Тентовые и вантовые строительные конструкции - Отто Ф., Шлейер К.

Автор: Отто Ф. Шлейер К.

Теги: строительство строительные конструкции строительное проектирование

Год: 1970

Похожие

Строительные конструкции

Пневматические строительные конструкции

Текст

н ш^Ер ТЕНТОВЫЕ И ВАНТОВЫЕ
СТРОИТЕЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ
ФРЕЙ ОТТО И ФРИДРИХ-КАРЛ ШЛЕЙЕР
ТЕНТОВЫЕ И ВАНТОВЫЕ
СТРОИТЕЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ
Перевод с немецкого инженеров А. А. Гогешвили и В. Л. Шадурского
ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛИТЕРАТУРЫ ПО СТРОИТЕЛЬСТВУ
Москва — 1 970
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Интерес к конструкциям, работающим пре-
имущественно на растяжение, побуждает
ученых и инженеров всех стран мира вести не-
прерывные поиски новых форм и видов вися-
чих покрытий различных типов. Работа на
растяжение, одна из выгоднейших форм на-
пряженного состояния, позволяет максимально
использовать прочностные свойства таких ма-
териалов, как высокопрочная сталь, тонколи-
стовой металл. Одновременно работа на рас-
тяжение позволяет в значительной степени
смягчить противоречие между высокой проч-
ностью и деформативностыо некоторых видов
полимерных конструкционных материалов, в
том числе стеклопластиков, синтетических во-
локон и др. Применение конструкций, работа-
ющих на растяжение, позволяет достичь зна-
чительных пролетов, повысить степень индуст-
риальности строительства, резко уменьшить
вес сооружения и добиться значительного эко-
номического эффекта по сравнению с обычны-
ми плоскими и пространственными жесткими
конструкциями. Эти факторы определяют пер-
спективность данного конструктивного направ-
ления и объясняют постоянно растущий ин-
терес инженеров к конструкциям, работающим
на растяжение.
Это — третья книга немецкого специалиста
по легким конструкциям Фрея Отто, извест-
ного русскому читателю по трудам: «Висячие
покрытия, их формы и конструкции» (пер. с
нем. В Г. Калиша. Госстройиздат, 1960) и
«Пневматические строительные конструкции»
(пер. с нем. А. А. Гогешвили. Стройиздат,
1967).
В первом разделе книги делается попытка
дать общую классификацию конструкций в
зависимости от вида напряженного состояния,
геометрической формы конструкции и физиче-
ских свойств материалов, после чего проводит-
ся подробный анализ различных форм, не под-
вергающихся предварительному напряжению
п предварительно напряженных конструкции
из тросов, тросовых сеток и мембран.
В книге обобщается зарубежная практика в
этой отрасли строительства, характеризуются
наиболее интересные сооружения, возведенные
за последние годы в различных странах.
Во втором разделе, написанном Ф. К.
Шлейером, изложен расчет различных типов
тросовых конструкций, в том числе ортого-
нальных тросовых сеток, сеток в форме по-
верхностен вращения и тросовых ферм.
Слабо отражены в книге наши отечествен-
ные исследования в области растянуто напря-
женных конструкций, получившие значитель-
ное развитие в трудах А. Р. Ржаницына, В. К
Качурина, И. Г. Людковского, Э. Н. Кузнецо-
ва, Р. Н. Мацелинского, С. А. Алексеева, Г. А.
Гениева, В. Э. Магулы и др., хотя автор и от-
мечает приоритет русской инженерной науки
в вопросах разработки и практической реали-
зации мембранных строительных конструкций
(работы выдающегося русского инженера
В Г. Шухова).
В настоящее время в Советском Союзе ис-
следования висячих конструкций различного
типа ведутся в ЦНИИСК им. В. А. Кучеренко,
в ЦНИИ Проектстальконструкция, НИИЖБ,
Московском инженерно-строительном институ-
те им. Куйбышева и других научных органи-
зациях.
Предлагаемая читателю книга Отто и Шлей-
ера может принести пользу развитию растяну-
то напряженных конструкций в нашей стране.
Она представляет ценность как для инженеров
и архитекторов, непосредственно занятых про-
ектированием висячих конструкций, так и для
специалистов, работающих в области теории
расчета растянуто напряженных систем.
И н ж. А. А. Гогешвили
1*
ПРЕДИСЛОВИЕ К НЕМЕЦКОМУ ИЗДАНИЮ
Цель этой книги — охарактеризовать сов-
ременное состояние и степень развития растя-
нуто напряженных конструкций и стимулиро-
вать их дальнейший прогресс. В первом томе 1
в первом разделе был рассмотрен один из ви-
дов растянуто напряженных конструкций —
пневматические конструкции; во втором раз-
деле Р. Тростелем были изложены вопросы
расчета мембран. В третьем разделе первого
тома были описаны анкерные фундаменты раз-
личных типов.
Во втором томе предложен способ общей
классификации строительных конструкций, да-
ется подробный архитектурно-конструктивный
анализ растянуто напряженных структур и
излагаются методы расчета тросовых сеток
различных типов.
Как и первый, второй том состоит из само-
стоятельных конструктивного и расчетного
разделов, объединенных в одной книге для
полноты освещения вопроса.
Первый раздел второго тома может рас-
сматриваться как введение в область растяну-
то напряженных конструкций, которое по су-
ществу могло бы быть помещено в начале
первого тома. Однако написать главу, охваты-
вающую по возможности целиком эту специ-
альную отрасль строительства, стало возмож-
1 Первый том книги «Zugbeanspruchte Konstruktio-
пеп» F. Otto und R. Trostel, 1962, вышел в русском пере-
воде в 1967 г. в Стройиздате под названием «Пневмати-
ческие строительные конструкции». (Прим. пер.).
но только сейчас. Ведь именно в последние
годы появилось много капитальных работ о
висячих мостах, висячих покрытиях, быстрое
развитие получили пневматические конструк-
ции. Это и обусловило помещение общего об-
зора растянуто напряженных конструкций во
втором томе книги.
Второй, расчетный раздел второго тома на-
писан К. Шлейером в форме, доступной для
архитекторов и инженеров, не занимающихся
специально теорией расчета висячих систем.
Можно надеяться, что предлагаемые методы
расчета будут широко применяться на прак-
тике.
Сфера применения растянуто напряженных
конструкций быстро расширяется. Со времени
выхода в свет первого тома этой книги поя-
вилось большое число проектных разработок
и построенных сооружений. В печати было
опубликовано много материалов по рассмат-
риваемому вопросу. Наиболее интересны со-
общение Эсквиллана и Сайлларда о коллок-
виуме Международного объединения по стро-
ительству оболочек, состоявшемся в 1962 г. в
Париже, публикации АСиА СССР, работа
Конрада Роланда и др.
Автор приносит благодарность всем специ-
алистам, предоставившим ему данные по про-
ектным разработкам и возведенным сооруже-
ниям, а также библиографические указания.
Фрей Отто
Раздел I.
КОНСТРУКЦИИ
1. ОБЩАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ КОНСТРУКЦИИ
Несущая способность в отношении сил и
моментов. Силы и моменты могут передавать-
ся по телу от одной точки к другой; они могут
действовать вдоль известных линий или при-
кладываться в отдельных точках.
Натянутый трос обладает несущей способ-
ностью в отношении растягивающего усилия.
Вал мотора и балка обладают способностью
к восприятию моментов. Скала или здание да-
вят своим весом на основание. Самолет опи-
рается на массу воздуха, отбрасываемую вниз.
Центробежная сила, действующая на ес-
тественный или искусственный спутник, про-
тиводействует силе притяжения Земли.
Конструкцией называли первоначально со-
оружение. Термин «структура» также обозна-
чает сооружение, но теперь он применяется в
более широком смысле.
Способность воспринимать усилия и мо-
менты наблюдается в макро- и в микрокосмо-
се, в мире живой и мертвой природы. Если
конструкциями пользуется человек, принято
говорить, что это — технические конструкции.
Растения и тела животных могут быть отнесе-
ны к «живым конструкциям».
Все предметы и явления, в которых человек
использует способность воспринимать усилия
и моменты: камень, поверхность земли, воздух,
вода, различные элементы, относятся, с этой
точки зрения, к конструкциям.
О классификации конструкций. Конструк-
ции являются средством для восприятия сил
и моментов.
Силы и моменты воспринимаются материа-
лом конструкции. Конструкция, следователь-
но, материальна, вещественна. Впрочем, вос-
приятие сил и моментов возможно и без по-
мощи вещественного тела, например, с по-
мощью магнитных воздействий. В этом случае
конструкция невещественна.
В строительстве невещественные конструк-
ции имели до сих пор очень малое значение.
Классические строительные конструкции
издавна возводятся из твердых, сохраняющих
свою форму материалов. Однако сегодня все
шире применяются в качестве конструкцион-
ных не имеющие определенной формы жидкие
и газообразные материалы.
Многие материалы сохраняют свойства
твердого тела до определенной величины на-
гружения и температуры, за пределами кото-
рых они становятся легкодеформируемыми.
Такие материалы называются пластическими.
Напряженные состояния растяжения, сжа-
тия и изгиба. Силы и моменты, воспринимае-
мые материалом конструкции, воздействуют
на него различным образом.
Наиболее просто материальные конструк-
ции различаются по виду их напряженного со-
стояния. Мы различаем конструкции, работа-
ющие на растяжение, сжатие и изгиб.
Напряженное состояние растяжения —
следствие способности материала сопротив-
ляться растягивающим усилиям.
То же может быть отнесено к случаю рабо-
ты на сжатие. В обоих случаях напряженное
состояние тела обусловливается приложением
сил. Изгибное напряженное состояние также
может рассматриваться как результат дейст-
вия растягивающих и сжимающих сил, но та-
кой подход не дает точной действительной
картины изгибного напряженного состояния
тела.
Изгибное напряженное состояние — мо-
ментное. Моменты различных видов воспри-
нимаются благодаря способности материала
сопротивляться воздействию моментов.
В чистом виде моментное напряженное
состояние возникает, когда отсутствует всякое
дополнительное нагружение сжимающими или
растягивающими силами Нагрузка в виде па-
ры сил также вызывает моментное напряжен-
ное состояние, однако сдвигающие усилия от-
носятся к виду силовых воздействий.
Часто один элемент строительной конструк-
ции испытывает воздействие напряжений раз-
личного характера; в этом случае говорят о
сложном напряженном состоянии.
В невещественных конструкциях можно ус-
тановить соответствие растягивающих усилий
5
притяжению, сжимающих усилий оттал-
киванию. Вращение поля можно срав-
нить моментным напряженным состоя-
нем.
Одно-, двух- и трехосное напряженное со-
стояние. Наряду с существованием различного
арактера нагружения (растяжени сжатее
изгиб) известно нагружение одновр- нно
нескольких направлениях.
Напряженное состояние называется одно-
осным или линейным, если усилия действу то
только в одном направлении. Так, растянутый
трос напряжен практически одноосно Таки
же образе может быть одноосное изгпбнос
состояние в бал: е и одш. тню может быть сжа-
та стойка.
Если усилия в теле действуют одповремен
и- в дву направлениях, то говорят о двухое
нон или плоском напряженном состоянии. Так,
м тбрана бараблна испытывает двухосное
напряжение.
Плита может быть нагружена момента ми в
д ух направлениях или подвергаться двухос
ному сжатию. Напряжения в разных направ-
лениях могут различаться также по величине
и характеру В тонких гиперболически?; пара-
болоидных оболочках часто наблюдается рас-
тяжение в одном направлении и сжатие в
другом.
Трехосное напряженное состояние называ-
ют также пространственным. Любой твердый
материал мо^ет как растягиваться, так и сжи-
маться во все?; направлениях.
Известно, что при всестороннем сжатии
материалы могут нагружаться весьма сильно.
Жидкости являются практически несжимае-
мыми. Газы также могут воспринимать боль-
шие давления и сжиматься вплоть до перехо
да в жидкое состояние.
Жидкости и газы не воспринимают одно-
осного или двухосного нагружения, как и трех-
осного неравномерного (вязкие жидкости и
пластичные материалы могут испытывать не-
равномерное напряжение лишь ограниченное
время)
В твердых телах возможны любые комби-
нации напряжений.
Масса и ускорение. При воздействии сил
или моментов масса испытывает ускорение.
Движущаяся масса при движении сопровож-
дается работой сил или моментов. Эти силы
или моменты могут противодействовать неко-
торым другим, и в этом проявляется спо-
собность массы к восприятию сил или мо-
ментов.
Системы несущих конструкций. Наряду с
характером напряженного состояния конст-
рукции отличаются по виду несущей системы.
Известны системы с протяженностью в одном
направлении, или линейные, в двух на-
правлениях (двумерные или плоские) и
трехмерные, или пространственные, систе-
мы.
Если система подвержена преимуществен-
но какому-нибудь одному виду напряжения,
например растяжению, она называется основ-
ной системой в отличие от смешанных, кото-
рым присуще неоднородное напряженное со-
стояние.
Линейные системы. Линейно напряженные
системы развиваются в одном направлении,
два же других, измерения малы. Материал
концентрируется вдоль прямой, кривой или
ломаной линии. Пример такой несущей систе-
мы— гибкий трос. Площадь поперечного сече-
ния, необходимая для восприятия силы, стре-
мится к нулю с ростом прочности материала
на разрыв.
К такому же типу систем можно отнести
прямые или кривые балки, воспринимающие
момент, хотя в большинстве случаев они име
ют достаточно развитое поперечное сечение.
Напряженные прямые или изогнутые стойки
способные воспринимать сжимающие усилия,
также относятся к линейным несущим си
стомам.
Растянуто напряженный трос, изгибаемая
балка и сжатая стойка являются примерами
основных систем линейно протяженных
конструкций. В противоположность этому
ствол дерева, который кроме веса кроны
должен также воспринимать момент от вет-
ровых нагрузок, может служить приме-
ром линейно протяженной смешанной си-
стемы.
Двумерные несущие системы или оболочки.
Для оболочек характерно, что два их измере
ния велики, а третье мало. Материал обра-
зует поверхность, которая может быть плос-
кой или же иметь одинарную или двоякую
кривизну. Возможны п складчатые поверх-
ности.
Двумерная система может быть напряже-
на одноосно, как, например, преимущественно
бывает напряжена стена здания или свод с
одинарном кривизной, висячее покрытие или
плита
Несущая конструкция, развитая в двух на-
правлениях, может состоять из линейных эле-
ментов. Такие системы чаще всего напряжены
одноосно.
Примером может служить тросовая сетка,
балочная клетка или решетчатый купол. Та-
кие структуры представляют собой основные
системы одноосно напряженных конструкции
из линейных элементов.
Ь
Мембрана 1 представляет собой напряжен-
ною гпбк\ ю оболочкх Мембрана не обладаем
изгибной жесткостью и работает только на
растяжение. Она может иметь плоскую или
изогпото ю форму.
Плиты или пластинки представляют собой
плоские жесткие структуры, развитые в двух
направлениях. Плиты мог\т воспринимать
сжимающие и растягивающие усилия, а также
моменты, вызывающие в плитах одно- и двух-
осные напряженные состояния. Образование
регулярно расположенных сквозных отверстий
в плите преобразует ее в балочную клетке или
в ростверк. Свод представляет собой оболочко,
работающую преиме щественно на сжатие
Поверхность двухосно напряженного свода
может иметь сквозные отверстия или состоять
из стержней. В этом случе его напряженное
состояние будет по сощество одноосным. Это
относится к сетчатым пли решетчатым ку-
полам.
Основные системы оболочек, напряженное
состояние которых обусловливается только
растяжением, или сжатием, или изгибом, про-
тивопоставляются смешанным системам, к ко-
торым относится большинство строительных
оболочек.
Складки представляют собой пространст-
венные конструкции из отдельных плоских
связанных между собой элементов, которые
могут быть напряжены одно- или двухосно.
Жесткие структуры, развитые в двух изме-
рениях и изогнутые по некоторым поверхно
стям, называются оболочками. Оболочки мо-
гут иметь различную кривизну и изломы по
верхности. Практически любая жесткая не-
плоская поверхность и есть оболочка.
Оболочки могут воспринимать сжатие, рас-
1 Приведенное здесь определение мембраны отвеча
ет общепринятому и техническому значению этого сло-
ва. Необходимо, однако, отметить, что в расчете оболо-
чек часто применяется термин «мембранная теория»;
при этом имеются в виду теоретически изгибно нежест-
кие оболочки, а термин «мембрана» используется здесь
как выражение отсутствия изгибной жесткости. Вместо
точного выражения «усилия в оболочке, полагаемой из-
гибно нежесткой» обычно говорят для упрощения
«мембранные усилия» даже и в тех случаях, когда речь
идет о сжимающих усилиях, которые не могут быть вос-
приняты настоящей мембраной. Таким образом, возни-
кает путаница, еще более усилившаяся в последнее вре-
мя в связи с тем, что было построено много зданий с
использованием настоящих мембран, существенно отли-
чающихся по конструкции от оболочек. Автор в ряде вы-
ступлений на международных конгрессах предлагал в
дальнейшем под мембранами понимать только гибкие
(мягкие) растянуто напряженные оболочки. Примеча-
тельно, что В 3. Власов (как справедливо заметил
О. Д Онпашвили) не назвал свою книгу «Мембранная
теория», а использовал для нее термин «безмоментные
оболочки».
тяжепие и моменты. Жесткая оболочка может
быть напряжена одпоосно и двухосно.
Фахверк также может рассматриваться
как несущая система, развитая в двух паправ
пениях, если только он лежит в одной плоско-
сти. При применении шарнирных связей меж-
ix элементами фахверка он распадается ь
статическом смысле на одноосно растянутые
и одноосно сжатые стержни.
Пространственные несущие системы. Си-
стемы имеют все три измерения одного поряд-
ка и могут иметь любую форму.
Массивные жесткие тела могут восприни-
мать силы и моменты и быть при этом одно-,
двех- и трсхосно напряжены. В конструкциях
такого типа пспольз> ются материалы с малой
прочностью.
Несущие системы, развитые в трех нап-
равлениях, или массивные конструкции харак-
теризуются значительным объемом материала
даже в тех случаях, когда несущее тело имеет
отверстия или внутренние пустоты.
Внутренние пустоты, поры в несущих телах
для лучшего использования высокопрочного
материала, а также в других целях могут быть
развиты настолько, что тело будет представ-
лять по существу структуру из тонких стерж-
ней или стенок. Общий объем конструкции
останется постоянным, внутри же этого объе-
ма сумма объемов пустот может приближать-
ся к объему материала в перемычках или
стенках.
Зависимости несущей системы, развитой в
трех измерениях, сохраняют свою силу и в
том случае, когда эта система образуется из
линейных или плоских элементов, в которых,
в свою очередь, может быть одноосное или
двухосное напряженное состояние. Такие трех-
мерные несущие системы с небольшим количе-
ством используемого материала обычно назы-
ваются пространственными несущими конст-
рукциями. Пространственные конструкции
разделяют на пространственные стержневые
и пространственные конструкции из элемен-
тов, развитых в двух измерениях.
Пространственные стержневые конструк-
ции могут состоять из жестких и гибких стер-
жней, связанных между собой. При использо-
вании только гибких растянуто напряженных
элементов возникает пространственная тросо
вая сетка.
Пространственная тросовая сетка—пример
растянуто напряженной пространственной
конструкции из линейно протяженных элемен-
тов. А стропильная ферма .может служить
таким же примером для случая изгибно напря-
женного состояния. Пространственный каркас
состоит из сжатых линейных элементов.
7
В качестве примера основной системы про-
странственной двухосно напряженной несущей
конструкции, состоящей из элементов, разви-
тых в двух измерениях, для случая растяже-
ния может служить пена, образуемая некото-
рыми жидкостями. В случае изгибных или
сжимающих усилий таким примером может
быть жесткая пена (например, пеностекло).
В трехосно напряженных основных систе-
мах пространственных несущих конструкций
растягивающие усилия возникают, например,
в случае усадок.
Трехосное изгибно напряженное состояние
встречается относительно редко. Наиболее ва-
жен случай трехосного сжатия, наблюдаю-
щийся при приложении к основанию по по-
верхности неравномерных нагрузок. Вода и
воздух могут испытывать только трехосное на-
пряженное состояние. Несущие системы, раз-
витые в трех измерениях, в отношении напря-
женного состояния очень часто являются сме-
шанными системами. Так, например, мачта с
растяжками представляет собой пространст-
венную композицию из линейных одноосно
сжатых и растянутых элементов. Баллон, не-
зависимо от того, используется ли он в каче-
стве воздушного корабля или надувного зда-
ния,— пневматическая конструкция, состоя-
щая из двухосно напряженной мембраны и
трехосно напряженного газа или воздуха, ко-
торый может непосредственно воспринимать
прикладываемые к баллону внешние нагрузки
и является таким образом конструктивно на-
пряженным.
В электромоторе действуют различные ви-
ды напряжений. Составные жесткие части мо-
тора испытывают изгибные, растягивающие и
сжимающие усилия. Крутящий же момент вы-
зывается невещественными магнитными си-
лами.
В чистой форме отдельные виды напряже-
ний встречаются сравнительно редко. Более
обычны различные комбинации напряжений
и видов несущих систем. Система линий мо-
жет образовать поверхность или объем; когда
эта система реализуется в конкретном мате-
риале, он должен иметь некоторый объем.
Любой жесткий строительный материал может
быть напряжен одно-, двух- или трехосно. Тео-
ретически можно представить очень тонкую
растянутую проволоку, к которой дополни-
тельно приложено поперечное растягивающее
у силие.
Строительный материал, допускающий
трехосное неоднородное напряжение, приго-
ден для любой несущей системы. Для таких
материалов не определяется однозначно вид
несущей системы, т. е. нельзя сказать, что та-
кая конструкция присуща специфически толь-
ко стали, дереву или бетону.
В то же время несомненно, что некоторые
из несущих систем более соответствуют опре-
деленному строительному материалу.
Силы, напряжения, усилия. В линейных
строительных элементах напряженное состоя-
ние растяжения, сжатия или изгиба может
вызываться силами или моментами. Сила име-
ет размерность кГ. В элементах, развитых
в двух измерениях, могут быть плоские на-
пряженные состояния растяжения, сжатия или
изгиба. В этом случае принято относить на-
грузку к длине соответствующего сечения.
Размерность усилия имеет вид кГ/пог. м.
В объемных строительных элементах
обычно говорят о напряжениях с размер-
ностью кГ,!см2.
Прочность строительного материала опре-
деляется в общем случае допускаемым напря-
жением. Характеристика прочности материала
с помощью допускаемого напряжения в кГ/см2
применима не только к объемным элементам,
но и к линейно напряженным и плоским эле-
ментам, если определение их толщины не
представляет трудности. Однако в некоторых
плоских или линейных элементах определение
эффективной площади поперечного сечения
часто весьма затруднительно, как, например,
в тросах, тканях или стеклопластиках, состо-
ящих из большого количества микроскопиче-
ски мелких отдельных волокон.
В силу этого принято характеризовать ли-
нейные гибкие растянуто напряженные эле-
менты с помощью разрывной прочности, изме-
ряемой в кГ, удлинения, измеряемого в про
центах, и модуля упругости.
Для плоских элементов, эффективная тол-
щина которых трудно установима, как, напри
мер, в тросовых сетках, тканях, в пористых
кожеподобных пленках и других аналогичных
материалах, для характеристики напряженно-
го состояния используется погонное (так на-
зываемое мембранное) усилие с размерностью
кГ/пог. м.
Допускаемое погонное усилие определяет-
ся путем испытания на разрыв при одноосном
растяжении полос исследуемого материала
(так, для ткани ширина стандартного образ-
ца— 5 см, длина—30 см). Особенное значе-
ние для характеристики свойств материала
имеет диаграмма усилие — деформация и
определяемый с ее помощью погонный модуль
упругости (размерность кГ/см). При этом
следует отметить, что многие новые высоко-
прочные строительные материалы характери-
зуются нелинейной зависимостью между' уси-
лиями и деформациями и, следовательно, не
8
подчиняются закону Гука. Физические соотно-
шения для материалов при двухосном и трех-
осном напряженном состоянии пока еще
изучены слабо, недостаточно разработана и
методика испытания материалов на такие ви-
ды напряженных состояний.
Предварительное напряжение. Все конст-
рукции могут быть разделены на две группы
в зависимости от того, являются они предва-
рительно напряженными или нет. Предвари-
тельно ненапряженной является такая конст-
рукция, которая в ненагруженном состоянии
не имеет никаких напряжений.
Ненагруженной является такая конструк-
ция, которая не воспринимает никаких сил и
моментов, включая собственный вес.
Предварительно напряженной считается
такая конструкция, в которой при отсутствии
внешней нагрузки (кроме того, конструкция
предполагается невесомой) действуют силы
или напряжения. Эти силы или напряжения
существуют в конструкции до приложения
внешней нагрузки.
Термин «предварительное напряжение» от-
носится преимущественно к конструкции, в то
время как термин «собственные напряжения»
или «внутренние напряжения» используют
применительно к состоянию самого материа-
ла, а также и к телам, образованным из этого
материала. Так, например, теннисная ракетка
или арфа являются предварительно напря-
женными. Струны и рама испытывают боль-
шие усилия и моменты. То же относится и к
бетонному элементу, обжатому растянутой ар-
матурой (предварительно напряженный желе-
зобетон). В закаленном стекле поверхность,
подвергнутая быстрому охлаждению, испыты-
вает предварительное усилие сжатия, а внут-
ренняя зона — предварительное усилие растя-
жения.,
Чаще всего материалы конструкций не
свободны от предварительных и внутренних
напряжений, которые неблагоприятно сказы-
ваются на их свойствах. Применение предва-
рительного напряжения целесообразно тогда,
когда позволяет добиться более высокой не-
сущей способности в нагруженном состоянии.
В области растянуто напряженных систем
гибкие предварительно ненапряженные кон-
струкции в виде тросов, тросовых сеток и
мембран в ненагруженном состоянии не име-
ют определенной формы; они приобретают
форму только при нагружении.
Гибкие предварительно ненапряженные
конструкции в виде тросовых или мембранных
структур, так же как и арочный свод в обла-
сти сжато напряженных конструкций, для ста-
билизации формы требуют постоянной значи-
тельной! пригрузки, которая чаще всего обе-
спечивается собственным весом (например,
в покрытиях).
Предварительно напряженные гибкие кон-
струкции сохраняют свою форму и в ненагру-
женном состоянии, причем эта форма, так же
как и само предварительное напряжение, не
зависит от положения конструкции в прост-
ранстве. Трос, натянутый между двумя точка-
ми, является предварительно напряженным,
если его длина в ненапряженном состоянии
меньше расстояния между этими точками.
Основная форма такой системы — прямая
линия.
Предварительно напряженные гибкие рас-
тянутые конструкции могут иметь плоскую
форму или же быть двояко (седловидно) ис-
кривленными. Форма с одинарной кривизной
соответствует случаю одноосного напряженно-
го состояния. Формы с положительной гауссо-
вой кривизной невозможны.
2. РАЗВИТИЕ РАСТЯНУТО НАПРЯЖЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ
До настоящего времени в области растя-
нуто напряженных конструкций отсутствует
сколько-нибудь полный обзор состояния во-
проса. Это трудно сделать и сейчас, посколь-
ку эта область строительной техники находит-
ся в процессе стремительного, бурного раз-
вития.
Задача ближайших лет — упорядочение
этой новой области конструкций и установле-
ние исторических и технических внутренних
связей между различными направлениями
в ней. Конструктивный обзор позволит уви-
деть развитие растянуто напряженных конст-
рукций в новом свете. Изучение взаимосвязей
и значения важнейших работ в этой области
позволит дать правильную их оценку.
Способность воспринимать силы и моменты
с помощью растянуто напряженных материа-
лов мы находим в неживой и живой природе.
В неорганическом мире, например, среди ми-
нералов в редких случаях мы сталкиваемо
со способностью воспринимать нагрузки в ви-
де растягивающих усилий, за исключением
разве только асбестовых волокон. Тем не ме-
нее многие скальные породы имеют опреде-
ленную прочность на разрыв. Растягивающш
усилия встречаются только на поверхности
земли, глубинные же слои земли сжаты.
9
Значительно чаше растянуто напряженное
состояние встре"ает( я живой природе Так.
например, древесина кат строительный мате-
риал может подвергаться сжатию, растяже-
нию или изгибу Растягивающие усилия могу г
штвовать в отдельности или ивместкос пз-
г| 1 1ющим:1 В то врс 1Я иль и во i герева вос-
принимает сжимаюшие и изгибающие усилия,
наиболее крупные сучья кроны работают в ос
новном на изгиб, а мелкие ведай— на расти
л -пне. Гибки' по малорастяжимые пленки
сухожилия необходимы в тес случаях, когда
несущая система не жесткая, а подвижная.
Сжимающие ci тия чаще всего восприни-
маются жесткими.! работающими па сжатие
элементами. Таг например, у зверей панцирь
округлой формы выполняет роль наружного
скелета, воспринимающего сжимающие
в определенной степени изгиб; ющпе усилия.
Вне три сто растянуто напряженная под-
вижная система. У позвоночных суставчатая
система, работающая на сжатие (скелет),оде-
та множеством сухожилий. мускулов п пленок,
представляюши собой сисю му. работающую
на растяжение и обеспечивающую подвиж-
ность конструкции. В целом конструкция спо-
собна воспринимать значительные силы и мо-
менты.
Конструкции тел животных весьма разно-
образны. Чаще всего они представляют собой
комбинацию нескольких растянуто напряжен-
ных систем со скелетом, работающим на сжа-
тие. Смешанные изгибные напряженные со-
стояния встречаются реже.
В то время как живые конструкции пред
ставляют собой высокоразвитые системы,
с эффективностью которых могут сравниться
только лучшие из созданных человеком конст-
рукций, сооружения, создаваемые животными,
стоят на значительно более низкой ступени
развития. Но и здесь мы можем наблюдать
растянуто напряженные элементы конструк-
ций. Так, например, вырабатываемые пауком
нити весьма эффективно используются им
в конструкции ловчей сети.
В человеческой деятельности в качестве
первых растянуто напряженных конструкций
могут рассматриваться шатры и палатки из
звериных шкур или из тонких ветвей. С раз-
витием техники ткачества и вязания стали из-
готовлять тканевые шатры и палатки, рыбац-
кие сети и корабельные паруса. Уже много
тысячелетий для изготовления сетей и тканей
используются волокна, прочность которых бы-
ла превзойдена только в последнее время.
Все виды конструкций предварительно на-
пряженных сеток и мембран, которые были
известны на заре строительной техники и рас-
сматриваются сегодня как вершина современ-
ной техники, могли бы получить свое завер-
шенное конструктивное выражение еще
в древности при использовании материалов,
обычных для того времени
Хотя верност! этой гипотезы почти очевид-
на, исторические данные свидетельствуют, что
в древности и в средние века строительная
т( хника в области тентовых и сетчатых кон-
трхкций не располагала возможностями,
сколько-нибудь сравнимыми с современными.
Растянуто напряж иные конструкции моложе
конструкций, работающих на сжатие и на из-
гиб. Время их развития относится в основном
к пост дним десятилетиям. Этим они отли-
чаются, например, от ажурных сжато напря-
ченных конструкций, которые применялись
в готическом строительном искусстве и к ко-
торым со времен средних веков ничего суще-
ственного добавлено не было.
Шатер старейшая пространственная кон-
струкция в бласти растянуто напряженных
конструкций. Гибкая оболочка шатра долж-
на воспринимать высокие растягивающие нап-
ряжения.
Основные типы шатровых конструкций
почти не изменились за последние десятиле-
тия. Известная форма—остроконечный ша-
тер: оболочка конической формы опирается
в центре на мачту. В других формах приме-
няются две мачты, так что образуется дву-
скатное покрытие. Старые конструктивные
формы шатровых покрытий были широко из-
вестны, однако в последнее время в этой об-
ласти появились новые оригинальные наход-
ки. В тентовых конструкциях теперь выпол-
няются роскошные залы и целые палаточные
города. При высоком профессиональном ис-
полнении основные формы шатров почти всег-
да варьируются.
Развитие конструкций корабельных пару-
сов шло, по всей вероятности, независимо ог
развития тентового строительства. Корабель-
ный парус по существу может быть отнесен
к пневматической конструкции. Суровые ис-
пытания на морях помогли за сравнительно
короткое время создать весьма эффективные
конструкции парусов. На основе последних
достижений аэродинамики, методов расчета
и способов задания формы мембран удалось
внести в парусное дело существенные улучше-
ния. Ветер как источник энергии теперь почти
не используется, поэтому дальнейшее разви-
тие в этой области проблематично; хотя в из-
менившихся условиях, возможно, снова при-
дется обратиться к парусу.
Широко известный цирковой шатер приоб-
рел свою форму, по всей вероятности, в прош-
10
лом столетии. Чаще всего применялись четыре
больших мачты, устанавливаемые вокрхг аре
ны, на которые навешивалось тентовое покры-
тие; оно раскреплялось большим количеством
оттяжек.
Большие пролеты и высокие напряжения
в материале заставили воспользоваться тяже-
лыми тканями из льна, пеньки пли хлопка и
усиливать их в наиболее опасных местах
вшитыми тросами.
В мостостроении известны висячие мосты
с одним, двумя или несколькими несущими
канатами, причем форма проезжей части этих
мостов следует кривой каната, т. е. или непо-
средственно опирается на несущий канат, или
подвешивается вплотную к канату снизу.
Большепролетные мосты такого типа сохра-
нили свое значение до настоящего времени и
будут строиться в дальнейшем. До появления
стального троса несущие канаты выполнялись
исключительно из растительных волокон
с ограниченной долговечностью, что вынужда-
ло часто заменять их. Позднее для висячих
мостов были применены кузнечные металли-
ческие цепи, известные уже семь веков и, воз
можно, существовавшие еще раньше. Наибо-
лее важные примеры применения кузнечных
цепей для висячих мостов имеются в практи-
ке английского мостостроения.
Только в XIX в. появилась горизонтальная
проезжая часть, подвешиваемая к несущим
тросам и не повторяющая более формы кри-
вой несущего троса. Проезжая часть была от-
делена от основной системы конструкции.
В 1816 г. был возведен первый висячий мост,
в котором вместо цепей были применены про-
волочные тросы. Применение стальных прово-
лочных тросов позволило достигнуть огром-
ных пролетов1.
Джон Рёблинг разработал и осуществил
конструкции висячих мостов со свободно ви-
сящими несущими тросами, с жесткой проез-
жей частью и вертикальной тросовой сетью,
объединяющей несущий канат и проезжую
часть. Работы Рёблинга сохранили свое зна-
чение до настоящего времени и оказали боль-
шое влияние на конструкции всех новых боль-
ших висячих мостов.
Важнейшие работы Рёблинга — мост в
Цинциннати и Бруклинский мост в Нью-Йор-
ке (рис. 2.1 и 2.2). Среди строителей и конст-
рукторов больших современных висячи' мо-
стов можно назвать Штейнмана, Штрауса.
Аммана и Леонгардта.
В последнее время разработаны новые си-
стемы висячих мостов с четырьмя, реже тре-
мя несущими тросами, образующими прост-
ранственную предварительно напряженную
систему, которая позволяет добиться высо-
кой жесткости сооружения и малого собст-
венного веса конструкции.
’ См Е М о с k. The architecture of bridges. Museum
of modern art, 1949.
11
лении для предупреждения вертикальных и
скручивающих колебаний. Элизабет Мок при-
водит рисунок речного моста с такими рас-
крепляющими тросами, построенного в Анг-
лии в 1741 г. Джон и Вашингтон Рёблинги
также используют такие тросы. Во всяком
случае, несомненно, что предварительное на-
пряжение пространственной тросовой систе-
мы известно еще с давних времен. После ви-
сячих мостов начали строить также покры-
тия, подвешиваемые к тросам (арсенал в
Лорнете, 1837 г.)1 11. Существует много более
поздних проектных разработок и возведен-
ных сооружений.
Задачи, возникающие при строительстве
висячих покрытий, существенно отличаются
от проблем, возникающих при сооружении ви-
сячих мостов. Покрытия, нагрузки у которых
значительно меньше, весят немного и поэтому
весьма чувствительны к вертикальным пере-
мещениям под действием ветрового отсоса в
отличие от висячих мостов с тяжелой проез-
жей частью, для которых, как показали про-
веденные исследования, опасность возникно-
вения аэродинамической неустойчивости
сравнительно невелика.
К числу первых инженерных работ в об-
ласти висячих конструкций, в которых мем-
брана покрытия и несущая конструкция пред-
ставляли единое целое, относятся сооружения
В. Г. Шухова, возведенные им на Нижегород-
ской ярмарке (1896 г.). Эти работы были за-
быты и только недавно снова привлекли к се-
бе внимание. Шуховские конструкции можно
отнести к типу шатровых конструкций из лис-
товой стали2.
Развитие современных растянуто напря-
женных конструкций получило мощный тол-
чок в 30-х годах этого столетия в связи с по-
пыткой перекрытия большого зернохранили-
ща в Альбани, штат Мемфис (США) с
помощью висячего тонколистового стального
покрытия одинарной кривизны. В это время
Лафалье в Париже работал над конструк-
циями жестких тонколистовых металлических
оболочек, а позднее — над растянуто напря-
женными тонколистовыми покрытиями.
Особенно важным этапом в развитии рас-
тянуто напряженных конструкций следует
считать проект висячего покрытия Рэлей-аре-
ны, разработанный Новицким в 1950 г. и ре-
ализованный Северудом и Дейтриком в
До сих пор не удалось установить, кто
впервые использовал в висячих мостах допол-
нительные тросы, раскрепляющие конструк-
цию моста в вертикальном и боковом направ-
1 См. «Engineering News Record», 27 октября 1921.
См. послесловие И. Г Людковского к книге
Ф. Отто «Висячие покрытия» (Госстройиздат, 1960).
Конструкции В. Г. Шухова — не только шатровые, но
11 — главным образом—сетчатые. (Прим. пер.).
12
Впервые попытка рассмотреть тросовые сет-
ки и мембраны, арки, краевые тросы и элемен-
ты, стабилизируемые тросовой сеткой, прост-
ранственно искривленные предварительно на-
пряженные мембранные системы и различные
виды пространственных мембранных покрытий
с внутренними опорами была сделана авто-
ром в 1951 —1953 гг. в диссертации «Висячие
покрытия». Покрытия этого рода получили в
последнее время широкое распространение.
Во всех странах строятся крупные сооруже-
ния такого типа. Инженерами и архитектора-
ми достигнуты выдающиеся теоретические и
практические успехи в этой области. Не пре-
тендуя на исчерпывающую полноту назовем
здесь имена людей, способствовавших раз-
витию этой отрасли конструкций. В их числе
Борджес, Бэрд, Костас Альяна, Финстерваль-
дер, Фриман, Хеттингер, Ирвин, Яверт, ЛеРи-
колье, Леонгардт, Людковский, Ергенсен, Хо-
рак, Маринг, Мондино, Рабинович, Рудольф,
Сааринен, Сарджер, Шеллинг, Шлеер, Севе-
руд, Стоун, Стюббинс, Штромайер, Тандж,
Тростель, Цубои, Вейдлингер, Юнкен, Цет-
тин. Наиболее важные сооружения типа рас-
тянуто напряженных конструкций — Шварц-
вальдхалле в Карлсруэ, павильон Рио-Гранде
де Суль в Сан-Паулу, покрытие хоккейного
стадиона в Нью-Хейвене, висячее покрытие
над певческой трибуной в Мельбурне, аэро-
порт им. Даллеса в Вашингтоне, покрытие
плавательного бассейна в Вуппертале, фран-
цузский и американский павильоны на Брюс-
сельской выставке, покрытие зала в Дорт-
мунде, покрытие аудитории в Утике, олим-
пийский стадион в Токио.
Можно сказать, что с 1960 г. началось ме-
ждународное движение в области растянуто
напряженных конструкций.
Трос как часть растянуто напряженной
конструкции встречается в самых различных
областях техники. Мачта старого парусного
корабля, укрепленная растяжками, — прооб-
раз гигантских современных радиомачт. Уже
с 20-х годов нашего столетия стали думать
о том, чтобы подвесить к мачтам площадки,
образующие совместно с мачтой конструк-
цию высотного здания. В этом направлении
работали Раш, Бэкминстер Фуллер, Бакема,
Пардо, Борисовский, Леман и др. Конструк-
ции такого типа, где все сжимающие усилия
концентрируются в немногих несущих эле-
ментах, находятся в самом начале своего
развития. Можно полагать, что в будущем их
ждет широкая область применения, в особен-
ности в сочетании с предварительно напря-
женными пространственными тросовыми сет-
ками1.
3. ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НЕНАПРЯЖЕННЫЕ СИСТЕМЫ
РАСТЯНУТЫХ КОНСТРУКЦИИ
Растянуто напряженные конструкции опре-
делены нами в разделе «Общая классифика-
ция конструкций». Они отличаются от несу-
щих систем, развитых в одном, двух или трех
направлениях и состоящих из элементов, в
свою очередь имеющих протяженность в од-
ном, двух или трех измерениях и испытываю-
щих одно-, двух- или трехосное напряженное
состояние.
Растянутые конструкции относительно лег-
ко поддаются анализу: в растянуто напря-
женном состоянии исключается опасность оп-
рокидывания или потери устойчивости, имею-
щаяся в сжатых конструкциях. Кроме того,
растянуто напряженным конструкциям не при-
сущ сложный характер распределения напря-
жений и комбинации различных видов напря-
женных состояний, как, например, в изгибае-
мых конструкциях. Это относится в особенно-
сти к тому случаю, когда все элементы кон-
струкции растянуты, причем, будучи выпол-
ненными в тросах или в мембранах, они в
силу своей природы не воспринимают сжатие
или изгиб. Между сжатыми и изогнутыми
конструкциями нельзя провести четкой грани-
цы, так как в большинстве случаев работаю-
щие на сжатие элементы конструкций явля-
ются в то же время изгибно жесткими, а из-
гибно жесткие элементы почти всегда способ-
ны воспринимать сжатие и растяжение.
Растянуто напряженные конструкции, вы-
полняемые из гибких элементов, подчиняют-
ся определенным геометрическим условиям,
что в области сжатых конструкций наблюда-
ется только в сводах, выкладываемых из от-
дельных элементов. Гибкие растянуто напря-
женные элементы конструкций сами по себе
принимают некоторую равновесную форму,
которая оказывается весьма благоприятной
также и для восприятия сжимающих сил и
моментов.
Только в последнее время появилась воз-
можность придавать такую форму изгибае-
мым и сжатым элементам.
Форма и конструкция в гибких растянуто
напряженных системах образует единое це-
лое. Если ограничиться гибкими, работаю-
щими на растяжение элементами, число воз-
1 См. «Deutsche Bauzeitschrift», 1962, № 7.
13
ножных конструктивных форм сократится,
однако останется достаточно большим. Кон-
структивные особенности предварительно на-
пряженных и ненапряженных гибких конст-
рукций позволяют, в общем, отчетливо разгра-
ничивать их.
Отдельный трос. Под тросом мы разумеем
здесь любой способный работать на растяже-
ние гибкий протяженный в одном направле-
нии несущий элемент, который в конструктив-
ном выполнении может быть цепью, лентой,
волокном и т.д. Трос (рис. 3.1), воспринима-
ющий растягивающую силу, имеет форму
прямой линии. Трос, свободно подвешенный
между двумя точками (рис. 3.2), под дейст-
вием собственного веса образует цепную ли-
нию. На рис. 3.11 и 3.14 показан трос посто-
янной длины, закрепленный в двух точках,
которые в начальном положении совмещены,
а затем последовательно раздвигаются в го-
ризонтальной плоскости с постоянным шагом.
На рис. 3.12 приводится снимок плиты,
колеблющейся в плоскости подвески, при дли-
тельной экспозиции, на рис. 3.13—различные
формы цепной линии. Если трос нагружен
равномерной нагрузкой, нормальной к очер-
танию оси троса и лежащей в его плоскости,
то кривая троса (рис. 3.3) есть окружность,
т. е. кривая с постоянной кривизной. Трос,
подверженный нагрузке, равномерной в про-
екции, принимает форму параболы (рис. 3.4).
К тросу могут быть приложены различные
по величине силы (рис. 3.5), лежащие водной
плоскости или имеющие пространственную
ориентацию. При плоской нагрузке трос ле-
жит в плоскости этой нагрузки, при произ-
вольно ориентированных силах он принимает
форму пространственной кривой.
При жесткой подвеске, как, например, в
случае троса, натянутого между двумя ска-
лами (рис. 3.6), точки закрепления могут
рассматриваться как несмещающиеся. При
температурных колебаниях провис гроса от
удлинения пли укорочения может увеличи-
ваться или уменьшаться.
Трос может закрепляться на изгибно же-
стких элементах (рис. 3.8), связывать эле-
менты, работающие на сжатие (рис. 3.7, 3.9),
а также присоединяться к растянутым эле-
ментам (рис. 3.10). Степень податливости та-
ких опор под действием натяжения троса или
температурных изменений различна и оказы-
вает дополнительное влияние на форму троса.
При закреплении системы тросов на неко-
тором жестком опорном контуре, выполнен-
ном из того же материала, температурные
изменения не меняют ни натяжения тросов,
ни их формы, поскольку деформации геомет-
рически подобны. Теоретически опорный кон-
тур при понижающейся температуре сокраща-
ется в размерах пропорционально сокраще-
нию длины тросов, поскольку опорный кон-
тур и тросы охлаждаются в одинаковой степе-
ни (что, впрочем, на практике наблюдается
очень редко).
Тросовые системы и сетки, образующие вер-
тикальные плоскости. Если нагрузка с верти-
кального троса передается с помощью двух
других тросов на две точки закрепления, три
таких троса образуют плоскую вертикальную
поверхность. Это весьма частый случай
(рис 3.15), при котором три троса образуют
плоскую несущую систему.
Если к несущему тросу подвесить несколь-
ко вертикальных тросов, в свою очередь свя-
занных между собой балками или тросами,
то образуется вертикальная плоская висячая
сетка (рис. 3.16). Таким же образом систему
вант висячего моста можно рассматривать
как вертикальную сетку, причем несущий
трос может закрепляться на двух пилонах
(рис. 3.22) или же ванты могут закрепляться
на одном пилоне (рис. 3.19). Подвеска про-
езжей части может осуществляться тягами
14

15
(рис. 3.22) или вантами, непосредственно свя-
зывающими пилоны и проезжую часть (рис.
3.19 и 3.21).
Для обеспечения наиболее равномерных
прогибов проезжей части висячего моста при
воздействии равномерно распределенной под-
вижной нагрузки проезжая часть может под-
вешиваться вначале к системе часторасполо-
женных подвесок, объединяемых промежуточ-
ными несущими тросами (рис. 3.17), которые,
в свою очередь, прикрепляются к основной н
сущей системе. Возможна разветвляющаяся
система распределенной подвески, показан-
ная на рис. 3.18.
В конструкциях Бруклинского моста и мо-
ста в Цинциннати (см. рис. 2.1 и 2.2) Джо-
ном Рёблингом кроме системы вертикальной
подвески проезжей части (рис. 3.22) была
введена система наклонных тросов, образую-
щих гибкие диады (рис. 3.19). Такая комби-
нация тросов (рис. 3.20) обладает особенно
высокой жесткостью при воздействии как
равномерно распределенных, так и сосредото-
ченных подвижных нагрузок.
Поверхности, образуемые свободно вися-
щими тросами. Если между двумя горизон-
тальными параллельными линиями на равном
расстоянии подвесить тросы равной длины
(рис. 3.23), образуется поверхность с одинар-
ной кривизной. Сечение, параллельное тро-
сам, представляет собой цепную линию, а
нормальное к тросам — прямую горизонталь-
ную линию. Если трос, подвешенный в двух
точках, передвигать параллельно самому се-
бе по двум криволинейным параллельным
направляющим, возникает пространственно
искривленная поверхность, сечение которой,
параллельное тросам, по-прежнему представ-
ляет собой цепную линию, а поперечное се-
чение повторяет форму образующей кривой.
Возникающая поверхность может быть вы-
пуклой или седлообразной (рис. 3.24).
Седлообразная форма поверхности возни-
кает в том случае, когда кривые образующих
выгнуты кверху (рис. 3.25).
Поверхность положительной или отрица-
тельной кривизны может быть получена и при
расположении точек подвеса тросов на парал-
лельных прямых, согласно рис. 3.23, путем не-
прерывного изменения провиса тросов. По-
верхность имеет положительную кривизну,
если средние тросы имеют больший провис,
чем крайние; в обратном случае мы имеем
поверхность отрицательной кривизны.
На рис. 3.31—3.34 показаны опыты с нитя-
ми равной длины, подвешенными на равных
расстояниях между двумя горизонтальными
параллельными линиями и образующими
16
If
ft
it:
n
1!
ч
E
IB
II:
1
E.
поверхности с одинарной кривизной. На
рис. 3.35 и 3.36 показаны поверхности,
образованные путем изменения длины нитей;
модели поверхностей доказывают возмож-
ность получения таким путем поверхно-
стей положительной и отрицательной кри-
визны. Краевые закрепления группы тро-
сов могут выполняться так, что каждый от-
дельный трос окажется натянутым; однако
возможна и такая система закрепления, когда
семейство тросов подвешивается к непрерыв-
ному опорному контуру, который в состоянии
перераспределять действующие в тросах уси-
лия. На рис. 3.26 показан способ прикрепле-
ния тросов к краевому элементу, также вы-
полняемому в виде троса. На рис. 3.27 тросы
крепятся с одной стороны к сжатой арке. На
рис. 3.28 система тросов подвешивается к
замкнутому, пространственно искривленному
жестком} опорному контуру. На рис. 3.29 из-
гибно жесткий опорный контур образуется
прямыми элементами.
С помощью модели, показанной на
рис 3.30, была предпринята попытка устано-
вить возможность подвески группы тросов,
образующих непрерывную поверхность, к не-
симметричному опорному контуру, одна из
сторон которого представляет собой винтовую
линию. В проекции расстояния между подве-
шиваемыми тросами одинаковы, провисы же
меняются, как это можно видеть на боковых
снимках модели (рис. 3.41, 3.42, 3.44, 3.45).
Фотография модели, приведенная на рис. 3.43,
показывает вид под углом сверху. Как и в
других случаях, провисающие тросы образуют
в этой поверхности также цепную линию.
Дальнейшие опыты с моделями для опре-
деления форм основных систем были проведе-
ны с семейством параллельных тросов, подве-
шиваемых между двумя арками (рис. 3.37,
3.38 и 3.40). Как видно на боковом снимке мо-
дели (рис. 3.38), тросы подвешиваются таким
образом, что касательные в точке закрепле-
ния лежат строго в плоскости арок. При та-
ком прохождении тросов арки работают в ос-
новном на сжатие и не испытывают в исход-
ном положении изгибающих моментов. Одна-
ко они должны обладать значительной жест-
костью и для предохранения от опрокидыва-
ния раскрепляться системами жестких или
гибких связей. Такая форма конструкций при-
годна для висячих покрытий из параллельных
2—455
17
тросов при значительном весе самого покры-
тия или при высокой его собственной жест-
кости.
В качестве примера реального сооружения,
онструкци I покрытия которого приближается
этой основной форме, можно назвать празд-
ничный зал Кнаппзак-Грисхайм (архитектор
Хелл), см. рис. 3.39.
По всей вероятности, впервые конструкция
висячего покрытия в виде тросовой системы,
подвешиваемой между двумя арками, получи-
ла применение при проектировании знамени-
той Рэлей-арены. Однако малый вес мембра-
ны покрытия в этом сооружении потребовал
позднее дополнительного небольшого предва-
рительного напряжения части тросов и введе-
ния системы внутренних оттяжек для раскреп-
ления тросовой сетки в зоне, прилегающей к
вершинам арок. В покрытии Рэлей-арены не-
сущие тросы также подходят по касательной
к плоскости арки в точках своего подвеса и
образуют там поверхность с практически оди-
нарной кривизной. В поверхностях с одинар-
ной кривизной предварительное напряжение
мало влияет на повышение жесткости покры-
тия. Хотя мы рассматриваем здесь Рэлей-аре-
ну в ряду конструкций предварительно напря-
женных сеток, роль предварительного напря-
жения в конструкции этого здания еще
окончательно не определена.
В качестве примера системы из группы
тросов, опорным контуром которой служат
также тросы, на рис. 3.46—3.49 приводятся
фотографии модели конструкции в форме по-
верхности одинарной кривизны. На рис. 3.46
показан вид на модель снизу, на рис. 3.47—
вид под углом 45°, на рис. 3.48 и 3.49 — боко-
вые виды моделей.
На рис. 3.50—3.62 показана модель сход-
ной конструкции тросовой сетки с различной
высотой в четырех точках закрепления сетки.
Изменяя высоту угловых точек, мы можем по-
лучить поверхность с одинарной кривизной,
наклонную поверхность, поверхности отрица-
тельной и положительной гауссовой кривизны.
Сечение этих поверхностей в определенном
18
2*
19
направлении также представляет собой цеп-
ную линию. Этот вид конструкции обладает
очень широкими возможностями, из которых
здесь рассматриваются немногие.
Системы из отдельных радиально располо-
женных тросов. Приведенные на рис. 3.68—
3.80 фотографии моделей, выполненных авто-
ром совместно со студентами Калифорнийско-
го университета в Беркли в октябре 1962 г.,
дают подробное представление о поверхно-
стях, которые могут быть образованы ради-
ально расположенными тросами.
Если к горизонтальному круглому опорно-
му контуру подвесить вертикальные тросы,
отстоящие друг от друга на равных расстоя-
ниях, образуется цилиндрическая поверхность
(рис. 3.69). Если свободные концы таких тро-
сов связать в одной точке, образуется кате-
ноид (рис. 3.68), в центральной точке которого
звездообразно сходятся все тросы (рис. 3.70).
Если плоскость подвески наклонена, возника-
ет асимметричная форма (рис. 3.72). При под-
веске точки встречи тросов на дополнительном
тросе возникают формы, показанные на
рис. 3.71, 3.73—3.76. Общее для всех этих
форм то, что вблизи точки подвеса они име-
ют отрицательную кривизну. Отметим, что
вместо внешнего круглого опорного контура
может применяться произвольная кривая, так
же как и вместо средней точки подвеса может
быть использована круговая или любая дру-
гая замкнутая линия.
Формы, образуемые гибкими линиями,
могут применяться для систем, работающих
на сжатие, которые под действием равномер-
ной нагрузки не испытывают изгибающих мо-
ментов. Таким образом, модель из гибких
тросов может служить одновременно в качест-
ве модели арочной конструкции или конструк-
ции решетчатого купола (рис. 3.77). В моде-
ли, показанной на рис. 3.78—3.80, тросы зак-
репляются в двух уровнях по внешнему
кольцевому опорному контуру. Вертикальное
кольцевое сечение, проходящее вблизи точек
закрепления тросов на наружном контуре,
дает ломаную волнистую линию.
Возникающая форма может рассматри-
ваться также как две совмещенные поверхно-
сти вращения, из которых верхняя имеет по-
ложительную кривизну, а нижняя—отрица-
тельную.
На рис. 3.63—3.66 показаны различные ос-
новные формы радиального расположения
тросов: подвеска тросов к изгибно жесткому
20
кольцу (рис. 3.63), крепление внутренних тро-
сов к гибкому наружному тросовому контурх
(рис. 3.64), изменение формы цепной линии с
помощью силы, действующей вверх или вниз
и прикладываемой в середине этого троса
(рис. 3.65), подвеска тросов к опорному кон-
туру, не лежащему в одной плоскости
(рис. 3.66 и 3.67).
Конструкции из отдельных радиально рас-
положенных тросов уже применяются на
практике, однако чаще все-таки применяются
радиальные тросовые сетки.
Сетки из тросов и сжатых элементов. Сет-
чатые системы из тросов и сжатых элементов
имеют определенные собственные формы,
которые были исследованы автором путем мо-
делирования в совместной работе со студента-
ми Массачусетского технологического инсти-
тута в 1962 г. При опирании жестких стерж-
ней на два несущих троса, как это показано
на рис. 3.85, наличие сжимающих усилий в
стержнях очевидно. Такая система была при-
менена Шванцером в конструкции павильона
Европы на Брюссельской выставке 1958 г.
Расширение такой системы путем увеличения
числа тросов и сжатых элементов позволяет
получить поверхности с одинарной кривизной
(рис. 3.81) и двояко искривленные поверхно-
сти с отрицательной (рис. 3.82) и положитель-
ной (рис. 3.83) кривизной. Сетка рассматри-
ваемого вида (рис. 3.84) испытывает сжима-
ющие усилия в поперечном к тросам
направлении только в том случае, когда ши-
рина сетки в месте подвеса меньше, чем в се-
редине.
Едва ли достижима большая степень вы-
пуклости горизонтальной проекции наружного
троса, чем показанная на рис. 3.81—3.83. Ес-
ли попытаться еще более сблизить тросы в ме-
сте закрепления, возникает конструктивно ин-
тересная волнообразная форма поверхности.
Чем мельче ячейки сетки, тем меньше возмож-
ность введения сжимающих усилий во внут-
реннюю статику свободно висящей сетки. Уже
21
22
при незначительном сближении тросов в месте
закрепления в системе возникают складки или
волны.
Сетки из тросов и изгибно жестких элемен-
тов. В покрытии, показанном на рис. 3.85, сжа-
тые элементы могут выполняться изгибно
жесткими для того, чтобы воспринимать на-
грузки от заполнения. Фотографии моделей
на рис. 3.93—3.99 показывают различные ва-
рианты подвески тросовой сетки с изгибно
жесткими элементами. Наиболее распростра-
нены поверхности с одинарной кривизной
(рис. 3.95, 3.96 и 3.99), в которых тросы рас-
полагаются в вертикальных плоскостях, а из-
гибно жесткие стержни могут иметь наклон-
ное положение. Если же точки подвеса тросов
равной длины не образуют параллельных ли-
ний, сетка приобретает форму поверхности от-
рицательной кривизны (рис. 3.93, 3.94 и 3.97).
При использовании тросов с различным про-
весом между жесткими элементами усилия в
тросах на краю тросовой сетки могут быть
больше, чем во внутренней зоне. Этого можно
избежать, укорачивая внутренние тросы и тем
23
самым уменьшая величину изгибающих мо-
ментов в жестких элементах.
Если изгибно жесткие элементы конструк-
ции выполняются в форме арок (рис. 3.86),
должны быть приняты меры для обеспечения
их устойчивости. Изгибно жесткие элементы
могут иметь форму оболочек, опирающихся
на тросовую сетку в трех или четырех точках.
Возможно использование жестких балок ло-
маного очертания (рис. 3.87).
Различные виды опорных закреплений тро-
совых сеток. Сетка, показанная на рис. 3.88,
подвешивается между изгибаемыми консоля-
ми, а в сетке, показанной на рис. 3.89, каждый
трос опирается на отдельный пилон. Сетка на
рис. 3.90 опирается на краевой элемент в ви-
де плоской фермы, в которой нижний пояс и
раскосы растянуты и могут выполняться из
тросов, а верхний пож. сжат. Сетка, показан-
ная на рис. 3.91, подвешена между двумя тро-
сами, а сетка на рис. 3.92 натянута между
двумя сжатыми арками.
Примеры. Приведенные на рис. 3 100—3.107
фотографии сооружений с висячими покрыти-
ями одинарной кривизны дают представление
о степени развития этого вида конструкций
К числу таких покрытий относится прежде
всего огромное зернохранилище в Альбани
(США)1 *. На рис. 3.100 показана фотография
модели покрытия из тросов и балок, разрабо-
танная автором в 1952 г. Вместо изгибно
жестких балок могут использоваться прост-
ранственные непрерывные элементы из дере
ва, металла, легкого, тяжелого или предвари-
тельно напряженного железобетона. В проек-
те большого ангара пролетом 100 м и шириной
80 л/, выполненном автором в 1953—1954 гг.
(рис. 3.101), на несущие тросы, опирающиеся
на пилоны, укладывали легкие профилирован-
ные балки с последующим заполнением пли-
тами из легкого бетона. Покрытие в некото-
рых местах, а также ворота ангара дополни-
тельно усиливались в связи с возможностью
взрывных нагрузок. Покрытие зала Шварц-
вальдхалле в Карлсруэ (рис. 3.102), сконстру-
ированное Шеллингом и Фпнстервальдсром,
представляет собой одно из первых тяжелых
висячих покрытий. В 1958 г был построен
аэровокзал в Кэмптене (рис. 3.103, авторы
Герне и Фпнстервальдер).
В том же году' Хентцельт и Лсонгардт
построили плавательный бассейн в Вупперта-
ле (рис. 3.104). Покрытия небольшого зала в
Дортмунде (автор Хетцельт, рис. 3.105) и
зрительного зала в Колорадском государст-
1 См Фрей Отто Висячие покрытия. Госстрой-
издат, 1960.
венном университете (авторы Гунтер и Йор-
генсен, рис. 3.106) представляют собой жест-
кие висячие оболочки одинарной кривизны.
Еще одним примером железобетонной вися-
чей оболочки является аэропорт им. Даллеса
в Вашингтоне (авторы Сааринен и Северуд,
рис. 3.107).
Форма свободно висячей тросовой сетки
или мембраны. Тросовая сетка, так же как и
система отдельных тросов, может быть под-
вешена к любом} произвольному контуру, так
что возникнут поверхности с отрицательной
(рис. 3. 108) или положительной (рис. 3.110)
кривизной. Формы с одинарной кривизной
(рис. 3.111) возможны тогда, когда тросы од-
ного направления не напряжены, т. е. не уча-
ствуют в работе конструкции. То же относится
к гомогенным, сплошным мембранам
(рис. 3.109, 3.112, 3.113). Мембраны подчиня-
ются в общем тем же конструктивным услови-
ям, что и тросовые сетки, и имеют сходные, а
часто и одинаковые с тросовыми сетками
формы.
Различные формы тросовых сеток. Наибо-
лее известны сетки с четырехугольными ячей-
ками, которые могут быть равной или различ-
ной величины. При регулярных ячейках они
могут иметь форму квадрата (рис. 3.114), па-
раллелограмма, или ромба (рис. 3.115), или
же прямоугольника. Так же как и сетки с
четырехугольными ячейками, сетки с шести-
угольными ячейками (рис. 3.119) могут обле-
гать любую поверхность. В случае двоякой
кривизны сетка приспосабливается к поверх-
ности путем изменения углов в точках пересе-
чения тросов.
Свободно провисающие конструкции из
тросовых сеток с четырех- и шестиугольными
ячейками не обладают способностью сопро-
тивляться сдвигающим усилиям. Сетка с четы-
рехугольными ячейками при одноосном растя-
жении в диагональном направлении и сетка
с шестиугольными ячейками при любом на-
правлении легко искажаются. Там, где необ-
ходимо обеспечение касательной жесткости
сетки, а действие краевых элементов, собст-
венного веса или эффективность «ожесточаю-
щего» влияния заполнения не обеспечивает
такой жесткости, целесообразно переходить к
сеткам с треугольными ячейками (рис. 3.118).
Однако сетки с треугольными ячейками рав-
ной величины допускают изгибание только в
одном направлении. Сетки с треугольными
ячейками, имеющие форму7 двоякой кривизны,
в большинстве случаев должны иметь по од-
ному направлению длину тросов, большую,
чем по другому. Проще всего форма двоякой
кривизны может быть реализована для тросо-
24
вой сетки с трех вольными ячейками, если в
сетке такой же формы с четырехугольными
ячейками осуществить разделение каждой
ячейки диагональными тросами (рис. 3.118).
Определенная жесткость тросовой сетки с
четырехугольными ячейками возникает в слу-
чае введения в нес увеличивающего жесткость
системы тросового треугольника (рис. 3.116)
или же в случае включения в систему сетки
жестких замкнутых рам или плит (рис. 3.117).
То же относится и к сетке с шестиугольными
ячейками (рис. 3.121).
Кроме названных возможны многочислен-
ные другие формы тросовых сеток в виде ком-
бинации восьмиугольных, шести- и четырех-
угольных ячеек (рис. 3.120).
Конструкции из регулярных сеток с четы-
рех- или шестиугольными ячейками. Сетка из
тонких нитей с квадратными ячейками, пока-
занная на рис. 3.122, была подвешена к квад-
ратному опорному контуру. Были предприня-
ты и другие многочисленные опыты по моде-
лированию тросовых сеток с шестиугольными
ячейками. При симметричном расположении
сетки относительно симметричного опорного
контура и малом провисе сетки возникают ку-
полообразные формы. Боковой вид такой сет-
ки показан на рис. 3.126, а вид снизу — на
рис. 3.125. Сближение точек подвеса приводит
к образованию сильно вытянутых форм
(рис. 3.127 и 3.129). Сетка, показанная на
рис. 3.128, образует нерегулярную структуру с
тросами различный длины. Такие же тросовые
структуры показаны на рис. 3.123 и 3.124.
Автор провел исследования на модели под-
весной сетки с квадратными ячейками, закреп-
пяемой на наклонной плоской раме прямо-
угольного в плане очертания таким образом,
что становится возможным наружный водоот-
вод. Конструкция такого типа была примене-
на Гизелем и Леонгардтом для перекрытия
церкви в Штутгарт-Зопнеберге. План покры-
тия этого сооружения в горизонталях приве-
ден на рис. 3.132, а фотографии моделей на
рис. 3.130 и 3.131. Так же как и в модели, по-
казанной на рис. 3.122, большая часть по-
верхности висячего покрытия имеет положи-
тельную кривизну, т. е. по существу имеет
форму свободно провисающего купола.
Результаты экспериментов над растянуто
напряженными висячими системами дают ин-
тересный материал для проектирования сжа-
тых жестких пространственных несущих кон-
струкций в виде куполов или оболочек. На
рис. 3.133 показан вид сбоку нагруженной мо-
дели, предназначенной для определения гео-
метрии системы и имеющей вид тросовой сет-
ки с квадратными ячейками, подвешенной к
квадратному опорному контуру с закруглен-
ными углами. На рис. 3.134 показан купол из
тонких планок пролетом 15 лг, построенный в
1962 г. на строительной выставке в Эссене
автором совместно с Кохом, Пинтшсм, Ром-
бергом и Польцигом. Решетка с квадратными
ячейками, образованная гибкими планками,
была смонтирована сначала в виде плоскости
на уровне земли, а затем поднята краном так,
что приобрела пространственно искривленную
куполообразную форму. После закрепления
концов планок на фундаменте были затянуты
болты в точках пересечения планок. Такое за-
крепление точек пересечения повысило жест-
кость системы в отношении сдвигающих уси-
лий и придало оболочке общую жесткость.
Возведенное сооружение геометрически по-
добно модели в виде подвешенной тросовой
сетки, приведенной на рис. 3.133*. Таким же
образом была создана модель, показанная на
рис. 3.137.
Свободно висящие мембраны. По своим
возможностям формообразования мембраны
приближаются к тросовым сеткам с четырех-
угольными ячейками. Они способны восприни-
мать усилия в различных направлениях и об-
разовывать разнообразные формы. Мембрана
может подвешиваться в трех точках
(рис. 3.138). Усилия мембраны могут переда-
ваться на опорные точки с помощью краевых
тросов, как это, например, наблюдается в мо-
дели, показанной на рис. 3.135 и 3.136. В этом
опыте первоначально плоская резиновая мем-
брана приобретает форм\ поверхности поло-
жительной кривизны. При применении нера-
стяжимого материала типа жести подобная
форма может быть достигнута соответствую-
щим раскроем. При одинаковых нагрузках по-
добие формы определяет равенство напряжен-
ных состояний.
На рис. 3.139 мембрана подвешивается к
пяти низким и одной более высокой точке На
рис. 3.140 опорный контур представляет собой
произвольную замкнутую линию. Плоское
горизонтальное кольцо также может служить
опорным контуром (рис. 3.141). Квадратный
опорный контур показан на рис. 3.142. Мемб-
рана может ограничиваться по краю арками
(рис. 3.143). В 1962 г автор совместно со сту-
дентами Массачусетского технологического
университета провел опыты над моделью, по-
казанной на рис. 3.136. Мембрана, подвешен-
ная в центре, нагружалась весом пленки, а
также весом внешнего квадратного контура.
При этом мембрана испытывает растягиваю-
1 По поводу этой конструкции см. World conferense
on shell structures. San Francisco, National Acadeir.' of
Sciences. Washington, 1964.
25
щие усилия, а наружный контур — сжимаю-
щи. и изгибающие. Возникает седлообразная
ненапряженная предварительно стр.ктура
Этот опыт, так сказать, обратим. Стр' ктура,
обратная показанной на додели, представляет
собой грибообразную оболочку, испытываю-
щую сжимающие усилия. Наружный zKe кон-
тур по верхней кромке испытывает растягива-
ющие и частично изгибающие напряжения.
Моделирование растянутых структур такого
типа представляет значительный интерес для
разработки экономичных конструкций грибо-
образных оболочек.
Тросовые сетки с неравными ячейками.
Одинаковость ячеек не является обязательным
условием для конструкции тросовых сеток.
Она только облегчает их изготовление. Раци-
ональные структуры тросовых сеток могут
быть получены и при различной величине яче-
ек. В данном случае мы будем различать сет-
ки с четырехугольными (рис. 3.144), шестиу-
гольными (рис. 3.146) и треугольными
(рис. 3.148) ячейками. Только четырех- и ше-
стиугольные ячейки допускают предваритель-
ное изготовление первоначально плоской сет-
ки с последующей трансформацией ее в лю-
бую пространственную форму. Кроме
названных типов сеток используются и такие,
в которых встречаются трех-, четырех-, пяти-,
шестиуг< тьныс и другие виды ячеек в разно-
образных сочетаниях.
На рис. 3.145 представлена так называе-
мая ортогональная тросовая сетка, свободно
подвешенная к квадратному опорному конту-
ру. Тросы ортогональных сеток лежат в вер-
тикальных плоскостях. Семейства линий тро-
сов взаимно перпендикулярны. Горизонталь-
ная проекция ортогональной тросовой сетки
образует решетку с квадратными и прямо-
угольными ячейками. Тросовая сетка имеет
в этом случае различную величину ячеек.
В тросовой сетке, изображенной на рис. 3.147,
квадратные ячейки сохраняют свою форму
только вблизи двух взаимно перпендикуляр-
ных осей симметрии. По мере удаления от
центра такой сетки кривизна тросов увеличи-
вается. Эксперименты, проведенные автором
вместе со студентами Калифорнийского уни-
верситета в Беркли в 1962 г., позволили уста-
новить, что такие тросовые сетки, подвешивае-
26
мне в угловых точках, обладают весьма бла-
гоприятным распределением внутренних
усилий. ЛУодель, последовательные стадии воз-
растания провисов которой даны на рис. 3.163—
3.170, выполнена из очень тонких лент по об-
разу и подобию сетки, показанной на рис. 3.147.
Рис. 3.163—3.170 показывают различные фор-
мы тросовых сеток по мере уменьшения проле-
та сетки. Были исследованы многие другие
формы тросовых сеток, в том числе формы,
возникающие при симметричном и несиммет-
ричном подвесе. На рис. 3.171 и 3.172 показа-
ны боковые виды сетки при симметричном
подвесе. По форме сетки, указанной на
рис. 3.171, был изготовлен решетчатый купол
{рис. 3.162). Это опытное строительство было
проведено во время Международной конфе-
ренции по оболочкам в Сан-Франциско в
1962 г. Изучение рассмотренных выше форм
очень важно не только в аспекте использова-
ния этих форм для жестких куполов: опыт
подсказывает более широкое применение ви-
сячих сеток такого типа.
Тросовая сетка с радиальным расположе-
нием тросов. Одна из известнейших форм тро-
совой сетки — система, в которой расходящи-
еся как лучи из центральной точки тросы ком-
бинируются с кольцевыми тросами (рис. 3.152).
Длины кольцевых тросов во внешних областях
тросовой сетки значительно больше, чем во
внутренних. Радиально ориентированные тро-
сы могут ступенчато разветвляться, как это
показано на рис. 3.149 и 3.150. Среди многих
возможностей, открывающихся в этой обла-
сти, отметим сетку с диагональным располо-
жением тросов (рис. 3.151), образующих в
плане спирали. Такое расположение тросов
позволяет добиться равенства углов пересече-
ния тросов в ячейках и геометрического подо-
бия ячеек.
На рис. 3.153 показана сетка, состоящая из
радиальных и кольцевых тросов, с краевыми
тросами-подборами. Сетка с радиальным рас-
положением тросов может быть включена в
сетку с четырехугольными или шесть тельны-
ми ячейками (рис. 3.154 и 3,155). Сетка с ра-
диальным расположением тросов, подоб-
но мембранам и другим тросовым сеткам.
27
в свободно подвешенном состоянии могут
образовывать поверхности с одинарной кри-
визной (в особенности известна форма кону-
са, рис. 3.157), а также поверхности двоякой
кривизны выпуклой или седловидной формы
(рис. 3.158—3.160). Насколько известно, пер-
вым сооружением с покрытием в виде сво-
бодно висящего конуса был павильон на
выставке в Загребе в 1936 г., построенный Ла-
фалье (рис. 3.193). Из новых сооружений мож-
но назвать покрытие стадиона в Монтевидео.
В этом покрытии была использована предва-
рительная пригрузка тросов, которая после за-
моноличивания стыков панелей покрытия
снималась, так что в материале покрытия воз-
никало легкое предварительное напряжение
сжатия.
Радиальные сетки из тросов и жестких ко-
лец. Форма поверхности вращения, которая
образуется отдельными тросами согласно
рис. 3.68, может рассматриваться так же, как
радиальная тросовая сетка, в которой кольце
вые тросы не напряжены. Если длин} кольце-
вых тросов уменьшить, в них возникают рас-
тягивающие усилия. Если же кольцевые тросы
удлинить, то в них должны возникнуть сжима-
ющие усилия Перейдем к рассмотрению
структуры, показанной на рис. 3.173. Видно,
что кольцевой стягивающий трос испытывает
в этой системе растяжение. Первоначальная
система в форме поверхности вращения, со-
стоящая из отдельных тросов, при приложе-
нии растягивающей силы по оси вращения
3.193
может образовать коническую поверхность
(рис. 3.174 и 3.175). Однако из нее же могут
быть получены поверхности с положительной
и отрицательной кривизной. Если в показан-
ную на рис. 3.68 основную систему, свободную
от кольцевых усилий, ввести жесткое, работа-
ющее на сжатие кольцо (рис. 3.176), то воз-
никает составная форма, представляющая со-
бой комбинацию конической поверхности и
параболоида вращения. На рис. 3.177 и 3.178
показана тросовая система, в которую вклю-
чены распирающее жесткое кольцо и стяги-
вающий гибкий трос. В системах, показанных
на рис. 3.179 и 3.180, в нижней части появился
дополнительный стягивающий трос.
Из радиальной тросовой сетки, включаю-
щей в себя кольцевые стягивающие тросы и
жесткие распорные кольца, может быть обра-
зована почти любая поверхность вращения.
Нижняя часть системы, показанная на
рис. 3.156, является поверхностью вращения,
образованной отдельными тросами и подве-
шенной к жесткому кольцу. Выше жесткого
кольца радиальные тросы стягиваются семью
кольцевыми тросами. В верхней части система
лакже распирается семью жесткими кольцами,
которые в свою очередь подвешиваются к
опорному кольцу отдельными тросами. Все го-
ризонтальные сечения этой формы представ-
ляют собой окружности, все вертикальные
28
сечения на участках между отдельными коль-
цевыми элементами — цепную линию, кривиз-
на которой возрастает книзу.
Взаимосвязанное воздействие кольцевых
тросов на форму подвесной системы может
быть достигнуто применением сплошных эле-
ментов в виде частей оболочек. Так, например,
нижняя часть луковицеобразной поверхности
вращения (рис. 3.161) образована оболочкой,
испытывающей сжимающие усилия в кольце-
вом и растягивающие усилия в радиальном
направлении.
Волнообразные предварительно ненапря-
женные сетки и мембраны. Тросовые сетки и
мембраны могут подвешиваться таким обра-
зом, что образуются волнообразно искривлен-
ные поверхности. При этом тросы или тросо-
вые сетки могут закрепляться между двумя
параллельными тросами (рис. 3.209 и 3.210).
В поперечном сечении такие структуры в вер-
хней части имеют острые мысы, в нижней ча-
сти образуют мягкие закругления (рис. 3.181).
Однако возможны свободно висящие сетки с
плавными закруглениями в поперечном сече-
нии в верхней части (рис. 3.182), а также при
выполнении определенных условий возможно
получение форм с острыми мысами в нижней
части (рис. 3.183).
Волнообразные сетки или мембраны могут
иметь наклон (рис. 3.184 — поперечное сече-
ние конструкции с различными провисами
тросов).
Поверхности с одинарной кривизной в кон-
струкциях тросовых сеток в общем являются
исключением, чаще всего возникают формы с
двоякой положительной или отрицательной
кривизной. Так, например, в показанной на
рис. 3.186 тросовой сетке, подвешиваемой ме-
жду двумя параллельными тросами, в местах
примыкания к тросу поверхность образует
острые углы, кривизна же поверхности отри-
цательна. Рис. 3.185 представляет собой эле-
мент кругового сегмента, образованного плав-
но искривленной тросовой сеткой. На
рис. 3.187 приводится система, состоящая из
двух параллельных произвольно искривлен-
ных краевых балок и подвешенных к ним па-
раллельных тросов. Звездообразная в плане
тросовая сетка, образованная участками по-
верхности с положительной кривизной, может
быть оперта на центральную стойку
(рис 3.188).
Фотография модели на рис. 3.45 показы-
вает также волнообразную поверхность, об-
разованную тросовой системой. Другие волно-
образные формы поверхностей тросовых сеток
показаны на рис. 3.189 и 3.190. Предваритель-
но напряженные волнообразные сетчатые и
29
3224 3 225"
м бра >.. негр' щнл, которые существен-
н ' отлича' те дт ненапряженных предвари-
т ты сипы бу ду г рассмотрены ниже.
Предварительно ненапряженные тросовые
сетки с внутренними опорами. Предьарительн
ненапряженнь . тросовые сетки с внутренними
опорами могут рассматриваться как состав-
ные формы, образованные путем объединения
отдельных свободно подвешенных тросовых
сеток (рис 3.189) или волнообразных поверх
ностей, образованных параллельными тросами
(рис. 3.190). Однако в такой системе тросы
каждой ячейки работают совместно с другими
тросами, так что нагружение одного из эле-
ментов поверхности тросовой сетки приводит
к возникновению деформаций и усилий по всей
поверхности.
Свободно висящая тросовая конструкция
с внутренними опорами и круглыми низкорас-
положенными отверстиями, поперечный разрез
которой показан на рис. 3.191, а вид сверху —
на рис. 3.192, может быть использована для
перекрытия значительных площадей с боль-
шими пролетами.
Жесткие стержни и оболочки в тросовых
сетках. Использование распорок в виде жест-
ких стержней возможно не только в предва-
рительна напряженных тросовых системах
(р, 3.195, 3.196). Наиболее удобные конст-
руктивш решения таких систем достигаются
тогда, когда собственный центр тяжести кон-
стр кции лежит ниже плоскости подвески.
Рис 3.197 представляет собой поперечный
разрез осесимметричного висячего покрытия,
в центральную часть которого включена вер-
тикальна распорка. Возможно возведение
круглого в плане покрытия с поперечным се-
чением, показанным на рис. 3.198. Строитель-
ство упрощается, в особенности когда такая
система предварительно напрягается. Запол-
нение ячеек в предварительно ненапряженных
тросовых сетках может осуществляться, на-
пример, предварительно напряженными мем-
бранами (рис. 3.199) или жесткими складка-
ми (рис. 3.200). На тросовую сетку могут опи-
раться стержневые конструкции (рис. 3.201)
или же каждая ячейка заполняется отдельной
оболочкой (рис. 3.202).
Предварительно ненапряженные тросовые
сетки и оболочки могут соединяться в самых
различных комбинациях. В конструкции вол-
нообразного покрытия (рис. 3.203) жесткие
оболочки образуют выпуклые верхние части
покрытия, а предварительно ненапряженные
30
3 248
тросовые сетки замыкают пролеты между обо-
лочками. В круглом здании, показанном на эс-
кизе (рис. 3.204), радиальная тросовая сетка
подвешивается к внешней оболочке с усилен-
ным верхним краем, подобно тому, как это
было сделано при конструировании стадиона
в Монтевидео (рис. 3.194), где предварительно
ненапряженная радиальная тросовая сетка
подвешивалась к цилиндрической оболочке
диаметром 94 м.
Рис. 3.205—3.208 показывают другие ком-
бинации оболочек и тросовых сеток. Тросовые
сетки могут опираться на оболочки как на
краевые несущие элементы или же сами нести
опирающиеся на них оболочки.
Пространственные висячие конструкции.
Типичным примером тросовой системы может
служить висячий мост с наклонными подвеска-
ми (рис. 3.211, 3.212). Действие наклонных
подвесок особенно отчетливо проявляется в
конструкции висячего моста с S-образной про-
езжей частью (рис. 3.214 и 3.215). Рис. 3.215
показывает поперечное сечение проезжей час-
ти. Плоские кровли, подвешиваемые к несу-
щим тросам с помощью вертикальных или на-
клонных тяг, также служат примером прост-
ранственной системы (рис. 3.213). На рис.
3.216 показана подвеска этажных перекрытий
31
к несущей тросовой сетке. На рис. 3.217 плиты
покрытия подвешены к центральной мачте.
Сжато напряженные балки или плиты, об-
тягиваемые элементами, работающими на рас-
тяп ение. образуют плоские или пространст-
венные конструкции. Балка с затяжкой
(рис. 3.218 и 3.219) работает по существу как
решетчатая ферма. Клеефанерная или бетон-
ная плита, усиленная расположенной снизу
сеткой, опирающейся на промежуточные жест-
кие вкладыши, обладает повышенной жест-
костью (рис 3.220). Аналогичная конструкция,
только с меньшим числом тросов, показана на
рис. 3.221. Промежуточная распорка плиты, по-
казанная на рис. 3.222, представляет собой
разветвляющийся каркас. Эффективные ком-
бинации могут быть получены при сочетании
арок и тросов, как, например, в мостовой кон-
струкции на рис. 3.223, 3.225. В конструкции
покрытия, приведенного на рис. 3.224, тросы
могут обтягивать несколько оболочек.
Сетки и мембраны, связанные между со-
бой различным образом и имеющие различные
провисы (рис. 3.226 и 3.227), образуют прост-
ранственную конструкцию с замкнутым внут-
ренним объемом На рис. 3.228 показана сис-
тема, образуемая тремя сетками. В ней имеют-
ся две внутренние полости. Во внутреннюю
полость может быть введена жесткая конст-
рукция (рис. 3.229), воспринимающая распор
тросовой системы. Верхняя сетка в системе на
рис. 3.230 воспринимает все внешние нагрузки,
нижняя сетка подвешивается к верхней. Воз-
можны разнообразные двойные и многослой-
ные формы тросовых сеток (рис. 3.231).
Из тросов может быть образована плоская
решетчатая ферма, состоящая из гибких диад
(рис. 3.232). Можно создать свободно вися-
щую пространственную тросовую сетку, в ко-
торой пересечения тросов схвачены зажимами,
если в каждом узле такой системы пересекает-
ся по меньшей мере четыре троса, не лежащих
в одной плоскости и испытывающих растяги-
вающие усилия. Такая конструкция может
служить примером предварительно ненапря-
женной пространственной тросовой сетки
Тросовая сетки может быть подвешена из
яутри к пневматически напряженному куполу
(рис. 3.233). Сеть у можно подвешивать также
к жесткой арке или оболочке (рис. 3.234). В
качестве опоры для просовой системы приме-
4. ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННЫЕ
Формы растянутых конструкций, которые
подвергаются предварительному напряжению,
в большинстве слу чаев существенно отличают-
ся от форм ненапряженных предварительно
нима работающая на изгиб и сжатие жесткая
мачта (рис. 3.236) или горизонтальная изги-
баемая балка (рис. 3.237 и 3.248). В некоторых
случаях тросовая сетка может подвешиваться
к другой, вышележащей тросовой сетке
(рис. 3.238 и 3.249—3.251). Пространственная
сетка может выполняться только из растяну-
то напряженных элементов или же включать
в себя жесткие плиты или оболочки
(рис. 3.235). В верхней части системы между
тросами располагаются оболочки, в средней
части — плиты, внизу — гибкая конструкция.
Гибкие емкости. В гибких емкостях для до-
стижения проектной формы необходимо запол-
нение емкости жидкостью. Резервуары такого
типа представляют собой трехмерные конст-
рукции. Рассмотрим некоторые примеры пред-
варительно ненапряженных растянутых конст-
рукций гибких резервуаров. На горизонталь-
ном жестком опорном контуре (рис. 3.239)
может быть закреплена провисающая мембра-
на, заполняемая жидкостью. Форма мембраны,
как растянуто напряженной в двух направле-
ниях гибкой оболочки, обеспечивается соответ-
ствующим раскроем при изготовлении и собст-
венной растяжимостью материала.
То же относится и к коническому гибкому
резервуару, сохраняющему форму и устойчи-
вость благодаря внутреннему давлению запол-
няющей его жидкости (рис. 3.240), а также к
лежащей замкнутой емкости, показанной на
рис. 3.241. Мешки с песком, образующие клад-
ку, подчиняются тем же условиям формообра-
зования (рис. 3.242). В открытых сверху ре-
зервуарах плавающее кольцо, расположенное
на верхнем крае резервуара, увеличивает
жесткость конструкции (рис. 3.243). Гибкая
мембрана, натягиваемая на произвольном
жестком контуре, может образовывать раз-
личные формы поверхностей с отрицательной
и положительной кривизной! (рис. 3.244). Ре-
зервуар, подвешенный в одной точке и опира-
ющийся частично на землю (рис. 3.246), обра-
зует поверхность, имеющую на большей своей
части отрицательную кривизну. Похожая кон-
струкция показана эскизно на рис. 3.245. Од-
нако преимущественное значение имеют фор-
мы с положительной кривизной.
Резервуар на рис. 3.247, образованный
круглой мембраной, опирается на централь-
ную стопку и наружный кольцевой контур.
РАСТЯНУТЫЕ КОНСТРУКЦИИ
конструкции Возможны, однако, различные
переходные виды, разграничение которых за-
труднительно.
Отдельный трос представляет собой одно-
32
мерную линейно протяженную несущую си-
стему.
В области двумерных несущих систем из-
вестны тросовые сетки и мембраны. Тросовые
сетки и мембраны могут быть не только плос-
кими, но и пространственно искривленными.
Предварительно напряженные сетки и мем-
браны не могут иметь форму поверхности по-
ложительной кривизны.
Предварительно напряженные простран-
ственные тросовые сетки и оболочки относятся
к трехмерным пространственным несущим кон-
струкциям. Они подчиняются условиям, не-
сколько отличным от соответствующих усло-
вий для предварительно ненапряженных прост-
ранственных систем.
Рассматриваемое здесь отличие между
предварительно напряженными и ненапряжен-
ными системами наблюдается на практике
и нуждается в анализе.
Предварительно напряженный трос. Под
тросом или канатом мы будем понимать в
дальнейшем любой гибкий растянуто напря-
женный линейный элемент. Предварительно
ненапряженный трос в условиях невесомости
не имеет определенной формы. Только после
приложения нагрузки форма троса определя-
ется однозначно.
Предварительно напряженный трос в усло-
виях невесомости имеет форму прямой. Без
приложения внешней нагрузки в системе су-
ществует предварительное напряжение, опре-
деляющее прямолинейную форму. Под дей-
ствием нагрузки от собственного веса вслед-
ствие удлинения трос теряет прямолинейную
форму и превращается в цепную линию. Де-
формации предварительно напряженного тро-
са под действием нагрузки от собственного ве-
са малы по сравнению с ненапряженным тро-
сом. Предварительно напряженный трос часто
искривлен почти незаметно для глаза. Предва-
рительное напряжение имеется в тросе в том
случае, когда расстояние между точками за-
крепления троса больше его начальной длины.
На рис. 4.1 показано натяжение троса между
двумя жесткими и несмещаемыми опорами.
При повышении температуры усилие, действу-
ющее в тросе, в результате удлинения умень-
шается, при понижении температуры возрас-
тает. Горизонтальный трос, показанный на
рис. 4.1, образует прямую линию. При повыше-
нии температуры в ненагруженном тросе меня-
ются только внутренние усилия, положение же
троса не изменяется. Каждая точка троса оста-
ется на своем месте, нет ни горизонтальных, ни
вертикальных перемещений. В данном случае
мы имеем сравнительно редкие условия, при
которых температурные изменения не вызыва-
ют деформаций, а приводят только к измене-
нию усилий в конструкции.
Если же на трос действуют силы тяжести,
то величина его прогиба зависит от степени
предварительного натяжения.
На рис. 4.2 показано натяжение троса внут-
ри жесткого полого тела. Таким телом может
быть, например, стальная труба, а вместо тро-
са может быть круглый стальной стержень.
В этом случае температурные изменения не
приводят к изменению усилий предваритель-
ного напряжения, если только температуры
трубы и стержня остаются равными друг дру-
гу. Эта система представляет другой исключи-
тельный случай: температурные изменения
приводят только к деформациям, но не к изме-
нению напряженного состояния.
Однако на практике синхронные изменения
температур элементов, составляющих кон-
струкцию, происходят в редких случаях. Сжа-
тые элементы, почти всегда имеющие значи-
тельно большую массу, охлаждаются медлен-
нее, чем растянутые элементы. Точно такое же
соотношение наблюдается в системе (рис. 4.3),
представляющей собой жесткую раму с натя-
нутым тросом. В случае синхронных измене-
ний температуры в обоих элементах (тросе
и раме) здесь также происходит только изме-
нение формы, величина же предварительного
напряжения не изменяется. Система увеличи-
вается или уменьшается, собран; я геометриче-
ское подобие, если только она выполнена из
материалов, имеющих одинаковый коз ш-
циент температурного расширения и моду ль
упругости. Б то время как в системе, по. Сан-
ной на рис. 4.1, при температурных изменени-
ях все точки системы остаются неподвижными,
в системах, приведенных на рис. 4.2 и 4.3, де-
формации систем приводят к перемещению то-
чек. Однако в силу того, что деформируемая
система остается геометрически подобной се-
бе, точки сохраняют свое относительное поло-
жение внутри системы.
3—455
33
Рис. 4.1—4.4 показывают различные спосо-
бы закрепления предварительно напряженных
тросов. На рис. 4.1 показано закрепление тро-
са между двумя жесткими опорами, которые
можно представить себе в виде двух настоль-
ко больших массивов, что напряжения в них
весьма невелики по сравнению с напряжения-
ми в тросе. Такой случай возникает при натя-
жении троса между двумя скальными масси-
вами. Трос на рис. 4.2 стягивает элемент, ра-
ботающий на сжатие. На рис. 4.3 трос натянут
на изгибно жестком элементе, а на рис. 4.4
растянутый трос закреплен между двумя дру-
гими тросами.
Как и в предварительно ненапряженных си-
стемах, здесь имеет смысл провести разделе-
ние предварительно напрягаемых систем в от-
ношении способов закрепления или подвески
тросов. Можно выделить следующие основные
группы анкерных закреплений тросов: закреп-
ление в массиве, прикрепление троса к элемен-
там, работающим на сжатие, подвеска к из-
гибно жесткому контуру и к гибким растянуто
напряженным элементам.
Предварительно напряженные растянутые
гибкие системы могут формироваться в прост-
ранстве самым различным образом (рис. 4.5).
Два перекрещивающихся предварительно
напряженных троса образуют плоскую поверх-
ность.
Два неперекрещивающихся троса могут не
лежать в одной плоскости, так же как три пли
большее количество тросов. На рис. 4.6 пока-
зана плоская решетчатая тросовая система,
образуемая перекрещивающимися тросами.
На рис. 4.7 тросы образуют пространственную
звездообразную структуру. Поскольку предва-
рительно напряженные тросы прямолинейны,
поверхности, создаваемые пучками таких тро-
сов, должны иметь прямолинейные образую-
щие. Эти поверхности могут быть плоскими
или же седлообразными (рис. 4.8—4.11). Вы-
пуклые куполообразные формы невозможны,
поскольку их образующие непрямолинейны.
Формы конструкций, образуемые отдельны-
ми тросами. Примеры поверхностей, образуе-
мых параллельно натянутыми тросами или
струнами, можно найти в музыкальных ин-
струментах (пианино, арфа и др.). Так как
струны должны очень сильно натягиваться,
для восприятия усилий от струн сжатые эле-
менты музыкальных инструментов должны
представлять собой прочную рамную кон-
струкцию.
В области строительства прямолинейные
предварительно напряженные отдельные тро-
сы были с успехом использованы Мекьюланом
в конструкции плоского покрытия (рис. 4.12),
жесткие элементы которого состояли из рабо-
тающих на изгиб торцовых рам, заанкеренных
в основании, и промежуточных Т-образных сто-
ек. Конструкция такого типа была использова-
на для покрытия перрона в Зингене.
Свободные пролеты такого перекрытия ог-
раничены, поскольку деформации плоской на-
тянутой системы тросов под нагрузками отно-
сительно велики, даже при большой величине
предварительного напряжения. Пролеты таких
конструкций, насколько известно, не превыша-
ют 20 м.
Система, показанная на рис. 4.13, весьма
близка к конструкции на рис. 4.12. Тросы за-
анкериваются в торцовых арках, обладающих
жесткостью на изгиб из своей плоскости. Для
уменьшения пролетов тросов вводятся проме-
жуточные арки, испытывающие при вертикаль-
ных нагрузках сжимающие и при отсосе рас-
тягивающие напряжения.
В системе на рис. 4.14 отдельные тросы на-
тянуты на раму, образованную двумя опираю-
щимися друг на друга параболическими арка-
ми. Арки не испытывают изгибающих момен-
тов, если усилия предварительного натяжения
и шаг всех тросов одинаковы. Тем не менее
34
при применении таких систем для практиче-
ских целей в длинных тросах обычно назнача-
ется большая величина предварительного на-
тяжения, чем в коротких, чтобы уменьшить
прогибы под нагрузками в тросах большего
пролета.
На рис. 4.15 трос образует цилиндрическую
форму, поддерживающая конструкция испы-
тывает сжимающие усилия. Сжатый опорный
элемент имеет вид грибообразной оболочки с
опиранием в центре.
В противоположность системе, показанной
на рис. 4.14, предварительно напряженные па-
раллельные тросы на рис. 4.16 закрепляются
между двумя краевыми тросами, которые при
одинаковой величине натяжения и расстояния
между ними приобретают параболическую
форму и могут применяться, например, в кон-
струкциях антен. Система параллельных тро-
сов, показанная на рис. 4.17, в случае их пред-
варительного натяжения очень сильно изгиба-
ет консольный опорный элемент. Сильному
изгибу подвергаются также балки опорного
контура в системе, показанной на рис. 4.18.
С помощью различных форм жестких рам-
ных конструкций могут быть получены разно-
образные формы тросовых конструкций.
Предварительно напряженный трос под на-
грузкой. Напряженное состояние тросовых си-
стем зависит от вида прикладываемой к ним
нагрузки. Загружение, согласно рис. 4.19 и
4.20, представляет собой нагружение силой.
Если же нагрузка перпендикулярна к оси эле-
мента (рис. 4.22), она может быть названа мо-
ментной. В случае загруженпя системы, пока-
занной на рис. 4.23, в жесткой системе такого
очертания возникли бы и продольные силы
и изгибающий момент. Если в некоторой точке
предварительно напряженного троса (рис. 4.19)
приложена сила действующая параллельно
направлению троса (рис. 4.20), то происходит
перемещение точки приложения силы, а также
всех других точек троса при сохранении поло
жения точек закрепления. Эти перемещения
направлены вдоль троса.
Для упрощения представим себе предвари-
тельно напряженный трос в виде двух пружин
растяжения (рис. 4.21), связанных в точке при-
ложения силы. Тогда в нижней части напря-
жения растяжения будут падать вплоть до ну-
ля, а в верхней части возрастать. В момент
уменьшения напряжения в нижней пружине
до нуля система в целом считается потерявшей
предварительное напряжение, вся нагрузка
воспринимается только верхней пружиной.
В опыте, показанном на рис. 4.43, двойные
резиновые нити первоначальной длины 25 см
нагружались с шагом нагрузки 5 г. Здесь пред-
ставлена диаграмма загрузки и разгрузки ре-
зиновой нити, полученная путем 18-кратного
фотографирования. Кривая растяжения нели-
нейна.
На рис. 4.44 одинаковые двойные резино-
вые нити были прикреплены к таким же рези-
3*
35
новым нитям, п. гонящим снизу. Затем нитям
было задано предварительное напря; сение, ха-
рактеризуемое 200%-ным удлинением. Нагруз-
ка равными ступенями прикладывалась в се-
редине нитей.
Кривая зависимости нагрузка— деформа-
ция для такой системы на начальном участке
б< лее полога, чем в случае, показанном па
рис. 4.43. При нагрузке 50—55 Г кривая обра-
° ёт резкий изгиб. Эта точка соответствует по-
тере натяжения нижней нитью. В дальнейшем
работает только верхняя нить.
На рис. 4.45 воспроизведены фотографии
рис. 4.43 и 4.44. Поскольку нижние нити оста-
ются напряженными, деформации, соответ-
ствующие единичному приращению нагрузки,
меньше, чем в случае свободно подвешенной
системы.
На рис. 4.46 сопоставлены одновременно
два измерения, показанные на рис 4.45, прове-
денные, однако, на линейно упругом материа-
ле (стальная проволока). Верхняя кривая по-
казывает деформации свободно подвешенной
системы, нижняя — предварительно напря-
женной. Обе кривые вырождаются в прямые.
Угол подъема нижней в два раза меньше, чем
верхней прямой.
Предварительное напряжение обусловли-
вает в данном случае значительное уменьше-
ние (вдвое) деформации, соответствующей
единичной нагрузке. Но расход материала при
этом вдвое выше. Уменьшение или увеличение
предварительного напряжения не влияет на
угол подъема кривой нагрузка—деформация.
Она сохраняет свой наклон. Постоянной оста-
ется деформация, соответствующая единично-
му приращению нагрузки. Это показывает, что
без увеличения расхода материала невозмож-
но добиться повышения жесткости конструк-
ции, независимо от величины предварительно-
го напряжения.
Если к предварительно напряженному тро-
су приложена нагрузка, вызывающая в жест-
кой системе такого же очертания изгибающий
момент (рис. 4.22), т. е. мы имеем случай на-
грузки, когда сила действует нормально к оси
троса, то деформация троса (пунктирная ли-
ния) зависит от площади поперечного сечения
троса, модуля упругости материала и от степе-
ни предварительного напряжения троса. Чем
больше отношение величины предварительно-
го напряжения к величине приложенной силы,
тем меньше перемещение троса (рис 4.23). На
рис. 4.51 показана модель, состоящая из трех
тонких параллельных натянутых стальных
лент, закрепленных в двух точках, лежащих
на прямой, наклоненной под углом 45°. Степень
напряжения линий различна. Каждая из лент
26
нагружалась последовательно шестью ступе-
нями нагрузки.
Многократная съемка системы показывает
весь процесс нагружения. Пунктирные линии,
ведущие к точкам А, В и С, показывают путь
точки приложения силы к весьма сильно пред-
варительно напряженной ленте (Л), а также
путь перемещения соответствующей точки для
ленты, предварительно напряженной вдвое
меньшим усилием В, или для весьма слабо на-
тянутой ленты С. При слабом натяжении боль-
шой величины достигают не только вертикаль-
ные, но и горизонтальные перемещения. При
увеличении начального угла наклона системы
до 60° (рис. 4.53) от действия той же нагрузки
боковые перемещения еще более возрастают.
На рис. 4.51 показаны перемещения трех лент
при действии неизменной сосредоточенной на-
грузки, прикладываемой в различных местах.
И в этом случае большим углам наклона соот-
ветствуют большие боковые отклонения.
Если два предварительно напряженных
троса соединить в точке их пересечения, то го-
ризонтальные перемещения при действии на-
грузки уменьшаются, в особенности если дли-
ны участков тросов и величины углов равны
между собой, как, например, на рис. 4.24, 4.25
и 4.30. Если угол пересечения тросов очень
мал (рис. 4.24), то система приближается по
своим упругим характеристикам к системе на
рис. 4.19. Если этот угол возрастает очень силь-
но (рис. 4.30), то деформативность системы
приближается к деформативности системы,
показанной на рис. 4.22. В противоположность
системам, приведенным на рис. 4.19 и 4.22, ко-
торые определяются как линейные несущие
системы, пучок перекрещивающихся и связан-
ных между собой тросов образует двумерную
плоскую несущую систему, состоящую из ли-
нейных напряженных элементов. Деформа-
ции системы минимальны в тех случаях, когда
прикладываемые силы лежат в плоскости тро-
сов. В системах на рис. 4.21—4.27 точка прило-
жения силы располагается в плоскости тросов.
В общем же случае силы могут иметь произ-
вольную ориентацию. В то время как в систе-
мах на рис 4.24, 4.25, 4.27 и 4.30 вертикальные
силы вследствие симметрии систем вызывают
только вертикальные перемещения, в несим
метричной системе на рис. 4.26 перемещения
имеют и другие компоненты.
Если в плоской системе для создания пред-
варительного натяжения необходимо, чтобы в
одной точке сходились три троса (рис. 4.27),
в пространственной системе для этой цели не-
обходимо пересечение четырех тросов
(рис. 4.29). Число сходящихся тросов может
быть произвольно увеличено свыше трех, как
это показано на рис. 4.28, где пучок тросов об-
разует две соприкасающиеся вершинами кони-
ческие поверхности.
В моделях, показанных на рис. 4.48—4.50,
были использованы стальные ленты с линей-
ными упругими характеристиками, как в опы-
те, показанном на рис. 4.46 и 4.51—4.53. На
рис. 4.47 показана ненапряженная лента, под-
вешенная к квадратной жесткой раме. Вслед-
ствие собственного веса лента принимает фор-
му цепной линии. Десять остальных положе-
ний деформированной ленты были получены
путем многократного фотографирования систе-
мы на каждой стадии ее нагружения нагруз-
кой, увеличивающейся с равномерный! шагом.
На рис. 4.48 верхняя лента связана с такой
же нижней лентой в средней точке. Образую-
щийся тросовый крест внутри квадратной ра-
мы испытывает равные напряжения в своих
ветвях. Обе ленты растягиваются в 1,41 раза
и благодаря этому являются предварительно
напряженными. Деформации рассматриваемой
системы при одинаковых нагрузках значитель-
но меньше, чем в системе, показанной на
рис. 4.47. При дальнейшем увеличении нагруз-
ки нижняя лента теряет натяжение и выклю-
чается из работы. С этого момента деформа-
тивность системы не отличается от таковой в
системе на рис. 4.47.
Рис. 4.49—4.50 показывают влияние высо-
кого предварительного напряжения на умень-
шение деформативности системы.
Система, показанная на рис. 4.25, работо-
способна только до тех пор, пока прикладыва-
емые к ней силы остаются в ее плоскости. Сто-
ит приложить нагрузку, нормальную к плоско-
сти системы, как перемещение резко увели-
чится .
Плоская система, нагруженная в своей
плоскости. Простейшая плоская тросовая си-
стема состоит из трех сходящихся тросов
(рис. 4.31). При введении внутреннего тросо-
вого треугольника (рис. 4.32) число точек
закрепления тросов возрастает до трех. Воз-
можно произвольное усложнение внутреннего
тросового образования (рис. 4.33, 4.34). Е осо-
бенности обратим внимание на систему, состо-
ящую из тросовых диад и являющуюся по су-
ществу плоской фермой, способной восприни-
мать действующие в ее плоскости моменты
(рис. 4.34).
Развивая композицию из четырех сходя
щихся отрезков тросов, мы приходим к плос-
кой системе, близкой к сетке с четырехуголь-
ными ячейками (рис. 4.35—4.38). Системы на
рис. 4.39—4.42 приближаются по своей внут
ренней структуре к тросовым сеткам с тре-
угольными ячейками. Структуры, состоящие
из тросовых диад, характеризуются наимень-
шей по сравнению с другими системами дефор-
мативностью.
Плоские удлиненные тросовые сетки.
Рис. 4.54—4.63 представляют собой эскизы си-
стем плоских тросовых сеток, имеющих вытя-
нутую форму и используемых в качестве тро
совых ферм или тросовых решетчатых балок
для восприятия моментны . нагрузок, действу-
ющих в плоскости сетки.
При использовании в констр} кции покры-
тий такие сетки устанавливают преимущест-
венно вертикально; они служат для передачи
на опоры вертикальной положительной или
отрицательной нагрузки. Сетка на рис. 4.54 со
стоит из двух криволинейны., тросов, связан-
ных между собой вертикальными тросами пе-
ременной длины. Предварительное напряже
ние повышает жесткость такой системы. Н
рис. 4.55 расстояние между вертикальны
связывающими тросами уменьшено При оди-
наковых усилиях в вертикальны : тросах и
одинаковом их шаге верхние и анжние несу-
щие тросы образуют полигональную линию
приближающуюся к параболе. При объедине-
нии верхнего и нижнего трос из тросовой сет-
кой с треугольными ячейками (рис. 4.56) воз-
никает полигональная струк па с грубым
37
членением в отличие от тросовой системы, по-
казанной на рис. 4.57. где использована для
объединения верхнего и нижнего тросов мел-
коячеистая тросовая сетка. Очертание несу-
щих тросов стремится к непрерывной гладкой
кривой.
Очень близкая система возникает, когда
вместо тросовой сетки для связи используется
сплошная мембрана (рис. 4.58). Различные си-
стемы рассмотрены на рис. 4.59—4.61 для уста-
новления форм, возникающих при постоянной
кривизне верхнего и нижнего тросов и варьи-
руемой связи между ними. Кроме гибких свя-
зей могут применяться элементы, работающие
на сжатие. На рис. 4.60 верхние и нижние тро-
сы, связанные мембраной, соприкасаются
в середине. На рис. 4.61 двойное пересечение
тросов образует среднюю область, распирае-
мую вертикальными жесткими стержнями,
краевые же области между двумя тросами за-
полнены гибкой мембраной. На рис. 4.62 и 4.63
вертикальные связи между тросами состоят
только из жестких элементов. Каждая из рас-
смотренных систем может быть использована
для разрешения различных строительных за-
дач. Системой, показанной на рис. 4 56, с успе-
хом пользовался при решении многих практи-
ческих задач Д. Яверт. В качестве примера
можно привести висячее покрытие над стадио-
ном Стокгольм — Юханесхоф пролетом 83 м
(рис. 4.90)
Различные способы образования плоских
предварительно напряженных тросовых сеток.
Как уже говорилось выше, в конструкциях мо-
гут применяться самые разнообразные типы
сеток. Это относится как к плоским, так и
к пространственно искривленным тросовым
сеткам. Известны сетки с квадратными
(рис 4.64), прямоугольными или ромбически-
ми ячейками, радиальные тросовые сетки
(рис. 4.65), сетки с шестиугольными централь-
ными включениями (рис. 4.66), подвешивае-
мые на жестком контуре, а также сетки с тре-
угольными ячейками (рис. 4.67) и нерегуляр-
ные сетки (рис. 4.68). Возможны различные
переходные формы между радиальными сетка-
ми и четырехугольными сетчатыми структу-
рами.
Виды краевых опираний плоских гибких
систем. Всем известным примером плоской
гибкой системы может служить мембрана ба-
рабана, натягиваемая на круглое, работающее
на сжатие кольцо, служащее одновременно
краем изгибно жесткой оболочки (рис. 4.69).
Равномерно напряженная сетка на своем кон-
туре действует так же, как и сплошная мем-
брана. В мембране, показанной на рис. 4.70,
краевой контур оформляется в виде троса, на
рис. 4.73 он образован из изгибно жестких ли-
нейных элементов. В тросовой сетке с эллип-
тическим планом (рис. 4.71) усилия в одном
направлении больше, чем в другом. При ис-
пользовании краевого элемента, хорошо рабо-
тающего на сжатие, но не обладающего изгиб-
ной жесткостью, контур опирания превращает-
ся в эллипс.
38
В системе, показанной на рис. 4.72, при
одинаковом натяжении тросов расстояние
между ними варьируется. Опорный контур, не
представляющий собой окружности, тем не
менее описывается непрерывной кривой, у ко-
торой месту более частого примыкания тросов
соответствует меньшая кривизна.
Другие виды плоских тросовых сеток. Тро-
совые сетки с квадратными ячейками
(рис. 4.74—4.77) могут иметь различные виды
краевого опирания. На рис. 4.74 опорный кон-
тур состоит из крупномасштабного изгибно
жесткого рамного каркаса. Опорный контур
системы, показанной на рис. 4.75, является по
существу скальным массивом. Такой случай
возможен, например, в пещере. Такая же пло-
ская сетка может ограничиваться тремя
(рис. 4.76) или четырьмя (рис. 4.77) тросами.
Жесткие распирающие элементы в системе,
показанной на рис. 4.77, лежат внутри контура
сетки.
Плоская вытянутая тросовая сетка может
охватывать две пологие арки (рис. 4.78). Рас-
пор арочной системы воспринимается средним
мощным тросом, входящим в состав тросовой
сетки. Система такого же типа показана на
39
рис. 4.79: тросовая сетка с шестиугольными
ячейками обтягивает вертикально стоящую
грку.
Возможно большое количество комбина-
ций жесткого контура и внутреннего тросово-
заполнения. Тросовая часть конструкции
приведенной на рис. 4.80, состоит из гибких
~ - ад. Можно добиться меньшей длины внут-
ренних связей, как, например, в системе на
?кс. 4.81. Увеличение количества внутренних
связей внутри контура может быть реализова-
но путем использования нескольких систем
мша, приведенного на рис. 4.80, или же введе-
нием внутренней сетки. Системы с наименьшей
длиной тросов возникают, когда в каждой точ-
ке пересекается не более трех тросов
(рис. 4.84).
Составные плоские сетчатые системы. Пред-
ставим себе, что системы типа показанных на
рис. 4.54 — 4.63 используются не изолирован-
но, а в композиции с такими же или подобны-
ми системами, как, например, в конструкциях,
схематически изображенных на рис. 4.85 и
.86. Эти конструкции работают как простран-
ственные несущие структуры.
В системе на рис. 4.87 покрытие образует-
ся пересекающимися под прямым углом плос-
кими, ограниченными тросами мембранами.
В конструкции на рис. 4.89 и 4.88, способ об-
разования которых подобен приведенным на
рис. 4.87, входят жесткие, работающие на сжа-
тие элементы.
Предварительно напряженные искривлен-
ные тросовые сетки. Пара перекрещивающих-
ся тросов обеспечивает закрепление положе-
ния точки в пространстве. Если пересечь трос
еще одним дополнительным тросом (рис. 4.91)
или целой группой тросов (рис. 4.92), образу-
ется поверхность с внутренней острой кромкой.
Если два первоначально параллельных
троса перекрещиваются под прямым углом
с двумя другими параллельными тросами, а
плоскость закрепления первой пары тросов
не лежит в плоскости закрепления второй па-
ры тросов, то возникает пространственная тро-
совая система с четырьмя фиксированными
точками пересечения (рис. 4.93). Число тросов
может быть увеличено только в одном направ-
лении (рис. 4.94) или в обоих (рис. 4.95). Воз-
никает тросовая сетка. Предварительно напря-
женные тросовые сетки образуют всегда толь-
ко седлообразные поверхности. Поверхности
с положительной кривизной невозможны. Фор-
ма тросовой сетки определяется ее внутренним
напряженным состоянием.
При гармоничном распределении усилий
кривизны поверхности сетки изменяются так-
же гармонично. Каждая отдельная точка тро-
совой сетки представляет собой тросовый узел,
связывающий четыре троса, не лежащие в од-
ной плоскости. Чем более мелкая сетка ис-
пользуется, тем более плоским становится
рассматриваемый узел. Мелкоячеистая сетка
может быть реализована в виде тканой метал-
лической или из текстиля.
В пространственно искривленных сетках,
ак л в других типах тросовых сеток, внутрен-
няя гр; кт ра сеть.: юясет быть различной.
Дл демонстрации различных возможностей
на рис. 4.96 — 4.101 показаны различные виды
тросовых сеток Предпочтительнее сетки
с квадратными или же с ромбическими ячей-
ками. В первом случае два семейства тросов
пересекаются под прямым углом, в ромбиче-
ских сетках — под острым. Если в такие систе-
мы ввести третье семейство тросов, то обра-
зуется тросовая сетка из трех- или шести-
угольных ячеек (рис. 4.98). Треугольная сетка
возникает тогда, когда третье дополнительное
семейство тросов пересекает только узлы на-
чальной тросовой системы. В то время как тро-
совые сетки на рис. 4.96, 4.97 и 4.101 легко-
деформируемы и могут быть закреплены на
любом контуре, сетка с треугольными ячейка-
ми малодеформируема в своей плоскости. Ее
форма фиксирована. Изменение ее формы
возможно только зстедствие удлинения тро-
сов.
В тросовой сетке с шестиугольными ячей-
ками (рис. 4.100) каждый узел сетки раскреп-
лен в трех направлениях и лежит в плоскости
тросов, проходящих в этих направлениях.
В общем же тросовая сетка с шестиугольными
ячейками может иметь пространственную фор-
му. Предварительно напряженные сетки с ше-
стиугольными ячейками в общем обладают
меньшей жесткостью, чем сетки с треугольны-
ми или четырехугольными ячейками. Если по-
вышенная деформативность желательна в кон-
струкции, то следует применять шестиуголь-
ные ячейки (например, в батуте).
Возможны тросовые сетки с различной ве-
личиной ячейки и длиной тросов. В отличие от
тросовых сеток с четырехугольными ячейками
сетки с треугольными ячейками способны вос-
принимать касательные усилия.
Сетки с четырехугольными ячейками даже
при сильном уменьшении величины ячеек оста-
ются неспособными воспринимать сдвиг, в то
время как сетки с треугольными ячейками при
сильном уменьшении величины ячеек могут
рассматриваться уже как континуальные мем-
браны (рис. 4.102). Мелкоячеистые ткани, чья
способность к перекосу углов между нитями
или проволоками сильно ограничивается из-за
трения проклейки или покрытия, в конструк-
40
тивном отношении представляют собой пере-
ход от тросовых сеток к мембранам.
Тросовые сетки с четырехугольными ячей-
ками. На рис. 4.105—4.133 приведены эскизы
важнейших типов тросовых сеток с четырех-
угольными ячейками, имеющих практическое
или теоретическое значение. Рис. 4.105 пред-
ставляет собой эскиз (вид сверху, сбоку) тро-
совой сетки с равномерным распределением
усилий. Тросы в такой сетке пересекаются поч-
ти под прямым углом, а их длина близка к наи-
меньшей. Такая сетка может называться сет-
кой с минимальной длиной тросов. При этом
отметим, что неплоская тросовая сетка с мини-
мальной длиной тросов в целом не принимает
точной формы минимальной поверхности.
Вследствие пространственной искривленности
сетки при одинаковых усилиях в тросах не
представляется возможным сохранить равное
расстояние между тросами.
Если же кривизна поверхности невелика,
тросовая сетка с минимальной длиной тросов
и одинаковыми ячейками весьма близка к ми-
нимальной поверхности.
Тросовая сетка с минимальной длиной тро-
сов (рис. 4.105) подвешивается к косоугольно-
му неплоскому опорному контуру с квадрат-
ным очертанием в плане (рис. 4.108), причем
две точки этого контура приподняты, а две
опущены. На рис. 4.106 показан боковой вид
этой системы со стороны низкой точки, а на
рис. 4.107 правая часть этой системы дана
в более крупном масштабе. Рядом с планом
(рис. 4.108), на котором нанесены краевые тро-
сы, показана тросовая сетка, развернутая на
плоскости (рис. 4.109). На рис. 4.110 приведе-
на развертка одной четвертой рассматривае-
мой тросовой сетки. Ниже в такой же последо-
вательности рассматриваются другие сетча-
тые системы.
В минимальной тросовой сетке, показанной
на рис. 4.105 — 4.110, тросы ориентированы по
диагонали. Тросы с наибольшей длиной соеди-
няют таким образом точки с наииизшими и
наивысшими отметками. Расстояние между
тросами, пересекающими тросы наибольшей
длины, которые являются осями данной систе-
мы, одинаковы. На боковом виде (на
рис. 4.106) нетрудно заметить, что тросы,
центр кривизны которых лежит внизу (назы-
ваемые здесь ради простоты напрягающими
тросами), располагаются в плос) остях, кото-
рые в боковой проекции превращаются в пря-
мые линии. Плоскость расположения напряга-
ющих тросов нормальна к плоскости тросов,
центр кривизны которых располагается ввер .
(называемых ради простоты несущими т] -
сами)
41
Тросовые сетки с минимальной длиной тро-
сов не обязательно должны иметь одинаковые
ячейки. Как это показано на снимках модели
(рис. 4.103 и 4.104), на равном расстоянии мо-
гут располагаться точки закрепления тросов
по контуру. В этом случае расстояния между
точками пересечения тросов с центральными
осями неодинаковы и в центре меньше, чем по
краям. Сетка с минимальной длиной тросов
только тогда образует плавно искривленную
поверхность, когда величина ячеек сетки так-
же изменяется плавно.
На рис. 4.111—4.116 показана так называ-
емая ортогональная сетка, главные оси кото-
рой проходят через наивысшие и наинизшие
точки контура. Все тросы располагаются
в вертикальных плоскостях, как это видно на
боковых видах (рис. 4.112 и 4.113), а также на
плане (рис. 4.114). Преимущество ортогональ-
ной сетки то, что ее статический расчет проще,
чем у других видов сеток. Так как тросовая
решетка в плане фиксирована, для определе-
ния координат каждого узла сетки необходима
еще только апликата. Тем не менее ортого-
нальные тросовые сетки практически приме-
няются мало, поскольку в отличие от сеток
с минимальной длиной тросов пересекающие-
ся тросы необходимо закреплять от взаимного
смещения для восприятия сдвигающих уси-
лий. Кроме того, величина ячеек в таких сет-
ках, как это видно из развертки на рис. 4.116,
переменна и увеличивается с увеличением угла
наклона поверхности.
Если в тросовой сетке, закрепленной на та-
ком же, как и ранее указанном, контуре, нап-
равления тросов параллельны краевым эле-
ментам, то мы снова имеем дело с ортогональ-
ной сеткой, как это видно на плане (рис. 4.120).
Тросы в такой сетке располагаются по пря-
мым. Образуемая ими поверхность представ-
ляет собой гиперболический параболоид, не
являющийся минимальной поверхностью, по-
скольку в данном случае расстояния между
тросами переменны и увеличиваются от центра
к краям. Непостоянство расстояний между
тросами определяет неравенство мембранных
усилий в оболочке такой формы. Степень при-
ближения гиперболического параболоида
к минимальной поверхности растет с уменьше-
нием кривизн поверхности.
Пологая сетка такого типа ортогональна и
в то же время имеет минимальную длину тро-
сов. Расстояния между точками пересечения
тросов по каждому тросу равны между собой.
Поскольку длина внешних тросов больше дли-
ны внутренних, расстояния между их точками
пересечения с другими тросами больше
(рис. 4.119—4.120). В то время как в тросовых
42
сетках с минимальной длиной тросов
(рис. 1.105—4.110), как и в ортогональных
сетках (рис. 4.111—4.116), тросы располагают-
ся так, что имеют максимально возможные
кривизны, тросы в сетке, показанной на рис.
4.117—4.122, прямые.
Среди многих других форм тросовых сеток
с четырехугольными ячейками, имеющих прак-
тическое значение, упомянем также сетки
с равной величиной ячеек в развернутом со-
стоянии сетки. На рис. 4.123—4.128 показана
сетка с расположением тросов по линиям наи-
больших кривизн, а на рис. 4.129—4.134 — тро-
совая сетка с расположением тросов в направ-
лении минимальных кривизн, приблизительно
параллельных краевым элементам. Отметим,
что предварительно изготовленная сетка с рав-
ными ячейками может натягиваться не только
на плоском контуре, но и на пространственно
искривленном. При закреплении тросов от
взаимного смещения в точках пересечения дли-
на образующих ячейку отрезков тросов оста-
ется неизменной и в напряженном состоянии,
а изменяется только угол между тросами. Ес-
ли сетка напрягается таким образом, что об-
разуются преимущественно квадратные ячей-
ки, последние имеют точную квадратную фор-
му только в средней области сетки.
Отметим также, что в сетке с одинаковыми
ячейками расстояния между точками пересе-
чения тросов, измеренные по одному из тро-
сов, равны, расстояния же между тросами не-
постоянны. При угловых искажениях или
смещениях ячейки становятся ромбическими.
Расстояния между тросами, а также площадь
поверхности уменьшаются. На рис. 4.128—
4.134 показана сетка с одинаковыми ячейками,
причем главные оси сетки располагаются па-
раллельно краевым элементам. Отдельные
тросы в отличие от тросов сетки, показанной
на рис. 4.123—4.128, искривлены слабо. По-
скольку элементы опорного контура имеют
значительно большую длину, чем средние оси
сетки, площадь ячейки у краев значительно
больше (см. план на рис. 4.132 и развертки на
рис. 4.133 и 4.134).
В качестве примера сооружения, в пере-
крытии которого использована сетка с мини-
мальной длиной тросов и с переменной вели-
чиной ячеек сетки (см. снимки моделей
рис 4.103, 4.104), можно назвать павильон
«XX век» арх. Пауля Тпри и инж. Петера
Хостмарка. Тросовая сетка опирается по на-
ружному контуру на изгибно жесткие элемен-
ты и внутреннюю рамную систему, работаю-
щую преимущественно на сжатие (рис 4.137
и 4.138).
Размер здания 120X120 м. Оно было по-
строено на Всемирной выставке 1962 г. в Си-
этле, США.
Ориентация тросов в сетках с четырех-
угольными ячейками. Для изучения вопроса о
влиянии и значении ориентации тросов в тро-
совых сетках с четырехугольными ячейками,
образованных предварительно напряженными
тросами, автором был проведен ряд опытов.
Эти исследования опирались также на натур-
ные наблюдения и подкреплялись выводами
общей теории. Исследовались сравнимые по
геометрическим размерам сетки, к которым
в узлах прикладывалась равномерно распре-
деленная нагрузка. Производился замер воз-
никающих при этом перемещений. В качестве
тросов применялись непрерывные тонкие
стальные пружины диаметром 1 мм с толщи-
ной проволоки 0,1 мм. Использование пружин,
характеризующихся высокой растяжимостью,
позволило получить большие перемещения и,
следовательно, повысить относительную точ-
ность измерений. В качестве исходной формы
был выбран гиперболический параболоид
с квадратным в плане опорным контуром.
Точки пересечения пружин были скреплены,
чем исключалось взаимное смещение их при
нагружении. Скрепление точек пересечения
тросов производилось после натяжения пру-
жин. Таким образом, каждый трос (пружина)
имел наименьшую возможную длину.
43
В первом случае тросе; натягивались та-
ким образом, что они располагались диаго-
нально относительно контура, т. е. в направ-
ления:-; наибольших кривизн (рис. 4.135). Для
сравнения была изготовлена другая модель
тросовой сетки, в которой натяжение тросов
и величина ячейки были приняты одинаковы-
ми с предыдущей сеткой, тросы же ориенти-
ровались таким образом, что они превратились
в прямые линии (рис. 4.136).
Уже предварительные опыты с приложени-
ем одинаковой для обеих сеток нагрузки пока-
зали, что вертикальные перемещения в обе .\
случаях имеют почти одинаковую величину.
Перемещения определялись путем фотогра-
фирования с двойной экспозицией, а также из-
мерялись дополнительно мессурамп с точно-
стью до 0,001 мм. Для того чтобы добиться
большей значимости испытаний на моделях,
была создана также модель, которая показана
на рис. 4.139—4.141. В этой модели горизон-
тальные проекции прямолинейных тросов рав-
ны по величине соответствующим проекциям
сов J одели, показанной на рис. 4.142—
4.14-1 Дл того чтобы получить одинаковую
форм 1 поверхности у обеих сеток, линия за-
крепления последней сетки искривлена. Кроме
того, 61 ти созданы модели, фотографии кото-
ры даются на рис. 4.145—4.147 и 4.148—4.150.
У этих моделей опорный контур имеет форму
окружности. На одинаковом опорном контуре
закрепляются сетки одинаковой формы, но
с различным прохождением тросов. Рамки, на
которых производилось закрепление моделей
сеток, выполнялись из плексигласа в виде ку-
ба или отрезка трубы.
Измерение прогибов моделей сеток под
одинаковыми нагрузками показало, что сумма
всех вертикальных перемещений, полученных
в результате более чем сотни измерений, у мо-
делей с прямыми тросами (рис. 4.140, 4.146)
почти на 6% ниже, чем у моделей с криволи-
нейными тросами (рис. 4.143 и 4.149).
При приложении сосредоточенной нагрузки
44
к центральной части сеток получилась обрат-
ная картина. Перемещения в сетках с криво-
линейными тросами оказались на 6—7% мень-
ше, чем в сетках с прямолинейными тросами
(рис. 4.141, 4.144 и 4.150).
Опыты позволили установить, что при вы-
бранной комбинации величины предваритель-
ного напряжения и упругости растянутых эле-
ментов между сетками с различной ориента-
цией тросов нет существенной разницы в отно-
шении деформативности в пределах точности
проведенных измерений.
Высказанная ранее автором мысль, что
ориентация тросов в тросовой сетке с четырех-
угольными ячейками по направлению наиболь-
ших кривизн во всех случаях должна приво-
дить к повышению жесткости, остается спра-
ведливой при больших кривизнах и малорас-
тяжпмых тросах. Однако, как показали рас-
сматриваемые опыты, при сильно растяжимых
тросах это положение не всегда сохраняет
свою силу.
Целесообразная ориентация тросов зави-
сит от кривизны тросовой сетки, формы конту-
ра, от упругости и величины предварительно-
го натяжения тросов. Влияние ориентации
тросов должно исследоваться в каждом от-
дельном случае.
Для определения оптимальных форм тро-
совых сеток намечается проведение дальней-
ших исследований над сетками с четырех-
угольными и шестиугольными ячейками, а так-
же с треугольными ячейками и мембранами.
Слабонапряженные сетки с четырехугольными
и шестиугольными ячейками вследствие иска-
жения углов могут испытывать в средней об-
ласти значительные перемещения, не завися-
щие от растяжимости материала тросов.
В краевых областях сетки сказывается стаби-
лизирующее влияние опорного контура. Пере-
мещения в таких сетках больше, чем в срав-
нимых сетках с треугольными ячейками или
мембранах.
При значительной величине предваритель-
ного напряжения различие между деформа-
тивностью сеток с различной формой ячеек
меньше, чем можно было бы ожидать.
Сравнение форм тросовых сеток и мембран.
Как уже указывалось, тросовая сетка пред-
ставляет собой двумерную несущую конструк-
цию, состоящую из линейных растянутых эле-
ментов. Мембрана же в отличие от сетки обра-
зует сплошную поверхность. Разница между
мембранами и тросовыми сетками подчеркива-
лась автором еще в книге «Висячие покрытия».
В настоящей работе это отличие в отношении
как предварительно напряженных, так и нена-
пряженных предварительно растянутых несу-
щих систем автор в значительной степени опу-
скает.
Тросовые сетки тесно соприкасаются с мем-
бранами, и в основу их конструирования поло-
жены одни и те же принципы, так что необхо-
димо разделение многих общих деталей, ис-
пользуемых в той и другой конструкции. Фор-
ма предварительно напряженной тросовой
сетки с одинаковыми ячейками, закрепленной
на произвольном контуре, всегда может быть
использована для напряженной сходным обра-
зом сплошной мембраны. То же относится и
к условиям закрепления, независимо от того,
является ли контур изгибно жестким, работа-
ющим на сжатие или на растяжение.
Усилия в мембранах и гибких конструкци-
ях других типов. Распределение напряжений
в гибких растянуто напряженных материалах,
обладающих одинаковыми упругими свойст-
вами во всех направлениях, может быть опи-
сано сравнительно легко. Это относится также
к тонким гибким оболочкам и пластинкам,
которые наряду с растягивающими усилиями
могут воспринимать и сжимающие, если ис-
ключить из рассмотрения вопросы устойчиво-
сти. Однако только в исключительных случаях
для сжатых тонких оболочек можно не рас-
сматривать вопросы устойчивости. Распреде-
ление и величина усилий в таких оболочках
часто имеют меньшее значение, чем устойчи-
вость. Рассмотренные ниже случаи напряжен-
ных состояний относятся к изотропным обо-
лочкам равной толщины, т. е. в основном
к мембранам, пластинкам и оболочкам.
Если мембрана (например, мембрана ба-
рабана) испытывает равномерные растягива-
ющие усилия, то нельзя говорить ни о главных
нормальных усилиях, ни о линиях главных
усилий. Если на равномерно растягиваемую
мембран} до приложения усилий нанести ок-
ружность, она а хранит свою форме (но не
размеры) после нагружения. Если же мембра-
на напрягается неравномерно, то нанесенная
предварительно окружность деформируется
в эллипс. Главные оси эллипса при этом опре-
деляют направление наибольшего и наимень-
шего (главных) нормальных усилий.
Степень отклонения от окружности к эл-
липсу зависит от характера усилий и упругих
свойств материала. Резиноподобные материа-
лы дают очень большое отклонение от началь-
ной формы окружности, а жесткие — типа
стального тонкого листа — весьма малое.
На рис. 4.151 схематически изображена
мембрана, в которой соотношение нормальных
друг к другу усилий составляет 2:1. Малый
элемент такой мембраны показан на рис. 4.152.
Этот элемент в свою очередь рассечен под уг-
45
лом <р по отношению к одному из главных уси-
лий. Перпендикулярно сечению действует нор-
мальное усилие о. Оно определяется как сила,
действующая нормально к сечению на едини-
це длины сечения.
Положим, что наше сечение не отделяет
полностью части элемента мембран друг от
друга, т. е. представим себе, что эти элементы
соединены тремя связями, например гибкими
нитями. Тогда связи примут определенное на-
правление. Это — направление результирую-
щего усилия s. Когда связи принимают это
направление, устанавливается равновесие.
В том случае когда о и $ не совпадают по на-
правлению, возникает усилие, сдвигающее эле-
менты сечения относительно друг друга. Это
сдвигающее усилие т, так же как о и s, изме-
ряется в кГ/см. Векторное суммирование о и
т дает результирующее усилие s. Величины
усилий О], т и s легко могут быть найдены для
любого сечения. Рис. 4.153 показывает сечение
мембраны, в которой соответственно схеме на
рис. 4.151 по направлению МА действует глав-
ное усилие oi, в два раза большее по величине,
чем главное усилие 02, действующее по направ-
лению МВ. Сечение в мембране проведено под
углом 30° в соответствии со схемой на
рис. 4.152.
Усилия oi и о2 могут быть найдены расчет-
ным путем или получены в результате измере-
ний (например, измерением деформации ок-
ружности, нанесенной на мембрану).
Окружность, проведенная радиусом Oi во-
круг точки М, пересечет ось МВ в точке С. По
определению нормальные усилия действуют
под прямым углом к рассматриваемому сече-
нию. Точка D получается путем восстановле-
ния нормали к сечению в точке М до пересече-
ния с линией окружности. Если теперь из точ-
ки D опустить отвес DF, то он точкой F опи-
шет эллипс (показан пунктиром), главными
осями которого являются МА —а и МВ = с2.
Специальной необходимости в обозначении эл-
липса в данном случае нет.
Линии эллипса строятся так: проведем че-
рез точку D линию, параллельную СД; она пе-
ресечется с осью МА в точке Е. Из точки Е
проведем линию, параллельную ВА. Эта линия
пересекается с отвесом DF как раз в точке F.
Отрезок MG дает величину и направление
нормального усилия о, отрезок GF— сдвигаю-
щего усилия т и отрезок MF — результирую-
46
щего усилия s. Такое изображение усилий
весьма наглядно. Они могут быть показаны и
иначе, например с помощью крута напряжений
.Мора. На рис. 4.154 показано другое соотно-
шение усилий. В одном направлении мембрана
растягивается, в другом сжимается. Таким об-
разом, 01 имеет знак плюс, о2— знак минус и
по величине в два раза меньше, чем щ.
Из рис. 4.155 видно, что происходит с эле-
ментом плоской системы, напряженной ука-
занным выше образом и рассеченной, напри
мер, под углом 45°. По сечениям действуют
сжимающие усилия. Если снова ввести систе-
му связей, использованную в предыдущем
примере, будет видно, что сечения стремятся
также сдвинуться относительно друг друга.
Используя вместо гибких связей стерженьки,
способные воспринимать сжатие, получим кар-
тину, изображенную на рис. 4.156. В обоих
случаях достигается равновесное состояние.
Нормальное усилие о отрицательно, так же
как и результирующее усилие s. Усилия по се-
чению определяем таким же образом, как и
в примере на рис. 4.153. Когда щ и о2 имеют
различные знаки, возникает схема, приведен-
ная на рис. 4.157. Штрихпунктирной линией на
рис. 4.157 обозначена линия сечения. Сечение
располагается под углом ср = 75° к направле-
нию одного из главных напряжений. Усилие
01 — МА, а о2 = МВ (сжимающие усилия при-
нимаются отрицательными). Полуокружность,
описанная вокруг М радиусом оь пересекает
ось о2 в точке Си (С).
Нормаль к линии сечения в точке М пере-
секает окружность в точке D. Вертикаль, опу-
щенная из D на МА, пересекает эллипс (пунк-
тирная линия АВ), главными осями которого
являются Oi = МА и о2 = МВ, в точке F. Точ-
ка F, как и в предыдущем случае, может быть
найдена, если из точки D провести линию, па-
раллельную отрезку АС, до оси щ. Таким об-
разом, определяется точка Е, из которой про-
водится линия, параллельная АВ, отсекающая
отрезок D (D) в точке Е.
Из точки F опускается вертикаль на отре-
зок М (D). Таким образом, определяется ве-
личина и направление нормального усилия щ,
которое в данном случае отрицательно, затем
величина и направление сдвигающего усилия
т и результирующего усилия s, также отрица-
тельного. Независимо от того, рассматриваем
ли мы мембрану или жесткую тонкую упругую
оболочку, приведенная схема построения поз-
воляет нам определить нормальные усилия о
и касательные усилия т. Для сплошных (кон-
тинуальных) материалов определяющее значе-
ние имеют результирующие усилия. Величина
их определяется, задается эллипсом усилий,
главные оси которого равны величинам глав-
ных усилий.
На рис. 4.158 в полярных координатах по-
строены зависимости усилий о и т от угла ф
для различных соотношений -у- . Наружная
окружность а соответствует отношению уси-
лий — = 1 при с?1 = 1 и о2 = 1 Усилия по
°2
любому направлению равны по величине и по-
ложительны (растяжение). Сдвигающие уси-
лия отсутствуют. Линия b соответствует ком-
бинации усилий щ = 1 и о2 = 0,5. Она образу-
ет характерную фигуру с перетяжкой в
середине. Нормальное усилие достигает мак-
симума при ср = 0° и имеет наименьшее значе-
ние при ф = 90°. Касательное усилие невелико
и максимальное значение имеет при ф = 45°.
Штрихпунктирная линия с характеризует
изменение усилий для комбинации усилий
oi = 1 и о2 = 0. И в этом случае имеет фигуру
с перетяжкой в средней части. При ф = 90°
нормальное усилие о2 = 0. Касательное усилие
т при ф = 0° также равно нулю; своего макси-
мального значения, как и в других случаях,
оно достигает при 45°, а при 90° равняется
нулю.
Если о2 меньше нуля, т. е. отрицательно,
это значит, что по этому направлению действу-
ет сжимающее усилие. Кривая, соответствую-
щая комбинации усилий щ = 1 и о = —0,5,
обозначена буквой d. Максимум о наблюдает-
ся при 0°. Около 55° о становится равным ну-
лю, а при больших углах оно принимает отри-
цательное значение.
Последняя линия отвечает усилиям щ = 1
ио2 = —1, т. е. в одном направлении действует
растягивающее усилие, а в другом сжимаю-
щее, равное растягивающему по величине. Из-
менение усилий в зависимости от угла ф для
данной комбинации нормальных усилий опре-
деляется линией е. Нормальное усилие и при
Ф = 0° равно 1, при ф = 45° равно нулю, а при
Ф = 90° равно —1. При ф = 0° касательное
усилие т равно нулю, а при ф = 45° т = 1.
В рассматриваемой комбинации главных нор-
мальных усилий мы сталкиваемся с редким
случаем, когда касательное усилие т при 45°
имеет такую же величину, как и нормальные
усилия О] и о2. Здесь величина касательног®
усилия т максимально возможная.
Для более полного представления на
рис. 4.159 показаны зависимости о и т от угла
Ф (те же, что и на рис. 4.158), однако в декар-
товых координатах. Из графика видно, чт®
усилия для комбинации a (oi = 1, о2= 1) не
зависят от угла и постоянны по величине, наи-
более же сильное изменение нормального уси-
47
4160
лия наблюдается для комбинации е. Касатель-
ное усилие т возрастает с увеличением разни-
цы между oi и с?2-
На рис. 4.160 и 4.161 показан ряд различ-
ных комбинаций усилий. Ряд а на рис. 4.160
отвечает случаю равных растягивающих уси-
лий по обоим взаимно перпендикулярным на-
правлениям (линии а на рис. 4.158 и 4.159).
Символическое изображение усилий в левой
части ряда а говорит о том, что Oi = 1 и 02
также равняется 1. Для данной комбинации
усилий Oi и 02 нормальные усилия по любому
направлению равны, как это показано на вто-
ром рисунке данного ряда рисунков. Диаграм-
ма на третьем рисунке также показывает ра-
венство нормальных усилий для углов 30 и 75 •
На четвертом рисунке этого ряда показан эле-
мент мембраны, рассеченной под углом 0J.
Действующее по этому сечению результирую-
щее усилие перпендикулярно линии сечения и
является одновременно нормальным усилием
в. Это же относится к случаям сечений под уг-
лами 30, 45, 75 и 90°, показанных на остальных
рисунках данного ряда.
Второй сверху ряд схем b (рис. 4.160) отно-
сится к комбинации усилий щ = 1 и Со = 0,5.
Величины нормальных и касательных усилий,
в зависимости от угла сечения ф, были пока-
48
заны на рис. 4.158 и 4.159 линией Ь. Связь меж-
ду и и т показана на третьей слева схеме ря-
да b (рис. 4.160) для ср = 30 и 75°. Усилие о
показано черной стрелкой, а т — светлой. Ре-
зультирующее усилие s обозначено пунктир-
ной стрелкой. На общей диаграмме (вторая
слева схема ряда Ь, рис. 4.160) показана взаи-
мосвязь между о, т и s. Элементы мембраны,
рассеченной под углами 0, 30, 45, 75 и 90°, по-
казаны на остальных схемах ряда Ь. Как вид-
но из схем, для сечений, не проходящих под
углами 0 и 90°, результирующее усилие не пер-
пендикулярно линии сечения.
В ряду с рис. 4.160 схема слева задает ком-
бинацию усилий ci = 1 и о2 = 0, т. е. одноос-
ное растяжение. Напряженное состояние одно-
осно. Как показано на диаграммах (схемы 2
и 3 ряда с, рис. 4.160), а также на элементах
мембраны, рассеченных под углами 0, 30, 45,
75 и 90°, результирующее усилие действует
только в направлении оь При ф = 90° резуль-
тирующее усилие равно, естественно, нулю.
В ряду d (рис. 4.160) рассмотрен случай
Oi = 1 и 02 = —0,5, соответствующий линии d
на рис. 4.158 и 4.159. Обозначения на третьей
слева схеме этого ряда аналогичны обозначе-
ниям такой же схемы ряда Ъ. При <р = 30° о
и s еще положительны.
Диаграмма на второй схеме ряда d постро-
ена с угловым шагом 7,5° и показывает зави-
симость о, т и s от <р.
Как видно из схем рассеченных элементов
мембраны, показанных на остальных схемах
этого ряда, для сечений под углами 0, 30 и 45°
результирующее усилие s остается еще поло-
жительным, однако уже при ф = 75° оно ста-
новится отрицательным, т. е. сжимающим. При
ср = 80° результирующее усилие также отрица-
тельно.
Ряд е на рис. 4.160 описывает изменения
усилий и характер смещений рассеченных эле-
ментов мембраны для комбинаций усилий
01 = 1, О2 = —1. Усилия ans остаются положи-
тельными до угла ср = 45°.
Схемы на рис. 4.161 построены для комби-
нации усилий, равных по величине комбина-
циям усилий, рассмотренным на рис. 4.160, но
с обратными знаками. Верхний ряд f относит-
ся к случаю oi = —1 и с2 = —1, в ряду g
(рис. 4.161) представляется случай щ =—1 и
Ог = —0,5. Усилия о отрицательны по любому
направлению, так же как и результирующее
усилие s, касательное усилие т имеет макси-
мум при ф = 45°. Ряд h описывает случай Oi =
= — 1 и Ог = 0, т. е. одноосное сжатие. Резуль-
тирующее усилие существует только в направ-
лении ф = б. Ряд i рис. 4.161 относится к ком-
бинации Oi = — 1 и 02 = 0,5. Результирующее
усилие s для углов сечений ф = 0, 30 и 45 отри-
цательно, для ф = 75 и 90° положительно.
Нижний ряд k (рис. 4.161) описывает изме-
нение усилий при комбинации главных усилий
Oi = —1 и о2 = 1. В сечении ф = 0 и 30° резуль-
тирующее усилие отрицательно. При ф = 45°
s = т и о = 0. Для углов сечений выше 45° ре-
зультирующее усилие s положительно. При
проектировании гибких, воспринимающих
только растягивающие усилия конструкций
возможны только некоторые из рассмотренных
комбинаций усилий, а именно те, которые не
приводят к возникновению сжимающих уси-
лий ни по одному направлению. Возникнове-
ние усилий сжатия может быть исключено с по-
мощью предварительного натяжения.
Упругая мембрана, натягиваемая на не-
плоском опорном контуре, образует простран-
ственную поверхность отрицательной кри-
визны.
Если рассмотреть элементы такой поверх-
ности (рис. 4.162), то в каждой точке можно
выделить два направления, соответствующие
главным кривизнам поверхности 1—I и II—II,
которые взаимно перпендикулярны. Главным
кривизнам I—I и II—II соответствуют глав-
ные радиусы кривизны п и г2. Центры кривизн
Oi п О2 лежат по разные стороны поверхности
на нормали к поверхности в рассматриваемой
точке М. Если радиусы г\ и г2 одинаковы по
величине, то поверхность в окрестности точки
М представляет собой минимальную поверх-
ность. Такая поверхность образуется мыльной
пленкой в ненагруженном состоянии. В неми-
нимальных поверхностях радиусы г{ и г2 раз-
личны по величине.
Между направлениями главных кривизн
I—I и //—II можно выделить еще два направ-
ления, по которым мембрана не искривлена
(показаны штрпхпунктирной линией на рис.
4.162).
Если ri = г2 (минимальная поверхность),
эти направления являются биссектрисами уг-
лов, образованных направлениями I—I и
II—II, сами же пересекаются под прямым уг-
лом.
Для разных радиусов кривизны пересече-
ние этих прямых, лежащих в рассматриваемой
поверхности, происходит не под прямым уг-
лом. Направления главных кривизн всегда де-
лят пополам угол между направлениями нуле-
вых кривизн. Это обстоятельство может быть
весьма просто использовано при определении
главных направлений на модели поверхности
или в реальном сооружении. Линии с нулевы-
ми кривизнами легко определяются путем при-
кладывания и поворота до полного контакта
с поверхностью короткой прямой линейки
4—455
49
ft
Ч.1Е1
На рис. 4.163 штрихпунктирными линиями
показаны направления нулевых кривизн, опре-
деляемые первоначально, с помощью которых
устанавливаются направления главных кри-
визн /—I и II—II путем деления пополам уг-
лов а и р.
Любую седловидную поверхность (рис.
4.164) можно представить себе в виде сетки
линий, следующих по направлениям главных
кривизн, или же в виде другой сетки
линий, следующих в направлении нулевых
кривизн.
При этом отметим, что сетка линий, следу-
ющих направлениям нулевых кривизн, не обя-
50
зательно состоит из прямых линий. Если ли-
нии искривлены, соответствующий радиус кри-
визны линии должен лежать в тангенциальной
плоскости.
Во втором разделе книги «Пневматические
строительные конструкции» Р. Тростелем пол\-
чено следующее важное соотношение: если
«1 —- нормальное усилие по направлению глав-
ной кривизны I—I, а /м — нормальное усилие
по направлению главной кривизны II—II, то
можно показать справедливость следующих
соотношений:
ni fi п, а
— = —, а также — = tg2 —
п2 г2 п2 2
Если мембрана напряжена так, что по на-
правлениям главных кривизн отсутствуют
сдвигающие усилия (случай на практике рас-
пространенный), направления главных кри-
визн I—I и II—II совпадают с направлениями
главных усилий, являющихся главными осями
эллипса усилий, показанного на рис. 4.163.
Эллипс усилий позволяет определить величину
нормального усилия по любому направлению.
Это соотношение очень существенно для про-
ектирования мембранных конструкций. Опи-
санным выше простым методом определения
нулевых кривизн можно быстро составить се-
бе представление о распределении усилий
в мембране или в тросовой сетке, в особенно-
сти когда абсолютные величины усилий неиз-
вестны, а возможно только измерение этих ве-
личин в отдельных точках поверхности.
Отверстия в мембранах. В пространственно
искривленных мембранах, так же как и в пло-
ских, внутренние и наружные края могут об-
рамляться растянутыми тросами, воспринима-
ющими усилия натяжения мембраны без
нарушения равномерности усилий. Если в мем-
бране, равнонапряженной по всем направле-
ниям, вырезается отверстие, то при обрамле-
нии контура отверстия гибким элементом оно
должно иметь форму окружности, в против-
ном случае по краю отверстия должен распо-
лагаться жесткий элемент (рис. 4.168). Если
же поле напряжений неоднородно, то при об-
рамлении отверстия гибким элементом оно
должно иметь эллипсоидальную форму (рис.
4.169). В мембране, имеющей пространствен-
но развитую форму, круговые и эллипсоидаль-
ные отверстия несколько искажаются вследст-
вие пространственной кривизны мембраны.
Отметим дополнительно, что форма мем-
браны при отверстиях соответствующих очер-
таний искажается очень слабо. Нанесем на
равнонапряженной мембране линию равных
кривизн, которая в плоской мембране имеет
форму окружности, а в пространственно ис-
кривленной мембране форму пространствен-
ной замкнутой кривой. Закрепим по контуру
этой линии краевой трос и вырежем внутрен-
нюю часть мембраны. Тогда произойдет неко-
торое уплощение пространственной кривой
контура отверстия, которая тем не менее оста-
нется, как и прежде, кривой равных кривизн.
Это особенно ясно проявляется в сильно ис-
кривленных мембранах (см., например, рис.
4.170).
Пространственно искривленная мембрана
(рис. 4.165) может быть перфорирована от-
верстиями равной или различной величины.
Увеличение числа и размеров отверстий в мем-
бране, ограничиваемых контурными тросами,
приводит к вырождению мембраны в тросовую
сетку (рис. 4.171).
Различные формы предварительно напря-
женных мембран. В конструктивном отноше-
нии мембраны могут различаться в зависимо-
сти от характера их напряженного состояния
или же по внешней геометрической форме.
Поскольку в мембранных конструкциях на-
пряженное состояние и форма конструкций
взаимно определяют друг друга, геометриче-
ский' подход является одновременно и конст-
руктивным.
Из большого числа поверхностей, облада-
ющих отрицательной кривизной (седловидные
формы), на рис. 4.175—4.176 показана оболоч-
ка отрицательной кривизны трубообразного
очертания; далее на рис. 4.177—4.179 — кону-
совидные формы, на рис. 4.180—4.181 — мем-
брана волнистой формы, а также винтовые по-
верхности (рис. 4.182). Две конусовидные по-
верхности (рис. 4.177), составленные своими
основаниями, образуют так называемую по-
душкообразную конструкцию (рис. 4.178).
О моделировании равнонапряженных мем-
бран с помощью мыльной пленки. Изучение
минимальных поверхностей имеет смысл в ас-
4*
51
пекте их применения в мембранах и тросовых
конструкциях. Тем не менее минимальные по-
верхности не всегда являются оптимальными
формами конструкций. Определение мини-
мальной поверхности дает только форму по-
верхности при заданном замкнутом контуре
опирания. Мы знаем, что минимальная поверх-
ность идентична мембране, которая одинаково
напряжена по всем направлениям.
Для напряженного состояния, определяе-
мого только предварительным напряжением,
мембрана в форме минимальной поверхности
(без учета краевых элементов) наиболее эко-
номична. Для случая других внешних нагру-
зок минимальная поверхность не всегда явля-
ется оптимальной формой поверхности.
Поскольку необходимые затраты зависят
от величины усилий в конструкции, вызывае-
мых различными видами нагрузок, определяю-
щей в этом отношении является несущая спо-
собность мембраны под дополнительными на-
грузками.
Равномерно распределенные нагрузки вы-
зывают наибольшие перемещения в средней
области мембраны или тросовой сетки. Часто
бывает необходимо пойти на то, чтобы изме-
нить форму минимальной поверхности; тогда
средняя область мембраны, которая нуждает-
ся в повышении жесткости, также приобретает
большую кривизну.
Любое отступление от минимальной по-
верхности приводит к увеличению площади по-
верхности.
Несмотря на некоторые ограничения и сде-
ланные ранее замечания об использовании ми-
нимальных поверхностей, изучение этих по-
верхностей не излишне и является хорошим
вспомогательным средством при проектирова-
нии. В настоящее время жидкостные пленки не
изготовляются больше с помощью мыльных
пузырей, поскольку’ они толстостенны и тяже-
лы. Для этой цели применяются специально
разработанные водорастворимые пенообразо-
ватели, которые образуют тонкую пленку с вы-
соким поверхностным натяжением. Хотя изго-
товление пузырей жидкостных пленок дело
весьма простое, точное измерение геометрии
пленки сталкивается со значительными за-
труднениями. В 1959—1962 гг. автор провел
опыты по разработке фотограмметрических
способов изменения геометрии мыльных пле-
нок. Отражение или проектирование на по-
верхность мыльного пузыря линейных или то-
чечных растров (рис. 4.191—4.193) позволя-
ет определить координаты отдельных точек
поверхности. Разрабатываются методы опре-
деления положения горизонталей поверхно-
стей или любых других произвольных сечений.
Вместо пенообразующих жидкостей мини-
мальные поверхности в первом приближении
могут быть получены путем раздувания тонких
резиновых пленок, причем более точные ре-
зультаты получаются для пологих форм.
Деформации резиновой мембраны весьма
просто могут быть определены с помощью на-
несения на мембрану мерных марок или сетки.
При разработке проекта павильона для сель-
скохозяйственной выставки 1957 г. в Кёльне
удалось форму резиновой мембраны, натяну-
той по минимальной поверхности, без искаже-
нии перенести на гипсовую отливку формы.
Раскрой конструкции производился непосред-
ственно по гипсовой отливке.
Тросовые сетки и мембраны, опирающиеся
на изгибно жесткий контур. Ниже рассматри-
ваются предварительно напряженные мембра-
ны и тросовые сетки, закрепленные на различ-
ных видах опорного контура.
Тросовые сетки и мембраны могут быть на-
тянуты на произвольном контуре замкнутого
очертания. Модель тросовой сетки, показан-
ная на рис. 4.194, выполнялась из предвари-
тельно напряженных стальных пружин, за-
крепляемых на контуре, образованном сталь-
ной проволокой. В каждой точке тросовая
сетка обладает отрицательной кривизной. На-
52
правления главных кривизн не постоянны,
однако они не зависят от самой сетки. В осо-
бенности примечательно образование участка
вантовой поверхности в средней части сетки.
При закреплении мембраны или тросовой
сетки на произвольном контуре элементы пос-
леднего подвергаются изгибу, независимо от
очертания контура (рис. 4.183—4.184). Однако
контур может иметь такую форму, при кото-
рой в нем возникают только растягивающие
или сжимающие усилия. Безизгибпый контур
представляет особенный интерес в силу своей
экономичности по сравнению с изгибаемым
опорным контуром.
Рассмотрим несколько видов закрепления
тросовых сеток и мембран на различных опор-
ных контурах. Сетка, показанная на рис. 4.185,
образует волнообразную поверхность при за-
креплении ее на опорном контуре, три стороны
которого пересекаются под прямыми углами,
а четвертая сторона имеет S-образное очерта-
ние и лежит в плоскости, нормальной к пло-
скости остальных трех сторон. Тросовая сетка
на рис. 4.186 натянута между двумя изгибно
жесткими, защемленными в основании тре-
угольными рамами.
Напряженное состояние рам весьма близ-
ко к характеру нагружения опорного контура
в виде двух арок (рис. 4.187). В большинстве
случаев в опорных элементах изгибное напря-
жение сопровождается нормальными усилия-
ми. Особый интерес представляют мембраны
и тросовые сетки, опорный контур которых со-
стоит из четырех прямых (рис. 4.188). Изги-
бающий момент, возникающий в элементах
прямоугольного опорного контура, особенно
велик. Элементы изгибаемого опорного кон-
тура должны обладать высокой изгибной же-
сткостью.
Уже много лет делаются попытки умень-
шить расход материала на опорный контур
путем исключения работы на изгиб и исполь-
зования в опорном контуре растянутых эле-
ментов. Если же применение изгибно жесткого
краевого элемента определяется другими при-
чинами, целесообразно применение решетча-
тых конструкций, имеющих, например, тре-
угольное поперечное сечение (рис. 4.189—
4.190). Два отстоящих пояса такой фермы
воспринимают сжимающие усилия изгиба,
в то время как раскосы и нижний пояс воспри-
нимают растягивающие усилия от предвари-
тельного натяжения тросовой сетки или мем-
браны. Такая конструкция позволяет выпол-
нить значительную часть опорного контура из
растянутых элементов, которые значительно
проще в изготовлении и монтаже, чем сжима-
емые.
Благодаря предварительному растяжению
оболочки можно полностью избежать сжима-
ющих усилий. Для этого несущая система
должна претерпеть некоторые изменения. Це-
ликом растянутую оболочку можно выполнять
из гибких материалов, но наружный контур ее
должен быть жестким. Мембраны и тросовые
сетки, опирающиеся на жесткий контур, име-
ют большие перспективы применения в боль-
шепролетных сооружениях; они находятся еще
в стадии развития. В последние годы был вы-
полнен ряд проектов и сделаны предложения
по конструкциям в виде мембран и тросовых
сеток, опирающихся на жесткий контур. Одна
из первых конструкций такого типа была при-
менена в выставочном павильоне, построенном
Хансеном и Томашевским в 1956 г. в Южной
Америке. Мембрана из легкого брезента, поло-
сы которого были ориентированы в направле-
нии наименьших кривизн, закреплялась на
косоугольной раме из четырех изгибно жест-
ких решетчатых элементов. Форма мембраны
представляла собой гиперболический парабо-
лоид (рис. 4.195).
Из большого числа других зданий такого
типа, построенных в более позднее время, на-
зовем французский павильон на Брюссельской
выставке (рис. 4.196). Авторы конструкции
этого павильона Жилле и Саржер запроекти-
ровали легкую сетку из плоских параллельных
проволочных пучков, натянутых на решетча-
той стальной раме.
В 1960—1964 гг. автором был предпринят
ряд опытов по изготовлению моделей из мыль-
ных пленок, опирающихся на разнообразные
жесткие рамки, и по фотографическим спосо-
бам измерения геометрии возникающих по-
верхностей. Здесь приводятся некоторые из
полученных результатов. В опытах производи-
лось фотографирование поперечных сечений,
применялся метод проектирования на мыль-
ную пленку различных видов растров (рис.
4.191—4.193).
На фотографиях (рис. 4.197—4.205) пока-
заны поверхности, образуемые мыльными
пленками, натянутыми на косоугольный опор-
ный контур. В книге «Пневматические конст-
рукции» расчетным и экспериментальным
путем было показано, что минимальная поверх-
ность мыльной пленки, натянутой на косо-
угольный контур, не является гиперболиче-
ским параболоидом.
Первая серия опытов была проведена на
опорных контурах, квадратных в плане. Мыль-
ная пленка в боковой проекции проходит че-
рез геометрический центр тяжести системы
(рис. 4.197—4.200). Линия поперечного сече-
ния вблизи геометрического центра тяжести
53
искривлена меньше, чем должно быть в пара-
боле.
Как видно из рис. 4.201—4.203, отклонение
поверхности мыльной пленки, т. е. минималь-
ной поверхности, от формы гиперболического
параболоида особенно заметно тогда, когда
углы, образуемые элементами контура, нерав-
ны между собой, например, когда в плане
опорный контур представляет собой ромб.
Средняя точка поверхности мыльной пленки
сдвигается к линии, соединяющей большие уг-
лы контура. Поверхность же гиперболическо-
го параболоида проходит через центр тяжести
фигуры во всех случаях, даже при неравных
углах опорного контура.
Другая форма поверхности мыльной плен-
ки показана на рис. 4.206—4.208. Опорный кон-
тур состоит из шести одинаковых по длине
элементов. Три таких элемента образуют три
стороны квадрата. Два таких незамкнутых
квадрата сходятся в двух точках под одинако-
выми острыми углами. Рис. 4.206 показывает
поперечное сечение. Рис. 4.206 и 4.207 дают
представление об обоих боковых видах. Обра-
тим снова внимание на то, что мыльная пленка
в области, примыкающей к острому углу, мало
искривлена и располагается вблизи большего
угла, как это заметно в особенности на боко-
вом виде (рис. 4.207). Если в такой системе
острый угол увеличивается, то мыльная плен-
ка приобретает другую форму.
Опорный контур модели, показанной на
рис. 4.209—4.210, выполняется из восьми оди-
наковых стержней, образующих непрерывную
линию с прямыми углами в местах изломов и
являющихся ребрами куба. Мыльная пленка,
натянутая на таком контуре, вследствие сим-
метрии проходит через центр куба, образован-
ного элементами контура, как это видно из
рис. 4.210. Минимальная поверхность повсюду
сильно седлообразно искривлена, за исключе-
нием областей, прилегающих к областям кон-
тура. Мыльная пленка подходит тангенциаль-
54
но к плоскости, образуемой двумя смежными
элементами контура. В средней части элемен-
та контура угол между касательной плоско-
стью к пленке и соответствующей гранью куба
составляет около 20°.
Поверхность мыльной пленки, показанной
на рис. 4.204—4.205, образуется при натяже-
нии ее на опорный контур из восьми прямоли-
нейных элементов, соединенных под острыми
углами. Если углы, образуемые элементами
контура, равны между собой, минимальная по-
верхность проходит через центр тяжести фигу-
ры. Если же углы в верхней части фигуры
больше, чем в нижней, минимальная поверх-
ность сдвигается кверху. Кривизна в средней
части поверхности мыльной пленки относи-
тельно невелика.
Мыльная пленка для модели, показанной
на рис. 4.211—4.212, натянута на пространст-
венно искривленном контуре, кривизна кото-
рого меняется непрерывно. Возникающая по-
верхность подобна поверхности на рис. 4.209—-
4.210. Для опорного контура, обладающего
двумя осями симметрии, минимальная по-
верхность проходит через центр тяжести си-
стемы. Как видно из рис. 4.212, мембрана
в нижних точках поверхности подходит к опор-
ному контуру не в тангенциальной плоскости,
а под некоторым углом, приблизительно рав-
ным 30°. При равномерно напряженной мем-
бране опорный контур подвергается изгибу со
сжатием. Только в совершенно плоском опор-
ном контуре можно добиться безызгибного на-
пряженного состояния.
Мыльная пленка в общем случае может
быть натянута на произвольно деформирован-
ном контуре. При этом поверхность пленки со-
храняет свойство непрерывности (рис. 4.213).
В опорном контуре возникают тогда обяза-
тельно изгибающие усилия. Исключение со-
ставляет тот случай, когда мыльная пленка
натягивается не на жесткой раме, а между
двумя нитями. В этом случае мембрана и ог-
раничивающие нити находятся в равновесии.
Опорный контур, показанный на рис. 4.214 и
4.215, содержит в себе мягкие закругления и
два острых угла. Мыльная пленка на таком
контуре в большей своей части искривлена
слабо. Лишь вблизи острых углов контура
радиусы кривизны малы.
Тросовые сетки и мембраны, опирающиеся
на сжатые краевые элементы. Наряду с фор-
мами опорных контуров, рассматривавшихся
ранее, работающих в основном на изгиб, зна-
чительный интерес представляют системы,
в которых краевые элементы испытывают пре-
имущественно сжимающие усилия. Только
плоское круглое кольцо, служащее опорным
контуром для равномерно напряженной мем-
браны или тросовой сетки, может испытывать
чистое сжатие (рис. 4.216). Все другие формы
контуров (за исключением винтовой линии и
55
гибких краевых элементов) испытывают изги-
бающие усилия.
Сжатое кольцо эффективно стабилизирует-
ся самой мембраной, натянутой на нем. Мем-
брана улучшает условия работы кольца в от-
ношении устойчивости, но нисколько не увели-
чивает жесткости кольца из плоскости мем-
браны. Круглый кольцевой контур проявляет
склонность к потере устойчивости из плоско-
сти, в результате чего он приобретает форму,
показанную на рис. 4.211—4.212. При этом
площадь поверхности мембраны уменьшается
и образуются многочисленные складки. Если
мембранные усилия постоянны в процессе де-
формации, то вследствие развивающихся зна-
чительных изгибных усилий система может
разрушиться.
Опирания мембран и тросовых сеток на
арки, которые испытывают только сжима-
ющие усилия, реализуются лишь тогда, когда
мембрана в каждой точке соприкасания
с опорным контуром лежит в тангенциальной
плоскости арки. Это может быть в случае
круглого опорного контура, а также опорного
контура в виде винтовой линии с прямой
осью. На винтовой линии с прямой осью мем-
браны и тросовые сетки могут натягиваться та-
ким образом, что на каждом элементарном от-
резке контура, рассматриваемом как отрезок
арки, нагрузка прикладывается в плоскости
радиуса кривизны так, что изгибное усилие
отсутствует. До сих пор не установлено на
сколько точно минимальная поверхность, на-
тянутая на такой раме, совпадает с винтовой
поверхностью с прямой осью. Однако возмож-
ные отклонения невелики
Если круглое кольцо, на которое натянута
мембрана (рис. 4.216), изгибается в своей
плоскости так, как показано на рис. 4.217,
форма мембраны претерпевает сильное изме-
нение. Мембрана стремится непосредственно
связать высшие точки контура. Пространст-
венно искривленное кольцо начинает изгибать-
ся, если только оно не раскрепляется допол-
нительными связями. Опасность складывания
такого кольца устраняется, если отдельные его
половины притягиваются к основанию, а ниж-
ние точки опираются на жесткое основание.
На рис. 4.218 показана работающая на рас-
тяжение система, образованная тросовой сет-
кой и двумя наклонными арками. Покрытие
может выполняться из прямолинейных тросов
или же из тросовых сеток и мембран. Конст-
рукция содержит не обязательно только две
арки; мембрана может опираться на три, че-
тыре или большее количество арок (рис. 4.219).
С помощью тросовых сеток и мембран можно
улучшать условия работы арки на устойчи-
вость. Эффективность стабилизирующего дей-
ствия гибкого покрытия тем выше, чем выше
относительная гибкость арок. В определенных
границах такая гибкая арка может рассмат-
риваться как шарнирная сжатая цепь. Не-
смотря на это, арки должны иметь определен-
ную собственную жесткость, зависящую от
вида материалов, применяемых в самой арке
и в гибком покрытии, а также от величины
предварительного напряжения системы. Опре-
деленные рекомендации по выбору гибкости
арок в настоящее время дать еще трудно.
В благоприятных обстоятельствах применимы
арки с относительной гибкостью 1/1000 и
1/2000 (в качестве характеристик гибкости
в данном случае принимается отношение ве-
личины характерного поперечного сечения
арки к ее длине).
Способы увеличения жесткости арки пока-
заны на рис. 4.220 — 4.222. Трехшарнирная
- \у , ▼ гW
WY vM
арка на рис. 4.220 раскрепляется в двух на-
правлениях.
Могут сохранять устойчивость и четырех-
шарнирные арки с четырьмя растяжками. То
же самое относится и к многошарнирным ар-
кам (рис. 4.222). Практически же распростра-
нены системы, в которых дву.хшарнпрная арка
раскрепляется между двумя сетками или мем-
бранами, как это показано на рис 4 223 и в по-
перечном сечении на рис. 4.224.
На рис. 4.227 показана прямоугольная
в плане рама с двумя упирающимися друг в
друга арками, связанными затяжкой, воспри-
нимающей распор. Различные другие системы
тросовых сеток в комбинации с арками пока-
заны па рис. 4.225 и 4.226.
Важным примером крупного сооружения
с покрытием в виде тросовой сетки, опира-
ющейся на криволинейный контур, является
павильон Рио Гранде да Суль, который пост-
роили инженеры Альберто Борджес и Рикар
56
до Костас Альяна на выставке в Сан Паулу
в 1954 г. Свободный пролет покрытия состав-
ляет 60 м, а общая длина 102 м. Тросы по-
крытия проходят в направлении наибольшей
кривизны поверхности. На форму сооруже-
ния, несомненно, сильное влияние оказало
строительство Рэлей-арены, а также разра-
ботки автора, опубликованные в журнале
«Bauwelt» в 1952—1953 гг. Тросы покрытия
проходят через арки по всей длине сооруже-
ния и анкеруются в основании в торцах зда-
ния. Таким образом, арки оказываются рас-
крепленными с двух сторон системой растя-
нутых тросов. Тем не менее арки были
дополнительно раскреплены с помощью жест-
ких конструкций световых проемов. Стабили-
зирующее действие тросовой сетки в то время
еще не принималось во внимание (рис 4.228).
Первым сооружением, в котором устойчи-
вость сжатой арки достигалась с помощью
растянутой предварительно напряженной обо-
лочки, был входной павильон на выставку
1957 г. в Кельне, спроектированный и построен-
ный инженером Фрицем Леонгардтом. Конст-
рукция состояла из стальной трубчатой арки,
установленной в вертикальном положении.
Диаметр арки 19 см, высота 6 м и пролет 36 м.
Устойчивость арки обеспечивалась оболочкой
из прорезиненной просвечивающей тяжелой
ткани; таким образом, была достигнута очень
большая жесткость всей системы. Конструк-
тивные решения, использованные в этой систе-
57
ме, были применены позднее в других соору-
жениях
В 1957—1958 гг. было построено еще одно
крупное сооружение такого же типа.
Речь идет о зимнем стадионе Йэльского
университета в Нью-Хейвене (рис. 4.229
4.230). Автор проекта — Эйро Сааринен. Вер-
тикальная изгибно жесткая железобетонная
арка пролетом 67 м несет две предварительно
напряженные тросовые сетки, перекрывающие
пролет 55 м. В этом сооружении стабилизиру-
ющее действие тросовой сетки также не учи-
тывалось. На тросовую сетку, состоящую из
24-миллиметровых тросов, опиралось дощатое
покрытие, состоящее из брусков толщиной
5 см и шириной 22 см. На дощатое покрытие
укладывался гидроизоляционный ковер. Кро-
ме стальной тросовой сетки арки дополнитель-
1 См., например, Mitteilung Е 3 der EntwicKlungstat-
te fur den Leuchtbau. «Bauwelt», 30/1957.
но удерживаются тремя парами тросов, связы-
вающих арку с опорами. Один из выдающихся
архитекторов — Эйро Сааринен столкнулся
здесь с типичными трудностями, возникающими
при проектировании растянуто напряженных
конструкций.
В 1950 г. Мэтью Новицкий разработал про-
ект перекрытия Рэлей-арены. Рэлей-арена бы-
ла построена в 1953 г. в Северной Каролине
(США). Главным архитектором строительства
был Генрих Дейтрик, расчет сооружения про-
извел Фред Северуд. Рэлей-арена использует-
ся как универсальный зал, однако преимуще-
ственно в качестве здания для сельскохозяйст-
венных выставок животных. Это сооружение
сыграло особенно важную роль в развитии
большепролетных висячих покрытий. Покры-
тие представляет собой седлообразную тросо-
вую сетку, опирающуюся на две наклонные
плоские параболические арки. Габариты соо-
ружения 92x97 м. Арки выполняются из же-
лезобетона и опираются на стальные стойки,
защищенные бетонной рубашкой (рис. 4.231).
Тросовая сетка выполняется из тросов дна
метром 13- 32 мм. Средняя величина стороны
ячейки сегкп 180 см. Расчетная величина сне-
говой нагрузки составляла 122 кГ/м2, а расчет-
ный ветровой отсос 78 кГ/м2. Оболочка выпол-
нена из волнистой стали и имеет седловидную
кривизну. По стальным листам уложены слои
теплоизолирующий и гидроизоляционный.
Форма поверхности обеспечивает свободный
наружный водоотвод.
Долгое время Рэлей-арена оставалась наи-
более важным и крупным сооружением в об-
ласти растянуто напряженных тросовых кон-
струкций. Оиа дала толчок к строительству .
58
59
целого ряда подобных сооружений, из которых
однако лишь немногие могут сравниться с ней
по качеству исполнения.
При строительстве Рэлей-арены был до-
стигнут первый успех в области большепролет-
ных тросовых конструкций и проведены значи-
тельные исследования, получившие всемирную
известность Новицкий умер в 1950 г. Он не
дожил до завершения строительства. Фред Се-
веруд развил это конструктивное направление
в США далее. К числу важнейших сооруже-
ний такого типа, возведенных с его участием,
относятся уже упоминавшийся зимний стади-
он в Нью-Хейвене и покрытие аэропорта
им. Даллеса в Вашингтоне. Первоначальный
проект Новицкого, с которым автор настоящей
книги познакомился в 1950 г. в бюро Северу-
да, послужил стимулом для дальнейшей систе-
матической разработки и исследования авто-
ром растянуто напряженных конструкций.
Покрытие Рэлей-арены может рассматри-
ваться как растянуто напряженная оболочка,
опирающаяся на две сжатые арки. Она не яв-
ляется, строго говоря, предварительно напря-
женной тросовой сеткой: тем более нельзя
считать ее предварительно напряженной, в осо-
бенности в средней части покрытия, в связи
с чем понадобились дополнительные оттяжки,
идущие от внутренней поверхности покрытия к
наружным стойкам (рис. 4.232). По проекту
перекрытие Рэлей-арены должно было пред-
ставлять свободно висящую тросовую сетку с
последующим легким натяжением тросов.
Поперечное сечение Рэлей-арены показано
на рис. 4.232, покрытие на нем обозначено
сплошной линией. Наибольший пролет тросов
составляет 300 футов (91,44 м), а наибольший
провис среднего троса 31,3 фута (9,54 лг).
Если бы между двумя арками была подвеше-
на цепь таким образом, что в месте подхода
цепи к аркам, наклоненным под углом 21,8° к
горизонту, касательная плоскость цепи совпа-
ла с плоскостями арок, то прогиб цепной ли-
нии был бы равен только 27,7 фута (8,44 м).
Очертание цепной линии показано на рис.
4.232. Определение минимальной поверхности,
проведенное опытным путем на модели
(рис. 4.233), позволило установить, что провис
минимальной поверхности в средней точке по-
верхности составил бы 24,9 фута (7,59 лг).
Очертание минимальной поверхности показа-
но на рис. 4.232 точечной линией.
Таким образом, поверхность покрытия
Рэлей-арены существенно отличается от мини-
мальной поверхности. Такое покрытие могло
бы получить приближенно форму минимальной
поверхности, если бы тросовая сетка с равны-
ми ячейками закреплялась на арках при рав-
номерном натяжении тросов.
Покрытие Рэлей-арены провисает еще ни-
же, чем соответствующая цепная линия, воз-
никающая при отсутствии предварительного
напряжения системы под действием равномер-
но распределенной нагрузки. Тросовая сетка в
средней части покрытия между двумя точками
пересечения арок имеет четко выраженную
седловидную поверхность и легкое предвари-
тельное напряжение.
В областях, прилегающих к вершинам арок,
поверхность покрытия почти плоская. Для
обеспечения устойчивости и ограничения пере-
мещений покрытия оно раскрепляется изнут-
ри растяжками (см. рис. 4.232).
Собственный вес арок передается на верти-
кальные стойки.
Если бы покрытие Рэлей-арены выполня-
лось в форме минимальной поверхности, тро-
совая сетка в средней части располагалась бы
60
выше, а арки испытывали бы изгибающие уси-
лия из своей плоскости, если пренебречь соб-
ственным весом арок. Дискуссии по поводу
этого сооружения и аналогичных форм кон-
струкции будут продолжаться, несомненно,
еще долго. Однако представления в этой обла-
сти конструкций будут плодотворно развивать-
ся только после того, как будут накоплены
новые данные и результаты. Только в послед-
ние годы удалось опытным путем на моделях
определить различные формы тросовых сеток,
опирающихся на наклонные арки. Удалось со-
здать также методику моделирования и фото-
графирования минимальных поверхностей.
Достигнутая точность измерения недостаточна;
определенные затруднения связаны также с
математическими методами для описания этих
поверхностей.
На рис. 4.234—4.237 показаны различные
формы опорного контура, образованного дву-
мя полуокружностями, соединенными таким
образом, что угол между этими плоскостями
может меняться от острого до прямого. По
сравнению с моделью Рэлей-арены средняя
часть поверхностей рассматриваемых моделей
располагается относительно выше. В углах
круглых арок минимальная поверхность рас-
полагается в тангенциальной плоскости, обра-
зованной концами арок.
В покрытии церкви в Бремене-Грольтанде
(рис. 4.238 и 4.239) архитектор Карстен Шрёк
применил тросовую сетку с одинаковыми ячей-
ками, опирающуюся на две арки и образую-
щую поверхность, весьма близкую к показан-
ной на рис. 4.237. В плане покрытие имеет
форму эллипса. В точке пересечения арок тро-
совая сетка покрытия подходит к земле под
прямым углом. Стены этого сооружения также
выполнены в виде предварительно напряжен-
ных тросовых сеток с одинаковыми ячейками.
Как удалось выяснить на модели, фотография
которой показана на рис. 4.238, предваритель-
но напряженная тросовая сетка оказывает силь-
ное стабилизирующее воздействие на гибкие ар-
ки. Модель была выполнена в масштабе 1 :66.
Арки были сделаны из тонкой стальной прово-
локи диаметром 1 мм, что соответствовало от-
носительной гибкости, равной 1700. Тросы ими-
тировались стеклянными нитями с короткими
стальными измерительными вставками. Мо-
дель, показанная на рис. 4.238, была настоль-
ко упруга и устойчива, что могла восприни-
мать нагружение, приводящее к прогибу сетки
вплоть до плоскости основания. При этом ар-
ки сильно изгибались и принимали S-образ-
ную форму. Резкое снятие нагрузки вызывало
упругое возвращение модели в первоначаль-
ную форму. Этот опыт наглядно демонстриру-
ет стабилизирующее действие предварительно
напряженных сеток на сжатые арки.
В готовом сооружении, внутренний вид ко-
торого показан на рис. 4.239, были применены
составные дощатые арки с высокой собствен-
ной жесткостью. Авторы конструкции — Шле-
ер, Кассенс, «Путман. Несмотря на явно чрез-
мерную относительную толщину арок, это
сооружение примечательно тем, что в конст-
руктивном отношении представляет собой еди-
ное целое. Между покрытием и стеновым ог-
раждением не проводится резкой грани. В этом
сооружении впервые была использована пол-
ностью заводского изготовления тросовая сет-
ка с одинаковыми ячейками. Точная форма
раскроя была определена на модели. Сторона
ячейки равнялась 98 см. Спаренные тросы от-
четливо видны на внутренней поверхности по-
крытия; на тросы опираются деревянные пли-
ты покрытия.
Минимальная поверхность, опирающаяся
на три арки, показана на фотографиях (рис.
4.240—4.242). Три циркульные арки составля-
ются таким образом, что в местах соединения
арок образуются прямые углы. Таким обра-
зом, опорный контур содержит в себе три угла
и три закругления. Минимальная поверхность,
как это видно на боковом виде (рис. 4.241),
искривлена относительно слабо. Теоретически
в центре поверхности имеется бесконечно ма-
лый участок плоскости.
Если провести две плоскости — одну через
точки пересечения арок и другую через их вер-
шины, то окажется, что поверхность мыльной
пленки значительно ближе к верхней плоско-
сти. В аспекте рассматриваемого вопроса сле-
дует сослаться на работы скандинавского ар-
хитектора Бертила Зайнетца, который уже
давно применяет конструктивный прием опи-
рания тросовых сеток и усиленных тросами
мембран на три арки.
Отдельная арка в круглом кольце. Если
круговое кольцо с установленной внутри него
аркой обтянуть мыльной пленкой (рис. 4.243),
то образуется форма, близкая к формам, по-
казанным на рис. 4.236, 4.237. Очертания по-
верхности мыльной пленки не зависят от то-
го, натянута ли мыльная пленка на одной пли
на обоих половинах рамки. Если мыльная
мембрана натягивается только на одной поло-
вине, арка испытывает изгибающее усилие;
при двустороннем натяжении гленки арка пре-
имущественно сжата.
На рис. 4.244—4.247 показаны другие воз-
можности расположения пленки на рассматри-
ваемом каркасе. Пленки по обе стороны арки,
показанные на рис. 4.243, стремятся к тому,
чтобы слиться и образовать новую плоскую
61
I
поверхность, которая заполняет верхнюю часть
арки и затем разделяется на две пленки. Нор-
мальное сечение в месте стыка этих двух пле-
нок показывает, что пленки располагаются по
отношению друг к другу под углом 120°.
В этом новом образовании, состоящем из трех
поверхностей, по-прежнему сохраняется равен-
ство мембранных усилий. Арки касается толь-
ко плоская мембрана. В связи с этим арка, не
испытывающая изгибных усилий, может иметь
циркульное очертание. Форма двух других уча-
стков поверхностей и положение линии сопри-
косновения трех мыльных мембран не меняют-
ся при изменении очертания арки в пределах
поверхности вертикальной плоской мембраны.
В этом случае арка произвольного очертания
будет испытывать изгибающие усилия.
Мембраны, натянутые на два взаимно пер-
пендикулярных круговых кольца. Если мыль-
ная пленка натягивается на раме, состоящей
из двух перекрещивающихся колец, возникает
форма с замкнутой внутренней полостью Экс-
периментально весьма трудно получить такую
форму, поскольку арки смачиваются со всех
сторон одновременно, благодаря чему мыль-
ная пленка стремится скачком занять другую
форму с наименьшей поверхностью. Если
пленка натягивается только на двух рамках,
как показано на рис. 4.248, образуется
форма, сходная с формами поверхностей на
рис. 4.245—4.247; только верхний плоский уча-
сток имеет большие размеры. При натяжении
мыльной пленки по всему контуру одновремен-
но образуется поверхность нового типа
(рис. 4.250 и 4.251).
Наклоненные под углом 45° к плоскости рам-
ки плоские участки поверхности соединяют че-
тыре слабоискривленных седловидных поверх-
ности. Мембрана такой формы, натянутая на
четыре полуокружности, имеет наименьшую
площадь поверхности.
Если два кольца пересекаются под острым
углом, мыльная пленка образует уже знако-
мую нам поверхность (рис. 4.252). Если же
пленка одновременно натягивается по всем
четырем замкнутым областям контура, обра-
зуется структура из пяти поверхностей
(рис. 4.253 и 4.254). В центре мы имеем пло-
ский участок поверхности, ограниченный че-
тырьмя седловидными поверхностями.
Если мыльная пленка натягивается только
на двух смежных замкнутых областях конту-
ра (рис. 4.255), образуется минимальная по-
верхность, почти одинаковая с поверхностью
на рис. 4.248 и 4.249; только в данном случае
все три поверхности искривлены.
Мембрана на трех перекрещивающихся
кольцах. Большое количество комбинаций
форм может быть получено при использовании
опорного контура в виде трех пересекающихся
под равными углами колец. На рис. 4.256 по-
казана симметричная структура, содержащая
в средней области три плоских участка, пере-
секающихся под углом 120°.
Возможны и несимметричные формы. Не-
которые из них показаны на рис. 4.257 и 4.258.
Спиральная поверхность. При натяжении
мыльной пленки на спиралевидную рамку с
прямой осью возникает форма, идентичная
спиральной поверхности с прямолинейными об-
разующими. Если спиральная поверхность
представляет собой минимальную поверхность,
наружная рама будет работать только на сжа-
тие. В ней не может возникнуть изгибающего
момента, поскольку она является пространст-
венной кривой постоянной кривизны, на кото-
рой закреплена равномерно напряженная мем-
брана, а радиус кривизны рамки всегда лежит
в направлении кривизны мембраны. Насколь-
ко удалось установить автору, математическо-
го доказательства, что спиральная поверхность
является точной минимальной поверхностью,
63
пока не существует. На рис. 4.259 ось спираль-
ной поверхности образована не жестким пря-
молинейным стержнем, а гибкой нитью, также
имеющей спиралевидное очертание. Здесь
редкий случай мембраны, закрепленной на ра-
ме, одна сторона которой работает на сжатие,
а другая —на растяжение.
Плоская мембрана, ограниченная тросами.
Любая мембрана может быть закреплена, как
уже было показано, на изгибно жесткой раме
или на сжатом кольце. Самое экономичное ре-
шение получается при использовании в качест-
ве контура растянутых элементов, например
тросов. Для мембраны, равномерно растянутой
по всем направлениям, оконтуривающий трос
имеет форму окружности. Если же усилия по
обоим главным направлениям различны, то
кривая тросового контура имеет вид эллипса.
На рис. 4.260—4.264 показана форма плоских
мембран, равномерно растягиваемых по двум
направлениям. Форма на рис. 4.260 имеет 12
углов, на рис. 4.261 — 8 углов, далее — 6,5 и
3 угла.
Усилия в краевом тросе зависят не от про-
лета, а исключительно от радиуса кривизны
троса. Полагая мембрану равнонапряженной,
для усилия в тросе получим S=qr, где г —
радиус кривизны, q — усилие в мембране.
Мембрана на рис. 4.265 ограничена троса-
ми одинаковой кривизны, т. е. тросами равно-
напряженными в отличие от мембраны на
рис. 4.266. Согласно этому рисунку отметим
дополнительно, что тросы могут ограничивать
любые отверстия в мембране, форма которых
зависит от отношения усилий в мембране.
Если плоская мембрана закрепляется в че-
тырех точках квадратного опорного контура,
имеем характерную «бубновую» форму (рис.
4.267). Радиусы кривизны краевых тросов по-
стоянны. Касательные к тросам в точке под-
вески образуют угол около 30°. При радиусе
кривизны, составляющем только 0,707 от рас-
стояния между точками подвеса, тросы в месте
пересечения имеют общую касательную. Если
радиус кривизны уменьшается и далее, то на
участках, примыкающих к точкам подвеса,
тросы сливаются в одну линию (рис. 4.269).
Мебрана на рис. 4.270 в средней части по-
добна упомянутой выше, по углам же она со-
держит четыре дополнительных участка по-
верхности. Кривизна тросов на всем их про-
тяжении постоянна. Еще более развитая фор-
ма такого типа показана на рис. 4.271. Она по
существу состоит из одинаковых бубнообраз-
ных участков мембраны.
На рис. 4.306—4.310 показана серия опы-
тов на мыльных пленках с гибким наружным
контуром. Мыльная пленка натягивается меж-
ду четырьмя гибкими нитями равной длины.
Фотографии планов моделей (рис. 4.285—
4.295) получены путем съемок мыльной мем-
браны с увеличивающейся длиной контурных
нитей. Фотография на рис. 4.293 получена пу-
тем многократного экспонирования одного и
того же кадра при изменяющейся длине кон-
турных нитей. Эти фотографии дополняют за-
мечания к эскизам на рис. 4.267—4.269. На
рис. 4.295—4.299 две пары тросов имеют мень-
шую длину, а две другие пары — большую.
Это привело к возникновению несимметрич-
ной фигуры. Другие несимметричные формы
показаны на рис. 4.300—4.305. На рис. 4.304 и
4.305 изображены одновременно две модели.
Фотография получена путем двукратной экс-
позиции.
Экспериментальные и расчетные исследо-
вания над плоскими ограниченными тросами
мембранами широко используются в дальней-
шем при изучении пространственных мембран.
Искривленные предварительно напряжен-
ные мембраны и сетки, ограниченные тросами.
Мембраны и тросовые сетки без больших за-
труднений могут быть натянуты между троса-
ми, т. е. опорный контур может представлять
собой гибкие элементы, работающие исключи-
тельно на растяжение. Ограничивающие тро-
сы в пространственной мембране не лежат в
одной плоскости, т. е. обладают пространствен-
ной кривизной. В равномерно напряженных
мембранах (в минимальных поверхностях) ог-
раничивающий трос образует линию равной
кривизны. Однако она не является плоской
окружностью, как в случае плоской мембраны.
На рис. 4.272 мембрана натянута между не-
сколькими точками, связанными тросом. Если
некоторые из точек закрепления будут припод-
няты (рис. 4.273), то образуется пространст-
венно искривленная форма мембраны. Кривиз-
на такой мембраны в каждой точке отрица-
тельна п изменяется по поверхности мембраны.
На рис. 4.274 опорные точки расположены в
пространстве таким образом, что мембрана
принимает форму гладкого седла.
В мембране на рис. 4.275 число точек за-
крепления краевого троса сведено к 6. Если
каждую вторую точку опирания переместить
вверх, то мембрана получит пространственную
форму высокой жесткости (рис. 4.276). Если
же приподнять две противолежащие точки сле-
ва и справа от некоторой оси симметрии, то в
контур будут входить четыре высокие и две
низкие точки. Соответствующая форма показа-
на на рис. 4.277.
Минимальное количество точек для закреп-
ления плоской мембраны — три. 1\ этим трем
точкам крепится трос, воспринимающий мем-
64
бранные усилия. Для достижения же простран-
ственной формы мембраны необходимо не ме-
нее четырех точек (рис. 4.278 и 4.279). Наибо-
лее простой и широко известной формой
пространственной мембраны, подвешенной в
четырех точках, является форма, показанная
на рис. 4.308—4.310; на рис. 4.308 приведено ее
диагональное сечение, на рис. 4.309 приведен
боковой вид.
Точного математического выражения фор-
мы этой минимальной поверхности и линии ог-
раничивающего троса до сих пор не найдено.
Поскольку тросы оказывают на форму поверх-
ности сильное влияние, при наклонных рамках
эта поверхность не минимальная. Фотографии
на рис. 4.309 и 4.310 сняты под таким ракур-
сом, что становится ясно видна пространст-
венная кривизна ограничивающего троса. На
рис. 4.310 конечные точки закрепления троса
совпадают. Трос в этой проекции образует
петлю.
В 1958 г. автор провел серию опытов над
большой резиновой мембраной, натянутой ме-
жду тросами таким образом, что она оказа-
лась равномерно напряженной. Были проведе
ны измерения образованной поверхности и
сравнение ее с формой гиперболического пара
болоида.
Сечения через наивысшие и наинизшие точ-
ки, показанные в боковой проекции на рис
4.280, отчетливо отклоняются от формы пара-
болы. Линия сечения, параллельного ограни-
чивающим тросам поверхности, не прямая, как
это было бы в гиперболическом параболоиде
(рис. 4.281). На части поверхности были опре-
делены очертания горизонталей и линий рав-
ного наклона (рис. 4.282). По данным эти. ис-
следований, на территории Вашингтонского
университета было проведено опытное строи-
тельство. Мембрана покрытия была изготовле-
на из ткани. Аналогичные исследования форм
поверхностей мембран, ограниченных тросами,
5—455
были проведены в 1958 г. Кроме того, изуча-
лись и тросовые сетки на таком же опорном
контуре (рис. 4.283, 4.284). Сетки заготовля-
лись заранее, что существенно сокращало вре-
мя монтажа. Это опытное строительство —
первый пример предварительного изготовления
сетчатой конструкции, предназначенной в ка-
честве быстро монтируемого сельскохозяйст-
венного навеса.
Из многочисленных способов закрепления
мембраны или тросовой сетки на краевых тро-
сах мы может привести здесь только немногие.
На модели (рис. 4.311) мыльная пленка натя-
гивается между шестью нитями, три точки за-
крепления которых подняты, а три опущены.
Эта поверхность — также седловидно искрив-
ленная в каждой точке. Кривая сечения, про-
веденного через средние высшую и низшую
точки, имеет S-образное очертание, как это
видно на рис. 4.312. В месте изменения кривиз-
ны поверхности в центре мембраны кривизна
ее равна нулю. Все контурные кривые— про-
странственные кривые постоянной кривизны
(см. рис. 4.313).
На рис. 4.314—4.316 показаны лемораны из
мыльной пленки, закрепленные на гибком кон-
туре с шестью высокораспс ло ! ’ни-г я и ше-
стью низкими точками. Точ и закрепления ни-
тей являются вертикалями тсв правильного
12-угольника. В плане мембрана им т прибли-
зительно круглую форму II 1 п> н об-
ладает резковыраженн и . овид .Ко-
рее ее можно определить так ... разную
волнистую поверхность. Неем и , б 'лыпую
кривизну ограничивающих нитей контура,
средняя область мс 'тан- uci ен; бэ.
В центре системы '>pai п.ч лая очек
закрепления нитей опорного , а щ шзизка
наибольшая. Линии главны . рив! зн поверх-
ности расходятся радиально и д itch в сред-
ней точке.
Из этого опыта можно сделать вывод, что
65

не любая минимальная поверхность дает хо-
рошую конструктивную форму. До настояще-
го времени исследовано очень мало минималь-
ных поверхностей на гибком контуре.
Одно из крупнейших сооружений, в кото-
ром применена предварительно напряженная
тросовая сетка с опорным контуром в виде
троса,— покрытие над открытой концертной
эстрадой в Мельбурне (Австралия). Проект
сооружения разработали архитекторы Юнкен,
Фриман, Гриффитс и Симпсон. Расчет конст-
рукций произвели инженеры компании Ир-
винг. Строительство выполнено в 1958 г.
(рис. 4.318 и 4.331). В плане покрытие имеет
форму треугольника с длиной стороны около
80 м. Основной несущий трос длиной 170 м
сильно искривлен и поддерживается двумя
мачтами высотой 21 м. Мачты, основной не-
сущий трос и покрытие образуют пространст-
венную систему, так что нет нужды в дополни-
тельных растяжках для мачт. В конструкции
небольшого павильона на выставке 1957 г. в
Кёльне (рис. 4.317) несущая мачта также рас-
креплялась самой мембраной покрытия. Тре-
угольное покрытие Мельнбурнской эстрады
предназначается для защиты оркестра и зна-
чительной части зрителей от непогоды. Аку-
стические функции сооружения состоят в том,
что оно снижает уровень городского шума и
обеспечивает хорошую слышимость благодаря
отражению звука от внутренней поверхности
покрытия.
Мачты выполнены из сварных стальных
конструкций и защищены пластмассой. Основ-
ной несущий трос состоит из семи тросов диа-
метром 90 мм. На него опирается сетка из тро-
сов диаметром 35 мм, идущих с шагом 2,1 м.
Предварительно напряженная тросовая сетка
заполнялась фанерными плитами толщиной
13 мм. С наружной и внутренней поверхности
плиты покрытия оклеивались алюминиевой
фольгой толщиной 0,4 мм. Общая перекрытая
площадь составляет 3700 м2. Вес 1 м2 покры-
тия 9 кг. Стыки между панелями покрытия
перекрывались алюминиевыми лентами шири-
ной 125 мм. Ленты крепились на самонареза-
ющихся винтах. С помощью свободной от ре-
верберации системы громкоговорителей дости-
гается хорошее качество передачи звука. Со-
оружение рассчитано на 22 тыс. слушателей
(рис. 4.318 и 4.331).
Комбинации мембран и тросовых сеток при
различных условиях опирания. До сих пор рас-
сматривались тросовые сетки и мембраны,
которые по краям опирались или на жесткие
опоры, непосредственно заанкеренные в ос-
нование, или же опорный контур выполнялся
из конструктивных элементов, работающих на
растяжение, сжатие или изгиб. Возможны са-
мые разнообразные комбинации способов ан-
керования и видов напряженного состояния
элементов в контуре. На рис. 4.319 показан це-
лый ряд различных условий опирания и анке-
ровки мембран. В первом вертикальном столб-
це мембраны или тросовые сетки закрепляют-
ся непосредственно в массивном основании, во
втором столбце опорный контур включает в се-
бя сжатые арки. Изгибаемые балки в качест-
ве элементов опорного контура показаны в
третьем вертикальном столбце. В последнем
столбце показаны варианты опирания мембран
на гибкие краевые элементы. Таким же об-
разом с горизонтальным рядом эскизов мож-
но сопоставить различные условия опирания
сетки. Верхний ряд показывает способы жест-
кого анкерования сеток, второй ряд включает
опорные контуры в виде сжатых арок, тре-
тий — в виде изгибаемых балок и четвертый —
в виде растянутых тросов.
В левой верхней части рис. 4.319 располо-
жены схемы анкерования тросовых сеток на
опорном контуре, стрелками на схемах пока-
зан характер напряженного состояния крае-
вых элементов.
Составные формы тросовых сеток и мем-
бран при различных условиях опирания. Как
уже было показано в разделе тросовых сеток,,
опирающихся на арки, плоские и седлообраз-
ные напряженные тросовые сетки или мембра-
ны могут применяться не только в виде само-
стоятельных форм или конструкций, но и в ка-
честве монтажных элементов крупных
сооружений, в особенности когда применяются
элементы одинаковой формы.
Форма тросовой сетки, показанная на рис.
4.320 в левом верхнем углу, может быть ском-
бинирована с другими сетками такой же фор-
мы и образовать ряд (см. левую среднюю
часть рис. 4.320). Такая форма может стыко-
ваться не только по линии арок, но и по боко-
вым сторонам (левая нижняя часть рис.
4.320).
Как уже указывалось раньше, арки не ис-
пытывают изгиба в гом случае, когда опира-
ние тросовой сетки или мембраны на арку
осуществляется симметрично Таким образе !,
арки являются весьма целесообразными под-
держивающими КОИСТру ЦНЯ Л В СОСТ.-ЦЩ 1ч
формах мембран или сеток. ьсрхне ; части
рис. 4.320 посередине показана прост'мшая
основная форма тросовой сетки, натянутой на
четырех прямых изгибно жестки . элементах,
лежащих в одной плоскости. В средней части
рис. 4.320 показаны составные фермы, обра-
зованные сеткой на четырехугольном основа-
нии. Объединение таких форм сеток или мем-
5*
67
бран целесообразно в связи с возможностью
уменьшения моментов в жестких краевых эле-
ментах. Мембраны и сетки, ограниченные тро-
сами, также могут присоединяться друг к дру-
гу в одном или двух направлениях (правая
средняя и правая нижняя часть рис. 4.320).
По поводу последней формы, указанной на
рис. 4.320, следует заметить, что форма тро-
совой сетки меняется при объединении двух
сеток одним общим тросом. Объединяющий
две мембраны трос при одинаковой величине
усилий в обеих мембранах оказывается в пла-
не прямым, а в боковой проекции имеет
S-образное очертание.
Исходная форма краевого троса остается
неизменной в том случае, когда соседние мем-
браны не имеют силовой связи между собой,
а соприкасаются только в угловых точках.
Тогда между соседними мембранами образу-
ются проемы, которые в свою очередь могут
быть закрыты менее прочной сеткой или мем-
браной.
В таких составных формах есть высокие и
низкие точки. Поэтому такие формы мало рас-
пространены и могут рассматриваться как эле-
менты составной мембраны или тросовой сет-
ки с центральной опорой.
На рис. 4.329 показана типичная составная
форма с заполненными проемами между от-
дельными элементами. План составного по-
крытия показан на рис. 4.330. Составные фор-
мы этого вида весьма удобны при предвари-
тельном заводском изготовлении отдельных
элементов для покрытия больших площадей.
При этом большеразмерное покрытие созда-
ется из стандартных элементов немногих ти-
пов. Так, например, покрытие на рис. 4.330 со-
бирают всего из двух типов элементов. Сече-
ние А на рис. 4.321 проходит через вертикаль-
ные стойки, поддерживающие высшие точки
покрытия, и через растянутый трос, проходя-
щий через низшие точки поверхности. На рис.
4.322 показано сечение CD. Конструкции, схе-
мы которых даются на рис. 4.323 и 4.324, за-
анкерпваются непосредственно в основании.
Изображения на рис. 4.325 и 4.326 соответст-
вуют конструкции покрытия, приведенной на
рис. 4.321 и 4.322, а изображения рис. 4.327 и
4.328 относятся к покрытиям на рис. 4.323 и
4.324. Стойки таких систем сжаты. Сжимаю-
щее усилие в стойке и вертикальная состав-
ляющая натяжения тросов находятся в равно-
весии.
Составные поверхности мыльных пленок,
ограниченных гибкими линиями. Взаимное
влияние составных мембран особенно четко
проявляется при опытах над минимальными
поверхностями. На рис. 4.332 и 4.333 шесть
разновысоких опорных точек объединяются
гибкими нитями, образующими опорный кон-
68
тур. Четыре точки располагаются в плане по
углам квадрата основания и имеют высоту,
большую, чем две другие точки, расположен-
ные в плане по серединам противолежащих сто-
рон. Низкие точки также соединяются гибкой
нитью. Мыльная пленка, натянутая на описан-
ный контур, образует две седловидные поверх-
ности с отчетливо выраженной кривизной. Она
может стать плоской только в том случае, ко-
гда все шесть точек лежат в одной плоскости.
Нить, соединяющая две низшие точки при сим-
метричных условиях закрепления мембраны,
имеет одинарную кривизну. Очертания кривой
этой нити видны в боковой проекции на
рис. 4.332. Эта кривая не является частью ок-
ружности.
Во время исследований и разработки форм
выставочных сооружений для выставки
ЭКСПО-64 в Лозанне изучались формы мини-
мальных поверхностей, закрепленных между
четырьмя низкорасположеннымн и одной вы-
сокорасположенной точками (рис. 4.338 и
4.339). Наивысшая точка конструкции соеди-
нялась с двумя низкорасположенными с по-
мощью тросов, так что образовывались две
ограниченные четырьмя тросами, замкнутые
области. Если области, образуемые контурны-
ми нитями, заполнялись мыльной пленкой, то
возникали три поверхности (рис. 4.334—4.338),
которые соприкасались под углом 120°.
Для рассматриваемого опорного контура
образующаяся поверхность имеет минималь-
ную площадь. При дальнейшем увеличении
высоты верхней точки обе нижние поверхно-
сти изменяются слабо (рис. 4.335). Нижние
поверхности при симметричном расположении
мембран образуют пологую оболочку, при не-
симметричном —- пространственно искривлен-
ную (рис. 4.336 и 4.337). При натяжении мыль-
ной пленки, например, только на правой части
69
модели (рис. 4.336) произойдет сильное ис-
кривление не только обеих средних нитей, но и
нити правой части примут другую форму.
Примеры проектных разработок и возве-
денных сооружений с покрытиями из состав-
ных тросовых сеток или мембран. Выше были
рассмотрены составные формы тросовых се-
ток, опирающихся на изгибаемые опорные
контуры из прямолинейных элементов. Формы
тросовых сеток и мембран при таком опирании
очень просты. Они представляют собой со-
ставные комбинированные формы, использо-
вавшиеся, например, Канделой и Каталано для
гиперболических жестких оболочек. Сооруже-
ние подобного типа было возведено Оскаром
Хансеном в Южной Америке. Внутренний вид
павильона, построенного Хансеном, показан
на рис 4.340.
Другим важным примером составной тро-
совой сетки с прямолинейными элементами
опорного контура может служить Колизей в
Сиэтле (Вашингтон, США). Во время Всемир-
ной выставки 1962 г. в Сиэтле сооружение ис-
пользовалось как спортивная арена для хок-
кея, баскетбола и бокса. Автор проекта —
арх. Тири (рис. 4.137).
Свободный пролет сооружения 120 м. По-
крытие состоит из четырех участков с длиной
стороны участка 60 м. Внешний изгибно жест-
кий контур образуется предварительно на-
пряженными железобетонными балками, во
внутренней области тросовая сетка опирается
на стальную рамную конструкцию (рис. 4.341).
Тросы сетки ориентированы по направлениям
главных кривизн. Заполнение сетки состоит из
алюминиевых сандвичей. Сооружение рассчи-
тано на 12—18 тыс. зрителей. В общем случае
конструкции с жестким опорным контуром
значительно дороже тросовых сеток и мем-
бран, опирающихся на гибкий трос; увеличи-
вается расход материала на изгибаемые эле-
менты. Однако эти конструкции обладают мно-
гими монтажными и архитектурно-планиро-
вочными преимуществами.
Мембраны и тросовые сетки в виде замкну-
тых удлиненных оболочек. Мембраны и тросо-
вые сетки могут иметь форму полных поверх-
ностей вращения, типа показанных на рис.
4.342—4.349. Прямолинейные тросы могут
быть закреплены на двух кольцах так, что об-
разуют цилиндрическую поверхность (рис.
4.345). Если рассматриваемую форму стянуть
посередине кольцевым тросом, то получим по-
верхность, состоящую из двух участков кони-
ческой поверхности (рис. 4.346). Дальнейшее
увеличение числа кольцевых тросов приводит
|
Л
I
4
i
I
I
№
Л
к
л
W
м
U
ц
ж
’V
К
ЭД
«а
ь.«)
*1?
тпь
4
IB'
G"
ta
5ЭД.
Ml
’4 J
t||
-•ci
-ill
-4c
70
к образованию формы катеноида (рис. 4.347).
Поверхности такого типа в каждой точке обла-
дают отрицательным знаком кривизны. Из-
вестно, что между двумя кольцами может быть
натянута минимальная поверхность (см. по-
перечное сечение на рис. 4.348, проходящее
через ось вращения катеноида). Если же уси-
лия в поверхности переменны, то может суще-
ствовать форма, образуемая вращением части
окружности вокруг оси, не проходящей через
линию окружности (рис. 4.342), или же близ-
кие к ней формы, показанные на рис. 4.343 и
4.344. Гиперболоид на рис. 4.349 в отличие от
сетки, показанной на рис. 4.347, образуется
прямолинейными тросами.
Можно различать удлиненные трубообраз-
ные мембраны и сетки (рис. 4.350) и короткие
кольцеобразные (рис. 4.351). Возможно так-
же введение дополнительного отличия в зави-
симости от вида опирания и наличия внутрен-
них опор. Удлиненная мембрана или тросовая
сетка может ограничиваться тросами (рис.
4.352) или жесткими элементами (рис. 4.353).
Круговые или эллиптические внутренние опо-
ры или же концевые опирания (рис. 4.354)
могут воспринимать сжимающие усилия. Ра-
мы, состоящие из прямолинейных элементов,
подвергаются, естественно, изгибу (рис. 4.355),
а гибкие тросы — растяжению (рис. 4.356).
Для мембранных систем с внутренними
распирающими кольцами или рамами харак-
терно стремление в середине пролета между
рамами произвольной формы иметь круглое
поперечное сечение (рис. 4.357) Мембрана,
показанная на рис. 4.358, может служить при-
мером несимметричной формы, жестко анке-
руемой в основании и поддерживаемой в верх-
ней части тросами.
Вытянутые трубообразные мембраны или
тросовые сетки могут образовать целые ре-
шетчатые структуры (рис. 4.359 и 4.360). Та-
кие решетчатые структуры из гибких мембран
пригодны не только в качестве системы трубо-
проводов. Предварительно напряженные, они
воспринимают и внешнее давление. Узел сты-
ка трех трубообразных мембран показан на
рис. 4.361. По линии пересечения стык усили-
вается тремя жесткими дугами полукругло-
го очертания. Составные формы мембран по-
казаны на рис. 4.362 и 4.363.
Мыльная пленка между двумя одинаковы-
ми кольцами образует катеноид (рис. 4.364),
параметры которого зависят от расстояния ме-
жду кольцами. С увеличением этого расстоя-
ния, поперечное сечение катеноида в средней
части стягивается. Расстояние между кольца-
ми не может превышать некоторой определен-
ной величины. В опытах на рис. 4.366 и 4.367
поверхность мыльной кленки оттягивалась
внутрь дополнительным кольцом Такая же
форма может быть получена с помощью стя-
гивающей гибкой нити.
7!
Мембраны и тросовые сетки с внутренними
опорами. Система тросов, соединяющая опор-
ное кольцо с вершиной центрально располо-
женной стойки, образует коническую поверх-
72
ность Конус, образованный тросами, можно
стянуть круговым кольцом (рис. 4.368—4.369),
работающим только на растяжение. Усилия в
радиальных тросах вследствие нагрузки от
кольцевого троса в нижней части системы вы-
ше, чем в верхней. Введение дополнительных
кольцевых тросов позволяет получить конусо-
образную поверхность отрицательной кривиз-
ны (рис. 4.370). Радиальные тросовые сетки
такого вида имеют довольно широкое распро-
странение.
Близкие формы могут быть получены при
использовании тросовой сетки с четырехуголь-
ными ячейками (рис. 4.371). Другие формы
конусообразной сетки с четырехугольными
ячейками образуются путем соединения от-
дельных участков сеток (рис. 4.372 и 4.373).
Тросовая сетка может подпираться в одной
точке даже и в тех случаях, когда она не явля-
ется радиальной. При организации составной
мембранной сетки из нескольких сеток обра-
зующаяся поверхность может иметь острые
грани. Несущие тросы при подходе к опоре
могут образовать некоторый угол или подойти
к опоре по касательной (рис. 4.374 и 4.375).
Тросы, непосредственно подходящие к стойке,
испытывают усилия, большие, чем тросы на
периферийных участках сетки, в связи с чем
их необходимо дополнительно усиливать.
Таким образом в сетках, подпертых в од-
ной точке, не возникает неразрешимой пробле-
мы обеспечения прочности, как это бывает в
мембранах такого типа. В тросовых сетках пе-
риметр непосредственного контакта тросовой
сетки со стойкой может быть как угодно мал
в отличие от мембран, где линия опирания
должна иметь конечную и вполне определен-
ную длину. Трос — линейный несущий эле-
мент, он может воспринимать сосредоточен-
ную силу. Мембрана — двумерная несущая си-
стема. Положим, что мембрана испытывает
определенное усилие. Если тонкую мембрану
из резиновой пленки подпереть в некоторой
точке с помощью стержня, имеющего в верши-
не весьма малую площадь, напряжения в мем-
бране в месте опирания резко возрастут. При
уменьшении периметра опирания мембраны
напряжения в мембране возрастают до беско-
нечности. Отсюда понятно, почему даже самая
прочная мембрана легко протыкается гвоздем.
Мембрана с внутренними опорами нужда-
ется в довольно большой опорной линии в ме-
сте контакта мембраны с подпирающей стой-
кой. Практически такая мягкость опирания
достигается, например, завершением стойки
сферическим элементом (рис. 4.376), частью
оболочки (рис. 4.377) или завершением в виде
конуса (рис. 4.378). Такие конструктивные
мероприятия заменяют точечное опирание ли-
нейным. Мембрана на рис. 4.379 подвешива-
ется в одной точке с помощью расходящегося
пучка тросов и мысов, образованных тросами
на мембране. Усилия, действующие в мембра-
не, передаются на тросы.
Системы с внутренними опорами могут раз-
личаться по виду напряженного состояния
внутренних опор. Опоры в виде арки (рис.
4.380) в основном сжаты, балка, завершающая
внутреннюю стойку, испытывает изгибающее
усилие (рис. 4.381), а трос, к которому подве-
шивается средняя часть мембраны, растянут
Подвеска мембраны, показанная на рис. 4.382,
осуществляется тросом, закрепленным в двух
точках, однако подвеска мембраны может про-
изводиться и с помощью троса, закрепленного
в одной точке. Трос в этом случае образует
непрерывную кривую постоянной кривизны
(рис. 4.383). Примером тросовой сетки с внут-
ренней опорой, использованной в строитель-
ной конструкции, могут служить ранние рабо-
ты В. Г. Шухова, который построил четыре па-
вильона с висячими покрытиями на Нижего-
родской выставке в 1896 г. (рис. 4.384—4.386).
Круглое в плане здание перекрывалось сеткой

73
из прямолинейных тросов, образующих гипер-
болическую поверхность. В других павильонах
уд.' иненного очертания в плане также при-
менялись внутренние опоры и закругленные
завершения сетки ’. Рудольф Тростель в своей
работе «Расчет мембран» рассмотрел случай
поверхности, образованной мыльной пленкой
(рис. 4.387 и 4.388). Мыльная пленка натянута
между двумя кольцами разного размера и об-
разует осесимметричную поверхность в форме
катеноида.
Верхнее кольцо может подниматься только
до определенной высоты, при превышении ко-
1 См послесловие И. Г. Людковского к русскому
переводу книги Фрея Отто «Висячие покрытия». Гос-
стройиздат, 1960. (Прим. ред.).
|
торой мыльная пленка рвется. С увеличением
верхнего кольца возможная высота поверхно-
сти увеличивается, с уменьшением же разме-
ров верхнего кольца высота мембраны умень-
шается и при сведении величины верхнего
кольца к точке становится равной нулю.
В опытах с мыльной пленкой, показанной
на рис. 4.389—4.391, нижняя часть опорного
контура представляет собой прямоугольную
рамку, образованную натянутыми нитями.
Мыльная пленка, натянутая на этой раме, под-
пирается снизу круговым кольцом. Вид сверху |
дан на рис. 4.389, боковые виды показаны на
рис. 4.390—4.391. Наименьшие кривизны по-
верхности наблюдаются вблизи подпирающего
кольца.
В опытах, показанных на рис. 4.392—4.395,
мыльная пленка, натянутая на контур, подоб-
ный описанному выше, подпирается снизу дву- h
мя кольцами. Образуется интересная форма
с отчетливо выраженной пространственной
кривизной. Линии главных кривизн почти сов-
падают с линиями наибольших скатов и го-
ризонталей поверхности.
Дальнейшие опыты над мыльными пленка-
ками показали, что мыльную пленку можно
подвешивать вместо жесткого кольца к замкну-
тым петлям, образованным гибкими нитями.
В этом случае мысы образуют гибкое краевое
опирание мембраны с отверстиями в верхней
части. Если размер мысов не очень мал по
сравнению с размерами самой мембраны, то
можно добиться заметного подъема мембраны.
При числе мысов, равном 6 (рис. 4.396—
4.398), форма каждого отдельного мыса при-
ближенно круглая. Поскольку мембранные
усилия в пленке равны по любому направле-
нию, кривая каждого отдельного мыса должна
являться линией равной кривизны. Если мем-
брана искривлена пространственно, то линия
мыса также представляет собой пространст-
74
венную кривую с постоянным радиусом кри-
визны. Рис. 4.396—4.398 показывают различ-
ные фазы подъема центральной опоры с
шестью гибкими мысами.
Исследовались также формы мыльной
пленки, подпертой центральной стойкой с тре-
мя свисающими фестонами (рис. 4.399—4.402).
В этом случае линии кривых мысов также име-
ют постоянный радиус кривизны.
На рис. 4.403—4.408 в поверхность мембра-
ны вводятся только две замкнутые петли. При
плоском состоянии мембраны эти петли имеют
форму окружности (рис. 4.403); по мере подъ-
ема центральной стойки их форма искажается.
Подъем сопровождается ростом кривизны по-
верхности мыльной пленки и гибких петель. На
рис. 4.406—4.408 показана одна и та же мем-
брана с различных точек зрения.
Бесспорно интересны опыты по подвеске
мыльной мембраны с помощью одной петли
(рис. 4.410—4.411). Геометрическая форма
гибкой петли в данном случае не зависит от
того, является ли мембрана воронкообразной,
т. е. оттянутой вниз, или шатровой, т. е. оття-
нутой вверх. Гибкая петля и в этом случае
образует линию постоянной кривизны. Опыты
над мыльными мембранами, подвешиваемыми
на гибкой петле, имеют важное практическое
значение. Они показывают, что можно весьма
4.386
75
<£>
77
8£
«it
ТО!
ао;
91-
Ч
-rti
111ТП t
I6v
НЕТ
?"
ЮНО
анн
Е
ЛП1
КВН
IE..
iar
190
ода
'!.
(L '
ВУ
10U
аг
JOB
BJ9
1й:
эе
9 ни
Sil’
гы»
простыми способами избежать концентрации
усилий в мембранах с высоко поднятыми или
опущенными точками поверхности.
На рис. 4.413 показана половина развертки
тросовой сетки с квадратными ячейками, име-
ющей в середине сердцевидное отверстие. От-
верстие по краю усиливается тросом. При под-
веске такой сетки через центральный стягива-
ющий трос к стойке сетка образует покрытие,
план которого в горизонталях дается на рис.
4.412. План покрытия и развертка сетки
(рис. 4.413) показаны в одном масштабе. Бо-
ковые виды, полученные с помощью телеобъ-
ектива, приводятся на фотографиях (рис. 4.414,
4.415). Для более четкого определения формы
на модели спроектированы линии фронталей.
Вблизи центрального отверстия наблюдается
наибольшее искажение углов сетки. Посколь-
ку относительная высота этой тросовой сетки
больше, чем в случае сравнимых поверхностей
мыльных пленок (рис. 4.410—4.411), усилия в
сетке непостоянны и имеют большую величину
в верхней части сетки. Поэтому кривая выреза
в средней части сетки не является линией по-
стоянной кривизны.
На рис. 4.409 показан макет немецкого па-
вильона на Всемирной выставке в Монреале
1967 г. (авторы — Гутброд, Отто, Леонгардт,
Кендел, Кис, Медлин).
На рис. 4.416 приведен другой пример ра-
диальной тросовой сетки, «встроенной» в
сетку с одинаковыми ячейками. Другие типы
радиальных тросовых сеток, разработанные
79
при проектировании медицинской академии
в Ульме в 1965 г., показаны на рис. 4.418—
4.420. Тросовая сетка на рис. 4.417 может быть
изготовлена непосредственно на месте строи-
тельства путем подвески радиальных тросов
к стреле крана и закрепления на них кольце-
вых тросов.
Системы с центральными опорами облада-
ют большими возможностями. В рамках усло-
вия, что в каждой точке предварительно на-
пряженная тросовая сетка обладает отрица-
тельной кривизной, могут существовать разно-
образные симметричные и несимметричные
формы тросовых сеток.
Опыты над моделями, проведенные в тече-
ние 1960—1963 гг., включали ряд эксперимен-
тов над мембранами из мыльной пленки, натя-
нутыми между гибкими нитями (рис. 4.423 —
4.432). Мембраны такой формы по-прежнему
сохраняют равенство мембранных усилий.
Усилия в тросах по длине постоянны, посколь- '
ку мыльная пленка не воспринимает сдвига-
ющих усилий. Если мы рассмотрим равновесие
одной из изучаемых поверхностей в целом, то
установим, что равенство усилий в кольцевом
направлении соблюдается, а в радиальном —
нет. Это объясняется тем, что тросы в центре
покрытия располагаются плотнее, чем по краю.
Можно получить почти такую же форму,
если вместо мыльной пленки использовать тя-
желую ткань типа брезента. Кстати, можно
сослаться на так называемые зонтичные шат-
ры, разработанные фирмой Л. Штромайер и
К°, в которых почти прямолинейно натянутые
тросы поддерживают конусообразный шатер.
При сильном натяжении тросов в вершине
конуса тросы сходятся под определенным уг-
лом (рис. 4.423).
Если же тросы напряжены слабее, как на 1
рис. 4.424, то в точке подвески они соприкаса-
ются, а затем расходятся по параболам. Ниже
рассматривается некоторое количество сим-
метричных и несимметричных форм. В несим-
метричных формах отдельные нити имеют раз-
личные кривизны. Нужно учитывать также, что
жесткость нитей в опытах над мыльными плен-
ками сравнительно велика, в особенности
вблизи точки подвеса, где нити сливаются, в
связи с чем форма мембраны в этой области
не является минимальной поверхностью. Мыль-
ная мембрана, натянутая между тремя нитями
(рис. 4.ч34 и 4.435), сходящимися в одной вы-
сокорасположениои точке, является минималь-
ной повер ностью и состоит из шести участков.
Три плоских участка, сходящихся под углом
120° и заполняющих верхние области гибкого
контура, перекрещиваются с тремя нижележа-
щими участками. Минимальная поверхность,
образованная на четырех сходящихся в одной
точке тросах, показана на рис. 4.433.
80
Другие способы опирания шатровых тросо-
вых сеток и мембран на внутренние опоры.
Системы в виде опертых во внутренней обла-
сти тросовых сеток и мембран можно разли-
чать в зависимости от вида сил и усилий, дей-
ствующих в повышенных точках систем. Спо-
соб приложения опорной реакции в большин-
стве случаев не оказывает прямого влияния на
форму мембраны. Самое простое опирание
мембраны может быть осуществлено на сжа-
тую стойку (рис. 4.436). Сетка в этом случае
может быть например радиальной. На рис.
4.437 натяжение сетки воспринимается на-
клонной изгибаемой балкой. Внутренний объ-
ем системы не расчленяется центральной опо-
рой. Мембрана на рис. 4.438 поддерживается
в верхней части системой растянутых тросов.
Система на рис. 4.439 близка к показанной
на рис. 4.436. Сжимающие силы передаются
на два или несколько жестких элементов. Мем-
брана на рис. 4.440 поддерживается системой
изгибаемых элементов, как и в случае, пока-
занном на рис. 4.437. Конструкция на рис.
4.441, включающая несколько вершин, под-
держивается тросовой сеткой, натянутой над
поддерживаемым покрытием.
Мембрана с двумя повышенными точками
может поддерживаться, например, тремя сжа-
тыми стержнями (рис. 4.442). Еще исследова-
ниями 1951 —1953 гг. было установлено, что
для поддержания тросовых сеток пригодны не
только трехшарнирные арочные системы (рис.
4.439), но и арки с большим числом шарни-
ров. Многошарнирные арки удерживаются от
складывания с помощью предварительно на-
пряженной тросовой сетки или мембраны.
Конструкция на рис. 4.443 представляет со-
бой мембрану или тросовую сетку, подвешен-
ную в пяти точках. Усилия, передаваемые
мембраной на поддерживающую конструкцию
в этих точках, воспринимаются решетчатой
балкой и через опорные шарниры передаются
на вертикальные стойки.
Мембраны с внутренними опорами уже
давно применяются при строительстве шатров
и тентов. Показанный на рис. 4.451 круглый в
плане шатер цирка имеет диаметр 52 м. Мем-
брана покрытия подпирается в центре в че-
тырех точках и соединяется со стойками спо-
собом, показанным на рис. 4.438. Эскиз покры-
тия (рис. 4.444) показывает сооружение удли-
ненной формы с двумя рядами повышенных
точек. Покрытие имеет большую пространст-
венную кривизну. Покрытие (рис. 4.445) вы-
полняется в виде радиальной тросовой сетки,
опирающейся в центре на конусообразное рас-
ширение центральной стойки. Конструкции
такого типа могут применяться в качестве
больших оболочек в сельскохозяйственном
строительстве и весьма экономичны. Мембран-
ные здания (рис. 4.446) могут обнимать цент-
ральную мачту в виде плавно расширяющейся
воронки. Форма такого типа разрабатывалась
в 1956 г. для Международной строительной
выставки в Берлине 1957 г., но не была реали-
зована.
В конструкции на рис. 4.448 мембрана под-
держивается в восьми точках восемью наклон-
ными мачтами, располагающимися вне объема
сооружения.
Мембраны, в которых контур опирания на
внутренней опоре не усиливается специально,
как, например, на рис. 4.447, требуют развития
верхней части внутренней опоры в виде грибо-
образной оболочки из металла или из фанеры,
например так, как это показано на рис. 4.450.
6-455
81
В то время как оболочка конструкции на рис.
4.445 и 4.448 анкеруется непосредственно в ос-
новании, в системах на рис. 4.444, 4.446, 4.447
и 4.450 в нижней части мембрана удерживается
растянутым краевым тросом. В конструкцию,
показанную на рис. 4.449, входит распирающее
сжатое кольцо.
Мембраны и тросовые сетки с воронкооб-
разными углублениями. Мембраны с воронко-
образными углублениями в принципе не от-
личаются от мембран в виде островерхих шат-
ров. Разница заключается в том, что при
использовании такой мембраны в качестве по-
крытия необходимо применять внутренний во-
доотвод. Кроме того, в воронкообразных уг-
лублениях может скапливаться снег. Все это в
сумме определяет другую величину и характер
нагрузок на мембраны с воронкообразными
углублениями.
Изучение мембран такого вида было на-
чато автором в 1955 г. Полученные результаты
были использованы при строительстве несколь-
ких сооружений. В мембранах и сетках с во-
ронкообразными углублениями также сущест-
вует много вариантов краевого завершения
покрытия. Опорный контур покрытия на рис.
4.452 образуется жестким кольцом, составлен-
ным из прямолинейных элементов. Углубление
мембраны, через которое производится водо-
отвод, наклонно отнесено в сторону. На рис.
4.453 показана симметричная форма мембра-
ны, ограниченной по верхнему краю тросами,
которые закрепляются в семи опорных точках.
Плоская по краям мембрана, показанная на
рис. 4.454, опирается на изгибно жесткое коль-
цо, работающее преимущественно на сжатие.
Поперечное сечение мембраны (рис. 4.455)
показывает, что водоотвод может осуществ-
ляться не только вертикально вниз, но и на-
клонно в сторону. Сама конструкция водоотво-
да может выступать также в качестве оттяжки.
В конструкции павильона на швейцарской вы-
ставке в Лозанне Штромайером было исполь-
зовано тентовое покрытие с внутренним водо-
отводом, опирающееся на квадратные дере-
вянные рамы (рис. 4.464). Для водоотвода
служат пожарные шланги, а для восприятия
растягивающего усилия — четыре троса. В во-
ронке имеются отверстия для очистки. Более
детальное описание конструкции и поперечный
разрез через узел воронки приводятся в рабо-
те К- Роланда ’.
Внешний контур мембраны с воронкооб-
разными углублениями не обязательно должен
лежать в одной плоскости. Линия опорного
контура мембраны на рис. 4.456 пространствен-
но искривлена. Мембрана на рис. 4.457 огра-
ничивается с помощью краевого троса, не ле-
жащего в одной плоскости.
К- Roland. Frei Otto-Spannwelten. Ein Werk-
stattbericht. Ullstein, Berlin—Frankfurt a. M—Wien, 1966.
82
Укажем также на возможность объедине-
ния двух воронкообразных углублений с по-
мощью рукава (рис. 4.458). Мебрана с двумя
воронкообразными углублениями может быть
натянута на жесткой раме (рис. 4.459). Рас-
тягивающие усилия в элементе внутреннего
водоотвода и сжимающие усилия в стойке ра-
мы частично компенсируются при использо-
вании указанной конструктивной схемы.
В качестве примера сетчатой конструкции
с воронкообразным углублением приведем не-
гативную фотографию паутины (рис. 4.460).
Пазки часто тку г свои сети в виде сеток с во-
ронкообразными углублениями. На правой
части рис. 4.460 видно, что в нижней части во-
ронкообразного углубления в сети имеется от-
верстие, которое по своему характеру очень
близко к проемам в мембране, показанным на
рис. 4.465—472. Паучьи сети можно рассмат-
ривать как технические конструкции, они спо-
собны воспринимать значительные нагрузки.
Минимальные поверхности в форме мем-
бран с воронкообразными углублениями. Се-
рия опытов, показанная на рис. 4.465—4.472,
была проведена автором в 1963 г. Мыльная
пленка, плоско натянутая на квадратной раме,
оттягивалась вниз петлей из очень тонкой и
гибкой нити (рис. 4.465 и 4.466). При плоском
состоянии мембраны петля образовывала ок-
ружность (рис. 4.468). Это служит экспери-
ментальным доказательством того, что поверх-
ностное натяжение в жидкостной пленке по
всем направлениям постоянно. На остальных
снимках показана форма мембраны при при-
ложении к петле растягивающего усилия. При
сильном натяжении нити края петли в месте
прикрепления нити соприкасаются (рис. 4.467
и 4.468). Дальнейшее увеличение натяжения
уменьшает размеры петли, уменьшается также
область мембраны, испытывающая деформа-
ции (рис. 4.469 и 4.470). Боковой вид на де-
формированную мембрану показан на рис.
4.471 и 4.472.
Мембраны и тросовые сетки, включающие
в себя островерхие участки и воронкообразные
углубления. Ранее были рассмотрены раздель-
но тросовые сетки и мембраны—-шатровые и
с воронкообразными углублениями. Перейдем
к рассмотрению систем, включающих в себя
те и другие формы поверхности.
Мембраны и тросовые сетки с островерхи-
ми участками и воронкообразными углубле-
ниями удобны для создания перекрытий боль-
шей ширины и протяженности. Формы поверх-
ности, образованные такими мембранами,
могут быть симметричными и несимметричны-
ми. Гибкие внутренние оттяжки или подпира-
ющие стойки деформируют поверхность мем-
браны и придают ей двоякую кривизну. В по-
крытиях рассматриваемого типа кривизна по-
верхности может иметь любой знак. Исходная
поверхность покрытия, показанного на
6*
83
рис. 4.473, плоская. Внутренние оттяжки и
подпирающие стойки деформируют поверх-
ность покрытия так, что образуются участки,
являющиеся зеркальным отражением друг
друга. Наружный контур покрытия плоский и
образован прямолинейными элементами. Уси-
лия в мембране на участках с воронкообраз-
ными углублениями равны усилиям на участ-
ках с подпирающими стойками. Разделяющие
линии отдельных участков лежат в средней
плоскости покрытия и образуют в плане квад-
ратную решетку.
Такие мембраны характеризуются отрица-
тельной кривизной по всей поверхности, за
исключением линии перехода, где мембрана
образует теоретически бесконечно малые плос-
кие участки. Каждый из участков подобен
соседнему. Это позволяет организовать серий-
ное производство элементов покрытия и соби-
рать из них покрытие большой площади, про-
извольных очертаний в плане.
Отдельные участки покрытия на рис. 4.474
ограничивают по контуру тросами. Покрытие
такого типа также можно собирать из серий-
ных элементов, но число различных элементов
увеличивается, поскольку кроме заполнения
самих участков (рис. 4.475) необходимо так-
же заполнение просветов между участками
(рис. 4.476). Применение покрытий с разде-
лением на треугольные или шестиугольные
в плане участки сталкивается с затруднения-
ми: при такой форме недостижимо плотное
соприкосновение отдельных участков поверх-
ности.
На рис. 4.477 показан разрез через покры-
тие с островерхими участками и воронкооб-
разными углублениями с квадратной в плане
решеткой. Сечение проходит через высоко-
и низкорасположенные точки, т. е. ориентиро-
вано диагонально по отношению к решетке
плана. Такое сечение мембраны на участке от
высокорасположенной до низкорасположенной
точки имеет S-образную форму. В крайних
областях покрытия, прилежащих к островер-
хим участкам или воронкообразным углубле-
ниям, форма поверхности приближается к ко-
нической.
На рис. 4.477 показаны различные конст-
руктивные решения подпирания островерхих
участков покрытия. Возможно применение
одинарной вертикальной стойки. Мембрана
может опираться также на раму из двух
стержней, располагающихся внутри объема
мембраны. Y-образную раму можно приме-
нять также для поддержания высоких точек
покрытия, причем сама рама располагается
вне объема покрытия. Наконец, вершину шат-
ра можно подвешивать к системе тросов, ко-
торые в свою очередь опираются на вертикаль-
ные стойки, проходящие через покрытие.
Число островерхих участков не обяза-
тельно должно равняться числу воронкооб-
разных углублений. Мембрана, показанная на
рис. 4.478 в поперечном сечении, натягивается
таким ооразом, что одной высокорасположен-
ной точке соответствуют два воронкообразных
углубления. Оттяжка мембраны книзу осуще-
ствляется непосредственно в районе стойки.
Исходная поверхность мембраны с остро-
верхими участками и воронкообразными
углублениями может быть произвольной
(рис. 4.479). Рассматриваемый метод напря-
84
жения мембран позволяет достичь огромного
разнообразия форм. На рис. 4.480 показана
мембрана с одним островерхим участком
и тремя углублениями, опирающаяся по внеш-
нему контуру на жесткое кольцо.
В опыте, показанном на рис. 4.481, перво-
начально плоская мыльная пленка, натянутая
на прямоугольном контуре, была в левой части
подперта круглым кольцом, а в правой части
оттянута таким же кольцом. При строгой ко-
сосимметричности форма минимальной по-
верхности на левом участке идентична форме
поверхности на правом.
На рис. 4.484 показана модель покрытия
большого размера, выполняемая из тросовой
сетки с одинаковыми ячейками. Вблизи точек
опирания в тросовой сетке сделаны сердцевид-
ные вырезы. В рассматриваемой модели отвер-
стия в тросовой сетке располагаются во всем
покрытии одинаково по отношению к положе-
нию подпирающей стойки или оттягивающего
троса. Расположение горизонталей в поверх-
ности этого покрытия приведено на рис. 4.482.
Отдельные участки поверхности образуют ром-
бическую решетку.
В качестве примера возведенной конструк-
ции с мембранным покрытием, включающим
в себя островерхие участки и углубления, на-
зовем навес над оркестром, построенный по
проекту автора во время Международной
строительной выставки 1957 г. в Берлине
(рис. 4.483). Мембрана покрытия содержит
один островерхий участок и четыре воронкооб-
разных углубления.
Подушкообразные конструкции. Под по-
душкообразными конструкциями мы понимаем
здесь такие конструктивные формы, в которых
мембрана или тросовая сетка ограничивает
некоторый приплюснутый замкнутый объем.
Наиболее четкое выражение такие конструк-
ции имеют в случае применения пневматиче-
ского напряжения (линзообразные пневмати-
ческие конструкции). Однако подушкообраз-
ные формы возможны и при механическом
напряжении мембран или тросовых сеток.
Здесь также наблюдается неисчерпаемое бо-
гатство конструктивных форм и приемов.
Простейшая форма подушкообразных кон-
струкций возникает, когда две параллельные
мембраны, закрепленные на круглом опорном
контуре, распираются изнутри (рис. 4.485).
При этом внутренняя распорка и наружное
кольцо должны быть изгибно жесткими и спо-
собными воспринимать сжимающие усилия.
Мембрана же испытывает двухосное растяже-
ние. Эта конструкция образует внутренне
уравновешенную систему и не передает усилий
на основание. Она может устанавливаться
в любом положении (вертикальном, наклон-
ном, горизонтальном), а форма ее не зависит
от способов анкерования. Анкерования такой
конструкции могут быть различными. Наибо-
лее просто линзообразные конструкции за-
крепляются на вертикальные стойки, проходя-
85
щие через центр линзы (рис. 4.485). При этом
стойка выполняет одновременно роль распор-
ки. Возможна подвеска линзы по внешнему
контуру (рис. 4.488) или опирание внешнего
контура на стойки (рис. 4.490). Линзообразная
конструкция может быть подвешена за верх-
нюю точку мембраны и растянута путем при-
ложения усилий к нижней точке (рис. 4.489).
Чем более плоской была исходная форма
мембран, закрепленных на кольце, тем меньше
\гол а в месте крепления мембраны к наруж-
ному кольцу (рис. 4.486) и тем меньше стаби-
лизирующее действие мембраны или тросовой
сетки в отношении потери устойчивости опор-
ного кольца. Наружное опорное кольцо склон-
но к потере устойчивости, в результате кото-
рой оно приобретает форму, показанную на
рис. 4.487. Стабилизирующее действие мем-
бран или тросовых сеток зависит от величины
предварительного напряжения и упругих
свойств применяемых материалов.
Опорный контур подушкообразных систем
на рис. 4.485—4.489 работает на сжатие,
а в системе на рис. 4.490 — на изгиб. Линзооб-
разные конструкции на рис. 4.491 ограничены
по внешнему контуру растянутыми тросами,
закрепляемыми на концах перекрестной си-
стемы сжатых балок, расположенных внутри
объема линзы.
Под подушкообразными конструкциями
подразумеваются не только системы, распер-
тые в центре и имеющие там большую толщи-
ну, но и конструкции, имеющие в средней час-
ти толщину, меньшую, чем по краям. Если на
две жесткие рамы натянуть две мембраны, от-
стоящие друг от друга на некотором расстоя-
нии, и стянуть их между собой (рис. 4,492),
образуется пространственная форма, обладаю-
щая высокой жесткостью. На рис. 4.493 пока-
заны мембраны, стянутые в нескольких точках.
Возможны комбинации описанных конст-
руктивных приемов, а именно: подушкообраз-
ные конструкции могут содержать расширяе-
мые и стягиваемые элементы. В системе на
рис. 4.494 две мембраны, опирающиеся на два
наружных кольца, по некоторой средней ли-
нии стягиваются, а в центре расширяются (см.
также поперечный разрез этой конструкции на
рис. 4.499). Аналогичная система показана на
рис. 4.495. В периферийной замкнутой области
мембраны создается разрежение, а в цент-
ральной замкнутой области — избыточное дав-
ление. В результате этого система приобретает
предварительное напряжение и жесткость.
На рис. 4.496—4.508 показаны поперечные
сечения основных типов подушкообразных кон-
струкций. Рис. 4.497 дает поперечное сечение
систем, приведенных ранее на рис. 4.488, 4.490
и 4.491. На рис. 4.496 показана аналогичная
форма, однако более сильно развитая по вы-
соте. В поперечном сечении (рис. 4.498) рас-
пираемые тросовые сетки или мембраны пере-
секают друг друга, образуя две замкнутые
полости. Дальнейшее развитие этой формы по-
казано на рис. 4.499. Рис. 4.500 и 4.501 дают
поперечные сечения систем, стянутых в центре.
Эти поперечные сечения относятся к конструк-
циям, показанным ранее на рис. 4.494, 4.493.
На рис. 4.501 мембрана стягивается в центре
с помощью троса.
Число распирающих стержней может быть
увеличено до такого количества (рис. 4.502
и 4.503), что их действие становится подобным
действию внутреннего избыточного давления
(рис. 4.506). Конструкции такого типа основа-
тельно разработаны Ле Риколье и Цетлиным.
На рис. 4.504 показана подушкообразная
конструкция со стяжками и распорками. На
поперечном сечении (рис. 4.507) средние лин-
зообразные области распираются стержнями,
а правые области стягиваются тросами. На
рис. 4.505, 4.506 и 4.508 показаны линзообраз-
86
ные пневматичес ие конструкции. Мембраны
могут напрягаться внутренним избыточным
( + ) пли отрицательным (—) давлением. По-
душкообразные конструкции с квадратным,
прямоугольным или шестиугольным планом
могут стыковаться между собой.
Для выставки в Касселе в 1955 г. автор
разработал проект перекрытия в виде трех
подушкообразных конструкций типа, показан-
ного на рис. 4.485. Наружное сжатое кольцо
выполнялось из дерева, а мембраны — из про-
свечивающей синтетической ткани с пластмас-
совым покрытием. В последние годы конструк-
циями такого типа особенно интенсивно зани-
мался Ле Риколье. Был разработан целый ряд
проектов и предложений, из которых мы здесь
упомянем только три наиболее характерных
примера. В их число входит проект выставоч-
ного павильона в Чикаго с перекрываемым
квадратным планом 180X180 м. Проект был
выполнен Богнером и Моором в 1960 г. По-
душкообразная конструкция состоит из двух
тросовых сеток, распираемых жесткими стерж-
нями и подвешенных по краю к несущим тро-
сам (рис. 4.509). Павильон США на Брюссель-
ской выставке 1958 г. представлял собой
линзообразную конструкцию из двух систем
радиальных тросов, закрепленных на опорном
кольце диаметром 116 м. Роль центральной
распорки в конструкции выполнял жесткий
барабан, расположенный в центре покрытия.
Тросы верхнего пояса были связаны с тросами
нижнего пояса легконапряженными тросами.
Покрытие образовывалось светопрозрачными
пластмассовыми панелями. Рис. 4.510 дает
представление о легкости конструкции.
В 1959 г. инж. Цетлиным совместно с архи-
текторами Героном и Зельтцером был постро-
ен зал для собраний муниципалитета г. Утика.
Здание, круглое в плане, имеет диаметр 80 м,
наружное опорное кольцо выполняется из же-
лезобетона, несущая конструкция типа «вело-
сипедное колесо» образована двумя системами
тросов, связанными во многих точках распор-
ками (рис. 4.511).
Раздел II
РАСЧЕТ ВАНТ, ВАНТОВЫХ СЕТОК, ВАНТОВЫХ ФЕРМ
1. ОТДЕЛЬНЫЕ ВАНТЫ
1.1. ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1.1.1. Обозначения
Для расчета идеально гибкой нити, лишен-
ной изгибной жесткости, применим неподвиж-
ную, правую, ортогональную систему коорди-
нат, и обозначим ее единичные векторы через
ех, и е2 (рис. 1.1). Форма этой нити может
поначалу быть описана как произвольная
пространственная кривая: r(t) = x(t) ev +
+ y(t)ev-]-z(t)ez, где t (скалярная) перемен-
ная. При растянутых вантах, как это практи-
чески почти исключительно и бывает, удобно
одну из координат, например х, использовать
в качестве независимой переменной. Допу-
стим, что радиус-вектор
г (х) = х ех + у (х) + z (х) ег =
= [x,r/(x), z(x)', (1.1)
однозначен и минимум дважды дифферен-
цируем.
В общем виде производные по х, напри-
мер, от г, запишутся так:
4" = С = {1, у', z'].
ах
Предполагается, что г' во всей области ко-
нечно.
При дополнительной нагрузке, при темпе-
ратурном изменении или в результате смеще-
ния точек подвеса ванты, последняя принима-
ет положение, отличное от исходного. Если
обозначить через
w = {и(х), и(х), ш(х)) (1.2)
вектор перемещения, положительные состав-
ляющие которого имеют направления х, у и г,
новая форма ванты запишется так:
? = г + ©= {х,'у, z)={x+u, z/+&, z+w}, (1.3а)
тогда получим:
р = г' + w’ = {1 + и', у', z'} =
= ; 1 + и', у' + v', z + ш'] ; (1.36)
Р'= г"+ = i'u", z"| =
= и", у" + v", z" + w"\. (1 .Зв)
Таким образом, всякий раз следует различать
два состояния. Из практических соображений
за первое состояние г(х) принимают криволи-
нейное очертание ванты от собственного веса
или от постоянной нагрузки g. Соответствую-
щие усилия в ванте имеют индекс g. Как пра-
вило, исходное состояние является одновре-
менно и состоянием, в котором выполняется
монтаж.
Любому другому случаю нагрузки (на-
пример, q=g-\-p) отвечает форма ванты г(х);
соответствующие усилия имеют индекс q.
Далее, обозначим через S(x) усилие в ван-
те, а через </(х) —интенсивность внешней по-
гонной нагрузки, направленной по оси х:
q (*) = q (*) er + qy (x) ey -J- qz (x) ег =
= \qx, qy, qz (Ma)
Общая нагрузка согласно принятому обозна-
чению
q = g + ~P (1.46)
слагается из постоянной и переменной на-
грузки.
1.1.2. Условия равновесия
Если учесть, как это обычно делается,
только первые члены при разложении в ряд
Тейлора S(x+rfx), условия равновесия на вы-
деленном отрезке ванты запишутся следую-
щим образом (рис. 1.1):
+ <7 (х) = 0. (].5а)
ах
Условие, что ванта не может воспринимать
изгибающих моментов, дает
Р S, = О,
88
или в другой форме
(1-56)
|г I
Здесь S равно по величине 5 (растяжение
положительно). Легко убедиться, что вектор
нагрузки q лежит в плоскости касательной к
кривой данной ванты. Если положить g вме-
сто q и г вместо г, полученные условия дейст-
вительны и для исходного состояния. Для вы-
вода уравнений составляющих сначала вво-
дят составляющую S в направлении х; неза-
висимо от фактического положения х назовем
ее распором и обозначим через Н\
Я(х) = 5(х)ех=^Рех;
|Г I
учитывая, что г'ед. = 1 + и' и что и' 1,
имеем:
Н = ~ или5=Дг'. (1.6)
И
Если выписать скалярные произведения вы-
ражения (1.5а) соответственно на единичные
векторы ех, еу и ez, с учетом (1.56) и (1.6), по-
лучаются три условия:
H’ + q =0;
<7 “ х ’
Ич у" + qy—qx у’=°;
Hqz" + qz- qxz'=0.
(1.7а,б,в)
Для дальнейших выкладок сделаем допу-
щение, что постоянная нагрузка исходного со-
стояния (собственный вес ванты) действует
только в одном направлении (вертикально,
вниз). Если принять это направление за ось z,
а плоскость — проходящей через обе точки
подвеса ванты, формулы \ прощаются, так как
г = !х, 0, г|
и
g = [0, 0, §!;
в результате получим:
Д’ ’ + р =- 0;
q 1 г х
H<iv" + py- Pxv’=Q;
Hqz + qz—pxz —0.
(1.8a,б,в)
В случае плоской ванты v = py = 0 сравне-
ние (1.86) отпадает.
Для исходного состояния р = 0 из (1.8а) и
(1.8в) вытекает Нg = 0, следовательно Д^ =
= const и
Hgz''(x)+g(x) = (\ (1.8г)
Если рх=0, получается также //9 = const;
тогда легко выполнить интегрирование Тем
самым для этого особого случая получается
очень наглядная форма условий равновесия.
1.2
Примем за начало координат левую точку под-
веса ванты и будем отсчитывать вертикаль-
ный провес d от прямой, соединяющей точки
подвеса. С учетом обозначений рис. 1.2 имеем:
, h
tg« =
d — z — X tgcc;
d — z— xtga.
После коротких выкладок на
(1.8) следует:
Hqv_(x)=My(x\, ]
Hqd{x) = Mz (х). I
(1.9а,б,в)
основании
(1.10а,б)
Здесь Mv(x) и Л1-(х)—изгибающие мо-
менты в простой балке пролета / от действия
поперечной нагрузки
У у W = Ру (х) или qz (х) = g (х) + pz (х).
89
Индексы при 7И обозначают не направления
(векторов) моментов, а соответствующие со-
ставляющие нагрузки. Если задана точка на
ванте или распор Н, то тем самым определена
форма ванты.
В то время как распоры можно склады-
вать:
Hg = Hg + Hp, (1.11)
такое положение неправильно для усилий
в ванте. Для исходного состояния, согласно
(1.6), имеем
4=^: (1.12а)
после приложения дополнительной нагруз-
ки р соответственно получим
Я9 = Д (1.126)
|Г I
Если принять, как для Нд, также Sg = Sg +
+ SP, то путем вычитания приведенных выше
выражений получим
rj _Sp ___Sg |г | 'г I
р ~ И 1^1' и
Второй член выражает то, что усилие Sg
при перемещении ванты меняет направление
Последняя дробь, как известно, выражает
удлинение е [см. уравнение (1.13)], так что
при одинаковом порядке величин 5g и Sp вто-
рой член уравнения является ничтожно ма-
лым относительно первого, так как е1. По-
этому с достаточной степенью точности мож-
но пользоваться простым выражением
Яр=^. (1.12в)
г |
Тут следует напомнить, что при перемещении
точки Д, принадлежащей ванте, в R она пе-
ремещается и в направлении х. Ввиду того,
что прилагаемые к ванте нагрузки, как пра-
вило, участвуют в тех же перемещениях, мо-
менты, выраженные формулами (1.10), не яв-
ляются больше независимыми от деформаций.
Однако в рамках данного раздела мы исклю-
чим смещения точек подвеса. В этом случае
и при достаточно пологих вантах перемеще-
ния и настолько малы относительно пролета,
что с совершенно достаточной точностью мож-
но принять: нагрузка в точке х равна нагруз-
ке в точке х Тогда можно определять момен-
ты по формулам (1.10), не зная окончатель-
ной формы ванты.
1.1.3. Условия, налагаемые упругостью
Под действием дополнительной нагрузки
и температурных изменении первоначальная
90
длина элемента ванты ds = | г' |dх изменяется
до величины ds=|r'|dx. Относительное удли-
нение, таким образом, равняется
е —
(1-13)
Если ввести (1.1) и (1.36) и разложить
встречающиеся корни в ряды, из которых в
числителе можно учитывать члены только до
второго порядка, в результате коротких пре-
образований получим
= и' +y'v' + г' w’ t/2 + w’2 (! 14)
1+у'2 + 2'2 ^2(Ц-^ + г'Т’
Как правило, второе выражение значитель-
но меньше первого и им можно пренебречь.
В литературе встречается выражение для е
несколько отличное от (1-14):
е =----------- и Ч- у v 4-z w 4-
1 +/2 + г'2 ( 1 у 1
+ ^- (^ + ^ + ^-)|. (1.15)
Для вывода последней формулы длину де-
формированного элемента ванты представ-
ляют в виде суммы:
d s = |г , dx = ds + Ads.
Отсюда следует:
ds2 = ds2 4- 2ds Ads -f- (Ads)2 = 11 + y'2 4-
+ г'2 + 2 (и' + у' v' + z' w’) 4- u'2 + v'2-j-w'2] dx2,
вычтя квадрат первоначальной длины имеем
2dsAds + (Ads)2 = l2 (и' -j- у' v' -j- z' w') -J-
+ и'2 4- v'2 + c£)'2] dx2. (1.16)
Если пренебречь величиной Ads, приняв ее ни-
чтожно малой относительно 2ds, получаем 8 =
Ads „ ,
= в той форме, в которой она представ-
лена в (1.15).
Несмотря на то что эта формула для даль-
нейших выводов более удобна, чем (1.14), нет
никакого основания для пренебрежения вы-
ражением (Ads)2, которое в натянутых нитях
является величиной того же порядка, как
(z/dx)2 в правой части. Если бы было бо-
ds
лее точно определено из квадратного уравне-
ния (1.16), мы пришли бы к форме (1.14).
Для одномерного напряженного состоя-
ния нити для упрощения допускается гипоте-
за о линеинои зависимости между напряже-
ниями и удлинениями (закон Гука). Если
ванта представляет собой канат из прядей или
спирально свитых проволок, фактический
модуль упругости всего сечения зависит от
степени загрузки; однако в нашем случае
можно сначала не учитывать вытяжку ванты
если все удлинения измеряются исходя из од-
ного и того же состояния, при котором ванта
уже загружена собственным весом g или на-
ходится под действием описанного ниже пред-
варительного натяжения. Тогда можно для
удлинений, вызванных изменением усилий в
ванте, в пределах рассматриваемого напря-
женного состояния принять постоянный мо-
дуль упругости Е:
е = 1д+'е- (1.17)
Здесь Е обозначает модуль упругости, a F —
сечение ванты;
= (1.18)
обозначает удлинение вследствие приращения
температуры на А/ при линейном коэффици-
енте температурного расширения at.
Комбинируя (1.14) и (1.17), имеем:
Sp = ГГД------------- + У'v' + ~ +
1 + У 2 -г z “
FF t
l- —------—-----------(у'2 + ay'2) — EF'e.
2(1 + /2 + z'2)2 7
Для практических расчетов пренебрегаем
вторым выражением. Если еще пренебречь в
(1.12в) дополнительным углом наклона и при-
нять |г'| = |г'|, то получим для распора:
FF
HD =--------------гг (и' + у v + z аК)
р (1 +</'= + z'2)/= v J ’
Для ванты, которая в исходном положении
находится в плоскости х—z, это выражение
упрощается, так как у~у' = 0:
Я, ------(«' + z' ау')-----------£-,,- 'е. (1.20)
р (1 + г'2) v (1 + г'2)Л ’
1.1.4. Длины вант
Длину ванты, как известно, можно опреде-
лить путем интегрирования длины дуги ds.
В исходном состоянии имеем:
Lg ~ j ds — j [r'| dx = J । 1 Д-1/'2 + z'2dx (1.21a)
и соответственно при нагрузке q (пренебрегая
и' относительно 1):
Lq - J d s = J |r'| dx =
= J / 1 + y'2+z'2 dx. (1.216)
Для ванты, которая в исходном положе-
нии находится в плоскости х—-z, в приведен-
ных выражениях следует подставить у' = 0 и
z// = y'.
Удлинение А£ определится как разность
этих выражений. С другой стороны, \L может
быть выражено через усилие с применени-
ем (1.17) и (1.12в)
A£=£I? —££= + =
= \^dx+ \‘Eds. (1.22)
Если H, E, F и 'e по всей длине ванты по-
стоянны, выражение упрощается:
A£ = ^r'2dv + 'E£?. (1.23)
Наконец, если для монтажа может пред-
ставлять интерес длина совершенно ненапря-
женной ванты, эту длину с достаточной точно-
стью можно принять равной:
= (1.24)
Если же требуется более точно учесть вы-
тяжку ванты, а также сравнительно большие
удлинения при малых напряжениях, необхо-
димо ввести фактический модуль упругости Е,
который может зависеть от усилия в ванте, т. е.
также от х.
1.2. НЕРАСТЯЖИМАЯ НИТЬ
Согласно тому, что изложено в предыду-
щем параграфе, все деформации измеряются
от исходного состояния; таким образом, пер-
вой задачей должно явиться определение фор-
мы ванты и усилий Н или S, отвечающих это-
му состоянию.
Для нитей, на которые действует только
вертикальная нагрузка, имеются графические
построения (веревочный многоугольник), на
которых мы здесь не будем останавливаться.
Содержание последующих двух параграфов
предполагается также известным. Они приво-
дятся в сжатой форме, только в целях полно-
ты изложения.
Если провес нити не очень мал относитель-
но ее пролета и если распределение нагруз-
ки р не очень отличается от распределения
постоянной нагрузки g, то для некоторых
практических задач можно вообще прене-
бречь удлинением вследствие р и его влияни-
ем на форму ванты и на усилия в ванте, и, сле-
довательно, производить расчет на случай
действия нагрузки q, считая ванту нерастя-
жимой.
91
1.2.1, Постоянная вертикальная нагрузка
Если q~ = g = const, из (1.8г) получаем для
линии ванты уравнение квадратной параболы:
г = -^-(х2 + С1х + С2). (1.25)
Постоянные С[ и С2 могут легко быть опре-
делены подстановкой координат начала и кон-
ца ванты (хг, 0, zr) и (хг, 0, Zi), где хт—Xi =
= 1>0. Неизвестный еще распор определяют
либо задаваясь заранее третьей точкой, либо
исходя из длины ванты.
Пользуясь обозначениями рис. 1.2, отсчи-
тывая от замыкающей величину провисания,
имеем для нее следующее выражение:
d = 5g-(fe-^) = 4/(v-4l- П-26)
g \ I I
В середине пролета стрела провеса дости-
гает максимального значения f, а отсюда, как
известно, определяется распор
(1-27)
который может также быть получен из (1.106).
Точное значение длины нити дадим только
для особого случая а = 0.
При отношении стрелы к пролету
п = (!-28)
имеем
£=—(}• 1 ф- 16 п- + — arsh Ап (1.29)
2 ' 4/1 '
Более проста приближенная формула для
достаточно пологих нитей, пригодная и в слу-
чае разных отметок крепления их концов:
L~z(l +_|_П2+J_tg2a). (1.30)
1.2.2. Нагрузка от собственного веса
Вдоль кривой, описываемой нитью, нагруз-
ка go = const, а на единицу проекции х g(x) =
= goV 1 + z'2.
Для нити, лежащей в плоскости х—z, из
(1.8г) следует:
/7fiZ" + g0| Т+Т^ = 0.
Общее решение этого уравнения (цепная
ливня):
z = — ch £(л+С1) + С (1.31)
g '
(здесь, как и ниже, мы отбрасываем под-
строчный индекс при g). Если С| = С-> = 0, на-
Hg
чало расположено на величину —ь ниже вер-
g
шины кривой, по которой провисает нить Во-
обще же постоянные определяются из коорди-
нат точек подвеса. Распор опять же
определяется третьей точкой или из длины
нити
Lg = ch (x + CJdx.
(1-32}
Расчет сводится к трансцендентным урав-
нениям.
Приведем вкратце результаты для положе-
ния системы координат, показанного на
рис. 1.2. В этом случае
Cj = — — — ^ arth —
2 g L„
= ch ^-Сь
g "s
(1.33a,6}
Если концы ванты закреплены на одном
уровне, т. е. если /г = 0, получается
(1.34}
где f — максимальный провес.
Когда известна длина ванты, распор опре-
деляется, независимо от системы координат,
из уравнений:
ch^= i+^LlL-;_^ (i.35a)
И5 2H2g &
И
sh SL = eL 1 Ls~h (1 35б)
2Hg 2Hg ’ Z2
проще всего методом итераций. Этот расчет
приведен в соответствующей литературе, на-
пример у Хейлига, который учитывает также
упругие горизонтальные смещения точек под-
веса ванты.
Если ограничиться двумя членами разло-
жения функции ch, получается приближен-
ное значение, приемлемое при малых отноше-
ниях п провеса к пролету [1]:
(1.36)
что совпадает с (1.27). Однако при отношении
/7/ = н = 0,3 определяемое таким путем Нё по-
лучится примерно на 10% меньше точного
значения, так что эту формулу можно рекомен-
довать только при пологих вантах.
Если примерно /г^0,2, можно принимать,
что формой ванты от собственного веса яв-
ляется парабола. С формулами параграфа
1.2.1 получатся в этом случае практически те
же результаты, как с уравнениями цепной
линии.
92
1.2.3. Произвольная нагрузка при qx=0
Как и до сих пор, Н — const. Лучше всего
исходить из выражений (1.10а) и (1.106) и на-
чать с определения моментов Му и Mz на за-
меняющей балке от заданной нагрузки. Если
опять для формы кривой, по которой идет
ванта, известен провес в определенном месте,
то определение Н не вызывает никакого труда.
Соответствующая длина ванты определяется,
как правило, из (1.21). Если же ввести по-
перечные силы заменяющей балки1:
то с учетом (1.96) получим:
s' =% + tga (138а)
п
и, соответственно (ввиду того, что §^ = 0):
У'= У'= ~ (1.386)
п
Таким образом, длина ванты может также
определиться из уравнения

(1.39)
В этом случае, когда заранее задан не про-
вес, а длина ванты, следует задаться величи-
ной Н и тем самым временно установить фор-
му ванты. Если при определении значений
(1.21) или (1.39) получатся отклонения от за-
данных величин, следует повторить расчет с
другим значением Н.
Ограничимся здесь лишь указанием на
возможность представить нагрузку и ордина-
ты ванты в виде рядов Фурье.
1.2.4. Произвольная нагрузка при qx=}=0
В этом случае Н зависит от х, так что мы
не можем больше пользоваться интеграль-
ными уравнениями равновесия (1-10). Со-
гласно (1.4а) следует допустить, что точки
приложения грузов заданы только их коорди-
натами х и лежат на еще не известной линии
ванты. В сущности, не оговаривая этого особо,
мы сделали то же допущение и в предыдущем
параграфе; однако в данном случае, при на-
личии горизонтальных нагрузок, это обстоя-
тельство представляет большее значение.
Для решения поставленной задачи снача-
ла определяют из уравнения (1.8а) величину
распора с точностью до постоянного значения
1 В отношении индексов — см. примечание к уравне-
нию (1.10).
До- Последним следует задаться и, если нуж-
но, ввести его еще раз с поправкой
Н(х) = До— \Pxdx U-40)
о
Для вычисления формы ванты сложат
уравнения (1.86) и (1.8в), в которых, однако,
ординаты ванты входят еще только в виде пер-
вых производных. Как правило, нагрузка рх
значительно меньше, чем ру, и особенно мень-
ше, чем qz, так что в (1.86) можно принять
некоторое среднее значение v' или вообще пре-
небречь членом, в который он входит множи-
телем. Чтобы не задаваться в уравнении (1.8в)
значением z', почти всегда бывает достаточ
ным вместо него ввести величину tg а.
Путем интегрирования (в случае необхо-
димости— численного) определяют затем из
(1.86) и (1.8в) v и г; длина ванты опять опре-
деляется с помощью формул (1.21). При за-
данной заранее L следует повторять весь рас-
чет с разными значениями До до получения
соответствия.
При наличии вертикальных и горизонталь-
ных сосредоточенных нагрузок Штюсси [2]
сначала определяет, как указано выше (в дан-
ном случае постоянный только на каждом от-
резке), распор с точностью до До. Из условия
равновесия для веревочного многоугольника
он составляет вместо (1.8в) для каждой точ-
ки приложения груза уравнение в конечных
разностях. Для решения получаемой системы
трехчленных линейных уравнений Штюсси
предлагает элегантный способ, согласно кото-
рому краевая задача преобразуется в задачу
с начальными условиями.
1.2.5. Постоянная нагрузка и произвольная
дополнительная нагрузка
В принципе нет разницы между условиями
равновесия (1.8) и (1.10) для случаев нагруз-
ки g, т. е. постоянной нагрузки и q, суммарной
нагрузки, куда относят и температурные изме-
нения.
Приведенные в предыдущих параграфах
формулы имеют, следовательно, общее зна-
чение; меняются только индексы q и g и орди-
наты г или г.
Таким образом, сначала следует рассмат-
ривать случай g (с соответствующим Hg), за-
тем отдельно все возможные сочетания вре-
менных нагрузок р, однако (поскольку прин-
цип наложения недействителен) всегда в со-
четании с g, учитывая, если нужно, и темпе-
ратурные изменения; каждому такому соче-
танию соответствует свой Hq.
93
Если распор Н или усилие S на конце ваг
ты заранее заданы по величине, как резуль-
тат действия противовеса, то определение фор-
мы ванты с помощью (1.10) или в более об-
щем виде (1.8) не представляет никакого за-
труднения.
Однако, как правило, концы вант непо-
движно закреплены Для определения Hq
приходится исходить из данных о длине ван-
ты. Поскольку было сделано допущение, что
ванту можно считать неупругой, должно быть
соблюдено (при Д = const) условие
£, = ^(1+Д). (1.41)
Для определения Lg и Lq опять служат
уравнения (1.21) и (1.39). Часто ничего не
остается, кроме итерации, с различными зна-
чениями Н. Разницы ординат ванты сразу да-
ют изменение провеса от дополнительной на-
грузки и температурных изменений.
Можно получить уравнение, содержащее в
явной форме Н, если имеются только верти-
кальные нагрузки, т. е. если qx = qy = O. Для
этого будем исходить из линейной части урав-
нения (1.14), имеющей в данном случае вид
В соответствии с допущением о нерастя-
жимости ванты, согласно (1.17), имеем:
е =
что дает сначала дифференциальную зависи-
мость для перемещений
и' = — z'w' + (1 + z'2) ze.
Интегрируем, а затем учитываем то, что
пролет 1=Хг—Xi после приложения дополни-
тельной нагрузки остается без изменения.
Это позволяет определить длину ванты:
\ и dx =— 1 z'w'dx-\- ( (1 + z'2) fsdx = 0.
4 xt (1-43)
Имеется возможность вычисления послед-
него интеграла; при *»=const получается
длина
хг
Lt= J (l + z'2)dr. (1.44)
xi
Средний интеграл в (1.43) может быть пре-
образован с использованием соотношения
хг хг
j z'w'dx = |z'x’l xxr— z’aidx (1-45)
xi xi
при этом, ввид\ несмещаемости концов ван-
ты, выражение в квадратных скобках обра-
щается в нуль. С другой стороны, из (1.106)
с учетом (1.9в) и (1.3а) следует
ш = (1.46)
тогда как г" известно из (1.8г).
После небольших преобразований из (1.43)
получаем уравнение
j gMzgdx-\- 'eLt
xi
\gMzqdx = 0, (1 17)
/7g J
xi
откуда можно определить Hq. Этот способ
для вертикальных, а впрочем и любых нагру-
зок обладает тем преимуществом, что с его
помощью, без интегрирования, по заданным
нагрузкам, непосредственно определяется пра-
вильное значение распора.
С помощью (1.106) может затем быть опре-
делена и форма ванты.
1.3. УПРУГ\я нить
1.3.1. Общие положения
Для более точного определения усилий и
деформаций ванты следует учитывать также
се упругие удлинения; это особенно важно
при небольших стрелах провеса, так как в
этом случае допущение о нерастяжпмости
ванты может привести к неточным результа-
там. Как правило, если учитывать упругое
удлинение нити, величина провеса становится
большей, а величина распора соответственно
меньшей.
Статически определимый случай, когда Н
(или S) определяется величиной противовеса
(пли когда по крайней мере один конец ван-
ты может в достаточной мере перемещаться
по неподвижной опоре), не представляет
в этом случае интереса.
Вводимое для решения данной задачи ус-
ловие упругости должно либо выражать не-
смещаемость (пли смещение на определенную
величину) концов ванты, либо то, что от до-
полнительной нагрузки длина ванты увели-
чится на величину, отвечающую удлинению.
В соответствии с этим обычно способы рас-
чета делятся на две группы. Для особо поло-
гих предварительно напряженных вант, какие
применяются в «стальных напряженных кров-
лях», формулы могут быть значительно упро-
щены. Этот случай будет рассмотрен в пара-
графе 1.3.4.
94
1.3.2. Длина ванты, как дополнительное
условие
Длина Lq ванты, на которую действуют на-
грузки g п р, а также температурные измене-
ния, определяется в общем случае с помощью
(1.216) или (при //=const) с помощью (1.39).
Выпишем еще раз эти формулы:
хг ____________
Lq = | 1 + v 2 -f- z'2 dr; (1.48а)
vz
xi ‘ (1.486)
В то время как во втором уравнении непо-
средственно участвуют усилия Q и Н, в пер-
вом сначала еще из условий равновесия долж-
ны быть определены ординаты ванты. Допу-
стим сначала, что в обоих случаях величина
окончательного распора должна быть из-
вестна.
Условие, которому должна отвечать длина
ванты, выражается так, что приращение L
должно равняться температурному удлине-
нию и упругому удлинению от Нр.
Следовательно, согласно (1.22), в общем
случае должно быть соблюдено условие
~ “Ь ~ Lg-V
+ f (1 + z'2) dx + С ‘sdx, (1.49а)
J EF ।
или, в частном случае, если qx=0, EF —cons
и 4 = const:
L9 = L„.(l + /e)+С(1+2'2)Дг. (1.496)
Из приведенной формы условий интегри-
рования видно, что таким путем нельзя опре-
делить в явной форме Н. Мы вынуждены,
следовательно, прибегнуть к итерации.
Кроме нагрузки в каждом случае извест-
ны распор Нё и длина Lg ванты, плоской в ис-
ходном состоянии, согласно принятым допу-
щениям. Сначала задаются значением =
= Hg+Hp\[ с его помощью, исходя из ординат
ванты, посредством формулы (1.48а) опреде-
ляют ее длину /Д1’.
Определяя длину ванты с помощью (1.49а),
с введением той же принятой величины
получают, как правило, значение О) Lq, отлич-
ное от Lq1} . Расчет должен быть повторен с раз-
личными значениями И до тех пор, пока
(1.49) не будет тождественно удовлетворено,
иными словами пока не будет удовлетворено
равенство Lqn) = <л) Lq.
Если заранее задаться величиной Но, со-
гласно (1.40), данный способ может быть
применен и при горизонтальной нагрузке qx-
Если, наконец, // = const, можно вместо
(1.49а) применить и (1.496). Расчет в этом
случае может быть еще несколько упрощен:
посредством (1.496) из /Доопределяют новое
значение (г)Нр.
Отсюда следует:

что является лучшим приближением, чем Н^\
В качестве критерия правильности опреде-
ления величины распора служит удовлетворе-
ние условия //рП) =^НР. Однако и такой путь
решения достаточно трудоемок, так как при-
ходится несколько раз повторять весь расчет
сначала. В следующем параграфе мы рассмот-
рим значительно более изящный способ, поз-
воляющий непосредственно находить искомые
величины.
1.3.3. Величина пролета,
как дополнительное условие
Если на ванту действуют только вертикаль-
ные нагрузки, то можно (как в параграфе
1.2.5) составить уравнение, которое позволя-
ет определить распор непосредственно из на-
грузки. В качестве критерия правильности
значения Н в этом случае служит не длина
ванты, а удовлетворение условия ^u'dx — Q с
помощью уравнений перемещений.
Сперва выпишем уравнение (1.20) в не-
сколько иной форме:
и' = —z'w’4- (1 4- z'2)3/’4- (1 4- г'2) 4.
EF
Проинтегрируем это уравнение в пределах
пролета /, допуская при этом, что гв и жест-
кость ванты EF постоянны:
Кг Хг Хг
' u'dx = 1 z'wrdx-\- [(14- z'2)'/2dx 4-
xi xi xi
Первый интеграл в правой части вновь сле-
дует преобразовать согласно (1.45); оба
остальных интеграла для краткости обозна-
чим:
95
Ls = /(1+/2)J/2^; (1.50a)
xi
Lt= | (1 -j-z'2)dx. (1.506)
xi
Таким образом, при неподвижных концах
ванты получаем:
- f2'Wx + ^Ls + ^ = 0.
xi
Если ввести (1.8г) и (1.46), окончательно
имеем:
М-^ + яЛ-4 [gMzgdx~
EF [ H~g J
xi
-Hg^- + Wt]~~\gMzqdx = ^ (1.51)
хзг J rig J
xl
Это и есть уравнение, позволяющее опре-
делить Hq [3].
В случае большой жесткости ванты на рас-
тяжение, т. е. если EF -> оо, как и следовало
ожидать, (1.51) переходит в (1.47).
Штюсси исходит из уравнения (1.15) и
при дальнейших расчетах учитывает весьма
приближенно квадратичные члены. Таким пу-
тем он приходит к кубическому определяю-
щему уравнению относительно Н. Пренебре-
гая влиянием упомянутых квадратичных чле-
нов, он приходит к уравнению, идентичному
(1.51). При часто встречающемся частном
случае постоянных нагрузок можно легко вы-
числить интегралы в (1.51). Если обозначить
стрелу ванты от постоянной нагрузки через
г =
s 8^g
и n = fs/l, получим:
+ Hq\— Г — /7,-^+ feLt —
4 EF q g EF
=o.
(1.52)
Величины, определяемые уравнениями
(1.50), в этом случае равны:
Lt^l (1 + 4n2 + fg2a) (1.53а)
и приближенно
1+8”2 + ^«. (1.536)
cos а
Другой способ был предложен Хейлигом
(см. параграф 1.2.2). Исходя из состояния
равновесия нерастяжимой ванты (загружен-
ной нагрузкой q), он выводит два совместных
дифференциальных уравнения перемещений,
общее решение которых известно. Искомые
усилия в ванте получаются из граничных ус-
ловий.
1.3.4. Предварительно напряженная ванта
под действием постоянной
вертикальной нагрузки
В целях избежания значительных прове-
сов ванты подвергают предварительному на-
тяжению; особенно этот прием применяется,
когда ванта является несущим элементом
легких плоских кровель. Благодаря небольшо-
му углу наклона ванты получаются значи-
тельные упрощения в расчете, так как можно
принять, что H=S и определять длину ванты
с помощью (1.30). Ниже будет рассмотрен
только случай ванты, концы которой лежат
на одном уровне, т. е. когда а = 0.
В отличие от предыдущего, за исходное со-
стояние принимаем невесомую, прямую ванту,
на которую действует предварительное натя- (
жение Но. В данном случае нет принципи-
альной разницы между воздействиями нагру-
зок g и q. Поэтому в качестве вертикальной,
равномерно распределенной нагрузки в даль-
нейшем будем рассматривать только на-
грузку р.
Общее горизонтальное натяжение склады-
вается из предварительного натяжения и воз-
действия внешней нагрузки:
Н = НО + НР. (1.54)
Как и раньше, к Нр относится и влияние
температурных изменений. й
Из условия равновесия следует1:
Н = Н0 + Нр=р— = ^-. (1.55)
° р 8f 8п 47
Формула (1.30) дает, исходя из длины С|
параболы, следующее удлинение: ц
AL = —п21,
3
где п = -у-; принимая во внимание (1.22), мож- ।
но также написать:
AL = I (Лг _|_ .
. EF )
Исключив AL, получаем следующее значе-
ние Нр:
1 Заметим, что при р=0 получается Н=Н0.
96
Hr = EF (J-n2 — 'ej. (1.56)
Уравнения (1.55) и (1.56) являются ос-
новными уравнениями туго натянутой ванты,
из которых могут быть выведены все осталь-
ные соотношения. Если исключить п, то из
уравнения
№-H-(H0-EF'e)-p^-EF^() (1.57)
24
можно определить суммарное натяжение. Это
уравнение можно, однако, решить по форму-
ле Кардана после приведения его к нормаль-
ном}’ виду. Поэтому проще сначала опреде-
лить п из уравнения
И3 + п
8 ' EF
11
после чего И и Нр сразу определяются из
(1.55).
Уравнение имеет только один веществен-
ный корень, который можно легко найти пу-
тем попыток с помощью счетной линейки.
Максимальный провес получается при са-
мом большом р и нагреве, а максимальное
усилие имеет место при самом большом р и
охлаждении.
В конструкциях, подверженных воздейст-
вию ветра, следует проверить собственную ча-
стоту. Колеблющаяся конструкция, обладаю-
щая массой р (вес ванты + покрытие), отне-
сенной к погонной единице пролета, обладает,
как известно, максимальным периодом коле-
бания
(1-59)
который, согласно опытным данным, не дол-
жен превышать примерно трех секунд. Этого
обстоятельства иногда уже бывает достаточ-
но, чтобы при проектировании предусмотреть
значительное предварительное натяжение.
1.4. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.4.1. Выбор оптимальной стрелы
Допустим, что имеется симметричная ван-
та без предварительного напряжения; собст-
венный вес ее равен g = yF, кроме того, имеет-
ся нагрузка р на погонную длину ванты, на-
пример от покрытия кровли. Зададимся во-
просом: какой, независимо от местных
условий, будет оптимальная величина стрелы?
Сначала уточним вопрос и исследуем чисто
теоретически, как велико должно быть п, что-
бы сечение ванты или ее объем сводились к
минимуму.
Как результат исследования мы можем по-
лучить большую величину провеса, поэтому не
следует принимать форму ванты за параболу
и мы должны вернуться к цепной линии. При-
мем обозначение
k=-^~. (1.60)
и
Для определения кривизны в вершине ис-
пользуем формулы параграфа 1.2.2:
г=-----— ch/гх; (1.61а)
k
z" = —kchkx, (1.616)
если считать, что начало координат располо-
жено на величину-^- ниже вершины. Следую-
щая формула дает зависимость п от пара-
метра k:
"44К4 (1’62)
усилие в ванте S находим согласно (1.6):
S (х) = Я/Г+7-2 = Hchkx,
это усилие достигает максимального значения
, I
при ± —:
S = Hch — = —ch — . (1.63)
2 k 2
Длина ванты определяется из (1.32):
о
L= — sh —. (1.64)
k 2
Заметим, что заданной является не сум-
марная нагрузка q, а только часть ее р, так
как собственный вес ванты зависит от ее тре-
буемого сечения:
q = yF—р. (1-65)
Наконец заметим еще, что допускаемое
напряжение в ванте о ограничивает макси-
мальное усилие в ванте на
З.чакс = Одоп F- (1-66)
Для определения стрелы, при которой се-
чение ванты является минимальным, допу-
стим, что g и q имеют одинаковое влияние
на S, т. е. что обеим нагрузкам отвечает то же
значение п. Используя (1.63) и приравняв ну-
лю первую производную, получим:
— =0 = — -^-ch— + —sh —.
dk k° 2 2k 2
Отсюда вытекает условие
И ,, kl .
— th — = 1.
2 2
7—455
97
Решение:
^-= 1,1997^1,2; (1.67а)
поэтому отношение стрелы к пролету
Л = П1 = 0,338. (1.676)
£
На рис. 1.3 безразмерные величины —и
ql
Я
— нанесены как функции п.
ql
В связи с этим мы можем исследовать и
другую задачу: как велика относительно соб-
ственного веса может быть нагрузка р, чтобы
ванта могла ее выдержать? Для этого следует
разделить суммарную нагрузку на две состав-
ные части и для получения безразмерной
функции ввести для краткости длину
j. __ °доп
У
(1.68)
Для высокопрочной стали эта длина со-
ставляет примерно 10 км. После коротких
промежуточных
формула:
расчетов получается
точная
P
g
2г 2 kl
—— — ch —
I kl 2
2 kl
— ch----
kl 2
(1.69а)
При —>25 эту формулу
заменить приближенной:
kl
всегда
МОЖНО
g I
2
, kl
ch —
2
(1.696)
kl | kl
На рис. 1.3 изображена функция— ch —
в зависимости от отношения стрелы к про-
лету. (
Как видно из графика, имеется определен-
ное сечение ванты, которое при установленном
выше значении щ = 0,338 может нести макси-
мальную нагрузку, причем даже при /=100 м
в 137 раз превосходящую собственный вес. Та-
кие результаты даже и приблизительно не мо-
гут быть достигнуты другими конструкциями,
например балками или фермами. Поэтому
ванты в отношении использования материа-
ла (в статическом отношении) могут рассмат-
риваться как идеальные несущие конструкции.
Решение той же задачи относительно объе-
ма ванты при заданной полезной нагрузке
приводит к интересному выводу, что в этом
случае оптимальное значение не совпадает с
Г.3
(1.67). При точном расчете получается, что
г
результат зависит от--, т. е- от свойств ма-
териала и от пролета. Опыт проведенного ис-
следования показал, что собственный вес ван-
ты составляет лишь ничтожную часть суммар-
ной нагрузки, по которой и следует
производить расчет. Согласно (1.63) и (1.64)
объем ванты равен
V = SL = ^-shft/.
k-
Дифференцируя по k, находим
— = 0= — ^-shkl+ -^-chkl
dk k3 k3
или
— th& = 0,5.
kl
Отсюда следует
1,915, (1.70a)
или с учетом (1-62)
A = n2 = 0,258. (1.706)
Это значение меньше, чем по формулам
(1.67); изменение безразмерной функции
ql2
в зависимости от п изображено на рис. 1.3.
Одного приведенного теоретического ис-
следования, разумеется, недостаточно для на-
хождения при проектировании решения, тре-
бующего минимальных денежных затрат. Ха-
рактер кривых на рис. 1.3 указывает на то,
что если выбрать большее п, его влияние бу-
дет меньшим, чем если оно будет принято
98
слишком малым. С другой стороны, сопостав-
ление (1-67) с (1.70) показывает, что для эко-
номии материала лучше выбирать малое зна-
чение п. Правда, распор от этого увеличивает-
ся, но следует также учитывать, что при бо-
лее полого протянутых вантах застроенный
(и отапливаемый) объем уменьшается и что
также уменьшаются длины вант (а тем са-
мым и площадь кровли). Наконец следует
помнить, что в этом случае, при одной и той
же высоте помещения, уменьшается высота
часто дорогостоящих конструкций, в которые
анкерятся ванты.
1.4.2. Максимальный пролет
В заключение главы об отдельных ванта.х
рассмотрим еще задачу, каков теоретически
максимальный пролет ванты.
Для этого можно воспользоваться (1.63)
и ввести значения (1.65) и (1.66):
a.F = lF + p ch
k 2
после небольших преобразований, с учетом
значения —, полученного в (1.67а), макси-
мальный пролет получается равным
/макс = 1,3255 г. (1.71)
9
Пользуясь приведенным выше значением
г= 10 км, имеем
/макс = 13,255 — км,
я
однако и провес в этом случае составит f =
= 4,48 -^-клк
я
Для оценки материала и конструкции осо-
бенно показателен теоретически могущий
быть достигнутым пролет, при котором конст-
рукция еще может нести собственный вес.
Если принять для г без всяких коэффици-
ентов запаса прочности значение «длины раз-
рыва»
Я =4’ (1-72)
о
т. е. ту длину, при которой вертикально вися-
щий стержень или нить оборвались бы, и g = q,
то получилось бы
/макс = 1,32552?.
Высокопрочная стальная ванта с напря-
жением на разрыв pz = 22 т]см2 обладает «дли-
ной разрыва» в 28 км. Теоретически она бы,
следовательно, могла перекрыть пролет,
равный
/макс.макс 37,2 КМ.
2. ВАНТОВЫЕ СЕТКИ, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ В ПЛАНЕ
2.1. ВВЕДЕНИЕ
Среди вантовых сеток особо важное место
занимают сетки, обладающие ортогональной
формой в плане, изображенные на рис. 2.2—
2.6. Они имеют четкое строение и допускают
простые средства выверки при монтаже.
До загружения сетки оба семейства вант
лежат соответственно в вертикальных, парал-
лельных между собой плоскостях, т. е. вдоль
линий координат, если поверхность сетки да-
на в ортогональной координатной системе.
Как показали теоретические исследования
и испытания на моделях, несущая способность
ортогональных сеток мало чем отличается от
несущей способности других пологих сеток;
благодаря этому к ортогональным сеткам с
достаточной точностью могут быть применены
выводимые ниже формулы.
Это, например, относится к сеткам с по-
стоянной ячейкой, у которых постоянным яв-
ляется расстояние между узлами (измеряемое
по поверхности сетки) и у которых ванты со-
впадают с линиями главных кривизн.
В узловых точках ванты скрепляются меж-
ду собой, например, хомутиками, чтобы вос-
препятствовать их взаимному смещению и
вынудить семейства вант нести совместно за-
данную нагрузку.
Несмотря на сходство в архитектурном от-
ношении между конструкциями из вантовых
сеток и мембранными оболочками, в статиче-
ском отношении их следует четко разграни-
чить. Для несущей способности вантовой сет-
ки характерно то, что ее ячейки обладают ни-
чтожно малым сопротивлением сдвигу. Вслед-
ствие этого нельзя отразить игру сил в
вантовой сетке с четырехугольной ячейкой,
пользуясь безмоментной теорией оболочек.
Плетеные сетки обладают тоже малой проч-
ностью на сдвиг и работают почти исключи-
тельно в направлениях нитей. В общем они
относятся статически к регулярным вантовым
сеткам, однако в данном случае нет возмож-
ности установить границу с мембраной.
7*
99
Иначе обстоит, например, в висячих по-
крытиях с кровлей из монолитного бетона или
из сборных элементов с последующим обжа-
тием. Такие системы обладают жесткостью
на сдвиг (по крайней мере в отношении по-
движной нагрузки). Поэтому к ним правиль-
нее применять известные формулы безмомент-
ной теории.
Вантовые сетки с треугольной ячейкой об-
ладают тоже жесткостью на сдвиг, но только
пока все ванты натянуты. К таким сеткам
может быть применен трудоемкий общий ме-
тод последовательных приближений, однако
безмоментная теория оболочек дает вполне
приемлемое приближение; в соответствии с
условиями равновесия и деформации усилия
в оболочке разлагаются на направления трех
семейств вант.
Эта глава основывается на более ранних
работах автора [4], а также Роллера и Сива
[5—7], которые тоже исследовали ортогональ-
ные вантовые сетки. В то время как Эрас и
Эльце [8] разработали общий численный ме-
тод расчета сеток любой формы, многие дру-
гие авторы ограничились рассмотрением орто-
гональных вантовых сеток с параболическими
вантами под действием вертикальной равно-
мерно распределенной нагрузки. Непрерыв-
ность деформаций обоих семейств вант со-
блюдается обычно лишь для середины сетки.
Описанный ниже метод исходит из геомет-
рических условий вантовой сетки, поверхность
которой рассматривается как континуум. К са-
мой сетке предъявчяется лишь требование,
чтобы она имела регулярную структуру; окай-
мляющая кривая может быть выбрана произ-
вольно, в зависимости от конструктивных со-
ображений. Расчет может быть выполнен для
произвольно распределенных нагрузок, темпе-
ратурных удлинений и перемещении концов
ванты.
Ванты могут быть также расположены
с переменным шагом и быть различного сече-
ния, быть напряжены натяжными пружинами.
Если учесть, что напряжения в вантах под-
даются гораздо более точному расчету, чем в
других конструкциях, рамах, фермах и т. д.,
для которых допускаются существенно упро-
щающие гипотезы (например, что они пред-
ставляют систему тонких стержней), то впол-
не оправдано и для вантовых конструкций
принять некоторые упрощения.
Таким образом, особенно благодаря вве-
дению понятия «нулевой поверхности», уда-
лось построить относительно простои и на-
глядный способ расчета, который может быть
применен к любой! конструктивно возможной
системе рассматриваемого типа.
2.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ВАНТОВОЙ СЕТКИ
2.2.1. Обозначения и геометрические основы
В основу расчета принята неподвижная
правая система координат х, у, z с ортогональ-
ными единичными векторами ex, еу, е2
(рис. 2.1).
Сетка, состоящая из растянутых элемен-
тов, рассматривается как континуум, так что
мы будем иметь дело с геометрической поверх-
ностью.
Исходной, или нулевой поверхностью ван-
товой сетки будем считать такую поверхность,
которая бы установилась, при отсутствии
внешних нагрузок (в том числе и собственно-
го веса), только под действием предваритель-
ного напряжения. Благодаря этому мы не
должны вводить в расчет те удлинения и гра-
ничные перемещения, которые возникают при
предварительном напряжении вант. Если ван-
товая сетка не подвергается предварительно-
му напряжению, нулевая поверхность опреде
ляется из условия, что ванты лишены напря-
жений и что между узлами они идут прямоли-
нейно.
Ну-левая поверхность определяется ради у
сом-вектором
г = хех + yey-]-z (х, у) е, или
г = {>•, t/,z(x-,!/)J. (2.1)
При этом предполагается, что г однозначно и
по крайней мере дважды дифференцируемо.
Для краткости частные производные обозна-
чим следующим образом:
100
dr , dr
— ; r — =
dx dy
r'= (1,0,2'}
f' = {0,0,2"}
Г = (0, 1,2'};
Г" [0,0,2").
(2.2)
Введем еще обозначения для коэффициентов
первой основной квадратичной формы по-
верхности (гауссовых параметров основной
метрической формы):
(2-3)
gn = г 2 1 + г'2;
gis = г' Г = 2'2’;
= г2 = 1 + Г2.
Тогда единичные векторы касательных и нор-
малей к поверхности запишутся так:
г' е1 = г = V gu —Lr '1,0,2'}; 1 gn
г е2 = = 1 g22 е3 = Cj,e2 = -+=(0, 1.2-1; I g22 ~(г' г) = Vg (2.4)
=-+- 1 g -z'—z', 1).
Здесь g — дискриминант первой ной формы: квадратич-
gr = (/-'r)s = g11g2,— g°-2 =
= 1+2'2 + 2-2> 1. (2.5)
Приведем, наконец, еще одну величину, кото-
рая будет также встречаться при расчете эле-
мента поверхности:
d0 = | g dxdy.
(2.6)
Гауссова кривизна К= (z"z”—z'’2)g~2 может
быть любой, однако не может в пределе сетки
менять знак. Если /<>0, поверхность имеет
эллиптическую кривизну. Предварительное
напряжение сетки невозможно (см. параграф
2.3). Ниже дан вывод для чаще всего встреча-
ющегося случая предварительно напряжен-
ных сеток гиперболической кривизны, однако
большая часть выводов распространяется и
на сетки без предварительного напряжения
(см. параграф 2.5).
В случае цилиндрической поверхности в
любой точке /(=0. Такая поверхность, как из-
вестно, может быть развернута и ввиду ее сла-
бой жесткости не применяется для чисто ван-
товых сеток.
Если это не будет оговорено особо, все
встречающиеся функции зависят от х и у. Ин-
дексы z, у и 2 обозначают векторы или скаляр-
ные функции, отнесенные к исходной системе
координат, а индексы 1, 2, 3 обозначают вели-
чины, относящиеся к системе еь е2, ез.
Под действием на сетку внешней нагрузки,
изменения температуры пли перемещения
крайних точек образуется в общем случае по-
верхность г, отличная от поверхности г. Каж-
дой точке исходной поверхности отвечает точ-
ка деформированной поверхности:
г = г +®, (2.7)
при этом, как и в (1.2)
w = [и (х, у, V (л-, у), w (Л-, у)} (2.8)
представляет собой вектор перемещений точки
R (рис. 2.1).
Геометрические величины деформирован-
ной поверхности обозначим штрихом:
2 = 2 + ®;
Г = {х + U, Z/ + П, 2 + ®} ,’
г' = I 1 + и', v', z' + ®'}
г = {«', 1 + V, г + ®'1; (2.9)
г" = \и, v", z' + w"\ Г" = [«”, У", Z" + ®"};
STii = (1 + ы )2 + v 2 + (г' + ®7)2; /о ]лх
_ (2.1U)
£23 = ш2 + (1 + г)2+(2- +®-)2; .
е1 ~ ---- Г' = “ТГ (1 v', Z' + w'}',
I gll I gll
e2 = —-— r = —!- {u’, 1 + v, 2#+ ®-1.
g?2 gi2
Следует обратить внимание, что при таком
обозначении перемещений расстояние дефор-
мированной поверхности от точки (х0, у0, 0),
лежащей в плоскости х — у, не может быть
просто обозначено через z(x0, у0), а более точ-
но: 2 -— az' — vz’ (все функции относятся к точ-
ке Хо, у о) •
2.2.2. Условия равновесия
В противоположность другим формам ван-
товых сеток ортогональные сетки состоят из
двух семейств вант, в исходном состоянии со-
ответственно параллельных друг другу и ле-
жащих в вертикальных плоскостях.
В плане (в плоскости х—у) сетка проекти-
руется как ортогональная. Сами ванты прохо-
дят по параметрическим линиям г(х, у0), или
г(х0, у) поверхности; условимся, что несущие
ванты натянуты в направлении х.
101
На практике встречаются почти исключи-
тельно пологие сетки, у которых ванты мало
провисают (обычно не более f/Z—1/8). Это об-
стоятельство позволяет значительно упростить
расчеты: в наклонных, но слабо искривленных
поверхностях мы будем считать плоскость
х — у системы координат не горизонтальной, а
равноделящей угла наклона касательной соот-
ветствующих сечений. Для упрощения такая
поверхность будет отождествляться с плоско-
стью основания.
Если мы хотим прийти к однозначному ре-
шению, необходимо рассматривать равновесие
на деформированной схеме системы. При этом
удобнее всего отнести все силы, нагрузки, ха-
рактеристики поперечного сечения к единич-
ной площади горизонтальной проекции. Эле-
мент вантовой сетки, ограниченный dx и dy,
изображен на рис. 2.1, причем вверху — в ис-
ходном положении, внизу — в перемещенном
и деформированном состоянии, с действующи-
ми на него силами.
Согласно допущению, ванты идеально гиб-
ки, в них отсутствуют моменты, поэтому в век-
торной записи:
Srdy = S1dye1-,
S2dx — S2dxe2,
(2.12)
где Si = | Sj | hS2=|S2|—силы на погонную
единицу ширины в плане.
Допустим, что внешняя нагрузка задана в
виде
Р (х, У) = {рх Iх, у), Ру (х, у), pz (х, у)} (2.13)
и что опа также отнесена к единице площади
горизонтальной проекции. Строго говоря, в не-
которых случаях (например, при ветровой на-
грузке) р зависит и от деформаций поверхно-
сти. Однако при рассмотрении нагрузок мож-
но считать, что деформации конструкции ма-
лы. Особенно элементы поверхности покрытия
dO и dO, а также векторы нормалей е3 и е3 до
и после деформации будут отличаться на бес-
конечно малую величину более высокого по-
рядка. Поэтому мы можем с полным основани-
ем нагрузку в точке R на деформированной
вантовой сетке принять равной нагрузке в точ-
ке R на исходной поверхности.
Когда же мы выражаем условия равнове-
сия, мы не можем больше не учитывать дефор-
маций. Векторная сумма всех сил, приложен-
ных к элементу, видна из рис. 2.1, причем от
Si и S2 нас интересует только приращение:
— (Si dy) dx+ (S2 dx) dy -f- p dx dy = 0.
dx dy
Члены более высокого порядка разложения
Si и S2 в ряд Тейлора, как и при расчете обо-
лочек по теории упругости, не учитываются.
После деления на dx dy получаем общее урав-
нение равновесия на вырезанном элементе
ванты, в векторной записи:
s;+s; + p = o, (2.14)
которое с учетом (2.12) и (2.11) переходит в
уравнение
+ Р — 0-
(2.14а)
Это уравнение отличается от уравнения
безмоментной оболочки не только тем, что оно
относится к деформированной конструкции,
но еще и тем, что в нем отсутствует член со
сдвигающим усилием Si2.
Таким образом, рассматриваемая задача
не может быть решена на основе безмомент-
ной теории и вообще теории, основанной на
рассмотрении недеформированной схемы. Для
составления уравнений компонент служат три
различных некомпланарных вектора е. Из
практических соображений воспользуемся ех,
еу и е2. Ввиду того что е' = е‘ =0, уравнение
(2.14а) может еще быть записано в следую-
щем виде:
S2 - V , - А
г е J + р е = 0.
1 £'22 /
С учетом (2.9) и (2.13) отсюда следует:
^= (1 + 0
• gn
-1 £22
'+-|=7 (1 + V)
I £22
+ р, = 0; (2.156)
1 £и
Если компоненты р не заданы параллель-
но осям координат и на единицу площади в
плане, как это было принято выше, а в виде
Р — Pi <?i + р2 е2 + р3 е3 (2.13а)
в направлениях касательных и нормалей к по-
верхности и если они при этом отнесены к еди-
нице поверхности сетки, имеются простые фор-
мулы для преобразования:
Рх
(2.16а)
102
Ру= V — Р2~ Z- р3; (2.166)
' g22
Рг = ?' V -- Pl + 2- V р.2 + р3 (2.16в)
У £11 Г gzs
НЛП
Pz = Рх (Р1, Рз) + 2- (р2, р3) + ёРз- (2.1 6Г)
Для упрощения уравнений (2.15), в кото-
рых неизвестные усилия в вантах (от g-=#g)
еще не связаны с неизвестными деформация-
ми, следует ввести компоненты Н от S как го-
ризонтальные распоры. Малость дифференци-
алов деформаций позволяет и здесь пренеб-
речь и' и о" относительно единицы:
^x = S1ex = ^=7(l + «')^-^, (2.17а)
1 gn I gn
[см. уравнение (1.6)] и соответственно
Hy = S2ey=^-(i +tr)~ Цэг- (2.176)
1 g22 I g22
Как уже было сказано в параграфе 2.2.1,
все деформации измеряют исходя из нулевого
состояния, поскольку ванты уже загружены
предварительным напряжением. Таким обра-
зом, согласно формуле
s S0 + Sp (2.18а
усилия в вантах складываются из двух уси-
лий, из которых первое относится только к
предварительному^ напряжению, а второе вы-
зывается внешней нагрузкой, температурны-
ми колебаниями и изменением граничных ус-
ловий (деформация бортовых элементов). Как
было доказано в параграфе 1.1.2, можно сво-
бодно пренебречь тем обстоятельством, что
усилия в вантах So при деформации слегка
меняют направление. Тогда к горизонтальным
распорам, как и к усилиям в вантах, применим
принцип линейного наложения, и можно с до-
статочной точностью получить следующие
простые соотношения:
Н = Н0 + Нр-, (2.186)
rr Mo -$10 .
' g11 ’ gn (2.19а)
и $1р —„ Мр
ХР Г-=— -----
V £11 I £11
и соответственно для
другого направления:
^уо
^УР
S20 S20
I £22 £22
S2p
I £22 I £22
(2.196)
Условия равновесия (2.15) принимают при
введении (2 17) наглядный вид:
Н'х+[Нуи-у +рх = 0; (2.20а)
+ + (2.206)
[Ях(г w )]' 4- [Ну (z‘ 4- аг)] ’ + Pz = 0. (2.20в)
Горизонтальные силы еще должны быть раз-
ложены на Но и Нр.
Мы имеем три дифференциальных уравне-
ния и пять неизвестных функций: Нх, Ну, и, v
и w. Все эти функции зависят от х и у. Для
решения необходимо еще наличие двух урав-
нений, а именно уравнений, устанавливающих
связь между горизонтальными силами и де-
формациями.
2.2.3. Соотношения упругости
(2.21а)
у даст:
(2.216)
Можно воспользоваться параграфом 1.1.3
для выражения удлинения ванты как функции
перемещений.
Учитывая, что z/'=0, в нашем случае уд-
линение выразится так:
_ и’ 4- г' w' , v'3 + w'2 ^u' + z'w'.
е- ~ 1+z's +1(1+z'2)2 ~ gll ’
аналогичный расчет для направления
V + Z‘W’ , tr2 + w2 ~ V'-(-Z‘W
Е о - "Т" л
14-Z'2 2(1 +z-2)2 g22
Для дальнейших выводов пренебрежем
вторыми членами правой части относительно
первых. Ради полноты изложения приведем
без вывода формулу для изменения угла на-
клона поверхности сетки.
Приращение ft угла между направлениями
ei и е2 может быть приближенно определено
с помощью формулы
— (ш 4- v' 4- У w ф- z’ w'). (2.21 в)
Эта величина не нужна для статического
расчета, однако ей приходится пользоваться
наряду сев целях проверки, может ли покры-
тие кровли, и в первую очередь гидроизоля-
ция, выдержать без повреждения удлинения
и деформации совместно с кровлей.
Для формулировки закона Гука примени-
тельно к материалу ванты можно воспользо-
ваться уравнениями (1.17) и (1.18) и учесть
высказанные при их выводе соображения:
e,=-4^-+4; (2.22а)
Ех Fx
= + (2-226)
ЕУРУ
В данном случае, например, Ех и Fx обоз-
начают модуль упругости и площадь попереч-
103
ного сечения вант, натянутых в направлении
л, причем сечение относится к ширине гори-
зонтальной проекции:
Р _ площадь поперечного сечения отдельной ванты
г х .
шаг вант в плане
(2.23)
В принципе необязательно, чтобы шаг не-
сущих вант был постоянным; их сечение (да-
же применительно к одной и той же ванте)
также не должно быть обязательно постоян-
ным. Никакие ограничения не делаются и в
отношении распределения температурного по-
ля по поверхности сетки; так, например, мо-
жет быть учтено одностороннее солнечное об-
личение. Если каждое из семейств вант изго-
товлено из различного материала, может быть
также учтено, что температурное удлинение
'е, отлично от tey.
Из (2.21) и (2.22) с учетом (2.19) полу-
чается искомое соотношение между распором
и перемещениями:
Нхр = Dx (х, у) (и' 4- 2’ w' — gn fex), (2.24а)
аналогично имеем в направлении у.
Нур = Dy У) <и‘ +z‘ w — g22 fey). (2.246)
В этих формулах
D (х, у) = -^х- = ~X-F4r (2.25а)
х (£и)'2 (1+г'2)Л ’
И
,2-25б)
/7' = 0.
х0
7/4 = 0;
HxQz"+HyOz- =0.
(2.26а в)
При введении (2.24) и (2.18 6) в (2.20) эти
выражения могут быть сразу опущены. В ре-
зультате в развернутой форме имеем:
Dx
и" + z" w' + z' w"-------— z' z (u + Z w') 4-
gll
- z z 'ek ze; 4- Dy v 4- r w -
~ - §22 '%) U" + <V" + + 2” U' ~
3
------Z’ Z" (v‘ 4- Z‘ w) IT 4- Z‘ Z” fE —
§22
- + Hy u- + px = Q\ (2.27a)
г 3
Dy\v" z“ lv~ + z w"----------z' z ‘ (v’ “ z' +

+ r Z"%,-g^ 'ey
[u'+z’ w'—gufE>:]Vn
4- (u" 4- z"w'+ z'w") v' — z' z" (ll' 4- z’ w’) V 4-
§11
4- {Z' zn,Ex — gn'e'j v'j + HxUv"-\-py=0- (2.276)
£>x{ (u' 4- z' a>' — cr13 fEx) (z" 4- w") 4
4- u" 4- z" w' 4- z' w"-----------— z z" (u' 4- z
gn
обозначают функции жесткости, зависящие
исключительно от размеров и свойств матери-
ала вантовой сетки.
Практически каждая отдельная ванта име-
ет постоянное сечение по всей своей длине,
поэтому' мы можем положить:
±(EXFX) = O, ~ (Е Fy) = 0;
dr ду
учитывая, что g'j =2r/r" = 2z'z", имеем
D'x = -Dx^-z'z
gu
и соответствующее выражение для другого
направления; с их помощью можно продиффе-
ренцировать уравнения (2.24).
2.2.4. Дифференциальные уравнения
Вернемся к условиям равновесия.
При нулевом состоянии (Е1х = Нхй,Ну =
= Ну0, Рх=Ру = Р' = ^, 'eJC = /ebr=O), согласно
допущению еще г/ = п = а'=0, так что вместо
уравнений (2.20) имеем:
Z' z" fEy - >Ex , (z' 4- W )t
+ Dy j(w‘ 4- z- w — g22 fEy) (Z- -rW) 4
v 4- z” w 4- z- w-------------z- z- (u- - - z’ ax) 4-
g22
у у
+ Z' Z" %, g-22 'pyj (.z- 4- ox)| 4-
+ Hxo+ Dy0 w -\-Pz = Q. (2.27b)
Для определения усилий в вантах, в до-
полнение к (2 24) и (2.19), надо было бы про-
интегрировать полученные три совместные не-
линейные дифференциальные уравнения вто-
рого порядка относительно и, v и w с учетом
заранее заданных граничных условий.
При выводе этих уравнений были приняты
следующие упрощения:
а) при определении Н посредством (2.19),
а также при составлении уравнений упругости
(2.24) мы пренебрегли более высокими сте-
пенями дифференциалов деформации относи-
тельно единицы.
ц
104
Такое упрощение допустимо и общеприня-
то, в том числе п при расчете по деформиро-
ванной схеме;
б) при разделении Н на Н0+Нр, когда Н
вводился в условия равновесия, мы пренебрег-
ли и' и z'w' и соответственно и и zw относи-
тельно единицы.
Ввиду того, что, например, в направлении
v, согласно (2.21а) e^g^tt' + z'w') < («'+
+ z'w '), относительные погрешности того же
порядка, как удлинение ванты е, следователь-
но, они связаны со свойствами материала ван-
ты и с допускаемыми напряжениями.
В неблагоприятном случае, когда о =
= 10 т!см2 и Е= 1300 т[см2, при прядевых кана-
тах удлинение, например, составляет е=
= 10/1300= 0,0077 <С1.
С другой стороны, было бы неправильно
вычеркнуть в (2.20) и и v'. Эти величины
представляют углы поворота вант вследствие
их поперечного смещения, в отличие от удли-
нений вант они ничем заранее не ограничены.
Из тех же соображений нельзя пренебрегать
в (2.20) углами наклона ванты w' и w в вер-
тикальной плоскости.
По изложенным причинам, несмотря на пе-
речисленные упрощающие допущения, диффе-
ренциальные уравнения (2.27) нелинейны.
Упрощения вызывают лишь ничтожные пог-
решности и эти уравнения практически точно
описывают задачу ортогональной вантовой
сетки.
2.3. НУЛЕВОЕ СОСТОЯНИЕ
2.3.1. Предварительное напряжение
Нулевое состояние, когда усилия вызыва-
ются только предварительным напряжением
вантовой сетки, описано уравнениями (2.26).
Первые два из них выражают условие, что
горизонтальный распор от предварительного
напряжения постоянен вдоль соответствую-
щих вант:
НхО НхО 1
НуО — НуО (*)• )
(2.28а,б)
Поскольку Нх0 и Нуо как растягивающие
усилия оба должны быть положительны, да-
лее имеем
7"
— < 0. (2.29)
Z**
Это необходимое условие для того, чтобы
предварительное напряжение в обоих направ-
лениях вообще было возможным. Таким об-
разом, поверхность вантовой сетки во всей об-
ласти должна иметь отрицательную кривизну
(седловидная поверхность; плоская поверх-
ность с z"=z - = 0 не имеет практического зна-
чения) Пз следующего условия, что при лю-
бой встречающейся нагрузке ванты должны
быть растянуты, следует условие, что такая
сетка должна быть предварительно напряжен-
ной. В противном случае несущие пли напря-
гающие ванты несли бы независимо друг от
друга положительную или отрицательную на-
грузку; они работали бы тогда как простые,
отдельные ванты и должны были бы рассчи-
тываться как таковые.
Если z"/z->Q, предварительное напряже-
ние не может быть создано. В этом случае пу-
тем приложения значительной постоянной на-
грузки порядка 150 кГ1м2 следует с запасом
оградиться от возможности вспарушивания
кровли при отсосе от ветра. Такой тяжелый
собственный вес, как правило, не нужен для
ограждающей конструкции. При этом реше-
нии в кровлю вводится балласт, утяжеляющий
нижнее строение, передающее дополнитель-
ную нагрузку основанию.
В предварительно напряженных сетках по-
верхность z(x, у) может быть рассчитана из-
вестными методами согласно (2.26в), если за-
ранее заданы Нх0, Ну0, а также контурная
кривая. Практически последняя всегда извест-
на и задана из архитектурных соображений.
Искомыми являются силы предварительного
напряжения, посредством которых требуемая
поверхность будет осуществлена.
2.3.2. Исследование некоторых
поверхностей
Ниже приводится распределение предвари-
тельного напряжения в некоторых аналитиче-
ски заданных поверхностях.
Сами координаты х и у не входят в усло-
вие (2.26).
Горизонтальная проекция окаймляющей
кривой может быть произвольной ввиду того
что в (2.26 в) входят только вторые производ-
ные z, поверхности (для простоты изображен-
ные на прямоугольном плане) могут быть на-
ложены на любую наклонную плоскость 2=
= а + Ьх+су при условии, что углы наклона
вант остаются в умеренных пределах.
2.3.2.1. Поверхности переноса.
Общий случай
Легче всего, в том числе и для расчета,
представить поверхность, обладающую фор-
мой поверхности переноса:
z(x,y) = /(*) + g (у), (2.30)
которая в данном случае должна удовлетво-
рить дополнительному условию:
105
~ = ^-<Q.
г- g"
Из (2.26 в) и (2.28 а, б) следует
^о(г/)ГМ + ^о(х)Г'(г/) = 0
или
Нхо(у) _ Нуъ (х)
g- (у) Г (*) '
Псвая часть зависит только от у, правая —
только от х. Таким образом, каждая часть
равна произвольной постоянной С. Знак под-
бирается так, чтобы горизонтальный распор
был положительным:
Hx0(y) = Cg-(y); (2.31а,б)
^O(x) = -Cf(x).
Введем для краткости
р(х,г/) = -^>0, (2.32)
тогда можно также написать:
Нх0 (У) = Р (*. У) иуо (*) (2-33)
2.3.2.2. Образующая имеет форму
квадратной параболы
Если задаться условием, что Ях0(у) —
= //r0 = const, а также Ну0(х) = Ну0 = const, то
(2 31) дадут:
Ж = — (ао + «1х + Ж);
g(y) = + ^*Ж + М+Ж)
с произвольными постоянными ап и Ьп-
Полученная поверхность есть гиперболи-
ческий параболоид (рис. 2.2). Если переме-
стить начало координат, сохраняя те же пе-
ременные, придем к более наглядному виду:
« = -^+1/; (2.34)
kx и ky, как обычно, будут обозначать абсо-
лютные значения кривизн в вершине. С этим
обозначением также имеем:
Hx0 = Cky, Hy0 = Ckx- (2.35)
ну0 = рНу,
“X
где р теперь независимо от х и у. Ванты рас-
положены по параболическим образующим.
Эта поверхность особенно легко поддается
расчету благодаря тому, что распоры от пред-
варительного напряжения, а также обе кри-
визны соответственно являются постоянными.
Поэтому во многих случаях другие седловид-
ные пологие поверхности часто приближенно
рассчитывают как гиперболический парабо-
лоид (см. параграф 2.4.5).
Часто принимаемая для частного случая
равностороннего параболоида запись z=axy
в данном случае не подходит. Это было бы
равносильно допущению, что ванты без ис-
кривления располагаются по прямым обра-
зующим (как, например, преднапрягаемые
элементы «гипаров системы Зильберкуль»),
2.3.2.3. Образующая имеет форму
цепной линии
и
Естественно может возникнуть мысль при-
дать растянутым элементам форму цепной
линии (см. параграф 1.2.2). Это приводит к
поверхности
г =---— ch kr х — ch k„ и.
kX ky
На основании (2.31) непосредственно име-
ем:
Нхо(У) = CkyChkyy;
Ну0 W = C kx ch kx X;
0(x).
Rx ch kx x y
Здесь k по-прежнему обозначает кривиз-
ны в вершине образующих. Ванты, идущие в
направлении оси г, имеют самый малый го-
ризонтальный распор.
2.3.2.4 Образующая имеет форму
косинусоиды
В общем виде можем записать:
ь ь
г — — cos ах----- cos 6г/,
а2 ₽2
с помощью (2.31) получаем:
Ях0(//) = Ckycos$y,
Ну0 (х) — С kx cos ах.
У
22
106
Величина предварительного напряжения
вант убывает с удалением от начала коорди-
нат.
Периодические функции не могут быть
произвольно продолжены. Ввиду того что га-
уссова кривизна во всей области поверхно-
сти должна быть отрицательной, может быть
использована только одна полуволна (рис.
2.3), т. е. должно быть соблюдено условие;
|х| —; Ы —.
1 2а 2₽
У
2.3
Ванты, расположенные вдоль контура, не
имеют предварительного напряжения. Прак-
тически нельзя идти до упомянутого теорети-
чески предельного значения. Ванты каждого
семейства должны при любой нагрузке нахо-
диться под растягивающим напряжением,что,
, л
например, невозможно вдоль х=±— вслед-
2а
ствие того, что Ну0 = 0 при нагрузке от собст-
венного веса.
Отсюда следует, что а и [3 надо выбирать
так, чтобы приблизительно удовлетворять со-
отношение
\У\
зт
4R ’
2.3.2.5. Образующая очерчена по дуге
окружности
Уравнением
д = J-(l—|/i —/г2х2) +J_(] _ 1~&у2)
“x “у
описана поверхность переноса, образующими
которых являются окружности. Следует при-
менять только положительные значения кор-
ней, функция тогда является однозначной; на-
чало координат лежит в точке образования
седла. Выполнив дифференцирование соглас-
но (2.31), получим:

Ванты, расположенные ближе к краю,
больше напряжены, чем проходящие через
начало координат.
2.3.2.6. Поверхность, уравнение которой
задано произведением.
Общие положения
Интересную группу представляют поверх-
ности, уравнение которых может быть пред-
ставлено в виде произведения
z (*,*/) = f(x)g(y).
С помощью (2.26) получаем условие рав-
новесия:
Нхо (У) f" (*) ё (У) + W f {х) g-(У) 0,
которое посредством разделения переменных
дает:
Нх0 (У) = - Ну0 (х)
g"(y) yoy’f"(x)
Путем рассуждений, аналогичных приве-
денным в параграфе 2.3.2.1, приходим к двум
независимым уравнениям:
Г(х) + /М1)/(х)=о;
£($/)== о.
(2.36а,б)
Если fug заранее заданы, можно вычис-
лить Нх0 и Ну0, и наоборот.
2.3.2.7. Волнистые поверхности
Допустив (как в параграфе 2.3.2.2)
Нх0 (у) = Нх0 = const
и
Ну0 (х) = Ну0 = const,
с помощью (2.36а) сразу получаем общее ре-
шение:
f (х) = аг cos ах -J- Ьг sin ах
с произвольными Я] и bi, а также az=HyQIC.
Благодаря соотношению sin ax=cos(ax+
достаточно при дальнейших расчетах
пользоваться одним первым членом.
Таким же образом второе дифференциаль-
ное уравнение (2.366) дает:
g(z/) = n2chpz/+b2shpz/,
где
₽2 = яхОс.
107
Обе поверхности, отвечающие условию посто-
янного распора, имеют, следовательно, новые
постоянные а и Ь:
z — a cos ах ch fry (2 37а)
и
z = b cos ах sh fry. (2.376
Величина предварительных напряжений ос-
тается по-прежнему произвольной. Их соотно-
шение установлено: р = 02/а2.
2.4
(2.37а) является уравнением седлообраз-
ной, волнистой поверхности (рис. 2.4), кото-
рая может быть неограниченно периодичес-
ки продолжена.
При х= — (1±2/г) (где п—целое число)
2а
одна ванта одного из семейств идет по пря-
мой; в отличие от поверхности, описанной в
параграфе 2.3.2.4, она натянута как все ос-
тальные ванты. Вдоль этой линии возможно
прямолинейное ограничение поверхности. От
полуволны к полуволне несущие и напрягаю-
щие ванты меняются ролями.
Поверхность, заданная уравнением
(2.376), периодически перекручена (рис. 2.5).
Кроме уже описанных прямых на ней имеет-
ся еще прямая z/ = 0, так что с помощью этой
поверхности можно осуществить вантовую
сетку, с трех сторон ограниченную прямыми,
лежащими в одной плоскости.
Общим недостатком обеих поверхностей
является то обстоятельство, что вдоль упо-
мянутых прямых в обоих семействах вант
исчезает кривизна, поэтому эти зоны особен-
но склонны к вспарушнванию при ветре.
Кроме того, для вант, образующих четное
число полуволн в направлении х, распор от
симметричной нагрузки (например, от соб-
ственного веса или снега) равен нулю, по-
скольку точки перегиба не закреплены в го-
ризонтальном направлении. Нагрузка долж-
на, следовательно, целиком передаваться ван-
там, идущим в направлении у. Правда, такая
картина распределения усилий является ре-
зультатом линеаризации задачи, что в дан-
ном случае является лишь первым приближе-
нием.
При учете горизонтальных смещений ока-
зывается, что и форма, изображенная на
рис. 2.5, состоящая из двух полуволн, являет-
ся пригодной при произвольной нагрузке. Не-
смотря на то что в обоих направлениях ван-
ты располагаются волнообразно, эта сетка
может воспринять, например, равномерно рас-
пределенную вертикальную нагрузку, правда
с довольно значительными вертикальными и
горизонтальными перемещениями. При такой
форме вантовой сетки существенно возраста-
ет затрата времени на расчет, так как в нем
должны учитываться нелинейные члены об-
щей теории.
2.3.2.8. Произведение двух квадратных
функций
Функция вида
г = С(п2-х2) (fe2 + t/2)
является уравнением поверхности с двумя
прямолинейными параллельными краями
(рис. 2.6).
В качестве нулевой
верхность осуществима
Согласно (2.36) должно
поверхности эта пе-
не во всей области,
быть:
108
Нх0 = С—--;
fe2 + у2 ’
и* = с^-г.
что при \ = ±а может быть выполнено толь-
ко, если Ну0= оо
2.3.2.9. Другие поверхности
Поверхность также с двумя параллельны-
ми прямолинейными краями, подходящая
для перекрытия прямоугольных в плане по-
мещений, описана уравнением
г = с cos ах (Ь2 + У2),
где
л
а=—
2а
(форма поверхности похожа на рис. 2.6).
Необходимые силы предварительного на-
пряжения:
нх0(у) = сд—г!
Ь2 + у2
Ну0 = С а2 = const.
Можно было бы привести неограниченное
число подобных примеров. Для поверхностей
переноса можно, очевидно, принимать и сме-
шанные формы, например z = a cos ux+by2.
Для случая /До —const и /До—const урав-
нение (2.26в) может легко быть преобразова-
но в уравнение Лапласа z"+z" =0; решения
этого уравнения приводят тоже к нулевым по-
верхностям с постоянными горизонтальными
распорами. В качестве примера приведем
функцию
z = ах2 у — by3,?,
для которой выполняется условие
Нх0 = ЬС и IIу0 = аС.
Далее отметим, что линейность (2.26) поз-
воляет применить принцип наложения к по-
верхностям и к соответствующим предвари-
тельным натяжениям, так что выбор архитек-
турных форм практически не имеет границ.
Наконец, (2.26), может быть записано в виде
уравнения в конечных разностях и быть ре-
шено численно.
Геометрию поверхности тех вантовых се-
ток, где контур в значительной мере зависит
от предварительного напряжения (например,
в вантовых сетках с бортовыми вантами), не
так просто выразить формулой. В этом слу-
чае нулевая поверхность может быть хорошо
определена с помощью модели; однако изме-
ренные значения все же следует исправлять,
пользуясь приведенными формулами.
2.4. ГЛАВНОЕ УРАВНЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНОЙ
ВАНТОВОЙ СЕТКИ
2.4.1. Линеаризация
Дифференциальные уравнения (2.27а—в)
описывающие задачу пологой, произвольно
загруженной вантовой сетки, непосредственно
либо вообще неразрешимы, либо разрешимы
только в редких, частных случаях при опре-
деленных граничных условиях. Кроме того,
при одинаковых нулевых поверхностях и оди-
наковых нагрузках на решение сильно влия-
ют длины отдельных вант, т. е. форма кон-
тура.
Проблема может быть значительно упро-
щена и легко приведена к приближенным ре-
шениям, если ввести следующие ограничения:
а) рассматриваются только простейшие
поверхности вантовых сеток, например по-
верхности переноса, образуемые двумя пара-
болами; б) ванты обоих семейств имеют оди-
наковое сечение и одинаковый шаг; в) кон-
тур является регулярной фигурой, например
прямоугольником или эллипсом; г) горизон-
тальные нагрузки рхИ ру отсутствуют; д) сме-
щения краев исключаются; е) встречающие-
ся и при чисто вертикальных нагрузках го-
ризонтальные компоненты перемещений не
учитываются.
(2.20) дает в этом случае простое условие
равновесия:
Дх(г/)(г'Ч^")+^(х)(г"+ш")+р2=0. (2.38а)
Это уравнение можно было бы выписать сра-
зу, не зная приведенных выше выводов. Оно
может быть решено путем попыток, при кото-
рых задаются горизонтальным распором, как
функцией у или х [9]. Когда известна нуле-
вая поверхность, можно в отдельных точках
определить прогибы w. Из двух условий, ко-
торым должна удовлетворять длина ванты,
можно затем определить новые значения Н,
которые, как правило, отличаются от тех ко-
торыми сначала задаются. Расчет повторяет-
ся до получения соответствия. При каждом
повторении приходится определять многочис-
ленные неизвестные w из новой системы ли-
нейных уравнений.
Менаэр и Балгач рассчитали поверхность
переноса, имеющую в качестве образующих
две параболы, удовлетворяя только условию,
чтобы середина несущей ванты имела одина-
109
ковую величину провеса с напрягающей ван-
той [10, 11].
Далее возможен косвенный метод расчета
[12]. При разделении горизонтальных распоров
До и Нр, с учетом условий (2.26), (2.38а) при-
нимает вид:
HxqW + НyoW" + Н хр2" + Иypz" +
+ Нхры" + Hypw + pz = 0. (2.386)
В этом уравнении часто пренебрегают двумя
последними членами, содержащими Нр. "По-
добрав закон изменения w(x, у), удовлетво-
ряющий условию ш = 0 вдоль контура, можно
из удлинения вант определить Нр. Подставив
эти значения в (2.386), получают нагрузку
Pz(x, у), отвечающую функции w. Отсюда,
идя обратным путем, можно определить w и
Н р.
Этот способ расчета приводит к рассмот-
рению немногочисленных случаев, легко вы-
ражаемых формулами; достигаемая точность
зависит прежде всего от имеющихся в распо-
ряжении приемлемых функций для w. В па-
раграфе 2.8.7 этот способ будет проиллюст-
рирован на простом примере.
Наконец, следует сослаться на приближен-
ные формулы, приведенные в параграфе 2.6.
Как уже было сказано, нашей целью яв-
ляется не исследование частных случаев, а
разработка метода, имеющего общее приме-
нение, позволяющего определить усилия и де-
формации в сетке при всевозможных случаях
нагрузки и при любом контуре. Простые ча-
стные случаи позволяют тогда сами по себе
упростить расчет или воспользоваться при-
ближенными формулами.
Для этого рассмотрим сначала уравнения
(2.20а—в), которые, с учетом условия
(2.26а—в) нулевого состояния, после разделе-
ния распоров на Нс и Нр имеют вид:
Нхр+Н+H'ypir +Дуриг +рх=0; (2.39а)
(2.396)
нх. ™"+Н'хр V +“О + Ихр (2" + W") + Hv0 w +
+H‘yp(z’+w)+Hyp (г“+^”)+Р2 = 0. (2.39в)
При одинаковом порядке величин Нх и Ну
очевидно, что НуРи'Нхр и поэтому также
в (2.39а) Нури- +Нури- = (Нури-)’ < Н'хр,
а также Нуаг' " Н' .
Сначала пренебрежем в (2.39а) членами,
содержащими Ну, а также, из аналогичных
соображении, — членами, содержащими Нх,
в (2.396). В (2.39в) пренебрежем w относи-
тельно z. Несмотря на то, что выражения
HxOw" и HyOw" обычно малы по сравнению
с остальными, ими нельзя пренебречь, иначе
расчет не приводит к однозначному решению,
как это будет ниже показано.
После отбрасывания перечисленных выра-
жений первоначальные условия запишутся
следующим образом:
н'хр + Рх = °;
НуР + Ру = °',
Hxpz" + HxOw" +Hypz-^-HyOw —
— PxZ’—PyZ'+Pz^U,
(2.40a—в)
причем последнее уравнение полечилось пу-
тем введения (2.40а) и (2.406) в упрощенное
уравнение (2.39в). Практически мы не учиты-
ваем в полных условиях равновесия те сла-
гаемые, в которых неизвестные Нр входят
вместе с неизвестными перемещениями, т. е.
все члены уравнений (2.27 а—в), содержащие
произведения производных от перемещений.
В (2.40а) и (2.406) эти упрощения означают,
что равновесие достигается на недеформиро-
ванноп системе. Что касается третьего урав-
нения (2.40в), в котором еще сохранилось два
члена с w, это толкование не подходит. Не-
смотря на то что проблема линеаризирована,
она все-таки не сведена полностью к расчету
по недеформированной схеме.
Результаты этого линейного расчета при
не очень больших перемещениях достаточно
точно отражают фактический характер ра-
боты конструкции. Отброшенные поначалу
члены обладают размерностью нагрузки на
единицу поверхности, а потому могут быть
представлены как дополнительные нагрузки
р*:
Рх iHy0 + Hyp}“” + Нури-,
P^[Hxa + Hxpyu" + Hxpv'-,
P*z = HxpW"+H’xpW'^-HypW-[-HypW.
Как показали просчитанные примеры, ве-
личины рх* и pv*, как правило, так малы, что
их влияние на конечный результат является
ничтожным. Поэтому вместо Нхр и Нур вво-
дятся значения (2.40а) и (2.406), так что их
больше нет надобности вычислять:
Р'х = [Нуо + Нур]^' — PyW,
Py--=iHx(>+Hxp)v'' -pxv'-
Pz == Нхр W" + Нур W" ~ PX W'~PyW.
(2.41a—в)
Определив по линейной теории Hxp, Hypr
и, v и w, можно легко оценить влияние нели-
нейных членов, сопоставляя дополнительные
нагрузки р* с соответствующими фактически-
110
мп значениями р. Более точную оценку дает
грузовая функция Р*(х, у), вычисляемая изр*
(см. параграф 2.4.3), с помощью которой мо-
жно, например, \честь и краевые смещения.
Если нельзя пренебречь Р* относительно Р,
можно произвести повторный расчет, отлича-
ющийся от первого только нагрузкой, найти
поправочные значения НуР*, Нхр*, и*, v* и
w* и наложить их на результаты первого
расчета
Расчет можно произвести скорее, и, обыч-
но имея возможность пренебречь Р*, если
сначала воспользоваться приведенными ниже
приближенными формулами для определения
Щ’р> и и ввести их вместе с Нх0 и Ну0 в
уравнение (2.40в), тогда получим значение
Р*'.
Рг = (Нхр - Нхр ) W" + [Нур - W" -
— pxw'~pyw, (2.41г)
причем первые два слагаемых обычно нич-
тожно малы.
К поправкам, полученным посредством ли-
неаризированного расчета, добавляются
опять соответствующим образом найденные
нелинейные части w** и //**. Практически к
этому третьему этапу расчета (и дальней-
шим уточнениям) никогда не прибегают. Оче-
видно, что нельзя рекомендовать универсаль-
ного способа оценки порядка величины нели-
нейных членов, однако приведенный в конце
пример может дать представление об их зна-
чении. Следует обратить внимание еще на од-
но обстоятельство. Очевидно, что усилия в
сетке зависят также от смещений точек под-
веса. В зависимости от того, уложены ли ван-
ты каждая в отдельности или группами, мо-
жно с достаточной точностью заранее опреде-
лить их деформации и заранее учесть их при
расчете. Если вантовая сетка защемлена в
сравнительно подъемистые арки, то можно
сначала принять ее деформацию равной ну-
лю или воспользоваться предварительным
подсчетом. Если же, напротив, имеются гиб-
кие бортовые элементы или открытая ванто-
вая сетка, окаймленная вся или частично ван-
тами, то можно ожидать иногда очень боль-
шие деформации края. В таких случаях
деформации бортового элемента в значитель-
ной степени зависят от всех действующих на
него усилий от вант и, наоборот, они
оказывают влияние на работу сетки. Тогда
нельзя обойтись без учета заранее подсчитан-
ных граничных значений и, v и w, а затем с
помощью Р* последовательными приближе-
ниями прийти к точному решению.
Три условия (2.40) содержат столько же
неизвестных функций. Все же этих условий
недостаточно для их определения, так как
для распора не могут быть даны никакие
граничные значения. Приходится снова при-
бегнуть к двум уравнениям упругости (2.24а)
и (2.246) с дв^мя новыми неизвестными и
и V.
Произведя подстановку в (2.40а—в), по-
лу чим:
[£>х(ц'+г'ш'— £riizev)]'+px=0; (2.42а)
[Dy(и-+г w -g22%)]+ Ру = 0; (2.426)
[Е>г (и' + г' w' — '₽ J z + D„ (v + r w —
— g22 f£y) z" + Hww" Hy. a- —
— Px 2' - РуГ 4- pz = 0. (2.42b)
Теперь, в противоположность (2.27a—в),
полученные выражения линейны как в отно-
шении перемещений, так и в отношении на-
грузок; мы можем использовать преимущест-
во возможности наложения различных слу-
чаев нагрузки.
2.4.2. Главное уравнение вантовой сетки
В параграфе 2.2.4 перечислены те величи-
ны, которыми мы с полным основанием смог-
ли пренебречь. Благодаря этому, а особенно
благодаря разделению р* было достигнуто,
что, например, в (2.42а) не входят перемеще-
ние v и производные по у.
Допустим, что лежащая на поверхности
z(x, у) кривая является линией, вдоль кото-
рой крепятся ванты, т. е. контуром сетки,
и что эта кривая задана как явная функ-
ция у.
Допустим далее, что в исходном состоя-
нии:
левая сторона контура: Xi=xi(y),
правая сторона контура: хг=хг(у),
причем оговорим, что всегда xr^xi, т. е. про-
111
лет является положительной величиной (рис.
2.7):
1Х (У) = хг (у) — xt (у) 0.
Допустим, что известна величина переме-
щений граничных точек от произвольной на-
грузки и что они могут быть представлены
как функции у.
с левой стороны контура:
“хАуУ, wxl[y)-,
с правой стороны контура:
чхг(у); ™хг(у).
Проинтегрировав сначала однажды (2.40а)
и (2.42а), получим
Нхр = Dx +z'w' — (ех) =
= С1(У)~ \Pxdx, (2.43а)
б
где С] — функция, зависящая только от у.
Проинтегрировав вторично в пределах от
xi до хг, после некоторых преобразований бу-
дем иметь
хг
Сг(у) = Фх(у){ ( Г-J-
I J L^x
Pxdx dx\-Wx(y)~
(2.44а)
Для наглядности всюду в дальнейшем
введено dx; никто не сможет перепутать пере-
менные и пределы интегрирования.
В (2.44а) Wx(y) охватывает перемещения
всего контура и для краткости обозначает:
Wx (у) = [их, (у) — uxl (z/)] +
+ [< wxr (У) — z’i wxi ^)] • (2.45а)
Записанная в начале (2.44а) функция
Фх(г/) зависит только от жесткостей и опре-
деляется формулой
_L_ = = f
^>х(у) J Dx(x,y) JEXPX
xi xl
(2.46a)
Теперь определим контур в зависимости
от %, что всегда возможно и что позволит нам
из (2.406) и (2.426) вывести аналогичные вы-
ражения для направления у (рис. 2.8).
Можно записать следующие выражения
для горизонтальной проекции f(x, у) контур-
ной кривой:
левая сторона контура:
У1 = У1(*);
правая сторона контура:
У г = У г (*),
с соблюдением условия
1у = Уг - У1 > °-
Перемещения контурных точек обозначим
так:
2.8
для левой стороны контура:
^(*), о^(х);
для правой стороны контура:
wyr(x)-
Ввиду полной аналогии построения (2.40а)
и (2.42а), с одной стороны, и (2.406) и
(2.426)—с другой, результаты интегрирова-
ния могут быть выписаны непосредственно:
Иур = Dy (и‘ + г‘w' ~ S22 ^у) =
= C2(x)~\pydy, (2.436)
о
!>г у.
(v) =-Ф„ (v) 1 I I i ру dy\dy + Wy (х)
' J • '
yt 0
tMA') — vyi (*)] +
(2.446)
(2.456)
у у
1 t -^-dy. (2.466)
lM-v) Dy(x y) J EyFy
yl yi
Если ввести (2.43a), (2.436), (2.44a) и
(2.446) в условие (2.40в), то остается урав-
нение только относительно
112

ф
У
Уг
[ z” wdy—
У1
— Нх0 w" ~ Ну0 w = Р (х, у). (2.47а)
Левая часть кроме из содержит только
функции, зависящие от системы, а именно
кривизны, силы предварительного напряже-
ния и также зависящие от длин вант функ-
ции жесткости Ф, к определению которых мы
еще вернемся.
Грузовая функция правой части охватыва-
ет все возможные внешние воздействия (про-
извольные горизонтальные и вертикальные
нагрузки, смещения краев, температурные из-
менения) и, если ее полностью выписать,
имеет вид:
Р (х, У) = — z’ рх~ z" j pxdx +
О
У
~ Ру I Ру +
О
dy + Pz-Pz" Vx +
+ z" Фу Wy — z" Фх । 4X dx —
xi
yr
— z" Ф^ f g22 4y dy. (2.476)
Это несколько громоздкое выражение может
быть упрощено, как это будет показано в
следующем параграфе. Зная, какими величи-
нами пренебречь, можно, разумеется, выве-
сти главное уравнение (2.47) и другим пу-
тем, например методом деформаций или с по-
мощью теоремы Кастильяно.
Если ввести в (2.47) вместо /До распор
Не, принять для z исходное состояние от дей-
ствия g (см. параграф 1.1.1) п вычеркнуть
все члены, связанные с направлением у, то
можно с помощью этой формулы рассчиты-
вать отдельные ванты на любую дополни-
тельную нагрузку. В этом случае усилия, на-
грузки и сечения относятся не к полоске еди-
ничной ширины, а к отдельной ванте.
Из рассмотрения (2.47) можно прийти к
выводу об уже упомянутой необходимости со-
хранения членов HMw" и Hy^w" . Для дока-
зательства выпишем уравнение (2.47) без Но’.
хг у
z" Фг J z"wdx-Fz" Ф J z” wdy=P (х, у). (2.48)
Х1 У1
Допустим, что кроме искомого решения
w существует по крайней мере еще одно ре-
шение ш, удовлетворяющее однородному урав-
нению
хг У г
г'Фх } z"wdx-yz"d>y\ zwdy=G.
xi У1
Тогда и Wi = w + cw являлось бы решени-
ем (2.48).
Очевидно, что условие для w может удов-
летворяться бесчисленным множеством функ-
ций, так как w входит только под знак опре-
деленного интеграла; таким образом, (2.48)
не может быть решено однозначно.
2.4.3. Упрощения
До сих пор при выводе уравнений предпо-
лагалось, что невелики деформации, а также
углы наклона поверхности (поскольку мы
пренебрегали более высокими степенями z'
и z‘). В этом случае, согласно (2.25), вели-
чина D колеблется в очень малых пределах
при условии неизменяемости сечения вдоль
длины ванты, что всегда соблюдается на
практике. Кроме того, в оболочках переноса
Dx, например, не зависит от у, ecjuiExFx по-
стоянно.
В симметричной параболической ванте с
относительно большим провесом nx—fx/lx=O,\
у края имеем:
(l+z/)7; = (1 +0,42Гл = 1,25.
От вершины (а'=0) до края Dx монотонно
убывает от EXFX до 0,8 EXFX, при fx/lx —
= 0,05 Dx убывает только до величины
0,943 EXFX.
Поэтому в двойном интеграле уравнения
(2.44) можно без особой погрешности при-
нять Dx постоянным по всему х и заменить
его подходящим средним значением
I '— fРх^х
Это среднее значение определяется посредст-
вом уже введенной в 2.46а функции Фх, кото-
рая будет ниже вычислена:
1= 1 Г t dx _ I
Dxm (У) lx (У) J Dx (x, у) ls (у) ФДд)’
xl
Второй и третий члены грузовой функции
принимают тогда простой вид:
8—455
ИЗ
— ' р^Л' + 2"Ф
О
X xr Х
'z"[—\pxdx + j- J ( pxdxdx
X xi '°
Выражение в скобках в правой части
представляет собой поперечную силу в про-
стой балке пролета 1Х, загруженной верти-
кальной нагрузкой рх, и будет обозначено че-
рез (Эх (см. рис. 2.9):
Qx — — ' Рх dx +
— * рх dx dx (2.49а)
* Xj б
р,
йЖЙтгШШ
iiillhi
и аналогично в направлении у:
vr В
- | ']Pydydy. (2.496)
V yt о
Принятые приближения относятся только
к членам с рх и ру. Именно эти нагрузки, про-
исходящие, как правило, только от ветра, оп-
ределяются на основании исследований на
моделях или устанавливаются приближенно.
При вынужденной условности допущений об
этих нагрузках вполне оправдано и прибли-
женное решение. Величина погрешности бу-
дет ниже показана на конкретном примере.
Она составляет лишь несколько процентов.
Для членов, зависящих от температурных
напряжений, имеется тоже возможность вве-
сти достаточно точные приближенные значе-
ния, так как величина g-ц еще меньше колеб-
лется, чем (gn)3/’ в формуле Dx.
Таким образом, если заменить gn(x, у) в
(2.44) или (2.476) средним значением
£и.тО/) = 7^7 \SndX
1х J
Х1
и вывести его за знак интеграла, получим:
хг
Фх(У) j’^11
Х1
r8xdx^x(y)gll m(y) j\dx.
xi
Учитывая определения Фх (2.46а) и gt\
(2.3), произведение этих двух величин запи-
шется следующим образом:
ф е _E*FX J(l+z,8)dx
х "'т lx '
Отношение двух интегралов с одинаковы-
ми пределами может с достаточной точно-
стью быть принято равным единице. В при-
веденном выше примере параболы с п = 0,1
числитель равен 1,0533 1Х, а знаменатель
1,0819 1Х. Погрешность остается ничтожно ма-
лой и при переменном tsx.
Для краткости введем еще обозначение:
2V (^) = — ExF^yl С( d
lx(y) J x
xi
(2.50a)
Д7 (x) = - dy. (2.506)
l в (*) J
Из этих выражений видно, что Nx нормаль-
ная сила (растяжение положительно) в ус-
ловном, с двух сторон неподвижно закреплен-
ном прямолинейном стержне длиной 1Х, при
увеличении температуры, отвечающем *гх, со-
ответствующее значение имеет и Ny.
Введя обозначения (2.49) и (2.50), полу-
чим вместо (2.45) простое выражение для
грузовой функции:
Р (х, У) — — У Рх + z' Qx — z' Py~Pz” Qy+Pz+
+z" Фх Wx+Z" Фу W y-\-z" Nx+Z‘- Ny. (2.51)
После нахождения w(x, у) определяются, ’
также более просто, на основе (2.43) и (2 44), '
горизонтальные распоры от нагрузки
х 11
ffxp = Фх (W\- Jr z"wdx) +QX + NX (2.52a) *
xi
и
HBP = \z-wdy) + Qy + Ny, (2.526)
«I
где, например, в формуле для Нхр ни один
член, кроме Qx, не зависит от х.
Для определения горизонтальных переме-
щений и(х, у) проще всего вернуться к
(2.43а); в результате интегрирования полу-
чим:
114
U (х, у) = их1(у) + | dx — [z'w]* +
X х
-ь | z"wdx + ; gj/e^dx.
xi 'xi
Приняв, как мы это уже делали, что £>я =
= const, и учтя (2.52а), после некоторых пре-
образований получим:
« = (Цх1 4- zj Wxl) + (ихг + 2Г wxr) -
*х *Х
lx J J
Х1 Х1
X
+ -^-Л4Х + + 1 gn‘&xdx. (2.53а)
Ьг^Х ^Х^х J
Х1
Аналогично получим для перемещений в
направлении у.
V = y^iVyl + Z\wyt\ + Z'rWyr\ -
ly *y
yr У
— z' w — y-—— I z“ wdy 4- f z” wdy 4-
ly J J
«I 'Ji
yr t
(2'636)
y!
Если температурные удлинения *ех или *гу
приблизительно постоянны по длине соответ-
ствующей ванты, можно без особой погреш-
ности пренебречь двумя последними членами
соответственно в 2.53а или 2.536.
Введенное дополнительно выражение Л1Х—
изгибающий момент в условной балке рис. 2.9
под действием нагрузки рх:
Мх(х, у) = J Qx(x,y)dx,
xi
а также
у
Му (х, у) = j QB (х, у) dy. (2.546)
yi
В случае действия, как это часто бывает,
одной только вертикальной, приблизительно
равномерно распределенной нагрузки вместе
(2.53) можно приближенно принять
—ZW И —Z'W.
(2.53в)
В заключение данного параграфа дадим
оценку погрешности, вызванной тем, что D
считается постоянным.
При симметричной нагрузке рх на симмет-
ричной вантовой сетке третий член в (2.476)
обращается в нуль. Поэтому исследуем косо-
симметричную нагрузку
Рх ~ РхЪ Z' — РхО ?•
Рассмотрим сечение, параллельное оси, че-
рез поверхность, принятую симметричной:
ь 1
z —----— х2 =------g, где В = k х.
2 2fex Ъ х
Разложим выражение (2.25а) для Dx в ряд
и удержим благодаря хорошей сходимости
только два первых члена. Входящий в (2.476)
интеграл примет следующий вид:
J D^\PxdXjdX =
xi Х °
= ~Г* „ (Ю 4-9g) g,
30ExFxfc~ v '
тогда как приближенно получилось бы
ты
Xj 0
=----~-(2+g)5g.
Относительная погрешность в этом
равна:
случае
10 4-sg ’
(2.54а)
В приводимой ниже таблице эта погреш-
ность дана в зависимости от угла наклона
края сг, а также от отношения стрелы к про-
лету n—fjl-.
gr 0 0,025 0,05 0.075 0 10
п 0 0,1 0,2 0,3 0,4
Р rel 0 —0,4 -1,5 —3,3 -5,6%
Если нагрузка резко возрастает к краю, по-
грешности будут несколько большими. Но это
относится лишь к кососимметричной части на-
грузки, а относительно всей нагрузки получа-
ется еще меньший процент.
8*
115
2 4.4. Метод решения
Для решения интегро-дифференциального
уравнения (2.47) его, как правило, следует
привести к уравнению в суммах и конечных
разностях. Для этого на заданный план накла-
дывают ортогональную решетку и для упроще-
ния расчета принимают сторону ячейки Дх
всегда равной Ьу. Если примем размер ячейки
равным шагу вант, то получим, правда ценой
большой вглчислительной работы, точное реше-
ние с переломом вант в каждом узле их пере-
сечения. Только в редких случаях (например,
при прямолинейных границах) краевые точки
решетки совпадают с контуром вантовой сет-
ки. При небольших ячейках вполне допустимо
узлы решетки принять за точки на контуре
тетки (рис. 2.10).
2 10
Если требуется более высокая точность, со-
ставление членов сумм и отношений разностей
для узлов, расположенных близ контура, не
представляет особого труда.
Нулевая поверхность всегда задается
функцией г(х, у) или какой-либо другой функ-
цией. Составление дифференциальных отно-
шений для каждого узла решетки не представ-
ляет, следовательно, труда. Нетрудно бывает
также вычислить функции жесткости Ф. По-
этому мы сохраняем эти величины в приводи-
мых ниже выражениях.
Каждый узел решетки имеет два подстроч-
ных индекса:
0, 1, 2, .., i—1, i, i+l, .... н + 1 для направ-
ления х и второй:
0, 1,2,..., т+1 — для направления у.
Воспользовавшись известными соотноше-
ниями конечных разностей
дх2

и, заменив интегралы суммами, получим для
узла (i, /) следующее уравнение:
п т
zi.f фх/ X z"i-i Wi-i+Zi’-f X z'i'-i .1 ~
1=1 /=1
----[w. . , — 2^,, + w., J —
(Дх)а z>/ z+,//
/-1 - 2тч + W>. ж) = P‘.l <2'55>
Как это уже было указано в параграфе
2.4.1, для повышения точности можно вместе с
Но сразу учитывать приблизительные значения
и ’ для простоты эти члены уравнения
не вписаны.
При наличии сосредоточенных грузов их
принимают распределенными на область
АхДг/.
Если сетка поддерживается в одной или
нескольких точках, например мачтами, в этих
точках следует положить w = Q.
В соответствии с числом неизвестных Wij
условие (2.55) может быть записано для каж-
дого внутреннего узла решетки. Суммирова-
ние распространяется на все внутренние точки
i или / соответствующего ряда / = const или i=
= const. Если в получающейся таким образом
системе линейных уравнений обозначить ко-
эффициенты перед w~i~j в уравнении для точки
(i, /) в общем виде через то и здесь,
согласно теореме Максвелла, будем иметь:
б'.М,7 = 1
Соответствующая матрица коэффициентов
будет симметричной и неполной, так как если
=# i и одновременно j =И= /, то = 0.
При наличии решетки, имеющей всего 4X4
внутренних узла (рис. 2.11,а), матрица уже
имеет характерное построение, изображенное
на рис. 2.11, б.
Определитель знаменателя отличен от ну-
ля; таким образом, имеется однозначное ре-
шение.
Способ решения зависит от вида контура,
от требуемой точности и от имеющихся в рас-
поряжении вычислительных средств. Даже при
использовании свойств симметрии для получе-
ния точных значений усилий, а особенно де-
формаций, требуется большое число узлов, по-
этому непосредственное решение уравнений
рационально только с помощью электронных
вычислительных машин
Коэффициенты обратной матрицы являют-
ся, как известно, коэффициентами влияния
для прогибов w, а посредством их с помощью
(2.52) могут быть определены коэффициенты
влияния для горизонтальных распоров. При
небольшой затрате времени можно было бы
запрограммировать и расчет коэффициентов 6,
а также грузовых функций.
Главные диагональные члены больше
побочныпоэтому для определения w могут с
успехом быть применены методы групповой
или обычной итерации, особенно при значи-
тельном предварительном напряжении.
Для расчета большого числа вантовых се-
ток особенно удачным показал себя метод
116
релаксации, позволяющей производить после-
довательное уравновешивание непосредствен-
но на схеме заданной системы; простые, повто-
ряющиеся расчетные операции обладают боль-
шой наглядностью. Сопоставление невязок с
грузовыми функциями позволяет все время
иметь представление о достигнутой точности
37_ 47
32 _42
33 43
34 44
2.77а
2.116
Если учесть, что при расчете интересую-
щих нас в конечном итоге распоров под интег-
рал входят прогибы отдельных углов, пред-
ставляется, что в обычных условиях можно
для w удовлетвориться точностью в 1 см.
В приведенном в конце главы примере при
очень нерегулярной конфигурации в плане
Прогибы были ПОДСЧИх'ЗН с точностью ±2 мм.
Заметим, что определение 58 неизвестных для
одного случая нагрузки с помощью счетной ли-
нейки потребовало около 15 ч. Несмотря на
то что исходная система была сложной и мно-
гократно статически неопределимой, примене-
ние счетной машины оказалось ненужным и с
экономической точки зрения даже невыгод-
ным.
Когда краевые перемещения w отличны от
нуля, при решении уравнения (2.55) необхеди-
мо еще обратить внимание па следующее: ес-
ли рассматриваемый узел (i, /) является сосед-
ним с краем, то в членах, содержащих Но, не-
обходимо, разумеется, для ij или
ввести соответствующие краевые значения.
При точном расчете следовало бы учесть крае-
вые значения и в суммах. Если, как это сдела-
но в (2.55), суммирование распространяется
толы о на внутренние \злы, то следует к грузо-
вой функции Р добавить дополнительный член
без Wi у.
Z A ( ZiWXl + ZXr) +
Однако, как правило, этим выражением
можно пренебречь. Возникающая ошибка име-
ет порядок Wxl\xllx или соответственно
Wy&ylly, т. е. является малой частью Wx или
2.4.5. Определение Ф
Функции жесткости, определение которых
дано в (2.46а) и (2.466), имеют вид опреде-
ленных интегралов, которые могут быть све-
дены в таблицы при заранее заданной форме
вант. Последующие выводы приведены только
для направления х; для Ф^ достаточно пере-
ставить местами индексы х и у.
Для составления таблиц должно быть при-
нято допущение, что модуль упругости и сече-
ние постоянны по всей длине ванты.
2.4.5.1. Квадратная парабола
Допустим, что уравнение
k V О 1 с.
Z =------X2 =---------I
2 2kt
определяет сечение через нулевую поверх-
ность, параллельное плоскости х — z, где, как
и прежде, принято обозначение kxx=l, a kx
-бозначает кривизну в вершине параболы. Как
и прежде, хг(у) и xt{y) являются отмеряемы-
ми от вершины границами сетки: 1х = хг—х^
> 0.
Согласно (2.25а) имеем:
хг
. Dx J
xl
117
Второй интеграл правой части решается
подстановкой g — sht и дает:
Г dx _ 1 Г 3 arsh gr
J Б7 ~ EXFX L 8 If
о ____
+ JL(5 + 2^)Vl+g]xr.
О
Функция, заключенная в квадратные скоб-
ки, зависит только от угла наклона края Jjr и
для краткости записывается:
3 аг sh
8 ‘ _
+ -A-(5 + 2E2)/l + g. (2.56a)
Тогда
^X . ^X rx
xl
пли окончательно:
(2.566)
lxPAx
где
РАХ = 4- к (U - *i Р% &)] > 1. (2.56в)
Величина /ХЛХ идентична с введенной в
(1.50а) длиной Ls, которая также применяется
при расчете висячих мостов. Ее можно опре-
делить как длину прямой ванты, работа де-
формации которой от Н=\ имеет ту же вели-
чину, что и у' криволинейной ванты
В случае симметрии хг = —Xi и РЛХ =
РХ(ЕГ). Для предварительного подсчета мо-
жно воспользоваться приближенной формулой
РА 1 + -L ё = 1 + 8п2,
2 г
которая входит и в (1.536).
Точные значения приведены в конце данно-
го параграфа в табл. 2.1 и изображены на
рис. 2.12.
2.4.5.2. Цепная линия
Если дано уравнение
z—— ch kxx=— k ch I,
то, проделав те же операции, что с параболой,
получим выражения, аналогичные (2.56) с с/.
вместо РХ:
cml)=44,+vsh^; <2-57а)
ЬГ \ «
Фх = _^; (2.576)
Д Ах
СА = -1- [х2 СХ &) - X; 5. (В,)] > 1. (2.57в)
Следует отметить, что в данном случае gr
и h не являются точно углами поворота кра-
ев: они связаны с последними соотношением
з' = —shg.
Значения СЛ(£) для различных параметров
1г,I могут быть взяты из рис. 2.12 или из
табл. 2.1.
2.4.5.3. Дуга окружности
В этом случае согласно 2.3.2.5 имеем урав-
нение
I
где — равно радиусу.
kx
Опустив промежуточные расчеты, приве-
дем результаты интегрирования
(2.58а)
Выражения Ф.х и КАХ формально соответст-
вуют (2.566) и (2.56в); функция KA(gr) также
изображена на рис. 2.12 и внесена в табл. 2.1.
ч
I
2А.5.4. Сводная таблица и график
Таблица 2.1. Значения Хкак функция £
Er,Z Парабола Р}_ Цепная линия <А. Длина окруж- ности /<у_
0,00 0.02 0 04 0,06 0,08 0,10 1,0000 1,0000 1,0002 1,0008 1,0018 1,0032 1,0050 1,0000
0,12 1,0072 1,0072 1,0072
0,14 1,0098 1,0099 1,0099
0,16 1,0128 1,0129 1,0131
0,18 1.0163 1,0164 1,0166
0,20 1,0201 1,0203 1,0206
0,22 1,0244 1,0246 1,0251
0,24 1,0290 1.0294 1,0301
0.26 1,0341 1,0346 I,0356
0,28 1,0397 1,0403 1,0417
0,30 1,0456 1,0464 1,0483
0,32 1,0520 1,0531 1.0555
0,34 1,0588 1,0602 1,0633
0,36 1.0660 1,0678 1,0719
0,38 1,0737 1,0760 1,0811
U,40 1,0819 1,0846 1,0911
0,42 1,0905 1,0938 1,1019
0,44 1,0996 1,1036 1.1136
0,46 1.1091 1,1140 1,1262
0,48 1.1191 1,1249 1.1399
0,50 1,1296 1,1365 1,1547
Dec
>.Х|
ta
ож
>пр
ВСЯ
,д.
'все
Чус
'ГКО
>узки
®С1
пР0(
етв
враг
Чю
как
ICM1
ЙВ1
118
В данном случае тоже не является углом
наклона края: для дуги окружности имеем:
c.r=kxxr или £г = хг/радиус.
2.4.6. Сводка формул и порядок расчета
Ниже будут перечислены формулы, необ-
ходимые для расчета ортогональной вантовой
сетки, причем попутно будет изложен порядок
расчета. Для облегчения поисков формулы,
выведенные в предыдущих параграфах, будут
повторены.
2.4.6.1. Заданные величины
Система: нулевая поверхность (рис. 2.7)
ее контур согласно рис. 2.7 и 2.8 задан в виде
Лг = Хг(у), Xi = Xi(y) или у,=уг(х) II yi = yi{x').
Ванты имеют модули упругости Е-- и Еу, кото-
рые для ожидаемой области напряжений мо-
гут быть приняты постоянными. Далее следу-
ет задаться сечением вант Д- и Fv (2.23), пр’ -
чем сразу делается допущение, что каждая
ванта по всей длине имеет постоянное сечение.
Если это условие не выполняется, формулы
могут легко быть соответственно преобразо-
ваны.
Нагрузки. Внешние нагру хи р Р
(2.13) отнесены к единице площади горизон-
тальной проекции; если нагрузки заданы ина-
че, следует воспользоваться формулами (2.16)
для преобразования. Перемещения контура,
как и сам контур, выражаются тс как функ-
ция х, то как функция у (см. параграф 2.4.2).
Влияние температурных изменений учитывает-
ся посредством гех и гъу (1.18).
2.4.6.2. Выбор предварительного
напряжения
Всегда должно быть удовлетворено усло-
вие
^o(^)z''+^(x)z"=0; (2.26)
дальнейшие данные приведены в парагра-
фе 2.3.1.
2.4.6.3. Вычисление функций жесткости
С (1+^)3/2dx.
J Ex Fx (у)
(2.46а)
—
Фх(У) J
Для некоторых форм ванты в параграфе
2.4.5 приведены значения Фх, например в виде
где
®х(У) =
EKFX
lx (у) Ах (У)
(2.566)
= (2.56в)
Соответствующие формулы действительны
и для направления у (<W).
2.4.6.4. Вычисление грузовых функций
р (*, У) = Рх + Z" Qx ~z- py + z-Qy + Pz +
+ z Ф, Wx + z" Фу Wy + z" Nx + z- Nyt (2.51)
где Qx и Qy — поперечные силы в условной
балке:
7- 1 \pxdxdx; (2.49а)
.1 J
Y у.г у.
Qy = —\ Pyty 4- ~ | I Pydydy. (2.496)
lJ У l
17х и Wy— вы} '’жения, зависящие от переме-
щения краев:
Wx = fuxr ~ + {zrwxr — z'i wxi 15 (2.45a)
( Vyr ~ Vyl) + ( Z'r Wyr ~ 4 W;l' • (2.456)
Vx и — выражения зависящие от темпера-
турных изменений:
—• F F Р
= — .erdx;
lx J
xl
(2.50a)
119
Уг
(2.506)
'’У J
2А.6.5. Вычисление прогибов w
ХГ ?
г" Фх " z" wdx 4- z“ Фу z” wdy —
xi i'i
-Hxow"-HyOw”=P, (2.47a)
пли в виде сумм и конечных разностей:
<_/ Фх/ Дх V 2;_, Wi. + 2;_-. &у f z;. W[. -
i=i j=i
- I “(j-l - =4/ + Ч./+1 I = Д.г <2.55)
2А.6.6. Вычисление усилий в вантах
Нхр = Фх (F,- (z"wdx) + Qx + Nx, (2.52a)
xi
Hyp = ФУ I z" wdlJ\ + ^ + Ny (2-526)
yi
Встречающиеся интегралы должны вооб-
ще, здесь и в дальнейшем, быть заменены сум-
77, = Нх0 + Нхр, Ну = Ну0 + Нур. (2.186)
Если пренебречь нелинейными выражения-
ми, усилия в вантах могут быть вычислены
сразу:
Si = Нх I gii; S2 = Ну §22 • (2-17)
(2.54); их целесообразно определять вместе с
поперечными силами Q.
Если действует только одна приблизитель-
но постоянная вертикальная нагрузка Pz, го-
ризонтальные перемещения будут приблизи-
тельно равны:
i
и^х—z'w; — z’w. (2.536)
г
2А.6.8. Учет нелинейных членов
1
Нелинейные члены определяются из фор-
мул:
Pt = {Hyo + H^u-~Pyu-
Р*у=\Нх0 + HXP]V" ~pxv';
P*z = НХр W" + НуР W“ ~ Рх W' -PyW‘-
(2.41 a-в) у
В некоторых случаях р*г определяют также
нз (2.41г). Иногда отсюда приходится опреде-
лять новую грузовую функцию Р согласно
(2.51) для самого неблагоприятного сочетания
нагрузок. Если деформации бортовых элемен-
тов существенно отличаются от принятых, мо-
жно одновременно внести поправки перемеще-
ний края.
В качестве разрешающего уравнения для ®
w* можно опять применить (2.47а) или (2.55). ?
При более точном расчете безусловно реко-
мендуется принять во внимание в левой части
(2.55) вместе с Но ставшие известными вели-
чины Нхр и Нур, как это было рекомендовано
в параграфе 2.4.1 даже для первого прибли-
жения.
Почти во всех случаях оказывается доста-
точным оценить влияние Р* с помощью при-
ближенных формул, приведенных в парагра-
фе 2.6.
2А.6.7. Вычисление и, v
U = Xj~TL t Uxl + Z'l + Х-Г- (. + 2ХгЬ
t'X
хг X
—z'w—~ ~ х- I z"wdx~p i z w dx-§
lx J •'
xl xl
xr
+ -L- My + Hx+ f §n ^x dx. (2.53a)
lx®x p I*®* J
xi
Последними двумя слагаемыми обычно мо-
жно пренебречь. Соответственно определяется
и перемещение v согласно (2.536). Изгибаю-
щие моменты Л1 в условной балке определены
2.5. ПРИМЕНЕНИЕ К КОСЫМ
И НЕПРЕДНАПРЯЖЕННЫМ ВАНТОВЫМ
СЕТКАМ
2.5.1. Косые вантовые сетки
До сих пор предполагалось, что семейства
вант образуют в плане ортогональную сетку.
Исследуем теперь сетку, семейства вант кото-
рой образуют в плане параллелограммы с по-
стоянным во всей области (острым) углом у.
Используем для этого косоугольные координа
ты х, у, z, причем для соответствующих еди-
ничных векторов теперь должно выполняться
условие:
е, еу = cosy 0; е, е2 = ер е2 = 0.
120
^Компоненты г, равно как и компоненты а1
и р, измеряются в новых координатах, так что
уравнения параграфа 2.2.1 остаются в силе.
Внешняя нагрузка по-прежнему относится
к единице поверхности горизонтальной проек-
ции.
Деформированный элемент поверхности и
действующие в нем усилия изображены на
рис. 2.13; для сопоставления с рис. 2.1 на
нем нанесены также прямоугольные коорди-
наты.
Если сохранить также в силе (2.23) и отне-
сти усилия S и Н, как и F, к расположенной в
плане, нормально к рассматриваемому направ-
лению, единице ширины, то усилия в ванте за-
пишутся так:
= Si sin-yJz/ei.
и
S2 dx — S2 sin у dx e2,
а нагрузка
p dxdy (Cj x e2) = p sin у dxdy.
Условие равновесия всех сил, действующих
на элемент, дает согласно (2.14а) уравнение
(S - \' /So _ \ _
—— sin у г' j + / —— sin у г '= + р sin у = 0.
V ill / \У £’23 /
Условие siny = ccnst позволяет записать
соотношение
/-4г г' Y+ /г ' + р = о,
\ем
которое формально идентично с (2.14а).
Легко заметить, что то. что установлено
для F, S и Н, распространяется и на другие со-
отношения, полученные для ортогональной
сетки и остающиеся по форме действительны-
ми в данном случае.
Таким образом, при выборе соответствую-
щих косоугольных координат расчет косых се-
ток может выполняться по формулам, полу-
ченным для ортогональных сеток.
Однако следует отметить, что при заданной
поверхности вантовой сетки всегда выгодно
располагать ванты приблизительно в направ-
лении главных кривизн, так как согласно
(2.47а) несущая способность отдельных вант
растет с увеличением кривизны. Поскольку в
каждой точке траектории главных кривизн
расположены взаимно перпендикулярно, пра-
вильно уложенная ортогональная сетка обла-
дает способностью с минимальной затратой
материала и при минимальных деформациях
нести заданную вертикальную нагрузку.
При (теоретически) предельном случае
У -> 0 имеем также у > х и, следовательно,
д д гт
——> Получаем два параллельных семей-
ства вант. Путем сложения первых двух усло-
вий равновесия (2.20а) и (2.206) можно объе-
динить Нх и Ну в H = HX+HV, а также рх и ру
в новое рх. Нагрузка, перпендикулярная к
плоскости ванты, в этом предельном случае не-
допустима. Остаются известные соотношения
плоской ванты (1.8а) и (1.8в). Однородное
уравнение Hz"=Q приобретает тогда триви-
альную трактовку, что предварительное на-
пряжение становится возможным при перво-
начально прямолинейных (z" = 0) вантах.
2.5.2. Вантовые сетки без предварительного
напряжения
В параграфе 2.3.1 было уже сказано, что
вантовая сетка положительной гауссовой кри-
визны не может быть предварительно напря-
жена, а потому должна путем постоянной на-
грузки быть защищена от воздействия ветро-
вого отсоса. Оба семейства вант провисают в
направлении действия внешней нагрузки и не-
сут ее совместно. Система является значитель-
но более жесткой, чем одно семейство вант;
она меньше деформипуется, особенно при не-
равномерно?»! распределении грузов
Условия равновесия 2.2.2 не содержат ни-
каких допущений в отношении предваритель-
ного напряжения, уравнения упругости вклю-
чают лишь деформации от внешней нагрузки и
температурных напряжений. Следовательно,
если для вантовой сетки без предварительного
напряжения принять за нулевое состояние
Hxp = HVT — Q (сравните параграф 2.2.1), то
все приведенные до сих пор выводы остаются
в силе и при отсутствии предварительного на-
пряжения.
Разрешающее уравнение относительно w
(2.47а) не имеет, однако, в этом случае одно-
значного решения.
121
Чисто интегральная форма ничем не выра-
жает, очевидно, необходимого условия плаь-
ности w(x, у).
Для «сглаживания» w необходимо вместо
И, и Нуо ввести произвольные величины. На
основании рассмотрения (2.39в) выбираем
значения и Н^, отвечающие возможно
л чше окончательным значениям Нр. Эти ве-
личины очень быстро определяются с помощью
приближенных формул следующего пара-
графа.
Результаты могут быть успешно примене-
ны даже и при неточно назначенных
(например, одинаковых для всех случаев на-
гр :ки).
Как показал расчет большого числа при-
меров, кривизны w" и w в средней области
бывают очень малы. Члены Hxw" и Hyw" игра-
ют существенную роль только в узкой полосе
{около //10) от краев.
При учете нелинейных членов во всяком
случае вместо (2.41в) следует пользоваться
уравнением (2.41г).
2.6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ
2.6.1. Общие положения
Как и во всякой статически неопределимой
конструкции, усилия в сечениях зависят не
только от нагрузки, но и от размеров и жест-
кости системы. В вантовых сетках дополни-
тельная трудность заключается в том, что дол-
жны быть до начала расчета известны абсо-
лютные значения Ех, Fx, Еу, Fy, а также вели-
чины предварительного напряжения Ях0 и Ну0.
Поэтому^ для предварительного определе-
ния размеров желательно иметь возможность
произвести оценку, которая, не претендуя на
большую точность, укажет, какого порядка
величину усилий и деформаций можно ожи-
дать получить.
Рассмотрим дтя этого симметричную ван-
товую сетку, нулевая поверхность которой да-
на уравнением
г=—х2 + у2, где = р. (2.59)
2 2 kx
Сетка предварительно напряжена, однако
приводимые ниже формулы пригодны и для
сетки без предварительного напряжения, име-
ющей z"<0, с"<0, если вместо ky подста-
вить (—kv). Для сеток с переменными кривиз-
нами вводят соответствующие средние значе-
ния kx и ky.
Допустим, что жесткости вант постоянны,
обозначим их отношение через ср:
ф = const (2.60)
Ех Ех
2.6.2. Нагрузка рх
Если действует только рх, (2.52а) упроща-
ется; учтя, что z" =—kXj имеем
fr
НХР = + kx®x J wdx + Qx.
xi
При симметричном расположении рх интеграл
обращается в нуль. При кососимметричной
функции рх(х) Р(х, у), а тем самым и w(x, у)
имеет другой знак в области середины сетки,
чем около краев хт и xi, так что в этом случае
интегралом можно пренебречь относительно
Qx. Таким образом, от одной нагрузки рх
PxHxp^Qx- РхНур^0. (2.61) |
2.6.3. Нагрузка ру
Рассуждая аналогично предыдущему, сра-
зу можем записать:
руНхр^- pyHyp-Qy. (2.62) -
2.6.4. Нагрузка р*
Допустим, что вертикальная нагрузка при-
близительно равномерно распределена. Как
уже раньше было сказано, почти для всей об-
ласти вантовой сетки можно пренебречь чле-
нами Hxqw" и HyOw' относительно других чле-
нов в уравнении (2.47а). Тогда из имеющегося
еще условия, выраженного уравнением (2.476)-
Г,
xr ?г
^фх J wdx + kpy f ^dy=Pz.
xi yt
хотя и нельзя определить w, но можно узнать
xtp2 и хур2, т. е. распределение нагрузки между7
несущими и напрягающими вантами
wdy _ Нург-
[wdx Hxpz
Ввиду того что кривые прогибов обоих се-
мейств имеют примерно одинаковое очертание
(см., например, рис. 2.28), можно принять:
уг
J wdy
>1 1у_
X. I
с х
| wdx
Х1
122
Если ввести Ф согласно (2.566) и прибли-
зительно принять Ал-!=Лу, получим
Е УЕу ky 2
~ = 17 • = фр
^ХГ X k^x
независимо от пролетов.
хх-гху=1, поэтому коэффициенты распре-
деления нагрузок равны:
Если сетка не очень полога, в области чет-
верти пролета w может иметь даже несколько
большее значение, чем в середине вантовой
сетки.
Разумеется, что (2.65а) и (2.656) справед-
ливыми при других видах нагрузки, для кото-
рых Р = const. В этом случае Р следует подста-
вить вместо р2.
ФР2
Хи = —; х„ — ——— = 1 — х (2 63)
х 1 +<рр2 у 1 + <рр2 х' у ’
2.6.5. Температурные изменения
а горизонтальные распоры имеют значение:
(2.64а)
кх
Нур ' " ку ~ = <рр "Нхр. (2.646)
На рис. 2.14 хх представлено хак функция
ср и р. Если опять ввести Фх в (2.52а) и (2.64а)
согласно (2 56а)
х'
Hxp = kx([>x\ wdx^Kx
xi
Pz
kx
и положить
хг
J wdx = w'mlx,
xi
то получим для ориентировки предположи-
тельные средние значения прогибов:
(2.65а)
kXEXFX
На основе результатов многочисленных
примеров можно при постоянной вертикальной
нагрузке в середине поверхности принять про-
вес равным:
р?щ0.^(1,1 до 1,25) wm.
(2.656)
Для часто встречающегося случая постоян-
ного температурного удлинения вантовой сет-
ки относительно бортовых элементов (zex =
= 'е„ = *ег = const) согласно (2.50) получим
Nx = ~ ExFxt>, Ny = — EyFу e;
тогда можно становящийся также постоянным
грузовой член
'P=+(^EZx-W,)'e
рассматривать как pz в предыдущем пара-
графе.
С учетом (2.52) и (2.64) после коротких
вычислений с использованием (2.63) получаем
1Нкр - ExF^y (1 + уj (2.66а)
и соответственно
lHyp - EyFj^x (1 + р) = — ‘Нхр. (2.666)
р
Прогиб зависит только от Р, которое мо-
жет быть введено в (2.65а) вместо pz- После
небольших преобразований получаем значе-
ние среднего прогиба:
4“ (2.67)
КХ
тогда как деформация в середине вантовой
сетки опять может быть приближенно опреде-
лена с помощью (2.656).
2.6.6. Неравномерная нагрузка
Приведенные выше приближенные форму-
лы могут быть использованы и пр [ произволь-
но распределенных горизонтальных нагруз-
ках, однако для неравномерно распределенной
нагрузки рх нельзя, разумеется, дать никакой
формулы для приближенной оценки.
В этом случае рекомендуется выделить из
заданной нагрузки приблизительно постоян-
ную «основную» нагрузку и с ней произвести
расчет согласно 2.6.4. Для оставшихся неуч-
тенными «пиков» нагрузки на основании зна-
чений хх и ху, полученных для равномерно рас-
пределенной нагрузки, произвести оценку дру-
гих значений х и найти с помощью (2.64) для
области более значительных (или менее зна-
чительных) нагрузок дополнительные рас-
поры.
Тут следует еще привести следующие сооб-
ражения: линейная нагрузка вдоль одной ван-
ты воспринимается в вантовой сетке в значи-
тельной степени, но не исключительно рас-
сматриваемой вантой. Как правило, те ванты,
которые расположены непосредственно под
ограниченной областью нагрузки, восприни-
мают самые большие по абсолютной величине
распоры по сравнению с остальными. Доля на-
грузки, воспринимаемая, например, вантами,
направленными в направлении х, растет в за-
висимости от относительной длины, вдоль ко-
торой непосредственно действует поверхност-
ная нагрузка.
Во многих случаях сетка бывает симмет-
рична, по крайней мере относительно одной
плоскости; усилия в вантах от кососимметрич-
ной нагрузки могут тогда легко быть прибли-
женно определены с помощью параграфа 2.7.1.
Если известно приближенное распределе-
ние горизонтальных распоров, пользуясь
(2.64а) и (2.65а), можно определить:
wm(y)^-^—Hxp(y) (2.68а)
kxExFx
и аналогично
wm(x)^--^-Hyp{x). (2.686)
kyEyFy
Таким образом можно оцепить величину
прогибов и при неравномерных нагрузках и
получить приемлемые начальные значения
для итеративного решения системы уравнений
(2.55).
Применение метода показано в конце, в па-
раграфе 2.9. Несмотря на неправильную кон-
фигурацию в плане и на очень неравномер-
ную ветровую нагрузку, приближенные фор-
мулы дали ошибки всего лишь в несколько
процентов для максимальных значений гори-
зонтальных распоров. Дальнейшие данные о
точности приближений приведены в парагра-
фе 2.8.
2.7. О ХАРАКТЕРЕ РАБОТЫ ВАНТОВЫХ
СЕТОК И БОРТОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
2.7.1. Свойства симметрии
Если пространственная система симмет-
рична или кососимметрична относительно од-
ной плоскости, линеаризированная теория да-
ет существенные упрощения расчета, если на-
грузка также обладает свойствами прямой
или обратной симметрии.
В дальнейшем плоскость у—z (х = 0) будет
всегда приниматься за плоскость прямой или
обратной симметрии. Если вантовая сетка об-
ладает упомянутыми свойствами в направле-
нии у, остаются в силе аналогичные соображе- и
ния: достаточно только взаимно заменить на- 3:
правления х и у.
Все внешние влияния (нагрузка, смещение
края, изменение температуры), выраженные
через грузовую функцию Р(х, у), входят в ']
главное уравнение (2.47а). Поэтому если Р
обладает свойствами симметрии, это также
сказывается на свойствах w и Нр. Таким об-
разом, необходимо знать, являются ли, с од-
ной стороны, Р согласно (2.476), или (2.51), с
другой стороны, сама вантовая сетка симмет-
ричными или кососимметричными.
При симметричной нагрузке и кососиммет-
ричной системе и в обратном случае горизон-
тальные перемещения бывают особенно боль-
шими. Дополнительный учет нелинейных чле-
нов окажет в этом случае влияние, которым,
как правило, нельзя пренебрегать.
2.7.1.1. Симметричная система
Геометрические условия:
г (х, y) = z(— х, у)- хг {у) = —х{ (у).
P(.v, у) симметрична. Легко убедиться
в том, что w(x, у) также симметричны. Пере-
мещение и как вектор также симметрично,
функция же и(х, у)—кососимметрична. При
х = 0 w = u = 0. Можно вести расчет, пользуясь
половиной системы (0^х^хг):
хг хг
z'wdx = 2 J z'wdx.
xi 6
Встречающийся в формуле Фх интеграл
должен в этом случае быть взят по всей длине
Zv = 2xr.
Р(х, у) к о со с и м м е тр и ч н a; w(x, у)
также кососимметричен, при х = 0 имеем
В(0, у)=0, ге>(0, z/)=w"(0, у)=®, однако
«(О, у) Д=0; кроме того,
хг
z'wdx = 0.
м
Расчет может опять производиться для по-
ловины системы, при этом разрешающее урав-
нение (2.47а) относительно w сводится к виду
124
Уг
z-Фу J z"wdy — Hxow" — Hyow = P.
В данном случае согласно (2.52а) имеем
также

так как все остальные члены обращаются в
нуль. Это означает, что все нагрузки, кроме
рх, воспринимаются только одними вантами,
идущими в направлении у.
2.7.1.2. Кососимметричная система
Геометрические условия.
z(x,y) — z(P,y) = z(Q,y) — z(—x,y)-,xr(y) =
= — xt(y).
Для полноты исследования рассмотрим и
этот случай, хотя такая конструкция часто
является нерациональной: преобладающие,
симметричные нагрузки, как собственный вес
и снег, могут восприниматься только одним
семейством вант (по этому вопросу см. также
параграф 2.3.2.7).
Р(х, у) симметрична. В таком случае
w(x, у) и и(х, у) также симметричны.
Ввиду того что
xi
z"wdx — О,
опять один член в (2.47а) обращается в нуль,
и можно с коротким уравнением вести расчет
для половины системы, однако в данном слу-
чае с ау'(О, у} =0.
Кроме того,
Н = С
Л2Хр
Температурный член Nx не участвует: со-
гласно (2.51) он кососимметричен относитель-
но х=0; функция зависит только от у, и пото-
му равна нулю.
Р(х, у) ко со с и м м етр и ч н а. Тогда w
и и кососимметричны; поэтому в середине
w(0, z/)=u(O, у)=Р(0, у)=0. Поскольку г"
также кососимметрично:

расчет может быть произведен для половины
системы.
2.7.1.3. Сопоставление полученных
результатов
В приводимой ниже таблице указаны усло-
вия, которым должны отвечать отдельные со-
ставляющие грузовой функции.
Симметричная система Кососимметричная система
Нагрузка
Рх А S S А
Ру S А А S
Рг S А А А
ихг. их1 А S S А
Wxr, Wx[ S А S А
S А А S
% S А А S
Грузовая функ- S А S А
ция Р
Определяемые
величины
ш S А S А
и А S S А
Нхр S А А S
ЧуР S А А S
Напомним еще раз, что рассматриваются
только свойства симметрии соответствующей
функции. Таким образом, нагрузка рх одина-
ковой величины, направленная в обеих поло-
винах системы в сторону оси симметрии, яв-
ляется кососимметричной.
Для краткости приняты обозначения:
S — функция, симметричная относительно
х=0;
А — функция, кососимметричная относитель-
но х—0.
В вантовых сетках, как и в других конст-
рукциях, могут быть использованы свойства
симметрии. Обычно большое число неизвест-
ных уменьшается примерно вдвое, численные
расчеты существенно сокращаются. По срав-
нению с этими преимуществами дополнитель-
ная работа несущественна, она может состо
ять в преобразовании нагрузки и в наложе-
нии частичных результатов.
2.7.2. Температурные изменения
Допустим, что предварительно напряжен-
ная вантовая сетка испытывает принятое всю-
ду постоянным увеличение температуры на №
относительно бортовых элементов. Грузовая
функция согласно (2.50) и (2.51) имеет в этом
сл чае вид
Р = — {z"ExFxatx 4- z-EyF^y) Kt-
125
она обращается в нуль, если обращается в
нуль выражение в скобках, т. е. если
= (2.69а)
EXFX г atx
Если выполнено это условие, которое при
одинаковых коэффициентах температурного
удлинения обоих семейств вант может быть
также записано в виде
FyFy Нхо
FxFx Нуо
(2.696)
то отсутствуют прогибы, а согласно (2.53) —
и смещения. Вантовая сетка остается, следо-
вательно, в состоянии покоя.
Горизонтальные распоры выражаются
просто:
'Я„ = -£Л'е; (2.70а)
= (2.706)
К тем же результатам мы, разумеется, мо-
жем прийти с помощью параграфа 2.6.5 —
см. уравнения (2.66) Следовательно, мы ви-
дим, что в то время как отдельная ванта при
увеличении температуры все больше провиса-
ет (в очень полого натянутых вантах допол-
нительный провес может быть того же поряд-
ка, что и основной), в предварительно напря-
женной вантовой сетке при наличии условия
(2.69) отсутствуют деформации или удлине-
ния, что является существенным преимущест-
вом для конструкции в целом. Если даже ус-
ловие (2.69) не выполнено, дополнительный
прогиб имеет всегда существенно меньшее
значение, чем у соответствующей отдельной
ванты.
Примечание. Вследствие u = v = w=0 и 'е =
=const¥=0 полные дифференциальные уравнения (2.27)
точно не удовлетворяются. Эта неувязка вызывается
тем, что в ванте, удерживаемой во всех точках без сме
щения, при постоянном изменении температуры усилие
в ванте постоянно, тогда как условие равновесия тре-
бует, чтобы было /7 = const. Именно эта разница между
Н и S не была принята во внимание, так как в (2.53)
не была учтена сумма двух последних членов.
2.7.3. Надежность в отношении текучести
Как и всякая другая предварительно нап-
ряженная конструкция, вантовая сетка испы-
тывает напряжение безо всякой внешней на-
грузки. Следовательно, результирующие нап-
ряжения не пропорциональны собственному
весу и полезной нагрузке.
Поэтому германские нормы расчета пред-
варительно напряженных и объединенных си-
стем требуют проверки наличия достаточного
запаса при возрастании нагрузок до достиже-
ния материалом границы текучести или раз-
рыва.
Согласно этому следовало бы и в ванто-
вых сетках производить проверку того, что
напряжения в материале при самом неблаго-
приятном положении следующих видов на-
грузки остаются ниже предела текучести:
предварительное напряжение;
изменение температуры;
1,6- кратные постоянная и временная на-
грузки.
В противоположность предварительно нап-
ряженным балкам, в которых рассматривают
просто разные сочетания нагрузок, взятых с
коэффициентом 1.6, в вантовых сетках следу-
ет учитывать более сложные соотношения.
Рассмотрим сначала только вертикальную
нагрузку pz и допустим, что она возрастает.
Тогда, после известного предела загружения,
напрягающие ванты одна за другой выклю-
чатся. На следующем этапе после некоторого
дальнейшего увеличения нагрузки последняя
будет восприниматься одними несущими ван-
тами, утерявшими предварительное напря-
жение.
Промежуточное состояние, когда только
часть напрягающих вант потеряла напряже-
ние, очевидно, плохо может быть учтено рас-
четом. В целях получения хотя бы качествен-
ного представления допустим, что при возра-
стании нагрузки все напрягающие ванты од
повременно выключатся. Если, кроме того,
мы ограничимся только линейной теорией, Н
может быть представлен в виде функции pz,
как это изображено на рис. 2.15.
2.15
2.16
До достижения нагрузкой значения рл от-
ношение усилий в обоих семействах вант ме-
няется. Согласно параграфу 2.6.4 приближен-
но имеем:
126
И* Нхо + Pz и Ну — н о — —£ р
кх к-
однако при Рг>рл
нх^-нд = ь,
кх
так как Ну не может быть отрицательным.
Общий вид диаграммы можно изменить,
чтобы она отвечала фактической работе вант.
Таким образом мы получаем тоже качествен-
ную диаграмму рис. 2.16.
Hx(Pz) изображается непрямой линией;
вместо перелома в точке А имеется плавная
переходная кривая.
Для доказательства, что не достигнута гра-
ница текучести, следует убедиться, что при
увеличении нагрузки расчет дает Ну>0 или
Ну<0. Если Ну>0, напряжения в ванте от
увеличенной нагрузки вычисляются по преж-
ним формулам. Если же /fy<0, увеличенная
суммарная нагрузка без предварительного
напряжения должна уже известным способом
быть передана целиком несущим вантам, ра-
ботающим теперь как отдельные. Вычислен-
ное таким путем напряжение в ванте должно
быть ниже границы текучести материала
ванты.
В случае небольшой постоянной нагрузки
и при значительном ветровом отсосе соответ-
ствующая проверка должна быть произведе-
на и для напрягающих вант.
Рекомендуется еще на стадии предвари-
тельного проектирования удостовериться, что
имеется достаточный запас в отношении воз-
можности достижения границ текучести.
2.7.4. Собственные частоты
В то время как в вантах и вантовых сетках
без предварительного напряжения периодиче-
ская нагрузка и удар вызывают раскачива-
ние, предварительно напряженные сетки мо-
гут вибрировать как натянутые струны.
Для оболочек, благодаря их изгибной жест-
кости и сравнительно большому собственному
весу, часто повторяющиеся порывы ветра и ди-
намическая нагрузка от завихрений обычно
не представляют опасности. Б легких же боль-
шепролетных вантовых сетках собственная ча-
стота может оказаться настолько низкой, что
в состоянии вызвать явления резонанса, опас-
ные для всего сооружения; напряжения при
этом могут в несколько раз превзойти вычис-
ленные чисто статические напряжения.
Проблема расчетных ветровых частот и до-
пустимых границ для собственных частот
кровли не может быть здесь рассмотрена вви-
ду еще очень малого числа ?1етеоролсгических
измерений. Очевидно, что поведение сооруже-
ния в области колебаний зависит от его раз-
меров.
С подветренной стороны длинных зданий
порыв ветра действует значительно позже, чем
с наветренной стороны, так что никогда не
бывает одновременного воздействия на всю
кровлю. Из-за этого также трудно исследо-
вать ветровые порывы или завихрения на мо-
делях. В зависимости от различных конкрет-
ных условий могут возникнуть различные фор-
мы колебаний.
2.7.4.1. Общие четоды
Для определения различны.х собственных
частот деформации w(x, у, /), вызванные ко-
лебаниями^ измеряются исходя из состояния
£=г+ю; w имеет, как в (2.8), компоненты и,
v и w. В состоянии покоя ю = 0 вантовая сетка
от постоянной нагрузки имеет форму, отлич-
ную от нулевой поверхности, а горизонталь-
ные распоры равны: Н = Н0-\-Нё. Для упроще-
ния расчета сохраним характерные величины
системы г(х, у} и Ф, отвечающие нулевому со-
стоянию; заменим распоры соответствующи-
ми подходящими постоянными средними зна-
чениями.
Будем исходить из основного уравнения и
применим принцип Д’Аламбера. Тогда на ос-
новании (2.47) имеем следующее уравнение
движения для вантовой сетки:
2*ФЖ ’ z"w (х, у, 0 dx + 2“Фг, I Z"W (х, у, t) dy —
— Hxw" (х, у, t) — Ну w" (х, у, t) —
р<Гш(х, у, t)
dt2~
Здесь р (как pz) обозначает отнесенную к еди-
нице поверхности горизонтальной проекции
массу (вес- ускорение земного тяготения).
Приняв
w (х, = w (х, у) cos ®t,
где о обозначает частоту колебания (круго-
вую частоту), а г— координату времени, по-
лучим:
г"Фх j* z"wdx -}- е"Ф^ ' z°°wdy — Hxw" —
— Hyw" = j.ito2c®, (2.716)
где, как и в дальнейшем, вместо w(x, у) зна-
чится просто w. Правая часть (2.716) может
рассматриваться как условная нагрузка р:
p.(iftv = p, (2.71 в)
127
Этим уравнением обусловливается, что в каж-
дой точке сетки р должна быть пропорцио-
нальна ц-кратному прогибу. Отношение
со2 = -Д- = const (2.72)
pw
и является искомой собственной частотой, из
которой известным способом определяется пе-
риод колебания
2зт
т = — . (2.73)
Для точного решения (2.716) опять преоб-
разуют в уравнение сумм и конечных разно-
стей. аналогичное (2.55). Получается система
однородных уравнений относительно w,-, j Пу-
тем приравнивания нулю определителя зна-
1ч иателя получают при т неизвестных целую
рациональную функцию m-й степени. Ее ну-
левые точки определяют искомые собственные
значения со и форму колебания.
С таким расчетом при большом числе не-
известных можно справиться только при на-
личии счетных машин.
Для более высоких собственных значений
этот метод, кроме того, едва ли достаточно то-
чен ввиду возможности значительных гори-
зонтальных смещений, не учитываемых при
линеаризации основного уравнения. Легче
произвести расчет исходя из уже известных ос-
новных значений. Для этого заранее зада-
ются условной нагрузкой р и рассчитывают
вантовую сетку тем же способом, который
применяется для других нагрузок. Если соот-
ношение (2.72) удовлетворяется в любой точ-
ке, р было выбрано правильно. Если это тре-
буется, расчет повторяют с улучшенным зна-
чением р..
Среди нескольких сравнительных расчетов
лучшим, как известно, является тот, который
дает наименьшее значение со.
Вполне хорошие результаты получаются
даже в том случае, когда после первой попыт-
ки принимают среднее из всех значений т
для отдельных точек г, /:
o2^_LVg)2 (2.74)
В (2.716) в большинстве случаев два по-
следних члена в левой части малы относи-
тельно прочих. Ввиду того что Нх, как прави-
ло, больше, чем Нхо, а также Ну<.Нуъ, можно
приближенно ввести в расчет распор от пред-
варительного напряжения. Тогда вычисление
производится посредством той же системы
уравнений, которая применяется для других
случаев нагрузки. Таким образом мы прихо-
дим к исключительно простому приближению,
в котором исходным пунктом являются про-
гибы ew от постоянной нагрузки. Масса ц =
—g/g, где ускорение земного тяготения g=
= 9,81 м!сек2.
С помощью (2.74) получается следующее
первое значение собственной частоты (круго-
вой частоты):
1
т / ।
(2.75)
gwl,!
Следовательно, это просто среднее значение
обратных величин прогибов от постоянной на-
грузки, помноженное на g.
2 7.4.2. Приближенные формулы
Для вывода в замкнутом виде приближен-
ных формул для собственных частот рассмот-
рим сетку, симметричную в обоих направле-
ниях, на прямоугольном плане (1Х1У}.
На основании соображений, изложенных в
предыдущем параграфе, для состояния покоя
приближенно может быть принята следующая
нулевая поверхность:
z z = — — х2 4- -В 9- у\
2 2
Заменим распоры Нх(х, у) и Ну (х, у) по-
стоянными средними значениями, массу7 ц
примем также постоянной, что едва ли может
привести к существенной погрешности при по-
логой сетке и при покрытии всей кровли од-
ним и тем же материалом.
Симметричное колебание. Для собственной
частоты сетки, симметрично вибрирующей в
направлении обеих сторон, примем в уравне-
нии (2.71а) следующую подстановку:
w = w0 cos ах cos fly cos юб
где
После коротких вычислений получаем
2 °
— lx cos № + ~ ly cos ах +
+ । — 4- 1 л2 cos ах cos fly =
Vi J
= pxo2 cos ax cos fly.
Ввиду наличия в (2.71) интегралов это
уравнение удовлетворяется не во всех точках
(х, у); заменим поэтому7 в обоих первых чле-
нах постоянную 2/л приближенно функциями
128
cos ax и соответственно cos ру. Общая нагруз-
ка от этого не меняется.
Если, опять же приближенно, принять в
(2.566) cD/ = £E = const (неучитываемый мно-
житель Л составляет при [/! точно 1,0050, т. е.
приблизительно 1), квадрат первого значения
круговой частоты равняется:
tOss
л3
р
^х I иу W^'x
I- I2 л3
х 1у

+
(2.76)
Сив [7] получил аналогичное выражение с
помощью частных Рэлея.
Пользуясь (2.32), (2.60) и (2.63), можно
записать уравнение (2.76) также в следую-
щем виде:
ко удостовериться. Первые слагаемые в (2.21),
таким образом, здесь выпадают. Если (ввиду
кососимметричной формы перемещений) не
рассматривать изменение усилий в вантах
при колебании, максимальная потенциальная
энергия вантовой сетки выразится следующим
образом:
U = f J S^dxdy + J j S^^dxdy.
Если ввести согласно (2.17) (постоянные)
распоры и пренебречь z'2 и г’2 относительно
единицы, чтобы упростить и получить замкну-
тую формулу, можем написать:
U = ^2 f f + dX<ly
CO-
ss
л3 (Н* H'L k\ExFx
~ + I2 + ----
р \ 1Х и
(2.77)
4 Ц (д'2 4* w2) dxdy.
Период колебания определяется по-преж-
нему из (2.73). При kx = ky — Hy = 0 данные
уравнения, как и следовало ожидать, перехо-
дят в уравнения натянутой струны.
Кососимметричное колебание. Ввиду того
что отдельные ванты в состоянии покоя име-
ют криволинейное очертание, очевидно, воз-
можна кососимметричная вибрация почти без
удлинений, при которой, однако, нельзя не
учитывать горизонтальные перемещения.
Для оценки частоты этой кососимметрич-
ной вибрации применим метод Рэлея. Для со-
стояния покоя и квадратной вантовой сетки
примем ту же нулевую поверхность, как в пре-
дыдущем параграфе.
В качестве допустимых функций для пере-
мещений примем полиномы, удовлетворяю-
щие граничным условиям (u = v = w = 0):
й = с^ (1+2^ -зт-^); 8 ц=-^(,-^)(1 + 2Т]2-3^);' 1 1 (2.78а—в)
w = c(l~^3) (т) — т]3). j
Для сокращения записи ные координаты введем безразмер-
1 = — (-1 £ 1х + 1) (2.79а)
и
2// , , Ч= — (—1 П *1/ + 1); (2.796)
не следует их смешивать с параметрами и h
параграфа 2.4.5.
Функции и м. и были выбраны так, чтобы
во всей области были удовлетворены усло-
вия и' -\-z'w' = v +z w =0, в чем можно лег-
Введя постоянное значение ц для массы, по-
лучим следующее выражение для приведен-
ной кинетической энергии:
Е = С С (u2 + и2 + w21 dxdy.
Интегралы распространяются на всю об-
ласть горизонтальной проекции. Наконец, ис-
комая кососимметричная собственная частота
следует из выражения
< = (2.80)
(2.81)
Определение численного значения встреча-
ющихся выше интегралов не представляет для
принятых значений функций перемещений ни-
каких затруднений и потому не приводится.
В результате получим
= J2 ______________Д_________
Отсюда согласно (2.73) определяется тпа.
Как видно из построения формулы (2.81),
waa не является просто второй собственной
частотой рассмотренного в предыдущем пара-
графе симметричного колебания. Только в пре-
дельном случае kx — ky-> 0 (плоская сетка) по-
лучилось бы Юса = 1,0315 • 2(0.,. ~ 2l0.,,.
Симметрично-кососимметричное колебание.
Если вдоль одного края покрытия действует
ветровой отсос, а вдоль противоположного
края одновременно давление ветра, может на-
ступить колебание, симметричное в одном на-
правлении и кососимметричное в другом.
Примем в этом случае следующие функции
перемещений:
9-455
129
й = С (I + 2g2 — ЗЕ4) (1 — ф);
8
^ = -с^а-^)(п-л3);
о
w = с(Е —^3)(1 — г;2).
I
I
I
(2.82 а—в)
Колебание кососимметрично в направлении х.
Функции были подобраны так, что с одной сто-
роны u' + z'w' = 0, а с другой стороны допол-
нительный горизонтальный распор Ну, вызван-
ный колебанием, остается по всей длине ван-
ты примерно постоянным.
Если опять пренебречь производными z от-
носительно единицы, то в результате некото-
рых вычислений на основании энергетического
баланса (2.80) получим:
аз и
Нх (2.83)
4 4 + ^z2 zj
Для сравнения положим опять kx = ky=O:
22s = 1,01 — {4,2 — Д- -“-V
к С )
Пользуясь допущениями, положенными в
основу формулы (2.76), мы получили бы для
данного случая:
В случае косой симметрии колебаний в на-
правлении у и прямой симметрии в направле-
нии х достаточно в (2.83) взаимно заменить
индексы х и у,.
Если границы вантовой сетки не являются
прямоугольником, приведенные формулы да-
дут приемлемые результаты, если фактиче-
скую площадь заменить равновеликим прямо-
угольником.
Числовые примеры даны в параграфе 2.9.
2.7.5. Форма окаймляющей кривой
Поскольку растянутые элементы вантовой
сетки не работают на изгиб, возникает вопрос,
какую форму должна иметь окаймляющая
кривая, чтобы бортовой элемент также не ра-
ботал на изгиб. В этом случае окаймляющая
кривая должна быть кривой давления от про-
странственной нагрузки (собственный вес,
усилия, сообщаемые вантами, реакции опор).
С конструктивной точки зрения имеются
две возможности.
1) Бортовой элемент, совершенно не рабо-
тающий на изгиб. С загруженном сетки меня-
ются и усилия в вантах как по величине, так
и по направлению; таким образом, для каж-
дого сочетания случаев нагрузки имеется дру-
гая кривая давления. Этому требованию по-
движности отвечает бортовая поддерживаю-
щая ванта, натянутая между двумя неподвиж-
ными точками, к которой крепятся концы ван г
сетки. Изменения усилий в сетке вызывают
перемещение бортовой ванты, в свою очередь
влияющее на распределение усилий в сетке,
пока не установится равновесие.
При таком решении расчет должен произ-
водиться следующим порядком:
а) расчет вантовой сетки с заранее пред-
полагаемыми деформациями или вовсе без их
учета;
б) определение деформаций бортовой ван-
ты вследствие изменения действующих сил;
в) определение усилий и деформаций в
сетке, вызванных новыми перемещениями
краев;
г) повторный расчет бортовых вант.
Расчет продолжается, пока не сойдется.
Если вести расчет сетки только по линеари-
зированному методу, отдельные результаты
можно накладывать; однако для бортовой
ванты наложение не является возможным
Вместо легкой бортовой ванты можно пре-
дусмотреть многошарнирную арку, обращен-
ную выпуклостью наружу. Этому неустойчи-
вому сжатому элементу должна быть прида-
на устойчивость не только самой сеткой, но и
в другой плоскости — посредством отдельных
вант, второй вантовой сетки или с помощью
особых стержней.
2) Частично безмоментный бортовой эле-
мент. Арку, обладающую сопротивлением из-
гибу и которую в пределе можно рассматри-
вать как жесткую, снабжают в определенных
точках опорами — в вертикальном, горизон-
тальном направлении или сразу в обоих на-
правлениях. Расчет арки производится от-
дельно на вертикальные нагрузки (вертикаль-
ные составляющие вантовых усилий и собст-
венный вес) и на горизонтальные силы
(распоры сетки). В большинстве выполнен-
ных до сих пор сооружений арка покоится на
нескольких опорах, благодаря чему моменты
от вертикальной нагрузки остаются неболь-
шими.
Горизонтальные силы, как правило, имеют
значительно большее значение. Поэтому ра-
ционально придать арке форму кривой давле-
ния от соответственно подобранного сочета-
ния нагрузок (например, предварительное
напряжение4собственный вес).
Нет надобности обеспечивать устойчивость
арки на продольный изгиб как отдельного
элемента, так как усилия в вантах, вызван-
ные ее деформацией, препятствуют этой де-
а
-Й
5
W
Й
•я
3
а
и
н
I
а
я
а
130
формации. При расчете арки на устойчивость
ее следует рассматривать как лежащую на
«упругом основании», т. е. учитывать ее сов-
местную работу с сеткой. Даже приблизитель-
ный, с запасом выполненный расчет приведет
к существенной экономии материала.
Горизонтальная проекция окаймляющей
кривой должна быть выбрана так, чтобы она
являлась кривой давления от действующих на
нее горизонтальных сил Нх(у) и Hv(x).
Согласно обозначениям рис. 2.17 исходные
уравнения будут иметь вид:
dS + pds = 0; d х S = 0,
где векторные величины могут быть выраже-
ны через компоненты:
~х = {х,у\;
S(x, y) = {Sx(z/),S^(x)};
pds= [Нх (z/) dy — Hy (x) dx].
В последнем уравнении уже учтено соот-
ношение ds2 = dx2 + dz/2; знак минус должен
быть принят потому, что Нх и Ну действуют
с одной и той же стороны кривой и оба яв-
ляются растяжением. После коротких выкла-
док получаем три дифференциальных уравне-
ния, дающих после интегрирования общее
уравнение окаймляющей кривой:
J Ну (х) dxdx + J J Ну (у) dydy +
4- aix + а2у + а3 — 0. (2.84)
Три постоянных интегрирования а опре-
деляются, если заранее заданы три точки на
окаймляющей кривой или если даны другие
геометрические условия.
Если, например, //x = const и = const,
получим
— х2 + у2 + агх + а2у + а3 = 0.
Функция представляет собой эллипс, па-
раллельный оси; если обозначить координа-
ты центра через (х0, уо), можно его уравнение
записать еще так:
(х — хо)2 । (у —Уо)2 _ 1 ^2 85)
а2 Ь2
Полуоси а и b связаны между собой зави-
симостью
Т = I/ Г • <2-86)
Горизонтальная проекция окаймляющей
кривой поверхностей переноса представляет-
ся в особо простой форме, если обуславли-
вать отсутствие момента только для случая
нагрузки от предварительного напряжения.
Нулевая поверхность имеет вид г=|(х) +
+£(у) (см. параграф 2.3.2). С учетом (2.31)
вместо (2.84) будет функция
f (X) — g (у) + агх + а2у + а3 = 0.
Для гиперболического параболоида имеем
по-прежнему эллипс
ь ь
Vх2 + 2 + Й1Х + + йз = Ot
Это же справедливо и для волнистой по-
верхности (параграф 2.3.2.7), так как для
нее тоже
НхП и Нуц = const.
Заметим еще, что кривизна окаймляющей
кривой не должна быть обязательно непре-
рывной.
Если использовать
пяты, между которыми
окаймляющие кривые /
очерчены по одной из / J/50
вычисленных выше у s'
кривых, можно достичь
разнообразных конфи-
гураций в плане, на-
пример изображенных \
на рис. 2.18. <Z \
Выводы справедли- х. у
вы как для выпуклых,
так и для вогнутых
краев, т. е. для сжатых 2.18
и растянутых бортовых
элементов.
Если соединить соответствующим образом
углы таких поверхностей сжатыми элемента-
ми, можно получить конструкцию, аналогич-
ную бортовому элементу в виде арки с затяж-
кой, не имеющую от вертикальных нагрузок
никаких горизонтальных реакций.
2.7.6. К вопросу монтажа, вантовых сеток
Вантовые сетки без предварительного на-
пряжения. В описанном методе расчета исход-
ной являлась нулевая поверхность, в которой
9:
131
ванты не испытывают напряжений, поэтому
длины отдельных вант могут легко быть опре-
делены, если известно их положение на по-
верхности, а также положение точек крепле-
ния вант (т. е. окаймляющая кривая);
Lxo(y) = \dsj. = [ |Zgu dx
и соответственно
Vr
Lyo (x) — V §22 dy.
«I
(2.87a)
(2.876)
Если не учитывать за малостью собствен-
ный вес вант, то получается, что в случае пра-
вильно отмеренных длин вант при монтаже
образуется желаемая нулевая поверхность.
Если также заранее рассчитать длины отрез-
ков между узлами, можно произвольную сет-
ку, включая соединения в узлах, полностью
собрать на земле и поднять ее, не пользуясь
подмостями.
Предварительно напряженные вантовые
сетки. Кроме приведенных выше величин за-
ранее известны усилия в вантах от предвари-
тельного напряжения So. Удлинение вант от
предварительного напряжения с достаточной
точностью может быть выражено с помощью
(2.19) и (2.26):
хг
bLx = HxJ-^dx. (2.88)
J Ех гх
Х1
Для вант без предварительной вытяжки
следует ввести фактический модуль упруго-
сти, чтобы учесть их вытяжку.
Таким образом, несущие ванты должны
быть размерены по длине
Lxoo — М-о —&LX (2.89а)
и соответственно напрягающие ванты
Уг
Цоо = ~ ЛЬ, =L,/0— Я,о f dy. (2.896)
«' ЬуГу
"z
При определении суммарных перемеще-
ний кроме удлинений вант необходимо особо
учесть влияние деформаций бортовых элемен-
тов. Если рассчитать сетку только на дейст-
вие собственного веса, то можно, если требу-
ется, ввести также соответствующие удлине-
ния вант в суммарные перемещения.
Таким образом, возможно собирать на
земле и предварительно напряженные ванто-
вые сетки, прежде чем они будут натянуты
вдоль контура. В случае надобности нетруд-
но ввести дополнительные поправки.
2.8. АНАЛИЗ РАБОТЫ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО
НАПРЯЖЕННОЙ ВАНТОВОЙ СЕТКИ
2.8.1. Общие положения
Для исследования влияния разных факто-
ров на усилия и деформации предваритель-
ной вантовой сетки была рассчитана простая
система, обладающая двойной симметрией.
Нулевая поверхность была задана урав-
нениями;
у2 //2
z =---------F —;
100 юо
— z" = + z" = kx = ku — — м~г.
x y 50
При пролетах lx = ly=30 м отношение стре-
лы к пролету составляет n = f/Z= 1/13,33. Кро-
ме того, для начала было принято:
Ех Fx = EyFy = EF — 941 т/м;
нхо = Ну0 = Н0 = 2,5т,м.
Расчет производился только на постоян-
ную нагрузку pz=p\ прогибы определялись
для 25 узлов решетки, изображенной на рис.
2.19 (Дх=Аг/=5 лг). Несмотря на довольно
редкую решетку, можно было получить пред-
ставление об основных результатах. Благода-
ря двойной симметрии достаточно было опре-
делить по линейной теории только шесть зна-
чений w. Для этого было применено прямое
решение системы уравнений, матрица кото-
рой заполнена на 2/3. Дополнительные грузо-
вые члены^ Р* определялись путем приближе-
ния Р* = р*2, они симметричны относительно
диагоналей горизонтальной проекции. Коэф-
фициенты разрешающего уравнения относи-
тельно w* уже не обладают симметрией от-
носительно х и у. Требовалось определить
132
девять значений ш*, что было выполнено ме-
тодом релаксаций
i езультаты в зависимости от изменений
нагрузки, предварительного напряжения, се-
чения вант и вида нулевой поверхности будут
приведены в последующие параграфах раз-
дельно.
В основном для диаграмм приняты следу-
ющие обозначения:
результаты, полученные по линейной тео-
рии;
результаты, полученные с учетом р*, w*
и И*-,
результаты, полученные по приближенным
формулам параграфа 2.6.
2.8.2. Влияние изменения нагрузки
На рис. 2.20 приведено несколько горизон-
тальных распоров как функция нагрузок.
В то время как приближенная формула
(2.64) при хх = х2/ = О,5 дает
Нх = Нх0 + Нхр = 2,5 + 0,5-50.10-3 р =
= 2,5 + 0,025р;
^ = ^o + //w = 2,5-0,025p
(р в кГ/м2-, И в т!м), расчетом по линейной
теории получаются по абсолютной величине
меньшие значения Нр.
Учет нелинейных членов приводит к изве-
стному выравниванию горизонтальных распо-
ров несущих вант, тогда как разницы между
отдельными значениями Ну еще возрастают.
Это же явление наблюдалось и при других
формах вантовых сеток.
До значения Ни вдоль 1 = 3 Нр по прибли-
женной формуле получается с некоторым за-
пасом.
Изображенные на рис. 2.21 отношения
НР*1Н указывают на то, что в принципе нель-
зя пренебрегать нелинейными членами и что
2.21
их следует учитывать путем умеренного уве-
личения распора, по крайней мере при рас-
чете распора средних напрягающих вант и
несущих вант, расположенных вдоль краев.
Провес ш33 середины сетки, как и следова-
ло ожидать, растет с увеличением нагрузки,
но несколько медленнее, чем линейно пропор-
ционально (рис. 2.22).
В некоторых точках, например в узле 31,
р, вызывает увеличение деформаций.
Для сравнения определим величину прове-
са середины сетки с помощью уравнения
(2.65):
w0 — 1,2-0,139,0= 0,166р.
133
Если р—100 кГ/м2, получим, следователь-
но, ш0= 16,6 см. Вдоль контура деформации
остаются еще довольно большими.
2.8.3. Влияние изменения предварительного
напряжения
На рис. 2 23 изображены горизонтальные
распоры Нр и Нр + Нр*, вычисленные с р =
= 33,33 кГ/м2 и EF = 9^\ т/м. Положитель-
ные значения относятся к Нх, отрицатель-
ные — к Ну.
С увеличением предварительного напряже-
ния горизонтальные распоры уменьшаются,
несмотря на неизменное значение полезной
нагрузки; это уменьшение больше сказывает-
ся на вантах вдоль контура, чем в середине.
Это явление легко объяснить, если рас-
смотреть уравнение (2.47а). Поскольку при
положительной нагрузке w" и w" отрицатель-
ны, все четыре члена левой части являются
положительными величинами. Поэтому с уве-
личением предварительного напряжения уве-
личивается значение двух последних членов,
а прогибы должны уменьшаться. С помощью
(2.52) в этом случае получаются также мень-
шие по абсолютной величине горизонтальные
распоры Нр.
Сначала может показаться парадоксаль-
ным тот факт, что с увеличением предвари-
тельного напряжения при той же нагрузке
провес середины сетки увеличивается (см.
рис. 2.24), несмотря на то, что, очевидно, сет-
ка становится более жесткой. Близ контура,
как и следовало ожидать, w убывают.
Здесь сказывается уже ранее упоминав-
шаяся особенность поверхности прогиба ван-
товых сеток. При обычном предварительном
напряжении перемещения w имеют макси
мальные значения приблизительно в четвер-
тях пролетов (для того чтобы воспринять
равномерно распределенную нагрузку в
33,33 кГ/м2, в данном случае потребовалось
бы предварительное напряжение, приблизи-
тельно равное 0,9 т/м).
При большом предварительном напряже-
нии шмакс, напротив, находится приблизитель-
но в середине сетки. Для достижения этого
качественного изменения поверхности проги
ба w должен расти к середине сетки.
Учет не принятых здесь во внимание нели-
нейных членов ничего бы не изменил в этом
явлении.
2.8.4. Влияние изменения сечения вант
При увеличении сечения вант или модуля
упругости вант Е (что имеет одинаковое вли-
яние на конечный результат) прогибы убыва-
ют приблизительно по гиперболической кри-
вой (рис. 2.25). Однако горизонтальные рас-
поры Нр с увеличением EF несколько растут.
Поскольку все деформации уменьшаются,
убывает и значение нелинейных членов
(рис. 2.26).
2.8.5. Одновременное изменение нескольких
параметров
Исследуем теперь по линейной теории две
вантовые сетки с одинаковой н\чевой поверх-
134
ностыо и одинаковой формой в плане, но об-
ладающие разной жесткостью и разным пред-
варительным напряжением
Допустим, что первая сетка характеризу-
ется параметрами EF, Но и Ф, а вторая —
aEF, р// и аФ.
Для первой сетки уравнение (2.47а) запи-
шется без изменений:
г"Фх J z"wdx 4- 2" Фу f г- wdy —
—HxOw" — = p,
а для второй, введя для отличия w.
г"аФх j z"wdx -ф z“ аФ^ J z’’w dy —
— fWx0 w" — = p = yp.
Легко заметить, что обе сетки имеют оди-
наковую поверхность прогиба зу(х, у}, по-
скольку а = р = у = const. Кроме того, имеем
Нр = —Нр, т.е.
а р ~ с
Р
Этот результат, строго справедливый только
при расчете по линейной теории может бить
обобщен.
Если увеличить только жесткости ваш
это окажет на прогибы такое же йствш
как соответственное уменьшение прч дари-
тельного напряжения и нагрузки От юш пь.
НР1р останется неизменным.
Если увеличить только предварительное
напряжение, то новые прогибы окажутся та-
кими же, как если бы ми соответетве пно
уменьшили жесткость вант и нагрузку, и на-
оборот. И в этом случае НР/р не меняется.
Теперь может объясниться, почему ня рис
2.26 горизонтальные распоры несколько воз-
растают с EF: увеличение EF при неизменной
нагрузке оказывает на Нр такое же действие,
как уменьшение предварительного напря-
жения.
2.8.6. Влияние изменения нулевой
поверхности
Исследуем только случай аффинного иска-
жения вантовой сетки в направлении z. Ко-
эффициент искажения таким образом,
новые ординаты z=az.
При сохранении тех же параметров z" и
z" меняются линейно с а. Для того чтобы прий-
ти хотя бы к качественному результату, не
будем учитывать (нелинейное) изменение Ф
при условии, что а не очень отличается от
единицы. Тогда оба первых члена в (2.47а)
изменяются в зависимости от а2. Таким об-
разом, на прогибы аффинное искажение в на-
правлении z имеет такое же влияние, как из-
менение жесткостей вант на a2EF. При неиз-
менной нагрузке новые прогибы будут при-
близительно w/a2, а новые горизонтальные
распоры приблизительно равны Нр/а, где w
и Нр отвечают неискаженной поверхности.
Мы приходим к выводу, что по результа-
там, полученным для одной, уже исследован-
ной сетки, можно приблизительно судить о
работе другой, подобной ей сетки.
Обычно едва ли возможно при исследова-
нии на модели соблюсти масштабы длин и
сечений, а одновременно масштабы модулей
упругости, нагрузок, предварительных напря-
жений. Согласно выводам данного парагра-
фа поведение вантовой сетки может быть вы-
явлено и на такой модели, у которой соблю-
дена масштабность не все?', параметров.
2.8.7. Решение
в замкнутом виде
Приводимый пример относится к исключи-
те/; . • о простой вантовой сетке пэдхсдящо й
ПОПЫТк i Пш/HTb ШСКЙ ДЛЯ W В ВИДС
с п функции ’I nt ф 2.4.1). I со-
г.о• гаси. с полученными у । боле точ-
ными р г чьтатами.
Же д'аины |к в параграфе
2.3 1: Фл--Ф.«=30 t/j ". кроме того, прим
чти //.,) = // .. -2,5 т!ч и о — go хГ1м2- con
Преле; .его приведем решение согласно
применявшемуся до си:: л численному ме-
тоду, когда прогиб . и го л?с нгалъные рас-
поры определены без учета и с учетом квадра-
тичных членов р* (табл. 2.2).
135
Таблица 2.2. Прогибы и горизонтальные распо-
ры, полученные численным методом.
1 2 3
i W в см Н хр
1 9,7 11,6 11,2 12,7 11,4 13,3 +1,99 +2,15
2 11,2 10,3 13,5 13,2 14,0 13,8 +2,38 +2,30
3 11,4 10,4 14,0 13,3 14,4 13,9 +2,44 +2,32
Нур —1,99 —1,92 —2,38 —2,43 —2,44 —2,53 т/м
Верхние значения: результаты расчета по
линейной теории. Нижние значения: резуль-
таты, полученные с учетом р*.
Но = 2,5 т/м;
EF = 941 т/м;
рг = 80 кГ1мъ.
Примем сначала, что w отвечает функция
w (х, у) = w0 (1 — £2) (1 — Т]2),
где £ и т] — безразмерные координаты:
- 2х 2г/
Тогда согласно (2.52) получаем распор:
хг
НХР = — Фх J z"wdx =
Х1
хг
= |%0(l-n2) f(l-|2)dx=12u/0(l-n2)
50 J
Х1
и аналогично
Я^ = -12^(1-£2).
Введя производные w" и W’ и использовав
условие равновесия (2.39в), получим:
Hxow" + Нхр z" + Нхр w" + Ну0 w“ +
+ Hypz“ + Нур w" = — рг;
~ 225 ° ~ ~ Л W°(1 “lf) ”
- >w. (1 - Г) + -Vi (1 - a=r- = - o.os.
DU
Это условие не удается выполнить одновре-
менно для всей области: здесь оно удовлет-
воряется в четырех симметрично расположен-
ных узлах.
Принятой нами функции деформаций от-
вечает, следовательно, непостоянная нагрузка.
Если принять соответствующие средние
значения функций, в данном случае выпада-
ют члены, содержащие ву0 в квадрате (полу-
чаемые от Hxpw" и Hypw); в результате по-
лучим йу0 = 0,229 лг = 22,9 см.
К тому же результату мы бы, очевидно,
пришли, подставив w в основное уравнение
(2-47).
Далее следует:
Нхр = 2,75 (1-т) т м-
Нур = -2,75(Д ^тм.
Прогибы приведены в табл. 2.3.
Таблица 2.3. Прогибы и горизонтальные
распоры, отвечающие формуле а' = ш0(1—£2) (1—г;2)
i 1 3
1 W в см
1 7,1 11,3 12,7 + 1.53
2 11,3 18,1 20,4 +2,44
3 12,7 20,4 22,9 +2,75
Нур —1,53 —2,44 —2,75 т/м
По сравнению с точными значениями
(табл. 2.2) получилось на 65% завышенное
значение максимального прогиба и на 19% за-
вышенное значение максимального распора Нр.
Нагрузка pz, отвечающая принятой по-
верхности w, имеет значения, колеблющиеся
от 0 кГ!м2 (вдоль края) до 120 кГ1м2 (в сере-
дине). При £=±0,5, т)=±0,5 имеем р.=
= 90 кГ/м2.
Решение едва ли может рассматриваться
даже как грубое приближение. Заметим, что
приближенная формула для предварительной
оценки (параграф 2.8.2) дала более точные
результаты.
Несколько лучшие результаты достигают-
ся, если для w принять функцию
w = а’0(1 — £4)(1 — т]4).
С этой подстановкой получим:
= 15,04 см-,
НхР = 2.17(1 — I]4) т м-
Нур = —2,17(1 —£4) т Л1.
В табл. 2.4 приведены прогибы и распоры.
Теперь провес в середине имеет значение,
завышенное на 8%, а максимальный горизон-
тальный распор Нр занижен на 6,5%.
Отвечающая этой функции w нагрузка по
краю сетки равна нулю, в середине 87, а при
£=±0,5, ц=±0,5 около 91 кГ/м2.
136
Таблица 2.4. Прогибы и горизонтальные распоры,
отвечающие формуле ш = ш0(1—£4)(1—if)
2 3 Дер
/
1 9,7 11,9 12,1 +1,74
2 11,9 14,7 14,9 +2,14
3 12,1 14,9 15,0 +2,17
Нур —1,74 —2,14 —2,17 т/м
Если не прибегать к энергетическому ме-
тоду, в качестве критерия пригодности и точ-
ности выбранной для w функции служат лишь
разности между заданной нагрузкой и орди-
натами нагрузки, отвечающими ш.
Описанный способ расчета можно было
бы уточнить, дополнив функцию w свободны-
ми членами, и определить последние из усло-
вия минимума квадратов разностей нагрузок.
Однако затрата времени при таком расчете
резко увеличивается. Оценка фактических
ошибок в определении прогибов и горизон-
тальных распоров не может быть осуществ-
лена.
2.9. ПРИМЕР
2.9.1. Система и заданные размеры
В качестве примера была рассчитана ван-
товая сетка неправильной формы в плане,
изображенная на рис. 2.27. Система симмет-
рична относительно плоскости х=0; нулевая
поверхность в изображенной на рисунке сис-
теме координат дана функцией
х2 , J/2
z =
272 340
Отсюда следует:
, , 1 ,
Z" = k..= Ч------М~г;
у 170
_ = 08
kx 170
Для горизонтальной проекции окаймляю-
щей кривой сначала были приняты дуги эл-
липса с отношением осей а/6 = 1,28 (см. па-
раграф 2.7.5). Затем форма боковых арок бы-
ла принята по кривой давления для случая
нагрузки предварительное напряжение+по-
стоянная нагрузка; отклонение от ординат
эллипса составило в направлении г макси-
мум 0,4 м.
Отношение стрелы к пролету для самой
длинной несущей ванты = Д/Д—1/10,9, а
для самой длинной напрягающей ванты п„=
= №=1/11,7.
Из экономических соображений все ван-
ты должны иметь одинаковое сечение. Пре-
дусмотрены витые канаты 23 мм, сечением
3,15 см2 стали сорта St 160 согласно нормам
2.27
DIN 69202 Фактический модуль упругости
принят постоянным £х=£\/=1500 т!см2-, та-
ким образом, при шаге в 1,5 м для несущих
вант и 1,667 для напрягающих вант соглас-
но уравнению (2.23) получим:
F =3-^ = 2,1 см2'м-, F = — - 1,89см2/м
х 1,5 'У 1,67
И
EXFX = 1500-2,1 = 3150т м;
EyFy=l 500 • 1,89 = 2835 т'м.
Расход стали на ванты отвечает листу тол-
щиной всего в (2,10+1,89)/10 = 0,4 мм, что ис-
ключительно мало, особенно если учесть зна-
чительность пролета.
Для численных, расчетов применяется ре-
шетка, изображенная па рис 2.27, со сторо-
нами ячейки Дх —6,5 м и Дг/= 10 м. Криволи-
нейный контур сетки заменен изображенной
на рисунке ломаной линией.
137
В то время как фактическая сетка имеет
около 3500 точек пересечения вант, переме-
щение определяется лишь в 116 узлах. При
разделении на симметричную и кососиммет-
ричную задачу получилось 58 линейных урав-
нений со столькими же неизвестными проги-
бал, л
2.9.2. Принятые нагрузки
Предварительное напряжение:
Я, =6 т/лг;
Нуи=7,Б т/м = Нх0/р — см. уравнение (2.33).
Постоянная нагрузка:
5 = 38 кГ/м2 поверхности кровли
(из них 3,25 кГ/м2 ванты и зажимы, осталь-
ное— покрытие кровли).
Снег:
s = 75 кГ/м2 горизонтальной проекции.
Изменение температуры:
разница температур вантовой сетки и борто-
вого элемента
Л/=±15°С;
с, = 12- 10~6.
Ветровая нагрузка:
ветровой напор 7 = 90 кГ/м2 как среднее
значение согласно нормам DIN 1055, лист 4,
для средне!! высоты около 25 м над землей.
Для лучшего сопоставления с соответствую-
щими прогибами рядом с результатами при-
ведены коэффициенты распределения ветро-
вой нагрузки.
Деформации бортовых элементов не учте-
ны, чтобы можно было яснее проследить за
характером работы сетки. Бортовая арка бы-
ла рассчитана на снеговую нагрузку. Ее де-
формации не имели существенного влияния
на усилия в вантах.
2.9.3. Предварительный расчет
Вычисление параметров. С помощью фор-
мул (2.59), (2.60) и (2.63) получаем:
р=—= 0,8- <р = = — = 0,9;
170 ’ EXFX 3150
срр2 = 0,9-0,82 = 0,576;
х, = — = 0,635; х = 1 — 0,635 = 0,365;
х 1,576 У
= 0,635 -136 = 86,3 м-
&х
*£ =0,365-170 = 62,1 м.
ky
Постоянная нагрузка. Для учета наклона
поверхности принимается усредненная на-
грузка в 39 кГ/м2 горизонтальной поверхно-
сти.
Согласно формуле (2.64) имеем:
Нхр = 86,3-39-10^3 = 3,37/Ди;
НуР = — 62,1 -39 10~3 = — 2,42 т, м.
Снег: как для постоянной нагрузки:
Нхр = 86,3-75-10“3' = 6,48 т,м;
Н11П = — 62,1 • 75 -10—3 = — 4,66 т/м.
Температура. Согласно уравнениям (2.66):
Я1Р= 3150-12-10~с-15-0,365 (1 + =
= — 0,47 т ж;
Нип = — 1 0,47 — 0,52 т лг. »
ур 0,9
Ветер в направлении у. Как видно из
рис. 2.29, максимальные по абсолютной вели-
чине коэффициенты ветровой нагрузки распо-
ложены в верхней части рисунка, следова-
тельно, в этой зоне достигают абсолютного
максимума распоры в направлении х. Вдоль
/=1 коэффициенты в среднем равны с = — 1,
следовательно, отсос там равен р3 = cq =
= —90 кГ/м2.
Самая большая нагрузка расположена
близко от контура сетки, поэтому ванты, иду-
щие в направлении у, участвуют больше в
передаче этой нагрузки, чем равномерно рас-
пределенной. Если еще не учесть горизон-
тальные составляющие нагрузки и ориентиро-
вочно принять коэффициент распределения
v.x равным для этой нагрузки 0,6, а вдоль / =
= 1, согласно (2.64а) получим:
Нхр = — 0,6 136 - 90 -10-3 = — 7,35 т 'м.
Ветер в направлении х. Согласно схеме вет-
ровых нагрузок, изображенной на рис. 2.30,
максимальный распор следует ожидать при-
мерно вдоль линии i = 2. Коэффициенты вет-
ровой нагрузки могут быть разделены на сим-
метричные и кососимметричные. Усредненная 111
симметричная часть составляет cs = —0,57;
тогда Дз< = - 0,57 90 = —51,3 кГ/м2 и соглас-
но (2.646):
Нур, = 62,1 -51,3-10—3 = 3,2 т м.
Кососимметричные части нагрузки загру-
жают вантовую сетку преимущественно вдоль
краев i = 0 и 1=15.
Вдоль линии i = 2 средняя кососимметрич-
ная нагрузка от ветра равна р3а =—0,33-90 =
= —30 кГ/м2.
Согласно линейной теории Нхр = 0 (см.
параграф 2.7.1), однако член HxOw" в (2.47а)
138
будет в этом случае еще довольно значитель-
ным. Если предположить, что ванты, имею-
щие направление у, несут 70% нагрузки, по-
лечим:
Н,/ра=-^7Р3а ky= 0,7-30-170-10~3 = -3,6 дж-
От ветра, действующего в направлении х
вдоль линии i = 2, без учета горизонтальных
составляющих и ру:
Нур = Hyps + Нура = 3,2 + 3,6 = 6,8 т м.
Конечные результаты. Предельные значе-
ния горизонтальных распоров выписаны в
табл. 2.5.
Таблица 2.5. Горизонтальные распоры,
полученные предварительным расчетом
; Случай нагрузки «х ну
0 4-6,00 4-7,50
g 4-3,37 —2.42
S 4-6.48 —4,66
4=0,47 4=0,52
W —7,35 4-6,8
й+й' 4-9,37 4-5,08
Максимальный 4-16,32 т12,40
Минимальный -|-1,55>0 4-0,94> 0 г/.и
Углы наклона по краям. Бе? учета дефор-
маций вдоль правого края имеем.
?' = —^ = —- = —0,37;
г 136 136
вдоль верхнего края
Усилия в вантах. Согласно (д’.>?'; и
например, имеем:
S = Н т/Г+ г~
1макс хмак г
а максимальные напряженп ..
_ _ ^такс
и1макс — .,
РХ
__ *$2макс
°2макс— „
Гу
16,31 .97
2.16
12,40 1,04
1,89
= 8
Даже в самом неблагоприятном случае го
ризонтальные распоры остаются поло (тель-
ными и в вантах еще сохраняется растяжение.
2.9.4. Расчет прогибов и горизонтальных
распоров по линейной теории
2.9.4.1. Параметры системы
В данном случае кривизны и горизонталь-
ные распоры сетки в нулевом состоянии по-
стоянны. Обозначив для краткости отрица-
тельные центральные разности
ДМ/ = 2^. ;. -
можем основное уравнение (2.47а) или (2 55)
записать в виде:
Д'Е w + В> £ w + СД;w +
4-яд^. .= р. ..
Из четырех величин А, В, С, D только А
и В зависят от пролетов; суммирование рас-
пространяется на все внутренние узлы решет-
ки соответствующего ряда.
В данном случае вместе с силами предва-
рительного напряжения не были учтены пред-
варительно подсчитанные значения Нр (см.
параграф 2.4.1). Благодаря этому влияние не-
линейных членов выразилось более отчетливо
и оказалось возможным для всех случаев на-
грузки применить одну и ту же систему урав-
нений.
Практично р выражать в см, а Р в кГ/м2.
Величины А, ..., D выражаются тогда с
помощью (2.47а) следующим образом:
А.= 10Ф /г2 Дх = 10 6’5Ф ;
I х> х 136
В, = 10Ф .л;,Д£/ = —Ф .;
С -10 = 10—^— = 1,42;
\л'г 6,52
D = 0-Я^ 10-— = 0,75.
(Ду)2 102
В табл. 2.6 приведены величины А, Ф, А
и В
Определение этих величин производится
с помощью формул (2.56), см. также пара-
граф- 2.4 5.4.
Зависящие j диагональные члены
л-ь риш. рзвн: п» и использовании симмет-
рии пример’ о 4,7, тогда как побочных члены
до абсо. .ст ой е личине достигают значения
1,208. С помощью метода релаксации все про-
гибы для всех с.т чаев нагрузки могли быть
вычислс ны на счетной линейке.
В формулах для интересующих нас в ко-
нечном итоге ра .ч.зров прогибы появляются
139
Таблица 2.6. Параметры
/ фх в т)м: А в кГ/мсм i ЛУ % в т/л2 В в кГ/ я?с м
1 1,049 35,54 0,125 1 1,021 46,28 0,160
2,..,6 1 065 30,32 0,106 2 1,033 34,30 0,119
7 1,049 35,54 0,125 3 1,040 30,38 0,105
8 1,035 42,57 0,149 4 и 5 1,044 27,16 0,094
9 1,023 52,61 0,185 6 и 7 1,054 24,44 0,085
10 1,007 96,23 0,338
под знаком суммы. Поэтому практически до-
статочно определять деформации с точностью
в 5% максимального значения (т. е. в данном
случае примерно до ±1 см).
Для описываемого примера отдельные
значения были определены приблизительно с
точностью до ±2 мм.
Горизонтальные распоры в т/м следуют из
формулы (2.52):
Н =Ф ./? Ax'S. . + Q +2V =
хр X,] X I,] 1 ^х 1 х
= ‘2 w. . + 5 + N=
103kx l’> х х
= И = 0,136Л г2 wt . + Q + N
и соответственно
= 2Ч.,- + ё, + +
2.9.4.2. Снеговая нагрузка
В табл. 2.7 приведены прогибы и горизон-
тальные распоры от нагрузки р2=75 кГ1м2.
Следует отметить, что напечатанные жирным
шрифтом максимальные значения Wi и Wj
большей частью не находятся в середине про-
лета. Из рис. 2.28 видно, что в средней обла-
сти w имеет примерно постоянное значение.
2.28
Эта поверхность прогибов, типичная для по-
стоянной нагрузки также и при других очер-
таниях контура сетки, указывает на то, что
трудно подобрать подходящую несложную
функцию, чтобы выразить w(x, у).
Приближенные формулы (2.65) дают
средний прогиб
w 1362-0,635-75-10-1 = 29,8см,
3150
а провес в середине поверхности
w0 гь 1,2^ = 35,8 см.
Таблица 2.7. Прогибы и горизонтальные распоры от снега
1 2 3 4 5 6 7
/ W в см н*р
1 16,6 22,7 24,8 25,0 24,9 24,6 +4,71
2 18,5 25,8 30,7 32,7 32,9 32,8 32,4 +5,85
3 18,7 28,4 32,9 34,6 34,8 34,6 34,3 +6,30
4 19,1 28,8 33,3 35,1 35,4 35,4 35,1 +6,41
5 18,2 27,8 32,8 35,1 35,8 36,2 36,0 +6,40
6 14,8 24,4 30,5 34,1 36,0 37,1 37,3 +6,18
7 14,6 24,2 30,5 34,3 36,8 37,7 +6,06
8 14,4 24,3 30,6 34,9 36,8 +5,72
9 14,5 22,3 22.8 33,4 +5.03
10 17,5 23,6 +3,78
Нур —2,36 —3,36 —3,95 —4,25 —4,58 —4,62 —4,78 т/м
140
2.9.4.3. Постоянная нагрузка
Согласно (2.6) и (2.5) элемент поверхно-
сти имеет величину d0 = | gdxdy, нагрузка
от собственного веса покрытия кровли и сет-
ки составляет pz = 38 | l+z'2 + z'2. Макси-
мальное значение Р = рг в данном случае
40,5 кГ!м2.
Полученные прогибы внесены в табл. 2.8,
равно как и соответствующие горизонталь-
ные распоры.
Используя приближенную формулу (2.65)
для среднего значения pz = 39 кГДм2, имеем
1,2 1363-0,635 -39-10-1 = 18,6 см.
Если помножить результаты, полученные
для снега, на t] = £/s = 39/75 = 0,52, получим
приближенные значения горизонтальных рас-
поров от постоянной нагрузки, приведенные
в табл. 2.9.
Отклонения этих величин от точных зна-
чений (2.8) невелики, однако прогибы с ис-
пользованием данного коэффициента пересче-
та определяются неточно.
2.9.4.4. Увеличение температуры
Согласно (2.50) для постоянного увеличе-
ния температуры:
Пх = — EXFX at А/ = — 3150 • 12-10~5 . 15 =
= — 0,567 т,'м;
М, = —2835-12.10~s-15 = — 0,510 т,'м.
а отсюда, используя (2.51):
0-567 0,510 \ 103
\ 136 170 /
= + 1,17 кГ/м2 = const.
Если опять воспользоваться коэффициен-
том пересчета, исходя из снеговой нагрузки,
Таблица 2.8. Прогибы и горизонтальные распоры от постоянной нагрузки
1 1 2 3 4 5 6 7 1
i W в см 1 нхр
1 9,1 12,3 13,2 13,1 12,9 12,7 4-2,49
2 8,8 14,1 16,4 17,1 16,9 16,6 16,3 +3,06
3 10,3 15,4 17,5 18,1 17,8 17,3 17,0 +3,27
4 10,4 15,4 17,6 18,2 18,0 17,6 17,2 +3,30
5 10,0 15,0 17,3 18,1 18,2 18,0 17,6 +3,29
6 8,1 13,1 16,0 17,7 18,3 18,6 18,5 +3,18
7 7,8 12,8 15,9 17,6 18,6 19,0 +3,12
8 7,6 12,7 15,8 18,0 19,0 +2,98
9 7,7 11.8 15,7 17,9 +2,67
10 9,4 12,8 +2,04
Нур —1,30 —1,82 —2,10 —2,21 —2,36 —2,35 —2,43 т/м
Таблица 2.9. Нр, полученные пересчетом распоров от снега
i 1 2 з 4 5 > 10
нхр +2,45 +3,04 +3,28 +3,33 +3,33 +3,22 +3,15 +2,98 -[-2,62 +1,97
Нур 1 —1,23 2 —1,75 3 —2,05 4 —2,21 5 —2,38 6 —2,40 7 —2,49 /л. м
141
с т|= 1,17/75 = 0,0156, получаются значения,
приведенные во втором столбце табл. 2.10.
Прибавив согласно (2.52) N, получим окон-
чательные значения горизонтальных распо-
ров, приведенные в третьем столбце.
Таблица 2.10. Нр. вызванные увеличением
температуры
i хр t нуР
1 +0,074 —0,49 1 —0,037 —0,55
о +0,091 —0.48 2 —0,053 —0,56
3 +0,098 —0,47 3 —0,062 —0,57
4 +0.100 —0,46 4 —0,066 —0,58
5 +0,099 —0,47 5 —0,071 —0 58
6 +0,096 —0,47 6 —0,072 —0,58
7 +0,095 —0,47 7 —0,074 —0,58
8 +0,089 —0,48
9 +0,079 —0,49 m/м
10 +0,059 —0.51
Максимальный прогиб, получаемый путем
пересчета провеса от снега, получается рав-
ным всего лишь
шмакс = 0,0156-37,7 = 0,59 см.
2.9.4.5. Ветер в направлении у
В основу расчета минимальных горизон-
тальных распоров Нх положено распределе-
ние коэффициентов ветровой нагрузки, изо-
браженное на рис. 2.29 Ветровая нагрузка
действует нормально к площади кровли и на-
правлена кверху (отсос).
Разложение ветровой нагрузки ps = cX
Х90 кГ/м2 на составляющие рх, ру и pz соглас-
но (2.16), а также определение условных
поперечных сил Q (см. 2.49) здесь не приво-
дятся. В табл. 2.11 приведены только Рг = Рз
[см. (2.16в) при pi = p2 = 0], а также полное
значение нагрузки Р. Сопоставление этих
двух значений доказывает, что часто можно
при расчете на ветер отказаться от несколько
трудоемкого определения Q и Р, если в сред-
ней зоне приближенно принять Р = рз, а около
краев, в зависимости от углов наклона и вели-
чины поверхности, — примерно
Р^ (1,05 до 1,15)р3.
Максимальный прогиб равен — 42,8 см в
точке i = 4, / = 2. В табл. 2.12 приведены го- ]
ризонтальные распоры. К этим значениям сле-
дует прибавить еще поперечные силы в услов-
ной балке, зависящие от i и /. Величина этих
поперечных сил колеблется от —0.5 до
+ 0,4 т/м.
I,
2.9.4.6. Ветер в направлении х
Л
На рис. 2.30 изображено распределение ко-
эффициентов ветровой нагрузки, принятое при в
расчете. Максимальное по абсолютной вели-
чине значение имеет место в точке i = l, / = 4
Таблица 2.11. Нагрузка от ветра, действующего
в направлении у
Верхняя строчка: Рз=Р; в кГ/м2-, нижняя строчка:
Р в кГ/л+
Все значения отрицательны.
1 2 3 4 5 6 7
1 90,0 104,3 94,5 106,2 90,0 98,7 88,2 94,9 87,2 92,5 87,2 91,8
2 70,2 82,2 80.1 89,5 82,9 89,9 81,0 85.5 79,2 82,0 78,4 79,9 78,4 79,3
3 54,0 62,2 65,7 71,7 70,2 74,4 68,4 70,5 68,4 69,1 68,4 68,1 68,4 67,4
4 41,4 47,0 52,5 56,5 58,5 61 ,0 58,5 59,2 63,0 62,6 63.0 61,7 63.0 61,2
5 34.2 38,5 43,2 46,2 47.6 49,3 52,2 52,5 59,4 58,7 64,0 62,5 64,0 62,0
6 22,5 24,6 35,1 37,6 38,7 40,1 45,0 45,4 52,2 51,9 54,0 52,9 56,7 55,2
8 27,0 29,3 30,6 32,4 31,5 32,7 31,5 31,2 34,2 34,8
10 27,0 29,9 27,0 29,8
142
Таблица 2.12. Н Р от ветра в направлении у
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Htp —6,90 —7,30 —6,42 —5.35 -4,51 —3,34 —2,54 —1.71 —1,10 —0,77
i 1 о 3 4 5 6 7
Нур + 1,35 +2.54 +3,12 4 3.31 4 3,65 +3,57 +3,69 т ч
и составляет с =—1,14 (отсос). Нагрузка по-
прежнему нормальна к поверхности крыши.
Для упрощения расчета коэффициенты
разложены на симметричные и кососиммет-
ричные части относительно плоскости х = 0.
Оба случая нагрузки рассматриваются от-
дельно.
Таблица 2.13.Нагрузка от ветра в направлении л
Верхние строчки: симметричная часть нагрузки Р
в кГ/м2. Все значения отрицательны.
Нижние строчки: кососимметричная часть нагрузка
Р в кГ/м2. Все значения отрицательны, при i 8 — по-
ложительны.
X. 1 i \ 1 2 3 4 5 6 7
1 64,8 25,3 61,6 23,5 54,0 18.7 42,4 7,7 38,9 2,8 36,8 0,9
2 71,2 33,8 72,6 34,5 61,3 24 6 50,0 14.4 43.4 6.6 39,9 2,8 38,7 0,9
4 76,5 38,4 67,7 33,1 56,1 22,8 46,3 11,9 42,5 7.2 41,9 1,7 42,6 0,9
6 71,5 33,5 67,7 33 1 57,0 23,7 47.2 15.8 43,5 8,1 41,0 4, 1 49,7 0,9
8 62,9 25,7 58 26,1 50,1 16,2 43,3 6,5 40,3 1.9
10 39,3 5,1 38,2 1,9
Нагрузки от ветра, полученные с помощью
(2-16) (рх, ру, pz) и (2.51) (Qx и Q,;), выбо-
рочно приведены в табл. 2.13
Для обеих частей нагрузки разница между
Рз и Р опять была небольшой; отношение Р/рз
колебалось в границах от 0,96 до 1,17.
В табл. 2.14 приведены горизонтальные рас-
поры. Напомним, что для кососимметричной
части нагрузки Нх.р = 0.
Поперечные силы в табл. 2.14 еще не учте-
ны. Их предельные значения равны:
Q -1-0,54 т/м при 1 = 0, / = 3;
Таблица 2.14. Н рот ветра в направлении
i 1 2 s 7 10
нхр i Hyps Нура Н'ур Нур —3,01 1 +2,98 +2,52 +5,50 +0,46 —3,99 2 +3~,66 +3,01 +6,67 +0,65 —4,28 3 +3,47 +2,75 +6,22 +0,72 —4,31 4 +2,94 +2,15 +5,09 +0.79 —4,25 5 +2,53 HI ,50 +4,03 1-1,03 —4,13 6 ->-2,13 -0,77 т-2,90 + 1,36 -4,04 7 +2,03 +0,25 4-2,28 +1,78 —3,85 —3,19 т/м При ветре cj При ветре си. —2 12 1ева зава
143
Qx = —0,15 т/м при i = 7, j=3;
Qv= +0,18 т/м при i=2, j = 5;
Qy = —0,42 т/м при i = 2, j = 0.
Расчет на прочность следует производить
по значению Нур= +6,67 т/м (при 1=2). Его
значительная величина объясняется сущест-
венным влиянием большой местной нагрузки.
2.31
Принятый в расчете коэффициент для вет-
ровой нагрузки с вдоль 1 = 2 в среднем при-
близительно равен — 1. Если бы была приня-
та для упрощения вместо отсоса ветра верти-
кальная, равномерно распределенная по всей
поверхности заменяющая нагрузка, то полу-
ченному максимальному распору отвечала бы
нагрузка pz =—153 кг/м2, т. е. коэффициент
с=—1,70.
Максимальное вспарушивание сетки из-за
ветрового отсоса (обе части нагрузки) дало
примерно w =—59,9 см в узле 1=2, / = 4. Для
сопоставления с нагрузкой (рис. 2.30) поверх-
ность прогибов показана на рис. 2.31.
2.9.5. Влияние нелинейных членов
2.9.5.1. Общие соображения
Ниже будет исследовано влияние нелиней-
ных членов в уравнениях (2.39) для обоих
наиболее неблагоприятных сочетаний нагру-
зок: собственный вес + снег и собственный
вес + ветер в направлении х.
Температурные изменения вызывают на-
столько незначительные деформации, что этот
случай нагрузки в дальнейшем рассматри-
ваться не будет.
Сначала следует определить деформации
и и v по формулам (2.53). В данном случае
выпадают оба первых и два последних члена
в указанных уравнениях. Второй интеграл
заменяется суммированием по правилу тра-
пеций, первый уже известен: он уже был вы-
числен тоже путем суммирования, при опре-
делении распоров. Встречающиеся только при
горизонтальной нагрузке условные моменты
М легко определяются вместе с поперечными
силами Q.
2.9.5.2. Сочетание постоянной нагрузки +
+ снег
Изображенные на рис. 2.32 горизонталь-
ные перемещения достигают нмакс = 9,8 см и
Уыакс=10,5 см, т. е. почти 20% максимального
провеса ау = 56,7 см. По сравнению с точными
результатами [по формулам (2.53а) и (2.536)]
приближенные формулы (2.53в) во всех слу-
чаях давали заниженные от 12 до 40% (в сред-
нем приблизительно на 20%) значения пере-
мещений.
Ввиду малых общих кривизн вант и" и v"
величины р*х и Ру согласно (2.41а) и (2.416)
также невелики (рис. 2.32).
Влияние последних членов рассматривае-
мых уравнений было незначительным: рх
только в двух узлах у края превышает 1 и рав-
няется соответственно 1,9 и 1,5 кГ/м2, а в
остальных узлах почти нигде не достигает
0,2 кГ/м2. Значения р * оказались немного
большими. Они достигают максимального зна
чения также вдоль краев: при i = 2. J=1 ру =
= —8,G кГ/м2. Среднее значение р*у составля
ет около 2 кГ/м2.
Поскольку горизонтальные нагрузки ока-
зывают значительно меньшее влияние на гру-
зовую функцию и, следовательно, на распоры,
144
Таблица 2.15. Дополнительные нагрузки р2прн постоянной нагрузке н снеге
1 о о 4, 5 6 7
] 99 (3 +3,1 + 12,1 +17,6 + 18,0 +19,5 кГ/ч2
2 —12,2 — 11,7 —4,2 +0,1 +4,8 +5,7 +7,8
3 —30,7 — 16,7 —8,4 —3,9 0 0 + 1,2 +2,5
4 —33,4 —17,5 —9,1 —4,8 —0,3 —0,8 + 1.4
5 —29,8 — 14,8 —8 0 —4,4 —1,2 —1.8 +0,7
6 —11,9 —7,3 —4,6 -3,6 —0,6 — 1,6 +0,7
7 —13,1 —8.0 -5,9 -2,2 —3,2 — 1,5
8 -10,2 —8,0 -1,2 —4,0 -3,4
9 —14,0 + 14,2 —2,4 —3,1
10 -18,2 +2,4
Таблица 2.16. от постоянней нагрузки и снега
1 1 2 1 5 6 1(
+0,58 +0,09 —0,22 —0,30 —0,28 —0,15 —0,21 —0,26 —0,06 —0,24
+8,1 +1,0 —2.3 —3,1 —2,9 —1,6 —2,3 —3,0 —0,8 —4,1
1 1 2 3 5 6 7 т/м
нур +0,67 +0,67 +0,43 +0,18 —и, 11 —0,26
н*'н —18,3 —12,9 —7,1 —2.8 +1 6 -1-2 0 +3,6
чем вертикальная нагрузка, в данном случае
нет надобности в дальнейшем учитывать р*х
и Ру
Вычисленные с помощью уравнения
(2.41 в) «дополнительные нагрузки» р* сведе-
ны в табл. 2.15.
Максимальные значения п в этом случае
получаются вдоль краев и достигают 29% Pz-
Последние два слагаемых в (2.41 в) незначи
тельны.
Кажущееся неправдоподобным положи-
тельное значение для узла i=5, j=9 вызвано
10—455
145
влиянием расположенного близко входящего
угла в узле i=5, у = 10.
С помощью приближения Р*~р* были
определены дополнительные прогибы w* и
распоры Я*, причем в (2.55) вместо Но были
внесены суммарные распоры Н=Н0-\-Нр, из-
вестные из первого приближенного решения.
Максимальный провес равнялся а>* =
= + 13,7 см, или 27% от w; однако для боль-
шей части поверхности сетки w* отрицателен
и доходит до —7,4 см.
Третье приближение не потребовалось.
Необходимые в конечном итоге горизон-
тальные распоры Н* приведены в табл. 2.16.
Для сопоставления приведены также их отно-
шения к Нр в %.
В этом случае опять разницы между рас-
порами отдельных несущих вант уменьшают-
ся (см. параграф 2.8.2), а усилия в централь-
ных напрягающих вантах возрастают по аб-
сочютной величине.
При окончательном определении усилий
Яр распределяются как процент нагрузки от
собственного веса и ветра и складываются с
соответствующими Нр.
2.9.5.3. Постоянная нагрузка + ветер
в направлении х
Для этого сочетания опять отделим и рас-
смотрим особо кососимметричную часть на-
грузки.
Заранее можно предвидеть, что симметрич-
ная часть не вызовет существенных горизон-
тальных перемещений: в данном случае соб-
ственный вес примерно уравновесится симмет-
ричным ветровым отсосом. Значения р* меня-
ют в области данной поверхности знак так же,
как и прогибы, а именно от +1,4 до —3 кГ/м2.
Однако это пиковые значения, а в общем до-
полнительные нагрузки оказываются меньше
0,5 кГ]м? и ими можно пренебречь.
Кососимметричная часть ветровой нагруз-
ки вызывает более значительные перемещения
в направлении х, их предельное значение и =
= 9,1 см составляет почти треть соответствую-
щего прогиба w. Эти перемещения изображе-
ны на рис. 2.33. Резко различные между со-
бой нагрузки не допускают, как и следовало
ожидать, применения приближенной форму-
лы (2.53в). Мы зашли бы слишком далеко, ес-
ли бы стали приводить все точно подсчитан-
ные дополнительные нагрузки р*. Они дости-
гают лишь в некоторых узлах близ контура не-
скольких кГ/м2, а вообще они настолько ма-
лы, что нет надобности в расчете второго при-
ближения.
2.9.6. Проверка напряжений
2.9.6.1. Сводка горизонтальных распоров
В табл. 2.17 выписаны значения распоров
от различных случаев нагрузки. Поперечные
силы в условной балке в этой таблице еще не
учтены; это б)дет сделано дополнительно.
Значения, отвечающие постоянной нагрузке +
+ снег, приведены с учетом нелинейных чле-
нов (параграф 2.9.5.2).
Значения распоров для случая действия
ветра в направлении, обратном у, установле-
ны приблизительно, на основе рассмотрения
соответствующих значений для случая дейст-
вия ветра в направлении, совпадающем с на-
правлением у. При реальном возведении та-
кого сооружения следовало бы, разумеется,
исследовать фактическое распределение вет-
рового воздействия на модели. При этом сле-
довало бы проверить, не имеется ли других
направлений ветра, могущих вызвать менее
благоприятное загружение сетки.
Разницы между значениями, полученными
путем предварительного подсчета (табл. 2.5)
и окончательными значениями (табл. 2.17),
невелики как при сравнении отдельных случа-
ев нагрузки, так и при сравнении предельных
величин.
Для тех случаев нагрузки, которые дали
предельные значения горизонтальных распо-
ров, поперечные силы в условной балке рав-
няются:
при i=0, /=5: Qx=+0,01 т/м |от рх, нагрузка g+s)
» '=7, /=10 Qx=—0,03 » (от ветра в направлении у)
» 1=2, /=0: Qy——0,42 » (от ветра х->)
146
Таблица 2.17. Сводка значений горизонтальных распоров
/ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 g t 3=At V +6,00 +2,69 +5.09 ±0.49 —6,90 —3,01 +6,00 +3.09 +5,91 +0,48 —7.30 —3,99 +6.00 +3,20 +6.15 '0.47 —6,42 —4,28 +6,00 +3.20 +6.21 r0,46 5.35 —4,31 +6.00 +3.19 +6.22 0,47 —4,51 —4.25 +6,00 +3,13 +6.08 0.47 -.4,'4 -4.13 —4.5 +6,00 +3,05 +5,92 .0,47 —2.54 —4.04 —5.35 +6.00 +2.89 +5.55 +0,48 —1.71 —3.85 —6,4 +6.00 +2.65 +4.99 ±0,49 —1,10 —3,19 —7,3 +6,00 (-1.96 +3,62 1-0,51 —0,77 —2,12 —6.9
O+g 8,69 9,09 9.20 9,20 9,19 9.13 ° 05 8,89 8.65 7,96
Максимальный Минимальный 14,27 1,3(1 15,48 1,31 15.82 2,31 15,87 3.39 15,88 4.21 15.68 4,16 15,44 3.23 14,92 2,01 14,13 0,86 12,09 0.55
i 1 2 3 4 5 6 7
0 +7,50 +7,50 +7,50 +7,50 +7.50 +7,50 +7.50
g —1,06 —1,58 —1,95 —2.15 —2,40 —2,40 —2.52
s —1,93 —2,93 —3.67 —4,13 —4,65 —4,71 —4 95
: Д/ - 0.55 +0.56 +0.57 -1 0,58 1-0.58 +0,58 +o;58
+ 1.35 +2,54 +3.12 +3,31 +3,65 +3.57 +3.69
+5,50 +6,67 ±6,22 +5.09 +4,03 +2.90 +2.28
+0.46 +0.65 +0,72 +0,79 +1.03 + 1.36 +1.78
o+g 6,44 5,92 5,55 5.35 5,10 5,10 4.98
Макси- ма 1ЬНЬЙ 12,49 13,15 12.34 11.02 9,71 9.25 9,25
Мини- мальный 5,06 3,55 2,45 1.80 1,03 0,97 0,61 т/м
при z=2, /=5: Qy— +0,18 » (от ветра х-*)
» i=7, /—11: Qy=—0,02 » (от ру, нагрузка g+s)
Таким образом, окончательные предель-
ные значения распоров равны:
Яхмакс=+15,88+0,01=+15,89 т/м при 1=0, j=5\
Нх мин=+70,55—0,03=+'г0,52 т/м > 0;
Ну макс—+13,15+0,18= 13,33 т/м при i=2, /=5;
//^= + 13,15—0,42= 12,73 т/м при 1 = 2, /=0;
^мин=+0,61—0,02 =+0,59 т/лС>0.
Даже при самой неблагоприятной нагруз-
ке во всех вантах имеет место растяжение.
2.9.6.2. Проверка напряжений
01 макс: угол наклона края z' в узле г = 0
/=5, нагрузка: O+g’+s—AZ; для гб' примем:
W' _L£_ (28,2 — 5,9);
°-5 Дх 1 *-5 1>5' 6,5-100 V
Ч 5 = = 0,051;
z('1>5 = 48,75 136 = 0,359
z'=0,410 ’
У 1 +?2 = = 1Д8;
От макс = Я^акЛ1?2 2 = 15,89-1,08/2,1 =
Их
= а1 макс = 8,16 г/СТИ2 = 0,51 • 16.
Максимальное напряжение в вантовой сет-
ке составляет, следовательно, 51% прочности
на растяжение стали; без учета w' получили
бы 01 = 8,04 т]см2.
Аналогично определяется угол наклона
края г" в точке i=2, j = 0 при нагрузке O + g—
—Д/ + аух и получается равным z' =—0,321;
о2чакс= 12,73 }/ 1+0,321* 1,89 =
= 7,08 т/см2 <0,5-16.
При i=2, j=5 z’^0
о2 = 13,33.1,89 = 7,05 т см2 < 7,08.
2.9.7. Проверка на текучесть
Для требуемого согласно параграфу 2.7.3
увеличения полезных нагрузок g и s имели бы
(см. табл. 2 17):
при i=2
Ну = + 7,5 — 1,6 (1,58 + 2,93)=7,5 — 7,22 > 0,
а вдоль г = 3
Ну= + 7,5 — 1,6 (1,95 + 3,67) = 7,5 — 8,99 < 0;
только при i=l и i = 2 расчет дает значение
Ну больше нуля; для упрощения принимается,
что при увеличении нагрузки все напрягаю-
щие ванты перестают быть натянутыми. Тогда
(если пренебречь w и положить У l+.z,2~
— 1,1):
10'
147
Ях=—l,6(g+$) z"= 1,6 (39+75) 10-3х
X 136=24,8 т.М;
01=24,8-1,1/2,1 = 13 t/cju2.
Напрягающие ванты напряжены больше
всего при сочетании нагрузок 0+g—Af+wx.
При увеличении расчетной нагрузки несущие
ванты еще остаются натянутыми; расчет надо
вести следующим образом:
Ну при 1 = 2 (см. табл. 2.17):
от предварительного на-
пряжения ............ +7,5 т/м
от изменения темпера-
туры .................. +0,56 »
от 1,6-кратной постоян-
ной нагрузки .... —1,6-1,58 = —2,53 »
от 1,6-кратного ветра в
направлении . +1,6-6,67 = +10,67»
Ну— -\-\Ь,2т/м
0=16,2-1,1/1,89 = 9,31 т/см2.
2.9.8. Собственные частоты
В качестве усредненных пролетов примем:
1Х = 90 М; 1у = 100 М;
&х Р = (90, 136)2 = 0,438;
k2 /2 = (100 170)2 = 0,346.
При g = 39 кГ/м2 и ускорении земного тя-
готения g’ = 9,81 м!сек2 получим:
— = =251,5 м31т-сек2.
р 0,039
Сочетание нагрузок: предварительное нап-
ряжение + постоянная нагрузка. Для Нх и Ну
примем средние значения из табл. 2.17:
Н=9тм; = — = 11,1-10-4 три3;
х ’ >2 902
Lx
Д =5,4 TjM-, = = 5,4-10—4 т/и3.
Р ’ ! ’ 2 ЮО2
У
Согласно (2.76) и (2.73) имеем:
о2 = л2 251,5(11,1 + 5,4 + 315°—* +
+ 2835'1ра) ю—4 = л2 251,5 (11,1 + 5,4 +
л2-1702 )
+ 172,7 + 99,5) Ю-4 = я2-7,26;
— 2,69 л сек~1; tss = = 0,74 сек.
Для сравнения определим собственную
частоту еще по формуле (2.75). Из 58 значе-
ний табл. 2.8 были определены 1/w; их сумма
равна 414 лг+
Отсюда:
414 ’2
со2 = 9,81 — = 70;
58
со=8,37 сек !; т = = 0,75 сек,
8,37
что хорошо совпадает с ранее найденным С1
значением. *
Для других форм колебаний уравнение
(2.83) дает:
со2 =2,67-251,5 /11,1 6-^0-346 + 3,75-5,4 )10~4;
as ' 4 + 0,438 /
coCs=l,l л сек-1; tcs = 1,8 сек;
со2 =2,67-251,5 ( 5,4 6-+°’4- +3,75-11,1) 10-4;
sa ' 4 + 0,346 )
Ча=0.91 л сек-1; tsc = 2,2 сек
и соответственно согласно (2.81):
со2 = 42-251,5 ^6^5.4-4,438 1()-4.
“° 4 + 0,438 + 0,346
Ча = 1.27 сек-1; таа = 1,6 сек.
BI
в
hp
С
не
и
Сочетание нагрузок: предварительное нап-
ряжение + постоянная нагрузка + ветер в на-
правлении х.
В данном случае следует ввести другие рас-
поры, а именно, округляя следующие значе-
ния (см. табл. 2.17):
Нх = 6+3—4= 5 т м; =6,17-10-47-,Л13;
he
Дц=7,5-2,1+2=7,4тл1; ^ = 7,4-10-4 тм3.
1у
Собственные частоты и периоды колеба-
ний составляют в данном случае согласно
(2.76):
co2s = л2-251,5 (6,17+7,4 + 172,6+99,5) 10-4;
co2s = л2-7,27;
4s = 2,7 л сек-1; tss = 0,74 сек.
Оба последних значения в скобках заимст-
вованы из соответствующего расчета для пер-
вого сочетания нагрузок.
С помощью (2.83) имеем:
ы2 =2,67-251,5(6,1763±°-346 + 3,75-7,4) 10-4-
cs 1 4 + 0,438 I
<+s=0,89-n = 2,74 сек-1; tCs = 2,3 сек.
Минимальная частота и максимальный пе-
риод собственного колебания имеют, следова-
тельно, место при ветре в направлении х: сет-
148
ка колеблется тогда в направлении у симмет-
рично, а в направлении х почти без удлине-
ний и кососимметрично.
2.9.9. Деформации
Максимальный провес сетки составляет
при сочетании нагрузок О+g + s шмакс = 56 см.
При /=6, следовательно, получается
^макс ___ 0,526 _ 1
Д ~ ЮО ~ 178*
При сочетании нагрузок 0-|-£ + а\г:
вдоль /=4
И’мин _ 0,441 _ _ 1
100 “ 227’
а вдоль 4= 1
Wmm, = _ 0,36 ______1_
1у 60 ~ 167*
Как и следовало ожидать, прогибы сетки
имеют значительно большие значения, чем у
балок, рам или ферм; их, однако, легко можно
было бы уменьшить путем увеличения кривиз-
ны вант или применения вант большего диа-
метра.
3. ВАНТОВЫЕ СЕТКИ, ОБРАЗУЮЩИЕ ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ
3.1. ВВЕДЕНИЕ
В противоположность ортогональным ван-
товым сеткам, описанным в предыдущей гла-
ве, в сетках осесимметричной формы только
одно семейство вант (кольцевых) расположе
но в параллельных плоскостях z = const. Ван-
ты другого семейства совпадают с меридиана-
ми поверхности вращения; их плоскости пере-
секаются по оси z (рис. 3.1, а и 3.1, б).
Мы имеем, следовательно, дело с совер-
шенно иным типом сетки, которую можно
3 15
дений круглых сооружений. В этом случае
кроме фундамента они нуждаются и в верх-
нем замыкающем кольце или в окаймляющей
арке, соответствующим образом передающей
усилия фундаменту. С помощью растянутых
и сжатых колец можно разработать много со-
четаний форм таких сеток.
На рис. 3.1, а и 3.2 ось z изображена вер-
тикальной, однако это не является обязатель-
ным ограничением.
было бы назвать «сеткой вращения» по анало-
гии с оболочкой вращения
Общий угол поворота кольцевых вант мо-
жет доходить до 360°, что не являлось воз-
можным для пологих сеток. Для построения
практического метода расчета следует ограни-
читься условием, что меридиональные ванты
образуют малый угол наклона относительно
оси вращения. Формулы не будут, следова-
тельно, подходить для радиально-кольцевых
сеток, в которых меридианы образуют почти
прямой угол с осью вращения.
Рассматриваемый вид сеток находит при-
менение особенно при решении боковых ограж-
Из поверхности, близкой к цилиндриче-
ской, могут быть вырезаны любые участки.
Следовательно, если ось вращения располо-
жена горизонтально или косо (см. рис. 3.1,6),
можно законструировать и рассчитать ванто-
вую сетку, образующую поверхность (напри-
мер, покрытия) с большей кривизной в одном
направлении.
Расчету рассматриваемых сеток лучше все-
го отвечают цилиндрические координаты. От-
метим, что терминология и определения почти
полностью совпадают с соответствующими
определениями второй главы, благодаря это-
му при соответствующем изменении обозначе-
149
ний результаты исследований и формулы, по-
лученные для ортогональной сетки, могут
быть использованы и в данном случае.
3.2. ОБОЗНАЧЕНИЯ. ГЕОМЕТРИЯ
3.2.1. Нулевая поверхность
Сначала в качестве основной системы при-
м "ч неподвижную, правую ортогональную си-
стему координат х, у, z с единичными вектора-
ми
Ось z— ось вращения, на рис. 3.1, о и 3.2
ее положительное направление изображено
обращенным вниз. Однако, как уже было ска-
зано, она может занять любое направление в
пространстве (рис. 3.1,6). Плоскость х—z (ф =
= 0) целесообразно выбрать так, чтобы на ней
лежал край сетки, а если сетка симметрич-
на, — то ее середина.
С учетом особенности формы данной сет-
ки перейдем затем к цилиндрическим коорди-
натам с независимыми переменными z и q
(рис. 3.2). Для этого воспользуемся новой ор-
тогональной системой координат с единичны-
ми векторами ег, еф, ez, повернутой относи-
тельно старой на угол ф.
Переход от декартовой системы координат
определяется формулами:
е, = cos ереr + sin феу,
% = - sintpex+cos(pey;
(3.1а- в)
ez=erev = еА-еу.
Сетка, состоящая из одних растянутых
элементов, будет при расчете опять рассмат-
риваться как континуум.
В качестве нулевой пли исходной поверх-
ности будет по-прежнему приниматься такая
поверхность г(г, ф) или (ввиду осесимметрич-
ной формы) г = г(г), которая установится при
отсутствии каких-либо внешних нагрузок.
Ввиду того что, как это будет показано ни-
же, вантовые сетки, образующие поверхность
вращения, должны быть предварительно нап-
ряжены, в нулевом состоянии ванты испыты-
вают усилия только от предварительного нап-
ряжения; если сетка не напряжена, то все
ванты в нулевом состоянии свободны от
у силий.
Радиус-вектор произвольной точки R на
сетке определен в цилиндрических координа-
тах выражением
r(z, ф) = r(z)er(<p) + zez= |r(z),0,z}, (3.2а)
а с помощью (3.1а) в декартовых координа-
тах:
г (z, ф) = г (z) cos (рех 4- г (z) sin фег/ + ze2. (3.26)
Предполагается, что г однозначно и по
крайней мере дважды дифференцируемо.
Для краткости частные производные ска-
ляров и векторов, например г, будут записы-
ваться следующим образом:
dr , dr
— = г; —
дг д(р
(3.3)
В нулевом состоянии ванты направлены по
параметрическим кривым (линиям коорди-
нат) z= const и ф = const и образуют ортого-
нальную сетку.
По аналогии с обозначениями 2-й главы
границы вантовой сетки, т. е. кривые, вдоль
которых крепятся ванты, определяются сле-
дующим образом:
<Рг = Фг (z); Ф/ = Ф/ (z); Фл > Ф/ (3.4а)
и
zr = zr (ф); zz = zz (ф); zr > zt (3.46)
(см. рис. 2.7 и 2.8). Угол ф измеряется в ра-
дианах.
3.2.2. Деформированная поверхность
Перемещение точки R в точку R в резуль-
тате деформации описано вектором
w (z, ф) = и (г, ф) е,. + V (г, ф) еф 4-
-ф (z, q ) ег. (3.5а)
Компоненты этого вектора условимся счи-
тать положительными, когда они совпадают с
направлением осей соответственно поверну-
той ортогональной системы.
Из радиуса-вектора деформированной по-
верхности
г Г + W = 'г + и, V, 2 + к>|. (3.56)
С учетом соотношений:
< = % = < = е2 = 0;
er = %; еФ = -ег; r = z- = 0
получаем единичные векторы касательных к
кривым, описываемым вантами:
ei= ут— = ~4' + и, v , 1 4-а/1; (3.6а)
! г . !г' |
е2= у—— = -т— («•, — vr + v, ш-’. (З.бб)
I г | | Г
Соответствующие векторы ez и ео нулевой
поверхности получаются из (3.6) приравни-
ванием нулю членов с и, и и w. Согласно при-
I5Q
пятому допущению о малости перемещений с
достаточной точностью получим:
< = {г"(3.7а)
е; = -^-{— г — —OjOl. (3.76)
3.3. ВЫВОД ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ
3.3.1. Условия равновесия
Условие отсутствия в вантах изгибающих
моментов приводит в векторной записи к сле-
дующему представлению усилий в вантах:
<Si=S1e1; S2 = S2e2. (3.8а,б)
В определенном секторе dtp или Л<р ванто-
вой сетки всегда определенное число вант бу-
дет приблизительно иметь направление г; шаг
этих вант будет, однако, переменным, завися-
щим от г. Поэтому удобнее отнести усилие в
ванте Si= [5Т| не к единице периметра, а к
единице центрального угла ср (в радианах).
Тогда 5| есть растягивающее усилие во всех
. 1 Л 180°
вантах, которые в секторе Дф = 1^---------—
л
= 57,296° натянуты приблизительно в направ-
лении z.
52= |521, напротив, остается отнесенным к
оси г.
Допустим, что внешняя нагрузка задана в
виде
P(z, ф) = {рг,Р<р,р2} (3.9)
и что она также отнесена к Дг= I и Дср=1.
Компоненты имеют то же направление, что
и соответствующие единичные векторы е,., е ф
и еа-
Между p(z, <р) и интенсивностью нагрузки
р, отнесенной к единице поверхности элемен-
та, существует соотношение
Р ф) = —ту Р (?> ф)- (3-10)
г(г)
Изменение р при деформациях сетки (на-
пример, от ветровой нагрузки) не учитывается.
Пренебрегая в ряде Тейлора для 5 члена-
ми более высокого порядка, из условий равно-
весия элемента вантовой сетки dzdcp получим
— (5idw) dz + — (5,dz) dtp 4- pdzdtp = 0.
dz dtp
Учитывая (3.8), после деления на dzdtp мо-
жем записать:
(51ё1)/+(52ё2)Ч-ё = 0. (3.11)
В случае косых направлений усилий в ван-
тах относительно е и e(f можно ввести в рас-
чет их проекции:
(3.12а)
5ф = Д,еф. (3.126)
Несмотря на то что в изображенной систе-
ме координат сила И действует вертикально,
мы сохраняем обозначение Я, «горизонталь-
ный распор». С учетом (3.8а) и (3.6а) (3.12а)
принимает вид
Н = — 51 — 51 и 13а)
г IF'I IPR |г'Г (3J3a)
Соответственно из (3.126) с учетом (3.86)
и (3.66) получаем кольцевое растягивающее
усилие
£ф = .^ + “ + ^ (313б)
Условие (3.11) может, следовательно, быть
выражено так:
+ р = 0.
(3.14)
Отсюда, пользуясь (3.7), могут быть непо-
средственно выписаны уравнения компонент
в направлении е>, еф и е,-, если пренебречь
членами более высокого порядка малости:
я;+А(5(р®-)-+р2 = 0;
(Я>|' + 5ф-5ф-^+рф = 0;
+*)]' Ц)- +
+ 5ф — + = 0.
J
(3.15а—в)
Величины Я- и S<p содержат еще одно сла-
гаемое соотве! огвенно НгВ и 5фо только ог
предварительного напряжения и слагаемые
Я-Л. и Sfpp —тол: ко от внешней нагрузки, тем-
пературных изменений и граничных переме-
щений.
Согласно исследованиям параграфа 1.1.2
можно, сохраняя достаточную точность допу-
стить наложение:
Я? = Я20 + Ягг (3.16а)
и
<j>
Т- 3
‘ ТР‘
(3.166)
151
3.3.2. Нулевое состояние
Если усилия в сетке вызваны только пред-
варительным напряжением, то согласно опре-
делению w = p=Q.
Условия для нулевой поверхности следуют
из (3.15):
= 0;
= о;
(Vr-5.0 = °
(3.17а—в)
или у читывая, что г не зависит от <р:
^го'-"(г)-5ф0(2) = 0. (3.17г)
Следовательно, Hz0 постоянен во всей сетке.
Далее для положительных сил предваритель-
ного напряжения должно быть г">0; соответ-
ствующая нулевая поверхность имеет отрица-
тельную гауссову кривизну как однополост-
ный гиперболоид (рис. 3.1).
В вантовой сетке без предварительного
напряжения г" мог бы быть произвольным. Од-
нако легко заметить, что, например, при г">0
от нагрузки рг в одном семействе вант всегда
имеют место растягивающие усилия, а в дру-
гом (теоретически) — сжимающие усилия
Отсюда следует, что такая система не мо-
жет ничего нести в виде вантовой сетки без
предварительного напряжения. Сетка с г"<0
(бочарная форма) не может быть предвари-
тельно напряжена, так как она кинематиче-
ски изменяема, ей может быть придана
устойчивость только постоянно действующей,
положительной нагрузкой рг.
Мы встречаемся с тем же случаем, как при
ортогональной сетке, а потому и выводы ана-
логичны тем, которые были сделаны в пара-
графе 2.5.2.
Проще всего рассчитывается сетка, нуле-
вая поверхность которой является параболо-
идом вращения
г = Oi + a2z 4- a3z2, где а3 0, (3.18)
для которого, кроме 7/;0 = const, еще и S.o =
= const.
Исследование других нулевых поверхно-
стей здесь не приводится.
3.3.3. Условия упругости
Длина дуги
I Г I ~ г' е. = г + и + v'
согласно (3.66)
Относительное удлинение в кольцевом на-
правлении равно:
_ _ | г I —) г I _ и + и-
е2 — ——‘ : ----•
|г| г
С другой стороны, если допустить приме-
нимость закона Гука:
s2p ,
‘ Е F ' Ь'У
Используя (3.136), можем отсюда полу-
чить зависимость между усилием в ванте и
перемещением:
5ФР ~ 52р = (и + v — г 'Вф j. (3.19а)
Здесь для краткости введена функция
жесткости
Е F
^(р 1 (р

(3 20а)
где Дф — модуль упругости, а — попереч-
ное сечение кольцевых вант, отнесенное к по-
гонной единице в направлении г. Д. обознача-
ет удлинение этих вант от увеличения темпе-
ратуры
Ч = (3.21)
Соответствующие формулы для вант дру-
гого направления могут быть заимствованы
из параграфа 2.2.3, если применительно к дан-
ному случаю мы отнесем Si и Hz к единично-
му" центральному углу.
Учитывая принятые в данной главе обозна-
чения, с помощью (2.24) получим
Игр = (w' + г'и' — gu (3.196)
где
р F
Dz = (3.206)
и
gii = r'2 = 1 + r'2. (3 20b)
3.3.4. Основные уравнения
осесимметричной вантовой сетки
После разделения выражений для усилий
в вантах и горизонтальных распоров на сла-
гаемые, относящиеся к предварительному"
напряжению и к нагрузке, согласно (3.16) и с
учетом условий (3.17) для нулевого состоя-
ния условия равновесия (3.15) примут сле-
дующий вид:
^гР + '7|5ф^Г+Г£ = 0; (3.21а)
152
(W+^p-^-y + p^0; (3.216)
H'zpr' + H’.u + Hxi)u + Hzpr +
+ H a ' — S 4- —S ,u"—
' zp 4>p'r q>o
~-7,s^>’ + ~S№u"+^=0- (3-21b)
В каждом из этих трех уравнений подчерк-
нутые члены почти всегда значительно боль-
ше остальных. При линеаризации системы ма-
лозначащие члены будут рассматриваться как
дополнительные нагрузки и в начале опуще-
ны. Остаются простые условия:
Н'гр + Рг = °! (3.22а)
SW + Ру = °; (3.226)
Hzpr ~5<pp + ^ou +~5<ро“" +
+ РГ~ Р/ =0. (3.22в)
Члены с и" и и" сохраняются, чтобы полу-
чить однозначное решение.
В отношении «дополнительных нагрузок»
[для которых, как в (3.22в), уже вводится
(3.22а) и (3.226)], следует обратиться к пара-
графу 2.4.1:
Pz = ~l 5Фо + 5Фр I w’ ‘ ~ ~ Р^‘: (3- 23а)
Ру = (Нг» + HzP\v - Pzv' — ।+
+ ^17-; (3-236)
P* = HzpU — Pzu' + ~ I P^ + 5<mU" 1 -
(3-23b)
На основании опыта установлено, что ог
(при больших углах раствора <[,-—фг) и да-
ют значительные поправки.
Если ввести (3.19) в уравнения (3.22), по-
лучим три дифференциальных уравнения от-
носительно трех неизвестных компонент zz, и
и w, обладающих еще линейностью. Мы до-
бились преимущества, а именно возможности
линейного наложения разных сочетаний на-
грузок.
Для сведения системы уравнений (3.22) к
одному обратимся сначала к первому из этих
трех уравнений, которое после подстановки
условия упругости (3.196) может быть сразу
проинтегрировано:
HzP = D.. (а/ 4- г'и' — gn'ej =
= G (ф) — [ pzdz. (3.24а)
б
Как и в предыдущей главе, не будем де-
лать разницы в обозначении между перемен-
ной интегрирования z и границей z: едва ли
возможно их спутать. Если известны переме-
щения края и и w как функция ср:
по нижнему краю
zr (ф) -• игг (<р) и wzr (ср);
по верхнему краю
21 (ф) : “г/ (ф) И Wzl (<р),
можно еще раз проинтегрировать; после ко-
ротких вычислений получим:
гг Z
С1 (ф) = (ф) j | \pzdz
dz +
г/ "
гГ
+ (ф) — } Su'^zdz — J r"udz^ , (3.25а)
zi zi
где применена функция перемещения края
Г (<р) = ywzr — wzl) + (r'uzr — r'Luzl 1 (3.26a)
и функция жесткости
1 __ i * dz
Фг (<P) J Dz
zl
j' (1 +<2)'/гДг
J EZFZ
2l
(3.27a)
Это выражение уже применялось раньше и в
параграфе 2.4.5 было сведено в таблицу в фор-
_ EF
меФ=-------.
/Л
Ввиду некоторой разницы форм (3.19а) и
(3.196) при интегрировании (3.226) мы при-
копи?,! к несколько другому выражению.
[ала получим
V = Dr; и + V — г1^ = С, (г) —
— 1’д/ф, (3.246)
а отсюда повторным интегрированием
(3.256)
153
Неизвестным здесь является лишь значение
последнего интеграла. Введем еще новую ве-
личину, аналогичную ранее принятой функции
1
жесткости, определяемую выражением —=[ х
>,? Ч
dtp п
х----. Практически сечение вант по всей длине
£>Ф
остается
постоянным. Тогда согласно (3.20а):
1 г , .
-----=---------(фг — ф/).
% (2)
откуда
©„(*) =
Е F
<р ч>
г (г) (г) ’
(3.276)
где
(z) = Фг — Ф/ Л, l<f 2л.
\отя I и не является длиной и измеряется
радианами, обозначение было сохранено для
однообразия, так как /Z(<p)=zr—факти-
ческая же длина L .= rlin.
Кроме того, было применено выражение
= (3-26б>
которое учитывает перемещения v края,
принятые известными. Как и раньше, считает-
ся, что для правого края v (г) и для левого
края v t (г) являются функцией г.
Наконец, если подставить (3.24а, б) и
(3.25а, б) в третье уравнение условия равнове-
сия (3.22в), получаем основное уравнение осе-
симметричной вантовой сетки в виде интегро-
дифференциального уравнения относительно
одной неизвестной компоненты перемещений
(и в направлении г):
zr 4>г
г"Ф2 j r”udz + Фц, j — HZoli" —
zi ч>1
7 S<puw“ = р (z> ФГ
(3.28)
Грузовая функция Р, которой учитывается
влияние внешних нагрузок и температурных
изменений, в развернутом виде имеет следую-
щий вид:
X dy + pr + г"'Ь lKz — —
zr Ч>Г
— Г"Фг f gnezdz + гФ<р f Ч^Ф- (3-29)
г1
Для упрощения этого выражения вернемся
к исследованиям и выводам параграфа 2.4.3
и без особой погрешности заменим второй и
третий член выражением r"Qz, где Qz означа-
ет поперечную силу в условной прямолиней-
ной балке пролетом 1~. загруженной попереч-
ной нагрузкой р::
z zr z
Qz = — I Pzdz + J- I f Pzdzdz
• •' J
11 z^ 0
z Zr г
— i pzdz - Фг \ pzdz dz. (3.30a)
\ %
По аналогии можем также записать-
<р фг $
Q<p = — [ Pifdy + — f f P^dq =
0 0
<P
| Pr(d4 +
о
(3.306)
где Qy — условная поперечная сила балки
«пролетом» /ф, на которую действует нагруз-
ка дгр.
Температурные грузовые члены можем так-
же представить в таком виде:
= — фг | gll ^zdz
zl
EzFz
'e dz(3.31a)
и
<₽r
4,= ''%| Ч/ф =
4>Z
^,(3.316)
<₽ Ф;
t. e. в виде нормальной силы в прямом стерж-
не длиной, соответственно равной lz и (рас-
тяжение по тожительное) под действием тем-
пературных изменений, характеризуемых
и fe(p.
В результате перечисленных упрощений
грузовая функция (3.29) окончательно запи-
шется так
р = —r'Pz + z"Qz~Qy + Pr +
+ г" Ф2 Wz - Фф Г, + г" N, - Nv. (3.32)
Численное определение неизвестной функ-
ции z/(z, q ) из (3.28) не вызывает в принципе
154
никаких трудностей, если заменить интегралы
правой части суммами, а производные — соот-
ветствующими отношениями разностей.
Основное уравнение в принятом обозначе-
нии имеет почти тот же вид, что и уравнение
ортогональной вантовой сетки, так что в от-
ношении выполнения расчета сошлемся на па-
раграф 2.4.4.
Едва ли требует доказательств положение,
подробно исследованное применительно к ор-
тогональной сетке, а именно, что использова-
ние свойств симметрии системы упрощает
расчет и может быть соответствующим обра-
зом применено к осесимметричным сеткам.
Аналогия с ортогональной сеткой распрост-
раняется и на проверку запаса относительно
достижения предела текучести.
Особого рассмотрения требуют замкнутые
вантовые сетки в форме кольца, имеющие
ф=2л, у которых нет конструктивно выра-
женных краев <fr и ср/. В этом случае необхо-
димо принять какой-то определенный мериди-
ан (по возможности лежащий в плоскости
симметрии нагрузки) за край и сделать оцен-
ку величины его перемещений. После вычис-
ления усилий в вантах и деформаций в обла-
сти меридиана, принятого за край, определя-
ют по величине и направлению результирую-
щие вантовых усилий, действующих по этому
меридиану. Перемещения были выбраны пра-
вильно, если условия равновесия и упругости
удовлетворяются для крайней ванты. В про-
тивном случае можно либо повторить расчет
с соответствующим образом скорректирован-
ными значениями граничных перемещений,
либо выбрать для повторного расчета в ка-
честве крайнего другой (скажем, смещенный
на л) меридиан и рассматривать эту новую
сетку под действием сил, оказавшихся избы-
точными при первой попытке удовлетворения
условий равновесия.
3.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ В ВАНТАХ
И ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
3.4.1. Усилия в вантах
После численного определения с помощью
(3.28) и (3.32) радиальных перемещений и,
Hzp может быть вычислен на основании
(3.24а) и (3.25а) с использованием прибли-
женных формул (3.30а) и (3.31а):
Hzp=®z(Wz — ^r"udz]+Qz+ К?-- <3-33а)
zi
Интеграл в виде суммы известен из основ-
ного уравнения
Окончательное усилие в ванте определит-
ся с \ четом (3.13а):
= (^ZO + ^zp) Г" ~
~ (^zo+^zp) I 1 + (Г' + п')2. (3.34а)
Из (3.246) и (3.256), если ввести сокра-
щенные выражения и А'^, также следует:
\Р = % К + ?+ ^ + (3.336)
(р/
а растягивающее усилие в кольцевых вантах,
с использованием (3.136), ввид\ того, что
и г, v г получается равным:
+ j/1 + ~- <3-346»
3.4.2. Перемещения v и w
Для вычисления v (в направлении ф) бу-
дем исходить из (3.19а). После интегрирова-
ния получим
ч>,
Г» Г “1
o(z,<f) o(fi+ | -----и + г'вЪф. (3.35)
По аналогии из (3.196) следует:
w (г, ср) = wzi +
Г + г"и-
.1 [D,
4 gii !ez dz — \r u\Zl-
(3.36a)
Если соответственно (3.33a) ввести Hzp,
после некоторых преобразований следует:
w(г, ф) и211 +г——\w2r+r'r и2Г । —
I'Z
— г' и — — — ’ r"u dz ф- . г"и dz +
2l zl
2r
4----— АД 4- Nz + \ gii 'ez dz. (3.366)
/2Ф, /,Фг J
zi
Иногда эта формула скорее приводит к це-
ли, чем более простая на вид формула (3.36а).
155
Здесь М. — J (?г dz (3.37)
zi
— изгибающий момент в условной прямоли-
нейной балке, находящейся под действием на-
грузки pz— см. (3.30а), — который целесооб-
разно вычислять вместе с Qz.
Последними двумя слагаемыми в (3.366)
обычно можно пренебречь.
Если отсутствуют перемещения края, ча-
сто можно удовлетвориться приближением
WX — f U. (З.Збв)
3.5 ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ
3.5.1. Общие положения
В то время как при расчете статически не-
определимых систем необходимо вперед за-
даваться отношением жесткостей, в случае
расчета вантовых сеток необходимо помимо
формы сетки знать заранее сами величины по-
перечных сечений и силы предварительного
напряжения.
Для предварительных расчетов будут по-
этому приведены простые приближенные фор-
мулы, которые охватывают важнейшие слу-
чаи загружения сетки.
Для этого будет рассмотрена простейшая
сетка с регулярным контуром, нулевая по-
верхность которой задана уравнением
Г (?) = г0 + i- г2.
Мы займемся, следовательно, параболои-
дом вращения, меридианами которого явля-
ются параболы; расположенная внутри ок-
ружность, образующая вершину, имеет ра-
диус г0.
Допустим, что сетка ограничена парамет-
рическими линиями zr=+l-!2 и Zi = —zr и со-
ответственно фг и = —срг.
При г" = k- = const согласно (3.17г) имеем:
- const; 5фГ1 = /г2Яг0 - const.
При сетках другой формы и с другими
границами, выбрав соответствующие средние
значения, можно также получить вполне при-
емлемые результаты.
Далее допустим, что E:F. и E^F^ соответ-
ственно равны const.
3.5.2. Нагрузка р:
Учитывая соображения, изложенные в па-
раграфе 2.6.2 (заменив соответствующим об-
разом индекс), можно с достаточной точно-
стью положить, что усилия в вантах от одной
только нагрузки pz (т. е. собственного веса
стенки)
Р?Н ^О: P?S =Л.
гр ^z’ <рр
(3.37)
3.5.3. Нагрузка рф
Кольцевая нагрузка еф в стенках обычно
отсутствует; иногда она может встретиться
как составляющая вертикальной нагрузки
(например, собственного веса или снега) в
вантовых сетках, у которых ось z расположе-
на не вертикально. Если при этом угол откры-
тия /ф меньше, примерно, чем л/6 = 30°, можно
положить:
Р?Н ^5. (3.38)
гр ’ <рр '
3.5.4. Нагрузка рг
Для первого приближения допустим, что
pr = const. Если также сначала пренебречь чле-
нами Я-о и S<j>o в основном уравнении (3.28) и
учесть, что r" — kz, получим
2: ’г
(ш£г+Фф \udq=pr.
zi <?1
Из (3.22в) видно, что в левой части имеют-
ся оба выражения — Hzpr" и + S<j>P; их отно-
шение, следовательно, равно:
V = = _%•’ Md<p .
хг ~ Hzpkz k^^udz'
ввиду сходства характера кривых для обо-
их семейств вант можно приблизительно при-
нять:
Х<р Фр 1у
xz k~, Ф. lz
(3.39)
Если ванты уложены по параболам, то, ис-
пользовав применительно к данной задаче
уравнение (2.566), получим
ф. = -£z Fz
1гК ’
причем л2 колеблется примерно между 1 и 1,1,
а Ф<р определяется посредством (3.276).
Таким образом, (3.39) принимает вид
__ £Ф £Ф Ч
х> rk2z Е, F, ’
где зависимыми переменными являются толь-
ко г и г. Есчи подобрать для r(z) подходящее
156
среднее значение гт (что допустимо ввиду
принятой пологой формы вант г) и если обо-
значить отношение жесткостей вант безраз-
мерным числом
- = \ (3.40)
^z Г 2
учитывая, что xz + xq) = l, получаем разложе-
ние нагрузки рТ на xzpr и хфрг на части, вос-
принимаемые соответствующими семействами
вант:
\ = 1 - xz. (3.41)
гт Kz
Наконец, это позволяет вычислить усилия
в вантах:
Pr^zP-~^~-, (3.42а)
Rz
°' Sm ~ V, = ~ -ГТ "'И,,. (3.426)
rm Kz
Обозначив отношение обеих кривизн вант
через р:
1 = ПОп = pj
гт
можем определить xz непосредственно из
рис. 2.14.
Для оценки радиального перемещения и
сопоставим (3,33а) и (3.42а):
Ф2 kz I и dz — рг.
J ^z
2i
Заменим и усредненным значением ит и
выпишем соответственно (3.276). В результа-
те получим
^ги '
и'гп
К
v.zpr.
(3.43)
Это выражение может позволить оценить
среднее радиальное перемещение от постоян-
ной нагрузки рТ.
В середине поверхности и будет иметь на
10—20% большее значение.
3.5.5. Температурные изменения
Для наиболее частого случая 'ez = 'e<j> = fe =
= const, согласно (3.31)’, N~=—EzFz'e и =
= —EtpF^e.
(3.32) позволяет определить грузовую функ-
цию
*Р — kzNz — = const,
с которой можно выполнить те же вычисле-
ния, которые были произведены в предыду-
щем параграфе с рТ.
В (3.33) в выражениях для усилий в ван-
тах имеются члены N наряду с членами от де-
формации и. После коротких промежуточных
расчетов получим:
+ (3.44а)
II
(3-44б>
Радиальные перемещения от температур-
ных изменений обычно несущественны, их
можно оценить следующей приближенной
формулой:
(3.45)
^z \rm ^z /
При kzh\—Nф=0 или, если представить в
другой форме, при
Е F
<Р Т _ ]
KzEzFz
согласно линейной теории не происходит ни-
каких перемещений, а усилия в вантах полу-
чаются равными:
‘Hzp^~EzFz‘e-,
Ъ^-Е9Р^=к‘Нгр. (3.46)
В отношении точного исследования этого
особого случая следует обратиться к тексту
параграфа 2.7.2.
4. ВАНТОВЫЕ ФЕРМЫ
4.1. ВВЕДЕНИЕ
Значительная деформативность отдельных,
свободно висящих вант позволяет применять
их в качестве несущих элементов строитель-
ных сооружений только в сочетании с другими
элементами, обладающими изгибной жестко-
стью, или с использованием значительной при-
грузки, существенно превосходящей перемен-
ные нагрузки.
Если имеется достаточная строительная
высота, можно придать жесткость ванте, ис-
пользовав вторую растянутую ванту, обращен-
ную выпуклостью кверху. Такие конструкции
157
благодаря второй ванте и необходимому
предварительному напряжению имеют относи-
тельно малые деформации и устойчивы под
действием нагрузки, имеющей любое направ-
ление.
По аналогии с другими конструкциями,
фермами и вантовыми системами условимся
эту конструкцию называть «вантовой фермой».
Этим мы отличаем ее, с одной стороны, от оди-
действий, включая температурные изменения
и смещения краев вант, будет приведен уни-
версально пригодный способ расчета, который
в очень кратком изложении был опубликован
в 1962 г. [1%
При отсутствии горизонтальных нагрузок
усилия в вантах — как и при отдельно распо-
ложенных вантах — могут быть определены с
помощью квадратного уравнения.
ночной ванты, с другой — от вантовой сетки,
обладающей пространственной кривизной.
На рис. 4.1—4.3 схематически изображены
некоторые из множества возможных видов та-
ких ферм, некоторые другие упомянуты в па-
раграфе 4.3.
Вантовые фермы могут быть размещены
как стропила, например над прямоугольными
в плане цехами, и нести цилиндрическую
крышу.
Если их расположить радиально, они обра-
зуют несущую систему покрытий зданий
круглых, эллиптических и многоугольных в
плане. Обычно устраивают наружный сжатый
пояс, а иногда еще и внутренний, растянутый.
Системы, в которых оба пояса на протяже-
нии всего пролета ничем не соединены между
собой, следует рассматривать отдельно от
вантовых ферм, ввиду того что они рассчиты-
ваются иначе.
Работу таких систем описали Корнелиус
[13], Фритц [14] и др.
Преимущества вантовых ферм особенно
подробно исследовал Яверт. В нескольких
статьях [15] он дал приближенный метод рас-
чета для трех различных форм вант и соот-
ветствующих вертикальных нагрузок. Полу-
чающиеся уравнения решаются итерацией.
Вантовые фермы очень просто собираются.
Их жесткость может легко быть увеличена
путем соединения обеих вант (рис. 4.2), а так-
же косого размещения подвесок (рис. 4.3).
Далее, путем соответствующего подбора
размеров, всегда возможно загруженной ван-
те придать форму веревочной кривой для опре-
деленного расположения нагрузки.
Тогда для этого случая нагрузки получа-
ются исключительно малые деформации; для
расчета могут быть составлены замкнутые
формулы.
Для любых других Сигу чаев нагрузок и воз-
Порядок расчета будет объяснен на под-
робном числовом примере.
4.2. ОБОЗНАЧЕНИЯ. ОСНОВЫ РАСЧЕТА
Для расчета плоской вантовой фермы при-
нимается ортогональная система координат,
см. рис. 4.1. Практика показала, что в данном
случае, как и для вантовых сеток, за исходное
(нулевое) состояние целесообразно прини-
мать состояние предварительного напряжения,
без нагрузки. Исходя из этого состояния изме-
ряются деформации и в направлении х и ау в
направлении z.
Обозначим по-прежнему ординаты ванты
после деформации:
z = z-\-w, (4.1)
горизонтальные распоры от предварительного
напряжения и внешней нагрузки:
Н = НО+НР (4.2)
и, наконец, усилия в вантах
1+?2. (4.3)
Как правило, будут применены следующие
индексы:
1—для верхней (несущей) ванты;
2 — для нижней (напрягающей) ванты и
3 — для вертикальных вант (подвесок).
Второй индекс, как и прежде, будет обозна-
чать: 0 — нулевое состояние и р — усилия от
внешней нагрузки.
Нагрузки Р1Х, р2х, piz и p2z отнесены к по-
гонной единице соответственно в направле-
нии х и z.
При расчете будет приниматься, что под-
вески расположены бесконечно близко одна от
другой, так что усилия в них р3 (растяжение
положительно) будут рассматриваться как
равномерно распределенная вертикальная на-
158
грузка на несущую и напрягающую ванту. От-
клонение подвесок от вертикали и их удлине-
ние поначалу учитываться не будут.
Условия равновесия для вырезанного эле-
мента ванты могут быть взяты из параграфа
1.1.2. Учитывая принятые индексы, с использо-
ванием (1.7а) и (1.7в) для верхней ванты по-
лучим:
Hi + Ргх = 0 (4.4а)
(^1Г1)'+Р1г + р3 = О. (4.46)
и аналогично для нижней ванты:
^2 + Р-2х ~ (4.5а)
+ P1Z — Р3=°- (4.56)
Кроме того, нам понадобятся соотноше-
ния, вытекающие из (2.52)
Н1р = ~ ф1 + + + (4.6а)
и
//2p=-®2Jz>2^ + O2r2 + Q2 + )V2. (4.66)
Если это не будет оговорено особо, все
встречающиеся интегралы будут по-прежнему
распространяться на весь пролет 1=хт—xt со-
ответствующей ванты. Сокращенные выраже-
ния в (4.6) применялись уже во 2-й главе, они
все постоянны, кроме Q. Для полноты дадим
еще несколько пояснений, выписывая форму-
лы только для верхней ванты.
Коэффициенты жесткости
зависят только от размеров системы. Для не-
которых форм вант они были сведены в таб-
лицу в параграфе 2.4.5. Знаменатель /Л иден-
тичен длине Ls [см. (1.50а)). Используя ин-
тегральную форму (4.7), можно также учесть
переменное сечение ванты.
При радиально расположенных вантовых
фермах круглых сооружений из конструктив-
ных соображений почти всегда устанавливают
внутреннее, растянутое кольцо. Допустим, что
такое кольцо радиуса R имеет модуль упруго-
сти Е4 и сечение F4. Если R достаточно мал от-
носительно пролета, можно учесть упругость
кольца (при осесимметричной нагрузке) вме-
сте с вантовой фермой. Если к половине
окружности кольца крепится п вант, можно в
средней области длины 2R принять условную
жесткость EiFt=—E4F4 и определить тем са-
п
мым ф.
Величина
Wi = [u\r~uu)-F{z\rwr--z’uwi} (4-8)
содержит перемещения левой и правой точек
подвеса, которыми следует задаться вперед,
тогда как Q возникает от горизонтальной на-
грузки и с достаточной точностью может быть
определена как поперечная сила условной
балки пролета I, находящейся под действием
вертикальной нагрузки р1х (см. параграф
<21 (х) =— plxdx + \ | pi/xdx. (4.9)
1 Х[ о
N выражает температурные воздействия.
Этот член с достаточной точностью может
быть представлен как нормальное усилие в
стержне длиной I с неподвижно закрепленны-
ми краями:
Л\=— pE1dx. (4.10)
*1 J
Температурное удлинение fe может быть
распределено произвольно, что позволяет
учесть и неравномерное солнечное облучение.
4.3. НУЛЕВОЕ СОСТОЯНИЕ
В качестве исходного состояния, согласно
определению, принято состояние, при котором
Px=Pz=0, Н=Н0, рз=рзо; для удовлетворения
уравнений (4.4а) и (4.5а) необходимо, чтобы
Я'о = 0,т. е. Hl0 = const; (4.11а)
Я2и = 0, т. е. Нь. = const. (4.116)
Из (4.46) и (4.56) получаем
р3.=~Н^=+Н^, (4.12)
а в качестве условия для нулевого состояния
следчет
/71Ог;+Я2ог2 = 0, (4.13)
и, таким образом, для положительного FR
Д-=+р =const 0. (4.14)
4710 Zj
Обе кривые 24 (х) и z2(x), по которым рас-
положены ванты в той области, в которой они
связаны подвесками, имеют взаимно противо-
положно направленную кривизну и являются
аффинными друг другу. В области, где отсут-
ствуют подвески, рзо—0 и ванты идут по пря-
мой (см. рис. 4.4.). Вообще же ванты могут
быть очерчены по любой кривой при условии,
что удовлетворяется (4.14); абсолютная вели-
159
чина сил предварительного напряжения мо-
жет быть выбрана произвольно, следует толь-
ко установить их соотношение .р.
Если обе ванты соединены сжатыми стерж-
нями, возможны выпуклые формы (рис. 4.5),
позволяющие хорошо решать водосток с кро-
вельного покрытия и дающие в конструктив-
ном и статическом отношении известные пре-
Р-, шества для нижнего строения. Если при-
+ р Ч—~j w + Pz — Р\х 2i ~ Р2х z> —
— (Plx + feH' = 0> (4.16В)
где последнее уравнение получено путем сум-
мирования (4.46) и (4.56).
Предлагается следующий путь решения:
вместо Н1р и Н2р во втором слагаемом (4.16в)
ввести предварительно принятые (постоян-
ЧБ
менять сжатые и растянутые соединительные
стержни, можно использовать волнистые фор-
мы (рис. 4.6), так что едва ли имеются грани-
цы для архитектурных решений Однако для
получения простых формул с учетом практи-
ческого опыта следует ограничить максималь-
ный угол наклона вант относительно оси х при-
мерно до 25°.
4.4. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ВАНТОВОЙ
ФЕРМЫ
4.4.1. Основное уравнение
В дальнейшем будет принято, что обе ван-
ты имеют одинаковый пролет li = l2=l и что
они по всей длине соединены подвесками (или
сжатыми стержнями).
Однако распространение метода расчета
на ферму, изображенную на рис. 4.4, не пред-
ставляет особых затруднений.
Принимая во внимание условие дефор-
маций1
w1 — w2 = w (4.15)
и учитывая соотношения нулевого состояния,
можем вместо условий равновесия (4.4) и
(4.5) записать:
(4-1ба)
+ = (4.166)
^ip-pH2p]zl + [H{p + H^w +
1 В точках подвеса вант это условие не удовлетво-
ряется, если, например, wlr=/=w2r. Это несоответствие,
однако, не сохраняется, если перейти при численных
расчетах к суммам и конечным разностям.
ные) значения и HQ, полученные прибли-
женным расчетом (см. параграф 4.6) или пу-
тем итераций. Поскольку оба упомянутых го-
ризонтальных распора обладают, как правило,
различным знаком, их сумма является малой
величиной.
Поэтому можно для всех случаев нагрузки
принять одно и то же значение НрМ или поло-
жить поначалу эту сумму распоров равной
нулю.
Мы переходим тем самым к линейной за-
даче и отдельные случаи нагрузки могут быть
рассмотрены независимо.
Остальная часть

(4.17а,б)
может (для самых неблагоприятных сочета-
ний нагрузок) рассматриваться как дополни-
тельная нагрузка при повторном расчете, от-
личающемся от первого расчета с pz только
нагрузкой. Отсюда следуют значения попра-
вок w*. Hip* и Н2р*, которые надо приба-
вить к результатам первого приближения.
Ввиду того что, как уже было сказано, сумма
обоих Нр обычно имеет малое значение, pz* =
=Piz*+P2z* также невелика и второе прибли-
жение редко бывает нужным.
Из (4.16а) и (4.166) были получены урав-
нения (4.6).
Если их ввести в (4.16в) и учесть прибли-
женные значения Нр<1\ получается основное
уравнение вантовой фермы в виде следующего
интегро-дифференциального уравнения относи-
тельно ш(х):
z\ (Фх + р^.И2;^- —
Н10 11 Ч-----] 4-
\ р /
160
+ Нур + Я-2р joy" + (pix+p2x) w' = Р (x). (4.18a)
В грузовой функции Р(х) правой части уч-
тены влияния всех внешних нагрузок, смеще-
ний опор и температурных изменений, причем
отдельно для верхней и нижней ванты;
Р^) = P^P-iz - Р1х \ ~ Р1Х Ъ + г; [(Ф, W1 +
+ Qi + Wi) — Р (Ф2 + Q2 + W2)]. (4.186)
При не очень высоких требованиях к точ-
ности можно было бы в левой части прене-
бречь обоими Нр — относительно остальных
членов и слагаемыми, содержащими w', а так-
же обоими членами с z' в грузовой функции.
Если заменить интеграл суммой, а диффе-
ренциалы конечными разностями, то можно
без труда определить w одним из известных
способов численного расчета.
Тогда с помощью (4.6) становятся также
известны горизонтальные распоры, а с помо-
щью (4.3) — и усилия в вантах, причем со-
гласно (4.2) должно быть учтено влияние
предварительного напряжения. При проверке
напряжений следует учитывать (4.3).
Для расчета подвесок посредством (4.46)
определяют нагрузку рз=Рзо-РРзр и затем
распределяют ее на отдельные подвески.
Приближенно может быть учтена и упру-
гость подвесок, а именно путем определения
их удлинения Д/3(Х) под действием р3р и его
распределения соответственно жесткости несу-
щей и напрягающей ванты. Ввиду того что
Д/3 = да2—te/], имеем Wi ——Д/3Х2 и w2 = -f-A/3xi;
к дано определение в параграфе 4.6.3. Интег-
ралы, содержащиеся в (4.6), дают значения
поправок для горизонтальных распоров.
Горизонтальные перемещения отдельных
точек вант определяются уравнением (2.53а),
где теперь по смыслу следует ввести индекс 1
или 2 вместо х. В простых случаях может быть
достаточно (2.53в) (см. параграф 2.4.3).
Наконец, с помощью tii и и2 можно опре-
делить угол отклонения -у подвесок от верти-
кального положения. Этот перекос может быть
заранее приблизительно учтен, если принять
силу patgy за горизонтальную нагрузку, дей-
ствующую на обе ванты, а затем произвести
поправку распоров с помощью приближенных
формул параграфа 4.6.
Если некоторые из подвесок особенно ко-
ротки, их отклонение может существенно по-
влиять на напряженное и деформированное
состояние. Такая ферма занимает промежуточ-
ное положение между «вантовой фермой с
длинными подвесками» и «вантовой фермой с
соприкасающимися поясами» (см. параграф
4.4.2. Проверка расчета
В качестве плоских, в своей плоскости ра-
ботающих систем вантовая ферма обладает
тремя степенями свободы; благодаря этому
результаты числовых расчетов поддаются зна-
чительно более простой проверке, чем прост-
ранственные вантовые сетки, с помощью трех
условий равновесия для всей системы. Встре-
чающиеся при проверке ошибки являются од-
новременно масштабом для оценки точности
формул и самого расчета.
Обозначим по-прежнему индексами I и г
соответственно значения функций, относящие-
ся к левому и правому концам ванты; на
рис. 4.7 представлены вантовая ферма и реак-
тивные силы. Внешняя нагрузка р условно не
изображена. Условие отсутствия изгибающих
моментов в ванте позволяет определить вер-
тикальные составляющие реакций в верхней
ванте:
4, —'АЛЛ+О; (“№)
Az ~ + ( zu + wn) (4.196)
и аналогично для нижней ванты.
Условие равновесия всех горизонтальных
сил уже удовлетворено посредством (Гб) вви-
ду того, что, как известно, Hi—Hr=Qt—Qr=
=J pxdx. Поэтому возможность контроля да-
ют только вертикальные силы
Должно быть удовлетворено условие;
для верхней ванты
Аг + Ац — С (piz + Рзо + Рзр) dx; (4.20а)
для нижней ванты
А2г + A2l — J (Ргг 4" Рзо + Рзр) dx (4.206)
и в общей сложности
Аг + Ац + А2г А2[= ] pzdx. (4.20в)
11—455
161
Не будем давать здесь в общем виде фор-
мулу для проверки равновесия моментов. Для
этого следует выбрать соответствующую точ-
ку и относительно ее проверить выполнение
условия равновесия моментов от всех внеш-
них нагрузок (р, Н и А).
Ввиду того, что кроме горизонтальных рас-
поров в (4.19) входят и деформации w, пред-
лагаемый способ контроля является достаточ-
но полным.
4.5. ЗАМКНУТЫЕ РЕШЕНИЯ
4.5.1. Общие положения
Если на вантовую сетку не действует гори-
зонтальная нагрузка, распоры не зависят от
х, и можно прийти к решению более скорым
путем, не прибегая к интегро-дифференциаль-
ному уравнению.
По аналогии с формулами (1.106) первой
части путем интегрирования уравнений усло-
вий равновесия получаем выражения:
= (Д1о + Д1Р)(^1 + ш) — Л430 + М3р + М1г
(4.21а)
и
ЯД = (Я20 + /d2p)(d2—w) =
= М30 + М3р-М2г. (4.216)
Значение величин d объяснено на рис. 4.8;
функции М означают моменты простой балки
пролетом / от соответствующих нагрузок р30,
Рзр, Ра и p2z, причем моменты от последних
двух вертикальных нагрузок в дальнейшем
будут сведены в одно выражение Mz.
Кроме того, должны быть соблюдены усло-
вия нулевого состояния, вытекающие из (4.21),
а также из (4 12) (после интегрирования):
= Л430 = Н2(&. (4.22)
Наконец, должны быть удовлетворены
уравнения (4.6), принимающие в данном слу-
чае, без учета перемещения опор, следующий
вид:
(4.23а)
Я2р = — Ф2 J z2wdx + N2 . [ (4.236)
Из этих уравнений вытекает соотношение
Н2р =- фРЯ1р + (рр^ + N2, (4.24)
где
Мы имеем как раз достаточное число усло-
вий для определения величин Hlp, Н2р, w(x)
И Рзр(х).
Полный вывод потребовал бы очень много
места.
Результат выражается следующим уравне-
нием:
W?, (1 - <и>) + (1 + + Hjl + М+
\ \ р /
+ (2фР -1) + м2| + Ф1 j м2 dx -
- Тр (<ррЛ\ + М) - [я10 (1 + —) +
L \ Р /
+ фРЯг + Я21 = 0. (4.26)
Это определяющее уравнение относительно
Н1р; для краткости было введено обозначение
=—(DJzXdx (4.27)
для величины, зависящей от системы и имею-
щей размерность силы.
В целях сохранения тенденции получения
простых и наглядных формул можно было бы
представить (4.26) в следующем сокращенном
виде, опустив слагаемые второстепенного зна-
чения:
(1 - ФР) + Hlp (1 + фр2) + нг0 (1 +у))+
+ фх Jг;Mzdx- р (фрЛ\ + М2) 0. (4.28)
Не будем здесь останавливаться на под-
робном сопоставлении этого выражения с со-
ответствующей формулой для отдельной ван-
ты, которую можно вывести из (1.51). Отме-
тим только,что:
1) обычно оба коэффициента при Я2, и
Н1р положительны; таким образом, в ванто-
вой ферме при увеличении нагрузки pz, Hip
(и w) меняются медленней, чем по линейно-
му закону;
2) вантовая ферма ведет себя приблизи-
тельно как отдельная ванта, обладающая (1 +
+ фр2)-кратной жесткостью при (1 + 1/р)-крат-
ной нагрузке;
162
3) увеличение предварительного напряже-
ния уменьшает горизонтальные распоры и про-
гибы1 от pz.
Квадратичный член Н2р(1 — <рр) (4.26) не-
велик. При более точном решении уравнения
рекомендуется вычислить Н1р не из известной
формулы, а путем итерации из соотношения
HiP = A—BH2p.
Поскольку мы исходили из полных усло-
вий равновесия, (4.26) дает сразу окончатель-
ное решение для любого сочетания нагрузок.
Наложение влияний отдельных случаев нагру-
зок, а также последующий учет дополнитель-
ных нагрузок р* не нужны.
После вычисления Hip другой распор
(Я2р) определяется посредством (4.24).
Для определения w лучше всего использо-
вать уравнение, получаемое из (4.21):
(Hr+H^w (х)=Л42(х)— (Н1р + рЯ2р) (х). (4.29)
Наконец (4.46) при Я' =0 дает соотношение
+ w ) + Рзо + р3р + р1г = 0, (4.30)
что позволяет определить усилие в подвесках
Рз = Рзо + Рзр-
Кроме того, остаются в силе соображения,
изложенные в параграфе 4.4.1, и возможности
контроля, намеченные в предыдущем пара-
графе.
Если принять во внимание, что умеренная
горизонтальная нагрузка имеет лишь ограни-
ченное влияние на w, можно использовать ли-
нейную форму основного уравнения и при
рх^0, а именно путем раздельного рассмотре-
ния случая нагрузки рх посредством прибли-
женных формул параграфа 4.6. Для учета
влияния pz и изменений температуры пользу-
ются приведенными выше уравнениями и по-
средством наложения находят окончательные
результаты. При не очень больших рх относи-
тельно одновременно действующих pz таким
путем получают не очень точные, но приемле-
мые значения.
4.5.2. Кривая, которую описывает ванта,
является веревочной кривой от нагрузки
При часто встречающемся частном случае,
когда ванта очерчена по кривой Zi (а также
г2), являющейся кривой давления от верти-
кальной нагрузки, расчет может быть еще
упрощен; при этом начинают с определения
прогибов.
Полагаем по-прежнему, что перемещения
концов вант исключаются; имеющаяся, воз-
1 Сравните с параграфом 2.8.3.
можно, небольшая горизонтальная нагрузка
учитывается, согласно приближенному мето-
ду, отдельно.
В соответствии с общим правилом записи
Pz(x) = pzf(x), (4.31а)
где pz — постоянная1, в данном случае полу-
чим условие;
< = 4=+pMW; р>0. (4.316)
Как видно из условий равновесия, w" име-
ет также вид
w" (х) = — wf (х), (4.31 в)
причем постоянная w имеет размерность кри-
визны.
Проинтегрировав дважды (4.31 в) и учи-
тывая граничные условия Wj=wr=0, получаем
ш(х). Ввиду того что для Mz и di справедли-
вы одни и те же граничные условия, из сопо-
ставления полученных выражений получаем:
ш(х) = -^-/И2(х); (4.32а)
Рг
w (х) = — dr (х). (4.326)
ki
С этими соотношениями, с использованием
определения (4.27), получаем из (4.23) сле-
дующие формулы:
+ М (4.33а)
и
^-ФР^Фт+М,- (4.336)
Эти выражения могут быть подставлены в
(4.16в).
Ввиду того что f(x)y=O, имеем:
«у2 4’ Ф1 (1— сР9)+: Ф1 о+фр2)+
-рг + ^1(М-р^2) = 0. (4.34)
Это — квадратное определяющее уравнение
относительно ш, коэффициенты которого вы-
числяются легче, чем коэффициенты уравне-
ния (4.26).
w — всегда малая величина, поэтому при
1 Это условие должно соблюдаться для суммарной
нагрузки piz+p2z, но необязательно для составляющих
нагрузок.
И*
163
численных расчетах рекомендуется произво-
10
дить вычисления с величиной w или' при-
нять в качестве неизвестного wl2. (4.33) позво-
ляет определить Нр, а (4.326) также линию
прогибов.
Наконец, с помощью соотношения
Рз = Рзо + РзР = #1 (^1 + f (х) — р1г (х) (4.35)
определяются усилия в подвесках.
Рассмотрим подробнее это уравнение для
двух часто встречающихся случаев.
Равномерно распределенная нагрузка. Если
?(х) = 1, все ванты имеют форму квадратных
парабол, кривизны следуют из выражений
» k2~ =pklt (4.36)
где f (имеющая одинаковое правило знаков
cd) означает стрелу, a n=fll — отношение
стрелы к пролету.
Вычислив интеграл (4.27), получим:
~ 2 Ь [3 ~ I k? /3
w Ъ Ф1 — ФР) + Ф1 + фр2)+
) +^4-2V2 -рг +
\ Р / 1
+ ММ~РО=0;
Н2р = — ФР - - ®1 W + Mj.
(4-37)
(4-38)
Растягивающие усилия в подвесках полу-
чаются из (4.35), тогда как w меняется по па-
раболическому закону и имеет максимальное
значение
Wo = W-----
° 8
(4.39)
в серединах вант.
Треугольная нагрузка. При нагрузке по
рис. 4.9, могущей иметь место, например, при
U9
радиально расположенных вантовых фермах
и круглых сооружениях (без кольцевых вант),
обе ванты и кривая прогибов очерчены по ку-
бическим параболам.
В этом случае ось z расположена в сере-
дине пролета; формулы справедливы для по-
ложительных х; в левой части системы следу-
ет оперировать с абсолютной величиной х.
В данном случае
, , ~ 2х
Рг (*) = ;
х>0,
следовательно,
имеем
^=д(1-8^-); (4.40)
Отсюда следуют дальнейшие выражения:
Ф1 — ФР) + ф1 U + ФР2) +
oU ( ои
+/у1о(1 + —1 + ^ + лЦ-
-рг + ^(Л\-рЛГ2) = О; (4.41)
/71р=^Ф1^ + ^ь (4.42а)
н2р =-фр (4-426)
ои
w0 = W . (4.43)
Напомним, что величины Ф1 и Фг зависят
от формы ванты и в данном случае определя-
ются с помощью (4.7).
4.6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ
4.6.1. Общие соображения
Ниже приводятся приближенные формулы
для простого и быстрого предварительного
расчета вантовых ферм; с помощью этих фор-
мул каждый случай нагрузки рассматривает-
ся отдельно.
Для получения предельных значений де-
формаций и распоров пользуются наложени-
ем результатов воздействий отдельных нагру-
зок (и учитывают Но).
Допустим, что фермы по-прежнему имеют
пролет I и приблизительно параболическое
очертание обеих вант. Обозначим по-прежне-
му кривизну через k; при выпуклом очертании
поясов (рис. 4.5) fi (а следовательно, и от-
рицательны. По-прежнему принимаем для
краткости обозначение ф согласно (4.25).
Применение формул показано в парагра-
фе 4.9 на примере; там же сопоставляются
164
приближенные значения с результатами точ-
4.6.2. Нагрузка рх
Как и в ортогональной вантовой сетке
(см. параграф 2.6.2), горизонтальная нагруз-
ка мало влияет на деформации. Поэтому для
пологих вант мы можем приближенно принять
или, подставив значение Ф1 согласно (4.7):
РгЩ> — 1,5 Х1 р (4.476)
Наконец, в данном случае можно положить
для изменения растягивающих усилий в под-
весках:
pW7Xp~<2x;
р^ЯХр^0;
Р1*Я2р-0;
P**H2p^Q2.
(4.44а—г)
Рзр — Ргг — Piz.
(4.48)
Условные поперечные силы Q вычисляются
посредством (4.9).
4.6.4. Изменение температуры
4.6.3. Нагрузка pz
В случае приблизительно постоянной верти-
кальной нагрузки pz = piz + ргг воспользуемся
уравнением (4.37).
Можно показать, что в фигурных скобках
первое слагаемое значительно превосходит
остальные. Если пренебречь ими, а также
всегда малым членом, содержащим множи-
тель w2, то в результате получим (вновь на-
писав pz вместо р2) упрощенное уравнение
_ k2I3
+фР2)~Рг-
Введем еще обозначения:
хх =---------- и х2 — ——-------= 1 — хх. (4.45)
1-4-срр2 l+w2
Эти выражения указывают, какая часть на-
грузки воспринимается несущей, а какая —
напрягающей вантой.
На рис. 2.14 х(<р, р) изображено графи-
чески.
(4.38) позволяет определить горизонталь-
ные распоры:
При параболической форме вант можно с
постоянным грузовым членом от изменения
температуры сохранять тот же порядок расче-
та, как в предыдущем параграфе с р2, однако
следует учитывать также слагаемые N в
(4.38), определяя их посредством (4.10). До-
пуская те же упрощения, после коротких вы-
числений получим:
'ЯХр^ххРЛГ2 + х2^; (4.49а)
'Я2р^хх7й2 + ^-ЛГх=-Ь/71р; (4.496)
Р Р
(4.50)
Провес в середине:
w0 1,5 хх (Л\ - рЛ/2) (4.51)
ях £х Лх
остается всегда небольшим относительно про-
веса от вертикальной нагрузки.
Если соблюдено условие
TVx-pTV2 = O
или при одинаковом температурном удлине-
нии обеих вант (zei = ze2) условие
и

(4.46а)
р^2р--х2^=-фРр^1р.
«2
(4.466)
то с достаточной точностью можно принять,
что температурные изменения не влияют на
деформации вантовой фермы.
Из уравнений (4.6) и (4.18) видно, что, на-
пример, Ад и Ццй? являются величинами того
же порядка. Это означает, что с помощью тех
же формул можно приблизительно определить
распор от смещения опор.
Формулы вантовых ферм ничем (кроме ин-
дексов) не отличаются от формул для ортого-
нальных вантовых сеток; их можно также и
выводить путем, указанным в параграфе 2.6.4.
С помощью (4.39) можем определить мак-
симальный провес:
P2w0 — 1,5——xxpz,
Фф!
(4.47а)
4.7. О ХАРАКТЕРЕ РАБОТЫ ВАНТОВЫХ ФЕРМ
4.7.1. Свойства симметричных ферм
В соответствии с соображениями, изложен-
ными в параграфе 2.7.1, в случае симметрич-
ной или кососимметричной вантовой фермы
можно существенно упростить расчет, если
165
грузовая функция также симметрична или ко-
сосимметрична. Интеграл основного уравне-
ния (4.18а) распространяется в этом случае
только на половину системы, благодаря чему
число неизвестных в соответствующем уравне-
нии сумм и конечных разностей уменьшается
приблизительно вдвое. Порядок расчета оста-
ется аналогичным расчету вантовых сеток.
Так, например, кососимметричная верти-
кальная нагрузка не вызывает в симметричной
системе никаких горизонтальных распоров Нр,
что видно и из уравнения (4.26). В этом слу-
чае, следовательно, можно ожидать особенно
больших деформаций. Если ванты в середине
не могут взаимно перемещаться, следует вести
расчет согласно параграфу 4.8.
В связи с этим рассмотрим частный случай
ФР=1, который проще всего получить, если
обе ванты обладают одинаковой жесткостью
EF и одинаковой кривизной.
В этом случае сумма распоров не зависит
от приложенной нагрузки р2, что может пред-
ставить существенное преимущество при опре-
делении размеров нижнего строения.
4.7.2. Проверка на текучесть
Для этого случая также действительны ис-
следования параграфа 2.7.3, достаточно толь-
ко заменить индексы х и у на 1 и 2. Поскольку
в данном случае мы имеем дело только с дву-
мя вантами, можно точно установить, при ка-
кой именно степени загрузки одна из вант
окажется ненапряженной.
4.7.3. Собственные частоты
После того как было указано на столько
параллелей между расчетом вантовых ферм и
ортогональных вантовых сеток, не представля-
ется нужным останавливаться на выводе фор-
мул собственных частот вантовых ферм, по-
этому ограничимся ссылкой на параграф 2.7.4.
В качестве уравнения перемещения ванто-
вой фермы из (4.18) получаем выражение, от-
вечающее уравнению (2.71 б):
z"i<Di (1 + ФР2) J wdx —
— (Hl 4- w" — р<в2 w. (4.52)
Прогиб к'(х) измеряется исходя из состоя-
ния покоя ~z=z+w загруженной системы; ве-
личины II по-прежнему обозначают суммар-
ные горизонтальные распоры Н0+Нр и
принимаются, в случае надобности, постоян-
ными. Обозначив через £ = 8,91 м/сек2 ускоре-
ние земного тяготения, g — нагрузку (посто-
янную), получим колеблющуюся массу ц =
=gtg, отнесенную к погонной единице в на-
правлении оси х.
Простую формулу для первой собственной
частоты (круговой частоты) вантовой системы
можем вывести из (2.75), исходя из уже полу-
ченных значений прогибов:
-У-/-- (4.53)
Здесь SWi обозначает деформацию в точке
i от постоянной нагрузки, а т — число имею-
щихся значений Wi.
Если принять, что ванта имеет параболиче-
скую форму и что нагрузка g приблизительно
постоянна, с помощью (2.77) приходим к фор-
муле:
(В2
л2
р/2
(я1+Я2 +
FA
л2 / ’
которую можно вывести и из (4.52).
Подставив
2л
т =----,
а>
(4.54)
(4.55)
имеем для каждого случая период колебания.
4.8. ВАНТОВЫЕ ФЕРМЫ
С СОПРИКАСАЮЩИМИСЯ ПОЯСАМИ
Особого рассмотрения заслуживают ванто-
вые фермы, обладающие формой, изображен-
ной на рис. 4.2. Перекос и удлинение подвесок
могут по-прежнему не учитываться, однако
глухая связь несущей и напрягающей ванты
должна быть учтена, что требует дополнения
к описанному методу расчета.
При дальнейших выводах допустим, что си-
стема симметрична относительно середины
(х = 0) и что можно пренебречь горизонталь-
ными нагрузками.
Сначала разобьем Нр и pz на симмет-
ричную и кососимметричную части (верхние
индексы S и Л). Тогда уравнение (4.16в) при-
нимает вид
(М-р%ь; +
Hip + Т/2р 4-
-ИЧ + ХЙ'+а+
+ (X - р ан2р\ z; + [х + х +
+#ю(1 4-----) Aw"
\ Р 'J
+ (AffiP + AffZp)A w" + Арг = 0, (4.56)
166
где горизонтальные распоры принимаем по-
стоянными.
Для подчеркнутых членов симметричной
части горизонтальные перемещения и1т и и2т
обеих вант в середине пролета равны нулю,
таким образом удовлетворено условие совме-
стности — Для этой главы, следова-
тельно, все формулы предшествующих пара-
графов остаются в силе.
Для того чтобы при кососимметричной на-
грузке Apz принудить обе ванты иметь одина-
ковое горизонтальное перемещение в точке со-
пряжения, введем в этой точке горизонталь-
ною контактную силу 2 X (см. рис. 4.10).
Для кососимметричной части деформаций
интегралы в (4.6) обращаются в нуль; для ле-
вой и правой частей системы отдельно полу-
чаем:
слева
AHlp=+Ql = ~X-
справа
Hip =+ Qi = + X;
AH2p = Q2=+X-,
»
Няр — <2г —
(4.57)
Таким образом, сумма (ЛН1Р + АН?Г,) в
уравнении (4.56) обращается в нуль и для ко-
сосимметричной части остается:

+
#ю (1 4- у) + SHlp + %₽] + Арг = 0.
Рассмотрим теперь только правую полови-
ну системы Q^x^.l/2. введем (4.57) и дважды
проинтегрируем.
Учитывая граничные условья -4а?(х — 0) =
= Arw(x = Z/2) =0, приходим к уравнению
Аш #10 (1 4—4- SHiP 4- —
= -Х(1+р)е1 + лМг.
(4.58)
Введенное здесь выражение е< геометриче-
ски означает стрелу провеса половины верх-
ней ванты, измеренную от хорды (см. рис.
4 10), а А/И является изгибающим моментом
простои балки пролетом I под действием на-
^/2)ЗКИ A^Z ^ИЛИ В данном слУчае пролетом
Для определения X потребуются и горизон-
тальные перемещения. Если несколько преоб-
разовать уравнение (2.53а) и ввести вместо х
новые индексы 1 и 2, то в данном случае для
л' = 0 будем иметь:
Z/2
X С - А .
ч,=---------------I z. wdx-,
lm 2(Lj ,1 1
о
1/2
, х , Г " А ,
«2,л = 4- -- 4- р I zi wdx.
2фФ1 J
о
(4.59а)
(4.596)
Условие Wim=«2m позволяет с учетом (4.58)
определить отсюда горизонтальную контакт-
ную силу:
1/2 1/2
— 0 + Р) j Zie^dxl 4-J ziAXlzdx = 0. (4.60)
о о
(4.57), (4.58) и (4.59) дают возможность
определить затем АНР, Aw и ит от кососиммет-
ричной нагрузки
В следующем параграфе порядок расчета
будет объяснен на примере.
4.9. ПРИМЕР
4.9.1. Система и нагрузки
Чтобы показать применение формул на чи-
словом примере, вантовая ферма рис. 4.11 бы-
ла рассчитана на несколько случаев нагрузки,
4.11
причем на несимметричную нагрузку кроме
указанной фермы была еще рассчитана дру-
гая, с соединяющимися поясами (и соответст-
венно более короткими подвесками).
Размеры, Ванты расположены по кривым,
симметричным относительно оси г; в исходном
состоянии это параболы. Заданы следующие
размеры:
167
1=60 м;
Сечения вант:
= 4,04 см2;
.Модуль упругости:
Ег = Е2 — 1600 т!см2.
Сбор нагрузок
Предварительное напря-
жение:
Постоянная нагрузка.
Переменная нагрузка
(снег):
Отсос от ветра:
Изменение температуры:
fx = 5 м; f2 =4,5 м.
F2 — 1,34 см2.
/7ю= 7,2 т; Н 2о == 8 т.
g = 0,l т/м.
р = 0,2 т/л, в том
числе и на пол пролета.
w = —0,16 т/м.
А/ = +20°С, а также
охлаждение
(Полагаем, что обозначение ветровой нагруз-
ки через w не сможет быть спутано с тем же
обозначением прогибов.)
Параметры системы. Согласно (4.36) име-
ем:
/г. =— 8-5 = 1 М
1 Z2 602 90
, 8-4,5 —— -±м~' ; р = k2 = Л = 0,9.
602 100 К Zi
Углы наклона по краям:
4/1
I
4-5 _ 1 _ 4-4,5 _
60 ~ 3 ’ ^2Г~ 60 —

С помощью табл. 2.1 определяем:
Aj = 1,0565; Л2 = 1,0456
согласно (4.7):
1600-4,04 1ло
Ф, =-------’— = 102 m м,
1 0565-60
_ 1600-1,34 „. о
Ф9=--------— = 34,2 m м,
2 1,0456-60
и согласно (4.25):
= 3+2 = 0 335
Y 102
Далее еще потребуются значения:
ФР = 0,335-0,9 = 0,302;
1 — фр = 0,698;
1 + ФР2 = 1,272.
Подставив эти значения в (4.45), найдем:
Xi = —— = 0,786;
1,272
х2 = 0,214.
Предварительное напряжение дает
Я„(1+±) =7,2(1 + ^) = 15.2 7.
Согласно (1-18) и (4.10):
= - 1600-4,04-12-10-6-20 = — 1,55 т;
N2 = — 1600-1,34-12-10-6-20 = — 0,51 т.
4.9.2. Приближенный расчет
Постоянная нагрузка. Посредством (4.46)
находим:
Я1р = 0,786-90-0,1 =-(- 7,07 т;
Д2 =—0,302-7,07 = —2,14 т.
Формула (4.47а) дает:
, к 9020,786-0,1 ,пл ]С- f.
wn = 1,5-----------100 = 15,6 см.
0 60-102
Переменная нагрузка. Множитель для пе-
ресчета из постоянной нагрузки: r\ = p/g=2.
Ветровой отсос
Т) = w'g = — 1,6.
Увеличение температуры. Согласно (4.49):
Н1р =—0,786-0,9-0,51 —0,214-1,55 =
=—0,36 —0,33 =—0,69 т;
Н2р = — 0,69/0,9 = — 0,77 т
и согласно (4.51):
w 0 = + 1,5^-1^0,786(1,55 —
0 1600-4,04
— 0,9-0,51) 100 = w0 = 1,9 см.
Полученные значения сведены в табл. 4.1.
Таблица 4.1. Горизонтальные распоры
и деформации, полученные приближенным расчетом
Случай нагрузки Д В 7 Н2 в т В СМ
0 + 7,20 +8,0 0,0
g + 7,07 —2,14 + 15,6
Р + 14,14 —4,28 +31,2
W —11,31 +3,42 —25,0
+а/ — 0,69 —0,77 + 1,9
—м + 0,69 +0,77 — 1.9
o+g +14,27 + 5,86 -4-15,6
Максимальный +29,10 +10,05 +46,8
Минимальный + 2,27 + 1,58 — 11,3
4.9.3. Симметричные случаи нагрузки
Множители в формулах (4.37), (4.38),
(4.39):
ф = 6°3'102- = 2,04- Ю4 тм;
12 90-12
168
ФР Ф1 = 0,302-2,04-104 = 0,616 • 104 тм.
ф1 (1 — ФР) = (2,04 — 0,616) 104 =
= 1,424-104 тм-
k* I3 л , \
-^-ФхО+фР^+АЛо 1 + — =
12 \ р /
= 1,272 -104 + 15,2 = 303,4 т.
По сравнению с этими величинами величи-
на (Ni+Nz)=—2,06 т в фигурных скобках в
(4.37) имеет второстепенное значение и ею
можно было бы пренебречь; однако мы про-
изведем расчет по полной формуле
ki(Ni + P^)= — -^-(1,55 — 0,9-0,51) =
= —0,012т.
Произведя подстановку полученных зна-
чений в (4.37), можем решить уравнение с по-
мощью счетной линейки путем попыток; после
этого, пользуясь (4.38), определяем горизон-
тальные распоры;
g+p+At — это сочетание исследоваться
не будет, а потому оно не учтено и в таблице,
так как снег и увеличение температуры не мо-
гут действовать одновременно;
g + р _ д/;
1,424 -10%2 4- (303,4 4- 2,06) w —
— 0,3 + 0,012 = 0;
10% = 9,43 — 0,00466 (104^)2 = 9,05 лГ1 ;
Н1р = 2,04-9,05 + 1,55 = + 20,01 г;
Н2р = — 0,616-9,05 + 0,51 = — 5,06 т;
g + w + ^t:
1,424-Ю4^ + (303,4 —2,06) ю —0,1 +
+ 0,16 — 0,012 = 0;
10% = — 1,59 — 0,00473 (10%)2 = — 1,6 м~1;
Н1р = — 2,04-1,6 — 1,55 = —4,82 т;
Я2р = +0,616-1,6 — 0,51 = +0,48 т;
g+да— Д/ по аналогии:
10% = —2,39 At-1 ;
Н1р = — 3,33 т;
Я2р= +1,98 т.
Суммарные горизонтальные распоры. Из
сочетания полученных значений следует:
^1мажс = + 7,2 + 20,01 = + 27,21 т;
Н1мив = + 7,2 — 4,82 = + 2,38 т > 0;
^2макс = + 8 + 1,98 = + 9,98 т;
Я2мин = + 8 — 5,06 = + 2,94 т > 0.
Сопоставление полученных предельных
значений с соответствующими значениями
табл. 4.1 доказывает приемлемость прибли-
женных формул. Одновременно можно убе-
диться в том, что более точный расчет приво-
дит к меньшему разрыву между предельными
значениями, т. е. к более экономичному под-
бору сечений.
Предельные значения деформаций. Пре-
дельные значения провесов в середине проле-
та определяются посредством (4.39):
ы,п макс = 9,05 -602 -10-4/8 = 0,41 м = — ;
147
K’zn мин = —2,39-60-2-10~4/8 =
Предельные значения колеблются, следо-
вательно, в границах
bwm = 0,41 + 0,11 =0,52л< = —.
4.9.4. Несимметричный случай нагрузки
Ниже будет приведен расчет только для
постоянной и односторонней переменной на-
грузки; последняя может быть разбита на
симметричную и кососимметричную части:
spz = g + ~ =0,1 +0,1 = 0,2т/л<;
АРг = ± ~ = ± 0,1 Т/М.
В правой половине системы Apz положи-
тельно.
4.9.4.1. Пояса не соединены
Горизонтальные распоры не зависят от Арг,
поэтому получаем:
1,424 • 10%2 + 303,4и — 0,2 = 0;
10% = 6,4 л-1;
Я1р= 13,06 т;
Я2р = -3,94 т;
wm = 0,29 ai;
Ях = 7,2 + 13,06 = 20,26 т;
Я2 = 8 — 3,94 = 4,06 т.
169
Те же значения получаются и с помощью
(4.26). Для сопоставления определим проги-
бы в четвертях пролета.
Для использования (4.29) сначала опре-
делим:
4- Н2 = 20,26 + 4,06 = 24,32 т-
Hlp — pHZp = 13,06 + 0,9-3,94 = 16,61 т,
далее, в левой четверти:
J 9,75/i = 3,75 л<£;
Mz = 0,75spz/2'8 — лрг/2/32 =
= 0.75-0,2-602/8 —0,1 502 32 =
= Мг = 67,5 — 11,25 = 56,25 тм
и,следовательно,
24,32wa = 56,25 — 16,61 -3,75 = — 6,04 м;
wa = —0,25 м.
В правой четверти аналогично получаем
wb — + 0,68 м.
Укажем для сравнения, что при отдельной
ванте при том же w в середине и при той же
нагрузке мы имели бы иуй = 0,88 м, т. е. на 13%
больше.
4.9.4.2. Соединенные пояса
Если обе ванты соединены в середине, го-
ризонтальные распоры в левой части отличны
от горизонтальных распоров в правой части.
Для симметричной части нагрузки сохраняют-
ся те же ранее полученные значения Нр и wm',
для определения контактной силы из (4.60)
понадобятся следующие величины:
1 1 + <р _ 1 1,335 _
2фФ ’ 1 +р ~ 2-0,335-102 1,9
= 0,01028 Л! Т-
Ч-+ ^1р+ ^2р —
= 15,2 + 13,06 — 3,94 = 24,32 т;
1/2
fz+,dx =---- - - 1,25-30 = -0,278м-
J 11 90 3
о
Z/2
fz;JM,dx=-i..|0.1^30=-2,5 г,м;
о
с этими значениями получаем.
X {0,01028-24,32 + 1,9-0,278} — 2,5 = 0;
Х = +3,21 т.
Окончательные горизонтальные распоры
согласно (4.57) и (4.2) в левой части системы
получаются равными:
Ни = 7,2+ 13,06 — 3,21 = + 17,05 т;
Н21 = 8 — 3,94 + 3,21 = + 7,27 т,
а в правой части.
Н1Г = 7,2 + 13,06 + 3,21 = + 23,47 ц
Н2Г = 8 — 3,94 — 3,21 = + 0,85 т > 0.
Если сравним эти величины с соответству-
ющими величинами, полученными в предыду-
щем параграфе, то увидим, что предельные
значения по абсолютной величине получаются
больше, но все-таки не достигают значений,
полученных в параграфе 4.9.3 для полной на-
грузки; деформации же значительно умень-
шились.
С помощью (4.58) справа имеем:
24,32 = —3,21 —1,9-5,4 +0,1 -602 32;
лш6=+0,15 м = — Awa.
Воспользовавшись значением wm из пре-
дыдущего параграфа, получаем прогибы:
в левой четверти:
wa=0,75wm + Awa-
ша=0,22 — 0,15 = +0,07 м,
в правой четверти:
wb = 0,22-гО,15=0,37 м =
По сравнению с результатами для несопри-
касающихся поясов прогиб wb уменьшился на
46%, тогда как максимальный горизонталь-
ный распор /7] стал 23,47 м вместо 20,26, т. е.
возрос всего на 16%•
4.9 4 3. Контроль расчета
Для последнего рассмотренного случая на-
грузки и соединяющихся поясов произведем
описанную в параграфе 4.4.2 проверку выпол-
нения условий равновесия. Учитывая, что
деформированные ванты расположены по па-
раболам, определим сначала углы наклона
краев:
Д- z\i = fi+wm + 2 4=5+0,29 — 0.3 = 4,99 м-.
Y^ = -^ + ^m+2X =
= —4,5 + 0,29 —0,3 = — 4,51 м-,
— z' = — f — wm — 2 "w. —
4 If 1 1 m b
170
= — 5 — 0,29 — 0,3 = — 5,59 м;
~^~Z2l — f 2 Wm Wb~
= + 4,5 — 0,29 — 0,3 = + 3,91 м.
Вертикальные реакции согласно (4.19) при
//4=15 м равны:
А, = + 17,05-4,99/15 = 5,67 т;
А21 = — 7,27-4,51/15 = — 2,19 т;
А1Г = +23,47-5,59/15 = 8,75 т;
А2г = — 0,85-3,91/15 = — 0,22 т.
Суммарная нагрузка равна:
। pzdx — 0,2-60 = 12 т
и
ЕЛ = 12,01 т 12.
Выберем в качестве точки, относительно
которой проверим равенство нулю моментов
всех действующих сил, точку соприкасания не-
сущей и напрягающей ванты:
/И=(Ли+Л21 - А1Г - А3г) ~ + (Я1Г - Hu)f -
M=(3,48 — 8,53) 60 2+(23,47 — 17,05) 5 —
— (0,85 — 7,27) 4,5 = — 90,61 тм.
Момент от нагрузки:
М = 2 Арг /2 8 = 2-0,1 -602 8 = +90 тм.
Ошибка составляет меньше 1% и вызвана
тем, что деформации определились только с
двумя десятичными знаками.
4.9.5. Собственные частоты
Минимальная (симметричная) собствен-
ная частота получается от собственного веса
и увеличения температуры. Для этого случая
получим:
7/1 = 13,1 т; Я2=5,2 т; +„=0,165 7-.
Если ввести в (4.53) прогибы в точках, уда-
ленных друг от друга на 0,1/, получим:
о2=9,81 — 85,9 = 93,6 сек-2;
9
т=0,65 сек.
Если применить (4.54), получим:
602-1600-4,04
—-------------- — 370 Т"
л2хг 902 л2-0.786
со2 = 9,81 ?2 (13,1+5,2+370) = 104,6 сек~~-
0.1-602 '
т=0,61 сек,
что хорошо совпадает с полученными выше
значениями.
ЛИТЕРАТУРА
1. Heilig. Statik der schweren Seile, «Stahlbau», 23 (1954), S. 253—
258, 283—291.
2 S t u s s i F. Statik der Seile. Abhandlungen des Internationalen Ver-
eines fiir Briickenbau und Hochbau, 1940/1941, S. 290.
3. S t ii s s i F. Statik der Seile, Abhandlungen des Internationalen Ver-
eines fiir Briickenbau und Hochbau, 1940/1941, S. 296.
4. Schleyer F. Uber die Berechnung von Seilnetzen. Dissertation,
Technische Universitat, Berlin, 1960.
5. Roller В A fiiggeszett tetoszerkezetek szatikaja... Dissertation,
Technische Universitat fiir Bau- und Verkehrwesen, Budapest, 1960.
6. Roller В Berechnung doppelt gekriimmter, gespannter hangenden
Dacher auf Grund der Theorie II Ordnung. «Die Bautechnik», 1963, Heft 2,
S. 48—52.
7 S i e v A. Stability of prestressed suspended roofs. Dissertation, Tech-
nion, Israel Institute of Technology, Haifa, 1961.
8. Eras G., Elze H. Zur Berechnung und statisch vorteilhaften Form-
gebung von Seilnetzwerken. Hanging roofs, proceedings of the IASS Collegi-
um... Paris, 1962. Amsterdam, North-Holland Publishing Comp., 1963.
9. В a n d e 1 H. Das orthogonale Seilnetz hyperbolisch-parabolischer
Form unter vertikalen Lastzustanden und Temperaturanderung. «Bauingenie-
ur», 34 (1959), Heft 10, S. 394—401.
10. M о e n a e r t P. Toitures et parois en cables precontracts. «Acier-
Stahl-Steel», 25 (1960), № 78, p. 293—298.
11. В algae. Die neue Ausstellungshalle der Textilmesse in Leskovac
«Beton- und Stahlbetonbau», 56 (1961), Heft 7, S. 157—463.
12. Eras G., Elze H. Berechnungverfahren fiir vorgespannte doppelt
gekriimmte Seilnetzwerke. «.Bauplanung-Bautechnik», 1961, Heft 7.
13. С о r n e 1 i u s W. Die statische Berechnung eines seilverspannten
172
Daches am Beispiel des US-Pavillons auf der Weltausstellung in Brussel,
1958. «Der Stahlbau», 27 (1958), Heft 4, S. 98—103.
14. Fritz B. Vom biegesteifen Fachwerksystem zum spansteifen Seil-
oder Stabhangewerk. «Bauingenieur», 33 (1958), Heft 6, S. 209—212.
15. J awe r th D. Vorgespannte Hangekonstruktionen aus gegensinnig
gekrummten Seilen mit Diagonalverspannung. «Der Stahlbau», 28 (1959),
Heft 5, S. 126—131.
16. Schleyer F. Die Berechnung von Seilwerken, Hanging roofs, pro-
ceedings of the IASS Colloqium... Paris, 1962, p. 56—61, Amsterdam, North-
Holland Publishing Comp., 1963.
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ 3
ПРЕДИСЛОВИЕ К НЕМЕЦКОМУ ИЗДАНИЮ 4
РАЗДЕЛ I. КОНСТРУКЦИИ
1. ОБЩАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ КОНСТРУКЦИИ 5
2. РАЗВИТИЕ РАСТЯНУТО НАПРЯЖЕННЫХ КОНСТРУКЦИИ 9
3. ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НЕНАПРЯЖЕННЫЕ СИСТЕМЫ РАСТЯНУТЫХ КОНСТ-
РУКЦИИ . . . .......... .......................... 13
4. ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННЫЕ РАСТЯНУТЫЕ КОНСТРУКЦИИ . 32
РАЗДЕЛ II. РАСЧЕТ ВАНТ, ВАНТОВЫХ СЕТОК, ВАНТОВЫХ ФЕРМ
1. ОТДЕЛЬНЫЕ ВАНТЫ . ...... 88
1.1. ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ 88
1.2. НЕРАСТЯЖИМАЯ НИТЬ . 91
1.3. УПРУГАЯ НИТЬ . . . 94
1.4. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ... 97
2 ВАНТОВЫЕ СЕТКИ, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ В ПЛАНЕ 99
2.1 ВВЕДЕНИЕ ...... ......... 99
2.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВАНТОВОЙ СЕТКИ 100
2.3 НУЛЕВОЕ СОСТОЯНИЕ . . 105
2.4. ГЛАВНОЕ УРАВНЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНОЙ ВАНТОВОЙ СЕТКИ 109
2.5. ПРИМЕНЕНИЕ К КОСЫМ II НЕПРЕДНАПРЯЖЕННЫМ ВАНТОВЫМ СЕТ- *
КАМ . . . . . . . 120
2.6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ............................. 122
2.7. О ХАРАКТЕРЕ РАБОТЫ ВАНТОВЫХ СЕТОК И БОРТОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 124
2.8. АНАЛИЗ РАБОТЫ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННОЙ ВАНТОВОЙ СЕТКИ 132
2.9. ПРИМЕР ........................................... 137
3. ВАНТОВЫЕ СЕТКИ. ОБРАЗУЮЩИЕ ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ 149
3.1. ВВЕДЕНИЕ 149
3.2. ОБОЗНАЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИЯ 150
3.3. ВЫВОД ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ . ... . 151
3.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ В ВАНТАХ И ПЕРЕМЕЩЕНИИ 155
3.5. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ . 156
4. ВАНТОВЫЕ ФЕРМЫ........................................ 157
4.1. ВВЕДЕНИЕ . . 157
4.2. ОБОЗНАЧЕНИЯ. ОСНОВЫ РАСЧЕТА 158
4.3. НУЛЕВОЕ СОСТОЯНИЕ 158
4.4. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ВАНТОВОЙ ФЕРМЫ 160
4.5. ЗАМКНУТЫЕ РЕШЕНИЯ ,62
4.6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ 16->
4.7. О ХАРАКТЕРЕ РАБОТЫ ВАНТОВЫХ ФЕРМ . 165
4.8. ВАНТОВЫЕ ФЕРМЫ С СОПРИКАСАЮЩИМИСЯ ПОЯСАМИ 166
4.9. ПРИМЕР ,67
ЛИТЕРАТУРА .......... - • I72

ОПЕЧАТКИ
Страница Строна Напечатано Следует читать
91 Формула (1.24) dx+'eLg dx
107 Правая колонка, 1-я снизу нхос нхй/с
120 Правая колонка, 7-я сверху (2.530) (2.53в)
147 Лёвая колонка, 2-я снизу гб' w'
154 Формула (3.31а) — ж —
160 Правая колонка, b-я сверху Nip «о «1р
Зак. 455
Цена 1 Р- 8