Автор: Журавлев А.А. Вержбовский Г.Б. Еременко Н.Н.
Теги: сооружения и части сооружений по виду строительных материалов и методам возведения строительство строительное проектирование деревянные конструкции
ISBN: 5-8456-0487-7
Год: 2003
Текст
А.А. ЖУРАВЛЕВ, Г.Б. ВЕРЖБОВСКИЙ,
Н.Н. ЕРЕМЕНКО
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ
ДЕРЕВЯННЫЕ КОНСТРУКЦИИ
А.А. ЖУРАВЛЕВ, Г.Б. ВЕРЖБОВСКИЙ,
Н.Н. ЕРЕМЕНКО
Tv 94
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ
ДЕРЕВЯННЫЕ КОНСТРУКЦИИ
Под редакцией д-ра техн, наук, проф.
А.А. Журавлева
БИБЛИОТЕКА
РГСУ
Ростов-на-Дону
2003
ББК 38.55
К 65
УДК 624.011.1
Рецензенты: докт. техн, наук, проф. Зарифьян А.З.,
канд. техн, наук, доц. Садэтов Т.С.
(Новочеркасский Государственный
технический университет
им. С. Орджиникидзе)
К 65 Журавлев А.А., Вержбовский Г.Б., Еременко Н.Н.
Пространственные деревянные конструкции. - Ростов-на-
Дону: ОАО ИПФ «Малыш», 2003. - 518 с., илл.
Изложены теория формообразования и методы расчета на
прочность и устойчивость тонкостенных оболочечных конструк-
ций, многогранных куполов, складок и других видов стержневых
пространственных систем при различных условиях загружения.
Описаны конструктивные особенности пространственных
деревянных конструкций. Рассмотрено современное состояние и
перспективы развития панельного домостроения.
Широта охвата тематики и обилие конкретного фактическо-
го материала позволяют использовать монографию при решении
вопросов проектирования стержневых и тонкостенных простран-
ственных конструкций из древесины и продуктов ее переработки.
Для научных работников, аспирантов строительных специ-
альностей и студентов высших учебных заведений, обучающихся
по специальности «Промышленное и гражданское строительст-
во».
ISBN 5-8456-0487-7
ББК 38.55
© Ростовский государственный строительный университет, 2003.
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора 7
1. Стержневые конструкции конических куполов 10
2. Вопросы теории расчета многогранных куполов 28
2.1 Построение пространственных конфигураций в
форме выпуклых многогранников 28
2.2. Определение геометрических характеристик
выпуклых многогранников 42
2.3. Инженерная теория расчета многогранных
куполов 59
2.3.1. Определение компонент тензора жесткости
однопоясного сетчатого купола 59
2.3.2. Представление ортотропной треугольной
пластинки в виде шарнирно-стержневой системы 66
2.3.3. Расчет многогранных куполов на основе
метода конечного элемента 78
2.3.4. Практический метод расчета структурной
конструкции двухпоясного купола 92
2.4. Теория устойчивости стержневых
многогранников 101
2.4.1. Устойчивость упругих стержневых систем
в форме выпуклых многогранников 101
2.4.2. Общее решение задачи об устойчивости
стержневых многогранников 106
2.4.3. Устойчивость пологих многогранных
куполов 112
2.4.4. Об устойчивости однопоясного сетчатого
купола при больших прогибах 121
2.4.5. Местная устойчивость сетчатых куполов 127
3. Стержневые конструкции цилиндрических
оболочек 136
3.1. Конструктивные решения сетчатых покрытий
в форме цилиндрических оболочек 136
3.2. Особенности формообразования поверхностей
конструкций сетчатых цилиндрических оболочек 159
3
3.3. Приближенная теория расчета стержневой
конструкции цилиндрической оболочки 173
3.3.1. Представление регулярной стержневой
конструкции в виде континуальной модели 173
3.3.2. Определение прогибов перекрестных
балок с учетом смешения их осей
относительно узлов 210
3.3.3. Приближенная теория однослойной
сетчатой цилиндрической оболочки 217
3.4. Устойчивость сетчатых цилиндрических
оболочек 234
3.4.1. Устойчивость стержневой конструкции
цилиндрической оболочки при осевом сжатии 234
3.4.2. Прощелкивание стержневой конструкции
кружально-сетчатого свода системы Цольбау 248
4. Конструкция и расчет многорядовых складок 256
4.1. Расчет призматических складок по
безмоментной теории 261
4.2. Расчет складок методом конечных полос 271
5. Деревянные конструкции гиперболических
оболочек 280
5.1. Общие положения 280
5.2. Геометрия гиперболического параболоида 281
5.3. Основные уравнения напряженно-
деформированного состояния гиперболической
оболочки 290
5.3.1. Уравнения равновесия оболочки в
сферических координатах 290
5.3.2. Уравнения равновесия гиперболической
оболочки в декартовых координатах 297
5.3.3. Расчет гиперболической оболочки по
моментной теории 303
5.4. Применение численных методов для решения
системы уравнений пологих гиперболических
оболочек 311
4
5.4.1. Центрально - разностный оператор
и оператор усреднения 311
5.4.2. Приближенные выражения производных
через конечные разности 314
5.4.3. Пример расчета пологой гиперболической
оболочки над квадратным планом 324
5.5. Примеры решений деревянных покрытий
в форме гиперболических оболочек 332
6. Многогранные пространственные покрытия из
универсального набора панелей 336
6.1 Принципы формообразования многогранных
пространственных конфигураций из минимального
числа типоразмеров элементов 336
6.2 Определение основных размеров пространственных
покрытий 347
6.3 Конструктивные решения панелей и их стыковых
соединений 354
6.4 Напряженно-деформированное состояние
конструкций покрытий из универсального
набора панелей 363
6.4.1 Параметры упругости панелей покрытий 363
6.4.2. Статический расчет конструкций
покрытий и их элементов 373
6.5 Результаты расчета зданий и сооружений из
универсального набора панелей 394
7. Расчет сферической оболочки на устойчивость под
равномерным внешним давлением 399
7.1. Общие положения и основные
расчетные гипотезы 399
7.2. Определение удлинений и внутренних усилий 401
7.3. Уравнения равновесия элемента
деформированной оболочки, имеющей начальные
неправильности формы срединной поверхности 407
7.4. Вывод основных дифференциальных уравнений 410
7.5. Потенциальная энергия оболочки 415
5
7.6. Устойчивость сферической оболочки при малых
деформациях 419
7.7. Устойчивость сферической оболочки при
больших деформациях 421
7.8. Параметр выпучивания 429
7.8.1. Определение параметра выпучивания у
с помощью дифференциальных уравнений 429
7.8.2. Определение параметра выпучивания %
на основе выражения для потенциала 439
8. Деревянное домостроение 441
8.1. Общие положения 441
8.2. Опыт строительства деревянных домов
в России и за рубежом 442
8.3. Выбор материалов для деревянных
каркасных домов 463
8.4. Передовые технологии деревянного
домостроения в России 466
Именной указатель 496
Литература по главам 502
6
Предисловие редактора
В последние годы запросы строительной индустрии в об-
ласти промышленного, гражданского и сельскохозяйственного
строительства выдвигают на передний план разработку про-
блем теории сооружений, среди которых особое значение име-
ют задачи прикладного характера, относящиеся к теории про-
странственных деревянных конструкций.
Во многих изданиях учебной литературы пространствен-
ным конструкциям из дерева и пластмасс отводятся лишь не-
большие разделы, недостаточно освещающие достижения оте-
чественных и зарубежных ученых в этой важной и одной из
наиболее перспективных областей инженерного строительного
искусства.
В настоящей книге излагаются основы теории пространст-
венных деревянных конструкций, причем ее приложения к ре-
шению технических задач иллюстрируются различными при-
мерами из практики возведения сооружений с покрытиями в
форме оболочек и складок. При создании монографии авторы
следовали лекциям, прочитанным в Ростовском государствен-
ном строительном университете в рамках специальных курсов
для студентов, магистров и аспирантов специальности «Про-
мышленное и гражданское строительство», а также некоторым
статьям, ранее опубликованным в межвузовских сборниках на-
учных статей, изданных в 1980-2000 г.г. под общим названием
«Легкие строительные конструкции». В монографию включены
материалы, отражающие результаты работы авторов в рамках
межвузовской научно-технической подпрограммы «Архитекту-
ра и Строительство».
В общих чертах содержание монографии следующее. Пер-
вая глава посвящена стержневым конструкциям деревянных
конических куполов. Рассмотрены общие вопросы конструк-
тивного и технологического характера на примере крупнейшего
в Европе сооружения склада для хранения сырых солей и пока-
зано преимущество использования в качестве конструкционно-
го материала клееной древесины при условиях ее работы в аг-
рессивной среде.
7
Вторая глава содержит теорию статического расчета
стержневых и стержнелистовых пространственных конструк-
ций купольных покрытий в форме выпуклых многогранников.
Изложены приближенные методы исследования напряженно-
деформированного состояния одно- и двухслойных сетчатых
куполов с построением моделей тонкостенных сферических
оболочек, эквивалентных по своим материальным признакам
рассматриваемым стержневым системам пространственной
конфигурации.
В третьей главе излагается теория сетчатых цилиндриче-
ских оболочек. Выполнено исследование устойчивости стерж-
невых конструкций цилиндрических колец и оболочек при осе-
вом сжатии. Освещены некоторые новые вопросы, связанные с
прощелкиванием узлов конструктивной сети деревянной кон-
струкции кружально-сетчатого свода с узловыми соединениями
на болтах.
Подробное изложение нового подхода к исследованию де-
формированного и напряженного состояния деревянных конст-
рукций призматических многорядовых складок дано в главе 4.
Наряду с безмоментной теорией складок предложена методика
их расчета на основе метода конечных полос.
Пятая глава посвящена деревянным конструкциям гипер-
болических оболочек и методике их приближенного расчета,
основанной на применении численных методов решения диф-
ференциальных уравнений, описывающих поведение таких
тонкостенных пространственных конструкций под нагрузкой.
В главе 6, относящейся к трансформируемым деревянным
конструкциям, содержатся рекомендации для их практического
расчета с использованием почти-периодических функций при
решении задачи об изгибе анизотропных плит с учетом дейст-
вия осевых сил.
В седьмой главе приводятся результаты исследования ус-
тойчивости сетчатых куполов и сферических оболочек, имею-
щих начальные неправильности формы срединной поверхности
и находящихся под действием равномерного внешнего давле-
ния.
8
В заключительной восьмой главе рассматриваются вопро-
сы каркасного домостроения как одной из наиболее перспек-
тивных областей рационального использования древесины в
современном строительстве.
В конце монографии приведена библиография по отдель-
ным разделам книги. Авторы стремились привести прежде все-
го те источники, в которых дан подробный перечень литерату-
ры по рассматриваемому кругу вопросов. Формулы и рисунки
нумеруются по главам.
Авторы надеются, что их работа будет способствовать
распространению и развитию пространственных деревянных
конструкций и приведет к расширению исследований, проекти-
рования и возведения зданий и сооружений с применением ин-
дустриальных конструкций из дерева и пластмасс.
Материал настоящего издания был тщательно просмотрен
специалистами, и с их стороны было сделано много полезных
предложений и советов. Всем им авторы приносят искреннюю
благодарность за участие в подготовке, рецензировании и ре-
дактировании этой работы.
Ростов-на-Дону
2002 г.
А. Журавлев
9
1. СТЕРЖНЕВЫЕ КОНСТРУКЦИИ
КОНИЧЕСКИХ КУПОЛОВ
Значительную долю материалов, хранимых в крытых скла-
дах, составляют сыпучие материалы. Ограждающие конструкции
складов сыпучих материалов могут иметь развитие в вертикаль-
ном и горизонтальном направлениях. Соответственно этому при-
нято различать вертикально- и горизонтально-протяженные скла-
ды. Причем, если склады второй группы, как с точки зрения ос-
новных конструктивных схем, так и с позиций механизации тех-
нологических процессов достаточно хорошо проработаны, то, что
касается вертикальных складов, здесь имеется лишь небольшой
ряд примеров возведенных сооружений, о которых в современ-
ной технической литературе дается информация рекламного ха-
рактера.
В то же время следует отметить, что при малой емкости по-
гонной единицы склада приходится создавать склады большой
осевой протяженности, требующей соответствующей длины
транспортных путей. Кроме того, при обычных конструкциях
складов насыпь большой высоты требует устройства тяжелых
подпорных стенок. При проектировании складов сыпучих мате-
риалов необходимо стремиться к тому, чтобы установить такую
форму склада, при которой его габариты наилучшим образом со-
ответствовали бы габариту хранимого материала, и складское со-
оружение имело бы минимальные лишние объемы.
В большинстве случаев конструкция покрытия склада и его
опорных частей определяется типом транспортирующего обору-
дования, и такой склад представляет собой двускатный шатер,
состоящий из деревянного сборного каркаса, несущего крутую
крышу. Наиболее рациональной конструкцией покрытия склада
является в данном случае трехшарнирная треугольная распорная
деревянная конструкция.
В работах [1,2] произведен анализ эффективности и техни-
ческой целесообразности строительства складов минеральных
удобрений с покрытиями в форме стержневой конической обо-
лочки. Об очевидных преимуществах такой формы покрытия
красноречиво свидетельствуют данные расхода материала и
10
стоимости конструкции по сравнению с известными решениями
горизонтально-протяженных складов шатрового типа. В частно-
сти, в работе [1] указывается, что использование в покрытии со-
оружения стержневой конструкции конического купола приводит
при одинаковой величине полезного объема к снижению расхода
древесины в два раза.
Исследование влияния солей на дощатоклееные конструк-
ции показало, что древесина как нельзя лучше подходит в качест-
ве конструкционного строительного материала для хранилищ по-
таша. Следует отметить, что в процессе проектирования круглого
в плане сооружения отсутствовали какие-либо данные о поведе-
нии клееных элементов из древесины в среде, насыщенной соля-
ми. Для выяснения возможности применения конструкций из де-
рева при строительстве хранилищ поташа были проведены испы-
тания образцов материала в обычных комнатных условиях, в во-
де, в соли и в насыщенном соляном растворе.
Испытаниями клееных деревянных конструкций, находя-
щихся в агрессивной солевой среде, была доказана целесообраз-
ность их применения в хранилищах калийных удобрений.
С целью определения долговечности клееных деревянных
конструкций, находящихся под воздействием солей, предусмат-
ривалось проведение испытаний на динамическую прочность об-
разцов, изготовленных из красного бука. В состав клея входили
100 вес. частей пластазола L 47 и 11 вес. частей толуолсульфино-
вой кислоты. Время запрессовки образцов составляло 16 часов.
Определение прочности клеевого шва сухих образцов при
нормальных температурно-влажностных условиях производилось
после их пребывания в течение двух недель, а также четырех ме-
сяцев в климатической камере. При этом влажность древесины
образцов составляла 10-11%. Затем определялась прочность
клеевых соединений после четырех месяцев пребывания образцов
в воде. Экспериментальным путем была также выполнена оценка
снижения прочности клеевого шва на скалывание после четы-
рехмесячного пребывания образцов в сырой соли при комнатной
температуре. Влажность древесины образцов во время испытаний
оказалась равной 19%. В заключительной части программы ис-
пытаний планировалось произвести определение прочности клее-
11
вых соединений образцов после четырехмесячного их пребыва-
ния в насыщенном соляном растворе при температуре 23(,С.
В каждой из четырех серий испытывалось по 25 образцов.
Для проведения испытаний использовалась универсальная маши-
на, развивающая максимальный изгибающий момент 20 Нм
(PWQ 001 N, Carl Schenck Maschinenfabrik GmbH, Darmstadt). По
принципу своего устройства машина является релаксационной
установкой, обеспечивающей постоянную величину деформации
образца. Возбуждаемая частота составляла 1500 об/мин. Число
циклов определялось с помощью счетчика колебаний. Для опре-
деления фактического изгибающего момента использовалось си-
лоизмерительное устройство при кручении, деформации которого
измерялись с помощью индикатора часового типа. Непрерывное
измерение изгибающего момента обеспечивалось с помощью
электрического осциллографа, о направлении же возбуждаемого
напряжения и тока можно было судить по показаниям микроам-
перметра.
Образцы подвергались испытаниям на действие изгибающе-
го момента переменного знака. Для каждого образца определя-
лись величины числа циклов нагружения и соответствующие из-
гибающие моменты.
В результате эксперимента была выявлена доля той части
образцов, для которых имело место разрушение по древесине.
Соответствующие данные для различных вариантов условий хра-
нения образцов приведены в табл. 1.1.
Для части образцов разрушение наступало уже при десяти и
даже меньшем числе циклов испытаний. После визуального ос-
мотра такие образцы отбраковывались из общей массы, так как
для них были характерны либо недостатки в клеевых швах, либо
деформации волнообразования. Для доказательства низкого каче-
ства материала образцов, которые подвергались длительной ди-
намической нагрузке и хранились то ли в климатической камере
или в соляном растворе, из этой части разрушенных образцов из-
готавливались пробы для кратковременных статических испыта-
ний на поперечный изгиб в виде призматических образцов сече-
нием 49x11мм. При этом были получены значения прочности при
изгибе, приведенные в табл. 1.2.
12
Таблица 1.1
Процент разрушившихся по древесине образцов
в зависимости от условий их хранения
Условия хранения образцов Процент разрушивших- ся по древесине образ- цов
Пребывание в климатической ка- мере в течение 14 суток 42
Нахождение в течение четырех месяцев:
в воде 41
в климатической камере без соли 47
в сырой соли 63
в солевом растворе 71
• Таблица 1.2
Результаты кратковременных механических испытаний
образцов при поперечном изгибе____________________
Условия хранения образцов Значения прочности при изгибе, кгс/см2
минимальная средняя максимальная
Пребывание в те- чение 14 суток в ^климатической ка- мере 40 109 157
Нахождение в со- ляном растворе в течение четырех месяцев 39 86 139
Для образцов, разрушение которых имело место при мень-
шем числе циклов испытаний, показатели прочности при изгибе
оказывались ниже среднего значения. Сравнение результатов ис-
пытаний при равном числе циклов и одинаковой величине изги-
бающего момента показало, что после четырехмесячного пребы-
вания в соли или в соляном растворе отчетливых повреждений
13
клеевых соединений образцов не наблюдалось. Длительные ди-
намические испытания также подтвердили основные выводы о
надежности клеевых соединений, сделанные при проведении ста-
тических исследований. Результаты опытов были подтверждены
испытаниями конструкций на усталость, проведенными Дрезден-
ским Центральным институтом технологии древесины по заказу
комбината по производству калия.
В связи с увеличением спроса на калийные удобрения в г.
Цилитце (округ Магдебург) было осуществлено строительство
одного из самых крупных в Европе калийного предприятия. Ка-
лийные удобрения хранятся в четырех круглых хранилищах диа-
метром около 56 м каждое (рис. 1.1). Разработка технической и
Рис. 1.1. Хранилища калийных удобрений
строительно-технологической документации была выполнена
специалистами Чехии. Расчет пространственной стержневой кон-
струкции был проведен в инженерном институте г. Коттбуса. По-
ставщиком стержневой конструкции из клееной древесины яв-
лялся промышленно-строительный комбинат г. Цилитца, где и
был разработан проект монтажа покрытия.
Проектирование осесимметричного конусообразного покры-
тия для склада калийных удобрений выполнялось с учетом тре-
бования снижения общих затрат на строительство с помощью эв-
ристического подхода при использовании специальной програм-
мы “Расчет и конструирование пространственных стержневых
14
систем”, разработанной отделом вычислительной техники и об-
работки данных архитектурно-строительного института в Вейма-
ре в сотрудничестве с исследовательским центром “Роботрон”
(Дрезден). При выборе эвристического подхода авторы проекта
исходили из перспектив применения в народном хозяйстве желе-
зобетонных и деревянных конструкций в покрытиях складских
зданий калийной промышленности. Разработка эскизного проек-
та основывалась на данных работы [1] и заключалась в том, что-
бы обеспечить минимум общих затрат и максимум использова-
ния полезного объема сооружения. Строительство хранилища
осуществлено Магдебургским промышленным комбинатом.
Оптимальная форма покрытия была получена на основе
применения конструкций в виде короткого цилиндра и опертой
на него конической стержневой конструкции из клееной древеси-
ны. С точки зрения строительной механики сочетание осесим-
метричных конфигураций в виде цилиндра и конуса создают бес-
спорное преимущество конструкции покрытия, которое заключа-
ется в достижении ее высокой несущей способности. Нижняя
часть конструкции в виде цилиндра изготавливается из железобе-
тона, а верхняя - в виде конуса из клееной древесины. Мини-
мальные затраты материала на изготовление пространственной
стержневой конструкции обусловливаются тем, что во первых,
достигается минимум числа стержней и узлов (система статиче-
ски определима), и во вторых, конструкция покрытия состоит из
непризматических главных балок составного сечения.
Стержневая конструкция конической оболочки, имеющая
радиус основания R=27,9m и высоту конуса й=20,54м, состоит из
16 меридиональных ребер, представляющих собой дощатоклее-
ные балки переменного сечения, установленные по периметру
опорного кольца с шагом 10,95м. Длина образующей конуса
S=34,04m. При этом площадь боковой поверхности конического
покрытия составляет около 3000м2. В верхней части конуса на
отметке 22,25м меридиональные ребра опираются на стальное
кольцо, имеющее конфигурацию правильного шестнадцати-
угольника. Длина каждого из шестнадцати меридиональных ре-
бер была принята равной S=30,1m. На одной четверти длины от
низа каждого из главных меридиональных ребер последние вы-
15
поднялись из клееной древесины и имели сплошное прямоуголь-
ное сечение, в то время как на остальной части длины этих ребер,
они представляли собой элементы составного сечения из двух
ветвей шириной 95мм и высотой 544мм каждая Следует отме-
тить, что в нижней части ребра имели максимальные размеры по-
перечного сечения, равные 2x95x704мм, причем между ветвями
составного стержня располагались длинные прокладки. В осталь-
ной части покрытия меридиональные ребра имели также состав-
ное сечение и представляли собой двухветвевые стержни с ко-
роткими прокладками. Между узлами примыкания к меридио-
нальным ребрам балок кольцевого направления размещалось по
пять коротких прокладок.
Для обеспечения пространственной устойчивости стержне-
вой конструкции покрытия между главными балками в каждом из
4-х кольцевых ярусов устанавливались диагональные ребра жест-
кости различного сечения (рис. 1.2).
В пределах двух нижних кольце-
Рис. 1.2. Стержневая
конструкция покрытия
вых ярусов между главными мери-
диональными ребрами устанавлива-
лось по два дополнительных ребра в
меридиональном направлении с це-
лью уменьшения свободной длины
брусков обрешетки кровли
Соединение отдельных ветвей
главных меридиональных ребер осу-
ществлялось с помощью стяжных
болтов на гладкокольцевых шпонках,
размещаемых по высоте сечения в два
ряда.
Стержневая конструкция кони-
ческой оболочки опирается на отмет-
ке 4,1 м по всему периметру нижнего опорного кольца на желе-
зобетонную балку. Геометрическая форма покрытия хранилища
выбрана в соответствии с углом естественного откоса хранимого
сырья, который в данном случае находился в пределах 36-38°.
Покрытие состоит из складской башни, элементов ограждения,
кольцевой стенки и транспортерных галерей (рис. 1.3).
16
1
Рис. 1.3. Общий вид конического покрытия
Облицовка поверхности конического покрытия осуществле-
на из асбестоцементных листов, укладываемых по обрешетке из
брусьев. В железобетонном
Рис. 1.4. Световые проемы
цилиндре можно складировать ка-
лийное удобрение до высоты трех
метров. В кольцевой стенке име-
ются проемы для входных уст-
ройств в сооружение.
В пределах каждой из шест-
надцати граней многогранного
покрытия в кровле устраивалось
по три световых проема в виде
полос из светопроницаемого по-
лиэфирного стеклопластика.
Крайние из проемов имели в два
раза меньшую протяженность,
чем средний; в свою очередь дли-
на среднего проема составляла
три четверти длины меридиана
(рис. 1.4). Швы между листами
герметизировались с помощью
вяжущей смеси на основе эласти-
библиотека
РГСУ
17
ка. Искусственное освещение осуществляется двумя прожекто-
рами, смонтированными в уровне верхнего многоугольного
кольца.
В верхней части покрытия к загрузочной башне примыкает на-
клонная галерея для загрузки хранилища сырьем, подаваемым с по-
Рис. 1.5. Загрузочная башня и наклонная гале-
рея в процессе строительства склада
мощью ленточного транспортера (рис. 1.5). Выгрузка сырья осущест-
вляется также с помощью ленточных транспортеров, размещающихся
в проходных каналах подземной части хранилища.
После установки главных балок в проектное положение у
них значительно снижается несущая способность по сравнению с
той грузоподъемностью, которую балки должны иметь в готовой
пространственной конструкции. Поэтому при монтаже обычно
устраиваются временные опоры, и для того чтобы их число было
минимальным, использовалась следующая технология монтажа
покрытия. В центре хранилища была возведена квадратная опор-
ная башня (рис. 1.6).
Для установки элементов стержневой конструкции в про-
ектное положение, на опорном кольце были смонтированы 8 гид-
равлических домкратов С целью повышения несущей способно-
сти главных балок на стадии монтажа сооружения и устранения
их прогибов от собственной массы эти элементы конструкции
покрытия подвергались предварительному напряжению с таким
расчетом, чтобы в центре пролета они имели выгиб порядка
18
50мм. Для достижения этой цели использовался стальной трос
диаметром 27мм, в котором создавалось усилие преднапряжения
порядка 100 кН. Чтобы на стадии возведения стержневой конст-
рукции конического покрытия сохранить выгиб главных балок и
затем по окончании монтажа демонтировать напрягаемый трос,
потребовалась установка поддерживающих опор из стальных
труб в центре пролета главных балок. При устройстве обрешетки
кровли использовалась подъемная платформа. Верхнее опорное
кольцо было спроектировано таким образом, чтобы при нагруже-
нии главных балок они могли скользить по кольцу в продольном
направлении параллельно центра)]ьной оси. После устройства об-
решетки собранная деревянная конструкция с помощью гидрав-
лических домкратов устанавливалась в проектное положение,
после чего снималось предварительное напряжение.
Рис. 1.6. Опорная башня
Полный расход древесины составил 224 м3 на одно храни-
лище, в том числе на стержневую конструкцию покрытия кони-
ческой формы - 217 м3. Схема покрытия здания склада с указани-
ем основных геометрических параметров приведена на рис. 1.7.
Для осесимметричной конструкции конической оболочки
достаточно рассмотреть её часть, расположенную справа от диа-
метральной плоскости. Нумерация узлов и стержневых элементов
этой части конической оболочки представлена на рис. 1.8.
Горизонтальная проекция одного из секториальных участков
покрытия показана на рис. 1.9.
19
Координаты узловых точек при этом определяются с помо-
щью следующих выражений:
у t = -Rt cos а; х; = Rt sin а; zt =(R- Rt )tgfi.
Рис. 1.7. Схема покрытия здания склада
20
St I
Рис. 1.8. Расчетная схема части оболочки
21
Здесь радиус горизонтального круга 7?z для каждого из мно-
гоугольных колец в свою очередь определяется так:
R - г
Rt =R- (z -1)-------, (z = 1,2,...,5).
п
Очевидно, что в рассматриваемом случае число кольцевых
ярусов п = 4, а радиусы верхнего и нижнего оснований, как это
следует из рис. 1.7, равны г=3,25м и 7?=27,90м.
При определении грузовых площадей F'=Fcos/3, первона-
чально вычисляется повторяющийся в выражении для Rt множи-
тель (R-r)/4=6,1625м. При этом параметры а' и V получаются
равными:
а'= 6Д625 • cos- = 6,1625 • 0,9808 = 6,044м,
2
b\ = 2R • sin- = 2• 27,90• 0,1951 = 10,887м,
1 2
b'2 = 2(F - 6,1625)sin^ = 2 • 21,7375 • 0,1951 = 6,077м,
Ь'3 = 2(7? - 2- 6,1625)sin| = 2-15,575 -0,1951 = 6,077м,
Ь\ = 2(7? - 3 - 6,1625) sin | = 2 • 9,4125 • 0,1951 = 3,673м,
Ь' = 2r • sin - = 2 • 3,25 • 0,1951 = 1,268м.
2
На основании этих данных имеем
22
F\-
a’
~2
,, b\+b'2
°1+ 2 _ 6,044
2 2
10,887 J °-SS7tS-4S2
-------------2------= 31,08м2,
2
F'2 = a'-b'2 = 6,044 • 8,482 = 51,268м2,
F'3 = a'-b'3 = 6,044 • 6,077 = 36,729м2,
F\ = a'-b\ = 6,044 • 3,673 = 22,228м2,
b’4+b'5 ,, 3,673 + 1,268
а' , +b5 6 044 -------?------+1,268 2
F. £-------2-----_ = -------2---:-------= 5з648м2.
5 2 2 2 2
Вычисленные значения координат узлов и соответствующих
грузовых площадей приведены в табл. 1.3.
Таблица 1.3
Значения координат узлов
и соответствующих грузовых площадей
Номера Угловые координаты Координаты узлов, м Грузовые 2 площади, м
узлов а0 X-Rsina Y=-Rcosa ьр 11 F’-Fcosa К
1,41 0°00' 36°35' 0.00 -27.90 0.00 31.08/2 39.59/2
2, 42 66 66 66 -21.74 4.54 51.27/2 63.66/2
3, 43 66 66 66 -15.58 9.08 36.73/2 45.61/2
4, 44 сс 66 -9.41 13.61 22.23/2 27.60/2
5,45 сс с< 66 -3.25 18.15 5.65/2 7.02/2
6, 36 22°30 сс 10.68 -25.78 0.00 31.03 38.59
7, 37 66 8.32 -20.08 4.54 51.27 63.66
8, 38 сс 66 5.96 -14.39 9.08 36.73 45.61
9, 39 66 66 3.60 -8.70 13.61 22.23 27.60
10, 40 66 1.24 -3.00 18.15 5.65 7.02
11,31 45°00 66 19.73 -19.73 0.00 31.08 38.59
12,32 и 66 15.37 -15.37 4.54 51.27 63.66
23
Окончание таблицы 1.3
13, 33 сс СС 11.01 -11.01 9.08 36.73 45.61
14, 34 сс сс 6.66 -6.66 13.61 22.23 27.60
15, 35 сс СС 2.30 -2.30 18.15 5.65 7.02
16, 26 67°30 СС 25.78 -10.68 0.00 31.08 38.59
17, 27 СС сс 20.08 -8.32 4.54 51.27 63.66
18, 28 СС сс 14.39 -5.96 9.08 36.73 45.61
19,29 СС сс 8.70 -3.60 13.61 22.23 27.60
20, 30 СС сс 3.00 -1.24 18.15 5.65 7.02
21 90°00 сс 27.90 0.00 0.00 31.08 38.59
22 сс сс 21.74 сс 4.54 51.27 63.66
23 СС сс 15.58 сс 9.08 36.73 45.61
24 СС сс 9.41 сс 13.61 22.23 27.60
25 СС сс 3.25 сс 18.15 5.65 7.02
Статический расчет стержневой конструкции конической
оболочки был выполнен на ЭВМ NE 503 в вычислительном цен-
тре “Robotron” г. Дрездена. Полученные в результате расчета
усилия в стержневых элементах конструкции конической обо-
лочки характеризуются данными, приведенными в табл. 1.4.
Стержневая конструкция рассчитывалась на семь вариантов на-
гружения, причем из них первые четыре входят в состав комби-
нации нагрузок LK 1, к числу которых относится прежде всего
нагрузка от собственной массы элементов несущей конструкции,
включая массу прогонов и кровли. Интенсивность этого вида на-
грузки составила ЭОкгс/м2 и обозначена в табл. 1.4 как LF 1. Под
LF 2 понимается загружение конструкции снеговой нагрузкой,
нормативное значение которой на горизонтальную проекцию по-
крытия принималось равным so =70кгс/м2 . Случай, когда снего-
вая нагрузка распределена в круговом направлении по периоди-
ческому закону 50 = О,5з,о(1 +cosa), обозначается как LF 3. При
определении компонентов ветровой нагрузки (случай LF 4) были
использованы соответствующие значения аэродинамических ко-
эффициентов, полученные опытным путем в результате испыта-
ний модели конической оболочки и ее продувке воздушным по-
током в аэродинамической трубе, произведенных в институте
24
прикладной аэродинамики Дрезденского технического универси-
тета.
Что касается сочетания нагрузок LK 2, то здесь, кроме выше-
упомянутых видов загружения принимается во внимание нагруз-
ка в виде сосредоточенных сил, распределенных по периметру
верхнего кольца. Этот случай нагрузки, поименованный в табл.
1.4 как LF 7, учитывает собственный вес загрузочной башни вме-
сте с размещенным в ней технологическим оборудованием. В
двух других вариантах нагружения LF 5 и LF 6 учитываются со-
ответственно дополнительные нагрузки от собственной массы га-
лереи и действующей на нее ветровой нагрузки.
Для иллюстрации процедуры расчета, связанной с оценкой
несущей способности главных балок меридионального направле-
ния, рассмотрим, например, группу стержней 1-9.
Следует прежде всего отметить, что главные балки покрытия,
будучи подкреплены в трех промежуточных точках, работают как
неразрезные конструкции. При этом расчетные усилия в рассмат-
риваемых стержнях группы 1-9 (рис. 1.8) получаются равными:
7V=-424kH, Л7=60кНм.
Главные балки меридионального направления в опорных па-
нелях представляют собой составные двухветвевые стержни,
имеющие длинные прокладки. В то же время в плоскости дейст-
вия внешней нагрузки эти деревянные элементы работают как
цельные стержни сплошного сечения. Таким образом, без учета
прокладок, размеры поперечного сечения главных балок мери-
дионального направления в пределах нижнего кольцевого яруса
составляют 2-9,5-70,4см. Геометрические характеристики попе-
речного сечения этих конструктивных элементов будут:
F= 1338см2 и W= 15694см5.
При длине панели 1=1,65м гибкость получается равной
Л = 38. Этому значению гибкости соответствует коэффициент
продольного изгиба <р = 0,88. Вслед за этим определяется значе-
ние коэффициента f, с помощью которого оценивается влияние
продольной силы на величину изгибающего момента. В данном
случае имеем
25
Таблица 1.4
Расчетные усилия в стержневых элементах конической оболочки
Номера групп стержней Длина стержней, м Виды загружений Комби- нации нагру- зок Расчетные зна- чения усилий
LF1 LF2 LF3 LF4 LF5 LF6 LF7 LK 1 LK 2
1- -9 7,65 -17^9 -9,4 -7,95 -1,42 -927 +15,05 -18,97 -834 +16,85 -5,49 -3628 4242 -212 4242
10- -18 7,65 -9,82 -529 -4,49 -0,73 -5,46 +10,77 -1120 4,75 +1252 -5,49 -2037 +035 -27,05 +032 -27,05 +132
19- -27 7,65 -423 -230 -201 -023 430 +429 -5,62 -3,49 +532 -5,49 -11,13 +0,06 -1630 +озо -1630 +030
19- -27 7,65 -423 -230 -201 -023 4,60 +429 -5,62 -3,49 +532 -5,49 -11,13 +0,06 -1630 +озо -1630 +030
28- -36 7,65 -036 -0,46 -0,44 -0,02 -292 +132 -225 -1,86 +132 -5,49 424 +1,06 -10,06 033 -10,06 +1,06
37- -44 1228 0 0 63,10 -11,16 +1236 0 -1123 +1242 0 -1426 +15,46 -1433 +1532 -1433 +1532
45- -52 8,48 -16,05 -8,46 -8,78 -Ю36 -8,80 +1204 -16,05 8,85 +1211 0 -33,63 -3,65 -33,68 -338 -33,68
53- -60 10,49 0 0 6139 -7,66 +935 0 -7,78 +933 0 -9,65 +11,84 -9,77 +11,92 -9,77 +1132
61- -68 6,08 -1132 -6,06 6,07 40,03 -ззз +1032 -1132 -ззо +10,42 0 -21,42 -1,17 -21,49 -21,49
69- -76 8,99 0 0 61,12 -5,02 +8,44 0 -525 +8,60 0 -6,14 +936 637 +9,72 -637 +9,72
77- -84 3,67 -6,96 -3,65 -3,60 -0,10 -1,78 +731 -636 -130 +7,47 0 -1239 +035 -1251 +031 -1251 4031
85- -92 735 0 0 6038 -299 4635 0 -338 +726 0 -337 4633 436 +7,64 436 +7,64
93- -100 127 -1,78 -034 -031 -0,03 -1,40 +3,00 4,63 -1,16 +330 -1131 4,12 +122 -18,04 +1,13 -18,04 +122
26
424
c. N
£ = 1----------------- 1--------------------0,7.
cp-F R -m 0,88-1338-1,3-0,93
Оценка условия прочности при расчете главной балки мери-
дионального направления сводится к следующему
А М 424 6000 ло^кН
— + =-------+--------= 0,86—-
F 1338 0,7-15694 см2
= 8,6МПа< Rcm6 = 12,1МПа.
Как видим, несущая способность вполне обеспечивается.
Аналогичным образом выполняется расчет главной балки в пре-
делах каждого из трех других кольцевых ярусов.
27
2. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ РАСЧЕТА
МНОГОГРАННЫХ КУПОЛОВ
2.1 Построение пространственных конфигураций в
форме выпуклых многогранников
Системы из дискретных элементов на плоскости могут обра-
зовывать регулярные и нерегулярные плоские точечные решетки.
С позиций определения кристаллографических классов точечные
решетки в трехмерном пространстве приводятся к пяти правиль-
ным многогранникам, называемым Платоновыми телами, и к 13
полуправильным многогранникам, известным под названием тел
Архимеда. Каждая из этих конфигураций может быть вписана в
шар.
Гранями правильных тел трехмерного пространства являют-
ся правильные многоугольники. Поскольку в каждой вершине
многогранника сходятся, по меньшей мере, три многоугольника,
то углы его должны быть меньше, чем 2л/3. Следовательно, гра-
нями правильных многогранников могут быть только равносто-
ронние треугольники, четырехугольники и пятиугольники.
Правильные многогранники переходят друг в друга при по-
лярном преобразовании относительно вписанного или описанно-
го шара. При этом тетраэдр (Т) занимает особое место, так как он
двойственен самому себе, между тем как остальные четыре тела
попарно двойственны друг другу: октаэдр (О) — гексаэдру (Г), а
додекаэдр (Д) — икосаэдру(Т).
Следует также отметить, что не все из правильных много-
гранников, рассматриваемых как пространственные точечные
решетки, удовлетворяют условию геометрической неизменяемо-
сти; в действительности только три из них, имеющие треугольную
разрезку (тетраэдр, октаэдр и икосаэдр) и обозначенные соответ-
ственно буквами Т, О и I, геометрически неизменяемые и стати-
чески определимы.
При решении экстремальной задачи о наиболее плотной
решетчатой упаковке шаров единичного радиуса доказывается
[30], что такое расположение может быть достигнуто, когда цен-
тры шаров образуют кубооктаэдр так, что каждый шар касается
12 других, а именно: шести — экваториальных, трех — нижнего
28
слоя и трех — верхнего (рис. 2.1,а).
Кубооктаэдр относится к семейству равноугольных полупра-
вильных многогранников и полярным преобразованием относи-
тельно описанного шара переводится в двойственный ему равно-
гранный многогранник — ромбододекаэдр.
Можно также получить другое компактное расположение
шаров, если центральный переместить таким образом, чтобы ос-
тальные 12 соприкасающихся с ним шаров с их центрами на
вершинах кубооктаэдра сблизились между собой в образовавшем-
ся пространстве. При такой упаковке кубооктаэдр преобразуется в
икосаэдр (рис. 2.1,6), где шар касается 12 других, равных ему ша-
ров, в вершинах вписанного икосаэдра.
Рис. 2.1. Расположение шаров единичного
радиуса при их наиболее плотной упаковке
Таким образом, каждая система материальных шаров в про-
странстве разбивает его на выпуклые многогранники.
Различают 4 способа построения пространственных конфигу-
раций, которые приводят к образованию семейств полуправильных
многогранников, обеспечивающих различные приближения к впи-
санной сфере S [34].
Первый — заключается в проецировании на поверхность сфе-
ры S середин ребер многогранника из центра вписанной сферы.
Такой прием построения конфигураций точек и плоскостей в про-
странстве носит название способа дублирования.
Если дублирование применяется к определенному типу пра-
29
вильных или полуправильных многогранников, то в результате
получается ряд пространственных конфигураций, которые обозна-
чаются символом исходного многогранника и снабжаются индек-
сом 2", причем показатель степени п соответствует порядковому
номеру операции. Так, например, после первой операции дублиро-
вания, примененной к правильным многогранникам, имеющим Е
вершин, К ребер и F граней, получим полуправильные многогранни-
ки 7\, и (рис. 2.2, а, б, в), у которых число вершин, ребер
и граней в свою очередь будет равно:
=Е+К-
К2. = 2К+гЕ;
F2=F + гЕ;
где г=3,4,5 в зависимости от того три, четыре или пять граней схо-
дятся в вершине исходного многогранника.
Таким образом, выполнение первой операции дублирования
приводит к образованию двух типов вершин, ребер и граней. В вер-
шинах исходного многогранника сохраняется то же число ребер, а
во вновь образованных вершинах сходятся по шесть ребер.
Рис. 2.2. Образование полуправильных многогранников
в результате первой операции дублирования
В общем случае, применение дублирования всегда связано с
30
сохранением числа правильных многоугольников исходного мно-
гогранника, причем они являются либо прямым, либо обратным
отображением граней исходной фигуры.
Второй способ построения пространственных конфигураций,
носящий название способа деления, состоит в делении дуг боль-
шого круга, соответствующих каждому из ребер исходного много-
гранника, на равные части, что эквивалентно выполнению первой
операции дублирования. При этом в вершинах правильных мно-
гогранников число ребер и граней остается постоянным. Послед-
ние представляют собой равнобедренные треугольники. Кроме
того, появляется новый тип граней, каждая из которых имеет уд-
военное число сторон, причем противоположные стороны па-
раллельны, но не равны друг другу.
Обозначив число вершин, ребер и граней полуправильного
многогранника, построенного способом деления, индексом 3',
можем записать
Ез. = Е+2К;
K3.=3K+tE;
F3=F + tE;
Здесь t указывает на какое нечетное число равных частей делятся
дуги большого круга, соответствующие ребрам правильного мно-
гогранника.
Третий способ заключается в проецировании центров граней пра-
вильного многогранника на поверхность сферы S. Он приводит к по-
строению двух спаренных многогранников, называется процедурой
сдваивания и характеризуется взаимным проникновением двух впи-
санных в сферу многогранников.
Применительно к гексаэдру (Q (рис. 2.3) полученная таким об-
разом конфигурация представляет собой двойной многогранник СО,
соединение вершин которого дает полуправильный многогранник
с пирамидами на гранях гексаэдра.
В случае додекаэдра (D) этот способ приводит к образованию
двойного многогранника DI (рис. 2.4,а). Вершины двух спаренных
многогранников здесь также могут быть соединены между собой в
определенной последовательности. При этом сохранение ребер D
привело бы к образованию полуправильного многогранника на осно-
31
ве выпуклых пирамид (рис. 2.4,6). Подобно этому, сохраняя ребра 1,
получают новую конфигурацию в виде совокупности вогнутых пи-
рамид (рис. 2.4,в).
Рис 2.3. Процедура сдваивания для гексаэдра
Рассмотрение пространственных конфигураций с более мелкой
разрезкой, полученных способом сдваивания, показывает, что ос-
новной недостаток его, во-первых, выражается в образовании вершин
с большим числом сходящихся в них ребер и, во-вторых, в получении
многочисленных типоразмеров ребер.
Наконец, четвертый способ построения пространственных кон-
фигураций сводится к образованию пирамидальных элементов для
многогранников с нетреугольными гранями. Он называется спосо-
бом построения пирамид, заключается в проецировании центров
квадратных и пятиугольных граней многогранников из центра впи-
санной сферы S и приводит к образованию пространственных кон-
фигураций, характеризуемых наличием треугольных граней в виде
равносторонних и равнобедренных треугольников.
Наилучшим образом задача построения пространственных конфи-
гураций в форме выпуклых многогранников решается способами дуб-
лирования и построения пирамидальных элементов. При этом тре-
угольные сферические решетки получаются в тех случаях, когда
процедура дублирования применяется к икосаэдру (/) или же способ
построения пирамид — к додекаэдру (D).
32
Рис. 2.4. Процедура сдваивания для додекаэдра
с образованием выпуклых и вогнутых пирамид
Следует также заметить, что для полурегулярных много-
гранников применение этих способов ограничено классом фигур
типа А (3,5,3,5), А (5,6,6) и А (3,3,3,3,5), имеющих только тре-
угольные, пятиугольные и гексагональные грани.
Пространственные точечные решетки, привод ящие к образова-
нию конструктивной сети многогранного купола, описываются впо-
следствии как икосаэдральные, додекаэдральные и решетки типов
А (3,5,3,5), А (5,6,6) и А (3,3,3,3,5).
Для более наглядного представления о дискретных точечных
фигурах и с целью облегчения при определении количества типо-
размеров их ребер и граней построения решеток выполняются на од-
ной из граней многогранника.
Пример икосаэдральной точечной решетки, получаемой в
результате деления дуг большого круга на три равные части, при-
веден на рис. 2.5. В самом деле, проектируя центры со треугольных
граней икосаэдра АЛА из центра Q на S и соединяя С с D, имеем
конфигурацию, соответствующую полуправильному многогранни-
ку (/^, в состав которой входят пятиугольные пирамиды на верши-
нах I и шестиугольные — с основаниями в виде плоских шес-
тиугольников с параллельными, но неравными противолежащими
33
сторонами. В общем виде такой 180-гранник имеет:
= 12 + 20 + 2х 30 = 92 (3 типа);
= 3 х 30 + 9 х 20 = 270 (3 типа);
F3. =9x20 = 180 (Зтипа).
Рис 2.5. Построение икосаэдралыюй точечной
решетки (Г) у на одной из граней икосаэдра
Выполнение над построенной конфигурацией (/)3' процеду-
ры дублирования, приводит к 720-граннику, имеющему 8 типораз-
меров ребер (рис. 2.6,а). На его основе получается также полупра-
вильный многогранник с правильными пятиугольными гранями у
вершин 1 и несимметричными шестиугольниками семи типов на ос-
тальной поверхности, причем два из них обратны друг другу (рис.
2.6,6). Полученный 362-гранник имеет 11 типов ребер. Два поту-
правильных многогранника могут быть сдвоены, что дает треуголь-
ную точечную решетку (рис 2.6,в).
За рубежом наибольшее распространение получил способ по-
строения конструктивной сети, основанный на триангуляции по-
верхности сферы с помощью геодезических линий, и носящий на-
звание способа Б. Фуллера [22]. В данном случае также использу
ется разрезка поверхности сферы на 20 равносторонних сфериче-
ских треугольников, проекции которых на соответствующие плос-
кости приводят к образованию кристаллического икосаэдра. Далее
отдельные сферические треугольники разделяются на три конгру-
энтных сферических четырехугольника, являющиеся один по от-
ношению к другому зеркальным отображением. Суть этого спосо-
34
ба, предусматривающего использование процедур сдваивания и де-
ления, хорошо прослеживается на рис. 2.7, где дается также схема
последующего разукрупнения конструктивной сети на сфере.
Рис 2.6. Построение пространственных точечных
решеток на основе конфигурации (Г)з>:
а - фрагмент конструктивной сети 720-гранника; б - решетка 362-
гранника с шестиугольными ячейками; в - образование треугольной
решетки при сдваивании полуправильных многогранников
Рис 2.7. Схема последовательного размельчения
конструктивной сети на сфере
35
Что касается додекаэдральных точечных решеток, то исходной
фигурой для их построения является полуправильный многогран-
ник, изображенный на рис. 1.4.6. Над таким многогранником целесо-
образно выполнить лишь первую и вторую операции дублирова-
ния, причем в результате второй получается 960-гранник с 16 ти-
поразмерами граней, и последующая триангуляция точек на по-
верхности сферы S приводит только к увеличению количества раз-
нотипных граней.
Простейшей точечной решеткой типа А (3,5,3,5) является ар-
химедов многогранник, получаемый из икосаэдра (7) и из додека-
эдра (D) при помощи специально подобранных отсечений вер-
шин и ребер. При этом, например, символ A (i,j,k>l) означает, что в
вершинах сходятся в заданной циклической последовательности i-,
j-, к- и /-угольники. Построение полуправильного многогранника
А (3,5,3,5) показано на рис. 2.8,а. Он имеет:
£ = 30;
£=60 (4 у каждой вершины);
F=12 пятиугольников + 20 равносторонних
треугол ьников=32.
Рис 2.8. Построение квазирегулярного 80-гранника
Обозначив через р радиус сферы S, описанной около много-
гранника А (3,5,3,5), заметим, что р есть ничто иное, как расстоя-
ние от центра Q до точки А, делящей ребро 7 на две равные части.
Отсюда следует, что в долях радиуса сферы, описанной около
икосаэдра,
36
p^r
10
Проецируя затем центры пятиугольных граней на поверх-
ность сферы S и фиксируя положение вершин В пирамидальных
элементов на радиусах р, получаем квазиретулярный 80-гранник
(рис. 2.8,6), который характеризуется следующими данными:
К = 60 + 5x12= 120 (2 типов);
F=20 равносторонних треугольников + +5x12
равнобедренных треугольников - 80;
Построение более плотных точечных решеток на основе мно-
гогранника А (3,5,3,5) связано с выполнением двух последующих
процедур дублирования. Первая приводит к образованию 320-
гранника с 6 типами граней, а повторное дублирование дает
1280-гранник с треугольными гранями 15 типов. Поскольку по-
луправильный многогранник А (3,5,3,5) в диаметральных плоско-
стях трех направлений образует правильные десятиугольники,
то пространственные точечные решетки рассматриваемого типа
могут быть использованы при построении конструктивной сети
куполов в виде полусферы.
Рис 2.9. Точечная решетка типа А (5,6,6,6)
Пространственная точечная решетка типа А (5,6,6) (рис. 2.9)
представляет собой усеченный икосаэдр. Отсечение каждого реб-
ра I здесь осуществляется с сохранением его средней трети. Дли-
ны ребер полученного таким образом архимедова многогранника
37
A (5,6,6) являются функцией радиуса описанной сферы
, ,2(5-75)
аа У25 + 4л/5Л
Надстройка пирамид над гранями многогранника А (5,6,6)
дает квазирегулярный 180-гранник с двумя типами равнобед-
ренных треугольников А АВ и А АС (рис. 2.10,а).
Применение первой операции дублирования к только что
рассмотренному 180-граннику переводит его в многогранник
(рис. 2.10,6), который имеет
=92 + 270 = 362;
^.=2x270 + 3x180 = 1080 (7 типов);
F2. = 4х 180 = 720 (8 типа).
При построении 720-гранника рациональной является схема,
предложенная М.С. Туполевым [31, 32]. Смысл ее в том, что все
12 вершин икосаэдра срезаются так, что при этом получается 32-
гранник, составленный из 12 правильных пятиугольников и 20
правильных шестиугольников. Проектирование центров этих пра-
вильных фигур на сферу S дает сферический 180-гранник с двумя
типами граней в виде сферических равнобедренных треугольни-
ков. При последующем членении сферы на треугольные ячейки,
прежде всего, делят пополам высоты равнобедренных треуголь-
ников, затем проводят линии большого круга, рассекающие эти
сферические треугольники на четыре части. Срезая части сферы
плоскостями, проходящими через три вершины каждого тре-
угольного сегмента, получают кристаллический 720-гранник.
Пространственная точечная решетка такого типа соответствует
конструктивной сети купола из стеклопластика, построенного в
Северодонецке [13].
В работе [19] А.Н. Косолаповым рассматривается другой спо-
соб построения кристаллического 720-гранника, который состоит
в делении ребер икосаэдра на четыре части. Полученные точки
деления соединяются между собой прямыми, параллельными
биссектрисам внутренних углов граней икосаэдра, после чего
центрально проецируются на сферу, образуя 240-гранник при
трех типоразмерах граней. Затем на каждой из треугольных гра-
38
ней находят центры описанных окружностей, проецируют их на
сферу S и, соединяя эти точки последовательно между собой и с
вершинами 240-гранника, получают 720-гранник при четырех
типоразмерах граней.
Рис 2.10. Построение пространственных точечных
решеток на основе конфигурации А (5,6,6):
а - решетка квазирегулярного 180-гранника; б - фрагмент решетки
720-гранника
Точечная решетка типа А (3,3,3,3,5) представляет собой ар-
химедов многогранник, для наглядного представления о построе-
нии которого удобно воспользоваться следующим приемом. В
каждой грани додекаэдра (D) вычерчиваются меньшие пяти-
угольники, концентрические и гомотетические с гранями. Эти
многоугольники вращают на один и тот же угол вокруг их центра
и далее рассматривается выпуклая оболочка из полученных непе-
ресекающихся многоугольников. При подходящем уменьшении и
повороте треугольные грани станут правильными. Такое по-
строение дает многогранник А (3,3,3,3,5) (рис. 2.11.), имеющий
Е=60;
К=150;
F=12 пятиугольников + 80 равносто-
ронних треугольников = =92.
39
Рис 2.11. Пространственная точечная решетка
конфигурации типа А (3,3,3,3,5)
Требуемое расположение точек на поверхности сферы 5 в
случае 140-гранника достигается посредством построения пира-
мид над пятиугольными гранями архимедова многогранника А
(3,3,3,3,5)- Операция дублирования позволяет сконструировать
пространственную конфигурацию, для которой число вершин,
ребер и граней соответственно
Е2' = 72 + 210 = 282 (5 типов):
^.=2x210 + 3x140 = 840 (5 типов);
f2- = 4 х 140 = 560 (6 типов).
В табл. 2.1 сопоставлены важнейшие данные для всех пяти
типов треугольных сферических решеток. Как показывает анализ,
чем выше плотность пространственной точечной решетки, тем
меньше отношение числа типов вершин, ребер и граней к их об-
щему количеству. Так, например, решетка /1(3,3,3,3,5)2. по конст-
руктивным соображениям более удобна, чем (/^поскольку от-
ношение числа типов ребер к их общему количеству составляет
1/168, а для (1)5 —1/125.
Следует также отметить, что некоторые типы пространственных
точечных решеток соответствуют друг другу по числу вершин,
ребер и граней, например, Л (3,5,3,5)О и (/)2,А (3,5,3,5)2- и (/)22. Они
отличаются между собой только длинами типовых элементов, в ос-
тальных отношениях они изоморфны.
40
Таблица 2.1.
Число вершин, ребер и граней выпуклых многогранников
в зависимости от типа исходной конфигурации
и способов ее разрезки.
Исходная конфигура- ция Способы разрезки
Построение пирамид Процедура дублиро- вания Процедура деления
первая вторая на 3 час- ти на 5 частей
1 2 3 4 5 6
(I) Е=12/1 К=30/1 F=20/l (Dy 42/2 120/2 80/2 W22 162/4 480/5 320/6 «з1 92/3 270/3 180/3 w51 252/5 750/6 500/7
(D) Е=20/1 K=3Q/1 F=12/l (D)o 32/2 90/2 60/1 122/4 360/4 240/4 (^2 482/12 1440/11 960/16
А (3,5,3,5) Е=30/1 Е-60/1 F=32/2 А (3,5,3,5)0 42/2 120/2 80/2 Л(3,5,3,5)2 162/4 480/5 320/6 Л(3,5,3,5)22 642/10 1920/15 1280/15
А (5,6,6) Е=60/1 Л=90/1 F=32/2 А(5,6,6)0 92/3 270/3 180/2 Д5,6,6)2. 362/7 1080/7 720/8 Д5,6,6)22 1442 4320 2880 45,6,6)5, 2252 6750 4500
А (3,3,3,3,5) Е=60/1 150/1 F=92/2 А (3,3,3,3,5)0 72/2 210/2 140/2 Д3,3,3,3,5)2. 282/5 840/5 560/6 43,3,3,3,5) j2 1122/15 3360/15 2240/15 43,3,3,3,5) 3, 632/9 1890/9 1260/9
В графе «Исходная конфигурация» табл. 2.1 знаменатель
дроби указывает количество вершин, ребер и граней.
Примечательно, что для более плотных решеток различие в
41
длинах ребер оказывается весьма незначительным. Так для кон-
фигурации Л(3,5,3,5)22 разность между наибольшей и наименьшей
длинами ребер, измеренных в долях радиуса описанной около
многогранника сферы S, не превышает 1%.
Очевидно, что для куполов пролетом до 12 м могут быть исполь-
зованы любые типы решеток, тем не менее в данном случае икосаэд-
ральные и додекаэдральные более предпочтительны. Конструктивная
сеть куполов пролетом до 24 м наилучшим образом решается на ос-
нове икосаэдральной решетки типа (/)2з, в результате чего по-
лучается 1920-гранник с 15 типами треугольных граней. Куполь-
ные покрытия пролетом до 36 м могут быть реализованы на основе
пространственных конфигураций А(3,3,3,3,5^2 и Л(5,6,б)22 [24].
В заключение необходимо отметить, что выбор того или иного
способа образования конструктивной сети на сфере обусловлива-
ется не только минимальным количеством типоразмеров граней
многогранника, но зависит и от того, насколько удачно решаются
при этом вопросы проектирования элементов опорного контура.
Наиболее прост способ центральной проекции [3], при использова-
нии которого линии опорного контура всегда представляют собой
плоские кривые.
Ограничиваясь икосаэдральными решетками, укажем лишь на
то, что при этом способе каждое ребро I делится на m равных час-
тей, и полученные точки соединяются прямыми, параллельными
ребрам, в результате чего грани икосаэдра разбиваются на т2 пло-
ских равносторонних треугольников. Спроектировав эти линии из
центра сферы 5 на ее поверхность, получаем пространственную кон-
фигурацию в форме выпуклого многогранника, общее число граней
которого равно 20 /и2.
2.2. Определение геометрических характеристик
выпуклых многогранников
При проектировании покрытий в форме многогранников
возникает необходимость в определении точных размеров сторон
каждой из панелей, образующих поверхность купола. Поскольку
на практике наиболее часто встречаются купола с соотношением
ниже рассматриваются выпуклые многогранники, обра-
42
зуемые на основе пятиугольной пирамиды икосаэдра.
В работе [15] предложен алгоритм расчета геометрических
характеристик элементов конструктивной сети многогранников,
для построения которых используется способ центральной про-
екции. Применительно к случаю, когда каждая грань икосаэдра
разбивается на 36 равносторонних треугольников (рис. 2.12),
данные геометрического расчета приведены в табл. 2.2.
Рис. 2.12. Схема разбивки грани икосаэдра
при построении 720-гранника
В светопроницаемом купольном покрытии в г. Северодо-
нецке (рис. 2.13), конструктивная сеть которого соответствует
конфигурации А (5,6,6)2>, применены трехслойные плиты тре-
угольного очертания из стеклопластика. Купол имеет следующие
параметры: радиус описанной около многогранника сферы г ра-
вен 6,15 м, стрела подъема h — 2,48 м, центральный угол —
53,3°, обшивки плит купольного покрытия выполнены из пло-
ских листов полиэфирного стеклопластика толщиной 2-2,5 мм,
причем 60 — изготовлены из синего стеклопластика, а остальные
65 —из светло-желтого. По контуру плиты имеют ребра из одно-
направленного стеклопластика, средний слой треугольных плит
— из кольцепласта [23].
Схема разбивки граней пятиугольной пирамиды икосаэдра
на 49 равносторонних треугольников показана на рис. 2.14. В
табл. 2.3 представлены результаты геометрического расчета ку-
пола в форме 980-гранника.
43
Таблица 2.2
Геометрические характеристики
кристаллического 720-гранника
Элемент Длина дуги, град мин с Длина хорды в долях радиуса описанной сферы
I-I 12 26 1 0,216628216
П-П 12 20 20 0,215353732
п-ш 11 47 52 0,205907734
II-IV 11 20 3 0,198337504
III-IV И 37 15 0,202819697
IV-V 10 44 1 0,187658635
III-V 10 25 2 0,181908257
V-V 10 54 49 0,190765993
V-VI 9 8 52 0,162567226
Рис. 2.13. Пятиярусная конструкция купола в
форме 720-гранника
44
R0-0.S61235R
Z-0.508c’06R
R0-0.8bl9Q6R
Z-0523694R
Рис. 2.14. Аппликаты и радиусы горизонтального
круга узловых точек 980-гранника, лежащих на
кривых меридионального направления
R0-Q876747R
Z-C480952R
=0 956904R
45
Таблица 2.3
Геометрические характеристики
кристаллического 980-гранника
Элемент Длина дуги, град мин с Длина хорды в долях радиуса описанной сферы
I-I 10 46 56 0,187908468
I-II 10 38 32 0,185475623
П-Ш 10 27 48 0,182365132
I-III 10 24 59 0,181551668
III-III 10 25 10 0,181605437
II-IV 9 57 17 0,173525726
IV-IV 10 52 8 0,175896896
III-IV 10 51 19 0,175851317
IV-VI 9 47 23 0,170655867
III-VI 9 27 11 0,164799965
V-VI 9 49 42 0,171324659
III-V 9 48 31 0,170982651
VI-VII 8 59 21 0,156636998
V-VII 8 42 57 . 0,151974178
VII-VII 9 15 57 0,161540737
VII-VIII 7 53 54 0,137741807
Линейные и угловые координаты узлов одной четвертой
части 980-гранника приведены на рис. 2.15.
Полученные расчетные характеристики элементов конструк-
тивной сети 980-гранника были использованы строительно-
монтажным трестом «Донкоопстрой» Ростовского Облпотреб-
союза при проектировании кафе на 75 посадочных мест с ку-
польным покрытием диаметром 14 м в г. Белая Калитва.
Плиты, входящие в состав укрупненных монтажных блоков,
имеют коробчатое сечение с воздушной вентилируемой прослой-
кой высотой 50 мм. Верхняя и нижняя обшивки из водостойкой
фанеры толщиной 10мм (ГОСТ 3916-69) приклеиваются к обрам-
ляющим ребрам плит на клею и шурупах 5x60мм. Каркас выпол-
няется из сосновой древесины П-ой категории сечением 130x60
46
мм в черновой заготовке и 125x55 мм после четырехсторонней
острожки.
Рис. 2.15. Значения аппликат и радиусов горизонтального круга
внутренних узлов 980-гранника
До приклейки верхней обшивки в качестве утеплителя укла-
дываются жесткие минераловатные плиты на битумной связке
толщиной 70 мм. Теплоизоляционные плиты приклеиваются к
нижней обшивке на слое битума, который одновременно играет
роль пароизоляционной прослойки. Для предотвращения воз-
можных смещений теплоизоляционного слоя от динамических
воздействий по верху минераловатных плит укладываются слои
перфорированного картона толщиной 2.5 мм, края которого за-
47
крепляются прижимными брусками 20x10 мм.
Часть треугольных плит при этом изготавливается только с
нижней обшивкой (рис. 2.16) и они служат для заполнения про-
светов между блоками. Кроме контурных ребер, имеются также
промежуточные ребра сечением 125x45 мм, которые обеспечи-
вают совместную работу обшивок и дают возможность их стыко-
вания при соответствующем раскрое листов фанеры.
Рис. 2.16. Конструкция треугольной клеефанерной плиты
без верхней обшивки
Несущими элементами каркаса многогранного купола явля-
ются спаренные контурные ребра из прямоугольных деревянных
брусьев, которые соединяются между собой при помощи оцинко-
ванных болтов М12 длиной 125 мм, пропущенных в заранее про-
сверленные отверстия диаметром 16 мм. При разметке отверстий
их привязка производится от середины каждого из контурных ре-
бер.
В контурных ребрах плит заранее выбираются четверти раз-
мерами 25x10 мм. Для образования необходимых углов между
смежными плитами многогранного купола предусматривается
снятие с внутренней стороны фасок, величина которых находится
в пределах от 3 до 6 мм. Таким образом, ребра плит приобретают
требуемую скошенность на высоте 100 мм.
48
После установки монтажных болтов треугольные плиты-
вставки также облицовываются листами водостойкой фанеры.
Для заделки стыков плит многогранного купольного покрытия
используются жгуты пороизола марки «Н» с дополнительной
герметизацией мастикой УНС-50. Для полной герметизации сты-
ков плит перед установкой нащельников прокладывают три слоя
тиоколовой ленты.
Для гидроизоляции поверхности многогранного купола из
клеефанерных элементов могут быть использованы тканевые об-
резиненные или покрытые пластмассой материалы из искусст-
венных волокон, например, однослойная ткань марки У-93 тол-
щиной 0.47 мм на капроновой основе с покрытием из синтетиче-
ского каучука и полиизобутилена. Возможно также применение в
качестве гидроизоляционного слоя металлизированных синтети-
ческих пленок на основе поливинилхлорида или армированных
полиэтиленовых пленок.
Размеры сторон сферических и плоских треугольных пане-
лей 1280-гранника, на которые разбиваются грани икосаэдра со-
гласно схеме, изображенной на рис. 2.1 7, определяются так же,
как и для 980-гранника.
Геометрические характеристики построенного таким обра-
зом 1280-гранника даны в табл. 2.4.
Рис. 2.17. Схема разбивки грани икосаэдра
при построении 1280-гранника
49
Таблица 2.4
Геометрические характеристики
кристаллического 1280-гранника
Элемент Длина дуги, град мин сек Дчина хорды в долях радиуса описанной сферы
I-I 9 26 39 0,164647161
III 9 20 59 0,163002116
МП 9 14 6 0,160329146
п-ш 9 13 40 0,160878783
II-V 8 52 36 0,154773041
ш-ш 9 11 52 0,160357458
III-IV 8 46 20 0,152956979
III-V 8 58 51 0,156361581
III-VI 8 31 24 0,148624394
IV-VI 8 46 60 0,153146237
V-V 8 58 10 0,156386474
V-VI 8 45 22 0,152674570
V-VII 8 20 33 0,145476803
V-VIII 8 33 7 0,140562035
VI-VIII 8 23 20 0,146281568
VII-VIII 8 29 21 0,148026907
VII-IX 7 28 22 0,130333701
VIII-IX 7 41 49 0,134235043
IX-IX 8 21 8 0,140171271
IX-X 6 50 55 0,119458585
Вторая процедура дублирования над архимедовым много-
гранником А (5,6,6) дает 2880-гранник с 30 типами ребер, 15 ти-
пами вершин и 20 типами граней, из которых 11 — обратны друг
другу.
Нумерация узловых точек многогранника А (5,6,6)22, разме-
щенных в пределах одной из граней икосаэдра, показана на рис.
2.18.
50
Рис. 2.18. Нумерация узловых точек 2880-
гранника для одной из граней икосаэдра
В 1979 году строительно-монтажным трестом «Севкавэлева-
торстрой» в Каменском районе Ростовской области осуществле-
но строительство прирельсового склада для хранения тарных
грузов с купольным покрытием в форме 2880-гранника [9]. Мно-
гогранный купол диаметром 26,15м со стрелой подъема 6,5м
(рис. 2.19.) представляет собой пространственную конструкцию
из составных деревянных стержней с заполнением треугольных
ячеек между ними листами водостойкой строительной фанеры
марки ФСФ.
Десятиярусная конструкция собирается из 500 клеефанер-
ных плит, поставленных к месту строительства с наклеенным ру-
бероидным ковром. Для соединения плит применены болтовые
связи. Всего в швах общей протяженностью 1270м установлено
840 болтов.
По контуру купол опирается на замкнутую кольцевую бал-
ку, состоящую из пяти совершенно одинаковых элементов, очер-
ченных по ломаной кривой, вписанной в окружность радиуса
5,976м.
51
Рис. 2.19. Прирельсовый склад для хранения тарных
грузов в Каменском районе Ростовской области
Монтаж купольного покрытия склада произведен методом
последовательного наращивания конструкции от опорного коль-
ца к вершине. Общая масса составляет 19,45 т, строительный
объем склада — 3760 м3, полезная площадь — 488 м2.
В табл. 2.5 приведены расчетные длины ребер многогранни-
ка А (5,6,6)22.
Для устройства большепролетных купольных покрытий с целью
увеличения жесткости пространственных точечных решеток элемен-
ты последних располагают в два слоя на концентрических сферах. К
числу таких двухпоясных куполов относится, например, покрытие
кинопроекционного зала диаметром 30м (рис. 2.20).
Таблица 2.5
Расчетные длины ребер кристаллического 2880-гранника
Обозначения ребер Длины ребер в долях радиуса описанной сферы
I-II 0,110228
П-П 0.110103
п-ш 0,108788
II-IV 0,107661
III-IV 0,108287
III-V 0,105095
IV-V 0,105846
V-V 0,106347
52
Окончание таблицы 2.5
V-VI 0,105158
IV-VI 0,102842
V-VII 0,101214
V-VIII 0,099336
VI-VIII 0,101778
VII-VIII 0,103030
VI-IX 0,096332
VIII-IX 0,100901
VIII-XI 0,092388
IX-XI 0,096958
VII-X 0,095018
VIII-X 0,096582
X-XI 0,098836
х-х 0,099837
х-хш 0,087882
XI-XIII 0,091512
х-хп 0,090198
XII-XIII 0,095769
XII-XIV 0,083062
XIII-XIV 0,085128
XIV-XIV 0,091950
XIV-XV 0,078305
Многогранный купол из 880 плоских треугольных плит, имею-
щих голубоватую окраску, помещен в центральной части парка [35].
Несущая конструкция представляет собой двухпоясной решетчатый
купол с узловыми соединениями стержневых элементов типа «Ме-
ро», облицованный снаружи многослойными панелями толщиной
14см. Узлы внешней и внутренней поясных сеток располагаются на
поверхностях сфер радиусами г„=15м и гь= 13,5м. Высота купола
от наиболее удаленной точки опорного кольца до вершины состав-
ляет 30м. Стержневые элементы соединяются в узлах таким обра-
зом, что на внешней поверхности получаются сочетания треу-
гольных ячеек, а внутренняя поверхность разделяется при этом на
шестиугольники, чередующиеся с треугольными просветами.
53
Рис. 2.20. Покрытие кинопроекционного зала
Для обеспечения жесткости конструкции на сдвиг и круче-
ние обе поясные сетки соединяются между собой с помощью диаго-
нальных и радиальных стержней. Максимальная длина стержня
внешней сетки — 2,35м, внутренней — 2,00м. Структурная конст-
рукция купольного покрытия состоит из 1530 стержневых элементов
во внешней, 712 — во внутренней поясных сетках и имеет 905 узло-
вых элементов. Решетчатые пояса соединяются 1035 диагональны-
ми и радиальными стержнями.
К концу второй мировой войны в США были запроектиро-
ваны сетчатые купола для укрытия высокочувствительных пара-
болических антенн радарных установок, способных передавать
сигнал на большие расстояния. Первоначально разработки вы-
полнялись применительно к пневматическим воздухоопорным
конструкциям радомов с относительно толстыми пластмассовы-
ми оболочками, обладающими высоким показателем затухания
радиосигнала. Это их негативное свойство потребовало поиска
лучшего решения, приведшего в конце концов к сетчатым соору-
жениям, облицованным чрезвычайно тонким высокопрочным
синтетическим материалом.
Американские разработки были учтены при строительстве
54
первого сооружения такого типа в Вертховене (Германия). При
проведении в конце 1962 года исследований, связанных со строи-
тельством параболической антенны диаметром 34 метра, работ-
ники астрофизической компании в Бонне также столкнулись с
вопросом: будет ли обеспечена требуемая высокая чувствитель-
ность пои строительстве радома? Было совершенно неясно, какой
конструкции купола следует отдать предпочтение - воздухо-
опорному сооружению или стержневой сетчатой оболочке с пла-
стмассовой облицовкой? Опасение не добиться требуемой высо-
кой радиопрозрачности для частот 30 и более Герц в случае ис-
пользования пневматической конструкции с толщиной стенки
1,5-2мм привело к решению в пользу сетчатого сооружения. Ук-
рытие для радарной установки диаметром 49 метров было смон-
тировано на железобетонном основании цилиндрической формы
высотой 13,78м, соответствующей геометрическим параметрам
антенны (рис. 2.21).
Рис. 2.21. Радарная установка диаметром 49 метров
55
В системах купольных покрытий каркасного типа особое
значение приобретают вопросы крепления пластмассовой обли-
цовки к стержням и деталям узлов, их конструктивное оформле-
ние, а также анкеровка нижнего края купола к основанию соору-
жения.
Сечения стержневых элементов каркаса удобно брать труб-
чатой формы, так как это дает возможность получить достаточно
жесткий элемент при наименьшем его весе.
При образовании узлов следует учитывать, что здесь могут
встречаться 5, 6 или 7 стержней. Узлы должны быть такой конст-
рукции, чтобы обеспечить достаточную площадь для примыкания
стержней. Так, например, для купола диаметром 49м конструк-
цию узла удалось решить с помощью отрезка трубы 133x8мм,
длиной 143мм, с торцов которой приварены кольцевые фланцы
(рис. 2.22).
Для удобства изготовления и монтажа кольцевые фланцы
имели отверстия диаметром 70мм. Каждый стержень, выполнен-
ный в виде нестандартного прессованного профиля, крепился че-
тырьмя болтами М16 к двум фасонкам 210x148x6мм, которые, в
свою очередь, приварены к фланцам и трубе.
Крепление пластмассовых плит к стержневым элементам
каркаса осуществлялось следующим образом. Узкая кромка пли-
ты шириной 50мм, усиленная специальным армированием, наве-
шивалась на болты диаметром 8мм (рис. 2.23) через каждые
250мм от середины стержня. Затем укладывались уплотняющая
прокладка из неопрена сечением 45x2,5мм и кромка смежной
плиты покрытия. После этого все три элемента были закреплены
при помощи шайб когтевого типа и накладки специального про-
филя.
Для анкеровки купола к бетонному основанию круглые
фланцы узлов видоизменяются таким образом, что могут быть
приварены к опорной плите.
Опорная плита размерами 350x300мм, толщиной 20мм в
нижней части снабжается специальными трубками длиной
100мм, передающими горизонтальные усилия на бетон. Растяги-
вающие усилия воспринимаются четырьмя анкерами, закрепляе-
56
мыми в бетонной плите толщиной 20см (рис. 2.24). Собственный
вес купола равен приблизительно 15кг/м2.
а - а
Рис. 2.22. Конструктивное решение узла сетчатого купола
57
Кольцевая
шайба М8
Ногтевая ___
шайба 08 мм
Облицовка из
пластмассы
\Уплотняющая полоса из
неопрена 45х 2.5 мм
Рис. 2.23. Крепление пластмассовых плит покрытия
к стержневым элементам решетки
В конструкциях бескаркасных куполов сетчатого типа покры-
тие собирается из плит необходимой конфигурации, совмещаю-
щих в себе одновременно несущие и ограждающие функции.
Пластмассовые плиты купольных покрытий могут быть тре-
угольной, ромбической, пяти- и шестиугольной формы, иметь
плоскую или сферическую поверхность. Размеры плит должны
выбираться с учетом различных обстоятельств: экономии мате-
риала, удобства сборки конструкции и возможно большей инду-
стриализации всех процессов. Соединение плит, как правило,
осуществляется с помощью стальных болтов, пропущенных через
отверстия в обрамляющих ребрах.
58
R = 18424 мм
Рис. 2.24. Анкеровка нижнего края купола
2.3. Инженерная теория расчета многогранных куполов
2.3.1. Определение компонент тензора жесткости
однопоясного сетчатого купола
Для конструкций однопоясных сетчатых куполов применяют-
ся приближенные приемы расчета стержневой системы как кон-
тинуума в виде однородной изотропной оболочки [8,27]. Между
тем совершенно очевидно, что построение изотропной модели
оказывается возможным лишь в том случае, когда треугольные
ячейки конструктивной сети представляют собой равносторонние
треугольники.
Установлено, что при построении конструктивной сети ку-
польных покрытий зданий и сооружений, пролеты которых не
превышают 30м, достаточно универсальна разрезка сферы по
схеме 180-гранника, характеризуемого двумя типами ячеек в
форме равнобедренных треугольных граней. В зените купола
59
треугольные грани могут при этом образовывать пяти- или шес-
тиугольные пирамиды.
Поскольку исходной фигурой 180-гранника является икоса-
эдр, то для определения упругих постоянных тонкой сфериче-
ской оболочки, эквивалентной в статическом отношении задан-
ной шарнирно-стержневой системе, воспользуемся следующим
приемом.
Устанавливаем соответствие между координатами узловых
точек конструктивной сети из равносторонних треугольников,
построенной на гранях икосаэдра, и гауссовыми координатами
сети геодезических линий на поверхности сферы. Далее выпол-
няем построение модели рассматриваемой системы в виде сфе-
рической оболочки, материал которой обладает ортогональной
анизотропией.
Рассмотрим описанную около кристаллического икосаэдра
сферу радиуса г с центром в начале координат Ох!х2х3. Пусть Т—
плоскость, совпадающая с одной из граней кристаллического
икосаэдра. Отнесем эту плоскость к прямоугольной декартовой
системе осей О'у^у2 , как показано на рис. 2.25.
Проводя из центра О радиальные прямые, пересекающие сфе-
ру S в -точках Pi (хи, Xj2, ха) и грань икосаэдра в узловых точках
сети из равносторонних треугольных ячеек Qt (у(], у а, р), можно
заметить, что точки Р на сфере S будут находиться во взаимно
однозначном соответствии с точками (уь у2) плоскости Т. Анали-
тически это соответствие может быть описано следующим обра-
зом:
л- ГУх х ГУ1
JfV + iW + f2’ Ш + о1’
у _ РГ
J(x)2+M2*p2 (2л)
Здесь р — радиус сферы, вписанной в кристаллический ико-
саэдр.
60
/
X,/
Рис. 2.25. Схема образования кристаллическо-
го 180-гранника на основе икосаэдра
Поверхность сферы S, расположенная в Е3, может быть опре-
делена тремя параметрическими уравнениями:
xj = rsinC/jCost^;
л2 = г sin U} sin U2; (2.2)
X} = rcosC/j.
Переменные U\ и Сг являются криволинейными координата-
ми на поверхности S. Между гауссовыми координатами точек на
поверхности сферы и координатами соответствующих точек в
плоскости икосаэдра существует зависимость:
sintA cosCA, = —;= (2.3)
sin U} sin U, = Уг —; (2.4)
cosCA = , e (2.5)
Отсюда будем иметь
U, = arccos= , g ; U7 = arctg—
Si
(2-6)
61
(2-7)
(2-8)
Составляя выражения для дифференциалов
dU} =---------—6 — — (ytfyi + y2dy2),
^2=?л77ы^2“^,;’
приходим к следующему результату для первой квадратичной
формы поверхности сферы:
(d&)= —Г А 2---dydy -
[(tf+(rf+e2]2 (29
___АЛл/7
/лМяЛЛГ
Из этого выражения следует, что длины элементов дуги, из-
меренные вдоль координатных линий криволинейной системы
координат, определяются: при yz=const dy2=O, следовательно,
dSt = — cos2 ^л/1 + ^2^ sin2 (рф]. (2.10)
Р
Аналогично, при y}=const dy2=0
dS2 = 7cos2 д/l + tg2ip cos2 cpdy2. (2-11)
Q
Но, если существует такое преобразование, то в силу соот-
ношений (2.10) и (2.11) получаем
A.<gg (2.12)
dS2 \ 1 + tg ip sin ср
sine? =
и при этом
3(1 + tg2ip cos2 ср) 1 + tg2ip sin2 ср
4 + tg2ip(l + 2cos2 ср)’ у 4 + tg2ip(l + 2co^cp) (2-13)
В системе индексных обозначений физические уравнения
упругости для сферической оболочки, выполненной из ортотроп-
ного материала, запишутся в виде [38]
62
где п = —
^2
«н
И22
и33
E2t
1 - «г22
1
nv2
О
nv2
П
О
О'
О
л
41’
е22
£33
(2-14)
G л
т = —; Л = щ(1-иу2);
Е2
Ei и Е2 — модули упругости материала оболочки в направле-
ниях параллели и меридиана;
G2 — модуль сдвига в плоскостях, параллельных срединной
поверхности оболочки;
v2 — коэффициент Пуассона.
Первый индекс для компонент внутренних усилий и дефор-
маций указывает направление нормали к грани элемента оболоч-
ки, на которой эта компонента действует, а второй — ось, кото-
рой она параллельна.
При изучении поведения треугольной ячейки 180-гранника в
виде шарнирно-стержневого равнобедренного треугольника
внутренние усилия rig (i, j=l,2) заменяются системой самоуравно-
вешенных сил, от действия которых последовательно определя-
ются усилия в стержнях, узловые перемещения и соответствую-
щие им деформации удлинения и сдвига.
Искомое выражение для тензора жесткости, устанавливаю-
щего связь между компонентами усилий и деформаций, имеет
вид
1 1 sin3d Q п 1 tgdl +cos’d EF,. _з~ 1 sin3d tgdsin3d n22 - (1 + cos’d) ь 0 n2 tga 1 + coscz 1 + cosa П33 • 2~ ~ L J n n sin acosa
1 + cosd
£п
£22
£33
(2-15)
Здесь EF — жесткость стержневых элементов сетчатой обо-
лочки на растяжение (сжатие).
В свою очередь из выражений (2.12) и (2.13) следует, что
при ф=л;/2
63
smot = co sip
3
1 + 3cos2 ip
(2.16)
(2-17)
tga = л/З cosip-,
' 3
-------2—’ cosa =
l + 3cos ip
Устанавливая соответствие между семейством стержневых
треугольных ячеек и сферической оболочкой, получим
4 71 + 3cos2^
п = 9 cos ip ;
д/1 3 cos2 зр» +(1 + 3cos2?p)2
1
v2 =“----5—•
3 cos2 ip
(2.18)
(2.19)
Легко видеть, что при ip = 0 п =1 и ^2=1/3. Следовательно,
модель эквивалентной сферической оболочки является изотроп-
ной для заданной триангуляции, составленной из треугольников
лишь в той области, которая ограничена центральной проекцией
ячейки грани икосаэдра, расположенной в начале координат пря-
моугольной декартовой системы О'у $2 •
Заметим, что
EF
Ег1 ~ , '>
^2
EF 3 cos2 ip -y]\ + 3cos2ip
O-,t =-------------й—ч----•
/?2 (l + 3cos2^)
Использование полученных зависимостей проиллюстрируем
на примере определения радиальных перемещений сетчатой обо-
лочки, нижний край которой может свободно перемещаться в на-
правлении нормали к серединной поверхности. При действии на
оболочку равномерно распределенной нагрузки интенсивностью
р выражение радиальных перемещений Лг0 принимает вид:
Q Гс 3
4г0 =-------simp (1 + 3cos2ip - 6cos4?p). (2.20)
12 EF
Сравнение результатов, полученных для изотропной (кривая
1) и ортотропной (кривая 2) моделей сетчатой оболочки с разрез-
кой по схеме 180-гранника, проведено на рис. 2.26., где показаны
эпюры распределения радиальных перемещений вдоль меридиа-
на, построенные по данным табл. 2.6.
64
Анализ результатов показывает, что влияние конструктив-
ной анизотропии оказывается значительным в случае сетчатых
куполов достаточно большого подъема. Для рассмотренного
класса пологих оболочек с различным отношением стрелы подъ-
ема h к радиусу основания г0 возможная погрешность находится в
пределах 5-17%, за исключением области, которая включает в се-
бя шов перехода и где наблюдаются большие расхождения в зна-
чениях величин радиальных перемещений.
Рис. 2.26. Сравнение радиальных перемещений для изотропной
(кривая 1) и ортотропной (кривая 2) моделей сетчатой оболочки
с разрезкой по схеме 180-гранника
65
В работах [7, 36] излагаются различные приемы, с помо-
щью которых расчет однослойного сетчатого купола сводится к
расчету некоторой эквивалентной изотропной оболочки с посто-
янной толщиной стенки. Если только ячейки сетчатой поверхно-
сти достаточно малы и число их достаточно велико, то такой
приближенный способ расчета себя оправдывает, обнаруживая
при этом относительно небольшую погрешность.
Таблица 2.6
Радиальные перемещения моделей сетчатой оболочки
h/r0 (р, град и EF Лг0—у рг
Ортотропная модель Изотропная модель Л, %
0,1 11,4 -0,0209 -0,0199 4,8
0,15 17 -0,0237 -0,0248 4,6
0,2 22,6 -0,0196 -0,0244 24,5
0,35 38,6 -0,0236 -0,0119 49,6
0,4 43,6 -0,0405 -0,0336 17
2.3.2. Представление ортотропной треугольной пластинки в
виде шарнирно-стержневой системы
Рассмотрим сначала тонкую изотропную треугольную пла-
стинку, размеры которой соответствуют поясной ячейке в виде
равностороннего треугольника. Пронумеруем узлы треугольной
пластинки по ходу часовой стрелки и отнесем пластинку к неко-
торой подходящим образом выбранной системе координат XOY
(рис. 2.27). Обозначим толщину пластинки h, а длину сторон I. Е
и /z - модуль упругости и коэффициент Пуассона материала пла-
стинки.
Перемещения каждой из вершин треугольной пластинки
представим компонентами щ и ц- в направлении осей х и у соот-
ветственно. Перемещения внутри треугольной пластинки опреде-
66
ляются компонентами узловых перемещений [18], причем так,
что
01 2 . (2.21)
v = ^0 + (Згх+р2у.
Значения постоянных а и [i определяем, подставляя в выра-
жение (2.21) вместо х и у координаты узлов и приравнивая и и v к
перемещениям узлов. Таким образом, находим:
«о = и\ > Ро = vi
a.-Jy-!-; (2-22)
«2 - -у («1 - 2“2 + «3 ft * -y (vi ~ 2v2 + v3 )
Puc. 2.27. Треугольная пластинка в форме
равностороннего треугольника
В случае плоского напряженного и деформированного со-
стояний связь между компонентами деформации любой точки
рассматриваемого элемента и компонентами перемещения в этой
же точке имеет вид:
67
(2.23)
ди
дх~а1’
—=д2;
ду
ди dv п
Уху =^~ + Т = ^1+СС2-
ду дх
Согласно закону Гука для изотропного тела можно написать
Е ,
----+^2)
1-м
----7(^2+ M«J
1-
r = G(pl +a2)
(2.24)
Далее обратимся к использованию принципа возможных пе-
ремещений. Определим в начале приращение работы внутренних
сил, равное приращению потенциальной энергии деформации,
взятому с обратным знаком,
dU = h Ках6ех + оудЕу + тдуху )dF. (2.25)
СЮ
Подставляя сюда выражения (2.23) и (2.24), получим с уче-
том (2.22):
dU = ——^
4 1-м2
(п3-
l/i)+My-(-Vi + 2v2-v3) й(г/3-г/1)+
Е
Е
О
о
(2.26)
(v3-Vi)+y-(-Wi + 2w;
?з-^1 +
2
+ у-(-«1 + 2м2-«3) •
Возможная работа внешних сил равна
&А = ^1 + fyAl + Е2Хди2 + P2ydv2 + P}xduj + Piydvj,. (2.27)
68
Здесь каждая из сил Ри, Piy имеет тот же индекс, что и соот-
ветствующее ей узловое перемещение.
В виду произвольности вариаций <5к(- и Svt условием выпол-
нения зависимости <5А= 6U будет равенство множителей при ка-
ждой из вариаций одних и тех же перемещений узлов. Отсюда,
принимая /1 = 1/3, получим
Р = к-5, (2.28)
где Р - матрица-столбец нагрузки;
к - матрица жесткости треугольной пластинки;
6 - матрица-столбец узловых перемещений;
Легко показать, что для шарнирно-стержневого элемента,
изображенного на рис. 2.28, матрица жесткости имеет вид:
69
5 7з 7з 3 -1 -7з -л/З -3 -4 0 0 0
. * ECFC к = -6 с -1 -Л 2 0 -1 л/З , (2-31)
4Z -л/З 3 0 6 л/3 -3
-4 0 -1 л/з . 5 -7з
0 0 Л -3 -л/3 3
где Fc - площадь поперечного сечения стержня;
Ес и I - соответственно модуль упругости материала и длина
стержня.
Рис. 2.28. Шарнирно-стержневой треугольный элемент
Приравнивая (2.30) и (2.31), приходим к выводу, что
^^ = ~-Eh; (2.32)
Eh = ±^.^c^ (2.33)
Формулы (2.32) и (2.33) дают возможность осуществить за-
мену треугольной пластинки шарнирно-стержневой моделью
или, наоборот, представить шарнирно-стержневую треугольную
ячейку в виде изотропной пластинки такого же очертания.
Перейдем теперь к рассмотрению задачи моделирования
сплошной ортотропной пластинки, находящейся в плоском на-
70
пряженном состоянии, дискретной средой.
Излагаемый ниже способ построения стержневой модели
ортотропной треугольной пластинки основывается на идее, впер-
вые сформулированной А.Р. Ржанициным в работе [26]. В после-
дующем эта плодотворная идея была неоднократно использована
в работах [20, 21]. Необходимо заметить, что применительно к
куполам с треугольной решеткой упругие свойства регулярных
шарнирно-стержневых систем, моделирующих сплошную среду,
изучались, как правило, путем анализа свойств ячеек конструк-
тивной сети в форме равностороннего треугольника. В действи-
тельности треугольные панели многогранного купола имеют в
общем случае форму косоугольного треугольника, в связи с чем и
появляется необходимость в определении соотношений для заме-
ны сплошной ортотропной пластинки в форме произвольного
треугольника шарнирно-стержневой системой такого же сочета-
ния.
Пусть ортотропная пластинка толщиной t характеризуется
тем, что упругие свойства материала, из которого она изготовле-
на, вполне определяются четырьмя независимыми величинами:
модулями упругости Ех и Еу по двум взаимно перпендикулярным
главным направлениям х и у, модулем сдвига Gxy и коэффициен-
том Пуассона vxy, отвечающим поперечной деформации вдоль оси
Ох.
Площадь треугольной пластинки выразим через координаты
узловых точек (рис. 2.29)
Л,2,3 = 0,5(х32Уз1 -Л31У32)
где Xijj = Xi -Xj; уу = у,- -уу; i, j = 1,2,3, i*j.
В качестве обобщенных перемещений примем удлинения
сторон треугольной пластинки и запишем вектор перемещений в
виде
uw ={и. U2 и,}. (2.34)
Соотношение, связывающее вектор сил
Л,2,3 ={Р1 Ъ Л},
соответствующих перемещениям (2.34), с вектором узловых сил
S = {5j, S2,..., S6 } (рис. 2.24), очевидно будет
71
Л' “^12 0 ^31
52 -Wi12 0 «*31
^3 — /12 “^23 0 P2 (2.35)
S4 Ж12 ~m23 0 P3
0 ^23 “^31
Л. 0 m23 -W?31
здесь Itj и - направляющие косинусы ребра ij.
Нетрудно показать, что соотношения, устанавливающие
связь между узловыми силами 5 и напряжениями о, могут быть
записаны так:
Si У32 0 “x32
s2 0 -x32 У32
53 _ t “ №1 0 X31
~2 0 X31 ~Уз1
S5 ^21 0 “x21
s6 0 -x21 У21
(2.36)
Рис.2.29. Пластинка в форме косоугольного треугольника
и соответствующая ей по конфигурации стержневая
модель
72
Приравнивая правые части матричных равенств (2.35) и
(2.36) и используя принцип независимости действия сил Р, после
несложных преобразований получим следующее соотношение:
Г /2 42 123 !к '
° XX 2 S s- т23 л2 ^з21
(У -—- -
УУ t ^3 hl й2
1ху ^12т12 /13 ^23т23 Й1 Z31^31 /12
(2.37)
Запишем энергию деформации ортотропной пластинки в ви-
де
^4
(2.38)
Согласно обобщенному закону Гука составляющие дефор-
маций могут быть выражены через напряжения:
£ = х~1° = Ф<7
и тогда вместо соотношения (2.38) получим
Ud = |/а'Фа/Г-
lv
Придавая линейным соотношениям (2.37) символическую
форму записи о = СР и применяя к выражению (2.39) вторую
теорему Кастильяно, получаем
др
(2.39)
и =
Т ^cnnst Г
Матрица податливостей ортотропной треугольной пластин-
ки определяется здесь так:
= —2^2 3
£ 1,2.3
/11 /12 /13
/22 Аз ’
Симметрично 3
(2.40)
73
где
7и=(1Дз) {/i42+[(^/Gxy)-2Vxy] l?2m22+(Ex/Ey) <};
/12 = 0Л1^з) R1V23 + (EX/Gxy) ^12ra12^23m23 ~vxyU\2m23 + ^23WJ12) +
+ (ЕХ/Еу) m22ml3];
/13 = (1/^2^з) [^12^31 +(Ex/Gxy) ~vxy^\2m3\ +^31/w12) +
+ (£хМ) ^Mil;
/22=(1/й12) {l^+[{Ex/Gxy)-2vxy] 1223т22з+(Ех/Еу) ш243};
/23 =(У^1^г) 1^31 +(Ex/Gxy) l23m23^31m3l~vxyO23m31 +^31т2з) +
+ (ЕХ/Еу) т223т1х\-,
7зз = (1/^). A(Ex/Gxy)-2vxy]l23Xm23i + (EX/Ey)m43l} .
Рассмотрим теперь треугольную панель в виде шарнирно-
стержневого элемента, изображенного на рис. 2.30. Точка D являет-
ся центром вписанной в косоугольный треугольник окружности и
соединяется с его вершинами с помощью упругих стержней AD, BD
и CD.
Рис. 2.30. Треугольная панель
с внутриконтурными стержнями
Модуль упругости материала контурных стержней будем счи-
тать равным Е. Площадь поперечных сечений этих стержней при-
мем также одинаковой и равной F. Модуль упругости материала
74
внутриконтурных стержней примем равным Е\. Пусть площадь по-
перечного сечения стержня АО равна F} = aF cos 8^/2. Кроме того,
будем считать, что для внутриконтурных стержней АО, BD и CD
площади поперечных сечений назначаются так, что
Fi: F2: F3 = cos вх12 : cos 6^2 : cos 03/2 .
Плоская ферма нагружена в вершинах треугольника узловыми
силами Pi, Р2 и Р3. Эта ферма один раз статически неопределима,
как видно из того, что один из ее контурных стержней является
лишним с точки зрения получения статически определимой конст-
рукции, не превращающейся в механизм.
Выбирая в качестве лишней неизвестной усилие, например в
стержне ВС и, проводя расчет рассматриваемой системы, получаем
следующее матричное выражение для податливостей стержневой
треугольной панели:
-ai2
^(/3-о£2)
(2.41)
Симметрично
Здесь р = 2s(a + 2п); 2s = Lx + £2 + £3; п = Е/Ех.
Сопоставляя выражения (2.41) и (2.40), определим жесткость
контурных стержней следующим образом:
EF = Exth2!2A, (2.42)
где
А = ^31(^31 ~^2з) + С^х/^ху) Ь\тУ\. (^31т31 - 4зЖ2з) +
+ vxy^iiml\ + ^31/м23 “2/31пг31 )+ -т2з)-
Жесткости внутриконтурных стержней равны:
ВД =£F(4sZ3/Z1Z2) [(Л-5)/С] cos0,/2, (2.43)
г = 1 - 3 соответственно для стержней AD, BD и CD.
В выражениях (2.43) параметры В и С означают:
75
B-M) {l^^/G^-lv^ 1223т22з+(Ех/Еу) т23} ,
С = fyjn +[(^з/^1) ^23 + (^3/^2) £] + (.Bx/Gjy) l\2mn\.h2m\2 +
+ (й3/А1) Z23m23 + (Л3/й2) Z3iW31]-vJ9,[2/12wi22 + (h3/hl)x
х 0пт1з + ^гз^/г)+ (^3/^2)х (Ат^З! + ^31^12)]+
+ (.ВХ/Ву) «'пЙ + (^з/^1) т23 + (^з/^2) w3il-
Известный интерес представляет собой случай, когда одно из
главных направлений упругости совпадает с какой-либо из сторон
треугольной панели. Так, например, предположим, что ось Ох сов-
падает со стороной 1,3. В этом случае для панели в форме равно-
стороннего треугольника направляющие косинусы ее сторон будут
равны:
Аг = ^23 = 1/2; тп = ~т23 ~ ; Z31=-l; ти31=0.
При этом выражение (2.42) принимает вид
£F = (V3£/3)^f/(l+vxp,
что при v =1/3 совпадает с результатами, приведенными в работе
[Ю].
В свою очередь для определения жесткости внутриконтурных
стержней имеем выражение вида
-Ег пЕг'
ху " G ' Е
^ху Ljy
F
E}F.=—EF 11+ 18v™-3-^-9^-
1 1 2
F 1
l + 4vxv+3— .
F,,
(2-44)
Для изотропной пластинки Ех=Еу; E^G^^/З и
у ху =1/3. Подставляя эти значения в формулу (2.44), получаем
EXFX = 0 и тем самым устанавливаем, что стержневая модель та-
кой пластинки не должна содержать внутриконтурных стержней.
В соответствии с предложенным алгоритмом выполнен рас-
чет двухъярусного купола, представляющего собой часть 980-
гранника, конструктивная сеть которого соответствует простран-
ственной точечной решетки икосаэдрального типа. Грани купола
76
имеют форму равнобедренного и косоугольного треугольников.
Рассматривается случай, когда наружная поверхность купола об-
лицована листами семислойной березовой фанеры толщиной 9
мм, волокна наружных шпонов которой ориентированы парал-
лельно контурным линиям верхнего и нижнего ярусов. Стержне-
вые элементы каркаса купола выполнены из древесины сосны и
имеют сплошное прямоугольное сечение 2x33x125 мм. Для ор-
тотропной пластинки приняты следующие параметры: Ех = 6-103
МПа; E^Gxy =8; Ех/Еу =2/3; vxy =0,065. Радиус сферы, опи-
санной около многогранного сегмента, г=8590 мм.
На рис. 2.31 представлена расчетная модель купола в виде
пространственной фермы, полученная в результате замены лис-
товых элементов стержневым набором. При этом жесткости
стержневых элементов модели выражены через жесткость спа-
ренных стержней каркаса купола, которая принимается равной
2£sF5.
Рис. 2.31. Расчетная модель двухъярусного купола
Расчет стержневой модели купола предлагается выполнять с
помощью метода перемещений на основе специально разрабо-
танных для этих целей программ, реализуемых на ЭВМ.
Приведем некоторые результаты решения задач о расчете
77
купола на действие вертикальной нагрузки Р, приложенной в его
вершине. Значения безразмерных параметров вертикальных и ра-
диальных (в плоскости горизонтального круга) перемещений уз-
лов 1 и 2 следующие: W]EsFs /Ру2=89,5 (79,0); w2EsFs /Ру2=-5,67
(- 8,05); Er0i2EsFs /Ру2=2,37 (3,00).
Здесь под у2 понимается длина сторон основания пятиугольной
пирамиды купола. В скобках даны значения безразмерных пара-
метров перемещений, найденные в результате расчета купола как
подкрепленной оболочки с помощью метода конечных элементов
[5]-
Сравнение полученных данных показывает, что предложен-
ный прием может быть применен в расчетной практике для ана-
лиза тонкостенных пространственных конструкций в форме мно-
гогранных куполов из клеефанерных элементов.
2.3.3. Расчет многогранных куполов
на основе метода конечного элемента
Многогранный купол представляет собой конструкцию, со-
ставленную из большого числа тонких треугольных пластинок,
форма срединной поверхности которой близка к форме средин-
ной поверхности описанной около многогранника сферы.
При достаточно мелкой разрезке расчет многогранного ку-
пола может быть сведен к расчету сферической оболочки, кото-
рая при этом заменяется совокупностью конечного числа дис-
кретных элементов, соединенных между собой в узловых точках.
Рассмотрим пластинчатый элемент поверхности многогран-
ного купола в виде косоугольного треугольника, отнесенный к
пространственной системе координат (рис. 2.32). Пусть орто-
тропная пластинка толщиной t характеризуется тем, что модули
упругости Ei и Е2 соответствуют направлениям координатных
линий х и у, а модуль сдвига G12=G2. Через v2 обозначим коэф-
фициент Пуассона и примем также, что п=Ег!Е2; m-G2JE2.
78
Рис. 2.32. Элемент поверхности много-
гранного купола
Площадь треугольной пластинки выразим через координаты
узловых точек
Л,2,з = 2 (Х32Л1 “ х31.Уз2)> (2-45)
где л?32=хз-х2; у31=Уз-Уь x31=x3-xi; у32=Уз-У2-
Поле перемещений внутри контура пластинки определим в
виде полиномов:
Ux = С] + С2х+ С3у; (2.46)
Uy = C4+C5x+C6y, (2.47)
= С7 + С8х + С9у + С10х2 + С, t у2 +
7 7 3 3
+ С12х у + С13ху + С14х + С15у .
В случае плоского напряженного состояния матрицу жест-
кости ортотропного треугольного диска представим в виде сум-
мы двух матриц, учитывающих влияние нормальных и касатель-
ных напряжений
79
к„ - к<;’ + к'у>,
(2.49)
Здесь матрицы Х^и имеют вид:
к<°) _ «Л ~«у2ХзУ32 "W «^2ЛзУ32 -туед, -W3 0 0 0
-А -тукУз
р 4^(1-^) Симметрично ПУ2ЛзУ2 0 0 0
(2.50)
хз -х3у32 -х3 х3у3 0 -х3у2
У32 Х3у32 - У3У32 0 У2У32
к(т) mE2t *з ~х3у3 0 х3у2 2 л . (2.51)
4-^1,2,3 Уз 0 -У2У3
Симметрично 0 0
У2
В состоянии изгиба деформация внутри пластинки описыва-
ди du.
ется только перемещениями и2 и поворотами -—-и —Выразим
дх ду
линейные и угловые перемещения через перемещения узлов ко-
нечного элемента.
^(^,у1):(мг)х1>?;1=м7; | (duA 1 дУ )Xl,yi ( du,\ ~гЧ =~u^’ \ dx J xi^yi
' («г)л2,3'2 = «10» 1 (du.\ 1 =м1й l дУ )Х2,У2 ’ ! du. \ — =“«12» < °X Jxi'yi
Уз): (uz)x3y3 =ul3; / du. \ 4^ =U^’ l дУ )X3,y3 ( ^Uz\ = "W»5- \ / X3,y3
80
Для построения изгибной матрицы жесткости введем матри-
цу-столбец неизвестных С и векторы узловых сил и перемещений
с]. (С, С8 С9 • . . . С14 Qs)’ (2.52)
sj- {S, Sg S9 • • *$14 ^15}’ (2.53)
И- (1/, ц и9 • • ц4 (2-54)
Пользуясь матричным равенством
{U}- =т, (2.55)
находим
[С] = (2.56)
где матрица [А] порядка 9x9 имеет вид
10 0 0 0 0 0 0 0 ‘
0 0 1 0 0 0 0 0 0
0-10 0 0 0 0 0 0
1 о у2 0 2 У1 0 0 0 у1
и= 0 0 1 0 2у2 0 0 0 Зу2 •(2-57)
0-10 0 0 0 у1 0 0
1 *з Уз *3 2 Уз ^Уз *зУз Аз Уз3
0 0 1 0 2у3 х| 2х3у3 0 Зу32
0-10 -2:% 0 -2а^з ‘Уз ~3лз 0
Выражение для матрицы жесткости конечного элемента за-
пишем следующим образом [12]:
*4 ? - [А (2.58)
где матрицы В и % имеют вид:
0 0 0 2 0 2у 0 6х 0 ‘
В =-z 0 0 0 0 2 0 2х 0 бу , (2.59)
0 0 0 0 0 2х 2у 0 0
81
е2
1 ~ иу2
nv2
О
nv2 О
1 О
О w(l - nv2
(2.60)
п
При построении изгибной матрицы жесткости конечного
элемента многогранного купола запишем ее следующим образом:
Кь - К<°> + К<”, (2.61)
где для матрицы K(ha> в свою очередь имеем:
_ 3 - ГА'ц *12 К1з]
т^(ст) E2t 1 ^22 ЛГ23 (2.62)
“fe 2\ 5 5
72(l -nv2) x3y2 Симметрично ^33
Здесь подматрицы Ку (i,j = 1,2,3) определяются выраже-
ниями (2.63) — (2.68).
1 — Г A-11 Kii Симы kli K12 A'11 K22 етрично A'11 «]3 Ar11 K23 A'11 «33 (2-63)
kn «12 A'12 «13
^12 = kn K22 ki2 K23 (2-64)
k12 K31 k12 K32 k12 K33
ь13 Ku k13 Щ2 Ar13l «13
^13 = nx3 У2 x P3 K21 £13 K22 A-13 «23 (2.65)
A:13 «31 k13 K32 A'13 *33
82
(2.66)
Симметрично
к23 - У2 х к21 к22 к2з , (2"67)
ЛГ33 — их3у2 х
(2.68)
Элементы подматриц (2.63)-(2.68) определяются в свою оче-
редь так:
= З6[лу322(у4 + у2у32 - 2у2у3 + 2у3 + 4v2x2y2) + х*(у22 + у32)];
Л” = 6у2{лу32[у32(у4 + 5у2у2 -8у2у3 + 6y3)-v2x3(y2 -Зу2у3 +
+16у2Уз -12у33)] + 2х34(2Уз2 + Уз)};
^з = 6x3y2{«y32[4y4 - Зу3у3 + 4у2у3 - Зу2у33 + 2у34 + v2x32(у2 -
-2у2у3 + 4уз)] - х34(у2 - 2у3)};
= 2у2{/гу32[у32(у4 -Зу3у3 +12у2у32 -15у2у33 +9у34) - 2г2х2(у3 -
-5у2у3 + 15у2уз2 - 9у3)] + 3% (Зу2 - 5у2у3 + Зу32)};
^23 “ АзУ2{П[Уз2(5У2 +13у|Уз -lly2yj +6уз)-
-2v2x2(5y3 - 8у2у3 + 11у2у2 - бу3)] -х4(5у2 - 6у3)};
^зз = 2х3у2{и[9у2 -10у2у3 + 6у2у3 -2у2у3 + у3 +
+ 2v2x3(y2 - у2у3 + у2)]+ х4};
= “З6[иу3у32(у2 ~ УгУз + ^УгУз ~ 4У2Уз + -^Уз + 4у2АзУзУз2) +
+*34(уз2 + Уз2)];
к12 = бу2 {пу32[у3 (2- 3У'}уз + 7у2Уз -10у2Уз3 + 6Уз ) +
+v2x3 (у2 - У2У3 - 8у2Уз + 12у3 )] + +2х3 (у32 + 2у|)};
к1з = бх3у2{пу3[у32(2у^ -2у2у3 + Зу2у32 -2y^)-v2x^(y^ -
- 6У2У3 + 4Уз )] + х3 (у2 - 2у3)};
*21 = -6у2{пу3[у32(2у%-5у2у3 + 13у2у32-14у2у33 +6y4)-v2x32(4y^ -
-19у2у3 +28у2у32 -12у3)] + 2х3 (2у32 + у2)};
*22 = 2у22{4УзУз2(2у2 ~бу32Уз +15у2Уз2 ~18у2У33 + 9у34)-v2x3(y24 + 2у23у3 -
"20у22Уз + 36у2у3 -18у3 )] + Зх3 (у2-Зу2у3 + 3у2)};
кгз =^зУ22{«[УзУз2(4у2 -7у22у3 +ИУ2У32 -бу3) +v2x3(y3 -10у2у3 +
+ 22у2Уз -12у3)] + х4(5у2 -6у3)};
*зз =-6х3у2{«[у3(5у24 -7у3у3 + 7у2у2 -5у2у3 +2у4)+Г2Х32у32(у22 -
- 2у2у3 + 4у3)] - х4(у2 - 2у3)]};
*32 =^зУ22{4Уз(Юу2 -19у3у3 + 20у2у3 "13у2Уз3 + 6у4)+г2Хз2(Зу23 +4у2у3 -
-14у2у2 +12у3)]-х4(у2 -6у3)};
*зз2 = 2х32у2{п[у3(5у23 -5у22у3 + 2у2у32 - у33) - v2x2(y322 + у2)] -х34};
= З6у2у32;
^12 = 6Узг(Уг ~ Зу2у3 + 2у2у3 — 2у3 — 2v2x3y3) ;
^13 = бх3[у32(2у2 + у2у3 - 2у3) + v2x3(y2 - 2у3)];
^21 = -6У22[(У22 " Уз2) + v2x3];
^22 =2у2[у32(у2 _Зу2у3 +Зу2у3 -3y3)-v2x3(y2 -5у2у3 +Зу3)];
^23 = •’’-зУгЕУзгСУг + 7у2Уз “ 6у3 ) + 3v2x3 (у2 - 2у3)];
к31 = 12х3у2 (2у2 - Уз);
^32 =л-зУ2[^У2 “ ^4у2у3 +7у2у3 — 2у3 +v2x3(y2 -2у3)];
Л33 =2л3у2(Зу2 -у2Уз~Уз ~V2X3)’
fc22 = 36{«y3[2y24 - 4у3у3 + 7у2у2 -6у2у3 + 2у3 + 4v2x3y32] +
+х34(у22+у32)};
кп = -6у2{«Уз[Уз(4У2 -Юу2Уз +17у2У32 “16y2y3 + бу4) +
+v2x32(2y3 + 7у2у3 - 20у2у2 + 12у3)].+ 2х4(у322 + 2у2)};
к1з = -6%зУ2{«Уз[Уз(4У23 - 5Уг2Уз + 5У2У32 ~ 2у3) -v2x32(y2 -
-6у2уз + 4у3)] + х3(у2 - 2у3)};
Л2222 = 2у2{иу3[у3(4у42 -12у3у3 + 21у2у32 - 21у2у3 + 9у4) +
+2v2x2(2у3 + 2у2у3 - 12у2у3 + 9у3)] + Зх4(у2 - у2у3 + Зу2)};
^23 = ^зУ22{«Уз[Уз(8У23 - 14Уг2Уз + 13У2Уз2 - 6Уз3) + 2v2x2(y22 +
+7у2у3 - бу2)] + х4(у2 - 6у3)};
кЦ = 2х2у22{иу3[у3(Зу22 + у32) + 2v2x2y32] + х4};
84
85
^11 - 36^2 Уз '>
кп = -6^3 (2^2 - 5У2Уз + 4у2J3 - 2Уз - 2v2%3 _у32);
= -6*3[7з(У2 +^У2Уз ~2Уз)+у2хз(У2~2Уз)У
к21 = бУ2 Уз(2У2 - Уз)+ V2*32]
^22 = 2У2[у3(2У2 - 6^2Уз + 6jy2j2 - 3j33)+ v2x3(y2 + _y2j3 -3j3
k23 - ХзУ2[уз(2У2 + бу2Уз ~ буз )+ 3v2x3 (y2 - 2_y3)J
^3i =^2х3_у2_у3;
^32 = хзУ2[у3(4у2 - 7y2y3 + 2j32)-v2x32(y2 - 2j23)]
кз\3 = 2*3 ^2 U (у2 + Уз) + v2*32 ]
^3,3 =36;
=б(у2 -2y3);
kl3 = 12x3;
k22 =2(у2-3У2Уз+3Уз)
к23 = *з(^2 —2^3);
k33 = 6*3-
(2.69)
86
Что касается второго слагаемого матрицы Kt, в выражении
(2.61), то его содержание определяется матричным равенством
(2.70)
к(т) = mE2t3 k-j
!8х3^ [(9x9)]
причем ненулевые элементы верхнего треугольника (2.70) имеют
вид:
Л]1 =-^14 =^44 =72у3у32; к^2 = -^24 = ^У2УзУз2^Уз ~ У2^>
к^з = -Л16 = -А34 = ^46 = _бх3у2УзУз2 Съ - 2^3 )>
к\5 = ~&45 = 12у2у3у32(Зу3 -2у2}, к1& = -&48 = ~12у2у3у32;
^22 = ^У2У32^Уз “ -У 2 У’ ^23 = ~^26 = ~хзУ2 ^32^2 ” 2^3 ХЗу3 - у2 \
^25 = ^У2УзУз2^Уз ~ У2 )2’ ^28 = -2у2у32(Зу3 - у2 ),
^3 = “^36 = ^66 = 2^3 J2 (у2 “ У2У3 + Уз ) .
Л35 = -к36 = х3у2у3 (_У2 ~ 2уз Х^У2 _ Зуз
^38 = “^68 = хзУ2 (у2 ~ ^Уз )’ ^55 = 2^2Уз (^Уз ~ 2^2 X >
^58 = 2^2 Уз (^2 ~ ЗУз }> ^88 = 2^2 •
Техника включения элемента в рассматриваемую область
может быть проиллюстрирована на примере индивидуального
элемента. Матрица направляющих косинусов ребра pq треуголь-
ной панели (от р к q) будет
^“pq ~ ^pq^pq^pq^’ (2-71)
где
J ~^р %qp _^q~^p _ qp . -Г1р _ ^др
РЧ~ „ - ’ тРЧ ~ s s ’ pq s s'
Spq Spq Apq Pq Pq Pq
(2.72)
Длина ребра pq определяется через координаты узлов тре-
угольной панели многогранника так:
87
5и=Ж+:9>^).
(2.73)
Опуская из точки г перпендикуляр на pq и считая известной
длину частичного отрезка pt ребра pq, находим далее координаты
точки t + lpqspt£p + mpqspt,qp + npqspt).
Введем в матрицу направляющих косинусов прямой tr
\r ~ \hr^trntr — (гр ~ lpqSpt)ferp ~ pqS pt^flrp ~ Пpq$pt )]
Str
(2-74)
Поскольку pq перпендикулярно tr, должно быть
Ipq^rp ~ lpqSpt} + Mpq^rp ~ т pqS pt )+ npq^lrp ~ ^pqS pt ) =
(2-75)
Принимая во внимание, что lpq + mpq + npq = 1, определяем
длину отрезка pt:
$ pt ~ pq^rp + mpq^>rp + ^pq^lrp’ (2.76)
Затем находим длину перпендикуляра tr
$tr ~ \^rp + ^rp +^lrp ~ Spt (2.77)
и в заключение определяем направляющие косинусы перпенди-
куляра tr к ребру pq
1 _ ^ГР _lP4SPt . _^rp mpqSpt _Т]гр npqSpt
ltr ~ ’mtr~ ’ntr~ •
Str Str Str
Для рассматриваемого треугольного элемента pqr перемеще-
ния в локальной системе координат выразятся через перемещения
узлов многогранного купола
88
их
u2
w4
u6
или в общем виде
^pq
0
0
0
0
0 0
о 0
4 о
^pq 0
О ЛГг
\q
и = ки.
u3p-2
U3p-i
Щр
U3q-2
U3q-1
U3q-2
U3q-1
“1g
(2.79)
(2.80)
Матрица жесткости для треугольной панели в глобальной
системе координат может быть получена с помощью преобразо-
вания
М=Л'[к(е)^. (2.81)
Отметим здесь, что при построении глобальной матрицы же-
сткости используется сокращенная форма матриц К/е\ что ис-
ключает необходимость включения расширенных матриц, содер-
жащих большое число нулевых элементов, и приводит к меньшей
загрузке запоминающего устройства [37]. Решение системы ли-
нейных уравнений относительно узловых перемещений реализу-
ется на ЭВМ и сводится к процедуре, которая хорошо иллюстри-
руется на следующем примере.
Рассмотрим пятиярусную конструкцию многогранного купо-
ла, находящуюся под действием равномерно распределенной по
горизонтальной проекции покрытия нагрузки интенсивностью р.
Опирание купола в узлах по нижнему краю оценивается как шар-
нирно-неподвижное. Отношение высоты купола к его диаметру
89
составляет 1/2,8. Конструкция купола разделена на 125 конечных
элементов в виде треугольных панелей, форма и размеры кото-
рых соответствуют разрезке купола по схеме 720-гранника. На-
чало глобальной системы координат О^т] помещается в центре
описанной около 720-гранника сферы (рис. 2.33).
л
Рис. 2.33. Схема пятиярусной конструкции
многогранного купола
Модули упругости материала треугольных панелей купола в
меридиональном и кольцевом направлениях принимаются соот-
ветственно равными: £']=9*103МПа, Е2=6*103МПа. Модуль сдви-
га в плоскостях, параллельных срединной плоскости пластинча-
тых элементов купола, С2=0,75*103МПа. Коэффициент Пуассона
V2 = 0,065. При этом «=1,5; т=0,125. Толщина треугольной пла-
стинки /=0,8см.
90
В табл. 2.7 представлены вычисленные значения безразмер-
ных перемещений для наиболее характерных узлов выпуклого
многогранника.
Данные о напряженном состоянии пластинчатых элементов,
ориентированных вдоль меридиана, также в безразмерной форме
приведены в табл. 2.8. Цифры в скобках - значения напряжений
сг^и Оуу, вычисленные по формулам безмоментной теории глад-
кой сферической оболочки с подвижным в направлении внешней
нормали контуром в форме окружности.
Сравнение величин таблицы показывает, что результаты рас-
четов дают достаточно хорошее совпадение, несмотря на разли-
чие в характере опирания и в очертании контуров многогранного
купола и сферической оболочки равного подъема.
Таблица 2.7
Численные значения безразмерных параметров
узловых перемещений 720-гранника
Узлы (i) E2tu‘ij-2 pr2 E2tU3j-l pr2 pr2
46 0 0 -1,102
36 -0,0394 -0,0288 -0,8491
27 -0,0398 -0,0288 -0,5640
19 -0,0230 -0,0168 -0,2837
12 -0,0302 -0,0226 -0,1102
26 -0,0830 0 -0,7469
18 -0,0610 -0,0149 -0,4373
11 +0,0091 -0,0058 -0,1349
10 +0,0264 0 -0,1301
56 +0,0490 0 -0,8491
64 +0,0499 0 -0,5640
70 +0,0288 0 -0,2830
74 +0,0307 0 -0,1102
91
Таблица 2.8
Данные о напряженном состоянии
элементов многогранного купола
Конечный элемент 0 = °xxt и XX рг a0 =5z£ УУ рг 0 Txyf сху рг
1 -0,50 (-0,50) -0,47 (-0,49) 0
6 -0,46 (-0,50) -0,46 (-0,44) 0
23 -0,57 (-0,50) -0,27 (-0,34) 0
49 -0,47 (-0,50) -0,26 (-0,20) 0
85 -0,61 (-0,50) -0,06 (-0,02) 0
Следует отметить, что программа позволяет производить рас-
четы пространственных многогранных покрытий произвольной
формы при различных граничных условиях. Важным достоинст-
вом изложенной методики расчета является возможность учета
различной ориентации ортотропных пластинчатых элементов на
поверхности многогранника.
2.3.4. Практический метод расчета
структурной конструкции двухпоясного купола
Среди пространственно-стержневых покрытий типа оболо-
чек большое распространение получили структурные сфериче-
ские купола, весьма экономичные по расходу материалов. Конст-
рукции куполов в форме выпуклых многогранников позволяют
перекрывать большие пролеты, имеют незначительную собствен-
ную массу, отличаются высокой степенью заводской готовности
и новизной конструктивных решений.
Рассмотрим структурную сферическую оболочку, поясные
92
сетки которой характеризуются треугольными ячейками (рис
2.34). Выделим на ее поверхности многократно повторяющийся
элемент - шестиугольную призму, в основаниях которой разме-
щаются стержни верхней и нижней поясных сеток. Примем дли-
ну поясных стержней равной I. Каждая из шести боковых граней
призмы содержит диагональные стержни, показанные на рис. 2.35
пунктиром. Площади сечений поясных и диагональных стержней
соответственно — Fq и Fd, Е — модуль упругости материала.
Рис. 2.34. Схема структурной оболочки
Данную стержневую систему можно рассматривать как сплош-
ную ортотропную оболочку, обладающую тем свойством, что в ка-
ждой точке ее срединной поверхности одна из плоскостей упругой
симметрии параллельна срединной поверхности, а остальные две —
перпендикулярны координатным линиям (р = const и ip = const соот-
ветственно вдоль параллели и меридиана [17].
93
Рис.2.35. Элемент конструкции регулярной структуры
Определим упругие постоянные ортотропной оболочки, экви-
валентной заданной стержневой системе. Перемещение любой точ-
ки представим тремя компонентами по направлению: и — каса-
тельной к меридиану, v — к параллели и w — внешней нормали к
срединной поверхности. Радиус кривизны срединной поверхности
обозначим через г. Поскольку предполагается, что структурная
оболочка имеет весьма незначительную по отношению к общим
размерам высоту, то в дальнейшем принимаем г0 = ги = г.
Для ортотропной оболочки, у которой главные оси упругости
совпадают с координатными линиями ср и гр, зависимость между
напряжениями и деформациями имеет вид
Е*
Оу = ;—+^2^); (2.82)
1-VJV2
Е* *
о<р = -—Vr (е + г, е ). (2.83)
1
При симметричной нагрузке удлинения в меридиональном и
окружном направлениях выражаются с помощью компонентов
перемещения следующим образом:
94
1Г , z
ew =— w + u + —(u-w) ;
4 r r
£„,=-{w + M + -(m-w') Ctg-lp}.
r r
С учетом (2.82) меридиональные усилия
E* t/2
N4, = ---L_ Г(е^ +v2£(p)6fe.
1-vlv2 -t/2
Подставляя в (2.86), (2.84) и (2.85), после интегрирования по-
(2.84)
(2.85)
(2.86)
лучим
7\L = Сц - [w + и' + v2 (w + uctgtp)] (2.87)
г
Аналогично для Nv имеем
А = С*22 - [w + uctgip + vf (w + и')] (2.88)
v' r L
Здесь компоненты жесткости оболочки на растяжение озна-
чают:
<71 - <й - -Чпг. (2.89)
l-V^ l-vlv2
В свою очередь, Е*, v*, Е*2, v*2 — модули упругости и ко-
эффициенты Пуассона материала эквивалентной оболочки, соот-
ветствующие основным направлениям 1 и 2 (ср и гру t* — толщи-
на сплошной упругой оболочки.
Из формул (2.87) и (2.88) видно, что меридиональные и коль-
цевые усилия являются функциями переменных и и ы. Предста-
вим каждую из них в виде:
= nJ + nJ'-, nv= nJ + nJ' (2.90)
где
Ny =C*l(l+v*2)w/r, Nfp =C*22(l + v*)w/r (2.91)
" * , ♦ " ♦ * ,
Ny = Сц1/г(и +v2uctgip\ Nv = C22l/r(uctgip +vp/).
(2.92)
Сообщим теперь элементу структуры, вписанному в шести-
95
угольную призму, перемещение в направлении оси z, равное w.
На рис. 2.36 показана треугольная ячейка одной из поясных сеток
структуры, расположенная таким образом, что высота треуголь-
ника оказывается лежащей в меридиональной плоскости Не-
трудно видеть, что при перемещении узлов треугольной панели в
направлении внешней нормали на величину w, в стержнях возни-
кают усилия:
^=М,с=^ = ^/г (2.93)
Рис.2.36. Треугольная ячейка конструктивной
сети структурной оболочки
а — перемещения узлов в направлении внешней нормали,
б—то же в направлении касательной к меридиану
При этом для элемента в целом интенсивность погонных уси-
лий в меридиональном и кольцевом направлениях
' ' г— EF
Nv -N -2,/3—*-. (2.94)
1г
Дадим теперь узлам А и В перемещения в меридиональном
направлении на величину и (рис. 2.36, б). В недеформированной
конфигурации длина стержня АВ 1аЬ = г0Вср. После деформации
lab = (?Ь+Д/Ь)Д<Р-
Поскольку
Аг0 = и cost/; ,
96
то должно быть Д/аЛ = Аг0А99 = i/A<p cos?^. Тогда, принимая во
внимание, что r0 = rsinip, получим £аЬ = u/rctgip. Таким обра-
зом, усилие в стержне АВ
(2.95)
EFB
Xab =—*-uctgip.
г
Учитывая, что узел С получает перемещение и + Ли, можем
записать
2
2 Цз
+ —I + Au
2
^ас ^Ьс
—Z
2 аЬ
После некоторых преобразований получаем
(, и , -Уз Au)
1 + —ctgW +-----------------------------.
4r 2 1)
Относительное удлинение при этом
и 3 ,
£ас ~ Ebc =-CtgV+-~U.
4г 4г
Отсюда находим усилия в рассматриваемых стержнях
EF
Хас = ХЬс = —- (uctgip + 3u'). (2.96)
4r
Для погонных усилий в меридиональном и кольцевом на-
правлениях имеем
ЗТЗ EFR 1 1
—----S--(и +-ис^);
2 / г 3
Зл/З EF 1 1
—----f—iuctg'ip +~и\
2 1г 3
Ху
(2.97)
Х<р
Сопоставляя (2.91) и (2.92) с (2.93) и (2.97), получим
C;(l+v;) = C^(l+v1’) = 2V3^;
. _ . зТз^.
41 “ '“'22 “ 2 / ’
v’ = v’ = v‘ = 1/3.
Отсюда следует, что
(2.98)
(2.99)
(2.100)
97
E*t' = £/* = E't' = —---(2.101)
Цилиндрическую жесткость модели структурной оболочки
определим следующим образом. При симметричной нагрузке вы-
ражения для изгибающих моментов имеют вид:
23* Г
= -—[г/ - w" + v*(и - w')ctgip ] (2.102)
г
D* Г
[(и - w')ctgxp + v * (tZ - w" )] (2.103)
* £V3
Здесь D = — цилиндрическая жесткость оболочки
на изгиб.
(2.105)
При = 0 согласно (2.102) получим
Mv =-D*(l-v*2)l/r2(w'-w"). (2.104)
Поскольку имеет место чистый изгиб элемента оболочки, то
относительное удлинение волокна на расстоянии z = -t!2 от сре-
динной поверхности будет
♦ 1
£v=-^li -w)-
2 г
Принимая во внимание (2.104), получим
Г-
* 2D\t-v'2)'
Отсюда следует, что абсолютное удлинение волокна
3
(2.106)
A“=Td'(1-v'2)' <2'107)
Прикладывая к элементу структуры изгибающий момент
= Ph И (рис. 2.37), получим
Л W2
4 EFgh
(2.108)
98
Рис. 2.37. Элемент структурной оболочки
под действием изгибающего момента Му
Сравнивая (2.107) и (2.108), имеем
. E't'3 j3EFg ht*
~12(l-v’2) 3 I 1-v’2’ (2-109)
Отсюда находим
E't2 = 4л/з/г^. (2.110)
Из выражения (2.101) и (2.110) следует, что t*=3h. Таким об-
разом, для рассматриваемой модели цилиндрическая жесткость
на изгиб
Для осесимметричной задачи воспользуемся уравнениями
равновесия в виде:
Ny + (Л^ - Ny )ctgzp + Qv + qxr = 0; (2.112)
+ N<p —+ <Er = 0; (2.113)
* sin?/;
- cosrp + (My simp)' + Q^r sin^ = 0, (2.114)
где qx — тангенциальная нагрузка в направлении касательной к
меридиану;
qz — нормальная нагрузка, действующая в направлении
внешней нормали.
99
Подставляя (2.102), (2.103) в уравнение (2.114) и учитывая,
1
ЧТО X =-------получим
г(и - и)
X + x'ctg4' - (у* + etg V) = Г2 (2.115)
Это — первое из двух дифференциальных уравнений отно-
сительно неизвестных / и Q^, через которые можно выразить все
остальные усилия и деформации. Для составления второго поло-
жим qx=qz=O. Тогда, исключая из (2.112) и (2.113) Л^, будем
иметь
2N + —^ = Q^ctgzp---------+ (2.116)
ctgip ctgip
Последнее равенство удовлетворяется, если
Ny^ctgip,. (2.117)
В силу этого по (2.113)
= (2-118)
Значение угла поворота касательной к меридиану х предста-
вим как функцию меридиональных и кольцевых усилий:
X = -^]N4,-N(p^+v*):tgip-N'(p+v*N^] (2.119)
Е t
Подставляя в (2.119) выражения (2.117) и (2.118), получим
Qy + Qyctg'ip + Qv (v* - ctg2ip) = -E*t*x. (2.120)
С учетом действующей на оболочку нагрузки >
Qy + Q^tgip + (у* - etgV) = -E*t\x ~ Zo)> (2.121)
где под %0 понимается поворот касательной к меридиану, вычис-
ленный по безмоментной теории.
Вводя оператор Мейсснера [33]
£(.„) = (...) + (...)'ctgip - (...jctgfy,
можно уравнения (2.115) и (2.121) переписать следующим обра-
зом:
i(z)-v‘z-r2^; (2.122)
l{Qv')+v'Qv--E'i"(X-X«)- (2-123)
100
Из системы двух дифференциальных уравнений второго по-
рядка путем разделения неизвестных легко получить для каждого
из них уравнение четвертого порядка. Так, выполнив операцию,
обозначенную символом £(...) над уравнением (2.122), получим
)=
г
Подстановка этого выражения в уравнение (2.123) дает
£L(x)+[£Yr2-v*2
(2.124)
I Е t 2
\Х =D*r Хо-
Аналогично находим и второе уравнение
LL(ev)+ ^-r2-v2 Qy=-E*tifxo-Lk
\ /
Решая уравнения (2.124), (2.125) и располагая значениями /
и Qy, можно определить все усилия, изгибающие моменты и пе-
ремещения в сечениях гладкой оболочки, эквивалентной в стати-
ческом отношении стержневой конструкции. На заключительном
этапе расчета отыскиваются усилия в стержневых элементах
структурной оболочки.
2.4. Теория устойчивости стержневых многогранников
2.4.1. Устойчивость упругих стержневых систем
в форме выпуклых многогранников
При проектировании таких большепролетных сооружений,
какими являются однопоясныс сетчатые купола, на первый план
выдвигаются требования обеспечения общей устойчивости сис-
темы. Задачи об устойчивости шарнирно-стержневых ферм рас-
сматриваются в [25, 28, 39]. Однако в этих работах рассматрива-
ются примеры простейших симметрично нагруженных двух- и
трехстержневых узлов, достаточно хорошо иллюстрирующие ос-
новные идеи метода, но не имеющие большого практического
значения.
В [40] затрагивались вопросы, связанные с изучением более
101
сложных случаев деформационного расчета и общей потери ус-
тойчивости пространственных конфигураций в форме правиль-
ных стержневых многогранников.
Следует также иметь в виду, что в ряде случаев точный ко-
личественный анализ устойчивости стержневых многогранников
— задача достаточно трудная, поскольку, скажем, уже для 180-
гранника приходится иметь дело с раскрытием определителя 276
порядка относительно параметра Л, характеризующего неустой-
чивость системы. Исследование многогранников с еще более
плотной конструктивной сетью во много раз увеличивает трудо-
емкость решаемых задач об оценке устойчивости рассматривае-
мых пространственных систем.
Рассмотрим ферму с шарнирными узлами на поверхности
сферы радиуса г. Пусть первоначальная длина каждого стержня
между узлами i и к будет lik, длина того же стержня после нагру-
жения стержневого многогранника - aik. Будем считать, что
внешние нагрузки в процессе деформирования системы сохраня-
ют свою величину и не изменяют своего радиального (к центру
кривизны) направления. Пусть EF - жесткость стержней при рас-
тяжении или сжатии, ctibPibYik- углы между стержнем 1к и осями
х, у, z после деформации фермы.
Допуская бесконечно малые смещения системы из положе-
ния равновесия, определяем критическое значение радиальной
нагрузки Р, необходимой для того, чтобы удержать систему в
этом отклоненном положении.
Предположим что 8ук, dzk - компоненты малого смеще-
ния для узла к, 6xt, 8у,, дг, - то же для узла i. Поскольку нас будет
интересовать многогранники, все стержневые элементы которых
имеют одинаковую жесткость, то можно, составляя уравнения
равновесия для системы в смещенном состоянии, сократить их на
EF. Тогда будем иметь
У - 8 (хк - xl Y1 -—sin2 а^ + д(ук - уг)—cosa cos /3 +
Y/[ \ а ) а
+ d(zk-z,)^-cosa cosy =0; (2.126)
a JiJt
102
I
I
a
a
= 0;
Sfx*. -xt:)cosacosp +<5(>’a. - J,)—(1 sin2 +
+ d (zk - z,)-^cos p cosy
° Ji*
xk -x,)cosacosy + д(ук - y, )- coscosy +
a
(2.127)
+ Ф*
(2.128)
Здесь суммирование распространяется на все индексы i, ко-
торые соответствуют стержням, сходящимся в узле к.
Отклоненная форма равновесия становится возможной в
том случае, если система уравнений типа (2.126-2.128), записан-
ных для всех узлов пространственной конфигурации, дает для
смещений дх, ду и & решения, отличные от нуля. Если принять
для всех стержней фермы длины после нагружения одинаковыми
и равными а, то наименьшее значение параметра А = I / а, удовле-
творяющее уравнению неустойчивости и получаемое путем при-
равнивания нулю определителя системы уравнений (2.126-2.128),
и будет искомым критическим значением. Таким образом, для
каждой группы узловых нагрузок пространственной фермы мо-
жет быть найдено такое значение параметра Л, при котором эта
нагрузка становится критической.
Обратимся к правильным стержневым многогранникам
(рис.2.38), исследование устойчивости которых проведем с по-
мощью описанного выше приема.
Рис. 2.38. Правильные стержневые многогранники
в форме тетраэдра, октаэдра и икосаэдра
103
При исследовании устойчивости равновесия стержневого
тетраэдра приходим к такому характеристическому уравнению
р(Л)=(Л-2У(Л-4/3)2(Л-1)=0.
При этом критическая нагрузка получается равной:
Ркр = -J6EFU.
Соответственно для стержневого октаэдра имеем
р(Л)- (Л - 2ЦЛ - 4/зУ(Л - 6/5ЦЛ -1)- 0;
Необходимо отметить, что всякий раз новый полином со-
держит корни характеристического уравнения пространственной
точечной решетки с меньшей плотностью. Эта закономерность
прослеживается и в случае стержневого икосаэдра, для которого
критическое значение параметра А получается равным
Ак„ =12/11. Критическая нагрузка для стержневого икосаэдра
определяется выражением
Ркр = (5/12)7(5-^)/10£F.
Полученные результаты легко свести в табл. 2.9, где к - чис-
ло узлов, п - число сходящихся в узле стержней.
Таблица 2.9
Значения критических нагрузок для правильных стержневых
_______________многогранников__________________
Многогранник к п 1 ^“кр р л кр EF sin© /2
Тетраэдр 4 3 3/4 3/4
Октаэдр 6 4 5/6 4/6
Икосаэдр 12 5 11/12 5/12
Обратив внимание на тот факт, что критическое значение
параметра Л зависит только от числа узловых точек на сфере,
описанной около данного многогранника, приходим к следую-
щим формулам для оценки неустойчивости систем рассмотрен-
ного вида
104
Лкр = к /(к -1}, PKp = (n/Jt)£Fsine/2,
где & - центральный угол, характеризующий данный стержневой
многогранник.
Рис.2.39. Стержневая конструкция 80-гранника
Хотя все наши выкладки относились к правильным стержне-
вым многогранникам, выводы справедливы и для других типов
икосаэдральных точечных решеток. Рассмотрим, например, ква-
зирегулярный 80-гранник (рис. 2.39), в узлах конструктивной се-
ти которого приложены радиальные силы Ра и
Естественные длины стержней 80-гранника равны lab = Zj и
1ЬЬ = /2, длины стержней в деформируемой конфигурации соот-
ветственно будут aj и а2. Для того, чтобы усилия во всех стерж-
нях 80-гранника были равны, необходимо соблюдение следую-
щих условий
105
Pa=P, Pb=(2/5)P(l + 2l2/l^
Для рассматриваемого 80-гранника £=42 и критическое
значение параметра Л равно =42/41. Что касается критиче-
ской нагрузки, то в рассматриваемом случае
Ркр = (5/42)7о.5(1-[о.1(5.+75 )]/2 EF.
В заключение отметим, если значение гибкости стержней
7*>7*кр, определяемого выражением ^кр=л4к, то следует
ожидать потерю устойчивости отдельного стержня системы. Если
же Л* < 2*кр, то будет иметь место явление общей потери устой-
чивости пространственной конфигурации как упругого соедине-
ния узлов, связанных между собой при помощи стержней.
2.4.2. Общее решение задачи об устойчивости
стержневых многогранников
Основные соотношения и метод определения критических
нагрузок для пространственных точечных решеток икосаэдраль-
ного типа были приведены в работе [4]. При этом обращалось
внимание на тот факт, что в характеристическом уравнении, опи-
сывающем неустойчивость системы, всегда удается выделить по-
лином, определяющий работу изолированной треугольной грани
многогранника. На основе этого можно заключить, что при ис-
следовании устойчивости стержневых систем в форме выпуклых
многогранников достаточно проанализировать типичную под-
конструкцию исходной конфигурации.
Рассматривая произвольную пространственную точечную
решетку икосаэдрального типа, можно заметить, что она имеет
узлы, которые являются вершинами пятиугольных пирамид. Ка-
ждая боковая грань одной из таких стержневых пирамид и пред-
ставляет собой типичную подконструкцию выпуклого много-
гранника.
Теперь возникает вопрос, как связаны силы, приложенные в
узлах стержневой панели в форме равнобедренного треугольни-
ка, с узловыми нагрузками в вершинах пятиугольных пирамид
многогранника. Для того чтобы лучше пояснить суть этого во-
106
проса, обратимся к стержневой пятиугольной пирамиде, показан-
ной на рис.2.40. Приложенная в вершине пирамидального эле-
мента многогранника сила Р направлена вдоль оси симметрии к
центру кривизны. Высота заштрихованной на рисунке грани пи-
рамиды составляет с осью симметрии угол р.
Рис.2.40. Стержневая конструкция Рис.2.41. Панель выпуклого
пятиугольной пирамиды многогранника в форме
равнобедренного треуголь-
ника
Поскольку предполагается, что все стержневые элементы
выпуклого многогранника имеют одну и ту же жесткость на рас-
тяжение EF, жесткость стержней, входящих в состав выделенной
треугольной грани, равна EF/2. Пусть & представляет собой угол
наклона боковых сторон к основанию равнобедренного треуголь-
ника АВВ (рис.2.41). Приложенная в узле А сила Pt действует по
вертикали, а в узлах В панель нагружена двумя силами Pt,
имеющими направление к центру вписанной в треугольник ок-
107
ружности. При этом из условия равенства усилий в стержнях тре-
угольной панели требуется, чтобы Pt = Pt /(2 sin &/ 2).
Составляя уравнение равновесия треугольной панели в сме-
щенном состоянии, следует иметь в виду, что эти уравнения яв-
ляются однородными и содержат в качестве неизвестных компо-
ненты малых смещений узлов &си 8у. Подобная система уравне-
ний имеет нетривиальное решение только в том случае, когда оп-
ределитель, составленный из ее коэффициентов, равен нулю. Та-
ким образом, получаем так называемое уравнение неустойчиво-
сти панели в форме равнобедренного треугольника, которая по-
сле несложных преобразований записывается так:
1 -Asin2 & 0 0 1 Asin#cos#
0 1-Acos2# Asin#cos# 1 0
0 Asiirffcosi? 1+1/cos#-} 2 1 0 -Asin2!? = 0.(2.129)
Asin#cos# 0 i 1+1/cos#- ° : / 2 | - A(l/cos#+cos #
Как видим, для системы уравнений шестого порядка полу-
чен определитель четвертого порядка. Это означает, что можно
было бы закрепить любой из узлов треугольной панели и сразу
лишить его возможности смещаться в направлениях х и у.
Раскрывая определитель (2.129), приходим к характеристи-
ческому уравнению относительно параметра X:
р(Л) = А(А -1 >А -1 / cosfljA -1/(1" cos#)] = 0.
Здесь k=ljjlaij, где 1ц - первоначальная длина стержня между
любыми двумя узлами i и j; - длина того же стержня после на-
гружения треугольной панели.
Для многогранников, конструктивная сеть которых основана
на пространственных точечных решетках икосаэдрального типа,
угол & находится в пределах 54°<#<60°. В связи с этим интере-
сующее нас значение параметра А будет
А = 1/cos#.
Тогда критическое значение действующей на стержень силы
108
SKp =-(l-cosfl)£F/2.
Подставляя уравнение равновесия узла А,
5 = -P,/(2sinfl)
в полученное выше выражение для SKp, находим
Р1кр = EF(1 - cosi?)sini9\ (2.130)
Если & = 60 °, то будем иметь
Pt>Kp=j3EF/4. (2.131)
Используя выражение (2.131) для определения критическо-
го значения нагрузок применительно к правильным стержневым
многогранникам с симметрично сжатыми элементами, можно со-
ставить общее выражение, представляющее собой критерий неус-
тойчивости рассматриваемой пространственной конфигурации. В
случае стержневого тетраэдра (рис. 2.42) узловую радиальную
нагрузку представим как равнодействующую трех сил Р , дейст-
вующих в плоскостях треугольных граней
P = 3P*cos/3 =2л/2Р*.
Рис. 2.42. Стержневой тетраэдр
Поскольку критическое значение нагрузки Р нам известно и для
стержневого тетраэдра Ркр = 46EF/4, то критическое значение
силы Р* составит
109
P^-^EF/S,mnP;p-Pl/<pl2. (2.132)
Переходим к стержневому октаэдру, для которого
P=J1EFI3 , имеем
P^P=Pt,Kp/^ (2.133)
Для пространственной стержневой системы в форме икоса-
эдра _____
Ркр = (5/12)7(5-V5)/10EF,
отсюда
^=Л^/6- (2134)
Сравнивая результаты (2.132-2.134), заключаем, что в об-
щем случае для любого правильного стержневого многогранника
с треугольными гранями
P;p=2Pt>Kp/k, (2.135)
где к — число узлов пространственной точечной решетки.
У 80-гранника, поверхность которого состоит из 12 пяти-
угольных пирамид с 20-ю треугольными вставками между ними,
имеются уже две типовые подконструкции в виде равносторон-
них и равнобедренных треугольников. Для каждой из этих двух
подконструкций могут быть определены соответствующие зна-
чения узловых сил, эквивалентных приложенным в узлах много-
гранника нагрузкам. Так, зная, что критическая нагрузка для 80-
гранника
и рассматривая уравнение равновесия узла, образованного двумя
треугольными гранями в форме равносторонних треугольников,
находим
Р; =(7б/5]1-7(5+75)/1о]'''2Рч,.
Подстановка сюда выражения для Ркр с учетом того, что
площади поперечных сечений стержней треугольных вставок со-
ставляют в нашем случае F/2, даст
Др =T3£F/84.
110
Таким образом, с учетом выражения (2.131) приходим к
выводу, что формула (2.135) подтверждается и в случае 80-
гранника. Раз величина критической нагрузки для 80-гранника
установлена, можно вычислить теперь величину эквивалентной
узловой нагрузки и для панели в форме равнобедренного тре-
угольника. Это важно хотя бы потому, что, начиная со 180-
гранника, такие панели являются типичными подконструкциями
стержневых многогранников.
Неизвестные пока силы Р* для каждой из граней пяти-
угольной пирамиды многогранника должны, очевидно, удовле-
творять уравнению
Лр=57ССО8^’ (2.136)
где cos /3 = [1 - J(5 + V5)/lo] /(л/2 sin fl).
Отсюда находим
Р*р = (£F sin fl)/42,
или в общем случае
r;-Pw/[*(l-cos#)l (2.137)
где PtKp определяется в соответствии с выражением (2.130).
Настоящий вывод легко обобщается на случай произвольной
пространственной точечной решетки икосаэдрального типа. За-
пишем (2.136) в виде
Ркр = (sP^, /sinfl)^l - 0,4(5 + 75) cos2 fl.
Если вместо Рк подставить сюда его выражение по (2.137)
и принять во внимание (2.130), то для определения критической
нагрузки получаем формулу
Ркр = (5/k)EFK(ff).
Здесь использовано обозначение
К(&) = д/1-0,4(5 + 75) cos2 fl.
Коэффициенты P(fl) и значения критического параметра узло-
вой радиальной нагрузки Ркр = Ркр / 5EF для некоторых значений
к даны в табл. 2.10.
111
Таблица 2.10
Значения коэффициентов K(ff) и критического параметра узло-
вой радиальной нагрузки Р для некоторых значений к
F* 80 180 720 980 1280 2880
к 42 92 362 492 642 1442
К(&) 0,273 0,174 0,081 0,069 0,061 0,039
65,1 19,0 2,24 1,4 0,945 0,268
Из таблицы видно, что с увеличением числа граней много-
гранника F* параметр критической нагрузки Ркр быстро умень-
шается.
2.4.3. Устойчивость пологих многогранных куполов
Рассмотрим одно из возможных направлений решения зада-
чи об устойчивости многогранного сегмента, вписанного в сферу,
под действием узловой радиальной нагрузки.
В соответствии с [6] потенциальная энергия деформации, вы-
званная растяжением срединной поверхности в процессе потери
устойчивости элемента многогранника, запишется так:
Uс------
2(1- hv2)(F)
Под е^, вуу и здесь понимаются деформации в срединной
[П£1х + 4 + 2f^2£xx£yy + ^ху \F- (2-138)
поверхности
ди,. W- \ (ди7\
' —__А__I__I _z I •
XX ~ On’
дх г 2\ дх )
_ диу uz 1 / duz \
уу ду г 2( ду у ’
диг ди ди7 ди7
XV =^-+—L + -.
у ду дх дх ду
(2.139)
112
Подставляя в (2.138) выражения (2.139) и полагая, что изме-
нение деформированного состояния будет происходить при по-
стоянных значениях краевых сил, получим
ди.
2(1 ПУ2 )(Е)Г
(2.140)
Отметим, что в (2.140) мы пренебрегли членами более высо-
кого порядка малости.
Потенциальная энергия деформации элемента многогранника,
вызванная изгибом
2 \2
д\\
дх2
d2uz
-.2
2 7 7
। duz ди.
I дх2 ду2
(2.141)
2’
I dF.
д uz
дхду
Полную энергию деформации получаем в результате сумми-
рования (2.140) и (2.141)
U = Uc + Uu. (2.142)
Выражения (2.46 - 2.47) для перемещений внутри элемента
можно записать через перемещения узловых точек в форме:
= Ьз2*-*з6'-УгЖ+["Уз(* " *з )+*з(у-Уз )Ь
2F1,2,3
nv2
1
Uv =---------
2F1,2,3
(2.143)
{Узг* ~ *з (у ~ Уг Ж + [~ Уз (* - хз
(2.144)
113
С помощью (2.56) можно и uz выразить по (2.48) через пере-
мещения узлов конечного элемента.
Дифференцирование выражения для энергии деформации по
(2.142) относительно узловых перемещений дает
+ (2.145)
Здесь матрица жесткости Ке формируется следующим обра-
зом:
Ке = Кр [ Крь (6x6) ! (6x9) (2.146)
кЬр ]Kb + Kt (9x6) | (9x9)
Матрицы Кр и Кь в общем виде определяются по (2.49) и
(2.61). Содержание матриц КрЬ и Кк раскрывается формулами
(2.147) и (2.148).
М1+у2) х
60r(l - nv2)
КьР ' К2ьР ' Klp '
(бхЗ) । (бхЗ) । (бхЗ)
; (2.147)
i-
^Узг!У2(4У2 “Уз) ^-Узз!У2И2 ~$Уз I ~^хзУз2
-З7]х3/у2(4у2 -Уз)-27]х3/у2(^2 -5уз) ^rpcj
~ 3Уз /У1 -Уз)~2Уз1. У2 Й - 5у32) 2эд
^з/у2{4у2-уз) 2г]хз/у2\у2-5у1) -2трс3
3(4у2 - Уз) 2^ - 5у32) - 2х3у2
0 0 0
'-ЗУ32/У2(1У2+Уз) - 2^32^2 “ ХЗ.У32
^>'ПХз/У2^У2+Уз) 2?7x3y2 ^з2
ч- ^Уз/У2(3У2+Уз) -ЗГ1Хз/у2(Зу2 +Уз) 2у2У3 -27?х3у2 хзУз -^з2
-3(3у2+у3) -2у22 ~хзУ2
0 0 0
114
ч= 9у32 Уз2(У2~2Уз) -9?7Хз -?7х3(у2-2уз “^Уз -^(№-2^3 977x3 77х3(у2-2у3) 9J2 У2(У2~2Уз) 0 0 2х3у32 ) - 2^хз 1 - 2х3у3 277x3 2х3-У2 0 •
г, 1 + nV2
В последних матрицах г] =-----
н(1 + г2)
E2t х3 [1 + и(1 + 2v2 )]
к " 10080у2 r2(l-nv2)
/п
Симметрично
(2.148)
Для определения подматриц Д, (г, /=1,2,3) следует восполь-
зоваться следующими выражениями:
/п=2
36(17у2 -ЮУг-Уз +Уз)
Симметрично
12(33^ +6у2уз~6у1)
Зу2(29у2-2у2у3 +yl) -Зх3у2(29у2-1у3)
2^(8у2-у2у3+у3) -х3у2(13у2+2у3)
16т3У2
-6(17^2 -Уз) -18х3у2(2у2-у3)
6у2 (16у2 + 2у2Уз - Уз)~ 2уг О 2>г “ ЗУ'з+ Уз) “ хзУ2 (9У2 ~ ^Уз) »
- 6х3у2 (11у2 + 2Уз) хзУ2 О 7Л + Ьу3)
’36у2(11у2 -4у3) 12y2(3j2 -Юу2Уз + Зу32)
ббуг 4у2(2у2-11Уз)
- 96х3у2 - Зх3Я (Зу2 - 8у3)
36(12^2 +4у2Уз +Уз) _3у2(28у^ +у3)
2 2у2 (9у2 - Зу2у3 + 2уз)
Симметрично
8х32у22
бхзУгСПуг -6Л)
17х3^2
-24х32у22
-Зх3у2(14у2 +Зу3)
^хзУг(^У2 ~ Уз)
6х2у2
115
36y2(7y2 +4уз)
-66^2
-48x3-y2
Г288
6х3^2(11у2+6уз)
-17a3j|
-12x^2
56x3
12>’2 (4ji - 4y2y3 - 3yj)
~^У32^У2~^Уз)
-3хт>у1(3у2 ~^Уз)
28(у2-2уз)
3(У2 - Зу2Уз + 3J32) 6хзСУ2 - 2Уз) •
Симметрично 4х3
Полная геометрическая матрица жесткости конечного эле-
мента многогранника Кс записывается в виде суммы матриц для
компонент Nw и
лл ' уу лу
= (а4)' ffC'NCdxdy А-1.
(F)
Выполнение операций матричного умножения в соответствии
с (2.149) показывает, что
(2.149)
G,y ^G,xy
G
KG,X
1 Nx
180 хУ
ЙЦ
G,y
1 ух3
180 У2
G ,xy
1 xy
180“7T
fl12
fl 22
Симметрично
^11 ^12
^22
Симметрично
C11 c12
c22
Симметрично
a13
° 23
a23
^13
^23
^23
c13
c23
(2.150)
(2.151)
(2.152)
Подматрицы а^- (i, j=\, 2, 3) запишем следующим образом
116
I
36(3yf +Уз)Уз2^У2ОУ2 +2у2Уз +Зуз)уз26хзУ2Уз2(2у^ - 4у2у3 + у^У
4у2-Уз2 (У2 + З^з) Х3У2У32 (Зу2 - 5 Уз )
Симметрично 2x3^2 (6^2 - Зу2.Уз + 2>'з )
I
И
со
I
оо И
—I \О
п СЧ
II
m
О-
117
Z<^X£
(£^- z/(£)zt(zxg
^W^4"9
(^£ + ^£)z^9
(£<< - z^£)z/(zxg
(^£ + ^^3 - ^3) Ч9 -
(^ + ЧЧ- ^£)9£-
=
118
^f^t7 оньискэиигиэ
z^x£ ~ (- fa) ^9
(V- z<(£)z^xg-(^<(£ + £^3- ^3)^9(^+ t<(z<(- fa)g£
zxg оннискоиииэ
№ - z<f)zx£(fa + W£- fap
£*Sl (^Z-^Sl SOI.
zzv
zfax£
(£/f - ty)Wx£
trftxgj -
(^9+ ^(g)£x-
(^£+ ^6’ £4»^
(£4д- zKp) £<(д -
(£4g- zt(z)zxg-
(V - ^з)^81
^801
= zzv
О
/?1з = Зу2 О
О
-4
-Уз
хз
О'
О
О
36(3y^ -y2y3 + yl)~ 6у2(3У2 -4у2Уз +Зу32)-6х3у2(Зу2 -узу
бугОг ~У2Уз+2Уз)
Симметрично
Зх3у2(у2 -2у3)
4х32У22
го
^23 _ 2У2 б
4
Уз 2
-х3
О'
О
О
Ьзз -
о о О
6у^ О
СимметричноО
^22 “
О
-З6(5у2-у2у3+2уз)у32 -18у2(у2+2у^)у32 -6х3у2(Зу2-8у2у3 + 2у3)
- 6у2 (у2 - Зу2у3 + 4у2)у32 8х3у2у32
Симметрично 2х3у2(Зу2 -4у3)
-18(5у2 - 12у2у3 + 6>2уз2 -4уз)18у2(у2 -4у2у3 +4у2у32 -2у3)-12х3у2(Зу2 -у3)у32
-18у2 (у32 - 2у1 у3 + 2у2у2 - 2уз) Зу22 (у32 - 4у2у3 + 6у2у32 - 4у33) - 8х3у^32
-12х3у2(4у2-уз)у3 4х3у2у3(4у2-Зуз) -2х32у2(Зу2-4у3)
-90 -18(2у2-Зу3) -18х3
с13 = Уг “ 1 ^у3 - 3(2- 3Уз) - Зх3у3
cl tn
и
СП
£
О\
I
и
00
с я
II
m
€4
О
СимметричноО
120
2.4.4. Об устойчивости однопоясного сетчатого купола
при больших прогибах
Среди пространственных стержневых конструкций большо-
го пролета особое место занимают сетчатые купола, конструктив-
ная сеть которых характеризуется довольно плотной триангуля-
цией узловых точек на поверхности сферы радиуса R. При этом
для покрытий большепролетных сооружений первостепенное
значение приобретает решение нелинейных задач об устойчиво-
сти сетчатых куполов при конечных перемещениях.
Конструктивная сеть однопоясного сетчатого купола пред-
ставляет собой набор треугольных ячеек, имеющих приблизи-
тельно одинаковые размеры сторон и состоящих из прямолиней-
ных призматических стержней постоянного сечения. Предполага-
ется, что стержневые элементы сети выполняются из однородно-
го изотропного материала, подчиняющегося закону Гука.
Для исследования устойчивости сетчатого купола использу-
ется вариационный метод решения задачи применительно к мо-
дели купола в виде пологой сферической оболочки, эквивалент-
ной заданной стержневой системе.
Рассмотрим оболочку, подвергающуюся действию равно-
мерного внешнего давления. Для описания ее поведения под на-
грузкой воспользуемся полярными координатами г и ср, совмещая
начало радиус-вектора с центром образующейся при выпучива-
нии вмятины (рис. 2.43). Приняв за а высоту треугольных ячеек
конструктивной сети купола, обозначим далее через C=EF/a рас-
пределенную на длине а жесткость оболочечной модели на рас-
тяжение; под В=ЕЦа будем понимать ее изгнбную жесткость.
Кроме того обозначим через D=GIKp/a жесткость при кручении и
пусть b=GIKp/EL
При симметричном распределении нагрузки соотношения
между результатируюшими напряжениями, компонентами де-
формации и смещениями могут быть сформулированы следую-
щим образом [29]:
а
Е. =---
r EF
du
dr
w 1 / dw
R 21 dr
121
, к.
” зх’'
d2w
dr2
jJLt/w
r dr
е = -^—\N --N
Е<р EFy9 ‘ ’
Мт =-|б (3 + 5)-
О
, U W
Г7”я;
r dr
(l-s)£?.
dr
Здесь под и подразумеваются радиальные перемещения то-
чек срединной поверхности оболочки, а под w - её прогибы.
Рис. 2.43. Образование одиночной вмятины
в вершине сферической оболочки
Делая затем обычные предположения о пологости области
выпучивания при потере устойчивости по осесимметричной
форме, выпишем основные уравнения нелинейной теории поло-
гих оболочек. Можно показать, что для рассматриваемого случая
модели однопоясного сетчатого купола они получают вид:
(2.153)
122
|(3 + 5)5V4w-
1 d2w\ 1 d<3>
R + dr2 I r dr
( 1 1 ЛгЫ2Ф
- — +----—t =
\R r dr ) dr2
Здесь принято Nr = (1/ r )d<3>/dr; N? = d2<&/dr2.
Под V2 над функцией напряжений Ф понимается оператор
Лапласа в полярных координатах
У2Ф = <72Ф/dr2 + d&/rdr _
Повторное применение этого оператора над функцией про-
гиба дает
. ж-,2,-,2 d4w ^ld3w 1 d2w 1 dw
V4w = V2V2w =—- + 2--------—-—- + ~v—.
dr4 r dr3 r2 dr2 r3 dr
В общем случае будем считать, что на контуре одиночной
вмятины, образующейся при выпучивании оболочки, выполня-
ются условия упруго податливого закрепления в отношении как
угловых, так и линейных радиальных перемещений. Условия на
контуре вмятины при г=с записываются в виде [2]:
d2w dw „ <72Ф 1 t/Ф _
—— + т— = 0- ——+ л-------= 0,
dr dr ’ dr г dr
где т={1/г\1-ё)1(3+5)+1/у1; «=у2-1/3.
(2.154)
Здесь у7 и у2 рассматриваются в качестве характеристик по-
датливости опорного закрепления соответственно повороту и ра-
диальному перемещению.
Кроме отмеченных двух условий на контуре одиночной вмя-
тины, в ее полюсе должны быть ограничены по величине ради-
альные усилия Nr. Следовательно, в качестве еще одного гранич-
ного условия имеем
dФ/dr=Q при г=0. (2.155)
Аппроксимирующую функцию для угла поворота касатель-
ной к меридиану представим с помощью выражения
& = dw/dr = [- 4//(1 - 2/3Яг3 /с3 - /Зг/с), (2.156)
где параметр /3 определяется следующим образом
/3 = [2(5 + <5 >! + (3 + <5 >]/[4у, + (3 + <5 )с] .
123
Подставляя (2.156) в правую часть (2.153) и выполняя ин-
тегрирование, находим
d® 2EF 1 /2 (а2 г3 а г5 г7 \
--~-------7-----v?-f —/3—-г- 4-----— —
dr а (\-2BY с 2с3 Зс5 12с7
v \ / (2.157)
н+сГ+сл
ба 1-2/3 R с3 с5) 2 2 г
Исходя из граничного условия (2.155) постоянная интегри-
рования С2 равна нулю. Пользуясь условием (2.154), находим по-
стоянную С]
2EF 1 f2 EF 1 f
1 а (1-2/3)2с2 ’ За l-2f} R 2‘
Здесь введены обозначения
£, = /32(14- 2£ )-(2/3)/3(14- 4£ )+ (1/6X1 + 6£);
Z2 = 3/3(14-2£ )-(14-4£); £=3/(2 4-Зу2).
Выражению (2.157) можно придать следующую форму
d® EF 1 /2/ г ,г3 лог5 г1}
dr 6о (1-2/3 У с с с3 с5 с1 *
EF 1 fc{ f r r3 qR
6a (1-2/3)/Ц с сз+с5) 2Г'
Последний член в этом выражении соответствует усилиям
безмоментного напряженного состояния оболочки
Nro=N(pfi=qRI2.
Рассмотрим процесс изменения стрелы вмятины, образую-
щейся в оболочке, в зависимости от радиального давления. Сле-
дуя работе [1], составим выражение для полной энергии системы:
v=uc+ uu-w.
Здесь Uc - потенциальная энергия деформации срединной
поверхности;
Uu - потенциальная энергия изгиба;
W - работа внешних сил.
Вводя безразмерные параметры
р = ас2 /FR; q=qa2R2/EF2;
124
^=af/F-, V = ^1лЕУЯУIF\
и опуская промежуточные вкладки, приведем окончательное вы-
ражение для полной энергии деформации системы
V = 0, (1 /рУ + 02§3 + 03 (1 / ру + еАрУ - e5qf
-в6др^-(\/2Ур.
Здесь 0, - коэффициенты, для которых справедливы сле-
дующие соотношения:
0! = (1 / 3 )1/(1 - 2/3)4 [б^2 - 2Ц (1 - + 6/3 2 )+
+ (4/3)/3 ("Э/З3 -15/32 + 11/3 -4)+17/21]
02 = (1/3)1/(1 - 2/Sf [2^1^ - 2(3Zj + С2/3)/3 +
+ (1/3X61!-Ь2 +4£2/3)+12/33 -15/32 +22/3/3-4/3]
03 = 1/(1-2/3)2(б/32-12/3+ 9 + д);
04 = (1/3>/(1 - 2/ЗУ (4 /6 -£2/3 +£2 /3+3/32 -5/3/2+17/3(1);
05 = (1 /3)1 /(1 - 2/3 У (б^ - 6/32 + 4/5 -1);
06=(1/3>/(1-2/зХ£2-12/3 + 7).
Считая варьируемыми параметрами £ и р, составляем урав-
нения метода Ритца:
^.0.^.0
t/§ ’ dp
Исключив из полученной системы уравнений, связывающей
величины, q, ир, параметрр, приведем к зависимости qg), ко-
торая при <5=0 получает вид
У +(73^3/(24 + о2§'2/о4 + н]^/о4 +п0/о4 =0. (2.158)
Здесь положено:
а. =0Л4|9 0^4 0Д -02>4 + 03(48 0Д -9 022>2 +16 03204];
=-Г[з 0.(20 0,0406 -4 020405 -3 02206>4 +03(76 0.0Д -
-12 020405 -9 0206)*2 +24 0320406];
а, =ГК(25 -246g -4 0402 -12 020506 +(9/2) 40,(зО 6g -
-286J04 -4 eg -12020506 +(9/2) efe2 +^(9 < -8 04)];
125
<4 =2£ |ф ед, -3 ед +2 0206>4 +0з(иед -
-3 0205 + 2 0 2 06 ^2 +3 0306];
о4 = 2 0,(2 0, +052^4 + 2 03(2 0, +052>2 +032.
Серии кривых §"(§), построенных на основании результатов
вычислений по (2.158), полученных с помощью ЭВМ, представ-
лены на рис. 2.44 для ft =1 при различных значениях лежащих в
пределах 0 £ § <. 3/2.
Рис. 2.44. Зависимость “нагрузка-прогиб”для
сферической оболочки с начальной погибъю
Легко видеть, как меняется параметр q в зависимости от
выбранных условий на контуре вмятины. Наименьшее значение
qH, соответствующее, например, случаю скользящей заделки,
имеет место при /? = 0, £ = 0 и равно §'=0,144. Это значение пара-
метра q достигается при стреле прогиба £ = 13. Нижнее критиче-
ское давление получается при этом равным
qH^0.5(E/aR2)y[jF,
что почти в 2,2 раза меньше значения qH, соответствующего слу-
чаю полного защемления на контуре вмятины.
Предложенный подход к исследованию устойчивости одно-
поясного сетчатого купола на основе континуальной расчетной
модели позволяет эффективно использовать методы механики
деформируемого тела и аппарат уравнений теории сплошных
126
оболочек. Точность решения задач, полученных на основе такого
подхода, существенным образом зависит от вида аппроксими-
рующих функций прогиба и выбора граничных условий в зоне
сопряжения вмятины с остальной частью оболочки.
2.4.5. Местная устойчивость сетчатых куполов
Потеря устойчивости пространственных стержневых систем
в форме выпуклых многогранников может заключаться во вне-
запном переходе системы из одного равновесного состояния в
другое в результате прощелкивания узлов конструктивной сети
купола к центру кривизны описанной сферы.
Решению задач о прощелкивании узлов пирамидальных
элементов сетчатых куполов посвящены работы [14, 16]. Вместе с
тем, очевидно, что для оценки несущей способности сетчатых
куполов из условия местной устойчивости недостаточно рассмат-
ривать поведение изолированного пирамидального элемента под
нагрузкой и не учитывать при этом податливость узлов конструк-
тивной сети купола при деформациях, локализованных в опреде-
ленных пределах решетчатой системы.
В связи с этим рассмотрим первоначально двухъярусную
часть сетчатого купола в форме 980-гранника, показанную на
рис. 2.45. Исследуем свойства стержневой пятиугольной пирами-
ды купола, в вершине которой приложена внешняя сила Plt при-
нимая во внимание работу стержневых элементов нижележащего
яруса. Опирание стержневого купола в узлах 3 и 4 оценивается
как шарнирно-неподвижное.
В соответствии с принятым способом построения конструк-
тивной сети 980-гранника длины стержневых элементов двухъя-
русного купола
/12=0.137742 г; /22=0.161541 г; /23=0.151974 г; /24=0.156637 г.
Здесь г - радиус описанной около многогранника сферы.
Рассматривая далее только симметричные формы равнове-
сия, будем считать, что стержневые элементы конструктивной
сети многообразного сегмента, представляющего собой часть
кристаллического 980-гранника, прямолинейны и шарнирно со-
единены в узлах. Предполагается также, что материал стержней
127
подчиняется закону Гука, а напряжения остаются в пределах
пропорциональности.
Рис. 2.45. Двухъярусная часть сетчатого купола
в форме 980-гранника
Пусть перемещения узлов 1 и 2 вдоль радиуса кривизны бу-
дут wir и w2r- Через обозначим центральный угол, соответст-
вующий стержню i-j.
Следуя работе [11], составим выражения для полной упру-
гой энергии системы
5 E2
U + V = —EF --
2
Деформация удлинения
Е1 Е2 Е2 Е2
И2 . ь22 . fc23 , fc24
-----1 1 1
^12--^22----4з-----^24
-W-
(2.159)
е12 ~ 2 4 г
2(^т
\ 4г
\ ГЛ / \2 / \2
Wlr I • ^12 I Wlr ) I W2r 1 WlrW7r
—sin—— + —M +2-^ 2r COS017
l12} Z2 12
(2.160)
128
(2.161)
э • ®22
£22 = 2w2rsm^;
2^sin^3 +
4з 2
8 ~X-l
£23 - 2 f23
е24 “ 2 ^24
21
^2г .
^23 J
2'
(2.162)
_ W2r . ©24 (w2r
2——sin——+ |
/24 2
/24
(2.163)
(2.164)
(2.165)
Минимальное значение нагрузки Pi при котором равновес-
ное состояние стержневой системы является устойчивым, опре-
деляется условиями:
«(Г+К) 0. б(Ц+Г)
dwlr ’ 6w2r
Должны также выполняться неравенства:
s4p+v) о-
6W2 ’ Sw2
1г 2г
Дифференцирование выражения полной упругости энергии
частным образом по wlr дает
Р{ = +3£2(r}cos®12 -sin®12^) + §[r72(l + 2cos2012)
+ 2r7sin©12/2(l-2cos©12) + 2sin2012/2] +
+ т]\г)2 cos©12 -r7sin©12/2(l-2cos©12)-2sin2©12/2]
Здесь введены безразмерные параметры
& . Wlr . _ w2r . p _ 2
/12’ /12’ 1 5EF'
С помощью второго из условий (2.163) находим
т]3 + (а2 / а3 }]2 + (flj / «3 + («о / а3) = О,
где коэффициенты «о, а2, аз определяются соотношениями ви-
да
°о = c°s2 +§sin©12/2(l-2cos©12) -2sin2 ©12/2]; (2.169)
а3 = §2(l + 2cos2 ©12)-2§sin012/2(l-2cos©12)+
+ 2 sin ©12 / 2(sin©12 / 2 + 4 sin ©22 / 2 + 2 sin ©23 / 2 + sin ©24 / 2);
а2 =3[§cos©12 +sin©12/2(l + 2Z12//23 (2.171)
(2.166)
(2.167)
(2.168)
129
(2.172)
Многократное решение уравнения (2.168) при фиксирован-
ных значениях переменной £ и последующая подстановка най-
денных действительных значений г; в выражение (2.166) опреде-
ляет зависимость от £ которая графически отображена на рис.
2.46 штрихпунктирной линией.
Любой из точек кривой соответствует некоторое равновес-
ное состояние узла 1, характеризуемое парой значений Р\ и “.
Восходящие участки кривой Pi(£) соответствует устойчивым
состояниям равновесия, а нисходящие участки - неустойчивым.
При этом в процессе монотонного возрастания нагрузки значения
параметра оказываются примерно на порядок меньше по срав-
нению со значениями параметра относительного перемещения
вершины £.
Если пренебречь теперь в выражениях (2.160) - (2.163) ве-
личина г]2 и ^т], рассматривая их как малые величины более вы-
сокого порядка, то зависимость между параметром нагрузки Pj и
относительным перемещением вершины двухъярусного купола §
примет вид
Я = ~у(£3-3£2sin©12/2 + 2£sin2012/2), (2.173)
где
С = 8sin36cosO12/2 + 2/23//12+Z24//12. (2.174)
Нетрудно показать, что потеря устойчивости рассматривае-
мого вида происходит, когда в процессе возрастания нагрузки £
достигает значения, определяемого равенством
= (^т)^®^2- (2.175)
При этом критическое значение параметра относительного
перемещения узла 2
^ = 3(i75sin 012/1 (2Л76)
130
Рис. 2.46. Равновесные состояния двухъярусной
модели сетчатого купола
Согласно выражению (2.173) график функции Р\(£) получает
вид, показанный на рис. 2.46 сплошной линией. Как видим, зна-
чение критической нагрузки для отдельного пирамидального
элемента (штриховая линия) оказывается на 7% меньше по срав-
нению с соответствующим значением нагрузки, вычисленной для
двухъярусной модели сетчатого купола без учета величин t]2 и
&], и примерно на 10% выше критической нагрузки с учетом этих
нелинейных слагаемых.
При анализе поведения трехъярусной модели купола под
действием нагрузки, приложенной в вершине, выражение для
полной упругой энергии стержневой системы запишется сле-
дующим образом:
5 Гр2 р2
U + V = — EF ^ + ^2+2
2
/р2
А 2 ‘22
Р2 Р2 Р2 Р2
£23 , £34 , £35 , £45
-----1 1 1
k 4з-(з4---^35---^45
Р2 Р2
£24 , £4б
^24 ^46
-7>1Г.
(2.177)
131
Длины стержневых элементов приконтурной зоны купола
/34=0,171320г; /35=0,170983г; /45=0,164800г; /46=0,170656г.
Что касается деформаций удлинения, то для е12 и е22 спра-
ведливы по-прежнему соотношения (2.160) и (2.161), а для дру-
гих типов стержневых элементов выражения деформаций полу-
чают вид
£23 - 2 ^23 / W2r W3r \ . ©23 2 + sin—— + \ ^23 ^23 / 2 / \2' (^2r ] ( ^23 / ; (2.178)
£ =~l fc24 2 *24 f w2r W3r \ . ©24 2 + sm—— + \ ^24 ^24 / / \2' ^2r ] к ^24 / ; (2.179)
е34 = (w3r +co4r)sin©34 /2; (2.180)
£35 = w3r sin©3512; e45 = w4r sin©45 /2; e46 = w4r sin©46 /2; (2.181)
В этих выражениях влиянием нелинейных слагаемых, свя-
занных с радиальными перемещениями узлов 3 и 4, пренебрега-
ем.
К уже имеющимся соотношениям (2.164) добавляются сле-
дующие два условия:
М = 0; ^>-0; (2.182)
dw3r ди4,.
При этом требуется выполнение неравенств
^П>0; (2.183)
<5w r <Ь4г
С помощью (2.182)и второго из выражений (2.164) получим
А^ + + А2т) + А3 = 0, (2.184)
где коэффициенты Aq, Аъ А2, А3, можно представить в виде
А^ = 1, А^ = б?2 / п3; А2 = / (?3; А\ = Пд / а3. (2.185)
Используя выражения (2.169) - (2.172), получим
ао = ао (2.186)
2, = а{ -2 sin ^2-sin ^21 2—(n-—)sin^^ + — ; (2.187)
2 2 m[ l23) 2 Z34 ’ V >
132
а2 = а2 + sin^^ 2— sin^-- — (— + 2^Й
2 т 2 /34 ( Z23 /24 )
~ К1 (о / ^12 • ®12 ^12
а3 = а3 - — 2-——sin——+ ——
Z24 т 12д 2 Z23Z34
Здесь введены дополнительные обозначения:
п = 2+Ь4+2к+к;
^34 ^34 ^34
©24 • ®45 ®46
+ sin —— + sin —+ sin ——
2 2 2
т = 2
( ®23 • ®35 \
и sin—— + sin
\ 2 2 J
а = 2_Ы1 + к + Ы
(з4 ( 4з ^23 /
fi = 2^ + 2М-|<1 + Ь1 + 2Ых
( ^24 4з / I ^34 (з4 /
(2.188)
(2.189)
(2.190)
(2.191)
(2.192)
-6п;
(2.193)
3_„р24+2Ьз
(^23 ^24
у = (1_лМ(1 + ^з. + к_2Ы (2.194)
( 4з Д ^34 ^34 ^23 У
Решая уравнения (2.184) относительно переменной г) при за-
данных положительных значениях §, выполним далее подстанов-
ку найденных значений параметров § и Г) в общую формулу
(2.166). Наглядное представление о полученных результатах мо-
жет быть получено путем рассмотрения кривых Pi(^) и Pi(i/), по-
казанных на рис. 2.47 утолщенными линиями.
Нанося на эти диаграммы кривые, характеризующие поведе-
ние двухъярусного купола, и производя их сравнение с соответ-
ствующими кривыми, иллюстрирующими процесс деформирова-
ния трехъярусной модели, приходим к важному выводу о том,
что для анализа прощелкивания конструкции кристаллического
многогранника достаточно ограничиться рассмотрением двухъя-
русной модели, поскольку диаграммы равновесных состояний в
этих двух случаях практически одинаковы.
При этом относительные перемещения U’4r//i2 на протяжении
всего восходящего участка кривой Р^) вплоть до достижения
133
нагрузкой критического значения имеют порядок, выходящий за
пределы заданной точности вычислений, и поэтому могут быть
приняты равными нулю.
Рис. 2.47. Сравнение результатов для двух-
и трехъярусного сетчатых куполов
Здесь подтверждается также целесообразность удержания в
выражениях (2.178) - (2.181) величин относительных радиальных
перемещений узлов 3 в степени, не выше первой.
В силу отмеченных обстоятельств функциональная зависи-
мость Pi(f) для трехъярусной модели купола может быть в пер-
вом приближении определена следующим образом:
Р} = 1|~(f3-3§2sin©12/2 + 2jsin2012/2); (2.195)
g . 1 (2.196)
42 l + f34 +f35
4з 4з
Сравнение формул (2.173) и (2.195) показывает, что они от-
личаются лишь множителями, стоящими перед круглыми скоб-
ками. Как показывают вычисления, расхождения в получаемых
134
на основании формул (2.173) и (3.195) результатах не превышает
1%.
Таким образом, без нарушения общности рассуждений мож-
но рассматривать только двухъярусную модель купола и для оп-
ределения величины критической нагрузки использовать реше-
ние:
р = ©12 (2.197)
1кр 9 1 + С 2
135
3. СТЕРЖНЕВЫЕ КОНСТРУКЦИИ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
3.1. Конструктивные решения сетчатых покрытий
в форме цилиндрических оболочек
Теория стержневых конструкций в форме цилиндрических и
сферических оболочек является в настоящее время одним из спе-
циальных разделов механики твердого деформируемого тела, и ее
разработке уделяется значительное внимание.
Объясняется это, прежде всего тем, что образованные из
прямолинейных или криволинейных стержней конструкции соче-
тают в себе легкость с высокой несущей способностью, что обес-
печивает их широкое применение при конструировании тонко-
стенных покрытий из металла, дерева и пластмасс. Следует обра-
тить внимание на то, что возможности практического использо-
вания стержневых оболочечных конструкций далеко на исчерпа-
ны, и можно наблюдать процесс их постоянного совершенство-
вания, как с точки зрения пространственных систем, так и с по-
зиций разработки методов их расчета.
Отечественные ученые внесли в теорию стержневых оболо-
чечных конструкций большой вклад и можно без преувеличения
сказать, что благодаря трудам И. Г. Попова, Г. И. Пшеничного,
А. С. Вольмира, В. И. Савельева, В. И. Трофимова, Б. А. Освен-
ского сделан существенный шаг в развитии этой теории.
Авторы поставили перед собой цель подвести некоторый
итог исследованиям по одному из типов стержневых цилиндри-
ческих оболочек, которые имеют в настоящее время наибольшее
практическое распространение в строительной отрасли.
Рассмотрен ряд новых задач, возникших при изучении осо-
бенностей цилиндрических покрытий системы Цольбау. Изложе-
ны, в частности, теоретические данные, полученные авторами
при построении моделей стержневых цилиндрических оболочек,
конструктивные сети которых состоят из двух и трех семейств
стержней, образующих пространственные решетки регулярной
структуры с ромбическими ячейками.
136
Применительно к описанной расчетной модели стержневой
конструкции цилиндрической оболочки приведены основные по-
ложения теории, основанной на ее представлении в виде сплош-
ной анизотропной оболочки постоянной толщины, освещены не-
которые вопросы расчета на устойчивость рассматриваемых сис-
тем.
Оболочки позволяют наиболее полно использовать строи-
тельный объем и применяются там, где необходимо пространство
без внутренних опор. Для перекрытия прямоугольных в плане
зданий в основном используются оболочки в виде цилиндриче-
ских сводов, которые являются древнейшей формой покрытия. В
архитектуре прошедших веков конструкции сводов можно встре-
тить как в зданиях самого высокого назначения, так и в скромных
утилитарных сооружениях. Цилиндрическими сводами перекры-
вались величественные дворцовые залы и храмы, длинные кори-
доры и лестницы. Практическое применение и художественное
выражение своду дали страны Ближнего Востока - Месопотамия,
Ассирия и Иран. Самым древним сводчатым сооружением, по-
видимому, являлся свод, возведенный в Иране в VI в. до н. э. над
тронным залом Хозроя в Ктезифоне, его пролет составлял 27 м
[30].
Вплоть до конца 19 века своды справедливо считались мас-
сивными и монументальными покрытиями, пока в 1896 г. на Ни-
жегородской выставке русским инженером В. Г. Шуховым не
были впервые применены легкие сетчатые конструкции. Позже, в
1898 г., здания цехов Выксунского чугуноплавильного завода в
Нижнем Новгороде были покрыты сетчатыми сводами пролетами
38 и 25 м, получив тем самым всеобщее признание.
От сетчатого свода вполне логичен переход к сплошному де-
ревянному своду, которым Шухов перекрыл ряд павильонов с
пролетами от 13 до 22 м [55]. Такое покрытие состоит из не-
скольких полудюймовых досок, уложенных накрест друг к другу
и сбитых между собой гвоздями. Для повышения устойчивости
довольно тонкого свода изобретатель предложил постановку сис-
темы наклонных тяжей.
Немецкий инж. Брода видоизменил конструктивные детали
дощатого свода путем введения прогонов между рабочими слоя-
137
ми досок. Эта конструкция была названа гнутым сводом Шухова-
Брода [20, 29, 53] и в 20 - 30-х годах нынешнего столетия широко
применялась в строительной практике, постоянно получая те или
иные усовершенствования.
Основной формой сетчатых покрытий является цилиндриче-
ский свод. Все остальные типы сводов (стрельчатые, крестовые,
парусные) состоят из отдельных цилиндрических поверхностей и
потому могут рассматриваться как производные цилиндрическо-
го свода.
В зависимости от типа сетчатого покрытия сетка составля-
лась из металлических полос, профилей или деревянных элемен-
тов. Конструкция состояла из двух систем пересекающихся арок,
образующих сетку с ромбическими ячейками, достаточно устой-
чивую как в продольном, так и в поперечном направлении. Для
восприятия распора и уменьшения веса арок в системе Шухова
применялись веерные затяжки по хордам от опорных узлов к
верхнему очертанию покрытия. В нем не было никаких массив-
ных деталей, благодаря чему вес сооружений и их стоимость по-
лучались значительно меньшими по сравнению с аналогами по-
крытий со стропильными фермами. Достоинства покрытий Шу-
хова проявляются особенно при больших пролетах, а простота
устройства и несложность сборки обусловливаются тем, что все
конструктивные элементы повторяются и имеют малый вес [16,
54].
Петербургский металлический завод широко применял стро-
пильные системы своей конструкции в Верхних торговых рядах
(ныне магазин ГУМ) в 1893 г. в Москве и Петровском пассаже
[24], которые служат и по сей день образцами строительного ис-
кусства (рис. 3.1).
Незадолго до Шухова, в 1892 г. немецкий проф. Феппль
предложил конструкцию пространственного сетчатого покрытия
из деревянных элементов, которая представляла собой сложную
пространственную систему стержней, расположенных в плоско-
стях граней призмы, вписанной в цилиндрическую поверхность.
Однако, несмотря на все преимущества конструкции, такая сис-
тема не получила широкого распространения в виду ее сравни-
138
тельно малой жесткости, не позволяющей перекрывать значи-
тельные пролеты [40].
Рис. 3.1. Общий вид покрытия торговых рядов
здания Московского ГУМа
На основе идей В. Г. Шухова предложены разнообразные
сетчатые конструкции в России и за рубежом. В этом отношении
известный интерес представляет собой изобретение немецкого
инженера Ф. Цоллингера (г. Мерзебург) конструкции деревянно-
го кружально-сетчатого свода, которое было опробовано на прак-
тике в 1906 г. и в 1910 г. запатентовано фирмой «Европейский
Цольбаусиндикат». В качестве сооружения первый свод такой
системы был построен в 1922 г. Конструкция является развитием
арки Делорма и получается путем поворота из плоскости попере-
менно расположенных косяков таким образом, чтобы образова-
лась сетчатая поверхность с ромбическими ячейками (рис. 3.2).
Особенностью этой конструкции является то, что дощатые эле-
менты сетки свода располагались не плашмя, как это было в сет-
чатых покрытиях Шухова, а на ребро. Такой способ образования
поверхности, без сомнения, наилучшим образом сказывается на
возможности конструкции воспринимать внешнюю нагрузку.
Покрытия системы Цольбау в поперечном сечении имеют
циркульное или правильное многоугольное очертание, в зависи-
мости от верхней грани косяков - эллиптической или ломанной.
Распор покрытий воспринимается либо металлическими затяж-
ками, либо непосредственно опорами. Вся конструкция состоит
из совершенно одинаковых стандартных элементов - косяков,
139
торцы которых скошены таким образом, чтобы они могли плотно
прилегать к косякам, проходящим через данный узел не прерыва-
ясь.
Рис. 3.2. Конструкция покрытия системы Цолъбау
Узел стягивается болтом с пружинными шайбами. Болты ра-
ботают только на растяжение, в результате чего возникает трение
по скошенным торцам косяков и благодаря чему обеспечивается
неподвижность узлового соединения. Косяки изготавливаются из
досок требуемого размера в соответствии с действующим сорта-
ментом на пиломатериалы.
Вдоль направляющей свода косяки врубаются в мауэрлатные
брусья (рис. 3.3), а с фронтонов сетка свода обычно замыкается
торцевыми арками, которые представляют собой двух- или трех-
слойные кружальные арки. Торцовые косяки соединяются с
фронтонной аркой болтами. Для увеличения жесткости свода
устраиваются диафрагмы жесткости по торцам свода, при этом
свод работает как оболочка, опертая по контуру.
Рис. 3.3. Фрагмент конструктивной сети покрытия
системы Цолъбау
140
Дощатый настил по сетке свода может быть как сплошным,
так и разреженным. Он является не только элементом кровли, но
и участвует в работе конструкции, воспринимая продольные уси-
лия и изгибающие моменты. По этой причине необходимо тща-
тельно крепить доски настила к каждому косяку.
Самый большой пролет деревянного кружально-сетчатого
покрытия, осуществленного в США из косяков цельного сечения
10x45 см, достигает 50 м [62, 63, 66].
Рис. 3.4. Конструктивное решение узла системы Мельцера
Павильон в Гаудстоне (США) перекрыт тремя примыкаю-
щими друг к другу кружально-сетчатыми сводами системы
Цолъбау. Пролет среднего свода составляет 36,6 м, выполнен он
из косяков цельного сечения 5,6x35,6 см длиной 3,66м, а пролеты
боковых сводов соответственно составляют 23 м [1].
В противоположность способу образования сетчатой обо-
лочки системы Цольбау немецкий инженер Мельцер предложил
свой подход, при котором сводчатое покрытие образуется из двух
или четырех косоуложенных поясов прямоугольного или квад-
ратного сечения, где один брус пропускается между двумя дру-
гими [71]. В местах пересечения пояса сбалчиваются. Обладая
всеми преимуществами системы Цольбау, такая конструкция со-
стоит из неразрезных элементов, благодаря чему ее несущая спо-
собность значительно выше (рис. 3.4).
Многие конструкторы старались уменьшить расход дорого-
стоящего металла в конструкциях покрытий зданий и сооруже-
ний. Так в 1925 г. в Дюссельдорфе (Германия) появились безме-
141
тальные кружально-сетчатые покрытия, которые отличались от
системы Цоллингера тем, что связь между косяками в сетке
Рис. 3.5. Конструктивные схемы сетчатых покрытий
а и b - системы Гюннебека и Мсннниксна; сид- решения узлов
конструктивной сети свода с ромбическими ячейками
покрытия осуществлялась без применения металлических дета-
лей. Такие конструкции получили название систем Гюннебека и
Менникена. Они отличны тем, что каждый из четырех косяков,
образующих узел сетки покрытия, соединяется со следующим
косяком на некотором расстоянии от конца последнего, образуя,
таким образом, сетку с ячейками в виде ромбов и параллело-
граммов (рис. 3.5а). Как и в других системах образования сетча-
той поверхности, сетка может быть центрированной и нецентри-
рованной, а узловые соединения на шипах или с метальными свя-
зями. Косяки в такой системе работают как балки на четырех
опорах. В безметальном варианте узловое соединение осуществ-
ляется при помощи шипов, расположенных по концам косяков и
142
входящих в соответствующие гнезда других элементов. Каждый
косяк имеет по два шипа и по два гнезда (рис. 3.5b). При центри-
рованной сетке, благодаря введению добавочных стержней поло-
винной длины, ячейки сетки свода получаются в виде вытянутых
параллелограммов, при этом косяки образуют непрерывные вин-
товые линии. Для точности установки при сборке покрытия кося-
ки по торцам снабжаются стержнями из твердой древесины. Уз-
ловое соединение осуществляется одним болтом, расположенным
в центре пересечения косяков. Под болт применяются пружин-
ные шайбы, снабженные по краям зубьями (рис. 3.5c,d).
Система характеризуется нерациональной передачей про-
дольных усилий в сетке, значительной величиной поперечных
сил, разрывающих косяки поперек волокон, и изгибающих мо-
ментов. Несмотря на характерные недостатки, сооружения такого
типа возводились, например, пролетом 18,6 м в г. Меггене, (Гер-
мания) [43].
г-
Рис. 3.6. Первоначальный вариант решения кон-
струкции безметалъного покрытия системы
Песельника с соединениями на врубках
В нашей стране многие рационализаторы тоже стремились
изменить узел сетчатого покрытия Цоллингера таким образом,
чтобы в нем не было стяжного болта и шайб. С. И. Песельник
[39] разработал в 1927 г. безметальную конструкцию покрытия из
косяков цельного сечения. В этом покрытии все узловые сопря-
жения осуществляются при помощи врубок. Косяки в сетке по-
крытия сопрягаются между собой под прямым углом врубкой в
полдерева, образуя при этом не ромбические, а квадратные ячей-
ки (рис. 3.6). У каждого косяка по нижней кромке вблизи конце-
143
вого сечения имеются вырезы шириной, равной толщине косяка,
а посредине по верхней кромке один вырез, равный двойной
толщине косяка. Решенная таким образом конструкция сетки ока-
залась неудачной, так как помимо ослабления косяков вырезами,
последние приводят к тому, что во время сборки концы косяков
откалываются, и все покрытие в целом получается непрочным и
неустойчивым.
Инженер Я. А. Мойисов предложил соединять косяки друг с
другом при помощи шипов (рис. 3.7). Немногим позже к такой же
мысли пришли инж. Б. А. Освенский и архит. С. И. Песельник
(1930 г.). Это узловое соединение и было положено в основу
дальнейшего развития безметальных кружально-сетчатых сводов.
В 1932 г. в Москве были построены и испытаны три модели сво-
дов такой конструкции.
Рис. 3.7. Основное конструктивное решение без-
металъного кружально-сетчатого свода с соеди-
нениями на шипах
Первый безметальный кружально-сетчатый свод был возве-
ден в том же году, имел форму стрельчатого очертания и пролет
10 м. Считается, что такие своды проще собираются (рис. 3.8),
несмотря на то, что в процессе сборки приходится вручную за-
кручивать косяки. Также это никак не компенсируется повышен-
ной трудоемкостью изготовления косяков и необходимой сушкой
древесины, а также более сложной, чем в системе Цольбау, гео-
метрией сетчатого свода. Перекрываемые пролеты при круговом
144
очертании свода составляют 16 - 17 м и могут достигать 22 м при
стрельчатом очертании. При работе косяков в них возникают
усилия, разрывающие их поперек волокон, что еще более усугуб-
ляется принятой квадратной сеткой конструкции. Конструкции с
соединениями на шипах не обладают разборностью, а большие
отверстия посредине сквозных косяков в значительной мере ос-
лабляют их поперечное сечение и снижают несущую способность
свода в целом.
Рис. 3.8. Монтаж элементов конструкции
кружально-сетчатого свода стрельчатого
очертания
Самое большое здание площадью 2300 кв. м сводом такой
конструкции было перекрыто на станции Люблино Курской ж. д.
[22, 28].
С целью устранения явных недостатков конструкции систе-
мы Песельника в секторе деревянных конструкций ЦНИПС, был
предложен вариант безметального кружально-сетчатого свода из
косяков с коническими шипами на торцах [35]. Косяки сопряга-
ются между собой в покрытии под острым углом 35 - 40° без экс-
центриситета. При таком решении отсутствует упирание боковых
граней шипа в боковые грани гнезда сквозного косяка, что позво-
ляет делать гнезда с прямыми боковыми гранями и что значи-
тельно упрощает изготовление косяков (рис. 3.9).
Также в ЦНИПС в начале 30-х годов под руководством Б. А. Ос-
венского были разработаны типовые проекты метальных и безме-
тальных кружально-сетчатых сводов кругового и стрельчатого
очертания [21, 27]. Для упрощения и ускорения сборки кру-
145
ril
жально-сетчатых покрытий им было предложено оригинальное
соединение косяков свода при помощи скоб, имеющих двутавро-
вое очертание (рис. 3.10). Под головки скоб подкладываются спе-
циальные шайбы, с одной стороны которых предусмотрен вырез,
равный толщине шейки скобы, что при квадратном сечении шей-
ки предохраняет скобу от поворота вокруг своей оси в собранном
покрытии. Шайбы снабжены отверстиями для шурупов, которы-
ми они заранее прикрепляются к косякам. Косяки имеют по тор-
цам открытые вырезы. Продолговатая форма головки скобы
обеспечивает более равномерное распределение давления по всей
высоте косяка, чем при соединениях на болтах. Совершенно оче-
видно, что некоторые удобства, возникающие при решении узло-
вых соединений на скобах, никак не соизмеримы с затратами на
их изготовление.
Рис. 3.9. Конструктивное оформление узла с
коническими шипами на торцах
Рис. 3.10. Соединение косяков свода скобами
146
Несмотря на все преимущества безметальных кружально-
сетчатых сводов, они так и остались на уровне эксперименталь-
ной конструкции, исследования которой полностью не заверше-
ны. По этой и другим причинам они до сих пор не получили ши-
рокого распространения в строительной практике.
Ко времени появления конструкций кружально-сетчатых
сводов они выполнялись из косяков, изготовленных из цельной
древесины, и поэтому перекрываемые ими пролеты были ограни-
чены естественными размерами лесного сортамента. Для отече-
ственного сортамента величина пролета колеблется в пределах 22
- 25 м. В настоящее время, когда широко используется клееная
древесина и фанера, возможности создания большепролетных
конструкций кружально-сетчатых сводов значительно расшири-
лись.
Как показали исследования отечественных и зарубежных ав-
торов [19, 23, 46, 49], применение клеефанерных и дощатоклее-
ных косяков позволяет увеличивать пролеты сетчатых деревян-
ных конструкций до 80 - 120 м.
Впервые косяки составного двутаврового сечения с фанер-
ной стенкой на гвоздях для кружально-сетчатого свода были
применены в 1931 году для сооружения покрытий гаражей Союз-
транса в Москве пролетом 40 м [21]. Косяки стыковались специ-
альными скобами (рис. 3.11).
Б. А. Освенским разработана конструкция клеефанерного
косяка с метальными соединениями в узлах. Особенность такой
конструкции заключается в том, что косяки имеют крыловатую
форму, которая обеспечивает точное расположение их верхних
кромок по винтовым линиям свода, и набегающие косяки распо-
лагаются немного выше сквозных. На концах косяков коробчато-
го сечения с двумя фанерными стенками к поясам приклеиваются
ступенчатые накладки, имеющие пазы для пропуска металличе-
ских связей. Натяжением болтовых элементов обеспечивается
плотное соединение в узле, в результате чего в значительной ме-
ре уменьшаются поперечные усилия в косяках, и повышается же-
сткость конструкции (рис. 3.12). Недостатком такого конструк-
тивного решения является большая трудоемкость изготовления
147
косяков и то, что наружное очертание свода получается волни-
стым. Для устранения этого недостатка автор рекомендует к
верхней грани косяков прибивать клиновидные накладки, что яв-
ляется далеко не лучшим решением вопроса.
Рис. 3.11. Клеефанерная конструкция косяка
коробчатого сечения
Рис. 3.12. Конструктивное оформление
жесткого сопряжения косяков в узле
Г. Г. Карлсен и Б. А. Освенский [38] предложили также без-
метальный вариант кружально-сетчатого свода из составных
клеефанерных косяков. Косяки выполняются коробчатого сече-
ния и состоят из дощатых поясов, ребер жесткости и приклеен-
ных к ним фанерных листов. По середине и на концах косяки
имеют сплошное сечение. Стыки листов фанеры перекрываются
накладками на клею (рис. 3.13). Благодаря крыловатости косяков
шипы на торцах имеют простую форму, а вся конструкция анало-
гична сводам системы Песельника.
Рис. 3.13. Конструкция клеефанерного
косяка с шипами в концевых сечениях
148
И в настоящее время инженеры проявляют свой интерес к
конструкциям кружально-сетчатых сводов и стремятся их усо-
вершенствовать. Об этом свидетельствует разработанная в Ново-
черкасском государственном техническом университете Т. С. Са-
детовым и В. В. Артемовым конструкция свода с ортогональной
сеткой из клеефанерных косяков коробчатого сечения и с комби-
нированными узловыми соединениями [45], которая представляет
собой дальнейшее развитие системы Освенского. Косяки имеют
постоянную высоту по всей длине и снабжены скошенными ши-
пами на торцах. Кроме шипов концы набегающих косяков соеди-
няются в узле при помощи шпилек (рис. 3.14). На кромках по
концам косяков имеются пазы, в которые вставляются корытооб-
разные металлические элементы, служащие для передачи усилий
от шпилек к косякам. После сборки свода пазы закрываются фа-
нерными крышками.
Рис. 3.14. Комбинированное узловое соединение
косяков клеефанерной конструкции
В качестве конструкционного материала, наряду с древеси-
ной, в конструкциях сетчатых сводов широко применялись сталь
и железобетон. В конце 20-х годов новую идею конструирования
пространственных сетчатых покрытий из металлических косяков
предложила немецкая фирма Юхо [76]. Покрытие состоит из двух
семейств косяков, расположенных примерно под углом 60° к
продольной оси свода. Косяк представляет собой двутавровую
балку, распущенную по нейтральной оси и отогнутую посредине
на большей части своей длины. На концах косяка с одной сторо-
ны половинки полок двутавра отгибаются, образуя плоскости, по
которым набегающие косяки сбалчиваются тремя болтами друг с
Другом. Пояса косяков одного направления пропускаются через
пояса косяков встречного направления. В месте пересечения ко-
149
сяков для соединения поясов ставятся специальные накладки
(рис. 3.15).
Рис. 3.15. Конструктивный элемент сетчатого
покрытия, выполненный из стального двутавра
Рис. 3.16. Косяк стержневой конструкции свода
из Z-образного гнутого профиля
Основываясь на изобретении Цоллингера, проф. Юнкере (г.
Дассау, Германия) представил свой вариант кружально-сетчатых
конструкций, выполненных в металле. В отличие от деревянных
сводов конструкции такого рода способны воспринимать значи-
тельные внешние нагрузки, в том числе и от подвесного оборудо-
вания, позволяют перекрывать пролеты до 100 м и незаменимы
там, где невозможно применить древесину. Основная идея Юн-
керса состоит в том, что сетчатое покрытие состоит из двух се-
мейств косяков, выполненных из Z - образных гнутых профилей,
которые сверлятся и нарезаются по размерам в заводских услови-
ях, в силу чего значительно упрощается процесс производства и
повышается точность изготовления изделий. Сетка свода имеет
верхние и нижние прогоны в виде швеллеров, первые из которых
служат для восприятия нагрузки от кровли, а вторые увеличива-
ют жесткость системы в продольном направлении. Косяки имеют
высоту 25 - 35 см и длину порядка двух метров. На концах кося-
ков фланцы отгибаются таким образом, что вместе со стенкой
образуют плоскую поверхность для стыка (рис. 3.16). Эти конце-
вые фланцы отгибаются по отношению к косяку примерно на
угол 120°. Направление линии излома зависит от длины косяков,
пролета и формы покрытия. По прогонам укладываются железо-
бетонные плиты покрытия или торкретбетон [61, 64]. Таким спо-
собом были возведены сооружения в Германии и в Средней
Азии, куда они экспортировались, а к месту строительства дос-
150
тавлялись вьючными животными. В последнем случае такое
строительство было бы сложно осуществить при других вариан-
тах конструкций (рис. 3.17).
Рис. 3.17. Покрытие из стальных элементов в
конструктивной сети свода
По системе проф. Юнкерса можно также возводить и купола,
что наглядно иллюстрируется на примере выставочного павильо-
на в Майланде пролетом 17 м (Италия, 1926 г.) [74].
В последующем большинство фирм, осуществляющих
строительство кружально-сетчатых сводов, стали изготавливать
косяки в виде швеллеров, а в большепролетных сводах - из двой-
ных швеллеров, соединенных точечной сваркой.
Рис. 3.18. Прутковый элемент большепролетной
конструкции цилиндрического свода
В нашей стране инж. Клебанский [48] предложил аналогич-
ный свод, составленный из прутковых элементов. Косяки пред-
ставляют собой фермочки с поясами таврового сечения и раско-
сами из круглой стали с приваренными по торцам косяка и ото-
151
гнутыми под определенным углом пластинами, имеющими от-
верстия для болтового соединения косяков (рис. 3.18). Такое ре-
шение позволяет делать свод легче и в то же время более жест-
ким, перекрывать пролеты до 100 м и более. Для уменьшения
свободной длины косяков по сетке свода устраиваются неразрез-
ные продольные элементы, в результате чего ячейки конструкции
приобретают вид шестиугольника.
В 1946 году с целью увеличения перекрываемых пролетов
для сетчатых оболочек, выполненных из древесины, И Ф. Смир-
нов и Э. А. Ривкин [47] предложили конструкцию двойного кру-
жально-сетчатого свода, отличающуюся более простым соедине-
нием поясов раскосами, идущими от стыков элементов одной
сетки к стыкам другой. Покрытие имеет прямоугольную конст-
руктивную сетку и характеризуется безметальными соединения-
ми в узлах. Элементы верхней и нижней сеток выполнены из до-
сок и схожи с косяками системы Песельника. Соединения эле-
ментов поясных сеток осуществляются с помощью торцевых ши-
пов, входящих в средние отверстия пересекающихся косяков.
Раскосы, соединяющие верхнюю и нижнюю сетки, имеют конце-
вые пазы с отверстиями, благодаря чему при монтаже свода они
навешиваются на верхний или нижний элемент и закрепляются
на нем болтом или деревянным нагелем. Сверху и снизу свод об-
шивается сплошным деревянным настилом.
Рис. 3.19. Двухпоясная конструкция сетчатого
покрытия из деревянных элементов
152
Т. Лорман разработал двойную сетчатую конструкцию, со-
ставленную из сквозных элементов - фермочек [67]. Характерной
особенностью узлового соединения конструкции является то, что
элементы одного направления стыкуются друг с другом в торец и
пропущены сквозь элементы другого направления, причем пояса
фермочек накладываются друг на друга, подобно косякам в сис-
теме Мельцера (рис. 3.19).
Обращает на себя внимание возможность образования из ко-
сяков плоскостных конструкций типа сетчатых плит покрытия
или скатных кровель, хотя такой вариант конструктивного реше-
ния был отвергнут некоторыми учеными [18]. Тем не менее, од-
ним из примеров плоскостной конструкции может служить воз-
веденное в г. Ипсунге (Англия) перекрестно-ребристое покрытие
здания. Сетка образована ортогонально расположенными клее-
ными косяками двутаврового сечения с дощатыми полками и фа-
нерной стенкой с ячейками 102x102 см [20, 36]. Для обеспечения
неразрезности балок в узлах их пересечения ставятся стыковые
элементы. По верхней полке стыка пропускаются фанерные на-
кладки, которые привинчиваются шурупами. По нижней полке
стык осуществляется сквозными брусками, которые сболчивают-
ся между собой (рис. 3.20). Для обеспечения устойчивости фа-
нерных стенок вводятся ребра жесткости. Такая конструкция мо-
жет эффективно служить перекрытием или покрытием пролетом
до 15 м. Строительная высота составляет 1/15 - 1/20 пролета.
Рис. 3.20. Неразрезная конструкция системы
в виде перекрестных балок
В связи с широким распространением железобетонных кон-
струкций в послевоенные годы применение древесины как конст-
153
рукционного материала для большепролетных покрытий сокра-
тилось, однако от самой идеи кружально-сетчатого свода не отка-
зались. Кружально-сетчатый полуциркульный свод для гаража
пролетом 15,5 и длиной 32,5 м был построен по проекту С. И. Пе-
сельника из сборных железобетонных элементов размером
7x25x189 см на ст. Железнодорожная под Москвой в 1956 г. [32].
В проектном институте «Латгипрогорстрой» была разрабо-
тана конструкция кружально-сетчатых сводов из сборных желе-
зобетонных косяков прямоугольного сечения 8x35 см и длиной
около 2 м, образующих ромбическую сетку с углом наклона к
продольной оси свода в 60°, и распорок шестиугольного сечения,
воспринимающих распирающие усилия, возникающие в узлах
свода вдоль его оси. Косяки прямоугольного сечения имеют по
своим концам металлические закладные детали, приваренные к
продольным стержням арматурных каркасов. Основной узел об-
разуется при помощи косынки, состоящей из двух пластинок и
трех соединительных стержней (рис. 3.21). Все узловые соедине-
ния осуществляются дуговой электросваркой закладных деталей
в торцах стержневых элементов. Таким способом были сооруже-
ны покрытия спортманежа в г. Риге с пролетом свода 29 м, плава-
тельного бассейна «Даугава» и др. Применение кружально-
сетчатых сводов на этих объектах, взамен арочного покрытия из
сборных железобетонных арок, дало снижение стоимости его
возведения на 22% [31].
Рис. 3.21. Узел стержневой конструк-
ции цилиндрического свода из сборных
железобетонных элементов
За рубежом сетчатые конструкции с ромбическими ячейками
при сооружении различного рода объектов использовал извест-
ный итальянский инженер П. Л. Нерви. Под его руководством
были построены из монолитного железобетона такие уникальные
сооружения как Palazzetto dello Sport в Риме в 1957 г. (диаметр
154
купола 60 м), Field House в Нью Гемпшире (рис. 3.22), США
(пролет свода 68 м) и многие другие [72].
Рис. 3.22. Стержневая конструкция покрытия с
ромбическими ячейками в конструктивной сети
С появлением клееной древесины, обладающей своими уни-
кальными свойствами, она получила широкое распространение в
мире в качестве конструкционного материала в различных типах
сооружений, в том числе и сетчатых оболочках.
Кружально-сетчатый свод пролетом 53 м был возведен над
плавательным бассейном в Спрингфилде (Орегон, США). Свод
собран из клееных косяков сечением 10,2x50,8 см длиной 6,7 м,
которые образуют ромбические ячейки со сторонами 3,4 м. Вы-
сота свода 10 м [2, 26].
В Брюсселе в 1989 г. построен выставочный павильон со
сводчатым цилиндрическим покрытием из клееных деревянных
конструкций, размеры которого составляют 74x141 м. Решетка
свода состоит из трех семейств стержней, причем сечение ребер,
расположенных по дуге свода, равно 20,5x80 см при длине 9,6 м,
а расположенных диагонально - 0,16x0,605x13,5 м. Уникальность
сооружения заключается в конструкции узловых соединений,
выполненных из клееной древесины в виде восьмиугольных
призм с врезанными в них по каждой грани четырьмя рядами
стальных пластин с консольными выпусками [56].
В 1994 г. похожее решение применили представители конст-
рукторской школы Германии для покрытия двух теннисных кор-
тов пролетом 25 м (рис. 3.23). Поперечное сечение дощатоклее-
155
ных косяков составило 16x60 см [57]. Заслуживает внимания
конструкция узлового соединения. В набегающие косяки, ближе
к их кромкам, закладываются стальные пластины, передающие
нормальные силы и изгибающий момент на сквозной косяк через
шпильки. В середине высоты косяка предусматривается установ-
ка коротких, но довольно толстых стальных пластин, восприни-
мающих поперечные силы. Эта деталь позволяет, что очень важ-
но при монтаже, сбоку производить надвижку набегающих кося-
ков и жестко фиксировать их при помощи зашлицованных пла-
стин и шпилек.
Спортивный зал в Солт-Лейк-Сити (США) перекрыт купо-
лом в виде сферического сегмента радиусом 105 м и высотой 37
м с треугольной сеткой. Несущая конструкция образована гну-
токлееными элементами [6].
За рубежом и в СССР было построено множество кружаль-
но-сетчатых сводов и куполов с различными типами узловых со-
единений, многие из которых эксплуатируются по настоящее
время. Длительная эксплуатация таких сооружений свидетельст-
вует об их надежности и долговечности. В этой работе приведены
примеры лишь некоторых из возведенных сооружений, отли-
чающихся своей уникальностью.
Рис. 3.23. Покрытие теннисного корта пролетом
25м из дощатоклееных элементов
Независимо от системы образования покрытия все кружаль-
но-сетчатые конструкции имеют примерно одинаковые характер-
ные особенности. Важной особенностью сетчатых оболочек яв-
156
ляется их регулярность. Это определяет минимальное количество
типоразмеров в конструкции. Регулярность строения сетчатых
оболочек позволяет применять при монтаже любую степень
предварительной сборки конструкции при использовании мон-
тажных механизмов любой мощности.
Для образования сетчатого покрытия в основном требуются
только два вида стандартных косяков, что полностью отвечает
современным требованиям индустриализации и удешевления
строительства и заслуживает большого внимания к себе со сто-
роны строительных фирм и организаций. Такое малое число ти-
поразмеров косяков создает большие удобства при заготовке, пе-
ревозке, сборке и замене одного поврежденного косяка другим.
Для покрытий с большими пролетами косяки изготавливаются из
широких досок, а для покрытий с малыми и средними пролетами
- из отходов лесопиления (обрезков и горбылей). Косяки имеют
небольшую длину, поэтому их можно изготавливать из низко-
сортных пиломатериалов, вырезая их из части доски с высоким
качеством древесины или используя для этих целей старые же-
лезнодорожные шпалы, как об этом упоминается в [66].
Для изготовления косяков кружально-сетчатых сводов не ис-
ключается применение древесины повышенной влажности. В
этом отношении система Цольбау, благодаря своеобразному уст-
ройству узлов, выгодно отличается от многих других видов дере-
вянных конструкций, обладая свойством самоприспосабливания.
Усушка древесины может повлиять только на величину просадки
конструкции, но ни в какой мере на прочность и неизменяемость
системы [5, 36].
Конструкция сетчатых сводов допускает устройство кровли
любого типа, но обязательно по сплошному продольному настилу
или обрешетке поверх свода. Вследствие отделения несущей кон-
струкции свода от ограждения опасность загнивания элементов
сетки в значительной мере устраняется, что является важным
преимуществом сетчатых сводов перед другими пространствен-
ными системами деревянных конструкций.
Сетчатые покрытия имеют большие возможности по устрой-
ству верхнего света, осуществлению сплошных световых полос в
157
покрытии, пропуску через покрытие труб, коммуникаций, причем
при этом не нарушается целостность конструкции.
Компактность конструктивных элементов выгодно отличает
покрытия из косяков. Становится возможной перевозка изготов-
ленных косяков для сборки сооружения в местах, находящихся на
значительном удалении, и с наименьшими транспортными расхо-
дами.
Сетчатые своды легко собираются и разбираются. Работы по
возведению таких сооружений могут выполняться малоквалифи-
цированными рабочими в короткие сроки. Благодаря малому весу
косяков нет необходимости в применении подъемных приспо-
соблений. Вес конструкции в целом меньше по сравнению с ана-
логичным покрытием по фермам на 25 - 40 % [60].
Деревянные покрытия как нельзя хорошо подходят для со-
оружений, где требуется «радиопрозрачность» и немагнитность,
для производств химической промышленности и других, где есть
выделения агрессивных газов, когда металлические и железобе-
тонные конструкции просто не могут быть применены. Но это не
говорит о невозможности применения сетчатых конструкций с
метальными соединениями узлов для таких сооружений. Дефект-
ные стяжные болты, а также поврежденные косяки можно менять
на локальном участке конструктивной сети, не разбирая всей
конструкции, при этом покрытие не потеряет своей устойчиво-
сти.
Возможно применение таких конструкций и для надстройки
существующих зданий при их реконструкции, так как таковую
можно производить, не снимая предварительно старую крышу
[25], а также в качестве сборно-разборной опалубки для железо-
бетонных и армоцементных оболочек различного очертания.
Стоит обратить внимание на повышенную сейсмостойкость
кружально-сетчатых сводов, что не маловажно для южных рай-
онов России и Дальнего Востока.
Сетчатые оболочки удобны при гибкой планировке помеще-
ний. Они отличаются выразительным архитектурным обликом и
обычно применяются без подвесного потолка. В случае же необ-
ходимости его устройства, а также при устройстве акустического
158
потолка, его конструкция в значительной степени облегчается за
счет малого шага узлов и ячеек оболочки.
Высоко ценятся эстетические свойства цилиндрических обо-
лочек. Цилиндрическими оболочками, как правило, покрывают
сооружения, которые вписываются в общий ансамбль, организо-
ванный на основе прямоугольных форм. Благодаря противопос-
тавлению криволинейной формы оболочки прямолинейным фор-
мам окружающей застройки достигается определенный эффект
при ее восприятии. При нахождении людей в крупных общест-
венных зданиях и сооружениях, покрытых оболочками, могут
возникнуть ряд характерных эстетических и психологических
проблем (визуальная напряженность, внемасштабность и др.), ко-
торые исчезают при применении оболочек в виде сетчатых ци-
линдрических сводов [33]. Такая конструкция гармонична. Под
кружально-сетчатым сводом человек чувствует себя очень уютно,
особенно, если покрытие выполнено из древесины.
3.2. Особенности формообразования поверхностей
конструкций сетчатых цилиндрических оболочек
Анализ опыта отечественного и зарубежного строительства
убедительно свидетельствует о том, что среди деревянных конст-
рукций сетчатых оболочек наиболее распространенными являют-
ся кружально-сетчатые своды системы Цольбау, которые обла-
дают всеми характерными для этого типа оболочек свойствами.
Все остальные конструктивные решения деревянных сетчатых
оболочек могут рассматриваться как производные системы Цоль-
бау, и поэтому ниже речь пойдет именно о сводах этой системы
как о самом общем случае.
Что касается конструкции кружально-сетчатого свода, то
она не является такой простой, как это кажется на первый взгляд.
Геометрический расчет такой пространственной конфигурации
представляется довольно сложной процедурой, причем особенно
это касается безметальных сводов с соединениями на шипах.
Для рационального использования материала и строительно-
го объема сооружения оптимальное соотношение стрелы подъема
к пролету цилиндрической оболочки следует принимать в преде-
159
лах 1/5 - 1/6 [34]. При этом верхняя кромка косяков может быть
ломаного или криволинейного очертания, в зависимости от чего
форма поперечного сечения кружально-сетчатого свода принима-
ет вид дуги окружности или правильного многоугольника. В по-
следующем определение геометрических параметров иллюстри-
руется на примере косяков с полигональной верхней кромкой.
Набегающие косяки в кружально-сетчатых сводах системы
Цольбау примыкают к сквозному косяку примерно посредине его
длины с некоторым смещением 5 Величина смещения должна
быть минимальной и всегда выбирается так, чтобы отверстия для
болтов на концах косяков находились вне скошенной торцовой
поверхности последних. В обычных конструкциях этой системы,
где угол между косяками и образующей свода не меньше 67°,
минимальная величина смещения принимается равной
s = 2Ь + 30мм, где b -ширина поперечного сечения косяка.
Длина продолговатого отверстия в центре сквозного косяка
выбирается так, чтобы болт мог свободно пройти через середину
косяка. При высоте косяка более 22 см или при высоте торца ко-
сяка более 18 см рекомендуется ставить два узловых болта, при
этом оси болтов делят высоту торца косяка на три равные части.
Косяки желательно делать как можно большей длины, со-
блюдая при этом следующие условия: высота торца косяка долж-
на быть не меньше половины максимальной его высоты и не ме-
нее 10 см. На основании исследований кружальных арок отноше-
ние длины косяка к его высоте обычно принимается больше 13.
Высота косяков принимается, как правило, не менее 1/80 пролета
свода, так как при меньших отношениях не обеспечивается общая
устойчивость свода [37].
Ширина и высота поперечного сечения косяка определяются
расчетом по величине действующих усилий. В общем случае
длина косяков находится в пределах 1,8 - 2,5 м, высота сечения
косяка из цельной древесины может быть до 25 см, а ширина 2,5 -
5 см. Наиболее рационально соотношение высоты h и ширины
сечения b косяка h/b = 3 - 4 .
В продольном направлении свод опирается на сплошные
стены или опоры, а в поперечном направлении - на жесткие
160
фронтоны, которые обычно конструируются в виде трехслойных
арок Делорма.
При решении задачи об определении геометрических разме-
ров косяков образующая свода делится на равные отрезки Г, ко-
торым соответствует шаг узлов сетки в продольном направлении,
а дуга свода разбивается на равные части As. При этом целесооб-
разно предусматривать деление дуги на четное число отрезков,
что обеспечивает симметричность сетки свода относительно цен-
тральной оси, так как при нечетном числе частей дуги свода чис-
ло типов косяков увеличивается на два. Число типов косяков при
четном разбиении дуги равно: для метального свода системы
Цольбау - шести (пять типов косяков сетки свода и один тип ко-
сяков для фронтонных арок), для безметального свода - семи.
В каждом узле срединная плоскость сквозного косяка про-
ходит через нормаль к поверхности свода в узловой точке, что
обеспечивает постоянство радиуса кривизны свода и стандарт-
ность его элементов. Для косяков кружально-сетчатых сводов
системы Цольбау угол среза торца косяка т является основной
геометрической характеристикой и определяется методами ана-
литической геометрии как угол, образованный линией пересече-
ния срединных плоскостей сквозного и набегающего косяков и
нормалью к поверхности свода в середине набегающего косяка.
В соответствии с рис. 3.24 обозначим через г - радиус на-
ружной дуги свода, а центральный угол, стягивающий хорду J.v,
примем равным 24 (р.
Определим плоскость изгиба косяка левовинтового направ-
ления как ггт, а плоскость изгиба косяка правовицтового направ-
ления как 7г2 (рис. 3.25). Плоскости однозначно определяются
тремя точками ( - точками О, А, Вь тг2 - соответственно точка-
ми А1з В, С). Тогда уравнения плоскостей, содержащих эти точки,
принимают следующий вид [52]:
161
X- —
2
О
s Г
2cosa 2
у-r sin Acp
-г sin А<р
- г sin А<р
z - г cos А<р
-г cos Л<р
г - г cos Аф
2 2cosa
У
О
- г sin А<р
Рис. 3.24. Система координат при рассмотрении поперечного
сечения кружально-сетчатого свода
Раскрывая эти два определителя, запишем уравнение линии
пересечения плоскостей и тг2 следующим образом:
у = т2х + Ь2
Z = п2х + с2
где
162
2rsinAtp 2r(l + cos д<р). „ r
• tX> “ ’-'9 ““ ' 9 C7
(A cos a ) у Г cosot ) A COSO!
Уравнение нормали к поверхности свода в середине набе-
гающего косяка может быть записано в виде уравнения прямой,
проходящей через точку Р} (хъ уь zt) и образующей с осями ко-
ординат углы а, = 90°, /Зг = 90-Ла, у, = Лер
X - X, у-Ух z - z1
cos a, cos/3, cosy, •
Это же уравнение в проекциях на две координатные плоско-
сти
у = /WjX + b,
Z =
откуда непосредственно следует
= sinЛер, и, = cosAtp, t\ = у,, q = г,.
Искомый угол т в данном случае определяется по формуле
COST = ^п2 + п}п2
+ ^ +mf+ п^)'
Подставляя сюда найденные значения получаем
1 + cos Лер
cost = , .. .. .-в- . ------ z„ .
J - (3.1)
. 2(l + cosA®)+—г--------1
] 4r2{^cosa )
При центрированной сетке свода (s = 0) это выражение при-
мет следующий вид:
1 + cos А<р
COST = г- --- лх
Г, X г2 • <3-2)
J 2(1 + cos Лер) +
163
Если вместо V обозначить шаг сетки свода как 2с, то полу-
чим выражения, которые полностью совпадают с соответствую-
щими формулами, приведенными в [7, 37].
Согласно [7] геометрический расчет кружально-сетчатых
сводов производится по развертке свода без учета угла наклона
боковых граней примыкающих косяков к нормали сквозного ко-
сяка, вследствие чего приведенные здесь расчетные формулы яв-
ляются приближенными. Точный расчет может быть выполнен на
основании приема, впервые предложенного В. Г. Писчиковым, с
использованием теорем элементарной геометрии. В этом случае
геометрический расчет сводится к решению задачи о пересечении
боковых граней косяков, наклоненных под углом а к образующей
свода, и нормально расположенных на смежных гранях много-
гранника (рис. 3.26).
Остановимся более подробно на выводе основных расчет-
ных формул для кружально-сетчатого свода с центрированной
сеткой.
Из треугольника CDE (рис. 3.27) находим
как d = р tga, то должно быть
d
tgp - —, а так
j>cosA<p ’
tgP =
tga
COSA<J9
(3.3)
164
и, следовательно,
„ cosA<p
cos/3 = — г-
д/cos2 A<p + tg2a ’
• n tg«
sm P = , ° —. (3.5)
д/cos A<y + tg a
Puc. 3.26. Расположение сквозного и набегающе-
го косяков на смежных гранях многогранника
Угол у = 180 - (а + Р ) определяется так:
sin а(1 +cosAq?)
sin у = ... --- —
д/cos2 Aq? + tg2a ’
(3.6)
при этом
cosy =
sina(tg2oc - cos Atp)
д/cos2 A<p + tg2ot ’
(3-7)
tga(l + cosA(p)
IgK — * 2 *
tg a -cosA<p
(3-8)
165
в
Рис. 3.27. К определению расчетных зависимостей
для косяков свода с центрированной сеткой
На основании теоремы синусов получаем
sin [3 _ с
sin у cosa(l + cosA<p)
В свою очередь угол ц определяется выражением вида
tgotsinAtp
sin z; = sin p sin Atp = —7— ----
^cos2 Atp + tg2a ’
cos A<p
COS Z]------ =. (
cos otcos2 Atp + tg2ot '
Величина ^находится из прямоугольного треугольника
CBD
(3.9)
(3.10)
(З.И)
или
ах = acosz; = Z?cosA<p.
Теоретическая длина косяка
с _ 2- с___
cos а
(3.12)
(3.13)
Sm = = 2г- -gA<P
sin а sin а
Из формул (3.12) - (3.14) может быть найден радиус вписан-
ного в кружально-сетчатый свод цилиндра
(3-14)
166
- „
г = с
tgA(J9
Тогда угол а между нижними ребрами косяка
щей свода определяется следующим образом:
и
а полушаг косяков
tga------tgAtp,
с
_ tgA<p
с = г ---—
tga
Высота нижней грани гнезда Ай
Д/г =
Откуда
А<р
lg~y =
tga
Ай
~b~
since
По аналогии с выражением (3.14) имеем
since
о,-А
Sin О!
С другой стороны,
а} - b cos А<р =
с cos А ер
cosoe(l + cos Д<р)’
в результате чего получаем
А 09
.-‘8 2 _
ccosA<p
sin a cosoe(l + cosA<p)’
Решая это уравнение относительно с, находим
с =
2
| +4r”AAcosA<p(l + cosA(p)
/
cos А<р
cos a
2tgcecosAep
2sinoe '
(3.15)
образую
(3.16)
(3.17)
(3.18)
(3.19)
(3.20)
(3.21)
167
Следует отметить, что аналогичное выражение, приведенное
в работе [17], не соответствует действительности, что делает не-
возможным его использование в расчетах.
Для метального свода системы Цольбау угол между нижней
кромкой косяка и ребром соответствующей грани определяется
из рассмотрения треугольников BDE и BGF (рис. 3.27), из подо
бия которых следует
b -yjb2 -4ас
ctgc—-—_ (3 22)
2 1
где а=Н^(1 + кУ'---(1 + А:)' 7 Ь=2Е/ос(1+&)
м 4 ’ соьАф’ ° v
Г = с2-^-(1 + А:)2
Основные косяки №1 (рис. 3.28) образуют средние узлы сет-
ки свода и в зависимости от направления, так же как и все ос-
тальные типы косяков, разделяются на правые и левые, зеркально
похожие друг на друга и одинаковые по своим размерам.
Длина основного косяка по нижней кромке определяется
так:
= 2Н0 + . с_________
° sina cosa(l + cosA<p)-bctga' (3.23)
Расстояние от нижней кромки сквозного косяка до низа тор-
ца набегающего косяка
г_ А<?
H=ctgatg —. (3 24)
Угол скоса торца косяка в плоскости его боковой грани
Д<Р
*8 2
,8Т1=^- <3-25)
Если сравнить угол скоса торца основного косяка №1, вы-
численный по формулам (3.25) и (3.1), то для примера, приведен-
ного в [7], разница в полученных численных значениях составит
11%, что говорит о неудовлетворительной точности геометриче-
ского расчета по приближенному методу.
Вертикальная проекция крайнего ребра торца
168
. (3.26)
COSTJ-------------------v '
Горизонтальная проекция крайнего ребра торца косяка
e1=/i]tgT]. (3.27)
Полная длина основного косяка
S1=50 + 2e1. (3.28)
Углы в трехгранной пирамиде ABCD определяются также
как и для свода с центрированной сеткой.
Длина торцового скоса в плоскости нижней грани косяка
<7, = fe (3 29)
Расстояние вертикальной оси крайних отверстий от нижней
вершины торца косяка определяется выражением
(s + b)cosy'-b h,
ai=^r-——otgr (з.зо)
2sinycosg 2 v 7
Расстояние горизонтальной оси среднего отверстия от ниж-
ней грани косяка предлагается вычислять по формуле
(s + b Н(, \ A cos#
<3-31)
Длина отверстия в середине косяка
I = 2d + btg2a. (3.32)
Косяк №2 одной стороной примыкает к мауэрлатному брусу,
а другой - к сквозному косяку, поэтому эта половина косяка со-
вершенно идентична аналогичной половине основного косяка, но
другая отличается от последнего формой торца тем, что она ко-
роче и не имеет отверстия для болта. Косяки опираются на мау-
эрлатный брус полной площадью торца и в пределах опорной
площади не пересекаются. Следует заметить, что приводимые
ниже формулы не зависят от типа сетки свода.
Длина косяка определяется как
so r~tgA<p0
sina
или
169
(3.33)
О 0 —4.
=r tgr2,
откуда угол наклона опорного торца (рис. 2.5)
tgT2 = lg^_ (3.34)
sinct 4 7
Длина торцового скоса в плоскости нижней грани вычисля-
ется по формуле
d2 = b ctga. (3.35)
В свою очередь высоту горца косяка следует находить из
выражения
52 = 5° + -^- + A2tgT2
где S3 =—(б)+</3). (3-44)
Косяки №4 и 5 примыкают к торцовой арке и обрезаются по
плоскости, нормальной к образующей свода и проходящей через
середину сквозного косяка. Их геометрический расчет также не
зависит от типа сетки свода.
Длина торцового скоса в плоскости нижней грани косяка
d4 =b tga. (3.45)
Очевидно, что высота торца косяка /i4 = h. Полная длина
54=|(5i + 44). (3.46)
Косяки №5 располагаются по диагонали в углах сетки свода
(во всем покрытии их насчитывается всего две штуки), и примы-
кают одновременно к торцовой арке и опорному брусу. В связи с
этим опорный торец этого косяка совершенно одинаков с соот-
ветствующим торцом косяка №3, а торец, примыкающий к тор-
цовой арке, - с торцом косяка №4. Высота торца косяка соста-
вит^ = h, а его полная длина .
Косяк №6 служит для образования торцовых арок. Его кон-
цы срезаются по направлению радиусов под углом Д(р, а длина
определяется по формуле
S6 = 2(r' + /ij )sin Д<р. (3.47)
170
Косяк №1
V, "ijl V Т77
Косяк №5
Рис. 3.28. Конструкция косяков кружально-
сетчатого свода системы Цолъбау
171
Высота опорной площадки врубки мауэрлатного бруса при-
нимается равной высоте опорного косяка №3. Наименьшие раз-
меры бруса определяются из условия опирания торцов косяков
полной площадью
(3.48)
VAJo t 3
. _ h3 .
bmiD cost Sin<Po, (3-49)
Wo
где (р0- угол наклона опорной площадки врубки, который в ци-
<Р
линдрических сводах составляет угол~, а при нормальной кон-
струкции опорного узлай3 = h.
Глубина врубки находится по формуле
^вр = ^пипСО»Ф0- (3.50)
Угол наклона ребра врубки р, примыкающего к торцовому
ребру косяка №2, определяется так:
sin Am cost,
tgp=~ 1^-2 Г' ; г~~ • (3.51)
д/cos &ср + tg a v '
Длины опорных площадок врубки по верху и по низу, соот-
ветственно
(3.52)
(3.53)
, s + b b /г,
1В =-------+----------—sin р
2sina' 2sina cosr2 ’
;„.;,+2AJ№
sin2tp0 '
Длины проекций верхних ребер наклонных боковых граней
врубки на верхнее ребро мауэрлатного бруса определяются сле-
дующим образом:
Z2 = ёер
---------+ (tg% “ tgb )tgP
cosr2tga
'з
cos t3 tga
(3.54)
(3.55)
172
Величина взаимного смещения противоположных опорных
узлов сетки относительно осевых линий равна ——. Врубки
2sina
располагаются по длине бруса на равном расстоянии, которое со-
ставляет Sep = 2с.
С помощью вышеприведенных расчетных зависимостей
полностью исчерпывается изложение методики для определения
геометрических параметров элементов стержневой конструкции
кружально-сетчатого свода системы Цольбау.
3.3. Приближенная теория расчета
стержневой конструкции цилиндрической оболочки
3.3.1. Представление регулярной стержневой конструкции
в виде континуальной модели
В случае однослойной цилиндрической сетчатой оболочки
задача ее статического расчета становится достаточно сложной в
связи с тем, что при густой сетке стержней потребуется составле-
ние большого числа уравнений и их порядок может оказаться
весьма высоким. Поэтому большое практическое значение при-
обретает разработка приближенных приемов расчета таких мно-
гократно статически неопределимых пространственных систем
[8]. Общепринятый в настоящее время подход к расчету про-
странственных деревянных конструкций сетчатой структуры
[23], заключающийся в использовании в качестве расчетной мо-
дели двух- или трехшарнирной арки, является лишь грубым при-
ближением и не отвечает действительной работе конструкции
под нагрузкой.
Разработке теории расчета сетчатых оболочек, в основе ко-
торой лежит использование математического аппарата теории
осесимметричных оболочек вращения с постоянной толщиной
стенки, посвящены работы отечественных и зарубежных ученых
[41, 68, 69]. Описанный в этих работах подход более полно отра-
жает специфику работы стержневой конструкции при различных
173
силовых воздействиях и позволяет правильно оценить ее про-
странственную жесткость.
Главной особенностью рассматриваемой стержневой конст-
рукции является то, что ячейки сетки представляют собой ромби-
ческие элементы, большая диагональ которых ориентирована
вдоль направляющей цилиндрической оболочки. Таким образом,
при выборе расчетной модели сплошного аналога следует учиты-
вать, что его упругие свойства будут отличаться между собой в
двух взаимно перпендикулярных направлениях и это обстоятель-
ство обусловливает необходимость привлечения для расчета та-
кой системы теории ортотропной цилиндрической оболочки, эк-
вивалентной в статическом отношении заданной стержневой кон-
струкции.
В связи с тем, что поверхность цилиндрической сетчатой
оболочки является развертывающейся поверхностью, удобно
изобразить фрагмент ее развертки в плоскости ху (рис. 3.29).
Рис. 3.29 Фрагмент развертки цилиндрической
сетчатой оболочки
Представленная сетка состоит из двух семейств стержней.
Расстояние между обоими семействами стержней обозначим че-
рез d, а угол между ними и образующей оболочки как а. Так как
в рассматриваемой стержневой оболочечной конструкции ее эле-
менты выполнены из древесины, то в последующем их соедине-
174
ния в узлах расцениваются как шарнирные. Для определения уп-
ругих характеристик ортотропной цилиндрической оболочки вы-
делим на поверхности регулярной стержневой конструкции мно-
гократно повторяющийся элемент, показанный на рис. 3.29 жир-
ными линиями.
Пунктирными линиями изображены контурные стержни, ко-
торые превращают этот элемент в геометрически неизменяемую
и статически неопределимую систему, заменяя действие осталь-
ной части конструкции.
Рис. 3.30. Элемент регулярной стержневой
конструкции
Рассматриваемый элемент регулярной стержневой конст-
рукции цилиндрической оболочки, представляющий собой пло-
скую ферму, имеющую шарнирные соединения в узлах, подверг-
нем сначала действию двух вертикальных сил 2 =Лг^)/г1(рис.
3.30). Пусть жесткость при растяжении (сжатии) вертикальных
стержней составляет EFV, горизонтальных стержней -EFH, а для
диагональных она равна EFD.
Эта ферма один раз статически неопределима, как видно из
того, что один из ее наклонных стержней является лишним с точ-
175
ки зрения получения статически определимой конструкции, не
превращающейся в механизм. Выберем в качестве лишней неиз-
вестной усилие в стержне АС, разрезав его в произвольном месте
между концевыми узлами. Разрезанный стержень входит в ос-
новную систему, поскольку при определении перемещений в ос-
новной системе учитываются деформации этого стержня. Пере-
мещение, соответствующее X, состоит в относительном смеще-
нии концов разрезанного стержня АС. Перемещение в основной
системе, соответствующее X и создаваемое силами Q, определя-
ется методом единичной нагрузки и получается
h
Знак минус в этом выражении указывает на то, что концы
разрезов удаляются друг от друга.
Для отыскания податливости <5пв разрезанном стержне АС
прикладывается нагрузка X = 1. Расчет дает следующее выраже-
ние для податливости
• з з Ру
sin а + cos ст +
Рн Pd
с . h2 1
EEV sin а
Уравнение совместности принимает вид
. h2 1
4—--------
EFV sin а
sin3 а + — cos3 а + ?v-
Рн Pd
IX - 4 h— Q sin a ,
1 EFV
откуда
Q sin2 a
sin3 a + - v cos3 a +
Ph Fd
Определив значение лишней неизвестной, находим усилия в
стержнях ВС и CD. В частности, получаем
Fvcos3a + Fv
Ffi Fd Q,
sin3 a + cos3 a +
Fh Fd
$bc ~
176
sin2<TcosZT
*^CE> ~~ p p
sin3 ZT + —cos3 <T + —
PD
Следующим этапом расчета является определение деформа-
ций относительных удлинений ехи е^, обусловленных только
действием внутренних усилий .
Рис. 3.32. Действие сдвигаю-
щих усилий Nxy на элемент
стержневой конструкции
Рис. 3.31. Элемент сетчатой
оболочки под действием
узловых сил Р
Обращаясь вновь к элементу конструкции сетчатой цилинд-
рической оболочки и подвергая теперь его действию узловых сил
/> = Л\Л2(рис 3.31), находим соответствующую деформацию от-
носительного удлинения ех . Ее значение при этом будет
177
7k+7isin3fr
h F F
E _ rl2__________'1! 1 H______________
(3.58)
Fi? F F
sin3£f+—cos3?r + —
FH Fd
Для определения деформации относительного сдвига у
рассматриваемый элемент необходимо подвергнуть действию
сдвигающих усилий Nxg), полагая Nx =N(p =0. На рис. 3.32 по-
казаны силы, действующие в узлах основной системы, выражен-
ные через Nx(p. В этом случае, составляя уравнение совмесгно-
V хг
сти, находим X = —N .
cos а ф
Как показывают расчеты, усилия во всех контурных стерж-
нях элемента стержневой конструкции оказываются равными ну-
лю. Что касается наклонных стержней АС и BD, то возникающие
в них усилия
$bd ~ ~^АС - х(р.
cos а
Для того, чтобы найти горизонтальное смещение узла D,
введем горизонтальную единичную силу, приложенную в этом
узле. Результаты соответствующих расчетов сведем в нижесле-
дующую таблицу
Результаты расчетов элемента оболочки на действие усилий Nхср
Наимено- вание стержней Длина стержня Жесткость стержня Sy sp
АВ 2hA EFH 1 ~2 0
CD 2hx EFH 1 2 0
ВС 2/г2 EFV 1 0
AD 2/г2 EFV 1 --rga 0
178
BD 2ZD 1 2 cos Сс Х(р cos ст
АС 2/п 1 2 cos ст _A_tv Х(р cos ст
Из таблицы следует, что
EFd cos2 а x,f
Далее находим
1 N
Г*4’ 2й2 EFd sin2 S’cos <Т
(3.59)
Представим полученные результаты в матричной форме
£х
У Х(р
а11 а12
а22
симметрично
Здесь элементы матрицы А имеют вид
р р р
——+ ——sin3<T ——sin Seos2 СТ
Рн Рн . _ РН
sin3s + — cos3s + — sin3s + — cos3cr + —
Fh Fd Fh Fd
(i Fq з ]
1 + cos s \ctgci
к FH ) 1
°22 ~ p p ’ a33 “ . 2
sin3fftacos’ггч-it sm o-cosff
F„ Fd
Рассмотрим теперь ортотропную цилиндрическую оболочку
с постоянной толщиной стенки t, материал которой характеризу-
ется модулем упругости £i в направлении оси х, Е2 - соответст-
венно в направлении оси (р и модулем сдвига в плоскости хер - G2.
Введем следующие обозначения:
179
Ei G2
n = ~-^-, m=-^, v12 = hv21 = nv2.
£,2 -^2
Физические уравнения упругости для ортотропного тела
представим в виде
• 1 -v2 0 ’ 'Nx'
е(р 2 -v2 п 0 (3.60)
Y х<р 0 0 п/т N Х(р
Приравнивая элементы матриц податливостей стержневой
конструкции и ее сплошного аналога, определим характеристики
последней, помечая их символом *.
Поскольку стержни AD и ВС являются фиктивными, можно
ввести для Fv /FD следующее соотношение
- = 1-sin3 ст. (3.61)
Ed
При этом должно быть
1-sin3 ст
FH 1 -И -sin3crlcos3a’
(3.62)
____f____L_
FH l-(l-sin3cr
(3.63)
Располагая этими выражениями для соотношений площадей
поперечных сечений соответствующих стержней, можно теперь
определить параметры упругости эквивалентной цилиндрической
оболочки
п = (1 + sin3 a cos3 u:\tgu:, (3.64)
v2 = sin ст cos2 ст, (3.65)
in = (1 + sin3 ст cos3 ст)sin ст cos2 ст. (3.66)
Если бы выделенный на поверхности сетчатой оболочки
элемент не содержал вертикальных стержней AD и ВС, то следо-
вало бы принять Fv =0. В этом случае выражения (3.64 - 3.66)
получают вид
180
* 1 + COS СТ г-т\
n =-----—=—, (3.67)
Zgtrsin a
v2=ctg2a, (3.68)
m* = (1+cos3 a):tg2a. (3.69)
Интересно отметить, что при угле а = 60° параметры
n*,V2’m B формулах (3.67 - 3.69) оказываются соответственно
равными п -i,v*2 =1/3,т = 3/8. Это означает, что моделируе-
мая конструкция сетчатой оболочки обладает свойствами упруго-
сти, характерными для изотропного тела.
В результате сопоставления множителей перед матрицей
податливости получаем
(3.70)
Л2
Если в выражении (3.70) положить Ел =Е, то толщина
эквивалентной оболочки определяется так:
Г = (3.71)
*2
В заключение перейдем теперь к определению жесткостей
оболочки при растяжении, изгибе и кручении. Пользуясь выра-
жениями (3.64), (3.65) и (3.70), находим
С? 1 = (1 + sin3 а cos3 (3.72)
1-V]V2 й2
cS=~^-^tga, (3.73)
1-VJV2 Й2
с?? = С22 = У2С11 = V1C22 - 2 СГ COS а. (3.74)
JL1. 1. Л JL 1 \ '
^2
Что касается жесткостей при изгибе, то для них получаем
_n EV3 E(Fd\\ . 3_ з \
D. - = ——г-n = — — U + sin a cos а I (з 75)
11 12(1-v.vj 12^ Г Л
181
on 11 t . 7
= Z>22 «------sin crcoscr.
(3.76)
(3.77)
17
Для определения жесткости при кручении DX2 найдем пред-
варительно модуль сдвига, который в рассматриваемом случае
будет G2 = Еsin2 crcoscr. В силу этого
Pt*3
d}2 = —-— =-----sin2 crcoscr. (3.78)
6 6
Полученные формулы для определения жесткостей орто-
тропной цилиндрической оболочки представлены в зависимости
от утла между направлением стержневых элементов одного из
семейств решетчатой конструкции и образующей свода, что по-
зволяет их использовать при решении задач статического расчета
стержневых конструкций сетчатых цилиндрических оболочек с
ромбовидными ячейками в конструктивной сети.
Попытка построения континуальной модели стержневой
конструкции сетчатой цилиндрической оболочки с ромбическими
ячейками для самого общего случая уже предпринималась в ра-
боте [13]. Ниже речь пойдет о создании модели, наиболее полно
отражающей конструктивные особенности, характерные для де-
ревянных кружально-сетчатых сводов.
На поверхности сетчатой цилиндрической оболочки выделяется
многократно повторяющийся ромбический элемент регулярной
сети, показанный на рис. 3.33 пунктирной линией. При этом учи-
тываются особенности узловых соединений, когда один из
стержней проходит в узле не прерываясь, а два других шарнирно
присоединяются к нему посередине [14].
Обозначим через I половину длины косяка, а угол между на-
правляющей свода и направлениями первого и второго семейств
косяков (1 и 2) как а . Так как ромбический элемент, образован-
ный двумя пересекающимися семействами стержней, является
геометрически изменяемой фигурой, то вводится третье фиктив-
ное семейство стержней, параллельное образующей свода. Из
182
этого следует, что на поверхности цилиндрической оболочки об-
разуется сетка с треугольными ячейками.
Рис. 3.33. Ромбический элемент конструктивной
сети регулярного строения
Наиболее общий случай треугольной решетки рассматрива-
ется Кереком в работе [65], в которой предлагается методика рас-
чета однослойной пространственной структуры, составленной из
произвольных треугольников на основе сплошной расчетной мо-
дели. Основным принципом такого подхода к расчету стержне-
вой конструкции является определение компонент жесткости
статически эквивалентного континуума.
Чтобы эквивалентный континуум можно было рассматри-
вать не только как безмоментную оболочку, устойчивость кото-
рой не всегда обеспечивается, но и как жесткую на изгиб конст-
183
рукцию, в расчетах принимается во внимание фактическая жест-
кость стержней на изгиб EI и кручение GIt.
Расчет решетчатой конструкции выполняется в два этапа. В
качестве первого шага определяются жесткости на растяжение,
изгиб и кручение оболочки, эквивалентной заданной стержневой
конструкции, а затем отыскиваются возникающие от усилий в
континууме усилия и изгибающие моменты в отдельных стерж-
нях. На втором этапе записываются с помощью найденных коэф-
фициентов жесткостей эквивалентные дифференциальные урав-
нения решетчатой конструкции.
Усилия в стержнях выделенного из конструктивной сети
ромбического стержневого элемента и соответствующий ему
сплошной аналог рассмотрим в косоугольной системе координат,
а результатирующие усилия на сторонах ромба по рис. 3.34а
пусть будут равны представленным на рис. 3.346 усилиям на со-
ответствующих сторонах континиума. Ввиду симметрии конст-
рукции вполне достаточно рассмотреть две грани ромба, наибо-
лее удаленные от начала координат.
Уравнение проекций сил в направлении оси х по стороне
АВ будет:
S2 + S3 sina = ~Knv + nvu cos2a).
Далее запишем уравнение проекций всех сил в направлении
(р по стороне АВ:
S2cos2a-S3sina = +nvcos2a).
Соответствующее уравнение равновесия сил в направлении
оси х по стороне AD принимает вид:
Sj + S3sina = ~^(пи +nuv cos2a).
Рассматривая равновесие сил в направлении оси (р по сто-
роне AD, получаем
S1cos2a -S3sina = — l(nuv +пи cos 2a).
184
теме координат
а - стержневой конструкции; б - сплошного аналога.
Если принять во внимание то, что одно из четырех уравне-
ний nuv = пт имеет контрольный характер, то значения усилий в
стержнях выразятся следующим образом:
С/Э II + й3 (3.79)
52=|Z(«v+«uv)- (3.80)
53 = ZnKV2sin а- (3.81)
Соотношения между усилиями в стержнях и континиуме
можно представить в матричной форме записи
185
1
1
-2sintx
(3.82)
N
-1 ’ Хф
Между усилиями, записанными в косоугольной системе ко-
ординат и усилиями в прямоугольной системе координат, имеют
место следующие соотношения:
Л
1
2
’ ctga tga 2 ' 'Nx
ctga tga -2
-ctga tga 0
(3.83)
nuv
Если подставить выражения (3.83) в уравнения (3.79) - (3.81), то
после соответствующих преобразований получим записанные в
системе координат хф внутренние усилия континуума в зависи-
мости от усилий в стержневых элементах:
N
Л Хф
tga
ctga
1
tga
ctga
-1
2 '
COS О!
О
о
V
S2
53
(3.84)
1
Изгибающие моменты, действующие по сторонам выделен-
ного из континиума ромба и показанные на рис. 3.35а моменты в
стержнях на соответствующих сторонах ромба, друг друга урав-
новешивают. Условие равновесия векторов моментов в направ-
лении х по стороне AD:
Z(m„ + muv ) = -Му - Mutga..
Условие равновесия векторов моментов в направлении <р по
стороне AD:
—ма +Mltctga.
Условие равновесия векторов моментов в направлении х по
стороне АВ:
Z(w„v + "Jy ) = -M2 + M2ttga.
186
Рис. 3.35. Изгибающие моменты, действующие по
сторонам АВ и AD ромбического элемента
Условие равновесия векторов моментов в направлении ср по
стороне АВ:
/(7/^ + muv ) = -М2 - М2lctga,
или в матричной форме записи:
1 0 ctg2a 0 Г 1
0 1 0
mv 1 1 M2
= —— 0 0 0
™иу I sin 2a
тт 0 0 0 1L_ M2l
sin 2a
Между векторами моментов в косоугольной и прямоуголь-
ной системах координат имеют место следующие соотношения
187
= -1 (mxctga + m<ptga + 2m<fx ),
2
= |(- mxctga - m(ptga + Zm^ ),
= ^(mxctga ~m<ptga).
™UV
Если эти соотношения подставить в записанные выше урав-
нения и произвести соответствующие преобразования, то полу-
чим эквивалентные изгибающие моменты в сечениях оболочки в
зависимости от изгибающих и крутящих моментов в стержнях
решетчатой конструкции.
tga tga -1 1 ’
'1 21 ctga ctga 1 -1 M2 . (3.85)
тх<р 1 -1 Iga
Матрица жесткости континуума отражает связь между уси-
лиями и деформациями, причем эту зависимость удобно записы-
вать также в матричной форме. Эквивалентный континуум может
быть теперь охарактеризован двумя матрицами жесткости. С по-
мощью первой из них, так называемой матрицы жесткости при
растяжении (А), компоненты усилий безмоментного напряженно-
го состояния пх, пХ(р запишутся через компоненты деформа-
ций так:
' Пх ' А1 Аг Аз X
= Ai Аг Аз £ч> , (3.86)
П ™ х(р А1 Аг Аз У xtp
или в сокращенной форме записи
^х,<р £Х,ф
Второй является матрица жесткости при изгибе (В), описы-
вающая зависимость между приведенными моментами тх, т^и
тх(ри кривизнами
188
или
™x,q> = ^х,(р •
Матрицы жесткости (А) и (В) являются всегда симметрич-
ными (Aik = Aki и Bik = Bki).
Жесткости изгибу и растяжению пространственной стерж-
невой системы определяются в результате того, что стержневая
конструкция подвергается действию ряда компонент удлинения и
изгиба, и при этом определяются соответствующие усилия.
Так как элементы стержневой пространственной системы
образуют различные углы с координатными осями xq), а в урав-
нениях (3.86 - 3.87) векторы деформаций Ех(р и кх1р относятся к
направлениям осей xq), то необходимо использовать известные
соотношения теории упругости, которые дают возможность оп-
ределить те из компонент, которые определяются с помощью
осей , образующих с осями xq) некоторый угол 0. Для векто-
ра деформаций удлинения это может быть записано следующим
образом:
cos20 sin20 costfsinf? £x
£Ч = sin2 в cos20 -cos в sin 6 £<p (3.88)
-2cos0sin0 2cos0sin0 cos2 6- sin2 в Y xq>
или = F-Ex,q>.
(F - матрица поворота)
Аналогично, для вектора деформаций изгиба
k^-F-kXjip. (3.89)
Из рассмотрения уравнения (3.86) очевидно, что элементы
матрицы жесткости (А) можно получить, приложив к стержневой
конструкции отдельные компоненты деформаций, и при этом оп-
ределить требуемые усилия безмоментного состояния.
189
Сначала стержневая конструкция подвергается удлинению
ех и с учетом уравнений (3.84) определяются выражения для со-
ответствующих элементов матрицы жесткости. Так как материал
стержневой решетки рассматривается как упругий,
S, = EjEFj (z = 1,2,3), то с помощью формул (3.88), находим
пх Е(, 2 . г. 2
А1 = — = v + £2>1П «+ F3~—
Ех I \ COSOt
А21 = — = — (Fj + F2 )sin2 a ctga,
А31 = —= — (/-'] - F2 )sin2 а
31 j X I Z /
£х 1
Если сообщить стержневой конструкции удлинение е^, то
можно аналогичным образом определить жесткости А22,А32,
учитывая при этом, что Д12 = А21:
, ^(f> Е (
А22 - - — \Е| + F2
еу, I
2
os a ctga,
А32 =^ = y(Ei-F2)cos2a.
I
Подвергая конструкцию воздействию у, определим по-
следнюю из компонент матрицы жесткости
Аз(Аз = ^31’ ^23 = ^32 )’
А33 = = —{fx+ F2 )sin a cosa.
Yxy 1
Если принять во внимание, что стержни третьего семейства
являются фиктивными, а жесткостные характеристики первого и
второго семейств стержней одинаковы, поскольку F} = F2 = F, то
подставив в выражения упругих постоянных F3 = 0, запишем по-
следние в матричной форме
190
4 2
tg a tgla
Ll 7
=---2 cos a ctga
. (3.90)
0
^2«
У xtp
Рассмотрим теперь ортотропную цилиндрическую оболочку
с постоянной толщиной стенки t, материал которой характеризу-
ется модулем упругости Е} в направлении образующей, Е2 - со-
ответственно в направлении направляющей и модулем сдвига
Используя прежние обозначения
^1 ™ ^2
п = —т = —v)2 = nv21 ~ nv2’
запишем физические уравнения упругости для ортотропной ци-
линдрической оболочки так:
Nx
N х<р
= E2t
п
1 2
1- nv2
nv2
I-HV2
0
nv2
l-nv2
1
I-HV2
о
У Х(р
Сравнивая упругие постоянные стержневой конструкции и
ее сплошного аналога получаем характеристики последней
(3.91)
(3.92)
2
m = tg а.
(3.93)
В результате сопоставления множителей перед матрицами
жесткости получаем
г- J-'F 2
E2t = 2-----cos a ctga
(3-94)
Если положить Е2=Е, то приведенная толщина эквива-
лентной оболочки
191
f = 2—cos2 a sin a. (3.95)
Для определения элементов матрицы жесткости Bik, входя-
щих в уравнение (3.87), применяется также описанный выше
прием. При этом обращается внимание на то, что в сечениях,
перпендикулярных оси х, положительные крутящие моменты,
попадающие в соответствующие сечения континуальной среды,
вызывают в стержнях отрицательные крутящие моменты.
Далее принимаются следующие обозначения:
. El . GI
I = —,i. = — ,
d ' d
где d = I sin a cos a - расстояние между осями семейств стержней
1 и 2.
Подвергая стержневую конструкцию изгибу и сообщая ей
последовательно кривизны Kx,Kq и кх(р, определим содержание
матрицы жесткости В, которая получает вид
тх
т<р
тх<р
-•4 • • 2 2 /. . \ . 9 9
г sin а + it sin a cos a у - Jsin a cos а
{i - it )sin 2 a cos2 a i cos4 a + it sin 2 a cos2 a
0 0
0
0
it sin2 a cos 2a
*x
Kg)
2Xxq>
Перейдем теперь к определению жесткостей оболочки при
растяжении, изгибе и кручении. Пользуясь полученными выра-
жениями, находим
(Ц = - = 2—cos2 a tg3a, (3.96)
1"ЪУ2 L
с22 = = 2^ cos2 a ctga, (3.97)
CS = CX22 = = 2—cos2 a ctg3a, (3.98)
L
CS -----^cos2aag3a. (3.99)
2 1 - v]v2 L
Что касается жесткостей при изгибе, то для них получаем
192
Dn - Е^ . . 4 . . 2 2 (3.100)
11 12(1-у^ 4 Sill i_a г SIU ca vUS Ca 5
D22 = • 4 . • 2 2 (3.101)
“ 12(1-V1v2 t COS Ca “Г Sill Ca vUS Ca 5
Л? = ^22 = (i - it )sin2 a cos2 a, (3.102)
G i D^l = —2— = it sin2 a cos2а. 6 (3.103)
Как видим, с помощью вычисленных матриц жесткостей А и
В полностью определяются материальные признаки эквивалент-
ного континуума, который заменяет пространственную стержне-
вую конструкцию.
После того как будут найдены внутренние усилия в сечени-
ях оболочки, определение усилий в стержнях является очень про-
стой задачей, так как они могут быть непосредственно найдены
из уравнения (3.82). Для определения моментов в стержнях необ-
ходимо воспользоваться выражениями (3.85). Таким образом,
представляется возможным привлечь для расчета пространствен-
ной стержневой конструкции хорошо известные результаты тео-
рии осесимметричных оболочек вращения.
Как уже отмечалось выше в каждом узле конструктивной
сети свода системы Цольбау всегда сходятся три уложенных на
ребро дощатых элемента, средний из которых проходит не пре-
рываясь, а два других прилегают к нему своими скошенными
торцами. Узел стягивается болтом, причем конструктивно необ-
ходимо сместить набегающие косяки друг относительно друга.
Минимальная величина этого смещения s выбирается так, чтобы
отверстия под стяжные болты на концах каждого из конструк-
тивных элементов находились вне скошенной поверхности по-
следних.
Будем первоначально пренебрегать величиной этого сме-
щения и условимся считать, что концевые шарниры присоеди-
няемых в узле элементов располагаются на одной прямой.
Многократное повторение такого сочетания стержневых
элементов - креста, показанного на рис. 3.36 жирными линиями,
193
приводит к образованию регулярной стержневой конструкции с
ромбовидными ячейками.
Рис. 3.36. Крестообразный элемент регулярной
стержневой конструкции
Поведение выделенного на развертке сетчатой цилиндриче-
ской оболочки крестообразного элемента под узловой нагрузкой
Р, действующей перпендикулярно плоскости ху и приложенной
в центральном узле, исследуем при помощи метода жесткостей.
Предполагается, что все три балочных элемента, пересекающих-
ся в общем узле, изготовлены из одного и того же упругого ма-
териала с модулем упругости Е. Каждый косяк имеет длину
L = 21, момент инерции / и постоянную жесткость на изгиб
В=Е1.
г 2
Рис. 3.37. Элемент балочной решетки
194
Для такого элемента I плоской балочной решетки, отнесен-
ного к локальной системе координат Oxz(рис. 3.37), матрица
жесткости получает вид
’ 1 -1 1 0 '
^(1)^-1 2 0 -1 Е I3 1 0 2/2 -1 •
0-1-1 1
Для этого же элемента в общей системе координат Оху
(рис. 3.38) матрица жесткости запишется так:
1 9 1 -1 -1 2 - / cosot 0 -/sinot 0 0 -1
/3 1 4 -1 cosot 0 2/2 cos2 а I2 sin 2a /cosot
-/sin О! 0 /2 sin 2а 2/2 sin2 a Z sinot
5 0 1 -1 2 /cosot 3 Z sinot 4 1 5
Для элемента 2, ось которого совмещается с координатной
линией §2, матрицу жесткости можно легко получить, переме-
щая элемент 1 вдоль этой оси так, чтобы узел 1 занял положение
узла 3. При этом должно быть
5 1 -1 -1 cosot -/sinot 0
__ 8 -1 2 0 0 -1
-1 cosot 0 2Z2 cos2 a I2 sin 2a /cosot
1 10 -/sinot 0 /2 sin 2a 2/2 sin2 ct Z sinot
11 0 -1 / cosot /sinot 1
5 8 9 12 13
Установим терминологию для решетчатых плит и будем
Давать им определения по числу п (п = I, II, III, ...), составляю-
щих решетку крестов [3]. В частности, для показанной на рис.
3.10 крестовой решетки с п = I и ее элемента 3, ориентированно-
го вдоль оси £j, матрица жесткости в общей системе координат
запишется так:
195
с —। to о о 1 1
□ _ 6 0 2Z2coS2a -Z2sin2a Icosa -Icosa
,3 7 0 -Z2sin2a 2/2 sin2 a -Zsina Zsina
1 12 -1 Zcosa -Zsina 1 0
13 -1 -Zcosa Zsina 0 1
5 6 7 11 12
Следует заметить, что в узловых точках 1, 5, би 7 могут
иметь место только линейные перемещения вдоль оси z. Снача-
ла предполагается, что упомянутые перемещения м2в точках 1,
5, 6 и 7 отличны от нуля. Что же касается перемещений осталь-
ных узлов, то в каждом из них могут быть как линейные пере-
мещения вдоль оси z, так и по два угловых перемещения отно-
сительно линий, параллельных осям х и у.
Рис. 3.38. Крестовая решетка из трех
элементов типа п=1
196
Для построения матрицы жесткости крестовой решетки в
целом необходимо расширить матрицы составляющих ее эле-
ментов до порядка 13x13, дополнив их соответствующими нуле-
выми строками и столбцами. После суммирования всех расши-
ренных матриц получаем искомую матрицу (3.104).
В случае решетки, неподвижно опертой в узлах 1, 5, 6 и 7
(н = 1), прогиб в точке 3 оказывается равным w = PI?/4&B, что
вполне естественно, поскольку в работу вступает только третий
стержневой элемент.
1 -1 “4 -4 0 0 0 0 0 0 0 0 0'
-1 2 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0
~h 0 2/22 244 4 0 0 0 0 0 0 0 0
0 2//2 2/2 4 0 0 0 0 0 0 0 0
0 -1 4 h 4 0 0 -1 ~h “4 0 -1 -1
0 0 0 0 0 2/2 -Ah 0 0 0 0 4 ~h
к' зв КЕ ~j3 0 0 0 0 0 "244 21? 0 0 0 0 -4 4
1 0 0 0 0 -1 0 0 2 0 0 -1 0 0
0 0 0 0 ~h 0 0 0 2/2 Ah 4 0 0
0 0 0 0 “4 0 0 0 Ah 2/2 h 0 0
0 0 0 0 0 0 0 -1 h 4 1 0 0
0 0 0 0 -1 h -4 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 -1 ~h 4 0 0 0 0 0 1
(3.104)
Перейдем теперь к рассмотрению случая решетки из двух
крестов (рис. 3.39), когда п = II. При принятой нумерации узлов
решетки, используя трансформацию координат, определим со-
держание матрицы жесткости для решетки с общими узлами 1 и
2, лежащими на оси х.
Приняв во внимание то, что решетка из двух крестов не-
подвижно оперта в узлах 7, 8, 9, 10, 11 и 12, а, следовательно,
вертикальные перемещения этих узлов невозможны, матрица
197
жесткости системы будет иметь порядок 18x18 и примет вид
(3.105).
Следуя далее процедуре метода перемещений, введем, как и
ранее, во всех свободных узлах связи, препятствующие линей-
ным и угловым перемещениям. Приравнивание нулю реакций во
введенных связях приводит к системе уравнений относительно
неизвестных перемещений. Легко видеть, что угловые переме-
щения могут быть выражены через линейные, что в итоге дает
Рис. 3.39. Крестовая решетка типа п=П
198
ГО
О о о о а о о о о о о ^£0 ?7 со м
о о о о о о о о о о о о 77
о о о о о о о о о о о Г1 о о
о о о о о о о о о FT СО F0 о о о
о о о а о о о о о 77 ^£0 г7 о о о
о о о а о о о о СП о о о о о
о о о о о о '-S с0 о о о о о о
о о о о о о ~£-> FT а о о о о о
т о о о гг о о о о о о а о
о о о Ff со^ С1 о о о о о о о о о
о о о СО -S cf о о о а о о о о а
о о Г1 о о а о о о о о о о о
с5 1 со сО о о о 7 о о о о а о о о
со го cl FT i о о о о о о о о о а о
о о о о о 7 о о 7 7 7 7
о о о о о а о о -<г о а о а о
о о о о о о о о 7 о а о о о
о о 7 7 т "Т 7 о о о о о
(3.105)
199
Рис. 3.40. Крестовая решетка типа п=Ш
Результат расчета приводит к узловым перемещениям =
1,2,...,6), которые получаются соответственно
10 Р13 8 Р/3
’Д - и2 - иг - и4 - — —w4 - - и10 - и13 -
L! п L! D
Очевидно при этом, что w3 = = u7 = п16
= — w,. Таким
2
образом максимальный прогиб рассматриваемой решетки в
точках 1 и 2
5 Р£3
108 В '
Для того чтобы получить результаты при большем числе
крестообразных элементов, рассмотрим решетку при п = III (рис.
3.40).
В этом случае прогибы в трех загруженных узлах
wi = w3 ~ ui ~ м7 =
17 PL3
294 В
= и4
97 PL3
1176 В
200
В незагруженных узлах прогибы оказываются попарно
равными
W4 = Wg =
97 PL3
2352 В
w5=w8 =
55 PL3
1176 В
w6 = w7 ~
11 Р£3
196 В
Как легко видеть максимальный прогиб
рассматриваемой решетки имеет место в узле 2.
для
Рис. 3.41. Крестовая решетка типа n=IV
В случае решетки, составленной из четырех крестов
(и = IV), прогибы будут иметь следующие значения (рис. 3.41):
15 PI? 35 Р13
VT. = Ыл = щ = =--------, ич = ич = и. = ип =--------,
1 4 1 10 242 В 2 3 4 7 363 В
15 Р£3 145 Р£3 23 PL3
Wc — 9 —----------, W/c = I Vi i -----, ИЧ — Wi л — j
484 В 2904 В 363 В
W8=Wg =
195 PL3
2904 В
201
При этом очевидно, что максимальный прогиб получается
равным
35 /73
И’ х =---------И
х 363 в
это значение
относится к
расположенным на оси х узлам 2 и 3.
Аналогичным образом определяются прогибы и для решетки
с и= V, (рис. 3.14).
257 PL3 821 PL3 449 PL3
4056 В 4 8112 В 3 4056 В
w6 = w15 =
257 PL3
8112 В
Wy = W14
413 PL3
8112 В
w8 = w13 =
267 PL3
4056 ~B~’
Wg ~ w12
573 PL3
81П~В~
"io
605 PL3
8112 В '
Для решетки, составленной из шести крестов, значения
прогибов в узлах составят:
202
429 Pl} 691 PL3 777 PL3
1 6724 В 6724 В 6724 В
429 PL3 1033 PL3
7 8 13448 В 8 20172 В
112 PL3 2893 PL3
9 1 1681 В 40344 В
1555 PL3 3151 PL3
Wi 1 — Wi и —------5 Wi 7 — Wi q> ““ •
20172 В 40344 В
Подобно этому получим узловые прогибы для решетки из
семи крестовых элементов
7219 PL3 23317 PL3
1 7 112908 В 225816 В
13225 PL3 27193 PL3
3 112908 В 4 225816 В
7219 PL3 1448 PL3
Wo = W71 =---------5 Wq — W-ПГ) — ?
225816 В 28227 В
2517 PL3 2711 PL3
”4о = ^19 = Wn 7 W,& = 'Ы'ы'йГ’
37636 В З/оЗо В
8795 PL3 17881 PL3
12 17 112908 В 13 16 225816 В
1517 Pl}
14 1 18818 В
и восьми
4493 PL3 7262 Pl}
1 70227 В 70227 В
5507 PL3 17135 PL3
3 46818 В 140454 В
4493 PL3 28835 PL3
9 24 140454 В 10 561816 В
4702 PL3 40523 PL3
11 22 70227 В 561816 В
203
14635 PL3 7445 PL3
IVio — Won ~ > Wi/ — Win ~ ,
13 2U 187272 В 4 19 93636 В
45745 PL3
Wi c — Wi о —
15 561816 В
22949 PL3
W16 = w17 ~---------
6 7 280908 В
Зависимость величины максимального относительного
прогиба от числа крестов, составляющих решетку, показана на
В
графике (рис. 3.43). Из этого графика видно, что w—=-
PL3
изменяется не пропорционально п. При п > 7 максимальный
прогиб крестовой решетки асимптотически приближается к
PL3
значению и>гаах =---и уже не зависит от числа включаемых в
8В
работу решетки крестовых элементов.
Чтобы проиллюстрировать процедуру вычисления прогибов
для решетчатой плиты, исследуем изгиб опертой по контуру
балочной конструкции, в основе построения которой будет
положена рассмотренная выше решетка из пяти крестов. Эта
решетчатая конструкция включает в себя дополнительно четыре
ряда внутренних узлов, расположенных на параллельных оси х
прямых линиях.
Для тех из балочных элементов, которые пересекают
контурные линии, введем в каждом из таких пересечений
жесткую заделку. Что касается четырех элементов, концевые
сечения которых оказываются на линиях контура, то введем
здесь, как показано на рис. 3.44, шарнирно неподвижные опоры.
Пусть прямоугольная решетчатая плита подвергается в каждом из
внутренних узлов действию вертикальной нагрузки
2
Р =----sin 2а. Здесь q- интенсивность эквивалентной нагрузки,
равномерно распределенной на соответствующей каждому из
узлов грузовой площади, которая на рисунке показана тонкими
линиями.
204
Рис. 3.43. График зависимости величин максимального
относительного прогиба от числа крестообразных
элементов в решетке
Для исследуемой конструкции решетчатой плиты порядок
матрицы жесткости оказывается равным 81 х 81, и даже после
исключения неизвестных, связанных с углами поворота сечений
балочных элементов, он остается достаточно высоким. Поэтому
содержание редуцированной матрицы порядка 27x27 здесь не
приводится, а даются окончательные результаты для прогибов
только тех узлов, которые нам потребуются в дальнейшем.
В частности, выпишем эти значения прогибов в той
последовательности, в которой они встречаются в выражении
дифференциального оператора A Air:
25901721 PL3 10890812 PL3 193390851 PL3
Wi —-------------Wo —-------------— у Wq — у
76484620 В 19121155 В 305938480 В
28646773 PL3 258003031 PL3 9711769 PL3
W-J =------------IVn =---------------, wUi =------------,
76484620 В 458907720 В 19121155 В
4290724 PL3 17554193 PL3 180308909PL3
Wi у-------------Wi Q = у Won —
19121155 В 76484620 В 917815440 В
205
В косоугольной системе координат положение точки на
плоскости может быть определено тремя координатами §, £ иг].
При этом пусть, например, одна из осей совпадает с осью Ох, а
каждая из двух других образует с ней постоянные углы:
= 90 - ot и (р = 90 + а. Тогда уравнения перехода от декартовой
прямоугольной системы координат к системе координат £ и ?]
принимают в соответствии с рис. 3.45 следующий вид:
206
% = § + (£ -J])sinot,
У - (С +*?)cos a.
_ дх . дх дх .
Так как — = 1, — =--------- sin a,
д^ д£ дт]
j^=() =
д^ д£ дг]
= cos a
Рис. 3.45. Система треугольных координат
0£
то частные производные первого порядка от функции F(x,y)no
переменным хиу будут:
3F = dF
дх ’
dF 1 / dF . dF\ 1 ( dF . dF\ 1 (dF dF
— =---------sina+—1=-----—sina+— = -------—+— .
dy co87^ dg d£j COS7^3£ dry] 2со8?ДЭ£ d?]^
В свою очередь частные производные второго порядка
записываются следующим образом:
d2F d2F
дх2 Э§2'
д2р 1 (д2р d2F\
дхду 2sin2a^d£2~ dry2 J
d2F d2F 2 (d2F d2F\ 1
dy2 d^2 ^d£2 dry2 j 2cos2a
207
Рис. 3.46. Схема нумерации узловых точек решетки
(d2F\
1^4
1
4Д2 cos2 а
--T. i (Fl-2F04-F4).
4Д sm а
Располагая выражениями для вторых производных и
используя метод конечных разностей применительно к схеме,
представленной на рис. 3.46, заключаем, что
p2F5
к э*2 Jo
p2F'
к дУ2 1
f a2F
I дхду
“—у--------(F2-^3-
0 2Д2 sin 2а
Далее устанавливаем, что
208
~ 73 1 Т 1И-^о +^4+^з +F5 +F6)-(Fl+6F0 +F4)].
4Д cos ct
(3.106)
Повторное применение оператора Лапласа дает
^дх дл ду ду ) 4Д cos а [2
-[(c/g4a+2ct£а-5^ +FA)+(ct^a+7\p2 +F3 +FS +F6)]+
+[ct^a-l)[F7+F9+F1()+F12)+2(F8+F11)+^(c/g4ct-2c^a+])(F13+F16)+
+7^4+7^5+^7+7^8}
(3.107)
В частном случае при а = 30° имеем
Д ДР0 • [42Г0 - 10(р1 + F2 + F, + F, + Fs + F6)+
9Д >
2(f7 + F8 + F9 + F10 + Fn + F12 )+ F13 + F14 + F15 + F16 + F17 + F18]
(3.108)
что полностью совпадает с выражением, приведенным в [58].
Для расчетной модели решетчатой плиты в виде изотропной
пластинки дифференциальное уравнение изгиба при равномерно
распределенной поперечной нагрузке q имеет вид [50]:
•ч 4 4 *14
д iv _ д w д iv q
-----L 7-------1---= — ,
ах4 ах2ау2 ay4 d
Применение разностного оператора в форме выражения
(3.108) позволяет записать уравнение изгиба для точки 3
следующим образом:
21и?3-10(и’2 + и§ +
+ W8 + VVjq) + + И^7 + и^о =
3V3PL2
^4 D ’
(3.109)
Здесь равномерно распределенная нагрузка q заменена
л/З 7
узловой нагрузкоир = — ql .
Подставляя сюда численные значения прогибов, найденные
при расчете заданной стержневой конструкции на действие
209
узловой нагрузки Р, приложенной во всех внутренних узлах
решетки, получаем
19121155 В ^1В
” 4 165148591,2 ~ 21'
Формулы для определения жесткостей Dx,Dy иНв случае
косоугольной решетки, стержневые элементы которой жестко
соединяются в узлах, рассмотрены в работе [77].
Поступая выше описанным образом в отношении модели
решетчатой конструкции в виде анизотропной пластинки, мы
должны были бы составить соответствующее уравнение изгиба в
конечных разностях и записать его последовательно уже не для
одного, а, скажем, для трех внутренних узлов решетки, чтобы
иметь возможность определить жесткостные параметры Dx, Dy и Н.
3.3.2. Определение прогибов перекрестных балок
с учетом смещения их осей относительно узлов
В инженерной практике часто возникает необходимость
определения прогибов в различных точках решетчатых
конструкций. Так, например, вычисление прогибов приобретает
существенное значение при исследовании стержневых
пространственных конструкций в виде однослойных сетчатых
оболочек. Конструктивная сеть такого рода покрытий образуется
в результате взаимного пересечения нескольких семейств
стержневых элементов и характеризуется наличием в своем
составе ячеек различной конфигурации.
В деревянных конструкциях однослойных кружально-
сетчатых сводов, состоящих из перекрестных непризматических
балочных элементов, конструктивная сеть оказывается, как
правило, нецентрированной и это обстоятельство необходим/
учитывать при определении прогибов решетчатых конструкций.
Обсуждение задачи о прогибах перекрестных балок, оси
которых смещены друг относительно друга, начнем с
рассмотрения простейшей системы в виде трех совершенно
одинаковых призматических балок (рис. 3.47).
210
Рис. 3.47. Система перекрестных балок
Определение прогибов регулярной стержневой конструкции
с центрированной сеткой было произведено в работе [14], в
которой выполнено исследование решетчатой плиты с помощью
метода жесткостей.
Для решения поставленной задачи также целесообразно
использовать вышеупомянутый прием и в последующем
произвести проверку получаемых расчетных зависимостей путем
проведения испытания моделируемой конструкции на действие
кратковременной нагрузки.
На рис. 3.47 римскими цифрами I, II и III обозначены
балочные элементы, отнесенные к общей системе координат xyz,
начало которой помещено в узле 1. Балка I шарнирно
неподвижно оперта в узлах 10 и 11, а балки II и III,
присоединяемые к балочному элементу I под углом 2а в узлах 4
- 5, также оперты в узлах 12 и 13. При этом расстояние между
узлами 4 и 5 равно 2s. В каждом из узлов системы вводятся в
качестве неизвестных по два угловых перемещения,
положительные направления которых совпадают с направлением
осей х и у, и по одному линейному перемещению вдоль оси z.
211
Для балочного элемента I, рассматриваемого в местной
системе координат (рис. 3.48), матрица жесткости
Записывается следующим образом:
4 о о 0 0 0
3(44#) -Д'2?2) ~12 & 0 0 0
(4+З^У -6s 2s2 0 0 0
24 0 -12 6s 0
г 8s2 -6s 2s2 0
Симметрично -з(1-£2) -й-§2)
(4+3^s2 -X2
(3.110)
Здесь использовано обозначение = s/l.B свою очередь под В
понимается жесткость балочных элементов при изгибе.
f—J. ’ г—'—
/ О) 1(2) (3) (4) х
j 2|*1 21*1 Т
у т U1 у Й4 у Ut у и"
V 2
Рис. 3.48. Балочный суперэлемент 1, составленный
из четырех конечных элементов
Выполнив над выражением (3.110) матричные
преобразования, связанные с трансформацией координат,
получаем далее матрицы жесткости индивидуальных балочных
элементов в общей системе координат, суммирование которых
дает полную матрицу жесткости системы перекрестных балок
порядка 30x30. Поскольку перемещения н28,н29и и30в точках
опирания балок I, II и III невозможны, то исключение четырех
последних строк и столбцов в общей матрице системы понижает
ее порядок до 27x27.
При действии на перекрестные балки только узловой
вертикальной нагрузки Pt(i - 1,2,3...), приложенной посередине
212
длины каждой из трех балок, можно все угловые перемещения
выразить через линейные, коими и являются прогибы системы в
девяти узловых точках. С этой целью удобно ввести следующие
обозначения переменных:
Яю ~ мю cosct -пп sin си;
^12 = Mi4cosor+Mi5 sino;;
tf14 = н18 coscz - sin а;
tZ16 = м22 cos а + м23 sin а;
^18 = М26 COS а + И27 sin а.
fi'11 = z/12 cos а + w13 sin а;
tZ13 = Ы16 cosa - w17 sin а;
Й"15 = и20 cos or + w21 sin a;
ZZ17 = и24 cosot + h25 sin a.
Для этих обобщенных угловых перемещений введем вектор
М
который в силу однородности уравнений, оказывается связанным
с вектором линейных перемещений
{u}= {и1,м2,...,м9}
при помощи следующего матричного равенства:
(3.111)
где матрицы [A j и [/?J в развернутом виде запишутся
так:
4 0 0 1
0-400
0 0-40
1 0 0 0 0'
0-10-10
0 0-10-1
0 0
0 1
0 0
0 -а 0 0 0 0 0
0 0 о 0 0 0 0
0 0 0 а 0 0 0
1 0 0 0 а 0 0
0 О 0 0 0 а 0
1 0 0 0 0 0 а
213
ООО
ООО
ООО
и-?
1 -1ОООО
О 0 10-10
О 0 0-101
-Ь О 0 0 0 0
О -Ь о о о о
о Ь-1 -ь о о о
1
1
о
о
о
1
о
о
о
00-1 1-Ь о о ь о о
0-100 о о о ь о
001 0 0 0 0 0 -6
а-2 + -<; 6 = 1-1^2
Здесь а и b означают: 2 2
Из выражения (3.111) непосредственно следует
{Фк1 И4 (3-И2)
Выполнение процедур отыскания обратной матрицы [а-1] и
ее перемножение слева на матрицу [б] дает возможность
выразить девять обобщенных угловых перемещений через девять
линейных перемещений с помощью матрицы [с]
0 0 0 0 0 0 С14 0 с15 с25 0 с26 0 0 0 с28 0 0
0 0 0 с34 0 0 с37 0 с39
С41 0 0 с44 с45 0 0 0 0
[с]= С51 0 0 с54 с55 0 0 0 0
0 с62 0 0 с65 с66 0 с68 0
0 0 с73 с74 0 0 с77 0 с79
0 с82 0 0 с85 с86 0 с88 0
0 0 с93 с94 0 0 с97 0 с99
где ненулевые элементы матрицы [^определяются следующим
образом:
214
44----<45 “ ~с26 ~ с28 ~ с37 = -с39 ~
_ 1
С25="Сз4 = 12й?’
2
С41 С51 с62 “ с73 = с82 = ~ с93 “
Ч- + эс;
10-£-6§2
С44 “ -с55 “ ~с66 ~ с77 = с88 = -с99 = ’
2 + §
с45 с54----с68 = с79 = с86 “ ~с97 ~ 5(4 + 3^^’
с -_с (7+<^2
74 65 6(4+35X1+?)’
52
С’4‘’С85"б(4 + 35Х1 + ?)'
Исключив с помощью зависимостей (3.112) из первых
девяти уравнений обобщенные угловые перемещения можно
свести задачу об изгибе перекрестных балок к решению системы
из девяти линейных уравнений, записываемых относительно
неизвестных значений прогибов в девяти узловых точках. В
частности, имеем:
a^-a2(w4 + w5)~Pi ,
arw2 + a3w5- а2(w6 + w8) = P2 ,
+ o3w4 - a2(iv7 + wg)=P3,
(4й2и,1 - 4a3w3 - a4w5 + п5ш7 + a6w9)a7 -a8w4 = 0,
(4о2И4 - 4о3ш2 - a4w4 + o5w6 + о6ш8)a7 -«8ш5 = 0,
4«2H;2 + flgWj - (flgH’g + ^7рш8 )й7 =0,
4п2И,3 + 6l3W4 — CtgWy + )$7 — 0,
4a2w2 + o6w5 - (a10w6 + n9w8)a7 = 0,
4п2и’3 + a6w4 - (a10H>7 + a9w9)й7 = 0.
Здесь коэффициенты при неизвестных определяются
выражениями вида
й]=4(1 + 3§), а6=(2 + ^2,
215
a2 =2 + 6£ + 3Zj2, g7 = (l + §),
a3=3§2, zz8 = 4+20§ + 35§2 + 34£3 + 14£4,
g4=(1 + ?X2 + §)2, a9 =4 + 12£ + 7§2,
fl5=(10 + 7^2,«10=(2 + §)2.
Следует также отметить, что в уравнениях здесь нами
принято zz, = w(- (z = 1,2,...,9) и
р* .Р/3 (4 + 3g)g3
7 48В (1 + §у
(У = 1,2,3).
В частном случае примем нагрузку, приложенную к узлам
перекрестных балок, одинаковой. В этом случае прогибы
системы
и-1 = (4 + 12§ + 9§2 + 2§3)5, (3.113)
w2 = w3 =-(8+24£ + 15§2 + 4£3)р, (3.114)
w4 = w5 =(4 + 12£ + 3§2Х (3.115)
8 + 36§ + 45£2+12§3 „
-------2(1Д) Р’ (3116)
8+285 + 2152 + 6?30
-------2^---------Р’ (ЗП7)
R PL3
где Р =----------.
96В(1+§)3
В случае центрированной сетки для балочного элемента I
узловые точки 4 и 5 совпадут с точкой 1. Это же имеет место и
для двух других балок II и III, так как точки 6 и 8 сольются с
точкой 2, а точки 7 и 9 займут соответственно положение узла 3.
Об этом же красноречиво свидетельствует тот факт, что при § = О
прогибы в точках 1, 2 и 3 согласно выражениям (3.113) - (3.117)
Р£3
И', = W7 = ИЬ =-.
J 2 3 24В
Полученные расчетные зависимости для определения
прогибов перекрестных балок с нецентрированной сеткой
216
целесообразно подвергнуть в дальнейшем опытной проверке,
поскольку представляет определенный практический интерес
назначение величины параметра £ при конструктивном
оформлении узлов кружально-сетчатого свода системы Цольбау.
3.3.3. Приближенная теория однослойной
сетчатой цилиндрической оболочки
Как было установлено ранее, к числу наиболее эффективных
пространственных деревянных конструкций, относится
индустриальная конструкция кружально-сетчатого свода,
получившая широкое распространение в конце 30-х годов. По
своей конфигурации эта конструкция представляет собой
пространственную стержневую сеть, состоящую из отдельных
поставленных на ребро стандартных элементов - «косяков»,
идущих по двум пересекающимся направлениям и образующих
ломаные винтовые линии (рис. 3.49).
Рис. 3.49. Однослойная конструкция
кружально-сетчатого свода
На протяжении многих лет предпринималось немало
попыток разработать способы приближенного расчета
стержневой конструкции, и все-таки в практике проектирования
предпочтение было отдано приему, впервые предложенному
профессором Отценом [73], суть которого заключается в
представлении расчетной модели свода в виде двухшарнирной
арки. Однако такой прием приводит к результатам, не
217
отражающим действительной работы конструкции под нагрузкой
[59, 76]. В связи с этим предлагается при исследовании
кружально-сетчатого свода рассматривать его как стержневую
пространственную конструкцию с использованием для ее расчета
аппарата теории цилиндрической оболочки кругового очертания.
Такой подход уже был применен в работах [70, 71]. Однако
авторами этих работ были допущены ошибки при определении
некоторых компонент тензора податливости. В силу сказанного,
могут вызывать сомнение и полученные в цитируемой работе
окончательные результаты по расчету однослойной сетчатой
оболочки.
Дифференциальные уравнения равновесия ортотропной
цилиндрической оболочки имеют вид
(-1 2 п 2 '
1 д и д v
г дер2 дхдер >
+qyr2 =0, (3.118)
,22^ 32V dw
z~*ZZ
с22
дер2 дер
dv \
22 ---+W +/
I d<p J
d2v dw
------+ —
дхдер дх
п2 /, п2 п2 \
rz41 д и ^2Г12| 1 д и д V
П-о?-----+ г М 21-------“1 п
“дхдер ^гйхд<р дх2
дх дх дер г
дх
+ <V = 0,
дер
= 0,
где и означает перемещение точек срединной поверхности
эквивалентной оболочки вдоль образующей, v - вдоль
направляющей, a w - в направлении внешней нормали.
Положительные направления внутренних усилий, возникающих в
поперечных сечениях цилиндрической оболочки, приняты здесь
аналогично тому, как это имеет место в работе [15].
Для получения частного решения представим нагрузку,
действующую на оболочку длиной I, и перемещения в виде
разложений в ряд Фурье. При этом для перемещений выберем
такие выражения, чтобы автоматически удовлетворялись
граничные условия, принимая во внимание, что цилиндрическая
оболочка имеет по торцам жесткие диафрагмы, которые
препятствуют перемещениям в своей плоскости.
STCC SJVC
Чх =0; ?(р = <7(p,foSinfapcos—; qz = qz ks cos кер sin —.
218
, S7TX
и = us cos Axp cos——;
г = VsSinfapsin^s (3.119)
, . SJTX
w = h\ cosA'Cfsin -—.
Выполняя дифференцирование выражений (3.119) и
подставляя полученные результаты в уравнения (3.118),
представим последние в матричной форме записи
вмчт2 -(с^+с^м -^си’ 0
-te+q12>es е^+к2с^ к^2 = г2 Qtf,ks .(3.120)
-esc^ кс£ с22х ~ <lz,ks
Здесь 6S и % означают
5I ’
X- l + T^fe0!1!1 + 2Г»*« +*4О§)
Г ^22
Решая систему уравнений (3.120) относительно коэффициентов
us,vs и ws, получим
„ 2 ^uQtp,ks + ^4z,ks
Us = z C^A + (z-1)C2222C’
2 Bv<lq,ks "* (^5 А ~ В )^Qz,ks
^ = ~Г C/^A + ^-lJcgC ’
_ 2 + ^Qz,ks
Ws = ~r c^s4a+(x-^c’
где приняты следующие обозначения:
а _z^llz-^22 z-^llz-»22
А “С11С22 "с22с11 ’
Л-^Цс^+сёХ-с;?],
B-c;^2cg-e;c^),
в. - -№с‘1+к2с}2)х-е2с$с"J
(3.121)
(3.122)
(3.123)
219
w
.ф/д+с^^с^-е^сй)],
эУ (д - cg(C1?*ей))+ +к'с?2).
Таким образом, частное решение примет вид:
AuQw,ks+BQz,ks , snx
—г ——:-----------— COS Аф COS ,
. . ... 22C I
n’‘e’r2c^+(x-i)c?2<
2^v^,ks + >Ps^~B)iilz,ks . . . STtX
v = -r - - ———sm Аф sin----,
с^д-Щ-Щ^с i
_ 2 ^-'wQ(p,ks + Cc[z,ks
(3.124)
, . SJtX
COSAWSHI---.
+ I
Если грузовые члены в системе уравнений (3.118)
то получим систему однородных
уравнений ортотропной цилиндрической
( d2v
,12f 1 d2u d2v \
12 ”T~2+TT
г дф dxdq I
a2
0 V i
H--у = 0,
r dxd<y dxz )
r22pV \ 22 3u 2П11Э4Ш а4И- 1 „22 Э4Ш
\Эф ) dx дх4 Элоф г2 Эф4
dw
= 0,
dxdy dx
11 Э2п 2^.12^ 1 d2u
dxdcp
Czz
22
(3.125)
приравнять нулю,
дифференциальных
оболочки.
а2
rlld U 22
гс11 Т~Т+С22
dx1 у
г21{ d2V dw'
с22 +Т“
(Эф Эф )
с22( Эн \
Эф )
Внутренние усилия в сечениях ортотропной оболочки
можно записать с помощью функции w так:
f dx2dcp dx4 г3 Эф )
~ + ри + pg (3 126)
г2 Эх2Эф3 дх4дф г4 22 Эф5
f 1 пг, а6ю , inI1 d6w . 1 ^22aV|
г3 дх2дф г dx4dcp г5 dep6 ?
^ = -1
dNx„ 1
—^ = -^2Я
dx r2
s2n.
dx2
Используя далее уравнения равновесия элемента оболочки,
получаем для перемещений и и v следующие выражения:
220
^.122
а% а
-(c*Dy~C%2H
г
। a6w
ал-2а<р4
36
;2 22 а W
i^iTe
дх
4^
ах4 а^2
г
аф
a4v a7w __ а7щ „ а7щ т. а7и>
--7 = ---Л--Q "* Кэ -о-F + К. --7-7- + Ад у,
ах4 ах4аф ах2а<р ах6а<р аф
где для упрощения введены обозначения
1 2»
2 А
(3.127)
1 с22
L С11
2 А ’
1 С22
LSll-P
3 А У’
г с12 г
К2 = Vc^Dy + 2// г4 л
Г с12 I
Г) с22
K3=^--^-Dx,
Cl22 А
к 1Q2X
г6 А
Четырехкратное дифференцирование по переменной х
последнего из уравнений ортотропной цилиндрической оболочки
(3.125) приводит к дифференциальному уравнению восьмого
порядка относительно функции ю, которое с помощью
операторов Lt (1 = 1,... ,4 Принимает вид
d8w а8щ d8w d8w а8щ_ 1 а4и-
аф8 ах2аФ6 ах4аФ4 ах%2 4 ах8 = "к4 Зх4 4 ’ 7
1 С22
1 С 22
(3.128)
1 / 1 \
1_ 1 C22D к
K4[r^ А > J
+ 1 с224|
г2 С22 г2 А г2 С22ь
1 z^22y-ill
eg * eg*
1
Ад
1
Ад
'у-Ъ ,
-К3 ,
/
221
22
2С11С22 п
-
1 ( г2
L^~ К г22 Dx Г
к4( с22
Х4
Однородное решение уравнения (3.129) отыскивается при
этом в виде
(3.130)
Здесь
(3.131)
wo = 2^((p)sinKX.
к = —, ws~Csem^.
Подстановка (3.130) в (3.129) дает
+ Ь1к2т^ -L2K4m4 + L3K6m2 -£4к8 = ——к4. (3.132)
^4
Уравнение (3.132) в зависимости от т2 может быть
представлено в виде уравнения четвертого порядка. В связи с
этим решения ms(s = 1,2,...,8) равны и попарно противоположны:
т} =а1 + 1/Зг;
т2 =а1~Фъ
т3=а2 + i/32;
m4=a2-i/32;
= -«1-/^1,
тв = -ar + i/3^
m1=-a2-il32,
п^ = -а24- ф2.
Тогда решение (3.130) запишется следующим образом:
(3.133)
'+
1 огда решение (3.130) запишется следующим образом:
w() = [2ea|tf (q j собДф- q t sinДф)+ 2е “14f>[q 2 cos^q)+ q2 sin/^q?)-
+2ea2ff>(q з cos/32T - q 3 sin /32<p)+ ^“^(q 4 cos/32(p+q 4 sin/32<pj sin/ct
(3.134)
Чтобы удовлетворить условиям симметрии относительно
плоскости <р = 0, должны иметь место следующие соотношения:
С11 = с12’ С11 = с12> с13 = С14’ с13 = с14-
В силу этого выражение (3.134) принимает вид
и>о = (С^Ф, + С2Ф2 + С3Ф1 + С4Ф2)8шкх, (3.135)
где под Ф и Т понимаются следующие комбинации
тригонометрических и гиперболических функций
Ф] = coscoshcqip, Ф2 = sin ^cpsinha^,
Ф] = cos/32cpcosha2(p, Ф2 = sin/32q?sinha2q).
222
Общее решение для функции w теперь можно представить в виде
суммы частного и однородного решений: w = w + w0.
В случае применения древесины в качестве материала для
конструкции сетчатой цилиндрической оболочки обычно
соединения в узлах расцениваются как шарнирные и при этом ее
жесткостные характеристики могут быть определены в
соответствии с рекомендациями, приведенными в 3.3.1.
Рис. 3.50. Стержневая конструкция цилиндрической оболочки с
жесткими соединениями элементов в узлах
Если элементы стержневой конструкции соединялись бы
жестко в узлах (рис. 3.50), то для определения упругих
характеристик такой сетчатой конструкции цилиндрической
оболочки можно было бы воспользоваться приемом, описанным
в [51]. Поскольку цилиндрическая оболочка является
развертывающейся в плоскости поверхностью, то при такой
развертке получается решетчатая конструкция из двух семейств
взаимно пересекающихся балочных элементов, для которых
характерным является следующее:
1. Расстояние между балочными элементами считается
достаточно малым, поэтому можно осуществить замену балочной
решетки плитой с аналогичными упругими свойствами.
223
2. Балки обладают конечной жесткостью на изгиб и на
кручение, их соединения в точках пересечения в состоянии
воспринимать возникающие пары сил и осевые силы переноса.
Влияние податливости соединений при этом не учитывается.
3. Балочные элементы всех направлений обладают
одинаковым шагом, имеют равные поперечные сечения и
характеризуются постоянной жесткостью.
Рассмотрим условия равновесия вырезанного из балочной
решетки узла, (рис. 3.51), который отнесен к прямоугольной
системе координат ху и одновременно к косоугольной и
Пусть М} - изгибающий момент, 7] - крутящий момент и Q{ -
перерезывающая сила для семейства балок 1; М2,Т2 и Q2 -
усилия в балках встречного семейства 2. Пусть далее В -
изгибная жесткость, С - жесткость балок на кручение, d -
расстояние между балками, q - интенсивность поперечной
нагрузки на единицу площади, вследствие чего поперечная
узловая нагрузка равна qd. Приращения перерезывающих сил
dQi 3Q2
---и —-считаются положительными в направлении q.
&
Рис. 3.51. К составлению уравнений
равновесия сил в рамном узле
224
В результате проектирования векторов моментов на оси и
g2 имеем
дм2 . дв дт2 о _
----sin 2a + —- + —- cos 2a = Q2 sin 2a,
дМл . „ дТ2 дТл „ _
----sm2a----------cos2a = Q1sm2a,
(3.136)
в то время как условие равновесия для поперечных сил дает
^б1+^2+^ = 0. (3.137)
Если наряду с осями и §2 ввести вспомогательные
координатные оси и q2 по Рис- 3.23, то изгибающие и
крутящие моменты обоих полигонов выразятся через
вертикальные перемещения w узла следующим образом:
->2 **2 п2 *12
л, пд w л, Dd w т г д w т г д w «Н81
Мл =-В—=-, М2 =-В—Тл = С—-----------, Т2=С—------. (3.138)
д&дт]2
Подставляя данные выражения в уравнения (3.136) и
исключая перерезывающие силы с помощью соотношения
(3.137), получаем
d4w a4w\
С [ а2 ( д2 а w
2 sin 2a ^д^2дТ]2
cos 2а = qd
а2ш ।
а^а™
' (3.139)
В
t/ 34w d4w
[д^дц д&Ъ
Граничные условия для балочной решетки формулируются
проще всего, если использовать координатную систему ху.
х = + ?2 )cos« = (~ Bi + В2 )sin «
У = fe ~ §2 )sina = (?7i - B2 )cos« •
С учетом (3.140) имеем
(3.140)
225
д
д . д
= cos а — + sin«—,
дх ду
дп _ з д
L =+sina—+ cosa —. (3.141)
3 дх ду
дТ12
С помощью формул перехода от координатных систем ^с2
д iv
и к системе ху определим частные производные —— и
04W
d4W 04W 4 d4W . 4 ( d4W 2
—г=—-cos a + —т-sin a + 4—~—cos a +
0§f дх4 ду4 (dx3dy
04W . 2 5
+----rsin a sinacosc?
dxdy3
04iv 04iv 4 r. . 4
—-r = —-cos a + —-sin а-4
0^24 dx4 dy4
2
cos а -
дх3ду
d4w
—х—- sin a cost? +
дх2ду2
0^2 с*4 '
d4w . 2
+-----—sin a sinacosoc
дхду3
Кроме того должно быть
02
- —cos а------------------------^Sln а
д2
д^2 дх
d2w
д&Ъ
d4W .
—-—-smacosct +
дх2ду2
0/
->2 ->2 \
0 W 0 W .
—5-------r- sin a cos а
dy2 dx21
,4_ , d4W . 4
' d4w
2„ 3*-
• 2
226
-12 / -12 -,2 \
д W д W д W ] .
-------=-------------— Isinacosa.
д^2дТ]2 ду2 дх2 )
Для последнего слагаемого уравнения (3.139) в круглых
скобках имеем
d4w d4vv . у d4w о d4w 2 о d4w -2
—-—= —-sura--------сой'а+З—— сояа-3——-^sirra
dgfd/j dx^dy2 dSdy2 >
sinacosz,
d4w (d4w .3 d4w 2 - d4w
—л— =H -^-sn? a—-сой- a+3——-—
dgd?fe Idy dx dx2dy2
34
2 _ d w
co?a-3 „
dx2dy2
sir? a
sinacoaz.
Используя эти соотношения, запишем дифференциальное
уравнение изгиба решетчатой плиты в виде
•ч 4 л 4 л 4
nilS w д w .n22dw
+ 2ЯД 2 ”2+Р22 —4 ~
дх дх дер дер
(3.142)
где
В Со
Du = 2—cos4 а + —sin2 2a,
11 d 2d
£>22 = 2—sin4 a+ •—sin2 2a, (3.143)
22 d 2d
ЗВ о С ( о 1
H =—sin22a + -— I3cos22a-1].
2d 2dx ’
После того как будут найдены усилия в каждой точке
эквивалентной оболочки, могут быть вычислены усилия в
стержнях сетчатой конструкции. Для их определения необходимо
воспользоваться представленным на рис. 3.52 разложением сил.
Показанные здесь усилия в стержнях могут быть определены
путем их умножения на соответствующие значения усилий в
оболочке (^,^ и NX(f). Поскольку изгибающие моменты,
действующие на стержни сетчатой конструкции не могут быть
определены из уравнений равновесия, то следует воспользоваться
выражениями кривизны сетчатой оболочки. Если ввести в
направлении семейств прямых i осевую линию и ей
перпендикулярную линию то для изгибающего момента,
действующего на стержневой элемент семейства i справедливо
соотношение
227
<3.144)
а для крутящего момента
f)2
(3.145)
' ’ dsldSl
t kb3 ( M
гДе jd =— 1-0.63- .
3 \ h)
T,
X
Puc. 3.52. Стержневой элемент i-го семейства
Если вместо направления s(- мы выберем направление si
перпендикулярное к , то кривизна в этом новом направлении
1 1-2 1 z, 1 2
— = —sin a +-----sm2a +—cos a.
Ps Px Pxy Py
Относительное кручение поверхности в точке от крутящего
момента относительно направлений st и
а2 п2
д w д w
дх2 + ду2 t
a2
. _ d w
sin 2a + —— cos 2a.
dxdy
1 d / dw
Pss \
Воспользовавшись тем, что dy >*> rd<y выражения для
изгибающих и крутящих моментов в стержнях i - го семейства
запишем так:
АЛ 17, 2 1
М; = EL —-cos a, +-
px2 г
2
1 d2w . 1 d2w . о „ .,ч
------sin 2a. + ——?sin a, , (3.146)
rdxdy 1 r2 dtp2 ‘
228
Мкр,1 ^’^Kp,i
1/ d2W
2^ dx2 +
1 d2w'
г2 0ф2>
1 d2w .
sin 2а,- +------cos 2a.-
r a*d<p
(3.147)
В качестве примера рассмотрим сетчатую цилиндрическую
оболочку, представляющую собой кружально-сетчатый свод,
собранный из косяков длиной 2 м и поперечным сечением 20x5
см. Пролет свода Z = г = 20 м центральный угол 2ф0 = 90°.
Приведенная толщина сплошной оболочки t = 1,1 см. Оболочка
абсолютно защемлена по краям вдоль прямолинейных кромок и
загружена вертикальной нагрузкой интенсивностью q,
равномерно распределенной по поверхности.
В случае когда а = 60° стержневая конструкция сетчатой
оболочки обладает свойствами упругости, характерными для
изотропного тела [5], и дифференциальные уравнения равновесия
цилиндрической оболочки (3.118) будут иметь вид:
д2и 1 dw 1 d2v 1 д2и qx _
—у +-----+ 2-----+ —^—? + ~~ = 0,
дх2 Зг дх Зг dxdq Зг2 dtp2 С
1 dw 1 d2v id2v 2 д2и qy п
— + -?—д +----т +------+ * = °,
г2 Эф г2 Эф2 з дх2 Зг дхду С
(3.148)
t2 w 13v 1 ди q7
-VVw+—+^— +---+ -Ц
12 г2 г2 Эф Зг дх С
= 0.
Решая задачу в первом приближении и полагая k=s = l,
запишем матричные уравнения (3.120) следующим образом:
229
Учитывая, что
(t*\2
— является весьма малой величиной, примем в
последующем % «1и при этом получим
з(б- л2)аг2 лх
и = —1t-cos<pcos—,
V =
912+ 5я2 )qr2 . . лх
sincpsin—,
2тг5 С Г
(3.150)
316 + 13я2 + 3я4 }qr2 . лх
w = —х-------g-------costpsin—.
2тг С (
Принимая во внимание, что внутренние усилия в сечениях
цилиндрической оболочки определяются по формулам
1 (ди
- — + w
дх 3 ( dtp
1/dv \
- —+ W 4
dtp )
/ d2W 1 d2w'
[ дх2 3r dtp2 t ’
f 1 д 2W 1 д 2W 'i
[г2 dtp2 3 дх2 j’
окончательные выражения запишутся так;
„ ogr . лх
Nx = S-^costpsin—,
л I
ди
(3.151)
Ф
М =D
. gr . лх
Я® = -4—costpsm—,
л; I
г-,- D 6 + 13л2 + Зя4
= -----------------
с 2л*
„ D 6 + 13л2 + ЗлА
M4~cg-------^3-----
п 1Л
1 ди
3 дх У
(3.152)
(3.153)
(3.154)
(3.155)
ТГХ
:os<psin —,
тгх
ostpsin—.
(3.156)
(3.157)
(3.158)
Из системы однородных уравнений (3.125) следует, что
230
2 1 2
л —т,
3 5
2
—лт.
3 5
1
—л
3
Раскрытие
2
—дан
3 5
2 I 2
т. —л
3
ms
1
---Л
3
ms
\m2 -я2
= 0. (3.159)
определителя (3.159) приводит к
характеристическому уравнению восьмого порядка относительно
параметра ms:
(т2-л2^ + р8 = 0, (3.160)
,.2
где р = yGr-S —
V з t
л2
Вводя обозначение о = — получим
Р
/ 2 \4
I'll I
-f-oj +1 = 0. (3.161)
Уравнение (3 161) в зависимости от т2может быть, как и
ранее, представлено в виде уравнения четвертого порядка. В
2
ms 1
частности, положив - о = Л, запишем его так:
р2
+1-0. (3.162)
В связи с этим ms(s = 1,2,...,8) по-прежнему, определяются
выражениями (3.133).
Так как не может быть действительным числом, то
решение отыскиваем в виде
ks = <y5(cosy + zsiny). (3.163)
Подстановка (3.163) в уравнение (3.162) дает
(cos4y + isin4y)+l = 0. (3.164)
Зтг 5л , +-»
Отсюда находим, что у = 0,—,—,л,—.... и со = 1. При
4 2 4 4
этом для л=1 должно быть
231
Л] = ^cos^ + isin^ = -^(l+i). (3.165)
Повторив выше описанную процедуру для s = 2, приходим к
системе уравнений для определения oq и /^:
а2 + 2ia}[\ - /З2 =~p2(l + i)+up2
2 (3.166)
«|2-2iax/3}= y-p2(l-/)+op2
Откуда непосредственно следует
1 P2
ft---(3.167)
«1 V8
+i + l+aV2. (3.168)
V8
В свою очередь для /32 и а2, находим
1 р2
/?2 = —(3-169)
а2 д/8
а2=~/Jfl-ajtf+l -1 + a V2. (3.170)
V8
В нашем случае коэффициенты, записанные в (3.167 - 3.170)
принимают следующие значения:
cq = 14,667,а2 = 6,079, ft = 5,836, /32 = 14,081.
Четыре постоянные интегрирования в выражении (3.135)
определяются из граничных условий на одной из прямолинейных
кромок, например, на краю <р = -л / 4. При этом на другом краю
Ф = л / 4 в силу симметрии деформации эти условия
удовлетворяются автоматически. При заделке прямолинейных
dw
кромок должны быть и = v = w = — = 0. Предпоследнее условие
при х = I / 2 приводит к следующему уравнению:
Z-Л Z-iTf 1ТГ 3\/2 6 +13л:2 +3я4 аг2
Cl^l + С2Ф2 + С3Ч\ + С4Ф2 = —-------
л С
232
Для использования первого и второго условий
воспользуемся уравнениями (3.127). Принимая во внимание
громоздкость записи выражений в развёрнутом виде, введём
рекуррентные соотношения для постоянных, появляющихся в
результате последовательного дифференцирования функции w
по переменной ср
Л/ = ~аЛ-1 + &v = “(АДу-1 +al^v-l)’
Cv = -а2^и-1 + P2^V-1’ = +a2^v-l)’ (3.171)
при этом надо иметь в виду, что
Л) ~ Ф1’Д) = Фг’А) = ^цД) = Фз-
В свою очередь условие равенства нулю —выразится таким
д<р
(а,Ф, - ДФ2 )С, + (И1Ф2 + ДФ, )с2 + (a24>, - Д,Ф2 )с3 +
ЦИ2ф2^2Ф,)С4.^^^25^4-£
4 дг С
где Фх = cos/^ср sinh арр, Ф2 = s^n /Sjcpcosh cq<p,
Ф] = cos/32(psinha2(p, Ф] = cos Д2(р sinh а2(р.
Для этих функций рекуррентные соотношения (3.171)
изменяются, соответственно, на Av,Bv,Cvm Dv.
Тогда условия и = г = 0 примут вид:
А "ТзИзд +С2Ф2 +ДФ +ДД +СД +ДД)-
\г) ЗЗгг
+С^4 +Ст^4 +С4£>4)+З(о^ +QS6 +0^6 +ОД). ~4
2тг С
/ \2 q г
I ~ I +0^1 +QQ +Q4)+i +ОД+сД +QA)-
Д/ 32г4
-i3r(Q45 +ОД + ДД + дд )+Хдл +ДД +ОД +ОД )]=~ с
233
Решая систему уравнений, получим искомые постоянные
2 2 2
q = 0.00028^; С2 = -0.00016^; С3 = -0.18125^-;
С л = 0.06829^-.
С
Подстановка найденных значений постоянных интегрирования в
уравнение (3.135) и использование последнего из выражений
(3.150) дает возможность определить окончательный вид
функции прогибов w.
Для иллюстрации ниже выполняется построение эпюр
внутренних усилий Ny,Mx и при x = Z/2 (рис. 3.53).
Используя расчетные зависимости (3.126), можно также
определить внутренние усилия Nx,NX{f и MX[f .
Рис. 3.53. Эпюры внутренних усилий N^,MX и М
в сечениях оболочки
3.4. Устойчивость сетчатых цилиндрических оболочек
3.4.1. Устойчивость стержневой конструкции
цилиндрической оболочки при осевом сжатии
Если стержневая конструкция в форме цилиндрической
оболочки равномерно сжата в осевом направлении, то при
известном значении сжимающих сил, приложенных в узлах
верхнего и нижнего многоугольных колец, может произойти
потеря устойчивости равновесия исходной конфигурации,
234
причем при симметричном характере деформации относительно
оси цилиндра во всех диагональных стержнях пространственной
системы возникают одинаковые усилия сжатия, в то время как в
стержневых элементах многоугольных колец в окружном
направлении развиваются одинаковые усилия растяжения.
В связи с тем, что для тонкой упругой цилиндрической
оболочки постоянной толщины, находящейся под действием
равномерного осевого сжатия и равномерно сжатой сферической
оболочки такого же радиуса, критическое напряжение имеет
одинаковую величину, решение рассматриваемой проблемы
устойчивости стержневой конструкции цилиндрической
оболочки приобретает исключительно важное значение [9, 10,
75]. Поскольку цилиндрическая поверхность однослойной
сетчатой оболочки состоит из ячеек в форме равностороннего
треугольника, рассмотрим первоначально простейшую задачу об
определении величины критической нагрузки для одной из таких
ячеек, находящейся под действием самоуравновешенных сил Р
(рис. 3.54). Пусть естественные длины стержней равны Z, а в
деформированной конфигурации наклонные стержни имеют
длинуaD, а горизонтальный стержень - aG. Жесткость стержней
на растяжение (сжатие) одинакова и равна EF.
Характеристический полином, записанный относительно
, I
параметра Л = —, получает при этом вид
aD
р6(л)-л3(л-|)(л-1Хл-2)-о.
Три нулевых корня означают, что рассматриваемая
треугольная ячейка должна иметь три опорных закрепления [11].
Наибольшее значение параметра Л получается равным
л/З
Лкр=2 и критическое значение нагрузки будет Ркр=— EF.
Перейдем теперь к рассмотрению проблемы упругой
устойчивости пространственной шарнирной стержневой системы
в форме сетчатой цилиндрической оболочки, подверженной
действию осевых сжимающих сил величиной Р (рис. 3.55).
235
Стержневые элементы сетчатой оболочки здесь также имеют
одинаковые длины и площади поперечного сечения.
Рис. 3.54. Элементарная треугольная ячейка
сетчатой оболочки
Таким образом, в пределах каждого из четырех кольцевых
ярусов располагаются ячейки конструктивной сети оболочки в
форме равносторонних треугольников со сторонами длиной I. В
окружном направлении многоугольные кольца сетчатой
цилиндрической оболочки совершенно одинаковы и через один
ярус повторяют друг друга. Каждое из колец представляет собой
двенадцатиугольник, а в целом сетчатая оболочка имеет 60
стержней в многоугольных кольцах и в каждом из кольцевых
ярусов по 24 стержня и, следовательно, в совокупности 156
стержней. Узловых точек в каждом из ярусов 12, а всего 60 узлов.
При числе стержней пространственной решетки ns =156 и при
числе узловых точек пк = 60 необходимо ввести дополнительно
24 стержня, чтобы систему сделать статически определимой и
геометрически неизменяемой. Это говорит о том, что в каждом из
двенадцати узлов верхнего и нижнего горизонтальных колец мы
должны ввести в радиальном направлении по одному
дополнительному стержню.
Анализ устойчивости такой системы представляет весьма
трудоемкую задачу, поскольку ее решение сводится всякий раз к
раскрытию определителя довольно высокого порядка и
получение этого решения связано исключительно с трудностями
математического характера.
236
Рис. 3.55. Сетчатая цилиндрическая оболочка
В последующем ограничимся рассмотрением сетчатой
цилиндрической оболочки с четным числом сторон в пределах
каждого многоугольного кольца. Другими словами, ниже речь
пойдет о пространственной шарнирно-стержневой системе,
состоящей из многоугольных колец, смещенных в смежных
360
кольцевых ярусах друг относительно друга на угол , где п
2п
- число стержней многоугольника.
При решении задачи о потере устойчивости системы
упругих стержней необходимо применить общую теорию
устойчивости, разработанную Р. Мизесом в 1923 г. [70].
Для произвольного узла к пространственной фермы, в
котором сходятся i стержней, уравнения равновесия
деформированной конфигурации принимают вид:
237
(бхк - дх, i 1 - —sin 2 aik | + (dyk - dy, )-^cos aik cos fiik +
aik
( aik )
+ (dzk - bz, )~-cos aik cos yik
aik
= О,
aik
(dxk - dx, )—— cos alk cos fiik + (dyk - dyi /1 - -^-sin 2 fiik | +
aik
j (x-r _ x, \lik.
...........aik
+ (dzk - 6zi p^cos /3ik cos у ik = 0,
J (<4 -<4)~c0f47tc0% +(^ cos/^cosyJl--^sin2^ | +
aik
+fo sin2^
\ ®ik
= 0.
aik
aik
(3.172)
Первоначальная длина стержня между любыми двумя
узлами i и к здесь считается равной lik, а длина этого же стержня
после нагружения фермы aik. При выводе уравнений (3.172) было
сделано предположение о том, что жесткость всех стержней
системы одинакова и равна EF. Компонентами малого смещения
узла к являются &ck,dyk,6zk, а узла i соответственно йхг-,5уг-,&(-.
Через ciik,(3ik,yikобозначены углы между стержнями ik и осями
координат х, у и z.
Записав уравнения равновесия (3.172) для всех свободных
узлов пространственной системы, мы получим столько линейных
уравнений, сколько имеется независимых перемещений.
Принятая смещенная форма становится возможной, когда эти
уравнения могут дать для смещений дх,ду и & решения,
отличные от нуля. Таким образом, критическая нагрузка
получается путем приравнивания нулю определителя полученной
системы уравнений [42].
238
Рис. 3.56. Двухярусная стержневая конструкция
с квадратными кольцевыми диафрагмами
Легко заметить, что с увеличением числа сторон
многоугольных колец уменьшаются длины стержневых
элементов сетчатой цилиндрической оболочки, поверхность
которой размельчается при этом на все более мелкие треугольные
ячейки, следствием чего является уменьшение высоты кольцевых
ярусов. Принимая во внимание то обстоятельство, что
минимальное четное число сторон многоугольного кольца равно
четырем, рассмотрим теперь изображенную на рис. 3.56
стержневую конструкцию короткой цилиндрической оболочки,
состоящую из двух квадратных колец в ее основаниях и одного
квадратного кольца посредине длины образующей оболочки,
повернутого по отношению к кольцам оснований на угол <р = 45°.
Наклонные стержневые элементы связывают между собой
239
горизонтальные кольца, причем для всей пространственной
конструкции длины всех стержней одинаковы и по-прежнему
равны I. Высота каждого из кольцевых ярусов равна В
узловых точках верхнего и нижнего горизонтальных колец
действуют самоуравновешенные силы Р, вызывающие осевое
сжатие сетчатой оболочки. Удобно отнести рассматриваемую
пространственную стержневую конструкцию к системе
декартовых прямоугольных координат, поместив ее начало в
центре описанной около промежуточного кольца окружности
радиусом г и направив ось Oz вдоль оси цилиндра, а оси Ох и Оу
параллельно двум противоположным сторонам квадрата 1 -2-3-4.
Поскольку в узлах верхнего и нижнего квадратных колец
вводятся закрепления, препятствующие их перемещениям в
круговом направлении, то единственно возможными для этих
узлов являются перемещения вдоль оси z. Принимая во внимание
симметрию системы и нагрузки, выделим повторяющийся в
круговом направлении ромбовидный элемент, имеющий перегиб
вдоль короткой диагонали (рис. 4.4).
Действие остальной части пространственной конфигурации
представим в виде двух самоуравновсшенных сил Ptgty и введем
соответствующие опорные закрепления в узловых точках 1, 2, 5 и
9- ГТ
Поскольку узел 9 закреплен неподвижно, то нам потребуется
составить пять уравнений равновесия системы в
деформированной конфигурации для пяти возможных смещений
узлов йг1,&1,&г2,&2 и &5. Раскрытие определителя
соответствующего порядка приводит, во-первых, к двум
4 /-
значениям параметра Ар: AD] = —; Ар2 =2+у2, а во-вторых, к
уравнению связи между Ар и AG вида 27<; +(2- л/2^1р =4, из
которого можно заключить, что если стержневые элементы
промежуточного квадратного кольца будут нерастяжимы (AG=1),
то Арз = Ар2 = 2 + л/2и, следовательно, второй корень
240
3
соответствует явлению неустойчивости системы без растяжения
стержней кольцевой диафрагмы.
Рис. 3.57. Ромбовидный элемент
стержневой конструкции
Наконец, два оставшихся корня могут быть определены из
квадратного уравнения относительно параметра :
Zj, - (17 + 10V2^D + 8(з + 2д/2) = 0.
Из решения этого уравнения устанавливаем, что оно дает
для параметра такие численные значения, из которых даже
меньшее Лр= 1,577 оказывается все же больше kD= 4/3. Таким
образом, можно констатировать тот факт, что критическое
значение параметра 7.D kp= 4/3.
При этом должно быть SDkp--EF/4 и так как
Ркр = ~\3SD kp cost/; , то критическое значение нагрузки
Pkp=~EF соьгр. (3.173)
241
С увеличением числа многоугольных колец угол будет
стремиться к нулю и при этом две треугольные ячейки ромба
будут располагаться уже в одной плоскости, что в свою очередь и
обусловливает неустойчивость системы упругих стержней в
результате работы отдельной треугольной панели при ее
переходе в смежное положение равновесия.
Интересно проанализировать изменится ли полученное
выражение (3.173), если исследовать устойчивость двухъярусной
конструкции в целом, не делая никаких упрощающих
предположений в отношении рассматриваемой пространственной
конфигурации и не вычленяя из нее отдельного структурного
элемента в форме ромба.
Для двухъярусной стержневой конструкции цилиндрической
оболочки получение характеристического уравнения
/?(Ad,Ag)=O связано с раскрытием определителя двадцатого
порядка и выполнение упомянутой процедуры сразу приводит к
понижению этого порядка на единицу, что свидетельствует о
возможности введения дополнительной связи в узле 1 по
направлению оси z.
Что касается решений вида AD = 2 + л/2 и
2Ag+(2-72Xd = 4, то они и в этом самом общем случае имеют
место, как и при рассмотрении поведения изолированного
ромбовидного элемента.
Применим эти два решения к оценке неустойчивости
пространственной конфигурации и определим соответствующие
значения критической нагрузки. При этом всякий раз
1 '
?1<р-№еР 1-
(3.174)
(3.175)
В частности, при hD,kp = 2 + V2 имеем
а/32
P^=^-EF-X189EF.
Во втором случае нам потребуется воспользоваться
уравнением равновесия для одного из свободных узлов
промежуточного кольца, которое дает
242
5c+(2-V2)sd=0,
откуда непосредственно следует, что
(3.176)
Исключив из выражения (3.176) AG путем его подстановки
из уравнения связи, находим
£d-|(4-V2Xd+|(5-3V2)=°, (3.177)
где использовано обозначение XD = (2 - Т2^р.
Решая уравнение (3.177), имеем
г 4(4-72)±272(l + 572)
Adu-------------? •
Отсюда получаем критическое значение параметра Ар
^D,kP = | (б + 272 + ^23+ 1772). (3.178)
Далее на основании формулы (3.174) находим значение
критической нагрузки
Ркр «1,307££,
которое оказывается большим по сравнению с тем, что дает
формула (3.175).
Исследуем теперь тот случай, когда решение
рассматриваемой задачи доставляет уравнение связи вида
4А(; + (2-72)/^ = 6. В этом случае относительно параметра Ап
приходим также к квадратному уравнению
А5-у(4-72Хо+у(5-372)=0, (3.179)
из которого интерес представляет лишь один из корней этого
уравнения, в частности
AD = у [5(4 - 72 )+ 72(15+ 2бТ2)_. (3.180)
Согласно полученному результату для Ар приближенное
значение критической нагрузки
Ркр -1,383££.
243
Среди множества решений, получаемых при раскрытии
определителя системы уравнений, остановимся далее на тех из
них, которые дают два кратных корня и определяются
уравнением связи между параметрами XD и вида
| А£ - 5Ад + 3XdAg + 2(2- AgХЗ-Ag)- 2 = 0. (3.181)
Если предположить, что стержни горизонтального
промежуточного кольца нерастяжимы, то уравнение (3.181)
можно записать следующим образом: (Ад - 2^ = 0. При этом
должно быть Ад =2 +72 и это еще раз подтверждает факт
единственно возможного решения в случае недеформируемой
диафрагмы в форме квадратного кольца. Однако если отказаться
от принятого выше предположения и осуществить подстановку в
уравнение (3.181) выражения для параметра AG
” (3-72Xd-2(3-2V2)’ (3'182)
то тогда получаем характеристический полином р4(Хд)=0,
который в развернутой форме запишется так:
Р4(Ад) = ЯдАд + ЯдАд + ~ 0, (3.183)
где
я0 = 40(17 -1272) ах = -80(10 -7^) я2 = 2(179 -12172)
«3 = -9(8-572) я4 =|(11-бТ2).
Из уравнения (3.183) находим - 2.230; 7^\р -3.731 и,
следовательно, критическая нагрузка при этом составит:
Pw-l,240EF,
Ркр <-l,418EF.
Наконец, укажем еще на два последующих решения:
2Ад+ЗЛд = 6, (3.184)
2Ag +(1 + 272)Лд = 6. (3.185)
Рассматривая сначала как наиболее простое первое из этих
уравнений, замечаем, что условие нерастяжимости стержней
244
среднего кольца (А^ = 1), приводит к результату Ао = который
уже встречался нам ранее и являлся определяющим при оценке
неустойчивости ромбовидного элемента, имеющего перегиб
относительно короткой диагонали.
Обращаясь еще раз к уравнению связи между параметрами
Ар и Ag (3.184), получаем
Ad-“(48-572Xd+|(4-V2)-0. (3.186)
Откуда находим
=-(48-572 + 7338-2472) (3.187)
42
и затем оцениваем величину критической нагрузки
Ркр - 0.472EF.
Что касается второго уравнения связи (3.185), то его
использование дает
Ркр = 0.098EF.
Как видим, по сравнению со всеми полученными до сих пор
выражениями последнее определяет пока наименьшую величину
критической нагрузки.
В процессе выделения множителей в характеристическом
уравнении неустойчивости стержневой конструкции удается
получить для описания симметричной формы потери
устойчивости пространственной конфигурации полином вида
(3.188)
Ар-(7-72^+ 6 = 0.
Решая уравнение (3.188), имеем
= - (7 - 72 )± 727-1472 .
(3.189)
Откуда корни уравнения будут:
4.135; ^-1.451.
Соответствующие значения критических нагрузок при этом
Р^-1.275ЕЕ,
Ркр - 0.523EF.
и
245
Следует заметить, что при симметричной относительно оси
вращения форме потери устойчивости стержневой конструкции
цилиндрической оболочки исключается ситуация, при которой
стержневые элементы промежуточного кольца могут оказаться
нерастяжимыми.
Последовательное выполнение процедуры раскрытия
определителя, связанное с понижением его порядка до шестого,
приводит к еще одному уравнению связи между параметрами Ар
и Ас, которое принимает вид
(з-2V2^ -3(2- 72Хр + з(2- >.D)з- 2АС)= 0. (3.190)
Исключив отсюда Ас, приходим к полиному третьего
порядка относительно параметра Ар
)= аЗ^Ь + a2^D + al^D + «О ’ (3.191)
где Oq—18(2-72) й] =39(2- 72) д2 =-(55-314/2) д3 = 13-972.
При этом устанавливаем, что
Л^-38.881, ^-0.691, -1.443.
Из этих значений принимаем во внимание лишь два первых,
поскольку при $кр значение величины Ркр будет
отрицательным. Таким образом, имеем
PW-1.639£F,
и Р^2-0.517Е£.
На заключительном этапе расчета из определителя шестого
порядка выделяются два множителя в виде определителей
третьего порядка, раскрытие первого из которых приводит к
полиному вида
+2(264-54/2)^+4(154-772^ -4 0- -1^104-72^ +128=0
Решение этого кубического уравнения дает три парных
значения АрИ AG, из сочетания которых определяем Ар кр =1.157
246
и ко ~ 0-926, на основании чего устанавливаем наименьшую
величину критической нагрузки
P^-0.228£F.
Раскрытие же второго определителя третьего порядка дает
“(50+37^fe^? + -
-2(46+574/2)^ -8(22+2372)^ -1б(1+272^ +11^2-3724)+.
+ 9б(1+272)4-12^1-72)= 0
(3.193)
В результате чего получаем критические значения
параметров Лр и AG: 4 кр ~ 1.132 и AG кр ~ 0.936.
При этом
Ркр - 0.196EF.
Анализируя все полученные выше значения критической
нагрузки, можно прийти к выводу о том, что наименьшая ее
величина связана исключительно с условием неустойчивости,
записываемым в форме уравнения связи (3.185). Поэтому,
обращаясь снова к уравнениям (3.176) и (3.185), имеем
Отсюда находим
-14 + зУ2--72(251-17472)
'D'kp ~ 2(1-572) ’
и получаем точное значение критической нагрузки для
рассматриваемой стержневой конструкции
рк = 7s[i---------2(1-572) 1. (3195)
Р -14 + 372 - 72(251 -17472 )
Описанный выше подход к решению задачи об устойчивости
Двухъярусной стержневой конструкции цилиндрической
оболочки может быть распространен и на другие случаи
пространственных конфигураций с большим числом сторон в
многоугольных кольцах при соответствующем увеличении числа
247
кольцевых ярусов. Однако этот вопрос является предметом
специального изучения и поэтому в рамках выполненного
исследования не затрагивается.
3.4.2. Прощелкивание стержневой конструкции
кружально-сетчатого свода системы Цольбау
Для пространственных конструкций ферменного типа,
лежащих в основе кружально-сетчатых цилиндрических сводов с
ромбической решеткой, явление потери устойчивости может
заключаться в прощелкивании отдельных узлов сетчатой
поверхности в направлении центра кривизны.
Решению задач о потере устойчивости стержневых
конструкций с позиций нелинейной теории посвящен ряд работ
[4, 12, 44]. В то же время следует заметить, что в указанных
работах изучается поведение под нагрузкой различных моделей
стержневых конструкций исключительно в форме сетчатых
куполов с треугольной решеткой. Применительно же к сетчатым
конструкциям цилиндрических оболочек системы Цольбау задача
о прощелкивании ставится и решается здесь, по-видимому,
впервые.
Представим себе простейшую модель стержневой
конструкции, составленную из трех балочных элементов и
выделенную из пространственной шарнирно-стержневой
системы таким образом, что центральный узел К, в котором
приложена вертикальная нагрузка Р, размещается посередине
длины горизонтально расположенного элемента правовинтового
направления. Два других балочных элемента принадлежат
семейству стержней левовинтового направления и в
недеформированной конфигурации располагаются под углом
по отношению к горизонтали. В деформированном состоянии
угол наклона этих балочных элементов оказывается равным &.
Для простоты рассуждений сразу условимся, что все
элементы являются призматическими и характеризуются
следующими жесткостями при изгибе в главных направлениях:
248
В =Е1уп Вг =EIZ. Пусть первоначальная длина трех смежных
элементов стержневой конструкции равна Zo, а расстояние от
центрального узла К до линии AD равно /0 (рис. 3.58). Малая
величина стрелы подъема /0 в свою очередь обусловливает
возможность прощелкивания узла К в направлении действующей
нагрузки для трех смежных элементов АВ, CD и EF.
Рис. 3.58 Расчетная модель к задаче
о прощелкивании стержневой конструкции
Если бы горизонтальный стержень EF был бы абсолютно
жестким и не претерпевал бы изгиба в плоскости ху, то смещение
узла К происходило бы только вдоль оси z исключительно за счет
укорочения стержней АВ и CD. В действительности же
горизонтальный стержень EF будет искривляться в плоскости ху,
поскольку он обладает в этом направлении наименьшей
жесткостью, причем наличие овального отверстия по середине
длины этого стержня делает возможным поворот стяжного болта,
249
в результате чего неизбежно появление смещений узлов В и С в
направлении оси х. Очевидно, что указанные смещения могут
возникать как за счет деформации растяжения на участке ВС, так
и в силу упомянутого изгиба стержня EF.
Примем далее, что концы горизонтального элемента EF
могут свободно поворачиваться относительно вертикальной оси и
одинаково смещаться вдоль линий, параллельных линии действия
нагрузки Р. В горизонтальном элементе EF продольные
растягивающие усилия N cos#/ cos2а вызовут удлинения на
участке ВС, в результате чего относительные перемещения узла
В в направлении оси х будут
р _ и, _ Р s ctg-Q-
1 Zo 2EF l0 sin 2a
Что касается элементов AB и CD, то от действия силы Р в
них развиваются усилия сжатия
N = —.
2 sin#
Поскольку балочные элементы АВ и CD смещены по
конструктивным соображениям относительно друг друга, притом
так, что расстояние между их осевыми линиями составляет 2s, то
горизонтальные составляющие усилий вызывают в элементе EF
изгиб в плоскости наименьшей жесткости в результате действия в
точке К изгибающего момента, величина которого
М = 2Ns cos#.
Соответствующий угол поворота в точке К
MlG
к 12В,
а относительное смещение узла В в направлении оси х
^2 = ~ = —— cos#.
Zo 6В,
В связи с тем, что длина балочных элементов
конструктивной сети покрытия сравнительно невелика, угол #
является малой величиной и в силу этого в выражениях (3.196) и
(3.197) можно в последующем принять cos#~l.
Длина стержня АВ в деформированной конфигурации
(3.196)
(3.197)
250
/=VOo +f2 ’
где u = u1 + U2-
Изменение длины рассматриваемого стержня АВ можно
определить с помощью следующего выражения:
Ы = 10
I
-i/(2sinfy-»/)-£
Здесь принято г} = —, £ = + §2, а под и> понимается прогиб
k)
в точке К.
При условии упругой работы материала стержней должно
быть
-^ = |z7(2sintf0-^M-
Lr Z
Подставляя сюда вместо и §2 их выражения согласно
(3.196) и (3.197), получаем
-Д;(1 + £ +^A|t2sin22o^ =r](2sin^0-T]\six}^0-T]). (3.198)
EF \ 6 )
Здесь = —-—, а под Az понимается гибкость сжатых
Zosina
стержней АВ и CD, имеющих сплошное поперечное сечение в
j2
виде прямоугольника с размерами b uh. При этом Л2 =12-^-.
о
На этом основании функциональная зависимость нагрузки Р
от безразмерного параметра прогиба принимает вид
Р = —EFr](2siwdQ-T]\sin&0-rf), (3.199)
CD
где со означает
I2
cd = l + £ + 2-^-£2sin22a.
b
Полученная зависимость между силой Р и безразмерным
параметром перемещения г] является нелинейной и может носить
различный характер при разных значениях cd .
251
Дифференцирование выражения (3.199) по переменной Г)
при фиксированном значении параметра о и приравнивание
производной дР / д г) нулю приводит к квадратному уравнению
вида
2 2 9
Т] - 2sin '&от] + -sin -&0 = 0.
Откуда находим
/ 7з\
ПкР= 1-— sintf0.
J /
Подставляя выражение для т]крв (3.199), имеем
(3-200)
Проследим теперь, как меняется вид характеристики
системы Р = Ф(?/)в зависимости от параметра £ при различных
значениях угла между балочными элементами и их гибкости.
Известно, что угол 2а между элементами стержневой
конструкции кружально-сетчатого свода с узлами на болтах
обычно назначается в пределах 30° < 2а < 50°. В случае
использования в качестве материала для балочных элементов
цельной древесины хвойных пород размеры их поперечного
сечения зависят от действующего сортамента пиломатериалов и,
в частности, для чистообрезных досок номинальные размеры
поперечного сечения b х h могут быть следующими: 32x125 мм,
44x175 мм, 50x225 мм, 60x250 мм, 75x275 мм. При этом величина
s будет находиться в пределах от 47 мм до 90 мм. Допуская, что
4)=10/z, устанавливаем в каких пределах будет изменяться
величина Лг. Для рассматриваемых размеров поперечного
сечения балочных элементов решетки Л2 колеблется от 127 до
156.
Используя условие равновесия системы в
недеформированной конфигурации и приравнивания осевую силу
в элементе АВ Эйлеровой силе, находим
л2
Pkp = 2EF-^sinBi). (3.201)
4
252
Сравнивая далее выражения (3.200) и (3.201) между собой,
получаем
Л* = -^7з73ш . (3.202)
sin?70
Для решетки с центрированной сеткой = 0 и w = 1. В этом
случае последнее выражение принимает вид
(3.203)
SID 17g
Если значения гибкости балочных элементов стержневой
конструкции окажутся выше того значения, которое дают
формулы (3.202) или (3.203), то следует ожидать потерю
устойчивости отдельных стержней системы, связанную с их
искривлениями. Если же Л2 < Л2, то будет иметь место явление
прощелкивания узла стержневой конструкции, причем оба
стержня АВ и CD останутся прямолинейными.
Согласно выражению (3.199) могут быть построены графики
функции Pfa) в зависимости от угла наклона балочных
элементов Д(), который может находиться в пределах от 2° до 6°.
Принимая во внимание, что безразмерный параметр £
является весьма малой величиной и что с увеличением угла 2а от
30 до 50° его значения уменьшаются с 0,07 до 0,04, можно в
последующем без большой погрешности принять а> <= 2.76.
На рис. 3.59 для случая, когда &=2°, представлены графики
зависимостей относительного перемещения т] от безразмерного
* Р12
параметра нагрузки Р =----при различных значениях гибкости
В1
Az. Из графика видно, что с уменьшением значений гибкости
балочных элементов решетки с 200 до 100 критическая нагрузка
уменьшается примерно в 4 раза. Такое резкое снижение уровня
критической нагрузки свидетельствует о высокой
чувствительности системы к изменениям значений ее
геометрических параметров и вполне реальной опасности
прощелкивания стержневой конструкции при малых углах
наклона балочных элементов АВ и CD. Вполне закономерно, что
253
с возрастанием значений угла $0 несущая способность
стержневой цилиндрического свода будет повышаться. Это
хорошо прослеживается на рис. 3.60, где приведены графики
функций Р (?]) при Az = 120 и различных значениях угла i?0.
Возвращаясь к выражению (3.200), запишем его в виде
КГ
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0.06 0.07 Т)
Рис. 3.59. Кривые равновесных состояний стержневой
конструкции при различных значениях гибкости
Рис. 3.60. Графики функциональной зависимости Р (г)) при
фиксированном значении гибкости Г =120
254
Рис. 3.61. Графики зависимости безразмерного параметра
критической нагрузки от гибкости стержней АВ и CD
Pkp = Л2 sin3 & (3,204)
кр Вг 9а> 2 и
В свою очередь приведение Pf:p в соответствии с
выражением (3.201) к безразмерной форме дает
Pkp = 2jr2sint?(), (3.205)
На рис. 3.61 представлены графики, иллюстрирующие
зависимость безразмерного параметра критической нагрузки
Ркрот гибкости Л2. Анализ кривых показывает, что при углах
наклона до 3° и реальных значениях гибкостей элементов
стержневой конструкции потеря устойчивости системы всегда
связана с прощелкиванием узлов. С увеличением угла до 6°
наблюдается значительный рост значений параметра критической
нагрузки, причем четко определяется область возможного
прощелкивания узлов сетчатой поверхности свода.
255
4. КОНСТРУКЦИЯ И РАСЧЕТ
МНОГОРЯДОВЫХ СКЛАДОК
Для перекрытия большепролетных зданий и сооружений
применяются различные пространственные системы. Одним из
вариантов таких пространственных систем являются покрытия в
форме складок.
В развитие теории складок большой вклад внесли Г. Элерс,
В.З. Власов, В. Флюгге, Е. Грюбер и X. Крамер. В настоящее
время складчатые конструкции покрытий применяются
сравнительно редко, и в современной научно-технической
литературе имеется мало данных по их конструированию и
расчету.
Складчатое покрытие представляет собой поверхность, об-
разованную системой наклонных плоских граней, жестко соеди-
ненных между собой [3, 4]. Они примыкают одна к другой под
некоторым углом по длинным сторонам, опираясь по коротким
на абсолютно жесткие в своей плоскости торцовые диафрагмы
или ребра (рис. 4.1).
Рис. 4.1. Многорядовая приз-
матическая складка
Форма поверхности
складок может быть треуголь-
ной, трапециевидной или пря-
моугольной. Чаще всего при-
меняются многорядовые
складчатые покрытия, но
встречаются и однорядовые.
По расходу материала складча-
тые конструкции уступают
другим формам пространст-
венных покрытий, но присущие им повышенная архитектурная
выразительность и относительная простота изготовления сглажи-
вают этот недостаток. Форма плана сооружений, перекрываемых
складками, может быть прямоугольного, многоугольного и кри-
волинейного очертания. В последнем случае складки располага-
ются радиально. На рис. 4.2 представлены некоторые примеры
складчатых покрытий различной конфигурации.
256
Рис. 4.2. Примеры складчатых покрытий зданий и сооружений
различного назначения:
а - купол; б - ангар в аэропорту им. Хосе Марти на Кубе; в - док-ангар для са-
молета Ту-154 в Баку
257
Склад в Апелдорне (Нидерланды) площадью 50x83 м имеет
несущую конструкцию складчатого покрытия из плоских пане-
лей, примыкающих друг к другу в виде двускатных крыт (рис.
4.3). Отдельные панели длиной 8.2м состоят из брусчатых рам,
обшитых с двух сторон листами фанеры. Жесткое на изгиб креп-
ление отдельных панелей в ендове и коньке достигается при по-
мощи петлевых шарниров [2].
Школьный зал для собраний и спортивных занятий в Велингтоне
(Великобритания) площадью 12x14м перекрыт радиально распо-
ложенной складчатой системой. Панели складок состоят из брус-
чатых рам, покрытых с двух сторон листами фанеры толщиной
10мм [2].
Рис. 4.3. Склад в Апелдорне (Нидерланды)
Конек
258
Складки могут изготовляться из древесины, армоцемента и
композитных материалов. Для повышения их поперечной жест-
кости устраиваются распорки, ребра жесткости или затяжки, ус-
танавливаемые по длине складки. Схемы складчатых покрытий
приведены на рис. 4.4.
Рис. 4.4. Схемы складчатых покрытий:
а - складки с прямоугольными гранями; б - складки с греугольными гранями; в
- формы профилей многорядовых складок; г - геометрические параметры од-
норядовой складки; д - радиальные складки
Пролет складок для конструкций обычно не превышает 20-
25м. Отношение стрелы подъема/к пролету / для складок из дре-
весины колеблется в пределах 1/2-1/9, для конструкций из
композитных материалов - до 1/15 (1/18). Угол наклона граней
259
20-45°. Ширина граней складок из древесных материалов изме-
няется от 1,8 до 6,8 м, из полимерных - до 1 м. Толщину t прини-
мают не менее (1/20-1/30)7.
Рис. 4.5. Призматические складки треугольного очертания:
а - клеештыревые соединения элементов трехслойных складок; б - складка из
клеедощатых элементов;
1-обшивка; 2-продольное ребро панели; 3-брус ендовы; 4-коньковый брус; 5-
опорный брус;
6-болтовое или клеештыревое соединение; 7-заполнитель
По конструктивному оформлению складки могут быть тон-
костенными, ребристыми или трехслойными. В первом случае
грани складок представляют собой дощатогвоздевые, дощаток-
лееные или клеефанерные балки. Ребристые складки изготавли-
ваются из балочных элементов с высотой сечения до 15 см, к
260
которым на гвоздях или на клею с одной или двух сторон крепит-
ся обшивка из листового материала или досок. Трехслойные
элементы складчатых покрытий имеют чаще всего обшивки из
стеклопластика или жесткого поливинилхлорида, а средний слой
из пенопласта. Грани складок соединяются между собой болтами,
на гвоздях, с помощью клеевых или клеештыревых соединений
(рис. 4.5).
Монтаж складок в большинстве случаев осуществляется "с
колес". Покрытие может собираться как из отдельных граней, так
и из укрупненных элементов в виде лотков. Такие части конст-
рукции грузятся на автотранспорт и доставляются прямо от заво-
да-поставщика на строительную площадку. Установка граней
производится с помощью компенсирующих траверс (рис. 4.6).
Рис. 4.6. Транспортировка лотковых элементов многорядовой
складки
261
4.1. Расчет призматических складок
по безмоментной теории
Для иллюстрации расчета складок по безмоментной теории
рассмотрим трехрядовую треугольную деревянную складку,
смежные грани которой стыкуются под прямым углом (рис. 4.7).
Основными нагрузками, действующими на складку, являются:
постоянная, снеговая и ветровая, причем последние определяют
ся по [5].
Для многорядовых складок характерны два варианта загру-
жения снеговой нагрузкой: 1) коэффициент интенсивности сне-
говой нагрузки р по всей ширине конструкции равен 1; 2) по
крайним граням ц=0,6, на других ц=1,4. Остановимся на расчете
складки, загруженной по второму варианту .
1.4
1 4
Об
о.б
Рис. 4.7. Расчетная схема трехрядовой складки без борто-
вых элементов
Все действующие на складку нагрузки представим в виде
равнодействующих сил Д и Рг, приложенных в центрах тяже-
стей граней складки. Работу каждой грани складки будем рас-
сматривать как работу балки, опертой по концам. Разложим силы
Р} и Р2 на две составляющие: нормальные и тангентальные
относительно грани складки. Тангентальные нагрузки действуют
в плоскости грани складки, вызывая в k-й грани изгибающие мо-
262
менты Мк. Усилия, возникающие в гранях складки, показаны на
рис. 4.8.
Под действием изгибающего момента Мк в к-м ребре будет
иметь место сжатие, и соответственно в ребре к-1 будут разви-
ваться растягивающие напряжения. При этом в смежных гранях,
примыкающих к ребру к, возникнут сдвигающие усилия Тк. Оп-
ределим первоначально характер распределения нормальных на-
пряжений, по высоте сечения к-й грани от действия силыТк,
приложенной в к-м ребре.
Примем поперечное сечение грани складки прямоугольным
площадью F = hb (рис.4.9). Будем считать, что напряжения о
распределяются по ширине грани равномерно.
Рис. 4.8. Внутренние усилия, возникающие в гранях складки
Одно из условий равновесия запишем в виде
1 1
- о, - Tk - —bkxok + bk (h - x)-^ok_x = 0.
Отсюда находим
(4-1)
263
Рис. 4.9. Распределение нормальных напряжений в сечении к-ой
грани
Составив уравнение моментов относительно нейтрального
слоя грани, получаем
2ма =0, -Tkx-^bkokx^x-~bkok_r(h-x-)^(h-x) = Q
или
тк = + "%)2] (4-2)
Выразим далее сгА;_1 через сгк:
h-x
°к-1=°к----- (4-3)
х
Приравнивая правые части выражений (4.1) и (4.2) и заменяя
ок_х через ок, имеем
2
х = з К (4.4)
1
°к-1=~ок. (4.5)
Тогда выражение (4.1) принимает вид
(4'6)
264
(4-7)
Полные нормальные напряжения в грани складываются из
напряжений от изгибающего момента и напряжений от сдвигаю-
щих сил. Так, например, для к-го ребра к-й грани будем иметь
к М к л^к о
Оь =-------------------- + 4 — + 2-^—к
Wi Fi Fi
г,к 1 к 1 к
Аналогично для к-го ребра грани к+1 находим
(jk+1 _ Мк+1 _ /| 7^ _ 2 7^+1
к Fk+i Fk+i
Приравнивая правые части выражений (4.7) и (4.8), получа-
(4-8)
ем уравнение трех сил, которое представим в виде
п7)-_i ( 1 1 _ 7л.1 Мк Мь.л
2~A-L + 4j — +------ +2-A±L = —L + —*±i.
Fk [Fk Fk+l) Fk+1 Wk Wk+X
Поскольку грани складки совершенно одинаковы, то
7>=7>+1=77 и Wk=Wk+1=W. Таким образом, окончательно
имеем
rt.i + 4T(+rJ+1-^-(Mt+Mt+1) (4.9)
2.W
Уравнение (4.9) запишем для каждого из семи ребер склад-
ки. В результате получим систему уравнений, которая в матрич-
ной форме примет вид
'4 1 0 0 О' Л • 'М} + М 2 '
1 4 1 0 0 т2 F Л/^2 + , (4.10)
0 4 4 1 0 X 7’3 ~ 2W М3 + М д
0 0 1 4 1 7’4 м4+м5
0 0 0 1 4 т5 м5+м6
или
Для отыскания неизвестных сдвигающих сил нужно сначала
найти обратную матрицу [а-1], которая запишется следующим
образом:
265
’209 -56 15 -4 1
г 1 л -56 224 -60 16 -4
А-1]= — 15 -60 225 -60 15
L J 780 -4 16 -60 224 -56
1 -4 15 -56 209
Затем определим искомый вектор-столбец сдвигающих сил:
К т2 1 ’209 -56 -56 224 15 -60 -4 16 1 -4 F 'Мг М2 +м2 +м3
Т3 15 -60 225 -60 15 х Ма +м4
т4 Т5. ” 780 -4 1 16 -4 -60 15 224 -56 -56 209 2W м4 м5 +м5 +м6
В обычной форме записи имеем
Т1 =iW^20W1 +153W2 ~4Жз +11Л/4 -зл/5
Т2 =—(-56Л/, +168И2 + 164ЛД -44Л7д +12ЛД -4МД
156017 1 2 3 4 5 6/’
Т3 =^^(15М1 “45М2 + 165М3 +165Л/4 -45М5 +15МJ
Т4 =——(-4^ + 12М2 -44ЛД +164Л/4 + 168VS -56Л/Д
1560VT 123 4 5 6Л
Т5--——(м. -ЗМ2 + 1Ш3 - 41М4 + 1531Д + 20ШЛ
5 156017 1 2 3 4 5 6/
(4.11)
Далее на основании выражения (4.8) получаем
ао = Ч^7(57Ш1 -153М2 + 4Ш3 -1Ш4 + ЗМ5 -М6) (4.12)
/oUlV
Поступая аналогичным образом, находим нормальные
напряжения в остальных ребрах складки:
266
1
Q1 = 39017 (“18Ш1 + 153M2 - 41М3 + 1Ш4 - 3M5 + M6),
(4-13)
°2 = 785W (97M1" 291M2 + 287Мз ~™4 + 2Ш5 " 7Мб^
(4.14)
cr3 = ^^(-26^! + 78M2 - 286M3 + 286Л7 4 - 78M5 + 26M6),
(4-15)
ct4 = —~(7M] - 21M2 + 77M3 - 287M4 + 291M5 - 97 M6),
(4-16)
°5 = "90-+ 3M2 ”1Шз + 4Шд " 153М* + 181Afб)>
(4-17)
a6 = ~8q--(Mi - 3M2 + 1W3 - 41M4 + 153M5 - 571M6).
(4-18)
В поперечном сечении складка представляет собой нераз-
резную балку, опоры которой расположены на разных уровнях
(рис.4.10).
Поскольку каждая из двух балок основной системы под дей-
ствием внешней нагрузки Pt в пролете L и концевых моментов
Mi деформируется независимо одна от другой, то торцы двух
смежных балок, примыкающих слева и справа к одной опоре, мо-
гут поворачиваться на некоторый угол в' и е". Из условия нераз-
рывности деформаций взаимный угол поворота должен быть ра-
вен нулю, следовательно,
0' + 0" = 0 или 0’ = -0". (4.19)
При раскрытии условия (4.19) достаточно рассмотреть два
пролета, примыкающие к опоре В. Угол поворота сечения на
опоре В складывается из суммы углов поворота сечений от узло-
вых моментов и угла поворота сечения, вызванного внешней
нагрузкой Т’. Иначе говоря, условие (4.19) можно записать так:
267
I I I fl If If
®A + ®B + ®P = “($C + ®B +®P )• (4.20)
Puc. 4.10. Расчетная схема балки
Здесь для пролета АВ
д ' _ ^А^А д ' _ В^Л д ' _ Р1^А
А 6EJa ’ В 3EJA ’ Р 16EJA
(4-21)
Аналогично для пролета ВС
в " = ^В_д" _ McLe д " = W1
в 3EJA с 6EJ в р 16EJb
(4.22)
Подставив найденные значения в (4.20) получим, имея в ви-
ду, что для всех граней складки
EJ = const,JA =Jb,La = LB = Д = const,
L
6EJ
Окончательно уравнение трех моментов будет иметь вид
МА +4МВ +МС = -6^(Pl + P2). (4.23)
16
PJ
Ma+2Mb+6-^4
A B 16
L
6EJ
Mc + 2MB + 6^1
C B 16 )
268
Учитывая, что МА = MG =0, запишем аналогичные урав-
нения для всех узловых точек:
4МВ +МС = -6—(Р1 + Р2),
16
Мв + 4МС +MD = -12—Р2,
10
Mc + 4Md+Me=-12±-P2,
1о
М Е + 4Л/ £ + М р = -12—Р2,
16
МЕ +4Mf = -6—(Д+Р2).
1о
При ЭТОМ Рг = Р(,,Р2 = Т’з = Тд = /5.
То же самое представим в матричной форме:
’4 1 0 0 О’ 'Мв Р\ + Р2
14 10 0 мс 2Р2
3г
0 14 10 X = --£ R 2Р2
0 0 14 1 0 2Р2
0 0 0 1 4 MF ^2 + Р2
Эта матрица коэффициентов идентична матрице в выраже-
нии (4.10), поэтому сразу же можно записать
Мв ’209 -56 15 -4 1 ’ Р1^Р2
Мс -56 224 -60 16 -4 2Р2
1 ( з\
MD 15 -60 225 -60 15 --U 2Р2
"780 \ 8/
МЕ -4 16 -60 224 -56 2Р2
MF 1 -4 15 -56 209 Л+^2
269
Отсюда определяем искомые узловые моменты:
’2Й0(21°/'+124Р2)’
Мс-Щ--^-(-6Р,+ЗОР2),
ZUo
Мо=-2Й(ЗР‘ + 24Р2)'
(4.24)
Далее находим интенсивности поперечных сил qt, дейст-
вующих в гранях складки
л/2
й-«б--^(159^+37^2),
ZUo
1 л/2
«2 - «5 - - v,E ; ,1ИР1 + 318R),
ZUo Z
1 V2
q3=q4-~—(101P.-^0P2).
ZUo z
(4-25)
На основании выражения (4.25) имеем:
м, = -М„ - -/2-2^(159^ +37Р2),
о* ZUo
м2 - -м5 - +318Р2),
-«:< ~Mi " /216^8(101P1 -440Р2)-
(4.26)
Подставив теперь найденные выражения для узловых
моментов в формулы (4.12)-(4.18), находим
270
1 9 л/2
сг0 =------/2—(63837? +3588Р2),
и 780W 104 1
1 О л/2
о,-----— /2 —(209177? +21489Р2),
1 780W 416 1
1 О л/2
о7 ----—/2 —(145997? + 667687л),
780W 832
1 9 л/2
о. = —— I2 -——(-25487? + 762847л).
3 780W 832v 1 2
(4-27)
Очевидно, что сг4 = и2,о5 = о2,о6 = о0 .
Далее выполняется подбор сечений граней складки, исходя
из их расчета по несущей способности из условия прочности.
Практика расчетов показала, что максимальные напряжения воз-
никают в крайних гранях, в то время как в остальных гранях на-
пряжения оказываются незначительными.
4.2. Расчет складок методом конечных полос
Описанный выше метод расчета, как и большинство анали-
тических методов, не дает возможности полностью учесть важ-
ную особенность конструкции многорядовой складки, заклю-
чающуюся в том, что между ее смежными гранями могут появ-
ляться ромбовидные элементы. Эти элементы имеют перегиб
вдоль короткой диагонали и представляют собой результат пере-
сечения под прямым углом поверхностей более пологой одноря-
довой складки с основной многорядовой конструкцией. Каждый
из ромбовидных элементов состоит из двух плоских треугольных
граней, суживающихся по мере удаления от середины пролета к
линиям опорного контура. Такие клиновидные включения в фор-
ме ромбовидных элементов называются дисклинациями (рис.
4.11).
271
Рис. 4.11. Многорядовая призматическая складка
с дисклинациями
Рассматриваемый полуаналитический подход к расчету кон-
струкции многорядовой однопролетной складки базируется на
применении метода конечных полос (МКП). Процедурой расчета
складок предусматривается разбивка граней на узкие полосы, ко-
торые, в свою очередь, представляются в виде совокупности от-
дельных конечных элементов. Такое разбиение дает возможность
рассчитывать складчатые конструкции с ортогональным распо-
ложением одно- и многорядовой складок, учитывать влияние
дисклинаций, подкрепляющих ребер, а также других технологи-
ческих особенностей на работу многорядовой складки.
Ввиду того что конечная полоса имеет длину I и состоит из п
прямоугольных элементов, начало координат целесообразно раз-
местить на расстоянии kJ от стороны 1-2 произвольно выбранно-
го элемента полосы и на расстоянии k2l от стороны 3-4 (рис.
4.12). Ширину элемента и, соответственно, полосы будем считать
равной Ъ.
Для описания поведения элемента конечной полосы, находя-
щегося в плоском напряженном состоянии, примем поле пере-
мещений в виде
и =v(y)p(x)cosf^y (4.28)
272
(4.29)
Рис. 4.12. Конечный элемент полосы и его узловые перемещения
Перемещения угловых точек прямоугольного элемента в на-
правлении осей х и у зададим матрицей следующего вида
(4.30)
Вводя безразмерные координаты ^=х// и т]=2у/Ь, представим
перемещения и и v в виде:
и] пД 0 а21\
v 0 щЬ3 О
О 0 а2Ь2 О
а2Ь3 О Я1&4 0 а2Ь4
{4
(4-31)
273
Здесь а1 = (1-г/)/2; а2 = (1 + т])/2,
t\ = ——— cos(wr£j); b2 = ———cos(wr$)
Л2 ~ к] k2- k^
(4.32)
b3 = ———sin(wi£); b4 = ———sin(wi§).
/c2 ~k] k2-
При описании поведения элемента конечной полосы, испы-
тывающего изгиб, для перемещений в направлении оси z будем
иметь
w = • (4 33)
Введем вектор линейных перемещений угловых точек эле-
мента в направлении оси z и соответствующих поворотов
в = дю/ду.
Р = ^И’20|И?202И;3в3И?404
(4-34)
При шарнирном опирании однопролетной многорядовой
складки для каждой из ее граней должны выполняться следую-
щие условия: при х=0 и x=l w = д 2 и/дх2 = 0. Поскольку <р(у) не
, / \ . (плх \
зависит от х, рассмотрим выражение 0(x)sml—I отдельно.
Вторая производная от этого выражения
->2 /т.2 ,»/ \ • плх\ Jnx\,l( \ плх\ пл\ ,/ \ . плх\
д и/дх =ф (x)sin! -у-1 + 21 — I0(x)cosi -j— l-l — I 0(x)sini— I
(4.35)
Первое и третье слагаемые в (4.35) при х=0 и х=/ равны нулю,
поэтому необходимо обеспечить равенство нулю второго слагае-
мого в последнем выражении. Это оказывается возможным, если
принять ф(х)=ох(/-х), где а- некоторая произвольная постоянная.
В результате интегрирования находим
ф(х) = Jax(l - х)±к = a[lx2]1 - х3/з + С ). (4.36)
274
Первоначально подчиним функцию ф(х) условию, чтобы по-
следняя при х = кА1 равнялась единице, а при х=кг1 обращалась
в нуль. Другими словами, имеем
0^/) = а(^273/2 - ^3/3/з + с)= 1,
ф(к21) = с(^/3/2-^/3/з + с)= 0. (4.37)
Поскольку <2*0,
С = к%131з-к$13/2, и а = б//3[2^ - kf)- з(л22 - к} )]. В ре-
зультате подстановки а и С в выражение (4.37) при х = kJ по-
следнее перепишется следующим образом:
)-з(*22-£2)
)^3^2-Л12)'
0(^10 =
2\kl-tf
Полагая теперь ф(кА1)= 0, а ф(к21)= 1, находим
eb(k /) cn Jun 1 CO . -AC 01 jjji 1 <N_ co 1
2| a; 1 1 w " ЗГ- to ЬЭ 1 ?T- ^to
Что касается функции <р(у), то ее выберем в виде
ф(у)=Уо + У1 + У2У2+УзЛ
(4.38)
(4-39)
(4.40)
где у0, у15 у2 и Уз определяются из условий в угловых точках
конечного элемента полосы.
Таким образом, поле перемещений в матричной форме запи-
шем
W1 _ Sifi
0] °
где
0 й/з 0 S2fl 0 ^2/3 0
S1/2 0 Sih 0 £2/2 0 S2/4
(4.41)
{ph
275
2H-g3)~3H-g2
2
1 f о . о lsln
1-3^-Jtf)
2^3-g3)-3(^2-g
g2 Zfe-*!3
.2
---vi--±_
\-3\k%-kf
(4.42)
a"2fe-t3
/1 = (2-3zj+t]3)/4,
fl =ь(1-77-Г72+»73Х
/з=(2+3??-vX
/4 = b(-l-// + 7}2 4- ??3 )/8.
(4-43)
Матрица жесткости элемента конечной полосы, находящего-
ся в плоском напряженном состоянии, определяется выражением
[1]
^(е) hbl^ Т
К£' =-- Г Гв7 DIW,
2 VI
где матрица физических констант имеет вид
D =
Ех Е
Е Еу
О О
(4.44)
(4-45)
О
О
G
Под Ех, Еу и Е понимаются следующие выражения
Ех = £ = £2 , Е — u^j E .
Длз В = М12М21 I матрицы В имеем 0 «2^1 0 а^2 0 0 qfe, 0 ^12^21 0 qb4 ^^2 0 0 с2^4 И- (4.46)
здесь с1^1 с1^3 с2^1 с2^3 ^2 q = даг/ду = -1/Ь, с2 = да2/ду = 1/Ь; q^4 с2^2 c2rf4 (4-47)
276
db\ cos(njtf; ) пл(к2 - % )sin(n7T§)
дх {к2—к3У (^2“^1У
db2 cos(/rzr§) пл(^ - к} )sin(wr£)
<9х (к2 -к^У (к2 ~кгУ
db3 sin(wr£) пл(к2 -£)cos(njr£)
дх (к2 -кгУ (к2 -к3У
db4 _ sin(«jr^) шг(£ - A^cos^z/r^)
дх {к2~к\^ ^2~к\У
(4.48)
После выполнения интегрирования согласно выражения
(4.44) элементы матрицы жесткости принимают численный вид.
Поскольку перемещения каждой угловой точки описываются че-
тырьмя компонентами, общая матрица жесткости имеет шестна-
дцатый порядок и ее удобно записать в виде суммы двух слагае-
мых, учитывающих порознь нормальные и касательные напря-
жения:
К^-К^ + К^. (4.49)
Ввиду громоздкости записи в общем виде выражений для
коэффициентов матриц и ограничимся построением
этих двух матриц для элемента конечной полосы применительно
к решению задачи о расчете многорядовой призматической
складки в первом приближении, положив п-1, к^=0 и Л2=1- При
этом для элемента, находящегося в плоском напряженном со-
стоянии, имеем
К«.
hEx Аи
ТЪт2Ы А12
А12
Ац
(4.50)
В свою очередь, подматрицы А и Aj2 получают вид
2лг2&2(9 + 2лг2)
6лг3ц12Ь/
- 6s/2(3-Л2)
Симметрично
лг2Ь2(9+л:2) -6тг3ц12Ы
6лг3н12Ь/ б5/2(з-2лг2)
2л2Ь2[9 + 2л2) - 6л3 ц32Ь1
-6л/2(з-2лг2)
(4.51
277
a12-
-2л2Ь2(9-тг2)
3^р.12Ь1
-я2Ь2(18-я2)
-Зл^Ь/
&/2(з+я2)
Зтг3
-6sZ2(3-^)
-я2Ь2(18-лг2)
Зл^^12Ь/
-2т2Ь2(9-я2)
-Зл^ц12Ь/
-Злг^зЬ/
б5/2(з+лг2)
-Зл^ЦрЬ/
6з/2(з+я2)
(4.52)
Здесь принято s=E2/E1.
Для К аналогично получаем
к(т) = hG ВП В12
Р 72л2 F В12 Bjj
Подматрицы В и В принимают вид
’ 6/2(з+2я2) -6тг3Ы -6/2(з+тг2)
2л2Ь2[з+2л2) 6л3Ы
h,= б/2(з+^2)
Симметрично
(4.53)
-6л3Ы
лг2Ь2(з+2лг2)
l&r’bl
2л2Ь2(з+2л:2\
’ -6/2(з + 2лг2)
-Зл^/
-6л3Ы
-2л2Ь2(з-л2)
Зл3Ы
-тг^З-я2)
-6/2(з+я2)
З^Ы
-6/2(з-тг2)
ЗгтЫ
(4-54)
-6тг3Ы
З^Ы
-2л2Ь2(з-л2)
(4-55)
Рассмотренная модификация метода конечных полос была
использована при расчете четырехрядового складчатого покры-
тия (рис. 4.13,а). При этом рассматривались два варианта покры-
тия - без дисклинаций (ендов) и с ними. Грани складок выполне-
ны из четырех слоев досок толщиной 32 мм и подкреплены реб-
рами из клееной древесины сечением 175x350 мм. Работа покры-
тия исследовалась под равномерно распределенной нагрузкой в
1кПа.
278
Рис. 4.13. К расчету четырехрядового складчатого покрытия',
а - схема покрытия; б - вертикальные перемещения средней линии склад-
ки (отрезок А-В)
Симметрия конструкции и нагрузки дала возможность огра-
ничиться рассмотрением четверти покрытия. Общее количество
конечных элементов, на которое разбивалась складка, составило
645. На рис. 4.13,6 представлены вертикальные перемещения
средней линии складчатого покрытия в сантиметрах. При этом
сплошной линией показаны перемещения обычной складки, а
пунктирной - складки с ендовами. Очевидно, что дисклинации
оказывают влияние на жесткость всего покрытия в целом и не
учитывать их при расчетах складчатых конструкций было бы не-
правомерным.
279
5. ДЕРЕВЯННЫЕ КОНСТРУКЦИИ
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
5.1. Общие положения
Тонкостенные оболочки в форме однополостного гипербо-
лоида вращения находят широкое применение в строительстве в
связи с их бесспорными функциональными достоинствами, а
также благодаря возможностям получения разнообразных конст-
руктивных решений, которые отчетливо прослеживаются на
примерах сооружений типа водонапорных башен, градирен и
пространственных покрытий зданий различного назначения.
Развитие теории гиперболических оболочек условно можно
разделить на три этапа. Первый этап, охватывающий период
приблизительно до 1954 года, характеризуется развитием безмо-
ментной теории гиперболических оболочек и связан с работами
R. Rabich [20] и В. Флюгге [12]. Этот этап завершился разработ-
кой безмоментной теории гипаров, получением основных рас-
четных зависимостей и первыми попытками качественной оцен-
ки несущей способности оболочек отрицательной кривизны.
Серьезным вкладом в развитие теории гиперболических
оболочек на втором этапе явились работы В 3. Власова [4], В.В.
Новожилова [7], Н.В. Колкунова [5], С.А. Тимашева [10], Н.
Dudeck [14], [15], A. Beles и М. Soare [13], Р. Gould и S. Lee [17],
[18], благодаря которым была создана моментная теория оболо-
чек вращения и, в частности, оболочек в форме гиперболическо-
го параболоида.
Третий этап начинается примерно с 1965 года и для него ха-
рактерным является появление работ, посвященных анализу су-
ществования безмоментного напряженного состояния оболочек,
выявлению противоречивости безмоментной теории и ее разгра-
ничению по отношению к моментной теории.
Важнейшими результатами работ этого периода являются
достижения в решении проблем безмоментной и моментной тео-
рии оболочек с привлечением для их расчета современных вы-
280
числительных средств и программных продуктов, позволяю-
щих
оценить особенности поведения гиперболических оболочек при
краевых воздействиях в тангенциальном направлении. Из боль-
шого числа исследований, выполненных на последнем этапе, за-
служивают внимания работы W. Kratzig [19], Н. Tottenham [21],
К. Weigmann, К. Heyde и F Rothe [22].
Необходимо далее выделить ряд работ отечественных уче-
ных, которые посвящены решению различных задач теории ги-
перболических оболочек. Сюда прежде всего относятся работы
Н.П. Абовского и И.И. Самольянова [1], [2], И.Е. Милейковского
и А.К. Купар [6], Ю.В. Чиненкова [11], В.В. Стоянова, Ю.В. Куп-
ченко и Н.И. Узун [8], [9]. При этом нельзя не отметить, что не-
смотря на широкое распространение гиперболических оболочек,
исследований по дощатоклееным и клеефанерным конструкциям
гипаров сравнительно мало и поэтому в настоящей работе пред-
принимается попытка в какой-то мере заполнить имеющийся
пробел в теории расчета таких пространственных систем.
5.2. Геометрия гиперболического параболоида
В прямоугольной системе координат поверхность второго
порядка описывается уравнением
f(x, у, z) = Ах2 + А 'у 2 + A"z2 + 2Byz + 2B'zx + 2В’ху +
+ 2Сх + 2С 'у + 2C"z + D = 0.
Форма поверхности будет изменяться с изменением значе-
ний коэффициентов. В рассматриваемом случае уравнение (5.1)
должно быть модифицировано таким образом, чтобы оно описы-
вало поверхность параболоида. Для упрощения записи квадра-
тичную форму в (5.1) обозначим так:
<р(х, у, z) = Ах2 + А'у2 + A" z2 + 2Byz +2B'zx+ 2В"ху.
Поворотом осей координат коэффициенты с членами yz, zx и
ху могут стать равными нулю. При этом квадратичная форма уп-
рощается и принимает вид:
281
ср (x,y,z)= Sxx2 + S2y2 + S3z2.
Между новыми координатами x,y,z и старыми координа-
тами х, у, z существует следующая зависимость
2 2 2 —2 —2 —2
X +у + Z =Х +у + Z .
В аналитической геометрии доказывается, что коэффициен-
ты S1,S2 и S3 являются корнями уравнения:
A-S В" В'
AS = В" A'-S в = 0,
В' В A"-S
откуда получаем
S3-(A + A' + A")S2+(AA' + A'A" + A"A-B2-B'2-B"2)S-
-<5 = 0. (5.2)
Здесь д означает:
А В" в'
<5 = В" А' в
В' В А"
Положение новых осей координат определяется следующи-
ми уравнениями:
Ось 0%: —-2S,x=0, дх Ось О?: —-25’2х = 0, дх ОсьОг: —-2S3x = 0, дх -251У = 0, -2S1Z=0; ду dz —-2 52у = 0, —-2S2z = 0; ду dz ^-253у = 0, ^-2S3z = 0. ду dz
Уравнение поверхности второго порядка при этом принима-
ет вид:
Srx2 + S2y2 + S3z2 + 2СгХ + 2С[у + 2С;? + Dr = 0. (5.3)
282
Интересным является случай, при котором 5 =51525'з =0.
Из уравнения (5.2) следует, что тогда один из корней, например
S3, равняется нулю. Это означает, что центр поверхности второго
порядка лежит в бесконечности или является неопределенным. В
этом случае уравнение (5.3) может быть записано в виде:
Si(x + <i)2 + S2(y + ^-)2 + 2С" z + —(Рг -
IV e > 2VX c ) 2C,,\ 1
^2
1 ) = 0. (5.4)
с /^С1л2
-V - S2
В предположении, что q"y= 0, возможен перенос осей коор-
динат
- Q , с{ , 1 q2 q2
х =X + -l,y = у + -1 -z =z + — (q--A---E).
При этом уравнение (5.4) получает вид:
(5-6)
S1x,2+S2y'2 = 2C[z'. (5.5)
Другими словами, получается уравнение параболоида. Так
как х',у' и z представляют собой длины отрезков, то уравнение
(5.5) может быть также записано относительно новых перемен-
ных х, у и z следующим образом:
г 2 t 2
z = —x +— у .
2 2
Здесь г и t являются постоянными.
Для случая rt >0 поверхность является эллиптическим пара-
болоидом, а при rt <0 соответственно гиперболическим парабо-
лоидом.
Общее уравнение поверхности параболоида в форме (5.1)
зависит от восьми параметров, если учитывается условие 5=0.
Следовательно, эллиптический или гиперболический параболоид
может быть описан с помощью восьми параметров. Если же по-
верхность выражается в канонической форме (5.6), то для опре-
деления коэффициентов г и t достаточно располагать двумя усло-
виями.
Одной из наиболее интересных несущих поверхностей, об-
ладающих преимуществами в статическом отношении, являются
283
гиперболические оболочки (гипары), выполняемые из традици-
онных строительных материалов. Они представляют собой фор-
му поверхности отрицательной гауссовой кривизны, которая об-
ладает высокой несущей способностью. Это имеет решающее
значение как в отношении равнопрочности, поскольку при рав-
номерно распределенной поверхностной нагрузке в оболочке
возникают приблизительно равномерные напряжения, так и в от-
ношении ее устойчивости. Особое место среди оболочечных кон-
струкций покрытий занимают гиперболические оболочки над
квадратным планом (рис. 5.1). Они хорошо обозримы со всех
сторон и дают возможность, кроме создания отдельных предста-
вительных сооружений, перекрывать большие площади, напри-
мер, в зданиях промышленного назначения. Специфическим
свойством их геометрии являются прямолинейные образующие,
проекции которых на горизонтальную плоскость оказываются
параллельными линиям контура. Этим обстоятельством обуслов-
лены их технические достоинства по сравнению с оболочками
положительной гауссовой кривизны.
Рассмотрим теперь частные случаи уравнения поверхности
гиперболического параболоида в зависимости от очертания обо-
лочки и выбранной системы координат. Эти сведения всякий раз
оказываются необходимыми как для выполнения процедуры рас-
чета, так и для конструирования поверхности.
Рис. 5.1. Гиперболическая оболочка над квадратным
планом
1 - бортовой элемент; 2 - прямолинейные образующие; 3 - диа-
гональные коивые
284
На рис. 5.2 показаны многообразные комбинационные возмож-
ности различных сочетаний гиперболических параболоидов. В
комбинированных покрытиях могут быть реализованы два вари-
анта поверхности гипара. В первом случае используется в каче-
стве структурного элемента поверхности гиперболический пара-
болоид в его нулевом положении (рис. 5.3,а), когда его края рас-
положены вдоль прямолинейных образующих. Во втором случае
(рис. 5.3,6) таким структурным элементом является гипар в его
нормальном положении.
Рис. 5.2. Примеры оболочечных покрытий, образованных
из гиперболических параболоидов
285
Рис. 5.3. Структурный элемент в форме гипара:
а - в нулевом положении; б - в нормальном положении
Если начало координат помещается в угловой точке, как по-
казано на рис. 5.3,а, то уравнение поверхности такого параболои-
да принимает вид:
ху 1 а2/
z =—, где к=“ / 9 .
к /с2
Стрела подъема в противоположной точке может быть по-
ложительной или отрицательной.
286
Величина — является кривизной кручения ------- поверхно-
к дхду
сти, и показывает, на какой угол поворачивается прямая обра-
зующая, если ее переместить параллельно самой себе на единицу
длины.
Нормальное положение гипара характеризуется двойной
симметрией относительно диагонали. В соответствии с рис. 5.3,6
оказывается, что:
Рис. 5.4. Меридиональная образующая гиперболоида вращения
Примем далее, как показано на рис. 5.4, за ось х ось враще-
ния гиперболической оболочки, а за ось у прямую, проходящую
через две данные точки Е,и F2. Пусть расстояние F}F2=2d, а
расстояния точки Р гиперболы от точек Fx и F2 пусть будут т\ и
г2. Поскольку по определению гипербола есть геометрическое
место точек, у которых разность расстояний от точек F} и F2 до
точки Р постоянна, то пусть гг - г2 = 2а, причем 2а< 2d.
Если координаты точки Р будут х и у то, как видно из рис.
5.4:
Г± = X1 +(у+ J)2;
287
r? = x2+(y-d)2.
Возведение в квадрат разности 7j - г2 дает
2 2 2
ri +r2 ~^а =^rir2- Если это выражение еще раз возведем в
квадрат, то получается:
(гх2 + г22)2 -8п2(Г]2 + г22) + 16й4 = 4Г12г22.
Откуда непосредственно следует:
(г2 -г22)2 -8а2(Г12 +г22) +16а4 =0.
Если же учесть, что г^ч-^2 = 2(х2 + у2 + d2),
г2 - г22 = 4б/у, то можно записать
2/ 2 j2\ 22 2/2 .2ч
у (a -d ) + а х = a (a -d ).
Вводя обозначения а2 - d2 = -Ъ2, имеем
2 2
2L_^ = 1.
а2 Ь2
Уравнение (5.7) является уравнением гиперболы, имеющей
в качестве действительной оси ось у, а начало координат в сере-
дине отрезка ДА2. В цилиндрической системе координатами
точки Р будут у=г0 и х.Тогда уравнение меридиональной кривой
запишется так:
(5-7)
(5-8)
г° ь
г2 X2
г0__х i
а2 Ь2 ‘
Из уравнения (5.8) находим радиус горизонтального круга
(5-9)
Рассмотрим элемент дуги меридиональной кривой, выде-
ленный двумя параллельными плоскостями, отстоящими одна от
другой на бесконечно малое расстояние dx (рис. 5.5). При этом
очевидно что:
дх
— = ^sin^;
dip Y
дг
---= Гц, cosib-
dip V
Поэтому
дх b ylb2 4
tamp = — =---------
дг а х
.2
(5.10)
288
Введя безразмерный параметр кривизны а = предста-
ъ2
вим цилиндрические координаты оболочки х и г в параметриче-
ской форме х = х(гр) и г0 = г(ф).
При этом на основании выражения (5.10) должно быть:
b2 I .
х = — -----------, (5.11)
о \ a tan гр -1
Го-а1 а , (5-12)
у «-cot гр
Рис. 5 5. Элемент дуги меридиональной кривой
Что касается радиуса кривизны , то для его определения
можно воспользоваться следующим уравнением:
л-0
Радиус кривизны меридиана в параметрическом представ-
лении запишется в виде:
289
=-а
а
(ot sin2?/; - cos2?p)3
(5-14)
5.3. Основные уравнения
напряженно-деформированного состояния
гиперболической оболочки
5.3.1. Уравнения равновесия оболочки
в сферических координатах
Рассмотрим равновесие элемента оболочки вращения, выде-
ленного на её поверхности и показанного на рис. 5. 6. Интенсив-
ность внешней поверхностной нагрузки удобно представить тре-
мя компонентами X, Y и Z, причем X и Y считаются положитель-
ными в направлениях касательных к меридиану и кругу паралле-
ли, a Z - по направлению внутренней нормали.
Рис. 5.6. Координаты оболочки вращения
произвольной формы
290
При составлении уравнения равновесия в направлении каса-
тельной к меридиану меридиональные усилия , действующие
по граням элемента оболочки (рис. 5.7), дают составляющую
dNw дгп
-N^dcp + ^N^ + ~-dip)(r0 +-^-дгр)дср .
т * dip dip
Пренебрегая здесь малыми величинами более высокого по-
рядка малости, имеем (N^r^'dipdcp. Кольцевые усилия, прило-
женные на гранях ср и ср + дер элемента, дают равнодействую-
щую, направленную к оси вращения в плоскости круга паралле-
ли, величина которой получается равной N^dcpdip. В направ-
лении касательной к меридиану составляющая от кольцевых уси-
лий будет равна
- N(fy cosipdcpdip.
Сдвигающие усилия , действующие также по этим двум
граням, дают результирующую N^dipd^. Знаки (...)' и (...)’
здесь соответственно означают производные по переменным ip и
ср. К вышеупомянутым усилиям добавляется ещё составляющая
от перерезывающих сил Q^dcpdip.
Рис. 5.7. Усилия в сечениях оболочки вращения
Если просуммировать все составляющие и учесть, что на
элемент оболочки в направлении касательной к меридиану дей-
ствует часть нагрузки Xrodcpdip , то после сокращения на dcpdip ,
окончательно получим уравнение равновесия всех сил в направ-
лении, касательной к меридиану:
291
(^,r0)' - W + + <2?;,r0 + Хгог^ = 0. (5.15)
Поступая аналогичным образом, получаем два других урав-
нения равновесия в направлениях касательной к кругу параллели
и внутренней нормали. Эти уравнения принимают вид:
Nfy + (A^/g)' + C0S7P + Qqfy simp + Yror^ = 0, (5.16)
+ N<pTip SW -Qfy - (Q^roy + Zror^ = 0. (5.17)
Спроектировав на направления x и у, векторы изгибающих и
крутящих моментов и приняв во внимание, что перерезывающие
силы^ и Qv, действующие на противоположных гранях эле-
мента оболочки, создают пары сил - (Q^r^dip^dip и
, приходим к следующим двум уравнениям равно-
весия для моментов
+ (M^roy + cosip + = 0, (5.18)
-(МуГоУ +Mfy cosip-М'^Гц-Q^ror^ =0. (5.19)
Что касается уравнения равновесия усилий в направлении
нормали к срединной поверхности оболочки, то оно принимает
вид:
M^r^sinxp-M^ro+ ^ror^ =0 • (5-20)
Уравнения (5.15)-(5.20), полученные для оболочки враще-
ния произвольной формы, в частном случае гиперболической
оболочки на основании соотношений (5.12) и (5.14) перепишутся
так:
-Ny sin3 ip(a- cot2 ip) + Ny cosip - N^coscp + N*-
-(?^sin ?p(a-cot ip} + Xa
J a
a - cot2ip
= 0,
(5.21)
292
N'v ~ N'w sin3(a - cot2 7/;) + N^ cosip + cosip + Qv simp +
+ Ya
J a
a-cot2гр
0,
(5.22)
-Ng, sin3 гр (a-cot2 ip) +Ng, simp +Q^ sin3 гр (a - cot2 гр) -
I---a--- (5-23)
-Qg,cosip-Q +Za \------— = 0,
\a-cot гр
sin3 гр(а - cot2 гр) + Mcosip + M^, cosip +
_ r~a— . <5-24)
«-cot2?/;
M'g, sin3 гр (a-cot2 гр)-Mg, cosip + Mg, cosip -
Qty
J a
a-cot2гр
= 0,
(5.25)
Mg, sin3гр(а - cot2 гр) + M^, simp + (Ng^ -Ng,. )a -= 0.
\ a - cot гр
(5.26)
Из уравнений равновесия общей теории оболочки могут
быть получены уравнения безмоментной теории. Пренебрегая
ввиду малости изгибающими и крутящими моментами в уравне-
ниях (5.21)-(5.26) и отбрасывая на этом основании перерезываю-
щие силы, придем к следующей системе дифференциальных
уравнений:
- Ng, sin3 гр(а - cot2гр) + Ng, cosip - Ng, cosip + N^g, +
cc
+ Na --------— = 0,
\a-cot гр
(5-27)
293
Ny - sin37p(a - cot2?p) + cosip + cosip +
+ Yal— - - - = 0,
у a-cot ip
(5-28)
- N^p sin3 ip (a-cot2 ip) + sinip+Za I--—• = 0. (5.29)
\a — cot2 ip
Последнее уравнение применяется для исключения кольце-
вых усилий
N„ = AL, sinz^(a-cot2Tp)-Z------ ------—.
sin^p \ а - cot2?p
Таким образом, число уравнений равновесия сокращается до
двух:
-Ny sin3 ip (a- cot2 ip) + cosip-sin2ipcosip(a-cot2ip) +
I---a----- (5-3°)
+ + (Z cotip + X)a ---— = 0...
\a- cot ip
Nq sin2 ip (a-cot2 sin3ip(a-cot2ip) + 2Nw cosip +
Z’ |-----a----- (5-31)
(У—------------2------°-
simp ya-coi'ip
Допустим, что на оболочку действует нагрузка, симметрич-
ная относительно оси вращения (ось л). К такому виду нагрузок
относится собственный вес оболочки. В этом случае все произ-
водные по ср в уравнениях равновесия обращаются в нуль, так
как нагрузки и компоненты внутренних усилий не изменяются в
круговом направлении. Кроме того, отсутствуют сдвигающие
усилия и N^. Таким образом, в случае осесимметричной
нагрузки из уравнения (5.15) имеем
294
-----cosip + rorvX = 0. (5.32)
При этом уравнение (5.16) при отсутствии скручивающих
сил Y тождественно удовлетворяется, а из уравнения (5.17) нахо-
дим
=-----(ror^Z + ). (5.33)
simp т
Подстановка дает
d(r(]Nw')
—+ NqrQ cotip + (Z cotip + X}rQr^ = 0. (5.34)
Если учесть, что
d ,кт . . d(NvrG)
—(NVro smip)-------—simp + cosip,
dip 4 dip
то умножая уравнение (5.34) на simp, получаем
simp = -j^Zcosip + Xsinip)ror^dip + C. (5.35)
Подставляя сюда компоненты внешней нагрузки X = gsinip
и Z = g cosip , имеем
=----7— (gf rorv dip+C). (5.36)
rosimp J
Подынтегральное выражение в формуле (5.36) может быть
записано следующим образом
rQru,dip = —Jb2 + (l + a)x2dx.
v b
тт 1
Что касается выражения---------, то его можно представить
r0 simp
в виде
1 b -\]b2 + (1 + а)х2
rosin^ а Ь2 + х2
Выполнив подстановку этих выражений в формулу (5.36),
будем иметь
--^г V1'1’; )х2 [gfVfr2 + (И-И)Л2& + С]. (537)
b +х J
295
U 2
Вводя далее обозначения ------= г] , запишем (5.37) так:
1 + а
X (gf^2 + x2dx + C). (5.38)
b +х J
Значение неопределенного интеграла в круглых скобках
равно
Г ^r]2 +x2dx = — ylr]2 +х2 + — In (х + у]г]2 +х2).
J 2 2
Таким образом, получим искомые значения усилий Nv
Ny = -(1 + а) 11 +Х {~[xyjr]2 + x2 + j/21п(х + + х2)] + С};
bz+x2 2
(5.39)
Произвольную постоянную С определяем из условия на
верхнем контуре, где при х = х0 меридиональные усилия Nv = 0.
При этом находим
С - -^[XQ-yjr]2 + Xq +t]2 ln(x0 + д/zj2 +%0 )]•
В силу этого окончательно имеем
Ny ~-g
(l + a^+X2 ГТ—2
—Ил/7? +х ~хо'\г1 +хо +
2(кг +хЛ)
(5.40)
296
Кольцевые усилия
жением
определяется в свою очередь выра-
b2N^
Л^ =
? ? -S™-
(! + «)(?; + х )
(5-41)
5.3.2. Уравнения равновесия гиперболической оболочки
в декартовых координатах
Если поверхность оболочки не является поверхностью вра-
щения, то записанные в сферической системе координат основ-
ные уравнения безмоментной теории не всегда удобны для их
применения в расчетах гиперболических оболочек, находящихся
в нормальном или нулевом положениях. Другая форма записи
уравнений равновесия, получаемых в результате проецирования
действительных величин усилий на направления осей декартовой
системы координат Oxyz, оказывается более простой благодаря
тому, что имеет место их полная аналогия с уравнениями теории
плит.
Выберем на плоскости проекций Оху два взаимно перпенди-
кулярные сечения x-const и y-const (рис. 5.8). В то же время на
серединной поверхности гиперболической оболочки, которая
должна быть задана в форме z = f (х, у ), этим сечениям будут
соответствовать две кривые линии. Угол 6 между этими линия-
ми определяется соотношениями
cos0 = sin a sin fl,
sin в = cosacosfl^/l + tg2a + tg2fl .
297
Рис. 5.8. Действительный элемент оболочки и эле-
мент его проекции на горизонтальную плоскость Оху
Пусть Ny и Добудут действительными усилиями, кото-
рые развиваются в сечении x=const, a и N - соответствен-
но усилиями в сечении y=const. Эти усилия в классическом по-
нимании не представляют собой нормальные и сдвигающие уси-
лия, так как они действуют не на нормальных, а на косых пло-
щадках. Однако, несмотря на отмеченное обстоятельство, будем
сохранять за ними установившиеся общепринятые обозначения.
Если dx и dy будут проекциями сечений на плоскость Оху,
то соответствующие длины сторон элемента серединной
поверхности оболочки окажутся равными dsx = dr/cos а и
dsy =dylcosfi.
Действительные усилия в каждом сечении заменяются в по-
следующем статически эквивалентной системой сил, распреде-
298
ленных в плоскости Оху по сторонам dx и dy. Этими усилиями
пусть будут суть следующие: Nx, Nу и = Nyx.
Чтобы установить связь между действительными усилиями
и их проекциями, необходимо спроецировать векторы сил на оси
Ох и Оу, что и приводит к следующим выражениям
N*x =N x vcos^ (5-42)
N* .N У (J) ? (5.43)
cosct
xy ~ N yx ~ ~ (pip • (5-44)
При составлении уравнения равновесия сил в направлении
оси Ох погонные усилия следует умножать на длину стороны
элемента dsy и полученный вектор еще умножать на cos а . Что
касается интенсивности сдвигающих усилий , то их проек-
ция на эту же ось будет равна - • dsx cos а.
Для усилий действующих в сечении х + dx = const, получаем
соответствующие проекции:
ЭДСь dy Qci
(N* +-Ti‘,V')-----------cos(c+—Л),
dx
dN^
+-^dy)dx.
dy
. da , . da . .
Приняв во внимание, что cos(a + —— dx) = (1 - —— dx tan a) cos a
r dx dx
и 1~(1 i d\-tan g) 1 > и просуммировав проекции
,о 9/3 dx cos (3
cos(/3 + —dx) '
dx
внутренних усилий с компонентой внешней нагрузки Xdxdy, при-
ходим к уравнению
dx cosp dy
(5.45)
299
Поступая аналогичным образом в отношении проекций сил
на ось Оу, имеем
A (7V + + у = 0 (5,46)
ay coso! дх
Условие равновесия сил в направлении оси Oz может быть
записано так:
д ,.r sincr д sin/З д „ д
— (^ —+у ^N<p —)+У (NW tano!)+У tan £)+z=°-
дх cosp ду coso: ду дх
(5-47)
Поскольку а и /3 представляют собой углы наклона каса-
тельных в точке серединной поверхности оболочки, то значения
тригонометрических функций легко определяются как частные
производные функции z = f(x,у).
dz f о dz f
tan о; = — = —у; tanp =— = — x.
dx ab dy ab
Уравнения равновесия безмоментной теории записываются
с помощью новых неизвестных следующим образом
dN*x dx <—y— + X =0, 8y (5.48)
™*xy dx dNy + —l + Y = 0, dy (5-49)
d (kt* dz KT* - (^X д + N xy dx dx } dzx d y)+y dy dy dy J dx (5.50)
Последнее уравнение упрощается, если выполнить диффе-
ренцирование выражений в круглых скобках и учесть, что в рас-
сматриваемом случае
d2z n q1z f d2z n
dxz dxdy ab dy2
В частности, получаем
N^Nyx-kx-y + Y-x-Z^). (5.51)
J
300
Усилия N* и N* в свою очередь определяются из уравнений
(5.48) и (5.49) путем их прямого интегрирования
аг* 1 Г/ ^Х i Л’ / \ /с
Nx =-дГ(У— + х~----г—+ 3^)t£x + C1(y), (5.52)
2J ду ду f ду
N;-^f(y^- + ^-~^- + 3Y)dy + C2(x). (5.53)
2J дх дх f дх
Особенности напряженного состояния гиперболической
оболочки рассмотрим на примере оболочки, подверженной дей-
ствию вертикальной нагрузки, равномерно распределенной на ее
проекции. Другими словами, компонентами этой нагрузки будут
X = У = О, Z = р = const.
При этом согласно выражений (5.51), (5.52) и (5.53) получа-
ем
Ny-C2(x).
Если гиперболическая оболочка над прямоугольным планом
свободно оперта по краям л-0 и у=0, то это означает, что
СДу) = С2(х) = 0. Одновременно это свидетельствует о том, что
на всей поверхности оболочки должно быть N х = Nу = 0. Как
видим, оболочка может передавать только сдвигающие усилия,
вызывающие удлинения в бортовых элементах.
Рассмотрим теперь случай, когда нагрузкой на гиперболиче-
скую оболочку, является ее собственный вес. Компонентами
I f2
внешней нагрузки будут X = У = 0, Z = gdl + 1 (х2 + у2).
V а b
С помощью соотношений (5.51)-(5.53) получаем
V a b
301
ab
f2
-уу(л2 + у2) +q(y),
(5.54)
-~ln "Т>’ + J1+ 2>2(x2 +^2) +^г(%)-
2 ab \ a b
Подчинив два последних выражения граничным условиям
(^’)х.о=О и (^)^=0, получим функции интегрирования в
виде
Ny
C1W—
2 V flb
С2« = -?1п11 + 4-2х2-
2 V a b
Продольные усилия Nx и Ny таким образом представляют
собой растягивающие усилия и могут быть записаны так;
*
ny
f2
A.2
(5.55)
a2b2
Ny
;8x{nab У
' 2
f2
-^<x2+^2>
ab________
(5.56)
^=^ln
х 2
2
-»ln^
2
a2b2
302
5.3.3. Расчет гиперболической оболочки
по моментной теории
В реальных конструкциях редко удается полностью удовле-
творить всем условиям существования безмоментного наряжен-
ного состояния в оболочке, особенно это относится к гиперболи-
ческим оболочкам в их индивидуальном исполнении и тем более,
при компоновке таких конструкций в покрытиях, состоящих из
комбинаций отдельных модулей в форме гипара.
Для элемента гиперболической оболочки, находящейся в со-
стоянии изгиба, расчетные зависимости (5.42)-(5.44) уже пере-
стают быть справедливыми и должны быть записаны с учетом
действующих по сторонам Р\Р2 и РуР3 перерезывающих сил Qq
и Q4, изгибающих моментов и крутящих моментов
В частности, соотношения (5.42) и (5.43) принимают вид:
КТ cosa Nx = Njp O+Qip sin a (5.57)
* cos p * sin p
* cos/3 Ny = N + Q 7 cosa sin P sin0 (5.58)
Что касается выражения (5.44), то для усилий сдвига по сто-
ронам Р3Р2 и РХР3 в эквивалентной плите получаем зависимости:
* ~ г, cosa
N ху ~ + Qip tan Р 7 ~ }
' vv v 81П0
.г cos/3
N ух = <рц> *" Q<p tan Of ; ~
J v sm0
(5.59)
(5.60)
В силу того, что векторы изгибающих моментов Mv и
перпендикулярны плоскостям Oxz и Оху, изгибающие моменты в
303
эквивалентной плите будут равны: М х = ; М у = М . В свою
очередь для перерезывающих сил Q*x и Q*y имеем:
„» cost* г, cosa
----п tan« + NW tan £ + <4 (5-61)
r cosp v sin0
Q*=N ^^-lan/3+N^tana + Q (5.62)
T costz * Sin0
Заметим далее, что направления векторов крутящих момен-
тов и совпадают с направлением усилий Nv и Поэто-
му для определения крутящих моментов в эквивалентной плите
воспользуемся отмеченным выше обстоятельством и на основа-
нии соотношений (5.42) и (5.43) получим:
* , , COSO!
мху = Мщ, > (5.63)
(5.64)
7 COSO!
Подобные соотношения были впервые получены
W.Fuchssteiner и A.Schader в работе [21]. Уравнения равновесия
элемента, выделенного из эквивалентной плиты, могут быть за-
писаны следующим образом:
304
dN* dN*
^ + —^ + АГ=О,
dx dy
dQx dQy » n
+z = o,
dx dy
dMx dMyx * _
dx dy ’
dMv । dM'y ,
(5.65)
В случае пологой оболочки, метрика поверхности которой
приравнивается к метрике на плоскости, величинами порядка &/R
обычно пренебрегают по сравнению с единицей, причем под <5
подразумевается толщина оболочки или перемещения и и v в тан-
генциальных направлениях. Допущение о пологости гиперболи-
ческой оболочки означает, что
1 + tana® 1,
tana-tan^ ® 0,
1 + tan2/? ® 1.
В силу этого выражения для усилий в эквивалентной плите
принимают вид:
Nху Нуд,, NуХ ® ,
Q*x - Ny, tana + Nw tan /3 + ,
Q* - Nv tan /3 + tana + Q^.
(5.66)
* *
Кроме того, должно также быть М«- и М ух
305
Уравнения равновесия (5.65) при этом записываются в виде:
dNV dN^
4-а — и,
дх-------ду
д^Ч><р + д^<Р + у = Q
дх ду
dQy ^Q<p д(Л^ tana 4-JV^ tan j8)
дх ду дх
d(N tan ft+Nw tana)
+--------------—-------+ Z = О,
dy
дМу d^^ip n _ n
dx dy ’
dx dy
(5.67)
Судя по виду первых двух уравнений равновесия (5.67),
можно заключить, что эти уравнения тождественно удовлетво-
ряются, если ввести функцию напряжений, связанную с и
^ip<p = Nqnp следующими выражениями
(5.68.
кт кт d F
- N(p4! ~ “ТГ--
дхду
306
Подстановка этих соотношений в третье уравнение равнове-
a2z d2z n
сия с учетом того, что в рассматриваемом случае —- = —- s 0, а
дх2 ду2
смешанная производная представляет собой постоянную величи-
d2z f
ну 5 =----= дает
дхду а2
2sN^ + ^L + ^L = pX + qY-Z. (5.69)
W дх ду
Здесь использованы следующие обозначения:
dz dz
р =— = tana, q =— = tanp.
дх ду
Если через и*,v*n к*обозначить перемещения точки Р в
направлениях осей прямоугольной системы координат, то де-
формации относительного удлинения и сдвига элемента средин-
ной поверхности оболочки будут равны [14]:
£У
dw
Р~
дх
2
cos а,
/ * * \
dv div ] 2 п
-----1- q--- cos /37
* ду j
(5.70)
(5-71)
ди dv ди . dv . п п
---+-----q sina-cosa- р sinр- cosр +
ду дх дх--------------------ду
dw* 2 dw* 7 ^cosa-cos6
+ q---cos a + p---cos p ---------
dx dy sin0
(5-72)
Для пологой оболочки,
7 7
полагая cos a «- cos /3 ~
~ cos a cos /3 « sin# 1 и принимая
и* = и, v* = v и w* ~w, полу-
чаем:
307
8
£у “ нГ +
ди dw\
— + Р-— I,
дх дх)
dv dw'
ду ' ду /
ди dv dw dw
Yxy =1~ + T~q~r + P1T-
ду дх дх ду
Использование физических уравнений теории упругости да-
(5.73)
ет:
1
= р (.Nty ~~ PNq>)»
Л-^L
1
£у = ~ pNty)’
/Sr
= 20+£)
'*У Et lyV<p-
Изгибающие и крутящие моменты определяются при этом
с помощью обычных формул:
(d2w d2w^
дх ду ?
/ ->2 ,2 \
.. .. d W d Wx
а> ~ D + Р
ду дх
(5-74)
=-D
2 ’
(5.75)
.2 ’
d2w
дхду
Если выражения (5.75) подставить в два последних уравне-
ния равновесия (5.67), то для перерезывающих сил Qx и Qy будем
иметь
Огр^-D —
д /d2w
Sx^dx2
' d2w
3y^dx2
n2 \
d W
dy21
dV
a 2
dy
(5.76)
д
308
На основе этих соотношений уравнение (5.69) принимает
вид:
д2Р
2S-—+ D
дхду
'd4w + 2 d4w + d4iv'
дх4 дх2ду2 ду4 ,
= Р(х,у).
(5.78)
Д(...) =
(5-79)
Здесь грузовой член равен: Р(х, y) = -pX-qY + Z.
Практические расчеты гиперболических оболочек чаще все-
го связаны с нормальной компонентной внешней нагрузкой Z
(X=Y=O). Поэтому первое основное уравнение теории пологих
оболочек (5.77) упрощается и записывается следующим образом:
d2F
DMsw + 2s------Z,
дхду
где оператор Д означает:
а2 д2 V
—2 +—2
X ду2)
Для получения второго разрешающего уравнения теории
пологих оболочек, можно воспользоваться уравнением нераз-
рывности деформаций плоской задачи теории упругости приме-
нительно к выражениям (5.70)-(5.72).
С этой целью продифференцируем £х дважды по у, а £у два-
жды по х и, просуммировав полученные результаты, произведем
их сравнение со смешанной производной от у^ по х и у. На ос-
новании такого сравнения имеем:
82ел + д^у _ Э2Уху = ^82уу
ду2 дх2 дхду дхду
Удлинения £х, £у и деформация относительного сдвига у^
могут быть выражены посредством (5.74) и (5.68) через функцию
напряжений и тем самым приходим ко второму уравнению тео-
рии пологих гиперболических оболочек.
d4F „ d4F d4F г „ d2w п
—г + 2—-—- + —- - Et • 2s-----= 0.
дх4 дх2ду2 ду4 дхду
(5.80)
(5.81)
309
Таким образом, основные уравнения смешанного метода для
пологой гиперболической оболочки, находящейся под действием
только вертикальных нагрузок, принимают следующий вид
п 2 г
DtsAw + 2s--= Z,
дхду
AAF -2Ets~W=[l
дхду
(5.82)
Последнее уравнение этой системы тождественно удовле-
творяется, если ввести функцию Q:
F-2E,s^',
дхду
(5.83)
w = AAQ.
Что касается первого уравнения системы (5.82), то оно пре-
образуется к виду
jDAAAAQ + 4Efs2 \ - = Z. (5.84)
дхоу
и представляет собой дифференциальное уравнение восьмого по-
рядка относительно функции Q.
Для расчета гиперболической оболочки над квадратным
планом необходимо решить систему уравнений (5.82), подчинив
функции F и w граничным условиям задачи. Однако на практике
зачастую оказывается не всегда возможным удовлетворить усло-
виям опирания гиперболической оболочки с помощью аналити-
ческих методов. В таких случаях целесообразным является при-
менение численных методов, в особенности в той ситуации, ко-
гда предполагается использование современных средств вычис-
лительной техники.
310
5.4. Применение численных методов для решения
системы уравнений пологих гиперболических оболочек
5.4.1. Центрально — разностный оператор
и оператор усреднения
В связи с высоким порядком производных в системе диффе-
ренциальных уравнений (5.82) последние могут быть решены с
достаточной точностью путем их замены уравнениями в конеч-
ных разностях.
Чтобы проиллюстрировать этот метод решения рассмотрим
гладкую функцию одной переменной у =у(х) (рис. 5.9).
Оценка погрешности на основе разложения функции в ряд
Тейлора показывает, что наименьшая ошибка будет иметь место
всегда в том случае, когда интервалы Ах равны между собой. По-
этому в дальнейшем ограничимся выбором вдоль оси х отрезков
равной длины Лх, так как это приводит к наиболее простой фор-
ме уравнений в конечных разностях.
Назовем первой центральной разностью для данной функ-
ции в точке i следующую величину
<5у, = У 1 - У 1 , (5.85)
z + — I —
2 2
где д - центрально - разностный оператор.
Поступая аналогичным образом, вычислим центральные
разности более высокого порядка. При этом получаем
<53У,=У 1-Зу j +3у j-y р (5.87)
г+- i+— I— I—
2 2 2 2
5 4Tz = Угг - 4yr + бу, - 4yz + yzz, (5.88)
b5yi=y i -5у i+Юу 1 -10у i+5y i-у i,(5.89)
ГГГ ГГ Г I— I— и —
2 2 2 2 2 2
<5 6 У/ = У ггг - 6 Угг +15 У г + 20 yi + 15 у I - 6 у и + Ут. (5.90)
Определим далее с помощью оператора р усредненное зна-
чение функции у в точке г
311
Рис. 5.9. Дискретные значения функции при равном
интервале Ьх
Между операторами р и <5 легко устанавливается связь на
основании выражений (5.86) и (5.92). Для этого достаточно
вычесть из 4Ju2 *yl- выражение (5.86), что дает
/ а 2 \
Д У1 = 1+ —- у,- •
\ 4 /
Таким образом, находим
2 ( 5 2 \
Д 2 = 1 + — . (5.93)
312
В результате одновременного применения разностного опе-
ратора и оператора усреднения имеем
Vs Уi = yGr “ Уi )• (5-94)
При этом необходимо отметить, что при одновременном
применении операторов fl и <5 оба они являются переставимы-
ми.
Нетрудно показать, что одновременное применение опера-
торов вида /лб Зу(- и цд5 у связанно с выполнением следующих
вычислительных процедур
= ^(угг -2уг + 2у, - уц\ (5.95)
5 у, = |Grrr ~ 4Угг + 5Уг - 5У1 + 4Уи ~ Ут )• (5-96)
Пользуясь известным разложением
f(x + Дх) = f (х) + /'(х)Дх + f(x)&x2 + /"'(х)Дх3 + ..
и полагая Дх = h, определим значение функции у в точке г
У Г = у i + y'ih + — y"h2 + — y"'h3 + ... .
•'Г > I •'I /-у p * I J I
Вводя оператор D, согласно которому
Dyi=y'i, D2yi=y'!,.., Dnyi=y^,
запишем выражение для yr и у/ в виде
fi - fi з _
У г = yi + hDy i + — D2yi + — D3yi + .... (5.97)
Й2 9 h3 9
yz = у,- - hDy , + — D2yi - —D3yi + .... (5.98)
J »
Полуразность выражений (5.97) и (5.98) будет
1 /7^
-(Уг-У1>- hDy, + — D'y, -—D5y, +... (5.99)
Сравнение левой части выражения (5.99) с правой частью
(5.94) дает
313
цёу i =
hD + — D 3 - — D 5
3! 5!
Воспользуемся далее разложением функции shhD в ряд
. з ,5
shhD = hD + —D3 + —D5 +
3! 5!
(5.100)
в результате чего имеем
М<5уг- = (shhD )уг
Отсюда находим
/лд = shhD . (5.101)
Последнее равенство дает возможность выразить hD через
/лд. Для этого выпишем известные формулы для гиперболиче-
ских функций:
chhD = у]1 + sh2hD,
ehD = shhD + chhD .
При этом должно быть
ehD = рб + + р2д2 .
Прологарифмировав это равенство, получим
hD = In (nd + ->/1 + Ц 2<5 2 ) (5.102)
5.4.2. Приближенные выражения производных
через конечные разности
Для того чтобы заменить производные соответствующими
выражениями в конечных разностях, разложим в формуле (5.102)
1п(...) в ряд с удержанием лишь первого члена разложения
hD = рд (5.103)
или
hDyj = pfyi = |(yr - yr). (5.104)
Для получения приближенного выражения второй произ-
водной функции у =у(х) возведем (5.103) в квадрат
314
1г2П2 = ц2ё2 =
\
c2\
— <52~<52
4
Другими словами
h2D2yi =d2yi=yr-2yi+yi.
Таким образом находим
огу, - (444 - - гУ> + У‘~>
ах h
\ /1
(5.105)
(5.106)
Возводя (5.103) в куб, построим выражения третьей произ-
водной
'3^3y,-l(J„-2yr+2y/-y„). (5.Ю7)
На основании (5.107) получаем
/ .3 \ 1
—г (Угг-2у, *2У1-Уи)- (5-108)
(dr-5). 2/Г
По аналогии с этим выражение четвертой производной бу-
дет
-4-0’гг-4>’г+6Л-4Л+1,«) (5.109)
li h
Для получения уточненных выражений производных через
конечные разности воспользуемся снова формулой (5.102) и раз-
ложим ее правую часть в ряд Маклорена с удержанием двух пер-
вых членов ряда
кО»цд~ц2д 3.
(5.110)
Так как согласно (5.93) ц2
можно придать следующий вид
, то выражению (5.110)
7Г1 Я 1 fl с 1 сЗ
hD = цо—ц 1 + — о -> цо—цо .
6 4 6
/
Подстановка сюда выражений (5.94) и (5.97) дает
(5.111)
315
hDyi yrr + Syr - &У1 + yli)- ' (5.112)
Чтобы получить уточненное выражение второй производной
через конечные разности, возведем, как и ранее, (5.110) в квад-
рат. При этом находим
h2D2 =<52-— 54, (5.113)
12 v ’
откуда заключаем, что
- ^(- К, + 16у, -ЗОу, + 1бу, - у„ ). (5.114)
Для вычисления производной четвертого порядка возведем
выражение (5.110) в четвертую степень
/г4£> 4 « б 4 _ 6 .
6
В соответствии с (5.88) и (5.90) получаем
ъ<о*у,.-уут.2куг*_
13 , 1 (5Л15)
- —yi + 2yz - -ущ .
L О
Таким образом, выражение для производной четвертого по-
рядка в уточненных конечных разностях принимает вид
'дЛЛ 1
— —у(~Ут +12Угг - 39Уг + 56У/ - 39у/ + 12уц - Ут).
(дх )
(5.116)
В рассматриваемом случае, например, для функции проги-
бов w = w(x, у) представление производных четвертого порядка
применительно к схеме обозначений узловых точек вдоль осей
Ох и Оу, показанной на рис. 5.10, может быть согласно (5.116)
записано так
316
(d^w\
)m,n „
1
6/F
^+з,л +12^+г« -39^+i,« +56%^
134 \
d w
/ m, n
. +12%г-Хп wm-3,n)>
= Д; (- wm,n+3 + 12иХл+2 - 39wm,n+l + 56^,л
6н
+ 12lvm,n-2 " wm,n-3 )
(5.118)
При составлении разностного выражения для смешанной
производной четвертого порядка процедура его построения за-
ключается в следующем. Сначала с помощью центрально разно-
стных операторов <5Ли 5 у получаем
т-1. Y п+3 т, п+3 т+1, п+3
Л т-1, п+2 т, п +2 т+1, п+2
т-2, п+1 т-1, п+1 т. п+1 т+1, п+1 т+2, п+1
-G т-3, п т-2, п т-1, Г "( " т+|’ п т+2, п т+3, п
х: т-2, п-1 т-1, п-1 т, ) ' п-1 т+1, п-1 т+2, п-1 X
•в т-1, п-2 т, п-2 т+1, п-2 т+2, п-2
-С т-1, п-3 т, п-3 т+1, п-3
U- U- U- h U-
Рис. .5.10. Схема обозначений узловых точек
для квадратной сетки
317
h
' d4w )
dx2dy2 1
\ J / m,n
12 x Д y 12 y J ’
Откуда непосредственно следует
wm,n+l wm,n-l wm+l,n
(5.119)
Применение оператора ё2д2 над выражением в круглых
скобках приводит к следующему результату для смешанной про-
изводной четвертого порядка в уточненных разностях
I ^2^2 I — — +wtm-\n +wnin-l + иАг-1,и+1+
\ Jmji
+vVm-Vi-l +иАг-^!-1)_ +wm-2,n-l+иАн2,т1+и^-2д-1+иАНж-2+и/п-1п+2+
+ ^т+1,п-2 + ^m-l,n-2) + ^m+2,n + ит-2,п wm,n+2 + wm,n-2 J (5-120)
Однако, как показывают расчеты, вполне удовлетворитель-
ные результаты могут быть получены уже в том случае, когда
используются более простые выражения производных четвертого
порядка через конечные разности.
На основании изложенного выше можно показать, что эти
выражения получают вид:
w
tm,n
W
Л4Ъ
1
=4 (~wrm2,n ~4wm+l,n +^т,п ^wm-2,n)’ (5.121)
h
4 ^Wm,n+2 ^wm,n+l+^>wm/i ^wm,n-l'^wm,it-2)’ (5-122)
h
( dSv'l
dx2dy2
\ ' Ingx
~^(wm+l,n +wm-l,n +wm,n+l +wm,n-l)^wm+l,n+l +
h
+ wm-l,n+l + wm+l,n-l +
(5.123)
318
Располагая этими выражениями, можно составить теперь
разностный эквивалент двойного оператора Лапласа AAw:
f д4 д4 д4 '
4 + . 2 -> 2 + -> 4
(дх дх ду ду
^Wm,n
W
т,п
4 L^wm,n ^(н’т+1,п + wm-l,n + wm,n+l + wm,n~l ) +
П
+ 2(и/т+1,и+1 + wm-l,n+l + wm+l,n-l + w™-l,n-l) + wm+2, п +
+ wm-2,n + wm,n+2 + (5Л24)
Для наглядности схема определения коэффициентов в раз-
ностном выражении двойного оператора Лапласа представлена
на рис. 5.11.
т, п+2
Рис. 5.11. Схема коэффициентов для двойного оператора
Лапласа в точке т, п
Чтобы обращаться в последующем с безразмерными вели-
чинами, произведем в (5.82) замену функций и, в частности,
пусть будут
319
Z = Zor] (x;y\ F = ---^-Ф и w = ---^-W.
°M h f k2 D k4
Тогда система дифференциальных уравнений (5.82) принимает
вид:
П7 4 э2ф
ллИ+-- ------= -L-,
h2 дхду h4
4? d2w о
ддф---- -----= 0.
h2 дхду
Здесь к = «/1г, а параметр у означает:
Л,
(5.125)
(5.126)
t
Принимая во внимание, что для вновь введенных функций
W и Ф смешанные производные могут быть заменены их выра-
жениями в конечных разностях, например,
Э2Ф 1 / \
т ., s ' "1+1,и+1 ~ ~ Ф т-1,п+1 Ф"1-1/1-11
дхду 4h2
получаем
|Ж»,„ —1/1 + ^т,п+1 + Wm,n-1)+ ^(^т+1,п+1 + -1/1+1 +
+ ^т+1,п-1 + ^m-l/i-1)+ ^'т+2,п + ^т-2,п + ^т,п+2 + ^т,п-2]+ (Фm+l,n+l “
~ Фт+1,и-1 “ Фт-1/1+1 + Фт-1,п-1 )= т,п’
(5.127)
[20Ф^и -8(0^ +Ф„
г-1,п + Фт,л+1 + Ф/и/1-1 )+2(Фт+|/,+] +Фт
-1/1+1 +
+ Фт+1,«-1 + Ф"1-1,п-1)+ Ф/и+2/1 + Фт-2/1 Ф"1/1+2 + Фиу1-2]— У к (^лн-1,п+1 ~
~ ^т+1,п-1 ~ ^т-1,п+1 + ^т-1,п-1)=
(5.128)
Уравнения (5.127) и (5.128) записываются для всех внутри-
контурных точек сеточной области. Совершенно очевидно, что в
этих уравнениях будут встречаться значения функций W и Ф в
точках как на краю, так и за пределами контура.
320
Чтобы располагать числом уравнений, соответствующим
числу неизвестных, следует описать также в разностной форме
граничные условия задачи. Выберем, например, произвольную
точку на краю, параллельном оси у (т-к, п).
Если перемещения в направлении оси Oz невозможны, то
wkn = 0 и, следовательно, Wkn =0.
При шарнирном опирании по краю должно быть
(мА = -D
рЧ,, аЧл
дх2 ду2
и это условие сводится к следующему:
W, , + W, , =0
уу к-1,п т ry к+1,п v’
Для иллюстрации процедуры расчета квадратной в плане
гиперболической оболочки предположим, что она полностью за-
щемлена по всему контуру. В этом случае, вследствие симметрии
системы относительно диагоналей АС и BD, достаточно рассмот-
реть четверть оболочки. При условии разбивки каждой из ее сто-
рон на восемь равных частей h = а/4 и к = 4. Узлы сетки с квад-
ратными ячейками можно пронумеровать так, как показано на
рис. 5.12.
Условие отсутствия на краю нормальных усилий
Ч)м-(тт) -° <5Л29>
рз А.»
показывает, что функция напряжений вдоль края изменяется ли-
нейно:
F{x,y) = Ау + В,
причем А и В являются постоянными.
С учетом условий симметрии следует принять В =0. Если в
угловой точке С значение функции напряжений Fc (F4i4=Fc), то
321
это означает, что вдоль края х = a, F(a,y)= Fc—. Другими сло-
а
вами, имеем
Фкп = ~ФС.
’ к
(5.130)
При отсутствии удлинений вдоль края будет
U), =—(^Vv), = 0. (5.131)
' У >к,п У'к,п 4 v 7
Если одновременно с этим условием выполняется предыду-
щее условие (5.129), то условие (5.131) равноценно следующему
статическому условию:
У 'к,п
' d2F\
Jx2
= 0.
) к, п
(5.132)
На основании этого получаем
,, „и
Ф*+1,и = 2-Фс-Ф^_1,и.
(5.133)
Используя соотношения (5.130) и (5.131), выписываем сле-
дующие граничные условия:
322
Рис. 5.12. Нумерация узловых точек гипербо-
лической оболочки (к~4)
^4,0 = ^4,1 = ^4,2 = ^4,3 = W4t4 = W3A = W2i4 =0;
^,0=^3,о; ^5Д=^3>1; ^5,2=^з>2; ^5>3=И*3>3;
^0,0 = Ф1,0 = Ф2,0 = Ф3,0 = Ф4,0 = *1*5,0 = Ф0,1 = Ф0,2 = Ф0,-1 = Ф0,-2 =
113 5
ф4,1=-фс; ф4,2 = 2фс; Ф4,з = 4фс; ф4,4 = фс; ф4,5=-фс;
1 3
ф51 = -Ф3д + -Фс; ф5Д = -ф3,2 + фс; Ф5,3 = -Ф3,3 + 2^с ‘
В этой ситуации в качестве неизвестных рассматриваемой
задачи являются значения функции W в десяти внутриконтурных
точках заштрихованного треугольника и значения функции Ф в
шести точках этой же области, а также значение функции Фс в
угловой точке С.
323
Таким образом, в общем случае при разбивке а па к одина-
ковых отрезков получаются к(к +1)/2 неизвестных Wm> п и
к(к -1)/2 неизвестных Ф т н , к которым добавляется неизвестное
значение Фс в угловой точке. Общее число неизвестных в рас-
сматриваемом случае составляет к2 +1= 4 2 +1 = 17. Для опреде-
ления этих неизвестных можно воспользоваться уравнениями
(5.127) и (5.128) матрица коэффициентов для которых приведена
в нижеследующей таблице.
5.4.3. Пример расчета пологой гиперболической оболочки
над квадратным планом
Рассмотрим случай квадратной в плане деревянной гипер-
болической оболочки, защемленной по краям вдоль четырех бор-
товых элементов, которые в свою очередь опираются на жесткие
вертикальные диафрагмы. Пусть основные размеры оболочки
будут: 2«х2а = 18х18ми /=2 м (рис. 5.13). Гиперболическая
оболочка подвергается действию нагрузки, равномерно распре-
деленной на ее горизонтальной проекции. Интенсивность этой
нагрузки принимается равной Zo = р = 1,4 кЦ/м2.
В угловых точках А и D бортовые элементы закреплены не-
подвижно, и распор воспринимается конструкциями опорных
устройств. Как видно по рис. 5.13, части поверхности гипара,
расположенные в ее четвертях, занимают нулевое положение, в
то время как оболочка в целом находится в нормальном положе-
нии.
Наиболее наглядным является в данном случае изображение
гипара в прямоугольной системе координат OxjyiZi, представлен-
ное на рис. 5.14, где хорошо видна гипербола вдоль диагонали
ВС
При этом координаты точек поверхности гиперболической обо-
лочки в системе Ox\yyz.\ вычисляются по формулам
*1 = ^(х~у\ У1=^(х + у}> ч = f (1 + ^
2 2 \ а
324
Поскольку по своему конструктивному решению оболочка
состоит из двух взаимно перпендикулярных слоев толщиной
33мм каждый, уложенных параллельно ее прямолинейным краям,
то коэффициент Пуассона для древесины принимается равным
/2=0,5. Таким образом, отношение стрелы подъема к толщине
оболочки составляет ///=30,3 и при к = 4 значение параметра
ук получается равным
Рис. 5.13. Гиперболическая оболочка над
квадратным планом в системе координат
Oxyz
325
Матрица коэффициентов системы уравнений для определения значений
Сво- бод- ный чгкн см с т-Ч т-ч см со СМ ^-ч о О о о о о о
е с о о 0,5 о о г-Ч о т-Ч о см о V) сГ 'Т* т-ч 1 УГ) 1
ф 3.3 с о о о о о о Г-1 о о о о см см 40 1 18
ф 3.2 1 с о о о о см о о см 1 о о о 40 _-16| 1-161 42 -16
ф 2,2 с о о о т-' о см 1 о о t—< о см 40 Г20 -16 см
Ф 3,1 с о см о о о о СМ 1 о о о см -161 ,36j Мб см
Ф 2,1 с см о СМ о СМ о о см о о -16 42 40 и 1-16 40 о
VI Ф г— о см о о о о т-ч о о о 18 -161 см СМ О о
£" с о о о о о о см СМ L16I гг ос о о 'Г' о о
£ " с о о со о чо 16| 40 I 46 40 т-Ч I О о й см 1 о о см о
с о см о м 40 xf- 20 -161 СМ о £ 1 о «г о о
£ - с о н- -16, см -16 |44| М" |46j см о о о О см о о
1 ‘гж с 40 L16J 40 । |46 40 I 40 । 40 о о о см о о см 1 о
1 см 40 1 Tf- о I21J Дб CM см О о о о о о й 1 о о
. СП ° с т-Ч со 21 о м- 40 i о см о о о см о о о о
° т- СС । I20J СС 1 xf см о о о см о см 1 о о о
0 ‘1Ж ос 1 25 СС 1 ч-Ч l46j 40 о о о о о о £ см 1 о о о о
S’° СС 1 о со О о о о о о 1 о о о о о
Точка Fi (m,n) * ,] о—' t=^‘ г- ~т f— о—<
Рис. 5.14. Гиперболическая оболочка, отнесен-
ная к системе координат Oxjy^j
Решение системы уравнений (5.127) и (5.128) для функции
шутриконтурных точках приводит к следующему ре-
И\о=-0,16093,
^3,0= -0,10837,
W2j = -0,15293,
W2,2= -0,13604,
W33=-0,03481.
, что прогибы Wm,n считаются
w в десяти в]
зультату:
Wo,o= -0,16017;
И^о= -0,15549;
Wu =-0,16100;
Ж3д = -0,10360;
1^2= -0,08149;
Знак минус здесь связан с тем.
положительными в направлении внешней нормали. В последую-
щем учитывается, что этот знак меняется на противоположный.
На рис. 5.15 представлены эпюры безразмерного параметра про-
гиба и’——— "104 вдоль оси Ох и в направлении диагонали.
ра 4
327
326
Наибольшее значение прогиба имеет место на диагоналях
АС и BD в тех узловых точках, которых ближе всех располагают-
ся к центру оболочки.
4
При этом имеем и,™ = 0,000629^—.
х 11шл 7 j-y
Что касается второй группы неизвестных Фтп, то они ока-
зываются суть следующими:
Ф1.1 = 0,24093; Ф2,1 = 0,47391,
Ф3д = 0,74052; ®2,2 = 0,94194,
Ф^2 = 1,48617; Ф3;3 = 2,32742,
Фс = 4,51549.
Для определения внутренних усилий можно воспользовать-
ся выражениями, приведенными в [13]:
2
№х \п,п ~ (фт,л+1 ~ Ф»1;л + Ф т,п-11
2
У Ци = ^-(фт+1,п - 2Фт,П + Фт-1,п )
2
v^xy )m п ~ г m+l,n+l — Фт+1,п-1 ~ Фт-1,и+1 Фт-1,и-1)
В свою очередь для вычисления изгибающих моментов име-
ем
(М =(тг) +и(т.,] ,
\М v ) = \т,, I + ц, (тг )
' У 'т,п ' У 'т,п ' х 'т,п
Здесь (тх )тп и \ту определяются так
2
Мт,п = -^-k,+l,„ -2Wm>n + wm_u\
2
(ту ) = и+1 - 2Wm „ + Wm )
К
328
Рис. 5.15. Эпюры прогибов вдоль оси Ох и по диагонали ОС
Использование этих выражений проиллюстрируем на при-
мере точек, расположенных вдоль координатной линии Ох, для
которых целесообразно сначала вычислить значения [гпх)тп и
\mv ) при т= 0,1, 2, 3, 4.
' У 'т,п
Таким образом находим в точке Р(0,0):
2
Моя - к)0>0 - -0,00152^'-, (мД0 -(и,)вд --Ц0001фО2.
К
В точке Р(1,0) соответственно имеем:
2 2
(тх 1 п = 0,00620^-; (тЛ = -0,00014Д-,
4 4 > <1,0 ^2
(Мх )10 = 0,00038/и?2; (му | Q = 0,00019/*?2.
Повторяя эту же процедуру в точке Р(2,0), получаем:
2 2
(mJ2,о -0,041685-; (тД0 - 0,005125-,
к к
329
(Мх к п = 0,00276ря2; (мv 1 = 0,00162/?«2.
В свою очередь, в точке Р(3,0) имеем:
2 2
(ИДО-0,06125^-; (ОТД„-0,00954^-,
К к
(Мх \ 0 = 0,00413ра2; (м у )3 Q = 0,00251р«2.
В точке Р(4,0) на краю оболочки находим:
2
(тх )4,о = “0,21674^-; (ту )4 0 = 0,
(Мх )4 0 = -0,01355/?«2; (му )4 Q = -0,00677/w2.
На рис. 5.16 показана эпюра изгибающих моментов
(^х)у=о/Ра2 ВД°ЛЬ оси Ох-
Поскольку наибольший интерес при расчете гиперболиче-
ской оболочки представляет собой картина распределения сдви-
гающих усилий вдоль ее краев, проанализируем характер изме-
нения этих усилий вдоль, например, края х=а. При этом, скажем,
в точке Р(4,0) имеем
2
(^,y)40 =-~у(Ф5,1 -ф5,-1 -ф3,1 -фЗ,-1) =
2 2
= _£^_(ф _4Ф )=_о,777*^_.
2/ ' 34 7 f
Аналогично вычисляются значения сдвигающих усилий в
остальных точках Р(4,и) при п = I, 2, 3, 4 на краю х=а. Эпюра
сдвигающих усилий Nxyf /ра2 вдоль края х=а показана на рис.
5.17.
Проверку несущей способности деревянной гиперболиче-
ской оболочки из условия прочности древесины на скалывание
произведем для точки Р(4,0), где развиваются наибольшие сдви-
гающие усилия Nxy = 44,1 кГс/см.
Таким образом, находим
тх = —— = = 6,7 кГс/см2 < RCK ya =7 кГс/см2.
7 г 6,6
330
0,01355
0,00413
Рис. 5.16. Эпюра изгибающих моментов вдоль оси Ох
Что касается проверки условия прочности по нормальным
напряжениям, то как показывают расчеты, эти напряжения в рас-
сматриваемом случае оказываются весьма незначительными и
такая проверка не требуется.
Рис. 5.17. Эпюра сдвигающих усилий вдоль краях=а
331
5.5. Примеры решений деревянных покрытий
в форме гиперболических оболочек
К числу уникальных клееных деревянных конструкций, вы-
полненных по индивидуальным проектам и отличающихся от
конструкций массового изготовления прежде всего своей фор-
мой относятся деревянные гиперболические оболочки.
В строительстве деревянные конструкции гиперболических
оболочек используются при возведении покрытий зданий, глав-
ным образом, общественного назначения над квадратным, пря-
моугольным и многоугольным планами. Наибольшее распро-
странение такие оболочечные конструкции получили в Герма-
нии, Англии и ряде других европейских стран [3, 16], о чем сви-
детельствуют приводимые ниже примеры такого рода сооруже-
ний.
В частности, характерным примером является покрытие вы-
ставочного павильона строительной выставки в г. Мюнхене (рис.
5.18). В плане покрытие имеет форму четырехлучевой звезды,
симметричной относительно взаимно перпендикулярных диаго-
налей длиной 29 и 18 м. Оболочка состоит из четырех седловид-
ных элементов, имеющих общую вершину в центре и подкреп-
ленных по контуру криволинейными бортовыми элементами.
Несущими элементами конструкции гиперболической оболочки
являются деревянные бруски сечением 30 х 60 мм, образующие
квадратные ячейки 800 х 800 мм. При этом бруски, принадлежа-
щие семейству криволинейных стержней одного направления,
обращены выпуклостью вниз и работают на растяжение, в то
время как брусчатые элементы семейства стержней другого на-
правления, будучи уложенными сверху, работают на сжатие.
Брусчатые элементы ортогональной конструктивной сетки со-
единяются между собой при помощи болтов диаметром 8 мм.
Обшивка поверхности оболочки состоит их двух слоев досок,
уложенных параллельно диагоналям.
332
Рис. 5.18. Общий вид покрытия выставочного
павильона
Об архитектурной выразительности формы покрытия обо-
лочечной конструкции в виде четырех сопряженных гипаров
красноречиво свидетельствует пример сооружения, построенно-
го в г. Дюссельдорфе (рис. 5.19).
Другим интересным примером может служить шестисекци-
онное покрытие здания ресторана в г. Коттбусе, в котором удач-
но сочетаются шесть гиперболических оболочек, каждая из ко-
торых находится в нормальном положении.
В плане покрытие здания имеет конфигурацию в виде шес-
тилучевой звезды, а контур здания представляет собой 18-ти
гранник (рис. 5.20).
Рис. 5.19. Четырехсекционная конструкция дере-
вянной гиперболической оболочки
333
Рис. 5.20. Конструкция покрытия из шести обо-
лочек отрицательной кривизны
В Кембридже (Англия) построено здание выставочного па-
вильона размерами в плане 12 х 18 м с покрытием в форме ги-
перболической оболочки, составленной из двух слоев шпунто-
ванных досок толщиной 20 мм. По контуру оболочка сопрягается
с деревянными бортовыми элементами сечением 90 х 190 мм [8].
В 1978 г. в г. Кишиневе построен овощной крытый рынок
размерами в плане 36 х 24 м. Комбинированное покрытие этого
рынка выполнено в виде сочетаний 11 гиперболических оболо-
чек размерами 2а х 2а=6х6 м со стрелой подъема 0,85 м (рис.
5.21).
Рис. 5.21. Комбинированное покрытие рынка
из клеефанерных гиперболических оболочек
334
Каждый из гипаров представляет собой сборную конструк-
цию оболочки в ее нормальном положении, составленную из пя-
ти элементов, имеющих форму скрученного по коротким сторо-
нам прямоугольника размерами в плане 1,2 х 6 м. Эти элементы
являются жесткой каркасированной конструкцией, которая со-
стоит из дощатых продольных и поперечных ребер сечением 36
х 176 мм и обшивки из листов фанеры марки ФК толщиной 10
мм. Листы фанеры соединяются с деревянным каркасом на кар-
бамидном клею марки УКС с гвоздевой запрессовкой. Отдель-
ные элементы клеефанерной конструкции соединяются между
собой при помощи стяжных болтов диаметром 12 мм, размещае-
мых по длине смежных продольных ребер с шагом 300 мм.
Оригинальностью отличается конструктивное решение по-
крытия общественного здания в г. Сан-Франциско (США), в ко-
тором также использован прием сочетания нескольких гипербо-
лических оболочек, бортовые элементы которых имеют перемен-
ное сечение (рис. 5.22).
Рис. 5.22. Деревянная гиперболическая обо-
лочка покрытия общественного здания
Приведенные примеры сооружений с покрытиями в форме
гиперболических оболочек с прямолинейными бортовыми эле-
ментами показывают, что в большинстве рассмотренных случаев
покрытия формируются из нескольких модулей, благодаря чему
достигается регулярность структурной композиции в целом и
чем обусловливается ее неповторимый архитектурный облик.
335
6. МНОГОГРАННЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ПОКРЫТИЯ
ИЗ УНИВЕРСАЛЬНОГО НАБОРА ПАНЕЛЕЙ
6.1 Принципы формообразования
многогранных пространственных конфигураций
из минимального числа типоразмеров элементов
Многообразие возможных направлений использования зда-
ния предполагает многообразие функций последнего, в связи с
чем возникает необходимость оценить проектируемый объект с
позиций предстоящего строительства и последующей его экс-
плуатации. До тех пор, пока не решены вопросы, связанные с бу-
дущей эксплуатацией проектируемого объекта, нет смысла рас-
сматривать соответствие формы здания оптимальной строитель-
ной технологии.
Идея функционального проектирования укладывается в из-
вестную формулировку А.П. Брюллова: "... постройка должна
прежде всего удовлетворять своему назначению, быть осмыслен-
но распланирована, а затем облечена в красивую, но непременно
рациональную форму" [1]. На современном этапе развития строи-
тельной отрасли заметно стремление проектировщиков сделать
то или иное здание многофункциональным, обладающим воз-
можностью перепланировки его внутреннего пространства или
даже изменением формы. Более всего такому подходу соответст-
вуют многогранные пространственные покрытия, образуемые из
отдельных плоских панелей.
Многогранные покрытия отличаются большой архитектур-
ной выразительностью и разнообразием форм [19,28], однако эти
преимущества достигаются, как правило, за счет увеличения
числа типоразмеров отдельных элементов. При этом последние
могут иметь различную форму [25] или отличаться друг от друга
только размерами [18]. Значительное число типоразмеров
элементов усложняет процесс изготовления и монтажа покрытия,
служит источником возможных ошибок при возведении здания и
удорожает конструкцию. В связи с этим естественной
представляется задача уменьшения числа типоразмеров и
упрощения их формы при одновременном сохранении
336
архитектурной выразительности объектов. Поставленную задачу
можно решать несколькими способами в зависимости от
размеров и назначения здания или сооружения.
Последние несколько десятилетий характерны появлением
пространственных конструкций в форме морских раковин, лепе-
стков цветов, панцирей черепах, изогнутых листьев растений,
кристаллов драгоценных и полудрагоценных камней. Это обу-
словлено тем, что природные образования изначально хорошо
приспособлены к окружающей среде и обладают высокой сопро-
тивляемостью нагрузкам [30].
Для сооружений с относительно небольшими (до 24 метров)
пролетами удобным может оказаться использование правильных
многогранников. Многогранник - это пространственное тело с
плоскими гранями и прямолинейными ребрами, устроенное так,
что всякое ребро соединяет две вершины и служит общей сторо-
ной двух граней. Простейшими образцами многогранников слу-
жат пирамиды и призмы. Понятия и представления о многогран-
никах пришли к нам от древних греков.
Большие возможности открывает использование форм, ана-
логичных кристаллам некоторых химических соединений и, в
особенности, ограненным драгоценным камням [24]. В этом слу-
чае мы будем иметь дело с неправильными, но регулярными мно-
гогранниками. Не вдаваясь в подробности, приведем здесь одну
из возможных форм - ограненный рубин (рис. 6.1). В его верхней
части можно обнаружить четыре типоразмера элементов доста-
точно простой формы, объединение которых в единое целое соз-
Рис. 6.1. Огра-
ненный рубин
дает выразительную архитектурную
форму.
Перечисленные выше формы
встречаются в широко известных про-
странственных конструкциях из металла
и железобетона. К сожалению, примеров
подобных пространственных сооруже-
ний из древесины значительно меньше,
однако покрытия многогранного или
складчатого типа возведены как у нас в России, так и за рубежом.
Некоторые конструкции описаны в [2], причем в этой работе об-
337
суждаются преимущества зданий, спроектированных с примене-
нием принципов архитектурной бионики и сочетающих неболь-
шой вес и высокую прочность. Таким образом, целесообразность
применения пространственных конструкций в строительстве под-
тверждается самой природой.
Пространственные покрытия дают объемное решение зда-
ния, не нуждающееся в дополнительных декоративных аксессуа-
рах. Объем, решенный в таких конструкциях, всегда характерен,
позволяет максимально связать внутренние пространства с окру-
жающей средой и создать своим силуэтом интересный градо-
строительный акцент.
Срок действия технологического процесса и функциональ-
ного назначения здания истекает намного раньше срока службы
строительных конструкций, при этом устаревшие конструктив-
ные схемы и сами конструкции вступают в противоречие с тех-
ническим прогрессом, мешают перестройке зданий на новое
функциональное назначение. Пространственные конструкции и
здесь открывают более широкие возможности по сравнению с
плоскостными, благодаря большим пролетам и большей жест-
кости, а также в результате создания легких конструкций с при-
менением эффективных материалов, возможностью их демонта-
жа и перекомпоновки.
Однако, наряду с пространственными покрытиями дальней-
шее развитие должны получать и традиционные жилые здания, и
здесь просматривается еще одна тенденция в деревянном домо-
строении - создание своего рода "конструкторов", позволяющих
из однотипных деталей возводить здания различного вида и на-
значения. Количество типов базовых элементов конструктора
должно быть возможно меньшим, и наилучшим следует считать
вариант с одним-двумя типами базовых элементов.
Именно по такому пути пошла фирма "Arch. Domes. Inc." в г.
Лос-Алтос (штат Калифорния, США), выпускающая цельнопла-
стмассовые дома типа "Silinguom" из трехслойных оболочечных
элементов двух типов прямоугольной и треугольной формы [21].
Из этих элементов, весом примерно по 90 кг можно собрать 144
варианта жилых домов разной формы и площади. Завод фирмы в
г. Паско (штат Вашингтон) может выпускать до 900 домов в год.
338
Комплексное решение вопроса о создании здания или со-
оружения, отвечающего современным требованиям, связано с
преодолением противоречий, возникающих между архитектора-
ми и технологами. Первые стремятся запроектировать сооруже-
ние легким, функционально эффективным, архитектурно вырази-
тельным и менее материалоемким. Если точно следовать этим
положениям, конструктивные решения неизбежно усложняются.
Технологи же хотят сделать сооружение как можно проще, с
наименьшим количеством трудозатрат и в короткие сроки.
Устранение указанного противоречия возможно при исполь-
зовании некоторого универсального набора простых по форме и
конструкции панелей из древесины и пластических масс, совме-
щающих несущие и ограждающие функции и позволяющих со-
бирать как плоскостные, так и оболочечные конструкции зданий
и сооружений. Панели должны иметь максимальную заводскую
готовность, обеспечивающую высокую скорость монтажа не
только несущих частей здания, но и всевозможных инженерных
коммуникаций. Соединения панелей должны быть максимально
простыми и эффективными, предполагающими возможность не
только быстрой сборки сооружения, но, если это необходимо, и
простой его разборки или замены отдельных панелей. Такие кон-
струкции, дающие возможность изменять форму здания в про-
цессе эксплуатации, либо из одного и того же набора исходных
элементов возводить различные сооружения, принято называть
трансформируемыми.
Перейдем к рассмотрению вопроса о формах, которые долж-
ны иметь панели универсального набора. В кристаллографии ста-
вится задача отыскания таких многоугольников, которые могли
бы накрыть всю плоскость без разрывов. Существует всего не-
сколько типов геометрических фигур, из которых можно образо-
вать плоскость. Прежде всего, это так называемые параллелогоны
- фигуры, чьими параллельными сдвигами можно покрыть всю
плоскость таким образом, чтобы они прилегали друг к другу по
целой стороне. К ним относятся центрально-симметрические па-
раллелограммы и шестиугольники (рис. 6.2). Поскольку панелям
целесообразно придать возможно более простую форму, ограни-
чимся частными случаями параллелотопов - правильным шести-
339
Рис. 6.2. Параллелогоны
угольником и квадратом.
Плоскость можно образо-
вать также и правильными тре-
угольниками, которые уже не
являются параллелотопами,
поскольку их необходимо не
только сдвигать, но и повора-
чивать. Известен способ обра-
зования плоскости многоугольниками нескольких типов, напри-
мер, правильными восьмиугольниками и квадратами. Исходя из
вышеизложенного, остановимся пока на четырех типах правиль-
ных многоугольников - трех-, четырех-, шести- и восьмиугольни-
ках.
Аналогом параллелотопов для трехмерного случая являются
параллелоэдры - выпуклые многогранники, параллельными
переносами которых можно покрыть все пространство так, чтобы
они прилегали друг к другу по целым граням. Задачу отыскания
параллелоэдров поставил и решил в 1885 году знаменитый
кристаллограф Е.С. Федоров. Параллелоэдрами являются
параллелепипеды, призмы с центрально-симметрическим
шестиугольным основанием, двенадцати- и четырнадцатигран-
ники. Среди правильных многогранников существует только
один параллелоэдр - куб.
Подобными параллельными переносами некоторых тел
можно покрыть значительную часть пространства,
следовательно, параллелоэдральное формообразование целесооб-
разно для зданий и сооружений больших размеров в плане.
Аналогично термину "полуправильные многогранники" введем
понятие "полуправильные параллелоэдры" и будем
подразумевать под ним части архимедовых тел, переносами и
поворотами которых можно накрыть плоскость. При этом
возможные разрывы между ними должны закрываться
правильными многоугольниками. Из восемнадцати архимедовых
тел полуправильными параллелоэдрами являются только шесть:
тетраэдр, октаэдр, куб, кубооктаэдр, ромбокубооктаэдр, и
ромбоусеченный кубооктаэдр. Если же рассматривать
неправильные многогранники, то полуправильных параллелоэд-
340
ров будет значительно больше. Очевидно, что с таком случае
плоскость может быть накрыта четырьмя способами:
правильными треугольниками, квадратами, правильными
шестиугольниками и комбинацией из квадратов и правильных
универсального набора
восьмиугольников.
Рассмотренные выше примеры показывают, что предпочте-
ние следует отдать панелям треугольной и четырехугольной
форм. Из треугольников можно составить шестиугольник, а из
квадрата и треугольников - восьмиугольник. Это дает возмож-
ность уменьшить количество типоразмеров панелей до двух (рис.
6.3). Одно из преимуществ панелей треугольной формы состоит в
том, что раскрой исходных листов материала обшивок, например,
фанеры, производится весьма просто
и практически без отходов. Это
обеспечивается, во-первых, приня-
той формой панелей, а во-вторых,
размером а, кратным 1.5м, который
выбран в соответствии с модульной
системой в строительстве и разме-
рами основных листовых материа-
лов.
В Пензенской архитектурно-
строительной академии разработан
способ формирования пространст-
венных конструкций из треугольных панелей одного типа [17].
При этом используются треугольники произвольного вида, раз-
меры которых задает архитектор. Такой подход представляется
не вполне удобным, поскольку он не обеспечивает малоотходную
технологию раскроя листовых материалов для изготовления па-
нелей. Кроме того, здания и сооружения в этом случае имеют, как
правило, звездчатую или складчатую форму и состоят только из
треугольников, что не всегда целесообразно.
В [27] описывается набор из 9 различных треугольников
(рис. 6.4), комбинации которых дают возможность образовывать
различные пространственные конфигурации, показанные на рис.
6.5.
341
Рис. 6.4. Базовые треугольники
Отличие универсального набора заключается в том, что из
него возможно создавать укрупненные модули различного, но
геометрически простого вида, формируя покрытие здания из не-
скольких типов плоских многоугольных панелей. Некоторые ук-
рупненные модули представлены на рис. 6.6. При этом следует
уточнить, что речь идет не об укрупнительной сборке треуголь-
ных элементов в единый блок, а о выпуске предприятием-
изготовителем цельных плоских панелей различных форм, кото-
рые можно было бы сформировать из целого числа исходных
треугольников. Все показанные на рис. 6.5 конфигурации могут
быть получены на базе универсального набора, который в итоге
оказывается более простым, чем панели, предлагаемые в [27].
Из элементов универсального набора можно компоновать и
архимедовы тела. Из множества выпуклых многогранников наи-
более интересными конфигурациями являются лишь некоторые
из них.
342
Рис. 6.5. Примеры пространственных конфигурации
343
Рис. 6.6. Укрупненные модули
Это ромбокубооктаэдр, состоящий из восьми треугольников
и восемнадцати квадратов; усеченный октаэдр, сформированный
из шести квадратов и восьми шестиугольников; усеченный кубо-
октаэдр, образованный двенадцатью квадратами, восемью шес-
тиугольниками и шестью восьмиугольниками; и ромбоикосодо-
декаэдр, состоящий из двадцати треугольников, тридцати квадра-
тов и двенадцати пятиугольников (рис. 6.7). Выбор указанных тел
обусловлен следующими критериями:
- разрезка их одной плоскостью, исходя из геометрических
особенностей, позволяет формировать пространственные
покрытия, имеющие опорный контур, лежащий в горизон-
тальной плоскости, без применения каких-либо дополни-
тельных конструктивных элементов;
- при формировании этих сооружений из плоских панелей
число типоразмеров является минимальным.
344
Для выявления форм покрытий, имеющих наилучшие соот-
ношения площади поверхности и перекрываемого объема, прове-
ден геометрический расчет нескольких пространственных блоков
многогранной формы. Блоки сравнивались друг с другом, а также
производилось сопоставление их геометрических характеристик с
аналогичными параметрами, полученными для таких фигур, как
гексаэдр и сфера. Выбор двух последних форм обусловлен сле-
дующими факторами:
- большинство зданий и сооружений имеют форму гексаэд-
ров и прямоугольных призм. Последние просты в изго-
товлении, но неэкономичны с точки зрения расхода мате-
риалов;
- сфера, в отличие от гексаэдра, является одной из опти-
мальных форм покрытия, так как перекрывает наиболь-
ший объем при наименьшей площади поверхности.
В качестве постоянного критерия при сравнении исследуе-
мых блоков была выбрана площадь покрытия FnoKp_. Она прини-
малась одинаковой для всех форм и равнялась площади боковых
Рис. 6.7. Полуправилъные многогранники (слева направо:
ромбокубооктаэдр, усеченный октаэдр, усеченный ку-
бооктаэдр, ромбоикосододекаэдр)
и верхней грани куба со стороной а, равной три метра. Для каж-
дой из принятых форм определялись следующие геометрические
характеристики: а — размер стороны панелей, из которых соби-
раются покрытия (для сферы а - радиус сферы), FOCH - площадь
основания, V - объем.
Выбор рациональных форм осуществляется в результате их
сравнения по безразмерному параметру
345
0.095-F2^’
Числовой множитель в знаменателе выражения введен для того,
чтобы параметр £ для полусферы равнялся единице.
Результаты расчета представлены в табл. 6.1.
Таблица 6.1
Сравнение геометрических характеристик
выпуклых многогранников
Гео- метри- ческие харак- тери- стики Гекса- эдр Усе- ченный октаэдр Усечен- ный ку- боока- тэдр Ром- боку- боок- таэдр Доде- каэдр Полу- сфера
а, м 3 1,303 1,09 1,75 0,864 2,68
Foch.i М 9 11,88 14,87 14,79 19,7 22,6
* покр. !> М 45 45 45 45 45 45
V, м 3 27 17,68 33,63 34,5 34,4 40,3
§ 0,421 0,105 0,674 0,695 0,789 1,000
Из нее видно, что многогранное покрытие в форме додека-
эдра, при одинаковом расходе материала перекрывает наиболь-
шую площадь и создает наибольший объем по сравнению с дру-
гими формами, кроме того, его показатели оказываются наиболее
близкими к аналогичным значениям, полученным для полусфе-
ры. В сравнении с ним покрытия, выполненные в форме ромбо-
кубооктаэдра и усеченного кубоокатэдра, несколько уступают по
величине параметра но значительно превосходят по указанно-
му показателю покрытия в форме усеченного октаэдра и гексаэд-
ра.
Обращаясь к вопросам роста и развития органического мира,
мы сталкиваемся с функциональным усложнением структур, оз-
начающим не простое суммирование однотипных функциональ-
ных элементов (кораллы), а их соединение в одной системе. Ана-
логично и в строительстве имеется тенденция к упрощению от-
дельных архитектурных форм, однако это компенсируется ус-
346
ложнением архитектурных комплексов, то есть увеличением чис-
ла единиц, входящих в комплекс, и разнообразием их функцио-
нального назначения.
Объединение рассмотренных выше пространственных бло-
ков друг с другом в горизонтальном и вертикальном направлени-
ях, создает новые виды пространственных конфигураций, для ко-
торых структурообразующим является универсальный набор из
двух плоских слоистых панелей в виде прямоугольных треуголь-
ников, позволяющий возводить здания и сооружения с интерес-
ными объемно-планировочными решениями [5].
6.2 Определение основных размеров
пространственных покрытий
В зарубежной практике строительства известны примеры
многогранных пространственных покрытий из плоских панелей,
причем определенный интерес в композиционном отношении
представляют различные комбинации куполов в форме выпук-
лых многогранников. Так, например, в [9] дается описание мно-
гогранного покрытия, скомбинированного из частей 32- и 62-
гранников (рис. 6.8). Купольные покрытия состоят из четырех
типов плит с ребрами двухметровой длины. Внешние обшивки
клеефанерных плит защищены слоем полимера. Швы, образо-
ванные смежными плитами, уплотняются герметиком. Осве-
щение помещения достигается путем устройства отверстий и за-
полнения их светопроницаемым материалом.
По такому же принципу разработано покрытие здания мно-
гоцелевого назначения в г. Блуиз (Франция) [26]. Композицион-
но-планировочное решение предусматривает перекрытие площа-
ди около 1500 м2 с помощью 23 куполов пролетом 10 м и высо-
той 6 м, размещенных на треугольной сетке с шагом 9,06 м. От-
дельные секции, изготовленные из стеклопластика толщиной 3
мм, доставлялись к месту строительства в виде блоков размерами
2,5X7,5 м, где производился их монтаж укрупненными элемента-
ми.
347
Рис. 6.8. Составное многогранное покрытие
Примерами покрытий в форме многогранных поверхностей,
выполненных из панелей с брусчатым каркасом и фанерными
обшивками, либо однослойных - древесностружечных плит могут
служить музыкальный павильон в Монреале (Канада), и геодези-
ческие купола в Зекингене (Германия) [9]. Известны и другие
примеры подобных сооружений (рис. 6.9).
Рис. 6.9. Многогранное покрытие
348
В процессе проектирования многогранных покрытий долж-
ны быть прежде всего определены их геометрические параметры.
Достаточно подробный обзор литературы по многогранным по-
верхностям показал, что даже основные параметры Архимедовых
тел практически отсутствуют в литературе. Что же касается со-
ставных многогранных конструкций, здесь ситуация еще хуже.
Геометрический расчет покрытий, образованных из универсаль-
ного набора панелей, может быть выполнен достаточно просто,
поскольку они формируются из одних и тех же исходных элемен-
тов. В качестве примера рассмотрим блок, составленный из 5
квадратов и 10 треугольников (рис. 6.10).
Рис. 6.10. К определению размеров блока, сформированного
на базе десятиугольника
Найдем его основные размеры, если длина стороны одного
элемента а = 3м. Заметим, что радиус описанной вокруг пра-
вильного пятиугольника окружности 7?5 = 0,8507а. Поскольку R5
является проекцией на горизонтальную плоскость стороны а, то
высота блока: h = -Jo2 ~/?2 = 0,5257а. Контур блока имеет в пла-
349
не вид правильного десятиугольника с радиусом вписанной в не-
го окружности г10 = 1,5388а. Проекция высоты внешнего тре-
угольника А3 равна радиусу окружности, вписанной в пяти-
угольник Л3 = г5 = г10 -Т?5 = 0,6881а. Очевидно, что
А 4 = R5 = 0,8507а. Радиус описанной вокруг десятиугольника
окружности 7?10 =1,6180а. Основные размеры блока приведены
на рис. 6.10. Геометрические параметры блока, образованного на
базе восьмиугольника, при а=3м даны на рис. 6.11.
Рис. 6.11. К определению размеров блока
с восьмиугольным основанием
Полученные результаты могут быть использованы при определе-
нии габаритных размеров составных многогранных покрытий. В
основу одной из форм покрытия пространственной конфигурации
может быть положена комбинация фрагментов ромбокубооктаэд-
ров и ромбоусеченных кубооктаэдров (рис. 6.12).
Несложно заметить, что в покрытии использованы много-
гранные блоки на основе восьмиугольника. При длине стороны
панелей, равной Зм, пролет верхней надстройки над угловым
блоком павильона составляет 7.242м (рис. 6.11), а ее высота —
5.121м. Угловой блок имеет в плане форму осесимметричного
восьмиугольника с чередующимися длинами сторон 3 и 7.242
метра. В связи с этим, его пролет равен 11.484м, а высота -
7.242м. С учетом того, что переходные галереи имеют длину 6м,
350
габаритные размеры в плане будут 39.2x39.2м, полная высота -
12.363м, а общая площадь составляет 926м2. Для возведения зда-
ния необходимо 236 панелей - 32 треугольных, 188 квадратных и
16 шестиугольных.
Рис. 6.12. Пространственная конфигурация
на основе ромбокубооктаэдров
Несколько иной вариант решения покрытия из усеченных
додекаэдров представлен на рис. 6.13. Тиражирование модульных
блоков выполняется не только на плоскости, но и по высоте. При
этом каждая грань усеченного додекаэдра заменяется рассмот-
ренным выше блоком, сформированным на базе десятиугольника.
Купольное покрытие составляют 6 модулей, каждый из ко-
торых представляет собой часть усеченного додекаэдра. Для оп-
ределения размеров модуля вначале отыскивается угол, под кото-
рым стыкуются друг с другом его отдельные грани. С этой целью
рассматривается правильный десятиугольник (рис. 6.14) и вы-
полняются необходимые вычисления при условии, что й=Зм. Ве-
личины отрезков СВ = а^ = 2,427 м, а2 = 6,707 м и длина
АВ = 7,854м. Радиус вписанной в десятиугольник окружности
г10 = 4,616 м. Обозначив через г} радиус окружности, вписанной в
351
пятиугольник со стороной АВ и через г2 - радиус окружности,
вписанной в показанный пунктиром пятиугольник, находим
А1 = -г2 = 0,6882(АВ-а2) = 0,789м. Длина отрезка CD = 1,763м,
и угол между двумя соседними десятиугольниками равен
<р =116,615°. Так как t/10 = 2г10 = 9,233м, то высота одного моду-
ля определится как h = dw cos ср = 8,255м, а радиус вписанной в
модуль окружности гвп = d10 sin + r10 = 8,752м.
Рис. 6.13 Покрытие из усеченных додека-
эдров
Купольное покрытие составляют 6 модулей, каждый из ко-
торых представляет собой часть усеченного додекаэдра. Для оп-
ределения размеров модуля вначале отыскивается угол, под кото-
рым стыкуются друг с другом его отдельные грани. С этой целью
рассматривается правильный десятиугольник (рис. 6.14) и вы-
полняются необходимые вычисления при условии, что а=3м. Ве-
личины отрезков СВ = аг = 2,427 м, а2 = 6,707 м и длина
АВ = 7,854 м. Радиус вписанной в десятиугольник окружности
г10 = 4,616 м. Обозначив через радиус окружности, вписанной в
пятиугольник со стороной АВ и через г2 - радиус окружности,
вписанной в показанный пунктиром пятиугольник, находим
352
д1 = rj _r2 = 0,6882(AB-a2) = 0,789м. Длина отрезка CD = 1,763м,
и угол между двумя соседними десятиугольниками равен
ср = 116,615°. Так как di0 = 2т10 = 9,233м, то высота одного моду-
ля определится как h = d10 coscp = 8,255 м, а радиус вписанной в
модуль окружности гвп = dw sin ^9 + r10 = 8,752 м.
Выполнив далее аналогичные вычисления для описанных
радиусов, получим Д2 = Л2 ~ 0,8507(АВ-а2) = 0,976м. Отре-
Рис. 6.14 К определению размеров
покрытия из усеченных додекаэдров
зок ЕВ = (а2 - а)! 2 = 1,854м. Угол гр, под которым наклонены к
вертикали общие ребра десятиугольников, образующих модуль,
получается равным гр =31,756°. Таким образом, радиус описан-
ной вокруг модуля окружности Ron = Bjq +h-tgt/’ = 9,964м. От-
метка верха покрытия составляет
Н = 2J10 cosq? + 0,5257а = 6,0287а,
что при а = 3м составляет 18,086м, а диаметр покрытия -
= 14.747а = 44.24 м.
Форма и размеры покрытия определяют требуемое для его
возведения количество панелей, общее число которых составляет
445, причем 130 из них - квадраты, 310 т треугольники и 5 - шес-
тиугольники.
353
6.3 Конструктивные решения панелей
и их стыковых соединений
При разработке новых типов конструкций большое значение
имеет рациональный выбор материалов для изготовления отдель-
ных частей здания. Трансформируемые панельные конструкции
предполагают возможность сборки-разборки, либо замены одних
панелей другими. Строительство сооружений может вестись вда-
ли от транспортных коммуникаций и предприятий строительной
индустрии. Перечисленные выше причины обусловливают необ-
ходимость снижения веса отдельных элементов здания при одно-
временном и безусловном сохранении их высоких прочностных и
жесткостных свойств.
Вторым условием, определяющим выбор материалов, явля-
ются теплофизические характеристики последних. Людям, нахо-
дящимся в зданиях, должны быть обеспечены комфортные усло-
вия.
Третье условие - относительная простота обработки мате-
риалов, обеспечивающая легкость изготовления отдельных эле-
ментов и их последующей сборки.
Удешевление строительства и сокращение его сроков при
одновременном соблюдении всех необходимых норм
проектирования является важнейшим условием быстрого роста и
развития строительной индустрии России. Отсюда вытекает
четвертое условие - меньшая стоимость конструкций.
Перечисленным выше условиям в полной мере отвечает
древесина и изделия из нее. Это легкий, теплый, экологически
чистый материал, легко поддающийся обработке. По данным
ЦНИИСК [20] применение плит покрытий и панелей стен на де-
ревянном каркасе и с обшивками из листовых материалов обес-
печивает снижение веса зданий в целом в 2.5-3 раза, трудозатрат -
в 1.5-1.8 раза и стоимости по приведенным затратам на 7-10%.
Ретроспективный обзор материалов, применяемых в строительст-
ве, выявил следующую тенденцию: замена традиционных для оп-
ределенного временного периода материалов новыми идет в на-
правлении уменьшения их объема при сохранении достаточно
высоких механических свойств. Интересна оценка конструктив-
354
ных свойств материалов через условный показатель, именуемый
коэффициентом конструктивного качества (к.к.к.)- Он представ-
ляет собой отношение предела прочности (как правило, при сжа-
тии) материала к его объемному весу [11]. Так, средние значения
этого показателя составляют для кирпича строительного - 0.06,
тяжелого бетона - 0.1, стали обычной прочности - 0.3-0.5, древе-
сины сосны - 0.7, полимерных материалов и пластмасс - 1-2 и
выше.
Конструктивные решения деревянных пространственных
покрытий зависят от целого ряда разнообразных факторов. От-
дельные панели и их стыковые соединения должны надежно вы-
полнять несущие и ограждающие функции в течение расчетного
срока эксплуатации (50 лет). Объемно-планировочные и техниче-
ские решения зданий должны обеспечивать защиту древесины и
материалов на ее основе от увлажнения.
Панели покрытий, как правило, состоят из каркаса с ребрами
из досок (брусьев), армированной древесины, гнутоклеенных
фанерных профилей, обшивки из листов водостойкой фанеры,
твердых и сверхтвердых древесноволокнистых плит или гипсо-
картона, а также несгораемого утеплителя. Номенклатура и тех-
нические характеристики основных типов панельных конструк-
ций, выпускавшихся в СССР и России, приводятся, например, в
[16, 20]. Анализ указанных источников показывает, что при ис-
пользовании в качестве каркаса панелей деревянных брусьев,
толщина последних обычно назначается равной 50мм, а шаг - от
250 до 500мм. Что касается высоты ребер, то она варьируется от
110 до 250мм и обычно регламентируется толщиной утеплителя,
уложенного между обшивками панели. Фанерные обшивки име-
ют толщину от 6 до 12 миллиметров, в зависимости от назначе-
ния панели и характера работы ее элементов.
Шаг ребер, их количество и расположение в панелях зависят
от формы и размера последних. Так, для прямоугольных укруп-
ненных модулей предлагается ортогональная сетка ребер с шагом
500мм. При этом ребра, параллельные одной из сторон панели,
выполняются цельными, а элементы ортогонального направления
- разрезными. В местах пересечения ребра соединяются при по-
мощи шурупов. Крайний шаг ребер уменьшен вдвое, в соответст-
355
вии с конструкцией стыковых соединений. На рис. 6.15 представ-
лен общий вид стеновой панели размерами 1,5x1,5м. Из рисунка
видно, что внутренняя обшивка не доводится до контурных ре-
бер. Это сделано для того, чтобы обеспечить необходимый дос-
туп во внутреннюю полость панели для устройства стыковых со-
единений и разводки инженерных коммуникаций. Из тех же со-
ображений в контурных областях панели отсутствует утеплитель,
который укладывается по окончании монтажа. Одновременно с
этим проемы закрываются нащельниками.
Рис. 6.15. Общий вид стеновой панели
В основных типах укрупненных модулей целесообразно со-
хранять ортогональную сетку продольных и поперечных ребер,
ориентируя их параллельно или перпендикулярно одной из сто-
рон, в частности, в панелях в форме прямоугольного треугольни-
ка - параллельно большему катету.
Обшивки крепятся к панелям при помощи клеев, обеспечи-
вающих повышенную водостойкость соединений: резорциновых,
карбамидно-меламиновых и др. Непроклеенные места в клеевых
прослойках между обшивками и верхними гранями ребер не до-
пускаются, либо регламентируются [20]. Крепление обшивок па-
нелей может осуществляться также на шурупах или гвоздях.
Панели должны иметь пароизоляцию, которая может быть
окрасочной или пленочной. Пароизоляционный слой располага-
356
ется между утеплителем и внутренней обшивкой. В качестве па-
роизоляции рекомендуется применять:
- покрытие из железного сурика - 40% и олифы - 60%;
- покрытие из инденкумароновой смолы - 40% и сольвента -
60%;
- полиэтиленовую пленку.
Панели следует антисептировать и обрабатывать огнезащит-
ными составами в соответствии с требованиями нормативных до-
кументов. Составы и способы их применения определяются в ка-
ждом конкретном случае, исходя из возможностей предпри-
ятий-изготовителей.
Гибкие технологии в деревянном панельном строительстве
предполагают возможность замены одних панелей другими, пре-
образование формы сооружения или его периодическую сбор-
ку-разборку. Упомянутые обстоятельства обусловливают некото-
рые специальные требования к конструкциям стыковых соедине-
ний отдельных панелей. Здания должны быстро собираться и де-
монтироваться, замену одной панели на другую следует произво-
дить без разборки всего здания, крепежные элементы должны
быть легко доступными.
Многогранные купола и оболочки из универсального набо-
ра панелей обычно имеют "геометрически устойчивую" форму,
поэтому их стыковые соединения могут решаться более просто,
чем в обычных деревянных домах. Многогранные покрытия при-
обретают "геометрическую устойчивость" после установки в про-
ектное положение 70-90% панелей. До этого конструкция может
"дышать" и для сохранения ее формы требуются специальные ле-
са или иные временные крепления.
Предлагаемый вариант стыковых соединений многогранных
покрытий оформляется в два этапа. На первом из них происходит
соединение панелей при помощи вставок из стального V-
образного листа толщиной 4-6мм, изогнутого таким образом,
чтобы обеспечить сопряжение панелей под необходимым углом.
Вставки располагаются равномерно по длине стыка, но не менее
одной вставки на каждый метр панели.
Поскольку панели покрытий имеют нижнюю обшивку, до-
ходящую только до середины приконтурных ребер, то это дает
357
возможность осуществлять соединение панелей со вставками на
болтах.
Второй этап монтажа начинается после установки всех па-
Рис. б. 1 б. Стыковое соединение панелей в сборе
1 — панели; 2 - V-образная вставка; 3 - деревянный вкла-
дыш; 4 - нащельники; 5 - болт.
нелей в проектное положение. На этом этапе предусматривается:
- заполнение нижней части стыков панелей эффективным
утеплителем, а верхней - деревянными вкладышами;
- пропуск и соединение инженерных коммуникаций в от-
крытых полостях панелей;
- укладка утеплителя в этих полостях;
- установка жестких нащельников, обеспечивающих не
только герметичность стыка, но и окончательную связь панелей
друг с другом. Вид стыка в сборе показан на рисунке 6.16.
Стыковое соединение панелей многогранных пространст-
венных покрытий было испытано в лаборатории кафедры метал-
лических, деревянных и пластмассовых конструкций РГСУ. Для
проведения эксперимента в заводских условиях были изготовле-
ны квадратные и треугольные малоразмерные панели. Квадрат-
ная панель (ПК) размерами 500x500мм имеет толщину 66мм. Па-
нель состоит из фанерных обшивок толщиной Змм и ребер дере-
вянного каркаса. Одна из обшивок заканчивается на середине
первых промежуточных ребер, оставляя крайний их шаг откры-
358
тым для устройства стыковых соединений. Сечения ребер, вы-
полненных из сосны нормальной влажности: контурных -
30x60мм, внутренних - 16x60мм. Внутренние ребра образуют ор-
тогональную сетку, крайние ячейки которой имеют ширину,
вдвое меньшую, чем средние. Контурные ребра в углах стыкуют-
ся при помощи двух пластинчатых нагелей из фанеры. Все со-
единения выполняются клеегвоздевыми.
Треугольная панель (ПТ) имеет правильную форму с длиной
стороны 500мм. В ПТ принято однонаправленное размещение
внутренних ребер, которые соединяются с контурными в шип.
Сечения ребер, толщины обшивок, а также способ соединения
ребер и обшивок приняты такими же как и для ПК.
Для определения податливости рассматриваемого стыкового
соединения была смонтирована экспериментальная установка
(рис.6.17). Блок для испытаний собирался из четырех квадратных
панелей. Панели соединялись попарно при помощи болтов М10, а
из образовавшихся укрупненных модулей размерами в плане
500x1000мм было сформировано сопряжение панелей под углом
135° друг к другу. Величина угла назначалась, исходя из того, что
впоследствии испытанию подвергалась малоразмерная конструк-
ция пространственного покрытия в форме ромбокубооктаэдра,
грани которого образуют именно такие углы.
В уровне срединной плоскости каждого из укрупненных мо-
дулей были просверлены по четыре отверстия в контурных реб-
рах, через которые модули соединялись с V-образными пласти-
нами на болтах Мб.
Затем верхняя часть сформированного таким образом стыка
панелей была заполнена шестью деревянными вкладышами, по-
сле чего соединение было закрыто с обеих сторон нащельниками
из оцинкованной стали толщиной 0.5мм, прикрепляемыми к па-
нелям шурупами.
Укрупненные модули своими длинными сторонами устанав-
ливались в стальные обоймы из прокатных уголков и закрепля-
лись в них болтами и шурупами. Конструкция размещалась на
массивной стальной раме, причем одна из обойм крепилась к ра-
ме шарнирно неподвижно, а присоединенные ко второй обойме
подшипники образовывали катучую опору.
359
Рис. б. 17. Общий вид экспериментальной установки для
определения характеристик податливости стыкового
соединения панелей
Испытательная нагрузка на соединение создавалась при по-
мощи грузов, укладываемых на две подвески, которые крепились
к V-образной пластине при помощи стальных тросов, пропущен-
ных через отверстия в нижнем нащельнике. Нагрузка приклады-
валась порциями по 5кг в пять этапов.
Вертикальные перемещения стыкового соединения регист-
рировались при помощи двух индикаторов часового типа ИЧ-
0.01, а горизонтальные - измерялись двумя прогибомерами сис-
темы Максимова.
Всего было проведено пять циклов испытаний типа "нагруз-
ка-разгрузка". Средние значения вертикального и горизонтально-
го перемещений составили, соответственно 3,51 и 2,80мм.
В расчетах конструкций из универсального набора панелей
податливость стыковых соединений предлагается учитывать вве-
дением в конечноэлементную модель конструкции упругоподат-
ливых связей между отдельными панелями. В реальных задачах
360
такой связью могут служить вставки в виде тонких упругих пла-
стинчатых элементов типа листовых шарниров. Толщину вставок
и их упругие характеристики следует подбирать в соответствии с
полученными выше результатами, а ширину предлагается при-
нимать равной кратчайшему расстоянию между контурными реб-
рами двух соседних панелей в свету, на уровне срединных плос-
костей последних.
Помимо рассмотренной конструкции стыкового соединения
возможны и другие решения. При ликвидации последствий чрез-
вычайных ситуаций, а также на ряде объектов специального на-
значения Министерства Обороны Российской Федерации могут
быть использованы сборно-разборные сооружения из универ-
сального набора панелей. В связи с этим предлагаются два вари-
анта сборно-разборных стыковых соединений.
Рис. 6.18. Сборно-разборное стыковое соединение
панелей
Первое из них (рис. 6.18) может быть использовано при соз-
дании пространственных конструкций, где возможно сопряжение
в одном стыке трех и более панелей, соединяющихся друг с дру-
гом под различными углами [6]. Сущность решения заключается
в том, что стык отдельных панелей осуществляется при помощи
центрального полого сердечника с приваренными к нему корот-
361
кими отрезками труб, между которыми вставлены гнутые эле-
менты специального вида, прикрепленные к обшивкам панелей
нагелями и соединенные с сердечником при помощи жестких
стержней.
Первоначально, к панели 1 при помощи нагелей 2 крепятся
гнутые элементы 3. Крепление каждого гнутого элемента произ-
водится минимум в шести точках. Кроме того, к центральному
сердечнику 6 привариваются отрезки труб 5.
Затем на месте монтажа требуемое число панелей 1 под
нужными углами присоединяется к сердечнику 6 путем вставки
элементов 3 между отрезками труб 5 и последующей фиксации
стыка при помощи жестких стержней 4, пропущенных через от-
резки труб 5 и гнутых элементов 3.
Панели соединяются друг с
другом без резьбовых соединений,
что значительно уменьшает трудо-
емкость и сроки монтажа сооруже-
ний. Конструкция стыка обеспечи-
вает многократную оборачивае-
мость соединения.
Второй вариант стыкового со-
единения имеет петлевое решение,
Рис. 6.19. Вариант стыко-
вого соединения.
отличающееся от предыдущего
тем, что выполняется двухшарнир-
ным [7]. Соединение (рис. 6.19),
включает в себя наружный и внут-
ренний шарниры, которые крепятся к обшивкам панелей пласти-
нами, причем внутренние соединяются с панелями жестко, а кре-
пление наружных пластин позволяет за счет прорезей в пласти-
нах наружного шарнира варьировать угол соединения с после-
дующим жестким фиксированием панелей в проектном положе-
нии.
Сборка соединения производится в следующем порядке:
сначала к соединяемым панелям 1 жестко крепятся пластины
внутреннего шарнира 2 с помощью самонарезающихся винтов 5.
Затем к обшивкам панелей неплотно крепятся пластины внешне-
го шарнира 6 также при помощи самонарезающихся винтов или
362
болтов 9. На месте монтажа в горизонтальном положении оба
шарнира 3 и 7 собираются путем установки и фиксирования осей
4 и 8. Затем панели выставляются под требуемым углом и пла-
стины наружного шарнира 6 жестко крепятся к обшивкам. Для
придания стыку геометрической неизменяемости между панеля-
ми укладывается доборный элемент 10, после чего свободное
пространство соединения заполняется пористым утеплителем и
стык закрывается нащельниками.
6.4 Напряженно-деформированное состояние
конструкций покрытий
из универсального набора панелей
6.4.1 Параметры упругости панелей покрытий
Клеефанерные панели универсального набора представляют
собой анизотропные плиты, причем анизотропия носит конструк-
тивный характер. Фанера, используемая в качестве обшивок, сама
является ортотропным материалом. В связи с тем, что внутренние
ребра панелей могут иметь различные поперечные сечения и их
количество в обоих направлениях может быть также различным,
становится понятным, в силу чего панели обладают конструктив-
ной анизотропией.
При расчете сооружений, состоящих из клеефанерных плит,
прежде всего, необходимо располагать данными об упругих ха-
рактеристиках самих панелей. Подобные сведения могут исполь-
зоваться в численных или аналитических расчетах многогранных
покрытий, когда слоистые элементы заменяются сплошными
плитами с эквивалентными исходной конструкции характеристи-
ками упругости. При этом следует учитывать развитость сечения
панелей по высоте, обусловленную современными теплотехниче-
скими требованиями.
Поскольку описанные выше стыковые соединения обеспе-
чивают связь панелей друг с другом по контуру, рассмотрение
вопроса о нахождении жесткостных характеристик слоистых
плит начнем с анализа прямоугольной в плане клеефанерной па-
нели, опертой по четырем сторонам и загруженной равномерно
363
распределенной нагрузкой. Прогиб аналогичной прямоугольной
пластинки можно определить, используя известное выражение
[23]:
. тлх . пт
,4 оо оо sin-----sm——
--Цч-п —t ° -А--------------------- («1)
Я m=ln=l I т\ 21 т\ т-ч 4
— + 2О3и — + ©2Л
\ с / \с/
где с - соотношение сторон пластинки - с = a lb.
Существуют различные подходы к определению жесткост-
ных характеристик систем с ребрами в двух направлениях. Рас-
пространенным является прием, когда панель представляется в
виде трехслойной конструкции со сплошным средним слоем. В
таком случае ребра как бы “размазываются” в границах среднего
слоя панели. Зависимости, позволяющие подсчитать приведен-
ные жесткостные характеристики сплошного среднего слоя, при-
нимаются по [23], а затем панель рассматривается как ортотроп-
ная пластинка, параметры упругости которой находятся по мето-
дике [15];
Второй подход аналогичен первому и отличается лишь тем,
что приведенные жесткостные характеристики “размазанного”
среднего слоя, определяются в соответствии с [12].
Опираясь на результаты исследований жесткостей систем с
ребрами в двух направлениях, выполненных М. Соколов-
ским, запишем:
Eh3 b2 Eh3 а2 „ Eh3 а2Ь2
А1--------D22-----------, D12=v------
12 b 22 12 а 12 12 ab
(6-2)
где Е и v - модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала ре-
бер соответственно, а остальные обозначения приняты согласно
рис. 6.20.
Но, с другой стороны, аналогичные жесткости ортотропной
(6-3)
пластины определяются выражениями:
* Е-Е3 * E2h3 „* * *
А1=--------’ D22=—---------D12 =v2A1
12(1- Vj v2) 12(1- Vi v2)
причем Ei,E2,Vi ,v2- соответственно модули Юнга и коэффици-
енты Пуассона некоторого фиктивного материала (“размазанных
364
ребер”), подлежащие определению. Приравняв (6.2) и (6.3), полу-
чим в частности О12 = у2£>п, откуда
* _ D12
2 г,
17ц
Рис. 6.20. К определению жесткостных ха-
рактеристик панели
Воспользовавшись известной зависимостью между упруги-
ми постоянными ортотропного тела v2E] = V]E2, можно запи-
сать:
* * * * Q *
* _ уаЕ2 . * _ V\E2h _ Vi *
•^-'1 * ’ 1 * * * * 2^22 ’
v2 12v2(1-ViV2) v2
откуда
Наконец, из (6.3) получим:
365
* 12 , * *
=^-А1(1-ъъ) =
h
12Рц6 Дц '
h3 ДцДзз1
E. 12Da / Д,22 ’
Л3 ДцД22(
Жесткости на кручение определяются следующим образом:
|. д;-^>
1 12
GC2
—L + -
b a
а величины Ci и C2 находятся по известным формулам сопротив-
ления материалов (й>Ь):
С1.«4
3
1-0.63—+ 0.052^—
h \ h
51
(6-4)
(6-5)
^=^ZGC1
к 4
С2-^[1-0.63^ + 0.052^
3 h \ h
51
h \h )
Из (6.4) и (6.5) несложно найти приведенный модуль сдвига G*.
Заметим, что множитель в первом выражении (6.4) ровно в
два раза меньше приведенного С.П. Тимошенко в [23]. Это объ-
ясняется тем, что здесь учитываются усредненные значения мо-
ментов Мху и Мух [12]. Кроме того, в [23] положено DI2=0.
Выполнив очевидные преобразования, получим формулы
для определения приведенных характеристик “размазанных” ре-
бер:
г-^2/4 2Й2^2\ г* /, 2а?Ь?\
Ех = Е—(1-у -^-), Е2=Е—(1-у ^-^-),
b ab a ab
* Ь2 * а2
vl =V“T’ V2=V—’ (6.6)
b a
=Cr— ---+ -- .
h3\b a )
В результате клеефанерную панель симметричного строения
можно представить как пластинку, составленную из отдельных
слоев, и рассматривать ее как слоистую и анизотропную. Жестко-
366
сти такой пластинки можно определить при помощи метода, опи-
санного в [15]. Подставляя в выражения для определения жестко-
стей характеристики среднего слоя (6.6), получим:
d2= —
2 3
1 2
v, =-----
3D2
Е*
1-v^v^
1-v^v^
/з) E\h2
,z2 /+ * *
1-и^г
1-V1V2
Dk
(6-7)
-^-^1
1-VfVJ l-v1v2
D,
Dx =-
3
где h1; h2 - расстояния от срединной плоскости до нижних границ
слоев (рис. 6.21);
Ef ,Ef ,Gf ,vf ,v$- модули Юнга, модуль сдвига и коэффици-
енты Пуассона для фанеры соответственно.
Pite. 6.21. Приведение слоистой пли-
ты к однослойной
Следует отметить, что зависимости (6.7) применимы для
расчетов конструкций с регулярным расположением ребер.
В реальных сооружениях возможно использование панелей
нерегулярной структуры. При определении жесткостных харак-
теристик таких панелей предлагается использовать следующий
подход. Сначала выполняется конечноэлементный расчет панели
нерегулярной структуры и определяется максимальный ее про-
гиб. Затем аналитическим путем отыскивается прогиб ребристой
пластинки с регулярной структурой ребер, фиктивная ширина ко-
367
торых подбирается таким образом, чтобы вычисленные прогибы
совпадали. Таким образом, панель с конструктивными особенно-
стями заменяется в расчетах пространственных покрытий регу-
лярной ребристой пластинкой.
В качестве примера рассмотрим клеефанерную панель со
следующими характеристиками: размер в плане 3x3 м, шаг сред-
них ребер 0.5м, крайних 0.25 м, ребра изготовлены из древесины
хвойных пород и имеют сечение - средние 45x175 мм, крайние
(контурные) 85x175 мм, две обшивки из фанеры марки ФСФ
имеют толщину 10 мм.
Максимальный прогиб такой панели под действием равно-
мерно распределенной нагрузки интенсивностью д=1тс/м2, най-
денный при помощи ЭВМ, получился равным
И>27.92*10’4м.
Жесткостные характеристики и прогибы панели с регуляр-
ной структурой ребер сечением 45x175мм и шагом500мм, най-
денные аналитически по двум подходам представлены в табл. 6.2.
Таблица 6.2
Определение жесткостных характеристик и прогибов панели
________________по различным методикам __________
Метод реше- ния С.П. Тимо- шенко М. Соколов- ский
£>1, МН*м2 1,952 1,952
D2, МН*м2 1,435 1,435
£>12, МН*м2 0 0,127
А, МН*М2 0,196 0,162
maxi М 31,32*10'4 30,45*10'4
Как видно из таблицы, прогибы, найденные по двум спосо-
бам, незначительно отличаются друг от друга. Значения проги-
бов, вычисленных согласно приведенной методике, несколько
отличаются от перемещения, найденного при помощи МКЭ. Это
объясняется тем, что формулы (6.1)-(6.7) позволяют вычислить
приведенные характеристики ребристых пластинок с регулярной
сеткой ребер, в то время как панель, рассчитанная при помощи
368
МКЭ, имеет конструктивные особенности. Варьируя ширину
ребра bfiC пластинки с регулярным подкреплением, можно до-
биться равенства перемещений, определенных численно и анали-
тически, по методике М. Соколовского. Это равенство реализует-
ся при bflc=O,063м. Жесткости пластинки получаются равными
£>1=2,113 МН*м2, D2=l,596 МН*м2, Dk=0,172 МН*м2, а коэффи-
циенты Пуассона Vi=0,08, v2=0,06.
Описанный выше прием определения жесткостных характе-
ристик применен для прямоугольных пластин с различным соот-
ношением сторон. Результаты представлены в табл. 6.3.
Таблица 6.3
Сравнение результатов для прямоугольных пластин
с различным соотношением сторон
Соотношение сто- рон панели W *1(Г4 * М W *10‘4 r г шеор Л v э М 1Кчисл! Wmeop
3x3 м 27,92 30,45 0,91
3x2 м 8,89 10,07 0,88
3x1 м 0,55 0,97 0,57
В реальных сооружениях панели могут испытывать не толь-
ко изгиб, но и сжатие. В этом случае для определения их приве-
денных характеристик воспользуемся дифференциальным урав-
нением изгиба ортотропных пластин с учетом сил, действующих
в срединной плоскости:
£>1 —+2£>з—-—— + £>2—^- = (l + Nx-—Y + Ny—-2- (6-8)
дх4 дх2 ду2 ду4 дх2 ду2
Рассмотрим сначала прямоугольную, свободно опертую по
контуру пластину. Приняв выражения для w и q в виде двойных
рядов по синусам, и ограничившись удержанием только первых
членов, из (6.8) получим:
911
4
щп =
2
~ (Л
+ £>? I —
\Ь
4
+ 2Д3
Л
-(6-9)
2
2
л
А
ab
а
а
У\Ь
369
Обозначим для краткости записи знаменатель в последнем
выражении через %N, а тот же знаменатель при Nx=Ny=0 - через
/и заметим, что представляет собой выражение (6.1).
Преобразуем (6.9) к виду
W11=Wn(l-§), (6.10)
, .2 / \2
кт (I кт I \
Nx — + Nv —
I л 1 \ 6 I
где % =—-----------L£2_. (6.11)
Xn
Таким образом, зная прогиб пластины от поперечной на-
грузки достаточно умножить его на поправочный коэффици-
ент 1-§, чтобы найти перемещения пластины от совместного дей-
ствия поперечной нагрузки и усилий в срединной плоскости.
Вводя соотношение сторон пластины с = Ъ/а, запишем вы-
ражение для § так
__________c2(c2Nx+n) ___________________
с4 (л/а У (c4Dr + 2c2Z>3 + D2 )+ с2 (c2Nx + Ny )’
Пусть далее
Nx =axqn,Ny = ayqn, (6.13)
причем ax =(jr/a)2t3 flx;ay =(л/Ь)213 fly, (6.14)
а flx и fly - переходные коэффициенты.
Вынесем из формул для жесткостей пластинки fl и обозна-
чим соответствующие выражения через Д-, например, = t3D^.
С учетом (6.13) и (6.14) имеем
c2N, ♦ N, - ['-’f'h/pft. + 4У
\а) с )
Окончательно получаем для
§ = —------?у) ------------------х. (6.15)
с Di + 2c +D2 + qn (с flx + fly)
Прогиб пластины обратно пропорционален кубу ее толщи-
ны, следовательно,
370
“ii ^11
F3 t3
Здесь через f обозначена толщина пластины, подверженной
действию только поперечной нагрузки. В итоге находим:
(6.16)
причем
Подрадикальное выражение можно представить в виде
1 _1 в
1-£ Г3’
G + Ру
c4Dl + 2c2D3+D2'
(6-17)
В свою очередь, здесь = —7>Ру = —э-
л1 л1
Из (6.16) имеем t = Т^ + б/t3 , откуда, после очевидных преобра-
зований
Сз 1Г6
г = ?—+ , \ (6.18)
V 2 V 4
Выражение (6.18) позволяет отыскать приведенную толщи-
ну прямоугольной пластины, эквивалентной панели универсаль-
ного набора в случае совместного действия продольных и попе-
речных нагрузок.
Помимо прямоугольных, в рассматриваемых пространствен-
ных конструкциях, встречаются панели и других конфигураций.
Рассмотрим свободно опертую по контуру панель в форме
правильного треугольника со стороной три метра. Контурные
ребра имеют размер поперечного сечения 85x175 мм. Внутренние
ребра устраиваются в направлении, параллельном одной из
сторон треугольника с шагом 500 мм (крайний шаг ребер 250
мм), и имеют размер поперечного сечения 45x175 мм. В
ортогональном направлении устанавливается только одно ребро в
середине панели, разделяя ее на два одинаковых прямоугольных
треугольника. Обшивки выполнены из фанеры ФСФ толщиной
10мм. Максимальный прогиб от равномерно распределенной
371
нагрузки интенсивностью ^=1тс/м2, полученный при помощи
МКЭ, получился равным Wfl=7,6*10'4 м.
Воспользуемся теоремой о минимуме энергии упругого тела.
Применительно к рассматриваемому объекту она может быть
сформулирована следующим образом: действительный прогиб
пластинки, соответствующий заданным условиям закрепления
края и нагрузке, отличается от всех возможных тем, что он сооб-
щает минимальное значение выражению
2
2,.Л
д2а> д2а>
-y—y+D22
дх2 ду2
2
д2а)\2
(6-19)
д2О)
дх2
Для ортотропной пластинки, при условии, что направление
осей х и у совпадает с главными направлениями упругости,
выражение (6.19) принимает вид:
2 9 9
дЛО) д(1) ГЛ
+ 2Z>jV2--у ’-2+
дхЛ ду
। д2со\д2со „
+4D66 VV +4 ^6—у+^гб—п ~—2qco dxdy
dyz )дхду
дхду
1
+ 4ПК
(д2аД
(д2аД
2
дх2
\ !
2
-2qw dxdy.
(6.20)
I л2,.
д со
дхду
В соответствии с расчетной схемой пластинки, показанной
на рис. 6.22 и аналогично [23] представим выражение для воз-
Рис. 6.22. Схема
треугольной пла-
стинки
w--
можного прогиба в виде (6.21):
(6-21)
Подставляя (6.21) в (6.20) получим после
интегрирования величину Э в виде квад-
ратичной функции коэффициента А. Далее
находим минимум этой функции из равен-
ства дЭ/дА = 0, откуда получаем выраже-
ние для А:
372
А = ~- 63£>1 + 92П1у2 + 93D2 + 4147Л + 72 /6 22)
90 3D1+2D1v2+3D2+9Dk
В частности, максимальный прогиб изотропной пластинки
будет равен
ivmax = 0,001057-—,
в то время как точное решение [23] дает
штах = 0,001029^-.
111«Л 7 j-y
Разница между двумя результатами составляет всего 2,7%.
Выражение (6.21) дает возможность определить приведен-
ную толщину фанерной пластинки, которая для сформулирован-
ных выше условий получается равной 0,0755м.
6.4.2. Статический расчет конструкций покрытий
и их элементов
Современные здания и сооружения зачастую отличаются
весьма сложной формой, с одной стороны придающей объекту
архитектурную выразительность, а с другой - существенно ус-
ложняющей исследование напряженно-деформированного со-
стояния конструкции. Указанное обстоятельство требует приме-
нения для расчета сооружений различных численных методов,
среди которых, по нашему мнению, предпочтение должно быть
отдано методу конечных элементов. Он позволяет рассчитать
практически любую конструкцию, используя одни и те же подхо-
ды к решению различных задач.
Вместе с тем, вряд ли стоит полностью отказываться от ана-
литических решений с получением в явном виде результатов,
удобных для анализа поведения отдельных элементов здания.
В связи с вышеизложенным, предлагается использовать
“смешанный” подход к определению НДС здания или сооруже-
ния. Согласно указанному подходу, конструкция мысленно раз-
бивается на физические конечные элементы, причем под этим
термином понимаются отдельные стандартные детали здания -
373
балки, колонны, плиты перекрытий, панели и т.п. Полученный
ансамбль исследуется численно, при помощи программ конечно-
элементного расчета. Анализ результатов позволяет отыскать в
конструкции наиболее нагруженные элементы, поведение кото-
рых под нагрузкой изучается аналитически.
В настоящее время у нас в стране и за рубежом создано
большое количество разнообразных программ и программных
комплексов для расчета конструкций, в основу которых положен
аппарат метода конечных элементов. Некоторые из них предна-
значены для решения отдельных специальных задач, другие яв-
ляются универсальными, однако все подобные программы объе-
диняет наличие в них блоков, вычисляющих матрицы жесткостей
различных конечных элементов. Так, например, в широко извест-
ном за рубежом программно-вычислительном комплексе (ПВК)
COSMOS имеется целая библиотека конечных элементов, насчи-
тывающая около двух десятков КЭ. Аналогичные библиотеки
имеются и в ряде других ПВК.
Стремление разработчиков комплексов создать универсаль-
ный расчетный аппарат делает необходимым вывод матриц жест-
костей элементов все более и более сложной формы. Существуют
справочники, где приводятся подобные матрицы. Усложнение
формы элемента обусловливает увеличение объема вычислений,
необходимых для получения его матрицы жесткостей.
Рассмотрим способ получения матриц жесткостей сложных
по форме элементов на базе геометрически правильных тел. Как
известно, вывод матриц жесткостей конечных элементов начина-
ется с выбора функций перемещений. При этом для рассматри-
ваемого элемента стремятся удовлетворить необходимым усло-
виям, обеспечивающим сходимость приближенного решения к
точному. Запись функций перемещений в матричной форме для
прямоугольной системы координат имеет вид:
Z = Z(x,y,z)-C, (6.23)
где С - вектор независимых параметров, определяемых числом
степеней свободы элемента. Параметры С,- находятся из гранич-
ных условий. С этой целью составляются выражения перемеще-
ний для намеченных угловых точек
Z = A-C. (6.24)
374
Матрица А строится простой подстановкой координат узлов
в принятые функции перемещений (6.23). Она получается квад-
ратной, т.к. число параметров С, равно числу независимых ком-
понент перемещений. При определении С, перемещения z, зада-
ются последовательно и принимаются равными единице, тогда из
(6.24)
C = A-1-Z = А"1.
Окончательно, выражение для матрицы жесткости элемента
имеет вид:
К = (а-1У • CXdV- А"1, (6.25)
Cv)
причем X - известная комбинация матриц (см. например [22]).
Условимся рассматривать далее двух - и трехмерные конеч-
ные элементы (пластины, оболочки, трехмерные объекты). Вве-
дем для них понятие эталонных элементов, к которым будем от-
носить правильные геометрические тела (правильные много-
угольники и многогранники). Выражение (6.25) справедливо, в
частности, для таких элементов.
Представим матрицу жесткостей произвольного (неэталон-
ного) элемента в виде
fXav-A’1. (6.26)
(v)
Сравнивая (6.25) и (6.26), заметим, что они отличаются друг от
друга матрицей А. Предположим, что
А = КА, (6.27)
где К - матрица перехода к эталонному элементу. Очевидно, что
К = Л-А-1. (6.28)
375
Обращение матрицы А дает А”1 = А"1-К’4, а транспонирование
этого выражения приводит к равенству (А"1)^ = (к-1)Г
Подставим две последние формулы в (6.26):
И = (к_1У -(а-1 У • fXJV-A-1-К-1,
<У)
(6.29)
откуда
R = (к-1 У R К"1. (6.30)
Таким образом, для получения матрицы жесткостей произ-
вольного конечного элемента R достаточно иметь аналогичную
матрицу эталонного элемента R и матрицу перехода К. В связи с
тем, что в (6.29) выполняется интегрирование по объему, рас-
сматриваемый и эталонный элементы должны быть равновели-
кими.
Рис. 6.23 Произволь-
ный треугольник
В качестве примера, иллюстри-
рующего возможность преобразова-
ния (6.30), рассмотрим конечный эле-
мент в форме произвольного тре-
угольника (рис. 6.23), матрица жест-
костей которого получена в главе 2.
Перемещения принимаем
линейными:
U = С1+С2х + С3у~
V = С4 +С5х + С6у
(6.31)
Площадь произвольного треугольника F = У3у2/2. Для
' 1
Рис. 6.24 Правильный
треугольник
эталонного элемента (рис. 6.24) имеем
р = Л12/4. Чтобы треугольники были
равновеликими, должно соблюдаться ра-
венство площадей, откуда
(2л/3 \^2
/= з зУг • (6'32)
Матрица А имеет вид
376
• 1 0 0 0 0 О'
0 0 0 1 0 0
1 0 ь 0 0 0
А = (6.33)
о о о 1 о у2
1 Х3 у3 0 0 0
0 0 0 1 г3 у3
а для эталонного элемента, с учетом того, что 1 = у2, аналогичная
матрица: апишется в виде (6.34).
1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0
1 0 У2 0 0 0
А = . (6.34)
0 0 0 1 0 У2
1 Лу2 У2 Q 0 0
2 2
0 л/ 0 0 1- 'ЗУг У2
1 2
Обращая (6.34), получим (6.35), подстановка которой в (6.28) по-
зволяет сформировать матрицу перехода (6.36).
Лу2 0 0 0 0 0
-1 0 -1 0 2 0
А-'-Гг. -Л 0 -Л 0 0 0 ; (6.35)
4F 0 Лу2 0 0 0 0
0 -1 0 -1 0 2
0 -Л 0 л 0 0
377
^У1 0 0 0 0 0
0 ^>У1 0 0 0 0
К=Й 0 ^2 0 0 0
4F 0 0 0 0
0 0 ^3 0
0 0 0 2%
= л/з(у2-у3)- х3. (6.36)
Матрица жесткостей, полученная выше, имеет вид
R = R^ + RQ
(6.37)
Отдельные слагаемые (6.37) учитывают вклад в матрицу нор-
мальных и касательных напряжений. Для сокращения письма ог-
раничимся нахождением R^\
Аналогичная матрица для правильного треугольника запи-
сывается следующим образом:
’ з 7з -з 7з о -2Тз’
1 -7з 1 0-2
r(t) = тЕ^Ъ з -7з о 7з , (6.38)
12 1 0 -2
0 0
Симметрично
причем Е2- модуль упругости в направлении оси OY, т = GlE2,
t- толщина пластины.
Выполнив перемножение матриц в соответствии с (6.30),
получим матрицу жесткостей конечного элемента в форме произ-
вольного треугольника, которая совпадает с аналогичной матри-
цей (2.51):
378
’ *3 Узг УзУзг
r(t) jnfy 4F $
Симметрично
^зУз 0 -ад3
-УзУзг 0 У2У32
-*зУз о 0 ад2 . (6.39)
Уз 0 "УгУз
0 0
У2
Таким образом, при выводе матриц жесткостей различных
элементов возможно ограничиться формированием матриц для
правильных тел и матриц перехода к телам произвольного вида
[4]. О принципиальной возможности описанного преобразования
упоминается также в [10].
Методика численно-аналитического изучения напряженно-
деформированного состояния трансформируемых конструкций
зданий и сооружений предполагает использование наряду с МКЭ
различных аналитических методов расчета отдельных элементов
здания. Перейдем к рассмотрению некоторых аналитических ме-
тодов, применяемых далее для исследования поведения транс-
формируемых конструкций под нагрузкой.
Трансформируемые конструкции зданий и сооружений мо-
гут собираться из панелей различной формы в плане, в том числе
и прямоугольных. С позиций строительной механики такие пане-
ли представляют собой прямоугольные пластины, которые могут
иметь различные условия закрепления опорного контура и нахо-
диться под действием различных нагрузок. Рассмотрим вначале
изгиб прямоугольных пластин в случае линейной постановки за-
дачи.
Как утверждается в работе [8], “проблема изгиба пластин
представляет собой одну из сложнейших задач теории упруго-
сти”, и ее решение в замкнутой аналитической форме удается по-
лучить только для сравнительно небольшого числа краевых за-
дач. В большинстве же случаев используют обычно приближен-
ные методы, основанные на применении рядов. К таковым мож-
но отнести, например, одинарные (задача Леви) или двойные (за-
дача Навье) тригонометрические ряды.
379
В.З. Власовым в монографии “Строительная механика тон-
костенных пространственных систем” (1949 г.) предложен общий
вариационный метод приведения дифференциальных уравнений
в частных производных к обыкновенным дифференциальным
уравнениям применительно к задаче об изгибе прямоугольной
пластины. Согласно этому методу условимся различать для пла-
стины два направления - поперечное, для конкретности совпа-
дающее с направлением оси Ох, и продольное, совпадающее с
направлением оси Оу.
Искомую поверхность прогибов плиты представим в виде
следующего конечного разложения:
п
*{х,у)= ^Wk(y)xk(x).
к-1
Вслед за [8] будем считать, что система безразмерных функ-
ций поперечного распределения прогиба Хк (х) выбрана заранее,
а функции обобщенного прогиба W^(y) подлежат определению.
При этом функции Хк(х) могут быть выбраны самыми различ-
ными способами, но так, чтобы они были линейно независимы и
удовлетворяли геометрическим или статическим условиям на
продольных краях плиты. В.З. Власов предлагает использовать
для этого фундаментальные функции поперечных колебаний ба-
лок с опорными закреплениями, соответствующими имеющимся
в пластине. Рассмотрим здесь несколько иной вид Хк(х)~ триго-
нометрические ряды почти-периодических функций [14].
В имеющейся литературе, посвященной вопросам расчета
прямоугольных пластин, при выводе дифференциального урав-
нения Софи Жермен - Лагранжа плоскость хОу прямоугольной
декартовой системы координат совмещается с нейтральной плос-
костью пластины, а начало координат располагается, как прави-
ло, в пределах рассматриваемого тела. Как станет очевидно из
дальнейшего, это далеко не всегда удобно и более того, в ряде
случаев необходимо, чтобы при решении использовались две
системы координат, оси Oz которых совмещены (далее “совме-
щенные системы координат”). При этом дифференциальное
уравнение изгиба пластин справедливо и для совмещенных сис-
тем координат.
380
Проиллюстрируем выбор отрезка почти-периодической
функции на примере консольной балки, загруженной равномерно
распределенной нагрузкой (рис.6.25).
Рис. 6.25 Консольная балка
Угол поворота свободного конца балки
ql3
CPk 6EJ ‘
Аппроксимируем прогибы консоли рядом
2. гигХх.
ап$т——,
п=1 1
(6.40)
(6-41)
где Л - действительное число, и займемся отысканием значения Л.
В соответствии с известной методикой решения задач изгиба ба-
лок и пластин, использующей ряды Фурье, параметр Л должен
быть принят одинаковым для всех членов ряда и может быть оп-
ределен по первому такому члену.
Разложим выражение, описывающее действующую на балку
нагрузку в ряд
2. плкх.
Qn sin——,
и=1 1
проводя интегрирование в пределах от (см. рис. 6.25) “xf’ до
“X]+/i”, где \ = У} - Выбор таких пределов интегрирования дает
возможность ортогонализировать систему функций. Выполняя
стандартные преобразования и используя дифференциальное
уравнение изгиба балок, получим:
381
ql^___4
EJ nW
(6-42)
Для обеспечения равенства нулю угла поворота в заделке
консоли необходимо положить = 1/(2Х). Составляя выражение
для угла поворота свободного конца балки и приравнивая его (р,
имеем Sin0: = 0.1309 (а = лЛ), откуда Л=0.6135. Выражение для
а5
прогибов балки в общем виде можно записать следующим обра-
зом:
. ляЛг ,
w= > а„ \ sm--------b„x-c„
f j 1 | Т ’г
п=1 \ 1
(6.43)
Аналогично определены параметры Л и для других вариантов
опорных закреплений, представленные в табл. 6.4 (нагрузка -
равномерно распределенная).
Перейдем теперь к решению задач об изгибе пластин. Пред-
положим, что на некоторым образом опертую прямоугольную
пластину размерами в плане axb действует распределенная на-
грузка, нормальная к срединной плоскости. Пусть закон распре-
деления нагрузки имеет вид
к I
т=1п=1
. тпклХ .
sin---—sin
а
(6-47)
ПлТ^у
Ь ’
где к и I - произвольные числа (не равные бесконечности), a Ai и
Л2 соответствуют одному из значений, приведенных в табл. 6.5.
Примем в качестве функции, описывающей прогибы пла-
стины, двойной тригонометрический ряд почти-периодических
функций
к I
. тл\х , \/ . плкоу _ \
sm——- стх - a sin-----— -епу- fn . (6.48)
a 1\ b I
382
383
При решении рассматриваемых задач в совмещенных систе-
мах координат коэффициенты ряда (6.48) wmn можно находить,
оставляя в нем только первые слагаемые в каждой из круглых
скобок. Тогда
к I
w= 2
т=1п=1
. тл7.}х . плТ^у
sin----— sin----—
а b
(6.49)
Подстановка (6.47) и (6.49) в дифференциальное уравнение
изгиба пластин позволяет определить значения коэффициентов
wmn‘.
1 \2\
пг
' /
q '/т\\2
а )
w
гутп
(6.50)
Так, например, положив k=l=A.j=Az=l, можно получить из-
вестное решение Навье для свободно опертой по контуру пласти-
ны. При этом в (6.48) следует принимать соответствующие Лг
значения cm-fn из табл. 6.5.
Рассмотрим жестко защемленную по контуру квадратную
пластину со стороной а, загруженную нагрузкой, распределенной
по закону (6.47), при условии, что к=1=\. Тогда из (6.50)
»П1 =
4
qa
64 л4 D ’
а максимальный прогиб в центре пластины, найденный по (6.48),
составит:
да4
^тах 4 ’
16л D
что почти в два раза меньше величины прогиба той же пластины
от равномерно распределенной нагрузки.
Если действующая на пластину нагрузка распределена по
иному закону, прогибы и напряжения в пластине можно опреде-
лить, воспользовавшись методом В.З. Власова или методом М.
Леви. В качестве примера определим прогибы равномерно на-
груженной прямоугольной пластины, жестко защемленной по
двум противоположным сторонам, перпендикулярным оси Ох.
Решение уравнения
384
= (6-51)
будем искать в виде суммы w=wl+w2, где W] - прогиб равномерно
нагруженной полоски, параллельной оси Ox, a w2 - решение од-
нородного дифференциального уравнения, соответствующего
(6.51). В выбранной нами системе координат (см. табл. 6.5) про-
гиб полоски может быть записан в виде (Ь - характерный размер
пластины в направлении оси Ох)
q ( 4 з 23,2 г 15,з 25 ,4\
z = —— х -ЗЬх +—b х---------b х +---b , (6.52)
24D 8 16 256 )
при этом на концах полоски прогибы и углы поворота равны ну-
лю, а максимальное перемещение при х=ЗЬ/4 составляет
2
max 384D
Потребуем, чтобы (6.52) соответствовало выбранному нами от-
резку синусоиды, т.е. чтобы прогибы полоски изменялись от -
ZnuJZ на ее концах, до zmax!2 в центре, для чего вычтем из (6.52)
zmax/2. Разложение полученного выражения в синусоидальный ряд
с пределами интегрирования £>/4, 5Ь/4 дает
qb4 1 . 2тлх
w =-------------------— X —-Sin------
&r4Z)TO=i«z4 b
Решение однородного уравнения будем искать в виде (6.54):
V / . 2тлАх \
"2=>«Jsln—7-----------ст Ь (6-54)
£1 \ Ь )
Если подставить (6.53) и (6.54) в (6.51), временно отбросив ст,
т+1'
. 2тлх
sin----
b
X
получим окончательное выражение для w:
qb4 ( 1 , , 2тт „ 2тлу , 2тлу , 2тт
w=-— > ——- + Ach------- + Вт--—sh-----+Cmsh---- +
D " b " Ъ b m b (655)
„ 2тлу , 2тлу
+ Dm——ch------
b У
Уравнением (6.55) полностью описывается рассмотренная задача
об изгибе плиты, имеющей жесткое защемление по двум проти-
воположным сторонам. При этом решение может быть получено
с любой степенью точности, поскольку (6.55) справедливо для
385
каждого члена разложения с индексом т. Ниже приводится табл.
6.5 некоторых результатов, полученных С.П. Тимошенко [23],
Д.В. Вайнбергом [3] и приводящихся в [13], а также предлагае-
мым способом для различных вариантов опорных закреплений
квадратной пластины. В табл. 6.5 приведены величины проп-бов
в центре пластины. При решении задач предлагаемым способом
намеренно удерживался один член ряда. Это сделано для того,
чтобы показать, что уже только одно слагаемое ряда (6.54) дает
удовлетворительную точность.
Аналогично (6.54) составляются уравнения и для други, i ва-
риантов опорных закреплений. Ряды почти-периодических функ-
ций удобно использовать и при исследовании вопросов устойчи-
вости и динамики пластин. Отдельные примеры, подтверждаю-
щие сказанное, приводятся в [14].
Описанная здесь методика позволяет существенно расши-
рить круг решаемых аналитически задач теории пластин. При
этом известные результаты, полученные многими авторами ранее
(при Л=1), являются частными случаями рассмотренного подхо-
да.
Панели универсального набора, рассматриваемые в настоя-
щей главе, могут иметь непрямоугольную в плане форму. Вопро-
сами расчета подобных пластин занимались многие исследовате-
ли. Общий прием аналитического решения задач изгиба, устой-
чивости и динамики пластин непрямоугольной формы предложен
3. Рейпертом [29]. Упомянутые тела рассматриваются как тонкие
пластины, обладающие прямолинейной ортотропией, покоящиеся
на упругом винклеровском основании, при нагрузке перпендику-
лярной их поверхности и при нагрузках Nx и Ny, действующих в
плоскости пластины. Такой прием является расширением метода
М. Леви для прямоугольных пластин на тела с неперпендикуляр
ными сторонами в форме треугольника, трапеции, многоугольни -
ка, параллелограмма, а также пластин, состоящих из треуголь-
ных и трапециевидных элементов.
Выражение, описывающее деформированную поверхность
элемента, принимается в виде одинарного ряда (решение М. Ле-
ви). Значения произвольных постоянных определяются из гра-
ничных условий на сторонах элемента. Образующаяся система
386
алгебраических уравнений для отыскания постоянных интегри-
рования имеет достаточно сложные коэффициенты при неизвест-
ных. В связи с этим производится разложение коэффициентов в
ряды Фурье, после чего появляется возможность отыскания неиз-
вестных в явном виде.
Таблица 6.5
Сравнение величин максимальных прогибов пластин,
В [29] говорится о возможности расчета таким образом ор-
тотропных плит, при условии, что одна из осей ортотропии рас-
полагается параллельно сторонам исходной пластины. В случае
многоугольных плит подобная постановка задачи противоречит
самому понятию ортотропного материала.
Рассмотрим несколько иной подход к решению поставлен-
ной задачи. Выше было показано, каким образом возможно полу-
чить решения для прямоугольных пластин с опиранием, отли-
чающимся от свободного. Распространим решение на случай не-
387
прямоугольных пластин, рассматривая в качестве примера орто-
тропную пластину в форме правильного треугольника с длиной
стороны равной 2а, изгибаемую некоторой поперечной нагрузкой
(рис.6.26).
Введем две системы координат: декартову и полярную с
общим началом в вершине треугольника.
Рис. 6.26 Пластина в форме правильного треугольника
Дифференциальное уравнение изгиба ортотропной пластины
имеет вид
Dx + 2D3 + D2 = q(x, y). (6.56)
o*x4 dx2dy dy
Решение (6.56) отыскивается как сумма общего решения со-
ответствующего однородного уравнения и некоторого частно-
го решения wq:
w=w1(x,y)+wq(x,y). (6.57)
Если принять wrfx, у) в виде одинарного ряда Фурье почти-
периодических функций
*1 = ^xAx\™^^-cny-dn
и=1 \ °
то (6.56) сводится к (однородное уравнение):
- 2D3an2XnU + D^xn = 0, (6.58)
где ап =плХ/Ь. Параметр Л зависит от условий закрепления на
стороне пластины и принимается в соответствии с табл. 6.4.
388
Получающееся из (6.58) характеристическое уравнение мо-
жет иметь различные корни, в соответствии с которыми опреде-
ляется ВИД Иу
1. Корни различные — действительные, мнимые или ком-
плексные;
2. Корни равные;
3. Один из корней равен нулю, а второй нет.
Для всех трех случаев w2 может быть записано следующим
образом:
00
(6-59)
и-1
причем для случая 1 имеем fn(x)=ch sttx, tn(x)=sh s^c,
для случая 2 — fn(x)=anX ch sjc, tn(x)= attx sh s^c,
для случая 3 — fn(x)-tn(x)=l.
В последних выражениях гп и sn — суть корни характеристиче-
ского уравнения
Для проверки работоспособности рассматриваемого способа
решения условимся рассматривать далее свободно опертую по
контуру изотропную пластину, находящуюся под воздействием
равномерно распределенной нагрузки (эталонное решение).
Условия свободного опирания стороны пластины у=Ь
(рис.6.27) удовлетворяются автоматически, так как ivi принято в
виде ряда по синусам. Поскольку на пластину действует равно-
мерно распределенная нагрузка, вдоль прямой х=0 должны вы-
полняться условия симметрии, что возможно, если положить в
(6.59) Вп=Сп=0. Две другие постоянные можно отыскать из гра-
ничных условий на боковых сторонах пластины.
В [29] эти условия формулируются так:
2
w=V vv= 0, при cp=cpi.
389
Второе условие представляет собой сумму изгибающих моментов
на опертой стороне пластины. Такой подход представляется нам
нецелесообразным, поскольку известны полученные Кирхгофом
условия для свободно опертого края. Запишем их в полярной
системе координат следующим образом:
w = д w =0 при ср=ср1. (6.60)
v2dcp2
Частное решение (6.56) может быть принято в виде
q 24Рг
(у4-2&у3
+ Ь3у),
(6.61)
или, после разложения в ряд:
=
4g у sinot „ у
6£,1П-1Д5,... «„5
(6.62)
В последнем равенстве временно опущены слагаемые с,у и d, по-
этому (6.57) примет вид
сю / . А оо
w= ^^cf^nX+Dnanxslunx)-sivany+---- J
«чад... л
sirct„y
‘ (6.63)
ап5
Координаты точек пластины в декартовой и полярной системах
связаны зависимостями: x=vcos(p, у=vsincp, а при (р=(р\
х= v/2, у = V3v/2. Второе условие (6.60) можно записать по пра-
вилам дифференцирования сложных функций:
<?2iv d2w . 2 z, d2w . d2w
=----— sm cp-2-------siinpcosq? +--cos<p.
v2d(p2 дх2 дхду dy2
Условия (6.60) преобразуются в следующую систему урав-
нений для отыскания значений произвольных постоянных.
390
лЧ2,з...
. a„V3v
sin----
z. -----T-=°5
2 bDi «=W5,... a„
a,.73v „ r- anv anyl3v\
-------2yl3sh-~cos---- +
2 2 2)
-"_s£nX
2 2
. а„л/3г 4q
J а/лИ®
Ш 2
«=1,2,3,...
+Dn бсй-^-siir
----- - 2
2 2 2
2 2 2
«=1,3,5,...
2 2
. an43v
sm—--
—h-*
. a«
2
(6.64)
Таблица 6.6
Определение прогибов пластины
в форме правильного треугольника
Постоян- ные интегрирова- ния Число удерживаемых членов ряда Общий множитель
1 2 3
Ai -0.1068 -0.1105 -0.1103
Аг -0.0026 -0.0034
Аз -0.0002
Dj 0.0387 0.0436 0.0439 ^7^1
d2 0.0008 0.0012
D3 0.00006
Макс, про- гиб 0,001042 0,000936 0,001034
Аналогичный результат [23] 0,001029 ?ь7а
Погреш- ность 1,2% 9,9% 0,43%
391
Коэффициенты при постоянных интегрирования в системе
(6.64) раскладываются в ряды Фурье, после чего (6.64) преобра-
зуется в бесконечную систему алгебраических уравнений относи-
тельно произвольных постоянных. Число удерживаемых уравне-
ний определяется численным экспериментом. Его результаты
приводятся в табл. 6.6, из которой видно, что предлагаемый под-
ход к расчету изгибаемых пластин непрямоугольной формы ра-
ботоспособен и свободен от недостатков, имеющих место в [29].
Определим прогиб пластины в форме правильного шести-
угольника, жестко защемленной по контуру и нагруженной рав-
номерно распределенной нагрузкой (рис. 6.27).
Рис. 6.27 Пластина в форме правильного шестиугольника
Выражение, описывающее деформированную поверхность
пластины, принимаем аналогично (6.57), причем Wi записывается
в виде (6.59), a wq - по (6.52) или, точнее, (6.53). Параметр Л=2
принимается в соответствии с табл. 6.4, а положение начала ко-
ординат по рисунку 6.27.
Граничные условия задачи запишутся следующим образом:
- условия симметрии на прямой х=0
3 3
dw д w / \ д w
----—y + (2-v) у = 0;
дх дх5 дхд уг
- условия на защемленной стороне (р=ср\
392
dw
w=----
vdq>
= 0.
Учет симметрии, как и в случае решения предыдущей задачи, да-
ет В„=С„=0, а вторые условия приводят к следующей системе
уравнений для отыскания произвольных постоянных:
1 -уЗ
2 och^n C0SYnsiny„
ITS 2
п=1,3,5,.
P Д/3
+Dn -^~chfin cosy„ (sh/3n + finch/3n )siny„
^4
0;
00 ( ah4
У Anchfin siny„ + Dnfinsh/3n siny„ + — -------- sin у,,
&r DjH
= 0;
И-1Д5,.
/
(6.65)
причем
_ GnV _ _ ^!3ctn
Pn 2 ’ Yn 2
2пл
an =----
” b
(6.66)
Далее необходимо разложить коэффициенты при постоянных в
ряды Фурье, умножив их для этого на siny„ и интегрируя в пре-
делах от 2а до 4а. Результаты численного эксперимента сведены
в табл. 6.7.
Таблица 6.7
Определение прогибов пластины
в форме правильного шестиугольника
Постоян- ные интегрирова- ния Число удерживаемых членов ряда Общий множитель
1 2 ... 5
Ai 0,00363 0,00314 ... -0,0039
Аз 2,14*10r5 ... -6,42* IO-6
As ... -2,68*10* ^4/л
а7 2,49*1041
393
Окончание табл. 6.7
а9 -1,03*10" 13
Di 9,42*104 0,00101 ••• 8,25*104
D3 -2,19*10* ••• 5,52* 1О7
d5 ... 1,66*1О9 qd^Dx
d7 -131*10-12
d9 Макс, прогиб 0,01584 0,01649 — 3,49*1О15 0,01506 qd^D,
Прогибы прямоугольных пластин, вписанной в и описанной
вокруг шестиугольника, составляют соответственно 0,0024gc?4/Z)1
и 0,0256^/D], а в случае круглых пластин - 0,00879^/1»! и
0,01563^/01. Прогиб пластины в форме правильного шести-
угольника попадает в оба указанных интервала.
6.5 Результаты расчета зданий и сооружений
из универсального набора панелей
Рассмотренный выше универсальный набор панелей может
быть использован при возведении различных зданий и сооруже-
ний. Далее приводятся отдельные примеры подобных объектов.
На рис. 6.12 показана пространственная конфигурация на
основе ромбокубооктаэдров. Ее расчет выполнялся на ПЭВМ по
конечноэлементной методике. Интенсивность снеговой и ветро-
вой нагрузок на покрытие принималась по СНиП для условий
Ростовской области. Симметричное строение сооружения позво-
лило ограничиться рассмотрением 1/4 его части. Общее количе-
ство пластинчатых КЭ, на которые разбивалась конструкция, со-
ставило 65.
Расчет осуществлялся с заменой фактических панелей одно-
слойными пластинами приведенной толщины, найденной в соот-
ветствии с рекомендациями, изложенными в параграфе 6.4.1 на-
стоящей главы. Первоначально все панели покрытия считались
работающими на изгиб. Затем, после получения информации об
394
усилиях в их плоскости, толщина панелей корректировалась по
(6.18). Уже на третьем шаге была достигнута удовлетворительная
сходимость результатов.
Максимальные перемещения точек покрытия от действия
расчетных нагрузок составили 8,2мм; деформированная схема
конструкции представлена на рисунке 6.28. Напряжения в пане-
лях нс превосходят 5МПа.
Покрытие из усеченных додекаэдров рассчитывалось (рис.
6.13) на два варианта загружений:
- собственный вес, снеговая и ветровая нагрузки;
- собственный вес и вертикальное сосредоточенное воздей-
ствие интенсивностью ЮкПа на один из нижних блоков (с целью
изучения поведения покрытия при локальных нагрузках).
Рис. 6.28. Деформированная схема 1/4
части покрытия из ромбокубооктаэдров
Исходная, а также деформированные схемы покрытия вы-
ставочного павильона представлены на рис. 6.29. Максимальные
вертикальные перемещения точек конструкции от эксплуатаци-
онной нагрузки составили 19,7мм, а от локального воздействия -
38,5мм.
395
Рис. 6.29. Схемы павильона (сверху вниз - ис-
ходная, деформированная от эксплуатацион-
ных нагрузок, деформированная от локальной
нагрузки)
Следует заметить, что павильон не имеет внутренних опор в
местах сопряжения верхнего блока с нижними, но если такие
396
опоры ввести, то перемещения точек покрытия уменьшатся на
порядок. В рассматриваемом случае, как и в предыдущем, уро-
вень напряжений от эксплуатационных нагрузок низок. Напря-
жения же от местных возмущений в конструкции быстро умень-
шаются по мере удаления от точки приложения нагрузки.
Анализ напряженного состояния покрытия выявил наиболее
напряженную панель, которой оказалась одна из треугольных па-
нелей в верхней части модуля нижнего яруса. Обратный переход
от фиктивной пластины к фактической клссфанерной панели дал
возможность установить законы изменения напряжений в се об-
шивках и отыскать усилия в ребрах. Расчет показал, что напря-
жения в обшивках не превосходят 2МПа, а в ребрах - оказывают-
ся не более 4МПа. Таким образом, элементы рассматриваемого
покрытия имеют запасы по прочности.
Проведенные исследования показывают, что конструкции
универсального набора панелей обладают высокими прочност-
ными характеристиками, а также устойчивы к локальным возму-
щениям. Достаточно простые стыковые соединения являются
сборно-разборными и позволяют выполнять трансформирование
здания в процессе эксплуатации. Экспериментальная проверка
теоретических положений на малоразмерных конструкциях (рис.
6.30) подтвердила их высокие эксплуатационные качества.
397
б
в
Рис. 6.30. Малоразмерные конструкции много-
гранных покрытий из универсального набора
панелей:
а - испытание конструкции на основе ромбокубооктаэд-
ра; б - малоразмерная конструкция из усеченных додека-
эдров в процессе сборки; в - здание прорабской.
398
7. РАСЧЕТ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
НА УСТОЙЧИВОСТЬ
ПОД РАВНОМЕРНЫМ ВНЕШНИМ ДАВЛЕНИЕМ
7.1. Общие положения и основные расчетные гипотезы
Пусть сферическая оболочка, имеющая идеальную форму
срединной поверхности, нагружается некоторым равномерным
внешним давлением р. Если внешнее давление р достигает кри-
тического значения и по своему уровню становится равным на-
грузке выпучивания pz, то наряду с основной формой равновесия
равномерно сжатой сферической оболочки существует смежное
неопределенное положение равновесия, связанное с се выпучива-
нием.
В рассматриваемом случае в качестве результата линейной
теории всегда получают найденную впервые Robert Zoelly крити-
ческую нагрузку [7]
Последующие работы Е. Schwerin [4] и Neut [3] приводили
к такому же результату.
О выпучивании тонкостенных замкнутых оболочек имеется
очень мало экспериментальных данных. Но известно [5], что
опытная нагрузка выпучивания составляет лишь четвертую часть
критической нагрузки pz. При этом считается, что форма выпучи-
вания является осесимметричной.
Вследствие значительного расхождения между экспери-
ментальными и теоретическими значениями критических нагру-
зок потребовалось произвести проверку ряда теоретических по-
ложений и гипотез, на основе которых была получена классиче-
ская формула для определения нагрузки выпучивания pz.
В основополагающей работе [6] Т. Karman и S. Tscen опи-
сывается новый подход для определения критической нагрузки и
здесь среди прочих упрощающих предположений прснебрегается
величиной коэффициента поперечной деформации v. Авторами
составлено выражение для потенциальной энергии деформируе-
399
мой сферической оболочки с учетом нелинейных слагаемых и
показано, что при больших деформациях может иметь место по-
ложение равновесия при уровне внешнего давления, составляю-
щем примерно половину от классического значения радиального
давления при выпучивании pz. Стремление учесть в расчетах на
устойчивость нелинейные члены, входящие в выражения для де-
формации оболочки, было основным моментом всех последую-
щих публикаций. В замечательной работе К.О. Fredrichs [2] ука-
зывалось, в частности, на то, что упрощающие предположения [6]
вводить не обязательно. Им было составлено в более строгой по-
становке выражение для потенциальной энергии деформации
сферической оболочки, которое служило для всех последующих
работ в качестве отправной точки при выполнении исследований.
Сведения о современных представлениях в этой области (речь
идет о сферических сегментах) содержатся в публикации [5], что
исключает рассмотрение других публикаций, так как в упомяну-
той работе содержится список литературы из 38 наименований.
Считается, что в оболочке, имеющей идеальную сфериче-
скую форму, после превышения некоторых предельных нагрузок
образуется, неопределенное число вмятин. К такому виду нагру-
зок относится, как известно, нагрузка выпучивания pz. Нагрузка
прощелкивания pD, соответствующая конечным деформациям
оболочки, меньше чем pz и лучше согласуется с результатами
опытов и поэтому не реализуется. Измерения деформаций удли-
нения е на сферических сегментах при постоянном внешнем дав-
лении обнаружили, исходя из возмущений на краю, весьма не-
равномерно распределенные напряжения. Это означает, что вмя-
тины могут появиться в узко ограниченной и не различимой для
глаза области.
Подобные факты свидетельствуют о том, что близкий к
действительности расчет возможен лишь тогда, когда при расчете
учитывается влияние начальных неправильностей формы сфери-
ческой оболочки. В связи с этим возникает необходимость в при-
влечении нелинейной теории сферической оболочки при боль-
ших деформациях с учетом начальных несовершенств формы ее
срединной поверхности. При этом могут быть использованы два
метода:
400
а) расчет реализуется с помощью системы дифференциальных
уравнений равновесия;
б) решение получается на основе метода потенциальной энер-
гии.
При проведении исследования будем предполагать, что име-
ют место общепринятые гипотезы технической теории упруго-
сти: толщина оболочки по сравнению с радиусом кривизны мала;
считается неограниченной справедливость закона Гука; плоские
сечения поверхности остаются плоскими и после ее деформации;
нормальные напряжения линейно распределены по толщине обо-
лочки; влияние деформации сдвига является пренебрежительно
малым.
Кроме того предполагается, что возникающая под нагрузкой
осесимметричная вмятина происходит от некоторой начальной
погиби, которая распределена случайным образом; смежные по-
гиби не оказывают никакого влияния на осесимметричное на-
пряженно-деформированное состояние с увеличением области
вмятины.
Далее принимается, что центральные углы начальной погиби
и развивающейся в ее зоне вмятины малы. В ненагруженном со-
стоянии при наличии начальной погиби оболочка свободна от
напряжений.
7.2. Определение удлинений и внутренних усилий
В связи с вышеизложенным есть все основания полагать, что
наибольшее влияние на значения критических нагрузок оказыва-
ют начальные неправильности формы срединной поверхности
сферической оболочки. Обратимся поэтому к более детальному
исследованию поведения оболочки, имеющей начальную погибь
и подвергающейся действию равномерного внешнего давления.
Если обозначить в соответствии с рис. 7.1 расстояние вдоль
радиуса между срединными поверхностями технической и иде-
альной сферических оболочек через Wg, то этим вполне опреде-
ляются форма и размер начальной вмятины. Здесь следует еще
раз подчеркнуть, что техническая оболочка, имеющая начальные
401
несовершенства формы срединной поверхности, является сво-
бодной от напряжений.
I
Рис. 7.1. Координаты, линейные и угловые перемещения
элемента срединной поверхности оболочки
Положение А-А': срединная поверхность идеальной сферической оболоч-
ки;
Положение В-В': то же технической оболочки в ненагруженном состоя-
нии;
Положение С-С': срединная поверхность технической оболочки после на-
гружения.
В результате действия нагрузки точки срединной поверхно-
сти технической оболочки перемещаются в радиальном направ-
лении на величину w и в направлении касательной к меридиану
на величину и (рис. 7.1). Элемент дуги меридионального направ-
ления, имеющий первоначальную длину ds0 и образующий с на-
правлением касательной к меридиану угол а, поворачивается при
402
этом на дополнительный угол /3 и его длина становится равной
ds.
Условимся считать, что произвольные величины (расстоя-
ния, перемещения, удлинения и т.п.), относящиеся к точкам, уда-
ленным от срединной поверхности на расстояние z, будут поме-
чаться соответствующим нижним индексом. Далее установим
следующие правила знаков (рис. 7.2): положительные радиаль-
ные расстояния отсчитываются к центру кривизны; перемещения
w и w0 являются положительными, будучи направленными к цен-
тру ка; перемещения и считаются положительными при их ориен-
тации в сторону увеличения угла гр; углы а и Д положительны
при левовинтовом вращении.
Сами собой разумеющимися получаются из рассмотрения
рис. 7.2 повороты а и (3:
а
а
(7-1)
(7.2)
Длина элемента в недеформированном состоянии равна
ds0z = (a-w0- z)2 + (w0 | ](dip)2.
(7-3)
Если обозначить относительные удлинения этого элемента в
меридиональном направлении через е^, а в кольцевом - через Еу,
то оказывается при условии, что элемент dsOz свободен от напря-
жений,
dsz=fy+Eipz)dsOz (7.4)
Тогда получаем
+ 2£^1(й-И’0 -z
С другой стороны
Ig-w0 -z-w-uz
+ w' + uz
Й-Л (7.6)
403
Рис. 7.2. Деформированное положение элемента
технической оболочки, находящегося на расстоянии z
от срединной поверхности
Приравнивая правые части выражений (7.5) и (7.6), находим
- 2(а - -
z)kv-u2 )+lw-w2 Г + 2w0 (w' + uz
) + (и/ + uz
)2
. (7-7)
2 (a-Wq- z)2 + bvq
2
(7-8)
Пренебрегая членами более высокого порядка малости, имеем
/ г
W-и, И'л ы' 1 / W
------—+ -V + d —
а аЛ 2\ а
Деформации относительного удлинения в кольцевом направле-
нии определяются так
404
£ = |Г2|~Ы = |(д - И’о - -z - w)siny + uz cosffj - |(о - w0 - z)sinyj =
kozl |(«-vv0-z)sin^
wsin<p-«z coscp
(a - w0 - z)sin<p
Здесь в знаменателе дроби также можно пренебречь величиной
(w0+z)/a в виду ее малости по сравнению с единицей. При этом
находим
= w-uzco^ (710)
Vz а
В соответствии с рис. 7.3 легко показать, что u^u-zfl. С уче-
том (7.2) имеем
uz=u-—z. (7.11)
а
Подстановка (7.11) в выражения для е^^и е^ согласно
(7.8) и (7.10) дает
W-и Wf) W 1 / W \ / W \
w-ucotip ( W \
£----------------2-
а \а /
(7.12)
(7.13)
Интенсивности продольных усилий меридионального и
кольцевого направлений, в предположении линейного распреде-
ления нормальных напряжений по толщине оболочки t, опреде-
ляется следующим образом
405
Рис. 7.3. Перемещения точек слоя на расстоянии z
от срединной поверхности оболочки, имеющей
начальную погибъ
В этих двух выражениях величина z/a, по прежнему, счита-
ется пренебрежимо малой, поскольку z< <а.
Что касается изгибающих моментов Mv и Mv, то для их оп-
ределения имеем выражения вида
+М з
= С oipz(l + -}zdz =-—т’(^" +w'cot^), (7.16)
_t/ \ а) 12(1 -v2) а2-
406
/1 ! 7\ -I
Mv = f cr 1 + - )zdz -----------------—- • (и/ cotip + vw"} (7.17)
3/ \ a) 12(1 —v2) a2
7.3. Уравнения равновесия элемента
деформированной оболочки,
имеющей начальные неправильности
формы срединной поверхности
На рис. 7.4 показаны положительные направления дейст-
вующих на элемент технической оболочки усилий и внешней на-
грузки. При этом для удобства записей используются, согласно
рис. 7.1, следующие сокращенные обозначения:
/
* п ИТ) + W /г, И о\
ip = ip+а + (3 =ip+ —-------, (7.18)
а
г = {a- w0 - H,)sin^ + и cosip. (7.19)
Площадь элемента оболочки определяется так:
гг'
dF = -—^dip dtp. (7.20)
cosip
В свою очередь радиус кривизны р получается равным
Р = Г7Г—(7'21)
) cosip
При записи условий равновесия из шести уравнений статики тре-
буется составить только три, поскольку при осесимметричной на-
грузке для оболочки вращения три остальные обращаются в тож-
дества. Таким образом, получаем следующую группу из трех
дифференциальных уравнений, описывающих условия равнове-
сия составляющих сил в направлениях касательной к меридиану
и внутренней нормали соответственно, а также составляющих
моментов в направлении касательной к кругу параллели:
(7.22)
407
rr
+ p-—
cosip
dipdtp = О,
)
'v
cosip
dipd<p = О.
(7.23)
(7-24)
Mvrd(p j\r rt|(pOci> вращения
pdE
у -r+r’dy
(У )’dy
Qv
[Mvr+(Mvr)’dy]d<g
[Nvr+(Nvr)’dy]dcp
IQvr+(Qvr)’dv|d<p
©МфГЧатр d\j/
MLr’dy
|Mwr+ ;
+(Mvr)’-
•dy]d<p
N r’dv
1Л|Ф J
cosy’
M r’dy ®Мфг'4апу dy
IVl™ - \
cosy* \
Mvrdy
N «"’dy
J.
cosy*
Puc. 7.4. Внутренние и внешние силы, действующие на
элемент деформированной оболочки
Исключив с помощью (7.22) N^r' из уравнения (7.23), можно по-
следнее записать в виде
408
(2 \
- Q^r cosip*г simp* + р^- d^dV = Q
2 у cosip
Выполнив интегрирование, находим
-Qq r cosip* + N1j)rsimp* + ^~ = °- (7.26)
В силу того, что г = (a-wQ- w)simp + и cosip a simp, можно пе-
реписать дифференциальные уравнения (7.22)-(7.24) следующим
образом:
К мпф )' - Nv cosip + = 0, (7.27)
cosip
-Qy+Ny tamp * + = o, (7.28)
2 cosip
(m^ simp ] - M4, cosip + aQ4, .Sin^.?0^ = q (7.29)
cosip
Здесь целесообразно еще раз выписать дифференциальное
уравнение, описывающее условие равновесия сил в направлении
внутренней нормали к срединной поверхности оболочки, исходя
из того, что в последующем оно нам потребуется при составле-
нии выражения потенциала. При этом уравнению (7.25) можно
придать следующий вид
Г
. , , * • 2 \ adipdcp _
- simp cosip + Ny simp simp + — sin гр —= 0. (7.30)
2 ) cosip
На основании разложения тригонометрических функций в
степенные ряды и удержания в них только линейных членов для
ip и ip, получим
(^)'-^+е^ = о, (7.31)
-Qv +^П>* +^-tp = 0,
(м^)' -Mv +aQ^ip = O.
(7.32)
(7.33)
В свою очередь, уравнение (7.30) запишется так:
409
adipdcp = 0.
(7-34)
7.4. Вывод основных дифференциальных уравнений
При действии внешнего давления р внутри вмятины возни-
кают упругие радиальные перемещения w, в то время как вне зо-
ны вмятины оболочка, будучи равномерно сжатой, испытывает
повсюду одинаковые перемещения wi (рис. 7.5).
Если принять во внимание выражения (7.14) и (7.15), то вне
контура вмятины будут иметь место усилия безмоментного на-
пряженного состояния
• гО аР Е /t\
Ny = ЛГф = — = ~~ I — jwp (7.35)
т 2 l-v\a)
Чтобы избежать затруднений, связанных с соблюдением
граничных условий, можно предположить, что радиальные пере-
мещения внутри контура вмятины состоят из двух частей - пере-
мещений Wj и w2. Следовательно
W=W^+W2- (1.36)
С учетом последнего равенства и малости угла у/ на основании
выражений (7.14) и (7.15) получаем
410
Обозначив вторые слагаемые в выражениях (7.37) и (7.38)
через Nq и Nv соответственно, запишем с учетом (7.35):
Nr—^-^Nv.
(7.39)
(7.40)
Начальная
погибь
Ось вращения
Рис. 7.5. Деформация оболочки в зоне вмятины
Положение 1: срединная поверхность идеальной сфериче-
ской оболочки;
Положение 2: срединная поверхность оболочки,
имеющей начальные несовершенства
формы срединной поверхности;
Положение 3: положение равновесия упруго деформиро-
ванной срединной поверхности «техниче-
ской» оболочки.
Выражения для изгибающих моментов принимают вид
411
I!
w2
к
., Et3 1 (
М<Р---------i
V 12
Et3 1
а2
и>2
(7.41)
' w7
vw2 +—— .
к
Дифференциальное уравнение (7.32) на основании (7.36), с
учетом (7.39) и (7.40) запишется следующим образом:
Qjp-Ntpip 4~(w0 +и,2)=0. (7.43)
Это уравнение имеет по сравнению с уравнением (7.32)
большое преимущество, поскольку оно не содержит wj. По ана-
логии с этим уравнение (7.34) преобразуется к виду
t
а2
(7-42)
р dF =
— * р( ' ' |]
- Qipty + Nq/ipty “ ~v^o + w2 / adtydcp = О.
(7.44)
Если обратиться теперь к выражениям (7.41) и (7.42), то не-
посредственно из (7.29) следует
^2,
(7.45)
Или это же выражение в другой форме записи:
е¥ [7 w 1 (7-46)
12(1-v2Jg3
Нагрузку от внешнего давления р можно выразить с помо-
щью параметра выпучивания % через верхнюю критическую на-
грузку следующим образом
2Е /t\2
P = XPz = X I f . 9\ - • (7-47)
73|1-У2)И/
Подставляя выражения (7.45) и (7.47) в уравнение (7.43), по-
лучаем
412
+ w2 J+
(7-48)
Это нелинейное уравнение могло бы быть проинтегрировано
с использованием численных методов, если бы было известным
Nip. Поэтому для [и?2 (V7)] необходимо составить еще одно
уравнение. Из уравнений равновесия (7.31) и (7.32) находим
СМ,)' -N<p=0. (7.49)
Подстановка сюда выражений для Nip и Nq> согласно фор-
мул (7.37)-(7.40) после несложных преобразований дает
Складывая выражения для Nip и N у имеем
1 / 1—v а -г? \ « и’о w2 (и’г /
—\uip)=——-\Nip+N<p)+2w2--------------
гр Е t а 2а
На основании (7.50) и (7.51) получаем
— \' _ t ' W-j IW? Г
+ N<p) =-Е— w-y +—-----+ ----<— .
a агр 2агр
Интегрируя, находим
Nip + N =
(7.50)
(7.51)
(7-52)
Так как на краю вмятины при гр = гр0 должны выполняться
условия Nip (^o) = #fJ(^o)=O, то будем иметь
413
Nip + N <p
(7.53)
Вводя для величин кольцевых усилий Nv функцию напря-
жений N<p =----— = Ф" и принимая во внимание уравнение
dip2
(7.49), определим меридиональные усилия Nip
Nip^-Ф'. (7.54)
Тогда сумма усилий Nip и Nip запишется так
Nip + N ip =Ф" + -Ф' = -(фФ'У •
ip ip
Отсюда с учетом (7.53) находим
dip updip.
После дифференцирования имеем
ip Nip +3ipNip =-E—ipw2 +——+
a a 2a
(7.55)
(7.56)
(7-57)
Таким образом получено искомое второе дифференциальное
уравнение.
В процессе исследования устойчивости сферической обо-
лочки оказывается очень неудобным то обстоятельство, что ради-
альное перемещение зависит от центрального угла вмятины
оболочки ^о- Обычно в таких случаях затруднения преодолева-
ются с помощью принципа минимизации. Однако гораздо лучшее
обоснование имеет подход, суть которого сводится к следующе-
му.
В силу граничного условия Nip (jp0 ) = 0 на основании урав-
нения (7.56) получаем
414
V V'o
О гр
w0 w2 t 1^2 /
aip 2aip
dip ipdip = 0,
а после выполнения процедуры раскрытия внутреннего интеграла
приходим к уравнению связи вида
(7.58)
С получением уравнений (7.48) и (7.57) полностью опреде-
лена система связанных между собой нелинейных дифференци-
альных уравнений, описывающих поведение сферической обо-
лочки при равномерно распределенном внешнем давлении,
имеющей начальные несовершенства формы срединной поверх-
ности.
Дополнительно должно выполняться условие (7.58), которое
было получено в том предположении, что дополнительные про-
дольные усилия меридионального направления Ny на краю вмя-
тины становятся равными нулю. С учетом выражения для Ny
автоматически выполняются граничные условия
Уравнение (7.58) описывает, как будет показано ниже, не-
достающие статико-геометрические зависимости между глуби-
ной вмятины (5 и половиной центрального угла оболочки у/0.
7.5. Потенциальная энергия оболочки
При решении задачи об устойчивости сферической оболочки
обычно исходят либо из выражения для потенциальной энергии
деформации оболочки, либо используют принцип возможных пе-
ремещений. Уравнения (7.22)-(7.24) представляют собой в сово-
купности систему уравнений равновесия сил, приложенных к
элементу «технической» оболочки в ее деформированном со-
стоянии.
При некотором возможном смещении элемента из положе-
ния равновесия вклад в выражение работы сил на этих переме-
415
щсниях равен нулю <54 = 0. Поэтому вышеупомянутую группу
сил можно представить с помощью уравнения (7.44) в виде дей-
ствующей под прямым углом к деформированному элементу
оболочки нагрузки (рис. 7.6). При возможных перемещениях
элемента оболочки, не беспокоясь о перемене знака вариации <5,
связанной с увеличением глубины вмятины, получаем
d(8Il)= -р dFcos(ot + (F)6w + р dFsin(ct + /3)8и = 0.
Так как 8и = ipdw, то с учетом малости углов а и у? имеем:
a<fyt/<p<5i’=0.(7.59)
<577 =
Swdip = 0.
Интегрирование приводит к следующему результату
г _ / , , ъ
-2ал: J Qyip + Nyipip * - ^ip(w0 + w2 )
о I- 2
Применяя прием интегрирования по частям, и, учитывая,
что <5и>(ф0)= 0, получаем
W г — / ,
577 = -2ал J Q^ip + Nyipip * - —ip + w2
о 2
6w2 dip = 0. (7.60)
Если учесть (7.46) и условие на краю вмятины 5и,'(фо)=О, то
первое слагаемое в подынтегральном выражении (7.60) принима-
ет вид
’/'о ,
jX4^<5w2 dip = —j
о
Для второго слагаемого (7.60), принимая во внимание, что
(фо ) = о, имеем
3 л V'o
(7-61)
^0_ , ’/'О/ V V'o
^N-li,ipip*6w2 dip = -J \Nipip2) J
^°,1р 6w2 ^tp 6w2
Io J
-m:° f
^°.ip 8w2
//V'o
dip . (7.62)
о
о
\ 4>o
416
С учетом (7.18) и (7.56) получаем второе слагаемое (7.60) в
виде
W_ * ' /
J Nqipip 6w2 dip = El
о \
w0 w2 1^2 J
aip 2aip
Vo/ ,
J 5w2 +
У <
x
' Wq dw2 + ™2 dw2
aip aip
dip ipdip (7.63)
P‘dFSin(a+₽) ^вращения
\! *KP
iKa
i
i
i
Puc. 7.6. Возможные перемещения
элемента деформированной обо-
лочки
Таким образом, выражение (7.60) приобретает вид:
417
(7.64)
Обычно для получения уравнений равновесия с использова-
нием энергетического метода исходят из принципа минимума по-
тенциальной энергии <5/7=0. В рассматриваемом случае выполне-
f I
ние этой процедуры неуместно, поскольку условие 6iv2 = w2
f I
может быть применено лишь тогда, когда <5w2 и w2 являются
аффинными. Так как форма вмятины непрерывно изменяется с
увеличением центрального угла, то записанное выше условие не
выполняется. Поэтому предпочтительно исходить всегда из вы-
ражения полной потенциальной энергии;
Полная потенциальная энергия сферической оболочки,
имеющей начальные неправильности формы срединной поверх-
ности, может быть записана так
п~пс + п\
(7.65)
где под Пс понимается та часть потенциальной энергии, которая
накапливается в оболочке при ее деформировании, когда послед-
няя занимает положение, показанное на рис. 7.5 тонкой линией.
При этом совершенно очевидно, что на основании (7.64) должно
быть
418
(7.66)
Принимая во внимание (7.58), получаем более компактное
выражение для 77*
(7-67)
Так как потенциальная энергия оболочки 77* в положении
равновесия принимает минимальное значение, то, пользуясь
(7.67), легко могут быть получены нелинейные уравнения (7.48) и
(7.57).
7.6. Устойчивость сферической оболочки
при малых деформациях
Если пренебречь квадратичными членами в выражении по-
тенциальной энергии оболочки (7.66) и положить wo=0, то будем
иметь
419
П = nEt
+ 2w2 VV2
0
Vo Vo / , v
JVv^ }dip ..
0 1Lt 0
1
Здесь использовано обозначение F = —/----
1211-V2
dtp +
2
(7.68)
t
а
В силу граничного условия w2 (фо) = 0 интеграл произведе-
I п
ния w2 w2 равен нулю, и поэтому получаем
Vo
* -
П = nEt J. F т/>|и>2
+^(^2)2 ™2
dip. (7.69)
0
Для получения разрешающего уравнения воспользуемся ме-
тодом Эйлера-Лагранжа [1], согласно которому рассматриваемая
вариационная задача сводится к отысканию безусловного экстре-
мума функционала (7.69). Так, в частности, для интеграла
2 /
J f\P,w2,w2 ,w2
0
нижний индекс при/указывает переменную, по которой выпол-
няется дифференцирование. Тогда можно получить следующее
уравнение
'.ip имеем /^
= 0, где
F ^ + 2^-2^_+2^
С помощью оператора Лапласа
V = -^—+ -—
dip2 гр dip
уравнение (7.70) запишется так
FWw2 + Vvv-> + w7 = 0.
2£/ 2
Ра
2Et
" w2
Wq +——
тр
/
+ w2 = 0. (7.70)
(7.71)
420
Это линейное дифференциальное уравнение четвертого по-
рядка распадается на два дифференциальных уравнения второго
порядка
Vw2 +
pa 1
2EtF
= 0.
(7.72)
Vh>2 +
Исключив отсюда \w2, находим
( pa 1 2 \
-2————= и>2 = 0.
\2EtF y[F)
При условии, что W2*0, имеем
2£_
7
Pz =
(7-73)
7.7. Устойчивость сферической оболочки
при больших деформациях
В той ситуации, когда начальная погибь отсутствует (wo=0),
из выражения потенциала (7.66) получаем
П = nEt\
o^L
Vo
2
. ipdip -
t
a
2
2
Vo / , V> \
pad г j \ «
“X77 f H ) = 0-
0 /
Вводя безразмерные координаты
V'=V'o§; o^^o;
w2(ip)=6-g(^), w2(o)=<5; g(o)=l,
(7-74)
(7-75)
(7-76)
и приняв во внимание уравнение (7.58), благодаря которому вы-
полняется условие на краю вмятины (± V'o )= 0, получаем
421
(7Л)
(7.78)
(7.79)
(7.80)
(7.81)
При этом символ (• •)’
о
/ \. </(•)
означает I • • • I = —-—-.
Как видим, в выражении (7.77) потенциал зависит только от
половины центрального угла вмятины Глубина вмятины ё и
величина у/0 связаны между собой соотношением д =кагр^.
На основании принципа стационарности потенциальной
энергии оболочки получаем:
2 2
-----=*nEtk а
dVo
(7.82)
1
б(1-у2
Условие, что рассматриваемое положение равновесия оболочки
является безразличным, принимает вид
422
= nEttfa2 f-Д^/“I А + 3 Wo -
d^Q 6(1-v }\а)
12
На границе прощелкивания должны быть выполнены оба
этих условия. В результате несложных преобразований получаем
^=>0^. (7-84)
1
-bW02 =0.
(7.83)
(7.85)
Ш 6л/Г~Г2^«‘
Подстановкой (7 85) в (7.84) находим параметр прощелкива-
ния идеальной сферической оболочки
- /з Л7!
Zz)=l—тГ' (7’86)
Дополнительно в соответствии с (7.77) должен быть опреде-
лен потенциал на границе прощелкивания. Подстановка (7.85) и
(7.86) в (7.77) дает
ЛЬ =
На границе прощелкивания работа внешней нагрузки равня-
ется потенциальной энергии изгиба, взятой с обратным знаком. В
(7.87)
связи с этим полная потенциальная энергия равна энергии, нако-
пленной в оболочке только за счет сжатия и в силу (7.79) для лю-
бой из аппроксимирующих функций g(£) оказывается больше ну-
ля. Поэтому, как ранее уже упоминалось, при таком подходе к
расчету не может быть описано состояние прощелкивания. От-
сюда следует, что в реальных расчетах на устойчивость необхо-
димо принимать во внимание влияние начальных несовершенств
формы срединной поверхности оболочки.
Если определить удельную потенциальную энергию путем
деления выражения (7.87) на объем части оболочки в зоне вмяти-
ны V — jrt(aipQ D У, то при этом будем иметь
423
__ж
Пр
V
Ек2А ft\2
Зб(1-г2Д«У
(7.88)
Отсюда видно, что тонкостенная сферическая оболочка иде-
альной формы очень чувствительна к прощелкиванию, поскольку
величина удельной потенциальной энергии становится малой.
Для двух очень простых одночленных функций выпучива-
ния g(§) в таблице приведены параметры выпучивания, и эти же
данные графически представлены на рис. 7.7.
Таблица
Значения параметров выпучивания сферической оболочки
к А В С Фо,о Хр ж Пр
1 32/3 1/210 2/3 8,26— а 8,26Г 0,292 29,4- •лЛ— а
й2)3 5/6 144/15 1/142 5/3 6,13- а 5,11г 0,375 13,65- t •rtD— а
Все известные теоретические исследования, которые отно-
сятся к сферическим оболочкам идеальной формы срединной по-
верхности, не объясняют большого различия в нагрузках про-
щелкивания, получаемых теоретическим путем и при проведении
экспериментов. Однако логика рассуждения и эксперименты
убеждают в том, что близкий к действительности расчет, резуль-
таты которого лучше согласуются с опытными данными, возмо-
жен лишь тогда, когда при расчете учитывается влияние началь-
ных несовершенств конструкции тонкостенной оболочки.
Поэтому в рассматриваемой ситуации использовалась нели-
нейная теория сферической оболочки, имеющей начальную по-
гибь с очень малым центральным углом. Результатами возмож-
ных способов расчета (на основе дифференциальных уравнений и
энергетического метода) оказались два нелинейных дифференци-
альных уравнения с дополнительным уравнением связи и выра-
жение для потенциала оболочки. Оба метода неразрывно связаны
424
друг с другом, и одни и те же результаты могут быть получены
как с помощью одного, так и другого метода.
Рис. 7.7. Схематическое представление зависимостей пара-
метра прощелкивания xDu дополнительной потенциальной
энергии По от относительной глубины вмятины для идеальной
сферической оболочки.
Большие затруднения обусловливаются зависимостью глу-
бины вмятины оболочки от ее центрального угла. Оба этих пара-
метра, как показано выше и как того следовало ожидать, не толь-
ко не являются независимыми друг от друга, но и совершенно
определенным образом связаны между собой геометрическими и
физическими соотношениями.
Для численных расчетов очень сложно оказывается учесть
большое число параметров, описывающих процесс развития вмя-
тины в зоне начальной погиби при росте нагрузки. Возникающие
затруднения могут быть преодолены путем трансформации коор-
динат, благодаря чему полученные два нелинейных дифференци-
альных уравнения второго порядка приводятся с помощью интег-
рирования к системе трех линейных уравнений. При этом оты-
425
скание интересующих нас величин оказывается возможным толь-
ко с помощью метода последовательных приближений.
Оба связанных между собой нелинейных дифференциаль-
ных уравнения (7.48) и (7.57), уравнение связи (7.58), а также вы-
ражение для потенциала if (7.67) в силу большого числа пара-
метров мало пригодны для реализации численных расчетов. По-
этому в соответствии с рис. 7.5 определяется следующее соотно-
шение между центральными углами упругой вмятины и началь-
ной погиби
м = а0>1; ^1. Р-89)
«о
Кроме того, вводятся новая координата t] в меридиональном
направлении
lb л
= ; О Й Г] Й fi,
«о
(7.90)
а также функции перемещений w0 и iv2 в новых переменных
w0(fp)= и>о(о)=Д; Л(0)=1, (7.91)
w2(t//)= 5 •/(??) w2(o)=<5; /(0) = l. (7.92)
Функциями h(i]) и f (rj) (рис. 7.8) полностью определяются
формы начальной погиби и вмятины упруго деформируемой обо-
лочки. Используя прежние обозначения для производных
^(•••)7-( у и Н-) = (...)•, уравнение связи (7.58) запишем следую-
dty dr]
щим образом:
р 2 . Д р . .
ftff di] +—-Jt]h f di] +
о aao о
4з этого уравнения
<5 , Д
-----и Л =----получаем
2аа$ аа2
-^fri(f’Jdr]
2яа0 о
dag =0.
с помощью обозначений
/м р \ /^
Г (м) = 2 = - Ji]2ydi] + Aj'ijyzdi] /Ji]y2di] (7.93)
2««o о )/ о
426
Рис. 7.8. Формы погиби и вмятины в безразмерных
координатах
Здесь у = и z = h'(p). Соотношением (7.93) устанав-
ливается зависимость глубины вмятины д от ее центрального уг-
ла ^0-
Поступая аналогичным образом по отношению к уравнению
(7.57), имеем
(?72Л^ ) + (-rjNjp J - Му = + Луг + уу2). (7.94)
\а)
Если ввести безразмерный параметр X для величины Nip
X----, (7.95)
2Етду
то тогда уравнение (94) запишется так
(rj2x) +(-rjX)’-X = -(py + Ayz + yy2). Р-96)
427
Выполнив вышеописанные преобразования по отношению к
левой части уравнения (7.48), получаем
1p2W2"'+lpw2 ~w2 = ^I’2w2 ) +(“3^2 )•
Используя последнее выражение, а также вводя обозначение
0 = 712(1-v2^yja02, (7.97)
запишем уравнение (7.48) в виде
Ч12у) + (~3г1уУ = ~Х~ г?2(Лг + 2уу)+
У
+ ©V(t7 + Az+2)y)K. (7.98)
Если ввести теперь дополнительные обозначения
^ = Ф' + Луг + ]у2, (7.99)
г = »?2(Лг + 2уу), (7.100)
s = ?72(/7 + Лг + 2}у)Х, (7.101)
то уравнения (7.96) и (7.98) получают вид
(zj2k)’*+(-?]К)’= (7.102)
(»72 У) + (- Зг/у)’ = -Х-~г + (7.103)
У
Дополнительно нужно учитывать еще и условие (7.93).
В выражении потенциала (7.67) также имеются величины
<52/«(2, <52O£q и <5а(2, которые с помощью (7.93) запишутся сле-
дующим образом:
«о
д2а2=«М(2у)2,
= аад -2у.
Используя эти выражения, при условии выбора одночленной
функции формыу=у(д,?/) и введении сокращенных обозначений
4и) = [2/ (лОГ J—[(’ТУ )’ J ’ (7.104)
О7!
428
^(m) = [2/(m)]2J Йу +
о ,Д
д
С(ц)=2у(ц)р?2уЛ??,
0
z у2.)
Л—+ /(мл— dr] rjdr],
?? ?? J
(7.105)
(7.106)
окончательно получаем
77*(м) = лОа^[А(р)+ 02В(ц)+ 4^0С(ц)]. (7.107)
Дополнительная потенциальная энергия зависит не только
от двух предполагаемых известными параметров А, О и вычис-
ляемой с помощью (7.93) величины у, но и от параметра
р = гр0 /а^. Что касается выбора функции формы в виде много-
члена, то это в силу уравнения (7.93) и соотношений (7.104)-
(7.106), приводит к очень неудобным выкладкам.
7.8. Параметр выпучивания
7.8.1. Определение параметра выпучивания %
с помощью дифференциальных уравнений
В связи с особенностями двух связанных между собой диф-
ференциальных уравнений (7.102) и (7.103) можно выполнить
расчет с помощью численных методов.
Если положить =-1, Ji =-??, то уравнение
(7.102) получает вид
(72к)" +(/!«)• + 70К- -q. (7.109)
Далее с помощью оператора П2ь диагональной матрицы
функции Fv и векторов К и q уравнение (7.108) преобразуется
следующим образом
(®20^2 + D2iFi + D22F0)R = -D22q.
Наконец, вводя обозначения
Aj = ®2qF2 + D21Fi + D22F0, (7.110)
B!=D22, (7.111)
приходим к системе линейных алгебраических уравнений для
отыскания безразмерной величины усилий К„
429
A1X = -B1q. (7.112)
Для простых граничных условий (когда производные отсут-
ствуют) Х(-^)=Х(^)=0, число уравнений оказывается доста-
точным для определения соответствующих компонент вектора X
и поэтому составление конечноэлементных уравнений на краю
вмятины является излишним.
Далее, полагая Д = -Зг), f2 = т]2, на основании уравнения
(7.103) получаем
(®20^2 + ^21^1 )у = ~Х~ ®22г + 62T>22s-
Y
По аналогии с предыдущим введем обозначения
А2 = ®20^2 + ®21^1’ В2 = ®22
и при этом будем иметь
0 о
A2y = -Z-B2r + 02B2s. (7.113)
Г
Умножение слева на матрицу А^1 дает
у = -х-А^Вгг + в^^Вгв.
Y
Вводя векторы у = А21В2г и y*=A21B2s, перепишем
(7.113) так
У = -%-У + 02У*- (7.114)
Г
Оба вектора у и у определяются из системы линейных
уравнений
А2у = B2r, А2у* =B2s.
Тем самым, соответствующие (114) условия на краю вмяти-
ны у(— [л)= y(/z)= 0 для произвольного значения 3 выполняются
и, кроме того, должны иметь место следующие условия:
у(-^)=у(м) = о, У*(-м)=У*(м)=0.
На основании условия /(0)=1 и введенного ранее обозна-
чения у = /’(??) путем интегрирования находим функцию формы
вмятины
430
fM=l+fydr].
о
Приняв во внимание (7.114), получим
Г]
f(?l) = l-X-fydn + 62fy*dt]. (7.115)
J' о о
Из этого выражения с учетом того, что Д//)=0, определим
параметр /
р
1 + 02J у* di]
х = —^--------У (7Л16>
0Jydi]
о
Параметр выпучивания / не только не является постоянной
величиной, а и зависит от формы начальной погиби (7.91), функ-
ции у = f'(i]) и трех параметров Л, 6 и ц. Если воспользоваться
выражением (7.93), то параметр выпучивания / при выбранных
форме начальной погиби и значениях 2 и 6 определяется в соот-
ветствии с рис. 7.9.
Здесь следует иметь в виду, что влияние формы начальной
погиби с ростом деформации упругой вмятины убывает и поэто-
му производную по z учитывать не требуется. Параметр прощел-
кивания xD зависит только от 2 и в, как это и показано на рис.
7.10.
Тогда нагрузка прощелкивания будет
2
Pd = XdPz = • (7.117)
В связи с предполагаемой осесимметричной деформацией
оболочки форма эпюры безразмерного параметра усилий X (7.95)
является симметричной, в то время как деформации у и z косо-
симметричны относительно оси вращения. Отсюда следует, что
функция q является симметричной, и, в свою очередь, деформа-
ции у, у , а также функции г и s должны иметь несимметричную
форму. Поэтому при составлении системы трех линейных урав-
нений можно ограничиться рассмотрением половины вмятины,
431
если с учетом симметрии будут выполняться условия на ее
контуре
Рис. 7.9. Графическое представление зависимости па-
раметра выпучивания от заданной формы
начальной погиби при фиксированных значениях 7 и О
Рис. 7.10. Схема определения параметра прощелкивания
432
к(м) = о,
у(о) = у(м)=о,
у’(о) = /(м)=о.
Кроме того, в силу условий на контуре должно быть
у(о)=у(д)=о,
z(o) = z(l) = О,
причем на основании уравнений (7.99)-(7.101)
^(о) = ^)=о,
г(о) = г(^)=О,
s(o) = s(m) = 0.
На рис. 7.8 радиус начальной погиби в первом случае разби-
вался на четыре = 1^), а во втором - на шесть рав-
ных частей. Соотношения центральных углов вмятины и началь-
ной погиби соответственно оказываются равными: в первом слу-
чае /л = = %, а во втором - /л = %.
Как было уже упомянуто, решение рассматриваемой задачи
об устойчивости сферической оболочки, имеющей начальные не-
правильности формы срединной поверхности, может быть полу-
чено только итерационным путем.
Перед началом расчета, прежде всего, требуется определить
область значений параметров 2 и 0. Кроме того, следует вычис-
лить для наиболее простой и походящим образом выбранной
формы начальной погиби h(if) в соответствии с рис. 7.8 величину
z, параметры 2 и 6, а также установить величину шага т}\. Тем са-
мым определяется размерность соответствующих матриц и век-
торов. При этом для фиксированного значения /л отыскание пара-
метра прощелкивания выполняется в следующей последователь-
ности:
а) при известном векторе z = h'{q) и начальном значении
вектора /о Си) определяется параметр выпучивания Уо(м) со-
гласно (7.93) и вектор q0 по (7.99);
433
b) в результате решения системы линейных уравнений оты-
скивается вектор Kj;
с) после определения векторов r0, s0 из уравнений (7.100) и
(7.101) получают из двух систем линейных уравнений векторы
У1 Hyi;
d) вычисляется параметр выпучивания по (7.116)
и вектора у3 (ц, Л,) из (7.114).
Проиллюстрируем описанную процедуру расчета на приме-
ре сферической оболочки радиусом «=615см, толщиной f=0.7cM
при условии, что стрела начальной погиби А = (l/32)t. При этом
начальная погибь занимает область, характеризуемую централь-
ным углом 2«о=3,О6°. Параметр 6 при 1=0,3 получается равным
0=2,06.
Аппроксимируя форму начальной погиби оболочки с помо-
щью выражения h(r])= (1-?;2)", находим
z = h * (т]) = -4?;(1 - )] | (7.118)
В свою очередь функция /(?;), описывающая форму вмяти-
ны, с учетом того, что в рассматриваемом случае /1-2, принима-
/ 1 \2
ется в виде f(rf) = 11 ~~ч I -На основании этого получаем
}’ =(7.119)
Величину шага h при разбивке участков начальной погиби и
вмятины на целое число частей принимаем равной й=1/4
Вектор К в векторном пространстве Rs имеет вид
К'-(Ко,Х1,К2,К3;К4,К5,К6,К7).
Компонентами векторов z и у соответственно будут
z' = (0,z1,z2,^3,0,0,0,0),
434
у' = (Р’У1,У2’УЗ’У4’У5’Уб’У7)-
В рассматриваемом случае, в частности, имеем
( ° 'l f 0 1
0,9375 0,2461
1,500 0,4687
1,312 0,6445
z = - 0 ; у = - 0,7500 •
0 0,7617
0 0,6562
. 0 > 0,4102,
Далее при 2=0,05 с помощью выражения (7 93) находим
у0(2)= 2,4 и затем по (7.99) определяем вектор
q' = (0,^i,92.^3>74>95^6^7 )•
Вычисления компонент вектора q0 дают
/ О
0,0954
0,3280
0,5558
q(l =
40 0,6000
0,4403
0,0491
г 0,3140,
В дифференциальных уравнениях (7.102) и (7.103) можно по
разному заменять производные разностными выражениями и по-
лучать соответственно различные системы для К. Так, например,
можно сначала произвести дифференцирование и затем произве-
сти замену производных, а можно, не выполняя предварительно-
го дифференцирования, заменить первые два слагаемых их раз-
ностными отношениями
(и2kt’ _
U h2
435
V 1 2h
Поскольку r/i = ih (i = 0,1,2,..., 7), имеем
(^-(i+ifKM-aX+G-i)2
Ki-1,
Преобразование дифференциального уравнения (7.102) к ко-
нечно-разностному виду дает
2(/+1)Ч+1 -4,2К,+2(,-1)Ч-,_, - 0+1)км + (/-!>,_, -
-2К,--2?,- (’120)
В данном случае приходим к следующей системе линейных
алгебраических уравнений для определения К:
"2 -2 0 0 0 0 0 0 ‘ Ко 0
0 6 -6 0 0 0 0 0 Ki 0,1907
0 -3 18 -15 0 0 0 0 к2 0,6561
0 0 -10 38 -28 0 0 0 К3 1,1117
0 0 0 -21 66 -45 0 0 к4 1,2000
0 0 0 0 -36 102 -66 0 *5 0,8806
0 0 0 0 0 -55 146 -91 Кб 0,0983
0 0 0 0 0 0 -78 198 К? -0,6280
В результате решения этой системы уравнений находим век-
тор К
/0,2745\
0,2745
0,2428
0Д927
К, —
1 0,1351
0,0815
0,0390
0,0122'
436
Вычисления компонент г0 и s0 в соответствии с выражения-
МИ (7.100) и (7.101) дают / 0
! 0 1
0,0768 0,0168
0,5812 0,1108
1,7771 0,2611
г0 =- 3,6000 ; s0 =- 0,3513
5,7128 0,3064
7,0870 0,1448
6,0299 0,0082,
Представление в конечно-разностном виде дифференциаль-
ного уравнения (7.103) сводится к следующему:
2(/ +1)^+1 - 4/2У/ + 2(/ -1)%! -з(г + 1Х+1 + 3(z - 1)ГМ =
--Х®(2г),+е2(2Д.. (7.121)
Y
При этом система линейных уравнений для определения,
например, вектора yj запишется так
’ 4 -2 0 0 0 0 ° 1ГР1 0,1535
-5 16 -9 0 0 0 0 у2 1,1624
0 -14 36 -20 0 0 0 уз 3,5541
0 0 -27 64 -35 0 0 у4 = 7,2000
0 0 0 -44 100 -54 0 у5 11,4255
0 0 0 0 -65 144 -77 у6 14,1739
0 0 0 0 0 -90 196 у7 12,0599
5ешение этой системы уравнений дает сначала вектор у*
437
( 0 'I
0,4242
0,7716
1,0070
У1 = ,
1 1,0947
1,0192
0,7838
0,4215,
а при повторном ее решении с правой частью в виде (2s) нахо-
дим вектор У}
/ 0
0,0507
0,0847
. _ 0,0977
У’ 0,0905
0,0701
0,0446
k 0,0206,
Параметр выпучивания / оказывается равным
2
1 + 02Гу*^
Х1 = -3______г = ^-0,557-0,25 =
2 2,06-5,55-0,25
о
Пользуясь (7.114), в заключение находим
/ о
0,3426
0,5912
0,7171
0,7129
0,6037
0,4247
0,2140,
Повторение описанной процедуры расчета с учетом полу-
ченных значений компонент вектора yi позволит уточнить приве-
денную выше величину параметра выпучивания Xi- Эта процеду-
ра повторяется до тех пор, пока не достигается требуемая точ-
ность вычислений.
7.8.2. Определение параметра выпучивания у
на основе выражения для потенциала
Потенциал Z7* согласно уравнению (7.107) в силу предпола-
гаемых известными параметров 2 и в зависит от р, если вводится
одночленное выражение по способу Ритца, условие рав-
новесного состояния выпучившейся оболочки с учетом обозна-
чения --= (...) на основании (7.107) запишется следующим
dp
образом
Отсюда следует
= лОс^[д'(м)+ е2В'(р)+ 4х©С'(^)]= 0.
i+e2^l
А'(ц)
Г 4С'(ц\(рУ
г (я)
(7.122)
46С \р)
Если учесть структуру выражений (7.104)-(7.106), то оказы-
вается, что последняя формула имеет очень большую схожесть со
(7.116).
Производные по ц целесообразно брать для функций
А(^),£(^)иС(ц) в отдельных точках. В связи с непростой фор-
мой уравнений (7.93) для у(р) и (7.104)-(7.106) определение па-
раметров выпучивания и в соответствии со
схемой (рис. 7.9) по энергетическому методу осуществляется
весьма просто.
440
8. ДЕРЕВЯННОЕ ДОМОСТРОЕНИЕ
8.1. Общие положения
В современной научно-технической литературе по конст-
рукциям из дерева и пластмасс практически полностью отсутст-
вует информация об одной из наиболее рациональных областей
применения древесины - малоэтажном домостроении. Несмотря
на то, что Россия имеет богатейший опыт возведения деревянных
зданий (вспомним хотя бы бревенчатые срубы), в настоящее вре-
мя в этой области строительства превалируют железобетонные и
кирпичные конструкции. Такая ситуация объясняется тем, что в
послевоенный период основные усилия были сосредоточены на
восстановление промышленности и развитии многоэтажного
строительства, которое осуществлялось на основе железобе-
тонных элементов заводского изготовления. Все это привело к
резкому сокращению объема деревянного домостроения.
После принятия Правительством России в 1996 г. концепции
развития малоэтажного домостроения «Свой дом», деревянные
дома типа коттеджей, по мнению специалистов, должны возво-
диться наравне с кирпичными и железобетонными зданиями. При
этом следует учитывать результаты современных изысканий в
данной области, применять новые эффективные материалы и тех-
нологии, использовать различные, порой совершенно нетра-
диционные, подходы к решению поставленной задачи.
Несущая конструкция здания обеспечивает его пространст-
венную устойчивость и передает нагрузки, собираемые надзем-
ной частью, на фундаменты и основание. Конструктивная систе-
ма здания определяет выбор совокупности его основных элемен-
тов, воспринимающих все воздействующие на здание нагрузки и
обеспечивающих его прочность, а следовательно, долговечность.
Конструктивная система надземной части остова прежде
всего характеризуется типом основных несущих вертикальных
конструкций. Она может быть однородной или комбинирован-
ной.
К числу однородных систем принадлежат:
441
- стержневые - каркасные системы из вертикальных стоек -
колонн и связывающих их в горизонтальной плоскости балок -
ригелей с жесткими (рамными) узлами или стенками - диафраг-
мами жесткости;
- плоскостные - стеновые системы из монолитных стен или
сборных панелей;
- объемные - блок-комнатные системы из объемных, как
правило, железобетонных элементов длиной на полпролета или
пролет здания.
К комбинированным системам относятся: каркасно-панель-
ные, панельно-блок-комнатные и каркасно-панельно-ствольные
системы.
В каждой из перечисленных конструктивных систем воз-
можна различная геометрическая схема расположения несущих
конструкций относительно главной оси здания: поперечная, про-
дольная, перекрестная (центральная).
Деревянные здания в современном исполнении обычно бы-
вают каркасными, панельными или каркасно-панельными. Усло-
вимся далее рассматривать только дома с панелями на деревян-
ном каркасе. Совмещение в одном конструктивном элементе (па-
нели) несущих и ограждающих функций позволяет сократить ко-
личество отдельных деталей, необходимых для возведения зда-
ния, ускорить процесс монтажа сооружения, сделать планировку
более гибкой.
8.2. Опыт строительства деревянных домов в России
и за рубежом
Отечественный опыт проектирования и эксплуатации экспе-
риментальных домов показывает, что наиболее эффективными
конструкциями для деревянного домостроения являются в пер-
вую очередь крупнопанельные клееные конструкции с жесткими
обшивками, для которых наилучшим материалом служит строи-
тельная фанера (а также древесноволокнистые и древесностру-
жечные плиты) с утеплителем из минераловатных плит или же-
сткого пенопласта [19]. В результате детальных исследований та-
442
ких многослойных панелей, проведенных С.А. Аскеровым
(Азербайджанский ПТИ), установлено, что они с успехом могут
применяться для бескаркасных малоэтажных [18] и даже произ-
водственных [21] зданий.
Первый опыт использования деревянных панельных зданий
в нашей стране относится к 30-м гг. XX в. Тогда многие дерево-
обделочные предприятия Приморского края изготавливали ком-
плекты сборно-разборных домов. Вертикальные трехслойные па-
нели с фанерными обшивками ставили кольцом и стягивали об-
ручами. Панели крыши опирались на стены и печь. Более совре-
менный вариант такой конструкции был изготовлен во Франции
в 1961 г. для международной гляциологической экспедиции в
Гренландию. Стеклопластиковые панели объединяли в одном Г-
образном элементе стену и крышу, а центральной опорой служи-
ла труба коммуникаций [4].
Госстроем СССР был выпущен перечень ПО 420-72, где
приведено 300 различных типовых проектов малоэтажных зда-
ний. Тем не менее, по данным ЛЕНЗНИИЭП, из множества про-
ектов в 70-80-х гг. промышленностью выпускалась только па-
нельная конструкция, разработанная Гипропромтрансстроем.
Здание имеет ширину 9 м и длину 12-72 м. Панели стен, кровли,
чердака, пола, перегородок изготовлены на деревянном каркасе с
обшивкой из вагонки и утеплителем из минераловатных плит.
Единственный тяжелый элемент (330 кг) - панель пола. В канад-
ской практике для подобных зданий применяют более легкие
клеефанерные конструкции.
Интерес представляет ПДКО (передвижной дом Канака-
Овсянникова). Конструкция ПДКО предельно проста: одиночный
Дом составляется из легких прямоугольных щитов (без пазов и
четвертей). Все 20 панелей домика складываются в компактный
пакет 2,15x2,15x1,4 м и могут погружаться в малый самолет Ан-
2. Вся конструкция держится на винтовых стяжках. Неизменяе-
мость системы достигается только по окончании монтажа. Щиты
состоят из брусков 25x60 мм, соединенных в шип, и обшивок из
5-миллиметровой фанеры. Наружная обшивка бакелизируется
только с внешней стороны, внутренняя олифится со стороны по-
443
мещения. Все щиты собираются на казеиновом клею с подпрес-
совкой шурупами. Стык - плоские грани, оклеенные сукном, -
имеет сопротивление продуванию в 2,45 раза выше требуемого.
Рис. 8.1. Застройка поселка Сельская Новь
1,2-двухкомнатные жилые дома (по серии 181-115-31,181-115-
66);
3,4 - трехкомнатные жилые дома (181-115-32,181-115-37);
5 - четырехкомнатный жилой дом (181-115-46); 6 - четырехком-
натный жилой дом с мансардой; 7 - блоки хозяйственных сараев;
8 - боксовые гаражи; 9 - трансформаторная подстанция; 10 - ин-
формационный центр
Для отработки вопросов комплексной застройки сельских
населенных мест Нечерноземной зоны РСФСР стандартными де-
ревянными домами Минлеспромом СССР совместно с Москов-
скими областными организациями в 1977 г. осуществлено строи-
тельство экспериментального поселка Сельская Новь в Одинцов-
444
ском районе Московской области [20], где построено 34 одно-
квартирных деревянных панельных полносборных дома серии
115 по проектам Гипролеспрома (рис. 8.1-8.3) [9-12]. Впервые в
стране на одной площадке были собраны все шесть типов одно-
квартирных домов, выпускавшихся предприятиями Минлесбум-
прома СССР (см. табл. 8.1).
Рис. 8.2. Одноквартирный трехкомнатный дом (181-115-32)
Рис. 8.3. Одноквартирный четырехкомнатный дом (181-115-46)
445
Таблица 8.1
Технико-экономические показатели проектов
одноквартирных домов
Показатели 2-комнатные дома 3-комнатные дома 4-комнатные дома
31* 66 32 67 46 __
Жилая площадь, м2 28,6 28,3 38,9 38,4 48,6
Общая площадь, м2 50,7 50,7 63,6 51,8 76,9
Строительный объем, м3 191,7 179,0 229,7 214,7 276,1
Сметная стоимость строительства, тыс.руб. 5,9 5,6 6,9 5,9 9,1
Сметная стоимость 1м2 общей площади, руб. 114,9 115,2 107,7 95,2 119,4
Стоимость строительно- монтажных работ, тыс.руб. 3,9 3,7 4,1 3,4 5,4
Расход пиломатериалов на 1м2 общей площади, м3 0,43 0,38 0,45 0,40 0,39
Трудоемкость строи- тельства, чел.-дни/м2 4,3 4,1 4,0 3,8 3,3
- порядковый номер дома в серии 181-115
Поселок построен в сжатые сроки - за 3,5 месяца. Фактиче-
ски продолжительность ведения строительных работ по жилым
домам составила: по 2-комнатному (181-115-31) - 15 дней; по 3-
комнатному (181-115-32) - 18 дней; по 4-комнатному (181-115-
46) - 20 дней. Монтаж основных конструкций дома выполнялся
за 2 дня.
ЦНИИЭПграждансельстроем разработаны типовые проекты
одно- и двухэтажных домов с 2-5-комнатными квартирами для
446
индивидуального строительства в климатических районах с рас-
четной температурой -20, -30 и -40°С (Рис.8.4-8.7). Дома этой се-
рии отличаются удачно разработанными фасадами и пространст-
венным решением интерьеров.
агоо
Рис. 8.4 Одноэтажный одноквартирный трехкомнатный
дом
1 - общая комната (19,30м2); 2 - спальня (15,40м2); 3 - спальня (11,60м2); 4 -
кухня (12,70м2); 5 - хозяйственная комната (3,60м2); 6 - кладовая (1,70м2); 7
- ванная (3,60м2); 8 - туалет (1,60м2); 9 - передняя (4,80м2); 10 - шкаф
(0,50м2); 11 - коридор (2,90м2); 12 - веранда (13,20м2); 13 - крыльцо
(4,50м2)
447
Рис. 8.5. Одноэтажный одноквартирный четырехкомнатный
дом
1 - общая комната (18,24м2); 2 - спальня (12,77м2); 3 - спальня (10,20м2); 4 - сто-
ловая (10,00м2); 5 - кухня (8,26м2); 6 - хозяйственная комната (4,51м2); 7 - ван-
ная (3,50м2); 8 - туалет (1,62м2); 9 - прихожая (4,97м2); 10 - коридор (2,26м2); И
- шлюз (1,75м2); 12 - шкаф (0,61м2); 13 - шкаф (0,61м2); 14 - кладовая (1,57м2);
15 - шлюз (0,70м2); 16 - кладовая (1,70м2); 17 - тамбур (1,70м2); 18 - веранда
(12,87м2)
448
Рис. 8.6. Двухэтажный одноквартирный пятикомнатный
дом
а - план первого этажа; б - план второго этажа; 1 - общая комната
(15,40м2); 2 - спальня (13,60м2); 3 - спальня (11,10м2); 4 - спальня (10,50м2);
5 - спальня (8,00м2); 6 - столовая (9,10м2); 7 - кухня (10,00м2); 8 - хозяйст-
венная комната (4,80м2); 9 - кладовая (1,20м2); 10 - кладовая (2,70м2); 11 -
ванная (3,60м2); 12 - туалеты (3,50м2); 13 - передняя (4,70м2); 14 - коридо-
ры (13,00м2); 15 - веранда (13,20м2); 16 - крыльцо (3.00м2)
449
1
Рис. 8.7. Двухэтажный одноквартирный пятикомнатный
дом
а - план первого этажа; б - план второго этажа; 1 - общая комната
(18,06м2); 2 - спальня (12,80м2); 3 - спальня (11,00м2); 4 - спальня (11,00м )
5 - спальня (10,08м2); 6 - столовая (9,11м2); 7 - кухня (7,10м2); 8 - хозяйст-
венная комната (7,00м2); 9 - ванная (3,50м2); 10 - туалет (1,08м2); 11 - при-
хожая (5,25м2); 12 - шлюз (2,80м2); 13 - туалет (1,65м2); 14 - коридор
(3,63м"); 15 - холл (4,48м2); 16 - шкаф (0,75м2); 17 - кладовая (1,20м2); 18
кладовая (2,05м2); 19 - тамбур (1,07м2); 20 - веранда (12,87м2)
450
Красноярский ПромстройНИИпроект разработал сборно-
пазборный поселок из блок-пакетов, построенный в Магаданской
области [13]. В Приморском крае созданы проекты поселка ме-
лИорат°р°в, 3Дания которого выполняются из сборно-разборных
йЛи складывающихся конструкций, а в ряде случаев - в контей-
нерном варианте [2]. ЛенЗНИИЭП предложил эксперименталь-
ные проекты оленеводческих баз для районов Севера. По данным
этого института [17], наиболее рациональным для указанных баз
оказывается применение конструкций из дерева.
Серия проектов деревянных панельных домов института
«Моснечерноземиндустпроект» включает одноэтажные и ман-
сардные 1-квартирные дома с 2-5-комнатными квартирами. Име-
ются и другие серии зданий, предлагаемых различными про-
ектными институтами России и стран СНГ [7,14].
На наш взгляд, имеющиеся на сегодняшний день проекты
деревянных домов отличаются исключительно большим разно-
образием подходов, потребностью в различных нестандартных
или неунифицированных элементах, что, в свою очередь, приво-
дит к неизбежному удорожанию зданий. В нашей стране дела-
лись попытки уменьшить это разнообразие и выработать некото-
рые общие подходы к проектированию и строительству деревян-
ных домов [1,16], однако после распада Советского Союза и на-
чавшегося в России спада производства интерес к этой проблеме
значительно снизился.
Панельные дома из древесины и пластмасс получили широ-
кое признание за рубежом [19]. В Германии уже в 1931 г. Вальтер
Гропиус разработал строительную систему из больших стеновых
элементов - дома для фирмы «Гирш Купер унд Мессингверке
АГ». Стандартизированные деревянные щиты состояли из дере-
вянных рамных элементов с прокладкой из алюминиевой фольги,
обшивкой внутренних стен асбестоцементными плитами и на-
ружной обшивкой из ребристых медных плит. Соединение эле-
ментов между собой осуществлялось с помощью коннектора,
который спустя несколько лет стал применяться в усовершенст-
вованном виде в системе «Дженерал пэнел констракшн».
451
В 1943-1945 гг. архитекторы Вальтер Гропиус и Конрад
Ваксман развили эту систему, переработав ее в США в «Пэкеджд
хаус систем». Здесь деревянные рамные элементы обшивались
снаружи вертикальной деревянной обшивкой.
В настоящее время в деревянном панельном домостроении
Германии занято около 70 фирм. Основные из них - «Штрайф»
[8], «Окал» и «Нордхауз». Фирма «Штрайф» производит дере-
вянные панельные дома с 1963 г. В год выпускается 5420 домов:
40% одноэтажных и 60% - домов с мансардами.
Конструктивные материалы: каркас - деревянные бруски;
заполнитель - минераловатные плиты; обшивка наружных и
внутренних панелей (2900x12500 мм) - древесноволокнистые,
древесностружечные, гипсоволокнистые и гипсокартонные пли-
ты.
Монтаж дома на площадке ведется с 7 до 16 часов бригадой
из пяти человек и одного крановщика, которая заканчивает мон-
таж стропильных ферм крыши, укладывает панели покрытия с
обрешеткой и защитной полиэтиленовой пленкой, а затем уезжа-
ет на другую площадку. Помимо основной бригады, в этот же
день два электрика прокладывают в потолочных панелях силовой
кабель, соединяют его с кабелями, проложенными в стеновых
панелях, и подключают электроосвещение. В течение 5-6 дней
бригада отделочников выполняет все отделочные работы по тре-
бованию заказчика: устанавливает сантехническое оборудование,
отопительные приборы, мебель, устраивает пол и покрывает
крышу черепицей. После этого заказчик по акту принимает дом в
полной готовности (рис. 8.8).
Определенный интерес представляет описанное в [35] кон-
структивное решение стеновых панелей из «перекрестной» дре-
весины, предложенное предпринимателем фирмы Amann Gmbh
Eckert’ом для строительства деревянных домов сборно-щитовой
конструкции (рис. 8.9). Запатентованное решение известно под
названием «Lingotrencb-дом. Испытаниями панелей, произведен-
ными с целью получения лицензии на этот новый вид строитель-
ной продукции, подтверждаются их высокие прочностные пока-
452
затели как при действии вертикальных, так и горизонтальных i
j-рузок в плоскости панелей щитовой конструкции.
Рис. 8.8. Деревянный крупнопанельный дом фирмы
“Штрайф ” (Германия)
453
Рис. 8.9 Деревянный дом системы «Lingotrend» до его отделки
Трех, пяти и семислойные деревянные панели изготавлива-
ются шириной от 37,5 до 125см с шагом 12,5см, что соответству-
ет принятому для кирпичных зданий модулю. Стандартный раз-
мер по высоте панелей составляет 2,48м, хотя по требованию за-
казчика последний может изменяться. На рис. 8.10 показано рас-
положение слоев досок в трех и пятислойных панелях щитовой
конструкции.
Испытаниями на огнестойкость пятислойных деревянных
стеновых панелей, облицованных с одной стороны листами гип-
совых плит «Fermacel» толщиной 15мм, установлено, что панели
454
лмеют предел огнестойкости 50мин при нагрузке порядка
37,5кН/м.
Рис. 8.10 Принцип формирования деревянных щитовых панелей
При использовании деревянных щитовых панелей в жилищ-
ном строительстве особое внимание должно обращаться на уст-
ройство стыковых сопряжений и выполнение внутренней отдел-
ки с обязательным уплотнением многослойных плит со щелевы-
ми зазорами для предотвращения их продуваемости, а также
включение в состав вертикального ограждения паронепроницае-
мого слоя.
Известны и другие разработки (например, [29, 32, 34]).
Малоэтажное деревянное домостроение Швеции характери-
зуется высокой степенью механизации технологических процес-
сов. В Швеции развивается два вида каркасного панельного до-
мостроения: мелко- и крупнопанельное. Строительство домов
осуществляется с применением поточных методов возведения
зданий. Дома строятся, как правило, в комплексе со всеми вида-
ми инженерных сетей. Наибольшее распространение получило
электрическое и водяное отопление от автономных отопительных
агрегатов, работающих на жидком топливе.
Крупнопанельное (с размерами панелей до 12 м) домострое-
ние в Швеции организовано немногим более 25 лет назад. В на-
стоящее время действует завод по производству крупнопанель-
ных домов мощностью около полутора тысяч домов в год в г.
Крамфорсе (фирма «Одальс-Хус»). Конструкции крупнопанель-
455
ных домов характеризуются высокой степенью заводской готов-
ности и отделки. Комплект дома изготавливают полностью в па-
нельном исполнении (панели наружных и внутренних стен, пере-
городок, чердачных перекрытий, панели кровли). Это позволяет в
минимально короткие сроки возводить дома и предъявлять их
потребителю в полностью отделанном виде (Рис. 8.11). Дома
шведского производства эксплуатируются и в других странах
[33].
Рис. 8.11. Деревянный крупнопанельный дом фирмы
“Одалъс-Хус ” (Швеция)
Деревянные дома заводского изготовления в Финляндии
выпускает ряд домостроительных фирм: «Херрала», «Пуутало»,
«Енсо-Гудцайт», «Ваая», «Палохайма», «Парма», «Макротало»,
«Пункоталот», «Тенновуд», «Моникко» и др. Дома отличаются
разнообразием архитектурно-планировочных решений, различ-
ной этажностью, количеством комнат, наличием подвалов, при-
строенных гаражей, саун и других помещений (Рис. 8.12). В рабо-
те [38], например, описывается финский одноэтажный деревян-
ный дом сборной конструкции (в плане прямоугольник, крыша
456
плоская, объемный модуль 225x225x225см).
Деревянное домостроение Дании имеет национальные тра-
диции. Проекты домов из деревянных конструкций хорошо впи-
сываются в местный ландшафт. В статье [30] приводятся отдель-
ные конструктивные решения датских домов. Деревянные летние
домики типа «Roztocze» и «MuDab» [38] имеют стеновые эле-
менты из деревянных рам, обшитых с двух сторон расколотыми
пополам жердями, между которыми уложена теплоизоляция из
войлока.
Рис. 8.12. Деревянный панельный дом фирмы “Макротало ”
(Финляндия)
Интерес представляет проект коттеджа швейцарского ак-
ционерного общества «Н. Блюмер». Коттедж имеет несущий кар-
кас из клееных деревянных элементов и полностью автономное
энергоснабжение от системы солнечных батарей [6].
Объем малоэтажного жилищного строительства на основе
древесных материалов в США и Канаде составляет более 2 млн.
457
квартир в год. Одним из факторов, стимулирующих широкое
применение жилых домов на основе древесины, является то, что
на производство пиломатериалов расходуется значительно мень-
ше энергии и топлива, чем для производства многих других
строительных материалов, и, соответственно, стоимость их ниже.
Широкий размах строительство домов на базе древесных мате-
риалов в США и Канаде получило с 1943-1950 гг. В табл. 8.2
приводятся статистические сведения о деревянном домостроении
Канады.
Таблица 8.2
Статистика канадского деревянного домостроения
Годы 1943 1956 1965 1975 1985 1995 '
Количество домов 59900 115420 155128 180952 180000 110993
Средняя цена, $ 5500 13000 17400 35500 80500 103000
Минимальные сроки строи- тельства, недель 30 20 10 9 8 8
Канадская корпорация «Наскор» возводит деревянные дома
различной этажности, от одно- до пятиэтажных (рис. 8.13). Кон-
структивной особенностью этих домов является использование в
них деревянных двутавровых балок и стоек, пояса которых вы-
полнены из древесины, а стенки - из эффективного листового
материала - ориентированно стружечной плиты. Технология
«Наскор» в настоящее время используется в России компанией
«Ростнефтересурс». Особенности указанной технологии и при-
меры современного деревянного домостроения приводятся далее
в этой главе.
Существует множество зарубежных разработок по исполь-
зованию в малоэтажном домостроении пластмасс. Так, например,
итальянская фирма «Анколаб» изготавливает сборно-разборные
объемные блоки «Анкосел» из стеклопластика. В Англии разра-
ботана система «Клемп» - пластмассовые сборно-разборные дома, в
основе которых двенадцатиугольник как наиболее вариабельная
458
форма (по мнению фирмы) для создания многообъемных образо-
ваний по горизонтали и вертикали. Конструкции одноэтажных
зданий системы «Modumould» (Англия) выполнены из трехслой-
ных пластмассовых панелей с обшивками из полиэфирного стек-
лопластика [39]. Система «Тригон» (Франция) основана на ис-
пользовании квадратных проекций додекаэдра. Сторона квадрата
- 192 см (длина спального места). Здание монтируется на каркасе
из легких металлических уголков, скрепленных болтами.
Ограждающие панели могут быть цельнодеревянными и много-
слойными.
Рис. 8.13. Деревянные каркасные дома фирмы “Наскор ”
(Канада)
459
Жилые дома типа «fg-200» (Германия) также выполнены из
трехслойных пластмассовых панелей. Одноэтажные коттеджи
имеют площадь 150-200 м2 [25].
Пластмассовые конструкции одноэтажного дома в горной
местности Швейцарии, возведенного на высоте 2660м и предна-
значенного для временного пребывания 12-14 человек, имеют
трехслойную структуру с обшивками из полиэфирного стекло-
пластика и пенополиуретановым средним слоем [28].
Отель в Шарм-э-Шейхе на Синайском полуострове состоит
из небольших домиков на 2 человека и двухэтажного здания рес-
торана [31]. Домики собираются из стеклопластиковых элемен-
тов заводского изготовления и имеют форму многоугольного ку-
пола.
Из приведенных примеров видно, что деревянному и пласт-
массовому домостроению за рубежом уделяется значительное
внимание. Однако здесь имеется большое число разнообразных
проектов со своими достоинствами и недостатками.
Анализ литературных источников по вопросам стандартного
деревянного панельного домостроения показывает, что даже при
полной унификации объемно-планировочных параметров и при
одной и той же конструктивной системе разные способы опира-
ния элементов перекрытий в значительной степени усложняют
унификацию размеров сборных изделий. В проектах применены
различные по высоте (2,5-2,7 м) наружные и внутренние стено-
вые панели.
Кроме того, имеет место разнотипность взаимного располо-
жения основных конструктивных элементов, различных стыко-
вых соединений, что отражается на уровне унификации и типи-
зации узлов. Даже выбор системы привязки панелей наружных и
внутренних стен и панелей перекрытия влияет на разнообразие
их типоразмеров. При этом появляются стеновые панели немо-
дульных размеров, возникают зависимость размеров панелей
внутренних стен от толщины панелей наружных стен, несов-
падение шага стоек каркаса панелей стен и ребер плит перекры-
тия, изменение площади помещения в зависимости от толщины
панелей наружных стен.
460
Унификация объемно-планировочных и конструктивных
решений деревянных панельных домов с учетом архитектурных,
функциональных, производственно-технологических и технико-
экономических требований основывается на создании номенкла-
туры изделий, из которых можно собрать различные дома. Уни-
фицируются структурные элементы квартир, объемно-
планировочные геометрические параметры и основные кон-
структивные решения, построенные на модульной сетке: типо-
размеры конструктивных элементов с сокращением количества
их типов: узловые соединения с уменьшением типов сопряжений
элементов и сохранением модульной координации точек соеди-
нений [22].
При увеличении размеров панелей возрастает количество
типоразмеров сборных элементов. Поэтому перспективным сле-
дует считать проектирование зданий с применением модуля,
одинаково отвечающего требованиям унификации объемно-
планировочных и конструктивных решений. Учет размеров вы-
пускаемых в настоящее время листовых материалов позволяет
установить величину модуля, равную 1,2 — 2,5 м.
Деревянные панели могут с успехом применяться и при воз-
ведении пространственных покрытий. Примеров подобных со-
оружений значительно меньше, чем в стандартном домострое-
нии, однако покрытия многогранного или складчатого типа по-
строены как у нас в России, так и за рубежом. Некоторые конст-
рукции описаны в предыдущих главах настоящей книги, а также
в [36] и [40].
По данным ЛенЗНИИЭП возможное применение про-
странственных конструкций в гражданском строительстве можно
проиллюстрировать диаграммой (рис. 8.14).
Внимание современных исследователей должно быть на-
правлено на разработку проектов каркасно-панельных зданий,
рассчитанных на длительный срок эксплуатации. Такие здания
Должны собираться из элементов максимальной заводской готов-
ности, обеспечивающих легкость и удобство монтажа, а также
Предусматривающих возможность замены панелей, вышедших из
строя в процессе эксплуатации.
461
Рис. 8.14. Применение пространственных конструк-
ций в гражданском строительстве
1 торговые здания; 2 спортивные здания; 3 зрелищные здания;
4 учебные здания; 5 лечебные здания; 6 административные здания;
7 здания городского назначения; 8 учреждения отдыха; 9 транс-
портные сооружения
Максимальная заводская готовность панелей предполагает
их серийное производство, способное сократить сроки и стои-
мость строительства. Этому противостоит, однако, стремление
потребителя к более индивидуальному с функциональной и эсте-
тической точек зрения проектированию своего жилища и соот-
ветствию строительной системы меняющимся со временем за-
просам. Данную проблему можно решить, делая упор на стандар-
тизацию строительных элементов, комбинирование которых по-
зволяет осуществлять дифференцированное планирование в са-
мых разных областях применения.
В США представлен проект экспериментального жилого
двухэтажного дома из объемных блоков заводского изготовления
[41]. В основе конструктивного решения лежит принцип исполь-
зования объемных блоков двух типоразмеров - модулей 2,4x3,7м
и 3,7x3,7м. На конкурсах проектов крупных стадионов для горо-
дов Чикаго (США) и Торонто (Канада) среди прочих решений
были представлены трансформируемые сдвигающиеся и откаты-
вающиеся покрытия из светопрозрачных материалов [3].
462
В Баттерси (Великобритания) разработан проект малоэтаж-
ноГо жилого комплекса, состоящего из стандартных деталей для
оранжерей и обладающих способностью к последовательному
расширению [26]. Фирмой «Timber Research a. Development As-
sign» (Великобритания) создан сборный двухэтажный отдельно
стоящий жилой дом, который может быть смонтирован на зара-
нее подготовленном фундаменте за один день [37]. Конструктив-
ная система дома основана на применении сборных трехмерных
элементов из дерева, которые могут иметь различную форму и
разнообразную отделку.
Архитектором Микко Уотила на национальной выставке в
Финляндии летом 1996 г. был представлен проект трансформи-
руемого дома, полностью выполненного из древесины. По мне-
нию автора, проект имеет неограниченные возможности для
удовлетворения самых экстравагантных желаний будущих жиль-
цов [24].
Интересно предложение немецких исследователей - ком-
плект сборных элементов заводского изготовления, позволяющих
собирать всевозможные сооружения, начиная с загородных до-
миков и кончая школами и небольшими офисами [27]. Основным
несущим фрагментом являются деревянные опоры с деревянны-
ми же балками, устанавливаемые на сетке 1,2x4,1м. Покрытием
служит цилиндрическая скорлупа длиной 4,10м, изготовленная в
виде сэндвича с утеплением из пенополиуретана.
8.3. Выбор материалов для деревянных каркасных домов
При разработке конструкций малоэтажных зданий большое
значение имеет рациональный выбор материалов для изготовле-
ния отдельных частей здания. Панельные конструкции предпола-
гают возможность замены одних панелей другими либо даже
возможной их сборки-разборки. Это приводит к необходимости
снижения веса отдельных элементов здания при одновременном
и безусловном сохранении их высоких прочностных и жесткост-
ных свойств. Вторым условием, определяющим выбор материа-
лов, являются их теплофизические характеристики. Жильцам та-
463
ких домов должны быть созданы комфортные условия: дома
должны быть теплыми и сухими. Третье условие - относительная
простота обработки материалов, обеспечивающая легкость изго-
товления отдельных элементов и их последующей сборки.
Программа «Свой дом» предполагает разработку и строи-
тельство домов, стоимость 1 м2 площади которых не будет пре-
восходить двухмесячного размера средней заработной платы в
России. Отсюда вытекает четвертое условие - по возможности
меньшая стоимость конструкций.
Перечисленным условиям в полной мере безусловно отвеча-
ет древесина и изделия из нее. Это легкий, теплый, экологически
чистый, легко поддающийся обработке материал. Что касается
стоимостных показателей, то, по данным Красноярского Промст-
ройНИИпроекта [15], от применения в трех небольших поселках
Магаданской области (для 40-60 человек каждый) панельных до-
мов, разработанных упомянутым институтом, с панелями на де-
ревянном каркасе, фанерной обшивкой и пенопластом ПСБ в ка-
честве утеплителя за два года эксплуатации фактический эконо-
мический эффект составил в ценах 1980 г. более 3 млн. руб. по
сравнению с традиционными кирпичными зданиями.
При изготовлении панелей рекомендуется использовать дре-
весину - для создания реберного каркаса и фанеру - для обшивок.
Для этих целей применяют фанеру марки ФСФ (сортов В/ВВ) и
бакелизированную марки ФБС толщиной до 12 мм. Высокие
прочность и жесткость фанеры позволяют создавать из нее кон-
струкции наиболее рациональной формы в виде клеефанерных
панелей стен, покрытий и перекрытий. В таких панелях удачно
сочетаются технологичность в поточном заводском производст-
ве, высокая транспортабельность, малая масса, точность и ста-
бильность формы, простота и скорость монтажа, капитальность
конструкции в условиях эксплуатации.
Возможно применение в обшивках древесноволокнистых
(ДВП), древесностружечных (ДСП) и ориентированностружеч-
ных (ОСП) плит, асбестоцемента, стеклопластиков и др. Приме-
нение ДВП толщиной 6 мм ограничивается внутренними обшив-
ками стеновых панелей. ДВП могут быть твердыми и сверхтвер-
464
дыми, антисептированными смоляными добавками. ДСП полу-
чают горячим прессованием древесных стружек, пропитанных
термореактивными смолами. Толщина плит - 6-15 мм. Фанеру,
ДВП и ДСП необходимо защищать от увлажнения и атмосфер-
ных воздействий. Существует ряд эффективных способов заши-
ты древесных материалов, в том числе покрытие водостойкими
красками, стеклопластиком, винилпластом, алюминиевой фоль-
гой.
Асбестоцементные плиты толщиной 6-10 мм, используемые
для изготовления обшивок, являются наиболее дешевым мате-
риалом. Тем не менее, их использование в жилищном строитель-
стве не рекомендуется из-за вредного воздействия на организм
человека. Если же асбестоцемент служит наружной обшивкой
панелей, то в связи с его сильной подверженностью влажност-
ным воздействиям он должен защищаться от последних лакокра-
сочными полимерными покрытиями или специальной гидрофо-
бизирующей обработкой поверхности. Альтернативой для асбе-
стоцементных листов являются цементностружечные плиты и
обшивки из вермикулита.
Наружные панели зданий должны иметь эффективный утеп-
литель для обеспечения нормального температурно-
влажностного режима в помещении. К подобным утеплителям в
первую очередь следует отнести пенопласты; при этом предпоч-
тение, на наш взгляд, должно отдаваться пенополиуретановым и
полистирольным пенопластам.
Перспективным представляется использование в качестве
утеплителя базальтового волокна. Базальт нагревается до темпе-
ратуры плавления и под давлением пропускается через узкие от-
верстия фидеры. Получаемая тонкая нить охлаждается и образует
«вату», которая не горит, является экологически чистой, обладает
высокими теплоизоляционными свойствами (выше, чем у пено-
пластов) и имеет объемный вес, меньший, чем у пенопластов.
Достоинства этого материала таковы, что впервые его начали
применять в космонавтике, в качестве теплоизолирующего слоя
летательных аппаратов.
465
Защита наружных обшивок стен осуществляется рах лчны.
ми способами: от окраски лакокрасочными материалами до от-
делки асбестоцементными или гипсоволокнистыми плитами, ва-
гонкой и даже кирпичной кладкой (решение фирмы «Штрайф»
ФРГ)- Заслуживает внимания опыт шведских домостроительных
фирм по применению деревянной строганой обшивки, обрабо-
танной методом «рояль-процесс» (шведская фирма «Асси»), в
качестве декоративной отделки панельных домов. Этот метод за.
ключается в автоклавной пропитке деревянной обшивку; соста-
вами, придающими древесине биостойкость и высокие декора-
тивные качества (цвет мореного дуба, кирпича, малахита и т.п.).
Использование такой обшивки позволяет в значительной степени
разнообразить архитектурный облик зданий и увеличивать срок
службы древесины.
8.4. Передовые технологии деревянного домостроения
в России
За последние годы в России получило достаточно широкое
развитие индустриальное производство домов с деревянным кар-
касом. При этом упор делается на использование современных
зарубежных технологий с их адаптацией к требованиям отечест-
венных строительных норм и правил, а также с учетом россий-
ских традиций и пожеланий заказчиков.
Из большого разнообразия зарубежных технологий можно
выделить канадский опыт деревянного домостроения. Его осп
бенностью является максимальная унификация исходных дета-
лей и комплектующих, а также гибкая система проектирования
зданий. Госстроем России в 2002 году введен в действие свод
правил по проектированию и строительству малоэтажных дере-
вянных домов [23]. Этот документ разрабатывался совместна
российскими и канадскими специалистами.
18 декабря 2000 года во время государственного визита Пре-
зидента России В.В.Путина в Канаду в Оттаве состоялось подпи
сание тройственного соглашения между канадской корпорацш й
ипотеки жилищного строительства, канадской фирмой «Наскор»
466
й российской компанией «Ростнефтересурс» об организации
производства деревянных домов по технологии «Наскор» на тер-
ритории Ростовской области. 6 ноября 2001 года состоялось от-
крытие завода. В настоящее время компания «Ростнефтересурс»
ведет строительство коттеджного поселка в пригороде Ростова-
па-Дону, а также возводит целый ряд объектов в Подмосковье,
Краснодарском Крае и на Северном Кавказе.
Рассмотрим далее основные особенности и преимущества
деревянных домов системы «Наскор». Основными частями зда-
ния являются фрагменты стенового каркаса, междуэтажные пе-
рекрытия и кровля. Отличительной особенностью рассматривае-
мой технологии является то, что все несущие конструкции зда-
ния выполняются из ограниченного сортамента пиломатериалов
- досок сечением 38x64, 38x89 и 38x140мм. Это дает возмож-
ность унифицировать отдельные изделия и детали и значительно
упростить сборку домов на строительной площадке.
Производство фрагментов каркаса основано на защищенной
патентом технологии. В состав стеновых систем «Наскор» входят
несущий каркас из пиломатериалов или специализированных де-
ревянных деталей и теплоизоляция из пенополистирола (ППС).
Производство высококачественных стен осуществляется путём
сборки деталей из ППС и древесины в заводских условиях в от-
дельные фрагменты - панели. Размер и форма таких панелей раз-
личаются, поскольку каждый проект выполняется по индивиду-
альному заказу. Проектирование фрагментов каркаса выполняет-
ся с использованием лицензионного компьютерного обеспечения,
а их сборка осуществляется на специальных сборочных столах
(рис. 8.15).
Основные элементы стен показаны на рис. 8.16, где изобра-
жен вид панели сверху. Несущие стойки наружных стеновых па-
нелей выполняются из деревянных двутавров высотой 140 или
184 мм типа «Наскор III» и «Наскор IV». В качестве полок дву-
тавров «Наскор III» используется доска сечением 38x64мм, а для
«НАСКОР IV» - доска 38x89мм. Стенки стоек обоих типов про-
изводятся из ориентированно-стружечной плиты - ОСП толщи-
ной 10 мм, соединенной с полками в паз на клею (обычно фенол-
467
резорциновый формальдегид). Следует отметить, что толщцНа
стен определяется по расчету, с учетом действующих на зданце
эксплуатационных нагрузок. Стойки могут иметь различную вьд
соту и устанавливаются с фиксированным шагом 203, 305, 406
500 или 610мм. На рис. 8.17 представлены различные типы стоек
высотой 140 и 184мм.
Рис. 8.15. Сборочный стол для изготовления фрагмен-
тов каркаса
Между стойками в наружные стены укладываются блоки
утеплителя - пенополистирола (ППС), показанные на рис. 8.18.
Кромки блоков спрофилированы и имеют центрированный паз
глубиной 25,4мм под шпонку из пенополистирола (рис. 8.19),
обеспечивающую соединение заполнителя с двутавровыми стой-
ками. На стороне заполнителя, обращенной вовнутрь здания,
фрезеруется канал размерами 38x44мм по всей ширине панели.
Указанная выемка совпадает с отверстиями в двутавровых ко-
лоннах и предназначена для прокладки электропроводки.
468
Панель заполнителя из ППС Заполнение перемычки из ППС
Шпонка из ППС
Угловой узел
Концевая стойка
Двутавровая стойка - НАСКОР
Канал для электропроводки
Брусок 38x64мм
или
Брусок 38x89мм
Проём
Стойка проёма
Перемычка проёма
140 мм
184 мм
Рис. 8.16. Конструкция стены «Наскор»
Рис. 8.17. Двутавровые стойки стен
(слева направо - «Наскор III» высотой 140мм, «Наскор IV» высотой
140мм, «Наскор IV» высотой 184мм)
469
Блоки и шпонки производятся на заводе компании «Рост-
нефтересурс» на специализированном оборудовании (рис. 8 20
8.21). ' ‘ ’
Рис. 8.20. Станок для распускания заготовок пенополистирола
Рис. 8.21. Станок для фрезерования пазов в блоках заполнителя
470
Концевые стойки (рис. 8.22) представляют собой двутавро-
вую колонну с подогнанной по размеру половинной шпонкой,
вставленной в паз двутавровой колонны. Полушпонка удержива-
ется на месте за счет сил трения, однако в тех случаях, когда кон-
цевая стойка является последним элементом стеновой панели,
полушпонка крепится к стенке двутавра на клею. Ширина и тол-
щина полушпонки определяется типом фрагмента какарса (НА-
СКОР III или НАСКОР IV), а также толщиной стены (140 или
184 мм соответственно).
Рис. 8.22. Концевая стойка
Рис. 8.23. Конструкция типового углового узла
для соединения фрагментов каркаса под пря-
мым углом
471
Для соединения двух фрагментов каркаса под углом друг к
другу применяются специальные угловые узлы (рис. 8.23).
Наиболее распространенными угловыми узлами являются
соединения стен под углами 90 и 45 градусов. Три доски соеди-
няются в П-образную форму при помощи гвоздей длиной 76 мм
забиваемых через торцевой элемент в кромки продольных эле-
ментов жесткости узла. Затем пространство внутри П-образной
конструкции заполняется угловой шпонкой из пенополистирола.
На рис. 8.24 показан угловой узел в сборе с вырезом для установ-
ки элемента перекрытия.
Рис. 8.24. Угловой узел в сборе с вырезом для установки
элемента перекрытия
Стеновые панели могут выполняться с проемами для уста-
новки двери или окна. Указанные проёмы имеют размеры с уче-
том зазоров, необходимых для возможности монтажа дверных и
оконных блоков на строительной площадке. Обычно этот зазор
составляет 25 мм. Типовой проём под окно представлен на ри-
сунке 8.25.
472
верхняя
обвязка
оконного
проёма
нижняя
обвязка
оконного
проёма
штакет
верхняя
обвязка
двутавровая
стойка
- стойка проёме
канал для
электро-
проводки
нижняя
обвязка
Рис. 8.25. Типовой оконный проем
Стойки проемов выполняются из пиломатериалов второго
сорта сечением 38x140 или 38x184мм. В некоторых случаях для
обеспечения большей несущей способности могут использовать-
ся стойки проемов, выполненные из нескольких досок, соединен-
ных между собой на гвоздях.
В состав типовой перемычки проема для стены «Наскор»
(рис. 8.26) входит двух- или трехслойная перемычка с заполните-
лем из пенополистирола. Обычно деревянные элементы перемы-
чек представляют собой деревянные детали сечением 38x241мм,
однако, в случае устройства широких проемов, перемычка может
выполняться из клееных элементов. Элементы перемычки соеди-
няются при помощи винтовых гвоздей «Ardox» длиной 125мм
для стен толщиной 140мм и 180мм для стен толщиной 184мм.
В местах установки отдельных несущих конструкций по-
крытия, воспринимающих повышенную нагрузку, а также под
основными балками перекрытий может понадобиться устройство
в стеновых панелях элементов усиления. Последние обычно вы-
полняются из нескольких досок или двутавровых стоек, скреп-
ленных друг с другом в единый элемент (рис. 8.27).
473
Рис. 8.26. Перемычка проема в разрезе
Рис. 8.27. Элемент усиления стены
474
Отдельные элементы каркаса каждой стеновой панели объе-
диняются при помощи верхней и нижней обвязок (рис. 8.25). Об-
вязки представляют собой доски сечением 38x140 или 38x184мм
для стен соответствующей толщины. Они крепятся к каждой
промежуточной и концевой стойкам, а также к элементам усиле-
ния с помощью шурупов длиной 76мм, связывая панель в единый
элемент. Для обеспечения надлежащего уплотнения к верхней и
нижней обвязкам с помощью скоб прикрепляется непрерывный
уплотнительный жгут из пенополиэтилена. В панели с дверным
проемом нижняя обвязка идёт по всей длине и на проёме не пре-
рывается. Впоследствии, после монтажа каркаса на стройпло-
щадке, участок обвязки под дверным проемом вырезается, одна-
ко до того момента необходимо поддерживать целостность пане-
ли для транспортировки. При устройстве оконного проёма до-
полнительно устанавливаются верхняя и нижняя обвязки проема.
Фрагменты каркаса поставляются на строительную площад-
ку отдельными секциями и без обшивок. Необходимость приме-
нения того или иного материала обшивки определяется конст-
рукцией, ветровой и снеговой нагрузкой, требованиями заказчи-
ка, а также требованиями норм. Наружные стены устанавливают-
ся в проектное положение (рис. 8.28), соединяются верхней об-
вязкой из доски и крепятся к полу. Размер секции может быть
различным, однако панели обычно конструируются таким обра-
зом, чтобы два монтажника могли легко поднимать и устанавли-
вать панели в проектное положение.
В большинстве случаев в качестве наружной обшивки стен
используется ориентированно-стружечная плита толщиной 10мм,
однако возможно применение других листовых материалов. Та-
кие отделочные покрытия, как винил, наружная штукатурка или
сайдинг можно наносить на стеновую панель "НАСКОР" как с
обшивкой, так и без нее. Внутренняя обшивка стен выполняется
из гипсоволокна после монтажа внутренних несущих стен и пе-
регородок и монтажа инженерного оборудования. На рис. 8.29
показан коттедж после окончания монтажа наружных стен и ус-
тановки обшивки из ОСП
475
Рис. 8.28. Монтаж наружных стен
Рис. 8.29. Стены с обшивкой из ОСП
Внутренние несущие стены и перегородки построечного из-
готовления из досок сечением 38x140 и 38x89мм соответственно
476
(рис. 8.30). Как правило, эти стены выполняются без утеплителя,
так как в них прокладываются инженерные коммуникации.
Рис. 8.30. Внутренние несущие стены и перегородки
В качестве несущих элементов перекрытий используются
деревянные двутавровые балки (рис. 8.31).
Рис. 8.31. Балка перекрытия
Балки изготавливаются на специализированной линии по
производству балок перекрытий и стеновых стоек. Процесс про-
изводства имеет несколько стадий: на первой в заготовках полок
двутавров прорезается и заполняется клеем паз для последующей
установки стенки. На второй стадии рабочие вручную компону-
ют балку из полок и стенки (рис. 8.32). На третьем этапе балка
пропускается через стиплер, показанный на рис. 8.33, скрепляю-
щий стенку и пояса при помощи проволочных скоб. Скобы под-
держивают целостность сечения до окончания твердения клея.
Рис. 8.32. Линия по производству балок: общий вид
Рис. 8.33. Устройство для забивки скоб
478
Типовое перекрытие по деревянным балкам "Наскор" состо-
ит из нескольких основных элементов. Рассмотрим их далее на
примере цокольного перекрытия.
Нижняя обвязка укладывается по верху фундамента и пред-
назначена для передачи усилий от перекрытий на фундамент.
Выполняется из досок сечением 38x140 либо 38x184мм.
Основным элементом междуэтажных перекрытий являются
балки. Существует три различных серии балок. Серия NJ исполь-
зуются в основном в перекрытиях небольших пролетов. Сущест-
вует два типоразмера балок этой серии, отличающихся между
собой высотой сечения (рис. 8.34).
Высота
64 мм —
Высота сечения:
NJ10-241 мм
NJ12-302MM
Пояса:
38 х 64 мм
Стенка:
Ориентированно-стружечная
плита толщиной 10 мм
38 мм----
Рис. 8.34. Сечение балок серии NJ
Серия NJH применяется в основном в проектах по жилищ-
ному и коммерческому строительству. Имеется четыре типораз-
мера балок (рис. 8.35). На рис. 8.36 показаны пять типоразмеров
балок серии NJU, используемых в зданиях с большими пролета-
ми или повышенной нагрузкой.
Балки устанавливаются на нижнюю обвязку. Шаг балок раз-
личен и может составлять 250, 305, 407, 488, 500 и 610мм. Такие
шаги установлены в соответствии с размерами листов ОСП тол-
щиной 18мм, используемых при устройстве черного пола. Шаг и
тип балок перекрытия выбирается согласно расчету по лицензи-
онным компьютерным программам. В коттеджном домостроении
наиболее часто применяются балки перекрытий высотой 302 мм.
479
64 мм
8 мм
Л
Высота
Высота сечения:
NJH10-241 мм
NJH12- 302 мм
NJH14 - 356 мм
NJH16 - 406 мм
Пояса:
38 х 64 мм
Стенка:
Ориентированно-стружечная
плита толщиной 10 мм
Рис. 8.35. Сечение балок серии NJH
Высота сечения:
NJU10-241 мм
NJU12-302 мм
NJU14-356mm
NJU16-406 мм
NJU18-457 мм
Пояса:
38 х 89 мм
Стенка:
Ориентированно-стружечная
плита толщиной 10 мм
Рис. 8.36. Сечение балок серии NJU
В тех местах, где на перекрытия действует повышенная экс-
плуатационная нагрузка, возможна установка сдвоенных несу-
щих двутавровых балок, однако в этом случае обычно предпоч-
тение отдается толстой многослойной клееной фанере прямо-
угольного сечения шириной 45 мм, называемой согласно канад-
ским строительным нормам LVL (рис. 8.37). Высота LVL колеб-
лется в пределах от 241 до 606мм. Опирание основных балок пе-
рекрытия на LVL может быть этажным или в одном уровне. Это
зависит от принятых архитектурных решений и конструктивных
особенностей здания и решается по-разному, в каждом конкрет-
ном случае.
480
Рис. 8.37. несущая балка изLVL
В случаях, когда опирание основных балок на элементы не-
сущих конструкций необходимо выполнить в одном уровне, при-
меняются специальные крепежные элементы - хомуты. Сущест-
вует два основных типа хомутов — навесной и лицевой, показан-
ных на рис. 8.38.
Рис. 8.38. Навесной и лицевой хомуты
481
Для каждого типа балок имеется несколько видов хомутов
различающихся между собой формой, размерами, способом опи-
рания и несущей способностью. Хомуты могут быть под двой-
ную или тройную балку (рис. 8.39).
Рис. 8.39. Двойной лицевой хомут
На рис. 8.40 показан вариант этажного сопряжения основ-
ных балок и LVL. Здесь же можно увидеть и инженерные комму-
никации, пропускаемые через стенки балок. Имеются специаль-
ные расчетные таблицы, по которым проектировщик устанавли-
вает размеры и расположение отверстий в зависимости от проле-
та балок и действующих на них нагрузок.
482
Рис. 8.40. Этажное сопряжение балок перекрытий
Стойка (колонна) из пилома-
териала в несколько слоев
Блоки 38x140
высотой на
2мм выше чем
балки пеоекоы-
Рис. 8.41. Узлы опирания балок на несущие стены
483
В местах опирания балок перекрытия на наружные стены
устанавливаются так называемые обвязочные балки (рис. 8.41),
предназначенные для восприятия и передачи усилий от верхних
этажей и покрытия на нижележащие несущие стены. Эти балки
способствуют также созданию единого диска перекрытия. На
этом рисунке показан еще один элемент перекрытия - блоки уси-
ления. Эти элементы представляют собой 3-4 доски сечением
38x140мм, соединенные в единый блок на гвоздях. Они выпол-
няются на 2 мм выше, чем высота балок перекрытий и использу-
ются в местах, где необходимо передать большие усилия от вы-
шележащих конструкций, например, от несущей балки верхнего
этажа или от сильно нагруженной стропильной фермы.
Несущими элементами покрытия являются дощатые стро-
пильные фермы с узловыми соединениями на металлических
зубчатых пластинах (фермы на МЗП). Фермы производятся на
специализированном оборудовании завода компании «Ростнеф-
тересурс». Предварительно выполняется расчет и проектирова-
ние кровли здания с помощью лицензионной компьютерной про-
граммы фирмы Mitek. На этом этапе проектировщик создает
компьютерную модель покрытия, выполняет расстановку стро-
пильных ферм и их конструктивный расчет, после чего на завод
выдается специальная документация, по которой и производятся
фермы.
Сначала выполняется заготовка деревянных элементов ферм
в соответствии со схемой распиловки. Заготовка производится на
дисковой пиле, снабженной поворотным механизмом, позво-
ляющим обрезать доски сечением 38x89 или 38х 140мм под лю-
бым углом (рис. 8.42).
484
Рис. 8.42. Участок заготовки пиломатериалов
для стропильных ферм
Заготовленный пиломатериал передается на два сборочных
стола (рис. 8.43, 8.44), где деревянные элементы фермы раскла-
дываются в соответствии со сборочным чертежом. Существует
довольно большое количество моделей сборочных столов. Они
отличаются друг от друга размерами, способами крепления эле-
ментов решетки, применяемыми устройствами для запрессовки
металлических зубчатых пластин и другими характеристиками.
На сборочном чертеже указаны места установки металличе-
ских зубчатых пластин и их привязка к характерным точкам кон-
струкции фермы.
485
Рис. 8.43. Сборочный стол для производства ферм пролетом до
6 метров с механическим прессом
Рис. 8.44. Сборочный стол для производства ферм пролетом
до 18 метров с ручным прессом
После запрессовки металлических зубчатых пластин в места
сопряжения деревянных элементов ферм последние поступают
на склад готовой продукции, где хранятся в вертикальном поло-
жении (рис. 8.45).
Типовое покрытие с несущими конструкциями из деревян-
ных стропильных ферм с узловыми соединениями на металличе-
ских зубчатых пластинах состоит из следующих основных эле-
ментов:
Рядовые стропильные фермы - устанавливаются с шагом
500- 600мм. На них укладываются ориентированно-стружечные
плиты толщиной 15 мм в качестве настила под кровлю. Фермы
имеют пролеты до 18м и устанавливаются на несущие стены ли-
бо опираются на несущие фермы перекрестного направления.
486
Рис. 8.45. Складирование готовой продукции
Несущие фермы представляют собой многослойную (обыч-
но двух- или трехслойную) конструкцию. К несущим фермам с
помощью хомутов крепятся рядовые фермы покрытия и стропила
(рис. 8.46).
На рис. 8.46 можно увидеть хомуты, при помощи которых
рядовые стропильные фермы крепятся к несущим. Хомуты вы-
пускаются нескольких типов, различающихся между собой не-
сущей способностью и размерами. Пример одного из таких хому-
тов показан на рисунке 8.47.
Важным элементом кровли являются связи между фермами,
обеспечивающие устойчивость покрытия в целом. В зависимости
от назначения и положения в здании связи подразделяют на сле-
дующие типы:
487
ны и несущие фермы
<
Рис. 8.47. Лицевой хомут
для крепления стропиль-
ных ферм
Рис. 8.46. Опирание рядовых стропильных ферм на сте-
Временные монтажные связи -
служат для удержания ферм в
проектном положении при монтаже
конструкций покрытия.
Устанавливаются по верхним
поясам ферм, а также в диагональ-
ном направлении, скрепляя участки
ферм с верхней обвязкой стен.
Количество временных монтажных
связей и их расстановка должны
обеспечивать надежное закрепление
монтируемых ферм до полной
установки покрытия и монтажа
постоянных связей и обшивки;
Горизонтальные связи по нижним поясам ферм - обеспечи-
вают устойчивость нижних поясов ферм. Устанавливаются в обя-
зательном порядке на расстоянии не более 2-х метров друг от
друга;
Диагональные связи по верхним поясам ферм - обеспечива-
ют устойчивость стропильной системы в целом. Угол установки
488
диагональных связей по отношению к верхней обвязке стены
должен составлять от 35 до 55 градусов. Идут от конька к обвяз-
ке стены и прибиваются к ней. Должны объединять друг с дру-
гом не менее четырех ферм;
Диагональные связи по решетке - устанавливаются в тех
элементах, где необходимо уменьшить расчетную длину из плос-
кости фермы. Обеспечивают устойчивость элементов решетки.
Отсутствие связей в покрытии недопустимо, так как это мо-
жет привести к потере устойчивости отдельных элементов из
плоскости ферм или полному обрушению кровли (рис.8.48).
Рис. 8.48. Потеря устойчивости сжатого раскоса и обрушение
кровли промышленного здания
Деревянные коттеджи производства компании «Ростнефте-
ресурс» строятся «под ключ» в течение четырех месяцев. После-
довательность строительства практически не отличается от об-
щепринятых норм. После получения разрешения на строительст-
во и отвода земельного участка производится устройство котло-
вана (рис. 8.49) и заливка фундамента (рис. 8.50). На эти работы
для двухэтажного коттеджа общей площадью в 200 м2 отводится
20 дней.
489
Рис. 8.49. Устройство котлована под
фундамент
Рис. 8.50. Заливка фундаментов
Следующий этап строительства - устройство перекрытия
над подпольем или подвалом (рис. 8.51). Здесь производится ус-
тановка балок перекрытия, устройство чернового пола и утепле
ние перекрытия. Средняя продолжительность работ по устройст-
ву перекрытия - три-четыре дня.
490
Рис. 8.51. Монтаж перекрытия над под-
польем
На готовое перекрытие в течение трех дней устанавливают-
ся наружные стены первого этажа, после чего осуществляется
сборка внутренних несущих стен (рис. 8.52).
Рис.8.52. Установка стен первого этажа
Далее производится установка перегородок. Продолжитель-
ность работ по устройству внутренних стен первого этажа - 5
дней. Следующий шаг - монтаж междуэтажного перекрытия, вы-
полняющийся за три дня (рис. 8.53).
491
Рис. 8.53. Монтаж междуэтажного перекрытия
Наружные стены второго этажа, внутренние несущие стены
и перегородки устанавливаются в среднем за восемь дней (рис.
8.54).
Рис. 8.54. Установка стен второго этажа
492
Монтажные работы завершаются устройством покрытия и
основания под кровлю (рис.8.55). Эти процессы выполняются в
течение четырех дней. Таким образом, монтаж каркаса здания,
выполненного по индивидуальному проекту, производится за 26
дней.
Рис. 8.55. Установка стропильных ферм
Последующий месяц отводится обычно для устройства ин-
женерных коммуникаций. Коттеджи оборудуются системами хо-
лодного и горячего водоснабжения, центральной пылеуборки и
вентиляции, индивидуальным водяным или электрическим ото-
плением и внутренними электрическими сетями. Все коммуни-
кации размещаются внутри стен и перекрытий, а инженерное
оборудование располагается в специально предназначенном для
этого помещении - так называемой топочной.
Наружная и внутренняя отделка коттеджа производится в
среднем за пятнадцать дней.
493
Остальное время отводится на другие работы: установку
окон и дверей, устройство кровли, благоустройство территории и
др. Завершенный строительством коттедж сдается заказчику в
виде, представленном на рис. 8.56.
Рис. 8.56. Общий вид завершенного строительством коттеджа
Энергоэффективные жилые дома с деревянным каркасом
строятся по индивидуальным проектам и непохожи друг на дру-
га. Стеновые панели могут применяться и в качестве плит по-
крытия, что подтверждается рисунком 6.30. Описанный в главе 6
универсальный набор панелей может с успехом использоваться
при возведении коттеджей [5], а из панелей определенной формы
несложно собрать купольные покрытия, складки и гиперболиче-
ские оболочки, подробно описанные в предыдущих главах кни-
ги. Мощности завода компании «Ростнефтересурс» позволяют
производить за одну рабочую смену конструкции, необходимые
для возведения одного коттеджа общей площадью 180м2.
494
Таким образом, можно говорить о том, что в Ростовской об-
ласти имеется современная мошная производственная база для
выпуска конструкций каркасных панельных домов, а тесное со-
трудничество компании «Ростнефтересурс» с Ростовским госу-
дарственным строительным университетом дает возможность
значительно расширить область применения пространственных
деревянных панельных конструкций в современном строительст-
ве.
495
Именной указатель
Автор №№ разделов
Абовский Н.П. 5.1
Аденский В.А. 6.1
Александров А.В. 4.2
Андреев С. А. 3.1
Артемов В. В. 3.1
Беляев В.М., 8.2
Берковская Д. А. 3.1, 5.5
Бернштейн С. А. 3.3
Болтянский Л.И.„ 8.2
Большаков В. В 3.1
Брюллов А.П. 6.1
Бюттнер О. 6.1
Вайнберг Д.В. 6.4
Вержбовский Г.Б. 4, 6.1, 6.3, 6.4, 8.4
Верижников С.М.. 8.2
Власов В.З. 5.1, 6.4
Войновский-Кригер С. 2.4, 3.3, 6.4
Вольмир А. С. 2.4, 3.4
Гениев Г.А. 2.4
Гестеши Т. 3.1, 3.3
Гетц К.-Г. 3.1, 4, 6.2
Григорьев М.В. 8.2
Доброгурский А. Н. 3.3
Еременко Н.Н. 6.3
Ермолов В.В. 2.1
Жданов Е.К. 8.2
Жермен-Лакур П. 6.4
Журавлев А. А. 2.1-2.4, 3.3, 3.4, 4
496
Залесский В. Г. 3.1
Замараев В. А.. 3.2
Зенкевич О.К 2.3
Икрамбаев М.А. 3.1
Исанбаева Ф.С. 6.4
Каган М. 3.1
Каменцев П. 3.1
Карлсен Г. Г. 3.1, 3.3, 4
Касабьян Л.В. 5.5
Керстен К. 3.1
Клятис Г. Я. 3.1
Ковалев С. Н. 3.1, 3.2
Кожевников И.П. 8.2
Козлов В.В. 2.4
Колкунов Н.В. 5.1
Комар А.Г. 6.3
Кончковский 3. 6.4
Корепанов В.Н. 8.2
Корн Т. 7.6
Корнишин М.С. 6.4
Косолапов А.Н. 2.1
Коченов В. М. 3.1
Кочетков Д. А. 3.1
Кудашов Е.А. 8.2
Кузнецов А. В. 3.1
Кузнецов П.С. 6.3
Купар А.К. 5.1
Купченко Ю.В. 5.1
Лазарев Г.И. 8.2
Ларин Д.С. 8.4
Лащеников Б.Я. 4.2
Левин М.А. 2.3
Левитан Б.Н. 6.4
Леонтьев Н.Н. 6.4
Лехницкий С.Г. 6.4
Линьков И.М. 6.3
497
Лисовский А. П. 3.1
Лопатин Я.А. 2.2
Лукашевич Э.Б. 6.3
Мак Хел Д. 2.1
Макаревич Л.А. 8.2
Мартинец Д.В. 2.2, 2.4
Мёлер К. 3.1
Милейковский И.Е. 5.1
Миронов Л. П. 3.1
Михайленко В. Е. 3.1, 3.2
Мишанин И.Н. 6.1
Наттерер Ю. 3.1
Наумов И. 3.1
Новожилов В.В. 5.1
Освенский Б. А. 3.1, 3.2
Осетинский Ю. В. 2.3, 3.3
Павлов Г.Н. 2.1
Пальцевич Л.П. 8.3
Песельник С И. 3.1
Плессеин Б.Д. 8.2
Поздняков П.П. 8.2
Прилежаев А. И. 3.1
Прицкер А.Я. 6.1
Проневич В.П. 8.2
Пшеничнов Г. И. 3.3
Рабинович И. М. 2.4, 3.4
Ржаницын А.Р. 2.3
Ривкин И. А. 3.1
Римская-Корсакова Т.В. 6.1
Родионов Г.Ф. 8.2
Рубаненко Б.Р. 8.2
Рясин. 3.1
498
Савельев В. А. 2.3, 3.4
Садетов Т. С. 3.1
Сазонов К. А. 3.2
Самольянов И.И. 5.1
Славная Л.И. 6.1
Слицкоухов Ю. В. 3.1
Смирнов И. Ф. 3.1
Стоянов В.В. 5.1
Стрелецкий Н. С. 3.1
Таиров В. Д. 3.1
Тимашев С.А. 5.1
Тимошенко С.П. 2.4, 3.3, 6.4
Тот Л.Ф. 2.1
Туполев М.С. 2.1
Узун Н.И. 5.1
Федоров Е.С. 6.1
Федорчук В. В. 3.2
Фельдштейн А.М. 8.2
Финк К. Д. 3.1
Флюгге В. 2.3, 5.1
Фридман М.С. 6.1
Хампе Э 6.1
Хоор Д. 3.1
Чаусов Н. С. 2.4
Ченг Ю.К. 2.3
Чиненков Ю.В. 5.1
Шапошников Н.Н. 4.2
Шухов В. Г. 3.1
Beles А. 3.3, 5.1
Brown W. А. 3.3
499
Dudeck H. Duffau Ch. 5.1 6.2
Ehchian R. 8.2
Eiselen F. 3.1
Friedrichs K.O. 7.1
Gemer M. 5.4
Gheorghiu Adrian 2.1
Goldel. 3.1
Gould P.L. 5
Натре E. 2.3
Hansen H. J. 3.1
Heilbach R. 1
Heyde K. 5.1
Hool G. A. 3.1
Junkers 3.1
Jurgen H. 1
Jurman H. 2.3
Kerek A. 3.3
Kersten C. 3.1
Kinne W. S. 3.1
Knobloch A. 5.4
Kratzig W. 5.1
Kufner M. 8.2
Larsson S. 8.2
Lee S.L. 5.1
Liebau W. 8.2
Lormann. 3.1
Makovskiy 6.1
Mannes W. 5.5
May B. 3.3
Mielczarek Zb. 6.1, 8.2
500
Mises R 2.4, 3.3, 3.4
Nenning A. 3.1, 3.3
Nervi P. L. 3.1
Nowak B. 3.3
Otzen R. 3.3
Rabich R. 5.1
Ratzerdorfer I. 2.4, 3.3, 3.4
Reipert Z. 6.4
Reutersward L. 8.2
Rothe F. 5.1
Schwerin. E. 7.1
Shaefer P. 3.1
Shen Tsien 7.1
Sippel K. W. 3.1, 3.3
Soare M. 3.3,5.1
Stenker H 1, 2.3, 2.4, 3.4
Thompson J.M.T. 7.1
Tottenham H. 5.1
V. Karman,Th. 7.1
Van der Neut. A. 7.1
Virgil Dragomir. 2.1
Weigmann K. 5.1
Wester T. 6.1, 8.2
Wright D. T. 2.3
Zoelly. R. 7.1
501
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 1
1. Stenker Н., Heilbach R. Runde Salzlagerhallen fur die
Kaliindustrie // Bauplannung-Bautechnik. - 1972. - H. 6 - S.
270-273.
2. Stenker H., Jurgen H., Heilbach R. Montage raumlicher
Holzkonstruktionen fur runde Salzlagerhallen der Kaliindustrie //
Ibid. - 1975. - H. 12 - S. 597-600.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 2
1. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. М.,
1967.-984с.
2. Гениев Г. А. Чаусов Н. С. Некоторые вопросы нелинейной
теории устойчивости пологих металлических оболочек, М.,
1954, вып. 13.-51с.
3. Ермолов В.В. Построение сетки геодезических куполов
способом центральной проекции. - В кн.: Строительная
механика, расчет и конструирование сооружений. М:
МАРХИ, вып. 5, 1976, с. 79-83.
4. Журавлев А.А. Устойчивость упругих стержневых систем в
форме выпуклых многогранников И Строительная механика
и расчет сооружений. - 1985. - №6. - С.41-43.
5. Журавлев А.А. К расчету подкрепленной оболочки в форме
многогранного купола // Изв. вузов. Сер., Стр-во и
архитектура. - 1986. - №8. - С. 37-40.
6. Журавлев А.А. Козлов В.В. Устойчивость выпуклых
многогранников. - Изв. Вузов. Строительство и архитектура,
1977, №11, с.50-54.
7. Журавлев А.А. Конструкция и расчет сетчатых куполов. Сб.
статей «Вопросы расчета современных металлических и
деревянных конструкций», Ростов-на-Дону, 1973.
8. Журавлев А.А. Конструкция и расчет сетчатых оболочек. - В
сб.: Вопросы расчета современных металлических и
деревянных конструкций. Ростов-на-Дону, 1976, с. 30-36.
9. Журавлев А.А. Купольное покрытие из клеефанерных плит.
— Сельское строительство, 1982, № 5, с. 21.
502
10. Журавлев А.А. О возможности замены пластинчато-
стержневых систем решетчатыми при расчете сетчатых
куполов // Облегченные строительные конструкции
покрытий зданий: Сб. статей. - Ростов-на-Дону, 1974. - С.
49-59.
11. Журавлев А.А. О местной устойчивости сетчатых куполов с
треугольной решеткой. — Изв. вузов. Строительство и
архитектура, 1971, № 5, с. 77-80.
12. Журавлев А.А. Расчет многогранных куполов на основе
метода конечных элементов.- Изв. вузов. Строительство и
архитектура, 1975, № 1, с. 33-39.
13. Журавлев А.А. Светопрозрачное купольное покрытие из
трехслойных элементов. - Архитектура СССР, 1966, № 8, с.
56.
14. Журавлев А.А. Устойчивость пирамидальных элементов
сетчатого купола. - В кн.: Межотраслевые вопросы
строительства. ЦИНИС, Реферат, инф., М., 1972, вып. 4, с.
66-70.
15. Журавлев А.А., Козлов В.В., Лопатин Я.А. Оценка влияния
граничных условий на работу многогранного купола. - В кн.:
Легкие строительные конструкции покрытий зданий. Ростов-
на-Дону, 1976, с. 30-36.
16. Журавлев А.А., Мартинец Д.В. Местная устойчивость
решетчатых куполов с треугольными ячейками. - В кн.:
Межотраслевые вопросы строительства. ЦИНИС, Реферат,
инф., М., 1971, вып. 8, с. 8-10.
17. Журавлев А.А., Осетинский Ю.В. Практический метод
расчета структурных сферических оболочек. - В кн.: Теория
оболочек и пластин. Труды IX Всесоюзной конференции по
теории оболочек и пластин. Л., 1975, с. 267-270.
18. Зенкевич О.К., Ченг Ю.К. Метод конечных элементов в
задачах строительной и непрерывной механики. ГОНТИ,
1971, №1.
19. Косолапов А.Н. Геометрические основы рационального
проектирования геодезических куполов. - М: ВИА, 1968.
20. Левин М.А. Некоторые задачи о регулярных стержневых
системах // Изв. вузов. Сер. Стр-во и архитектура. - 1965. -
503
№9. - С. 41-48.
21. Левин М.А. Представление анизотропного тела в виде
регулярной стержневой модели: ДАН БССР, Минск. - 1964.
- Т. VIII. - №12. - С. 772-776.
22. Мак Хел Д. Геодезические купола. Конструкции
Букминстера Фуллера. - Современная архитектура (пер.
журн. L’architecture d’aujord’hui) 1962, № 1, с. 30-35.
23. Мартинец Д.В., Журавлев А.А. Светопрозрачный купол из
стеклопластика и деревянные клееные арки. - М:
Стройиздат, 1966. - 78 с.
24. Павлов Г.Н. Композиционное формообразование
кристаллических куполов и оболочек. — Архитектура СССР,
1977, № 2, с. 30-41.
25. Рабинович И.М. Об устойчивости стержней в статически
неопределимых системах - М.; Л.: Гострансиздат, 1932.
26. Ржаницын А.Р. Представление сплошного изотропного
упругого тела в виде шарнирно-стержневой системы //
Исследования по вопросам строительной механики и теории
пластичности: Сб. статей. - М., 1956. - С. 84-96.
27. Савельев В.А. Устойчивость сетчатых куполов. - в кн.:
Металлические конструкции. М: Стройиздат, 1966.
28. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. ОГИЗ. - М.;
Л.: Гостехиздат, 1946,- 532с.
29. Тимошенко С. П. , Войновский - Кригер. С. Пластинки и
оболочки, М, 1966.-635с.
30. Тот Л.Ф. Расположения на плоскости, на сфере и в
пространстве (пер. с нем.). - М: Физматгиз, 1958. - 363с.
31. Туполев М.С. Геометрия сборных сферических куполов. -
Архитектура СССР, 1969, № 1, с. 35-41.
32. Туполев М.С. Купол в современной архитектуре. -
Архитектура СССР, 1973, № 12, с. 52-55.
33. Флюгге В. Статика и динамика оболочек. - М: Стройиздат,
1961. - 306 с.
34. Adrian Gheorghiu, Virgil Dragomir. Geometry of Structural
Forms, London, 1979. -p. 258.
35. Auditorium des Deutschen Pavilions auf der Expo 1970. -
504
Bauwelt, H. 40, s. 1492-1495.
36. D. T. Wright. Membrane Forces and Buckling in Reticulated
Shells, “Journal of the Structural Division”, ASCE, vol. 91, 965,
p.p. 173-201.
37. Натре E. Statik rotationssymmetrischer Flachentragwerke.
Kegelschale. Kugelschale. - Berlin, B.3,1963, s. 322.
38. Jurman H., Shurawlow A., Stenker H. Zum Tragfahigkeits-
verhalten mit schubsteifen Blechen verbundener Druckstabe. -
Wiss. Z. Techn. Univers. Dresden 26(1977) H. 1, s. 219-225.
39. Mises R., Ratzerdorfer J. Knicksicherheit von Fachwerken.
Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Mechanik, B.3,
1925, H. 5.
40. Shurawlow A.A., Stenker H. Zur Stabilitat von
Raumstabkuppeln, Wiss. Z. Techn. Univers. Dresden 26 (1977),
H. 1.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 3
1. Андреев С. А. Деревянные конструкции в строительстве//
Стройиндустрия. 1930. № 5, 6. С. 4-15.
2. Берковская Д. А. Клееные деревянные конструкции в
зарубежном и отечественном строительстве. -М.: ЦИНИС
Госстроя СССР, 1975.-107 с.
3. Бернштейн С. А. Расчёт устойчивости раскосов в
многорешётчатых фермах. - М.: Изд-во военно -
инженерной академии РККА, 1936. - 136 с.
4. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. - М.:
Физматгиз, 1967. - 984 с.
5. Гестеши Т. Деревянные сооружения (гражданские и
инженерные). Основы расчёта и конструирования,- М.:
Макиз, 1929.- 433 с.
6. Гётц К.-Г., Хоор Д., Мёлер К., Наттерер Ю. Атлас
деревянных конструкций. - М.: Стройиздат, 1985.- 272 с.
7. Деревянные конструкции и сооружения. Технические
условия и нормы проектирования и возведения. - М. - Л.,
Госстройиздат, 1932.- 400 с.
8. Журавлёв А. А., Определение компонент тензора
505
жёсткости однослойной сетчатой оболочки И Известия
вузов: Строительство и архитектура. 1982. № 4. С. 45 - 49.
9. Журавлев А. А. Устойчивость упругих стержневых систем
в форме выпуклых многогранников // Строит, механика и
расчет сооружений. 1985. № 6. С. 41-43.
10. Журавлев А. А. Устойчивость стержневых
многогранников// Строит, механика и расчет сооружений.
1988. №2. С. 35-38.
11. Журавлев А. А. Устойчивость стержневых систем в форме
выпуклых конфигураций на плоскости и в пространстте //
Известия РГАС. 1996. №1. С.42-48.
12. Журавлев А. А. Прощелкивание стержневой конструкции
сетчатого купола в форме 980 - гранника // Известия вузов.
Строительство и архитектура. 1983. №6. С.34-39.
13. Журавлев А. А., Доброгурский А. Н. Определение
компонент тензора податливости цилиндрической
оболочки // Известия РГСУ. 1999. №4. С. 9-16.
14. Журавлев А. А., Доброгурский А. Н.К вопросу об
определении жесткости при изгибе стержневой
конструкции // Легкие строительные конструкции. -Ростов
н/Д: РГСУ, 1998. С. 3-16.
15. Журавлёв А. А., Осетинский Ю. В. Приближённая теория
расчёта структурной конструкции типа цилиндрической
оболочки // Известия вузов: Строительство и архитектура
1974. № 3. С. 44 - 50.
16. Залесский В. Г. Архитектура. Курс построения частей
зданий.-М.: 1911. -640 с.
17. Замараев В. А. Справочник проектировщика
промышленных сооружений. Деревянные конструкции. -
М. - Л.: Промстройпроект. ОНТИ, 1937. С. 482 -516 .
18. Икрамбаев М. А. Структурные системы из древесины
(разработка, исследование и внедрение): Дис. ... канд. техн,
наук. - Ташкент, 1986. - 210с.
19. Инструкция по проектированию деревянных конструкций.
-М. -Л.: ЦНИИПС, Госстройиздат, 1940. -191 с.
20. Каган М., Наумов И. Упругие свойства сводов-оболочек в
дереве И Строительная промышленность. 1933. № 3. С. 9-
506
18.
21. Карлсен Г. Г. Атлас инженерных деревянных конструкций,
-М.: ЦНИПС, Госстройиздат, 1933.- 160 с.
22. Карлсен Г. Г., Большаков В. В. и др. Деревянные
конструкции. -М.-Л.: Госстройиздат, 1952.- 758с.
23. Карлсен Г. Г. Конструкции из дерева и пластмасс. - М.:
Стройиздат, 1975.- 688 с.
24. Каменцев П. Сетчатое покрытие Цоллингера из досок//
Строительная промышленность. 1925. №10. С. 702-705.
25. Керстен К. Современные инженерные деревянные
конструкции. Руководства для транспортных втузов. - М.-
Л.: ОГИЗ -Гострансиздат, 1932. -418 с.
26. Клятис Г. Я. Современное состояние и перспективы
развития строительных конструкций за рубежом: Обзор. -
М.: ЦИНИС, 1969. - 265с.
27. Коченов В. М. Экспериментально-теоретические
исследования деревянных конструкций. - М.: ГОНТИ,
1938,- 239 с.
28. Кочетков Д. А. Безметальные деревянные своды //
Строитель, 1934. № 10. С. 8-12.
29. Кочетков Д. А. Испытания деревянных сводов системы
Шухова-Брода// Строительная промышленность, 1931. №1.
С. 10-13.
30. Кузнецов А. В. Своды и их декор, -М.: 1948.
31. Лисовский А. П. Сборные кружально-сетчатые своды из
унифицированных элементов: Листок техн. инфо. - Рига:
ЦБТИ, 1961.-19с.
32. Миронов Л. П. Расчёт сетчатых цилиндрических оболочек
как стержневых пространственных систем: Дис. ... канд.
техн, наук,- М.: 1967. - 158 с.
33. Михайленко В. Е., Ковалев С. Н. Конструирование форм
современных архитектурных сооружений. - Киев:
Будивельник, 1978. - ПО с.
34. Михайленко В. Е., Ковалев С. Н., Сазонов К. А.
Формообразование большепролётных покрытий в
архитектуре. - Киев: Вища школа, 1987.- 189 с.
35. Освенский Б. А. Безметальный кружально-сетчатый свод:
507
Строительный бюллетень Госпроектстроя НКЛП за 1934 г.
№ 1.С. 45-59.
36. Освенский Б. А. По вопросу о применении конструкции
системы Цоллингера // Строительная промышленность.
1931. №2-3. С. 109-110.
37. Освенский Б. А. Экспериментально-теоретические
исследования деревянных конструкций из косяков: Дис. ...
канд. техн. наук. - М.: 1948. -370 с.
38. Освенский Б. А., Карлсен Г. Г. Кружально-сетчатое
покрытие. Авт. свид. 32706, кл. 37 в. 3, 1933.
39. Песельник С И. Деревянное перекрытие. Советский патент
№ 7138, кл. 37, в.З, 1928.
40. Прилежаев А. И. Сетчатые покрытия системы проф.
Фёппля и некоторые их видоизменения. -Спб.: изд-е
инст.инж. путей сообщения Имп. Александра 1, 1912. -18с.
41. Пшеничное Г. И. Теория тонких упругих сетчатых
оболочек и пластинок. - М.: Наука, 1982.- 352 с.
42. Рабинович И. М. Об устойчивости стержней в статически -
неопределимых системах. -М.-Л.: Гострансиздат, 1932. -36
с.
43. Рясин. Ромбические крыши системы Гюннебека //
Строительная промышленность. 1931. №8. С. 486-489.
44. Савельев В. А. Устойчивость сетчатых куполов И
Металлические конструкции. -М.: Стройиздат, 1966. С.
325-339.
45. Садетов Т. С., Артемов В. В. Кружально - сетчатые своды.
- Новочеркасск: НГТУ, 1996. - 128 с.
46. Слицкоухов Ю. В. и др. Конструкции из дерева и
пластмасс. - М.: Стройиздат, 1986,- 543 с.
47. мирнов И. Ф., Ривкин И. А. Двойная кружально-сетчатая
конструкция. Авт. свид. - 69128, кл. 37, а. 6, 1947.
48. Стрелецкий Н. С. Курс металлических конструкций, Т. III
// Металлические конструкции специальных сооружений. -
М.: Стройиздат, 1944. -500 с.
49. Таиров В. Д. Сетчатые пространственные конструкции. -
Киев: Будивельник, 1966,- 74с.
50. Тимошенко С. П. Устойчивость упругих систем. -М.: Гос.
508
изд-во технике - теор. лит - ры, 1955. С. 161 - 170.
51. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и
оболочки. -М.: Наука, 1966. - 636 с.
52. Федорчук В. В. Курс аналитической геометрии и линейной
алгебры. - М.: МГУ, 1990. -328с.
53. Финк К. Д. Деревянный свод - оболочка // Строительная
промышленность. - М.: Госстройиздат, 1933. № 1. С. 22-26.
54. Шухов В. Г. Теория арочных ферм. -М.: 1897.
55. Шухов В. Г. (1853-1939) Искусство конструкции / Под.
ред. Р. Грефе, М. М. Гаппоева, О. Перчи. - М.: Мир, 1994. -
192 с.
56. Ausstellungshalle mit Holzflachen-tragwerk // Bautechnik. -
1989.-№6, s. 211-212.
57. Bauen mit Holz, Bruderverlag, Oct. 1994, No. 10, s. 746-748.
58. Beles A., Soare M. Das elliptische und hyperbolische
Paraboloid im Bauwessen. Verlag fur Bauwessen. - Berlin,
1971, - 674 s.
59. Brown W. A. Two-way span system. Wood. November, 1962.
60. Eiselen F. Das Zollbau-Lamellen-Dach. Der Holzbau. 1923,
H.13, s.49-52.
61. Goldel. Das Prof. Junkers'sche Lamellendach. Der
Industriebau, 1926, J. 17, H.9, s. 125-127.
62. Hansen H. J. Modeme Timber Design. New York, John Wiley
and Sons, inc., 1944, -232 s.
63. Hool G. A., Kinne W. S.. Steel and timber structures, 2-d ed,
McGraw-Hill Book Company, inc., New York and London,
1942. - 733 p.
64. Junkers - Lammellendach. Kurze Technische Berichte. Der
Bauigenieur, J.9, H.l, 1928, s.15.
65. Kerek A. Berechnung von einschichtigen auf Biegung
beanspruchten anisotropen Fachwerkschalen.- Acta techn.
Acad.Sci. hung., 1974, v. 79, No 3 - 4, pp. 383-411.
66. Kersten C. Freitragende Holzbauten. Berlin, Verlag Julius
Springer, 1926, - 340 s.
67. Lormann. Aus gleichlangende und gleichstarken Stab
bestehendes Leichtwerk. No. 650498, 37a, 6, 1937.
68. May B., Nowak B. Zur Berechnung kreizylindrischer
509
Netzwerkschalen.- Stahlbau, 1971, No 8, s. 234-238.
69. May B., Nowak B. Zur Berechnung kreizylindrischer
Netzwerkschalen.- Stahlbau, 1971, No 10, s. 311-316.
70. Mises R., Ratzerdorfer I. Die Knicksicherheit von Fachwerken.
Z. fur angewandte Math, und Meeh., 1925, - s. 218-231.
71. Nenning A. Moderne Holzbauweisen, Munchen, 1924, 74s.
72. Nervi P. L. New Structures. The architectural press, London.
1963, p. 164.
73. Otzen R. Die statische Berechnung der Zollbau-
Lamellendacher. Der Industriebau, XIV. Jahrgang, 1923, Heft
VIII/IX, s. 96-103.
74. Shaefer P. Der Deutsche Ausstellung-Pavillon auf der Messe in
Mailand. Deutsche Bauzeitung, 1926, J.60, H.44, s.366-368.
75. Shurawlow A., Stenker H. Zur Stabilitat von
Raumstabkuppeln, Wiss. Z. Techn. Univers. Dresden 26
(1977), H. 1, s. 195-197.
76. Sippel K. W. Beitrag zur Berechnung von stahlernen
Lamellendachern. Dissertation. Darmstadt, 1934.-75s.
77. Woinowsky - Krieger S. Zur Theorie schiefwinkliger
Tragerroste.- Ingenieur - Archiv., 1957, v. 25, No 5.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 4
1. Александров А.В., Лащеников Б.Я., Шапошников Н.Н.
Строительная механика (тонкостенные пространственные
системы). - М.: Стройиздат, 1983. - 488с.
2. Гетц К.-Г. и др. Атлас деревянных конструкций. М.:
Стройиздат, 1985. - С.152-158.
3. Журавлев А.А., Вержбовский Г.Б. Пространственные
деревянные конструкции (учебное пособие). - Ростов-на-
Дону: РГСУ, 1998, 148с.
4. Карлсен Г.Г. Конструкции из дерева и пластмасс. - М.:
Стройиздат, 1986. - 543с.
5. СНиП 2.01.07-85. Нагрузки и воздействия. - М.: Стройиздат,
1988. - 35с.
510
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 5
1. Абовский Н.П., Самольянов И.И.. Расчет пологих оболочек
типа гиперболического параболоида методом сеток //
Пространственные конструкции в Красноярском крае. -
Красноярск, 1966, вып. II.
2. Абовский Н.П., Самольянов И.И. Пологие оболочки типа
гиперболического параболоида. - Красноярск, 1968.
3. Берковская Д.А., Касабьян Л.В. Клееные деревянные
конструкции в зарубежном и отечественном строительстве. -
М.: Стройиздат, 1975. - 128с.
4. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложение в
технике. - М.: Гостехиздат, 1949. - 784с.
5. Колкунов Н.В. Основы расчета упругих оболочек. - М.:
Высшая школа, 1963. - 278с.
6. Милейковский И.Е., Купар А.К. Гипары (расчет и
проектирование пологих оболочек покрытий в форме
гиперболических параболоидов). - М.: Стройиздат, 1978.-
223с.
7. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. -М.: Судпромтиз,
1951.-344с.
8. Стоянов В.В., Узун Н.И. Сборные клеефанерные
гиперболические оболочки. - Кишинев: Штиница, 1981. -
80с.
9. Стоянов В.В., Купченко Ю.В. Сборные металлодеревянные
гиперболические покрытия//Металев! конструкцп. 1998. Т.1.
№1. Донецк: ДГАСА,- С.51-53.
10. Тимашев С.А. Устойчивость подкрепленных оболочек. -М.:
Стройиздат, 1974. -256с.
11. Чиненков Ю.В. Испытания сборной оболочки в виде
гиперболического параболоида на прямоугольном плане//
Промышленное строительство. 1964. №5.
12. Флюгге В. Статика и динамика оболочек. - М.:
Госстройиздат, 1961.-306с.
13. Beles A. Soare М. Das elliptische und hyperbolische Paraboloid
im Bauwesen.-Berlin/Bucurest: Akademie-Verlag, 1971. - 673s.
14. Dudeck H. Die Biegeberechnung technischer Rotationsschalen
511
mit Randern entlang Breitenkreisen. Der Bauingenieur 39 (1964)
11, S.435-445.
15. Dudeck H. Die Biegetheorie der allgemeinen Rotationsschalen
mit schwacher Veranderlichkeit der Schalenkriimmung.
Jngenieur -Archiv 33 (1964), S.279-300.
16. Gerner M., Knobloch A., Mannes W. Dachkonstruktionen in
Holz. - Stuttgart: Deutsche Verlag, 1981. - 128s.
17. Gould P.L., Lee S.L. Hyperbolic Cooling Towers under Wind
load. J. Of the struct. Dir., ASCE, Vol. 93, No. ST 3, Proc. Paper
5268, Juni 1967, P.87-109.
18. Gould P.L., Lee S.L. Bending of Hyperbolic cooling Towers. J.
Of the Struct. Div., ASCE, Vol.93, No.ST5, Proc. Paper 5493,
oct. 1967, P.125-146.
19. Kratzig W. SchnittgroPen und Verformungen windbeanspruchter
Naturzug- kuhlturme. Beton und Stahlbeton (1966) 10, s. 247-
255.
20. Rabich R. Die Membrantheorie der einschalig hyperbolischen
Rotationsschalen. Bauplanung- Bautechnik 7 (1953) h. 7, s. 310-
319.
21. Tottenham H. Stress in Hyperbolic Cooling Towers Due to Wind
loading. Bull, of the Jntemat. Assoc, for Shells Structures, Nr. 32,
Dec. 1967.
22. Weigmann K., Heyde K., Rothe F. Hyperbolische Kuhlturme
und Kuhlturm-gruppen unter Windbelastung. Bauplanung -
Bautechnik 24 (1970), H. 7, s. 319-322.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 6
1. Брюллов А.П. Эстетика промышленных объектов. - "Зод-
чий", 1877, №1.
2. Бюттнер О., Хампе Э. Сооружение - несущая конструкция -
несущая структура / Пер. с нем. - М.: Стройиздат, 1983. - 4.1.
-С. 154-178.
3. Вайнберг Д.В., Вайнберг Е.Д. Пластины, диски, балки-стенки
(прочность, устойчивость и колебания). - Киев: Стройиздат
УССР, 1959. - С.353-871.
4. Вержбовский Г.Б. Использование топологических
512
преобразований в расчетах конструкций МКЭ // Известия
вузов. Строительство. - 1994. - № 4.
5. Вержбовский Г.Б. Сборно-разборные конструкции зданий и
сооружений // Промышленное и гражданское строительство.
- 1996. -№ 6. -С.61.
6. Вержбовский Г.Б., Еременко Н.Н. Стыковое соединение
панелей. - А.С. 95108367/03 от 22.05.95. - Бюл. №16. - 1998.
7. Вержбовский Г.Б., Лукашевич Э.Б., Еременко Н.Н.
Двухшарнирное соединение легких панелей покрытия. - А.С.
94028949/03 от 27.06.97. - Бюл. №18. - 1997.
8. Власов В.З., Леонтьев Н.Н. Балки, плиты и оболочки на
упругом основании. - М.: Физматгиз, 1960. - С.137-168.
9. Гетц К.-Г. и др. Атлас деревянных конструкций. М.:
Стройиздат, 1985. - С.152-158.
10. Жермен-Лакур П. и др. Математика и САПР. / Пер. с франц. -
М.: Мир, 1989. - Кн.2 - С.9-96.
11. Комар А.Г. Строительные материалы и изделия. - М.:
Высшая школа, 1971. - 560с.
12. Кончковский 3. Плиты. Статические расчеты / Пер. с польск.
М.: Стройиздат, 1984. - 481с.
13. Корнишин М.С., Исанбаева Ф.С. Гибкие пластины и панели.
- М.: Наука, 1968. - С. 168-237.
14. Левитан Б.Н. Почти-периодические функции. - М.:
Гостехтеориздат, 1953. - С.44-89.
15. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. - М.:
Гостехтеориздат, 1957. - 463с.
16. Линьков И.М., Кузнецов П.С. Конструктивные решения плит
покрытий длиной 6 метров с деревянным каркасом //
Исследование несущих и ограждающих конструкций из
клееной древесины и фанеры / Труды ЦНИИСК им. В.А.
Кучеренко. 1976. - С.49-58.
17. Мишанин И.Н., Славная Л.И. Система модульных
строительных элементов, позволяющая создавать новые
конструктивные схемы зданий, сооружений и покрытий //
Известия вузов. Строительство. - 1994. - № 11. - С. 143-147.
18. Многогранное деревянное купольное покрытие. - Ростов н/Д:
Полиграф, 1993. - 14с.
513
19. Прицкер А.Я., Аденский В.А., Фридман М.С. Бескаркасные
складчатые конструкции. - Киев: Будивельник, 1991. - С.10-
37.
20. Рекомендации по проектированию панельных конструкций с
применением древесины и древесных материалов для
производственных зданий / ЦНИИСК им. В.А. Кучеренко. -
М.: Стройиздат, 1982. - 120с.
21. Римская-Корсакова Т.В. Строительство в городах и поселках
на Аляске (обзор). - М.: ЦНТИ по гражд. стр-ву и архит.,
1975. - 38с.
22. Справочник по теории упругости / Под ред. П.М. Варвака. -
Киев: Будивельник, 1971. - 419с.
23. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и
оболочки. - М.: Физматгиз, 1960. - С.3-474.
24. Федоров Е.С. Начала учения о фигурах. - Л.: Изд-во АН
СССР, 1953.-411с
25. A sporting life // The Architectural Review. - 1997. - №4. - P.68-
72.
26. Duffau Ch., Duffau C. Markthalle in Blois, Frankreich // Bauen +
Wohnen. - 1978. - №11. - S.428-430.
27. Makovskiy Z. Domes and shells. Theory and practice of building.
1989. - Vol.41. - №9. - P.694-700.
28. Mielczarek Zb. Trendy rozwoju wspol'czesnego budownictwa z
drewna i materiarl'dw drewnopochodnych za granica I
Monografia 106, Krakow, 1990. - S.297-313.
29. Reipert Z. Applcation of simple functional series to the solution
of problems concerning statics, stability and vibration of plates
having non-typical forms // Arch. Meeh. Stos. - 1963. - Vol. 15 -
№6. - P.791-815.
30. Wester T. Structures of nature in modern buildings // Сэйсан
Кэнкю = Mon. J. Inst. Univ. Tokyo. - 1989. - Vol.41. - №9. -
P.694-700.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 7
1. Корн Т., Корн Г. Справочник по математике для научных
работников и инженеров. М: Наука, 1977. С. 652-720.
514
2. Friedrichs K.O. On the minimum buckling load for spherical
shells. Theodore v. Karman Anniversary. Vol. 1941, S.258-279.
3. Neut. A. Van der. Die elastische Stabilitat von den diinnwandigen
bol. Diss., Delft, 1932.
4. Schwerin. E. Zur Stabilitat der diinnwandigen HohlKugel unter
gleichmapigen AuPendruck. ZAMM 2 (1922), H.2, S. 81-91.
5. Thompson J.M.T. Elastic buckling of thin spherical shells.
Enthalten in dem Buch: Nuclear reactor containment buildings
and pressure vessels. London: Butterworths, 1960, S. 257-285
6. V. Karman, Th., and Shen Tsien, Jsue. The buckling of spherical
shells by external pressure. Journal of the Aeronautical Sciences.
Vol. 7. December 1939, S. 43-57.
7. Zoelly. R. Uber ein Knickproblem an der Kugelschale. Diss.
Zurich. 1915.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 8
1. Беляев В.М., Фельдштейн А.М. Пути совершенствования
конструкций полносборных малоэтажных жилых и
общественных зданий на основе древесины и других
эффективных материалов // Эффективное использование
древесины и древесных материалов в современном
строительстве: Тез. докл. Всесоюз. совещ. - М.: ЦИНИС,
1980. - С. 62-68.
2. Болтянский Л.И., Лазарев Г.И., Родионов Г.Ф. Организация
жилых баз мелиораторов в Приморском крае //
Гидротехника и мелиорация. - 1978. - №10. - С. 74-78.
3. Большепролетные пространственные конструкции покрытий
спортивных сооружений // Строительство и архитектура,
серия 8, экспресс-информация. - М.: ВНИИИС Госстроя,
1987. - Вып. 3. - С. 2-8.
4. Верижников С.М. и др. Конструкции сборно-разборных и
передвижных жилых домов (обзор). - М.: ЦНТИ по
градостроит. и архит., 1974, 63с.
5. Вержбовский Г.Б. Строительство деревянных домов из
универсального набора панелей // Бизнес-консультант. -
1996, №3. - С.
515
6. Дерево в строительных конструкциях // Известия вузов.
Строительство. - 1996. - №5. - С. 127-129.
7. Деревянные стандартные дома для сельского жилищного
строительства 1974-1976 гг. - М.: ЦНТИ по градостроит. и
архит., 1976. - 7с.
8. Жданов Е.К., Корепанов В.Н. Технология производства
малоэтажных деревянных домов фирмы "Штрайф" //
Деревообрабатывающая промышленность. - 1978. - №10. -
С.30-31.
9. Кожевников И.П. Двухквартирный жилой дом с
двухкомнатными квартирами // Деревообрабатывающая
промышленность. - 1978. - №10.
10. Кожевников И.П. Одноквартирный двухкомнатный жилой
дом // Деревообрабатывающая промышленность. - 1978. -
№3.
11. Кожевников И.П. Одноквартирный четырехкомнатный
жилой дом // Деревообрабатывающая промышленность. -
1978. - №5.
12. Кожевников И.П. Одноэтажный одноквартирный
трехкомнатный жилой дом // Деревообрабатывающая
промышленность. - 1978. - №4.
13. Кудашов Е.А., Макаревич Л.А., Григорьев М.В. Сборно-
разборные жилые поселки // Жилищное строительство. -
1975. - №2. - С. 6-7.
14. Легкие сборные, передвижные контейнерные и
стационарные малоэтажные жилые и общественные здания. -
М.: ЦНТБ по строит, и архит., 1979. - 58с.
15. Пальцсвич Л.П. Анализ затрат на деревянное малоэтажное
строительство на примере районов северо-востока страны //
Эффективное использование древесины и древесных
материалов в современном строительстве: Тез. докл.
Всесоюз. совещ. - М.: ЦИНИС, 1980. - С. 131-134.
16. Плессеин Б.Д. Состояние и перспективы развития
полносборного малоэтажного домостроения на основе
древесины и других эффективных материалов // Тез. докл. и
сообщ. Всесоюз. науч.-техн. совещ. "Прогрессивные типы и
конструкции крупнопанельных малоэтажных жилых и
516
общественных зданий на основе древесины и опыт их
производства". Рига, 19-21 декабря 1978г. - М.: Госстрой,
1978.- С. 3-14.
17. Поздняков П.П. Типы оленеводческих баз для районов
Севера // Общественные здания для сельских населенных
мест Севера. - Л.: Госгражданстрой, ЛЕНЗНИИЭП, 1975. - С.
18-25.
18. Прогрессивные деревянные конструкции в гражданском
строительстве (обзор). - М.: ЦНТИ по градостроит. и архит.,
1977. - С. 27-36.
19. Проневич В.П. Деревянное панельное домостроение. - М.:
Лесная промышленность, 1984. -129с.
20. Проневич В.П. Полносборные деревянные жилые дома в
поселке Сельская Новь Московской области // Архитектура
СССР. - 1978. - №9. - С.34-36.
21. Рекомендации по проектированию панельных конструкций с
применением древесины и древесных материалов для
производственных зданий (ЦНИИСК им. В.А. Кучеренко). -
М.: Стройиздат, 1982. - 120с.
22. Рубаненко Б.Р. Типизация жилых зданий, их элементов и
деталей. - М.: Стройиздат, 1974. - 155с.
23. СП 31-105-2002 Проектирование и строительство
энергоэффективных одноквартирных жилых домов с
деревянным каркасом. М.: Госстрой России, 2002. - 68с.
24. A bold, contemporary, and transformable plywood house was the
architects drcam as well as ours // The Architectural Rewiew. -
1997.-№1.-P. 24.
25. Approval for GRP house I I Ibid. 1974. - Vol. 18, №1. - P. 20.
26. Battersea works housing // Architectural Design. - 1974. - Vol.
44, №5. - P. 269-271.
27. Beliebig zu Verwenden // Moebcl, Interior, Design. - 1974. -
№11.-S. 81-83.
28. Ehchian R. Grundsatze fiir die Konstruktion von Gcbirgsbiwaks
aus Kunststoffen // Plasticonstruction. - 1974. - №6. - S. 299-
301.
29. Entwicklung der Raumzellenbauweisc fiir den vcrdichtetcn
Wohnungsbau. AIF-Vorhaben 9106. Forderung aus Mittcilungcn
517
des Bundcsministeriums fur Wirtschaft. Fachhochschule
Hildesheim. Holzminden, Bericht. Nr.4. - 1994, 32s.
30- Ferienhaus in Danemark 11 Detail, 1978. - VII-VIII, №4. - S. 501-
502.
31. Ferienhotel in Sharm-E-Shcikh // Baumeister. - 1974. - №6. - P.
650-651.
32. Kufner M. Holz als Roh- und Werkstoff. - 1972. - vol. 30, №10. -
S. 365-372.
33. Larsson S., Reutersward L. De svenska bistandshusen о Vietnam
H Byggmastaren. - 1975. - №2. - S. 15-18.
34. Liebau W. Das Festigteilhaus. Tup "Ziegelroda" - ein Beitrag der
Forstwirtschaft zum Wohnungsbauprogramm Ц Forstwirtschaft. -
1977.-№12,-S. 374-376.
35. Lingotrend - Holzblocktafel systeme // Bauen mit Holz. - 1993.
- №8. - 5s.
36. Mielczarek Zb. Trendy rozwoju wspol'czesnego budownictwa z
drewna i materiarow drewnopochodnych za granica. Monografia
106. - Krakow, 1990. - S. 297-313.
37- One-day house Ц Decorating Constructor. - 1975. -1, vol. 75,
№867. - P. 17-21.
38. Prefabricated Houses - House a Garden, 1974. - V, vol.29,
№4(289).-P. 110-113.
39. Structural GPR system for singlestorey accomodation //
Reinforced Plastics. - 1974. Vol. 18, №9. - P. 249-250
40. Wester Ture. Structures of nature in modern buildings // Сэйсан
Кэнкю = Mon. J. Inst. Univ. Tokyo. -1989. - 41, №9. - P. 694-
700.
41. Wohnhaus mit Installatione-kemzorne Ц Bauen + Wohnen. -
1976.-№12,-S. 456-457.
518
Лицензия 06050 от 16.10.2001. Подписано в печать 22.08.2002. Формат 60x90/16. Бумага
офсет. Гарнитура “Times New Roman”. Усл. Печ. Л. 32,5. Усл. Кр.-отт. 32,5. Учет.-изд. л.
34, 49. Зак. 1368. Тираж 1000. Отпечатано ОАО издательско-полиграфической фирмой
«Малыш». Россия, 344092, Ростов-на-Дону, Королева, 7/19. Тел. (863-2) 33-21-55, факс
(863-2)33-21-66.
519