Школьная математика для родителей - Лазарев М.И., Гребенюк Ю.В.

Автор: Лазарев М.И. Гребенюк Ю.В.

Теги: математика основы математики математическая логика педагогика книги для родителей математика для детей

ISBN: 978-5-386-14609-2

Год: 2022

Текст

ШКОЛЬНАЯ

МА
ТЕ

МА

Ллмрев М.И.

Гребенюк ЮЛ.

ти
КА

ДЛЯ РОДИТЕЛЕЙ
ШКОЛЬНАЯ

МА

ТЕ

Лазарев М. И.

Гребенюк Ю. В.

МА
ТИ

РИПОЛ

КЛАССИК

Москву
2022

КА

ДЛЯ РОДИТЕЛЕЙ
УДК 51
ББК 22.12

Г79

Иллюстрации Авезсва Алексея Евгеньевича
Бумастровой Анны Владимировны

Гребенюк, Юрий Валериевич

Г79 Школьная математика аля родителей / М. И. Лазарев
Ю. В. Гребенюк. — М.: РИПОЛ классик, 2022. — 344 с.: ил.

Математика — это прибор который помогает видеть в окру-
жающем мире многое из того, что без неё не различишь.
Научиться пользоваться этим прибором может каждый. Это не
сложнее езды на велосипеде. И правил дорожного движения.

й В И 978-5-386-14609-2

УДК 51

ББК 22.12

15ВМ 978-5-386-14609-2

ООО Группа Компаний «РИПОЛ классик»,
2022
Посвящается Михаилу Ивановичу Лазареву, человеку,
который вкладывал свое время, силы и ресурсы в то, что
искренне считал самылл важным для будущего страны —
образование детей и взрослых. Концепция этой книги
и идеи, которые в ней изложены, основаны на богатом
жизненном опыте Михаила Ивановича, который привёл его
к твёрдому убеждению: любой человек, который научился
переходить дорогу по правилам дорожного движения,
способен освоить школьную математику. И использовать
ее как инструмент для понимания окружающего мира.
Только для этого основные математические идеи
нужно правильно рсссказывато.

Введение

Кто не брался изучать иностранный язык?
А многие, начав удивляются — ну почему
я свой неплохо выучил к семи годам, не зная,
что такое глагол и наречие, а тут приходится
все это запоминать. Математика в какой-то
мере специфический язык, и часть трудно-
стей при его изучении сродни тем, которые
мы встречаем в чужом языке

Что такое лзатематика? Есть объёмные и не
очень книги прямо с таким или близким на-
званием. Они написаны практикующими
математиками, погружёнными в свой пред
мет и относящимися к неллу так же, как ар-
тист к своеллу ремеслу, изнутри.

Почему мы считаелл что нужна ещё одна кни-
га по математике? Конечно, потому что нам
не нравятся другие учебники. Мы считаем что
в них нет главного — попытки показать, что ма-
тематика не «удивительная страна, куда мы
вас поведём...», не некая игра со м.ноже
ством правил, которые надо запомнить, пока
учишься в школе, а потом счастливо забыть.

Математика — это прибор, который помоги
ет видеть в окружающем мире многое из
того, что без неё не различишь. Научиться
пользоваться этим прнборолл может каж
дый. Это не сложнее езды на велосипеде
и привил дорожного движения.

Да вы и знаете большую часть того, чему учат
в школе. Только не знаете, что знаете. Напри-
мер, пропорция: каждый, кто умеет рисо-
вать. знает, как нарисовать похожий дом.

Или сложение дробей: вы пошли в поход,
нужно пройти 6 км. В первый час прошли по-
ловину пути, во второй — одну треть. Сколько
всего пройдено?

Что тут сложного; 2 км+3 км = 5 км. А 5 км
от 6 км (полного пути) записывают так

Ну а если путь не 6 км, а 10 км или 15 км?
Будем считать, что весь путь разбит на 6 рав-
5

ных частей, и все равно получится у пути за
два часа:

1 1 5

тг+тг=^- от чего бы ни была эта половина
2 0 0

и треть.

Что-то осталось непонятным. Не страшно.
Возможно, это от того, что вам казалось
будто математика не для вас. Но если
и непонятно, не страшно. Всё поймёте:
впереди — целая книга.

Можно ли всю школьную математику рас-
сказать за 20 уроков? Да.

Во-первых, вспомним про велосипед. На
учиться ездить на нем — это одно, а стать
виртуозом — другое. Научиться «ездить» за
20 уроков может любой взрослый человек.

Во-вторых. В обычных учебниках много лиш-
него. Сравним с ориентацией на местности.
Вы в незнакомом городе. Можно долго
рассказывать, как пройти в нужные вам ме-
ста, а можно дать карту. Да и указать дорогу
можно по -разноллу. один будет говорить дол-
го и расскажет все подробности пути, дру
гой скажет. «Три квартала прямо и после
поворота направо ещё четыре». Мы за вто
рой способ — подробности увидит тот, кто
захочет заниматься математикой дальше.

За время работы сайта библиотеки «Интер
нетУрок» к нам пришло более двухсот тысяч
писем, и во многих из них в том или ином
виде встречается слово «понимать»: «Теперь
мне понятно», «Наконец-то и я понял» или «Я
не понял» ...

Понимание — главная задача, когда речь
идет о математик©- Почему так?

Понимание проявляется в способности ре-
шать новые задачи на основании опыта в ре-
шении других задач. Понимание математики
проявится в способности решать задачи, ко-
торые внешне не похожи на математические.

3 чём отличие человека, вычисляющего что-то.
и калькулятора? Калькулятор «не знает);, о чем
идёт речь, и не сможет увидеть такую же за
дачу в другом месте. А человек понимает!
Можно возразить: есть ведь умные програм-
мы, они обыгрывают человека в шахматы,
например. Да, но, во-первых, игру в шахматы
придумал человек, а во-вторых, программу,
обыгрывающую человека, придумал человек.

3 каждой реальной .задаче есть внелогиче
ская часть. Например, вы высчитываете ско-
рость санок, скатившихся с горки. Вы учиты-
ваете высоту горки, сцепление со снегом,
ускорение свободного падения... и отбра
сываете несущественное — всё остальное’
притяжение Солнца и планет, слабый вете
рок, давление солнечных лучей... Как же вы
признали их несущественными в решении,
ещё не решив задачу?

Зот это и есть внелогическая часть — понять,
что существенно в данной проблеме, выде
лить важное, отбросить несущественное.

Компьютер — не поможет. Нужно наше по-
нимание. То, что вынесено из предыдущего
опыта.

Известный математик Пьер Ферма де-
лал пометки на полях математических
книг, которые он читал. И там же записы-
вал возникшие в голове задачи и теоремы.
Так, на полях «Арифметики» Диофанта по-
явилась формулировка одной из самых
знаменитых математических теорем —
Великой теоремы Ферма. И приписка:
«Я нашел этому поистине чудесное до
казательство, но поля книги слишком узки
для него».

Формулировка появилась в 1637 году,
а сама теорема была доказана только
в 1994-м. Конечно, есть большие сомнения,
что Ферма действительно доказал будущую
теорему своего иллени, и сделал это без
ошибок. Но эта поучительная история под
толкнула нас к важным выводам.

мы специально предусмотрели широкие
поля, чтобы у любого читателя была возмож
ность зафиксировать не только возникшие
мысли и идеи, но и их подробное обосно-
вание. Вдруг эта наша простая забота о чи-
тателях ускорит развитие человечества на
350 лет?

Кроме широких полей, в книге есть два
вида иллюстраций: поясняющие рисунки,
которые нужны непосредственно для пони-
мания текста; и рисунки-аллегории, в кото-
рых в той или иной степени обыгрываются
различные математические и философ-
ские вопросы. Некоторые из рисунков-ал-
легорий снабжены поясняющими подпися
лли Разгадывание остальных, как нам
кажется, может стать хорошим подспо-
рьем для понимания идей, которые мы хо-
тели раскрыть в тексте.

КАК ЧИТАТЬ

НАШУ КНИГУ
Книга разбита на 12 глав, которые охватыва-
ют весь основной курс школьной математи-
ки. При этом 12-я глава посвящена теории
чисел — очень «математической» теме, ко-
торую можно пропустить, если она покажет-
ся вам сложной.

Наконец, в книге вы встретите три вида услов-
ных обозначений:

Это краткий анснс того, о чем пойдет речь
в данной главе.

Это обозначение фрагмента с достаточно

громоздкими «техническими» рассуждени-
ями, которые могут потребовать 01 |ределен
нога математического аппарата. Такие
фрагменты можно пропускать, для понима
ния общих математических идей они не так
важны. Но попробовать разобраться в этих
рассуждениях полезно.

Это обозначение фрагмента с философ-
скими идеями и выводами. На наш взгляд,
это самые важные мысли, которые могут по-
мочь сформировать мировоззрение и стать
инструментами для дальнейшего изучения

окружающего мира при помощи мате-
ллатики.
Мы будем рады, если вы поделитесь с нами
своими впечатлениями, пожеланиями или
замечаниями, которые возникли во время
чтения книги. Присылайте свои письма на
электронный адрес 1п1о@1п1егпе1игок ги с по-
меткой «Школьная математика для роди-
телей». мь! постараемся учесть полученную
обратную связь во время дальнейшей рабо
ты и будем рады вместе с вами сделать кни-
гу ещё лучше.

Введение

С числами сталкивается каждый. Мы исполь
зуем натуральные числа, отрицательные,
дробные.

ГЛАВА 1.
ПОНЯТИЕ
ЧИСЛА

Э Баланс
-500 Р

Что такое числа? И, вообще, математиче
ские объекты, например: синус, логарифм,
интеграл... Это что-то абсолютно новое, не
относящееся ни к какой группе известных
предметов? Можно и так думать.

Нам же кажется, что лучше математические
объекты отнести к категории инструментов.
Точнее, к инструментам мышления.

Есть приспособления для работы с матери-
альными объектами: лопата, отвёртка, мо-
лоток.

А числа — это инструмент для размышления
о количествах. При таком подходе не затруд-
няют вопросы: что таксе отрицательные, ир-
рациональные и другие виды чисел. Ответ
один — удобный инструмент.

В этой главе мы поговорим о том, что такое
число, какие бывают числа и как они исполь
зуются.
ЧАСТЬ 1
ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА

1. Что такое число?

«Натуральное число возникает естествен
ным образом при счёте — 1,2, 3, 4...»

Если вас устраивает такое определение, то
можете смело переходить к следующей
главе.

Но кому-то оно покажется тавтологией: чис-
ло определяем через счёт...

Зайдём с другой стороны

Кто вообще придумал считать предметы? Вряд
ли можно приписать это изобретение одному
конкретному человеку, правильнее будет ска-
зать — все вллесте. Например, первобытный
охотник, увидев двух спящих мамонтов, молча
показал своему товарищу два пальца. Палец
совсем, не похож на мамонта, но товарищ его
понял: один । галец — один мамонт

Возможно, первобытная
математика выглядела
именно так

Дни недели все разные: понедельник, втор-
ник... Но если для нас важно то\ько то, что
это дни, то есть обороты Земли вокруг своей
оси, то можно говорить об их количестве.
Теперь и инопланетянину можно объяснить,
сколько у нас дней недели: их столько же,
сколько планет б Солнечной системе (не счи-
тая Земли)

Музыканту, случайно забывшему про дни не-
дели, можно сказать, что их столько же,
сколько нот. ребёнку — что их столько же,
сколько гномов в известной сказке. И т д.

мы используем эквивалентность этих
множеств: каждому элементу одного
множества можно сопоставить ровно
один элемент другого. Обратите внима-
ние на идею эквивалентности — одну из
ключевых идей в математике, к которой
мы всё время будем возвращаться.

Вас спросят, на каком этаже вы живёте, и вы
покажете три пальца

То общее, что есть между этими множества-
ми — количество их элементов, — и называ
ется соответствующим, натуральным, чис-
лолл. Музыкальных нот, дней недели — семь.

Если к вам в гости придут пять человек, то нуж
но приготовить пять стульев, независимо от
профессий этих людей, пола, цвета одежды
и т. д. Важно соответствие количества гостей
и количества стульев.

Два множества, элементы которых мы мо-
жем । юставить во взаимно однозначное соот-
ветствие, будут иметь одинаковое количество
элементов. В примере про гостей и стулья
каждому гостю достанется по стулу, при
этом лишних стульев не останется (см. рису-
нок). Это и значит, что количество гостей и сту
льев одинаковое.
Итак, натуральное число — это то общее, что
есть у всех ллножеств, элементы которых
можно взаимно однозначно сопоставить
друг другу. Или, по-другому, число — это то
общее, что есть у всех л*.ножеств с едина
ковым количеством элементов.

А вот обозначать одно и то же число уже мож-
но по-разному. Как и для записи слов, для
записи чисел были придуманы разные си-
стемы. Одни оказались удобными, другие —
не очень. Про преимущества одних систем
над другими мы сейчас и поговорим.

2. Почему мы так записываем числа?

Натуральное число — это количество эле
ментов в множестве. Обозначать числа мож-

6. шесть, 111111, VI

но по-разному. Например, ко-
личество людей на рисунке
можно записать так: 6, шесть,
111111, VI, 3+3

Для небольшого количества
особой разницы нет. Палочки
или римские цифры могут по-
казаться даже более естественной формой
записи. Но победила система, которая ока
залась более технологичной. Для десятичной
позиционной систеллы, которой все мы сей
час пользуемся, были придуманы эффектив
ные алгоритмы записи и выполнения действий
с любыми, даже очень большими числами.

Современным людям
считать гораздо легче
благодаря десятичной
системе счисления
и алгоритмам
вычисления в столбик

В основе десятичной позиционной системы
лежат две идеи: считать «группами» и ис-
пользовать расположение знака, как знак.

1) Считать «группами». Мы выбрали размер
группы — 10. И единообразно считаем: де-
сять единиц, десять десятков (сотня), десять
сотен (тысяча)... Например, три десятка де-
сятков плюс два десятка плюс пять:
3-10-10+2-10+5.

Таким способом можно записать любое чис-
ло. пользуясь небольшим количеством знаков
(равным размеру групг 1ы: в десятичной систе-
ме мы обходимся 10 знаками-цифрами: 0, 1

., 9). Как и в языке: букв немного, а записать
можно фразу любой длины.
Но фразы в языке не очень получается скла
дывать и вычитать, во всяком случае, нет еди-
ного алгоритма.

Для создания такого лзеханизма перера-
ботки числовых фраз в новые потребовалась
вторая идея.

2) Использовать само место знака, его по-
зицию, как знак. В рассмотренном числе
3-10-10+2-10+5 смысл записи не изменится,
если переставить местами слагаемые
3-1 С-10+2-10+5=2-10+3-10-10+5. Это может
быть удобно, но сама запись будет длинной,
особенно для больших количеств. Можно со
кратить ее: 325, но тогда надо помнить, что
имеет .значение место каждой цифры
325 и 352 — это разные числа

А что делать, чтобы в этом способе запи
си отличать триста пять от тридцати пяти?
Пришлось придулзать знак. О, означаю-
щий отсутствие количества. Тогда записи
3-1 С0ч-5=3 100ч-010+5 и 3-10+5 отличаются
и сокращённо: это 305 и 35 соответственно.

Теперь, чтобы считать, нужно помнить толь-
ко все действия с пеовичнылли знаками от
0 до 9 типа 3+5=8, 6x7=42 (таблицы сложе-
ния и умножения), все остальное вычисляет
ся стандартными алгоритмами (действия
в столбик).

Не надо помнить, чему равно 27x34 или

576+473. Действия с числами превратились

в автоматическую механику зна
ков. Ее поручили калькуляторам:
сначала простым механическим
счетам, потом современным
электронным калькуляторам.
Если проводить параллель с языком, то стоит
отметить, что от перемены мест расположе-
ния букв в слове его смысл также меняется:
бар, бра и раб; кот, кто и ток Аналогично
знак пробела (отсутствия знака) имеет зна
чение: «мы встретились В МЕСТЕ, оговорен-
ном заранее, и ВМЕСТЕ пошли в кино».

Отсутствие знака
может сильно влиять
на значение слова

Мы привыкли считать десятками, но можно
считать по 2, 3 и т. д. — то есть использовать
двоичную, троичную... системы записи. Поче
му именно десятичная стала самой попу
лярной? Ответить точно вряд ли можно. По-
пробуем высказать несколько соображений
на этот счет.

Чем. меньше цифр в системе счисления,
тем меньше базовые таблицы сложения
и умножения, которые надо помнить Напри-
мер, в двоичной системе счисления табли-
ца умножения состоит из четырех равенств:
0-0=0, 1-0=0, 0-1=0, 1-1=1. С другой стороны,
чем меньше цифр, тем длиннее записыва-
ются числа, например, в той же двоичной си-
стеме число 129 выглядит так: 10000001.
Десять пальцев на руках позволяли нам
эффективно показывать десять цифр, их
можно было легко запоминать. Поэтоллу
«победа» десятичной системы счисления
выглядит балансом между паллятью, необ
ходимой для запоминания базовых таблиц
сложения и умножения, и длиной чисел при
записи.

3. Для чего ещё мы используем числа?

Натуральное число показывает только коли-
чество предметов в множестве, независимо
от того, что это за предметы. Мы говорим:
пять, шесть... И неважно: карандаши это,
машины или яблоки.

Таким образом, одна из основных функций
чисел — обозначение количестве.

Зачем нужно знать количества? Для того что-
бы сравнивать множества — какое больше,
какое меньше.

Если при сопоставлении элементов двух
множеств в одном из них элементы закончи-
лись, а в другом — нет, то первое множество
больше. Значит, число элементов первого
множества (вилки) больше числа элеллентов
второго (ножи). Более того, можно сказать.

|||||||| ||||||||

: : I з

III I III
на сколько больше [если посчитать остав
шиеся элементы первого множества).

Мы называем это упорядоченностью — лю-
бые два натуральных числа можно сравнить
и сказать, какое из них больше и на сколько.

Это свойство мы используем для того, чтобы
с помощью чисел задавать порядок: нуме-
рация домов, места в кинотеатре, элек-
тронные таблицы, координаты на карте
в игре «Морской бой», обозначение широты
и долготы..

Эта функция чисел очень важна. Представь
те, как долго мы бы искали места в кино,
если бы на креслах лежали бумажки с фа-
милиями людей, которые купили билеты.

Почему для того, чтобы задать порядок, чаше
используют числа, а не буквы как, напри-
мер, в словарях? Ведь алфавит тоже можно
считать упорядоченной систеллой знаков:
а<б<в<г ..<я<аа<аб<... — этот способ ис-
пользуют для нумерации ячеек в электрон-
ных таблицах Предположим, километровые
столбы пронумерованы буквами, а не чис-
лами. Сейчас вы проехали столб «в». Сколь
ко километров нужно проехать до столба
«ф»? Так сразу и не скажешь — надо все
буквы перебрать, посчитать, сколько ихллеж-
ду «в» и «ф».

А вот, находясь у столба «50», легко сказать,
что до 70 го километра ехать еще 70 50=20 ки
лометров.

Тут мы подошли к третьей не лленее важной
и привычной нам функции натуральных чи-
сел, о которой редко упоминают: имени.
Когда мы записываем в телефон номер
друга, то присваиваем ему «числовое» имя.
Понятно, что этот набор цифр не отобража
ет количество, не показывает порядок. Мы не
складываем номера телефонов и никак не
связываем два соседних номера телефона:
8-987-1234567 и 8-987-1234568 (согласитесь,
вряд ли люди с такими номерами окажутся
соседями).

Таким образом, эти номера — просто имена.

Другие примеры такого использования чи-
сел — автомобильные номера, номер пас-
порта и т. д.

Три функции числа 5:
количество людей
в машине, порядковый
номер столба и «имя»
машины

Итак, можно выделить три способа при-
менения инструмента под названием
«натуральные числа» — обозначение ко-
личества, задание порядка, придание
имени/обозначения.

4. Есть ли в природе отрицательные
числа?
Натуральные числа послужат материалом
для строительства новых объектов, называе-
мых числами. Начнем, с отрицательных.

Как вычесть из большего натурального чис-
ла меньшее, понятно: большее содержит
в себе меньшее: 7 5=(2+5) 5=2. Вычесть из
меньшего большее не получится; нельзя
взять с полки 7 книг, если на ней лежит 5.

Представим, что нужно посчитать 67-69-13-
5+22 (например, кассир докладывает или
отдаёт деньги для сдачи, и нужно узнать, ка-
кую сумму нужно положить в кассу или за-
брать из неё в конце дня).

Конечно, м.ожно сложить все числа со зна
ком «плюс»: 67+22=89, а затем вычесть то что
со знаком «минус»; 89-69 13-5=2. А если сла-
гаемых будет 100? Все не запомнишь.

Задача математики — придумывать удоб-
ные и эффективные алгоритмы (в частности,
теоремы, аксиомы), чтобы нужно было как
можно меньше поллнить. Поэтому ввели но
вый математический объект: пусть 5 7 — это
новое число 2*, которое при сложении
с 2 даст 0, то есть; 2”+2=0 (или 2*=0-2).

Тогда, например, 5 7+2=2*+2=0. Теперь опе
рация вычитания определена для любой пары
натуральных чисел. Это удобно (подробнее
о том, почему, поговорим чуть позже).

Отрицательное число -а — это такое чис-
ло, для которсс выполняется. -а+а=0.

Вместо 2* используют знак -2.
Да, отрицательного количества нет, но как
инструмент отрицательные числа служат
очень эффективно. Это не новая для нас си-
туация; литературных героев или Деда Мо-
роза тоже нет, но мы используем их в обще-
нии и понимаем друг друга.

Рассмотрим несколько примеров исполь-
зования отрицательных чисел:

1) Вернемся к нашему примеру: 67-69-13-
-5+22. С наличием отрицательных чисел
как объектов все просто: считаем подряд
и на каждом шаге получаелл вполне закон
ный результат 67-69=-2, -2-13—15, -15-5—20,
20+22=2.

2) Вы двигаетесь по дороге из пункта А
в пункт Б. Если считать шаги в направлении
из А в Б положительными, то шаги в обрат
ном направлении отрицательны. Сложение
одинакового количества шагов в разных
направлениях даст 0. Действительно, в ре
зультате вы вернётесь в ту же точку, из кото

В доме 6 этажей
(с -1-го по 5-й): 5-6—-1
рой начали, то есть ваше перемещение
равно Э.

Если сделать 3 шага вперёд, а 4 назад то
результатом будет один шаг назад: +3 4—1.
3) Пример использования отрицательных чи-
сел из реальной жизни — виртуальные день
ги: баланс счета на телефоне, остаток на
банковском счету и т. д.

Пусть на счету было 1 ОСО рублей, вы хотите
потратить 1 500 рублей, и банк предостав
ляет кредит 500 рублей. После совершения
операции вы будете должны банку 500 руб-
лей. Для сокращения записи используют ст
рицательные числа: 1 000-1 500—500 рублей.
Когда вы вернете кредит то никто никому ни-
чего не будет должен: -500+500=0.

4) Оказалось удобно использовать отрицс
тельные числа для записи температуры. Зи-
мой градусник показывает нам 20 граду
сов. В привычной нам шкале Цельсия за ноль
принята температура плавления льда. Тогда
температуру ниже нуля естественно считать
отрицательной.

Может показаться, что отрицательная темпе-
ратура — пример существования отрица-
тельного количества. Но это не так — в дан-
ном случае это пример использования
отрицательных чисел в качестве порядковых
знаков.

Действительно, абсолютное значение тем
пературы зависит от выбранной шкалы: тем
перстура, которая в привычной нам шкале
Цельсия равна -20 градусов, в шкале Кельви-
на [которую обычно и используют для физи-
ческих расчетов) — 253 К.
3 шкале Кельвина вообще нет отрица-
тельных значений температурь;: за точку
отсчёта берется наименьшая возможная

в природе температура (приблизительно
-273,16 по Цельсию), и она приравнивается
к нулю. Тогда и отрицательной температу-
ры нет.

Введение отрицательных чисел иллю-
стрирует общий метол математики: для
решения залач вводятся некие идеаль
н.ые объекты, над ними производятся дей-
ствия, и получается реальный результат.
1. Зачем нужны дроби?

Предположим, что путь от дома до школы
составляет 8 кварталов (см. рисунок).
Из 8 одинаковых частей пути (кварталов) вы
на данный моллент прошли 4. Понятно, ка
кую часть пути вы прошли: четыре восьмых.
_ 4

Записывают эту часть так: —. — и называют

О
дробью.

ЧАСТЬ 2.
ДРОБНЫЕ
ЧИСЛА

В И I» Ы НЙ 3

~’а

Понятно, что пройдена половина пути, то
есть В кварталах этот же путь получился
равным —. Значит, 4-=—. В этом для нас нет
3 2 3

ничего нового, мы уже знаем различные
способы записи одного и того же количе-
ства: 12=4-3=2-6=3+9=...

Если весь путь до школы занимает 4С минут,
то половина — 20 минут. Значит, Это

всё разные записи одного и того же: полови-
ны пути.

Если бы меряли в шагах, то получилось бы

—, в метрах: - 'см. рисунок). И все эти

выражения были бы равны у. Всё потому что
половина есть половина, в каких бы единицах
12 3 4
измерения ее ни записывали: -77=^-=--=^-=...

2. 4 о о
Это эквивалентные дроби.

2000 м

“ -

2000

4000

4000 м

Половина пути по времени и по рассюя
нию — это не всегда одно и то же. Пред-
ставьте, что вам нужно пройти 2 км, из
которых 1 км — по прямой, а 1 км —
в гору. Пройдя 1 км, вы преодолеете по-
ловину расстояния, но идти останется
больше половины времени.

Из рассмотренного примера видно, что
дробь — это целое число некоторых частей.
Всё зависит от выбранной единицы измере-
ния: при работе в «правильных» целых едини
цах от дробей вообще можно избавиться.

Что такое метра? Это три десятых части
метра, или 30 см. Что такое Это 5 из
17 равных частей, на которые разделена не-
которая вешь (см. рисунок).

Дробь возникает естественно. Но мы
применяем стандартный приём — сво-
дим задачу к предыдущей. Все действия
с дробями будем сводить к действиям
с натуральными числами, с которыми мы
уже умеем работать. Главный вопрос, на
который нужно будет ответить, —сколько
частей взять для донной задачи.

Можно сказать, что дробь — это число, со-
стоящее из одной или нескольких долей еди-
ницы. В роли единицы может выступать отре-
зок, г 1уть, торт и т. д.

По сути, это все, что нужно знать про дроби.
Но поскольку дроби означают количества, то
нужно уметь с ними работать, выполнять раз-
личные операции.

^ассллотрим. два примера.

1) Вы пошли в поход. В первый час прошли
половину пути. Во второй — одну треть всего
пути. Сколько осталось?

Если весь путь составлял 6 км, то рассужда-
ем так: половина от 6 — это 3, а одна треть —
2. Получаем: 3 км ч- 2 км = 5 км. А 5 км от 6 км
(длина полного пути) — это Осталось
пройти 1 км из 6 км, то есть 4-.

Тут нам повезло — 6 делилось нацело и на 2,
и на 3. А что делать, если весь путь был бы не
6, а, например, 17 км?

Повторим наши рассуждения, сведя задачу
к уже решённой: мысленно разобьём весь
путь на 6 равных частей. За первый час мы
прошли 3 части из 6, за второй — 2 части из 6.
Итого: 5 частей из 6, то есть 4-. Осталось
1 6
проити 1 часть из 6, то есть 4- от 17 км.
о

В данном случае изменились единицы изме
рения: ллы рассматривали не километры,
а части пути. Но это могли быть и части литра
молока, торта и т. д. — от чего бы мы ни счи-
115
тали половину и треть, все равно —+

2) Вы с братом копали огород. Он работал
3 часа, а вы — 5. Валл в награду купили торт.
Как честно его разделить?

Представьте, что вам подарили 8 пирожных.
Задача решалась бы просто: вам — 5, а бра-
ту — 3. Теперь осталось разделить торт на во-
семь частей-«пирожных», и задача решена.
5 в

Вам торта, брату — торта

А что, если бы вас было трое? Вы копали
5 часов, брат — 3, а ваш друг — 2 часа. Как
разделить угошение?

Опять же, если бы вам дали 1С пирожных, всё
просто. Следовательно, нужно разделить торт
на 10 частей. Вы с братом получите в сумлте
торта' а лруг — торта

Как складывать дроби? С одинаковыми
3 2

знаменателями легко. у+у— это 3 оди-
наковые части (седьмые) + 2 одина-
ковые части [седьмые). Итого, 5 едина
ковых частей, то есть у (см. рисунок)

А что делать, если знаменатели разные? Как

1 2

сложить, например, 4- и -»?
о

Нужно записать эквивалентные им дро-
би с одинаковыми знаменателями (то
есть свести задачу к предыдущей):

1_3

2 6

иЯ=-7-, тогда. — ч--^ — (см. рисунок).
ОО /- о о

Почему ллы привели именно к знаме-
нателю 6? Просто перемножили 2-3=6.
Это самый простой способ привести
дроби к одинаковому знаменателю.

1 ] г о р

Еще один пример.

О о I о I о I о

Но простой — не значит быстрый. Сложим,
например, дроби ^+^=4ш+64Э28=
=8192' ронятно' что ЭТУ дробь можно пред-
ставить в виде более простой эквивалентной:
192 _ 96 _ 48 _ 24 _ 2 _ 6 _ 3

8192 4096 2048 1024 512 256 128'

Эти две дроби можно сложить гораздо бы-
1 9

стрее, если заметить, что тт=т^о- Тогда:
11_ 3 64 28

64+ 28 128'

Ключевое слово во втором способе реше
ния — «заметить». Здесь поможет таксе поня-
тие, как наименьшее общее кратное (НОК),
то есть наименьшее из чисел, которое де
лится на данные. Например, НОК (64; 128)= 128,
НОК(6,8)-24. Самый быстрый способ сложе-
ния дробей — привести их к эквивалентному
виду со знаменателем, равным НОК.

Но это «технический приём», для использова
ния которого нужно ллногое помнить и уметь.
Главное, что мы знаем простой и универ-
сальный способ, который можно использо
вать, — перемножить знаменатели. И ллы
всегда можем его применить.

На вопрос, чему равно 3+4, каждый отве
тит 7. Но ведь не было сказано, что именно
предлагается сложить: 3 ручки и 4 каран
даша не приплюсуешь, оставаясь в терми-
нах ручек и карандашей — получится
7 объектов (например, 7 письменных при-
надлежностей). А как сложить 3 килограм
ма и 4 километра? Иными словами, скла-
дывая 3 и 4, мы подразумеваем, что речь
идет об одинаковых объектах (например,
3 яблока и 4 яблока).

Выполнять действия
с разными объектами
удаётся далеко не всегда
Для того чтобы выполнять кокие-то действия
с количестволли (целыми числами, дробя-
ми), необходимо, чтобы это были количества
одного и того же.

В школе много внимания уделяется технике
вычислений значений выражений, например

Если забыть, что в таких примерах
всегда подразумевается, что все дроби —
части одного и того же объекта, это может
привести к ошибкалл.

Рассмотрим пример. В одной вазе лежит
6 яблок, возьмём 2 из них, то есть 4- яблок.

В другой вазе также лежит 6 яблок, из них
тоже возьллем 2 — тоже 4- яблок.

Если сложить яблоки в обеих вазах, то получит

ся, что лты взяли 4 яблока из 12. То есть тоже —.

111

В результате получается глупость: 4-+4-=4-
ООО

Где же ошибка? Вроде бы, в обеих вазах ле
жат яблоки, но -у мы считаем от разных мно-
жеств, поэтому складывать и приравнивать
части разных объектов абсурдно. Правильно

записанное равенство должно выглядеть сле-

дующим образом: —6+ —-6=— -12.
ООО

2. Как нарисовать похожие
предметы?

Когда мы рисуем дом, то стремимся сделать
его максимально похожим, на оригинал.
Но что такое «похожий»? Вот мы нарисовали
одну стену долла. Если нарисуем так — плохо.
Так — тоже плохо:

А вот так — б’удет похоже:

То есть «похоже» — это когда соблюдены
пропорции (от латинского рогТю — «часть,
доля»): отношения высоты к ширине настоя
щего дома и нарисованного должны быть
одинаковыми.
Отношение — это дробь. Значит, равенство
дробей — это и есть про! юрция (похожесть).

В примере с домом у нас бь.л очень про-
стой рисунок, поэтому для «похожести» было
достаточно соблюдения пропорции высоты
и ширины. Если же компонентов на рисунке
будет много (окна, двери и т д.), то все они
должны быть похожими, то есть их размеры
должны быть одинаково пропорциональны
размерам оригинала (см. рисунок).

□ □
□ □

□п

С= с

О а
Когда лаы рассматривали пример с рабо-
той и честным разделением торта, то ис-
пользовали пропорцию: каждому доставал-
ся кусок торта, пропорциональный времени
работы. Вы копали 5 часов, брат — 3 часа,
значит, торт должен делиться в пропорции
5:3. В том же примере с другом, который ра
ботал 2 часа, пропорция становилась рав
ной: 5:3:2.

С пропорциями знаколла любая хозяйка.
Если в рецепте для блюда на 2 человек гово-
рится; С',5 литра молока и 1 столовая ложка
сахара, — тс для приготовления блюда на
четверых понадобится 1 литр молока и 2 сто-
ловые ложки сахара.

Зная любые три элемента пропорции, мож-
но вычислить четвёртый. Например, если
высота дома равна 10 метров, ширина —
5 метров, а высота дома на рисунке — 6 кле-
ток, то ширину можно найти из пропорции:
ДР-=—. Хотя и без вычислений понятно, что
х

она должна быть равна 3 клеткам (см. рису-
нок). В нашем примере все рисунки с отно

шением Я=—=-^-=4

6 5 3 4
на реальный дом.

=2 будут похожими

10 _ 6
5 “х
Так и составляются чертежи, планы, карты.
На одной и той же карте отношения между
любыми двумя отрезками сохраняются
(см. рисунок): во сколько раз рссстоя
ние от Москвы до Петербурга больше рас-
стояния от Севастополя до Новороссий-
ска, во столько же раз должны отличаться
и расстояния между этими городами на
карте.

То есть карта — это изображение ллестно
сти, пропорционально уменьшенное (или
увеличенное) в несколько раз. То, во сколько
раз уменьшено (увеличено) изображение
на карте, называется масштабом. Он за-
даётся пропорцией, например: 1:10 000 000.
Это значит, что 1 см на карте соответствует
10 000 000 см = 100 000 м = 100 км на местно-
сти. То есть расстояние между Казанью
и Сочи (1 513 км), измеренное на такой кар-
те, будет приблизительно равно 15 см.

Москва - Санкт-Петербург - 635 км

Севастополь - Новороссийск - 336 км

Похожие объекты в математике называются
подобными. Если все линейные размеры
уменьшить или увеличить в одно и то же ко-
личество роз, то получится подобный объект:
дом и его рисунок, местность и её корта,
бактерия и её изображение под микроско
пом, предмет и тень, которую он отбрасы-
вает, и т д

Разллеры объектов на сет-
чатке глаза тоже пропорци-
ональны реальным (см. ри
сунок).

У подобных фигур едина
ковая форма, но разные
размеры. Например, лю
бые два круга подобны: мо-
неткой можно закрыть Луну.

Подобие можно использовать для определе-
ния размеров больших объектов, непосред-
ственно измерить которые затруднительно.
Так, по тени от дома (В) можно вычислить его
высоту: В качестве а и Ь нужно взять

размеры объекта, которые вам известны
(длина палки, которую вы измерили, или ваш
рост, если вы его знаете), и длину тени, кото
рую он отбрасывает (см. рисунок).
Еще один пример использования подо-
бия — определение расстояния до удален-
ных объектов (см. рисунок).

Вывод, пропорция — это равенство отно-
шений.. или эквивалентных представлений
дроби. Похожими мы называелл обьекты,
размеры которых пропорциональны.

3. Бывают ли стандартные дроби?

Дроби означают количество частей какой то
единицы: торта, литра, молока, пути от дома
до школы и т д. Знаменатель дроби указыва-
ет — на сколько частей поделили, а числи-
19
тель — сколько частей взяли. Например, —
это 19 частей чего-то, разбитого на 42 равные
части (19 яблок из 42. 19 лет из 42 и т. д.).

Но одно и то же отношение можно за11исать
бесконечным количеством эквивалентных
дробей: ^-=^=^=^=...=- '-^= .. Поскольку дро-
би, как и натуральные числа, выражают коли-
чества, то нужно научиться работать с ними:
сравнивать, складывать, вычитать и т. д.
Это обычная ситуация — измерять длину
можно в саженях, вёрстах, дюймах.
Но сравнивать полученные результаты,
складывать измеренные расстояния не
получится — нужна единая мора. Поэто-
му договорились переводить все длины
в метры (и производные единицы — сан-
тиметры, километры).

Рассмотрим такой пример: необходимо
определить, какая школа лучше: в одной
учится 171 отличник, а в другой — 196. Кажет
ся, вопрос простой — конечно, вторая.
Но ведь мы пока не знаем, сколько всего че-
ловек учится в каждой из школ.

Если в первой 200 учеников, а во второй —
1 000, то первая школа явно лучше. Рассмот-
рим менее очевидную ситуацию: в первой
школе 443 ученика, во второй — 485.

Как сравнить успеваемость? Нужно оценить
«коныентрацию» отличников, то есть какую
часть от общего количества учеников состав
ляют отличники в каждой из школ. Задача сво
дится к сравнению двух дробей: и —

Натурсльные числа сравнивать легко. Если
приведем дроби к общему знаменателю, то
останется сравнить натуральные числа —
числители — количества одинаковых частей.

В качестве общего знаменателя возьмём
произведение знаменателей исходных дро-
171 = 171 -485= 82 935 , 19б=, 96-443^
'-еи- 443 443-485 214 855 485 485-443

о / ООО

=214855' Теперь можно сказать, что вторая
школа лучше (86 828 > 82 935).
Как видим, решение получилось не из про-
стых [по крайней мере, в плане вычислений).
Две дроби можно привести к общему зна-
менателю. А что делать, если надо выбрать
лучшую школу из 20? 100? 1 000? Вычисления
будут ели школа громоздкими.

Для работы с дробями тоже удобно приду-
мать какой-то стандарт.

Для целых чисел у нас такой стандарт
есть: числа представляются в едином виде:
375=3'100+7-10+5. Мы считаем стандартными
наборами десятков [сотен, тысяч и т. д.). В та-
ком виде сравнивать числа легко: 375 больше
364, потому что при равном наборе сотен во
втором числе лленыше десятков.

Для дробей тоже придумали такой стандарт,
десятичные дроби. Любая обыкновенная дробь
может быть записана в десятичном виде. Неко-
торые просто: у=0,5; -|=0,25; некоторые с пе-
риодом: 4-=О,33...=О,(3). Как это делается?

Составим алгоритм приведения обыкновен-
ной дроби к «правильному» удобному виду.
Алгоритм состоит из последовательности
простых известных шагов.

В начале рассмотрим общую идею: пред
ставьте, что вам нужно разделить 17 кило
граммов нагрузки на 43 участников похода.
Каждому нужно выдать общего веса. Что
делать? Вспомним, что 1 кг = 1 000 г. Разделим
17 000 нс 43, и получится, что каждому надо
дать приблизительно 395 г (слл. рисунок).

Теперь можем вернуться к килограммам:
каждому досталось 395 граммов, или (де-
лим на 1 000) 0,395 кг. Получили десятичную
дробь, которая приблизительно равна -Ц.

4-0

17 000.43____

12 9 1395,...

4 10

3 87 _

230

215

15
Мы вычислили массу с точностью до 1 грам- ма — вряд ли кто то будет спорить из-за такой незначительной погрешности. А если все- таки понадобится большая точность то мож- но перейти к миллиграммам: 395 383 милли- грамлла, или 0,395383 кг. И т. д. Итак, алгоритм приведения дроби к десятич- ному виду (без килограммов и граммов) вы глядит следующим обрезом (на примере дроби 1) Умножаем обыкновенную дробь на 100
1700 43 129 39,... 410 387 23 (или 10, или 1 000 и т. д.). Получаем. . 2) Делим 1 700 на 43 в столбик — получаем целую часть 39 (см. рисунок). 3) Вспомним, что мы умножали на 100, зна- чит, результат нужно разделить на 100, полу 39 чаем:ш Для дробей с десятками, сотнями, тысячами в знаменателе придумали короткую запись ЮО-0'3' 100-0'05' 1 ООО-0'01' и т’ л’
Итак, — 0,39. Если нужна большая точность,
то можно умножать и делить не на 100, а на
1 000. В результате получится более точный
результат 0,395 и т. д.

Итак, мы знаем, как превращать обыкновен
ные дроби в «правильные», десятичные. Теперь
задача сравнения разных дробей лложет нас
пугать только объемом работы, но не неиз-
вестностью — важно понимание. Л когда есть
понимание, то работу можно поручить маши-
не (например, калькулятору): любая из них мо-
ментально выдаст ответ: -Ц=С,3953488372093...

Теперь мы знаем, что это значит.

Полученную дробь можно записать по-друго-
му: о+^~^~Тооо=°-1 +3'^0+9'17)0+5'ТШ'
Видна полная аналогия с десятичной за
писью числа: 573=5-100+7'1 0+3 1. Если ис-
пользовать степени числа, то аналогия
ещё более наглядна: 573,395=5-102+7-10’+
+3-10°+3- 1С’+9-’02+5-10-3.
3 жизни мало где используются обыкновен
ные дроби: десятичные более удобны (алго-
ритмы для сравнения, с также все алгорит
мы действий в столбик для них практически
не отличаются от уже известных нам алгорит
мов для натуральных чисел). Но вдруг всё-
таки придётся разделить 25 кг на 52 участни-
ков похода, с калькулятор сломался...

4. Почему проценты — это просто
сотые доли?

Вспомним пример с отличниками в школах
из прошлого параграфа, в одной 171 отлич-
ник из 443 учеников, в другой — 196 отлични-
ков из 485 учеников.

Мы выяснили, что задача сравнения школ
свелась к сравнению дробей-----и Для

того чтобы сравнить дроби, перепишем их
в «стандартном» десятичном, виде: 0,386034...
и 0,404123... Теперь сравнить легко: вторая
школа явно лучше.

Но понятно, что такая точность не нужна, до-
статочно было оставить одну или две цифры
после запятой: 0,38<0,40. Сотые доли назва-
ли процентами (от латинского рег сепТцт —
«на сотню»); 1%=у^0=О.О1. Все приняли про-
цент д\я измерения долей: как метры для
измерения длины

Например, про всхожесть семян говорят
97 %, имея в виду, что из каждых 1 000 семян
(в среднем) поднялись 970 ростков; 97 % от
1 000=^ от 1 000=97110^00=970.

Рассмотрилл ешё несколько примеров:

• «годовая ставка по вкладу составляет 10 %».
Это означает, что за каждые 100 рублей, кото-
рые клиент будет держать в течение года на
счёте, банк перечислит ему ещё 10 рублей,

• «производство за год выросло на 5 %». Это
означает, что если взять нынешний результат
и разделить на прошлогодний, то получится
105

дробь, равная Например, в прошлом
году было 455 тонн, с в этом году — 478 тонн.
Отношение: ~ —1,05=— -7=105 %;

4о5 100

• «за год я вырос со 155 см до 165 см». Зна-
чит, вы выросли в 1,06 раза, то есть на 6 %.
При этолл ваш старший брат мог вырасти на
те же 6 %, но для него они составили бы уже
11 сантиллетров. 180 1,06=191 сл\ (потому что
исходный рост у вас был разный, а так как
процент — это часть, то неудивительно, что
одинаковое количество частей от разных ко-
личеств будет резным количеством).

Важно понять, что тут и понимать нечего: про-
цент — принятая единица измерения долей,
как тонна или килограмм — для измерения
массы.
Вместо того, чтобы говорить «У м.еня оста-
лось четверть бака бензина», можно сказать
«осталось 25 %». А в магазине, чтобы не пи-
сать новую цену для каждого товара, пишут
«скидка на все товары — 15 %». Значит, от
каждой цены нужно вычесть 15 % (15 сотых) —
было 200 рублей, стало 170 рублей.

Чтобы окончательно убедиться, что в про-
центах нет ничего сложного, представьте,
что мы умеем делить только на 100. При
этом высокая точность не нужна. Тогда мож-
но пользоваться такилл словарелл-перевод-
чиком:

• Я прошел полг.ути в школу — я прошел
50 % пути до школы

• Сделать треть домашнего задания — сде-
лать около 33 % доллашнего задания.

• Россия занимает чуть больше девятой ча
сти суши — Россия занимает около 11.5 %
суши.
Важно, что не надо знать, какое по объему
было домашнее задание, какова площадь
поверхности Земли и России, важно отно-
шение, выраженное в общепринятых едини-
цах. Если говорить: «я сделал 5 примеров из
15, а брат — 7 из 21», то ещё надо прикинуть,
кто из вас сделал больше. А в процентах (или
просто в дробях) все ясно — оба сделали
—, или 33 %, от общего количества । тримеров.

Есть ли другие принятые единицы измере-
ния долей? Да, осты например — про-
милле (%о). Проценты — это сотые доли,
а промилле — тысячные. Они используют-
ся в тех случаях, когда речь идёт о не-
больших долях. Например, солёность
морской воды принято измерять в поо-
милло {потому что в килограмме морской
воды обычно содержится всего несколько
граммов соли). Также в промилле изме-
ряют допустимый уровень содержания
различных веществ в крови человека
(например, алкоголя в крови водителя).
5. Есть ли «своём множество
у дробей?

Когда мы работали с количествами, то мож-
но было вычитать только из большего мень
шее: нельзя взять с полки 5 книг, если там
стоит 4.

Но ллы придумали новый инструмент: «раз
решили» вычитать из меньшихчисел большие
и ввели для записи полученных промежуточ-
ных результатов новые числа — отрицатель-
ные. Натуральные и противоположные им
отрицательные вместе образовали множе-
ство целых чисел. Это множество замкнуто
относительно трех операций: сложения, вы-
читания и умножения. Иными словами, скла-
дывая, вычитая или умножая любые целые
числа мы снова получим целое число.

С четвёртой операцией, делением, не так.
Умножение на натуральное число п — это
сокращенная запись сложения, умножае-
мого с самим собой п раз: 5-3=5+5+5. Зна
чит, деление (нацело), как операция, обрат-
ная умножению, возможно не всегда: 21=7-3,
поэтому 21:3=7, а вот поделить нацело 21 на
4 не получится.

Введя понятие дроби, мы распространили
операцию деления нс все числа, то есть
определили объекты вида для всех целых
чисел тип (кроме 0). Мы использовали тот
же приём, что и при введении отрицательных
чисел: дополнение новыми объектами.

Дроби вместе с целыми числами образу
ют новое множество: рациональные числа
(от латинского гаНо — «отношение, деле
ние, дробь»).
3 школе говорят: «на 0 делить нельзя». Это ко-
роткая формулировка но она не раскры-
вает сути. Делить можно, вопрос — зачем
и что получится в результате. Пальцы в розет-
ку тоже можно засунуть только от этого пло-
хо будет И можно «море высечь розга-
ми» — но зачем?

Деление на 0 не имеет смысла, поэтому не
определено. Почел\у?

3 жизни мы сталкиваемся с необрстимылли
действиями: разбить чашку можно на сколько
угодно частей. В языке есть пословица: «Сло-
во — не воробей, вылетит — не поймаешь».

Умножение на 0 стирает информацию,
поэтому является примером необратимого
действия в математике.

Мы уже говорили, что ултножение — это ко-
роткая запись сложения одинаковых чисел.
Деление — 01 юрация, обратная умножению.
Разделить 21 на 3 — означает ответить нс во
прос: сколько раз в 21 содержится число 3.
Вспомним, что 0 мы ввели кок часть большо
го механизма под названием целые числа,
для обозначения отсутствия чего то. О облег-
чает нам счёт и запись, но нулевого количе-
ства нет на него не укажешь пальцем.
ПоэтолАу и сказать, сколько нулей содержит-
ся в другом числе, нельзя.

Разделить 3 на 0, означает ответить на во
прос: сколько раз в 3 ничего нет? Это глупый
вопрос; сколько в комнате квадратных мет-
ров — нормальный вопрос, а сколько в ней
пустоты — не вопрос

Если бы мы придумали какой-тс смысл
для выражения то это противоречило
бы известным нам свойствам и опреде-
лениям, например, свойствам умнэже-
ния Действительно, пусть -^=х. Поскольку
деление — операция, обратная умноже-
нию, то 0-х=3. Но 0-х=0. Получаем противо-
речие.

Даже если бы мы определили -,-=х, то по-
лучили бы противоречие. Это равенство
эквивалентно равенству С=0-х которое
зерно при любом х. Но мы договорились
считать результат деления конкретным
числом, которое определено однозначно.
Снова противоречие.

хьнь,е%

т 6 ? л е И

+ 0*

0,2-0,2 = 0 ' -6:1.2 =-5

1*3.5 22.1

3*6'6 5 4'5

Поэтому мы просто не определяем деле
ние на 0 и говорим, что множество рацио-
нальных чисел замкнуто относительно всех
четырех операций: сложения, вычитания,
умножения и деления.
1. Будут ли полезным инструментом ЧАСТЬ 3.
нерациональные числа? ДРУГИЕ ЧИСЛА

Мы назвали рациональными числами все, ко-
торые можно представить в виде дроби от-
ношения двух целых чисел. Нужно ли рассмат-
ривать числа, которые нельзя представить
отношением двух целых, и если да, то что они
из себя представляют? Сейчас разберёмся.

Натуральных чисел в природе тоже не су-
ществует. Котла мы считаем стулья или
пирожные, то предполагаем, что все они
одинаковые с точки зрения целей нашего
подсчёта. Хотя, конечно, двух абсолютно
одинаковых стульев или пирожных не су-
ществует. То есть даже самые тесте
ственные» с нашей точки зрения нату-
ральные числа — это придуманный нами
инструмент. Он оказался удобен для ре-
шения многих задач, поэтому мы им
пользуемся. То же касается целых, раци-
ональных и вообще любых чисел.

По поводу существования ллы не будем фи-
лософствовать; молотка и компьютера тоже
не было, пока их не сделал человек. Также
мы относимся и к числам — как к инстру-
ментам, которые люди изобретают для удоб-
ства: есть полезная конструкция, можно
'(позволить» ей существовать.

Возьмём квадрат со стороной 1 метр и по
пытаемся измерить его диагональ. Казалось
бы. что лложет быть проще — взяли линейку
и измерили. Так и есть, вопрос только в точно-
сти измерения. Например, если мы хотим
1М

измерить с точностью I см,
то длина диагонали будет
лежать между I м 41 см
и 1 м 42 см. Если с точностью
до 1 мм, то между 1 м 41 см
4 мм. и 1 м 41 см 5 мм. И т. д.

Увеличивая точность, полу-
чим: 1,41421356.... И сколько
бы мы ни продолжали, этот

ряд не закончится. В реальной жизни наши
потребности в точности всегда ограничены
Но математики задаются вопросом — коне
чен ли этот рядУ Или, по другому, можно ли
представить диагональ квадрата со старо
ной 1 в виде дроби, то есть будет ли её длина
рациональным числом? Ответ — нет. Про
это говорят так. сторона квадрата и диаго-
наль несоизмеримы.

Пифагорейцы, обнаружив этот факт, были
шокированы и даже сохраняли его в тайне
долгое время. Но страшного ничего в этом
нет: во-первых, любая система знаков имеет
ограничения. Например, скрип тормозов не
получится записать с помощью букв алфа
вита. Но это тоже звук.

Зо вторых, во фразе «возьмём квадрат со
стороной 1 метр» есть неопределенность.
Нельзя измерить абсолютно точно реальный
объект — у любой линейки есть риска, у ко
торой есть толщина. Раз мы исходно поста-
вили идеальную задачу, то и придётся ми-
риться с идеальными объектами, которые
мы используем для её решения. В реальном
случае сторона была бы задана с некото-
рой точностью и диагональ вычисляли бы
с конечной точностью. Точно так же мы чита-
ем фразу «Иван Иванович встал со стула
и вышел из комнаты». Мы не спрашиваем,
какого цвета стул, из какого материала он
сделан и т. д Нам всегда нужна конкретная
степень точности, и это нас спасает. Мате-
матики придумали идеальные обьекты и по-
лучают алгоритмы для решения конкретных
задач.

Итак, нам нужен другой знак для записи дли-
ны диагонали квадрата со стороной 1. Его
придумали: 72. Хотя он и не записывается
в виде конечной последовательности цифр,
его тоже назвали числом.

Это удобный инструмент, так как позволяет
вычислить длину диагонали квадрата с бес-
конечной точностью: 72 — содержит в себе
любую необходимую точность (какой бы тон-
кой ни была риска линейки). Как нет самого
большого натурального числа (всегда мож
но прибавить 1 и получить следующее), так
нет и последней цифры в десятичной запи-
си 72 — всегда лложно вычислить следую
щую и получить более точное значение.
Пусть нам это удалось: причём

упростим дробь до такого вида, кома
а и б не имеют общих множителей, то
есть дробь — несократимая. Тогда:
Т2-Ь=а, откуда: 2б2=аг. Левая часть со-
держит множитель 2. значит делится на 2.
Тогда и правая часть должна делиться на
2. Но если квадрат числа делится на 2,
то и само число делится на 2. Значит
а=2‘к. Подставим в равенство, полуиим:
2б2=4к2 <=> Ь2=2к2. Получили аналогичную
ситуацию — правая часть делится на 2,
значит и левая делится но 2 значит, б де-
лится на 2. Получили, что и а, и б должны
делиться на 2. А мы предположили, что
дробь — несократимая. Противоречие.
Значит, представить число 2 в виде дро-
би не получится, то есть оно нерацио-
нальное.

Может быть \2 можно представить в виде
дроби, и мы получим другую запись какого то
рационального числа? Оказывается, нет

Числа, которые нельзя представить в виде
обыкновенной дроби, так и называют —
нерациональные, или иррациональные. Та
ким числом является отношение длины
окружности к диаметру, число тт. Рацио-
нальные и иррациональные числа вместе
составляют множество, которое назвали
множеством действительных (или веще
ственных) чисел.

Иррациональные числа тоже могут обозна
чать количества — длину диагонали квад
рата со стороной 1, отношение длины
окружности к диаметру и т. д. Они могут
быть вычислены с любой точно-
стью, и потому их можно ис-
пользовать в построениях лю
бой точности.

Математика придумывает ин
струменты, а где их применять,
должны решать мы. Эти ин-
струменты помогут вычислить
неизвестные стороны прямо-
угольного треугольника, но не
помогут выделить прямоуголь-
ный треугольник в реальной
задачи (см. рисунок). Чтобы
применить математическую
модель, нужна сначала «не-
математика».

2. Как мы придумываем
новые числа?

Количества записываются чис-
лами. Отсутствие количества
записывают как 0. Это специ
фическая цифра: означает
отсутствие количества, как не-
кое специальное количество.

0-?

а2 + а2 = 5'

2а: = 5'

= 2(3.5 б) = 42м?

_5_ 5^2

V 2 72 ’ 2

Так в жизни мы называем темнотой отсут-

ствие света.

Дружба есть только между некоторыми чле
нами общества. Мы расширяем это отно-
шение на все пары людей, вводим дополни-
тельное и противоположное понятия: не
друзья и недруги. «Вася и Петя — не друзья» —
это отсутствие отношений. Фраза «Вася
и Петя — недруги» означает совсем дру-
гое — это отношение, противоположное
дружбе. Таким образом мы смогли даже
врагов определить через дружбу.
Где ещё происходит расширение множества
при помощи операции, заданной на нем?

Вы купили конструктор. В инструкции указа-
ны игрушки, которые, по мнению создателя,
можно составить из деталей.

Но вы можете составить все, на
что хватит фантазии и деталей,
и придумать собственные назва-
ния для изобретенных игрушек
Можно расширить понятие иг
рушки: считать игрушкой любой
объект, составленный из деталей
конструктора.
Процедуру расширения мы использовали
и в мателАатике для получения новых инстру-
ментов — видов чисел. Коротко вспомним:

1) Натуральные числа. Понятно, как из боль
шего вычитать меньшее. 7-5=5+2 5=2. Ре-
зультат вычитания из меньшего большего мы
тоже назвали числом. Получили новые объек-
ты — отрицательные числа, которые вллесте
с натуральными и 0 образуют множество
целых чисел.

2) Некоторые целые числа делятся друг на
друга. Понятно, как их делить: если 5-3=15, то
15:5=3. Применим операцию деления ко
всем парам целых чисел, получим объекты,
которые назвали рациональными числами.

3) Некоторые число являются полными квад
ратами, то есть равны квадрату других: 4=2-2,
25=5-5 и т. д. На этих числах легко опреде-
лить операцию извлечения квадратного кор-
ня: 81 =9-9, тогда '81=9. Расширим эту опера-
цию на все положительные числа — получим
новые объекты, которые уже не являются ра
циональными числами. Это примеры нового
инструмента — иррациональных чисел.

Мы все время, применяя операции, получали
новые объекты которые называли числами.

Можно пойти дальше — например, разре-
шить извлекать квадратный корень из отрица-
тельных чисел. Можно назвать числом такое /,
которое удовлетворяет свойству: /-/=-1 (/ еше
называют мнимой единицей). Удастся ли нам
описать новые числа так, чтобы их свойства не
противоречили свойствам уже известных нам
чисел? Будет ли новый инструмент полезен
для решения различных задач? Сказалось, что
ответ на оба вопроса утвердительный, этот
инструмент назвали комплексными числа
лли, и он оказался очень эффективным.

Введение

«Главные» числа — натуральный ряд — ро-
дились из измерения количества предметов
в множестве: мы назвали числом то, что
есть общего между множеством стульев
и гостей — если каждому гостю досталось
по одному стулу и каждо.му стулу — по од
ному гостю.

И обратно, главное применение чисел — из-
мерения. Нам нужно оценивать размеры
различных предметов, сравнивать цены тем
перстуру, силу тока, массу предметов...

Многие вещи, которые нас волнуют, не под-
даются сколько-нибудь точному измере-
нию — сила дружбы и любви, вкусовые пред-
почтения и т. п. Тем более важно уметь
измерять то, что измерить можно.

Измерение — это сравнение: например,
мы сравниваем рост с длиной некого стан-
дартного, одинакового известного всем от-
резка — метра.

Как нельзя знать все полностью о каком-то
реальном паедмете, так и невозможно аб
солютно точно измерить какой-либо пара-
метр предмета. Потому что у любого изме
рительного прибора — линейки — есть
размер деления. Вот с точностью этого деле-
ния мы и можем измерять такой линейкой.

Но обычно нам и нужны размерь: с точно-
стью, определенной задачей. Никто не будет
беспокоиться о точности выше 1 миллилитра
при разливе питьевой воды в бутылки. Более
высокая точность нерационально удорожи-
ла бы автоллат.

ГЛАВА 2.
ИЗМЕРЕНИЯ.
ТОЧНОСТЬ
И ОКРУГЛЕНИЕ
Талл, где точность принципиально важна, ис-
пользуют идею допуска — любому размеру
сопутствует допущенная неточность. Так, на
упаковке можно встретите надпись: «масса
нетто 900±5 гр». Это значит что масса про
дукта может быть в пределах от 895 до
905 граммов.

В этой главе мы поговорим об измерениях
и с том, как определяется их точность.
1. Что такое единица измерения?

Для передачи информации мы используем
метафоры; сильного мужчину сравниваем
с богатырём, красивую женщину — с ак
трисой. Такие образы позволяют собеседни-
ку получить общее впечатление, хотя их не
льзя назвать точными: представления о силе
богатыря или красоте актрисы могут сильно
различаться.

Для передачи точной инфорллации о ка
ком-либо параметре необходимо выпол-
нить его измерение, то есть сравнение с не
которым эталоном. Когда говорят: «рост
человека 164 сантиметра» в роли эталона,
или, по-другому, единицы измерения, высту-
пает 1 сантиметр. Эта же информация зву
чит так: рост данного человека в 164 раза
больше чем 1 сантиметр.

При измерении важно учитывать, что, во-пер-
вых, мы знаем о существовании сантимет
ра — единицы измерения, с которой мы вы-
полняем сравнение. Во вторых, тот, кому мы
сообщаем результат, тоже знает о том, что
такое сантиметр, и наши знания совпадают

Без единицы измерения нет и самого изме
рения. Представьте, что на вопрос: «Сколько
нужно времени, чтобы всё закончить?» — вы
слышите ответ «Пять». Дней, часов, минут, се-
кунд? Согласитесь, инфорллации немного.

Есть ли какие-то требования к единицам из-
мерений? Вообще говоря, сравнивать мож-
но с чем угодно. В известном мультике длина
удава оказалась равна 38,5 попугая. Тоже
результат измерения, который несёт в себе
определенную информацию.

ЧАСТЬ 1.
ИЗМЕРЕНИЯ.
ЕДИНИЦЫ
ИЗМЕРЕНИЯ
Но такой эталон не очень удобен, ведь попу-
гаи бывают разные. Многие устаревшие еди-
ницы измерения — аршины, локти, футы —
были связаны с длиной частей тела человека.
Но оказались неудобными всё по тем же
причинам — длина ступни у людей могла
быть разной, поэтому результат измерения
для разных людей нёс разную информацию.

Значит, эталоны нужно выбирать так, чтобы
они всеми воспринимались одинаково.
Но как этого добиться? Читая старые книги,
можно наткнуться на сал-\ые разные единицы
измерения. Например, длину ещё совсем
недавно (по историческим меркам) измеря
ли в вёрстах. У Пушкина в «Зимней дороге)»:
«только вёрсты полосаты попадаются одне».
А также в лье — «Двадцать тысяч лье под во
дой» Жюля Верна. Или милях. У Майн Рида во
«Всаднике без головы»; «Вот и та лошадка на-
верно, проскакала миль двести за одну ночь».

Зо многих странах были свои системы мер.
Однако по мере расширения взаимодей-
ствия между людьми из разных государств
(в первую очередь это касалось торговли

МТУТ 15 Ъе-РОТ
КАК ММНИМУ**!

НУ ЦТО
элеглгн® волеа

Ю миль
и науки) такое положение дел становилось
не/добным. Нужно было ввести еди-
ные стандарты для измерения основных ве
личин, таких как длина, масса, время.

Поэтому пришли к единым эталонам для из-
мерения длины и массы — стержень, длина
которого равна одной сорокамиллионной
части одного из меридианов (линии, соеди-
няющей Северный и Южный полюса Земли),
и металлический цилиндр, масса которого
равна массе литра воды при определённых
условиях. С тех пор наука продвинулась да
леко вперед, сейчас для определения эта
лонных значений используются другие мето-
ды. Но для нас важен следующий вывод:
единица изллерения должна воспринимать
ся всеми одинаково, чтобы информация,
которую несет измерение, была полезной.

Итак, единица измерения — это результат
договора между людьми. Сейчас, напри-
мер, в большинстве стран длину принято из-
мерять в метрах, массу — в килограммах.
Но иногда встречаются устоявшиеся «арха
измы» — наприллер, диагональ телевизора
до сих пор принято измерят^ в дюймах. В лю
бом случае, в чем бы мы ни измеряли, мы
будем сравнивать с эталоном.

Вернемся к метафорам. Требование к эта
лону, с которым производят сравнение,
остается тем же — он должен быть понятен
и известен тому, для кого предназначается
описание. Читая «Мёртвые души» Н В Гоголя,
можно встретить такую фразу: «Неизвестно,
как он это делал, но только нос его звучал,
как труба». Если человек никогда не слышал,
как звучит труба то это сравнение не даст
ему никакой информации. Точно также, как
для инопланетянина, который не знает, что та-
кое сантиметр, не будет нести смысловой
нагрузки фраза: '(Мой рост 164 сантиметра».

2. 2 дня пути и 100 км — это одно
и то же?

ФФФФФ

10 оульев

Единицы измерения бывают резные. Более
того, одну и ту же величину, в зависимости от
целей, можно измерять в разных единицах.
На рисунке изображены стулья. Если мы
рассуждаем о том, сколько гостей на них
сможет сесть, то скажем — 10 стульев.
В данном случае единицей измерения бу
дет стул.

Если нам нужно их перевезти, то может пона-
добиться масса — 100 килограммов. Теперь
единицей измерения будет килограмм.

ффффф

100 кг

Расстояние обычно измеряется в метрах
и километрах. Но иногда мы используем
время: 10 минут ходьбы, час езды и т. д. Такая
замена единицы измерения привычна с дав
них пор: «город находится в двух днях пути».
Почему это бывает удобно?

Удобство единицы измерения определяет-
ся целью самого измерения. При поездке
по городу нам чаше всего расстояние в ки-
лометрах не так важно, как затраченное
время. А оно зависит от многих факторов —
вида транспорта, наличия дорог пробок
и т. д. Пешком за час можно пройти 5 кило-
метров, а на метро это же расстояние
можно проехатв за несколвко минут. Но до
станции метро еше надо дойти. И т. д. По
лучается, что в минутах (часах) удобнее
и понятнее.

Иногда даже в одних и техже единицах полу-
чаются разные результаты измерений.

Ваш сосед может находиться прямо за
стенкой, но чтобы зайти к неллу в гости и вы-
пить чаю, придется проделать путь по
длиннее.

Другой гример: на
рисунке видно, что
расстояние между
точками А и В по пря-
ллой небольшое. Но
чтобы оказаться на
другом берегу реки,
придётся идти через
мост

Получается, что нуж-
но много пройти, что-
бы переместиться на
небольшое расстоя-
ние. Так и в горах
расстояние по пря-
мой и путь который
реально надо прой-

ти, могут существен

но отличаться. В физике, чтобы не путаться,

вводят две разные величины — путь и пере
мешение (расстояние по прямой).
У охотника и собаки
олинаковые
перемещения,
но разные пути

Поэтому в навигаторах обычно предлагают
ся расстояния между началом и концом
маршрута, измеренные в разных единицах
измерения: километры, время для пешехо-
да, время для автомобиля и время для обще-
ственного транспорта.

Астрономы оперируют расстояниями, кото-
рые в километрах будут записываться очень
большими и громоздкими числами. Для за-
писи и вычислений оказалось удобно ис-
пользовать единицу, связанную со време-
нем: световой год — расстояние, которое
свет проходит за один год (приблизительно
9,46 1015 км).

Итак, выбор единицы для измерения опреде-
ляется целью, с которой оно проводится

3. Как перевести измерения
с одного языка на другой?

Предположим, мы определились с целью
измерений: что и в каких единицах хотим
измерить. Но чтобы получить результаты,
этого недостаточно. Нужен еще измеряю
щий инструмент, прибор.

Таких приборов создано очень много. Даже
человека можно считать одним из них. Мы го-
ворим: «От дома до школы 5 минут ходь-
бы», — подразултевая, что с нашей обычной
средней скоростью движения преодолеем
данное расстояние за 5 минут

Но всё же чаще всего под такими инстру-
ментами подразумеваются: линейка, тер
мометр, секундомер, весы и т. д.

Массу на весах определяют по тому, как
сдвинулась стрелка (см. рисунок).

Но масса — это одна ве\ичина, а показания
(расстояние, на которое сдвинулась стрел-
ка) — другая. Шкала на весах позволяет
перевести расстояние (на сколько сдвину
лась стрелка) в реальную массу предмета.
То есть не все величины можно измерять пря-
мо, некоторые вычисляются опосредованно,
через результаты измерения других величин.

0,5 кг
Можно выделить три основные единииы изме-
рения: Сантиметры (длина), Грамллы (лласса),
Секунды (время), через которые можно выра-
зить остальные Первые буквы этих единиц об-
разуют аббревиатуру СГС — систему величин
которую иногда используют в физике.

Собственно, эти три величины можно на-
звать основными (исходно их измеряли,
сравнивая с эталонами). Остальные величи-
ны являются 11роизводными, то есть мы вычис-
ляем их значения, используя результаты из-
мерения основных величин

Например, скорость измеряется в м/с. Спи-
дометр, на самом деле, не определяет не
посредственно скорость Он вычисляет её,
определяя расстояние, которое проехал ав
томобиль за некоторое время (принцип ра-
боты разных спидометров может отличаться,
но сформулированная идея, по которой вы-
числяется скорость, остаётся той же).

Другой пример — температура. При нагре
вании ртуть (спирт) в термометре расширя
ется, поднимается на определённую высоту.
Шкала проградуирована таким образом.,
чтобы перевести длину (изменение высоты
столба ртути или спирта) в градусы.

В физике вводят много резных единиц
измерения — ньютоны (сила), джоули
(энергия), ватты (мощность) и т. д.
Но они выражаются через длину, массу
и время: 1 Н = 1 кгс™, 1 Дж = 1 Н-м = 1 кг^\
1 Вт = 1^*-= 1 кг'^2. То есть 1 Н — это
с с3

сила, которая увеличивает скорость тела
массой 1 кг на 1 м/с за каждую секунду
(конечно, строго говоря скорость 1 м/с
тоже надо было расписать, как расстоя-
ние 1 м, которое тело проходит за 1 с).
Может возникнуть вопрос — зачем вво-
дят эти дополнительные величины если
всё можно выразить через три базо-
вые? Ответ прост —для удобства. Если
какая-то конструкция используется ча-
сто, то удобно / /ридумать для неё отделы
ное обозначение и рассматривать в ка-
честве самостоятельного эффективного
инструмента. Так, мы используем 1 %
вместо того, чтобы говорить «сотая
часты>, неделя — вместо 7 дней и т. д.

Обратите внимание, что до сих пор мы опре
деляли значение величины с помощью одно-
го числа (длина, масса, время и т. д.). Все-
гда ли этого будет достаточно? Пред, юложим,
нам известно, что человек двигался по пря-
мой с постоянной скоростью 5 км/ч в тече-
ние 1 часа. Хватит ли этой информации?
Смотря для чего — если нас интересует путь,
который прошел человек, то до: он прошёл
5 км. А вот для того чтобы определить его по-
ложение — уже нет. Мы будем знать лишь то,
что он находится в какой ю точке окружности
радиуса 5 км. Чтобы ответить на вопрос
о местоположении, необходимо знать не
только числовое значение скорости, но
и направление.

Такие величины, которые характеризуются
несколькими параметрами {численное зна
чение и направление), ллы называелл вектор-
ными. Массу, время и другие величины, ко
торые однозначно определяются одним
числом, мы называем скалярными (от лат.
$са1а — лестница; все значения скалярной
величины можно изобразить на одномерной
шкале, отсюда и название).

4. Как измеряют углы?

Линейка — хороший способ измерять не
очень большие расстояния. А как измерить
расстояние от Москвы до Владивостока? Тут
линейка уже не поможет — расстояние
перестает быть наблюдаемой величиной.
Значит, необходимо его вычислить. Для этого
можно использовать свойство треугольника:
по трём известным элементам можно
восстановить все остальные его элементы
(подробнее об этом поговорим в 11-й гла
ве). Идея метода состоит в следующем: бе-
рут две точки, измеряют между ними рас-
стояние, затем намечают какую-то точку
в направлении измерения (см. рисунок).
Получается треугольник в котором известны
одна сторона и два угла. Как мы уже сказа
ли, этого достаточно, чтобы вычислить неиз-
вестные стороны
Для нас сейчас важна не техника вычисле-
ний, а вывод: важно уметь измерять углы. Пря-
мая — самый простой геометрический
объект, про нее ничего особо не скажешь.
А что можно сказать про две прямые? Они
образуют угол. Угол — это отношение между
прямыми. Вспомните, дробь — это отноше-
ние между числами. Чуть позже мы будем
говорить про функции — это отношения
между элементами множеств. Если Вася
и Петя дружат, то дружба — это отношение
между Васей и Петей.

Итак, угол — это отношение между прямы-
ми. Углы бывают разными [на рисунке угол
1 больше угла 2). А как точнее сравнить?
Какой может быть единица измерения для
углов?

разобьем полный угол но 4 части Получи-
лось 4 равных угла, которые назвали пря-
мыми.
Углы, которые меньше прямых, мы называем
острыми, больше — туч 1ыми.

тупой угол

острый угол

Но это слишком большая мера, неточная
(как километр для измерения расстояния от
стола до дивана). Нужно выбрать более
удобный эталон Можно было бы разбить
каждый прямой на три равных, чтобы полу-
чить 12 углов (как на часах).

Но для многих задач и такой точности не хва-
тило. За эталон выбрали угол, который равен
2^ полного угла. Его назвали ступенью
(по-латыни — градус).
Тогда полный круг — это 360°, половина [раз-
вернутый угол) — 180°.

прямой угол

Иногда прямой угол определяют как угол, ко-
торый равен 90°. Если вы уже приняли, что
полный круг — это 360°, то с таким опреде-
лением можно согласиться. Но если бы мы
поделили полный угол на 100 частей, каждую
из которых назвали градусом, то прямой
угол был бы равен 25°. Прямой угол — это
четвертая часть полного оборота (или поло
вина развёрнутого), а его величина в граду
сах — следствие из определения 1 °.

Формально всё верно
Обретите внимание, что измерение углов
принципиально отличается, например, от
измерения длины. Длина может быть сколь
угодно большой (мы видели, что линей-
кой не любое расстояние измеришь). Угол
в бытовом понимании не может быть боль
ше 360° (потому что. повернувшись на 360°,
ллы снова окажемся в исходной точке).
Поэтому стрелки на обычных часах показы-
вают нам только время суток, но не день,
время года и т. д. В комнате без окон нельзя
будет даже определить сейчас 12 дня или
ночи.

3 математике для удобства работают с угла
ми, которые больше 360°. Можно считать
что повернуться на угол 450° — это сделать
полный оборот, а потом ещё «докрутиться»
на 90°. Но для наблюдателя, который будет
фиксировать только начальное и конечное
положение объекта, поворот на 450° ничем
не будет отличаться от поворота на 90°, как
и от поворота на 810°, 1 170° и т. д. С этой
особенностью связано одно из основных
свойств тригонометрических функций —
периодичность. Об этом подробно мы пого
ворим в 6-й главе.

Градусы — не единственная единица
измерения, с помощью которой можно
измерять углы. Часто
с этой целью исполь-
зуют радианы. Угол
1 радиан — это угол
равностороннего кри-
волинейного треуголь-
ника.
Для решения многих задач эта единица
измерения оказывается более удобной,
чем градусы, так как связана с числом тт
то есть с длиной окружности. Действи-
тельно, длина окружности равна 2ттг
угол 1 радиан опирается на дугу длина
которой равна радиусу окружности то
есть г. Значит, в окружность уместится
Оттг

углов ^-=2тт по 1 радиану, или 2тт ра-
диан. Получается, что полный угол равен
2тт радиан. Отсюда несложно получить

пропорцию для перевода градусов
в радианы и обратно:
2тт радиан = 360°.

Но важен другой вывод:
существует несколько
единиц измерений уг-
лов, каждую из них
можно использовать
в зависимости от цели

измерения.

5. Что ещё можно измерять?

С какими ещё единицами измерения мы
часто встречаемся? Например, площадей
и объёмов. Их единицы измерения являются
производными от единиц измерения дли-
ны. Площадь обычно измеряется в см2,
м2 и т. д. Мы договорились, что у квадрата
со стороной 1 см площадь равна

1 см2, со стороной 1м — 1 м2 и т. Д ]
А дальше, если в фигуру эталон
ный квадрат помещается 10 раз, ее
площадь будет 10 квадратных еди- 1 ед=
ниц и т. д.
1 ед?

Так. же измеряют объёмы. Объём
куба со стороной 1 см принимают
равным 1 см3, 1м — 1 м3 и т. д. За
тем считают, сколько единичных ку-
биков помешается в тело — такой
объем у тела и будет.

Отдельно можно остановиться на

4-4-4 = 64ед? такой единице измерения объёма,
как литр (её часто используют для
указания объема жидкостей — 1 литр моло-
ка, 2 литра сока и т. д.). На самом деле,
литр — просто другое название объёма
куба со стороной 1 дм: 1 дм3 = 1 дм х 1 дм х
х 1 дм = 10 см х 1Э см х 1Э см = 1 000 см3. Так
как этот объём часто встречается, то получил
отдельное название (как процентом назвали
сотую часть числа).

Измеряется, конечно, многое, но не всё.
Трудно сравнить эмоции разных людей. Как
измерить счастье, скуку?.. Не всё можно
описать словами, а уж измерить тем более.
Но есть экзотические измерения, из которых
можно делать какие-то выводы

Возьмём такую неизмеримую, на первый
взгляд, вещь как погоду. На самом деле,
синоптики занимаются её измерением,
точнее, измерением ее характеристик:
температуры воздуха, скорости ветра,
влажности, давления (эти денные нам со
общают в прогнозах погоды). Но сравни-
вать такие веши, как погода, трудно. Мы,
конечно, говорим хорошая или плохая по-
года. Но это субъективная оценка: для
запуска воздушного змея хороша одна по-
года, а для лежания на пляже или прогу-
лок — другая.
Измерения и шкалы
бывают разными

Другой пример — точность при стрельбе.
На рисунке видно, что стрелок А более мет-
кий, так как в его выстрелах разброс меньше.

Хотя если считать среднее, то оно одиноко
вое для обоих стрелков. И А, и В хотят попасть
в центр, но два выстрела справа и слева от
центра — это не то же самое, что два вы-
стрела в иентр. Значит, для измерения точно
сти стрелка можно ввести такую характери-
стику, как разброс выстрелов. Его тоже
можно измерять, «мерой разброса» называ
ют дисперсию [очки в мишенях распределе-
ны так, чтобы отражать именно дисперсию —
чем дальше выстрел от центра, тем меньше
очков получает стрелок). О среднем и дис-
персии мы подробнее поговорим в 9-й главе.

Можно измерято порядок, используя простую
идею: чем меньше действий нужно сделать
чтобы найти вещь, тем больше порядок. Если
вещи разбросаны, и найти конкретную труд
но — это беспорядок. Так, в библиотеке
много книг, но они расставлены по алфави-
ту, поэтому найти нужную несложно — это
порядок. Если же книги стоят в произвольном
порядке, то поиск конкретной книги будет
длиться долго — время, которое занимает
поиск, можно считать мерой беспорядке.

Представьте
телефонную книгу,
упорядоченную
по номерам

В программировании сложность измеряет-
ся в количестве операыий, которые нужно
будет выполнить, используя данный алго-
ритм, чтобы получить требуемый результат.

Измерения делают во всех областях жизни —
в спорте, политике и даже литературе.
Например, в русской классике в несколько
раз чаше, чем в английской, встречаются
оценки одним человеком другого. С помо-
щью таких измерений можно подтверждать
или опровергать тезисы о разнице культур
или ментальностей.

Другие измерения в языке позволяют рабо
тать с шифрами. Если шифр не очень слож-
ный, то один из способов дешифровки со-
стоит в следующем: замерить частоту
появления того или иного символа. Известно,
например, что буква «а» в текстах на рус
ском языке встречается с определенной ча-
стотой. Если в шифровках есть символ с та-
кой же частотой использования, то можно
предположить, что именно под ним зашиф-
рована буква «а».

6. Как можно измерять?*

Иногда можно измерить величину, даже не
имея специальных приборов под рукой.

Как определить расстояние до известного
предмета (например, дома) с помощью
линейки?

(необяза/ельный
раздел)

Представим, что мы стоим на одной сторо-
не реки (или ущелья), а на другой сто
роне — дом.
Измерим расстояние до дома, мы видим,
что в доме один этаж, значит, его высота око-
ло 3 метров. Еозьмем линейку (или любой
другой объект, длину которого мы знаем)
в вытянутую руку и измерим видимую высоту
дома. Зная приблизительно длину вытянутой
руки (70 см), длину линейки (30 см), можем
составить пропорцию для вычисления иско-
мого расстояния: (это равенство еле

дует из подобия прямоугольных треугольни-
ков, отмеченных на рисунке, подробнее
о подобии поговорим в 11-й главе). Отсюда
несложно найти расстояние до дома (око-
ло 7 метров). Конечно, вычисления будут
не очень точными, но для приблизительной
оценки вполне подойдут.

Для вычисления высоты больших объектов
можно использовать другую пропорцию:
чем выше объект, тем длиннее тень от него.
Так, чтобы измерить высоту дерева, можно
измерить длину его тени, а также длину соб
ственной тени. Дальше составить пропор-
цию: отношение роста к длине собственной
тени равно отношению высоты дерева к дли-
не его тени (см. рисунок).

Существует ллного различных ллетодов для
измерений с помощью «подручных средств».
3 некоторых жизненных ситуациях они могут
оказаться полезными.

Приведённые методы измерения основаны
на геометрических свойствах (подобии тре
угольников). Но иногда способ измерения
может казаться парадоксальным и лишен
ныла логического обоснования.

Зозьмём банку с горошинами и предложим
разным людям, не считая, оценить, сколько
в ней горошин. Важно, чтобы никто не слы-
шал чисел, которые называют остальные.
Каждый из людей, конечно, ошибётся (кто то
сильно преуменьшит, кто-то сильно преуве-
личит), но усредненный результат (среднее
арифллетическое всех названных чисел) бу
дет приближаться к реальному количеству
горошин в банке с увеличением количества
опрошенных.

3 одном из таких экспериментов в банке
было 860 горошин а средний результат, ко-
торый получился при опросе 30 людей, был
равен 871 горошине. Поразительно точно.
Почему так получается?

Если не вдаваться в подробности, то можно
говорить о том, что работает закон больших
чисел. Совместное действие большого числа
одинаковых и независимых случайных факто-
ров (опрашиваемые не знают количества го-
рошин в банке, и никто не знает, что сказали
остальные участники эксперимента) приво-
дит к результату, в пределе не зависящему
от этих факторов. Использование этого зако-
на позволяет, например, прогнозировать ре
зультаты выборов, опрашивая относительно
небольшое количество респондентов (мы
ещё вернемся к этому закону в 9-й главе).
ЧАСТЬ 2.
ТОЧНОСТЬ
И ОКРУГЛЕНИЕ

1. Почему нельзя измерять
абсолютно точно?

Любой прибор (линейка, часы весы) может
измерять с определенной точностью. Так,
если цена деления (наименьшее расстоя
ние между отметками на шкале) линейки
равна 1 миллиметру, то измерить длину
с помощью такой линейки мы сможелл
с точностью до миллиметра.

И тут дело не в ограниченности наших
способностей. Просто нет ничего абсолют-
но точного. Чтобы решить любую задачу мы
отбрасываем ненужные для её решения по-
дробности, то есть производим округление.

На вопрос: «Который час?» — ответ «Пол
четвертого» подойдёт, если вы договори-
лись в это время пойти погулять, независи-
мо от того, сейчас 15:28 или 15:32. Такая
точность вас устроит. Но если вы опаздыва
ете нс поезд, который отправляется в 15:30,
то 15.28 и 15:32 — это два принципиально
разных результата измерения времени,

Восприятие времени
у разных людей может
сильно отличаться
поэтому точность ответе «Полчетвёртого»
вое вряд ли устроит. Потребность в точности
зависит от цели измерения {от задачи, кото-
рую мы с его помощью хотим решить)

Хорошо, линейка, весы, часы абсолютно
точными быть не могут. «Но в моей комнате
два стула, — скажете вы. — Это уж точно —
их два». И так, и не так.. В данном случае мы
«неточность» спрятали в другое место. Аля
вашей задачи (сколько людей можно уса-
дить в комнате) неважно, что стулья разные.
Но, на самом деле, один из них красный, но-
вый, другой — черный старый. Ааже если
они внешне одинаковы, можно присмот-
реться и увидеть, что у них разнь.е трещинки,
неодинаково затерта обивка и т. д.

Или, например, в коробке 12 карандашей.
Но это, если нам неважен их цвет, нужны
просто карандаши. Как только нам пона
добится списать это множество подроб-
нее, каждый карандаш приобретёт отличие
по цвету. Хотя мы все их называем одним
словом. И так с любым множеством; как
только смотришь подробнее (увеличива
ешь точность измерения), то и считать нече-
го — все разное.

Хороший пастух знал всех коров «в лицо»
и какому хозяину каждая из них принадле-
жит, не пересчитывая. Хотя для проезжающе-
го мимо на лугу паслись 30 коров.

Одна из причин, почему некоторые религии
сопротивляются переписи (присвоению циф-
ровых идентификационных кодов и т. д,), —
обезличивание. Как можно нас считать, если
мы все разные? Да и каждый из нас на во
просы. «Сколько у тебя хороших друзей?
Любилло1х мест? Книг?» — ответит не сразу.
Они заранее не пересчитаны, все отличают
ся. Пересчет отнимает различие — это
и можно считать опасным. Пересчитаешь —
отберёшь саллое главное достоинство । |ред
мета — отличие от остальных.

Как сердцу высказать себя?
Другому как понять тебя?
Поймёт ли он, чем ты живёшь?
Мысль изречённая есть ложь.
Взрывая, возмутишь ключи, —
Питайся ими — и молчи.

Ф. И. Тютчев

Милый друг, иль ты не видишь.
Что всё видимое нами —
Только отблеск, только тени
От незримого очами?

Милый друг, иль ты не слышишь,
Что житейский шум трескучий —
Только отклик искажённый
Торжествующих созвучий?

Милый друг, иль ты не чуешь,
Что одно на целом свете —
Только то, что сердце к сердцу
Говорит в немом привете?

В. С. Соловьёв

Получается, абсолютно точно говорить
о чём-то реальном, не придуманном
нами нельзя? Да, но важно понимать, что
это касается не только математики, но
и всей нашей жизни. Попробуйте описать
комнату, в которой вы сейчас находитесь.
'Это может занять и 1 минуту, и 20 часов —
зависит от выбранной вами точности.
И всегда останется что-то, что было недо
сказано. А уж эмоции словами выразить
точно совсем не получается в чём и по-
эты признаются (прочитайте, например,
стихотворения <&. И. Тютчева ЗЛепЯит!
и В. С. Соловьёва «Милый друг иль ты не
видишь...»).

Мы всегда немного неточны, но стараемся
быть настолько точными, насколько того
требует задача, которую мы решаем. Ведь
проблема в том, что без задачи непонят-
но, что такое информация (результат изме-
рения).

Эту ситуацию можно проиллюстрировать
с помощью анекдота.

Шерлок Холмс и доктор Ватсон летят на воз-
душном шаре, попадают в г\стой туман
и перестают понимать где находятся. Появ
ляется небольшой просвет, и они видят внизу
человека.
— Не подскажете, где мы находимся?

Тот долго думает потом отвечает

— 3 корзине воздушного шара, сэр.

Тут их относит дальше, и они опять ничего не
видят.

— Это был математик... — говорит Холмс.

— Но почему?

— Он очень долго думал над простым во-
просом, затем ответил очень точно, но от его
ответа нам нет никакой пользы.

В описанной ситуации ответ математика яв
ляется, по сути, правильным (точным), но не
несет для Холмса и Ватсона никакой пользы.
Потому что они хотели решить совершенно
другую задачу. Хотя, наверное, Холмс мог
бы предположить что шар находится неда
леко от Оксфорда или Кембриджа (если
случайно попавшийся человек оказался
именно математиком).
Так что точность и округление — это не мате-
матические придумки. Математика уточняет
и формализует то что в обычной жизни мы
привычно используем.

2, Почему важно правильно округлять?

Итак, для каждой задачи (любого измерения)
существует своя точность.

А что делать если нужно увеличить точность
измерений? Предположим, мы измеряли
в сантиметрах, а нужно точнее. Можно ввести
новые единицы измерения: взять сантиметр,
поделить его на 10 частей (каждая часть будет
равна 1 миллиметру). Затем посмотреть, до-
статочно ли нам такой точности для измере-
ний (см. рисунок). Если нет, то уже новую еди-
ницу измерения разбить нс части и т. д.

точно так же можно увеличить единицу изме
рения (уменьшить точность), если она оказы-
вается слишком маленькой для денной .за
дачи: 10 сантиметров — это 1 дециметр,
10 дециметров — это 1 метр и т. д.

В любом случае, чтобы записать результат
измерения, нам рано или поздно придётся
сделать округление. И очень важно выпол
нить его правильно.
Предположим, что вы управляете сливом
воды в водохранилище. Сам приходят сигна-
лы с трёх рек, которые в него впадают. Когда
сумма скоростей притока всех трёх рек
превысит 4.0, нужно открывать заслонку, ина-
че будет наводнение.

На реках сейчас такие скорости притока:
1,24: 1,24; 1,54. В сумме — это 4,02 то есть
заслонку нужно открывать. Но вам присыла-
ют округлённые величины: 1,2; 1,2; 1,5. В сум-
ме — 3,9... Последствия понятны.

Для принятия правильного решения не хва-
тило точности — нужно было передавать
три знака, а не два. А если бы рек было де
сять? С какой точностью в этом случае
надо замерять скорость притока? Непро-
стая задача!

А теперь представьте себя в роли главы пра-

вительства или президента страны. И данные
вам । |риходят не о реках, а от губернаторов
о состоянии хозяйства. А им — от руководи-
телей городов, районов и т. д. И все немного

округляют. Представ
ляете, какая ошибка
может накопиться?
А вам принимать ре
шение на основа-
нии этих данных.

Это проблема у| |рав-
ления многозвенной
структурой: на каж
дом уровне неболь-
шие ошибки дают
в сумме очень боль
шую итоговую по-
грешность.
Неправильное округление может привести
к совершенно неожиданным результатам.
Например, к победе Дональда Трампа над
Хиллари Клинтон на президентских выборах
в США в 20’6 году. Известно, что за Клинтон
проголосовало большее количество изби-
рателей, чем за Трампа. Однако нрезиден
том стал именно Трамп. Почему так произо-
шло и причем тут неправильное округление?

Дело в том, что в США выборы непрямые (в от-
личие от большинства других стран). У каж-
дого штата есть выборщики (их количество
пропорционально населению штата), голо-
са которых непосредственно определяют,
кто станет президентом. И есть общая дого-
воренность (традиция) — все выборщики от
штата единогласно голосуют за того канди
дата, который набрал больше голосов в дан
ном штате (независимо от того, проголосо-
вали избиратели в соотношении 51:49 или
90:10). То есть, грубо говоря, происходит
округление количества голосов избирателей
в каждом штате в пользу одного из двух кан
дидатов. Чаше всего это не влияет на ре-
зультат голосования, но в 2016 году возникла
нестандартная ситуация — большинство жи-
телей США проголосовали за Клинтон,
а большинство выборщиков — за Трампа.

Чтобы понять, почему так произошло, рас-
смотрим пример с двумя штатами. Пусть
в одном из них население 2 млн (и их пред
ставляют 20 выборщиков), с в другом — З млн
(30 выборщиков). И пусть голоса избира
телей распределились следующим об-
разом: в перволл штате за кандидата А —
1,9 млн, за кандидата Б — 0,1 млн, во втором
штате за кандидата А — 1,4 лллн, за кандида-
та Б — 1,6 млн. В итоге та А в двух штатах про-
голосовало 3,3 млн, а за Б — 1,7 млн. Но кан-
дидат Б получит 30 голосов выборщиков (по
сути, 3 млн избирателей второго штата),
а кандидат А — всего 20 голосов (2 млн изби-
рателей первого штата).

3 млн избирателей

ШТАТ 1

2 млн избирателей

за кандидата Б - ОД млн

за кандидата А - 1,4 млн

за кандидата Б - 1,6 млн

20 выборщиков за А

выборщики обязаны
единогласно проголосовать
»— за кандидата, —•

победившего в их штате

1ННН1Н

30 выборщиков за В

По голосам избирателей

за кандидата А - 3.3 млн

за кандидата о -1,7 млн

По голосам выборщиков

20 за кандидата Д

4 30 та кандидата Б

Еще один пример ошибки, возникающей
из-за неправильного округления, можно уви-
деть с помощью обычного (не инженерно
го) калькулятора. Извлеките квадратный ко-
рень из 2, а затем умножьте полученное
число само на себя. По идее: >2 • ^2 = 2.
Но калькулятор покажет 1,999999..., но не
в точности 2. Почему так? Потому что при вы-
числении корня из 2 получается бесконеч-
ная десятичная дробь, а экран калькулятора
вмещает ограниченное количество симво
лов. Поэтому калькулятор округляет полу
ченный результат. А умножение округлённо
го результата на себя дает небольшую, но
погрешность, и получается близкое число,
но всё-таки, не 2.

Чтобы избежать таких ошибок при решении
задач, например, по физике, лучше обой-
тись без промежуточных вычислений, а по-
лучить рабочую формулу (для нахождения
искомой величины) в общем виде. И уже
в итоговую формулу подставить данные
в условии задачи численные значения.

3. Почему иногда слишком точно
тоже плохо?

Сложные механизмы (от часов до автоллоби-
ля) состоят из множества деталей. Понятно,
что все детали должны подходить друг другу,
в частности, по размеру.

Поэтому на чертежах инженеры задают
точность или допустимые отклонения, напри-
мер; радиус вала равен 128 ± 0,01 мм. Это
означает, что радиус должен быть не меньше,
чем 127,99 мм, но и не больше, чем 128,01 мм.

Но ведь можно потребовать более высокую
точность чтобы зазора не было вообще
(точнее, чтобы он был настолько мал, что не
влиял бы на работу механизма). Проблема
в том, что увеличение точности силоно увели
чивает стоимость обработки (то есть стои-
мость детали и всего механизма). Поэтому
в промышленности различают достижимую
и экономическую точности Первая — это та,
которую можно достичь технически, а вто
рая — та, которую целесообразно дости-
гать, исходя из соотношения стоимость —
качество (надёжность эффективность).
3 самолёте десятки тысяч деталей. Они изго-
тавливаются на разных заводах и собираются
затем в одном месте. Каждую деталь нужно
делать с определённой точностью' — не мень-
ше и не больше. Меньше нельзя из-за без-
опасности (надёжности), а больше — из-за
стоимости. Лишняя точность может в разы
увеличить стоимость изготовления самолёта

Слишком тщательный
подход может
раздражать

Правда, иногда стремление к большой точно
сти может привести к неожиданному откры-
тию. Так, английский математик Льюис Фрай
Ричардсон занимаясь исследованием влия-
ния длины государственных границ на вероят-
ность начала военных конфликтов, заметил:
Португалия заявила, что ее сухопутная грани-
ца с Испанией равна 987 км, в то время как
Испания считала ее равной 1 214 км.

Чтобы вычислить длину границы, на карту на-
кладывали большое количество одинаковых
отрезков, то есть приближали границу лома
ной линией, длина которой и будет (с опре
деленной точностью) равна длине границы.
Понятно, что точность измерения должно за-
висеть от длины отрезков — чем они лленьше,
тем точнее ломаная будет приближать гра-
ницу и тем меньше будет погрешность при
вычислении её длины. Казалось бы, умень
шая длину отрезков, мы будем получать ре-
зультаты, которые будут всё ближе и ближе
к предельному значению — длине границы.

Нам знаком этот метод — например, длину
окружности мы вычисляем, как периметр
очень большого правильного многоугольни
ка, который вписан в нее (или описан во-
круг неё). При достаточно большом количе-
стве вершин отличить многоугольник от
самой окружности практически невозмож-
но (именно так отображаются окружности
на экране компьютера, хотя мы не замеча
ем разницы, так как у наших глаз тоже есть
определённая предельная точность изме-
рения). С увеличением количества вершин
периметр многоугольников действительно
стремится к определенному выражению —
длине окружности

И все бы хорошо, только с границей всё ока-
залось не так. Наблюдается эффект, кото-
рый получил название эффект Ричардсона:
чем короче используеллые для приближения
отрезки, тем длиннее измеряемая граница.
Если уменьшать длину отрезков до нуля, то
длина границы будет стремиться к беско-
нечности.

Исследование Ричардсона привело к тому,
что спустя десять лет другой математик
Мандельброт разработал новую ветвь мате
матики — фрактальную геолтетрию, ввёл по-
нятие фрактала, которое нашло своё при-
менение в самых разных сферах жизни
человека (форму фрактала иллеет не толь
ко береговая линия, но и снежинки, крове-
носная система человека и т. д.).

Итак, слишком точно — плохо, слишком
неточно — тоже плохо. Как же можно
узнать до решения залечи, с какой точно-
стью надо округлять если для этого надо
сначала решить задачу?

В математике работают с идеальными
объектами, котооь'е не существуют
в жизни, но являются хорошими прибли-
жениями объектов реальных. Например,
отношение длины окружности к её диа-
метру мы обозначили п. Но идеальных
окружностей в природе не существует.
Для любого реального объекта окруж-
ность будет моделью, идеальным при-
ближением. Для окружности мы можем,
вычислять необходимые параметры аб-
солютно точно: длина окружности с ра-
диусом 1 равна 2тт Нс для вычислений
параметров реального объекта мы все
гда будем использовать значение чис-
ла тт с точностью до какого-то знака.
Ведь и в точности 1 радиус равняться
не может.

Итак, математика является приближени
ем реальной жизни, хотя многие матема-
тики считают наоборот. Мы используем
приближение с определённой точностью
идеальных математических моделей для
решения практических задач.

Введение

Для решения любой реальной задачи ее
сначала нужно выделить из окружающего
единого мира. Нужно отбросить ненужные
факторы, выделить значимые. Иначе не по
лучится — на движение велосипедиста влия
ют и ветер, и влажность, и даже притяжение
Луны и Солнца.

Предположим, этот шаг уже сделан, задача
выделена. Что такое решить задачу? Это из
имеющейся в условии информации полу
чить эквивалентную об интересующих нас
величинах.

Пусть 2 яблока и 3 апельсина стоят 1ЭО руб
лей, а яблоко стоит столько же, сколько
апельсин. Это исходная инфорллация, кото-
рую мы знаем. Чтобы найти стоимость ябло-
ка и апельсина, необходимо провести рас
суждения, которые приведут нас к ответу:
и яблоко, и апельсин стоят по 20 рублей.

Если информация из условия уже переведе-
на на математический язык (записана в виде
уравнений и неравенств), то остаётся техни-
ка — как эквивалентными преобразования
ми получить нужную налл информацию. Ма-
тематика занимается разработкой разных
алгоритмов д.ля такой техники.

Один из универсальных алгоритмов — упро-
щение выражений. Но что значит «упростить»,
как оценивать простоту или сложность? Этот
вопрос касается любых объектов не только
математических.

В этой главе мы поговорим об упрощении
математических выражений и различных
подходах к определению понятия сложность.

ГЛАВА 3.
СЛОЖНОСТЬ
И ПРОСТОТА
ЧАСТЬ 1
УПРОЩЕНИЕ
ВЫРАЖЕНИЙ

1. О чём не пишут в школьных
учебниках?

Мы говорим «быстрый, как ветер», когда хо-
тим подчеркнуть очень высокую скорость че
ловека или объекта. Можно сказать «очень
быстрый», «невероятно быстрый» и т. д. Все
это эквивалентные обозначения одной и той
же характеристики.

Мателлатические выражения тоже могут
иметь разные эквивалентные записи, напри-
мер: а2-Ь2=(а-Ь)(а+Ь).

В школьных учебниках часто встречаются
примеры, в которых требуется упростить вы-
ражение. Но при этом не объясняется, что
такое упрощение. Чем то, что получается
в ответе проще того, что было дано в усло-
вии? Иногда это явно видно. Например, вы-
[а+М2 сР_1 а! + 1

Н ;->3 Н3

ражение ------------У------. —-------можно

а Ь а2 к а , ' а2 а ,

Ь а Ь2 Ь Ь2 Ь 1

преобразовать к виду а#), а^±б (убедить
ся в этом можно, воспользовавшись фор-

Формулы сокращённого умножения

Квадрат суммы а1 + 2аЬ т Ь1 = (а + ЬУ
Квадрат разности а2 - 2оЬ + о2 = (о - Ь)2
Разность квадратов а2 - Ь2 = (о - Ь|(о т о)
Куб суммы о’ + ЗоЧ) + ЗаЬ-' + Ь1 = (и + Ь)5
Куб разности о5 - За2Ь + ЗоЬ* - Ь' = (а - ЬУ
Сумма кубов + = Ь)(а- аЬ 1 Ь7)
Разность кубов а' - & = (а- ЬУа + пЬ • й2)
мулами сокращенного умножения). Оче-
видно.. что второе выражение проще, чем
исходное.

Но иногда понять это сразу непросто. Нужно
договориться, как определять сложность

Интуитивно понятный подход: считать слож-
ностью выражения количество операций, ко-
торые необходимо сделать, чтобы вычислить
его значение при конкретных значениях
переменных. Тогда понятно, что, например,
выражение а2-2абч-Ь2 будет проще, если
его записать в эквивалентном виде: (о-Ь)2.
Поскольку вместо 6 операций [дважды воз-
вести в квадрат, переллножить 2, а, Ь, зателл
вычесть и сложить результаты) для вычисле-
ния понадобится всего 2 (вычесть а-Ь, затем
результат возвести в квадрат).

Может показаться, что розница между 6 и 2 не-
большая, но в зависимости от значений пере-
менных вычисления могут сильно усложниться
при подсчете вручную. Крол*.е того, если речь
идёт, например, о компьютерных вычислени

Лучше один раз
потратить время
на упрощение работы
ях и нем нужно миллион роя вычислить значе-
ние выражения при различных значениях
переменных а и Ь, то разница будет
в 4 000 000 выполненных операций. Таким об-
разом, эффективность работы алгоритма
при использовании упрощенной формулы
будет существенно выше, что приведет к уве
личению быстродействия компьютера.

Но надо помнить, что упрощение отдельных
частей выражения не всегда подлегает упро-
стить выражение в целом. Например, числи

125

тель и знаменатель дроби можно сокра-

125 25-5 5

тить на 25:д^=2^—8 = Т8’ стали ^Ь| МЬ| это

делать, если бы нам нужно было сложить эту

Дробь С Дробью

Другой пример: выражение 7+5 ,2 ка
же^ся более простым, чем эквивалент
ное ему выражение Н'2+1)3. Действи-
тельно, если использовать формулу
сокращённого умножения (а+Ь)3=а3+
+За2Ь+ЗаЬ2+Ь3, то: (72+113=(Т2р+37Т2)2-1 +
+3-75-12+13=2Т2+3'2+372+1 =7+572.

Но только нс в том случае, если нам нуж-
но извлечь корень кубический.

Но. так или иначе, нужно уметь преобразовы-
вать выражения. В частности, это пригодится
при решении уравнений, о чём мы подроб-
но поговорим в следующей главе. При этом
есть две отдельные задачи: научиться технике
(умению преобразовывать и упрощать выра-
жения) и научиться приниллать решения об
использовании этого инструмента.
2. За чем нужно следить
при упрощении?

Чтобы разнообразить речь, мы используем
синонимы — близкие по смыслу слова, кото-
рые помогают нам точнее выражать мысли.
Например: приятель и товарищ. Вообще го
воря, эти слова не эквивалентны, но во мно-
гих случаях взаимозаменяемы.

В математике важна точность, поэтому по-
нятия близкие или похожие требуют уточне
ния. любое преобразование (в том числе
и упрощение) должно быть тождественным,
то есть в результате нужно получить выраже
ние, эквивалентное исходному. С числами
понятно — два числа эквивалентны, если они
обозначают одно и то же количество [в рас-
г 125 5
смотренном примере дроби 757=73 — две
разные записи одного и того же количества,
поэтому они эквивалентны).

Выражения, которые содержат переменные,
называются эквивалентными (тождественно
равными), если при всех возлложных значе
ниях переменных приним.ают одни и те же
значения. Например: а2-Ь2 и (а-Ы(а-нб) —
эквивалентные выражения, так как для любых
а и р их значения будут равны друг другу.

х2-1

А вот выражения -| и х+1 уже нельзя счи-
тать тождественно равными. Кажется что
при всех значениях переменной они будут
равны. Можно подставлять любые числа
и почти всегда будет получаться одинаковый
результат. Кроме одного случая. х=1. Дей-
х2-!

ствительно, -| не определено при х=1,
а х+1=2. Получается, что при одном и том же
значении переменной первое выражение
не определено (нельзя вычислить), а второе
равно 2. Значит, эти выражения не являются
эквивалентными.

В данном конкретном примере достаточно
х^—]
добавить условие: при х^1: -рт|-=х+1.

3 общем случае говорят что у эквивалент-
ных выражений должна совпадать область
определений (или, по другому, ОДЗ — об
ласть допустимых значений). О каких значе-
ниях идёт речь? Как мы убедились на при
х2-1

мере фф выражения могут быто вычислены
(говорят — определены) не при всех значе
ниях переменных. Например, если при не
котором значении переменной знамена
тель дроби обращается в 0, то эта
переменная не войдет в ОДЗ выражения.

С похожими ситуациями мы сталкиваемся
и в жизни. Так, один и тот же фильм в разных
странах может иметь разные маркировки:
12+ 18+ (всё зависит от особенностей культу-
ры и законодательства).

Другой пример: выражения ( х)2 и ^х2
не являются эквивалентными. На первый
взгляд это может показаться странным,
ведь извлечение квадратного корня и воз-
ведение в квадрат — взаимно обратные
операции, и в каком порядке мы бы их
не применяли, должен получаться х. Дей
ствительно, какая разница — сделать шаг
вперёд, потом шаг назад, или наобо-
рот — в результате мы окажемся в том
же месте, где и были. А теперь пред
ставьте, что пород вами яма. Если снача-
ла сделать шаг вперёд, то назад уже вряд
ли получится.

Так и с этими выражениями: х2>0, поэто-
му, какой бы х мы бы в него не подста-
вили. всегда сможем извлечь корень:
(—5)2=^52:= ^25=5. А вот значение вы
ражения I -5)2 на множестве действи-
тельных чисел найти уже не удастся, так
как арифметический квадратный корень
из отрицательного числа не определён.

Современных
школьников трудно
удивить

Когда алы будем говорить о различных мате-
матических функциях и операциях, то обяза-
тельно будем. оговаривать, какие ограниче
ния накладываются на значения переменных,
которые можно в них использовать 13 школь-
ном курсе таких ограничений совсем не-
много (два наиболее часто встречающихся
мы перечислили выше — не определено де-
ление нс 0 и извлечение корня чётной степе
ни из отрицательного числа).
5 = 1+1+1+1 + 1

4=1+1+1+1

3. Какие инструменты можно
использовать для упрощения
выражений?

Для того чтобы выполнять любую операцию,
нужны инструменты. Чем разнообразнее
и удобнее они будут, тем быстрее и эффек-
тивнее можно решать поставленные задачи.

Вспомним, какие инструменты у нас были
для упрощения и вычисления числовых выра-
жений. Самый первый и самый главный — та
блица сложения. По сути, это были аксиомы
работы с числами. Мы называли и определя-
ли базовые числа (от 1 до 10) через количе-
ство единиц, из которых они состоят: 2=1 +1,
3=1+1 + 1=2+1, 4=1 + 1+1 + 1=3+1=2+1+1=2+2 и т. д.
А дальше использовали десятичную систему
счисления (см. главу 1) для записи чисел, ко
торые больше 10.

Умножение — это короткая запись много
кратного сложения: 2+2+2+2=4-2. Поэтому
таблица умножения — это готовый удобный
инструмент для быстрого выполнения неко-

Таблица умножения

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 Ю 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 1 7 7 12 18 24 30 36 42 48 54 60
14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 ±0 48 56 64 72 80
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
торых вычислений (мы запоминаем, что
7-9=63, вместо того, чтобы каждый раз скла-
дывать 94-94-94-94-9+9+9 и получать 63).

С использованием таблицы сложения и умно-
жения были придуманы алгоритмы выполне-
ния арифметических действий в столбик для
вычислений любой сложности.

Для того чтобы определить сами ариф-
метические операции (сложения и умно
жения), были сформулированы аксиомы,
которые определяют их свойства. Эти ак
сиомы мы знаем, как законы: перемести-
тельный (а+Ь=б+а, а-Ь=Ь-а), сочетательный
(а+(Ь+с)= (а+Ь)+с, а(Ьс) = (аЬ)с) и распре-
делительный (а(Ь+с)=аЬ+ас).

Какие же инструменты можно использовать
для упрощения выражений? Один из глав-
ных — распределительный закон а(Ь+с)=
=ао+ас, причем как слева направо, так
и наоборот.

В первом случае он позволяет раскрывать
скобки. Причёлл, если применять его
несколько раз, то можно перемножить лю-
бое количество скобок с любым количе-
ством слагаемых в них: (а+Ь)(с+ф=х(с+с/)=
=хс+хс!=(а+Ь)с+(а+Ь)с1=ас+Ьс+ас1+Ьс1.

При использовании справа налево распре-
делительный закон ао+ас=а(Ь+с) позволя
ет вынести за скобки общий множитель
и преобразовать сумму в произведение.

Формулы сокращенного умножения (напри-
мер, разность квадратов: а;-Ь2=(а-о) (а+о)
и т. д.) — это инструменты, которые получены
с помощью распределительного закона.
То есть конструкции, которые встречаются

„129
_П00
903

129 _
219300
чаще остальных, удобно выучить и использо-
вать уже готовый результат. Так же, как мы не
проверяем, а просто помним, что 7-9=63,
мы можем помнить, что а2-Ь2=(а-Ь,'(ач-Ь).
Хотя оба этих результата можно при жела
нии вывести самому.

Формулы сокращённого умножения

К вадрат суммы о2 + 2аЬ + & = (о + 6У

Квадрас разности

а1 2аЬ + Ь2 ~(а-ЬУ

Разность квадратов

а2 - Ь1 - (а - бцо + б)

Куб суммы

Куб разности

Сумма кубов

Разность кубов

о1 * За-Ь + ЗаЬг + Ь3 = (о + 6У

а’ - ЗсУб + Заб' - Ь‘ = (а - бу

О’ * б3 - (а * Ь)(а'‘ -00 + 6“)

а3 - б3 - (а - б)(а2 + аЬ + Ь)

Распределительный закон и составлен-
ные с его помощью срормулы сокра-
щённого умножения — универсальные
инструменты, которые можно использо-
вать для работы с любыми выражения-
ми. Например, если в формулу а2-б2=
=(а-Ь)(а+Ь) подставить а=5/пх, Ь=8'шу, то
получим верное тождество: 5/п2х-5/п2у=
= ($ШХ—$!Г1у) ($1ПХ+$'ту).

Но есть и специфические свойства
и тождестве, которые выполняются толь-
ко для некоторых видов выражений,
ы • х-у х+у .

Например, 5шх-51пу=251г ——со$—Ф. Для
разности двух логарифмов или корней
такое равенс тво уже неприменимо.
Независимо от того, какие инструмен
ты мы Нулем использовать (универсаль-
ные или специфические), общая идея
упрощения останется неизменной —
привести выражение к более простому
виду цепочкой эквивалентных преоб-
разований.

В каком-то смысле это похоже на игру —
есть правила (какие инструменты можно
применять), каждое преобразование — это
ход игрока. Если все ходы сделать правиль
но, то результатом будет победа в игре —
получение упрощенного выражения.

Безусловно, большинство упражнений по
этой теме из школьной программы далеки
от тех, которые возникают при решении
практических задач. Но основная цель ре
шения заданий нс упрощение выражений —
отработка навыков работы с конструкциями
любой сложности.
ЧАСТЬ 2.
СЛОЖНОСТЬ

1. Почему иногда понять проще,
чем объяснить?

Когда нам рассказывают решение задачи,
ответ на вопрос или загадку, то часто возни-
кает досада — все же очень легко, мог бы
и сам додуматься.

Если мы понимаем закон или формулу, то
она кажется нам простой. Рассмотрим
ряд чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8- 13, 21, 34, 55, 89...
Сложно ли предсказать в этом ряду следу
юшее число? Если знать, что эта последа
вательность (она называется последова-
тельность Фибоначчи) задается формулой
ап+} = ал_, + а., (каждый следующий член ра
вен сумме двух предыдущих) то несложно.

Так происходит всегда: когда мы выясняем
закономерность, то пугающее и непонятное
становится ясным и упрощённым. Рассмот-
рим пример такой задачи.

16 06

68 88

Какой номер у пар-
ковочного лхеста,
на котором при
паркован автомо-
биль (см. рисунок)?

Кажется, что записан странный набор чисел:
16. 06, 68, 88... 98. Но если догадаться, что на
эти ноллера ллы смотрим сверху вниз, то все
становится понятно. 86... 88, 89, 90, 91. Тогда
номер очевиден — 87.

Такилл образом, сложность во многом за-
висит от нашего знания или незнания, от на-
личия теории, которая объясняет то или иное
событие или явление.

Запоминать всё невозможно, иначе в каж-
дый момент нслл будет сложно сфокусиро-
ваться нс происходящем. С другой стороны,
нужно использовать предыдущий опыт и по-
мнить то, что с нами происходило. Получает-
ся противоречивая задача: нужно и забывать,
и помнить. Выход из сложившейся ситуа-
ции — создание теорий, то есть запомина-
ние только существенного. В этом состоит
задача мозга как механизма выживания.

Для того чтобы объяснить ребёнку, что такое
стол, достаточно показать несколько приме-
ров. Если ллы покажем на два разных объек-
та и скажем, что и то, и то — стол, то возник-
нет идея стола. И так объяснить гораздо
проще, чем попытаться сформулировать
точное определение. Попробуйте придумать
для ребёнка точное определение, кто тетя,
а кто дядя. Вряд ли получится. А вот ребёнок,
на основе жизненного опыта строит теорию,
которая помогает ему на улице практически
безошибочно отличать женщину от мужчины.

В математике мы тоже сталкиваемся
с объектами, которылл не даем определе
ния. Например, множество (точка, прямая...).
У этих понятий нет определений, но все по-
нимают что они означают

2. Какая бывает сложность?

Мы сформулировали такой критерий: чем
меньше операций нужно выполнить для вычис-
ления значения выражения, тем оно проще.

3 данном случае речь идёт о вычислительной
сложности. Обычно она применяется для
оценки эффективности алгоритмов. Если
одному алгоритму для решения одной и той
же задачи нужно выполнить ЮЭ элементар
ных операций, а второму — 200, то первый
алгоритм в 2 раза эффективнее (проще).

Время — не единственный критерий, по кото-
рому оценивают сложность алгоритма. Есть
другой, не менее важный, — объем памяти
(пространство), который потребуется для ре-
шения задачи. Известны случаи, когда эффек-
тивные по времени алгоритмы требуют таких
объёмов машинной памяти, что этот фактор
сводит на нет преимущества алгоритма.

Сложность алгоритма имеет значение л.ля
того, кто будет его исполнять. В этом случае
можно говорить об исполнительской слож
ности. И она может существенно отличаться
от пользовательской сложности Например,
мало кто может точно описать принцип ра-
боты навигатора, какими алгоритмами он
пользуется для определения положения и т. д.
△ля того чтобы проложить самый быстрый
путь от точки А до точки Б, ему приходится
сделать много различных вычислений Но для
того, кто им пользуется, нужно сделать всего
три действия: вбить два адреса и нажать на
кнопку подтверждения.
Задача разработчиков любого товара, при-
ложения, программы — сделать так, чтобы
у неё была минимальная пользовательская
сложность (или, как говорят — простой и по-
нятный интерфейс). С другой стороны забы-
вать об исполнительской сложности тоже
нельзя — чем сложнее заложенный алго-
ритм, телл больше вероятность появления
ошибок. Кроме того, потребуется более
мошная машина для его реализации, что
приведет к увеличению стоимости продукта.

Может показаться, что для решения любой
задачи достаточно иметь компьютер необ-
ходимой мощности. Но это не так.

Некоторые задачи формулируются очень
просто, и люди решают их с некоторой точно-
стью каждый день. Но найти 011тимальное ре
шение, даже используя самые мошные
современные компьютеры, не получится.

В 12-й главе мы будем рассматривать одну
из таких задач (которая имеет практическое
значение для шифрования) — представле-
ние большого числа в виде произведения
двух простых. Это пример одной из так назы-
ваемых трансвычислительных задач. Так
называют задачи, для решения которых тре-
буется обработка более чем. 10” бит ин-
форллации. Это число представляет собой
обшее число бит, обрабатываемых гипоте-
тическим компьютером размером с Зем-
лю за период, равный общему времени су-
ществования нашей планеты.

То есть какой бы мощный из существующих
компьютеров мы ни взяли, решить с его по-
мощью такие задачи не получится. В случае
с разложением числа на произведение двух
простых — это хорошо, так как сбеспечива-
ет безопасность многим современным
способам шифрования данных.

Но есть задачи, трансвычислительность кото
рых играет отрииательную роль. Один из
наиболее известных и прикладных приме-
ров — задача коммивояжёра. Она состоит
в том, чтобы найти оптимальный маршрут,
проходящий через все указанные города
хотя бы по одному разу с возвратом в исход
ный город. Критерий оптимальности марш
руто оговаривается отдельно — длина, сто-

Пока теоретики бьются
нал решением задачи
коммивояжёра,
транспортные
и логистические
компании с переменным
успехом решают её
каждый день
имость и т. д Понятно, что актуальность
задачи не вызывает сомнений — ее решают
все, кто заниллается планированием марш-
рутов (от туристов и почтальонов до крупных
торговых компаний). Но проблема состоит
в том, что поиск оптимального решения
даже для 67 городов является в данный мо-
мент трансвычислительной задачей.

Здесь надо оговориться, что раз мы получа
ем почту, в магазины доставляют товары,
а в аптеки — лекарства, то каким то образом
задачу коммивояжёра люди решать научи-
лись. Сложность состоит в том, чтобы найти
оптимальный маршрут (или доказать что ис-
пользуемый маршрут таковым и является).

Примеров четко определённых, но нерешс
емых задач м.ного.

Пусть у нас есть три тела, которые взаимо-
действуют только по закону тяготения Ньютона
(всеми другими силами и взаимодействия-
ми пренебрегаелх). Известны их начальные
координаты и скорости. Так вот, даже в такой
«идеальной» систелле нельзя в общем случае
получить уравнения движения тел. То есть не-
льзя заранее абсолютно точно предсказать,
в какой точке и с какой скоростью будет на
ходиться то или иное тело в определенный
момент времени (кроме некоторых частных
случаев). Что и говорить про задачи, где тел
больше и нужно учитывать другие силы.

В системах с большим количестволл объектов
и различных взаимодействий даже небольшое
отклонение приводит к огромным изменени-
ям через небольшое время, что делает невоз-
можным эффективное прогнозирование со
стояниятакойсистемы. Поэтому долгосрочный
прогноз погоды редко сбывается.

Введение

Мы не всегда можелл измерить величину не-
посредственно. Так. обычные напольные
весы измеряют не массу, а вес — силу, с ко
торой мы давим на опору в виде этих самых
весов.

Второй закон Ньютона связывает силу (вес Р)
и массу (т) тела: Р=тд. При известнолл Р
это выражение является уравнением относи-
тельно т (д на Земле мы считаем, постоян-
ной величиной: 10, или, если точнее, 9,8). Это
уравнение очень простое, его решение
(массу в килограммах) нам и показывают
весы.

Уравнение — это универсальная запись
информации (математической модели,
приближающей реальную задачу). Чтобы
построить модель, нужно понять, какие фак-
торы учитывать, а какие — нет. Это не входит
в задачу математики.

Чтобы по результаталл косвенных изллерений
определите значение интересующей нас ве
личины, обычно нужно решить соответствую-
щее уравнение.

Математика занимается техникой, техникой
решения уравнений и неравенств.

Большинство задач, которые решают в шко-
ле (текстовые задачи), — очень далеки от ре
альности. Это уже сформулированные гото-
вые теоретические модели. Они нужны для
тренировки, отработки техники.

Одна из основных задач математики в шко-
ле — показать, как работает «механика зна
ков». Каждую задачу лложно решить, опери-

ГЛАВА 4.
УРАВНЕНИЯ
И НЕРАВЕН-
СТВА.

ТЕКСТОВЫЕ
ЗАДАЧИ
руя словами и фразами, но тогда потеряется
самое главное — алгоритм, та самая «ме
ханика знаков».

Как умножить 374 на 456? Можно, конечно,
расписать в виде сумм: (3-100+7-10+4) *
х (4-100+5-10+6), раскрыть скобки, сложить,
упростить .. Но есть алгоритм — «умножение
в столбик» — и мы его применяем. Да, для
этого нужно правильно записать числа
(в применении к текстовым задачам — вве-
сти обозначения и переписать условие зада-
чи в этих обозначениях). Зато потом работа-
ет алгоритм, выполнение которого можно
перепоручить коллпьютеру.

В этой главе мы поговорим об уравнениях
и неравенствах и некоторых алгоритмах их
решений.
1. Зачем нужны уравнения
и неравенства?

Сравнить два разных объекта мы можем да
леко не всегда. Например, дерево и озеро.
Даже два озера сравнить без дополнитель-
ной информации не получится — это можно
сделать по ширине, глубине, объёму воды
и т. д. То есть всегда нужно выбрать параметр,
по которому будет выполняться сравнение.

ЧАСТЬ 1.
МАТЕМАТИЧЕС-
КАЯ МОДЕЛЬ.
РЕШЕНИЕ
ТЕКСТОВЫХ
ЗАДАЧ

Это один из способов манипуляции со
статистикой. Самым большим озером
можно назвать и Байкал (если говорить
про объём воды), и Каспийское море
(если говорить про площадь). Правильно
пол бирая параметр, можно «назначить»
и другие озёра. Конечно, рейтинг озёр
вряд ли станет предметом манипуляции,
но похожий принцип применяется для
сравнения любых объектов. Например,
можно сравнивать обеспеченность боль
ницами по их количеству, а можно по ко-
личеству койко-мест и т. д

Результатом сравне
ния может быть равен
ство или неравенство.
В математике они за
писываются знаками
«=» (равно), «<» (мень
ше), «>» (больше).

Но равенства и нера
венства можно ис-
пользовать не только
для записи результа-
та измерений, но
и в качестве инстру-
лзента изучения.
Пусть нам известно, что за 1 кг яблок и 1 кг
апельсинов заплатили 100 рублей. Мы мо-
жем переписать это в виде: 1-Я+1 А=1С0. Или
проще: Я+А=100.

Вот мы уже получили ллатематическую за
пись некоторой информации. На первый
взгляд кажется, что из условия известно
немногое: 1 кг яблок может стоить 40 рублей,
а 1 кг апельсинов — 60 рублей, или же 1 кг
и яблок, и апельсинов может стоить по
50 рублей и т. д. Но, на самолл деле, из всех
возможных вариантов это уже достаточно
существенное ограничение.

Зозьллём координатную плоскость. По одной
оси будем откладывать стоимость яблок, по
другой — стоимость апельсинов так, чтобы
их суммарная стоимость равнялась 100 руб-
лям. Получаем отрезок {см. рисунок). Если
считать, что бесплатных яблок или апельси-
нов в магазине не бывает, то крайние точки
отрезка нужно исключить («выколоть»).

СТОИМОСТЬ I кг
апельсинов, руб.
Уравнения и неравенства позволяют запи-
сать информацию в таком виде, чтобы впо-
следствии с ней можно было выполнять уже
известные нам технические приёмы. Ещё
одно их преимущество состоит в том, что
к одному и тому же типу уравнений (нера-
венств) сводится целый класс задач. Поэто-
му, разработав один алгоритм для решения
такого типа уравнения (неравенства), мы ре
шаем все задачи этого класса.

Так и в жизни — мы придумали грузовик, но
возить в нём можно что угодно — яблоки,
одежду, мебель, технику

Поговорим о двух составляющих уравнений
и неравенств; суть (как мы их получаем
и откуда они берутся) и техника (что делать
после их составления).

2. Почему полезно составлять
задачи?

Для решения задачи нужно сначала отбро
сить ненужное и выделить важное, то есть
построить модель. А затем решить получен-
ную модель, используя различные алгорит-
мы. Так, если автомобиль едет из пункта
А в пункт Б, мы не учитываем притяжение
автомобиля к Луне, скорость ветра, на
селенность пунктов и т. д. Мы выделяем важ
ную информацию — расстояние между
пунктами, скорость, время и характер дви-
жения автомобиля.

Но задачей математики является не по-
строение модели (этим обычно занимают
ся физики, биологи, химики и т. д.), а за-
пись модели нс математическом языке
и расчет полученной математической мо-
дели. И основными инструментами для
этого служат уравнения и неравенства.

В повседневной жизни мы часто что то вычис-
ляем по наблюдаемой информации. За ок-
ном колышутся деревья, значит, на улице
сильный ветер. Если в школьном коридоре
прекратился шум, .значит, был звонок и пере-
мена закончилась (даже если звонка не
было слышно).

Если мы пришли домой и увидели лишние
пары обуви то делаелл вывод, что у нас го
сти. Мы их еше не видели и не слышали, но
уже знаем о них.

Так сышики вычисляют преступников по
оставленным следам (наблюдаемой ин
формацией), хотя не присутствуют при со
вершении преступления.

Если говорить о литературных произведени-
ях, то единственный, кто знает всё заранее, —
это автор детектива. Он решает прямую
задачу, придумывая । юследовательность за
цепок для сыщика.
Аналогично в шко-
ле на контрольной
учитель выступает
в роли автора детек-
тива (он составляет
задачи), а ученики —
сыщики, которые по
данному условию
должны восстано
вить значения неиз
вестных величин.

Для того чтобы луч
ше решать задачи,
нужно периодически тренироваться их со-
ставлять. Например, зная, что 1 кг яблок стоит
40 рублей, а 1 кг апельсинов — 50 рублей,
можно составить такие уравнения: х+у=90;
у-х=10. Теперь уравнения нужно перевести
с математического языка на русский:
«1 кг яблок и 1 кг апельсин влхесте стоят
90 рублей. При этом 1 кг апельсинов дороже
1 кг яблок на 10 рублей. Сколько стоит 1 кг
яблок, а сколько — 1 кг апельсинов?».

То есть полезно научиться не только убирать
лишнюю информацию и сводить всё к урав-
нениям и неравенствам, а наоборот, из
уравнений и неравенств составлять полно-
ценную задачу.

3. Для чего используют системы
уравнений и неравенств?

3 задаче про яблоки и апельсины мы полу
чили не одно уравнение, а два Поскольку
оба условия должны выполняться одновре-
менно, то это не два отдельных уравнения,
а система из двух уравнений, в них исполь-
зуются одни и те же перелтенные (если мы
рассматриваелл х=10 для первого уровне
ния, то должны подставлять такое же значе
ние х и во второе). Системы уравнений
(и неравенств) — это еще один математи-
ческий инструмент, позволяющий решать
различные классы задач.

Если одно уравнение или неравенство — это
информация, то система — это более пол-
ная инфорллация. Под описание «дом нахо
дится на улице Чайковского» попадает
большое количество домов. Если же доба-
вить, что «дом находится на проспекте Чер
нышевского», то сразу понятно, что одновре-
менно двум условиям удовлетворяют только
те дома, которые расположены на Пересе
нении этих улиц.

△ругой пример можно взять из книжек. Если
сказано, что клад расположен между дубом
и берёзой, то придётся рыть канаву от одно
го дерева до другого. А если уточнить, что
клад также находится между сосной и кам-
нем. то становится ясно, где именно зарыт
клад (см. рисунок). Его местонахождение
можно описать как пересечение двух пря-
мых на плоскости.
Ещё прилтер: как бортники [те, кто добывают
мёд диких пчёл) определяли, где находится
улей. Эта задача также на поиск пересече
ния. Берутся две пчелы, которые сидят на од
ном цветке (чтобы они точно были из одного
улья), и отпускаются из разных точек. Обе
они начинают движение к своему улью, зна-
чит его нужно искать нс пересечении их
траекторий. Таким образом, область поис-
ка сужалась до небольшой местности.

Итак, одновременное выполнение несколь
ких условий — это уточнение информации.

Если позвонил друг и спросил, далеко ли вы
от дома, то ответа «В 20 минутах?) вполне хва
тит. Для того, чтобы понять, где вы можете быть,
этой информации достаточно, а вот для того,
чтобы договориться о встрече — уже нет.

Рассмотрим такой пример. Машина выеха-
ла из города А и ехала 3 часа со скоростью
60 км/ч. Где она сейчас находится?

Точно определить место расположения ма-
шины невозможно — недостаточно инфор-
мации. Можно утверждать лишь то, что она
находится внутри круга радиусолл 180 км.
На математическом языке это записывается
как то, что перемещение машины не пре-
восходит 180 км: 5<180. Если мы уточнила, что
машина ехала по прямому шоссе и зада-
дим направление движения, то сможем точ
но сказать, где именно она находится.

Система уравнений может иметь одно или
несколько решений. Но в некоторых ситус
циях оказывается, что решений у системы
нет вовсе. Что это значит?

Иногда уточнения могут быть противоречивы-
ми. Это приводит к тому, что задача оказыва-
ется нерешаема в принципе. Так, детектив
часто вычисляет преступника, который
рассказывает инфорллацию, противореча
щую уже известной. Для этого ему приходит
ся всё перепроверять и находить неверные
данные. Или ловить преступника на лжи.

Иногда наличие
нескольких свидетелей
может только вредить

Рассмотрим такой пример задачи. 1 кг
яблок и 1 кг апельсинов вместе стоят 90 руб-
лей. При этом 1 кг апельсинов дороже 1 кг
яблок на 110 рублей. Сколько стоит 1 кг яблок,
а сколько — 1 кг апельсинов?

Составим систему уравнений:

хч-у=90,
у-х=110.

Если её решить, то получим: х=-10, у=100.
То есть яблоки должны стоить -10 рублей, но
такого быть может. Это означает, что на ка-
ком-то этапе (измерения или составления
условия) появилась ошибка. Это наглядный
пример противоречивой информации.
Обратите внимание, что в данном слу-
чае сама система имела математиче-
ское решение, но оно было непримени-
мо на практике. Возможны ситуации,
когда даже теоретического решения
у системы не будет. Например, х+у=90
и 2х+2у=150. Понятно, что если обе части
второго уравнения разделить на 2, то по-
лучится: х+у=75. Но одно и то же выраже-
ние не может одновременно равняться
90 и 75. Такая система не будет иметь
решений.

Вернемся к примеру с домами на улице
Чайковского и проспекте Чернышевского.
Если зти улицы не пересекаются (например,
идут параллельно друг другу), то и домов ко
торые находятся на их пересечении, не будет.

4. Как перевести условие задачи
на математический язык?

Составить уравнение для решения задачи
про яблоки и апельсины довольно легко.
Но как быть с более сложнылли задачами,
например, нс движение или на совместную
работу? Оказывается, переписать условия
таких задач на математический язык не
сложно, если придерживаться определён-
ного алгоритма.

Рассмотрим его на конкретном примере.

Два человека вместе вскопали огород за
8 часов. Если бы они работали по отдельно-
сти, то первый вскопал бы весь огород
в 2 раза быстрее, чем второй. Сколько вре-
мени нужно каждому из них, чтобы вскопать
огород самостоятельно?
Для решения большинства задач такого типа
(как и для решения задач на движение) мы
всё знаем: скорость при равномернолл дви

з
жении — это путь разделить на время:

Это универсальная формула для вычисле-
ния скорости. Например, если задача про
трубы, которые наполняют бассейн, то 5 —
не путь, а объем воды.

Два человека вллесте вскопали огород за 8 чс
сов. два человека вышли навстречу друг другу
и встретились через 8 часов, две трубы запол-
няют бассейн за 8 часов — несмотря на
разные формулировки, у всех этих задач
одна математическая модель. Есть три ск.о
рости (две по отдельности и одна суммар-
ная), есть три времени и общий путь (объем,
площадь огорода): у1+У1=-|-; у|=-г-; у2=-т-.

о Г, Г2

Дальше, в зависимости от данных в условии
задачи, нужно подставить известные величины
и решить полученную систему. Это уже техни-
ка, которую подробно изучают в школе.
Давайте рассмотрим идею перевода
условия задачи на математический язык
на нашем примере про огород: V — это
скорость вскапывания / — время рабо-
ты, 5 — площадь всего огорода. Теперь
мы можем порописать первую часть
условия в виде уравнения «Два человека
вм.есте вскопали огород за 8 часов;:. Они
работали со скоростью у,+Уг, вскопали
весь огород площадью в, за время 1=8 ча-
сов: У1+у2=-$-, или: 8(у1+у2/=в.

Вторая часть условия: «Если бы они рабо-
тали по отдельности, то первый вскопал
бы весь огород в 2 раза быстрее, чем
второй», — эквивалентно переписывает-
ся в виде другого уравнения. Обозначим
через Д ^2 — время, которое требуется,
соответственно, первому и второму че
ловеку, чтобы вскопать огород в одиноч-
ку. Главное — не бояться вводить новые
обозначения, даже если получится много
неизвестных, то они потом всё равно ис-
чезнут при подстановке и останется
всего 2 неизвестных.

Тогда вторая часть условия перепишется

в следующем виде: У1=р-; у2=т~. Но пер-
11 '2

вый вскапывает огород в 2 раза быстрее,
поэтому можно записать, что: 12=2Н-

Поскольку все эти условия должны выпол
няться одновременно, то уравнения нуж-
но объединить в систему:

{3(У1+У2)=В,

11’У1=5,
^2’У2=5/
Н=2Й-
Теперь решение задачи свелось к техни-
ке. Сначала нужно «сыграть в игру» — вы-
ражая одну неизвестную через осталь-
ные, уменьшать количество уравнений
и неизвестных в системе, пока их не
останется 1 или 2.

В данном примере: й=—, н=—, подстав
V, У2

ляем з четвёртое уравнение, получаем:

—=2—, откуда: у1=2у2. Подставляем в пер-
У2 V,
вое уравнение’ 8-Зу2-5, откуда: 5=24у2.
Нам нужно найти й и С получаем: Н=-^-=
=24^=24 часа, Н=2К значит, ^=12 часов.

У 2

Никаких С1 юциальных действий в ходе реше
ния мы не выполняли. Сначала переписали
условие на математическом языке (каждое
утверждение из условия превратили в урав-
нение), а затем воспользовались техникой
решения системы уравнений.

По этоллу алгоритму решается практически
любая текстовая задача. На первом этапе
нужно переписать условие в новых обозна
чениях, чтобы в дальнейшем с нилл было
удобно работать. В школе это называется
составлением математической модели.

Второй этап — это техника, решение состав
ленных на первом этапе уравнений (нера-
венств) с использованием известных методов.

5. Что общего у разных задач
и зачем их вообще решать?

Уравнения и неравенства содержат мини-
мум информации. В приллере с яблоками
и апельсинами мы получили уравнение
х+у-100. По нему нельзя определить, о чем
именно идет речь в исходной задаче, —
о стоимости яблок и апельсинов, о массе
папы и сына или о скоростях автомобилей.

Но в этом большое преимущество уровне
ний, неравенств и их систем, как инстру-
ментов. Огромное количество самых разных
задач сводятся к похожим математическим
моделям. Разработав алгоритм для реше-
ния определённых типов уравнений и нера
венств, мы научимся решать сразу все зада
чи, которые к ним сводятся.

Рассмотрим в качестве примера две, на
первый взгляд абсолютно оазные задачи.

Задача 1. Петя с Васей пришли в магазин
Петя купил 1 кг яблок, а Вася — 1 кг апельси-
нов. Вместе они потратили 90 рублей, при
этом Вася потратил на 10 рублей больше.
Сколько денег । ютратил каждый?

Задача 2. Ава человека вместе вскапывали
огород. Если первый проработает 2 часа,
а второй — 3 часа, то вместе они вскопают
60 м2. Если же они проработают вместе
1 час, то вскопают 25 м2. Сколько каждый из
них вскапывает за час?

Модель для решения первой задачи мы уже
записывали:

хч-у=90,
у-х=10.

Модель для решения второй задачи будет вы-
глядеть следующим образом (если обозна-
чить площадь, которую вскапывает .за один
час первый за х м2/ч, а второй — за у м2/ч):

2хч-Зу=60,
х+у=25.
Если заменить конкретные числа на козф-
фициенты, то увидим, что полученные при
решении обеих задач систем.ы уравнений
одного типа:

А|х+А2у=А3,
Е1х+В;у=В3.

Если мы придумаем алгоритм для решения
такой системы, то научимся решать все по
хожие задачи, которые к ней сводятся. То есть
большой спектр задач мы сводим к несколь-
ким типам математических моделей. Если
получится свести задачу к уравнениям, или
неравенствам, которые мы умеем решать,
то ее можно считать решённой.

Часто в школе основное внимание уделяют
технике решения уравнений, но не объясня-
ют. для чего она нужна. Важно подчеркнуть,
что техника решения уравнений является уни-
версальной. Вспомним нашу аналогию
с грузовой машиной — с помощью машины
можно перевозить абсолютно разные вещи,
а с помощью техники решения можно ре
шать много различных задач.
Идея решения состоит в толл, чтобы понять,
как переписать информацию в том виде,
в котором с ней можно работать с по
мощью математической техники. Для ре-
шения полученных в результате составления
м.атемстической модели уравнений можно
написать программу, которая выполнит все
вычисления по известному алгоритму. Но,
всё-таки, чтобы понять, как перевести усло-
вие задачи на математический язык, нужен
человек (по крайней мере, пока).

Многие текстовые задачи, которые реша
ются в школе, выглядят надуманными.
Действительно, вряд ли на практике мо-
жет возникнуть задача про катер, который
обгоняет плот или про Петю или Васю, ко-
торые покупают яблоки и апельсины. Все
такие задачи нужно рассматоивать в ка-
честве тренажеров для отработки навы-
ков построения математической моде
ли — перевода текстового условия на
математический язык в уравнения и нера-
венства. Научившись решать такие «ис-
кусственные» задачи, мы сможем строить
математические модели и для более
сложных, прикладных задач.

6. При решении каких задач мы
сталкиваемся с неравенствами?

На первый взгляд, неравенства абсолютно
не похожи на уравнения. Действительно,
х=5 — мы точно знаелл, чему равен х, то есть
х становится известной неизвестной. А ка-
кой вывод можно сделать из того, что х<5?
х может ровняться 4; 4,9; -501; 4- — в общем.

О
бесконечное количество возможных значе-
Неравенство при
решении неравенства

ний х. В жизни мы с неравенствами сталки
ваемся чаще, потому что точное равен
ство — исключительный случай.

Неравенство, как и уравнение, — это эквива-
лентный способ записи информации, толь
ко менее точный. Можно сказать, что мы
прошли 3 км или что мы прошли не больше
3 км. Во втором случае мы могли пройти
2,5 км. 1 км или же вообще стоять на месте.
В этом плане информации в неравенствах
меньше, но для решения некоторых задач
этот инструмент тоже полезен.
Рассмотрим такой пример. Есть несколько
машин, известна максимальная масса, ко
торую может перевезти каждая из машин
(то есть мы знаем суммарную грузоподъем-
ность всех машин, она ограничена). Тогда,
зная массу одной единицы груза, можно по
считато максимальное количество товара,
которое можно перевезти на этих машинах.

5' Ю00 15 000 кг
15 000’50 = 300 ШТ.

Зернемся к примеру с 1 кг яблок и 1 кг апель
синов, за которые заплатили 100 рублей. По-
скольку цена килограмма яблок и апельси-
нов по отдельности не может быть больше,
чем суммарная иена покупки, и не может
быть нулевой то можно записать 0<х<100,
0<у<100, где х — стоимость 1 кг яблок; у —
стоимость 1 кг апельсинов.

Одна из важнейших задач экономики —
транспортная задача — состоит в том, чтобы
составить оптимальный план перевозок гру
зов из пунктов отправления в пункты потреб-
ления, с минимальными затратами. При ре-
шении транспортных задач одним из важных
инструментов являются неравенства.

В жизни мы постоянно сталкиваеллся с не-
обходимостью выбрать оптимальное реше
ние в условиях определенных ограничений.
Например, сколько брать воды для похода.
Если взять много, то быстро устанешь её не
сти и далеко не уйдёшь.
Если же взять мало,
то тоже далеко не
уйдёшь — вода закон-
чится. Может показать
ся, что это слишком
простая задача, кото
рую можно решить без
ллатематических инстру
ментов.

Но теперь представьте,
что нал-\ надо сконструи-
ровать ракету для полёта
в космос — сколько топ-
лива в нее залить? С од-
ной стороны, чем боль
ше, тем дальше она
сможет на нём улететь.
Но, с другой, тем больше
будет масса ракеты
и тем больше топлива
будет тратиться на её
разгон, поэтому оно бу-
дет расходоваться бы-
стрее.

Похожую задачу решают команды «Форму-
лы -1»: если залить в автомобиль ллного топли-
ва, то он сможет дольше не заезжать нс пит-
стоп, но при этом будет ехать медленнее,
чем с пустым баком.

Аналогичные задачи на выбор оптимальной
стратегии мы решаем каждый день. Для со
ставления математической модели таких за
дач и нужны неравенства.
1. Что значить решить уравнение?

В любом уравнении или неравенстве есть
как минимум одна неизвестная (историче
ски сложилось, что чаще всего ее обознача-
ют х). Решить уравнение — это найти все зна-
чения неизвестных, которые обращают его
в равенство или доказать, что их нет. Что зна-
чит «обращают в верное равенство», понят-
но — если подставили вместо неизвестной
какое-то число и получили справа и слева
одно и то же значение, то это число — реше
ние (корень) уравнения. Если таких чисел
нет, и это удалось доказать — значит, у урав-
нения корней нет.

ЧАСТЬ 2.
РЕШЕНИЕ
УРАВНЕНИЙ,
НЕРАВЕНСТВ
И ИХ СИСТЕМ

Например, в уравнении 4+х=9 решением
будет только число 5: 4+5=9. х — перемен-
ная, которая может принимать любые значе-
ния. но для данного уравнения решением
будет только 5.

Иногда корень можно подобрать — в нс-
шем примере сразу видно, что х=5. Нс под-
бирать корни уравнения — не лучший
способ решения. Даже если какое-то из чи-
сел подойдёт, где гарантия, что нет других
корней? В некоторых частных случаях можно
доказать, что уравнение имеет ограничен
ное количество корней, и обойтись подбо-
ром. Но инструмент тем полезнее, чем он
универсальнее. Поэтому разработаны об-
щие методы, которые позволяют решать
уравнения того или иного типа по алгоритму.

Как же решают уравнения? Самый универ-
сальный метод — использование эквива-
лентных преобразований. Решение уравне-
ния — это множество его корней. Если у двух
уравнений эти множества совпадают, то мы
можем считать их эквивалентными.

Мы говорили, что уравнение — это ллатема
тическая запись информации из условия за-
дачи. Если на работе к Василию Петровичу
обращаются по имени-отчеству, дочка назы-
вает его папой, а друзья — Васей, то все эти
обращения «Василий Петрович», «папа»,
«Вася» эквивалентны в том смысле, что ука-
зывают на одного и того же человека.

Самое простое уравнение, решение кото
рого назвать не составит труда: х=а. Его кор
нем, очевидно, будет число а. Если нам
удастся доказать, что исходное уравнение
эквивалентно х=а, то мы его решили. Для
этого нам и понадобятся эквивалентные
преобразования — то есть те действия
с уравнением, которые мы можем с ним
выполнить, не меняя при этолл множество
корней.

Что это за преобразования? Во-первых, это
могут быть те же самые преобразования,
о которых мы говорили в предыдущей гла-
ве — которые упрощают выражение в левой
или правой части уравнения.

х + 10 - 2х ♦ 5

Но для решений уравнений и не ---------------------------

равенств применяются и другие
эквивалентные преобразования.
Например, добавление и вычи-
тание из обеих частей уровне
ния одного и того же числа. Дей-
ствительно, уравнение — это
верное равенство, поэтому его
части можно представить как
две уравновешенные чаши ве-
сов. Понятно, что добавив едина
ковые массы на обе чаши, как
и убрав их, мы не нарушим рав-
новесие.

Иногда, чтобы ускорить процесс решения
уравнения говорят не о добавлении (вычита-
нии), а о переносе слагаемого из одной чс
сти уравнения в другую с противоположным
знаком. Например, уравнения х-1=0 и х=1
эквивалентны — мы перенесли -1 слева
в правую часть, изл'енив знак минус на плюс.
На самом деле, мы прибавили к обеим ча-
стям уравнения 1: х-1+ 1=0+1, или: х=1.

Можно продолжить аналогию с весами,
чтобы понять, что умножение и деление на
одно и то же ненулевое число обеих ча-
стей также является эквивалентным преоб-
разованием. Почему ненулевое понять не-
сложно — деление на ноль в принципе не
определено, с вот при умножении вся ин-
формация, записанная в уравнении, со-
трётся, и мы в любом случае получим урав-
нение 0=0, корнем которого будет являться
любое число.
Эти же преобразования можно применять
и при решении неравенств. С одним уточне
нием — умножать и делить ничего не меняя,
можно только на положительное число (ра
ботаетта же аналогия с весами). А вот умно-
жение или деление обеих частей неравен
ства на отрицательное число приведет
к изменению его знака на противоположный
(< на > и т. д.). Например, 2>1, но -2<-1 (обе
части неравенства мы умножили на отрииа
тельное число -1).
Большинство алгоритмов решения различ-
ных уравнений и неравенств сводятся к ис-
пользованию эквивалентных преобразова-
ний для приведения их к виду, для которого
множество решений уже известно. Напри-
мер, если удалось привести уравнение
к эквивалентному виду ах2+Ьх+с=0, то
его корни можно вычислить по формуле:

Ф \о -4ас
х,,2- 2а

2. Какие уравнения мы умеем
решать?

Какие же уравнения мы умеем решать? На-
чнем с самых простых. Используя рассмот-
ренные эквивалентные преобразования не-
сложно решить уравнение: ах+б=0.

Действительно: ах+Ь=0 ах+Ь-Ь=0-Ь о
ах=-Ь <-> х=-^-, ФО. Случай а=0 рассматри-
вать смысле нет, ведь тогда в уравнении ис-
чезает х, неизвестная, и пропадает смысл
самого уравнения.

Рассмотренное уравнение называется ли-
нейным и считается простейшим

уравнением в лтатематике. Нсзва
ние связано с тем, что графиком
функции у=ах+Ь является прямая
линия [об этом ллы подробнее по-
говорим в следующей главе),
а само по себе выражение ах+б
определяет линейную зависи-
мость. Эту зависимость мы часто
используем в жизни при описа-
нии различных процессов —
например, пути при равномер-
ном прямолинейном движении:
5=у/ (в координатах: х-х0+уф
Вообще, любой процесс, который происхо-
дит с постоянной скоростью, описывается
такой линейной зависимостью. Например,
если вы прочитали 40 страниц книги за час
то будете оценивать время нс прочтение
оставшихся 60 страниц книги приблизитель
но в полтора часа. Растягивая пружину, мы
будем прикладывать силу, пропорииональ
ную длине растяжения (каждый следующий
сантиметр будет добавлять нам одно и то же
усилие). В физике это называют законом
Гука. И т д.

Конечно, на практике все процессы в нашей
жизни происходят нелинейно, но многие из
них можно довольно точно описать такими
вот линейными приближениями, поэтому
алгоритм решения линейных уравнений —
важный инструмент, который мы будем ча
сто использовать.

Он важен ещё и потому, что многие другие
виды уравнений будут сводиться к одному
или нескольким линейным уравнениям.

Рассмотрим, например, уравнение (х-1) (х-2)=0.
Понятно, что произведение может равняться
0 только тогда, когда хотя бы один из множи-
телей равен 0. Значит, уравнение эквива
лентно совокупности двух уравнений:
х-1 =0 или х-2=0. Его корни: 1 и 2.

Мы употребили термин совокупность. В чем
его отличие от системы? Система — од-
новременное выполнение нескольких усло-
вий, в языке ей соответствует союз «и». Сово-
купность — это набор из условий, в котором
выполняться должно хотя бы одно, в языке ей
соответствует союз «или». В рассмотренном
примере нас устраивало, чтобы хотя бы
один из множителей равнялся 0.
то есть х-1 =0 или х-2=0, поэтому
речь шла о совокупности. Если
бы мы потребовали одновре-
менного выполнения двух усло-
вий, то есть за11исали бы систему
уравнения х-1 =0 и х-2=0, то полу-
чили бы отсутствие решений,
ведь х не может одновременно
равняться 1 и 2.

Совокупность Система
(х - 1 )(х - 2) = 0 (х-1=0
х-1 =0 (х-2=0
,Х-2 = 0 Гх = 1
х= 1 (х = 2
х = 2
Ответ: 1; 2 Ответ- 0

Зернёмся к примеру. Если рас-
крыть скобки то мы получим х2-1х 2х+1-2=0,
то есть уравнение х2-Зх+2=0. Получается, что
если нам удастся свести квадратное урав
нение ах2+Ьх+с=0 (название оно получило
благодаря наличию квадрата переменной)
к совокупности двух линейных (привести
к виду а(х Х1) (х х2)=0), то м.ы научимся ре
шать и его.

Оказывается, такой алгоритм есть, и он поз-
воляет не просто свести квадратное уровне
ние к совокупности линейных, но и получить
общую формулу для нахождения корней
квадратного уравнения через его коэффи-
-Ь± о'-4ас
циенты: х1,2=---г----

Как ллы уже убедились, у квадратного урав
нения может быть два корня. Но может быть
и один. Например, у уравнения х2-2х+1=0 <=>
<=> (х-1 )2=0 <=> х=1. Или вообще ни одного:
х2+1=0 <=> х2=-1. Как мы знаем, квадрат дей-
ствительного числа не может быть отрицс
тельным. Слово «действительное» здесь клю-
чевое — вспомните, что в главе 1 мы говорили
о том, что число как инструмент лложно
расширять и дальше привычных нам дей-
ствительных чисел. Например, ввести такое
число 1, квадрат которого равен -1: /2=-1.
тогда у уравнения х2+1 =0 будет два корня:
Х|,в=±/. Такой расширенный инструмент на
зывается множеством комплексных чисел.
На таколл множестве у квадратного уравне-
ния всегда будет два корня (в случае с урав-
нением х2-2х+1=0 (х-1 )2=0 <=> х=1 говорят

о двух совпадающих корнях или корне
х=1 кратности 2).

Но мы рассмотрим решение квадратного
уравнения на привычном нам множестве дей-
ствительных чисел. Почему возникает три слу-
чая? Математически это ясно — в формуле
фигурирует квадратный корень. Если под ним
стоит отрицательное выражение, то значение
корня не определено и действительных реше-
ний у уравнения нет. Если стоит 0, то получается

-Ь г
единственный корень Если же под корнем,
стоит положительное число, то у квадратного
уравнения два действительных корня.

Величина, которая стоит под корнем, Ю2-4ас
определяет количество корней квадратного
уравнения или, говоря по-другому, делит
уравнения на те, которые имеют действитель-
ные корни, и те, у которых их нет. Поэтоллу её
назвали дискриминант (от лат. с1)5спт:по —
«разбираю», «различаю»): о=Ь- Лас.

Запомним теперь, что квадратичная функ-
ция описывает путь, пройденный телом при
о/2
равноускоренном движении: 5=у01+-^~ где

Уо — начальная скорость, а — ускорение.
Если мы подбрасываем мяч вертикально
вверх, то он движется ровноускоренно —
если не учитывать сопротивление воздуха, то
на него действует только сила тяжести, то
есть он движется с ускорением д свободно
го падения, которое направлено вниз.

Теперь предположим, что мы хотим понять,
перелетит ли мяч забор заданной высоты /э,
в зависимости от начальной ско

рости. Понятно, что возможны три
ситуации: мяч, даже в верхней
точке, не достигнет высоты б, то
есть уравнение з=Ь относительно
переменней ! не будет иметь
корней. Мяч достигнет нужной вы
соты в верхней точке [уравнение
8=Ь имеет ровно одно решение)
Мяч достигнет нужной высоты на
взлёте, а зател-х ещё раз при па-
дении (уравнение $=п будет
иметь два корня). Поскольку урав-
нение $=б относительно / будет
квадратным, то мы получили три
возможных случая с количеством
корней квадратного уравнения.

Кажется, что рассмотренную
идею про перемножение 3, 4
и т. д. линейных множителей
можно развить и получить фор
мулы для решения уравнений лю
бой степени — 3-й, 4-й и т. д.:
аохп+а1Хп-'+ ..ч-ап_1Х+ап=0.

Но, как доказали математики
Руффини и Абель, для общего
вида уравнений 5-й степени
и выше не существует явной
формулы, по которой можно вы
числить их корни. Обратите вни-
мание, это утверждение говорит не о том,
что корней у таких уравнений нет, а о том,
что нельзя придумать формулу, которая вы-
разила бы все корни произвольного уровне
ния через его коэффициенты.

△ля уравнений 3-й и 4-й степени такие фор-
мулы есть но они гораздо сложнее форму-
лы корней квадратного уравнения, поэтому
их обычно не рассматривают в школьном
курсе.

Что же можно сказать про корни уравнения
а0хп+а1хл1+...+омх+оп=0? Оказывается, что
любое такое уравнение, если рассматри-
вать в качестве его решений комплексные
числа, имеет ровно п корней (с точностью
до кратных, то есть повторяющихся корней).
Например, у квадратного уравнения их все-
гда будет 2 — мы об этом говорили. У куби-
ческого — 3. И т. д.

Но вот про количество действительных кор
ней такого уравнения в общем виде сказать
ничего нельзя. Однако для решения таких
уравнений разработаны специальные мето
ды которые позволяют вычислить их корни
с заданной точностью. Некоторые специаль
ные виды таких уравнений можно решить
точно, используя различные приёмы, но это,
скорее, относится к области математиче-
ского искусства, чем к реально полезному
и практически нужному инструментарию.

В следующей главе мы рассмотрим поня-
тие функции, после чего ещё немного пого-
ворим о решении неравенств и систем
уравнений.

Введение

Величины могут быть независимыми, а могут
зависеть друг от друга. Так, на ваш вес не
влияет изменение численности населения
Земли. А вот количество потребляемых кало-
рий влияет.

Если величины выражаются числами, то зави-
симость между ними можно записать на
математическом языке. Иногда это сделать
совсем просто. Если килограмм огурцов
стоит 100 рублей, то за 2 кг нужно будет
заплатить 200 руб., за 3 кг — 300 руб., за х кг —
100х руб. Зависимость стоимости покупки от
м.ассы огурцов — приллер функции.

Но есть и более сложные зависимости, для
описания которых придулланы специальные
функции: тригонометрические, показатель
ные, логарифмические и ллногие другие.

Начисление процентов на банковский вклад
или по ипотеке, сопротивление воздуха от
скорости движения, период полураспада
топлива в ядерном реакторе — вот лишь
несколько примеров процессов или ве-
личин, которые описываются с помощью
функций.

Ещё чаще мы сталкиваемся с наглядным
способом представления функции — гра
фиками. Так, капли фонтанов и мяч после
удара футболиста летят по кривым, очень
похожим на параболы.

В этой главе мы поговорим о функциях, их
свойствах и графиках.

ГЛАВА 5.
ФУНКЦИИ
ЧАСТЬ 1.

ФУНКЦИИ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
И СВОЙСТВА

1. Что такое функция?

Мы постоянно встречаемся с зависимостью
величин друг от друга; чем больше в чайнике
воды, тем дольше он будет закипать; чем бы
стрее едем, тем меньше времени займёт
путь от дома до дачи (поговорка — предо-
стережение: «Тише едешь — дальше бу-
дешь», — говорит о прямо противоположной,
но зависимости); масса железной детали бу-
дет тем больше, чем больше её объем и т. д.

До сих пор мы говорили о свойствах объек-
тов В рассмотренных же примерах речь
идёт об отношении между объектами. Есть
масса детали, есть её объём, а есть связь
между ними: чем больше объём, тем
больше лласса. Оказывается, можно изучать
не только объекты, но и отношения между
ними. В математике такие отношения меж-
ду величиналли называют функциями и зани-
маются исследованием их свойств.

В жизни мы тоже часто говорим об отноше
ниях между объектами: например, если
Петя и Вася дружат, то мы можем указать
пальцем на Петю или на Васю, но не на
дружбу между ними. Хотя можем заметить
многие проявления этого отношения между
ними — взаимопомощь, общение и т. д.
Другой пример отношения между объекта
лли: леша сидит на стуле. И снова: Лёша
и стул — объекты, на них можно указать
а вот то, что Леша именно сидит на стуле, —
это уже отношение.

Итак, функция — это соответствие между
ллножествами. Но соответствий может быть
очень ланого — любое ли из них будет пред-
ставлять интерес для исследования? Нет,
мы сделаем дополнительное ограниче-
ние: люболлу элелленту из первого ллноже
ства (его называют прообраз — то, что пред
шествует образу) будет соответствовать
единственный элемент из второго множе
ства (образ). Так определяют функцию
в математике.

Рассмотрим пример
у каждого человека
причём единственный.

функции из жизни:
есть размер обуви,

Нефункциональная зависимость

А вот один и тот же размер будет у многих
людей, то есть обратная зависимость уже
функцией не будет.

К сожалению, для многих
из нас, у образа может
быть много прообразов
Ещё один пример: зависимость между пе-
риметром квадрата и его площадью. Зная
периметр, можем однозначно найти сто
р

рону: а=д- Тогда площадь будет равна:
Р2

5 = а2 = у^. Такая зависимость будет функци
ональной (каждому квадрату с данным пе-
риметром соответствует ровно одно значе-
ние площади).

Если рассмотреть зсвисилаость между
периметром произвольного прямоуголь
ника и его площадью, то она уже фун
кциональной не будет. К примеру, не-
льзя определить однозначно стороны
и площадь прямоугольника с периметром
20 (см. рисунок).

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ’8 1° 2С

<У Ч> » » е < V У 090090900

Р= 20

Получается, что одному и тому же пери-
метру прямоугольника будут соответство-
вать сразу несколько значений площади,
а значит, это не функциональная зависи-
мость.
Обратите внимание, что самая большая
площадь у прямоугольника с заданным
периметром в нашем примере оказа
лась у квадрата. Это пример так называ
емой экстремальной задачи. Из всех зам
кнутых кривых при
заданной длине гра-
ницы наибольшая пло-
щадь будет у круга 5 ,318
{это утверждение —
решение так называе-
мой экстремальной
задачи Дидоны).

Вернёмся к примерам из начала урока.
Если считать мощность чайника постоян-
ной, то время закипания будет пропорыио
нально количеству теплоты, которое потре-
буется для нагревания: /~О, а оно, в свою
очередь, пропорционально массе нагре-
ваемой воды: О~т. Таким образом каждой
массе будет соответствовать своё количе-
ство теплоты, а значит, и свое время нагре
вания: 1~т, При этом, чем больше масса,
тем больше время.

Это приллер зависимости, которая называ-
ется пряллой пропорциональностью: чем
больше одна величина, тем больше другая.

Ещё один пример прямой пропорциональ
ности — зависиллость массы детали от
обьёма. Плотность, по определению: Р=д^~,
откуда. т=рУ. Чем больше объём, тем
больше масса детали (при постоянной
плотности).
Прямая
пропорциональность
бывает разной

Скорость при равномерном прямолиней-
ном движении: откуда- /=-^-. Нем выше

скорость, тем больше знаменатель а зна-
чит, меньше дробь. При данном расстоянии
от дома до дачи мы для каждого значения
скорости можем вычислить соответствую
щее время в пути. При этом, чем больше
скорость [знаменатель) тем меньше время
(дробь). Такая зависимость — пример
обратной пропорциональности: чем больше
одна величина, телл меньше другая.

2. Какие существуют способы
задания функции?

функция — это соответствие между дву-
мя множествами. Чтобы задать функцию,
нужно определить эти множества и пра-
вило, по которому между ними устанавли-
вается соответствие Первое ллножество
называют областью определения функции
(О(у)), второе — областью значений функ
ции (Е(у)).
3 примере с размерами обуви областью
определения было множество всех людей,
а областью значений — множество разме
ров обуви.

Размерь.

мужской оьуви

Область определения
0(у,

Область значения
Ну)

3 математике работают преимущественно
с числовыми функциями, то есть такими, ко-
торые ставят в соответствие одно число дру
гому числу.

Но все же чаще всего под функцией пони-
мают именно правило, по которому опре-
деляется соответствие ллежду элеллентами
множеств. Его можно описать разными
способами. Для размеров обуви мы ис-
пользовали словесный. В математике чаще
всего применяют аналитический (с помо
щью формулы). Им мы пользовались в при-
мерах про массу (объём) и время (ско-
рость).

Функцию можно задавать с помощью табли-
цы или графика.

График — это не только способ задания,
но и способ визуализации функции. По гра-
X У
-3 -5
-2 0
-1 2,5
0 4
1 0
2 2,5
3 5
4 2

Таблица значений
функции

фику можно увидеть не-
которые свойства функ-
ций, которые неочевидны
при других способах за
дания. Например, имея
таблицу значений, слож-
но анализировать пове
дение функции. Но если
те же данные пред-
ставить в графическолл
виде, тс сразу можно
увидеть некоторые свой-
ства функции (интерва-
лы, где функция растет
или убывает где она по-
ложительна или отрица
тельна и т. д.).

В статистике, наоборот, часто используют
именно табличное представление, кото-
рое позволяет оперативно обрабатывать
большие объёлАы данных и вычислять их раз-
личные характеристики.
То есть каждый способ задания функции
(словесный, аналитический, графический,
табличный) удобен в зависимости от цели,
которую мы в данный момент преследуем.

Рассмотрим функцию у=х2. Мы не задали
для нее область определения и область
значений. В таком случае подразумевается
так называеллая естественная область
определения — то есть все действительные
значения х, в которых можно вычислить зна-
чение функции. В нашем примере какой
бы действительный х мы бы не подставили,
всегда можно посчитать у=х2. Но так будет
не для всех функций. Например, для функ-
ции у=у вычислить её значение при х=0 не
получится — деление на ноль не определе-
но. Естественной областью определения
такой функции будет множество всех дей-
ствительных чисел без 0.

В жизни лаы тоже встречаемся с ситуацией,
когда зависимость не определена. Если по
ставить в соответствие каждому гражданину
Зоссии ноллер его паспорта, то такая функ-
ция будет не определена для всех детей
младше 14 лет.

Вернемся к функции у=х2. С естественной
областью определения разобрались, а что
делать с областью значений? Она получится
автоматически: все возможные значения, ко-
торые может принимать х2 при всех х из об
ласти определения. Несложно убедиться,
что областью значения нашей функции бу-
дет множество всех неотрицательных чисел
(так как квадрат действительного числа не
лложет быть отрицательным).
График функции будет выглядеть следую-
щим обратом.

о (у). (-•*;+”).

Область определения -
О(у)- (0; *«).

Область значения -

4(у):(0;'»).

Если бы мы изменили об-
ласть определения, то изме-
нилась бы и функция. К при
меру, если рассмотреть
функцию зависимости пло
щади квадрата от длины его
стороны, то мы получим та
кую же зависимость у=х2,
только с ограничением на х:
х>0. В этом случае от преды-
дущего графика останется
только правая ветка, да ещё
и точку 0 придётся «ВЫКОЛОТЫ).

Обратите внимание, прави
ло (соответствие) мы задаём
той же формулой, но функ-
ции при этом получаются
разные.
У функции каждому
х соответствует ровно
один у, поэтому её
график не может
пересекаться
вертикальной
прямой в 2 точках.
То, что нарисовал
мальчик, называется
ГМТ (геометрическое
место точек). Но иногда
математика отходит
на второй план...

3. Какие характеристики функции
можно исследовать?

Погода постоянно меняется, но мы научились
её характеризовать температура, направ-
ление и скорость ветра, давление и т. д.

Функции тоже мсгут быть очень разными, но
мы их изучаем, выделяя и исследуя различ
ные характеристики.
Какие характеристики функции можно
исследовать? Это зависит от целей ис
следования и задачи, которую ллы собира-
емся решить. Но можно выделить стан
дартный и наиболее часто используемый
набор.

Часто бывает важно 01 |ределить, когда функ-
ция принимает значения, удовлетворяющие
определенным условиям. Например, если
мы хотим понять, когда фирма выйдет на
безубыточность, то должны определить
когда функция прибыли принимает неотри-
цательною значения.

Нули функции — это значения х, при кото-
рых функция обращается в ноль. Нс графи-
ке это соответствует точкам пересечения
функции с осью х. Также по графику легко
определить, при каких х функция положи-
тельна, а при каких — отрицательна (соот
ветственно, выше и ниже оси х). При этом
изменить свой знак (с минуса на плюс или
с плюса на ллинус) функция может либо
в нулях, либо в точках, где её график разры-
вается (см. рисунок).
Этот факт используется при решении
неравенств метолом интервалов. Если
мы эквивалентными преобразования
ми свели неравенство к вилу /(х)>0
[знак неравенства может быть любым)
и для функции у=Цх) смогли найти нули
и точки разрыва, то точно знаем, что на
любом интервале между двумя сосед-
ними точками у функции будет один
и тот же знак (такие интервалы называ-
ются интервалами знакопостоянства).
Чтобы его определить, достаточно вы-
числить значение функции в любой точ-
ке этого интервала. Если мы опре-
делили знаки на всех интервалах, то
выписать решение неравенства не со-
ставит труда.

Иногда нужно сравнить значения функции
не с нулём, а с каким-то другим числом а.
Для этого достаточно провести горизонталь
ную прямую у=а (см. рисунок), а дальше
всё аналогично — там, где значения функ-
ции больше а, график будет выше; там, где
меньц ю а, — ниже.
Кроме сравнения с конкретным значени-
ем, нас может интересовать поведение
функции на каком-то участке или динами
кс изменений её значений. То есть умение
определять растет функиия или убывает.
И снова для этой цели удобно использовать
график.

Интервалы знаке постоянства функции
Чуть позже лль! поговорим об инструменте,
который позволяет исследовать возрастание
и убывание функции без построения графи-
ка, — производной.

Можно выделять и анализировать ещё много
характеристик функций и их графиков, но
это уже техника, которую можно изучить
саллостоятельно.

Курс. валют

Одна и та же функция
может в разных
ситуациях вызывать
разные эмоции
ЧАСТЬ 2. ВИДЫ
ФУНКЦИЙ

1. Какую функцию можно считать
самой простой?

Как и любые другие объекты, функции при
нято классифицировать, чтобы было удоб-
нее их изучать.

Какую функцию можно назвать самой про-
стой? Функция — это зависимость между
переменными. То есть она показывает, как
лленяется одна переменная (её называют
зависимой) с изменением других перемен-
ных (их называют независимыми). Самый
простой случай: когда зависимая перемен
ноя никак не меняется, в таком случае гово
рят о том, что функция является константой:
у=Ь, где Ь — некоторое фиксированное
число. Несложно построить график такой
функции — для любого х соответствующее
значение у=Ь. Получаем горизонтальную
прямую.

К примеру, если машина остановилась, то
зависимость пути от времени будет иметь
вид: у(^)=50, где — пройденное к молленту
остановки расстояние.
5

У(0 = 5о

О г

Но это совсем «неинтересный» случай.
Предположим, машина всё же поехала.
Как будет меняться пройденный путь со вре
менем? Когда мы говорим, что автомобиль
движется со скоростью 60 км/ч, то подразу-
меваелл, что за первый час он проедет 60 км,
за второй — 60 км и т. д. То есть одинаковые
изменения аргум.ента (времени) приводят
к одинаковому изменению функции (рас
стоянию, которое проехал автомобиль). Та
кие функции называются линейными.

Если скорость автомобиля постоянна и рав
на V, тогда за врел\я I он преодолеет рассто-
яние у/. И общий пройденный путь будет ра-
вен: 5(/)=50+у/. где / — аргуллент функции.

I
Общий вид линейной функции. у=кх+Ь, где
к и Ь — некоторые число. Кок видим, кон
стоите — честный случой линейной функ-
ции при к=0.

Почему линейной функции уделяют ток
ллного внимония? Оно чосто применяется
(локально почти все процессы лтожно счи
теть линейными) и её просто изучать.

Действительно, линейную зависимость удоб
но использовать в качестве модели для опи
сания самых разных процессов и явлений:
если мы прочитали за неделю треть книги, то
будем прогнозировать, что дочитаем книгу
через две недели; если увеличить массу воды
в чайнике в 2 раза, то и закипать он будет
приблизительно в 2 раза дольше; если уве-
личить силу растяжения пружины в несколько
раз, то во столько же раз увеличится её удли-
нение (закон Гука: Г=кЛх) и т. д.

Не всегда удаётся
использовать модель
линейной зависимости

Графиком линейной функции является
пряллая: любая невертикальная прямая на
координатной плоскости задает линейную
функцию, и наоборот. 3 геометрии пря-
мая — один из самых простых объектов.
Наконец, линейную функцию можно по-
дробно изучить, вывести ее основные свой
ства и использовать для приближения бо-
лее сложных, нелинейных функций.

Например, если мы на графике возьмем
маленький участок, то увидим, что он близок
к । |рямой.
Проделав такую операцию со всем графи-
ком, ллы получим кусочно-линейную функцию
(см. рисунок). Теперь мы можем описать её
поведение на каждом линейном участке.

Пример 11риближения кривой линии коротки-
ми отрезками прямых можно встретить
в ыжоле на уроках информатики. Ид.еаль
ную окружность на экране нарисовать не
получится; у экрана есть минимальная ячей-
ка (пиксель). Мы её называем точкой, но
у неё есть какая-то длина и ширина. Такими
«точками» нарисовать гладкую окружность
не । юлучится — будет очень очень точное, но
всё-таки приближение.

Каждому знакомо проявление этого эф-
фекта при увеличении фотографии на
экране. Сначала кажется, что линии на
снимке плавные, но с увеличением рано
или поздно наблюдается азернистосты) —
становятся видны квадратики (пиксели).
То же самое можно увидеть и в нарисован-
ной на экране компьютера окружности.
При большом увеличении станет заметно,
что нарисована не окружность, а правиль
ный п угольник с достаточно большим зна
чением. п.

Если вернуться немного назад, к систе-
мам линейных уравнений, о которых мы
говорили в предыдущей главе, то станет
ясно, что каждое из них задаст линейную
функцию. Действительно:

)у= ~— ——х
Ь1 Ь1

у ф ьЛ

Мы предположили, что коэффициенты
при у не равны 0 (можно разобрать
и этот частный случай, забегая немного
вперёд скажем, что он описывает верти-
кальную прямую}.

Получается, что графики обеих функций
можно построить в одной системе коор
динат. Поскольку решение системы —
пара чисел, которая удовлетворяет од-
новременно обоим уравнениям, то точка
с этими координатами должна принад-
лежать сразу двум прямым. То ость ре-
шениями системы будут координаты об
шей точки прямых. Такой способ решения
систем уравнений называется графиче-
ским, и его можно обобщить не только
для линейных уравнений и соответствую-
щих им прямых.
Две прямые на плоскости могут быть или
параллельны (нет общих точек — нет ре
шений у системы'/, или пересекаться
в 1 точке (/ решение системы). У нас мо-
жет быть ещё случай, когда прямых не
две, а одна — оба уравнения системы
задают одну и туже прямую. В результате
решений у системы будет бесконечно
много.

а II о П =С о г

Можно провести аналогию с приме-
ром из реальной жизни. Мы ишсм дом,
который находится на улице Чернышев
ского и улиие Чайковского. Если они
пересекаются то это дом. на пере-
крестке. Если параллельны, то такого
дома нет Если это старое и новое на
звание одной и той же улицы, то у нас
недостаточно информации — этим до
молл может оказаться любое здание на
данной улице.

2. Что мы знаем о нелинейных
функциях?

Линейная функция — удобный инструмент
для описания различных процессов и явле-
ний. Более того, его можно применять для
приближения и изучения свойств более слож
ных функций. Но для гладких кривых (если не
вдеваться в подробности, то это кривые Ое.з
углов) такое приближение будет грубым.

Для более точных измерений мы используем
более точные инстрултенты. Для функций бо-
лее точнылл инструментом (по сравнению
с линейной функцией) является квадратич-
ная функция. Можно сказать, что это следу
ютая по сложности функция.

Уравнение квадратичной функции отлича-
ется от уравнения линейной добавлением
слагаеллого, которое содержит квадрат
переменной: у=ах2+Ьх+с, где а#0, Ь, с —
некоторые числа. Условие «коэффициент
при квадрате не равен О» гарантирует, что
мы иллеем дело именно с квадратичной,
а не с линейной функцией.

Графиком такой функции будет парабола
(с др.-греч,: пара — возле, рядом; бола —
бросать).
С такой кривой каждый из нас сталкивал-
ся — практически по параболе летит бро-
шенный мяч, части параболы напоминают
струи многих фонтанов

Это не совпадение. Если линейная функ-
ция описывает равномерное движение
(с постоянной скоростью!, го квадратич-
ная функция описывает равноускорен-
ное движение (с постоянным уско
рением). Уравнение такого движения:
0^2

5=$0+уф— где у0 — начальная скорость
движения, а — ускорение. Несложно за-
метить, что $(1) — это уравнение квадра
тичной функции.

И брошенный мяч, и капли воды в фонта-
не движутся с некоторой начальной ско-
ростью в поле силы тяжести (можно счи-
тать что они движутся с ускорением
свободного падения). То есть при неко-
торых допущениях их движение в верти-
кальной плоскости можно считать равно-
ускоренным. Отсюда и параболическая
форма траектории.
Но у параболы есть еще одно важнейшее
свойство, о котором в школе практически не
говорят. Если пустить пучок лучей параллель-
но оси симметрии параболы то все они со
берутся в одной точке, которая называется
фокусолл (по аналогии с фокусом линзы).
Этот факт используется в конструкции про
жекторов, фонарей, фар, а также некоторых
телескопов и антенн и т д. В названии рома
на Алексея Толстого «Гиперболоид инженера
Гарина» допущена неточность Прибор ис-
пользовался для фокусировки лучей, то есть
был, на самом деле, параболоидом.

Используя квадратичную функцию и ее гра
фик, можно более точно приближать неиз-
вестные налл функции, а значит, делать бо-
лее точные предсказания.

Поговорим ещё об одной нелинейной функ-
ции. В начале главы мы рассматривали тс
кой пример: чем быстрее едешь, телл мень-
ше времени потратишь на дорогу от дома
до дачи. Функция зависим.ости времени от
скорости в донном случае выглядит так: Г = -^,
где $ — некоторая фиксированная величина.
Или, если переписать в привычных нам

С'

обозначениях для функции: У=у Если аля
линейной функции мы говорили о прямой
зависимости: чем больше воды в чайнике,
тем больше вреллени уйдёт на его зак.ипа
ние (во сколько раз увеличили х, во столько
раз увеличился и у), то в данном случае зави
силлость обратная (во сколько роз увеличи-
ли х, во столько же раз у уменьшился).

Эту зависимость так и называют — обратная
пропорциональность. Её графиком будет
гипербола.

Она обладает рядом свойств, которые поз-
воляют использовать её. например, в архи-
тектуре. Если начать вращать гиперболу во-
круг одной из осей симметрии, то получится
так называемый однополостный гиперболе
ид (см. рисунок).
Одно из важнейших его свойств — через
любую точку проходит две прямые, которые
полностью принадлежат гиперболоиду. То
к.им образом, несмотря на кривизну, мож-
но построить такую поверхность, используя
только прямые балки. Это свойство исполь-
зовал великий русский инженер В. Г. Шухов
при строительстве радиостанции в Москве
(башни Шухова). Она состоит из несколь-
ких поставленных друг на друга частей од
нополостных гиперболоидов, причём каж-
дая часть сделана из двух семейств
прямолинейных балок, соединённых в точ-
ках пересечения.

Гиперболы можно также увидеть на многих
солнечных часах. В течение дня Солнце опи-
сывает окружность на небесной сфере,
а его лучи, падающие на верхушку гномона
солнечных часов, соответственно, описыва-
ют конус света. Линия пересечения этого ко
нуса с плоскостью горизонтальных или вер
тикальных солнечных часов может быть
параболой, эллипсом или гиперболой (эти
три линии так и называют — конические се-
чения). На наиболее населенных широтах
и в большую часть года этой линией является
именно гипербола.
Нелинейных функций много, их используют
для описания различных явлений и процес
сов в физике, химии, биологии, экономике
и т. д. Их можно задать описать свойства,
построить графики и дальше с ними рабо
тать. В школьном курсе рассматривают
некоторые нелинейные функции — показа
тельные, логарифмические тригонометри-
ческие. Подробнее о них мы поговорим
в следующих главах.

3, Как математики гадают
на кофейной гуще?

При проведении экспериментов мы не мо-
жем непрерывно получать значения измеряе-
мой величины, любой аргумент (время, тем-
пературу, ллассу) можно измерять только
дискретно. Если отобразить результаты в си-
стеме координат, то вместо । тривычной линии
или части линии, мы получим набор точек.

Это тоже график функции, только дискрет-
ной (разрывной). Область определения такой
функции — множество значений аргументов,
для которых производились измерения ин-
тересующей нас во время эксперимента ве
личины.

Понятно, что результаты эксперимента хочет-
ся обобщить и по относительно небольшому
набору полученных данных иметь возмож-
ность сделать выводы об общей закономер-
ности.

Математически эту задачу можно пере-
формулировать так: по известным значе
ниям функции в определенных точках по
нять. как ведёт себя функция между этими
точками.

Рассмотрим в качестве примера получен
ные данные эксперимента.

График среднесуточной температуры

.25,3

24,7.

,23,1

.22,6

:22л .

22,0

•20,5

20 ------1---1----1----1----ь

1 3 5 7 9 11

*24,1

.22,2

• 21.6

13 15 17 19 дни

Температуру воздуха между отмеченными
точками можно найти, если предположить
линейную зависимость или например, квад-
ратную.
Восстановление функции по набору её
значений называется интерполяцией. Это
сложная задача, решение которой, на пер-
вый взгляд, может показаться гаданием на
кофейной гуще.

Действительно, мы же не знаем, как поведет
себя функция между двумя отмеченными
точками. Например, ее график может вы-
глядеть следующим образом.
Конечно, мы восстанавливаем график
функции по точкам, используя некоторую
модель например, предполагаем, что
функция достаточно гладкая, если при про
ведении эксперимента не было резких
скачков.

Тогда с большой степенью вероятности
можно сказать, что график функции будет
выглядеть именно так, как показано нс ри-
сунке.

Самая простая модель для интерполя-
ции — модель кусочно линейной функции,
о которой мы уже говорили в этой главе.
Действительно, если мы считаем, что ли
нейное поведение функции между любы-
ми соседними точками — достаточное
для решения нашей задачи приближение,
то восстановление функции не составит
труда.
Но часто приходится использовать белее
сложные модели которые позволяют по-
лучить более точные результаты. Объ
единяет большинство существующих
в математике моделей то, что в них ин-
терполяцию выполняют с помощью
многочленов, то есть функций вида:
у=Цх)=аохп+аф'+. +ап_|Х+аЛ. Это связано,
в частности, с тем, что значения много-
членов легко вычислить. И линейная,
и квадратичная функции — это частные
случаи многочленов (при п=1, 2)
Мы рассмотрели результаты измерений при
проведении эксперимента — их всегда ко-
нечное число. Но в качестве области опре
деления функции может выступать и беско-
нечный дискретный набор — множество
натуральных чисел. В этом случае говорят не
о функции, а последовательности чисел:
а,, а2, Оз-.. Последовательность — это функ
ция натурального аргуллента. Действитель
но, можно переписать так: у=а(п).

Последовательности — это своеобразный
ллостик между конечным и бесконечным
в математике. С одной стороны, количество
членов последовательности может быть
бесконечным (наприлАер, натуральный ряд:
1, 2, 3...). Но, с другой, мы можем их зану-
меровать (чего не сделаешь, например,
с действительными числами даже такого
маленького отрезка как [0,1]). Поэтому по-
следовательности лложно использовать для
исследования свойств бесконечных ве
личин. Подробнее об этом мы поговорим
чуть позже.

Введение

Длину альболлного листе можно определить
с помощью линейки. Для измерения высоты
дверного проеме уже понедобится рулетка.
Но и ее длины вряд ли хвотит для определе
ния разлдеров садового участка. Измерять
большие длины сложно.

С углами такой проблемы нет — мы знаем,
что каждый из них ограничен полным обо-
ротом (который принято считать равным
360 градусов).

Кроме того, жизненный опыт подсказывает,
что углы и расстояния связаны: тень от объек-
та пропорциональна размеру самого
объекта, причём эта пропорция будет ме
няться, в зависимости от угла падения сол
нечных лучей.

Если связать углы и расстояния, то можно ис
пользовать относительную простоту измере
ния углов для вычисления сложно измеримых
расстояний. Например, для нахождения ши-
рины реки или высоты дерева. Для этого
и нужна тригонометрия.

Все остальное — синусы, косинусы... — это
математические инструменты. Если трени-
роваться, то можно научиться владеть ими
виртуозно. Но это необязательно, достаточно
разобраться и понять общую идею.

В этой главе мы поговорим о тригонометрии
и ее инструментах.

ГЛАВА 6.
ТРИГОНО-
МЕТРИЯ
ЧАСТЬ 1
ТРИГОНО-
МЕТРИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ

1. Зачем нужна тригонометрия?

Тригонометрия (с греч. «измерение тре-
угольников») — это «что то про синусы, коси
нусы». Приблизительно такие воспоминания
у многих остаются после школы об этом
разделе математики. Часто тригонометрия
ассоциируется с огромным количеством
формул, которые нужно использовать для
решения разных задач Но между понима
нием и техникой (а большая часть школьных
упражнений — это именно техника) суще-
ственная разница.

Согласитесь: одно дело научиться кататься
на велосипеде, то есть понять, как это де
лать, а совселл другое — стать профес-
сиональным велогонщиком. К сожалению,
в школе основное вниллание уделяется
именно технике. Мы же сосредоточимся
на понимании — зачелл нужны тригономэт
рическ.ие функции и где мы сталкиваемся
с ними в жизни.

Рассллотрилл такой пример — два человека
(А и В) выталкивают машину из лужи. Если
В будет толкать машину вбок, то ничем не по
может А. НачнелА постепенно менять направ-
ление его усилий. Ясно, что наиболее эф-
фективно их усилия сложатся тогда, когда
они будут толкать ллашину в одну сторону.

Н > 161 |г| = тах

Каков вклад В? Сила, с которой он выталки-
вает машину, меняется ст 0 до какого-то
максимального значения Гв- Поскольку уси
лие В । постоянно, то его । юмощь зависит толь
ко от угла между силалли А и В

Из всей силы, которую прикладывает В, по-
могает выталкивать только та часть, которая
действует вдоль направления действия А.
Эта часть называется проекцией (если мы
посветим фонариком на вектор силы, то по
лучим на экране тень, которая и будет являть
ся проекцией).

Мы свели задачу к геометрической — найти
катет в прямоугольном, треугольнике, зная ги-
потенузу и острый угол.

Получаем: б=сфа), где Ца) — какая-то
функция от угла. Почему мы можем
утверждать, что это функция? Если вы-
разить Ца)=^ и вспомнить определе-
ние функции из предыдущей главы, то
нам нужно доказать что для каждою
угла а отношение прилежащего катета
к гипотенузе будет принимать един-
ственное значение, независимо от тре-
угольника.

Ь = с/(а)

Это следует из подобия всех прямоуголь
ных треугольников с одинаковым острым
Итак, каждому острому углу в прямоуголь-
ном треугольнике можно поставить в соответ-
ствие отношение прилежащего катета и ги-
потенузы. Эту функцию назвали косинусом.

В примере с выталкиванием ллашины мы
даже получили некоторые значения косину-
са. Если силы перпендикулярны, то есть угол
между нилли равен 90°, то проекция силы
В на линию действия силы А равна 0 (В никак
не помогает А своими действиями). Получа-
ется, что соз 90°=С. Если же силы сонаправ-
лены (угол между ними равен 0°), то вся сила
В помогает А, то есть соз 0°=1.

Значение косинуса можно вычислить для лю-
бого значения угла — раньше для этого со-
ставляли специальные таблицы (например,
таблицы Брадиса), сейчас у любого в кар
мане есть смартфон со встроенным каль
кулятором, который умеет это делать.
Мы выбрали для задания функции угла отно
шение прилежащего катета и гипотенузы.
Но с таким же успехом можно было взять
противолежащий катет и гипотенузу. Или от
ношение двух катетов. И, действительно та-
кие функции для угла определяют, у них есть
свои названия.

Синус — отношение противолежащего ка-
тета к гипотенузе.

Тангенс — отношение противолежащего ка
тета к прилежащему.

Котангенс — отношение прилежащего кате-
та к противолежащему.

СО5 а = -^

Косинус - отношение
прилежащего
катета к гипотенузе

Тангенс - отношение
противолежащего
катета к прилежащему

5ша = у

Синус - отношение
п ротивол ежаще го
катета к гипотенузе

«8сг=г

Котангенс - отношение
прилежащего катета
к противолежащему

51П2а+со52а=1

На самом деле, все эти функции связаны
между собой различными тождествами,
Например: сумма квадратов синуса и ко
синуса любого угла равна 1. Такие тожде-
ства называют основнылли тригонометриче-
скими тождествами. И с их помощью можно
все тригонометрические функции выразить
через одну, например, через синус.
Возникает логичный вопрос — зачем же вво-
дят четыре функи ии, если можно было бы
обойтись одной?

Тригонометрические функиии оказались
очень востребованными при решении раз
личных задач. А если мы что то часто исполь
зуелл, то придумываем для этого отдельное
название. К примеру, бык — корова —
телёнок и волк — волчица — волчонок в пер-
вом случае нашим предкам было «не жал-
ко» использовать три разных корня для
обозначения домашнего животного, с кото-
рым сталкивались каждый день; во втором
хватило одного корня.

Зачем же нужны тригонометрические функ-
ции? Они связывают угол и длину. Это позво
ляет нам «победить пространство». Действи-
тельно, теперь можно вычислять многие
длины, а не измерять их непосредственно.
Измерить угол проще, поскольку его величи-
на не зависит от длины сторон. Зная углы
(и, соответственно, значения их тригономет
рических функций), можно вычислять длины,
которые измерить на практике невозможно
или сложно.

2. Можно ли определить
тригонометрические функции
для неострых углов?

Пример с выталкиванием машины де
монстрирует использование тригонометри-
ческих функций в физике — с их помощью
можно рассчитать проекции сил на разные
оси и решить многие задачи динамики.
Например, ответить на вопрос — мог ли воз
из басни Крылова «Лебедь, рак и шука» дей-
ствительно оставаться нс ме-
сте. Если нарисовать действу
ющие на воз силы и рассчитать
с помошью тригоном.етриче
ских функций проекции этих
сил, то можно найти условие,
при котором все три силы бу
дут уравновешены {для этого
обязательно нужно, чтобы все
три си/ы действовали в одной
плоскости).

Рассмотрим другие ситуации,
в которых мы можем использовать тригоно-
ллетрические функции.

Пусть мы знаем высоту некоторого дерева.
Как измерить высоту здания, расположенно-
го рядом (см. рисунок)?

Находим точку О, такую, что линия, про-
ведённая через эту точку и вершину дома,
пройдет через вершину дерева. Мы можем
измерить расстояние от этой точки до дере-
ва, расстояние от неё до дома и знаем вы-
соту дерева. Из пропорции лложно найти

к и

высоту дома; ^9а = ^=^-

Подведём краткие итоги: синус, косинус,
тангенс и котангенс — это действительно
функции, так как каждому острому углу со-
ответствует ровно одно значение каждой из
них. Более того, можно расширить область
определения этих функции Для углов боль
ше 90°.

Мы измеряли угол как часть окружности.
Воспользуемся этим для расширения
тригонометрических функций. Как все
гда, для нас будет главным чтобы расши-
ренный инструмент сохранял все свой-
ства исходного.

Нарисуем окружность единичного ради-
уса (на самом деле, можно выбрать ра
диус любой длины, это непринципиаль-
но). Договоримся откладывать углы от
оси х против часовой стоелки (см. рису-
нок). Тогда каждому углу будет соответ-
ствовать какая-то точка на окружности.

Если мы рассматриваем острый угол, то
это будет точка из первой четверти.
Рассмотрим прямоугольный треугольник
АОВ. Гипотенуза АО=1, катет АВ=у, ВО=х,
где (х; у) — координаты точки А. По опре-
делению тригонометрических функций:
51па=у, соза=х, фа=^, сфа=р~.

л у

Это о/ /ределение можно расширить для
любой точки окружности, а значит, и лю-
бого угла от 0° до 360е. Синусом будет яв
ляться ордината соответствующей точки
окружности, косинусом — абсцисса,
тангенсом — отношение ординаты к аб-
сциссе, котангенсом — отношение аб-
сциссы к ординате.

Несложно убедиться, что при таком
определении все известные свойства
тригонометрических функций, в частно-
сти, основные тригонометрические тож-
дества, остаются верными.

Это определение можно расширить на углы
не только от 0° до 360°. Если фигурист прыга-
ет прыжок е 1 оборот, то он поворачивается
вокруг своей оси на 360°. Но оборотов быва
ет и больше — 1,5; 2; 2,5 и т. д. В этом случае
можно говорить о повороте на 540°; 720°;
900° и т. А. Кроме того, у повороте есть два
направления — по часовой стрелке и । |ротив.
Мы уже договорились считать углы от 0° в сто-
рону увеличения против часовой стрелки,
поэтому углы, отсчитываемые по часовой
стрелке, должны идти в сторону уменьшения.
Тогда поворот по часовой стрелке на 60° бу-
дет соответствовать углу 60°.

Итак, мы можем расширить понятие угла
вне диапазона от 0° до 360°, причем в обе
стороны Такие углы удобно использовать для
описания колебательных или периодических
процессов.

Что же будет с тригонометрическими функ-
циями таких углов? Наше определение
оказывается универсальным. Действитель
но, если мы видим только начальное и ко
нечное положение фигуриста в момент
прыжка, то не можем определить, на
сколько именно оборотов он повернулся:
0,5; 1,5; 2.5 и т. д.
Таким образом, если два угла отличаются
на 366°, 720°, 1080°... 360°-п, то им на единич-
ной окружности будет соответствовать одна
и та же точка. А значит, синусы и косинусы
таких углов тоже будут совпадать. В таких
случаях говорят что 360° — это период си
нуса (косинуса). То есть излленение аргу-
мента синуса или косинуса нс 360° любое
целое количество раз не меняет значение
функции.

51п(а + 360‘) = у
соь(а » 360') = х

яп(а - ЭГО')-у

<Л5 (а 360°) ах

51П(« + 720°) у
соз (а + 720 ) = х

5Ш(</ 720“)= у
соз(а-720 ) = х

Для тангенса и котангенса это утверждение
останется верным, только их значения повто-
ряются ешё чаще — через каждые 180°. Это
можно вывести, используя определения три-
гонометрических функций.

Итак, мы расширили понятие угла, опреде-
лили тригонометрические функции для лю-
бого значения угла. Каждую из этих функций
можно дальше исследовать и пользоваться
их свойствами. Например, в архитектуре для
расчета характеристик вантовых мостов —
количества вант, их натяжения и направле-
ния. Или в физике для описания колебатель
ных процессов.

До сих пор ллы по значению угла вычисляли
значение тригонометрических функций.
Сказывается, что решить обратную задачу
(например, по значению синуса восстано
вить меру угла, который ему соответствует)
мы можелл не всегда.
ЧАСТЬ 2.
ОБРАТНЫЕ
ТРИГОНО-
МЕТРИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ.
ФОРМУЛЫ

1. Почему обратные функции
иногда многозначны?

Если зашторить окна и не знать, светло или
темно на улиие (или оказаться в пещеое),
то, проснувшись, трудно сказать: сейчас
час дня, ночи или же следующего дня. Са
мым честным ответом на вопрос: «Который
час?», стал бы такой: «Час плюс п умножить
на 12, где п=0,1,2...». 12-п — это период, то
есть промежуток, через который часы будут
показывать то же время, что и сейчас. Мы уже
говорили про периоды тригонометрических
функций: 360° для синуса и косинуса,
'.8С° для тангенса и котангенса. То есть их
значения через некоторое изменение аргу
мента повторяются.

Если бы на планете не было смены дня
и ночи или смены сезонов, то мы не могли
бы пользоваться периодической системой
отсчёта времени. У нас только нумерация
лет идет по возрастающей, а в сутках
24 часа, и каждые новые сутки отсчет часов
начинается заново. Аналогично с месяца-

у ЬЛС. ТАЛОН
ми (если сейчас июнь, то через 12 месяцев
наступит июнь) и т. д. Использовать периоди-
ческий счёт времени нам помогают внеш-
ние ориентиры — например, вращение
Земли вокруг своей оси и изменение поло-
жения Солнца и Луны на небе. Если бы
Солнце всегда висело в одной и той же точ
ке, то для подсчета времени нам пришлось
бы считать количество секунд (минут) с на-
чала этого самого подсчёта. Дата и время
в этом случае могли бы звучать так; милли-
ард секунд.

Мы уже говорили про многозначность
в предыдущей главе. Вспомните пример
с функцией разм.ера обуви. Если решить
обратную задачу — найти хозяина по раз-
меру обуви, то у нас будет очень большое
количество разных решений.

Похожая ситуация с многозначностью воз-
никает при восстановлении угла по значе-
нию его тригонометрической функции: для
одного и того же значения синуса суще
ствуют разные значения угла Обычно при
решении практических задач мы всегда
работаем в стандартном диапазоне от
0° до 360°. В этом диапазоне для каждого
значения тригонометрической функции
есть всего два соответствующих значения
ллеры угла

Рассмотрим движущуюся ленту и маятник
в виде ведра с отверстием, из которого вы-
сыпается песок. Маятник качается, лента
движется. В результате песок оставит след
в виде графика функции синус (или коси-
нус), который называют синусоида.
На самом деле, графики синуса и косину-
са отличаются друг от друга только точкой
отсчёта [если нарисовать один из них, а за-
тем стереть оси координат, то определить
какой именно график был нарисован, не
получится).

По графику косинуса можно । юнять, почему
обратные функции будут иметь много зна-
чений. Если зафиксировать значение коси
нуса, то есть провести прямую параллельно
оси абсцисс, то на пересечении получим
все точки, в которых косинус угла равен дан
ному. Понятно, что таких точек будет беско-
нечно много.
То есть обратная функция однозначно опре-
делена на некотором интервале. Для этого
интервала мы можелл посчитать её значе
ния, а все остальные получить из них, добав-
ляя и вычитая период функции.

2. Сколько тригонометрических
формул нужно помнить?

3 школьном курсе рассматривают достс
точно много формул с тригонометрически-
ми функциями, но помнить по большому
счёту надо основные тригонометрические
тождества:

5:п2а+со$2а=1

/аа= 1 =51па

у '/да со$а

1+,92“=Т5?й

и ещё две форллулы

ь1п(а+/?)=51пасо5/3+51п/3со$а

СО5(а+/Т)=СО80!СО5/3-51П0;51П/3

Все эти формулы можно вывести. Для выво
да основных тождеств достаточно помнить
определения тригонометрических функций
через стороны прямоугольного треугольника
(51па=^, соза=-^-, фа=р с1да=^-':. а также
теорему Пифагора (а2+Ь2=с2).

Дальше, если помнить свойства чётности/
нечётности синуса и косинуса, легко выве
сти из них похожие формулы для разности,
например:

51 п (а+ {-(3)) =51 п а соз (ф) +з! п (ф) соз а=
=31 па соз Д-81П]В соза

Аналогично легко получить формулу двойного
угла, подставив вместо /3=а. Также можно вы-
вести формулы для суммы, разности и произ-
ведения тригонометрических функций.

На самом деле, помнить нужно очень мало,
так как с практикой эти формулы сами станут
привычными инструментами. Конечно, кто-то
не захочет решать много задач, но тогда ему
эта техника, а значит, и сами формулы будут
не нужны. И их смело можно не запоминать

Главное, держать в голове идею, что тригоно-
метрические функции — это функции, при
помощи которых можно решить многие
геометрические и физические залечи, они
позволяют эффективно измерять расстоя-
ния. проектировать различные архитектур-
ные сооружения, конструировать различные
механизмы. Многие геометрические задачи
сводятся к техническим манипуляциям с три-
гонометрией.

В завершение рассмотрим ещё одно
понятие, связанное с углами и тригоно-
метрией, — радианы.

Расстояния можно измерять в милях
а можно в километрах. Так и для углов
оказалось удобным использовать разные
единицы измерения. Одну мы используем
часто. Это градус (отлат. —шаг, ступень),
1

который приняли равным части пол-
ного оборота. окружности. Но поделить
окружность можно и не на 360 частей.
А нс любое число.

Оказалось, что для некоторых задач удобно
использовать другую единицу измерения.

Вспомним, что длина окружности равна
2ттг. где г — радиус окружности. Рассмот-
рим дугу, длина которой равна радиусу
окружности (у нас получился равностО'
ранний криволинейный треугольник —два
радиуса и дуга, равная по длине радиусу).

2ттг

Таких дуг на окружности: -у—=2тт (если
приблизительно, то 6 и чуть меньше тре-
ти). Угол рассматриваемого треугольни-
ка назвали, эталоном аля новой единицы
Измерения — радиан. Полный угол — это
2тт радиан. То есть: 2тт=360°, или, если по
делить обе части нс 2: тт=180°. Эта про
порция позволяет перевести любой угол
из градусов в радианы и обратно.

Введение

Мы уже говорили о том, что есть много
разных функций. Но среди них изучают не
все, а те, которые часто встречаются при
описании различных явлений или процессов
и которые изучаемы.

Показательная функиия и логарифм —
зто класс функций, который специальным
свойством выделен из всех остальных
функций (как класс Млекопитающих выде-
лен из всех живых организмов). Они им.еют
специальные названия в силу своей важно
сти (как уже рассмотренные ранее синус
и косинус).

Разные ситуации описываются одной и той
же моделью с поллошью этих функций: на
копление сложных процентов в банке (если
не снимать деньги со счёта); слух человека
(как получается, что мы слышим шорох
змеи, но не глохнем от раскатов грома);
ядерные реакции; размножение бактерий
и т. д. Поэтому, конечно, их выделили
в отдельный класс, дали название и подроб-
но изучили.

В этой главе мы дадим определения пока
зательной и логарифмической функций,
а также поговорим об их свойствах.

ГЛАВА 7.
ПОКАЗА-
ТЕЛЬНАЯ
ФУНКЦИЯ
И ЛОГАРИФМ
ЧАСТЬ 1.
ПОКАЗА-
ТЕЛЬНАЯ
ФУНКЦИЯ

1. Как образуется лавина?

Как образуется лавина? Упрощённо можно
описать так; катится 1 камень, он толкает
ещё 1. Они заденут следующие 2. Теперь их
уже 4, они зацепят ещё 4. И так далее. Через
некоторое время камней станет очень много

Каждый раз количество камней удваива
лось 1, 2(+1), 4(+2), 8(+4)... 2,1(+2п~1)... То есть
чем больше камней катится сейчас, тем
больше их будет в лавине после следующе-
го этапа столкновений.

Процессы, в которых изменение величины
пропорционально уже имеющемуся коли-
честву величины, так и называются —лавино-
образными.

Рассмотрим такую задачу В стакане есть
одна бактерия. Каждую секунду она делится
на две. новые бактерии также каждую секун-
ду делятся на две и т. д. За минуту весь ста
кан заполняется бактериями. Сколько бакте-
рий было в стакане за секунду до этого
(на 59-й секунде)?

Хочется сказать, что стакан был заполнен по-
чти полностью, нсприллер, нс 90 %. Но пра
вильный ответ: наполовину. Если заполнена
половина стакана, то через секунду каждая
бактерия разделится нс 2 части, и они запол-
нят весь стакан Первая половина стакана
заполнялась 59 секунд, а вторая — всего
лишь 1 секунду.

Самая близкая модель для описания таких
процессов: показательная функция (или
экспонента). у=а*, где а>0, а#1— основа-
ние, ах — показатель степени, изменяюща
яся величина. То есть у функции не меняет
ся основание, но изменяется показатель
(отсюда и название). Собственно, поэтому
и «экспонента» — происходит от латинско-
го ехропепз — выставляющий, показываю-
щий (однокоренное слово «экспозиция» —
выставка).

С этой функцией мы часто встречаемся
в жизни — например, вкладывая деньги
в банк. Если процентная ставка фиксиро-
вана, а деньги с вклада не снимаются, то
сумма на счёте через п лет будет равна:
^=^0 + ТОо) ' Гле ? — начальный вклад, / —
процентная ставка. Чем больше денег будет
на счете, тем больше будет выплачивать банк
в конце года. Сначала сумма будет расти
медленно, но затем рост ощутимо ускорится.

Этот факт используют организаыии, предла
гсющие микрозаймы. Если вам обещают
кредит под 1 % в день, то переплата может
казаться несущественной: если кредит пога
шается на следующий день, то вместо
100 рублей нужно будет отдать 101, если на
второй — чуть больше чем 102. И т д. Но । ,ре
небрегать прибавкой «чуть» нельзя — потому
что через год при таких условиях нужно будет
выплатить в 37 раз больше первоначальной
суммы.

Другой пример — распространение вирус
ных заболеваний. Если человек до проявления
симптомов и изоляции заражает в среднем
2 человек, то эти двое успеют заразить ещё
четверых и т. д. Очень похоже на образова-
ние лавины. Если рассллатривсть идеальную
ллодель, то очень быстро должны заразиться
все люди нс планете. На практике (и это не
может не радовать) все происходит не со
всем так. Если повторные случаи заболева
ния маловероятны, то чем больше перебо-
левших или вакцинировавшихся в популяции,
тем сложнее вирусу «искать» новую жертву.

3 рассмотренных нами примерах основа-
ние показательной функции было больше 1,
поэтому функция росла ;'для лавины и бак-
терий в стакане: а=2, для ставки в банке-
<3=1 +—г для микрозайма' а=1+у^=1,01).

Если же основание показательной функции
меньше 1, то она будет убывать. Скажем,
если у вас каждый день со счёта списывают
1 % от оставшейся на нём суммы, то через
год от 100 рублей останется 2,5 рубля. 3 этом
случае а=1-у^0=О,99.

При этом, каким бы маленьким ни было
основание, значение показательной функ
ции никогда не станет равным 0.

В физике убывающей показательной функ
цией описывают распад радиоактивных ве
ществ. Для этого вводят термин — период
полураспада. То есть срок, за который мае
са вещества уменьшится в 2 раза. Тогда за
следующий такой же срок лласса умень
шится еще в 2 раза и т. д.

(Например, у полония-210 период полурас-
пада равен 138 суток. От 1 грамма через
138 суток останется 0,5 грамма. Еще через
138 суток — 0,25 грамма. Описать массу
полония можно показательной функцией:
т

] 138

М=Мо‘2 , где Мо — масса вещества в на
чале наблюдения, Т — количество дней, кото-
рое прошло с момента начала наблюде-
ния, а М — масса полония в данный момент

График распада гюлония-210

(период
полураспада)

У показательных функций есть важное
характеристическое свойство, которое
выделяет их среди всех остальных функ-
ций: Цх+у)=Цх)-Цу}. Только экспонента от
суммы равна произведению экспонент
от каждого из слагаемых. В школе это
свойство формулируют для степеней:
ах+г=ах-аг

Понять это свойство несложно, если по-
мнить. что степень — сокращённая за-
пись умножения одинаковых множителей,
то есть: а-а-а-... а=аЛ. Тогда правую
п раз

часть равенства можно переписать так:
ах-ау=а а а-...-д-а-а-а ... д=д-а-а-...-д=ах+у.

храз ураз х+ураз
1. Что такое логарифм?

Вернемся к примеру с бактериями в стака-
не. Предположим, что есть некоторое крити-
ческое количество бактерий и нам надо
узнать, на какой секунде оно будет достигну-
то. Как это сделать?

ЧАСТЬ 2.

ЛОГАРИФМ

По сути, мы хотим решить обратную задачу.
Показательная функция позволила нам
найти, сколько бактерий будет в стакане че
рез х секунд: 2х. А теперь мы хотим, зная коли-
чество бактерий, найти этот самый х. То есть
решить уравнение: 2х=б. Для небольших зна-
чений это несложно — понятно, что 16 бакте-
рий в стакане будет через 4 секунды: 24= 16.

Мы уже говорили о том, что обратные
действия обычно выполнять сложнее, чем
прямые. Действительно в незнакомом
городе выйти из гостиницы и уйти куда то
далеко несложно. А вот вернуться, осо
бенно без карты, уже не так легко. Это
касается и математических действий:
прибавлять проще, чем вычитать. Умно-
жение — это сокращённая запись сло-
жения возведение в степень — сокра
щёчная запись умножения.

Пусть три величины связаны таким об-
разом: аь=с. Вычислять с, зная а и б мы
умеем. Степень — это обозначение для
записи умножения одинаковых множи-
телей: 24=2-2-2-2=16 Для того чтобы выра-
зить с через бис. мы ввели другое обозна-
чение — корень: если б — натуральное, то
о=\с . В нашем примере: 2=т[Тб.

В примере про секунды и бактерии мы
подошли к решению третьей оставшейся
задачи — как найти б, если мы знаем а и с.
Если вернуться к показательной функции
у=ах, то нас будет интересовать обратная
зависимость — как зависит х от у.

Опять введем новое обозначение — лога
рифм: Ь=1одас(х=1одау). Мы назвали лога-
рифмом показатель степени: а — как и для
показательной функции, называется осно-
ванием.

Рассллотрим пример. Пусть у нас есть
8 коробок, в одной из которых лежит моне
та. За какое наименьшее количество во-
просов (с ответолл «да/нет») удастся ее
найти? Ответ — за 3. О каждым ответом ко
личество вариантов можно уменьшать
в 2 раза («Нужная коробка в левой полови-
не?»). После ответа на первый вопрос
останется 4 варианта, после ответа на вто-
рой — 2, а после ответа на третий вопрос
мы будем точно знать расположение нуж-
ной коробки.

Запишем полученный результат в наших но-
вых обозначениях: 1од?8=3. Вспомним рас-
смотренные примеры с показательной
функцией — там м.ь: считали, каким будет
результат при многократном умножении на
одно и то же число. Вычисление логариф-
ма — обратная задача. Мы знаем результат
и множитель наша задача — найти количе-
ство умножений, которое нужно для этого
сделать.

Идея игры с коробками используется при
реализации различных алгоритмов поиска.
Например, в компьютерной игре «Акинатор»
джин за небольшое количество вопросов
называет загаданного вами персонажа (из
известных личностей). Алгоритм программы
основан на свойствах логарифмической
функции: выбираются вопросы, позволяю
щие отсекать наиболее обширные катего
рии (например, ваш персонаж — мужчина/
женщина?). Ответ на такой вопрос уллень
шает количество вариантов в 2 раза.

Другая игра, в которую часто играют, называ-
ется «да нет» или игра Еар-Кохбы. По леген-
де, это был военачальник, который послал
лазутчика в лагерь противника. Его захватили
враги и отрезали язык, чтобы он не мог гово-
рить. Разведчику удалось сбежать, он многое
видел, но был не в состоянии рассказать. То-
гда Бар-Кохба придумал выход из ситуации:
задавал вопросы, а разведчик только кивал
головой, отвечая «да/нет». За относительно
небольшое время Еар-Кохба сумел узнать
нужную информацию.

Сейчас вычислить значение логариф-
ма можно с помощью калькулятора.
До появления инженерных калькуляторов
и компьютеров для вычисления значений
логарифмов использовали так называе-
мую логарифмическую линейку. Прин
пип её оаботы основан на свойстве ло-
гарифмической функции: Цху)=Цх)+Цу).
То есть логарифм произведения равен
сумме логарифмов множителей. Это
свойство противоположно свойству по-
казательной функции: Ц*+у)=Цх)Цу). Та
кая связь становится понятной, если
вспомнить что логарифмическая и пока
зательная функции — взаимно обратные.

2. Где встречается логарифм?

Осовременим игру Бар-Кохбы Пусть в горо-
де действует группа злоумышленников, кото-
рая заложило бомбу. В группу внедрен агент,
которому звонит полицейский. Но агент на
ходится в окружении бандитов и не может
просто передать информацию о располо-
жении бомбы. Поэтому он говорит, что ему
звонит жена, и отвечает на вопросы только:
'(Да, дорогая» и «Нет, дорогая».

Современная игра
Бар-Кохбы может
выглядеть и так

Чтобы в таких условиях все же передать ме-
сто расположения бомбы, можно сделать
следующее: разделить город на 64 квад
рата. И вопросы полицейского должны быть
такими, чтобы каждый ответ отсекал полови-
ну из оставшихся вариантов. Тогда за 6 во-
просов будет определен нужный квадрат.

Если увеличить количество вариантов ответа до
трех («Да, дорогая», «Нет, дорогая», «Не знаю,
дорогая»), то для 64 квадратов будет достаточ-
но 4 вопросов: З=1од327<1од364<|одз81=4.

Еще один пример, в котором мы встречаелл-
ся с логарифмами, — наш слух. Если бы ор
ганы слуха работали по линейному закону, то
для того, чтобы услышать шорох змеи, нам
пришлось бь! глохнуть от раскатов грома. Или
наоборот: если бы мы не глохли от грома, то

да
нет

да
не знаю □
нет
не слышали бы шорох змеи. Хотя для выжива-
ния человеку нужно слышать и то и другое.

Наше восприятие звуков описывается лога
рифмической шкалой: увеличение гроллко
сти на одно и то же число дБ не приводит
к такому же росту восприятия этого звука.

График зависимости громкости звука
от уровня звукового давления

Изменение звуковою давления в 10 раз ухо человека
воспринимает как изменение громкости звука в 2 раза

Такие закономерности можно описать зако-
ном Вебера — Фехнера: ощущение чего-ли
бо прямо пропорционально логарифму
силы раздражителя. Например, если гово-
рить об освещении, то разница между дву
для и четырьмя лампами будет для нас такая
же, как разница между четырьмя лампами
и восьмью. Хоть мы и добавляем во втором
случае больше ламп, но ощущения у нас
будут такие же.

Похожая ситуация с нашим восприятием де-
нег. 10 и 20 копеек для нас практически не
различаются, хотя 20 копеек в 2 раза больше.
А разница между 1 000 рублей и 2 000 рублей
для большинства гораздо ощутимее, несмот-
ря на то что пропорция та же самая. Это ра-
ботает не только в нижнем, но и в верхнелл
диапазоне: для большинства людей разницы
между 1 миллиардом и 2 миллиардами ру-
блей тоже нет — и то и то очень много.

Конечно, всё зависит от заработка. Если вы
зарабатываете миллиард, то 1 000 и 2 000 руб-
лей для вас одно и то же, а вот 1 и 2 миллиар-
да уже различаются.

Введение

Можно изучать и описывать объекты, а мож-
но — отношения между ними. Литература,
например, практически только этим и зани-
мается: любовь, ненависть, дружба, предо
тельство... — всё это отношения между людь
ми (или группами людей).

Как мы уже знаем, функции описывают от-
ношения между объектами. Теперь пришло
время поговорить о свойствах и характери-
стиках самих функций.

Функцию применяют для описания различ-
ных процессов. Зажной характеристикой
при оценке процесса является скорость из
менения его параллетров. К примеру, пока-
затель прибыли компании за прошедший
год не так информативен, как динамика
этого показателя за последние несколько
лет. Для одной компании прибыль 100 млн —
многократный рост, для другой — катастро-
фическое падение.

Рассмотрим двух человек. Одному каждый
день дают по 1 рублю. Другому каждый еле
дующий день дают на 1 рубль больше, чем
в предыдущий: +1 руб. +2 руб., +3 руб. и т. д.
Состояние обоих растет, но у второго явно
быстрее. Чтобы научиться сравнивать скоро
сти роста и паления различных характери-
стик, нужен удобный инструмент.

3 математике такой инструмент для иссле
давания скорости изменения функции раз-
работан и называется производной.

Решена и обратная задача — по скорости
изменения можно восстановить саму функ-

ГААВА 8.

ПРОИЗВОД-
НАЯ

И ИНТЕГРАЛ
цию. Для этого используется другой инстру-
мент — интеграл. У него есть ещё одно по-
лезное применение — измерение площади
и объёма.

В этой главе мы поговорим о производной,
интеграле, их применении и свойствах.
1. Почему иногда важно знать
изменение значений функции?

ЧАСТЬ 1.

ПРОИЗВОДНАЯ

Вася и Петя дружат. Васю и Петю мож
но сфотографировать, а дружбу между
ними — нет Мы можем увидеть только
какие то её проявления. Но это не мешает
нам говорить о дружбе, исследовать это яв
ление и т. д.

Математика не стесняется называть объек-
тами отношения между объектами и изучать
их Так, отношение между числовыми ллно-
жествами задаются функциями, о свойствах
которых мы говорили ранее.

Функции используются для описания различ-
ных процессов — в физике, химии, эконо
мике. И часто нас интересует поведение
функции на каком-то промежутке: увеличи-
ваются её значения или уменьшаются
(растёт она или убывает), какое макси-
мальное или минимальное значение при-
нимает. Для этого нужно исследовать функ-
цию в окрестности некоторой точки, а не
в самой точке.

Можно провести аналогию с фотографией:

если выдержка маленькая, то определить,
движется объект или

нет, а также направ
ление его движения
практически невоз-
можно. На фото-
графии с большой
выдержкой картин
ка смазана, но это
позволяет нам опре-
делить направление
движения объектов.
Другой пример — оценке ситуации с рас-
пространением инфекционного заболе-
вания. Само по себе количество новых за
болевших за день важно, но сделать вывод
об улучшении или ухудшении ситуации
можно только по динамике ежедневного
количества заболевших за определенный
период.

Для того чтобы исследовать функцию, в ма-
тематике разработаны различные инстру
менты, один из них — производная. Она поз-
воляет выяснить, как функция будет себя
вести в окрестности данной точки.

Когда мы говорим, что на улице потеплело
или похолодало, то не указываелл конкрет
ную температуру, а описываем лишь дина
мику изменения температуры То есть нас
интересует производная функции темпера
туры, а не значения самой функции.

Рассмотрим такую ситуацию: налл нужно
найти дом по адресу проспект Гагарина, 27.
А мы вышли напротив дома 25. Если мы
пошли влево и увидели дом 23, то делаем
вывод: дом 27 находится справа. Можно
сказать, что мы вычислили производную
(определили направление, в котором функ-
ция возрастает)
Аналогичная ситуация с нумерацией ваго-
нов поезда Если налл нужен 15-й вагон, а мы
возле 6- го, то непонятно, в какую сторону дви-
гаться, Узнав номера соседних вагонов,
можно определить, в какой стороне нахо-
дится нужный. Для удобства на вокзале сооб-
щают, с какой стороны поезда (с «головы»
или с «хвоста») начинается нумерация, то
есть задают направление роста (или убыва-
ния) номеров.

2. Что такое производная?

Что же такое производная от функции? Это
характеристика, которая списывает рост
(убывание), то есть скорость изменения
функции. По определению: производная
функции в точке — это отношение прира-
щения функции к приращению аргуллен
та (при очень малом приращении аргу-
мента).

Это очень похоже на определение мгновен-
ной скорости в физике: отношение переме
щения к интервалу времени, за который это
перемещение произошло, если интервал
времени стремится к нулю.

Таблица производных

Функция Производили
у = С, С = СОП31 /-0
у = Г У = п •х*”’
у-е
У=о- у = о*1па
у= 1пх /4
У= 5«ПХ / = СО5Х
У= СО5Х у’= -51ПХ

уч§х ? ~ СО52 X
У = с18* У ~ ’51П X

В примере с потеплением (похолоданием)
на улице мы говорили только про каче-
ственную характеристику — растёт темпе-
ратура или падает но не о скорости этого
процесса. В данном случае нам был ва
жен только знак производной: функция
растет — производная положительна (так
как изменение функции АТ=ТКОц-Тнач. поло
жительное), убывает — отрицательна (из-
менение функции, соответственно, отри-
цательное).

А вот точное значение производной по-
зволяет сравнивать скорости роста функ-
ций: например, у=х2 растет быстрее, чем
у=1од2х (начиная с некоторого положитель
ного х).

Графики функций
у,=х2иу2 = 1о&л

Графики их производных
У.' = 2хиу/ = ^
Производная — это локальное свойство
функции, характеризующее её в данной
точке. Для многих функций можно вычислить
производную в каждой точке области опре-
деления. Сели функция ведёт себя по-разно-
му (например, на одном промежутке — ли-
нейная, на другом — квадратичная, и т. д.), то
и значения производной, и её поведение так-
же будут различаться. Поскольку каждому
аргументу функции ллы ставим в соответ-
ствие значение производной (если его мож
но вычислить), то производная функции —
это снова функция. И ее свойства также
можно изучать.

Графики функции/= 51пхи её производной

Например, вычислить скорость изменения
скорости — ускорение функиии. Если ва-
гон едет с постоянной скоростью, то мь
этого практически не замечаем. А ощуща-
ем торможение или разгон вагона, то есть
не скорость, а ускорение. Это будет произ-
водная от производной, или вторая произ-
водная. Она также является инструментом
для исследования исходной функции —
можно показать, что вторая производная
характеризует выпуклость графика функ
ции (см. рисунок).
Как вычислить производную функции? Для
большинства базовых функций это сделали
по определению, а дальше вывели некото-
рые правила, с помощью котооых можно вы-
числять производные от саллых разных комби-
наций базовых функций. Это чем то похоже
на уллножение в столбик: есть таблица умно-
жения, в которой уже посчитаны произведе-
ния однозначных чисел; а есть алгоритм
умножения в столбик — правила, по которым,
используя таблицу умножения, можно найти
произведение любых двух чисел.

3. Для чего можно использовать
производную?

Рассмотрим график некоторой функции.
Производная по определению — это пре-
дел отношения приращения функции к при
ращению аргумента. То есть отношение
катетов в соответствующем прямоугольном
треугольнике (см. рисунок), или по опреде-
лению — тангенс острого угла.

Но чем лленыше приращение аргумента,
тем ближе будет гипотенуза этого треуголь-
ника к касательной функции в точке. Таким
образом, производная функции в точке —
это тангенс угла наклона касательной в этой
точке. В этом состоит геометрический
сллысл производной функции

Про механический (физический) сллысл
производной мы уже знаелл: производ-
ная — это скорость изменения функции.
Зная закон по которому движется объект:
х(Т) — зависимость координаты от време-
ни — можно найти скорость этого объекта
в любой момент времени: И уско-

рение как скорость изменения скорости:
а(Г)=уф)=х‘ф).

Производная применяется для решения за
дач на оптимизацию (нахождения макси-
мального или минимального значения неко
торого параметра). Это легко объясняется;
производная позволяет найти проллежутки
возрастания и убывания функции. Зная, что
на одном участке функция возрастала,
а затем начала убывать, можно предполо-
жить, что в точке смены знака производной
у функции был локальный максимум. И нао
борот если функция убывала, а затем на-
чела возрастать, в точке смены
знака у функции был локальный
минимулл (см. рисунок).

На практике это может приме-
няться для нахождения, напри
мер, максимальной прибыли
или минимальных затрат при за
данных условиях.

Рассмотрим пример одной из
задач на оптимизацию.

Каким должен быть прямо-
угольный забор фиксированной
длины, чтобы он ограждал ллак
симальную площадь? Оказыва-
ется. что он должен быть квад-

ратным.

В общем виде эта задача (которая называет-
ся задачей Дидоны) формулируется так: как
оградить с помощью границы заданной дли
ны участок максимальной площади? Реше
нием будет окружность
Таких задач, когда один или несколько па-
раметров зафиксированы, а остальные
нужно оптимизировать, достаточно много.
Зафиксированные параметры — это дан-
ные задачи (например, материал для забо
ра). А параметры, которые мы ишем нуж
но минимизировать или максимизировать
(например, найти максимальную площадь,
минимальный размер). Образуется пара
«ресурс — эффект»: есть некий ресурс,
который изначально задан, и эффект, кото-
рый мы хотим получить.

Так, на производстве может возникать такая
задача: как изготовить контейнер заданной
формы и объема, израсходовав при этом
как можно меньше материала.
ЧАСТЬ 2.
ИНТЕГРАЛ

1. Что можно сказать о глобальных
свойствах функции?

Если автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч
в течение 2 часов, тс легко посчитать, сколь-
ко он проехал: 2-60 = 120 км. Если первый час
он ехал 60 км/ч, а второй — 80 км/ч, то путь
тоже вычислить несложно: 1 -60+1-80 = 140 км.
То есть если мы разобьём движение авто-
мобиля на промежутки времени (/,, /2...),
в которые его скорость постоянна (V], у2...),
то путь машины можно вычислить по форму-
ле 5=У1Г1+У2/2+...

Предположим, что бортовой компьютер ма-
шины фиксировал данные спидометра.
То есть ллы смогли построить график скоро
сти автомобиля от времени.

Конечно, можно пытаться каждый раз разби
вато график на такие промежутки времени,
на которых скорость автомобиля можно счи-
тать постоянной, и складывать пройденные
на каждом из таких промежутков пути. Но для
эффективного решения такой задачи (осо-
бенно если график скорости — непрерыв
ная функция) нужна техника.

Рассмотрим произвольный график скоро
сти автомобиля (см. рисунок). Предполо-
жим. что нам удалось разбить его на ма-
ленькие промежутки времени, на которых
с допустимой точностью можем считать ско-
рость автомобиля постоянной. Тогда произ-
ведение у,/, — не что иное, как площадь пря
моугольника под графиком (см. рисунок)
Тогда сумма таких произведений (итоговый
путь) — это суммарная площадь под графи-
ком скорости.
То есть наша задача по определению
пути, который проехал автомобиль, све
лась к поиску площади под графиком
функции.

Оказывается, для решения этой задачи
в математике разработан специальный
инструмент — интеграл. Интеграл и произ-
водная тесно связаны — об этом мы погово-
рим чуть позже. Пока же отметим важное
отличие этих инструментов для исследова-
ния функции.

Производная позволяет изучить локальные
свойства функции — то есть ее свойства
в окрестности произвольной точки. А с по-
мощью интеграла можно находить пло-
щадь под графиком на любом промежутке,
то есть исследовать глобальные свойства
функции.

Рассмотрим последовательность чисел
1, 2, 3. 4. 5... Последовательность — это
тоже функция, но в качестве аргумента
у неё выступают только натуральные чис-
ла. В данном случае: ап=п; Цп)=п.
Запишем формулу для нахождения суммы
этого числового ряда: 5(п)=п^Г2^‘- Сумма
до какого-то фиксированного значения п
будет значением определённого интег-
рала: 3(п)= п(п+^ =| Цпфп. Например,
для: п=1 ООО: 5^= 1 000(12°00+1 > =500 500.

То есть интеграл — это сумма ряда
(в данном случае сумма значений Функ
ции).

Заменим ряд Т(п)=п на линейную функ-
цию Т('х)=х. Тогда суммой этого ряда бу-
дет сумма площадей частей под графи-
ком (в данном случае — трапеций) (см.
рисунок). Сумма площадей равна пло-
щади суммы (если части, на которые
разбита фигура, не пересекаются).

Интеграл — это площадь под графиком
функыии. Вычислив интеграл, ллы сможем
найти площадь какой-то части плоскости.
Например, можно найти площадь под ча
стыо графика функции у=$юх.
Если ввести строгое определение интегра-
ла через площадь фигуры под графиком
функции, то разбивать салху <ф>игуру нужно
на очень маленькие кусочки. Возьмём,
к примеру, функцию у=\х. Приблизим ее
графиком ломаной с очень большим чис-
лом звеньев (так мы уже делали в примере
с производной). Площадь под графиком
будет равна сумме площадей трапеций
(см. рисунок).

В пределе (когда звеньев у ломаной бес-
конечно много) сумма — это и есть
интеграл, то есть плошадь под графи-
ком функыии.

2. Как связаны интеграл
и производная?

Интеграл — площадь под графиком между
двумя точками. Зафиксируем одну из них —
точку 0. Тогда каждому значению х для второй
точки будет соответствовать некоторая пло-
щадь под графиком, то есть какое-то число.
Получаем функцию, которая называется
первообразной.

Первообразная и производная — это взаим-
нообратные понятия. Если взять производную
от интеграла или интеграл от производной,
то получится исходная функция.

Проиллюстрируем это на примере движения
тела. Скорость — это производная от пере-
мещения, попробуем выполнить обратную
операцию. Для этого выразим перемещение
через скорость и время при равномерном
движении: у=у=>$=у< Несложно увидеть по
графику, что перемещение будет равно пло-

2с 4с 6с

Скорости- производная
перемещения по времени
о-ад
В общем случае заметим, что произвол
Ду

ная — это отношение а интеграл —
это сумма произведений Цх}-Дх. Можно
строго доказать, что вычисление произ-
водной (дифференцирование) и нахо-
ждение первообразной (интегрирова
ние) — это взаимнообратные операции
(как возведение в степень и извлечение
корня, например).

Интегралы от некоторых функций можно
вычислить, используя таблицу базовых ин
тегралов. а также свойства интегралов.

Таблица интегралом

1))оаг = с

2)|Щх-^ + С(п*-1); )<Ух«х + С

З)|^=|п|х| + С

4)|а'йх5*С )е*йх»е + С

5){япхЛ - -со$х + С

6) |сО5хЛг = 51ПХ+ С

7>|^7-^ + с

8>|^ = ^ + С

Напрашивается аналогия с производными,
но есть существенное отличие: если произ-
водная от «хорошей» функции всегда будет
«хорошей» функцией, то в случае интеграла
это не так. Наг |ример, для относительно । |ро-
стой на вид функции е-х2 найти первообраз-
ную и представить ее в виде комбинации из-
вестных нам функций мы не сможем. Для
нахождения конкретных значений интегра-
лов от таких функций используются специ-
альные методы приближенных вычислений.

Вычисление интеграла — непростая задача.,
которую во многом облегчает наличие такой
простой формулы Ньютона — Лейбница:
ь

Я(х)бх=Е(о)-/г(а), где ^(х) — первообразная
а

функции. Если мы смогли найти общий вид
интеграла для данной функции, то вычис
лить его конкретные значения (или плои гадь
под графиком) уже не составит труда.

Введение

Мы живем р вероятностном мире. И реше-
ния, которые мы принимаем, связаны с ве-
роятностями или накопленной статистикой.

Страховать или нет свою жизнь; имущество от
кражи или пожара; багаж в самолете? Брать
кредит или нет? Даже । томощь в ответе на г |ро
стой вопрос: «Брать ли с собой зонт?» — звучит
так: «С вероятностью 90 % дождя не будет».

И это мы говорим про одного человека. А как.
определить необходимое количество бригад
скорой помощи, количество порций моро
женого для продажи в парке в жаркий день
или количество ж/д вагонов, которые понадо
бятся для перевозки зерна нового урожая?

Ведь но отдельности каждую покупку моро-
женого спрогнозировать невозможно. Но
оказывается, что в среднем, количество таких
покупок в жаркий день в данном парке бу-
дет практически одинаковым и его можно
оценить. Для решения таких задач и нужна
статистика.

Итак, нужно уметь вычислять вероятности.
Это не всегда просто, часто мы совершаем
ошибки, которые приводят к ошибочным ре
шениям. Для того чтобы избежать таких оши-
бок, разработаны различные математиче-
ские инструменты, о которых мы поговорим
в этой главе.

Кроме того, поговорим об инструментах
статистики, которые позволяют работать
с большими обьёмами данных — правильно
их собирать, анализировать, обрабатывать
и делать выводы.

ГЛАВА 9.
ТЕОРИЯ
ВЕРОЯТ-
НОСТЕЙ
И МАТЕМА-
ТИЧЕСКАЯ
СТАТИСТИКА
ЧАСТЬ 1
ТЕОРИЯ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1. Как оценивать вероятность?

Мы часто оцениваем вероятности собы-
тий. Подбегая к остановке, мы спрашива
ем: «Автобус давно уехал?». Если автобуса
долго не было то стоит подождать, с если
он только ушёл, а идти всего несколько
кварталов, то, вероятнее, быстрее будет
дойти пешком.

То есть при принятии решений налл посто
янно приходится оценивать вероятности тех
или иных событий. Например, событие:
«Кто-нибудь в классе сегодня заболел», —
имеет довольно высокую вероятность А вот
то, что заболел конкретный одноклассник
Петя Ивонов — гораздо менее вероятное
событие. То, что в классе заболели все
и в школу можно не идти, можно считать
практически невероятным.

Мы все это понимаелл и оцениваем, хотя
строго не вычисляем. Для того чтобы вычис-
лять вероятности, есть специальный инстру-
мент — теория вероятностей. Очень важно
научиться ее правильно использовать, пото-

му что некоторые результаты могут показать
ся обычному человеку парадоксальными.
Если мы собираемся бросить монетку

5 раз, то понятно, что вероятность выпадения

5 подряд решек меньше, чем выпадения

4 решек и 1 орла (в лю-
бом порядке). Но если
4 броска уже произошло
и 4 раза подряд выпала
решка, то вероятность вы
падения орла или решки
при следующем броске

одинаковая — у.

Расчет страховых сумм и выплат также осно-
вывается на вычислении вероятности.
Рассмотрим простой пример: в аэропорту
предлагают застраховать сумку за 200 ру-
блей. Выгодно ли это? Предположим, что
сумку вместе с вещами мы оцениваем
в 20 000 рублей. То есть стоимость страхов-
ки — это 1 % от стоимости багажа. Тогда,
если вероятность того, что с сумкой что то
произойдёт, больше 1 %, стоит её застрахо-
вать, а если меньше — то нет.

Что значит — вероятность 1 %? Это значит, что
в среднелл на каждые 100 поездок с сумкой
возникнут неприятности только в одной. И по-
тратив на страховку во всех поездках в сум
ме 100-200=20 000 рублей, мы получим
в этом 1 страховом случае их обратно в ка-
честве компенсации.

Но наше рассуждение подходит для
100 поездок, а как быть с одной? Обидно,
если человек все посчитал, принял решение
не страховать, а у него в первой же поездке
украли багаж. И вряд
ли его утешит то,
что в следующих
199 поездках с его
сумкой, возможно
всё было бы хорошо.

Вероятность говорит
о средней частоте
наступления события,
но не предсказывает,
когда именно оно
произойдёт (прогноз
и предсказание —
разные вещи)

Какова вероятность
того, что выходя из
дома я увижу машину
с чётным номером?
Вероятность у — ма-
шин с четными и не-
чётными номерами
одинаковое количе
ство. Но может ока
заться так, что но-
мер первой ллашины
заканчивается на 7,

а второй — на 3. Есть ли в этом ошибка? Нет
вероятность показывает, что если мы будем
отслеживать номера достаточно большого
количества машин, например. 1 000, то при
близительно у половины из них номера будут
чётными. Или что если 1 000 человек выйдут из

подъезда в течение дня, то из них около
500 увидят четные номера. При проведении
таких экспериментов очень важно отслежи-
вать чтобы выборка действительно была слу
чайной. Например, если в городе по ка-
килл-то причиналл в номерах машин
отсутствуют цифры 3 или 7, то количество чет-
ных номеров будет больше половины.

Когда мы говорим, что при подбрасывании
монеты вероятность выпадения орла и реш-
ки одинаковая и равна у, то подразумеваем
случайность броска — то есть что его ре
зультат непредсказуем и в результатах нет
никакой закономерности. Это часто исполь
зуют для принятия решения, когда нужно вы-
брать из двух вариантов (в том случае, если
ни одному из них мы не можем отдать пред
почтение).

Это означает, что если бросать монету много
раз, то приблизительно в половине случаев
будет выпадать орёл, а в другой половине —
решка. Но нет гарантии, что орёл не может
выпасть десять раз подряд или даже больше.
Хотя это и маловероятное событие.

Есть разница между маловероятным и невоз-
лложным событиелл. Если на этом уроке вас

вызвали к доске, то на

следующем, скорее

всего, не вызовут. Но,
в принципе, это воз-
лложно — учитель
может забыть, что не-
давно вас уже спра
шивал; может быть
замена, и придёт
другой учитель и т. д.
А вот то, что после
среды сразу насту
пит пятница, — это
невозможное собы
тие, его вероятность
равна 0.

Льджды В ОДНУ ВОРОНКУ
СНАРЯД Не ПОПАДАеТ1''
2. Как рассчитать вероятность?

Вероятность большинства событий можно
оценить только эмпирически — провести
ряд экспериментов и найти отношение ко
личества удачных (с нашей точки зрения)
к общему количеству таких опытов Чем
больше экспериментов будет проведено,
тем точнее мы сможем спрогнозировать ве-
роятность наступления события в будущем.

Теоретические рассуждения могут содер-
жать логические ошибки. Например, какова
вероятность того, что, выйдя на улицу, нам
встретиться человек в красном костюме, ко
торый едет на жёлтом велосипеде с одним
колесом?

Можно рассуждать так: есть два события —
я его встречу и я его не встречу. Вероятность
каждого равна у. Хотя каждый понимает, что
вероятность встретить такого человека прак
тически равна 0.

Ошибка состоит в том, что мы посчитали
события «встречу» и «не встречу» равнове-
роятными. На самом деле, это не так. Если
бы мы рассчитывали такую вероятность тео-
ретически, то должны были бы посчитать,
сколько вообще людей надевает красный
костюм, у скольких людей есть жёлтые ве
лосипеды и т. д.

Рассмотрим похожую задачу. Возьмём иг-
ральную кость с шестью гранями. Какова ве
роятность того, что при броске выпадет еди-
ница? Если повторить приведенные выше
рассуждения, то получится, что вероятность
того, что единииа выпадет, равна у (или вы-
падет, или не выпадет). Хотя каждому ясно,
что, на самом деле, вероятность равна -

На примере с игральной костью наглядно
видно, почему события «выпадет 1» и «не вы-
падет 1» не являются равновероятными. Каж
дая из граней может выпасть с одинаковой

вероятностью, но суммарная
вероятность всех возможных ис-
ходов равна 1.Единица не выпа-
дет и в том случае, если выпадет
2 и если выпадет 3 и т. д Вероят
ность этого события будет равна

На оценку вероятности событий
влияет также то зависят их ре-
зультаты друг от друга или нет.
Если на ваш телефон сейчас

пришло сообщение от друга, то это никак
не влияет на вероятность того, что через ми-
нуту вам придёт сообщение с рекламной
рассылкой. Такие события называются неза
висимылли. Потому что отправляющие эти
сообщения не связаны друг с другом.

Вероятность того, что при подбрасывании
монеты выпадет орел, не зависит от ре-
зультатов предыдущего броска.

А вот в самом первом примере этой главы
с остановкой и автобусом время прибытия
следующего автобуса чаще всего зависит
от того, когда уехал предыдущий. Это зави-
симые события.

В казино людялл часто кажется, что они смо-
гут отыграться; мол, если мне не везло, то
должно начать везти. Даже если поедете
вить честное казино, в котором из 1 000 че-
ловек в среднем 500 остаются в плюсе,
а 500 — в минусе, то утверждение про везе-
ние остаётся неверным. Если человек начал
проигрывать, то велика вероятность того, что
он закончит игру в минусе (см. рисунок).
Если рулетка «слепа», то выигрыш или
проигрыш в новой партии не зависит от ре
зультата предыдущей.

Понятно, что когда мы говорим «выигрывает»
или «проигрывает», то речь не идет о сумме.
Можно быть в плюсе, пойти ва банк,
проиграть и остаться ни с челл. Мы говорим
про то, что если делать небольшие фикси
рованные ставки, то с большой долей веро-
ятности в среднем игрок будет всё время
увеличивать или свой выигрыш, или свой
проигрыш.
3. Когда нас подводит интуиция?

Пример с казино — не единственный, в кото-
ром наша интуиция и навыки подводят нас
при решении вероятностных задач.

Рассмотрим такую ситуацию. Анализ крови
собаки на какую-то болезнь дал положи-
тельный результат. При этом известно, что
точность анализа равна 0,999, то есть ошиб
ка случается 1 раз из 1 000. Стоит ли начинать
1000 000-0,001 = Ю00

'00

Р'Ш-оп'гникм ~ 0-001

10ц

| ооо СЮ

1 000 000 0,001 = Ю00

Рлые* -гана.м» ЮЦ' Ч 10 %

паниковать? Оказывается, это зависит от
того, насколько часто данная болезнь встре-
чается у собак. Если болезнь совсем ред-
кая то и паниковать не стоит.

Предположим, из I 000 000 собак ею болеют
100. Тогда, если про-
верить этот миллион
собак, анализ сдела
ет ошибку около тыся
чи раз [так как он оши-
бается 1 раз из 1 С00).
То есть 1 000 раз сооб-
щит о болезни, хотя,
как мы знаем, боль-
ных собак по стати-
стике должно быть
всего 100. Получается.,
что вероятность пра-
вильности анализа не
больше 10%.

Поэтому анализы и обследования, особен-
но на редкие заболевания, всегда нужно
проходить хотя бы у двух разных врачей или
на резных приборах. Это одна из причин, по
которой в. суде стараются представить пока
зания хотя бы двух не связанных друг с дру
гом свидетелей.

Рассмотрим другой тип ошибки, связанный
с оыенкой вероятности.

Маша — женщина 30 лет она полна сил
и энергии. Маша посещает форум для мо-
лодых мам, а также публикует в соысетях
фотографии с детскими игрушками.

Вопрос: что более вероятно, что Маша — бух-
галтер, или что Маша — бухгалтер и мама?
Большая часть людей отвечает, что бухгалтер
и ллама (ведь в задаче явно перечислены

характеристики, указывающие на то, что
Маша — молодая мама). Нарисуем мно-
жество всех жен шин-бухгалтеров Понятно,

что множество женщин
бухгалтеров и мам — это
часть оби гего множества
женщин-бухгалтеров, то
есть находится внутри
него

Если Маша — мама, то
она попадает в оба мно
жества. Но в случае,
если она не мама (а та
кая вероятность есть, не

Женщины
бухгалтеры

Женщины-
бухгалтеры
и мамы

смотря на описание),
то она всё равно останется женщиной-
бухгалтером. Понятно, что вероятность по-
пасть в большой круг выше, чем в его часть.

4. Свобода воли
или предопределённость?

Два шахматиста играют партию. Если
спросить у них: «Как вы считаете, исход
игры предопределён?», оба удивятся. Дей-
ствительно, если исход предопределён, то
в чём смысл самой игры? С другой сторо-
ны, если он не предопределён, то случаен.
Получается, от обоих игроков ничего не за
висит?

Конечно, зависит. Ведь у каждого есть сво-
бода воли. Игрок может сделать разные
ходы в одной и той же ситуации, в зависи-
мости от эмоций, настроения, времени
суток и т. д. Рассуждать в плоскости «де
терминировано/случайно» — неправиль-
но. можно сказать так: результат партии
предопределен, но непредсказуем (невы-
числим). То есть он зависит от такого коли
чества факторов, что вычислить его зара-
нее невозможно.

Человек — это контейнер памяти. Собы-
тия могут быть предопределены, но не-
предсказуемы. По двум фундаменталь-
ным причинам — непознаваема память
человека и бесконечна природа. Невоз-
можно узнать историю чувств человека
с рождения, связь его «с чем бы то ни
было... даже с воздухом, который его
окружает, с светом даже, который пада-
ет на окружающие его предметы».

Мозг превратил личную историю в алго-
ритмы принятия решений. Что значит во-
прос свободно ли решение «поднять
руку в данный момент»? Предопреде
лено ли оно предыдущей историей?
Да. Предсказуемо ли оно — нет.

Этот вопрос важен не только с теоретиче
ской точки зрения. Так, если все действия
преступника детерминированы генетикой,
окружающей средой и прочим, то за что его
судить? С другой стороны, если эти действия
случайны и от него не зависят, то судить его
тем более не за что.

Логика и теория вероятностей — два направ-
ления математики, которые дали большое
количество парадоксов. Эти направления
тесно связаны с жизнью, мышлением, выбо-
ром, а это всегда рождает кск.ие-то проти-
воречия.
Мы вынуждены называть разные вещи од-
ним и тем же словом. Например, собы-
тия и 1812 года, и 1941-1945 голов мы опи-
сываем одним словом — война. Хотя
события разные. Но иначе невозможно
рассуждать и размышлять. Любое наше
слово — модель, мы ищем, как подо-
брать набор этих моделей, чтобы лучше
описать окружающий мир. О реальном
мире мы думаем с помощью набора
моделей. Но мир сложен, а любая мо-
дель — это упрощение, отсюда и возни
кают парадоксы.
ЧАСТЬ 2,
СТАТИСТИКА

1. Почему среднее значение
не всегда информативно?

Два стрелка стреляют по цели (см. рису-
нок). Каждый из них выстрелил по 5 раз. Кто
точнее?

А Б

Понятно, что стрелок Б. Но результаты
стрельб ллогут оказаться и более плотными
(см. рисунок). Нужно ввести такой пара-
метр, который бы характеризовал разброс
значений величины.
Можно попробовать вычислить среднее зна
чение. Но если один выстрел бы\ в самый
верх мишени, а другой — в самый низ, то
в среднем стрелок оба раза попал в центр.
Не очень объективный параметр.

Для того чтобы проанализировать обьёлл
данных, одного среднего часто бывает
недостаточно. Это отражает известное вы-
ражение «средняя температура по больни-
це», когда у одного пациента тел'уперату-
ра 41, у другого — комнатная, а в среднем
у них 36. Другой пример: если я один роз
зашёл в первый подъезд, а другой раз —
в третий, то в среднем я хожу во второй подъ
езд. Или, например, по статистике в магази
не в среднем покупают туфли размера 40,3.
Эта информация не несёт практически ни-
какой полезной нагрузки.

Среднее — это первичная характеристика
(фильтр грубой очистки), которая помогает
проанализировать некоторые явные ситуа-
ции. Например, средняя стоимость квадрат
нога метра жилья в районе или средний
балл аттестата. Недостаток этого инстру
мента в том, что среднее не учиты-
вает аномалии в распределении
величины. Например, центр тяже-
сти и бублика, и сплошного кор-
жа находится в центре (см. ри-
сунок). Но с центром тяжести
бублика ничего не сделаешь —
схватиться или подвесить за него
бублик не получится.

При вычислении среднего значения важно
не повторять ошибку в рассуждениях «или
встречу, или не встречу», о которой мы го
корили в первой части этой главы. Когда го-
ворят про среднюю зарплату, часто приво-
дят пример: «Я ем капусту, а сосед ест
мясо, в среднем мы едим голубцы». Для
двух людей рассуждение верное, но если
1 000 человек едят капусту, а один — мясо,
то в среднем они едят что-то вроде «капу-
сты с запахом мяса» (так что если просто
«отнять и побелить», то мясо не будет есть
никто).

В математике для оценки разброса значе
ний используется такой инструмент как дис-
персия. Обратите вниллание. что при стрелы
бе на мишени очки распределяются по
расстоянию от центра. Чем больше рассто-
яние до среднего (центра мишени), тем
больше разброс (дисперсия), тем меньше
очков получает стрелок.

Так, если сравнить дисперсию для бублика
и для коржа, то в первом случае она будет
значительно больше: все точки бублика уда-
лены от его центра тяжести на расстояние,
близкое к радиусу.

3 математике разработаны и другие ин
струменты анализа данных. Например, кро-
ме средней зарплаты, считают ещё и ме-
дианную. Это размер зарплаты, больше
и меньше которой получает одинаковое ко
личество людей. То есть если выписать все
зарплаты в порядке возрастания, то ме-
дианная зарплата — это та, которая окажет
ся в самой середине этого ряда, слева
и справа от неё будет одинаковое каличе
ство зарплат.

Так, если в коллективе 100 человек получа-
ют 30 000 рублей, 20 человек — 50 000 руб
лей, а 5 человек — 100 000 рублей,
то средняя зарплата будет равна:
1СС ЗЭ 5С0СС+5- ОС ОСС _ 4-ТОО 000 =
100+20+5 125

36 000. А вот медианная зарплата будет
равна 30 ОСО. так как 64 человека получают
не больше 30 000, а 64 человека — не мень
ше чем 30 000. Если выписать все 125 зар-
плат в порядке возрастания, то именно
зарплата 30 000 окажется посередине это
го ряда.

А в примере с размерами обуви исполь
зуют еше один инструмент — моду. Назва-
ние неслучайно, это наиболее часто встре-
чающаяся величина в наборе. так, если
мода размеров, обуви равна 41, то туфли
именно этого размера стоит заказывать
в наибольшем количестве

Чаще всего для анализа набора данных ис
пользуют сразу несколько характеристик,
чтобы получить полную картину.
2. Почему случайности становятся
неслучайными?

Статистика работает с характеристиками
больших объёмов данных. В примере со
стрельбой одной мишени мало, чтобы еде
лать надежные выводы. Результаты могли
быть случайными: сбит прицел, один стре-
лок плохо себя чувствовал и т. д

Без элемента случайности и непредсказуе
мости практически все спортивные со-
ревнования были бы лишены смысла: если
бегун А в среднем пробегает 100 метров за
10 секунд, а бегун Б — за 10,1 секунды, то
можно заранее отдать первое место бегу
ну А. Но в одном конкретном забеге (напри-
мер, на Олимпийских играх) А может пока-
зать свой худший результат, а Б — лучший,
и выиграть золото.

Обычно для того, чтобы сделать какой-то вы-
вод, исследуют большой объем данных.
Т. е 5 выстрелов явно недостаточно, чтобы
понять, как человек стреляет. Нужно 100,
1 000 и т. д., в зависимости от задачи. Задача
статистики — обработать большой массив
данных и свести этот массив к одной-двум-
трём характеристикам, по которым можно
сделать какие-то выводы.

Многие школьники задаются вопросом; как
определяются нормативы по физкультуре?
Почему, если я прыгну, например, на 2,5 м,
то учительница поставит 5? Принцип осно-
ван на измерении большого количества ре-
зультатов различных учеников того же возрас-
та и пола. Их анализировали, усредняли
и рассчитывали нормативы.

Для исследования большой выборки уже
можно применять различные вероятностные
законы. Сколько должно быть станций ско-
рой помощи? Сколько их должно быть в го-
роде на определённое количество людей,
сколько должно быть врачей и т. д.? Казалось
бы, для каждого человека, которого привозят
в травмпункт, перелом, ноги — это случайное
событие. Это событие с разными людьми
происходит в разных местах, по разным г ,ри-
чиналл. Но в среднем по городу каждый день
количество человек, ломающих ногу, при
близительно одинаково. Оно зависит от
разных факторов — например, от погоды.
Ясно, что в гололёд таких людей будет
больше, но и в этом случае среднее количе
ство пациентов можно просчитать заранее.

На большой выборке каждое событие может
быть случайным, но все вллесте они образу
ют определённую закономерность. К. при
меру, я только сегодня купил определенное
мороженое, которое раньше не покупал.
Но в среднем у мороженщицы покупают
одно и то же количество мороженого, она
знает, сколько штук
и какого вида взять
утром на складе. Хотя
я, казалось бы, совер
шенно случайно для
себя решил сегодня
купить именно это
мороженое.

На большом количе
стве случайное стано-
вится определённым.
В больших городах
жить удобнее, потому
что в каждом мага-
зине известно, какое
количество того или
иного товара нужно
заказать Вероятность
того, что вы придёте
в аптеку, а там нет
какого то лекарства,
даже довольно редко
го, мала. Так как по-
требителей «редкого»
в большолл городе
много. И почти навер
няка в какой-то аптеке

Доктор, только
не лшвляйтесь.
мои хомяк
проглотил ключ!

у дТО
небес.”
с.лисс* ,

вы все же найдете необходимое лекарство.

Поэтому выгодно жить в большом социуме.
Даже если у вас редкое увлечение, велика
вероятность, что рядом с вами найдутся еди-
номышленники. В небольшом коллективе
вероятность резко снижается.

Можно сказать и так: на большой выборке
случайность неслучайна. Если вы начали на-
блюдать за машинами на улице, и среди
первых 10 — 5 «газелей», это может быть сов
падением. Но если вы насчитали 50 «газе-
лей» из 100 автоллобилей или тем более
500 из 1 000, то это почти наверняка нельзя
объяснить случайностью. Возможно, где то
рядом расположен грузовой склад или ди-
лерский центр с этими автомобилями.

Часто люди заостряют внимание на своём
везении и невезении. Нужно понимать, что
в основном окружающая среда к нам рав
нодушна, и поэтому благоприятные и не
благоприятные события в нашей жизни могут
произойти с равной вероятностью. Когда че
ловек огорчается, что не выиграл в лотерею,
то ему следует задуматься, что с ним не
произошло ничего плохого (он не попал под
автомобиль, его не укусила собака и т. д.).
А ведь эти события вероятны приблизительно
так же. как и выигрыш в лотерею. Просто ллы
оцениваем их по-разному.

Каждый из нас может попасть в неприятную
ситуацию случайным образом. Как же сми-
риться с тем, что ллы не всегда влияем на
свою жизнь и ток сильно зависим от случая?
Однозначного ответа на этот вопрос нет
Но можно предложить такой рецепт: нужно
ошущать себя частью чего-то большего.
Например, частью семьи или страны. Если
мы часть целого и с нами случается что то
плохое, то вероятность того, что со всем це
лым произойдёт что-то плохое, значительно
меньше. Для целого нужно считать сумму
всех случайностей, а для больших чисел она
постоянна.

Можно провести аналогию с облаком,
каждая частичка которого движется случай-
ным образом, но всё облако в целолл дви
жется в определенном направлении. Так,
физическое тело, состоящее из большого
количество чостиц, которые хаотично дви-
жутся в розных направлениях, остаётся
устойчивым.

3. Как оценить необходимость
страховки?

Предположим, что вы вдвоём со своим знако-
мым идете по дороге, причем у вас нет де-
нег, а у вашего знакомого их достаточно
много. Перед валли нс дороге лежат две оди
исковые шкатулки, но в одной из них 1 000 руб-
лей, а во второй — пусто. Каждому достанет-
ся по шкатулке, но неизвестно, коллу какая.
Вы можете рискнуть и открыть пустую шкатул-
ку с вероятностью - В таком случае вы ещё
долго будете голодны в отсутствии денег.

Но ваш знакомый предлагает вам 1 СО руб
лей взамен на то, что ему достанутся обе
шкатулки. С одной стороны, вероятность вы-
играть 1 000 рублей равно -у (можно сказать,
что в каждой шкатулке лежит по 500 рублей,
если бы мы играли в эту игру много раз),
а с другой стороны, вы гарантированно полу-
чаете 100 рублей. Конечно, вы выберете вто
рой вариант, потому что в случае проигрыша
можете остаться без денег и, соответствен-
но, без еды. В этом примере можно сказать,
что ваш знакомый покупает 1 000 рублей за
100, то есть гарантированно обогащается.

Это пример так называемого дикого капитс
лизма. Если в обществе не существует со
циальных программ и других механизмов
защите! то богатые люди всегда будут стано
виться богаче а бедные — беднее.
Пеллете ЗАСТРАХОВАТЬ
СЬОЮ НЦЗИЬ

ОТ ндьоднеиия7

Теперо перейдём к стра-
хованию — почему стра-
ховые компании такие
богатые? И в каких случа-
ях всё таки надо оформ
лять страховку?

Чтобы ответить на этот
вопрос, разберем еле
дующий пример. Вы —
владелец таксопарка,
и страховая компания
предлагает вам за-
страховать машины от
угона. Предположим,
по статистике за год
у вас угоняют 1 м.аши
ну. Всего в таксопарке
их 1 600 штук. Соответ
ственно, в год вы в сред-
нем теряете 1 ллашину
из 1 000, и размер стра-
ховой комиссии дол
жен быть равен 0,1 % от
стоимости всего таксо-

парка. Это и есть та граничная сумма,
до которой страховать машины выгодно.
Если вам предлагают застраховать маши
ны за сумму, которая превышает 0,1 % от
их стоимости, то смысла в таком страхо
вании нет.

Аналогично можно оиенивать выгодность
или невыгодность страхования в различных
ситуациях. Сначала мы оцениваем стой
мость всех вещей, ожидаемый срок их
службы, а затем сравниваем с предлагае-
мым процентал-^ страховки и делаем вывод,
нужна ли она нам.
Однако следует учесть, что когда речь идёт
о жизненно важных вещах (например,
о жилье), то такая схема расчётов не всегда
оправданна. Ведь, как мы уже говорили
раньше, то, что вероятность пожара в квар
тире равна 1 % в год (в среднем пожар слу
чается 1 раз в 100 лет), не является гарантией
того, что он не произойдёт на следующей
неделе. И если у вас всего одна квартира,
то в результате наступления страхового слу-
чая вам просто негде будет жить. Но если
вам предлагают застраховать вешь потеря
которой не приведёт к критической финан-
совой ситуации, то стоит хорошо подумать
и оыенить, насколько это выгодно.

Например, чтобы вычислить потребность
в страховке багажа при перелете (переез
де), нужно оценить: стоимость багажа; ча-
стоту полётов; вероятность потери.

Рассмотрим, как можно рассуждать в по
добных ситуациях на примере упаковки
багажа перед перелётом. Стоит ли это де-
лать? Пусть стоимость упаковки равна
300 рублей, а стоимость багажа — 9 000 руб-
лей. Далее нужно оценить, придёт ли чемо-
дан в состояние полной негодности через
9 000:300=30 поездок. Если нет, то без упаков-
ки можно обойтись

С другой стороны, если этот чемодан вам
очень дорог по каким то причинам (напри-
мер, вам его подарил близкий человек), то
его ценность возрастает и пользоваться та-
кой логикой уже нельзя.

Введение

Как передать изображение на расстояние?
Наверное, каждый слышал про «оцифров
ку». То есть нужно превратить картинку в на-
бор чисел

Изображение на экране — это набор точек
(пикселей), у каждой из которых есть харак
теристика (ивет, интенсивность и т. д.). На-
бор пар (точка, характеристика) в точности
передаст изображение. Осталось решить
задачу — как дать «имя» всем точкам с по-
мощью чисел? Можно, конечно, нумеровать
подряд, например, с левого верхнего угла:
1, 2... Но есть более удобный способ, кото
рый знаком каждому, кто ходил в кино или
театр: использовать два числа (номер ряда
и номер точки в ряду).

Таким образом, каждой точке изображения
при оцифровке мы сопоставим набор чи-
сел, который и можно будет передавать на
любые расстояния.

Идея сопоставлять точкам пространства
набор чисел (координаты) — одно из ве
личайших открытий человечества.
При этом чёткое выражение идея получила
не так давно: ещё в 17-м веке не было ну-
мерации рядов и кресел в театрах или до-
мов на улице.

С координатами тесно связан ещё один
инструмент — вектор.

Температуру нашего тела можно описать
одним числом — 36,6°С. А вот перемеще-
ние так описать уже не получится; если мы
знаем только то, что человек прошёл по пря-

ГЛАВА10.
ВЕКТОРЫ
И КООРДИ-
НАТЫ
мой 1 км, то он может находиться в любой
точке окружности радиуса 1 км.

Зот если мы укажем не только расстояние,
но и направление движения, то сможем
определить положение однозначно. Такие
величины, для описания которых ллы исполь-
зуем несколько чисел, называются векторны-
ми: перемещение, скорость, сила..

Про векторы и координаты, а также про их
применение мы поговорим в этой главе.
1. Когда нам не хватает
одного числа?

ЧАСТЬ 1.

КООРДИНАТЫ

Число — это инструмент для работы с коли-
чеством. Но для описания
одного числа недостаточ-
но. Например, парамет-
ры человека — рост, вес,
возраст ит д. Их можно
записать в виде набора
чисел.

Для описания положения
объекта в пространстве
нам тоже понадобится
несколько чисел. Так, ме-
сто в кинотеатре мы определяем парой чи-
сел — номеролл ряда и номером места.

некоторых вещей

II А 0 V VI VI

156 45 12 80 114 72

рост, вес возраст, пульс, верхи. нижн.

см кг лет уд./мин. давление, давление,

мм рт. ст. мм рт. ст.

место
9

РЯД 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
ряд 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
рядз 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
ряд 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
ряд 5 1 2 3 4 5 6 7 8 Я 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
ряд 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Ц1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
ряд 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
ряд 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
ряд 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
ряд 10 1 2 3 4 5 б 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Представьте, насколько сложнее было бы
найти своё место, если бы все кресла в зале
пронумеровали от 1 до 200.
1 2 3 4 5

21 22 23 24 25

41 42 43 44 45

61 62 63 64 65

81 82 83 84 85

101 Ю2 103 104 105

121 122 123 124 125

141 42 143 144 145

161 162 163 164 165

181 182 183 184 185

6 7 8 9 10

26 27 28 29 30

46 47 48 49 50

66 67 68 69 70

86 87 88 90

106 1С7 Ю8 109 110

126 127 128 129 130

146 147 148 149 150

166 167 168 169 170

186 187 188 189 190

11 12 13 14 15

31 32 33 34 35

51 52 53 54 55

71 72 73 74 75

91 92 93 94 95

111 112 113 114 115

131 132 133 134 135

151 152 153 154 155

171 172 173 174 175

191 192 193 194 195

16 17 18 19 20

36 37 38 39 40

56 57 58 59 60

76 77 78 79 80

96 97 98 99 100

116 117 118 119 120

136 137 138 139 140

156 157 158 159 160

176 177 178 179 180

196 197 198 199 200

Два числа в билете задают координаты на-
шего кресла. Термин «координата» состоит
из латинской приставки «ко» (то же, что
и «кон» — вместе) и основы «ординатус» —
«приведённый в порядок».

Действительно, координаты помогают нам
не только дать какой-то точке пространства
«илля» но и благодаря упорядоченности чи
сел быстро найти эту точку. Представьте,
что в билете место указывается так’ «ряд

имени Достоевско
го, зеленое кресло».
В большом зале по
иск такого места
длился бы гораздо
дольше. Когда-то ад-
реса были именно
такими (дом купца
Елисеева), поэтому
почтальонами мог
ли работать толь
ко опытные и хоро-
шо знающие город
люди.
Примеры использования координат мы встре-
чаем в электронных таблицах и в игре «Мор
ской бой». Только здесь в качестве пары,
определяющей местоположение, выступает
набор «буква — число», нт ,ример, А1 Буквы,
как и числа, упорядочены, но их использова-
ние в качестве координат имеет свой минус:
быстро посчитать сколько столбцов между
столбыами А и К, не получится.

ОО] ГЛАВНАЯ ВСАВКА

По аналогии с местами в кинотеатре можно
задать местоположение города на карте.
3 этом случае парой чисел будут географи-
ческие широта и долгота.

180' ,60“ 140' 120' 100’ 80 60" 40“
90

75"

ь0“

45'

30"

15"

о ---------------------------------------

15"

30"

60'

75"

90 «______________________________________

западная долгота

20 0" 20- 40" 60' 80“ 100" 120” 140' 160" 180"

Москва
55’с ш.

37° В.Д

восточная долгота

южная широта I северная широта
2. Какие бывают системы
координат?

Система координат, которая применяется
в кинотеатре, используется чаще всего. Она
называется прямоугольной (из рисунка по-
нятно почему), или декартовой.

Т Рене Декарт, по легенде, придумал эту си
стему, когда пришёл в театр и не нашёл
себе места (раньше в театрах места не ну-
меровали, а продавали соответствующее
количество билетов).

Понятно, что декартова система координат
может описывать положение объектов не
только нс плоскости (две координаты), но
и в пространстве (три координаты).

Однако есть и другие способы описания
положения объектов. Машина выехала из
города и проехала по прямой 100 км. Она
может находиться в любой точке окружно
сти радиуса 100 км (на практике — с точно
стью до расположения дорог).

Чтобы конкретизировать ее положение,
мы должны указать направление движе-
ния, например, северо-восток. Говоря ма-
тематическим языком, задать угол отно
сительно некоторой оси (см. рисунок).
Такая система координат называется по
лярной.

Для решения той или иной задачи мы мо-
жем сами выбирать систему координат.
Зассмотрим два города А и Б. Их располо-
жение можно задать по разному В качестве
пары чисел для каждого города можно взять
расстояние в направлении севера и восто-
ка, а можно — в на1 |равлении севере восто
ка и юго востока.
Более того, в качестве начала системы
координат можно выбрать сам город А
тогда положение всех остальных объек-
тов будет отсчитываться от него.

При этом расположение городов не бу
дет зависеть от выбранной системы коор
динат [ни от направления осей, ни от точ-
ки отсчёта). Система координат повлияет
только на наше описание положения
объекта, а не на само положение.

Такая произвольность в выборе систеллы
координат очень важна, потому что одна
и та же задача в разных системах координат
может решаться с разной сложностью. Так,
если рссслтатривать движение планет Сол-
нечной системы относительно Солниа то
траектории их движения — эллипсы. Если же
выбрать в качестве точки отсчета Землю, то
траектории движения планет будут гораздо
более сложными фигурами. И уравнения их
движения для расчёта различных задач будет
использовать труднее.
1. Что такое вектор?

Зернемся к примеру с машиной, которая
выехала из города и проехала 100 км. Для
того чтобы определить её положение, этой
информации налА оказалось мало.

ЧАСТЬ 2.
ВЕКТОРЫ

Перемещение, скорость, сила — для описа-
ния этих характеристик важна не только аб-
солютная величина (модуль), но и направле
ние. Для задания таких величин используют
специальный математический инструмент —
вектор, направленный отрезок.

С важности направления действия силь
знает каждый, кто помогал толкать маши-
ну; чтобы достичь максимального результа-
та, нужно толкать в одну сторону. Если один
будет толкать вбок, то он не поможет,
а если в противоположную сторону, то бу-
дет мешать.

перемещение

скорость

ч.

сила

Рвя = тех

С том. насколько важна координация уси-
лий для достижения общей пели, мы знаем
с детства — из басни Крылова «Лебедь, Рак
и Щука».
А кок посчитать точно, например, чтобы
спроектировать вантовый ллост?

Рассмотрим вектор на плоскости (в задан
ной системе координат). Его можно одно
значно описать проекциями на оси коорди-
нат (см. рисунок).

Действительно, если два человека тянут груз
вверх и вправо с силами Р} и Р2< то их можно
заменить одним человеком, который будет
тянуть вправо и вверх с силой Р (см. рису-
нок). И наоборот

Проекция вектора — это то, что получится,
если опустить вектор на выбранные оси
координат. На плоскости у нас 2 оси коор-
динат, соответственно, будет 2 проекции
вектора. В пространстве — 3.
Представим, что в комнате стоят два экра-
на на которые светят два источника света.
Один человек следит за первым экраном,
а второй — за вторым, расположенным
перпендикулярно первому. Оба наблюда
ют за движением тела в определённой
плоскости. По отдельности наблюдатели
увидят лишь некоторое перемещение в го-
ризонтальном направлении, а сопоставив
проекции и скорости перемещения объек
та по ним, можно полностью описать дви-
жение тела (см. рисунок).

Более того, если повернуть (или сдвинуть)
один из экранов, не лленяя само движение,
то поменяется его описание в проекциях
(см. рисунок). Но когда мы совместим эти
описания, результат не изменится (ведь
и само движение объекта не менялось).

Представим, себе вектор на плоскости и два
источника света (горизонтальный и верти-
кальный). Тень, которая будет на осях коор
динат, и будет проекцией данного вектора
(см. рисунок).

Любой вектор можно однозначно задать
с помощью его проекций. Два разных векто-
ра на плоскости всегда дадут разные набо-
ры из двух проекций, два одинаковых — оди-
наковые наборы из двух проекций.

Длина проекции — это число
(с точностью до знака — см. ри-
сунок. а(2; 3), 6(2; -1,5)). Значит,
любой вектор на плоскости мож-
но описать парой чисел, а, как
мы уже знаем, такая пара чисел
называется координатами.
То есть фактически вектор на
плоскости задаётся двумя числа-
ми (в пространстве — трелля).

Поскольку вектор — это упорядо-
ченная пара чисел, то мы можем
залленить действия с векторами
действиями с числами.

Конечно, если сложить два билета в театр то
ллы не получим координаты места, где мож-
но сидеть вдвоём. Но если мы поехали из
пункта А в пункт Б, а зателл из пункта Б
в пункт В, то наше итоговое перемещение —
это перемещение из пункта А в пункт В.
В этолл заключается геометрическое прави-
ло сложения векторов — «правило треуголь-
ника» (см. рисунок).
Правиле
треугольника

«Правило параллелограмма» применяют
в том случае, если две силы действуют из од-
ной точки и нужно найти их равнодействую-
щую (см. рисунок). Но суть у этих правил
одна и тс же (потому что у параллелограм-
ма противоположные стороны, а значит
и векторы, построенные на них, равны).

Можно определить и другие операции с век-
торами — вычитание, умножение, чтобы ре
шать различные прикладные задачи.

Правило
параллелограмма

Введение

Математика работает с идеальными обьек
тами, и геометрия — не исключение. Зачем
нужно изучать свойства треугольника, если
в окружающем нас мире объект такой иде
альной формы никогда не встретится?

Пусть у нас есть объект, который с некото-
рой точностью может быть приближен тре
угольником. Если мы получим свойства тако-
го треугольника, то сможем с их помощью
описывать все похожие объекты.

Геометрия — это раздел математики, по-
священный исследованию различных иде-
альных объектов (точек, линий, фигур, тел)
и описанию их свойств в виде утверждений,
которые называются леммами и теорелла-
ми. Например, известное каждому утвер-
ждение, что по прямой ближе, чем в обход,
на ллатематическом языке формулируется
следующим, образом.

Теорема (неравенство треугольника). В тре-
угольнике сумма длин любых двух сторон
больше длины третьей стороны.

Конечно, в школе изучаются только несколько
моделей: точка, отрезок, прямая, многоуголь-
ник, окружность, некоторые виды объёмных
тел. Но часто сложную фигуру можно опи-
сать, разбив на более простые.

многие задачи в геодезии связаны с геомет
рией, и, изучая свойства треугольников,
многоугольников, окружностей, мы можем
научиться решать более сложные задачи,
которые нужны для построения мостов,
прокладывания дорог навигации и т. д.

В этой главе мы рассмотрим некоторые ба-
зовые вопросы и понятия, связанные с изуче
нием геометрии.

ГЛАВА 11.
ГЕОМЕТРИЯ
ЧАСТЬ 1
ГЕОМЕТРИ-
ЧЕСКИЕ
ОБЪЕКТЫ

1. Какие геометрические объекты
мы считаем базовыми?

Поставим на карте точку. Если уменьшать
масштаб карты, то эта точка может закры-
вать целый населённый пункт. Но если раз
меры этого пункта для нас не так важны, то
точка — подходящий объект для его обозна
чения.

Точка — идеальный математический объект
который не имеет ни длины, ни ширины. По-
нятно, что изобразить такую точку на бумаге
невозможно — мы бы просто не смогли ее
увидеть. В первом приближении мы рисуем
вллесто точки маленький круг, а если точнее,
то небольшую кляксу.

Но модель точки удобна для решения многих
задач. Если важно только расположение
объекта, а не его размеры, то такой объект
можно обозначить точкой.

Если машина едет из города А в город Б, то
ее чаще всего можно рассматривать как
точку (размеры машины на фоне размеров
городов и расстояний между ними очень
малы). Если же машина паркуется, то мо
дель точки не подходит (если пренебречь
размерами машины, то парковка может за-
кончиться аварией).
Точка — одно из основных «действующих
лип» школьной геометрии. Другие базовые
объекты прямая [или её части — луч, отре
зок) и плоскость.

Прямая — это «не кривая». Более
точное определение вряд ли
можно сформулировать. Луч —
это, условно говоря, половина
прямой (если поставить нс пря-
мой точку, то получится д.ва луча).

луч 1

луч 2

Это согласуется с нашим бытовым восприя-
тием: солнечный луч имеет фиксированное
начало [поверхность Солнца), но не имеет
четкого окончания.

Отрезок — это часть пряллой, ограниченная
точками с двух сторон.

Если взять две любые точки, то между ними
м.ожно провести только одну прямую. Эта
мысль кажется очевидной, но доказать ее
строго не получится, поэтолху в геоме
трии это утверждение принимают в каче-
стве аксиом.ы (интуитивно понятного утвер
ждения).

Расстояние между точками называют длиной
получившегося отрезка (см. рисунок). Сфор-
мулированное нами неравенство треуголь-
ника । юдсказывает, что длина отрезка — крат
чайшее расстояние между двумя точками.

А 5 см в

2. Какие комбинации базовых
объектов изучают?

Все геоллетрические фигуры — это различ-
ные комбинации базовых объектов. Понятно,
что таких комбинаций можно составить бес-
конечно много. Поэтому выделяют и исследу-
ют свойства только тех, которые встречаются
при решении различных практических задач
(наприллер, в архитектуре или строительстве).

Рассмотрим простую комбинацию; две пря-
мые на плоскости. Они могут или Пересе
каться, или не пересекаться. Если они не
пересекаются, то мы их называем парал-
лельными.

О е а, Ь
а^Ь
Железнодорожные рельсы — хороший об-
раз для описания параллельных прямых.

Обратите внимание, что все шпалы одина
ковой длины — эю иллюстрация важного
свойства параллельных прямых: они не при-
ближаются и не расходятся.

Д,в,=АВ2
А, А,

можно ввести понятие взаимоотношения двух
прямых. Вспомните, мы уже неоднократно
рассматривали сначала объекты, а потом
отношения между ними (натуральные чис
ла — дроби; множества — функции и т. д.).

Отношение между прямыми — это угол, кото-
рый они образуют. Если он нулевой, то пря-
ллые параллельны, если нет — пересекаются.
Угол, в отличие от большинства других гео-
метрических объектов, ограничен в своём
измерении. Максимальный угол — это пол
ный оборот

полный оборот

△оговорились считать
такой угол равным
360°. Если разделить
всю окружность на
360 одинаковых ча
стей, то получим угол,
который мы называем
1 градусом (в перево-
де — шаг). Это услов-
ность. В других едини-

исх измерения (радианах) полный оборот

равен 2гт (то есть чуть больше 6). А можно
было обозначить полный угол, например,

п0С градусов (тогда 1 градус был бы равен
оборота). Само численное значение не
принципиально, важно, что оно ограничено.

Можно ли повернуться больше, чем на пол

ный оборот? Вообще говоря — да,
например, сделать два оборота (полу
чится поворот на 360°+360о=720°). Для
стороннего наблюдателя положения
объекта при повороте на 360° и 720° ни-
чем не отличаются.

Но такие углы (большие, чем полный
оборот) оказались полезным инстру
ментом в тригонометрии — с их помо
щью удобно описывать периодические
функции (синус, косинус, тангенс)
Однако это уже не практическая мо

дель, а теоретическая.

Если вернуться к практическому понима-
нию угла, то можно говорить об углах от
О до полного оборота, в нашей догово-
рённости: от 0° до 360°. Как измерять углы?
Используя пропорцию: если вся окруж-
ность — это 360 градусов то часть окруж
ности соответствует такой же части от
360 градусов.

Часто встречающиеся углы получили названия:
развёрнутый — угол, который образует пря-
мая, половина полного оборота (180э);

прямой — половина развёрнутого: прямые,
которые его образуют, расположены так,
что каждая из них не падает ни вправо, ни
влево относительно другой. такие прямые
называются перпендикулярными. Название

развёрнугыйугол

связано со словом пендулум — так

назывался отвес, по которому рань
ше при строительстве контролирова-
ли прямой угол между стеной и фун-
далАентом (см. рисунок). Прямой
угол равен 90э.

прямой угол

Углы можно разбить на естественные груп-
пы (ввести классификацию). У топора или
ножа угол между граня
ми острый (мы так и го-
ворим). Острый — мень
ше прямого.
Дополнительный Кострому — тупой (см. ри
сунок). То есть тупой — больше прямого, но
меньше развёрнутого.

В дальнейшем мы будем использовать углы
для изучения свойств более сложных объек
тов — треугольников, четырёхугольников и т. д.

3. Какую фигуру можно считать
минимальной?

Мы рассмотрели два возможных случая
расположения двух прямых на плоскости.
Добавим третью прямую.

Могут получиться три параллельные прямые:
две параллельные прямые, которые пересе-
каются третьей прямой; три прямые, которые
пересекаются в одной точке (см. рисунок).
Но это редкие, исключительные случаи, кото-
рые ллатематики называют вырожденными.
Если с закрытыми глазами бросить три спич
к.и на бумагу и продлить их до прямых, то по-
лучатся три попарно пересекающиеся пря-
мые, которые образуют треугольник.

Если говорить языком теории ве-
роятностей, то । |ри током слепом
бросании трёх спичек вероятность получить
любой из исключительных случаев приблизи
тельно такая же, как и вероятность того, что
монета при броске упадёт на ребро.

Хорошо, что три
прямые почти всегда
пересекаются только
на плоскости
Итак, три прямые на плоскости почти всегда
образуют замкнутую фигуру — треуголь
ник. Он состоит из трёх отрезков (ещё гово-
рят — замкнутая ломаная из трех звеньев).
Про два отрезка ничего сказать нельзя, они
не могут замкнуться. Если добавить третий
отрезок, то получим наименьшую возмож-
ную замкнутую ломаную — треугольник.
Меньше трёх звеньев в замкнутой ломаной
быть не лложет.

аВСОЕ - пятиугольник

Треугольник — наименьший из много-
угольников, из него можно получить
любой п угольник. Например, пяти-
угольник состоит из трех треуголь-
ников.

Из за этого, а также из-за того, что
треугольники имеют большое прак-
тическое значение (например, в ар-
хитектуре и строительстве), их свой-
ства подробно изучены.
Несущие конструкции вантовых мостов,
устойчивость измерение расстояний — вот
лишь несколько примеров использования
свойств треугольников.
Забегая вперёд — треугольник легко вычис-
лим: зноя три элемента почти всегда можно
вычислить значения всех остальных элемен-
тов. Например, по трем сторонам треуголь
ника можно найти величины его углов. То есть
длины сторон однозначно задают треуголь
ник. Это важное свойство, которое выделяет
треугольники из всех многоугольников. Если
вы скрепите три доски, то их не удастся
сдвинуть (не слоллав какой то элемент этой
конструкции). Уже для четырёхугольников это
свойство не выполняется; если взять четыре
одинаковые доски, то из них можно собрать
квадрат, а можно разные «косые» ромбы

4. Какие бывают треугольники?

Зозьмем три произвольных отрезка. Все-

гда ли из них можно составить треуголь-
ник? Можете попробовать и убедиться,
что нет. Для этого они должны удо-
влетворять важному свойству, кото-
рое называется неравенс твом тре-
угольника.

Каждый знает, что по прямой ближе,
чем в обход. Об этом напоминают
таблички «По газонам не ходить».
Значит, любой обходной путь между двумя
точками будет длиннее, чем отрезок, который
их соединяет. Поэтому сумма двух сторон
треугольника всегда должна быть больше его
третьей стороны (см. рисунок). Это и есть
формулировка неравенства треугольника.

Еще одно свойство, которое выполняется для
всех треугольников' сумма трёх углов со-
ставляет половину полного оборота, или,
по-другому, равна 180° (см. рисунок).

60° * 60“4 60’ = 180'

Если треугольники в чём-то схожи, то у них
будут похожие свойства. То есть можно вы-
делить классы похожих треугольников и ис-
следовать их на примере любого предстс
вителя такого класса.
а || Ь => дДВС дД^С

Как получить уменьшенную копию
треугольного объекта? Нужно сохра-
нить углы и уменьшить пропорцио
нально все стороны. Самый простой
способ — провести прямую, парал-
лельную одной из его сторон, получит
ся уменьшенная копия большого тре-
угольника (см. рисунок).

Нарисуем большой треугольник на доске
и в тетради (см. рисунок). Мы видим, что они
похожи. Когда учитель рисует на доске тре

угольник и говорит ученикам нарисовать та-
кой же в тетради, то все треугольники будут
похожи, хотя и разными по размеру. Такие
треугольники называются подобными

^Д=^Д, АВ _ ВС _ АС
^.В = ^.В, А,В, В^Су Д,С\
^С= ^С,

У всех подобных треугольников соответству
ющие углы равны, с длины сторон пропор-
циональны. То есть если у треугол ьника сто-
роны относятся как 3:5:7, то у всех подобных
ему треугольников отношение сторон будет
таким же.
с

Д, Зсм В,

Подобие в математике — это стро-
гая характеристика того, что в обыч
ной жизни мы называем схожестью.
Когда ребёнок перерисовывает
в альбоме соседний дом, он ста
рается нарисовать его максималь
но похожим. В чем это заключа
ется? В том, чтобы стороны были
пропорциональны.

Еще одним примером подобия слу
жит карта — она подобна местно-
сти, которую изображает, а мас-
штаб — ото коэффициент подобия.

А_а
в Ь
Треугольники можно классифицировать не
только по схожести, но и по свойствам углов
и сторон. Например, можно разделить тре-
угольники по характеристике самого
большого угла: тупоугольные, прямоуголь
ные и остроугольные (см. рисунок)

Тупоугольный

Прямоугольный

Остроугольный

Классификация треугольников по величине большего угла

Пряллоугольный треугольник — это
половине прямоугольника. И с та
кими треугольниками мы часто
встречаемся в жизни. Поэтому его
свойства хорошо изучены, среди
них — известная теорема Пифаго
ра (см. рисунок).

Вспомните, что именно с соотношения сто-
рон прямоугольных треугольников мы начи-
нали изучение тригонометрии, то есть связи
геометрии и алгебры

Рассмотрим угол, под которым видно дере-
во из точки О. Его можно описать отношени-
ем высоты дерева к расстоянию от точки О

до дерева: 1да=^ (см. рисунок). Если маль-

чик стоит так, что линия, соединяющая точку О
с вершиной дерева, проходит через макуш-
ку мальчика, то отношение его роста и рас-
стояния от точки О до него будет таким же
(см. рисунок): ^да=-^=-т2. Ава получившихся
на рисунке прямоугольных треугольника с об-
щим острым углом подобны, и отношения их
катетов однозначно задают этот острый угол.
Действительно, если точку О передвинуть, то
и отношения изменятся (см. рисунок).
Так как для всех подобных пря-
моугольных треугольников такое
соотношение катетов будет
одинаковым, то значение угла
не будет зависеть от треугольни
ка, в котором ллы это отношение
измеряем (см. рисунок).

Важно не только то, что равные
отношения задают равные углы,
а и то, что неравные отношения

задают неравные углы. То есть каждому от
ношению будет соответствовать ровно один
угол. А значит, мы получили функцию угла
(каждому углу будет соответствовать
единственное значение отношения катетов),

которую можно использовать для задания
угла и описания его свойств.

Если две стороны треугольника равны, то
треугольник называется равнобедренным
и у него появляется ось симметрии. Если на-
рисовать такой треугольник и сложить лист
буллсги пополам, то две части треугольника
совпадут (см. рисунок). Значит и утлы, лежа
щие напротив равных сторон будут равны.

Абсолютно симметричный треугольник, у ко-
торого все углы и все стороны равны, назы-
вается равносторонним. У него три оси сим-
метрии, которые пересекаются в центре
треугольника. Если повернуть треугольник
вокруг этого центра на 120° или 240°, то полу
чится точно такой же треугольник.

Чтобы задать равносторонний треугольник
(его еще называют правильным), достаточно
знать один параметр — длину стороны.

5 Какие ещё фигуры можно
и полезно изучать?

Треугольник — это самый «ллаленький»
многоугольник. Есть четырех , пяти и т. д.
угольники.
п-угольники

Иногда их называют г-угольниками,
где п может быть любым натуральным
числом, начиная с 3 (см. рисунок).

Кроме треугольников, мы часто
встречаемся с четырехугольниками,
но не с произвольными, а с некоторыми
частными случаями — квадратом, ромбом,
прямоугольником. И свойства этих видов
четырёхугольников также хорошо изучены
Например, в прямоугольнике равны диаго-
нали, а в ромбе они пересекаются под пря-
мым углом (см. рисунок).

В с

д о

АВСО - прямоугольник =>
=> ДГ = ВО

ЕЮН - ромб =>
=> ЕС х ГН

Но сказать что-то про произвольный четырех
угольник (кроме того, что он состоит из двух
треугольников, а значит, сумлла его углов рав
на 360°) сложно. А ещё сложнее выделить
особенные свойства для 5-, 6- и т. д. угольников.

За исключением одного единственного слу-
чая — когда у многоугольника равны все углы
и все стороны (такие многоугольники, как
и треугольники называют правильными). Все
такие многоугольники объединяет общее
свойство — каждый из них задаётся одним
параметром, длиной стороны.

Из всех правильных многоугольников можно
выделить три (3-, 4- и 6-): равносторонний
треугольник, квадрат и правильный шести-
угольник. Они замечательны тем, что ими
лложно замостить плоскость «без дырою»
(см. рисунок). Больше ни один из правиль
ных многоугольников таким свойством не
обладает, это несложно доказывается. Эту
особенность часто используют при созда-
нии паркетного узора.

Если увеличивать количество сторон правиль-
ного многоугольника, то для нашего глаза по-
лученная фигура ничем не будет отличаться
от окружности, еще одной фигуры, которая
задается одним параметром — радиусом
(расстоянием от центра до любой точки
окружности). Можно сказать, что окруж
ность — это правильный бесконечноугольник.
И если у правильного п-угольника ровно
п осей симметрии, то у окружности их беско-
нечно ллного (любой диаметр) (см. рисунок).

правильный
п-угольник
Все окружности подобны между собой, кок
и все правильные треугольники, четырех-
угольники и т. д

Окружность — ещё один геометрический
объект, который подробно изучается. Её, с од-
ной стороны, легко изучать, так как она за-
даётся одним параметром — радиусом,
а с другой стороны, она часто встречается
в окружающем мире (см. рисунок).

Мы поговорили про геометрические объек
ты но можно исследовать не только сами
объекты, но и их взаимоотношения.

Рассллотрим для примера пару объектов:
окружность и прямая. Прямая может на-
ходиться где-то в стороне от окружности,
может пересекать её в двух точках, а мо
жет касаться (пересекать в одной точке)
(см. рисунок).
Другой пример: окружности и треугольник.
В любой треугольник можно вписать окруж
ность и вокруг любого треугольника окруж-
ность можно описать (см. рисунок).

Причелл и вписанная, и описанная окружно
сти будут для денного треугольника един-
ственными. Важно подчеркнуть, что таким
свойством обладсют только треугольники.
Уже для четырехугольников это неверно —
вокруг неправильного ромба не получит-
ся описать окружность, а в неправильный
прямоугольник окружность не впишешь
(см. рисунок). Для четырёхугольников выве
дены специальные признаки, которые позво-
ляют определить, можно ли в них вписать или
описать вокруг них окружность.

Связь треугольника и окружности имеет при-
кладное значение. Так, если нужно располо-
жить станцию скорой помощи или вышку
мобильной связи для трёх сёл, то необходи-
мо выбрать центр описанной окружности
(см. рисунок)
6. Какие ещё характеристики
фигур изучают?

Мы рассмотрели классификацию фигур
по количеству углов и сторон (многоугольни-
ки). Но у такой классификации есть суще
ственные ограничения — у окружности нет
углов. Да и любая фигура, ограниченная
гладкой кривой (без углов), не будет являться
ЛЛНОГОуГОЛЬНИКОМ.

По каким ещё свойствам можно выделять
различные классы фигур? Например, по
симметрии, мы уже обращали внимание
на наличие осей симллетрии у правильных
ллногоугольников и окружности.

Симметричными кажутся нам многие окру
жающие нас объекты. Например, лицо че
ловека. Хотя, если взять фотографию, раз-
делить на две части, а затем отразить
симметрично относительно разреза каж-
дую половинку, то получаются абсолютно
разные изображения.

То есть мы далеко не симметричны даже
внешне (не говоря о внутреннем строе
нии). Существовала мода на подчеркива
ние такой несимметричности (накладные
мушки, иллитируюьцие родинки на лице).

Но если говорить об идеальных геомет-
рических объектах, то можно ввести по
нятие оси симметрии, или центра сим-
метрии.

Соответственно, фигуры бывают симмет-
ричными и несимлтетричными. Например,
у квадрата есть центр симметрии и 4 оси
симметрии. А у произвольного треугольника
нет ни центра, ни осей симметрии (см. ри-
сунок).

Другое свойство, которылл могут обладать
или не обладать геометрические фигуры, —
это выпуклость. Интуитивно
понятно, что фигура слева
выпуклая, а фигура спра-
ва — невыпуклая (см. ри
сунок).

Строгое определение звучит
так: фигура является выпук-
лой, если любая прямая
имеет с ее границей не бо-
лее 2 общих точек.

любой треугольник всегда
выпуклый, а вот для четырёх
угольника и других ллного-
угольников это утверждение
неверно (см. рисунок).

Окружность можно рас-
сматривать как «идеально»
выпуклую во все стороны
фигуру.

Рассматривают и другие характеристики
геометрических фигур, если они полтогают
при решении различных практических задач.
1. Какие характеристики
используются для описания
свойств фигур?

ЧАСТЬ 2.

СВЯЗЬ ЧИСЛА
И ГЕОМЕТРИИ

Чтобы описать геометрические фигуры, мы
используем разные числовые характеристи-
ки. Например, измеряем длину отрезка.
Вспомним, что измерение — это сравнение
с эталоном. Мы договорились, как выглядит
отрезок длиной 1 см, и, измеряя другие от
резки линейкой, мы определяем, во сколько
раз они больше (или меньше) 1 см.

Измерения и числовые характеристики —
это своеобразный мостик от умозрительных
рассуждений к решению практических за-
дач. Так. чтобы изобразить деталь на чертеже
или схелле, необходимо выполнить различ-
ные измерения (см. рисунок). Только в этом
случае мы получим точную геометрическую
модель детали, сохранив все важные для
нас пропорции.

мы уже разбирали похожий пример —
если нужно нарисовать дом, который видим
в окне, так, чтобы рисунок был максимально
А а
В~ Ь

похож, то необходимо сохранить
определенные пропорции (см. ри-
сунок). Отношение высоты и шири-
ны нарисованного дома должно
быть таким же. как и у реального.

Одной длины для описания число-
вых характеристик геометрических
объектов бывает недостаточно. Так,
длину границы плоской фигуры на
зывают периллетром. На рисунке
изображено несколько разных фи-

гур с одинаковым периметром.

Р= 16

Значит, нужны другие характеристики, и мы
их хорой ю знаем — например, площадь
фигуры (для пространственных тел вводят по-
нятие объема). Площадь и объём указывают
на то, сколько фигура занимает места на
плоскости или в пространстве. Измерение
площади — это тоже сравнение с эталоном
(только в качестве эталона будет выступать
квадрат со стороной 1 см, площадь которо
го равна 1 см2). Мы считаем, сколько раз
квадратный сантиметр помещается в ф>игу
ру (см. рисунок).
1 см

1 см

□ 1

3_____Е

1 см:

△ля прямоугольника такое вычисление
произвести несложно. А как быть, если фи-
гура другой формы? Тогда мы стараемся
выполнить измерения с интересующей нас
точностью, уменьшая разллеры квадратов,
которые используем в качестве эталонов,
а также используя оценки сверху и снизу.

Рассмотрим пример.

Сначала считаем, сколько квадратов
1 см* 1 см поместится в фигуру це
ликом 'без наложений). Получилось
400. то есто площадь нашей фигуры
больше 400 см2. Теперь накроем
фигуру квадратами так, чтобы они
накрывали все точки фигуры. Пло-

щадь этих квадратов — 440 см2. Ясно, что
площадь нашей фигуры лежит в диапазоне
от 400 см2 до 440 см2.
Если выбрать квадраты с меньшей длиной
стороны, то лложно получить более точную
оценку значения площади. Нелл меньше раз-
меры эталонных квадратов, тем точнее бу-
дет найденное значение площади. При уве-
личении точности оценки площади сверху
и снизу сближаются, или, говорят, что они
стремятся друг к другу.

Для абсолютной точности выведены форму-
лы для вычисления площади различных фи-
гур. Так, площадь круга вычисляется по фор
муле’ 5=ттг2, где г — радиус круга

То есть в круге с радиусом 1 по площади эк-
вивалентен чуть больше чем 3 квадратам со
стороной 1.
2. Что такое ГМТ?

Мы приводили пример фигур, у которых один
и тот же периметр но разные площади. А ка-
кая фигура будет иметь максимальную пло-
щадь при данном периметре границы?
Эта задача имеет собственное название —
задача Дидоны Имя сестры финикийского
царя Дидоны связано с легендой об основа-
нии города Карфагена. Когда она пересе-
лилась на южное побережье Средиземного
моря, то попросила уместного племени уча
сток земли, который можно охватить шкурой
быка. Дидона разрезала шкуру на узкие
ремни и связала их, охватив немаленькую
территорию у побережья

Общее название задач, в которых нужно
найти наибольшее или наименьшее знача
ние параметра при заданных условиях, —
экстремальные шдачи

Строгая формулировка задачи Дидоны бу-
дет звучать так: как при заданной длине гра
ницы получить фигуру максимальной пло-
щади? В легенде Дидона охватывала канатом
площадь возле побережья (то есть одна гра
ница — берег — была зафиксирована). В та-
кой постановке решением задачи будет по-
лукруг (см. рисунок).

I
Если же убрать ограничения и рассллатри
вать произвольную фигуру на плоскости, то
решением будет круг (см. рисунок).

Можно

ход для

использовать алгебраический под-
задания различных геометрических
фигур. Всполаним, что функцию
можно изобразить с помощью гра-
фика. Если пара чисел (х;у) удовле
творяет уравнению у=Цх'/, то точка
с такими координатами принадле
жит графику. Если не удовлетворя-
ет. то, соответственно, не принад-
лежит.

Но для функции у нас есть важное
ограничение — каждому допусти
мому х должен соответствовать
единственный у. То есть любая вер-
тикальная прямая может Пересе
кать график функции не более
чем в одной точке. Поэтому окруж-

ность, например, уже не лАОжет являться

графиком функции.

Если убрать это ограничение, то изображе
нием решения произвольного уравнения
^(х,у)=0 будет не график функции, а ГМТ —
геол-хетрическое место точек.
Так, окружность — это геометрическое ме-
сто точек, равноудаленных от данной.

А эллипс можно задать используя следую-
щее его свойство. Вобьем два гвоздика, за
тем завяжем вокруг них верёвочку так, что
бы она не была натянута, а после этого,
запенив карандашом верёвку, будем пере-
мещать карандаш так, чтобы верёвка по-
стоянно оставалась натянутой. В результате
получим эллипс.
1

Можно сформулировать это так:
эллипс — это геометрическое ме
сто точек, сумма расстояний от
которых до двух данных (они на
зываются фокусами) постоянна

Планеты Солнечной системы дви-
жутся вокруг Солныа по эллиптиче-
ским орбитам, в одном из фокусов
которых находится само Солнце.

Эллипс можно увидеть, если све
тить фонариком на стену (окруж-
ность — частный случай эллипса,
у которого совпадают фокусы) или
если резать колбасу наискосок.
Уравнение эллипса в коор-
динатной плоскости имеет
следующий вид т^т+^2=1-
Переменные стоят в урав-
нении во 2-й степени, по
этому эллипс называется
кривой второго порядка.

Основных кривых второго
порядка всего три: эллипс,
гипербола и парабола.

гипербола

2^ 1

а > О, Ь > О

Их еше называют коническими сечениями
(см. рисунок). И они подробно изучены, так
как имеют важное прикладное значение,
например, в астрономии.

Три основных сечения конуса

ЭЛЛИПС

парабта

гипербола

Введение

Эту главу можно смело пропустить. В ней
пойдет речь о «математике внутри матема-
тики». Теория чисел занимается изучением
различных свойств абстрактных идеальных
моделей — чисел. Если биологи изучают
и классифицируют объекты реального
мира, то мстеллатики занялись изучением
придуманных ими же абстракций.

Можно сравнить теорию чисел с шахмата-
ми. И числа, и шахматные правила — поро-
ждение нашего разума. И их можно изучать.

Но в эпоху цифровизации некоторые ре-
зультаты теории игр оказались полезными —
так, на них основаны ллногие алгоритмы
шифрования, которые используются, напри-
мер, банками.

В этой главе те, кого не отпугнуло это введе
ние, смогут познакомиться с некоторыми
результатами теории чисел.

ГЛАВА 12.

ТЕОРИЯ
ЧИСЕЛ*
ЧАСТЬ 1
ПРОСТЫЕ
И СОСТАВНЫЕ
ЧИСЛА

1. Зачем изучают числа?

Чтобы понять, как устроен мир, мы изучаем
то, что нас окружает: растения, животных,
звезды, природные явления...

Но объектами изучения становятся и наши
собственные изобретения. Можно привести
разные примеры. футбол возник как простое
соревнование — какая из двух команд забьёт
больше мячей. С тех пор цель в игре не изме-
нилась, но сам футбол стал объектом ис
следования. Появились различные тактики,
теоретические описания, методики подго-
товки команд и отдельных футболистов...

Другой пример — теория машин и механиз-
мов, одним из основоположников которой
является наш соотечественник П. Л. Чебышев.
С древних времён люди изобретали и ис-
пользовали различные ллеханизмы (блоки,
рычаги). Но в начале XIX века для изучения
ллашин и механизмов стал применяться
научный подход и появилась отдельная дис-
циплина, которая занимается их исследова
нием и проектированием.

Наконец, лингвистика — пример науки, ко-
торая занимается изучением нашего изоб-
ретения — языка.

Как мы знаем из первой главы, число —
инструмент размышления о количествах.
Значит, его можно изучать. И этим занимает-
ся теория чисел, один из самых старых раз-
делов математики. Неудивительно, что она
возникла в Древней Греции, а ее основате-
лями можно считать двух пифагорейцев (по-
следователей школы Пифагора) — Евклида
и Диофанта. Ведь один из главных тезисов
учения Пифагора: «В основе вещей лежит
число. Познать мир — значит познать управ
ляюшие им числа».

Итак, число можно изучать. Но нужно ли?

Можно ответить просто — почему бы и нет?
Кому то интересно заниматься шахматами,
кому-то — футболом, а кому-то — числами.

Но, как часто бывает полученные в теории
чисел результаты впоследствии нашли при-
менение в самых разных сферах, напри-
мер криптографии и шифровании. По-
дробнее об этом мы поговорим в этой главе.

2. Почему простые числа не такие
простые?

Механизмы состоят из деталей, которые мы
можем изучать. Так, часовщик хорошо раз-
бирается в том, из чего состоят различные
виды часов, как работают шестеренки и т. д.
То же самое можно сказать и про число.
Но из чего состоят числа?

Если рассматривать число как сумму еди-

ниц, то всё, что можно изучать, — это срав- 5 = -|+-| + -|+-|+-|
нение чисел (больше меньше). Напри-

мер, число 5=1 + 1 + 1 + 1 + 1, оно больше чем 4-1+1+Т+1
4=1+ 1 + 1 + 1 на одну 1.

Но можно рассматривать число как произ-
ведение множителей. Тогда; 5=5-1, и по-дру-
гому его не распишешь, а 4=4-1=2-2. То есть
обычнылз сравнением не обойтись, нужен
другой подход для классификации и иссле-
дования чисел.

Итак, 5 можно представить в виде произве-
дения двух натуральных чисел только одним
способом — само число умножить на еди-
ницу: 5=5-1. Другие примеры: 2=2-1, 3=3-1,
7=7-1... Такие числа назвали простыми

А вот 4=4-1=2 2, 6=6-1 =2-3, 8=8-1=2-4... — это
числа, которые, кроме как на единицу и са
мих себя, делятся на ещё какое-то натураль
ное число. Такие числа назвали составны-
ми. Они составлены из простых чисел, как
долл составлен из кирпичей.

Число 1, для удобства классификации, счи-
тают не простым и не составным.

Кажется, что чем больше число, тем больше
шансов, что оно будет составным. И логично
предположить, что рано или поздно в число
вом ряду наберется такое количество про-
стых чисел, что любое следующее число
можно будет составить из них. Другими сло-
вами, можно подумать, что простых чисел

«Печальное» следствие из
этого результата: как бы
много яблок вы ни взяли,
может оказаться, что их
поровну (не разрезая)
можно поделить только
между таким же
количеством людей.

11 %*♦%*•*•*

12 123 1234 12345

* * * • • « * « <

• • • • • • * ♦ 4 • • « • •

• V • • • ••• •

« * * *
« *

♦Н1Н ♦♦♦♦♦♦♦ ♦♦♦♦♦♦♦♦

• *♦* • ♦ •

♦ НННН ННЖЖ

• * •

1 23456789 10 11
окажется конечное число Но эти рассужде-
ния неверны, еще Евклид доказал, что про-
стых чисел бесконечно много.

Доказательство этого факта простое и осно-
вывается на логическом приёме который
называется «метод от противного». Его суть
в следующем: иногда проще доказать не то,
что «X верно», а равносильное ему утвер
ждение: «не-Х — неверно». Например, в пре
отуплении могут быть виноваты только двое —
А и Б. Следствие установило, что в момент
соверщения преступления Б находился на
хоккее (помогли записи видеокамер). Этого
достаточно, чтобы сделать вывод что пре-
ступление совершил А. Формально след
ствие доказало не то, что А — преступник,
а то, что Б — не преступник. 11о так как вари-
антов всего два. то это одно и то же.

Посмотрим, как работает этот приём
в математике на примере доказательства
того, что простых чисел бесконечно много.

Предположим, что простых чисел конеч-
ное число: р,, р2... р№ Рассмотрим число
А=р1-р2-...-Рм+1. Данное число не будет
делиться ни на одно из простых чисел.
Но тогда получается, что оно простое. Зна-
чит наше исходное предположение не-
верно, и простых чисел бесконечно много.

При доказательстве мы использовали (без
доказательства) очевидный факт если
к числу, которое делится на а добавить
число, которое не делится на а, то сумма
тоже не будет делиться на а. Например:
50+7=57. 50 делится на 5 7 — нет сумма
57 тоже не делится на 5
Обратите внимание, данное доказатель-
ство не помогает нам найти формулу
для нахождения всех простых чисел или
частоту, с которой они будут встречаться
в числовом ряду. Но мы и не ставили
перед собой такую цель.

Итак, простых чисел бесконечно много.
Но уж то, что они будут всё дальше и дальше
друг от друга, кажется очевидным. Действи-
тельно: каждое второе число будет делиться
на 2, каждое третье — на 3, и т. д. Если на
чнём вычеркивать все зти числа, то вычерк
нелл почти все.. (см. рисунок)

100 Ю1 102 103 104 105' 106 107 Ю8

109 1Ю 111 442 113 414 1>5 116 417

118 440 120 424 122 423 124 425 126

127 128 129 130 031 432 133 434 135

436 037] 438- 039] 440 444 442 443 444

446 446 447 448 049] 460 051] 432 466

154 465 186 157 158 159 160 464 -162

163 164 165 166 167 168 169 470 171

472 173 174 475 176 177 178 179 180

181 182 183 184 185 186 187 138 189

190 191 192 193 194 495 196 ^97 198

—- делится на 2 —" - делится на 7

делится на 3 делится на 11

- делится на 5 - делится на 13

| | - простое число
Рассмотрим простые числа-близнецы. то
есть простые числа, которые отличаются
друг от друга на 2 (каждое четное число,
большее 2, будет делиться на 2, а значит, не
может быть простым; поэтому подряд идут
только два простых числа — 2 и 3). Например,
11 и 13 или 101 и 103. Одна из недоказанных
пока гипотез говорит о том, что даже таких
«близко стоящих» пар простых чисел беско-
нечно много (саллые большие известные
в 2016 году такие числа: 2996863034895-2'290000-1
и 2996863034895-2’290000+1).

Так что кажущееся логичным предполо-
жение о том, что простые числа будут уда-
ляться друг от друга, тоже оказывается
неверным.

Вообще, оценить то, как часто простые
числа встречаются в числовом ряду, оказа
лось не так просто. Значительный вклад
в решение этой задачи сделал наш вели-
кий соотечественник П. Л. Чебышев. Он по-
лучил оценку для плотности распределе-
ния простых чисел (сколько простых среди
чисел, меньших данного числа п). Напри
мер, в диапазоне от 1 до 102г всего
1 925 320 391 606 803 968 923 простых чисел
(меньше 2 %).

Это еше один любопытный факт о плотно
сти распределения простых чисел. Конеч
но, любопытный он, в основном для тех, кто
погружен в математику. 3 этом отличие ма-
тематики от других наук. Например, в био
логии учёные занимаются изучением живых
организмов, а объекталли ллатематики яв
ляются порождения разума, то есть изуча-
ются инструменты размышления. Поэтому
математика по мере своего углубления за-
нимается вешами, всё дальше и дальше
уходящими от наблюдаемых вещей.

3. Как быстро понять, можно ли
поделить яблоки поровну?

Из одних и тех же кирпичей можно ело
жить разные долла, а один и тот же дом
можно собрать из разного набора кир
пичей.
А как обстоят дела с составными числами,
которые состоят из простых? Можно ли
одно и то же число представить в виде
произведения разных наборов простых чи-
сел? И может ли из одного и того же набо
ра простых чисел получиться несколько
разных составных?

Ответ на второй вопрос — нет — очевиден
благодаря известному свойству произведе-
ния: от перемены мест множителей произ
ведение не меняется’ а Ь=Ь-а. Как бы мы не
переставляли простые числа в наборе, их
произведение всегда будет одним и тем же.

Такой же ответ несложно получить и на пер-
вый вопрос. Действительно, начнём делить
любое число нс простые, начиная с самого
ллаленького — 2 (если на 2 не делится, пере-
ходим к 3, если делится, то делимое снова
пробуем делить на 2 и т. д.): 540=2 270=
= 2-2 135 = 2-2-3-45 = 2-2-3-3-1 5 = 2-2-3-3-3-5.
На каждом шаге у нас могло получиться
только одно произведение. Если бы суше
ствовал другой набор простых множителей
для числа 540, то он всё равно должен был
содержать две 2 (так как 540 делится на 4,
а других простых чисел, делящихся на 2, нет),
три 3 и одну 5.

Строгое доказательство несколько сложнее,
но его идея из приведенных рассуждений
ясна

Вообще говоря, мы только что сформули-
ровали и обосновали (нестрого) важный
факт, который носит название основной
теоремы арифметики
Каждое натуральное число п>1 мож-
но представить в виде п=р1р2...рк, где
Р1, р2... рк — простые числа, причём та
кое представление единственное с точ-
ностью до порядка следования сомно-
жителей.

Запись 540=2-2-3-3-3-5 обычно сокра-
шают используя степень: 540=22-33-5'.
Тогда из основной теоремы арифме
тики следует, что любое натуральное
число п>1 можно единственным об-
разом представить в виде п=рУ'р&..р&
где р1<р2<...<рк — простые числа,
ф, ф... бк — натуральные числа.

Процесс представления числа в гаком
виде называется разложением на про-
стые множители, или факторизацией
числа.

Как разложить число А нс простые множите
ли? Начать нужно с подбора хотя бы одного
числа, на которое делится А. В этом часто
поллогают признаки делимости. Они позво-
ляют быстро определить [не выполняя деле-
ния), делится нацело или нет число, напри-
мер, на 2, 3, 5, 9.

Различными признаками мы часто пользу-
емся в жизни — видим свет в окне, понима-
ем. что дома кто-то есть. Но такие «бытовые»
признаки иногда могут нас подводить
(например, свет просто могли забыть выклю-
чить), а в мателлатике признаки — это теоре-
мы, которые выполняются всегда.

Конечно, в современном мире, когда в лю
бом телефоне есть калькулятор, проше взять
и поделить Но калькулятора под рукой мо-
жет не оказаться, а необходимость решения
такой задачи возникнет (например, нужно
быстро выяснить можно ли поделить
большое количество предметов поровну
между 5 или 9 людьми). Кроме того, знание
этих признаков лложет пригодиться при напи-
сании колА.пьютерных программ — иногда
выгоднее (в плане времени выполнения алго-
ритма) сначала проверить, возможно ли де-
ление, чем напрасно его выполнять.

Когда перед нами большое число, напри-
мер, 13745980167, то кажется, что сложно по-
нять, на что оно делится. Но, посчитав сумму
его цифр (1+3+7+4+5+9+8+0+1+6+7=51), мож
но сразу сказать что оно делится на 3 (при-
знак делимости на 3 (или 9): число делится
на 3 (или 9) тогда и только тогда, когда сумма
цифр числа делится на 3 (или 9)).

Может показаться, что речь идёт о каком то
совпадении: в самом деле, какое отноше-
ние сумма цифр числа имеет к делимости
на 3. Более того, почему тогда этот же при-
знак не работает, наприллер, в отношении
5 (14 на 5 не делится, хотя 1+4=5)?

Любой признак можно доказать. Возьмем
признаки делимости на 3 и 9. Они не случай-
но похожи и не случайно формулируются
именно так. Рассмотрим число 537=5-10С+Зх
х10+7=5-(99+1)+3-(9+1)+7=(5*99+3-9)+(5+3+7).
Выражение в первых скобках делится на
3 и на 9. Значит, как мы уже говорили, чтобы
сумма делилась на 3 (или 9). выражение
во вторых скобках тоже должно делиться
на 3 (9). Но во вторых скобках как раз и стоит
сумлла цифр число 537. Почему так получа-
ется? Потоллу что выражение в первых скоб
ках имеет множители 9, 99, 999... У всех
у них есть один общий множитель — 9, кото-
рый делится только на 3 и на 9. Значит, этот
признак можно использовать только для 3 и 9.

Признак делимости на 2 и 5 еще проще: чис
ло делится на 2 (или 5) тогда и только то-
гда, когда последняя цифра числа делится
на 2 (или 5). Рассллотрим то же число:
537=(5-1 СО-1-3-10)+7. Выражение в скобках де-
лится на 10 (то есть нс 2 и 5 одновременно).
Значит, только от оставшегося слагаемого
(последней цифры числа) зависит — делится
ли все число на 2 или 5 (а также — на 10)

4. Что общего может быть у разных
чисел?

Пусть нам удалось разложить число на про
стые множители. Что дальше? Мы говорили,
что такой подход к изучению чисел даст воз-
можность их сравнивать.

Можно сказать, что у составных чисел есть
степень сходства друг с другом. Наприллер:
18=2-3-3, 24=2-2-2-3- Срезу видно, что у этих
двух инструментов есть одинаковые детали,
общая часть 2 и 3. 18=(2-3)-3, 24=(2-3)-2-2.

3 математике эти одинаковые детали называ
ются общими делителями. Хотя правильнее
было бы назвать их общими множителями.

Если перемножить все общие простые де-
лители, то тоже получится общий делитель,
причем самый большой из возможных, его
так и называют — НОД (Наибольший Общий
Делитель). НСД(18, 24)=6.

Если представить каждый множитель как
элемент множества множителей, то НСД —
это । пресечение двух множеств.

НОД (18. 24) = 2 • 3 = 6

Так могут пересекаться множества деталей
машин, выпускаемых одной компанией, или
множества друзей резных людей в соисетях
(НОД — Общие друзья).
То есть, чтобы найти НОД, нужно разложить
числа на простые множители и выбрать
из них общие для каждого из разложений.
Пример:

60 = 2 • 2 • 3 • 5

40 = 2 • 2 • 2 • 5

НОД (60, 40) = 2 • 2 • 5 = 20

Итак, числа могут иметь общие множители/
делители. А что, если два числа не имеют ни-
чего общего, как 18 и 35 (18=2-3-3, 35=5-7)?
Такие числа называются взаимно простыми.

В мире чисел было бы
как-то так: хорошо, когда
у твоего ребёнка есть
с тобой общие делители

Предположила, вы пришли в магазин. У вас
только 10 рублевые монеты, а у продавщи-
цы — 5-рублёвые. В таком случае она никак
не сможет дать вам сдачу 1 рубль. А вот если
бь! у вас были 2-рублёвые монеты, то это было
бы возможно: вы дадите ей 2-2=4 рубля, а она
вам на 1 рубль больше — 5 рублей. Это свя-
зано с тем, что у чисел 2 и 5 нет общего дели-
теля, отличного от 1 (они взаимно простые,
НОД (2,5)=1), а у чисел 5 и 10 есть: НОД(5,Ю)=5.

Взаимно простые числа можно определить
и по-другому: два числа р и называются
взаимно простыми, если существуют такие
целые тип, что: тр+г,р=1. В нашем приме
ре со сдачей в магазине: р=2 руб., а=5 руб.,
т= 2 (вы отдаете 2 монеты продавщице),
п=1 (она даёт вам одну монету).

Если р и р имеют общий делитель (не рав
ный 1), то при любых типу выражения
тр+пр есть тот же делитель. И следователь
но, оно не может равняться 1 (в примере
с монетами 5 руб. и 10 руб. этот общий де
литель равен 5, поэтому продавщица смо-
жет дать вам сдачу только кратную 5 — 5 руб.,
10 руб. и т. л.).

Теперь мы знаем, почему, например, нельзя
выпускать все купюры и монеты только чётны-
ми (нельзя получить нечетную сдачу). Для
удобства расчётов нужно, чтобы хотя бы два
номинала были взаимно простыми.

Мы говорили о том, как представить число
в виде произведения множителей. Но любое
число само является множителем для цело
го ряда больших чисел. Например, 5 — это
множитель в разложении чисел 5=5-1, 10=5-2.
15=5-3, 20=5-4... Все эти числа называют крат-
ными 5 (однокоренное слово — многократ
но, кратно многому, то есть несколько раз
по много). Кратно числу — значит, в несколь-
ко раз больше этого числа.

Когда мы искали сумму дробей, то приводи
ли их к общему зналленателю — числу, кото-
рое делилось но знаменатель каждой из ис-
ходных дробей. Например; —+—=-у- +—
2оооо

Таким образом, общий знаменатель — это
общее кратное знаменателей исходных дро
бей. Саллый простой пример общего крат
него чисел А и Б — это их произведение. Дей-
ствительно, А Б делится (кратно) и на А, и нс Б.

Но для приведения дробей к общему знаме-
нателю использовать произведение знамена-
телей не всегда удобно. 11апример, для вычис-
ления д— —проще представить первую
дробь в эквивалентном виде у, чем приво-
дить обе дроби к знаменателю 2-499-499.

Таким образом, может быть полезным знать
наил-\еньшее из чисел, которое делится на
данные, то есть Наименьшее Общее Крат-
ное (НОК). Например, НОК(499,2-499)=2-499.
С нахождением НОК. могут быть связаны
практические задачи.

У моего друга тренировки каждые 4 дня,
а у меня — каждые 3. Через сколько дней мы
впервые снова встретимся на тренировке?

- тренировки
каждые 3 дня

- тренировки
каждые 4 дня
Как найти НОК? Если вернуться к иллюстра-
ции с множествами, то НОК — это произве-
дение всех делителей обоих чисел, при этом
общие делители в произведении учитывают
ся один раз.

х 3 х 2

3 18 х 24 х

х 2 х 2

НОК (18. 24) = 2-2(2-3)-3

Несложно получить, что НСК(А,Б)= -Л с..

Ь)

Например: НОД(18,24)=6 тогда НОК(18,24)=
_18-24_~,
ЧАСТЬ 2.
ПРИМЕНЕНИЕ
ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

1. Почему Пифагору было легче,
чем Ферма?

Обратите внимание: элементарная теория
чисел изучает только натуральные (реже —
целые) числа. Действительно, говорить о де-
лимости, например, рациональных чисел
смысла нет — любые два рациональных чис-
ла делятся друг на друга, в результате снова
получится рациональное число.

Вспомним, что рациональное число —
это число, представимое в виде обык-

новенной дроби, тогда: —Тф ~

снова получилось рациональное число

Это ограничение приводит к тому, что мно
гие математические задачи, например,
решение уравнений, в теории чисел рас-
сматриваются только над множеством на
туральных (целых) чисел. Такие уровне
ния называются диофантовыми по имени
древнегреческого математика Диофанта.

Теорема Пифагора
АВ' + ВС = АСг

Некоторые диофантовы уравнения ре-
шаются легко, например, уравнение из
известней теоремы Пифагора (сумлла
квадратов двух сторон прямоугольного
треугольника равна квадрату его тре
тьей стороны): а2+Ь2=с2.

Целочисленные решения этого уравне-
ния называются пифагоровыми трой-
ками. Можно вывести формулу, кото-
рая позволит получить все возможные
такие тройки. Самая простая из них —
(3;4;5). Она сыграла большую роль
в истории, ток как позволяла древним
строить прямые углы.

Это возможно из-за того, что верна обрат-
ная теорема Пифагора: если три числа
а, б, с удовлетворяют уравнению а2ч-Ь2=с2,
то треугольник со сторонами а, Ь, с будет
прямоугольным. Таким образом, если взять
веревку, разделить на 12 равных частей
и натянуть ее на колышки так, чтобы полу
чился треугольник со сторонами 3, 4 и 5 ча-
стей, то один из его углов будет прямым
(см. рисунок). У такого треугольника даже
есть специальное название — египетский
(видимо, особой популярностью он польза
вался в Древнем Египте).

1 23456789 10 Я 12

Теорема Пифагора известна и доказана
ещё в Древней Греции. А другая известная
теорема, которая может показаться очень
похожей на теорему Пифагора —теорема
Ферлла, — долгое время оставалась недока
занной.

Теорема Ферма. Для любого натурального
числа п>2 уравнение апч-Ьп=сп не имеет ре-
шений в иелых ненулевых числах а, Ь, с.

Звучит ста теорема просто, поэтому поиск
ее доказательства стал притягательным для
многих людей (не только математиков).
Сам Ферма записал формулировку тео-
ремы на полях книги и дописал, что доказа-
тельство ему известно, но для него «поля
этой книги слишком малы». Скорее всего,
Ферма ошибся (что не умаляет его заслуг),
потому что доказать теорему удалось отно-
сительно недавно и при этом был задей
ствовсн очень сложный математический
аппарат, выходящий далеко за рамки эле-
ментарной теории чисел.

При этом усилия, которые были потрачены
для доказательства этой теоремы, на дан-
ный мом.ент не сопоставимы с полученным
результатом. Салла по себе теорема пока
не особо используется на практике.

Можно задаться вопросом — для чего это
все? Ответ прост: иногда что то делается
в свободном творчестве, а потом применя
ется. Можно процитировать стихотворение
А. С Пушкина:
«...Как ветер, песнь его свободна,
Зато, как ветер и бесплодна:
Какая польза нам от ней?»

Поэт

Молчи, бессмысленный народ,
Поденщик, раб нужды, забот:
Несносен мне твой ропот дерзкий,
Ты червь земли, не сын небес;
Тебе бы । юльзы всё — на вес
Кумир ты иенишь Бельведерский...

История показывает, что поэт был прав. Взять,
к примеру, компьютеры. Когда они появи-
лись, многие говорили, что их применение
ограничится только решением инженерных
задач. Всего 100 лет назад автомобили счита
ли грязной и ненужной игрушкой и т д. Мож-
но привести много примеров, когда всё
человечество (или большая его часть) заблу
ждалось. Химия появилась из алхимии —
науки о поиске философского камня
и превращении чего угодно в золото. Беспо-
лезное, как мы сейчас знаем, занятие приве
ло к появлению науки, которая оказала
огромное влияние на развитие человечества.

2. Почему иногда хорошо,
что задача не имеет решения?

Когда нам нужно решить задачу из учебника
по математике, мы не задаёмся вопро
сом. — а возможно ли это в принципе?
Мы знаелл. что авторы это сделали до того,
как включить задачу в учебник то есть обла-
даем важным знанием: у задачи, которую
мы решаем, точно есть решение. Кажется:
невелико знание.
Но теперь представьте, что защищённость
многих систем шифрования в современ
ном мире под вопросом из за того, что мы
не знаем, имеет ли решение одна из задач
теории чисел.

Наверное, все когда-нибудь пробовали об-
щаться с друзьями на таком языке, который
никто другой не поймет. В этом состоит идея
кодирования (шифрования). Конечно, коди-
рование нужно не только для того, чтобы
скрыть информацию, а и для того, чтобы уве-
личить устойчивость передаваемого сигна
ла, уменьшить искажение и влияние помех

Люди придумали множество разных шиф-
ров. И каждый из них рано или поздно был
разгадан. Начиналось всё с простых шиф
ров — например, заменить каждую букву на
другую букву или знак. Но имея несколько
сообщений, зашифрованных таким спосо-
бом. несложно подобрать ключ Ведь буквы
в любом языке встречаются с разной часто-
той. Например, в тексте на русском языке
почти наверняка чаще всего будут встречать-
ся гласные —0(11 %), Е ;9%), А(7,5%), И(7,5%)
Вычисляя частоты появления различных сим-
волов в перехваченных сообщениях и срав-
нивая их с известными теоретическими ча-
стотами, можно подобрать ключ к шифру.

Поэтому со временем способы шифрова-
ния усложнялись. Для этого стали использо-
ваться специальные машины. Одной из са
мых известных является «Энигма», которую
использовали немцы во время Второй миро
вой войны Усилиями математиков, в частно-
сти, Алана Тьюринга, удалось придумать
способ дешифровки кодов «Энигмы». По
скольку немцы были уверены, что взломать
«Энигму» невозможно, то продолжали ее
использовать всю войн/. Таким образом,
математика внесла свой вклад в победу над
фашистами.

Зообше, история криптографии [так назы-
вается наука, которая занимается изучени-
ем методов шифрования и дешифровки)
очень интересна. Ведь, кроме войны и поли-
тики, эта наука сильно помогла истории.
Найденные при раскопках надписи на язы-
ках, которые до наших дней не сохранились,
представляют собой своего рода шифр. Ко-
торый тоже нужно разгадать. И сделать это
не так просто. Кому интересно, может почи-
тать о нашем соотечественнике Кнорозове,
который расшифровал рукописи народов
майя.

Вообще, считается, что если код составлен
человеком, то рано или поздно он будет раз-
гадан. Особенно с появлением компьютеров
и возможности достаточно быстро переби-
рать огромное количество вариантов. Поэто-

му основная задача, которая стоит перед
современным эффективным шифром, —

чтобы время, за которое можно его дешиф

ровать, было большим. 11астолько большим,

чтобы результат рас-
шифровки становился
неактуальным.

Предположим, что мы
с вами переписали
телефонную книгу на-
оборот — слева идут
телефоны в порядке
возрастания, а спра-
ва — ФИО абонентов
(см. рисунок).

+912297543536
+912255094041
+912269654320

+912297543536 - Любимов П.

+ 91 22.55094041 - Ефремова Е

+912269654320 - Сидооов А.
Теперь, если передавать слова по буквам,
используя первые буквы фамилий (напри-
мер, ЛЕС — Любимов, Ефремова, Сидоров —
912297543536912255094041912269654320), для
расшифровки сообщения тому, кто его
перехватит, нужно будет сначала самому
переписать телефонный справочник наобо
рот. Это трудоёмкая задача, и за то время,
пока её можно будет решить, мы успеем
поменять код.

Эта схема описывает общую идею так назы-
ваемого шифрования с открытым ключом.
Берётся задача, решение которой вы зное
те, а для остальных без вашей подсказки она
за небольшое время неразрешима. Тогда
сообщение, зашифрованное с помощью
решения этой задачи, сможет прочитать
только тот, кому вы сообщите подсказку для
ее решения. В рассмотренном примере тс
кой подсказкой был «обратный» телефон
ный справочник.

Но как выбрать такую задачу? Ведь телефон
ный справочник «перевернуть» можно бы-
стро — достаточно поручить это дело
компьютеру.

В ллстеллстике есть условное деление задач
на те, которые можно решить относительно
быстро (существует такой алгоритм), и те,
которые нельзя (доказано, что такого алго-
ритма нет). Понятно, что для шифрования
с открытым ключолл нужна задача, которую
быстро решить нельзя. И здесь пришлась как
нельзя кстати теория чисел.

Мы уже обсуждали, как разложить число на
множители: делить по очереди, начиная с сс
мого маленького простого (2, 3, 5, 7, 11...)
При этом процесс можно остановить, если
число не разделилось ни на одно простое
число, меньшее своего квадратного кор-
ня, — в этом случае оно точно простое.
То есть число 1 031 нужно было бы последа
вательно разделить на 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,
23, 29, 31 (следующее простое число — 37,
а 372=1 369>1 031). В результате за 11 шагов
мы убедимся, что число 1 031 простое. Но । ю
нятно, что время исполнения такого алгорит-
ма будет сильно зависеть от величины исход-
ного числа

Но если для того, чтобы определить, является
ли число простым, придумали алгоритм,
с помощью которого можно это делать до-
статочно быстро, даже для очень больших
чисел, то для другой задачи из теории чисел
пока такой алгоритм придуллсть не удалось.
Как и не удалось доказать, что его нет.

Предположим, что задано какое то большое
число, например 1 152 349 694 119 649 281. Из-
вестно что его можно представить в виде
произведения двух простых. Необходимо
найти эти два числа. Кажется, что задача
даже проше определения простоты числа —
известно что должно быть два простых мно
жителя... Но оказывается, что эта задача
сложная и для больших чисел даже самыми
современными компьютерами быстро не
решается (по крайней мере пока). Что бу-
дет, если выяснится, что существует алгоритм
её решения, представить сложно. Такой ал-
горитм, в случае создания, будет похож на
отмычку, которая открывает большинство су-
ществующих замков. Самыми важными во
просами будут: в чьих руках она окажется
и когда остальные узнают о том, что она есть
Но кок использовать то, что большие числа
нельзя быстро раскладывать на произведе-
ние двух простых? Представим наше сооб
щение в виде простого числа А (как имен
но — не так важно, мы рассматриваем суть
идеи) и умножим его на другое простое чис-
ло Б (ключ, который есть у того, коллу сооб
щение предназначено). Получим большое
число аБ, которое и будем передавать. Тот,
кто знает число Б, без труда поделит АБ на
Б и получит исходное сообщение А. Перед
тем, кто перехватил сообщение АБ, но не
знает ключа Б, возникает задача — предстс
вить большое число в виде произведения двух
простых. А она, как мы знаем, быстро не ре-
шается.

Конечно, лложет возникнуть вопрос — а если
кто-то начнёт подбирать простой делитель
и случайно сразу же угадает? Такая ситуа
ция теоретически возможна. Но на практи-
ке для передачи данных используются числа
с таким количеством знаков, что вероятность
угадывания ничтожно мала Когда мы гово-
рим о юм, существует или не существует
достаточно быстрый алгоритм решения, то
подразумеваем именно алгоритм — после
довательность действий, которая при любых
исходных данных приводила бы к решению
задачи за требуеллое время.

Как видим, даже такая далекая от реального
мира часть математики, как теория чисел,
находит свое применение в деятельности че
ловека.

Попробуем ответить но некоторые вопросы,
которые могли остаться у вас после прочте-
ния книги.

ПОСЛЕСЛОВИЕ

Мы рассмотрели очень ограниченный на
бор математических инструментов, которые
используются для понимания и обустройства
окружающего нас мира. И основное огра-
ничение связано с содержанием нынешней
школьной программы. К сожалению, кон-
серватизм. присущий системе образова
ния, накладывает определённый отпеча-
ток на содержательную часть большинства
предметов.

К нам на сайт 1п1егпе!игок ти приходит много
отзывов, некоторые из которых очень ин
тересные. Наприллер, один парень написал
так: «География рассказывает об устрой-
стве Земли; биология учит тому, что такое
жизнь; алгебра учит страданиям». Это ужас-
ный отзыв, но он стимулировал нас заду-
маться. Хочется оправдать математику в гла-
зах многих.

Школьная программа меняется крайне
медленно и не успевает за окружающей
действительностью. А все изл'.енения обыч
но сводятся к уплотнению материала и до
бавлению новых тем. Память ребёнка не
«резиновая», поэтому возникает естествен-
ное отторжение той информаиии, которая
кажется наиболее бесполезной и оторван-
ной от реальной жизни.

Мы считаем, что школьную программу нуж-
но актуализировать — добавлять то, что дей-
ствительно полезно и нужно современному
человеку, и убирать то, что используется толь
ко как тренировка для ума.
Если говорить про математику, то за послед
ние десятилетия сильно развились такие об
ласти, как теория вероятностей, статистика
и теория игр. Мы живём в вероятностном
мире но почти ничего не знаем о законо-
мерностях. с помошью которых его можно
описать.

О челл же стоит говорить на уроках мате
матики?

Например, вы решаете, страховать ли ма
шину от угона. От чего это зависит? Ст коли
чества угонов ллашины этой марки, стоимо
сти машины, цены страховки. Но как это все
учесть? Как найти решение?

Или, наприм.ер, у вашего домашнего пи-
томца определили некоторую болезнь. Ска
зали, что точность анализа 1:1 000, то есть
ошибке может быть в 1 результате анализа
из 1 ССО. Какова вероятность, что питомец
действительно болен? Можно ли ответить на
этот вопрос? Оказывается, ответ будет зави-
сеть от того, насколько редка эта болезнь

А есть ли рациональное объяснение тому, по-
чему так трудно договориться, как поддержи-
вать чистоту в подъезде? Или как сделать так,
чтобы в классе было тихо, когда учителя нет?
И как все это связано с гонкой вооружений?

Почему в разных странах разные способы
определения победителей на выборах?
И почему не бывает идеально честной си
стемы выборов?

Мы записали курс видеоуроков на эти и дру-
гие темы: Ы1р5://Ноте-5сНоо1.1п1егпе1игок гм/
Ыод/У5]е риЬпксс1|/о5поуу гас1ог| 11подо
роуес!егнуа
И планируем в следующей книге расска-
зать о той математике, которой пока почти
нет в школьном курсе, но, как мы надеемся,
которая скоро там появится.

На всякий случай напоминаем, что мы бу-
дем рады, если вы поделитесь с нами свои-
ми впечатлениями, пожеланиями или заме-
чаниями. которые возникли во время чтения
книги. Присылайте свои письма на элек-
тронный адрес !п(о@1п(егпе1игок.ги с помет
кой «Школьная математика для родителей»
Мы постараемся учесть полученную обрат
ную связь во время дальнейшей работы
и будем рады вместе с вами сделать книгу
ещё лучше.
СОДЕРЖАНИЕ

Введение .......................................... 5

Как читать нашу книгу ............................ 9

Глава 1. Понятие числа ........................... 13

Введение .................................... 13

Часть 1. Целые числа ..... ....... ............ 14

1. Что такое число? ......................... 14

2. Почему мы так записываем числа? .......... 16

3. Для чего ещё мы используем числа? ........ 20

4. Есть ли в природе отрицательные числа? ... 22

Часть 2. Дробные числа ......................... 27

1. Зачем нужны дроби? .................. 27

2. Как нарисовать похожие предметы? ......... 33

3. Бывают ли стандартные дроби? ............ 39

4. Почему проценты — это просто сотые доли? .... 44

5. Есть ли «своё» множество у дробей? ....... 48

Часть 3. Другие числа .......................... 51

1. Будут ли полезным инструментом
нерациональные числа? ....................... 51

2. Как мы придумываем новые числа? ......... 55

Глава 2. Измерения. Точность и округление ........ 59

Введение .................................... 59

Часть 1. Измерения. Единицы измерения .......... 61

1. Что такое единица измерения? ............. 61

2. 2 дня пути и 100 км — это одно и то же?... 64

3. Как перевести измерения с одного языка
на другой? .................................. 67

4. Как измеряют углы?........................ 70

5. Что еще можно измерять? .................. 75

6. Как можно измерять?* (необязательный раздел) ... 79

Часть 2. Точность и округление ................. 82

1. Почему нельзя измерять абсолютно точно? .. 82

2. Почему важно правильно округлять? ........ 86

3 Почему иногда слишком точно тоже плохо? ... 90

Глава 3. Сложность и простота ................. 95

Введение .................................... 95

Часть 1. У| |рощение выражений ................ 96

1. О чём не пишут в школьных учебниках? ..... 96

2. За чем нужно следить при упрощении? ...... 99
3. Какие инструменты можно использовать
для упрощения выражений? ....................102

Часть 2. Сложность .............................106

1. Почему иногда понять проше. чем объяснить? ... 106

2. Какая бывает сложность? .................108

Глава 4. Уравнения и неравенства. Текстовые задачи .... 113

Введение ....................................113

Часть 1. Математическая модель. Решение текстовых
задач ..........................................115

1. Зачем нужны уравнения и неравенства? .....115

2. Почему полезно составлять задачи? ........117

3. Для чего используют системы уравнений
и неравенств? ...............................119

4. Как перевести условие задачи на математический
язык?........................................123

5. Что общего у разных задач и зачем их вообще
решать? .....................................п26

6. При решении каких задач лты сталкиваемся
с неравенствами? ............................129

Часть 2. Решение уравнений, неравенств
и их систем ....................................133

1. Что значить решить уравнение? ............133

2. Какие уравнения мы умеем решать? .........137

Глава 5. Функции ... .............................145

Введение ....................................145

Часть 1. Функции. Определение и свойства ...... 146

1. Что такое функция? .......................146

2. Какие существуют способы задания
функции? ....................................150

3. Какие характеристики функции лложно
исследовать? ................................155

Часть 2. Виды функций ..........................160

1. Какую функцию можно считать самой
простой? ....................................160

2. Что мы знаем о нелинейных функциях? ......166

3. Как математики гадают на кофейной гуще? .... 172

Глава 6. Тригонометрия ...........................179

Введение ....................................179

Часть 1. Тригонометрические функции ............'80

1. Зачем нужна тригонометрия? ...............180
2. Можно ли определить тригонолтетрические
функции для неострых углов? .................185

Часть 2. Обратные тригонометрические функции.

Формулы ........................................192

1. Почему обратные функции иногда
многозначны? ................................192

2. Сколько тригонометрических формул нужно
помнить?.....................................195

Глава 7. Показательная функция и логарифм ........199

Введение ....................................199

Часть 1. Показательная функция .................200

1. Как образуется лавина? ...................200

Часть 2. Логарифм ..............................205

1. Что такое логарифм? ......................205

2. Где встречается логарифм? ................208

Глава 8. Производная и интеграл ................ 213

Введение ................................ 213

Часть 1. Производная . . .......................215

1. Почему иногда важно знать изменение значений
функции? ....................................215

2. Что такое производная? ...................217

3. Для чего можно использовать производную? .220

Часть 2. Интеграл ..............................224

1. Что можно сказать о глобальных свойствах
функции? ....................................224

2. Как связаны интеграл и производная? . . 228

Глава 9. Теория вероятностей и математическая
статистика . .....................................233

Введение ....................................233

Часть 1. Теория вероятностей....................234

1. Как оценивать вероятность? ...............234

2. Как рассчитать вероятность? ..............238

3. Когда нас подводит интуиция? .............241

4. Свобода воли или предопределённость? .....243

Часть 2. Статистика ............................246

1. Почему среднее значение не всегда
информативно?.................... . ........246

2. Почему случайности становятся неслучайными? . 251

3. Как оценить необходимость страховки? .....255
Глава 10. Векторы и координаты ...................259

Введение ....................................259

Часть 1. Координаты.............................261

1. Когда нам не хватает одного числа? .......261

2. Какие бывают системы координат? ..........264

Часть 2. Векторы ...............................267

1. Что такое вектор? ........................267

Глава 11. Геометрия .................... . . 273

Введение .............................. 273

Часть 1. Геометрические обьекты ............. 274

1. Какие геометрические объекты мы считаем
базовыми? ................................. 274

2. Какие комбинации базовых объектов изучают? . . . 276

3. Какую фигуру можно считать минимальной? .... 28С

4. Какие бывают треугольники? ...............284

5. Какие ещё фигуры можно и полезно изучать? ... 291

6. Какие ещё характеристики фигур изучают? ..296

Часть 2. Связь числа и геометрии ...............299

1. Какие характеристики используются для описания
свойств фигур? ..............................299

2. Что такое ГМТ? ...........................303

Глава 12. Теория чисел* ..........................309

Введение ................................... 309

Часть 1. Простые и составные числа ........... 310

1. Зачем изучают числа? .....................310

2. Почему простые числа не такие простые? ...311

3. Как быстро понять, можно ли поделить яблоки
поровну? ................................ 316

4. Что общего может быть у разных чисел? ... 320

Часть 2. Применение теории чисел ...............326

1. Почему Пифагору было легче, чем Ферма? ...326

2. Почему иногда хорошо, что задача не имеет
решения? ....................................329

Послесловие ..................................... 33/
Издание для досуга

Лазарев Михаил Иванович

Гребенюк Юрий Валериевич

Математика

Генеральный директор издательства С. м. Макаренков

Шеф-редактор Татьяна Соловьёва
Ведущий редактор Марианна Прангишвили
Арт-ди ректор Андрей Сауков
Младший дизайнер Ольга Смирнова
Верстальщик Антон Дятлов
Корректор Ирина Иванова

Подписано в печать 26.10.2021 г

Формат 60x90/16. Гарнитура «СепЮгу ОоТР|1с». Усл. пен. л. 21,5

Заказ № У-

Адрес электронной почты: 1пТо@про1.гы
Сайт в Интернете' \лмлмпро1.гы

Издательство «РИПОЛ классик» в соцсетях:
ук.сот/про1с1аз51с

\ллллл<.Тс.сеЬоок.сот/прс1с1а551с
улллм 1пз1адгат.сот/про1с1а551с

ООО Группа Компаний «РИПОЛ классик»
109147, г. Москва ул. Большая Андроньевская, д. 23

Отпечатано с готовых файлов заказчика
в АО «Первая Образцовая типография»,
филиал «УЛЬЯНОВСКИЙ ДОМ ПЕЧАТИ».

432980. г. Ульяновск ул. Гончарова, д. 14.
К нам на сайт ш^егпейиок.ги приходит много ин-
тересных отзывов. Например: «География расска-
зывает об устройстве Земли; биология учит тому,
что такое жизнь; алгебра учит страданиям». Это
печальный отзыв, но он вдохновил нас оправдать
математику в глазах многих.

С этой целью мы и написали книгу «Школьная ма-
тематика для родителей». Ведь в других учебниках
нет главного — попытки показать, что математика
не «удивительная страна, куда мы вас поведем...»,
не некая игра со множеством правил, которые надо
запомнить, пока учишься в школе, а потом счастии-
по забыть.

Математика — это прибор, который помогает ви-
деть в окружающем мире многое из того, что без
неё не различишь. Научиться пользоваться этим
прибором может каждый. Это не сложнее езды на
велосипеде. И правил дорожного движения.

13ВМ9 78 5 386 14609 2

9 785386 146092

РИПОЛ

КЛАССИК