/
Автор: Тучнин Н.П.
Теги: математика педагогика развитие ребенка детское развитие естественные науки
ISBN: 5-7415-0103-6
Год: 1989
Текст
Н. П.Тучнин
Н. П. Тучнин
КАК
ЗАДАТЬ
ВОПРОС?
О математическом
творчестве
школьников
Ярославль
Верхне-Волжское
книжное издательство
1989
22.1
Т 92
1602070000—14 с
М139—(03)—89 Бе3объЯвЛ’
Издание осуществлено за счет средств автора
ISBN 5-7415-0103-6
© Тучнин Николай Петрович, 1989
ПРЕДИСЛОВИЕ
Потребность заявить себя, отличиться,
выйти из ряда вон есть закон природы
для всякой личности, это право ее, ее
сущность, закон ее существования.
Ф. М. Достоевский
В современной общественной, производственной и на-
учной жизни все большее значение приобретает человеческий фак-
тор. Развитие машиностроения, робототехника постепенно освобож-
дают человека от тяжелого, шаблонного физического труда, а раз-
витие компьютеров позволяет надеяться, что и рутинные формы
умственного труда будут переданы «умным» машинам (иногда го-
ворят, что машины «заменяют» человека. Это, конечно, не так: ма-
шины, в том числе и компьютеры, освобождают человека от нетвор-
ческих форм труда).
Но освобождается человек не для пустого безделья, не для
бездумного времяпрепровождения, а для того, чтобы иметь воз-
можность творчески участвовать в различных сферах деятельнос-
ти человеческого общества.
Способность человека быть творцом (в том числе и в области
математики) воспитывается прежде всего в школе. Уже простое
самостоятельное решение задач по математике — работа творче-
ская, но это — лишь начальная ступень развития творческих сил и
способностей человека. Дальнейшие шаги по этому пути — умение
самому поставить вопрос, самому сконструировать задачу, пусть
вначале и не очень трудную. В предлагаемой книге делается по-
пытка систематизировать этот вид творческой работы школьника
по математике.
При этом автор стремился использовать опыт творческой рабо-
ты в других видах человеческой деятельности, например, изобре-
тательском деле. Подавляющее число изобретений делается так: в
известном техническом устройстве, которое называется «прототи-
пом», изобретатель замечает возможность его усовершенствова-
ния в каком-либо отношении: ввести новые детали, изменить схе-
му взаимодействия имеющихся деталей, заменить материал, из
которого изготовлены некоторые узлы механизма и т. п. В результа-
те изобретается новое техническое устройство («изобретение»), в
чем-то отличающееся от прототипа и обладающее новыми полез-
ными свойствами. Только незначительная часть изобретений на-
з
столько оригинальна, что не имеет прототипа. Такие изобретения
называются «пионерскими». Например, пионерским было, изобре-
тение фонографа Эдисоном. Нечто подобное мы наблюдаем и в
математическом творчестве. Поэтому в этой книге читателю, как
правило, предлагается тоже «прототип» — задача для решения, а
потом дается задание этот прототип как-то изменить. Конечно, не-
возможно подсказать подлинно новаторское творчество — это выс-
шая ступень творческой деятельности человека. В математике, на-
пример, высшими творческими способностями был наделен Архи-
мед, впервые ставший изучать такие математические объекты,
которые мы сейчас называем бесконечно малыми, изучать их отно-
шения (дифференциальные методы) и их суммы (интегральные
методы). Прошло около двух тысяч лет, прежде чем эти идеи Ар-
химеда были достаточно глубоко поняты математиками и получи-
ли дальнейшее развитие.
Но самые высшие формы творчества не появляются на пустом
месте. Самый гениальный композитор до того, как написать свои
выдающиеся произведения, учил нотную грамоту и разыгрывал
«гаммы» — музыкальные упражнения.
Большинство заданий, приведенных в книге, и принадлежит к
«математическим гаммам», т. е. к упражнениям, способствующим
развитию математического мышления, математических сил и спо-
собностей.
Для читателей, которые желали бы, чтобы их фамилии были
опубликованы в печати (весьма похвальное желание!), можно ре-
комендовать хорошо изучить примеры задач, составленных школь-
никами и опубликованных в журнале «Квант». Ознакомившись с
ними, читатели наглядно увидят, какие требования предъявляет
редакция журнала «Квант» к задачам, дойстойным быть опубли-
кованными в журнале.
Небольшое число рассматриваемых вопросов показывает бо-
лее высокий уровень математического творчества. Это, например,
делается в § 7 «Пример более широкого обобщения» из первой
части книги, где обобщается формула суммы внутренних углов
выпуклого многоугольника, и в § 1. «Зависимость между углами и
сторонами» в третьем разделе второй части книги, где обобщается
теорема о зависимости между углами и сторонами равнобедренно-
го треугольника. Подобного рода обобщения уже достойны того,
чтобы быть опубликованными в каком-либо популярном журна-
ле, например, «Математика в школе», «Квант» или в сборниках
типа «Математическое просвещение». Если читателю в своей твор-
ческой лаборатории удастся сконструировать нечто подобное, он
может рассчитывать на появление в печати небольшой статьи за
своей подписью.
И наконец, в § 2 раздела IV второй части книги даны задания
4
по выяснению свойств симплекса, при выполнении которых полу-
чается то, что математики называют «результатом». Конечно,
эти результаты можно получить, лишь внимательно прочитав по-
пулярную книгу [VIII, 3], указанную в списке рекомендуемой ли-
тературы.
Последнее утверждение о «результатах» нуждается в поясне-
ниях, иначе читатель, ознакомившись с § 1 первой части книги,
может упрекнуть автора в противоречии. В указанном параграфе
говорится о том, что принимать активное участие в разработке
актуальных проблем математики можно, как правило, после изу-
чения систематического курса современной математики в универ-
ситете и аспирантуре. А выше говорилось, что можно прочитать
популярную книгу [VIII, 3], — и, пожалуйста, выдавай «резуль-
< таты»! Это противоречие следует разъяснить так. Для того чтобы
принимать участие в решении проблем, действительно ак-
туальных, бурно развивающихся направлений
современной математики, совершенно необходимо серь-
1 езное изучение этих разделов математической науки в универси-
тете и аспирантуре (часто параллельно участвуя в научной рабо-
те кафедры). Но в громадном здании математики существуют и
симпатичные закоулки и тупички, мимо которых проходят те, кто
желает работать, «на переднем крае», в гуще событий, посвящать
свои .силы животрепещущим проблемам современной науки. Те же
результаты, которые даны в IV разделе второй части книги, не
являются ни актуальными, ни животрепещущими. Они принадле-
жат одному из тупичков в грандиозном здании математики. Поэ-
тому, чтобы их получить, нужно лишь сравнительно недалеко вый-
ти за рамки школьного курса математики, но нужно все-таки
обладать хорошо развитым логическим мышлением. Серьезные
математические журналы подобные результаты не публикуют. Но
их можно опубликовать в научных изданиях меньшего ранга, на-
пример, в «Ученых записках», издаваемых институтами, в «Трудах»
конференций, в сборниках статей и т. п.
Следовательно, в предлагаемой читателям книге дается вся
градация творческих упражнений по математике от довольно
простых до сравнительно сложных (до «результатов»), С какой
целью это сделано? Ответим на этот вопрос подробно.
Ученик 9—10-х классов средней школы — предполагаемый
читатель этой книги—должен уже серьезно задумываться над
своим^ будущим, над выбором профессии. Среди множества про-
фессий, для овладения которыми необходимо обучение в высшем
учебном заведении, целый ряд профессий (число их все увеличи-
вается) требуют основательного знания математики. Это — раз-
личные инженерные профессии, профессии экономиста, физика,
преподавателя математики средней школы и др. И, наконец, про-
5
фессия математика, основное занятие которого — развивать мате-
матику дальше, открывать новые математические соотношения,
создавать новые математические теории или (что бывает-значи-
тельно чаще) преподавать математику в ВУЗах и университетах,
параллельно занимаясь и математической наукой.
Для овладения этими профессиями необходимы, прежде всего,
основательные знания школьного курса математики. Но для овла-
дения профессией математика этого недостаточно. Требуется
еще наличие творческих способностей в области математики.
А что такое творческие способности? Четкого ответа на этот воп-
рос психология не дает. Но практика показывает: если школьник
проявляет большой интерес к математике, если он с успехом, а
часто и с удовольствием решает трудные математические задачи
(или хотя бы разбирает их решения), помещенные в сборниках
олимпиадных задач, в журнале «Квант», в книгах библиотеки
математического кружка, то с большой уверенностью можно пред-
положить, что у этого школьника имеются определенные матема-
тические способности.
Эту же цель — дать возможность школьнику проверить себя
в области творческой работы по математике — преследует и дан-
ная книга.
Самостоятельное выполнение школьником даже более прос-
тых заданий, приведенных во второй части этой книги, — это твор-
ческая работа, показывающая наличие у школьника определенных
математических способностей. Тем более наличие таких способ-
ностей выявится, если читатель сможет самостоятельно сконструи-
ровать задачу или сумеет обобщить какую-либо теорему из школь-
ного курса математики. Более сложные и абстрактные задания,
предложенные в разделе IV, покажут читателю, что математиче-
ское творчество — дело все-таки трудное, это не игра. Автор наде-
ется также, что самостоятельное выполнение заданий, приведен-
ных в книге, поможет школьнику развить имеющие-
ся у него математические способности, будет
содействовать вдумчивому решению математических задач (нельзя
ли эту задачу как-то усовершенствовать, изменить или обобщить?),
критическому отношению к предложенному решению.
Способности и таланты человека часто многогранны, молодой
человек внутренне ощущает интерес и стремление к различным
родам деятельности, колеблется. Великий математик Карл Фрид-
рих Гаусс (1777—1855) в молодости колебался: посвятить ли
свои силы развитию филологии или математики? К счастью для
математики, Гаусс избрал математику и еще при жизни был удо-
стоен почетного неофициального титула: «Король математиков».
В пользу выбора математики в качестве профессии можно
привести много доводов. Например, каждая истина, открытая в
6
I
математике, — это вечная истина; человек, работающий творче-
ски в области математики, ощущает всю красоту строгих логиче-
ских построений математики, у него богатые эмоциональные и эс-
тетические переживания. Математика все более проникает в дру-
гие науки. Математик, в случае возникновения у него интереса к
другим областям знаний, может, как показывает практика, твор-
чески работать и в новой для него области знаний.
— А где же польза для общества? — спросит читатель. Наи-
большей пользой для общества является полное развитие у каж-
дого человека его творческих сил и способностей.
Июль, 1985.
Автор приносит сердечную благодарность сотрудникам ка-
федры алгебры и геометрии Костромского пединститута к. ф.-м. н.
И. Ш. Эпштейну, Н. И. Никулиной, В. А. Кротовой, к. ф.-м. н.
А. И. Сидорову, рецензентам: д. ф-м. и. Г. М. Валову, чл.-корр.
АПН СССР Ю. М. Колягину, к. ф-м. н. К. И. Нешкову, доц.
В. В. Гузееву, к. ф-м. и. Г. А. Гальперину, методистам А. Ф. Дра-
ничникову, 3. А. Огарковой, которые прочитали рукопись и своими
предложениями способствовали ее усовершенствованию.
Замечания и предложения по книге направлять по адресу:
156021, Кострома, Лесная, 27, кв. 38. Тучнин Н. П.
s’
Часть I
НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ
ТВОРЧЕСКОЙ РАБОТЫ
ПО МАТЕМАТИКЕ
Вперед, мечта, мой верный вол!
Неволей, если не охотой!
Валерий Брюсов. В ответ
§ 1. Похвальное слово задачам. Модели творчества
Крупное научное открытие дает решение
крупной проблемы, но и в решении лю-
бой задачи присутствует крупица откры-
тия. Задача, которую вы решаете, может
быть скромной, но если она бросает вы-
зов вашей любознательности и заставляет
вас быть изобретательным и если вы ре-
шаете ее собственными силами, то вы смо-
жете испытать ведущее к открытию на-
пряжение ума и насладиться радостью
победы.
А. Пойа ([1, 3] с. 5)
Во всем мне хочется дойти
До самой сути.
Борис Пастернак
Как только вы пришли в школу, то на первых же
уроках математики вам пришлось не только учиться счету, но и
решать задачи и «примеры» («примеры» — это тоже задачи, толь-
ко словесное их содержание — определить порядок действий, вы-
полнить действия, найти результат — подразумевается. Поэтому
в дальнейшем мы во всех случаях будем говорить о задачах).
В средних и старших классах вы познакомились с различны-
ми математическими дисциплинами — арифметикой, алгеброй,
геометрией, началами математического анализа. Если присмот-
реться внимательно к каждой из этих дисциплин, то можно убе-
диться, что существенным их содержанием являются тоже задачи.
Некоторые задачи рассматриваются в основном тексте учебника —
это различные теоремы, правила, формулы. Все эти задачи дают-
8
ся в тексте учебника с их решениями: теоремы доказываются,
правила и формулы выводятся. Основным содержанием помещен-
ных в учебниках упражнений тоже являются задачи. В математи-
ческих дисциплинах рассматриваемые задачи приведены в систему
и решаются в определенной последовательности, когда доказа-
тельство новой теоремы опирается на доказательство ранее рас-
смотренных теорем или формулировки принятых аксиом, а выво-
ды новых правил и формул даются с учетом ранее выведенных.
При этом также последовательно вводятся новые математические
понятия — объекты для изучения (например, числа целые, числа
дробные; числа положительные, отрицательные и нуль; числа ра-
циональные и иррациональные; числа комплексные и др.). В выс-
ших учебных заведениях изучаются новые математические дис-
циплины, все более абстрактные математические понятия, дока-
зываются все более сложные математические теоремы.
Так постепенно человек, интересующийся математикой, знако-
мится с величественным, гигантски разросшимся зданием мате-
матики. Ученика, окончившего восьмилетнюю школу, можно срав-
нить с человеком, лишь взошедшим на первые ступени перед вхо-
дом в это здание, он поднялся только над фундаментом, а этот
фундамент был заложен древними греками более двух тысяч лет
назад. Тот, кто окончил среднюю школу, вошел, так сказать, в вес-
тибюль этого здания, и перед ним открыты двери в те части зда-
ния, которые были построены сравнительно недавно —100—
200 лет назад. Сам же он знает немногим более (а во многом и ме-
нее) того, что знали математики 300 лет назад. Чаще всего толь-
ко тот, кто закончит математическое отделение университета, про-
учится еще три года в аспирантуре, тот, наконец, дойдет до тех
разделов математических знаний, которые создаются в настоящее
время, и сам сможет принять в этом созидании посильное участие.
Именно здесь ставятся новые математические задачи и решаются,
если их на данном этапе развития науки можно решить, или эти
задачи делаются объектом изучения следующих поколений мате-
матиков. Для того чтобы подойти к этой передовой линии строи-
тельства новых частей математического здания, нужно затратить
тысячи часов упорного труда, напряженных размышлений и иска-
ний. Но лишь немногим из тех, кто сумеет пройти этот тяжелый
путь, единицам из тысяч, удается заложить краеугольные камни
действительно нового и оригинального, десяткам удается при-
нять активное участие в строительстве этого нового, а остальным
сотням и тысячам предстоит лишь проводить, так сказать, отде-
лочные работы, выравнивать швы в кладке, шлифовать и укра-
шать основную постройку. Но и это — важная, нужная и почетная
работа, а главное, интересная, творческая работа — лучшее воз-
награждение за проделанный труд.
2 заказ 62
9
Как показывает история математики, основополагающие от-
крытия немногих гениальных математиков опирались на резуль-
таты труда многих математиков, нашедших частные результаты в
той или иной области математики. Так, например, целый ряд ма-
тематиков (Кавальери, Кеплер, Ферма, Барроу и мн. др.) решили
очень много частных задач на построение касательных, нахожде-
ние максимумов и минимумов (дифференциальные задачи), опре-
деление площадей и объемов (интегральные задачи), прежде, чем
гениальные математики Ньютон и Лейбниц создали исчисление
бесконечно малых величин (дифференциальное и интегральное ис-
числения).
Творчески работающий математик ставит и решает (если мо-
жет решить) такие задачи, которые до него не ставились, пытает-
ся решить задачи, поставленные другими математиками, но не
решенные ими. Как же он это делает? Это очень сложный вопрос,
который не решен до сих пор наукой. Нет каких-то общепринятых
рецептов и правил, применяя которые каждый смог бы совершить
открытие, сделать изобретение, поставить и решить совершенно
новую математическую задачу. Но некоторые пути, позволяющие
сделать математическое открытие, отмечены в трудах известных
математиков (см. книги, указанные в списке литературы в разде-
ле «О математическом творчестве»), В этих книгах указаны, напри-
мер, такие пути, ведущие к новым математическим открытиям,
как рассуждения по аналогии, обобщение задачи, рассмотрение
интересных частных случаев некоторой общей задачи (специали-
зация), наблюдение и эксперимент и некоторые другие. Человек,
изучающий математику, начинает применять эти приемы, как пра-
вило, сравнительно поздно. Но, может быть, неплохо было, если
бы школьник, увлекающийся математикой, мог упражняться в
конструировании задач, в обобщении и специализации, провел бы
наблюдения, из которых можно было бы извлечь кое-что инте-
ресное?
Школьник, увлекающийся ботаникой или зоологией, не толь-
ко изучает то, что до него открыли и описали другие, но сам про-
водит наблюдения и опыты над растениями и животными и может
подметить такие детали их жизни и развития, которые до него ни-
кто не подмечал. Конструкторы самолетов или кораблей, вспоми-
ная свои школьные годы, не раз отмечали, что начинали они с по-
стройки простейших моделей, что это был их первый, небольшой,
но очень важный шаг в овладении будущей профессией. На после-
дующих страницах этой книги школьникам-любителям математи-
ки предлагаются упражнения, в которых на доступном ученику
9—10-х классов материале они могут развивать свои способности
в конструировании задач, в обобщении й специализации, а также
в критическом разборе некоторых ошибочных или недостаточно
10
полных рассуждений. Эти упражнения — своего рода модели мате-
матического творчества, математического открытия. Так же как
модель самолета с резиновым моторчиком отличается от гигант-
ского пассажирского лайнера, но все же демонстрирует некоторые
принципы полета самолета, так и наши модели математического
творчества служат этой же цели.
§ 2. Как пользоваться книгой
— Начни с начала, — важно ответил Ко-
роль,—и продолжай, пока не дойдешь до
конца. А как дойдешь — кончай!
Льюис Кэрролл.
Алиса в Стране чудес
В первой части этой книги рассматриваются приме-
ры выполнения различных творческих работ. С примерами следует
внимательно ознакомиться. Это поможет при выполнении упраж-
нений творческого характера во второй части книги.
Помещенные во второй части книги упражнения именуются
заданиями. Задания обозначаются двумя числами: первое число
указывает, в каком разделе второй части содержится это задание,
а второе — порядковый номер задания в этом разделе. Слово «за-
дание» часто опускается.
Задания, как правило, подразделяются на первоначаль-
ные и последующие, связанные с первоначальными. В пер-
воначальном задании чаще всего предлагается рассмотреть и ре-
шить некоторую задачу. Эти задачи заимствованы из различных
сборников олимпиадных задач или других книг и журналов. В не-
многих случаях задача составлена автором (111,2; III, 11; IV,!;
11,9; 11,11; и, др.). В последующих заданиях даются указания о
дальнейшей творческой работе над рассмотренной задачей. Эти
задания составлены автором. Указания о творческой работе над
решенной задачей могут быть различными: составить аналогич-
ную задачу, обобщить рассмотренную задачу, рассмотреть инте-
ресные частные случаи и др.. Примеры такой творческой работы
и приведены в следующих параграфах первой части книги. Если
идея творческого задания заимствована, то дается ссылка на ис-
точник. Такая ссылка дается в квадратных скобках, первое число
указывает раздел в списке литературы, второе — порядковый но-
мер в этом разделе, а далее указаны нужные страницы этой кни-
ги или журнала. Ссылки даются в разделе VII. Такой порядок
(решить первоначальную задачу, а в дальнейшем творчески пора-
ботать над ней) применяется не всегда. Иногда сразу предлагает-
ся то или иное творческое задание (провести наблюдения и сде-
лать из них выводы, исследовать какой-либо вопрос и др.).
11
Если выполнение задания вызывает затруднения, то следует
обратиться к разделу «Краткие указания», в котором дается идея
решения задачи или выполнения данного задания, или обращает-
ся внимание на то, что может способствовать выполнению зада-
ния. Конечно, у читателя могут возникнуть идеи, совершенно от-
личные от тех, которые указаны автором, и если эти идеи приве-
дут к цели, читателя следует поздравить.
Так как выполнение заданий .может быть сделано часто раз-
личными способами, то в книге приводятся лишь «Примерные
ответы».
Некоторые задания поясняются рисунками (под рисунками
понимаются чертежи, таблицы, схемы и т. п.). Каждый рисунок
обозначается тем набором чисел, что и задание, к которому этот
рисунок относится. Если к заданию дается несколько рисунков, то
они различаются буквами, поставленными после последней цифры
обозначения задания.
Рисунки, относящиеся к примерам, рассмотренным в первой
части книги, обозначаются одним числом — номером параграфа, к
которому этот рисунок относится. Если к данному параграфу от-
носится несколько рисунков, то их обозначения отличаются бук-
вами, поставленными после числа — номера соответствующего па-
раграфа.
В книге используются обозначения (символы), применяемые
в популярной литературе по математике для школьников, в част-
ности, в журнале «Квант». Перечень этих символов дан в Прило-
жении 2.
Для выполнения большинства заданий достаточно сведений
по математике, изучаемых в средней школе. Некоторые задания
из раздела I. Целые числа и все задания — из раздела IV. Много-
мерная геометрия несколько выходи! за рамки школьной про-
граммы. Читателю рекомендуется предварительно прочитать в
этой книге Приложение I., а также изучить соответствующую по-
пулярную литературу по этим вопросам.
Определение «-мерного симплекса; данное в § 2 раздела IV,
применяется обычно для проективного пространства. Как прави-
ло, определение «-мерного симплекса в n-мерном евклидовом про-
странстве отличается тем, что вместо слов: «Прямая, содержащая
точки А и Л]», говорят: «Ребро (отрезок), концами которого слу-
жат точки Л1 и Л]» или вместо слов: «Двумерная плоскость, прохо-
дящая через точки’ Ль Aj, Лк», говорят: «Треугольная грань
AiAjAx» и т. Д' То есть симплекс в этом случае рассматривается
как выпуклый простейший многогранник с «4-1 вершинами.
Определение симплекса, данное в книге, обладает тем пре-
имуществом, что позволяет избегать таких громоздких оборотов,
как например: «Точка Ац принадлежит ребру ЛИ] или располо-
15
жена вне этого ребра на прямой, содержащей отрезок ЛИр или:
«Точка ЛЦк принадлежит треугольной грани Л1Л]ЛК или располо-
жена вне этой грани на плоскости, содержащей грань AiAjAK»
и т. п.
Предлагаемые задания в большинстве случаев можно выпол-
нить в любом порядке. Когда для выполнения какого-либо зада-
ния необходимо выполнить другое задание, то всегда дается ука-
зание или ссылка.
Заголовки разделов I, II, II, IV второй части книги следовало
бы начинать словами: «Некоторые вопросы...» (например, «Неко-
торые вопросы многомерной геометрии»), но для краткости эти
слова опущены.
В последующем изложении промежуточные выкладки иногда
опущены. Автор надеется, что читатель будет иметь на столе лист
бумаги, а в руке шариковую ручку.
$ 3. Преобразование задач
И она принялась вспоминать детей, из
которых вышли бы отличные поросята.—
Знать бы только, как их превращать,—
подумала она.
Льюис Кэрролл.
Алиса в Стране чудес
По древней традиции, восходящей к Евклиду, зада-
чи, рассматриваемые в математике, подразделяются на два основ-
ных типа: задачи на доказательство (теоремы) и зада-
чи на нахождение. Целью задачи на доказательство являет-
ся установление истинности или ложности некоторого утвержде-
ния. В задачах на доказательство мы различаем предпосылку
(условие) и заключение. Очень часто предпосылка начинается
словом «если», а заключение — словом «то». Например: если в тре-
угольнике высота, биссектриса. и медиана, исходящие из одной
вершины, делят угол треугольника при этой вершине на четыре
равные части, то этот треугольник — прямоугольный. Это задача-
теорема, которую можно доказать путем цепи логических опе-
раций— рассуждений, которые свяжут предпосылку (деление уг-
ла треугольника на четыре равные части высотой, биссектрисой и
медианой) и заключение (данный треугольник — прямоугольный).
Если мы эту цепочку рассуждений найдем, то предложенная тео-
рема будет доказана. Следует отметить, что слова «если», «то» в
формулировках теорем часто опускаются. Но запись, включаю-
щую слова «если», «то», всегда можно восстановить.
Для доказательства ложности какого-либо утверждения
достаточно привести опровергающий пример. Из истории
13
математики известны случаи, когда даже замечательные матема-
тики высказывали утверждения, оказавшиеся в дальнейшем лож-
ними. Так, например, известный французский математик XVII ве-
ка Пьер Ферма, основываясь на неполной индукции, высказал
предположение, что 22" + 1 (где n — натуральное), всегда число
простое, т. к. при значениях п=1, 2, 3, 4 получаются простые чис-
ла. Но великий математик XVIII века Леонард Эйлер показал,
что число 22 +1 делится на 641 и простым не является. Предпо-
ложение Пьера Ферма оказалось ошибочным.
В задачах на н а хожд ен и е мы различаем д а н н ые и
искомые величины и условие, которое связывает дан-
ные с искомыми. Искомыми могут быть, например, фигура, кото-
рую нужно построить, длина отрезка, величины площади, объема,
угла, уплаченная за товар сумма и т. п.
В задачах на нахождение часто особо выделяют задачи на
построение какой-либо геометрической фигуры. Задачам на
построение посвящены специальные исследования, где эти задачи
классифицируются, например, по методам их решения. Проблемы
решения задач на построение рассматриваются особой ветвью гео-
метрии — конструктивной геометрией.
Задачи на доказательство и задачи на нахождение тесно
между собою связаны. Чаще всего, узнав доказательство той или
иной теоремы, учащиеся решают задачи на нахождение, в кото-
рых изученная теорема (например, теорема Пифагора) находит
непосредственное применение. Эти упражнения очень важны, но в
творческом отношении мало что дают.
Гораздо интереснее тот случай, когда, решая задачу на на-
хождение, мы придем к некоторой новой для нас теореме. Рас-
смотрим такую задачу.
К двум окружностям с радиусами 9 см и 4 см, касающимся
извне, проведена общая касательная, не проходящая через точку
касания окружностей. Найти длину отрезка этой касательной
между точками касания. (Ответ: 12 см. Сделайте чертеж и реши-
те эту задачу). Из решения этой задачи «извлечь» какую-либо тео-
рему еще нельзя. Попробуем решить эту задачу, как говорится, «в
общем виде», заменив численные значения радиусов окружностей
буквенными обозначениями rt и г2, а длину отрезка общей каса-
тельной буквой d. Тогда ответ к этой задаче будет выглядеть так:
й2=4Г1Г2 Этот ответ можно записать по-другому: d2=2ri-2r2, ко-
торый и подскажет нам формулировку следующей теоремы: «Если
две окружности касаются извне, то отрезок их общей касательной
между двумя точками касания есть среднее геометрическое между
диаметрами этих окружностей».
Чертеж, сделанный при решении этой задачи, подскажет нам
14
формулировки задач на построение, например, такую: построить
две окружности, касающиеся извне, если известны сумма их ра-
диусов и отрезок их общей касательной между точками касания.
Теорема: треугольник, в котором высота, биссектриса и ме-
диана, исходящие из одной вершины угла треугольника, делят этот
угол на четыре равные части, прямоугольный — может привести
нас к формулировке следующей задачи на нахождение. Опреде-
делить углы треугольника, в котором высота, биссектриса и ме-
диана, проведенные из одной вершины угла треугольника, делят
это угол на четыре равные части. При решении этой задачи на на-
хождение, так сказать, «попутно» будет доказана и приведенная
выше теорема. Эта задача на нахождение, конечно, труднее при-
веденной выше теоремы, так как ничего не сообщает о величине
хотя бы одного угла треугольника.
Подобные преобразования задач одного типа в задачи дру-
гого типа — одно из простейших творческих упражнений, и его
можно рекомендовать для самостоятельной работы.
§ 4. Конструирование аналогичных задач
— По-моему, Зазеркалье страшно похо-
же на шахматную доску, — сказала нако-
нец Алиса.
Льюис Кэрролл.
Алиса в Зазеркалье
И я больше всего дорожу Аналогиями,
моими самыми верными учителями. Они
знают все секреты Природы, и ими мень-
ше всего следует пренебрегать в Геомет-
рии.
Кеплер
Конструирование аналогичных задач — один из прос-
тейших видов творческой работы по математике. Но эта работа
может быть интересной и полезной только в том случае, если при
ее выполнении возникают определенные трудности и выбранная
в качестве образца задача не является шаблонной.
В младших классах школы ученики довольно часто получают
задания на составление различных задач: на подсчет урожая с
нескольких участков земли, «на проценты», «на пропорциональ-
ное деление» и т. п. Эти упражнения полезны в том смысле, что
позволяют школьникам прочнее овладеть изучаемыми понятиями
(проценты, пропорциональное деление и т. п.), но элементов твор-
чества содержат мало. В составленных таким образом задачах
сохраняется «сюжет» исходной задачи (характер данных, иско-
мых и условия — связи между данными и искомыми) и меняются
15
только числовые значения входящих в задачу величин. Приходит-/
ся только следить, чтобы эти числовые значения были бы правдо-
подобны, чтобы, например, урожайность той или иной сельскохо-г
зяйственной культуры, скорости движущихся тел и т. п. лежали
бы в разумных пределах. Составленная задача почти совпадает с
исходной, аналогия слишком близка и прозрачна. Но как мы уви-
дим далее (см. § 8), составление задач, лишь численными данны-
ми отличающихся от исходной, может представлять и определен-
ный интерес. В старших классах прием составления аналогичных
задач применяется реже, но задания несколько усложняются. На-
пример, рассмотрена задача: построить треугольник, если извест-
ны два его угла и высота, проведенная из вершины третьего уг-
ла— типичная задача на «метод подобия». А потом предлагается
составить задачи, тоже решаемые «методом подобия». Составляя
такие задачи, ученики, несомненно, хорошо овладеют этим Мето-
дом, начинают понимать, что в треугольнике, который нужно по-
строить, можно вместо одного угла взять отношение двух его сто-
рон, а вместо высоты — какой-нибудь другой линейный элемент,
связанный с искомым треугольником (медиану, биссектрису, ра-
диус вписанной или описанной окружности и т. п.) и по-различ-
ному сочетать взятые элементы. Но для развития творческих спо-
собностей и эти упражнения малоценны, так как и здесь аналогия
довольно ясна.
Гораздо интереснее, если исходную задачу использовать для
составления новой задачи, в чем-то существенно отличающейся
от рассмотренной, например, более сложной и трудной.
Рассмотрим, например, следующую популярную задачу, по-
мещенную во многих сборниках олимпиадных задач: доказать,
что если р — простое число, большее трех, то выражение р2 — 1 де-
лится на 24.
Напомним одно из возможных решений этой задачи. Разло-
жим р2 — 1 на два множителя и присоединим к ним число р, по-
лучим: р — 1, р, р+1. Мы получили три последовательных числа
натурального ряда. Но известно, что из трех последовательных
чисел натурального ряда одно обязательно делится на три; р на
три не делится, следовательно, на три делится или р—1, или р + 1.
Числа р—1 и р+1 последовательные четные числа натурального
ряда. Известно, что одно из них (или р — 1, или р+1) должно де-
литься не только на два, но и на четыре. Следовательно, выраже-
ние р2—1 = (р—1) (р+1) должно делиться на произведение:
2-3-4=24. Задача решена.
Поставим теперь перед собой задание: составить задачу, ана-
логичную данной, но более сложную. Конечно, выполнить это за-
дание можно различным образом, и наша мысль может идти в
разных направлениях. Например, при решении нашей задачи мы
16
рассматривали отрезок натурального ряда из трех чисел р—1, р,
р+1, но может быть, можно получить какие-либо интересные ре-
зультаты, если рассмотреть отрезок натурального ряда, состоя-
щийиз большего числа чисел, например, из пяти чисел (чтобы
сохранить, так сказать, симметричность относительно р), то есть
рассмотреть числа: р—2, р—1, р, р-{-1, р + 2. Из каждых пяти по-
следовательных чисел натурального ряда одно делится на пять.
Если р>5, то какое-то из остальных четырех чисел делится на
пять. Каждый из отрезков: р—2, р—1, р и р, р+1, р+2 содержит
число, делящееся на три. Если р>5, то среди остальных четырех
чисел рассматриваемого отрезка найдутся два числа, делящиеся на
три. Из чисел р—1 и р+1, как мы установили ранее, одно делится
на 2, а другое на 4.
Учитывая все' сказанное, можно сформулировать следующую
теорему:
Если р — простое число, большее пяти, то многочлен р4—
5р2+4= (р—2) (р—1) (р+1) (р+2) делится на 360 = 2-32-4-5.
Можно было бы рассмотреть числа р—3, р—1, р, р+1, р+3,
где р — простое, большее трех, и прийти к теореме:
Многочлен р4—10р2+9 делится на 384, если р—простое чис-
ло, большее трех.
Вспомним теперь свойство целых чисел: если каждое из дан-
ных чисел делится на т, то сумма или разность этих чисел тоже
делится на т. Если pi и р2— простые числа, каждое из которых
больше трех, то, как было доказано, 24|(р2—1) и 241 (р%—1)
(знак | показывает, что 24 является делителем р?—1 и pj—1),
но тогда и 241 (р,—pf) и 24| (р2-+р|—2).
Все составленные нами задачи решаются тем же методом, что
и первоначально взятая задача, или сводятся к ней. Значительно
труднее, рассмотрев какую-либо задачу на плоскости, попытаться
найти аналогичную задачу для трехмерного пространства. В этом
случае нужна уже хорошая интуиция (умение догадываться) для
выбора задачи и в какой-то мере «счастливая случайность» (да-
леко не всякая задача нам пригодится!).
Рассмотрим, например, теорему Пифагора: сумма квадратов
катетов в прямоугольном треугольнике равна квадрату гипотену-
зы (а2+Ь2=-с2)' и постараемся! найти аналогичную теорему для
трехмерного пространства.
В трехмерном пространст&е кажется естественным рассмот-
реть тетраэдр, три ребра которого, исходящие из одной вершины,
взаимно перпендикулярны, и попытаться установить соотношение
между площадями трех его граней, содержащих прямые углы (Si,
S2, S3), и площадью (S<) четвертой грани (остроугольный тре-
угольник). Проведя соответствующие вычисления, мы придем
3 Заказ 6i
17
к соотношению: S’ 4-S|-i-Sf=S’ (решение см. [1, 1], гл. 2, §5).
Другие примеры планиметрических задач, которым можно
найти аналогичные стереометрические задачи, читател-ь может
найти в книге [VI, I] в § 6.
Смелая и далеко идущая аналогия может привести к матема-
тическому открытию. С помощью именно такой аналогии великий
® I I I
математик Леонард Эйлер доказал, что 2уг = 1 + T'i’T",=
Г =1
= -g-. Историю этого открытия читатель найдет в книге [1, 2], гл.
II, § 6.
§ 5. Один из подходов к решению трудной задачи
— Навстречу? — переспросила Роза.—
Так ты ее никогда не встретишь! Я бы те-
бе посоветовала идти в обратную сторону!
Льюис Кэрролл.
Алиса в Зазеркалье
В предыдущем параграфе мы рассмотрели пути со-
ставления задачи, аналогичной данной, но более сложной.
Рассмотрим обратный путь. Иногда поставленная задача
(проблема) оказывается настолько трудной, что не поддается ре-
шению. Тогда математики начинают пытаться решить или часть
этой задачи, или рассмотреть задачу более простую, но аналогич-
ную поставленной, или получить результат более слабый, чем
ожидается, или рассмотреть «предельные случаи» этой задачи.
Если удается сделать или то, или другое, или третье, то достига-
ется, как принято говорить, продвижение в решении основной за-
дачи. В конце концов и первоначально поставленная задача мо-
жет быть решена. Но бывает это далеко не всегда (прочитайте в
связи с этим главу 10. Проблема Варинга в книге [III, 4]).
При решении задач, доступных школьнику, может возникнуть
похожая ситуация. Предложенная задача покажется слишком
сложной, и придется искать подступы к ее решению. Рассмотрим
задачу:
На плоскости отмечено одиннадцать точек, никакие три из ко-
торых не лежат на одной прямой. Требуется построить одиннадца-
тиугольник, в котором данные точки служили бы серединами сто-
рон искомого одиннадцатиугольника (он может быть и самопересе-
кающимся).
Как принято при решении задач на построение, предположим,
что задача решена. Начертим на плоскости некоторый одиннад-
цатиугольник и отметим середины его сторон. Но как подойти к
решению задачи? Как установить связь между данными (точка-
18
Рис. 1-5а
ми — серединами сторон) й
искомыми (вершинами один-
надцатиугольника) ?
На первый взгляд не вид-
но никаких подходов к реше-
нию этого вопроса. Может
показаться, что и данных и
искомых «слишком много».
А нельзя ли решить сначала
задачу попроще? Отметим на
плоскости не одиннадцать то-
чек, а только три (не лежа-
щие на одной прямой)—Bi,
Bs, В3 — середины сторон искомого треугольника AiA2A3. Задача
в этом случае легко разрешима (рис. 1—5а). Решение ясно из ри-
сунка.
Возьмем теперь четыре точки, никакие три из которых не ле-
жат на одной прямой, и которые должны служить серединами
сторон искомого четырехугольника. Нам нужно будет вспомнить
теорему: середины сторон произвольного четырехугольника лежат
в вершинах параллелограмма (если мы эту теорему не знали, то
быстро ее нашли бы, сделав чертеж и пытаясь решить поставлен-
ную задачу). Отсюда следует вывод: если четыре отмеченные точ-
ки не лежат в вершинах параллелограмма, то задача решения не
имеет.
Возьмем теперь пять точек. Предположим, что задача решена,
пятиугольник А1Л2А3А4А5 — искомый (рис. 2—56), а заданные точ-
ки В\, В2, В3, Bt, В5. Постараемся свести решение этой задачи к
Рис. 2.-56
19
Рис. 3.-5в
рассмотренным выше случаям (треугольника и четырехугольника).
Проведем в нашем пятиугольнике диагональ, например, АгА5.
В треугольнике А1А2А5 известны середины двух сторон В] и В$.
Мы могли бы построить этот треугольник, если бы нам. была из-
вестна середина диагонали А2А5 (точка Ci). Но точка Ci является
серединой стороны четырехугольника Л2Л3Л4Л5 и служит верши-
ной параллелограмма В2В3В4С}, ее нетрудно построить. План ре-
шения задачи составлен.
После построения пятиугольника становится ясным, что стро-
ить семи- или девятиугольник нет необходимости, а можно сразу
приступить к решению первоначально заданной задачи. План это-
го решения ясен из рис. 3-5 в. Последовательно строим точки Ci,
С2 С3, С4, а потом по точкам В\, С4, Вн строим треугольник
Л1Л2Лц. Дальнейшее построение вершин одиннадцатиугольника
затруднений не вызывает.
Рассмотрим еще одну задачу.
На плоскости отмечены в некоторый момент времени две точ-
ки А и В и указаны векторы скоростей их прямолинейного и рав-
номерного движения (соответственно и и и) относительно точек
данной плоскости (рис. 4-5г). Определить: 1) Кратчайшее рас-
стояние, которое будет достигнуто (или достигалось в прошлом)
между точками А и В в процессе их движения. 2) Положение
точек Л и В на плоскости в тот момент, при котором эти точки
20
A
и
A
В
В
Рис. 4-5г
Рис. 5-5д
будут находиться (или находились ранее) на кратчайшем рас-
стоянии друг от друга. ,
Решение этой задачи, сформулированной в столь общем виде,
может вызвать определенные затруднения: слишком велико раз-
нообразие положений этих точек на плоскости и скоростей их дви-
жений. Кажется ' естественным рассмотреть сначала некоторые
частные случай из всего этого разнообразия. Вспомним: покой
есть частный случай движения! Рассмотрим такой частный слу-
чай, когда векторы скоростей движения данных точек, равны ну-
лю. Тогда расстояние между точками во все моменты времени ос-
тается неизменным, и это расстояние условно можно принять за
искомое.
Возникает вопрос: только ли при неподвижных (относительно
точек плоскости) точках А и В расстояние между ними остается
неизменным? Нет! Если точки А в В имеют равные векторы ско-
рости, то хотя по отношению других точек, плоскости
они движутся? но относительно друг друга они не-
подвижны, й ^расстояние между ними не меняется (рис. 5-5 д).
Отсюда сделаем важный вывод: к каждой из точек А н В можно
приложить по равному вектору скорости, и их движение от-
носительно друг друга не изменится.
Мы рассмотрели очень частный (предельный) случай предло-
женной задачи, но все-таки сделали, пусть очень небольшое, но
продвижение вперед.
Рассмотрим следующую по трудности частную зада!чу, когда
лишь одна точка, например, точка А, непддвижиа, а вторая (точ-
ка В) движется равномерно и прямолинейно со скоростью v.
В этом случае мы легко'определим кратчайшее расстояние между
2!
s.
3
Рис. 6-5e
V
Рис. 7-5ж
точками, опустив перпендикуляр из точки А на прямую, которую
описывает точка В при своем движении (рис. 6-5 е). Пусть этот
перпендикуляр — отрезок ЛВЬ его длина равна кратчайшему рас-
стоянию между двумя точками, и это расстояние достигается в
момент совпадения точек В и В\. Мы сделали еще одно очень
важное продвижение в решении первоначальной задачи.
Теперь можно будет объединить полученные выше результа-
ты для того, чтобы свести общую, первоначально предложенную
задачу к только что рассмотренной. Если, например, мы к точке
Лик точке В приложим вектор скорости, равный (—и), то их
движение относительно точек плоскости изме-
нится (точка А будет-неподвижной), но их движение отно-
сительно друг друга не изменится, и мы немедленно
сможем найти ответ на первый вопрос задачи: каково кратчайшее
расстояние между точками Л и В (рис. 7-5ж). Заметим, что точка В
двигалась относительно точек плоскости со скоростью t»+(—и).
Для нахождения этого кратчайшего расстояния выполним
следующие построения. Сложим векторы и и —и, получим нуль-
вектор, приложенный к точке Л, точка Л станет неподвижной от-
носительно точек плоскости. Сложим векторы v и (—и), получим
вектор v—и, который покажет, с какой скоростью точка В дви-
жется относительно точки Л (и точек плоскости). На прямую, про-
ходящую через точку В и направление которой определяет вектор
и—и, из точки Л опустим перпендикуляр ABt. Длина отрезка ABi
и дает нам наименьшее расстояние между точками Л и В, дости-
гаемое при их относительном движении.
Остается определить положение точек Л и В на плоскости в
тот момент, при котором эти точки находятся на кратчайшем рас-
стоянии друг от друга (рис. 8-5 з). Вектор ВВ\ — это вектор пу-
ти точки В при ее движении относительно точки А. Вектор BBi
равен сумме двух векторов: BB2=mv и В2В\—т(—и), где т — ко-
22
эффициент пропорциональности, имеющий физический смысл вре-
мени движения точки В относительно точки А, и следовательно,
времени движения точек А и В относительно точек плоскости от
момента отсчета до момента достижения наименьшего расстояния
между ними. Отложив от точки А вектор mu—AAi, а от точки В
вектор mv—BB2, мы получим точки At и В2, в которых будут на-
ходиться точки А и В в момент их наибольшего сближения. При
этом |ЛаВ2| = |ABif. На всех указанных выше чертежах момент
достижения точками А и В наименьшего взаимного расстояния на-
ступал после момента начала отсчета движения точек. Сделайте
чертеж так, чтобы момент их наибольшего сближения был бы до
момента отсчета.
История математики знает много примеров, когда решение
трудной задачи растягивалось на десятилетия, столетия и даже
тысячелетия. Во многих популярных книгах по математике упо-
минается о трех знаменитых задачах древности. Все эти задачи
являются задачами на построение, а древние греки, которые эти
задачи поставили, считали, что задачи на построение следует ре-
шать только с помощью циркуля и линейки (без делений), т. е.
с помощью проведения прямых и окружностей.
Эти знаменитые задачи можно сформулировать так:
1) Построить квадрат, равновеликий данному кругу (задача
квадратуры круга).
2) Разделить произвольный угол на три равные части (задача
трисекции угла).
23
3) Построить ребро куба, объем которого вдвое больше объе-
ма данного куба (задача удвоения куба).
Сотни математиков затрачивали много времени и труда на
решение этих задач, но успеха не имели. Только в XIX веке было
строго доказано, что решение этих трех задач с помощью циркуля и
линейки невозможно. Так что ответ на поставленные в этих задачах
вопросы оказался отрицательным, но отрицательный результат,
как любят говорить математики (да и не только математики), это
тоже результат. Но усилия математиков, затраченные на решение
этих нерешаемых задач, не пропали напрасно. Математики нашли
много разнообразных кривых, обладающих интересными свойст-
вами, с помощью которых указанные выше задачи можно решить
(например, ряд квадратрис, с помощью которых решается задача
квадратуры круга, ряд алгебраических кривых, с помощью кото-
рых решаются задачи трисекции угла и удвоения куба и др.). Все
это способствовало накоплению математических знаний, дальней-
шему развитию математики.
С глубокой древности математики стремились научиться ре-
шать любые уравнения, как говорится, в радикалах, т. е. выра-
жать корни уравнения через коэффициенты уравнения с помощью
четырех арифметических действий и извлечения корней.
Уже в Древней Греции математики научились решать уравне-
ния первой и второй степени с одним неизвестным. Следует отме-
тить, что решали они эти уравнения не так, как это делаем мы, а
с помощью геометрических построений. В дальнейшем математи-
ки затратили много усилий на нахождение метода решения куби-
ческих уравнений. Знаменитый поэт и математик средневековья
Омар Хайям (1040—1123), так же безуспешно пытавшийся найти
решение общих кубических уравнений, писал: «Может быть, кто-
нибудь из тех, кто придет после нас, узнает это». Но только в эпо-
ху Возрождения итальянским математикам удалось найти общие
методы решения кубических уравнений, а в дальнейшем и уравне-
ний четвертой степени. Это знаменитое открытие связано с име-
нами Сципиона дель-Ферро (1465—1526), Никколо Тартальи
(1499—1557), Джироламо Кардано (1501—1576). Очень красоч-
но драматическая история этого открытия описана в книге: Шере-
метевский В. П. Очерки по истории математики. М., Учпедгиз,
1940 (читается как математический детектив).
Воодушевленные этим замечательным открытием, многие ма-
тематики стали искать решения уравнений пятой,. шестой и более
высоких степеней. Даже великий Леонард Эйлер (1707—1783) ве-
рил, что решение уравнений степени выше четвертой в радикалах
вполне возможно. Только в 1824 году Нильс Хенрик Абель (1802—
1829) строго доказал, что общее уравнение пятой степени (следо-
вательно, и уравнения более высоких степеней) не имеет реше-
,24 . ;
ний в радикалах. Гениальный математик Эварист Галуа (1811—
1832, убит на дуэли) нашел необходимые и достаточные условия,
при наличии которых то или иное конкретное уравнение степени
выше четвертой разрешимо в радикалах, и положил начало тео-
рии, названной его именем (теория Галуа).
В указанных выше примерах поставленные в прошлом про-
блемы были математиками решены, но осталось еще мнрго пред-
положений (гипотез) о тех или иных математических соотношени-
ях, которые не доказаны и не опровергнуты. Их решение — дело
последующих поколений математиков.
§ 6. Обобщение задачи
Обобщение есть переход от рассмотре-
ния данного множества предметов к рас-
смотрению большего множества, содержа-
щего данное... Мы часто делаем обобще-
ние, переходя от одного лишь предмета к
целому классу, содержащему этот пред-
мет.
Д. Пой а ([1, 2] с. 34)
Если просмотреть какой-либо раздел реферативного
журнала по математике, в котором публикуются краткие содер-
жания появившихся в печати математических работ, то можно
убедиться, что весьма значительное их число посвящено обоб-
щению ранее полученных частных результатов. Бурный процесс
обобщения математических знаний и создание все более и более
абстрактных математических теорий начался в XIX веке и продол-
жается до сих пор (это, конечно, не значит, что до XIX века обоб-
щений не было, но сделанные до XIX века обобщения не приводи-
ли к созданию столь абстрактных теорий и концепций, которые
характерны для второй половины XIX века и, особенно, для
XX века).
Что значит обобщить ту или иную задачу? Для различных
математических задач это может выразиться по-разному. Если
была, например, доказана некоторая теорема относительно сово-
купности каких-то объектов, а в дальнейшем удалось доказать тео-
рему относительно большей совокупности объектов, и при этом
прежняя теорема оказалась лишь частным случаем новой теоремы,
то было достигнуто обобщение первоначально рассмотренной тео-
ремы.
Пусть для доказательства каких-то теорем мы использовали
некоторый метод доказательства, но для доказательства в чем-то
похожих (аналогичных) теорем этот метод не приводил к резуль-
татам, и удалось применить новый метод для успешного их дока-
4 Заказ 62
25
зательства, причем новый метод оказался применимым и к дока-
зательству ранее доказанных теорем, то мы скажем, что новый ме-
тод обладает большой общностью (часто говорят: новый метод
является более мощным по сравнению с прежним). Пример подоб-
ного рода мы рассмотрим в следующем параграфе.
В процессе развития математики многие математические по-
нятия претерпевали значительные изменения в сторону обобще-
ния, становились все более и более абстрактными (понятие чис-
ла, пространства, функции и т. д.). Первоначальные определения
многих понятий с более общей точки зрения оказывались неудач-
ными, их приходилось заменять, давать новые наименования
(конкретные примеры приводятся в следующем параграфе).
Обобщения могут быть сравнительно узкими и более широкими.
Очень широкие обобщения — плод усилий многих ученых.
При обучении в школе ученики неоднократно встречаются с
различными обобщениями. С одним из первых таких обобщений
школьник встречается при изучении буквенной символики. Напри-
мер, после решения некоторой числовой задачи ему предлагается
решить ее «в общем виде», т. е. заменить числовые данные зада-
чи буквами-символами, заменяющими произвольные (в разумных
пределах) численные значения входящих в задачу величин. Такая
замена — одно из простейших обобщений предложенной ранее за-
дачи с числовыми данными.
Как ни элементарно подобное обобщение, оно может повести
к некоторым интересным выводам. Например, мы находили стои-
мость всего товара ($), если были известны цена единицы товара
(а) и количество этих единиц (Ь), и получили формулу решения
задачи: s=ab. В дальнейшем, решая другие задачи, можно под-
метить, что эта формула отражает соотношения между совсем
иными объектами реального мира: путь, пройденный телом,—
скорость равномерного движения — время движения, площадь
прямоугольного участка — длина участка — ширина участка и т. п.
Оказалось, что формула s = ab имеет различные интерпретации.
Был сделан следующий шаг в обобщении первоначально рассмот-
ренной задачи.
Возможность различных интерпретаций математических со-
отношений имеет в современной математике большое значение.
Изучаемые процессы, например, в природе, описываются прибли-
женно некоторыми сложными уравнениями (дифференциальны-
ми). Желательно бывает узнать, как изменение некоторых факто-
ров может повлиять на природные процессы. В реальной природе
мы не можем что-то произвольно менять, поэтому строят с по-
мощью компьютера модель, соответствующую реальным при-
родным отношениям. На компьютере мы можем, в соответствии с
нашими задачами, менять интересующие нас факторы, изучать
26
поведение построенной моде-
ли и учитывать (пусть при-
ближенно) , каких последст-
вий можно ожидать в природе
при изменении тех или иных
факторов.
Рассмотрим теперь неко-
торые примеры сравнительно
узких обобщений. Вернемся к
теореме о том, что если р—
простое число, большее трех,
то выражение р2—1 делится
на 24. При доказательстве
этой теоремы было использо-
вано то обстоятельство, что
простые числа, большие трех,
нечетны и не делятся на три.
Но этим свойством обладают
не только простые числа. По-
этому можно сформулировать
следующую, более общую тео-
рему: если т — нечетное чис-
ло, не кратное трем, то выра-
жение пт2—1 делится на 24. На основании этой теоремы можно
утверждать, что 24|(652—1) или 24|(772—1). Первоначальная
теорема относительно простого числа р>3 является частным слу-
чаем последней теоремы. Конечно, это обобщение очень узкое и
малоинтересное.
Вспомним теперь хорошо всем известную теорему Пифагора
и попытаемся ее обобщить. Обобщение можно вести в различных
направлениях, рассмотрим некоторые из них.
1) На рис. 9—ба дан чертеж к одному из доказательств тео-
ремы Пифагора. Над прямоугольным треугольником АВС вме-
сте с квадратом ABBiAt, построенным на гипотенузе АВ, со-
вершен параллельный перенос параллельно стороне квадрата А\А
и на расстояние, равное длине А\А. Мы получили треугольник
А1В1Сз и квадрат А1В1ВА, равные первоначальным (докажите,
что точки Л1 и В1 будут лежать на сторонах (или их продолжени-
ях) квадратов, построенных на катетах). Докажите, используя
этот чертеж, теорему Пифагора. Обратите внимание на то, что от-
резок ССз равен и параллелен сторонам AiA и В\В квадрата
АВВ |Д
В этом доказательстве мы нигде не используем данных, кото-
рые говорят о том, что треугольник АВС — прямоугольный, а па-
раллелограммы, построенные на его сторонах, — квадраты.
27
Рис. 10-66
Отбросив эти неиспользованные нами данные, получим сле-
дующую теорему:
Если на двух сторонах треугольника АВС (рис. 10-6 б) постро-
ить два произвольных параллелограмма АСС1А2 и СВВ2С2 и
продолжить их стороны А2С1 и В2С2 до пересечения в точке Сз, и
на стороне АВ построить параллелограмм ВАА\В\, где отрезки
ЛЛ] и BBi равны и параллельны отрезку С3С, то площадь паралле-
лограмма, построенного на стороне АВ, будет равна сумме площа-
дей параллелограммов, построенных на сторонах АС и ВС. Эта
теорема была доказана еще Паппом Александрийским (III век
н. э.).
Хотя подобное обобщение представляется нам достаточно
прозрачным, прошло более 700 лет с момента доказательства тео-
ремы Пифагора, прежде чем оно (обобщение) было сделано.
2) Мы можем обратить внимание на то, что все три квадрата,
фигурирующие в теореме Пифагора, подобны между собой.
Вспомнив известную теорему о том, что площади подобных фигур
(если эти фигуры имеют площадь!) относятся как квадраты их
сходственных линейных элементов, мы получим следующую обоб-
щенную формулировку теоремы Пифагора; Если на сторонах пря-
моугольного треугольника построить подобные фигуры так,
чтобы стороны треугольника служили их сходственными линейны-
28
ми элементами, то площадь фигуры, построенной на гипотенузе,
равна сумме площадей фигур, построенных на катетах.
3) При рассмотрении записи теоремы Пифагора c2=-a2-i-b2
нас может заинтересовать прежде всего тот факт, что одна сторо-
на прямоугольного треугольника выражается через две другие
его стороны. Отыскивая аналогичную зависимость для сторон лю-
бого треугольника, мы можем прийти к теореме косинусов:
с2 = а2 + Ь2—2abcosC, частным случаем которой будет теорема Пи-
фагора при С=-у-,
Рассмотрим подробнее более сложное обобщение. Из курса
планиметрии нам известна теорема: медианы треугольника пере-
секаются в одной точке и в этой точке делятся в отношении 2:1
(считая от вершины). Попытаемся обобщить эту теорему. Что для
этого нужно сделать? Что нам известно из этой теоремы? Во-пер-
вых, то, что все три медианы пересекаются в одной точ-
ке, а во-вторых, то, что медианы в точке пересечения делятся в
отношении 2:1. Но в одной точке могут пересекаться не толь-
ко три медианы. Если взять произвольную точку в плоскости тре-
угольника (первоначально ограничимся внутренними точками
треугольника) и провести через нее из вершин треугольника пря-
мые, пересекающие стороны треугольника, и эта точка отлична от
точки пересечения медиан, то стороны треугольника уже не будут
делиться в отношении 1:1, а отрезки этих прямых от вершин тре-
угольника до точек пересечения с противоположными сторонами
также не будут делиться в отношении 2:1. Следовательно, нам
нужно найти: 1) условия (желательно, необходимые и достаточ-
ные) для того, чтобы три прямые, проходящие через вершины тре-
угольника, пересекались в одной точке, 2) определить, в каких от-
ношениях делятся отрезки этих прямых точкой пересечения (счи-
тая от вершины). Все отрезки будем считать направленными.
Можно, конечно, вспомнить, что в треугольнике в одной точке
пересекаются три биссектрисы внутренних углов, а также три
высоты. Но эти свойства биссектрис и высот временно не будем
рассматривать — оставим их для контроля: если мы найдем тео-
рему, обобщающую теорему о медианах треугольника, то теоре-
мы о биссектрисах и высотах окажутся частными случаями этой
общей теоремы. Кроме того, теоремы о пересечении биссектрис и
высот не помогут нам в выяснении п. 2) программы наших поис-
ков, т. к. нам неизвестно, в каких отношениях отрезки биссектрис и
высот делятся точками их пересечения.
Будем исходить из теоремы о свойствах медиан треугольни-
ка, постепенно изменяя положение точки пересечения так, чтобы
мы смогли вычислить нужные нам отношения отрезков. Рассмот-
рим следующие частные случаи: 1) Медианы треугольника,
29
Рис. 12-6г
2) Точка О — середина отрезка AAi медианы AAi (рис. 11-6в).
В этом случае нетрудно подсчитать, что ABi:BiC=i'.2, ACf.CiB=
= 1:2, BO:OBi=3:l, CO:OCi = 3:l, 3) Пусть точка Oi=AAt Л BiCi.
Проведем через эту точку отрезки ВВ2 и СС2. Найдем AOt:OiAi =
= 1:2, АВ2:В2С=1:4, АС2:С2В=1:4, BOi:O,B2=5:1, COi:OiC2=5:l,
4) AiN — средняя линия треугольника. O2=AiN П BBi (рис. 12-6г
выделен из рис. 11-6в). Найдем: ABf.BiC=4:2, ВДз:ЛзС= 1:3,
ВС3:С34 = 2:3, BO2:O2Bj = l:l, АО2:О2А3=2Л, СО2:О2С3=ЗЛ.
1) Можно убедиться, что во всех четырех рассмотренных вы-
ше случаях для отрезков на сторонах треугольника выполняется
следующее соотношение (нижние индексы у букв заменены штри-
хами):
АВ' СА' ВС' , /п
В'С ' А'В ' С'А ~1
Это соотношение справедливо и для биссектрис, и для высот
треугольника.
Используя рис. 13-6д докажите теорему: Если прямые ДА1,
ВВ\ СС1, исходящие из вершин треугольника АВС, проходят че-
рез внутреннюю точку треугольника и пересекают его стороны
АВ, ВС, СА в точках С1, А1, В1 соответственно, то справедливо со-
отношение (1). Докажите справедливость и обратной теоремы.
Теоремы можно распространить и на точки пересечения, ле-
жащие вне треугольника (в этом случае два отношения из равен-
ства (1) будут отрицательными), специально выделив случай,
когда все три прямые параллельны.
31
Прямую и обратную теоремы можно объединить в следующую
теорему: Теорема Че вы. Если три точки Л’, В1, С1 лежат со-
ответственно на сторонах ВС, СА, АВ треугольника АВС, то для
того, чтобы прямые ЛЛ1, ВВ{, СС1 пересекались в одной точке, не-
обходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение (1).
Прямые ЛЛ1, ВВ', СС1 называются чевианами.
Эту теорему Джовани Чева опубликовал в 1678 году, спустя
2000 лет после того, как была найдена теорема о медианах тре-
угольника.
2) Можно заметить также, что во всех четырех случаях, рас-
смотренных выше, отношение отрезков (считая от вершины) каж-
дой из чевиан было равно сумме отношений отрезков сторон тре-
угольника АВС, исходящих из той же вершины. Так, например:
АО _ АВ' , АС'
ОА' В'С "* С'В
Мы получили теоремуВан-Обеля.
Докажите ее самостоятельно, используя чертеж 13—6д.
Теорему Ван-Обеля можно также распространить на тот слу-
«ай, когда чевианы треугольника пересекаются вне треугольника.
3) Зададим вопрос: нельзя ли найти еще какие-либо соотно-
шения между отрезками, на которые делятся чевианы или стороны
треугольника? Рассмотрим рис. 14-6е, где AD — высота треуголь-
ника ABC, a OD{ — высота треугольника ОВС. Можно обратить
внимание на то, что сумма площадей треугольников ОВС, ОСА,
ОАВ равна площади треугольника АВС. Как это соотношение вы-
разить через отношения ранее рассмотренных отрезков чевиан?
32
Треугольник 45X7 Я. треугольник OB С имеют общее основание, сле-
довательно, их площади относятся как соответствующие высоты:
пл. д ОВС ОД1 л Л„
ял ^АВС^АД' подобия треугольников OA'D1 и AA'D найдем:
ОД1 ОАХ пл. д ОВС ОА1 _
Яд* = ЯЛ1’ откУДа получим: нГТдвс =лл» • Для ДВУХ осталь'
ных треугольников ОСА и ОАВ получим аналогичные равенства.
Складывая левые и правые части трех последних равенств, по-
лучим:
ОА‘ , OB' . ОС' ,
А А' ВВ' ф СС — 1
Мы получили первую часть теоремы Жергона. Вторую
часть теоремы Жергона докажите самостоятельно:
. 4?. _1—Д? . _|—с9„. —2 (31)
ДД1 Т ВВ' СС‘ z '
Теорема Жергона справедлива и для случая, когда точка пе-
ресечения чевйан лежит вне треугольника (в этом случае некото-
рые из слагаемых левой части равенств (3) и (З1) отрицательны).
Когда в треугольнике проведены чевианы, будем говорить, что
в треугольнике произошло явление Чевы.
Во многих случаях бывает удобным перенумеровать вершины
треугольника и обозначить их так: 4Ь Аг, Аз. Чевианы в этом тре-
угольнике будут: 4Г423, AjAis, 4э412, где точки Л23, 4i3, Ац ле-
жат соответственно на сторонах Л2Л3, Л]Л3, Л1Л2. Точку пересече-
ния трех чевиан обозначим через 4i23 (сделайте чертеж!). Точки
Л», Л2, 43, ,т. е. точки, в обозначениях которых имеется один ин-
декс* назовем п е р вы м звеном цепи Чевы, точки с двумя
индексами — вторым звеном цепи Черы, точки с тремя ин-
дексами—треть им.,звеном цепи Чевы.
Такая система обозначений . позволяет условие (1) теоремы
Чевы и условие (2) теоремы Ван-Обеля записывать более компакт-
но. Обозначим отношения отрезков сторон треугольника
через А.Ц (i^j=#k ч6^). Тогда условие (1) теоремы Чевы запишется
так: XtrXjk'Xu*!* (I1) или M2-X23-X3i=l. А теорема Ван-Обеля
для вершины Л1 запишется так: Xi,23=A.i2+M3 (21).
Примеры обобщения задач,, приведенные в этом параграфе, вы-
водились и доказывались с помощью элементарных методов, при-
меняемых в школьном? курсе математики, таких как равенство и
подобие треугольников, свойства .^параллельных прямых и т. п. В
более сложных случаях обобщения задач (теорем) приходится
изобретать особые, методы поиска и доказательства, обобщать ра-
нее введенные математические, понятия. Элементарный пример та-
кого. более сложного обобщения рассмотрен в следующем парагра-
фе.
4 2 Заказ 62
33
$ 7. Пример более широкого обобщения
Еще более удивительной оказалась судь-
ба того обобщения... которое было разви-
то в конце XIX в. главным образом под
мощным влиянием Вольтерра. Почему этот
крупный итальянский геометр стал опери-
ровать с функциями так, как в исчислении
бесконечно малых оперируют с числами,
т. е. рассматривать функцию как непре-
рывно меняющийся элемент? Только пото-
му, что он отдавал себе отчет в том, что
этот метод должен гармонично дополнить
структуру математического здания, точно S
так же,, как архитектор видит, что здание
будет лучше уравновешено, если приба-
вить к нему одно крыло...
То, что эти «функционалы», как назва-
ли это новое понятие, могут быть непос-
редственно связаны с действительностью,
нельзя было считать ничем иным, как не-
лепостыб... и вот произошла именно неле>
пость: столь мало понятное и трудно по-
•. стижимое новое понятие... оказалось аб-
солютно незаменимым, чтобы математи-
чески представить любое физическое яв-
ление.
* Ж. АДа мар ([1, 5] е. 121)
Рассмотренные в § 6 задачи позволили нам сделать
некоторые обобщения, но эти обобщения — сравнительно- узкие и
ограниченные. Более широкие обобщения сделать значительно
труднее. К ним, как правило, приходят после рассмотрения ряда
связанных между собою задач, путем последовательного прибли-
жения к более широкой задаче. Очень часто обращают внимание
на те ограничения, которые были наложены на условия первона-
чально рассмотренной задачи с тем, чтобы или освободиться от
этих ограничений или эти ограничения как-то ослабить.
Вспомним теорему: сумма внутренних углов выпуклого мно-
гоугольника равна двум прямым углам, умноженным на число
сторон без двух.
Обозначим число сторон многоугольника через л, а сумму
внутренних углов через 5П. Запишем содержание этой теоремы в
виде формулы: Sn=2d(n—2) или Sn=n(n—2).
Наш многоугольник образован замкнутой ломаной линией без
самопересечений (первое ограничение). Такая Линия делит плос-
кость на две области — внутреннюю и внешнюю. Именно поэтому
мы и выделяем внутренние углы, образованные звеньями нашей
ломаной, и отличаем их от невнутренних. Второе ограничение, на-
лагаемое на рассматриваемую ломаную, заключается в том, что
34
Рис. 16-76
многоугольник, ею., образованный, является выпуклым: если мы
проведем прямую через любое звено ломаной, то многоугольник
будет целиком расположен в одной из двух полуплоскостей, на
которые разделит плоскость эта прямая.
Попытаемся обобщить эту теорему.
Очень просто снять второе ограничение и рассмотреть много-
угольники невыпуклые, но без самопересечений (рис. 15-7а). В та-
ком многоугольнике внутренние углы могут быть и больше я (но
меньше 2л) в отличие от выпуклого многоугольника, где все внут-
ренние углы меньше л. Нетрудно убедиться (докажите это самос-
тоятельно), что сумма внутренних углов и этого многоугольника
также находится по формуле: 5п=л(л—2).
Труднее снять первое ограничение и рассмотреть самопересе-
кающиеся многоугольники.
Такое рассмотрение мож-
но начать со звездчатых мно-
гоугольников. Рассмотрим пя-
тиугольную звезду (рис. 16—
76). Прежде всего следует
установить, что следует пони-
мать под внутренним углом
такого многоугольника. Ведь в
этом случае . замкнутая лома-
ная не делит плос-
кость на две части — внутрен-
нюю и внешнюю.
Наша интуиция (догадка)
подсказывает нам, чтр внут-
ренними углами следует счи-
тать углы, отмеченные оди-
нарными дугами (рис. 16-76).
2*
35
Отложим пока решение вопроса об определении внутренних уг-
лов звездчатого многоугольника и постараемся найти сумму отме-
ченных углов пятиугольной звезды. Соединим вершины, например,
Л3 и Л5, отрезком и рассмотрим треугольник Л3Л4Л5, сумма углов
которого равна я. В эту сумму входят углы пятиугольной звезды
при вершинах Аз, А 4, А$ и еще углы 1 и 2. Но сумма углов 1 и 2
равна сумме угло'в при вершинах Л1 и Л2, так как угол 3 равен уг-
лу 4. Следовательно, сумма углов пятиугольной звезды равна я
или 180°.
Можно далее рассмотреть два вида семиугольных звезд
(рис. 17-7в и 18-7г). Как найти сумму внутренних углов (отмече-
ны дугами) этих звездчатых многоугольников?' Метод, которым
мы определили сумму внутренних углов пятиугольной звезды, в
случае звездчатых семиугольников применить уже труднее. Для
звездчатого семиугольника, изображенного на рис. 17-7в, после
некоторых выкладок, убедимся, что сумма углов, отмеченных ду-
гами, у этого семиугольника равна л. Для ‘ звездчатого семиуголь-
ника, изображенного на рйс. 18-7г, сумма отмеченных углов рав-
на Зя (найдите эти суммы самостоятельно).
Может возникнуть вопрос: если значительно увеличить число
вершин звездчатого многоугольника, то сможем ли мы найти сум-
му его внутренних углов тем методом, который мы применили к
пятиугольнику и семиугольнику? Интуиция (догадка) подсказы-
вает нам, что не сможем, т. к. трудности применения этого метода
существенно увеличиваются с увеличением числа вершин звездча-
тых многоугольников, и этот метод оказывается непригодным для
обобщения задачи. Нужно искать новый, более мощный метод.-
Но может быть, мы смогли бы добиться успеха, если бы дога-
дались, как вычислять искомую сумму углов в зависимости от
36
числа сторон и способа соединения отмеченных вершин много-
угольника? Рассмотрим рис. 18-7г. Если бы мы соединили отрез-
ками отмеченные точки — вершины многоугольника в следующем
порядке: ДИИгЛвЛзЛтЛМь то получили бы семиугольник без са-
мопересечений, и сумма его внутренних углов была бы равна
37=л(7—2)=5л.
Рассматривая рис. 18-7г, мы замечаем, что по сравнению с не-
самопересекающимся многоугольником Л1Л5Л2Л&А3Л7Л4, в нашем
звездчатом многоугольнике А1А2А3А4А5А6А7 вершины соединены
отрезками, так сказать, через одну, между вершинами Л1 и Ла в
несамопересекающемся многоугольнике лежит вершина А$, и пе-
реход от вершины Л] к вершине Л г совершается через два проме-
жутка (Л1Л5 и Л5Л2), а у звездчатого мйогоугольника, изображен-
ного на рис. 7в, переход от Ai к Л2 совершается уже через три
промежутка (ЛИв,'ЛвЛ«, Л4Л2). Если обозначить число промежут-
ков через k, то не будет ли верна формула: Зп=л(п—2k)? Эта
формула дает верные ответы для наших семиугольников (при
k=2), 37=л(7—2,2) =3л, при 6=3, 37=л(1,—2.3)= л, а для
пятиугольной звезды k—2 и 35=л (5—2.2) =л.
Но что-то мешает, нам радоваться полученному результату
даже в том случае, если бы мы смогли доказать его справедли-
вость. Уж очень, частного вида рассматривали мы самопересека-
ющиеся многоугольники. А-как быть, если мы получим замкну-
тую ломаную с очень «неправильным» расположением составля-
ющих ее звеньев (рис. 19-7д, 20-7е). Имеет ли смысл говорить в
этом случае о «внутренних углах», и если имеет, то как их вы-
делить, как определить?
..57
Начнем с наглядного образа. Представим себе, что мы про-
двигаемся по нашей ломаной, как по дороге, от пункта Л] к пунк-
ту Л2, от пункта Л2 к пункту Л3 (следовательно, отрезки Л1Л2,
Л2Л3 и т. д. мы будем считать направленными), В каждой верши-
не нашей ломаной нам встретятся два угла различной ориента-
ции, угол «слева» и угол «справа». Теперь нам нужно научиться
суммировать углы как одной, так и другой ориентации. В конце
концов мы можем прийти уже к следующему, более строгому рас-
суждению.-
Пусть на евклидовой плоскости дана замкнутая (возможно,
самопересекающаяся) ломаная, составленная йз п Направленных
отрезков at, а2...ап так, что в вершинах этой ломаной начало од-
ного направленного отрезка совпадает с концом предыдущего
(начало направленного отрезка, at совпадает с концом направлен-
ного отрезка ап). Направленный отрезок at и направленный отре-
зок —at-1 (1=2, 3,...п, если i=l, то принимаем i—1=п) образуют
два угла противоположной ориентации (переход от направленного
отрезка at к направленному отрезку —чхц относительно их обще-
го начала можно совершить или по часовой стрелке или Против
часовой стрелки). Углы одной ориентации будем считать положи-
тельными, а другой — отрицательными. Для определенности поло-
жим, что если указанный переход совершается против движения
часовой стрелки, то угол считается положительным. Отметим, что
сумма положительного угла и абсолютной величины отрицательно-
го угла при каждой вершине нашей ломаной равна 2л (рис. 21-7ж).
Выведем теперь формулы для вычисления: а) суммы всех по-
ложительных углов, б) абсолютной величины суммИ всех отрица-
38
тельных углов данной ломаной. В дальнейшем постараемся так оп-
ределить понятие внутреннего угла рассматриваемой ломаной, что-
бы выведенные формулы мдтцно было применить для вычисления
суммы внутренних углов фигур, для которых понятие внутреннего
угла интуитивно.оправдано (например, внутренних углов выпукло-
го или звездчатого многоугольников).
Найдем теперь сумму положительных углов нашей ломаной.
Присоединим к направленному отрезку «1 ориентированную пря-
мую так, чтобы направляющий вектор этой_прямой имел то же на-
правление, что и направленный отрезок at. Будем эту прямую
вращать вокруг конца направленного ртрезка at (вокруг вершины
нашей ломанойрдо-срвпадения направления нашей прямой с на-
правлением отрезка аг так, чтобы наша прямая описала угол по
абсолютной величине не больше л. Этот угол будем считать поло-
жительным или отрицательным, в соответствии с принятым ранее
соглашением. Нетрудно установить, что алгебраическая сумма
описанного таким образом угла и положительного угла между аг
и —at равна л. Совершим далее аналогичные повороты нашей пря-
мой вокруг остальных п—1 вершин нашей ломаной. При этом бу-
дем отмечать каждый момент совпадения направления нашей пря-
мой в процессе этих последовательных вращений с первоначально
отмеченным направлением at, а именно, если направление нашей
ориентированной прямой совпадает с направлением at тогда, когда
наша прямая описывает положительный угол, то ставим 4-1, а ес-
ли — отрицательный, то ставим —1. Вращение нашей прямой про-
водим до тех пор, пока прямая, повернувшись вокруг конца ап, не
совпадет с первоначальным направлением (рис. 22-7 з).
Сложив все поставленные единицы, мы получим целое число р
(положительное, отрицательное или нуль). Тогда алгебраическая
сумма всех углов, описанных нашей прямой, будет равна 2пр (это
утверждение для евклидовой плоскости справедливо). Так как сум-
ма всех положительных углов и углов, описанных прямой, равна
пп, то сумма положительных, углов (S+) будет выражаться фор-
мулой:
5+=лп—2лр=л (п—2р).
Повторив аналогичные рассуждения, мы получим формулу для на-
хождения абсолютной величины суммы Отрицательных углов (S-):
5_=л(п4-2р).
Эту формулу можно также получить, учитывая, что $+4-5~=2л«.
Определим теперь внутренние углы нашей ломаной как такие
.(из. входящих-в5+ или з5~), знак которых совпадает со знаком р.
39
Тогда их сумму (5),для р>0 найдем по формуле: S=n(n—2р),
а для р<0 по формуле: S—n(n+2p) =п(п—2|р|), которые мож-
но объединить в одну: 5п=л(п—2|р|). Поэтому, при подсчете сум-
мы внутренних углов замкнутых ломаных нет необходимости де-
лать различие между положительными и отрицательными углами,
а нужно только определить |'р |., Если р=0, то S+=S~=jrn, и по-
нятие внутренних углов для таких ломаных теряет смысл (или
можно считать, что любая из сумм дает нам сумму внутренних
углов). • -
Для ломаных, изображенных на рисунках, |р|=2 (рис. 76,
7г, 7д), |р|=3 (рис. 7в), (р|=0 (рис. 7е). Длй многоугольников
без самопересечений (в том числе выпуклых) |р| = 1, и мы полу-
чим знакомую формулу: Sn=л (п.—2).
Следует пояснить, почему в приведенном выше рассуждении
отмечалось, что плоскость, на которой рассматривается замкнутая
ломаная линия, — евклидова. Дело в том, что алгебраическая сум-
ма поворотов прямой, вокруг одной и той же точки на евклидовой
плоскости равна алгебраической сумме таких же поворотов пря-
мой, сделанных вокруг верйшн нашей ломаной, но это несправед-
ливо, например, для плоскости Лобачевского.
Следует отметить также, что проводя вышеизложенные рас-
суждения, нам пришлось заменить определение внутреннего угла
многоугольника (выпуклого), данное в школьном учебнике, дру-
гим, более общим определением, которое пригодно как для выпук-
лого многоугольника, тар и для любой замкнутой ломаной линии
40
(школьное определение внутреннего угла для произвольной замк-
нутой ломаной было уже непригодно).
Мы провели, как говорится, обобщение понятия внутреннего
угла.
§ 8. Интересные частные случаи (специализация)
Специализация есть переход от рассмот-
рения данного множества предметов к рас-
смотрению меиыпего множества, содержа-
щегося. в данном...
Очень часто мы производим специализа-
цию, переходя от данного класса предметов
к одному предмету, содержащемуся в этом
классе.
Д. Пойа ([1, 2], с. 35)
Обобщение задач, обобщение математических понятий
является одним из важнейших путей развития математики. Но в
некоторых случаях специальное рассмотрение частных случаев об-
щей задачи или частных случаев математических понятий имеет
определенный интерес.
В § 6 приводится пример обобщения теоремы Пифагора, дан-
ного Паппом Александрийским. Но общая теорема Паппа почти не
находит применения и не сыграла в развитии математики замет-
ной роли, а теорема Пифагора, хотя и является всего лишь част-
ным случаем теоремы Паппа, — одна из важнейших теорем элемен-
тарной геометрии, находит широкое применение.
В некоторых случаях между данными и искомыми величина-
ми в задаче общего характера существует сложная зависимость, и
решить эту задачу элементарными методами не удается, в то время
как частная задача этого типа имеет вполне элементарное и кра-
сивое решение. Рассмотрим, например, следующую задачу.
В треугольнике АВС известны углы. На стороне ВС этого тре-
угольника взята точка D так, что угол DAC равен а, а на стороне
АВ взята точка Е так, что угол АСЕ равен р(а#=₽)- Найти угол
ADE. Задача эта вполне определенная, но решить ее элементар-
ными методами не удается. Частные же случаи этой общей задачи
могут быть решены вполне элементарно. Рассмотрим, например,
следующую частную задачу этого типа:
Дан равнобедренный треугольник АВС. Углы ВАС и ВСА рав-
ны 80°. Из вершин А и С проведены две прямые до пересечения с
противоположными сторонами соответственно в точках D и Е. Угол
CAD равен 60°, угол АСЕ равен 50°. Определить величину угла
ADE (рис. 23-8а).
Решение. Проведем DF параллельно АС. Тогда угол FCA
равен 60°. Отрезки AD и CF пересекаются в точке О. Треугольники
6 Заказ 62
41
АОС и FOD равносторонние. Треугольник АСЁ — равнобедренный
(АС=АЕ). Треугольник АЕО — также равнобедренный (АЕ=АО),
подобный треугольнику BFD. Следовательно, треугольники EFD
и EOD равны по двум равным сторонам и тупому углу, и угол ADE
равен 30°.
Попытаемся теперь составить задачу, которая решалась бы тем
же способом, что и рассмотренная выше задача, но с измененны-
ми числовыми данными.
При решении приведенной выше задачи мы использовали то
обстоятельство, что треугольники АОС и OFD оказались равносто-
ронними, а треугольники AFO, BFD, ВЛ С —равнобедренными и
подобными. Но тогда, обозначив угол при вершине треугольника
ВАС через X, убедимся, что углы при его основании будут равны
Х+603 и, следовательно, Л=20°, а угол ДС£=50°.
Нам не удалось изменить числовые данные и составить задачу,
аналогичную данной с измененными числовыми данными, решае-
мую тем же методом. Наша конструкция, с помощью которой мы
решали задачу, оказалась слишком «жесткой» (два равносторон-
них треугольника, расположенные определенным образом относи-
тельно друг друга, равнобедренные треугольники, подобные дан-
ному и др.).
Но может быть, задачу можно решить другим способом? По-
стараемся это сделать. В приведенном выше решении прямая ED
оказалась биссектрисою угла в 60° равностороннего треугольника
ODF. Нельзя ли так дополнить наш чертеж, чтобы прямая AD ста-
ла такой биссектрисой? Предположим, что задача решена. Рас-
смотрим рис. 24-86. Треугольник EDO\ — равносторонний. Заме-
тим, что угол EAD равен 20°, т. е. составляет угла ВАС, и
|ЛО1| = |Д£| == |ЛС|. Все готово для окончательного решения за-
дачи.
Решение. Пусть AOt — биссектриса угла ВАС и Ot — точка
пеоесечения этой биссектрисы и окружности (А, |Л£|). Докажем,
что треугольник DEOi — равносторонний. Треугольник DEOt — рав-
нобедренный, т. к. | ED | = | DO\ |. Точка D лежит на биссектрисе
угла BAOlt и EOi-LAD. Проведем окружность (Oi, |Oj£|), заме-
тив, что |Oi£| = |OiC|. Пусть эта окружность пересечет прямую ВС
еще в точке D1 (на чертеже не указана), тогда треугольник Eb'Ot—
равнобедренный, т. к. |£Oi| = |OiD‘|. Но в построенной нами
окружности угол £££>' = 30°, а угол £О1£>1 — центральный, опираю-
щийся на ту же дугу, следовательно, угол EOiDl=QQ°, и треуголь-
ник EO\D{ — равносторонний, поэтому точка £>’ лежит также на
прямой AD, и DX=D. Отсюда получим, что угол £D4=30°.
Следует отметить, что в этом решении мы нигде не использо-
вали тот факт, что треугольник АВС — равнобедренный. Были ис-
42
В
в
в*
пользованы лишь следующие данные: 1) Z-ECD—3QP, 2) Z.EAD—
= j ZBAC. Можно предположить, что и другие задачи с. изменен-
ными числовыми данными возможно решить этим способом. Но
какие?
Пусть в треугольнике АВС: ХСАВ — а, /_СВА = $, ZACB=y,
Z.ECD—300, ZEAD — -^ti, Z_£AOi = ya, тогда получим (рис.
24-86):
п + ₽ + v = 180°, а=240°—2у, 240°—2у > 0.
-у +у—30°=90°, р=у—60°, у—60°>0 60°<у<120°.
При значениях у, лежащих в указанных пределах, решение но-
вой составленной задачи будет полностью соответствовать приве-
денному выше решению. Можно, например, составить следующую
задачу:
В треугольнике ABCZ.ACB—102°, АВС—42°, на стороне ВС
взята точка D так, что Z_CAD=27°, а на стороне АВ — точка
так, что ХАСЕ=72°. Определить Z.AED (ответ: 14Г).
Теперь мы можем составлять задачи, аналогичные первона-
чальной, но с измененными числовыми данными, лишь бы значе-
ния угла у лежали в указанных пределах.
А нельзя ли выйти за эти пределы? Может быть, в этом слу-
чае удастся получить какие-либо интересные результаты. Рассмот-
рим следующий полуинтервал изменений угла у:30°<у^60°.
1) у=60°. В этом случае а=120°, ₽=0, и треугольник АВС
вырождается в две параллельные прямые, пересеченные третьей
прямой. Решение задачи очевидно и интереса не представляет.
2) 30°<у<60°. В этом случае 120°<а< 180°, —30°<р<0.
Отрицательные значения угла р показывают, что наши прямые,
проведенные к третьей прямой под углами а и у, Не сходятся в той
полуплоскости, в которой мы строили эти углы, а расходятся, и точ-
ка их пересечения лежит в другой полуплоскости, относительно
третьей прямой. Рассмотрим конкретный пример: у==50°, ₽=—10’,
а=140° (рис. 25-8в). Для того, чтобы не рассматривать отрица-
тельные углы, сформулируем задачу следующим образом:
В треугольнике ABCZ_CAB=4Q°, ZAC£=130°. На продолже-
нии стороны ВС за вершину С взята точка D так, чю
Z.DAC—105°, на продолжении стороны В А за вершину А взята
точка £ так, что Z АСЕ=20°. Определить Z-ADE. Хотя чертеж 8в
отличается от чертежа 86 первоначальной задачи, метод решения
задачи тот же. Может представлять интерес и тот случай, когда
общая задача неопределенна, но при некоторых числовых значе-"
ниях входящих в нее величин можно получить вполне определен-
ный ответ на вопрос задачи.
44 ‘
Рассмотрим следующую задачу:
Со склада в два магазина отправили по ящику товара на рав-
ные суммы в каждом ящике. В каждый ящик положили по равно-
му числу килограммов конфет по цене 3 руб. за один килограмм,
но в первый ящик добавили конфет по цене 6 руб. за один кило-
грамм, а в другой —по 2 руб. за один килограмм. В двух ящиках
было всего 25 кг конфет. Сколько стоили все конфеты? Решим эту
задачу подробно. Введем обозначения:
Стоимость всех конфет — х.
Стоимость конфет по 3 рубля — у.
. Всего килограммов конфет по 3 рубля —.
45
Стоимость конфет по 6 рублей — 0,5 (х—у)
Всего килограммов конфет по 6 рублей---
Стоимость конфет по 2 рубля —0,5(х—у).
Всего килограммов конфет по 2 рубля----0,5
Составим уравнение:
У I 0,5 (х—у) , 0,5 (х—у) *_
3 + 6 + 2 —Л
У нас получилось одно уравнение с двумя неизвестными. А как
же составить второе уравнение с двумя неизвестными? Мы этого
сделать не можем: мы использовали все соотношения, указанные в
задаче. Но преобразуем уравнение — умножим все его члены на 12
и получим:
4//4-Х—z/4-Зх—Зу=ЗОО. х=75.
Хотя мы и получили ответ на вопрос задачи, но некоторая не-
определенность сохранилась. Так, например, мы не можем узнать,
сколько же было конфет каждого сорта. Возможно, что все конфе-
ты были по 3 рубля, возможен вариант, когда конфет по 3 рубля
не было совсем, а конфет по 6 рублей было 6,25 кг, а по 3 рубля —
18,75 кг, возможны и промежуточные варианты. Но ответ на воп-
рос задачи мы все-таки получили!
Чтобы выяснить вопрос о том, в каких случаях можно полу-
чить ответ на вопрос задачи, решим эту задачу «в общем виде».
В написанном выше уравнении заменим числа 3, 6, 2 соответствен-
но буквами и, v, t, приведем подобные члены и получим уравнение:
(“27+ “г?) 2о 2?)^=25
Мы получили неопределенное уравнение с двумя неизвестны-
ми. Ответ па вопрос задачи мы получим только тогда, когда коэф-
фициент при у будет равен нулю: —--------=0 или:
4(4 + 4)-
Мы получили формулу среднего гармонического
(величина С называется средним гармоническим положительных
величин а и Ь, если величина, обратная С, является средним ариф-
метическим для величин, обратных к а и Ь). Мы получили опреде-
ленный ответ на вопрос задачи только потому, что число 3 оказа-
лось средним гармоническим к числам 6 и 2.
Можно ли дать другую интерпретацию ранее полученному бук-
венному уравнению? Конечно, можно! В книге Льюиса Кэрролла
«История с узелками» (М.: Мир, 1973, с.- 11—14 и 63) приведен
рассказ «По холмам и долам», краткое содержание которого при-
46
ведено в Ответах в виде следующей задачи: «Два путешественника
выходят из гостиницы в 3 часа дня и возвращаются в нее в 9 ча-
сов вечера. Маршрут их проходит то по ровному месту, то в гору,
то под гору. По ровному месту путешественники идут со скоростью
4 мили в час, в гору — со скоростью 3 мили в час и под гору — со
скоростью 6 миль в час. Найти расстояние, пройденное путешест-
венниками с момента выхода из гостиницы до момента возвраще-
ния, а также (с точностью до получаса) момент восхождения на
вершину горы».
Решая эту задачу, мы получим уравнение, аналогичное ранее
составленным, и определенный ответ на вопрос задачи стал воз-
можным лишь потому, что число 4 есть среднее гармоническое
между числами 3 и 6. (Автор, зная задачу Кэрролла, придумал
свою интерпретацию). Придумайте свою интерпретацию, подра-
жая Кэрроллу!
Замечание. Среднее гармоническое двух чисел можно подби-
рать различными способами. Находить тройки целых чисел так,
чтобы они были близкими по величине, и одно из них было бы сред-
ним гармоническим к двум другим, можно, например, используя
свойства гармонического ряда: l-J-yf—3- + -3- +’••• В этом ряду
каждый его член, начиная со второго, есть среднее гармоническое
двух соседних членов. Возьмем первые три члена этого ряда и ум-
ножим каждое на 6. Получим: 6, 3, 2 — числа из задачи о конфе-
тах. Возьмем второй, третий и четвертый члены и умножим их на
12, получим 6, 4, 3 — числа из задачи о путешественниках.
§ 9. Неожиданный побочный результат
Ему казалось — на трубе
Увидел он Слона.
Он посмотрел —то был Чепец,
Что вышила жена.
И он сказал: «Я в первый раз
Узнал, как жизнь сложна».
Льюис Кэрролл. Сильви и Бруно
(Песня безумного Садовника)
Иногда бывает и так, что математик, занимаясь реше-
нием какой-нибудь проблемы, замечает такие математические соот-
ношения, которые он не ожидал найти, и которые лишь косвенным
образом связаны с рассматриваемой им задачей (проблемой). Воз-
можно, что такой случайный (на первый взгляд) результат полу-
чается не часто, но все же получается.
Вернемся к задаче о равнобедренном треугольнике из преды-
дущего параграфа, где мы убедились, что не можем придумать за-
дачу, аналогичную предложенной, решаемую первым методом.
47
Можно, конечно, этим и ограничиться, но неплохо вернуться еще
раз к решению первоначальной задачи и задать себе вопрос: а
нельзя ли извлечь из этого решения что-нибудь еще? Рассмотрев
еще раз рис. 8а, можно заметить, что отрезок ОЕ равен отрезку EF,
а длины этих отрезков можно выразить через длины сторон дан-
ного треугольника. Введем обозначения: АВ = ВС—а, АС=ОС=
= OA=AE=b, OD=DF=EF=c. Выразив длины отрезков ОЕ и
EF через а, Ъ, с, придем к соотношению: а3—За2&+Ь3=0. Послед-
нее равенство дает нам соотношение между сторонами равнобедрен-
ного треугольника с углом при вершине равным 20°. Можно пока-
зать, что это соотношение между сторонами — простейшее, если
принять условие, чтобы все коэффициенты, входящие в соотноше-
ние, являются целыми числами (если последнее требование не учи-
тывать, то можно, например, написать: Ь==2а Cos 80°). Теперь мы
сможем сформулировать следующую теорему: f
Если в равнобедренном треугольнике АВС АВ — ВС=а, AC=b j
и Х.АВС=20°, то между его сторонами имеет место соотношение:
a3 —3a2bA~b3=0, или более трудную задачу: *
Найти простейшее соотношение (с целыми коэффициентами)
между сторонами равнобедренного треугольника, если его угол при
вершине равен 20°.
Сформулировав последнюю задачу, мы должны задуматься
над вопросом о том, как будет решать эту задачу человек, не зна-
комый с построением, из которого мы исходили. Решим эту'задачу,
не опираясь на ранее сделанные построения. Прежде всего, можно
заметить, что угол треугольника при основании в 4 раза больше
угла при вершине. Это простое, соотношение наводит на мысль о
том, чтобы написать 2 соотношения между сторонами, в которые
входили бы тригонометрические функции углов 20° и 80°, а потом
воспользоваться соотношением: Cos 4x=8cos4x—8cos2x-|-l и ис-
ключить эти тригонометрические функции. После проведения этих
операций получим:
2а8—d’b—16а662 + 20а4&4-8а2&6 + Ь8=0
Это соотношение значительно отличается от найденного ранее.
Возникает предположение, что левая часть ранее найденного соот-
ношения является делителем левой части только что полученного
соотношения, и эту левую часть можно представить (после прове-
дения соответствующего деления) в следующем виде:
(аз—Зд2&4-&з) (2а5-|-5а4Ь—а3Ь2—5а263+&5) =0
Можно убедиться, что второй множитель нулю не равен, и мы
получим искомое соотношение между сторонами равнобедренного
треугольника с углом при вершине в 20°. (
Но возникает вопрос: могли ли мы догадаться, что полученный
нами однородный многочлен восьмой степени разлагается на мно-
48
жители, если заранее не знали, какое соотношение между сторона-
ми треугольника нам надо получить? Весьма маловероятно! Поэто-
му нужно считать, что предложенная задача довольно трудна для
решения.
Полученное нами соотношение между сторонами равнобедрен-
ного треугольника с углом при вершине в 20° лишь косвенным об-
разом связано с рассмотренной выше задачей, но нельзя сказать,
что мы нашли его случайно. Мы смогли его найти лишь после того,
как задали вопрос: нельзя ли извлечь из решения предложенной
задачи что-либо дополнительно? Если бы мы этот вопрое не поста-
вили, то, вероятно, прошли бы мимо возможности установить это
соотношение. Вот почему такие вопросы следует задавать себе по-
стоянно, решая ту или иную задачу.
Возможность получения неожиданных побочных результатов
при исследовании какой-нибудь математической проблемы была
подмечена, в глубокой древности. Такие побочные неожиданные
результаты доставались математику-исследователю как бы зада-
ром, без особого труда. Прокл (410—485 гг. н. э.) сравнивает их с
плодом, сбитым с дерева ветром, или с премией.
Современные математики также получают такие побочные не-
ожиданные результаты. Проф. А. М. Лопшиц в своей рецензии на
книгу «The Otto Dunkel Memorial Problem Book», являющугося
сборником избранных лучших задач из «Отдела задач» журнала
«Американский математический ежемесячник», пишет: «Возросла
степень участия в «Отделе задач» активно действующих математи-
ков, присылавших задачи, возникшие как «побочный продукт» их
научной работы».
Просматривая задачи, помещенные в ж. «Квант» в отделе
«Задачник «Кванта», можно заметить, что некоторые из них яв-
ляются сравнительно элементарно решаемыми задачами из таких
разделов современной математики как математическая логика,
различные разделы топологии, теории представлений и др.
. Приведем один пример такого неожиданного побочного ре-
зультата. Кандидат физико-математических наук И. Ш. Эпштейн
рассказывает:
«Занимаясь, геометрией четырехмерного пространства Лоба-
чевского, различными способами построения поверхностей в этом
пространстве, а также его моделями в трехмерном евклидовом
пространстве, я неожиданно получил результат, который означал,
что в евклидовом пространстве существуют восьмерки сфер, каж-
дая из которых касается шести других сфер.
Примером таких сфер могут быть сферы, заданные уравне-
ниями:
(х-1)2+(г/-1)2+г2=1 (г,)
(х+1)2+(у-1)2+г2=1 (г2)
40
(x—1)2+(z/4-l)2+z2= 1 (Z3)
(x+l)2-My+_l)2 + 22=l (Z4)
x2+i/2+(z—f2)2=l (z8)
х2+^2+(г+У2)2=1 (z6)
х2+«/2+г2=(У2—I)2 (z7)
x2+z/2+z2=(y2-j-l)2 (z8)
Например, рассмотрим первую (zi) и седьмую (z7) сферы.
Расстояние между их центрами 0>(1, 1, 0) и 07(0, 0,_0) равно
О1О7«У124-12=У2, и сумма их радиусов /?| = 1 и /?7 = У2—1 рав-
на У2, следовательно, эти сферы касаются. Так же проверяется
касание остальных пар сфер. Сферы z\ и z4 не касаются, т. к.
0104=У22 + 22 = 2У2, а сумма их радиусов равна 2.
Оказалось, что эти восьмерки сфер связаны с известным мно-
жеством окружностей, называемым прямым рядом Ивона Вилар-
со (см. Адамар Ж. «Элементарная геометрия», ч. II, Прибавле-
ние М. М., Учпедгиз, 1938)».
Познакомимся с этим множеством окружностей.
Под углом между двумя сферами понимают величину дву-
гранного угла между касательными плоскостями этих сфер, про-
веденными к ним в одной точке линии их пересечения. Замена-
ние. В излагаемой теории плоскость (прямая) рассматривается как
частный случай сферы (окружности), а именно как сферы (ок-
ружности) бесконечно большого радиуса.
Прямой ряд Виларсо можно получить следующим образом.
Возьмем в плоскости ХОУ какую-нибудь окружность а радиуса 7?
с центром в начале координат. Через окружность а проведем сфе-
ру ао того же радиуса R. Плоскость ХОУ обозначим р0, она пере-
секает сферу ао по окружности Io-
Через окружность а можно провести бесконечно много сфер
а¥ (в частности, плоскость ХОУ) с центрами на оси OZ. Это мно-
жество сфер называется пучком сфер. Через ось OZ проводим пу-
чок плоскостей £<р . Будем считать сферу а? и плоскость р<р соот-
ветствующими в этих пучках, если они образуют равные углы <р
соответственно с ао и р0- (В этих пучках предварительно нужно
установить положительное направление отсчета углов). Окруж-
ности пересечения соответствующих пар а? и р¥ образуют пря-
мой ряд Ивона Виларсо.
Некоторые свойства окружностей прямого ряда Виларсо.
1. Все окружности прямого ряда Виларсо попарно сцеплены.
Две окружности 1\ и /2 называются сцепленными, если плос-
кость одной из них (11) пересекает другую окружность (12) в двух
точках, из которых одна точка находится внутри первой окруж-
ности (11), а другая — вне ее.
50
Возьмем окружности /¥ и /ф. Они получаются от пересечения
плоскости р<р (Рр) и сферы ау (оф). Повернем плоскость 0ф во-
круг оси (OZ) до совпадения с плоскостью . Тогда окружность/ф
преобразуется в окружность . Окружности l f и пересекают
окружность а в одних и тех же точках А и В. Следовательно, ок-
ружности If и 1.^ пересекаются в точках А и В. Ось OZ проходит
через центры окружностей lf и /,^и пересекает их в точках С и D,
Е и F, причем одна из точек Е и F принадлежит отрезку CD, а
другая находится вне его. При вращении плоскости (Ц вокруг оси
OZ точки С, D, Е и F остаются неподвижными, т. е. одна из точек
Е и F находится внутри окружности 1-? , а другая вне ее. Значит,
окружности /т и /ф сцеплены.
2. Существует бесчисленное множество восьмерок сфер at
(/=1, 2, 3, ... 8), касающихся всех окружностей прямого ряда Ви-
ларсо, каждая из которых касается шести остальных сфер этой
восьмерки.
3. Геометрическое место точек касания окружностей 1Ч с каж-
дой из сфер Of (/=1, 2, 3, ... 8), представляет собою окружность.
$ 10. Наблюдения, индукция, вопросы жизни
Наблюдайте, обобщайте, доказывайте и
передоказывайте по-новому.
Д. Пойа ([1, 1], с. 103)
Нам не дано предугадать, как слово наше
отзовется.
Ф. И. Тютчев
Наблюдение, эксперимент и последующие индуктивные выводы
из них имели в развитии математики, особенно в древности, важное
значение. Археологические находки, расшифровка древних текс-
тов убеждают нас в том, что, например, в Древней Вавилонии ма-
тематические знания носили все признаки эмпирического, опыт-
ного происхождения. Среди расшифрованных глиняных табличек
некоторые содержат такие сравнительно сложные математические
факты, как тройки пифагоровых чисел. Но как же древние вавило-
няне смогли найти эти числа задолго до Пифагора? А. Н. Гусев вы-
сказал предположение, что первая тройка пифагоровых чисел (3, 4,
5) была открыта в Древнем Двуречье в процессе трудовой деятель-
ности. Свои кирпичи с квадратным (а не прямоугольным, как у
нас) основанием вавилоняне складывали в виде пирамиды с квад-
ратным основанием, в каждом предыдущем слое кирпичей сторо-
на квадрата содержала на один кирпич меньше. Нетрудно было
заметить, что число кирпичей в двух слоях, содержащих 9 и 16
кирпичей, было равно числу кирпичей в следующем слое (25).
Любознательный человек мог поставить вопрос о том, для каких
слоев наблюдается такое же соотношение, и найти другие трой-
ки пифагоровых чисел. Предположение о том, как в прош-
лом могло быть произведено то или иное открытие или рас-
суждение, называется реконструкцией.
Философы Древней Греции впервые стали систематически до-
казывать справедливость математических утверждений. Именно
им принадлежит идея выводить математические истины из немно-
гих положений, принимаемых без доказательств,— аксиом.
Но для того, чтобы найти те или иные математические соотно-
шения, они широко использовали наблюдения и неполную индук-
цию с тем, чтобы потом найденные соотношения уже доказать.
Примеры 'математических (открытий,1, сделанных таким путем,
можно найти в книгах по истории математики в древности.
В XVI—XVII веках наблюдения с последующей индукцией
все еще играли значительную роль в открытии ряда теорем, осо-
бенно в теории чисел. Некоторые из предположений, сделанных в
это время по индукции, не доказаны (или опровергнуты) до сих
пор, например, знаменитое предположение Гольдбаха-Эйлера о
том, что каждое четное число, более двух, можно представить в
виде суммы двух простых чисел, или так называемая Великая тео-
рема Ферма: Уравнение xn4-t/”=zn(n>2) неразрешимо в нату-
ральных числах.
Много примеров на применение в математике наблюдений и
неполной индукции для нахождения различных математических
соотношений (точнее — предположений о наличии таких соотно-
шений) можно найти в книгах известного математика Д. Пойа
[1.1] и [1,2].
В современной математике наблюдения с последующей не-
полной индукцией имеют небольшое значение, но путь к открытию
нового: сначала догадаться, а потом доказать — играет и сейчас
важную роль.
Наблюдение с последующей неполной индукцией может дать
основание к открытию сравнительно простых математических со-
отношений (но доказать которые бывает далеко не просто, а иног-
да и невозможно при современном состоянии математики), под-
сказать постановку ряда задач. Рассмотрим, например, треуголь-
ник Паскаля (рис. 26-10а). Расположение чисел в треугольнике
Паскаля на рис. 10 а несколько отличается от традиционного, ко-
торое, например, дано в брошюре [V, 3]. Таблица на рис. 26-10 а
устроена так: числа 0, 1, 2, 3, 4, .... помещенные выше и левее
Ь2
Треугольник Паскаля
О 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 14 15
О 1
I 1
2 1
3 1
4 1
5 I
6 1
7 1
8- 1
9 I
Ю 1
11 1
12 1
13 1
14 1
15 1
111 1111111111
2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 14
3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105
4 10 20 35 56 84 120 165 220 286 364 455
5 15 35 70 126 210 330 495 715 1001 1365
6 21 56 126 252 462 792 1287 2002 3003
7 28 84 210 462 924 1716 3003 5005
8 36 120 330 792 1716 3432 6435
9 45 165 495 1287 3003 6435
10 55 220 715 2002 5005
11 66 286 1001 3003
12 78 364 1365
13 91 455
14 105
15
1
15
1
Рис. 26-10а
двойной черты, служат для нумерации столбцов и строк таблицы
и в треугольник Паскаля не входят. В нулевом столбце и в нуле-
вой строке треугольника Паскаля стоят единицы. Каждое из чи-
сел, стоящих в остальных клетках таблицы, равно сумме чисел,
стоящих в двух соседних клетках: левее данной и над данной клет-
кой. Треугольник Паскаля обладает рядом замечательных свойств.
Например, в клетке, стоящей на пересечении столбца под номе-
ром k и строки под номером т, находится число, являющееся чис-
лом сочетаний из k+m элементов по k (или по т, т. к. С*+т=
= С*+т). Как известно, сумма биномиальных коэффициентов в
разложения бинома с показателем п равна 2“. В нашей таблице
эти коэффициенты расположены по диагоналям, идущим от еди-
ницы, стоящей в левом (нулевом) столбце вверх и вправо до еди-
ницы, стоящей в верхней (нулевой) строке. Рассматривая эти сум-
мы, мы получим последовательность: 2°=1, 21, 22, 23 .... Допустим;
мы получили задание: рассмотреть треугольник Паскаля с целью
нахождения других интересных сумм его чисел. Конечно, эти поис-
53
ки могут идти в различных направлениях. Будем, к примеру, сум-
мировать числа таблицы так: первое слагаемое — единица, стоя-
щая в левом (нулевом) столбце, второе слагаемое возьмем в со-
седнем столбце справа и выше на две строки и т. д. до тех пор,
пока такие слагаемые будут находиться (см. [1, 1], гл. 3, упр. 43).
Такое суммирование дает нам следующую последовательность,
чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 ... Мы получили замечательную последо-
вательность, называемую последовательностью чисел Фибоначчи
(см. [V, 4]). Первые два члена этой последовательности — едини-
цы, а последующие члены можно находить по рекуррентной форму-
ле ап+2=Пп+1 + «п. То, что наше суммирование дает именно последо-
вательность чисел Фибоначчи, можно доказать, исходя из свойств
сочетаний (докажите это самостоятельно).
Член-корреспондент АН СССР А. И. Ширшов в своей статье
«Об уравнении С^ = С^1 пишет: «К уравнению, указанному в
заглавии, я пришел, рассматривая 14-ю строку треугольника Пас-
каля: 1, 14, 91, 364, 1001, 2002, 3003, 3432, 3003, 2002, 1001, 364;
91, 14, 1». (см. [X, 1], 1977, № 4, с. 21). (Для нашей таблицы на
рис. 10а это будет 14-я диагональ).
Следовательно, исходным моментом рассмотрения и решения
данного уравнения было наблюдение, в результате которого
было подмечено соотношение: 1001 + 2002=3003. Далее
А. И. Ширшов от уравнения С’^ = С“Н711 переходит к уравнению
Сух~1=Су_1 (1) и доказывает следующую теорему:
«Все решения уравнения Су-1 = С^_, имеют вид: Xk=Y2k,Y2k+i;
«/k=Y2k-i-?2k; A=l, 2, 3,... (2), где уп=л-й член последовательнос-
ти Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, ...» В дальнейшем из (1) выводится
уравнение: (х—у +1) (х—у) =ху (3), которое и анализируется.
Еще три способа решения этого уравнения рассмотрены в зада-
нии 1,6.
Очень часто ученым в его исследовательской работе движет
простое любопытство. Недаром бытует шутка: «Ученый — это тот,
кто удовлетворяет свое любопытство за казенный счет». Любо-
пытство свойственно не только человеку, но и высшим животным.
Наш великий физиолог академик И. П. Павлов назвал это явле-
ние рефлексом «Что такое?» — исследовательским рефлексом. Ис-
следовательский рефлекс в высшей степени свойственен человеку,
особенно, как правило, тем, кто по роду своей деятельности занят
научными исследованиями, в том числе и математикам. Рассмот-
рим простенький пример.
Пусть нам дана трапеция ABCD, где AD и ВС — основания
трапеции (рис. 27-106). Из чертежа видно, что трапеция пересе-
54
кающимися диагоналями разделилась на четыре треугольника:
треугольники AOD и ВОС прилегают к основаниям трапеции, а
треугольники АОВ и COD прилегают к боковым сторонам трапе-
ции ABCD. Разве не любопытно узнать: каковы соотношения
между площадью трапеции и площадями полученных треугольни-
ков, между площадями треугольников? Если эти соотношения ме-
няются в зависимости, например, от формы трапеции, то какова
эта зависимость? А может быть, существуют зависимости, общие
для любых трапеций?
Возможно, что не сразу, но можно прийти к следующим вы-
водам:
1) Треугольники АОВ и COD равновелики (докажите!). Для
сокращения записи введем следующие обозначения: AD = a,
ВС=Ь, высота трапеции —Л, высота треугольника AOD—hi, высо-
та треугольника BOC—h2, h = hi + h2, площадь трапеции — S, пло-
щадь треугольника AOD — Si; площадь треугольника ВОС — S2,
площадь каждого из треугольников АОВ и COD — S3. Запишем
следующие соотношения: Si=-^-a/ii,S2 = -^- bh2, S3—-^-ah2=~; bhi
(это равенство выведите сами).
2) Найдем произведение: Si-S2—0,5ahi'0,5bh2=Q,5ah2-0,5bhi =
= 5з-5з=5з, или S3=ySi -S2. __ _____________ ____ ___
3) S=Si + S2+2S3= (yS?+yS2)2. Откуда: ys = ysi-j-ys^.
Все эти соотношения справедливы для любой трапеции.
Теперь мы можем сформулировать следующую теорему, со-
держащую три пункта:
56
Если в трапеции проведены две диагонали, разбивающие тра-
пецию на четыре треугольника, то:
1) Площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам
трапеции, равны между собою.
2) Площадь треугольника, прилежащего к боковой стороне,
есть среднее геометрическое между площадями треугольников,
прилежащих к основаниям трапеции.
3) Площадь трапеции и площади треугольников, прилежащих
к основаниям трапеции, связаны соотношением: yS = ySi-t-yS2.
Пункт 3) можно сформулировать и так:
3) Длина стороны квадрата, равновеликого трапеции, равна
сумме длин сторон двух квадратов, равновеликих треугольникам,
прилежащим к основаниям трапеции.
К сожалению, все эти соотношения известны уже давно.
Многие задачи, которые ставились и решались математика-
ми, вытекали из потребностей трудовой деятельности человека,
подсказывались практикой, жизнью. Первоначальные математи-
ческие знания, такие как счет, измерение длин, площадей, объе-
мов, свойства простейших геометрических фигур, были почерпну-
ты из опыта. Развитие техники, мореплавания и других видов
транспорта выявили потребность в математическом описании не-
прерывных процессов, что и привело к появлению дифференци-
ального и интегрального исчислений. Расширение средств связи,
возросший поток информации, усложнение процессов управления
И руководства производственной и общественной деятельностью
привели в настоящее время к появлению новых разделов матема-
тики, таких как теория информации, теория игр, математическая
логика.
Но вопрос о соотношении математики с жизнью, с практикой,
вопрос очень сложный. Для того, чтобы осознать необходимость
применения математики в той или иной сфере практической дея-
тельности, нужно быть очень хорошо подготовленным профессио-
нально, Вот почему этот вопрос в данной книге не рассматрива-
ется.
Вместе с тем можно указать на факты, когда математики,
изучая те или иные математические объекты, создавая новые ма-
тематические, теории, не видели путей практического применения
их изысканий, и только многие годы спустя эти изыскания оказа-
лись необходимыми при решении ряда вопросов практического
характера. Так, например, древнегреческие математики (особенно
Аполлоний) подробно изучили свойства некоторых кривых, так
называемых конических сечений (эллипс, парабола, гипербола),
но прошло около двух тысяч лет, прежде чем эти свойства получи-
56
ли практическое применение — оказалось, что космические тела
под действием силы тяготения движутся по этим кривым.''
Когда в середине XIX века закладывались основы математи-
ческой логики, математики, занимающиеся ею, не могли предпо-
ложить, что их труды могут иметь практическое применение, а
один из творцов этой новой математической?», тесэдии, Дж. Буль
прямо говорил, что вопросы, рассматриваемые им,' не* могут иметь
какого-либо1 .значения длц практики; Сейчас же ^математическая
логика служит теоретической ' обновой конструирования таких
весьма практических устройств, как компыртеры.^одобные при-
меры показывают, что взаимоотношения математики и практики —
очень сложный вопрос.
Часть II
ЗАДАНИЯ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ
РАБОТЫ
Введение. ПОЧЕМУ ЭТИ ТЕМЫ?
Никто не обнимет необъятного.
Козьма Прутков.
«Мысли и афоризмы», № 3
Выбирать — брать любое из многого.
Владимир Даль.
Толковый словарь
В первой части этой книги были рассмотрены неко-
торые виды творческой работы по математике, такие, например,
как рассуждение по аналогии, обобщение рассмотренной задачи,
обобщение математического понятия, сравнение различных мето-
дов доказательства, выведение предположений из наблюдений
(по индукции) и некоторые другие. Подобные умозаключения (но
не только они) часто встречаются в творческой работе матема-
тика. i
Чтобы лучше овладеть этими видами творческой работы,
нужно стараться применять их самостоятельно. В настоящей (вто-
рой) части этой книги и даются задания, которые, по мысли авто-
ра, позволяют подвести читателя к полностью самостоятельной
творческой работе.
Следует учесть также то обстоятельство, что эти задания мо-
гут быть выполнены иногда различными способами, вот почему в
разделе седьмом дается лишь один из возможных вариантов от-
вета, и читатель может выполнить некоторые задания существен-
но иначе, чем предлагает автор.
Часть вторая делится на семь разделов, которые в больший- (
стве случаев разбиваются на параграфы. В первых пяти разде-
лах предлагаются задания на различные темы, выбор которых обо-
снован ниже; в разделе шестом «Краткие указания» содержатся
«подсказки», на что следует обратить внимание при выполнении
58
заданий; в седьмом разделе даны примерные ответы на большин-
ство творческих заданий, помещенных в первых пяти разделах.
К- сожалению, ограниченный объем книги не позволил дать раз-
вернутых решений этих заданий, а также указаний к тем задани-
ям, тематика которых несколько выходит за рамки школьного кур-
са математики.
Задания нумеруются двумя числами: первое число — номер
раздела, в котором дано это задание, а второе — порядковый но-
мер данного задания. Рисунок обозначен тем же набором чисел,
что и задание, к которому этот рисунок относится. Если к зада-
нию дается несколько рисунков, то они различаются буквами, по-
ставленными после цифр номера задания.
В школьном курсе математики много разделов, и в каждом
из них можно найти темы для постановки проблем, вопросов, кон-
струирования новых задач и других упражнений творческого ха-
рактера. Но автор решил выбрать только те разделы, которые, по
его мнению, наиболее соответствуют поставленным целям. Твор-
ческие способности проявляются прежде всего в тех сферах жиз-
ни и труда, с которыми человек лучше всего знаком, с которыми
он сталкивается повседневно.
Школьник, -начиная с первого класса, знакомится с целыми
числами, продолжает их изучение и в последующие годы пребыва-
ния в школе. Поэтому в 1 разделе даются задания на некоторые
свойства целых чисел, а во II разделе рассматривается самый
мощный метод доказательства элементарной математики — метод
математической индукции. • -
В школьном курсе геометрии подробнее всего изучается тре-
угольник, поэтому в III разделе и даются задания на эту тему, а
в IV разделе некоторые теоремы геометрии на плоскости обобща-
ются для «-мерного пространства. Целесообразность рассмотре-
ния некоторых свойств геометрических объектов в пространстве
п измерений («>3) вытекает из того обстоятельства, что студент
(бывший школьник) слышит на лекциях изложение ряда матема-
тических теорий сразу для «-мерного пространства. Поэтому на-
глядно-интуитивное рассмотрение некоторых вопросов евклидова
«-мерного пространства является, по нашему мнению, полезной
пропедевтикой. В популярной литературе для школьников эта те-
ма уже нашла свое отражение (некоторые статьи в ж. «Квант»
и Др.). '
В V разделе приводятся немногие примеры неточных или не-
полных доказательств, нерациональных или неясных решений ма-
тематических задач, которые встречаются в литературе. Даются
они с целью развить у школьников критическое отношение к то-
му, с чем они встречаются при чтении различных математических
книг или статей. • • ? . • •
59
Раздел I. ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА
Der liebe Gott schuf die ganze Zahl, alles
ubrige ist Menschenwerk.
Kronecker L.
Послушайте, что смертным сделал я...
Число им изобрел и буквы научил соеди-
нять.
Эсхил. Прикованный Прометей
§ 1. Делимость
1,1. Доказать, что дробь несократима при любых на-
туральных значениях к.
1,2. Составьте аналогичную задачу.
1,3. Используя механизм выполнения предыдущих заданий,
сконструируйте дробь, относительно которой ставился бы вопрос,
отличный от вопроса задания 1,1.
1,4. Докажите, что равенство: 13а2+962= 10327 невозможно
ми при каких целых значениях а и Ь. Составьте аналогичную за-
дачу.
1,5. Выяснить, когда произведение п первых натуральных чи-
сел делится на их сумму.
§ 2. Диофантовы уравнения
1Д Диофантово уравнение (х—t/4-l)(х—у) =ху решить спо-
собом, отличным от способа, указанного в § 10 первой части этой
КНИГИ;
1,7. Подражая Д. и. Ширшову, рассмотрите треугольник Пас-
каля. Замеченные зависимости между элементами этого треуголь-
ника отразите в форме уравнений. Полученные уравнения рассор-
тируйте по трудности их решения: 1) решаются легче; 2) сравни-
мы по трудности решения; 3) решаются с большим трудом, чем
уравнение, рассмотренное А. И. Ширшовым. Решите некоторые из
этих уравнений самостоятельно.
1,8. В книге [V, 2-] с. 52 показано, что решение уравнения
х2+у2+1 =3ху дают пары чисел последовательности Фибоначчи,
находящихся на нечетных местах. Эти числа можно нахо-
дить из условий: Uie=a2=l, nn+2=Mn+i+«n. (Замечание: чтобы най-
ти первую пару этих чисел <1, 1>, нужно продолжить последо-
вательность чисел Фибоначчи влево на два числа; 1, 0, 1, 1, 2, 3,
5, 8...). Сконструируйте уравнение, все решения которого дава-
лись бы парами чисел Фибоначчи, стоящих на четных местах.
60
1,9, Сконструируйте диофантово уравнение второй степени с
двумя неизвестными, зная, что его целочисленные решения нахо-
дятся по формулам:
xn+i = —хп+2(/п + 2 .
f/n+i = 2xn + Зул+3
и кривая второго порядка, являющаяся геометрической интерпре-
тацией найденного уравнения, проходит через начало координат.
Определить вид этой кривой.
1,10. 1) Сконструируйте формулы, аналогичные тем, которые
даны в задании 1,9. Определите, какие условия следует соблю-
дать, чтобы эти формулы давали решения некоторого диофантова
уравнения в целых числах. Составьте какие-либо конкретные
формулы и установите дополнительные условия, чтобы эти форму-
лы являлись формулами для нахождения решений какого-нибудь
диофантова уравнения, и найдите это уравнение.
2) Составьте задание, аналогичное заданию 1,9 (геометриче-
ская интерпретация полученного диофантова уравнения — пара-
бола) .
3) Сконструируйте диофантово уравнение, геометрической
интерпретацией которого служил бы эллипс, и .которое имело бы
несколько решений в целых числах. Найти формулы, по которым
эти решения можно определить.
4) Сконструируйте диофантово уравнение, геометрической ин-
терпретацией которого является гипербола, но уравнение имеет
конечное число целочисленных решений.
5) Сконструируйте диофантово уравнение, геометрическая ин-
терпретация которого — две параллельные прямые, одна из кото-
рых проходит через целочисленные точки, а другая не проходит.
1,11. Укажите несколько способов нахождения бесконечного
множества решений диофантова уравнения:
2х2—2х+1=у2 (1)
в натуральных числах. Желательно найти все решения этого
уравнения в натуральных числах. Укажите геометрическую интер-
претацию этого уравнения.
1,12. Сконструируйте диофантово уравнение, аналогичное то-
му, которое рассматривалось в Задании 1,11, выполнив дополни-
тельные условия: а) последовательность, через члены которой бу-
дут выражены неизвестные исходного уравнения, должна отли-
чаться от последовательности, рассмотренной в Задании t 1,11,
в) уравнение должно быть несколько более сложным, чем'Урав-
нение, данное в Задании 1,11.
1,13. Докажите, что' решение в натуральных числах урав-
нения:
61
хг—6xt/+y2-i-2X—2t/=fc0 (1)
можно выразить через члены последовательности {а}:
1, 2, 5, 12, 29, 70, 169... (2)
где ап+2=2ап+1 + ап и at = l, а2=2.
2) Докажите, что таким образом можно найти все решения
уравнения (1) в натуральных числах.
3) Найдите все решения уравнения (1) в целых числах.
4) Найдите рекуррентные формулы, выражающие значения
пар <Хп+ь i/n+i> через значения элементов предыдущих пар —
решений уравнения (1).
1,14. Сконструируйте задачу, аналогичную той, какая дана в
задании 1,13.
1,15. Как известно, все решения диофантова уравнения:
x2+«/2=z2 (1)
находят по формулам:
х—2тп, у=т2—п2, г=т2+п2
где тип взаимно простые числа различной четности (т>п).
Рассмотрите вопрос: в каких направлениях можно обобщить
уравнение (1) и его решения?
1,16; Рассмотрите вопрос о том, нельзя ли использовать ре-
зультаты задания 1,15 при конструировании и решении диофан-
товых уравнений с двумя неизвестными, подобно тому, как это
сделано в заданиях 1,11 и 1,12.
§ 3. Разное
1;17. Исследуйте вопрос о возможном математическом соот-
ношении между суммой членов магического квадрата и определи-
телем, элементы которого совпадают с элементами магического
квадрата, содержащего натуральные числа от 1 до п2, где п — по-
рядок магического квадрата и порядок определителя.
Магический квадрат — это набор целых чисел, расположен-
ных в. форме квадратной таблицы так, что сумма чисел в каждой
строке, в каждом столбце и в каждой из двух диагоналей равна
одному и тому же числу.
Для составления магических квадратов (из натуральных чи-
сел от 1 до п2) существуют разные варианты правил. Одно из пра-
вил составления магического квадрата нечетного порядка (спо-
соб Москопула) сводится к следующему:
I) После того, как некоторая клетка заполнена очередным
числом, следующее число ставится в клетке, достигаемой шах-
матным конем, который восходит кверху и заворачивает свой путь
направо.
62
@42 @43 @44 @45 @41
@52 @53 @54 @55
а„ @12 @13 @14 @15 @11
@2t @22 @23 @24 @25 @21
@31 @32 @33 @34 @35 @31
^4/ @42 @43 @44 @45
@51 @52 @55 @54 @55
6 19 2 15 23
12 25 8 16 4
18 1 14 22 10
24 7 20 5 11
5 ' 15 21 9 17
2) Всякий раз, как эта клетка выходит за пределы основного
квадрата, она заменяется эквивалентной клеткой этого послед-
него.
3) Если бы по правилам 1 и 2 новое число пришлось бы по-
ставить в уже занятой клетке, то вместо этого нужно от последней
занятой клетки отсчитать четвертую клетку вверх в том же верти-
кальном ряду и в ней написать нужное число (если над клеткой,
от которой ведется отсчет, имеется менее четырех клеток, то от-
счет продолжается с клеток нижней строки).
4) Если п делится на 3, то за начальную клетку следует взять
среднюю клетку нижнего ряда. Если п не делится на 3, то началь-
ная клетка может быть выбрана произвольно. Приведем пример
магического квадрата пятого порядка и эквивалентных клеток,
его окаймляющих, и конкретного магического квадрата, построен-
ного по указанному выше способу (рис. 28-1,17а; 29-1,176).
Рассмотрев рис. 1,17 а, наблюдательный читатель уже, навер-
ное, вывел общее правило нахождения эквивалентных клеток: ес-
ли следующим ходом шахматный конь выйдет за пределы квадра-
та выше верхней кромки квадрата, то следует опуститься вниз
на п клеток, а если — правее правой кромки квадрата, то
следует сдвинуться влево на п клеток. Если клетка вне
квадрата будет находиться и выше, и правее кромок квад-
рата (имеется 2 таких клетки), то следует сделать оба эти
движения.
АЗ
Замечание. Изображенный йа рйс. 1,176 магический квад-
рат обладает дополнительными свойствами: если начинать с клет-
ки, расположенной у верхней левой вершины квадрата, то сумма
чисел, стоящих на местах оц, 052, «34, 025. будет равна тоже
65(6+13 + 20 +22-4-4), так же, как сумма чисел, стоящих на мес-
тах а21, 012, азз. Я44. О35 (12+19+21+3+10=65). Это утверждение
справедливо и по отношению к трем остальным вершинам квадра-
та. Такие магические квадраты называются сверхмагиче-
скими.
Представим себе, что наш (рис. 1, 176) сверхмагический квад-
рат начерчен на очень пластичном материале. Свернем его в круг-
лый цилиндр и склеим две его параллельные кромки, например,
левую и правую. При этом отрезки прямых, разделяющих строки
квадрата, превратятся в окружности (назовем эти окружности
«первыми»). Далее свернем наш цилиндр в «баранку» (тор) и
склеим две его остальные кромки, верхнюю и нижнюю. При этом
отрезки прямых, разделяющих столбцы, тоже превратятся в ок-
ружности (назовем эти окружности «вторыми»). Вся поверхность
тора будет разделена на 25 криволинейных клеток, в которых сто-
ят числа от 1 до 25. Эта система клеток на торе обладает сверх-
магическими свойствами: если взять любую клетку на торе и под-
считать сумму пяти чисел каждого из двух рядов (бывшие строка
и столбец), проходящих через эту клетку, а также суммы пяти
чисел, стоящих в клетках по «диагоналям» (т. е. в клетках, сопри-
касающихся вершинами, где заканчиваются диагонали этих кле-
ток— бывших квадратов), то мы получим одну и тужесумму — 65.
Превратим тор обратно в магический ('Точнее, в сверхмагиче-
ский) квадрат. Разрежем поверхность тора по одной из пяти од-
ноименных окружностей (например, «первых»). Это мы можем
сделать пятью способами. Разогнем тор в цилиндр. Далее мы мо-
жем разрезать цилиндр по одному из отрезков, в которые превра-
тились «вторые» окружности тора. Это мы Можем сделать пятью
разлйчйыми1 способами. Всего такие разрезания можно сделать
25 способами, И получить 25 различных сверхмагических квадра-
тов. Над этими квадратами можно будет произвести зеркальные
отражения и повороты на 90°, 180’, 270°. 1
1,18. Даны определители следующего строения: 1) На глав-
ной диагонали определителя стоят единицы. 2) На каждой строке
справа от каждой единицы, стоящей на главной диагонали, стоит
минус единица. 3) В столбце ниже каждой единицы, стоящей на
главной диагонали, стоит единица. Пункты 2 и 3 выполняются до
тех пор, пока имеются соответствующие места. 4) Все остальные
места в таблице определителя заняты нулями (рис. 30-1,18).
Найдите числовые значения нескольких определителей этого
типа, начиная с определителя первого порядка. Постарайтесь под-
64
метить закономерность в последо-
вательности полученных чисел.
Сделайте предположение. Докажи-
те справедливость этого предполо-
жения (перейдите от предполо-
жения к теореме).
1,19. В треугольнике Паскаля
обратите внимание на числа, рас-
положенные в квадрате, ограничен-
ном нулевой и к-той строками, ну-
левым и к-тым столбцами таблицы.
Сделайте соответствующее предпо-
ложение.
1,20. Докажите это предполо-
жение (перейдите от предположе-
ния к теореме).
1,21. Продолжите наблюдения.
Дайте более общую формулировку по сравнению с заданием 1,19.
1,22. Решите задачу:
Найти двузначное число, сумма цифр которого равна 10. Ес-
ли число десятков и число единиц этого числа уменьшить на 2 еди-
ницы, а у полученного числа число единиц увеличить вдвое, то по-
лучится число, равное половине искомого числа, сложенной с ут-
роенным числом единиц искомого числа.
1,23. Измените условие задачи из задания 1,22 так, чтобы
уравнение, составленное по условию сконструированной вами за-
дачи, было бы неопределенным уравнением с двумя неизвестными
(если задачу решать «в общем виде»), но которое имело бы опре-
деленное решение при некоторых соотношениях входящих в него
конкретных числовых величин.
1,24. Составьте самостоятельно аналогичные задачи с другим
«сюжетом».
Раздел И. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ
Вот лестница стоит на земле, а верх ее
касается неба.
Книга Бытия, гл. 29, ст. 12
Понимание и умение правильно применять
принцип математической индукции является
хорошим критерием логической зрелости,
которая совершенно необходима математику.
А. Н. Ко л моторов ([1, 8] с. 9)
Метод математической индукции — самый мощный
метод доказательства в арифметике. Чаще всего он применяется
для доказательства формул суммирования членов некоторой чис-
65
ловой последовательности, для доказательства некоторых число-
вых неравенств, при рассмотрении вопросов делимости и некото-
рых других. Этот метод часто изучается в школе на внеклассных
занятиях. При аксиоматическом построении арифметики в состав
аксиом включается и аксиома математической индукции. При вы-
полнении заданий этого раздела желательно прочитать какую-ли-
бо из первых двух книг, указанных в VI разделе списка литера-
туры.
$ 1. Суммы и произведения
ПЛ. Доказать: 2 1(1+1) =
l=i 3
II,2. Сконструировать аналогичную задачу.
11,3. Обобщить задачу 11,1.
Л 1
11,4. Доказать: g (5/_4) (5/+1) = 5п+1
11,5. Обобщить задачу 11,4.
11,6. Доказать: g “Щ+ТГД+гГ “ ~4 2(п+1) (п+2)
11,7. Обобщить задачу 11,6.
11,8. Сконструировать задачи, аналогичные 11,4, 11,6.
11,9. Доказать: 2 (-1)»+Ф= (-!)“+« V * (3)
i-i 1-1
11,10. Сконструировать задачи, аналогичные задаче 11,9.
11,11. Доказать: 2 S р= ”(п+П?2(п+2) (4)
Wl—l l = \
11,12. Сконструируйте задачи, аналогичные 11,11.
11,13. Докажите: П 2(2/—1) = П(и+/) (5)
z=i i=i
11,14. Составьте аналогичные задачи.
11,15. Составьте равенства (задачи), в которых бы встреча-
лись знаки П и 2.
§ 2. Неравенства
II, 16. Доказать неравенство:
(6)
66
11,17. Сконструируйте аналогичные неравенства.
11,18. Рассмотрите равенства в заданиях 11,4 и 11,5 и скон-
струируйте на их основе неравенства.
11,19. Рассмотрите равенства в заданиях 11,6 и II,7 и скон-
струируйте на их основе неравенства.
" 1
II, 20. Доказать неравенство: 2 —ti~ <2
z=i ‘
11,21. Можно ли сконструировать более сильное неравенство,
чем в Задании 11,20?
11,22. Сконструируйте неравенство, аналогичное неравенству
11,20.
11,23. Справедливо ли неравенство: 22п>п4?
11,24. Сконструируйте неравенство, аналогичное неравенству
11,23.
$ 3. Делимость
11,25. Доказать: 17| (2-52п+1+7-23п), где п — целое неотрица-
тельное число.
11,26. Составить аналогичные задачи.
11,27. Если п —целое неотрицательное число, то
36| (7п+30п+35).
11,28. Составить аналогичные задачи.
Раздел III. ТРЕУГОЛЬНИК
Природа говорит языком математики;
буквы этого языка — круги, треугольники и
иные математические фигуры.
Галилео Галилей
§ 1. Зависимость между углами и сторонами
III, 1. Вспомните теорему: если в треугольнике два угла рав-
ны, то противоположные им стороны тоже равны. Обобщите эту
теорему, не прибегая к тригонометрическим функциям.
III, 2. Решите задачу:
Показать, что существует единственный треугольник, длины
трех сторон которого — последовательные натуральные числа, а
один из углов вдвое больше одного из двух других углов. Составь-
те аналогичную задачу.
III, 3. Обобщите эту задачу для случая, когда один из углов
треугольника вдвое больше другого. Приведите примеры.
67
Ill, 4. Рассмотрите этот вопрос (о целочисленных сторонах
треугольника) при других соотношениях между углами треуголь-
ника.
III, 5- Вернитесь к заданию III,1. В каком направлении его ре-
зультаты можно обобщить?
111, 6. Для треугольника, в котором один из углов вдвое больше
другого, исследуйте вопрос о том, сколько существует таких тре-
угольников, длины двух сторон которых — последовательные на-
туральные числа.
§ 2. Разное
В § 6 первой части этой книги была выведена и доказана ши-
роко известная теорема Чевы:
Пусть А1, В1, С1 — три точки, лежащие соответственно на сто-
ронах ВС, СА, АВ треугольника АВС. Для того, чтобы прямые
ЛЛ1, ВВ\ СС1 пересекались в одной точке или были параллельны,
необходимо и достаточно, чтобы
АС' ВА' СВ1 . , ,
• -.-трг • -бгт =1 (все отрезки — направленные)
ClD п'А
Прямые ЛЛ"1, ВВ1, СС1 называются чевианами.
Замечание: в дальнейшем случай, когда чевианы парал-
лельны, т. е. пересекаются в несобственной (бесконечно удален-
ной) точке, не будем рассматривать.
111,7. Докажите самостоятельно теорему:
Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками ка-
сания вписанной окружности, пересекаются в одной точке, назы-
ваемой точкой Жергона.
III,8. Сформулируйте аналогичную теорему.
111,9. Докажите самостоятельно теорему:
Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками каса-
ния соответствующих вневписанных окружностей, пересекаются в
одной точке, называемой точкой Нагеля.
111,10. Сформулируйте аналогичную теорему.
111,11. Решить задачу:
В прямоугольном треугольнике АВС, катеты которого
|ЛС|=Ь, |ВС|=а, точки D, О, Е делят гипотенузу на четыре рав-
ные части (О — середина гипотенузы). ZDCE = a. Найти tga.
111,12. Обобщить эту задачу.
111,13. Решить задачу:
В треугольнике АВС сторона АС точкой В1 делится так, что
АВь.В1С=-2:\. На продолжении стороны СВ за точку В отложен
отрезок ВА1 = СВ. Через точки В1 и Л1 проведена прямая, пересе-
кающая сторону АВ в точке С1. Определить, в каком отношении
68
точка С1 делит сторону АВ. (Прямую, пересекающую стороны тре-
угольника или их продолжения, часто называют трансверсалью).
III,14. Обобщить задачу из задания 111,13.
111,15. Рассмотрите нижеследующую задачу, которую нельзя
решить элементарно. Постарайтесь найти такие частные соотно-
шения между ее данными, чтобы задача допускала элементарное
решение (проведите специализацию исходной задачи):
В треугольнике АВС известны его углы. На стороне ВС взя-
та точка D так, что Z.DAC=a, а на стороне АВ — точка Е так, что
ZECA — fi. Прямые AD и СЕ пересекаются в точке О. Определить
ZOBC.
111,16. Постарайтесь самостоятельно найти интересные случаи
специализации, подобные тем, которые рассмотрены в § 8 первой
части этой книги и в задании 111,15.
Раздел IV. МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Но живут, живут в N измереньях
Вихри воль, циклоны мыслей, те,
Кем смешны мы с нашим детским зреньем,
С нашим шагом по одной черте.
Валерий Брюсов.
Мир N измерений
§ 1. Вводные задания
IV, 1. В пространстве п измерений дано несколько то-
чек с целочисленными координатами, при этом середины всех от-
резков, концы которых — данные точки, имеют нецелочисленные
координаты. Найти максимальное число точек с указанными свой-
ствами.
IV,2. В n-мерном пространстве расположено т гиперплоскос-
тей так, что каждые п из них имеют общую точку, a n-i-1 такой
точки не имеют. Найти число областей, на которые эти гиперплос-
кости разбивают данное пространство.
IV,3. Обобщить понятие «куб» (от латинского слова «сц-
bus» — игральная кость) для n-мерного пространства. Установите,
из каких элементов различной размерности состоит n-мерный куб.
$ 2. Симплекс
В пространстве п измерений рассмотрим п-)-1 точек общего
положения Ait Аг, ........ Лп-ц, т. е. не принадлежащих ни одному
из подпространств п—1 измерения, а также совокупность прямых
(ребер), определяемых каждой парой точек ЛИ}, плоскостей, оп-
69
ределяемых каждой тройкой точек ЛЛ/lk и т. д. Совокупность
этих образов назовем n-мерным симплексом и обозначим 2п+ь
Далее на каждом ребре ЛИ] возьмем по точке Лц, не совпадаю-
щей с Ль Л]. Симплекс Sn+i с точками Лц назовем дополненным
симплексом и обозначим 2n+i.
Замечание: символы 2п-н и Sn+i не означают сумм каких-
то величин, а обозначают совокупность указанных выше образов:
точек, прямых, плоскостей и т. д.
Известна теорема:
Если в каждой из двумерных плоскостей граней ЛЛ]Лк прои-
зошло явление Чевы, т. е. прямые Л1Л]к, Л]Л1к и ЛкЛц пересеклись
в точке Лцк, то это обстоятельство является необходимым и доста-
точным условием того, чтобы явление Чевы произошло во всех
Л-мерных гранях (fe^n) симплекса (цепь Чевы), и в симплексе
2n+i существует точка Ат, —, п-+-1> обладающая следующим_свой-
ством: если симплекс Sn+i разбить на два подсимплекса Sp+i и
2q+i (p + q+2==n+l), и через последние звенья цепи Чевы под-
симплексов Sp+i и Sq+i, т. е. через точки Л1112 ... iP+i и Л |,(, ... iq+i
провести прямую, то точка Л12...П+1 будет принадлежать этой
прямой (случай, когда какая-либо из точек цепи Чевы — несобст-
венная, исключаем). См. [Х,3] в I.
Каждая точка Л^ делит отрезок ЛИ] в некотором отношении
Xij= (Xij=XJ71). Теорему Чевы для треугольника Л]Л2Л3
можно записать: Л^Лгз’Лзг31.
IV,4. Для симплекса S2+1 (треугольник Л1Л2Л3) известна тео-
з
рема Ван-Обеля: Л1,2з=%12+Мз или Ль 23= 2 Ли. Докажите эту
1=2
теорему самостоятельно (см. также § 6 из первой части этой
книги).
IV,5. Обобщите теорему Ван-Обеля на симплекс в п-мерном
пространстве.
IV,6. Найдите теорему, для которой теорема Ван-Обеля для
n-мерного симплекса была бы частным случаем.
IV,7. Докажите теорему Жергона (см. § 6 первой части кни-
ги), не используя понятий: высота, площадь.
IV,8. Обобщите теорему Жергона на n-мерный симплекс.
IV,9. В книге [VII,1] можно найти еще теоремы, связанные со
свойствами чевиан треугольника. Попытайтесь их обобщить на
n-мерный симплекс.
IV,10. В задании 111,14 рассмотрена теорема Менелая для тре-
угольника. Эту теорему также можно распространить на п-мер-
70
ный симплекс. Теоремы, связанные с теоремой Менелая для тре-
угольника, постарайтесь обобщить на n-мерный симплекс.
IV,11. Исследуйте вопрос: при каких условиях существует
сфера, касающаяся всех ребер тетраэдра (так называемая квази-
вписанная сфера, эту сферу можно назвать вписанной сферой пер-
вого порядка для 3-мерного симплекса).
IV,12. Обобщите результаты из задания IV,11 на п-мерный
симплекс.
IV,13. В заданиях III, 7, 8, 9, 10 рассмотрены теоремы о точке
Жергона и дополнительных точках Жергона, о точке Нагеля и до-
полнительных точках Нагеля в треугольнике. Исследуйте вопрос
о том, существуют ли (возможно, при каких-то условиях) анало-
гичные точки в тетраэдре.
IV,14. Обобщите результаты задания IV,13 на л-мерный симп-
лекс.
Раздел V. ТАК ЛИ ЭТО?
— Все неверно,— сказала Гусеница.
— Да, не совсем верно, — робко
согласилась Алиса.
Льюис Кэрролл.
Алиса в Стране чудес
Я видел однажды, как Лаплас пытался в
течение часа восстановить цепочку рассуж-
дений, скрытую им в его «Небесной меха-
нике» с помощью слов: «легко видеть, что...»
Био.
Научная и литературная смесь
Проводя доказательства тех или иных математиче-
ских утверждений, нужно быть очень внимательным. Можно ука-
зать случаи, когда виднейшие математики допускают в своих
рассуждениях ошибки. Достаточно сослаться на тот факт, что бо-
лее двух тысяч лет талантливейшие математики той или иной эпо-
хи пытались доказать пятый постулат Евклида, и некоторые из
них были уверены, что этот постулат они доказали, не замечая до-
пущенной логической ошибки.
Читая решения тех или иных задач в различных сборниках,
нужно критически подходить к этим решениям. Даже в пособиях,
принадлежащих математикам самой высокой квалификации,
встречаются неточности и ошибки. Объясняется это тем, что объ-
ем математических знаний очень велик, рассуждения, применяемые
при доказательстве того или иного положения, часто длинны и
опираются при этом на очень многие ранее рассмотренные факты,
71
и математику бывает трудно охватить их совокупность во всех
переплетающихся связях. Встречаются также малорациональ-
ные методы решения задач. Сравнительно редко можно встретить
такие случаи, когда выбор средств при доказательстве делается
без должной мотивировки, что затрудняет читателю понимание до-
казательства.
Ниже приведены некоторые примеры таких решений задач,
которые заслуживают критического к ним отношения.
V,l. В книге [11,5] с. 9 предложена задача:
50. Доказать, что из 26 различных натуральных чисел, не
больших 50, можно выбрать два, из которых одно в 2 раза боль-
ше другого. Верно ли это для 25 различных чисел, не больше 50?
Дано следующее указание к ее решению:
Рассмотрите 25 пар чисел (1, 2), (2, 4), (3, 6), ..., (25, 50) и
докажите, что среди любых 26 натуральных чисел от 1 до 50 не-
которые из этих пар содержатся целиком. Для 25 чисел утвержде-
ние задачи неверно, пример — числа 26, 27,... 50.
Решите эту задачу самостоятельно и сравните решение с ука-
заниями.
V ,2. Исправьте формулировку задачи.
V ,3. Обобщите задачу для произвольного натурального п.
V ,4. В книге [III,6] дана задача:
119. Можно ли на непрозрачной планете, имеющей форму ша-
ра диаметром D, расположить 8 станций наблюдения так, чтобы
любое космическое тело, приближающееся к планете, в тот мо-
мент, когда оно находится на высоте D над поверхностью плане-
ты, было видно по крайней мере с двух станций?
Решите эту задачу самостоятельно.
Рассмотрите первую фразу из решения, данного авторами
книги:
Можно: для этого достаточно и необходимо расположить эти
станции в вершинах вписанного в поверхность планеты куба.
Можно ли согласиться с этим утверждением?
V,5. Прочитайте внимательно следующий отрывок из книги
В. Серпинского (см. [V, 2] с. 21):
Докажем, что уравнение х2+х—2у=0 имеет бесконечное мно-
жество решений в натуральных числах х, у.
Для этой цели достаточно заметить, что х=1, у=\ есть реше-
ние этого уравнения, и что если (х, у) —его решение, то (и, v),
где u=3x+4y-i-\, v=2x+3y+\, также есть решение этого уравне-
ния. Потому что, как легко подсчитать, имеем
и2 + и-2и2= (Зх+4у+1) (3x4-4^4-2)-2(2x + 3i/+l)2=
=x2-f-x—2у.
(В дальнейшем операции, приведенные в этом отрывке, не
разъясняются).
Й
Какие вопросы к автору у вас возникли при чтении этого от-
рывка?
V,6. Рассмотрите решение одного неопределенного уравнения,
данное в книге [V, 2] с. 12. Насколько рационально это решение?
...Найдем в целых числах х, у, z все решения уравнения
бх+Юу—7z=ll (5)
Принимая z1 = —z, получим уравнение 6х + 10j/+7z1 = 11. Учи-
тывая, что 10=7+3, получим 6x4-7(y+z1) +3у= 11 и, полагая
y+zx=t, получим уравнение 6х+-7/-|--3«/= 11. Теперь учитывая,
что 7 = 6+1, получаем 6(х+/) +/+3z/= l 1 и, полагая x+t = u, по-
лучаем уравнение 6ы+£ + 3«/=11. Все рещения в целых числах
и, t, у этого уравнения получим, если для у и и будем назначать
любые целые числа и примем t= 11—Зу—би. А так как x+t=u,
то имеем х=у—t=3y4-7u=ll и далее, так как z* =—z и
y4-zi=t, то находим z=y—t=4y4-6u—11.
Все решения уравнения (5) в целых числах х, у, z содержатся -
в формулах
х=3у + 7и—И, z—4y4-6u—11,
где у и и — любые целые числа. Действительно,
6(3«/+7н—11) + 10^=7(4//+6u= 11) = 11.
Раздел VI. КРАТКИЕ УКАЗАНИЯ
Смотри в корень!
Козьма Прутков.
Мысли и афоризмы, № 5
1,1. Примените алгоритм Евклида.
1,2. Можно, например, составить задачу, в которой алгоритм
Евклида имеет не два звена, а три.
1,3. Рассмотрите случай, когда многочлены, стоящие в числи-
теле и знаменателе дроби, имеют общий делитель, отличный от
единицы.
1,4. Числа а и & могут быть четными и нечетными.
1,6. 1) Постарайтесь вывести рекуррентные формулы для на-
хождения новых значений неизвестных по ранее найденным зна-
чениям. 2) Если в уравнение (3) подставить значение какого-ли-
бо одного из неизвестных, то получим квадратное уравнение
относительно другого неизвестного и найдем еще одну пару — ре-
шение данного уравнения. 3) Попытайтесь свести решение уравне-
ния (3) к другому уравнению, решение которого известно.
1,8. Рассмотрите тройки последовательных чисел Фибоначчи,
73
стоящих на нечетных (четных) местах, и постарайтесь подметить
и доказать зависимость между этими числами.
1,19. Рассмотрите,
таблиц:
например, несколько таких квадратных
HI.
1, 1, 1
1, 2, з
1, з, 6
Что они напоминают?
11,1. Вспомните принцип математической индукции: если
предположение М(п), в котором п — натуральное число, истинно
при п=т, и из того, что оно истинно для числа n—k, где k — лю-
бое натуральное число, большее или равное т, вытекает, что оно
истинно для любого натурального значения п~>т. Следовательно,
для того, чтобы можно было применить принцип математической
индукции для доказательства какого-либо предложения о нату-
ральных числах, необходимо доказать две независимые теоре-
мы: А. Предположив, что утверждение М(п) справедливо для
n—k, доказать, что утверждение М(п) справедливо и для
n=k+l (п и k — натуральные числа). В. Доказать, что утвержде-
ние М(п) справедливо для некоторого значения п, при котором
справедлива теорема А.
Примечание. Во многих пособиях теоремы А и В доказы-
ваются в обратном порядке. Но в некоторых случаях, например,
при доказательстве неравенств, справедливых, начиная с некото-
рого £>1, указанный нами порядок более целесообразен.
11,2. Обратите внимание на следующие два обстоятельства:
1) В задаче 11,1 степень многочлена, стоящего в правой части ра-
венства, на единицу больше степени многочлена — n-го члена
суммируемой последовательности. 2) Если мы обозначим через
F(n) сумму п членов рассматриваемой последовательности, а че-
рез f(n)—n-й член суммируемой последовательности, то при до-
казательстве теоремы А нам встречалось равенство: F(n+1) =
= F(n)+f(n+l). Нельзя ли это равенство использовать для вы-
полнения данного задания?
11,16. Постарайтесь найти равенство, которое послужило осно-
вой данного неравенства.
11,20. Рассмотрите две возможности: 1) Можно ли найти по-
следовательность, с членами которой можно было бы сравнить
члены данной последовательности? 2) Нельзя ли применить при-
ем, который применялся в решении задания 11,1, хотя бы в изме-
ненном виде? 1
11,26 и 28. Примените метод неопределенных коэффициентов.
HI,1. Обратите внимание на то, что отношение /Л:ZB=1.
Ill,2. Используйте соотношения, полученные в решении зада-
ния III,1.
74
II 1,3. Как найти треугольники, один из углов которых вдвое
больше другого, а длины сторон — натуральные числа (не обяза-
тельно последовательные) ?
III,4. Найдите результаты, аналогичные результатам 111,3,
для других значений п (п — натуральное).
111,11. Пусть |СЯ|=Л — высота треугольника ABC. Z.HCD=$.
Выразить /g(a + p) двумя различными способами.
111,12. Разделить гипотенузу на 2п равных частей.
IV,! и 2. Рассмотрите сначала случаи: п=1 (прямая), п = 2
(плоскость), п = 3 (трехмерное пространство).
IV,3. Рассмотрите, что следует считать аналогом куба на
плоскости. Как из плоского «куба» с помощью движения получить
трехмерный куб. Что такое нульмерный куб? А одномерный? Как
их последовательно получать с помощью движения? Какие гео-
метрические элементы при этом возникают?
IV,6. Теорему Ван-Обеля для симплекса в n-мерном простран-
стве можно интерпретировать 'следующим образом: симплекс
Sn+i, в котором произошло явление Чевы, разбит на два подсимп-
лекса: первый подсимплекс состоит из. одной вершины (симплекс
So+i), а другой —из остальных п вершин (симплекс Sjk-n+i)-
В каждом из этих двух симплексов произошло явление Чевы, и
имеется точка — последнее звено цепи Чевы (в первом симплексе
это последнее звено вырожденной цепи Чевы есть точка — указан-
ная вершина первоначального n-мерного симплекса). Отрезок,
соединяющий две эти точки (последние звенья цепи Чевы в каж-
дом из подсимплексов), делится точкой — последним звеном цепи
Чевы данного n-мерного симплекса в некотором отношении (начи-
ная от вершины), и мы находим это отношение.
Раздел VII. ПРИМЕРНЫЕ ОТВЕТЫ
— Узелок, — сказала Алиса, — позвольте,
я помогу вам развязать его!
Льюис Кэрролл.
История с узелками
Многие задания допускают различные варианты их
выполнения. В таком случае в ответах стоит слово «Пример», и
дается один из возможных вариантов выполнения этого задания.
Если слова «Пример» в ответе нет, то задание имеет единствен-
ный ответ. Более простые, по мнению автора, задания ответов не
имеют.
1,3. Пример. Доказать, что дробь —сократима при неко-
торых значениях п. Найти эти значения п и определить число, на
75
которое эту дробь можно сократить при этих значениях п.
(«=436-1-16, 43).
1,5- Произведение п первых натуральных чисел не делится на
их сумму тогда и только тогда, когда п+1—простое нечетное
число. 1
1,6. Примеры. 1) При условии х>«/ можно записать следую-
щие рекуррентные формулы:
xn+i=8xn—Зуп+2
J/n-f-l = ЗХп—t/n + 1
2) Раскрыв скобки в уравнении (3) получим: х2 + у2—
—Зху+х—у=0 (4). Пара <0, 0> — очевидное решение уравне-
ния (4). Подставив в уравнение (4)х=0, получим уравнение
у2—у=0, корни которого 0 и 1, и вторую пару <0,1 > — ре-
шение уравнения (4). Подставив далее в уравнение (4)«/=1, по-
лучим уравнение х2—2х=0, корни которого 0 и 2, и третью пару
<2, 1>—решение уравнения (4) и т. д. Пары <0, 0> и <0, 1>,
<0, 1> и <2, 1> назовем «соседними». 3) Известны способы ре-
шения уравнения Пелля; t2—DS2=1(5), где D~ натуральное чис-
ло, не Являющееся квадратом. Привести уравнение (4) к уравне-
нию (5) одной подстановкой так, чтобы уравнение (5) охватыва-
ло все решения уравнения (4), не удается. Но три различные под-
становки при 0 = 5 дают возможность из решений уравнения (5)
получить все решения уравнения (4). Вот эти подстановки:
a) t=- 5g-^+g, S= x —нечетное, б) /= ,
S = 1—^+l , «/ — нечетное, в) /= .5х~25у+2 , s=j£+Z. х и у_
четные. Каждое решение уравнения (5) в натуральных числах
даст нам четыре решения этого уравнения в целых числах (кроме
тривиальных решений). Все эти решения уравнения (5) в целых
числах будем подставлять в наши подстановки а), б), в) и полу-
чим решения уравнения (4) в том случае, когда значения х и у бу-
дут целыми числами. Этот способ очень громоздкий и мало рацио-
нальный.
1,8. х2+у2—1=3ху.
1,9. х2—2ху+у2—2х+«/=0->(х—у)2—2x + t/ = o, (парабола).
1,10, 1) Пусть мы ищем рекуррентные формулы следующего
вида:
Хп+1=Лхп+В«/п+С
yn+i=Dxn+Eyn+F
где А, В, С, Di Е, F— целые числа.
76
Для того, чтобы формулы (1) давали бы решения некоторого
диофантова уравнения в целых числах, необходимо, чтобы соблю-
далось условие: |ДЕ=ВО| = 1 (2).
1,10, 2) Пример, (х—у—l)2-j-2t/—4 = 0. Парабола проходит
через точку (3, 2), и прямая у = 2 касается параболы в этой точке.
1,10, 3) Пример. (х + 2у—l)24-3(t/+1)2 = 4. Целочисленные
точки этого эллипса: (5, —1), (1, —1), (2, 0), (6, —2), (0, 0),
(4,-2).
1,11. 1) 2х2—2x-i-l = «/2->x2+ (х— 1)2 = «/2. х, (х—1), «/ — трой-
ка пифагоровых чисел. 2 варианта: а) х — 2тп, х—1=/п2—п2,
у = т2+п2, б) х — т2—п2, х—\=2тп, у — т2 + п2, т, п — натураль-
ные, m>n. п и т — два последовательных члена последователь-
ности {а}:0, 1, 2, 5 ..., где di = 0, а2 = 2, an+2 = 2an+i-t-«n- Получим
следующие пары — решения данного уравнения: (1, 1), (4, 5), (21,
29) .... 2) Подстановкой z/=x-j-z приведем наше уравнение'к виду,
к которому применим метод «соседних» решений. 3) Данное урав-
нение приведем к виду: (2х—I)2—2у2= — 1, 2х—1 = /, t2—2у2=—1,
разложим левую часть этого уравнения на множители:
(t+yl/2) (/—1/У2)=—1. Подставим вместо х и у их значения йз
первой пары (1, 1) и полученное числовое равенство (левую и
правую его части) будем возводить в нечетные последовательные
степени (третью, пятую...) и находить следующие пары — реше-
ния данного уравнения. 4) Воспользовавшись результатами 1),
выведем следующие рекуррентные формулы:
Хп+1 =3xn-j-2i/n—1, «/n+i = 4хп + 3«/п—2
1,12. Пример: 5х2—6х+ 1= «/2->«/24-(2х)2= (Зх—I)2. х=тп,
у=т2—п2, где т>п и т и п — члены последовательности
(рядом стоящие): 1, 2, 5, 13,34..В этой последовательности {а}:
ai = l, «2=21, ап+2=Зап+1—ап. Пары — решения данного уравне-
ния: (2,3), (10,21), (65, 144),... .
1,13. Все решения уравнения х2—6x«/ + «/2-i-2x—2у=0 имеют
вид: а) при х>«/, Xk = a2k-a2k+i, yk=a2k-a2k-i’, б) при х<у,
Хк = а2к-га2к-2, y—a2k-\'Ci2k- aq—q-й член заданной последова-
тельности.
1,15. Обобщить диофантово уравнение x2+y2=z2 (1) можно,
например, в следующих направлениях: 1) Рассмотреть диофанто-
во уравнение x2+y2=Dz2 (2). Для того, чтобы уравнение (2) име-
ло решение в натуральных числах, достаточно, чтобы коэффи-
циент D являлся бы суммой двух квадратов натуральных чисел.
Если, например, D = l2 + k2, то подстановками x=kp-\-lq, у— Ip—kq
мы сведем решение уравнения (2) к решению уравнения (1).
2) Рассмотреть диофантово уравнение Dx2+y2=z2(3). Пусть
77
D=ab. Положим x2=uv, г— , у=±.^-^— • Значения и и о
следует выбирать так, чтобы г и у были бы натуральными числами
и uv — квадрат натурального числа.
1,17. Сумма чисел магического квадрата нечетного порядка,
элементы которого — последовательные натуральные числа, начи-
ная с единицы, является делителем определителя того же поряд-
ка, элементы которого совпадают соответственно с элементами
данного магического квадрата.
1,18. Определитель n-го порядка, указанного в задании 1,18
строения, равен п+1 члену в последовательности Фибоначчи.
1,19, 1,20. Указанные квадратные таблицы можно рассматри-
вать как определители соответствующего порядка. Численное зна-
чение каждого из этих определителей равно единице.
1,21. Определитель, квадратная таблица которого «вырезана»
из треугольника Паскаля так, чтобы в этой таблице левый стол-
бец или верхняя строка состояли из единиц, равен единице.
1,23. Пример. Найти двузначное число. Если число (цифру)
десятков и число (цифру) единиц этого числа уменьшить на а еди-
ниц, и у полученного числа число (цифру) единиц увеличить в
b раз, то полученное число будет равно сумме половины искомого
числа и числа (цифры) его единиц, умноженного на а.
Задача определенна, если Ь=а+1, 0<а^З. При а=1, 2, 3,
искомое число соответственно равно: 24, 52, 84.
11,3. 2 /(НО..........(На) =-772 «(«+0............ОНа+1).
И 5 v___________!_____ — _
’ (а/—а+1) (а/4-1) “ ап+\ ‘
п 1 1 1
П 7 v___________1_____ ==?___-___________-______
Д z<z+0 ••• (z+fl) a'al a(n+l) ••• (Л+°) ’
2л i п 1
11,10. Пример.
II, 12. Пример. 2 2 fe+<2'~LL = ”(”+1H2”t1.). ,
11,14. Пример. 3«П(3/—2) (3/-0 =Д(2п+ДП («+/).
II, 15. Пример. П У /= •
т=1"1 2
11,17. Пример. 2 Л/+1 <2-
/=1
78
11,18. 2 (al—a+1) (az+l) < a *
n 1 1
П’19> 2 /(/+1) ... (l+a) < TeT '
11.21. Можно. Пример. 2 ~< •Ц‘«
Z—1
11,22. Примеры. 2 (2/—1)’ < ~4~ • S “ < 144 •
11,23. Справедливо при n>5 и при n=l.
11,26. Пример. 311 (5к+2+6®+1).
11,28. Пример. 144| (13“+132n—1).
111,1. В равнобедренном треугольнике отношение двух углов,
лежащих против равных сторон, равно единице. Можно попытать-
ся найти соотношение сторон в треугольнике, в котором отноше-
ние двух углов равно некоторому натуральному п=2, 3, 4, ....
В дальнейшем стороны такого треугольника будем обозначать че-
рез ап, Ьп, сп, а соотношение между ними через fn (an, bn, сп).
Выведем рекуррентную формулу: предположим, что нам из-
вестна fn-i (an—1, bn-i, cn_i), нужно найти fn (an, bn, cn) (рис. 31-
III, 1). Завершив этот вывод, получим: fn(an, bn, сп) =fn-x(a2a—b2,
baCn> впСп)- Опустив индексы у букв а, b, с, получим:
fi(a, Ь, с) =а—Ь=0. (11
f2(a,b,c)=a2—b2—bc=0. (2)
f3(a, b, c) = (a+b) (a—b^—bc2=O. (3)
и т. д.
79
111,2. 4, 5, 6. Аналогичная задача: Не существует треугольни-
ка, длины сторон которого — последовательные натуральные чис-
ла, и один из его углов втрое больше другого.
III, 3. Обобщение задания III, 2:
Найти треугольники АВС, в которых ZA = 2ZB, а длины сто-
рон— целые числа, такие, что наибольший общий делитель всех
трех этих чисел равен единице. Ответ: a = ml, b — m2, с — 12—т2, где
т и I — натуральные взаимно простые числа, и т<Л<2т.
III,4. Обобщение задания III,3:
Найти треугольники АВС с целочисленными сторонами ап, Ьп,
с,и если Z-A — nZ-B. Можно вывести следующие рекуррентные фор-
мулы:
iCn-i, Ьп=ап_ 1&п—1> cn=c^_j b2_। >
При п = 3 получим:
а3=/п(/2—т2), Ь3=т3, с3=1(12—2т2).
Как и в задании III,3, т и / — взаимно простые натуральные
числа, но т]/2<1<2т.
Конкретные примеры:
1) Найти целочисленный треугольник с возможно меньшими
сторонами, если один из его углов втрое больше другого. (Ответ:
10,8,3).
2) Найти хотя бы один целочисленный треугольник, в кото-
ром длины двух сторон — последовательные натуральцые числа,
а один из его углов втрое больше другого. (Ответ: 280, 125, 279).
111,5. Если в треугольнике АВС два угла, связаны соотношени-
ем: mZA = nZ.B, то можно ли найти соотношение между его сторо-
нами?
III,6. Бесчисленное множество. Примеры: (15, 9, 16), (104, 64,
105), (764, 441, 765).
111,8. Прямые, соединяющие вершины треугольника с точка-
ми касания вневписанной окружности, пересекаются в одной точ-
ке, называемой добавочной точкой Жергона.
111,10. Прямые, соединяющие вершины треугольника $ точка-
ми касания противоположных сторон с вписанной и двух вневпи-
санных окружностей, пересекаются в одной точке, называемой до-
бавочной точкой Нагеля.
111,11. tga=g-. (1)
111,12. В прямоугольном треугольнике АВС (угол С—прямой)
Гипотенуза точками Рь=А, Dlt D2,......D2n — B разделена на 2п
равных частей. Пусть Z.Dn-iCDn+i = a.
80
Доказать, что tg а = с2(4”г^п , (2)
где а и Ь — длины катетов треугольника АВС, а с—длина его
гипотенузы.
111,14. Теорема Менелая: Если на сторонах (или их продол-
жениях) АВ, ВС, СА треугольника АВС отмечены соответственно
точки С1, Л1, В1, то для того, чтобы эти точки принадлежали од-
ной прямой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотно-
шение (все отрезки — направленные)
ЛС В А' СВ1 _ .
С'В ' А'С * В1А~ 1 ' '
111,15. Пример: В треугольнике АВС |ЛВ| = |ВС|, углы при
вершинах Л и С равны 60°—а, а при вершине В—60°+2а, где
—30°<а<60°. На стороне ВС взята точка D так, что Z_DAC=a,
а на стороне АВ — точка Е так, что ZECA=30°. Прямые AD и СЕ
пересекаются в точке О. Определить ZOBC. (Ответ: Z_OBC=a).
Пример конкретной задачи. В треугольнике ЛВС углы при
вершинах Л, В, С равны соответственно 76°, 28°, 76°. На стороне
АВ взята точка Е так, что ЕСЛ =30°. Найти на прямой СЕ точку О
так, чтобы Х_ОАС= Z.OBC=£0°. (Ответ. Точка О лежит на пря-
мой СЕ вне отрезка СЕ за вершину С так, чтоZOAC= 16°).
IV,1. 2“
IV,2. Обозначим число плоскостей, на которое разбивается
n-мерное пространство т гиперплоскостями, через f(n, т). Тогда:
f(n, т) = С^+С' +С2 + С® 4-.......+С"
C£ — число сочетаний из trr элементов по «.
IV.3. Пустое множество обозначим через С-1. Будем считать,
что пустое множество входит в состав любого множества. «Куб»
нулевой размерности — это точка (С°), к которой следует присое-
динить пустое множество (С-1). Полный состав нуль-мерного ку-
ба обозначим С°. Поэтому можно записать: С°=С-, + С°.
Для того, чтобы получить одномерный куб, произведем сле-
дующие действия: удвоим имеющуюся у нас точку и одну из них
передвинем на расстояние а по прямой. Движущаяся точка, как
принято говорить, «заметет» отрезок длиною а (без конечных то-
чек). Этот отрезок с двумя точками (его концами) и присущим
ему пустым множеством обозначим через С1. Следовательно, сос-
тав одномерного куба можно записать так:
С1 = С-'+2С°+С1
Двумерный куб мы вновь построим с помощью движения. По-
строенный ранее отрезок с двумя его концами удвоим и один из
81
них переместим перпендикулярно оставшемуся отрезку на рас-
стояние а. При этом каждая из точек «заметает» (автор считает,
что лучше сказать «порождает») новый отрезок (без его концов),
а отрезок а «заметает» (порождает) внутреннюю область квадрата
(без его границ). Эту внутреннюю^область обозначим через С2.
Полный состав двумерного куба (С2) — квадрата мы можем запи-
сать так: __
С2=С-1 + 4С°+4С1+С2=С-1+(2С°+С1)2
В последнем равенстве мы с верхними индексами у буквы С
совершили действия так, как будто эти индексы — показатели сте-
пени. Конечно, эти действия совершаются чисто формально, они
позволяют состав куба записать компактнее.
Раздвоив все элементы двумерного куба (квадрата) и совер-
шив движение одного квадрата перпендикулярно плоскости не-
подвижного квадрата на расстояние о^мы получим трехмерный
(обычный) куб, и его полный состав (С3) можно записать так:
С3=С’1+8С +12С+6С2+С3=С-1 + (2С°+ С1)3
Полный состав n-мерного куба (Сп) можно записать так:
С“=С_,+(2С°+С1)П
Формулу эту можно доказать, применяя математическую ин-
дукцию по числу измерений.
IV,5. Теорему Ван-Обеля для «-мерного симплекса можно за-
писать так:
л-М
A.fc, 1,2, .'.ЦЛ-1)(й+1);.'.(п+1)= 2 (Л=^о (I)
Z-1
IV,6. Если из n-мерного симплекса выделить подсимплекс, со-
держащий р+1 точку (р<«), то оставшиеся п—р точек образуют
второй подсимплекс. В каждом из этих двух подсимплексов име-
ется точка — последнее звено цепи Чевы. Прямая, проходящая че-
рез эти две точки, проходит также через точку — последнее звено
цепи Чевы для n-мерного симплекса. Обозначим через
>,(1, 2,.... (р+1)) ((р+2) ... («+1)) отношение, в котором
делится отрезок, концами которого являются конечные точки цепи
Чевы первого и второго подсимплексов, точкой, являющейся по-
следним звеном цепи Чевы «-мерного симплекса. Тогда можно на-
писать формулу:
л+1
* Р^-2*’к*
Х(1; 2, : (р+1)) ((р+2 (п+1))= —р“| -- (2)
1=1
82
Если первый подсимплекс является одной точкой (Л»), то:
р—0, и наша формула (после некоторых преобразований) дает за-
пись теоремы Ван-Обеля для симплекса.
Если все чевианы являются медианами соответствующего по-
рядка, то медиана, соединяющая центроиды подсимплексов, со-
держащих р+1 и п—р точек, делится центроидом «-мерного симп-
п—р
лекса в отношении _ , , .
Р+«
IV,7. Можно доказать теоремы Жергона, используя теорему.
Ван-Обеля.
IV,8. Если в «-мерном симплексе произошло явление Чевы,
то справедливы следующие равенства, являющиеся обобщением
теорем Жергона:
Л12 ... (п + 1)А12 ... <fc—П (h.4-1) ... (п+1) _ |
А*А|2 .. .(*-!)(*+!) ... (п+1)
J^.^+1)---------- =П (2)
Л*Л12 ., . (*-1) (*+1) . . . (п+1)
Равенства можно доказать, используя теорему Ван-Обеля для
симплекса.
V,I. Утверждение задачи неверно. Опровергающий пример: 1,
3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43,
45, 47, 49, 4, 12, 20, 28, 36, 44, 16, 48.
V,2. Исправленная формулировка задачи:
Доказать, что из 34 различных натуральных чисел, не боль-
ших 50, можно выбрать два, из которых одно в два раза больше
другого. Верно ли это для 33 различных натуральных чисел, не
больших 50?
V,3. Доказать, что изт+1 натуральных чисел, не превышаю-
щих п (где т = +...+ .*=0, 1,2, ...; 22k<«),
можно выбрать два, из которых одно в два раза больше другого.
Верно ли это для т натуральных чисел, не превышающих «?
V.4. План решения задачи: 1) Доказать, что для того, чтобы
тело можно наблюдать хотя бы с одной станции наблюдения, не-
обходимо и достаточно эти станции расположить в вершинах пра-
вильного тетраэдра, вписанного в поверхность планеты. 2) Для то-
го, чтобы тело наблюдалось одновременно с двух станций, необ-
ходимо и достаточно иметь 2 таких набора по 4 станции, но от-
носительно друг друга эти два набора могут
быть расположены произвольным образом. Вы-
вод: расположение станций наблюдения в вершинах куба, впи-
83
санного в поверхность планеты, является достаточным условием,
но не будет условием необходимым.
V,5. Возникает вопрос: откуда взял автор подстановки:
ы=Зх+4#+1,. о=2х+3у+1? Постарайтесь самостоятельно найти
эти подстановки.
V,6. Предложенное В. Серпинским решение мало рациональ-
но и содержит совершенно ненужные операции. Так, совершенно
излишне вводить zl =—г. Учитывая, что 7=64-1, достаточно вве-
дение лишь одного нового неизвестного: и—х—z. Получим уравне-
ние бы+10#—2=11. Следовательно, все решения данного уравне-
ния в целых числах х, у, z содержатся в формулах:
г=6и+10//—11
х = 7и+10//— 11
где и и у — произвольные целые числа. Проверку сделайте са-
мостоятельно.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1. Разъяснения
к некоторым заданиям
Как уже указывалось в предисловии, для выполнения большей
части предложенных заданий достаточно хорошего знания школьного курса ма-
тематики. Для выполнения некоторых заданий следует ознакомиться с теми по-
пулярными, предназначенными для школьников книгами, которые указаны в раз-
делах V, VI, VII и VIII списка рекомендуемой литературы. Если какой-либо из
указанных книг не окажется в распоряжении школьника, то каждая школьная
библиотека может эту книгу выписать во временное пользование по межбиблио-
течному абонементу (МБА) из областной библиотеки.
При выполнении заданий 1,17; 1,18; 1,19; 1,20; 1,21 потребуется знание
свойств определителей, а для выполнения задания IV, 22 — дополнительно знание
о применении определителей к решению систем линейных уравнений. Все эти
сведения можно найти в любом справочнике по высшей математике.
В заданиях 1,9; 1,10; 1,11; 1,12 включено требование определить геометриче-
скую интерпретацию приведенного в задании неопределенного уравнения с двумя
неизвестными (эти уравнения в указанных заданиях — диофантовы уравнения).
Геометрические интерпретации некоторых неопределенных уравнений пер-
вой и второй степени с двумя неизвестными изучаются в школе. Так, в школе
изучается график (прямая линия) линейной зависимости, — а это и есть гео-
метрическая интерпретация неопределенного уравнения первой степени с двумя
неизвестными. В школе изучаются также график квадратного трехчлена (пара-
бола) и график обратной пропорциональности (гипербола). Школьникам так же
хорошо известна окружность — частный случай эллипса. Все эти кривые явля-
ются геометрическими интерпретациями некоторых неопределенных уравнений
второй степени с двумя неизвестными.
Когда решения неопределенного уравнения ищутся в рациональных (как
правило, в целых) числах, то такие уравнения называются диофантовыми. Если
диофантово уравнение имеет решения в целых числах, то это означает, что на
кривой, являющейся геометрической интерпретацией этого уравнения, располо-
жены точки с целочисленными координатами. В этой книге решения диофанто-
вых уравнений ищутся в целых (иногда натуральных) числах.
Общий вид диофантова уравнения второй степени с двумя неизвестными
следующий:
Ax2+2Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 (1)
где все коэффициенты А, В. С. D, Е, F — целые числа. Геометрические интерпре-
тации уравнения (1) могут существенно отличаться друг от друга в зависимости
от соотношения между коэффициентами этого уравнения.
85
Для того, чтобы выяснить, какова геометрическая интерпретация данного
конкретного уравнения (1), можно применить прием, указанный еще Лагранжем
(1736—1813). Уравнение (1) следует привести к виду:
fl(x, г/)+рфк(*. </)+?=о (2)
где f(xt у) и ф(х, у) — линейные трехчлены от х и у с целыми коэффициентами.
Показатели I и k могут быть равны 0, 1, 2, причем хотя бы один из них дол-
жен быть равен двум, р и q — целые числа.
Как уравнение (1) привести к виду (2), рассмотрим ниже на конкретных
примерах.
Выясним теперь, какие геометрические интерпретации соответствуют урав-
нению (2) в зависимости от значений /, kt р, q. Рассмотрим четыре основных
случая.
1. /=^-2, <7=0,
Рассмотрим два подслучая.
1) Р<0.
При этих условиях левая часть уравнения (2) разлагается на два линей-
ных множителя. Геометрическая интерпретация уравнения (2)—две пересекаю-
щиеся прямые.
2) р>0.
В этом случае уравнение (2) имеет только одно решение, определяемое
системой:
|ф(х, р)=0
[f(*. 0)=О
Геометрическая интерпретация уравнения (2): точка на плоскости. (Говорят,
имеем две мнимые прямые, пересекающиеся в действительной точке).
II. /=&=2, р=#=0, <7=#=0.
Рассмотрим следующие подслучаи.
1. ) р<0.
Геометрическая интерпретация уравнения (2) — гипербола.
2) p>0,q<0.
Геометрическая интерпретация уравнения (2) — эллипс.
3) р>0, q>0.
Уравнение (2) решений не имеет. (Говорят, имеем мнимый эллипс).
III. /=2, £=1,р=#0.
В этом случае геометрическая интерпретация уравнения (2) — парабола.
IV. /=2, р=0.
Рассмотрим подслучаи:
1) <7<0.
Геометрическая интерпретация уравнения (2) — две параллельные прямые.
2) <7=0,
Геометрическая интерпретация уравнения (1) — две совпавшие прямые.
3) q>Q.
Уравнение (2) решений не имеет (говорят: имеем две мнимые параллельные
прямые).
86
Рассмотрим теперь конкретные примеры.
1) Решить уравнение в целых числах.
2х2— 1 Оху +12у2+7x—2Qy+3 = 0 (3)
Чтобы избежать в дальнейшем дробных коэффициентов, умножим все чле-
ны уравнения (3) на 8. Сгруппируем члены, содержащие неизвестное х, выделим
из этих членов квадрат первого числа и удвоенное произведение первого числа
не второе:
16х2—2 - 4х (10 «/—7) + 96 у2 — 160i/+24=0.
Прибавим и отнимем квадрат второго числа, приведем подобные члены.
(4х—10t/+7)2—(2z/+5)2=0.
Разложив на множители, получим:
(4х—8i/+12) (4х—12i/+2) =0.
Получим совокупность (не систему!) двух уравнений.
’ х—2//+3 = 0
2х—6</+1=0
Все решения первого уравнения найдем по формулам:
х=1+2/
y~2+t
где t — произвольное целое число. Второе уравнение целочисленных решений не
имеет, т. к. (2, 6) =2.
2) Решить уравнение в целых числах:
2х2—Зху+у2—5х+4у—1=0 (4)
Проведем те же преобразования, что и в первом примере, и получим:
ш (4x-^-5)2-(i/-l)2=32^(2x-i/-3) (х-^1) =4
Геометрическая интерпретация уравнения (4)—гипербола. Число 4 может быть
разложено на множители следующими способами:. 4=4-1 = (—4) • (—1) =2-2=
= (—2)-(—2). Приравнивая множители, стоящие в левой части уравнения, мно-
жителям числа 4 в различных комбинациях, получим шесть систем двух уравне-
ний первой степени с двумя неизвестными и найдем шесть целочисленных ре-
шений данного уравнения, а именно пары: <5, 3>, <—1, —6>, <—1, —1>,
<5, 8>, <2, —1>, <2, 3>.
Приложение 2. Некоторые
математические символы
п!=1-2-3 ... п (читается эн-факториал). Произведение п первых нату-
ральных чисел.
я!
-------:—-—. Число сочетаний из п элементов по /и.
т\ (п—т)\
•7
[X] — целая часть числа X. Например: [6, 2] =6, [0,99] ^0.
|Х| — модуль числа X.
В|Л—В — делитель числа Д. Например: 171102.
(4, В)=С. Наибольший общий делитель чисел А и В равен С,
п
У ... +f(n), где f(k) — функция, определенная на мно-
жестве натуральных чисел. Например: 2 &2=1+22+ -и2= —
л
П f(k) = f(l) f(2) ... f(n), где f(k) — функция, определенная иа множестве на-
*=1
л 1 11 t/ii
туральных чисел. Например: П -г- ~ . —у ... * -тхзп-
Д—I л + 1 л+2 2п (2П)!
АВ ~~ отрезок АВ прямой АВ (часто направленный, что отмечается).
а — направленный отрезок.
|ЛВ| —длина отрезка Л В.
/ЛВС —угол ЛВС, а также величина угла ЛВС.
оЛВ —дуга ЛВ, а также величина дуги АВ.
&АВС — треугольник ЛВС.
5 д авс — площадь треугольника ЛВС.
(О, К) — окружность с центром О и радиусом К.
«=>—знак следования. Л=->В (из Л следует В).
-<-===>-знак равносильности.
зэ — знак включения множеств.
□ — знак объединения множеств.
f) — знак пересечения множеств.
Приложение 3. Рекомендуемая литература
I. О математическом творчестве
1. Пойа Д. Математическое открытие. М.: Наука, 1970. 452 с.
1975 64°^ Математика и правдоподобные рассуждения. М.: Наука,
3. Пойа Д. Как решать задачу. М.: Учпедгиз, 1961. 208 с.
4. Пуанкаре А. О науке. М.: Наука, 1983. 560 с.
5. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области
математики. М.: Советское радиол 1976. 132 с. ‘
6. Постников А. Г. Культура занятий • м^тёматйкой? Мл Знание, 1975. 60 с.
7. Морделл Л. Размышления математика. М.: Знание, 1971, 32 с.
8. Колмогоров Л. Я. О профессии математика. М.: Советская наука,
1952.24 с.
9. Сойер У. У. Прелюдия к математике. М.: Просвещение, 1965. 356 с.
£8
10. Чеботарев Н. Г. Математическая автобиография. М.: Успехи математи-
ческих наук. Т. III. В. 4, 1948. С. 3—36.
11. Винер И. Я. — математик. М.: Наука, 1964. 356 с.
12. Лакатос И. Доказательства и опровержения. М.: Наука, 1967. 152 с.
II. Сборники задач олимпиадного характера
1. Сборник задач Московских математических олимпиад. М.: Просвещение,
1965. 384 с.
2. Морозова Е. А. и др. Международные математические олимпиады. М.:
Просвещение, 1976. 288 с.
3. Зубелевич Г. И. Сборник задач Московских математических олимпиад.
М.: Просвещение, 1967. 232 с.
4. Бабинская И. Л. Задачи математических олимпиад. М.: Наука, 1975.
112 с.
5. Васильев Н. Б., Егоров А. А. Сборник подготовительных задач к Все-
российской олимпиаде юных математиков. М.: Учпедгиз, 1963. 52 с.
6. Кюршак И. и др. Венгерские математические олимпиады. М.: Мир, 1976.
544 с.
7. Страшевич С., Бровкин Е. Польские математические олимпиады. М.:
Мир, 1978. 340 с.
8. Тригг Ч. Задачи с изюминкой. М.: Мир, 1975. 302 с.
9. Избранные задачи из журнала «American Mathematical Monthly» М.:
Мир, 1977. 600 с.
10. Физико-математические олимпиады. М.: Знание, 1977. 160 с.
И. Гальперин Г. А., Толпыго А. К. Московские математические олимпиады
М.: Просвещение, 1986. 304 с.
12. Васильев Н. Б. и др. Заочные математические олимпиады. М.: Наука,
1986. 176 с.
III. Библиотека математического кружка
1. Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М. Избранные задачи и тео-
ремы элементарной математики. Арифметика и алгебра. М.: Наука, 1965, 456 с.
2. Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М. Избранные задачи и тео-
ремы планиметрии. М.: Наука, 1967. 336 с.
3. Шклярский Д. О., Ченцов Н, Н., Яглом И. М, Избранные задачи и тео-
ремы элементарной математики. Часть 3. Геометрия (стереометрия). М.: ГИТТЛ,
1954. 268 с.
4. Радемахер Г. и Теплиц О. Числа и фигуры. М.: Физматгиз, 1963, 264 с.
5. Шклярский Д. О., Ченцов И. Н., Яглом И. М. Геометрические неравенст-
ства и задачи на максимум и минимум. М.: Наука, 1970. 336 с.
6. Шклярский Д. О., Ченцов Н. И., Яглом Я. М. Геометрические оценки и
задачи по комбинаторной геометрии. М.: Наука, 1974. 384 с.
7. Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. Л. Новые встречи с геометрией. М.: Нау-
ка, 1978. 224 с.
8. Балк М. Б. Геометрические приложения понятия о центре тяжести. М.:
Физматгиз, 1954. 232 с.
89
9. Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. Часть I. М.: Наука, 1986. 270 с.
10. Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. Часть II. М.: Наука,
1986. 288 с.
11. Я г лом И. М. Принцип относительности Галилея и неевклидова геомет-
рия. Лк: Наука, 1969. 304 с.
IV. Библиотека физико-математической школы и библиотечка «Квант»
1. Дынкин Е. Б, и др. Математические задачи. М.: Наука, 1965. 80 с.
2. Дынкин Е. Б. и др. Математические соревнования. Арифметика и алгеб-
ра. М.: Наука, 1970. 96 с.
3. Васильев Н. Б., Гутенмахер В. Л. Прямые и кривые. М.: Наука,
1970. 112 с.
4. Васильев Н. Б. и др. Математические соревнования. Геометрия. М.: Нау-
ка, 1974. 80 с.
5. Гельфанд С. И. и др. Задачи по элементарной математике. М.: Наука,
1965. 176 с
6. Шарыгин И. Ф. Задачи по геометрии. Планиметрия. М.: Наука, 1982.
160 с.
7. Шарыгин И. Ф. Задачи по геометрии. Стереометрия. М.: Наука,
1984. 160 с.
V. Целые числа
1. Гельфонд А. О. Решение уравнений в целых числах. М.: ГИТТЛ,
1957. 64 с.
2. Серпинский В. О. О решении уравнений в целых числах. М.: Физматгиз,
1961. 88 с.
3. Успенский В. А. Треугольник Паскаля. М.: Наука, 1966. 36 с.
4. Воробьев Н. Н. Числа Фибоначчи. М.: Наука, 1984. 144 с.
VI. Математическая индукция
1. С оманский И. С., Головина Л. И., Яглом И. М. О математической ин-
дукции. М»: Наука, 1967. 144 с.
2. Виленкин Н. Я. Индукция. Комбинаторика. М.: Просвещение, 1976. 48 с.
3. Депман Я. Я. Метод математической индукции. М.: Учпедгиз, 1957. 72 с.
VII. Треугольники
1. Зетель С. Я. Новая геометрия треугольника. М.: Учпедгиз, 1962. 152 с.
2. Кокстер Г. С. М. Введение в геометрию. М.: Наука, 1966. 648 с.
3. Адамар Ж» Элементарная геометрия. Планиметрия. М.: Учпедгиз,
1957. 608 с.
4. Серпинский В. Пифагоровы треугольники. М.: Учпедгиз, 1959. 112 с.
VIII. Многомерная геометрия
1. Адамар Ж- Элементарная геометрия. Стереометрия. М.: Учпедгиз,
1958. 760 с.
90
2. Скопец 3. А., Панарин Я. П. Геометрия тетраэдра и его элементов. Яро-
славль, 1974. 240 с.
3. Гордевский Д. 3., Лейбин А. С. Популярное введение в многомерную
геометрию. Харьков, 1967. 192 с.
4. Куликов С. М. Введение в начертательную геометрию многомерных
пространств. М.: Машиностроение, 1970. 84 с.
5. Розенфельд Б. А. Многомерные пространства. М.: Наука, 1966. 648 с.
6. Курант Р. и Роббинс Г, Что такое математика? М.: Просвещение, 1967.
558 с. (см. Приложение. Геометрия в пространстве более чем трех измерений.
С. 259—265).
7. Гельфонд И. М. и др. Метод координат. М.: Наука, 1965. Гл. 11.
IX. Ошибки в математических рассуждениях
1. Дубнов Я. С. Ошибки в геометрических доказательствах. М.: ГИТТЛ,
1953. 68 с.
2. Литцман В. Где ошибка? М.: ГИТТЛ, 1962. 192 с.
3. Брадис В. М., Минковский В. Д., Харчева А. К. Ошибки в математиче-
ских рассуждениях. М.: Учпедгиз, 1959. 176 с.
X. Прочая упоминаемая литература
1. Ж. «Квант».
2. Ж. «Математика в школе».
3. Сборники «Математическое просвещение». М.: ГИТТЛ — Физматгиз,
1957—1961 (выпуски 1—6).
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие : : г.................................................... 3
Часть I. Некоторые виды творческой работы по математике .... 8
§ 1. Похвальное слово задачам. Модели творчества............... 8
§ 2. Как пользоваться книгой.................................. 11
§ 3. Преобразование да дач.................................... 13
§ 4. Конструирование аналогичных задач........................ 15
§ 5. Один из подходов к решению трудной задачи................ 18
§ 6. Обобщение задачи......................................... 25
§ 7. Пример более широкого обобщения.......................... 34
§ 8. Интересные частные случаи (специализация)................ 41
§ 9. Неожиданный побочный результат........................... 47
§ 10. Наблюдения, индукция, вопросы жизни...................... 51
Часть П. Задания для самостоятельной работы......................... 58
Введение. Почему эти темы?..................................... 58
Раздел I. Целые числа......................................... 60
§ 1. Делимость............................................. 60
§ 2. Диофантовы уравнения.................................. 60
§ 3. Разное :.............................................. 62
Раздел II. Математическая индукция............................. 65
§ 1. Суммы и произведения................................ 66
§ 2. Неравенства........................................... 66
§ 3. Делимость............................................. 67
Раздел III. Треугольник....................................... 67
§ 1. Зависимость между углами и сторонами.................. 67
§ 2. Разное :.............................................. 68
Раздел IV. Многомерная геометрия............................ 69
§ 1. Вводные задания....................................... 69
§ 2. Симплекс.............................................. 69
Раздел V. Так ли это?......................................... 71
Раздел VI. Краткие указания................................... 73
Раздел VII. Примерные ответы.................................. 75
Приложение 1. Разъяснения к некоторым заданиям ... 85
Приложение 2. Некоторые математические символы ... 87
Приложение 3. Рекомендуемая литература.................... 88
Тучнин Н. П.
Т92 Как задать вопрос? О матем. творчестве школьников.—
Ярославль: Верх.-Волж. кн. изд.-во, 1989. — 96 с.
В книге «Как задать вопрос?» на материале элементарной математики
моделируются некоторые виды творческой работы математика: обобщение
и специализация задач, рассуждение по аналогии, сравнение различных ме-
тодов доказательства и нахождение более мощного метода, обобщение
математических понятий и т. п. Короче говоря, в книге популярно освеща-
ются некоторые вопросы математической эвристики.
Книга предназначена для учащихся старших классов средней школы,
серьезно интересующихся математикой.
1602070000—14
Т М 139—(03)—89 Без объявл- 2210
Николай Петрович Тучннн
КАК ЗАДАТЬ ВОПРОС?
Редактор К). В. Оловянов
Художник и художественный редактор А. К. Лебедев
Технический редактор В. М. Панфилова
Корректор Т. В. Виноградова
Без объявления
Сдано в набор 11.04.89. Подписано в печать 02.11.89. АК02076. Формат 60X84*/ie.
Бумага типограф. № 2. Гарнитура литературная. Печать офсетная. Усл. кр.-отт. 6,48.
Усл. п. л. 5,58. Уч.-изд. л. 5,69. Тираж 2000. Заказ 62. Цена 50 коп.
Верхне-Волжское книжное издательство Госкомиздата РСФСР.
150000. г. Ярославль, ул Трефблева, 12.
Типография Кв 2 Госкомиздата РСФСР, 152901, г. Рыбинск, ул. Чкалова, д. 8.
ДЛЯ ЗАМЕТОК
50 коп.