Текст
И. Р. Шафаревич
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
АЛГЕБРЫ
Редакция журнала
«Регулярная и хаотическая динамика»
Ижевская республиканская типография
1999
УДК 512
Библиотека «Математика»
Том 4
Первое издание: «Основные понятия алгебры», Современ-
ные проблемы математики. Фундаментальные направле-
ния. Т. 11. (Итоги науки и техники, ВИНИТИ), 1986
Научный редактор: член-корр. РАН Р. В. Гамкрелидзе
рс:г>и
Издание осуществлено при финансовой поддержке
Российского фонда фундаментальных исследований
по проекту № 00-01-14003
Шафаревич И. Р.
Основные понятия алгебры. — Ижевск: Ижевская респуб-
ликанская типография, 1999, 348 стр.
Книга представляет собой общий обзор алгебры, ее основных
понятий и разделов. Наряду с классическими разделами алгебры
изложены многие современные понятия и результаты.
Предыдущее издание, вышедшее в 1986 г. в серии ВИНИТИ
«Итоги науки и техники», давно стало библиографической ред-
костью. В новом издании внесен ряд дополнений и уточнений,
сделанных автором.
Для широкого круга специалистов, студентов, аспирантов
физико-математических специальностей.
ISBN 5-89806-022-7
Оригинал-макет подготовлен в редакции журнала
«Регулярная и хаотическая динамика»
http://www.rcd.com.ru
© Шафаревич И. Р., 1999
© Редакция журнала «Регулярная
и хаотическая динамика», 1999
Содержание
Предисловие ............................................... 7
§ 1. Что такое алгебра?.................................... 9
Идея координатизации. Примеры: словарь квантовой механики и ко-
ординатизация конечных моделей аксиом сочетания и параллельнос-
ти
§2. Поля................................................. 15
Аксиомы поля. Изоморфизм. Поле рациональных функций от незави-
симых переменных, поле рациональных функций на плоской алгеб-
раической кривой, поле рядов Лорана и формальных рядов Лорана
§ 3. Коммутативные кольца................................. 23
Аксиомы кольца. Делители нуля и целостные кольца. Поле частных.
Кольцо многочленов. Кольцо полиномиальных функций на плоской
алгебраических кривой. Кольцо степенных рядов и формальных сте-
пенных рядов. Булевы кольца. Прямые суммы колец. Кольцо непре-
рывных функций. Разложение на множители. Факториальные коль-
ца. Примеры факториальных колец
§ 4. Гомоморфизмы и идеалы ................................ 32
Гомоморфизмы, идеалы, факторкольца. Теорема о гомоморфизмах.
Гомоморфизмы ограничения в кольцах функций. Кольца главных
идеалов. Связь с факториальностью. Умножение идеалов. Характе-
ристика поля. Расширение, в котором заданный многочлен имеет
корень. Алгебраически замкнутые поля. Конечные поля. Представ-
ление элементов общих колец как функций на максимальных и прос-
тых идеалах. Целые числа как функции. Ультрапроизведение и не-
стандартный анализ. Коммутирующие дифференциальные операто-
ры
§ 5. Модули ............................................... 46
Прямые суммы и свободные модули. Тензорные произведения. Тен-
зорная, симметрическая и внешняя степень модуля, двойственный
модуль. Эквивалентность идеалов и изоморфизм модулей. Модули
дифференциальных форм и векторных полей. Семейства векторных
пространств и модули
4
Содержание
§ 6. Алгебраический аспект размерности...................... 56
Ранг модуля. Модули конечного типа. Модули конечного типа над
кольцом главных идеалов. Нётеровы модули и кольца. Нётеровы
кольца и кольца конечного типа. Случай градуированных колец. Сте-
пень трансцендентности расширения. Конечные расширения
§ 7. Алгебраический аспект инфинитезимальных понятий .... 69
Функции с точностью до бесконечно малых второго порядка и ка-
сательное пространство к многообразию. Особые точки. Векторные
поля и дифференциальные операторы первого порядка. Бесконечно
малые высших порядков. Струи и дифференциальные операторы. По-
полнения колец, р-адические числа. Нормированные поля. Нормы по-
ля рациональных чисел и рациональных функций. Поля р-адических
чисел в теории чисел
§ 8. Некоммутативные кольца................................. 84
Основные определения. Алгебры над кольцами. Кольцо эндоморфиз-
мов модуля. Групповая алгебра. Кватернионы и тела. Твисторное
расслоение. Эндоморфизмы n-мерного пространства над телом. Тен-
зорная алгебра и кольцо некоммутативных многочленов. Внешняя
алгебра. Супералгебры. Алгебра Клиффорда. Простые кольца и ал-
гебры. Левые и правые идеалы кольца эндоморфизмов векторного
пространства над телом
§ 9. Модули над некоммутативными кольцами ..................101
Модули и представления. Представления алгебр на матричном язы-
ке. Простые модули, композиционные ряды, теорема Жордана-
Гёльдера. Длина модуля и кольца. Эндоморфизмы модулей. Лемма
Шура
§ 10. Полупростые модули и кольца...........................108
Полупростота. Полупростота групповой алгебры. Модули над полу-
простым кольцом. Полупростые кольца конечной длины: теорема
Веддербёрна. Простые кольца конечной длины и основная теорема
проективной геометрии. Факторы и непрерывные геометрии. Полу-
простые алгебры конечного ранга над алгебраически замкнутым по-
лем. Применения к представлениям конечных групп
§ 11. Тела конечного ранга .................................122
Тела конечного ранга над полем вещественных чисел и конечны-
ми полями. Теорема Тзена и квазиалгебраически замкнутые поля.
Центральные тела конечного ранга над полем р-адических и полем
рациональных чисел
§ 12. Понятие группы .......................................129
Группы преобразований. Симметрии. Автоморфизмы. Симметрии
Содержание
5
динамических систем и законы сохранения. Симметрии физических
законов. Группы, регулярное действие. Подгруппы, нормальные де-
лители, факторгруппы. Порядок элемента. Группа классов идеалов.
Группа расширений модуля. Группа Брауэра. Прямое произведение
двух групп
§ 13. Примеры групп: конечные группы.........................145
Симметрические и знакопеременные группы. Группы симметрий
правильных многоугольников и правильных многогранников. Груп-
пы симметрий решеток. Кристаллографические классы. Конечные
группы, порожденные отражениями
§ 14. Примеры групп: бесконечные дискретные группы...........165
Дискретные группы преобразований. Кристаллографические груп-
пы. Дискретные группы движений плоскости Лобачевского. Моду-
лярная группа. Свободные группы. Задание групп соотношениями.
Логические проблемы. Фундаментальная группа. Группа узла. Груп-
па кос
§ 15. Примеры групп: группы Ли и алгебраические группы .... 185
Группы Ли. Торы. Их роль в теореме Лиувилля. Классические ком-
пактные группы и некоторые связи между ними. Классические
комплексные группы Ли. Некоторые другие группы Ли. Группа Ло-
ренца. Алгебраические группы. Группы аделей
§ 16. Общие результаты теории групп..........................199
Прямые произведения. Теорема Веддербёрна-Ремака-Шмидта. Ком-
позиционные ряды. Теорема Жордана-Гёльдера. Простые группы.
Разрешимые группы. Простые компактные группы Ли. Простые
комплексные группы Ли. Простые конечные группы
§ 17. Представления групп....................................210
Представления конечных групп. Соотношения ортогональности.
Представления компактных групп. Интеграл по группе. Теорема
Гельмгольца-Ли. Характеры коммутативных компактных групп и
ряды Фурье. Тензоры Вейля и Риччи в четырехмерной римановой
геометрии. Представления групп 517(2) и 50(3). Эффект Зеемана.
Представления некомпактных групп Ли. Полная приводимость пред-
ставлений конечномерных классических комплексных групп Ли
§ 18. Некоторые приложения групп.............................232
Теория Галуа. Разрешимость уравнений в радикалах. Теория Галуа
дифференциальных уравнений. Классификация неразветвленных на-
крытий и фундаментальная группа. Первая основная теорема теории
инвариантов. Представления групп и классификация элементарных
частиц
6
Содержание
§ 19. Алгебры Ли и неассоциативная алгебра.....................246
Скобка Пуассона как пример алгебры Ли. Кольца и алгебры Ли. Те-
ория Ли. Группы Ли и движения твердого тела. Числа Кэли. Ква-
зикомплексная структура на шестимерных подмногообразиях вось-
мимерного пространства. Неассоциативные вещественные тела
§ 20. Категории................................................264
Диаграммы и категории. Функторы. Функторы, возникающие в то-
пологии: пространства петель, надстройки. Группы в категории. Го-
мотопические группы
§ 21. Гомологическая алгебра...................................279
Комплексы и их гомологии. Гомологии и когомологии полиэдров. Те-
орема о неподвижной точке. Дифференциальные формы и когомоло-
гии де Рама. Теорема де Рама. Точная последовательность когомо-
логий. Когомологии модулей. Когомологии групп. Топологический
смысл когомологий дискретных групп. Пучки. Когомологии пучков.
Теоремы конечности. Теорема Римана-Роха
§ 22. А'-теория................................................302
Топологическая А'-теория. Векторные расслоения и функтор Vec(X).
Теорема периодичности и функторы Кп(Х). Группа Ki(X) и беско-
нечномерная линейная группа. Символ эллиптического дифференци-
ального оператора. Теорема об индексе. Алгебраическая А'-теория.
Группа классов проективных модулей. Группы Kg, Ki и Кп кольца.
Группа Ki поля и ее связь с группой Брауэра. А'-теория и арифме-
тика
Комментарий к литературе ........................315
Литература.......................................323
Именной указатель................................334
Предметный указатель ............................337
Предисловие
Цель настоящей работы — предложить читателю общий обзор ал-
гебры, ее основных понятий и разделов. Но какой язык для этого вы-
брать? Когда на вопрос — что изучает математика? — отвечают: «мно-
жества с заданными в них отношениями» или «структуры», то это вряд
ли можно признать ответом. Ведь среди континуума мыслимых мно-
жеств с заданными в них отношениями или структур реально привле-
кает математиков очень редкое, дискретное подмножество, и смысл
вопроса как раз и заключается в том, чтобы понять, чем же особен-
но ценна эта исчезающе-малая часть, вкрапленная в аморфную массу.
Точно так же, смысл математического понятия далеко не содержится в
его формальном определении. Не меньше (скорее больше) дает набор ос-
новных примеров (как правило, в не очень большом числе), являющих-
ся для математика одновременно и мотивировкой, и содержательным
определением, и «смыслом» понятия.
По-видимому, та же трудность возникает при попытке характери-
зовать при помощи общих свойств любое явление, хоть в какой-то сте-
пени обладающее индивидуальностью. Например, нельзя дать «опреде-
ления» немцев или французов — можно лишь рассказать об их истории
и образе жизни. Нельзя дать «определения» и конкретного человека —
можно либо привести его «паспортные данные», либо попробовать опи-
сать его наружность и характер, рассказать несколько типичных случа-
ев из его биографии. По последнему пути мы и попытаемся пойти в этой
работе — в применении к алгебре. Поэтому аксиоматически-логическое
изложение будет в нашей статье соседствовать с описательным стилем:
тщательным разбором ключевых примеров, точек соприкосновения ал-
гебры с другими разделами математики и естествознания. Разумеет-
ся, отбор материала здесь очень сильно определяется личными точка-
ми зрения и вкусами автора. В качестве читателя я представлял себе
студента-математика младших курсов или математика-неалгебраиста,
или физика-теоретика, желающего получить представление о духе ал-
гебры и ее месте в математике. В той части статьи, которая посвящена
8
Предисловие
систематическому изложению понятий и результатов алгебры, к чита-
телю предъявляются очень ограниченные требования. Предполагается
лишь, что он знаком с анализом, аналитической геометрией и линейной
алгеброй в том объеме, в котором они сейчас читаются во многих ин-
ститутах. Сложнее описать объем тех знаний, которые используются
при разборе примеров. Желательно владение понятиями проективно-
го пространства, топологического пространства, дифференцируемого и
аналитического многообразия, основами теории функций комплексно-
го переменного. Но следует иметь все время в виду, что неясности,
могущие возникнуть при разборе определенного примера, скорей всего
имеют чисто локальный характер и не помешают пониманию других
частей работы.
Статья ни в коем случае не претендует на то, чтобы научить ал-
гебре, — это лишь попытка о ней рассказать. Я попытался хоть отчас-
ти компенсировать это подробной библиографией. В предшествующем
ей комментарии читатель найдет указания на литературу, по которой
можно изучить те вопросы, о которых было рассказано в статье, а так-
же некоторые другие разделы алгебры, на изложение которых места не
хватило.
Утверждения: предложения, леммы, теоремы нумеруются в каж-
дом параграфе подряд римскими цифрами, причем название: предложе-
ние, лемма, теорема, как правило, опускается. Знаки ◄ и ► обозначают
начало и конец формулировки.
Предварительный вариант этой статьи просмотрели Ф. А. Богомо-
лов, Э. Б. Винберг, А. М. Волконский, Р. В. Гамкрелидзе, С. П. Демушкин,
D. Zagier, А. И. Кострикин, Ю. И. Манин, В. В. Никулин, А. Н. Паршин,
М. К. Поливанов, В. Л. Попов, А. В. Ройтер, М. Reid, А. Н. Тюрин. Сделан-
ные ими замечания и предложения мною с благодарностью учтены.
Я очень благодарен Н. И. Шафаревич за громадную помощь при
оформлении рукописи и многие ценные указания.
Автор
§ 1. Что такое алгебра?
Что такое алгебра? — Является ли она областью математики, ме-
тодом или психологической установкой? На такие вопросы, конечно,
не может быть дано ни однозначного, ни короткого ответа. Место, за-
нимаемое алгеброй в математике, можно попытаться описать, обратив
внимание на процесс, который Герман Вейль назвал трудно произно-
симым именем «координатизация». Человек может ориентироваться во
внешнем мире, опираясь исключительно на свои органы чувств, на зре-
ние, осязание, на опыт манипулирования предметами внешнего мира и
на возникающую отсюда интуицию. Однако возможен и другой под-
ход: путем измерения субъективные ощущения превращаются в объек-
тивные знаки — числа, которые способны сохраняться неограниченно
долго, передаваться другим лицам, не воспринимавшим тех же ощу-
щений, а главное — с которыми можно оперировать и таким образом
получать новую информацию о предметах, бывших объектом измере-
ния. Эти две тенденции и отражаются: одна — в геометрии, другая —
в алгебре. При этом алгебра играет приблизительно ту же роль, что
и язык или письменность в контакте человека с внешним миром. Обе
тенденции тесно связаны — алгебро-геометрический дуализм занимает
существенное место в этой книге. Обе обладают сильной эстетической
компонентой. При сопоставлении с искусством геометрию можно срав-
нить с живописью, алгебру — с музыкой.
Древнейшим примером являются пересчет (координатизация) и
счет (оперирование), дающие возможность делать заключения о чис-
ле предметов, не перебирая их. Из попыток «измерить» или «выразить
числом» различные объекты возникли, вслед за целыми, дробные и от-
рицательные числа. Стремление выразить числом диагональ квадрата
со стороной 1 привело к известному кризису в раннеантичной матема-
тике и построению иррациональных чисел.
Измерение задает вещественными числами точки прямой и, го-
раздо шире, выражает числами многие физические величины. Гали-
лею принадлежит самая крайняя формулировка идеи координатизации
10
Шафаревич И. Р.
в его эпоху: «Измерить все, что измеримо, и сделать измеримым все,
что таковым еще не является». Успех этой идеи, начиная именно со
времени, когда жил Галилей, был блистателен. Создание аналитической
геометрии дало возможность задавать точки плоскости парами, а точ-
ки пространства — тройками чисел и путем оперирования с числами
открывать все новые геометрические факты. Однако успех аналитичес-
кой геометрии основывается, главным образом, на том, что она «сво-
дит» к числам не только точки, но и кривые, и поверхности, и т. д.
Например, кривая на плоскости задается уравнением F(x, у) = 0. Если
это прямая, то F — многочлен 1-й степени и задается своими тремя
коэффициентами: при х, при у и свободным членом. В случае кони-
ческого сечения мы имеем кривую второго порядка, которая задается
своими шестью коэффициентами. Если F — многочлен степени п, то
(п + 1)(п + 2)
он имеет, как легко видеть, ----------- коэффициентов, которыми
соответствующая кривая задается так же, как точка — координатами.
Чтобы выразить числом корни уравнения, были введены комплекс-
ные числа и тем сделан шаг в совершенно новую область математики,
включающую эллиптические функции и римановы поверхности.
Долгое время могло казаться, что путь, намеченный Галилеем, сво-
дится к измерению «всего» при помощи известного, необсуждаемого за-
паса чисел, и проблема заключается лишь в том, чтобы создавать все
более тонкие методы такого измерения — вроде метода координат или
новых физических приборов. Правда, иногда тех чисел, которые счи-
тались известными (или просто, считались числами), оказывалось не-
достаточно: тогда возникал «кризис», преодолевавшийся расширением
понятия числа, созданием нового вида чисел, которые вскоре опять вос-
принимались как единственно возможные. Во всяком случае, в каждый
данный момент понятие числа, как правило, считалось вполне ясным
и развитие шло лишь в направлении его расширения: 1 и 2 (а потом
«много») => натуральные числа => целые => рациональные => вещест-
венные => комплексные. Но, например, матрицы представляют собой
совершенно самостоятельный мир «числоподобных» объектов, никак не
укладывающийся в эту последовательность. Одновременно с ними воз-
никли кватернионы, потом другие «гиперкомплексные системы» (те-
перь называемые алгебрами). «Бесконечно малые преобразования» при-
вели к дифференциальным операторам, для которых естественной ока-
залась операция совсем нового типа: «скобка Пуассона». В алгебре воз-
§1. Что такое алгебра?
11
никли конечные поля, в теории чисел — р-адические числа. Постепенно
стало очевидным, что попытка найти единое, всеобъемлющее понятие
числа абсолютно безнадежна. В такой ситуации прокламированный Га-
лилеем принцип можно было обвинить в нетерпимости. Ведь требова-
ние «сделать измеримым все, что таковым еще не является», явно дис-
криминирует то, что упорно не хочет становиться измеримым, вытес-
няет его из сферы интересов науки, а может быть, и разума (становится
«secunda causa» в терминологии Галилея). Даже если полемический тер-
мин «все» скромно ограничить объектами физики и математики, то и
среди них все больше появлялось таких, которые «измерить» при помо-
щи «обычных» чисел было невозможно.
Принцип координатизации все же можно было сохранить, допус-
тив, что множество «числоподобных объектов», при помощи которых
осуществляется координатизация, столь же многообразно, как и мир
физических и математических объектов, которые ими координатизи-
руются. Объекты, служащие «координатами», должны удовлетворять
лишь некоторым условиям очень общего характера.
Они должны быть индивидуализируемы. Например, в то время как
все точки прямой обладают одинаковыми свойствами (прямая однород-
на) и точку можно фиксировать, лишь указав на нее пальцем, — числа
все индивидуальны: 3, 7/2, д/2, тг, ... (тот же принцип применяет-
ся, когда новорожденным щенкам, не различимым для хозяина, при-
вязывают на шею разноцветные ленточки, чтобы отличить их друг от
ДРУга).
Они должны быть достаточно абстрактны, отражать свойства, об-
щие широкому кругу явлений.
Некоторые фундаментальные черты изучаемых ситуаций должны
отражаться в операциях, которые можно производить над координати-
зирующими их объектами: сложении, умножении, сравнении по вели-
чине, дифференцировании, составлении скобки Пуассона и т. д.
Мы можем теперь сформулировать наш тезис подробнее.
◄ Любые объекты, являющиеся предметом математического ис-
следования, — кривые и поверхности, отображения, симметрии, крис-
таллы, квантово-механические величины и т. д. — могут быть «коор-
динатизированы» или «измерены». Однако для такой координатизации
«обычных» чисел далеко не достаточно.
Наоборот, сталкиваясь с новым типом объектов, мы вынуждены
конструировать (или открывать) и новые типы координатизирующих
12
Шафаревич И. Р.
их «величин». Построение и исследование возникающих таким образом
«величин» — этим и характеризуется (конечно, очень приближенно)
место алгебры в математике. ►
С этой точки зрения, развитие любого раздела алгебры состоит
из двух этапов. Первый из них — рождение нового типа алгебраичес-
ких объектов из некоторой проблемы координатизации; второй — их
дальнейшая жизнь, т. е. систематическое развитие теории этого класса
объектов, иногда тесно связанное, а иногда почти и не связанное с той
областью, в связи с которой объекты возникли. В дальнейшем мы по-
пытаемся не упускать из виду оба этапа. Но так как алгебраические
трактаты часто посвящены исключительно второму этапу, для сохра-
нения равновесия мы будем несколько больше внимание обращать на
первый.
Закончим параграф двумя примерами координатизации, несколько
менее стандартными, чем уже рассматривавшиеся нами.
Пример 1. Словарь квантовой механики, указывающий математи-
ческие объекты, которыми «координатизируются» основные физичес-
кие понятия:
Физическое понятие Математическое понятие
Состояние физической системы Прямая р в бесконечномерном комплексном гильбертовом про- странстве
Скалярная физическая величина Самосопряженный оператор
Одновременно измеримые вели- чины Коммутирующие операторы
Величина, имеющая точное значе- ние А в состоянии р Оператор, для которого р — собст- венный вектор с собственным зна- чением А
Множество значений величины, которое можно получить путем измерения Спектр оператора
Вероятность перехода из состоя- ния р в состояние ч[> К^з, ф)\, где |^| = [ф\ = 1
Пример 2. Конечные интерпретации системы аксиом соединения
и параллельности. Начнем с небольшого отступления. При аксиомати-
§1. Что такое алгебра?
13
ческом построении геометрии (для конкретности будем сейчас гово-
рить только о планиметрии) часто рассматривают не всю совокупность
аксиом, а лишь ее часть. Тогда возникает вопрос о возможных реали-
зациях выбранной группы аксиом: существуют ли, кроме «обычной»
планиметрии, другие системы объектов, для которых аксиомы этой
группы выполняются? Обратим сейчас внимание на очень естествен-
ную группу аксиом «соединения и параллельности»:
а) через любые две различные точки проходит одна и только одна
прямая;
б) для каждой прямой и не принадлежащей ей точки существует
одна и только одна прямая, проходящая через эту точку и не пересека-
ющая этой прямой (т. е. параллельная ей);
в) существуют три точки, не лежащие на одной прямой.
Рис. 1
Рис. 2
Оказывается, что эта группа аксиом допускает много реализаций и
среди них и такие, которые, в резком противоречии с нашей интуицией,
имеют лишь конечное число точек и прямых. Две такие реализации
изображены соответственно на рис. 1 и 2. В реализации, изображенной
на рис. 1, мы имеем 4 точки: А, В, С, D и Q прямых: АВ, DC; AD,
ВС; AC, BD. В реализации на рис. 2 имеется 9 точек, А, В, С, D,
Е, F, G, Н, I и 12 прямых: ABC, DEF, GHI; ADG, ВЕН, CFI;
AEI, BFG, DHC; CEG, BDI, AHF. Читатель может легко проверить,
что выполняются аксиомы а), б) и в) (в нашем перечне прямых мы
разделили точкой с запятой семейства параллельных прямых).
Возвращаясь к нашей основной теме, попытаемся «координатизи-
ровать» построенные реализации аксиом а), б) и в). Для первой из них
14
Шафаревич И. Р.
+ ч н
ч н ч н н ч
Рис. 3
X ч н
ч ч ч
Н Ч Н
Рис. 4
применим следующую конструкцию: обозначим через Ч и Н свойства
целого числа быть четным или нечетным и определим действия сложе-
ния и умножения над символами Ч и Н по аналогии с тем, как ведут
себя соответствующие свойства при сложении и умножении. Например,
так как сумма четного и нечетного числа нечетна, положим Ч + Н = Н
и т. д. Результаты можно выразить в «таблицах сложения и умноже-
ния», изображенных на рис. 3 и 4. Пара величин Ч и Н с определенными
так действиями будет служить нам для координатизации «геометрии»
на рис. 1. Для этого зададим точки координатами (X, У):
А - (Ч, Ч), В - (Ч, Н), С - (Н, Ч), D - (Н, Н).
Легко проверить, что прямые определяются при этом линейными урав-
нениями:
АВ : НХ = Ч; CD : НХ = Н; AD : НХ + НУ = Ч;
ВС : НХ + НУ = Н; АС : НУ = Ч; BD : НУ = Н,
притом это единственные непротиворечивые линейные уравнения, ко-
торые можно образовать при помощи двух величин Ч и Н.
Конструкция для геометрии на рис. 2 аналогична, но несколько
сложнее. Разделим целые числа на 3 множества: U — делящиеся
на 3, У — при делении на 3 дающие остаток 1 и W — при делении
на 3 дающие остаток 2. Действия над символами U, V и W определим
аналогично первому примеру: например, так как сумма числа, принад-
лежащего V, и числа, принадлежащего W, всегда принадлежит U, то
положим V + W = U, а так как произведение двух чисел, принадлежа-
щих W, всегда принадлежит V, положим W • W = V. Читатель легко
§ 2. Поля
15
напишет соответствующие «таблицы сложения и умножения». Теперь
легко проверить, что геометрия на рис. 2 координатизируется нашими
величинами так:
А : (U, U), В : (U, V), С : (U, Ж), D : (V, U), Е : (V, V),
F : (V, Ж), G : (Ж, U), Н : (Ж, V), I: (Ж, Ж).
При этом прямые опять задаются всеми линейными уравнениями,
которые можно написать, пользуясь нашими тремя символами. На-
пример, прямая AFH задается уравнением VX + VY = U, а пря-
мая DCH — уравнением VX + WY = V. Таким образом, для коор-
динатизации «конечных геометрий» мы построили «конечные числовые
системы». Мы еще вернемся к обсуждению этих конструкций.
Уже эти немногие примеры дают первое представление, какими
могут быть объекты, используемые при том или ином варианте «коор-
динатизации». Во-первых, их запас должен быть строго очерчен. Ины-
ми словами, должно быть указано некоторое множество (или, может
быть, несколько множеств), элементами которого могут быть эти объ-
екты. Во-вторых, мы должны иметь возможность с ними оперировать,
т. е. должны быть определены операции, которые по одному или не-
скольким элементам множества или множеств дают возможность стро-
ить новые элементы. Пока мы больше ничем не ограничиваем приро-
ду используемых множеств. Точно так же и операция может быть со-
вершенно произвольным правилом, по которому некоторому набору из
к элементов сопоставляется новый элемент. Однако обычно эти опера-
ции будут все же сохранять некоторое сходство с действиями над чис-
лами. В частности, в ситуациях, о которых мы будем говорить, к = 1
или 2. Основными примерами операций, с которыми следует сравни-
вать все дальнейшие конструкции, будут: сопоставление любому чис-
лу а противоположного —а, сопоставление любому числу b 0 обрат-
ного Ь-1 (к = 1), сопоставление двум числам а и b их суммы а + b или
их произведения ab (к = 2).
§ 2. Поля
Мы начнем с описания одного типа таких «множеств с операциями»,
ближе всего соответствующего числовой интуиции.
16
Шафаревич И. Р.
Полем называется множество К, в котором определены две опера-
ции, каждая из которых сопоставляет двум элементам множества К
третий элемент. Эти операции называются сложением и умножением,
а результат их применения к элементам а и b обозначается через а + b
и ab. Операции должны удовлетворять следующим условиям:
Сложение:
Коммутативность: а + b = Ь + а.
Ассоциативность: а + (Ь + с) = (а + Ь) + с.
Существование нуля: существует такой элемент 0, что а + 0 = а
для любого элемента а. (Можно показать, что такой элемент единст-
венный.)
Существование противоположного: для любого элемента а сущест-
вует такой элемент (—а), что а+ (—а) = 0. (Можно доказать, что такой
элемент единственный.)
Умножение:
Коммутативность: ab = Ъа.
Ассоциативность: (ab)c = а(Ъс).
Существование единицы: существует такой элемент 1, что al = а
для всякого элемента а. (Можно доказать, что такой элемент единст-
венный.)
Существование обратного: для любого элемента а 0 существует
такой элемент а-1, что аа-1 = 1. (Можно показать, что для заданного
элемента а такой элемент единственный.)
Сложение и умножение:
Дистрибутивность: а(Ь + с) = ab + ас.
Наконец, предполагается, что поле не исчерпывается элементом 0,
или, что то же самое 0^1.
Совокупность этих условий мы будем называть аксиомами поля.
Привычные тождества алгебры, вроде
(а + Ь)2 = а2 + 2аЬ + Ь2,
или
а 1 — (а + 1) 1=а 1(а+1) 1,
следуют из аксиом поля. Надо только иметь в виду, что па, где п 0 —
целое число, обозначает а+а+.. . + а (п раз), а не произведение числа п
(которое может в поле не содержаться) на элемент а.
§ 2. Поля
17
Именно над произвольным полем (т. е. предполагая, что все встре-
чающиеся в рассуждениях координаты, коэффициенты и т. д. принад-
лежат этому полю) естественно строить те разделы линейной алгебры
и аналитической геометрии, в которых не идет речь о длине, алгебру
многочленов и рациональных дробей, и т. д.
Основными примерами полей являются поле рациональных чисел,
обозначаемое Q, поле вещественных чисел К и поле комплексных чи-
сел С.
Если элементы поля К содержатся среди элементов поля L и дей-
ствия в них определены согласованно, то К называется подполем по-
ля L, а поле L — расширением К. В этом случае пишут К С L. Напри-
мер, Q С К С С.
Пример 1. В §1, в связи с «геометрией», изображенной на рис. 1,
мы определили в множестве, состоящем из элементов Ч и Н, дейст-
вия сложения и умножения. Легко проверить, что это — поле. Нулем
в нем является Ч, а единицей — Н. Переобозначив теперь Ч через О,
а Н — через 1, мы увидим, что «таблица умножения» на рис. 4 совпадает
с правилами умножения чисел 0 и 1 в Q, а «таблица сложения» на рис. 3
отличается тем, что 1 + 1 = 0. Построенное поле, состоящее только из
элементов 0 и 1, обозначается Ег- Аналогично, элементы U, V и W,
которые мы рассматривали в связи с геометрией на рис. 2, тоже обра-
зуют поле. В нем U = 0, V = 1, W = —1. Мы получаем примеры полей
из конечного числа элементов (из 2-х и из 3-х). Поля из конечного чис-
ла элементов (конечные поля) — очень интересный и имеющий много
приложений объект. Конечное поле можно задать, выписав таблицу сло-
жения и таблицу умножения его элементов, как мы делали на рис. 3 и 4.
В § 1 мы встретились с ними в связи с вопросом о реализации некото-
рой группы аксиом геометрии в конечном множестве объектов. Но они
возникают не менее естественно и в алгебре как реализации аксиом
поля в конечном множестве объектов. Поле, состоящее из q элементов,
обозначается FQ.
Пример 2. Алгебраическое выражение, которое можно получить
при помощи операций сложения, умножения и деления из неизвестной х
и произвольных элементов поля К, может быть записано в виде
а0 + aix + ... + апхп , .
Ьо 4" bix + ... + bmxm
18
Шафаревич И. Р.
где a,i, Ь{ £ К и не все Ь, = 0. Такие выражения называются рациональ-
ными дробями или рациональными функциями от х. Мы можем смот-
реть на них сейчас как на функции, которые любому х из поля К или
из поля £. содержащего К, сопоставляют указанное выражение, если
только знаменатель не обращается в нуль. Все рациональные функции
образуют поле, называемое полем рациональных функций. Оно обозна-
чается К(х). Некоторые трудности, связанные с этим определением,
мы обсудим в § 3. Элементы поля К содержатся среди рациональных
функций как «постоянные» функции, так что К(х) является расшире-
нием К.
Аналогично определяется поле рациональных функций К(х, у) от
двух переменных и от любого их числа.
Изоморфизмом полей К' и К” называется такое взаимно однознач-
ное соответствие между их элементами а' > а", что из а' > а"
и Ъ' > Ъ" следует а' + Ъ' > а" + Ъ" и а'Ъ' > а"Ь". Поля, меж-
ду которыми существует изоморфизм, называются изоморфными. Если
изоморфные поля L' и L" являются расширениями одного и того же
поля К и изоморфизм между ними сопоставляет каждому элементу
поля К тот же самый элемент, то он называется изоморфизмом над К,
а поля L' и L" — изоморфными над К. Изоморфизм полей К' и К"
обозначается знаком К' ~ К”.
Если поля L' и L" конечны, то их изоморфность означает, что
их «таблицы сложения и умножения» одинаковы — отличаются лишь
обозначениями элементов полей L' и L”. Аналогичный смысл имеет
понятие изоморфизма и для произвольных полей. Например, если на
некоторой прямой а отметить точку О и «единичный отрезок» ОЕ,
то над направленными отрезками (или векторами), расположенными
на этой прямой, можно геометрическим путем определить операции
сложения и умножения. Их определения содержатся в рис. 5 и 6. На
§ 2. Поля
19
рис. 5, b — произвольная прямая, параллельная a, U — ее произвольная
точка, OU || AV и VC || UB; ОС = ОА + ОВ. На рис. 6, b — произ-
вольная прямая, содержащая О, EU || BV и VC || UA-, ОС = ОА-ОВ.
При таком определении действий отрезки прямой образуют по-
ле Р — проверка всех аксиом представляет собой цепь нетривиаль-
ных геометрических задач. Сопоставляя каждому отрезку веществен-
ное число, например, бесконечную десятичную дробь (это опять про-
цесс измерения!), мы получаем изоморфизм поля Р с полем веществен-
ных чисел К.
Пример 3. Вернемся к кривой на плоскости, заданной уравнени-
ем F(x, у) = 0, где F — многочлен. Саму кривую обозначим через С.
Сопоставление кривой С набора коэффициентов многочлена F — это
очень примитивный способ «координатизации». Мы опишем сейчас дру-
гой, гораздо более тонкий и эффективный способ.
Нетрудно доказать, что любой отличный от постоянного много-
член F(x, у) может быть разложен в произведение нескольких непо-
стоянных многочленов, каждый из которых уже дальше так не раз-
лагается. Если F = Fi F2 ... Fj. — такое разложение, то наша кри-
вая с уравнением F = 0 есть объединение к кривых с уравнения-
ми Fi = О, F2 = 0, ... , F/s = 0 соответственно. Многочлен, не разлага-
ющийся в произведение непостоянных множителей, называется непри-
водимым. Дальше мы будем считать многочлен F неприводимым.
Рассмотрим произвольную рациональную функцию (р(х, у) от двух
переменных. Она представляется в виде отношения двух многочленов:
, ч Р(х, у) , ч
у) = тт;---г, (2)
Q(x, у)
и мы предположим, что знаменатель Q не делится на многочлен F. Рас-
смотрим эту функцию только на точках кривой С. Она не будет опре-
делена в тех точках (ж, у), где одновременно Q(x, у) = 0, F(x, у) = 0.
Можно доказать, что в силу сделанных нами допущений таких точек
будет только конечное число. Чтобы дальнейшее изложение было содер-
жательным, мы предположим, что кривая С имеет бесконечное число
точек (т. е. исключим кривые вида х2 + у2 = —1, я?4 +у4 = 0 и т. д. Если
рассматривать и точки с комплексными координатами, такие оговор-
ки не нужны). Тогда функция <£(x, у) определит на множестве точке
20
Шафаревич И. Р.
не делится на F(x, у), а тогда функция ср 1 = 0-
кривой С (мы будем говорить короче: на кривой С) функцию, не опре-
деленную, быть может, в конечном числе точек — подобно тому, как
рациональная функция от одной переменной (1) не определена при ко-
нечном числе значений х, обращающих в 0 знаменатель выражения (1).
Получаемые таким образом функции называются рациональными функ-
циями на кривой С. Можно доказать, что все рациональные функции на
кривой С определяют поле (например, можно доказать, что функция ср
определяет на кривой С отличную от 0 функцию, только если Р(ж, у)
х, у)
------------------------------------------------- удовлетворяет
X, у)
тому же условию, которое мы накладывали на функцию ср, — знаме-
натель не делится на F — это доказывает существование обратного
элемента). Поле рациональных функций на кривой С обозначается К(С).
Оно является расширением поля вещественных чисел К. Рассматривая
точки с координатами из произвольного поля К, легко заменить в этой
конструкции К на К.
Сопоставление кривой С поля К (С) является гораздо более тон-
ким способом «координатизации» этой кривой, чем сопоставление ей
коэффициентов ее уравнения. Прежде всего, при переходе от системы
координат (ж, у) к другой системе координат (ж', у') уравнение кри-
вой меняется, а поле К (С) заменяется, как легко видеть, изоморфным.
Что еще важно, изоморфизм полей К (С) и К (С) над К устанавливает
важные связи между кривыми С и С.
Пусть, в качестве первого примера, С — это ось ж. Так как ее
уравнение есть у = 0, то, ограничивая функцию ср на С, мы должны
положить в (2) у = 0, и получаем рациональную функцию от ж:
ср{х, 0) =
Р(х, 0)
<2(ж, о)’
Таким образом, в этом случае поле К (С) изоморфно полю рацио-
нальных функций К(х). Очевидно, так же обстоит дело, когда С —
произвольная прямая.
Перейдем к случаю, когда С — кривая второго порядка. Докажем,
что и в этом случае поле К (С) изоморфно полю рациональных функ-
ций от одной переменной K(t). Для этого выберем на кривой С произ-
вольную точку (жо, уо) и возьмем за t угловой коэффициент прямой,
соединяющей ее с точкой (ж, у) с переменными координатами (рис. 7).
§ 2. Поля
21
Рис. 7
Иными словами, положим t = _ ^° (как функцию на С). Дока-
жем, что х и у, как функции на кривой С, являются рациональными
функциями ОТ t. Для ЭТОГО ВСПОМНИМ, ЧТО у — Уо = t(x — Xq) и, ес-
ли F(x, у) = 0 — уравнение кривой С, то на этой кривой
Г(ж, уо + t(x - ж0)) = 0. (3)
Иными словами, соотношение (3) выполнено в поле К(С). Так как С
была кривой 2-го порядка, то это квадратное уравнение для ж: a(t)x2 +
+b(t)x + c(t) = 0 (t мы относим к коэффициентам). Но мы знаем один
его корень: х = Жо (это просто отражает тот факт, что точка (жо, уо)
лежит на кривой С). А тогда второй корень находится уже из усло-
вия, что сумма корней равна — Мы получаем выражение ж = f(t)
a(t)
в виде рациональной функции t, и аналогичное выражение у = g(t),
причем, конечно, g(t)) = 0. Таким образом, если сопоставить
х <—> /(£), у <—> g(£), ‘fix, у) 4—> Vt/tt), то мы получим изо-
морфизм полей К(С) и K(t) над К.
Геометрический смысл полученного изоморфизма заключается
в том, что точки кривой С могут быть параметризованы рациональ-
ными функциями: ж = fit), у = g(t)- Если кривая С имеет уравне-
ние у2 = ах2 + Ьх + с, то на ней у = у/ах2 + Ьх + с, и другая форма полу-
ченного результата заключается в том, что как ж, так и Vах2 + &ж + с,
могут быть выражены как рациональные функции некоторой третьей
функции t. Это выражение полезно, например, при вычислении неопре-
деленных интегралов: оно показывает, что любой интеграл
У" <уз(ж, \/ах2 +bx + с) dx,
22
Шафаревич И. Р.
где р — рациональная функция, сводится подстановкой к интегралу
от рациональной функции от t и, значит, выражается через элементар-
ные функции. В анализе наши подстановки называются подстановками
Эйлера. Упомянем еще два приложения.
а) Поле тригонометрических функций определяется как поле всех
рациональных функций от sin р и cos р. Так как sin2 р + cos2 р = 1, то
это поле изоморфно R(C'), где С — окружность с уравнением ж2+у2 = 1.
Мы знаем, что поле Ж(С') изоморфно R(t). Это объясняет, почему каж-
дое тригонометрическое уравнение можно свести к алгебраическому.
б) В случае окружности ж2 + у2 = 1, если мы положим х$ = О,
уо = —1, наши выкладки дадут формулы
Древней задачей теории чисел является вопрос о нахождении целых
чисел а, Ь, с, для которых а2 + Ь2 = с2. Положив “ = х, | = у, t =
и приведя формулы (4) к общему знаменателю, мы получим известные
выражения
а = 2pq, b=q2—p2, c = q2+p2.
Уже для кривой С с уравнением у2 = х3 + 1 поле К (С) не изоморфно
полю рациональных функций. Это тесно связано с тем, что эллиптичес-
С г!т
кий интеграл, например / , не выражается через элементарные
J у/х3 + 1
функции.
Конечно, поле К(С) играет большую роль и при исследовании дру-
гих кривых. Его можно определить также и для поверхностей, задан-
ных уравнением F(x, у, z) = 0, где F — многочлен, а если рассмат-
ривать пространства большего числа измерений, то и для еще более
широкого класса геометрических объектов — алгебраических многооб-
разий, определяемых в n-мерном пространстве произвольной системой
уравнений Fi = 0, ... , Fm = 0, где F/ — многочлены от п переменных.
В заключение приведем примеры полей, встречающихся в анализе.
Пример 4. Все мероморфные функции в некоторой области плос-
кости комплексного переменного (или на произвольном комплексном
многообразии) образуют поле.
§ 3. Коммутативные кольца
23
Пример 5. Рассмотрим совокупность рядов Лорана ^2 anZn, схо-
п= — к
дящихся в кольце 0 < |z| < R, причем кольца сходимости для разных
рядов могут быть разными. При обычном определении действий над
рядами они образуют поле. Если применять те же правила вычисле-
ния коэффициентов, то можно вычислить сумму и произведение двух
рядов Лорана, хотя бы они нигде и не сходились. Так мы приходим к
полю формальных рядов Лорана. Можно пойти дальше и рассмотреть эту
конструкцию для случая, когда коэффициенты ап принадлежат произ-
вольному полю к. Получающееся поле называется полем формальных
рядов Лорана с коэффициентами из поля К и обозначается K((z)).
§ 3. Коммутативные кольца
Самый простой пример «координатизации» — пересчет приводит
(после введения нуля и отрицательных чисел) к целым числам, кото-
рые поля не образуют. Во множестве всех целых чисел (положитель-
ных, отрицательных и 0) определены операции сложения и умножения,
удовлетворяющие всем аксиомам поля, кроме одной — существования
обратного элемента а-1 для любого а 0 (например, % — уже не целое
число).
Множество, в котором заданы две операции, называемые сложе-
нием и умножением, удовлетворяющие всем аксиомам поля, кроме,
может быть, требования существования обратного элемента а-1 для
любого а 0, называется коммутативным кольцом. При этом удобно
считать коммутативным кольцом и кольцо, состоящее из одного нуля.
Аксиомы поля, из которых исключены аксиома о существовании
обратного элемента и условие 0^1, мы будем дальше называть аксио-
мами коммутативного кольца.
По аналогии с полем определяется понятие подкольца А С В, изо-
морфизма колец А' и А" и изоморфизма колец А' и А" над кольцом А,
если А' D А и А" D А. Изоморфизм колец А' и А" опять записывается
как А' ~ А".
Пример 1. Кольцо целых чисел. Оно обозначается Z. Очевид-
но, Z С Q.
Пример 2. Столь же фундаментальным примером является коль-
цо многочленов А[ж] с коэффициентами в кольце А. Ввиду его фунда-
24
Шафаревич И. Р.
ментальной роли, остановимся подробнее на определении кольца Л [ж].
Сначала охарактеризуем его некоторыми свойствами.
Коммутативное кольцо В называется кольцом многочленов над
коммутативным кольцом А, если В D А и В содержит такой элемент х,
что любой элемент из В однозначно представляется в виде
Gq Т d±X + . . . + dnXnd{ G Л,
при некотором п 0. Если В' — другое такое кольцо их' — соответ-
ствующий элемент, то соответствие
do + d±x + ... + dnxn —> do Т d±x + ... + dn{x
определяет, как легко видеть, изоморфизм колец В и В' над Л. Таким
образом, кольцо многочленов определено, в разумном смысле, однознач-
но.
Этим, однако, не решается вопрос о его существовании. В боль-
шинстве случаев достаточна «функциональная» точка зрения: надо рас-
сматривать отображения f кольца Л в себя, имеющие вид
f(c) = d0 + d1c + ... + dncn, се А. (1)
Действия над функциями определяются обычным образом: (/ + g)(c) =
= f(c) A g(c), (fg)(c) = /(c)g(c). Сопоставив элементу d e А посто-
янную функцию /(с) = а, мы можем считать Л подкольцом кольца
функций. Если обозначить через х функцию ж(с) = с, то функция (1)
запишется в виде
/ = а0 + ахж + ... + апж”. (2)
Однако в некоторых случаях (например, если число элементов кольца
конечно, а п не меньше, чем число его элементов) запись (2) может
оказаться неоднозначной. Так, в поле 1К'2 (пример 1 § 2) функции жиж2
совпадают. Поэтому мы дадим другое определение.
Можно было бы определить многочлены как «выражения» ао +
+Я1Ж + ... + dnxn, понимая здесь + и хг лишь как «типографские зна-
ки», служащие для записи последовательностей элементов а0, ... , dn
из поля К. После этого сумма и произведение задаются формулами
52акхк + 52 а'кхк = ^Sak+
к к к
§ 3. Коммутативные кольца
25
I 5 ) G/^Ж j I 5 О/Ж I — 5 СтЖ , Ст — 5 G^Gp
\ k / \ I / т k+l=m
Несколько более четко та же мысль формализуется следующим
образом. Рассмотрим совокупность бесконечных последовательнос-
тей (gq, gi, ... , а„, ...) элементов кольца А, причем в каждой последо-
вательности, начиная с некоторого места, стоят нули (это место может
быть разным у разных последовательностей). Сначала определим сло-
жение последовательностей:
(gq, G1, . • . , Gn, . . . ) Т (Gq, G| . . • . , Gn, . • . ) —
= (gq + Gq, Gi + g^, ... , an + a'n, ...).
Все аксиомы кольца, касающиеся сложения, будут выполнены. Опре-
делим теперь умножение последовательностей, пока лишь на элементы
кольца А:
g(gq, G1, • • • , Gn, • • • ) — (gGq, GG1, . . . , GGn. . . . ).
Обозначим последовательность (0, ... , 1, 0, ...), у которой k-Й элемент
равен 1, а остальные — 0, через Е^. Тогда, как легко видеть,
(gq, G1, • • • , Gn, • • • ) — 5 ) d^E^ (3)
ввиду ограничения, наложенного на последовательности (сумма справа
конечна). Теперь определим умножение:
I 57 akEk j I 57 a'i^i j = 57 aka'{Ek+i (4)
\ к / \ I / к,1
(справа надо привести подобные члены со всеми к и I, для которых
к +1 = п). Из формулы (4) следует, что Eq является единицей кольца,
а Е/. = Ек. Положив Е± = х, мы запишем последовательность (4) в ви-
де ^2<1кХк- Очевидно, такая запись единственна. Легко проверить, что
умножение (4) удовлетворяет аксиомам коммутативного кольца, так
что построенное кольцо есть кольцо многочленов Л[ж].
Кольцо многочленов А[х, у] определяется как А [ж] [у] или обобще-
нием вышеприведенной конструкции. Аналогично определяется коль-
цо A[xi, ... , хп] многочленов от любого числа переменных.
26
Шафаревич И. Р.
Пример 3. Все линейные дифференциальные операторы с посто-
янными (вещественными) коэффициентами могут быть записаны как
л л
многочлены от операторов тг—, ... , тг—. Поэтому они образуют коль-
<7.7'1 охп
Цо
Сопоставляя —----> мы получим изоморфизм
д
dxi ’
д
’ дхп
~ IR[ti, ... , tn].
Ж
Если А = К является полем, то кольцо К[х] является подколь-
цом поля рациональных функций К(х) — аналогично тому, как коль-
цо целых чисел Z является подкольцом поля рациональных чисел <Ц>.
Кольца, являющиеся подкольцами полей, обладают важным свойст-
вом: в них соотношение ab = 0 может выполняться лишь при а = О
или Ъ = 0. Действительно, из аксиом коммутативного кольца легко сле-
дует, что а • 0 = 0 для любого а. Поэтому если в поле ab = 0 и а 0,
то, умножая на а-1, получаем Ь = 0. Очевидно, это верно и для кольца,
содержащегося в поле.
Коммутативное кольцо, обладающее тем свойством, что для его
элементов а и Ь произведение ab = 0, только если а = 0 или Ъ = 0,
и в котором 0^1, называется целостным. Таким образом, ненулевое
подкольцо любого поля целостно.
◄ I. Для любого целостного кольца А существует такое поле К,
подкольцом которого является А, что любой элемент из К представля-
ется в виде аЬ~х, где а и Ь 0 — элементы из подкольца А. Такое поле
называется полем частных кольца А. Оно определяется кольцом А од-
нозначно (с точностью до изоморфизма). ► Например, полем частных
кольца Z является поле <Ц>, кольца многочленов К[х] — поле рациональ-
ных функций К(х), а кольца K[xi, ... , хп] — поле K(xi, ... , ж„). Во-
обще, поля частных дают эффективный способ для построения новых
полей.
Пример 4. Если А и В — два кольца, то прямой суммой их назы-
вается кольцо, состоящее из пар (a, b), a G A, b G В, с действиями:
(ai, bi) + (аг, ^г) = (<И + Я2, bi + 62),
27
§ 3. Коммутативные кольца
(ах, Ь1)(а2, ъ2) = (аха2, bib2).
Прямая сумма обозначается АфВ. Аналогично определяется и прямая
сумма любого числа колец.
Прямая сумма не является целостным кольцом: (а. 0)(О, Ь) = (0, 0),
а это — нулевой элемент кольца А ф В.
Важнейший тип примеров коммутативных колец, среди которых
встречаются нецелостные, дают кольца функций. Собственно, прямая
сумма А ф ... ф А п экземпляров кольца А может рассматриваться
как кольцо функций, заданных на множестве из п элементов (напри-
мер, 1, 2, ... , п) со значениями в А: элемент (ах, ... , а„) G А ф ... ф А
можно отождествить с функцией f, для которой /(г) = сц. Действия
над функциями соответствуют при этом, как обычно, действиям над
их значениями.
Рис. 8
1/2
Рис. 9
Пример 5. Совокупность непрерывных функций (для определен-
ности, вещественнозначных) на отрезке [0, 1] образует коммутативное
кольцо С при обычном определении действий над функциями. Это коль-
цо нецелостное: для функций f и g, изображенных на рис. 8 и 9, очевид-
но, fg = 0. В определении вместо вещественнозначных можно было бы
рассматривать комплекснозначные функции, а вместо отрезка — про-
извольное топологическое пространство. Такие кольца, встречающиеся
в анализе, обычно рассматриваются вместе с топологией на множестве
их элементов, или нормой, определяющей такую топологию. Например,
в нашем случае обычно рассматривается норма
11/11= Sup
28
Шафаревич И. Р.
Примеры, аналогичные изображенным на рис. 8 и 9, можно постро-
ить и в кольце бесконечно дифференцируемых функций на отрезке.
Пример 6. Кольцо функций комплексного переменного, голоморф-
ных в начале координат, является целостным, а его поле частных —
это поле рядов Лорана (пример 5 §2). Аналогично примеру 5 §2 мож-
но определить кольцо формальных степенных рядов ^2 antn с коэффи-
п=0
циентами ап из произвольного поля К. Его можно определить также
конструкцией, изложенной в примере 2, если отбросить условие, что
в последовательности (яо, ai, ... , ап, ...), начиная с некоторого мес-
та, стоят нули. Это кольцо тоже целостно, и его поле частных совпадает
с полем формальных рядов Лорана Кольцо формальных степен-
ных рядов обозначается _ЙГ[[£]].
Пример 7. Кольцо 6п функций п комплексных переменных, голо-
морфных в начале координат, т. е. представимых степенными рядами
> aii---inzi • • • zn ’
сходящимися в некоторой окрестности начала координат. Аналогич-
но примеру 6 можно определить кольца формальных степенных рядов
C[[zi, ... , ^„]] с комплексными коэффициентами и K[[zi, ... , zn]] —
с коэффициентами из любого поля К.
Пример 8. Вернемся к кривой С, заданной на плоскости урав-
нением F(x, у) = 0, где F — многочлен с коэффициентами в поле К,
которую мы рассматривали в § 2. Каждому многочлену Р(ж, у) сопоста-
вим функцию на множестве точек кривой С, определенную его огра-
ничением на эту кривую. Такие функции называются полиномиальны-
ми функциями на кривой С. Очевидно, они образуют коммутативное
кольцо, которое обозначается К[С]. Если многочлен F разлагается на
множители, то кольцо К[С] может не быть целостным. Например, ес-
ли F = ху, то кривая С — это координатный крест, функция х равна О
на оси у, функция у — на оси х, а их произведение — на всей кри-
вой С. Но если многочлен F неприводим, то кольцо К[С] — целостное.
В этом случае полем частных кольца К[С] будет поле рациональных
функций К(С) на кривой С.
Сопоставление алгебраической кривой С кольца JCfC] есть также
пример «координатизации», причем более тонкой, чем сопоставление
поля К(С), так как К[С] определяет поле К(С) (его поле частных), но
§ 3. Коммутативные кольца
29
существуют кривые С и С, для которых поля К (С) и К (С') изоморф-
ны, а кольца К[С] и К\С'\ — нет.
Разумеется, вместо алгебраической кривой, заданной уравнени-
ем F(a?, у) = 0, можно рассматривать алгебраическую поверхность
с уравнением F(x, у, z) = 0 и, вообще, алгебраическое многообразие.
Пример 9. Рассмотрим произвольное множество М и коммута-
тивное кольцо А, состоящее из всех функций на М со значениями в ко-
нечном поле F2 из двух элементов (пример 1 § 2). Таким образом, А со-
стоит из всех отображений .1/ в 'о. Так как поле F2 имеет лишь 2 эле-
мента: 0 и 1, то функция со значениями в F2 однозначно определяется
множеством U С М тех элементов, на которых она равна 1 (на осталь-
ных она равна 0). Обратно, каждое подмножество U С М определяет
функцию tpu, pu{fn) = 1, если т G U, и <ри(т) = 0, если т ^U. Легко
видеть, какие действия над подмножествами соответствуют операциям
над функциями:
‘Ри • Pv = Punv, Ри + Pv = Pu/w,
где [7AV — симметрическая разность: [7AV = ([7UV)\(t7AV). Таким
образом, наше кольцо может быть описано как состоящее из подмно-
жеств U С М с операциями симметрической разности и пересечения
в качестве суммы и произведения. Это кольцо было введено Булем для
формальной записи высказываний в логике. Так как в поле F2 ж2 = х
для любого элемента ж, то это же соотношение выполнено для любой
функции со значениями в F2, т. е. в нашем кольце. Кольцо, для каждого
элемента ж которого ж2 = ж, называется булевым.
Более общие примеры булевых колец можно построить совершенно
аналогично, беря не все подмножества, а лишь некоторую систему S
подмножеств множества М, содержащую вместе с двумя подмножес-
твами U и V также U П V и U U V и вместе с U — его дополнение.
Например, можно рассмотреть топологическое пространство, обладаю-
щее тем свойством, что любое его открытое множество замкнуто (та-
кие пространства называются нульмерными), и взять за S множество
всех его открытых подмножеств. Доказано, что на этом пути можно
получить любое булево кольцо. В следующем параграфе будет указан
принцип, на котором основывается доказательство.
При переходе от полей к произвольным коммутативным кольцам
возникает качественно новое явление — нетривиальная теория дели-
мости. Элемент а кольца А называется делящимся на элемент Ь, если
30
Шафаревич И. Р.
существует такой элемент с, что а = Ьс. Поле — это как раз такое коль-
цо, в котором теория делимости тривиальна: любой элемент делится
на любой отличный от 0, так как а = Ъ(аЬ~г). Классическим примером
теории делимости является теория делимости в кольце Z: она была по-
строена еще в античности. Основная теорема этой теории заключается
в том, что целое число однозначно разлагается в произведение простых
множителей. Доказательство этой теоремы, как известно, основывает-
ся на делении с остатком (или алгоритме Евклида).
Пусть А — произвольное целостное кольцо. Элемент а G А называ-
ется обратимым (делителем единицы), если он обладает обратным в А.
(В Z — это ±1, в 2Г[ж] — отличные от 0 «постоянные» с G К, в [[ж]] —
это ряды апхп с по 7^ 0.) На них делятся все элементы кольца. Эле-
п=()
мент а называется простым, если он может быть разложен на множи-
тели только так: а = с^^а), где с — обратимый элемент. Если любой
отличный от 0 элемент целостного кольца А может быть представлен в
виде произведения простых и это разложение единственно с точностью
до нумерации простых сомножителей и умножения их на обратимые
элементы, то А называется факториальным. Так, Z — факториально,
К[х] — тоже факториально (доказательство использует деление мно-
гочленов с остатком). Можно доказать, что если А — факториальное
кольцо, то и кольцо Д[ж] факториально. Отсюда и A[xi, ... , хп] факто-
риально. Простые элементы колец многочленов называют неприводимы-
ми многочленами. В кольце С[ж] неприводимы только линейные много-
члены, в кольце й[ж] — линейные и те квадратные, которые не имеют
вещественных корней. В кольце <Ц)[ж] существуют неприводимые мно-
гочлены любой степени — например, многочлен хп — р, где р — любое
простое число.
Важными примерами факториальных колец является кольцо 6п
функций п комплексных переменных, голоморфных в начале коорди-
нат, и кольцо 2f[[ti, ... , ira]] формальных степенных рядов (пример 7).
Доказательство основывается на подготовительной теореме
Вейерштрасса, при помощи которой вопрос сводится к функциям
(или формальным степенным рядам), являющимся многочленами от од-
ной из переменных. Потом применяется факториальность кольца A[t]
(для факториального А) и индукция.
Пример 10. Комплексные числа вида т + ni, где тип — целые
числа, образуют, как легко видеть, кольцо. Оно является факториаль-
§ 3. Коммутативные кольца
31
ным — это также доказывается при помощи деления с остатком, но
теперь при делении понижается т2 + п2. Так как в этом кольце
т2 + п2 = (т + пг)(т — пг),
то на теории делимости в нем основывается решение задачи теории
чисел о представлении целых чисел в виде суммы двух квадратов.
Пример 11. Пусть е — корень (комплексный) уравнения г2 + е+
+1 = 0. Комплексные числа вида т + пе, где тип — целые, тоже обра-
зуют кольцо и оно тоже факториально. Выражение т3 + п3 разлагается
в этом кольце на множители:
т3 + п3 = (т + п)(т + пе)(т + пе),
где Ё = — 1 — е — комплексно сопряженное число. Благодаря этому,
теория делимости в этом кольце служит основой доказательства тео-
ремы Ферма для к у б о в. Математиков XVIII века — Лагранжа
и Эйлера очень поражал тот факт, что доказательство теорем теории
чисел (т. е. теории кольца Z) основывается на привлечении других чи-
сел (элементов других колец).
Пример 12. Приведем пример нефакториального целостного коль-
ца. Это кольцо, состоящее из комплексных чисел вида т + пл/—5, где т
и п G Z. Вот пример двух разных разложений на простые множители:
З2 = (2 + л/=5)(2-/=5).
Нам надо только убедиться, что 3, 2 + ^—5 и 2 — ^—5 — простые
элементы. Для этого обозначим квадрат модуля числа а через IV(a).
Если а = п + тд/^5, то IV(a) = (п + тд/^5) х (п — т-\/—5) = п2 + 5m2
и является положительным целым числом. Кроме того, из свойств мо-
дуля следует, что N{a(3) = IV(a) N(J3). Если, например, 2Н-д/—К не прос-
то: 2 + д/^5 = а/3, то 1V(2 + V—5) = IV(a) N(J3). Но N(2 + д/—5) = 9,
и, значит, существуют только три возможности: IV(a) = N(J3) = 3,
или IV(a) = 9, V(/3) = 1, или IV(a) = 1, N((3) = 9. Первый случай не
может реализоваться, так как 3 нельзя представить в виде п2 + 5m2
при целых т и п. Во втором случае (3 = ±1, т. е. (3 обратимо а в треть-
ем а = ±1, т. е. [3 или а обратимо. Это доказывает, что число 2 + ^/—5
просто.
32
Шафаревич И. Р.
То что кольцо не является факториальным, не означает, что у не-
го нет интересной теории делимости. Наоборот, в этом случае теория
делимости и становится особенно нетривиальной. Подробнее об этом
будет сказано в следующем параграфе.
§ 4. Гомоморфизмы и идеалы
Другое принципиальное отличие произвольных коммутативных
колец от полей — это существование нетривиальных гомоморфизмов.
Гомоморфизмом кольца А в кольцо В называется такое отображение
/: А —> В, что
/(ai + а2) = /(<u) + f(a2), f(a1a2) = fM • f(a2), f(lA) = 1в
(мы обозначаем через 1А и 1д единичные элементы колец А и В). Изо-
морфизм — это гомоморфизм, имеющий обратный.
Если кольцо снабжено топологией, то интерес обычно представля-
ют лишь его непрерывные гомоморфизмы.
Типичные примеры гомоморфизмов возникают, когда кольца Аи В
реализуются как кольца функций на множествах X и Y (например, не-
прерывных, дифференцируемых, аналитических или полиномиальных
функций на алгебраической кривой С). Отображение р : Y —> X пере-
водит функцию F на X в функцию p*F на Y, определенную условием
= F(p(y)).
Если р удовлетворяет условиям, естественным в рассматриваемой тео-
рии (т. е. является непрерывным, дифференцируемым, аналитическим
отображением или задается полиномиальными формулами), то р* опре-
деляет гомоморфизм кольца А в кольцо В. Простейший частный слу-
чай — это когда р является вложением, т. е. У — подмножество мно-
жества X. Тогда р* есть просто ограничение функций, заданных на X,
на подмножество У.
Пример 1. Если С — кривая, определенная уравнением F(x, у) = О,
где F G К[х, у] — неприводимый многочлен, то ограничение на С опре-
деляет гомоморфизм К[х, у] —> К[С].
Чаще всего встречается случай, когда У — одна точка множест-
ва X : У = {жо}, жо G X; тогда речь идет о сопоставлении любой
функции ее значения.
§ 4. Гомоморфизмы и идеалы
33
Пример 2. Если xq G С, то сопоставление каждой функции из К[С]
ее значения в точке xq определяет гомоморфизм К[С] —> К.
◄ Пример 3. Если С — кольцо непрерывных функций на [0, 1]
и Xq G [0, 1], то сопоставление функции ip G С ее значения <р(хо) яв-
ляется гомоморфизмом С —> R. Если А — кольцо функций, голоморф-
ных в окрестности 0, то сопоставление функции <р G А значения 99(0)
является гомоморфизмом А —> С. ►
Интерпретация значения в точке как гомоморфизма привела к об-
щей точке зрения на теорию колец, согласно которой коммутативное
кольцо очень часто может быть интерпретировано как кольцо функций
на множестве, «точки» которого соответствуют гомоморфизмам исход-
ного кольца в поля. Исходным примером является кольцо К [С], где С —
алгебраическое многообразие, а с него геометрическая интуиция рас-
пространяется на более общие кольца. Таким образом, концепция, со-
гласно которой «всякий геометрический объект координатизируем не-
которым кольцом функций на нем», дополняется другой, согласно ко-
торой «любое кольцо координатизирует какой-то геометрический объ-
ект».
С этими двумя точками зрения — алгебраической и функциональ-
ной, — мы уже столкнулись при определении кольца многочленов в § 3.
Связь между ними будет постепенно углубляться и проясняться в даль-
нейшем.
Пример 4. Кольцо А функций, голоморфных в круге |^| < 1 и не-
прерывных при |^| 1. Все тем же способом любая точка Zq, |zq| С 1,
определяет гомоморфизм А —> С, при котором функции <р G А сопостав-
ляется ip(zo). Можно доказать, что этим исчерпываются все ненулевые
гомоморфизмы А —> С над С. Рассмотрим граничные значения функ-
ций из А: это непрерывные функции на окружности |z| = 1, для кото-
рых все коэффициенты Фурье с отрицательными индексами равны О,
т. е. разложения в ряд Фурье имеют вид с„е2’гг”*’. Так как функ-
ция f G А определяется своими граничными значениями, то А изо-
морфно кольцу непрерывных функций на окружности, имеющих ряды
Фурье указанного типа. В такой интерпретации сразу бросаются в глаза
лишь его гомоморфизмы, соответствующие точкам окружности \z\ = 1.
Таким образом, рассмотрение множества всех гомоморфизмов иногда
34
Шафаревич И. Р.
помогает восстановить то множество, на котором элементы кольца ес-
тественно рассматривать как функции.
В кольце функций, голоморфных и ограниченных при \z\ < 1, дале-
ко не все гомоморфизмы описываются точками zq, |zq| < 1. Их иссле-
дование связано с тонкими вопросами теории аналитических функций.
Для булева кольца (ср. пример 9 § 3) образ гомоморфизма : А —> F
в поле F является, как легко видеть, полем из двух элементов. Поэ-
тому, наоборот, любой элемент а G А сопоставляет гомоморфизму р>
элемент <р(а) G Рг- Такова идея доказательства основной теоремы о бу-
левых кольцах: за М берется множество всех гомоморфизмов А —> Р2,
и А интерпретируется как кольцо функций на М со значениями в Р2.
Пример 5. Пусть .Ж — компактное подмножество в простран-
стве п комплексных переменных С” и А — кольцо функций, явля-
ющихся равномерными пределами полиномов на Jtff. Гомоморфизмы
над С А —> С не исчерпываются теми, которые соответствуют точ-
кам z G JT. Они находятся во взаимно однозначном соответствии с точ-
ками так называемой полиномиально выпуклой оболочки Ж, т. е. точка-
ми z G С”, для которых
/(^)| Sup |/| для всех полиномов /.
X
Пример 6. Сопоставим целому числу символ Ч, если оно четно,
и Н — если нечетно. Мы получим гомоморфизм Z —> Р2 кольца целых
чисел в поле из 2-х элементов, таблицы сложения и умножения которого
приведены на рис.З и 4. (Собственно, действия над символами Ч и Н
так и определялись, чтобы это отображение было гомоморфизмом.)
Пусть / : А —> В — гомоморфизм коммутативных колец. Множес-
тво элементов f(a), a G А, составляет, как видно из определения гомо-
морфизма, подкольцо кольца В. Оно называется образом гомоморфиз-
ма f и обозначается через 1т/ или f(A). Множество элементов a G А,
для которых /(а) = 0, называется ядром гомоморфизма f и обозна-
чается Kerf. Если В = 1т/, то В называется гомоморфным образом
кольца А.
Если Кет/ = 0, то / — изоморфизм между А и подкольцом f(A)
кольца В. Действительно, если /(а) = f(b), то из определения гомомор-
физма следует, что /(а — Ь) = 0, т. е. а — b G Кег/ = 0 и а = Ь. Таким
§ 4. Гомоморфизмы и идеалы
35
образом, f — взаимно однозначное соответствие между А и f(A) и,
значит, изоморфизм. Это обстоятельство обращает наше внимание на
ядра гомоморфизмов.
Если «1 и «2 £ Кег/, то + аг £ Kerf и, если а 6 Кег/, то
ах G Ker f для любого элемента х G А — как сразу следует из опреде-
лений.
Непустое подмножество I кольца А называется идеалом, если оно
обладает этими двумя свойствами:
из «1 £ I и «2 6 I следует, что ai + аг Е I,
и из а £ / следует, что ах Е I для любого элемента х Е А.
Таким образом, ядро любого гомоморфизма является идеалом.
Универсальный способ конструкции идеалов таков. Рассмотрим про-
извольное множество {ад} элементов кольца А и множество I тех эле-
ментов, которые представимы в виде ^ждад с некоторыми х\ Е А
(предполагается, что в каждой сумме только конечное число слагае-
мых отлично от 0). I является идеалом. Он называется идеалом, по-
рожденным множеством {ад}. Чаще всего множество {ад} конечно —
{ai, ... , ат}. В этом случае пишут I = (ai, ... , am). Идеал, порож-
денный одним элементом: I = (а), называется главным. Если а делит Ь,
то (6) С (а).
В поле К есть только два идеала — (0) и (1) = К. Действительно,
если I С К — идеал поля К, I Э а 0, то I Э aa~1b = Ь для любо-
го b Е К и, значит, I = К (это перефразировка того, что в К теория
делимости тривиальна). Отсюда следует, что любой ненулевой гомо-
морфизм поля К —> В является изоморфизмом с некоторым подполем
кольца В.
Наоборот, если в коммутативном кольце нет идеалов, отличных
от 0 и (1), и 0 1, то оно — поле. Действительно, тогда для любого
а 0 мы должны иметь (а) = А, в частности, 1 Е (а), т. е. 1 = ab при
некотором b Е А, т. е. элемент а имеет обратный.
В кольце целых чисел Z любой идеал I главный; легко видеть, что
если I (0), то I = (п), где п — наименьшее содержащееся в I поло-
жительное число. То же верно для кольца К[х]. Там идеал I = (/(ж)),
где /(ж) — многочлен наименьшей степени, содержащийся в I. В коль-
це К[х, у] идеал I, состоящий из многочленов без свободного члена, как
легко видеть, — не главный; он имеет вид (ж, у). Кольцо, в котором
всякий идеал главный, называется кольцом главных идеалов.
36
Шафаревич И. Р.
Кольцом главных идеалов является кольцо комплексных чисел ви-
да т + пг; т, п G Z (пример 10 §3) и кольцо комплексных чисел ви-
да т + пе, где е2 + е +1 = 0 (пример 11 § 3). То, что эти кольца, а также
кольца Z и К[х] являются кольцами главных идеалов, связано с их об-
щим свойством.
Пример 7. Кольцо А называется евклидовым (или кольцом с ал-
горитмом Евклида), если оно является целостным и каждому элемен-
ту кольца каким-то образом сопоставлено такое неотрицательное целое
число v(a), что для всех a, b G А (Ь 0) существуют с, d G А такие,
что а = be + d, причем p(d) < v(b), либо d = 0. Кроме того, v(a) = 0
тогда и только тогда, когда а = 0. В частности, для А = Z п(а) = |а|,
для А = 1Г[ж] |/(ж)| — это степень многочлена /(ж), если /(ж) 0,
и |0| = 0, для колец из примеров 10 и 11 в § 3, п(а) = |а|2. Всякое евкли-
дово кольцо А является кольцом главных идеалов — это доказывается
почти так же как в случае А = Z или А = 1Г[ж].
Не случайно, что кольца Z и К[х] факториальны: можно доказать,
что любое кольцо главных идеалов факториально. Но пример коль-
ца К[х, у] показывает, что факториальных колец больше, чем колец
главных идеалов. Точно так же, факториальным, но не кольцом глав-
ных идеалов, является кольцо 6п функций п > 1 комплексных пере-
менных, голоморфных в начале координат (пример 7 § 3). Исследование
идеалов в этом кольце играет важную роль при изучении локальных
аналитических многообразий, определенных в окрестности начала ко-
ординат уравнениями
Л = 0,..., fm = о (Лес).
На свойствах этих идеалов основывается представление таких многооб-
разий как объединения неприводимых, введение для них понятия раз-
мерности и т. д.
Пример 8. В кольце С функций, непрерывных на отрезке, ядро го-
моморфизма, сопоставляющего функции <р значение <^(жо), — это иде-
ал 1Х0 = {ср G С, <£(жо) = 0}. Легко доказать, что он — неглавный: функ-
ция, стремящаяся к 0 значительно медленнее заданной функции <уз(ж)
(например, -у/|у?(ж)|), не содержится в идеале (р(х')'). Аналогично дока-
зывается, что идеал 1Хо не порождается даже никаким конечным чис-
лом <pi, ... , (рт входящих в него функций.
§ 4. Гомоморфизмы и идеалы
37
Другой пример подобного типа можно получить в кольце ё ростков
бесконечно дифференцируемых на прямой функций в точке О. (По опре-
делению, две функции задают один и тот же росток в точке О, если
они совпадают в какой-то окрестности этой точки.) Идеал Мп, состо-
ящий из ростков функций, равных нулю в точке О вместе со всеми
производными порядка п, главный и равен (ж”+1), но идеал Мж
ростков функций, все производные которых в точке О равны 0 (вро-
де функции е-1/® ), как можно доказать, не порождается никакой ко-
нечной системой функций. Впрочем, убедительность этих примеров не
следует преувеличивать: используя топологию кольца С непрерывных
функций, естественнее рассматривать идеалы, топологически порож-
денные функциями ... , (рт, т.е. замыкание идеала (991, ... , <рт).
В этом, топологическом смысле, любой идеал кольца С порождается
одной функцией. Те же соображения применимы и к кольцу ё, но то-
пология в нем определяется более сложным способом и, например, тот
факт, что идеал М~с не порождается никакой конечной системой функ-
ций, несет в себе более реальную информацию.
Пусть I и J — два идеала кольца А. Идеал, порожденный множес-
твом всех произведений ij, i G I, j G J, называется произведением иде-
алов I и J и обозначается IJ. Умножение главных идеалов согласовано
с умножением элементов: если I = (a), J = (Ь), то IJ = (ab). По ана-
логии с вопросом об однозначности разложения элементов на простые
множители можно поставить вопрос о разложении идеалов кольца на
идеалы, не разложимые в произведение идеалов. Конечно, оба свойст-
ва имеют место в целостном кольце главных идеалов. Но существуют
важные типы колец, которые не факториальны, но в которых идеалы
на неразложимые множители разлагаются однозначно.
Пример 9. Рассмотрим кольцо А чисел вида т + пу/—5, m,n6Z,
которое мы приводили в качестве примера нефакториального кольца
(пример 12 §2). Разложение
З2 = (2 + л/=5)(2-л/=5), (1)
которое мы привели выше, не является (если заменить числа соответ-
ствующими главными идеалами) разложением на простые множите-
ли. Нетрудно убедиться, что (2 + V—5) = (2 + V—5, З)2, (2 — V—5) =
= (2 — д/—5, З)2, (3) = (2 + У^5, 3)(2 —3), так что (1) есть произ-
ведение (2 + ^—5, З)2(2 — д/—5, З)2, в котором только по-разному сгруп-
38
Шафаревич И. Р.
пированы множители. Возможность аналогичного разложения являет-
ся основой арифметики алгебраических чисел. В этом и историческое
объяснение термина «идеал»: простые идеалы, на которые разлагает-
ся неразложимое число (например, 3 или 2 + д/—5), рассматривались
сначала как его «идеальные простые сомножители».
Числа а = 3 и /3 = 2 Ч- -\Z—15 не имеют общего множителя, отличного
от ±1, так как они простые. Но идеал (3, 2 + д/—5) является их общим
наибольшим делителем (точнее, идеалов (3) и (2 + д/—5). Аналогично
тому как общий наибольший делитель целых чисел а и Ь представляется
в виде au + bv, идеал (3, 2 Ч- д/—5) состоит из чисел вида За + (2 + д/—5)/3,
а, (3 е А.
Понятие идеала особенно важно тем, что отмеченная нами связь
между гомоморфизмами и идеалами обратима: каждый идеал является
ядром некоторого гомоморфизма. Чтобы построить по идеалу I коль-
ца А то кольцо В, в которое этот гомоморфизм будет отображать А,
вводятся следующие определения.
Элементы ai и а2 кольца А называются сравнимыми по идеалу I
этого кольца (или по модулю этого идеала), если а± — 6 I.
Это записывается так:
<И = а2 (/)•
Если А = Z, I = (п), то мы приходим к классическому понятию срав-
нения в теории чисел: сравнимость чисел а± и «2 означает, что они дают
одинаковые остатки при делении на п.
Отношение сравнимости является отношением эквивалентности,
и кольцо А разбивается на непересекающиеся классы сравнимых друг
с другом элементов по модулю идеала I. Эти классы называются также
классами вычетов по модулю I.
Пусть Гх и Г2 — два класса вычетов по модулю идеала I. Легко
видеть, что как бы мы ни выбирали элементы а± 6 Г\ и а2 G Г2, их
сумма будет лежать в одном и том же классе вычетов Г. Этот класс
называется суммой классов вычетов Гх и Г2. Аналогично определяется
произведение классов вычетов. Совокупность всех классов вычетов по
модулю идеала I с определенными выше действиями образует, как лег-
ко проверить, коммутативное кольцо. Оно называется кольцом классов
вычетов или факторкольцом кольца А по идеалу I и обозначается A/I.
Например, если А = Z, I = (2), то имеется 2 класса вычетов:
четные числа и нечетные числа, а кольцо Z/(2) совпадает с полем F2.
§ 4. Гомоморфизмы и идеалы
39
Легко видеть, что сопоставление элементу a G А того клас-
са вычетов, к которому он принадлежит, является гомоморфизмом
/: А —> A/I, ядром которого является I. Этот гомоморфизм называется
каноническим.
Канонические гомоморфизмы колец на их факторкольца дают бо-
лее явное описание произвольных гомоморфизмов. Именно, легко про-
верить утверждение:
◄ I. Каков бы ни был гомоморфизм колец р : А —> В, коль-
цо Imp изоморфно факторкольцу Л/Kerp и изоморфизм между ними
можно выбрать так, что он будет переводить канонический гомомор-
физм ф: А —> А/Кегр в гомоморфизм р; А —> Imр. ►
Точнее говоря, этот изоморфизм <т переводит элемент ф(а) в р(а)
для любого a G А. (Надо помнить, что а(ф(а)) G ImС В, так
что <т('0(а)) и р(а) оба содержатся в В.) Чаще всего этот результат
применяется к случаю, когда Imр = В. В этом случае наше утвержде-
ние гласит:
◄ II. Теорема о гомоморфизмах. Гомоморфный образ
изоморфен факторкольцу по ядру гомоморфизма. ►
При каноническом гомоморфизме / прообраз любого идеа-
ла J С A/I является идеалом в А, содержащим I, а образ f(I') любого
идеала I', содержащего I, является идеалом в A/I. Так устанавливается
взаимно однозначное соответствие между идеалами факторкольца A/I
и идеалами кольца А, содержащими I.
В частности, как мы знаем, A/I является полем тогда и только
тогда, когда оно имеет ровно два идеала, (0) и (1), а это значит, что I
не содержится ни в каком большем идеале, отличном от А. Такой идеал
называется максимальным. Можно доказать (используя лемму Цорна
из теории множеств), что любой идеал, отличный от А, содержится
хотя бы в одном максимальном.
Рассмотрение факторколец по максимальным идеалам является
(наряду с рассмотрением полей частных) важнейшим методом кон-
струкции полей. Сейчас мы получим этим путем много новых примеров
полей.
Пример 10. Очевидно, что в кольце Z максимальными являются
идеалы (р), где р — простое число. Таким образом, Z/(p) — поле. Оно
состоит из р элементов и обозначается Fp. Раньше мы построили только
поля из 2-х и 3-х элементов — Ег и F3. Если число п не просто, то
40 Шафаревич И. Р.
кольцо Z/(n) не только не является полем, а и, как легко видеть, не
целостно.
Пример 11. Рассмотрим теперь кольцо многочленов 7Г[ж]. В нем
максимальные идеалы имеют вид (</?(я?)), где <уз(ж) — неприводимый
многочлен. В этом случае факторкольцо L = /Г[ж]/(^(я:)) является по-
лем. Обозначим через а образ переменной х при гомоморфизме
К[х\ L = К[ж]/(^(ж)).
Тавтологически 99(a) = 0, т. е. в поле L многочлен 99 имеет корень. Обо-
значим степень многочлена 92 через п. Используя деление с остатком,
можно однозначно представить любой многочлен и(х) G If [ж] в виде
и(х) = + р(ж),
где степень многочлена v меньше чем п. Отсюда следует, что любой
элемент поля L однозначно представляется в виде
Go + + ага2 + ... + dn—i(xn 1, (2)
где ао, , an-i — произвольные элементы поля К.
Если К = Ж, 9э(ж) = х2 + 1, то мы построим таким образом поле
комплексных чисел С, причем г есть образ х в Ж[ж]/(ж2 + 1), а + Ы —
образ а + Ьх.
Выше мы построили расширение L/К, в котором заданный много-
член 99(f) имеет корень. Итерируя этот процесс, можно доказать, что
у любого поля К существует расширение S/2T, в котором любой мно-
гочлен 99 G X[t] имеет корень. Поля, обладающие этим свойством, на-
зываются алгебраически замкнутыми. Например, С — алгебраически
замкнутое поле.
Пусть К — поле из р элементов. Если 99 — неприводимый в этом
поле многочлен степени п, то запись (2) показывает, что поле L состоит
из рп элементов. Исходя из этих соображений, доказываются следую-
щие результаты, в совокупности описывающие все конечные поля.
◄ 1. Число элементов конечного поля имеет вид рп.
2. Для каждых р и п существует поле, состоящее из рп элементов.
3. Конечные поля, имеющие одинаковое число элементов, изо-
морфны. ►
§ 4. Гомоморфизмы и идеалы
41
Конечные поля имеют очень много применений. Одно из них свя-
занное именно с их финитностью, относится к теории кодов исправ-
ляющих ошибки. Код, по определению, состоит из конечного множест-
ва Е («алфавита») и подмножества U в множестве Еп всевозможных
последовательностей (ах, , аи), щ G Е. Это подмножество надо вы-
брать так, чтобы любые две входящие в него последовательности раз-
личались в достаточно большом числе мест. Тогда, передавая «сообще-
ния» (их, ... , ип) С U, мы можем, даже если в них будет искажено
небольшое число знаков, восстановить исходное сообщение. Богатый
материал для подобного выбора получается, если брать за Е некото-
рое конечное поле Fg, а за U — линейное подпространство в векторном
пространстве Fg. Более того, наибольшего успеха удалось добиться, вы-
бирая в качестве F” и U конечномерные подпространства в поле Fg(i),
или даже в поле Fg(C), где С — алгебраическая кривая, и определяя
выбор этих подпространств некоторыми геометрическими условиями
(вроде рассмотрения функций, имеющих заданные нули и полюса). Так
теория кодов оказалась связанной с очень тонкими вопросами алгебра-
ической геометрии над конечным полем.
Уже рассмотрение простейшего кольца Z/(n) приводит к интерес-
ным выводам. Пусть К — произвольное поле и 1 — его единичный
элемент. Рассмотрим отображение / кольца Z в К:
/(«) = п • 1
(это значит, что f(n) = 1 + ... + 1 (п раз), если п > 0, —(1 + ... + 1)
(—п раз), если п < 0, и 0, если п = 0). Легко убедиться что / —
гомоморфизм. Возможны два случая: а) Кег/ = 0 и б) Кег/ 0.
В первом случае /(Z) — подкольцо поля К, изоморфное Z. Так
как К — поле, то в нем должны содержаться и отношения элементов
этого кольца, которые, как легко видеть, образуют подполе Kq поля К.
Из единственности поля частных следует, что Ко изоморфно полю Q,
т. е. К содержит подполе, изоморфное Q.
В случае б) пусть Кег/ = (п). Очевидно, п должно быть простым
числом, так как иначе /(Z) = Z/(n) не было бы целостным. Но тог-
да /(Z) = Z/(p) = Fp — поле из р элементов.
Таким образом, мы видим, что любое поле содержит или поле ра-
циональных чисел Q, или поле из некоторого простого числа элемен-
тов Fp. Эти поля называются простыми, а любое поле является рас-
ширением одного из них. Если поле К содержит поле из р элементов,
42
Шафаревич И. Р.
то рх = 0 для любого х Е К. В этом случае р называется характе-
ристикой поля К, и говорят, что К — поле конечной характеристики.
Если К содержит поле Q, то пх = 0, только если п = 0 или х = 0. В этом
случае говорят, что поле К имеет нулевую (а иногда — бесконечную)
характеристику.
Поля Q, К, С, <Ц>(ж), Ж(ж), С(ж) имеют нулевую характеристи-
ку. Поле Fp из р элементов имеет характеристику р, также как и по-
ле ¥р(х), Ер(ж, у) и т. д.
Ненулевое кольцо A/I вкладывается в поле тогда и только тогда,
когда оно целостно. Это означает, что I А, и если а Е A, b G A, ab G I,
то или a G I, или b G I. Идеалы, обладающие этим свойством, называ-
ются простыми. Например, главный идеал
I = (F(x, у)) С К[х, у]
прост, если F — неприводимый многочлен: кольцо К[х, y]/I = JC[C]
(где С — алгебраическая кривая с уравнением F(x, у) = 0) вкла-
дывается в поле К (С). Мы можем сказать, что простые идеалы —
это ядра гомоморфизмов р : А —> К, где К — поле (причем, может
быть, 99(A) К).
Можно показать, что в примере 9 «простые» (т. е. неразложимые
на сомножители) идеалы в точности совпадают с простыми идеалами
(отличными от 0) в смысле данного выше определения.
В начале этого параграфа изложена точка зрения, согласно кото-
рой любое кольцо можно мыслить как кольцо функций на некотором
множестве X. «Точки» этого множества соответствовали гомоморфиз-
мам кольца в поля. Поэтому мы можем их интерпретировать как мак-
симальные (в другой версии — простые) идеалы кольца. Если М —
идеал, «определяющий» точку х 6 X, и a G А, то «значение» а(х) есть
класс вычетов а + М в А/M. Возникающая так геометрическая ин-
туиция поначалу кажется довольно причудливой. Например, в кольце
целых чисел максимальные идеалы соответствуют простым числам,
и значение в каждой «точке» (р) принадлежит своему полю Ер. (Так,
число 1984 = 26-31 надо мыслить себе как функцию на множестве прос-
тых чисел, обращающуюся в 0 в точках 2 и 31. Можно даже сказать,
что эта функция имеет в точке 2 нуль кратности 6, а в точке 31 —
кратности 1.) Однако она является всего лишь логическим развитием
аналогии между кольцом целых чисел Z и кольцом многочленов K[t],
§ 4. Гомоморфизмы и идеалы
43
в которой простым числам р G Z соответствуют неприводимые много-
члены P(t) G Продолжая ее, надо считать аналогом уравнения
а0 + А1Ж + ... + апхп =0, at G Z,
определяющего алгебраическое число, уравнение
a0(t) + ai(t)a? + ... + an(t)xn = 0,
определяющее алгебраическую функцию x(t). Действительно, к иссле-
дованию алгебраических чисел оказалось возможным применить инту-
ицию теории алгебраических функций и, даже, связанных с ними рима-
новых поверхностей. Систематическому развитию этой точки зрения
теория чисел обязана некоторыми из красивейших своих достижений.
Другой вариант тех же идей играет важную роль при рассмот-
рении отображений (р : Y X (например, аналитических отображе-
ний аналитических многообразий). Если А — кольцо аналитических
функций на X, а В — на Y, то, как сказано в начале этого параграфа,
отображение у> определяет гомоморфизм р* : А —> В. Пусть Z — под-
многообразие X и I С А — идеал обращающихся на нем в 0 функций
из А. Если I = (/i, ... , /г), то это значит, что Z определено уравне-
ниями /1 = 0, ... , fr = 0. Прообраз подмногообразия Z в Y
определяется уравнениями <р* Д = 0, ... , ip* fr = 0, и ему естественно
поставить в соответствие кольцо
B/(p*f1,...,p*fr)=B/(<p*I)B.
Пусть, например, <р есть отображение прямой Y на прямую X, заданное
условием х = у2. Если Z есть точка х = а 0, то состоит из
двух точек у = ±д/а, а
В/((р*1)В ~ С[у]/{у2 - а) ~ С[у]/(у - VS) ф
фС[у]/(у + л/а) ~ С ф С,
т. е. является действительно кольцом функций на паре точек. Но ес-
ли Z есть точка х = 0, то —это одна точка у = 0, а В/(у>*Т)В ~
— С[у]/у2. Это кольцо состоит из элементов вида а + /Зе, а, (3 G С, е —
образ у, причем е2 = 0. Его можно интерпретировать как «кольцо функ-
ций на двукратной точке», и оно дает гораздо более тонкую информа-
цию о поведении отображения х = у2 в окрестности точки х = 0, чем
44
Шафаревич И. Р.
теоретико-множественный прообраз этой точки. Таким же образом из-
учение особенностей аналитических отображений приводит к рассмот-
рению в качестве инвариантов этих особенностей, гораздо более слож-
ных коммутативных колец.
Пример 12. Пусть Ki, К%, ... , Кп, ... — бесконечная последо-
вательность полей. Рассмотрим всевозможные бесконечные последова-
тельности (ai, 0,2, ... , ап, ...), где ai G Ki, и определим над ними дей-
ствия: / х /т т 7 \
(«1, а2, * • * , .) + (»1, о2, ... , Ъп, ...) =
= (ai + bi, «2 + b%, ... , ап + bn, ...),
(fli, «2- ... , ап, .. &2 > • • • > Ьга, • • •) —
= (aibi, 02^2, • • • , dnbn, ...).
Так получается коммутативное кольцо, называемое произведением по-
лей К. Оно обозначается П^г-
Некоторые гомоморфизмы кольца П Ki в поля (а значит, и его
максимальные идеалы) бросаются в глаза: это сопоставление после-
довательности (ai, а2, ... , ап, ...) ее п-й компоненты (при фиксиро-
ванном п). Но имеются и менее тривиальные гомоморфизмы. Действи-
тельно, рассмотрим все последовательности, в которых только конечное
число компонент a,i отлично от 0. Они образуют идеал I, а всякий иде-
ал содержится в максимальном. Пусть ЗЛ — некоторый максимальный
идеал, содержащий I. Он отличен от ядер указанных выше тривиаль-
ных гомоморфизмов, так как они не содержат I. Факторкольцо П Ki/^ffl
является полем и называется улътрапроизведением полей Ki. Мы по-
лучаем интересную «помесь» полей К,: например, если все Ki имеют
разные конечные характеристики, то их ультрапроизведение имеет ха-
рактеристику 0. Это — способ перехода от полей конечной характерис-
тики к полям характеристики 0, используя который удалось доказать
некоторые трудные теоремы теории чисел.
Если все поля Ki совпадают с полем вещественных чисел, то их
ультрапроизведение имеет аналитические приложения. Оно лежит в ос-
нове, так называемого, нестандартного анализа, который, например,
дает возможность в некоторых вопросах теории дифференциальных
уравнений избегать трудных оценок и обоснований сходимости.
С точки зрения математической логики, ультрапроизведения ин-
тересны тем, что любое «элементарное» высказывание, верное во всех
полях Ki, верно и в их ультрапроизведении.
§ 4. Гомоморфизмы и идеалы 45
Пример 13. Рассмотрим дифференциальные операторы вида
где fi(z) — ряды Лорана, сходящиеся или формальные. Умножение та-
ких операторов необязательно коммутативно. Но для некоторых пар
операторов ® и Д все же может оказаться, что ©Д = Д© — например,
если
© = - 2z~2 и Д = -^- 3z~24- + 3^“3.
dz2 dz3 dz
Тогда совокупность всех многочленов Р(@, Д) от операторов © и Д
с постоянными коэффициентами является коммутативным кольцом,
которое обозначим 2?®,д. Имеет место неожиданный факт: если
©Д = Д@, то существует такой ненулевой многочлен F(x, у) с посто-
янными коэффициентами, что F(@, Д)=0, т.е. 9и Д связаны поли-
номиальным соотношением. Например, при
©=Д--2^"2, Д = - 3z~24~ +3z~3,
dz2 dz3 dz
многочлен F = °J)3 — Д2. При этом многочлен F можно считать непри-
водимым. Тогда кольцо Я®,д изоморфно
С[ж, у]/(Г(ж, у)),
или, иначе говоря, кольцу С[С], где С — неприводимая кривая с урав-
нением F(x, у) = 0. Если операторы 9и Д обладают общей собственной
функцией /, то эта функция будет собственной и для любого оператора
из кольца 2?®,д. Сопоставление любому оператору собственного значе-
ния, соответствующего собственной функции /, является гомоморфиз-
мом Я@;д —> С. Ввиду изоморфизма Я@;д ~ С[С] этот гомоморфизм
определяет точку на кривой С. Можно показать, что всякая точка этой
кривой соответствует общей собственной функции операторов 9 и Д.
Описанная связь между коммутирующими дифференциальными опе-
раторами и алгебраическими кривыми позволила в последнее время
значительно прояснить строение коммутативных колец операторов.
46
Шафаревич И. Р.
§ 5. Модули
Рассмотрим некоторую область V в пространстве и векторные по-
ля, определенные в этой области. Их можно складывать и умножать
на числа, производя эти операции с векторами, приложенными в од-
ной точке. Таким образом, все векторные поля образуют линейное про-
странство (бесконечномерное). Но сверх того, их можно умножать на
функции. Эта операция очень полезна, так как любое векторное поле
представляется в виде
л д , R д ,гд
Л—---h 1з —-h С
ОХ Оу OZ
где А, В и С — функции, и поэтому «над кольцом функций» множество
векторных полей естественно считать трехмерным. Так мы приходим
к понятию модуля над коммутативным (в этом параграфе) кольцом. От
векторного пространства оно отличается лишь тем, что в модуле опре-
делена операция умножения его элементов не на элементы некоторого
поля (как в случае векторного пространства), но на элементы кольца.
Остальные аксиомы, как для операции сложения элементов, так и для
умножения на элементы кольца, остаются точно теми же, и мы не бу-
дем их повторять.
Пример 1. Кольцо является модулем над собой (аналог одномер-
ного векторного пространства).
Пример 2. Дифференциальные формы заданной размерности на
многообразии (дифференцируемом, вещественно аналитическом, комп-
лексно аналитическом) образуют модуль над кольцом функций (диф-
ференцируемых, вещественно аналитических, комплексно аналитичес-
ких) на многообразии. То же относится к векторным полям и, вообще,
полям тензоров фиксированного типа. (Определение всех этих понятий
мы обсудим подробнее в §§ 5 и 7.)
Пример 3. Если <р — линейное преобразование векторного про-
странства L над полем К, то L является модулем над кольцом
если для /(£) G K[t] и х G L положить
f(t)x = (,/»)(ж).
Пример 4. Кольцо линейных дифференциальных операторов с по-
стоянными коэффициентами (пример 3 § 3) действует в пространстве
§ 5. Модули
47
функций (бесконечно дифференцируемых, финитных, экспоненциаль-
но убывающих, полиномиальных) и превращает каждое из этих про-
странств в модуль над этим кольцом. Так как это кольцо изоморфно
кольцу многочленов IR[ii, ... , tn] (пример 3 § 3), то каждое из указан-
ных пространств является модулем над кольцом многочленов. Конечно,
то же верно при замене поля К на С.
Пример 5. Пусть М и N — модули над кольцом А. Рассмотрим
модуль, состоящий из пар
(т, п) (т G М, п G N),
которые складываются и умножаются на элементы кольца А по прави-
лам:
(m, п) + (mi, П1) = (т + mi, п + щ),
а(т, п) = (ат, ап).
Этот модуль называется прямой суммой модулей М и N и обозначается
через M®N. Так же определяется прямая сумма любого числа модулей.
Сумма п модулей А (пример 1) обозначается Ап и называется свобод-
ным модулем ранга п. Это самое непосредственное обобщение п-мерного
векторного пространства. Его элементы — это последовательности ви-
да
т = (ai, ... , ап), ai G А.
Если е, = (0, ... , 1, ... , 0) с 1 на г-м месте, то т = ^aiCi и такое
представление однозначно.
Иногда бывает полезно рассматривать алгебраические аналоги и
бесконечномерного пространства: прямую сумму семейства X моду-
лей, изоморфных А. Их элементы задаются последовательностями {а^},
где аа G А, а пробегает семейство Е и 0 0 лишь для конечного чис-
ла <т G Е. При прежнем определении элементов еа каждый элемент пря-
мой суммы однозначно представляется в виде конечной суммы ааеа.
Построенный модуль также называется свободным, а {е^} — системой
его свободных образующих.
Пример 6. В модуле М над кольцом Z умножение на числа п G Z
уже определено, если задана операция сложения: если
п > 0, то пх = х + ... + х (п раз),
48
Шафаревич И. Р.
если п = —т, т > 0, то пх = — (тх). Поэтому М есть просто абелева
группа1, записанная аддитивно.
Мы опускаем определения изоморфизма и подмодуля, которые до-
словно повторяют определения изоморфизма и подпространства для
векторных пространств. Изоморфизм модулей М и N записывается
как М ~ N.
Пример 7. Любая r-мерная дифференциальная форма на п-мерном
евклидовом пространстве записывается однозначно в виде
УУ Ui1...irdxi1 А ... A dx{r,
ii <...<ir
где принадлежат кольцу А функций на этом пространстве (диф-
ференцируемых, вещественно или комплексно аналитических, см. при-
мер 2). Поэтому модуль дифференциальных форм изоморфен У1-),
(п\ , . .
где I I — биномиальный коэффициент.
Пример 8. Рассмотрим кольцо многочленов С[жх, ... , хп] как мо-
дуль М над самим собой (пример 1); с другой стороны, рассмотрим его
как модуль над кольцом дифференциальных операторов с постоянны-
ми коэффициентами (пример 4). Так как это кольцо изоморфно кольцу
многочленов, то мы получаем новый модуль N над С[жх, ... , хп]. Эти
модули не изоморфны. Действительно, для любого элемента т1 G N
существует такой ненулевой a G С[жх, ... , хп], что ат' = 0 (любой
оператор дифференцирования достаточно большого порядка). А в М
из ат = 0 следует, что а = 0 или т = 0, так как кольцо С[жх, ... , ж„]
целостно.
В ряде случаев преобразование Фурье устанавливает изоморфизм
модулей М и N над кольцом А = С[жх, ... , хп], если М и N состоят из
функций и А действует на М умножением, а на N — через изоморфизм
C[tx, ... , tn] ~ ... , .
Например, это будет так, если М = N есть пространство бесконечно
хМы предполагаем, что читателю известны определения группы и абелевой груп-
пы. Они будут повторены в § 12.
§ 5. Модули
49
дифференцируемых функций F(xi, , хп), для которых
ограничено при любых а, 0. 0.
Вспоминая определение из § 4, мы можем теперь сказать, что идеал
кольца А — это подмодуль А, если рассматривать А как модуль над
самим собой (пример 1). Разные (как подмножества кольца А) идеалы
могут быть изоморфны как A-модули. Например, идеал I целостного
кольца А изоморфен А как A-модуль тогда и только тогда, когда он
главный (если I = (г), то а —> аг — нужный изоморфизм; наоборот,
если гр : А —> I — изоморфизм А-модулей, 1 — единичный элемент
кольца А и 99(1) = i G I, то р(а) = </фа1) = а</?(1) = ai, т. е. I = (г)).
Поэтому множество неизоморфных (как модули) идеалов кольца явля-
ется мерой его отклонения от колец главных идеалов. Например, в коль-
це Ad, состоящем из чисел вида a + by/d, a, b G S’(d — некоторое целое
число), существует лишь конечное число неизоморфных идеалов. Это
число называется числом классов кольца А</ и является его основной
арифметической характеристикой.
Пример 9. Пусть {та} — множество элементов модуля М
(над кольцом А). Рассмотрим всевозможные их линейные комбина-
ции ^артоц с коэффициентами aj из А (даже если множество {та}
бесконечно, в каждую линейную комбинацию входит лишь конечное
число элементов). Они составляют подмодуль модуля М, называемый
подмодулем, порожденным элементами {та}. В частности, если М —
это А как модуль над самим собой, то мы приходим к уже встречавше-
муся понятию идеала, порожденного элементами {та}. Если система
элементов {та} порождает весь модуль М, то она называется систе-
мой образующих М.
Понятие линейного отображения одного векторного пространства
в другое дословно переносится на модули, но в этом случае такое ото-
бражение называется гомоморфизмом. Для подмодуля N С М дословно
так же, как и в случае идеала кольца, определяются классы вычетов,
фактормодуль М/N и канонический гомоморфизм М —> М/N. Перено-
сятся также понятия образа и ядра и связь между гомоморфизмами и
подмодулями, сформулированная для случая колец и идеалов в § 4.
50
Шафаревич И. Р.
Эти понятия дают возможность определить некоторые важные
конструкции. По определению, в модуле М имеются операции сложения
его элементов и умножения их на элементы кольца А, но не определено
умножение элементов друг на друга. Однако в некоторых ситуациях
возникает операция умножения элементов модуля М на элементы мо-
дуля N, значениями которой являются элементы некоторого третьего
о
модуля L. Например, если М состоит из векторных полей —,
a N — из одномерных дифференциальных форм ^pidxi, то определе-
но произведение ^2 fiPi, лежащее в кольце функций (и не зависящее от
выбора системы координат xi, ... , хп). Аналогично можно определить
(не зависящим от выбора координат образом) произведение векторного
поля на r-мерную дифференциальную форму — в результате получит-
ся (г — 1)-мерная дифференциальная форма.
Умножением, определенным на двух модулях М и N со значени-
ем в модуле L, называется отображение, сопоставляющее паре элемен-
тов х G М, у G N элемент ху, принадлежащий L и обладающий свой-
ствами:
(жх + х2)у = хху + х2у, жх, х2 е М, у G N-
х{У1 + у2) = хух + ху2, х G М, у!,у2 G N-,
(ах)у = х(ау) = а(ху), х G М, у G N, a G А.
Если определено умножение ху на модулях М и N со значениями
в L и гомоморфизм (р : L —> L', то <р(ху) определяет умножение со
значениями в L'. Оказывается, что все возможные умножения на за-
данных модулях М и N можно этим способом получить из некоторого
«универсального». Оно имеет значения в модуле, который обозначается
через М ® N, и произведение элементов х и у тоже обозначается х ® у.
А
Универсальность заключается в том, что для любого умножения ху,
заданного на М и N со значениями в L, существует и притом только
один гомоморфизм
р> : М ® N —> L, для которого ху = <р(х ® у).
А
Легко показать, что если модуль и произведение с таким свойством
универсальности существуют, то они определены однозначно с точ-
ностью до изоморфизма. Конструкция же модуля М ® N и умноже-
А
§ 5. Модули
51
ния х ® у такова. Предположим, что М имеет конечную систему об-
разующих жх, ... , хт, a N — у!, ... , уп. Рассмотрим символы (х{, yj)
и свободный модуль S = Атп, имеющий их в качестве образующих.
В этом модуле S рассмотрим элементы
^2 а,(ж,, yj), для которых о,{Х{ = 0 в М,
i
и элементы
yj), ДЛЯ КОТОРЫХ bjVj = 0 в IV,
3
и рассмотрим подмодуль So, порожденный этими элементами. Мы по-
ложим
М ® N = S/So
А
И, если X = 52 aixi, У = 52 bjyj, ТО
X ® у = ^aibj(xi ® yj),
где через Xi ®yj мы обозначаем образ (ж^, yj) в S/Sq при каноническом
гомоморфизме S —> S/Sq. Легко проверить, что х®у не зависит от выбо-
ра выражения ж и у через образующие и что получается действительно
универсальный объект. Более инвариантно и не требуя, чтобы М и N
имели конечную систему образующих, можно построить модуль M®N,
А
взяв за образующие модуля S всевозможные пары (ж, у), х G М, у G N,
а за So — подмодуль, порожденный элементами
(Ж1 + Ж2, у) - (Ж1, у) - (ж2, у), (ж, У! + у2) ~ (ж, ?/1) - (ж, у2),
(ах, у) - (ж, ау), а(х, у) - (ах, у).
При этом нам приходится использовать свободный модуль S с беско-
нечным числом образующих, даже когда имеем дело с модулями М
и N, обладающими конечным числом образующих! Зато конструкция
не содержит никакого произвола, связанного с выбором системы обра-
зующих.
Так определенный модуль M®N называется тензорным произведе-
А
наем модулей М и N, а х®у — тензорным произведением элементов ж
52
Шафаревич И. Р.
и у. Если М и N — конечномерные векторные пространства над по-
лем К, то М ® N — тоже векторное пространство, и
к
dim(M $N) = dimM • dinuV.
К
Если М — пространство тензоров типа (р, q) над некоторым вектор-
ным пространством L, a N — пространство тензоров типа (р', q'),
то М ® N — пространство тензоров типа (р +р', q + д'), а ® — это
операция умножения тензоров. Если М — модуль над кольцом Z,
то М0О — это векторное пространство над Q. Например, если М ~ Z”,
z
то М ® Q ~ Q". Если же М ~ Z/(n), то М ® Q = 0; таким образом,
Z Z
М при переходе к М ® Q «исчезает». Хотя любому элементу т G М и
z
соответствует элемент m 0 1 в М 0 О. он в силу условий (1), как легко
Z
проверить, равен 0. Аналогично из модуля М над целостным кольцом А
можно получить векторное пространство М(/,К над полем частных К
А
этого кольца. Точно так же, векторное пространство Е над полем К
определяет пространство Е над любым расширением L этого поля.
к
При К = К, L = С — это операция комплексификации, очень полезная
в линейной алгебре (например, при изучении линейных преобразова-
ний).
Если Mi — линейное пространство функций f(xi) переменной ж,
(например, многочленов f(x}) степени < fcj), то ® ® Мп состоит
из линейных комбинаций функций
/1(^1) • • • fn(.Xn), fi G Mi,
в пространстве функций от жх, ... , хп. Такой вид имеют, в частности,
«вырожденные ядра», в теории интегральных уравнений. Естественно
попытаться вообще интерпретировать пространства функций (того или
иного типа) К(х, у) от переменных х и у как тензорные произведения
пространств функций от ж и от у. Так возникают аналоги понятия тен-
зорного произведения в рамках банаховых и топологических векторных
пространств. Классические функции К(х, у) встречаются как ядра ин-
тегральных операторов
/ -> [ К(х, у) f (у) dy.
§ 5. Модули
53
В общем случае элементы тензорных произведений также используют-
ся для задания операторов фредгольмовского типа. Аналогичную роль
играют тензорные произведения в квантовой механике. Если простран-
ства Mi и М2 являются пространствами состояний квантово-механи-
ческих систем Si и S2, то Mi ® М2 описывает состояния системы, со-
ставленной из частей Si и S2.
Пример 10. Модуль М ® ® М (г раз) обозначается ТГ(М).
А А
Если М — конечномерное пространство над полем К, то Tr(JM) — это
пространство контравариантных тензоров ранга г.
Пример 11. Фактормодуль модуля М ® М по подмодулю, порож-
А
денному элементами х 0 у — у 0 х, х, у G М, называется симметри-
ческим квадратом модуля М и обозначается S2M. Он является «уни-
версальным» для коммутативных умножений ху, х, у G М. Аналогич-
но можно определить r-ю симметрическую степень: SrM. Это фактор-
модуль ТГ(М) по подмодулю, порожденному всевозможными элемен-
тами Xi ® ... ® Xi ® Xi+i 0 ... 0 Хг — Xi 0 ... 0 X{+i ® Xi ® ... ® хг,
i = 1, ... , г — 1, Xi G М. Например, если М — модуль линейных форм
от переменных ti, ... , tn с коэффициентами в поле К, то SrM состоит
из всех форм степени г.
Очевидно, что всегда определено произведение г элементов xi, ... ,
хг модуля М со значениями в SrM, причем произведение это не зави-
сит от порядка множителей: надо рассмотреть образ xi ® ... ® хг при
каноническом гомоморфизме ТГ(М) —> SrM. Такими произведениями
модуль SrM порождается.
Пример 12. r-й внешней степенью модуля М называется фактор-
модуль Tr(Af) по подмодулю, порожденному выражениями xi®.. .®хг,
в которых два сомножителя совпадают: Xi = Xj. Внешняя степень обо-
значается М'М. Например, модуль r-мерных дифференциальных форм
на дифференцируемом многообразии изоморфен ММ, где М — модуль
одномерных дифференциальных форм. Аналогично случаю симметри-
ческой степени определено умножение г элементов xi, ... , хг моду-
ля М со значениями в ММ. Оно обозначается xi А ... А хг и назы-
вается их внешним произведением. По определению xi А ... А хг = 0,
если Xi = Xj. Отсюда легко следует, что xi Л ... А ж, A Xi+i Л ... Лхг =
= —Xi А ... A Xi+i A Xi А ... А хг. Надо применить предшествующее со-
отношение к произведению, в котором вместо Xi ® Xi+i стоит Xi +2^+1.
54
Шафаревич И. Р.
Если модуль М имеет конечное число образующих х±, ... , хп, то про-
изведения х^ Л ... Л xir, 1 А й < «2 < • • • < гг С п, являются образую-
щими для АГМ. При г > п, в частности, ЛгМ = 0. Если М — п-мерное
пространство над полем К, то dimA'Af = (”) при г п.
Пример 13. Если М — модуль над кольцом А, то множество М*
всех гомоморфизмов М в А является модулем, если определить опера-
ции формулами
(/ + g)(m) =/(m)+g(m),
f G M*, a G A, m G M.
Этот модуль называется двойственным М. Если М — векторное про-
странство над полем К, то М* — сопряженное пространство. Элементы
пространства ТГ(М*} называются ковариантными тензорами. Элемен-
ты модуля ТР(М) ® Tq(M*) называются тензорами типа (р. q).
Модуль одномерных дифференциальных форм на дифференцируе-
мом многообразии (над кольцом дифференцируемых функций) являет-
ся двойственным к модулю векторных полей.
В заключение попытаемся распространить на модули ту «функ-
циональную» интуицию, о которой мы говорили в §4 в применении
к кольцам. Начнем с примера.
Пусть X — дифференцируемое многообразие, А — кольцо диффе-
ренцируемых функций на нем и М — модуль (над А) векторных полей
на X. В заданной точке х G X каждое векторное поле т имеет значе-
ние т(ж), т. е. определено отображение М —> Тх, где Тх — касательное
пространство к X в точке х. Это отображение можно описать в алгеб-
раических терминах, определив умножение констант а £ Ж на функ-
ции f G А как f-a = f(x)a. Тогда К будет модулем над А и Тх ~ Af
А
а наше отображение сопоставляет т элемент т ® 1. В таком виде мы
можем построить это отображение и для произвольного модуля М над
произвольным кольцом А. Пусть (р : А —> К есть гомоморфизм А в поле,
99(A) = К и m — максимальный идеал — ядро <р. Тогда К становится
модулем над А, если положить аа = <р(а)а для a G A, a G К. Поэто-
му определено векторное пространство Mm = М ® К над полем К —
А
«значение М в точке ш». Например, если А = К[С\, где С — алгебра-
ическая кривая (или любое алгебраическое многообразие), то, как мы
видели в § 4, любая точка с G С определяет гомоморфизм рс : А —> К,
§ 5. Модули
55
где <£с(/) = /(с) и максимальный идеал тпс, состоящий из функ-
ций / G A, f(c) = 0. Таким образом, каждый модуль М над коль-
цом 7Г[С] определяет семейство векторных пространств Мх, «парамет-
ризованных» многообразием С, а совершенно аналогичным образом, мо-
дуль М над произвольным кольцом А определяет семейство векторных
пространств М (/АЛ/т) над разными полями Л/пг, «параметризованное»
А
множеством максимальных идеалов пг кольца А.
Геометрический аналог этой ситуации таков. Семейством вектор-
ных пространств над топологическим пространством X называется
топологическое пространство ё с непрерывным отображением
/ : S -+ X,
в котором каждый слой /-1(ж) снабжен структурой векторного про-
странства (над полем К или С), в естественном смысле согласован-
ной с топологией ё. Гомоморфизмом семейства f : ё X в семей-
ство g\ АР X называется непрерывное отображение
<р : ё -А-
переводящее слой /-1(ж) в слой g-1(:r) и индуцирующее в нем ли-
нейное отображение. Семейство ё векторных пространств определяет
модуль Mg над кольцом А(Х) непрерывных функций на пространст-
ве X. Если семейство ё — обобщение векторного пространства, то эле-
мент модуля Mg — обобщение вектора: это выбор вектора в каждом
слое /-1(ж), х 6 X. Точнее, его элементы, называемые сечениями, опре-
деляются как непрерывные отображения
s : X ё,
для которых точка s(x) лежит в слое /-1(ж) (т. е. fs(x) = х) для
всех х G X. Операции
(si + я2)(ж) = 51(ж) + а2(ж), si, s2 G Mg, х G X;
= <p(x)s(x), <р G А(Х), х G X, s G Mg,
превращают Mg в модуль над кольцом А(Х).
56 Шафаревич И. Р.
§ 6. Алгебраический аспект размерности
Основным инвариантом векторного пространства является его раз-
мерность, и в связи с этим выделяется класс конечномерных про-
странств. Для модулей, являющихся непосредственным обобщением
векторных пространств, существуют аналогичные понятия, играющие
столь же фундаментальную роль. С другой стороны, мы рассматрива-
ли алгебраические кривые, поверхности и т. д. и каждый такой объ-
ект С «координатизировали» сопоставлением ему кольца К[С] и по-
ля К (С). Интуитивное понятие размерности (1 — для алгебраической
кривой, 2 — для поверхности и т. д.) отражается в алгебраических свой-
ствах кольца К[С] и поля К(С), причем эти свойства имеют смысл и
важны для колец и полей более общего типа. Естественно, что положе-
ние усложняется сравнительно с простейшими примерами: мы увидим,
что существуют различные способы выражать числом «размерность»
колец и модулей и различные аналоги «конечномерности».
Размерность векторного пространства можно определить исходя
из разных точек зрения. Во-первых, как максимальное число линейно
независимых векторов. Во-вторых, как число векторов базиса (при этом
необходимо доказать, что все базисы одного и того же пространства со-
стоят из одинакового числа векторов). Наконец, можно воспользоваться
тем, что если размерность уже определена, то в n-мерном пространст-
ве L существует (п— 1)-мерное пространство в нем (п— 2)-мерное L2
и т. д. Так что мы получаем цепочку
L = Lo 2) Li 2) L2 ... D Ln = 0, в котором Lj Li+±.
Поэтому размерность можно определить как наибольшую длину такой
цепочки. Каждое из этих определений размерности можно применить
к модулям, но при этом мы получим уже разные свойства, дающие
разные численные характеристики модуля. Они приводят и к разным
аналогам «конечномерности» для модулей. Все три этих подхода мы и
рассмотрим. В первом мы предположим кольцо А целостным.
Элементы тщ, ... , модуля М над кольцом А называются ли-
нейно зависимыми, если существуют такие элементы а±, ... , коль-
ца А, не все равные нулю, что
aimi + ... + Ukrnk = 0.
§ 6. Алгебраический аспект размерности
57
В противном случае — линейно независимыми. Максимальное число
линейно независимых элементов модуля называется его рангом: rgM.
Если оно конечно, то мы имеем дело с модулем конечного ранга. Само
кольцо А, как A-модуль, имеет ранг 1, свободный модуль Ап ранга п
имеет ранг п и по новому определению.
Несмотря на внешнее сходство, содержание понятия ранга весь-
ма далеко от размерности векторного пространства. Если даже ранг п
конечен и mi, ... , тп — максимальное число линейно независимых
элементов модуля, то отнюдь неверно, что любой элемент т через них
выражается: в линейной зависимости ат + a±mi + ... + аптп = О,
вообще говоря, нельзя разделить на а. Поэтому мы не получаем тако-
го канонического описания всех элементов модуля, какое дает понятие
базиса в случае векторного пространства. Более того, модули ранга О,
являющиеся аналогами 0-мерного пространства, которые, казалось бы,
должны быть чем-то весьма тривиальным, могут быть сколь угодно
сложны. Действительно, один элемент т G М линейно зависим, если
существует такой элемент а 0, a G А, что ат = 0. Тогда т называ-
ется элементом кручения. Модуль имеет ранг 0, если он состоит только
из элементов кручения; тогда он называется модулем кручения. Моду-
лем кручения является, например, любая конечная абелева группа как
модуль над Z. Векторное пространство L с линейным преобразовани-
ем <р как модуль над кольцом многочленов К [ж] (пример 3 § 5) также
является модулем кручения: существует такой многочлен /(ж) 0,
что f((p) = 0, т. е. (/(</?)) (а) = 0 или / • а = 0 для любого a G L. Кольцо
многочленов М[жт, ... , ж„] как модуль над кольцом дифференциальных
д д
дх± ’ ’ дхп
операторов К
(пример 4 § 5) — еще один пример моду-
ля кручения. Все эти модули имеют ранг 0, хотя, например, последний
интуитивно трудно признать даже конечномерным.
Большее приближение к интуиции «конечномерности» дает опреде-
ление конечномерного векторного пространства, основанное на сущест-
вовании базиса.
Модуль, имеющий конечную систему образующих, называется мо-
дулем конечного типа. Таким образом, в нем существует такая ко-
нечная система элементов mi, ... , ть, что любой элемент является
линейной комбинацией элементов этой системы, однако, в отличие от
векторных пространств, мы не можем требовать однозначности такого
представления.
58
Шафаревич И. Р.
Кольцо как модуль над собой и, вообще, свободный модуль конеч-
ного ранга являются модулями конечного типа, также как конечная
абелева группа как модуль над Z и линейное пространство с заданным
в нем линейным преобразованием как модуль над ГГ[ж]. Кольцо много-
членов К[жх, ... , ж„] как модуль над кольцом дифференциальных опе-
д
дх± ’
д
' дхп
раторов К
не является модулем конечного типа: из ко-
нечного числа многочленов Fi, ... , F/., применяя операторы дифферен-
цирования, нельзя получить многочлена большей степени.
Гомоморфный образ модуля конечного типа обладает тем же свой-
ством: образ системы образующих является системой образующих.
В частности, гомоморфные образы свободного модуля Ап все име-
ют конечный тип и не более чем п образующих. Эта связь обрати-
ма. Если М имеет образующие пц, ... , т^, то сопоставление элемен-
ту (ai, ... , a/.) G Ак (по определению Ак состоит из таких наборов)
элемента aimi + ... + является гомоморфизмом с образом М.
Поэтому
◄ I. Любой модуль конечного типа является гомоморфным образом
свободного модуля конечного типа. ►
В частности, модуль с одной образующей является гомоморфным
образом самого кольца А, т. е. (ввиду теоремы о гомоморфизмах) име-
ет вид A/I, где I — идеал А. (Если I = 0, то М изоморфен А.) Такие
модули называются циклическими. Можно считать их аналогами одно-
мерных пространств.
В некоторых случаях модули конечного типа довольно близки ко-
нечномерным векторным пространствам. Например, если в целостном
кольце А все идеалы главные, то имеет место:
◄ II. Теорема о модулях над кольцом главных
идеалов. Любой модуль конечного типа над целостным кольцом
главных идеалов изоморфен прямой сумме конечного числа цикличес-
ких. Циклические же модули изоморфны А или разлагаются дальше
в прямую сумму циклических модулей вида А/(тгк), где тг — простой
элемент. Представление модуля в виде прямой суммы таких модулей
однозначно. ►
Если модуль А является модулем кручения, то слагаемые, изо-
морфные А, отсутствуют. Так обстоит дело, когда А = Z, а М —
конечная абелева группа. В этом случае приведенная теорема дает
классификацию конечных абелевых групп. Так же обстоит дело, ес-
§ 6. Алгебраический аспект размерности
59
ли А = С[ж], М = L — конечномерное векторное пространство над С
с заданным в нем линейным преобразованием (пример 3 §5). В этом
случае наша теорема дает, как легко видеть, приведение линейного пре-
образования к жордановой нормальной форме.
Одно из доказательств теоремы II основывается на представлении
(согласно предложению 1) модуля М в виде
М = An/N, N С Ап.
Легко доказать, что и N — модуль конечного типа. Если
Ап = Aei ф ... ф Аеп, N = (их, ... , ит), то щ = У^ ctjej^
и представление М = Ап/N показывает, что М «определяется системой
линейных уравнений»
У^ CijCj =0, i = 1, ... , т.
J=i
К этой системе применяется идея классического метода Гаусса
из теории систем линейных уравнений.
◄ Основная лемма. Любая матрица R с элементами в кольце
главных идеалов А может быть «приведена к диагональному виду», то
есть представлена в виде R = PDQ, где D — диагональная матрица,
а Р и Q — обратимы (как матрицы с элементами из R).
В применении к нашей матрице R = это означает, что
P~1RQ~1 = D и, интерпретируя F-1 и Q-1 как матрицы перехода от
систем образующих R, ... , 1п и ui, ... , ит к другим системам обра-
зующих, мы получим такие системы образующих, для которых матри-
ца (cjj) диагональна. Если
/ai
0\
0/
ai 0, ... , аг 0,
\0
60
Шафаревич И. Р.
то М = Ап/N ~ A/(ai) ф ... ф А/(аг) ф Ап~г. Отсюда уже недалеко до
утверждения теоремы II.
Основная лемма хорошо известна в случае, когда кольцо R есть
поле. Тогда метод Гаусса дает возможность привести матрицу к диа-
гональному виду при помощи «элементарных преобразований»: пере-
становки двух строк, прибавления к одной строке кратности другой
и аналогичных преобразований над столбцами. При этом элементарные
преобразования над строками равносильны умножению матрицы на не-
которую обратимую матрицу слева, а над столбцами — справа.
Аналогичное рассуждение сохраняется в случае A=Z или А=К[х].
Точно так же, как для случаев А = Z и А = К[х], доказывается, что
любое евклидово кольцо является кольцом главных идеалов. Метод Га-
усса применим к любому евклидову кольцу А так, что любая матрица
с коэффициентами из А приводится к диагональному виду при помо-
щи элементарных операций над строками и столбцами. Любопытно, что
это верно не для любых колец главных идеалов. Так, числа вида а + Ьа,
a, b G Z, а2 = а — 5, образуют кольцо А, являющееся кольцом главных
идеалов. Но существует матрица второго порядка с элементами из А,
не приводящаяся к диагональному виду при помощи элементарных пре-
образований над строками и столбцами. В случае, если кольцо А — ев-
клидово, аналогия с методом Гаусса из теории систем линейных урав-
нений проявляется особенно отчетливо. В этом случае приведение мат-
рицы над кольцом А к диагональному виду может быть выполнено при
помощи элементарных операций: перестановки двух строк, прибавле-
ния к одной строке другой, умножения на элемент кольца А, умноже-
ния строки на обратимый элемент кольца А и аналогичных операций
над столбцами. Каждая элементарная операция равносильна умноже-
нию матрицы слева или справа на обратимую матрицу, отличающу-
юся от единичной матрицы только одним своим элементом. Из этого
вытекает основная лемма.
Известны примеры таких колец главных идеалов (конечно, не яв-
ляющихся евклидовыми) и таких матриц второго порядка над ними,
которые не могут быть приведены к диагональному виду указанными
выше элементарными операциями.
В частности, при А = Z теорема II описывает строение абелевых
групп с конечным числом образующих. Такие группы встречаются, на-
пример, в топологии как группы гомологий или когомологий конечного
комплекса (см. о них в § 21).
§ 6. Алгебраический аспект размерности
61
Однако одно свойство, интуитивно тесно связанное с «конечномер-
ностью», не имеет, вообще говоря, места для модулей конечного типа:
их подмодули могут уже не быть модулями конечного типа. И при-
чем в самом простом случае: подмодуль кольца А, т. е. его идеал не
всегда является модулем конечного типа. Например, в кольце S рост-
ков в точке О бесконечно дифференцируемых функций идеал функций,
обращающихся в О в нуль вместе со всеми производными, не имеет
конечного числа образующих (пример 8 §4). Точно так же, в коль-
це многочленов от бесконечного числа переменных a?i, ж2, ••• , жи, •••
(причем, конечно, каждый многочлен зависит лишь от некоторого ко-
нечного их числа) многочлены без свободного члена образуют идеал,
не имеющий конечного числа образующих. Поэтому естественно еще
усилить условие «конечномерности», рассмотрев модули, все подмоду-
ли которых являются модулями конечного типа. Такие модули называ-
ются нётеровыми. Это понятие можно связать с еще не использованной
характеризацией размерности векторного пространства при помощи це-
почек подпространств. Именно, нетеровость эквивалентна следующему
свойству модуля (называемому условием обрыва возрастающих цепей):
любая последовательность подмодулей
Mi С М2 С ••• С Mk С ••• , Mt^Mi+1,
— конечна. Проверка этой эквивалентности почти очевидна.
Эти соображения можно применить и к классификации колец с точ-
ки зрения аналогов конечномерности. Естественно обратить внимание
на такие кольца, над которыми любой модуль конечного типа нетеров.
Такие кольца тоже называются нетёровыми. Для этого, прежде всего,
необходимо, чтобы само кольцо было нетеровым как модуль над са-
мим собой, т. е. чтобы в нем любой идеал обладал конечной системой
образующих. Но нетрудно проверить, что этого и достаточно: если в
кольце А все идеалы имеют конечный базис, то нетеровыми являют-
ся свободные модули Ап, а тогда и их гомоморфные образы, т. е. все
модули конечного типа.
Каков же объем понятия нетерова кольца? Очевидно, что всякое
кольцо, в котором все идеалы главные — нетерово. Другим фундамен-
тальным фактором является
4 III. Т еорема Гильберта о базисе. Для нетерова коль-
ца А нетерово и кольцо многочленов Л[ж]. ►
62
Шафаревич И. Р.
Доказательство основывается на рассмотрении идеалов
Jn С A, (n = 1, 2, ...), состоящих из элементов, являющихся коэф-
фициентами при старших членах многочленов степени п, входящих в
заданный идеал I С А[ж], и на многократном использовании нетеро-
вости кольца А. Из теоремы Гильберта следует, что кольцо многочле-
нов А[ж1, ... , хп\ от любого числа переменных нетерово, если нетерово
кольцо А. В частности, нетерово кольцо 1Г[я?1, ... , хп]. Именно ради
этого результата Гильберт и доказал носящую его имя теорему. Он
формулировал ее в следующей явной форме.
◄ Какое бы множество {Г,,.} многочленов из /Г[я?1, ... , хп] ни бы-
ло задано, существует такое его конечное подмножество Fai, ... , Fam,
что любой многочлен Fa представляется в виде линейной комбинации
PlFai + • • • + РтРат, Р1, 1 Р-т £ К[Х1, . . . , Я?„]. ►
Но можно сделать и еще один шаг. Очевидно, что если кольцо А не-
терово, то это верно и для любого его гомоморфного образа В. Кольцо R,
содержащее подкольцо А, называется кольцом конечного типа над А, ес-
ли в нем существует такая конечная система элементов п, ... , гп, что
все остальные выражаются через них в виде многочленов с коэффици-
ентами из А. Элементы п, ... ,гп называются образующими кольца R
над А. Рассмотрим кольцо многочленов A[xi, ... , хп] и сопоставление
F(X!, ... ,хп) F(n, ... , гп).
Это гомоморфизм, образом которого является R. Таким образом, име-
ем:
◄ IV. Любое кольцо конечного типа над кольцом А является го-
моморфным образом кольца многочленов A[xi, ... , хп]. Из предшест-
вующего следует поэтому, что кольцо конечного типа над нетеровым
кольцом — нетерово. ►
Например, кольцо К\С\, где С — алгебраическая кривая (или по-
верхность, или алгебраическое многообразие), — нетерово. (Если С за-
дается уравнением F(x, у) = 0, то х и у — образующие К[С] над К.)
Важными для приложений примерами нетеровых колец являются
также кольца 6п функций п комплексных переменных, голоморфных
в начале координат, и K[[ti, ... , tn]] формальных степенных рядов.
Нетеровы кольца — наиболее естественные кандидаты на роль «ко-
нечномерных колец». Для них можно определить и понятие размернос-
ти, но это потребовало бы несколько более тонких рассмотрений.
§ 6. Алгебраический аспект размерности 63
В то время как условие «быть кольцом конечного типа над каким-то
простым кольцом» (например, полем) является конкретной, эффектив-
ной формой условия «конечномерности», нетеровость представляет со-
бой более инвариантное, хотя и более слабое условие. В одном важном
случае эти понятия сливаются.
Кольцо А называется градуированным, если в нем выделены под-
группы (т. е. подмодули А как модуля над Z) Ап, п = 0, 1, ..., причем
если х G Ап, у G Ат, то ху G Ап+т, и любой элемент х G А однозначно
представляется в виде
х = х0 + Ж1 + ... + xk, Xi G Ai. (1)
Элементы x G An называются однородными, а представление (1) — раз-
ложением на однородные составляющие. Подмножество Aq, очевидно,
образует подкольцо в А.
Например, кольцо К[х±, ... , хт] градуировано, Ап — пространст-
во однородных многочленов степени пот жх, ... , хт, Aq = К.
Легко проверяется
◄ V. Если градуированное кольцо А нетерово, то оно — кольцо
конечного типа над Aq. ►
Очевидно, что совокупность элементов х G А, у которых в (1)
Xq = 0, образует идеал Iq. Оказывается, что для справедливости
утверждения V достаточно, чтобы один этот идеал имел конечное
число образующих. Действительно, возьмем образующие идеала Iq,
представим каждую в виде (1) и рассмотрим все встречающиеся при
этом Xi. Мы получим систему однородных элементов ... , ху, ко-
торые, конечно, опять порождают все Io, Х( G Ani. Эти элемен-
ты я?1, ... , ;с,у и являются образующими А над Aq. Действительно,
достаточно доказать, что любой элемент х G Ап, п > 0, выражает-
ся через Ж1, ... , хм с коэффициентами из Aq в виде многочлена. По
условию Io = (xi, ... , зд) и, в частности,
х = GiXi -|- ... -|- un'^'n- Hi G А.
Рассматривая для элементов ai их разложения на однородные составля-
ющие и учитывая, что слева стоит х G Ап, мы можем считать ai G Ami,
Xi G Ani, rii + mi = n. Для гц = n мы получаем искомое выражение
через Xi с коэффициентами a,: G Aq, а для щ < п мы можем приме-
нить к ai такое же рассуждение, как к х. После конечного числа шагов
получается нужное выражение для х.
64
Шафаревич И. Р.
Для полей интуиция «конечномерности» реализуется по анало-
гии с кольцами. Поле L называется расширением конечного типа
своего подполя К, если существует такое конечное число элементов
оц,... ,an£l, что все остальные элементы из L могут быть пред-
ставлены как рациональные функции от «1, ... , ап с коэффициента-
ми из К. В этом случае пишут L = K(pci, ... , а„), и L называет-
ся расширением, порожденным элементами ах, ... , ап над К. Напри-
мер, поле рациональных функций K(xi, ... , хп) — расширение конеч-
ного типа поля К. Поле комплексных чисел — расширение конечного
типа поля действительных чисел: комплексные числа представляются
в виде очень простых рациональных функций от единственного элемен-
та г : а + Ы. Любое конечное поле FQ является расширением конечного
типа содержащегося в нем простого поля: за од, ... , ап можно взять
хотя бы все элементы из F?. Если С — неприводимая алгебраическая
кривая, заданная уравнением F(x, у) = 0, то К (С) — расширение ко-
нечного типа поля К, так как все входящие в него функции являются
рациональными функциями от координат х и у. Так же обстоит дело,
если С — алгебраическая поверхность, и т. д.
Последние примеры делают правдоподобным то, что для расши-
рений конечного типа существует аналог понятия размерности, соот-
ветствующий интуитивному понятию размерности для алгебраических
кривых, поверхностей и любых алгебраических многообразий.
Система элементов а±, ... , ап поля L, являющегося расширением
поля К, называется алгебраически зависимой, если существует такой
неравный тождественно нулю многочлен F G К[х±, ... , хп], что
F(«i, ... , ап) = 0.
Если при этом ап действительно входит в это соотношение, то эле-
мент ап называется алгебраически зависимым от а±, ... , «„.-!• Неко-
торые простейшие свойства понятия алгебраической зависимости сов-
падают с известными свойствами линейной зависимости. Например, ес-
ли элемент а алгебраически зависит от «1, ... , a„_i, а каждое из а, —
от элементов /31, ... , [Зт, то а алгебраически зависит от /31, ... , /Зт.
Отсюда, формально повторяя рассуждения, известные для случая ли-
нейной зависимости, можно доказать, что в расширении конечного ти-
па существует верхняя граница для числа алгебраически независимых
элементов. Максимальное число алгебраически независимых элементов
§ 6. Алгебраический аспект размерности
65
расширения конечного типа L/К называется его степенью трансцен-
дентности. Оно обозначается tr deg Л/К.
Если степень трансцендентности расширения L/К равна п, то в L
существуют такие п алгебраически независимых элементов, что любой
другой элемент от них алгебраически зависит. Наоборот, если такие
п элементов существуют, то степень трансцендентности равна п.
Например, степень трансцендентности поля рациональных функ-
ций K(xi, ... , хп) как расширения поля К равна п. Пусть С — непри-
водимая алгебраическая кривая, определенная уравнением F(x, у) = 0.
Если, например, у действительно в это уравнение входит, то в по-
ле К(С) элемент х алгебраически независим, at/и, значит, все другие
элементы поля от х алгебраически зависимы. Поэтому степень транс-
цендентности расширения К (С)/К равна 1. Так же доказывается, что
если С — алгебраическая поверхность, то степень трансцендентности
поля К (С) равна 2. Мы пришли, таким образом, к понятию размернос-
ти, действительно согласующемуся с геометрической интуицией. Сте-
пень трансцендентности поля К(С), где С — алгебраическое многооб-
разие, называется размерностью С и обозначается dim С. Она обладает
естественными свойствами: например,
dimCi dimC2,
если Ci С Сг-
Пример 1. Пусть X — компактное комплексно аналитическое
многообразие размерности п и ^(Х) — поле всех мероморфных на X
функций. Можно доказать, что
trdeg^(X)/C п.
Если X — алгебраическое многообразие над С, то
./Н{Х) = С(Х) и trdeg^Z(A’) = п.
Таким образом, число trdeg^(X)/C является мерой близости много-
образия X к алгебраическому. Все возможные значения от 0 до п встре-
чаются уже в частном случае комплексных торов (см. §15).
Что представляют собой расширения L/К конечного типа и степе-
ни трансцендентности 0? Равенство нулю степени трансцендентности
66
Шафаревич И. Р.
означает, что любой элемент а Е L удовлетворяет уравнению F(a) = О,
где F — многочлен. Такой элемент а называется алгебраическим
над К. Так как L/K — расширение конечного типа, то
L = К(оц, ... , ап) для некоторых од, ... , ап Е L.
Таким образом, L/K может быть получено последовательностью
расширений вида К (а)/К, где а — алгебраический элемент. Наоборот,
последовательность таких расширений всегда имеет степень трансцен-
дентности 0.
Пусть L = К{а), где а — алгебраический над К элемент. Среди
всех многочленов F(x) Е К[х], для которых F(a) = 0 (они существуют,
так как а алгебраично над К), есть многочлен наименьшей степени.
Остальные на него делятся — иначе, производя деление с остатком,
мы пришли бы к многочлену еще меньшей степени с тем же свойст-
вом. Такой многочлен Р(х) наименьшей степени определен однозначно
с точностью до постоянного множителя. Он называется минимальным
многочленом элемента а. Очевидно, он неприводим над К. Зная мини-
мальный многочлен Р, можно в очень явной форме задать все элементы
поля L = К(а). Для этого рассмотрим гомоморфизм
ip : К[х] —> L,
сопоставляющий многочлену F Е К[х] элемент F(a) Е L. Ядро этого
гомоморфизма, как легко видеть, есть главный идеал (Р). Поэтому его
образ (по теореме о гомоморфизмах) изоморфен К[яг]/(Р). Нетрудно
показать, что этот образ совпадает со всем L (для этого надо заметить,
что Im<р — поле и содержит а). Поэтому L изоморфно К[х]/(Р). Если
степень многочлена Р равна п, то, как мы видели в §4 (формула (2)),
в поле L, изоморфном К\х\/(Р), каждый элемент представляется в виде
£ = o,q + Я1О + ... + an—i(xn i, о.,Е К, (2)
и притом единственным образом. Классический пример этой ситуа-
ции: К = Ж, L = С = Ж(г), Р(х) = х2 + 1: любое комплексное число
представляется в виде а + Ы, a, b Е Ж.
Представление (2) для элементов поля L = К (а) приводит к важ-
ному следствию. Забудем об операции умножения в поле L и сохраним
лишь операцию сложения и умножения на элементы поля К. Запись (2)
§ 6. Алгебраический аспект размерности 67
показывает, что линейное пространство L конечномерно над К и эле-
менты 1, а, ... , а"-1 являются его базисом. Расширение L/K называ-
ется конечным, если L как векторное пространство над К конечномер-
но. Его размерность называется степенью расширения L/К и обозна-
чается [L : К]. В предшествующем примере [L : К] = п, в частнос-
ти, [С : Ж] = 2.
Например, если F? — конечное поле и р — его характеристи-
ка, то F? содержит простое подполе из р элементов Fp. Очевидно,
что Fg/Fp — конечное расширение. Если [F? : Fp] = п, то существу-
ют такие п элементов «х, ... , ап G F?, что любой другой однозначно
представляется в виде
q — GxQx апо^п, a,} G Fp,
откуда следует, что число элементов конечного поля F?, равно рп,
т. е. всегда является степенью р.
Легко проверяется транзитивность свойства расширений быть ко-
нечными: если L/К и A/L — конечные расширения, то и расшире-
ние Л/К конечно, причем
[Л : К] = [Л :£][£: К]. (3)
Из предыдущего следует, что любое расширение конечного типа и сте-
пени трансцендентности 0 конечное. Наоборот, если L/K — конечное
расширение и [L : К] = п, то для любого а Е L элементы 1, а, ... , ап
должны быть линейно зависимы над К (так как число их п + 1). Отсюда
следует, что а — алгебраический элемент, а значит, L имеет степень
трансцендентности 0. Таким образом, получается другая характерис-
тика расширений конечного типа и степени трансцендентности 0 — это
конечные расширения. По сказанному выше любое конечное расшире-
ние получается цепочкой расширений вида К(а). Но в очень широких
предположениях — например, для полей характеристики 0 — имеет
место
◄ VI. Теорема о примитивном элементе. Если а
и (3 — алгебраические элементы поля L = К (а, (3), то существует такой
элемент а Е L, что L = К(у).
В этом случае и любое конечное расширение L = K(ai, ... , ап)
может быть представлено в виде L = К(а), так что L ~ К[яг]/(Р) и для
его элементов имеет место представление (2). ►
68
Шафаревич И. Р.
Если в поле К каждый многочлен имеет корень, т. е. поле К алгеб-
раически замкнуто, то все неприводимые многочлены линейны и в его
расширениях не может быть алгебраических элементов, не содержа-
щихся в К. Поэтому у К нет других конечных расширений, кроме него
самого. Таково поле комплексных чисел С. У поля вещественных чисел
есть только два конечных расширения: Ж и С. Но у поля рациональных
чисел Q и поля рациональных функции K(t) (даже при К = С) имеется
очень много конечных расширений. Они являются инструментом для
изучения алгебраических чисел (в случае Q) и алгебраических функ-
ций (в случае C(t)). Можно показать, что любое конечное расширение
поля C(t) имеет вид С(С), где С — некоторая алгебраическая кривая,
а конечное расширение поля C(a?i, ... , ж„) имеет вид C(V), где V —
алгебраическое многообразие (размерности п).
Расширение К(а), где а — корень неприводимого многочле-
на Р(х), задается этим многочленом, поэтому теория конечных расши-
рений есть определенный язык (но также и «философия») в теории мно-
гочленов от одного неизвестного. В одном и том же расширении L/K
существует много элементов а, для которых L = К(а), и много соответ-
ствующих им многочленов Р(х). Расширение же отражает те свойства,
которые у них являются общими. Мы имеем здесь еще один пример
«координатизации», аналогичный сопоставлению поля К (С) алгебраи-
ческой кривой С. Да и конструкция поля К(а) в виде К[яг]/(Р) совер-
шенно параллельна конструкции поля К (С) по уравнению кривой С.
Наиболее элементарный пример, иллюстрирующий применение
свойств конечных расширений к конкретным вопросам, — это теория
построений при помощи циркуля и линейки. Переводя такие построения
на язык координат, легко убедиться, что они сводятся либо к действиям
сложения, вычитания, умножения и деления над числами, выражающи-
ми уже построенные отрезки, либо к решению квадратных уравнений,
коэффициенты которых являются такими числами (нахождение точек
пересечения прямой и окружности или точек пересечения двух окруж-
ностей). Поэтому если обозначить через К расширение поля Q, порож-
денное всеми заданными в условиях задачи величинами, а через а —
численное выражение искомой величины, то задача построения этой
величины циркулем и линейкой сведется к вопросу о том, содержится
ли а в расширении L/К, которое получается цепочкой
L/Li, L^/Lz, ... , Ln-z/Ln-i, Ln-i/Ln = К,
§ 7. Алгебраический аспект инфинитезимальных понятий 69
где все расширения цепочки имеют вид = Li(j3), а /3 удовлетво-
ряет квадратному уравнению. Последнее, конечно, равносильно тому,
что степень [Lj-i : Li] = 2. Применяя соотношение (3), мы получаем,
что [L : К] = 2". Если а 6 L, то и К {а) С Ди опять из (3) мы получа-
ем, что степень [К(а) : К] должна быть степенью двойки. Это только
необходимое условие. Но и достаточное условие разрешимости задачи
циркулем и линейкой также формулируется в терминах поля К (а),
только несколько сложнее. Однако уже полученное необходимое усло-
вие показывает, например, что задача об удвоении куба не разрешима
циркулем и линейкой: она сводится к построению корня многочлена
ж3 -2, a [Q(\/2) : Q] = 3.
Точно так же задача о трисекции угла сводится, например, к постро-
ению а = cos<£>/3, если известно а = cos ip. Они связаны кубическим
уравнением
4а3 — За — а = 0.
Мы должны считать а независимым переменным, т. к. <£> — произволь-
ное. Поэтому К есть поле рациональных функций <Q(a), а [К(а) : К] = 3,
и опять задача не разрешима циркулем и линейкой.
Таким же образом и вопрос о разрешимости алгебраических урав-
нений в радикалах сводится к некоторым вопросам о структуре конеч-
ных расширений. Об этом будет подробнее сказано в § 18.
§ 7. Алгебраический аспект
инфинитезимальных понятий
Рассмотрения «с точностью до бесконечно малых n-го порядка»
удобно перевести на алгебраический язык, рассматривая в качестве
аналога бесконечно малых элементы е (некоторых колец), для кото-
рых е” = 0. Пусть, например, С — алгебраическая кривая, для просто-
ты рассматриваемая над полем комплексных чисел С. Введем комму-
тативное кольцо
U = {а + «ie; а, ai £ С, е2 = 0}.
Можно его точно описать как С[ж]/(ж2), взяв за е образ х при канони-
ческом гомоморфизме С[ж] —> U. Рассмотрим гомоморфизмы С[С] —> U
70
Шафаревич И. Р.
над С, т. е. такие гомоморфизмы, при которых комплексные числа ото-
бражаются тождественно (по построению, С С С[С] и С С U). Такой
гомоморфизм <р определяется образами <р(х) и р(у) координат х и у,
так как другие элементы кольца С[С] являются многочленами h(x, у)
от ж и у и <p(h(x, у)) = h(<p(x), <р(у))- При этом если уравнение кри-
вой С есть F(x, у) = 0, то элементы р(х) и <р(у) кольца U должны
удовлетворять тому же уравнению
г(<^(ж), р(у)) = 0.
(1)
Запишем <р(х) в виде а + а^е а <р(у) — как Ъ + Ь±е. Кольцо U обла-
дает стандартным гомоморфизмом ф : U —> С; ф(а + а±е) = а. При-
меняя его к соотношению (1), мы получаем, что F(a, b) = 0, т. е. го-
моморфизм <р определяет точку (а, Ь) кривой С. Однако, зная эту
точку, мы можем восстановить только члены а и b в выражениях
для <р(х) и <р{у). Каков же смысл коэффициентов а± и /ч? Подставим
в (1) значения для р(х) и р(у) и запишем F(a + «iE, b + &ie) в стан-
дартном виде с + ciE. Развертывая многочлен F по формуле Тейло-
ра и воспользовавшись тем, что F(a, b) = 0 и е2 = 0, мы увидим,
что F(a + aj_e, b + bi£) = (aj_Fx(a, b)+bj_Fy(a, &))s, и условие (1) прини-
мает вид
F(a, b) = 0,
aiF^(a, b) + b) = 0.
Оно означает, что (а, Ь) — точка кривой С, а (ах, &i) — вектор, лежа-
щий на касательной прямой к С в точке (а, Ь). При этом мы предпола-
гаем, что точка (а, Ь) не является особой точкой кривой С, т. е. F'x{a, b)
и Fy(a, Ь) не обращаются одновременно в 0. Легко видеть, что наши рас-
суждения дают описание всех гомоморфизмов кольца С[(7] в U, т. е. эти
гомоморфизмы соответствуют парам: точке кривой С и вектору каса-
тельной прямой к кривой в этой точке. Аналогично, для случая алгеб-
раической поверхности мы получим описание касательных плоскостей
и т. д.
Сформулируем предшествующие рассуждения несколько по-ино-
му. Гомоморфизм ср : С[С] —> U мы соединили со стандартным гомо-
морфизмом ф : U —> С и получили последовательность гомоморфизмов:
С[С] Л U Л С.
§ 7. Алгебраический аспект инфинитезимальных понятий 71
Сквозной гомоморфизм = фср определяет точку Хд Е С и сопостав-
ляет функции ее значение в Хд (пример 2 §4). Поэтому ядро совпадает
с максимальным идеалом ЯФЖо кольца С[(7], состоящим из функций,
обращающихся в 0 в точке х. Если Хд = (а, Ъ), то х — а и у — b при-
надлежат ЯФЖо. Этому соответствует то, что ср(х — а) и ср(у — Ь) имеют
вид ахЕ и &1Е, т. е. принадлежат идеалу I = Кегф кольца U. Вектор
же касательного пространства в точке х() (в нашем случае — касатель-
ной прямой) определяется образами х — а и у — Ь, лежащими в этом
идеале, т. е. ограничением ср на ЯФЖо. Очевидно, что на идеале ЯФ| го-
моморфизм ср обращается в 0 (так как е2 = 0). Поэтому ср определяет
линейное отображение пространства ЯФЖ0/ЯФ20 в С и именно эта линей-
ная функция и задает вектор касательного пространства в точке Хд.
Нетрудно доказать, что любая линейная функция ЯФЖо/ЯФ2о —> С опре-
деляет касательный вектор в точке я?о- Таким образом, ◄ касательное
пространство в точке хд описывается как сопряженное пространство
к пространству ЯФЖо/ЯФ2о, где ЯФЖо — максимальный идеал, соответ-
ствующий точке я?о- ►
Аналогично обстоит дело и в случае алгебраической поверхности С
с уравнением F(x, у, z) = 0: касательная плоскость к С в неособой
точке Хд = (а, Ь, с) (т. е. такой, что
F'(a, Ъ, с), F'(a. b. с) и F'(a, b. с)
не обращаются одновременно в 0) отождествляется с сопряженным про-
странством к ЯФЖо/ЯФ|о. Позже мы применим эти соображения к про-
извольному алгебраическому многообразию, а сейчас покажем, что они
применимы и не только в алгебраической ситуации.
Пример 1. Пусть А — кольцо функций, дифференцируемых
в окрестности точки О n-мерного векторного пространства Е, и ЯФ —
идеал функций, обращающихся в О в нуль. По формуле Тейлора функ-
ция f Е ЯН представляется в виде f = I (mod ЯН2), где I — линейная
функция. Линейные функции образуют пространство Е*, сопряжен-
ное Е, и мы имеем опять изоморфизм ЯФ/ЯФ2 ~ Е*. Если £ Е Е, то /(£)
ay
можно интерпретировать как частную производную /(£) = -ргр(О).
Аналогично обстоит дело, если А — кольцо дифференцируемых
функций на дифференцируемом многообразии X и ЯФ состоит из функ-
ций, обращающихся в нуль в точке хд Е X. Опять ЯФ/ЯФ2 ~ Т*о,
72
Шафаревич И. Р.
где ТХо — касательное пространство в точке Хд и изоморфизм зада-
ется тем, что для £ G ТХо и I = f (mod ®l2)
КО = Цы- (2)
Предшествующее рассуждение предполагало, что мы уже располагали
определением касательного пространства дифференцируемого многооб-
разия, но его можно обратить и превратить в определение касательного
пространства:
тхо = (Жо/<„)*• (3)
Таким образом, £ 6 ТХо — это, по определению, линейная функция I
на ®1Жо, равная 0 на ®12о. Положив I, по определению, равной нулю
на константах, мы получим функцию на всем А. Легко видеть, что
наложенные на нее условия можно записать как
(l(af + (3g) = al(f) + (31(g), а, (3 £К, f, gG А,
\j(fg) = l(f)g(xo) + Kg) fM-
В таком виде они аксиоматизируют интуицию касательного вектора
как «того, по чему можно дифференцировать функцию» (см. форму-
лу (2)). Соотношение (3) (или эквивалентные ему условия (4)) дают,
пожалуй, самое инвариантное определение касательного пространства
в точке дифференцируемого многообразия.
В этой связи естественно рассмотреть понятие векторного поля
на дифференцируемом многообразии. По определению векторное по-
ле в сопоставляет любой точке х G X вектор в(х) G Тх. Для любой
функции f G А и точки х G X вектор в(х) определяет число 6(x)(f),
т.е. функцию g(x) = 0(x)(f). Этот оператор мы обозначим ©(/). Соот-
ношения (4) показывают, что он удовлетворяет условиям
®(а/ + (3 g) = a9(f) + (39(g),
®(fg) = f9>(g) + ®(f)g-
Такой оператор называется линейным дифференциальным оператором
первого порядка. В некоторой системе координат (xi, ... , хп) он запи-
сывается, как легко видеть, формулой
§ 7. Алгебраический аспект инфинитезимальных понятий 73
где ai = Обратно, каждый оператор ©, обладающий свойства-
ми (5), определяет векторное поле в, для которого
6'(х)(/) = ©(/)(ж).
Для произвольного кольца А отображение © : А —> А называется
дифференцированием, если оно удовлетворяет условиям
©(а + &) = 9>(а) + ©(&),
9>(ab) = aSH(b) + ©(а)&.
Если В С А — подкольцо, то @ называется дифференцированием над В,
если ©(&) = 0 при b G В. Тогда @(а6) = @(а)6 при a G A, b G В.
Дифференцирования А над В образуют модуль над А, если положить:
(@1 + @2)(а) = ©1(a) + ©г(а),
(с@)(а) = с@(а), а, с G А.
Мы можем, таким образом, сказать, что модуль векторных полей
на дифференцируемом многообразии X — это, по определению, модуль
дифференцирований над полем Ж кольца дифференцируемых функций
на X. Вместе с утверждениями примеров 13 и 12 § 5 мы получаем те-
перь алгебраическое определение всех основных понятий: векторных
полей, одномерных и r-мерных дифференциальных форм на многообра-
зии.
Теперь вернемся к произвольным коммутативным кольцам. В § 4
мы сформулировали общую концепцию, согласно которой элементы
произвольного коммутативного кольца А можно рассматривать как
функции на «пространстве», точками которого являются максималь-
ные (в другом варианте — простые) идеалы кольца, причем гомомор-
физм А —> A/9JI является определением значения «функции» а Е А
в «точке», соответствующей максимальному идеалу 9Л. Теперь мы мо-
жем эту концепцию углубить, приписав каждой «точке» — «касательное
пространство». Для этого рассмотрим максимальный идеал 9Л, опреде-
ляющий «точку», и фактор Пусть k = A/9JI — «поле значе-
ний» в «точке», соответствующей 9Л. Для элементов т G 911 и a G А
класс вычетов ат по модулю ЯД2 зависит только от класса вычетов а
по модулю 9Л, т. е. от элемента поля к, определяемого элементом а.
74
Шафаревич И. Р.
Это показывает, что ЯИ/Ш12 является векторным пространством над по-
лем к. Сопряженное пространство, т. е. совокупность линейных функ-
ций на ЯИ/Ш12 со значениями в к, и является аналогом касательного
пространства к «точке», соответствующей идеалу ЯН.
Такая точка зрения полезна при анализе различных геометричес-
ких и алгебраических ситуаций. Например, если неприводимая алгебра-
ическая кривая С задана уравнением F(x, у) = 0, то для ее точки (а, Ь)
касательное пространство задается уравнением
F^. (a, b) (х - а) + F^ (а, Ь) (у - Ь) = 0.
Оно одномерно для всех точек (а, Ь), кроме тех, для которых F^(a, Ь) = 0,
Fg(a, b) = 0. Точки, для которых выполняются эти равенства, называ-
ются особыми, остальные — простыми. Легко видеть, что число особых
точек конечно. Мы видим, что касательное пространство одномерно
(т. е. его размерность совпадает с размерностью С) для простых точек
и имеет большую размерность (а именно, 2) для особых. Аналогичная
картина имеет место и для более общих алгебраических многообра-
зий: касательные пространства имеют одинаковую размерность во всех
точках, кроме точек некоторого собственного алгебраического подмно-
гообразия, для которых эта размерность подскакивает. Это дает нам:
во-первых, новую характеристику размерности неприводимого алгеб-
раического многообразия (размерность касательных пространств всех
точек, кроме точек некоторого собственного подмногообразия), во-вто-
рых, выделяет особые точки (точки этого собственного подмногообра-
зия), и, в-третьих, дает важную характеристику особой точки — под-
скок размерности касательного пространства. Но, пожалуй, наиболее
замечательно — что эти понятия применимы к произвольным кольцам,
хотя бы и не геометрического происхождения, и дают возможность вос-
пользоваться при их изучении геометрической интуицией. Например,
максимальные идеалы кольца целых чисел Z описываются простыми
числами и для ЯН = (р) пространство 9Л/Ш12 одномерно над полем Fp,
так что здесь мы не встречаем особых точек.
Пример 2. Рассмотрим кольцо А, состоящее из элементов а + Ь<г,
a, b G Z, действия над которыми определены по обычным правилам, ис-
ходя из условия <т2 = 1 (оно встречается в связи с арифметическими
свойствами группы второго порядка). Его максимальные идеалы опи-
сываются следующим образом. Для любого простого числа р 2 мы
§ 7. Алгебраический аспект инфинитезимальных понятий
75
имеем два максимальных идеала
ЯД}, = {а + Ьа, а + b делится на р}
и
ЯД" = {a+ ba, а — b делится на р}.
Очевидно, ЯД} = (р, 1 — <т), ЯД} = (р, 1 + а). Для каждого из них про-
странство ЯД/ЯД2 одномерно над полем Fp. Кроме того, существует еще
один максимальный идеал ЯДг = {а + Ь<т, а и Ь одинаковой четности} =
= (2, 1 + <т). Легко видеть, что ЯД2 = (4, 2 + 2<т) и ЯД2/ЯД2 состоит из
четырех элементов — классов смежности элементов 0, 2, 1 + а и 3 + <т.
Таким образом, это двумерное пространство над полем F2. Идеал ЯД2
соответствует единственной особой точке.
Все предшествующие рассуждения связаны с рассмотрением «с точ-
ностью до бесконечно малых 2-го порядка», что для произвольного
кольца А и максимального идеала ЯД сводится к рассмотрению коль-
ца Л/ЯД2. Разумеется, возможно рассмотрение и «с точностью до бес-
конечно малых г-го порядка», что приводит к кольцу Л/ЯДГ. Напри-
мер, если А есть кольцо многочленов С[ж1, ... , хп] или кольцо анали-
тических в начале координат функций от переменных z±, ... , zn, или
кольцо бесконечно дифференцируемых (комплекснозначных) функций
от п переменных, а ЯД — идеал функций, обращающихся в нуль в точ-
ке О = (0, ... , 0), то Л/ЯДГ является конечномерным векторным про-
странством над С. Оно обобщает уже ранее рассматривавшееся нами
пространство Л/ЯД2 и называется пространством струй (т — 1)-го по-
рядка.
Пример 3. Дифференциальные операторы порядка > 1. Линейный
дифференциальный оператор порядка г на дифференцируемом много-
образии X можно определить формально, как такое линейное (над Ж)
отображение © : Л —> Л кольца Л дифференцируемых функций на X,
что для любой функции g G Л оператор ©i(/) = ^(gf) — имеет
порядок г — 1. Формулы (5), определяющие оператор порядка 1, пока-
зывают, что ©(g/)—g©(/) есть оператор умножения на функцию (имен-
но, ©(g)), т.е. порядка 0. Наоборот, если 3>(gf) — g3>(J) есть оператор
умножения на функцию, то, как легко проверить, ©(/) = ©(/) + ©(1)/,
где © — оператор порядка 1.
Из определения, по индукции следует, что если © — оператор
порядка г, то ©(ЯД',./1) С ЯДЖо, где ЯДЖо С Л — максимальный
76
Шафаревич И. Р.
идеал, соответствующий точке Xq Е X. В координатах это означает,
что @(/)(жо) зависит только от значений в точке Xq частных производ-
ных функции f порядков г. Иначе говоря, имеет место запись
ад = Е «п
in (^1 ?•••?
И +.. .+in
gh + .-.+in f
<)x± ... дхг™ ’
ai1...i„ E A.
Для любой точки Xq Е X отображение /(ж) —> @(/)(жо) определяет
линейную функцию I на пространстве струй порядка г : I Е (A/9Jlr)*
совершенно аналогично тому, как линейный дифференциальный опе-
ратор 1-го порядка определяет линейную функцию на пространст-
ве ®1жо/<0.
Но наиболее тонкий аппарат для изучения кольца А «в окрестнос-
ти максимального идеала ЭЛ» мы получим, рассмотрев одновременно
все кольца А/9Л", п = 1, 2, 3, .... Их все можно объединить в одно
кольцо А, называемое их проективным пределом. Для этого заметим,
что существует канонический гомоморфизм срп : А/9И"+1 —> А/9Л",
ядром которого служит Кольцо А определяется как последо-
вательность элементов {ап, ап Е А/ЭЛ”}, согласованных в том смысле,
что <£>п(аи+1) = ап. Действия над последовательностями производятся
покомпонентно. Каждый элемент а Е А определяет такую последова-
тельность: ап = а + 9Л", и, таким образом, мы получаем гомомор-
физм ip : А —> А. Ядром его является пересечение всех идеалов Во
многих интересных случаях это пересечение равно 0 и, значит, А вкла-
дывается в А как подкольцо.
Пример 4. Пусть А = К[х], ЭЛ = (ж). Элемент а кольца К[х\/(хп)
однозначно задается многочленом
fn = do + сцх + ... + а„-1Жп 1
и последовательность элементов {а„} согласована, если многочлен fn+i,
соответствующий аи+1, получается из fn приписыванием члена степе-
ни п. Вся последовательность тогда определяет бесконечный (формаль-
ный) степенной ряд. Иными словами, кольцо А изоморфно кольцу фор-
мальных степенных рядов К[[ж]] (пример 6 §3). Вложение <р : К[х] —>
—> 7Г[[ж]] продолжается до вложения полей частных ср : К(х) —> К((ж)),
где К((ж)) — поле формальных рядов Лорана (пример 5 §2). Легко ви-
деть, что это вложение совпадает с сопоставлением рациональной функ-
ции ее ряда Лорана в точке ж = 0. В частности, если функция не имеет
§ 7. Алгебраический аспект инфинитезимальных понятий
77
полюса при х = 0, ей сопоставляется ее ряд Тейлора. Например, ес-
ли /(ж) = 1/1 — х, то /(ж) = 1 + ж + ... + жи-1(ж"), т. е. знаменатель
функции /(ж) — 1 — ж —.. .-ж"-1 на ж не делится, а числитель делится ж".
Это и значит, что /(ж) сопоставляется ряд 1 + ж + ж2 + ....
Пример 5. Пусть А — кольцо 7Г[С], где С — произвольное алгеб-
раическое многообразие. Если ®1с — максимальный идеал этого кольца,
соответствующий простой точке с Е С, то кольцо А изоморфно коль-
цу К[[жх, ... , ж„]] формальных степенных рядов (п — размерность С
в любом из обсуждавшихся ранее вариантов этого определения). Более
того, вложение
ВД^ГГ[[жх,...,Жп]]
продолжается на те функции из К (С), которые конечны в точке с,
т. е. могут быть представлены в виде Р/Q, где Р, Q Е _/Г[С] и Q(c) 0.
Это дает представление таких функций в виде формальных степенных
рядов. Если поле К совпадает с полем комплексных чисел С или дейст-
вительных Ж, то можно доказать, что соответствующие ряды сходятся
при достаточно малых значениях жх, ... , ж„. Именно таким образом
доказывается, что алгебраическое многообразие без особых точек яв-
ляется также топологическим, дифференцируемым и аналитическим
многообразием.
Пример 6. Пусть А — кольцо бесконечно дифференцируемых
функций в окрестности ж = 0, а I — идеал функций, обращающих-
ся в 0 в этой точке. Тогда 1п — это функции, обращающиеся при ж = 0
в 0 вместе со всеми производными порядка < п, а А/1п — это коль-
цо Ж[ж]/(ж”), и гомоморфизм А —> Ж[ж]/(ж”) задается формулой Тейло-
ра. В нашем случае ПТ” 0, так как существуют отличные от 0 бес-
конечно дифференцируемые функции, все производные которых рав-
ны 0 при ж = 0. Гомоморфизм А —> А сопоставляет каждой функции
ее формальный ряд Тейлора. Так как согласно теореме Бореля
существуют бесконечно дифференцируемые функции с наперед задан-
ными значениями всех производных в 0. то Л ~ Ж[[£]].
Но можно применить те же идеи к кольцам совершенно другой
природы.
Пример 7. Пусть А есть кольцо целых чисел Z и М = (р), где р —
некоторое простое число. В качестве А мы получаем кольцо Zp, называ-
емое кольцом целых р-адических чисел. По аналогии с рассмотренным
78
Шафаревич И. Р.
выше случаем кольца К[х] можно убедиться, что элемент кольца
задается последовательностью целых чисел вида
ап = + а1Р + ... + an-ipn х,
где ai принадлежит фиксированной системе представителей классов вы-
четов по модулю р: ,0 С а; < р, и аи+1 получается из ап приписыва-
нием члена апрп- Такую последовательность можно записать в виде
формального ряда
do + aiP + Я2Р2 + • • • •
Действия над такими рядами производятся совершенно аналогично дей-
ствиям над целыми числами, записанными в р-ичной системе счис-
ления: если, действуя над коэффициентами а,, мы переходим к чис-
лу с > р, то мы должны поделить с с остатком на р: с = со + с±р,
и перенести ci «в следующий разряд». Кольцо Z/( целостно, его поле
частных называется полем р-адических чисел. Вложение Z —>
продолжается до вложения Q >
Чтобы более выпукло очертить связь приведенных выше конструк-
ций, вернемся к примеру кольца К[х] и поля К(х). Для более точной
численной характеристики того, что функция f Е К(х), f 0, явля-
ется бесконечно малой заданного порядка в точке х = 0, введем пока-
затель р(/), равный п > 0, если f имеет нуль кратности п в точке 0,
и — п, если f имеет там полюс кратности п. Выберем раз и навсегда ве-
щественное число 0 < с < 1 (например, с = |) и положим <£>(/) = cv,'f>
для / 0 и <р(0) = 0. Тогда <£>(/) мало, если f — бесконечно малая
большого порядка при х = 0. Введенное нами выражение <£>(/) обладает
формальными свойствами модуля рационального, вещественного или
комплексного числа: tp(J) = 0 тогда и только тогда, когда f = 0,
<P(Jg) = <P(.f)p(g), Ptf + g) +<P(g)- (7)
Поле L, на котором задана вещественнозначная функция с этими тремя
свойствами, называется нормированным, а функция <р — его нормой.
Простейший пример нормированного поля — это поле рациональных
чисел Q с р(х) = |ж|. Процесс построения поля вещественных чисел по
Коши, исходя из рациональных чисел, при помощи фундаментальных
последовательностей, дословно переносится на любое нормированное
поле L. Мы получаем новое нормированное поле L, в которое L вкла-
дывается как подполе с сохранением нормы, в котором образ L всюду
§ 7. Алгебраический аспект инфинитезимальных понятий
79
плотен и которое (в смысле его нормы) полно, т. е. удовлетворяет кри-
терию сходимости Коши. Это поле L называется пополнением поля L
по норме <р.
Построение поля и вложения К(х) —> К((х)) является, как
очень легко убедиться, применением этой общей конструкции к слу-
чаю введенной нами нормы <p(f) = cv^. Теперь мы можем пользо-
ваться тем, что в поле К(х) = К((х)) имеется норма, продолжающая
норму <р поля К(х). Легко увидеть, какова она: если f G К((ж)), f О,
/ = спхп + сп+1хп+1 + ..., сп 0, то <£>(/) = с"; </?(0) = 0. Но в нор-
мированном поле имеет смысл говорить о сходимости рядов, и легко
убедиться, что любой формальный ряд Лорана в этом смысле сходится
(в частности, хп —> 0 при п —> оо в смысле нашей нормы). Сопостав-
ление рациональной функции f ее ряда Лорана теперь превращается
в равенство, имеющее тот смысл в поле К(х) = К((х)), что f равна
сумме сходящегося к ней ряда.
В связи с этим интересно выяснить, какие, вообще, нормы можно
определить в поле К(х). Мы ограничимся случаем, когда К = С (поле
комплексных чисел), и усилим понятие нормы, прибавив к условиям (7)
еще одно:
<р(а) = 1, если а £ С, а 0.
(8)
Очевидно, что построенная норма <p(f) = этому дополнитель-
ному условию удовлетворяет. Конечно, мы можем варьировать нашу
конструкцию, рассматривая вместо точки х = 0 произвольную точ-
ку х = а, т. е. определяя р(/) как порядок нуля или полюса функции f
в точке х = а. Полученную норму обозначим через <ра. Можно по-
строить еще одну аналогичную норму, рассматривая порядок нуля или
полюса функции в бесконечности. Эту норму мы обозначим через
Проще всего определить ее равенством <£>оо(/)
= ст п, если f = Р
’ J Q’
и Q — многочлены степени пит соответственно (и, конечно, 79(0) = 0).
Нетрудно доказать, что все нормы поля С(ж) этими нормами и
исчерпываются.
◄ I. Все нормы поля С(ж) (с дополнительным свойством (8)) ис-
черпываются нормами ра, а 6 С, и нормой ip^. ►
Таким образом, нормы поля С(ж) очень естественно дают нам все
точки прямой (включая бесконечно удаленную) или римановой сферы,
на которой рациональные функции определены.
80
Шафаревич И. Р.
Поставим теперь тот же вопрос для конечных расширений по-
ля С(ж). Они имеют вид С(С), где С — некоторая неприводимая кри-
вая. Ответ оказывается похожим, но несколько более тонким. Каждой
простой точке с кривой С соответствует некоторая норма рс, харак-
теризуемая, например, тем, что <£>с(/) < 1 тогда и только тогда, ког-
да /(с) = 0. Но сверх того прибавляется еще конечное число норм.
Во-первых, соответствующие бесконечно удаленным точкам кривой С
(которые возникают, если рассматривать кривую в проективной плос-
кости). Во-вторых, особым точкам может соответствовать несколь-
ко разных норм. Вся совокупность норм находится во взаимно одно-
значном соответствии с точками некоторой неособой кривой, лежащей
в проективном пространстве и определяющей то же поле С(С), — так
называемой неособой проективной модели кривой С. Ее точки, следо-
вательно, замечательным образом характеризуются полем С(С) совер-
шенно инвариантно. Другая формулировка того же описания заклю-
чается в том, что если кривая С задана уравнением F(x, у) = 0, то
все нормы поля С(С) находятся во взаимно однозначном соответствии
с точками римановой поверхности функции у как аналитической функ-
ции от х. Это можно рассматривать как чисто алгебраическое описание
римановой поверхности алгебраической функции.
Пусть £ = (а, Ь) — некоторая точка алгебраической кривой С
с уравнением F(x, у) = 0, а <р — одна из норм, соответствующих точ-
ке £. Тогда пополнение поля С(С) по норме <р опять изоморфно полю
формальных рядов Лорана C((i)). Пусть при вложении С(С) С C((i))
х - а = cktk + ck+1tk+1 + ... , ck ± 0.
Тогда х — а = tk f(t), /(0) 0. Отсюда
где
т = tf(t^k,
a f(ty/k надо понимать как формальный ряд, имеющий смысл ввиду
условия /(0) 0. Легко показать, что т является, как и t, «параметром»
поля С((£)), т.е. все элементы этого поля представляются как ряды
Лорана и от т: C((i)) = С((т)). В частности,
у = 52diT" = 52 - а^/к-
§ 7. Алгебраический аспект инфинитезимальных понятий
81
Такие разложения алгебраической функции у по дробным степе-
ням (я? — а) называются разложениями Пюизо.
Перейдем теперь к полю рациональных чисел Q. Пусть р — простое
число, ас — вещественное число, 0 < с < 1. Обозначим через г/(п)
наибольшую степень числа р, на которую делится п, и положим для
рационального числа а = п, т G Z,
<рр(а) = <р(0) = 0.
Легко проверить, что /рр — норма на поле рациональных чисел Q. Рас-
сматривая пополнение Q по этой норме, мы придем к полю р-адичес-
ких чисел Q , которое было введено ранее. В нем имеет смысл понятие
сходимости рядов, и формальные ряды, которыми мы задавали р-ади-
ческие числа, сходятся. Например, равенство
-J— = 1 + р + р2 + _ _ _
1 — р
имеет тот смысл, что число слева есть сумма сходящегося ряда справа.
По аналогии с полем С(х) естественно спросить: каковы же все
нормы поля Q?
◄ II. Теорема Островского. Все нормы поля Q —
это р-адические нормы /рр и, сверх того, нормы вида ip(a) = |а|с, где с —
вещественное число, 0 < с < 1. ►
Число с является таким же несущественным параметром, как и
аналогичное число в определении р-адической нормы и нормы <ра в по-
ле С(ж): нормы, получающиеся при разном выборе этого числа, опре-
деляют одно и то же понятие сходимости и изоморфные пополнения.
Пополнение по норме = | |с, конечно, дает поле вещественных чисел.
Таким образом, все поля р-адических чисел Q и поле вещественных
чисел Ж играют совершенно одинаковую роль. Сравнение с полем С(яг)
показывает, что простые числа р (определяющие поля Q ) аналогичны
конечным точкам х = а, и вложения Q —> (Q аналогичны разложениям
в ряды Лорана в конечных точках, а тогда вложение Q —> R является
аналогом разложения в ряд Лорана в бесконечности. Это дает единую
точку зрения на два типа свойств целых (и рациональных) чисел: де-
лимость и величину. Например, то, что уравнение /(ж) = 0, f 6 Z[x],
имеет вещественный корень, означает, что существуют рациональные
числа ап, для которых |/(а„)| сколь угодно мало. Аналогично, разреши-
82
Шафаревич И. Р.
мость уравнения /(я?) = 0 в поле р-адических чисел означает, что су-
ществуют рациональные числа ап, для которых <рр(/(ага)) сколь угодно
мало, т. е. /(ага) делится на все более высокую степень р. Можно пока-
зать, что для многочлена /(Ж1, , хп) разрешимость уравнения
/(Ж1, ... , хп) = О
в поле равносильна тому, что сравнение
/(Ж1, ... , хп) = 0 (modpfc)
разрешимо при любом к. Так как сравнения по любому модулю сво-
дятся к сравнениям по модулям рк, то разрешимость уравнения f = О
во всех полях (Q эквивалентна разрешимости сравнений
f = 0 (mod TV)
для всех модулей N. Например, классический результат теории чисел
утверждает:
Ч Ш. Теорема Лежандра.
Уравнение
ах2 + by2 = с (а, Ь, с 6 Z, с > 0)
тогда и только тогда разрешимо в рациональных числах, когда выпол-
нены условия:
1) а > 0 или b > 0,
2) сравнение ах2 + by2 = с (mod N) разрешимо для всех N.
В силу сказанного выше это значит: уравнение ах2 + by2 = с раз-
решимо в рациональных числах тогда и только тогда, когда оно разре-
шимо в любом из полей (Q и в R. ►
Этот результат может быть обобщен:
◄ IV. Теорема Минковского-Хассе. Уравнение
У(ж1, ... , хп) — с.
где f — квадратичная форма с рациональными коэффициентами, с 6 Q,
тогда и только тогда разрешимо в Q, когда оно разрешимо во всех
полях (Ц)р и R. ►
Поле р-адических чисел отражает арифметические свойства рацио-
нальных чисел (делимость на степени р), но, с другой стороны, имеет
§ 7. Алгебраический аспект инфинитезимальных понятий
83
ряд общих свойств с полем Ж: в (Q можно рассматривать меры, ин-
тегралы, аналитические функции, интерполяцию и т. д. Это дает мощ-
ный теоретико-числовой метод, при помощи которого (особенно при
совместном рассмотрении всех полей (Q и ®) получено большое число
глубоких арифметических результатов.
В заключение рассмотрим конечное расширение К поля Q. Такое
поле называется полем алгебраических чисел. Какие нормы в нем су-
ществуют? Каждая его норма индуцирует некоторую норму поля Q,
и можно показать, что любая норма поля Q индуцируется конечным
числом норм К. Те из них, которые индуцируют норму |а|, связаны
с вложениями поля К в поле вещественных чисел Ж или комплекс-
ных чисел С и функцией |ж| в этих полях. Рассмотрим другие нормы.
В поле Q подкольцо Z выделяется условиями <рр(а) 1 для всех р.
По аналогии, рассмотрим те элементы поля К, для которых <р(а) 1
для всех норм поля К, индуцирующих нормы tpp поля Q для какого-ли-
бо р. Эти элементы, как нетрудно доказать, образуют кольцо А, которое
играет роль кольца целых чисел в К. Его элементы называются целы-
ми алгебраическими числами. Поле частных кольца А совпадает с К.
Очевидно, A D Z. Можно доказать, что А как модуль над Z является
свободным модулем; ранг его равен степени [К : Q] расширения AT/Q.
Кольцо А, вообще говоря, не является факториальным, но в нем всегда
справедлива теорема об однозначности разложения идеала в произве-
дение простых идеалов. В частности, для любого простого идеала р
и элемента а С А определен показатель г/(а), показывающий, на какую
степень идеала р делится главный идеал (а). Выберем вещественное
число с, 0 < с < 1, и для любого элемента
е^о, е= а,/Зе А,
р
положим
Таким образом, каждому простому идеалу р из кольца А сопоставляет-
ся норма <р>р. Оказывается, что этими нормами исчерпываются все нор-
мы поля К, индуцирующие нормы <р>р поля Q. Эти факты составляют
первые шаги арифметики полей алгебраических чисел. Сравнивая их
с аналогичными фактами, приведенными выше в связи с полями С((7)
(С — алгебраическая кривая), можно заметить далеко идущий парал-
лелизм между арифметикой полей алгебраических чисел и геометрией
84
Шафаревич И. Р.
алгебраических кривых (или свойствами соответствующих римановых
поверхностей). Это — дальнейшая реализация той «функциональной»
точки зрения на числа, о которой мы говорили в § 4 (см. замечания
после примера 3).
§ 8. Некоммутативные кольца
В множестве линейных преобразований конечномерного векторно-
го пространства определены две операции: сложение и умножение, а при
записи линейных преобразований матрицами эти операции переносят-
ся и на матрицы. Существование обеих операций исключительно важно
и постоянно используется. Например, только благодаря этому можно
определить многочлены от линейного преобразования, а они использу-
ются, хотя бы, при исследовании структуры линейного преобразова-
ния, существенно зависящей от кратности корней его минимального
многочлена. Те же две операции и предельный переход дают возмож-
ность определить аналитические функции от матрицы (вещественной
или комплексной). Например,
еА = ^Ап/п1,
71=0
а это позволяет, записав систему п линейных обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами
и с п неизвестными в виде
<^=Ах,
dt '
где х — вектор неизвестных функций, А — матрица коэффициентов,
написать решение в виде x(t) = eAtXg, где Хд — вектор начальных
данных. Операции сложения и умножения линейных преобразований
подчиняются всем аксиомам коммутативного кольца, за исключением
коммутативности умножения. Отбрасывая это требование в определе-
нии коммутативного кольца, мы и в названии нового понятия отбрасы-
ваем эпитет «коммутативное».
◄ Таким образом, кольцо есть множество с операциями сложения
и умножения, удовлетворяющими условиям:
а + Ь = Ь + а,
а + (Ь + с) = (а + Ь) + с,
§ 8. Некоммутативные кольца 85
(ab)c = а(Ьс),
а(Ь + с) = ab + ас,
(b + с)а = Ьа + са.
Существует элемент 0, для которого а + 0 = 0 + а = а для всех а.
Существует для любого а элемент —а со свойством а + (—а) = 0. Су-
ществует такой элемент 1, что la = al = а для всех а. ►
Приведем несколько примеров колец (некоммутативных; примеры
коммутативных колец мы уже во множестве рассматривали).
Пример 1. Кольцо линейных преобразований векторного про-
странства L и его естественное обобщение — кольцо всех гомоморфиз-
мов в себя модуля М над коммутативным кольцом А. Гомоморфизмы
модуля в себя называются эндоморфизмами, а определенное выше коль-
цо обозначается ЕпсЦ(М). Если А = К — поле, получаем кольцо ли-
нейных преобразований векторного пространства L, которое мы будем
дальше также обозначать End/< L.
Пример 2. Простейшим бесконечномерным аналогом кольца ли-
нейных преобразований является кольцо ограниченных линейных опе-
раторов в банаховом пространстве.
Пример 3. Кольца линейных дифференциальных операторов от од-
ного или п переменных, коэффициентами которых являются многочле-
ны или аналитические, или бесконечно дифференцируемые функции,
или формальные степенные ряды (конечно, от того же числа перемен-
ных).
Прежде чем идти дальше в рассмотрении примеров, отметим те
понятия, которые были нами введены для коммутативных колец, но на
самом деле коммутативности не использовали. Это — изоморфизм, го-
моморфизм, ядро и образ гомоморфизма, подкольцо, градуированное коль-
цо.
Например, выбор базиса в n-мерном пространстве L над полем К
определяет изоморфизм кольца Endj<(L) с кольцом матриц порядка п,
которое обозначается Мп(К).
В кольце R совокупность элементов а, коммутирующих со всеми
элементами R (т. е. ах = ха для всех х Е R), образует подкольцо, кото-
рое называется центром. Оно обозначается Z(R).
86
Шафаревич И. Р.
Если центр кольца R содержит подкольцо А, то R называется ал-
геброй над А. Забыв об умножении в В и обращая внимание лишь на
умножение элементов из R на элементы из А, мы превращаем R в мо-
дуль над А. Понятие гомоморфизма двух алгебр над коммутативным
кольцом А отличается от просто гомоморфизма колец тем, что требует-
ся, чтобы каждый элемент из А отображался сам в себя, т. е. чтобы го-
моморфизм определял гомоморфизм соответствующих модулей над А.
Так же определяется понятие подалгебры алгебры R над А — она долж-
на быть подкольцом, содержащим А.
Если А — К есть поле и R — алгебра над К, то размерность R
как линейного пространства над К называется рангом алгебры R. Мы
уже встречались с этим понятием: конечное расширение L/K — это
расширение, являющееся алгеброй конечного ранга. Алгебра конечного
ранга п над полем К по определению обладает базисом ei, ... , е„, и ум-
ножение в алгебре определяется умножением элементов этого базиса.
Так как ед:,- есть снова элемент алгебры, то он записывается в виде
CjjkCk г Cijk £ R* (1)
Элементы с^к называются структурными константами алгебры. Они
определяют умножение в алгебре:
1 ' dibj Cijk Ck •
Соотношения (1) называются таблицей умножения алгебры. Конеч-
но, структурные константы нельзя задавать произвольно: они долж-
ны удовлетворять условиям, отражающим требование ассоциативности
умножения и существования единичного элемента.
Например, кольцо матриц Мп(К) является алгеброй ранга п2 над
полем К. За ее базис можно взять п2 матриц E(j, у которых все элемен-
ты равны 0, за исключением стоящих на пересечении г-й строки и j-ro
столбца, которые равны 1. Ее структурные константы определяются
равенствами:
EijEki = 0 при j к,
EijEji = Ец.
Теперь можно привести еще несколько примеров колец, задающих-
ся проще всего как алгебры над полем.
§ 8. Некоммутативные кольца
87
Пример 4. Пусть G — конечная группа (мы предполагаем, что
читатель с этим понятием знаком, но все же напомним его в § 12). По-
строим алгебру над полем К, элементы базиса которой занумерованы
элементами группы: eg, g € G, и перемножаются так же, как эти эле-
менты: _
А’|'А’2 'glg'2'
Полученная алгебра называется групповой алгеброй группы G и обозна-
чается JT[G]. Точно так же определяется групповая алгебра Л[С] ко-
нечной группы G над коммутативным кольцом А. Отождествляя эле-
менты g Е G с соответствующими элементами базиса eg, можно счи-
тать, что элементы алгебры записываются в виде сумм ^2 ctgg-
( \
Произведение I agg I I /З/j/i I записывается, конечно, в таком же
/ Клее J
виде ^2 7gg, где, как легко проверить,
gEG
7g — 5 ' auPu^1g- (3)
ugG
Элемент agg задается своими коэффициентами, которые можно рас-
gEG
сматривать как функцию на G и соответственно записывать в ви-
де a(g). Тогда мы получим интерпретацию алгебры как алгебры
функций на группе, с умножением, сопоставляющим функциям a(g)
и /3(g) функцию 7(g) (см. (3)):
7(g) = 52 a(M)/3(M-1g)- (4)
ugG
Эта запись служит отправной точкой для обобщений на бесконечные
группы. Например, если G — единичная окружность \z\ = 1, то, запи-
сывая ее элементы через аргумент <р, мы увидим, что функция на G —
это просто периодическая функция от р с периодом 2тг. По аналогии
с формулой (4) групповую алгебру нашей группы определяют как ал-
гебру периодических функций a(<g) (например, непрерывных и абсо-
лютно интегрируемых) с законом умножения, сопоставляющим a(<g)
И /?(<£>) функцию 2тг
7(<g) = У a(0/3(<g - t) dt.
О
Эта операция называется в анализе сверткой функций.
88
Шафаревич И. Р.
Это определение обладает одним формальным недочетом — груп-
повая алгебра не содержит единицы, которая является 5-функцией еди-
ничного элемента. От этого легко избавиться, присоединив к построен-
ной алгебре R единицу, т. е. рассмотрев в пространстве R ф R умноже-
ние
(а + ж)(/3 + у) = а(3 + (ау + (Зх + ху).
Другой путь обобщения понятия групповой алгебры на бесконеч-
ные группы применим к счетным группам и связан с рассмотрением
рядов вместо функций. Рассматриваются бесконечные ряды (например,
абсолютно сходящиеся) вида ^agg, ag G С, с законом умножения (3).
Пример 5. Знаменитейший пример некоммутативного кольца —
это алгебра кватернионов Н. Она является алгеброй ранга 4 над полем
вещественных чисел Ж и имеет базис 1, i, j, к с законом умножения:
г2 = j2 = k2 = —1, ij = к, ji = —к,
jk = i, kj = —i, ki = j, ik = —j,
т. e. если записать i, j и к по кругу (рис. 10), то произведение двух
соседних элементов, взятое в порядке по часовой стрелке, равно треть-
ему, а против часовой стрелки — ему же с обратным знаком.
Модулем кватерниона q = а + Ы + cj + dk называется число
|</| = д/а2 + &2 + с2 + d2, сопряженным — кватернион q = a — bi — cj — dk.
Имеют место соотношения
qq= qq= |q|2, qiq2 = q2q^ (5)
которые легко проверить. Из них следует, что если q 0, то ква-
тернион q-1 = является обратным к q. т. е. qq~r = q~rq = 1.
§ 8. Некоммутативные кольца
89
Если q = а + Ы + cj + dk, то а называется вещественной частью q,
а bi + cj + dk — мнимой-, они обозначаются Reg и Img. При а = 0 ква-
тернион называется чисто мнимым. В этом случае он соответствует
трехмерному вектору х = (b, с, d). Произведение двух чисто мнимых
кватернионов выражается через обе основные операции алгебры трех-
мерных векторов: скалярное и векторное произведения: (ж, у) и [х, у].
Именно, если чисто мнимые кватернионы р и q соответствуют векто-
рам х и у, то Re(pg) = (ж, у), a Im(pg) соответствует вектору [ж, у].
Из равенств (5) легко следует, что для кватернионов gi и дг
|gig2| = |gi||дг|- Это означает, что если a, b, с, d и ai, &i, ci, di — про-
извольные числа, то произведение
(а2 + Ь2 + с2 + d2)(a? + b\ + с? + d2)
может быть представлено в виде a% + b% + c% + d%, где аг, &г, с2, d2 (коэф-
фициенты при 1, г, j и к у кватерниона gig2) выражаются очень просто
через a, b, с, d и ai, &i, щ, di (читатель может эти выражения легко
выписать). Получающееся тождество было, впрочем, найдено Эйлером
задолго до введения кватернионов Гамильтоном. Оно полезно, напри-
мер, при доказательстве знаменитой теоремы Лагранжа о том,
что любое натуральное число п равно сумме квадратов четырех це-
лых чисел: благодаря этому тождеству вопрос сразу сводится к случаю
простого числа п, а этот последний вопрос связывается с арифметикой
некоммутативного кольца Z + ТЫ + TLj + TLk.
Пример 6. Кватернионы содержат поле комплексных чисел С в ка-
честве элементов вида a + bi. Любой кватернион однозначно записыва-
ется в виде Z\ + z-ij, Z\, z<2 E С. Эта запись
H = C©Cj (6)
дает удобное представление кватернионов. При действиях над записан-
ными в этом виде кватернионами надо только помнить, что z Е С и j
не коммутируют. Однако легко проверить, что их перестановка подчи-
няется простому правилу:
jz = zj. (7)
Представление (6) имеет одно важное геометрическое применение.
Рассмотрим пары (дх, g2), </i. д2 G Н, отличные от пары (0, 0), и отож-
дествим пропорциональные (слева) пары: (gi, дг) и (ддх, дд2) при д 0.
90
Шафаревич И. Р.
Мы получим кватернионную проективную прямую F1(H). Подобно ве-
щественной или комплексной проективной прямой, она содержит ко-
нечную часть — пары (<71, <72) с <72 0, которую можно отождествить
с Н (считая <72 = 1), и получается из нее присоединением бесконеч-
но удаленной точки (<71, 0). Это показывает, что F1(H) как многообра-
зие диффеоморфно четырехмерной сфере S4. Представляя И в виде (6)
и полагая </i = Zi + </2 = -^з + мы заменим пару (</х, <72) чет-
веркой (zi, Z2, Z3, Z4), в которой не все Z{ равны 0. Эти четверки, рас-
сматриваемые с точностью до отличного от 0 комплексного множителя,
образуют трехмерное комплексное проективное пространство IP3 (С).
Как IP1 (И), так и IP3(С) получились из одного и того же множества
пар (<7i, <72), но разными процессами отождествления. (Эти процессы
различаются выбором множителя пропорциональности: q G Н в пер-
вом и <7 G С — во втором случае.) Так как пары, отождествляемые во
втором случае, заведомо отождествляются и в первом, то мы получаем
отображение IP3 (С) ; S4
Это — очень важное в геометрии твисторное расслоение над сферой S4,
слоями которого является некоторое четырехмерное семейство прямых
в IP3(С). Оно дает возможность свести многие дифференциально-гео-
метрические вопросы, связанные со сферой S4, к вопросам комплексно
аналитической геометрии пространства IP3(С).
С другими приложениями кватернионов — к изучению групп ор-
тогональных преобразований трех- и четырехмерного пространства —
мы познакомимся в § 14.
Кольцо, в котором для любого отличного от 0 элемента а сущест-
вует обратный элемент а-1, т. е. такой, что аа~4 = а~4а = 1, называет-
ся телом. Впрочем, достаточно требовать существования лишь левого
обратного элемента а-1, т. е. такого, что а-1а = 1 (или лишь правого
обратного). Если а' — левый обратный к а и а" — левый обратный к а',
то, по ассоциативности, а"а'а равно и а, и а". Это значит, что аа' = 1,
т. е. а' является и правым обратным. Поле — это коммутативное тело,
кватернионы — первый встретившийся нам пример некоммутативно-
го тела. Легко проверить, что обратный элемент к данному элементу
в теле существует только один. В теле разрешимо произвольное уравне-
ние ах = b при а 0 : х = а~4Ъ. Для уа = Ь, а 0, аналогично у = ЪаГ1.
Стандартные понятия линейной алгебры над полем К переносятся
дословно на случай линейных пространств над любым телом D. Отме-
§ 8. Некоммутативные кольца 91
тим только единственное, хотя и формальное, но существенное разли-
чие. Если линейное преобразование <р n-мерного векторного простран-
ства над некоторым телом задается в базисе /х, ... , 1п матрицей (ау),
а ф — матрицей (Ьы), то преобразование <рф задается, как легко про-
верить, матрицей сц, где
си = 57 bkidik- (8)
k
Иначе говоря, в обычной формуле умножения матриц множители ме-
няются местами. (Это можно обнаружить уже на примере одномерных
пространств!)
В связи с этим вводится следующее определение.
Кольца Rit R' называются инверсно-изоморфными, если существует
взаимно однозначное соответствие а > а!, а G R, а' 6 R', обладающее
свойствами: из ах > а'х и аг > а'2 следует ах + аг > a'x + а'2
И U1CI2 вг®!'
Если соответствие а > а' устанавливает инверсный изомор-
физм кольца R с собой, то оно называется инволюцией. Таково соответ-
ствие а > а* в кольце матриц Мп(А) над коммутативным кольцом А
(а* — транспонированная матрица) или ^agg<—> в группо-
вой алгебре или q •$—> q в алгебре кватернионов И.
Для каждого кольца R существует инверсно-изоморфное ему коль-
цо R'. Для этого надо просто в множестве элементов R сохранить опе-
рацию сложения, а произведение элементов а и b определить как Ъа.
Теперь мы можем описать наш результат, выраженный форму-
лой (8), так:
Ч I. Кольцо линейных преобразований n-мерного векторного про-
странства над телом D изоморфно кольцу матриц Mn(D') над инверс-
но-изоморфным телом D'. ►
С учетом этого изменения общеизвестные результаты линейной ал-
гебры сохраняются для векторных пространств над телами. Идя даль-
ше, можно определить и проективное пространство Pra(D) над телом D,
и оно тоже будет обладать большинством привычных нам свойств.
Пример 7. Рассмотрим пространство Tr(L) контравариантных
тензоров ранга г над n-мерным векторным пространством L над по-
лем К (ср. определение модуля Тп(М) в § 5). Операция тензорного ум-
ножения определяет произведение <рф тензоров <р G Tr(L) и ф G TS(L)
92
Шафаревич И. Р.
как тензор из Tr+s(L). Чтобы при помощи этой операции построить
кольцо, рассмотрим прямую сумму фТг(£) всех пространств Tr(L),
состоящую из последовательностей (у>0, Pi, • • •), в каждой из кото-
рых только конечное число членов отлично от нуля. Сумму последо-
вательностей определим покомпонентно, а произведение (у>0, </?i, ...)
и (V’o, V>1, •••) как (£0, &, ...), где£р = ^2 pr^P-r- Из свойств умно-
жения тензоров вытекает, что таким образом мы получаем кольцо. Оно
содержит подпространства Tr(L), г = 0, 1, ..., и каждый его элемент
представляется как конечная сумма
У’о + Pi + • • • + Рк, Рг £ Tr(L).
Элементы tpo G T°(L) = К отождествляются с полем К, так что по-
строенное кольцо является алгеброй над К. Оно называется тензорной
алгеброй векторного пространства L и обозначается T(L). Разложе-
ние T(L) в сумму всех ТГ(Е) делает алгебру T(L) градуированной.
Выберем некоторый базис • • • , £.п в пространстве Т1 (L) = L.
Известные свойства тензорного умножения показывают, что произве-
дения
&1 * ’ * 5
где (г’1, ... , гт) — любые наборы по т индексов, каждый из которых
может принимать значения 1, ... , п, образуют базис в Tm(L). Поэто-
му все такие произведения (при всех т) образуют бесконечный базис
тензорной алгебры над полем К. Таким образом, любой элемент тен-
зорной алгебры представляется как линейная комбинация произведе-
ний элементов £15 ... , £п, причем разные произведения (отличающие-
ся также и порядком сомножителей) линейно независимы. Ввиду это-
го алгебру T(L) называют также алгеброй некоммутативных много-
членов от п переменных £i, ... , ^п. В таком качестве она обозначает-
ся K(£i, ... , £п).
Указанная выше характеристика алгебры T(L) имеет важные при-
ложения. Элементы {жа} (в конечном или бесконечном числе) назы-
ваются образующими алгебры R над коммутативным кольцом А, если
любой элемент представляется в виде линейной комбинации с коэф-
фициентами из А некоторых их произведений. Пусть алгебра R име-
ет конечное число образующих ... , хп над полем К. Сопоставим
§ 8. Некоммутативные кольца
93
любому элементу а = 52an-i™6i •••6™ алгебры Kfa, ... , &) эле-
мент а' = 52 аг1...1тжй • • • хс,„ алгебры R. Легко убедиться, что в ре-
зультате мы получаем гомоморфизм
К&, ...,&) ^R,
образом которого является все R. Таким образом, любая алгебра, име-
ющая конечное число образующих, является гомоморфным образом ал-
гебры некоммутативных многочленов. В этом смысле алгебры неком-
мутативных многочленов играют в теории некоммутативных алгебр
такую же роль, как алгебры коммутативных многочленов в коммута-
тивной алгебре или свободные модули в теории модулей.
Мы должны опять прервать наш обзор примеров некоммутативных
колец, чтобы познакомиться с простейшим методом их конструкции.
Как и в случае коммутативных колец, естественно обратить внимание
на свойства, которыми обладают ядра гомоморфизмов. Очевидно, что
если ср : R —> R' — гомоморфизм, то его ядро вместе с элементами а
и b содержит и их сумму и вместе с элементом а содержит как ах,
так и ха, где х — любой элемент кольца R. Мы сталкиваемся с тем,
что понятие идеала коммутативного кольца в некоммутативном случае
может быть обобщено тремя способами: а), б) и в) ниже. Рассмотрим
подмножество I С R, содержащее вместе с любыми двумя элементами
их сумму.
а) Если вместе с любым элементом a G I и любым х G R эле-
мент ха тоже содержится в I, то I называется левым идеалом, б) Если
(при тех же условиях) ах содержится в I, то I называется правым идеа-
лом. в) Если выполнены одновременно условия а) и б), то I называется
двусторонним идеалом. Таким образом, ядро гомоморфизма является
двусторонним идеалом.
Приведем примеры на эти понятия. В кольце линейных преобразо-
ваний конечномерного векторного пространства L над телом D подпро-
странство V С L определяет левый идеал yl, состоящий из всех преоб-
разований ср, для которых y>(V) = 0, и правый идеал Гу, состоящий из
тех преобразований ср, для которых cp(L) С V. В кольце ограниченных
линейных операторов в банаховом пространстве все вполне непрерыв-
ные (или компактные) операторы образуют двусторонний идеал.
Совокупность элементов вида ха, х G R, образует левый идеал,
а элементы ау, у G R, образуют правый. Для двусторонних идеалов
соответствующая конструкция немного сложнее. Мы приведем ее сразу
94
Шафаревич И. Р.
в более общем виде. Пусть {аа} — система элементов кольца R. Все
суммы вида xiaaiyi + ... + xraaryr, Xi, yi G Я, образуют двусторонний
идеал. Он называется идеалом, порожденным системой {аа}.
Совершенно аналогично коммутативному случаю определяются
классы смежности по двусторонним идеалам и кольцо этих классов.
Для него сохраняется прежнее обозначение R/I и термин факторколь-
цо. Например, если R — кольцо ограниченных линейных операторов
в банаховом пространстве и I — его двусторонний идеал вполне непре-
рывных операторов, то многие свойства оператора ср зависят только от
его образа в R/I. Так, выполнение альтернативы Фредгольма равно-
сильно тому, что образ ср в R/I имеет обратный.
Совершенно параллельно коммутативному случаю формулируется
и доказывается теорема о гомоморфизмах.
Пусть {<£>«} — система элементов кольца некоммутативных много-
членов , ... , £га) и I — двусторонний идеал, ею порожденный. В ал-
гебре R = K(£i, ... , £га)/I обозначим через ai, ... , ап образы элемен-
тов £i, ... , £п. Очевидно, что они являются образующими алгебры R.
Говорят, что алгебра R определена образующими а±, ... , ап и соотно-
шениями <ра = 0. Согласно теореме о гомоморфизмах любая алгебра с
конечным числом образующих может быть определена некоторой сис-
темой образующих и соотношений. Но в то время как система образу-
ющих по определению конечна, систему соотношений иногда конечной
выбрать нельзя.
Кольцо коммутативных многочленов К[х±, ... , хп] определяет-
ся соотношениями XiXj = XjX{. Пусть R — кольцо дифференциаль-
ных операторов с полиномиальными коэффициентами от п перемен-
ных жх, ... , хп. Образующими в этой алгебре являются, например, опе-
раторы qi умножения на х,:
Qi(f) = Xif
и операторы
. - д
dxj'
Легко показать, что она определяется соотношениями:
PiPj=PjPi, QiQj = qjqii ,n.
. / • -i I”)
PiQj = qjPi при г j, ptQi - qtpi = 1.
§ 8. Некоммутативные кольца 95
Применим эту конструкцию к построению еще нескольких важных
примеров алгебр. Пусть в n-мерном векторном пространстве L задана
билинейная симметричная форма, которую мы обозначим через (ж, у).
Рассмотрим алгебру, образующие которой взаимно однозначно соответ-
ствуют элементам некоторого базиса пространства L (и обозначаются
теми же буквами), а соотношения имеют вид:
ху + ух = (ж, у), (10)
где ж и у — элементы выбранного базиса пространства L.
Таким образом, наша алгебра является факторалгеброй тензорной
алгебры T(L) по идеалу I, порожденному элементами
(ж, у) - ху - ух.
Мы рассмотрим два крайних случая.
Пример 8. Пусть билинейная форма (ж, у) тождественно равна 0.
Тогда из соотношений (10) следует ж2 = 0 (если характеристика поля К
отлична от 2; в характеристике 2 условие ж2 = 0 надо взять за опре-
деление). Произвольный элемент построенной алгебры является линей-
ной комбинацией произведений ... ejr векторов базиса пространст-
ва L. Легко видеть, что все такие произведения порождают простран-
ство Ar(L) (ср. определение модуля АГ(М) в §5). Вся же построенная
алгебра представляется в виде прямой суммы
A°(L)©A1(L)©...©A”(L).
Она является градуированной и конечномерной: ее ранг равен 2". Эта
алгебра называется внешней алгеброй пространства L и обозначает-
ся A(L), а умножение в ней обозначается ж Л у.
Легко видеть, что если ж G Ar(L), у G A.S(L), то
ж Л у = у Л х, если или г, или s четно;
(11)
ж Л у = —у Л х, если и г, и s нечетно.
Это можно выразить и по-другому. Обозначим
A(L) = R, Л°(£) ф Л2(£) ф Л4(£) ф ... = R°,
A1(L')®A3(L)®... = R1.
96
Шафаревич И. Р.
Тогда
R = R°®R1, R°R°CR0, Я0 Я1 С Я1,
Я’Я° С R1, Я1 Я1 С R°.
(12)
Разложение со свойствами (12) называется градуировкой по модулю 2 ал-
гебры R. Для R = Л(Я) мы можем сформулировать условие (8), сказав,
что xf\y = у/\х, если или х G Я0, или у G Я0, и xf\y = —у/\х, если х 6 Я1
и у G Я1. Алгебры, обладающие градуировкой по модулю 2 с такими
свойствами, называются супералгебрами. Внешняя алгебра Л(Я) дает
их важнейший пример. Интерес к теории супералгебр был стимулиро-
ван квантовой теорией поля. С другой стороны, оказалось, что чисто
математически они представляют собой очень естественное обобще-
ние коммутативных колец и могут служить основой для построения
геометрических объектов — аналогов проективных пространств (су-
перпроективные пространства), дифференцируемых и аналитических
многообразий (супермногообразия). Эта теория применяется в физике,
например, в теории супергравитации.
Пример 9. Определение внешней алгебры использовало базис про-
странства L (ему принадлежат векторы х и у в формулах (10)). Ко-
нечно, оно от выбора этого базиса не зависит. Можно дать совершенно
инвариантное (хотя и менее экономное) определение, считая, что х и у
в равенствах (10) — это все векторы пространства L. Легко видеть,
что мы придем к той же алгебре. В таком виде определение применимо
к любому модулю М над коммутативным кольцом А. Мы приходим
к понятию внешней алгебры модуля:
Ш = ®АГМ.
Если М имеет систему из п образующих, то АГМ = 0 при г > п.
В частности, внешняя алгебра модуля одномерных дифференциальных
форм Q1 на n-мерном дифференцируемом многообразии называется ал-
геброй дифференциальных форм:
Q = © (К.
С важными применениями операции внешнего умножения форм мы
позже встретимся.
§ 8. Некоммутативные кольца
97
Пример 10. Рассмотрим противоположный случай, когда билиней-
ная форма (ж, у) в равенствах (10) невырождена и соответствует квад-
ратичной форме F(x), т. е. |(ж, ж) = F(x) (мы предполагаем, что харак-
теристика поля К отлична от 2). Мы можем рассуждать в этом случае
так же, как и в предшествующем, переставляя в произведении ... eir
сомножители при помощи соотношения (10). Разница только в том,
что при j < i из произведения возникает два слагаемых: содер-
жащее —ejei и содержащее (е», 6j), которое дает произведение с г — 2
множителями. В результате мы точно так же доказываем, что произве-
дения в{1... eir, ii < ... < ir образуют базис нашей алгебры, так что ее
ранг равен тоже 2''. Она называется клиффордовой алгеброй векторного
пространства L с квадратичной формой F и обозначается C(L). Значе-
ние ее заключается в том, что в ней квадратичная форма F становится
квадратом «линейной»:
^(жгв! -Ь ... жгаега) — (Ж1С1 “Ь . •. “Ь ж„/’.,Д . (13)
Таким образом, квадратичная форма F становится «полным квадра-
том», но с коэффициентами в некоторой некоммутативной алгебре.
Пусть
Г(ж1, ... , жп) = ж? + ... + ж^,
тогда согласно (13) ж2 + ... + х2п = (Ж161 + ... + жгаега)2. Воспользо-
вавшись изоморфизмом между кольцом дифференциальных операторов
с постоянными коэффициентами
и кольцом много-
д
членов Ж[жх, ... , ж„], мы можем переписать это соотношение:
д2 . д2 _ д , . д
ду1 ду2п \дУ1 дуп
(14)
Именно идея «извлечения квадратного корня» из дифференциального
оператора 2-го порядка двигала Дираком, когда он ввел понятие, анало-
гичное клиффордовой алгебре, при выводе так называемого «уравнения
Дирака» в релятивистской квантовой механике.
Произведения ... eir с четным числом сомножителей г порож-
дают в клиффордовой алгебре подпространство С°, с нечетным — под-
пространство С1. При этом dimG0 = dimG1 = 2"-1. Легко видеть,
что С = С° ф С1 и что таким образом определяется градуировка по
98
Шафаревич И. Р.
модулю 2. В частности, С° образуют подалгебру алгебры С. Она назы-
вается четной клиффордовой алгеброй.
Сопоставим любому элементу базиса . ..е»г алгебры C(L) про-
изведение eir... ejj в обратном порядке. Легко видеть, что таким обра-
зом возникает антиавтоморфизм этой алгебры. Мы будем обозначать
его а —> а*.
Пример 11. Пусть F(xi, ж2) = л) + х%, К = Ж. Тогда C(L) имеет
ранг 4 и базис 1, ei, ег, ехбг, где е2 = = 1, 6261 = —6162- Легко
убедиться, что C(L) ~ М2 (В). Для этого надо положить
и убедиться, что элементы Etj перемножаются по правилу (2). Изо-
морфизм алгебры C(L) с М2 (Ж) сопоставляет е± матрицу ,
/ 0 -1\ д2 д2
а ег — , „ . Тогда оператор Лапласа —- + —- записывает-
\-i о; д р дх2 ду2
.... (0\ д ( 0 -1\ „
ся согласно (14) как „ . I 77—Н 1 „ I — . Вели оператор 26,
\\у —3) дх 1 м) ду)
т. е.
ние
1 . ( 0
О -1) дх ^-1
_ I — действует на столбец
U) ду
и\
1, то уравне-
ди _ ду ди _ до
дх дуду дх'
т. е. уравнения Коши-Римана.
Пусть теперь F(o?i, ... , я?2П) = х2 + ... + х^п. Разобьем индек-
сы 1, ... , 2п на п пар: (1, 2), (3, 4), ... , (2п — 1, 2п), обозначим че-
рез а, (3 и т. д. произвольные наборы (й, ... , гп), где ip принадле-
жит р-й паре. Если а = (й, ... , in), (3 = (й, ... , jn), то положим
7? — /?• • • /?• • /?•
• • • ^1пЗп 5
§ 8. Некоммутативные кольца
99
где Eij выражаются через ег и е_/, как в случае п = 1 выше.
Легко убедиться, что Еар опять перемножаются по правилам (2),
т.е. C(L) ~ M2«(R).
Пример 12. Если F(xi, х2, ж3) = х% + х% + х%, К = Ж, то чет-
ная алгебра C°(L) изоморфна алгебре кватернионов: eie2, е2е3 и eie3
перемножаются по правилам примера 5.
В коммутативном случае поля характеризуются как кольца без
идеалов (кроме 0). В некоммутативном случае, как обычно, соотноше-
ния усложняются. Совершенно так же, как и в коммутативном случае,
доказывается, что отсутствие левых идеалов (кроме 0) равносильно то-
му, что любой элемент, отличный от 0, имеет левый обратный (удов-
летворяющий условию а-1а = 1), а правые идеалы так же связаны с
правыми обратными. Таким образом, тела — это кольца, не имеющие
левых (или не имеющие правых) идеалов, кроме 0.
Что же дает отсутствие двусторонних идеалов? Кольцо, не имею-
щее двусторонних идеалов, кроме 0, называется простым. Мы увидим
дальше их исключительно важную роль в теории колец, так что их
можно наравне с телами рассматривать как естественное продолжение
понятия поля в некоммутативную область.
Пример 13. Выясним строение левых и правых идеалов кольца R
линейных преобразований n-мерного пространства L над телом D. По-
кажем, что ранее приведенная конструкция (идеалы у1 и Гу) все их
описывает. Ограничимся левыми идеалами. Пусть I С R — такой иде-
ал и У С L — подпространство, состоящее из всех х G L, для кото-
рых р(х) = 0 для всех р G I. Если pi, ... , pk — базис I как век-
торного пространства над D, то AKer^>j = V. Легко видеть, что если
для р G R ядро Ker<£> = V, то в виде фр, ф G R, может быть представ-
лено любое преобразование р', для которого Ker</?' D V. Отсюда легко
следует, что если pi и р2 G I, то в I содержится преобразование р
с Кег<£ = Кег</?1 А Кег</?2. Применяя это замечание к преобразовани-
ям pi, ... , pk, мы находим в I элемент р, для которого Ker<£ = V, а от-
сюда получаем (по предыдущему), что все преобразования р с p(V) = 0
содержатся в I, т. е. I = {</?; y>(V) = 0} = yl. Правые идеалы рас-
сматриваются аналогично. Пусть, наконец, I — двусторонний идеал,
отличный от R. Как левому идеалу ему соответствует некоторое под-
пространство V, так что I = {</?, y>(V) = 0}. Возьмем х G V, х 0.
Для р G I имеем р(х) = 0. Так как I — правый идеал, то для любо-
100
Шафаревич И. Р.
го ф G R имеем <рф G I и, значит, <р(ф(х)) = 0. Но в качестве ф(х)
можно получить любой вектор L, так что I = 0. Таким образом, коль-
цо R, изоморфное Mn(D), просто.
Другим примером простого кольца является кольцо R дифферен-
циальных операторов с полиномиальными коэффициентами. Для уясне-
ния основной идеи, положим п = 1. Интерпретируя р как оператор
легко проверить соотношение
pf(q) - f(q)p = f’(q)-
Если © = содержится в двустороннем идеале 1 и 9 0, то,
образуя несколько раз выражения рЭ — Эр, мы найдем в I элемент Д,
являющийся ненулевым многочленом от р с постоянными коэффициен-
тами: Д = g(p). Так как в соотношении (9) р и q равноправны, то имеет
место соотношение g(p)q — qg(p) = g’ip)- Составляя несколько раз такие
выражения, мы найдем в I отличную от 0 константу. Значит, I = R.
(Для справедливости этих рассуждений надо предположить, что харак-
теристика поля коэффициентов равна 0.)
Пример 14. Близкими к простым являются клиффордовы алгеб-
ры C(L) и C°(L) для произвольного пространства L, снабженного квад-
ратичной формой F (мы предполагаем, что характеристика основно-
го поля 2). Нетрудно проверяются следующие результаты. Алгеб-
ра C(L) проста, если п = 0 (2) (n = dimL), и тогда Z(G(L)) = К.
Алгебра C°(L) проста, если п = 1(2), и тогда Z(C°(L)) = К. Остав-
шиеся случаи связаны со свойствами элемента z = ei...en G C(L),
где ei, ... , en — ортогональный базис в L. Легко убедиться, что z со-
держится в центре алгебры C(L) при п = 1 (2) и алгебры C°(L), ес-
ли п = 0 (2), и в обоих случаях центр этих алгебр имеет вид К + Kz.
При этом z2 = a G К, а = (—1)га/2И, или а = 2(—1)(га-1)/2£) в зависи-
мости от того, четно п или нет. D обозначает дискриминант формы F
в базисе ei, ... , еп. Если а не есть квадрат в К, то К + Kz = К(у/а)
и соответствующая алгебра проста с центром К(у/а). Если же а есть
квадрат, то алгебра K + Kz изоморфна К®К и соответствующая клиф-
фордова алгебра изоморфна прямой сумме двух простых алгебр одина-
кового ранга с центром К.
Пример 15. Интересные примеры возникают, если использовать
поле формальных рядов Лорана (пример 5 § 2). Применяя эту конструк-
§ 9. Модули над некоммутативными кольцами 101
цию дважды, рассмотрим кольцо JT((x)(c)_1)), элементы которого явля-
ются формальными рядами Лорана от элемента д-1 с коэффициентами
из поля К((ж)), причем будем предполагать, что х и д-1 не комму-
тируют, но связаны знакомым нам соотношением дх — хд = 1 (отку-
да хд-1 — д-1х = д~2). Легко проверить, что кольцо К((x))((0-1))
является телом (строя обратный ряд индуктивно по степеням д-1).
Оно называется телом формальных псевдодифференциальных операто-
X
ров (интуитивно можно интерпретировать д-1 как оператор J).
о
§ 9. Модули над некоммутативными кольцами
Модуль над произвольным кольцом R определяется так же, как и
в случае коммутативных колец: это такое множество М, что для двух
его элементов х, у G М определена сумма х + у G М и для элемен-
та х G М и элемента кольца a G R определено произведение ах G R,
причем выполнены условия (для всех х, у, z, а, Ь):
х + у = у + х;
(х + у) + z = х + (у + z);
существует такой элемент 0 G М, что
0+x = x + 0=x;
существует такой элемент — х, что
х + (—я?) = 0;
1 • х = ж;
(ab)x = а(Ьх)-,
(а + Ь)х = ах + Ьх:
а(х + у) = ах + ау.
Точно так же, понятия изоморфизма, гомоморфизма, ядра, обра-
за, фактормодуля, прямой суммы — не зависели от предположения
коммутативности. Кольцо R является модулем над самим собой, ес-
ли положить произведение а (как элемента кольца) на х (как элемент
модуля) равным ах. Подмодулями этого модуля являются левые идеа-
лы кольца R. Если I — левый идеал, то классы вычетов по I образу-
ют модуль R/I над кольцом R. Умножение элемента х (как элемента
102
Шафаревич И. Р.
модуля) на а (как элемента кольца R) справа не определяет модуля
над кольцом R. Действительно, если временно обозначить это произ-
ведение как {ах} = ха (слева — как в модуле, справа — в кольце),
то {(аЬ)х} = {6{ах}} — в противоречии с аксиомой (1). Мы можем,
однако, сказать, что таким образом R становится модулем над инверс-
но-изоморфным кольцом R'. В этом модуле над R' подмодули соответ-
ствуют правым идеалам кольца R.
Наиболее существенные примеры модулей над некоммутативны-
ми кольцами — это, во-первых, кольцо и его идеалы как модули над
кольцом. Мы вскоре увидим, насколько рассмотрение этих модулей по-
лезно для изучения самих колец. Во-вторых, многочисленные модули
над групповыми кольцами — их изучение является предметом теории
представлений групп, о которой будет подробнее сказано позже.
Если кольцо R является алгеброй над полем К, то всякий модуль М
над R автоматически является векторным пространством (может быть,
бесконечномерным) над этим полем. Аксиомы модуля показывают, что
для любого a G R отображение <ра(х) = ах (х G М) является линей-
ным преобразованием этого пространства. Более того, сопоставление
элементу а линейного преобразования <ра является гомоморфизмом ал-
гебры R в алгебру Ен<1/< М всех линейных преобразований М как век-
торного пространства над К. Очевидно, что и обратно, гомоморфизм
Я—>Endj<L, а —> сра,
в алгебру линейных преобразований векторного пространства L опре-
деляет L как модуль над R:
ах = (ра(х), a G R, х G L. (2)
В такой ситуации иногда применяется терминология, несколько
отличающаяся от принятой в общем случае. Ввиду особой важности
этого специального случая мы повторим, в новой терминологии, основ-
ные определения, данные выше в общем случае.
Переформулировка определения модуля. Пред-
ставлением алгебры R над полем К в векторном пространстве L над
этим полем называется гомоморфизмом R в алгебру End/< L линейных
преобразований этого пространства.
Иными словами, представление R — это сопоставление каждому
элементу a G R линейного преобразования <ра, причем это сопоставле-
ние должно удовлетворять условиям:
§ 9. Модули над некоммутативными кольцами
103
у>1 = Е (единичное преобразование); (3)
<Раа = окра, аЕ К, а Е R; (4)
<Ра+ь = 4>а + фь, a, b Е R; (5)
фаЬ = фафь, a, b Е R. (6)
Переформулировка определения подмодуля. Под-
представлением называется подпространство V С L, инвариантное от-
носительно всех преобразовании <ра, а Е R, вместе с индуцированным
в нем этими линейными преобразованиями представлением R.
Переформулировка определения фактормоду-
ля. Факторпредставлением по подпредставлению V С L называется
пространство L/V с представлением, индуцированным в нем преобра-
зованиями (ра.
Если R — алгебра конечного ранга над полем К с базисом
l = ei, и таблицей умножения e/ej = ^2 cijkei,-- то усло-
вия (3)-(6) в определении представления сводятся к заданию преоб-
разований </9е1, ... , </9еп удовлетворяющих соотношениям
Ф1 = Е,
fet'Pej = ' CjjkVek •
(7)
(8)
Если R = K[G] — групповая алгебра конечной группы G, а за базис
взяты элементы eg, g Е G, то условия (7), (8) принимают вид;
Ф1 = Е,
Фglg2 — lPgllPg2-
(9)
(10)
Условия (9)—(10) гарантируют обратимость всех преобразований.
Если группа G бесконечна и групповая алгебра определена как со-
вокупность линейных комбинаций элементов группы (ср. пример 4 § 8),
то представление задается теми же условиями (10). Если же группо-
вая алгебра определяется как алгебра функций на группе с операцией
свертки, то элементы группы G в ней содержатся лишь как 5-функции,
поэтому операторы <pg могут не существовать. С другой стороны, если
заданы операторы <pg, удовлетворяющие соотношениям (9) и (10), то
оператор <pf, соответствующий функции /, можно определить как ин-
теграл операторной функции f(g)<pg по всей группе. Поэтому для пред-
ставлений групп условия (9) и (10) дают больше, чем условия (3)-(6)
104
Шафаревич И. Р.
для групповой алгебры, и за определение представления группы берутся
соотношения (9) и (10).
Если модуль М, в котором реализуется представление алгебры R,
конечномерен над полем К, то представление называется конечномер-
ным. В этом случае линейные преобразования <ра задаются (при выборе
базиса в М) матрицами. Переформулируем основные понятия теории
представлений еще раз, на этом языке.
Конечномерное представление алгебры R — это гомоморфизм
R —> Мп(К), т. е. сопоставление каждому элементу а G R матри-
цы Са G Мп(К) удовлетворяющее условиям:
Ci = Е,
Саа — <%Са,
Са+Ь = Са + Сь,
СаЬ = СаСь.
В случае представления группы G эти условия заменяются на
Се = Е,
Cgxg2 = CglCg2.
Переформулировка понятия изоморфизма мо-
дулей. Два представления а Са и а С'а эквивалентны, если
существует такая невырожденная матрица Р, что С'а = РСаР-1 для
всех a G R
Переформулировка понятия подмодуля. Представ-
ление а —> С'а имеет подпредставление а —> Da, если существует такая
невырожденная матрица Р, что матрицы С'а = РСаР-1 имеют вид:
(П)
Переформулировка понятия фактормодуля.Мат-
рицы Еа образуют факторпредставление по данному подпредставле-
нию.
Переформулировка понятия прямой суммы мо-
дулей. Если в (11) Sa = 0, то представление Са называется прямой
суммой представлений Da и Еа.
§ 9. Модули над некоммутативными кольцами
105
Рассматривая, в частности, алгебру R как модуль над ней самой,
мы получаем важное представление этой алгебры. Оно называется регу-
лярным представлением. Если алгебра имеет конечный базис ei, ... , еп
со структурными константами c^k, то элементу адв! +... апеп в регу-
лярном представлении соответствует матрица (pjk), rPVPjk =
i
Мы возвращаемся к модулям над произвольным кольцом R (необя-
зательно алгеброй) и рассмотрим важное условие, имеющее характер
«конечномерности». Оно связано с определением размерности векторно-
го пространства как наибольшей длины цепочки его подпространств.
Длиной модуля М над кольцом R называется верхняя грань длин
г цепочек его подмодулей:
М = Мо D Mi D ... D Мг = 0, Mi £ Mi+1.
Разумеется, длина модуля может быть как конечной, так и бес-
конечной. Рассмотрим модуль конечной длины г и в нем самую длин-
ную цепочку М = Мо D Mi D ... D МТ = 0. Если модуль Mi/Mi+i
имел бы подмодуль N, отличный от всего модуля Mi/Mi+i и нуле-
вого подмодуля, то его прообраз М' при каноническом гомоморфизме
Mj —> Mi/Mi+i был бы подмодулем, Mj D М' D Mj+i, М' М,, Mj+i.
Вставив его в нашу цепочку, мы получили бы более длинную. Поэто-
му такого подмодуля в быть не может. Мы приходим к очень
важному понятию.
Модуль М называется простым, если он не имеет подмодулей, от-
личных от него и 0.
Представление алгебры (группы), которому соответствует простой
модуль, называется неприводимым.
Простота — очень сильное условие.
Пример 1. В случае векторных пространств над полем простыми
являются лишь одномерные.
Пример 2. Пусть L — конечномерное векторное пространство с за-
данным в нем линейным преобразованием <р, рассматриваемое как мо-
дуль над кольцом C[t] (пример 3 § 5). Так как ip всегда имеет собствен-
ный вектор и, значит, одномерное инвариантное подпространство, то
опять модуль L прост, только если L одномерно.
Пример 3. Рассмотрим кольцо R как модуль над самим собой.
Простота этого модуля означает, что в R нет левых идеалов, т. е. R
является телом.
106
Шафаревич И. Р.
Пусть М и N — два простых модуля и : М N — гомомор-
физм. По условию, Кег<£> = 0 или М, и Imy? = 0 или N. Если Ker<£> = М,
или Im<£> = 0, то <р — нулевой гомоморфизм. В остающемся слу-
чае Кег<£> = 0, Im<£> = N, гомоморфизм <р является изоморфизмом.
Таким образом, имеет место
◄ I. Лемма Шура. Гомоморфизм одного простого модуля
в другой является нулевым или изоморфизмом. ►
Вернемся к понятию длины. Мы видели, что если М — модуль
длины г, то в цепочке М = Мд D М± D ... D Мг = 0 с Mi Mi+i все
модули Mi/Mi+1 должны быть простыми.
Последовательность подмодулей М = Мд D М\ D М2 D ..., в ко-
торой модули Mi/Mi+i просты, называется композиционным рядом.
Имеет место
◄ П. Теорема Жордана-Гёльдера. Все композицион-
ные ряды одного и того же модуля имеют одинаковую длину (в частнос-
ти, они все одновременно конечны или бесконечны). Модули МДМ^
в них изоморфны, хотя, может быть, в другом порядке. ►
Таким образом, в модуле конечной длины самые длинные цепоч-
ки — это в точности композиционные ряды.
Распространим понятие длины и на кольца.
Длиной кольца R называется его длина как модуля над самим со-
бой.
Таким образом, кольцо имеет длину г, если в нем есть цепочка
левых идеалов R D Д D ... D 1Г = 0, R Д, R Ik+i, и нет более
длинных цепочек.
Мы уже видели, что тела — это кольца длины 1. Левые идеалы
кольца матриц Mn(D) над телом D соответствуют линейным подпро-
странствам n-мерного пространства L над инверсно-изоморфным те-
лом D' (пример 13 §8). Поэтому длина кольца Mn(D) равна п.
Конечно, если кольцо R является алгеброй над полем К, то длина R
не превосходит ее ранга над К.
Модуль конечной длины конечно порожден (или, что то же самое,
является модулем конечного типа), аналогично такому же свойству не-
теровых модулей в случае коммутативных колец.
Если кольцо R имеет конечную длину, то длина любого конечно
порожденного модуля над ним тоже конечна. Это следует из того, что
если элементы я?х, ... , хп порождают модуль М, то М является го-
моморфным образом модуля Rn (при гомоморфизме (ах, ... , ап) —>
§ 9. Модули над некоммутативными кольцами 107
—> Я1Ж1 + ... + апхп) и имеет конечную длину как фактор модуля ко-
нечной длины.
В заключение, рассмотрим подробнее понятие, встречавшееся нам
часто в теории модулей над коммутативным кольцом.
Гомоморфизм модуля М (над кольцом R) в себя называется эндо-
морфизмом.
Очевидно, что все эндоморфизмы модуля образуют кольцо. Оно
обозначается Еп<1д(М).
Важное отличие от коммутативного случая заключается в том, что
нет возможности определить умножение эндоморфизма <р G Еп<1д(М)
на элемент a G R: отображение х —> шр(х), вообще говоря, не является
эндоморфизмом над R, т. е. умножение эндоморфизмов на элементы
из R в кольце Епёд(М) не определено.
Пример 4. Рассмотрим кольцо R как модуль над самим собой. Ка-
ково кольцо эндоморфизмов Епёд(М) этого модуля? По определению,
эндоморфизмы — это отображения <р кольца R в себя, удовлетворяю-
щие условиям:
<р(х + у) = <р{х) + 9?(у), <р(ах) = ау(ж), где а, х, у G R. (12)
Полагая у>(1) = /, мы получаем из (12) при х = 1, что <р(а) = af
для любого a G R. Таким образом, любой эндоморфизм задается эле-
ментом / G R и имеет вид умножения на этот элемент справа. Отсюда
следует, что кольцо Еп4д(7?) инверсно-изоморфно кольцу R.
Пример 5. Пусть модуль М изоморфен прямой сумме п изоморф-
ных друг другу модулей Р : М ~ Рп. Тогда М состоит из последо-
вательностей (я?1, ... , хп), Xi G Р. Ситуация точно та же, что и при
описании линейных преобразований векторного пространства, и ответ
вполне аналогичен. Пусть
G Епёд(М), х G Р,
<^((0, . . . , X, . . . , 0)) = (^г1(ж), . . . , ^in(x))
(слева х стоит на г-м месте). Здесь — гомоморфизмы Р в Р,
т. е. t/>ij G Енёд(Р). Сопоставив <р матрицу (ppij) с элементами из коль-
ца Еп4д(Р), мы получим изоморфизм
Endfl(Pn) ~ M„(Endfl(P)).
108
Шафаревич И. Р.
В частном случае, когда Р — это тело D (как модуль над собой),
мы приходим (учитывая результат примера 4) к уже найденному выра-
жению для кольца линейных преобразований над телом (теорема I § 8).
Пример 6. Кольцо ЕпДд(М) эндоморфизмов простого модуля М
является телом. Это — непосредственное следствие утверждения 1.
§ 10. Полупростые модули и кольца
Теория модулей над некоммутативными кольцами и исследование
структуры самих колец могут быть продвинуты далеко за рамки общих
определений и почти очевидных свойств, изложенных в предшествую-
щем параграфе, если ограничиться объектами, обладающими сильным,
но в то же время часто встречающимся свойством полупростоты.
Модуль М называется пол.упрос.ты.м, если любой его подмодуль вы-
деляется прямым слагаемым.
Это условие означает, что для любого подмодуля N С М сущест-
вует такой второй подмодуль N' С М, что М = N ф N'.
Очевидно, что подмодуль, гомоморфный образ и прямая сумма по-
лупростых модулей полупросты. Простой модуль полупрост. Любой мо-
дуль конечной длины содержит простой подмодуль. Поэтому полупрос-
той модуль конечной длины является прямой суммой простых. Из тео-
ремы Жордана-Гель дера следует (или еще проще может быть выведено
из теоремы I §9), что разложение полупростого модуля в сумму прос-
тых единственно (т. е. простые слагаемые определяются однозначно с
точностью до изоморфизма). Число этих слагаемых и является длиной
модуля.
Если Р С М — простой, a N С М — любой подмодуль, то
или Р С N, или Р A N = 0. Отсюда следует:
◄ I. Если модуль порождается конечным числом простых подмо-
дулей, то он полупрост и имеет конечную длину. ►
Действительно, если простые подмодули Pi, ... , Рп порождают М
и N С М, но N М, то существует Р$ N. Тогда Pi A N = 0
и подмодуль, порожденный Р и N, изоморфен их прямой сумме Pi®N.
Применяя то же рассуждение к нему, мы в несколько шагов дойдем
до разложения М = N ф N'.
Пример 1. Пусть М — это конечномерное векторное простран-
ство L с линейным преобразованием <р, рассматриваемое как модуль
§ 10. Полупростые модули и кольца
109
над K[t] (пример 3 § 5). Если модуль М прост, то пространство L одно-
мерно (пример 1 §9). Поэтому М полупрост тогда и только тогда, ког-
да L представляется как прямая сумма одномерных инвариантных под-
пространств, т. е. когда <р приводится к диагональному виду. И в общем
случае смысл полупростоты близок к «отсутствию жордановых клеток».
Пример 2. Пусть М соответствует конечномерному представле-
нию алгебры R над полем С. Предположим, что в М (как вектор-
ном пространстве над С) определено эрмитово скалярное произведе-
ние (ж, у) и представление </? обладает свойством: для любого a G R
существует такое a' G R, что <£>* = <ра> (у>* обозначает сопряженное
преобразование). Тогда модуль М полупрост.
Действительно, если N С М — подпространство, инвариантное
относительно преобразований <ра, a G Я, то его ортогональное дополне-
ние N' будет инвариантно относительно преобразований <р*а, т. е., ввиду
условия, всех преобразований <ра. Поэтому М = N ф N'.
Пример 3. Пусть М соответствует конечномерному представле-
нию <р группы G над полем С, и опять в нем определено эрмитово ска-
лярное произведение, относительно которого все операторы <pg, g G G,
унитарны, т. е.
(</9g(x), ^(у)) = (Ж, у). (1)
Тогда модуль М полупрост.
Это частный случай примера 2, так как по предположению
Понятие полупростоты распространяется и на бесконечномерные
представления групп с тем изменением, что М как векторное про-
странство над С считается снабженным топологией или нормой, а под-
модуль N предполагается замкнутым. В частности, если в ситуации
примера 3, М является гильбертовым пространством относительно эр-
митова произведения (ж, у), то рассуждение сохраняет силу.
Пример 4. Конечномерное представление над полем С конечной
группы G определяет полупростой модуль.
Ситуация может быть сведена к предшествующему примеру. Вве-
дем в модуле М (рассматриваемом как векторное пространство над
110 Шафаревич И. Р.
полем С) произвольное эрмитово скалярное произведение {х, у}, а по-
том положим
(ж, у) = 7777 (2)
11 g-6G
где сумма распространена на все элементы g группы G и |G| обозначает
число элементов G. Легко видеть, что произведение (ж, у) удовлетво-
ряет условиям примера 3.
То же рассуждение можно приспособить к представлениям над про-
извольным полем.
Пример 5. Если порядок п конечной группы не делится на харак-
теристику поля К, то любое конечномерное представление этой группы
над полем К определяет полупростой модуль.
Пусть М — пространство, в котором действует представление <pg,
и N С М — подмодуль. Выберем произвольное подпространство N'
так, что М = N(SN' (как векторное пространство). Обозначим через тг'
проектирование на N параллельно N', т. е. если х = у+у', х G М, у Е N,
у' G N', то тг'(ж) = у. Рассмотрим линейное преобразование
= I 52 Pg^'Pg- (3)
gEG
Легко проверить, что ~М С N, irx = х при х Е N и <pgir = ir<pg
для g Е G. Отсюда следует, что тг является проектированием на N па-
раллельно подпространству Ni = Кегтг и Ni инвариантно относительно
для всех <pg, g G G, т. e. определяет подмодуль N-^ С М, для которо-
го М = N ф Ni.
Перенесем понятие полупростоты с модулей на кольца. Кольцо R
называется полупростым, если оно полупросто как модуль над собой.
Из примеров 4 и 5 следует, что групповая алгебра конечной группы G
над полем К полупроста, если порядок группы не делится на характе-
ристику поля.
◄ П. Простое кольцо R (см. § 8) конечной длины полупросто. ►
Действительно, рассмотрим подмодуль I в R, порожденный всеми
простыми подмодулями. Из конечности длины R следует, что I порож-
дается конечным числом подмодулей: Pi, ... , Рп. Очевидно, I — левый
идеал кольца R. Но I является и правым идеалом, так как для a G R Pia
§ 10. Полупростые модули и кольца
111
является левым идеалом и простым подмодулем, т. е. Fja С I и, зна-
чит, la С I. Так как кольцо R просто, то I = R, т. е. R порождается
простыми подмодулями Р{ и полупросто ввиду предложения I.
Теория модулей над полупростыми кольцами имеет очень явный
характер.
◄ III. Если R — полупростое кольцо конечной длины и
R = Pi © ... © Рп
— разложение его (как модуля над собой) в прямую сумму простых
подмодулей, то Pi (1 © i п) — единственные простые модули над R.
Любой модуль конечной длины полупрост и является прямой суммой
некоторых из модулей Pi. ►
Действительно, если М — любой модуль, а я?х, ... , хк — некото-
рые его элементы, то определен гомоморфизм / : Rk —> М
f ((^1 ч • • • ч ®к)) а±х± . акхк.
Из конечности длины М следует, что при некотором выборе элемен-
тов я?1, ... , хк образ Im/ = М. Таким образом, М — гомоморфный
образ полупростого модуля и, значит, полупрост. Если М прост, то,
записав Rk как Рк ®.. ,®Рк, мы увидим, что f(Pj) = 0, если Pj не изо-
морфно М, а значит, при некотором г, Pi изоморфно М.
◄ В частности, мы видим, что над полупростым кольцом конечной
длины имеется только конечное число простых модулей (с точностью
до изоморфизма). ►
Приступаем к описанию структуры полупростых колец конечной
длины. Такое кольцо как модуль над собой разлагается в прямую сумму
простых подмодулей:
R = А ® ... ® Рк. (4)
В этом разложении сгруппируем вместе слагаемые, изоморфные друг
другу как модули над R:
R = (Pi © ... © Ffei) ffi (Fj,1+i ф ... ф Рк1+к2) ф ...
. .. ф (Fj(.1+...+j(.j)_1+i ® ... ф Рк1+_+кр) = Fi ф R^ ф ... ф Rp, (5)
Pi — Pki+...+ki-i+l Ф • • • Ф Pki + ...+ki ч (6)
112
Шафаревич И. Р.
причем в (6) все простые модули Pj(kt + ... + ki-i < j ki + ... + ki)
изоморфны друг другу, а модули Pj, входящие в разные слагаемые Ra
и Rp, не изоморфны.
Любой простой подмодуль Р С R изоморфен одному из Ра, от-
куда нетрудно вывести, что он содержится в том же Ri, что и Ра.
В частности, модуль Раа при а G R изоморфен Ра и, значит, Раа С Ri,
если Ра С Ri- Иными словами, Ri не только левые идеалы (каковыми
они являются как подмодули), но и правые, т. е. они являются дву-
сторонними идеалами. Отсюда следует, что RiRj С Ri и RiRj С Rj
и, значит, RiRj = 0 при i j. Легко видеть, что компоненты едини-
цы 1 в разложении (5) являются единицами колец Ri, так что мы имеем
разложение в прямую сумму колец
R = © ... © Rp.
Здесь Ri определены совершенно однозначно: каждое из них порождено
всеми простыми подмодулями модуля R, изоморфными друг другу.
Рассмотрим теперь одно из колец Ri. Для него разложение (6) удоб-
но переписать как
Ri — Pi,l © Pi,2 Ф . . . Ф Pi,qt,
где простые подмодули Pij все изоморфны друг другу, т. е. Ri ~ N?',
где Ni — какой-то модуль, изоморфный всем Pij, j = 1, ... , qi.
Найдем кольцо эндоморфизмов этого модуля над R. Так как
RsRi =0 при s i, то ЕпДд(Я^) = ЕпДд;(7?^), и, значит, изоморфно
кольцу R'{, инверсно-изоморфному Ri (пример 4 § 9). С другой стороны,
ввиду примера 3 § 9, ЕпДд(Яг) ~ Mqi (ЕпДд(А^)), а ЕпДд(А^) является
телом Di (пример 6 §9). Поэтому R.'- = Mqi(Di) и
Ri-M^D'i).
(7)
Мы видели (пример 13 §8), что кольцо Mq(D) просто, и, значит, коль-
ца Ri в (7) просты. Соединяя разложение (5) с изоморфизмом (7), мы
получаем следующую основную теорему.
◄ IV. Теорема Веддербёрна. Полупростое кольцо конеч-
ной длины изоморфно прямой сумме конечного числа простых. Простое
кольцо конечной длины изоморфно кольцу матриц над некоторым те-
лом. ►
§ 10. Полупростые модули и кольца 113
Мы видели, что, наоборот, кольцо Mq(D) (где D — тело) — просто
(пример 13 § 8) и легко видеть, что прямая сумма полупростых колец
полупроста. Поэтому теорема Веддерберна полностью описывает объ-
ем класса полупростых колец: это прямые суммы колец матриц над
телами. Как частный случай получаем:
◄ V. Коммутативное кольцо конечной длины полупросто тогда и
только тогда, когда оно есть прямая сумма полей. ►
Для произвольного полупростого кольца R коммутативным явля-
ется его центр Z(R). Легко видеть, что Z(JRi ф Яг) — Z(Ri) ф Я(Яг)
и Z(Mn(D)) ~ Z(D).
◄ Поэтому центр полупростого кольца изоморфен прямой сумме
полей и число прямых слагаемых центра равно числу прямых слагае-
мых кольца при его разложении (5) в прямую сумму простых. ►
В частности,
◄ VI. Полупростое кольцо конечной длины просто тогда и только
тогда, когда его центр — поле. ►
Проиллюстрируем теперь общую теорию на основном примере
кольца Mn(D). В примере 13 §8 мы видели как выглядят левые идеалы
кольца R = Mn(D), где D — тело. Любой левый идеал этого кольца
имеет вид у! = {а 6 R, aV = 0}, где а рассматривается как линей-
ное (над D') преобразование n-мерного векторного пространства L над
телом D', а V — некоторое его линейное подпространство. Простые под-
модули соответствуют минимальным идеалам. Очевидно, если V С V,
то yl D v'l. Поэтому мы получим минимальный идеал VI, если за V
возьмем (п — 1)-мерное подпространство в L. Выберем в L некоторый
базис ex, ... , е„ и обозначим через V) пространство векторов, у кото-
рых г-н координата в этом базисе равна 0. Идеал у/ состоит из матриц,
у которых только г-й столбец отличен от 0. Разложение R = Ni<&.. .(&Nn
соответствует разложению матрицы
... / rfii 0 ... 0\ /0
\dnl ... dnn} \dnl 0 ... 0/ \0
При умножении матрицы слева на произвольную матрицу г-й столбец
преобразуется точно так же, как вектор из L. Таким образом, все иде-
алы Ni изоморфны как модули над R, и изоморфны L. Это и есть един-
ственный простой модуль над R.
<%1П\
: • (7')
(L <п /
114
Шафаревич И. Р.
В случае произвольной полупростой алгебры R конечной длины
положение лишь немного сложнее. Если R разлагается в прямую сумму
р колец матриц
R = МП1 (£>i) © ... ffi МПр(Бр),
то оно имеет р простых модулей N±, ... , Np, причем N} есть rij-мерное
векторное пространство над телом действует на Ni так: Mnj (Dj)
при j 7? i аннулирует Ni, а матрицы из Mni(Di) действуют так, как
положено матрице действовать на вектор.
Оставшаяся часть этого параграфа посвящена примерам и приме-
нениям изложенной теории.
Вернемся к произвольному простому кольцу конечной длины, ко-
торое согласно теореме Веддерберна изоморфно кольцу матриц Мп(Б)
над некоторым телом Б. Мы привели описание левых идеалов этого
кольца: они находятся во взаимно однозначном соответствии с подпро-
странствами n-мерного пространства над телом D', причем это соот-
ветствие отражает и включение (с обращением порядка: Vi С Фг тогда
и только тогда, когда уД D у21). В какой мере все кольцо (т. е. тело D и
число п) отражаются в этом частично упорядоченном множестве? Мно-
жество линейных подпространств n-мерного пространства над телом Б
совпадает с множеством линейных подмногообразий (п — 1)-мерного
проективного пространства Pra-1(D) над этим телом. При этом пустое
множество тоже считается линейным пространством. Таким образом,
наш вопрос — это, по-существу, вопрос об аксиоматике проективной
геометрии. Напомним его решение. (Приводимые ниже аксиомы зави-
симы; мы выбрали их ради большей интуитивной убедительности.)
Пусть ф — частично упорядоченное множество, т. е. в нем для не-
которых пар элементов (ж, у) определено отношение х у, удовлетво-
ряющее условиям: а) если х ZZ у и у z, то ж <С z, иб)х^уиу^х,
если и только если х = у.
Предположим, что выполнены следующие аксиомы:
1. Для любого множества элементов ха G ф существует такой эле-
мент у, что у ха при всех а и, если z ха при всех а, то z у. Эле-
мент у называется суммой элементов ха и обозначается Uxa. В част-
ности, существует сумма всех х G ф («все проективное пространство»).
Он обозначается I или 1(ф).
2. Для любого множества элементов ха G ф существует такой эле-
мент у', что у' ха при всех а и, если z' ха при всех а, то z' у'.
§ 10. Полупростые модули и кольца
115
Элемент у' называется пересечением элементов ха и обозначается Аха.
В частности, существует пересечение всех элементов х G ф («пустое
множество»). Оно обозначается О или О(ф).
Дальше через х/у, где х и у G ф. у х, мы будем обозначать час-
тично упорядоченное множество таких элементов z G ф, что у z х.
Очевидно, что условия 1 и 2 выполнены в х/у для любых х и у.
3. Для любых х и у G ф и a G х/у существует такой эле-
мент Ъ G х/у, что a U Ь = 1(х/у) и а А Ь = О(х, у). Если b' G х/у —
другой элемент с теми же свойствами и Ь Ь', то Ь = Ь'.
4. Конечность длины: длины всех цепочек а± «2 ••• С dr,
dl Я2, 02 7^ Оз, • • • , «г-1 7^ dr Ограничены.
Элемент a G R называется точкой, если из b а, Ь а следу-
ет Ь = 0.
5. Для двух различных точек а и Ь существует такая точка с а,
с^Ь, что с < a U Ь.
Частично упорядоченное множество, удовлетворяющее услови-
ям 1-5, называется проективным пространством. Доказывается, что
максимальная длина цепочки, начинающейся в О и кончающейся
в a G ф. определяет функцию размерности d(a), которая удовлетворяет
соотношению
d(a A b) + d(a U b) = d(a) + d(b).
Число d(I) называется размерностью пространства ф. Примером п-мер-
ного пространства является множество Pra(D) всех линейных подпро-
странств (п + 1)-мерного векторного пространства над телом D.
Имеет место
◄ VII. Основная теорема проективной геомет-
рии. а) при п > 2 проективное пространство Pra(D) (как частично
упорядоченное множество) определяет число п и тело D и б) если раз-
мерность п проективного пространства ф не меньше трех, то оно изо-
морфно (как частично упорядоченное множество) пространству Pra(D)
над некоторым телом D. ►
Доказательство основано на искусном введении координат (т. е. «ко-
ординатизации») проективного пространства, идею которого можно
усмотреть уже в «исчислении отрезков» на плоскости (ср. рис. 5 и 6
в §2). Как и в том исчислении, множество элементов, которые служат
в качестве координат, строится довольно просто. В нем определяются
операции сложения и умножения, но трудной задачей является провер-
116
Шафаревич И. Р.
ка аксиом тела. Ключевым здесь является утверждение, известное под
названием «теоремы Дезарга»:
Рис. 11
◄ VIII. Теорема Дезарга. Если прямые, соединяющие соот-
ветственные вершины двух треугольников АВС и А'В'С, пересека-
ются в одной точке О, то точки пересечения соответственных сторон
лежат на одной прямой (рис. 11). ►
Однако это утверждение может быть выведено из аксиом про-
ективного пространства, только если размерность пространства 3.
В размерности 2 (т. е. на плоскости) оно из аксиом не следует, и не вся-
кая проективная плоскость изоморфна Р2(Л). Чтобы это было так, не-
обходимо и достаточно выполнение указанного предложения, которое
надо добавить в качестве дополнительной аксиомы — аксиомы Дезарга.
Приведенные результаты характеризуют роль совершенно произ-
вольных тел в проективной геометрии: они дают возможность явно
перечислить все неизоморфные реализации системы аксиом п-мерной
проективной геометрии (при п = 2 — с аксиомой Дезарга). Естествен-
но, что алгебраические свойства тел проявляются как геометрические
свойства соответствующей геометрии. Например, коммутативность те-
ла D эквивалентна справедливости в пространстве Pra(D) (п 2) сле-
дующего условия:
◄ IX. «Теорема» Паппа. Если вершины шестиугольни-
ка Р1Р2Р3Р4Р5Р6 лежат по три на двух прямых, то точки пересечения
§ 10. Полупростые модули и кольца 117
противоположных сторон (Р1Р2 И Р4Р5, Р2Р3 И Р§Рв, Р3Р4 и PqPi)
лежат на одной прямой (рис. 12). ►
Рис. 12
То что тело D имеет характеристику 2, равносильно аксиоме:
◄ X. Аксиома Фано. Точки пересечения противоположных
сторон АВ и DC, AD и ВС, АС и BD плоского четырехугольни-
ка ABCD лежат на одной прямой. ►
На рис. 13 это свойство не выполняется, так как характеристика
поля вещественных чисел отлична от 2.
Рассматривавшиеся в § 1 конечные реализации систем некоторых
геометрических аксиом (см. рис. 1 и 2) относятся к тому же кругу
идей. Они представляют собой аффинные конечные плоскости над поля-
ми F2 и F3, т. е. получаются из проективных плоскостей Р2(Ег) и F2(Fs)
выбрасыванием одной прямой и точек на ней (которые с точки зрения
геометрии оставшихся точек и прямых будут бесконечно удаленными).
Имеются различные бесконечномерные обобщения простых колец
конечной длины и вышеизложенной их теории. Одно из них исходит из
условия полупростоты (пример 2) и критерия VI простоты полупрос-
того кольца. Это приводит к определению:
118
Шафаревич И. Р.
Подкольцо R кольца ограниченных операторов комплексного гиль-
бертова пространства называется фактором, если вместе с операто-
ром <р в R содержится и сопряженный оператор <р*, центр R совпадает
со скалярными операторами и R замкнуто в естественной топологии
(так называемой, слабой).
Аналогично тому, как простое кольцо конечной длины определя-
ет проективное пространство, удовлетворяющее аксиомам 1-5, любой
фактор определяет частично упорядоченное множество, удовлетворяю-
щее похожим аксиомам. На этом множестве тоже определена функция
размерности, но теперь может представиться несколько случаев.
1га: Размерность принимает значения 0, 1, 2, ... , п, тогда фактор
изоморфен кольцу Мга(С).
loc,: Размерность принимает значения 0, 1, 2, ... , оо, в этом случае
фактор изоморфен кольцу всех ограниченных операторов в бесконечно-
мерном гильбертовом пространстве.
Hi: Размерность принимает значения из интервала [0, 1].
Пос,: Размерность принимает значения из интервала [0, сю].
III: Размерность принимает лишь значения 0 и сю.
Соответствующие III, Поо и III частично упорядоченные множест-
ва, являющиеся очень нетривиальными бесконечномерными аналогами
проективных плоскостей (подчеркнем, что в них размерности «подпро-
странств» могут быть любыми вещественными числами!), называются
непрерывными геометриями.
Далее мы ограничимся рассмотрением алгебр конечного ранга над
полем К.
Пример 6. Мы видели (примеры 10 и 11 §8), что клиффордова
алгебра C(L), где L — вещественное 2п-мерное пространство с мет-
рикой я?1 + ... + х^п, изоморфна алгебре матриц M2»»(R). Поэтому эта
алгебра имеет единственное (с точностью до эквивалентности) непри-
водимое представление, степень которого равна 2п. Значит, возможна
запись
Я?1 + . . . + Я?2га = (я?1Г1 + . . . + Я?2иГ2п)2,
где Г1, ... , Ггп — матрицы порядка 2". и такие матрицы определены
однозначно с точностью до замены > СТ^С-1. Никакие матрицы
степени меньшей, чем 2", такой записи не дают.
Теперь предположим, что поле К алгебраически замкнуто. Тог-
да теория полупростых алгебр над К и их представлений приобретает
§ 10. Полупростые модули и кольца 119
особенно конкретный характер. В основе лежит следующий простой
результат:
◄ XI. Тело конечного ранга над алгебраически замкнутым полем К
совпадает с К. ►
Действительно, если ранг тела D равен п и a G D, то элемен-
ты 1, а, а2, ... , ап должны быть линейно зависимы над К. Поэтому
существует не равный тождественно 0 многочлен F G K[t] степе-
ни п, для которого F(a) = 0. Ввиду алгебраической замкнутости
поля К, F(t) = 7П(^ — а«)> так что П(а — а«) = 0- Так как D — тело,
то при некотором i, а — ai = 0, т. е. а G К. Таким образом:
◄ XI'. Над алгебраически замкнутым полем К любая простая ал-
гебра конечного ранга изоморфна Мп(К), а полупростая — прямой сум-
ме таких алгебр. ►
Раньше мы явно указали разложение регулярного представления
алгебры Мп(К) на неприводимые (формулы (7’)). Оттуда следует, что
ее регулярное представление есть сумма п эквивалентных представ-
лений размерности п (соответствующих n-мерному пространству Кп
как модулю над кольцом матриц Мп(К)). Если же R ~ МП1 (К) ф ... ф
(&Мп (К), то R имеет р неприводимых представлений Ni, размернос-
тей щ (соответствующих неприводимым представлениям матричных
алгебр Mni(K)) и регулярное представление R имеет вид:
R ~ N™1 ф ф ... ф N™», щ = diniNi.
Для разложения центра мы тоже имеем лишь одну возможность:
Z(R) ~ Кр.
В результате теория представлений полупростых алгебр конечно-
го ранга над алгебраически замкнутым полем сводится к следующим
положениям:
◄ XII. Всякое представление есть прямая сумма неприводимых. ►
◄ XIII. Все неприводимые представления содержатся среди непри-
водимых слагаемых, на которые разлагается регулярное представление.
Число неэквивалентных среди этих слагаемых равно рангу центра ал-
гебры. ►
◄ XIV. Всякое неприводимое представление содержится в регуляр-
ном столько раз, какова его размерность. ►
120
Шафаревич И. Р.
◄ XV. Теорема Бернсайда. Сумма квадратов размерностей
неприводимых представлений равна рангу алгебры:
п = nl + ... + Пр. ►
Для конкретного задания представления <р : R —> Мп(К) исполь-
зуют следы матриц <р(а), а G R. Функция Sp(y>(a)) определена на R
и линейна, и поэтому задается своими значениями на базисных элемен-
тах алгебры R. Так как 8р(С'ЛС'-1) = Sp(A), то следы эквивалентных
представлений одинаковы. Функция Sp(y>(a)) обозначается Sv(a).
Если представление </? есть прямая сумма двух: 99 = у>1 ф </?2, то,
очевидно, Sv(a) = SV1 (a) + SV2 (а). Следы неприводимых представлений
называются характерами алгебры R. Пусть Xi(a), Хг(а), ••• , Ху (а) —
характеры, соответствующие всем р неприводимым представлени-
ям </?1, ... , <рр. Любое представление <р разлагается в прямую сумму
неприводимых, и если среди них у/ встречается т, раз, то
^(a) = mixi(a) + ... + mPxP(a). (8)
Мы знаем, что в разложении алгебры R в прямую сумму простых
R = Ri Ф ... Ф Rp неприводимое представление <pi отображает в 0 все
слагаемые Rj, j i. Поэтому функции Xi линейно независимы на R.
Отсюда и ввиду формулы (8) следует
◄ XVI. Представления полупростой алгебры однозначно задаются
своими функциями следа ^(а). ►
Приведенные результаты имеют очень большое число приложений,
главным образом в частном случае, когда R = является групповой
алгеброй. С ними мы встретимся позже, а сейчас укажем одно совер-
шенно элементарное применение к алгебре матриц.
◄ XVII. Теорема Бернсайда. Неприводимая подалгебра R
алгебры матриц Еш1д'(£) над алгебраически замкнутым полем К сов-
падает со всей Endj<(L). ►
Условие теоремы означает, что если при помощи вложения R —>
—> Endjf(L) определить представление алгебры R в n-мерном простран-
стве L, то это представление будет неприводимым. Для любого х Е L
отображение а ах определяет гомоморфизм R как модуля над собой
в простой модуль L. Выберем в качестве х п элементов ei, ... , еп ба-
зиса пространства L. Мы получим п гомоморфизмов fi : R L, или
один гомоморфизм f = fi + ... + fn, f : R —> Ln. Если для некоторо-
го a e R, f(a) = 0, то //(a) = 0, т. e. ae/ = 0 и ax = 0 при всех x 6 L.
§ 10. Полупростые модули и кольца 121
Но R С EndL, и поэтому а = 0. Следовательно, R С Ln как модуль
над R. Так как L — простой модуль, то отсюда следует, что модуль R
полупрост, а значит, и алгебра R полупроста, и как модуль R ~ Lk при
некотором к. Но, согласно свойству XV, к = п = dimL. Поэтому ранг R
есть п2 и, значит, R = Endj<(L).
Для иллюстрации приведем одно эффектное применение этого ре-
зультата:
◄ XVIII. Теорема Бернсайда. Если G — группа, состоящая
из матриц порядка п над алгебраически замкнутым полем К характе-
ристики 0, и существует такое целое число N > 0, что gN = 1 для
всех g £ G, то G конечна. ►
При доказательстве мы будем пользоваться некоторыми самыми
элементарными понятиями теории групп. Очевидно, что поле К можно
считать алгебраически замкнутым, расширив его в случае необходи-
мости. Обозначим через R совокупность всех комбинаций вида
aigi + ... + akgk, ai е К, g; Е G.
Очевидно, что R — алгебра над К и R С Мп(К). Рассмотрим сна-
чала случай, когда алгебра R неприводима. Согласно предшествующей
теореме Бернсайда тогда R = Мп(К). По условию, собственные зна-
чения любого элемента g £ G являются корнями степени N из 1.
Так как след Sp(g) матрицы порядка п есть сумма п собственных
значений, то Sp(g), g £ G, может принимать не более N": значе-
ний. Легко проверить, что билинейная форма Sp(AB) на простран-
стве Мп(К) невырождена. Ввиду того, что R = Мп{К}, существу-
ет п2 элементов gi, ... , gni £ G. образующих базис Мп(К). Обозна-
чим через ei, ... , еп2 дуальный базис относительно билинейной фор-
та2
мы Sp(AB). Если g = 52 aiei — выражение произвольного элемен-
Z = 1
та g £ G через этот базис, то <%: = Sp(gg,j. Таким образом, коэффи-
циенты ai могут принимать лишь конечное число значений, а значит,
и группа G конечна.
Если алгебра R приводима, то матрицы, соответствующие элемен-
там группы G, одновременно приводятся к виду
24(g) G(g)
. 0 B(g)
122
Шафаревич И. Р.
Применяя индукцию, можно считать уже доказанным, что A(g) и B(g)
образуют конечные группы G' и G". Рассмотрим гомоморфизм f : G
-4- С х (7", /(g) = (A(g), B(g)). Его ядро состоит из элементов g £ G,
которым соответствуют матрицы
Е C(g)\
О Е J ’
Легко видеть, что такая матрица при (7(g) 0 не может иметь конеч-
ного порядка, если характеристика поля К равна 0: при ее возведении
в степень т матрица (7(g) умножается на т. Поэтому ядро / состоит
только из единичного элемента, т. е. группа G содержится в конечной
группе G' х G" и, значит, сама конечна.
§ 11. Тела конечного ранга
Теоремы Веддерберна полностью сводят изучение полупростых ал-
гебр конечного ранга над полем К к изучению тел конечного ранга над
тем же полем. Последним вопросом мы дальше и займемся. Если D —
тело конечного ранга над полем К и L — центр D, то L — конечное
расширение К и мы можем рассматривать D как алгебру над L. Поэ-
тому задача расщепляется на две: изучение конечных расширений (это
вопрос коммутативной алгебры) и изучение тел конечного ранга над
полем, являющимся их центром. Если алгебра конечного ранга над по-
лем К имеет К своим центром, то она называется центральной над К.
Вопрос о существовании центральных тел конечного ранга над за-
данным полем К и об их строении очень существенно зависит от инди-
видуальных свойств поля К. Один, очень простой результат в этом на-
правлении, мы уже встречали: над алгебраически замкнутым полем К
не существует тел конечного ранга, отличных от К. В частности, это
верно для поля комплексных чисел.
Для случая поля вещественных чисел положение ненамного слож-
нее.
4 I. Теорема Фробениуса. Единственными телами конеч-
ного ранга над полем вещественных чисел К являются: само К, поле
комплексных чисел С и алгебра кватернионов Н. ►
Вот еще два случая, когда положение просто:
Ч П. Теорема Веддерберна. Над конечным полем К не
существует центральных тел конечного ранга, кроме самого К. ►
§ 11. Тела конечного ранга
123
Иными словами, конечное тело коммутативно. Это, конечно, инте-
ресно для проективной геометрии, так как показывает, что для конеч-
ной проективной геометрии размерности > 2 «теорема» Паппа следует
из других аксиом (а в размерности 2 — из аксиомы Дезарга).
Ч Ш. Теорема Тзена. Если поле К алгебраически замкну-
то и С — неприводимая алгебраическая кривая над ним, то над по-
лем К (С) не существует центральных тел конечного ранга, кроме са-
мого К (С). ►
Все три случая, в которых мы утверждали, что над некоторым
полем К не существует центральных тел конечного ранга, отличных
от К, объединены общим свойством:
Поле К называется квазиалгебраически замкнутым, если, каков бы
ни был однородный многочлен F(ti, ... , tn) £ K[t±, ... , tn], степень
которого меньше числа переменных п, уравнение
Е(я?1, ... , хп) = О
имеет ненулевое решение в К.
Можно показать, что над любым квазиалгебраически замкнутым
полем К любое центральное тело конечного ранга совпадает с К. С дру-
гой стороны, любое из рассматривавшихся выше полей квазиалгебраи-
чески замкнуто: алгебраически замкнутые поля, конечные поля и по-
ля К (С), где К алгебраически замкнуто, а С — неприводимая алгебра-
ическая кривая. Исходя из последнего свойства, и доказывается теоре-
ма Тзена, а для теоремы Веддерберна такой путь — одно из возможных
доказательств. Теорема о том, что конечное поле квазиалгебраически
замкнуто, называется теоремой Шевалле.В случае поля —
это интересное свойство сравнений. Квазиалгебраическая замкнутость
есть непосредственное ослабление алгебраической замкнутости. Это
становится очевидным, исходя из следующей характеристики алгеб-
раической замкнутости:
◄ Поле К тогда и только тогда алгебраически замкнуто, когда для
любого однородного многочлена F(t\, ... , in) £ K\ti, ... , tn], степень
которого не превосходит числа переменных, уравнение
... , tn) = 0 (1)
имеет ненулевое решение в поле К. ►
124
Шафаревич И. Р.
Очевидно, что для алгебраически замкнутого поля К уравнение (1)
имеет ненулевое решение. Пусть поле К не алгебраически замкну-
то. Тогда над ним существует неприводимый многочлен F(i) степе-
ни п > 1. Кольцо L = J£[i]/(F) является полем — расширением сте-
пени п поля К и, значит, алгеброй ранга п над К. Рассматривая ре-
гулярное представление этой алгебры, мы сопоставляем каждому эле-
менту х £ L матрицу Ах £ Мп(К). Определитель матрицы Ах назы-
вается нормой элемента х и обозначается N(x). Из свойств представ-
ления (и определителей) следует, что 1V(1) = 1, N(xy) = 1У(ж)1У(у).
Отсюда, если х 0, то Лг(.т)Лг(.г-1) = 1 и, значит, N(x) 0. Рас-
смотрев любой базис ei,..., еп в L/К (например, образы элемен-
тов 1, t, ... , i"-1 кольца J£[i]), мы запишем любой элемент х £ L в ви-
де Ж161 + ... + хпеп, Xj £ К. Легко видеть, что N(x) является много-
членом степени п от o?i, ... , хп, и, положив
F(a:i, ... , хп) = IV^ei + ... + хпеп),
мы получаем пример неразрешимого уравнения (1).
Перейдем к полям, над которыми центральные тела конечного ран-
га существуют. До сих пор нам известно одно такое поле — поле ве-
щественных чисел К, причем над ним существует центральное тело
ранга 1 (само К) и ранга 4 (И). Эти числа не совсем случайны, как
показывает следующий результат:
Ч Ранг центральной простой алгебры является полным квадра-
том. ►
Доказательство основывается на важной операции расширения по-
ля. Если R — алгебра конечного ранга над полем К и L — произвольное
расширение поля К, то рассмотрим модуль R®L (см. §5). Определим
к
умножение его образующих а ® £, а £ R, ( £ L:
(а ® £)(6 ® г/) = ab ® £т).
Легко проверить, что оно превращает R ® L, в кольцо, причем L co-
re
держится в нем (как 1 ® L), т. е. это кольцо является алгеброй над L.
Если ei, ... , еп — базис R над К, то ei ® 1, ... , еп ® 1 образуют ба-
зис R ® L над L. Поэтому ранг R ® L над L равен рангу R над К.
к к
Переход от R к R ® L и называется расширением основного поля. Го-
ге
§ 11. Тела конечного ранга
125
воря попросту, R ® L — это алгебра над L, имеющая ту же таблицу
к
умножения, что и R.
Нетрудно доказывается утверждение:
◄ IV. Свойство алгебры быть центральной и простой сохраняется
при расширении поля. ►
Теперь остается взять за L алгебраическое замыкание поля К: со-
гласно общей теории R ® L ~ M„(L), поэтому ранг R над К (равный
рангу R® L над L) есть п2.
к
Таким образом, алгебра кватернионов реализует минимальную
возможность для ранга нетривиального центрального тела. Следующий
по сложности случай, интересный в основном для теории чисел, это по-
ле р-адических чисел Qp, введенное в § 7.
4 V. Теорема Хассе. Над полем Q для любого п существу-
ет <р(п) центральных тел ранга п2 (у> — функция Эйлера). При доказа-
тельстве теоремы указывается способ, позволяющий каждому такому
телу D сопоставить некоторый первообразный корень степени п из 1,
который его определяет. Этот корень из 1 называется инвариантом те-
ла D и обозначается pp(D). ►
Рассмотрим простейший пример. Пусть для любого поля К харак-
теристики 2, а и Ь — два его элемента, а О, Ь 0. Построим
алгебру ранга 4 над К с базисом 1, г, j, к и таблицей умножения:
•2 -2 >
г = a, j =b, ji = -i]
(остальные произведения из этих правил уже вычисляются на осно-
вании ассоциативности). Полученная алгебра называется обобщенной
кватернионной и обозначается (а, Ь). Например, Н = (—1, —1). Легко
доказать, что алгебра (а, Ь) проста и центральна, и любая центральная
простая алгебра ранга 4 в таком виде записывается. Таким образом, по
общей теории алгебра (а, Ь) или является телом, или изоморфна М^К).
Выясним, как различить эти два случая. Для этого, по аналогии с ква-
тернионами, назовем сопряженным элементу х = а + /Зг + yj + 6k эле-
мент х = а — (3i — уj — 6k. Легко видеть, что
ху = ух,
хх = а2- а(32 - Ь'у2 - аЪ62 £ К.
Положим N(x) = хх. Из (2) следует, что N(xy) = N(x)N(у). Поэтому
если хоть для одного х 0, N(x) = 0, то (а, Ь) не тело: хх = 0, хо-
тя х 0 и х 0. Если же N(x) 0 для всех х 0, то а?-1 = lV(:r)_|:r
126
Шафаревич И. Р.
и (а, Ь) является телом. Таким образом, (а, Ь) тогда и только тогда яв-
ляется телом, когда уравнение а2 — а(32 — by2 — abb2 = 0 имеет только
нулевое решение (а, /3, 7, Ь) из К. Это уравнение можно еще упрос-
тить, записав в виде
а2 — а/32 = &(72 — ad2) = О
или
а2 — а/32
72 — ab2
N(a + (3i)
N(-y + bi)
= N ( a + [3i
\y + bi
= W + v) = C2 - arf,
где f + T]i =
ct ~H Bi
—-j-jt. Таким образом, условие того, что (a, b) есть тело,
принимает вид: уравнение £2 — arj2 = b не имеет решений в К. Одно-
родная запись того же уравнения:
е - а112 ~ ье = о.
(3)
Оно не должно иметь в К ненулевого решения, в противном слу-
чае (а, Ь) ~ М2(К). Легко показать, что если (3) имеет ненулевое реше-
ние, то имеет и такое, в котором £ 0. Тогда оно сводится к уравнению
ах2 + by2 = 1. (4)
Пусть теперь К есть поле рациональных чисел Q. Уравнение (3) —
как раз такое, к каким относится теорема Лежандра, сформулирован-
ная в конце § 5. Она утверждает, что уравнение (3) разрешимо в поле Q
тогда и только тогда, когда оно разрешимо в поле К и всех полях Q .
В таком виде эта теорема дает нам сведения об обобщенной кватерни-
онной алгебре (a, b), a, b G Q. Ввиду сказанного выше она означает,
что алгебра С = (а, Ь) изоморфна Мг(<0) тогда и только тогда, ког-
да С ® К — М2 (К) и С ® — M2(Qp) для всех р. Но ту же линию
рассуждений можно продолжить и дальше, для описания всех алгебр
обобщенных кватернионов над Q. Именно, можно показать, что две та-
кие алгебры С = (а, Ь) н С = (а', Ь') изоморфны тогда и только тогда,
когда С'йК^С'ййиС'® ~ С ® для всех р. Иначе говоря, рас-
смотрим инварианты //,, тел ранга 4 над Q (которые, по определению,
равны — 1) и положим для центральной простой алгебры С над (Q:
Рр(С) = рр(С ® Qp), если С ® Qp — тело;
рр(С) = 1, если С ® <Qp ~ M2(Qp);
§ 11. Тела конечного ранга
127
и, сверх того, положим
ж(С) = — 1, если С ® К есть тело (т. е. И);
ж(С) = если М2(К).
Тогда сформулированный выше результат переформулируется так:
Ч VI. Тело С ранга 4 над Q определяется своим набором инвариан-
тов pr(C) и рр(С) для всех р. ►
Каким же может быть этот набор инвариантов? Мы видели, что
все №(С) и рр(С) не могут быть равны 1 (в силу теоремы Лежандра
тогда С не будет телом). Кроме того, легко доказать, что рр(С) = —1
только для конечного числа простых р. Оказывается, что кроме этих
условий существует только еще одно:
Ч VII. Произвольный набор чисел рр= ±1 для любого прос-
того числа р тогда и только тогда является набором инвариантов цен-
трального тела ранга 4 над (Q, когда а) не все pr и рр равны 1, б) только
конечное число их равно —1 и
в)жЦа<р = 1- (5)
р
Поразительно то, что соотношение (5) оказывается лишь перефор-
мулировкой гауссовского закона взаимности, который, таким образом,
превращается в один из центральных результатов теории тел над Q. ►
Приведенные результаты непосредственно обобщаются на про-
извольные простые центральные алгебры конечного ранга над (Q.
Пусть С — простая центральная алгебра конечного ранга п2 над Q. Ал-
гебра С ® К = Cr изоморфна или МП(К) — тогда положим pr(C) = 1,
или Мга/2(1Ш) — тогда, по определению, pr(C) = —1. Аналогично, для
любого простого числа р алгебра С ® имеет вид Mj.(Cp), где Ср —
центральное тело над Q . Мы положим рр(С) = рР(Ср) (ср. теорему
Хассе). Имеют место следующие результаты:
◄ VIII. Теорема Хассе-Брауэра-Нетер. С ~ Мп(Q)
тогда и только тогда, когда Cr ~ М„(К) и С® ~ Mn(Qp) для всех р,
т. е. pR(C) = рр(С) = 1 для всех р. ►
◄ Т е о р ема Хассе. Две простые центральные алгебры С и С
над Q тогда и только тогда изоморфны, когда С ® К ~ С' 8 К и
С ® ~ С ® для всех р, т.е. рк(С) = рк(С) и рр(С) = рР(С')
128
Шафаревич И. Р.
для всех р. Набор чисел //r и рр (для всех р) тогда и только тогда ре-
ализуется в виде //r = //r(C), //,, = рр(С), где С — центральное тело
над (Q, когда а) рр 1 лишь для конечного числа р и
б) = 1- ► (6)
v
Совершенно аналогичные результаты имеют место для конечных
расширений К поля Q (полей алгебраических чисел). Они составляют
часть теории полей классов. Аналог соотношения (6) для любого поля
алгебраических чисел является далеко идущим обобщением гауссова
закона взаимности.
Набросанная здесь картина строения тел над полем рациональных
чисел может служить примером того, как тесно связано строение тел
над полем К с тонкими свойствами этого поля.
Приведем еще один пример: строение центральных тел конечного
ранга над полем К(С), где С — вещественная алгебраическая кривая.
В этом случае любое центральное тело является обобщенной кватер-
нионной алгеброй и даже имеет вид (—1, а), а £ К(С'), а 0. Алгеб-
ра (—1, а) тогда и только тогда изоморфна М2(К(С)), когда а(ж) 0
для любой точки х G С (включая бесконечно удаленные на проективной
плоскости). Функция а(х) на кривой С меняет знак в конечном числе
точек этой кривой: o?i, ... , .т,у (на рис. 14 изображен случай кривой
у2 + (ж2 — 1)(ж2 — 4) = 0
и функции а = у). Этими точками перемен знака o?i, ... , /-у те-
ло (—1, а) и определяется. Более сложен, но и более интересен пример
§ 12. Понятие группы
129
поля С(С), где С — алгебраическая поверхность. Строение тел в этом
случае отражает очень тонкие геометрические свойства поверхности.
Мы вернемся к этим вопросам в §§12 и 22.
§ 12. Понятие группы
Начнем с понятия группы преобразований: понятие группы воз-
никло впервые в этой форме и в этой же форме чаще всего встречается
в математике или математической физике.
Преобразованием множества X называется взаимно однозначное
отображение f: X —> X этого множества на себя, т. е. такое отобра-
жение, для которого существует обратное отображение : X —> X,
f~rf = ff-1 = е. Здесь fg обозначает произведение отображений
(т.е. их последовательное выполнение):
= f(g(x)), х 6 X, (1)
а е — тождественное преобразование:
е(х) = х, х G X.
Совокупность G преобразований множества X называется груп-
пой преобразований, если G содержит тождественное преобразование е,
вместе с любым преобразованием g £ G — его обратное g-1, и вместе
с любыми двумя преобразованиями gi, g-> G G — их произведение gig2-
Обычно выполнение этих условий очевидно, так как группа G
определяется как совокупность преобразований, сохраняющих неко-
торое свойство. Например, преобразования, сохраняющие умножение
на число и сложение векторов линейного пространства (т. е. такие,
что g(ax) = ag(x), g(x + у) = g(a?) + g(y)): они образуют группу
невырожденных линейных преобразований этого пространства. Преоб-
разования, сохраняющие расстояние р(х, у) между точками евклидова
пространства (т.е. такие, что p(g(x), g(y)) = р(х, у)), образуют груп-
пу движений. Если все они сохраняют одну точку, то мы имеем дело
с группой ортогональных преобразований.
Группа тех или иных преобразований, сохраняющих некоторый
объект, может часто интерпретироваться как совокупность его сим-
метрий. Например, то, что равнобедренный треугольник симметрич-
нее неравнобедренного, а равносторонний симметричнее равнобедрен-
ного, но неравностороннего, можно «измерить» тем, что число переме-
щений плоскости, переводящих треугольник в себя, разное для этих
130
Шафаревич И. Р.
Рис. 15
трех типов треугольников. Оно состоит а) из одного тождественного
преобразования для неравнобедренного треугольника, б) из тождест-
венного преобразования и отражения относительно оси симметрии для
равнобедренного, но не равностороннего треугольника и в) из шести
преобразований для равностороннего треугольника — тождественного,
поворотов на углы 120° и 240° вокруг центра О и отражений относи-
тельно трех осей симметрий (рис. 15а, б, в).
Приведем несколько типичных примеров разного типа симметрий.
Группа симметрий плоского узора состоит из всех перемещений
плоскости, переводящих его в себя. Например, группа симметрий узо-
ра, изображенного на рис. 16, состоит из следующих перемещений: па-
раллельного переноса на отрезок О А, параллельного переноса на отре-
зок ОВ вместе с зеркальным отражением относительно оси ОВ, и всех
их комбинаций.
р
Рис. 16
Под симметрией молекулы понимается движение пространства,
совмещающее каждый атом молекулы с атомом того же типа и сохраня-
ющее все валентные связи между атомами. Например, молекула фосфо-
§ 12. Понятие группы
131
ра состоит из четырех атомов, расположенных в вершинах правильного
тетраэдра, и ее группа симметрий совпадает с группой симметрий тет-
раэдра, о которой подробнее будет сказано в следующем параграфе.
&
Рис. 17
Большой степенью симметрии обладают кристаллы, и поэтому
группа симметрий кристалла является его важной характеристикой.
Здесь под симметрией подразумевается такое перемещение простран-
ства, которое сохраняет расположение атомов кристалла и все связи
между ними, перемещая каждый атом в атом того же элемента. Опи-
шем, например, группу симметрий кристалла поваренной соли NaCl,
изображенного на рис. 17. Он состоит из примыкающих друг к дру-
гу кубов, в вершинах которых попеременно расположены атомы Na(o)
и С1(*). Совокупность симметрий задается (если выбрать начало сис-
темы координат в одном из атомов, а оси — вдоль сторон кубов, дли-
ны которых считаются равными 1) перестановками осей координат,
зеркальными отражениями относительно плоскостей координат и не-
которыми сдвигами на векторы с целочисленными координатами. Она
записывается формулами:
х[ = exir + к,
^2 — ^7*^12 +
х’з = Cxi3 +
е, т], £ = ±1, к, I, т £ Z, (й, «2, *з) — перестановка чисел 1, 2, 3, при-
чем к + I + т — четно.
Симметриями могут обладать и алгебраические или аналитичес-
кие выражения. Симметрией многочлена F(xi, ... , хп) называется пе-
132
Шафаревич И. Р.
рестановка неизвестных х±, , хп, сохраняющая F. Отсюда происхо-
дит, например, термин симметрическая функция — она сохраняется
при всех перестановках. Функция же П (xi — Xk) сохраняется лишь
i<k
при четных перестановках. Вообще, симметрией функции F, задан-
ной на множестве X, можно считать преобразование множества X,
сохраняющее эту функцию. В предшествующем примере X было ко-
нечным множеством {Ж1, ... , хп}. Заданная в пространстве функция
вида f(x2 + y2 + z2) в качестве симметрий имеет все ортогональные пре-
образования. Подобные симметрии часто отражаются в физических яв-
лениях. Например, согласно теореме Э. Нетер, если динамичес-
кая система на многообразии X описывается функцией Лагранжа
которая в качестве симметрий допускает зависящую от одного пара-
метра группу преобразований {g;} многообразия X, то система имеет
легко выписываемый первый интеграл. Так, в случае движения систе-
мы материальных точек, инвариантность относительно параллельных
переносов приводит к закону движения центра масс, а инвариантность
относительно вращений — к закону сохранения момента.
Для любого типа рассматривавшихся ранее алгебраических объек-
тов — полей, колец, алгебр, модулей — симметриями являются преоб-
разования соответствующих множеств, сохраняющие основные опера-
ции. В этом случае они называются автоморфизмами.
Таким образом, автоморфизмы n-мерного векторного пространст-
ва F над полем К — это невырожденные линейные преобразования, их
группа обозначается GL(F) или GL(n, К). При выборе базиса они за-
даются невырожденными матрицами порядка п. Аналогично, автомор-
физмы свободного модуля Ап над коммутативным кольцом А образуют
группу GL(n, А) и задаются матрицами с элементами из А, определи-
тель которых обратим в А. Группа, состоящая из матриц с определите-
лем 1, обозначается SL(n, А).
Автоморфизм а кольца К (в частности, поля) — это преобразова-
ние К, для которого
<т(а + Ь) = <т(а) + сг(Ь),
a(ab) = а(а)а(Ь).
Например, если R = Мп(К), то невырожденная матрица с £ GL(n, К)
определяет автоморфизм <т(а) = гас 1 в R.
Преобразование a(z) = z является автоморфизмом поля комплекс-
ных чисел С как алгебры над полем вещественных чисел К, т. е. авто-
§ 12. Понятие группы
133
морфизмом расширения С/К. Аналогично, любое расширение L/К сте-
пени 2 имеет, если характеристика поля К отлична от 2, ровно 2 авто-
морфизма. Действительно, легко видеть, что L = К (у), где у2 = с £ К.
Каждый автоморфизм однозначно определяется своим действием на 7,
так как <т(а + by) = а + Ь<т(у). Но так как он сохраняет действия над
элементами поля L и элементы поля К, то (<т(7))2 = <т(72) = <т(с) = с.
Поэтому <7(7) = ±7. Таким образом, существует лишь тождественный
автоморфизм <т(а + by) = а + by и такой, для которого <7(7) = —у,
т. е. а(а + by) = а — by. Существуют и «менее симметричные» расши-
рения. Например, расширение К = Q(y), у3 = 2, степени 3 над (Q
имеет только тождественный автоморфизм. Действительно, как и вы-
ше, любой автоморфизм <7 определяется своим действием на элемент у
и (<т(7))3 = 2. Если а(у) = 71 7^ 7. то (71/7)3 = 1, т. е. е = 71/7
удовлетворяет уравнению е3 — 1 = 0, а так как е 1, то уравне-
нию е2 + е + 1 = 0, откуда (2е + I)2 = —3. Поэтому в К должно со-
держаться поле Q(\/—3). Но степени расширений JT/Q и 3)/Q
равны 3 и 2, а это противоречит тому, что степень расширения делит-
ся на степень любого содержащегося в нем расширения ((3) §6).
Наконец, симметрии физических законов являются их важнейшей
характеристикой. Под этим подразумеваются преобразования коорди-
нат, при которых закон сохраняется. Так, законы механики должны
сохраняться при переходе от одной инерциальной системы координат
к другой. Соответствующие преобразования координат имеют в меха-
нике Галилея-Ньютона вид (для движения по прямой):
х' = х — vt, t' = t, (3)
а в механике специального принципа относительности вид:
i - -7®
, х — vt ., с
х — -------------- t —----------------
у/1 - (v/c)2’ у/1 - (v/c)2’
(4)
где с — скорость света в пустоте.
Группа симметрий в первом случае называется группой Гали-
лея-Ньютона, а во втором — группой Лоренца.
Примером другого типа симметрии физических законов является
так называемый закон четности, согласно которому все физические
законы должны сохранить свой вид, если одновременно изменить знак
134
Шафаревич И. Р.
времени, знаки зарядов и ориентацию пространства. Здесь мы имеем
группу, состоящую всего из двух симметрий.
Упомянем несколько очень простых понятий, связанных с группа-
ми преобразований. Орбитой элемента х G X относительно группы
преобразований G множества X называется множество Gx, состоящее
из элементов вида g(x), где g пробегает все элементы из G. Стаби-
лизатором элемента х называется множество Gx элементов группы,
сохраняющих элемент х, т. е. множество
Gx = {g, g(x) = я?}.
Стабилизатор элемента сам образует группу преобразований, содержа-
щуюся в G.
Рассмотрим следующее отношение между двумя элемента-
ми х, у G X:
существует такое преобразование g £ G, что g(x) = у.
Оно является отношением эквивалентности, т. е. рефлексивно, симмет-
рично и транзитивно. Проверка этого есть просто перефразировка трех
свойств, входящих в определение группы преобразований. Все эквива-
лентные друг другу элементы образуют одну орбиту. Поэтому множес-
тво X распадается на непересекающиеся орбиты. Это множество орбит
обозначается G\X. Если орбита только одна, т. е. для любых двух х
и у существует такое преобразование g G G, что у = g(x), то группа
преобразований G называется транзитивной.
Переходим теперь к понятию группы. Оно абстрагирует лишь не-
которые аспекты групп преобразований: возможность умножения пре-
образований (формула (1)), существование обратного преобразования и
закон ассоциативности для этого умножения: (fg)h = f(gh) (он прове-
ряется непосредственно, исходя из определения).
Группой называется множество G элементов, в котором определена
операция, называемая умножением, которая ставит в соответствие лю-
бым двум элементам gi, g2 множества G элемент gig2 этого множества
и удовлетворяет условиям:
ассоциативность: (gig2)g3 = gi(g2gs);
существование единицы; существует такой элемент е G G, что
eg = ge = g, gGG
(легко доказать, что такой элемент только один);
§ 12. Понятие группы
135
существование обратного: для любого g £ G существует такой эле-
мент g-1 £ G, что
Й'/Г' = g-1g = е
(легко доказать, что такой элемент g-1 только один).
Исходя из свойства ассоциативности, легко доказать, что и для лю-
бого числа элементов gi, g2, ... , gn их произведение (в заданном поряд-
ке) не зависит от расстановки скобок и может быть поэтому записано
как gig2 ... gn. Элемент g... g (п раз) записывается как g", (g-1)" —
как g~n.
Если умножение коммутативно:
g2gl = glg2 ДЛЯ любых gi, g2 £ G,
то группа называется коммутативной или абелевой. По существу, это
понятие нам встречалось — оно совпадает с понятием модуля над коль-
цом целых чисел Z. Чтобы подчеркнуть эту связь, операцию в абелевой
группе обычно называют суммой и обозначают как gi+g2. Тогда вмес-
то g-1 пишут —g, вместо g" пишут ng. Для п £ Z, g £ G, ng есть
произведение, определяющее G как модуль над Z.
Если число элементов группы G конечно, то она называется конеч-
ной. Число ее элементов называется тогда ее порядком и обозначает-
ся |G|.
Изоморфизмом двух групп G\ и Gi называется такое взаимно одно-
значное отображение / : G\ Gi, что
/(glg2) = /(gl)/(g2).
Тогда пишут: Gi ~ Gi.
Две группы называются изоморфными, если между ними сущест-
вует хотя бы один изоморфизм.
Конечную группу G, состоящую из элементов gi, ... , g„, можно
задать при помощи ее «таблицы умножения» или так называемой таб-
лицы Кэли. Это квадратная матрица, на пересечении г-й строки и ./-го
столбца которой стоит элемент gigj. Например, если порядок группы
равен 2 и она состоит из элементов е (единичного) и g е, то g2, как
легко видеть, может быть равно только е. Поэтому ее таблица Кэли
имеет вид:
е g
а е g .
g g е
136
Шафаревич И. Р.
Если порядок группы G равен 3, е — ее единичный элемент и g е, то
легко видеть, что g1 g и g2 е, поэтому G = {е, g, h}, h = g1. Так
же легко убедиться, что gh = е. Поэтому таблица Кэли такой группы
имеет вид:
е
g
h
е g h
е g h
g h e
h e g
Изоморфизм двух групп означает, что (с точностью до обозначе-
ния элементов) их таблицы Кэли одинаковы. Конечно, таблицу Кэли
удобно выписывать лишь для групп небольших порядков. Существу-
ют другие способы задать операцию в группе. Например, пусть G —
группа симметрий равностороннего треугольника (рис. 15 в). Обозна-
чим через s отражение относительно одной из высот, а через t — по-
ворот на 120° вокруг центра. Тогда t2 — это поворот на 240°. Легко
убедиться, что s, st и st2 — отражения относительно трех высот. Та-
ким образом, все элементы группы G записываются в виде:
е, t, t2, s, st, st2. (5)
Очевидно,
s2 = e, t3 = e. (6)
Кроме того, легко проверить, что
ts = st2. (7)
Эти правила уже определяют операцию в группе. Например,
(si)2 = stst = sst2t = s2t3 = e,
t2s = tts = tst2 = st2t2 = st.
Такой метод задания групп называется заданием образующими и со-
отношениями. (Более точно он будет описан в § 14.) В такой записи
изоморфизм групп G и G' означает, что в группе G' также существу-
ют 2 элемента s', t', через которые все другие таким же образом запи-
сываются, как и в (5), и которые удовлетворяют условиям (6) и (7).
Рассмотрим, например, группу GL(2, F2) невырожденных матриц 2-го
§ 12. Понятие группы
137
порядка с элементами из поля Ег- Их легко все написать, так как их
столбцы обязаны иметь вид:
/1\ /(А
\°/ ’ V/ ’
(8)
а непропорциональность столбцов (равносильная невырожденности
матрицы) означает в данном случае несовпадение. Мы получаем 6 мат-
риц:
1 (° Л (° Л Л Л
0 1/’ \11/ К1 °/’ V °/ \01/’ V11/
Легко убедиться,
что это как раз запись в виде (5), если взять
s' =
, и что соотношения (6) и (7) выполнены. Таким
образом, эта группа изоморфна группе симметрий равностороннего тре-
угольника. Найденный изоморфизм кажется совершенно непонятным.
Но его можно истолковать более содержательно: для этого мы должны
обратить внимание на то, что симметрии треугольника осуществляют
перестановки трех его вершин и реализуют в нашем случае все воз-
можные 6 перестановок. Невырожденные матрицы над действуют
на 3 столбца (8) и тоже осуществляют все возможные их перестанов-
ки. Таким образом, каждая из двух рассмотренных групп изоморфна
группе всех перестановок множества из трех элементов.
На этом и на множестве других примеров можно увидеть, что изо-
морфными могут быть группы, состоящие из объектов совершенно раз-
личной природы и возникшие в связи с различными вопросами. Поня-
тие изоморфизма фиксирует наше внимание лишь на правиле умноже-
ния в этих группах, абстрагируясь от конкретного характера их элемен-
тов. Можно представлять себе, что существует некоторая абстрактная
группа, элементы которой просто обозначены некими символами, над
которыми указаны правила умножения (вроде таблицы Кэли), а кон-
кретные группы являются ее реализациями. Удивительным образом,
оказывается, что свойства этой абстрактной группы, т. е. свойства од-
ной лишь групповой операции, дают часто очень много для понимания
конкретной реализации, которая «координатизируется» этой абстракт-
ной группой. Классическим примером является теория Галуа, о которой
будет сказано позже. В большинстве же приложений теории групп эти
138
Шафаревич И. Р.
свойства абстрактной группы соединяются со свойствами конкретной
реализации.
Выше были приведены примеры только групп преобразований,
и чтобы у читателя не создалось впечатления, будто это — единст-
венный путь, на котором группы естественно возникают, приведем
здесь несколько примеров иного характера. Таковыми являются го-
мотопические группы тг„(Х), группы гомологий Нп(Х) и когомоло-
гий Нп(Х) топологического пространства X, но их обсуждение мы
отложим до §§ 20 и 21.
Пример 1. Группа классов идеалов. В §3 была определена опера-
ция умножения идеалов произвольного коммутативного кольца А. Эта
операция ассоциативна и имеет единицу (кольцо А), но обратный иде-
ал почти никогда не существует (даже в кольце Z). Объединим теперь
в классы те ненулевые идеалы, которые изоморфны как модули над А
(ср. § 5). Операция умножения переносится и на классы, и уже они для
многих колец А образуют группу: попросту это значит, что для каждо-
го идеала I (0) существует такой идеал <7, что IJ — главный идеал.
В этом случае говорят о группе классов идеалов кольца А. Обозначается
она С1(А). Так обстоит дело, например, в случае кольца целых алгебра-
ических чисел конечного расширения J7/Q (ср. § 7). Здесь группа С1(А)
конечна. Для кольца А чисел вида а+&-\/—5, а, b £ Z, (пример 12 § 3) она
имеет порядок 2: это значит, что все неглавные идеалы эквивалентны
(т. е. изоморфны как A-модули) и произведение любых двух из них —
главный идеал.
Пример 2. Группа Ех1д(А, В). Пусть А и В — модули над коль-
цом R. Модуль С называется расширением А при помощи В, если он
содержит подмодуль В±, изоморфный В, и С/В± изоморфен А. При
этом в понятие расширения мы включаем и изоморфизмы и : В ~ Bt
и v : С/В-у — А. Тривиальное расширение — это С = А ф В. Груп-
па Z/p2Z является нетривиальным расширением группы Z/pZ при по-
мощи Z/pZ. Точно так же линейное преобразование, имеющее в некото-
ром базисе матрицу, являющуюся жордановой клеткой второго порядка
с собственным значением А, определяет модуль С над кольцом К[х], яв-
ляющийся нетривиальным расширением модуля А, соответствующего
одномерной матрице А, при помощи того же А.
Два расширения С и С модуля А при помощи В называются эк-
вивалентными, если существует изоморфизм <р ; С ~ С1, переводя-
§ 12. Понятие группы
139
щий Вх С С в В{ С С и согласованный с изоморфизмами В± ~ В ~ В[
и С/Вх — А ~ С/В[. Множество всех расширений А при помо-
щи В, рассматриваемых с точностью до эквивалентности, обознача-
ется Ех1д(А, В). Для полупростых колец R оно состоит из одного три-
виального расширения, а в общем случае измеряет отклонение от ситу-
ации, характерной для полупростоты.
Превратим множество Ех1д(А, В) в группу. Пусть С, С £
£ Ех1д(А, В), f: В ~ Bt С С и g: С/Bi ~ А — изоморфизмы, вхо-
дящие в определение С, а /' и имеют тот же смысл для С. Рас-
смотрим подмодули: D С С ф С, состоящий из пар (с, с'), для ко-
торых g(c) = g'(c'), и Е С С ф С, состоящий из пар (/(&), —/'(&)),
b G В,и положим С” = D/Е. Гомоморфизм f": f"(b) = (fib), 0) + Е =
= (0, f'(b)) + Е определяет изоморфизм В с подмодулем В" С С",
а для (с, с') £ D, g"(c, с') = g(c) = g'(c') — гомоморфизм D на все А,
равный 0 на Е, т. е. гомоморфизм g": С —> А, определяющий, как легко
проверить, изоморфизм С"/В" и А. Таким образом, С" является рас-
ширением А при помощи В. Соответствующий элемент С" £ Ext(A, В)
называется суммой расширений С и С. Нетрудно проверить все акси-
омы группы. Нулем является тривиальное расширение.
Пример 3. Группа Брауэра. Мы определим групповой закон на
множестве центральных тел конечного ранга над заданным полем К
(ср. §11). Пусть Bi и Яг — Две центральные простые алгебры конеч-
ного ранга над К. В модуле Ri Qk Ri определим операцию умножения,
положив для его образующих
(ai ® а2)(&1 ® &2) = Я1&1 ®
этим Н\ /?2 превращается в алгебру над К, причем нетрудно дока-
зать, что она тоже простая и центральная. Например,
МП1 (К) ® МП2 (К) ~ МП1П2 (К).
Если Di и 1?2 — Два центральных тела конечного ранга над К, то
ввиду сказанного выше и по теореме Веддерберна (теорема IV § 10)
Di Di — Mn(D), где D — некоторое центральное тело. Его мы и
назовем произведением тел Di и D2. Можно показать, что таким об-
разом определяется группа (обратным элементом для тела D является
инверсно-изоморфное тело D*). Эта группа называется группой Брауэра
поля К и обозначается Вг(ГГ). Можно показать, что описания тел над
140
Шафаревич И. Р.
полями и (Q, данные в § 11 (теоремы V и VIII), дают и групповой
закон групп Брауэра этих полей: надо только встречающиеся там кор-
ни из 1 рассматривать как элементы группы корней из 1. Например,
группа Br(Q ) изоморфна группе всех корней из 1, а группа Br(Q) —
группе наборов
(//r, цр, ...) корней из 1,
удовлетворяющих условиям, указанным в теореме VIII § 11. Груп-
па Вг(К) имеет порядок 2.
Следующие параграфы мы посвятим обзору примеров чаще всего
встречающихся типов групп и наиболее полезных конкретных групп.
Это дает обзор (конечно, очень условный) тех путей, которые связы-
вают общее понятие группы с остальной математикой (да и не только
математикой). Но сначала мы должны изложить некоторые простейшие
понятия и свойства, примыкающие к самому определению группы, без
которых рассмотрение примеров было бы затруднительно.
Подгруппой группы G называется такое ее подмножество, которое
вместе с любым элементом содержит его обратный и вместе с двумя
элементами — их произведение. Примером подгруппы является ста-
билизатор любого элемента в группе преобразований. Пусть {ga} —
произвольное множество элементов группы G. Совокупность всех про-
изведений элементов ga и их обратных (в любом порядке) образует,
как легко видеть, подгруппу группы G. Она называется подгруппой, по-
рожденной элементами {ga}. Если эта подгруппа совпадает с G, то ga
называются образующими группы G. Это обозначают так: G = ({ga})-
Например, в группе Z (записанной аддитивно) 1 является образующей.
В группе симметрий равностороннего треугольника образующими яв-
ляются s и t (см. (5)), так что для нее G = (s, t).
Гомоморфизмом называется такое отображение f : G G' груп-
пы G в группу G', что
/(glg2) = /(gl)/(g2)-
Гомоморфизм f группы G в группу преобразований множества X
называется действием G на множестве X. Чтобы задать действие, на-
до определить для любого элемента g £ G соответствующее ему пре-
образование f(g), т.е. /(g)(o?) для любого х £ X. Записывая /(g)(o?)
сокращенно в виде gx, мы видим, что задание действия G на X рав-
носильно сопоставлению любому элементу g £ G и любому х £ X
§ 12. Понятие группы
141
элемента gx £ X, т. е. отображения
G х X X, (g, х) gx,
причем должны выполняться условия (эквивалентные гомоморфности
отображения /):
(glg2)a? = gl(g2x).
Два действия одной и той же группы G на двух разных множес-
твах X и X' называются изоморфными, если между элементами мно-
жеств X и X1 можно установить такое взаимно однозначное соответ-
ствие х 11 х', что из х 11 х' следует gx 11 gx' для любого g £ G.
Пример 4. Рассмотрим группу G вещественных матриц второго
порядка с определителем 1. Такая матрица
(а 0\
у 7 SJ
действует на верхней
полуплоскости С+ = {z, Imz > 0} комплексного переменного по закону
az + [3
yz + 6'
Очевидно, что мы получаем действие G на С+. С другой стороны,
G действует на множестве S положительно определенных симметри-
ческих матриц второго порядка, причем g =
(а 0\
у 7 SJ
переводит матри-
цу s в gsg*, где g* — транспонированная матрица. Записывая s в ви-
де , мы характеризуем S условиями а > 0, ас — Ь2 > 0, кото-
рые определяют на проективной плоскости с однородными координа-
тами (а : Ь : с) внутренность ф кривой второго порядка с уравнени-
ем ас = Ь2. Очевидно, G действует и на ф при помощи проективных
преобразований, переводящих эту кривую в себя. Положительно опре-
деленную квадратичную форму ах2 + 2Ьху + су2 можно записать в ви-
де a(xz+y)(xz+y), где z £ С+. Сопоставляя матрице число z, мы
получим, как легко увидеть, взаимно однозначное соответствие между
множествами ф и С+, определяющее изоморфизм двух действий груп-
пы G. Как известно, С+ и ф определяют две интерпретации планимет-
рии Лобачевского: интерпретации Пуанкаре и Кэли-Клейна. Группа
же G в каждой из этих интерпретаций определяет группу собственных
(не меняющих ориентацию) движений плоскости Лобачевского.
142
Шафаревич И. Р.
Три очень важных примера действия группы на самой себе:
g-x = gx,
g - X = Xg-1,
g-x = gxg~x
(слева стоит действие, справа — произведение в G). Они называются
левым регулярным, правым регулярным и присоединенным действием.
Правое регулярное и левое регулярное действия изоморфны: изомор-
физм определяется отображением х ж-1 группы G на себя.
Действие группы G на множестве X определяет, конечно, дейст-
вие любой подгруппы Н С G. В частности, левое регулярное дейст-
вие определяет действие любой подгруппы Н С G на всей группе G.
Орбиты полученной таким образом группы преобразований называют-
ся левыми классами смежности G по Н. Таким образом, левый класс
смежности состоит из всех элементов вида hg, где g £ G — некото-
рый фиксированный элемент, a h пробегает всевозможные элементы
из Н. Он обозначается через Hg. Согласно сказанному выше об орби-
тах любой элемент gi £ Hg определяет тот же самый класс смежнос-
ти, и вся группа разлагается в объединение непересекающихся классов
смежности. Аналогично, правое регулярное действие подгруппы Н С G
определяет правые классы смежности вида gH. Орбиты присоединен-
ного представления называются классами сопряженных элементов, эле-
менты одной орбиты — сопряженными. Элементы gi и g-j сопряжены,
если g2 = ggig-1 при некотором g £ G. Если Н С G — подгруппа,
то все элементы ghg~A, h £ Н, при фиксированном g £ G образуют,
как легко видеть, подгруппу. Она называется сопряженной группой к Н
и обозначается gHg~r. Например, если G — группа преобразований
множества X, g £ G, х £ X и у = gx, то Gy = gGxg-1. Число левых
классов смежности по подгруппе Н С G (конечное или нет) называ-
ется ее индексом и обозначается (G : Н). Если группа G конечна, то
число элементов в каждом классе смежности по подгруппе Н равно ее
порядку \Н\. Поэтому
\G\ = \H\(G : Н). (9)
В частности, \Н\ делит |С|.
Предположим, что действие группы G на множестве X транзи-
тивно. Тогда для любых х и у £ G существует такой элемент g £ G,
§ 12. Понятие группы
143
что g(x) = у, и все такие элементы образуют правый класс смежнос-
ти gGx по стабилизатору элемента х. Мы получаем, таким образом,
взаимно однозначное соответствие между элементами множества X
и классами смежности G по Gx. Если X конечно, то, обозначая чис-
ло его элементов через |Х|, мы видим:
|Х| = (G : Gx).
Если действие группы G не транзитивно, то пусть Ха — его орби-
ты: X = Выбрав по представителю ха в каждом из Ха, мы по-
лучим взаимно однозначное соответствие между элементами орбиты
и классами смежности G по GXa. В частности, если X конечно, то
|Х| = £(G : Ga), (10)
где Ga — стабилизаторы элементов, выбранных по одному из всех ор-
бит.
Образом 1т/ гомоморфизма f : G G' называется совокупность
элементов вида f(g), g 6 G. Образ является подгруппой в G'.
Ядром Ker f гомоморфизма f называется совокупность тех элемен-
тов g £ G, для которых /(g) = е. Ядро, конечно, является подгруппой,
но удовлетворяет дополнительному условию:
g-1/ig £ Кег/, если h £ Кег/, g £ G. (11)
Проверка этого условия очевидна. Подгруппа N С G, удовлетворяющая
условию (11), называется нормальным делителем. Иначе говоря, нор-
мальный делитель N должен быть инвариантным относительно присо-
единенного действия:
g~1Ng=N.
То что N есть нормальный делитель, записывается как N <1 G. Опре-
деление нормального делителя N равносильно тому, что любой левый
класс смежности по подгруппе N является и правым: gAr = Ng. Таким
образом, хотя левое и правое регулярное действие нормального делите-
ля на группе, вообще говоря, не совпадает, их орбиты совпадают.
Разбиение группы G на классы смежности по ее нормальному де-
лителю N согласовано с операцией умножения: если заменить gi или g2
на элемент из того же класса смежности, то и gig2 останется в своем
144
Шафаревич И. Р.
классе смежности. Это тавтологическая переформулировка определе-
ния нормального делителя. Отсюда вытекает, что операция умножения
может быть перенесена на классы смежности, которые образуют груп-
пу, называемую факторгруппой по нормальному делителю N. Она обо-
значается G/N, сопоставление элементу g G G класса смежности gN
определяет гомоморфизм G на G/N, называемый каноническим.
Имеют место уже привычные из теории колец и модулей соотно-
шения:
4 Теорема о гомоморфизмах. Образ гомоморфизма изо-
морфен факторгруппе по его ядру.
Любой гомоморфизм f может быть сведен к каноническому: су-
ществует изоморфизм G/Kerf и 1т/, который при композиции с ка-
ноническим гомоморфизмом G G/Kerf дает /. ►
Пример 5. Рассмотрим группу G всех движений евклидова про-
странства Е, т. е. преобразований, сохраняющих расстояние между точ-
ками. Она может быть распространена на векторное пространство L
(свободных) векторов в Е: если х, у G Е и — вектор с началом х
и концом у, то g{xfy, по определению, равен g(x)g(y\ Легко проверить,
что если х% = х±у{ (т. е. отрезки ху и x±yi равны и параллельно располо-
жены), то и g(x)g(y) = g(xi)g(yi), так что преобразование gопределено
непротиворечиво. В пространстве L преобразование gявляется ортого-
нальным. Отображение g —> g является гомоморфизмом группы движе-
ний в группу ортогональных преобразований. Образ этого гомоморфиз-
ма совпадает с группой всех ортогональных преобразований. Его ядро
состоит из параллельных переносов пространства Е на векторы и £ L.
Таким образом, группа параллельных переносов является нормальным
делителем. Это можно проверить и непосредственно: если Ти — парал-
лельный перенос на вектор и, то, как легко видеть, ^rug~r = Tg^uy
Мы видим, что группа ортогональных преобразований изоморфна фак-
торгруппе группы движений по нормальному делителю параллельных
переносов. В данном случае это легко усмотреть непосредственно, вы-
брав какую-либо точку О G Е. Тогда любое движение можно запи-
сать в виде g = Tug1, где g7 £ Go (стабилизатор точки О). Очевидно,
что Go изоморфен группе ортогональных преобразований, а сопостав-
ление классу смежности Ti,gJ преобразования g7 дает наш гомоморфизм.
Пусть g— элемент группы G. Отображение ipg : Z^G, <pg(n) = gn
очевидно является гомоморфизмом. Его образ состоит из всех степе-
§ 13. Примеры групп: конечные группы
145
ней элемента g. Он называется циклической подгруппой, порожденной g,
и записывается {g}. Если существует такой элемент g, что G = {g}
(т. е. все элементы G являются степенями g), то группа G называет-
ся циклической, a g — ее образующей. Примером циклической груп-
пы является группа Z целых чисел по сложению. Ее образующей яв-
ляется число 1. Всякая подгруппа группы Z состоит или из одного О,
или из всех кратных fcZ наименьшего входящего в нее положительного
числа к, т. е. тоже является циклической. Возвращаясь к гомоморфиз-
му g>g: Z —> G, мы можем сказать, что либо Кег(р„ = 0 — это значит,
что все степени g" элемента g различны, — либо Ker(p„ = fcZ. Это зна-
чит, что g* = е и группа {g} изоморфна Z/fcZ, т. е. является группой
порядка к. В первом случае g называется элементом бесконечного по-
рядка, во втором — порядка к. Если группа G конечна, то согласно (9),
к делит |G|.
Из всех методов конструирования групп отметим здесь прос-
тейший. Пусть Ci и Сг — две группы. Рассмотрим совокупность
пар (gi, g2), gi £ Gi, g2 G G2. Действия над парами определим по-
элементно:
(gl, g2')(g'l, ^2) = (glgl, g2&)-
Легко видеть, что таким образом мы получаем группу. Она называ-
ется прямым произведением групп Gi и G2 и обозначается G\ х G2.
Если ei и е2 — единичные элементы групп G\ и G2, то отображения
gi —> (gi, 62) и g2 —> (ei, g2) являются изоморфизмами групп G1 и G2
с подгруппами группы G\ xG^. Обычно элементы групп G\ и G2 отож-
дествляют с их образами относительно этих изоморфизмов, т. е. (gi, 62)
обозначают gx, a (ei, g2) — g2. Тогда G± и G2 становятся подгруппа-
ми Gx xG2. В этой группе g2gx = gig2, если gi £ Gi, g2 £ G2, откуда
следует, что Gi и G2 — нормальные делители в Gi х G2. Любой эле-
мент из Gi х G2 однозначно записывается в виде gig2, gi £ Gi, g2 £ G2.
Если Gi и G2 коммутативны (и записаны аддитивно), то мы получаем
известную из § 5 операцию прямой суммы модулей над Z.
§ 13. Примеры групп: конечные группы
Так же, как общее понятие группы связано с понятием группы
преобразований произвольного множества, конечные группы связаны
146
Шафаревич И. Р.
с преобразованиями конечного множества (преобразования в этом слу-
чае называются также подстановками).
Пример 1. Группа всех преобразований конечного множества X,
состоящего из п элементов я?х, ... , хп, называется симметрической
группой. Она обозначается &п. Стабилизатор 6Ж1 изоморфен, очевид-
но, 6и-1. Класс смежности g&X1 состоит из всех подстановок, пере-
водящих я?1 в заданный элемент Xj. Поэтому число классов смежности
равно п. Отсюда |Sn| = |(5n_x|n и по индукции |(5П| = п\.
Обозначим через ai (г = 1, ... , п — 1) преобразование, переставля-
ющее Xi и Xj-i-i и не меняющее остальных элементов. Очевидно,
o’? = е- (1)
Так как любую перестановку элементов х±, ... , хп можно осущест-
вить, последовательно переставляя соседей, то любой элемент g G &п
является произведением ... , <тп-ь т-е- «Гь • • • , ^n-i — образующие
группы &п. Очевидно,
O’iO’j “ O’jO’i ПРИ I* “ j\ > 1, (2)
в этом случае ai и <Tj переставляют разные пары элементов. Произве-
дение cijCTj+i циклически переставляет Х(, яг$+х и Xi+2- Поэтому
(o-jCTj+i)3 = е, 1 < i < п - 2. (3)
Ч Можно показать, что закон умножения в группе &п полнос-
тью определяется соотношениями (1), (2) и (3) между образующи-
ми ОД, ... , СТ„-1. ►
Более точный смысл этого утверждения будет выяснен в § 14.
Пусть а £ &п — произвольная подстановка и Н = {ст} — порож-
даемая ею циклическая подгруппа. Относительно действия группы Н
множество X распадается на к орбит Xi, ... , Хк, число элементов в ко-
торых обозначим щ, ... , щ. Очевидно,
п = П1 + ... + пк. (4)
Внутри каждого Xi группа Н = {ст} циклически переставляет эле-
менты. Задание разбиения X = UX{ и циклической перестановки
элементов внутри Xi (например, запись Xi = {ха1, ха2, ... , хап.},
§ 13. Примеры групп: конечные группы
147
где axaj = xaj+1, j щ — 1, crxC(jlj = ха1, однозначно определяет
подстановку а. Такое задание называется ее разложением на циклы.
Числа П1, ... , пу составляют цикленный тип подстановки.
Если а' = gag-1 — сопряженный элемент, то для него разложение
на циклы имеет вид X = UgJQ, gXi = {gxai, ... , gxa }, т.е. чис-
ла их, ... , пу остаются теми же. Наоборот, если а' — любая подстанов-
ка того же цикленного типа пх, ... , пу, то легко строится подстанов-
ка g, для которой а' = g-1crg. Таким образом, две подстановки сопря-
жены тогда и только тогда, когда имеют один и тот же цикленный тип.
Иными словами, классы сопряженных элементов группы &п взаим-
но однозначно соответствуют наборам натуральных чисел щ, ... , п/.,
удовлетворяющих условию (4). В частности, число классов сопряжен-
ных элементов группы &п равно числу разбиений п на положительные
слагаемые.
Пример 2. Будем теперь считать, что переставляемые элемен-
ты жх, ... , хп — это независимые переменные в кольце 2[я?х, ... , хп],
и рассмотрим многочлен
А = П(^г - Xj).
i<3
Очевидно, что при подстановке а многочлен Д или не изменится, или
изменит знак:
Д(ст(жх), ... , а(хп)) = е(о-)Д(я?1, ... , х„), е(ст) = ±1,
и что а е(ст) является гомоморфизмом &п в группу порядка 2, состо-
ящую из 1 и —1. Ядро этого гомоморфизма называется знакопеременной
группой и обозначается 21„, подстановки а £ называются четными,
а а — нечетными. Очевидно, (&п : 21„) = 2 и, значит, |21п| = п!/2.
Во многих вопросах важно перечисление всех нормальных делите-
лей группы &п и 21п. Ответ таков:
◄ I. При п 4 группа &п не имеет других нормальных делителей,
кроме {е}, 21п и &п, а 21п — кроме {е} и 21„. При п = 4, сверх того,
существует (как в &п, так и в 21„) нормальный делитель порядка 4,
состоящий из е и подстановок, имеющих цикленный тип (2, 2). ►
Другой путь, на котором возникают важные примеры конечных
групп, — это изучение конечных подгрупп некоторых хорошо извест-
148
Шафаревич И. Р.
них групп. Разберем классический пример — конечные подгруппы
группы ортогональных преобразований евклидова пространства.
Наибольший геометрический и физический интерес представляют
группы, действующие в трехмерном пространстве. Но в качестве про-
стой модели изложим сначала аналогичные результаты для плоскости.
Ортогональные преобразования, сохраняющие ориентацию, мы будем
называть вращениями — они тоже образуют группу.
Пример 3. Конечные подгруппы группы вращений плоскости.
Ч П. Конечные группы вращений плоскости являются цикличес-
кими. Каждая такая группа порядка п состоит из всех поворотов на
углы к = 0, 1, ... , п — 1, вокруг фиксированной точки. ►
Эта группа обозначается через Сп. Ее можно характеризовать как
группу всех симметрий ориентированного правильного п-угольника
(см. рис. 18 для п = 7).
◄ III. Конечная подгруппа группы ортогональных преобразований
плоскости, содержащая также и отражения, совпадает с группой всех
симметрий правильного n-угольника. Эта группа обозначается Dn.
Ее порядок равен 2п, она состоит из преобразований группы Сп и п от-
ражений относительно п осей симметрии правильного п-угольника. ►
Пример 4. Классические примеры конечных групп вращений
трехмерного пространства связаны с правильными многогранника-
ми: каждому правильному многограннику М соответствует груп-
па Gm всех вращений, сохраняющих этот многогранник. «Правиль-
ность» многогранника отражается в наличии у него большого чис-
ла симметрий. Пусть М — выпуклый ограниченный (п — 1)-мерный
многогранник в n-мерном пространстве. Назовем флагом набор F =
§ 13. Примеры групп-, конечные группы
149
= {Л4о, Mi, ... , Mn_i}, где Mi является г-мерной гранью и Mj С Mj+i.
Многогранник М называется правильным, если группа его симмет-
рий Gm транзитивно действует на множество его флагов. В частнос-
ти, при п = 3, группа Gm должна действовать транзитивно на мно-
жестве пар: вершина многогранника и выходящее из нее ребро. Легко
видеть, что стабилизатор такой пары состоит только из тождественно-
го преобразования, так что порядок группы Gm равен произведению
числа вершин правильного многогранника на число ребер, выходящих
из одной вершины. Все правильные многогранники были определены
еще в античности (они и называются иногда платоновскими телами).
Это тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. С каждым правиль-
ным многогранником связан двойственный, вершины которого являют-
ся центрами граней исходного. Очевидно, что группы Gm У них одина-
ковые. Тетраэдр двойственен сам себе, куб — октаэдру, а додекаэдр —
икосаэдру. Таким образом, мы получаем лишь три группы правильных
Тетраэдр
Рис. 19
многогранников: группу тетраэдра, октаэдра и икосаэдра (см. рис. 19).
Они обозначаются Т, О и Y соответственно. Их порядки согласно ска-
занному выше равны:
|Т| = 12, |О| = 24, |У| = 60.
Кроме этих групп, существуют еще очевидные примеры конечных под-
групп группы вращений: циклическая группа Сп порядка п, состоя-
щая из вращений вокруг заданной оси I на углы к = 0, ... , п — 1,
и группа диэдра Dn порядка 2п, содержащая Сп и, сверх того, п поворо-
150
Шафаревич И. Р.
тов на угол тг относительно осей, лежащих в одной плоскости, пересека-
ющих ось I и образующих друг с другом углы, кратные Группу Dn
можно рассматривать как группу вращений вырожденного правильно-
го многогранника — плоского n-угольника (рис. 20). В таком качестве
она уже встречалась нам в примере 3.
Оси поворотов на углы п
в группе D-
Рис. 20
Ч IV. Циклические группы и группы диэдра, тетраэдра, октаэдра
и икосаэдра исчерпывают все конечные подгруппы группы вращений
трехмерного пространства. ►
Точный смысл этого утверждения заключается в том, что каж-
дая такая группа G или циклическая, или для нее можно найти такой
правильный многогранник М, что G = Gm- Так как все правильные
многогранники одного типа получаются друг из друга вращением и
равномерным растяжением, то отсюда следует, что соответствующие
им группы являются сопряженными подгруппами группы вращений.
Группа вращений правильного тетраэдра действует на множестве
его вершин. Она осуществляет лишь четные их перестановки — это
очевидно, если объем тетраэдра записать в виде
1
v = 1 X!
6 У1
Z1
1 1 1
Я?2 Я?з Я?4
У 2 УЗ У4
z2 z3 z4
где (xi, yi, zi) — координаты его вершин. Отсюда видно, что группа
тетраэдра изоморфна знакопеременной группе 214. Алгебраически дей-
§ 13. Примеры групп-, конечные группы
151
ствие группы Т на множестве вершин соответствует действию группы
в присоединенном представлении на множестве подгрупп третьего по-
рядка (каждая такая подгруппа состоит из поворотов вокруг оси, со-
единяющей вершину с центром противоположной грани).
Совершенно аналогично, подгруппы третьего порядка группы окта-
эдра О соответствуют осям, соединяющим центры противоположных
граней. Таких осей (а значит, и подгрупп) четыре, и действие на них
группы О определяет изоморфизм О ~ S4.
В группе икосаэдра Y рассмотрим сначала элементы второго по-
рядка — они задаются поворотами на 180° вокруг осей, соединяющих
середины противоположных ребер. Так как число ребер равно 30, то
число таких осей (а значит, и элементов порядка 2) равно 15. Можно
показать, что для каждой оси второго порядка существуют еще две,
ей и друг другу ортогональные (например, ось, соединяющая середины
сторон АВ и CD на рис. 19, и две другие, получающиеся из нее пово-
ротами вокруг оси 3-го порядка, проходящей через центр треугольни-
ка CFE). Такая тройка элементов второго порядка вместе с единичным
элементом образует абелеву группу четвертого порядка, изоморфную
прямому произведению двух групп второго порядка. Всего, следова-
тельно, таких подгрупп четвертого порядка в группе икосаэдра Y име-
ется 5. Действие группы Y присоединенным представлением на этих
пяти группах (или на пяти тройках попарно ортогональных осей вто-
рого порядка) определяет изоморфизм Y ~ Sig.
Часто играет роль одна важная связь между этими группами. Из
изоморфизмов О ~ &4, Т ~ 2Ц и теоремы I следует, что в группе О
существует единственный нормальный делитель индекса 2, изоморф-
ный Т. Увидеть это включение можно, если у правильного тетраэдра
отсечь углы около всех вершин так, чтобы секущие плоскости дели-
ли его ребра пополам (рис. 21). В результате останется правильный
октаэдр. Все симметрии тетраэдра составляют группу Т и сохраняют
вписанный октаэдр, поэтому содержатся в О.
Группы правильных многогранников встречаются в природе в ка-
честве групп симметрий молекул. Например, группой симметрии моле-
кулы H3C-CCI3 (рис. 22) является группа Сз, молекулы СгНб — груп-
па £>з, молекулы метана СП | — группа тетраэдра (атом С расположен
в центре тетраэдра, вершины которого образуют атомы Н), гексафо-
рида урана UFG — группа октаэдра О (атом U расположен в центре
октаэдра, вершины которого образуют атомы F).
152
Шафаревич И. Р.
Перечисление конечных подгрупп группы всех ортогональных пре-
образований легко вытекает из теоремы IV. Группа Г' всех ортого-
нальных преобразований является прямым произведением Г х {е, е'},
где Г — группа вращений трехмерного пространства, a Z = {е, е'} —
группа второго порядка, состоящая из единичного преобразования е
и центральной симметрии е' : е'(ж) = —х. Исследовать подгруппы пря-
мого произведения Г х Н, если известны погруппы в Г и в Н, —
несложная алгебраическая задача. В простейшем случае, когда, как
у нас, Н = Z — группа второго порядка, ответ таков. Подгруп-
па G С Г х Z или содержится целиком в Г, или имеет вид Go х Z,
где Go С Г, или получается из группы G С Г следующим приемом. Вы-
бираем в G подгруппу Go С G индекса 2, и пусть G = GqUV — ее разло-
жение на классы смежности по Go- Тогда множество элементов go 6 Go
§ 13. Примеры групп-, конечные группы
153
и e'v, v е V, как легко проверить, образует группу, которую мы и долж-
ны взять за G. Например, в двумерном случае, группа Dn получается
таким способом из G = C^n, Go = Сп. Построение групп последнего
типа требует перебора групп вращений G и их подгрупп Go индекса 2.
Соответствующая группа ортогональных преобразований G обознача-
ется GGq- Таким способом получаем:
Ч V. Конечные группы ортогональных преобразований трехмерного
пространства, не состоящие из одних вращений, исчерпываются сле-
дующими:
Сп х Z, Dn х Z, Т х Z, О х Z, Y х Z, С2ИСП, Г)2Н1)п. DnCn, ОТ.
Последняя группа возникает ввиду включения Т С О (см. рис. 21). ►
Напомним, что для любой конечной группы G С GL(n, К) сущест-
вует инвариантная относительно нее положительно определенная квад-
ратичная форма f (пример 4 §10). Из того, что форма f при помо-
щи невырожденного линейного преобразования р приводится к сумме
квадратов, следует, как легко убедиться, что группа tp~1G<p состоит
из ортогональных преобразований. Поэтому теоремы III и V дают нам
также классификацию конечных подгрупп групп GL(2, К) и GL(3, К).
Пример 5. Каждая конечная группа вращений пространства со-
храняет сферу S с центром в начале координат, так что может быть
интерпретирована и как группа движений сферической геометрии. Ес-
ли же отождествить сферу с римановой сферой комплексного перемен-
ного z, то дробно-линейные преобразования
z + а’ 5 6 С’ 0, (5)
реализуются как конформные преобразования сферы S. Ее движения
составляют часть конформных преобразований, и поэтому построенные
конечные группы движений сферы дают конечные подгруппы группы
дробно-линейных преобразований.
◄ VI. Таким образом получаются все конечные подгруппы группы
дробно-линейных преобразований (5). Можно показать, сверх того, что
подгруппы, соответствующие правильному многограннику одного и то-
го же типа, сопряжены в группе дробно-линейных преобразований. ►
154
Шафаревич И. Р.
Одно из применений этого результата таково. Пусть
d2w . / \ dw , / \ п
+ p(z) — + q (z )w = О
dz2 dz
— дифференциальное уравнение с рациональными коэффициентами
и wi, W2 — Два его линейно независимых решения. Функция v = W2/W1
является многозначной аналитической функцией комплексного пере-
менного z. При обходах в z-плоскости вокруг полюсов функций p(z)
и q(z) функции wi и W2 заменяются их линейными комбинациями,
а значит, v преобразуется по формуле (5): v —>
av + (3 „
----y- Предположим
7i> + о
теперь, что v — алгебраическая функция. Тогда у нее только конечное
число ветвей и, следовательно, мы получаем конечную группу преобра-
зований вида (5). Зная все такие группы, можно описать все линейные
дифференциальные уравнения второго порядка, имеющие алгебраичес-
кие решения.
Пример 6. Группа симметрий плоских решеток. Дискретным ана-
логом поля вещественных чисел К является кольцо целых чисел Z, век-
торного пространства К" — модуль Z", а группы GL(n, К) — груп-
па GL(n, Z). Следуя этой аналогии, мы разберем теперь конечные под-
группы группы GL(2, Z), а в следующем примере — GL(3, Z). Нас бу-
дет интересовать классификация этих групп с точностью до сопряжен-
ности в содержащих их группах GL(2, Z) и GL(3, Z). В следующем
параграфе мы увидим, что эта задача имеет физические приложения
в кристаллографии.
Рассматриваемой нами задаче можно дать следующую геометри-
ческую интерпретацию. Реализуем группу Z” как группу С векто-
ров n-мерного линейного пространства К”. Такая подгруппа С С К"
называется решеткой. Любая группа G С GL(n, Z) реализуется как
группа линейных преобразований К", сохраняющих решетку С. Для
любой конечной группы G линейных преобразований К” существует
инвариантная метрика, т. е. такая положительно определенная квадра-
тичная форма /(ж) на К”, что /(g(x)) = /(я?) для всех g £ G (см. при-
мер 4 § 10). Квадратичная форма / определяет в К” структуру евкли-
дова пространства, а группа G становится конечной группой ортого-
нальных преобразований, переводящих в себя решетку С. Наша задача,
таким образом, эквивалентна классификации групп симметрий реше-
ток в евклидовом пространстве К". Под симметриями мы понимаем,
§ 13. Примеры групп: конечные группы 155
конечно, ортогональные преобразования, переводящие в себя решетку.
Легко убедиться, что группа всех симметрий любой решетки конечна.
Группы Ci и G2 симметрий решеток С± и С2 будут соответствовать
сопряженным подгруппам в группе целочисленных матриц с определи-
телем ±1, если существует линейное преобразование р, переводящее С±
в С2, a Gi в (72. То есть <7г = ), G2 = pG-ppr1 и <р переводит дейст-
вие Gi на (71 в действие G2 на Сг- Такие решетки и группы называются
эквивалентными.
Решетки, обладающие нетривиальными симметриями (отличными
от центральной симметрии), называются в кристаллографии решетка-
ми Браве, а группы их симметрий — группами Браве.
Мы исследуем сейчас этот вопрос в случае плоскости. Исследование
распадается на два этапа. Прежде всего, надо выяснить, какие конечные
группы ортогональных преобразований оставляют на месте некоторую
решетку (т. е. состоят из ее симметрий). Такие группы называются
(по причине, которая станет ясна в следующем параграфе) кристал-
лографическими классами. Конечно, они содержатся в списке, который
дает теорема III. Основой отбора является элементарно доказываемое
утверждение: плоская решетка может переводиться в себя поворотами
вокруг некоторой своей точки только на углы 0, тг,
◄ VII. Имеется 10 двумерных кристаллографических классов:
Сг, С2, С3, Св, Du D2, D3, Di, D6. ►
Основные параллелограммы решеток, допускающих различные
группы симметрий, изображены на рис. 23. Под каждым из них ука-
заны те группы симметрий, которые соответствующие решетки допус-
кают. Мы имеем здесь (слева направо): произвольный параллелограмм,
произвольный прямоугольник, произвольный ромб, квадрат и паралле-
лограмм, составленный из двух равносторонних треугольников. Соот-
ветствующие решетки назовем: общей, прямоугольной, ромбической,
квадратной и шестиугольной и обозначим Го, Гп, Гр, Гк, Гш.
Однако теорема VII еще не решает нашу задачу: неэквивалентные
группы симметрий могут принадлежать одному и тому же кристал-
лографическому классу. Алгебраически это значит, что две группы G
и G' С GL(2, Z) могут быть сопряжены в группе ортогональных пре-
образований, но не в GL(2, Z). Примером служат группы второго по-
рядка G и G', где G порождена матрицей (® ), a G' — |. Гео-
156
Шафаревич И. Р.
Общая Прямоугольная
С1; С2 С1; С2, Dn D2
Ромбическая Квадратная Шестиугольная
Cn С2, Dj, D2 С1; С2, С4 С1; С2, С3
D2, D4 D2, D„ D„
Рис. 23
метрически они соответствуют симметрии второго порядка, которой
обладают решетки, имеющие в качестве основного параллелограмма
прямоугольник и ромб на рис. 23. Симметрия состоит в зеркальном
отражении относительно горизонтальной стороны прямоугольника в
первом случае и горизонтальной диагонали ромба — во втором. Они
не эквивалентны, так как решетка, соответствующая прямоугольнику,
имеет базис из векторов, умножающихся на +1 и —1 при рассматри-
ваемой симметрии, а в решетке, соответствующей ромбу, векторы, ин-
вариантные относительно симметрии, и векторы, умножающиеся при
симметрии на —1, решетку не порождают. Такое явление встречается,
однако, не очень часто.
Ч VIII. Имеется 13 неэквивалентных групп симметрий плоских ре-
шеток
G(r0), С2(ГО), С4(ГК), С'з(Гш), С6(ГШ),
А(ГП), £>1(ГР), Л2(ГП), £>2(Гр), Л4(гк),
«з(Гш). Р^(Гш), £)б(Гш)-
В скобках указаны решетки, в качестве симметрий которых соответ-
ствующие группы реализуются. ►
Пример группы Z>i, реализующейся в двух решетках Гп и Гр, мы
уже разобрали. Группа П2 реализуется в тех же решетках и получается
добавлением к Di центральной симметрии. Наиболее тонкими являют-
ся реализации D'3 и I)” группы D3 в качестве симметрий решетки Гш.
Обе они содержатся в группе и (как и полагается группе 1)>) являют-
ся группами симметрий треугольника, но эти треугольники по-разному
вписаны в шестиугольник, который сохраняет Dq (рис. 24).
Пример 7. Группы симметрий пространственных решеток. Рас-
смотрим конечные подгруппы группы GL(3, Z), используя, без поясне-
ний, терминологию, введенную при разборе примера 6.
§ 13. Примеры групп-, конечные группы
157
Рис. 24
Ч IX. Имеется 32 трехмерных кристаллографических класса.
Сингонии кристаллографические классы
Триклинная Cl X Z,
Моноклинная С2 X Z, С2. С2Сг
Орторомбическая D2 X Z. D2C2
Тригональная D3 х Z, D3, D3C3. Сз х Z, Сз
Тетрагональная D4 X Z. 1)4-, D4C41 D4D21 C4Z. С*4, С4С2
Гексагональная Dq х Z, D6C6. DqD^^ Cc/Z. C*6, СвСз
Кубическая О xZ, О, ОТ, T x Z, T
Обозначения групп взяты из теоремы V. Группы расположены
в таблице так, что в одной строке собраны подгруппы одной и той же
группы, стоящей первой в этой строке. ►
Эти серии групп называются в кристаллографии сингониями и име-
ют экзотические названия, приведенные в таблице. Каждая сингония
характеризуется как совокупность симметрий некоторого многогран-
ника. Эти многогранники приведены на рис. 25. (Их аналогами на плос-
кости являются параллелограмм, прямоугольник, квадрат и равносто-
ронний треугольник.)
Очень наглядно все кристаллографические классы представлены
на рис. 26 в таблице 1, заимствованной из книги [9]. В ней использованы
обозначения, приведенные ниже в таблице 2 к рис. 26.
Мы не будем перечислять всех типов неэквивалентных групп сим-
метрий трехмерных решеток. Их имеется 72 различных.
Многомерные обобщения изложенных выше дву- и трехмерных
конструкций, конечно, не могут быть исследованы с такой детальнос-
тью. Здесь имеется лишь несколько общих теорем.
◄ X. Теорема Жордана. Для любого числа п конечная груп-
па G движений n-мерного пространства обладает абелевым нормаль-
158
Шафаревич И. Р.
Триклинная
(произвольный
параллелепипед)
Моноклинная
(прямая призма)
Орторомбическая
(произвольный
прямоугольный
параллелепипед)
Тригональная
(куб, сжатый вдоль
пространственной
диагонали)
Т етрагональная
(прямая призма
с квадратным
основанием)
Г ексагональная
(прямая призма,
основание которой
составлено из двух
равносторонних
треугольников)
Кубическая
(куб)
Рис. 25
ным делителем А, индекс которого (G : А) ограничен константой i/>(n),
зависящей только от п. ►
В трехмерной ситуации теорема хорошо иллюстрируется группой
диэдра Dn, содержащей циклический нормальный делитель Сп индек-
са 2.
Для аналогов групп Браве легко доказывается теорема:
◄ XI. При заданном п имеется конечное число неизоморфных
конечных подгрупп в группе целочисленных матриц с определите-
лем ±1. ►
Таким образом, задача сводится к описанию, с точностью до со-
пряженности, подгрупп группы GL(n, Z), изоморфных заданной груп-
пе G. Мы сталкиваемся с задачей, аналогичной задаче о представлениях
конечных групп, о которых речь шла в § 10 и будет идти в § 17. Раз-
§ 13. Примеры групп: конечные группы
159
160
Шафаревич И. Р.
Рис. 26, таблица 1
§ 13. Примеры групп: конечные группы
161
- центр симметрии
- ось вращения на угол 2л/3
<'~р' - ось вращения на угол л
| / - ось вращения на угол л/2
- ось вращения на угол тг/З
Т- ось вращения на угол л/2,
соединенного с отражением
в ортогональной плоскости
- ось вращения на угол тг/З,
соединенного с отражением
в ортогональной плоскости
Рис. 26, таблица 2
ница заключается в том, что теперь роль линейных преобразований
пространства (и невырожденных матриц) играют автоморфизмы мо-
дуля 1п (и целочисленные матрицы порядка п с определителем ±1).
Соответствующее понятие (которое мы не будем уточнять) — цело-
численное представление размерности п. Основной результат — другая
теорема Жордана:
4 XII. Теор ема Жордана. У каждой конечной группы су-
ществует лишь конечное число неэквивалентных целочисленных пред-
ставлений заданной размерности. ►
Пример 8. Симметрические группы являются частным случа-
ем важного типа групп: конечных групп, порожденных отражения-
ми. Выберем в n-мерном евклидовом пространстве К" ортонорми-
рованный базис ei, ...,е„ и сопоставим подстановке а множест-
ва {1, ... , п} линейное преобразование <т. переставляющее векторы ба-
зиса: а(е,) = еа^. Сопоставление <т —> <т является изоморфизмом груп-
пы &п и некоторой подгруппы S группы ортогональных преобразова-
ний пространства К”. Очевидно, что S порождается преобразования-
ми Si, соответствующими транспозициям <т^. Множество векторов, ин-
вариантных относительно S{, есть линейное подпространство L с ба-
зисом ei, ... , e^-i, ei + 6j_|-i, ei+2, ... , еи. Очевидно, dimL = п — 1.
Если рассмотреть вектор е, ортогональный гиперповерхности L (на-
162
Шафаревич И. Р.
пример, в{ — то будет задано формулами
<т,4.г) = х, х G L-,
ffi(e) = —е, (е, L) = 0.
Произвольное преобразование s, задаваемое такими формулами (при
некотором выборе гиперплоскости L), называется отражением. Оче-
видно, s2 = е. Группа ортогональных преобразований, имеющая систе-
му образующих, состоящую из отражений, называется группой, порож-
денной отражениями.
Основные результаты теории конечных групп, порожденных отра-
жениями, заключаются в следующем.
Ч XIII. Для любой конечной группы G, порожденной отражения-
ми в евклидовом пространстве Е, существует однозначно определенное
разложение
Е = Ео © Ei © ... © Ер
пространства Е в прямую сумму попарно ортогональных подпро-
странств Ei, инвариантных относительно группы G, обладающее сле-
дующими свойствами:
(1) Eq состоит из векторов х G Е, g(x) = х для всех g G G.
Е{ (i = 1, ... , р) не имеет подпространств, инвариантных относитель-
но G, кроме 0 и Ei.
(2) Группа G представляется в виде прямого произведения
групп Gi, i = 1, ... , р, где (7, состоит из всех преобразований g G G,
не меняющих векторов х G Ej, j г, и тоже порождена отражения-
ми. ►
Например, для указанного выше действия группы &п в п-мерном
пространстве К" мы имеем разложение: К" = Eq ф Е±, где
Ео = {a(ei + ... + е„)},
(6)
Е± — 4- • •. апеп, од 4- ... 4- oin — 0}*
Группа G называется неприводимой, если пространство Е не имеет
подпространств, инвариантных относительно G и отличных от 0 и Е.
Пусть tri, ... , crfe — множество отражений. Очевидно,
(тг2 = е. (7)
§ 13. Примеры групп: конечные группы
163
Существует удобный способ для описания некоторых других специаль-
ных соотношений между отражениями, а именно, имеющих вид
= е.
(8)
Для этого рисуется граф, в котором точки соответствуют отражени-
ям <71, ... , ак, и они соединяются отрезком, если имеется соотноше-
ние (8) с m,j > 2. Если при этом m,j > 3, то над соответствующим от-
резком пишется это число. Легко видеть, что соотношение (8) с m,j = 2
означает просто перестановочность <7,- и ffj.
◄ XIV. В каждой неприводимой конечной группе G, порожденной
отражениями, имеется система образующих ... , о>, также являю-
щихся отражениями и связанных соотношениями, описываемыми од-
ним из приведенных ниже графов. Эти соотношения определяют груп-
пу G.
164
Шафаревич И. Р.
Индекс п (в Ап, Вп и т. д.) означает число вершин графа и, одно-
временно, размерность пространства, в котором действует группа G. ►
Графу Ап соответствует известный нам уже пример группы 6n+i,
действующей в пространстве Ei в разложении (6). Ее можно интер-
претировать как группу симметрий правильного n-мерного тетраэдра,
заданного в координатах условиями + . •. + a„+i = 1, а;^ 0.
Графу Вп соответствует группа, состоящая из любых перестано-
вок и изменений знаков у векторов некоторого ортонормированного
базиса n-мерного пространства. Это группа симметрий n-мерного куба
(и октаэдра). Ее порядок равен 2"п!. При п = 3 это О х Z. Графу Dn со-
ответствует подгруппа индекса 2 в группе, соответствующей графу Вп.
Она состоит из таких перестановок и умножений векторов базиса на
числа Е, = ±1, что П£г = I- При п = 3 это ОТ С О х Z (ср. рис. 21).
Графу Л> соответствует группа Y х Z симметрий икосаэдра, а 1г (р) —
группа диэдра Dp. Графам Л4 и F4 соответствуют группы симметрий
некоторых правильных четырехмерных многогранников.
Все группы, перечисленные в теореме XIV, являются кристалло-
графическими, кроме Л3, Л4 и 1г(р)-
Пример 9. Существует еще один метод конструкции конечных
групп, о котором мы скажем подробнее позже, а сейчас только намек-
нем следующим примером. Рассмотрим группу GL(n, Fe), состоящую
из невырожденных матриц порядка п с коэффициентами из конечно-
го поля Fe. Она изоморфна группе Aiit^ F'4 линейных преобразований
пространства F^, каждое же такое преобразование определяется выбо-
ром базиса в этом пространстве. Поэтому | GL(n, Fe)| равняется числу
базисов ei, ... , еп в пространстве F£. За вектор ei можно взять любой
из qn — 1 отличных от 0 векторов этого пространства, при выбранном ei
за 62 можно взять любой из qn — q векторов, не пропорциональных ei;
при выбранных ei и ег, за 63 — любой из qn — q2 векторов, не являю-
щихся линейными комбинациями ei и 62, и т. д. В результате,
| GL(n, F9)I = (qn - 1)(q” - q)(qn - q2) ... Iq" - q^1). (9)
Одно из применений групп GL(n, Fe) — доказательство тео-
ремы XI. Фиксируем простое р 2 и рассмотрим гомоморфизм
<рр: Z —> Z/(p) = Fp. Он определяет гомоморфизм групп матриц
<рр : GL(n, Z) —> GL(n, Fp),
§ 14. Примеры групп: бесконечные дискретные группы 165
ядро которого состоит из матриц вида А = Е + рВ, det А = ±1.
Докажем, что любая конечная группа G С GL(n, Z) отображается
при этом изоморфно на некоторую подгруппу группы GL(n, Fp). Так
как в GL(n, Fg) число подгрупп конечно, то отсюда будет следовать
утверждение, а равенство (9) даст оценку для |G|. Ядро гомоморфиз-
ма G —> GL(n, Fp) есть G А Кег(рр, и нам надо доказать, что эта под-
группа состоит только из единичного элемента. Для этого докажем,
что группа Keri/jp не содержит элементов конечного порядка, отличных
от Е. Предположим, что А = Е + ргВ, В G Mn(Z) и не делится на р,
а Ап = Е, где не все элементы матрицы В делятся на р. По формуле
бинома
п
пргВ + CkprkBk = 0.
fe=2
Но элементарное арифметическое рассуждение показывает, что при
р > 2 и k > 1 все числа под знаком суммы делятся на большую сте-
пень р, чем прг что и приводит к противоречию.
§ 14. Примеры групп: бесконечные дискретные
группы
Мы переходим к рассмотрению бесконечных групп. Конечно, чис-
то негативная характеристика «не быть конечной» не отражает тех си-
туаций, которые реально возникают. Обычно бесконечное множество
элементов группы определяется каким-то конструктивным процессом
или формулой. В эту формулу входят некоторые параметры, которые
могут принимать целые значения или быть вещественными числами
(или даже точками многообразий). Это дает основу для неформальной
классификации: группы первого типа называют дискретными, второ-
го — непрерывными. Простейшим примером дискретной группы слу-
жит бесконечная циклическая группа, все элементы которой имеют
вид gn, где п пробегает все целые числа.
Впрочем, дискретные группы часто возникают как дискретные
(в более точном смысле слова) группы преобразований. Так, группа
целых чисел изоморфна группе тех сдвигов прямой: х х + а, которые
сохраняют функцию sin27nc, и состоит из сдвигов с целым а. Такую
ситуацию мы прежде всего и рассмотрим.
166
Шафаревич И. Р.
Пусть X — топологическое пространство. Во всех примерах оно
будет предполагаться локально компактным, а чаще всего, будет много-
образием — дифференцируемым или комплексно аналитическим. Груп-
па G автоморфизмов пространства X называется дискретной (или раз-
рывной), если для любого компактного множества К С X существует
лишь конечное множество преобразований g G G, для которых К П gK
не пусто. В множестве орбит G\X можно ввести топологию, назвав
открытыми множествами те, полный прообраз которых при канони-
ческом отображении
f : X -+ G\X
открыт. Если стабилизаторы всех точек х G X равны е, то гово-
рят, что G действует свободно. В этом случае любая точка £ G G\X
имеет окрестность, прообраз которой при каноническом отображе-
нии f:X—> G\X распадается в несвязное объединение открытых мно-
жеств, каждое из которых при отображении f отображается гомео-
морфно. Иными словами, X является неразветвленным накрытием про-
странства G\X. В частности, если X было многообразием, то и G\X
будет многообразием того же типа (дифференцируемым или аналити-
ческим).
Если некоторая группа & возникает одновременно и как многооб-
разие (такие случаи будут рассмотрены в следующем параграфе), то
ее подгруппа G называется дискретной, если она дискретна при левом
регулярном действии на &.
Построение пространств G\X — важный метод конструкции но-
вых топологических пространств. Их наглядное представление связа-
но с понятием фундаментальной области. Так называется множест-
во D С X, если оно пересекается с орбитой любой точки х G X и орбита
его внутренней точки х G D пересекает D только в точке х. Тогда раз-
ные точки одной орбиты, принадлежащие замыканию D множества D,
лежат лишь на границе D, и пространство G\X можно представлять
себе склеенным из D, когда на границе D отождествляются точки, при-
надлежащие одной орбите. Например, для описанной выше группы сдви-
гов прямой, состоящей из преобразований х х + а. фундаментальной
областью является отрезок [0, 1]. Отождествляя граничные точки, мы
получим окружность. Пространство G\X компактно тогда и только
тогда, когда G обладает фундаментальной областью, замыкание кото-
рой компактно.
§ 14. Примеры групп: бесконечные дискретные группы
167
Пример 1. Дискретные подгруппы группы векторов n-мерного ве-
щественного пространства К".
Ч I. Любая дискретная подгруппа группы R” изоморфна 77".
т п, и состоит из всех линейных комбинаций некоторых т линейно
независимых векторов ei, ... , ет с целыми коэффициентами. ►
Такая группа называется решеткой. Фундаментальную область ре-
шетки можно построить, дополнив систему векторов ei, ... , ет до ба-
зиса ei, ... , еп и положив
D = {адех + ... + апеп, 0 7 «1, ... , ат 1}.
Пространство G\K" компактно тогда и только тогда, когда т = п.
В этом случае фундаментальная область D является параллелепипедом,
построенным на векторах ei, ... , е„.
Если п = 2, то можно рассматривать плоскость R2 как плоскость
одного комплексного переменного. В таком качестве она обозначает-
ся С. Если G — решетка в С, то факторпространство С\С наследует
от С структуру одномерного комплексного многообразия, т. е. является
компактной римановой поверхностью. Ее род1 равен 1, и можно пока-
зать, что все компактные римановы поверхности рода 1 так получа-
ются. Мероморфные функции на римановой поверхности G\C — это
мероморфные функции f(z) одной комплексной переменной, инвари-
антные относительно сдвигов z z + а, а Е G, т. е. эллиптические
функции, имеющие элементы G своими периодами. Две римановы по-
верхности Gi\C и С?2\С тогда и только тогда конформно эквивалентны,
когда решетки G\ и Gi подобны.
Пример 2. Кристаллографические группы. Это прямое обобщение
примера 1 (точнее, частного его случая с т = п). Атомы кристалла рас-
положены в пространстве дискретно и очень симметрично. Это сказы-
вается в том, что их взаимное расположение в пространстве неограни-
ченно повторяется. Точнее, существует такая ограниченная область D,
что любую точку пространства можно перевести в точку этой области
при помощи симметрии кристалла, т. е. движения пространства, сохра-
няющего физические свойства кристалла (переводящего любой его атом
в атом того же элемента и сохраняющего все связи между атомами).
13десь мы предполагаем, что читатель знаком с понятием римановой поверхнос-
ти и рода поверхности.
168
Шафаревич И. Р.
Иначе говоря, группа G симметрий кристалла является дискретной
группой движений трехмерного пространства К3 и пространство С\К3
компактно. В связи с этим, кристаллографической группой называется
дискретная группа G движений n-мерного евклидова пространства К",
для которой пространство С\КИ компактно.
Основным результатом теории кристаллографических групп явля-
ется
4 II. Т еорема Бибербаха. Параллельные переносы, содер-
жащиеся в кристаллографической группе С, образуют нормальный де-
литель А, для которого А\К” компактно, а индекс (G : Л) конечен. ►
Для случая п = 3 это означает, что у каждого кристалла существу-
ет такой параллелепипед П (фундаментальная область группы А <] G,
где G — группа симметрий кристалла), что все свойства кристалла
одинаковы в параллелепипеде П и всех его сдвигах gn, g G А, заполня-
ющих пространство. П называется параллелепипедом повторяемости
кристалла.
В общем случае согласно утверждению 1 группа А состоит из па-
раллельных переносов на векторы некоторой решетки С ~ Z”. Конеч-
ная группа F = G/А является группой симметрий решетки С. Отсюда,
используя теорему Жордана XII § 13, можно вывести:
Ч Ш. Число кристаллографических групп в пространстве заданной
размерности п конечно. ►
Одинаковыми при этом считаются группы G\ ибг, если их можно
перевести друг в друга аффинным преобразованием пространства К".
Можно показать, что это свойство совпадает с изоморфизмом групп G±
и С?2 как абстрактных групп.
Возникшие под влиянием кристаллографии кристаллографические
группы имеют и очень естественную теоретико-групповую характе-
ристику. Именно, это в точности те группы G, которые обладают нор-
мальным делителем конечного индекса, изоморфным Z" и не содержа-
щимся ни в какой большей абелевой подгруппе.
Для кристаллографии чрезвычайно важно иметь перечень всех ти-
пов кристаллографических групп в трехмерном пространстве. Действи-
тельно, указав для каждого кристалла его группу, ее фундаментальную
область и расположение его атомов в ней, мы тем самым определяем
весь кристалл, как бы он ни разрастался. Это дает метод финитного
изображения кристаллов, реально используемый при составлении крис-
§ 14. Примеры групп: бесконечные дискретные группы 169
таллографических таблиц. Список всех кристаллографических групп
слишком длинен, чтобы его здесь привести, но представление о нем
может дать двумерный случай.
◄ IV. Число различных кристаллографических групп на плоскости
равно 17. ►
Каждая из них имеет нормальный делитель А < G, состоящий из
параллельных переносов на векторы некоторой решетки С. Преобразо-
вания g G G переводят, конечно, эту решетку в себя. При этом g G А
лишь параллельно сдвигают ее. Поэтому конечная группа F = GfA
является группой симметрий этой решетки и принадлежит к одному
из тринадцати типов, описанных в теореме VIII § 13. Может, однако,
случиться, что две разные группы G имеют одну и ту же решетку С
и определяют одну и ту же группу ее симметрий. Чтобы привести при-
мер, рассмотрим прямоугольную решетку С = Гп и группу ее симмет-
рий D, состоящую из тождественного преобразования и зеркального
отражения относительно оси О В (рис. 27).
Рис. 27
Мы можем рассмотреть группу G, порожденную группой Т парал-
лельных переносов на векторы решетки С и этой группой ортогональ-
ных преобразований D. Группу G можно характеризовать как группу
симметрий узора, изображенного на рис. 27. С другой стороны, рассмот-
рим движение з, состоящее из параллельного переноса на вектор 07^/2
и одновременного зеркального отражения относительно оси ОВ, и па-
раллельный перенос t на вектор О А. Обозначим через Gi группу, по-
рожденную s и t. Так как з2 есть параллельный перенос на вектор OIF
170
Шафаревич И. Р.
то группа Т и решетка С в обоих случаях будет одна и та же и ее груп-
пы симметрий, порождаемые движениями групп G и Gi, также будут
совпадать. Однако группы G и G± не изоморфны: в группе G содер-
жатся зеркальные отражения, а в группе Gi, как легко проверить, —
лишь параллельные переносы и движения, в которых зеркальное отра-
жение комбинируется с параллельным переносом вдоль одной из вер-
тикальных прямых решетки. В частности, группа G содержит элемент
порядка 2, а группа G± элементов порядка 2 не содержит. Группа G±
совпадает с группой симметрий узора, изображенного на рис. 16.
Аналогично этому примеру мы можем из 13 групп симметрий, пе-
речисленных в теореме VIII § 13, образовать 13 двумерных кристалло-
графических групп, порожденных параллельными переносами на век-
торы соответствующей решетки и ортогональными преобразованиями
ее симметрий (т. е. действовать как при построении группы G в рас-
смотренном примере). В этом случае стабилизатор Gx, где х — любая
точка решетки, будет изоморфен выбранной нами одной из 13 групп
симметрий. Но в некоторых случаях возможна более тонкая конструк-
ция (аналогичная построению группы G'i в примере). Тогда стационар-
ная подгруппа будет меньше группы симметрий, так как некоторые
симметрии будут входить в группу G лишь в комбинациях с парал-
лельными переносами (аналогично преобразованию s в примере). Та-
ким образом, можно построить одну новую группу для группы сим-
метрий Рх(Гп) (уже построенная нами выше группа Gi), две группы
для Рг(Гп) и одну для ЕМГ^). Так получаются 17 групп.
Закончим примером «новой» группы, соответствующей симмет-
рии ГМГл'). Мы включим в нее группу Ci поворотов плоскости во-
круг точки О на углы 0, тг и и сдвиг s вдоль оси I, проходящей
через точку О, соединенный с зеркальным отражением относительно
этой оси. Группа G порождается этими преобразованиями. Если <т —
поворот на угол j, то s’ = crso--1 — преобразование, аналогичное з,
но с осью I', ортогональной I. Подгруппа параллельных переносов по-
рождается сдвигами s2 и (s')2 вдоль осей I и I'. Построенная группа G
является группой симметрии узора на рис. 28.
Построенные группы называются также группами орнаментов, так
как их можно интерпретировать как группы симметрий орнаментов.
Полный список орнаментов, соответствующих всем 17 группам, содер-
жится, например, в книге [15]. Примерами таких орнаментов, специаль-
§ 14. Примеры групп: бесконечные дискретные группы
171
Рис. 28
но придуманных для характеристики групп, являются рис. 16, 27 и 28.
Но, конечно, гораздо интереснее те орнаменты, которые были созданы
из чисто эстетических соображений. Примером является орнамент на
рис. 29, заимствованный из книги [101]. Он интересен тем, что взят из
некрополя в Фивах и создан древнеегипетскими мастерами. Это пока-
зывает, что глубокое понимание идеи симметрии, аксиоматизирован-
ное в понятии группы, возникло очень давно.
Рис. 29
Положение в трехмерном случае гораздо сложнее.
4 V. Число различных кристаллографических групп в трехмер-
ном пространстве равно 219. При этом, как и в теореме III, мы счи-
таем одинаковыми группы, если они изоморфны или, что одно и то
172
Шафаревич И. Р.
же, переводятся друг в друга аффинным преобразованием пространст-
ва. В кристаллографии число различных кристаллографических групп
часто указывается как 230. Это происходит от того, что одинаковыми
считаются лишь группы, переводящиеся друг в друга преобразовани-
ем, сохраняющим ориентацию пространства. Для случая плоскости оба
понятия «одинаковости» приводят к одной и той же классификации. ►
Все 219 групп реализуются как группы симметрий реальных крис-
таллов.
Теория кристаллографических групп объясняет роль конечных
групп симметрий решеток, которыми мы занимались в § 13 (пример 7).
Симметрии кристалла задаются всей кристаллографической группой G,
но ввиду того, что расстояния между его атомами очень малы, мак-
роскопически наиболее заметна не группа параллельных переносов А,
а факторгруппа G/А — группа симметрий решетки А. Интересно отме-
тить, что в списке групп в теореме VII § 13 мы встречаем лишь группы,
в которых содержатся повороты только на углы | иих кратные. По-
этому лишь такие повороты могут встречаться в качестве симметрий
кристаллов. Тем более поразительно, что в живой природе очень часто
встречаются и другие симметрии. Например, симметрию пятого по-
рядка имеют всем знакомые цветы герани и колокольчика. На рис. 30,
заимствованном из книги [11], видна симметрия пятого порядка цветка
колокольчика (а) и стапелии пестрой (б), и симметрия седьмого поряд-
ка в расположении листьев баобаба (в).
Пример 3. Неевклидова кристаллография. Часто интересны дис-
кретные группы движений не только евклидовых, но и других про-
странств. Здесь будет сказано о случае плоскости Лобачевского Л,
причем мы рассмотрим лишь дискретные группы сохраняющих ори-
ентацию движений G плоскости Л, удовлетворяющие двум условиям:
1) движение g £ G, g е, не оставляет на месте ни одной точки плос-
кости Л и 2) пространство С\Л компактно. В случае евклидовой плос-
кости этими свойствами обладают лишь группы параллельных перено-
сов на векторы некоторой решетки.
Интерес к подобным группам G возник в связи с тем, что про-
странство С\Л при выполнении условия 1) является многообразием,
в данном случае — поверхностью. Если же воспользоваться интерпре-
тацией Пуанкаре плоскости Лобачевского в верхней полуплоскости С+
плоскости комплексного переменного, то поверхность С\Л наследует
§ 14. Примеры групп: бесконечные дискретные группы
173
а) б)
в)
Рис. 30
комплексную структуру верхней полуплоскости, т. е. (при выполнении
условия 2)) является компактной римановой поверхностью. Мероморф-
ные функции на римановой поверхности С?\С+ — это мероморфные
функции на С+, инвариантные относительно группы G. Они называ-
ются автоморфными функциями. Это можно сопоставить с ситуацией
в примере 1, где мы рассматривали пространство G\C. В том случае
мы получали компактные римановы поверхности рода 1. Доказано, что
в рассматриваемом теперь случае мы получаем как раз все компакт-
ные римановы поверхности рода большего 1 (теорема Пуанка-
174
Шафаревич И. Р.
ре-Кебе об униформации). Таким образом, оба эти случая
вместе дают теоретико-групповое описание всех компактных римано-
вых поверхностей. (Остающийся случай рода 0 — это риманова сфера.)
В качестве фундаментальной области группы G рассматриваемого
типа можно взять 4р-угольник на плоскости Лобачевского с равными
парами сторон, идущими через одну: ах, &х, а[, &х, ... , ар, Ьр, а'р, Ьр,
где ai и а[, bi и Ь'- — равные отрезки. Преобразования, переводящие
сторону ai в </' или bi в 6' (направления сторон, которые при этом отож-
дествляются, указаны на рис. 31), являются образующими группы G.
Единственным соотношением, которому при этом должен удовле-
творять многоугольник, — это, конечно, равенство сторон а, и (и bi,
и &() и то, что сумма его углов должна быть 2тг (это связано с тем, что
в (?\Л все его вершины склеиваются в одну точку). Род поверхности
С\Л равен р.
Пример За. Важный частный случай примера 3 возникает, если
рассматривать интерпретацию Кэли-Клейна (а не Пуанкаре) плоскос-
ти Лобачевского. Пусть f(x, у, z) — неопределенная квадратичная фор-
ма с целыми коэффициентами. Рассмотрим группу G С SL(3, Z), состо-
ящую из целочисленных преобразований, сохраняющих форму f. Интер-
претируя х, у, z как однородные координаты на проективной плоскос-
ти, мы реализуем G как группу проективных преобразований множес-
тва f > 0, т. е. группу движений плоскости Лобачевского Л в интерпре-
тации Кэли-Клейна. Можно доказать, что пространство С\Л компакт-
но тогда и только тогда, когда уравнение f(x, у, z) = 0 не имеет в Q
решений, кроме (0, 0, 0). (Признак разрешимости этого уравнения дает
§ 14. Примеры групп: бесконечные дискретные группы
175
теорема Лежандра — теорема III § 7.) В этом случае условие 1) из при-
мера 3 может быть не выполнено — это будет так, если G содержит
элементы конечного порядка, кроме е. Но тогда существует подгруп-
па G' С G конечного индекса, удовлетворяющая условию 1): применяя
рассуждение, приведенное в конце примера 9 § 13, можно показать, что
годится подгруппа, состоящая из матриц g G G, g = Е (mod р) (при
любом выборе простого числа р 2).
Пример 4. Группа SL(2, Z), состоящая из целочисленных мат-
риц второго порядка с определителем 1. Значение этой группы связано
с тем, что в двумерной решетке два базиса ех, е2 и /х, /г связаны со-
отношениями
fi = аех + се2, /2 = Ьех + de2,
а, Ъ, с, d G Z, ad — be = ±1,
т. е.
6 GL(2, Z). Если же мы хотим, чтобы направление дви-
жения от fi к /2 совпадало с направлением движения от ех к е2,
а b
с d
то ad — be = 1, т. е.
G SL(2, Z). Часто встречающаяся задача —
это классификация решеток на евклидовой плоскости с точностью до
подобия. В примере 1 мы видели, что к ней сводится, например, клас-
сификация компактных римановых поверхностей рода 1. Как и там,
мы реализуем нашу плоскость как плоскость комплексного переменно-
го С: тогда подобия задаются как умножения на комплексные числа,
отличные от 0. Пусть zi, z2 — базис решетки С С С. Угол между век-
торами Zi и z2 мы будем считать тг, а порядок векторов выбирать
так, чтобы поворот от Zi к z2 происходил против часовой стрелки. Про-
изведя подобие, которое выражается умножением на zf1, мы получим
подобную решетку С' с базисом 1, z, где z = причем ввиду сде-
ланных предположений z лежит в верхней полуплоскости С+. Такие ба-
зисы 1, z и 1, w определяют подобные решетки, если базис cz + d, az + b,
где а, Ь, с, d G Z, ad — be = 1, может быть подобием переведен в 1, w.
Это подобие должно задаваться умножением на (cz + d)-1 и, значит,
az + b
cz + d
w =
. Таким образом, мы определяем действием группы SL(2, Z)
на верхней полуплоскости С+: для g =
а b
с d
G SL(2, Z), gz =
176
Шафаревич И. Р.
п М -
При этом матрица I I действует тождественно,
ем действие группы SL(2, Z)/1V, N = < (® j , (
так что мы име-
011 Ч 4,
) >. Эта фак-
торгруппа обозначается PSL(2, Z). Она называется модулярной группой.
Мы видим, что множество решеток с точностью до подобия изобра-
жается как С\С+, где G — модулярная группа. Модулярная группа
дискретно действует на верхней полуплоскости. Ее фундаментальная
область изображается фигурой, заштрихованной на рис. 32.
Рис. 32
Эта область D называется модулярной фигурой. Она не ограничена,
но обладает другим важным свойством. Как известно, верхняя полу-
плоскость является моделью плоскости Лобачевского, причем движе-
ния, сохраняющие ориентацию, задаются в ней как преобразования
z az + (} _ а /3 -у J g К.
7-z + о
Таким образом, модулярная группа есть дискретная группа движений
плоскости Лобачевского. В смысле геометрии Лобачевского площадь
модулярной фигуры конечна. Ввиду этого поверхность С\С+ некомпакт-
на, но в естественной метрике имеет ограниченную площадь.
Модулярная группа аналогична группам, рассматривавшимся в при-
мере 3, но не относится к их числу: во-первых, некоторые ее преобра-
зования имеют неподвижные точки (например, z —1/z), а во-вто-
рых, (?\Л некомпактно. Аналогия с примером 3 будет яснее, если пред-
ставить себе модулярную фигуру с точки зрения геометрии Лобачев-
ского. Она представляет собою треугольник с одной бесконечно удален-
§ 14. Примеры групп: бесконечные дискретные группы 177
ной вершиной, причем сходящиеся к ней стороны неограниченно сбли-
жаются. Это лучше видно для эквивалентной области D' на рис. 32.
Пример 5. Группа G = GL(n, Z). Она является дискретной под-
группой группы GL(n, К) и действует там же, где и эта группа. Осо-
бенно важно ее действие на множестве ЭСп вещественных положительно
определенных матриц А, определенных с точностью до положительного
множителя: g(A) = gAg* (ср. пример 4 § 12 для п = 2). Это действие вы-
ражает понятие целочисленной эквивалентности квадратичных форм.
Фундаментальная область здесь тоже некомпактна, но имеет ограни-
ченный объем (в смысле меры, инвариантной относительно действия
группы GL(n, К)).
Группы GL(n, Z) относятся к важному классу арифметических
групп, о которых будет сказано в следующем параграфе.
Пример 6. Свободные группы. Рассмотрим множество симво-
лов si, ... , sn (для простоты мы будем его мыслить конечным, хо-
тя рассуждения от этого не зависят). Каждому символу Sj сопоста-
вим еще один символ s^1. Словом называется последовательность (ря-
дом написанных) символов st и sj1 в произвольном порядке, напри-
мер, 51в2в2вГ1вз- Допускается и пустое слово е, в которое не входит ни
один символ. Слово называется приведенным, если в нем нигде рядом
не стоят символы Si и s^1. Обратным к слову называется такое сло-
во, в котором все символы написаны в обратном порядке с заменой
на S71 и sf1 на s,. Произведением слов А и В называется слово, кото-
рое получается, если написать В за Л и потом выбрасывать все стоя-
щие рядом пары Si и sf1, пока не получится приведенное слово (может
быть, пустое). Множество приведенных слов с этой операцией умноже-
ния образует, как нетрудно проверить, группу. Эта группа называется
свободной группой с п образующими и обозначается Очевидно, что
слова si, ... , sn, состоящие каждое из одного символа, являются ее об-
разующими, s^1 будет обратным к st, и произвольные слова можно
трактовать как произведения различных слов Si и sj1.
Свободную группу Уг с образующими х и у можно реализовать
как группу преобразований одномерного комплекса, т. е. топологичес-
кого пространства, состоящего из точек и соединяющих их отрезков.
Для этого за точки возьмем все различные элементы группы У2 и со-
178
Шафаревич И. Р.
единим точки, соответствующие приведенным словам А и В, если В
получается из А умножением справа на х, у, ж-1 или у-1 (см. рис. 33).
Очевидно, что если слова А и В изображены точками, соединенны-
ми отрезком, то это верно и для С А и СВ для любого СсУ2- Поэтому
левое регулярное действие (§12) группы Уг определяет ее действие
на этом комплексе. Если ввести в комплексе «биориентацию», выделив
два направления отрезков — вправо и вверх (это сделано на рис. 33),
то группа Уг будет, как легко убедиться, полной группой автоморфиз-
мов биориентированного комплекса.
Рассмотрим произвольную группу G, имеющую п образую-
щих gi, ... , gn. Легко видеть, что соответствие, сопоставляющее при-
веденному слову от «1, ... , sn такое же выражение от gx, ... , gn, яв-
ляется гомоморфизмом на G. Поэтому любая группа является го-
моморфным образом свободной — свободные группы играют в теории
групп ту же роль, что свободные модули в теории модулей и некомму-
тативные кольца многочленов в теории алгебр (см. §§ 5 и 8).
§ 14. Примеры групп: бесконечные дискретные группы 179
Пусть
G = yn/N
— представление группы G как факторгруппы свободной группы
по нормальному делителю N. Элементы и, ... , гт, которые, вместе со
своими сопряженными, порождают группу N, называются определяю-
щими соотношениями группы G. Очевидно, что в G выполнены соотно-
шения
И = е, ... , гт = е
(г, рассматриваются как слова от образующих gi, ... , gn группы G).
Указание определяющих соотношений однозначно определяет нормаль-
ный делитель N, а значит, и группу G. Это придает точный смысл тер-
мину группа, заданная соотношениями, которым мы уже пользовались.
Группа, имеющая конечное число образующих, называется конечно по-
рожденной, а если она может быть задана и конечным числом соотно-
шений — то и конечно определенной. Например, формулы (1), (2) и (3)
предшествующего параграфа являются определяющими соотношения-
ми группы &п, а формулы (7) и (8) — конечной группы, порожденной
отражениями. Можно показать, что в группе PSL(2, Z) (см. пример 4)
( 0 1\ . /О -1\
матрицы s = I 10/И^=\1 1) являются образующими, а опреде-
ляющие соотношения этой группы имеют вид:
s2 = е, t3 = е.
Можно ли считать задание группы образующими и соотношения-
ми адекватным ее описанием (даже если число образующих и соотно-
шений конечно)? Если gx, ... , gn — образующие группы G, то для того
чтобы иметь представление о самой группе, мы должны знать, когда
разные выражения вида g^g”’2 ...g^™ определяют (в силу заданных
соотношений) один и тот же элемент группы. Этот вопрос был назван
проблемой тождества. Она тривиальна для свободных групп и была ре-
шена для некоторых очень специальных классов групп, например, для
групп, заданных одним соотношением, но в общем случае оказалась не-
доступно трудной. То же можно сказать и о другой проблеме такого
типа — узнать, будут ли изоморфны две группы, заданные образую-
щими и соотношениями. (Она называется проблемой изоморфизма.)
Обе эти проблемы были перенесены в другую плоскость, когда
в математической логике было создано точное определение алгоритма.
До этого можно было только решить проблему тождества и предъявить
180
Шафаревич И. Р.
процедуру, называемую алгоритмом, для установления тождественнос-
ти двух выражений, составленных из образующих. Теперь же оказался
точно поставленным вопрос — всегда ли проблемы тождества и изомор-
физма разрешимы? Вскоре он был решен. Оказалось, что среди групп,
заданных конечным числом образующих и соотношений, существуют
группы, для которых не разрешима проблема тождества. Не разрешима
также проблема изоморфизма даже с единичной группой!
Пожалуй, наиболее ярким примером принципиальной необходимос-
ти привлечения понятий математической логики к исследованию чисто
теоретико-групповых проблем является
◄Теорема Хигмана. Группа с конечным числом образую-
щих и бесконечным числом определяющих соотношений тогда и только
тогда изоморфна подгруппе группы, определенной конечным числом со-
отношений, когда множество ее соотношений рекурсивно перечислимо.
(Последний термин, также относящийся к математической логике, фор-
мализует интуитивное понятие об индуктивном способе перебрать все
элементы некоторого множества, строя их один за одним). ►
Задание групп образующими и соотношениями чаще встречается
в топологии.
Пример 7. Фундаментальные группы. Пусть X — топологичес-
кое пространство. Его фундаментальная группа состоит из замкнутых
путей, рассматриваемых с точностью до непрерывной деформации. Пу-
тем с началом в точке х Е X и концом у Е X называется непрерывное
отображение
f 11 X отрезка I = [0 t 1]
в X, при котором /(0) = х, f(l) = у. Путь называется замкнутым,
если х = у. Композицией пути / : I -> X с началом х и концом у
и пути g : I X с началом у и концом z называется отображение
/g: I —> X, заданное формулами
(/g)(t) =/(2i) при 0 < t < 1/2,
(/g)(i) = - i) при 1/2 < t < 1.
Пути f: I^-Xng: I^-X оба с началом x и концом у называ-
ются гомотопными, если существует такое непрерывное отображение
квадрата
J = {0 t, и 1}, tp : J X,
что <p(t, 0) = f(t), <p(t, 1) = g(f), <g(0, и) = x, <g(l, и) = у.
§ 14. Примеры групп: бесконечные дискретные группы 181
Замкнутые пути с началом и концом xq, рассматриваемые с точнос-
тью до гомотопии, образуют группу относительно умножения, опре-
деленного как композиция путей. Эта группа называется фундамен-
тальной группой пространства X. Она обозначается тг(Х).1 В общем
случае фундаментальная группа зависит от выбора точки xq и обозна-
чается тг(Х, хо), но если любые две точки пространства X можно со-
единить путем (а мы будем дальше это всегда предполагать), то все
группы тг(Х, жо), xq G X, изоморфны. Пространство X называется од-
носвязным, если 7г(Х) = 1.
Если X является клеточным комплексом (т. е. объединением непе-
ресекающихся «клеток» — образов шаров разных размерностей) и имеет
единственную нульмерную клетку, то фундаментальная группа тг(Х)
имеет в качестве образующих пути, соответствующие одномерным
клеткам, а определяющие ее соотношения соответствуют двумерным
клеткам. Например, одномерный комплекс не имеет двумерных клеток,
и поэтому его фундаментальная группа — свободная. Фундаменталь-
ная группа «букета» из п окружностей (см. рис. 34 для п = 4) является
свободной группой с п образующими.
Ориентируемая компактная поверхность, гомеоморфная сфере
с р ручками (см. рис. 35 при р = 2), может быть получена склеиванием
идущих через одну пару сторон 4р-угольника — так, как это изобра-
жено (при р = 2) на рис. 31.
Она является, следовательно, клеточным комплексом с одной нуль-
мерной, 2р одномерными и одной двумерной клетками. Поэтому ее фун-
даментальная группа имеет 2р образующих: si, t±, 82, t2, , sp, tp,
10на обозначается также tti(X), в связи с тем, что существуют и группы тг„(Х)
для п = 2, 3, ..., которые будут определены в § 20.
182
Шафаревич И. Р.
Рис. 35
где Si получаются из путей и a); ti — из bi и Ъ\. Они связаны
соотношением, отражающим направления сторон при обходе грани-
цы 4р-угольника:
• • • SptpSp
(1)
Неразрешимость проблемы изоморфизма для групп дает возмож-
ность (строя многообразия с такими фундаментальными группами) по-
казать неразрешимость проблемы гомеоморфизма для многообразий раз-
мерности 4.
Фундаментальная группа тесно связана с рассматривавшимися на-
ми раньше дискретными группами преобразований. Именно, если X —
пространство, в котором любые две точки соединяются путем, то
существует такое односвязное связное пространство X (т. е. такое,
что тг(Х) = е), на котором дискретно и свободно действует группа G,
изоморфная тг(Х), причем X = G\X. Пространство X называется уни-
версальной накрывающей для X. Наоборот, если X — связно и односвяз-
но, а группа G действует на нем дискретно и свободно, то X является
универсальной накрывающей для X = G\X, a G изоморфна тг(Х). Так,
в примере 3, риманова поверхность X представляется как G\C+. Зна-
чит, С+ является универсальной накрывающей для X и G ~ тг(Х).
Отсюда мы получаем, что группа G задается определяющим соотноше-
нием (1). Комплекс X, изображенный на рис. 33, очевидно, односвязен,
и на нем свободно действует группа 5*2- Легко видеть, что фундамен-
тальной областью для этой группы будут два отрезка ех и еу. Поэто-
му <5*2\-Х" есть букет двух окружностей (получающихся отождествле-
нием е с х и с у), как на рис.34 (но при п = 2), и X — универсальная
накрывающая для этого букета.
§ 14. Примеры групп-, бесконечные дискретные группы
183
Пример 8. Группа узла. Узлом называется гладкая, не пересекаю-
щая себя замкнутая кривая в трехмерном пространстве. Задача заклю-
чается в классификации узлов с точностью до изотопии — непрерывной
деформации пространства. При этом основным инвариантом является
группа узла Г — фундаментальная группа дополнения тг(К3\Г). Для на-
глядного изображения узла его проектируют на плоскость, указывая на
получающемся чертеже для каждой точки пересечения, какая кривая
идет снизу, а какая — сверху (рис. 36).
Образующие группы узла соответствуют отрезкам, на которые
точки пересечения разделяют получающуюся кривую (например,
путь 7 на рис. 36 соответствует отрезку АВС). Можно показать, что
определяющие соотношения соответствуют точкам пересечения. Прос-
тейший узел — незаузленная окружность — может быть спроектиро-
ван без самопересечений, и потому его группа является бесконечной
циклической группой.
Роль группы узла иллюстрирует, например, следующая теорема:
◄ Узел тогда и только тогда изотопен незаузленной окружности,
когда их группы изоморфны. ►
Мы встречаемся здесь с примером, когда содержательный тополо-
гический вопрос приводит к частному случаю проблемы изоморфизма.
Пример 9. Группы кос. Рассмотрим квадрат ABCD и помес-
тим как на стороне АВ, так и на стороне CD по набору из п то-
чек: Pi, ... , Рп и Qi, ... , Qn. Косой называется набор п гладких непе-
ресекающихся кривых, содержащихся в кубе, построенном на квадра-
те ABCD, начинающихся в точках Pi, ... , Рп и кончающихся в точ-
ках Qi, ... , Qn (но, может быть, в другом порядке (рис. 37а). Коса
184
Шафаревич И. Р.
рассматривается с точностью до изотопии. Умножение кос изображено
на рис. 376. Отождествив точки Pi и Qi, мы получаем замкнутые ко-
сы. Классы замкнутых кос с точностью до изотопии образуют группу
кос Sn. Образующими в группе S,,. являются косы <т», i = 1, ... , п— 1,
в которых переставляются лишь две нити (рис. 37в). Определяющие
соотношения имеют вид:
cricrj = crjcri при j i ± 1,
(2)
Рис. 37
Вопрос об изотопической эквивалентности кос переформулируется
как проблема тождества в группе кос, определенной соотношениями (2).
В таком частном случае проблема тождества разрешима и решена —
это одно из приложений теории групп к топологии.
Значение группы кос заключается в том, что коса определяет дви-
жение п несливающихся точек на плоскости, причем порядок точек не
играет роли. Точный результат таков. Обозначим через © множество
тех точек (zi, ... , zn) G Сп, в которых Zi = Zj для некоторых i j.
Симметрическая группа &п действует в Сп, переставляя координаты,
и сохраняет ©. Обозначим через Хп многообразие 6га\(Сга\@). Группа
кос S,,. является его фундаментальной группой: S,,. = тг(Хп).
Точка £ £ Хп — это неупорядоченный набор п различных комп-
лексных чисел zi, ... , zn. Его можно задать, указав коэффициен-
ты ai, ... , ап многочлена tn + aii"-1 + ... + ап = (t — zQ ... (t — zn).
Поэтому мы можем сказать, что Sn ~ тг(Сп\Д), где С” — пространство
переменных ai, ... , ап, а Д получается приравниванием 0 дискрими-
нанта многочлена с коэффициентами ai, ... , ап.
§ 15. Примеры групп: группы Ли и алгебраические группы 185
§ 15. Примеры групп: группы Ли и алгебраические
группы
Мы переходим к рассмотрению групп, элементы которых задают-
ся непрерывно меняющимися параметрами. Иными словами, множес-
тво элементов такой группы, возникающей часто в связи с геометри-
ческими или физическими вопросами, само обладает «геометрией». Эта
геометрия может иногда быть очень простой, а иногда — далеко не три-
виальной.
Например, группа сдвигов числовой прямой: ж —> ж + а, а £ К, от-
ражающая изменение координаты при изменении начала отсчета, изо-
морфна, очевидно, группе вещественных чисел по сложению и парамет-
ризуется точками прямой. В группе вращений плоскости вокруг непо-
движной точки О каждый элемент задается углом поворота 99, причем
два значения р определяют одно и то же вращение, когда они отличают-
ся на целое кратное 2тг. Поэтому наша группа изоморфна К/2тгй и пара-
метризуется точками окружности с центром в О: поворот задается той
точкой окружности, в которую он переводит некоторую точку, выбран-
ную как начало отсчета. Ту же окружность можно представлять себе
как фундаментальную область группы 2тг2 — отрезок [0, 2тг], у которо-
го отождествлены крайние точки. Однако, столь простые примеры еще
не дают возможности почувствовать специфику возникающих здесь
ситуаций.
Пример 1. Группа вращений трехмерного пространства. Эта груп-
па возникает в связи с описанием движения твердого тела, у которо-
го одна точка остается неподвижной. Свяжем теперь с телом жестко
систему координат с центром в неподвижной точке О. Тогда движение
тела определит движение всего пространства: такое, при котором коор-
динаты каждой точки относительно подвижной системы координат не
меняются, т. е. пространство движется вместе с телом. Если сравнить
положение всех точек в моменты t = 0 и t = to, то очевидно, что они
переместятся так, что расстояния меняться не будут. Иными словами,
переход от начального положения к положению в момент t = to будет ор-
тогональным преобразованием <pt трехмерного пространства (оставляю-
щим на месте начало координат О). Однако, так как преобразование ipt
зависит от t и зависит, очевидно, непрерывно, оно должно сохранять
ориентацию пространства. Ортогональное преобразование трехмерно-
186
Шафаревич И. Р.
го пространства, сохраняющее его ориентацию, называется вращением.
Оно действительно реализуется как поворот на определенный угол во-
круг некоторой оси: эта теорема Эйлера может быть доказана
элементарным геометрическим рассмотрением. Она также следует из
того, что характеристический многочлен |А£ —Л| нашего преобразова-
ния А, как многочлен 3-й степени с отрицательным свободным членом
(|Л| > 0, так как А не меняет ориентацию), должен иметь положитель-
ный корень, который ввиду ортогональности А равен 1, — соответству-
ющий собственный вектор и определяет ось вращения.
Таким образом, элементы группы вращений описывают все поло-
жения, которые может занимать неподвижное тело, двигаясь с закреп-
ленной точкой О, а любое реальное движение этого тела описывается
кривой (параметризуемой временем i) в этой группе; группа вращений
является конфигурационным пространством движущегося твердого те-
ла с закрепленной точкой. Какова же она «геометрически»? Чтобы ее
увидеть, зададим поворот на угол </? вокруг оси I вектором, идущим
в направлении I и имеющим величину <р (считая, что —тг <р тг).
Такие векторы заполнят шар радиуса тг с центром О. Однако, точки
граничной сферы, соответствующие одной и той же оси, но разным
значениям <р = — тг и р> = тг, определят одно и то же вращение. Таким
образом, группа вращений описывается шаром в трехмерном простран-
стве К3, у которого отождествлены диаметрально противоположные
точки границы. Как известно, при таком отождествлении получается
трехмерное проективное пространство Р3: это и есть геометрическое
описание группы вращений.
То же описание группы вращений трехмерного пространства мож-
но получить и другим способом. Рассмотрим группу G, состоящую
из кватернионов q с нормой 1 (ср. пример 5 §8). Она задается (ес-
ли q = а + Ы + cj + dk) уравнением
а2 + Ь2 + с2 + d2 = 1,
т. е. является трехмерной сферой S3. Пусть '£ — трехмерное простран-
ство чисто мнимых кватернионов, определенных условием Re ж = 0.
Группа G действует на '£ по закону х qxq-1, х £ g G G. Так
как \qxq~11 = |д||ж||д|-1 = |ж|, то в !£ возникает ортогональное преобра-
зование. Легко видеть, что q действует единично, только если q = ±1,
так что мы получаем гомоморфизм f группы G в группу ортогональ-
ных преобразований трехмерного пространства, с ядром ±1. Так как
§ 15. Примеры групп: группы Ли и алгебраические группы
187
группа G связна, то образ f должен содержаться в группе вращений,
а из сравнения размерностей легко увидеть, что он должен с ней сов-
падать. Иными словами
◄ I. Группа вращений трехмерного пространства изоморфна фак-
торгруппе группы G кватернионов с нормой 1 по подгруппе, состоящей
из ±1. ►
Так как группа G есть трехмерная сфера, то, значит, группа вра-
щений трехмерного пространства получается из сферы S3 отождест-
влением диаметрально противоположных точек. Мы, тем самым, еще
раз получили отождествление этой группы с трехмерным проективным
пространством.
Мы встречаемся, таким образом, с примерами групп преобразова-
ний (группа сдвигов прямой, вращений плоскости, вращений трехмер-
ного пространства), элементы каждой из которых естественно взаим-
но однозначно параметризуются точками некоторого многообразия X
(прямой, окружности, трехмерного проективного пространства). Сле-
дующий шаг заключается в том, чтобы абстрагироваться от задания
нашей группы как группы преобразований и считать, что многообра-
зие X является адекватным описанием множества элементов группы и
групповой закон задан на этом множестве X. Так мы приходим к поня-
тию группы Ли, имеющему два варианта в зависимости от того, пред-
полагаем ли мы X дифференцируемым, или комплексно аналитическим
многообразием. Тогда и группа Ли называется дифференцируемой или
комплексно аналитической. Определение таково:
◄ Группа G, являющаяся одновременно дифференцируемым (или
комплексно аналитическим) многообразием, называется группой Ли, ес-
ли отображения
G^G, g^g-1
И
G х G -> G, (gi, g2) -> gig2
дифференцируемы (или комплексно аналитические). ►
То что множество элементов группы Ли G образует многообра-
зие, снабжает его геометрией. Алгебра (т. е. наличие группового зако-
на) делает эту геометрию однородной. Элементы левого регулярного
представления называются сдвигами на элементы группы и определяет
транзитивную группу преобразований (дифференцируемых или комп-
188
Шафаревич И. Р.
лексно аналитических) группы G. Пользуясь ими, можно, например,
исходя из касательного вектора т в единичной точке е G G, получить,
при помощи левого сдвига на элемент g, касательный вектор rg в точ-
ке g £ G, т. е. векторное поле на всей группе G. Такие векторные поля
называются левоинвариантными. Точно так же можно строить лево-
(или право)-инвариантные дифференциальные формы на G. Наконец,
тем же способом можно построить на G лево- (или право)-инвариант-
ную риманову метрику.
Теорема 1, описывающая группу вращений трехмерного простран-
ства, дает пример геометрических свойств, типичных для многих
групп Ли. Во-первых, гомоморфизм G G/(±l) (где G — группа ква-
тернионов с нормой 1) является, очевидно, неразветвленным накрыти-
ем. Так как группа G диффеоморфна трехмерной сфере, то она связ-
на и односвязна, т. е. является универсальной накрывающей группы
вращений (ср. пример 7 §14). Отсюда следует, что для группы враще-
ний фундаментальная группа тг имеет порядок 2. Мы можем получить
не только топологическую, но и дифференциально-геометрическую ин-
формацию о группе вращений. Ее инвариантная риманова метрика мо-
жет быть согласована с такой же метрикой группы G. Но G есть сфе-
ра S3 и, значит, многообразие положительной римановой кривизны.
Тем самым, это верно и для группы вращений. Можно показать, что
для любой компактной группы Ли существует инвариантная относи-
тельно левых и правых сдвигов риманова метрика, имеющая неотри-
цательную кривизну, а направления в единичной точке, в которых эта
кривизна нулевая, соответствуют коммутативным подгруппам.
Замкнутое подмногообразие Н С G, одновременно являющееся
подгруппой группы Ли G, называется ее подгруппой Ли. В этом слу-
чае множество классов смежности H\G, как можно показать, также
является многообразием, причем отображение G H\G и действие G
на H\G дифференцируемы (или комплексно аналитичны). Так как дей-
ствие G на H\G транзитивно, то H\G является однородным многооб-
разием относительно группы G. Соотношению (9) § 12 здесь соответ-
ствует соотношение
dim G = dim Н + dim H\G. (1)
Дальше мы разберем подробнее два типа групп Ли: компактные и комп-
лексно аналитические, опишем важнейшие примеры того и другого ти-
па и их связи.
§ 15. Примеры групп: группы Ли и алгебраические группы 189
А. Компактные группы Ли.
Пример 2. Торы. В n-мерном вещественном векторном простран-
стве L рассмотрим решетку С = Zex + ... + Ze„, где ех, ... , е„ —
некоторый базис L. Факторгруппа Т = L/C компактна. Она является
группой Ли и называется тором. Так как L = ]Rei + ... + ]Re„, то
Т ~ (К/Z) х ... х (K/Z).
Факторгруппа IR/Z является окружностью, а n-мерный тор — пря-
мым произведением п окружностей. Торы имеют громадное количест-
во применений, из которых укажем три.
а) Периодические функции с периодом 2тг — это функции на окруж-
ности ]R/2ttZ. Такая точка зрения, как мы дальше увидим, дает новый
взгляд на теорию рядов Фурье.
б) Возьмем за L плоскость комплексного переменного С. Этот слу-
чай мы уже рассматривали в примере 1 § 14. Если С С С — решет-
ка, то тор С/С наследует от С структуру комплексного аналитичес-
кого многообразия. Как комплексные многообразия торы С/С имеют
размерность 1. Можно показать, что это — единственные компакт-
ные комплексно аналитические группы Ли комплексной размернос-
ти 1. Аналогично, произвольная компактная комплексно аналитическая
группа Ли является тором
С"/С, где С = Zei + ... + Ze2«
— решетка в 2п-мерном вещественном пространстве С". В частности,
такая группа обязательно абелева.
в) В классической механике теорема Лиувилля утвержда-
ет, что если в механической системе с п степенями свободы известны
п независимых первых интегралов Д, ... , 1п, находящихся в инволю-
ции (т. е. таких, что все скобки Пуассона [Ia, 1р] = 0), то система ин-
тегрируется в квадратурах. В этом случае система называется вполне
интегрируемой. Доказательство основывается на том, что в 2п-мерном
фазовом пространстве n-мерное многообразие уровня
Тс : Ia = са (а = 1, ... , п, с = (сх, ... , с„))
является тором. Это сразу следует из того, что на Тс функции 1а
определяют п векторных полей: они задаются дифференциальными
формами dla (при помощи симплектической метрики, определен-
ной на фазовом пространстве). Каждое векторное поле определяет
190
Шафаревич И. Р.
однопараметрическую группу преобразований Ua(t), а соотношения
[Ia, 1р] = 0 означают, что преобразования £7а(£1) и 17а (£2) коммути-
руют. Таким образом, на многообразии Тс действует группа Ли К":
точке (£i, ... , tn) G К" соответствует преобразование £7i(£i)... Un(tn).
Отсюда следует, что Тс является факторгруппой К" по стационарной
подгруппе Н некоторой точки xq G Тс. Так как размерность Тс есть п
и Тс компактно (на нем постоянна кинетическая энергия, являющаяся
положительно определенной формой), то Тс = №.п/Н есть тор. Таким
образом, движение точки, соответствующей системе, всегда происхо-
дит по тору, причем, сверх того, доказывается, что точка движется по
одномерной подгруппе этого тора (чему соответствует введение, так
называемых, координат «действие-угол»).
Перейдем к примерам некоммутативных компактных групп Ли.
Мы опишем три серии групп (примеры 3, 4, 5), обычно называемых
классическими. Каждая из этих групп появляется в нескольких вари-
антах. Обычно это некоторые группы матриц. Для такой группы G все
содержащиеся в ней матрицы с определителем 1 обозначаются SG (S —
от слова «специальная»). Факторгруппы групп G и SG по их центрам
обозначаются PG и PSG (Р — от слова «проективная»).
Пример 3. Ортогональная группа О(п), состоящая из всех ортого-
нальных преобразований n-мерного евклидова пространства. Эта груп-
па действует на единичной сфере S"-1 в n-мерном пространстве. Ес-
ли е £ S'71-1, |е| = 1, то стабилизатор точки е действует в гиперплос-
кости, ортогональной е, и изоморфен О(п — 1). Поэтому ввиду (1)
dimO(n) = dimO(n — 1) + п — 1,
dim О(п) = n(n — 1)/2.
Группа О(п) не связна. Она имеет подгруппу индекса 2, обознача-
емую SO(n) и состоящую из ортогональных преобразований с опреде-
лителем 1. Легко доказать, что группа SO(n) связна. Если п нечетно,
то центр группы SO(n) состоит из Е, а если четно — то из Е и — Е.
Факторгруппа группы SO(n) по ее центру обозначается PSO(n). Группа
вращений трехмерного пространства (пример 1) — это SO(3).
Естественное обобщение группы О(п) связано с рассмотрением
произвольной невырожденной квадратичной формы
+ ... + Хр - х2р+1 - ... - Xp+q, p + q = n.
§ 15. Примеры групп: группы Ли и алгебраические группы 191
Линейные преобразования пространства R", сохраняющие эту форму,
образуют группу Ли, обозначаемую О(р, q). Эта группа компактна,
лишь если р = 0 или q = 0. Мы встретимся с ней (при других зна-
чениях р и q) позже.
Пример 4. Унитарная группа U(n), состоящая из унитарных пре-
образований n-мерного эрмитова комплексного пространства. Как и
в примере 3, доказывается, что dimU(n) = п2. Группа U(n) связна.
Определитель преобразования из U(n) есть комплексное число, по мо-
дулю равное 1. Преобразования с определителем 1 образуют подгруп-
пу SU(n) размерности п2 — 1. Центр подгруппы SU(n) состоит из преоб-
разований еЕ, еп = 1. Факторгруппа по центру обозначается PSU(n).
Пример 5. Рассмотрим n-мерное пространство ГГ над телом ква-
тернионов (пример 5 §8). Определим в нем скалярное произведение
со значениями в И:
п
((Ж1, ... , Ж„), (ух, ... , у„)) = XiVi: (2)
«=1
где — сопряженные кватернионы. Группа линейных преобразова-
ний из AutnEI”, сохраняющих это скалярное произведение, называется
унитарно симплектической и обозначается Sp U(n). При п = 1 мы по-
лучаем группу кватернионов q с модулем 1.
В общем случае
dimSp U(n) = 2n2 + п.
Между различными классическими группами существуют связи,
которые часто оказываются полезными.
Теорема I может быть теперь коротко записана так:
Sp U(l)/(±1) ~ SO(3). (3)
Как мы видели, из нее следует, что |tt(S0(3))| = 2.
Аналогичное представление для группы SO(n) и даже для произ-
вольной (вообще говоря, некомпактной) группы SO(p, q) получается
при помощи клиффордовой алгебры (пример 10 §8).
То что любой кватернион q при преобразовании х qxq-1 пе-
реводит пространство чисто мнимых кватернионов в себя, является
192
Шафаревич И. Р.
особенностью, связанной со случаем п = 3. В общем случае рассмот-
рим алгебру Клиффорда C'(L), соответствующую пространству L над К
с метрикой
. + Хр - х2р+1 - ... - Xp+q, p + q = n.
Напомним, что L С C'(L). Введем группу G обратимых элемен-
тов а £ С°(Т), для которых a-1La С L. Очевидно, что G — группа. Лег-
ко проверить, что для а £ G отображение х а~1ха при х £ L, а £ G
сохраняет метрику L. Таким образом, мы получаем гомоморфизм
f : G О(р, q).
Легко видеть, что ядро f состоит из a £ R, а 0. Доказывает-
ся (с использованием того известного факта, что любое ортогональ-
ное преобразование можно представить как произведение отражений),
что образ f есть SO(p, q) и что любой элемент из G представляет-
ся в виде а = ci...cr, Ci £ L, с некоторым четным г. Отсюда вы-
текает, что для а £ G элемент аа* £ К, где a —> а* — инволюция
в алгебре C'(L) (см. пример 10 §8), и, если мы положим аа* = IV(a),
то для a, Ь £ G, N(ab) = N(a)N(b). Поэтому элементы а £ G, N(a) = 1,
образуют группу. Она называется спинорной группой и обозначает-
ся Spin(p, q). При q = 0 она обозначается Spin(n). Легко видеть, что
группа Spin(p, q) связна. Ядро гомоморфизма f : Spin(p, q] —> О(р, q)
состоит из +1 и —1. Образ же зависит от чисел р и q. Если q = 0,
очевидно О(р, (/) = О(п), и легко проверить, что /(Spin(n)) = SO(n).
То есть
Spin(n)/(±1) = SO(n). (4)
Таким образом, группа Spin(n) является двулистной накрывающей
группы SO(n). Используя индукцию, легко доказать (начиная с п = 3),
что порядок группы 7r(SO(n)) есть 1 или 2. Но мы построили двулистное
накрытие Spin(n) —> SO(n) и тем самым доказали, что |7r(Spin(n))| = 2,
а группа Spin(n) односвязна.
Если р > 0 и g > 0, то в группе G существуют элементы как
с положительной, так и с отрицательной нормой, и их образы опреде-
ляют в SO(p, q) две разные компоненты. Образы элементов с положи-
тельной нормой образуют в SO{p, q) подгруппу SO+(p, q) индекса 2,
§ 15. Примеры групп-, группы Ли и алгебраические группы 193
и /(Spin(p, g)) = SO+(p, q), т.е.
Spin(p, g)/(±l) ~ SO+(p, q). (5)
Как мы видели в примере 6 §8, любой кватернион можно записать
в виде
zi,z2eC. (6)
При этом j2 = —1 и zj = jz. В записи (6) кватернионы образуют про-
странство С2 над С, если умножение на z £ С понимать как умножение
справа. Поэтому левое регулярное представление даст представление
кватернионов линейными (над С) преобразованиями С2, т.е. матри-
цами 2-го порядка. Взяв базис {1, j}, мы сопоставим кватерниону (6)
( zi z2\
матрицу _ .
\~Z-2, Z]_)
В записи (6) модуль кватерниона равен (|^i|2 + |^г|2)1//2- Поэтому
умножение на кватернион с нормой 1 даст унитарное преобразование
пространства С2 (с метрикой |^i|2 + |^2|2)- Кроме того, определитель
матрицы равен тоже |zi|2 + |^2|2, т.е. в нашем случае 1. Так мы получаем
гомоморфизм
SpU(l) -4- SU(2), (7)
ядро которого равно 1. Из соображений размерности и ввиду связности
группы SU(2), мы видим, что это — изоморфизм, т.е. группа SU(2)
изоморфна группе кватернионов с модулем 1. Объединяя (3) и (7), мы
получаем изоморфизм:
S0(3) = SU(2)/(±1). (8)
Его элементарная интерпретация такова: рассмотрим множество L
эрмитовых матриц второго порядка со следом 0. На нем действует
по правилу А UAU-1 группа SU(2). Введя для А £ L метри-
ку |Л|2 = —detH, мы превратим L в трехмерное вещественное про-
странство. Преобразование, соответствующее U £ SU(2), определяет
в нем преобразование 7 £ SO(3). Это и есть гомоморфизм
SU(2) -4- SO(3).
194
Шафаревич И. Р.
Пусть !£ — четырехмерное пространство кватернионов с метри-
кой, определенной модулем. Определим действие группы
SpU(l) х SpU(l) па .2':
(tfi, 92)(ж) = х Е (9)
Легко видеть, что тривиально действуют только пары (1, 1) и (—1, —1).
Очевидно, что наши преобразования сохраняют модуль, т. е. являют-
ся ортогональными. Определитель преобразования (9) есть | <711 | <721—1,
т. е., в нашем случае, 1. Мы получаем гоморфизм
SpU(l) х SpU(l) SO(4),
ядро которого нам известно. Образ, по соображениям связности и раз-
мерности, есть все SO(4). Мы получаем изоморфизм:
SO(4) ~ (SpU(l) х SpU(l))/ff, (10)
где Н — подгруппа центра второго порядка. Весь центр груп-
пы SpU(l) х SpU(l) есть произведение двух групп второго порядка —
центров Sp U(l). Профакторизовав (10) слева по центру SO(4), мы долж-
ны справа профакторизовать Sp U(l) х Sp U(l) по всему центру. Но фак-
торгруппа SpU(l) по центру есть SO(3). Поэтому
PSO(4) ~ 50(3) х 50(3). (11)
Б. Комплексно аналитические группы Ли. Следующие их три
серии также носят название классических (примеры 6, 7, 8).
Пример 6. Полная линейная группа GL(n, С) невырожденных ли-
нейных преобразований n-мерного комплексного пространства. Размер-
ность группы (как комплексного аналитического многообразия), оче-
видно, равна п2. Она содержит подгруппу SL(n, С) линейных преобра-
зований с определителем 1. Центр группы GL(n, С) состоит из скаляр-
ных матриц. Ее факторгруппа по центру обозначается PGL(n, С).
Пример 7. Подгруппа группы GL(n, С), состоящая из преобразо-
ваний, сохраняющих некоторую невырожденную квадратичную форму
(в надлежащей системе координат имеющую вид ж2 +... + ж2), обозна-
чается О(п, С) и называется ортогональной группой.Ее размерность как
, п(п — 1)
комплексно аналитического многообразия равна —
§ 15. Примеры групп-, группы Ли и алгебраические группы
195
Пример 8. Подгруппа группы GL(2n, С), состоящая из преобразо-
ваний, сохраняющих некоторую невырожденную кососимметрическую
форму (в надлежащей системе координат имеющую вид
п
'(^г^/п+г -En+iyi)i
i=l
называется симплектической группой и обозначается Sp(2n, С).
Связь между комплексными и компактными классическими груп-
пами заключается в следующем. Очевидно, что U(n) С GL(n, С).
Можно доказать, что U(n) — максимальная компактная подгруппа
в GL(n, С), т.е. не содержится ни в какой большей компактной под-
группе. Все другие компактные подгруппы группы GL(n, С) сопряже-
ны с подгруппами группы U(n). Причину этого мы поясним в § 17Б.
Аналогично, группа О(п) С О(п, С), является в ней максимальной ком-
пактной подгруппой, все компактные подгруппы О(п, С) сопряжены ее
подгруппам. Чтобы установить аналогичный результат для симплекти-
ческих групп, воспользуемся записью (6) кватернионов как двумерного
пространства над С : Н = С + jC. Тогда вектор х = (жх, ... , ж„) £ Н"
запишется как (^1; ... , zn, zn+1, ... , z2n), где Zi е С, xk = zk + jzk+n.
В этих координатах, как очень легко проверить, произведение (2)
(см. пример 5) принимает вид (при у = (у1: ... , уп), yk = wk + jwk+n)
п
(ж, у) = ^ZiWi +j^(ZiWi+n ~ WiZi+n).
г=1
Таким образом, если (ж, у) = а + j(3, то а есть эрмитово скалярное
произведение комплексных векторов ж и у, а (3 — значение на них ко-
сосимметрической формы S(ziWi+n — WiZi+n). Всякое линейное (над Н)
преобразование пространства Н" записывается как линейное над С
преобразование пространства С2", а условие <р £ SpU(n), ввиду ска-
занного выше, означает что ip £ U(2n) и р £ Sp(2n, С). Таким образом,
SpU(n) = U(2n) П Sp(2n, С).
В частности, SpU(n) — подгруппа группы Sp(2n, С). Она является ее
максимальной компактной подгруппой, и все компактные подгруппы
группы Sp(2n, С) сопряжены подгруппам группы SpU(n).
196
Шафаревич И. Р.
Во всех трех случаях размерность объемлющей комплексной груп-
пы (как комплексно аналитического многообразия) равна размерности
компактной подгруппы (как дифференцируемого многообразия).
В заключение укажем на некоторые важные группы Ли небольшой
размерности.
Группа 0(3, 1) называется группой Лоренца, a S0(3, 1) — соб-
ственной группой Лоренца. Если интерпретировать хд как время,
а жх, жг, хз — как пространственные координаты, то сохранение фор-
мы / = —Xq + х% + х% + х% равносильно сохранению скорости света
(которая считается равной 1). Та же группа имеет другую, не менее
важную интерпретацию. Рассмотрим хд, Xi, жг и хз как однородные ко-
ординаты в трехмерном проективном пространстве Р3. Равенство f = О
определяет в Р3 поверхность второго порядка, в неоднородных коорди-
натах у; = Xi/xg, г = 1, 2, 3, записывающуюся как у% + у? + Уз = 1.
Таким образом, это сфера S С Р3. Преобразования из 0(3, 1), если их
рассматривать в однородных координатах, будут проективными пре-
образованиями Р3, сохраняющими S. Разумеется, умножение всех ко-
ординат на —1 будет давать в Р3 тождественное преобразование, так
что действовать в Р3 будет Р0(3, 1). Очевидно, эта группа сохраня-
ет и внутренность сферы S. Но, как известно, в модели Кэли-Клейна
трехмерного пространства Лобачевского это пространство изображает-
ся как раз точками внутренности сферы, а его движения — проектив-
ными преобразованиями, сохраняющими сферу. Таким образом, груп-
па Р0(3, 1) изоморфна группе всех движений, a PS0(3, 1) — собствен-
ных (сохраняющих ориентацию) движений трехмерного пространства
Лобачевского.
Конечно, это утверждение носит общий характер: группа P0(n, 1)
изоморфна группе движений n-мерного пространства Лобачевского.
Группа 0(3, 1) (т. е. группа Лоренца) имеет еще одну важную ин-
терпретацию. Она основывается на рассмотрении группы Spin(3, 1)
(ср. (5)). При построении этой группы мы видели, что для a G G
норма IV(a) = аа* G К. В нашем же частном случае это условие до-
статочно: если аа* = а£Киа^0, то a-1P6'a С !£, т. е. а £ G.
Действительно, из а* = а получаем а-1 = а-1 а*, откуда следует, что
для х £ !£, (а-1 ха)* = а~1ха. С другой стороны, а-1жа £ С1, a С1
состоит из линейных комбинаций элементов с,- и произведений 6,6^6/.,
где с, образуют ортогональный базис в '£. Из них только линейные
комбинации элементов ej не меняются при замене ж —> ж* и зна-
§ 15. Примеры групп: группы Ли и алгебраические группы 197
чит, а~хха £ . Теперь воспользуемся тем, что мы можем найти яв-
ное задание алгебры С° в виде матричной алгебры (ср. пример 11 § 8
и пример 6 §10). Если 6q, ei, ег, ез — тот базис, в котором форма
имеет вид — Хд + х% + х% + х%, то 1, egCi, 6062, 6162 порождают ал-
гебру Мг(С), 1 и 60616263 — алгебру С, а вся С° изоморфна Мз(С).
Пусть а —> А £ М2 (С) при этом изоморфизме. Легко проверить, что
при этом инволюции а —> а* соответствует отображение
/а /3\ / 8 — /3\
8J у—7 aJ ’
и аа* = det Л. Поэтому группа Spin(3, 1) изоморфна SL(2, С), и мы
получаем гомоморфизм
SL(2, С) SO(3, 1).
Образ его есть SO+(3, 1), а ядро (±1). Таким образом,
PSL(2, С) ~ SO+(3, 1).
Гомоморфизм SL(2, С) —> SO(3, 1) имеет следующую элементар-
ную интерпретацию. Рассмотрим пространство L эрмитовых матриц
второго порядка и действие на нем группы SL(2, С): А —> САС*, А £ L,
С £ SL(2, С). Введем в L метрику: |Л|2 = — det Л, которая в некотором
базисе имеет вид — Хд + ж2 + х? + х%. Указанное выше действие груп-
пы SL(2, С) определяет, поэтому, гомоморфизм SL(2, С) —> 0(3, 1).
Он совпадает с нашим гомоморфизмом SL(2, С) —> SO(3, 1).
Теперь рассмотрим один класс групп, дающий интересные приме-
ры и групп Ли, и дискретных, и конечных групп.
В. Алгебраические группы. Из них мы разберем один тип: ал-
гебраические матричные группы. Они могут быть определены над про-
извольным полем К как такие подгруппы группы GL(n, К), которые
задаются алгебраическими уравнениями с коэффициентами в К. При-
меры: SL(n, К); O(f, К) — группа матриц, сохраняющих /, где f —
некоторая квадратичная форма с коэффициентами из К; Sp(2n, К);
группа треугольных матриц (а^), «,7 = 0 при i < j, ац 0, или ее
подгруппа, в которой все ац = 1. В частности, группа, состоящая из
/1 "А .
матриц второго порядка вида I I, изоморфна группе элементов по-
ля К по сложению. Она обозначается Ga. Группа GL(1, К) изоморфна
198
Шафаревич И. Р.
группе элементов поля К по умножению. Она обозначается Gm или К*.
Если поле К С В. или К С С, a G — алгебраическая группа, опреде-
ленная над К, то вещественные или комплексные матрицы в группе G
определяют вещественную группу Ли G(B) или комплексно аналити-
ческую G(C). Большинство рассматривавшихся нами групп Ли при-
надлежит к этому типу. Но общее понятие — более гибкое, так как оно
позволяет, например, рассматривать алгебраические группы над полем
рациональных чисел. Так, рассмотрение группы O(f, Q) дает теорети-
ко-групповой метод изучения арифметических свойств рациональной
квадратичной формы f. Более того, рассматривая матрицы с целыми
элементами и с определителем ±1 в матричной алгебраической груп-
пе G, определенной над полем Q, мы получаем дискретную подгруп-
пу G(Z) группы Ли G(B). Для групп G = SL(n), 0(f), Sp(n) фактор-
пространства G(Z)\G(K) или компактны, или имеют конечный объем
(в смысле меры, определенной инвариантной мерой в группе G(K)).
Ср. пример За § 14. Такие группы, а также их подгруппы конечного
индекса, называются арифметическими (в естественной общности это
понятие требует рассмотрения наряду с полем Q любых полей алгебра-
ических чисел).
Наконец, такие алгебраические группы, как GL(n), О(п), Sp(n),
можно рассматривать и над конечными полями, и они дают интересные
примеры конечных групп. С группой GL(n, F?) мы уже встречались.
Существует еще один совершенно неожиданный путь, на кото-
ром возникают дискретные группы в связи с алгебраическими груп-
пами. Если матричная группа G определена над полем рациональных
чисел (К = Q), то мы можем рассматривать группу ее рациональ-
ных точек G(Q), вещественных точек G(K) и р-адических точек G(Qp)
(ср. конец §7). Наиболее инвариантный способ учесть равноправие по-
лей К и (Q — это рассмотреть «произведение» (бесконечное) G(IR)
и всех G(jQp). Мы не будем давать точного определения этого произ-
ведения, которое называется группой аделей группы G и обозначает-
ся Ga- Так как G(Q) С G(IR) и G(Q) С G(Qp), то G(Q) С Ga («диа-
гональное» вложение). Оказывается, что группа G(Q) дискретна в Ga-
То что матрицы с рациональными элементами образуют дискретную
подгруппу, представляется очень непривычным, однако причину лег-
ко понять на примере G — Ga группы всех чисел по сложению. Ес-
ли ж £ G(Q) — рациональное число, то условие рр(х) 1 для всех р
(определение нормы <рр см. в § 7) означает, что х — целое, и <psfx) < 1
§ 16. Общие результаты теории групп
199
дает тогда х = 0. В ряде случаев (таких, как G = SL(n), 0(f), Sp(n))
факторпространство Gq\Ga имеет конечный объем. Можно показать,
что он определен совершенно однозначно группой G. Этот объем —
так называемое число Тамагавы t(G) группы G — является ее важней-
шим арифметическим инвариантом. Например, если f — рациональная
положительно определенная квадратичная форма, то из теоремы Мин-
ковского-Хассе (теорема IV §7) следует, что уравнение /(ж) = а при
рациональных х и а разрешимо тогда и только тогда, когда оно разре-
шимо в К (т. е. а > 0) и во всех (Q (т-е- сравнения f(x) = a (mod рп) все
разрешимы). Но если эти условия выполнены, то можно дать числен-
ные характеристики числа целых решений, в терминах чисел решений
сравнений f(x) = a (mod рп). И это оказывается равносильным нахож-
дению числа Тамагавы r(G), G = 0(f) (оно равно 2: это отражение
того факта, что |тг(8О(п))| = 2).
§ 16. Общие результаты теории групп
Идеалом «абстрактной» теории групп было бы описание всех воз-
можных групп с точностью до изоморфизма, но совершенно независимо
от их конкретных реализаций. Столь общая задача, конечно, совершен-
но не реальна. Конкретнее можно себе ее представить на задаче (все еще
очень широкой) классификации конечных групп. Так как из конечного
числа элементов можно составить лишь конечное число таблиц Кэли, то
существует лишь конечное число неизоморфных групп данного поряд-
ка. В идеале, хотелось бы знать закон, по которому можно указать все
конечные группы заданного порядка. Для не очень больших порядков
это сделать нетрудно, и мы приведем соответствующие группы.
Следует вспомнить, что для коммутативных конечных групп от-
вет дает основная теорема о модулях с конечным числом образующих
над кольцом главных идеалов (ср. пример 6 § 5 и теорему II § 6). Она да-
ет, что конечная коммутативная группа (записанная аддитивно) пред-
ставляется в виде прямой суммы групп Ъ/(рк), гдер — простые числа,
и такое представление единственно. Поэтому трудность представляют
только некоммутативные группы.
Перечислим все конечные группы (с точностью до изоморфизма)
порядков <; 10:
|G| = 2 G~Z/(2).
|G| = 3 G~Z/(3).
200
Шафаревич И. Р.
|G| = 4 G~Z/(4) или Z/(2) ®Z/(2).
|G| = 5 G ~ Z/(5).
|G| = 6 здесь впервые возникает некоммутативная группа, изо-
морфная 6з (или группе симметрий правильного треугольника), зада-
ваемая также соотношениями (6) и (7) § 12,
G ~ &3 или Z/(2) фй/(3).
|G| = 7 G~Z/(7).
|G| = 8 здесь возникают уже две неизоморфные некоммутативные
группы. Одна из них изоморфна D4 — группе симметрий квадрата.
Она также порождается двумя элементами s и t и определяется соот-
ношениями: s2 = е, G = е, (st)2 = е (s — это отражение относительно
одной из средних линий, t — поворот на 90°). Другая некоммутативная
группа — Не может быть описана при помощи алгебры кватернионов
(пример 5 §8): она состоит из 1, i, j, к, —1, —i, —j, —к, умножаемых
как кватернионы. Итак,
G ~ £>4 или Н8, или Z/(8), или Z/(4) ф Z/(2), или (Z/(2))3.
|G| = 9 G~Z/(9) или Z/(3)©Z/(3).
|G| = 10 здесь опять возникает некоммутативная группа, изоморф-
ная группе £>5 симметрий правильного пятиугольника, порожденная
элементами s и t и определенная соотношениями s2 = e,t5 = е, (st)2 = е
(s — отражение относительно оси, t — поворот на угол ^-). Таким об-
О
разом, G ~ £>5 или Z/(5) ф Z/(2).
Приведем таблицу, указывающую число групп заданного поряд-
ка < 32:
|G| 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
число групп 1 1 2 1 2 1 5 2 2 1 5 1 2 1 14 1 5
|G| 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
число групп 1 5 2 2 1 15 2 2 5 4 1 4 1 51
Конечно, на самом деле, исследование структуры конечных групп
использует не только их порядки, но и другие, более тонкие инвариан-
ты, а также методы конструкции более сложных групп из более прос-
тых.
Вернемся к общему понятию группы и опишем основные мето-
ды построения групп. Одним из них мы уже пользовались — это
прямые произведения. Аналогично случаю двух множителей опре-
деляется прямое произведение Gt х ... х Gm любого конечного числа
§ 16. Общие результаты теории групп
201
групп Gi, , Gm: оно состоит из последовательностей (gi, ... , gm),
gi G Gi, с поэлементным умножением. Группы Gi можно считать под-
группами группы Giх ... х Gm, отождествив элемент g Е Gi с последо-
вательностью (е, ... , g, ... , е), где он стоит на г-м месте. Тогда Gi ока-
жутся нормальными делителями Gi х ... х Gm, порождающими всю
эту группу, причем Gi A (Gi х ... х Gj_i х е х G,+i х ... х Gm) = е. Не-
трудно показать, что обратно, группа, обладающая порождающими ее
нормальными делителями Gi, ... , Gm со свойством G, П (Gi ... G,_i х
xGi+i... Gm) = е изоморфна их прямому произведению.
Мы видели, что для конечных абелевых групп и даже для абелевых
групп с конечным числом образующих прямое произведение оказыва-
ется достаточно эффективной конструкцией и приводит к их полной
классификации. Однако при этом существенно, что разложение в пря-
мое произведение, с которым мы сталкиваемся в классификационной
теореме (теорема II § 6), — единственно. Вопрос о единственности раз-
ложения в прямое произведение неразложимых далее групп естествен-
но поставить и для неабелевых групп. Мы приведем ответ в простей-
шем случае, который, однако, оказывается достаточным в большинстве
приложений. По аналогии с модулями, рассмотрим цепочки подгрупп
группы G:
G D Ях D Н2 D ... D Нк, Hi+1. (1)
Если длины всех таких цепочек ограничены, то G называется группой
конечной длины. Таковы конечные группы. Если G — группа Ли или
алгебраическая группа, то естественно в определении рассматривать
цепочки (1), в которых Hi являются связными замкнутыми подгруп-
пами Ли или алгебраическими подгруппами. Тогда в цепочке (1) долж-
на убывать размерность, и поэтому ее длина ограничена размерностью
группы G.
◄ I. Теорема Веддерберна-Ремака-Шмидта.
Группа конечной длины может быть только одним способом разложе-
на в прямое произведение неразложимых далее нормальных делителей.
Точнее говоря, в двух таких разложениях число сомножителей одина-
ково и сомножители попарно изоморфны. ►
Однако неабелева группа (например, конечная или группа Ли) толь-
ко в исключительных случаях разлагается в прямое произведение: по-
давляющая их масса неразложимы. Более универсальный метод све-
дения групп к их более простым частям дает понятие гомоморфиз-
202
Шафаревич И. Р.
ма. Если G' = G/N, то гомоморфизм G —> G1 показывает, что груп-
па G1 является как бы упрощенной версией группы G, которая получа-
ется, если последнюю группу рассматривать «с точностью до элемен-
тов из №. До какого последнего нетривиального предела можно таким
способом «упрощать» группу? Мы можем рассматривать гомоморфизм
группы G' —> G" и т. д. Если группа G имеет конечную длину, то наш
процесс оборвется, когда мы дойдем до группы G, которая не имеет
нетривиальных гомоморфизмов. Это значит, что в группе G нет нор-
мальных делителей, отличных от нее и от {е}.
Группа, не имеющая нормальных делителей, отличных от нее и
единичного элемента, называется простой. Для случая групп Ли естес-
твенно говорить о связных нормальных делителях, являющихся под-
группами Ли, для алгебраических групп — алгебраическими подгруп-
пами. Таким образом, группа Ли, являющаяся по нашему определению
простой, может не быть простой как абстрактная группа, если она со-
держит дискретный нормальный делитель. Например, группа К, содер-
жащая подгруппу Z. Мы видели, что любая группа конечной длины
обладает гомоморфизмом на простую группу. Пусть G —> G' — та-
кой гомоморфизм и Ni — его ядро. Теперь естественно применить
тот же прием к Мы получаем гомоморфизм IVi —> G” на простую
группу G" с ядром IV2, которое является нормальным делителем в IVi
(но необязательно в G). Продолжая этот процесс, мы получаем цепочку
G = No > М > ... > Nk > Nk+1 = {е},
в которой факторгруппы Nt/Nt+1 простые. Такая цепочка называется
композиционным рядом группы G, а факторгруппы Nj/Ni+i — факто-
рами этого композиционного ряда. Разумеется, одна и та же подгруппа
может иметь различные композионные ряды. Поэтому очень важна.
◄ II. Теорема Жордана-Гельдера. Два композицион-
ных ряда одной и той же группы имеют одинаковую длину, и их фак-
торы попарно изоморфны, хотя, может быть, в другом порядке. ►
Доказательства теоремы Жордана-Гельдера и Веддерберна-Рема-
ка-Шмидта используют очень мало свойств групп. Основное из них —
следующее:
◄ Если Н — подгруппа, a N — нормальный делитель группы G,
то Н П N — нормальный делитель группы Н и
Н/Н П N ~ HN/H. ►
(2)
§ 16. Общие результаты теории групп
203
Здесь HN есть подгруппа группы G, состоящая из всех произве-
дений hn, h G Н, п G N. Действительно, рассмотрим гомомор-
физм f : G —> G/N. При ограничении на Н он определяет гомомор-
физм fi : Н —> G/N с ядром Н П N и образом Hi ~ Н/Н П N.
Полный прообраз группы Hi при гомоморфизме f есть HN и, зна-
чит, Hi ~ HN/N, откуда и следует (2).
Доказательства обеих теорем основываются на том, что, заменяя
пару Н, Н П N на пару HN, N при разных выборах Н и N, мы мо-
жем перейти от одного разложения группы в прямое произведение не-
разложимых подгрупп к другому, или от одного композиционного ряда
к другому. По существу, они используют только свойства частично упо-
рядоченного множества подгрупп группы G и могут быть в этой фор-
ме аксиоматизированы. Такая трактовка полезна тем, что применима
и к модулям конечной длины и дает для них аналог тех же теорем.
Таким образом, задача описания групп (конечных, групп Ли, ал-
гебраических) сводится к двум вопросам:
(1) Каковы все группы, имеющие заданный набор факторов компо-
зиционного ряда?
(2) Какими могут быть факторы композиционного ряда?
Первый вопрос можно исследовать индуктивно, и тогда мы при-
ходим к вопросу: при заданных группах N и F описать все груп-
пы G, имеющие изоморфную N группу в качестве нормального де-
лителя с факторгруппой, изоморфной F. Группа G называется тогда
расширением F при помощи N. Например, кристаллографическая груп-
па G (пример 2 § 14) является расширением группы F при помощи А,
где А — содержащаяся в G группа переносов на векторы некоторой
решетки С, a F — группа симметрий С.
Хотя в такой общности вопрос вряд ли имеет четкий ответ, к нему
найдено несколько подходов, которые в конкретных ситуациях приво-
дят к более или менее удовлетворительной картине (см. об этом при-
мер 4 § 21).
Гораздо более интригующим является второй из сформулирован-
ных выше вопросов. Так как факторы композиционного ряда — прос-
тые группы и любой набор простых групп является фактором компози-
ционного ряда некоторой группы (например, их прямого произведения),
то наш вопрос эквивалентен следующему:
Каковы простые группы?
204
Шафаревич И. Р.
В настоящее время для важнейших типов: конечных групп, групп
Ли, алгебраических групп, ответ на этот вопрос известен.
Сначала приведем примеры групп, про которые можно доказать,
что они простые (обычно это довольно кропотливые, хотя принципи-
ально не сложные рассуждения).
Начнем со случая, казалось бы тривиального, но имеющего множес-
тво приложений: коммутативных простых групп. С точки зрения аб-
страктной теории групп, ответ очевиден: простыми коммутативными
группами являются лишь циклические группы простых порядков. В те-
ории же групп Ли мы рассматривали, при определении простой группы,
только связные нормальные делители. Поэтому в теории дифференци-
руемых связных групп Ли прибавляются еще два примера: группа К
вещественных чисел по сложению и окружность. Мы не будем приво-
дить ответ для комплексно аналитических групп Ли — он более сложен.
Для алгебраических матричных групп над алгебраически замкну-
тым полем аналогично прибавляются два примера; группы Ga элемен-
тов основного поля по сложению и Gm — по умножению.
Этот скудный запас коммутативных простых групп приводит
к весьма обширному классу групп, если мы, следуя приведенным выше
рассуждениям, используем их как факторы композиционного ряда.
Группа, обладающая композиционным рядом с абелевыми фактора-
ми, называется разрешимой.
Легко проверяются свойства:
◄ III. Подгруппа и гомоморфный образ разрешимой группы разре-
шимы.
Если группа имеет разрешимый нормальный делитель, фактор-
группа по которому разрешима, то она разрешима.
Если группа разрешима, то она обладает нормальным делителем
с абелевой факторгруппой, т. е. нетривиальным гомоморфизмом в абе-
леву группу. ►
Для произвольной группы G пересечение всех ядер ее гомомор-
физмов f : G —> А в абелевы группы называется ее коммутантом
и обозначается через G'.
Очевидно, что для любых элементов gi, g2 6 G, g\g2 и g2gi пе-
реходят в один и тот же элемент при любом гомоморфизме в абелеву
группу, а значит, gig2(g2gi)-1 = gigzg^g^1 переходит в единицу. Эле-
мент вида gig2g±1g21 называется коммутатором. Мы видим, что все
коммутаторы лежат в коммутанте группы. Нетрудно доказать, что они
§ 16. Общие результаты теории групп
205
ее порождают, т. е.
С = (gig2gi“1g2’1; ёъ g2 е G).
Если группа G разрешима, то G' G, если G {е}. Но, как
подгруппа разрешимой группы и G' разрешима, т. е. G' = {е} или
G" = (G')' G'. Продолжение этого процесса показывает, что, образуя
последовательные коммутанты разрешимой группы, мы дойдем до {е}.
(Т. е. если G^ = (G^~^)', то (j(«) = ПрИ некотором п). Легко ви-
деть, что этот признак и достаточен для разрешимости группы конеч-
ной длины. Абелевы группы характеризуются тем, что уже G' = {е}.
В этом смысле, разрешимые группы — естественное обобщение абеле-
вых.
Среди встречавшихся нам конечных групп разрешимы (сверх абе-
левых):
Группа 63 имеющая композиционный ряд 63 D 21з D {е}.
Группа 64 имеющая композиционный ряд 6 j j 2l| D Hi D {е},
где Я4 — подгруппа, состоящая из е и подстановок цикленного ти-
па (2, 2).
Группы GL(2, F2), GL(2, F3).
Конечная группа называется р-группой, если ее порядок есть сте-
пень простого числа р.
◄ IV. Конечная р-группа разрешима. ►
Действительно, рассмотрим присоединенное действие G на себя.
Его орбиты — это классы сопряженных элементов G : Ci, ... , Су.
Предположим, что С{ состоит из kj элементов. Как мы видели
((10) § 12), |G| = fci + .. - + кп, ki = (G : Si), где Si — стабилизатор неко-
торого элемента g, G Ci- Стабилизатор Si — это подгруппа группы G.
Поэтому (G : Si) делит порядок группы G, т. е. является степенью р.
В частности, ki = 1 тогда и только тогда, когда Ci — состоит из одно-
го элемента, содержащегося в центре. В равенстве |G| = kt + ... + ку
слева стоит степень р, а слагаемые справа — тоже степени р (может
быть, равные 1). Отсюда следует, что число тех из ki которые равны 1,
должно делиться на р. Это показывает, что конечная р-группа имеет не-
тривиальный центр Z. Так как Z абелев, то он разрешим, а применяя
индукцию, можно считать разрешимой и факторгруппу G/Z. Поэтому
группа G разрешима.
Примеры разрешимых групп Ли. Группа Е?(2) всех
сохраняющих ориентацию движений евклидовой плоскости, имеющая
206
Шафаревич И. Р.
композиционный ряд: Е(2) D Т D Т' D {е}, где Т — группа всех парал-
лельных переносов, а Т' — ее подгруппа всех параллельных переносов
в одном каком-либо направлении. Факторы этого ряда:
£(2)/Т ~ SO(1) ~ К/Z, Т/Т' ~ К, Т' ~ К.
Группа всех треугольных матриц вида:
^«11 Я12 ... « |
0 «22 • • • а,2п
ац 0, а22 0, , ^пп о,
\0
Чпп /
где aij принадлежат некоторому полю К. Это — алгебраическая группа,
при К = К или К = С — группа Ли, а при конечном К — конечная
группа.
Вернемся к исходному вопросу о строении простых групп и огра-
ничимся теперь нетривиальным случаем некоммутативных
простых групп. Для совершенно произвольных групп никакого
четкого ответа на наш вопрос, конечно, не существует. Перечислим,
какие из встречавшихся нам некоммутативных групп являются прос-
тыми.
Для конечных групп:
Знакопеременная группа 21„ при п 5.
Группа PSL(n, Fg), кроме случая п = 2, q = 2, 3.
Для компактных групп Ли:
Татр :SU(n), п > 1;
SO(n), n^l, 2, 4;
SpU(n), n 1.
Для комплексно аналитических групп Ли:
^Tiec :SL(n, С), п > 1;
SO(n, С), п/1, 2, 4;
Sp(2n, С), п 1.
§ 16. Общие результаты теории групп
207
Для алгебраических матричных групп (над произ-
вольным алгебраически замкнутым полем):
silgK :SL(n, К), п > 1;
SO(n, К), п 1, 2, 4;
Sp(2n, К), п 1.
В согласии со сделанным выше замечанием, эти группы не являются
простыми в абстрактном смысле. Они содержат нетривиальный центр,
и, если Zq — любая подгруппа центра одной из приведенных групп G,
то G/Zq (например, группа PSU(n) = SU(n)/Zo при Zq = Z) также бу-
дет простой группой в смысле нашего определения. Такие тривиальные
модификации мы дальше будем, не оговаривая, причислять к тем же
сериям ^отр, i£iec, s^lgK-
Одним из крупнейших достижений математики нашей эпохи яви-
лось доказательство того, что в последних трех случаях приведенные
примеры почти исчерпывают все простые группы. В различных поста-
новках вопроса, это открытие, сделанное впервые в прошлом веке, рас-
пространялось и уточнялось, пока не охватило все приведенные случаи
(а также любые, необязательно компактные, дифференцируемые прос-
тые группы Ли). Оно нашло громадное число приложений. Открытие
правильных многогранников, соответствующих конечным подгруппам
группы движений пространства, рассматривалось как высшее дости-
жение античной математики — описание правильных многогранников
завершает «Элементы» Евклида. Это были самые глубокие симметрии,
открытые античной математикой. То же место занимает открытие и
перечисление простых групп Ли в математике нового времени — это
самые тонкие симметрии, до понимания которых современная матема-
тика поднялась. И точно так же, как Платон считал тетраэдр, октаэдр,
куб и икосаэдр формами элементарных составляющих четырех сти-
хий — огня, воздуха, земли и воды (оставляя додекаэдр как символ
космоса), так современные физики пытаются при помощи свойств раз-
личных простых групп SU(2), SU(3), SU(4), SU(6) и др. найти общие
закономерности в многообразии элементарных частиц.
Полную формулировку результата мы не приводим. Оказывается,
что существуют еще ровно пять групп, обозначаемых Ед, Е?, Eg, Gi
и и имеющих размерность 78, 133, 248, 14 и 52 (они называются
исключительными простыми группами), прибавление которых к трем
208
Шафаревич И. Р.
указанным выше сериям дает перечень всех простых групп (в каж-
дом из трех вариантов). Связь между тремя типами получающихся
простых групп: компактных, комплексно аналитических и матричных
алгебраических над полем К, очень проста для двух последних типов:
комплексные группы получаются из алгебраических при К = С. Связь
между комплексными и компактными группами фактически указана
нами в § 15: компактные группы являются максимальными компактны-
ми подгруппами соответствующих комплексно аналитических, причем
все максимальные компактные подгруппы сопряжены.
Классификация дифференцируемых простых групп Ли несколь-
ко сложнее классификации одних компактных, но идейно также яс-
на. Каждый из типов компактных простых групп имеет в некомпакт-
ном случае несколько аналогов. Для примера опишем аналоги компакт-
ных групп SU(n): это группы SU(p, q), где U(p, q) — группа комплекс-
ных линейных преобразований, сохраняющих форму |zi|2 + ... + |-?р|2 —
— Izp-i-il2 — ... — \zp+q\2, и группы SL(n, К), SL(n, С) и SL(n/2, Н), рас-
сматриваемые как дифференцируемые группы Ли. Последняя груп-
па SL(n, Н) требует некоторых разъяснений. Так как обычное опре-
деление детерминанта не применимо к матрицам из некоммутатив-
ного кольца, то не ясно, что означает здесь знак S. Выход находят
в том, что группы SL(n, К) и SL(n, С) можно определить и по-друго-
му. Именно, нетрудно доказать, что SL(n, К) совпадает с коммутантом
группы GL(n, IR), a SL(n, С) так же получается из GL(n, С). Поэтому
за SL(n, И), по определению, берется коммутант группы GL(n, И).
Мы еще ничего не сказали о простых конечных груп-
пах. Их классификация — захватывающая задача. Еще с прошлого
века высказывалась смелая мысль, что они должны быть в каком-то
смысле аналогичны простым группам Ли. На эту связь намекает встре-
чавшийся нам пример групп PSL(n, Fg). Конкретнее, здесь возможен
следующий подход, который, по крайней мере, может дать много при-
меров. Надо рассмотреть все простые алгебраические матричные груп-
пы над конечными полями Fg и для каждой такой группы G рассмот-
реть группу G(Fg) содержащихся в ней матриц с элементами из Fg.
Простые алгебраические группы G над полем FQ нам почти известны:
если заменить поле FQ его алгебраическим замыканием К, то простые
алгебраические группы над К нам дает описанная выше теория: спи-
сок silgK и 5 исключительных групп. Однако может случиться, что
две группы, определенные над FQ и не изоморфные над FQ окажутся
§ 16. Общие результаты теории групп
209
изоморфными над К (или перестанут быть простыми). Такое явле-
ние нам, по существу, встречалось в теории вещественных групп Ли,
только аналогом поля Fg было К, а поля К — поле С. Например, все
группы SU(p, q), p + q = п, являются алгебраическими группами над К
(если каждый комплексный элемент матрицы задавать его веществен-
ной и мнимой частью). Но если рассмотреть их над С, то, как можно
показать, все они станут изоморфны друг другу и SL(n, С). Аналогич-
ная ситуация возникает и для полей Fg. Вопрос о перечислении всех
алгебраических групп над полем Fg если уже известны алгебраические
группы над его алгебраическим замыканием, связан, в основном, с пре-
одолением технических трудностей, и ответ на него известен. Так воз-
никает список определенных над Fg алгебраических простых групп G,
и для каждой из них можно построить конечную группу G(Fg). Если
провести эту конструкцию с надлежащей осторожностью (например,
рассматривать группу PSL(n, Fg), а не SL(n, Fg)), то окажется, что
все эти группы — простые уже как конечные, а не только как алгеб-
раические группы. Существует лишь несколько исключений, соответ-
ствующих малым размерностям групп G и малым значениям q (с этим
эффектом мы встречались на примере групп PSL(n, Fg)). Так приходят
к нескольким сериям простых конечных групп, называемых группами
алгебраического типа.
К группам алгебраического типа мы должны прибавить еще одну
серию: группы при п 5. Однако, еще начиная с прошлого века, ста-
ли появляться примеры, ни в одну из этих серий не укладывающиеся.
Но такие примеры всякий раз появлялись индивидуально, а не беско-
нечными сериями. До сих пор этих простых конечных групп, не являю-
щихся ни группами алгебраического типа, ни знакопеременными груп-
пами 21„, найдено 26. Их называют спорадическими простыми группами.
Наибольшая из них имеет порядок
246 . 320.59 . 7б . П2 .13з . 17.19.23 • 29 • 31 • 41 • 47 • 59 • 71
(недаром ее называют Большим Монстром). В настоящее время дока-
зано, что группы алгебраического типа, знакопеременные и 26 спора-
дических групп исчерпывают все конечные простые группы. Это, несо-
мненно, результат первостепенной важности. К сожалению, он получен
в результате многолетних усилий десятков математиков, и его изложе-
ние распылено в сотнях статей, насчитывающих вместе десятки тысяч
страниц. Поэтому пройдет, вероятно, немало времени, прежде чем это
210
Шафаревич И. Р.
достижение будет воспринято и осознано математиками в такой же
мере, как аналогичная классификация простых групп Ли и алгебраи-
ческих групп.
§ 17. Представления групп
Напомним, что представлением группы называется ее гомомор-
физм в группу Aut(L) линейных преобразований некоторого линейно-
го пространства L (см. §9). Это понятие тесно связано с идеей «ко-
ординатизации». Смысл «координатизации» заключается в том, чтобы
задавать «объекты», составляющие «однородное» множество X, некото-
рыми индивидуально различимыми «величинами». Конечно, такое со-
поставление в принципе невозможно, так как, рассматривая обратное
отображение, мы сделали бы индивидуализируемыми и объекты мно-
жества X. Противоречие снимается тем, что, на самом деле, в процессе
координатизации, кроме объектов и величин, всегда присутствует еще
третий участник — система координат (в том или ином смысле сло-
ва) — нечто вроде физического измерительного прибора. Только если
фиксирована система координат S, можно сопоставить объекту х G X
некоторую величину — его «обобщенную координату». Но тогда воз-
никает основная проблема: как отличить те свойства величин, которые
отражают свойства самих объектов, от тех, которые привнесены выбо-
ром системы координат. Это — проблема инвариантности различных
соотношений, возникающих в такого рода теориях. По духу она пол-
ностью аналогична проблеме наблюдателя в теоретической физике.
Если мы имеем две «системы координат» S и S’, то обычно мож-
но определить автоморфизм g множества X (т. е. его преобразование,
сохраняющее все понятия, которые в этом множестве определены), пе-
реводящий S в S’ : g определяется тем, что переводит каждый объект х
в объект х', «координата» которого относительно системы S' равна «ко-
ординате» х относительно системы S. Таким образом, все допустимые
в нашей теории системы координат соответствуют некоторым авто-
морфизмам множества объектов X, и легко видеть, что получающиеся
таким образом автоморфизмы образуют группу G. Эта группа естест-
венно действует на множестве «величин»: если g G G и gS = S', то g
переводит координату каждого объекта в системе координат S в его же
координату в системе S'. Если множество величин образует линейное
пространство, то это действие определяет представление группы G.
§ 17. Представления групп
211
Поясним все это на примере. Рассмотрим n-мерное векторное про-
странство L над полем К. Выбрав в нем систему координат (т. е. ба-
зис) S, мы зададим вектор набором п чисел. Переход к другой систе-
ме координат задается линейным преобразованием g G GL(n, К), ко-
торое одновременно преобразует и п координат при помощи матрицы
линейного преобразования. Мы получаем «тавтологическое представле-
ние» группы GL(n, К) матрицами. Но, если в качестве объектов взять
квадратичные формы, которые в каждой системе координат задают-
ся симметрической матрицей, то переход к другой системе координат
вызовет переход от матрицы А к С АС*, и мы получим представление
группы GL(n, К) в пространстве симметрических матриц, сопоставля-
ющее матрице С 6 GL(n, К) линейное преобразованием А —> С АС*.
Точно так же, рассматривая вместо квадратичных форм линейные
преобразования, мы получим другое представление группы GL(n, К),
на этот раз в пространстве всех матриц, сопоставляющее С преобразо-
вание А —> С АС-1. Ясно, что те же соображения применимы к любым
тензорам. Как в случае квадратичных форм, так и в случае линейных
преобразований, нас интересуют обычно свойства соответствующих им
матриц, не зависящие от выбора системы координат, т. е. сохраняющи-
еся при замене А —> С* АС в первом случае и А —> С-1 АС — во втором.
Такими будут ранг матрицы в первом случае и коэффициенты харак-
теристического многочлена — во втором.
Похожее положение встречается, когда в некоторой задаче ее усло-
вия обладают определенной симметрией (т. е. сохраняются при ка-
ком-то преобразовании g). Тогда то же преобразование должно перево-
дить в себя совокупность X всех решений этой задачи, т. е. определено
действие группы симметрий задачи на множестве X, обычно являюще-
еся представлением группы симметрий.
Изящный пример такой ситуации приведен в работе [90]. Рас-
смотрим задачу: как построить сеть дорог наименьшей длины, по кото-
рой можно было бы пройти из любой вершины квадрата ABCD в лю-
бую другую вершину? Ответ, как нетрудно доказать, дается сетью, из-
ображенной на рис. 38 а, в которой углы AED и BFC равны 120°. Квад-
рат обладает группой симметрий 1)\ (теорема III § 13), но рисунок 38 а,
очевидно, этой группой в себя не переводится! Объяснение заключается
в том, что поставленная задача имеет два решения, изображенные на
рис. 38 а и б, и вместе они обладают полной симметрией D^: группа 1)\
действует на множестве из двух рисунков 38 а и б.
212
Шафаревич И. Р.
Рис. 38
Вот другой пример, приводящий к представлению группы сим-
метрий. Пусть дано линейное дифференциальное уравнение
п
52 а; (1)
г=0
dw~7
dtn~i
= о,
(1)
коэффициенты которого — периодические функции с периодом 2тг. Тог-
да вместе с /(i) функция f(t + 2irk), к G Z, тоже будет решением, и ото-
бражение /(i) —> ./'(7 + 2?rfc) определяет линейное преобразование Uk
в n-мерном пространстве решений. Мы получаем представление груп-
пы Z: к —> Uk, Uk+i = UkU и, значит, Uk = U*. Более сложный вариант
того же явления связан с рассмотрением уравнения (1) в комплексной
области. Пусть a,(t) — рациональные функции комплексного перемен-
ного t. Если to не является полюсом ни одной из функций то (1)
имеет п линейно независимых решений, голоморфных относительно t.
Продолжая эти решения по замкнутому контуру s с началом и концом
в to, не проходящему через полюса функций аД1), мы вернемся к тому
же пространству решений, т. е., как к выше, получим линейное преобра-
зование U(s), определяющее n-мерное представление фундаментальной
группы тг(С\Р1, ... , Рт), где Р±, ... , Рт — полюса функций аД1). Это
представление называется монодромией уравнения (1).
Еще пример. Пусть в линейном дифференциальном урав-
нении £(я?1, ... , хп, F) = 0 коэффициенты зависят симметрично
от я?1, ... , хп. Тогда перестановки х±, ... , хп определяют представле-
ние групп &п в пространстве решений. Такая ситуация встречается
в квантовой механике при описании системы, состоящей из п одина-
ковых частиц. Состояние такой системы задается волновой функци-
ей ... , qn), где qi — набор координат г-й частицы, причем функ-
§ 17. Представления групп
213
ция определена с точностью до постоянного множителя А, |А| = 1. Лю-
бая перестановка а частиц не должна менять состояния, т. е. должна
умножать функцию ф на константу. Мы получаем соотношение
Ф(Ча(1), , = А(<т) v(gi, • • •, qn),
из которого следует, что А^сгг) = A(cri) • А(сг2), т. е. а —> А(сг) является
одномерным представлением группы &п. Известно два таких представ-
ления: единичное, е(сг) = 1; и 77(77), где 77(77) = 1 для четных, и —1 — для
нечетных подстановок. Легко доказать, что других одномерных пред-
ставлений &п не имеет. Таким образом, или
Ф(ЯНХ), • • • , Qa(n)) = ^(qi, , Qn) для всех о-,
ИЛИ
, q<,(n)) = ’Яо’Ж?!, • • •, qn)-
Какой из этих двух случаев имеет место, зависит от природы час-
тиц. В первом случае говорят, что они подчиняются статистике Бо-
зе-Эйнштейна (таковы, например, фотоны), во-втором — статистике
Ферми-Дирака (таковы электроны, протоны и нейтроны).
В § 9 были определены основные понятия теории представлений
групп: инвариантного подпространства неприводимого представления,
прямой суммы представлений, регулярного представления, характеров
представлений. Дальше мы рассмотрим представления над полем комп-
лексных чисел некоторых из встречавшихся нам основных типов групп:
конечных, компактных, комплексных групп Ли.
А. Пр едставления конечных групп. Для них там же,
в § 10, был получен ряд теорем (как частный случай теории полупрос-
тых алгебр). Это — конечность числа неприводимых представлений;
теорема о том, что каждое неприводимое представление содержится
среди неприводимых слагаемых, на которые разлагается регулярное
представление; теорема Бернсайда:
1
(rii — степени неприводимых представлений группы G); теорема о том,
что число h неприводимых представлений равно рангу центра Z(C[G])
214 Шафаревич И. Р.
групповой алгебры C[G] группы G; задание неприводимых представле-
ний характерами.
Рассмотрим сначала случай коммутативных групп. Пусть
р: G —> Ante L — неприводимое представление такой группы (безраз-
лично — конечной или нет). Тогда преобразования {Sagp(g), g G G,
ag G С} образуют неприводимую алгебру в Endc L, которая согласно
теореме Бернсайда (теорема XVII § 10) должна совпадать с Endc L. Вви-
ду коммутативности группы G, и алгебра Endc L должна быть комму-
тативна, а это возможно лишь, если степень представления п равна 1.
Таким образом, неприводимое представление коммутативной группы
одномерно.
Для конечных коммутативных групп тот же результат очевиден
и из других соображений. Групповая алгебра C[G] коммутативна и,
значит, изоморфна прямой сумме полей: C[G] ~ С” (теорема V §10).
Неприводимые представления ее сводятся к проектированию на слага-
емые С этого разложения: если х = (zi, ... , zn), то %Дж) = Z{. Поэтому
◄ I. Все неприводимые представления конечной коммутативной
группы одномерны, и число их равно порядку группы. ►
Таким образом, неприводимые представления конечной коммута-
тивной группы G совпадают с ее гомоморфизмами
X G С*
в группу С* = GL(1, С) комплексных чисел по умножению. Они совпа-
дают со своими следами и поэтому называются характерами.
Гомоморфизмы группы G (любой, а не только коммутативной)
в группу С* (и в любую коммутативную группу) можно перемножать
покоординатно: по определению, произведением характеров xi и хз яв‘
ляется характер х = Xi ' Х2,
x(g) = Xi(g)X2(g). (2)
Легко видеть, что характеры коммутативной группы G образуют,
относительно этого определения умножения, группу характеров, ко-
торая обозначается через G. При этом единицей является харак-
тер г, где e(g) = 1 для g G G-, обратным к характеру % — харак-
тер %-1(g) = х(а)-1 для всех g G G. Можно показать, что группа G
для коммутативной группы G не только имеет тот же порядок, что
§ 17. Представления групп
215
и G, но и изоморфна ей как абстрактная группа. Однако не сущест-
вует «естественного» изоморфизма между этими группами. Но группа
характеров G группы G естественно изоморфна группе G: формула (2)
показывает, что отображение G —> G : g(%) = %(g) является гомо-
морфизмом, который, как легко проверить, является изоморфизмом.
Положение здесь такое же, как с понятием сопряженного линейного
пространства.
Связь между группой G и ее группой характеров распространя-
ется и на их подгруппы. Поставив в соответствие подгруппе Н С G
подгруппу Н* С G, состоящую из характеров %, которые обращаются
в 1 на всех элементах группы Н, мы получим взаимно однозначное со-
ответствие между подгруппами группы и ее группы характеров. Это
соответствие обращает включение: если //, С H-j. то D Н^. Кроме
того, Я* ~ (G/H)-
Характеры связаны рядом важных соотношений. Прежде всего, ес-
ли х 7^ £ (единичному характеру), то
52 = 0.
gEG
(3)
Действительно, по условию существует go £ G, для которого %(go) 1.
Подставляя в левую часть (3) gog вместо g, легко убедиться, что она,
с одной стороны, не изменится, а с другой, — умножится на %(go),
откуда следует (3). Для % = е, e(g) = 1 для всех g G G, и поэтому
£e(g) = IGI-
gEG
Подставив в (3) у = %i%2 \ гДе Хь Х2 — Два характера, мы получаем
из (3) и (4):
52 Xi(g)X2(g) 1
gEG
О,
если Xi Х2,
если Xi = Х2-
(5)
Так как элементы g имеют конечный порядок, то числа %(g) являются
корнями из 1 и, значит, по модулю равны 1. Поэтому y(g) 1 = %(g),
и это дает возможность интерпретировать равенства (5) как ортонор-
мированность характеров в пространстве комплекснозначных функций
216
Шафаревич И. Р.
на G, если в нем скалярное произведение определено как
(л, л) = Е /i(g)/2(g).
11 gEG
Таким образом, характеры образуют ортонормированный базис, по ко-
торому любая функция на G разлагается:
/ = Е сх*’
в «коэффициенты Фурье» сх определяются по формулам
= 7777 Е
g&G
Воспользовавшись симметрией между группой и группой характе-
ров (G = G), мы получаем из (3) и (5) соотношения:
Е = °’ S е,
Е x(gi)x(g2 х) =
О,
1Я
если gi g2,
если gi = g2.
(4’)
(5’)
Одно из важных приложений теории характеров конечных комму-
тативных групп относится к теории чисел. В качестве G рассматри-
вается группа обратимых элементов кольца Z/(m), т.е. группа классов
вычетов а + mZ, состоящих из чисел, взаимно простых с т. Ее ха-
рактер %, если доопределить его равным 0 на необратимых элементах,
можно рассматривать как функцию на Z с периодом т. Такие функции
называются характерами Дирихле. Связанные с ними ряды Дирихле
п>0
являются одним из основных инструментов теории чисел. На их рас-
смотрении основывается, например, доказательство теоремы Ди-
рихле о том, что в классе вычетов а + mZ, если а и т взаимно прос-
ты, содержится бесконечно много простых чисел. В процессе доказа-
тельства возникает необходимость выделить частичную сумму
§ 17. Представления групп
217
распространенную лишь на п, принадлежащие классу вычетов а + mZ.
Здесь применяются соотношения (5’), из которых следует, что эта сум-
ма записывается как } V%(a)L(s, %), где g>(m) — порядок группы
^(т) х
обратимых элементов кольца Z/(m) (функция Эйлера), а сумма рас-
пространена на все характеры этой группы.
Переходя к некоммутативным конечным группам,
начнем с вопроса о числе их неприводимых представлений. Согласно те-
ореме XIII § 10 оно равно рангу центра Z(C[G]) групповой алгебры C[G]
группы G. Легко видеть, что элемент х = ^2 f(g)g, х G C[G], лежит
gEG
в центре (т. е. коммутирует со всеми и G G) тогда и только тогда, ког-
да /(wgw-1) = /(g) для всех и, g G G. Иными словами, функция /(g)
постоянна на классах сопряженных элементов группы G. Это значит,
что базис центра образуют элементы
ZC = 52 S,
g&c
где С — различные классы сопряженных элементов. В частности, мы
получаем:
◄ II. Число неприводимых представлений конечной группы равно
числу классов ее сопряженных элементов. ►
Можно ли найти в общем случае аналог того, что характеры комму-
тативной группы сами образуют группу? Мы имеем аналог единичного
характера — единичное одномерное представление: s(g) = 1 для g G G.
Можно предложить и аналог обратного элемента для представления р.
Это так называемое контраградиентное представление p(g) = p(g-1)*,
где * означает сопряженный оператор, действующий в пространстве L*,
сопряженном тому пространству L, в котором действуют р. Если пред-
ставление р унитарно (т. е. все p(g) унитарны относительно некоторой
эрмитовой метрики — в § 9 мы видели, что такая метрика всегда су-
ществует), то матрица преобразования p(g), просто, комплексно сопря-
жена матрице p(g).
Наконец, существует и аналог произведения характеров. Начнем
со случая, когда даны две группы Gt и G2 и р,: G/ —> Aut(Li),
Р2: G2 —> Аи1(£г) — их представления линейнымии преобразования-
ми линейных пространств Li и L2. Рассмотрим тензорное произве-
дение L = Li ® L2 этих пространств (см. § 5) и отображение р пря-
218
Шафаревич И. Р.
мого произведения Gt х G2 групп Gt и G2, определенное свойст-
вом p(gi х g2)(o?i ® ж2) = pi(gi)(xi) ® Pi{g2)(.X2)- Легко видеть, что
так определяется отображение р : Gt х G2 —> Aut(Li ®L2), являющееся
с
представлением группы G± х G2. Оно называется тензорным произве-
дением представлений pi и р2 и обозначается pi ® р2.
Например, если группы Gt и G2 действуют на множествах Xi
и Х2 и Li, L2 — пространства функций на Xi и на Х2, инвариант-
ные относительно этих действий, a pi, р2 — определенные в этих про-
странствах представления, то в пространстве, порожденном функция-
ми /1(я?1)/2(х2), /х е Li, /2 е L2 на Хх х Х2, действует представ-
ление pi ® р2. Нетрудно доказать, что все неприводимые представле-
ния группы Gi х G2 имеют вид pi ® р2, где pi — неприводимое пред-
ставление группы Gi, а р2 — G2. Все эти соображения переносятся
на представления любых полупростых алгебр (вместо групповой алгеб-
ры C[G]).
Пусть теперь группы Gi и G2 совпадают: Gi = G2 = G. Тог-
да (и здесь решающим образом используется специфика групп) мож-
но построить «диагональное вложение» <р: G —> G х G, <p(g) = (g, g).
Композиция (pi ® Р2)<Р определяет представление самой группы G —>
—> Aut(Li 8 Т2), называемое также тензорным произведением пред-
с
ставлений р^ и р2.
Существенное отличие от коммутативного случая заключается
в том, что для двух неприводимых представлений pi и р2 группы G
их произведение р\'/;р2 может оказаться приводимым. Таким образом,
неприводимые представления не образуют группу: произведение двух
из них является линейной комбинацией остальных. Например, пред-
ставления р и р, действующие в пространствах L и L*, определяют
представление р ® р в пространстве L ® L*. Из линейной алгебры из-
с
вестно, что L ® L* изоморфно пространству линейных преобразова-
с
ний EndL (изоморфизм сопоставляет вектору а 0 <р G L ® L* преоб-
с
разование ранга 1, х —> <р(х)а). Легко видеть, что в EndL представле-
ние р ® р записывается как а —> p(g) ap(g)-1, a G EndL. Но при этом
преобразования, кратные единичному, не меняются, а значит, и пред-
ставление р ® р приводимо, и при его разложении на неприводимые
встречается единичное представление. (Можно показать, что для не-
приводимого представления р представление р — единственное такое
§ 17. Представления групп
219
неприводимое представление а, что в разложении р ® а на неприводи-
мые встречается единичное — в очень слабом смысле р все же является
«обратным» к р). Легко проверить, что если %i и %2 — характеры пред-
ставлений pi и р2, то характером представления pi ® р2 является %i%2-
Итерируя эту конструкцию, мы можем рассмотреть для группы G
представление р ® р ® ... 8 р в пространстве L ® L ® . 8 L. Оно на-
зывается тензорной степенью представления р и обозначается Тр{р)
(если число множителей равно р). Отсюда факторизацией получаются
представления Sp(p) в пространстве SPL и А₽(р) в APL.
Выберем для каждого неприводимого представления pi базис,
в котором преобразования Pi(g') записываются унитарными матрица-
ми (r’A(g)) (согласно примеру 3 § 10 такой базис существует).
Введем на множестве функций на группе скалярное произведение:
(/1, /г) = 7^1 52
11 gGG
Приблизительно так же, как и соотношения (5), доказывается:
◄ III. Различные функции r’fc(g) ортогональны между собой. Квад-
. i 1
рат модуля функции г -к равен где п, — степень представления р,. ►
В частности, характеры образуют ортогональную систему функ-
ций.
Пример 1. Группа 63 имеет два одномерных представления: еди-
ничное представление е(сг) и представление 77(17), равное 1 или —1 в за-
висимости от четности а. Реализуя 63 как перестановки множест-
ва X = {Ж1, я?2, я?з}, мы получаем в пространстве функций на X, для
которых ^2 /(я?) = 0, двумерное представление р2, которое также не-
приводимо. Так как |63| — 6 — I2 + I2 + 22. то из теоремы Бернсайда
следует, что это — все неприводимые представления группы 63.
Пример 2. Группа октаэдра О (пример 4 §13). Группа О пере-
ставляет между собой пары противоположных вершин октаэдра, что
определяет гомоморфизм О —> 63. Поэтому представления, найден-
ные в примере 1, дают нам некоторые неприводимые представления
группы О. С точки зрения геометрии октаэдра, смысл их таков. Мы
видели в § 13 (пример 4), что группа О содержит подгруппу тетра-
эдра Т и (О : Т) = 2; тогда 77(g) = 1 для g G Т и — 1 для g £ Т.
220
Шафаревич И. Р.
Представление р3 реализуется в пространстве функций на множестве
вершин октаэдра, принимающих одинаковые значения в противополож-
ных вершинах, и с суммой всех значений, равной 0. Кроме того, вклю-
чение О —> SO(3) определяет трехмерное «тавтологическое» представ-
ление рз группы О. Наконец, тензорное представление рз ® г] (которое
в данном случае сводится, просто, к умножению преобразования ps(g)
на число p(g)) определяет еще одно представление р3. С точки зрения
геометрии октаэдра, его смысл таков. Мы видели в теореме V § 13, что
в группе 0(3) имеется подгруппа ОТ, изоморфная группе октаэдра, но
не содержащаяся в SO(3). Композиция гомоморфизмов О ~ ОТ —> 0(3)
и определяет р3. Так как |О| = 24 = I2 + I2 + 22 + З2 + З2, то мы нашли
все неприводимые представления группы октаэдра.
Б. Представления компактных групп Ли. Представления
компактных групп Ли обладают почти всеми свойствами, присущими
представлениям конечных групп. В основе всех свойств представлений
конечных групп лежит их полупростота, а она, как мы видели в § 10,
выводится в разных вариантах (для представления над полем С или
над произвольным полем) при помощи одного и того же соображения:
рассмотрения сумм вида F(g) для разных величин F(g), связанных
geo
с элементами группы (т. е. возможности суммировать или усреднять
по группе). Вот это-то соображение и имеет аналог в теории компакт-
ных групп Ли. Соответствующее выражение называется «интегралом по
группе». Оно сопоставляет любой непрерывной функции /(g) на ком-
пактной группе Ли G число 1(f), называемое интегралом по группе
и обладающее следующими свойствами:
I(/l+/2)=I(/l)+I(/2),
!(«/)= al(J), пес,
1(f) = 1, если f = 1,
1(|/|2)>0, если/^ О,
I(fi) = 1(f), i = 1, 2, 3, если /x(g) = /(g-1),
/2 (g) = f(ug), fa (g) = f (gu)
и и — некоторый элемент группы G. Доказательство основывается
на построении инвариантной n-мерной дифференциальной формы со
на группе G, где п = dimG. Полагают 1(f) = of fco, где с выбрано
G
§ 17. Представления групп
221
так, что 1(f) = 1 при f = 1. Форма а> называется инвариантной, ес-
ли т*а> = а> для всех и G G, где ти — преобразование группы g —> gu.
Инвариантная форма строится приемом, описанным в начале § 15: надо
выбрать n-мерную форму а>е £ Л"Те в касательном пространстве Те
к единичной точке е £ G и определить значение cog в Tg как (т*)~1сое.
Существование интеграла по группе 1(f) дает возможность дослов-
но перенести рассуждение из примера 3 § 10 на компактные группы
и доказать, что компактная подгруппа G С GL(n, С) сохраняет некото-
рую эрмитову положительную форму ср. Так как эта форма эквивалент-
на стандартной Izj|2, то G С C'U(n)C'-1 при некотором С £ GL(n, С).
Этот результат о компактных подгруппах GL(n, С) мы приводили без
доказательства в примере 6 § 15. Аналогично, компактная подгруппа
группы GL(n, R) сопряжена с подгруппой группы О(п). Вот одно из-
вестное применение тех же соображений.
Пример 3 (теорема Гельмгольца-Ли). Флагом F в n-мерном ве-
щественном векторном пространстве L называется последовательность
вложенных ориентированных подпространств Л, С L2 С ... С Г„-| С L,
где Li имеет размерность г. Если ввести в L евклидову метрику,
то флаг однозначно соответствует такому ортонормированному бази-
су ei, ... , еп, что Li = {ei, ... , в{} (с учетом ориентации). Из этого
следует, что многообразие S всех флагов компактно. Группа GL(n, R)
действует на нем:
g(Li, L2, ... , Ln_f) = (g(Lr), g(L2), , g(Ln_r)),
g £ GL(n, K), (Li, L2, ... , Ln) £ S'.
◄ Пусть группа G C GL(n, R) действует на многообразии S тран-
зитивно и свободно (т. е. для двух флагов Fi и F2 существует одно
единственное преобразование g £ G, для которого g(F±) = F2). Тогда
в L можно ввести евклидову метрику так, что G превратится в группу
ортогональных преобразований. ►
Действительно, так как при действии G на S стационарная под-
группа точки тривиальна, то G отождествляется с орбитой любой точ-
ки, которая, ввиду транзитивности действия, совпадает с S. Поэто-
му G. как и S, компактна. Отсюда уже следует, как мы видели, сущест-
вование евклидовой метрики, инвариантной относительно G. То что G
совпадает со всей ортогональной группой этой метрики, легко вытекает
из транзитивности ее действия на S.
222
Шафаревич И. Р.
Доказанное утверждение является локальным аналогом и первым
шагом в доказательстве известной теоремы Гельмгольца-Ли,
дающей внутреннюю характеристику римановых пространств постоян-
ной кривизны. А именно, пусть X — дифференцируемое многообразие
и G — группа диффеоморфизмов, транзитивно и свободно действую-
щая на множестве точек х £ X и флагов в их касательных пространст-
вах Тх (т.е. для любых х, у G X и флагов Fx £ Тх, Fy £ Ту существует
единственное такое преобразование g £ G, что g(x) = у, g(Fx) = Fy).
Тогда на X можно так ввести риманову метрику, что оно превратится
в одно из пространств постоянной кривизны: евклидово, Лобачевского,
сферическое или Римана (фактор сферы по центральной симметрии),
a G — в группу его движений. Доказанное нами утверждение дает воз-
можность ввести на X риманову метрику и применить дальше технику
римановой геометрии.
Транзитивность действия группы движений на множестве фла-
гов называют аксиомой свободной подвижности риманова многообра-
зия. Таким образом, римановы многообразия, удовлетворяющие этой
аксиоме, являются аналогами правильных многогранников (ср. при-
мер 4 § 13) и, наоборот, правильные многогранники — конечными мо-
делями римановых пространств постоянной кривизны.
По-видимому, при доказательстве теоремы Гельмгольца-Ли впер-
вые была понята роль многообразия флагов Впоследствии оно не-
однократно возникало: в топологии, теории представлений групп Ли,
теории алгебраических групп. Причем, всегда отражая встретившееся
нам свойство: это «наилучшее» компактное многообразие, на котором
группа GL(n, К) транзитивно действует.
Теперь вернемся к теории представлений компактных групп, ко-
торая также основывается на существовании интеграла по группе.
◄ IV. 1) Конечномерное представление компактной группы Ли G
эквивалентно унитарному и полупросто.
2) В пространстве L2(G) функций /, для которых Г(|/|2) < оо,
введем скалярное произведение
(/, g) = I(Jg).
Имеет место дословный аналог соотношений ортогональности для
матриц неприводимых конечномерных представлений (ср. теорему III).
3) Определим регулярное представление группы G в пространст-
ве L2(G) условием Tg(/)(w) = f(ug). Регулярное представление разла-
гается в прямую сумму счетного числа конечномерных неприводимых,
§ 17. Представления групп
223
и каждое неприводимое входит в него столько раз, какова его степень.
Конечномерное представление однозначно определяется своими следа-
ми.
4) Неприводимые представления группы G, обладающей вложени-
ем р : G Aut(V), исчерпываются теми, на которые разлагаются
представления вида Тр(р) ®Tq(p).
5) Неприводимые представления группы G± /-G? имеют вид
где pi и р2 — неприводимые представления группы G± и G>- ►
Первое и второе утверждения доказываются дословно так же, как
и для конечных групп. Идею доказательства третьего можно проил-
люстрировать, если предположить, что G является замкнутой под-
группой в группе линейных преобразований Aut(V) конечномерного
пространства V (на самом деле, такое представление для G возмож-
но всегда, а для важных примеров, таких как классические группы,
входит в определение). Тогда мы имеем «тавтологическое представ-
ление» р: G -$ Aut(V) или G -$ GL(n, С), где п = dimV. Если
матрица p(g) = (Pjfe(g)), то значения 2п2 функций Xjk = R,erjk(g)
и yjk = Imrjk(g) однозначно определяют элемент g. По теореме Вейер-
штрасса любую непрерывную функцию f на G можно аппроксимиро-
вать многочленами от Xjj. и у^,- Но многочлены от Xjj. и ур- совпада-
ют, как легко видеть, с линейными комбинациями матричных элемен-
тов всевозможных представлений Тр(р) ® Tq(p) или их неприводимых
составляющих. Поэтому любая непрерывная функция на G аппрокси-
мируется линейными комбинациями функций r’-fc(g), соответствующих
неприводимым конечномерным представлением pi, откуда легко следу-
ет, что любая функция f G L2(G) разлагается в ряд по этой ортого-
нальной системе. Отсюда уже легко следует утверждение 3). Это дока-
зательство дает и больше — сведения о неприводимых представлениях
группы G — утверждения 4), 5).
Заметим, в заключение, что те же свойства 1)-3) верны для любой
компактной топологической группы. В этом случае интеграл по груп-
пе 1(f) определяется по-другому — изящной теоретико-множественной
конструкцией.
Пример 4. Коммутативные компактные группы Ли. Здесь все не-
приводимые представления одномерны, и мы имеем полный аналог те-
ории характеров конечных коммутативных групп. Компактная ком-
мутативная группа G имеет счетное число характеров: непрерывных
224
Шафаревич И. Р.
гомоморфизмов х : G С*. Они связаны соотношениями ортогональ-
ности, аналогичными соотношениям (5), и любая функция f £ L2(G)
разлагается по ним в ряд f = ^2 сх • у. Характеры образуют груп-
х
пу С (дискретную), и имеет место такая же связь между группами
групп G и G, как и в случае конечных групп. В частном случае, ког-
да G = K/Z — окружность, группа G изоморфна Z, так как все харак-
теры имеют вид
Разложение / = спХп есть разложение в ряд Фурье. Это «объясняет»
роль функций е2’"’1*’ (или sin27rn<£> и cos27rn<£>) в теории рядов Фурье,
как характеров группы G.
Теория приобретает наибольшую завершенность, если распростра-
нить ее на класс локально компактных коммутативных групп. Связь
между группой G и ее группой характеров G (которая тоже локально
компактна) описывается теоремой двойственности Понт-
рягина.
Пример 5. Пусть р : SO(n) -4 L — «тавтологическое» пред-
ставление SO(n) ортогональными преобразованиями n-мерного евкли-
дова пространства L. Представление S2p можно реализовать в про-
странстве билинейных симметрических функций на L (отождествляя L
с L*, ввиду евклидовости L). При этом и £ SO(n) действует на функ-
цию у>(а, b), (а, b £ L), переводя ее в ip(p(u)~1a, p(w)-16). В ортонорми-
рованием базисе функция ср записывается симметрической матрицей А
и закон преобразования имеет привычный вид: А —> p(w)Ap(w)-1 (так
как р(и)* = р(м)-1). Очевидно, что единичная матрица остается при
этом инвариантной. Поэтому S2р = I 8 Sfip, где I — единичное пред-
ставление, a S%p — представление в пространстве матриц со следом 0.
Легко убедиться, что S$p неприводимы.
Следующие примеры 6-8 играют роль в теории четырехмерных
римановых многообразий.
Пример 6. Рассмотрим специально случай п = 4. Тогда SO(4) ~
~ (SpU(l) х SpU(l))/(+l, —1) ((10) §15). Поэтому S$p может рассмат-
риваться как представление группы SpU(l) х SpU(l) и, значит, ввиду
утверждения 5) теоремы IV имеет вид где /д и/ъ — представле-
ния группы SpU(l). Найдем эти представления. Представление S$p дей-
§ 17. Представления групп
225
ствует, как и в предыдущем примере, на пространстве симметрических
функций <р(а, Ь), где теперь можно считать, что a, b G И — пространст-
ву кватернионов. При этом и G SpU(l) х SpU(l) имеет вид и = (qi, q->).
где qi, q-> G H, |gi| = |g2| = 1, и p(u)a = q^aq^1 ((10) §15). Рассмот-
рим действие /ц группы SpU(l) на пространстве чисто мнимых ква-
тернионов Н-: х qxq-1, |g| = 1, х £ Н-, q £ Н. По двум эле-
ментам х, у £ Н- построим функцию <рХЛ(а, b) = TLe(xayb), а, Ь £ Н.
Легко убедиться, что <рхл(а, Ь) = <рХЛ(Ь, а) и что действие х —> q±xq2,
У QiVQ^1 равносильно преобразованию функции <рх,у(а, 6) по зако-
ну преобразования представления S2 р (надо воспользоваться тем, что
Re(£) = Re(£), Re(^) = Re«), x = -ж, у = -у и q = g"1, если \q\ = 1).
Таким образом, мы имеем гомоморфизм pi 8 pi —> S2p : х ® у ‘fix,у,
где pi — стандартное представление SpU(l) (и даже SO(3)) в И-. Легко
видеть, что ядро его равно 0. Образ же может быть только S^p. Поэто-
му Sfip ~ pi ® рг.
Пример 7. Опять при п = 4 рассмотрим представление Л2р (р —
то же, что и в примерах 5, 6), которое реализуем в пространстве би-
линейных кососимметрических форм на И. Для х £ И- рассмотрим
билинейную форму Ь) = Пе(ажЬ). Тогда ч[>х(Ь, а) = b),
и х —> фх определяет гомоморфизм представлений 1 ® pi —> Л2р. Ана-
логично, сопоставление х £ И- формы £.х(а, b) = TLe(axb) определяет
гомоморфизм (pi ® 1) —> Л2р. Складывая их, мы получаем гомомор-
физм (pi ® 1) ф (1 ® pi) —> Л2р, который, как легко видеть, является
изоморфизмом и дает разложение Л2р на неприводимые слагаемые.
Пример 8. Рассмотрим, наконец, представление S2A.2p. Это пред-
ставление группы SO(4) в тензорах с теми же условиями симмет-
рии, которым удовлетворяет тензор кривизны четырехмерного рима-
нова многообразия. Согласно примеру 7, Л2р = (р, 8 1) ф (1 8 pi),
где pi — тавтологическое представление группы SO(3) в К3. Легко
видеть, что для любых представлений £ и ту любой группы S2(£ ф ту) =
= S2£ ф S’2/; ф (£ 8 /?). В частности, S2A.2p = (S2pi 8 1) ф (1 8 S2pi)®
©(pi 8 Pi). Согласно результатам примеров 5 и 6 мы можем написать
S2A.2p = (1 ® 1) ф (S^pi ® 1) ф (1 ® 1) ф (1 ® SqPi) ф S2p. (6)
что дает разложение представления S2A.2p на неприводимые. Оно пока-
зывает, какие группы компонент тензора кривизны можно инвариантно
выделить так, что они имеют геометрический смысл.
226 Шафаревич И. Р.
Запишем элемент £ £ S2\p согласно (6):
£, — «о + <*1 + /30 + /31 + 7,
G 1 ® 1, <Ti £ S^pi ® 1, /Зо € 1 ® 1, /31 £ 1 ® У € ^оР'
Ввиду одномерности представлений 1 ® 1 и 1 ® 1 элементы а0 и /Зо
задаются числами а и Ь. Так называемое тождество Бианки показы-
вает, что для тензора кривизны риманова многообразия всегда а = Ь.
Число 12а = 126 называется скалярной кривизной, симметрическая мат-
рица 7 (со следом 0) — бесследным тензором Риччи, а од и /31 — поло-
жительным и отрицательным тензорами Вейля.
Пример 9. Неприводимые представления группы SU(2). Эта группа
имеет тавтологическое представление
р : SU(2) —> AutC2 = AutL.
Согласно утверждению 4 теоремы IV отсюда следует, что все не-
приводимые представления этой группы получаются при тензорном
перемножении в любом числе представлений р и р. Представление р
эквивалентно комплексно сопряженному к р и, в данном случае, эк-
вивалентно самому р. Действительно, при dimL = 2 пространство Л2£
одномерно, и при выборе в нем базиса шо мы получаем билинейную фор-
му ip на L : х/\у = у>(ж, у)соо, которая устанавливает изоморфизм меж-
ду L и сопряженным пространством L . С другой стороны, эрмитова
структура на L (входящая в определение SU(2)) задает изоморфизм L
с эрмитово сопряженным L*. Из этих двух изоморфизмов вытекает
изоморфизм L и L*, т. е. L и L, а значит, — эквивалентность р и р.
Таким образом, все неприводимые представления SU(2) получатся
при разложении одних только представлений Тр(р). Один набор пред-
ставлений бросается в глаза. Унитарные (как, впрочем, и любые) мат-
рицы второго порядка можно рассматривать как матрицы преобразова-
ний двух переменных х и у. Как таковые они действуют в пространстве
(а в\
однородных многочленов степени п от х и у: матрица I I перево-
дит форму F(x, у) в F(ax + (Зу, ух + ду). Это представление размер-
ности п + 1 обозначают pj, где j = (следуя традиции, возникшей
в квантовой механике). Очевидно, что pj = S2^р. Если сопоставить од-
нородному многочлену F(x, у) неоднородный многочлен f(z) = F(z, 1),
§ 17. Представления групп
227
то представление pj запишется так:
/(z)^(7z + Jr/[j|±£). (7)
Нетрудно проверить, что представления pj неприводимы (это ста-
нет совсем очевидным в следующем пункте). Чтобы доказать, что pj
1 3
при j = 3, 1, тр ... — это все неприводимые представления груп-
пы SU(2), нам достаточно, ввиду вышесказанного, проверить, что пред-
ставления Т1'(р) разлагаются в сумму представлений pj. Так как само р
есть p^ii^ то индуктивно достаточно доказать, что pj ® рр разлагает-
ся в сумму представлений /7. Можно угадать закон этого разложения,
если рассмотреть в SU(2) подгруппу Л, состоящую из диагональных
матриц. Это группа
& = • 1Щ = 1. (8)
Она коммутативна и, значит, при ограничении на нее, представление pj
распадается на одномерные. Действительно, базисом инвариантных од-
номерных подпространств (при реализации в пространстве форм) слу-
жат одночлены
ж", Хп~гу, ... , уп, (9)
на которые действуют характеры Xn(ga) = Xn-z(ga) = ап~2, ... ,
X-n(ga) = а~п. При разложении ограничения на Н представления
pj ® pj' встречаются попарные произведения характеров, возникающих
при ограничении на Н представлений pj и pj>, т.е. характер Хп+п1 —
1 раз (где п = 2j, п' = 2j'), Хп+п'-2 — 2 раза, Хп+п'-4 ~ 3 раза и т. д.
Отсюда легко усмотреть, что если представление pj ® pj' разлагается
в сумму представлений р/., то это разложение может иметь только вид:
Рз ® Pj' = Рз+з' ® Pi+i'-t ® • • • ® Р\з-з'\- (10)
Чтобы доказать соотношение (10), можно воспользоваться свойст-
вом 3) в теореме IV, т. е. тем, что представление однозначно задается
своими следами. Достаточно заметить, что унитарная матрица всегда
диагонализируема и, значит, сопряжена матрице вида (8), так что ха-
рактер представления определяется его заданием на таких матрицах.
228
Шафаревич И. Р.
В частности, для представления pj мы можем его легко найти (исполь-
зуя запись ga в базисе (9)):
/ , / \ а2>+1-а-^+1)
Xj(ga) = хАа> = -------Z1---
(И)
Теперь (10) сводится к простой формуле
Xj{a)xj'{a) = Xj+j'(«) + Xj+j'-2{a) + • • • + X\j-j' |(а)>
которая легко проверяется. Таким образом, мы нашли неприводимые
представления группы SU(2) и доказали формулу (10), она называется
формулой Клебша Гордона.
Так как SO(3) ~ SU(2)/(+l, —1), то неприводимые представле-
ния SO(3) содержатся среди неприводимых представлений SU(2) — это
те, в которых матрица — Е действует тривиально.
Очевидно, что так будет в точности тогда, когда j — целое число.
Из (11) мы получаем и формулы для характеров этих представлений:
для поворота g^, на угол ср
sin(2j + 1)у>
sin</9
Интересно, что использованный нами прием ограничения на ком-
мутативную подгруппу (в случае группы SO(3) это была бы подгруппа
всех поворотов вокруг одной оси) имеет квантовомеханическую интер-
претацию. Пусть электрон находится в поле с центральной симметрией.
Эта симметрия должна отражаться и на функции Гамильтона, кото-
рая должна быть инвариантной относительно действия SO(3). Тогда
и пространство состояний должно быть инвариантным относительно
действия SO(3) и, значит, разлагаться в прямую сумму неприводи-
мых представлений SO(3). Неприводимое подпространство, входящее
в пространство состояний, определяется двумя числами, из которых
одно (азимутальное квантовое число) равно j и определяет тип соответ-
ствующего неприводимого представления, а другое (главное квантовое
число) различает разные инвариантные подпространства, соответству-
ющие эквивалентным друг другу представлениям. При этом все состо-
яния, входящие в одно неприводимое подпространство, обязаны иметь
один энергетический уровень.
§ 17. Представления групп
229
Если включено магнитное поле, обладающее вращательной симмет-
рией вокруг оси, то каждое неприводимое представление группы SO(3)
ограничивается на подгруппу Н С SO(3), состоящую из вращений
вокруг оси магнитного поля. Ограничение неприводимого представле-
ния SO(3) на И разлагается, как мы видели, на одномерные неприво-
димые представления, причем состояния, соответствующие разным ин-
вариантным подпространствам относительно подгруппы Н, уже имеют
разные энергетические уровни. Это описывает расщепление спектраль-
ных линий в магнитном поле — эффект Зеемана. Например, на рис. 39,
заимствованном из статьи [53], приведены спектрограммы, показыва-
ющие, что пространство состояний атома ниобия преобразовывалось
согласно представлению pi группы SO(3), которое распалось на 3 пред-
ставления группы Н после включения магнитного поля.
В. Представления классических комп-
лексных групп Ли. Дальше будут рассмат-
риваться аналитические представления клас-
сических групп, т. е. будет предполагаться,
что элементы матрицы линейного преобразо-
вания р(д) являются комплексно аналитичес-
кими функциями элементов матрицы д € G.
Мы используем связь между классическими
комплексными и компактными группами Ли,
которую описали в § 15: каждая классичес-
кая компактная группа содержится в некото-
рой классической комплексной группе в ка-
честве ее максимальной компактной подгруп-
пы: U(n) в GL(n, С), SU(n) в SL(n, С), SpU(n)
в Sp(n, С) и т. д. Эта связь дает возмож-
ность исследовать конечномерные представле-
ния комплексных групп исходя из полученных
в предшествующем пункте сведений о пред-
ставлениях групп компактных. Первый основ-
ной результат здесь таков:
4 V. Конечномерные представления классических комплексных
групп Ли полупросты. ►
Поясним идею доказательства на примере группы GL(n). Мы сде-
лаем одно упрощающее предположение: будем считать, что в пред-
ставлении р : GL(n) —> Aut(L) элементы гц(д) матрицы преобразо-
230
Шафаревич И. Р.
вания p(g) являются рациональными функциями от элементов мат-
рицы g. (На самом деле, это всегда так, и не только для груп-
пы GL(n), но и для всех классических групп.) Пусть в пространст-
ве L есть подпространство М, инвариантное относительно всех преоб-
разований p{g), g£ GL(n). Ввиду доказанной полупростоты представ-
лений группы U(n) существует подпространство N, инвариантное от-
носительно преобразований p(g), g £ U(n), и такое, что L = М ф N.
В базисе, составленном из базисов подпространства М и N, преобразо-
вания p{g), g£ GL(n), имеют матрицы вида:
А(ё) C(g)\
0 B(g)J
При этом элементы Cjj(g) матрицы C(g) являются, по сказанному вы-
ше, рациональными функциями от элементов матрицы g, равными 0,
если g G U(n). Все сводится, ввиду этого, к доказательству леммы, уже
не относящейся к теории представлений:
◄ Лемма. Рациональная функция F(Z) от элементов переменной
матрицы Z £ GL(n), равная 0 для всех Z £ U(n), равна 0 тождествен-
но. ►
Как известно (и мгновенно проверяется), любая матрица Z
с det(i? + Z) 0 представляется в виде
Z = (Е — Т)(Е +Т)-1,
причем Z унитарна тогда и только тогда, когда Т* = —Т. Поло-
жим F(Z) = G(T). Тогда наша задача сведется к тому, чтобы доказать,
что рациональная функция G(T) от элементов матрицы Т, равная 0 для
косоэрмитовых матриц Т, равна тождественно 0. Положим Т = X +IY.
Условие Т* = —Т примет вид X' = —X, Y1 = У, где t обозначает транс-
понирование. Наша функция будет рациональной функцией от элемен-
тов Xij (г < j) кососимметрической матрицы X и элементов у;:; (г j)
симметрической матрицы У, являющихся независимыми веществен-
ными переменными. Поскольку рациональная функция равна 0 для
всех вещественных значений переменных, то она равна 0 тождествен-
но, т. е. G(T) = 0 для всех Т вида X + г'У, X* = —X, Y1 = У, где X
и У — любые комплексные матрицы. Но так можно представить любую
матрицу Т, положив
= ¥Т
X = j(T -Т*),
+ т1).
§ 17. Представления групп
231
Доказательство теоремы V является лишь одним примером об-
щего метода исследования представлений классических комплексных
групп Ли. Этот метод аналогичен аналитическому продолжению ве-
щественных функций в комплексную область. Он называется унитар-
ным приемом. Ограничивая представление такой группы G на ее макси-
мальную компактную подгруппу К, мы получаем представление груп-
пы К. Наоборот, из представления группы К получается представление
группы G. если вещественным параметрам, от которых зависят мат-
рицы к £ К, придавать также комплексные значения.
Так устанавливается взаимно однозначное соответствие между
представлениями групп G и К. Например, неприводимые представ-
ления группы SL(2, С) записываются точно теми же формулами (7),
с той лишь разницей, что элементы матрицы
принимают теперь
любые комплексные значения, связанные соотношением а(3 — (Зу = 1.
(Отсюда, между прочим, сразу следует их неприводимость.) Ввиду свя-
зи, существующей между группой SL(2, С) и группой Лоренца, это опи-
сание важно для физики.
Все изложенное до сих пор могло бы создать впечатление, что те-
ория представлений классических комплексных групп Ли полностью
аналогична теории представлений компактных групп. На самом деле,
это далеко не так; теория представлений любой некомпактной группы
Ли связана с некоторыми совершенно новыми явлениями.
Как и в компактном случае, существует инвариантная п-мерная
дифференциальная форма на группе G (n = dimG), и при ее помо-
щи можно определить регулярное представление в пространстве L2(G).
Регулярное представление опять «разлагается на неприводимые», но те-
перь эти слова имеют другой смысл. Неприводимые представления, во-
обще говоря, бесконечномерные и зависят от непрерывно меняющих-
ся параметров, так что здесь возникает ситуация типа «непрерывного
спектра». Регулярное представление разлагается не в сумму, а в «ин-
теграл» неприводимых. Например, характеры группы К вещественных
чисел по сложению имеют вид
ХА(Ж) = е2™Аж, А £ К,
и «разложение» регулярного представления сводится к представлению
функций в виде интеграла Фурье (а не ряда Фурье, как в случае ком-
пактной группы К/2тг2). Как само регулярное представление, так и
232
Шафаревич И. Р.
те неприводимые представления, на которые оно разлагается, являют-
ся унитарными. Из этого вытекает, что в большинстве случаев они не
могут быть конечномерными. Например, если группа G простая, то
ее неединичное представление является вложением и не может быть
вложением в некоторую группу U(n), так как группа G некомпактна,
a U(n) — компактна. Как правило, не все неприводимые унитарные
представления встречаются при разложении регулярного. Но и те, ко-
торые там встречаются, не содержатся в регулярном представлении
в виде подпредставления: подобно тому, как точка непрерывного спект-
ра оператора не соответствует никакому собственному вектору. Те ис-
ключительные случаи, когда неприводимое представление содержится
в регулярном, очень интересны — они аналогичны дискретной части
спектра. Такими являются, например, представления (при п 0) груп-
пы SL(2, К), действующие в пространстве функций f(z), аналитичес-
ких в верхней (или нижней) полуплоскости со скалярным произведе-
нием
У fi (z)f2 (z)yn dx Ady, z = x + iy,
c+
по формулам
Tff(/)(z) = (7z + J)—
Сама их конструкция подсказывает, что они связаны с теорией авто-
морфных функций.
§ 18. Некоторые приложения групп
А. Теория Галуа. В теории Галуа изучаются «симметрии»,
т. е. автоморфизмы, конечных расширений. Определение конечного рас-
ширения и простейшие свойства их см. в §6. Мы будем, ради простоты,
предполагать, что рассматриваемые поля имеют характеристику 0,
хотя все основные результаты на самом деле верны в гораздо большей
общности, например, также и для конечных полей.
Каждое конечное расширение L/К (в предположении, что характе-
ристика поля равна 0) имеет вид К (а), где а — корень неприводимого
§ 18. Некоторые приложения групп
233
многочлена F(i) £ K[t] и степень этого многочлена равна [L : К]. Поэ-
тому теория Галуа может быть изложена в терминах многочленов (как
это и делал сам Галуа), хотя такое изложение не инвариантно в том
смысле, что разные многочлены P(t) могут порождать одно и то же
расширение L/K.
Автоморфизмом расширения L/К называется автоморфизм а по-
ля Л. оставляющий на месте все элементы поля К. Все автоморфиз-
мы заданного расширения образуют группу Aut(L/K) относительно
операции композиции. Автоморфизм <т расширения К (а)/К однознач-
но определяется тем, куда он переводит элемент а: любой элемент
п— 1
поля К (а) записывается в виде а^аг, a; G К, и если сг(а) = (3,
о
то °’(12агаг) = £аг/?1- С другой стороны, если <т(а) = (3 и Р(а) = О,
P(t) G K[t], то и P(fl) = 0. Поэтому
|Aut(L/K)|^degF(t) = [L:7<]. (1)
Расширение L/К тем симметричнее, чем больше группа Aut(L/7T).
Предельный случай — когда в соотношении (1) имеет место знак ра-
венства:
| Aut(L/7<)| = [L : К].
Тогда L/К называется расширением Галуа. Согласно сказанному вы-
ше, для этого необходимо, чтобы неприводимый многочлен P(t), кор-
нем которого является а (если L = 7Г(а)), разлагался в L на линейные
множители. Можно показать, что этого и достаточно. В § 12 был приве-
ден пример расширения, не являющегося расширением Галуа, и даже
«максимально асимметричного»: Aut(L/K) = {е}. Возможность приме-
нения теории групп к изучению структуры полей основывается на том,
что расширения Галуа все же дают достаточно полную информацию:
◄ I. Каждое конечное расширение содержится в расширении Га-
луа. ► _
Рецепт построения расширения Галуа L/К, содержащего заданное
расширение L/K, не сложен: если L = К(а), Р(а) = 0, F(i) £ K[t],
то надо, положив в L многочлен F(i) = (t — a)Fi(i), Fi(i) £ L[t], по-
строить расширение Л, = F(ai), Fi(ai) = 0, и продолжать так до тех
пор, пока P(t) не разложится на линейные множители. Из всех расши-
рений Галуа L/К, содержащих заданное расширение L/К, существует
минимальное, содержащееся в остальных.
234
Шафаревич И. Р.
Группой Галуа расширения Галуа Г/К называется группа Aut(L/7T).
Она обозначается Gal(L/7T). По определению
| Gal(L/K)| = [L : К].
Группой Галуа конечного расширения L/К называется группа Галуа
наименьшего расширения Галуа L/К, содержащего L/K.
Группой Галуа неприводимого многочлена P(t) G K[t] называется
группа Галуа расширения Г/К = К(а), Р(а) = 0.
Если L = К(а), Р(а) = 0, то наименьшее расширение Галуа L/K,
содержащее L/К, получается последовательным присоединением кор-
ней многочлена P(t), как это было описано выше. Любой автомор-
физм <т £ Gal(L/7T) определяется тем, куда он переводит корни (ц мно-
гочлена P(t). С другой стороны, он может переводить их только в кор-
ни того же многочлена. Поэтому <т осуществляет перестановку корней
многочлена F(t), а вся группа Qal(L/K) действует на множестве этих
корней. Например, для «асимметричного» расширения L = Q(a/2), рас-
смотренного в § 12, а = многочлен P(t) = t3—2 = (i—a)(t2+at+a2),
и в поле <Ц)(д/2) многочлен t2 + at + а2 корней не имеет. Мы полага-
ем L = L(«i), где а2 + aai + а2 = 0, откуда од = а I ----- I. От-
сюда следует, что L = L(y/—3) и любой его элемент записывается в ви-
де £ + тр/^3, £, ту £ Очевидно, что автоморфизм <т £ Aut(L/Q)
определяется значениями и сг(а/—3). При этом (<т(а/2))3 = 2
и, значит, = ek-\/2, k = 0, 1, 2, где е = ——— корень
кубический из 1, а сг(а/—3) = ±\/—3. Легко проверить, что любые ком-
бинации таких значений для и сг(а/—3) действительно определя-
ют автоморфизм расширения L/Q, так что | Aut(L/Q)| = 6, а так как
и [L : Q] = 6, то L/<Q — расширение Галуа. Его группа Галуа действует
на корнях многочлена ж3 — 2 и, очевидно, задает любые их переста-
новки, так что в этом случае Gal(L/Q) ~ 63. Выпишем в явном виде
действие группы Gal(L/Q) на корнях многочлена ж3 — 2 в виде таблицы
(корни занумерованы в порядке д/2, £а/2, е2д/2):
<7(1/2) 1/2 1/2 el/2 el/2 £21/2 £21/2
<’’(а/=3) У^З —/=3 7^3 —/=3 —/=3 —/=3
перестановка корней (1) (23) (12) (12) (132) (13)
§ 18. Некоторые приложения групп 235
В основе теории Галуа лежит замечательная связь между подрас-
ширениями К С L' С L расширения Галуа L/К и подгруппами его
группы Галуа G = QaX(L/K). Для любой подгруппы Н С Gal(L/JQ
обозначим через L(H) подполе, состоящее из всех элементов поля L,
инвариантных относительно всех автоморфизмов подгруппы Н, а для
подполя L', К С L' С L, через G(L') — подгруппу Aut(L/L') груп-
пы Ga\(L/K).
◄ II. Основная теорема теории Галуа. Отображе-
ния Н L(H) и L' —> G(L') обратны друг другу. Они определяют
взаимно однозначное соответствие между подгруппами Н С Gal(L/7T)
и подполями L', К С L' С L. Это соответствие обращает включе-
ние: Н С Щ тогда и только тогда, когда Ь(Л1) С L(H). Кроме то-
го, [L(H) : К] = [G : Н]. Расширение L'/К, К С L' С L, тогда и только
тогда является расширением Галуа, когда подгруппа G(L') С G явля-
ется нормальным делителем. В этом случае Gal(L'/К) ~ G/G{L'}. ►
Классической иллюстрацией методов теории Галуа является при-
менение их к вопросу о решении уравнений в радикалах. Основой здесь
является естественная интерпретация, которую радикал {/а приобре-
тает в теории Галуа.
Предположим, что основное поле К содержит все п корней сте-
пени п из 1, т. е. многочлен хп — 1 разлагается в нем на линейные
множители, а многочлен хп — а неприводим, т. е. [К( у/а) : К] = п.
Из сказанного выше следует, что в этом случае К(у/а)/К является
расширением Галуа и все его автоморфизмы <т £ Gal(7<( у/а)/К) = G
определяются тем, что <т(д/а) = Eyfa, где еп = 1. Иными словами,
положив ff(yfa)/yfa = у(<т), мы получим характер группы G, и этот
характер будет точным (т. е. его ядро равно е), так что группа G цикли-
ческая. Поле K(yfa)/K как векторное пространство над К определяет
представление группы G, которое должно разлагаться на одномерные.
И действительно,
К{^а)=К®К^а®К ®...®К у/ап~х,
причем <7(5/0’’) = yr(<7)l/a. Таким образом, радикалы 5/0’’ соответ-
ствуют разложению представления циклической группы G в простран-
стве L на одномерные. Эта картина обратима: пусть L/K — расшире-
ние с циклической группой Галуа G порядка п; тогда аналогично пре-
236
Шафаревич И. Р.
дыдущему мы должны иметь
L = Ка± Ф ... ® Кап, er(ar) = х’’(<т)а:г,
где х(<т) — характер, являющийся образующим в группе характе-
ров группы G. Отсюда нетрудно вывести, что аг = а[сг, сг £ К,
Oi = а К и L = К( д/а).
Таким образом, если корни степени п из 1 содержатся в поле К, то
радикальные расширения К(у/а) — это в точности расширения с цик-
лической группой Галуа. Отсюда, применяя теорему II и простейшие
свойства разрешимых групп, можно доказать:
◄ III. Расширение L/К, тогда и только тогда является подполем
расширения Л/7Г, получающегося последовательным присоединением
радикалов (т. е.
Л = Лх D Л2 D ... D Лг = К, Л;_1 = АД "</aI), Xt £ AJ,
когда его группа Галуа разрешима. ►
Из этого факта и родилось впервые как понятие разрешимой груп-
пы, так и сам термин.
Рассмотрим, например, поле рациональных функций k(ti, Г- ... ,
tn) = L и подполе К симметрических функций. Как известно, К =
= k(ffi, ... , ffn), где <Tj — элементарные симметрические функции, и
сопоставление <7,- —> у, определяет его изоморфизм с полем рациональ-
ных функций k{yi, ... , уп). Очевидно, что Gal(L/JT) = &п и состоит
из всех перестановок переменных ti, ... , tn. Но Г — корни уравне-
ния хп — ffixn~1 + ... + (—1)п<тп = 0. Применяя изоморфизм ст, yi,
мы можем сказать, что группа Галуа уравнения
хп-у1хп~1+...±уп = 0 (2)
над полем k(yi, ... , уп), где yi, ... , уп — независимые переменные,
есть симметрическая группа &п.
Уравнение (2) называется общим уравнением степени п.
Соединяя теперь критерий III с известными фактами о структуре
групп &п (теорема I § 13), получаем:
◄ IV. Общее уравнение степени п разрешимо в радикалах при
п = 2, 3, 4 и неразрешимо при п 5. ►
§ 18. Некоторые приложения групп 237
Структура формул для решения уравнений степени п = 2, 3, 4
в радикалах также может быть предсказана на основании свойств
групп &п, п = 2, 3, 4 (теорема I § 13).
Б. Теория Галуа линейных дифференциальных уравнений
(теория Пикара —Вессио). Рассмотрим дифференциальное уравне-
ние
+ а1У^ + ... + апу = 0, (3)
коэффициенты которого — мероморфные в некоторой области функ-
ции одного комплексного переменного. Обозначим через К поле
C(ai, ... , ап), а через L — поле, состоящее из всех рациональных функ-
ций от ai, ... , ап, п линейно независимых решений уравнения (3) и
всех производных этих решений.
Дифференциальным автоморфизмом расширения L/К называется
автоморфизм поля £. не меняющий элементов поля К и перестановоч-
ный с дифференцированием элементов поля L.
Группа всех дифференциальных автоморфизмов расширения L/K
называется дифференциальной группой Галуа этого расширения или
уравнения (3).
Так как дифференциальный автоморфизм перестановочен с диф-
ференцированием и не меняет коэффициентов уравнения (3), то он пе-
реводит решение этого уравнения снова в решение. Так как решения
уравнения (3) образуют n-мерное линейное пространство, то диффе-
ренциальная группа Галуа уравнения (3) изоморфна некоторой под-
группе группы GL(n, С). Можно доказать, что эта подгруппа является
алгебраической матричной группой (см. §15). Таким образом возни-
кает вариант теории Галуа, в котором вместо конечных расширений
рассматриваются дифференциальные расширения типа рассматривав-
шихся выше, а место конечных групп занимают алгебраические груп-
пы. В этом варианте также имеется полный аналог «основной теоре-
мы теории Галуа». Аналогом разрешимости в радикалах оказывается
разрешимость в квадратурах. Например, у = J* а(ж) dx есть решение
уравнения у” — (а'/а)у' = 0. Дифференциальные автоморфизмы имеют
в этом случае вид у у + с, с £ С, и, значит, группа Галуа изоморфна
группе <Ga (группе элементов поля по сложению, см. §15). Функция
у = а(1х есть решение уравнения у' — ау = 0.
238
Шафаревич И. Р.
Дифференциальные автоморфизмы его имеют у су, с £ С*, и диф-
ференциальная группа Галуа изоморфна Gm (группе элементов поля по
умножению, см. § 15).
Аналогично классической теории Галуа имеет место теорема:
◄ V. Корни уравнения (3) тогда и только тогда могут быть выра-
жены через его коэффициенты путем рациональных операций, взятия
интеграла, экспоненты интеграла и решения алгебраических уравне-
ний, когда его дифференциальная группа Галуа имеет нормальный ряд,
факторами которого являются группы Ga, Gm и конечные группы. ►
Например, нетрудно найти группу Галуа уравнения у” + ху = 0:
она совпадает с SL(2, С). Так как эта группа имеет только нормальный
делитель ±Е, факторгруппа по которому PSL(2, С) проста, то уравне-
ние у” + ху = 0 не решается в квадратурах.
В. Классификация неразветвленных накрытий. Пусть X —
связное многообразие, хо £ X и G = тг(Х, жо) — его фундаментальная
группа. Многообразие Y с отмеченной точкой уо £ Y и непрерывное
отображение р : Y X, р{уо) = ж(). называются конечнолистным не-
разветвленным накрытием, если любая точка х £ X обладает такой
окрестностью U, что р-1(17) распадается на п непересекающихся от-
крытых множеств U{, на каждом из которых р : Ui —> U является
гомеоморфизмом. Число п одно и то же для всех точек ж; оно совпадает
с числом прообразов каждой точки и называется степенью накрытия.
Отображение р : Y —> X естественно определяет гомоморфизм р* :
7г(У, уо) —> тг(Х, Жо) — это композиция отображения ср : I —> Y, опре-
деляющего петлю, и отображения р. Его образ обозначим через G(Y).
Имеет место следующий аналог основной теоремы теории Галуа:
◄ VI. Отображение р : (Y, уо) —> G(Y) определяет взаимно од-
нозначное соответствие между связными неразветвленными конечно-
листными накрытиями и подгруппами конечного индекса группы G.
Степень накрытия (Y, уо) —> (X, жо) равна (G : G(Y)). Цепочке нераз-
ветвленных накрытий (Z, zo) (Y, уо) —> (X, Жо) соответствует вклю-
чение подгрупп G(Z) С G(Y). Если подгруппа G(Y) является нормаль-
ным делителем в G, то факторгруппа F = G/G(Y) действует без непо-
движных точек на Y, переставляя прообразы точек из X, и X = F\Y. ►
Аналогия с основной теоремой теории Галуа столь велика, что
возникает желание попытаться установить и какие-то прямые связи.
В некоторых случаях это действительно возможно. Пусть многообра-
зие X является алгебраическим многообразием над полем комплекс-
§ 18. Некоторые приложения групп
239
ных чисел, а р : Y X — его неразветвленное накрытие. Исполь-
зуя локальный гомеоморфизм р : Ui —> U, существующий, согласно
определению неразветвленного накрытия, между открытыми множес-
твами Ui С Y и U С X, можно перенести комплексную структуру
с X на Y. Таким образом, Y обладает однозначно определенной струк-
турой комплексно аналитического многообразия. Можно показать, что
вместе с этой структурой Y изоморфно алгебраическому многообра-
зию. Мы приходим к ситуации, аналогичной рассматривавшейся в кон-
це § 6. Если X и Y неприводимы, отображению р : Y X соответ-
ствует отображение рациональных функций р*: С(Х) —> С(У), кото-
рое является гомоморфизмом, а значит, вложением полей. Таким обра-
зом, С(Х) С С(У), и можно показать, что это — конечное расширение,
причем [С(У) : С(Х)] = (G : G(Y)). Мы видим, что группа G дает нам
описание некоторых конечных расширений поля С(Х). Однако это не
все его конечные расширения а лишь «неразветвленные». Общее конеч-
ное расширение £/С(Х) также имеет вид L = С(У), где У — алгебра-
ическое многообразие, и существует отображение р : У -4 X, определя-
ющее вложение полей С(Х) С С(У). Но, вообще говоря, отображение р
разветвлено в некотором подмногообразии S С X, т. е. для х Е S число
прообразов р-1 (ж) меньше, чем степень расширения С(У)/С(Х). Описа-
ние таких расширений может быть получено аналогичными методами,
если рассматривать группу tt(X\S).
В случае, когда X — компактная комплексная неприводимая ал-
гебраическая кривая, пространство X гомеоморфно ориентируемой по-
верхности. Если род этой поверхности равен g, то группа тг(Х) имеет
2g образующих жх, ... , X2g, связанных единственным соотношением
ЖхЖгЖ^жГ^ЗЯ^жГ1^1 • • • x2g-lX2gX2g_1X2g = 1 (4)
(пример 7 § 14). Таким образом, подгруппы конечного индекса этой явно
определенной группы описывают неразветвленные накрытия У —> X.
Упомянем один, внешне похожий результат. Пусть К — конечное
расширение поля р-адических чисел (пример 7 §7), причем К со-
держит корень степени р из 1. Предположим, что К содержит корень
степени ре из 1, но не содержит корень степени ре+1 из 1, и ре 2.
Положим п = [К : Qp].
◄ VII. Конечные расширения Галуа L/К поля К, для которых
[L : К] является степенью р, находятся во взаимно однозначном соот-
ветствии с нормальными делителями, индекс которых есть степень р,
240
Шафаревич И. Р.
группы с п + 2 образующими ... , <тга+2, связанными единственным
соотношением
О’! O-1ff2O'1 10’2 1О-зО-4<Т3 1<Т4 1 . . . O-Jl+l<TJl+2O-Jl^1O-Jl^2 = 1. ► (5)
(Можно показать, что при сделанных предположениях число п четно.)
Несмотря на разительное сходство соотношений (5) и (4), причина
такого параллелизма далеко не ясна.
Г. Теория инвариантов. Пусть G = GL(n, С) — группа линей-
ных преобразований n-мерного векторного пространства L, a T(L) —
пространство тензоров определенного типа над L. Эта ситуация опреде-
ляет представление группы G в пространстве T(L) : ip : G AutT(L).
Особый интерес представляют собой многочлены F, заданные на про-
странстве T(L) и инвариантные относительно действия группы G:
они выражают внутренние свойства тензоров из Т(£), не зависящие
от выбора системы координат в L (если интерпретировать элемен-
ты g £ GL(n, С) как переход к другой системе координат). Удобно
несколько ослабить это требование: внутреннее свойство тензора вы-
ражается, часто, приравниванием 0 некоторого многочлена, который
под действием элементов группы g умножается на константу:
¥?(g)F = c(g) = F (6)
Легко видеть, что c(g) есть некоторая степень определителя g, и ра-
венство (6) равносильно тому, что p(g)F = F для g £ SL(n, С). Такие
многочлены называются инвариантами группы SL(n, С). Например, ес-
ли T(L) = S2L — пространство квадратичных форм, то дискриминант
квадратичной формы будет инвариантом.
Мы рассмотрим дальше простейший случай, когда T(L) = Sm(L)
является пространством форм степени т на пространстве L. В коль-
це А = C[Sm(L)] всех многочленов от коэффициентов форм содержится
подкольцо инвариантов В. Мы проиллюстрируем применение основных
фактов теории представлений групп, приведя доказательство одного из
основных результатов теории инвариантов:
4 VIII. П е р в ан основная теорема. Кольцо инвариантов
конечно порождено над полем С. ►
Оно основывается на простой лемме:
◄ Лемма. Если IС В — идеал кольца инвариантов, mol А А В = I. ►
§ 18. Некоторые приложения групп 241
Доказательство связано с тем, что кольцо многочленов градуирова-
но (ср. теорему V § 6): А = ЛдфЛхфЛгФ..., а В, как его подкольцо, так-
же градуировано. Каждое из пространств А/ определяет конечномерное
представление группы G = SL(n, С). Любой элемент а 6 А содержит-
ся в некотором конечномерном инвариантном подпространстве А С А
(например, в ф А{, где N — степень а). Ввиду полупростоты представ-
i^N
лений этой группы (теорема V § 17) А разлагается в сумму А = А фВ,
где А — сумма всех неприводимых представлений, входящих в А, от-
личных от единичного, а В С В. Пусть а = b + а, где b G В, а G А, А —
конечномерное подпространство, инвариантное относительно G, при-
чем А П В = 0. Пусть х 6 IA и х = ii Е I, сц Е А. По-
_ i_
лагая а/ = щ + bi, а/ Е At, bi Е В, где А/ — подпространство, со-
ответствующее А для элемента щ мы получим: х = ^iibi +
Но ^iibi Е I, a iiAi есть инвариантное подпространство, в котором
индуцируется представление, изоморфное Л/. Поэтому Е ^iiAi.
Из основных свойств полупростых модулей (см. теорему 1 § 10) вытека-
ет, что в модуле ^2 iiЛ/ содержатся только такие простые подмодули,
которые изоморфны простым подмодулям одного из iiAi. В частнос-
ти, (52г’/Л/) П В = 0, и если х Е В, то ^iiai = 0, х Е I. Лемма
доказана.
Основная теорема теперь очевидна. Сопоставление I —> IA являет-
ся отображением идеалов кольца В в идеалы кольца Л, причем ввиду
леммы разным идеалам сопоставляются разные. Но тогда из нетеро-
вости кольца многочленов Л следует нетеровость В. А градуированное
нетерово кольцо является конечно порожденным кольцом над Bq = С
(теорема V § 6).
Именно для доказательства этой теоремы Гильберт и ввел понятие
«нетеровости» и доказал «нетеровость» кольца многочленов (хотя это и
звучит абсурдно, так как Эмми Нетер, в честь которой потом был вве-
ден термин «нетеровость», в момент, когда Гильберт публиковал свои
работы по теории инвариантов, находилась еще в младенчестве).
Д. Представления групп и классификация элементарных
частиц. В последние два десятилетия большой энтузиазм физиков вы-
звали попытки использовать теорию представлений групп Ли, чтобы
выработать единый взгляд на загадочную картину открытых к насто-
ящему времени во множестве элементарных частиц. Из трех рассмат-
242
Шафаревич И. Р.
риваемых в физике типов взаимодействий: электромагнитных, слабых
и сильных, речь будет идти только о сильных, связанных с ядерными
силами. Частицы, принимающие участие в сильных взаимодействиях
(адроны), это — мезоны (промежуточные частицы) и барионы (тяже-
лые).
Начнем с замечаний, приведенных в конце разбора примера 9 в § 17.
Изображенные на рис. 39 три спектральные линии (триплет, в физи-
ческой терминологии) возникли в результате нарушения первоначаль-
ной симметрии относительно группы SO(3), которая уменьшилась до
ее подгруппы Н ~ SO(2). Ограничение трехмерного представления pt
группы SO(3) на подгруппу Н перестает быть неприводимым и раз-
лагается на три одномерных представления, которым соответствуют
наблюдаемые линии. Эта картина, в качестве модели, и лежит в осно-
ве всех соображений, о которых будет сказано дальше; если имеется
совокупность г похожих по своим свойствам частиц, то можно попы-
таться представить ее себе как вырождение, связанное с понижением
симметрии. Математически это связано с тем, что состояния всех рас-
сматриваемых частиц образуют пространства Li, ... , Lr, в которых
действуют представления pi, ... , рг одной и той же группы Н. Ищется
большая группа G D Н, имеющая неприводимое представление в про-
странстве Li ф ... ф Lr такое, что ограничение этого представления на
подгруппу Н эквивалентно ее представлению pi ф ... ф рг.
Первый шаг — это рассмотрение пары, состоящей из протона (р)
и нейтрона (п). Протон и нейтрон имеют одинаковый спин и очень
близкие (хотя и не совпадающие) массы, равные 938,2 и 939,8 Мэв. Они
имеют разные заряды, но это сказывается лишь при рассмотрении элек-
тромагнитных взаимодействий, которыми в этой теории пренебрегают.
В связи с этим, еще в 30-х годах Гейзенберг предложил рассматривать
их как два квантовых состояния одной и той же частицы — нуклона.
Соответственно они будут дальше обозначаться через Л?+ и №, а нук-
лон — через N. Согласно общим принципам квантовой механики в ка-
честве пространства состояний нуклона мы получаем двумерное комп-
лексное пространство L с эрмитовой метрикой: Л?+ и № соответству-
ют базису в L. Симметрии такого пространства образуют группу U(2).
Мы будем дальше рассматривать ее подгруппу SU(2), имеющую очень
близкие свойства, и опустим физическую аргументацию, оправдываю-
щую это ограничение. В системе, состоящей из многих нуклонов, про-
странство состояний будет иметь вид L ® L ® ® L. В нем действует
§ 18. Некоторые приложения групп
243
представление группы SU(2). Представление (тавтологическое) в L мы
обозначали (согласно классификации, приведенной в примере 9 § 17) че-
рез Представление в пространстве состояний новой системы будет
тогда Т₽(р1/г)- Мы знаем (согласно примеру 9 § 17), что все неприводи-
мые представления группы SU(2) имеют вид pj, где j 0 — целое
или полуцелое число (dimpj = 2j + 1). Кроме того, формула Клеб-
ша-Гордана (10) §17 дает нам возможность разложить представле-
ние pj ® pj/ на неприводимые. Поэтому мы можем найти разложение на
неприводимые нашего представления Tp(pi/2)- Это дает большую фи-
зическую информацию. Дело в том, что согласно «словарю квантовой
механики» (см. § 1) вероятность перехода из состояния, изображенного
вектором <р, в состояние, изображаемое вектором ф, равна |(у>, ф)\ (ес-
ли |у>| = \ф\ = 1). Но разложение представления на неприводимые мож-
но всегда считать ортогональным, а это значит, что состояния, изобра-
жаемые векторами, которые преобразуются согласно различным непри-
водимым представлениям, не могут переходить друг в друга: это так
называемые правила запрета. Более того, кроме номеров j неприводи-
мых представлений pj, на которые разлагается представление Тр(р1/2),
можно указать и реальные базисы подпространств, в которых эти пред-
ставления реализуются, т. е. преобразование матриц T₽(pi/2(g)) в пря-
мую сумму матриц pj(g). Это дает возможность найти вероятности
переходов для разных состояний системы.
Теперь естественно применить тот же ход мысли к исследованию
других элементарных частиц. Оказывается, они обнаруживаются груп-
пами по 2-3-4, причем массы в пределах одной группы очень близки
(хотя встречаются и «одиночные» частицы). Среди барионов мы име-
ем, например, кроме уже рассмотренных нуклонов, «одиночный» (синг-
лет) Л-гиперон (масса — 1115 Мэв), S-дублет (т. е. две частицы S+ и 5“
с массами 1314 и 1321 Мэв) и S-триплет (т.е. три частицы S+, S°, S-
с массами 1189,1192 и 1197 Мэв). Так же обстоит дело с мезонами: име-
ются «синглеты» ?у-мезон, <р-мезон и w-мезон, К и К*-дублеты и дубле-
ты их античастиц, тг- и р-триплеты. Естественно применить к ним те
же соображения, считая, что частицы одной группы являются кванто-
выми состояниями одной и той же частицы, пространство состояний
которой одномерно для синглетов, двумерно для дублетов и трехмер-
но для триплетов и соответствует представлениям р0, p±j2 и pi груп-
пы SU(2). В случае многих частиц опять возникают тензорные про-
изведения представлений, которые разлагаются на неприводимые со-
244
Шафаревич И. Р.
гласно формуле Клебша-Гордана. Если состояние преобразуется по не-
приводимому представлению pj группы SU(2), то ему приписывается
изотопический спин j. Все эти рассуждения, вращающиеся в рамках
группы SU(2), составляют теорию изотопического спина. Эта теория
хорошо себя оправдала. Так, на основании ее было предсказано сущест-
вование триплета тг-мезонов, которые были позже открыты.
Самым смелым является следующий шаг. Если быть последова-
тельным, то надо применить те же рассуждения ко всем барионам. Они
составляют октет, т. е. их 8: синглет Л, дублеты N и Е и триплет S.
Следует предположить, что это их разнообразие происходит лишь от
нарушения некоторой высшей симметрии. Физики говорят иначе: они
предполагают, что существует идеализированное «сверхсильное» взаи-
модействие, относительно которого все свойства этих частиц идентич-
ны. Для математика — это задача найти некую группу G, содержащую
подгруппу Н, изоморфную SU(2), и такое восьмимерное неприводимое
представление р группы G, что при ограничении р на Н оно распадает-
ся на р0 (соответствующее Л), рг/2 (соответствующее N), еще одно р^2
(соответствующее Е) и pi (соответствующее S).
Такая группа и представление действительно существуют: это
G = SU(3) и ее присоединенное представление в пространстве М3 (С)
всех матриц 3-го порядка со следом 0, когда матрица g G SU(3) опре-
деляет преобразование х —> g~Axg. х G М°(С) (dime М3 (С) = 9 и по-
этому dime М3 (С) = 8). Мы выпишем это представление в матричной
форме. Запишем матрицу х G М3 (С) в виде
где А — матрица типа (2,2), В — (2,1), С — (1,2) и а — число. Усло-
вие 8рж = 0 означает, что а = — SpA. В группе SU(3) рассмотрим
Iи о\
подгруппу Н матриц вида I I. Тогда, очевидно, U G SU(2), так
что Н изоморфна SU(2). Так как
U 0\ 1 (А В\ (U 0\ _ (U-iAU U-rB\
0 1) [С а) [0 1)\ CU а ) ’
то выделение блоков А, В, С и а задает нам разложение присоединен-
ного представления на два двумерных и четырехмерное. Двумерные,
§ 18. Некоторые приложения групп 245
очевидно, совпадают с pijz- Четырехмерное приводимо, так как Mz(C)
разлагается на скалярные матрицы и матрицы со следом 0. В резуль-
тате это четырехмерное представление разлагается на одномерное, со-
/—а 0 \
стоящее из матриц вида I —а I, и трехмерное, состоящее из
\ 0 2а)
(А 0\ „ . „
матриц I I , Sp А = 0. Это и есть нужное нам разложение.
Возврат от идеализированной картины, описываемой представле-
нием группы SU(3), к более реальным барионам есть задача теории
возмущений. Записывая возмущенный гамильтониан на основании эв-
ристических, но естественных соображений, приходят к ситуации, в
которой ответ зависит от двух произвольных констант. За счет выбора
двух констант удается получить известные массы четырех групп бари-
онов (Л, N, Н, S) с хорошим приближением. Более того, тот же подход
оказался применимым к мезонам, в которых выделяются два октета:
псевдоскалярных мезонов (гр К, их античастиц и тг) и векторных ме-
зонов (<р, К*, их античастиц и р), приводящих к той же задаче теории
представлений.
Новая ситуация возникла при рассмотрении другой группы барио-
нов, также классифицировавшихся по изотопическому спину Это дуб-
лет 5*-гиперонов, триплет Е*-гиперонов и квадруплет Д-гиперонов.
Согласно изложенной выше идеологии, речь идет о нахождении 9-мер-
ного неприводимого представления группы SU(3), которое при огра-
ничении на SU(2) разлагалось бы как р!/2 Ф pi Ф /'з/2- Такого пред-
ставления нет. Однако существует «близкое» представление SU(3) —
это S3p: симметрический куб тавтологического представления р груп-
пы SU(3) в трехмерном пространстве. Если р действует в пространстве
линейных форм от переменных х, у и z, то S3p действует в 10-мер-
ном пространстве L кубических однородных многочленов от х, у и z.
Рассмотрим подгруппу II С SU(3), изоморфную SU(2), не меняю-
щую z и действующую на х и у при помощи тавтологического дву-
мерного представления p^/z группы SU(2). Тогда мы имеем разложе-
ние L = L3 ф L-zZ ф Liz2 ф Cz3, где Li — пространство однородных
многочленов степени г от ж и у (dimL, = г + 1). Мы получаем разложе-
ние (представления S3p, ограниченного на II):
Рз/2 ф Р1 ф Р1/2 ф ро-
246
Шафаревич И. Р.
Оно отличается от желаемого на слагаемое рд. Естественно предпо-
ложить, что это слагаемое соответствует еще одной частице, кото-
рую нужно было бы включить в наше семейство барионов. Из теоре-
тико-групповых соображений можно предсказать некоторые свойства
этой частицы — например, ее массу. Такая частица действительно бы-
ла обнаружена: она называется £1-гипероном.
Наконец, все эти рассуждения можно попытаться осмыслить, ис-
ходя из общих свойств представлений группы SU(3). Мы знаем (свой-
ство 4) в теореме IV § 17), что все неприводимые представления этой
группы получаются из разложения на неприводимые слагаемые произ-
вольных тензорных произведений двух представлений: тавтологичес-
кого представления р и контраградиентного р (для SU(3), в отличие
от SU(2), они не эквивалентны).
Поэтому возникает вопрос: не соответствуют ли этим элементар-
ным представлениям некоторые «самые элементарные» частицы? Такие
гипотетические частицы названы кварками и антикварками. Ряд экс-
периментов говорит в пользу их существования.
Многие очень важные вопросы остаются, по-видимому, за предела-
ми и 8и(3)-теории. Поэтому рассматривались и теории симметрии, ос-
новывающиеся на привлечении других групп, например, SU(6). Подоб-
ные идеи получили в последние двадцать лет большое развитие, найдя
применение и вне области сильных взаимодействий. Но здесь скудные
сведения автора в этом вопросе обрываются.
§ 19. Алгебры Ли и неассоциативная алгебра
А. Алгебры Ли. Естественные и важные алгебраические систе-
мы, обладающие всеми свойствами колец, за исключением ассоциатив-
ности умножения, возникли очень давно, хотя и не сразу стала ясной
алгебраическая природа этих объектов. В § 5 было дано описание век-
торных полей на многообразиях как линейных дифференциальных one-
Л 7?
раторов первого порядка ©(F) = ^2 F,—— или дифференцирований ко-
UXi
лец функций на многообразиях, т. е. таких отображений © : А —> А
этих колец, что
©(а + &) = ©(а)+ ©(&),
©(аб) = а©(6) + 6©(а) и ©(а) = О,
(1)
§ 19. Алгебры Ли и неассоциативная алгебра
247
го
но
если а — константа. Композиция ©i©2 двух дифференциальных опе-
раторов есть, конечно, снова дифференциальный оператор, но если
и ©2 имели порядок 1, то будет иметь порядок 2, так как в не-
будут входить уже вторые производные (это особенно ясно вид-
на операторах с постоянными коэффициентами: ввиду изоморфиз-
~ K[fi, ... , tn] речь просто идет о том, что про-
ма
дх±’ ” ’ ’ Эх
изведение многочленов первой степени дает многочлен второй степе-
ни). Однако существует очень важное выражение, снова являющееся
оператором первого порядка — так называемый коммутатор:
[@1, @2] = - ®2®1- (2)
То что коммутатор — снова оператор 1-го порядка, легче всего про-
верить, интерпретируя и ©2 как дифференцирования кольца функ-
ций и проверив подстановкой, что для [@х, ©2] выполнено соотноше-
ние (1), если оно выполнено для и ©2- В координатной записи, ес-
ли ©1 = ©2 = то
OXi OXi
Ri = y,(Pk^-Qk^}. (3)
dxt \ dxk dxk)
i k
Отсюда непосредственно видно, что [@х, ©2] — оператор 1-го порядка,
но определение (2) имеет то преимущество, что оно инвариантно, т. е. не
зависит от выбора системы координат х±, ... , хп, в то время как для
выражений (3) это непосредственно не видно. Через интерпретацию
в виде дифференциальных операторов операция коммутирования пере-
носится и на векторные поля. Здесь она называется скобкой Пуассона
и также обозначается через [0Х, ff2\-
Линейное пространство векторных полей вместе с операцией [,]
очень похоже на кольцо. Действительно, если интерпретировать [ , ]
как умножение, то будут выполнены все аксиомы кольца (и даже алгеб-
ры), кроме одной — ассоциативности умножения. Но зато выполняются
другие тождества, специфические для этой операции:
[©, ©] = 0, [[©1, ©2], ®з] + Рг, ®з], ®i] + Рз, ®i], ®2] = 0.
Они легко следуют из определения (1). Второе из них называется тож-
деством Якоби. Оно является заменой ассоциативности и, как мы уви-
дим, тесно связано с ассоциативностью.
248
Шафаревич И. Р.
Множество '£ с двумя операциями: сложением а+b и коммутирова-
нием [а, 6] называется кольцом Ли, если в нем выполнены все аксиомы
кольца, кроме ассоциативности умножения, но зато
[а, а] = 0, [[а, Ь], с] + [[&, с], а] + [[с, а], Ь] = 0 (4)
для всех a, b, с G '£. Если !£ является векторным пространством над
полем К и
[7а, b] = [а, yb] = 7[а, Ь] для a, b G !£, у G К,
то .£ называется алгеброй Ли над К. Элемент [а, Ь] называется комму-
татором а и Ь. Из соотношения [а, а] = 0 следует, что [&, с] = —[с, Ь]
для любых Ь и с (надо положить а = Ь + с).
Пример 1. Векторные поля на многообразии, с операцией — скоб-
кой Пуассона образуют алгебру Ли (над полем R или С в зависимости
от того, является ли многообразие вещественным или комплексно ана-
литическим).
Пример 2. Все дифференцирования кольца А образуют кольцо
Ли относительно операции коммутирования (2). Если А — алгебра
над полем К С Л, то дифференцирования, удовлетворяющие усло-
вию ©(а) = 0 для a G К, образуют алгебру Ли над К.
Проверка — та же, что и для дифференциальных операторов.
Пример 3. Пусть А — кольцо, ассоциативное, но необязательно
коммутативное. Положим для a, b G A [a, b] = ab — ba. С этой операци-
ей коммутирования А образует кольцо Ли. Если А было алгеброй над
полем К, то мы получаем алгебру Ли над тем же полем. Проверка опять
та же, что и для дифференциальных операторов.
Если А = Мп(К) — есть алгебра матриц порядка п, то получа-
емая алгебра называется полной линейной алгеброй Ли и обозначает-
ся д[(п, К) или £fl(n).
Заметим, что случай линейных дифференциальных операторов 1-го
порядка не подходит под пример 3, но мы можем взять за А кольцо
всех линейных дифференциальных операторов и выбрать в нем подпро-
странство .£ С А операторов 1-го порядка, которое хотя и не является
подкольцом (т.е. не замкнуто относительно операции ab), замкнуто от-
носительно операции [а, b] = ab — Ьа. Очевидно, что тогда мы получаем
§ 19. Алгебры Ли и неассоциативная алгебра 249
алгебру Ли. Аналогичный прием, в применении к алгебре А = Мп(К),
дает новые важные примеры (замкнутость относительно коммутиро-
вания матриц легко проверяется):
Пример 4. Подпространство £ С Мп(К) и состоит из всех матриц
со следом 0. .£ называется специальной линейной алгеброй Ли и обозна-
чается sl(n, К) или s((n).
Пример 5. '£ С Мп(К) и состоит из всех кососимметрических
матриц а:
а* = —а, (5)
где * обозначается транспонирование. £ называется ортогональной ал-
геброй Ли и обозначается о(п, К) или о(п).
Пример 6. Пусть К с С, '£ С Мп(С) и характеризуется опять
соотношением (5), но * обозначает эрмитово сопряжение. £ являет-
ся алгеброй Ли над R. Она называется унитарной и обозначается u(n).
Накладывая дополнительное условие Spa = 0, получаем специальную
унитарную алгебру Ли su(n).
Пример 7. Пусть К = И — алгебра кватернионов, !£ С МИ(1Н1)
и опять характеризуется соотношением (5), но * — кватерионно-эрми-
тово сопряжение. Алгебра Ли '£ над К называется унитарно симплек-
тической и обозначается spu(n).
Пример 8. Пусть J — невырожденная кососимметрическая мат-
рица порядка 2п над полем К и .£ С М->п(К') состоит из всех
a G М2П(К), для которых
aJ + Ja* = 0. (6)
'£ называется симплектической алгеброй Ли и обозначается sp(2n, К)
или sp(2n).
Происхождение терминов, введенных в примерах 4-8, вскоре ста-
нет понятным.
Если алгебра £ имеет как векторное пространство над полем К ко-
нечную размерность, то она называется конечномерной, а размерность
пространства £ называется также размерностью алгебры '£ и обозна-
чается dim.2? или dimj< '£.
250
Шафаревич И. Р.
Например, алгебра Ли векторных полей в области трехмерного про-
странства бесконечномерна на R, так как векторное поле записывается
д д д
в виде Лт;—h В ——h С-^~, где А, В и С — любые дифференцируемые
ах ay az
функции. Алгебра g[(n) и алгебры примеров 4-8 конечномерны:
dimgl(n) = п2, dimst(n) = п2 — 1, dimo(n) =
diniRu(n) = п2, diniRSu(n) = п2 — 1,
diniRSpn = 2п2 + п, dim/< sp(n, К) = {2п + 1)п.
Изоморфизм определяется для колец и алгебр Ли точно так же, как и
для ассоциативных колец. Например, известно, что все невырожденные
кососимметрические матрицы порядка 2п сопряжены (над полем К).
Отсюда легко следует, что алгебры, определенные условием (6) при раз-
ных матрицах J, изоморфны (почему эта матрица и не указывается при
обозначении sp(n, К)). Вот менее тривиальный пример изоморфизма.
Пример 9. Векторы трехмерного евклидова пространства К3 от-
носительно операции векторного произведения [,] образуют алгебру
Ли £ над К (тождество Якоби (4) здесь хорошо известно). Сопоставим
каждому вектору а линейное преобразование <£>а(ж) = [а, ж]. Теорема
о смешанном произведении двух векторов показывает, что преобразо-
вание <ра кососимметрично: </?* = — <ра. С другой стороны, для любого
кососимметрического преобразования р в В:3 существует такой век-
тор с, что у>(с) = 0, |с| = 1. В плоскости, ортогональной к с, tp ин-
дуцирует тоже кососимметрическое преобразование, т.е. (если ip 0)
поворот на 90° и умножение на число к. Легко проверить, что ip = ра
при а = ко. Таким образом, сопоставление а —> ра — взаимно одно-
значное линейное отображение пространства '£ на о(3). Из тождества
Якоби сразу следует, что это сопоставление — изоморфизм алгебр Ли.
Таким образом, алгебра изоморфна о(3).
Аналогично ассоциативным алгебрам, для алгебр Ли определяется
понятие подалгебры, гомоморфизма, идеала (ввиду соотношения [&, а] =
= —[а, 6] понятия левого, правого и двустороннего идеала совпадают),
простой алгебры, факторалгебры. Имеет место аналог теоремы о го-
моморфизмах. Алгебра {кольцо) Ли .£ называется коммутативной, ес-
ли [а, Ь] = 0 для всех a, b G '£. Как и в ассоциативном случае, для ко-
нечномерной алгебры с базисом ei, ... , еп операция коммутирования
§ 19. Алгебры Ли и неассоциативная алгебра
251
определяется структурными константами ctjk',
[е», е^] — .
Б. Теория Ли. Речь идет об изучении групп Ли с инфинитези-
мальной точки зрения в окрестности единичного элемента: «дифферен-
циальном исчислении» на уровне групп. Аналогом дифференцирования
является здесь сопоставление группе Ли некоторой алгебры Ли. Выяс-
няется, насколько группа Ли определяется соответствующей ей алгеб-
рой Ли, т. е. строится аналог интегрального исчисления.
Мы начнем изложение этой теории (как оно и происходило исто-
рически) с примера группы Ли G, действующей на многообразии X.
Такое действие задается отображением:
<р : G х X X (7)
(см. § 12). Введя координаты Ui, ... , ип в окрестности единичного эле-
мента е G G и Xi, ... , хт в окрестности точки xq G X, мы зададим это
действие функциями
• • • ? Ж1, . • . , Жт), . . . , • • • : • • • •>
Для определенности мы будем считать их дальше вещественно аналити-
ческими. Точно так же и закон умножения группы Ли будет предпола-
гаться вещественно аналитическим. Другие варианты (п раз дифферен-
цируемые или комплексно аналитические функции) рассматриваются
совершенно аналогично.
Если G есть группа вещественных чисел R по сложению, то дейст-
вие (7) определяет однопараметрическую группу преобразований мно-
гообразия X. В механике, когда y>(t, ж), t Е R, х Е X, интерпретирует-
ся как перемещение точки конфигурационного пространства X за вре-
мя t, очень давно рассматривались и «бесконечно малые» перемещения.
Под этим подразумевается поле скорости в преобразования <p(t, х), име-
ющее (в точке t = 0) координаты
? Я-n)
, i = 1, ... , т.
/=о
Соответствующий дифференциальный оператор определяется услови-
ем:
ад(ж) = |(РЫ1, Ж))к=о.
252
Шафаревич И. Р.
В случае произвольной группы G Г. Вейль предлагает мыслить себе
многообразие X заполненным средой, допускающей перемещения, ко-
торые соответствуют действию (7) этой группы. Мы можем и здесь
рассмотреть поля скоростей соответствующих движений. Каждое такое
поле определяется вектором £ касательного пространства Te,G к груп-
пе G в ее единичном элементе. Действие (7) задает отображение каса-
тельных пространств
(<М(е,®) : Te,G ф ТХух -> ГЖ;х,
где Тх,х — касательное пространство к X в точке х. Для любого век-
тора £ 6 вектор
(<М(е,ж)(£ © 0) £ Тх.х
определяет нужное нам векторное поле на X. Как легко видеть, в ко-
. 9^ .
ординатах оно задается формулами , г = 1,
д£
.,т, и аналитично.
Соответствующий дифференциальный оператор на X имеет вид
@^(Р)(ж) = --—— (дифференцирование по аргументу g).
Отсюда видно, что он определен инвариантно (независимо от вы-
бора системы координат). Отображение £ —> очевидно, линейно по £
и определяет, следовательно, конечномерное пространство .£ вектор-
ных полей на X. Основным фактом является то, что построенное конеч-
номерное семейство векторных полей !£ замкнуто относительно взятия
скобки Пуассона и, значит, определяет некоторую алгебру Ли.
Мы поясним причину этого в том случае, который нам дальше
только и будет встречаться: когда действие tp является левым регу-
лярным действием, т. е. X = G и <p(gi, gi) = gig2 (gi G G, g? G X = G).
Левое регулярное действие коммутирует с правым регулярным: если
левое действие соответствует gi и имеет вид g —> gig, а правое соот-
ветствует g2 и имеет вид g —> gg^"1, то их коммутативность просто
выражает ассоциативность умножения в группе: (gig)g7X = giXggT1)-
Отсюда при помощи очевидной формальной проверки легко увидеть,
что для любого £ G Те,с векторное поле ^(ж) = (</<р)(е,ж)(£ ©0) тоже ин-
вариантно относительно правого регулярного действия. Иначе говоря,
§ 19. Алгебры Ли и неассоциативная алгебра
253
касательный вектор ^(gg^1) получается из касательного вектора #j(g)
при помощи дифференциала (/(g^1) правого действия (g —> ggf1). Поля О
с этим свойством называются правоинвариантными (ср. замечания
в §15, следующие за определением группы Ли). Такое поле однознач-
но определяется заданием вектора 0(e), и любой касательный век-
тор г] Е Тес; определяет поле 0, для которого 0(e) = ту: вектор 0(g)
получается из ту правым сдвигом, переводящим е в g. Таким образом,
линейное пространство правоинвариантных векторных полей на груп-
пе G изоморфно пространству T6jg. Построенное выше пространство
векторных полей
^ = {^ = (^)(е,.)(е®о), ее ад,
как только что было сказано, состоит из правоинвариантных полей и,
значит, изоморфно подпространству пространства Тес;. Но отображе-
ние е —> 0^, как легко видеть, не имеет ядра, и, значит, dim .2' =
= dim Те,G, и поэтому .£ состоит из всех правоинвариантных полей.
Наконец, тот факт, что множество всех правоинвариантных векторных
полей замкнуто относительно коммутирования, следует из очевидного
соотношения: если f — преобразование многообразия X, переводящее
точку х в у, а О’ и 0” — векторные поля на X, то
(df)x[O'x, 0''] = [(df)xO'x, (df)xO£.
Таким образом, построенное нами семейство векторных полей £ явля-
ется алгеброй Ли. Оно называется алгеброй Ли группы G и обозначается
через ^£(G). Мы получили:
◄ Алгебра Ли -f£(G) группы G состоит из всех векторных полей
0^ = (d<g)(ej(£ © 0), £ Е Te,G,
где : G х G —> G есть закон умножения группы. Она совпадает также
с множеством дифференциальных операторов вида
(^F)(g) = ^F(<P(g, 7»,
£ Е Те,в и дифференцирование производится по второму аргументу (7).
Наконец, алгебра i£(G) совпадает с алгеброй правоинвариантных век-
торных полей на G или же правоинвариантных линейных дифференци-
альных операторов 1-го порядка. ►
254
Шафаревич И. Р.
Структурные константы алгебры ^£(G) могут быть очень явно
выражены через коэффициенты закона умножения <р(х, у) группы G
в окрестности элемента е. Так как вектор £ 6 d'e.G однозначно определя-
ется значениями ^(ж,)(е) для координат х±, ... , хп, то нам достаточно
найти эти значения для коммутатора [@£, %,]. Из того что е) = х,
р(е, у) = у, следует, что члены первой и второй степени в разложе-
нии <р(х, у) имеют вид:
у) = х + у + В(х, у) + , (8)
где В(х, у) — линейно как по ж, так и по у. Простая подстановка по-
казывает, что @^©^(жг)(е) = В(£, r])i, где В(£, r])i — значение г-й коор-
динаты. Поэтому
К, 77] = Ж 77) - В(77, £). (9)
Формулы (8) и (9) показывают, что члены первой степени в законе ум-
ножения <р(х, у) у всех групп Ли одинаковой размерности совпадают —
они такие же, как у группы К", — а члены второй степени определяют
алгебру Ли ^£(G).
Инвариантный характер определения алгебры i£(G) делает почти
очевидным ряд ее естественных свойств. Если f : G —> Н — гомомор-
физм групп Ли, то df определяет гомоморфизм
df :^(G)
ядро которого совпадает с алгеброй Ли ядра гомоморфизма /. Ес-
ли Н — замкнутая подгруппа Ли G, то 'А (И) — подалгебра алгебры
Ли 'A(G). а если Н — нормальный делитель, то ХАН) — идеал в X(G)
и X!(G/H) = X(G)/X(H). Если <р : G х X —> X — действие алгебры
Ли на многообразии X, то определенное выше семейство X векторных
полей на X
^ = {^ = (^)(ж,.)(е©о), ееад
является алгеброй Ли, гомоморфным образом алгебры .2'((7) : X =
= J£(G)/J£(N), где N — ядро действия.
Соотношение (9) показывает, что алгебра Ли коммутативной груп-
пы коммутативна.
Пример 10. Пусть G = GL(n). В окрестности единичной матрицы
мы имеем запись А = Е+Х, и если В = E+Y, то АВ = E+X+Y+XY.
§ 19. Алгебры Ли и неассоциативная алгебра
255
Таким образом, в формулах (8) В(Х, У) = XY, и (9) показывает, что
коммутатор элементов X и У в алгебре ^’(GL(n)) имеет вид XY — YX,
т.е. ^’(GL(n)) = gl(n). При этом, если X — матрица E+(x}j), где xij —
координатные функции, то вектору £ 6 сопоставляется матри-
ах = f dXij\
Пример 11. Пусть теперь G = SL(n). Тогда G С GL(n) и задается
уравнением det(S + X) = 1. Вектор £, касательный к GL(n), будет
касательным и к SL(n), если
д
— (det(i? + X)) = 0. Но, как известно,
A(det(E + X)) = Sp
(дх\
Поэтому для £, касательного к SL(n), Sp = 0 и, значит, ££(SL(n)) =
= sl(n).
Пример 12. Аналогично, если G = О(п) и Е + Х G G, то (Е + Х)х
х(Е + X*) = Е. Отсюда
^(Е + Х)(Е + X*) + (Е + Х)-^Е + X*)
= 0
х=о
f + ( дх\
\ <Э£ ) + \ <Э£ J
или
= 0. Таким образом, ££(О(п)) = о(п).
Пример 13. Как было указано в начале §15, группа SO(3) явля-
ется конфигурационным пространством для твердого тела с закреп-
ленной точкой: движение такого тела задается кривой g(i) G SO(3).
Касательный вектор принадлежит касательному пространству Tg(t)
к точке g(t) в группе SO(3). Мы можем преобразовать его при помощи
правого сдвига g-1 в вектор 7(1) = £ Те, т.е. элемент алгеб-
ры Ли о(3). Из того что g(t) ортогонально, т.е. g(t)g(t)* = е, следует,
| = 0, т. е. 7(1)* = —7(0 — в соответствии с приме-
CLL /
ром 12. Если некоторая точка тела движется по закону ж(£) = g(i)(a?o),
256
Шафаревич И. Р.
то, очевидно, (жо) = 7(£)£(£)(жо) = 7(£)(ж(£)). Согласно при-
Ui/ (Л/
меру 9 преобразованию 7(f) соответствует такой вектор co(t), что 7
сводится к векторному умножению на щ(£). Следовательно,
dx(t) г м
Это равенство показывает, что в каждый момент времени t скорости
точек тела такие же, как при вращении с постоянной угловой скорос-
тью co(t). Вектор co(t) называется вектором мгновенной угловой скорое-
ds
ти. Мы могли бы преобразовать вектор при помощи левого сдвига
в вектор 7(f) = g 1
Е Те. Легко видеть, что 7 = g lryg, а соответству-
ющий вектор со = g 1со — это мгновенная угловая скорость в системе
координат, жестко связанной с телом.
Точно то же рассуждение, что и в примерах 11 и 12, дает возмож-
ность найти алгебры Ли других известных нам групп Ли:
2?(U(»)) = u(n), ^f(SU(n)) = su(n),
^f(Sp(n)) = 5p(n), Jf(SpU(n)) =5pu(n).
Напомним еще раз, что все предшествующие рассуждения при-
менимы и к комплексным группам Ли: соответствующие алгебры
Ли ^£(G), как легко видеть, являются алгебрами над полем С. В част-
ности:
^(GL(n, С)) = 0I(n, С), ^(SL(n, С)) = sl(n, С),
^£(О(п, С)) = о(п, С), ^(Sp(2n, С)) = sp(2n, С).
Перейдем ко второй части теории Ли — вопросу о том, в какой ме-
ре группа Ли G может быть восстановлена по алгебре Ли ^£(G). Здесь
возможны две постановки вопроса. Мы можем, во-первых, исследовать
закон умножения ср лишь в некоторой окрестности единичного элемен-
та группы. Если в этой окрестности е введены координаты жх, ... , ж„,
то закон умножения задается п степенными рядами
^(^5 ?/) — (^1(ЖХ, • • • 5 ^п', У1, • • • , Уп), • • • , Pn^l, • • • , %п', У1, • • • , Уп))‘
§ 19. Алгебры Ли и неассоциативная алгебра 257
Они должны удовлетворять соотношениям ассоциативности:
‘/’(ж, ср(у, z)) = р(р(х, у), z)
и существования единичного элемента:
<р(х, 0) = <£>(0, х) = х
(существование обратного элемента, т. е. такого ряда ?/>(ж), что
</?(ж, ?/>(ж)) = ‘/’(«/’(ж), ж) = 0,
легко вытекает отсюда на основании теоремы о неявных функциях).
Геометрически, такой постановке вопроса соответствует изучение ло-
кальных групп Ли, т. е. аналитических законов умножения, определен-
ных на некоторой окрестности V точки О в пространстве R” (произ-
ведение лежит в R”, но, может быть, не в той же окрестности) и удов-
летворяющих аксиоме ассоциативности и существования единичного
элемента, которым является О. Две локальные группы Ли, заданные
в окрестностях Vi, V?, называются изоморфными, если существуют
окрестности нуля V/ С Vi, V2' С V2 и диффеоморфизм f : V/ —> V2', пе-
реводящий первый закон умножения во второй. Аналогично определя-
ется гомоморфизм локальных групп Ли. При такой постановке вопроса
ответ очень прост.
4 Теорема Ли. Каждая алгебра Ли £ является алгеброй Ли
некоторой локальной группы Ли. Локальная группа Ли определяется
своей алгеброй Ли однозначно с точностью до изоморфизма. Каждый
гомоморфизм ср : ^£(Gi) —> ^(Сг) алгебр Ли двух локальных групп
Ли имеет вид ср = (df)e, где f : G\ —> G? — гомоморфизм локальных
групп, однозначно определенный этим условием. ►
Наиболее элементарный и поразительный вид эта теорема приобре-
тает, если воспользоваться формулой (9) для коммутирования в алгебре
Ли. Теорема показывает, что уже члены второй степени В(ж, у) в груп-
повом законе определяют групповой закон однозначно с точностью до
изоморфизма (т. е. до аналитического преобразования координат). Если
рассматривать ср(х, у) как формальный степенной ряд, то теорема при-
обретает чисто алгебраический характер, без всякой примеси анали-
за. Она верна для «формальных групповых законов» над произвольным
полем характеристики 0. Мы вернемся еще к этому алгебраическому
аспекту теории Ли.
258
Шафаревич И. Р.
При переходе к глобальным группам Ли, т. е. к тому (теперь обще-
принятому) определению, которое было дано в § 15, положение несколь-
ко усложняется. Действительно, уже аддитивная группа К и окруж-
ность IR/Z не изоморфны, хотя имеют одну и ту же алгебру Ли: ком-
мутативную одномерную алгебру. Однако идеальное положение восста-
навливается, если ограничиться связными и односвязными группами
(ср. пример 7 § 14).
Доказанная Картаном теорема утверждает, что приведенная выше
формулировка теоремы Ли дословно сохраняется, если заменить тер-
мин «локальная группа Ли» термином «связная и односвязная группа
Ли». (В утверждении о гомоморфизмах ^(Gi) —> ^(Сг) достаточно,
чтобы односвязной была группа Gi.)
Теория Ли может быть применена и к исследованию связных,
но не односвязных групп Ли, так как универсальная накрывающая G
группы G сама может быть превращена в группу (и единственным спо-
собом), причем G = G/N, где N — дискретный нормальный делитель,
содержащийся в центре G. Это дает конструкцию всех связных групп
Ли с одной и той же алгеброй Ли. Примером представления G = G/N
являются:
G = О(п), G = Spin(n), N = {Е, -Е};
G = PSL(n, С), G = SL(n, С), N = {еЕ, еп = 1}.
В. Применения алгебр Ли. Большая их часть основана на те-
ории Ли, сводящей многие вопросы теории групп Ли к аналогичным
вопросам об алгебрах Ли — как правило, более простым. Так, самый
прямой способ вывода классификации простых групп Ли, о которой
шла речь в § 16, заключается в классификации простых алгебр Ли и
применения теории Ли-Э. Картана. Например, доказывается, что над
полем комплексных чисел существуют следующие простые конечно-
мерные алгебры Ли:
sl(n, С), o(n, С), sp(n, С)
и еще 5 исключительных алгебр размерностей 78, 133, 248, 14 и 52,
обозначаемых соответственно Еб, Е?, Es, G-± и F^. Согласно теории
Ли-Картана это дает классификацию комплексных связных простых
групп Ли. Каждой алгебре Ли соответствует одна односвязная группа,
§ 19. Алгебры Ли и неассоциативная алгебра 259
например, st(n, С) — SL(n, С). Такие же алгебры Ли имеют их фак-
торгруппы вида G/N, где N — дискретный нормальный делитель, со-
держащийся в центре. Так как сам центр Z для каждой из этих групп
конечен, то мы получаем вместе с каждой односвязной группой конеч-
ное число ее факторгрупп, о которых говорили в § 16.
Точно так же, теория простых вещественных групп Ли сводит-
ся к теории простых алгебр Ли над полем R. Их изучение проводится
методами, аналогичными тем, о которых мы говорили в § 11, где изуча-
лись простые алгебры и тела над алгебраически незамкнутыми полями.
Именно, точно так же, как это было сделано в § 11 для ассоциативных
алгебр, операция расширения основного поля = !£ ® К' определя-
ла
ется и для случая, когда !£ — алгебра Ли над полем К, а К' — расши-
рение этого поля. Доказывается, что если £ — простая алгебра над К,
то — или простая алгебра над С, или прямая сумма двух изоморф-
ных простых. Таким образом, задача исследования простых алгебр над
полем К сводится к аналогичной задаче для поля С. Именно таким об-
разом можно обосновать понятие «вещественных аналогов комплексной
группы Ли (?», о котором говорилось в § 16.
Укажем, наконец, на связь алгебр Ли с механикой.
Пример 14. Рассмотрим движение по инерции твердого тела с
закрепленной точкой. Поскольку на тело не действуют внешние силы,
закон сохранения момента количества движения J дает:
dt =°' (Ю)
Пусть движение описывается, как в примере 13, кривой g(t) G SO(3).
Введя момент J = g~rJ в системе координат, жестко связанной с те-
лом, мы перепишем уравнение (10), после очевидных преобразований,
в виде
f + Р, J\ = О- (И)
Эти уравнения (их 3 соответственно трем координатам вектора J) на-
зываются уравнениями Эйлера. Их можно рассматривать как уравнения
для J, так как связь между w и J осуществляется при помощи тензора
инерции I:
J =
(12)
260
Шафаревич И. Р.
где I — симметрическое линейное преобразование, не зависящее от t.
Преобразование I определяет кинетическую энергию по формуле
T=1(J,S) = 1(I(5),5) (13)
и поэтому является положительно определенным.
В формулах (11) [ , ] обозначает векторное произведение, но со-
гласно примеру 9 может быть интерпретировано и как коммутирова-
ние в алгебре о(3). В таком виде уравнения (11) могут быть обобще-
ны на очень широкий класс групп и алгебр Ли. При этом энергия Т
интерпретируется как риманова метрика на группе Ли G, инвариант-
ная относительно левых сдвигов (так как преобразование I в форму-
ле (13) постоянно). Она определяется симметрическим преобразовани-
ем ,2'(<7) —> .'£(Gy*. Так как за ш берется (по аналогии со случаем твер-
дого тела и группы SO(3)) элемент алгебры .2'(О'), то J 6 У£(С)* и для
него может быть написано уравнение (11). Доказано, что для любой про-
стой группы Ли соответствующая динамическая система вполне интег-
рируема (ср. пример 26 § 15). Оказывается, что такие уравнения в ряде
случаев имеют интересный физический смысл. Например, случай, ког-
да G есть группа всех движений трехмерного евклидова пространства
(G = 0(3) • Т, где Т — группа параллельных переносов), соответству-
ет движению тела по инерции в идеальной жидкости. Имеет физичес-
кий смысл и случай группы SO(4). Но наиболее интересным является
случай «бесконечномерной группы Ли» всех диффеоморфизмов много-
образия — алгеброй Ли ее является алгебра Ли всех векторных полей.
Этот случай связан с явлениями типа движения идеальной жидкости.
Однако он не укладывается в стандартную теорию групп и алгебр Ли,
и теория находится здесь, по-видимому, на эвристическом уровне.
Г. Другие неассоциативные алгебры. Теория алгебр Ли очень
убедительно показывает, что глубокие и важные результаты в теории
колец необязательно связаны с требованием ассоциативности. Пожа-
луй, алгебры Ли — это самый яркий пример важных для всей матема-
тики неассоциативных колец. Но существуют и другие.
Пример 15. В примере 5 §8 было рассказано о записи кватерни-
онов в виде Zi + Zzj, где Zi и z--> — комплексные числа. В таком виде
умножение кватернионов описывается очень просто: если предполагать
выполненными все аксиомы кольца, то достаточно указать, что j2 = —1
§ 19. Алгебры Ли и неассоциативная алгебра 261
и jz = ZJ (и что действия над комплексными числами производятся так
же, как в поле С). Можно попытаться пойти дальше по этому пути, по-
строив алгебру размерности 8, состоящую из элементов вида gx + q2l,
где Qi и дг — кватернионы; а I — новый элемент. Оказывается, так мож-
но прийти к интересному неассоциативному телу. Если постулировать
все аксиомы кольца, кроме ассоциативности умножения, то нам доста-
точно указать произведения вида gx -q2, qitqzl), (?i0?2, ((ZiOteO- Мы
будем считать, что кватернионы перемножаются как элементы тела Н,
и положим, сверх того,
?1(<Ы) = (<?2<?1Х, (Qi0?2 = (?i«2)f,
(gJ)(g2/) =
Здесь q означает кватернион, сопряженный q.
Иными словами, умножение определяется формулой
(Pi +РгО(?1 + =PiQi - q2P2 + (<?2Pi + P2<hX-
Все аксиомы кольца, кроме ассоциативности умножения, легко про-
веряются. Элемент 1 £ И является единицей нового кольца. Оно
является алгеброй над R размерности 8: базисом является, напри-
мер, {1, г, j, к, I, il, jl, kl}. Построенная алгебра называется алгеброй
Кэли или алгеброй октав и обозначается О.
Для и £ О, и = qi + q2l, положим и = gx -q2l, |w| = (|Qi|2 + l^l2)1/2,
Spw = Regx. Легко видеть, что ий = йи = |ы|2, Spur = Spww. Эле-
мент и удовлетворяет квадратному уравнению
и2 - (Sp и)и + |ы|2 = 0. (14)
Алгебра О обладает следующим свойством, являющимся ослаб-
лением требования ассоциативности: произведение трех элементов не
зависит от расстановки скобок, если два из них совпадают. Иными
словами,
u(uv) = (uu)v, (uv)v = u(vv), u(vu) = (uv)u
(третье является следствием первых двух). Кольца, обладающие этим
свойством, называются альтернативными. Можно доказать, что в них
подкольцо, порожденное любыми двумя элементами, ассоциативно. ►
262
Шафаревич И. Р.
Из приведенных выше свойств следует, что для и 0 эле-
мент ы-1 = |ы|“2й является обратным и u(u~1v) = v, (vu~1)u = v,
т. e. алгебра О является неассоциативным телом.
Нетрудно проверить, что |ш>| = |м| • |i>|. В базисе 1, г, j, к, I, il, jl, kl
это дает любопытное тождество:
(8 \ / 8 \ 8
52ж? I = 52
1 / \ 1 / 1
где Zi — целочисленные билинейные формы от Xi, ... , Xg и у±, ... , yg.
Существование алгебры О является причиной целой серии инте-
ресных явлений «маломерной» геометрии (в размерностях 6, 7 и 8).
Например, заметим, что для любой плоскости Е = Жм + Жг С О сово-
купность элементов w £ О, для которых wE С Е, образует подалгеб-
ру С(Е), изоморфную полю комплексных чисел. Это легко проверить
(надо воспользоваться альтернативностью алгебры О, подалгебра С(Е)
натянута на 1 и а = хи-1). Любое 6-мерное подпространство F С О
может быть задано уравнениями
8р(жы) = 0, и £ Е, где Е— некоторая плоскость.
Отсюда следует, что Fa С F для а £ С(Е) (надо воспользоваться легко
проверяемым свойством: Sp(w(ww)) = Sp((ww)w). Таким образом, каж-
дое шестимерное подпространство F С О обладает естественной струк-
турой трехмерного пространства над С. В частности, если X С О —
гладкое 6-мерное многообразие, то это относится и к его касательным
пространствам в разных точках, причем получающаяся комплексная
структура гладко зависит от точки. Многообразия с этим свойством на-
зываются квазикомплексны.ми. Стандартный пример квазикомплексно-
го многообразия — комплексное аналитическое многообразие. Мы ви-
дим, что любое 6-мерное гладкое ориентируемое подмногообразие в Ж8
является квазикомплексным. Однако очень редкие из них определяются
комплексной структурой, на том же многообразии. Например, квази-
комплексная структура, возникающая таким образом на шестимерной
сфере S6, не определяется никакой комплексной структурой.
Другое применение октав связано с исключительными простыми
группами Ли (см. § 16) — например, компактными. А именно, компакт-
ная исключительная простая группа Ли Сг изоморфна связной компо-
ненте группы автоморфизмов алгебры О. Группы Eg и F,\ также реа-
§ 19. Алгебры Ли и неассоциативная алгебра
263
лизуются как двумерная «проективная» и «ортогональная» группы, свя-
занные с О.
Наконец, алгебры Кэли играют особую роль с чисто алгебраической
точки зрения. Обобщенной алгеброй Кэли называется алгебра размер-
ности 8, состоящая из элементов вида </i + q^l, где q^ принадлежат
некоторой обобщенной алгебре кватернионов над полем К (см. § 11)
и умножение задается формулой
(Pi +РгО(91 + =PiQi + 79гР2 + (<ЙР1 +P2<h)/,
где 7^0 — некоторый элемент поля К. Эта алгебра всегда альтерна-
тивна и проста. Она является неассоциативным телом тогда и только
тогда, когда уравнение гдгд — 772 </2 = 0 не имеет ненулевых решений
в алгебре кватернионов.
Оказывается, что любое альтернативное тело или ассоциативно,
или изоморфно некоторой обобщенной алгебре Кэли. Любое альтерна-
тивное простое кольцо или ассоциативно, или изоморфно обобщенной
алгебре Кэли.
Как и при помощи ассоциативных тел, можно построить проек-
тивные плоскости с «координатами» в произвольном альтернативном
теле. Это — один из простейших примеров недезарговых проективных
плоскостей (см. §10). Они имеют простую геометрическую характе-
ристику — должна выполняться некоторая ослабленная форма теоремы
Дезарга. ►
Существуют и некоторые другие типы ассоциативных алгебр, те-
ория которых может быть построена с достаточной полнотой (хотя бы,
в предположениях конечной размерности и простоты) и которые име-
ют математические применения. Но никакой общей теории неассоциа-
тивных алгебр (сопоставимой в этом смысле с теорией ассоциативных
алгебр или алгебр Ли) до сих пор не существует. Может быть, она и во-
обще невозможна? Ведь произвольная конечномерная неассоциативная
алгебра задается таблицей умножения djk, не связанной никакими огра-
ничениями, так что это — произвольный тензор С G L®L®L*, опреде-
ленный с точностью до преобразования из Aut(L). Но тогда возникает
вопрос: каковы те естественные ограничения, при которых такая тео-
рия существует? Как понять с единой точки зрения теорию простых ас-
социативных алгебр, алгебр Ли, альтернативных и еще некоторых дру-
гих типов? Тестовой задачей может здесь служить вопрос о строении
неассоциативных (то есть, не обязательно ассоциативных) тел над Ж.
264
Шафаревич И. Р.
Здесь существует замечательный факт: такие тела имеют размернос-
ти только 1, 2, 4 и 8. Однако алгебраическое доказательство этого ре-
зультата неизвестно. Существующее доказательство — топологическое
и основано на исследовании топологических свойств отображения
(Ж”\0) х (Ж”\0) -> Ж”\0,
определенного умножением в алгебре (которая отождествляется с Ж").
§ 20. Категории
Понятие категории и несколько других связанных с ним понятий
образуют математический язык, обладающий особой спецификой срав-
нительно со стандартным языком теории множеств и оттеняющий не-
сколько иной характер математических построений. Начнем его опи-
сание с примера.
Мы будем пользоваться диаграммами, изображая множества точка-
ми, а отображения множества X в множество Y — стрелками, ведущи-
ми из точки, изображающей множество X, в точку, изображающую Y.
Если на диаграмме изображены множества X, А±, А2, ... , Ап, Y и ото-
бражения Л : X Аъ f2 : Ai А2, ... , fn+1: Ап ->Y, то fn+1... fafa
является некоторым отображением X в Y. Если для любых выборов
таких множеств А, и отображений возникает одно и то же отобра-
жение X в Y и если это верно для любых множеств X и Y, изображен-
ных на диаграмме, то диаграмма называется коммутативной. Примеры
коммутативных диаграмм: Диаграммы
коммутативны, если vu = gf и h = vu = gf соответственно.
Перейдем теперь к самому примеру. В теории множеств существу-
ют две операции над произвольными множествами X и Y (которые не
§ 20. Категории
265
предполагаются содержащимися в едином множестве): несвязное объ-
единение или сумма, обозначаемая X + Y, и произведение, обозначае-
мое X х Y (состоящее из пар (ж, у), х £ X, у £ У). Эти операции
можно описать не конструкцией, как мы это сделали выше, а их об-
щими свойствами. Например, для суммы X + Y заданы отображения
вложения f-.X^-X + Y и g: Y -4- X + Y, причем выполнено следу-
ющее свойство универсальности: для любого множества Z и отображе-
ний и : X Z и v : Y -4 Z существует и притом одно единственное
отображение h : X + Y -4 Z, для которого будет коммутативна диа-
грамма
Z
Точно так же, для произведения X х Y определены проекции /: Хх
хУ -4 X и g: X х Y -4 У, для любого множества Z и отображе-
ний и: Z X и v: Z ^Y существует и единственное отображение
Л: 2 ч А’хУ. для которого коммутативна диаграмма
(2)
(т.е. fh = и, gh = v). Очевидно, h(z) = (u(z), v(z)).
В качестве следующего шага можно рассмотреть множества, в ко-
торых выделены некоторые специальные типы отображений, и посмот-
реть, какие конструкции определяются требованием существования
диаграмм (1) или (2). Для топологических пространств и их непре-
рывных отображений мы получим, конечно, понятие несвязной суммы
и произведения топологических пространств. Интереснее обстоит дело
266
Шафаревич И. Р.
в случае групп, если в качестве отображений рассматривать лишь их
гомоморфизмы. В случае абелевых групп и даже модулей над задан-
ным кольцом прямая сумма А ф В обладает и вложениями А А ф В,
В А ф В и каноническими гомоморфизмами АфВ —> А, АфВ —> В
(проекциями), причем выполнены свойства, изображенные как диа-
граммой (1), так и (2) (конечно, и, v и h теперь являются гомомор-
физмами, а не произвольными отображениями). Таким образом, здесь
аналоги двух операций теории множеств — несвязной суммы и произ-
ведения — сливаются. Но не так обстоит дело в случае некоммутатив-
ных групп. Для прямого произведения G х Н определены канонические
гомоморфизмы G x II G м G x II II, причем выполнены свойст-
ва, изображенные диаграммой (2). Но хотя вложения / : G G х Н
и g : Н G х Н и определены, ситуация, изображенная на диаграм-
ме (1), не имеет места. Достаточно взять за К группу, имеющую под-
группы, изоморфные G и Н, но такие, что их элементы попарно не
коммутируют, а за и и v — изоморфизмы G и Н с этими подгруппами.
Так как в G х Н элементы g £ G и h £ Н коммутируют, то ни при
каком гомоморфизме h диаграмма
К
не будет коммутативной. Все же конструкция, дающая группу с нуж-
ным свойством, существует. Она называется свободным произведением
групп G и Н. Это группа, порожденная двумя подгруппами G' и Н',
изоморфными G и Н, в которой их элементы не связаны никакими со-
отношениями, кроме выполняющихся в G' и в Н' в отдельности. Точ-
ное определение может быть дано по аналогии с определением свобод-
ной группы (пример 6 § 14). В частности, свободная группа 5г с двумя
образующими — это свободное произведение двух бесконечных цикли-
ческих групп.
Разберем еще один вариант: в качестве множеств рассматривают-
ся коммутативные кольца, являющиеся алгебрами над заданным коль-
цом К, а в качестве отображений — их гомоморфизмы как алгебр
§ 20. Категории
267
над К. Прямая сумма АфВ и ее канонические проекции f: АфВ ч Аи
g: А ф В —> В обладают свойствами, изображенными на диаграмме (2).
Хотя имеются естественные вложения /: А А Ф В и « : В А® В.
но аналог диаграммы (1) не имеет места: дело в том, что для элемен-
тов «бАи&бВвАфВ всегда ab = 0, но может существовать
кольцо С, содержащее кольца А' и В', изоморфные А и В, для которых
такое соотношение не выполнено, и тогда гомоморфизма h : С —> АфВ
с нужными свойствами нет. Легко видеть, что здесь кольцо с нужными
свойствами — это тензорное произведение Ай В (пример 3 § 12).
Проверим, в заключение, что во всех рассмотренных случаях кон-
струкция, для которой выполнены свойства, изображенные на диаграм-
мах (1) или (2), — единственна. Пусть, например, речь идет о диаграм-
ме (1) и мы имеем для заданных X и Y два таких множества: R и S.
Тогда должна быть коммутативной диаграмма
(3)
Отсюда / = hu, и = kf, т.е. / = (hk)f, и аналогично g = (hk)g.
Требование единственности отображения h в диаграмме (1), приме-
ненное к тривиальному случаю S = R, дает, что hk — тождественное
отображение R в себя. Аналогично доказывается, что и kh — тождест-
венное отображение S в себя. Поэтому R и S изоморфны.
Теперь выведем мораль из рассмотренного примера. Во всех пред-
шествующих рассуждениях играли роль множества и некоторые их ото-
бражения. Но мы нигде не использовали то, из каких элементов состоят
наши множества и как эти элементы преобразуются при наших ото-
бражениях. Играла роль лишь композиция отображений и сравнение
разных отображений друг с другом, как это особенно ярко видно при
использовании коммутативности диаграмм в последнем рассуждении
в связи с рассмотрением диаграммы (3). Такой подход и аксиоматизи-
руется понятием категории.
Категория Чз предполагает задание:
а) Множества элементы которого называются ее объек-
тами.
268
Шафаревич И. Р.
б) Для любых А и В G ОЬ^) множества Н(А, В), элементы кото-
рого называются морфизмами Ав В.
в) Для любых А, В и С £ Ob^), f £ Н(А, В) и g £ Н(В, С)
морфизма h £ Н)А, С), называемого произведением f и g и обозначае-
мого gf.
г) Для любого А £ ОЬ(Ч>) морфизма 1а £ Н(А, А), называемого
единичным. При этом должны быть выполнены условия:
Для f £ Н(А, В), g £ Н(В, С), h £ Я(С, D),
h(gf) = (hg)f.
Для f £ Я(Д В)
flA = lBf = f-
Таким образом, в теории категорий объект А £ ОЫЧ>) характери-
зуется не как множество, не тем, из каких элементов это множество
состоит, а своими «отношениями» с другими объектами В £ ОЬ(Яо).
Первичными являются его «связи», а не его «строение».
В нижеследующих примерах категорий мы будем стоять на точке
зрения «наивной» теории множеств, пренебрегая логическими проти-
воречиями, которые возникают при оперировании такими понятиями,
как «все множества», «все группы» и т. д. Специалистами разработа-
ны приемы (использующие понятие класса), позволяющие (по крайней
мере, по мнению большинства специалистов) от этих противоречий из-
бавиться.
Пример 1. Категория ^et, объектами которой являются произ-
вольные множества, а морфизмами — их произвольные отображения.
Пример 2. Объектами категории являются произвольные подмно-
жества заданного множества X, а морфизмами — их вложения (таким
образом, Н(А, В) или пусто, или состоит из одного элемента). Вари-
ант: X — топологическое пространство, объекты — его открытые мно-
жества, морфизмы — их вложения.
Пример 3. Категория Хор. объектами которой являются тополо-
гические пространства, а морфизмами — непрерывные отображения.
Варианты: объекты — дифференцируемые (или аналитические) мно-
гообразия, морфизмы — их дифференцируемые (или аналитические)
отображения. Другой важный вариант: объекты — топологические про-
странства (X, жо) с отмеченной точкой хц, морфизмы — непрерывные
§ 20. Категории
269
отображения f: X —> У, переводящие отмеченную точку в отмечен-
ную, т. е. такие, что /(жо) = Уо- Эта категория обозначается Siopo-
Пример 4. Категория it of топологических пространств с точнос-
тью до гомотопического типа. Два непрерывных отображения f: X —> Y
и g: X —> Y топологических пространств называются гомотопными, ес-
ли их можно непрерывно деформировать друг в друга, т. е. если сущест-
вует такое непрерывное отображение h : X х I —> Y (где I = [0, 1] —
интервал), что h(x, 0) = /(ж), h(x, 1) = g(x). Тогда говорят также,
что f и g принадлежат одному гомотопическому типу. Пространст-
ва X и Y принадлежат одному гомотопическому типу, если существу-
ют такие непрерывные отображения f : X Y и g : Y —> X, что gf
гомотопно тождественному отображению 1% пространства X, a fg —
отображению 1у. Объектами категории it of являются топологические
пространства с точностью до гомотопического типа, а морфизмами —
их непрерывные отображения с точностью до гомотопического типа.
Аналогично определяется категория Ytoto (ср. пример 3).
Пример 5. Категория ./(одц. объектами которой являются мо-
дули над заданным кольцом R, а морфизмами — их гомоморфиз-
мы: Н(М, N) = Нотд(М, N). Категория .Modi абелевых групп обо-
значается sib.
Пример 6. Категория групп: объектами являются произвольные
группы, а морфизмами — их гомоморфизмы.
Пример 7. Категория колец: объектами являются произвольные
кольца, а морфизмами — их гомоморфизмы. Варианты: рассматрива-
ются только коммутативные кольца, или только алгебры над заданным
кольцом А (в последнем случае морфизмы должны быть гомоморфиз-
мами алгебр над А).
Пример 8. Приведем пример категории, в которой морфизмы не
определяются как отображения множеств. Он связан с «формальными
групповыми законами», о которых мы упоминали в предшествующем
параграфе в связи с теорией Ли. Более стандартный термин — фор-
мальные группы. Напомним, что так называется набор g> = (991, ... , (рп)
формальных степенных рядов
• • • -> %п'-> У\- • • • ч Уп)
270
Шафаревич И. Р.
от двух наборов переменных: X = (Ж1, , хп) и Y = (yi, ... , уп).
Коэффициенты степенных рядов принадлежат произвольному полю К,
а сами они удовлетворяют условиям: <р(0, 0) = 0,
р(Х, <^(У, Z)) = ip(ip(X, У), Z),
<р(Х, 0) = <^(0, X) = X.
Число п называется размерностью формальной группы <р. Гомо-
морфизмом группы <р размерности п в группу ф размерности т назы-
вается набор F = (/i, ... , fni) из т формальных степенных рядов от п
переменных, удовлетворяющий условиям:
F(0) = 0,
ф(Р(Х), F(Y)) = F(<p(X, У)).
Объектами нашей категории являются формальные группы, определен-
ные над заданным полем К, а морфизмами — гомоморфизмы одной
группы в другую. Если поле К имеет характеристику 0, то теория Ли
полностью сводит изучение нашей категории к изучению категории
конечномерных алгебр Ли над полем К и их гомоморфизмов. Но если
характеристика р поля К не равна 0, возникает совершенно специфи-
ческая, новая область. Уже теория формальных групп размерности 1
далеко не тривиальна и имеет важные приложения в алгебраической
геометрии, теории чисел и топологии.
Пример 9. Категория с единственным объектом, 6. В этом случае
она определяется множеством Н(@, ff), которое является произволь-
ным множеством с ассоциативной операцией — умножением и единич-
ным элементом. Это алгебраическое понятие носит название полугруп-
пы с единицей.
Пример 10. Дуальная категория ДР. Для каждой категории Чо ка-
тегория Чо* имеет те же объекты, но в ней _Н(А, В) совпадает с Н(В, А)
в ‘й’, а умножение морфизмов f и g определяется как произведение g
и / в $. Если представлять себе категорию как одну диаграмму, в ко-
торой объекты изображены точками, а морфизмы — стрелками, то Чо*
получается из Чо изменением направления стрелок.
Понятие дуальной категории приводит к некоторой двойственнос-
ти в теории категорий. Именно, любое общекатегорное понятие или
утверждение, если его применить к категории Чо*, дает в категории Чо
§ 20. Категории
271
«двойственное» понятие или утверждение, получающееся из первона-
чального «обращением стрелок».
Возвращаясь к примеру, разобранному в начале параграфа, мы мо-
жем теперь определить для любой категории операции над объекта-
ми, аналогичные сумме и произведению множеств. Для этого надо вос-
пользоваться диаграммами (1) и (2), которые имеют смысл в любой
категории. Соответствующие объекты, если они существуют, называ-
ют суммой и произведением объектов в категориях. Как мы видели,
они существуют не всегда. Например, сумма не существует в катего-
рии конечных групп, но существует в категории всех групп. Однако
если сумма или произведение существуют, то они единственны с точ-
ностью до изоморфизма — приведенное выше доказательство имеет
смысл в любой категории. (Объекты А и В называются изоморфны-
ми, если существуют такие морфизмы f £ Н(А, В) и g £ Н(В, А),
что gf = Ia, fg= 1в-) Мы можем сказать, что в категории модулей
сумма и произведение совпадают с прямой суммой модулей; в катего-
рии групп сумма совпадает со свободным, а произведение — с пря-
мым произведением групп; в категории коммутативных колец сум-
ма совпадает с тензорным произведением, а произведение — с прямой
суммой. В категории топологических пространств сумма и произведе-
ние совпадают с теми же операциями над множествами. В категории
топологических пространств с отмеченной точкой произведение про-
странств (X, Xq) и (Y, уо) — это их обычное произведение, с отмечен-
ной точкой (xq, уф). Суммой же является так называемый букет XV Y,
т.е. пространства X и Y, склеенные по точкам xq и уц. Например, бу-
кетом окружностей является «восьмерка» (рис. 40).
Рис. 40
272
Шафаревич И. Р.
Так как диаграммы (1) и (2), служащие для определения суммы и
произведения, получаются друг из друга обращением стрелок, то эти
понятия «двойственны», т. е. переходят друг в друга при переходе от
категории Ч> к дуальной категории Чо*.
В алгебре часто встречается ситуация, когда некоторый объект
(группа, модуль, гомеоморфизм,...) определяется совершенно однознач-
но (не используя какой-либо базис, систему координат и т. д). Тогда
говорят обычно о «естественной», «инвариантной» или «канонической»
конструкции. В языке категорий такая ситуация формализуется при
помощи понятия функтора.
Ковариантный функтор из категории Ч> в категорию @ — это два
отображения (обозначаемые одной буквой):
F: ОЬ^) ОЬ{3)) и для любых А, В £ ‘jf?, F: Н(А, В) -4-
—> H(F(A), F(B)), причем удовлетворяются условия:
F(U) = 1f(A), АеОЬ^)-,
F(fg) = если fg определено в
Например, в категории векторных пространств Ч> сопоставле-
ние Е —> ТГЕ пространству его тензоров ранга г очевидно согласовано
с линейными преобразованиями: если f : Е —> Е' — линейное преобра-
зование, то /(ж18.. = /(жх) 8.. .®/(жг) определяет линейное ото-
бражение ТГЕ ТГЕ'. Легко видеть, что вместе эти два отображения
определяют ковариантный функтор F = Тг — «тензорную степень».
Это функтор из Чо в Чо.
Контравариантный функтор также задается отображением F:
ОЬ(Ч>) 0Ь(3), но теперь для А, В G он определяет отобра-
жение
F: Н(А, В) H(F(B), F(A))
(в обратном порядке) с условиями:
F(U) = 1р(А) и F(fg) = F(g)F(J)
(тоже в обратном порядке). Типичным примером контравариантного
функтора является сопоставление векторному пространству сопряжен-
ного пространства.
Пример 11. Пусть А — коммутативное кольцо, М, N — моду-
ли над ним. При фиксированном модуле N положим Fn(M) = М
§ 20. Категории
273
и гомоморфизму f : М М' сопоставим такой гомоморфизм
F(J): М ® N —> М' ® N, что F(/)(m ® ri) = f(m) ® п. Таким обра-
А А
зом, Fn — ковариантный функтор из категории .Ц(>Л,\ в нее же. Поло-
жим Gy(M) = Hom^Af, N) и для f : М —> М' и <р £ НотДМ', N)
обозначим через F(f)(ip) композицию <pf. Таким образом, G'.v — кон-
травариантный функтор из категории .ИоЛ,\ в нее же. Если R — неком-
мутативное кольцо, то Gjv(M) = Ношд(7И, N) — контравариантный
функтор из категории . в sib.
Вот еще несколько примеров, в которых мы будем указывать дей-
ствие функтора только на множестве O&(^): читатель легко угадает
его действие на множествах Н(А, В).
Пример 12. Функторами являются стандартные конструкции
в топологии. Рассмотрим пространство путей H(I, X) топологичес-
кого пространства X: это множество непрерывных отображений <р :
I -а X интервала I = [0, 1] в X. Топология в Н{1, X) определяется
требованием, чтобы множество {<р, ip(I) С U}, где U С X — открытое
множество, было открытым. Так как любое отображение f £ Н(Х, У)
вместе с любым путем <р £ H(I, X) определяет путь ftp £ Н{1, У),
то H(I, X) является ковариантным функтором из категории Пор в эту
же категорию. Чаще он рассматривается в категории Порд топологи-
ческих пространств (X, Хд) с отмеченной точкой. Тогда H(I, X), по
определению, состоит лишь из тех отображений р : I -а X, для кото-
рых 99(0) = хд. Наконец, если оставить в H(I, X) лишь те отображения,
для которых 99(0) = 99(1) = Хд (это Н(S1, X), где S1 —окружность с от-
меченной точкой), то получим пространство петель 1EY пространст-
ва X. Все эти ковариантные функторы естественно переносятся и в ка-
тегорию Hot (пример 4).
Пример 13. Большинство топологических инвариантов являют-
ся группами и функторами из категорий Пор или Hot в категорию
групп или абелевых групп. Так, фундаментальная группа 7г(Х) (при-
мер 7 § 14) является ковариантным функтором из категории топологи-
ческих пространств с отмеченной точкой в категорию групп. Гомотопи-
ческие группы 7г„(Х), п > 2, группы гомологий Нп(Х, А) и группы ко-
гомологий Нп(Х. А) (об определении которых будет сказано ниже) яв-
ляются функторами из той же категории в категорию абелевых групп.
Функторы тги и Нп — ковариантны, Нп — контравариантны. Все эти
274
Шафаревич И. Р.
объекты инвариантны относительно гомотопической эквивалентности
и переносятся в категорию
Пример 14. Важным функтором является пространство функций
(скажем, вещественных) J7(JC, Ж) на множестве X. Здесь возможен ряд
вариантов: если множество X дискретно (например, конечно), то рас-
сматриваются все функции, если X — топологическое пространство, то
непрерывные функции, если X снабжено мерой, то функции с интегри-
руемым квадратом и т. д. Так как отображение f : X —> Y сопоставляет
функции ср е ^(Y, Ж) функцию cpf Е &(Х, Ж), то F(X) = &(Х, Ж) яв-
ляется контравариантным функтором из категории множеств (или то-
пологических пространств, или пространств с мерой ... ) в категорию
векторных пространств. Именно благодаря тому, что &(Х, Ж) явля-
ется функтором, любому преобразованию множества X соответствует
обратимое линейное преобразование пространства &(Х, Ж), а если G —
группа преобразований множества X, то в ^(Х, Ж) определено ее пред-
ставление. В частности, если X = G и мы рассматриваем левое дей-
ствие G на себе, то в &(G, Ж) определено регулярное представление
группы G.
Пример 15. В произвольной категории Чо любой объект А £ ОЬ(Чо)
определяет ковариантный функтор На из Чо в категорию множеств SPet.
Мы полагаем Иа(Х) = Н(А, X) и для любого f £ Н(Х, У) опре-
деляем отображение На(Г) : Н(А, X) —> Н(А, У) как компози-
цию: для g £ Н(А, X), hA(J)(g) = fg- Аналогично, НА(Х) = Н(Х, А),
А/')/) (д') = gf (f € Н(Х, У), g £ H(Y, А)) определяют контрава-
риантный функтор. Мы уже встречались с функтором hN(M) =
= Нотд(М, N) в категории .Ао<1ц (пример 11) и hgi{X) = в кате-
гории 57оро (пример 12).
Функторы На и На полезны в очень общей ситуации, когда мы хо-
тим перенести некоторую конструкцию, определенную для множеств,
на любые категории. Если Ф обозначает теоретико-множественную
конструкцию, а ф — искомую конструкцию в категории ‘Й’, то требу-
ют, чтобы функторы Иф^А) и Ф(Л,д) были эквивалентны. (Применение
функтора НА вместо На дает другую, «двойственную» конструкцию.)
При этом два функтора Fi и Fj из Чо в Sfet называются эквивалент-
ными, если для любого X £ ОЬ(Ч>) определено такое обратимое ото-
бражение <рх : Fi(X) Р2(Х), что для любого У £ ОЬ(Чо) и любо-
275
§ 20. Категории
го f G Н(Х, У) коммутативна диаграмма
Fi(X) vx >F2(X)
F1U) F2(f)
Fi(Y) VY >F2(F)
Легко видеть, что, например, определение суммы А + В в категории
СВОДИТСЯ К тому, ЧТО функторы Нд+в(Х) и Нд(Х) X Нв(Х) должны
быть эквивалентны. Произведение аналогично связано с функтором hA.
В качестве приложения расскажем об очень важном понятии груп-
пы (или группового объекта) в категории Чо. Мы будем предпола-
гать, что в Чо существуют произведения. Групповой закон на объек-
те G G ОЬ(Ч>) определяется как морфизм р G H(G х G, G). Операция
перехода к обратному определяется заданием морфизма i G H(G, G).
Наконец, существование единичного элемента проще сформулировать,
если предположить, что в Ч> существует финальный объект 6 G ОЬ(Ч>),
т. е. такой, что Н(А, 6) для любого А £ ОЬ(Ч>) состоит ровно из од-
ного элемента (точка в Si’et и в Шор, нулевая группа в sib и т. д.).
Тогда единичный элемент определяется через морфизм е G Н(6, G).
Все эти три морфизма: р, i и е должны подчиняться ряду условий,
выражающих ассоциативность умножения и другие аксиомы группы,
которые формулируются в виде требования коммутативности некото-
рых диаграмм. Но мы не будем их приводить, так как более прос-
тая эквивалентная форма тех же условий заключается в том, что для
любого A G ОЬ(Ч>) в множестве Н(А, G) определена групповая опера-
ция (отображения в группу сами образуют группу!), причем для любо-
го f G Н(А, В) отображение композиции Н(В, G) —> Н(А, G) является
гомоморфизмом. Иными словами, функтор hG должен быть функтором
из Чо в категорию групп.
Пример 16. Рассмотрим пространство петель 1LY над топологи-
ческим пространством X с отмеченной точкой xq (пример 12). Компо-
зиция петель, как она определена в примере 7 § 14, определяет непре-
рывное отображение р : SLY х SLY —> QX, обращение петли — отобра-
жение i : АХ —> QJC, а петля, сводящаяся к точке xq, — единичный
276
Шафаревич И. Р.
элемент. Эти данные не определяют группу: например, произведение
петли на обратную не равно единичной петле, а только ей гомотоп-
но. Но в категории ffloto (пример 4), как легко проверить, получается
группа.
Пример 17. Мы будем использовать конструкцию «стягивания
в точку замкнутого подмножества А топологического пространства X».
Так называется топологическое пространство, обозначаемое Х/А, те-
оретико-множественно состоящее из X\А и еще одной точки а. Тогда
определено отображение р : X —> Х/А, тождественное на X\А и пере-
водящее Ава. Открытыми в Х/А называются множества, прообразы
которых при отображении р открыты в X.
Надстройкой над топологическим пространством X называется
пространство SX, получающееся стягиванием в точки верхнего и ниж-
него основания Хх0иТх1в цилиндре X х I, где I = [0, 1], (рис. 41).
Рис. 41
В категории пространств с отмеченной точкой рассматривают
«приведенную надстройку» SX, получающуюся, если, кроме того, стя-
нуть в точку хо х I и принять эту точку за отмеченную в SX. Свой-
ства надстройки SX проще всего формулируются при помощи опера-
ции Л —произведения в категории £7оро или По определению, для
пространств (X, Xq) и (У, уо), X ЛУ = X х У/(-У х у0 ижц х У)- Легко
проверить, что эта операция дистрибутивна по отношению к операции
суммы X У У (ср. рис. 40):
X Л (У V Z) = (X Л У) V (X Л Z),
(X V У) Л Z = (X Л Z) V (У Л Z). ( )
§ 20. Категории
277
В частности, SX = S1 Л X, где S1 — окружность, полученная
из I склеиванием точек 0 и 1. Легко видеть, что SS1 = S1 Л S1 = S2
и, вообще, SSn = Sn+1 (где Sn — n-мерная сфера).
Отождествление в окружности S1 = //{0, 1} точек 0 и 1/2 дает
отображение S1 —> S1 VS1 (рис. 42), а значит, в категории £7оро и
SX SX + SX
(ввиду того, что V есть сумма в этой категории, SX = S1 Л X, и в силу
дистрибутивности операции Л).
Рис. 42
По двойственности мы имеем морфизм /у : (SX) х (SX) —> SX
в дуальной категории. «Обращение» окружности, соответствующее сим-
метрии I относительно точки 1/2, определяет отображение S1 —> S1
и, значит, i : SX SX. Отображение пространства в точку определяет
единичный элемент. Легко видеть, что таким образом SX определяет
группу в категории fflotg.
Пример 18. Группы в категориях fflotg и fflotg, построенные
в примерах 16 и 17, определяют важные инварианты, являющиеся уже
обычными группами. И это по той простой причине, что если G —
группа в категории ‘Й’, то для любого А £ ОЬ^) множество Н(А, G) по
определению является группой. Аналогично, если G £ ОЫЧ?) является
группой в дуальной категории ‘Й’*, то для любого А £ ОЬ(^) множест-
во H(G, А) является группой. Поэтому, как бы мы ни выбирали тополо-
гическое пространство R (с отмеченной точкой), для любого простран-
ства X как Н(Х, НЯ), так и H(SR, X) будут группами и функторами
из категории .fflotg в категорию групп. С одним из них мы уже встре-
чались: если R состоит из двух точек, то SR = S1 (рис. 43) и H(SR, X)
совпадает с фундаментальной группой тг(Х). Но так как Sn = SSn~1,
то и H(Sn, X) для любого п 1 является группой. Она обозначает-
ся через 7Г„(Х) и называется п-й гомотопической группой. В частнос-
ти, тг(Л’) — это tti(A’).
278
Шафаревич И. Р.
При п 2 группа тги(Х) коммутативна, и причина этого тоже
категорная. Она заключается в том, что при п 2 S" = S(SS"-2)
и для любых пространств R и X группа H(S(SR), X) коммутативна.
Действительно, представление SSR = S1 Л S1 Л R дает возможность
определить два отображения
SSR -> SSR V SSR
— используя изображенное на рис. 42 отображение S1 —> S1 V S1 для
первого множителя S1 в SSR = S1 Л S1 Л R и для второго. Отсюда
в H(S(SR), X) получаются два групповых закона, которые мы будем
обозначать точкой «•» и звездочкой «*». Они обладают свойством дист-
рибутивности: (/-g)*(w-f) = (f*u)-(g*v) — это очень легко проверяется
из определения, используя дистрибутивность операции Л (4). Кроме то-
го, единичный элемент е у обеих операций совпадает. Но отсюда уже
формально вытекает, что операции совпадают и коммутативны:
/ • g = (f * е) • (е * g) = (/ • е) * (е g) = f * g,
g- f = (e * g) • (/ * e) = (e • /) * (g • e) = / * g = / • g.
Аналогично, для любых пространств X и Y группы Н(Х, QK)
и H(SX, У) изоморфны. В частности, для любых R и X груп-
па Н(Х, QQ2?) коммутативна.
В том же духе можно дать и определение групп когомологий. Для
этого доказывается, что при любом выборе абелевой группы А сущест-
вует последовательность таких пространств Кп, п = 1, 2, 3, ..., с от-
§ 21. Гомологическая алгебра
279
меченной точкой, что
т^т{Кп) = 0 при т 0, п,
^п(Кп) — А,
Kn-i = АКп (в категории Э$?о£о).
(5)
Тогда множество Н(Х, Кп), по-предыдущему, является абелевой груп-
пой, которая и называется п-й группой когомологий пространства X
с коэффициентами в А и обозначается Нп(Х, А). (Это — не самый ес-
тественный способ определения групп когомологий и не тот, которым
они были первоначально определены: о нем будет сказано в следующем
параграфе.) Для n-мерной сферы S”:
Hm(Sn, А) = 0 прит^О, п,
Hn(Sn, А) = А,
Sn = SS'1'-1 (в категории fflot),
так что сферы Sn в этом смысле аналогичны пространствам Кп (с за-
меной групп TVi на Нг).
Многие очень яркие достижения топологии (например, связанные
с исследованием групп тгт(5”)) основывались на той идеологии, о ко-
торой мы пытались намекнуть предшествующими построениями: что
категорию ./ГвЦ можно трактовать как в значительной степени алгеб-
раическое понятие, что она во многом аналогична, например, категории
модулей и к ее изучению можно с успехом применить алгебраическую
интуицию.
§ 21. Гомологическая алгебра
А. Происхождение понятий гомологической алгебры из то-
пологии.
Алгебраический аспект теории гомологии не сложен. Цепным комп-
лексом называется последовательность
{С,,. п £ Z}
абелевых групп (причем чаще всего Сп = 0 при п < 0) и связывающих
их гомоморфизмов: дп : Сп Сп-±, называемых граничными. Коцепным
280
Шафаревич И. Р.
комплексом называется последовательность абелевых групп
{Сп, п Е
и гомоморфизмов
dn Cn+1,
называемых пограничными или же дифференциалами. При этом в случае
цепного комплекса граничные гомоморфизмы должны удовлетворять
условиям дпдп+1 = 0 для всех п £ Z, а в случае коцепного комплекса
кограничные — условиям dn+idn = 0. Таким образом, комплекс опреде-
ляется не только системой групп, но и системой гомоморфизмов, и мы
будем обозначать цепной комплекс, например, через К = {Сп, дп}.
Условие dndn-i-i = 0 в определении цепного комплекса показывает,
что образ 3n+i(C'n+i) гомоморфизма </„+i содержится в ядре гомомор-
физма дп : 1тдп+1 С Кег<7„. Факторгруппа
Кет дп/Imdn+i
называется п-й группой гомологии цепного комплекса К = {Сп, дп}
и обозначается Нп(К). Аналогично, для коцепного комплекса К =
= {Сп, dn}, Imdn_i С Кег<7„ и группа
Kerdn/Imdn_i
называется п-й группой когомологий и обозначается Нп(К).
Вот две основные ситуации, в которых эти понятия возникают.
Пример 1. п-мерным симплексом называется выпуклая оболоч-
ка п + 1 точек евклидова пространства, не лежащих в (п — ^-мер-
ном подпространстве. Комплексом называется множество, состоящее
из симплексов, примыкающих друг к другу по целым граням, причем
вместе с симплексом в комплекс входят и все его грани и каждая точка
принадлежит лишь конечному числу симплексов. Как топологическое
пространство, комплекс определяется множеством его вершин и ука-
занием того, какие из них образуют симплексы. Таким образом, это
финитный способ задания топологического пространства, аналогичный
заданию группы ее образующими и соотношениями. Топологическое
пространство, гомеоморфное комплексу, называется полиэдром, а его
гомеоморфизм с комплексом — триангуляцией. Таким образом, триан-
гуляция — это разбиение пространства на куски, гомеоморфные сим-
плексам, «хорошо» прилегающие друг к другу. На рис. 44 изображена
§ 21. Гомологическая алгебра
281
триангуляция сферы. Реально встречающиеся пространства, как пра-
вило, обладают триангуляцией; например, таковы дифференцируемые
многообразия. Но таких триангуляций много, как и заданий группы
образующими и соотношениями.
Рис. 44
Каждому комплексу X можно сопоставить цепной комплекс
К = {Сп, дп, п 0}. Здесь Сп есть ф2<т^ — свободный Z-модуль, об-
разующие которого соответствуют n-мерным симплексам <7,- комп-
лекса X. Для определения гомоморфизмов дп каждый симплекс ст,
ориентируется, т. е. выбирается определенный порядок его вершин:
п
а™ = {жо, ... , хп}. Тогда полагают дпсц = 52 (—гДе &i обозна-
k=o
чает симплекс {ж0, ... , Xk-i, Xk+i, • • • , хп}, a ej. = 1 или —1 в зависи-
мости от того, будет переход от последовательности хд, • • • , x^-i, x^+i,
... , хп к той последовательности вершин симплекса af, которая опре-
делена его ориентацией, четной или нечетной подстановкой. На всю
группу Сп гомоморфизм дп распространяется по аддитивности. Свой-
ство дпдп+1 = 0 легко проверяется. Элементы хп G Кегдп называют-
ся циклами, а уп Е Im<9„+i — границами. Группы Нп(Х) называются
группами гомологий комплекса X и обозначаются Нп(Х). Геометричес-
кий смысл элемента х Е Нп(Х) заключается в том, что это замкну-
тый n-мерный кусок пространства X, причем два куска отождеств-
ляются, если вместе ограничивают (п + 1)-мерный кусок. Например,
замкнутые кривые с и с' на торе на рис. 45 определяют один элемент
в Hi(X), а кривая d на «двойном торе» — нулевой элемент.
282
Шафаревич И. Р.
Рис. 45
Основное свойство групп Нп(Х), совершенно не очевидное, если
исходить из данного нами определения, заключается в том, что они не
зависят от триангуляции полиэдра X, а определяются лишь самим то-
пологическим пространством. Более того, они определяют ковариант-
ный функтор из категории ffiot tr триангулируемых топологических
пространств, рассматриваемых с точностью до гомотопического типа
в категорию sib абелевых групп. Иными словами, непрерывному ото-
бражению f : X Y сопоставляется гомоморфизм
: ЯП(Х) ЯП(У),
зависящий лишь от гомотопического класса отображения f и удовле-
творяющий условиям, входящим в определение функтора.
Именно «функториальный» характер групп Нп(Х) делает их столь
полезными для топологии: они определяют «проекцию» топологии в ал-
гебру. Приведем простейший пример. Легко доказать, что для п-мерной
сферы Sn,
H0(Sn)~%~Hn(Sn), Hk(Sn) = 0 при к 0, п.
Для n-мерного шара Вп, поскольку он имеет гомотопический тип
точки (стягивается в центр по радиусам),
Нк(Вп) = 0 при к 0.
Приведем теперь доказательство знаменитой теоремы Брау-
эра: всякое непрерывное отображение Ф : Вп -ь Вп имеет неподвиж-
ную точку. Если это не так, то для любой точки х G Вп проведем луч
из точки Ф(ж) в ж и обозначим через /(ж) его точку пересечения с гра-
ницей S’1-1 шара Вп. При этом непрерывном отображении /(ж) = ж
для ж G S”1-1, или f г = 1, где i — вложение S’1-1 —> Вп (в качестве его
§ 21. Гомологическая алгебра
283
границы), al — тождественное отображение S’1-1. Теперь по функто-
риальности мы имеем отображение /* n-i : —> Hn-i(Sn~1),
которое должно быть отображением в 0 (так как ffn-i(B) = 0). Но с
другой стороны, /* п-1 • i* п-1 = 1, что и приводит к противоречию.
Наряду с цепным комплексом К = {Сп, дп}, построенным выше
для произвольного полиэдра X, можно построить, взяв произвольную
абелеву группу А, цепной комплекс К ®z А = {Сп А, дп} и коцеп-
ной комплекс Нот(АГ, Л) = {Нот(С'га, Л), dn} (напомним, что функ-
тор F(C) = С ®z Л ковариантен, a G(C) = Hom(C', Л) — контравари-
антен, см. пример 11 § 20). Группа Нп(К ® Л) обозначается Нп(Х, Л),
а //"(11оп|(/<. Л)) = Нп(Х, Л). Они называются группами гомологий
и когомологий с коэффициентами в группе А. Первые являются кова-
риантными, а вторые — контравариантными функторами из катего-
рии /6ot tr в категорию sib. О группах Нп(Х, Л) мы уже упоминали
в конце § 20.
Пример 2. Пусть X — дифференцируемое многообразие и (1г —
пространство r-мерных дифференциальных форм на X. Дифференциа-
лом формы ip Е (ЛГ. записывающейся в локальных координатах как
<Р = А ... A dxir,
называется форма
dip = dfi1...ir А ... A dxir А ... A dxir.
Это выражение не зависит от выбора системы координат и определяет
гомоморфизм
д.,.:<.Г Qr+1.
Нетрудно проверить соотношение dr+idr = 0. Таким образом, К =
= {Qr, dr} — это коцепной комплекс. Его когомологии НГ(К) на-
зываются когомологиями де Рама многообразия X и обозначают-
ся Аналогично внешней алгебре векторного пространст-
ва Е; A(F) = ffiAA(F) (ср. пример 12 §5), можно рассмотреть градуи-
рованное кольцо fi(X) = всех дифференциальных форм на X. Опе-
рация внешнего умножения переносится с него на группу
которая является градуированным кольцом (и супералгеброй).
284
Шафаревич И. Р.
Связь между примерами 1 и 2 основана на операции интегриро-
вания дифференциальной формы по цепи. Именно, можно найти триан-
гуляцию многообразия X, столь «мелкую», что каждый симплекс ст,-
будет лежать в некоторой координатной окрестности, и столь глад-
кую, что гомеоморфизм его : ст ,- ст ,- с симплексом а, в евклидовом
пространстве будет достаточное число раз дифференцируемым. Тогда
(положив f р = f р для ст = G Сг, р G Qr) мы сведем
определение интеграла по цепи ст к определению j р. Используя же
диффеоморфизм fi : cfi сц, мы сведем его уже к интегрированию
формы f*p по симплексу ст в евклидовом пространстве, т. е. к вычис-
лению обычного кратного интеграла.
◄ Обобщенная теорема Стокса утверждает, что для
рг~[ Е О’1-1 и цепи cr G Сг,
dcr сг
Ввиду аддитивной зависимости интеграла по цепи от цепи, доказатель-
ство этой теоремы сводится к случаю, когда сг — симплекс в евклидо-
вом пространстве. В этой ситуации при г = 1, 2, 3 она сводится к из-
вестным теоремам Грина и Стокса, а в общем случае доказывается со-
вершенно так же. Если ввести обозначение
(с, р) = J' р для с G СТ, р Е QT
С
и распространить произведение (с, р) и на с Е Сг ® Ж, то теорема
Стокса превратится в утверждение о сопряженности оператора д в про-
странстве Сг ®R и оператора d в Elr. Из нее вытекает, что произведе-
ние (с, р) при дс = dp = 0 обращается в 0, если с = дс' или р = dp',
и, значит, переносится на пространства Hr(X, Ж) и НдЯ(Х). Теоре-
ма де Рама утверждает, что построенное произведение определяет
двойственность между этими пространствами, так что когомологии
де Рама дают аналитический метод вычисления гомологий многообра-
зий. Эквивалентная формулировка заключается в том, что пространст-
во Hg^fX) изоморфно НГ(Х, Ж). Этот изоморфизм дает возможность
перенести умножение в кольце Н^я (см. пример 2) на группу
Н*(Х, Ж) = ®НГ(Х, Ж),
§ 21. Гомологическая алгебра
285
которая становится, благодаря этому, кольцом. Конечно, существует
способ определить умножение в Н*(Х, К), не используя связь с диф-
ференциальными формами и не ограничиваясь случаем, когда X —
многообразие.
Теперь мы вернемся к алгебраической теории комплексов, причем
ограничимся коцепными комплексами — теория цепных комплексов
получается просто обращением стрелок. Комплекс Ki = {С", dn} на-
зывается подкомплексом комплекса К = {Сп, dn}, если группы С" яв-
ляются подгруппами групп Сп, а дифференциалы в них получаются
ограничениями дифференциалов dn, заданных на группах Сп (и, зна-
чит, dn(Q) С СГ+1). В этой ситуации дифференциалы переносятся
и на группы = С1 /С"', и мы получаем комплекс К2, называемый
факторкомплексом комплекса К по и обозначаемый К/К±.
Группы когомологий комплексов К, К\ и К2 = К/К\ связаны важ-
ными соотношениями. Понимая под Kerrfn ядро dn в группе Сп, мы
имеем по определению
Н'ЧК] = KerrfJl/rfJl(C'ra-1), Н'ЧК,) = (Kerd„ А CT)/dn(CT-1)-
Так как С"-1 С С"-1 и dn-± (С"-1) С rfn(C'ra-1), то, сопоставляя эле-
менту из Ker dn Aего класс смежности по большей под-
группе мы получаем гомоморфизм in : Н"(КХ) Нп(К).
Аналогично, используя гомоморфизм Сп —> = Сп/С". мы получаем
столь же очевидным образом гомоморфизм jn: Нп(К) —> Нп(К2). Су-
ществует еще один, несколько менее очевидный гомоморфизм. Пусть
х Е Нп(К2). Ему соответствует элемент у из Кег<7„ в группе Сп/С™.
Рассмотрим прообраз у этого элемента в Сп. Так как dy = О
в Cn+1/C™+1, то dy Е С'"’1’1, и из определения комплекса следует,
что dy Е Kerdn+i. Легко проверить, что класс смежности dy + dnC"
определяет элемент группы (К[ ). зависящий только от первона-
чального элемента х, но не от выбора вспомогательных элементов у
и у, и что таким образом мы получаем гомоморфизм 6п : Нп(К2) —>
—> jjn+i Все построенные гомоморфизмы объединяются в беско-
нечную последовательность:
... #”(/<!) -А> нп(к)
нп(к2) -S я"+1(ях) ... (1)
286
Шафаревич И. Р.
Эта последовательность обладает очень важным свойством, кото-
рое проще всего формулируется при помощи одного весьма полезного
алгебраического понятия. Последовательность групп и гомоморфизмов
, л Л Л А+ч
• • • ^п—1 • • •
называется точной, если для любого п образ гомоморфизма fn-i сов-
падает с ядром гомоморфизма fn. Это свойство равносильно тому,
что {Ап, fn} образуют коренной комплекс, когомологии которого рав-
ны 0. Наоборот, когомологии произвольного комплекса измеряют его
отклонение от точности. Точность последовательности
0 -> А 4 В
означает просто, что f — вложение группы А в В, а точность последо-
вательности
в 4 с о
— что g — гомоморфизм В на всю группу С. Наконец, точность по-
следовательности
— это другая запись того, что С = В/А.
Теперь можно высказать основное свойство последовательности (1)
в следующей сжатой форме:
◄ Теорема о точной последовательности кого-
мологий. Для точной последовательности коцепных комплексов
О^К^К^Кг^О
(т.е. для К? = K/Kf} последовательность (1) точна. ►
Доказательство является почти тавтологической проверкой. После-
довательность (1) называется точной последовательностью когомоло-
гий.
Если X — триангулированное топологическое пространство, аУ —
его замкнутое подпространство, состоящее целиком из некоторых сим-
плексов триангуляции пространства X, то мы можем сопоставить им
цепные комплексы Кх и Ку, причем Ку С Кх- Поэтому имеет место
точная последовательность цепных комплексов
0 Ку Кх Кх/Ку 0
§ 21. Гомологическая алгебра 287
и, как очень легко проверить, для любой абелевой группы А — точная
последовательность коцепных комплексов:
О -> IIoni(7<x/7<v. Л) -> Нош(7<х. Л) -> Нот(Яг, Л) -> 0.
Не алгебраическим, а уже геометрическим фактом является ин-
терпретация когомологий комплекса Нотп(/<х/Ку, Л). Для п 0
Hn(Kx/KY, Л) ~ Hn(X/Y, Л),
где Х/Y получается из X стягиванием Y в точку. Это утверждение
будет верным и в размерности п = 0, если слегка видоизменить в раз-
мерности п = 0 определение комплексов Кх (для X, Y и Х/Y), приняв
за группу Сд совокупность лишь тех 0-мерных цепей для ко-
торых 52 ni = 0.
Возникающие группы когомологий обозначаются Н°(Х, Л). Алгеб-
раическая теорема о точной последовательности когомологий теперь
дает нам утверждение о точности последовательности
0 -> H°(X/Y, Л) -> Н°(Х, Л) -> H°(Y, Л) -> ... -> Нга-х(У, Л) ->
-> Hn(X/Y, Л) -> Нп(Х, Л) -> Я"(У, Л) -> ... , (2)
где Нп(Х, Л) = Нп(Х, Л) при п > 0. Из нее следует, например, что ес-
ли все Нп(Х, = 0, то группы Hn(Y, Л) и Hn+1(X/Y, Л) изоморфны.
На этот результат можно взглянуть с такой точки зрения. Груп-
па Н°(Х, Л) определяет функтор из категории Жо/. tr в категорию
абелевых групп. Для пространств X, Y и Х/Y эти функторы связаны
точной последовательностью
0 -> Я°(Х/У, Л) -> Я°(Х, Л) -> Я°(У, Л),
которая, однако, не будет точной, если ее дополнить нулем в конце.
Но ее можно дополнить до точной последовательности (2), вводя беско-
нечное число новых функторов Нп(Х, А). Такая ситуация встречает-
ся часто, и рассмотренный нами частный случай подсказывает общий
принцип: если для некоторого важного функтора F(A) со значениями
в категории абелевых групп в естественных ситуациях возникают «ко-
роткие» точные последовательности, например:
0 -4- Г(В) -4- F(C) -4- Я(Л),
288
Шафаревич И. Р.
то следует подумать, нельзя ли определить семейство функторов Fn(A),
в котором F° = F и которое связано бесконечной точной последователь-
ностью типа (1) или (2). Возникающие таким образом функторы F"
называются производными функторами. Это совершенно новый способ
построения функторов. Сейчас мы приведем две иллюстрации этого
немного расплывчатого принципа. Третьей его реализации посвящен
следующий параграф.
Б. Когомологии модулей и групп. Мы уже видели в § 20 (при-
мер 11), что для фиксированного модуля А над кольцом R и «перемен-
ного» модуля М, F(M) = Нотд(Л/, А) представляет собой контравари-
антный функтор из категории Я-модулей в категорию абелевых групп.
Поэтому точная последовательность модулей
(J £ 4 Л/ 4 (J (3)
определяет гомоморфизмы
F(g) : Ношл(ЛГ, А) —> Нотд(Л£, А) и
F(/) : Нот11/>(Л/. А) -> Нотд(£, А).
Легко проверить, что последовательность
0 —> ПотпдАУ. A) F<~g\ Нотд(Л£, A) F<~?\ Нотд(£, А) (4)
является точной, однако если дополнить ее нулем в конце, то она точной
не будет. Последнее означает, что гомоморфизм F(f) не обязан быть
отображением на всю группу: это можно видеть на примере точной
последовательности Z-модулей:
0 —> pL/p2'^ — Z/p2Z —> Z/pZ —> о
при А = Z/pZ.
Однако последовательность (4) можно продолжить с сохранением
точности. Это связано с группами Ех1д(А, В), введенными в приме-
ре 2 §12. Можно показать, что, подобно группе Нотд(А, В), груп-
па Ех1д(А, В) определяет при фиксированном А ковариантный функ-
тор G(B) = Ех1д(А, В) из категории .iiodn в sib, а при фиксиро-
ванном В — контравариантный функтор Е(А) = Ех1д(А, В). Мо-
дуль М ввиду точной последовательности (3) можно считать элемен-
§ 21. Гомологическая алгебра 289
том группы Ext л (IV, £), а любой гомоморфизм р Е Нотл(£, Л) опре-
деляет гомоморфизм G(jp) : Ext л (JV, L) —> Extfl(A^, Л). В частнос-
ти, G(<p) (М} Е Extfl(JV, Л) и как функция от <р определяет гомомор-
физм д : Нотл(£, Л) —> Extfl(A^, Л). Можно показать, что последова-
тельность
О -> Поти/Л А’- Л) Нотл(М, Л) -4Д Нотл(£, Л) 4 Ext/i(JV, Л)
— точна. Но мы можем включить ее и в еще более длинную последо-
вательность
О -> НотпдОУ. Л) F'K\ Нотл(Л/, Л) F^\ Нотл(£, Л) 4
Д Ех1л(1У, Л) Ех1л(М, Л) ДЯ Ех1л(£, Л) (5)
(где E(g) и E(J) — гомоморфизмы, определяемые функтором Е(М) =
= Ех1л(Л/, Л)), и данная последовательность тоже будет точной! Это,
конечно, укрепляет надежду продолжить ее до бесконечной точной по-
следовательности.
Мы действительно построим систему абелевых групп, которую
обозначим Ех1л(Л, В); при фиксированном п и фиксированном аргу-
менте В они будут контравариантными функторами первого аргумента
и для любой точной последовательности модулей
будут связаны точной последовательностью (для всех п 0)
... -4- Ех1д-1(£, Л) -4- Ext л (АГ, Л) -4- Ext£(M, Л) -4-
-4- Ext£(L, Л) -4- Ех1д+1 (N, Л) . (6)
При этом Ех1л — это Нотл, а Ех1л — группа Ех1л.
Идея построения такой системы функторов очень проста. Пред-
положим, что наша задача уже решена и что, сверх того, нам известен
какой-то тип модулей (мы будем обозначать их буквой Р), для которых
эти функторы аннулируются:
Ех1л(Р, Л) = 0 для всех модулей Л и всех п 1.
Предположим, кроме того, что нам удалось включить модуль N в точ-
ную последовательность
0 -> L Р N -> 0
290
Шафаревич И. Р.
с модулем Р этого сорта (т. е. представить его как гомоморфный образ
модуля Р). Тогда из точной последовательности (6) следует, что груп-
па Extx(N, Л) изоморфна Ext^-1(£, Л), и мы получили индуктивное
определение наших функторов.
Дело, таким образом, за отысканием модулей Р, которые должны
аннулировать еще не известные нам функторы ExtJ. Но часть этих
функторов нам известна — это Ех1д = Ext/г, и начать надо с рассмот-
рения аннулирующих их модулей. Такой модуль Р, что Extfl(P, Л) = 0
для любого модуля А, называется проективным. Более просто это зна-
чит, что если модуль Р представляется как гомоморфный образ мо-
дуля А и В обозначает ядро гомоморфизма А—>Р, тоА~РфВ
(и проекция Л на Р совпадает с заданным гомоморфизмом А —> Р).
Таким образом, встречаясь с проективным модулем, мы как бы воз-
вращаемся в полупростую ситуацию. Простейшим примером проектив-
ного модуля является свободный модуль. Действительно, пусть РР —
свободный модуль над кольцом R и ... , х,п — система его свобод-
ных образующих (мы лишь для простоты записи считаем ее конечной).
f ё Р""
Если 0 —> L —> М —> (I — точная последовательность, то g ото-
бражает М на весь модуль РР и, значит, существуют такие элемен-
ты щ £ М, что g(y,) = Xi. Пусть М' = Ry\ + ... + Ryn — порожден-
ный ими подмодуль. Из того, что {xi = g(yi)} составляют свободную
систему образующих, следует, что то же верно и для {у^}. Отсюда лег-
ко вытекает, что g отображает М' изоморфно на и М = L ф М',
где L = Kerg.
Оказывается, класса проективных модулей уже и достаточно для
выполнения нашей программы, так как любой модуль является гомо-
морфным образом свободного и тем более — проективного. Пусть
0 -> L-> Р N -> 0 (7)
— такое представление для модуля N с проективным Р. Предположим,
что функторы Ех1д(Р, А) уже определены для г п — 1, и положим
Ext£(2V, А) = Ext™-1(£, А).
Мы опускаем несложное определение гомоморфизма
ExtJ(^) : Ext£(L', А) Ext£(L, А),
§ 21. Гомологическая алгебра
291
соответствующего гомоморфизму ip : L L'. Доказывается, что
и группы Ех1л(£, А), и гомоморфизмы Ех1л(<уз) не зависят от выбора
точной последовательности (7) для модуля N, т. е. определены вполне
корректно. Они образуют контравариантный функтор (при фиксиро-
ванных п и А) и связаны точной последовательностью (6).
Объединяя вместе п шагов, мы можем получить неиндуктивное
определение функторов Ех1л. Для этого представим в последователь-
ности (7) модуль L в аналогичной форме, т.е. включим его в точную
последовательность O^L'^P'^L^Oc проективным Р', потом
поступим так же с L' и т. д. Мы получим бесконечную точную после-
довательность
... Рп Р2 А Ро N 0 (8)
с проективными Рп, называемую проективной резольвентой модуля N.
Применяя к ней функтор Нотл(Р, А) и отбрасывая первый член, мы
получим последовательность
Нотл(Р0, А) А Нотл(Р1, А) Л ... Нотл(Рп, А) ... , (9)
которая необязательно будет точной, но будет коцепным комплексом
(из того, что (pn(pn+i = 0 в (8), по определению функтора следует,
что фп+гфп = 0 в (9)). Когомологии комплекса (9) совпадают с группа-
ми Ext£(lV, А).
Пример 3. Когомологии групп. Важнейший случай, в котором груп-
пы Ех1л(.У, А) имеют много алгебраических и общематематических
применений, — это когда кольцо R является целочисленным групповым
кольцом Z[G] группы G, так что категория P-модулей совпадает с кате-
горией G-модулей. Для G-модуля А группа ExtJ(Z, А) (где Z рассмат-
ривается как модуль с тривиальным действием) называется п-й группой
когомологий группы G с коэффициентами в А и обозначается Hn(G^ А).
Построить проективную резольвенту (или даже состоящую из
свободных модулей) для модуля Z (с тривиальным действием груп-
пы G) — это техническая и нетрудная задача. В результате получа-
ется вполне явная форма комплексов (8) и (9). Мы выпишем второй
из них. Для него G1 (равное Нотс(Р;, А)) состоит из произвольных
функций /(gi, ... , gn) от п элементов группы G со значениями в мо-
292
Шафаревич И. Р.
дуле А. Дифференциал dn : Сп Сп+1 определяется так:
(df)(gi, ... , gn+l) = gif (g2, , gn+i) +
i=n
+ • • • , gigi+l, • • • , gn) + (-l)n+1/(gl, • • • , gn)-
i=l
(Надо помнить, что f(g2, ••• , gn+i) G А и что А является модулем
над G — это определяет смысл gif(g2, • • • , gn+i)-)
Выпишем простейшие случаи
n = 0 f = a G A, (df)(g) = ga — а-
п = 1 f(g) G A, (df)(gi,g2)=gif(g2)-f(gig2)+f(gi);
п = 2 f(gi, g2) G A,
(O(gl, g2, gs) = glf(g2, g3) + f (gl, g2gs) - f (glg2, g3) - f (gl, g2).
Таким образом, H°(G, A) — это совокупность таких элементов a G А,
что ga — а = 0 для всех g G G, т. е. совокупность G-инвариантных
элементов А.
H^G, А) — это группа функций f(,g). g G G, co значениями в A,
удовлетворяющих условию
/(gig2) = f (gi) + gif (g2), (10)
факторизованная по группе функций вида
f (g) =ga-a, aG A. (11)
Если действие G на А тривиально, то №-(G, A) = Hom(G, A).
H'lG. A) — это группа функций f(gi, g2), gi, g2 G G, co значени-
ями в А, удовлетворяющих условиям
f (gi, g2ga) + gif (g2, gs) = f (gig2, gs) + f(gi, g2), (12)
факторизованная по группе функций вида
f(gb g2) = h(gig2) - ft(gi) -gi/i(g2), (13)
где ft(g) (g G G) — любая функция co значениями в A.
Приведем несколько примеров ситуаций, в которых эти группы
возникают.
§21. Гомологическая алгебра
293
Пример 4. Расширения групп. Пусть группа Г имеет нормальный
делитель N с факторгруппой Г/N = G. Как реконструировать Г по G
и N? С этим вопросом мы встречались в § 16 (напомним, что Г называ-
ется расширением G при помощи IV). Сейчас мы разберем его подробнее
в случае, когда группа N абелева. Мы будем обозначать ее теперь не N,
а А.
Для любых 7 G Г и a G А элемент у~1ау тоже содержится в А.
Более того, отображение а —> уау-1 является автоморфизмом груп-
пы А. Ввиду коммутативности группы А элемент 7Я7-1 не изменится,
если изменить у в его классе смежности по А. Следовательно, 7Я7-1
зависит лишь от класса смежности g G G = Г/А, которому принадле-
жит у. Он обозначается поэтому g(a). Таким образом, группа G дейст-
вует на А, и А превращается в G-модуль (однако с операцией, записан-
ной не аддитивно, а мультипликативно — как и операция в группе Г).
Выберем в каждом классе смежности g G G = Г/А любым об-
разом по представителю, который обозначим s(g) G Г. Вообще го-
воря, s(gi)s(g2) / s(gig2), но эти два элемента лежат в одном и
том же классе смежности по А. Поэтому существуют такие элемен-
ты f(gi, g2) G А, что
s(gi)s(g2) = f(gi, g2)s(g1g2). (14)
Элементы /(gi, g2) можно выбирать далеко не произвольно. Переписы-
вая условие ассоциативности (s(gi)s(g2))s(gs) = s(gi)(s(g2)s(gs)) при
помощи соотношения (14), мы получим для них условие
f(gl, g2g3)gl(/(g2, g3)) = /(glg2, g3)/(gl, g2), (15)
т. e. соотношение (12), записанное мультипликативно. Легко проверить,
что структура G-модуля в Ли набор элементов /(gi, g2) G a, gi, g2 G G,
удовлетворяющих условию (15), уже определяет расширение Г груп-
пы G при помощи А. Однако в нашей конструкции имелась неодно-
значность: произвол в выборе представителей s(g). Другой выбор имеет
вид s'(g) = h(g)s(g), где h(g) G А. Легко проверить, что, пользуясь им,
мы получим новую систему элементов f'(gi, g2), связанную со старой
соотношением
f’(gl, g2) = f(gl, g2)/l(gl)gl(/l(g2))/l(glg2)-1-
294
Шафаревич И. Р.
Принимая во внимание соотношение (13), мы можем теперь сказать,
что расширение группы G при помощи А однозначно задается струк-
турой G-модуля в А и элементом группы H2(G, А).
Остановимся еще на случае, когда элемент группы H2(G, А), со-
ответствующий расширению, — нулевой. Ввиду (14) это означает,
что можно выбрать такие представители s(g) классов смежности Г/А,
что s(gi, gi) = s(gi)s(g2). Иначе говоря, эти представители сами обра-
зуют группу G', изоморфную G, и любой элемент 7 G Г однозначно
записывается в виде 7 = ag1, a G A, g7 G G'. В этом случае расширение
называется распадающимся, группа Г — полупрямым произведением А
и G, а подгруппа G' — дополнением А в Г. Например, группа движений
плоскости является полупрямым произведением группы параллельных
переносов и группы вращений, а в качестве дополнения группы парал-
лельных переносов можно выбрать группу вращений вокруг какой-ни-
будь фиксированной точки. Насколько однозначно в общем случае опре-
деляется дополнение в распадающемся расширении? Речь идет о другом
выборе представителей s'{g) = f(g)s(g), f(g) G А. Для того чтобы они
тоже образовывали группу, нужно, как легко видеть, чтобы удовлетво-
рялось соотношение:
f(glg2) = f(gl)gl(f(g2^,
т. е. соотношение (10), записанное мультипликативно. Но существу-
ет «тривиальный» способ построения из одного дополнения других —
трансформирование при помощи элемента a G А, когда G' заменя-
ется на G" = aGa-1. Легко видеть, что при этом /(g) заменяется
на /(g)ag(a)-1. Ввиду соотношения (11) мы получаем, что дополнения
в полупрямом произведении А и G описываются (с точностью до со-
пряженности элементами из А) группой //'(G. А).
Пример 5. Когомологии дискретных групп. Предположим, что X —
триангулируемое топологическое пространство, имеющее гомотопичес-
кий тип точки, а группа Г действует на X дискретно и свободно
(см. §14). В этом случае можно построить такую триангуляцию про-
странства X, что Г будет свободно действовать на ней. Тогда груп-
па n-мерных цепей Сп будет свободным Г-модулем, а цепной комп-
лекс {Сп, дп} будет проективной (даже состоящей из свободных моду-
лей) резольвентой модуля Z. Теперь простое сопоставление определе-
ний показывает, что для любой абелевой группы А, рассматриваемой
§ 21. Гомологическая алгебра
295
как Г-модуль с тривиальным действием, группы когомологий Н"(Г, Л)
имеют геометрическую реализацию — они изоморфны группам кого-
мологии Нп(Г\Х, Л) пространства Г\Х (ср. пример 1). Любую груп-
пу Г можно реализовать как группу преобразований, удовлетворяю-
щую сформулированным выше условиям. На этом пути получается гео-
метрическое определение групп Нп(Г, Л).
Эта ситуация реализуется, в частности, когда X = G/К, где G —
связная группа Ли, а К — ее максимальная компактная подгруппа,
так как в этом случае X гомеоморфно евклидову пространству. Пусть
Г С G — дискретная группа, не имеющая элементов конечного порядка.
Тогда Г свободно действует на пространстве классов смежности G/К
левыми сдвигами, и мы видим, что
Нга(Г, Л) ~ Hn(r\G/K, Л).
В частности, ввиду конечномерности пространства Г\С?/АГ,
Н"(Г, Л) = 0 для всех п, начиная с некоторого. Для групп Нп(Г, Z)
мы можем ввести понятие эйлеровой характеристики
Х(Г, Z) = £(-l)"rgffn(r, Z),
где rg — ранг. Мы видим, что у(Г, Z) = x(T\G/K), где справа стоит
топологическая эйлерова характеристика для пространства X, опре-
деляемая как
X(X) = £(-l)«dimRff«(X, R).
В частности, это применимо к случаю, когда G — алгебраичес-
кая группа над полем Q, а Г является ее арифметической подгруп-
пой: Г С G(Z) и имеет в G(Z) конечный индекс (ср. §15, В). В этом
случае у(Г, Z) часто имеет тонкий арифметический смысл, например,
выражается через значения ((-функции Римана в целых точках. Так,
для любой подгруппы Г С SL(2, Z), имеющей конечный индекс и не
имеющей элементов конечного порядка,
(г т/У (что ’t/у rV( (SL(2, Z) : Г)
х(г, Z) = (SL(2, Z) : Г)((-1) =---------.
Наконец, упомянем о еще одном очень важном применении когомо-
логий групп. Пусть К — поле и L/K — его расширение Галуа с группой
296 Шафаревич И. Р.
Галуа G (ср. § 18, А). Группа L* отличных от 0 элементов поля L с опе-
рацией умножения является G-модулем, и ее когомологии Hn(G, L*)
имеют очень много применений как в алгебраических вопросах, так и
в арифметических (если К — поле алгебраических чисел).
В. Когомологии пучков. Пусть X — топологическое простран-
ство и — категория, объектами которой являются его открытые мно-
жества, а морфизмами (пример 2 § 20) — их вложения. Контравариант-
ный функтор из категории в категорию абелевых групп называется
предпучком абелевых групп на пространстве X. Таким образом, предпу-
чок S предполагает задание для каждого открытого множества U С X
абелевой группы S(U) и для любых двух открытых множеств V С U —
гомоморфизма
Pv ; ^(t/) ^(У),
причем р% = и, если W С V С U, то = p^Pv-
Пример 6. Предпучок 6с непрерывных функций на X. По определе-
нию, 6c(U) — это все непрерывные на U функции, а ру — ограничение
функций с U на V. В связи с этим примером, и в общем случае гомо-
морфизмы ру называют ограничениями.
Предпучок S' называют пучком, если для любого открытого мно-
жества U С X и любого его представления в виде объединения откры-
тых множеств U = UUa выполняются условия:
1. Для s Е S:(U) из р^а8 = 0 для всех Ua следует, что s = 0.
2. Если sa Е &(Ua) таковы, что р^“пС7/3«а = Р^си^Р Для всех а
и /3, то существует такое s Е ^(U), что sa = pyas для всех а.
Пучки на заданном пространстве сами образуют категорию. Го-
моморфизмом пучка S' в пучок называется система гомоморфиз-
мов fy : S'iU) Sl(U) для всех открытых множеств U С X, согла-
сованная условием коммутативности диаграмм (для V С U)
S(U) ^(Е7)
Pv 4- 4- Pv
W <^(У),
где ру и ру — отображения ограничения для S' и для . Пучок S' —
подпучок пучка если S(U) — подгруппа группы ^(U) для всех от-
крытых множеств U ЕХ.
§ 21. Гомологическая алгебра
297
Определение пучка указывает на локальный характер задания
групп ^(U). Например, пучком является предпучок непрерывных
функций б’с» а если X — дифференцируемое многообразие, то пу-
чок ^dif С Ос дифференцируемых функций, для которого со-
стоит изо всех функций, дифференцируемых (т.е. имеющих производ-
ные до заданного порядка X сю) на U. Аналогично, если X — комп-
лексно аналитическое многообразие, то пучком является предпучок 6ап
аналитических функций, для которого — совокупность функ-
ций, аналитических в U. Все эти примеры мотивируют общую точ-
ку зрения, объединяющую определения различного типа пространств.
Определение должно состоять из топологического пространства X, под-
пучка О пучка непрерывных функций на нем и некоторого запаса М
моделей (кубы в Ж" с пучком дифференцируемых там функций или по-
лидиски в Сп с пучком аналитических функций) и требования, чтобы
каждая точка х G X имела окрестность U, которая бы вместе с ограни-
ченным на нее пучком О была изоморфна одной из моделей. Такая кон-
цепция дает возможность найти естественные определения объектов,
которые иначе было бы сформулировать не просто: например, «комп-
лексно аналитических многообразий с особыми точками» («комплекс-
ных пространств»). При надлежащей модификации она приводит и к
естественному определению алгебраических многообразий над произ-
вольным полем и их далеко идущих обобщений (схем).
Другие примеры пучков: пучок Qr дифференциальных форм на
дифференцируемом многообразии X (£lr(U) — совокупность диффе-
ренциальных форм на U) или векторных полей.
Пример 7. Пусть X — риманова поверхность (одномерное комп-
лексно аналитическое многообразие), ... , ж* G X — любой набор
точек наХ и «1, ... , п* — любой набор положительных целых чисел.
Формальная комбинация
D = HiXi + ... + nkxk
называется дивизором (условие п,- 0 обычно не накладывается). Соот-
ветствующий дивизору пучок X с определяется условием: ^£>(77) есть
совокупность функций, мероморфных в U и имеющих полюса лишь
в тех точках ... , xk, которые содержатся в U, и причем в точ-
ке Xj — кратности, не большей чем rtj.
Если f : 3- —> — гомоморфизм пучков, то Ж(77) = Ker fy опре-
деляет подпучок пучка называемый ядром f. Аналогичное опреде-
298
Шафаревич И. Р.
ление образа было бы неудачно: предпучок = Im fu, вообще го-
воря, не является пучком. Но его можно вложить в минимальный пу-
чок (U) состоит из таких s Е У, что у каждой точки х G U
существует окрестность в которой s Е 1тп/7/,- Этот пучок и на-
зывается образом гомоморфизма /. Имея понятия ядра и образа, мы
можем определить точные последовательности пучков, дословно по-
вторяя определение, данное для модулей. Для каждого пучка & и его
подпучка можно построить пучок Ж, для которого последователь-
ность 0 .Т О точна. Он называется факторпучком cP/Ш.
Важнейшим инвариантом пучка & на пространстве X является
группа &(Х). Обычно это совокупность глобальных объектов, опреде-
ленных локальными условиями. Например, для пучка дифференциаль-
ных форм — это группа дифференциальных форм на всем многооб-
разии, для пучка векторных полей — группа глобальных векторных
полей. В примере 7 — это группа функций, мероморфных на всей ри-
мановой поверхности X и имеющих полюса лишь в точках я?х, ... , xj.,
причем в кратностях не выше rii, ... , гц.. Из определения гомоморфиз-
ма пучков следует, что сопоставление пучку РР группы ^(Х) являет-
ся ковариантным функтором из категории пучков в категорию групп.
Пусть
— точная последовательность пучков. Легко проверить, что последова-
тельность групп
точна, но она не будет точной, если дополнить ее нулем. Вот пример это-
го явления. Пусть X — риманова сфера, a 6ап — пучок аналитических
на ней функций. Для определения пучка Ж выберем конечное множес-
тво точек Ф = {Ж1, ... , Xk} С X, припишем точке ж; свой экземпляр
группы комплексных чисел Ci и положим = ®Cj, где сумма
распространена на Xj Е Ф П U. Сопоставление функции f Е &&n(U) на-
бора {f(xj)} Е фСу для Xj Е Ф A U определяет гомоморфизм 6&п Ж
с образом Уб. Если — его ядро, то мы получаем точную последо-
вательность 0 —> —> Аап —> J#3 —> 0. В ней б’ап(^) = С по теореме
Лиувилля, а = Cfc по определению, и поэтому при k > 1 даже
последовательность б’ап(-У) —> —> 0 не точна.
Мы находимся в той же ситуации, которую уже обсуждали, и на-
шей задачей будет построение таких функторов Fn из категории пуч-
§ 21. Гомологическая алгебра
299
ков на пространстве X в категорию групп, что = S'(X) и для
точной последовательности 0 F .F О точна последова-
тельность
... ^ Рп-\Ж) Fn(%) Fn{S) РГ1(Я) Рп+1(У) ^ .... (16)
Рассуждать мы будем так же, как при построении функторов Ext™.
Предположим, что функторы Fn с нужными свойствами построены,
что мы знаем класс пучков (которые будем обозначать 12), для кото-
рых Fra(^) = 0 при п 1, и что мы представили пучок S как подпучок
такого пучка FL Тогда мы будем иметь точную последовательность
и соответствующую точную последовательность типа (16). Из того,
что Fra(12) = 0, мы получим, что Fn(cF) = Fn~x{S€}, а это даст ин-
дуктивное определение функторов Fn.
Теперь переходим к построению пучков S с нужным свойством.
Так как, в частности, для них F1(^) = 0, то если такой пучок входит
в точную последовательность 0 12 .F 0. то последова-
тельность 0 —> £(Х) -ч- •'Р(Х) -4- ^(Х) —> 0 должна быть точной (это
вытекает из рассмотрения первых 4-х членов последовательности (16)).
Один класс пучков с таким свойством известен — так называемые вя-
лые пучки. Пучок S называется вялым, если для него все гомоморфиз-
мы рц : ^(Х) —> £(U) для U С X являются гомоморфизмами на всю
группу .2(F). Элементарное рассуждение показывает, что для вялого
пучка S и точной последовательности пучков 0 12 . F О
последовательность групп 0 —> 2(Х) A- J?(X) А ^(Х) —> 0 точна.
Типичным примером вялого пучка является пучок П, для которо-
го 2(F) есть множество всех функций на F (вещественно- или комп-
лекснозначных). Пучки 6с, ^dif, являются его подпучками. Ана-
логичным образом, любой пучок является подпучком вялого. Мы нахо-
димся теперь в ситуации, совершенно аналогичной той, которая была
рассмотрена в разделе Б, и можем дать определение новых функто-
ров Fn сначала индуктивно: если пучок S входит в точную последо-
вательность пучков 0—>1?—>2—>0с вялым 2., то Fn(S) =
= А1'"' 1 (I't'); F°(J?) = S^X). Доказывается, что группы Fra(J?) не зави-
сят от выбора точной последовательности (I .2 2 0. Они
называются группами когомологий пучка S и обозначаются Нп(Х, S).
300
Шафаревич И. Р.
Объединяя вместе п шагов, необходимых для определения групп
Нп(Х, S'), мы можем получить неиндуктивное их определение. Точная
последовательность
0 -> & -> -> ... -> .
пучков, в которой пучки S, вялые, называется вялой резольвентой пуч-
ка S'. Применяя к ней функтор F(S') = S'(X) и отбрасывая первый
член, мы получаем коцепной комплекс
^о(Х) £п(Х) -+ ... .
Его когомологии и дают нам группы Нп(Х, S').
Приложения когомологий пучков связаны с некоторыми относящи-
мися к ним теоремами конечности. ◄ Первая заключается в том, что
для любого пучка S на n-мерном многообразии X Hq(X, S) = 0, ес-
ли q > п, так что пучок имеет только конечное число отличных от 0
групп когомологий. ► Вторая теорема конечности связана со случаем,
когда все группы S(U) являются векторными пространствами (над
полем К или С), а гомоморфизмы ру — линейными преобразования-
ми. Тогда и группы Hq(X, S') являются векторными пространствами,
и возникает вопрос об их размерностях. Особенно интересна размер-
ность пространства Н°{Х, S) = S^X) — обычно наиболее важного
инварианта. Вообще говоря, эта размерность бесконечна даже в самых
простых ситуациях. Например, для пучков 6с или Н°(Х, 6с) —
это пространство всех непрерывных, а Н°(Х, б’щг) — всех дифферен-
цируемых функций на X. Однако существуют важные случаи, когда со-
ответствующие пространства конечномерны. ◄ Пусть, например, X —
это риманова сфера. Тогда Н°(Х, 6ЛП) — это пространство функций,
голоморфных во всех точках (включая бесконечно удаленную). По те-
ореме Лиувилля такие функции постоянны, т.е. Н°(Х, 6&п) = С —
одномерно. Так обстоит дело для любого компактного связного комп-
лексно аналитического многообразия X: на нем Н°(Х, 6ЛП) = С. Можно
доказать, что в этом случае и все группы когомологий Hq(X, 6&п) ко-
нечномерны над С. Так же обстоит дело с пучком голоморфных диффе-
ренциальных форм, или голоморфных векторных полей на компактном
комплексно аналитическом многообразии и с пучком Sd примера 7, ес-
ли риманова поверхность X компактна. Мы не будем точно формулиро-
вать имеющуюся здесь общую теорему, а ограничимся приведенными
примерами. ►
§ 21. Гомологическая алгебра
301
Во всех случаях, когда X — конечномерное многообразие и про-
странства Hq(X, S) конечномерны, можно определить эйлерову харак-
теристику пучка S'-.
х(Х, S) = £(-1)9 dim№(X, Я (17)
(сумма состоит из конечного числа членов ввиду сформулированной
сначала теоремы конечности).
Роль этого нового инварианта двоякая. Во-первых, эйлерова ха-
рактеристика некоторых стандартных пучков, инвариантно связанных
с многообразием, дает инварианты самого многообразия. Например,
для компактной римановой поверхности X
Х{Х, 6&п) = 1- р,
где р — род римановой поверхности X. (Заметим, что 1 — р — это
половина топологической эйлеровой характеристики у(Х, Ж) поверх-
ности X.) Аналогично, для любого компактного комплексно аналити-
ческого многообразия X эйлерова характеристика у(Х, 6&п) дает его
важный инвариант: арифметический род.
С другой стороны, эйлерова характеристика оказывается «грубым»,
легко вычислимым инвариантом. В большинстве случаев нас интере-
сует размерность первого слагаемого в сумме (17) — dim7f°(X, S'),
но это уже более тонкая задача, которая решается, например, если уда-
ется доказать, что остальные слагаемые равны 0. Так, в случае пуч-
ка Sd примера 7, связанного с дивизором D = ^riiXi на компактной
римановой поверхности X, эйлерова характеристика у(Х, Sd) зависит
не от индивидуального выбора точек Х{, а лишь от их числа d =
x(X,S>D)=x(X,6!m)+d=d+\-p. (18)
С другой стороны, можно показать, что Hq(X, S'd) = 0 при q 2,
а при d > 2р — 2 и Н^Х, S'd) = 0, так что
dim^£>(X) = 1 — р + d, d>2p — 2. (19)
Напомним, что S'o(X) — это пространство функций, мероморфных
на X и имеющих полюса в точках xt с кратностями гц. Равенст-
во (19), прежде всего, является теоремой существования таких функ-
ций. Имея в распоряжении эти функции, можно строить отображения
302
Шафаревич И. Р.
римановых поверхностей друг на друга, исследовать вопрос об их изо-
морфизме и т. д. В качестве простейшего примера, пусть р = 0, D = х
(одна точка). Из (19) мы получаем, что пространство Г?о(Х) двумер-
но. Так как постоянные функции составляют в нем одномерное под-
пространство, то мы видим, что существует мероморфная функция f
с полюсом первого порядка в точке х. Нетрудно доказать, что отображе-
ние, определенное такой функцией, является изоморфизмом римановой
поверхности X и римановой сферы, т.е. что риманова поверхность ро-
да 0 аналитически изоморфна (или, в другой терминологии, конформно
эквивалентна) римановой сфере.
Пример 8. Аналог пучка ./л примера 7 можно построить на про-
извольном n-мерном комплексно аналитическом многообразии X. Для
этого точки xi заменяют (п — 1)-мерными комплексно аналитическими
подмногообразиями, полагают D = и берут за &d(U) совокуп-
ность функций, мероморфных в U и имеющих полюса лишь в подмного-
образиях UPtCi GU, причем с кратностями щ. И в этой, гораздо бо-
лее общей ситуации сохраняется тот же принцип: можно рассматривать
подмногообразия Ci как циклы размерности 2п — 2, так что D опреде-
ляет класс гомологий в Н2П-2(Х, Z), и эйлерова характеристи-
ка х(Х, СРц) зависит лишь от этого класса гомологий (при п = 1 класс
гомологий 0-мерного цикла ^niXi определяется числом d = J^n,).
«Грубость» эйлеровой характеристики выражается теперь в том, что
она является топологическим инвариантом, зависит лишь от элемента
дискретной группы 7?2n-2(^G Z). Аналог формулы (18) существует и в
этом случае, но он, конечно, гораздо сложнее. Соотношение (18) назы-
вается теоремой Римана-Роха. То же название сохраняется
и за ее обобщением, о котором мы говорили.
§ 22. К -теория
А. Топологическая 7С-теория. Мы будем пользоваться дальше
понятием семейства векторных пространств f : Е —> X над топологи-
ческим пространством X, введенным в конце § 5, причем рассматри-
вать векторные пространства над полем С. Гомоморфизмом <р : Е —> Е'
семейства f : Е —> X в семейство f':E'—>X называется непрерывное
отображение <р, переводящее слой /-1(ж) в (//)-1(ж) и линейное в этом
§ 22. К-теория
303
слое для каждой точки х £ X. Если ip определяет изоморфизм слоев, то
оно называется изоморфизмом семейств.
Для всякого открытого множества U G X и семейства / : Е —> X
его ограничение /-1(С/) определяет семейство векторных пространств
над U.
Простейшим примером является семейство X х С”, где / — про-
екция на X, называемое тривиальным. Основной класс семейств, кото-
рый мы будем рассматривать, — это векторные (комплексные) рассло-
ения. Так называется семейство, являющееся локально тривиальным,
т. е. такое, что любая точка х £ X обладает окрестностью U, для ко-
торой семейство /-1(С7) изоморфно тривиальному семейству U х С”.
Для произвольного непрерывного отображения р : Y —> X и векторно-
го расслоения Е над X определяется его прообраз <р*(Е), слой которого
над точкой у отождествляется со слоем расслоения Е над точкой р(у).
Точное определение: р*(Е) состоит из точек (у, е) £ У х Е, для кото-
рых <р(у) = /(е). Множество классов изоморфных расслоений над задан-
ным пространством X обозначается 'Еес(Х). Благодаря операции <р* —
это контравариантный функтор Хес из категории топологических про-
странств в категорию множеств.
В множестве Хес(Х) определены операции Е ф F и Е ® F, которые
сводятся к взятию прямой суммы и тензорного произведения слоев над
одной и той же точкой X. Операция ф коммутативна и ассоциативна, но
не определяет группы ввиду очевидного отсутствия обратного. Иначе
говоря, "Уес(Х) — коммутативная полугруппа (записываемая аддитив-
но) с нулем (расслоением X х (0)) (Ср. пример 9 §20). Можно попро-
бовать сделать из нее группу так же, как из неотрицательных целых
чисел строятся все целые или из целых — рациональные. Надо отме-
тить здесь одно «патологическое» свойство сложения в Хес(Х); из того,
что а ф с = b ф с, не следует, что а = Ь. Ввиду этого нужная группа
строится из пар (a, b), а, b £ Хес(Х), причем пары (а, Ь) и (а', Ь') отож-
дествляются, если существует такое с, что афЬ'фс = а'фбфс. Сложение
пар определяется покомпонентно. Легко видеть, что множество классов
пар образует группу, в которой класс пары (а, Ь) есть разность (а, 0)
и (Ь, 0). Полученная группа обозначается К(Х). Сопоставляя расслое-
нию а £ 'Еес(Х) класс пары (а, 0), мы получаем гомоморфизм
Хес(Х) К(Х),
причем а и Ь £ 'Еес(Х) склеиваются в К(Х), лишь если существует
такое с £ Уес(Х), что афс = &фс. Легко видеть, что К(Х) определяет
304
Шафаревич И. Р.
контравариантный функтор из категории -Тор в категорию абелевых
групп. Например, если X — это точка, то 'Уес(Х) просто состоит из
конечномерных векторных пространств и, значит, его элементы зада-
ются размерностью п 0, а К(Х) ~ Z. В общем случае, изучение
группы К(Х) — это «линейная алгебра над топологическим простран-
ством X».
Дальше мы ограничимся категорией S»o компактных топологичес-
ких пространств с отмеченной точкой. Для них доказывается, что ес-
ли <р : Y —> X — гомотопическая эквивалентность, то <р* определяет
изоморфизм групп К(Х) и К (У). Таким образом, функтор К(Х) мож-
но перенести в категорию -Ж'Д). компактных пространств с точностью
до гомотопического типа (и с отмеченной точкой). Если хд 6 X —
отмеченная точка и f : Е —> X — расслоение, то сопоставление Е раз-
мерности слоя /-1(жо) определяет гомоморфизм
ч/> : К(Х) Z
(можно сказать, что ip = <р*, где р : хд —> X — вложение точки).
Ядро -ф обозначается К(Х). Эта конструкция аналогична введению
групп Н°(Х, Л) в связи с точной последовательностью (2) §21. Лег-
ко доказать, что
К(Х) = %®К(Х).
Если У С X — замкнутое подмножество У Э Хд, то отображе-
ния-вложения (У, хд) (X, хд) и сжатия У в точку: X-^X/Y (при-
чем образ У считается выделенной точкой) определяют гомоморфизмы
в последовательности
K(X/Y) К(Х) K(Y),
про которую нетрудно доказать, что она точна. Мы приходим к уже
обсуждавшейся в § 21 задаче о продолжении этой последовательности
в виде бесконечной точной последовательности.
В данном случае она решается следующим образом: обозначим
через SX приведенную надстройку пространства X (определение
см. в примере 17 §20). Положим индуктивно: К°(Х) = К(Х),
К~п(Х) = K~n+\SX). Тогда последовательность
... -> k~n-\Y) -р k~n(X/Y) -р
-р К~п(Х) -р K~n(Y) K~n+1(X/Y) ^ ...
§ 22. К-теория
305
точна (при надлежащем определении гомоморфизмов К "(У) —>
—> K~n+1{X/Y), которое мы опускаем). Это определение можно по-
яснить следующим образом. Заменим приведенную надстройку над-
стройкой SX (см. опять определение в примере 17 §20), имеющей
тот же гомотопический тип. Обозначим через СХ конус над X,
т.е. (X х Г)/(Х х 1). Считая, что X совпадает с X х 0 С СХ, мы мо-
жем сказать, что 5LY = СХ/X. Конус имеет гомотопический тип точки
(он стягивается в вершину). Поэтому вложение X СХ аналогично
представлению модуля М в виде гомоморфного образа проективного:
Р М, а СХ/Х аналогично Кег/. Тогда наше определение станет по-
хожим на индуктивное определение функторов Ext”, данное в п. Б § 21.
Вернее, однако, сказать, что оно двойственно ему (вложение простран-
ства X и отображение на модуль М поменялись местами), на что и
указывают отрицательные индексы в К~п.
Замечательным фактом этой «теории когомологий» является ее пе-
риодичность
К~п(Х) ~ К~п+2(Х). (1)
На доказательстве этой теоремы периодичности мы не можем здесь
останавливаться. Она естественно дает возможность продолжить на-
шу последовательность функторов Кп и на положительные значения п,
сохраняя условие (1). Возникающая так «теория когомологий» и назы-
вается ТГ-теорией. Конечно, существенными в ней оказываются лишь
два функтора К° и К1. По определению, №(Х) = К(Х), К~СХ) =
= k(sx).
Дадим другую интерпретацию функтора К^Х). Для этого опять
заменим приведенную надстройку SX обычной — 5LY и вспомним, что
она может быть получена как склеивание двух конусов
СхХ = (X х [0, 1/2])/(Х х 0) и С2Х = (X х [1/2, 1])/(Х х 1)
по их основаниям X х 1/2. На каждом конусе расслоение Е изоморфно
тривиальному (ввиду стягиваемости конуса). Поэтому и расслоение Е
над SX получается склеиванием расслоений С” х С\Х и С” х С2Х
по С” х X. Это склеивание осуществляется изоморфизмом tpx слоев С”
над соответствующими точками оснований конусов, т. е. семейством
отображений tpx £ GL(n, С), х G X, или же непрерывным отображени-
ем X —> GL(n, С), х <рх. Из этих соображений получается нужная
306
Шафаревич И. Р.
А 0\
0 1Г
интерпретация:
к\Х) = K(SX) = Н(Х, GL). (2)
Здесь Н< ) обозначает множество морфизмов в категории ffiot, а не-
сколько неопределенный символ GL означает, что надо брать отобра-
жения в GL(n, С) со сколь угодно большим п. Можно вложить груп-
пы GL(n, С) друг в друга: GL(n, С) —> GL(n + 1, С) как А —>
и взять их объединение: оно будет нашим пространством GL.
Tf-теория, как и всякая «теория когомологий», дает некоторую про-
екцию гомотопической топологии в алгебру. В данном случае проекция
очень точно воспроизводит оригинал, так как Jf-функторы снабжены
целым рядом операций, происходящих из операций внешних и симмет-
рических степеней векторных пространств, и эти операции «функто-
риальны», т. е. согласованы с отображениями Кп(Х) —> Кп(У), соот-
ветствующими непрерывному отображению f : Y —> X. Часто, сум-
мируя всю эту информацию, получают противоречие — это теоре-
мы несуществования тех или иных отображений. Например, наибо-
лее простое доказательство сформулированной в конце § 19 теоремы
о том, что конечномерные тела над полем вещественных чисел имеют
размерность 1, 2, 4 или 8, получается из lf-теории. Другое известное
применение lf-теории — решение старого вопроса о том, сколько ли-
нейно независимых векторных полей можно задать на n-мерной сфе-
ре (т.е. таких полей ... , 0/., что в любой точке х соответствую-
щие векторы 01 (ж), ... , 0/.(ж) линейно независимы). Если п + 1 делится
на 2'г (точно), то их число равно 2г при 4|г, 2г — 1 при г вида 4fe + 1
или 4fc + 2, 2r + 1 при г вида 4fc — 1.
Но самое красивое применение Tf-теории относится к вопросу об
индексе эллиптического оператора. Линейные дифференциальные опе-
раторы произвольного конечного порядка на дифференцируемом мно-
гообразии X были определены в примере 3 § 7. В локальной системе
координат они задаются в виде
£
...г„
дх[' ... дхг" ’
(3)
ii+.-.+in^h
где (ж) — дифференцируемые комплекснозначные фукнции. Мат-
рица (©у) размера (пц, тг) из дифференциальных операторов опреде-
§ 22. К-теория
307
ляет дифференциальный оператор в тривиальных расслоениях
© : X х Cmi -> X х С"12. (4)
Нетрудно (пользуясь локальной тривиальностью) распространить это
определение на операторы 9) : Е —> F, действующие в любых дифферен-
цируемых векторных расслоениях, но мы, краткости ради, ограничимся
случаем (4).
Выясним, что дает нам оператор (4) в одной точке многообра-
зия X. Для этого надо в (3) зафиксировать точку х, в результате че-
д
го а«1...г„(ж) превратятся в константы. Операторы — = G являются
элементами касательного пространства Тх многообразия X (см. при-
мер 13 §5), являющегося линейным пространством над полем Ж, и ©
дает нам многочлен F(£, ж) = 52 aii...inCi • • - С™” на кокасательном про-
странстве Т*. Оператор (4) определяет матрицу размера (mi, m2) из
таких многочленов (Pij(£, х)). Пусть к — максимум степеней всех мно-
гочленов Pij(£,, х) и Pfj(£, х) — их однородные составляющие, степе-
ни к. Если mi = m2 = m и Det(Fjj(£, ж)) 0 при £ 0, то опера-
тор (4) называется эллиптическим в точке х, а если это верно для
всех х £ X — эллиптическим оператором на X. Таким образом, эл-
липтический оператор © определяет в каждой точке х и для каждо-
го £ £ Т*, £ 7^ 0, линейное преобразование (Fy(£, ж)) £ GL(m), которое
мы обозначим через (т®(£, ж). Отображение (£, ж) —> (т®(£, ж) опреде-
лено для £ £ Т*, £ 0. Иначе говоря, оно определено на многообра-
зии T^\s, где — кокасательное расслоение, a s задает в каждом
слое Т* нулевую точку. Векторное пространство Ж”\(0) гомеоморф-
но Ж+ х Sn~1 и, значит, имеет гомотопический тип сферы Sn~1. Поэто-
му мы можем сказать, что (т®(£, ж) определено на некотором расслое-
нии Sx (не векторном!) над X, слоями которого являются сферы Sn~1,
и задает отображение
ст© : Sx —> GL(m, С). (5)
Это отображение называется символом эллиптического оператора ©,
и его гомотопический класс является важнейшим топологическим ин-
вариантом эллиптического оператора ©. Ввиду (2), ст® £ K^Sx), что
уже устанавливает связь с 7Г-теорией.
Перейдем теперь к формулировке «проблемы индекса». Опера-
тор © (4) дает отображение A(X)mi —> Д(Х)”12, где А(Х) — кольцо
308
Шафаревич И. Р.
дифференцируемых функций на X. Ядро этого отображения обознача-
ется Ker© С А(А')"’1'. образ — Im(©) С А (А)"'2. В теории эллиптичес-
ких операторов доказывается, что пространства Кег© и А(Х)т / Im©
(называемое коядром и обозначаемое Coker®) конечномерны. Иными
словами, пространство решений уравнения ©/ = 0, f £ A(X)m, конеч-
номерно и число условий (на g) для разрешимости уравнения ©/ = g,
f £ А(Х)т- конечно. Разность этих размерностей
Ind© = dim Ker© — dim Coker© (6)
называется индексом эллиптического оператора 9>.
Теорема об индексе утверждает, что индекс эллиптическо-
го оператора © зависит только от его символа, и дает явную формулу,
выражающую Ind© через ст®. Немного более точно можно сказать, что
на пространстве GL существуют некоторые специальные, ни от чего
не зависящие классы когомологий. Отображение acj, дает возможность
перенести их на многообразие Sx- С другой стороны, на Sx также
существуют некоторые специальные классы когомологий, уже вообще
не зависящие от оператора ©. Наконец, в кольце когомологий H*(Sx)
существует стандартный многочлен от всех указанных классов кого-
мологий, дающий класс а® £ H2n-1(S'jf, Z) максимальной размернос-
ти 2п — 1 = dim .S'л'- Из топологии известно, что №"-1(S'x, Z) = Z,
поэтому класс а® задается некоторым целым числом, которое и оказы-
вается равным Ind ©. Хотя мы говорили лишь об операторах в триви-
альном расслоении, теорема об индексе имеет место для эллиптических
операторов в произвольном расслоении.
Уже сам качественный факт зависимости индекса лишь от сим-
вола оператора © (а не от его более тонких аналитических свойств)
показывает «грубость» разности (6), аналогичную «грубости» эйлеро-
вой характеристики (17) § 21. Эта аналогия не случайна. Теорема об
индексе дает — в применении к комплексно аналитическим многообр-
азиям и некоторым очень простым действующим на них операторам —
теорему Римана-Роха, о которой говорилось в п. В §21.
Б. Алгебраическая ТГ-теория. Мы отметили в § 5 аналогию меж-
ду семействами векторных пространств / : Е —> X и модулями над
кольцом А. В частности, семейство Е —> X, как мы видели, определяет
модуль над кольцом С(Х) непрерывных функций на X. Какие модули
соответствуют в этой аналогии векторным расслоениям? Многие сооб-
ражения указывают на то, что это — проективные модули конечного
§ 22. К-теория 309
ранга (ср. п. Б, §21). Прежде всего, на это указывает следующий ре-
зультат.
◄ I. Пусть X — компактное топологическое пространство и
Е —> X — семейство векторных пространств. Модуль М над коль-
цом С(Х}, соответствующий этому семейству, будет проективным
тогда и только тогда, когда Е — векторное расслоение. Сопоставле-
ние Е «—> М определяет взаимно однозначное соответствие между
векторными расслоениями над X и конечно порожденными проектив-
ными модулями над кольцом С(Х). ►
Можно указать и некоторые алгебраические свойства конечно по-
рожденных проективных модулей, являющиеся аналогом локальной
тривиальности.
Таким образом, оправдано введение (по аналогии с п. А) полугруп-
пы П(А), элементами которой служат классы конечно порожденных
проективных модулей над кольцом А, а операцией — прямая сумма
модулей. В точности повторяя рассуждения из раздела А, мы можем
построить теперь группу А?(А) и отображение <р : П(А) —> К(А), при
котором множество ^>(П(А)) порождает К(А) и для двух проектив-
ных модулей Р, Q G П(А) их образы <р(Р) и <p(Q) совпадают тогда и
только тогда, когда существует третий модуль R £ П(А), для которо-
го Р © R ~ Q © R.
Для любого простого идеала I С А кольцо А/I вкладывается в по-
ле к и, значит, существует гомоморфизм А —> к с ядром I. Таким
образом, к является A-модулем и определена операция М Если М
конечно порожден, то М — конечномерное векторное пространст-
во над к. Можно доказать, что для целостного кольца А и проективного
модуля М размерность этого пространства не зависит от выбора идеа-
ла I и (при I = 0) равна рангу rgM модуля М (ср. §5). Функция rgM
переносится на К (А) и дает гомоморфизм К (А) —> Z, ядро которого
обозначается через А?(А). Легко видеть, что К(А) = К(А) ф Z.
Рассмотрим группы К (А) и К (А) для некоторых простейших ко-
лец.
Ч П. Если А = к является полем, то П(&) состоит из конеч-
номерных векторных пространств над к, гомоморфизм К (к) —> Z
определяется размерностью и, очевидно, является изоморфизмом, так
что К (к) = 0. ►
310
Шафаревич И. Р.
◄ III. Если А — целостное кольцо главных идеалов, то для любого
модуля М конечного типа, М = Mq ф Аг, где Mq — модуль кручения.
(Ср. II §6). Если М проективен, то он является прямым слагаемым
свободного и, значит, не имеет кручения. Поэтому Mq = 0 и М ~ Аг,
а это опять означает, что А"(А) = 0. ►
Рассмотрим кольцо А чисел вида a + b\/—5, a, b £ Z, (пример 8 § 4).
Мы видели в § 4, что идеал Р = (3, 2 ф л/—5) — неглавный. Нетрудно
показать, что ip(P) — <£>(А) £ К(А) и ip(P) <-р(А), так что К(А) 0.
◄ IV. Для кольца целых алгебраических чисел А любого поля ал-
гебраических чисел (см. конец §7) группа К(А) конечна и изоморфна
группе классов идеалов этого поля (ср. пример 1 § 12). В частности, для
кольца А, состоящего из чисел вида а + b\/—5, a, b G Z, |К(А) | = 2. ►
◄ V. Если X — компактное топологическое пространство, то груп-
пы К(С(Х\), определенные в этом пункте, изоморфны группам К(Х),
определенным в п. А. ►
Определение высших ТГ-функторов Кп(А) происходит по уже при-
вычной схеме. Прежде всего, для идеала I С А также определяется
группа К(Г) (прежнее определение не применимо, так как мы рассмат-
ривали всегда кольца с единицей). Потом конструируется точная по-
следовательность
К(1) К(А) К(А/1) (7)
и, наконец, определяются группы Кп(А), для которых Ко = К и кото-
рые продолжают (7) до бесконечной точной последовательности
• • • Кп+1{А/1) #„(/) Кп(А) Кп(А/Г) К^Г) ...
(в алгебраической Jf-теории функторы Кп ковариантны, поэтому ин-
декс п пишется внизу). Мы не будем формулировать все эти определе-
ния, а приведем лишь интерпретации некоторых из возникающих та-
ким образом групп.
Интерпретация групп Ki(A) аналогична той, которую в тополо-
гическом случае дает соотношение (2). Непрерывное отображение <р:
X —> GL(n) — это обратимая матрица с коэффициентами, непрерыв-
но зависящими от точки X, т.е. элемент GL(n, С'(Л’)) (С(Х) — коль-
цо непрерывных на X функций). Таким образом, естественной точ-
кой отправления должны быть группы GL(n, А) и, как и в разделе А,
§ 22. К-теория
311
их бесконечный предел при п —> оо, СЬ(Л). Но теперь мы долж-
ны интерпретировать и букву Н в формуле (2), т. е. вспомнить, что
отображения <р : X —> GL рассматриваются с точностью до гомото-
пии. Это значит, что мы рассматриваем факторгруппу GL(A)/ СЬ(Л)о,
где GL(?l)o — связная компонента единицы в СЬ(Л). Каков аналог этой
подгруппы в алгебраическом случае? Во многих вопросах в качест-
ве преобразований, «очевидным образом деформируемых в единичное»,
возникают матрицы вида
Е + aEij, (8)
где Eij — матрица с 1 на (г, ])-м месте и нулями на остальных, на-
зываемые элементарными. (Например, связность группы SL(n, Ж) до-
казывается на основании того, что любой ее элемент разлагается в
произведение элементарных матриц.) Подгруппа, порожденная всеми
элементарными матрицами в группе СЬ(Л), обозначается через Е(Л).
Неожиданный, хотя и вполне элементарно доказываемый факт, заклю-
чается в том, что Е(Л) — это коммутант группы СЬ(Л). (При дока-
зательстве существенно то, что мы рассматриваем объединение всех
групп GL(n, Л), п = 1, 2, .... Для индивидуальной группы это, вообще
говоря, не верно.) В частности, группа GL(A)/E(A) коммутативна. Она
и дает то, что нам нужно:
К^А) ~GL(A)/E(A).
Переход к определителю задает гомоморфизм GL(A)/E(A) —> Л* и даже
представление
КАА) = Л* ф SKAA), SKAA) = 8Ь(Л)/Е(Л)
(где, правда, безнадежно перепутались аддитивная и мультипликатив-
ная запись).
Из курса элементарной линейной алгебры известно, что для по-
ля fc, SL(n, Л) = Е(п, Л): это, по существу, следует из метода Гаусса
решения систем линейных уравнений. Поэтому S'Jfi(fc) = 0. Если Л —
евклидово кольцо, то основная лемма, на которой основывается дока-
зательство теоремы о строении модулей конечного типа, дает тот же
результат: SKi(A) = 0. Группа К± возникает (и впервые возникла)
в топологии для случая, когда А = Z[G] — групповое кольцо конеч-
ной коммутативной группы G. (G является фундаментальной группой
312
Шафаревич И. Р.
некоторого многообразия.) В этом случае она часто нетривиальна. Во-
обще говоря, гомоморфизм GL(yl) —> Ai(A) является «универсальным
определителем». В таком виде он может быть обобщен и на случай не-
коммутативного кольца А.
Группу К2 мы опишем лишь в случае, когда А = к является по-
лем. Она может быть задана образующими {а, Ь}, соответствующими
любым элементам а, b £ к, а 0, 6^0. Определяющие соотношения
имеют вид:
{«Юг, Ь} = {щ, Ь} {а2, Ь},
{а, Мг} = {а, М {а, Ъ2},
{а, 1 — а} = 1 (a^O, а 1).
(91)
(92)
(9з)
Особенно яркое применение имеет группа К2(к) к описанию тел
конечного ранга над полем к. (См. § 11 и пример 3 § 12 для определения
встречающихся понятий.)
Можно показать, что для произвольного поля к все элементы
группы Брауэра Br(fc) имеют конечный порядок: если dim,. D = п2
(ср. IV §11), то элемент, соответствующий D в группе Брауэра,
в п-й степени равен 1. Это показывает, в частности, что обобщенные
кватернионные алгебры (а, Ь), введенные в §11, определяют элементы
порядка 2 или 1 в группе Br(fc).
Мы опишем точно связь группы К2 (fc) с группой Br(fe) лишь для
элементов второго порядка этих групп и в предположении, что харак-
теристика поля к отлична от 2. В любой коммутативной группе С эле-
менты, удовлетворяющие условию с2 = 1, образуют, очевидно, под-
группу: мы будем обозначать ее С2. Элементы, имеющие вид с2, с £ С,
тоже образуют подгруппу: ее мы обозначим С2. Сопоставим теперь
любой образующей {а, Ь}, где а, b £ к, а 0, 6^0, группы К2(к}
в ее задании (9) обобщенную кватернионную алгебру (а, Ь). Нетрудно
проверить, что в группе Брауэра соотношения (9) при этом сохранят-
ся: проверка (9Х) и (92) —это простое упражнение на тензорное ум-
ножение, доказательство (9з) следует из того, что алгебра (а, Ь) тогда
и только тогда определяет единичный элемент в Br(fe), когда уравне-
ние ах2 + by2 = 1 разрешимо в к (см. (4) § 11), но а I2 + (1 — а) I2 = 1!
Таким образом, мы имеем гомоморфизм <р2 : К2(к) —> Br(fc). Как мы
видели, ip2(K2(k)) С Br(fc)2, а поэтому ^>2(lC2(fc)2) = 1. В результате
мы получаем гомоморфизм
^.К2(к)/К2^2 ^Br(fc),.
(Ю)
§ 22. К-теория
313
Основной результат заключается в том, что гомоморфизм (10) яв-
ляется изоморфизмом. Это очень сильное утверждение: ввиду описа-
ния (9) группы -Кг(&) оно дает описание группы Br(fc)2 через образу-
ющие и соотношения, причем для совершенно произвольного поля к\
Аналогичное описание имеет место и для группы состоящей из
элементов с £ Br(fc), для которых с” = 1. Так как в Br(fc) все элементы
имеют конечный порядок, то Br(fe) = UBr(fc)n, так что в результате
получается очень явное описание всей этой группы.
Все большую роль алгебраическая Jf-теория играет в арифметичес-
ких вопросах. Мы приведем примеры, которые лишь намекнут на одну
линию таких приложений: связь lf-теории со значениями ((-функции.
Классическая ((-функция Римана определяется рядом
= (Res > 1)
п=1
и аналитически продолжается на всю плоскость комплексного перемен-
ного s. Она удовлетворяет тождеству Эйлера:
Ф) = Пг^’ (И)
р
в котором произведение распространено на все простые числа. Опреде-
лим для конечного поля F? из q элементов его ((-функцию условием
Тогда тождество Эйлера (11) переписывается в виде
СИ = ПШ (12)
р
Оно хорошо вписывается в «функциональную точку зрения» на кольца
(см. §4), согласно которой кольцо Z надо рассматривать как кольцо
функций на множестве простых чисел р со значениями в полях Fp. Это
подсказывает определение ((-функции, аналогичное (12), для широкого
класса колец.
Вернемся теперь к lf-теории. В случае конечных полей F? все груп-
пы 7fn(F?), n > 1, как можно доказать, конечны. Информация об их
314
Шафаревич И. Р.
порядках может быть записана в следующей изящной форме:
|^2m(F9)|
l^2m+l(>9)|
т > 1.
= 1<Х(-™)Ь
Для случая кольца Z известные в настоящий момент факты да-
ют возможность предполагать какую-то связь между значением дзе-
та-функции Римана £(—т), где т > 0 — нечетное число (известно, что
эти значения — рациональные числа, а £(—т) = 0, если т > 0 и чет-
но), и отношениями |A?2m(Z)|/|7<2m+i(^)| (известно, что в этом случае
группы К2т(^) и K2m+i(Zi) конечны). Соотношение
неверно уже в простейшем случае т = 1, так как |Т<2(^)| = 2,
|Кз(й)| =48, но £(—1) = — Однако не исключено, что оно выпол-
няется с точностью до степеней двойки. Во всяком случае, доказано,
что знаменатель числа £(—т) делит \К2т+1(^)\- С другой стороны, ес-
ли простое число р > т, то |-Кгт(^)| делится на не меньшую степень р,
чем числитель £(—т) (при одном дополнительном условии на р, которое
гипотетически выполняется всегда и проверено дляр < 125000). Напом-
ним, что значения дзета-функции в целых точках нам уже встречались
в связи с когомологиями арифметических групп (пример 5 §21). Это
совпадение не случайно — здесь действительно имеется связь с груп-
пами Kn(Z).
Связи If-теории с теорией чисел многообразны, но не могут быть
здесь описаны с большей подробностью, так как это потребовало бы
привлечения сложных технических средств.
Комментарий к литературе
Вся работа основана на переплетении двух тем: систематического
изложения алгебраических понятий и теорий и разбора ключевых при-
меров. Мы опишем отдельно литературу по каждой из этих двух тем.
Мне кажется, что, как правило, первое издание книги бывает свежее
и интереснее последующих, хотя бы они и были технически в чем-то
совершеннее. Поэтому дальше ссылки будут всегда делаться на первые
издания из числа доступных автору.
Основные понятия алгебры: группы, кольца, модуля, поля, и ос-
новные связанные с этими понятиями теории, включая теорию полу-
простых модулей и колец и теорию Галуа, изложены в классическом
двухтомном учебнике Ван дер Вардена [106]. Хотя со времени выхо-
да в свет этой замечательной книги прошло уже более полувека, она
нисколько не устарела, для большинства излагаемых в ней вопросов и
сейчас не существует лучшего изложения.
Процесс выделения основных алгебраических понятий, перестрой-
ка алгебры в духе аксиоматизированного изложения заняли более сто-
летия. В этом процессе участвовали Гаусс, Галуа, Жордан, Клейн, Кро-
некер, Дедекинд, Гильберт. Но фиксирование результатов векового про-
цесса в форме стандартного языка алгебры заняло едва ли более одного
десятилетия — 20-е годы нашего века. Особенно велика в этом была
роль Э. Нетер. Тогда же появилась и книга Ван дер Вардена. Чтобы
почувствовать, как изменился весь дух алгебры и особенно манера ее
изложения, полезно сравнить книгу Ван дер Вардена с курсом Вебе-
ра [107], по которому учились алгебре предшествующие поколения.
Из более поздней литературы необходимо отметить посвященные
алгебре книги из серии «Элементов математики» Бурбаки [34] и [35].
Эти книги могут создать впечатление, что они могли бы служить учеб-
никами для начинающего, так как изложение в них практически пол-
ностью замкнуто и начинаются они с простейших определений. Такое
впечатление было бы, однако, совершенно иллюзорным ввиду основно-
го их принципа — рассматривать предмет в максимальной возможной
общности, и полного отсутствия материала, мотивирующего введение
316
Комментарий к литературе
понятий и направления построения теории. Однако специалист может
найти в них множество ценных деталей.
Из более специальных книг укажем на курс коммутативной алгеб-
ры Атьи-Макдональда [26], написанный с учетом интересов также и
читателей-неалгебраистов.
Специальные результаты о строении тел, приведенные в § 11, систе-
матически изложены в обзоре Дейринга [49] или в книге А. Вейля [108].
Приведенная литература покрывает, в основном, материал §§ 2-11
этой книги. С § 12 мы переходим к теории групп. Для ее основ можно
опять рекомендовать книгу Ван дер Вардена и (для некоторого рас-
ширения точки зрения) посвященные теории групп главы классичес-
кой монографии Г. Вейля [109]. Хотя примерами групп являются такие
наглядные объекты, как группы движений, наиболее стимулирующим
для выработки общего понятия группы и превращения теории групп
в самостоятельную науку был пример группы перестановок конечного
множества — а именно, множества корней уравнения. Идеи, идущие от
Лагранжа и Абеля, воплотились в работах Галуа [6]. В них можно очень
отчетливо увидеть, как возникало понимание того, что вопросы теории
полей связаны со свойствами группы Галуа именно как абстрактной
группы — хотя реализуется она как конкретная группа подстановок.
(Лагранж выразил эту идею словами — «подстановки — метафизика
уравнений»). Другим стимулом было систематическое использование
Гауссом классов вычетов и классов квадратичных форм и определение
операций над ними [60], создававшие чувство, что за этим скрывается
какое-то общее понятие.
Первым известным сочинением, посвященным теории групп, была
книга Жордана [81], богатая множеством примеров и идей, не поте-
рявших свою ценность и до сих пор. В этой книге рассматриваются
только конечные группы преобразований. С деятельностью Клейна и
Ли на первый план выдвигается рассмотрение бесконечных дискрет-
ных и непрерывных групп. Здесь мы впервые имеем повод сослать-
ся на изумительные «Лекции о развитии математики в XIX столетии»
Клейна [83]. Тот период развития теории групп, о котором сейчас идет
речь, описан в них с точки зрения одного из наиболее влиятельных его
участников. Но и по поводу развития других разделов алгебры (как и
всей математики) в ней можно найти много очень интересного.
Первая книга, посвященная абстрактной теории групп, рассмат-
ривала лишь конечные группы — это книга Бернсайда [39]. Долгое
Комментарий к литературе
317
время следующие изложения лишь улучшали ее. Наибольшего совер-
шенства удалось достичь Шпейзеру [101]. Современный курс теории
конечных групп — трехтомник Хупперта [79]. Точка зрения бесконеч-
ных групп выдвигается на первый план в книге А.Г. Куроша [14]. Ин-
тересный исторический обзор теории задания групп образующими и
соотношениями содержится в [41]. Логические проблемы теории групп
связаны с понятием алгорифма. Это понятие возникло в 30-е годы,
а в 40-х гг. привело к доказательству алгорифмической неразреши-
мости ряда конкретных алгебраических задач. В отношении изучения
имеющейся здесь литературы могу сослаться на свой опыт. Эта об-
ласть производила впечатление совершенно недоступной нелогику, по-
ка я не услышал доклад ныне покойного А. А. Маркова, воспроизведен-
ный в книге [1*], в котором все было кристально ясно. Изложение этого
круга вопросов, ориентрированное на математика-нелогика, содержит-
ся в книге Ю. И. Манина [88].
Первой книгой по теории групп Ли является трехтомное сочинение
Ли-Энгеля [87] — с ним интересно познакомиться как со свидетель-
ством рождения нового раздела науки. Более современное изложение
основных понятий можно найти в книге Л. С. Понтрягина [17], а еще бо-
лее современное (это значит, по возможности без использования систем
координат) — в книге Шевалле [42]. Изящное изложение содержится
также в книге Хохшильда [76].
По поводу алгебраических групп можно указать на обзор Шевал-
ле [45] и книги [31], [78] и [102]. Перечисление простых групп Ли можно
найти: для компактных групп в [10] и [17], для комплексных — в [98],
для вещественных групп Ли — в [62]. Классификация простых алгебра-
ических групп содержится в семинаре Шевалле [44] и книгах [78] и [102].
По поводу простых конечных групп укажем на обзор [105] и книгу Го-
ренстейна [64] (однако эта книга не содержит вывода классификации —
единого ее изложения до сих пор не существует).
Основы теории представлений конечных групп заложены Фробе-
ниусом — с его работами можно познакомиться по его собранию сочи-
нений [58] и переведенным на русский язык работам в [21]. Более со-
временное изложение можно найти в посвященных этому параграфах
монографии Г. Вейля [109] и в начальных параграфах (1-8) книги Сер-
ра [99]. По поводу представлений компактных групп см. также книги
Г. Вейля [109], Л. С. Понтрягина [17], Шевалле [42] и Д. П. Желобенко [10].
Широким обзором по теории представлений групп (Ли) является кни-
318
Комментарий к литературе
га А. А. Кириллова [12]. Введением в более современные вопросы может
служить цикл докладов, изданный под редакцией Атьи [27].
Классическим исследованием по теории представлений является
книга Г. Вейля [111]. Она сильно повлияла на дальнейшее развитие всей
области. В ней содержится, в частности, концепция «координатизации»
и идеи о связях понятий симметрии и представления, использованные
в нашей работе.
Теория Ли содержится практически во всех руководствах по груп-
пам Ли, на которые мы ссылались. Различные этапы ее оформления
можно увидеть в [87], [17], [42], [76].
По поводу алгебр Кэли (октав) укажем обзор Фрейденталя [57].
Об их геометрических приложениях см. обзор [86].
Доказательство основной теоремы об алгебрах с делением (неассо-
циативных) над полем вещественных чисел содержится в работе [25].
Понятия категории и функтора были сформулированы в работах
Эйленберга и Маклейна [54] и [55], где подробно аргументировано их
значение как нового языка для аксиоматизации математики. Система-
тическое изложение основных понятий теории категорий можно найти
в гл. II книги Хилтона и Штамбаха [73]. Некоторые ее аспекты рассмот-
рены в первых параграфах статьи Гротендика [63]. Подробное обсуж-
дение понятия группы в категории содержится в его книге [65].
Систематическое изложение основ гомологической алгебры содер-
жит книга [73]. Классическим сочинением в этой области является кни-
га А.Картана и Эйленберга [40], но она написана более абстрактно. Тео-
рия гомологии групп в духе, близком нашей статье, содержится в книге
Брауна [38]. Общие понятия теории гомологий пучков изложены в [104].
Классическим руководством, посвященным, в основном, приложениям
к теореме Римана-Роха, является книга Хирцебруха [74].
Та часть ТГ-теории, которая изложена в нашей статье, в основ-
ном покрывается двумя обзорами: по топологической 7Г-теории —
Атьи [25], по алгебраической — Милнора [91]. По поводу вопросов ал-
гебраической 7Г-теории, изложенных в конце § 22, можно указать обзор
А. А. Суслина [18], написанный, однако, менее популярно.
Наконец, в связи с тем, что мы во многих случаях использова-
ли топологические понятия и результаты (особенно в параграфах, по-
священных теории категорий и гомологической алгебре), укажем не-
которую топологическую литературу. Близко к нашей статье (ср. со
сформулированной и § 20 точкой зрения), написаны руководства Доль-
Комментарий к литературе
319
да [52] и Свитцера [103]. Но там, где больше играет роль геометрическая
наглядность, например, в связи с топологией поверхностей, незамени-
мой остается старая книга Зейферта и Трельфалля [97]. С теорией диф-
ференцируемых многообразий и интегрированием дифференциальных
форм на них можно познакомиться по книгам Шевалле [42] и де Ра-
ма [96].
Теперь перейдем к литературе, связанной с разбором отдельных
примеров. Пожалуй, наиболее богато иллюстрированная примерами те-
ма, всплывающая в работе, — это «двойственность» функциональной и
алгебраической точки зрения, интуиция элементов кольца как «функ-
ций» на множестве его идеалов (максимальных или простых), анало-
гия числа и функции. Это — очень старый комплекс идей. Собствен-
но, уже аналитическое продолжение из вещественной в комплексную
область ставит вопрос о каком-то «естественном» множестве, на кото-
ром должно функцию рассматривать. Большим шагом вперед в этом
направлении было создание понятия римановой поверхности. В рабо-
те [48] Дедекинд и Вебер определяют риманову поверхность поля ал-
гебраических функций одной переменной (поля К (С) в наших обозна-
чениях, где С — алгебраическая кривая) чисто алгебраически, как мно-
жество «гомоморфизмов» поля К (С) в К (причем к К присоединяется
символ оо). В статье Кронекера [85], опубликованной в том же номере
журнала, развертывается программа построения теории, объединяю-
щей алгебраические числа и алгебраические функции от любого чис-
ла переменных. Обсуждение идеи параллелизма число-функция можно
найти в «Лекциях» Клейна [83]. На идеях работы Дедекинда и Вебера по-
строено изложение теории алгебраических функций одной переменной
в книге [43]. В связи с вопросами топологии и логики была доказана
представимость булевых алгебр как колец непрерывных функций со
значениями в поле 1К'2 на топологическом пространстве определенного
типа (см. об этом [30]). О применении тех же идей к кольцам непре-
рывных вещественно- или комплекснозначных функций можно позна-
комиться по книге [7]. О кольцах бесконечно дифференцируемых функ-
ций см. [37], аналитических — [77]. Наконец, концепция, охватывающая
как теорию чисел, так и алгебраическую геометрию, и дающая возмож-
ность применить геометрическую интуицию к теоретико-числовым во-
просам, была разработана Гротендиком. Об этом см. его обзорный до-
клад [64], лекции Ю. И. Манина [16] и посвященную этому вопросу гла-
ву 5 в книге [22]. Сюда относится и перенесение в теоретико-числовую
320
Комментарий к литературе
область инфинитезимальных методов, в частности — построение р-ади-
ческих чисел. В качестве элементарного введения (также и в теорию
колец целых алгебраических чисел) см. книгу [4], более глубокую тео-
рию — в [108].
Другая «сквозная» тема — это «координатизации» в узком смыс-
ле, введение координат на плоскости и в проективных пространствах.
Об этом (в частности, о роли аксиом Дезарга и Паппа) см. книгу Гиль-
берта [71], а в более алгебраическом аспекте — книги [24] и [28]. Непре-
рывным геометриям посвящена книга Неймана [93].
Конечные поля, которые часто нам встречались, открыл Галуа.
В его сочинениях [6] содержится уже полная их теория. Их приложе-
ния (особенно приложения алгебраической геометрии над конечными
полями) к теории кодов изложены в обзорах [8] и [5].
Алгебраические методы в теории коммутирующих дифференци-
альных операторов начались с результата, изложенного в § 5.5 кни-
ги [80]. Эти результаты были позабыты и несколько десятилетий спустя
вновь переоткрыты. Современный обзор см. в [92].
По поводу ультрапроизведений см. [68].
Тензорные произведения, внешние и симметрические степени мо-
дулей определены в [13] и [34]. Свойства пополнений изложены в [26].
Большое число примеров связано с алгебрами Клиффорда. Они бы-
ли введены Клиффордом в прошлом веке (см. его собрание сочине-
ний [46]) и переоткрыты (в частном случае) Дираком в этом веке [51],
в связи с желанием представить линейный дифференциальный опе-
ратор второго порядка в качестве квадрата оператора первого поряд-
ка с матричными коэффициентами. Подробное современное изложение
можно найти в [35].
Переходим к примерам, связанным с понятием группы. Обсуж-
дению понятия симметрии посвящена изящная книжка Г. Вейля [112].
По поводу связи симметрий и законов сохранения в механике (теорема
Э. Нетер) см. [47] или [2]. Симметрии физических законов обсуждаются
в интересной книжке Фейнмана [56].
Из числа примеров групп, реализующихся не как группы преоб-
разований, группы Ext(A, В) рассматриваются в любом из цитирован-
ных курсов гомологической алгебры, группа Брауэра — в [49], а группа
классов идеалов — в [26].
Платоновские тела и их связь с конечными группами движений
подробно рассмотрены в книге Адамара [66]. Конечные подгруппы труп-
Комментарий к литературе
321
пы дробно-линейных преобразований комплексной плоскости — в дру-
гой его книге [1]. Симметрии решеток разбираются в книге [84].
Детальный анализ конечных групп, порожденных отражениями,
содержится в книге Бурбаки [36]. Поразительно, что те схемы, при-
веденные в § 13, при помощи которых эти группы классифицируются,
встречаются в ряде других классификационных задач. (Самая важная
из них — классификация простых компактных или комплексных групп
Ли). Обзору этих связей посвящена статья [70].
Геометрической кристаллографии посвящена книга Б. Н. Делоне
с соавторами [9]. Более современное изложение содержится в [84], где
рассматриваются также группы орнаментов и n-мерная кристаллогра-
фия. Этому вопросу посвящена также глава в книге Гильберта [72]. Пол-
ный список орнаментов, характеризующих все 17 групп, можно найти
в обзоре А. И. Мальцева [15].
Все кристаллографические группы были перечислены Е. С. Федоро-
вым (1889) и Шенфлисом (1890) (независимо друг от друга). На следую-
щий год Е. С. Федоров перечислил все группы орнаментов [19], что ука-
зывает на очень нетривиальное, для кристаллографа, понимание гео-
метрического характера проблемы. Поразительно, что такой широкий
математик, как Г. Вейль, пишет: «... математическое понятие группы
преобразований не было создано до XIX века, а только на его основе
можно доказать, что 17 типов симметрий, неявно известных египет-
ским ремесленникам, исчерпывают все возможности. Странным обра-
зом, доказательство было проведено только в 1924 г. Георгом Полна,
сейчас преподающем в Стенфорде», [112]. Еще более странно, что при-
веденная выше цитата из Г. Вейля недавно стала предметом дискуссии
в нескольких номерах издающегося для математиков журнала [89]. Од-
нако предметом обсуждения было утверждение, что египетские ремес-
ленники знали все 17 симметрий, и никто из участников не обратил
внимание на неверное утверждение о том, кто же решил математичес-
кую задачу их перечисления.
По поводу дискретных групп движений плоскости Лобачевского и
их связи с теорией римановых поверхностей см. книгу Адамара [1].
В связи с фундаментальной группой, накрывающим пространством и
группой узла сошлемся на старомодную, но геометричную книгу [97].
По поводу связи между алгоритмическими проблемами теории
групп и топологии см. [20].
322
Комментарий к литературе
Группы кос (без этого названия) были впервые рассмотрены Гур-
вицем и в геометрической форме (как они теперь обычно определяют-
ся), и в качестве фундаментальных групп — а потом переоткрывались,
много позже, отдельно в каждой из этих их реализации. Об этом см. [41].
По поводу роли торов в теореме Лиувилля см. книгу В. И. Арноль-
да [2]. Классические компактные группы тщательно разобраны в [42].
Примеры других групп Ли и важных связей между ними в специальных
размерностях см. в [13].
По поводу алгебраических групп и их связей с дискретными груп-
пами см. обзор А. Бореля [32].
Теория Гельмгольца-Ли, приведенная в качестве примера в § 17
в связи с теорией представлений, составляет содержание красивой, хотя
несколько трудной для чтения, книги Г. Вейля [110].
По поводу примеров, связанных с представлениями группы 0(4)
и с тензором кривизны четырехмерного риманова многообразия,
см. [29].
Представления группы SU(2) и их связь с квантовой механикой
разобраны в книге Г. Вейля [109].
О примерах, приведенных как применения теории групп: Теория
Галуа изложена в [106]. Кратким введением в дифференциальную тео-
рию Галуа является книга Капланского [82]. Пример групп, возникаю-
щих в теории Галуа расширений поля р-адических чисел (так называе-
мые группы Демушкина) и загадочно параллельных фундаментальным
группам поверхностей, разбирается в книге [23]. По поводу применений
к теории инвариантов см. книгу [50].
В связи с применениями представлений групп к классификации
элементарных частиц автор может лишь привести ту литературу, по
которой он с этой теорией познакомился. В основном, это лекции
Н. Н. Боголюбова [3]. Интересным введением является обзор Дайсо-
на [53]. Полезно дополнение III в книге Д.И.Желобенко [10].
По поводу интерпретации уравнений движения твердого тела в тер-
минах алгебр и групп Ли и обобщений этих связей см. книги [2] и [20].
Наиболее полный обзор по теории формальных групп — книга [69].
Более подробное рассмотрение топологических конструкций, ко-
торые приводятся в качестве примеров в связи с теорией категорий,
можно найти в книгах [52] и [103].
О группах гомологий и когомологий комплекса см. в [73]. Когомо-
логии де Рама и доказательство теоремы де Рама содержатся в [96],
Литература
323
однако проще всего теорема де Рама доказывается при помощи теории
пучков [74].
Основной пример на когомологии пучков — это теорема Рима-
на-Роха. Ей посвящена книга [74].
Основной пример на топологическую ТГ-теорию — теорема об ин-
дексе. Прекрасным введением может служить обзор [75]. Полное изло-
жение доказательства можно найти в [94].
В алгебраической if-теории теорема о связи группы Ki и группы
Брауэра поля принадлежит А. С. Меркурьеву и А. А. Суслину (см. [18]).
Результаты о вычислении порядков групп Кп для конечных полей при-
надлежат Квиллену [95]. По поводу гипотез и результатов о порядках
групп Кп для кольца целых чисел см. работу Суле [100].
Для того чтобы представить себе историю развития алгебры в ее
взаимодействии со всей математикой, неоценимым источником явля-
ются «Лекции» Клейна [83]. Много интересных замечаний можно найти
в исторических примечаниях к книгам Бурбаки. Интересное исследова-
ние, хотя и посвященное истории специального вопроса, — книга Чанд-
лера и Магнуса [41].
Литература
[1] Адамар Ж., Неевклидова геометрия в теории автоморфных функ-
ций. М.-Л.: ГИТТЛ, 1951, 133 с.
[2] Арнольд В. И., Математические методы классической механики.
М.: Наука, 1974, 431 с.
[3] Боголюбов Н. Н., Теория симметрии элементарных частиц. В кн.
«Физика высоких энергий и теория элементарных частиц». Киев:
Наукова думка, 1967, 5-112
[4] БоревичЗ. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел. М.: Наука, 1964,
566 с.
[5] Влэдуц С. Г., Манин Ю. И., Линейные коды и модулярные кривые.
В сб. «Современные проблемы математики. Новейшие достижения.
(Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР)». М., 1984, 25, 209-256.
[6] ГалуаЭ., Сочинения. Серия «Классики естествознания». М.-Л.:
Глав. ред. общетехн, и технико-теор. лит., 1936, 336 с.
324
Литература
[7] Гельфанд И. М., Райков Д. А., Шилов Г. Е., Коммутативные норми-
рованные кольца. М.: Физматгиз, 1960, 316 с.
[8] Гоппа В. Д., Коды и информация. Успехи мат. наук, 1984, 39, № 1,
77-120.
[9] Делоне Б., Падуров Н., Александров А., Математические основы
структурного анализа кристаллов и определение основного па-
раллелепипеда повторяемости при помощи рентгеновских лучей.
М.-Л.: ОНТИ, ГТТИ, 1934, 328 с.
[10] Желобенко Д. П., Компактные группы Ли и их представления. М.:
Наука, 1970, 664 с.
[11] Жизнь растений, М.: «Просвещение», 1981, 5, № 1, 430 с.
[12] Кириллов А. А., Элементы теории представлений: М.: Наука, 1972,
336 с.
[13] Кострикин А. И., Манин Ю. И., Линейная алгебра и геометрия. М.:
МГУ, 1980, 318 с.
[14] Курош А. Г., Теория групп. М.-Л.: ГИТТЛ, 1944, 372 с.
[15] Мальцев А. И., Группы и другие алгебраические системы. Матема-
тика, ее содержание, методы и значение, т. 3. М.: АН СССР, 1956,
336 с.
[16] Манин Ю. И., Лекции по алгебраической геометрии. Часть 1. Аф-
финные схемы. М.: МГУ, 1970, 133 с.
[17] Понтрягин Л. С., Непрерывные группы. М.-Л.: Ред. техн.-те-
ор. лит., 1938, 316 с.
[18] Суслин А. А., Алгебраическая ТГ-теория и гомоморфизм норменно-
го вычета В сб. «Современные проблемы математики. Новейшие
достижения. (Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР)». М.,
1984, 25, 115-208.
[19] Федоров Е. С., Симметрия на плоскости. Записки императорского
Санкт-Петербургского минералогического общества, 1891, 28 (2),
345-390.
Литература
325
[20] Фоменко А. Т., Дифференциальная геометрия и топология. Допол-
нительные главы. М.: МГУ, 1983, 216 с.
[21] Фробениус Г., Теория характеров и представлений групп. (Сборник
работ.) Харьков: ГНТИ Украины, 1937, 214 с.
[22] ШафаревичИ. Р., Основы алгебраической геометрии. М.: Наука,
1972, 565 с.
[23] Algebraic number theory, (ed Cassels J. W. S., Frohlich A.) London-
New York, Academic Press, 1967, 366 p. (Пер. на рус. яз.: Алгебраи-
ческая теория чисел (Под ред. КасселсаДж., ФрёлихаА.) М.: Мир,
1969, 484 с.)
[24] Artin Е., Geometric algebra. New York-London, Interscience PubL,
1957, 214 p. (Пер. на рус. яз.: АртинЭ., Геометрическая алгебра.
М.: Наука, 1969, 283 с.)
[25] AtiyahM.F., JC-Theory. New York-Amsterdam, W. A. Benjamin,
1967, 166 p. (Пер. на рус. яз.: Атья М., Лекции по ТГ-теории. М.:
Мир, 1967, 260 с.)
[26] -, Macdonald I. G., Introduction to commutative algebra. Reading,
Mass, Addison-Wesley, 1969, 128 p. (Пер. на рус. яз.: Атья М., Мак-
дональд И., Введение в коммутативную алгебру. М.: Мир, 1972,
160 с.)
[27] -, et al., Representation theory of Lie groups. London Math. Soc. Leet.
Note Series 34, Cambridge-New York, Cambridge Univ. Press, 341 p.
[28] BaerR., Linear algebra and projective geometry. New York, Academic
Press, 1952, 318 p. (Пер. на рус. яз.: БэрР., Линейная алгебра и
проективная геометрия. М.: ИЛ, 1955, 399 с.)
[29] BesseA. (ed.), Geometrie Riemannienne en dimension 4. Seminaire
Arthur Besse 1978/1979. Paris, Edit. CEDIC, 1981, 383 p.
[30] Birkhoff G., Lattice theory. New York, Amer, Math. Soc. Coil. PubL,
1940, 155 p. (Пер. на рус. яз. (3-го издания): БиркгофГ., Теория
решеток. М.: Наука, 1984, 568 с.)
326
Литература
[31] Borel A., Linear algebraic grooups. New York-Amsterdam, Benjamin,
1969, 398 p. (Пер. на рус. яз.: БорельА., Линейные алгебраические
группы. М.: Мир, 1972, 267 с.)
[32] -, Arithmetic properties of linear algebraic groups. Proc. Intern.
Congress Math. Stockholm, 1962, 10-22.
[33] SerrJ.-P., Le theoreme de Riemann-Roch. Bull. Soc. Math.
France. 1958, 86, № 2, 97-136 (Пер. на рус. яз.: БорелъА., СеррЖ.-II.,
Теорема Римана-Роха. Математика. Период, сб. перев. ин. статей,
1961, 5, № 5, 17-54.)
[34] BourbakiN., Elements de Mathematique. Algebre. Chap. 1-3. Paris,
Hermann, 1970, 625 p. (Пер. на рус. яз. (предыд. издания): Бурба-
киН., Алгебра. Гл. 1-3, М., Физматгиз, 1962, 516 с.)
[35] -, Elements de Mathematique. Algebre. Chap. 9. Paris, Hermann,
1959, 258 p. (Пер. на рус. яз.: Бурбаки Н., Алгебра. Гл. 7-9. М.: На-
ука, 1966, 555 с.)
[36] -, Elements de Mathematique. Groups et algebres di Lie. Chap. 4-6.
Paris, Hermann, 1968, 288 p. (Пер. на рус. яз.: БурбакиН., Группы
и алгебры Ли. Гл. 4-6. М.: Мир, 1972, 334 с.)
[37] Breaker Th., LanderL., Differentiable germs and catastrophes.
Cambridge, Univ. Press, 1975 (Пер. на рус. яз.: Брёкер Т., Ландер Л.,
Дифференцируемые ростки и катастрофы. М.: Мир, 1977, 208 с.)
[38] Brown К. S., Cohomology of groups. New York-Heidelberg, Springer,
1982, 306 p.
[39] Burnside W., Theory of groups of finite order. Cambridge, Univ. Press,
1897, 512 p.
[40] Cartan H., Eilenberg S., Homological algebra. Princeton, New Jersey,
Princeton Univ. Press, 1956, 390 p. (Пер. на рус. яз.: Картин. А.,
Эйленберг С., Гомологическая алгебра. М.: ИЛ, 1960, 510 с.)
[41] Chandler В., Magnus W., The history of combinatorical group theory.
Heidelberg e. a., Springer, 1982, 234 p.
Литература
327
[42] Chevalley С., Theory of Lie groups. Princeton, New Jersey, Princeton
Univ. Press, 1946 (Пер. на рус. яз.: Шевалле К., Теория групп Ли.
т. I. М.: ИЛ, 1948, 315 с.)
[43] Introduction to theory of algebraic functions of one variable. New
Jersey, Waverly Press, 1951, 188 p. (Пер. на рус. яз.: Шевалле К.,
Введение в теорию алгебраических функций от одной переменной.
М.: Физматгиз, 1959, 334 с.)
[44] Seminair С. Chevalley. Classification des groupes de Lie algebriques.
I, II. Paris, Hermann, 1958, 277 p.
[45] La theorie des groupes algebriques. Proceed. Intern. Congress
Mathem. Edinburh, 1958. Cambridge, Univ. Press, 1960, 53-68. (Пер.
на рус. яз.: Международный математический конгресс. Эдинбург.
1958 г. М.: Физматгиз, 1962, 276 с.)
[46] Clifford W. К., Mathematical papers. London, Macmillan, 1882, 658 p.
[47] CourantR., HilbertD., Methoden der Mathematischen Physik. Bd I.
Berlin, Springer, 1931, 469 S. (Пер. на рус. яз.: Курант Р., Гиль-
берт Д., Методы математической физики. М.-Л.: ГТТИ, 1933,
525 с.)
[48] DedekindR., WeberH., Theorie der algebraischen Funktionen einer
Veranderlichen. J. de Crelle, 1882, 92, 181-290.
[49] Deuring M., Algebren. Berlin, Springer, 1937, 143 p.
[50] DieudonneJ., CarrolL., Invariant theory, old and new. New York-
London, Academic Press, 1971, 85 p. (Пер. на рус. яз.: Дьедонне Ж.,
Керрол Дж., Мамфорд Д., Геометрическая теория инвариантов. М.:
Мир, 1974, 278 с.)
[51] Dirac Р. А. М., The principles of quantum mechanics. Oxford,
Clarendon Press, 1930 (Пер. на рус. яз.: Дирак П. А. М., Основы кван-
товой механики. М.-Л.: ГТТИ, 1932, 323 с.)
[52] Bold A., Lectures on algebraic topology. Berlin e. a. Springer, 1980,
377 p. (Пер. на рус. яз.: ДольдА., Лекции по алгебраической топо-
логии. М.: Мир, 1976, 463 с.)
328
Литература
[53] Dyson F., Mathematics in physical sciences. Scientific American, 1964,
211, № 3, 128-146 (Пер. на рус. яз.: Дайсон Ф., Математика и физи-
ка. Успехи физ. наук, 1965, 85, № 2, 351-364.)
[54] Eilenberg S., McLaneS., Natural isomorphisms in group theory. Proc.
Nat. Acad. Sci. USA, 1942, 28, 537-543.
[55] General theory of natural equivalence. Trans. Amer. Math. Soc.,
1945, 58, 231-294.
[56] FeynemannR., The character of physical law. London, British
broadcasting corp., 1965, 173 p. (Пер. на рус. яз.: ФейманР., Харак-
тер физических законов. М.: Мир, 1968, 231 с.)
[57] Freudenthal Н., Octaven, Ausnahmegruppen und Octavengeometrien.
Math. Instit. Rijksuniversiteit Utrecht, 1951, 49 p. (Пер. на рус. яз.:
Фрейденталъ Г., Октавы, особые группы и октавная геометрия. Ма-
тематика. Период, сб. перев. ин. статей, 1957, 1, № 1, 117-153.)
[58] Frobenius G., Gesammelte Abhandlungen. Bd. 1-3. Berlin e. a.,
Springer, 1968; 650, 733, 740 S.
[59] Galois E., Oeuvres mathematiques d’Evarist Galois. Paris, Gauthier
Villars, 1951; 64, 57 p.
[60] Gauss K.F., Disquisitiones Arithmeticae. Werke. Bd. 1. Berlin,
Springer, 1870, 474 S. (Пер. на рус. яз.: Гаусс К. Ф., Труды по те-
ории чисел. Серия классики науки. М.: Изд. АН СССР, 1959, 978 с.)
[61] GorensteinD., Finite simple groups. An introduction to their
classification. New York, Plenum PubL Corp., 1982, 333 p. (Пер. на
рус. яз.: Горенстейн Д., Конечные простые группы. Введение в их
классификацию. М.: Мир, 1985, 352 с.)
[62] GotoM., Crosshans F. D., Semisimple Lie algebras. Pure and Applied
Math., 38, New York-Basel, Marsel Dekker, 1978, 480 p. (Пер. на
рус. яз.: ГотоМ., Гроссханс Ф., Полупростые алгебры Ли. М.: Мир
1981, 336 с.)
[63] Grothendieck A., Sur quelque points d’algebre homologique. Tohoku
Math. J., 1957, 9, № 2, 119-183; № 3, 185-221 (Пер. на рус. яз.: Гро-
тендик А., О некоторых вопросах гомологической алгебры. М.: ИЛ,
1961, 175 с.)
Литература
329
[64] The cohomology theory of abstract algebraic varieties. Proc. Intern.
Congress Mathem. Edinburh, 1958, Cambridge, Univ. Press, 1960,
103-118 (Пер. на рус. яз.: Международный математический кон-
гресс. Эдинбург. 1958 г. М.: Физматгиз, 1962, 116-137)
[65] Diedonne J., Elements de geometri algebrique. III. Etude
cohomologique coherents (Ch. 0, §8). Instit. Hautes Etudes Scientif.,
Public. Mathem., 1961, № 11, 167 p.
[66] Hadamard J., Lecons de geometrie elementaire. II. Geometrie dans
1’espace. Paris, Colin, 1908, 308 p. (Пер. на рус. яз.: Адамар Ж.,
Элементарная геометрия, ч. 2. Стереометрия. М.: Учпедгиз, 1938,
640 с.)
[67] Hamermesh М., Group theory and its applications to physical
problems. Reading, Mass., 1964. (Пер. на рус. яз.: Хамермеш М., Те-
ория групп и ее приложение к физическим проблемам. М.: Мир,
1966, 587 с.)
[68] Handbook of mathematical logic, (ed Barwise J.) Amsterdam, 1977,
(Пер. на рус. яз.: Справочная книга по математической логике, ч. I.
Теория моделей. М.: Наука, 1982, 109-138)
[69] Hazewinkel М., Formal groups and applications. New York, Academic
Press, 1978, 573 p.
[70] -, Hasselink W., SiersmaD., Veldkamp F. D., The ubiquity of Coxeter-
Dynkin diagrams (an introduction to the A — D — E problem). Nieuw
Arch. Wisk, 1977, 25, № 3, 255-307
[71] HilbertD., Grundlagen der Geometrie. Leipzig-Berlin, Teubner, 1930,
326 S. (Пер. на рус. яз.: Гильберт Д., Основания геометрии. М.-Л.:
ГИТТИ, 1948, 491 с.)
[72] -, Cohn-VossenS., Anschauliche Geometrie. Berlin, Springer, 1932,
310 S. (Пер. на рус. яз.: Гильберт Д., Кон Фоссен С., Наглядная гео-
метрия. М.-Л.: Гл. ред. общетехн, лит и номогр., 1936, 302 с.)
[73] Hilton Р. J., Stammbach U., A course in homological algebra. New York
e. a., Springer, 1971, 338 p.
330
Литература
[74] Hirzebruch F., Neue topologische Methoden in der algebraischen
Geometrie. Berlin e. a., Springer, 1956,165 S. (Пер. на рус. яз. (с 3-го
издания): Хирцебрух Ф., Топологические методы в алгебраической
геометрии. М.: Мир, 1973, 280 с.)
[75] -, Elliptische Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten.
Arbeitgemeinschaft fur Forschung des Landes Nordrheim-Westfalen,
Natur-, Ingenieur- und Gesellschaftswissenschaften, Heft 157; Cologne,
Westdeutscher Verlag, 1966, 33-60.
[76] Hochschild G., The structure of Lie groups. San Francisco e. a., Holden-
Day, 1965, 230 p.
[77] HoffmanK., Banach spaces of analytic functions. Englewood Cliffs,
New Jersey, Prentice-Hall, Inc., 1962, 217 p. (Пер. на рус. яз.: Гоф-
ман К., Банаховы пространства аналитических функций. М.: ИЛ,
1963, 311 с.)
[78] Humphrey J. Е., Linear algebraic groups. New York e. a. Springer,
1975, 247 p. (Пер. на рус. яз.: Хамфри Дж., Линейные алгебраичес-
кие группы. М.: Наука, 1980, 400 с.)
[79] HuppertB., Endliche Gruppen. Bd. I. 1979, 793 S.; (with Blackburn N.)
Finite groups. II, III. 1982, 531, 454 p.; Berlin e. a. Springer.
[80] Ince E. L., Ordinary differential equations. London, Longmans, Green,
1927, 558 p. (Пер. на рус. яз.: АйнсЭ. Л., Обыкновенные дифферен-
циальные уравнения. Харьков, ГНТИ, 1939, 719 с.)
[81] Jordan С., Traite des substitutions des equations algebriques. Paris,
Gauthier-Villars, 1870, 667 p.
[82] Kaplansky I., An introduction to differential algebra. PubL Insl. Math.
Univ. Nancago, 1957, № 5, 63 p. (Пер. на рус. яз.: Капланский И.,
Введение в дифференциальную алгебру. М.: ИЛ, 1959, 85 с.)
[83] Klein F., Vorlesungen uber die Entwicklung der Mathematik im 19.
Jahrhundert. Bd. 1. Berlin, Springer, 1926, 386 S. (Пер. на рус. яз.:
Клейн Ф., Лекции о развитии математики в XIX столетии. М.-Л.:
ГОНТИ, 1937, 429 с.)
Литература
331
[84] Klemm М., Symmetrien von Ornamenten und Kristallen. Berlin e. a.,
Springer, 1982, 214 p.
[85] KroneckerL., Grundziige einer arithmetischen Theorie der
algebraischen Grossen. J. de Crelle, 1882, 92, 1-122.
[86] Lawson H. B., Jr., Surfaces minimales et la construction de Calabi-
Penrose. Seminair N. Bourbaki, 1983-1984, Exp. 624.
[87] LieS., EngelF., Theorie der Transformationsgruppen. Bd. I—III.
Leipzig, Teubner, 1883-1893, 632, 554, 830 S.
[88] Manin Ju., I., A course in mathematical logic. New York e. a., Springer,
1977, 288 p.
[89] The Mathematical Intelligencer, 1983, 4, № 5, 32-37; 1984, 6, № 4,
47-53, 54-67
[90] Michel L., Symmetry defects and broken symmetry. Configurations,
Hidden symmetry. Rev. Modern Phys., 1980, 52, № 2, 617-652.
[91] Milnor J., Introduction to algebraic JGtheory. Princeton, New Jersey,
Princeton Univ. Press, 1971, (Пер. на рус. яз.: Милнор Дж., Введение
в алгебраическую 7С-теорию. М.: Мир, 1974, 196 с.)
[92] Mumford D., An algebro-geometric construction of commuting
operators and of solutions to Toda lattice equation, Korteweg de Vries
equations and related non-linear equations, Proc. Intern. Symp. on
algebraic geometry Kyoto, 1977, 115-153.
[93] Neumann J. von, Continious geometries. Princeton, New Jersey,
Princeton Univ. Press, 1960, 299 p.
[94] Palais R. S., Seminar on the Atiyah-Singer index theorem. Ann. Math.
Study, № 57, Princeton, New Jersey, Princeton Univ. Press, 1965,
366 p. (Пер. на рус. яз.: ПалеР., Семинар по теореме Атья-Зингера
об индексе. М.: Мир, 1970, 359 с.)
[95] Quillen D., On the cohomology and Jf-theory of the general linear
groups over a finite field. Ann. Math., 1972, 96, № 3, 552-586.
332
Литература
[96] Rham G. de, Varietes differentiables. Formes, courants, formes
harmoniques. Paris, Hermann, 1955, 196 p. (Пер. на рус. яз.:
де Рам Ж., Дифференцируемые многообразия. М.: ИЛ, 1956, 250 с.)
[97] SeifertN., Threllfall W., Lerbuch der Topologie. Leipzig-Berlin,
Teubner, 1934, 353 S. (Пер. на рус. яз.: Зейферт Г., Трельфалль Г.,
Топология. М.-Л.: ГОНТИ 1938, 400 с.)
[98] Seminair «Sophus Lie». Theorie des algebres de Lie. Topologie des
groupes de Lie. Paris, 1955, 200 p. (Пер. на рус. яз.: Семинар «Софус
Ли». Теория алгебр Ли. Топология групп Ли. М.: ИЛ, 1962, 305 с.)
[99] Serrel.-P., Representations lineaires des groupes finis. Paris,
Hermann, 1967, 182 p. (Пер. на рус. яз.: Серр Ж.-П., Линейные пред-
ставления конечных групп. М.: Мир, 1970, 132 с.)
[100] Soule К., JC-theorie des anneaux d’antiers de corps de nombres et
cohomologie etale. Invent. Math., 1979, 55, № 3, 251-295.
[101] SpeiserA., Die Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung. Berlin,
Springer, 1937, 263 S.
[102] Springer T. A., Linear algebraic groups. Boston e. a., Birkhauser,
1981, 304 p.
[103] SwitzerR. M., Algebraic topology — homotopy and homology. Berlin
e. a., Springer, 1975, 526 p. (Пер. на рус. яз.: Свитцер Р. М., Алгеб-
раическая топология — гомотопии и гомологии. М.: Наука, 1985,
608 с.)
[104] Tennison В. R., Sheaf theory. London Math. Soc. Leet. Note Ser.,
1975, № 20, 164 p.
[105] Tits J., Groupes simples et geometries associees. Proc. Intern.
Congress. Mathem. Stockholm, 1962., Uppsala 1963, 197-221.
[106] van der Waerden., Moderne Algebra. Bd. 1-2. Berlin, Springer, 1930-
1931 (Пер. на рус. яз. (2-го издания): Ван Дер Варден., Современная
алгебра, т. 1,2. М.: ГОНТИ, 1947, 339, 260 с.)
[107] WeberH., Lehrbuch der Algebra. Bd. 1-2. Braunschweig, Vieweg,
1898-1899.
Литература
333
[108] Weil A., Basic number theory. Berlin e. a.. Springer, 1967, 294 p.
(Пер. на рус. яз.: Вейль А., Основы теории чисел. М.: Мир, 1972,
408 с.)
[109] WeylH., Gruppentheorie und Quantenmechanic. Leipzig, Hirzel,
1928, 360 S.
[110] Mathematiche Analyse des Raumproblems. Berlin, Springer, 1923,
117 S.
[Ill] The classical groups. Their invariants and representations.
Princeton, New Jersey, Princeton Univ. Press, 1939, 302 p. (Пер. на
рус. яз.: Вейль Г., Классические группы, их инварианты и пред-
ставления. М.: ИЛ, 1947, 408 с.)
[112] Symmetry. Princeton, New Jersey, Princeton Univ. Press, 1952,
168 p. (Пер. на рус. яз.: Вейль Г., Симметрия. М.: Наука, 1968,
191 с.)
[1*] А. А. Марков. Теория алгорифмов. Труды Математического Инсти-
тута им. В. А. Стеклова. Т. XXXVIII, 1951, стр. 176-190.
[2*] В. В. Трофимов, А. Т. Фоменко. Алгебра и геометрия интегрируе-
мых гамильтоновых дифференциальных уравнений. Издательство
«Факториал». 1995.
Именной указатель
Абель (Abel N.) 135, 316
Адамар (Hadamard J.) 320, 321
Арнольд В. И. 322
Атья (Atiyah М.) 316, 318
Бернсайд (Burnside W.) 120, 121,
316
Бианки (Bianchi L.) 226
Бибербах (Bieberbach L.) 168
Боголюбов Н. Н. 322
Бозе (Bose R. S.) 213
Борель A. (Borel А.) 322
Борель Э. (Borel Е.) 77
Браве (Bravais А.) 155
Браун (Brown К. S.) 318
Брауэр (Brauer R.) 127, 139, 282
Буль (Boole G.) 29
Бурбаки (Bourbaki N.) 315, 321,
323
Ван дер Варден (Van der Waerden
B.L.) 315, 316
Вебер (Weber H.F.) 315, 319
Веддербёрн (Wedderburn J.H.M.
112, 122, 201
Вейерштрасс (Weierstrass K.) 30,
223
Вейль A. (Weil A.) 316
Вейль Г. (Weil H.) 226, 252, 316-
318, 321, 322
Вессио (Vessiot E.) 237
Гёльдер (Holder O.) 106, 202
Галилей (Galilei G.) 9-11, 133
Галуа (Galois E.) 137, 232, 233, 315,
316, 320
Гамильтон (Hamilton W.) 228
Гаусс (Gauss C. F.) 59,127, 315,316
Гейзенберг (Heisenberg W.) 242
Гельмгольц (Helmholtz H.) 221, 222
Гильберт (Hilbert D.) 61, 109, 241,
315, 320
Гордан (Gordan P. A.) 228
Горенстейн (Gorenstein D.) 317
Грин (Green G.) 284
Гротендик (Grothendiack A.) 318,
319
Гурвиц (Hurwitz A.) 322
Дёмушкин С. П. 322
Дайсон (Dyson F.J.) 322
Дедекинд (Dedekind R.) 315, 319
Дезарг (Desargues G.) 116
Дейринг (Deuring M.) 316
Делоне Б. H. 321
Дирак (Dirac P. A. M. 97, 213, 320
Дирихле (Dirichlet P. G. L.) 216
Дольд (Dold A.) 319
Евклид (Euklbides) 148, 207
Желобенко Д.П. 317
Жордан (Jordan C.) 106, 109, 157,
161, 202, 315, 316
Именной указатель
335
Зееман (Zeeman Р.) 229
Зейферт (Seifert Н.) 319
Кёбе (Koebe Р.) 174
Капланский (Kaplansky I.) 322
Картан A. (Cartan Н.) 318
Картан Э. (Cartan Е.) 258
Квиллен (Quillen D. G.) 323
Кириллов А. А. 318
Клебш (Clebsch R. F. А.) 228
Клейн (Klein F.) 141, 315, 316, 319,
323
Клиффорд (Clifford W.) 98, 320
Коши (Cauchy А.) 78, 98
Кронекер (Kronecker L.) 315, 319
Курош А. Г. 317
Кэли (Cayley А.) 136, 141, 261
Лагранж (Lagrange J.L.) 31, 89,
132, 316
Лаплас (Laplace Р.) 98
Лежандр (Legendre А.) 82
Ли (Lie S.) 187, 222, 251-254, 256-
258, 316, 317
Лиувилль (Liouville J.) 189
Лобачевский Н. И. 141
Лоран (Laurent Р. А.) 23
Лоренц (Lorentz Н.) 133
Магнус (Magnus W.) 323
Макдональд (MacDonald I. G.) 316
Маклейн (MacLane S.) 318
Мальцев А. И. 321
Манин А. И. 319
Меркурьев А. С. 323
Милнор (Milnor J.) 318
Минковский (Minkowski Н.) 82
Нётер (Noether Е.) 61, 127, 132,
241, 315
Нейман (Neumann J. von) 320
Ньютон (Newton I.) 133
Островский (Ostrowski А.) 81
Папп (Pappos) 116
Пикар (Picard Е.) 237
Платон (Platon) 149, 207
Полна (Polya G.) 321
Понтрягин Л. С. 224, 317
Пуанкаре (Poincare Н. 141, 174
Пуассон (Poisson S.D.) 10, 247
Пюизо (Puiseux V.) 81
де PaM(Rham G. de) 283, 284, 319
Ремак (Remak R.) 201
Риман (Riemann В.) 98, 222, 295,
302
Риччи (Ricci G.) 226
Рох (Roch Е.) 302
Свитцер (Switzer R.) 319
Серр (Serre J.-P.) 317
Стокс (Stokes G. G.) 284
Суле (Soule C.) 323
Суслин A. A. 318, 323
Тамагава (Tamagawa T.) 199
Тейлор (Taylor B.) 70
Тзен (Tsen C.) 123
Трельфалль (Threlfall W.) 319
Фёдоров E. C.) 321
Фано (Fano G.) 117
Фейнман (Feynmann R. P.) 320
Ферма (Fermat P.) 31
Ферми (Fermi E.) 213
Фредгольм (Fredholm E.) 53, 94
336
Именной указатель
Фрейденталь (Freudenthal Н.) 318
Фробениус (Frobenius F.) 122, 317
Фурье (Fourier J.) 33, 231
Хассе (Hasse Н.) 82, 125, 127
Хигман (Higman G.) 180
Хилтон (Hilton Р. J.) 318
Хирцербрух (Hirzebruch F.) 318
Хохшильд (Hochschild G.) 317
Хупперт (Huppert G.) 317
Цорн (Zorn М.) 39
Шёнфлис (Schnflies А.) 321
Шевалле (Chevalley С.) 123, 317
Шмидт О. Ю. 201
Шпейзер (Speiser А.) 317
Штамбах (Stammbach U.) 318
Шур (Schur I.) 106
Эйленберг (Eilenberg S.) 318
Эйлер (Euler L.) 22, 31, 89,186, 259,
301, 313
Эйнштейн (Einstein А.) 213, 317
Эрмит (Hermite Ch.) 109
Чандлер (Chandler В.) 323
Якоби (Jacobi С.) 247
Предметный указатель
Абелева (коммутативная) группа
135
Автоморфизм 132
— расширения 233
Автоморфная функция 173, 232
Аксиома Дезарга 116
— Фано 117
Аксиомы кольца 84
— коммутативного кольца 23
— поля 16
— проективного пространства 114
Алгебра 9, 86
— Кэли (октав) 261
— Ли 248
— Ли группы Ли: ^(G) 253
— Ли: gl(n), gl(n, К), s((n, К),
о(п, К), u(n), su(n), spu(n),
sp(2n,К) 248-250
— кватернионов 88
— над кольцом 86
— некоммутативных многочленов
92
— октав (Кэли) 261
Алгебраическая матричная группа
197
Алгебраически зависимые элемен-
ты поля 64
— замкнутое поле 68
Алгебраический элемент поля 66
Альтернативное кольцо 261
Антикварки 246
Арифметическая группа 177, 198
Арифметический род компактно-
го комплексного аналитическо-
го многообразия 301
Ассоциативность 16
Баобаб 172
Барионы 242
Большой Монстр 209
Букет топологических про-
странств: X V Y 271
Булево кольцо 29
Векторное расслоение 303
Вещественная часть кватерниона:
Re(x) 89
Внешнее произведение элементов
53
Внешняя алгебра векторного про-
странства: A(L) 95
---модуля 96
— степень модуля: А2М 53
Возрастающая цепь модулей 61
Вялая резольвента пучка 300
Вялый пучок 299
12--гиперон 246
Главный идеал 35
Гомоморфизм групп 140
— коммутативных колец 32
— модулей 49
— пучков 296
338
Предметный указатель
— семейств векторных про-
странств 302
Гомотопические группы: ~п (X)
277
Гомотопический тип непрерывно-
го отображения 269
--- топологического простран-
ства 269
Гомотопные пути 180
Градуированное кольцо 63
Градуировка по модулю 2 96
Граница 281
Граничный гомоморфизм 279
Группа 134
— Брауэра: Вг(7Г) 139
— Галилея-Ньютона 133
— Галуа 234
— Ли 187
---GL(n), О(п), SO(n), PSO(n),
О(р, q), SO(p, q), SO+(p, q),
Spin(n), Spin(p, q), U(n), SU(n),
PSU(n), SpU(n) 189-198
— Лоренца 133, 196
— аделей 198
— алгебраического типа 209
— вращений трехмерного про-
странства: SO(3) 185, 186
— гомологий полиэдра: Нп(Х) 281
---с коэффициентами Нп(Х, 4)
283
---цепного комплекса: Нп(К)
280
— движений 129, 196
— диэдра 149
— заданная соотношениями 179
— икосаэдра 149
— классов идеалов кольца: С1(А)
138
— когомологий группы: Hn(G, А)
291
---де Рама: 283
---пучка: Нп(Х, 299
---с коэффициентами: Нп(Х, А)
279, 283
---цепного комплекса Нп(К)
280
— конечной длины 201
— кос 183
— куба 149
— орнамента 170
— порожденная отражениями 161,
162
— правильного многогранника
149
— преобразований 129
— расширений модуля: Ех1д(£, М)
138
— симметрий 129
--- кристалла 131
---решетки (Браве) 155, 156
— тетраэдра 149
— узла 183
— характеров 214
— Ех1д(£, М) 138
-К(А), К(А), Кп(А), SK^A)
309-311
— Kn(Z) 314
— К(Х), К(Х), Кп(Х) 303-306
— К2(к) 312
Групповая алгебра 87
Групповой объект (группа) в кате-
гории 275
Двойственный модуль: М* 54
Двусторонний идеал 93
Действие группы свободное 166
Предметный указатель
339
Действие группы 140
Делимость в кольце 29
Делитель единицы (обратимый
элемент) 30
Диаграмма 264
Дивизор на римановой поверхнос-
ти 297
Дискретная группа движений
плоскости Лобачевского 172—
176
-----преобразований (разрывная)
166
Дискретная подгруппа группы К"
167-172
Дифференциал дифференциальной
формы: div 283
Дифференциал (комплекса) 280
Дифференциальная группа Галуа
237
Дифференциальный автоморфизм
237
— оператор на векторном расслое-
нии 307
на многообразии 75
Дифференцирование 73
Длина группы 201
— кольца 106
— модуля 105
Додекаэдр 149
Дополнение нормального делителя
294
Дуальная категория: So* 270
Единичный морфизм категории
268
— элемент группы 134
----- поля 16
Задание группы соотношениями
136
Закон четности 133
Знакопеременная группа: 21п 147
Идеал алгебры Ли 250
— коммутативного кольца 35
— порожденный системой элемен-
тов 35, 37, 94
— простой 42
Изоморфизм алгебр Ли 250
— групп 135
— действий группы 141
— колец 32, 250
— модулей 48
— объектов категории 271
— полей 18
Изотопический спин 244
Икосаэдр 149
Инвариант группы 240
— тела 125, 127
Инвариантная дифференциальная
форма 188
— риманова метрика 188
Инвариантное векторное поле 188
Инверсно-изоморфные кольца 91
Инволюция кольца 91
Индекс подгруппы 142
— эллиптического дифференци-
ального оператора 308
Интеграл по группе 220
Интегрирование дифференциаль-
ной формы 284
Интерпретация Кэли-Клейна плос-
кости Лобачевского 141
— Пуанкаре плоскости Лобачев-
ского 141
340
Предметный указатель
Исключительные простые группы:
Е6, Ег, Е%. 2*4, С?2 207
Канонический гомоморфизм 39,
49, 144
Категории 2/ei, .По(1ц. Хор. .'7оро,
Wot, ^ot0 268-269
Категория 267
— формальных групп 269
Квазиалгебрически замкнутое по-
ле 123
Кварки 246
Кватернионы: Н 88
Класс вычетов по модулю идеала
38
— смежности по подгруппе (ле-
вый, правый) 142
— сопряженных элементов 142
Классические группы 190
Клиффордова алгебра: C(L) 97
Ковариантный тензор) 54
— функтор) 272
Когомологии де Рама: 2/®й?>-(Х)
283
Кограничный гомоморфизм 280
Коды, исправляющие ошибки 41
Колокольчик 172
Кольцо 23, 84
— Ли 248
— бесконечно дифференцируемых
функций: S(X) 37
— главных идеалов 35
— дифференциальных
ров с постоянными
циентами:
К
операто-
коэффи-
д '
’ ’ дхп '
д
’ дх„
д
dxi,
С
26, 45
— когомологий: Н*{Х, К) 285
— конечного типа 62
— матриц над полем: Мп(К) 85
----над телом: Mn(D) 91
— многочленов: А[ж], a[ori, ... , хп
23
— многочленов: А[аг], а[ж1, ... , хп
25
— некоммутативных многочле-
нов: К < ®i, ... , хп > 92
— непрерывных функций: С(Х)
27, 308
— полиномиальных функций на
алгебраической кривой: К[С]
28
— ростков аналитических функ-
ций: Gn 28
— формальных степенных рядов:
/7[[</7[[Ж1, ...,х„]] 28
— целых р-адических чисел: 77
— целых чисел поля алгебраичес-
ких чисел 83
Коммутант группы: G' 204
Коммутативная (абелева) группа
135
— диаграмма 264
Коммутативное кольцо 23
----Ли 250
----дифференциальных операто-
ров 45
Коммутативное кольцо 23
Коммутативность 16
Коммутатор 247
— в кольце Ли 248
— дифференциальных операторов
247
— дифференцирования 247
— элементов группы 204
Предметный указатель
341
Комплекс 280
Комплексная ортогональная груп-
па: 0{п, С) 194
— симплектическая группа:
Sp(n, С) 195
Композиционный ряд группы 202
----модуля 106
Конечная группа 135
Конечно определенная группа 179
— порожденная группа 179
— порожденный (конечного типа)
модуль 57, 106
Конечное поле 40
— расширение 67
Конечнолистное неразветвленное
накрытие 238-239
Конечные группы порожденные
отражениями 161, 162
---- порядка 10 199, 200
— подгруппы группы вращений
плоскости 148
----группы вращений простран-
ства 148
----группы дробно-рациональных
преобразований 153
----группы ортогональных пре-
образований плоскости 148
----группы ортогональных пре-
образований пространства 153
Контравариантный тензор 53
— функтор 272
Контраградиентное представление
217
«Координатизации» 9, 15
Коса 183
Коцепной комплекс 280
Кристаллографические группы
167-172
----в пространстве 171-172
---- на плоскости 169-171
— классы 155,157
----в пространстве 157
---- на плоскости 155
Куб 149
Левое регулярное действие 142
Левоинвариантное (правоинвари-
антное) векторное поле 188
Левый идеал 93
Лемма Шура 106
Линейно зависимые элементы мо-
дуля 56
— независимые элементы модуля
57
Линейный дифференциальный
оператор первого порядка 72
---- оператор порядка г 75
Локальная группа Ли 257
Максимальный идеал 39
Мгновенная угловая скорость 256
Мезоны 242
Минимальный многочлен 66
Мнимая часть кватерниона: 1т(ж)
89
Модуль 101
— кватерниона 88
— конечного типа (конечно по-
рожденный) 57
— кручения 57
— над кольцом А"[ж], соответству-
ющий линейному преобразова-
нию 46
— над коммутативным кольцом
46
— над произвольным кольцом 101
342
Предметный указатель
— ранга г 57
Модулярная группа 176
— фигура 176
Момент количества движения 132,
259
Монодромия дифференциального
уравнения 212
Морфизм категории 268
Нётеров модуль 61
Нётерово кольцо 61
Надстройка: 276
Неассоциативное тело 262
Непрерывная геометрия 118
Неприводимое представление ал-
гебры (группы) 105
Неприводимый многочлен 19, 30
Неразветвленное накрытие про-
странства 166, 238-239
Нестандартный анализ 44
Норма в поле 78
Нормальные делители групп &п и
21„ 147
Нормальный делитель 143
Нормированное поле 78
Нуклон 242
Нулевой элемент 16, 85
Обобщенная алгебра Кэли 263
— кватернионная алгебра 125
— теорема Стокса 284
Образ гомоморфизма: 1т/ 34, 143,
298
Образующие алгебры 94
— группы 140
— кольца 62
— модуля 49
Обратимый элемент (делитель
единицы) 30
Обратный элемент в группе 135
---- в поле 16
Обратный кватернион 88
Общее уравнение 236
Объект категории 267
Односвязность 182
Октавы 261
Октаэдр 149
Определяющие соотношения груп-
пы 179
Орбита элемента 134
Ортогональная группа: О(п),
О(р, q) 190, 191
Основная теорема проективной
геометрии 115
---- теории Галуа 235
Отражение 162
Первая основная теорема теории
инвариантов 240
Платоновские тела 149
Подгруппа 204
— Ли группы Ли 188
Подкольцо 26, 85
Подкомплекс 285
Подмодуль 48
— , порожденный системой эле-
ментов 49
Подполе 17
Подпредставление 103, 104
Подпучок 296
Подстановки Эйлера 22
Поле 16
— алгебраических чисел 83
Предметный указатель
343
— рациональных функций на ал-
гебраической кривой (алгебра-
ическом многообразии): К(С)
20
----функций: К(х), K(xi, ... , хп
18
— формальных рядов Лорана:
23, 28
— частных кольца 26
— р-адических чисел 78
— Q, Ж, С 17
Полиномиальная функция на кри-
вой 28
Полиэдр 280
Полная линейная группа:
GL(n, С), GL(nJf) 194, 197
Полугруппа с единицей 270
Полупростое кольцо 110
Полупростой модуль 108
Полупрямое произведение групп
294
Пополнение поля по норме 79
Порядок группы: |G| 135
Порядок элемента группы 145
Построения при помощи циркуля
и линейки 68
Правильный многогранник 149
Правое регулярное действие 142
Правый идеал 93
Предпучок 296
Представление алгебры 102
— группы 104
Представления группы куба 219-
231
----SO(3) 228
----SO(4) 225
----SU(2) 226-228
---- 63 219
— классических комплексных
групп Ли 229-231
— коммутативных групп 214-217,
223
— компактных групп Ли 220-228,
241-246
— конечных групп 213
— конечных групп Ли 220
Преобразование 129
— Фурье как изоморфизм моду-
лей 48
Приведенная надстройка: SX 276
Присоединенное действие 142
Проблема гомеоморфизма много-
образий 182
— изоморфизма групп 179
— тождества в группе 179
Проективная резольвента модуля
291
Проективное пространство 115
---над телом: Р”(Р) 114
Проективный модуль 290
— предел системы колец 76
Произведение идеалов 37
— объектов категории 271
Л —произведение пространств:
X Л Y 276
Простая алгебра Ли 250
— группа 202
Простое кольцо 100
— поле 41
Простой идеал 42
— модуль 105
Пространство петель: SLY 273
— путей 273
— струй 75
Простые алгебраические группы
202, 204, 207, 208
344
Предметный указатель
— группы Ли 202, 204, 206, 207
— компактные группы Ли 206, 208
— комплексные группы Ли 206,
208
— конечные группы Ли 202, 206,
208-209
Прямая сумма колец 26
--- модулей 47
--- представлений 104
Прямое произведение групп 145,
200
Путь 180
Пучок 296
— ,связанный с дивизором на ри-
мановой поверхности: 297
Радикальное расширение 236
Разложение Пюизо 81
Размерность алгебры Ли 249
Разрешимая группа 204-206
Разрешимость дифференциально-
го уравнения в квадратурах 237
— уравнения в радикалах 235
Разрывная (дискретная) группа
166
Ранг алгебры над полем 86
— модуля 47, 57
Расширение Галуа 233
— конечного типа 64
— поля 17
Расширения групп 203, 293
— модулей 138
Рациональная дробь 18
— функция 18
Регулярное представление 105
Решетка 154, 167
— Браве 155
Риманова поверхность рода > 1
173
---- рода 1 167
Свободная группа 177
Свободное действие группы 166
— произведение групп 266
Свободный модуль 47
Сдвиг на элемент группы Ли 187
Семейство векторных пространств
55, 302
Сечение семейства векторных про-
странств 55
Символ эллиптического диффе-
ренциального оператора 307
Симметрии физических законов
133
Симметрическая группа: 6П 146
— степень модуля: SnM 53
— функция 132
Симметрический квадрат модуля:
S2M 53
Симметрия 129
Симплекс 280
Сингония 157
Система образующих группы 136,
140
кольца 62
модуля 49
— свободных образующих 47
Скобка Пуассона: [ ] 247
Словарь квантовой механики 12
Слово 177
Соотношения ортогональности для
матричных элементов неприво-
димых представлений компакт-
ных групп 222
Предметный указатель
345
--- для матричных элементов
неприводимых представлений
конечных групп 219
---для характеров коммутатив-
ных групп 215
Сопряженный кватернион 88
Спинорная группа 192
Спорадическая простая группа 209
Сравнение по модулю идеала 38
Стабилизатор элемента: Gx 134
Стапелия пестрая 172
Степень расширения 67
— трансцендентности 65
Структурные константы алгебры
86, 251
Сумма объектов в категории 271
— расширений модулей 139
Супералгебра 96
Таблица Кэли конечной группы
135
Тело 90
Тензор Вейля 4-мерного риманова
многообразия 226
— Риччи (бесследный) 4-мерного
риманова многообразия 226
Тензорная алгебра векторного про-
странства: T(L) 92
— степень модуля: ТГ(М) 53
Тензорное произведение модулей
51
--- представлений 218, 219
Теорема Бернсайда 120, 121
— Бибербаха 168
— Брауэра о неподвижной точке
282
— Веддербёрна (о конечных те-
лах) 122
— Веддербёрна (о полупростых
кольцах) 112
— Веддербёрна-Ремака-Шмидта
201
— Гельмгольца-Ли 221
— Гильберта о базисах 61
— Дезарга 116
— Жордана о конечных подгруп-
пах группы Gl(n, Z) 161
--- о конечных подгруппах
группы О(п) 157
— Жордана-Гельдера для групп
202
---для модулей 106
— Лагранжа 89
— Лежандра 82
— Ли 257
— Лиувилля 189
— Минковского-Хассе 82
— Островского 81
— Паппа 116
— Пуанкаре-Кёбе об униформиза-
ции 173
— Римана-Роха 302
— Тзена 123
— Фробениуса 122
— Хассе о телах над полем Q 127
---о телах над полем 125
— Хассе-Брауэра-Нётер 127
— Хигмана 180
— Шевалле 123
— двойственности Понтрягина
224
— де Рама 284
— Э.Нётер 132
— о гомоморфизмах 39, 144
— о модулях над кольцом главных
идеалов 58
346
Предметный указатель
— о примитивном элементе 67
— об индексе эллиптического опе-
ратора 308
— периодичности в Jf-теории 305
Тетраэдр 149
Тождество Якоби 247
Тор 189
Точная последовательность 286
----когомологий 286
Транзитивная группа преобразо-
ваний 134
Тривиальное семейство вектор-
ных пространств 303
Узел 183
Ультрапроизведение полей 44
Умножение на двух модулях М и
N со значениями в модуле L 50
Универсальное накрывающее про-
странство 182
Унитарная группа: U(n) 191
Унитарно симплектическая груп-
па: SpU(n) 191
Унитарный прием 231
Уравнения Эйлера движения твер-
дого тела 259
Фактор композиционного ряда 202
Факторгруппа 144
Факториальность 30
Факторкольцо (кольцо классов вы-
четов) 38
Факторкомплекс 285
Фактормодуль 49
Факторпредставление 103, 104
Факторпучок 298
Финальный объект в категории
275
Флаг 221
Формальная группа (групповой за-
кон) 269
Формула Клебша-Гордона 228
Фундаментальная группа: тт-ЦХ),
тг(Х), тг(Х, ж0) 180, 181
Фундаментальная область дис-
кретной группы 166
Функтор 272
— Уес 303
Функторы Ех1д”(Т, М) 291
— Ьа и hA, соответствующие объ-
екту А 274
Характеристика поля 42
Характеры Дирихле 216
— алгебры 120
— групп 214
----SU(2) 227
Целостное кольцо 26
Целые алгебраические числа 83
Центр алгебры 85, 122
Центральная алгебра 122
Цепной комплекс 279
Цикл 281
Цикленный тип подстановки 147
Циклическая группа 145, 149
— подгруппа 145
Циклический модуль 58
Частично упорядоченное множест-
во 114
Четная клиффордовая алгебра 98
— подстановка 147
Число Тамагавы 199
— неприводимых представлений
конечной группы 217
Чисто мнимый кватернион 89
Предметный указатель
347
Эйлерова характеристика группы
295
----пучка: у(Х, S 301
Эквивалентность расширений 138
— функторов 274
Элемент кручения 57
Эллиптические функции 167
Эллиптический дифференциаль-
ный оператор 307
Эндоморфизм модуля 85, 107
Ядро гомоморфизма групп: Кег/
143
----колец: Кег / 34
----пучков 297
Шафаревич Игорь Ростиславович
Основные понятия алгебры
Дизайнер М. В. Ботя
Компьютерная подготовка: О. В. Максимова
С. В. Высоцкий
Компьютерная графика К. В. Шащенко
Корректор И. А. Николаева
Лицензия ЛУ №056 от 06.01.98. Подписано к печати 25.10.99.
Формат 60 х 84х/16. Печать офсетная. Усл. печ.л. 20,23. Уч. изд. л. 21,2.
Гарнитура Computer Modern Roman. Бумага офсетная №1.
Заказ №К162. Тираж 1000 экз.
Ижевская республиканская типография,
426057, г. Ижевск, ул. Пастухова, 13.