim(S х S) > 0 и Ind(S x S) = оо. Покажем, что dim(S x S) = оо.
Пусть /ieN. Нам надо доказать, что dim(S x S) > п.
Предположим, что это не так. Возьмём попарно непересекающиеся множе-

398
Глава 11. Топологические размерности
ства Бернштейна^ Вь...,Вп+2, которые в объединении дают всю
прямую R. Для этого достаточно взять какие-нибудь η -f 2
попарно непересекающихся множества Бернштейна (они существуют по
теореме на с. 235) и заменить (п + 2)-е множество на дополнение
до объединения предыдущих. Это дополнение тоже является
множеством Бернштейна, так как оно само и его дополнение содержат
множества Бернштейна.
Как множество S x S — это Ш χ Ш, так что каждая точка
пространства SxS — это упорядоченная пара чисел. Положим
D = {(χ, -χ): χ € Ш} с S х S.
Рассмотрим открытое покрытие °и пространства SxS, состоящее
из множества U0 = {(x,у): у< —х} и множеств
Ui = Lk[JC>00)x [~*> °°) : х е βί>> i ^ п + 2.
Если бы выполнялось неравенство dim(S xS) ^n, то по лемме 11.12
у этого покрытия имелось бы открытое ужатие {V0, Vl9..., νπ+2}
порядка, не превосходящего п. Покажем, что это не так.
Пусть У = {V0, Vi,..., Vn+2} — открытое ужатие покрытия <&\
Очевидно, Vo^^o и У-ПБ = [/£ПБ = {(х,-х): jcGBf} для i = l, ...,n-f 2.
Для каждого i = 1,..., η + 2 и каждого k e N положим
Bi№) = (x6^:[x,x+i)x[-i,-i+i) с V;}.
Сейчас мы по индукции определим натуральные числа кг ^... ^ кп+2
и непустые интервалы (а1? Ъг) D ... э (ап+2, Ьп+2) так, чтобы для всех
j ^ η + 2 и i ^ j множества B^Cfcj) Π (α;, Ь;) были плотны в (α;·, Ь;)
относительно обычной топологии прямой Ж.
Поскольку (J B1(i)=B1 и Вг —множество второй категории в R
(оно является множеством Бернштейна), найдётся кг eN, для
которого BiCfci) не является нигде не плотным в R. Значит, существуют
аъ Ьг еМ, аг < Ъъ для которых В^к^) Π (α1? Ьг)м = [α1? Ьг].
Предположим, что 1 < j ^ η + 2 и мы уже нашли числа kt и построили
интервалы (а;, Ъ{) для i<j. Заметим, что множество Bj
пересекает все несчётные замкнутые подмножества отрезка [а^_ъ Ь;_г],
потому что все такие множества замкнуты и в Ш, и Bj η [α;_1? Ь;_г]
является множеством второй категории в [а.:Ъ Ъ:{\ по точно тем
υ См. с. 235.

Подсказки и решения
399
же причинам, по которым Bj является множеством второй
категории в Ш. Значит, найдутся число fc;· ^ к^_г и непустой интервал
(α;·, bj) с (α;·_!, Ь;_!), для которых ВДк;) П (α,·, b,·) R = [α,·, b,·].
Ha (η + 2)-м шаге мы получим интервал (а, Ь) = (ап+2, Ьп+2)
и число к = кп+2, для которых Bj (к) Π (а, Ь) м= [а, Ь] при всех j ^n-h2.
Осталось заметить, что для каждого j ^ η 4- 2 найдётся точка
Xj €(а,Ь)п(а,а + £)пВДк)
и что для любой такой точки
Ь> *; + £) х ["'я -*} +1) э (а + к -«)>
откуда следует, что ία 4- τ, — α J e V,·. Значит, порядок покрытия У
равен η + Ι.
8. а) Годятся, например, Х = Р χ QUQ χ Ρ, 7-Р χ Ρ и Ζ = Q x Q.
Для Υ и Ζ имеем dim Y = dim Ζ = 0 согласно задаче 3 а). Для X из той
же задачи и теоремы счётной суммы для размерности dim следует,
что dimX^O, потому что X является счётным объединением
замкнутых подпространств вида Ρ χ {q} и {q} χ Ρ, где q e Q (см. также
задачу 9 на с. 356).
б) Нет — если бы такое представление существовало, то из
неравенств Урысона следовало бы, что dimM2 ^ 1.
9. Будем считать, что 0 ^ π < оо. Пусть & — {(Ah Bt): ί = 1,...
..., π +1} — семейство пар непересекающихся замкнутых множеств
в X. Нам надо доказать, что оно несущественно (см. замечание
перед основной теоремой теории dim на с. 373). Для Υ с X положим
&\Y = {(At Γ)Υ,BtDY): i = l, ...,η + 1}. Возьмём любую точку хеХ
и её компоненту связности. По основной теореме теории dim для
каждой компоненты С компакта X семейство &\с несущественно.
Значит, найдутся непересекающиеся замкнутые множества Dt с С
и££сС, удовлетворяющие условиям
Д-ПСсД, BiDCczEi и и(Ди£;) = С.
ϊϊζη+1
В нормальном пространстве X у непересекающихся замкнутых
множеств А( и Dj и В^ и Ει есть непересекающиеся открытые
окрестности Ui и V£. Имеем C<zW= [J (У{ U У{). В компакте X компонента С
является также и квазикомпонентой (см. теорему 10.15). Значит,

400
Глава 11. Топологические размерности
С = f] Q, где все множества Q, так же как и их дополнения, откры-
то-замкнуты. Имеем |JX\Q — Х\СэХ\\¥. Выделим из открыто-
го покрытия {X \ Ct: te/} компакта X \ W конечное подпокрытие
{X \ Q ,..., X \Ctfc}. Положим О = Сн Π... Π Qfc. Множество О
открыто-замкнуто, и О с W. Ясно, что семейство пар &\0 несущественно
в О.
Итак, каждая точка χ е X содержится в открыто-замкнутом
множестве О, в котором семейство пар &\0 несущественно.
Открытое покрытие компакта X такими множествами содержит
конечное подпокрытие Оъ ..., От. Положим 0{ = Оъ 02 = 02\Оъ ...,
0'т — От \ ( U Φ )· Множества 0[ открыто-замкнуты и образуют
i<m
дизъюнктное покрытие компакта X, и в каждом О· семейство пар
&\0ι несущественно. Отсюда уже совсем легко вывести, что
семейство & несущественно в X. В силу произвольности & имеем
dimX^n.

Глава 12
Краткий экскурс
в топологическую алгебру
Каждому топологическому пространству можно поставить в
соответствие целый ряд алгебраических объектов, которые
полностью определяются топологией этого пространства, т. е. являются
топологическими инвариантами, — группу гомеоморфизмов,
полугруппу непрерывных преобразований, булеву алгебру канонически
открытых множеств, кольцо непрерывных функций, а также
гомотопические группы и группы гомологии и когомологий. Такие
инварианты позволяют привлечь алгебраические методы к изучению
топологических пространств. Вообще говоря, подобными
топологическими инвариантами занимается алгебраическая топология,
хотя главные её объекты — группы гомологии и когомологий и их
обобщения, а также гомотопические группы. Таким образом,
алгебраическая топология изучает связь между свойствами чисто
алгебраических структур и свойствами топологических пространств,
которым они соответствуют, и структуры эти играют
вспомогательную роль инвариантов.
Напротив, топологическая алгебра изучает сами
алгебраические структуры, снабжённые топологией, согласованной в том или
ином смысле с алгебраическими операциями, и они являются
главным объектом исследований; предмет топологической алгебры —
взаимосвязь топологических и алгебраических свойств этих
объектов. Например, изучением групп гомеоморфизмов топологических
пространств занимается алгебраическая топология, но когда такая
группа сама снабжена топологией, относительно которой
групповые операции непрерывны, и рассматриваются её топологические
свойства, она становится тополого-алгебраическим объектом —
топологической группой. (Как раз из изучения топологических групп
преобразований и выросла топологическая алгебра.) Как
топологические группы гомеоморфизмов, так и многие другие тополого-ал-
гебраические структуры порождаются чисто топологическими
объектами; разумеется, в таких случаях интерес представляет и связь

402 Глава 12. Краткий экскурс в топологическую алгебру
их топологических и алгебраических свойств с топологическими
свойствами пространств, которыми они порождены.
Любую алгебраическую систему можно превратить в тополо-
го-алгебраическую, снабдив её топологией, относительно которой
непрерывны все или некоторые операции. Топологическая алгебра
изучает топологические полугруппы, кольца, поля, векторные
пространства и т. п. Мы начнём с топологических групп.
§ 12.1. Топологические группы
■ Определение. Группа1^1 G с топологией 3" называется тополо-
I гической группой, если групповая операция (умножение) · : G χ
I xG->Gh операция взятия обратного элемента _1: G-+G непре-
I рывны относительно топологии 3 на G и топологии декартова
I произведения на G x G. При этом 3 называется групповой
τόποι логией или топологией, согласованной с групповыми операциями.
Многие из рассмотренных нами топологических пространств
являются топологическими группами относительно подходящих
операций. Любая группа превращается в топологическую группу,
будучи снабжённой дискретной топологией. Прямая R с операцией
сложения и обычной топологией является топологической группой
(а прямая Зоргенфрея с той же операцией сложения
топологической группой не является — операция перехода к обратному не
непрерывна). Топологической группой является и любая
тихоновская степень прямой с покоодинатными умножением и взятием
обратного, так что любое тихоновское пространство вкладывается
в топологическую группу как подпространство. На пространстве Ρ
иррациональных чисел можно ввести групповую операцию, относи-
х) На всякий случай напомним, что группа G — это множество вместе с
заданными на нём ассоциативной бинарной операцией * : G x G-+G (которую
обычно называют умножением и обозначают символом ·; в частном случае,
когда эта операция коммутативна, её называют сложением и обозначают
символом +, а саму группу называют коммутативной или абелевой), унарной
операцией _1: G-+G (результат её применения к элементу g e G называют
элементом, обратным, (в коммутативном случае противоположным.) к g, и
обозначают символом g_1 (в коммутативном случае символом —g)) и 0-арной
операцией (выделенным элементом) е (выделенный элемент называют нейтральным;
в общем случае его часто называют единицей группы и обозначают символом 1,
а в коммутативном — нулём и обозначают символом 0). При этом должны
выполняться условия g * g~l — g~l *g = eng*e = e*g = g для всех g e G.

§ 12.1. Топологические группы
403
тельно которой Ρ является топологической группой. Действительно,
пространство Ρ гомеоморфно тихоновскому произведению ΝΝ = ΖΝ,
а на степени ΖΝ дискретной группы Ζ определены операции
покоординатного сложения и перехода к противоположному. Нетрудно
убедиться в том, что эти операции непрерывны относительно
топологии тихоновского произведения. То же верно и для канторова
дисконтинуума С — он гомеоморфен счётной тихоновской степени
двухэлементной дискретной группы Ζ2.
Уже из самого существования непрерывных групповых
операций вытекают многие топологические свойства топологических
групп, вообще говоря не присущие общим топологическим
пространствам. В качестве примера мы перечислим некоторые из них.
1. Любая топологическая группа G является однородным
топологическим пространством, т. е. для любых точек g,hG G
существует гомеоморфизм /: G^>G, переводящий g eh.
Действительно, в качестве / можно взять отображение,
определённое правилом χ —> h · g"1 · χ. Оно непрерывно в силу
непрерывности умножения и обладает непрерывным обратным jc—>g· h~lx.
Общих топологических пространств, не являющихся однородными,
очень много. Самый очевидный пример неоднородного пространства —
сходящаяся последовательность: предельную точку нельзя
гомеоморфизмом перевести в изолированную. (Вообще, любое однородное
пространство, имеющее хоть одну изолированную точку, дискретно.) Отрезок тоже
неоднороден — конец отрезка нельзя перевести гомеоморфизмом во
внутреннюю точку (иначе сужение гомеоморфизма на отрезок без этого конца
было бы непрерывным отображением связного полуоткрытого интервала
на несвязное объединение двух полуоткрытых интервалов).
Таким образом, топология любой топологической группы
полностью определяется окрестностями единицы в этой группе: для
любой окрестности U любого элемента g топологической группы G
множество g"1 · U (так же как и U · g"1) является окрестностью
единицы, так что все окрестности любого элемента g £ G
являются окрестностями единицы, умноженными на g (или, как говорят,
сдвигами окрестностей единицы на g), и зная, например, локальную
базу в единице, мы тем самым знаем и локальные базы во всех
точках группы G, т. е. всю топологию. Это очень удобно.
Отметим также, что, поскольку 11 — 1 и 1 — I-1, из
непрерывности умножения и взятия обратного следует, что для любой окрест-

404 Глава 12. Краткий экскурс в топологическую алгебру
ности единицы U в топологической группе существуют окрестности
единицы V и W, удовлетворяющие условиям V · V с U и W"1 с U.
2. Если топологическая группа удовлетворяет аксиоме
отделимости Т0, то она удовлетворяет также и аксиомам Тг и Т2.
Кроме того, всякая топологическая группа удовлетворяет аксиомам Т3
U Го1.
ό2
Действительно, предположим, что топологическая группа G
удовлетворяет аксиоме Т0. Покажем, что тогда G удовлетворяет
аксиоме Т2 (а значит, и Тг). Пусть g,heG, g^h, и пусть [/ —
окрестность одной из этих точек, не содержащая другую; допустим для
определённости, что g £ U и h φ U. Пусть V — окрестность единицы,
для которой V · V с g"1 · U (она существует, потому что g"1 · U —
окрестность единицы). Тогда V"1 тоже окрестность единицы, a g- V
и h · V-1 — окрестности точек g и h соответственно. Покажем, что
g-Vnh-V'1 = 0.
Предположим, что это не так; тогда для некоторых v1,v2£V имеем
g'V1 = h-V21, откуда h — g-v1-v2, а значит,
heg-V-Vag-g-^U^U,
что противоречит выбору окрестности U. Таким образом, g · V Π
Πh · V-1 — 0. Это доказывает, что G^T2.
Ввиду доказанного утверждения в дальнейшем мы не будем
уточнять, какой (вернее, каким) именно из аксиом Т0-Т2
удовлетворяет данная топологическая группа, и станем называть группу,
удовлетворяющую любой из этих аксиом, просто отделимой.
Теперь докажем, что любая топологическая группа
удовлетворяет аксиоме Г3. В силу однородности для этого достаточно показать,
что какова бы ни была окрестность единицы U, существует
окрестность единицы V, для которой V с U. В качестве V можно взять
любую окрестность единицы со свойством V · V с U. Действительно,
у любой точки g φ U есть окрестность, не пересекающая V, — это
g - У-1 (если g · V"1 Π V Φ 0, то g · ι/j-1 = v2 для некоторых vl9 v2 e V,
откуда следует, что g e V · V с U).
Доказательство того, что всегда G е Γ3ι, несколько сложнее. Оно
основано на следующем чисто алгебраическом утверждении,
которое имеет исключительную важность для теории топологических
групп.

§ 12.1. Топологические группы
405
I Важная лемма. Пусть G — произвольная группа и Un, neN,—
I последовательность её подмножеств со свойствами
1 © iei/n;
1 φ ип = и-г;
Ι (D Un+1-Un+1(zUn
Ι для всех neN. Тогда на группе G существует полунорма^ || · || с тем
I свойством, что для каждого η е N выполнены включения
I {* € G: |М| < ^} с 1/п с {* е G: ||х|| ^ ф^}. (*)
Эта лемма имеет довольно длинное доказательство (в духе
леммы Урысона), которое можно найти, например, в статье [9]. Оно
сводится к построению системы множеств ^(^) со свойствами
^42") == Un и ^\3ч ' *"Ч2") С ^\2п Г после чего ноРма
определяется как |М| =sup|/(yjc) - Ду)|, где /(*) = inf {т^-: *£tf(fr)}.
Одно из следствий важной леммы —то, что всякая
топологическая группа удовлетворяет аксиоме Τ3ι. Более того, в
топологической группе точки отделяются от не содержащих их замкнутых
множеств не просто какими-то непрерывными функциями, а
непрерывными полунормами, т.е. функциями, хорошо
согласованными с групповой структурой; иными словами, шары относительно
непрерывных полунорм образуют базу окрестностей единицы.
Действительно, для любой окрестности единицы U в топологической
группе G легко построить, пользуясь непрерывностью операций,
последовательность окрестностей единицы ϋλ с U, U2, U3,... со
свойствами ®-@ из формулировки леммы. Нетрудно видеть, что
полунорма, существование которой утверждается в лемме, непрерывна
(это вытекает из формулы (*) и неравенства ||g· h|| ^ ||g|| + \\h\\).
Ясно, что она отделяет 1 от G \ U.
Отметим, что пересечение Η всех окрестностей единицы в любой
топологической группе G является замкнутой нормальной подгруппой, потому
что в силу непрерывности операций и того, что GeT3, для любой
окрестности единицы U и любого geG существуют такие окрестности единицы Vlf
V2, V3 и V4, что Уг - V1} У2-1, g_1 · V3 - g, V4 с U. Факторгруппа G/H с топологией
факторпространства является отделимой топологической группой и между
1} Полунормой или преднормой на группе G называется функция ||·||: G—>R
со свойствами Φ ||1|| =0; Φ \\g\\ = ||g_1|| для всех geG; Φ \\g ·h\\ ^ ||g|| + ||h|| для
всех g, ft e G. Из этих свойств вытекает и свойство ® ||g|| ^ 0 для всех g е G.

406 Глава 12. Краткий экскурс в топологическую алгебру
топологическими свойствами групп G и G/H имеется прозрачная связь,
так что по существу изучение топологических групп сводится к изучению
отделимых топологических групп.
3. Всякая отделимая топологическая группа, удовлетворяющая
первой аксиоме счётности, метризуема.
Действительно, если у единицы топологической группы G
имеется счётная база окрестностей {Vn: π eN}, то у неё имеется и
счётная база окрестностей {Un: π е Ν} со свойствами ф-@ из важной
леммы. Её легко построить по индукции: надо положить U1=V1nV{~1,
а затем, считая, что окрестность Un уже построена, найти
окрестность единицы W со свойством W · W с Un Г) Vn+1 и положить Un+1 —
= WD W"1. Очевидно, множества
Вп={х:\\х\\<±],
где || · || — полунорма, существование которой утверждается важной
леммой, тоже образуют базу окрестностей единицы, причём эта
полунорма является нормой (т. е. ||g|| Φ 0 для gΦ1), а соответствующая
этой норме метрика d(g, h) — ||g_1 · h|| порождает топологию.
4. Всякая σ-компактная^ топологическая группа обладает
свойством Суслика [16].
Пока мы не в состоянии даже приблизительно описать идею
доказательства этого утверждения. Отметим только, что для
компактов, не являющихся топологическими группами, оно неверно,
даже в предположении однородности этих компактов.
5. Особую роль в топологической алгебре и дифференциальной
геометрии и топологии, а также в теории дифференциальных уравнений и
современной физике играют группы Ли2); они возникают в самых разных
контекстах как группы симметрии.
Группа Ли — это группа вместе с заданной на ней структурой
вещественно-аналитического многообразия, в которой групповые операции
выражаются вещественно-аналитическими функциями от локальных координат.
1} Т. е. являющаяся объединением счётного числа компактов. Вообще, о
пространстве, которое является объединением счётного числа таких-то пространств,
говорят, что оно является σ-таким-то.
2) Мариус Софус Ли (1842—1899) — норвежский математик. Основал теорию
непрерывных групп преобразований и их инвариантов, при помощи которых
систематизировал принципы геометрии, механики и дифференциальных
уравнений.

§ 12.1. Топологические группы
407
Другими словами, это топологическая группа G, в некоторой окрестности
единицы которой (а значит, и в некоторой окрестности любой другой
точки) все элементы можно представить в виде g(t), где t-=(tlf..., tn) —набор
вещественных параметров, причём операции умножения и взятия
обратного выражаются вещественно-аналитической вектор-функцией от
совокупности параметров, что можно кратко записать как g(t) *g_1(s) =g(/(t, s)),
где / — вещественно-аналитическая вектор-функция.
Известно, что не на всяком топологическом многообразии можно
ввести структуру гладкого многообразия: существует компактное
триангулируемое многообразие размерности 10 (т. е. компакт, каждая точка
которого обладает окрестностью, гомеоморфной евклидову пространству R10,
и который допускает триангуляцию), не гомеоморфное никакому
гладкому многообразию [27]. С группами ситуация иная: всякая топологическая
группа, локально гомеоморфная евклидову пространству, допускает
структуру группы Ли, и притом единственную; другими словами, для любой
такой топологической группы G существуют группа Ли G и топологический
изоморфизм (т. е. изоморфизм, являющийся одновременно
гомеоморфизмом) между G и G. Более того, вместо локальной евклидовости достаточно
требовать, чтобы группа была локально компактной и не имела малых
подгрупп (последнее условие означает, что некоторая окрестность единицы
не содержит нетривиальных подгрупп); см. [41]. Таким образом, с точки
зрения топологической алгебры группы Ли — это в точности локально
компактные группы без малых подгрупп.
Приведённые выше примеры показывают, что наличие
непрерывных групповых операций на топологическом пространстве
оказывает весьма сильное влияние на топологические свойства этого
пространства. Верно и обратное. Прежде всего, недискретные
отделимые групповые топологии существуют не на всех бесконечных
группах. Группы, на которых такие топологии существуют,
называются топологизируемыми. Вопрос о существовании нетопологизи-
руемых бесконечных групп был поставлен А. А. Марковым^ в
работе [12]; там же Марков сформулировал гипотезу, что всякая
бесконечная группа топологизируема. Проблема Маркова оставалась
нерешённой почти сорок лет—до 1980 г., когда были построены сра-
υ Андрей Андреевич Марков (мл.) (1903—1979) — советский математик, сын
известного русского математика А. А. Маркова. Занимался теорией
динамических систем, топологией, топологической алгеброй, теорией алгоритмов и
конструктивными основаниями математики. Основатель советской школы
конструктивизма, который можно охарактеризовать в общих чертах как развитие
брауэровского интуиционизма, хотя имеются и различия.

408 Глава 12. Краткий экскурс в топологическую алгебру
зу два принципиально разных примера нетопологизируемых групп,
счётный и несчётный.
Счётную нетопологизируемую группу построил А. Ю. Олыиан-
ский^ [14]. Эта группа G содержит конечное множество Ζ = {1, zl9...
..., zk} с тем свойством, что для всякого g e G \ {1} существует ng e N,
для которого gnz eZ \ {1}, причём все числа ng ограничены в
совокупности одним числом N е N. Таким образом, каждый отличный от
единицы элемент g является решением одного из уравнений х1 = Zj,
где ί ^ Ν и j ^ к. Множество решений любого такого уравнения
замкнуто в любой отделимой групповой топологии на G, потому
что оно является прообразом одноточечного (и, следовательно,
замкнутого в любой Т^-топологии) множества {z^} при отображении
/: jc—>jc1, которое обязано быть непрерывным в силу
непрерывности умножения. Стало быть, дополнение до единицы в группе G
является конечным объединением замкнутых множеств и потому
замкнуто в любой групповой топологии. Следовательно,
одноточечное множество {1} (а значит, и все остальные одноточечные
множества, так как топологические группы однородны) открыто в любой
отделимой групповой топологии, т. е. любая отделимая групповая
топология на G дискретна.
Несчётный пример построил С. Шелах2) [38]. Он
сконструировал свою группу G в предположении справедливости
континуум-гипотезы^ (как мы знаем, оно совместимо с аксиомами теории
множеств). Эта группа G обладает тем замечательным свойством, что
она порождается любым своим несчётным подмножеством, причём
в очень сильном смысле: s10000 = G для любого несчётного S с G.
х) Александр Юрьевич Ольшанский (род. 1946) — советский, российский и
американский математик, специалист в области комбинаторной и геометрической
теории групп. Занимается также алгебрами Ли, ассоциативными алгебрами,
асимптотикой групп и многими другими вещами. Доказал существование
монстров Тарского, т.е. бесконечных групп, в которых все нетривиальные
собственные подгруппы являются циклическими группами одного и того же
простого порядка.
2) Саарон Шелах (род. 1945) — израильский математик, крупнейший
современный специалист в области математической логики, особенно теории
моделей и теории множеств. Получил также несколько выдающихся алгебраических
результатов.
3) Совсем недавно (в мае 2023 г.) Марк Пор и Ассаф Рино построили
группу с теми же свойствами без этого предположения (см. https://doi.org/
10.48550/arXiv. 2305.111554; там же можно найти сведения о других
известных нетопологизируемых группах).

§ 12.1. Топологические группы
409
Кроме того,
α<ωΎ
где Ма — возрастающие (по включению) счётные подгруппы
группы G со свойством, которое называется антинормальностью:
g-1.Ma.gnMa = {l}
для любого ge G \Ма. Предположим, что U — окрестность единицы
в некоторой недискретной групповой топологии на группе G. Если
окрестность U счётна, то она содержится в некоторой подгруппе Ма,
а значит, для любого g e G \ Ма имеем g_1 · U · g D U = {1}.
Следовательно, одноточечное множество {1} является окрестностью
единицы, будучи пересечением двух окрестностей единицы, а значит,
топология дискретна, вопреки предположению. Таким образом,
в недискретной групповой топологии на G счётные окрестности
единицы не могут существовать. В силу непрерывности умножения
какова бы ни была окрестность единицы U, найдётся окрестность
единицы V, для которой у10000 с U. Мы только что показали, что
окрестность V должна быть несчётной; значит, U = G. Таким
образом, всякая недискретная групповая топология на G антидискретна.
Разумеется, существование групповых топологий с
дополнительными свойствами накладывает ещё больше ограничений на
групповую структуру— например, всякая группа, допускающая
компактную отделимую групповую топологию, вкладывается в
качестве подгруппы в декартово произведение конечных групп.
Отображения топологических групп
и операции над ними
Теория топологических групп во многом параллельна теории
общих топологических пространств. Ту роль, которую в общей
топологии играют непрерывные отображения, в теории топологических
групп играют непрерывные гомомоморфизмы, а роль
гомеоморфизмов играют топологические изоморфизмы (т. е. изоморфизмы,
которые одновременно являются гомеоморфизмами). Роль
подпространств играют топологические подгруппы (т. е. подгруппы с
индуцированной топологией, которая, очевидно, является групповой
для подгрупп).
Топологические группы, как и общие пространства, можно
перемножать; на декартовом произведении произвольногосемейства

410 Глава 12. Краткий экскурс в топологическую алгебру
групп определены покоординатные операции умножения и взятия
обратного, относительно которых произведение является группой,
а тихоновская топология произведения (равно как и ящичная)
является, как легко видеть, групповой.
Аналога суммы топологических пространств для
топологических групп нет. Зато определена прямая сумма семейства
топологических групп — это подгруппа декартова произведения, состоящая
из точек, лишь конечное число координат которых отличается от
единиц соответствующих сомножителей; как правило, она
снабжается топологией, индуцированной тихоновской топологией
декартова произведения.
Поскольку всякая топологическая группа является
топологическим пространством, можно говорить об открытости, замкнутости
и факторности гомоморфизмов топологических групп как
отображений топологических пространств. Однако и здесь наличие
групповой структуры оказывает заметный эффект.
I Теорема 12.1. Всякий гомоморфизм топологических групп,
являющийся факторным отображением, является и открытым
отображением.
Доказательство. Пусть G и Η — топологические группы и ft: G—>
—> Я — гомоморфизм, являющийся факторным отображением. Для
любого открытого в G множества U имеем ft-1(fr(L0) = kerft · U
(здесь kerft — ядро гомоморфизма /ι). Это множество открыто в G,
поскольку оно является объединением открытых множеств g · U по
всем ge kerft. В силу факторности отображения ft множество ft(10
открыто в Я. D
Топологическая группа Я, являющаяся образом топологической
группы G при факторном (= непрерывном и открытом)
гомоморфизме, называется топологической факторгруппой группы G. Легко
показать, что факторгруппа Я отделима тогда и только тогда, когда
ядро гомоморфизма ft замкнуто в G.
В теории топологических групп есть и операции, не имеющие
даже отдалённых аналогов в теории общих топологических
пространств. К ним относится, например, операция перехода от
топологической группы G к группе G, двойственной ей в смысле Понтряги-
на1} (элементами группы G являются непрерывные характеры груп-
^ Лев Семёнович Понтрягин (1908—1988) — советский математик, один из
крупнейших математиков двадцатого века. Внёс значительный вклад в алгеб-

§ 12.1. Топологические группы
411
пы G, т. е. непрерывные гомоморфизмы из G в окружность, и G
снабжается топологией равномерной сходимости на компактных
подмножествах группы G; группа G всегда абелева). Операцию
перехода к двойственной группе обычно рассматривают только для
локально компактных абелевых групп; для таких групп двойственные
группы тоже являются локально компактными, и всякая локально
компактная абелева группа G топологически изоморфна группе G —
в этом состоит теорема Понтрягина о двойственности.
Свободные топологические группы
В теории групп важную роль играют свободные группы. Это
группы, элементы которых не связаны никакими соотношениями,
кроме вытекающих из определения группы. Всякая свободная
группа G свободно порождена некоторым своим подмножеством X; это
означает, что любой элемент g е G можно записать в виде
произведения элементов χ е X и их обратных, причём такая запись
единственна с точностью до вставки и вычёркивания комбинаций вида
χ · х~г и х-1 · х. Для свободной группы, порождённой множеством X,
используют обозначение F(X). Свободные группы обладают так
называемым универсальным свойством, которое в большой степени
и определяет их роль в теории групп: любое отображение /: X —> G
любого множества X в любую группу G продолжается, и притом
единственным образом, до гомоморфизма /: F{X) -* G.
В теории топологических групп подобную роль играют
свободные топологические группы. Для каждого тихоновского
пространства X определена его свободная топологическая группа F{X). Как
группа это свободная группа, порождённая множеством X, и она
снабжена групповой топологией, относительно которой X является
подпространством топологической группы F{X) и для которой
выполнено аналогичное универсальное свойство: любое непрерывное
отображение /: X —> G пространства X в любую топологическую
группу G единственным образом продолжается до непрерывного
гомоморфизма /: F{X) -*G. Таким образом, топология свободной
топологической группы F(X) —сильнейшая из всех групповых
топологий на F(X), индуцирующих на множестве X топологию
пространства X.
раическую и дифференциальную топологию, теорию колебаний,
вариационное исчисление и теорию управления. Создатель математической теории
оптимальных процессов, в основе которой лежит принцип максимума Понтрягина.

412 Глава 12. Краткий экскурс в топологическую алгебру
Понятие свободной топологической группы ввёл А. А. Марков,
и ему же принадлежит первое доказательство существования
свободной топологической группы F(X) для любого тихоновского
пространства X [12]. Современное доказательство выглядит
значительно проще. Оно проводится по той же схеме, что и доказательство
существования максимальной компактификации: нужно рассмотреть
семейство & всех непрерывных отображений /: X —> Gf, где Gf —
топологические группы, являющиеся (как пространства)
подпространствами тихоновской степени Ж2х (это ограничение нужно для
того, чтобы рассматриваемые группы и отображения образовывали
множества). С точностью до гомеоморфизма и взятия надотобра-
жений отображения / е & реализуют все непрерывные
отображения из X в любые топологические группы. Поскольку X —
тихоновское пространство, подсемейство &' с ^, состоящее из
непрерывных отображений X —> М, разделяет точки и замкнутые множества;
тем более, этим свойством обладает само семейство &'. По теореме
о диагональном произведении отображений (см. с. 201)
диагональное произведение
— гомеоморфное вложение. Групповая оболочка (Д^СЮ) в
группе [~I Gf образа пространства X при диагональном произведе-
нии Δ^ является свободной топологической группой
пространства X. Подробности доказательства и некоторые дальнейшие
факты о свободных топологических группах можно найти в книге [18];
см. также [9].
Свободные топологические группы находят множество
применений. Например, оригинальное доказательство^ упомянутой
выше теоремы о том, что всякая σ-компактная группа обладает
свойством Суслина, проводится по следующей схеме.
Сначала доказательство сводится к случаю компактно
порождённой группы, т. е. группы, порождённой (алгебраически) некоторым
своим компактным подпространством. Это легко: если G = [J Кп,
где Кп — компакты, и °и — несчётное семейство непустых открытых
множеств в G, то существует такой номер п, что компакт Кп (а зна-
^ Впоследствии теорема была распространена на более общие структуры;
соответственно, изменилось и доказательство.

§ 12.1. Топологические группы
413
чит, и его групповая оболочка в G, которая является компактно
порождённой группой) пересекает несчётное число элементов
семейства %. Следовательно, если существует σ-компактная группа без
свойства Суслина, то существует и компактно порождённая группа
без этого свойства.
Свойство Суслина сохраняется непрерывными отображениями,
а топологическая группа G, порождённая своим компактным
подпространством К, является непрерывным (и даже непрерывным
гомоморфным) образом свободной топологической группы F(K) —
надо рассмотреть тождественное вложение К —> G и его
продолжение до непрерывного гомоморфизма F(K) —> G. Значит, достаточно
доказать теорему для свободных топологических групп компактов.
Наконец, всякий компакт К является непрерывным образом
стоун-чеховской компактификации /3D дискретного пространства D
мощности \К\ (биекция D —> К имеет непрерывное продолжение
на /3D), поэтому достаточно доказать, что плотная подгруппа (D)
группы F(/3D) обладает свойством Суслина (ведь число Суслина не
может уменьшиться при переходе к плотному подпространству),
а топология этой группы устроена понятным образом — её можно
описать в терминах конечных разбиений множества D, так что по
сути доказательство сводится к рамсеевской комбинаторике.
Универсальное свойство свободной топологической группы F(X)
можно сформулировать немного иначе: для любого непрерывного
отображения /: X —> G в любую топологическую группу G существует единственный
непрерывный гомоморфизм /: F(X) —> G, для которого диаграмма
коммутативна (здесь через ί обозначено тождественное вложение X в F(X)).
Ограничиваясь группами из определённых классов (многообразий
топологических групп), можно определять свободные топологические группы
в этих классах (свободные абелевы топологические группы, свободные
пред компактные группы и пр.), а заменяя тождественное вложение i на
фиксированное непрерывное отображение, можно определить свободную
топологическую группу и для класса, скажем, хаусдорфовых пространств.
чКроме того, не обязательно сосредотачиваться именно на группах, можно
рассматривать и другие тополого-алгебраические системы.

414 Глава 12. Краткий экскурс в топологическую алгебру
Конструкция свободной топологической группы даёт отображение X —>
—> F(X) класса тихоновских пространств в класс топологических групп.
На самом деле F является даже функтором® из категории тихоновских
пространств и непрерывных отображений в категорию топологических
групп и непрерывных гомоморфизмов. Каждому тихоновскому
пространству X функтор F ставит в соответствие его свободную топологическую
группу, а каждому непрерывному отображению /: X —> Υ тихоновских
пространств — непрерывный гомоморфизм /: F(X) —>F(7) (который
возникает при интерпретации / как отображения X—>F(7) D У).
Обобщения топологических групп
Понятие топологической группы можно обобщать как минимум
в двух естественных направлениях — можно смягчать требования
непрерывности групповых операций или обобщать саму
алгебраическую структуру.
I Определение. Полугруппа S с топологией, относительно кото-
I рой полугрупповая операция S x S —> S непрерывна по первому
Ι (второму) аргументу, называется право (лево)топологической по-
I лугруппой.
ι Полугруппа с топологией, относительно которой полугрупповая
I операция раздельно непрерывна, называется полутопологической
Ι полугруппой.
I Полугруппа с топологией, относительно которой полугрупповая
1 операция непрерывна, называется топологической полугруппой.
I Группа с топологией, относительно которой умножение непре-
I рывно по первому (второму) аргументу, называется право(лево)-
I топологической группой.
Ι Группа с топологией, относительно которой умножение раз-
1 дельно непрерывно, называется полутопологической группой.
1 Группа с топологией, относительно которой умножение непре-
1 рывно, называется паратопологической группой.
Ι Группа с топологией, относительно которой умножение раз-
I дельно непрерывно и операция взятия обратного непрерывна,
I называется квазитопологической группой.
Таким образом, топологическая группа —это паратопологиче-
ская группа, в которой операция взятия обратного непрерывна, или
квазитопологическая группа с непрерывным умножением.
х) Т. е. отображением категорий, которое переводит объекты в объекты, а мор-
физмы в морфизмы согласованным образом.

§ 12.1. Топологические группы
415
Вообще говоря, все перечисленные выше понятия отличаются.
Например, прямая Зоргенфрея с обычной операцией сложения
является паратопологической группой, но не является
квазитопологической группой. Однако в некоторых ситуациях уже из
раздельной непрерывности умножения вытекает его совместная
непрерывность и, плюс к тому, непрерывность взятия обратного. В частности,
всякая компактная (и даже локально компактная)
полутопологическая группа является топологической группой [23]. Вообще,
наличие на группе или полугруппе компактной топологии, хоть как-то
согласованной с операциями, оказывает сильное влияние на
топологические и алгебраические свойства этой группы или
полугруппы. Хорошей иллюстрацией служит такая теорема.
1 Теорема (лемма Эллиса1}—Нумакуры2)). Во всякой непустой3^
Ι хаусдорфовой компактной правотопологической {или левотопо-
1 логической) полугруппе S существует идемпотент, т. е. элемент
I е £ S со свойством е-е — е.
Доказательство. Рассмотрим множество всех непустых
замкнутых подполугрупп полугруппы S, упорядоченное обратно
включению. Заметим, что это множество удовлетворяет условиям леммы
Цорна (пересечение семейства непустых замкнутых подполугрупп,
линейно упорядоченного отношением э, непусто, потому что S —
компакт). Значит, S содержит максимальную относительно
порядка э, т. е. минимальную по включению, непустую замкнутую
подполугруппу Я. Возьмём любой элемент ееЯ. Очевидно,
множество Я · е = {h · е: h е Я} тоже является подполугруппой, причём
эта подполугруппа замкнута (действительно, из непрерывности
умножения по первому аргументу вытекает компактность
подполугруппы Я · е, а из хаусдорфовости полугруппы S — её
замкнутость) и Я - е с Я, так что из минимальности подполугруппы Я
следует, что Η -е = Н, а значит, е е Я · е. Следовательно, множество
X = {h&H:h-e = e} непусто. Это множество тоже является
подполугруппой, и притом замкнутой (поскольку это пересечение замкну-
1} Роберт Мортимер Эллис (1926—2013) — американский математик,
специалист в области топологической динамики.
2) Кацуми Нумакура (род. ок. 1925, дата смерти неизвестна) —японский
математик. Занимался главным образом алгеброй компактных полугрупп и колец.
Наиболее плодотворный период — 1950-е гг.
3) Многие авторы включают требование непустоты в определение
полугруппы.

416 Глава 12. Краткий экскурс в топологическую алгебру
той подполугруппы Я с прообразом замкнутого множества {е} при
непрерывном отображении 5 —> 5 · е, 5 £ S), и по определению X с Я.
Следовательно, X = Я, так что е е X. D
Значение этой теоремы трудно переоценить — полугруппы
отображений с операцией композиции возникают повсеместно, и
если такую полугруппу удаётся наделить подходящей компактной
топологией, то в ней непременно имеется отображение-идемпотент.
В разных областях математики отображения-идемпотенты
выглядят по-разному, но они всегда играют какую-нибудь особую роль
(например, в линейной алгебре это проектирования, а в общей
топологии — ретракции).
Кроме того, эта теорема (вместе с теоремой о существовании
и замкнутости минимальных левых идеалов в хаусдорфовой
компактной правотопологической полугруппе, которая доказывается
очень похожим образом) играет ключевую роль в алгебре
ультрафильтров.
Вспомним, что на множестве всех ультрафильтров на N имеется
естественная топология, причём множество ультрафильтров с этой
топологией — это в точности стоун-чеховская компактификация /3N
дискретного пространства N (см. с. 284). Тот факт, что эта
компактификация максимальна, позволяет продолжать полугрупповые
операции с N на /3N весьма нехитрым образом. Продолжим,
например сложение.
Операцию + сложения натуральных чисел можно трактовать
как отображение +:NxN-> βΝ э N. Зафиксировав первый
аргумент к е N, мы получим отображение +к: N —> βΝ (-hfc(n) = к + п).
Оно непрерывно, как и всякое отображение дискретного
пространства. Значит, его можно продолжить до непрерывного
отображения 4-£: βΝ —> βΝ. Образ ультрафильтра °11 при этом отображении
естественно обозначить к Л- %. Таким образом, мы получили
отображение N х βΝ —> βΝ, которое «складывает» числа и
ультрафильтры, причём это отображение раздельно непрерывно.
Зафиксировав теперь второй аргумент и продолжив получившееся
отображение N —> βΝ на βΝ, мы сможем «складывать» ультрафильтры,
причём операция сложения будет непрерывной по первому аргументу,
а если первый аргумент — главный ультрафильтр, то и по второму.
Из непрерывности отображений, участвующих в определении
«сложения» ультрафильтров, несложно вывести ассоциативность этого
«сложения», так что оно является настоящей полугрупповой опера-

§ 12.2. Пространства отображений
417
цией на βΝ и кавычки можно не ставить (правда, эта операция не
коммутативна).
Тем же способом можно продолжить и умножение. Вместо N
можно взять любую другую полугруппу —операции продолжаются
точно так же.
Алгебра ультрафильтров на Ν —очень интересная и полезная
наука. Из уже упоминавшихся теорем о существовании идемпотен-
тов и минимальных идеалов в компактных полугруппах в
применении к полугруппам ультрафильтров можно вывести массу
комбинаторных следствий, связанных с раскрасками множества N в
конечное число цветов, ведь по следствию 3.22 любой ультрафильтр
обязан содержать в качестве элемента одноцветное множество,
какова бы ни была раскраска. Столь же плодотворно применение этой
теории и в топологической динамике.
§ 12.2. Пространства отображений
Помимо свободных топологических групп и других свободных
тополого-алгебраических систем, с каждым тихоновским
пространством X естественно связаны и многие другие тополого-алгебраи-
ческие объекты. Заметное место среди них занимают
всевозможные пространства отображений с разными естественными
топологиями.
На пространствах отображений X —> Υ, где Υ — топологическая
группа (кольцо, векторное пространство и т.п.), имеются
естественные операции, определённые поточечно, и естественные
топологии. Мы уже сталкивались с топологическим кольцом С(Х)
непрерывных вещественнозначных функций на компакте с
топологией равномерной сходимости (см. с. 239). Теперь мы остановимся
на пространстве Ср (X) = {/: X —> R: функция / непрерывна}
непрерывных функций на произвольном тихоновском пространстве X
с топологией поточечной сходимости — это топология,
индуцированная из тихоновской степени Шх = {/: X —> Ж}. На пространстве
Ср (X) определены (поточечно) все те операции, которые имеются на
вещественной прямой М, и все они непрерывны относительно
топологии поточечной сходимости, так что Ср (X) является
топологической группой, топологическим кольцом и топологическим векторным
пространством. Топология поточечной сходимости — самая слабая
естественная топология на множестве непрерывных функций. Её

418 Глава 12. Краткий экскурс в топологическую алгебру
главное преимущество перед другими естественными топологиями
заключается в том, что для неё верна следующая теорема [33].
I Теорема 12.2. Тихоновские пространства X и Υ гомеоморф-
ны тогда и только тогда, когда топологические кольца Ср(Х)
и Ср (Υ) топологически изоморфны.
Таким образом, топологические свойства любого тихоновского
пространства X полностью определяются тополого-алгебраически-
ми свойствами топологического кольца Ср(Х).
Со всяким непрерывным отображением /: X —»Υ естественно связано
отображение функциональных пространств, только в обратном
направлении: Ср(У) —>Ср(Х). Каждой непрерывной функции φ на Υ это
отображение ставит в соответствие функцию / о φ на X. Оно является непрерывным
гомоморфизмом колец, называется двойственным отображением и
обозначается /#. Таким образом, соответствие Ср является контравариантным
(обращающим стрелки) функтором из категории тихоновских топологических
пространств и непрерывных отображений в категорию топологических колец
(а также групп и векторных пространств) и непрерывных кольцевых
(групповых, линейных) гомоморфизмов: каждому тихоновскому пространству X
функтор Ср ставит в соответствие кольцо Ср(Х), а каждому непрерывному
отображению /: X —»У —двойственное отображение f#: Ср(У) —»Ср(X).
Свойства двойственного отображения прозрачным образом связаны со
свойствами отображения /: если отображение / факторно, то /#(Ср(У))
замкнуто в Ср(Х); / взаимно однозначно и непрерывно тогда и только
тогда, когда /#(Ср(У)) плотно в Ср(Х); / является гомеоморфизмом тогда
и только тогда, когда /# сюръективно.
Следует также отметить, что всякое пространство X гомеоморфно
вкладывается в пространство СрСр(Х) в качестве замкнутого
подпространства посредством отображения χ —> ех, где ех: Ср (X) —»Ш — (непрерывное)
отображение вычисления, которое каждой функции / е Ср (X) ставит в
соответствие её значение в точке х. Более того, линейная оболочка Lp{X)
множества X в СрСр(Х) является векторным пространством, сопряжённым
пространству Ср[Х) (т.е. пространством С*(Х) всех непрерывных
линейных функционалов на Ср(Х)), а топология, индуцированная на Lp[X) из
СрСр(Х), совпадает со слабой топологией на С*(Х). При этом X является
базисом пространства Lp(X).
Значительное место в Ср -теории занимает выяснение
соответствия между топологическими свойствами пространств X и Ср(Х),
и в этом направлении получено довольно много результатов. В
качестве примера упомянем, что
гиЦСрШ) = z(CpWO) - \Х\, nw{X) - nw{Cp{X))

§ 12.2. Пространства отображений
419
и плотность пространства Ср (X) равна наименьшему весу
топологического пространства, на которое можно непрерывно и взаимно
однозначно отобразить X; пространство Ср(Х) никогда не бывает
компактным (и даже псевдокомпактным), и оно σ-компактно тогда
и только тогда, когда X конечно; пространство Ср (X) линделёфово
тогда и только тогда, когда оно паракомпактно. Эти и многие другие
факты можно найти в книге [6].
Из-за того, что топология пространства Ср(Х) слабее других
естественных топологий на С(Х), это пространство содержит
больше компактных подпространств. Компактные подпространства
пространств Ср (X) исследуются давно и плодотворно. Строение таких
подпространств представляет интерес не только для Ср -теории, но
и для теории, например, банаховых пространств. Так, важный класс
компактных подпространств Ср -пространств составляют компакты
Эберлейна — компактные подпространства пространств Ср(Х) для
компактов X, Это в точности компактные (или, что равносильно,
псевдокомпактные) подпространства банаховых пространств в
слабой топологии. Имеется также и целый ряд других важных
классов компактных подмножеств Ср -пространств. Много внимания
в Ср -теории уделяется и счётно компактным и псевдокомпактным
подмножествам Ср-пространств.
Ещё одно направление исследований в Ср -теории —
выяснение связи между пространствами X и Υ, для которых
пространства Ср(Х) и Cp(Y) гомеоморфны (топологически изоморфны как
топологические группы, топологически линейно изоморфны как
топологические векторные пространства и т.п.). Стоит упомянуть,
что если свободные топологические группы F(X) и F(Y)
топологически изоморфны, то топологические векторные пространства
Ср (X) и С ρ (Υ) топологически линейно изоморфны, однако обратное
неверно [3].
Топология поточечной сходимости на множестве С(Х)
непрерывных функций на пространстве X имеет простое описание:
базу окрестностей функции, тождественно равной нулю, составляют
множества вида W(F, ε) = {/ е С(Х): |/(х)| < ε для всех χ eF}, где
F—-конечное подмножество X и ε > 0; база окрестностей любой
другой функции ge С(Х) состоит из множеств вида g + W(F, ε).
Другие естественные топологии на С(Х) получаются заменой
конечных множеств на подмножества из некоторого семейства Яс^(х).
(Вообще говоря, семейства Я могут быть любыми, но для некото-

420 Глава 12. Краткий экскурс в топологическую алгебру
рых семейств соответствующая топология оказывается не
групповой, а иногда и не отделимой.) Например, если Я —семейство всех
компактных подмножеств, то получается компактно-открытая
топология, или топология равномерной сходимости на компактах.
Базу окрестностей нулевой функции в этой топологии составляют
множества вида W(K, ε) = {/ е С(Х): |/0)| < ε для всех χ &Κ}, где
К — компакты и ε > 0. Для Я = {X} получается топология
равномерной сходимости; С(Х) с этой топологией является топологическим
кольцом (или векторным топологическим пространством) лишь для
псевдокомпактных пространств X.
Отображения X —> X нельзя поточечно складывать или
перемножать (если только само пространство X не снабжено
соответствующими операциями), но зато можно рассматривать их
композиции. В частности, множество Нотео(Х) всех гомеоморфизмов
1->1с операцией композиции является группой, и на нём
возникают те же естественные топологии, что и в случае
функциональных пространств, а именно, топологии, порождённые базами
{(F, U): F e&, U е У/}, где & — некоторое семейство подмножеств
пространства X, ^ — семейство всех открытых подмножеств X
и (F, U) = {h e Homeo(X): fr(F) с U}. Топология, которая получается,
когда & — семейство всех замкнутых (компактных) множеств,
называется замкнуто-открытой (компактно-открытой), а когда &
состоит из всех конечных множеств, получается топология
поточечной сходимости. В случае, когда X — метрическое пространство,
группа Нотео(Х) содержит подгруппу Iso(X) всех изометрических
преобразований пространства X, которая в некоторых отношениях
представляет больший интерес, нежели группа Нотео(Х).
Доказательства сформулированных ниже утверждений о пространствах
Нотео(Х) и Iso(X), а также другие сведения о них можно найти
в книге [21].
Замкнуто-открытая топология пространства Нотео(Х)
является групповой для всякого нормального пространства X (а
значит, для любого компакта X компактно-открытая топология тоже
является групповой). Топология поточечной сходимости
оказывается групповой гораздо реже, однако любая топологическая
группа G топологически изоморфна некоторой подгруппе Η
(нетопологической) группы Homeo(G) с топологией поточечной сходимости
(таким образом, сужение топологии поточечной сходимости
пространства Homeo(G) на подпространство-подгруппу Η оказывается

§ 12.3. Топологические векторные пространства 421
групповой топологией, хотя на всём пространстве Homeo(G) эта
топология может не быть групповой).
Если X — метрическое пространство, то на группе Iso(X) не
только замкнуто-открытая топология, но и топология поточечной
сходимости всегда оказывается групповой. Более того,
топологические группы изометрий с топологией поточечной сходимости
универсальны в том смысле, что для любой (не обязательно метризуе-
мой) топологической группы G существует метрическое
пространство X такое, что G вкладывается в качестве топологической
подгруппы в группу Iso(X) с топологией поточечной сходимости.
В заключение отметим один факт, имеющий отношение к
однородным пространствам. (Напомним, что топологическое
пространство X однородно, если для любых точек х, у £ X существует
гомеоморфизм h: X-+X такой, что h(x) —у.) Ясно, что факторпростран-
ство G/H левых смежных классов любой отделимой топологической
группы G по замкнутой (не обязательно нормальной) подгруппе Η
однородно, однако не всякое однородное пространство можно
представить таким образом. Тем не менее всякий нульмерный
однородный компакт X является факторпространством топологической
группы Нотео(Х) с компактно-открытой топологией по
замкнутой подгруппе.
§ 12.3. Топологические векторные пространства
Рассмотренные выше функциональные пространства — частный
случай топологических векторных пространств, причём все они
являются локально выпуклыми пространствами, т. е. выпуклые
окрестности нуля в них образуют локальную базу в нуле. Локально
выпуклые пространства выделяются среди прочих топологических
векторных пространств тем, что их топологии порождаются
своего рода «функциями длины», подобно топологиям тихоновских
пространств и топологических групп. В тихоновском пространстве
X роль «функций длины» играют функции ||·|Ι/,*0 = \fW —/C*o)l>
где / — непрерывные функции на X и х0 — фиксированные точки
пространства X; базу окрестностей каждой точки х0 е X
составляют множества вида {х: \\х\\/}Хо < ε}, где ε > О и / £ С(Х). В
топологической группе G эту роль играют непрерывные групповые
полунормы (см. с. 405). Топология каждого локально выпуклого
пространства тоже порождается некоторым семейством полунорм,

422 Глава 12. Краткий экскурс в топологическую алгебру
только не групповых полунорм, а полунорм в смысле векторного
пространства^.
Топологические векторные пространства, в частности
локально выпуклые пространства, — объекты функционального анализа.
Здесь мы ограничимся формулировкой одной теоремы, имеющей
самое непосредственное отношение к общей топологии. Это
знаменитая теорема Дутунджи2) о продолжении.
Теорема Дугунджи. Пусть F — замкнутое подмножество мет-
ризуемого пространства X и Е—локально выпуклое
пространство. Тогда каждое непрерывное отображение /: F —> F имеет
непрерывное продолжение Ф(/):Х—>Е, причём образ Ф(/)(Х)
содержится в выпуклой оболочке образа /(F).
Более того, такие продолжения Ф(/) можно выбирать
согласованным образом. А именно, существует такой линейный
оператор продолжения Ф: C(F, Ε) —> С(Х, Ε), что для всякого
отображения f&C{F,E) образ его продолжения Ф(/)(Х) содержится
в выпуклой оболочке /(F) самого отображения / и оператор Φ
непрерывен при наделении обоих пространств C{F,E) и С(Х,Е)
топологией поточечной сходимости, компактно-открытой
топологией или топологией равномерной сходимости.
1} Полунормой или преднормой на вещественном векторном пространстве X
называется функция ||·||: X —► R со свойствами φ ||Α·χ|| = |λ|· ||х|| для всех χ еХ
иЯеЕи© ||х + у|| ^ ΙΜΙ + ||у|| для всех χ,γ^Χ.
^ Джеймс Дугунджи (1919—1985) — американский математик. Доказал
фундаментальную теорему о продолжении. Известен также исследованиями,
положившими начало хемоинформатике.

Литература
1. Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М.:
Наука; Физматлит, 1977.
2. Александров П. С, Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности. М.:
Наука, 1973.
3. Архангельский А. В. Алгебраические объекты, порождённые
топологической структурой // Итоги науки и техники. Сер. Алгебра. Топология.
Геометрия. Т. 25. М.: ВИНИТИ, 1987. С. 141-198.
4. Архангельский А. В. О мощности бикомпактов с первой аксиомой счет-
ности // ДАН СССР. 1969. Т. 187, №5. С. 967-970.
5. Архангельский А. В. О поведении метризуемости при факторных
отображениях // ДАН СССР. Т. 164, № 2.1965. С. 247—250.
6. Архангельский А В. Топологические пространства функций. М.: Изд.
Моск. ун-та, 1989.
7. Атъя М. Математика в двадцатом веке // Мат. просвещение. Сер. 3.
2003. Вып. 7. С. 5-24.
8. Верещагин Н. К., Шенъ А Лекции по математической логике и теории
алгоритмов. Ч. 1: Начала теории множеств. 4-е изд., доп. М.: МЦНМО, 2012.
9. Граев М. И. Теория топологических групп. I: Нормы и метрика на
группах. Полные группы. Свободные топологические группы // УМН. 1950.
Т. 5, вып. 2(36). С. 3-56.
10. Комбаров А. П., Малыхин В. К О Σ-произведениях // ДАН СССР. 1973.
Т. 213. С. 774-776.
11. Куратовский К. Топология. Т.1. М.: Мир. 1966.
12. Марков А. А. О свободных топологических группах // Изв. АН СССР.
Сер. матем. 1945. Т. 9, вып. 1. С. 3—64.
13. Недев С.Й. О-метризуемые пространства // Труды ММО. 1971. Т. 24.
С. 201-236.
14. Ольшанский А. Ю. Замечание о счётной нетопологизируемой группе //
Вестник Моск. ун-та. 1980. Т. 3. С. 103.
15. Рудин У. Основы математического анализа. М.: Мир, 1976.
16. Ткаченко М. Г. О свойстве Суслина в свободных топологических группах
над бикомпактами // Матем. заметки. 1983. Т. 34, вып. 4. С. 601—607.
17. ФедорчукВ.В., Филиппов В, В. Общая топология. Основные
конструкции. М.: Изд. Моск. ун-та, 1988.
18. Хъюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ. Т. 1. М.: Наука,
1975.
19. Энгелъкинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986.
20. Anderson R.D. Hubert space is homeomorphic to the countable infinite
product of lines // Bull. Math. Amer. Soc. 1966. V. 72. P. 515—519.

424
Литература
21. Arhangel'skii A., Tkachenko M. Topological Groups and Related Structures.
Amsterdam; Paris: Atlantis Press-World Sci, 2008.
22. Charalambous M. G. Dimension Theory: A Selection of Theorems and
Counterexamples. Cham: Springer, 2019.
23. Ellis R. Locally compact transformation groups // Duke Math. 1957. V. 24.
С119-125.
24. Fletcher P., Lindgren W. R Quasi-Uniform Spaces. N. Y.: Marcel Dekker, 1982.
25. Frolik Z. Fixed points of maps of extremally disconnected spaces and
complete Boolean algebras // Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Math. 1968. V. 16.
P. 269-275.
26. Isbell J. R. A note on complete closure algebras // Math. Systems. Theory.
1969. V. 3. P. 310-312.
27. Kervaire M.A. A Manifold which does not admit any differentiable
structure // Comment. Math. Helvetici. 1960. V.34. P. 257—270.
28. Kulesza J. An example in the dimension theory of metrizable spaces //
Topology Appl. 1990. V. 35. P. 109-120.
29. Levin M. A remark on Kulesza's example // Proc. Amer. Math. Soc. 1999.
V. 128, No. 2. P. 623—624.
30. Michael E. Continuous selections. I // Ann. Math. Ser. 2. 1956. V.63, No. 2.
P. 361-382.
31. Michael E.A. Paracompactness and the Lindelof property in finite and
countable Cartesian products // Compositio Mathematica. 1971. V. 23, No. 2.
P. 199-214.
32. Moore J. T. A solution to the L-space problem // Amer. Math. Soc. 2006. V. 19.
P. 717-736.
33. Nagata J. On lattices of functions on topological spaces and of functions on
uniform spaces // Osaka Math. 1949. V. 1, No. 2. P. 166—181.
34. Ostrowski A. Uber einige Losungen der Funktionalgleichung ψ (χ) · ψ (χ) =
= ·φ Oy) // Acta Math. 1916. V. 41. P. 271-284.
35. Przymusincski Т. С On the dimension of product spaces and an example of
M. Wage // Proc. Amer. Math. Soc. 1979. V. 76, No. 2. P. 315—321.
36. Roy P. Nonequality of dimensions for metric spaces // Trans. Amer. Math.
Soc. 1968. V. 134, No. 1. P. 117-132.
37. Rudin W. Homogeneity problems in the theory of Cech compactifications //
Duke Math. 1956. V. 23. P. 409—419.
38. Shelah S. On a problem of Kurosh, Jonsson groups, and applications. Word
Problems II // Ed. by S.I.Adian, W.W.Boone, G.Higman. Amsterdam:
North-Holland, 1980. P. 373-394.
39. Sion M., Zelmer M. On quasi-metrizability // Canad. J. Math. 1967. V.19.
P. 1243-1249.
40. Stoltenberg К A. On quasi-metric spaces // Duke Math. 1969. V. 36. P. 65—71.
41. Tao T. Hubert's Fifth Problem and Related Topics. Providence, R.I.: AMS,
2014.
42. Todorcevic S. Partition Problems in Topology. Providence, R. I.: AMS, 1989.

Указатель
с, с 13
Н„ 13,60
ΙΙ·ΙΙ2 61
2х 13
X = Y 122
Х/~ 29,184
X/F 186
фХа 182
аеЛ
П^а 33,191
аеЛ
D Ха 192
аеА
|Х| 13,36,305
(хп), (λγ„)π€ν 92
UJ, (χα)α€Α 96
*«7*х 96
А, Ах 84
В^_Ю,ВДл:,Ю 50
Βά(χ,ε) 103
С 13
с(Х) 90,106
С(Х),СЪ(Х) 237
Ср(Х) 417
dimX 370
d(X)_ 106,Ш,198
Dn,Dn 13
dn 13,60
expX 206, 255
&-+x 101
F(X) 411
FrA, FrxA 84
Fc,.-множество 167
G5-множество 105
hc(7) 106
IndX 368
indX 366
inf X 24, 255
IntA, IntxA 84
i2 61,203
^,*°° 61
UmXa 191
UmXa 204
maxX 24
minX 24
N 13
пш(Х) 253
ordJ^ 369
Ρ 13
900 13
Q 13
R 13
Mn 13,60
Sn 13
sup-норма 237
supX 24, 255
sup{at: te/} 41
Γ0-Γ4 150
Γ,ι 162
Γπ 13,138
w(X) 58, 106, Ш, 202, 253, 305
Wi 65,106,169,175, 245, 290
Wf 65,106,175, 246, 290, 320
Ζ 13
aX 279
β/ 103
βΧ 280
βΝ 283
Δ-корень 42
Δ-система 42

426
Указатель
ε-окрестность 50
ε-покрытие 383
ε:-сеть 250
χ (Χ) 58,106,305
χ {х, X) 58,304
·φ(Χ) 304,305
ψ (χ, Χ) 304
ω 38
ωλ, ωα 39
Κ0 36
Κχ 36,39
Κ 39
аксиома выбора 19, 26, 33, 230
— отделимости Γ~ι 162
— счётности вторая 58
первая 58
аксиомы ZFC 17
— Куратовского 86
— отделимости 150
— теории множеств 15
база 56
— локальная 57
в подпространстве 68
открытая 57
— окрестностей 57
— открытых окрестностей 57
— подпространства 68
— произведения каноническая 194
— фильтра 98
барицентр 131
барицентрическое подразделение 131
биекция 22
веер Кнастера—Куратовского 355
— Фреше—Урысона 78, 94,187
вершина симплекса 131
— триангуляции 131
вес 58,106,171, 202, 243, 247, 253, 305
— подпространства 70
— сетевой 253, 303
вложение 22,123
— топологическое 123
внутренность 84
гильбертов кирпич 203
гильбертово пространство t2 61, 203
гиперпространство 206
гомеоморфизм 122
гомеоморфные пространства 122
граница 84,103
грань верхняя 24
точная 24
— нижняя 24
точная 24
— симплекса 131
график 135
— замкнутый 155
группа 402
— двойственная 410
— квазитопологическая 414
— Ли 406
— паратопологическая 414
— полутопологическая 414
— право (лево) топологическая 414
— свободная 411
топологическая 411
— топологизируемая 407
— топологическая 402
двойная окружность Александрова
245, 254
диагональ декартова квадрата 22
— квадрата пространства 155
— отображений 34,121
— степени 200, 202
диаметр множества 243
дизъюнктное семейство 90
диск замкнутый 13
— открытый 13
дискретное семейство 326
ёж 62,187, 210, 339
законы де Моргана 31, 43
в сильной форме 33
— дистрибутивности 30
в сильной форме 33
замыкание 84
значение отображения 21
идемпотент 415
изоморфизм порядковый 25

Указатель
427
— топологический 407
инвариант кардинальный 124, 303,
312, 314
— топологический 122
индекс 32
интервал 24
— замкнутый 24
— начальный 25
— ограниченный 25
— открытый 24
— полуоткрытый 25
инфимум 24
инъекция 22
каноническое ^-отображение 386
кардинал 36, 39
кардинальный инвариант 124, 303,
312, 314
категория 190,192
квазикомпонента 336
— пространства 336
— точки 336
квазиметрика 74
кольцо функций 238
компакт 174, 225
— квазиметризуемый 255
— симметризуемый 255
компактификация 270, 390
— александровская 279
— максимальная 280
— минимальная 279
— одноточечная 279
— стоун-чеховская 280
компактное расширение 270
композиция отображений 34
компонента 335, 336
— пространства 336
— точки 335
континуум 332
континуум-гипотеза 40
конуль-множество 170
координата элемента произведения
33
координаты барицентрические 131
куб гильбертов 202
— тихоновский 202
лемма Лебега 254
— о Δ-системе (о Δ-корне) 42
— Урысона 157
— Цорна 26
— Шпернера 132
— Эллиса—Нумакуры 415
линделёфикация одноточечная 320
лист Мёбиуса 188
луч 25
максимум метрик 63
— функций 122
метрика 50
— дискретная 59
— евклидова 60
— индуцированная 66
— неархимедова 62, 73
— относительная 66
— полная 251, 326
— Хаусдорфа 207, 255
метрики эквивалентные 59
липшицево 59, 72
минимум множества кардиналов 41
ординалов 41
— функций 122
множества отделённые 167, 332
окрестностями 153
— равномощные 36
— функционально отделимые 159
множество Бернштейна 235, 398
— всюду плотное 88
— второй категории 234
— замкнутое 52-54
в метрике 50
функционально 170, 253
— заполняющее счётные грани 326
— значений последовательности 92
— индексное 32
— иррациональных чисел 105
— канонически открытое 194
— канторово 209, 242, 253
— направленное вверх 95
— несчётное 36
— нигде не плотное 88
— ограниченное 24, 243
сверху 24

428
Указатель
множество ограниченное снизу 24
— остаточное 235
— открыто-замкнутое 54
— открытое 52-54
в метрике 50
каноническое 194
функционально 170, 344
— первой категории 234
— плотное 87
в себе 88
— производное 84
— рациональных чисел 105
— совершенное 88, 242
— счётное 36
— счётных ординалов 39
— типа Fa 167
G5 105,171, 253
— точек совпадения 155
— тощее 234
— транзитивное 37
— тучное 234
— упорядоченное 22
вполне 25
строго 25
линейно 25
строго 25
строго 23
частично 22
модель теории множеств 41
стандартная транзитивная 41
мощность 36, 39
— пространства 106,171, 305
надотображение 35
наложение 22
направленность 96
— сходящаяся 96,117
нарост 270
неравенство треугольника 50
сильное 62
— Урысона для dim 390, 392
для Ind 381, 390
для ind 390, 392
норма р-адическая 62, 73
— евклидова 60
— на векторном пространстве 60,
203
— на группе 406
нормирование поля 61, 73
нуль-множество 170
область значений отображения 20
— определения отображения 20
образ множества 21
— направленности 102
— непрерывный 116
— отображения 21
— последовательности 102
— точки 21
— ультрафильтра 102
— фильтра 102
объединение семейства множеств 32
окрестность множества 54
открытая 54
— точки 53, 54
открытая 52, 54
проколотая 54
оператор взятия границы 103
— внутренности 86
— замыкания 85
— топологического замыкания 85
операция бинарная 30
— унарная 30
ординал 37
отношение 20
— эквивалентности 29,184
отображение 20
— биективное 21
— взаимно однозначное 22
— вычисления 418
— график 135
— двойственное 418
— естественное 29
— замкнутое 127
— инъективное 21
— классов 20
— липшйцево 136
— многозначное 206
полунепрерывное 207, 210
— множеств 20
— направленностей 102

Указатель
429
— непрерывное 114,115
в точке 114,115
— обратное 35
— открыто-замкнутое 351
— открытое 127
— последовательностей 102
— сюръективное 21
— тождественное 22
— топологическое 122
— ультрафильтров 102
— факторное 184,185
естественное 184
— фильтров 102
— частичное 20
пара неупорядоченная 17
— упорядоченная 17
паракомпакт 305
перегородка 366
пересечение семейства множеств 32
плоскость Немыцкого 66, 75,164, 326
— проективная 208
— Тихонова 170, 253, 300, 390
плотность 89,106,171,198
поднаправленность 96
подотображение 35
подпокрытие 224
подпоследовательность 92
подпространство вложенное 123
— метрического пространства 66
— топологического пространства 67
покрытие 224
— вписанное 224
комбинаторно 224
— замкнутое 224
— открыто-замкнутое 224
— открытое 224
функционально 344
полиэдр 386
полугруппа полутопологическая 414
— право (лево) топологическая 414
— топологическая 414
полуинтервал 25
полунорма на векторном
пространстве 422
— на группе 405
порядковый тип 37, 39
порядок 22
— индуцированный 25, 68
— колексикографический 64, 75
— лексикографический 64, 75, 81, 255
— линейный 25, 75
— полный 25
— семейства множеств 369
— строгий 23
— частичный 22
последовательность 91
— Коши 250
— сходящаяся 92,117,170
равномерно 237
— тривиальная 92
— фундаментальная 250
предбаза 57
предел направленности 96
— последовательности 92
пространств индуктивный 191
прямой 191
— семейства пространств
индуктивный 190,191
проективный 204
прямой 190,191
— спектра обратного 204
прямого 191
пред норм а на группе 405
присоединение по отображению 187
продолжение отображения 35
проекция каноническая 34,194
— обратного спектра 204
произведение декартово двух
множеств 20, 31
отображений 34
семейства множеств 33
— кардиналов 40
— объектов категории 192
— отображений декартово 34
диагональное 34,121
— скалярное 60, 203
— тихоновское 193
— топологическое 193
двух пространств 135
— функций 122

430
Указатель
прообраз 21
— полный 21
пространство σ-компактное 406
— векторное локально выпуклое 421
нормированное 60
— вполне ограниченное 252
разрывное 339
регулярное 162
— гильбертово t2 61
— дискретное 73
— евклидово 60
— иррациональных чисел 209, 254
— коллективно нормальное 325
— компактное 174, 225
— линделёфово 312
— линейно упорядоченное 169, 255
— локально компактное 277, 299
в узком смысле 299
в широком смысле 299
— метризуемое 64
— метрическое 50
вполне ограниченное 250
полное 251
— несвязное 332
вполне 339
экстремально 352
— нормальное 153
коллективно 325
наследственно 168,169,171
совершенно 171
— нульмерное 342
сильно 345
— паракомпактное 305
— полное по Дьёдонне 252
— проективное 72
— псевдокомпактное 315
— рациональных чисел 209, 254
— регулярное 152
— связное 82,136, 332
линейно 355
— секвенциально компактное 318
— сепарабельное 89,106,198,199
— со свойством Бэра 234
Суслина 106
— счётно компактное 315
— счётных ординалов 65,106, 246,
290, 320
— тихоновское 162
— топологическое 52-54
— ультраметрическое 62, 73
— универсальное 203, 210, 242
— финально компактное 312
— Фреше—Урысона 93,104
— хаусдорфово 152
— экспоненциальное 206, 210, 255
прямая R 60
— Зоргенфрея 105,138,171,183, 321,
397
— Майкла 108
псевдометрика 50,163, 252
псевдохарактер 304
— в точке 304
разбиение единицы 309
локально конечное 309, 310
подчинённое покрытию 309,
310
раздутие семейства множеств 394
размерность индуктивная большая
368
малая 366
— лебегова 370
раскраска симплекса полная 131
расстояние между множествами 50
точками 50
расширение компактное
хаусдорфово 270
— стоун-чеховское 280
ретракт 128, 260
ретракция 128, 261
свойство Бэра 234
— мультипликативное 196
конечно 196
счётно 196
— наследственное 69
— Суслина 90,106,198, 406
— типа компактности 298
— топологическое 122
— универсальное 411, 413
связное двоеточие 163

Указатель
431
селекция 207
семейство дизъюнктное 90
— дискретное 326
— индексированное 32
— локально конечное 305
— отображений разделяющее точки
201
точки и замкнутые
множества 201
— пар несущественное 373
существенное 373
— почти дизъюнктное 324
— счётно центрированное 98, 312
— центрированное 98, 225, 315
сеть 253, 303
симметрика 74
симметрическая разность 30
симплекс 130
система аксиом ZFC 17
— окрестностей 53
— открытых окрестностей 52
спектр обратный 204
— прямой 191
степень кардинала 40
— множества 31
стрелка Зоргенфрея 105,138
стягивание множества в точку 186
сужение метрики 66
— отображения 35
— порядка 25, 68
сумма кардиналов 40
— метрик 63
— пространств 182
— прямая групп 410
— функций 122, 237
суперпоследовательность
Александрова 244
супремум 24
— множества ординалов 41
сфера 13
сходящаяся последовательность 70,
92, 243
сюръекция 22
теорема Александера о предбазе 226,
253
— Брауэра 131
— Бэра о категории 233, 254
— Вейерштрасса—Стоуна 239
— Гёделя о неполноте 19
— Дугунджи о продолжении 422
— Кантора 37
— Кантора—Бернштейна 36
— Кёнига 44
— Ковальского 210
— Майкла о селекции 207
— о диагональном произведении 201
— о неретрагируемости 129
— о порядковом изоморфизме 28
— о разложении 389
— Понтрягина 411
— суммы для Ind 389
— счётной суммы для dim 389
— Титце—Урысона 159
— Тихонова о вложении 202
о компактности произведений
230, 231
— Урысона метризационная 204
— Цермело 26
тождество Урысона 385
топологическая группа 402
— факторгруппа 410
топологический инвариант 122
топологическое пространство 52-54
топология 54
— антидискретная 64
— более грубая 71
сильная 71
слабая 71
тонкая 71
— Вьеториса 206, 255
— групповая 402
— дискретная 59, 64
— евклидова 60,193
— Зарисского 163
— индуцированная 67
— интервальная 64
— компактно-открытая 420
— линейного порядка 64,169, 255
— метрическая 56
— относительная 67

432
Указатель
топология порядковая 64,169, 255
— поточечной сходимости 193, 417
— произведения 193
двух пространств 135
— прямой обычная 60
— равномерной сходимости 237, 420
— стрелки 105
— тихоновская 193
— экспоненциальная 206
— ящичная 192
тор 13,137,138
точка внутренняя 83
— граничная 84
— изолированная 83
— конденсации 84
— накопления множества 84
полного 84, 252
последовательности 92
— полного накопления 84
— предельная множества 83
направленности 96
последовательности 92
— прикосновения 83
— типа G5 105,171
триангуляция 131
удвоение по Александрову 244
ужатие 224
ультраметрика 62, 73
ультрафильтр 99
— главный 99
— сходящийся 117,154
фактормножество 29,184
факторпространство 184
фактортопология 184
фильтр 98
— Коши 252
— свободный 98
— сходящийся 101
— Фреше 99
функтор 414
— контравариантный 418
функция 22
— выбора 19
— ограниченная 22
— характеристическая 31
характер подпространства 70
в точке 70
— пространства 58,106, 243
в точке 58, 304
число Лебега 254
— Линделёфа 312
— Суслина 90,106
наследственное 106
шар замкнутый 13, 50
— открытый 13, 50
эквивалентности класс 29
— отношение 29
эквивалентные компактификации
271
— метрики 59
— нормы 72
элемент максимальный 24
— между 24
— минимальный 24
— наибольший 24
— наименьший 24
— ограничивающий множество
сверху 24
снизу 24
элементы сравнимые 24

4 w
"·?

Общая, или те
в основе всех пр(
чением a6crpaim
>ретико-множественная, топология лежит
wx разделов топологии и занимается изу-
>1Х топологических пространств.
Книга представляет собоР
ций, читавшийся автором
факультете МГУ, дополненн
самой разной сложности. П(
ниями или подробными ука:
Изложение ведётся в сг
но тем не менее охватывав
струкции общей топологи*
стандартных курсов. Для
достаточно знакомства с с
из матема
1ыи курс лек-
гематическом
1ми задачами
бжены
решениями.
ной и доступной манере,
ϊ основные понятия и кон-
*ыходит далеко за рамки
)го понимания материала
и н. альными ведениями
ч
ISBN 978-*- 439-1817-4
785443"918174|