В. А. БОЧАРОВ, В. И. МАРКИН
ВВЕДЕНИЕ
В ЛОГИКУ
УНИВЕРСИТЕТСКИЙ КУРС
Рекомендовано УМО
по классическому университетскому образованию
в качестве учебника для студентов высших учебных заведений,
изучающих философские дисциплины
Москва
ИД «ФОРУМ» — ИНФРА-М
2008

ББК 87.4я73
УДК 16(075.8)
Б72
Рецензенты:
доктор философских наук, профессор кафедры онтологии,
логики и теории познания философского факультета
Государственного университета — высшая школа экономики
Е.Г. Драгалина-Черная;
доцент кафедры философии и политологии Академии ФСБ России
Г. И. Губарев
Бочаров В.А., Маркин В.И.
Б72 Введение в логику: учебник. — М.: ИД «ФОРУМ»: ИНФРА-М. 2008. — 560 с. —
(Высшее образование).
ISBN 978-5-8199-0365-0 (ИД «ФОРУМ») N Н t
ISBN 978-5-16-003360-0 (ИНФРА-М)
Учебник представляет основное содержание курса лекций по логике, который авторы в
течение ряда лет читали на философском факультете Московского государственного университета
им. М. В. Ломоносова.
Учебник предназначен для студентов философских, а также других гуманитарных и
естественных факультетов университетов. Может быть рекомендован всем желающим изучать логику
самостоятельно или усовершенствоваться в ее знании.
УДК 16(075.8)
ББК 87.4я73
ISBN 978-5-8199-0365-0 (ИД «ФОРУМ») © Бочаров В.А., Маркин В.И. 2008
ISBN 978-5-16-003360-0 (ИНФРА-М) © ИД «ФОРУМ», 2008

ОГЛАВЛЕНИЕ
ОТ АВТОРОВ 10
Глава I. ПРЕДМЕТ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ЛОГИКИ
§ 1. Логика как наука
1.1. Предмет логики 13
1.2. Чувственная и рациональная ступени познания 14
1.3. Рассуждение какметод познания 17
1.4. Нормативный характер логики 20
§ 2. Логическая форма. Отношение логического следования
2.1. Критерий правильности умозаключений 21
2.2. Понятия логической формы и логического следования 27
Упражнения 29
§ 3. Логические законы. Логические теории
3.1. Понятие логического закона 30
3.2. Общее представление о логической теории 32
Упражнения 35
§ 4. Краткий очерк истории логики 35
Глава И. ЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЯЗЫКА
§ 1. Язык как знаковая система
IЛ. Язык и основные виды языков 40
1.2. Функции и свойства естественных языков 42
1.3. Знак и знаковая ситуация 44
1.4. Значение и смысл знаков 45
1.5. Синтаксис, семантика и прагматика языка 46
Упражнения 47
§ 2. Категориальный анализ языка
2.1. Основные типы выражений языка 47
2.2. Логический анализ имен и предложений 52
2.3. Принципы употребления языковых выражений 61
Упражнения 64
§ 3. Функциональный анализ языка
3.1. Множества и кортежи 65
3.,2. Декартово произведение 69
3.3. Теоретико-множественная трактовка свойств и отношений 70
3.4. Свойства двухместных отношений 73
3.5. Функции 74
3.6. Теория семантических категорий 80
Упражнения 83
Глава III. КЛАССИЧЕСКАЯ ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
§ 1. Язык классической логики высказываний
1.1. Алфавит логики высказываний 85
3

1.2. Формулы логики высказываний 86
Упражнения 89
§ 2. Таблицы истинности. Виды формул
2.1. Интерпретация пропозициональных переменных 89
2.2. Табличные определения пропозициональных связок 91
2.3. Алгоритм построения таблиц истинности 96
2.4. Виды формул логики высказываний 99
Упражнения 101
§ 3. Логические отношения между формулами
3.1. Фундаментальные логические отношения 101
3.2. Производные отношения 104
3.3. Проверка правильности умозаключений табличным методом 105
3.4. Метатеоремы в классической логике высказываний 106
Упражнения 111
§ 4. Основные законы и способы рассуждений логики высказываний
4.1. Схемы формул и законы логики высказываний 112
4.2. Основные формы правильных рассуждений в логике высказываний 115
4.3. Непрямые способы аргументации 118
Глава IV. ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
§ 1. Натуральное исчисление высказываний . ,,. ,
1.1. Теория дедукции 125
1.2. Правила вывода исчисления NP 12.:.:. 127
1.3. Вывод и доказательство в NP 129
1.4. Эвристики 133
Упражнения 137
§ 2. Аксиоматические исчисления высказываний
2.1. Аксиомы, правила вывода и доказательство в АР 137
2.2. Исчисление высказываний со схемами аксиом САР 141
2.3. Теорема дедукции 142
2.4. Применение теоремы дедукции 145
Упражнения 147
§ 3. Метатеоретические свойства системы САР
3.1. Дедуктивная эквивалентность NP и САР ;....!.'.. *.'......" 147
3.2. Интерпретация исчисления высказываний 149
3.3. Непротиворечивость САР 149
3.4. Полнота САР 151
3.5. Разрешимость системы САР 157
Упражнения 158
Глава V. КЛАССИЧЕСКАЯ ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ
§ 1. Язык логики предикатов
1.1. Алфавит логики предикатов первого порядка 159
1.2. Термы и формулы логики предикатов первого порядка 161
1.3. Прикчадной язык логики предикатов 165
1.4. Синтаксические понятия логики предикатов 166
Упражнения 169
4

§ 2. Интерпретация и логические отношения в логике предикатов
2.1. Интерпретация языка логики предикатов 169
2.2. Виды формул в классической логике предикатов 180
2.3. Логическая истинность, ложность и недетерминированность 182
2.4. Понятие модели 184
2.5. Отношения между формулами логики предикатов 185
Упражнения 187
§ 3. Метод аналитических таблиц
3.1. Общее описание аналитических таблиц 188
3.2. Правила редукции 191
3.3. Примеры использования аналитических таблиц 195
Упражнения 198
Глава VI. ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ
§ 1. Натуральное исчисление предикатов NPr
1.1. Правила вывода 200
1.2. Вывод в натуральном исчислении NPr 204
Упражнения 207
§ 2. Аксиоматическое исчисление АРг
2.1. Аксиомные схемы а правила вывода 208
2.2. Доказательство в исчислении АРг 208
2.3. Теорема дедукции в исчислении АРг 210
2.4. Примеры применения теоремы дедукции 211
2.5. Метатеоретические свойства исчисления АРг 213
Упражнения 218
§ 3. Расширения первопорядкового исчисления
3.1. Исчисление предикатов с равенством 219
3.2. Исчисление предикатов с дескрипциями 221
3.3. Многосортное исчисление предикатов 224
3.4. Исчисление предикатов второго порядка 226
Упражнения 240
Глава VII. СИЛЛОГИСТИКА
§ 1. Общие сведения о силлогистике
1.1. Категорические атрибутивные высказывания 242
1.2. Виды силлогистических теорий 244
1.3. Понятие силлогистической формулы 245
Упражнения 246
§ 2. Семантика традиционной силлогистики
2.1. Интерпретация категорических высказываний 246
2.2. Распределенность терминов 249
Упражнения 250
§ 3. Законы позитивной силлогистики и непосредственные следования
3.1. Законы тождества и логический квадрат 250
3.2. Обращение 254
Упражнения 255
5

§ 4. Простой категорический силлогизм
4 1 Фигуры и модусы простого категорического силлогизма 255
4 2 Общие правила силлогизма и свойства фигур 259
4 3 Энтимемы 261
Упражнения 263
§ 5. Негативная силлогистика
5 1 Отрицатечьные термины 264
5 2 Законы тождества в негативной силлогистике 265
5 3 Непосредственные умозаключения в негативной силлогистике 265
5 4 Негативный категорический силлогизм 267
Упражнения 270
§ 6. Аристотелевская силлогистика
6 1 Позитивная и негативная аристотелевская силлогистика 271
6 2 Расширенная аристотелевская силлогистика 272
Глава VIII. НЕКЛАССИЧЕСКИЕ ЛОГИКИ
§ 1. Классическая и неклассическая логика
1 1 Принципы лежащие в основе классической логики 274
1 2 Неуниверсальность принципов классической логики 277
1 3 Общая характеристика неклассических логик 280
§ 2. Многозначная логика
2 1 Принцип многозначности 284
2 2 Трехзначная логика Лукасевича и логики Поста 286
2 3 Общая схема построения многозначных логик 291
2 4 Примеры многозначных логик 293
Упражнения 298
§ 3. Модальная логика
3 1 Понятие модального высказывания Виды модальностей 299
3 2 Цечение модальностей по модальной квалификации 300
3 3 Внутренние и внешние модальности 303
3 4 Абсолютные и относительные модальности 305
3 5 Личностные и безличностные модальности 306
3 6 История возникновения модальной логики 306
3 7 Нормальные системы логики алетических модальностей 312
3 8 Семантика возможных миров для модальных исчисчений 316
3 9 Метод аначитических таблиц в модальной логике 322
Упражнения 328
§ 4. Логика времени
4 1 Обремененные высказывания 329
4 2 Логика времени как первопорядковая прикладная теория 330
4 3 Виды временных модальностей 333
4 4 Минимальная временная логика 335
4 5 Расширения минимальной временной чогики 339
4 6 Определения алетических модальностей через временные 342
Упражнения 345
§ 5. Интуиционистская логика
5 1 Предпосылки возникновения интуиционистской чогики 346
6

5.2. Конструктивные объекты, доказательства и истина 348
5.3. Интуиционистское исчисление высказываний 350
5.4. Семантика возможных миров для интуиционистской логики 352
5.5. Связь интуиционистской логики с классической и модальной 353
5.6. Аналитические таблицы для интуиционистской логики 354
Упражнения 357
§ 6. Релевантная логика
6.1. Парадоксы материальной импликации и классического следования 357
6.2. Классическая логика и методологические проблемы 359
6.3. Система FDE 362
6.4. Семантика FDE 366
6.5. Система Rрелевантной логики 370
6.6. Аналитические таблицы для FDE 373
Упражнения 377
Глава IX. ПОНЯТИЕ
§ 1. Общая характеристика понятий
1.1. Роль понятий в познании и обыденной жизни 379
1.2. Языковая форма представления понятий 381
1.3. Объем и содержание понятий 382
Упражнения 384
§ 2. Виды понятий
2.1. Простые и сложные понятия 385
2.2. Виды понятий по объему 386
2.3. Виды понятий по типам обобщаемых предметов 388
2.4. Виды понятий по содержанию 396
Упражнения 397
§ 3. Операции над понятиями
3.1. Булевы операции над понятиями 397
3.2. Булевы алгебры 400
3.3. Операции ограничения и обобщения понятий 403
3.4. Деление понятий 405
3.5. Операция классификации 408
Упражнения 411
§ 4. Отношения между понятиями
4.1. Фундаментальные отношения между понятиями 412
4.2. Производные отношения между понятиями 413
4.3. Закон обратного отношения 415
4.4. Диаграммы Венна 416
Упражнения 421
Глава X. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
§ 1. Теоретико-познавательные характеристики определений
1.1. Понятие определения 423
1.2. Роль определений в познании 423
§ 2. Явные определения
2.1. Структура явных определений 425
7

2 2 Виды явных опреде гений по характеру определяемой части 426
2 3 Виды явных опреде гений по характеру определяющей части 430
Упражнения 433
§ 3. Неявные определения
3 1 Структура неявных определений 434
3 2 Индуктивные опреде гения 434
3 3 Рекурсивные опредечения 436
3 4 Аксиоматические определения 436
Упражнения 437
§ 4. Другие виды определений
4 1 Определения контекстной зависимости 438
4 2 Реачьные и номинальные опредечения 439
4 3 Родовидовые опредечения 441
§ 5. Требования к корректности определений
5 1 Содержатегьные и формальные требования 442
5 2 Приемы сходные с определением 444
Упражнения 445
Глава XI. ПРАВДОПОДОБНЫЕ РАССУЖДЕНИЯ
§ 1. Общие сведения о правдоподобных рассуждениях
1 1 Понятие правдоподобного рассуждения 447
1 2 Массовые события 447
1 3 Вероятностная мера 449
14 Усчовная вероятность 451
1 5 Опредечение правдоподобного счедования 452
Упражнения 453
§ 2. Обобщающая индукция
2 1 Полная индукция 453
2 2 Популярная индукция 456
2 3 Научная индукция 457
2 4 Статистическая индукция 459
2 5 Индукция к «счедующечу за» 461
Упражнения 462
§ 3. Причинная зависимость
3 1 Действующая причина 463
3 2 Основные свойства причинной связи 464
3 3 Понятия причинности 468
3 4 Процедурные аспекты установчения каузальной связи 468
§ 4. Методы установления причинных связей
4 1 Основные принципы исключающей инд\ кции 470
4 2 Метод сходства 471
4 3 Метод различия 472
4 4 Совместный метод сходства иразчичия 474
4 5 Метод сопутствующих изменений 475
4 6 Статистические причинные зависимости 478
4 7 Метод корреляции 481
Упражнения 483

§ 5. Гипотетико-дедуктивный метод
5.1. Понятие гипотезы 483
5.2. Структура гипотетико-дедуктивного метода 485
5.3. Процедура опровержения гипотез 487
5.4. Процедура подтверждения гипотез 489
§ 6. Аналогия
6.1. Аналогия по свойствам 491
6.2. Аналогия по отношениям 493
Упражнения 495
Глава XII. ТЕОРИЯ
§ 1. Общая характеристика теорий
1.1. Опытное знание 497
1.2. Законы и факты 498
1.3. Понятия теории 499
1.4. Основные виды теорий 500
1.5. Интерпретация теорий 506
1.6. Функции теории 509
§ 2. Логический анализ теорий
2.1. Основные метатеоретические свойства теорий 511
2.2. Операции над теориями 513
2.3. Отношения между теориями 514
§ 3. Идея доказательства ограничительных теорем
3.1. Общее представление о формальной арифметике 515
3.2. Теория рекурсивных функций 519
3.3. Арифметизация синтаксиса формальной арифметики 521
3.4. Ограничительные теоремы 522
Приложение 1 (Логика и онточогия) 529
Приложение 2 (Логика и истина) 533
Приложение 3 541
Предметный указатель 542

Посвящается светлой памяти большого
ученого и педагога, товарища и друга -
Смирнова Владимира Александровича
ОТ АВТОРОВ
Предлагаемый вниманию читателей учебник представляет собой введение в
проблематику современной логики и содержит краткое изложение ее
фундаментальных ее разделов. Знакомство с учебником позволит получить представление о
предмете логики, природе и специфике логического знания, о наиболее известных
логических теориях, а также о той методологической роли, которую играет логика
в интеллектуальной познавательной деятельности человека.
Авторы ставили своей целью не только представить логику как
теоретическую дисциплину, но и очертить круг практических познавательных задач, которые
могут быть решены с ее использованием. Особый акцент в учебнике делается на
формулировке критериев, норм и правил корректного осуществления различных
мыслительных процедур, таких, как дедуктивное рассуждение, определение,
классификация, формирование понятий и операции над ними, индукция,
аналогия, выдвижение и проверка гипотез и т. д.
При написании настоящей работы авторы стремились последовательно
проводить линию на освещение всего комплекса логико-методологических проблем
сквозь призму идей символической логики. Значение этой логики для
философов и, более обще, гуманитариев, определено несколькими моментами. Во-
первых, во многих случаях логика в гуманитарной области знания является
единственным инструментом познания, поэтому знакомство с ее положениями
дает в руки ученого-гуманитария тот уникальный аппарат исследования,
который ничем не может быть заменен. Во-вторых, в любом научном исследовании
нельзя обойтись только так называемым образным, гуманитарным, т. е.
неряшливым складом ума. Наши интуитивно-образные прозрения определенных
положений дел должны логически строго обосновываться, и с этой точки зрения
гуманитарий должен выработать в себе навыки математически точного
мышления. Навыки же такого мышления приобретаются в ходе занятий точными
дисциплинами, одной из которых как раз и является логика. Последняя составляет
пропедевтику всякого точного мышления. В-третьих, идейное содержание этой
дисциплины оказало огромное прямое, а часто и подспудное, влияние на всю
философию XX века, придав ей новый импульс. В современной философии нет
таких областей знания, в которых не использовался бы в той или иной мере
логический аппарат. Быть современным философом - это значит уметь владеть
логикой в такой мере, чтобы, по крайней мере, быть способным читать
философскую литературу и понимать ее.
10

Учебник ориентирован, таким образом, на круг читателей, для которых
знакомство с логикой имеет не только общекультурное значение, но и
является необходимым элементом их профессиональной инструментальной
деятельности.
Авторы при изложении материала старались не углубляться в разного рода
теоретические тонкости, а выделили лишь тот минимум, который необходим для
становления облика современного грамотного философа (гуманитария) и
успешного решения им практических и теоретических задач. Тем не менее от
читателя потребуется знакомство с азами теоретико-множественного языка,
который будет введен уже в первых главах учебника. Знакомство с этим языком
необходимо по той простой причине, что как изложение современной логики, так
и ее точное восприятие невозможны без использования строгого теоретико-
множественного языка.
Данный учебник является существенно переработанным и расширенным
вариантом выпущенного ранее авторами учебника «Основы логики». Были
написаны и включены в его состав новые темы - логико-семиотический и
логико-математический анализы естественных языков (глава II), основные
разновидности неклассических логик (глава VIII), понятие теории (глава XII), а
также глава XIII. В главы «Исчисление высказываний» и «Исчисление
предикатов» включены разделы, посвященные аксиоматическому
представлению соответствующих логических теорий, а также доказательству их основных
метатеоретических свойств. Кроме того, глава «Исчисление предикатов»
расширена рассмотрением исчисления предикатов с равенством, многосортного
исчисления предикатов, исчисления предикатов с дескрипциями и исчисления
предикатов второго порядка. В главе «Классическая логика предикатов» по-
новому освещена тема «Аналитические таблицы». Предложенная
формулировка является более удобной для аналитико-табличного представления
неклассических логик. В значительной степени переработана и глава IX, в которой
изучается теория понятий. Здесь теперь рассматриваются вопросы о фактическом
и логическом объеме понятий, приводится техника диаграмм Венна, дается
уточненная классификация видов понятий. В учебнике содержатся и другие
новации, которые расширяют круг логической проблематики и изменяют его
общее структурное построение.
Мы позволили себе целый ряд тем в учебнике выделить петитом. Это те
темы, которые не являются, с нашей точки зрения, обязательными при
преподавании логики философам из-за недостатка времени, отводимого на преподавание
этой дисциплины по Государственному стандарту. Тем не менее в них дается
некоторая дополнительная информация, которая может быть полезной при
освоении студентом курса логики. Кроме того, петитом выделены приводимые в
учебнике примеры различных логических процедур.
Расположение тем в учебнике дано в соответствии с примерной программой
курса логики, разработанного Учебно-методическим объединением по
философии, политологии и религиоведению для Министерства образования РФ. Мы
настоятельно рекомендуем всем преподавателям, читающим курс лекций по ло-
11

гике для философов, придерживаться именно данного порядка изложения.
Напрашивающийся, вроде бы сам собой, другой порядок чтения тем - понятия,
суждения, умозаключения, - свойственный учебникам по так называемой
традиционной логике, является неудовлетворительным, так как тему «Понятие»
можно хорошо на современном уровне изложить только с использованием аппарата
исчисления предикатов высших порядков.
С другой стороны, если данный учебник будет использоваться при
преподавании курса логики для других гуманитарных или естественно-научных
дисциплин, то порядок чтения тем может быть существенно изменен. Более
того, в силу временного дефицита целый ряд разделов учебника может быть
опущен. Принцип здесь должен быть один - «говорить правду, только правду,
но не всю правду».
В соответствии с обычными учебно-методическими требованиями учебник
теперь снабжен упражнениями. При этом авторы старались придать
упражнениям практическую направленность. Упражнения призваны в первую очередь
помочь студенту освоиться с логической техникой. Поэтому задачи и упражнения
теоретического характера сведены к минимуму. Мы не стали давать большое
количество упражнений, ограничив свою задачу указанием лишь основных
типов решаемых примеров. Преподаватель, который будет пользоваться данным
учебником, может самостоятельно, исходя из типологии предлагаемых задач,
разработать свою собственную систему упражнений.
В качестве рекомендации преподавателям хотелось бы отметить также, что
наша богатая педагогическая практика по преподаванию логики показывает, что
для студентов наиболее сложными для освоения разделами являются не
формальные разделы (в конце концов, каждого студента удается обучить строить
формальные выводы), а содержательные. Особенно большую трудность для
студентов представляют задачи на перевод различных выражений с естественного
языка на язык исчисления предикатов. Часто студенты даже не умеют четко
отличить предложения от именных конструкций. И это, несмотря на длительное
обучение языку в средней школе. Между тем - это центральный пункт всего
процесса обучения логике. Без накопления у студента навыка и умения
выражать свои мысли на точном языке задача освоения им логики не будет решена.
Поэтому мы настоятельно рекомендуем преподавателям, читающим курс
логики, обратить самое пристальное внимание на эту сторону дела.
В книге принята следующая система нотаций. Объекты самой реальности
обозначаются курсивным шрифтом. Языковые выражения, являющиеся знаками
данных объектов, обозначаются прямым полужирным шрифтом. При этом
языковые переменные, кроме пропозициональных переменных, которые пишутся
прямым полужирным шрифтом, обозначаются курсивом. Метапеременные
обозначаются заглавными прямыми полужирными буквами.
12

Глава I
ПРЕДМЕТ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ЛОГИКИ
§ 1. Логика как наука
1.1. Предмет логики
Логика является одной из древнейших наук. Как стройная система знаний
она сформировалась в IV веке до н. э. в трудах выдающегося древнегреческого
мыслителя Аристотеля. Логические трактаты Аристотеля («Категории», «Об
истолковании», Первая и Вторая «Аналитики», «Топика» и «О софистических
опровержениях») были объединены его последователями под общим названием
«Органон», которое можно перевести как «орудие» («инструмент») познания. В
«Органоне» был заложен каркас логики как науки, сформулированы основные
проблемы, решаемые в ней.
Прежде всего, это проблема построения теории правильных {дедуктивных)
рассуждений, позволяющих из истинных высказываний гарантированно
получать истинные заключения. Этот круг проблем является наиболее
разработанным, а потому и центральным в логике, в силу чего саму данную науку часто
определяют как теорию именно дедуктивных рассуждений. Действительно,
обсуждение многих вопросов логики (теории индукции, определения, теории
понятий и других) часто сводят к специфическим проблемам дедуктивных
рассуждений. В силу центральности проблематики дедуктивных рассуждений этой
теме в данном учебнике тоже уделяется самое пристальное внимание.
Второй круг проблем - их обычно называют логико-семиотическими -
связан с применением языка как средства познания мира и средства выражения
мысли. К их числу относятся проблемы выделения категорий языковых
выражений в зависимости от типов их значений, а также способов их членения по
структурным особенностям этих выражений, установления смыслов и условий
истинности и ложности высказываний различных видов.
К третьей - логико-методологической группе проблем - относятся:
выработка правил осуществления таких познавательных процедур, как определение,
классификация, объяснение, аналогия и других, а также способов организации
систем знания, например научных теорий.
К четвертому кругу проблем - метатеоретическим - относится
рассмотрение таких свойств, которые могут быть присущи различным логическим
теориям, как-то вопросы их непротиворечивости, полноты и многие другие.
Для ответа на вопрос, что является предметом логики, сформулируем
определение этой науки.
Логика - это нормативная наука о формах, законах и приемах
интеллектуальной познавательной деятельности.
Чтобы был понятен смысл данного определения, необходимо разъяснить
следующие вопросы. Что представляет собой процесс познания (познавательная
13

деятельность)? В чем состоит специфика интеллектуальной познавательной
деятельности? Какова роль языка в познании? В каких формах отражается
действительность в нашем мышлении? Каковы основные логические приемы
познания? И, наконец, в чем состоит нормативный характер логики как науки?
1.2. Чувственная и рациональная ступени познания
Начнем обсуждение с рассмотрения наиболее общего вопроса - что
представляет собой процесс познания?
Познание - процесс отражения действительности, целью которого
является получение адекватных знаний о мире.
В этом процессе выделяют две ступени: чувственную и рациональную
(интеллектуальную) .
На чувственной ступени мир познается посредством органов чувств или,
более точно, анализаторов, чувственных рецепторов, т. е. особых клеток,
которые реагируют на определенные воздействия внешней среды. Результатом
такого воздействия является ответная психическая реакция живого организма,
которая называется ощущением. Последнее представляет собой самый простой
психический ответ - элементарный психический образ. Так, воздействие на
зрительные рецепторы приводит к ощущению цвета, его насыщенности,
ощущению движения предмета или его покоя; воздействие на тактильные рецепторы
дает нам ощущение тепла или холода, ощущение гладкости или шероховатости
предмета и т. д.
Более сложной формой чувственного познания является восприятие
(перцепция). Данная форма представляет собой психический интегрированный
комплекс разнообразных ощущений. Так, при зрительном восприятии мы
воспринимаем некоторый внешний предмет комплексно, целиком, с самыми
разнообразными характеристиками, которые ему присущи; при слуховом восприятии мы
воспринимаем не просто отдельные звуки - их высоту, тональность, силу, а
воспринимаем комплексно, целиком некоторую звуковую фразу.
Ощущения и восприятия возникают только во время непосредственного
контакта с воздействующим на органы чувств предметом. Представление же -
это психический образ, который связан с нашей памятью, т. е. с теми следами,
которые остались в нашем мозге от прежних ощущений или восприятий. Я могу
вспомнить некогда бывшую ситуацию и представить ее.
Иногда выделяют особую форму чувственного познания - фантазию. В
этом случае содержание нашего психического образа не просто воспроизводит
то, что было ранее, но оно свободно изменяется, что порождает образы таких
ситуаций и вещей, с которыми мы ранее не встречались. Эта способность
чрезвычайно важна в литературной, инженерной и научной деятельности.
Рациональное познание обладает рядом характеристик, отличающих его от
чувственного. Основная особенность этого познания состоит в его связи с
языком, в силу чего эту ступень часто называют языковой {вербальной) ступенью
14

познания. Собственно говоря, все существенные черты рационального познания
обусловлены именно этой ее особенностью.
В отличие от чувственного познания, которое дает нам конкретное знание,
на языковой ступени мы имеем дело со знанием абстрактным. Эта
абстрактность проявляется в нашей способности отвлекаться (абстрагироваться) от
индивидуальных особенностей предметов, в умении «схватывать» общее в них и
фиксировать это общее в языке. Мы теперь имеем возможность не только
познавать отдельно взятые ситуации (положения дел), но и устанавливать те общие
взаимосвязи, которые существуют между ними, т. е. познавать законы природы.
Таким образом, рациональное познание носит обобщенный характер. С другой
стороны, на этой ступени имеется возможность мысленно отделять
характеристики предметов от самих предметов и превращать их в особые идеальные и
абстрактные объекты рассмотрения: материальные точки, геометрические
фигуры, такие объекты, как смелость, трусость, любовь, ненависть и т. д. Тем
самым человеческое мышление не только отражает реальный мир, но и творит
свой собственный мир - мир абстрактных и идеальных объектов. Абстрактный
характер языковой ступени познания часто специально подчеркивается тем, что
данная ступень обозначается термином «.абстрактное мышление».
Из рассмотренных особенностей вытекает еще одна, самая важная черта
языковой ступени познания, состоящая в том, что здесь мы далеко выходим за
рамки наглядности чувственных образов. Действительно, чувственно наглядно
нельзя представить себе тысячеугольник, причем представить так, чтобы этот
психический образ отличался от образа девятисот девяносто девятиугольника и
от образа тысячеодноугольника. Построить же языковой образ такого объекта
можно. Для этого должна быть просто построена фраза - «равносторонний
выпуклый тысячеугольник».
Этот пример демонстрирует, что с помощью языка можно в буквальном
смысле изображать («рисовать») объекты и ситуации. Точно так же, как
художник, накладывая одну за другой краски на холст, создает некоторый образ
предмета, точно также и мы с вами, цепляя по законам грамматики некоторого языка
одно слово за другое, создаем языковые полотна. Причем, что особенно важно,
мы можем создавать теперь образы таких объектов, которые чувственно
наглядно не представимы, например языковые образы законов природы.
В отличие от чувственного, познание на языковой ступени всегда носит
активный и целенаправленный характер. Это обусловлено тем
обстоятельством, что особенности чувственного познания биологически детерминированы
и складываются стихийно. Человек этому может специально не обучаться.
Иначе обстоит дело с языком. Мы не владеем им от рождения, напротив, этому
необходимо специально обучаться, т. е. язык усваивается активно и
целенаправленно.
Итак, подведем итог сказанному:
Под интеллектуальной познавательной деятельностью будем далее
иметь в виду познавательную деятельность, осуществляемую с
помощью языка.
15

Основными формами, в которых фиксируются знания о мире как
результате интеллектуальной познавательной деятельности, являются понятия,
суждения и теории.
Понятие - это мысль, которая посредством указания на некоторый
признак выделяет из универсума и собирает в класс все предметы,
обладающие этим признаком.
В данном определении был употреблен очень важный термин - «признак».
Что же понимается в логике под термином «признак»? Данным термином в
логике (и философии) обозначается все то, в чем предметы сходны друг с другом
и чем они отличаются друг от друга. Рассмотрим, например, два таких объекта
как «Петр I» и «Наполеон». Эти два предмета сходны в том, что они относятся
к классу людей, а потому общее их свойство «быть человеком» является при-
• знаком. Наполеон и Петр I являются мужчинами, а потому это общее для них
свойство тоже является признаком. Но они были людьми разного роста, жили в
разное время, родились в разных странах и были императорами различных
государств. Эти характеристики отличают их друг от друга, а потому тоже
являются признаками. Все признаки делятся на два типа: свойства и отношения.
Первые характеризуют отдельно взятые предметы, вторые же выступают в
качестве характеристик упорядоченных пар предметов, троек предметов и т. д.
Так, признаки «быть мужчиной», «быть человеком» являются свойствами
предметов, ибо они характеризуют отдельно взятых и Наполеона, и Петра I.
Всегда можно сказать «Наполеон - мужчина» или «Петр I - человек». А вот
признак «быть выше по росту» является отношением, так как характеризует
упорядоченные пары предметов. Действительно, нельзя сказать «Петр I выше
по росту». Это будет незаконченная фраза. Всегда надо указать «выше по
росту» кого, т. е. указать еще один предмет. Например, «Петр I выше по росту,
чем Наполеон».
Пары были названы упорядоченными, потому что перестановка местами
имен предметов в общем случае может вести к изменению описываемой
ситуации. Так, первая фраза соответствует положению дел в мире, а фраза «Наполеон
выше по росту, чем Петр I» - нет. Такая ситуация отсутствует в мире.
Но вернемся к понятиям. В языке понятия выражаются посредством так
называемых универсалий - одной из разновидностей описательных терминов.
Например, термин «четырехугольник с равными сторонами и равными углами»
выражает понятие. Здесь для формулировки понятия мы взяли сложный признак
«быть четырехугольником с равными сторонами и равными углами». Тем самым
мы выделили из класса всех предметов именно те предметы, которые обладают
указанным признакам, а затем эти выделенные предметы были мысленно
собраны в единый класс - класс квадратов. В свою очередь термин «вещество,
молекулы которого состоят из одного атома, имеющего заполненную внешнюю
электронную оболочку» аналогичным образом формирует (но с использованием
другого сложного признака) понятие, выделяющее множество инертных газов из
универсума веществ.
16

Суждение - мысль, содержащая утверждение о наличии или
отсутствии в действительности некоторого положения дел (ситуации).
Суждения фиксируются в языке с помощью повествовательных
(декларативных) предложений. Эти предложения могут выражать суждения о
присущности или неприсущности свойств предметам («Снег бел», «Сера не электропро-
водна»), о наличии или отсутствии отношений между предметами («Петербург
севернее Москвы», «Дездемона не любит Яго»), о связях между ситуациями
(«Если вода нагрета до 100°С, то она кипит»). Конкретное повествовательное
предложение с зафиксированным смыслом (т. е. выражающее определенное
суждение) называют высказыванием.
Всякое высказывание может быть оценено как истинное или ложное. Причем в
классической логике эти термины трактуются следующим образом:
Высказывание истинно тогда и только тогда, когда описываемое в
нем положение дел имеет место в действительности, в противном
случае оно считается ложным.
Например, высказывание «Медь электропроводна» истинно, поскольку
свойство электропроводности присуще меди, а высказывание «Сера
электропроводна» ложно, поскольку в действительности это свойство не присуще сере.
Теперь можно более точно охарактеризовать приведенные выше
высказывания: «Петр I выше по росту, чем Наполеон» и «Наполеон выше по росту,
чем Петр I». Первое из них является истинным, а второе - ложным. Этим
самым рассматриваемые высказывания отличаются друг от друга, а потому
такие характеристики, как «быть истинным» и «быть ложным», тоже являются
признаками.
Еще одной формой отражения действительности на языковой ступени
познания является научная теория.
Теория - это система связанных между собой понятий и
высказываний, описывающих некоторую исследуемую предметную область.
Главная задача теории - установление закономерностей, присущих
объектам изучаемой предметной области. Кроме того, теория может выступать как
средство объяснения и предсказания явлений. Примерами теорий могут служить
геометрия Евклида, механика Ньютона, специальная теория относительности,
теория эволюции Дарвина и т. д.
1.3. Рассуждение как метод познания
Одной из главных задач логики является исследование приемов
мышления, т. е. исследование тех интеллектуальных процедур, которые
осуществляются человеком в процессе его познавательной деятельности. К их числу
относятся, например, определение, классификация, научное объяснение,
выдвижение и проверка гипотез, постановка и решение задач и проблем, научная
полемика и многие другие. Однако центральное место в логических исследо-
17

ваниях занимает анализ такой познавательной операции, как рассуждение.
Учение о правильных способах рассуждения - дедуктивная и индуктивная
логики - являются ядром логической науки с момента ее возникновения и до
наших дней.
Что же представляет собой рассуждение? В самом общем виде на этот
вопрос можно ответить следующим образом.
Рассуждение - это процедура обоснования некоторого
высказывания путем пошагового выведения его из других высказываний.
Простейшим видом рассуждения является умозаключение.
Умозаключение - это непосредственный переход от одного или
нескольких высказываний Аь А2,..., А„ (п = 1, 2, 3...) к некоторому
высказыванию В.
Высказывания Аь А2,..., А„, из которых делается вывод, называются
посылками, а высказывание В, которое выводится из посылок, называется
заключением. В логике умозаключение принято формулировать следующим образом:
Аь А2,..., А„
В,
где над чертой записываются посылки, под чертой - заключение, а сама черта
выражает разрешение осуществить акт выведения заключения из посылок.
В качестве примера умозаключения приведем рассуждение, посредством
которого, согласно легенде, халиф Омар обосновывал необходимость сожжения
Александрийской библиотеки:
Если ваши книги согласны с Кораном, то они излишни. Если же ваши книги не
согласны с Кораном, то они вредны. Но вредные или излишние книги следует
уничтожить. Поэтому ваши книги следует уничтожить.
В приведенном умозаключении первые три высказывания являются
посылками, а четвертое - заключением.
Умозаключение является простейшей разновидностью рассуждения, так
как обосновываемый им тезис (его роль играет заключение В)
непосредственно, в один шаг, выводится из посылок Аь А2,..., А„, которые можно
рассматривать в качестве аргументов в пользу выводимого тезиса.
Однако многие рассуждения имеют гораздо более сложную структуру. В
ходе рассуждения могут осуществляться несколько умозаключений, причем
заключения, полученные в одних умозаключениях, могут стать посылками в
других. Рассмотрим пример.
В одном городе было совершено ограбление банка. Подозрение пало на
известных рецидивистов Смита, Джонса и Брауна. В ходе следствия выяснилось, что
Джонс никогда не ходит на дело без Брауна. По крайней мере, один из
рецидивистов - Смит или Джонс - замешан в преступлении. У Брауна есть прочное
алиби. Инспектор полиции, проводивший расследование, на основании этих
данных предъявил обвинение Смиту.
18

При этом он мог рассуждать следующим образом.
Данные, полученные в ходе расследования, свидетельствуют о том, что
(1) Если Джонс замешан в преступлении, то в нем замешан и Браун
(Джонс без Брауна на дело не ходит).
(2) Браун не замешан в преступлении (у него алиби).
Следовательно,
(3) Джонс не замешан в преступлении.
Но, согласно данным следствия,
(4) Джонс или Смит замешаны в преступлении.
Поэтому, с учетом непричастности к преступлению Джонса, можно сделать
обоснованный вывод:
(5) Смит замешан в преступлении.
В приведенном рассуждении осуществлены два умозаключения. В первом
из них посылками являются высказывания (1) и (2), а заключением -
высказывание (3). Во втором умозаключении посылками являются (3) и (4), а заключением -
высказывание (5).
Иногда в ходе рассуждения для обоснования некоторого высказывания
(назовем его С) применяются так называемые непрямые способы аргументации. В
этом случае строятся вспомогательные рассуждения, в состав которых могут
вводиться дополнительные допущения. Из последних стремятся получить
следствия определенного рода. Характер принимаемых допущений и искомых
следствий обычно зависит от вида обосновываемого высказывания С. При успешном
решении указанных задач вспомогательные рассуждения считаются
завершенными, а в основной части рассуждения появляется высказывание С.
Примером непрямого способа аргументации являются широко
распространенные рассуждения от противного. Их структура состоит в следующем. Для
обоснования высказывания В принимается в качестве дополнительного
допущения противоречащее ему высказывание «Неверно, что В», при этом из
допущения и некоторого множества аргументов Г стремятся получить противоречие -
высказывания «D» и «Неверно, что D». При успешном осуществлении этого
вспомогательного рассуждения считается, что допущение было ложным, а само
В обосновано посредством аргументов Г.
Покажем, как мог инспектор полиции в рассмотренном примере прийти к
выводу о виновности Смита, рассуждая от противного.
Примем сначала допущение о том, что
(1) Смит не замешан в преступлении.
Из этого допущения и установленного факта -
(2) Смит или Джонс замешаны в преступлении -
получим высказывание:
19

(3) Джонс замешан в преступлении.
Из него, а также из другого установленного в ходе следствия факта -
(4) Если Джонс замешан в преступлении, то и Браун замешан в нем
- выводим высказывание:
(5) Браун замешан в преступлении.
Однако следствие выяснило, что
(6) Браун не замешан в преступлении.
Таким образом, в рассуждении получено противоречие - (5) и (6).
Следовательно, допущение (1) ложно, а высказывание
(7) Смит замешан в преступлении
считается обоснованным посредством аргументов (2), (4) и (6). ■
1.4. Нормативный характер логики
Формы и приемы интеллектуальной познавательной деятельности
исследуются не только в логике, но и в других науках - психологии, психолингвистике,
а также в особом разделе философии, называемом эпистемологией. В
перечисленных науках процесс мышления изучается главным образом в том виде, как
он протекает в действительности. Их основная цель состоит в адекватном
описании, обобщении и объяснении реальной практики осуществления
познавательных процедур. Логика же не отвечает на вопросы, как человек мыслит на
самом деле, почему он мыслит так, а не иначе, каковы особенности мышления
различных групп населения (социальных, возрастных, национальных и т. п.).
Поэтому такие имеющие широкое хождение выражения, как «женская логика»,
«логика ребенка», «логика классовой борьбы» к проблематике логики как науки
никакого отношения не имеют.
Логика является прежде всего теоретической дисциплиной. И в этом
смысле она исследует объективно существующие законы и формы мышления. На
основе такого исследования она становится способной дать четкий и ясный ответ
на следующий кардинальный вопрос: как мы должны мыслить, если хотим
достичь цели познавательного процесса - получить адекватные знания об
исследуемых объектах. Логика, таким образом, является наукой не только о сущем,
но и о должном, наукой нормативной. Она вырабатывает нормы и критерии
правильности осуществления интеллектуальных процедур, формирует некий
стандарт, идеал, следование которому является необходимым условием
успешного осуществления научной и вообще любой рациональной деятельности.
Возникает проблема, а каковы критерии правильности осуществления
различных мыслительных операций. Какие рассуждения можно считать
правильными? Каким требованиям должны удовлетворять определения, классификации
и другие интеллектуальные процедуры? На многие из этих вопросов будет дан
ответ по ходу изложения материала в других разделах учебника. В данной же
20

главе будет рассмотрен лишь вопрос о критериях правильности умозаключений,
поскольку он связан с введением фундаментальных понятий логики - понятий
логической формы и логического следования.
§ 2. Логическая форма. Отношение логического следования
2.1. Критерий правильности умозаключений
В этом параграфе будет сформулирован критерий правильности
умозаключений. Приступая к рассмотрению данной проблемы, необходимо иметь в виду
следующее: вопрос о том, является ли некоторое умозаключение правильным
или неправильным, нельзя смешивать с вопросом, какими - истинными или
ложными - являются его посылки и заключение, т. е. соответствуют ли
действительности описываемые ими положения дел. Эти вопросы надо четко различать,
поскольку тот или иной ответ на второй из них не всегда предопределяет ответ
на первый.
Рассмотрим умозаключение, приписываемое халифу Омару.
(1) Если ваши книги согласны с Кораном, то они излишни.
Если ваши книги не согласны с Кораном, то они вредны.
Если ваши книги излишни или вредны, то их следует уничтожить.
Ваши книги следует уничтожить.
В данном случае истинность посылок и заключения представляется весьма
сомнительной. Однако из того, что какие-либо посылки и заключение ложны,
нельзя сделать вывод о неправильности умозаключения (так же, конечно, как и
нельзя сделать вывод о том, что оно правильно). Рассмотрим другой пример:
(2) А. П. Бородин занимался химией или сочинял музыку.
А. П. Бородин сочинял музыку или писал детективные романы.
Неверно, что А. П. Бородин писал детективные романы.
А. П. Бородин занимался химией.
В этом умозаключении и каждая из посылок, и заключение являются
истинными. Однако лишь на этом основании нельзя утверждать, что данное
умозаключение правильно. Вопрос о его правильности или неправильности остается
пока открытым. Лишь в одном случае для оценки умозаключения достаточно
знать значения его посылок и заключения.
Если каждая из посылок истинна, а заключение ложно, то
умозаключение заведомо неправильно.
В этом случае оно не сохраняет истинность при выведении одного
высказывания из других, а потому не может быть использовано в целях получения
истинного знания.
Но можно ли определить, согласно приведенному критерию, правильность
следующего умозаключения, установив значения его посылок и заключения?
21

(3) М. Ю. Лермонтов жил в XVIII веке или он жил в XIX веке.
М. Ю. Лермонтов жил в XIX веке или он жил в XX веке.
Неверно, что М. Ю. Лермонтов жил в XX веке.
М. Ю. Лермонтов жил в XVIII веке.
Поскольку все три посылки здесь истинны, а заключение ложно, постольку
приведенное умозаключение заведомо неправильно.
Возникает вопрос, каким же образом можно определить, являются ли
правильными умозаключения при иных значениях посылок или заключения.
Постараемся ответить на него сначала применительно к умозаключению (2). С этой
целью сравним умозаключения (2) и (3). Очевидно, что содержания входящих в
их состав высказываний различны: во-первых, у них разный предмет мысли (в
одном случае речь идет о Бородине, в другом - о Лермонтове), во-вторых,
различается информация о предмете мысли (в одном случае она касается рода
деятельности, а в другом - времени жизни человека). Вместе с тем можно заметить,
что существует определенное структурное соответствие высказываний,
входящих в состав этих умозаключений, т. е. что сам способ рассуждения в обоих
случаях одинаков.
Совпадение структур умозаключений (2) и (3) можно продемонстрировать
следующим образом. Заменим простые высказывания, входящие в состав
посылок и заключения умозаключения (2), малыми буквами из середины латинского
алфавита: например, высказывание «Бородин занимался химией» - буквой р,
«Бородин сочинял музыку» - буквой q. «Бородин писал детективные романы» -
буквой г. В результате такой замены получим конфигурацию
(4) р или q
q или г
Неверно, что г
Р
Точно такая же конструкция получится при замене в умозаключении (3)
высказывания «Лермонтов жил в XVIII веке» буквой р, высказывания «Лермонтов
жил в XIX веке» - буквой q и высказывания «Лермонтов жил в XX веке» -
буквой г. Тем самым мы показали, что умозаключения (2) и (3) имеют одинаковую
структуру или, как говорят, одинаковую югическую форму. Выражение (4) как
раз и фиксирует логическую форму этих умозаключений.
В дальнейшем для простоты изложения будем понимать под логической
формой некоторого языкового контекста саму языковую конструкцию,
получающуюся заменой некоторых частей контекста буквами {параметрами), в
нашем примере - выражение (4).
В данном случае логическая форма высказываний, входящих в
умозаключение, выражает ту часть их содержаний, которая получается в результате
абстрагирования {отвлечения) от содержания простых высказываний в их
составе. Заменяя простые высказывания буквами {параметрами), мы как раз и
абстрагируемся от того, что именно в них утверждается, какие положения дел они
22

описывают. Однако не происходит абстрагирования от того, каким образом и с
помощью каких союзов простые высказывания сочленяются в составе
сложных. Кроме того, при данном способе выявления логической формы различные
простые высказывания в языковом контексте заменяются различными
параметрами, а одинаковые (везде, где они встречаются в данном контексте) -
одинаковыми.
Вернемся теперь к анализу умозаключений (2) и (3). Мы установили, что
они имеют одинаковую логическую форму - выражение (4), причем
умозаключение (3) заведомо неправильно, так как все его посылки истинны, а
заключение ложно. Это означает, что, применяя умозаключение формы (4), мы не
имеем гарантии получения из истинных посылок обязательно истинного
заключения. А раз в умозаключениях этой структуры можно в некоторых
случаях из истинных высказываний получить ложное следствие, то данный способ
рассуждения нельзя считать надежным, и мы не можем утверждать, что его
посылки действительно обосновывают заключение. Поэтому любое
умозаключение, логическая форма которого представлена выражением (4),
квалифицируют в логике как неправильное (независимо от того, какими - истинными или
ложными - являются его посылки и заключение). Следовательно, и
умозаключение (2) также неправильно, несмотря на то, что и посылки, и заключение в
нем - истинные высказывания, так как истинность его заключения не
обусловлена истинностью посылок, или, как говорят, из его посылок не следует
логически заключение.
Итак, для того чтобы показать, что некоторое умозаключение неправильно,
достаточно найти, по крайней мере, одно умозаключение той же логической
формы, все посылки которого истинны, а заключение ложно. Тем самым мы
ввели критерий неправильности умозаключения. Он может быть сформулирован
следующим образом:
Умозаключение является неправильным, если и только если его
логическая форма не гарантирует, что при истинных посылках мы
обязательно получим истинное заключение, т. е. существует, по крайней мере,
одно умозаключение данной логической формы с истинными
посылками и неистинным (ложным) заключением.
Теперь нетрудно сформулировать критерий правильности умозаключений.
Умозаключение является правильным, если и только если его
логическая форма гарантирует, что при истинности посылок мы
обязательно получим истинное заключение, т. е. не существует
умозаключения данной формы с истинными посылками и неистинным
(ложным) заключением.
При выполнении этого условия говорят, что между посылками и
заключением имеет место отношение логического следования, что заключение
логически следует из посылок.
23

К числу правильных относится, например, умозаключение (1). Выявим его
логическую форму, заменив высказывания, входящие в состав его посылок и
заключения, параметрами: высказывание «Ваши книги согласны с Кораном» -
буквой р, «Ваши книги излишни» - буквой q, «Ваши книги вредны» - буквой г,
«Ваши книги следует уничтожить» - буквой s. Получим в результате
конфигурацию вида
(5) Если р, то q
Если неверно, что р, то г
Если q или г, то s
S.
Теперь, согласно сформулированному выше критерию, мы должны
осуществить обратную процедуру (процедуру интерпретации параметров), которая в
данном случае состоит в замене букв р, q, г и s в выражении (5) произвольными
простыми высказываниями - как истинными, так и ложными. Осуществляя
различные интерпретации параметров, мы обнаруживаем следующую
закономерность: всегда, когда при указанной замене посылки оказываются одновременно
истинными, заключение также будет истинным. Наличие данной
закономерности как раз и свидетельствует о правильности всех умозаключений формы (5),
о наличии логического следования между их посылками и заключениями.
Возникает вопрос, почему в правильном рассуждении (1) заключение
оказалось ложным. Причина этого - наличие ложных высказываний (одного или
нескольких) среди его посылок. Вообще, ложное заключение может быть
получено в результате умозаключения в одном из следующих случаев:
1) если все его посылки истинны, но само умозаключение неправильно;
2) если умозаключение правильно, но в нем имеется, по крайней мере, одна
ложная посылка;
3) если имеется ложная посылка, и само умозаключение неправильно.
Обратим внимание на тот факт, что в перечисленных случаях заключение
может оказаться ложным, но может, в принципе, оказаться и истинным. Если же
к истинным посылкам применяется правильное умозаключение, то с логической
неотвратимостью будет получено истинное заключение.
Правильность умозаключения (1) и неправильность умозаключения (2) были
обусловлены, по существу, особенностями их структуры, которые выражались в
том, каким образом и с помощью каких союзов простые высказывания
сочленялись в сложные в их посылках и заключениях. Действительно, при выявлении их
логических форм мы абстрагировались от содержания простых высказываний.
Однако при замене простых высказываний параметрами происходит отвлечение
не только от того, какое положение дел они описывают, но также и от
внутренней структуры этих высказываний. Вместе с тем в некоторых случаях
невозможно решить вопрос о правильности или неправильности умозаключения без
учета внутренней структуры простых высказываний, входящих в его состав.
Рассмотрим в этой связи следующее умозаключение:
24

(6) Некоторые граждане России являются христианами.
Всякий мусульманин не является христианином.
Некоторые мусульмане не являются гражданами России.
В этом случае посылки и заключение представляют собой три различных
простых высказывания. Однако, несмотря на различия между собой, внутренние
структуры этих высказываний связаны друг с другом: в заключении
зафиксирован определенный тип отношения между двумя множествами (множеством
мусульман и множеством российских граждан), а вывод о наличии данного
отношения делается на основании зафиксированных в посылках отношений каждого
из этих множеств к третьему множеству (множеству христиан). Для решения
вопроса о правильности подобных умозаключений необходим учет внутренней
структуры простых высказываний, а, следовательно, использовавшийся ранее
способ выявления логической формы здесь недостаточен. Для выявления
правильности такого рода умозаключений требуется более глубокий уровень
анализа их логических форм.
Теперь при выявлении логической формы, как и ранее, будем отвлекаться от
того, о каких именно объектах идет речь в высказываниях и что именно о них
говорится. В то же время мы не должны, например, абстрагироваться от того,
идет ли речь в высказывании обо всех или же о некоторых предметах какого-
либо класса, содержит ли это высказывание утверждение или отрицание.
Информация, которая будет утрачиваться при данном способе анализа, выражается
посредством таких терминов, как «граждане России», «христиане»,
«мусульмане». Их называют нелогическими (дескриптивными) терминами. К числу же
логических относят такие термины, как «всякий», «некоторый», «является»
(«есть»), «не является» («не есть»), а также «и», «или», «если ..., то», «неверно,
что» и др. При том способе выявления логической формы, о котором идет
сейчас речь, отвлечения от смысла логических терминов не происходит, а
нелогические термины заменяют параметрами, причем различные термины -
различными параметрами, а одинаковые (везде, где они встречаются в умозаключении) -
одинаковыми параметрами.
Попытаемся выявить логическую форму умозаключения (6). Для этого
заменим нелогические термины в его составе параметрами (большими латинскими
буквами), например термин «гражданин России» - буквой Р, «христианин» -
буквой Q, «мусульманин» - буквой S. Получим следующее выражение, которое
как раз и является логической формой умозаключения (6):
(7) Некоторый Р есть Q
Всякий S не есть Q
3 Некоторый S не есть Р.
Теперь мы можем решить вопрос о правильности или неправильности
умозаключения (6), при этом будут использованы те же, что и раньше, критерии
правильности и неправильности, только применительно к более глубокому
уровню анализа логической формы.
25

Умозаключение (6) является неправильным, поскольку параметры Р, Q и S в
составе его логической формы - выражении (7) - могут быть
проинтерпретированы таким образом, что данное выражение превратится в умозаключение с
истинными посылками и ложным заключением. Подставим, например, вместо
буквы Р термин «существа, живущие в воде», вместо Q - термин «теплокровные
существа», а вместо S - «рыбы». Получим умозаключение:
(8) Некоторые существа, живущие в воде, являются теплокровными.
Всякая рыба не является теплокровным существом.
Некоторые рыбы не являются существами, живущими в воде.
Очевидно, что посылки умозаключения (8) истинны, а его заключение
ложно. Поэтому все умозаключения формы (7), в том числе и умозаключение (6),
неправильны: из их посылок не следует логически их заключения.
В рассуждениях (6) и (8) содержатся нелогические термины одного и того
же типа, одинаковой категории. Каждый из них репрезентирует (представляет)
некоторое множество предметов (например, множество российских граждан или
множество теплокровных существ). Такого рода нелогические термины иногда
называют общими терминами. Однако в умозаключениях могут содержаться
нелогические термины различных категорий. Каким же образом осуществляется
анализ умозаключений и выявление их логических форм в этом случае?
Рассмотрим следующий пример:
(9) М. Тэтчер популярнее С. Рушди.
М. Тэтчер - британский политик.
С. Рушди - британский писатель.
Некоторые британские политики популярнее некоторых британских
писателей.
В составе данного умозаключения содержатся нелогические термины трех
типов. Во-первых, это общие термины «британский политик» и «британский
писатель», которые репрезентируют множества предметов. Во-вторых, это
термины «М. Тэтчер» и «С. Рушди», которые обозначают отдельные предметы
(индивиды), их называют единичными терминами или именами. К третьему типу
относится термин «популярнее» - знак отношения между предметами.
При выявлении логической формы данного языкового контекста все
нелогические термины будут заменены буквами (параметрами). При этом, конечно
же, утратится информация о том, каковы конкретно значения этих терминов,
какие именно множества, индивиды или отношения они представляют. Однако
информация о том, к какой категории относится каждый нелогический
термин, каков тип его значения, утрачиваться не должна. С этой целью каждой
категории нелогических терминов сопоставляют особый сорт параметров. При
выявлении логической формы произвольный нелогический термин
разрешается замещать параметром лишь такого сорта, который соответствует категории
этого термина.
Договоримся, что буквами S, Р, Q можно замещать общие термины,
буквами а, Ь, с - единичные термины, а символами R, Rb R2 - знаки отношений. То-
26

гда вместо терминов «британский политик» и «британский писатель» можно
подставить, соответственно, параметры S и Р, вместо терминов «М. Тэтчер» и
«С. Рушди» - параметры а и Ь, вместо термина «популярнее» - символ R. При
указанных заменах получим логическую форму умозаключения (9):
(10) а находится в отношении R к b
а есть S
b есть Р
Некоторые S находятся в отношении R к некоторым Р.
Умозаключения данной структуры являются правильными, между
посылками и заключением в них имеет место отношение логического следования,
поскольку какие бы мы ни подставляли единичные термины вместо а и Ь, общие
термины вместо S и Р, знаки отношений вместо R в выражение (10), обязательно
получится умозаключение с истинным заключением во всех случаях, когда его
посылки окажутся истинными.
2.2. Понятия логической формы и логического следования
Итак, при формулировке критериев правильности и неправильности
умозаключений нами были затронуты два фундаментальных понятия логики - понятия
логической формы и логического следования. Постараемся теперь, обобщив
сказанное, ввести эти понятия более строгим образом.
Логической формой языкового контекста будем называть выражение,
фиксирующее ту часть содержания контекста, которая остается в
результате отвлечения от конкретных содержаний нелогических
терминов или же от содержаний простых высказываний, входящих в данный
контекст.
Процедура отвлечения от содержаний нелогических терминов и простых
высказываний осуществляется посредством замены указанных языковых
выражений параметрами соответствующих категорий, причем одинаковые
выражения заменяются одинаковыми параметрами, а различные - различными.
При выявлении логической формы контекста сохраняется информация о
типах значений заменяемых выражений, а также о том, каким образом и с
помощью каких логических терминов они сочленяются в этом контексте.
Последнее как раз и имеют в виду, когда логическую форму контекста определяют как
способ связи содержаний его частей.
Следует также уяснить, что логическую форму контекста можно выявить
по-разному, с различной степенью глубины анализа. Способ выявления
логической формы обусловлен, во-первых, тем, учитывается ли внутренняя структура
простых высказываний, и, во-вторых, тем, какие выделяются категории
нелогических терминов.
В качестве примера осуществим логический анализ на различных уровнях
следующего высказывания:
27

Иван сильнее Петра, и Петр умнее Ивана.
Если внутренняя структура простых высказываний, входящих в его состав,
учитываться не будет, то логическая форма примет следующий вид:
рия,
где параметр р подставлен вместо простого высказывания «Иван сильнее
Петра», а параметр q - вместо «Петр умнее Ивана».
При более глубоком анализе, когда структура простых высказываний
принимается во внимание, заменяться параметрами будут не высказывания, а
нелогические термины в их составе. Предположим, что выделены две категории
нелогических терминов - общие (знаки множеств) и единичные (знаки
индивидов). Тогда логическую форму рассматриваемого высказывания можно
выразить так:
а есть Р и b есть Q,
где параметрами а и b заменены единичные термины «Иван» и «Петр», а
параметрами Р и Q - общие термины «человек, который сильнее Петра» и «человек,
который умнее Ивана», соответственно.
Если же наряду с общими и единичными терминами в качестве особой
категории нелогических терминов выделяются знаки отношений, то логическая
форма может быть выражена иным образом:
а находится в отношении Rt к b и b находится в отношении R2 к а,
где а и b подставляются вместо единичных терминов «Иван» и «Петр», a Ri и R2 -
вместо знаков отношений «сильнее» и «умнее», соответственно.
Дадим теперь более строгую трактовку другого фундаментального
понятия логики - понятия логического следования. Прежде всего отметим, что
логическое следование представляет собой отношение между высказываниями
по форме. Это означает, что для решения вопроса о наличии или отсутствии
этого отношения между высказываниями необходимо выявить предварительно
их логические формы. Причем, установив факт наличия (или отсутствия)
отношения следования применительно к логическим формам высказываний, мы
можем заключить, что данное отношение имеет (или не имеет) место и между
самими высказываниями.
Пусть В есть логическая форма некоторого высказывания, а Г - множество
логических форм каких-либо высказываний. Иначе говоря, В и элементы
множества Г представляют собой не высказывания естественного языка, а
выражения, которые содержат параметры и становятся истинными или ложными
лишь при интерпретации последних. При этом под интерпретацией
параметров понимают приписывание им значений соответствующего типа
(определенных индивидов, множеств, отношений и др.). Сопоставить значения
параметрам можно, в частности, осуществив вместо них подстановку значимых
языковых выражений соответствующих категорий (именно этот механизм
интерпретации использовался нами ранее). Тогда:
28

Из Г логически следует В, если и только если не существует такой
интерпретации параметров, входящих в состав Г и В, при которой
все выражения из Г принимают значения «истина», а В не
принимает этого значения (т. е. принимает значение «ложь»).
Приведенное определение логического следования можно эквивалентным
образом переформулировать так:
Из Г логически следует В тогда и только тогда, когда при любой
интерпретации параметров в составе Г и В, при которой все
выражения из Г принимают значение «истина», выражение В также примет
значение «истина».
Упражнения
1. Попытайтесь выявить логическую форму рассуждений без учета
внутренней структуры простых высказываний. Попытайтесь решить также
вопрос, правильны ли данные рассуждения:
а) Если у некоторого человека есть склонность к абстрактному мышлению,
то он способен хорошо освоить логику, а если такой склонности у него нет, то
хорошо освоить логику такой человек не способен. Поэтому данный человек
либо освоит логику, либо нет.
б) «Если наказания будут применяться уже после того, как преступление
совершено, невозможно искоренить злодеяния; если люди будут награждаться лишь
за то, что считается справедливым, проступки не исчезнут. А там, где
наказаниями невозможно пресечь злодеяния, а наградами проступки, неизбежна смута.
Поэтому стремящийся к владычеству в Поднебесной должен наказывать еще до того,
как совершен проступок» (цитата из «Книги правителя области Шан»).
в) Действительный мир является наилучшим из всех возможных миров.
Ведь если допустить обратное, то Бог либо не знал о существовании наилучшего
мира, либо не смог его сотворить, либо не захотел сотворить такой мир. Но Бог
всезнающ, всемогущ и всеблаг. Поскольку Бог всезнающ, он знал о
существовании наилучшего мира. Поскольку Бог всемогущ, он мог сотворить его. А
поскольку Бог всеблаг, он и хотел сотворить такой мир. Поэтому неверно, что Бог
не знал о существовании такого мира, или не смог сотворить, или не захотел
сотворить наилучший мир. Таким образом, допущение о том, что действительный
мир является не наилучшим, приводит нас к противоречию (переложение
аргументации Г. Лейбница).
2. Попытайтесь выявить логическую форму рассуждений при учете
внутренней структуры простых высказываний. Попытайтесь решить также
вопрос, правильны ли данные рассуждения:
а) Ни один диктатор не сентиментален, а потому некоторые
сентиментальные люди диктаторами не являются.
б) Все планеты вращаются вокруг Солнца. Земля тоже вращается вокруг
Солнца. Следовательно, Земля планета.
29

в) Всякий прямоугольник с равными сторонами является ромбом с равными
углами. Поэтому любой равноугольный ромб является равносторонним
прямоугольником.
г) Некоторые кормовые культуры являются многолетними растениями, а
потому ни одна кормовая культура не является многолетней.
§ 3. Логические законы. Логические теории
3.1. Понятие логического закона
Рассматривая вопрос о предмете той или иной науки, нельзя обойтись без
выяснения специфики ее законов. Сказанное относится и к логике. Что же
представляют собой логические законы?
Выше говорилось, что любое высказывание может быть оценено как
истинное или ложное. Однако способы установления истинности или ложности
высказываний разных типов могут существенно отличаться друг от друга. В
некоторых случаях значения высказываний устанавливают путем непосредственного
обращения к действительности (так поступают, например, если хотят выяснить,
истинны ли высказывания «Идет дождь», «Некоторые школьники остроумны»).
В других случаях оценка высказываний осуществляется в рамках конкретных
научных теорий (например, указанным образом поступают, устанавливая
значение высказывания «Две прямые, параллельные третьей, параллельны между
собой»). Однако для определенного класса высказываний вопрос об их истинности
или ложности может быть решен с использованием исключительно логических
средств, на основе анализа их логических форм.
В качестве примера покажем, как устанавливается в классической логике
значение высказывания:
(1) Идет дождь, или неверно, что идет дождь.
Заменяя параметром р простое высказывание «Идет дождь», получаем
логическую форму высказывания (1):
(2) р или неверно, что р.
Это выражение содержит информацию о том, что в действительности
имеет место какое-то из двух положений дел: (а) ситуация, описанная в р, (б)
отсутствие такой ситуации. Данная информация основана на смысле
логических терминов «или» и «неверно, что» и представляет собой общую часть
содержаний высказываний формы (2) - так называемое логическое содержание.
Это логическое содержание, будучи дополнено содержанием высказывания
«Идет дождь», образует в своей совокупности так называемое конкретное
содержание.
Будем теперь осуществлять всевозможные интерпретации параметра р в
(2), т. е. осуществлять подстановки вместо него произвольных простых
высказываний. Очевидно, что при некоторых интерпретациях на месте р окажется
30

истинное, а в остальных случаях - ложное высказывание. Если р
проинтерпретировано как истинное высказывание, то будет иметь место положение дел (а)
и форма (2) превратится в истинное высказывание. Если же р
проинтерпретировано как ложное высказывание, то будет иметь место положение дел (б) и
форма (2) опять-таки преобразуется в истинное высказывание. Таким образом,
любое высказывание указанной формы является истинным, в том числе и
высказывание (1). Оно истинно независимо от того, что в действительности
происходит, идет дождь или нет. Истинность высказывания (1) обусловлена его
логической формой.
Высказывания, истинные в силу своей логической формы, называют
логически истинными. Сами же логические формы таких высказываний,
зафиксированные в языке, содержащем параметры - скажем, выражение (2), - называют
логическими законами.
Логический закон - это такая логическая форма высказывания,
которая принимает значение «истина» при любой интерпретации
параметров, входящих в ее состав.
Помимо логически истинных существует еще один тип высказываний
естественного языка, значения которых можно установить, основываясь только на
анализе их логических форм. Это логически ложные высказывания. Их
логические формы принимают значение «ложь» при любой интерпретации параметров
в их составе. Пример такого высказывания:
(3) Идет дождь, и неверно, что идет дождь.
Его логической формой является выражение
(4) р и неверно, что р.
Очевидно, что в результате подстановки вместо параметра р в форму (4)
произвольного высказывания обязательно получится ложное высказывание.
Поэтому высказывание (3) ложно в силу своей логической формы.
Высказывания, которые не являются ни логически истинными, ни логически
ложными, называют логически недетерминированными. Их значения
невозможно установить, пользуясь исключительно логическими средствами, поскольку
некоторые высказывания такой формы истинны, а некоторые ложны. Примером
логически недетерминированного высказывания является
(5) «Идет дождь или светит Солнце».
Его логическая форма имеет вид
(6) р или q.
Если при интерпретации параметров р и q вместо какого-нибудь из них
подставить истинное высказывание, то выражение (6) превратится в истинное
высказывание. Если же и вместо р, и вместо q подставить ложные
высказывания, то полученное выражение окажется ложным.
31

В предыдущем параграфе отмечалось, что логическая форма языкового
контекста может выявляться с разной степенью глубины Для успешного решения
вопроса о том, является ли некоторое высказывание логически истинным,
необходим адекватный уровень анализа при выявлении его формы Поясним
сказанное на примере Рассмотрим высказывание
(7) Всякий школьник не остроумен, или некоторые школьники остроумны
Данное высказывание состоит из двух отличных друг от друга простых
высказываний, которые связаны союзом «или» Поэтому, если при выявлении его
логической формы мы будем полностью абстрагироваться от содержаний
простых высказываний, то получим выражение вида
(8) р или q,
где буквой р замещено высказывание «Всякий школьник не остроумен», а
буквой q - «Некоторые школьники остроумны» Легко установить, что выражение
(8) не относится к числу логических законов
Выявим теперь логическую форму высказывания (7) иным способом,
учитывая внутреннюю структуру простых высказываний Замещая общие термины
«школьник» и «остроумный человек» параметрами S и Р, соответственно,
получим выражение
(9) Всякий S не есть Р или некоторый S есть Р
Данное выражение является логическим законом, поскольку любое
высказывание этой формы истинно Следовательно, высказывание (7) логически
истинно, но для установления данного факта потребовался более глубокий уровень
анализа его логической формы
3.2. Общее представление о логической теории
Понятие логического закона наряду с понятием логического следования
являются важнейшими в дедуктивной чогике Ведь к основным задачам,
решаемым в рамках последней, относятся выделение и систематизация класса
логических законов, а также форм правильных умозаключений (таких умозаключений,
в которых заключения логически следуют из посылок) Попытаемся теперь
ответить на вопрос, с помощью каких средств и методов решаются эти проблемы в
современной логике
Для достижения указанных целей создаются особые логические теории Их
построение осуществляется в специальных искусственных языках, которые
называются формализованными Формализованные языки предназначены для
точного выражения логических форм высказываний естественного языка, без чего
невозможно выделить множества логических законов и форм правильных
умозаключений
В принципе, логические формы высказываний можно было бы выражать и в
обычном, естественном языке (как это делалось нами до сих пор) Необходимо
32

лишь дополнить его списками параметров, предназначенных для замещения
простых высказываний или нелогических терминов различных категорий.
Однако естественный язык обладает рядом особенностей, серьезно затрудняющих
процедуру точного выражения логических форм.
Во-первых, в национальных естественных языках отсутствуют четкие
синтаксические критерии правильности построения предложений, а поэтому эта же
трудность возникает и относительно их логических форм.
Во-вторых, грамматическая структура высказываний не всегда здесь
соответствует их логической форме. Например, высказывания «Москва находится
между Киевом и Нижним Новгородом» и «Москва находится южнее Мурманска
и Архангельска» имеют сходную грамматическую структуру, однако их
логические формы принципиально различны: первое высказывание является простым
(в нем утверждается наличие отношения между тремя городами), второе же, по
существу, является сложным и состоит из двух простых: «Москва южнее
Мурманска» и «Москва южнее Архангельска».
В-третьих, выражения естественного языка многозначны и допускают
различные трактовки. Так, выражение вида «А или В и С» (например, «Иванов
или Петров и Сидоров сдали экзамен на "отлично"») может быть истолковано
и как разделительное высказывание, части которого «А» и «В и С» связаны
союзом «или», и как соединительное, в котором части «А или В» и «С»
связаны союзом «и». Более того, сами логические союзы в различных контекстах
естественного языка могут иметь разные смыслы. Например, союз «если..., то»
в высказывании «Если вода нагрета до 100 °С, то она кипит» выражает
условную связь между нагретостью воды до 100 °С и ее кипением, а в высказывании
«Если Волга впадает в Каспийское море, то Днепр - в Черное» условной связи
не выражается.
Формализованные языки лишены недостатков естественных языков. В них
имеются четкие и эффективные правила построения логических форм
высказываний, причем каждое правильно построенное выражение этих языков в
конкретной логической теории, т. е. выражение, построенное по строго
определенным правилам, имеет единственно возможную смысловую трактовку.
Приведем общую схему построения формализованного языка. Сначала
задается алфавит формализованного языка - совокупность простейших, исходных
символов, из которых строятся выражения этого языка. В алфавит включаются:
1) логические символы - специальные знаки для логических терминов;
2) нелогические символы - параметры, предназначенные для замещения
простых высказываний или нелогических терминов различных семантических
категорий (см. выше);
3) технические символы (например, скобки).
Далее формулируются правила образования из исходных символов
различных типов выражений данного языка. В частности, задается класс
формул, посредством которых как раз и фиксируются логические формы
высказываний.
2 Введение в логику
33

Определения выражений всех типов в формализованных языках носят
эффективный характер, т. е. пользуясь этими определениями, мы можем
однозначно решить вопрос, относится ли некоторый символ к числу знаков
алфавита, и если - да, то к какой категории, а для произвольной последовательности
символов - является ли она правильно построенной формулой или нет.
В рамках формализованных языков строятся логические теории, которые
решают следующие задачи:
1) выделяют во множестве формул языка класс формул, представляющих
собой логические законы;
2) выделяют во множестве переходов
Аь А2,..., А„
В
(переходов от формул Аь А2,..., А„ к формуле В) класс таких переходов, которые
являются формами правильных умозаключений, другими словами, в которых
формула В логически следует из А), А2,..., А„.
При решении указанных задач используют сформулированные ранее
понятия логического закона и логического следования, которые являются общими
для всех логических теорий. Однако в каждой отдельной теории происходит
конкретизация этих понятий.
Далее строится интерпретация языка. С этой целью прежде всего для
каждого вида нелогических символов алфавита задается класс их допустимых
интерпретаций, т. е. указывается, какого типа объекты могут быть сопоставлены в
качестве значений нелогическим символам различных категорий в процессе
интерпретации формул.
Для каждого вида правильно построенных выражений формализованного
языка формулируются правила приписывания им значений при произвольной
интерпретации нелогических символов в их составе. В частности, определяются
условия истинности и условия ложности формул различных типов. При этом
задается точный смысл логических символов из алфавита.
Законом логической теории является формула,
принимающая значение «истина» при любых допустимых
интерпретациях входящих в нее нелогических символов. Эти формулы
называются тождественно-истинными, или общезначимыми.
Отношение логического следования определяется в рамках логической
теории следующим образом: из формул Аь А2,..., А„ логически следует формула В,
если и только если при любой допустимой интерпретации нелогических
символов, при которой формулы Аь А2,..., А„ принимают значение «истина»,
формула В также принимает значение «истина».
Помимо описанного выше существует и другой способ построения логиче- *
ских систем - так называемые логические исчисления. Они решают, по существу,
те же самые задачи, но используют иные критерии и процедуры выделения
логических законов и способов правильных умозаключений. С целью обоснования
34

того факта, что некоторая формула является логическим законом, строят ее
доказательство с использованием формул данного формализованного языка. Для
обоснования правильности умозаключения конструируют вывод логической
формы его заключения из логических форм посылок. Указанные процедуры
носят чисто формальный, языковой, синтаксический характер - характер
оперирования с последовательностями символов. При этом абстрагируются от того,
какого типа сущности являются их возможными значениями, и не используют
понятий, связывающих языковые выражения с нелингвистическими объектами, -
понятий интерпретации, истинности и ложности высказываний и др.
Если некоторая логическая теория и некоторое исчисление имеют
одинаковые классы законов и выделяют одни и те же формы правильных рассуждений,
то говорят, что данное исчисление является адекватной формализацией данной
логической теории.
В настоящем учебнике будут рассмотрены три известные логические
теории, составляющие основу так называемой классической логики - классическая
логика высказываний, классическая логика предикатов первого порядка и
традиционная силлогистика
Упражнения
1. Попытайтесь установить, являются ли следующие высказывания
логически истинными, логически ложными или логически недетерминированными:
а) Либо «Спартак» выиграет матч и станет чемпионом, либо он не выиграет
матч и не станет чемпионом.
б) Петр является другом Ивана или не является ни другом Федора, ни
другом Семена, если и только если он не является другом Ивана и является другом
Федора или Семена.
в) Всякий треугольник является или прямоугольным, или остроугольным,
или тупоугольным, но так как данный треугольник не остроуголен и не
тупоуголен, то он прямоуголен.
§ 4. Краткий очерк истории логики
Логика как наука возникла в недрах древнегреческой философии, для которой
характерны глубина и высокая степень разработанности философских проблем.
Отдельные элементы логической проблематики можно найти у Гераклита, представителей
элейской философии - Парменида и Зенона, софистов, Сократа и Платона. Большое
внимание уделяли логической проблематике представители мегарской школы. В
частности, Филону из Мегары принадлежит четкое определение одного из важнейших
логических терминов - материальной импликации (см. об этом в следующих главах).
Однако именно Аристотеля справедливо называют «отцом логики», так как именно
ему принадлежит заслуга создания первой логической теории - силлогистики, в
частности модальной и ассерторической силлогистик.
То уникальное историческое место, которое заняла силлогистика, определяется
совершенно особым ее влиянием на разработку философской проблематики. Значение
35

силлогистики в этой области особенно велико, так как, оставаясь в течение многих
веков единственным известным аппаратом дедукции, она во многом предопределяла
характер и направленность теоретико-познавательных исследований. Например, такие
хорошо известные в истории философии антитезы, как «содержательное и
формальное», «дискурсивное и чувственное», «рациональное и иррациональное»,
«интуитивное и рассудочное», всегда обсуждались с учетом гносеологического материала,
фиксированного силлогистикой, которая выступала в качестве конкретного примера одной
из сторон указанных противоположностей. Поэтому она была не только теорией
дедукции, но и выполняла кардинальную объяснительную функцию при решении
гносеологических проблем.
С другой стороны, примерно в это же время в школе стоиков возникла логика
высказываний, т. е. логическая теория, в которой исследуются логические законы,
справедливые без учета внутренней структуры простых высказываний.
Чем же был вызван интерес к логической проблематике в античности, и какие
потребности общества обусловили возникновение логики в столь раннюю эпоху развития
цивилизации?
Эпоха античности характеризуется возникновением и интенсивным развитием наук -
математики, физики, астрономии, медицины и других. В связи с этим появилась
потребность осмыслить, что представляет собой процесс познания и вообще умственная
деятельность. Возникла необходимость ответить на вопросы, в каких формах
действительность воспроизводится в мышлении, каковы условия получения истинного знания, как
правильно осуществлять те или иные познавательные операции. Особенно остро
подобные вопросы вставали в точных науках, например математике.
Кроме того, многие историки логики справедливо указывают, что
непосредственно возникновение логики было связано с широким распространением в греческом
обществе той эпохи интеллектуальных споров и дискуссий на весьма отвлеченные
темы. В. Минто, например, отмечает, что логические сочинения Аристотеля «были
назначены для усовершенствования его учеников в том специальном искусстве, в
котором желал отличаться каждый молодой афинянин того времени, стремившийся к
умственному превосходству... Действительно, эта логика была в своих различных
частях рядом руководств для изучения модной тогда умственной игры - особого
вида прений, диалектики, игры в вопросы и ответы, столь полно иллюстрированной в
диалогах Платона и связанной с именем Сократа» (В. Минто. Дедуктивная и
индуктивная логика. М., 1896).
За время, прошедшее с момента ее возникновения, логика обогатилась многими
новыми разделами. Однако при всех новациях предмет логического анализа остался
неизменным.
Особым этапом в развитии логических идей была эпоха Средневековья. Основным
предметом исследований средневековых логиков и философов являлся анализ языка.
Наиболее плодотворным и оригинальным стал период позднего средневековья. Он
характеризуется высокой степенью разработанности теории семантических антиномий
(парадоксов) и особенно теории субпозиции (последняя представляет собой теорию
референции (значений) терминов, определяемую контекстами их использования). В
рамках этого периода детально разрабатывались вопросы, связанные с контекстами,
содержащими модальные и интенсиональные понятия, выражающие необходимость,
возможность, знания, мнения, веру, стремления и т. д. В этом отношении в Средневековье были
получены интересные результаты, которые до сих пор высоко оцениваются. Среди
наиболее значительных логиков этого времени укажем на Михаила Пселла (1018-1096),
Петра Испанского (1210-1277), учебник которого «Малая логическая сумма» на протя-
36

жении многих веков пользовался большой популярностью в университетах, Раймунда
Луллия (1234-1315) предвестника современных логических вычислительных машин,
Уильяма Оккама (1300-1347), чья номиналистическая концепция оказала заметное
влияние на развитие методологии науки, а также Жана Буридана (1300 1358)
Большое внимание средневековые логики уделяли анализу и комментированию
логических трудов Аристотеля, сохранившихся от Античности Высоко оценивая семантические
исследования, которые велись в Средневековье, нельзя не сказать в то же время, что многие
достижения логиков античного периода были утеряны и забыты Так, были почти полностью
утеряны логические труды стоиков и мегариков, которым удалось создать логику
высказываний, но главное - была утеряна та методологическая основа, на которой базировались
античные исследования в области логики, и, прежде всего, был забыт метод формализации,
который позволил и Аристотелю, и стоикам построить первые логические теории
В эпоху Возрождения и Нового времени логика и все аристотелевское
наследие были подвергнуты резкой и незаслуженной критике Становление
экспериментального естествознания вызывало стремление развить логику так называемого
«естественного мышления» Это позволило возродить, созданное еще в
Античности, учение об индукции, но в более сильной форме (Ф Бэкон) Возникает
представление о гипотетико-дедуктивном методе (Г Галилей), логическая
проблематика начинает тесно переплетаться с методологической, вновь возрождается
представление о дедуктивно-аксиоматическом методе В конце XVII в янсенистские
монахи - Арно и Николь, находившиеся под влиянием идей Декарта и Паскаля,
издают знаменитый учебник «Логика Пор-Рояля» Этот учебник, в котором
логические положения переплетались с психолого-гносеологическими, надолго
определил стиль логических исследований
Одновременно с этим в трудах Лейбница зарождается замысел математизированной
логики по примеру алгебры Он выдвигает идею построения «универсального языка»
науки (charactenstica universalis) и «исчисления умозаключений» (calculus ratiocinator)
Поставленная им задача логико-математического представления знания известна ныне
как «программа Лейбница» Реализации этой программы служили его пионерские
работы по арифметизации силлогистики, т е попытки представить рассуждения,
осуществляемые в силлогистике, как выполнение определенных арифметических операций над
числами Но работы Лейбница увидели свет лишь в XIX в , а ученые, работавшие в духе
его «программы», недалеко продвинулись в ее разработке
Этому направлению противостояла утвердившаяся в Германии XVIII-XIX вв кан-
товско-гегелевская установка Кант считал логику, идущую от Аристотеля, рассудочной
наукой о понятиях суждениях и умозаключениях, которая, по его мнению, не способна
к дальнейшему прогрессу Вместо этой логики он выдвинул идею создания так
называемой трансцендентальной логики, как логики разума, предшествующей любому
чувственному опыту и научному знанию Эта установка нашла крайнее выражение у Гегеля,
взгляды которого послужили основой того, что впоследствии получило известность как
диалектическая логика
Новые направления в логике стали развиваться в 1-й половине XIX в в Англии, где
Дж Гершель (1830) и особенно Дж Ст Милль (1843) возродили бэконовскую традицию
индуктивной логики Миллевское противопоставление силлогистике индуктивных методов
анализа причинных связей не определило, однако, магистральной линии развития логики
Последняя оказалась тесно связанной с уподоблением суждений (предложений) равенствам
в арифметике и уравнениям в алгебре В 1847 г вышли в свет два эпохальных сочинения
А де Моргана «Формальная логика» и Дж Буля «Математический анализ логики», которые
37

стали отправной точкой становления и развития современной логики Первый из них
разработал логическое исчисление, включавшее расширенную силлогистику, теорию отношений
и вероятностные умозаключения, второй заложил основы алгебры логики, которая затем
бьша представлена в форме булевой алгебры (Джевонс, Венн, Шредер, Порецкий и др) Все
эти авторы рассматривали разрабатывавшуюся ими «нечисловую» алгебру как теорию
«законов мысли», относящуюся как к понятиям (объемам понятий, классам), так и к
высказываниям и являющуюся более широкой теорией, нежели силлогистика
Начало современной логике, строящейся в форме исчисления, положил Г Фреге в
сочинении «Запись в понятиях» (1879), где средствами разработанного им
символического языка изложил созданную им логику предикатов с равенством и применил ее к
анализу и доказательству некоторых арифметических предложений Идеи, заложенные в
этом исчислении, он развил в работе «Основания арифметики» (1884), а в 1893 г и
1903 г выпустил фундаментальные двухтомные «Основные законы арифметики», в
которых формализовались арифметика и теория действительных чисел Эта работа была
продолжена и завершена Уайтхедом и Расселом, издавшими в 1910-1913 гг свое
фундаментальное исследование «Pnncipia mathematica», содержащее систематическое
изложение современной логики и ее применение для обоснования всей математики Издание
этой работы знаменовало собой оформление современной логики
Современный этап в развитии логики характеризуется рядом особенностей К их
числу следует отнести использование забытых и вновь введенных методов
формализованных языков (строго построенного языка теории) и построения логических
исчислений Сюда же следует отнести широкое использование аксиоматического
метода, т е построения теории на основе принятия некоторой совокупности
утверждений в качестве исходных (аксиом) и выведения из них по вполне определенным
правилам теорем
К принципиально новым методам следует отнести точные семантические методы
анализа естественного и формализованного языков В современную логику широко
вошли и применяются так называемые математические методы познания К их числу
следует отнести использование таких «математических» теорий, как теория множеств,
алгебра, теория алгоритмов, теория вероятности, теория категорий В этом смысле часто
говорят, что современная чогика явчяется югикой по предмету и математикой по
своему методу Отсюда берет начало и другое название современной логики -
математическая логика
Важной идейной чертой современной логики является также ее антипсихологизм
В XIX в логика зачастую рассматривалась как часть психологии (Т Липпс, Хр Зиг-
варт) Предполагалось, что законы логики есть не что иное, как законы человеческой
психики Против этой точки зрения активно выступил Г Фреге, а под его влиянием и
Э Гуссерль Эти ученые убедительно показали, что законы логики нельзя трактовать
как законы нашей психической организации Однако из того, что логика не является
частью психологии, вовсе не следует, что в определенных ситуациях мы не должны
учитывать знаний субъекта Действительно, анализ оценочных предложений
невозможен без учета знаний, верований, убеждений, которыми обладает субъект,
формулирующий эти предложения В этом случае приходится строить специальные логики,
включающие субъекта
В современной науке однозначно установлено, что существует не одна на все
времена данная нам логика На самом деле логик очень много, более того - их бесконечно
много Действительно, в зависимости от типов отношений вещей и способов их анализа
можно строить различные логические теории В основе такого членения лежит принятие
при построении соответствующей логики определенных предпосылок, т е определен-
38

ных огрубляющих абстракций и идеализации. Эти абстракции и идеализации образуют
ту точку зрения, тот ракурс, под которым мы видим и оцениваем объективную
реальность. Однако никакая совокупность абстракций и идеализации не может охватить эту
реальность в полной мере. Последняя всегда оказывается более богатой, более
подвижной, чем наши теоретические построения, что и делает оправданным свободное
варьирование исходными предпосылками.
Одной из мощных побудительных причин возникновения в XX в. логик самого
разного типа явилось стремление исследовать и гносеологически (философски) точно
представить такие типы рассуждений, такие стороны познавательного процесса, которые не
учитываются в классической логике. По этой причине многие неклассические логики
называются философскими логиками Они вызваны к жизни именно потребностями
философского анализа знания и базируются на философских понятиях и концепциях.
Многие из этих логик будут подробно проанализированы в данном учебнике.
В современной логике происходит постоянное возникновение новых логических
теорий, в которых исследуются новые типы рассуждений, новые типы высказываний,
требующие введения новых типов правил и законов. Таким образом, логика является
развивающейся наукой.
И, наконец, последнее, на что следует специально обратить внимание. На
протяжении тысячелетий логика была обязательной дисциплиной школьного и университетского
образования, т. е. выполняла свою общекультурную задачу - пропедевтики мышления.
Современная логика в полном объеме сохранила за собой эту дидактическую функцию.

Глава II
ЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЯЗЫКА
§ 1. Язык как знаковая система
1.1. Язык и основные виды языков
Интеллектуальная познавательная деятельность тесно связано с языком.
Поэтому начнем изложение данной темы с анализа такого важного для логики
понятия, как понятия языка.
Язык - это знаковая система, предназначенная для фиксации,
переработки и передачи информации от одного субъекта к другому.
Различают несколько видов языков. Прежде всего все языки
подразделяются на естественные и искусственные. К числу естественных относятся язык
мимики, жеста, танца, разнообразные национальные устные и письменные
языки: русский, английский, китайский, венгерский, греческий и другие.
Естественные языки возникли как средство общения между людьми, их формирование и
развитие представляет собой длительный исторический процесс, происходящий
в основном стихийно и не подчиняющийся почти никакой нормативной
регламентации.
В отличие от естественных, искусственные языки создаются человеком
сознательно для решения определенных задач. Примерами искусственных языков
являются язык шахматной нотации (он предназначен для компактной записи
шахматных партий), язык химических формул (с его помощью выражается
молекулярное строение веществ и ход химических реакций), язык
дифференциального и интегрального исчисления в математике, языки программирования, язык
эсперанто и многие другие.
Целый ряд языков, кроме указанных в определении функций, могут еще
использоваться и реально используются для хранения информации. Последнее
свойство присуще устным и письменным вариантам национальных языков, а
также так называемым языкам науки - языкам, которые специально создаются
для решения познавательных задач. Под языком науки обычно имеют в виду
некоторый фрагмент естественного языка, обогащенный специальной
терминологией. Собственно говоря, любая научная дисциплина - будет ли это физика,
математика, биология, философия, история или какая-либо другая наука - в
обязательном порядке создает свой собственный язык, свою собственную
терминологию, с помощью которой ведутся исследование и обсуждение
проблем этой науки.
Особой разновидностью научных языков являются языки с точно
заданными правилами образования их выражений и правилами преобразования одних
выражений в другие. Такие языки называются формализованными. Таковыми
являются, например, различные языки математических теорий, разнообразные
языки, на которых формулируются физические теории, и т. д. Таковым же будет
40

и тот язык, на котором в данном учебнике будут формулироваться и излагаться
логические теории.
Очень важным является еще одно членение языков, а именно различение
языка-объекта и метаязыка.
Объектным языком называют тот язык, который является
предметом исследования, а метаязыком - тот язык, с помощью которого
изучается объектный язык.
Так, в ситуации, когда тренер объясняет начинающему шахматисту правила
записи шахматной партии, в качестве объектного языка выступает язык
шахматной нотации, а в качестве метаязыка - разговорный язык, на котором ведется
обучение. Фраза «Круглые квадраты не существуют» относится к объектному языку,
но когда учитель на уроке начинает разбирать эту фразу и говорит: «Слово
"квадраты" - это нарицательное существительное мужского рода множественного
числа, слово "круглые" - это прилагательное мужского рода и множественного числа,
слово "не" - это отрицательная частица, а "существуют" - глагол», то все данные
выражения учителя относятся уже к метаязыку.
Если потребуется исследовать сам метаязык, то это должно осуществляться
средствами метаметаязыка и т. д. Так, наше утверждение, что фраза учителя
относится к метаязыку, является в свою очередь фразой уже метаметаязыка.
Отметим также, что каждый метаязык, кроме знаков объектного языка, содержит
еще и свои собственные знаки, которые называются метазнаками. Во фразе
учителя такими знаками были следующие выражения: «нарицательное
существительное», «мужской род», «множественное число», «прилагательное»,
«отрицательная частица», «глагол». С этой точки зрения все изложение логики в
данной книге будет вестись на метаязыке.
Еще одно существенное членение научных языков состоит в их
подразделении на языки разного уровня. Это определяется тем, что в логике принято все
предметы распределять по порядкам (уровням) бытия. Считается, что к
нулевому порядку (нулевому уровню) принадлежат предметы, которые трактуются как
индивиды. Это те предметы, которые лежат в основе делаемых нами
утверждений и которые в своей совокупности образуют область рассмотрения (часто
говорят - область (универсум) рассуждения). К первому порядку относятся
признаки индивидов, т. е. свойства (атрибуты), присущие индивидам, и отношения
(реляции) между ними. Ко второму порядку относятся признаки признаков, т. е.
свойства и отношения, присущие свойствам индивидов и отношениям между
ними. Например, если мы рассматриваем в качестве универсума рассуждения
класс людей, то сами люди, входящие в данный универсум, являются объектами
нулевого порядка, но тогда слова «русский», «француз», «китаец» являются
признаками людей, т. е. объектами первого уровня. С другой стороны, слово
«национальность» обозначает признак признака. В самом деле, можно сказать
«Иван - русский», «Русский - это национальность», но нельзя сказать «Иван
является национальностью». Этот пример наглядно показывает, что термин
«национальность» является не признаком индивидов (объектов нулевого уровня), а
41

является признаком признаков. К третьему уровню относятся признаки
признаков признаков и т. д.
Исходя из сказанного, в логике принято и теории подразделять на теории
разного уровня в зависимости от типов предикатов, которые в них
используются. С этой точки зрения различают языки первого, второго, третьего и более
высоких порядков. Например, стандартный язык исчисления предикатов первого
порядка, который будет рассмотрен в последующих главах, позволяет
формулировать утверждения о предметах (индивидах), т. е. объектах нулевого
порядка, приписывая им предикаты первого порядка; язык исчисления предикатов
второго порядка, который тоже будет далее рассмотрен, допускает
формулировку утверждений об индивидах и признаках, которыми обладают индивиды, т.
е. объектах нулевого и первого порядка, приписывая последним предикаты
второго порядка. Эта иерархия языков продолжается и далее, порождая тем самым
языки более высоких порядков.
1.2. Функции и свойства естественных языков
Основными функциями, которые выполняют естественные разговорные и
письменные языки, являются:
(1) информационная функция - язык выступает в качестве средства
фиксации, а часто и хранения информации о мире: о предметах, событиях,
явлениях, процессах, ситуациях;
(2) коммуникативная функция - с помощью языка осуществляется общение
(коммуникация, обмен информацией) между людьми;
(3) познавательная функция - язык выступает как средство познания
(с помощью языка из имеющегося знания получается новое знание, язык -
инструмент рационального познания);
(4) экспрессивная функция - язык используется для выражения наших
мыслей, чувств, душевных состояний и переживаний, посредством языка мы
оказываем воздействие на других людей.
Естественным языкам присущи следующие свойства:
(1) универсальность, т. е. посредством естественных разговорных и
письменных языков, обогащенных, может быть, специальной терминологией,
выразима любая информация;
(2) многозначность, т. е. отсутствие за словами и словосочетаниями
естественных языков каких-либо жестко закрепленных значений, их неопределенность
и «размытость», что часто приводит к трудно уловимой подмене одного
значения слова другим; наличие омонимов - одинаковых по написанию терминов,
имеющих разные значения (так, русское слово «коса» обозначает и
сельскохозяйственное орудие, и особый вид прически, и песчаный берег);
(3) грамматическая неоднозначность, т. е. отсутствие жестко
фиксированных правил образования значимых выражений; это приводит к тому, что
одинаковые предложения могут выражать разные суждения (например, «Любовь знает
42

весь курс»), или предложения со сходной грамматической структурой могут
иметь разные логические формы (например, «Москва находится между Тулой и
Рязанью» и «Петр старше Ивана и Семена»),
(4) семантическая замкнутость, т. е. отсутствие разделения на объектные
языки и метаязыки, а также языки разных порядков, что позволяет средствами
языка формулировать парадоксальные утверждения. Одним из примеров такой
ситуации является знаменитый парадокс Лжеца.
Исходной формой парадокса является фраза, приписываемая
древнегреческому мыслителю Эпимениду - «Все критяне лжецы», которая анализировалась
другим греческим философом Эвбулидом Парадоксальность фразы состоит в
том, что сам Эпименид был критянином Современная формулировка парадокса
может быть выражена предложением «То, что я сейчас утверждаю, есть ложь»
Попытаемся решить вопрос, является ли это предложение истинным или
ложным Допустим, что оно истинно Тогда то, что утверждается в предложении,
соответствует действительности Но утверждается, что данное предложение
является ложным Следовательно, это предложение ложно Наоборот, допустим,
что предложение ложно. Но предложение как раз и утверждает, что оно ложно
Следовательно, то, что утверждается в предложении, соответствует
действительности, а потому оно является истинным
Еще одним парадоксом, основанным на семантической замкнутости
естественного языка, является так называемый парадокс Грелинга Согласно ему,
все, скажем, русские прилагательные можно разделить на два класса. На
прилагательные, обозначающие свойства, которыми они сами обладают, например
прилагательное «русский» обладает свойством «быть русским», т.е является
прилагательным русского языка, прилагательное «многосложный» обозначает
свойство, которым оно само обладает Такие прилагательные называются
автологичными Все остальные прилагательные таковым свойством
самоприменимости не обладают Например, прилагательное «красный» обозначает
свойство, которым само оно не обладает. Такие прилагательные называются гете-
рочогичными Зададимся теперь вопросом, а каким является прилагательное
«гетерологичный» - гетерологично оно или автологично9 Легко видеть, что
если допустить, что данное прилагательное гетерологично, то отсюда следует,
что оно автологично, а если допустить, что оно автологично, то отсюда
вытекает, что оно гетерологично
Основной функцией естественных национальных разговорных и
письменных языков является их коммуникативное использование. Поэтому
историческое развитие национальных разговорных и письменных языков шло таким
образом, чтобы в наиболее удобной для пользователя форме осуществлялась
именно данная функция. С этой точки зрения указанные только что свойства не
являются случайными. Но для науки главной функцией языка является не его
коммуникативная, а познавательная функция. С помощью языковых средств мы
не только фиксируем информацию об окружающей нас действительности, но и
осуществляем различные интеллектуальные процедуры по переработке этой
информации. Здесь к языку предъявляются особо жесткие требования
относительно его точности и ясности выражения информации, строгости оперирования с
ней. Будучи рассмотрен с этих позиций, естественный язык не выдерживает на-
43

учных требований, а потому в науках строятся специальные искусственные
языки, в которых ликвидируются недостатки естественных языков.
1.3. Знак и знаковая ситуация
Так как всякий язык (согласно определению) представляет собой систему
знаков, дальнейший анализ языка следует начать с понятия знака.
Знаком называется тот объект, который (в нормативном случае его
употребления) для некоторого интерпретатора (субъекта) выступает
в качестве представителя какого-то другого предмета.
Отметим, что в качестве интерпретатора может выступить как отдельный
человек, так и группа людей или человеческое сообщество в целом. Кроме того,
употребленный в определении термин «предмет» понимается в логике
предельно широко: «предметом» здесь называют то, что может стать объектом нашего
рассмотрения, о чем мы можем нечто утверждать или отрицать.
В философии различают предметы различной природы, различного модуса
бытия: материальные предметы, существующие в пространстве и времени;
процессы, события, ситуации; так называемые агрегаты, т. е. существующие
объективно совокупности материальных тел, которые ведут себя как единое
целое, например Солнечная система; предметы, существующие как плод
творческой активности познающего субъекта: идеачьные и абстрактные объекты;
сказочные, мифологические и литературные персонажи; научные фикции;
возможные объекты; невозможные объекты; различные признаки, присущие
предметам, и т. д.
Основная функция знака состоит в том, что он для интерпретатора
представляет {репрезентирует) какой-то предмет. Таким образом, ситуация употребления
знака (знаковая ситуация) включает в себя три компоненты: 1) сам знак, 2) предмет,
репрезентируемый знаком (его значение), 3) интерпретатора, использующего знак.
Сказанное может быть изображено следующей схемой (Схема 1):
знак
• интерпретатор
значение
Схема 1
Если хотя бы одна из компонент, указанных в схеме, отсутствует, то знак
перестает быть знаком.
При практическом использовании знаков мы всегда обращаем внимание не на
сами знаки, а на те объекты, которые они представляют. Значение знака как бы
«просвечивает» сквозь знак. Если бы этого не было, то знак перестал бы
выполнять свою функцию, а стал бы обычным предметом. Кроме того, знак всегда так
или иначе замещает собой репрезентируемый объект. Причем при определенных
44

условиях такое замещение оказывается столь глубоким, что практическое
манипулирование с объектами «заменяется» манипулированием с их знаками.
В зависимости от характера отношения знака к обозначаемым объектам
выделяют следующие их виды: знаки-копии, знаки-индексы, знаки-сигналы и знаки-
символы.
Знаки-копии - это знаки, которые в большей или меньшей степени похожи
на обозначаемый объект, изображают его. Такими знаками являются
фотографии, реалистические картины, знаки рисуночного письма, географические
карты, чертежи, схемы и т. п.
Знаки-индексы - это знаки, связанные с репрезентируемым объектом
причинно-следственными отношениями. Знак в этом случае порождается своим
значением. Так, наличие дыма служит знаком огня (огонь порождает дым),
показание научного прибора - это знак некоторой физической величины
(например, определенная температура на улице вызывает поднятие ртути в ртутном
термометре на определенную высоту), положение флюгера является знаком
направления ветра, улыбка - знак веселого настроения, медицинская
симптоматика - знак определенной болезни и т. д.
Знаки-сигналы - это знаки, которые связаны со своим значением
ситуационно, т. е. являющиеся знаками только в некоторой ситуации, извещая нас о ее
наступлении. Например, звонок, раздавшийся в определенное время в учебном
заведении, извещает о начале или окончании занятий, а прозвеневший в театре -
о начале спектакля; точка в конце предложения извещает о завершении
некоторой мысли; скобки, поставленные в языковом выражении, извещают о его
структуре; дорожные знаки сигнализируют об определенной дорожной
ситуации и т. д.
Знаки-символы - это знаки, выступающие в качестве средства общения
между людьми. Например, словосочетание «основатель логики» служит знаком
Аристотеля, слово «старше» - знаком определенного возрастного отношения,
символ «0-0» в шахматной нотации - знаком короткой рокировки, а символ «+»
в языке арифметики - знаком операции сложения. Так как знаки последнего
вида играют главную роль в абстрактном мышлении, на них далее и будет
сконцентрировано все наше внимание.
Часто термином «символ» называют особый вид знаков, а именно те знаки,
которые призваны в сжатой и лаконичной форме выразить какую-то важную
социально-значимую идею. Например, серп и молот выражают идею союза рабочих и
крестьян, белый голубь выражает стремление к миру, крест - совокупность
христианских концепций, герб государства выражает определенные идейные
претензии данного политического образования и т. д. В данной работе термин
«символ» в этом смысле употребляться не будет.
1.4. Значение и смысл знаков
Кроме отношения репрезентации между знаком и репрезентируемым
объектом может существовать еще одно - информационное отношение. Для пояс-
45

нения сказанного рассмотрим два выражения - «человек, написавший роман
"Война и мир"» и «человек, живший в Ясной Поляне и умерший 7 ноября 1910
года в Астапово». Отношение репрезентации этих двух выражений одинаково
в том смысле, что они репрезентируют одно и то же лицо - Л. Н. Толстого.
Однако, знакомясь с этими выражениями, мы получаем о Л. Н. Толстом
различную информацию. В первом случае мы узнаем, что речь идет о человеке,
который был писателем и его перу принадлежит роман "Война и мир", а во
втором - что этот человек жил в Ясной Поляне и тогда-то и там-то умер.
Данный пример демонстрирует, что со знаками необходимо связать две особые их
характеристики - смыслы и значения:
Значением знака (экстенсионалом) называется предмет,
представляемый (репрезентируемый) данным знаком.
Смыслом знака (интенсионалом) называют ту информацию о
репрезентируемом предмете, которую содержит сам знак или которая
связывается с этим знаком в процессе общения или познания.
Например, значением знака «число, которое является простым и четным»
выступает число 2; именно оно репрезентируется данным словосочетанием.
Смыслом же этого знака является та информация, которую он содержит о числе 2,
а именно: присущность данному числу сложного признака - «быть простым и
быть четным».
Связь указанных характеристик со знаком наглядно можно представить с
помощью так называемого семантического треугольника (см. Рис. 1).
значение смысл
Рис.1
1.5. Синтаксис, семантика и прагматика языка
Изучение любого языка может осуществляться в трех аспектах -
синтаксическом, семантическом и прагматическом. Наличие этих аспектов прямо
вытекает из определения знака и связано с процессом абстрагирования от тех или
иных компонентов знаковой ситуации при исследовании языка.
Под синтаксисом (синтактикой) понимается тот аспект изучения языка,
при котором отвлекаются и от наличия интерпретатора знаков и от того, что
знаки обозначают, а интересуются лишь поведением знаков в составе языка как
некоторых материальных объектов. Иначе говоря, при синтаксическом анализе
языка исследуются отношения знаков друг к другу: способы их
комбинирования, образования из них сложных языковых конструкций, способы
преобразования одних языковых комбинаций в другие.
46

Под семантикой понимают исследование отношений между знаками и
обозначаемыми предметами, т. е. исследование значений и смыслов знаков. При
этом абстрагируются от отношений знаков к носителям языка
(интерпретаторам). Здесь решаются различные задачи и, в частности, задача выделения
различных категорий (типов) знаков в зависимости от типов их значений, а также
от типов выражаемых этими знаками смыслов.
Прагматический анализ языка {прагматика) состоит в исследовании
отношений между знаками и интерпретаторами, использующими эти знаки.
Важнейшая задача, решаемая при данном подходе, - это установление зависимости
значения и смысла знака от тех или иных особенностей интерпретатора и, более
широко, от особенностей внеязыкового контекста, сопутствующего
употреблению данного знака. Здесь исследуется, как люди практически пользуются
языком, какие дополнительные нюансы они вносят в смысловое и предметное
значение знаков, как функционирует язык в обществе и т. д.
Таким образом, специфика языка как системы состоит в следующем: язык
представляет собой совокупность знаков, связанных между собой определенными
синтаксическими отношениями, находящихся в определенных семантических
отношениях к объектам нелингвистической действительности, а также в
определенных прагматических отношениях к лицам, использующим эти знаки.
Упражнения
1. Укажите, являются ли следующие объекты знаками, и если да, то
почему они знаки и какого вида это знаки:
а) произвольная буква русского алфавита, написанная на бумаге,
б) словосочетание «мысль изреченная есть ложь»,
в) жужжание, которое мы слышим рядом с собой,
г) запах жареной рыбы, доносящийся с кухни,
д) схема Московского метрополитена,
е) произнесенное кем-либо долгое «а», ж) слово «меридиан»,
з) словосочетание «вкус числа», и) стук в дверь.
§ 2. Категориальный анализ языка
2.1. Основные типы выражений языка
Построение любого языка начинается с задания алфавита этого языка.
Например, построение русского языка начинается с задания хорошо известных
нам 33 букв алфавита этого языка. Будем называть любую конечную линейную
последовательность тех знаков, которые входят в состав алфавита этого языка,
дополненного знаками пунктуации и знаком пробела между словами,
выражением данного языка. Последние можно подразделить на три основных типа: на
категорематические выражения, которые сами по себе имеют то или иное
значение (так, последовательность букв русского алфавита «книга» является
47

категорематическим выражением), на синкатегорематические выражения,
которые сами по себе не имеют значения, но входят в состав значимых
выражений, выполняя в них вспомогательную техническую роль (таковыми являются,
например, знаки пунктуации), и на выражения, которые вообще не имеют
какого-либо значения, т. е. вообще не являются знаками (например, таковым
является в русском языке выражение «агинк»).
Из школьного курса русского языка хорошо известно, что все значимые слова
языка разбиваются на некоторые категории (типы) - существительные,
прилагательные, глаголы, наречия и т. д. Эта типологизация является важной с точки
зрения коммуникативной функции, которую выполняет естественный язык.
Наша же задача состоит во введении такой типологизации значимых выражений,
которая существенно относится не к коммуникативной, а к познавательной
функции языка.
Предварительно укажем, что можно по-разному выделять категории
языковых выражений: на основании синтаксической точки зрения - с учетом той
роли, которую играют различные выражения в языковых контекстах, или на
основании семантической точки зрения - в зависимости от типов их значений
(репрезентируемых ими объектов) и от типов выражаемых ими смыслов. Вначале
рассмотрим типы языковых выражений с семантической точки зрения.
Последние называются в логике семантическими категориями. Общая схема основных
типов значимых выражений такова (см. Схему 2):
значимые выражения языка
предложения'
термины
вопросительные
побудительные
повествовательные
дескриптивные
логические
имена
предикаторы
функторы пропорциональные операторы предицирующие
связки /\ связки
кванторы дескрипторы
Схема 2
Обычно в логике строятся сложные конструкции двух семантических типов -
имена и предложения. Далее мы специально обратим особое внимание на эти
две семантические категории. Но предварительно дадим краткое описание всех
представленных на схеме семантических категорий.
Среди всего многообразия мыслей особую роль в познавательном процессе
играют суждения, вопросы и императивы.
Под суждением имеют в виду мысль, в которой утверждается или
отрицается наличие некоторой ситуации в мире.
Под вопросом понимают мысль о желании восполнить свои знания
недостающей информацией.
48

Под императивом понимают мысль о необходимости совершения
некоторого действия или воздержания от него.
Указанные мысли выражаются в языке в форме предложений. Итак:
Предложение - это знаковая форма выражения суждений, вопросов
или императивов.
В зависимости от того, какой тип мысли выражают предложения, они
делятся на повествовательные (декларативные), вопросительные (интеррогатив-
ные) и побудительные.
В естественном языке бывает не просто установить, с каким именно типом
предложения мы имеем дело. Так, ряд предложений, которые имеют вид
вопросительных (риторический вопрос), выражают на самом деле не запрос о
недостающей информации, а суждение, и потому должны быть отнесены к
декларативным (повествовательным) предложениям. Таковым является предложение
«Разве бывают некрасивые женщины?», которое с содержательной точки зрения
выражает суждение «Все женщины красивы». Предложение же «Разве можно
обманывать родителей?» выражает императив «Нельзя обманывать родителей».
Одно и тоже предложение в разных контекстах употребления может выражать
мысли различных типов. Например, предложение «Перемножьте число 5 само на
себя три раза» выражает команду, однако это же предложение, произнесенное в
ответ на вопрос «Как возвести число 5 в куб?», выражать уже будет не
императив, а суждение о том, что «5 = 5-5-5». С другой стороны, одна и та же мысль
может выражаться различными предложениями. Скажем, мысль о наличии
свойства белизны у снега может быть выражена и предложением «Снег бел», и
предложениями «Снег относится к классу белых предметов», «Свойство белизны
присуще снегу», и предложением «The snow is white», и многими другими.
Повествовательное предложение в различных ситуациях его употребления
может иметь разные смыслы, т. е. выражать разные суждения. К примеру,
предложение «Ребенок родился здоровым» обычно констатирует нормальное
состояние новорожденного человека, однако для президента США Трумэна телеграмма
с данным текстом сообщала иную информацию - суждение об успешном
испытании атомной бомбы.
Основное внимание в данном курсе будет уделено анализу
повествовательных (декларативных) предложений, которые без дальнейших пояснений будем
всегда называть просто предложениями. Итак, предложение - это материальная
оболочка суждения. Суждение же - идеальный (мысленный, информационный)
объект. Вся же данная конструкция, т. е. предложение совместно с суждением и
истинностным значением, называется высказыванием. Иногда для этой цели
используется термин «пропозиция».
Другой семантической категорией является категория терминов.
Термины - это имеющие значения определенного типа части
предложений, которые сами не являются предложениями.
Термины бывают нелогическими (дескриптивными) и логическими.
Нелогические термины формируют конкретное содержание мысли, указывают на пред-
49

мет мысли (на то, о чем идет речь в предложении) или на то, что утверждается
или отрицается относительно предмета мысли. Логические термины формируют
структуру мысли, выражают наиболее общие связи между предметами, их
множествами или ситуациями.
Различают три категории нелогических терминов: имена, предикаторы,
предметные функторы.
Имя - это слово или словосочетание, которые внутри некоторого
контекста употребления обозначает ровно один предмет.
Именовать можно все, что угодно:
1) материальные предметы - «Луна», «Сергей Есенин», «эта книга», «данное
дерево», «человек, создавший теорию относительности», «вакуум»;
2) единичные события, ситуации, процессы - «падение Тунгусского
метеорита», «поражение Наполеона под Ватерлоо», «окончание этого предложения»,
«впадение Волги в Каспийское море»;
3) агрегаты - «Измайловский лесопарк», «данная футбольная команда»,
«Солнечная система»;
4) различные признаки предметов - «белизна», «теплопроводность»,
«отношение "больше"»;
5) идеальные и абстрактные объекты - «данный момент времени»,
«абсолютно черное тело», «идеальный газ», «смысл предложения "Снег бел"», «5»,
«Булева алгебра», «функция сложения»;
6) сказочные, мифологические и литературные персонажи - «Андрей
Болконский», «Харон», «Баба-яга»;
7) возможные объекты - «подводная лодка Леонардо да Винчи»;
8) научные фикции - «эфир», «флогистон», «теплород»;
9) и даже невозможные объекты - «это деревянное железо», «данный
круглый квадрат».
Значения имен называются денотатами (референтами). Между именем и
его денотатом существует отношение особого характера, не свойственное
другим выражениям языка. Это отношение называется отношением именования.
Еще одним типом выражений языка являются предикаторы.
Предикатор - это знак свойства или отношения.
Знаки свойств называются одноместными, а знаки отношений -
многоместными предикаторами. Свойства, как уже говорилось, характеризуют отдельно
взятые предметы, в то время как отношения являются характеристиками
упорядоченных пар, троек, четверок и т. д. предметов. Например, про отдельно
взятого человека можно сказать, что он обладает или не обладает свойством «быть
человеком высокого роста», «быть рожденным в 1937 году», «являться
учителем», но про него нельзя сказать, что он «выше», «родился раньше»
(необходимо обязательно указать «выше» и «раньше» кого (или чего) он является, так как
указанные отношения характеризуют пары предметов, а не отдельно взятый
предмет). Точно так же, если некоторое отношение, например выраженное пре-
50

дикатором «находиться между», характеризует тройку предметов, то
недостаточно будет указать только один или два предмета.
С экстенсиональной точки зрения свойства и отношения ассоциируются с
классами предметов, т. е. значением предикатора можно считать некоторое
множество: значением одноместного предикатора является множество отдельно
взятых объектов, а значением многоместного предикатора в зависимости от его
местности - множество пар, троек и т. п. объектов. С интенсиональной
(содержательной) точки зрения свойства и отношения ассоциируются с некоторой
особенностью предметов, отличающей их от всех других предметов, которая как
раз и служит онтологической основой их обобщения в один класс. Эти две
трактовки предикаторов взаимодополняют друг друга.
В составе естественного языка к предикаторам, т. е. знакам свойств и
отношений, относятся нарицательные существительные («город», «планета»,
«человек» и т. д.), сравнительные и несравнительные прилагательные («больше»,
«равно», «белый», «деревянный» и т. д.), глаголы («бежит», «находится
между», «любит» и иные).
Нельзя путать имена свойств и отношений с предикаторами. Последние,
будучи знаками свойств или отношений, которые они представляют в языке, не
являются в то же время их именами. Например, существительное «студент»
ничего не именует, а просто выражает в языке (с интенсиональной точки зрения)
свойство, присущее некоторым людям, или (с экстенсиональной точки зрения)
представляет (обозначает) класс студентов. Именами же для соответствующего
свойства и класса будут выражения «свойство "быть студентом"» и «множество
всех студентов». Аналогично, прилагательное «белый» выражает в языке
соответствующее свойство, не именуя его. Именем же этого свойства является
термин «белизна».
Другим типом выражений являются предметные функторы.
Предметные функторы - это знаки предметно-функциональных
качественных и количественных характеристик предметов.
К числу предметных функторов относятся:
- выражения, обозначающие математические операции, например - «+», «•»,
«\» и т. д.;
- выражения, обозначающие физические величины - «масса», «скорость»,
«расстояние между», «давление» и многие другие;
- выражения, задающие специфические качественные характеристики
предметов - «цвет предмета», «национальность человека», «столица
какого-либо государства», «отец кого-то» и другие.
Более строгое описание предметных функторов будет дано ниже.
Очень трудно дать краткую и ясную характеристику тем выражениям
языка, которые относятся к числу логических терминов. К тому же, по мере
развития логики список логических терминов все время расширяется и пополняется.
Пожалуй, единственной характеристикой, присущей всем логическим терми-
51

нам, является то обстоятельство, что их наличие в языковом выражении задает
логику оперирования с этим выражением. Иначе говоря, логика наших
рассуждений главным образом определяется логическими терминами. Однако
данная характеристика является чисто прагматической и не дает критерия
отличения логических терминов от нелогических. Поэтому мы зададим их перечисли-
тельно. Логические термины будем делить на предицирующие связки,
операторы и пропозициональные связки.
К числу предицирующих связок относятся такие слова и словосочетания,
как «есть» (синонимы - «является», знак «тире», во множественном числе
употребляется слово «суть») и «не есть». Первая связка называется утверждающей,
вторая - отрицающей.
Операторы в свою очередь делятся на кванторы и дескрипторы. К числу
кванторов относятся квантор общности, представленный в естественном
языке следующими синонимичными словами - «Всякий», «Каждый»,
«Любой», «Ни один», «Все» и др., и квантор существования, представленный
словами «Некоторый», «Существует», «Большинство», «Какой-нибудь» и др.
Кванторы обозначаются знаками: V - квантор общности и 3 - квантор
существования.
К числу дескрипторов относятся: оператор определенной дескрипции,
обозначаемый знаком г (от лат. дескрипция - описание), - «тот самый
единственный предмет, который...»; оператор неопределенной дескрипции - «этот
(данный) предмет, который...», обозначаемый знаком в; оператор
множественности ~ «множество предметов таких, что...», обозначаемый знаком W; оператор
абстракции - «признак (функция) такой (такая), что...», обозначается знаком L
Существуют и другие кванторы и дескрипторы, но для целей нашего курса
введенных выше операторов пока достаточно.
К числу пропозициональных (логических) связок относят такие слова и
словосочетания естественного языка, как «и» (в логике символизируется знаком &
и называется конъюнкция; синонимами являются «а», «но» и др.), «если..., то»
(символизируется знаком гэ и называется материальная импликация), «или»
(символизируется знаком v и называется дизъюнкция; синонимично
используется слово «либо» и др.), «если и только если» (символизируется знаком = и
называется материальная эквиваленция; синонимично употребляются
словосочетания «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно»), «неверно, что»
(символизируется знаком —, и называется отрицание; синонимом иногда
является частица «не») и др.
2.2. Логический анализ имен и предложений
Прежде чем перейти к конкретному рассмотрению имен и предложений,
нам для понимания дальнейшего необходимо рассмотреть еще некоторые
важные типы языковых выражений. Итак, среди последних выделяют постоянные
{константы), переменные и параметры.
52

Константы - знаки, значение которых не меняется при переходе от
одного контекста их употребления к другим.
Параметры - знаки, имеющие одно и то же значение внутри
некоторого контекста их использования, хотя при переходе к другому
контексту их значения могут меняться.
Переменные - знаки, значение которых изменяется внутри одного и
того же контекста.
Поясним сказанное на примере выражения «2х2 + ах + b > 0». Здесь цифры
«2» и «О» - это константы языка. В данном и любом другом алгебраическом
выражении они всегда обозначают одно и то же - число 2 и число 0. Другое дело
выражения «а» и «Ь». Каждый раз при решении указанного неравенства их
значения фиксируются и, пока мы находимся в контексте данного решения, они не
меняются. Конечно, мы можем выбрать другие значения для этих символов, но
это будет означать, что мы перешли в новый контекст. Строго говоря,
параметры - это константы, но взятые в специфическом их языковом использовании.
Совершенно иначе ведет себя знак «х». Даже если мы выберем вполне
определенные значения для параметров «а» и «Ь» и тем самым попадем в некоторую
контекстную ситуацию, значения для «х» все равно будут изменяться. Вообще,
переменная — это знак, который принимает различные
значения. Способность варьировать свои значения является главной и
определяющей для переменных. Если некоторый знак в силу тех или иных обстоятельств
теряет данную способность, то он перестает быть подлинной переменной.
Итак, переменная принимает разные значения, т. е. обозначает разные
предметы. Но какие именно предметы она может обозначать? Чтобы знать
это, с каждой переменной в обязательном порядке связывается некоторый
класс предметов - область возможных значений переменной. Про
переменную говорят, что она «пробегает» по данной области и при этом
последовательно один за другим обозначает различные предметы, входящие в
данную область. Переменная без указания области ее значений
не есть переменная.
Переменные в логике можно вводить для всех указанных выше
семантических категорий - имен, предикаторов, функторов, логических терминов и
предложений. Однако первоначально мы ниже введем их только для имен и
предложений. В соответствующих главах учебника по мере необходимости
будут введены переменные и по другим семантическим категориям за
исключением логических терминов. Последние на протяжении всего учебника
будут рассматриваться только как константы, в силу чего логические
термины часто так и называют - логическими константами (логическими
постоянными).
1. х, у, z, хь уи z\, Х2 и т. д. - индивидные переменные (вместо них можно
подставлять конкретные имена предметов (индивидов) из некоторой выбранной
области возможных значений этих переменных),
53

2. p, q, г, s, pi, qi, rb sb рг и т. д. - пропозициональные переменные (вместо
них разрешается подставлять конкретные предложения (пропозиции)).
Считается, что индивидные переменные относятся к семантической
категории имен. Их можно рассматривать как некоторые неопределенные имена, т. е.
имена, которые имеют неопределенное значение. В свою очередь
пропозициональные переменные относятся к семантической категории предложений, а
именно: их можно трактовать как неопределенные предложения.
Далее, в логике все осмысленные выражения языка делятся синтаксически
на простые (примитивные, исходные, элементарные) и сложные (производные).
Выражение некоторого типа называется простым, если в его составе
нет частей, которые могут рассматриваться как самостоятельные
выражения того же самого типа.
Выражение некоторого типа называется сложным, если в его составе
имеются такие части, которые могут рассматриваться как
самостоятельные выражения этого же типа.
Вопрос о том, что следует считать простым выражением, зависит от
глубины нашего анализа языка. Так, если мы не интересуемся внутренней
структурой выражения «Александр Сергеевич Пушкин», то можем считать его
простым. Если же по каким-либо причинам мы интересуемся составными
частями этой лингвистической конструкции, то данное имя можно трактовать
как сложное - «тот самый единственный человек, который имеет родовое
имя "Пушкин", собственное имя "Александр" и является сыном человека по
имени "Сергей"».
Важность выделения простых выражений состоит в том, что в языке все
другие выражения строятся из простых (элементарных, примитивных)
составляющих. К числу последних относятся собственные имена, индивидные
переменные, предметные функторы, предикаторы, пропозициональные переменные
и логические термины. Именно из них, как из исходных элементарных
кирпичиков, порождаются различного типа сложные языковые конструкции. И в первую
очередь такие конструкции, как имена и предложения.
Именные и высказывательные формы.
Для правильного понимания дальнейшего материала оказываются
существенными понятия именной и высказывательной формы. Собственно
говоря, любая именная или высказывательная конструкция является,
соответственно, либо именной, либо высказывательной формой (понятие формы
рассматривалось в главе I). При этом сами формы бывают двух видов -
замкнутыми (насыщенными) и незамкнутыми (ненасыщенными).
Незамкнутые выражения - это формы, в состав которых (говоря несколько
нестрого) входят переменные.
Незамкнутые именные формы - это либо сами индивидные переменные,
либо выражения, образуемые за счет сочленения (конкатенации) индивидных
переменных с предметными функторами. Из незамкнутой именной формы,
54

содержащей индивидные переменные, можно получить конкретное имя, если
заменить все индивидные переменные, входящие в исходную именную
форму, собственными именами. Например, выражение «дс + у» - это не имя, а
двухместная, т. е. с двумя различными переменными, ненасыщенная именная
форма. Она называется именной потому, что из нее, замещая переменные
конкретными именами, можно получать некоторые конкретные имена. Так,
заменив переменную у именем «6», получим выражение «х + 6», которое все
еще остается ненасыщенной именной формой. Теперь, правда, уже
одноместной именной формой. Заменяя в последней единственную переменную д:,
скажем, именем «4», получим выражение «4 + 6», которое будет уже
конкретным именем - сложным именем числа 10. Последнее выражение тоже
именная форма, но форма замкнутая (насыщенная), нульместная, т. е. форма,
которая не содержит уже переменных. Их число равно 0. Индивидная
переменная х - это одноместная ненасыщенная именная форма. Подставляя в нее
вместо переменной х, скажем, имя «Петр», получим нульместное
(насыщенное) выражение - «Петр».
Аналогично, выражение «х > у» не является предложением. Это всего
лишь ненасыщенная двухместная высказывательная форма. Она называется
так потому, что содержит две различные индивидные переменные, при
замене которых конкретными именами мы получаем либо истинное, либо ложное
высказывание. Так, подставляя в это выражение вместо индивидных
переменных х и у, соответственно, имена «5» и «8», получаем конкретное ложное
предложение «5 > 8», которое тоже является высказывательной формой, но
теперь уже замкнутой (насыщенной) нульместной формой. С другой
стороны, выражение «—.р» - одноместная ненасыщенная высказывательная форма.
Заменяя в ней пропозициональную переменную «р» ложным предложением,
скажем «Москва является морем», получим истинное предложение «Неверно,
что Москва является морем». Выражение «дг является человеком» - это
одноместная ненасыщенная высказывательная форма. Подставляя вместо
индивидной переменной х различные имена, будем получать либо истинные, либо
ложные предложения. Например, «Петр является человеком» - истинное
предложение, а «Жучка является человеком» - ложное предложение и т. д.
Эти примеры показывают, что (строго говоря) к числу имен мы должны
относить только нульместные (насыщенные, замкнутые) именные формы, а к
числу предложений следует относить только нульместные (насыщенные,
замкнутые) высказывательные формы.
После этих предварительных замечаний перейдем теперь к конкретному
рассмотрению имен и предложений.
Имена.
Значения имен, как было сказано выше, называются денотатами
(референтами). Имена могут нести определенную информацию о своих денотатах, т. е.
могут иметь содержание (смысл). Это содержание имен называется индивидным
концептом. Последнее - это такое содержание, которое относится только к тому
55

предмету, который обозначен именем, т. е. индивидуализирует его. Итак,
семантический треугольник для имен имеет следующий вид (см. Рис. 2):
денотат индивидный концепт
Рис.2
Говоря о том, что каждое имя имеет денотат, надо всегда иметь в виду, среди
какой совокупности предметов осуществляется поиск денотата. Например, среди
современных нам людей мы не найдем «нынешнего короля Франции», а среди гор
нашей планеты мы не найдем такой объект, который был бы денотатом имени
«самая высокая гора, которая выше Эвереста». Поэтому значение имени всегда реляти-
визировано относительно той или иной области (множества) объектов. С этой точки
зрения все имена делятся на действительные (непустые) и мнимые (пустые).
Имя является действительным относительно некоторого множества
предметов, если его денотат содержится в этом множестве.
Имя является мнимым относительно некоторого множества
предметов, если денотат имени не содержится в этом множестве.
Так, термин «нынешний король Франции» является мнимым именем
относительно множества современных людей, но это будет действительное имя
относительно людей, живших в конце XVIII в. В последнем случае оно обозначает
короля Франции Людовика XVI.
Следующее важное членение имен состоит в их подразделении на имена с
собственным смыслом и имена с приданым смыслом. Согласно определению,
под смыслом имеется в виду та информация об обозначаемом объекте, которую
содержит сам знак или которая приписывается имени интерпретатором.
Некоторые имена не содержат сами по себе никакой информации о репрезентируемых
предметах. Имена такого сорта называют собственными именами или именами-
ярлыками. Действительно, сравним два имени - «Луна» и «естественный
спутник Земли». Первое не дает нам никакого знания о денотате, т. е. не имеет
собственного смысла, в то время как второе информируют нас о некоторых его
свойствах, присущих денотату имени, т. е. обладает собственным смыслом.
Будем далее считать, что собственные имена тоже обладают смыслом, но не
собственным, а приданым. Для этого необходимо собственному имени придать
соответствующий смысл. Например, можно придать термину «Луна» смысл
выражения «естественный спутник Земли» или какой-либо другой смысл.
С синтаксической точки зрения все имена делятся на простые и сложные.
Простые имена - это как раз и есть собственные имена. Таковыми являются
выражения «Сократ», «Москва-река», «2», «Земля», «Пегас», «Тихий океан» и мно-
56

многие другие. Сложные имена, образуемые из простых за счет их сочленения
(конкатенации) с предметными функторами разной местности, называются
функциональными именами. Вообще, синтаксическая роль предметных
функторов как раз и состоит в том, что, сочленяя их с именами, мы вновь получаем
имена. Так, сочленяя двухместный функтор сложения «+» с именами «5» и «3»,
мы порождаем новое имя: «5 + 3» - сложное функциональное имя числа 8;
«масса Земли» - сложное функциональное имя, денотатом которого является
величина, равная 5,981027 г, образованное сочленением одноместного функтора
«масса» с именем «Земля»; сочленяя одноместный функтор «отец» с именем
«Сократ», порождаем выражение «отец Сократа» - сложное функциональное
имя, денотатом которого является Сафрониск, который, как известно из
истории, был отцом древнегреческого философа.
Кроме функциональных, существует еще одна важная разновидность
сложных имен - описательные имена (дескрипции). К их числу относятся те
имена, которые строятся из ненасыщенных высказывательных форм с
помощью дескрипторов. Так, используя двухместный предикатор «жена», мы
можем вначале образовать незамкнутую высказывательную форму «х жена j».
Замещая в этом выражении индивидную переменную у собственным именем
«Сократ», получаем одноместную высказывательную форму «х жена Сократа»,
а применяя к последнему выражению имяобразующий оператор определенной
дескрипции, можно получить саму определенную дескрипцию - \х (х жена
Сократа), т. е. сложное описательное имя - «тот самый единственный х, который
является женой Сократа». Денотатом этого описательного имени, как известно,
является Ксантиппа. Поступая аналогично, мы можем из одноместного преди-
катора «дерево» вначале образовать одноместную высказывательную форму «х
есть дерево», а затем, применяя к этому выражению оператор неопределенной
дескрипции, получить саму неопределенную дескрипцию - sx(x есть дерево) -
сложное описательное имя «данный х, который есть дерево» (в естественном
языке мы часто просто говорим «это дерево», «то дерево»). Аналогично из
одноместного предикатора «человек» можно вначале образовать одноместную
высказывательную форму «х есть человек», а затем, применяя оператор
множественности, получить описательное имя множества - Wx (х есть человек) -
«множество предметов х, таких, что они являются людьми». Если же к выска-
зывательной форме «х есть человек» мы применим оператор абстракции, то
получим описательное имя свойства - Ах (х есть человек) - «свойство "быть
человеком"».
Предложения.
Принято считать, что значением предложений являются два абстрактных
объекта - объект «истина» и объект «ложь». Они называются истинностными
значениями. Будем обозначать их символами «и» и «л». Что касается смысла
предложений, то в качестве него рассматривается то суждение, которое
выражается предложением. Таким образом, семантический треугольник для
предложений выглядит следующим образом (см. Рис. 3):
57

и или л суждение
Рис.3
Все предложения делятся на простые и сложные. Простые единичные
предложения образуются за счет выполнения предикаторами следующей
синтаксической функции: будучи сочленены с именами, они
порождают предложениям именно - простые единичные предложения. Так,
сочленяя предикатор «человек» с именем «Петр» и используя предицирующую
связку «есть», получаем простое единичное предложение «Петр есть человек», а.
сочленяя этот же предикатор с именем «Жучка» и используя предицирующую
связку «не есть», получаем простое единичное предложение «Жучка не есть
человек»; сочленяя предикатор «находится между» с именами «Москва»,
«Великий Новгород» и «Киев», получаем простое единичное предложение «Москва
находится между Великим Новгородом и Киевом», а сочленяя предикатор
«больше» с именами «5» и «3», получаем простое предложение «5 больше 3».
В каждом простом предложении выделяют логическое подлежащее и
логическое сказуемое, которые могут быть определены следующим образом:
Логическое подлежащее {субъект) простого предложения - это
простое или сложное выражение, обозначающее тот объект (объекты), о
котором (которых) нечто говорится в данном предложении.
Логическое сказуемое {предикат) - это выражение, обозначающее то,
что утверждается или отрицается об объекте (объектах),
обозначаемом (обозначенных) субъектом.
В первом из рассмотренных предложений субъект выражен именем «Петр»,
а предикат - словосочетанием «х есть человек», которое представляет собой
незамкнутую высказывательную форму, получающуюся из предложения «Петр
есть человек» заменой субъекта «Петр» индивидной переменной. Во втором
предложении субъект синтаксически выражается именем «Жучка», а предикат -
словосочетанием «х не есть человек». В третьем предложении не один, а три
субъекта. Они представлены именами «Москва», «Великий Новгород» и «Киев»,
предикатом же является выражение «х находится между у и г». Последнее
выражение представляет собой незамкнутую трехместную высказывательную
форму, образуемую из простого предложения «Москва находится между
Великим Новгородом и Киевом» путем замены разных субъектов разными
индивидными переменными. Аналогично в четвертом предложении субъектами
являются цифры «5» и «3», а предикатом высказывательная форма «дс больше у».
Данные предложения называются единичными, потому что их субъекты
выражены именами, т. е. знаками, обозначающими ровно один предмет.
58

Из данных примеров видно, что в предложениях, в которых утверждается
наличие некоторого отношения между объектами, число субъектов больше
единицы. Отсюда же видно, что имена в составе предложений играют роль
субъектов (логических подлежащих), в то время как незамкнутые высказывательные
формы - роль предикатов (логических сказуемых).
i Однако простые предложения можно строить не только сочленяя предика-
тор с именем, но и сочленяя предикатор с предикатором (порой с помощью
предицирующих связок). При этом один предикатор в предложении исполняет
роль логического подлежащего, а другой вместе со связкой - роль логического
сказуемого. Строящиеся так предложения называются простыми
множественными предложениями.
Сочленяя предикаторы «человек» и «бледен» с помощью утверждающей
предицирующей связки, получаем выражение «человек является бледным».
Это еще не предложение, а лишь заготовка для будущего простого
предложения. Не предложение потому, что данное выражение нельзя оценить ни как
истинное, ни как ложное, ибо оно представляет собой незамкнутую высказыва-
тельную форму. Поясним сказанное.
В выражении на месте субъекта стоит предикатор «человек», а как было
выше отмечено, с экстенсиональной точки зрения значением предикаторов
являются классы предметов. А потому термин «человек» здесь является
переменной. Например, переменной х, областью изменения которой является класс
людей. Поэтому на самом деле выражение «человек является бледным» следует
трактовать следующим образом: «л: является бледным», где х пробегает по
классу людей. Но людей много и остается пока неясным, что утверждается в данном
выражении, приписывается ли наличие свойства бледности каждому предмету
из этого класса, т. е. каждому х, или некоторым предметам, т. е. некоторым л\
Эта информация должна быть уточнена, что можно сделать, если поставить
перед словом «человек» либо квантор общности, либо квантор существования. В
первом случае мы получим ложное простое предложение «Каждый человек
является бледным», т. е. Ух (х является бледным), или - во втором же случае -
истинное простое предложение «Некоторый человек является бледным», т. е. Зх (х
является бледным), где х (еще раз повторим) пробегает по классу людей. Часто
информация о том, на какой области предметов окажется истинной высказыва-
тельная форма вида «х является человеком» вносится в саму формулировку
предложений. Тогда предложение «Vjc (л: является бледным)» запишется как вы-
I ражение «Vjc (если х - человек, то jc бледен)», а второе предложение как
выражение «3jc (jc - человек и jc бледен)».
Рассмотрим еще один пример. Возьмем простое единичное предложение
«Петя любит Машу» и заменим в этом предложении слово «Петя» на «студент»,
а «Машу» на слово «кашу» В результате такой замены получим выражение
«студент любит кашу». Это выражение тоже еще не является предложением, так
как здесь два субъекта - «студент» и «каша» - заданы предикаторами. Но
предикаторы (повторим еще раз) с экстенсиональной точки зрения обозначают
классы предметов, а потому являются различными переменными, скажем х пу.
59

Поэтому выражение «студент любит кашу» следует трактовать как
ненасыщенное выражение «х любит у», где д; пробегает по множеству студентов, а у - по
множеству каш. Проставляя те или иные кванторы перед обоими субъектами,
мы можем получить, например, предложение «Некоторый студент любит
всякую кашу», т. е. выражение ЗхУу (х любит у), которое уже можно оценить как
истинное или ложное утверждение.
Итак, когда субъекты выражены предикаторами, требуется обязательно
употребить тот или иной квантор. Это и демонстрирует
синтаксическую роль, которую в языке выполняют кванторы.
Предложения бывают не только простыми, но и сложными. Последние
строятся из простых предложений с помощью пропозициональных связок. В
этом как раз и состоит их синтаксическая роль. Так, с помощью
соединительного союза «и» можно образовать из двух простых предложений
«Петр - студент» и «Маша - студентка» одно сложное предложение «Петр -
студент & Маша - студентка», называемое конъюнктивным предложением.
Конъюнкция является, таким образом, бинарной (двухместной) связкой.
Материальная импликация тоже является бинарной связкой, образующей из
предложений А и В сложное импликативное предложение (А о В), которое
может читаться - «Если А, то В». В импликативных высказываниях
утверждается, что в случае, когда имеет место положение дел, описываемое в А, имеет
место также и положение дел, описываемое в В. Смысл выражения (А :э В) можно
эквивалентным образом переформулировать так: не имеет места ситуация, при
которой положение дел, описываемое в А, наличествует, а положение дел,
описываемое в В, отсутствует. В высказываниях вида (A Z) В) выражение А
называется антецедентом, а В - консеквентом. В предложениях естественного языка
антецедент не всегда предшествует консеквенту. Например, антецедент
высказывания «Большинство владельцев акций разоряется, если их курс падает» - это
вторая часть предложения, а консеквент - первая.
Из простых предложений «Всякий человек разумен» и «Некоторые люди
неразумны» с помощью разделительного союза «или» можно образовать одно
сложное предложение «Всякий человек разумен v Некоторые люди неразумны»,
которое называется дизъюнктивным предложением. Таким образом, и
дизъюнкция является бинарной связкой, образующей из произвольных предложений А и
В новое сложное предложение (A v В).
Из простого предложения «Некоторые люди неразумны» с помощью
словосочетания «неверно, что» (—i) можно образовать сложное предложение
«—.Некоторые люди неразумны», которое называется отрицательным
предложением. Отрицание, в отличие от рассмотренных связок, является унарной
(одноместной) связкой, т. е. она образует сложное предложение —А из одного
предложения А.
Используя пропозициональную связку «если и только если», можно
построить сложное предложение «Всякий человек разумен = -.Некоторые люди
неразумны», которое называется предложением материальной эквиваленции.
Используемая здесь связка является бинарной. Она позволяет из предложений А
60

а В строить сложное предложение (А = В). Высказывания вида (А з В)
утверждают, что положения дел, описанные в А и В, либо одновременно имеют
место, либо одновременно отсутствуют. Содержание такого рода высказываний
можно выразить и иначе: в них утверждается, что при наличии положения дел,
."•писанного в А, имеет место также и положение дел, описанное в В, и
наоборот. - при наличии второго положения дел имеет место и первое.
2.3. Принципы употребления языковых выражений
Поставим вопрос: каким образом проявляется нормативная природа
логики применительно к анализу языка? Логика исследует язык как средство,
инструмент рационального познания. Однако, как уже говорилось,
реализация познавательной функции языка (в частности, при использовании
естественного языка в науке) сталкивается на практике с рядом трудностей,
связанных с особенностями естественного языка. Это и многозначность языковых
выражений, и семантическая замкнутость естественного языка, и тот факт,
что одинаковые предложения могут выражать разные суждения, и то, что
предложения со сходной грамматической структурой могут иметь разные
логические формы.
Перечисленные трудности не свидетельствуют об ущербности
естественного языка, а, наоборот, говорят о его богатстве. Они являются недостатками лишь
в случае использования естественного языка как основы для построения языка
вауки. В других сферах человеческой деятельности (например, в искусстве) эти
особенности языка оцениваются как его достоинства.
В современной логике сформулирован ряд принципов, которые
блокируют негативный эффект перечисленных недостатков естественного языка
при его использовании в познавательных целях. Это так называемые
принципы употребления языковых выражений. К их числу относятся следующие
принципы.
1. Принцип однозначности:
Каждый знак внутри некоторого контекста своего употребления
должен употребляться ровно в одном значении.
Данный принцип не запрещает использование в языке науки многозначных
языковых выражений, но требует четкой фиксации значений используемых
знаков и указывает на недопустимость их произвольного изменения в рамках
одного контекста. Невыполнение требования однозначности - довольно
распространенное явление. Его гносеологической основой является многозначность
языковых выражений, т. е. ситуация, когда один и тот же термин имеет целый «куст»
близкородственных, но не равных друг другу значений. Это создает
возможность при невнимательном отношении к терминологии незаметно для самого
интерпретатора заменить одно значение на другое. Вред от такой замены
состоит прежде всего в том, что наши рассуждения лишаются научной строгости и
значимости.
61

2. Принцип предметности:
Он имеет две различные, но говорящие об одном и том же, формулировки.
Приведем обе эти формулировки.
Первая формулировка:
Употребляя знаки, говорят не о знаках, а об их значениях.
Вторая формулировка:
Желая нечто сказать о предметах, необходимо использовать не сами
эти предметы, а их обозначения.
Рассмотрим предложение «4 - четное число». Согласно принципу
предметности, свойство «быть четным» присуще не цифре «4», а тому, что ею
обозначается, т. е. числу 4. Таким образом, чтобы установить, истинно ли данное
предложение, необходимо выяснить, что обозначается цифрой «4» и затем проверить,
обладает ли этот объект свойством четности.
Принцип предметности в языковой практике не всегда выполняется.
Так, в выражении «Москва состоит из 6 букв» термин «Москва» употреблен
для обозначения самого себя. Такое употребление знаков называется авто-
нимным (самоприменимым) и может вести к недоразумениям, в частности
к получению парадоксов типа «Лжеца». Устранение возможности
появления таких парадоксов достигается в логике расчленением языка на язык-
объект и метаязык.
Переход к метаязыку связан с требованием, чтобы в нем в обязательном
порядке имелись имена для тех лингвистических конструкций, которые
содержит язык-объект. Общим методом получения таких имен является зака-
вычивание соответствующих выражений языка-объекта, в силу чего они
называются кавычковыми именами. Так, если универсумом рассуждения
является класс городов, то в языке-объекте должны содержаться имена этих
предметов. Такими выражениями будут, например, термины Москва, Тверь,
Владимир и т. д. Денотатами этих имен являются соответствующие
населенные пункты. Переходя в метаязык, можно образовать имена этих имен
простым заключением последних в кавычки, например «Москва», «Тверь»,
«Владимир». Денотатами таких выражений являются уже не населенные
пункты, а те слова (иногда словосочетания), которые стоят под кавычками.
Этот же прием позволяет в метаметаязыке получать имена метаязыковых
объектов: ««Москва»», ««Тверь»», ««Владимир»». Денотатами этих
выражений являются те лингвистические конструкции, которые заключены в самые
внешние кавычки.
Теперь, чтобы избежать автонимного употребления термина «Москва» в
нашем примере, вместо предложения «Москва состоит из 6 букв», которое
является ложным, следует писать предложение «"Москва" состоит из 6 букв»,
которое является истинным утверждением.
62

3. Принцип взаимозаменимости:
Если выражения А и В являются равными по значению (А = В), то
контекст К, содержащий знак А, равен по значению этому же
контексту, в котором знак А заменен на знак В, т. е.
Если А = В, то К(А) = К(А:В),
где К(А) - контекст, содержащий А, а К(А:В) - тот же контекст с заменой
вхождений А (не обязательно всех) на В.
Казалось бы, данный принцип достаточно очевиден и должен
выполняться для любых контекстов и знаковых выражений А и В. Ведь если, согласно
принципу предметности, мы всегда говорим не о знаках, а о значениях
знаков, а значения у знаков А и В одинаковы, о чем говорит условие (А = В), то
какая разница, обозначен ли предмет выражением А или он обозначен
выражением В. Однако было обнаружено, что в ряде случаев этот принцип не
выполняется.
Рассмотрим контекст:
Георг IV хотел знать, является ли Вальтер Скотт автором «Веверлея».
Перед нами предложение, его значением является истинностная оценка
«истина», ибо из истории известно, что на одном из приемов Георг IV подошел к
Вальтеру Скотту и задал ему соответствующий вопрос. Так как произведение
«Веверлей», которое очень понравилось публике, было напечатано анонимно, то
автор этого произведения не был известен. Однако ходили упорные и вполне
оправданные слухи, что автором произведения был Вальтер Скотт. Этим и был
обусловлен вопрос Георга IV.
Итак, утверждение «Вальтер Скотт = автор "Веверлея"» истинно.
Тогда мы можем, согласно принципу взаимозаменимости заменить в нашем
контексте термин «автор "Веверлея"» на равный ему по значению термин
«Вальтер Скотт». В результате чего получим контекст:
Георг IV хотел знать, является ли Вальтер Скотт Вальтером Скоттом,
?торый, несомненно, является ложным. Ведь Георг IV, конечно же, знал, что Вальтер
_ котт - это Вальтер Скотт. А хотел он узнать совершенно другое. Таким образом, зна-
-ение контекста после замены одного выражения на другое изменилось. Было истин-
-ым, а стало ложным.
Нарушение принципа взаимозаменимости требует определенной
корректировки принципа предметности. Действительно, употребляя знаки, мы всегда,
•онечно, говорим о предметах, которые ими обозначаются, но иногда мы
говорим не просто о предметах, а о предметах, охарактеризованных тем или иным
способом. Одно дело охарактеризовать предмет посредством собственного име-
-:и «Вальтер Скотт» и совершенно другое дело охарактеризовать его
описательным именем «автор "Веверлея"», которое стало именем данного объекта в
определенное время его земного существования в силу стечения определенных исто-
эических обстоятельств.
63

Итак, причина невыполнения принципа взаимозаменимости для целого ряда
контекстов состоит в том, что в этих контекстах оказываются существенными не
только экстенсиональные, но и интенсиональные (информационные)
характеристики языковых выражений, т. е. оказывается важным не только, что обозначают
те или иные выражения, но и как они это делают.
Те контексты, в которых принцип взаимозаменимости выполняется,
называются экстенсиональными контекстами. Те же контексты, для которых этот
принцип не выполняется, называются интенсиональными контекстами. Более
точное их определение звучит следующим образом:
Контекст К(А) называется экстенсиональным относительно
выражения А О V В(А = Bi К(А) = К(А:В)); I
Контекст К(А) называется интенсиональным относительно
выражения А о 3 В(А = В & К(А) * К(А:В)),
где знаки с надстрочными точками - это метазнаки квантора общности,
квантора существования, материальной импликации и конъюнкции, а «о» - метаязы-
ковой знак материальной эквиваленции.
Вообще, к числу интенсиональных относятся так называемые модальные
контексты, содержащие логические константы «необходимо», «возможно»,
«случайно» и другие модальные операторы (см. по этому вопросу главу VII), а
также контексты с косвенной речью, контексты мнения, содержащие эпистеми-
ческие логические константы типа «знает, что», «считает, что» и другие.
Упражнения
1. Укажите значение и смысл следующих знаков:
а) наибольшее натуральное число, б) теплопроводный,
в) автор пьесы «Ромео и Джульетта», г) «Аристотель»,
д) любит, е) синоним,
ж) «первый искусственный спутник Земли», з) Харон.
2. Установите, к каким семантическим категориям относятся следующие
выражения и их части:
а) перепад температур дневной и солнечной сторон Луны не превышает
400 °С,
б) Каждый альпинист мечтает покорить самую высокую гору на Земле,
в) расстояние от одного пункта до другого,
г) наименьший общий множитель, д) самая длинная река в Европе,
е) Идет снег, а не холодно, ж) если и только если.
3. Установите, являются ли замкнутыми или нет следующие выражения, и
укажите, какие слова или словосочетания исполняют роль переменных:
а) делимость числа на 3, б) Минск меньше Москвы,
в) число делится на 3, г) Петя любит молоко.
4. Проанализируйте следующие сложные предложения, определите их вид и
в каждом простом предложении укажите субъект и предикат:
64

а) Все студенты нашей группы, кроме разгильдяя Иванова, присутствуют на
занятиях.
б) Ни один слон не умеет летать, и это очень печально.
в) Если нагреть металлический стержень, то он увеличится в размерах.
г) У всякого человека есть брат или сестра, или у некоторого человека нет
ни брата, ни сестры.
5. Определите, каким образом нарушается принцип однозначности в
следующем языковом контексте:
На первом курсе мы изучаем логику. Мы познакомимся со многими
логиками - традиционной и символической, классической и неклассической. После
этого для нас не останется тайн ни в логике ребенка, ни в женской логике.
6. Какие из следующих выражений - Россия, «Россия», ««Россия»», самое
большое государство в Европе, Russia - можно подставить вместо переменной
х в нижеследующие выражения так, чтобы получилось истинное предложение:
а) х - название страны,
б) х - выражение русского языка,
в) х - знак, обозначающий слово.
7. Укажите, какие из выражений истинны, а какие ложны:
а) <<207<<2>> = «10», б) <<272>> = 10, в) «272 = 10».
8. Определите, является ли нижеследующий контекст экстенсиональным
или интенсиональным:
а) Наполеон полагал, что завоюет Россию (относительно терминов
«Наполеон» и «Россия»),
§ 3. Функциональный анализ языка
3.1. Множества и кортежи
В предыдущем параграфе были выделены основные типы выражений
языка. Однако приведенная типология знаков обладает одним недостатком -
отсутствием четких и единообразных оснований для их классификации. Ниже
будет рассмотрен принятый в современной логике подход к анализу языка,
согласно которому все его значимые выражения трактуются либо как знаки
функций, либо как знаки их аргументов. Функциональный подход к языку
позволяет получить стройную систему семантических категорий - осуществить
классификацию языковых выражений в зависимости от типов их значений,
т. е. от типов репрезентируемых ими объектов, а для функциональных знаков -
н от типов значений их аргументов.
Функциональный анализ языка опирается на ряд основополагающих
понятий теории множеств - одной из самых универсальных общеметодологических
теорий, значение которой для логического анализа трудно переоценить.
Основным теоретико-множественным понятием этой теории является
понятие множества. Последний термин имеет большое число синонимов: класс,
совокупность, собрание, сообщество, коллектив, многообразие, семейство, ан-
ЗВведение в логику ^^

самбль и многие другие. Понятие множества столь фундаментально, что
разъяснить его смысл можно только на примерах. Тем не менее укажем, что
множество - это объект, образованный за счет мысленного собирания в единое целое
каких-либо предметов, в том числе, возможно, и самих множеств. Множества
полностью характеризуются теми предметами, которые в них собраны. Поэтому,
чтобы задать множество, достаточно тем или иным способом указать каждый
элемент (предмет), содержащийся в нем.
В теории множеств факт вхождения предмета и в множество М выражается
записью «и е М» - читается: «и элемент М», а факт не вхождения и в множество
М записывается выражением «и g М» - читается: «и не элемент М».
Отношение, фиксируемое записью «и е М», называется отношением принадлежности
элемента классу. В логике множества изображают графически с помощью так
называемых кругов Эйлера - плоских геометрических фигур (кругов, эллипсов,
прямоугольников и т. п.), а элементы множеств точками (см. Рис. 4):
и
U G М u g М
Рис. 4 |
Задание множеств осуществляется несколькими способами.
(1) Если множество содержит конечное число элементов и практически
легко обозримо, оно может быть задано перечислителъно - списком элементов. Так.
список лиц, входящих в некоторую учебную группу, задает множество
студентов этой группы. Будем далее списки, задающие множества, заключать в
фигурные скобки. Запись, например {щ, и2, щ}, означает, что рассматривается
множество из трех элементов - щ, и2 и щ. \
(2) Множество может быть задано аналитически - посредством
некоторого признака, присущего всем его и только его элементам. Например, фраза
«множество чисел таких, что они делятся на 2» задает множество четных
чисел. Эта фраза образуется как сочленение (конкатенация) оператора
множественности W с высказывательной формой вида «д: делится на 2». Так как д: -
переменная, пробегающая по множеству чисел, то выражение «Wjc (х делится на
2)» может быть прочитано как «множество чисел х таких, что х делится на 2».
Ясно, что делимость на 2 является общим признаков для каждого элемента из
этого множества.
(3) Множество может быть задано алгоритмически - некоторым
конструктивным процессом (алгоритмом), порождающим из одних элементов множества
другие его элементы. Например, множество всех натуральных чисел можно
породить из числа 1 процедурой присоединения 1 к ранее уже построенному
числу. Такая процедура выдаст следующую бесконечную последовательность
элементов: 1, 1+1, 1+1+1, 1+1+1+1 и т. д. Эта последовательность как раз и является
алгоритмически заданным множеством натуральных чисел.
66

Множества различаются количеством входящих в них элементов или, как
говорят в теории множеств, мощностью.
По мощности множества делятся на пустые (не содержащие элементов) и
непустые (содержащие, по крайней мере, один элемент). Пустым является
множество, которое не содержит ни одного элемента. Например, Wx (х есть люди &
х живут на Солнце) - «множество людей, живущих на Солнце», и Wx (х
круглый & jc квадратный) - «множество круглых квадратов» являются пустыми, так
как ни один предмет не обладает указанными свойствами. Факт пустоты
множества обозначается знаком «0».
Непустые множества, в свою очередь, бывают конечными и бесконечными.
Мощность конечного множества может быть выражена конкретным
натуральным числом. Среди конечных множеств выделяют одноэлементные множества,
содержащие ровно один предмет, двухэлементные множества, содержащие
ровно два предмета, и т. д. Например, множество древнегреческих философов,
обучавших Александра Македонского, т. е. Wx (х есть древнегреческий
философ & х учитель Александра Македонского), задает одноэлементное множество,
единственным элементом которого является Аристотель. Множество авторов
романа «Двенадцать стульев», т. е. Wjc(a: есть автор романа «Двенадцать
стульев»), - двухэлементное, так как оно содержит ровно два элемента - И. Ильфа и
Е. Петрова. Одноэлементное множество с единственным элементом и
обозначается выражением {и}. Если во множество входит ровно два объекта - щ и щ, то
такое множество обозначается выражением {щ, и2} и т. д. Надо иметь в виду,
что в теории множеств различают сам объект и и одноэлементное множество
{«}, т. е. иФ {и}.
f' Бесконечные множества бывают разной мощности. Наименьшими по
мощности являются счетные множества - множества, элементы которого
можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с натуральными
числами, т. е. каждому элементу такого множества можно присвоить свой
собственный номер. Так, множество четных чисел является счетным, поскольку
четному числу 2 может быть сопоставлен номер 1, числу четыре - номер 2, и
в общем случае, каждому четному числу 2п - номер п. Хорошими примерами
счетных множеств являются множества различных лингвистических
объектов. Так, множество всех выражений, которые можно построить в русском
языке из букв алфавита, знаков препинания и пробелов, является счетным.
Все остальные бесконечные множества содержат большее количество
элементов и относятся к числу несчетных, так как предметы, входящие в них,
нельзя перенумеровать натуральными числами. Несчетным, например, является
множество действительных чисел.
Множества могут находиться в различных отношениях друг к другу.
Если каждый элемент множества Mi является одновременно и элементом
множества М2, т. е. справедливо утверждать, что \/х(х е Mi з jc е М2), что
читается - «Для всякого предмета х из некоторой предметной области, верно, что
если х е Mi, то х е М2», то говорят, что Mi является подмножеством множества
М2. Это отношение называется отношением включения класса в класс и обозна-
67

чается символом «с». Утверждение, что множество Mi включается в множество
М2, записывается в следующем виде: «Mi с М2».
Из данного определения следует, что подмножествами произвольного
множества М являются пустое множество и само множество М: 0 с М и
М с М. Пустое множество и само множество М называются несобственными
подмножествами множества М. Остальные подмножества называются
собственными (правильными) подмножествами множества М.
Если множества Mi и М2 включаются друг в друга, т. е. для них
справедливы одновременно утверждения Mi с М2 и М2 с М,, то говорят, что множества
Mi и М2 находятся в отношении равенства, т. е. Mi = М2.
Если множество Mi включается в множество М2, но не наоборот, т. е. если
Mj с М2, но неверно, что М2 с Мь то говорят, что Mi строго включается в М2.
Эта информация выражается записью «Mi с М2». В таком случае Мх называют
видом М2, а М2 родом для Mi. Ясно, что может быть и обратное отношение
строгого включения - М2 сг Мт. В этом случае М2 будет видом, a Mi - родом.
Графически отношения строгого включения и равенства можно представить
так (см. Рис. 5):
М!сМ2
Рис. 5
Кроме этих трех отношений, имеются и отношения иного типа, которые
будут введены в соответствующих главах учебника.
Над множествами могут выполняться разнообразные операции. Некоторые
из них будут рассмотрены в последующих главах. Здесь же остановимся лишь
на операции, которая по произвольному множеству М порождает все его
подмножества. Будем эту операцию называть операцией степени и обозначать
посредством выражения 2м. Если М конечное «-элементное множество, то, чтобы
образовать множество всех его подмножеств, надо собрать в один класс все
нульэлементные, одноэлементные, двухэлементные,... и, наконец, «-элементные
подмножества, которые могут быть образованы из элементов множества М. Так.
если М = {а, Ь, с}, то его множество-степень 2м = {0, {а}, {Ь}, {с}, {а, Ь}, {а, с}.
{Ь, с}, {а, Ь, с}}.
Г. Кантором была доказана следующая важная теорема: какое бы
множество М мы не взяли, мощность множества 2 всегда больше мощности М.
т. е. множество 2 содержит больше элементов, чем множество М.
Применительно к рассмотренному выше примеру это выражается в том, что исходное
множество М содержало 3 элемента, а множество 2м содержит уже 8
элементов. Если через N обозначить множество натуральных чисел, которое является
счетным множеством, то множество 2N всех подмножеств, которые можно
образовать из натуральных чисел, согласно теореме Кантора, содержит большее
68

количество элементов, чем их содержит натуральный ряд. А потому это
множество будет уже несчетным.
Кортежи
Кортежем называется линейно упорядоченная последовательность
предметов. При этом в отличие от обычных множеств, в которые каждый элемент
входит в единственном экземпляре, в кортеж один и тот же элемент может
входить несколько раз. Для обозначения кортежа используются угловые
скобки. Запись вида <и\, и2, щ, щ> обозначает кортеж, представляющий собой
упорядоченную четверку, т. е. «-ку предметов, где п = 4, причем объект щ входит
в состав кортежа три раза - на первом, третьем и четвертом местах, а объект и2
один раз - на втором месте. Каждый предмет, входящий в кортеж на
определенном месте, называется компонентой. Различают первую, вторую, третью и
т. д. компоненты кортежа.
Кортежи бывают пустыми и не пустыми {конечными). Пустой кортеж -
это кортеж, не содержащий ни одной компоненты, его длина равна 0. Он
обозначается знаком «< >». Конечные кортежи бывают однокомпонентные -
<и>, двухкомпонентные <иь и2> и т. д. В теории множеств принимается, что
для однокомпонентных кортежей, скажем, кортежа <и>, выполняется
условие: <и> = и. Двухкомпонентные кортежи называются упорядоченными
парами, или просто парами, трехкомпонентные - упорядоченными тройками,
или просто тройками, и т. д.
Будем считать, что два кортежа <щ, и2,..., ип> и <d\, d2,..., dm> равны друг
другу - <и\, и2,..., ип> = <d\, d2,..., dm> (представляют собой один и тот же
кортеж), если и только если выполняются следующие условия:
1. п = т, т. е. оба кортежа имеют одинаковое количество компонент
(одинаковую длину),
2. V i(u, = dj), т. е. какие бы г'-ые компоненты обоих кортежей мы не взяли
(первые, вторые и т. д.), должно быть верно, что эти компоненты обоих
кортежей представляют собой один и тот же элемент - и,- = dj.
Отметим, что все выражения естественных языков представляют собой
конечные линейно упорядоченные последовательности букв алфавита, а
потому к ним применимо все, что говорится о кортежах. В этом случае равенство
указанного только что типа называется графическим равенством и будет
обозначаться знаком «=■=». Например, с точностью до написания букв русского
алфавита имеет место графическое равенство двух кортежей - <книга> = <кни-
га>. Однако неверно, что <книга> = <книги>, так как, несмотря на то, что
первые 4 компоненты в этих кортежах попарно равны друг другу, 5-ые
компоненты различны. Точно также неверно, что <книга> = <книгам>, так как
эти два кортежа имеют разную длину.
3.,2. Декартово произведение
Для функционального анализа языка особо важной операцией над
множествами является декартово произведение множеств.
69

Декартовым произведением двух множеств М! и М2 (обозначается
Mi х М2) называется множество всех возможных пар <х, у> таких,
что х является элементом первого множества, а у является
элементом второго множества, т. е.
М, х М2 =Df W<x, у>(х е Mi & у е М2). i
Приведем соответствующие примеры.
Пусть Mi= {1, 2, 3}, а М2 = {с, а}. Тогда, М,. х М2 = {<1, О, <1, а>,
<2, с>, <2, а>, <3, с>, <3, а>}. В этом множестве 6 элементов, каждый из которых
представляет собой упорядоченную пару, т. е. кортеж длины 2, где первые
компоненты пар - это элементы множества Mi, а вторые - элементы множества М2.
Рассмотрим для этих же множеств декартово произведение вида М2 х Мь т. е.
переставим местами сомножители. В результате получим множество {<с, 1>,
<а, 1>, <с, 2>, <а, 2>, <с, 3>, <а, 3>}, которое тоже содержит 6 элементов, однако
легко заметить, что все элементы первого и второго множеств различны: ни одна
пара из первого множества не является равной ни одной паре второго
множества. Таким образом, порядок перемножения множеств существен.
Аналогично можно ввести и операцию декартова произведения трех,
четырех и вообще п множеств.
Декартовым произведением множеств Мь М 2,..., М п является
множество Mi х М2 х...х М„ всех упорядоченных и-ок <Х\, х2,..., х„> таких,
что *i - элемент первого множества, х2 - элемент второго
множества,..., ха - элемент я-го множества, т. е.
MixM2 x...xMn=DfW<Jcb.x2,..., .*:„>(*, е М, &х2<е М2 &...&*„ е М„).
В частном случае, когда некоторое множество М перемножается п раз само
на себя, декартово произведение обозначается выражением М" и называется п-й
декартовой степенью множества М.
Пусть N будет множеством натуральных чисел. Тогда N2, т. е. N х N есть
множество всевозможных пар натуральных чисел. Элементами этого множества
будут такие пары <1, 1>, <1, 2>, <2, 1>, <2, 2>, <1, 3> <3, 1>, <2, 3>, <3, 2>, <3, 3>
и т. д. Множество N , т. е. N х N х N, есть множество всевозможных троек
натуральных чисел. Элементами этого множества будут такие тройки, как <1, 1, 1>,
<1, 1, 2> <1, 2, 1>, <1, 2, 2 >, <2, 1, 1>, <2, 1, 2> и т. д.
3.3. Теоретико-множественная трактовка свойств и отношений
Выше говорилось, что термины «свойство» и «отношение» при их
экстенсиональном понимании трактуются как некоторые множества. Теперь у нас есть
возможность единообразным способом придать строгий
теоретико-множественный смысл терминам «свойство» и «отношение».
Свойством R, заданным на множестве М, называется любое
подмножество множества М, т. е. R с М.
70

Пример 1. Свойство, выраженное предикатором «русский», заданное на
множестве граждан России, есть подмножество тех и только тех граждан России,
которым присущ признак «быть русским».
Пример 2. Свойство, выраженное предикатором «русский», заданное на
множестве всех людей, есть подмножества в классе всех людей (теперь не
обязательно только граждан России), которым присуще указанное свойство.
Таким образом, термин «русский» репрезентирует в наших примерах два
совершенно различных свойства, так как классы русских людей, заданные на
множестве граждан России, с одной стороны, и множестве всех людей, с другой -
это разные классы. Таким образом, термину «русский» соответствует целый куст
различных свойств. А это и порождает многозначность естественного языка.
п-местным отношением R, заданным на множествах Мь М2,..., М„,
является любое подмножество декартова произведения Mj х М2 х...х
М„, т. е. R с Mj х М2 х...х Мп.
Если некоторый кортеж длины п <xi, лг2,..., •^п> декартова произведения
Mi х М2 х...х М„ является элементом подмножества R, что записывается в форме
<Xi, х2,..., хв> е R, то говорят также, что предметы хи х2,..., х„ находятся в
отношении R. Последний факт символически обозначается выражением вида
Щх1,хг,...,хп). Вообще,
<Х\, х2,..., х„> g R о R(xi, x2,..., х„).
В случае, когда R является подмножеством декартовой степени М", т. е.
R с Мп, говорят, что R задано на множестве М.
Если RcM1, где М1 - первая декартова степень множества М, то, в силу
соответствия <и> = и, множество М совпадает с М1 (М1 = М). В этом случае
говорят, что R является свойством, заданным на множестве М.
Пример 1. Пусть А - множество городов, а В - множество государств.
Образуем декартово произведение А х В. В этом множестве можно выделить такое
подмножество R, которое состоит из тех и только тех пар, для которых верно,
что первая компонента будет городом, который является столицей того
государства, которое будет второй компонентой этой пары. В это множество в качестве
элементов войдут, например, такие пары <Рим, Италия>, <Париж, Франция>,
<Пекин, Китай>. Множество всех таких пар экстенсионально представляет
собой двухместное отношение R - «столица государства» (см. Рис. 6).
Рис.6
71

Пример 2. Пусть N - множество натуральных чисел. Образуем 2-ю декартову
степень этого множества - N2. На нем можно выделить подмножество R таких
пар, что первая компонента будет меньше, чем вторая компонента. Такими
парами будут <1, 2>, <2, 3>, <2, 4>, <5, 10> и т. д. Тем самым множество R
экстенсионально задает отношение «меньше» на множестве N (см. Рис. 7).
Рис.7
Пример 3. Пусть А - множество людей. Тогда на этом множестве можно
выделить подмножество R такое, что его элементами будут Ньютон, Лобачевский,
Эйнштейн, Менделеев и т. д. Множество R задает экстенсионально свойство
«ученый» (см. Рис. 8).
/• <Наполеон> \.
/ • <Пушкин> \
/ А \
/• <Ньютон> ^ч
I / • <Лобачевский>\
\ ( * <Эйнштейн> | /
\\ • <Менделеев> I/
ns^ R у/
Рис.8
Отметим, что, по определению, «-местное отношение R соотносится с
декартовым произведением Mi х М2 х...х М„, (п = 1, 2,...), а потому, если хотя бы
одно из множеств Мь М2,..., Мп заменяется другим множеством, мы, вообще
говоря, имеем дело уже с другим отношением. Так, отношение «меньше» можно
задать не только на натуральных числах, но и на рациональных, действительных
и других разновидностях чисел. Но это уже будут иные отношения. Кроме того,
отношение «меньше» часто задается на материальных объектах. При этом один
предмет может быть меньше другого по площади, по длине, по массе и т. д.
Предикатор «меньше», таким образом, выражает не одно отношение, а целое их
семейство. И потому каждый раз употребление этого термина должно
сопровождаться пояснением, на каких конкретно множествах оно задано. В четкой
форме все нужные пояснения как раз и содержатся в теоретико-множественном
способе задания отношений и свойств.
Вообще, для любых двух и-местных отношений Ri и Rj (п = 1, 2,...)
справедливо следующее условие их равенства: .
Ri = R2 о \/xiVx2...Ухп(<хих2,...,х„> eR,s <хих2,...,ха> е R2).
72

3.4. Свойства двухместных отношений
Пусть R будет двухместным отношением, заданным на множестве А, пусть
далее индивидные переменные х, у и z пробегают по этому множеству. Будем
тогда говорить, что:
R рефлексивно С5> VxR(x, х),
R антирефлексивно <=> \/x-iR(x, х),
R нерефлексивно <=> -NxR(x, х),
R симметрично <=> VxVy(R(x, у) z> R(y, х)),
R несимметрично <^> -i\/xVy(R(x, у) z> R(y, х)),
R асимметрично о VjtVy (R(x,y) n -J?(y, x)),
R антисимметрично о Vx\/y(R(x, y) & R(y, x) z^x=y),
R транзитивно <=> VxVj\/z(R(x, y) & R(y, z) з R(x, z)).
Например, отношение «отец», заданное на множестве людей, является
антирефлексивным, так как для любого человека неверно, что он является отцом са-
vioro себя, и асимметричным, так как каких бы двух людей и\ и иг мы не взяли,
если щ является отцом и2, то и2 не является отцом щ; отношение «меньше»,
заданное на множестве натуральных чисел, будет антирефлексивным,
асимметричным и транзитивным; отношение «меньше или равно», заданное на тех же
числах, будет рефлексивным, антисимметричным и транзитивным; отношение
«имеет тот же рост, что и», заданное на множестве людей, будет рефлексивным,
симметричным и транзитивным.
Будем говорить, что R - отношение типа равенства, если и только
если R обладает свойствами рефлексивности, симметричности и
транзитивности.
Примерами такого рода отношений являются: отношение «занимать
одинаковую позицию по вопросу об отношении мышления к бытию», заданное на
множестве философов; отношение «конгруэнтности», заданное на множестве
геометрических фигур; отношение «равенства по величине занимаемой
территории», заданное на множестве населенных пунктов, и т. д.
R является отношением порядка, если и только если R
антирефлексивно, асимметрично и транзитивно, т. е.
Vx—fi(x, х),
VxVy(R(x,y)z>^R(y,x)),
VxVyVz(R(x, у) & R(y, z) з R(x, z)).
Таковыми являются отношение «меньше», заданное на множестве
натуральных чисел, а также отношение «предок», заданное на множестве людей.
Про множество, на котором задано отношение порядка, говорят, что это
множество упорядочено. Рассмотрим, например, множество натуральных чисел
М = {1, 2, 3, 4, 5}. Введем на этом множестве отношение естественного
порядка (обозначим его знаком «<»): будем считать, что х < у, если и только если х
I 73

предшествует у в натуральном ряду чисел. Тогда данное множество можно
представить следующим графом:
Введем на этом же множестве другое отношение порядка: будем считать,
что х < у, если и только если у делится на х без остатка. В этом случае данное
множество представляется другим графом:
• ►•
2 4
•
3
•
5
Введем еще ряд понятий, которые связаны с понятием упорядоченного
множества и потребуются для изложения материала учебника. Итак, пусть дано
некоторое упорядоченное отношением «меньше» (<) множество М. Тогда:
Элемент х множества М называют наименьшим в М, если для
любого у е М, не совпадающего с х, верно, что х <у.
В наших двух примерах упорядочения множества М элемент 1 является
наименьшим.
Порядок на множестве М, заданном отношением R, называется
линейным, если любые два несовпадающие элемента М сравнимы, т. е.
для них верно: <х, у> е R или <у, х> е R. Про множество в этом
случае говорят, что оно линейно упорядочено, или является цепью.
Так, в первом случае множество {1, 2, 3, 4, 5} оказалось линейно
упорядоченным. Все несовпадающие элементы являются сравнимыми друг с другом. Во
втором же случае данное множество не является линейно упорядоченным. Такие
пары элементов, как, скажем, <2, 3>, <2, 5>, <4, 3> не являются сравнимыми.
Тем не менее в нем имеются линейно упорядоченные подмножества (цепи). К
ним относятся следующие три цепи - <1, 2, 4>, <1, 3> и <1, 5>.
Упорядоченное множество М называется деревом, если: 1) из того,
что у < х и z < х следует, что у и z сравнимы, 2) в множестве М
существует наименьший элемент, называемый корнем дерева.
Оба примера упорядочения множества М являются примерами деревьев, в
которых элемент 1 является их корнем.
3.5. Функции
Для логики очень большое значение имеет общеметодологическое понятие
функции, которое позволяет уточнить смысл ряда семантических категорий.
74

Приведем два определения этого важного понятия. Одно из них - строгое
определение, на основе уже введенных выше понятий, а другое более свободное, но
общепринятое определение. Итак:
п + 1-местное отношение Ф, заданное на декартовом произведении
М, х М2 х...х М„ х М, называется функциональным отношением, если
и только если для каждой упорядоченной и-ки объектов
<Х\, х2,..., хп> е Mi х М2 х...х М„ существует ровно один предмет
у s М такой, что <хь х2,..., х„,у> е Ф.
В этом случае синонимично говорят также, что п + 1 -местное отношение Ф,
задает «-местное отображение f множества Mj х М2 х...х Мп в множество М,
или что f есть функция, заданная на множестве Mi х М2 х...х М„ и принимающая
значение в множестве М.
Исходя из этой терминологии, функцию можно определить (и часто
действительно определяют) еще одним образом:
п-местная функция f есть отображение, которое каждому элементу
множества Mi х М2 х...х М„ ставит в соответствие р о в н о один
элемент множества М.
При этом декартово произведение М] х М2 х...х Мп называется областью
эпределения «-местной функции f, а множество М областью ее значений.
Каждое М[ является областью возможных значений переменной хх. Элементы
Х\, х2,..., ха называются аргументами функции f; а у - значением функции при
данном наборе аргументов и обозначается выражением вида f(jci, х2,..., хп) =у.
Связь между п + 1-местным функциональным отношение Ф и «-местной
функцией f (обратите внимание, что отношение является п + 1 -местным, а
функция только «-местной) определяется следующим условием:
Ф(хь х2,..., дг„, у) <=> f(*b х2,..., хп) =у.
В обоих определениях понятия функции чрезвычайно существенными
являются слова «каждый» и «ровно один». Они указывают на то, что под
функцией понимается всюду определенное и однозначное отображение. Это наиболее
важный вид функции, хотя надо иметь в виду, что бывают функции только
частично определенные и многозначные.
Информацию о наличии отображения элементов множества Mj х М2 х...х М„
в множество М принято записывать в виде:
Ш1хМ2х...хМ„-^ М.
В случае отображения множества М" в множество М, т. е. когда возможные
области изменения каждого из аргументов совпадают между собой, а также
совпадают с областью значений, эта информация записывается в форме: f: Мп—> М,
я говорят, что функция f есть операция, заданная на множестве М.
Элементы области определения функции в зависимости от ее местности
могут быть либо отдельно взятыми объектами или же упорядоченными пара-
75

ми, тройками предметов и т. д., т. е. кортежами разной длины. В этом случае
местность функции определяется длиной кортежей, которые входят в область
определения соответствующей функции: так, одноместная функция - это
функция, область определения которой состоит из отдельно взятых объектов
(или же кортежей длины 1); двухместная функция - это функция, область
определения которой состоит из упорядоченных пар объектов (кортежей длины
2); трехместная функция - это функция, область определения которой
состоит из упорядоченных троек объектов (кортежей длины 3); неопределенно-
местная функция - это функция, область определения которой в разных
случаях состоит из кортежей различной длины. Примером последней функции
является процедура порождения декартова произведения из п множеств, где п -
любое натуральное число.
Функции U и fг равны друг другу (fi = f2) тогда и только тогда, когда:
1) у них совпадают области определения,
2) совпадают области значения,
3) на одинаковых наборах аргументов они принимают одинаковые
значения.
Отсюда понятно, чтобы задать некоторую функцию необходимо:
(а) задать область определения функции,
(б) задать ее область значения,
(в) указать, какие элементы из области определения и области значения
связываются этой функцией.
Пример 1. Одноместное отображение fi(jc) = у, где аргумент х пробегает по
классу государств - Wjc(a: есть государство), у принимает значение в классе
городов - Wv(y есть город), а функция fj сопоставляет каждому государству ее
столицу.
Пример 2. Одноместное отображение f2(x) — у, которое городам сопоставляет
государства, на территории которых эти города находятся, т. е. аргумент х
пробегает по классу городов - Wx(x есть город), а у принимает значения в классе
государств - Wy(y есть государство).
Пример 3. Двухместное отображение i3(jc, у) = z, которое паре натуральных
чисел сопоставляет результат их сложения, т. е. область определения функции
есть множество пар натуральных чисел - W<jc, у>(х есть натуральное число и у
есть натуральное число), а область значения функции есть Wz(z есть
натуральное число).
Пример 4. Двухместное отображение f4(x, у) = г. Здесь область определения
функции есть множество упорядоченных пар <х, у> таких, что л: - это студент, а
у - экзаменационная дисциплина. Область значения функции есть множество =
{отлично, хорошо, удовлетворительно, неудовлетворительно}.
Существует несколько способов задания функций. Для конечных и легко
обозримых множеств - областей определения функции и ее значения - функцию
можно задать графически с помощью следующего схематического изображения
(см. Рис. 9):
76

Рис.9
Здесь множество Mt - область определения функции - содержит 5
элементов, а множество М2 - область значения функции - 4 элемента. Все элементы
помечены точками. Функция f отображает элементы множества Mi в элементы
множества М2, так что: f(aj) = f(a3) = b2, f(a2) = f(a4) = bj и f(a5) = b4, что показано
стрелками, направленными от аргументов функции к значениям этой функции
на данных аргументах.
Другим способом задания функции является табличный способ, который
тоже удобен в случае отображения между конечными множествами с
небольшим количеством элементов. В этом случае слева в таблице выписываются
столбиком в том или ином порядке элементы из множества определения
функции (аргументы), а в правом — значения функции для этих аргументов.
Например, функцию, изображенную на рисунке 9, можно представить таблицей так:
л:
ai
а2
а3
а4
а5
f(x)
Ь2
bi
ь2
b,
b4
Табл. 1
Указанные способы определения функций не применимы в случае, когда
область определения функции содержит очень большое количество элементов,
тем более, если эта область бесконечна. В таком случае применяется так
называемый аналитический способ задания функции, т. е. формулируется некоторое
правило, согласно которому элементам области определения функции
сопоставляются элементы области значения функции. Это правило выражается в языке
конструкцией вида f(xi, хг,..., хп), состоящей из знака функции (функтора) и
переменных, причем с каждой переменной х\, х2,..., jc„ связано свое множество
(область пробега соответствующей переменной), а сами элементы этих множеств
называются возможными значениями аргументов функции. Данная конструкция
называется аналитическим представлением функции.
В вышеперечисленных примерах функция 1\(х) аналитически может быть
задана в естественном языке словосочетанием «столица jc», где х пробегает по
множеству государств; функция f2(jc) может быть аналитически задана
словосочетанием «государство, на территории которого расположен дс», где х
пробегает по множеству городов; функцию f3(jc, у) в математике принято задавать
77

выражением «х + у», где первая переменная дг и вторая переменная у пробегают
по множеству натуральных чисел (данная функция является операцией); и
функция f4(x, у) может аналитически быть задана словосочетанием
естественного языка вида «оценка, полученная х на экзамене по у», где первая
переменная л: пробегает по множеству студентов, а вторая переменная у пробегает по
множеству дисциплин.
При аналитическом задании функций с помощью выражений f(xu х2,..., х„),
важным оказывается различение фиктивного и существенного вхождения
переменных в это выражение.
Переменная х-, (1 < i < п) входит в выражение f(xb х2,..., х„)
фиктивно, если любое изменение ее значений, которые она может принять
в множестве Mi9 не влияет на изменение значения всего
выражения. В противном случае, переменная Х; входит в выражение f(xb
и.г,—, хп) существенно.
Простым примером фиктивного вхождения переменной является выражение
х — х, аналитически задающее некоторую функцию на множестве целых
положительных чисел. По виду аналитического выражения эта функция одноместная,
так как зависит от одной переменной х, однако данная переменная входит в
выражение фиктивно, так как при любом значении х на указанном множестве
значение всей функции будет равно 0. Иначе говоря, данная функция тождественно
равна 0. В силу фиктивности вхождения единственной переменной х ее можно
трактовать как нульместную функцию.
Имеется еще одна очень важная разновидность аналитического способа
задания функций, который широко используется в математике. Здесь тоже
функция задается некоторым правилом, согласно которому элементам области
определения функции сопоставляются элементы области значения функции. В
качестве такого правила применяется особая процедура, называемая рекурсией.
Обсуждение этой процедуры будет дано в других главах учебника.
Функции можно подразделять на виды в зависимости от того, какого типа
объекты являются их возможными аргументами и возможными значениями. В
логике выделяют два исходных типа объектов:
(1) индивиды - отдельно взятые, единичные предметы;
(2) истинностные оценки - истина и ложь.
С учетом этого выделяют следующие простейшие типы функций:
(а) предметно-предметные - функции, возможными аргументами и
значениями которых являются индивиды (предметы);
(б) предметно-истинностные - функции, возможными аргументами которых
являются индивиды, а возможными значениями - истинностные оценки;
(в) истиностно-истинностные - функции, возможными аргументами и
значениями которых являются истинностные оценки.
Две последние разновидности функций называются логическими.
Возвращаясь к семантическим категориям естественного языка, мы можем
теперь дать им четкую функциональную характеристику. Оказывается, что те
78

выражения языка, которые были названы предметными функторами, предикато-
зами и логическими константами, являются с функциональной точки зрения не
чем иным как знаками функций.
Предметные функторы - это знаки предметно-предметных функций
различной местности, а имена - это знаки нульместных предметно-
предметных функций.
Аналитически предметно-предметные функции выражаются в языке
именными формами, т. е. такими выражениями, в результате подстановки в
которые вместо переменных знаков константных аргументов (т. е. имен)
получается новое имя. Например, если в одноместную именную форму
«столица х» вместо переменной х подставить имя «Россия», то получим новое имя
«столица России», обозначающее город Москву. Если в одноместную
именную форму «государство, на территории которого находится л:» вместо
переменной х подставить имя «Рязань», то получится новое имя «государство, на
территории которого находится Рязань», обозначающее Россию. Если в
двухместную именную форму «х + у» вместо переменных х п у подставить
соответственно имена «5» и «3», то получим новое имя «5 + 3»,
обозначающее число 8. Аналогично, если в двухместную именную форму «оценка,
полученная х на экзамене по у» вместо переменных х и у подставить
соответственно имена «Иванов» и «логика», то в результате получим новое имя
«оценка, полученная Ивановым на экзамене по логике», которое будет обозначать
некоторую конкретную оценку.
Предикаторы - знаки предметно-истинностных функций различной
местности, а предложения - нульместных истинностных функций.
Аналитически предметно-истинностные функции выражаются в языке вы-
. казывателъными формами, т. е. такими выражениями, в результате
подстановки в которые вместо переменных знаков константных аргументов (т. е. имен)
получается повествовательное предложение (высказывание). Например, если в
высказывательную форму «х>у» вместо переменных х и у подставить
соответственно имена «5» и «3», то получим предложение «5 > 3», которое обозначает
истину. Если в высказывательную форму (предикат) «х находится между у и г»
вместо переменных х, у и г подставить соответственно имена «Москва», «Тула»
и «Рязань», то получим предложение «Москва находится между Тулой и
Рязанью», которое обозначает ложь.
Пропозициональные связки - это знаки истинностно-истинностных
функций различной местности.
В классической логике к истинностно-истинным функциям относят все
функции вида f: {и, л}" —» {и, л}. Примерами таких функций являются:
отрицание (-нр), конъюнкция (р & q), дизъюнкция (р v q), импликация (р з q) и многие
другие. Функции этого вида называются булевыми функциями в силу того, что
впервые их исследовал английский математик и логик Дж. Буль. Более подроб-
79

ный анализ пропозициональных связок как знаков булевых функций истинности
будет дан в следующей главе.
Отметим, что рассмотрение пропозициональной связки «и» как функции
истинности является чисто экстенсиональным. Иначе говоря, истинность сложного
высказывания не зависит от интенсиональных (смысловых) характеристик
составляющих его высказываний, а полностью определяется только их
истинностными значениями. Однако не всякую пропозициональную связку можно задать
такого рода функцией. В естественном языке имеются такие сложные
высказывания, значения которых не всегда можно установить, зная лишь значения
высказываний в их составе. Например, для того, чтобы установить, что
высказывание «Мери вышла замуж и родила ребенка» истинно, недостаточно установить
истинность высказываний «Мери вышла замуж» и «Мери родила ребенка», из
которых оно образовано. Необходимо, кроме этого, убедиться в том, что
положение дел, описанное в первом из них, предшествовало по времени положению
дел, описанному во втором. Следовательно, пропозициональная связка, которая
соответствует данному употреблению союза «и» (в смысле «а затем»), не
является знаком функции истинности.
К числу истинностно-функциональных не относится также и связка,
выражающая условную связь между суждениями (для этой связки используют
обычно символ «->» и называют ее релевантной или номологической импликацией).
Высказывание вида А —» В истинно, если положение дел, описываемое в А,
обусловливает наличие ситуации, описываемой в В. Высказывание жеАэВ
является ложным только в случае, когда А истинно, а В ложно. Так, при истинности
А («3 > 2») и В («Волга впадает в Каспийское море») высказывание А з В
является истинным. Высказывание же А —> В («Если 3 > 2, то Волга впадает в
Каспийское море»), в отличие от А з В, ложно, так как первый факт не
обусловливает второго факта, хотя в других случаях, когда А и В истинны, А —> В может ]
оказаться и истинным, например если А есть высказывание «Медь - металл», а
В - «Медь проводит электрический ток». В данном случае это же самое выраже- |
ние естественного языка, символизируемое с помощью материальной
импликации как (А з В), тоже будет трактоваться как истинное высказывание, так как
антецедент и консеквент являются истинными предложениями. ]
Еще одним типом логических констант, которые не относятся к числу
истинностно-функциональных знаков, являются так называемые модальные
операторы. Они выражаются в естественном языке такими оборотами речи, как
«необходимо, что» (для этой модальности используют обычно символ «□»),
«возможно, что» («О»), «случайно, что» («V») и т. п. Нетрудно убедиться в том, что
модальности - это не знаки функций истинности. Действительно, высказывания
вида ПА могут оказаться как истинными, так и ложными при истинном А. Если
же А ложно, то нельзя лишь на основании этого факта однозначно определить,
является ли <>А истинным или ложным.
3.6. Теория семантических категорий
Теория семантических категорий имеет дело с решением вопроса о способах
членения языковых выражений на такие составляющие, которые позволяют
последовательно строить из них значимые выражения языка. Она интересуется вопросом о
80

том, что обозначают как сами составляющие, так и те выражения, которые из них
получаются. Ниже теория семантических категорий строится только для языка
исчисления предикатов первого порядка (основные идеи этого языка излагаются в
главе V). Вопросы теории семантических категорий для языков высших порядков (см.
главу VI) не затрагиваются.
В теории выделяются три типа категорий:
(1) категория имен, т. е. знаков индивидов,
(2) категория предложений,
(3) категории функторов, т. е. знаков функций; при этом каждой категории
функторов присваивается свой тип, представляющий собой дробь, в знаменателе которой
указываются типы знаков аргументов функции данного вида, а в числителе - тип знака
значения функции.
Предположим, что мы уже умеем каким-то образом отличать предложения от всего,
что ими не является. Тогда два выражения А и В будем считать принадлежащими к
одной и той же семантической категории, если и только если:
(1) существует такое предложение, в которое входит одно из этих выражений,
(2) для всякого предложения результат замены в нем одного из них на другое
вновь дает предложение.
'< Так, слова «человек» и «молоток» относятся к одной и той же семантической
категории, ибо, во-первых, существует предложение, например «Некоторый человек читает
книгу», где встречается термин «человек», и, во-вторых, в любом предложении замена
слова «человек» на слово «молоток» даст в результате опять-таки предложение, хотя,
может быть, и ложное.
Отношение «принадлежать к одной и той же семантической категории» является
отношением эквивалентности, а потому все множество выражений некоторого языка
разбивается на взаимно непересекающиеся множества - семантические категории.
В основе рассматриваемой теории семантических категорий лежит способ членения
выражений языка на функторы и аргументы. При этом сложные выражения
рассматриваются как результат приложений функторов к аргументам (их сочленения,
конкатенации). Например, выражение «Онегин убил Ленского» членится на два аргумента -
«Онегин» и «Ленский» - и двухместный функтор «убил». Сочленение этого функтора с
терминами «Онегин» и «Ленский» как раз и даст рассматриваемое предложение.
Выделяются два типа выражений, которые могут быть аргументами. Это - имена и
предложения. Совокупность имен и совокупность предложений образуют две наиболее
фундаментальные семантические категории. В их состав входят не только постоянные
выражения языка, но и переменные, значениями которых являются, соответственно,
индивиды и предложения.
Другой важный тип категорий - функторы - подразделяется на различные
семантические категории, в которые будут входить функторы одного и того же вида. Вопрос о
том, к какой семантической категории относится некоторый конкретный функтор,
зависит от числа его аргументов, категорий этих аргументов, а также от категории того
выражения, которое получится в результате его приложения к аргументам.
Для прояснения сказанного обозначим категорию имен индексом - и, а категорию
предложений индексом - s. Тогда категорию функторов можно обозначить дробью: в
числителе дроби будем ставить индекс категории всего выражения, образованного
приложением функтора к аргументам, а в знаменателе индексы категорий аргументов.
81

Например, выражение «5 + 7» - это имя и, следовательно, оно относится к категории
п, аргументами же являются опять-таки имена - знаки «5» и «7». Отсюда, применяя
только что описанную процедуру изображения категории функтора, получаем, что
функтор «+» имеет категорию nlnn. Рассмотрим выражение «7 < 3». Так как это
предложение, то его категория s. Категория же «7» и «3» - это категория имен п. Отсюда
высчитываем, что категория функтора «<» есть s/nn. Рассмотрим еще одно выражение
- «Неверно, что р». Категория этого выражения s, так как данное выражение
представляет собой высказывательную форму. Аргументом здесь является пропозициональная
переменная, относящаяся тоже к категории s. Отсюда получаем, что категория
выражения «Неверно, что...» есть sis.
Вообще, все примитивные выражения, которые являются предикаторами, в
зависимости от своей местности относятся к функторам одной из следующих семантических
категорий sin, s/nn, s/nnn и т. д. Так sin - это имя той семантической категории, в
которую попадут все одноместные предикаторы. С другой стороны, все примитивные
выражения, которые были отнесены к предметным функторам, попадут в одну из следующих
семантических категорий - п/п, nlnn, nlnnn и т. д. В частности, в категорию п/пп попадут
все знаки двухместных предметных функторов, порождающих из некоторой пары
предметов (на это указывают индексы в знаменателе) некоторый новый предмет (об этом
говорит индекс в числителе). Теперь ясно, что логическая связка «—i» должна иметь индекс
sis, а логические связки «&», «v», «v», <о» и «s» попадут в семантическую категорию с
индексом s/ss.
Все функторы, имеющие в числителе индекс п, называются имяобразующими, все
функторы, имеющие и числителе индекс 5, называются высказываниеобразующими.
Однако этими двумя подвидами множество функторов не исчерпывается. Существуют
еще и такие функторы, которые вновь порождают функторы. Их можно назвать функ-
торобразующими. Таковым является, например, выражение «сильно» в словосочетании
«сильно греет», категория которого — slnllsln. Здесь в числителе и знаменателе стоит
индекс категории sin. Это говорит о том, что данный функтор, будучи применен к
функтору sin, породил функтор вида sin. Вообще, возможны самые различные комбинации
индексов. Например, знак «», будучи применен к предложениям, порождает их кавычковые
имена, а потом его семантическая категория будет nls. Семантическая категория
кванторов имеет вид si I sin. Семантическая категория операторов «i» и «е» имеет вид nil sin. Это
означает, что, будучи применены к одноместным высказывательным формам категории
sin, они порождают, соответственно, предложения или имена.
С помощью предложенной системы индексации примитивных знаков можно
осуществлять процедуру определения семантической категории сложных выражений. Для
этого будем поступать следующим образом:
1. Пишется функтор.
2. Вслед за функтором выписываются его аргументы, и заключаем функтор и его
аргументы в скобки, показывая этим их сочленение.
3. Каждому символу, входящему в выражение, приписываем соответствующие
индексы семантических категорий.
4. Будем членить выражения вида КаА, где К - любой оператор, а а - переменная,
следующим образом (К(аА)). Если А - выражение категории г и а - переменная
категории j, то (аА) есть выражение категории //)'.
5. Учитывая порядок скобок, производим последовательно сокращение индексов по
обычным правилам сокращения дробей.
82

Выражение будем считать правильно построенным, если оно будет после всех со-
жращений иметь индекс i/ju...,jm при т > О, что и будет указывать, к какой категории
принадлежит выражение в целом. Тот знак, который после выполнения пунктов 1 и 2
окажется стоящим вначале всего выражения, называется главным знаком выражения.
Рассмотрим следующий пример.
Пусть дана конструкция Vjc(R(x, у, z) э 3zQ(z, у)) & Р(*)- Осуществляя пункты 1 и 2,
получим (&(V(x(r)(Rx:, у, z)(B(z(Qz, у))))))(Рх)). Выражение начинается знаком & и
потому этот знак считается главным. Вслед за этим перейдем к выполнению других
пунктов процедуры, т. е. припишем всем примитивным знакам их семантические
категории и начнем последовательно сокращать дроби, выписывая полученный результат
от сокращений в новую строчку. Те же индексы, над которыми работа не
производилась, будем сносить в эту же строчку без изменения. Будем также подчеркивать те
индексы, которые сокращаются. Итак:
(& (V (*(=> (R х, у, г)( Э (Z(Q г, /))))))( Р х))
s/ss • {si I sin ■ (n(slss ■ (s/nnn ■ n ■ n ■ nMsllsIn ■ (n (slnn ■ n ■ n)))))) (sin • n)
{sllsln • (n (s/ss ■ s (si/sin ■ (h(s))))Y) • s
(sllsln • (n (s/ss ■ s (sllsln ■ slnyi)*)~) ■ s
(sllsln ■ (n (s/ss ■ s ■ s))) ■ s
(sllsln ■ Ms))) s
(sllsln ■ sin)- s
s/ss
s/ss
s/ss
s/ss
s/ss
s/ss
s
Полученный результат говорит о том, что рассматриваемое выражение относится
к категории предложений.
На основе теории семантических категории можно осуществлять разнообразную
классификацию формализованных языков. Например, если ограничиться только
выражениями категории s, s/s, s/ss, s/sss и т. д., то полученный так фрагмент языка
называется языком логики высказываний, к рассмотрению которой мы и переходим.
Упражнения
1. В каком отношении находятся следующие классы предметов:
а) класс людей - класс студентов,
б) класс поэтов - класс поэтов и людей,
в) класс поэтов - класс поэтов или людей,
г) класс писателей - класс русских писателей,
д) класс равноугольных треугольников - класс равносторонних тре-
\гольников.
2. Установите, какие свойства из перечисленных в пункте 4.4 данной главы
присущи следующим двухместным отношениям:
а) быстрее, б) отец,
в) любит, г) сестра,
д) расположен там же, где и, е) лететь на.
3. Укажите результат декартова произведения следующих множеств:
а){1,2,3,4}х{л,н}2, б) {с}5,
в) {и, л}2х{л, и}2, г) {и, л}3,
83

д){а,б}2х{1,2}2, е){а,б}2х{1},
ж){1,4}х{с,д}3, з){с}°.
4. Указать, знаком какой функции является термин «брат» в следующг
выражениях:
а) Иван отец Петра,
б) Отец Петра - инженер,
в) Иван является отцом Петра.
5. Задайте область определения, область значения и укажите местность
следующих выражений. Попытайтесь записать их формально:
а) необходимо и достаточно, б) Sin,
в) если и только если, г) мать,
д) национальность, е) рост.

Глава III
КЛАССИЧЕСКАЯ ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
§ 1. Язык классической логики высказываний
1.1. Алфавит логики высказываний
Наиболее простой логической теорией является классическая логика
высказываний. При выявлении в этой теории логических форм контекстов
естественного языка происходит абстрагирование от содержаний простых высказываний,
от их внутренней структуры, а учитывается лишь то, с помощью каких связок и
в каком порядке простые высказывания сочленяются в сложные.
Данный уровень анализа логических форм предполагает, во-первых,
наличие в формализованном языке нелогических символов только одного типа -
пропозициональных переменных, которыми могут замещаться простые
высказывания естественного языка. Во-вторых, все логические термины этого
формализованного языка также принадлежат к одной категории. Ими будут
истинностно-функциональные пропозициональные связки.
Логика высказываний {пропозициональная логика) - это логическая
теория, язык которой содержит один тип нелогических символов -
пропозициональные переменные, а также один тип логических
символов - пропозициональные связки.
Особенности языка классической логики высказываний определяют
специфику ее законов, а также то, в каких случаях, согласно этой теории, из
множества формул логически следует некоторая формула. Законами классической
пропозициональной логики будут формы таких высказываний, логическая
истинность которых обусловлена логическими свойствами содержащихся в них
пропозициональных связок. Правильными, с точки зрения логики
высказываний, являются лишь такие умозаключения, в которых наличие логического
следования между посылками и заключением обусловлено теми же факторами.
Прежде чем будет осуществлено систематическое построение языка
классической логики высказываний, следует подробнее рассмотреть вопрос о
том, какие логические символы имеются в его алфавите. В частности,
возникает вопрос, должны ли в алфавите языка логики высказываний содержаться
все истинностно-функциональные связки. Оказывается, что необходимость в
этом отсутствует. Дело в том, что одни функции истинности могут быть
выражены с помощью других. Более того, имеются такие конечные наборы
функций, посредством которых выразима любая функция истинности. Такие
наборы называют функционально полными. Одной из функционально полных
систем является множество функций, представленных связками —i, &, z> и v
(см. об этом ниже).
Иногда в алфавит логики высказываний включают логические знаки -
«Т» (константа истинности) и «±» (константа ложности). Символу «Т» в ес-
85

тественном языке соответствует истинное высказывание, а символу «J_» -
ложное. Таким высказываниям в формализованном языке соответствуют
выражения, все переменные которых фиктивны. Указанные символы можно
трактовать и как нулъместные пропозициональные связки, т. е. как
логические символы, образующие высказывания из такого числа других
высказываний, которое равно нулю.
Приступим к систематическому построению языка классической логики
высказываний. Прежде всего зададим его алфавит — совокупность исходных
символов данного формализованного языка. Он будет состоять из нелогических,
логических и технических символов.
Множество нелогических символов составляет бесконечный список
пропозициональных переменных р, q, г, s, pi, qi, 14, sb p2,... Эти символы используются в
качестве параметров простых высказываний при выявлении логических форм
контекстов естественного языка.
Логическими символами данного языка являются
истинностно-истинностные пропозициональные связки. В качестве исходных могут быть приняты
различные наборы связок. Единственное требование, предъявляемое к указанным
наборам, следующее: система функций истинности, представленных этими
связками, должна быть функционально полной, т. е. с помощью функций данной
системы должна быть выразима любая функция истинности. Договоримся
использовать в качестве исходных логических символов связки —i, &, v, rx
Техническими символами являются правая и левая круглые скобки. I
Построение алфавита завершено.
1.2. Формулы логики высказываний
В языке пропозициональной логики имеется только один тип осмысленных,
т. е. правильно построенных выражений - формулы.
Точное понятие формулы задается следующим образом: '
1. Всякая пропозициональная переменная является формулой.
2. Если А - формула, то -А также является формулой.
3. Если А и В - формулы, то выражения (А & В), (A v В), (А гэ В)
также являются формулами.
4. Ничто иное не является формулой.
Формулы, указанные в пункте 1 данного определения, называют
элементарными, а в пунктах 2 и 3 - сложными. Заметим, что если в алфавит языка
введены логические символы Т (константа истинности) или J_ (константа
ложности), то их также включают в класс формул, причем относят к числу
элементарных формул.
Пользуясь определением формулы, можно для любого выражения языка в
конечное число шагов решить вопрос о том, является оно формулой или нет.
Определим, является ли формулой выражение (—ip з (q & г)). Оно имеет
вид (А z> В), где А есть -.р, а В - (q & г). Согласно п.З определения, (A z> В)
86

является формулой, если А и В формулы. Таким образом, наша задача
сводится к решению двух подзадач: являются ли формулами -ip и (q & г). Выражение
—р является формулой в соответствии с п.2, поскольку оно имеет вид -iC, где
С есть р, а р - формула, согласно п.1. Выражение (q & г) также является
формулой (в соответствии с п.З), поскольку оно имеет вид (D & Е), где D есть q, а
Е есть г, которые являются формулами, согласно п.1.
Итак, выражение вида (—ip z> (q & г)) - формула.
Является ли формулой выражение (р —.q)? Переменные р и q - формулы.
Следовательно, данное выражение имеет вид (А -.В), где А и В - формулы. Но
выражение вида (А —В) не предусмотрено пунктами 1-3, поэтому, согласно п.4,
оно не является формулой.
Формула, входящая в состав некоторой формулы, называется ее
подформулой.
Например, подформулами выражения (-.р =э (q & г)) являются р, q, г, -ф,
(q & г), а также само выражение (-.р з (q & г)), ведь, согласно определению
подформулы, всякая формула является собственной подформулой.
В сложной формуле всегда можно выделить связку, которая называется ее
главным знаком. В формулах вида -А главным знаком является первое слева
вхождение символа —,. В формулах видов (А & В), (A v В), (А гз В) главными
знаками являются, соответственно, те вхождения символов &, v, з, которые
стоят между подформулами А и В. Например, в формуле (-.р => (q & г)) главным
является знак з. В формуле ((-ip r> q) & г) - знак &, а в формуле -.(р з (q & г)) -
знак -п.
Для того чтобы записи формул имели более компактный вид, примем
соглашение об опускании скобок: если первым знаком формулы является левая
скобка, а последним - правая, то эту пару скобок договоримся опускать. Тогда
формула (—.р zd (q & г)) запишется как -,р z> (q & г).
Завершив построение формализованного языка, покажем, каким образом в
нем выражается логическая форма высказываний естественного языка. Поясним,
как осуществляется данная процедура, на примере. Выразим в языке
пропозициональной логики форму сложного высказывания
«Если спортсмен стал призером соревнований, но не выиграл их, то он занял
второе либо третье место».
Прежде всего необходимо выделить простые высказывания, входящие в
состав сложного. В нашем примере их четыре:
(1) Спортсмен стал призером соревнований.
(2) Спортсмен выиграл соревнования.
(3) Спортсмен занял второе место.
(4) Спортсмен занял третье место.
Каждому простому высказыванию сопоставляется пропозициональная
переменная, например первому - р, второму - q, третьему - г, четвертому - s.
87

Далее выделяем логические термины, посредством которых простые
высказывания сочленяются в сложные: «но», «не», «либо», «если..., то». Теперь
необходимо выяснить, какой смысл в данном высказывании выражает каждый
логический термин, и сопоставить этому термину связку формализованного языка,
имеющую аналогичный смысл. В нашем случае термину «но» по смыслу
соответствует конъюнкция (&), термину «не» - отрицание (—.), термину «либо» -
дизъюнкция (v). Что же касается союза «если..., то», то наиболее близкой ему
по смыслу является материальная импликация (з).
Наконец, необходимо установить порядок и способ сочленения простых
высказываний в сложное посредством логических терминов. В нашем
высказывании главным является союз «если..., то», значит, его логическая форма должна
быть импликативной формулой. Ее антецедент - конъюнктивная формула,
первым членом которой будет р (этой переменной мы заменяем простое
высказывание (1)), а вторым членом - отрицание q (этой переменной заменяется
высказывание (2)). Итак, антецедент импликации имеет вид (р & -.q). Ее консеквент -
дизъюнктивная формула, членами которой являются переменные г и s (ими
заменяются высказывания (3) и (4)). Итак, консеквент импликации имеет вид (г v
s). В целом, логической формой рассматриваемого высказывания является
формула (р & -iq) z> (г v s).
В контекстах естественного языка простые высказывания могут сочленяться
с помощью таких логических союзов, которым не соответствует никакая
пропозициональная связка из алфавита построенного нами формализованного языка.
Например, высказывание
«Ни днем, ни ночью пограничники не теряют бдительности»
содержит союз «ни, ни», у которого нет смыслового аналога в системе связок
{-1, &, v, z>}. Как же выявляется логическая форма в подобных случаях?
Для этого необходимо переформулировать сложное высказывание таким
образом, чтобы оно выражало то же самое утверждение, но содержало при этом
только такие союзы, которым соответствуют по смыслу какие-либо связки из
алфавита. Например, приведенное выше высказывание можно, не изменяя его
содержания, переформулировать так:
Неверно, что днем пограничники теряют бдительность, и неверно, что ночью
пограничники теряют бдительность.
Логическая форма данного высказывания имеет вид (—.р & -.q), где р
подставлено вместо «Днем пограничники теряют бдительность», a q - вместо
«Ночью пограничники теряют бдительность».
Пропозициональная связка, адекватная по смыслу союзу «ни, ни»
естественного языка, может быть введена в язык классической пропозициональной
логики посредством определения через исходные связки алфавита. Выражение
вида «Ни А, ни В» содержит утверждение об отсутствии обеих ситуаций -
описанной в А и описанной в В. Логическое содержание этого утверждения выразимо с
помощью связок -1 и & следующим образом: (-А & —В). Поэтому в формализо-
88

ванный язык можно ввести аналогичный союзу «ни, ни» символ, например «4»,
приняв следующее определение:
(AlB)SDf(-A&-.B),
где знак «sDf»> означает «равносильно по определению», а саму связку «i»
называют знаком Нико.
Задав язык классической логики высказываний, приступим к построению в
его рамках логической теории - классической логики высказываний. При этом
будем использовать метод, получивший название метода таблиц истинности.
Упражнения
к. 1. Укажите все подформулы следующей формулы:
а) Ьр з ((q & -j) v (-,q & г))) & (((q & -,г) v (-.q & г)»
2. Выразите логическую форму следующих высказываний в языке логики
высказываний:
а) Тело движется равномерно и прямолинейно в том и только в том случае,
когда на него не действуют силы или равнодействующая действующих на тело
сил равна нулю,
б) «Если учиться и не думать - запутаешься, а если думать и не учиться -
впадешь в сомнение» (Луньюй, V в. до н. э.).
в) Если посылки умозаключения истинны, то в случае ложности
заключения, умозаключение не может быть корректным, а в противном случае оно
может оказаться как корректным, так и некорректным.
г) Петр является другом Ивана или не является ни другом Федора, ни
другом Семена, если и только если он не является другом Ивана и является другом
Федора или Семена.
д) При нормальной температуре как вода, так и бензин находятся в жидком
состоянии.
е) Только один из трех подозреваемых - Иванов, Петров или Сидоров - дал
правдивые показания.
ж) Иванов является или студентом или преподавателем, или неверно, что он
является студентом, а также и преподавателем.
§ 2. Таблицы истинности. Виды формул
2.1. Интерпретация пропозициональных переменных
Как и всякая другая логическая теория, логика высказываний решает две
основные задачи: во-первых, выделяет среди класса формул множество своих
законов и, во-вторых, устанавливает логические отношения (прежде всего -
отношение логического следования) между формулами формализованного языка.
Напомним, что законом логической теории является формула,
принимающая значение «истина» при любой допустимой в данной теории интерпретации
89

нелогических символов в ее составе. Поэтому построение логики высказываний
следует начать с вопроса о том, каким образом могут интерпретироваться
пропозициональные переменные.
Процедура интерпретации нелогических символов состоит в приписывании
им значений. Тип значения каждого такого символа должен быть тем же самым,
что и у соответствующих выражений естественного языка, знаками которых эти
символы являются.
Вместо пропозициональных переменных разрешается подставлять простые
высказывания. Поскольку каждое простое высказывание либо истинно, либо
ложно, то и пропозициональным переменным должны приписываться в качестве
значений абстрактные объекты «истина» или «ложь». Итак, существует две
допустимые интерпретации каждой отдельно взятой пропозициональной
переменной: 1) интерпретация, сопоставляющая ей значение «истина», 2)
интерпретация, сопоставляющая ей значение «ложь».
Понятие интерпретации пропозициональных переменных можно
распространить на случай, когда значения приписываются не одной, а некоторому
числу п различных пропозициональных переменных, например рь рг,..., р„-
Допустимой интерпретацией переменных рь р2,.., рп является
произвольный набор их значений, т. е. любая последовательность <аь а2,..., ап>, где
каждое (Xj есть либо «истина» (сокращенно и), либо «ложь» (сокращенно л), причем
cij есть значение переменной рь
Если последовательность рь рг,..., р„ состоит из одной переменной (т. е.
если п = 1), то существует два набора значений истинности: <«> и <л>.
Компоненты этих одночленных последовательностей являются значениями pi при
различных интерпретациях.
Если эта последовательность содержит две переменные (если п = 2), то
наборами значений являются упорядоченные пары (всего их четыре):
<и, и>, <и, л>, <л, и> и <л, л>.
Первая компонента пары указывает на значение рь а вторая - на значение р2
при данной интерпретации.
Если последовательность содержит три переменные, то наборами значений
будут упорядоченные тройки (всего их восемь):
<и, «, и>, <и, и, л>, <и, л, и>, <и, л, л>,
<л, и, и>, <л, и, л>, <л, л, и>, <л, л, л>.
Первая компонента тройки указывает на значение рь вторая - на значение
P2, третья - на значение р3 при данной интерпретации.
Допустимые интерпретации переменных рь рг,..., р„ могут быть
представлены в виде таблицы: в строчках записываются различные наборы значений
этих переменных, а в столбцах - значения переменных при различных
интерпретациях. Наборы значений удобно располагать в лексикографическом
(алфавитном) порядке (как располагают слова в словаре). Составим подобные таблицы
для одной, двух и трех переменных.
90

1
2
3
4
PbP2
и и
и л
л и
л л
1
2
3
4
5
6
7
8
Pi
и
и
и
и
л
л
л
л
Р2
и
и
л
л
и
и
л
л
Рз
и
л
и
л
и
л
и
л
1
2
Pi
и
л
Табл. 1
Число всех возможных наборов значений п переменных равно 2П. Например,
число допустимых интерпретаций четырех переменных равно 16, пяти - 32 и
т. д. Чтобы получить все слова длины п автоматически, поступают следующим
образом. Одной из переменных приписывают 2" раз значение и и л, меняя их
через 1. Следующей переменной приписывают эти же значения, меняя их через 2,
третьей переменной приписывают значения, меняя их через 4, далее через 8, 16,
32 и т. д., пока не будут приписаны значения всем п переменным.
2.2. Табличные определения пропозициональных связок
Следующий этап построения логической теории состоит в придании точных
значений логическим символам алфавита. Напомним, что в нашем
формализованном языке исходными логическими символами являются
пропозициональные связки —1, &, v, z>. Эти связки, как уже говорилось, можно рассматривать как
знаки функций истинности - функций, аргументами и значениями которых
являются «истина» или «ложь»
Придать значение пропозициональной связке (в классической логике
высказываний) - означает сопоставить ей определенную функцию
истинности.
Какие же функции следует сопоставить пропозициональным связкам —i, &,
v, з? Это будут булевы функции, о которых шла речь в предыдущей главе.
Удобнее всего задать эти функции табличным способом, с помощью так
называемых таблиц истинности (см. Табл. 2 и 3). Так как данные операции могут
применяться не только к пропозициональным переменным, но и к произвольным
формулам, мы таблично зададим указанные связки именно для этого случая.
А
и
л
^А
л
и
А В
и и
и л
л и
л л
А&В
и
л
л
л
AvB
и
и
и
л
АэВ
и
л
и
и
Табл. 2 Табл. 3
91

В первом столбце таблицы 2 указаны возможные значения формулы А
(и и л), а во втором - значения, которые примет формула —А в соответствующих
случаях. Данную таблицу можно рассматривать как определение функции
истинности, представленной знаком отрицания. Эта функция объекту и
сопоставляет объект л, а объекту л - объект и. Иначе говоря, знак —> «переворачивает»
истинностные значения.
Из таблицы вытекает, что знак «-.» является унарной связкой, т. е. он
порождает из одной формулы А другую - более сложную формулу -А.
Логическое содержание высказывания, имеющего форму -А, таково: в нем
утверждается отсутствие положения дел, описываемого в А. Сказанное означает,
что если положение дел, описываемое в А, отсутствует (т. е. если А ложно), то
высказывание -А соответствует действительности (т. е. -А истинно). Если же
положение дел, описываемое в А, имеет место (т. е. если А истинно), то
утверждение -А не соответствует действительности (т. е. -А ложно).
Указанный смысл имеет в естественном языке выражение «неверно, что».
Присоединяя его к произвольному ложному высказыванию (например,
«2 > 3»), мы получаем истинное высказывание («Неверно, что 2 > 3»), а из
истинного (например, «3 > 2») это выражение образует ложное высказывание
(«Неверно, что 3 > 2»). Таким образом, знаку «-.» в естественном языке
соответствует «неверно, что».
В первых двух столбцах таблицы 3 указаны все возможные наборы
значений формул А и В, а в остальных - значения, которые принимают формулы
А&В, AvBhAdBb соответствующих случаях. Из таблицы видно, что
знаки &, v и Z) являются бинарными связками, т. е. они из двух формул образуют
новую, более сложную формулу.
Данная таблица определяет функцию истинности, представленную знаком
конъюнкции (&), следующим образом: паре <и, и> эта функция сопоставляет
объект и, а парам <и, л>, <л, и> и <л, л> - объект л, т. е. в конъюнктивном
высказывании вида (А & В) утверждается одновременное наличие двух положений
дел - описываемого в А и описываемого в В. Таким образом, если оба
положения дел имеют место в действительности, то конъюнктивное высказывание вида
(А & В) является истинным. Если же, по крайней мере, одно (а может, и оба)
положение дел отсутствует (т. е. если А или же В ложно), то утверждение (А & В)
не соответствует действительности (т. е. является ложным).
Формулировка конъюнктивных высказываний в естественном языке обычно
осуществляется с помощью союза «и». Например, высказывание «2 - простое
число и 2 - четное число» истинно, так как обе его части истинные
высказывания. Ложными являются следующие высказывания: «3 - простое число и 3 -
четное число» (вторая его часть - ложное высказывание); «4 - простое число и 4 -
четное число» (первая его часть - ложное высказывание); «9 - простое число и 9 -
четное число» (обе его части ложны).
Следует, однако, иметь в виду, что не любое употребление союза «и» в
контекстах естественного языка выражает указанный смысл связки &. Например, в
приводившемся выше примере высказывания «Мэри вышла замуж и родила ре-
92

бенка» союз «и» выражает мысль не об одновременном наличии двух ситуаций,
а о последовательной смене этих ситуаций во времени. Поэтому при выявлении
логической формы подобных высказываний в языке пропозициональной логики
мы не имеем права заменить союз «и» знаком &.
Смысл конъюнкции может в некоторых случаях адекватно выражаться в
естественном языке с помощью других терминов: «а», «но», «как ..., так и», «а
также» и т. п. Приведенное в §3 первой главы высказывание «Если Волга
впадает в Каспийское море, то Днепр - в Черное» является конъюнктивным,
поскольку в нем утверждается одновременное наличие двух ситуаций: впадение Волги в
Каспийское море и впадение Днепра в Черное море. Конъюнктивная связка в
данном случае передается посредством союза «если ..., то».
Таблица 2 показывает, что высказывания формы A v В выражают мысль о
наличии, по крайней мере, одного из двух положений дел - описываемого в А
или описываемого в В. При этом не исключается случай их одновременного
наличия. Если же оба они ложны, то A v В примет значение «ложь».
Этой связке в естественном языке соответствует союз «или». Например,
высказывание «Петр ходит в 10 класс или занимается спортом» истинно,
если выполняется хотя бы одна из двух зафиксированных в нем ситуаций. Если
же на самом деле Петр не ходит в 10 класс и не занимается спортом (т. е.
если обе части - ложные высказывания), то данное дизъюнктивное
высказывание ложно.
В некоторых контекстах естественного языка союз «или» имеет иной
смысл. Так, в высказывании «Храбрец или сидит в седле, иль тихо спит в
сырой земле» выражается мысль о наличии только одной из двух ситуаций, т. е.
утверждается их альтернативность, невозможность одновременного
осуществления этих положений дел. В этих случаях союз «или» не может быть
заменен дизъюнкцией (символом «v»), ему будет соответствовать иная связка,
которая называется строгой (или альтернативной) дизъюнкцией. Строгая
дизъюнкция (будем использовать для нее символ «v») - тоже бинарная
пропозициональная связка.
Особых пояснений требует табличное определение знака материальной
импликации <о», с помощью которого строятся формулы вида (A zd В). В них
утверждается, что в случае, когда имеет место положение дел, описываемое в А,
имеет место также и положение дел, описываемое в В. Из таблицы 2 следует,
что при истинном А и ложном В высказывание формы (A z> В) является
ложным. В остальных же случаях оно истинно, т. е. оно истинно, если: 1) А и В
истинны, или 2) А ложно, а В истинно, или 3) А и В ложны.
Впервые в таком виде импликация была определена в полемике Диодором
Кроносом, древнегреческим философом, принадлежащим к мегарской школе,
Филоном Мегарским.
Какой же смысл вкладывается в такое определение связки «если..., то»?
Поясним это на следующем примере, взятом из математики. В последней признается
истинным следующее предложение:
93

«Для всякого числа х верно, что если х кратно 4, то л: кратно и 2».
Обратим внимание, что данное предложение утверждает справедливость
импликации «если х кратно 4, то х кратно и 2» для любых чисел. А раз это верно
для любого числа, то истинными окажутся импликативные высказывания о
любых отдельных числах, например о 8, 6, 5: «если 8 кратно 4, то 8 кратно 2» (здесь
и антецедент, и консеквент истинны, что оправдывает ] -ю строчку таблицы
истинности для материальной импликации (см. Таб. 3)), «если 6 кратно 4, то 6
кратно 2» (здесь антецедент ложен, а консеквент истинен, что оправдывает 3-ю
строчку таблицы), «если 5 кратно 4, то 5 кратно 2» (здесь и антецедент, и
консеквент ложны, что оправдывает 4-ю строчку таблицы). Однако нельзя привести
пример такого числа, когда была бы выполнена 2-я строчка таблицы, т. е. число
было бы кратно 4 (антецедент истинен), но не было кратно 2 (консеквент
ложен). Если бы такой пример нашелся, то тогда наше исходное утверждение было
бы ложным, как об этом и говорит таблица. Но ложным наше предложение не
может быть, так как представляет собой закон математики.
В естественном языке смысл материальной импликации наиболее адекватно
выражается союзом «если ..., то». Однако союз «если ..., то» во многих случаях
своего употребления несет и дополнительную смысловую нагрузку - выражает
связь между положениями дел, при которой одно из них обусловливает
другое. Так, в предложении «Владельцы акций разоряются, если их курс падает» не
просто констатируется отсутствие такой ситуации, что курс акций падает, а
большинство их владельцев не разоряется, но также указывается на то, что
разорение владельцев акций обусловлено фактом падения курса последних.
В рассмотренной таблице указаны всего лишь четыре булевы функции,
соответствующие исходным пропозициональным связкам. В общем же случае
число булевых функций бесконечно, хотя для каждого п число «-местных
истинностно-истинностных функций (функций от п аргументов) конечно и равно
22 . Например, количество одноместных функций - 4, двухместных - 16,
трехместных-256.
Таким образом, существуют ровно две нульместные булевы функции вида
{и,л}° —> {и, л} и ровно четыре функции вида {и, л}1 —> {и, л}. Зададим все их
табличным способом.
о
Т
и
±
л
р
<*>
<л>
Т
и
и
р
и
л
-,
л
и
_L
л
л
Табл. 4 Табл. 5
В таблице 4 представлены все нульместные булевы функции, т. е.
функции, заданные на пустом кортеже < >. Первая функция представляет собой
нульместную константу «истина», а вторая - константу «ложь», о которых уже
выше упоминалось. Их надо рассматривать просто как другие обозначения для
«истины» и «лжи».
В таблице 5 приведены все одноместные булевы функции. Первая и
последняя функции - это вновь константные функции «истина» и «ложь», но те-
94

перь уже одноместные (переменная р является фиктивной). Вторая функция -
это функция, значение которой совпадает со значением ее аргумента, а потому
она не очень интересна. Действительно, интересной среди одноместных
функций является третья функция, которая задает точный смысл
рассматривавшейся выше классической одноместной логической связки отрицания.
Рассмотрим теперь бинарные функции. Существует ровно 16 различных
двухместных булевых функций вида {и, л}2 —> {и,л).
р q
<и, и>
<и,л>
<л, и>
<л,л>
т
и
и
и
и
1
V
и
и
и
л
2
а
и
и
л
и
3
Р
и
и
л
л
4
ZD
и
Л
и
и
5
q
и
л
и
л
6
=
и
л
л
и
7
&
и
л
л
л
8
1
л
и
и
и
9
у
л
и
и
л
10
->q
л
и
л
и
11
ф
л
и
л
л
12
--Р
л
л
и
и
13
Ф
л
л
и
л
14
1
л
л
л
и
15
-L
л
л
л
л
16
В этом списке первая и последняя функции - это константные функции
«истина» и «ложь» (здесь фиктивны обе переменные - и р, и q). 4 и 6 -
функции, сохраняющие значение соответствующего аргумента. 11 и 13 - функции
отрицания соответствующих аргументов. Все эти функции уже известны как
нульместные и одноместные. Среди оставшихся 2, 5, и 8 - это функции,
которые задают точный смысл рассматривавшихся уже выше исходных
классических двухместных логических связок - соответственно: нестрогой
дизъюнкции (связка «или»), материальной импликации (связка «если..., то») и
конъюнкции (связка «и»), а 7, 10 и 15 - это функции, задающие точный смысл
упоминавшихся выше логических связок - соответственно: материальной эк-
виваленции (связка «если и только если»), строгой дизъюнкции и связки Нико
(связка «ни, ни»).
Материальная эквиваленция - бинарная связка, образующая из формул А и
В формулу (А = В). Высказывания вида (А = В) утверждают, что положения дел,
описанные в А и В, либо одновременно имеют место, либо одновременно
отсутствуют. Высказывания вида (А = В) истинны в случаях, когда А и В
одновременно истинны или же одновременно ложны, т. е. когда их значения совпадают.
Если же значения А и В различны, то (А = В) ложно. Связке «=» в естественном
языке соответствуют по смыслу союзы «если и только если», «тогда и только
тогда, когда», «необходимо и достаточно».
Строгая дизъюнкция - бинарная логическая связка, образующая из
формул А и В формулу (А у В). Высказывание формы (А у В) выражает
утверждение о наличии ровно одной из двух ситуаций - описанной в А или
описанной в В. Данное высказывание принимает значение «истина» в двух
случаях: 1) когда А истинно, а В ложно, 2) когда А ложно, а В истинно (т. е.
когда А и В имеют различные значения). Если же значения А и В совпадают
(т. е. когда они одновременно истинны или одновременно ложны), то (А у В)
принимает значение «ложь».
95

Функция 3 в таблице 6 - это так называемая обратная импликация. Если
обычное импликативное высказывание «р => q» читается «Если р то q», то
выражение с обратной импликацией «р a q» читается «Если q то р». Функции 12 и
14 - это отрицание, соответственно, импликации и обратной импликации.
Первая называется антиимпликацией, а вторая обратной антиимпликацией.
Функция 9 называется функцией Шеффера.
Перечисленные пропозициональные связки имеют одну важную
особенность. Значения сложных выражений, образованных с их
помощью, зависят только от значений тех выражений, из которых
образованы сложные. Иначе говоря, для того чтобы определить,
являются ли сложные высказывания истинными или ложными, необходимо и
достаточно знать, какими - истинными или ложными - являются их части А и В.
Действительно, если высказывание А истинно, то —А оказывается ложным;
если же А ложно, то -А будет истинным. Если известно, например, что А и В
одновременно истинны, то высказывания (А & В), (A v В), (A z> В), (А = В)
примут значение «истина», а (А у В) - значение «ложь».
Таким образом, зная значения А и В, можно однозначно установить
значения выражений, образованных из них с помощью соответствующих логических
связок. Это позволяет рассматривать данные символы как знаки функций
особого типа: возможными аргументами и значениями этих функций являются
объекты «истина» и «ложь». Такие функции как раз и называют функциями
истинности, а пропозициональные связки, которые служат знаками этих функций, -
истинностно-функциональными.
2.3. Алгоритм построения таблиц истинности
Зададим теперь алгоритм решения вопроса, при каких интерпретациях
пропозициональных переменных произвольная формула языка принимает
значение «истина», а при каких значение «ложь», т. е. предложим метод,
позволяющий вычислять значение любой формулы при каждом наборе
значений входящих в нее переменных. Чтобы решить указанную задачу, для
данной формулы А строится таблица истинности. Ее построение
осуществляется следующим образом:
1. Прежде всего выделяются все различные пропозициональные
переменные, входящие в состав А.
2. В столбик выписываются все возможные наборы значений переменных.
3. В составе формулы А выделяются все подформулы (начиная от
элементарных и кончая самой формулой А).
4. Вычисляется значение каждой подформулы при каждом наборе значений
переменных.
При вычислении значений сложных подформул используются табличные
определения связок —i, &, v и з. Причем сначала определяются значения
подформул, содержащих одну пропозициональную связку, затем значения подфор-
96

м\л, содержащих две пропозициональные связки, и т. д. Наконец, вычисляется
значение подформулы с максимальным числом связок, т. е. самой формулы А.
Построим в качестве примера таблицу истинности для формулы (р з —ф)
&. (-ip з р). В составе этой формулы содержится одна пропозициональная
переменная - р. Имеется два набора значений р: <н> и <л>. Подформулами
данной формулы являются р, -ip, (р з -ip), (-ф з р) и, наконец, сама формула
<р з -ф) & (-ф з р). Строим таблицу истинности согласно вышеописанному
алгоритму:
р
и
л
-ф
л
и
(р ^ -ф)
л
и
(--р => р)
н
л
(P 3 -ф) & (^р =3 р)
л
л
В первом слева столбце таблицы указаны все допустимые интерпретации р -
единственной пропозициональной переменной в нашей формуле. Значения —.р
определяются построчно исходя из значений р по определению отрицания.
Значения (р з —ip) устанавливаются по определению импликации исходя из
значений р и -ф в каждой из строчек: в первой строке антецедент р истинен, а
консеквент -ф ложен, поэтому (р з -ф) получает значение л, а во второй -
антецедент ложен, а консеквент истинен, поэтому (р з -ip) принимает значение
и. Значения (—ip з р) устанавливаются исходя из значений антецедента -ф и
консеквента р: в первой строке антецедент ложен, а консеквент истинен,
поэтому (—ip з р) примет значение и; во второй строке антецедент истинен, а
-онсеквент ложен, поэтому (-ф з р) примет значение л. Значение всей
формулы (р з —ip) & (—ip з р) вычисляется исходя из значений (р з —ip) и (-ф з р)
^о определению конъюнкции: в первой строке первый член конъюнкции ло-
кен, а во второй ложен второй ее член, значит, в обеих строках формула
р з —ip) & (-ф з р) примет значение л.
Таблица для формулы А может быть построена более компактно:
выписываются отдельно лишь элементарные подформулы А (для них задаются все
возможные наборы значений), значения же сложных подформул указываются под
их главными знаками в составе формулы А. Значения самой формулы А
указываются под ее главным знаком, и данный столбец таблицы называется
результирующим. Таблица для формулы (р з —,р) & (-ф з р) в более компактном виде
выглядит следующим образом:
| P I (Р => -пР) & ( ^Р 3 р)
и л л л л и
л и и л и л
1 4 2 6 3 5
В столбце (1) указаны возможные интерпретации переменной р, в столбцах
(2) и (3) - значения, которые при этих интерпретациях принимает формула -ip, в
столбце (4) - значения (р з —ip), в столбце (5) - значения (-ф з р). Значение
4 Введение в логику
97

всей формулы (р ~э -.р) & (-.р => р) указано в столбце (6), который и является
результирующим.
Построим теперь таблицу истинности для формулы -i(p & q) zj (-.р v -.q).
которая содержит две пропозициональные переменные.
р
и
и
л
л
q
и
л
и
л
-(р
л
и
и
и
&
и
л
л
л
q)
=>(
и
и
и
и
-•р
л
л
и
и
V
л
и
и
и
-q)
л
и
л
и
12 6 3 8 4 7 5
В столбцах (1) и (2) заданы все возможные наборы значений переменных р
и q. Столбец (3) указывает значения в каждом из этих наборов формулы (р & q)
и построен с использованием (1) и (2) по определению конъюнкции. Столбец (4)
со значениями формулы -ip и столбец (5) со значениями -.q построены,
соответственно, на основе (1) и (2) по определению отрицания. Столбец (6) со
значениями формулы —i(p & q) построен на основе (3) по определению отрицания.
Столбец (7) со значениями формулы (-.р v -iq) построен на основе (4) и (5) по
определению дизъюнкции. Наконец, результирующий столбец (8) построен с
использованием (6) и (7) по определению импликации. Таким образом, формула
-,(р & q) z) (-ф v -iq) принимает значение «истина» при любых наборах
значений переменных р и q.
Завершим данную серию примеров построением таблицы истинности для
формулы -,((р & -.q) v(qD г)), содержащей три пропозициональные
переменные. Число возможных интерпретаций трех переменных равно 23, т. е.
восьми, поэтому в таблице для указанной формулы всего должно быть
восемь строк.
р q г
и и и
и и л
или
и л л
л и и
лил
л л и
л л л
-.((Р&
л
и
л
л
л
и
л
л
л
л
и
и
л
л
л
л
-ч)
л
л
и
и
л
л
и
и
V
и
л
и
и
и
л
и
и
(q
зг))
и
л
и
и
и
л
и
и
Главным знаком рассматриваемой формулы является первое вхождение
символа «—1». Результирующий столбец таблицы расположен под этим знаком.
Формула -.((р & —iq) v (q z> г)) принимает значение «истина» в следующих
случаях: 1) когда р и q истинны, а г - ложно (вторая строка) и 2) когда риг ложны,
a q - истинно (шестая строка). При всех остальных интерпретациях р, q, г
формула примет значение «ложь».
98

2.4. Виды формул логики высказываний
Используя метод построения таблиц истинности, можно эффективно решать
вопрос о том, является ли какая-либо формула языка классической
пропозициональной логики законом этой теории. Применительно к логике высказываний
это понятие теперь может быть задано следующим образом:
Законом классической логики высказываний является формула,
принимающая значение «истина» при любых наборах значений
входящих в нее пропозициональных переменных.
Формулы данного типа называют тождественно-истинными, или
общезначимыми. В результирующем столбце таблицы для тождественно-истинной
(общезначимой) формулы в каждой строке имеем и. Примером такой формулы
является -i(p & q) zd (-ф v —,q), таблица которой построена выше.
Утверждение «Формула А является тождественно-истинной» сокращенно
записывается в метаязыке следующим образом: «1= А».
Помимо множества тождественно-истинных формул полезно также
выделить еще три класса формул языка классической логики высказываний: класс
тождественно-ложных, класс выполнимых и класс опровержимых формул.
Формула называется тождественно-ложной, если и только если она
принимает значение «ложь» при любых наборах значений входящих
в нее пропозициональных переменных.
Примером тождественно-ложной формулы является (р з -.р) & (—.р з р).
Формула называется выполнимой тогда и только тогда, когда она
принимает значение «истина» по крайней мере при одном наборе
значений входящих в нее пропозициональных переменных.
Примером выполнимой формулы является —i((p & -,q) v(qn г)).
Из последнего определения следует, что всякая тождественно-истинная
формула является выполнимой, поскольку существует набор значений, при
котором она принимает значение «истина». Поэтому тождественно-истинная
формула —i(p & q) з (-ip v —.q) относится также и к классу выполнимых.
Формула называется опровержимой, если и только если она
принимает значение «ложь» по крайней мере при одном наборе значений
входящих в нее пропозициональных переменных.
Формула -i((p & -iq) v(qD г)) представляет собой не только выполнимую,
но и опровержимую формулу. Кроме того, к числу опровержимых, как
явствует из приведенного определения, следует относить все тождественно-ложные
формулы, в том числе и (р з -.р) & (-ip з р).
Теперь средствами классической пропозициональной логики можно
определить, является ли произвольное высказывание естественного языка логически
истинным, логически ложным или логически недетерминированным (определения
этих терминов даны в I главе). Для этого необходимо выразить логическую форму
99

1
i
данного высказывания в языке пропозициональной логики и построить таблицу
истинности для полученной формулы. Если во всех строках таблицы формула
примет значение «истина», то исходное высказывание естественного языка
является логически истинным относительно данной теории. Если во всех строках
формула примет значение «ложь», то высказывание логически ложно. Если же в
некоторых строках формула примет значение «истина», а в некоторых - значение
«ложь», т. е. если она одновременно окажется и выполнимой и опровержимой, то
высказывание является логически недетерминированным относительно
классической логики высказываний.
Например, высказывание «Если неверно, что Иванов знает английский и
французский языки, то он не знает английского или не знает французского
языка» имеет форму —.(р & q) z> (-.р v -,q), где р подставлена вместо высказывания
«Иванов знает английский язык», a q - вместо «Иванов знает французский
язык». Ранее было установлено, что эта формула является тождественно-
истинной. Поэтому рассматриваемое высказывание логически истинно.
Логические связки, введенные в таблице 6, не являются независимыми
друг от друга. Напротив, одни логические связки можно определить через
другие. Так, выше (в параграфе 1 данной главы) была определена логическая
связка Нико «ни, ни» посредством следующего выражения:
(А4гВ)=ет(-,А&-|В).
Подобным же образом (т. е. посредством определения через исходные наши
связки {—1, &, v, з}) можно ввести в язык классической логики высказываний
любую связку, являющуюся знаком функции истинности. Например,
определения строгой дизъюнкции (у) и эквиваленции (=) имеют следующий вид:
(А у В) =и (А & ^В) v (-А & В),
(А = В) =3^ (А з В) & (В з А).
Покажем теперь, что приведенные определения эквиваленции (=), строгой
дизъюнкции (у) и знака Нико (X) корректны, т. е. левые и правые формулы в
указанных выражениях на одинаковых наборах переменных принимают одинаковые
значения. Выражение эквиваленции (А = В) является сокращением для формулы
(А з В) & (В з А), выражение (А у В) - сокращением для (А & —В) v (—А & В), а
выражение (А I В) - сокращением для (-А & -В). Построим таблицы для
формул (А з В) & (В з А), (А & -.В) v (-А & В) и (-А & -,В)
А В
и и
и л
л и
л л
(АзВ) &(В зА)
и и и
л л и
и л л
и и и
(А & ^В) v ( -тА & В)
л л л л л
и и и л л
л л и и и
л и л и л
-нА & -В
л л л
л л и
и л л
и и и
и сравним результирующие столбцы этих формул с соответствующим
табличным заданием (см. Табл. 6 булевых функций) эквиваленции, строгой
дизъюнкции и функции Нико. Сравнение показывает, что левые и правые формулы
определений равнозначны в каждой строчке соответствующих таблиц.
100

Приняв в логике указанные определения, мы можем использовать в нем
выражения вида (А Ф В), (А у В), (А = В), но эти выражения должны
рассматриваться как сокращения для формул (-А & —В), (А & —.В) v (-iA & В), (А з В) &
|ВэА) соответственно. Применяя эти определения, мы можем в формулах
устранять связки I, у и =. Выявим, например, логическую форму высказывания.
Треугольник не является прямоугольным, если и только если верно одно из
двух: он либо остроугольный, либо тупоугольный.
Заменим простое высказывание «Треугольник является прямоугольным»
параметром р, «Он остроугольный» - параметром q, «Он тупоугольный» - г.
Термину «не» соответствует по смыслу связка «—.», термину «если и только если» -
связка «=», а термину «либо, либо» - связка «у». Поэтому логическую форму
этого высказывания можно представить так: -,р = (q у г). Покажем, каким
образом можно устранить символы «=» и «у» из выражения. Согласно определению
эквиваленции, данное выражение равносильно (—.р з (q у г)) & ((q у г) з —.р).
Далее заменяем вхождения (q у г), согласно определению строгой дизъюнкции,
на (q & -ir) v (-iq & г). В итоге получаем формулу:
(-,р з ((q & -,r) v (-,q & г))) & (((q & -,r) v (-,q & г)) з -нр),
которая и является логической формой анализируемого высказывания в языке с
исходными связками —i, &, v, з.
Если в алфавит логики высказываний введены нульместные связки Т
(константа истинности) или ± (константа ложности), то при построении таблиц
истинности формуле Т во всех строках приписывается значение «истина», а
формуле _1_ во всех строках приписывается значение «ложь».
Упражнения
1. Используя заданные выше таблицы истинности, установите для
формул (р v —iq) & (—>р v г) и (—>р & q) з (г & —>s) условия их истинности и условия
их ложности.
2. Определите, какими - тождественно-истинными,
тождественно-ложными, выполнимыми или опровержимыми - являются формулы:
а) -,(р з -,р), б) -,(р v q) = (^р & -,q),
в) ((-,р з р) з р), г) (-.р з q) & -,(q v р).
3. Выполните вновь Упражнение 1 к § 3 главы I, но теперь уже с учетом
той информации, которая была дана в данном параграфе.
§ 3. Логические отношения между формулами
3.1. Фундаментальные логические отношения
Наряду с выделением класса логических законов в рамках логических
теорий решается еще одна задача - устанавливаются логические отношения (отно-
101

шения по истинности и ложности) между формулами. При этом учитываются
возможные совместные значения формул при различных интерпретациях
нелогических символов в их составе.
Ниже определяются различные отношения между формулами. Следует
иметь в виду, что данные определения задают логические отношения не только
между формулами логики высказываний, но и между формулами любой
другой логической или даже нелогической теории.
Итак, чтобы установить отношения между формулами в рамках некоторой
логической теории, необходимо определить, какие значения могут или же
какие значения не могут принять эти формулы совместно при допустимых в
данной теории интерпретациях нелогических символов, входящих в состав
указанных формул.
В качестве фундаментальных выделим отношения совместимости по
истинности, совместимости по ложности и логического следования.
Формулы множества Г называются совместимыми по истинности в
некоторой логической теории Т, если и только если в Т существует
интерпретация нелогических символов, входящих в указанные
формулы, при которой каждая формула, входящая в Г, принимает
значение «истина».
В противном случае (т. е. когда не существует интерпретации, при которой
формулы из Г одновременно истинны), указанные формулы несовместимы по
истинности.
Формулы из множества Г называются совместимыми по ложности
в теории Т, если и только если в Т существует интерпретация
нелогических символов, входящих в указанные формулы, при которой
каждая формула из Г принимает значение «ложь».
В противном случае (т. е. когда не существует интерпретации, при которой
формулы из Г одновременно ложны), указанные формулы несовместимы по
ложности. Наибольшую важность представляет отношение логического
следования, о котором уже шла речь ранее (см. главу I). Введем соответствующее
понятие более строгим образом.
Из множества формул Г логически следует формула В в некоторой
логической теории Т, если и только если в Т не существует
интерпретации нелогических символов, входящих в Г и в В, при которой
каждая формула из Г принимает значение «истина», а формула В -
принимает значение «ложь».
В противном случае (т. е. когда существует интерпретация, при которой
формулы из Г одновременно истинны, а В ложна), формула В не следует из Г.
Утверждение «Из множества формул Г логически следует формула В»
записывают сокращенно в метаязыке следующим образом: «Г 1= В», где «1=» - знак
логического следования.
102

Итак, сформулированы определения основных логических отношений
между формулами для произвольной логической теории. Рассмотрим вопрос о том,
как практически можно установить эти отношения в рамках классической
логики высказываний. В этой теории имеется эффективная процедура, позволяющая
выяснять, являются ли формулы некоторого множества Г совместимыми по
истинности, совместимыми по ложности, следует ли из них произвольная формула
В в случаях, когда Г содержит конечное число формул.
Установить отношения между конечным числом формул можно, если
построить предварительно для этих формул совместную таблицу истинности и
далее проверить на ней отношения между формулами.
Алгоритм построения совместной таблицы таков. Прежде всего выделяют
различные пропозициональные переменные, которые входят в состав, по
крайней мере, одной из этих формул. Затем задают все возможные наборы значений
выделенных переменных. После чего описанным ранее способом вычисляют
значения каждой из формул на каждом из заданных наборов.
Построим в качестве примера совместную таблицу для формул р v q,
q d г и р v г. Составим список различных переменных, входящих хотя бы в
одну из этих формул: р, q, г. Зададим все возможные наборы значений трех
переменных (их число равно 8) и вычислим значения на этих наборах формул pvq,
qrsrnpvr. В результате получим следующую таблицу:
р q г
и и и
и и л
или
и л л
л и и
лил
л л и
л л л
pvq
и
и
и
и
и
и
л
л
q z> г
и
л
и
и
и
л
и
и
р V г
и
и
и
и
и
л
и
л
Построив совместную таблицу для формул, приступают к установлению
логических отношений между ними. Из таблицы видно, что формулы
pvq, q => г, pvr совместимы по истинности, поскольку в совместной таблице
имеется строка, например первая, в которой каждая из них принимает значение
и. Указанные формулы несовместимы по ложности, поскольку в таблице
отсутствует строка, в которой они были бы одновременно ложными.
Таблица показывает, что формула pvr логически следует из р v q и
q d г, т. е. р v q, q э г 1= р v г, поскольку в совместной таблице нет строки, в
которой р v q и q z> г принимают значение и, а р v г - значение л. Вместе с тем
формула р v q не следует логически из q z> г и р v г, поскольку в таблице
имеется строка, а именно седьмая, в которой q з г и р v г истинны, а
pvq ложна. Формула q^r также не следует из формул р v q и р v г, о чем
свидетельствует вторая строка совместной таблицы.
103

3.2. Производные отношения
На основе фундаментальных логических отношений - совместимости по
истинности, совместимости по ложности и логического следования некоторой
формулы из других формул - могут быть определены другие типы отношений
по истинности и ложности между формулами. Перечислим наиболее
употребимые из них.
Отношение противоречия (контрадикторности).
Формулы А и В находятся в отношении противоречия, если и только
если они несовместимы по истинности и несовместимы по ложности.
Отношение противоположности {контрарности).
Формулы А и В находятся в отношении противоположности тогда и
только тогда, когда они несовместимы по истинности, но
совместимы по ложности.
Отношение подпротивоположности (субконтрарности).
Формулы А и В находятся в отношении подпротивоположности
тогда и только тогда, когда они совместимы по истинности, но
несовместимы по ложности.
Отношение логической эквивалентности.
Формулы А и В логически эквивалентны, если и только если из А
логически следует В и из В логически следует А.
Отношение логического подчинения.
Формула А логически подчиняется формуле В, если и только если из
В логически следует А, но из А логически не следует В.
Отношение логической независимости.
Формулы А и В логически независимы, если и только если они
совместимы по истинности и по ложности и не следуют друг из друга.
Из последнего определения вытекает, что в совместной таблице для
логически независимых формул А и В имеются все возможные комбинации значений:
есть строка, в которой они одновременно истинны, есть строка, в которой они
одновременно ложны, есть строка, в которой А истинна, а В ложна, и, наконец,
есть строка, в которой В истинна, а А ложна. Таблица истинности из
предыдущего примера свидетельствует о том, что q z> ->г и —,р & г являются логически
независимыми формулами.
Установим логические отношения между произвольными парами
следующих формул: р & q, р v q, р гэ q, р i q.
р q
и и
и л
л и
л л
p&q
и
л
л
л
pvq
и
и
и
л
pz>q
и
л
и
и
plq
л
л
л
и
104

Формулы р v q и р з q логически подчиняются формуле p&q, а р => q -
формуле р -I q. Формулы р & q и р 4- q находятся в отношении
противоположности, формулы pvqnp^q-B отношении подпротивоположности, а
формулы р v q и р 4- q противоречат друг другу.
3.3. Проверка правильности умозаключений табличным методом
Метод таблиц истинности может быть использован для проверки
правильности умозаключений, осуществляемых в естественном языке. Для того чтобы
проверить умозаключение средствами классической логики высказываний,
необходимо выразить в языке этой теории логическую форму его посылок и
заключения. Далее следует построить совместную таблицу истинности для
полученных формул и с ее помощью ответить на вопрос, следует ли логическая
форма заключения из логических форм посылок. Если логическое следование имеет
место, то умозаключение является правильным, в противном же случае оно
неправильно.
В качестве примера проверим следующее умозаключение:
Если данное тело движется равномерно и прямолинейно, то на него не
действуют силы. Данное тело движется равномерно, но не прямолинейно.
Следовательно, на него действуют силы.
Заменив переменной р простое высказывание «Данное тело движется
равномерно», переменной q - «Данное тело движется прямолинейно», переменной г -
«На данное тело действуют силы», получаем логическую форму умозаключения:
(р & q) з -ir
p&^q
Строим совместную таблицу для формул (р & q) з -.г, р & -.q и г.
р q г
и и и
и и л
или
и л л
л и и
лил
л л и
л л л
(p&q)=>^r
л
и
и
и
и
и
и
и
p&-nq
л
л
и
и
л
л
л
л
г
и
л
и
л
и
л
и
л
В четвертой строке первые две формулы истинны, а третья ложна, поэтому из
(р & q) з> —.г и р & —iq не следует логически г. Следовательно, рассматриваемое
умозаключение является неправильным.
Метод таблиц истинности позволяет решать и другие содержательные
задачи, связанные с установлением логических отношений между формами
высказываний естественного языка. Рассмотрим пример.
105

В ходе расследования дела об ограблении банка были получены следующие
показания трех свидетелей.
Показания первого из них таковы:
«Либо Джонс, либо Браун (но не оба вместе) замешаны в преступлении».
Показания второго свидетеля:
«Если Браун замешан в преступлении, то Смит не мог участвовать в нем».
Показания третьего свидетеля:
«Джонс не замешан в преступлении, его совершил Смит».
Спрашивается: могут ли показания всех трех свидетелей быть правдивыми и
могут ли они одновременно оказаться ошибочными?
Прежде всего выявляем логическую форму показаний свидетелей. Показания
первого из них имеют вид pyq, второго - q z> -т, третьего р & г, где р
подставлена вместо высказывания «Джонс замешан в преступлении», q -
вместо «Браун замешан в преступлении», г - вместо высказывания «Смит замешан
в преступлении».
Для ответа на данные вопросы необходимо выяснить, совместимы ли по
истинности и совместимы ли по ложности формулы р у q, q z> -.г и —,р & г. Чтобы
проверить это, необходимо построить для этих формул совместную таблицу истинности:
р q г
и и и
и и л
или
и л л
л и и
лил
л л и
л л л
Pvq
л
л
и
и
и
и
л
л
q z>-.r
л
и
и
и
л
и
и
и
-.р&г
л
л
л
л
и
л
и
л
Данные формулы несовместимы по истинности, поскольку в таблице
отсутствует строка, в которой они одновременно принимали бы значение и. Вместе с
тем в первой строке каждая из этих формул ложна, поэтому они совместимы по
ложности. Следовательно, показания сразу всех трех свидетелей не могут быть
правдивыми, но могут быть ложными.
3.4. Метатеоремы в классической логике высказываний
Относительно классической логики высказываний может быть доказан
целый ряд чрезвычайно важных утверждений метатеоретического характера.
Приступим к их формулировке и доказательству.
Метатеорема о связи следования с импликацией:
Между отношением следования и свойством формул «быть
тождественно-истинными» существует следующая связь:
А 1= В о 1= (А =з В),
т. е. из А логически следует В тогда и только тогда, когда формула (А => В)
является тождественно-истинной. Докажем данное метаутверждение.
106

Доказательство.
Допустим, что имеет место следование А 1= В. Согласно понятию
логического следования, это означает, что в совместной таблице в каждой строчке, в
которой посылка А принимает значение «истина», заключение В не может быть
ложным, т. е. оно должно быть истинным. Но тогда в каждой такой строчке
формула (A з В), согласно определению смысла знака <о», тоже будет
истинной. В тех же строчках, где формула А принимает значение «ложь», выражение
(АэВ) заведомо будет истинным (см. таблицу для <о»). Итак, получаем, что
формула (А з В) является тождественно-истинной.
Покажем теперь справедливость утверждения в обратную сторону.
Допустим, что формула (А з В) является тождественно-истинной, т. е. 1= (А з В), и в
то же время «Неверно, что из А логически следует В». Тогда, по понятию
логического следования, в совместной таблице должна найтись, по крайней мере,
одна такая строчка, в которой посылка А принимает значение «истина», а
заключение В - «ложь». Но в таком случае формула (А з В) на этой строчке тоже
должна была бы принять значение «ложь», и, следовательно, она не была бы
тождественно-истинной, что противоречит принятому допущению. Итак,
получаем, что в случае тождественной истинности формулы (A з В) в обязательном
порядке будет иметь место и логическое следование формулы В из формулы А.
Метатеорема доказана.
Обобщая это свойство на случай п посылок, получим в общем случае:
Аь А2,..., A„NBo^(A,d (А2з...з (А„ з В)...)),
т. е. из посылок Аь А2,..., А„ логически следует формула В, если и только если
формула (Aj з (А2 з...з (А„ з В)...)) является тождественно-истинной.
В логике широко используется умозаключение вида:
Аз В, А
В,
называемое modus ponens, для которого справедливо следующее утверждение:
Метатеорема о modus ponens:
Если 1= А и 1= А з В, то \= В.
Доказательство.
Рассмотрим с этой целью таблицу для импликации:
А
и
и
л
л
В
и
л
и
л
А
зВ
и
л
и
и
2 ил л вычеркнута
3 ли и вычеркнута
4 л л и вычеркнута
Так как формула А по условию является тождественно-истинной, то она ни
в одной строчке не может принять значение л. Поэтому мы вычеркиваем из
таблицы те строчки, в которых допускается ложность формулы А. Таковыми явля-
107

ются 3-я и 4-я строчки. С другой стороны, по условию формула AdB тоже
является тождественно-истинной, т. е. и она не может принять значение л, а
потому из таблицы вычеркивается та строчка, в которой допускается, что формула
A zd В может быть ложной. Таковой является 2-я строчка. Из оставшейся
единственной не зачеркнутой строчки получаем, что если формулы АиАэВ
принимают значение и (а они принимают такие значения всегда), формула В тоже
должна принимать значение и. Иначе говоря, формула В тоже будет всегда
истинной. Метатеорема доказана.
Законы логики высказываний обладают одной важной особенностью,
фиксируемой следующим утверждением:
Метатеорема о подстановке:
Если вместо любой пропозициональной переменной везде, где она
встречается в тождественно-истинной {общезначимой) формуле,
подставить произвольную формулу, то в результате снова получится
тождественно-истинная {общезначимая) формула.
Доказательство.
Пусть имеется тождественно-истинная формула А(рь..., р*,..., р„), где п = 1,
2, 3... Пусть А(рь..., pi/B,..., р„) есть результат подстановки в исходную формулу
А(рь..., Рь-.., рп) вместо переменной ps везде, где она встречается, формулы В.
Допустим теперь, что имеется некоторый j'-ый набор значений переменных,
входящих в формулу A(pi,..., Pi/B,..., рп), на котором данная формула приняла
значение л, т. е. в результате указанной подстановки мы из тождественно-истинной
формулы А(рь..., Pi,—, Рп) получили формулу А(рь..., pi/B,..., р„), которая уже не
является тождественно-истинной. При этом переменные рь..., рм, Pi+i..., рп на
данном у-ом наборе принимают соответственно значения аь... ац, oti+i,... ап.
Рассмотрим теперь на этом жеу'-ом наборе формулу В. Имеются две
возможности: либо (а) формула В на этом наборе принимает значение и, либо (б) она
принимает на этом наборе значение л.
Случай (а). Придадим переменной ps в формуле А(рь..., рь..., р„) значение и,
т. е. то же значение, которое нау'-ом наборе принимала формула В в выражении
A(pi,..., р/В,..., р„). Тогда на наборе аь... аи, и, ai+1,... ап наша формула
А(р,,..., рь..., рп) должна принять значение л. Однако этого не может быть, так
как данная формула, по условию теоремы, является тождественно-истинной,
т. е. она всегда принимает значение «истина».
Случай (б). Придадим теперь переменной pi значение л, т. е. то же значение,
которое на/-ом наборе принимала формула В в выражении А(рь..., pi/B,..., рп).
Тогда исходная формула А(рь..., рь—, р„) на наборе аь... аи, л, а;+ь... ап должна
принять значение л. Однако этого тоже не может быть, так как данная формула,
по условию теоремы, является тождественно-истинной, т. е. она всегда
принимает значение «истина».
Итак, допущение, в силу которого якобы может найтись хотя бы один
набор различных пропозициональных переменных, на котором наша формула
108

A(pi,..., pj/B,..., pn) примет значение л, ведет нас к противоречию. Тем самым
метатеорема доказана.
Выше говорилось, что в логике высказываний посредством функций —., &, v
и D выразимы другие функции истинности - эквиваленция (=), строгая
дизъюнкция (у) и функция Нико (-L). Этот результат можно обобщить на все булевы
функции. Введем для этого понятие функциональной полноты.
Пусть дано некоторое множество каких-либо функций F. Пусть D
будет подмножеством множества F (D с F). Про множество D говорят,
что оно функционально полно, если каждая функция, входящая в F,
определима через функции из D.
Покажем теперь, что посредством всего лишь трех функций - {->, &, v} -
могут быть заданы все остальные булевы функции любой местности п, где п = 1,
2, 3,... Докажем следующую метатеорему.
Метатеорема о функциональной полноте:
Система булевых функций {—i, &, v} является функционально полной
относительно класса всех п-местных булевых функций, где п>\.
Предположим, что нам дана произвольная «-местная булева функция г\,
заданная в виде следующей таблицы:
Pi
аи
a2i
a3i
ак1
Р2
«12
а22
а-32
ак2
Рз
а13
ах
а33
ав
Рп
din
агп
а3п
«fa
Л(РЬР2,РЗ,-
Pi
Р2
Рз
Рк,
•»Рп)
в которой каждое щ и каждое р\ есть или истинностное значение и, или
истинностное значение л, к = 2", 1 < i < к, 1 <j < п. Для каждого /-го набора значений
переменных рь р2, р3,.--, рп построим конъюнкцию вида p*i & р*2 & р*з &...&
р*п, где каждое
р^еслиа// = и
pj,ecnHa,y =л
Будем называть такого рода конъюнкции конституэнтами истины, так как
конъюнкция (см. табличное задание этой функции) принимает значение
«истина» ровно один раз, когда каждый конъюнкт (член конъюнкции) принимает
значение «истина».
Доказательство.
1. Пусть функция г] принимает значение и только на одном наборе
значений своих переменных, скажем на /-ом наборе aib ai2,..., ain, на всех же ос-
"Df
109

тальных наборах пусть функция принимает значение л. Построим тогда по
этому набору конституэнту истины p*i & р*2 & р*з &...& р*п- Полученная
так формула содержит только логические связки - & и —, и будет принимать
значение и на указанном наборе, так как каждый член p*j будет принимать в
этой формуле истинностное значение и. Действительно, согласно
определению конституэнты истины, если ач на данном наборе есть и, то p*j совпадает
с pj, и потому этот член нашей конституэнты p*i & р*2 & р*з &...& р*„ будет
истинным. Если же а1} на данном наборе есть л, то p*j в составе
конституэнты совпадает с формулой -ipj5 и, следовательно, этот член в конституэнте
опять-таки будет истинным. Итак, все члены p*i & р*2 & р*з &...& р*„
являются истинными выражениями. А если все члены конъюнкции истинны, то и
сама конъюнкция является истинной. Но, как говорилось выше, конституэнта
истины является истинной только на одном наборе значений своих
переменных. На всех же остальных наборах она принимает значение л. Таким
образом, и функция г| получает единственный раз значение и на наборе значений
пропозициональных переменных а)Ь а12,..., ат, и конституэнта истинности
p*i & р*2 & рз &...& р*п, построенная по данному набору, получает
единственный раз значение и на этом же самом наборе истинностных значений
пропозициональных переменных. Поэтому данная конституэнта как раз и будет
задавать рассматриваемую нами функцию г\.
2. Пусть функция г| принимает значение «истина» г раз -наг различных
наборов значений своих переменных. Построим теперь по каждому такому набору
ami. (W,..., amn (1 < т <г) значений истинности пропозициональных
переменных соответствующую конституэнту истинности Cj, С2,..., Сг. Образуем
выражение Ci v С2 v...v Сг. Покажем, что формула Q v С2 v...v Сг принимает
значение «истина» в точности на тех наборах значений переменных рь р2, рз,.-, рп,
на которых значение «истина» принимает и функция ц.
Действительно, каждая конституэнта Ст, как было показано в пункте 1,
принимает значение «истина» только один раз, а именно на наборе amb am2,...,
amn, на котором т-ьт раз и функция г) принимает значение «истина», т. е. это
произойдет в том случае, когда переменные рь р2, Рз,-, рп принимают тот
самый набор значений, по которому как раз и строилась данная конституэнта и
на котором функция г) оценивалась как истинная. На всех остальных наборах
значений переменных данная конституэнта будет принимать значение «ложь».
Но тогда на этом же наборе и формула Ci v С2 v...v Сг примет значение
«истина», так как дизъюнкция истинна, если, по крайней мере, один из ее членов
истинен. А так как в формулу Ci v С2 v...v Сг собраны все конституэнты, на
которых функция г) принимала значение «истина», мы имеем, что данная
формула принимает значение «истина» только в тех случаях, когда функция т|
принимает значение «истина». Итак, функция ц выразима в этом случае
посредством функций -1, & и v с помощью формулы Ci v С2 V...V Сг.
3. Допустим теперь, что функция г\ является тождественно равной лжи,
т. е. она принимает значение «ложь» на всех наборах значений своих
переменно

ных. Тогда представляющим ее аналитическим выражением будет формула
(р! & -ipi) v (р2 & —>рг) v...v (р„ & —ip„). Так как каждый член дизъюнкции вида
(Pj & ^Pj) принимает значение л, а дизъюнкция ложна, если все ее члены ложны,
то, следовательно, формула (pj & -,pi) v (р2 & -ip2) v...v (р„ & -ip„) всегда
принимает значение л. Метатеорема доказана.
Итак, мы показали, что любая «-местная булева функция может быть задана
посредством функций &, v и —>. Ясно, что если множество {—., &, v} является
функционально полным, то это тем более верно для множества функций {-., &,
v, о}, которые мы используем в качестве исходных функций.
Упражнения
1. Определить табличным методом, какие из перечисленных высказываний
находятся в отношении противоречия, контрарности, субконтрарности,
подчинения, логической эквивалентности и логической независимости:
Если Иван порядочен, то он честен,
Иван честен или непорядочен,
Иван порядочен и честен,
Иван честен и порядочен или же непорядочен и нечестен.
2. Осуществить табличным методом проверку умозаключений:
а) Если человек удовлетворен работой и счастлив в семейной жизни, то у
него нет причин жаловаться на судьбу. У этого человека есть причины
жаловаться на судьбу. Значит, он либо удовлетворен работой, но не счастлив в
семейной жизни, либо счастлив в семейной жизни, но не удовлетворен работой.
б) Если наблюдается спад производства, то в случае массовых увольнений
должна резко возрасти безработица. Резкого возрастания безработицы не
отмечено. Следовательно, массовых увольнений не происходит и не наблюдается
спад производства.
в) Неверно, что вещество имеет определенную точку плавления и при этом
находится в аморфном состоянии. Неверно также, что вещество обладает
кристаллической структурой и не имеет при этом определенной точки плавления.
Следовательно, если вещество находится в аморфном состоянии, то оно не
обладает кристаллической структурой.
3. Проверьте правильность рассуждений из Упражнений 1 к § 2 главы 1 с
учетом информации, которая дана в этом параграфе.
4. Пусть автоматическое устройство имеет механизмы А, В и С и
работает следующим образом: 1) механизмы А и В не работают одновременно, 2)
механизм С работает, когда работает механизм А, 3) обязательно работает,
по крайней мере, В или С. Ответьте на следующие вопросы:
а) Возможно ли устройство, обладающее всеми тремя свойствами?
б) Возможно ли устройство, не обладающее ни одним из трех свойств?
в) Имеется ли среди перечисленных свойств такое, наличие которого
обусловлено наличием двух других свойств?
111

5. Покажите, что формула pi & —ip2 & —>рз примет значение «истина»
только на наборе, когда pi = и, р2 = л, р3 = л.
6. Покажите, что системы пропозициональных связок - {&, —i}, {v, —i},
{=>, —.}, {-l}, {|} -являются функционально полными.
§4. Основные законы и способы рассуждений логики высказываний
4.1. Схел<ы формул и законы логики высказываний
В предыдущих параграфах был сформулирован эффективный метод,
позволяющий в рамках логики высказываний осуществлять проверку умозаключений
и решать вопрос о логической истинности высказываний. Однако при
практическом использовании логики, т. е. при осуществлении и анализе рассуждений в
естественном языке, каждый раз применять процедуру построения таблиц
истинности было бы делом громоздким. Поэтому имеет смысл выделить наиболее
важные и часто встречающиеся в практике аргументации логические законы и
способы правильных рассуждений. Владея этим минимумом логических
средств, можно с успехом пользоваться им в процессе рассуждения, не опасаясь
совершить логическую ошибку.
Выделим наиболее известные законы логики высказываний. При этом
будем указывать не сами формулы, а их типы или, как говорят, схемы
тождественно-истинных формул. Что же представляют собой эти схемы?
Рассмотрим формулу -.(р & q) z> (—ip v —iq). В § 2 было показано, что она
является законом логики высказываний. Осуществляя одновременную
подстановку вместо переменной р формулы р v q, а вместо переменной q -
формулы -пг, получим новую формулу —i((p v q) & —ir) з (—i(p v q) v —i—ir).
Нетрудно убедиться в том, что она также является законом логики
высказываний. Это прямо вытекает из метатеоремы о подстановке, доказанной в
предыдущем параграфе. Итак, если в тождественно-истинной формуле
—.(р & q) г) (—ip v —iq) осуществить подстановку вместо всех вхождений
переменной р произвольной формулой А, а всех вхождений q произвольной
формулой В, то полученная таким способом новая формула, структура
которой будет иметь вид выражения -.(А & В) з (-Л v -iB), также дожна быть
тождественно-истинной.
Рассмотрим теперь само выражение —i(A & В) г? (-.A v -.В). Оно не
является формулой языка логики высказываний, так как символы А и В не
содержатся в алфавите этого языка. Данные символы мы используем в
метаязыке для обозначения произвольных формул объектного языка - языка
пропозициональной логики. Иначе говоря, А и В выступают в качестве ме-
тапеременных, пробегающих по множеству формул. Поэтому выражение
—i(A & В) z> (—Л v -.В) является метаязыковым выражением,
репрезентирующим класс формул со сходной структурой; элементами данного класса
являются, наряду с исходной формулой -i(p & q) => (-.р v -.q), например,
следующие формулы объектного языка:
112

-.((pvq)& -,r) => (-,(p v q) v-,-,г ) -i(q & q) з (-iq v -. q).
LaJ [Bj LAJ IbJ lAj |A|
Здесь пометки А и В показывают соответствующие подстановки.
Выражения, содержащие метапеременные, пробегающие по
формулам объектного языка и репрезентирующие классы формул этого
языка, называют схемами формул.
Если схема формул репрезентирует такой класс, каждая формула которого
является законом логической теории, то ее называют схемой законов данной
теории. Метаязыковое выражение -i(A & В) zd (-.A v -iB) как раз и является
одной из схем законов классической логики высказываний.
Для схем формул, приписывая метапеременным истинностные значения,
тоже можно строить таблицы истинности и тем самым проверять,
репрезентируют ли данные схемы тождественно-истинные (общезначимые) или
тождественно-ложные формулы. Это определяется тем обстоятельством, что
произвольные формулы, репрезентируемые метапеременными А, В, С и т. д., как и
собственно пропозициональные переменные, могут принимать только два
значения истинности - «истина» и «ложь».
Приведем список наиболее важных общезначимых схем формул.
1. Закон тождества:
Аз А.
2. Закон противоречия:
-.(А & -А).
3. Закон исключенного третьего:
Av^A.
4. Законы удаления &:
(А&В)эА, (А&В)зВ.
5. Законы введения v:
А з (A v В), В з (A v В).
6. Законы коммутативности & и v:
(А & В) = (В & А),
(AvB)e(Bv А).
7. Законы ассоциативности & и v:
((А & В) & С) = (А & (В & С)),
((A v В) v С) = (A v (В v С)).
8. Законы дистрибутивности & относительно v и наоборот:
(А & (В v С)) = ((А & В) v (А & С)),
(A v (В & С)) = ((A v В) & (A v С)).
113

9. Законы поглощения:
(А & (A v В)) = А,
(A v (А & В)) = А.
10. Законы идемпотентности:
(А & А) = A, (A v А) = А.
11. Закон удаления истинного члена конъюнкции:
А & Т = А, где Т - тождественно-истинная формула.
12. Закон удаления ложного члена дизъюнкции:
A v 1 = А, где J. - тождественно-ложная формула.
13. Закон утверждения консеквента:
А =з (В з А).
14. Закон самодистрибутивности импликации:
(А з (В з С)) з ((А з В) з (А з С)).
15. Законы транзитивности импликации:
(А з В) з ((В з С) з (А з С)),
(А з В) з ((С з А) з (С з В)).
16. Закон перестановочности антецедентов:
(А з (В з С)) з (В з (А з С)).
17. Закон Пирса:
((АзВ)зА)зА.
18. Закон импортации:
(А з (В з С)) з ((А & В) з С).
19. Закон экспортации:
((А & В) з С) з (А з (В з С)).
20. Законы монотонности:
(А з В) з ((А & С) з (В & С)),
(А з В) з ((A v С) з (В v С)).
21. Законы введения &:
А з (В з (А & В)),
(А з В) з ((А з С) з (А з (В & С))).
22. Законы снятия и введения двойного отрицания:
—1—iA з А, Аз —i-iA.
23. Закон отрицания антецедента:
hAd(Ad В).
24. Законы введения —к
(А з В) з ((А з -иВ) з -А),
(А з -А) з -А.
114

25. Закон контрапозщии:
(А з В) з ЬВ з -А).
26. Закон обратной контрапозщии:
(^В => -А) з (А =з В).
27. Законы сложной контрапозщии:
((А & В) =э С) = ((А & -,С) => ^В),
(С zd (A v В)) з НЗ з (A v -,С)).
28. Закон удаления тождественно-ложной формулы L («из
противоречия следует все, что угодно»):
IdA.
29. Закон введения тождественно-истинной формулы Т («логический
закон следует из чего угодно»):
AdT.
30. Законы де Моргана:
-.(А & В) = (-А v ^В),
-.(A v В) = (-А & -В).
31. Закон отрицания импликации:
-i(A г> В) = (А & ^В).
32. Законы взаимовыразимости пропозициональных связок:
(AdB)e(-А v В),
(А => В) s -,(А & -,В),
(А & В) = -,(А з -Л),
(А & В) s -,(-А v -нВ),
(A v В) = ^А =) В,
(A v В) = -,(-,А & -.В),
(A v В) s ((А з В) з В).
33. Закон Дунса Скотта:
(А & -А) з В.
4.2. Основные формы правильных рассуждений в логике высказываний
Укажем формы правильных умозаключений, наиболее употребимых в
практике аргументации. Рассмотрим в этой связи несколько классов умозаключений
и выделим в каждом из этих классов некоторые типы корректных рассуждений.
При формулировке типов правильных умозаключений будем вновь
использовать схемы формул языка логики высказываний.
1. Условно-категорические умозаключения. Это двухпосылочные
умозаключения, которые содержат импликативную посылку, т. е. посылку А з В.
115

Другая же посылка, а также заключение может быть либо антецедентом (А).
либо консеквентом (В) первой посылки, либо отрицанием того или другого
(—А, или —В).
К числу правильных условно-категорических умозаключений относятся,
например, умозаключения следующего типа:
АрВ,А
В.
Данный способ рассуждения получил в средневековой логике название
modus ponens, что означает «утверждающий способ рассуждений».
Действительно, в умозаключении данного типа мы переходим от утверждения антецедента А
импликативнои посылки АэВк утверждению ее консеквента В.
Примером применения modus ponens является следующее умозаключение:
Если отмечается спад производства, то растет число безработных. Спад
производства отмечается. Следовательно, число безработных растет.
Другим типом правильных условных умозаключений является так
называемый modus tollens - «отрицающий способ рассуждения»:
А з В, -пВ
-А.
В умозаключениях данной структуры осуществляется переход от отрицания
консеквента (-iB) импликативнои посылки AdBk отрицанию ее антецедента
(-.А), например:
Если благородная цель оправдывает любые средства, то можно лишить человека
жизни, если он смертельно болен, и вы хотите укоротить его страдания. Но
нельзя лишать человека жизни, даже когда он смертельно болен, и вы хотите
укоротить его страдания. Поэтому неверно, что благородная цель оправдывает
любые средства.
Отметим, что не являются правильными следующие способы условных
рассуждений:
Аз В, В A d В, ^А
А, -пВ.
Действительно, при ложном А и истинном В посылки умозаключений этих
типов оказываются одновременно истинными, а заключения - ложными.
Поэтому, в общем случае, переход от утверждения консеквента к утверждению
антецедента импликации и переход от отрицания антецедента к отрицанию
консеквента логически некорректны.
2. Разделительно-категорические умозаключения. Эти умозаключения
также являются двухпосылочными, причем в них имеется дизъюнктивная посылка
(A v В) или строго дизъюнктивная посылка (А у В). Другая же посылка и за-
116

ключение представляют собой какой-то из дизъюнктивных членов (А или В) или
отрицание какого-то из дизъюнктивных членов (—А или —.В).
Одним из типов правильных разделительных умозаключений являются
следующие способы рассуждения:
A v В, -A A v В, ^В
В, А.
Они получили название modus tollendo ponens, что означает «отрщающе-
утверждающий способ рассуждения». Действительно, в умозаключениях
данной структуры осуществляется переход от отрицания одного из членов
дизъюнктивной посылки к утверждению другого ее члена. Заметим, что
правильными являются также умозаключения, в которых вместо дизъюнктивной имеется
строго дизъюнктивная посылка - посылка вида А у В.
Приведем пример использования modus tollendo ponens в естественных
рассуждениях:
Этот человек заблуждается сам или сознательно вводит в заблуждение других.
Но сам этот человек не заблуждается. Следовательно, он сознательно вводит в
заблуждение других.
Вместе с тем не относятся к числу корректных следующие типы
разделительных умозаключений:
A v В, A A v В, В
-пВ, -А.
Очевидно, что при истинных А и В посылки данных умозаключений
одновременно истинны, а заключения - ложны.
Однако если дизъюнктивную посылку этих умозаключений заменить строго
дизъюнктивной, то получим правильные способы рассуждения:
А у В, А А у В, В
^В, -А.
Умозаключения подобного типа имеют название modus ponendo tollens, что
означает «утверждающе-отрицающий способ рассуждения». В них
осуществляется переход от утверждения одного из членов строго дизъюнктивной
посылки к отрицанию другого ее члена, например:
Шахматист К. примет участие только в одном из двух турниров: он либо
выступит на турнире в Тилбурге, либо выступит на турнире в Линаресе. Известно, что
К. принял приглашение принять участие в турнире в Линаресе. Следовательно,
К. не выступит на турнире в Тилбурге.
3. Условно-разделительные умозаключения. Эти умозаключения содержат
несколько импликативных посылок и одну дизъюнктивную посылку. Выделим
некоторые типы правильных условно-разделительных умозаключений с двумя
импликативными посылками. Такие умозаключения называют дилеммами:
117

A^C,B=)C,AvB
С
A=)C,Bz)D,AvB
CvD
СзА,СэВ,пАупВ
-nC
CDA,DnB,^Av-iB
nCv-D
- простая конструктивная дилемма
- сложная конструктивная дилемма
- простая деструктивная дилемма
- сложная деструктивная дилемма
Приведем примеры на дилеммы.
Пример простой конструктивной дилеммы:
Если Н. упорен в достижении поставленной цели, то он способен овладеть
логикой. Если у него есть склонность к строгому абстрактному мышлению, то он
способен овладеть этой наукой. Известно, что Н. упорен в достижении
поставленной цели или имеет склонность к строгому абстрактному мышлению.
Следовательно, он способен овладеть логикой.
Пример сложной конструктивной дилеммы:
Если президент подпишет законопроект, то он лишится поддержки
профсоюзов. Если же президент наложит на данный законопроект вето, то он потеряет
доверие предпринимателей. Ясно, что президент или подпишет законопроект,
или наложит на него вето. Поэтому он лишится поддержки профсоюзов или же
потеряет доверие предпринимателей.
Пример простой деструктивной дилеммы:
Если ученый А. честолюбив, то он захочет защитить диссертацию. Если А.
честолюбив, то он стремится продвинуться по службе. У А. нет желания защитить
диссертацию или нет желания продвинуться по службе. Следовательно, ученый
А. нечестолюбив.
Пример сложной деструктивной дилеммы:
Если В. верит слухам о близком конце света, то он глуп. Если же В. сам
распускает такие слухи, то он беспринципен. В. не глуп или не лишен
принципов. Поэтому он не верит слухам о близком конце света или не распускает
эти слухи сам.
4.3. Непрямые способы аргументации
Умозаключения являются простейшей разновидностью рассуждений. При
осуществлении более сложных типов рассуждений наряду с умозаключениями
применяются и иные, непрямые способы аргументации. Эти приемы
используются в том случае, когда в ходе некоторого основного рассуждения строятся
другие рассуждения, носящие вспомогательный характер.
Предположим, что целью основного рассуждения является обоснование
некоторого тезиса А из некоторого множества аргументов Г. В ряде случаев
решение данной задачи сводят к решению подзадач - к построению одного или не-
118

скольких вспомогательных рассуждений: к выведению высказывания Bi из
множества высказываний Аь к выведению В2 из А2,..., к выведению Вп из А„.
Если указанные подзадачи решены, то заключают о достижении основной цели
рассуждения - о получении А из Г. При этом переходе как раз и используется
непрямой способ аргументации.
Таким образом:
Непрямой способ аргументации - это прием, позволяющий делать
вывод об осуществлении некоторого основного рассуяедения при
осуществлении одного или нескольких вспомогательных
рассуждений, т. е. это переход следующего типа:
Из Af выведено В,
Из А2 выведено В2
Из Ап выведено В„
Из Г выведено А.
Возникает вопрос, какие из переходов такого рода являются надежными,
правильными с логической точки зрения, а какие - нет, каков критерий
логической корректности непрямых способов аргументации!
Непрямой способ аргументации является корректным, если и только
если он гарантирует сохранение логического следования при
переходе от вспомогательных рассуждений к основному, т. е. обеспечивает
наличие логического следования А из Г в том случае, когда Bi
следует из Аь В2 следует из А2,..., В„ следует из Ап.
Чтобы продемонстрировать логическую корректность непрямого способа
аргументации, нужно допустить, что Ai 1= Вь А2 1= В2,..., А„ 1= В„, и показать, что
при этом Г 1= А.
Выделим несколько видов непрямых способов аргументации, которые
часто используются в практике построения рассуждений, и докажем их
логическую корректность.
1. Рассуждение по правилу дедукции. Данный способ аргументации
применяется в том случае, когда целью основного рассуждения является обоснование
посредством некоторого множества аргументов Г такого тезиса, который
представляет собой импликативное высказывание вида А =з В. В этом случае можно
осуществить следующее вспомогательное рассуждение: принять в качестве
допущения антецедент А данного импликативного высказывания, а затем вывести
из Г и А его консеквент В. При решении указанной подзадачи заключают, что
основной тезис А :э В обоснован посредством Г.
Метод непрямого рассуждения по правилу дедукции имеет, таким образом,
следующую структуру:
119

Из Г и А выведено В
Из Г выведено АэВ.
Приведем пример содержательного рассуждения, в котором используется
данный способ аргументации:
Докажем, что если число оканчивается на 0 и сумма его цифр кратна 3, то это
число кратно 15. Допустим, что данное число оканчивается на 0 и сумма его
цифр кратна 3. Известно, что если число оканчивается на 0, то оно кратно 5.
Поэтому наше число кратно 5, ведь, согласно допущению, оно оканчивается на 0.
Известно также, что если сумма цифр числа кратна 3, то и само это число кратно
3. Поэтому наше число кратно 3, ведь, согласно допущению, сумма его цифр
кратна 3. Итак, наше число кратно 5 и 3. Но если число кратно 5 и 3, то оно
кратно 15. Следовательно, наше число кратно 15. Таким образом, если число
оканчивается на 0 и сумма его цифр кратна 3, то оно кратно 15.
Проанализируем ход данного рассуждения. В нем обосновывается
истинность импликативного тезиса:
Если число оканчивается на 0 и сумма его цифр кратна 3, то это число кратно 15.
В процессе рассуждения использованы следующие аргументы:
(а) Если число оканчивается на 0, то это число кратно 5.
(б) Если сумма цифр числа кратна 3, то само это число кратно 3.
(в) Если число кратно 5 и 3, то оно кратно 15.
В качестве допущения в рассуждении принимается антецедент
обосновываемого тезиса:
(г) Число оканчивается на 0 и сумма его цифр кратна 3. ;
Далее из допущения (г) и аргументов (а)-(в) посредством цепочки
умозаключений выводится консеквент тезиса:
(д) Данное число кратно 15.
Затем, применяя метод рассуждения по правилу дедукции, заключаем, что
наш импликативный тезис обоснован посредством аргументов (а)-(в).
Так как данное рассуждение является частным случаем той связи
отношения логического следования с импликацией, метатеорема о которой была
рассмотрена и доказана ранее (см. § 3 настоящей главы), то тем самым логическая
корректность данного рассуждения полностью обоснована.
2. Рассуждение от противного. Данный метод рассуждения состоит в
следующем: для обоснования некоторого тезиса А из множества аргументов Г
строят вспомогательное рассуждение, принимая в качестве допущения —>А и
стремясь вывести из Г и -А противоречие. При положительном решении
данной подзадачи заключают, что тезис А обоснован посредством аргументов Г.
Таким образом, данный непрямой способ аргументации имеет следующую
структуру:
120

Из Г и —iA выведено _L
Из Г выведено А,
где 1. - тождественно-ложная формула.
В качестве иллюстрации применения метода рассуждения от противного
воспроизведем доказательство теоремы евклидовой геометрии:
Из точки, не лежащей на прямой, можно опустить на эту прямую не более
одного перпендикуляра.
Предположим, что это утверждение неверно, и постараемся прийти к
противоречию. Из нашего допущения вытекает, что из некоторой точки D можно
опустить на некоторую прямую а более чем один перпендикуляр, например два
различных перпендикуляра DE и DF:
D
По определению перпендикуляра, углы DEF и DFE равны 90°. Поскольку
отрезки DE и DF не совпадают, угол EDF больше 0°. Следовательно, сумма
внутренних углов треугольника DEF больше 180°. Но сумма внутренних углов
любого треугольника в точности равна 180°. Таким образом, во вспомогательном
рассуждении при допущении, что теорема неверна, получено противоречие.
Поэтому теорема считается доказанной.
Обоснуем корректность данного способа рассуждения от противного, т. е.
покажем, что если Г, -А 1= ±, то Г 1= А.
(1) Пусть Г, -л AN 1.
Согласно определению логического следования, это означает:
(2) При любой интерпретации, при которой все формулы из Г истинны и -А
истинна, формула J. тоже истинна.
Константа ложности ± обладает следующим свойством:
(3) _1_ ложна при любой интерпретации.
Из (2) и (3) по контрапозиции следует:
(4) Не существует интерпретации, при которой все формулы из Г истинны и
-.А истинна.
В силу условий истинности имеем:
(5) Истинность —А равносильна ложности А.
Заменим в составе (4) выражение «-А истинна» равносильным ему
выражением «А ложна»:
(6) Не существует интерпретации, при которой все формулы из Г истинны, а
А ложна.
121

Снова используем определение логического следования:
(7) Г 1= А.
Доказательство завершено.
3. Рассуждение сведением к абсурду. Этот непрямой способ
аргументации сходен с только что рассмотренным способом. Если требуется с
помощью аргументов Г обосновать высказывание, главной связкой которого
является отрицание, т. е. высказывание вида -.А, то в качестве допущения
принимают А и стремятся в ходе вспомогательного рассуждения вывести
некоторое противоречие. Переход от вспомогательного рассуждения к
основному при этом имеет следующий вид:
Из Г и А выведено ±
Из Г выведено —А.
Корректность данного способа аргументации доказывается аналогично
методу рассуждения от противного. Применим рассматриваемый метод сведения к
абсурду на практике.
Представим себе сложное автоматическое устройство, которое состоит из
механизмов Р, Q, R, S и удовлетворяет следующим условиям:
(а) Если работает механизм Р, то не работает механизм Q.
(б) Всегда работает по крайней мере один из механизмов Q или R.
(в) Если работает механизм S, то не работает механизм R.
Докажем, что в данном автоматическом устройстве механизмы Р и S не
могут работать одновременно.
Примем допущение:
(г) Механизмы Р и S работают одновременно.
Отсюда следует:
(д) Работает механизм Р.
(е) Работает механизм S.
Из (а) и (д) по modus ропет получаем:
(ж) Не работает механизм Q.
Из (б) и (ж) по modus tollendo ponens имеем:
(з) Работает механизм R.
Но из (в) и (е) по modus ponens выводится:
(и) Не работает механизм R.
Наличие (з) и (и) свидетельствует о том, что мы получили
(к) Противоречие.
122

Цель вспомогательного рассуждения достигнута. Поэтому, согласно методу
сведения к абсурду, можно утверждать, что тезис о невозможности
одновременной работы механизмов Р и S обоснован сведениями (а)-(в).
4. Рассуждение разбором случаев. Данный непрямой способ
аргументации может быть применен в том случае, когда целью основного рассуждения
является обоснование некоторого тезиса С посредством дизъюнктивного
аргумента A v В, а также, возможно, и множества других аргументов Г. Задача по
выведению С из Г и A v В может быть сведена к двум подзадачам: 1) к
выведению С из Г и допущения А - первого члена аргумента A v В, 2) к
выведению С из Г и допущения В - второго дизъюнктивного члена этого аргумента.
Рассмотрев каждый из этих случаев и показав, что С может быть обосновано
как при допущении А, так и при допущении В, заключают, что С обосновано
посредством A v В и Г. Таким образом, метод рассуждения разбором случаев
имеет следующую структуру:
Из Г и А выведено С
Из Г и В выведено С
Из Г и A v В выведено С.
Приведем пример использования данного непрямого способа аргументации.
Обоснование антиномичности знаменитого парадокса Лжеца, рассмотренного в
главе II, представляет собой не что иное, как рассуждение разбором случаев.
Рассмотрим высказывание:
«Это высказывание ложно»,
которое содержит информацию о собственной ложности. Обозначим его,
например, символом D. Суть парадокса состоит теперь в том, что из
предположения о наличии у высказывания D какого-либо истинностного значения («истина»
или «ложь») выводится противоречие (_L).
Тезис -L выводится из дизъюнктивного аргумента «D истинно или D ложно»
разбором случаев.
Случай 1. В качестве допущения принимаем первый дизъюнктивный член:
1) D истинно.
Отсюда следует, что утверждение, которое D содержит, соответствует
действительности, но D содержит утверждение о собственной ложности, значит:
2) D ложно.
Поскольку ложность D означает, что оно не истинно, получаем:
3) D не истинно.
Утверждения (1) и (3) свидетельствуют о том, что получено противоречие:
4)±.
Случай 2. Примем в качестве допущения второй дизъюнктивный член:
123

1) D ложно.
Ho D как раз и утверждает, что оно ложно. Следовательно, утверждение,
содержащееся в D, соответствует действительности, и потому оно истинно, т. е. не
ложно. Поэтому:
2) D не ложно.
Мы снова пришли к противоречию:
3)±.
Итак, из первого дизъюнктивного члена «D истинно» получено J. и из
второго дизъюнктивного члена «D ложно» получено ±. Поэтому можно заключить,
что из дизъюнктивного высказывания «D истинно или D ложно» выводится ±
(противоречие).
Обоснуем теперь корректность данного непрямого способа аргументации.
Допустим:
(1)Г,А1=С,
(2) Г, В t=C.
Необходимо показать, что в таком случае Г, A v В 1= С. Будем рассуждать
от противного. Предположим:
(3) Из Г и A v В не следует С.
Это означает:
(4) Существует интерпретация, при которой все формулы из Г истинны,
A v В истинна, а С ложна.
Из (1), истинности формул Г и ложности С вытекает:
(5) А ложна при данной интерпретации.
А из (2), истинности формул Г и ложности С получаем:
(6) В ложна при данной интерпретации.
В силу условий ложности дизъюнктивных формул из (5) и (6) получаем:
(7) A v В ложна при данной интерпретации.
Но, согласно (4):
(8) A v В истинна при данной интерпретации.
Итак, допустив, что из Г и A v В не следует С, мы пришли к противоречию.
Поэтому при наличии (1) и (2) имеем:
(9) Г, A v В t= С.
На этом завершим рассмотрение непрямой аргументации.
124

Глава IV
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
§ 1. Натуральное исчисление высказываний
1.1. Теория дедукции
Логику часто определяют как науку о рассуждениях. Действительно,
исследование рассуждений, их видов и способов осуществления входит в число
основных задач этой науки. Среди рассуждений выделяют два их основных
подвида - дедуктивные (от лат. deductio - выведение) и правдоподобные. Что
представляют собой последние, обсуждается в главе XI. Здесь же будет описана
процедура дедуктивных рассуждений для пропозициональной логики.
К числу дедуктивных относятся те рассуяедения, в которых меязду
высказываниями, принятыми в качестве исходных (посылок), и
заключением существует отношение логического следования.
В общем случае под рассуждением понимают процедуру
последовательного, пошагового перехода от одних высказываний, принятых в качестве исходных,
к другим высказываниям. Исходные высказывания называются посылками
рассуждения, а последнее высказывание, полученное в данном процессе, -
заключением рассуждения. Каждый шаг этого процесса осуществляется на основе
некоторого правила, называемого правилом вывода.
Чтобы ответить теперь на вопрос, как конкретно строятся рассуждения
дедуктивного типа, требуется развить некоторую специальную теорию - теорию
дедуктивного вывода. Но прежде кратко охарактеризуем основные виды
дедуктивно строящихся теорий.
Дедукция является теоретическим способом познания окружающего нас
мира. Поэтому процедуры дедукции используются в том случае, когда для
получения некоторого нового знания недостаточно эмпирических познавательных
приемов (наблюдений, экспериментов, измерений). В этом своем качестве
дедукция широко используется уже в обыденной жизни: ведь мы часто пытаемся
отстоять посредством того или иного рассуждения свою точку зрения, убедить в
ее истинности своего собеседника, опровергнуть точку зрения оппонента и т. д.,
т. е. пытаемся рассуждать. Однако наибольшее значение процедуры дедукции
как теоретического метода исследования имеют в научном познании.
В зависимости от степени проясненности (выявленное™) дедуктивных
связей между отдельными утверждениями (высказываниями) теории различают
несколько их типов. К первому типу относятся содержательные теории. В их
составе дедукция если и используется, то лишь для связи некоторых отдельных
положений теории. При этом исходные утверждения (посылки) в рассуждениях
представляют собой некоторые допущения. Посылки не обязаны быть (и не
всегда бывают) истинными, а потому любое предложение, которое дедуцируется с
125

их использованием, считается не истинным, а условно истинным:
заключительное высказывание (заключение) истинно при условии, что посылки являются
истинными. Примерами содержательных теорий являются школьная арифметика,
теория эволюции Дарвина, различного рода исторические и лингвистические
концепции, а также та логика высказываний, которая была описана в предыду-,
щей главе. *
Другой тип составляют формализованные теории. К их числу относятся
теории, совокупность утверждений которых представляет собой дедуктивно
организованную систему: каждое утверждение теории дедуктивно выводится из
некоторых первоначально принятых исходных утверждений. Последние
называются аксиомами, а сами теории носят название аксиоматизированных теорий.
Примерами их являются: небесная механика Ньютона, теория относительности
Эйнштейна, квантовая механика, геометрия Евклида. В отличие от геометрии
Евклида, формализованной более 2 тысяч лет назад, арифметика вплоть до XX в.
развивалась как содержательная теория и только на рубеже XIX-XX вв. она
была формализована итальянским математиком Пеано.
Так как предполагается, что аксиомы представляют собой истинные
высказывания о некоторой предметной области, все другие положения, дедуцируемые
из них, тоже считаются истинными.
Формализованные теории - это уже хорошо организованные теории. Однако
их недостатком является то обстоятельство, что в них специально не
выделяются средства дедукции, а потому многие дедуктивные шаги осуществляются на
интуитивном уровне, что приводит, во-первых, к пропуску значительного числа
шагов в рассуждениях, а, во-вторых, к недостаточно четкой фиксации всех
аксиом, необходимых для получения других положений. Таковой, например,
оказалась евклидова аксиоматизация геометрии.
С этой точки зрения более совершенны формальные теории - теории, в
которых оформляется (структурируется) не только само знание, но и средства
его получения - логические законы и способы дедуктивных рассуждений. К
таким теориям относятся очень многие математические теории - формальные
теории множеств, формальная арифметика и др. Содержание формальных
теорий часто фиксируется на специально созданном символическом языке, а все
рассуждения в рамках этих теорий строятся как преобразования одних
последовательностей символов в другие последовательности. Такого рода теории
называются исчислениями.
Среди последних особое место занимают логические исчисления. Их
особенность состоит в том, что утверждениями указанных теорий являются логические
законы. Ниже будут построены два логических исчисления - классическое
исчисление высказываний и классическое исчисление предикатов первого порядка.
Задача логических исчислений - выделение и систематизация обычных
процедур рассуждений, используемых в теоретической деятельности людей. Однако
рассуждения, которые строятся в рамках исчислений, не являются
содержательными, так как они не представляют собой дедуцирования одних
высказываний из других высказываний. Напротив, это будут формальные рас-
126

суждения, состоящие в выведении одних формул из других формул. Тем не
менее каждое такое формальное рассуждение можно трактовать как общую
форму, модель различных содержательных рассуждений, имеющих ту же самую
логическую структуру. Такая трактовка формальных рассуждений возможна
благодаря тому, что формулы данных исчислений представляют собой
логические формы высказываний.
В логических исчислениях осуществляется формализация содержательных
логических теорий. Так, строящееся далее классическое исчисление
высказываний формализует ту содержательную логику высказываний, которая была
рассмотрена в предыдущей главе. С этой целью здесь вводятся синтаксические
аналоги содержательных понятий «общезначимой формулы» и «отношения
логического следования» - понятие теоремы и отношение выводимости.
Формулируется совокупность дедуктивных принципов, позволяющих переходить от одних
последовательностей символов к другим. В соответствии с этими принципами
строятся доказательства теорем исчисления (логических законов) и выводы
логических форм заключений из логических форм посылок для установления
корректности умозаключения.
Логическое исчисление S считается адекватной формализацией
содержательной логической теории Т в том случае, если:
(1) класс теорем S совпадает с классом формул, истинных в Т, или
(2) из формул Аь А2,..., А„ в исчислении S выводима формула В
тогда и только тогда, когда Аь А2,..., А„ 1= В в содержательной
теории Т.
Рассмотрение вопроса о логических формальных теориях начнем с построения
так называемого натурального исчисления. Последнее содержит только правила
вывода и не содержит аксиом. Такая формулировка логических теорий позволяет
снабдить каждого ученого, работающего в той или иной области конкретных наук,
совокупностью правил, на основе которых можно осуществлять переход от одних
содержательных утверждений (высказываний) к другим. А это чрезвычайно важно.
Ведь ученого, работающего в конкретной области знания, логика интересует
прежде всего как наука, формулирующая законные правила преобразования одних
высказываний в другие. С этой точки зрения в натуральных логических исчислениях
более естественно (более натурально) излагается логический аппарат,
необходимый для осуществления содержательных рассуждений.
Перейдем теперь к построению системы NP классического натурального
пропозиционального исчисления.
1.2. Правила вывода исчисления NP
Чтобы построить натуральное исчисление высказываний, необходимо
прежде всего задать алфавит языка этого исчисления и определить в нем понятие
правильно построенного, осмысленного выражения (формулы). Мы этого делать
не будем, так как они полностью совпадут с ранее сформулированными алфави-
127

том и понятием формулы, которые были введены в главе III для логики
высказываний. Поэтому перейдем сразу к заданию дедуктивной части теории.
Сформулируем дедуктивные принципы исчисления высказываний - правила
вывода. Предварительно укажем, что все правила подразделяются на несколько
основных типов. Они делятся на правила введения (будем помечать это
индексом «в») и правила исключения (будем помечать это индексом «и») логических
символов (констант). С другой стороны, все правила делятся на однопосылочные
(над чертой пишется одна формула) и двухпосылочные (над чертой пишутся
через запятую две формулы). Итак:
о --,- 0 А&В А&В
&в . n w~ &и
А, В
А&В
А
AvB
В
СэВ
В,^В
в
AvB
А
A v В, -А
В
АэВ,А
В
-г-А
В
г>в ^_ п ', где С - последняя посылка Зи
где С - последняя посылка -,и
Каждое из указанных правил вывода представляет собой формулировку
разрешения нечто осуществить, а именно, если даны формулы того вида,
которые указаны выражениями, стоящими над чертой {посылки правил), то каждое
правило разрешает записать после этого формулу того вида, которая указана
выражением, стоящим под чертой {заключение правила).
Так, правило &в {введение конъюнкции) является двухпосылочным. Оно
позволяет, если даны произвольные две формулы А и В, объединить их в
конъюнкцию - А & В. Пусть А будет формулой (р z> q), а В - (г v ->р), тогда, применяя к
ним правило &в, можно получить формулу (р э q) & (г v —ip).
Правила &и {исключение конъюнкции) являются однопосылочными. Они
позволяют, если дано конъюнктивное выражение вида А&В, выделить из него
как левый конъюнкт, так и правый. При применении сразу обоих правил
конъюнкция «рассыпается» на составляющие ее члены.
Правила vB {введения дизъюнкции) являются тоже однопосылочными.
Первое из них разрешает при наличии некоторой формулы А присоединить к ней
дизъюнктивно справа любую (произвольную) формулу В и получить выражение
вида AvB. Например, пусть А - это формула (р тэ q), тогда, применяя к ней
рассматриваемое правило, можно получить любую формулу (р n q) v В. Что это
будет за конкретная формула, зависит от того, что взято в качестве формулы В.
Правило же позволяет в качестве В брать любую (какую угодно) формулу.
Аналогично второе правило разрешает при наличии некоторой формулы В
присоединить к ней слева произвольную формулу А и получить формулу вида AvB.
Правило vH {исключение дизъюнкции) является двухпосылочным. Действие
по этому правилу состоит в том, что, имея дизъюнктивную формулу вида AvB
и имея формулу вида —А, которая является отрицанием (именно) левого члена
128

дизъюнкции, нам разрешается перейти к формуле В, т. е. выделить правый член
дизъюнкции A v В. Это хорошо известное правило tollendo ponens. Рассмотрим
пример. Пусть A v В есть формула —ip v (q & г) и пусть -А есть формула —.—ip.
Так как формула —.—ip - это отрицание левого члена дизъюнкции, то по правилу
vH можно получить формулу (q & г) - правый член данной дизъюнкции.
Правило зи {исключение импликации) тоже двухпосылочно. Как и
предыдущее, оно позволяет отделить правый член (консеквент) импликации А => В
при условии, что у нас имеется формула А, совпадающая с антецедентом данной
импликации. Это тоже хорошо известное правило modus ponens. Так, если AdB-
это формула (р =) q) => (q & г) и А - это формула (р id q), то по правилу :эи
можно получить формулу (q & г) - консеквент рассматриваемой импликации.
Правило —щ (исключение отрицания) однопосылочно. Оно позволяет
снимать два отрицания с любой формулы.
Особо остановимся на правилах z)B {введение импликации) и —>в {введение
отрицания). Своеобразие этих правил состоит в том, что формула С в
заключениях этих правил - не любое выражение, а последнее допущение (посылка) в
некотором рассуждении. Таким образом, формулировка этих правил соотносит
их с тем рассуждением, которое будет строиться. Что здесь конкретно имеется в
виду, будет подробно рассмотрено ниже при осуществлении соответствующих
выводов и доказательств.
Правило =зв является однопосылочным. Оно позволяет по любой формуле
В, содержащейся в рассуждении, перейти к импликации вида CdB, где С -
последнее допущение, а на место консеквента помещается сама формула В.
Правило -iB - двухпосылочно и позволяет при обнаружении в рассуждении
двух формул, противоречащих друг другу - В и -,В, - перейти к формуле -.С,
которая является отрицанием последнего допущения. Иначе говоря, это правило
разрешает в строящееся рассуждение вводить отрицание последней посылки.
При применении любого из правил необходимо иметь в виду, что
логические константы, указанные в правилах, являются всегда главными знаками
формул. К ним, и только к ним {и ничему иному) могут применяться правила.
1.3. Вывод и доказательство в NP
Посредством заданных правил можно строить формальные рассуждения
двух видов - выводы и доказательства.
Выводом называется непустая конечная линейно упорядоченная
последовательность формул Ci, С2,..., Ск, удовлетворяющая условиям:
(1) каждая Q есть либо посылка, либо получена из предыдущих
формул по одному из правил вывода,
(2) если в выводе применялись правила z)B или -iB, то все формулы,
начиная с последней посылки и вплоть до результата применения
данного правила, исключаются из участия в дальнейших шагах
вывода.
5 Введение в логику
129

Последнее свойство (свойство исключенности некоторых формул из
участия в дальнейшем построении вывода) означает, что эти формулы как бы
«замораживаются» и изолируются в выводе. Для краткости будем их обозначать
термином исключенные формулы, а ту посылку, которая при этом попадет в
число исключенных формул, будем обозначать термином исключенная
посылка. Тот факт, что некоторые формулы в выводе являются исключенными,
будем обозначать вертикальной чертой. Как это конкретно делается, покажем
далее на примерах.
Если дан вывод Сь С2,..., Ск, т. е. дана линейная последовательность
формул, которая удовлетворяет условиям (1) и (2), и если в этой
последовательности неисключенными посылками являются формулы Аь А2,..., А„ и
последняя формула последовательности Ск графически совпадает с формулой В, т. е.
Ск = В, то про данную последовательность говорят, что она является выводом
формулы В из посылок Ai, А2,..., А„. Этот факт обозначается записью вида
Аь А2,..., А„ I- В (читается: «из посылок Аь А2,..., А„ выводимо В»), где «Ь» -
метазнак выводимости.
Если множество формул Г содержит формулы Аь А2,..., А„ и имеется вывод
В из посылок Аь А2,..., А„, то в логике принято считать, что тогда имеется и
вывод формулы В из множества формул Г, что обозначается записью Г I- В.
Доказательство есть вывод из пустого множества посылок.
Последняя формула в доказательстве называется доказуемой формулой,
или теоремой.
Пусть имеется доказательство d, С2,..., Ск, и пусть Ск =■= В. Будем тогда
говорить, что данная последовательность есть доказательство формулы В. Этот
факт обозначается посредством записи \- В (читается: «В - теорема»).
Выводы далее будем строить в виде линейных последовательностей
записанных друг под другом формул. Каждая формула такой последовательности
нумеруется натуральными числами, которые используются в выводе как имена
соответствующих формул. С каждой формулой связывается некоторая
характеристика - ее анализ. Под анализом вывода имеется в виду указание того, на
каком основании та или иная формула появилась в выводе. Напомним, что,
согласно определению вывода, таких оснований может быть только два: либо
формула является посылкой, либо она получена из предыдущих по некоторому
правилу вывода.
Покажем теперь, что представляют собой вывод и доказательство на
некоторых примерах. Допустим, что требуется обосновать метаутверждение о
выводимости формулы г из посылок р d q, q d г и р, т. е. обосновать метаутверждение:
р d q, q d г, р Ь г. Для этого необходимо построить вывод, в котором последняя
формула графически совпадала бы с формулой г, а посылками оказались бы в
точности формулы р d q, q э г и р. Такая последовательность может быть
построена, ею является, например, следующая последовательность:
130

1. р з q - пос.
2. q з г - пос.
3. р -пос.
4. q -зи, 1,3
5. г - зи, 2, 4
Действительно, из анализа этой последовательности видно, что она
удовлетворяет условиям (1) и (2) понятия вывода, а потому является выводом. Последняя
формула графически совпадает с г, а неисключенными посылками являются в
точности формулы р d q, q э г и р. Тем самым построен вывод,
обосновывающий метаутверждение о выводимости: р э q, q э г, р h г.
Обоснуем справедливость метаутверждения \- (р з q) з ((q d г) э (p d r)),
т. е. утверждение о том, что указанная формула является теоремой.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
p3q
qDr
Р
q
г
(рзг)
(q з г) з (р з г)
(p=>q)=>((q
зг)
-пос.
-пос.
-пос.
-зи, 1,3
-Зи,2,4
-зв, 5
-Зв, 6
з(рзг))
Анализ показывает, что эта последовательность удовлетворяет условиям (1) и
(2) понятия вывода, а потому является выводом. Последняя формула графически
совпадает с той формулой, которую необходимо было получить в заключение.
Кроме того, все посылки исключены, а потому множество неисключенных
посылок пусто. Поэтому данная последовательность является доказательством
теоремы (р з q) з ((q з г) з (р з г)).
При сравнении этой последовательности с предыдущей легко видеть, что
первые 5 шагов у них одинаковы. Если бы доказательство было прервано на
5-м шаге, то обосновывалась бы лишь выводимость вида р з q, q з г, р Н г.
Однако вывод был продолжен, и на 6-м шаге применялось правило зв к
формуле 5. Это правило разрешает получить формулу С з В, где С - последняя
посылка, а В - 5-я формула. Такого вида формула и записана на 6-м шаге. В
понятии вывода указано, что при применении правила зв из дальнейших
шагов вывода исключаются все формулы, начиная с последней посылки и вплоть
до результата применения этого правила, т. е. в нашем случае с 3-й до 6-й
формул. Этот факт отмечен в выводе чертой, начинающейся с 3-й формулы и
оконченной на 5-й. Если бы вывод был «оборван» на 6-м шаге, то
обосновывалась бы выводимость вида р з q, q з г I- р з г. Но вывод был продолжен
далее применением правила зв теперь уже к 6-й формуле, и мы вновь должны
получить формулу С з В, где С - последняя посылка (после исключения из
числа посылок формулы р таковой стала формула q з г). При применении
правила зв из участия в дальнейших шагах вывода исключаются все формулы
со 2-й до 7-й. Если бы мы «оборвали» вывод на 7-м шаге, то была бы
обоснована выводимость вида р з q I- (q з г) з (р з г). На последнем, 8-м шаге,
аналогичным образом применяя зв к 7-й формуле, исключаем последнюю посыл-

ку и получаем обоснование выводимости формулы вида (р з q) з ((q эг)э(р
з г)) из пустого множества посылок.
Одну и ту же выводимость можно обосновывать посредством различных
способов. Так, например, нижеследующая последовательность тоже является
доказательством формулы (р з q) з ((q з г) з (р з г)).
1- p=?q -пос.
2. цэг -пос.
3. р -пос.
4. -,г - пос.
5. q -Зи, 1,3
6. г -Зи,2, 5
7- -,-,г —,в,4,6
8- г ~^и,7
9. рзг -Зв,8
10. (дэг)э(рэг)-3в,9
П. (рэЧ)з((Чэг)э(рэг)) -гэв.10
Данная последовательность отличается от предыдущей тем, что на 4-м шаге
берется еще одна посылка - формула -.г. Осуществляя шаги вывода, на 6-м шаге
получаем формулу г, которая противоречит 4-й формуле, т. е. в выводе
появились две формулы вида В и —iB. Это позволяет применить к ним правило —щ-
Согласно этому правилу, при наличии противоречия можно поместить в вывод
формулу —.С, где С - последняя посылка. Так как последней посылкой является
4-я формула г, то необходимо записать отрицание этой формулы, т. е.
формулу —i—ir. Именно эта формула и записана на 7-м шаге. Кроме того, при
применении правила —<в, согласно понятию вывода, необходимо исключить из участия
в дальнейших шагах вывода все формулы, начиная с последней посылки и
вплоть до результата применения этого правила, что и показано чертой. На 8-м
шаге к 7-й формуле применялось правило -1И, которое позволяет снять два знака
отрицания и получить формулу г. Дальнейшие шаги вывода в точности
повторяют шаги предыдущего доказательства и состоят в последовательном
исключении оставшихся посылок применением правила зв.
Рассмотрим еще один пример доказательства. Попытаемся обосновать, что
формула (р v q) d (q v р) выводима из пустого множества посылок.
Обосновывающей будет следующая последовательность.
1 • р v q - пос.
2. -,(q v р) - пос.
3. —,р -пос.
4. q -vH, 1,3
5. qvp -vB,4
6- -,-,p --iB, 2, 5
7. p —,и,6
8. qvp -vB,7
9. -,-<qvp) --b,2,8
10. qvp --и, 9
11. (pvq)r>(qvp) -Зв, 10

Анализ показывает, что данная последовательность представляет собой
доказательство формулы (р v q) э (q v р). В доказательстве в качестве посылок
были взяты формулы 1, 2, 3. Из этих формул на 5-м шаге была получена
формула q v р, противоречащая формуле 2. Последнее означает, что получено
противоречие. Это позволяет применить правило —iB, согласно которому в
выводе можно записать отрицание последней посылки. Тем самым получаем 6-ю
формулу 1—.р. При этом из дальнейших шагов вывода исключаются
формулы, начиная с 3-й по 5-ю. Действуя далее, на 8-м шаге вновь получаем
формулу, противоречащую 2-й формуле. Это дает возможность по правилу ->в
исключить еще одну посылку. Продолжая вывод, на 11-м шаге применением
правила зв исключаем последнюю посылку. Тем самым доказательство
требуемого заключения завершено.
1.4. Эвристики
Построение выводов и доказательств является творческой задачей. Она
состоит в нахождении нужной последовательности формул, если речь идет о
формальном выводе, или нахождении нужной последовательности содержательных
утверждений, если речь идет о построении содержательного вывода. В
частности, творческой задачей является и поиск посылок, с которых начинается вывод
в том случае, когда обосновывается метаутверждение о выводимости некоторой
формулы из пустого их множества. Обычно указывают, что в качестве посылок
можно брать любые формулы. И это действительно так, но с оговоркой:
необходимо в дальнейших шагах вывода, применяя правила,
суметь исключить все лишние посылки.
Чтобы выбор нужных для вывода посылок не был случайным и не носил
характера простого перебора различных возможностей, можно сформулировать
некоторые эвристические приемы, которые будем называть далее эвристиками.
Эвристика - это то, что позволяет уменьшить число переборов.
Пусть обосновывается метаутверждение о выводимости вида:
Аь А2,..., Ап Ь- (С, => (С2 => (С3 => ... =э (Cm з В)...))).
Тогда в качестве посылок необходимо, конечно же, взять все формулы
Аь А2,..., А„, которые уже предложены нам как посылки. Далее выбор
дополнительных посылок осуществляется по следующим эвристическим приемам.
1-я эвристика. Рассматривается формула, стоящая справа от знака
выводимости «Ь». Она является целью вывода, т. е. той формулой, которую требуется
вывести из посылок Аь А2,..., Ап. Осуществляется поиск в ней главного знака
(понятие главного знака формулы было введено в предыдущей главе). Если
главным знаком является <о», т. е. формула «распадается» на антецедент и кон-
секвент, то антецедент данной импликации берется в качестве дополнительной
посылки, а новой целью вывода становится получение оставшейся от формулы
ее консеквента. В нашем случае справа от знака «Ь» стоит формула
(С, =э (С2 з (Сз гэ ... з (Cm з В)...))),
133

в которой антецедентом является формула Сь а консеквентом формула вида
(С2 з (С3 з ... з (Cm з В)...)). Применяя первую эвристику, заключаем, что к
формулам Аь А2,..., А„ можно присоединить в качестве дополнительной
посылки формулу Сь а формулу (С2 з (С3 з ... з (Ст з В)...)) взять в качестве
новой цели вывода.
Рассматриваем последнюю формулу. Из ее анализа видно, что она опять-
таки имеет в качестве главного знака импликацию и распадается тем самым на
антецедент - формулу С2 - и консеквент - формулу (С3 з ... з (Ст з В)...).
Поэтому к ней вновь можно применить 1 -ю эвристику. Тогда в качестве очередной
дополнительной посылки берем формулу Сг, а новой целью вывода становится
получение формулы (С3 з ... з (Ст з В)...).
Первую эвристику необходимо в обязательном порядке применять до
тех пор, пока остающаяся в консеквенте формула имеет в качестве главного
знака знак «з», т. е. до тех пор, пока мы не дойдем до формулы, которая уже не
имеет вида импликации. В нашем случае таковой является формула В. На этой
формуле работа по 1-й эвристике заканчивается.
Итак, применение первой эвристики позволяет выбрать в качестве
дополнительных посылок из формулы (С! з (С2 з (С3 з ... з (Ст з В)...))) все ее
антецеденты Сь С2, С3,..., Ст. После этого можно попытаться осуществить вывод вида:
Аь А2,..., А„, Сь С2, С3,..., Ст I- В.
Формула В в этом случае является целью, к которой надо стремиться при
осуществлении вывода из посылок Аь А2,..., А„, Сь С2, С3,..., Ст. Если этой цели
удается достигнуть, то тогда все дополнительные посылки Сь С2, С3,... Ст,
которые были введены, легко устраняются последовательным применением
правила Зв, и мы обосновываем вывод вида:
Аь А2,..., An Н (С, з (С2 з (С3 з ... з (Ст з В)...))).
Вывод, в котором при выборе дополнительных посылок
использовалась только 1-я эвристика, называется прямым выводом.
Это означает, что под прямым выводом понимается любой вывод, в котором
ни разу не применялось правило -нВ. Отметим, что именно 1-я эвристика была
применена нами для выбора дополнительных посылок при построении первого
доказательства формулы (р з q) з ((q з г) з (р з г)), а потому данное
доказательство является прямым.
1-я эвристика является мощным средством упрощения процедуры поиска
нужных посылок для вывода, однако она во многих случаях недостаточна.
Поэтому ниже формулируется еще одна эвристика, которая в обязательном
порядке применяется только после применения всех шагов по
1 -й эвристике.
2-я эвристика. Итак, последовательное применение 1-й эвристики
позволило дойти до формулы В, которая уже не является импликативной формулой.
Именно эту формулу надо теперь стремиться получить при прямом выводе из
134

посылок Аь А2,..., An, Ci, С2, С3,..., Ст. Однако если такой вывод не удается
сделать, то в качестве еще одной дополнительной посылки следует взять отрицание
формулы В. Тем самым мы переходим к доказательству от противного. Общий
список посылок в этом случае будет выглядеть следующим образом:
Ai, А2,..., Ап, Ci, С2, С3,..., Cm, —iB.
Целью вывода теперь становится получение в его составе противоречия,
т. е. получения в выводе двух формул вида D и -iD. Если это удается сделать, то,
применяя правило -нВ, можно получить формулу —i—.В, исключив при этом
последнюю дополнительную посылку —iB. Применяя далее правило —щ, можно
получить формулу В и тем самым обосновать выводимость:
А], А2,..., An, d, С2, С3,..., Ст Ь- В.
После этого, применяя нужное число раз правило зв, можно получить и
требуемый вывод вида:
Аь А2,..., А„ Ь (С, з (С2 z> (С3 =э... => (Ст =з В)...))).
Вывод, в котором применяется правило —.в, называется косвенным
выводом, а именно - выводом от противного.
Так, во втором примере обоснования формулы (р э q) d ((q d г) э (р d г))
был как раз применен метод построения вывода от противного, основанный на
использовании 2-й эвристики.
К рассмотренным двум эвристикам можно было бы добавить и ряд других
эвристических приемов. Не расширяя, однако, значительно этот список, укажем
лишь еще одну эвристику. Она применяется в обязательном порядке
только после применения 2-й эвристики.
3-я эвристика. Она касается дизъюнктивной формулы. Если в выводе
имеется формула вида A v В или же вида -i(A v В), то в качестве
дополнительной посылки (в первом случае) можно взять формулу —.А и после этого
получить по vH формулу В, или же взять в качестве посылки (во втором
случае) формулу А и вывести по правилу vB противоречие. Иногда при
доказательстве некоторых формул требуется взять в качестве посылки (кроме
формулы А) и формулу В, и также попытаться вывести противоречие. Вообще,
получение противоречия остается целью до тех пор, пока не
будет устранена посылка, в силу принятия которой мы
перешли к доказательству от противного. Именно используя эту
эвристику в примере с доказательством формулы (р v q) з (q v p), мы выбрали в
качестве посылки 3-ю формулу —ip.
Приведем еще несколько примеров выводов и доказательств.
Ьрзр.
| 1. р -пос.
2. рзр -ZDb, 1
135

p n q, г z> s (- (->q v ->s) гэ (->p v -ir).
Обоснованием данного метаутверждения о выводимости является, например,
следующая последовательность формул:
- пос.
-пос.
-пос.
-пос.
-пос.
-vB, 5
-тИ,6
'и, 1
-^,1,8
-пос.
-vb.10
--в,4,П
—и> 12
-зи,2,13
-пос.
-vM, 3,15
—в, 14, 16
—и,17
г) —в, 9,18
—и, 19
21. (-iqv-.s)з(-.рv-.г) -з>в,20
Здесь формула 3 является результатом применения эвристики 1 к формуле
(—.q v —is) r> (—.р v -.г), формула 4 - результатом применения эвристики 2 к
формуле (-,р v -,г), формула 5 появилась на основании эвристики 3,
примененной к формуле 4. Формула 10 - на основании опять-таки эвристики 3,
примененной опять к формуле 4. Наконец, формула 15 взята в качестве посылки
на основе эвристики 3, примененной к формуле 3.
Обоснуем теперь доказательство формулы:
I- (р & q) => -,(-,р v -iq).
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
p=)q
rz)s
-.q v-is
-n(^p v -,r)
^P
-p v-ir
-,-,p
p
q
-ir
->p V-ir
—i—ir
r
s
"Ч-'Я
—iS
^^q
^q
—i—1(—ip V -,1
-.p v-.r
l.p&q
2. —,—,(—,p v
3p
4q
5. —,p v —.q
6._p
7_q
8. —i—i—ip
9_P
o. ^-iH>
1- —i(-ip v-
-q)
v-,q)
Ф
-пос.
-пос.
-&и, 1
-&и, 1
—'И, 2
-пос.
- Vji, 5,6
—«,4,7
—и, 8
--в,3,9
—пи, Ю
12. (p&q)3-,(-,pv-,q) -=>в, 11

В последнем примере в качестве второй посылки можно было бы взять не
формулу —.—1(—.р v -iq), а сразу формулу (—.р v -.q), что несколько сократило
бы вывод. Вообще, если после применения 1-й эвристики целью вывода стало
получение формулы вида —.В, то в качестве дополнительной посылки,
берущейся по 2-й эвристике, можно взять не формулу —.—.В, а формулу В.
В завершении отметим, что в том случае, когда требуется обосновать
выводимость, в посылки или заключение которой входят логические константы,
отсутствующие в алфавите исчисления, например, входят знаки =, у или -I, то
соответствующие формулы должны быть преобразованы таким образом, чтобы в
них содержались только принятые в исчислении символы. Для этого
необходимо воспользоваться указанными в главе III определениями и заменить эти знаки
на знаки &, v, з и —..
Упражнения
1. Осуществите вывод в натуральном исчислении высказываний:
а) -.р & q, р v s I- q & s, б)рз -.q, q v г, р I- г v s,
в) p з r I- (p & г) з r, r)(pvq)2rhqDr,
д) p з q, p з -nq I ,p, e) p з -,q, p з r I- (q v -,r) з -ф.
2. Докажите следующие теоремы в натуральном исчислении высказываний:
а) I- Р => ->->Р5 б) Ь- (-пр эр)эр,
в) Н (р =э (q з г)) з ((р & q) з г), г) \- р v ^р,
Д) I- -Чр & ->Р), е) Ь ^(р vq) = Ьр & ^q),
ж) г- (р з q) з ((г з q) з ((р v г) з q), з) Н -н(р & q) = (-.р v ^q).
з) Обоснуйте правильность умозаключений средствами натурального
исчисления высказываний:
а) Если число делится на 2 и на 3, то оно делится на 6. Следовательно, если
число делится на 2, но не делится на 6, то оно не делится на 3.
б) Если формула тождественно-истинна, то она выполнима. Формула не
является выполнимой, если и только если она тождественно-ложна. Следовательно,
формула не может быть одновременно тождественно-истинной и тождественно-
ложной.
в) Иван любит Марью или Дарью. Если он любит Марью, то любит и
Дарью. Значит, неверно, что Иван не любит Дарью.
г) Если вы летом избегали «бывать на солнце», то вы не загорели. Но вы
загорели. Следовательно, вы «бывали на солнце».
§ 2. Аксиоматические исчисления высказываний
2.1. Аксиомы, правила вывода и доказательство в АР
Стандартной формой представления теоретического знания является
аксиоматика. В этом случае законы, относящиеся к некоторой исследуемой
137

предметной области, выражаются посредством аксиом и доказываемых с их
помощью теорем. Именно так представляется теоретическое знание как в
самой логике, так и в математике, физике и других науках. Поэтому приводимые
ниже различного рода аксиоматические исчисления не только позволяют нам
представить саму логику в стандартной аксиоматической форме, но и должны
послужить общим примером того, как оформляется любое теоретическое
знание в указанной форме.
В течение долгого времени под аксиомами имелись в виду так называемые
«самоочевидные истины», т. е. положения, истинность которых непосредственно
усматривалась интуицией. К их числу относились, например, следующие
положения геометрии Евклида - «Между произвольными двумя точками можно
провести ровно одну прямую», «Через точку, лежащую вне данной прямой, можно
провести ровно одну параллельную ей прямую» и т. д. Однако возникновение
многих неклассических теорий было связано с принятием в качестве аксиом
таких положений, которые не только не были самоочевидны, но, зачастую, и
прямо противоречили нашей интуиции. Так, в геометрии Лобачевского принимается
положение, согласно которому через точку, лежащую вне прямой, можно
провести бесконечно много параллельных ей прямых и т. д. Поэтому теперь под
аксиомами имеют в виду не самоочевидные истины, а некоторые положения,
которые мы по тем или иным причинам принимаем без их обоснования. Именно в
этом духе мы и будем далее трактовать понятие аксиома.
В настоящее время построено большое количество аксиоматических
исчислений высказываний, отличающихся друг от друга принятием в качестве
аксиом различных конечных или даже бесконечных наборов формул.
Различие часто определяется и тем, какие функционально полные системы связок
выбраны в качестве исходных. Это могут быть наборы связок {z>, —1}, {&, —i},
{v, -.}, {1} и т. д. Изберем в качестве исходных, как и ранее, следующую
функционально полную систему связок - {=>, &, v, -1}, что обусловлено, с
одной стороны, широким использованием их содержательных аналогов в
естественном языке, а с другой - нашим желанием единообразно описать как
содержательную логику высказываний, так и ее формализацию в виде
натурального исчисления и аксиоматики.
Алфавит и понятие формулы в строящемся ниже исчислении АР -
аксиоматическом пропозициональном исчислении - полностью совпадают с
алфавитом и понятием формулы введенных для логики высказываний (см. главу III), а
потому не будем на этом останавливаться, а сразу же перейдем к заданию
дедуктивных средств исчисления.
Аксиомы:
Al. р э (q э р) - закон утверждения консеквента,
А2. (pD(qD г)) гэ ((р d q) э (р d г)) - закон самодистрибутивности z>,
A3, (р & q) z> р - закон удаления &,
А4. (р & q) =з q - закон удаления &,
А5. р 3 (q =) (р & q)) - закон введения &,
А6. р э (р v q) - закон введения v,
138

А7. q z) (p v q) - закон введения v,
A8. (p з г) з ((q г) г) з ((p v q) з r)) - закон рассуждения по случаям,
А9. (—.р з -^q) z> ((-ip Dq)3p)- закон доказательства от противного.
Правила вывода:
' правило modus ponens — правило подстановки
В * А(р/В)
В последнем правиле «р» - любая пропозициональная переменная. Само
правило позволяет в формуле А везде, где встречается переменная р, подставить
вместо нее произвольную формулу В.
Доказательство - это непустая конечная линейно упорядоченная
последовательность формул Сь С2,..., Ск, каждая из которых есть либо
аксиома, либо получена из предыдущих по одному из правил вывода.
Последняя формула в последовательности называется доказуемой
формулой, или теоремой.
Будем, как и ранее, тот факт, что некоторая формула А является теоремой,
фиксировать посредством метаутверждения Ь- А. Приведем примеры
доказательства некоторых теорем в данном исчислении:
h р э (q э р) - закон утверждения консеквента
I.p3(q3p)-Al
Итак, построено доказательство аксиомы А1. Действительно, перед нами
последовательность формул, состоящая из одной формулы. Она непустая,
конечная и удовлетворяет определению доказательства. Так как последняя формула в
доказательстве называется теоремой, то аксиома А1, являющаяся последней
формулой этой последовательности, - теорема. Таким образом, согласно
определению доказательства, любая аксиома является одновременно и теоремой.
I- р з р - закон тождества
1. (р z) (q з г)) з ((р з q) з (р з г)) -А2
2. (р з (q з р)) з ((р з q) з (р з р)) - подст. г/р, 1
3. р з (q з р) -А1
4. (p3q)3(p3p) -т.р.,2,3
5. (p3(q3p))3(p3p) - подст. q/(q з р), 4
6. рзр -т.р.,5,3
В этом доказательстве на 1-м шаге была взята аксиома А2. Вторая формула
получена из формулы 1 подстановкой вместо переменной г формулы р, что было
отмечено записью r/р. Рассматривая формулу 2, обнаруживаем, что ее
антецедентом является формула р з (q з р), которая совпадает с аксиомой А1. Тогда,
помещая А1 в строящуюся последовательность -3-я формула - и применяя
правило modus ponens ко 2-й и 3-й формулам, получаем формулу 4. На 5-м шаге
применяем правило подстановки к 4-й формуле: подставляем формулу (q з р)
вместо переменной q. При этом обнаруживаем, что антецедент 5-й формулы
совпадает с 3-й формулой (аксиомой А1). Это позволяет применить к 5-й и 3-й
139

формулам правило modus ponens и получить окончательно формулу р з р,
которую мы и хотели доказать как теорему.
h (q з г) з ((р з q) з (р з г)) - закон обратной транзитивности
1. (рз(Чзг))з((рзЧ)з(рзг))-А2
2. p3(q3p)-Al
3. ((р з (q з г)) з ((р з q) з (р з г))) з ((q з г) з ((р з (q з г)) з ((р з q) з
(р з г)))) - подст. в 2, р/формула 1, q/q з г
4. (q з г) з ((р з (q з г)) з ((р з q) з (р з г))) - т.р. 3, 1
5. ((q з г) з ((р з (q з г)) з ((р з q) з (р з г)))) з (((q з г) з (р з (q з г))) з
((q з г) з ((р з q) з (р з г)))) - подст. в 1, p/q з г, q/p з (q з г), г/(р з q) з
(рзг)
6. ((q з г) з (р з (q з г))) з ((q з г) з ((р з q) з (р з г))) - т.р. 5, 4
7. (q з г) з (р з (q з г)) - подст. в 2, p/q з г, q/p
8. (q з г) з ((р з q) з (р з г)) - т.р. 6, 7
I- (р з q) з ((q з г) з (р з г)) - закон транзитивности
1 • (q з г) з ((р з q) з (р з г) - закон обратной транзитивности
2. (рз(Чзг))з((рзЧ)з(рзг))-А2
3. ((q з г) з ((р з q) з (р з г))) з (((q з г) з (р з q)) з ((q з г) з (р з г))) -
подст. в 2, p/q з г, q/p з q, г/ р з г
4. ((q з г) з (р з q)) з ((q з г) з (р з г)) - т.р. 3, 1
5. p3(q3p)-Al
6- (((Я =) г) з (р з q)) з ((q з г) з (р з г))) з ((р з q) з (((q з г) з (р з q)) з
((q з г) з (р з г)))) - подст. в 5, p/((q з г) з (р з q)) з ((q з г) з (р з г)),
q/p3q
7. (р з q) з (((q з г) з (р з q)) з ((q з г) з (р з г))) - т.р. 6, 4
8. ((р з q) з (((q з г) з (р з q)) з ((q з г) з (р з г)))) з (((р з q) з ((q з г) з
(р з q))) з ((р з q) з ((q з г) з (р з г)))) - подст. в 2, р/р з q, q/(q з г) з
(Р => q), r/(q з г) з (р з г)
9. ((р з q) з ((q з г) з (р з q))) з ((р з q) з ((q з г) з ((р з г))) - т.р., 8, 7
10. (р з q) з ((q з г) з (р з q)) - подст. в 5, р/р з q, q/q з г
П. (р з q) з ((q з г) з (р з г)) - т.р., 9, 10
Последнее рассуждение на первый взгляд не удовлетворяет понятию
доказательства, так как в доказательство, согласно приведенному выше определению,
могут входить только аксиомы и полученные по правилам вывода формулы. А в
нашем формальном рассуждении 1 -я формула - это теорема, а не аксиома.
Однако мы всегда можем вместо используемой в доказательстве ранее доказанной
теоремы вставить само доказательство этой теоремы. В рассмотренном
последнем примере мы могли бы вместо 1 -й формулы вставить ранее приведенное
доказательство закона обратной транзитивности и продолжить дальше наше
рассуждение. И еще один момент. Если сравнить последнее формальное
рассуждение с доказательством той же теоремы в натуральном исчислении высказываний
(см. §1 данной главы), то становится наглядным, насколько сложнее
обосновываются теоремы в аксиоматических системах.

2.2. Исчисление высказываний со схемами аксиом САР
В рассмотренной аксиоматической системе содержалось конечное число
аксиом. Рассмотрим еще одно исчисление пропозициональной логики САР,
которая является модификацией исходной системы и содержит бесконечное число
аксиом. Модификация состоит в том, что каждая из аксиом АР заменяется,
соответственно, на бесконечное множество аксиом одной и той же структуры.
Каждое такое бесконечное множество представимо в системе некоторой схемой
аксиом, которая как раз и задает их общую структуру.
Схемы аксиом САР,
СА1. A з (В з А),
СА2. (A з (В з С)) з ((А эВ)э(Аз С)),
САЗ. (А & В) з А,
СА4. (А & В) 3 В,
СА5. А з (В з (А & В)),
СА6. А з (A v В),
СА7. В з (A v В),
СА8. (А з С) з ((В з С) з ((A v В) з С)),
СА9. (-А з ^В) з ((-А з В) з А).
Единственным правилом в САР является правило modus ponens. Тем
самым в аксиоматике САР правило подстановки опускается. Однако такая
модификация не изменяет класс доказуемых формул, т. е. системы АР и САР по
классу теорем будут равнообъемны, или, как говорят, эти системы дедуктивно
эквивалентны.
Действительно, рассмотрим, например, аксиому Al: р з (q з р). Правило
подстановки разрешает вместо любой пропозициональной переменной везде,
где она встречается в формуле, подставить произвольную формулу. Например,
подставляя одновременно вместо р формулу А и вместо q - формулу В в
аксиому А1, мы получим некоторое выражение вида А з (В з А). Конкретный вид
этого выражения определяется видом подставляемых формул А и В. Таким
образом, метавыражение А з (В з А), как об этом говорилось в предыдущей главе,
задает общую структуру тех формул, которые могут быть получены из А1
применением правила подстановки. Или, говоря несколько иначе, любая формула
такой структуры может быть доказана в АР применением правила подстановки
к аксиоме А1. Ясно теперь, что если мы объявим все формулу структуры вида
А з (В з А) аксиомами, то необходимость в использовании правила
подстановки отпадает. Аналогична ситуация и с другими аксиомами. Это рассуждение
доказывает дедуктивную эквивалентность систем АР и САР.
Понятие доказательства в САР совпадает с соответствующим понятием
доказательства в системе АР. Кроме того, для системы САР весьма просто
вводится понятие вывода.
141

Выводом в аксиоматике САР называется непустая, конечная
последовательность формул Сь С2,..., Ск, каждая из которых есть либо
аксиома, либо посылка, либо формула, полученная из предыдущих по
правилу modus ponens.
Если формулы Aj, А2,..., Ап - это посылки вывода Сь С2,..., Ск, а
последняя формула Ск графически совпадает с формулой В (Ск = В), то
говорят, что формула В выводима из посылок Аь А2,..., А„ и пишут
А,, А2,..., А„ Ь- В.
Введенное так отношение выводимости обладает следующими очень
важными свойствами:
А I- А - рефлексивность,
Г, А, А, А н С
сокращение,
перестановка,
утончение,
Г, А, А н С
Г, А, В, А Ь С
Г, В, А, А Н С
ГНС
А,ГьС
Г, A h В; В, А КС
г . . ,—z=, -сечение.
1, А, А I- С
Здесь А, В и С - формулы, а Г и А - множества формул (возможно, пустые).
Далее мы будем использовать данные свойства отношения выводимости, а
потому читателям предлагается самим убедиться в том, что они являются
следствиями введенного только что понятия вывода.
2.3. Теорема дедукции
Несмотря на то, что число аксиом в САР существенно увеличено,
доказательство многих теорем по-прежнему представляет значительные трудности.
Однако доказательство теорем упростится, если будет обосновано наличие в
данном исчислении теоремы дедукции:
Если из множества формул Г и формулы А выводима формула В, то из
множества формул Г выводима формула AdB. Символически:
Г,АЬВ
ГЬАзВ.
Метатеорема 1. В исчислении САР справедлива теорема дедукции.
Доказательство будет вестись методом возвратной индукции по длине
вывода. При этом под возвратной индукцией имеется в виду следующий метод
рассуждения. Пусть имеется некоторое упорядоченное множество объектов (о
142

понятии упорядоченного множества см. главу II). Допустим, что для всех
объектов т нашего множества, таких, что т < п, выполнено свойство 5Й, т. е. верно
Щт). Это предложение называется индуктивным допущением. Исходя из этого
допущения стараются доказать, что в таком случае свойство ЧЯ выполняется и
для п-то объекта нашего множества, т. е. пытаются доказать утверждение Щп).
Переход от допущения Щт) к доказательству Щп) называется индуктивным
шагом. Если все эти рассуждения проделаны, то считают, что свойство Л
выполняется для любого объекта из нашего множества. Формально принцип
возвратной индукции имеет следующий вид:
Уи( \/т{т < п з Щт)) => Щп)) h УхЩх)
индуктивное
допущение
индуктивный шаг.
В нашем случае указанным множеством будет множество формул,
входящих в вывод вида Г, А I- В. Так как вывод представляет собой линейную
последовательность формул Сь С2,..., Ск, (частный случай упорядоченного
множества), то знаками т, п обозначаются, соответственно, формулы этого вывода с
номерами т и п, в силу чего и говорят, что индукция ведется по длине вывода.
Свойством же 5R является сама теорема дедукции. Формулы, входящие в
множество Г, и формула А являются посылками вывода; формулы, входящие в Г,
называются неустраняемыми посылками, так как они сохраняются в
результирующем выводе Г I- A =э В; а формула А называется устраняемой посылкой, так
как в результирующем выводе Г I- А з В ее нет среди посылок.
Доказательство.
Рассмотрим вывод Сь С2,..., Си формулы В из посылок Г и А. Допустим
(индуктивное допущение), что для всех формул с номером т < п в этом выводе
свойство SR выполнено, т. е. для каждой такой формулы справедливо метаутвер-
ждение: Г, А Н Q => Г h А э Сь где 1 < /' < т (здесь знак «=>» есть метаязыко-
вая импликация). Покажем теперь, что свойство 9? будет обязательно выполнено
и для формулы С„ (индуктивный шаг).
Дальнейшее рассуждение зависит от того, чем является формула С„ в
исходном выводе Сь Сг,..., Си формулы В из посылок Г и А. Согласно понятию
вывода и условию метатеоремы, формула С„ может оказаться: а) аксиомой,
б) неустраняемой посылкой из Г, в) устраняемой посылкой А, г) получена из
предыдущих формул Q и Cj = С-, =э С„ (где i и j < т) по единственному
правилу системы - modus ponens. Рассмотрим эти варианты и покажем, что теорема
дедукции, которая во всех этих случаях имеет вид: Г, А1-С„=>Г1-Аэ С„,
верна для каждого из них.
а) Допустим, что С„в исходном выводе Ci, С2,..., Ск формулы В из посылок
Г и А графически совпадает с произвольной аксиомой. Тогда Сп доказуема в
САР, т. е. I- С„, и, следовательно, по утончению имеет место Г, А I- С„. Пока-
143

жем, что тогда имеется и вывод вида Г I- А => С„, в котором формула АэС,
выводится только из множества посылок Г без использования посылки А. Для
этого достаточно рассмотреть следующую последовательность формул:
1-С„- аксиома.
hC„ э (А э С„) - частный случай схемы аксиом СА1. |
Н(Аэ С„) - т.р., к формулам Cn d (А э С„) и С„. '
Последние три формулы последовательности показывают, что (A zd С„)
является теоремой САР, т. е. h (A d С„), а потому, по утончению, должен
существовать и вывод вида Г I- А г> С„, что и доказывает наше метаутверждение
Г, A h С => Г I- А э С„ для этого случая.
б) Допустим, что С„ графически совпадает с произвольной неустраняемой
посылкой, т. е. С„ е Г, и верно утверждение Г, А Ь- С„. Тогда имеется и вывод
вида Г h A d С„. Для этого достаточно рассмотреть следующую
последовательность формул:
Сп, где С„ е Г. :
I- С„ э (A d Сп) - частный случай схемы аксиом СА1.
(А zd С„) - т.р., к формулам С„ d (A d С„) и С„.
Итак, формула A zd С„ выводима из формулы С„, т. е. имеем С„ Ь- А zd С„.
Но С„ е Г, а потому Г (- С„. Отсюда по сечению получаем: Г I- A zd С„, что и
доказывает метаутверждение Г, А I- С„ => Г Н- A zd С0 для этого случая.
в) Допустим, что С„ - графически совпадает с устраняемой посылкой А, т. е.
С„ = А. В силу этого графического равенства вывод Г, А I- С„ есть вывод вида
Г, А ЬА. Покажем тогда, что имеет место и вывод Г h А з А. Для этого
достаточно рассмотреть следующую последовательность формул вида:
\- (Azd ((A zd A) zd A)) zd ((A zd (A zd A)) zd(Azd А)) - частный случай СА2.
\-Azd ((A zd A) zd А) - частный случай СА1.
\- (Azd (Azd A)) zd (A zd А) - т.р. к последним двум формулам.
НА zd (A zd А) - частный случай СА1.
ЬА zd А - т.р. к последним двум формулам.
Последние 5 формул последовательности есть доказательство того, что
формула вида A zd А является теоремой САР, а потому, по утончению, должен
существовать и вывод вида Г I- A zd А, что и доказывает метаутверждение Г, А
I- Сп ==> Г h- A zd С„ для этого случая.
г) Допустим теперь, что формула С„, которая содержится в нашем выводе
Г, A h В, получена из предыдущих формул Q и Cj = Q => С„ по единственному
правилу системы - modus ponens. Так как формулы Q и Cj предшествуют
формуле С„, то их номер < п, и, следовательно, для них по индуктивному
предположению свойство 5R имеет место, т. е. для формулы С-„ имеет место: Г h А з Q, а
для формулы Cj: Г I- A zd (C\ZD С„). Нам надо показать, что тогда имеет место и
вывод вида Г h А з С„. Для этого достаточно рассмотреть следующую
последовательность формул:
144

A з C| - выполнимость свойства 9t для формулы Q.
А з (Qz) С„) - выполнимость свойства 91 для формулы Cj.
I- (А з (Ci=) С„)) з ((A з СО d(Ad Cn)) - частный случай схемы СА2.
(А з Q) з (А з С„) - т.р. к двум предшествующим формулам.
А з С„ - т.р. к предыдущим формулам.
Итак, 5 последних формул обосновывают выводимость А з С„ из посылок
А з Ci и А з (d з С„), т. е. обосновывают вывод вида А з Сь А з (Cj з С„)
ЬА з С„, но, по индуктивному допущению, Г ЬА з Q и Г НА з (Q з Сп).
Применяя последовательно два раза сечение, получаем окончательно Г \-
А з С„. Индуктивный шаг доказан. Тем самым доказана и сама теорема
дедукции. Метатеорема доказана.
2.4. Применение теоремы дедукции
Теперь при доказательстве теорем системы САР можно использовать теорему
дедукции. Покажем, как это делается на нескольких примерах.
Ь- (р з (q з г)) з (q з (р з г)) - закон перестановочности антецедентов.
1. р з (q з г) - пос.
2. q - пос.
3. р - пос.
4. q3r -т.р. к 1,3
5. г - т.р. к 4, 2
Здесь построен вывод вида р з (q з г), q, р Ь г. Тогда, по теореме дедукции,
существует и вывод р з (q з г), q I- р з г. Но тогда, по той же теореме, должен
существовать и вывод вида р з (q з г) I- q з (р з г). Применяя вновь теорему
дедукции, получаем, что в таком случае должен существовать и вывод
следующего вида I- (р з (q з г)) з (q з (р з г)).
Обратим внимание на три обстоятельства. Во-первых, строго говоря, мы
построили только один вывод р з (q з г), q, р I- г. Выводов же вида р з (q з г), q
I- р з г; р з (q з г) I- q з (р з г) и I- (р з (q з г)) з (q з (р з г)) мы не
строили. Но, согласно теореме дедукции, такого рода выводы должны обязательно
существовать в системе САР. Во-вторых, доказательство теоремы дедукции
носит конструктивный характер, т. е. оно содержит алгоритм перестройки любого
вывода вида Г, А I- В в вывод вида Г \- А з В. Используя этот алгоритм, можно
было бы вывод р з (q з г), q, р I- г перестроить в вывод р з (q з г), q I- р з г.
В свою очередь последний вывод можно было бы по этому алгоритму
перестроить в вывод вида р з (q з г) I- q з (р з г), а этот последний вывод перестроить
далее в доказательство I- (р з (q з г)) з (q з (р з г)). В-третьих, при
обосновании того, что формула (р з (q з г)) з (q з (р з г)) является теоремой, был
построен вывод, в котором использовались посылки р з (q з г), q и р. Выбор этих
посылок осуществлялся в точности по 1-й эвристике, которая была
сформулирована в предыдущем параграфе, что не является случайным, ибо 1-я эвристика
как раз и базируется на теореме дедукции.
145

I 1—>p з p - закон снятия двойного отрицания.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
(-,р 3 -П-.Р) з ((-,р 3 -ф) з р)
^рз^р
-,-пр
(-.р з -,р) з ((-,р з -,-,р) з р)
((-,р з -,-,р) з р)
-,-пр 3 (-,р 3 -,-,р)
-ip з —1—ip - т.р. к 6, 3
р - т.р. к 5, 7
- частный случай СА9
- частный случай закона тождества
-пос.
- перестановка антецедентов к 1
- т.р. к 4, 2
- частный случай СА1
Итак, построен вывод вида —i—>р I- р, так как единственной посылкой была
именно формула —.—.р. Отсюда, в силу теоремы дедукции, должен существовать
и вывод вида I ,-,р з р.
I- р з (-.р з q) - закон отрицания антецедента.
1. р -пос.
2. -,р - пос.
3. рз(—.q3p) - частный случай С А1
4. -,р з (->q з -.р) - частный случай СА1
5. -,q3p -т.р. кЗ, 1
6. -,q з -ф - т.р. к 4, 2
7. (-,q з -.р) з ((-.q з р) з q) - частный случай СА9
8. q - два раза т.р. к 7, 6 и 5
Таким образом, получен вывод: р, —.р I- q. Применяя два раза теорему
дедукции, получаем обоснование наличия в системе и вывода вида I- р з (—>р з q).
I- р з —i—ip - закон навешивания двойного отрицания.
1. р - пос.
2. (—i—i—.р з -,р) з ((—.—i—.р з р) з —i—ip) - частный случай СА9
3. -,-,-,рз-|р - частный случай снятия двойного отрицания
4. (—I—i—ip з р) з —I—гр - т.р. к 2, 3
5. р з (—i—1—ip з р) - частный случай СА1
6. -,-,-,р з р - т.р. к 5, 1
7. -,-,р - т.р. к 4, 6
I- (-iq з -.р) з (р з q) - обратная контрапозиция.
1 • —.q з —.р -пос.
2. р - пос.
3. (—,q з —,р) з ((-iq з р) з q) - частный случай СА9
4. (-,q з р) з q - т.р. к 3, 1
5. р з (-.q з р) - частный случай СА1
6. —,q з р - т.р. к 5, 2
7. q - т.р. к 4, 6
\- (р з q) з (->q з -.р) - контрапозиция.

1. pz>q -пос.
2. —,—,p 3 p - закон снятия двойного отрицания
3. —,—,р Dq - по транзитивности из 2, 1
4. q з —i—.q - закон навешивания двойного отрицания
5. —,—,р з -,—,q - транзитивность 3, 4
6. -,q з —,р - из 5 по обратной контрапозиции
Ь- (р v q) з (^р з q)
1 ■ рэ (—.р Dq) - закон отрицания антецедента
2. q з (—.р з q) - частный случай АС1
3. (р з (-,р з q)) з ((q з (-,р з q)) з ((р v q) з (-,р з q)) - частный случай АС8
4. (q з (-пр з q)) з ((р v q) з (-,р з q)) -т.р. к 3, 1
5. (р v q) з (-,р з q) -т.р. к4, 2
Упражнения
1. Попытайтесь обосновать указанные выше свойства выводимости:
рефлексивность, сокращение, перестановку, утончение и сечение.
2. Постройте вывод в аксиоматическом исчислении высказываний:
а) р & ^q, q v г 1- р & г, б) р, -нр Ь q,
в) р => q, q з г Н р => г, г) р, -,г Ь ^(р з г).
3. Докажите теоремы в аксиоматическом исчислении высказываний с
использованием алгоритма перестройки вывода, сформулированного при
доказательстве метатеоремы дедукции:
а)Ьрз -н-ф, б) h {-^q ■=> -пр) => (р => q).
4. Докажите закон исключенного третьего р v —ip {указание:
воспользуйтесь законами введения v, а затем используйте закон контрапозиции).
§ 3. Метатеоретические свойства системы САР
3.1. Дедуктивная эквивалентность NP и САР
Аксиоматическая система САР со схемами аксиом дедуктивно эквивалентна
(совпадает по классу доказуемых утверждений) не только системе АР с
конечным числом аксиом, но и натуральному исчислению NP, рассмотренному в §1
данной главы. Докажем следующее метаутверждение:
Метатеорема 2. САР и натуральное исчисление высказываний NP
дедуктивно эквивалентны.
Доказательство.
Для доказательства этого утверждения достаточно показать, что все
дедуктивные средства системы САР (схемы аксиом и правила вывода) являются
производными схемами теорем и правил вывода в натуральном исчислении. И
наоборот, что все правила вывода натурального исчисления NP могут быть
получены как производные правила в системе САР.
147

Действительно, единственное правило вывода САР - modus ponens -
является правилом натурального исчисления, а каждая схема аксиом системы САР
доказуема в натуральном исчислении. Проверка этого теоретического факта
предоставляется читателю.
С другой стороны, все правила натурального исчисления NP являются
производными в САР. Правило z>B - это modus ponens системы САР, а правила &в.
&и и vB получаем из соответствующих схем аксиом по одному и тому же
способу, который продемонстрируем на примере обоснования правила &в.
1. Аз(Вэ(А&В)) -СА5
2. А - пос.
3. В=>(А&В) -т.р. к 1,2
4. В - пос.
5. А & В - т.р. к 3, 4
Таким образом, осуществлена схема вывода А, В I- А & В, которая и
обосновывает наличие в САР в качестве производного правила &в. Читателям
предлагается самостоятельно доказать производность правил &и и vB.
Что касается других правил, то с ними дело обстоит следующим образом.
Выше в САР были доказаны теоремы —■—.р z> р и (р v q) z> (-ф z> q). Ясно, что
применяя ту же последовательность шагов, можно построить схему
доказательства и доказать соответствующие схемы теорем, т. е. доказать —.—iA z> А и
(A v В) d (-iA => В). Применяя теперь к этим схемам теорем тот же самый
прием, который был применен для обоснования производности в САР правила &в,
легко обосновать и производность правил —щ и vH.
Правило зв представлено в системе САР теоремой дедукции и является,
таким образом, производным правилом. Остается показать, что в системе САР
производным является правило —>в, т. е. производным будет правило:
Г, С h В и Г, С I- ^В
ГЬ^С.
Доказательство:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Г,СнВ
Г, С Ь- -iB
^ChC
Г, -,-,С 1- в
Г, -,-лС 1- ^в
Г h -.-.С з В
Г Ь- -п^С ZD ^В
-н^С Z3 ^В, -п-пС Z)
Г, -,-,С DBhnC
ГН^С
ВН
- допущение
- допущение
- производное правило вывода САР
- свойство сечения к 3, 1 и перестановка
— свойство сечения к 3, 2 и перестановка
- теорема дедукции к 4
- теорема дедукции к 5
—,С - выводимость на основе СА9
- сечение к 7, 8
- сечение к 6, 9, перестановка и сокращение
Таким образом, все правила натурального исчисления производны в САР.
Доказательство завершено.
148

Учитывая дедуктивную эквивалентность систем САР и натурального
исчисления NP, мы можем использовать теперь в доказательствах теорем системы
САР все правила натурального исчисления. Кроме того, дедуктивная
эквивалентность систем САР и натурального исчисления означает, что все свойства,
которые далее будут установлены для САР, справедливы также и для
натурального исчисления высказываний.
3.2. Интерпретация исчисления высказываний
Исчисления представляют собой чисто синтаксические построения. Нам
известны алфавит исчисления, правила образования из знаков алфавита
определенных их последовательностей, которые были названы формулами, и известны
также принципы дедукции, т. е. аксиомы и правила преобразования одних
формул в другие. При этом для построения доказательств совершенно не требуется
какого-либо знания о том, что обозначают знаки алфавита и обозначают ли они
вообще что-либо. Не требуется также и какого-либо знания, почему выбраны
определенные формулы в качестве аксиом и почему принимаются именно эти, а
не иные правила преобразования. Исчисление является, таким образом, просто
некоторой «игрой в значки».
Однако чтобы исчисление не было простой забавой, не было «игрой в
бисер», а выполняло важную познавательную роль, их необходимо
определенным образом проинтерпретировать. Будем считать, что
пропозициональные переменные пробегают по множеству {и, л}, т. е. принимают в качестве
своих значений два абстрактных объекта - «истину» и «ложь». Кроме того,
свяжем с каждым логическим символом - &, v, z> и -i - булевы функции:
соответственно конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию и отрицание. В этом
случае исчисление является уже не чисто синтаксическим построением, а
становится интерпретированной системой. Формулы исчисления теперь не
просто некие последовательности символов алфавита, но и содержательные
утверждения.
3.3. Непротиворечивость САР
Относительно интерпретированных исчислений можно поставить ряд
интересных вопросов. В частности, можно поставить вопрос о том, как связаны
между собой синтаксис и семантика системы. Попытаемся ответить на эти вопросы
относительно нашего аксиоматического исчисления высказываний САР.
Произвольная логическая теория Т называется семантически
непротиворечивой, если любая доказуемая в ней формула является
тождественно-истинной (общезначимой), т. е.
V А(Т Ь- А => 1= А),
где запись Т I- А читается: «А доказуема в Т», а знак « V » - метаязыковой
квантор общности.
149

Метатеорема 3. Система САР семантически непротиворечива.
Так как теоремы доказываются с помощью аксиом и правил вывода, то
нужно установить два факта: 1) все аксиомы являются тождественно-истинными
формулами, 2) все правила вывода сохраняют свойство «быть тождественно- •
истинной формулой», т. е. если посылки правил вывода являются тождественно-
истинными формулами, то и заключение будет тождественно-истинной
формулой. Про правило, которое обладает этой особенностью, говорят, что оно
инвариантно относительно свойства «быть тождественно-истинной формулой».
Доказательство.
1) Покажем для каждой схемы аксиом, что любая формула данной
структуры является тождественно-истинной (общезначимой) формулой. Рассмот- ]
рим с этой целью схему СА1 и построим для нее соответствующую истин- :
ностную таблицу.
А
и
и
л
л
В
и
л
и
л
А
з (В =) А)
и
и
и
и
Эта таблица демонстрирует следующее: какими бы конкретными
формулами А и В ни были, соответствующее выражение вида Ad(Bd А),
образующееся при замещении метапеременных А и В этими конкретными формулами,
будет в каждой строчке принимать значение «истина». Действительно, в
каждой строке таблицы этой формулы могут встретиться следующие значения для
формул А и В: они могут оказаться одновременно истинными, одновременно
ложными, или одна из них примет значение «истина», а другая значение
«ложь». Но как показывает таблица, во всех этих случаях любая формула со
структурой СА1: А э (В э А) принимает значение «истина», т. е. является
тождественно-истинной.
Аналогично можно показать, что это же будет справедливым и для формул
всех остальных структур СА2-СА9. Таким образом, является обоснованным, что
все аксиомы являются тождественно-истинными формулами.
2) Теперь надо показать, что единственное правило вывода modus ponens
инвариантно относительно свойства «быть тождественно-истинной формулой».
Но этот факт уже был доказан ранее (см. главу III). Тем самым доказано, что из
тождественно-истинных аксиом по единственному правилу вывода - modus
ponens - можно получать только такие теоремы, которые являются
тождественно-истинными формулами. Метатеорема доказана.
Этим способом можно было бы непосредственно (т. е. без обращения к факту
дедуктивной эквивалентности АР и САР) показать семантическую
непротиворечивость и системы АР, дополнив метарассуждение демонстрацией
инвариантности правила подстановки относительно свойства формул «быть тождественно-
истинными» (см. в главе III метатеорему о подстановке, говорящую, что приме-
150

нение к тождественно-истинным формулам правила подстановки порождает
вновь тождественно-истинную формулу).
Введем понятие синтаксической непротиворечивости для произвольной
логической теории Т.
Логическая теория Т называется синтаксически непротиворечивой,
если в ней невозможно доказать некоторую формулу и отрицание
этой формулы, т. е.
-^ЭА(Т I- А & Т h- -,А),
где знаки «---,», « Э » и « & » являются соответственно метаязыковыми знаками
отрицания, квантора существования и конъюнкции.
Метатеорема 4. САР синтаксически непротиворечива.
Доказательство будет вестись методом от противного. При этом в метаязыке
будут использоваться правила натурального исчисления предикатов.
Доказательство.
1. ЭА(САР \- А & САР I А) - допущение, что в САР имеется
формула, для которой верно, что как она сама, так и ее отрицание
доказуемы. Пусть такой формулой будет формула В. Тогда:
2 САР \-В & CAP I- -JB
3. САР Ь- В - исключение &. к 2
4. САР I iB - исключение & к 2
5. V А(САР I— А => 1= А) — метатеорема 3. Так как это утверждение
верно для любой формулы, то оно должно быть верно и для
формул В, и для формулы -iB
6. САР Ь- В => 1= В - утверждение 5 верно для В
7. 1= В - т.р. к 6, 3
8. CAP I iB => t= -iB - утверждение 5 верно для —.В
9. t= -лВ - т.р. к 8, 4
10. Ф В - из 9 по табличному определению знака «-.». На этом шаге
получено противоречие - утверждения 7 и 10, а потому
11. ^ЭА(САР1- А & САРЬ^А)- лвк7, 10
Метатеорема доказана.
3.4. Полнота САР
Введем метатеоретическое понятие семантической полноты для
произвольной логической теории Т.
Логическая теория Т считается семантически полной, если в ней
доказуема любая тождественно-истинная (общезначимая)
формула, т. е.
VAO А=>Т1- А).
151

Прежде чем приступить к доказательству семантической полноты
исчисления САР, докажем одну лемму.
Лемма. Пусть А - это произвольная формула, пусть рь р2, Рз,..., рп
список всех пропозициональных переменных, входящих в А. Пусть задан
произвольный набор значений для пропозициональных переменных рь р2,
р3,..., р„. Определим на данном наборе выражение p*j и А* следующим
образом:
р*.= fPi>e<yiHPj=«
v ' D 1-iPj , если рл = л '
а А* есть А, если А- и, или —А, если A = л на данном наборе. Тогда:
Р*ъР*2,Р*з,...,р*пЬ А*.
Доказательство будет вестись методом индукции по количеству логических
связок, входящих в формулу А, т. е. параметры мияв формулировке принципа
математической индукции - это число связок в формуле А.
Доказательство.
Число логических связок, входящих в формулу, может быть равно 0, 1, 2 и
т. д. Допустим, что лемма верна для всех формул, содержащих меньшее, чем п
число логических связок. В частности, она должна быть верна для случая, когда
в формуле вообще нет логических связок. Покажем это.
Рассмотрим формулу А, в которой число логических связок равно 0. Такими
формулами в точности являются пропозициональные переменные. Возьмем для
определенности какую-либо из них, например переменную р. Рассмотрим
таблицу для формулы р:
аргумент
Р
и
л
формула
Р
и
л
Согласно условию леммы, мы должны для каждого набора
пропозициональных переменных показать, что имеет место р* I- р*. Для первой строки
таблицы это означает необходимость обосновать, что р I- р, а для второй - что
—ip I .р. Очевидно, что в системе САР эти выводы осуществляются
тривиально просто.
Рассмотрим теперь формулы, в которых число логических связок т > 0 и
т < п. В зависимости от того, какая логическая связка является главным знаком
в формуле А, необходимо рассмотреть несколько случаев.
а) Пусть А ^—iB.
Рассмотрим вначале случай, когда формула А = и. Это означает, что
требуется доказать выводимость
Р*1,Р*2, Р*3,...,P*nl- А.
152

Так как А = -iB, формула В = л. В силу того, что В содержит меньшее, чем
п количество логических терминов, для нее (по индуктивному допущению)
лемма выполнена. В случае ложности В это означает, что р*ь р*2, р*з,..., p*n I <В,
а это как раз и обосновывает выводимость р*ь р*2, р*з,- •., р*п Ь- А.
Рассмотрим случай А = л. Теперь требуется доказать выводимость
Р*1,Р*2, Р*3, ,Р*п1 'А.
Формула В при этих условиях принимает значение «и», а поэтому имеем:
1. p*i, р*2, р*з,- • • > Р*п Ь В - индуктивное допущение
2. В I 1—,В - закон навешивания двойного отрицания
3- P*i,P*2, р*з,-,Р*п1 '--В -сечение 1,2,
что и требовалось доказать. Случай (а) обоснован.
(б) Пусть А - В & С.
(61) Пусть А = и. Это означает, что надо доказать
р*ьР*2,р*з,...,Р*.Ь-В&С.
Конъюнкция В & С принимает значение «истина» только тогда, когда
значение «истина» принимают формулы В и С. Кроме того, формулы В и С
содержат меньшее, чем п, количество логических терминов, а потому для них лемма,
согласно индуктивному допущению, верна, т. е.
1. р*1,р*2, р*3,..., р*„ I-В - индуктивное допущение
2. р*ь р*2, р*з,- • -, р*п Ь С - индуктивное допущение
3. В, С h- В & С - по схеме СА5
4- p*i,p*2, р*з,..,Р*п, С Ь- В&С -сечение 1,3
5. р*ьР*2, Р*з,---> Р*п Ь- В & С - перестановка, сечение 2, 4.
Последнее утверждение как раз и доказывает требуемый вывод.
(62) Пусть А = л. Это означает, что требуется осуществить вывод
Р*ьР*2,р*з,-..,Р*„,СЬ^(В&С).
Формула В & С = л в двух случаях: или В = л или С = л. Рассмотрим
каждый из них. Пусть В = л. Тогда:
1. p*i,p*2, р*з,.-> P*n I 'В - индуктивное допущение
2. В & С I- В - по схеме САЗ
3. -iB I i(B & С) - из 2 по контрапозиции
4- р*,,р*2,Р*з,...,р*вЬ^(В&С) -сечение 1,3,
что и требовалось доказать. Аналогично поступаем, когда С = л. Тем самым
случай (б) доказан.
(в) А = В v С.
(в1) Пусть А = и. Это означает, что надо доказать
153

P*i,P*2,P*3,...,P*nbBvC.
Дизъюнкция истинна, если, по крайней мере, один из дизъюнктов (членов
дизъюнкции) истинен, т. е. В = и или С = и. Рассмотрим случай, когда В = и. Так
как формула В содержит меньшее, чем и, количество логических связок, лемма
для В, по индуктивному предположению, выполнена, т. е. имеет место:
1. р*ьР*2, Р*з,-> Р*п Ь В - индуктивное допущение
2. В I- В v С - на основе СА6
3. p*i,p*2,p*3,...,p*„bBvC -сечение к 1,2,
что и требовалось доказать. Аналогично поступаем, когда С = и.
(в2) Пусть А = л. Тогда требуется доказать выводимость
P*i,P*2,pV.,P*»b^(BvC).
Дизъюнкция ложна только в одном случае: когда В = л и С = л. Тогда:
1. р*ь р*2, р*з,- ■., р*п I 'В - индуктивное допущение
2. р*ьР*2, р*з>-••> P*n I 'С - индуктивное допущение
3. -iB, -.С I i(B v С) - Упражнение 2г к § 2 данной главы
4. р*1,р*ьр*з p*b-.Ch-,(BvC) -сечение к 1,3
5. р*ь р*2, р*з,..., р*п I '(В v С) - перестановка, сечение 2, 4,
что и требовалось доказать. Пункт (в) обоснован.
(г) А = В z> С.
Пусть А = и. Это означает, что надо доказать
р*1,р*2,р*з,...,р*„ЬВ^С.
Формула В з С является истинной в двух случаях: когда В = л или когда
С = и. Рассмотрим каждый их этих случаев.
(г1) Пусть В = л. Тогда по индуктивному предположению имеет место
выводимость:
1. p*i,p*2, р*з>---, P*n I >В - индуктивное допущение
2. -iB \- В Z) С - по закону отрицания антецедента
3. р*ьр*2, р*з,.,Р*п Н- В=зС -сечение к 1,2,
что и требовалось доказать.
(г2) Пусть С = и. Тогда имеет место:
1. p*i,p*2, р*з,---> P*n ^ С - индуктивное допущение
2. С Ь В => С - по схеме СА1
3. р*ьр*2,р*3,...,р*п(-ВзС -сечение 1,2,
что и требовалось доказать.
(гЗ) Пусть теперь А = л. Это означает, что надо доказать
154

Р*ъР*2,Р*з,...,Р*„Ь-^(В^С).
Импликация принимает значение «ложь» только однажды: когда В = и, а
С=л. Отсюда получаем:
1. р*ь р*2, р*з,..., р*п ЬВ - индуктивное допущение
2. р*ьр*2, р*з,..., р*п I 'С - индуктивное допущение
3. В,-iC I (В d С) - Упражнение 2г к § 2 данной главы
4. р*ьр*2, р*з,...,р*„,-.С I (ВэС) -сечение к 1,3
5. р*ь р*2, р*з,-.., p*n I (В zd С) - перестановка, сечение 4, 2,
что и требовалось доказать. Пункт (г) обоснован.
Итак, все возможные случаи индуктивных шагов рассмотрены. Тем самым
лемма доказана.
Метатеорема 5. Исчисление САР семантически полно.
Доказательство.
Пусть дана произвольная тождественно-истинная формула А. Так как она на
всех наборах значений пропозициональных переменных принимает значение
«истина», то, согласно только что доказанной лемме, для каждого такого набора
будет иметь место выводимость р*ь р*2> р*з,-, P*n Н А. В частности, будут
верны следующие выводимости:
1- Р*ъР*25Р*з,.--,Р*п Ь А -по лемме
2. р*ьР*2, Р*з,...,р*п-ь-iPnl-А -по лемме
Продолжая далее рассуждение, имеем:
3. р*ьР*2, Р*з,...,Р*п-1 Ь Рп=> А - теорема дедукции к 1
4. р*ь р*2, Р*з,- • •, P*n-i I 'Рп = А - теорема дедукции к 2
5. р„ z> А, -.р„ з A, (pn v —,р„) I- А - выводимость на основе СА8
6. р*1,р*2, p*3,---,pVb-ipn=5 A, (pn v-,pn) I-А -сечение к 3,5
7. p*i,p*2, р*з,---, Р*в-ь (Pn v -'Pn) ЬА - перестановка, сечение к 4, 6
8. Ь- (pn v -.рп) - Упражнение 4 к § 2 данной главы
9. р*ь р*2, р*з,..., р*„-1 ЬА - перестановка, сечение к 8, 7.
В итоге этого рассуждения удалось показать, что одна из
пропозициональных переменных, а именно переменная р„, может быть исключена из числа
посылок при выведении тождественно-истинной формулы А. Повторяя данное
рассуждение нужное число раз по отношению к другим пропозициональным
переменным, можно обосновать, что и они могут быть исключены из числа
посылок. Отсюда следует, что тождественно-истинная формула доказуема из пустого
числа посылок, т. е. является теоремой - I- А. На этом доказательство метате-
оремы завершено.
Конъюнктивное объединение доказанных метатеорем о семантической
непротиворечивости и полноте дает нам метатеорему об адекватности
синтаксиса и семантики исчисления САР:
155

Метатеорема 6. Синтаксис и семантика системы САР адекватны
друг другу, т. е.
V А(САР I- А <=> 1= А).
Эта метатеорема говорит о том, что наше аксиоматическое исчисление САР
адекватно формализует содержательное понятие логического закона
(тождественно-истинной формулы) логики высказываний. Кроме того, наше исчисление
также адекватно формализует и содержательное понятие логического
следования этой логики.
Введем теперь еще одно важное понятие - понятие синтаксической
полноты (максимальности) для произвольной логической теории Т,
сформулированной с помощью схем аксиом.
Логическая теория Т, сформулированная с помощью схем аксиом,
считается синтаксически полной (максимальной), если к ней нельзя
присоединить без противоречия ни одной недоказуемой в ней схемы
формул, т. е.
V А(Т У- А => система Т + А - синтаксически противоречива),
где А - схема формул, а под Т + А имеется в виду система Т, обогащенная
новой аксиомой схемой, в качестве которой берется недоказуемая в Т схема А.
Метатеорема 7. Система САР синтаксически полна (максимальна) в
указанном смысле.
Доказательство.
1. Допустим, что система САР не максимальна.
2. Это означает, что в САР существует недоказуемая в ней схема формул
А(ВЬ В2,..., Вп), где Вь В2,..., В„ - все метапеременные, входящие в А, и при
этом система САР + А синтаксически непротиворечива.
3. Тогда в силу метатеоремы об адекватности САР и в силу недоказуемости
схемы А в САР имеем: САР 1£ А.
4. Последнее означает, что найдется такой набор значений для метапере-
менных Вь В2,..., В„, входящих в схему А, на котором данная схема принимает
значение «ложь».
5. Рассмотрим этот набор значений и построим по нему следующим
образом формулу А': если некоторая метапеременная Bi на данном наборе
принимает значение «истина», то заменим эту метапеременную везде, где она
встречается в схеме А, формулой pi v —.р; (ведь Bi - это любая формула), а если
метапеременная Bj принимает значение «ложь», то заменим ее таким же образом
на формулу pi & —.pj.
6. Построенная так формула А' есть частный случай новой схемы аксиом А,
а потому является аксиомой системы САР + А. Но так как все аксиомы
являются и теоремами, то мы имеем: САР + А I- А'.
7. Но А' является тождественно-ложной формулой, так как мы заменили в
схеме аксиом А все метапеременные Вь принимавшие на указанном наборе
значение «ложь» на тождественно-ложные формулы, а метапеременные Вь прини-
156

мавшие на этом же наборе значение «истина», на тождественно-истинные
формулы (читателям предлагается проверить этот факт на примерах).
8. Тогда, по смыслу знака отрицания, 1= —.А', и в силу метатеоремы о
семантической полноте системы САР получаем, что САР I .А'.
9. Но так как всякая теорема САР является и теоремой более сильной
системы САР + А, имеем: САР + А I А'.
10. Итак, в системе САР + А найдена формула А', такая, что как она сама,
так и ее отрицание являются доказуемыми формулами (пункты 6 и 9), т. е.
система САР + А, по определению синтаксической противоречивости,
противоречива.
11. Следовательно, наше допущение неверно, и система САР максимальна.
Метатеорема доказана.
В то же время система САР в силу отсутствия в ней правила подстановки
допускает присоединение к себе недоказуемых в ней конкретных формул. И
понятно почему. Иначе бы введенное нами выше понятие вывода оказалось
бессмысленным.
3.5. Разрешимость системы САР
Еще одним важным свойством теорий является свойство их разрешимости.
Логическая теория называется разрешимой, если существует
эффективная процедура (алгоритм), позволяющая для любой формулы
языка данной теории в конечное число шагов ответить на вопрос,
является ли эта формула теоремой или нет.
Метатеорема 8. Исчисление САР разрешимо.
Требуемой процедурой не является процедура построения доказательства,
так как в этом случае мы можем получить ответ только на одну часть указанного
вопроса. Доказательство формулы А, когда оно построено, отвечает
положительно - «да, данная формула является теоремой». Однако если доказательство
не построено, то нельзя сказать, что формула не теорема. Ведь мы можем по
разным причинам не доказать некоторую формулу: не хватило
сообразительности, не хватило терпения, помешала усталость и т. д.
Однако, пользуясь метатеоремой об адекватности, можно свести вопрос -
является ли некоторая формула теоремой - к вопросу, является ли некоторая
формула тождественно-истинной. Ответ на последний вопрос вполне
конструктивен, алгоритмичен. Так как любая формула - это конечный объект, т. е.
объект, который содержит конечное число символов, в частности конечное число
пропозициональных переменных, мы всегда можем в конечное число шагов
построить таблицу истинности для данной формулы и установить, является она
тождественно-истинной или нет. В том случае, когда формула оказывается
тождественно-истинным выражением, мы получаем ответ - «да, данная формула
теорема системы», если же таблица истинности дает нам отрицательный резуль-
157

тат, т. е. демонстрирует, что формула не является тождественно-истинной, мы
получаем второй вариант ответа - «нет, данная формула не является теоремой»
Итак, исчисление высказываний разрешимо.
Упражнения
1. Покажите доказуемость всех схем аксиом системы САР в натуральном
исчислении высказываний.
2. Докажите производность правил &и, vB, —ц\ и vH натурального
исчисления в аксиоматическом исчислении высказываний САР.
3. Покажите, что добавление к классическому исчислению высказываний
АР формулы (р & —iq) z> г в качестве новой аксиомы делает систему
синтаксически противоречивой.
4. Докажите теорему дедукции для системы АР.

Глава V
КЛАССИЧЕСКАЯ ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ
§1. Язык логики предикатов
1.1. Алфавит логики предикатов первого порядка
Рассмотренная в главе III классическая логика высказываний является
весьма бедной логической теорией. С ее помощью выделяется сравнительно узкий
класс логически истинных высказываний, в ее рамках можно обосновать
правильность лишь достаточно ограниченного числа дедуктивных умозаключений.
Причиной указанной ограниченности классической логики высказываний
являются недостаточные выразительные возможности ее языка. Действительно,
решая в рамках этой логики вопросы о логической истинности высказываний, а
также вопросы о правильности или неправильности умозаключений, мы
отвлекаемся от внутренней структуры простых предложений, заменяя их
пропозициональными переменными. Однако во многих случаях логическая истинность
высказывания и правильность умозаключения как раз и обусловливаются
особенностями внутренней структуры простых предложений. Примером подобного
логически истинного выражения является высказывание
«Всякий школьник не остроумен, или некоторые школьники остроумны»,
анализ которого был осуществлен в §3 главы I.
В § 2 той же главы показано, что правильность умозаключения
М. Тэтчер популярнее С. Рушди
М. Тэтчер - британский политик
С. Рушди - британский писатель
Некоторые британские политики популярнее некоторых британских писателей
обусловлена особенностями внутренней структуры его посылок и заключения
(которые являются простыми предложениями) и не может быть установлена
средствами пропозициональной логики.
Адекватный логический анализ высказываний и умозаключений этого
типа может быть осуществлен лишь в рамках таких логических теорий, которые
строятся с использованием формализованных языков с большими
выразительными возможностями. Для этого необходимо, чтобы данные языки позволяли
выражать логические формы простых высказываний, раскрывая при этом их
внутреннюю структуру, т. е. указывали на то, какого типа логические и
нелогические термины входят в состав высказываний и каким образом эти термины
сочленяются между собой.
В данной главе будет рассмотрен один достаточно богатый
формализованный язык - язык логики предикатов первого порядка. С помощью этого языка
можно весьма детально выражать внутреннюю структуру простых
высказываний. В рамках этого языка будет сформулирована логическая теория - класси-
159

ческая первопорядковая логика предикатов. Она называется первопорядковой
потому, что в данной теории разрешается связывать кванторами
(квалифицировать) переменные единственного типа - индивидные переменные, т. е.
переменные, возможными значениями которых являются индивиды - объекты нулевого
порядка, и приписывать им предикаты первого порядка.
Кванторная теория, в частности логика предикатов, - это
логическая теория, язык которой позволяет анализировать высказывания
и умозаключения с учетом внутренней структуры простых
высказываний.
Построение формализованного языка начинается, как уже говорилось, с
задания его алфавита - совокупности исходных символов, которые
подразделяются на нелогические, логические и технические.
Нелогическими (дескриптивными) символами данного формализованного
языка являются параметры нелогических терминов естественного языка,
относящиеся к различным категориям - именам, предметным функторам и преди-
каторам.
Первую группу символов составляют индивидные константы - параметры
собственных имен естественного языка. В качестве символов указанного типа
будем использовать буквы а, Ь, с и d без индексов или с индексами (в качестве
которых используем целые положительные числа):
а, Ь, с, d, а,, Ь,, с,, db а2,...
При переводе выражений естественного языка на язык логики предикатов
простые имена заменяются предметными константами, причем одинаковые
имена - одинаковыми символами из данного списка, а различные - различными.
Вторую группу нелогических символов составляют п-местные предметно-
функциональные константы (п > 1) - параметры и-местных функторов
естественного языка:
f, g", hn, fA gln, hA fA-
Верхний индекс указывает на местность константы. Одноместный
предметный функтор «столица» может быть замещен, например, константой f1, а
двухместный предметный функтор «расстояние от... до...» - параметром g2.
Третью группу составляют п-местные предикаторные константы (п > 1) -
параметры предикаторов естественного языка:
Рп, Q", R", Sn, PA QA RA S," РА-
Верхний индекс опять-таки указывает на местность константы.
Одноместный предикатор «человек» может быть замещен, например, предикаторной
константой Р1, а двухместный предикатор «севернее» - параметром Q2.
Иногда верхние индексы предметно-функциональных и предикаторных
констант опускают. В этом случае запрещается использовать один и тот же
символ в качестве параметров для функторов и предикаторов различной местности.
160

Помимо параметров нелогических терминов естественного языка в языке
логики предикатов имеется еще одна группа нелогических (дескриптивных)
символов. Это так называемые предметные (индивидные) переменные:
Х,у, Z,X\,y\, Z\,Xi,...
Логические символы языка классической логики предикатов бывают двух
типов. К первому относятся пропозициональные связки - знаки функций
истинности. Выберем в качестве исходных связок —,, &, v, г>, которые составляют
функционально полную систему. Ко второму типу относятся кванторы: V -
квантор общности и 3 - квантор существования.
Техническими символами являются левая и правая скобки^ а также запятая.
Построение алфавита языка логики предикатов завершено.
1.2. Термы и формулы логики предикатов первого порядка
В языке логики предикатов имеются два типа правильно построенных
выражений - термы и формулы. При этом результатом символической записи
имен (как простых, так и сложных) естественного языка являются термы, а
высказываний - формулы.
Определение терма:
1. Произвольная предметная константа является термом.
2. Произвольная предметная переменная является термом.
3. Если Ф - и-местная предметно-функциональная константа, а
tb t2,..., tn - термы, то выражение 0(tb t2,..., tn) является термом.
4. Ничто иное не является термом.
Выражения, указанные в пунктах 1 и 2 данного определения, называются
простыми термами, а те, которые указаны в пункте 3, - сложными.
Символы a, bi, с3, например, относятся к числу термов согласно п.1
определения, а символы х2, у, гю являются термами согласно п.2. Символы f1, Р2 и V не
являются термами, поскольку не относятся ни к числу предметных констант или
предметных переменных, ни к числу выражений вида <D(tb t2,..., t„).
Определим, является ли термом выражение fl(g2(x, а)). Данная
последовательность знаков имеет вид O(t), где Ф есть f1 - одноместная предметно-
функциональная константа. Согласно п.З, данное выражение есть терм, если t,
т. е. g2(x, а), является термом. Выражение g2(x, а) имеет вид Ф(1:ь t2), где Ф есть
g2 - двухместная предметно-функциональная константа, tt есть х - терм
(согласно п.2), t2 есть а - терм (согласно п.1). Поэтому, согласно п.З, g2(x, а) является
термом. Значит, и выражение f'(g2(A;, а)) - терм.
Выражение P^g2^, а)) не является термом, поскольку оно начинается не с
предметно-функциональной, а с предикаторной константы. Выражение вида
h2(g2(x, а)) не является термом, так как оно начинается с двухместной
предметно-функциональной константы h2, а в скобках после нее находится один терм
g2(jc, а), а не два терма, как того требует п.З определения.
6 Введение в логику
161

Поясним на примерах, каким образом осуществляется перевод имен
естественного языка на язык логики предикатов.
Пусть простому имени «4» соответствует предметная константа а, а
простому имени «5» - константа Ь, одноместному предметному функтору «V»
сопоставим одноместную предметно-функциональную константу f1 (или просто f), а
двухместному функтору «+» - двухместную предметно-функциональную
константу g2 (или просто g). Тогда при переводе на язык логики предикатов
сложным именам будут соответствовать следующие термы:
имени « V4 » - терм f(a),
имени «4 + 5» - терм g(a, b),
имени «5 + 4» - терм g(b, а),
имени « V4 + 5» - терм g(f(a), b),
имени « V4 + 5 » - терм f(g(a, b)),
имени «(4 + 4) + (5 + 5)» - терм g(g(a, a), g(b, b)).
Пусть теперь константа а сопоставлена простому имени «Москва», b -
имени «Киев», с - «Россия», d - «Украина»; одноместному предметному функтору
«столица» сопоставим символ f, а двухместному функтору «расстояние от...
до...» - символ g. Тогда при переводе на язык логики предикатов сложным
именам будут соответствовать следующие термы:
«столица России» - f(c),
«расстояние от Москвы до Киева» - g(a, b),
«расстояние от Москвы до столицы Украины» - g(a, f(d)),
«расстояние от столицы России до Киева» - g(f(c), b).
Другой тип правильно построенных выражений языка логики предикатов -
формулы.
Определение формулы:
1. Если П - «-местная предикаторная константа, tb t2,..., tn - это
термы, то выражение II(ti, t2,..., tn) является формулой.
2. Если А - формула, то -iA - формула.
3. Если А и В - формулы, то (А & В), (A v В), (А з В) - формулы.
4. Если А - формула, а а - предметная переменная, то VaA и ЗаА
являются формулами.
5. Ничто иное не является формулой.
Формулы, задаваемые пунктом 1 данного определения, называют
элементарными или атомарными, а все остальные - сложными или молекулярными.
Элементарной является, например, формула Р2(х, 1*(а)), поскольку Р2 -
двухместная предикаторная константа, а в скобках после нее находятся два
терма -х и f*(a). Выражение Q'(jf, f'(a)) не является формулой, так как константа Q1 -
одноместная и после нее в скобках должен стоять один, а не два терма.
Выражение Р2(дс, Q!(a)) также не относится к числу формул, ибо Q'(a) не есть терм.
162

Выражение VjcP2(x, f'Ca)) является формулой согласно п.4 определения,
поскольку после кванторного символа V находится предметная переменная х, а
далее - формула P2(x, ^(а)). Выражение VaP2(x, ^(а)) не есть формула, поскольку
после V стоит не предметная переменная, а предметная константа а. Выражение
\/xg2(x, f'(a)) также не является формулой, так как после кванторного комплекса
Vx находится терм g2(x, f'(a)), а не формула.
Простые высказывания, в которых утверждается наличие свойства у
отдельного предмета, записываются в языке логики предикатов посредством формул
вида n^t), где t есть терм, соответствующий имени предмета, а П1 -
одноместная предикаторная константа, соответствующая знаку свойства. Например,
переводом высказывания «Ромео - юноша» может быть формула Р(а), где
предметная константа а соответствует имени «Ромео», а одноместная предикаторная
константа Р - знаку свойства «юноша». Высказывание «Отец Ромео храбр»
может быть записано в виде Q(f(a)), если одноместному предметному функтору
«отец» сопоставить одноместную предметно-функциональную константу f, а
знаку свойства «храбрый» - одноместную предикаторную константу Q.
Высказывания, в которых отрицается наличие свойства у отдельного
предмета, переводятся на язык логики предикатов посредством формул вида —ill1(t).
Например, переводом высказывания «Отец Ромео не является юношей» будет
формула -.P(f(a)).
Высказывания, в которых утверждается наличие отношения между двумя
предметами, записываются в виде формул n2(tb t2), где П2 - двухместная
предикаторная константа, соответствующая знаку двухместного отношения, a ti и t2 -
термы, соответствующие именам предметов. Например, высказывание «Ромео
любит Джульетту» может быть записано в виде R(a, b), где R соответствует
двухместному предикатору «любит», а а и b - именам «Ромео» и «Джульетта»,
соответственно. Переводом высказывания «Джульетта любит саму себя» будет
формула R(b, b), а переводом высказывания «Джульетта любит своего отца» -
R(b, f(b)).
Высказывания, в которых отрицается наличие отношения между двумя
предметами, выражаются с помощью формул вида —ill2(t1, t2). Например,
переводом высказывания «Отец Ромео не любит отца Джульетты» является
формула -ада), f(b)).
Вообще, высказывания о наличии отношения между п предметами
записываются в виде n"(tb t2,..., tn), где П" - и-местная предикаторная константа,
соответствующая знаку «-местного отношения. Например, высказывание
«Джульетта любит Ромео больше, чем своего отца» может быть записано в виде формулы
Ri(b, a, f(b)), где R! - трехместная предикаторная константа, соответствующая
трехместному отношению «любит больше, чем».
Высказывания об отсутствии отношения между п предметами переводятся
посредством формул вида —.nn(ti, t2,..., t„).
Высказывания, в которых говорится о существовании объекта,
удовлетворяющего некоторому условию, записываются в языке логики предикатов
посредством формул вида ЗаА(а), где а - индивидная переменная, пробегающая
163

по области объектов, о которых идет речь в высказывании, а А(а) - формула,
выражающая утверждение о том, что а удовлетворяет условию А. Например,
высказывание «Кто-то является храбрым» может быть переведено формулой
3xQ(x), где х здесь и далее пробегает по классу людей, a Q - одноместная пре-
дикаторная константа, соответствующая предикатору «храбрый».
Высказывание «Кто-то не является храбрым» может быть записано как Зле—>Q(jf).
Высказывание «Кто-то любит Джульетту» переводится с помощью формулы вида
3xR(x, b), где R соответствует двухместному предикатору «любит», a b -
имени «Джульетта». Высказывание «Джульетта любит кого-нибудь» может быть
записано в виде 3xR(b, х), а высказывание «Кто-то не любит самого себя» - в
виде Эх—>Щх, х).
Высказывания, в которых утверждается, что условию А удовлетворяет
любой объект предметной области, переводятся на язык логики предикатов
формулами вида VaA(ot). Например, высказыванию «Все являются храбрецами»
соответствует VxQ(jc), высказыванию «Всякий любит Джульетту» - VxR(x, b),
высказыванию «Никто не любит отца Ромео» - Vjc-iR(x, f(a)), высказыванию
«Отец Ромео не любит никого» - Vx-iR(f(a), х).
Простые высказывания могут содержать в своем составе несколько
кванторов. Поясним на примерах, каким образом осуществляются переводы на язык
логики предикатов в подобных случаях.
Высказыванию «Каждый любит кого-нибудь» соответствует формула
Vx3jR(x, у), высказыванию «Кто-то кого-то не любит» - формула 3x3j-iR(x, у),
высказыванию «Кто-то любит Ромео больше, чем кого-либо» - формула
ЗхУуЩх, я, у).
В состав каждого из рассмотренных ранее высказываний входил только
один предикатор - «юноша», «храбрый», «любит» или «любит больше, чем».
Однако простые высказывания могут содержать два, три и более предикаторов.
Каким же образом осуществляется их формальная запись? Если подобное
высказывание содержит квантор, то его переводом будет формула вида ЗаА(а) или
УаА(а) с той лишь разницей, что условие А(а) будет иметь более сложную
структуру.
Начнем с формальной записи высказываний, содержащих два одноместных
предикатора. Высказывание «Некоторый юноша храбр» может быть переведено
на формальный язык посредством формулы 3x(P(x) & Q(x)), которая имеет
следующий буквальный смысл (с учетом того, что константам Р и Q соответствуют
предикаторы «юноша» и «храбрый») - «Существует объект х (человек), который
является юношей и является храбрым». Этот смысл в точности соответствует
смыслу исходного высказывания. Высказывание «Всякий юноша храбр» может
быть записано как Vx(P(x) =з Q(x)). Буквальный смысл этой формулы - «Для
всякого объекта х (из класса людей) верно, что если он юноша, то он храбр» -
также соответствует смыслу исходного высказывания. Отрицательные
высказывания «Некоторый юноша не храбр» и «Ни один юноша не храбр» могут быть
переведены, соответственно, формулами 3x(P(x) & -iQ(x)) и \/х(Р(х) з —,Q(x)).
164

Рассмотрим теперь простые высказывания с одним одноместным и одним
двухместным предикатором.
Например, переводом высказывания «Некоторый юноша любит Джульетту»
будет формула Зх(Р(дг) & Щх, Ь)) - «Существует человек х такой, что он
является юношей и любит Джульетту». Переводом высказывания «Джульетта любит
какого-то юношу» является формула 3jc(P(jc) & R(b, дс)) - «Существует человек х
такой, что он является юношей и Джульетта любит его». Переводом
высказывания «Каждый юноша любит Джульетту» является формула Vjc(P(jc) => Щх, Ь)) -
«Для всякого человека х верно, что если он юноша, то он любит Джульетту».
Более трудными являются случаи, когда в состав высказываний об
отношениях входят несколько одноместных предикаторов. Рассмотрим, например,
высказывание «Всякий юноша любит какую-нибудь девушку». Как и раньше, пре-
дикаторам «юноша» и «любит» сопоставим константы Р и R, а одноместному
предикатору «девушка» сопоставим одноместную предикаторную константу S.
Тогда формальная запись нашего высказывания может иметь следующий вид:
Vjc(P(jc) id 3y(S(y) & Щх,у))). Буквальный смысл этой записи с учетом принятых
обозначений - «Для всякого л; из класса людей, верно, что если он юноша, то
существует у из этого же класса такой, что он девушка и л: любит j» - в точности
соответствует смыслу исходного высказывания. Высказывание «Некоторые
юноши любят всякую девушку» может быть выражено формулой Здс(Р(лс) &
Vx(S(j) г> Щх, у))) - «Существует человек х из класса людей такой, что он
юноша и для всякого человека j; верно, что если у - девушка, то х любит у».
Соответствующим переводом высказывания «Некоторые юноши не любят ни одной
девушки» является формула Зх(Р(х) & Vy(S(y) з —,Щх,у))).
Приведем еще несколько достаточно трудных примеров формальной записи
простых высказываний естественного языка:
«Всякий храбрец является юношей или девушкой» -
Vx(Q(x) з (P(jc) v S(*)));
«Всякая храбрая девушка не любит ни одного нехраброго юношу» -
Vx((S(x) & Q(x)) з VK(P(k) & -nQOO) z> -Щх,у)));
«Всякий юноша любит некоторую девушку больше, чем отца этой девушки» -
Vx(P(x) з 3y(S<» & Щ(х,у, f(y))));
«Некоторая девушка, отец которой храбр, любит его больше, чем некоторого не
храброго юношу» -
3x(S(x) & Q(f(x)) & 3j((P(v) & -,QO0) & Щ(х, f(x),y))).
1.3. Прикладной язык логики предикатов
Часто бывает удобно использовать несколько модифицированный язык
логики предикатов, когда в списке нелогических символов его алфавита
сохраняются без изменения лишь предметные переменные. Вместо же параметров в
язык вводят конкретные слова и словосочетания естественного языка, а именно
165

I
имена, предметные функторы и предикаторы. Правила образования термов и
формул сохраняются с той лишь разницей, что там, где ранее речь шла о
параметрах определенных типов, теперь имеются в виду нелогические термины
естественного языка соответствующих категорий.
В результате указанной модификации получается так называемый приклао-
ной первопорядковый язык логики предикатов. Этот язык не предназначен для
выражения логических форм высказываний естественного языка, поскольку он
содержит не параметры имен, предметных функторов и предикаторов, а сами
эти термины. В рамках прикладного языка логики предикатов можно
стандартным и точным образом представлять информацию, которую содержат
высказывания естественного языка, так как повествовательные предложения, будучи
переведенными в данный язык, приобретают жесткую логическую структуру и не
допускают различных трактовок своего логического содержания.
Приведем примеры записи высказываний естественного языка в прикладном
языке логики предикатов:
а) «Всякий человек смертен» -
\/лг(Человек(д:) з Смертен(л;));
б) «Температура Солнца выше температуры Земли» - ;
Выше(Температура(Солнца), Температуры(Земли)); *
в) «Всякий студент изучает какую-нибудь науку» -
\/х(Студент(л:) z> 3j(HayKa(j) & Изучает^, у)));
г) «Квадрат любого четного числа больше 1» -
\/х(Четное число(дс) з БолыиеСКвадрат^), 1)).
Для языка логики предикатов характерно префиксное употребление
предметно-функциональных символов в сложных термах и предикаторных символов
в атомарных формулах. Иначе говоря, предметно-функциональный символ Ф"
располагается в начале терма ФП(ЧЬ t2,..., tn), а предикаторный символ П"
располагается в начале формулы nn(ti, t2,..., tn). В естественном языке префиксное
употребление предметных функторов и предикаторов встречается достаточно
редко. Поэтому прикладной язык логики предикатов может быть приближен к
естественному языку также и за счет отказа от обязательного префиксного
использования предметно-функциональных и предикаторных знаков. Например,
запись «Квадрат^)» может быть заменена на более привычную - «t2», запись
«Четное число (t)» - на «t - четное число», запись «Больше (tb t2)» - на «t1 > t2».
Тогда перевод высказывания (г) будет выглядеть так:
Ух{х - четное число з х2 > 1).
1.4. Синтаксические понятия логики предикатов
Введем несколько важных синтаксических понятий, относящихся к языку
логики предикатов.
Область действия квантора.
В формулах вида VotA и ЗаА формула А называется областью
действия квантора (V или 3) по переменной а.
166

Например, в формуле Ух(3у—Р(х, у) z) Q(y, z)) областью действия квантора
V по переменной д: является формула Зу-тР(х, у) :э Q(y, г), а областью действия
квантора 3 по переменной у - формула —,¥(х,у):
Vx(3y-iP(x,y)^Q(y,z)):
: | | i область действия квантора 3 по у
область действия квантора V по х
В произвольной формуле каждая предметная переменная встречается
некоторое число раз (это число может быть равно 0, 1, 2 и т. д.). Иначе говоря,
переменная имеет некоторое число вхождений в данную формулу. Например, в
формуле Vx(3j-iP(x, у) zd Q(y, z)) переменная х имеет два вхождения, у - три
вхождения, z -одно вхождение, а остальные переменные - ни одного вхождения.
Свободные и связанные вхождения переменных.
Вхождение предметной переменной в некоторую формулу
называется связанным, если оно следует непосредственно за квантором или же
находится в области действия квантора по данной переменной. В
противном случае вхождение переменной называется свободным.
Например, в формуле, указанной выше, первые вхождения переменных х и у
связаны, поскольку они следуют непосредственно за кванторами V и 3. Второе
вхождение х находится в области действия квантора V по переменной х, т. е. в
формуле 3j-iP(x, у) z> Q(y, z), а второе вхождение у расположено в области
действия квантора 3 по переменной у, т. е. в формуле —iP(x, у), поэтому указанные
вхождения являются связанными. Что же касается третьего вхождения
переменной у и единственного вхождения г, то они являются свободными.
Vx(3y-^P(x, у) z> Q(y, z))
| | : : | | свободные вхождения переменных
связанные вхождения переменных
Свободные и связанные переменные.
Предметная переменная называется свободной в некоторой формуле,
если существует по крайней мере одно ее свободное вхождение в эту
формулу. Переменная называется связанной в формуле, если
существует по крайней мере одно ее связанное вхождение в эту формулу.
Например, в рассматриваемой формуле свободными являются переменные у
и г, а связанными - переменные х и у. Обратим внимание на то, что одна и та же
переменная может быть и свободной, и связанной в некоторой формуле. В
нашем примере такой переменной является у, которая имеет как свободное, так и
связанное вхождение в указанную формулу.
Местность терма.
Местность терма есть число входящих в него различных
предметных переменных.
167

Замкнутые термы.
Терм, не содержащий в своем составе предметных переменных,
называется замкнутым.
Например, терм f(jc, у, z) является трехместным, так как именно это число
различных переменных встречается в его составе, термы f(x, Ъ, z) и f(x, у, у) -
двухместные, терм i{x, b, а) - одноместный, а терм f(c, b, а) - нульместный, т. е.
замкнутый терм. Замкнутые (нульместные) термы являются аналогами имен
естественного языка; поэтому и результатом перевода любого имени
естественного языка на язык логики предикатов должен
являться именно замкнутый терм.
Не следует путать местность функтора и местность терма, который строится
из функтора и имеющихся термов за счет их конкатенации (сочленения). В
нашем примере функтор f не изменяет свою местность и постоянно остается
трехместным, так как именно это количество аргументов требуется для построения с
его помощью именных форм (термов). Сами же термы могут быть разной
местности - как меньшей, чем местность функтора, так и большей.
Местность формулы.
Местность формулы логики предикатов первого порядка есть число
входящих в нее различных свободных предметных переменных.
Замкнутые формулы {предложения).
Формула, не содержащая свободных переменных, называется
замкнутой. Замкнутые формулы есть предложения.
Обратите внимание на принципиальное отличие определения местности
формулы в логике высказываний и логике предикатов. Если в логике
высказываний местность формулы определялась простым подсчетом числа различных
пропозициональных переменных, входящих в ее состав, то в логике предикатов
мы должны подсчитывать не просто различные индивидные переменные,
входящие в формулу, а именно различные свободные индивидные
переменные. С учетом только что сказанного формула Vjc(3y-iP(jc, у) z> Q(y, z))
является двухместной, поскольку она содержит две различные свободные
переменные - у и z, а формула 3zVx(3y-iP(x, у) zd VjQ(j, z)) не имеет ни одной
свободной переменной, поэтому она нульместная, т. е. замкнутая.
Результатом перевода произвольного высказывания естественного
языка обязательно должна быть замкнутая формула.
Из формул, содержащих свободные индивидные переменные, и в силу этого не
имеющих оценок «истина» или «ложь», можно образовать истинное или ложное
предложение за счет элиминации свободных переменных двумя способами:
1) подстановкой вместо свободных индивидных переменных замкнутых
термов, или
2) квантификацией свободных индивидных переменных.
168

Так, применяя к выражению прикладного языка логики предикатов
первого порядка х <у, где х иу пробегают по натуральным числам, первый способ
элиминации свободных переменных, т. е. подставляя вместо х, скажем, терм
5 + 4, а вместо у терм V81, получим выражение 5 + 4 < \81, которое является
ложным предложением. Применяя же к этому выражению второй способ
элиминации свободных переменных - квантификацию переменных, можно
получить, например, выражение \/хЗу(х < у), которое является истинным
предложением, утверждающим, что в натуральном ряду чисел относительно любого
числа существует число, которое больше его, т. е. утверждающего, что
натуральный ряд чисел бесконечен. При другой расстановке кванторов можно
получить, например, выражение Зу\/х(х < у), которое является ложным
предложением, так как утверждает, что в натуральном ряду чисел есть наибольшее
число, но такого числа, как известно, нет. Отсюда видно, что замкнутые выска-
зывательные формы действительно являются предложениями.
Упражнения
1) Выразите логическую форму терминов и высказываний в языке логики
предикатов:
а) мать Ивана, б) дед матери Ивана, в) отец Петра,
г) возраст деда матери Ивана, д) возраст отца Петра
е) разность в возрасте деда матери Ивана и отца Петра.
ж) Протяженность границы между Россией и Монголией не превышает
протяженности границы между Китаем и Россией.
з) Либо каждый любит кого-нибудь и ни один не любит всех, либо некто
любит всех, и кто-то не любит никого.
и) Каждый англичанин ценит Шекспира выше, чем какого бы то ни было
современного драматурга.
к) Население Москвы больше, чем население любого города,
расположенного во Франции.
л) Все водные животные, кроме китов и дельфинов, холоднокровные.
м) Некоторые студенты сдали все экзамены на «отлично».
2) Определите, какие переменные являются свободными и какие
связанными в следующих формулах:
а) Vx(P(x, у) ■=> 3yQ{y, z, х)\
б) 3x(VyQ(y) => Щх,у)) v (VzQ(z) v R(z, *)).
§ 2. Интерпретация и логические отношения в логике предикатов
2.1. Интерпретация языка логики предикатов
Приступим к формулировке в рамках построенного формализованного
языка логической теории — классической логики предикатов первого порядка.
169

Формулы и термы языка исчисления предикатов первого порядка
представляют собой чисто синтаксические объекты, которые имеют только логическое
содержание, но не имеют содержания конкретного. Иначе говоря, имея дело с
термами и формулами языка, мы не знаем о каких объектах они нечто говорят и
что именно говорят. Чтобы это стало известно, необходимо осуществить
интерпретацию различных синтаксических конструкций нашего языка.
Под интерпретацией языка имеют в виду приписывание значений
выражениям языка.
Чтобы была понятна процедура приписывания значений выражениям языка,
мы представим ее поэтапно.
Первый этап.
На этом этапе происходит задание класса допустимых значений
нелогических символов языка. Суть данной процедуры - указать, объекты каких типов
могут быть сопоставлены в качестве значений нелогическим символам
различных категорий. Например, в классической логике высказываний каждой
пропозициональной переменной может быть сопоставлен только один из двух
абстрактных объектов - «истина» или «ложь».
Нелогические символы логики предикатов первого порядка можно
подразделить на два класса. К первому относятся константы (предметные, предметно-
функциональные и предикаторные). Они выступают в качестве параметров
определенных терминов естественного языка и не могут связываться кванторами.
Вторую группу составляют переменные. В первопорядковом языке имеется
только один их тип - предметные (индивидные) переменные. Они могут
связываться кванторами, а их свободные вхождения не являются, с содержательной
точки зрения, параметрами конкретных имен, а выполняют функцию
неопределенных местоимений, которые можно заменять разными именами.
Отмеченные различия констант и переменных будут существенно
учитываться при заданий процедур интерпретации. Приписывание значений этим
нелогическим символам осуществляется таким образом, что при
фиксированной интерпретации констант допускается варьирование
значений предметных переменных.
Процедуре интерпретации параметров языка предшествует выбор
возможной реализации языка. Последний состоит, во-первых, в выборе непустого
множества предметов U, называемого областью интерпретации или универсумом
рассуждения. Условие непустоты U (т. е. наличие в нем, по крайней мере,
одного элемента) является единственным требованием, предъявляемым к области
интерпретации. Таким образом, в классической логике предикатов в качестве
универсума рассуждения может выступать произвольное непустое множество
(например, множество натуральных чисел, множество людей, множество
городов, множество химических элементов и т. д.).
Во-вторых, приписывание значений нелогическим константам языка
осуществляется с помощью выбора особой семантической функции I, называемой
интерпретирующей функцией. Она сопоставляет каждой нелогической константе
170

некоторый объект, заданный на области интерпретации U, причем константам
различных категорий должны сопоставляться объекты различных типов.
Отметим, что при интерпретации любая константа формализованного языка должна
получить тот же тип значения, что и выражение соответствующей категории
естественного языка. Поэтому функция I задается таким образом, что значения
предметных констант оказываются однотипными со значениями имен, значения
предметно-функциональных констант - со значениями предметных функторов, а
значения предикаторных констант - со значениями предикаторов.
Интерпретация предметных констант.
Предметные константы, как уже говорилось, являются параметрами имен
естественного языка. Значениями имен являются отдельные предметы,
индивиды. Поэтому предметным константам в качестве значений также должны
приписываться индивиды, но не любые, а те, которые содержатся во множестве U.
Так, если U есть множество людей, то функция I может приписать в качестве
значения предметной константе а, например, Аристотеля, а константе b - также
Аристотеля или какого-либо другого человека, скажем Сократа. Таким образом:
Функция I сопоставляет каждой предметной константе к
произвольный элемент множества U, т. е.
I(k) е U,
где к - метапеременная, пробегающая по предметным константам языка.
Интерпретация предикаторных констант.
Предикаторные константы являются параметрами предикаторов
естественного языка. Выше отмечалось, что значениями предикаторов можно считать
множества (классы) объектов, причем элементами множеств, представляемых
одноместными предикаторами, являются индивиды, двухместными
предикаторами - пары индивидов, трехместными предикаторами - тройки индивидов и
т. д. Предикаторным константам приписываются значения того же типа, только
это приписывание релятивизируется относительно области интерпретации U.
Одноместной предикаторной константе функция I сопоставляет
произвольное множество элементов универсума U, т. е. значением одноместной
предикаторной константы является некоторое подмножество множества U. Так, если U
есть множество городов, то константе Р1 функция I может приписать, например,
1) пустое множество (например, множество городов, расположенных на
Северном полюсе), 2) множество российских городов, 3) множество городов с
населением более 1 млн. человек, и даже 4) множество всех городов (ведь любое
множество является подмножеством самого себя).
Двухместной предикаторной константе функция I сопоставляет
произвольное множество пар, состоящих из элементов U, т. е. некоторое подмножество
множества U - второй декартовой степени множества U. Если U есть
множество городов, то константе Q2 может быть сопоставлено, например, 1)
множество таких пар городов, первый из которых расположен севернее второго, 2)
множество таких пар городов, первый из которых превосходит по населению вто-
171

рой. Пара городов <Санкт-Петербург, Москва> принадлежит первому из
указанных множеств, поскольку Санкт-Петербург действительно расположен севернее
Москвы, но не принадлежит второму множеству, так как Санкт-Петербург не
превосходит по населению Москву.
Трехместной предикаторнои константе сопоставляется некоторое
множество троек, состоящих из элементов области интерпретации U. Иначе говоря,
значением такой константы является произвольное подмножество множества U3 -
третьей декартовой степени множества U. Например, предикаторнои
константе R3 в случае, если U - множество городов, может быть сопоставлено
множество таких троек городов, первый из которых расположен между вторым и
третьим. В состав данного множества войдет, скажем, тройка <Москва, Киев, Нижний
Новгород>, поскольку Москва расположена между Киевом и Нижним
Новгородом, но не войдет тройка <Киев, Москва, Нижний Новгороде ведь Киев не
расположен между Москвой и Нижним Новгородом. Итак, в общем случае
значением «-местной предикаторнои константы будет некоторый подкласс множества
U" {п-ной декартовой степени U), который представляет собой класс
всевозможных п-ок, составленных из элементов U:
Каждой «-местной предикаторнои константе П" функция I
сопоставляет в качестве значения произвольное множество упорядоченных
последовательностей, состоящих из п таких объектов, которые
являются элементами универсума U, т. е.
1(1Г) с U".
Интерпретация предметно-функциональных констант.
Предметно-функциональные константы - это параметры предметных
функторов естественного языка. Последние репрезентируют (представляют)
функции, аргументами и значениями которых являются индивиды. Поэтому в
логике предикатов при интерпретации предметно-функциональных констант
им также будут сопоставляться предметные функции соответствующей
местности, только релятивизированные относительно универсума рассмотрения U,
т. е. аргументами и значениями указанных функций будут являться элементы
множества U.
Если в качестве универсума U выбрано множество натуральных чисел, то
одноместной предметно-функциональной константе f1 интерпретационная
функция I может, например, сопоставить операцию возведения в квадрат,
поскольку эта операция, во-первых, является одноместной, и, во-вторых, ее можно
задать на множестве натуральных чисел, ведь квадрат любого натурального
числа сам является числом натуральным. При том же универсуме двухместной
предметно-функциональной константе g2 может быть сопоставлена операция
сложения, поскольку она является двухместной и сумма любых двух
натуральных чисел есть натуральное число. Итак:
Каждой «-местной предметно-функциональной константе Ф"
интерпретационная функция I сопоставляет некоторую «-местную функ-
172

цию i\, аргументами и значениями которой являются элементы
множества U, т. е.
1(Фп) = г]:ип ->U.
Описание процедуры интерпретации нелогических констант языка логики
предикатов завершено. Подведем итог сказанному:
Возможной реализацией языка называется любая пара 3 = <U, 1>
такая, что U - непустое множество, а I - функция, удовлетворяющая
следующим условиям:
(l)I(k)sU,
(2) 1(ПП) с Un,
(3)1(Фп) = г):ип ->U.
Существует бесконечное множество возможных реализаций языка логики
предикатов. Они отличаются друг от друга выбором универсума рассуждения U
и интерпретирующей функции I. Выбрав U и I, мы тем самым строго фиксируем
возможную реализацию языка, а потому можем фиксировать и значения
дескриптивных констант языка - индивидных констант, функторов и предикаторов.
Второй этап.
Интерпретация индивидных переменных.
Рассмотрим теперь, как приписываются значения предметным переменным.
Эта процедура также будет релятивизирована относительно универсума U и
связана с выбором особой функции ф - функции приписывания значений
индивидным переменным.
Каждой предметной переменной в качестве значения функция ф
приписывает произвольный элемент множества U, т. е.
ф(а) е U,
где ос - произвольная предметная переменная.
Обратим внимание на то, что с одной и той же возможной реализацией
языка 3 = <U, 1> могут быть связаны различные функции приписывания значений
индивидным переменным, что и будет в конечном итоге вести к варьированию
значений индивидных переменных при фиксированной интерпретации констант.
При этом две такие функции считаются различными, если они
хотя бы одной переменной приписывают разные значения.
Третий этап.
Правила приписывания значения термам.
Значение терма обусловлено выбором конкретной реализации языка
3 = <U, 1> и выбором конкретного приписывания элементов U предметным
переменным, т. е. выбором функции ф.
Покажем, как можно определить значение произвольного терма t в
некоторой конкретной реализации 3 = <U, 1> при некотором приписывании значений
предметным переменным ф. Для этого расширим область определения функции
173

(р на все виды термов и будем далее употреблять запись «|t|p» как сокращение
выражения «значение терма t в реализации 3 при приписывании ф».
Согласно определению терма (см. §1 данной главы), t является: либо 1)
некоторой предметной константой к, либо 2) некоторой предметной переменной
а, либо 3) выражением вида Ф"(гь t2,..., tn), где Фп - и-местная предметно-
функциональная константа, a tb t2,..., tn - термы. Сформулируем правила
установления значения терма t для каждого из этих трех случаев.
(Т1) Если t есть предметная константа к, то его значением в
реализации 3 при приписывании ф является тот индивид, который
интерпретирующая функция I сопоставляет константе к, т. е.
|к|„ = 1(к).
(Т2) Если терм t есть предметная переменная а, то его значением в 3
при приписывании ф является тот индивид, который
приписывается переменной а посредством ф, т. е.
|а|ф = ф(а).
(ТЗ) Пусть t есть сложный терм Ф"(1ь t2,..., tn). Для того, чтобы
установить его значение в 3 при приписывании ф, необходимо:
1) выделить операцию, которую функция I сопоставляет
предметно-функциональной константе Ф", т. е. найти 1(ФП);
2) установить значения термов tb t2,..., tn в той же реализации
при том же приписывании, т. е. найти Itil,,,, |t2|<p,..., |t„^;
3) применить операцию 1(Ф") к аргументам |ti|9, |t2|(p,..., Itnl^.
Результатом применения данной операции к указанным
объектам как раз и является значение терма Ф"(гь t2,..., tn) в 3 при
приписывании ф, т. е.
|Ф"(1Ь t2,..., tn)|9 = [WKit^, |t2|„,..., ц„|ф).
Приведем примеры установления значений термов в конкретной реализации
и при конкретном приписывании значений предметным переменным.
Пусть область интерпретации U есть множество целых положительных
чисел. Пусть интерпретирующая функция I сопоставляет предметной константе а
число 2, одноместной предметно-функциональной константе f - операцию
возведения в квадрат, а двухместной предметно-функциональной константе g -
операцию сложения. Пусть также предметной переменной у функция ф
приписывает значение 1, т. е. ф(у) = 1. Определим, какими значениями в указанной
реализации 3 и при указанном приписывании ср обладают следующие термы:
(a) a; (б) у; (в) f(a); (г) g(y, а); (д) f(g(y, а)); (е) g(f(a), у).
(а) Поскольку а - предметная константа, значением данного терма, согласно
пункту (Т1), является объект, сопоставленный функцией I константе а, т. е.
число 2. Итак, |а|(р = 1(a) = 2.
(б) Поскольку у - предметная переменная, то значением данного терма,
согласно пункту (Т2), является значение, которое ф приписывает переменной у,
т. е. число 1. Таким образом, [у|ф = ф(у) = 1.
174

(в) Установим значение сложного терма f(a). Предметно-функциональной
константе f в нашей возможной реализации сопоставлена операция возведения в
квадрат; значением терма а, как было показано в примере (а), является 2.
Действуя в соответствии с пунктом (ТЗ), мы должны применить операцию 1(f) к
аргументу |а|0, т. е. возвести в квадрат число 2. Полученное в результате этого число
4 является искомым значением терма f(a). Итак, |f(a)|„ = [I(f)](|a|w) = 22 = 4.
(г) Установим значение сложного терма g(j, а). Предметно-функциональной
константе g в нашей возможной реализации сопоставлена операция сложения.
Значениями термов у и а, как было показано в примерах (б) и (а), являются,
соответственно, числа 1 и 2. Чтобы вычислить значение g(y, а), мы должны,
согласно пункту (ТЗ), применить операцию 1(g) к аргументам [у|„ и |а|ф, т. е.
сложить 1 и 2. В результате получим число 3, которое и является значением терма
g(y, а). Таким образом, \g(y, а)|ф = [I(g)](MQ, |а|„) =1+2 = 3.
(д) Для того чтобы установить значение терма f(g(j, а)), необходимо
применить операцию 1(f), т. е. операцию возведения в квадрат, к объекту \g(y, а)|„. Но
значением g(j>, а), как было показано в примере (г), является число 3. Поэтому
возводим в квадрат число 3 и получаем число 9, которое и является значением
терма f(g(j, а)). Таким образом, |f(g(y, а))|„ = [I(f)]([I(g)](M<p, Ю) = З2 = 9.
(е) Для того чтобы установить значение терма g(f(a), у), необходимо сложить
значения термов f(a) и у, т. е. числа 4 и 1 (см. примеры (в) и (б)). Таким образом,
значением g(f(a), у) является 4 + 1, т. е. число 5.
Итак, мы показали, как определяются значения термов в конкретной
реализации и при конкретном приписывании <р значений предметным переменным.
Четвертый этап.
Правила приписывания значений формулам.
Значениями формул в возможной реализации 3 = <U, 1> при
произвольном приписывании ф являются такие объекты, как «истина» и «ложь».
Сформулируем теперь условия истинности и ложности произвольных формул в
реализации 3 при ср. В дальнейшем в качестве сокращения для выражения
«значение формулы F в реализации 3 при приписывании значений предметным
переменным ф» будем использовать запись вида «|F|P». Указание на
приписывание ф здесь особенно важно, постольку поскольку при установлении
истинности или ложности формул вида VaA и ЗаА приходится определять значения
подформул, входящих в эти формулы, варьируя исходное приписывание
значений предметным переменным. Указанная процедура будет осуществляться в
рамках одной и той же возможной реализации, в силу чего в записи «|F|V»
опущены параметры U и I.
В соответствии с приведенным выше определением понятия формулы
(см. §1 данной главы) их (формулы) можно разбить на три группы: это, во-
первых, элементарные формулы - выражения вида nn(tb t2,..., tn), где П" - п-
местная предикаторная константа, а tb t2,..., tn - термы; во-вторых, сложные
формулы, главным знаком которых является пропозициональная связка, - это
выражения видов —iA, (А & В), (A v В) и (A d В), где А и В - формулы; и в-
175

третьих, сложные формулы, главным знаком которых является квантор, - это
выражения видов VotA и ЗаА, где а - предметная переменная, а А -
произвольная формула.
Условия истинности и ложности элементарных формул.
(F1) Пусть F будет элементарной формулой nn(tb t2,..., t„). Чтобы
установить ее значение в возможной реализации 3 при
приписывании (р. надо:
1) выяснить, какое именно подмножество множества U"
сопоставляется предикаторной константе Пп, т. е. найти 1(ПП);
2) определить, какие значения принимают в данной
реализации при данном приписывании ф наши термы tb t2,..., t„, т. е.
найти |т.,|ф, Ц2|ф,..., |1„|ф;
3) и, наконец, установить, является ли полученная таким
образом последовательность объектов <|ti|9, |t2|<p,..., |tn|p> элементом
множества 1(ПП).
Если данная последовательность принадлежит указанному
множеству, то формула nn(tb t2,..., tn) принимает значение
«истина», в противном случае она примет значение «ложь». Таким
образом,
|nn(tb t2,..., t„)|9 = U О <|tI|„, №„,..., |t„|cp> G 1(П"),
|nn(tb t2,..., д|ф=ло <|t,|9, |t2|„,..., |1„|ф> * i(nn).
Для разъяснения данного определения рассмотрим конкретную возможную
реализацию 3 и конкретное приписывание предметным переменным ф, которые
использовались ранее в примерах (а)-(е). Договоримся, что одноместной
предикаторной константе Р интерпретирующая функция I сопоставляет множество
четных чисел, а двухместной предикаторной константе Q - множество таких пар
целых положительных чисел, первое из которых больше второго. Определим,
какие значения в 3 при ф принимают элементарные формулы (ж) Q(f(a), у) и
(з) P(g(j, а)).
(ж) Чтобы установить значение формулы Q(f(a), у) в данной реализации при
данном приписывании, необходимо, согласно (F1), ответить на вопрос,
принадлежит ли пара <|f(a)|9, \у\ф> множеству I(Q). В примерах (в) и (б) было
установлено, что значениями термов f(a) и у при приписывании ф являются,
соответственно, числа 4 и 1. В данной модели I(Q) есть множество таких пар чисел,
первое из которых больше второго. Пара <4, 1 > принадлежит этому множеству, так
как 4 больше 1. Поэтому |Q(f(a), _у)|р = и.
(з) Для установления значения формулы P(g(j, а)) следует выяснить,
принадлежит ли значение терма g(y, а) множеству 1(Р). В примере (г) было показано,
что \g(y, а)|ф = 3. В нашей реализации 1(Р) есть множество четных чисел.
Поскольку число 3 не является четным, формула P(g(y, а)) примет значение л в 3
при приписывании ср.
176

Условия истинности и ложности формул, главным знаком которых
является пропозициональная связка.
Значения сложных формул видов —А, (А & В), (A v В) и (A d В) в
произвольной возможной реализации при произвольном приписывании значений
предметным переменным обусловлены тем, какие значения в той же реализации
при том же приписывании принимают их подформулы А и В. Таким образом,
установив значения А и В в реализации 3 при приписывании ср, мы можем
однозначно определить, какими - истинными или ложными - в этой реализации при
этом приписывании являются формулы —iA, (А & В), (A v В) и (A zd В).
Сформулируем условия истинности и ложности формул указанных типов,
опираясь на смысл пропозициональных связок -i, &, v, =>, зафиксированный в
предыдущих главах.
(Р2)ЬА|ф = ио|А|ф = л.
|-А|ф=л о |А|ф = и.
(F3) |А & В|ф = и <=> |А|Ф = ии |В|Ф = и.
|А & В|ф = л о |А|Ф =л или |В|ф = л.
(F4) |А v В|ф = и о ]А|Ф = и или |В|ф = и.
|А v В|ф = л <=> |А|ф = л и |В|Ф = л.
(F5) |A zd В|ф = и о |А|Ф = л или |В|Ф = и.
|А z> В|ф = л О |А|Ф = ии |В|Ф = л.
Покажем теперь в качестве примера, каким образом в заданной выше
конкретной реализации 3 и при конкретном приписывании ср устанавливаются
значения формул: (и) Q(f(a), у) v P(g(y, а)); (к) -n(Q(f(a), у) v P(g(j, а))) и формулы
Oi)Q(f(a),j0z.P(g(y,a)).
(и) Чтобы установить значение дизъюнктивной формулы Q(f(a), у) v P(g(y, а))
в возможной реализации 3 при приписывании ф, необходимо знать значения ее
подформул, т.е. значения Q(f(a), у) и P(g(y, а)). В примере (ж) было показано,
что |Q(f(a), j»)|0 = и, а в примере (з) - что |P(g(y, а))|ф = л. Поскольку одна из двух
формул принимает в 3 при ф значение и, постольку, согласно (F4), и вся
дизъюнктивная формула истинна в этой реализации при указанном приписывании,
T.e.|Q(f(a),j)vP(g(y,a))|№ = «.
(к) Чтобы определить значение формулы -i(Q(f(a), у) v P(g(y, а))) в 3 при ф,
нужно знать значение ее подформулы, стоящей за знаком отрицания. Как
показано в примере (и), эта подформула истинна в 3 при ф. Поэтому, согласно (F2),
ее отрицание примет значение л, т. е. |-.(Q(f(a), у) v P(g(y, а)))|ф = л.
(л) Чтобы установить в 3 при приписывании ф значение импликативной
формулы Q(f(a), у) r> P(g(y, а)), необходимо знать чему равно значение входящих в
нее подформул. Ранее показано, что ее антецедент Q(f(a), у) является истинным,
а консеквент P(g(y, а)) - ложным. Поэтому, согласно (F5), импликативная
формула принимает значение л, т. е. |Q(f(a),j) з P(g(y, я))\9 =л.
177

Условия истинности и ложности формул, главным знаком которых
являются кванторы.
С содержательной точки зрения выражение вида VaA следует считать
истинным, если каждый индивид предметной области удовлетворяет условию,
выраженному в А. Если же в предметной области существует индивид, не
удовлетворяющий данному условию, то VaA окажется ложным утверждением. Что же
касается выражений вида ЗаА, то их естественно считать истинными в том
случае, когда существует индивид, удовлетворяющий выраженному в А условию, и
ложными, если каждый индивид ему не удовлетворяет.
Разъясним смысл кванторов на простом примере. Пусть на некотором
конечном множестве U, содержащем п элементов, именами которых являются
индивидные константы аь а2,..., а„, задано свойство Р. Тогда утверждение
V*P(x) - «Всякий предмет из универсума U обладает свойством Р» - может
быть заменено конечной конъюнкцией, говорящей о том, что каждый
отдельно взятый предмет из универсума обладает свойством Р, а именно:
УхР(х) = Р(а,) & Р(а2) & ... & Р(а„).
В свою очередь, утверждение вида 3jcP(jc) - «Существует предмет из
универсума U, который обладает свойством Р» - может быть заменено конечной
дизъюнкцией, говорящей о том, что, по крайней мере, один предмет из универсума
обладает свойством Р, а именно:
Эл:Р(дг) = Р(а,) v Р(а2) v ... v Р(а„).
Введение кванторов общности и существования в этом случае не является,
вообще говоря, обязательным. Однако если универсум рассуждения U
представляет собой бесконечное множество, то использование кванторов оказывается
существенным, и без них обойтись уже нельзя. Последнее обусловлено тем, что
мы не можем строить бесконечно длинные формулы.
В логике предикатов условия истинности и ложности формул VaA и ЗаА
в реализации 3 при ф определяются сходным образом. Для того чтобы
установить значения этих формул, осуществляется чисто теоретический
«перебор» (просмотр) всех индивидов из универсума U. Он производится путем
варьирования значения переменной а за счет изменения функции ф, т. е.
рассматриваются все возможные приписывания v|/, сопоставляющие переменной
а различные элементы U, но сохраняющие неизменными (как и при
исходном ф) значения других предметных переменных. Осуществляя разные
приписывания подобного рода, устанавливают, какой - истинной или ложной - в
каждом из этих случаев оказывается формула А.
Дадим более строгую формулировку условий истинности и ложности
произвольных формул вида VaA и ЗаА. Пусть аь а2,..., ап,... - список всех
отличных от а предметных переменных, и пусть ф приписывает а индивид и из U, а
переменным аь аг,..., ап,..., соответственно, индивиды щ, и2,..., ит... из U.
Посредством \|/ будем обозначать функцию, сопоставляющую переменным аь
аг,..., а„,... те же самые элементы универсума щ, и2,..., ип,..., что сопоставляет и
178

ф, а переменной а - объект v из U, который может не совпасть, а может и
совпасть с и (значением а при ф). Ясно, что приписывание \|/ отличается от
приписывания ф не более чем значением, которое эта функция сопоставляет
переменной а. Итак:
(F6) |УаА|ф = и <=> для любой функции \|/, отличающейся от функции
Ф не более чем приписыванием значений для переменной а,
верно, что |A|V = и.
|УаА|ф = л <=> существует функция \|/, отличающаяся от функции
Ф не более чем приписыванием значений для переменной а, для
которой верно, что |A|V = л.
Иными словами, формула VaA принимает значение «истина» в 3 при
приписывании ф, когда ее подкванторная часть А оказывается истинной в данной
реализации при приписывании переменной а любого объекта v из универсума U (а всем
другим переменным - тех же самых значений). Если же в универсуме найдется
такой объект v, что при указанном приписывании формула А ложна, то и VaA в 3
при исходном приписывании ф принимает значение «ложь».
(F7) |ЗаА|ф = и о существует функция v|/, отличающаяся от функции
Ф не более чем приписыванием значений переменной а, для
которой верно, что |А|¥ = и.
|ЗаА|ф =ло для любой функции ц/, отличающейся от функции ф
не более чем приписыванием значений для переменной а, верно,
что |А|¥ = л.
Таким образом, формула ЗаА принимает значение «истина» в 3 при
приписывании ф, когда существует, по крайней мере, один объект v из универсума U
такой, что формула А оказывается истинной при приписывании переменной a
данного объекта (а всем другим переменным - тех же самых значений). Если же
А окажется ложной при приписывании переменной а любого элемента
универсума, формула ЗаА примет в реализации 3 при ф значение «ложь».
Из определений (F6) и (F7) видно, что для установления истинности или
ложности формул VaA и ЗаА в возможной реализации 3 при приписывании ф
несущественно, какой именно объект это ф сопоставляет в качестве значения
подкванторной переменной а. Вообще, при решении вопроса о том, какое
значение принимает та или иная формула логики предикатов, важно указать только
те индивиды, которые ф приписывает свободным переменным, входящим в
данную формулу.
В качестве примера установим в заданной уже ранее конкретной реализации
3 = <U, 1> и при заданном конкретном приписывании ф значения следующих
формул: (м) ЗхР(х), (н) 3xQ(j,x), (о) VxP(f(x)), (п) VxQ(g(x, а), у).
(м) Формула ЗхР(х) не содержит свободных переменных. Чтобы
определить ее значение в 3 при ф, необходимо, согласно (F7), выяснить, существует ли
179

в универсуме U (т. е. в множестве целых положительных чисел) объект v такой,
что |P(x)|v = и, где у приписывает переменной д: значение v, а остальным
переменным (если они имеются в формуле) - те же значения, что и ср. Последнее,
согласно (F1), имеет место тогда, когда у(х), т. е. v, является элементом 1(Р) - в
нашем случае элементом множества четных чисел. Итак, мы должны
установить, существует ли среди целых положительных чисел число v, которое
является четным. Поскольку такое число действительно существует, |ЭдсР(дс)|ф = и.
(н) Формула 3xQ(y, х) содержит свободную переменную у и ф(у) = 1.
Выясним, существует ли целое положительное число v такое, что \Q(y, x)\v = и, где
\у(х) = v, а \)(у) = 1. С учетом того, что I(Q) есть множество всех таких пар чисел,
первое из которых больше второго, а также, в соответствии с (F1), нам следует
установить, имеется ли целое положительное число v такое, что 1 > v. Поскольку
такого числа нет, то, согласно (F7), можно сделать вывод: |EbrQ(y, лг)|0 = л.
(о) Чтобы установить значение в 3 при ср замкнутой формулы VjcP(f(x)),
необходимо, в соответствии с (F6), выяснить, для всякого ли приписывания ц/,
отличающегося от ф разве что значением переменной х, верно, что |P(f(x))|w = и.
Последнее, согласно (F1), имеет место, если значение терма f(jc) при у является
элементом 1(Р), т. е. четным числом. Поскольку I сопоставляет f операцию возведения в
квадрат, имеем: |f(x)|„ = у(х)2. Итак, мы должны установить, для всякого ли целого
положительного числа v верно, что v является четным. Но данное утверждение
неверно для некоторых чисел, например числа 1. Итак, если у сопоставляет
переменной х число 1, то |P(f(x))|w =л. Отсюда, в силу (F6), имеем: |VxP(f(jc))|(p = л.
(п) Формула V;cQ(g(jc, а), у) содержит свободную переменную у, которой ф
сопоставляет 1. Ответим на вопрос, для всякого ли приписывания у,
отличающегося от ф не более чем значением переменной х, верно, что |Q(g(x, a), y)\v = и.
Если мы учтем, какие значения в 3 принимают константы Q, g и а и тот факт,
что \|/(у) = <р(у) = 1, то данный вопрос будет звучать так: для всякого ли целого
положительного числа v верно, что v + 2 > 1? Поскольку ответ на этот вопрос
утвердительный, то, в соответствии с (F6), | VjcQ(g(jc, a), y)\v = и.
2.2. Виды формул в классической логике предикатов
Напомним, что законом логической теории является формула, истинная
при любых допустимых в этой теории интерпретациях нелогических символов,
которые входят в состав данной формулы. В логике предикатов интерпретация
нелогических символов осуществляется посредством выбора некоторой
возможной реализации 3 = <U, 1> и приписывания значений предметным
переменным ср. Поэтому в данной теории понятие логического закона будет
конкретизироваться следующим образом:
Формула А является законом классической логики предикатов
{общезначимой формулой), если и только если А принимает значение
«истина» в каяедой возможной реализации 3 и при каждом
приписывании значений предметным переменным ср, т. е.
V 3 V ф|А|3ф = и.
180

Из данного определения непосредственно вытекает следующая трактовка
опровержимой (необщезначимой) формулы:
Формула А опровержима в логике предикатов (не является законом
этой логики) тогда и только тогда, когда существует реализация 3 и
существует функция приписывания предметным переменным ф, при
которых А принимает значение «ложь». Таким образом:
ЭЗЗф(А13ф=л.
Утверждение «Формула А общезначима» будем записывать так: «N А».
Примером общезначимой формулы является VxP(x) z> 3jcP(jc). Покажем, что
эта формула действительно является законом логики предикатов.
Будем рассуждать от противного. Пусть VxP(x) з ЭхР(х) необщезначимая
(опровержимая) формула. Тогда существует реализация 3 и приписывание ср,
при которых |VxP(x) z> ЗхР(х)|ф = л. Тогда, согласно (F5), |VxP(x)|„ = и и
|Зл:Р(л:)|ф = л. Истинность VxP(x), согласно (F6), означает, что Р(х) истинно при
любом приписывании, отличающемся от ф не более, чем значением х.
Ложность ЭхР(х), согласно (F7), означает, что Р(х) ложно при любом подобном
приписывании. Рассмотрим какое угодно конкретное приписывание у
указанного типа. Получается, что, с одной стороны, |Р(х)|ф = и, а с другой, |P(x)|v = л.
Таким образом, мы пришли к противоречию. Следовательно, допущение
необщезначимости формулы VxP(x) z> ЗхР(х) неверно и она действительно
является законом логики предикатов.
Чтобы продемонстрировать опровержимость некоторой формулы,
достаточно найти такую реализацию 3 = <U, 1> и приписывание ф, при которых эта
формула примет значение л. Покажем, например, что формула ЗдгР(дг) z> УхР(х)
является опровержимой.
Выберем в качестве области интерпретации U множество людей. Пусть
интерпретирующая функция I сопоставляет предикаторной константе Р
множество мужчин. Исходное приписывание ф выбирается произвольным образом.
Если переменной х приписать в качестве значения Сократа, то в нашей
реализации 3 = <U, 1> формула Р(х) окажется истинной, ведь Сократ является
мужчиной, т. е. элементом 1(Р). Итак, существует такое приписывание \|/, что
|Р(х)|ф = и, откуда следует, что |ЭхР(х)|ф = и при произвольном ф. Если же
переменной х приписать в качестве значения жену Сократа — Ксантиппу, т. е.
выбрать приписывание \ такое, что \{х) = Ксантиппа (а всем другим
переменным % сопоставляет те же значения, что и у), то Р(х) окажется ложной
формулой, поскольку Ксантиппа не является мужчиной: |Р(х)|^ = л.
Последнее означает, что |VxP(x)|„ = л. Истинность ЭхР(х) и ложность VxP(x) в 3 при
приписывании ф свидетельствует о том, что |3xP(x) z> VxP(x)|Q = л. Данная
формула является опровержимой, поскольку мы указали реализацию и
приписывание, при которых она ложна.
Наряду с понятиями общезначимой и опровержимой формул очень
важными являются также понятия выполнимой и невыполнимой в классической логике
предикатов формул.
181

Формула А языка логики предикатов выполнима, если и только если
существуют реализация 3 и приписывание значений предметным
переменным ф, при которых А принимает значение «истина», т. е.
3 3 3 ф|А|3ф = и.
Покажем, что формула ЗхР(д:) z> \/х¥(х), необщезначимость которой
была только что установлена, является выполнимой. Для этого достаточно
указать конкретную реализацию 3 = <U, 1> и приписывание ф, при которых она
истинна.
Пусть TJ снова является множеством людей, но пусть теперь I сопоставляет Р
пустое множество (например, множество людей, побывавших на Солнце),
функция ф может быть произвольной, так как рассматриваемая формула не
содержит свободных индивидных переменных. Ясно, что ни один человек не
является элементом 1(Р), ведь у пустого множества нет элементов. Поэтому
формула Р(д:) ложна при приписывании х любого объекта из U, т. е. |Р(л:)|ф = л для
любого vy. А из этого, согласно (F7), следует, что |ЗдгР(дс)|ф = л. Но если
антецедент импликативной формулы ложен, то, согласно (F5), сама эта формула
истинна, т. е. |3jcP(jc) => \/дсР(х)|ф = и. Следовательно, рассматриваемая формула
выполнима.
Формула А является невыполнимой тогда и только тогда, когда она
принимает значение «ложь» в каждой реализации 3 и при любом
приписывании ф, т. е.
УЗ^Ф|А|3ф = л.
В качестве примера покажем, что формула -тЗдгР(дг) & Р(а) невыполнима.
Будем рассуждать от противного. Предположим, что эта формула выполнима.
Тогда существуют реализация 3 = <TJ, 1> и приписывание ф, при которых она
истинна. Поскольку наша формула является конъюнктивной, ее истинность,
согласно (F3), означает, что |—i3jcP(x)|0 = и и |Р(а)|ф = и. Истинность Р(а), согласно (F1),
свидетельствует о том, что 1(a) е 1(Р). А истинность —i3xP(x) равносильна,
согласно (F2), ложности 3xP(jc). Последнее, согласно (F7), означает, что |P(jc)|v = л
при любом приписывании vj/, которое отличается от ф разве что значением х. В
частности |Р(дг)|у = л при таком ц/, которое приписывает х тот же объект, что
функция I сопоставляет константе а, т. е. \\i(x) = 1(a). Отсюда, в соответствии с (F1),
следует, что у(х), а значит и 1(a) не содержится в 1(Р), что противоречит ранее
полученному утверждению 1(a) е 1(Р). Поэтому допущение о выполнимости
формулы —iH*P(x) & Р(а) неверно, и она невыполнима.
2.3. Логическая истинность, ложность и недетерминированность
Теперь мы имеем возможность в рамках классической логики предикатов
решать вопросы, являются ли высказывания естественного языка логически
истинными, логически ложными или логически недетерминированными. Для этого
необходимо выразить логическую форму высказывания в языке логики предика-
182

тов и определить, общезначима ли полученная формула и является ли она
выполнимой.
Если указанная формула общезначима, то исходное высказывание
естественного языка логически истинно относительно логики предикатов. Если
полученная формула невыполнима, то соответствующее высказывание логически
ложно. Если же данная формула выполнима и опровержима, то относительно
логики предикатов исходное высказывание является логически
недетерминированным.
Установим, например, какой статус в рамках логики предикатов имеют
следующие высказывания:
(1) Если всякий храбр, то кто-то храбр.
(2) Если кто-то храбр, то всякий храбр.
(3) Не существует храбрецов, но Ромео храбр.
Сопоставим одноместному предикатору «храбрый» предикаторную
константу Р, а имени «Ромео» - предметную константу а.
В этом случае логической формой высказывания (1) будет формула вида
УхР(х) з ЗлР(дс). Ранее было установлено, что она является общезначимой.
Поэтому высказывание (1) логически истинно.
Логической формой высказывания (2) является формула 3jcP(jc) =э VxP(jc).
Выше было показано, что эта формула не общезначима, но выполнима. Поэтому
высказывание (2) логически недетерминировано.
Наконец, рассматривая высказывание (3), устанавливаем, что оно является
логически ложным, поскольку его логическая форма i3jcP(jc) & Р(а) -
относится к числу невыполнимых формул.
Приведем далее список схем наиболее важных законов логики предикатов
первого порядка - схем общезначимых формул.
1. Законы удаления V и введения 3:
VaA z> A(t), A(t) => ЗаА,
где A(t) - результат подстановки вместо всех свободных вхождений
переменной а в формулу А терма t.
2. Закон подчинения:
VaA zd ЗаА.
3. Закон непустоты предметной области:
ЗаА v За—А.
4. Законы пронесения кванторов:
Va(A & В) = (VaA & VaB),
За(А & В) з (ЗаА & ЗаВ),
За(А & В) = (А & ЗаВ), если а не свободна в А,
3a(A v В) = (ЗаА v ЗаВ),
(VaA v VaB) =з Va(A v В),
Va(A vB) = (Av VaB), если а не свободна в А,
183

Va(A з В) з (VaA з VaB),
Va(A эВ)е(Аз VaB), если a не свободна в А,
Va(A з В) = (3aA z> В), если а не свободна в В,
(ЗоА r> 3aB) r> Эа(А z> В),
За(А п В) = (А г> ЗаВ), если а не свободна в А,
За(А г> В) = (VaA z> В), если а не свободна в В,
(ЗаА r> VaB) => Va(A z> В).
5. Законы перестановки кванторов:
VaV(3A = V(3VaA,
ЗаЗ(ЗА = ЗрЗаА,
3aV(3A =) V(33aA.
6. Законы отрицания кванторов:
—i3aA = Va-iA,
-iVaA = За-iA.
7. Законы взаимовыразимости кванторов:
VaA = —.За—.А,
ЗаА = —.Va-iA.
2.4. Понятие модели
Введенное выше понятие возможной реализации языка исчисления
предикатов первого порядка позволило нам выделить в классе всех формул этого
языка такие выражения, которые являются логическими законами логики
предикатов. Но в некоторой конкретной реализации языка формулы могут оказаться, как
это было показано на примерах, не только истинными, но и ложными. В
частности, было установлено, что в логике предикатов имеются формулы, которые, не
будучи общезначимыми, являются выполнимыми, т.е. истинными в некоторых
возможных реализациях. Такого рода формулы играют большую роль в
различных нелогических теориях (физике, математике, биологии, социологии и т. д.).
которые строятся на базе первопорядкового исчисления предикатов. Таким
образом, конкретные науки интересуются не всеми вообще возможными
реализациями языка, а лишь такими, в которых все утверждения этих наук оказываются
истинными предложениями. Поэтому введем чрезвычайно важное понятие
модели, которым воспользуемся в последующих главах.
Формула А называется истинной в возможной реализации 3 = <U, 1>,
если она принимает значение «истина» в этой реализации при любом
приписывании ср значений индивидным переменным, т. е.
V ср|А|ф3 = и.
Возможная реализация 3 называется моделью формулы А, если А
является истинной в этой возможной реализации.
184

Возможная реализация 3 называется моделью множества формул Г,
если 3 является моделью для каждой формулы А е Г.
2.5. Отношения между формулами логики предикатов
Зададим в классической логике предикатов фундаментальные логические
отношения - отношения совместимости по истинности, совместимости по
ложности и логического следования. Пусть Г - произвольное непустое
множество формул языка логики предикатов.
Формулы из Г совместимы по истинности, если и только если
существуют реализация 3 и приписывание значений предметным
переменным (р, при которых каждая формула из Г принимает значение
«истина». В противном случае они несовместимы по истинности.
Формулы из Г совместимы по ложности, если и только если
существуют реализация 3 и приписывание значений предметным
переменным ф, при которых каждая формула из Г принимает значение
«ложь». В противном случае формулы несовместимы по ложности.
Из множества формул Г логически следует формула В (Г 1= В), если и
только если не существует такой реализации 3 и приписывания
значений предметным переменным ф, при которых каждая формула из
Г принимает значение «истина», а формула В - значение «ложь».
Покажем, например, что формулы 3jcQ(jc, у) и Зх—iQ(jc, у) совместимы по
истинности. Для этого достаточно найти конкретную реализацию 3 = <U, 1> и
конкретное приписывание ф, при которых каждая из этих формул истинна.
Выберем в качестве U множество городов. Пусть I сопоставляет двухместной
предикаторной константе Q множество таких пар городов, первый из которых
севернее второго. Пусть ф приписывает переменной у, свободной в указанных
формулах, город Москву, а остальным переменным - произвольные города.
Рассмотрим теперь приписывания у и \, отличающиеся от ф не более, чем
значением л:. Пусть функция \у переменной у так же, как и ф, сопоставляет Москву, ах~
Мурманск. Поскольку Мурманск севернее Москвы, пара <Мурманск, Москва>
содержится в I(Q) и, значит, |Q(jc, y)\v = и. Отсюда, согласно (F7), следует, что
|3jcQ(jc, j>)|„ = и. Пусть функция t, переменной у снова сопоставляет Москву, ах-
Астрахань. Поскольку Астрахань не находится севернее Москвы, пара
<Астрахань, Москва> не содержится в I(Q), и |Q(x, j>)|s = л. Тогда, согласно (F2),
|—iQ(x, y)\i = и, откуда по (F7) получаем: |3х—iQ(x, ,у)|ф = и. Таким образом,
формулы 3a-Q(ac, у) и 3x-iQ(x, у) в рассмотренной нами реализации 3 = <U, 1> при
приписывании ф одновременно принимают значение «истина».
С использованием тех же самых U, I и ф можно показать совместимость по
ложности формул Ух—\Q(x, у) и VxQ(jc, у).
Только что было установлено, что |Q(x, j)|v = и. Отсюда по (F2) следует:
|-iQ(x,.y)|v = л. Тогда, согласно (F6), |Vx-,Q(x, д>)|ф = л. Кроме того, имело место
185

\Q(x, у)\ь = л. Отсюда вытекает: |VjcQ(jc,у)\9 = л. Таким образом, в данной
реализации и при данном приписывании ф формулы Vjc-iQ(jc, у) и VjcQ(a;, у)
одновременно ложны. Следовательно, они совместимы по ложности.
Но Уд:—iQ(x, у) и VxQ(x, у) не являются совместимыми по истинности.
Чтобы доказать это, будем рассуждать от противного. Допустим, что они
совместимы по истинности. Это означает, что существуют реализация 3 = <U, 1> и
приписывание ф, при которых обе формулы принимают значение «истина». С
учетом того, что функция ф отличается от самой себя не более, чем значением х, и
используя (F6), получаем: |-.Q(x, г0|ф = и и |Q(jc, ,у)|ф = и. Но из того, что |-iQ(jc, j>)|„ =
и, в силу (F2), следует, что \Q(x, j)|w = л. В рассуждении получено противоречие.
Значит, исходные формулы по истинности несовместимы.
С помощью похожего рассуждения несложно доказать несовместимость по
ложности формул 3xQ(x,y) и 3x—iQ(x,y).
Подведем итог рассмотрению последних примеров. Исходя из них, можно
утверждать, что формулы Vjc—>Q(x, у) и VxQ(x, у) находятся в отношении
противоположности (контрарности), поскольку они совместимы по ложности, но
несовместимы по истинности, а формулы 3xQ(x, У) и Эх—iQ(x, у) - в отношении
подпротивоположности (субконтрарности), так как они, наоборот, совместимы
по истинности, но несовместимы по ложности.
Перейдем теперь к рассмотрению примеров установления отношения
логического следования в логике предикатов. Покажем, что из формул Р(а) и Q(a)
логически следует Эх(Р(х) & Q(x)).
Допустим, что следования нет. Тогда существуют реализация 3 = <U, 1> и
приписывание ф, при которых формулы Р(а) и Q(a) принимают значение «истина», а
формула 3x(P(x) & Q(x)) - значение «ложь». Истинность Р(а) и Q(a), согласно
(F1), означает, что 1(a) е 1(Р) и 1(a) е I(Q). Поэтому, если переменной х
приписать объект 1(a) посредством функции \|/ (которая всем другим переменным
припишет те же объекты, что и ф), то |P(jc)|v = и и |Q(jc)|v = и. Отсюда, в силу (F3),
вытекает, что |Р(лг) & Q(x)|w = и. Используя (F7), получаем, что |3jc(P(x) & Q(x))|„
= и. Но |3x(P(x) & Q(x))|tp = л согласно принятому допущению. Налицо
противоречие, свидетельствующее о неверности этого допущения. А потому:
Р(а), Q(a) t= 3x(P(x) & Q(x)).
Наличие отношения логического следования между указанными формулами
свидетельствует о правильности всех умозаключений следующей формы:
P(a),Q(a)
Эх(Р(х) & Q(x)).
Правильным, в частности, является такое умозаключение:
Отелло ревнив.
Отелло простодушен.
Некоторые ревнивые люди простодушны.
186

Постараемся далее ответить на вопрос, является ли правильным другое
умозаключение:
Существуют ревнивые люди.
Существуют простодушные люди.
Некоторые ревнивые люди простодушны.
Для ответа на поставленный вопрос необходимо выявить логическую
форму умозаключения и определить, следует ли логическая форма его
заключения из логических форм посылок. Последнее умозаключение имеет
следующую форму:
Э*Р(х), 3jcQ(x)
3x{V{x) & Q(x)).
Покажем, что из формул Зх¥(х) и EbtQ(jt) логически не следует формула
Hx(P(jt) & Q(jc)). Для этого достаточно найти какую-нибудь возможную
реализацию 3 = <U, 1> и приписывание ф, при которых формулы ЗхР(лг) и 3xQ(x)
примут значение «истина», а формула 3jc(P(jc) & Q(x)) - значение «ложь».
Рассмотрим в качестве универсума U множество животных. Пусть
интерпретирующая функция I сопоставляет константе Р множество волков, а константе Q
множество зайцев. Поскольку все анализируемые формулы замкнуты,
приписывание ф выбирается произвольно. Формула ЭдгР(дс) истинна в указанной
реализации 3 = <U, 1> при ф, так как переменной х можно приписать в качестве
значения животное (элемент U), которое является волком. Формула 3.vQ(x) также
истинна, поскольку л; можно приписать в качестве значения зайца (т. е. элемент
I(Q))- Однако, какое бы животное мы ни приписали х, оно не может оказаться
одновременно и волком, и зайцем, т. е. \Р(х) & Q(*)|v = л при любом vj/. Это
свидетельствует о ложности формулы Элс(Р(х) & Q(x)) в реализации 3 = <U, 1> при
ф. Таким образом, формула Эд:(Р(д:) & Q(x)) не следует логически из формул
ЭхР(л:) и 3jtQ(;t), т. е. рассматриваемое умозаключение неправильно.
Упражнения
1. Рассмотрите реализацию 3 = <U, 1>, где U - множество натуральных
чисел, а I интерпретирующая функция: 1(a) = 1,1(b) = 2,1(c) = 3,1(f) = операции
возведения в квадрат, 1(h) = операции умножения, 1(Р) = множество нечетных
чисел, I(Q) = множество пар чисел, первое из которых больше второго.
Определите значения в данной реализации следующих термов и формул:
a) f(c), б) h(a, b), в) f(h(b, с)),
г) h(f(b), h(a, с)), д) P(h(a, Ъ)), е) Q(f(b), h(a, а)),
ж) Р(с) v -,P(f(c)), з) VxQ(h(x, а), а), и) V*(P(f(*) з P(jc)),
к) 3x3jQ(c, Ь(х, у)), л) Зх(Р(х) & Q(x, f(x))),
м) Ух(¥(х) з ^P(h(x, а))).
2. Продемонстрируйте выполнимость следующих формул, подобрав
реализации, в которых они принимают значение «истина»:
a) 3x(P(x, а) & Р(х, Ь)), б) Va:Vj(R(x, у) з R(y, х)).
187

I
3. Продемонстрируйте опровержимость следующих формул, подобрав
реализации, в которых они принимают значение «ложь»:
а) Vx(P(x) v Q(x)) => (VxP(x) v VxQ(x)),
б) Vx3jR(x, y) =3 3j>VxR(x, y).
4. Подберите конкретную реализацию, демонстрирующую, что следующие
формулы совместимы по истинности:
а) -нУхР(х, а) и ЗхР(а, х), б) Vx3jP(f(x), х) и SxV(x, f(x)).
5. Подберите конкретную реализацию, демонстрирующую, что следующие
формулы совместимы по ложности:
a) VxP(x, а) и -i3xP(x, а).
6. Продемонстрируйте некорректность следующих умозаключений, для
чего выявите их логические формы и подберите соответствующие
контрреализации: 1
а) Каждый человек является экстравертом или интровертом. Следовательно,
не существует людей, которые одновременно являлись бы экстравертами и
интровертами.
б) Неверно, что каждый умен. Неверно также, что каждый добр.
Следовательно, некто и неумен, и недобр.
7. Рассуждая «от противного» и пользуясь семантическими определениями
связок и кванторов, показать:
а) общезначимость формулы
-nVx(P(x) & Q(x) z> Зх(-,Р(х) v -nQ(x)),
б) невыполнимость формулы
VxVyR(x, у) & 3x^R(x, х),
в) несовместимость по истинности формул
Зх(Р(х) v Q(jc)) и Vx-,P(x),
г) несовместимость по ложности формул
Vx(P(x) & Q(x)) и Зх-,Р(х) v 3x-,Q(x),
д) логическое следование формулы
ЗхР(а, х) из Р(Ь, а) и VxVj(P(x, у) => Р(у, х)).
§ 3. Метод аналитических таблиц
3.1. Общее описание аналитических таблиц
В предыдущем параграфе были введены понятия закона классической
логики предикатов и логического следования. Таким образом, были даны ответы на
важнейшие для каждой логической теории вопросы: что является законом этой
теории и что представляет собой отношение логического следования в ней.
Однако с практической точки зрения не менее важно получить ответ на
другие вопросы: каким образом, с помощью какой процедуры можно показать, что
некоторая формула А, действительно, является законом данной логической теории
и что из формул Аь А2,..., А„ в этой теории, действительно, следует формула В.
188

Так, в классической логике высказываний (в том виде, как эта теория
построена в главе III) для этой цели использовалась процедура построения таблиц
истинности. Если формула А принимает значение «истина» во всех строках
данной таблицы, то она относится к числу логических законов этой теории. Для
ответа же на вопрос, следует ли формула В из формул Аь А2,..., А„ в классической
логике высказываний, необходимо, согласно определению логического
следования, построить совместную таблицу истинности для формул Аь А2,..., А„ и В и
установить, имеется ли в данной таблице строка, в которой Аь А2,..., А„
принимают значение «истина», а В - значение «ложь».
Процесс построения таблиц истинности является алгоритмическим и
осуществляется в конечное число шагов. Как было показано в предыдущей главе,
это и означает, что классическая логика высказываний является разрешимой
теорией. Иначе обстоит дело с классической логикой предикатов. Определения
закона этой теории и логического следования в ней не являются
эффективными, т. е. не содержат алгоритма решения вопросов об общезначимости
произвольной формулы А и о наличии отношения следования между произвольными
формулами Аь А2,..., А„ и В.
Действительно, для того чтобы установить общезначимость формулы А, в
соответствии с определением общезначимой формулы, необходимо рассмотреть
все реализации и убедиться, что в каждом случае эта формула принимает
значение «истина». Для того чтобы показать, что Аь А2,..., А„ 1= В, согласно
определению логического следования, нужно рассмотреть все реализации и возможные
распределения значений предметных переменных и удостовериться, что среди
них нет таких, когда Аь А2,..., Ап принимали бы значение «истина», а В -
значение «ложь». Однако подобный перебор всех реализаций 3 и приписываний ф
невозможен в силу того, что их число бесконечно (в отличие от числа строк
любой таблицы истинности).
Более того, никакого алгоритма решения вопросов об общезначимости
формул языка логики предикатов и наличия между ними отношения логического
следования не существует в принципе, т. е. классическая логика предикатов
неразрешима (см. главу XII). Таким образом, решения указанных вопросов
представляют собой творческую задачу.
Вместе с тем в современной логике разработан ряд методов, позволяющих
упростить, сделать стандартной и, насколько это возможно, эффективной
процедуру обоснования общезначимости формул и наличия следования между
формулами языка логики предикатов. Один из них, получивший название
метода аналитических таблиц, будет рассмотрен в данном параграфе.
Идея указанного метода состоит в том, что тезис об общезначимости
формулы А или тезис о следовании формулы В из Аь А2,..., А„ обосновываются
посредством рассуждения от противного. Так, для обоснования тезиса «\= А»
(«формула А истинна в каждой реализации 3 = <U, 1> при каждом
приписывании ф») показывают, что допущение ложности формулы А с необходимостью
приводит к противоречию. Для обоснования тезиса «Аь А2,..., А„ 1= В» («не
существует реализации 3 и приписывания ф, при которых Аь А2,..., А„ истинны, а
189

В ложна») демонстрируют, что допущение истинности Аь А2,..., А„ и ложности
В необходимо ведет к противоречию. 1
Рассуждение от противного, обосновывающее какой-либо из указанных
тезисов, оформляется в виде некоторой последовательности шагов, которые и
образуют аналитическую таблицу.
Как и в случае вывода, аналитическая таблица будет строиться сверху вниз.
Однако, во-первых, в отличие от вывода, аналитическая таблица будет состоять
не из самих формул, а из так называемых отмеченных формул. Под отмеченной
формулой имеют в виду формулы, к которым добавлены символы t или f.
Написание tA означает, что формула А оценивается как истинная, а написание fA
означает, что формула А оценивается как ложная. Во-вторых, аналитическая
таблица будет не одномерной (линейно упорядоченной) последовательностью от-:
меченных формул, а двумерной (плоскостной) конфигурацией таких формул..
Последнее обусловлено тем, что аналитическая таблица представляет собой де- ■.
рево отмеченных формул (о понятии «дерево» см. главу II). :
В этом упорядоченном множестве будем выделять цепи отмеченных формул.
(см. в главе II). Под цепью аналитической таблицы будем понимать последова- \
телъность без пропусков вхождений отмеченных формул, начинающуюся с са-;
мой верхней формулы таблицы (корня дерева) до одной из самых нижних фор- •
мул. Место расщепления некоторой цепи таблицы на две самостоятельные цепи
(подцепи), в силу чего и возникает двумерная древесная конфигурация
аналитической таблицы, будем помечать горизонтальной и вертикальной линиями.
Последняя линия как раз и будет разделять две самостоятельные цепи.
Таблица, соответствующая первому шагу рассуждения от противного,
содержит одну (начальную) цепь отмеченных формул и выражает исходное
допущение данного рассуждения, т. е. антитезис. Если тезисом является «1= А», то
эта цепь начинается с отмеченной формулы - fA, выражающей допущение о
ложности А. Эта формула и есть корень дерева. Если же тезисом является
«Аь А2,..., А„ 1= В», то начальная цепь начинается с отмеченных формул
tAb tA2,..., tAn, fB, что выражает допущение об истинности Аь А2,..., Ап и
ложности В. Корнем дерева в этом случае является отмеченная формула tAb
Дальнейшие шаги по построению аналитической таблицы осуществляются с
помощью точных правил, которые называются правилами редукции. Эти правила
всегда применяются к отмеченным формулам, находящимся в
некоторой цепи таблицы, и могут привести либо к продолжению
построения данной цепи, либо к ее расщеплению на две
самостоятельные цепи. В основе правил редукции лежат логические смыслы
пропозициональных связок &, v, z>, —i и кванторов V, Э. Данные правила
выражают, по существу, условия истинности и ложности формул вида (А & В)^
(A v В), (А => В), -iA, VaA, За А, указывая некоторым новым способом на те!
следствия, которые могут быть получены из факта истинности или ложности
формул приведенных типов.
Цель рассуждения от противного - показать, что исходное допущение
(антитезис) с необходимостью приводит к противоречию. Поэтому задача, которая
190

решается построением аналитической таблицы, состоит в получении такой
таблицы, каждая цепь которой содержит некоторую формулу С, отмеченную как
знаком t, так и знаком f, т. е. содержит одновременно утверждение как об
истинности, так и ложности С, что и означает получение противоречия. При
получении этого результата тезис об общезначимости формулы А или же о следовании
В из А], А2,..., Ап считается обоснованным.
Применение метода аналитических таблиц будет ограничено замкнутыми
формулами. Это условие никоим образом не ограничивает возможность обоснования
логической истинности высказываний естественного языка и демонстрации
правильности умозаключений. Действительно, посылками и заключениями в
умозаключениях являются высказывания, а логические формы высказываний в языке
логики предикатов фиксируются посредством именно замкнутых формул.
3.2. Правила редукции
Правило t&. Предположим, что в некоторой цепи содержится отмеченная
формула t(A & В). Она выражает утверждение об истинности формулы А & В.
Как известно, формула А & В истинна тогда и только тогда, когда истинными
являются ее подформулы А и В. Поэтому в эту же цепь можно поместить
(обязательно одну под другой) две отмеченные формулы - tA и tB.
Сокращенная формулировка данного правила выглядит следующим образом:
t(A & В)
t& tA
tB
Правило f&. Пусть в некоторой цепи содержится отмеченная формула вида
f(A & В). Она выражает утверждение о ложности А & В. Напомним, что
конъюнктивная формула ложна, если и только если А принимает значение «ложь»
или В принимает значение «ложь». Иначе говоря, в случае ложности А & В
имеем две возможности:
1) случай, когда ложно А,
2) случай, когда ложно В.
Поэтому исходная цепь расщепляется на две самостоятельные цепи, в одну
из которых помещается fA, а в другую - fB:
f(A&B)
fA | fB
Отметим, что новые цепи содержат все отмеченные формулы
той цепи, в которой находилась формула f(A & В), и
различаются только тем, что в левую цепь теперь входит
отмеченная формула fA, а в правую - отмеченная формула fB. То же
самое происходит и при применении других правил редукции, которые ведут к
расщеплению цепей, а потому данное свойство в дальнейшем описании
оговариваться не будет.
191

Правило tv. Наличие формулы t(A v В) в некоторой цепи означает
утверждение об истинности A v В. Данная формула истинна, если и только если А
принимает значение «истина» или В принимает значение «истина». Поэтому
исходная цепь отмеченных формул расщепляется на две самостоятельные цепи, в
одну из которых помещается tA, а в другую - tB. Иначе говоря, в случае
истинности A v В имеем две возможности:
1) случай, когда истинно А,
2) случай, когда истинно В.
t(A v В)
tv
tA tB
Правило fv. Наличие формулы f(A v В) в некоторой цепи означает
утверждение о ложности A v В. Данная формула ложна, если и только если как А, так
и В принимают значение «ложь». Поэтому в эту же цепь помещаем
(обязательно одну под другой) отмеченные формулы fA и fB.
f(A v В)
fv fA
fB
Правило tz>. Предположим, что в некоторой цепи содержится отмеченная
формула: t(A з В). Формула А гз В истинна, если и только если имеет место, по
крайней мере, один из двух случаев:
1) А принимает значение «ложь»,
2) В принимает значение «истина».
Поэтому исходная цепь отмеченных формул расщепляется на две подцепи, в
одну из которых помещается fA, а в другую - tB.
^ JA2B).
fA | tB
Правило fo. Пусть некоторая цепь включает отмеченную формулу f(A z> В),
т. е. содержит утверждение о ложности AdB. Эта формула принимает значение
«ложь», если и только если А истинно, а В - ложно. Поэтому в эту же цепь
помещаем (обязательно одну под другой) отмеченные формулы tA и fB.
f(A =э В)
fa tA
fB
Правило t-i. Наличие отмеченной формулы t—А в некоторой цепи означает
утверждение об истинности —А. Поскольку истинность —А равносильна
ложности А, в эту же цепь помещается отмеченная формула fA:
t ^А
1-1 fA
192

Правило f—i. Наличие в некоторой цепи отмеченной формулы f—А означает
утверждение о ложности —А. Поскольку ложность —А равносильна истинности
А, в эту же цепь помещается отмеченная формула tA:
„ f-A
tA
Правило tV. Предположим, что в некоторой цепи имеется отмеченная
формула вида tVaA. Это означает утверждение об истинности VaA. В соответствии
с логическим смыслом квантора общности, формула VaA истинна, если и
только если любой индивид предметной области удовлетворяет условию А. Поэтому
в случае истинности VaA истинной оказывается также любая формула вида
А(к), которая является результатом подстановки вместо всех свободных
вхождений а в А произвольного замкнутого терма к. Но так как в языке логики
предикатов таких термов бесконечно много, список подставляемых термов
ограничивается следующим условием - в качестве к можно брать содержащийся
уже в отмеченных формулах данной цепи замкнутый терм, а
если таковых нет в цепи, то любую индивидную константу.
Все правила редукции, рассмотренные до сих пор, применяются при
построении аналитической таблицы локально, т. е. один раз в некотором
конкретном месте. Правило же редукции tV является не локальным, а глобальным.
Это означает, что оно может применяться неоднократно для того, чтобы
повторным применением получать утверждения об истинности A(kt), A(k2),...
для замкнутых термов уже содержащихся в таблице и отличных от терма к.
Итак, с учетом указанных выше обстоятельств, правило tV формулируется
следующим образом:
tv tVaA
tA(k),
где A(k) - результат подстановки вместо всех свободных вхождений
переменной а в формуле А замкнутого терма к.
Правило tV. Пусть в некоторой цепи имеется отмеченная формула tVaA.
Это означает утверждение о ложности VaA. Ложность формулы VaA означает
существование объекта, не удовлетворяющего условию А. Введем в качестве
имени этого объекта новую, не встречающуюся в отмеченных
формулах цепи, предметную константу к. Ясно, что поскольку к не
удовлетворяет условию А, формула А(к) оказывается ложной. Поэтому в эту же цепь
помещаем отмеченную формулу fA(k).
Смысл того ограничения, что константа к должна быть новой, состоит в
следующем. Если к входит в отмеченные формулы цепи, то не исключается
возможность, что эти формулы содержат информацию об истинности А(к).
Тогда делать вывод, что именно объект к не удовлетворяет условию А, было бы
некорректно. Итак, с учетом указанных выше обстоятельств, формулировка
правила fV имеет следующий вид:
7 Введение в логику * ^ ^

где A(k) - результат подстановки вместо всех свободных вхождений
переменной а в формуле А предметной константы к, которая не содержится в
данной цепи.
Правило Я. Пусть в какой-то цепи содержится отмеченная формула ЯаА,
т. е. содержится утверждение об истинности ЗаА. Согласно смыслу квантора 3,
истинность ЗаА означает существование объекта, удовлетворяющего условию
А. В качестве имени этого объекта вводится новая, не встречающаяся в
отмеченных формулах цепи, предметная константа к. Ясно, что А(к)
истинно в силу того, что к удовлетворяет условию А.
я t3aA
tA(k),
где А(к) - результат подстановки вместо всех свободных вхождений
переменной а в формуле А предметной константы к, которая не содержится в
данной цепи.
Правило Я. Предположим, что в некоторой цепи содержится отмеченная
формула ЯаА. Это говорит о ложности ЗаА. Ложность формулы ЗаА означает,
что любой индивид предметной области не удовлетворяет условию А. Поэтому
эта же цепь пополняется отмеченной формулой вида fA(k), где к удовлетворяет
тем же самым условиям, которые были сформулированы для правила tV. Таким
образом, правило редукции Я тоже является глобальным.
ЯаА
Я
fA(k),
где А(к) - результат подстановки вместо всех свободных вхождений
переменной а в формуле А замкнутого терма к.
Понятие аналитической таблицы.
Аналитической таблицей называется конечное или бесконечное дре-
весно упорядоченное множество отмеченных формул (дерево
отмеченных формул), получаемое из начальной цепи применением
правил редукции.
Понятие замкнутой цепи аналитической таблицы.
Цепь называется замкнутой, если в ее составе встречается две
отмеченные формулы - tC и fC.
Понятие замкнутой аналитической таблицы.
Аналитическая таблица называется замкнутой, если каждая ее цепь
является замкнутой.
Сформулируем, наконец, критерии общезначимости формул и логического
следования.
194

Формула А общезначима (1= А), если и только если существует
замкнутая аналитическая таблица, начальная цепь которой
начинается с отмеченной формулы fA.
Из Аь А2,..., Ап логически следует формула В (Аь А2,..., An t= В), если и
только если существует замкнутая аналитическая таблица, начальная
цепь которой начинается с отмеченных формул tAb tA2,..., tAn и iB.
Описание аналитико-табличной процедуры завершено.
3.3. Примеры использования аналитических таблиц
Прежде чем привести примеры построения аналитических таблиц, дадим ряд
советов, облегчающих процесс обоснования указанным методом общезначимости
формул и наличия между формулами отношения логического следования.
1. Правила редукции можно разделить на две группы. К первой относятся
так называемые пропозициональные правила - t&, fv, fb, t—., f—i, f&, tv, to. Ко
второй группе относятся так называемые кванторные правила. При
построении аналитической таблицы следует (при наличии соответствующей
возможности) применять сначала пропозициональные правила, не ведущие к
расщеплению цепей, а затем кванторные правила редукции.
2. Среди пропозициональных правил редукции к числу правил, не ведущих
к расщеплению цепей, относятся правила t&, fv, fb, t-i и f-i. Правила же,
ведущие к расщеплению цепей, - это правила f&, tv, to. Аналитическая таблица
будет менее громоздкой, если пропозициональные правила второго типа
применять в самую последнюю очередь после того, как применены все возможные
пропозициональные правила первого типа и кванторные правила.
3. Среди кванторных правил редукции рекомендуется в первую очередь
применять правила tV и t3, которые требуют введения новых предметных
констант, и только потом правила tV и f3, не содержащие ограничений на терм к,
подставляемый вместо подкванторной переменной.
И еще одно важное замечание. Правила редукции всегда
применяются к тем логическим константам, содержащимся в
формуле А, идущей после отметки t или f, которые являются в
ней главными знаками.
Продемонстрируем сначала, каким образом применяются
пропозициональные правила редукции. Обоснуем с использованием метода аналитических
таблиц тезис:
Р(а) v Q(b), Q(b) => R(c) \= R(c) v P(a).
Начальная цепь таблицы содержит тогда следующие отмеченные формулы:
1. t(P(a)vQ(b))
2. t(Q(b) id R(c))
3. f(R(c)vP(a))
195

К этим отмеченным формулам возможно применение одного из трех правил
редукции - tv, to, fv. Поскольку применение правил tv и to приводит к
расщеплению таблицы, а применение правила fv - нет, используем правило fv. Итак:
1.
2.
3.
4.
5.
t(P(a)vQ(b))
t(Q(b)3R(c))
f(R(c) v P(a))
fR(c)
fP(a)
fv3
fv3
Применим теперь правило tv. Тогда таблица расщепится на две цепи - левую и
правую. В левой цепи появится отмеченная формула tP(a), а в правой - tQ(b).
1.
2.
3.
4.
5.
6.
t(P(a)vQ(b))
t(Q(b)3R(c))
f(R(c) v P(a))
fR(c)
fP(a)
tP(a) tQ(b)
fv3
fv3
tvl
Левая цепь является замкнутой, так как она содержит две отмеченные
формулы fP(a) (5-й шаг) и tP(a) (6-й шаг). Поэтому к данной цепи нет необходимости
применять в дальнейшем какие-либо правила редукции, что и отмечено двумя
горизонтальными чертами. В правой же цепи, которая еще не замкнута, можно
применить правило to. Тогда эта цепь снова расщепляется на две цепи. В левую
цепь помещаем отмеченную формулу fQ(b), а в правую - tR(c):
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
t(P(a) v Q(b))
t(Q(b)=>R(c))
f(R(c)vP(a))
fR(c)
fP(a)
tP(a) tQ(b)
fQ(b)
fv3
fv3
tvl
tR(c) to 2
Итак, имеем три цепи. Первая цепь, считая слева, как было уже сказано,
замкнута. Вторая цепь тоже замкнута, так как содержит противоречие - отмеченные
формулы tQ(b) (6-й шаг) и fQ(b) (7-й шаг). Последняя, самая правая цепь тоже
замкнута, так как содержит две отмеченные формулы fR(c) (4-й шаг) и tR(c) (7-й
шаг). Поэтому аналитическая таблица замкнута и исходный тезис обоснован.
Проиллюстрируем действие кванторных правил редукции на примере
обоснования общезначимости формулы
ЗхУуЩх, у) => УуЗхЩх, у).
В начальную цепь таблицы помещаем допущение о ложности формулы:
1. f(3xVjR(x, у) z> УуЗхЩх, у))
Применим единственно возможное правило to.

1 • f(3WjR(jc, у) з УуЗхЩх, у))
2. t3x\/уЩх, у) fol
3. fV>3xR(;t,j>) fol
Далее можно применить правило Я, либо правило fV. Они оба требуют
введения новой предметной константы, поэтому порядок их применения не
существен. Используем правило Я. Так как в построенной таблице нет замкнутых
термов (простых или сложных), можно использовать при применении этого правила
любую индивидную константу. Заменим свободные вхождения переменной д: в
VyR(x, у), стоящей за квантором 3 в формуле ЗхУуЩх, у), на константу а:
1. f(3xVjR(jc, у) з УуЗхЩх, у))
2. t3xVyR(x,y) fol
3. Ny3xR(x,y) fbl
4. tVyR(a,jO Я 2
Теперь можно применить либо правило tV, либо fV, но первое из них не
требует введения новой константы, а второе требует. Поэтому применяем fV.
Переменную у, стоящую в формуле 3jcR(jc, у), заменяем новой константой Ь:
1. f(3xVjR(x, у) з УуЗхЩх, у))
2. Gx\fyR(x,y) fol
3. Wy3xR(x,y) fol
4. t\/yR(a,y) Я 2
5. f3jcR(x, b) fV 3
На следующем шаге можно использовать любое из правил - tV или i3, так как
они оба не требуют введения новых констант. Применим правило tV. В
результате в цепь добавится отмеченная формула tR(a, к), где к - любой терм.
Поскольку в нашей цепи присутствуют только индивидные константы а и Ь, то
снятие квантора общности надо осуществлять по той или по другой константе.
Нетрудно установить, что для достижения цели - получения противоречия - в
качестве к следует взять константу Ь:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
f(3xVyR(x,y)
t3xVyR(x,y)
Ny3xR(x,y)
МуЩя,у)
fi*R(x, b)
tR(a, b)
^Vy3xR(x,y))
fol
fol
t3 2
fV3
tV4
Аналогичным образом надо применить и правило Я. Тогда в нашу цепь
добавится отмеченная формула fR(k, b), где к - любой терм, содержащийся в цепи. Легко
установить, что в качестве к надо взять терм а. Итак:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
f(3xVyR(x,j)
t3xVyR(x,y)
ЫуЭлЩх,у)
tVjR(a,j)
flxR(x, b)
tR(a, b)
fR(a, b)
=>ЧуЭхЩх,у))
fol
fol
Я 2
fV3
tV4
Я5
197

Единственная цепь аналитической таблицы содержит противоречие, так как в
ней находятся отмеченные формулы tR(a, b) и Ж(а, b), а потому аналитическая
таблица замкнута, и формула Зх\/уЩх, у) г> УуЗхЩх, у) общезначима. J
Итак, мы показали, как метод аналитических таблиц может применяться для
обоснования общезначимости формул и наличия отношения логического
следования. Возникает вопрос, может ли аналитико-табличная процедура быть
использована для демонстрации необщезначимости формул и отсутствия
логического следования между формулами.
В ряде случаев построенная аналитическая таблица может
свидетельствовать о необщезначимости некоторой формулы А или о том, что из Aj, А2,..., А,
не следует логически В. Это имеет место в том случае, когда таблица содержит
только цепи конечной длины, ни в одной цепи нельзя применить никакое
правило редукции и в таблице содержатся незамкнутые цепи.
Рассмотрим в качестве примера аналитическую таблицу:
1. f(3*P(x) з V*P(jc))
2. t3xP(*) fo :
3. fVjcP(x) fo
4. tP(a) a
5. fP(b) fV
Очевидно, что цепь не содержит отмеченных формул вида tC и fC. Вместе с тем
дальнейшее применение правил редукции невозможно. Поэтому таблица
свидетельствует о необщезначимости формулы ЗхР(лс) з VjcP(jc).
Однако имеется и другая возможность. Аналитическая таблица,
начинающаяся с отмеченной формулы fA (или с формул tAb tA2,..., tA„, fB), на каждом шаге
своего построения оказывается незамкнутой, но при этом остается возможность
дальнейшего применения правил редукции. Указанная ситуация может
возникнуть в силу специфики правил tV и G, применение которых глобально и потому
может быть многократно применено по отношению к одним и тем же формулам.
Подобная аналитическая таблица может получиться в двух случаях: 1) если
она в принципе не может замкнуться, сколь долго бы мы ее ни строили, т. е.
когда А не является общезначимой формулой (или из Аь А2,..., А„ не следует В):
2) если таблица не замыкается по причине того, что ее построение требует
огромных ресурсов чернил, бумаги и времени, которые у нас отсутствуют.
Поэтому в описанной только что ситуации делать однозначный вывод о
необщезначимости А (или отсутствии следования В из Аь А2,..., А„) нельзя.
Упражнения
1. Методом аналитических таблиц проверьте, являются ли
тождественно-истинными следующие формулы:
а) ((р z> q) & (-ф id -,q)) гэ ((р & q) v (~,р & -,q)),
б) (pD(qD г)) z> ((q & -ir) з -.p),
198

в) ((-.р v q) & (^q з г)) => -,(р & -,r).
2. Методом аналитических таблиц проверьте, являются ли
тождественно-ложными следующие формулы:
а) ((р & q) з г) & -,(Я => (~-Р v г)),
б) ((Р ^q)Dq)& ^(q v р),
в) <Ьр v q) & (-,q =) г)) з -,(р & -,г).
3. Методом аналитических таблиц покажите несовместимость по
истинности следующих высказываний:
а) Если Джон защитил диссертацию, то он продвинулся по службе.
б) Если Джон получил наследство, то он бросил работу.
в) Джон защитил диссертацию и не бросил работу.
г) Джон получил наследство или не продвинулся по службе.
4. Методом аналитических таблиц покажите несовместимость по
ложности следующих высказываний:
а) Если человек говорит неправду, то он заблуждается сам или сознательно
вводит в заблуждение других.
б) Если человек заблуждается сам, то он говорит неправду.
в) Если человек сознательно вводит в заблуждение других, то он говорит
неправду.
5. Методом аналитических таблиц проверьте умозаключения:
а) Теорема Гаубера: «Если верны две прямые теоремы, верна дизъюнкция
их условий, а их заключения несовместимы, то верны обе обратные теоремы»
(т. е. из р zd q, г ;э s, р v г, -,(q & s) следует (qzip)&(s3 г)).
6. Методом аналитических таблиц покажите общезначимость формул:
а) (-,3xP(jc) z» 3xQ(x)) =з Зх(Р(х) v Q(x)),
б) ЗхУуЩх,у) id -,3yVx-nR(.x, у).
7. Методом аналитических таблиц продемонстрируйте:
а) логическую истинность высказывания: «Если все вкусное недешево, то
все дешевое невкусно»,
б) логическую ложность высказывания: «Существует режиссер,
поставивший все пьесы Чехова, но не поставивший чеховской пьесы "Чайка"»,
в) несовместимость по истинности высказываний: «Всякий единорог
хитер», «Ни один единорог не хитер» и «Единороги существуют»,
г) несовместимость по ложности высказываний: «Если существуют
политики, то существуют лжецы» и «Если никто не является политиком, то никто и
не лжет».
8. Обоснуйте аналитико-табличным методом корректность следующих
умозаключений:
а) Неверно, что всякий богатый человек счастлив. Следовательно,
некоторые несчастливые люди богаты.
в) Всякий штангист сильнее любого фигуриста. Иван не сильнее Петра.
Следовательно, Иван не штангист или Петр не фигурист.
199

Глава VI
ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ
§ 1. Натуральное исчисление предикатов NPr
1.1. Правила вывода
Рассмотрим теперь исчисление предикатов, формализующее логику
предикатов. С этой целью прежде всего подвергнем рассмотрению натуральное
исчисление предикатов NPr. В силу того, что язык исчисления предикатов NPr
совпадает с языком логики предикатов, который был описан в предыдущей
главе, перейдем сразу же к формулировке дедуктивной части исчисления.
В исчислении предикатов сохраняются все правила вывода исчисления
высказываний, но к ним теперь присоединяются новые правила, позволяющие
оперировать с кванторами.
Кванторные правила вывода:
w А(а/р,уь-,Уп) УаА(а)
vb w \У — л >гдеР~абс-огр-;уь->Уп-огр. уи ( ...
VaA(a,y,,...,yn) r A(a/t)
A(a/t) 5aA(a,y,,...,yn) .
^в -, А/- ч ^и д/ ,п ч , где р-аос. огр.,уь...,уп-огр.
BaA(a) A(a/p\y,,...,yn)
Понимание этих правил связано с рядом условий, которые и будут далее
последовательно объяснены.
Первое условие.
Разъясним, что означает выражение вида A(a/t), а также частный случай
этого выражения - A(a/p, yi,..., у„).
Под выражением A(a/t) имеют в виду результат правильной
подстановки в формулу А(а) вместо всех свободных вхождений переменной
а терма t.
Подстановка считается правильной, если число вхождений любой
связанной переменной, определенное для формулы А(а), остается
неизменным и после подстановки.
Важность наличия правильной подстановки разъясним на примере
прикладного языка логики предикатов, в качестве которого будем использовать
язык математики.
Пусть А(х, z) с двумя различными свободными переменными xnz есть
выражение Зу(х < у & х = z). Переменная х в нем имеет два свободных вхождения.
Пусть вместо л: подставляется один из следующих термов: 5 - индивидная
(предметная) константа, z - индивидная переменная, (х + z) - сложный
функциональный терм. Тогда выражение A(x/t, z) в каждом из этих случаев совпадает
со следующими, соответственно, выражениями:
200

A(x/5,z): 3y(5<y&5 = z),
A(x/z,z): 3y(z<y&z = z),
A(x/(jc + z), z): 3y((x + z)<y&(x + z) = z).
Все данные подстановки являются правильными. В самом деле, в исходном
выражении Зу(х <у & х = z) лишь одна переменная у имеет два связанных
вхождения: одно сразу после квантора существования и второе - в области действия
данного квантора. В результате же подстановки мы получили формулы, в каждой
из которых количество связанных вхождений переменной у не изменилось.
Нарушение требования правильности подстановки ведет к семантически
некорректным следствиям. Приведем пример неправильной подстановки.
Рассмотрим с этой целью результат следующей подстановки:
А(х/у + 2): 3y(y_ + 2<y&y_+2 = z).
Здесь подставляемый терм t, который совпадает с термом у + 2, содержит
переменную у. После подстановки эта переменная оказалась связанной
квантором существования, и потому число связанных вхождений у увеличилось: было
два вхождения, а стало четыре (места новых вхождений отмечены
подчеркиванием). Рассматривая данное выражение, легко установить, что оно является
всегда ложным утверждением о натуральных числах. В самом деле, какие бы на
множестве натуральных чисел мы ни приписали значения переменной у, нам не
удастся сделать выражение у + 2 < у истинным. Поэтому первый член
конъюнкции является всегда ложным, а в силу этого и вся конъюнкция должна быть
ложной. В то же время исходное выражение Зу(х < у & х = z) с семантической
точки зрения является выполнимой формулой, т. е. при определенном
приписывании ф значений свободным индивидным переменным оно может принять
значение «истина». Так, если х к z приписать в качестве значения число 5, то
формула Зу(х < у & х = z) будет утверждать существование среди натуральных
чисел такого числа у, которое больше 5 и 5 = 5, что является справедливым
утверждением. Следовательно, при подстановке терма у + 2 вместо переменной
х мы перешли от выполнимого утверждения к всегда ложному.
Выражение вида А(а/р, уь..., уп) является метаязыковой записью частного
случая результата правильной подстановки в выражение А(а, yi,..., уп) вместо
всех свободных вхождений переменной а индивидной переменной р.
Второе условие.
Оно касается смысла той информации, которая выражается посредством
сокращенных указаний: <ф - абс. огр.; уь..., уп - огр.» в приведенных
формулировках правил VB и Зи.
С семантической точки зрения свободные индивидные переменные
трактуются как пробегающие по некоторому универсуму рассуждения и принимающие
любые значения на нем. Именно в этом и состоит главная роль свободных
индивидных переменных. Однако в составе формул они не всегда выполняют эту
роль, т. е. не всегда могут рассматриваться как знаки, обозначающие любой
(произвольный) объект универсума.
201

В том случае, когда свободная индивидная переменная в составе формулы
понимается как знак, обозначающий любой (произвольный) объект из
универсума, про нее говорят, что она употреблена в этой формуле в интерпретации
всеобщности. Например, в выражении х + у = у + х, представляющем собой
закон перестановочности сложения, переменные х и у употреблены в
интерпретации всеобщности, так как это соотношение истинно при любых значениях х и у.
Чтобы указать на этот факт, мы могли бы даже использовать кванторы
общности и записать данный закон в виде выражения \/х\/у(х + у =у + х). Совершенно
другую ситуацию мы имеем в том случае, когда переменные входят в состав
математических уравнений. Например, в выражении д; + 5 < 8 переменная д; уже не
используется в интерпретации всеобщности, так как не обозначает
произвольный объект из универсума. Напротив, чтобы получить из этой высказыватель-
ной формы истинное предложение, возможные значения для х должны быть
строго фиксированы, т. е. ограничены условием данного утверждения. В этом
случае говорят, что переменная использована в условной интерпретации.
Пусть дано выражение х + 5 < у. В его составе и переменная л;, и переменная
у употреблены в условной интерпретации. Выберем теперь для х некоторое
значение. Пусть д: обозначает, скажем, число 2. Выбор этого значения для дг как раз
и отмечается в правиле Зи как абсолютное ограничение (сокращенно - абс. огр.)
данной переменной. Но выбор значения для х сразу же накладывает
ограничения на выбор значений для у, что и отмечается в этом правиле как ограничение
переменной (сокращенно - огр.). Действительно, чтобы все выражение 2 + 5 <у
оказалось истинным, переменная у не может теперь принять в качестве значений
числа, меньшие 8. Конечно, тот факт, что в качестве значения для д; было
выбрано число 2, является нашим произволом. С таким же успехом мы могли бы
выбрать в качестве значения для д; число 263. Но этот выбор сразу же по-новому
ограничивает множество возможных значений для у. Теперь оно уже не может
быть меньшим числа 269. Данные примеры показывают, что в случае условной
интерпретации переменных выбор значения для одной переменной
ограничивает выбор значений для других свободных переменных, входящих в выражение.
Обсудим теперь более подробно кванторные правила, но сразу же заметим,
что несколько ниже мы рассмотрим еще некоторые тонкие моменты, связанные
с данными правилами.
Правило VM (исключение квантора общности) есть разрешение перейти от
формулы вида VctA(a) к формуле A(a/t). Чтобы осуществить это действие,
надо устранить квантор общности, а в оставшейся формуле А(а) сделать
подстановку вместо всех свободных вхождений переменной а терма t. Так как в А(а)
могут входить кванторы, при осуществлении подстановки надо следить, чтобы
она была правильной. В противном случае можно от истинных утверждений
перейти к ложным.
Правило Зв (введение квантора существования) разрешает от формулы
A(a/t) перейти к формуле 3aA(a). Здесь опять-таки надо следить, чтобы
посылка правила была результатом соответствующей правильной подстановки терма t
202

вместо переменной а в формулу А(а). Несоблюдение этого условия может
привести к ложному заключению. Например, возьмем выражение прикладного
языка логики предикатов - 5 < у. Применяя неправильно правило Зв, получаем
ложное утверждение - Зу££ < yj. Почему так получилось? Дело заключается в том,
что в данном применении правила Зв к выражению 5 < у последнее выражение
трактовалось как А(у/5), т. е. как якобы результат правильной подстановки в
ложное выражение у < у терма 5 вместо переменной у. Но результатом такой
подстановки должно оказаться ложное выражение 5 < 5, а не 5 <у, так как
подстановка всегда осуществляется вместо всех вхождений свободной индивидной
переменной. Таким образом, выражение 5 < у нельзя понимать как А(у/5), а
потому и переход к ЭуА(у) неправилен. С другой стороны, 5 < у можно понимать
как А(х/5), т. е. как результат теперь уже правильной подстановки в х < у вместо
всех вхождений свободной переменной х терма 5. В этом случае, применяя
правило Зв, получим Зх(х <у), что является законным переходом.
Правило Зи (исключение квантора существования) разрешает перейти от
формулы ЗаА(а, уь..., уп) к формуле А(а/р, уь..., уп).
Посылка правила - формула ЗаА(сс, у],..., уп) - утверждает наличие в
универсуме некоторого объекта, удовлетворяющего условию А(а, уь..., уп). Тогда
правило Зи позволяет считать таковым объект, обозначенный свободной
переменной (3. Мы как бы говорим: «Коль скоро какой-то неизвестный нам предмет
удовлетворяет условию А, то пусть им будет предмет, который мы далее будем
обозначать переменной р. Тем самым осуществляется выбор такого значения
для р, что утверждение А(Р, yi,..., уп) истинно. Переменная р в этом случае
берется в условной интерпретации, и она абсолютно ограничена в том смысле, что
должна теперь всегда и везде в контексте рассуждения рассматриваться как имя
объекта, удовлетворяющего условию А(Р, у\,..., уп). Но, как было сказано выше,
выбор значения для р ограничивает возможные значения для всех остальных
свободных индивидных переменных yi,..., уп. Именно эта информация и
фиксируется в правиле Зи указанием на то, что Р - абсолютно ограниченная
переменная (абс. огр.), a yi,..., у„ - ограниченные переменные (огр.). При этом в правиле
Зи переменные yi,..., уп - это все те свободные индивидные
переменные, которые входят в выражение ЗаА(а, уь...,уп).
Правило VB разрешает перейти от формулы вида А(а/р, yi,..., уп) к формуле
вида VaA(a, yi,..., уп). Рассмотрим этот переход подробнее.
Здесь имеются две возможности. Формула A(a/p, yi,..., у„) может быть (при
правильной подстановке, конечно), во-первых, таковой, что при некоторых
фиксированных значениях уь..., уп она будет принимать значение «истина» на
выбранной области рассуждения при любом значении переменной р. Иначе говоря,
переменная Р при данных фиксированных значениях у\,..., уп входит в формулу в
интерпретации всеобщности. В таком случае переход от А(а/р, уь—, Уп) по
правилу VB к формуле VaA(a, yi,..., уп) является вполне законным и не вызывает
203

никаких сомнений. Во-вторых, формула А(Р, уь--, Уп) может оказаться таковой,
что при каких-то фиксированных значениях уь..., уп на предметной области она
будет при некоторых значениях р принимать значение «ложь». Тогда выберем
одно из таких значений для переменной р. Этот выбор делает переменную р
абсолютно ограниченной, а все остальные свободные переменные ограниченными.
Формула А(Р, yi,..., уп) является при таком выборе, конечно же, ложной. Но из
ложного высказывания следует все, что угодно, а потому, в частности, следует и
выражение вида VaA(a, уь—, Уп)- Таким образом, и в данном случае
обосновывается переход по правилу VB. Заметим, что в правиле VB переменные yi,..., уп -
это все свободные переменные формулы VaA(a, yi,..., уп).
1.2. Вывод в натуральном исчислении NPr -.]
Выводом в рассматриваемом исчислении называется непустая
конечная последовательность формул Сь..., С„, удовлетворяющая
следующим условиям:
(1) каждая Qj есть либо посылка, либо получена из предыдущих
формул по одному из правил вывода;
(2) если в выводе применялись правила :эв или -iB, то все формулы,
начиная с последней посылки и вплоть до результата применения
данного правила, исключаются из дальнейших шагов построения
вывода;
(3) ни одна индивидная переменная не ограничивается
абсолютно дважды;
(4) ни одна переменная не ограничивает сама себя.
Доказательство в исчислении предикатов есть вывод из пустого
множества посылок.
Завершенным выводом называется вывод, в котором никакая
переменная, абсолютно ограничивавшаяся в выводе, не встречается
свободно ни в неисключенных посылках, ни в заключении.
Завершенное доказательство есть завершенный вывод из пустого
множества посылок. Последняя формула этой последовательности
называется доказуемой формулой, или теоремой.
Среди этих четырех введенных понятий основным является понятие вывода.
Как видно из определения, оно, в сравнении с соответствующим понятием
вывода в исчисления высказываний, обогащено еще тремя требованиями, в
которых фиксируются еще три важных условия.
Третье условие.
Оно зафиксировано в пункте (3) определения вывода и семантически вполне
понятно: ведь пометка об абсолютной ограниченности некоторой переменной
означает, что в выводе она теперь становится знаком какого-то конкретного
объекта, а потому второе ее абсолютное ограничение может указывать на то, что
204

она стала знаком какого-то иного объекта. Такая ситуация может вести к
противоречиям и должна быть запрещена.
Четвертое условие.
Оно зафиксировано в пункте (4) определения вывода и связано со
следующими соображениями. Данный запрет позволяет исключить возможность
переходов вида: у = у \- Ух(х = у) и Зх(х < у) \- у < у, т. е. переходов от истинных
(выполнимых) утверждений к ложным. Действительно, при таком переходе
переменная у ограничивает сама себя. Надо только учитывать, что ситуация, когда
переменная ограничивает сама себя, может возникнуть не только прямым
образом, как это было в приведенных примерах, но и косвенно. Здесь имеется в виду
то обстоятельство, что отношение «х ограничивает у» является транзитивным
(см. главу II), т. е. для него выполняется соотношение: «Для всякого а, р и у
верно, если а ограничивает (3, а |3 ограничивает у, то а ограничивает у». Поэтому
в выводе может возникнуть ситуация самоограничения некоторой переменной,
скажем, переменной д;, таким образом: на одном шаге вывода переменная х,
будучи абсолютно ограниченной, ограничивает переменную у, а на другом шаге
переменная у, будучи абсолютно ограниченной, ограничивает х. Тогда, по
транзитивности, переменная jc будет ограничивать сама себя.
Перейдем к рассмотрению последнего условия.
В основе кванторных правил \/и и Зв лежат отношения логического
следования. Для правила VH это означает, что переход от формулы VaA(ot) к A(a/t)
оправдан тем, что имеет место логическое следование вида VaA(a) 1= A(a/t), а
для правила Эв переход от A(a/t) к 3aA(a) оправдан наличием следования вида
A(a/t) 1= 3aA(a).
Иначе обстоит дело с правилами VB и Зи. В их основе не лежит отношение
логического следования, т. е. в общем случае:
А(а/р, уь..., уп) Ф VaA(a, у,,..., уп) и
ЗаА(а, уь..., уп) Ф А(а/р\ уь..., уп),
что может быть установлено методами, рассмотренными в предыдущей главе,
например, с помощью аналитических таблиц.
Несмотря на это, в натуральном исчислении предикатов все же
принимаются данные правила. Но, чтобы не допустить возможности выведения из
истинных утверждений ложных заключений, необходимо каким-то образом
«заблокировать» негативное влияние отсутствия логического следования. Это
достигается принятием следующего условия.
Пятое условие.
Только при осуществлении завершенного вывода
гарантируется, что между посылками и заключением имеет место
отношение логического следования.
После всех этих разъяснений можно перейти к рассмотрению примеров
выводов и доказательств в исчислении предикатов. Отметим, что при применении
кванторных правил, согласно их формулировкам, можно как менять подкван-
торные индивидные переменные на новые переменные, так и не менять их.
205

В исчислении предикатов в полном объеме сохраняют свою силу три
эвристики выбора посылок, сформулированные выше. Правда, к ним теперь может
быть присоединена еще она эвристика.
4-я эвристика. После того как применением всех шагов по 1-й эвристике
удалось дойти до формулы В, имеющей вид VaA или ЗаА, можно далее
продолжить выбор посылок из формулы А по эвристикам 1 или 2, не обращая
внимания на наличие кванторов.
Рассмотрим примеры вывода и доказательства. Обоснуем выводимость вида:
3xVy?(x,y) ь- Vy3xP(x,y).
1.
2.
3.
4.
5.
3xVyP(x,y)
vyP(x,y)
Пх,у)
Зх¥(х,у)
Vy3xP(x,y)
-пос.
-Эй, 1,х-абс. огр.
-\/и,2
-Эв,3
-VB,4,j-a6c. огр.
В данном рассуждении абсолютно ограничивались переменные х и у, но так
как они не входят свободно ни в посылку, ни в заключение, данное рассуждение
представляет собой завершенный вывод и, следовательно, метаутверждение о
выводимости обосновано. Попытаемся обосновать теперь метаутверждение:
\/уЗх¥(х,у) ь- ЗхУуР(х, у).
1. Vy3xP(x,y) -пос.
2. ЗхР(х,у) -VH, 1
3. P(x,j) - Зи, 2, л: - абс. огр., у - огр.
4. VyP(x,у) - VB, 3,у - абс. огр., х - огр.
На этом шаге вывод должен быть «оборван», так как данная
последовательность уже не удовлетворяет пункту (4) понятия вывода, согласно которому ни
одна переменная не должна ограничивать сама себя. В нашем же случае на 3-м
шаге х ограничивает у, а на 4-м - у ограничивает х. Поэтому по транзитивности
получается, что х ограничивает д:. Обойти эту сложность не удается даже
изменением переменной при применении правил Эи и VB. И это не случайно, так как
рассматриваемое утверждение вообще не может быть обосновано. Покажем
теперь на двух примерах, как действует эвристика 4.
h (Vjc(S(jc) з P(jc)) & Vjc(P(x) з Q(x))) з Vx(S(x) з Q(x))
1 • Vx(S(x) з P(*)) & Vjc(P(jc) з Q(x))
2. S(x)
3. Vjc(S(jc) з P(jc))
4. Vx(P(jc) з Q(jc))
5. S(x) z> P(jc)
6. P(jc)
7. P(jc) з Q(jc)
8. Q(x)
9. S(x) з Q(x)
10. Vx(S(jc) з Q(jc))
11 • (Vx(S(x) з P(*)) & Vx(P(x) з Q(x))) з Vjc(S(x) з Q(jc)) - Зв, 10
-пос.
-пос.
-&и,1
-&и,1
-VH,3
- ^н, 2, 5
-V№4
- Зи, 6, 7
-Зв,8
-Vb,9,x-
Vjc(S(x) з
- абс. огр.
ОС*))
206

Данный вывод является завершенным доказательством, а потому метаутвер-
ждение обосновано. В доказательстве на 2-м шаге применялась 4-я эвристика к
формуле Vjc(S(jc) з Q(*))-
Рассмотрим теперь следующий пример:
I- -пЗх^Р(х, f(y), а) з VxP(jc, f(y), а)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
^Эл^Р(лг, f(v), а)
^Р(х,%),а)
Эд^Р(х, f(v), а)
^Р(лг,%),а)
Р(*, Ш »)
V*P(x, f(y), а)
-пос.
-пос.
-Эв,2
—в, 1,3
—и, 4
-VB, 5,л--
-абс.
огр.
,у-
-огр.
7. ^Эл:-пР(д:, f(y), а) з VxP(x, f(j), а) - Зв, 6
Эта последовательность - завершенное доказательство, так как единственная
абсолютно ограничивавшаяся в выводе переменная д: не входит свободно в
заключение (неисключенных посылок здесь нет, так как их множество пусто). Применение
эвристики 4 к формуле VjcP(jc, f(y), а) состояло в том, что было рассмотрено
выражение Р(х, f(y), а), стоящее после квантора V. Это выражение не имеет вида
импликации, а потому к ней нельзя применить 1-ю эвристику. В силу этого применяется
2-я эвристика, которая и дает нам вторую посылку —>Р(л:, f(y), а). Тем самым мы
перешли, в соответствии с эвристикой 2, к построению вывода от противного, т. е. к
нахождению среди формул вывода противоречащих друг другу формул.
Для построенного в данной главе натурального исчисления предикатов можно
доказать справедливость следующего метаутверждения:
Завершенный вывод А,,..., А„ \- В имеет место тогда и только тогда,
когда Аь..., А„ 1= В,
что, с одной стороны, гарантирует корректность дедуктивных средств рассуждения,
принятых в исчислении, а с другой - говорит о том, что рассмотренное
исчисление предикатов первого порядка адекватно формализует логику
предикатов первого порядка.
Упражнения
1. Определите, подстановки каких термов вместо переменных х и у в
формулу (VxQ(y, х) v ЭгЩдс, у, z)) з Vj>Q(y, jc) являются правильными и запишите
результат подстановки:
a) f(x, у), б) f(x, z), в) f(y, z),
г) f(x, а), д) f(y, b), е) f(a, b).
2. Определите, правильно ли применены кванторные правила:
а) ЗхР(х, у) h Р(у, у), б) ¥(у, у) Ь ЗхР(х, у),
ъ)УхЗуР(х,у)^-Зу¥(у,у).
3. Докажите в натуральном исчислении предикатов следующие теоремы:
а) V*(Q(y) => Щх,у)) з (QO0 => ЧхЩх,у)),
б) 3jcR(jc, х) з 3x3yR(jc, у),
207

в) 3x(P(x) з VjtfOO),
г) VxVyR(x, у) з VyV*R(jc, j;),
д) Эд:Р(д:) = ->\/x^P(x),
е) VxP(x) = -,3jc-nP(x),
ж) V*(P(x) & Q(jc)) = (VxP(x) & VxQ(x)).
4. Обоснуйте правильность рассуждений средствами натурального
исчисления предикатов:
а) Все кошки знают французский язык. Некоторые цыплята - кошки.
Следовательно, некоторые цыплята знают французский язык.
б) Неверно, что кто-то умнее всех. Значит, каждый не умнее кого-нибудь.
§ 2. Аксиоматическое исчисление АРг
2.1. Аксиомные схемы и правила вывода
Перейдем к рассмотрению аксиоматического исчисления предикатов.
Алфавит, понятие терма и понятие формулы для данного исчисления совпадают с
соответствующими понятиями для системы NPr. Поэтому перейдем сразу к
формулировке принципов дедукции.
Аксиоматическое исчисление предикатов образуется как надстройка над
исчислением высказываний. Выберем в качестве пропозициональной основы
исчисления предикатов аксиоматику системы САР, к которой будет добавлена
кванторная часть - схемы аксиом и правила вывода. Будем называть
построенное так аксиоматическое исчисление классическим аксиоматическим
исчислением предикатов первого порядка АРг.
Итак, к уже имеющимся схемам аксиом системы САР добавляются
следующие кванторные схемы аксиом:
СА10. Va(A г> В(а)) г> (А з VaB(a)), где А не содержит свободно а.
CAll.VaA(a)z>A(a/t).
Что касается правил вывода, то к modus ponens системы САР в АРг
добавляется еще одно дополнительное правило - правило генерализации:
А
VaA.
По определению вводятся эквиваленция и квантор существования:
(A^B)%(AdB)&(BdA),
ЗссА =Df —iVa-iA.
2.2. Доказательство в исчислении АРг
Понятие доказательства, которое было задано при построении
аксиоматического исчисления высказываний АР, без каких-либо изменений переносится и
в аксиоматическое исчисление предикатов первого порядка АРг.
208

транзитивность
Перейдем к рассмотрению примеров доказательства теорем в
аксиоматическом исчислении предикатов.
I- A(x/t) з 3jcA(jc) - закон введения квантора Э
1 • Vjc-i A(jc) з -, A(x/t) - частный случай С A11
2. (Vjc-,A(jc) з -,A(jc/t)) з (-,-A(jc/t) з -,Vjc-.A(jc)) - контрапозиция
3. -.-.AQc/t) з -nVjc^A(jc) -т.р.к2,\
4. (A(jc/t) з -,-A(jc/t)) з ((-,-,A(jc/t) з -nVjc^A(jc)) =
(A(jc/t) з -,Vjc-,A(jc)))
5. A(x/t) з —i—A(jc/t) - закон навешивания двойного отрицания
6. (-,-,A(jc/t) з -hVjc^A(x)) з (A(jc/t) з -,Vjc-A.(jc)) - w.p. к 4, 5
7. A(jc/t) з ->Vx-A(jc) - m.p. к 6, 3
8. A(x/t) з 3xA(x) - определение квантора 3 к 7
I- VxA(x) з ЭхА(х) - закон подчинения
1. (VxA(x) з A(x/t)) з ((A(x/t) з ЭхА(х)) з (VxA(x) з тоанчитикность
ЗхА(х))) -транзитивность
2. VxA(x) з A(x/t) - САН
3. (A(x/t) з 3jcA(jc)) з (VxA(x) з ЗхА(х)) - m.p. к 1, 2
4. A(jc/t) з 3xA(x) - закон введения квантора 3
5. VxA(x) з ЗхА(х) - m.p. к 3, 4
I- Vx(A з В) з (VxA з В) - закон пронесения V в антецедент
- транзитивность
1 - (Vx(A з В) з (А з В)) з (((А з В) з ((VxA з А) з (VxA
з В))) з (Vx(A з В) з ((VjcA з А) з (VxA з В))))
2. Vx(A з В) з (А з В) -частный случай САН
3. ((А з В) з ((VjcA з А) з (VjcA з В))) з (Vjc(A з В) з
((VjcA з А) з (VjcA з В))) '^' '
4. (VjcA з А) з ((А з В) з (VjcA з В)) - транзитивность
5. (А з В) з ((VjcA з А) з (VjcA з В)) - закон перестановки антецедентов к 4
6. Vjc(A з В) з ((VjcA з А) з (VjcA з В))) -т.р. к 3,5
7. (VjcA з А) з (Vjc(A з В) з (VjcA з В)) - перестановка антецедентов к 6
8- VjcA з А -частный случай САН
9. Vjc(A з В) з (VjcA з В) - т.р. к 7, 8
I- Vjc(A з В) з (VjcA з VjcB) - закон пронесения V
1 • Vx(A з В) з (VjcA з В) - закон пронесения V в антецедент
2. Vjc(Vjc(A з В) з (VjcA з В)) - генерализация 1
3. Vjc(Vjc(A з В) з (VjcA з В)) з (Vjc(A з В) з Vx(VxA з В)) - СА10
4. Vjc(A з В) з Vx(VxA з В) - т.р. к 3, 2
5. (Vjc(A з В) з Vjc(VjcA з В)) з ((Vjc(VjcA з В) з
v ' • >> w \ _ ТраНзитивность
(VjcA з VjcB)) з (Vjc(A з В) з (VjcA з VjcB))) f
6. (Vjc(VjcA з В) з (VjcA з VjcB)) з (Vjc(A з В) з (VjcA з VjcB)) - т.р. к 5, 4
7. Vjc(VjcA з В) з (VjcA з VjcB) - частный случай СА10
8. Vjc(A з В) з (VjcA з VjcB) - т.р. к 6, 7
209

Обратите внимание, что ограничения, наложение на аксиому СА10,
выполнены, а потому ее использование в доказательстве является корректным.
2.3. Теорема дедукции в исчислении АРг
Из приведенных выше примеров видно, что построение доказательств в
аксиоматическом исчислении предикатов является весьма не простой задачей. Но.
аналогично тому, как это было показано уже для исчисления высказываний,
доказательство теорем в аксиоматической первопорядковой логике во многом
облегчается, если будет доказана метатеорема дедукции. Для доказательства
последней необходимо прежде всего сформулировать понятие вывода для
аксиоматического исчисления предикатов. Итак,
Выводом формулы В из посылок Аь А2,..., Ап в аксиоматическом
исчислении предикатов будем называть непустую конечную
последовательность формул С\, С2,..., Ск, в которой Ск^Ви которая
удовлетворяет условиям: каждая Q в этой последовательности является
или одной из посылок Аь А2,..., А„, или аксиомой, или получена из
предыдущих по modus ponens, или по правилу генерализации, которое
применялось к переменным, не входящим свободно в посылки.
Наличие вывода формулы В из посылок Аь А2,..., А„ будем, как и ранее,
обозначать посредством метазаписи Аь А2,..., Ап I- В.
Сформулируем теперь теорему дедукции для аксиоматического исчисления
предикатов АРг.
Метатеорема 1. Если из множества формул Г и формулы А
выводима формула В и правило генерализации не применялось к свободным
переменным посылки А, то из множества формул Г выводима
формула А з В. Символически:
Г,АНВ
ThADB.
Доказательство.
Так как система АРг является надстройкой над аксиоматическим
исчислением высказываний, то все шаги, которые были проведены при доказательстве
теоремы дедукции для аксиоматического исчисления высказываний,
сохраняются полностью. Модификация же будет состоять только в том, что к
доказательству теперь необходимо добавить еще один индуктивный шаг, связанный с
правилом генерализации.
Итак, допустим, что формула С„, содержащаяся в выводе Г, А I- В,
получена из предыдущей формулы Q по правилу генерализации. Тем самым Сп =■=
VaCi(ot). При этом генерализация применялась по переменной а, которая не
является свободной в устраняемой посылке А. Покажем, что свойство 9? будет
выполняться и для формулы С„ (индуктивный шаг).
Так как формулы Q предшествуют формуле Сп, то ее номер < п, и,
следовательно, для нее свойство 9? имеет место, т. е. Г h A d Q. Надо показать, что тог-
210

да имеет место Г Ь- А з VaCj(ot). Для этого достаточно рассмотреть следующую
последовательность формул:
A з Cj- выполнимость свойства 5R для формулы Q.
Va(A з С,) - генерализация к предыдущему выражению.
Va(A з Cj) d(Ad VaCj) - частный случай СА10 (условие, налагаемое на
эту схему аксиом, выполнено, так как переменная а не входит свободно в А).
A з VaCj - т.р. к предыдущим двум формулам.
Итак, по индуктивному допущению имеем: Г h А э Q. Последние же 4
шага вывода показывают, что имеет место и выводимость A d Q I- A d VaCj. Но
тогда по сечению имеет место и выводимость Г Н Аэ VaCj(a). Тем самым
данный индуктивный шаг доказан. Метатеорема, обосновывающая теоремы
дедукции для аксиоматического исчисления предикатов АРг, доказана.
2.4. Примеры применения теоремы дедукции
Покажем на некоторых примерах, как используется теорема дедукции в
аксиоматическом исчислении предикатов.
Ь (А з VxB(x)) з Vx(A з В(х)), где А не содержит свободно х
1 • Аз VxB(x) -пос.
2. А - пос.
3. УхВ(х) -т.р. к 1,2
4. VxB(x) з В(х) -частный случай САН
5. В(дг) -т.р. к4, 3
Итак, построен вывод вида:
А з УхВ(х), А Ь- В(лг).
Так как правило генерализации не применялось в данном выводе, то по
теореме дедукции должен существовать и вывод вида:
А з УхВ(х) (- А з В(х).
Но тогда по правилу генерализации должен иметься и вывод вида:
(А з VjcB(x)) h Vjc(A з В(д:)).
Правило генерализации применялось здесь к переменной х. Эта переменная, по
условию, не содержится свободно в формуле А, а в формуле VxB(x) она связана.
Таким образом, в единственной посылке -(Аз VxB(x)) - переменная л: не
содержится свободно. Это позволяет применить теорему дедукции и получить
окончательно утверждение о доказуемости в системе требуемой теоремы.
Приведем еще один пример. Докажем, что
I- Vx(A & В) з (VxA & VxB).
1. Vjc(A&B) -пос.
2. \/х(\ & В) з (А & В) - частный случай СА11
3. А&В -т. р. к 2,]
4. (А & В) з А - схема аксиом САЗ
211

5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
(А & В) з В
А
В
VjcA
VjcB
VjcA з (VjcB з (VjcA & VjcB))
VjcB з (VjcA & VjcB)
VjcA & VjcB
- схема аксиом СА4
- m. p. к 4, 3
-т.p. к 5, 3
- генерализация к 6
- генерализация к 7
- частный случай СА5
-т.р. к 10, 8
- т. р. к 11, 9
Итак, построен вывод вида:
Vjc(A & В) h- (VjcA & VjcB).
Так как в посылке - формуле Vjc(A & В) - переменная jc не входит свободно,
то может быть использована теорема дедукции и окончательно установлено
наличие в системе требуемой теоремы.
Докажем, следующее утверждение:
I i3jcA(jc) з (—,—iA(jc) з 3jcA(jc)) - (выводимость I).
1. -,3jcA(jc) - пос.
2. -,-A(jc) - пос.
3. -i—iA(jc) з A(jc) - частный случай закона снятия двойного отрицания
4. A(jc) -т. р. к 3, 2
5. A(jc) з 3jcA(jc) - частный случай закона введения квантора 3
6. 3jcA(jc) - т. р. к 5, 4
Итак, показано, что имеет место выводимость;
-,3jcA(jc), -,-A(jc) t- 3jcA(jc).
Так как правило генерализации в этом выводе не использовалось, то, применяя
два раза теорему дедукции, мы обосновываем данное утверждение. Имея теперь
данную вспомогательную выводимость, докажем один из законов де Моргана
для кванторов:
I ,3jcA(jc) з Vjc-,A(jc).
1. -,3jcA(jc) - пос.
2. -,ЗдсА(л:) з (-.-.A(jt) з 3jcA(jc)) - (выводимость I)
3. -,3jcA(jc) з (-,-.A(jc) з -,3jcA(jc)) - частный случай CA1
4. (->-,А(де) з 3jcA(jc)) з ((-,-,A(jc) з -.3jcA(jc)) з -.А(дс)) - частный случай СА9
5. -,-A(jc) з 3jcA(jc) - т. p. к 2, 1
6. -,-A(jc) з -.3xA(jc) - т. p. к 3, 1
7. (-,-,A(jc) з ^3jcA(jc)) з -,A(jc) -т.р.к4,5
8. -iA(jc) -т.р.к1,6
9. Vjc-,A(jc) - генерализация к 8
Итак, осуществлен вывод следующего вида:
-,3jcA(jc) Ь Vjc-,A(jc).
Так как в этом выводе правило генерализации применялось к переменной,
которая не является свободной в единственной посылке, то по теореме дедукции
мы получаем обоснование данного закона.

2.5. Метатеоретические свойства исчисления АРг
Рассмотрим теперь некоторые метатеоретические свойства, которыми
обладает система АРг.
Прежде всего отметим, что аксиоматическое исчисление предикатов АРг и
натуральное исчисление NPr являются дедуктивно эквивалентными по классу
выводимостей, т. е. в системе АРг из посылок Г (это множество может быть и
пустым) выводима формула В тогда и только тогда, когда эта же
выводимость (в смысле завершенной выводимости) имеет место и в системе NPr.
Однако здесь будет доказана лишь часть этого общего положения.
Метатеорема 2. Аксиоматическое исчисление предикатов АРг по
классу теорем является подтеорией (см. главу XII) натурального
исчисления предикатов NPr, т. е. справедливо утверждение:
V A(APr hA^> NPr h А).
Доказательство.
Необходимо показать, что все дедуктивные принципы системы АРг
являются производными в системе NPr. Что касается правил modus ponens и
генерализации исчисления АРг, то это будут, соответственно, правило зи и правило VB
исчисления NPr. Остается только показать, что все схемы аксиом системы АРг
доказуемы в системе NPr. Последнее является достаточно легкой задачей и
потому предоставляется читателю. Отметим только, что условие: <ф - абс. огр.;
Yi,.--, Yn - огр.», наложенное на правило VB в системе NPr, гарантирует нам, что
для получения завершенного вывода при обосновании схемы аксиом СА10 в NPr
переменная а не должна входить свободно в формулу А.
Метатеорема 3. Исчисление АРг непротиворечиво относительно САР.
Метатеорема утверждает, что если исчисление САР непротиворечиво (а оно
действительно таково, что было показано в главе IV), то непротиворечиво и
исчисление АРг.
Введем функцию 0. Выражение 9(A) будет обозначать формулу
исчисления высказываний САР, образованную из формулы А исчисления АРг
следующим образом: 1) в формуле А за счет определения ЗаА =Df-,Va-A.
устраняются все кванторы существования, 2) опускаются все кванторы общности и
термы (вместе с соответствующими скобками и запятыми), 3) предикаторы Рп,
Qn, Rn, Sn, Pi", Qi", Ri", Si", P2n,... замещаются пропозициональными
переменными так, чтобы одинаковые предикаторы замещались одинаковыми
пропозициональными переменными, а разные - разными.
Например, применяя функцию 6 к формуле исчисления предикатов вида
(3x-iP(x, b, z) => Q(x, z)) => (—i—iP(jc, у, а) =э VjcR(b, xj), получим формулу
исчисления высказываний (—i—i—.р гэ q) d (—.—ip z> r).
Для функции 0 выполняются следующие свойства:
1.9(-,А) = -.е(А),
213

2. 9(А & В) = 9(A) & 9(B),
3. 9(А v В) = 9(A) v 9(B),
4. 9(А => В) = 9(A) з 9(B).
Докажем вначале лемму о том, что функция 9, будучи применена к
произвольной теореме исчисления предикатов АРг, порождает
тождественно-истинную формулу логики высказываний:
Лемма. V А(АРг V- А =^> 1= 9(A)).
Доказательство.
Действительно, будучи применена к аксиомам, структура которых задается \
схемами аксиом СА1-СА9, функция 9 породит некоторую формулу этой же
самой структуры, т. е. породит аксиому исчисления высказываний САР, так как
все формулы, имеющие структуру схем формул СА1-СА9, являются аксиомами.
Аксиомы же исчисления высказываний, как было установлено выше, являются
тождественно-истинными формулами. Что касается кванторных схем аксиом, то
любой частный случай СА10, т. е. схемы Va(A з B(a)) з (А з VaB(a)), будет
преобразован функцией 9 в формулу вида (С э D) э (С э D). Но все частные
случаи этой схемы являются тождественно-истинными формулами.
Одновременно с этим и любой частный случай VaA(a) з A(a/t) схемы СА11 будет
преобразован в формулу вида В з В, частные случаи которой являются тоже
тождественно-истинными.
С другой стороны, все правила вывода системы АРг инвариантны
относительно свойства «быть тождественно-истинной формулой при преобразовании
9», т. е. они сохраняют данное свойство при преобразовании 9. Действительно,
если в АРг к формулам А и (А з В) было применено правило modus ponens и
получена формула В, то тогда, если тождественно-истинными являются
формулы 9(A) и 9(А з В) = 9(A) з 9(B) (по указанному выше пункту 4 свойств 9).
то формула 9(B) тоже будет тождественно-истинной формулой, что уже было
показано в главе III. Наконец, рассматривая правило генерализации, приходим
к выводу, что если 9(A) - тождественно-истинная формула, то таковой будет и
формула 9(VaA), так как результаты применения операции 9 к А и VaA
совпадут. Итак, доказано: если формула А исчисления предикатов АРг - теорема,
то 9(A) - тождественно-истинная формула логики высказываний. На этом
доказательство леммы завершено. а
Доказательство теоремы.
Доказательство ведется методом от противного. Допустим, что исчисление
АРг синтаксически противоречиво.
1. Э А(АРг Н А & АРг I А) - допущение
2. АРг I- А & АРг I А - исключение Э к 1, А - абс. огр.
3. АРг Ь-А -исключение & к 2
4. АРг Ь —,А -исключение & к 2
5. 9(A) - тождественно-истинная формула по лемме
214

6. 0(-iA) - тождественно-истинная формула по лемме
7. —i6(A) - из 6 по свойству 1 функции 9: 9(-А) = -.9(A)
8. 9(A) - не тождественно-истинная формула (по смыслу -.)
9. Пункты 5 и 8 противоречат друг другу. Следовательно,
10. -п ЭА(АРгЬ А & APr I--.A) лвк5и8
На этом завершается доказательство метатеоремы.
Доказанная метатеорема говорит о синтаксической непротиворечивости
исчисления АРг, однако данный результат относительно семантической
непротиворечивости этого исчисления является весьма слабым. Фактически мы
показали, что при условии выбора в качестве области интерпретации произвольного
одноэлементного множества U = {и} все наши аксиомы превращаются в
общезначимые (тождественно-истинные) утверждения на этой одноэлементной
области. Действительно, функции 9 потому и «позволено» устранять все кванторы
общности и термы, что на указанной одноэлементной области кванторы теряют
свой смысл, а термы х, b, z, у и а в выражениях, скажем, Р(л:, b, z) и Р(х, у, а),
хотя и являются различными, обозначают всегда один и только один объект этой
области и. Конечно же, хотелось бы показать общезначимость всех теорем
исчисления АРг в нашем исходном смысле, т. е. на любых областях
интерпретации. С этой целью докажем следующую метатеорему:
Метатеорема 4. Исчисление АРг семантически непротиворечиво, т. е.
VA(APr hA^NA).
Для доказательства этой метатеоремы необходимо показать, что все схемы
аксиом являются схемами общезначимых формул, а правила вывода
инвариантны относительно свойства «быть общезначимой формулой», т. е. позволяют
получать из общезначимых формул только общезначимые формулы.
Покажем общезначимость любой аксиомы, имеющей структуру схемы СА1.
Допустим, что некоторая аксиома схемы СА1 не является общезначимой.
1. 3 3 Э ф(|А =э (В з А)|3Ф = л) - допущение о необщезначимости СА1
2. |А=) (В zd А)|3ф=л - Эи 2 раза к 1,3 иф-абс. огр.
3. |А|3Ф = и - по определению (F5) из 2
4. |В z> А|3Ф = л - по определению (F5) из 2
5. |В|3Ф = и - по определению (F5) из 4
6. |А|3Ф = л - по определению (F5) из 4
7. ^ЭЗЭф([А=)(ВзА)|3ф = л) -^в,кЗи6
8. V 3 V ф(|А zd (В =э А)|3Ф = и) - закон де Моргана к 7
9. \= А => (В =з А) - по определению общезначимости из 8
Общезначимость остальных схем аксиом СА2-СА9 показывается
аналогично, что и предоставляется сделать читателям. Остается продемонстрировать
общезначимость СА10 и САН, а также инвариантность правила modus ponens и
генерализации. Докажем общезначимость СА10.
215

1. ЗЗЗф(|Уа(А z> B(a)) d(Ad УаВ(а))|3ф = л) -допущение
где А не содержит свободно а.
2. | Va(A г> В(а)) з(Аэ УаВ(а))|3ф = л - 3 и 2 раза к 1, 3 и ф - абс. огр.
3. |Va(A г> В(а))|3ф = и - по определению (F5) из 2
4. |А =) VaB(a))|39 = л - по определению (F5) из 2
5. |А|3Ф = и - по определению (F5) из 4
6. |УаВ(а))|3ф = л - по определению (F5) из 4
7. 3 \|/(|B(a)|Jv = л) - по определению (F6) из 6, где \|/ отличается от
ф не более чем значением переменной a
8. |В(а)|3у = л - 3 и к 7, ц/- абс. огр.
9. ^ \|/(|А D В(а)|3¥ = и) - по определению (F6) к 3
10. |А zd B(a)|Jv = и - V и к 9; квантор V снимается по той же
функции v|/, по которой снимался квантор 3 в пункте 8
11. |A|3V = л v (B(a)|3v = и - по определению (F5) из 10
12. |А|3(), = л -допущение
В формулу А индивидная переменная а не входит свободно, а на всех
остальных свободных переменных, входящих в А (если они туда входят),
имеет место равенство функций, т. е. ф = V|/. Поэтому:
13. |А|3Ф = л - из 12 в силу равенства ф = \|/
14. ^(|А|\=л) --1 в, к 5, 13
15. jB(a)|3v = « - vhk11,14
16. ^ЗЗЭф(|Уа(А=эВ(а))=)(А=)УаВ(а))|3ф = л) -^в,к8, 15
17. V 3 У ф(| Va(A z> В(а)) э(Аэ VaB(a))|3„ = и)- закон де Моргана к 16
18. 1= Va(A э B(a)) э (А э VaB(a)) - по определению
общезначимости из 17.
Докажем теперь общезначимость САН.
1. 33 3 ф(| VaA(a) z) A(a/t)|3<p = л)- допущение о необщезначимости СА1
2. |VaA(a) гэ A(a/t)|39 =л - Эи 2 раза к 1, 3 иф-абс. огр.
3. |УаА(а)|3ф = и - по определению (F5) из 2
4. |A(a/t)|39 = л - по определению (F5) из 2.
5. объект v не выполняет условия А - из 4 по равенству Щ,, = v
6. \/ \|/(|A(a)|3v = и) - по определению (F6) из 3
7. |А(а)|0у = и - \/ и к 6. Но так как 7 истинно для любой \|/, отличной
от ф не более чем значением для а, мы можем выбрать
в качестве v|/ функцию, которая приписывает
переменной а предмет v, т. е. |a|v = v. Но тогда верно, что:
объект v выполняет условия А - из 7 по равенству |a|v = v.
9. ^333 ф(|VaA(a) => A(a/t)|39 = л) - ^ в, к 5, 8
10. V 3 S/ ф(| VaA(a) з A(a/t)| Зф = и) - закон де Моргана к 9
11. 1= VaA(a) г> A(a/t) - по определению общезначимости из 10.
216

Итак, показано, что схемы аксиом СА10 и САН являются схемами
общезначимых формул. Покажем, что правило вывода сохраняет свойство
общезначимости. Для правила modus ponens это было доказано в главе III. Остается
показать, что этим же свойством обладает и правило генерализации.
Метатеорема 5: о генерализации. Если 1= А, то \= VaA.
Доказательство.
1. t= А - допущение
2. l£VaA -допущение
3. V 3 V ф(|А|3ф = и) - определение общезначимости к 1
4. 3 3 Э ф(|\/аА|3ф = л) - определение необщезначимости к 2
5. |\/аА|3ф = л - Эи 2 раза к 4, 3 и ср-абс. огр.
6. Э \|/(|A|3V = л) - по определению (F6) из 5
7. |А|¥ = л - Э и к 6, \|/ - абс. огр.
Так как формула А общезначима, то она справедлива при любой
возможной реализации 3 и любой функции ф, в том числе и для функции v|/,
а потому:
8- |A|3V = и _ V и 2 раза к 3
9. Неверно, что VaA - необщезначимая формула - -^ в, к 7, 8
10. 1= VaA - из 9 по смыслу отрицания.
Итак, показано, что все схемы аксиом являются схемами общезначимых
формул исчисления АРг, а правила вывода сохраняют это свойство формул.
Таким образом, любая доказуемая в АРг формула является общезначимой.
Доказательство завершено.
Теперь можно в более общем виде доказать и метатеорему о синтаксической
непротиворечивости исчисления.
Метатеорема 6. АРг синтаксически непротиворечиво, т. е.
-пЭА(АРг I- А & АРг \- -А).
Действительно, если бы в исчислении АРг нашлась некоторая формула А
такая, что как сама она, так и ее отрицание были бы теоремами, то в таком
случае, согласно только что доказанной метатеореме о семантической
непротиворечивости, обе они оказались бы общезначимыми формулами (законами логики
предикатов), т. е. 1= А и 1= —А. Но это невозможно, так как если формула —А
общезначима, то, согласно смыслу знака отрицания, формула А не общезначима,
и мы приходим к противоречию: формула А оказывается одновременно и
общезначимой и необщезначимой. Метатеорема доказана.
Метатеорема 7. Исчисление АРг семантически полно, т. е.
VA(I= А=>АРгЬ- А).
Доказательство этой метатеоремы опускается. Желающие могут
ознакомиться с ней по учебникам курсов математической логики.
217

Метатеорема 8. Синтаксис и семантика АРг адекватны друг другу,
что означает, что:
V А (АРг h А о 1= А).
Последняя метатеорема, как было показано для исчисления высказываний,
позволяла решить проблему разрешения для системы САР. В
противоположность этому, в исчислении предикатов доказательство данной метатеоремы
проблему разрешения для исчисления не решает, так как имеет место следующее
свойство первопорядкового исчисление предикатов:
Метатеорема 9. Исчисление АРг неразрешимо.
Идею доказательства этой метатеоремы см. в главе XII.
Метатеорема 10. Система АРг не является максимальной, т. е. к
ней без противоречия можно присоединять в качестве новых схем
аксиом недоказуемые в ней выражения.
Такое присоединение в наиболее интересных случаях ведет не к
противоречию, а к сужению класса возможных реализаций языка, что позволяет на базе
исчисления предикатов строить различного рода нелогические теории.
Например, к исчислению АРг можно присоединить недоказуемую и потому
необщезначимую в ней новую схему аксиом А(дс) з А(у). В этом случае мы просто
сузим класс возможных реализаций до одноэлементных множеств, так как схема
А(х) z> А(у) оказывается истинной именно на такого рода реализациях. Вообще,
к аксиомам системы АРг без противоречия можно присоединить любую
формулу из класса выполнимых формул.
Упражнения
1. Докажите, что все схемы аксиом системы АРг являются схемами
теорем натурального исчисления предикатов.
2. Выпишите результат применения функции 9 к следующим ниже
формулам и покажите, что получившиеся выражения являются тождественно-
истинными формулами логики высказываний:
а) ((Р(х,у, ОД) v Q(b, г)) => Q(y, с)) з ((P(g(x, j), а, Ш v
Q(z, z)) zd Q(y, с)),
б) Vx@y3z(Mx) & P(*,jO) => Q(z)) з 3j3z(R(h(a, b)) &
P(h(a,b)j))DQ(z)).
3. Покажите, что все схемы аксиом пропозициональной логики
общезначимы в системе АРг.
4. Используя ранее доказанные теоремы, а также теорему дедукции,
покажите, что следующие формулы являются доказуемыми в системе АРг.
а) 3jc(P(jc) zd Q(x)) = (VxP(x) => 3jeQ(jc)),
б) (ЗхР(х) => VjkQ(x)) zd Vx(P(jt) zd Q(x)),
в) VxVyR(x, у) з Vy^\fx-nR(x,y),
218

г) 3x3yR(x,y) з ЗуЗхЩх,у),
д) (VxVjR(x, у) & Q(a, а)) з (R(a, а) & ЗуЗхЩх, у)).
5. Покажите, что добавление к АРг в качестве аксиом недоказуемых в ней
формул вида ЗаА zd VaA не делает систему синтаксически противоречивой.
§ 3. Расширения первопорядкового исчисления
3.1. Исчисление предикатов с равенством
Среди возможных расширений стандартного аксиоматического первопорядкового
исчисления предикатов прежде всего выделим исчисление предикатов с равенством -
АРг=. Значение этого исчисления определяется тем обстоятельством, что введенные
нами выше в язык исчисления функциональные термины начинают играть важную роль
только тогда, когда можно устанавливать равенство значений таких терминов.
Исчисление АРг= получается как надстройка над рассмотренным только что
стандартным исчислением предикатов. Для этого алфавит исчисления обогащается
двухместным предикатом равенства - знаком «=». Кроме того, в определение понятия формулы
вводится дополнительный пункт, согласно которому к числу элементарных формул
теперь относятся формулы вида «ti = t2», где tj и t2 - произвольные термы. С
семантической точки зрения предложение вида «ti = t2» в некоторой реализации 3 = <U, 1> и при
некоторой функции приписывания значений индивидным переменным ф считается
истинным, если и только если значением |ti|v и |t2|p является один и тот же объект и е U.
Для получения АРг= система АРг обогащается двумя дедуктивными принципами -
одной аксиомой и одной схемой аксиом:
А12. Va(a = a) - рефлексивность равенства,
СА13. VaVP(a = (3 з (A(a) з А(а:Р))) - замена равного равным,
где А(а:(3) означает замену в формуле А (не обязательно везде) свободной индивидной
переменной а переменной р.
Покажем, что введенный указанными двумя дедуктивными принципами знак «=»
действительно является знаком равенства, т. е. для него выполняются все свойства
равенства - рефлексивность, симметричность и транзитивность.
Что касается свойства рефлексивности, то оно уже принято в качестве аксиомы.
Остается показать справедливость двух других свойств.
I- ti = t2 з t2 = t] - симметричность равенства для произвольных термов
1. VaVB((a = 6 э (a = a d В = а)) э „ «/-ли
^vv ^ v v " - частный случаи СAl 1
(t, = t2 з (tj = ti з t2 = tt))
2. VaVP(a = p з (a = a z> p = a)) - частный случай CA13
3. (t, = t2 z> (tj = t, z> t2 = ti)) -m.p. к 1,2
4. tj = t] з (t! = t2 d t2 = t]) - по закону перестановки антецедентов
5. t] = t] -рефлексивность
6. t, = t2 => t2 = t, - m.p. к 4, 5
I- ti = t2 з (t2 = t3 з ti = t3) - транзитивность равенства
219

^v p v \ r \>>> v i i vi j - частный случаи CA11
ti = t3)) У
2. Va\/p(a = p iD(a = y=>P =y))) - частный случай CA13
3. t2 = ti=>(t2 = t33t1 = t3) -т.р.к\,2
4. t! = t2 з t2 = ti - симметричность равенства
5. t] = t2 з (t2 = t3 з tj = t3) - транзитивность з к 4, 3
В главе V говорилось, что уже в АРг закон вида 3aA v За—iA указывает на
некоторое семантическое свойство самой системы - непустоту области ее интерпретации.
Теперь же в исчислении АРг= становится возможным доказать еще одну теоремы,
утверждающую о другом семантическом свойстве системы - а именно, теорему о непустоте
термов, о существовании их денотатов в универсуме логики.
I- Va3P(a = р) - непустота термов.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1- Va(a = a)
1- Va(a = а) з y = Y
1-7 = 7
hY = Y^3p(Y = P)
НЭР(7 = Р)
h- Va3P(a = P)
All
- частный случай САН
- т.p. к 2, 1
- частный случай закона введения квантора 3
- т.р. к 4, 3
- генерализация к 5
В исчисление АРг= можно ввести по определению особый квантор существования -
оператор существования единственного объекта - «существует единственный объект a
такой, что...». Обозначим этот квантор посредством использования знака «3i». Тогда по
определению:
3!aA(a) sDf3a(A(a) & VaVp(A(a) & А(Р) з a = 0)).
Выражение, стоящее после знака «sDf», утверждает существование объекта,
удовлетворяющего условию А - 3aA(a), а выражение VaVP(A(a) & А(Р) з a = р) утверждает
дополнительно еще и его единственность (или несколько точнее - оно говорит, что
таких объектов не более чем один).
Доказательство в АРг= формулы вида VxiVA:2...Vxn3i-yA(Xb хг,..., х„, у)
указывает на то, что и + 1-местное отношение А является функциональным отношением (см.
главу II). Это позволяет двумя равносильными способами ввести в исчисление
новый термин, а именно, либо в виде описательного имени (терма) типа определенной
дескрипции: iyA(bu b2,..., bn, у), либо в виде «-местного функтора, определяемого
условием:
f(*b хг,..., х„,) =у = А(лг,, х2,..., ха,у).
Например, доказательство в арифметике утверждения \/xi\/xi3]yZ(xi, х2, у), где
выражение 2(.*i, Хг, у) является трехместным предикатом, который читается следующим
образом: «у есть сумма чисел х\ и лг2», позволяет ввести следующие определенные
дескрипции - iyZ(5, 3, у), iy£(5, 4, у), которые являются, соответственно, описательными
именами чисел 8 и 9, или ввести двухместную функцию сложения, определяемую
условием: (xi + х2 = у) = Ъ(хь х2, у).
Введение в язык описательных имен вида iaA(a) приводит к появлению в
исчислении предикатов новых видов термов - определенных дескрипций. Тем самым
исчисление предикатов расширяется до исчисления предикатов с дескрипциями. Однако
введение в язык описательных имен чревато целым рядом специфических трудностей, о чем
220

будет сказано ниже. Поэтому в классической логике при доказательстве формулы
VxiVxi...Vxn3iyA(xi, Х2,..., хв, у) предпочитают вводить не описательные имена, а новые
функторы.
Без доказательства укажем основные свойства системы АРг=:
АРг= семантически непротиворечиво.
АРг= синтаксически непротиворечиво.
АРг= семантически полно.
Синтаксис и семантика АРг= адекватны.
АРг= неразрешимо.
Система АРг= не является максимальной, т. е. к ней без противоречия
можно присоединять в качестве аксиом недоказуемые в ней формулы.
Исчисление предикатов с равенством можно строить не только аксиоматически, но
и в форме натурального исчисления NPr=. Для этого к системе NPr добавляются
следующие два правила:
__ _ а = Р, А(а)
~в Va(a = a), ~и А(а:Р).
Первое из этих правил не содержит формул над чертой, т. е. оно не имеет посылок.
Это фактически означает, что формула вида Va(a = а) является аксиомой и потому
всегда может быть использована. Второе правило есть иная формулировка принципа замены
равного равным - СА13.
3.2. Исчисление предикатов с дескрипциями
В главе II рассматривались имена особого рода - так называемые дескрипции. К
ним, в частности, были отнесены имена вида ucA(*) и ехМх). Первые назывались
определенной дескрипцией, так как они всегда обозначают некоторый вполне конкретный
единичный объект из универсума рассуждения, а вторые - неопределенной дескрипцией.
Последние, хотя и обозначают обязательно ровно один предмет, но при переходе от
контекста к контексту могут изменять свое значение. Введение в исчисление предикатов
имен такого рода означает, что исчисление предикатов перестает быть стандартным
исчислением, а становится исчислением предикатов с дескрипциями.
Особенность таких исчислений связана с особенностями дескриптивных
выражений. Дело в том, что дескрипции указанных видов могут оказаться мнимыми именами,
т. е. именами, которые ничего не обозначают в универсуме рассуждения. Например,
выражение «тот единственный предмет, который является нынешним королем Франции»
на классе ныне живущих людей является пустой определенной дескрипцией. Наличие
мнимых (пустых) имен в языке приводит к тому, что в исчислении предикатов
перестают действовать следующие правила вывода:
\/xA(x) A(x/t)
A(*/t) И 3jcA(jc),
так как, если термин t в этих правилах - мнимое дескриптивное имя, то тогда посылки
правил могут быть истинными утверждениями, а заключения - ложными.
Возникает вопрос, как должно строиться исчисление предикатов в случае введения
в него дескриптивных терминов? На этот вопрос существует два классических ответа.
Один из них был предложен Б. Расселом, а другой - Д. Гильбертом.
221

Ответ Б. Рассела состоит в следующем. Он расширяет класс термов исчисления
предикатов дескриптивными термами, которые вводятся следующим определением:
Если А(х) - произвольная одноместная формула исчисления предикатов, то
urA(x) - терм (определенная дескрипция).
Согласно этому определению, среди термов вида ixA(jc) в языке исчисления
предикатов обязательно появятся необозначающие (мнимые) имена. Это
произойдет в том случае, когда высказывательная форма А(х) либо вообще не
удовлетворяется ни одним индивидом из универсума рассуждения, либо удовлетворяется
сразу многими индивидами. Чтобы ликвидировать это негативное явление, Рассел
предлагает элиминировать выражения с дескрипциями за счет принятия
следующего определения.
[B](iaA(o)) =Df 3a(A(a) & VaVp(A(a) & A((3) z> a = p) & B(a)),
где [В] показывает область действия дескрипции (см. ниже).
Содержание этого определения таково: если объект, заданный определенной
дескрипцией iaA(a), обладает свойством В, то это имеет место только тогда, когда данный
объект существует - 3aA(a), он единствен - VaVP(A(a) & А(р) r> a = Р) и он
действительно обладает свойством В. Используя это определение, мы можем по формулам,
содержащим определенные дескрипции, строить выражения, которые уже не будут
содержать таких термов. Применяя данное определение, легко установить, что предложение
«Нынешний король Франции лыс», т. е. выражение [Лыс](и:Нынешний король(д;,
Франции)) является ложным. Действительно, расписывая его по определению, получим
выражение Эх(Нынешний король(х, Франции) & Ух\/р(Нынешний король(лг, Франции) &
Нынешний король(у, Франции) з х = у) & Лыс(д:)), которое является ложным, так как в
силу отсутствия нынешних королей Франции будет ложен первый член конъюнкции, а,
следовательно, и вся конъюнкция.
В подходе Рассела чрезвычайно существенным является указание на область
действия дескрипции. Так, например, два предложения с дескрипцией -
[-Лыс](исНынешний король(х, Франции)) и
-.[Лыс](1д:Нынешний король(лг, Франции))
имеют разные области действия последней и будут оцениваться различно. Первое
предложение, которое по дефиниции эквивалентно выражению
Элс(Нынешний король(х, Франции) & \/дс\/>>(Нынешний король(д:, Франции) &
Нынешний король(у, Франции) гэдг = у) & -Лыс(л;)),
является ложным в силу ложности первого конъюнктивного члена, а второе
предложение, которое эквивалентно выражению
-.3;с(Нынешний король(х, Франции) & \/л;Уу(Нынешний король(л:, Франции) &
Нынешний король(у, Франции) г> х = у) & Лыс(х)),
является истинным, так как оно отрицает ложное предложение.
Развитая в этом пункте Расселом концепция продолжает ту линию исследований,
которая была намечена еще Аристотелем. Последний различал внутреннее и внешнее
отрицание, которое приводит к высказываниям разного вида, как, например, «Всякий S
есть не-Р» и «Всякий S не есть Р». Первое высказывание Аристотель считал ложным,
если термин S пуст, второе же - истинным.
222

Другой подход был предложен Д. Гильбертом. В отличие от Рассела, он при
построении языка исчисления предикатов с дескрипциями не задает сразу же весь класс
термов. Дескриптивные термы вводятся по мере развития некоторой теории. А именно,
если в составе теории удается доказать две теоремы:
ЬЗхА(х),
ЬУхУу(А(х) & А(у) =) х = j),
то в теорию разрешается ввести в качестве нового терма определенную
дескрипцию ixA(x).
Кроме рассмотренных двух классических подходов Рассела и Гильберта, в логике
был предложен и еще один подход, который развивается в так называемых логиках,
свободных от экзистенциальных допущений. Здесь разрешается формулировать и
использовать не обозначающие (мнимые) дескрипции, но при этом, чтобы ликвидировать
негативные последствия введения таких дескрипций в исчисления, налагаются
определенные запреты на правила снятия квантора общности и введения квантора существования.
Эти правила в данных логиках формулируются следующим образом:
\/хА(х), E(t) A(x/t), E(t)
и A(x/t), dB ЭхА(х),
где выражение E(x) есть предикат существования и читается «существует х».
Подчеркнем, что это именно предикат существования, а не квантор. Введение этого предиката
связано с тем обстоятельством, что оказывается не все утверждения о существовании
объектов можно выразить посредством квантора существования.
Рассмотрим кратко проблематику, связанную с неопределенными дескрипциями
sxA(x). Неопределенные дескрипции в духе Рассела вводятся следующим определением:
[В](еаА(а)) =Df За(А(а) & В(а)).
Как видим, здесь отсутствует требование единственности объекта, который
удовлетворяет условию А(а). Действительно, неопределенная дескрипция вида «этот человек»
может в разных контекстах своего употребления обозначать разных людей. В одном
контексте это может быть именем Сократа, в другом - Платона, в третьем - еще кого-то.
Требуется лишь непустота класса людей. Это объясняет, почему при подходе Гильберта
для введения в язык неопределенной дескрипции ехА(х) требуется доказательство в
теории лишь теоремы
1-ЗхА(х).
Д. Гильбертом было построено так называемое s-исчисление. Это исчисление
предикатов, которое надстраивается над классической логикой высказываний за счет
принятия единственной схемы аксиом:
A(t) з A(sxA(x)).
Так как исчисление строится на базе классической логики высказываний, в ней
содержатся все классические пропозициональные связки. Что же касается кванторов, то
они вводятся в исчисление следующими определениями:
ЭхА(х) =Df А(ехА(х)),
VxA(x) =Df A(ex-iA(x)).
223

3.3. Многосортное исчисление предикатов
До сих пор мы рассматривали различные исчисления предикатов, интерпретация
выражений которых осуществлялась на некотором едином универсуме рассуждения.
Теперь мы переходим к рассмотрению таких вариантов исчисления предикатов, где будут
сразу использоваться несколько различных универсумов рассуждения.
В самом деле, часто в составе теорий содержатся объекты столь различной
природы, что их становится неестественно помещать в один и тот же универсум рассуждения.
Так, например, в геометрии Евклида рассматриваются такие объекты, как точки, прямые
и плоскости. Кроме того, если в геометрию вводится система координат и метрика, то
возможным становится приписывать различным геометрическим объектам различные
величины - длину линий, величину радиуса, величину угла и т. д. В этом случае в
геометрии появляется еще один тип объектов - величины, т. е. числа с размерностью. Ясно,
что помещение всех этих объектов в один универсум неестественно. Удобнее всего для
каждого типа объектов ввести свой собственный универсум - универсум для точек,
универсум для прямых, универсум для плоскостей, универсум для величин и т. д. В таком
случае наиболее удобным логическим аппаратом становится так называемая
многосортная логика предикатов. В последней существует не один сорт индивидных констант и
переменных, как это имеет место в стандартной логике предикатов, которая была
рассмотрена выше, а несколько сортов - для каждого типа объектов свой собственный.
Рассмотрим это на примере исчисления предикатов с тремя сортами объектов.
Алфавит такого исчисления предикатов строится следующим образом: I
1. аь а2, аз,... - индивидные константы 1-го сорта, I
2. bj, Ь2, Ь3,... - индивидные константы 2-го сорта, 1
3. сь с2, с3,... - индивидные константы 3-го сорта, I
4. jcb х2, *з,... ~ индивидные переменные 1-го сорта,
5- Ji, Уг,Уз,— - индивидные переменные 2-го сорта,
6. z\, Zi, Z3,— - индивидные переменные 3-го сорта,
7. Р, Q, R, S, Pi, Qi, Ri, S], Р2,... - предикаторные константы,
8. f, g, h, fb gi, hb f2,... - предметно-функциональные константы,
9. —,, &, v, r>, V, 3 - логические термины,
10. (,),, - технические символы.
Для удобства и простоты была несколько упрощена запись предикаторных и
функциональных констант. На самом же деле, скажем, предикат, строящийся с помощью
предикаторной константы Рь следовало бы записывать в форме Р/'1',2' '1П), где верхние
индексы ib i2,..., i„ говорят о местности данного предикатора и указывают на сорта
переменных и констант, которые могут стоять на соответствующих аргументных местах.
Однако в нашем языке данные индексы могут быть опущены, так как соответствующая
информация однозначно может быть установлена при применении данного предикатора
в составе элементарных формул. Так, если мы имеем формулу вида Pi(b2, zb а3), то из
нее однозначно вычитывается, что предикатор Pi является трехместным, у которого
первым аргументом должны быть объекты второго сорта, вторым аргументом должны
быть объекты третьего сорта, а третьим аргументом - объекты первого сорта. Это и
позволяет сделать запись более сокращенной. При этом, конечно же, необходимо строго
следить за однозначностью употребления соответствующих параметров.
Аналогично обстоит дело и с функциональными константами, за исключением того,
что из формы записи функциональных имен нельзя вычитать, какого сорта объекты яв-
224

ляются значениями функций. Но будем считать, что для каждого функционального
знака эта информация заранее установлена, что также позволяет сократить запись.
Вообще, в каждой конкретной теории, которая строится на основе многосортного
исчисления предикатов, всегда содержится конечное число предикаторов и предметно-
функцинальных терминов, а потому можно всегда заранее договориться о чтении
соответствующих выражений, а также о характере сортов термов, которые должны стоять на
каждом аргументном месте в замещающих их параметрах языка и сорте значения для
предметно-функциональных констант.
Понятие терма определяется теперь следующим образом:
1. Любая индивидная переменная 1-го, 2-го и 3-го сорта есть терм.
2. Любая индивидная константа 1-го, 2-го и 3-го сорта есть терм.
3. Если Ф<п ' ш. щ + есть и.местная функциональная константа, a tt есть
терм сорта iu t2 есть терм сорта i2,..., tn есть терм сорта in, то выражение
Ф(11, i2, in, in+1)/. . . \ _ .
'(tb ti,—, tn) есть терм сорта in +,.
Понятие формулы определяется так:
1. Если П''1' '2 'ш) есть «-местная предикаторная константа, a tr есть терм
сорта ib t2 есть терм сорта i2,..., tn есть терм сорта in, то выражение
n(il,i2, ,in)^ti ^ ^ есть формула
2. Если А - формула, то —А - формула.
3. Если А и В - формулы, то (А & В), (A v В), (А з В) - формулы.
4. Если А - формула и а - индивидная переменная 1-го, 2-го или 3-го сорта,
то выражения VaA(a) и 3aA(a) - формулы.
Возможной реализацией языка является упорядоченная четверка 3 = <Vi, U2, U3, I>,
где U] - универсум для переменных и констант 1-го сорта, U2 - универсум для
переменных и констант 2-го сорта, U3 - универсум для переменных и констант 3-го сорта, а I -
интерпретирующая функция. Таким образом, каждая переменная и константа
определенного сорта получают свои значения на собственном универсуме.
Предикатору П*'"''"''"' функция I ставит в соответствие подмножество в и-членном
декартовом произведении \]ц х Ui2 х...х U^. Предметному функтору Ф*'1",2""'"' "1+|)
функция I ставит в соответствие некоторое отображение г) из множества 1Гц х Ui2 х...х Uin в
множество Uin + 1.
Аналогичным образом вводятся и другие семантические понятия.
Рассмотрим теперь, как строится многосортное исчисление предикатов. В качестве
аксиомных схем, относящихся к пропозициональной части, могут быть взяты аксиомные
схемы СА1-СА9 исчисления САР. Далее пропозициональная логика дополняется кван-
торной частью:
СА10*. Va(A з B(a)) d(Ad VaB(a)), где a - переменная какого-либо сорта, не
входящая свободно в формулу А,
САН*. VaA(a) з A(a/t), где терм t того же сорта, что и переменная а.
Правилами вывода являются modus ponens и генерализация.
Для данного исчисления верны все те же самые метатеоремы, что и для
стандартного исчисления предикатов. Объясняется это тем обстоятельством, что с теоретической
точки зрения данная модификация не является существенной. В принципе многосортное
исчисление сводимо к стандартному исчислению предикатов. Для этого достаточно ос-
8 Введение в логику
225

тавить только один сорт индивидных переменных и индивидных констант и
интерпретировать их на объединение множеств Ut, U2..., Un, т. е. взять в качестве нового
универсума рассуждения объединение всех универсумов многосортного исчисления (понятие
объединения множеств вводится в главе IX). Единственное изменение, которое при этом
произойдет, состоит в том, что всюду определенные предметные и
предметно-истинностные функции станут частично определенными.
Однако значение многосортного исчисления предикатов важно в практическом
плане, так как позволяет в более краткой форме выражать наши утверждения. Покажем
это на некотором примере. Рассмотрим предложение геометрии Евклида «Между
произвольными двумя точками можно провести ровно одну прямую» и запишем ее на языке
стандартной логики предикатов и на языке многосортной логики. На языке стандартной
логики предикатов фраза запишется так:
\/дс\/у(Точка(л:) & Точка(у) з 3[г(Прямая(г) & Принадлежит^, г) &
Принадлежит^, г))).
Если мы теперь примем, что сорт переменных Х\ и х2 таков, что они пробегают по
универсуму точек, a yt - по универсуму прямых, то в многосортном исчислении данная
фраза запишется так:
VjcjV^B^i(Принадлежит^, Ji) & Принадлежит^, ji)).
3.4. Исчисление предикатов второго порядка
Логика предикатов первого порядка по своим выразительным возможностям
является все еще бедной системой. В ней можно выражать лишь утверждения об
индивидах и нельзя выражать каких-либо утверждений о свойствах предметов и
отношениях между ними. Эта особенность первопорядковой логики связана с
тем, что в ней используются только переменные по индивидам, которые и
разрешается квантифицировать, и не используются переменные по свойствам,
отношениям и функциям. Последние в первопорядковой логике рассматриваются
как параметры, т. е. как выражения, обозначающие, хотя и произвольные, но
всегда конкретные константные предикаторы и предметные функторы
естественного языка. В силу этого они и не могут квантифицироваться.
Между тем многие вопросы не могут быть правильно поняты и описаны без
привлечения более богатого языка, в котором можно было бы делать
осмысленные утверждения о свойствах, отношениях и функциях. Таким, более богатым
языком как раз и является язык логики предикатов второго порядка.
Рассмотрим, в чем же состоит это богатство. Для этого предварительно введем
следующую символику: будем далее использовать курсивные знаки вида Р", QP, R", S"
как переменные по свойствам и отношениям различной местности, а курсивные
знаки/1, g", h" как переменные по функциям и будем их отличать от знаков
Р", Qn, Rn, S" - предикаторных констант и знаков f1, gn, h" - предметно-
функциональных констант.
Введение предикаторных и функциональных переменных в формулу меняет
прежде всего понятие ее местности. В логике предикатов первого порядка
местность формулы определялась числом различных свободных индивидных пере-
226

менных, входящих в нее. Теперь же местность определяется числом всех
различных свободных переменных, т. е. теперь должны учитываться не только
свободные индивидные переменные, но и свободные предикатные и функциональные
переменные. Например, первопорядковая формула Vx(P(x) =э Q(f(x, у)))
трактуется как одноместная формула, задающая некоторое свойство первого порядка
S(y), так как у здесь - единственная свободная переменная. Во второпорядковой
же логике формула VPVx(P(x) з Q(f[x, у))) будет трактоваться как трехместная
формула, которая задает некоторое константное отношение второго порядка
T(Q,f,y) между индивидом у, свойством Q и двухместной функцией/
В первопорядковой логике формула Ул:Р(д;) является утверждением об
индивидах, в то время как во второпорядковой логике формула Vx3PP(x)
является утверждением не только об индивидах, но и о свойствах. Она говорит, что
каков бы ни был объект, существует свойство, которым он обладает. В
первопорядковой логике нельзя выразить логическую форму предложения
«Некоторые свойства Земли присущи и Марсу», а во второпорядковой она выразима
следующим образом: ЗР(Р(а) & Р(Ъ)), где Р - предикаторная переменная
первого порядка, пробегающая по множеству свойств, присущих индивидам, а
предметным константам а и b соответствуют имена «Земля» и «Марс». Как
видно уже из этих примеров, язык второпорядковой логики является более
мощным средством выражения наших мыслей, т. е. обладает большими
выразительными возможностями по сравнению с первопорядковым.
Во второпорядковой логике мы можем делать утверждения не только об
индивидах и их признаках, но и о множествах индивидов. Так, например, по ранее
введенной формуле УР\/х(Р(х) zd Q(J{x, у))) здесь можно построить следующее
множество W<g, /, у>УР\/х(Р(х) z> Q(J{x, у))). Это множество тех
упорядоченных троек <Q,f,y>, для которых верно утверждение \/РУх(Р(х) n Q(J[x, у))).
Используя оператор множественности W, можно задавать различные
операции над множествами и устанавливать отношения между ними. Например,
определение вида
WxP(x) u WxQ(x) =м Wx(P(jc) v Q(x)) •
задает во второпорядковой логике операцию объединения двух множеств. А
выражение вида
WjcP(jc) с WxQ(x) =bf Vx(P(x) r> Q(x)),
задает отношение включения между ними.
Таким образом, в неявном виде второпорядковые выражения уже
использовались в учебнике, например при введении в главе II различных свойств
двухместных отношений - рефлексивности, симметричности и др. Действительно,
свойство асимметричности задавалось условием:
R асимметрично <=> VxVy (R(x,y) z> -iR(y, x)).
Справа в этом выражении стоит формула, содержащая единственную
свободную предикатную переменную первого порядка для двухместных
отношений. Поэтому эта формула задает некоторое константное свойство, присущее
227

двухместным отношениям. Таким константным свойством как раз и является
свойство «быть асимметричным», которое задается как одноместный предикат
второго порядка от двухместных предикатов для индивидов. В качестве примера
введем еще два константных предиката от предикатов. При этом будем писать
«Совм» вместо «Совместимы» и «Экв» вместо «Эквивалентны».
Совм(Р, Q) =Df3x(P(x) & Q(x)),
3MP,Q)^DfVx(P(x)^Q(x)).
Рассмотренные здесь определения вводят константные предикаты от
предикатов, т. е. вводят объекты второго порядка. Однако это не означает, что мы
переходим к исчислению предикатов третьего порядка. Чтобы перейти к
исчислению предикатов третьего порядка, необходимо в исчисление ввести квантифи-
цируемые переменные по признакам признаков, т. е. переменные предикаты от
предикатов. Поступая аналогичным образом и далее, мы можем строить
исчисление предикатов произвольного п-то порядка. Исчисление с произвольным
порядком предикатов называется теория типов.
Для построения теории типов необходимо четко фиксировать характер
используемых предикатов. Такая необходимость была продемонстрирована Расселом,
который обнаружил в построенном Г. Фреге второпорядковом исчислении
предикатов противоречие. Суть этого парадокса, который называется парадоксом
Рассела, можно представить следующим образом.
Все множества можно подразделить на два типа - на нормальные и ненормальные.
Некоторое множество М будет считаться нормальным множеством, если и только
если оно не является элементом самого себя, т. е. М g М. Например, множество
деревьев является нормальным множеством. Его элементами являются отдельные
конкретные деревья, само же множество деревьев не есть дерево. С другой стороны,
некоторое множество М будем считать ненормальным, если оно является элементом
самого себя, т. е. М е М. Так, множество всех множеств является ненормальным
множеством. Ибо, так как оно является множеством, то должно входить в себя как
свой элемент. Рассмотрим теперь множество N всех нормальных множеств и
поставим вопрос, является ли само N нормальным множеством или нет. Допустим, что N -
нормальное множество. Тогда оно принадлежит самому себе, т. е. N s N, но в таком
случае, согласно определению ненормального множества, оно является
ненормальным. Получено противоречие. Допустим, наоборот, что N - ненормальное
множество. Тогда оно не принадлежит самому себе, т. е. N г N, но в таком случае, согласно
определению нормального множества, N является нормальным множеством. Итак,
получено вновь противоречие.
Этот парадокс легко воспроизводится во второпорядковом исчислении
предикатов, которое было построено Г. Фреге и которое опиралось на исследования
Г. Кантора по теории множеств. В последней теории содержится аксиома
свертывания, которая формулируется следующим образом: 3jVz(z £у= А(г)). Это
утверждение, казалось бы, выражает интуитивно вполне самоочевидный принцип,
гласящий, что по любому свойству А(г) можно образовать некоторое множество у
тех предметов, которые этим свойством обладают. Тем не менее парадокс Рассела
показал, что аксиома свертывания без наложения некоторых ограничений на
возможные значения аргументов является самопротиворечивым утверждением.
228

Действительно, возьмем в качестве А свойство, задаваемое предикатом z й z,
т. е. утверждение о том, что z - нормальное множество. Тогда формула вида
3yVz(z е у = z <& z) является частным случаем аксиомы свертывания. Она говорит
о том, что по свойству z £ z можно образовать множество у, которое собирает в
качестве своих элементов все нормальные множества. Снимая по правилу Эи
квантор существования, получим выражение Vz(z е у = z £ г), откуда, применяя
правило VH, получаем у е у = у £ у. Такое снятие квантора общности у Фреге
допускалось, так как последний в универсум, по которому пробегает переменная
z, помещал не только сами множества z, но и их собрания, классы таких
множеств. Но последнее утверждение, согласно смыслу логических связок эквива-
ленции и отрицания, является всегда ложным.
Обнаружение парадоксов указывает на необходимость введения некоторых
ограничений на способы построения теорий. Из многочисленных
ограничительных принципов, которые были предложены для элиминации парадоксов,
Рассел предложил разделение языков по разным порядкам. Он считал, что
выражения вида х е у являются осмысленными выражениями только в том
случае, когда у обозначает объект, тип которого на порядок выше, чем тип
объекта, обозначенного посредством х. Иначе говоря, требуется строго
различать множества и их элементы или, в другой терминологии, свойства и
предметы, обладающие этими свойствами. Это решение, которое является
достаточно естественным, запрещает употреблять в качестве осмысленных
выражения вида х е х и jc <£ х, что сразу же ликвидирует возможность
построения расселовского парадокса.
Для отслеживания характера используемых предикатов введем следующие
обозначения, посредством которых характеризуется тип предиката в теории
типов. Будем обозначать индивидные переменные символом i. Тогда постоянные и
переменные предикаты от индивидных переменных будем обозначать
следующим образом: одноместные предикаты - (i), двухместные - (i, i), трехместные -
(i, i, i) и т. д. В свою очередь одноместные постоянные и переменные
предметные функторы от индивидных переменных будем обозначать - (i —> i),
двухместные - (i, i -> i), трехместные - (i, i, i —> i) и т. д. Постоянные и переменные
предикаты от переменных предикатов и функторов, т.е. второпорядковые
предикаты, будут обозначаться так: одноместный предикат от одноместного
переменного предиката - ((i)), таковым предикатом является, например, предикат «R
асимметрично», одноместный предикат от двухместного переменного предиката -
((i, i)), одноместный предикат от одноместного переменного предметного
функтора - ((i —> i)), одноместный предикат от двухместного переменного
предметного функтора ((i, i —> Г)) и т. д.; двухместный предикат от предикатов вида ((i, i), i)
означает, что одно аргументное место второпорядкового предиката занято
двухместным переменным предикатом от индивидов, а второе место занято
индивидной переменной. Обозначение ((i), (i)) означает, что оба аргументных
места второпорядкового двухместного предиката заняты одноместными
переменными предикатами от индивидов. Примерами таких предикатов от
предикатов являются введенные выше выражения вида «Совм(Р, 0» и «Экв^, 0».
Рассмотренный выше предикат T(Q, f, у) имеет тип ((i), (i, i —> i), i).
Таким образом, тип используемого предиката в теории типов зависит от числа
аргументных мест, а также от типа переменных, стоящих на этих аргументных
229

местах. В любом предикате и-ого порядка переменные, стоящие на аргументных
местах, должны иметь тип меньший, чем тип п, и, по крайней мере, одна из
переменных должна иметь тип = п — 1.
Мы не будем далее рассматривать теорию типов, а ограничимся только
исчислением предикатов второго порядка.
Выше при построении первопорядковой логики с равенством предикат
равенства задавался двумя дедуктивными принципами - А12 и СА13. Теперь
такой необходимости нет, так как первопорядковое равенство индивидов можно
ввести с помощью определения. Итак:
a = p=DfV/>(P(a) = P(p)),
где аир- индивидные переменные. Это так называемое тождество
неразличимого, сформулированное Лейбницем: два предмета тождественны, т. е. являются
одним и тем же предметом, если и только если у них совпадают все свойства.
Легко доказывается, что введенный так знак «=» действительно обладает всеми
свойствами равенства.
I- a = a — рефлексивность
1. VP(P(a) = Р(а)) - рефлексивность эквиваленции
2. a = a - из 1 по определению равенства
I- a = p=)P = a- симметричность равенства
1. а = р -пос.
2. \/Р(Р(а) = ДР)) - из 1 по определению равенства
3. \/Р(Р(а) = Рф)) э \/Р(/*(Р) = Р(а)) - симметричность эквиваленции
4. УР(Рф) = Ла)) - т.р. к 3, 2
5. р = а - из 4 по определению равенства
6. a = pz>p = a -из 1-5 по теореме дедукции
|-а = (Зз(Р = уэа = у)
1 ■ а = р - пос.
2. р = у -пос.
3. УР(Р(а) = АР)) - из 1 по определению равенства
4. VP(P(p) = Р(у)) - из 2 по определению равенства
5. VP(P(a) = Рф)) zd (УР(Рф) = Р(у)) з
чр(Рф) = РХу)У)
6. УР(Рф) = Р(у))) ~ т.р. 2 раза к 5, 3, 4
7. a = у - из 6 по определению равенства
8- а = Р^(В = уза = у) - из 1, 2-7 по теореме дедукции
С помощью средств строящейся далее второпорядковой логики в ней могут
быть доказаны принципы замены равного равным для произвольных термов (t) и
формул (А), т.е. доказаны утверждения:
VaVP(a = р z> (t(a) = t(a:P))),
VaVP(a = р з (A(a) :э A(a:P))).
- транзитивность эквиваленции
230

Во второпорядковой логике могут быть введены и две нульместные
пропозициональные константы, а именно - константа истины Т и константа лжи _1_
следующими определениями:
Т =Df ЗПЗхЩх),
± =ш У1Г4х-П(х).
Выражение ЗЛВхЩх) является всегда истинным утверждением. В самом
деле, так как универсум рассуждения, как об этом говорилось выше, всегда является
непустым множеством, то в нем всегда имеется, по крайней мере, один элемент,
который обладает, по крайней мере, одним свойством, в качестве которого можно
взять свойство, по которому образуется сам универсум рассуждения. С другой
стороны, выражение V77Vx—Л(х) является всегда ложным, ибо утверждение, что
никакой предмет не обладает никаким свойством, конечно же, ложно.
Мощь второпорядкового языка особо проявляется в том, что здесь могут быть
определены натуральные числа. В самом деле, числа могут рассматриваться как
некоторые свойства, присущие определенным признакам предметов. Так, число
5, например, может характеризовать некоторый признак Р в том смысле, что
указывает на число объектов, которым присущ данный признак. В этом случае
числа выступают в качестве предикатов от предикатов. Используя это
обстоятельство, мы можем следующим образом задать натуральные числа:
0(Р) =Df —ЗхР(х), т. е. «некоторое свойство Р является нулем, если и только
если не существует предметов, обладающих этим свойством».
1 (Р) =ш Зх(Р(х) & Vz(P(z) з z = х)), т. е. «некоторое свойство Р является
единицей, если и только если существует ровно один предмет, обладающий этим
свойством».
2(Р) =Df ЗхЗу(х Фу & Р(х) & Р(у) & Vz(P(z) з (z = х v г = у))), т. е. «некоторое
свойство Р есть число 2, если и только если найдутся ровно два различных
объекта х и у такие, что они обладают этим свойством».
Очевидно, что данная процедура, определяющая числа как свойства
некоторых первопорядковых предикатов, может быть продолжена и далее. При этом
следует обратить внимание на то обстоятельство, что числа как свойства
первопорядковых предикатов определяются чисто логическими средствами.
Уже на данной базе во второпорядковой логике могут быть заданы и
арифметические операции над числами. Введем для этого два предиката:
Р Ф Q «uf 3RVx(R(x) = (Р(х) v Q(x))).
PxQ=ot3RVxVy(R(x,у)^(P(x) & Q(y))).
Тогда операция сложения может быть задана условием:
VFVG((-nCoBM(F, G) & m(F) & n(G)) z> m + n(F e G)),
а операция умножения -
VFVG(m(F) & n(G) з m • n(F x G)).
Задав вышеуказанными определениями числа как свойства
первопорядковых предикатов, мы еще не имеем общего понятия того или иного конкрет-
231

ного натурального числа. Дело заключается в том, что в наших определениях
числа были связаны с некоторым предикатом Р. Ясно, что таких предикатов,
для которых верно, что он обладает в качестве свойства некоторым
конкретным числом, много. Причем эти предикаты разные, так как задают различные
свойства. Например, свойство «быть материком» и свойство «быть пальцем
на одной руке» присущи разным объектам и уже поэтому являются
различными, хотя и то и другое характеризует 5 объектов. Но понятие числа не
должно зависеть от выбора свойств. Для ликвидации такой зависимости
поступим следующим образом.
Введем во второпорядковой логике предикат равномощности двух предикатов
первого порядка, который будем обозначать знаком «=м»-
Для установления равномощности двух классов (одинаковости количества
элементов) необходимо выяснить, находятся ли они во взаимнооднозначном
соответствии друг с другом. Так, например, чтобы установить, что количество
стульев и людей, находящихся в некоторой комнате, одинаково, надо привести
во взаимнооднозначное соответствие людей и стулья. Для этого надо «связать»
каждый стул ровно с одним человеком. Это можно сделать, попросив каждого
человека сесть на стул. Если останутся свободные стулья, то это означает, что
стульев больше, чем людей; если все стулья будут заняты и останутся стоящие
люди, то это означает, что людей больше, чем стульев. Если же стоящих людей
не останется и все стулья будут заняты, то это означает, что множества людей и
стульев приведены во взаимнооднозначное соответствие, т. е. их количество
одинаково. В данной процедуре установления одинаковости количества
предметов, входящих в оба множества, важным является то, что мы не пересчитываем
ни одно из множеств, т. е. не пользуемся заранее понятием числа. Итак:
=м(Л Q) ^Dt3R(Vx(P(x) з 3y(R(x, у) & Q(y))) & Vy(Q(y) з 3x(R(x, у) & P(x)))
& VjcVyVz((«(x, у) & R(x, г) з j = г) & (R(x, y) & R(z, у) з x = г))).
Данное выражение задает условие, при котором два предиката от индивидов
находятся в отношении равномощности, и говорит, что для этого должно
существовать двухместное отношение R, устанавливающее взаимнооднозначное
соответствие между предметами, обладающими свойствами Р и Q. Действительно,
отношение R каждому предмету дс, обладающему свойством Р, ставит в
соответствие некоторый предмет у, обладающий свойством Q. Об этом говорит
выражение вида \/х{Р{х) з 3y(R(x, у) & Q(y))). И, наоборот, отношение R каждому
предмету у, обладающему свойством Q, ставит в соответствие некоторый
предмет х, обладающий свойством Р, о чем говорит выражение Vy(Q(y) з 3x(R(x, у)
& Р(х))). Единственность же * и у при данных отображениях задается условиями
VxVyVz((R(x, у) & R(x, z) з у = г) & (R(x, у) & R(z, у) з х = г)).
Введя данный предикат равномощности первопорядковых предикатов, мы
теперь можем определить понятие числа, которое уже не будет зависеть от выбора
конкретного предиката, правда, уже как предикат третьего порядка. Итак:
Число(/0 ееи \/PVQ(F(P) & F(Q) з =М(Р, Q)) & ((F(/>) & =M(P, Q)) з F(Q))).
Иначе говоря, F есть число, если F - предикат от всех предикатов, равномощ-
ных друг другу, т. е. число есть то общее (предикат F), что есть у всех равно-
мощных предикатов. Например, 5 есть то общее, что есть у всех предикатов рав-
номощных свойству «быть множеством пальцем на одной руке».

Из сказанного не следует, что математика является частью логики.
Действительно, мы можем ввести любое натуральное число, однако для математики
является существенным то, что их количество бесконечно. Как показал Рассел,
утверждение о существовании бесконечного натурального ряда чисел не является
логическим принципом. Однако если во второпорядковую логику ввести
аксиому бесконечности, то вся арифметика может быть развита чисто логическими
способами. В качестве аксиомы бесконечности можно использовать некоторую
формулу, которая является общезначимой на бесконечной области объектов, не
являясь таковой ни на одной конечной области, например:
3F(Vx3yF(x, у) & Vx\/y(F(x, у) => Vz(F(x, j)dv = z))& VxVy(F(y, *) з
Vz(F(z, х) з j = г)) & 3xVy-,F(y, х)).
Здесь отношение F(x, у) является двухместным функциональным
отношением и читается «предмету непосредственно следует за jc». О функциональности
отношения F(x, у), причем в обе стороны, говорит утверждение \/xVy(F(x, у) з
Vz(F(x, г) з у = г)) & VjcVj(F(j, х) з Vz(F(z, х) з у = г)). Подформула вида
Vx3yF(x, у) задает условие бесконечности переходов от одного элемента к
другому, подформула же Зх\/у—F(y, х)) говорит о существовании такого предмета
х, который не следует непосредственно ни за одним другим предметом, т. е.
гарантирует существование начального элемента в множестве. Вся же формула
есть конъюнкция некоторых аксиом Пеано для арифметики.
Рассмотрим теперь некоторые синтаксические и семантические аспекты,
связанные с построением второпорядкового исчисления, которое будем
называть системой АРг2. Введем более строго алфавит второпорядковой логики.
а, Ь, с, d, аь Ьь сь db а2,... - индивидные константы,
х,у, z, xuyt, Zi, х2,... - индивидные переменные,
Г, gn, h", fi", gj", пД f2n,... - предметно-функциональные константы,
f, gn, hn,f\n, gi", h",f2n,... - предметно-функциональные переменные,
Pn, Qn, Rn, Sn, РД QA RA SA Pi",- - предикаторные константы,
P", Q", R", Sa, P", Q", ДА S^, P2",... - предикаторные переменные,
—i, &, v, z>, V - логические константы,
(,) и запятая «,» - технические символы.
При формулировке понятий терма и формулы теперь надо учитывать
возможность вхождения в их состав не только функциональных и предикаторных
параметров, но и соответствующих переменных. Поэтому понятия терма и
формулы определяются так:
Определение терма:
1. Произвольная индивидная константа является термом.
2. Произвольная индивидная переменная является термом.
3. Если Ф - это и-местная предметно-функциональная константа, а
tb t2,..., tn - термы, то выражение 0(ti, t2,..., tn) является термом.
4. Если Ф - это и-местная предметно-функциональная переменная, а
tb t2,..., t„ - термы, то выражение <2>(tb t2,..., t„) является термом.
5. Ничто иное не является термом.
233

Определение формулы:
1. Если П - и-местная предикаторная константа, a tb t2,..., tn - термы,
то выражение n(tb t2,..., tn) является формулой.
2. Если П - я-местная предикаторная переменная, a tb t2,..., tn -
термы, то выражение Щи, t2,..., tn) является формулой.
3. Если А - формула, то -А - формула.
4. Если А и В - формулы, то (А & В), (A v В), (AdB)- формулы.
5. Если А - формула и v- индивидная, функциональная или
предикаторная переменная, то VvA является формулой.
6. Ничто иное не есть формула.
Что же касается квантора существования, то он теперь задается следующим
определением:
3 vA( v) =Df -i V v^-.A( v),
где v- индивидная, предикаторная или функциональная переменная. Обычным
определением вводится эквиваленция. Равенство может быть введено
указанным выше способом.
В качестве основных аксиомных схем второпорядкового исчисления АРг2
могут быть взяты следующие схемы аксиом. Для пропозициональной части
исчисления можно взять схемы СА1-СА9. Что же касается кванторной части
исчисления, то соответствующие схемы будут выглядеть теперь так:
СА10'. Vv{A з B(v)) :э (А з VvB(v)) ~ где к- индивидная,
предикаторная или функциональная переменная и А не содержит свободных
вхождений v.
САН. VaA(ot) з A(a/t) - где a - индивидная переменная, at- терм.
СА1Г. V/7nA(/7n) з А(/77В) - где П" свободная предикаторная
переменная местности п, В - формула, подставляемая в формулу А(/Г1)
вместо предиката n"(xi, х2,..., хп).
САН". \/ФпА(Ф") =з А(Ф7Е) - где Ф" свободная функциональная
переменная местности п, Е - терм, подставляемый в формулу А(ФП)
вместо функционального выражения Фп{х\, х2,..., хп).
Правилами вывода являются modus ponens и правило генерализации в
следующей форме:
А
VvA,
где v- индивидная, предикаторная или функциональная переменная.
Поясним теперь, что означает выражение А(Я°/В) - запись результата
правильной подстановки в формулу А(/7°) формулы В вместо первопорядкового
предиката lT{xi, х2,..., хп).
1. Если среди свободных переменных формулы В отсутствуют
переменные jci, Хг,..., х„, входящие в предикат ТГ{х\, х2,..., ха), то ре-
234

зультатом подстановки является формула А, т. е. никакая
подстановка фактически не осуществляется.
2. Если же среди свободных переменных формулы В содержатся
некоторые из переменных дгь х2,..., л:„, то подстановка состоит в том,
что каждая формула lT{t\, t2,..., tn) со свободным вхождением пре-
дикаторной переменной/7" заменяется формулой B(tb t2,..., t„).
Подстановка считается правильной, если:
а) В каждом случае одновременной подстановки термов tb t2,..., tn
вместо свободных переменных Х\, Хг,..., ха в формулу В эта
подстановка является правильной.
б) Никакая свободная переменная формулы В, отличная от хь л:2,...,
х„, не окажется связанной в формуле А(/77В) на тех местах, где
они появились в результате подстановки.
Итак, подстановка осуществляется в два этапа. На первом этапе надо для
каждого свободного вхождения предикатора ГГ в формулу А в составе
элементарной формулы lP(t\, t2,..., tn) осуществить в формуле В(дсь х2,..., хп)
одновременную подстановку следующего вида Jti/ti, Jt2/t2,..., x„/tB. Данная подстановка
для каждого свободного вхождения П" породит формулу B(tb t2,..., t„). Эта
подстановка должна быть правильной в обычном смысле понимания правильной
подстановки. На втором этапе надо подставить в А вместо каждого вхождения
элементарной формул вида/Г1^!, t2,..., tn) со свободной предикатной переменной
ГГ соответствующие формулы B(tb t2,..., t„), полученные для данного вхождения
свободного предикатора на первом этапе. Эта подстановка тоже должна быть
правильной в указанном выше смысле. Поясним сказанное на примерах.
Пример 1. Допустим, что требуется подставить формулу В = VzVxVP(P(z, у) з
Q(z, х)) в формулу А = ЗхУу(Р(х, у) & R(y, г)) вместо предиката P(z, х). Но так
как в В переменные г и х свободно не входят, то результатом такой подстановки
будет сама формула А, т. е. формула Зх\/у(Р(х, у) & R(y, г)).
Пример 2. Допустим, что требуется подставить формулу В = \/z4P(P(y, г) =>
Q(x, у)) в формулу А = ЗхУу(Р(у, f(a)) & ЗхР(х, х)) вместо предиката Р(х, у).
В формулу В входят свободно переменные х и у, а потому возможна
нетривиальная подстановка.
В формулу А предикаторная переменная Р входит свободно два раза - в
составе выражения Р(у, f(a)) и в составе выражения Р(х, х). Тогда на первом этапе для
формулы В следует осуществить две подстановки. Во-первых, надо
одновременно в формуле \/zVP(P(y, z) з Q(x, у)) сделать подстановку вида х/у и j>/f(a). В
результате получится формула VzVP^f^a), г) з Q(y, f(a))). Данная подстановка
является правильной. Во-вторых, надо одновременно в формуле Vz4P(P(y, z) з
Q(x, у)) сделать подстановку вида xlx и у/х. В результате получим выражение
VzVP(P(jc, г) з Q(x, л-)). Подстановка тоже является правильной.
На втором этапе необходимо заменить в формуле А элементарную формулу
Р(у, f(a)) на формулу VzVP(P(f(a), г) z> Q(y, f(a))), а элементарную формулу
Р(х, х) на формулу \/zVP(P(x, г) z> Q(x, х)). В результате получаем выражение
235

вида 3xVy(X/zVP(P(f(ii), z) => Q(y, f(a))) & 3xVzVP(P(x, z) z> £?(*, x)). Так как в
формуле В единственной свободной переменной, отличной от переменныхх чу,
является предикаторная переменная Q и она не связывается в получившемся
выражении, то данная подстановка тоже является правильной.
Пример 3. Попытаемся подставить формулу В = Vj?P(jc, у) в формулу А =
VxQ(x) 3 Q(y) вместо предиката Q(x). Так как переменная х входит свободно в
формулу В, возможна нетривиальная подстановка.
На первом этапе получаем формулы \/у?{х, у) для первого вхождения преди-
каторной переменной Q в составе выражения Q(x), и данная подстановка
является правильной; и получаем формулу VyP(y, у) для второго вхождения предика-
торной переменной Q в составе выражения Q(y), и данная подстановка является
неправильной, а потому наша попытка сделать указанную подстановку
окончилось неудачей.
Пример 4. Попытаемся подставить формулу В = УхР(х) v Q(y, z) в формулу
А - \/xVy((F(x, z) & Q(z,y)) => VQ3z(F(x, z) & Q(z,y))) вместо предиката F(x,y).
Так как в В имеется свободная переменная у, то возможна нетривиальная
подстановка.
На первом этапе получаем для первого вхождения свободной предикаторной
переменной F следующую подстановку в В - \/хР(х) v Q(z, г). Это правильная
подстановка. Для второго вхождения переменной F получаем ту же самую
подстановку в В - УхР(х) v Q(z, г). Теперь подставим в двух местах данную
формулу вместо элементарной формулы F(x, г). Будем подставлять поэтапно. Вначале
сделаем подстановку вместо первого вхождения формулы F(x, z) в А. Это даст
нам выражение УхУу(((УхР(х) v Q(z, z)) & Q(z, у)) => VQ3z(F(x, z) & Q(z, y))).
Пока все нормально, так как свободные переменные, входящие в формулу В и
отличные от переменных х и у, т. е. две предикаторные переменные PuQh одна
индивидная переменная z не оказались связанными в формуле А в местах их
нового появления. Заменим теперь, как это и требуется, и второе вхождение
формулы F(x, z) в А, получая окончательно выражение VxVy(((\/xP(x) v Q(z, z)) &
Q(z, у)) з V(?3z((VxP(x) v Q(z, z)) & Q(z, j))). Но такая подстановка является уже
неправильной, так как свободная предикаторная переменная Q и индивидная
переменная z формулы В оказались связанными в полученном выражении. Новые
места, где они связаны, подчеркнуты.
Пример 5. Подставим формулу В = Q(x, у, z) v ->Q(-*r, у, z) в формулу А =
Р(х, z) вместо предиката Р(х, у). Результатом такой подстановки будет формула
Q(x,y,y) v —iQ(jc, у, у). Данная подстановка является правильной.
Что касается условий правильности подстановки вида А(Ф"/Х), то они
аналогичны сформулированным выше, за исключением пункта а), который
излишен. Приведем примеры такой подстановки.
Пример 1. Пусть формула А = Vx(g(flh(x)),flx)) = hi(b,/(a))). Подставим в нее
вместо функционального выражения fly) сложный терм Е = gi(y). Функтор /
входит в формулу А три раза. Для каждого такого вхождения надо сделать
соответствующие подстановки. Для первого вхождения мы получаем
функциональное выражение gi(h(x)), для второго вхождения получаем функциональное
выражение gi(x), а для третьего вхождения - gi(a). Теперь получившиеся функцио-
236

нальные выражения надо вставить в соответствующих местах в формулу А.
Результатом такой подстановки будет формула вида V:t(g(gi(h(x)), gi(*)) =
hi(b, gi(a))). Подстановка является правильной.
Пример 2. Подставим в эту же формулу вместо функционального выражения
Ду) сложный терм Е = gi(h2(y), у). Тогда для первого вхождения функтора/надо
подставить функциональное выражение gi(h2(h(x)), h(x)), для второго вхождения -
gi(h2(A:), х) и для третьего - gi(h2(a), а). Это даст нам формулу вида
Vx(g(gi(h2(h(jc:)), h(x)), gi(h2(x), х)) = h,(b, gi(h2(a), а))). Данная подстановка тоже
является правильной.
Перейдем к рассмотрению интерпретации исчисления АРг2. При
построении первопорядкового исчисления в качестве области изменения
индивидных переменных выбиралось некоторое непустое множество предметов
U. Так как в АРг2, кроме индивидных переменных, содержатся предикатор-
ные и функциональные переменные, для них теперь тоже необходимо указать
некоторые области их изменения. В качестве таких областей можно взять
следующие непустые множества: для «-местных предикаторных переменных
(«=1,2, 3,...) - множество всех подмножеств декартова произведения U"; для
w-местных функциональных переменных (п = 1, 2, 3,...) - множество всех
функций вида Un —> U.
Уже из этого рассмотрения выясняется одна важная особенность
семантики исчисления АРг2. Так, если множество индивидов U, о которых мы
собираемся рассуждать, является счетным, то множество всевозможных свойств,
которые им присущи, т. е. множество 2и, как об этом говорилось в главе II,
является несчетным. Но в любом языке содержится лишь счетное количество
выражений, в частности существует лишь счетное количество имен для
свойств. Таким образом, во второпорядковом исчислении нельзя даже
поименовать все свойства такого рода множества индивидов.
Формально семантика второпорядковой логики строится следующим
образом. К тем пунктам, которые в главе V указывали условия приписывания
значений термам и формулам, мы должны присоединить условия приписывания
значений для выражений нового типа. Для этого надо прежде всего расширить
область действия функции ф. В первопорядковой логике эта функция приписывала
значения только индивидным переменным и в силу этого называлась функцией
приписывания значений индивидным переменным. Теперь же эта функция будет
приписывать значения всем типам переменных, а потому будем ее называть
функцией приписывания значений переменным. А именно:
Ф(/П с U",
ф(Фп) = л:ип^и.
Дополним теперь пункты приписывания значений термам и формулам. Для
термов это будет единственный пункт, задающий значение сложного терма,
образованного с использованием переменного предметного функтора.
237

(ТЗ1) Пусть t есть сложный терм <2>"(tb t2,..., tn), где Ф" и-местный
переменный функтор. Тогда:
|Фп(гь t2,..., 1„)|ф = [ф(Ф")](МФ, |t2|„,..., |гп|ф).
Для формул вводятся следующие пункты:
(Fl') |7T(t,, t2,..., tn)|9 = и <^ <|t,|„, |г2|ф,..., |г„|ф> е ф(7Г),
\IT{U, t2,..., t„)|9 = л <=> <|ti|,p, |г2|ф,..., |tn|9> е ф(Л").
(F61) IV/^A^ = и <=> для любой функции \|/, отличающейся от функции
Ф не более чем приписыванием значений для переменной 77",
верно, что |А|¥ = и.
|\/77"А|ф = л о существует функция v|/, отличающаяся от
функции ф не более чем приписыванием значений для переменной
77", для которой верно, что |А|¥ = л.
(F6") |\/Ф"А|ф = и о для любой функции у, отличающейся от
функции ф не более чем приписыванием значений для переменной
Фп, верно, что |А|¥ = и.
|\/ФпА|ф = л о существует функция v|/, отличающаяся от
функции ф не более чем приписыванием значений для переменной
Ф", для которой верно, что |А|¥ = л.
(F7') |Э77"А|Ф = и С5> существует функция vj/, отличающаяся от
функции ф не более чем приписыванием значений для переменной
77", для которой верно, что |А|¥ = и.
|Э77"А|Ф = л о для любой функции v|/, отличающейся от функции
Ф не более чем приписыванием значений для переменной /7",
верно, что |А|¥ = л.
(F7") |ЭФ"А|Ф = и о существует функция v|/, отличающаяся от
функции ф не более чем приписыванием значений для переменной
Фп, для которой верно, что |А|¥ = и.
|ЗФ"А|Ф = л о для любой функции \|/, отличающейся от функции
Ф не более чем приписыванием значений для переменной Ф",
верно, что |А|¥ = л.
Понятия истинной, общезначимой, выполнимой и невыполнимой формул,
понятия модели и логического следования остаются прежними.
Укажем теперь без доказательства некоторые свойства системы АРг2.
1. В исчислении АРг выполняется метатеорема дедукции.
2. Исчисление АРг непротиворечиво относительно кванторнои
пропозициональной логики.
Под кванторнои пропозициональной логикой имеется в виду логика
высказываний, обогащенная кванторами по пропозициональным переменным. В этом
238

случае можно показать, что функция, близкая по характеру действия к функции
0, будучи применена к теоремам второпорядковой логики, порождает
тождественно-истинные формулы кванторной пропозициональной логики.
3. Исчисление АРг2 семантически и синтаксически непротиворечиво.
4. Исчисление АРг2 семантически не полно.
Последнее означает, что в исчислении АРг2 имеются такие формулы,
которые являются общезначимыми, но недоказуемыми. Иначе говоря, рассмотренная
выше система аксиом не задает всех логических законов, всех общезначимых
формул второпорядковой логики. Поэтому данную систему аксиом можно
расширять все новыми и новыми второпорядковыми логическими законами.
Как обогащается система АРг2, зависит от тех целей, которые преследуются
при ее использовании. Если целью является построение на данной базе
математических теорий, то АРг2 может быть обогащена, например, аксиомой
бесконечности, аксиомой выбора и т. д. Однако никакое обогащение не может сделать
второпорядковую логику семантически полной теорией, что непосредственно
следует из результата Гёделя о неполноте формальной арифметики, а второпо-
рядковая логика, как было показано выше, содержит арифметику.
Тем не менее относительно системы АРг2 доказуема некоторая
ограниченная теорема о семантической полноте, а именно: если в качестве моделей
берутся такие возможные реализации, в которых все предикаторы и предметные
функторы принимают значения на не более чем счетных областях, то
относительно таких моделей второпорядковая логика является семантически полной.
Кратко остановимся теперь на вопросе о построении натурального второпо-
рядкового исчисления предикатов NPr2. Для построения такого исчисления мы
должны к уже имеющимся правилам вывода системы NPr присоединить кван-
торные правила, которые показывают, как надо работать с кванторами, взятыми
по предикаторным и предметно-функциональным переменным. Введем
соответствующие правила.
\/П A(#i7i72n,Yb...,yk) „
V/7b УЯ1"А(/7Луь...,ук) 2 -абс-огР-Уь--'Ук-огр.
УП°А(ГГ)
А(Я*7В)
А(Я7В)
3/7"А(/Г)
q/7 ' А(77! , уь..., ук) „
d-"H а/-77п/гтп„ „л «2 -аос. огр. уь...,Ук-огр.
A(//i /112 ,уь...,ук)
УФИ
УФПА(Ф")
А(Ф7Е)
239

Зф А(Ф7Ц
в ЗФ"А(Ф")
^ %%££.:£' ^-^-р-т-...п-Мр.
Понятия вывода, доказательства, завершенных вывода и доказательства
остаются прежними. Единственное, что теперь приходится учитывать, - это
наличие в выводе абсолютно ограниченных и ограниченных переменных
разных видов.
Упражнения
1. Докажите следующие теоремы в натуральном исчислении предикатов с
равенством NPr=:
а) Зх(Р(дс) & -,Q(x)) = Зх(РСх) & Vj(Q0>) => -^х = j)),
б) ЗхЗу^х = у => Vjc3j-iX = j, в) Vx3j(x = у),
г) (ЗхР(х) & 3jc-.P(x)) z> -,VjcVK* = j>), д) Vx(3j(jc = j & P(j)) => Р(х).
2. Покажите средствами исчисления предикатов с равенством
корректность следующих умозаключений:
а) Все боятся Дракулы. Дракула боится только меня. Следовательно, я -
Дракула.
б) Цицерон - прекрасный оратор, а Туллий жил в Древнем Риме.
Следовательно, нельзя утверждать, что никакой житель Древнего Рима не был
прекрасным оратором, ведь Туллий и Цицерон - одно лицо.
3. Выразить логическую форму высказываний с использованием операторов
определенной дескрипции, произвести эквивалентное преобразование
полученных формул, элиминировав указанные операторы по их определению.
а) Единственное число, которое является простым и четным, меньше 10, но
больше 1.
б) Человек, первым побывавший в космосе, получил награду.
4. Выразить логическую форму высказываний в языке логики предикатов
высших порядков:
а) В то время как Земля и Марс имеют общие характеристики,
существенные для них обоих, у Земли и Солнца есть лишь общие несущественные для них
характеристики.
б) У любого качества, присущего какому-нибудь человеку, имеется
противоположное ему качество, присущее какому-то другому человеку.
в) Существует отношение, в котором каждый объект не находится к самому
себе, но находится к некоторому другому объекту.
5. Запишите результат подстановки и проверьте, является ли эта
подстановка правильной:
240

а) Подставьте в ЗхУуР(у, х) z) 3jcQ(jc) вместо выражения Р(х, у) формулу
Vz(P(y,z)^R(x,y)).
б) Подставьте в Р(х, z) z> ЗуР(у, z) вместо выражения Р(х, у) формулу вида
VxQ(x) з Q(y).
в) Подставьте в \/xP(z, х) v (Уу(Р(у, z) з Р(у, у))) вместо выражения Р(х, у)
формулу Q(x, z) & Q(z, у).
6. Докажите следующие теоремы в натуральном второпорядковом
исчислении предикатов:
а) УхУу(ЗР(Р(х) & -Jty)) => -* = j;),
б) 3/?Vx/?(x, х) => -,VR3xVy-&(x,y).

Глава VII
СИЛЛОГИСТИКА
§ 1. Общие сведения о силлогистике
1.1. Категорические атрибутивные высказывания
Силлогистика является первой логической дедуктивной теорией. Построил
ее основатель логики древнегреческий философ Аристотель. Непреходящее
значение данной теории состоит в том, что она послужила образцом для создания
других аксиоматических теорий. В частности, аксиоматическая система
геометрии Евклида была создана последним в духе тех принципов построения и
исследования дедуктивных систем знания, которые сформулировал Аристотель
применительно к силлогистике. Кроме того, она отличается значительной
простотой, элегантностью и кажущейся самоочевидностью устанавливаемых в ней
логических законов, формулировка которых осуществляется почти на
естественном языке без использования какой-либо сложной символики. Все это делает
силлогистику наиболее простым и легко доступным средством приобщения
учащихся к логическому знанию, а потому, начиная с античности и вплоть до
настоящего времени, изучение силлогистики является обязательным элементом
логического образования.
На русский язык греческий термин «syllogisms» переводится как
«сосчитывайте», «вычисление», а потому производный от него термин «силлогистика»
можно было бы перевести русским термином «исчисление».
В силлогистике исследуются различного рода логические отношения между
категорическими атрибутивными высказываниями. К их числу относятся
высказывания следующих логических форм:
1. Всякий а есть (3 - общеутвердительные.
2. Всякий (Ни один) а не есть Р - общеотрицателъные.
3. Некоторый а есть Р - частноутвердителъные.
4. Некоторый а не есть Р - частноотрицателъные.
5. а есть р - единичноутвердителъные.
6. а не есть Р — единичноотрицателъные.
Термин «категорический» является производным от греческого «categoria»,
что можно перевести на русский язык как «сказывание». Соответственно,
термин «категорический» можно было бы перевести как «без сомнений,
окончательно, безапелляционно сказанный». В высказываниях отмеченного типа
всегда утверждается или отрицается наличие у предметов некоторого атрибута (от
лат. «attribute» - свойство). Поэтому данные выражения называются
атрибутивными.
В составе высказываний этих форм выделяют кванторные слова, предици-
рующие связки и термины.
242

В каждом категорическом атрибутивном высказывании имеется два
термина: субъект - термин, обозначающий те предметы, о которых нечто
утверждается или отрицается, и силлогистический предикат, вместо которого будем
употреблять просто слово «предикат» - термин, обозначающий то, что предицирует-
ся, утверждается или отрицается об этих предметах, а утверждается или
отрицается в силлогистике всегда некоторое свойство. В указанных логических
формах высказываний местоположение субъекта показано знаками а и а, а
местоположение предиката - знаком В. Так, в выражении «Всякий человек,
обучающийся в школе, изучает какую-нибудь науку» словосочетание «человек,
обучающийся в школе» является субъектом, а словосочетание «изучает какую-
нибудь науку» является предикатом.
По количеству атрибутивные категорические высказывания делятся на
единичные, в которых признак предицируется отдельному предмету и субъектом
которых является единичный термин (имя), и множественные, в которых
признак предицируется предметам некоторого класса. Среди множественных
выделяют общие и частные высказывания. К первым относятся высказывания,
содержащие квантор общности, выражаемый словами «всякий», «любой»,
«каждый», «все» (для отрицательных высказываний часто используется
словосочетание «ни один») и другими их синонимами. Ко вторым относятся
высказывания, содержащие квантор существования, выражаемый словами
«некоторый», «какой-либо» и др.
По качеству рассматриваемые высказывания делятся на утвердительные,
которые указывают на наличие некоторого свойства у предметов (в них
присутствует утвердительная предицирующая связка «есть»), и отрицательные (в них
присутствует отрицательная предицирующая связка «не есть», которая преди-
цирует отсутствие некоторого свойства у предметов). Иногда, в соответствии с
правилами русской грамматики, связка «есть» заменяется знаком «тире», часто
также вместо слова «есть» употребляется слово «является», зачастую связка
вообще не выражается, а только подразумевается. Например, вместо «Человек есть
разумный» говорят «Человек является разумным» или «Человек разумен».
В приведенных выше названиях категорических атрибутивных
высказываний указываются их количественные и качественные характеристики. Как будет
далее показано, единичные высказывания можно трактовать как высказывания
общего характера, а потому они не будут играть самостоятельной роли в
силлогистике. Итак, самостоятельную роль в силлогистике играют лишь
высказывания первых четырех типов. В средние века высказывания этих последних типов
получили специальные обозначения: предложения с логической формой
«Всякий а есть В» стали называться высказываниями типа а (первая буква
латинского слова «affirmo» - утверждаю); предложения с логической формой
«Некоторый а есть р» стали называться высказываниями типа i (вторая гласная в том же
слове); предложения вида «Всякий а не есть р» стали относиться к
высказываниям типа е (первая гласная буква в слове «nego» - отрицаю), а предложения
вида «Некоторый а не есть р» - к высказываниям типа о (вторая гласная в слове
«nego»). Эти обозначения оказались очень удобным средством сокращенного
243

(формульного) представления в языке категорических высказываний. Пользуясь
ими, мы будем далее выражать логическую структуру первых четырех
логических форм посредством следующих формул:
Всякий а есть р - оиф,
Всякий а не есть р - ае$,
Некоторый а есть р - а/р,
Некоторый а не есть Р - аор.
1.2. Виды силлогистических теорий
В настоящее время в логике, кроме собственно силлогистики Аристотеля,
разработано большое количество других силлогистических теорий. Ниже будет
рассмотрен тот вариант, который, начиная с поздней античности и вплоть до
настоящего времени, постоянно воспроизводится в учебной литературе по логике.
Этот вариант называется традиционной силлогистикой. Ее особенностью
является наложение на термины категорических атрибутивных высказываний
следующих ограничивающих условий: при их интерпретации на некотором
универсуме они обязательно должны оказаться знаками таких свойств (классов),
которые являются непустыми и неуниверсальными. Это означает, например, для
свойства, обозначенного термином Р, что в универсуме должен найтись хотя бы
один предмет v, который обладает этим свойством, и для него верно утверждать,
что «v есть Р» (класс Р непуст), и найтись хотя бы один предмет и такой, что он
не обладает этим свойством, т. е. для него верно будет утверждать, что «и не
есть Р» (класс Р не является универсальным). Только что сказанное можно
пояснить следующими схемами (см. Рис.1).
I I " ~~\ I *~й
(а) Р пусто (б) Р универсально (в) Р непуст и
неуниверсален
Рис. 1
На схемах квадратами обозначены универсумы - классы предметов, о
которых мы собираемся рассуждать. Затенением обозначен класс предметов,
обладающих свойством Р, а точками - сами предметы. На схеме (а) ничего не
затенено, так как свойство Р пусто и предметов, обладающих этим свойством,
нет. На схеме (б) затенен весь универсум, так как каждый предмет из этого
универсума обладает свойством Р (данное свойство универсально). На схеме
(в) затеняется лишь часть универсума, так как в нем имеются предметы, как
обладающие свойством Р (таковым является, например, предмет v), так и
предметы, этим свойством не обладающие (предмет и). С учетом принятых в
традиционной силлогистике ограничений схемы (а) и (б) далее не будут
использоваться, т. е. здесь законной считается лишь схема (в).
244

Отметим, в частности, что в собственно аристотелевской силлогистике
никаких ограничений на термины категорических атрибутивных
высказываний не накладывается. В этом она существенно расходится с традиционной
силлогистикой.
Различные силлогистические теории могут отличаться друг от друга также
и синтаксическими характеристиками терминов, которые являются субъектами
и предикатами атрибутивных категорических высказываний. В частности, в
данной главе будут последовательно рассмотрены две силлогистические
теории - позитивная традиционная силлогистика и негативная традиционная
силлогистика. Позитивной силлогистикой называется теория дедукции из
категорических высказываний, в которой не учитывается внутренняя структура
терминов. Иначе говоря, каждый термин (субъект и предикат) трактуется как
элементарное, простое выражение, неразложимое на составные части. С
другой стороны, если в языке теории содержится единственный терминообразую-
щий оператор - оператор терминного отрицания, позволяющий по любому
термину построить новый термин, являющийся отрицанием исходного, то
такая система относится к негативной силлогистике. Таким образом, в
негативной силлогистике различаются два типа терминов - положительные и
отрицательные.
1.3. Понятие силлогистической формулы
Описанные выше виды категорических атрибутивных высказываний
относятся к числу простых. Но, применяя к ним логические операции, выражаемые
пропозициональными связками, можно из простых высказываний строить
сложные. Например, можно отрицать то или иное высказывание, строить из них
конъюнктивные высказывания и т. д. Для более четкого понимания сказанного
введем алфавит силлогистики и понятие силлогистической формулы в
позитивной силлогистике.
В алфавит позитивной силлогистики входят следующие символы: S, Р, М,
Sb Рь Mi, S2,... - термины; &, v, z>, -1, a, i, e, о - логические термины
(логические постоянные); а также скобки в качестве технических символов.
Понятие силлогистической формулы позитивной силлогистики:
1. Если а и (3 - термины, то выражения вида аар\ а/р% агр% ао(3 -
силлогистические формулы.
2. Если А - силлогистическая формула, то выражение вида —А -
силлогистическая формула.
3. Если А и В - силлогистические формулы, то (А & В), (A v В),
(A zd В) - силлогистические формулы.
4. Ничто иное не есть силлогистическая формула.
Условимся рассматривать далее выражения, задаваемые пунктом 1 данного
определения, как простые сокращения соответствующих логических форм
категорических атрибутивных высказываний. С учетом этого к числу простых сил-
245

логистических формул мы будем относить выражения вида «Всякий а есть р»,
«Всякий а не есть (3», «Некоторый а есть р», «Некоторый а не есть р».
Упражнения
1. Запишите на языке традиционной силлогистики логические формы
следующих высказываний:
а) У всякого человека есть способность к абстрактному мышлению, но не
все знают об этом.
б) Если ни один бездельник не является отличником, то все двоечники - это
бездельники.
в) Не все то золото, что блестит.
2. Укажите в составе простых предложений 1-го задания субъекты и
предикаты.
§ 2. Семантика традиционной силлогистики
2.1. Интерпретация категорических высказываний
В традиционной силлогистике не могут встречаться пустые термины, т. е.
термины типа «русалка», «человек, достигший центра Земли», «вечный
двигатель» и т. д., а также универсальные термины. Например, если в качестве
универсума берется класс людей, то в силлогистике нельзя использовать термин
«разумное существо», ибо класс разумных существ совпадает с классом людей (является
универсальным). Поэтому, чтобы последними терминами мы могли пользоваться
и могли рассматривать предложения вида «Каждый человек является разумным
существом», необходимо взять более широкий универсум, чем класс людей.
Допустим теперь, что, исходя из тех или иных соображений, выделен и
определен некоторый универсум рассуждения U. В таком случае истинность
категорических атрибутивных высказываний можно определить в традиционной
силлогистике через выполнимость для субъектов и предикатов отношений,
задаваемых некоторыми модельными схемами.
(1) Предложение «Всякий а есть Р» истинно тогда и только тогда,
когда классы аир находятся в одном из следующих отношений:
0р
Так, субъект и предикат высказывания «Всякий студент является учащимся»
находятся в отношении, задаваемом первой модельной схемой, а потому оно
является истинным. Точно также является истинным и предложение «Всякий
квадрат - это равносторонний прямоугольник», так как субъект и предикат этого
высказывания находятся в отношении, задаваемом второй модельной схемой.
246
G)

(2) Предложение «Всякий а не есть р» истинно тогда и только тогда,
когда классы а и (3 находятся в одном из следующих отношений:
а
Р
или
Примером истинного предложения, в котором субъект и предикат находятся в
отношении, задаваемом первой модельной схемой, может служить предложение
«Ни одно натуральное число не является иррациональным». Вторая модельная
схема имеет место для субъекта и предиката предложения «Всякий юридически
ненаказуемый поступок не есть преступление», а потому оно истинно.
(3) Предложение «Некоторый а есть Р» истинно тогда и только тогда,
когда аир находятся в одном из следующих отношений:
0
Примерами высказываний, субъекты и предикаты которых, соответственно,
удовлетворяют каждой из данных модельных схем, будут: «Некоторый студент является
учащимся», «Некоторый квадрат есть равносторонний прямоугольник»,
«Некоторый писатель является поэтом», «Некоторый учащийся - спортсмен», «Некоторая
опровержимая формула является одновременно и выполнимой формулой».
(4) Предложение «Некоторый а не есть р» истинно тогда и только
тогда, когда аир находятся в одном из следующих отношений:
а
Р
0®
Примерами соответствующих высказываний для каждой модельной схемы
будут высказывания: «Некоторое натуральное число не является
иррациональным», «Некоторый юридически ненаказуемый поступок не есть преступление»,
«Некоторый писатель не является поэтом», «Некоторый учащийся не является
247

спортсменом», «Некоторая опровержимая формула не является выполнимой
формулой».
К определениям истинности частных высказываний нужно сделать одно
важное пояснение. В разговорной практике кванторное слово «некоторые»
употребляется в двух различных смыслах: (а) «только некоторые» и (б) «по
крайней мере, некоторые». Употребляя, например, в выражении «Некоторые
писатели - люди» это слово в первом смысле, мы вынуждены трактовать
данное высказывание как ложное. Ведь в этом случае утверждается «Только
некоторые писатели - люди», т. е. предполагается существование таких писателей,
которые людьми не являются. А так как таковых нет, ибо все писатели - люди,
то наше утверждение ложно. Таким образом, первый смысл употребления
слова «некоторые» исключает те отношения между субъектом а и предикатом р,
когда класс предметов, обладающих свойством а, полностью включается в
класс (или полностью исключается из класса) предметов, обладающих
свойством р. Однако в силлогистике принято употреблять слово «некоторые» не в
первом, а во втором смысле - «по крайней мере, некоторые», что означает:
«утверждаемое или отрицаемое верно, по крайней мере, для одного предмета
из класса а, а может быть, и для всех». Именно это и обусловливает то, что две
модельные схемы, на которых считаются истинными высказывания типа а,
сохраняются в качестве модельных схем и для высказываний типа /, а те
модельные схемы, на которых истинны высказывания типа е, переносятся в качестве
модельных схем истинности и для высказываний типа о.
(5) Предложение «а есть р» истинно тогда и только тогда, когда
между предметом, обозначенным термином «а», и классом р
существует следующее отношение:
[©1
т. е. предмет а является элементом класса р. Примерами таких истинных
высказываний будут «Д. И. Менделеев - химик», «2 - число», «Лондон - город» и т. д.
(6) Предложение «а не есть Р» истинно тогда и только тогда, когда
между предметом, обозначенным термином «а», и классом р
существует следующее отношение:
Га
т. е. предмет а не является элементом класса р. Примерами таких высказываний
будут «5 не является четным числом», «Наполеон не является англичанином».
«Этот трус не играет в хоккей» и др.
248

Введем в силлогистику понятие логического следования и общезначимой
формулы. Пусть Аь А2,..., А„ и В будут силлогистическими формулами. Тогда:
Из посылок А], А2,..., А„ логически следует В (пишем: Аь А2,..., An N
В), если и только если на каждой модельной схеме, на которой
одновременно истинны все посылки Аь А2,..., Ап, истинно и В.
Будем называть В общезначимой формулой силлогистики {законом
силлогистики) и писать 1= В, если и только если В является истинной
на любой модельной схеме.
2.2. Распределенность терминов
В модельных схемах, участвовавших в определениях (1)-(4), некоторые
классы помечались затенением. Этим приемом изображались объемы
оказывания, т. е. множества тех предметов из класса а, для которых предицируемое в
соответствующих предложениях наличие или отсутствие свойства р оказывается
выполненным. Пользуясь затенением, введем теперь одно очень важное
семантическое понятие — понятие распределенности терминов.
Термин, входящий в состав категорического атрибутивного
высказывания, распределен в нем, если и только если в каждой модельной
схеме, которая является условием истинности высказываний этого
типа, класс предметов, обозначенный данным термином, полностью
затенен или полностью не затенен. В противном случае будем
говорить, что термин нераспределен.
Рассматривая теперь модельные схемы для высказываний типа а, е, i, о и
помечая распределенные термины знаком «+», а нераспределенные знаком «-»,
можно суммировать сказанное следующим списком:
Всякий а+ есть р~,
Всякий а+ не есть (3+,
Некоторый оГ есть р~,
Некоторый of не есть р+.
Легко видеть, что су б ъе к ты всегда распределены в общих и не-
распределены в частных высказываниях, в то время как
предикаты всегда распределены в отрицательных и нераспределены в
утвердительных высказываниях.
Что касается единичных высказываний, то в них субъект единичен. На
графической схеме он изображен точкой. Однако в традиционной силлогистике все
термины трактуются единообразно - как знаки некоторых классов предметов.
Поэтому единичные термины должны рассматриваться как обозначающие
единичные классы, т. е. классы, содержащие ровно один объект. Если теперь эти
единичные классы на соответствующих модельных схемах затенить, то вопрос о
распределенности терминов для единичных высказываний должен решаться в
полном согласии с вышеуказанным критерием следующим образом:
249

а есть р ,
а+ не есть (3+.
Как видим, термины в единичных высказываниях распределены точно так
же, как они распределены в соответствующих общих высказываниях. Это
позволяет считать, что в традиционной силлогистике высказывания единичноут-
вердительные - это аналоги общеутвердительных, а единичноотрицательные -
аналоги общеотрицательных. Тем самым единичные утверждения не играют
самостоятельной роли. Они всегда трактуются как высказывания общие.
Упражнения
1. Выявите логическую форму следующих высказываний и установите, ни
каких модельных схемах они будут принимать значение «истина»:
а) Есть такие азиатские государства, которые являются европейскими
государствами.
б) Всякий выпуклый квадрат является вогнутым квадратом.
в) Некоторые натуральные числа являются рациональными.
г) Всякое жвачное животное является парнокопытным.
д) Ни один мужчина не является женщиной.
е) Некоторые четные числа не делятся на 7.
ж) Всякий мужчина является сыном.
з) Петр не любит играть в шахматы.
2. Установить, при каких объемных отношениях между S и Р высказывания
следующих форм истинны, а при каких — ложны. Попытайтесь их определите
через высказывания типа а, е, i и о:
а) Все S и только S суть Р. б) Лишь некоторые S суть Р.
в) Все S и только S не суть Р.
§ 3. Законы позитивной силлогистики и непосредственные следования
3.1. Законы тождества и логический квадрат I
Рассмотрим высказывания типа а, е, i и о, в которые входит ровно один
термин, т. е. на местах субъектов и предикатов стоит один и тот же термин,
например S. Построим следующую силлогистическую таблицу истинности
(см. Табл. 1).
Модельные
схемы
Х~Х
W
SaS
и
SeS
л
S/S
и
SoS
л
Табл. 1
250

Из таблицы видно, что выражения вида SaS и S/S истинны на любой
модельной схеме (при одной переменной число всех возможных различных
модельных схем равно в точности одной модельной схеме, которая и нарисована в
таблице), а потому логическими законами будут следующие утверждения:
1. 1= Всякий S есть S - закон силлогистического тождества для
высказываний типа а.
2. (= Некоторый S есть S - закон силлогистического тождества для
высказываний типа i.
Таким образом, логически истинными высказываниями будут, например,
высказывания: «Всякий человек есть человек», «Некоторый атом есть атом».
Наличие законов силлогистического тождества для высказываний типа а и i
является характерной особенностью традиционной силлогистики. Именно
посредством этих законов синтаксическим способом выражается условие о
непустоте терминов, входящих в категорические высказывания.
Если учесть, что «—i» - это операция отрицания, то из таблицы 1 видно, что
общезначимыми должны быть и выражения вида:
3. t= —(Всякий S не есть S.
4. t= -.Некоторый S не есть S.
Перейдем к рассмотрению нетривиальных однопосылочных умозаключений
из высказываний типа а, е, i и о, содержащих ровно два различных термина. В
традиционной силлогистике для двух терминов существует в точности семь
различных модельных схем. Представим тогда силлогистической таблицей
истинности - Табл. 2 - условия истинности соответствующих формул.
Модельные
схемы
s р
©0
О
SaP
1
SeP
S/P
SoP
PaS
PeS
P/S
7
PoS
подтаблица
Табл. 2
подтаблица 2
251

Таблица содержит подтаблицы 1 и 2. Первая используется для проверки
умозаключений по логическому квадрату, а подтаблица 2 - для проверки
операции обращения.
Логический квадрат служит мнемоническим целям, способствуя
запоминанию различных логических отношений, которые существуют между
высказываниями типа а, е, i и о с одинаковыми субъектами и одинаковыми предикатами.
Квадрат имеет следующий вид (см. Рис.2):
ая(3 контрарность ае(3
Ш'Р субконтрарно сть аор
Рис.2
К непосредственным умозаключениям по логическому квадрату
относятся умозаключения, которые строятся на основе знания
отношений меяаду высказываниями вида ои*Р, а^р, а/р и а#р.
Эти отношения зафиксированы в подтаблице 1. Так, на рисунке 2 показано,
что между а и /', с одной стороны, и е и о - с другой, имеет место отношение
подчинения. Действительно, из подтаблицы 1 непосредственно усматривается,
что отношение подчинения существует между высказывательными формами
«Всякий S есть Р» и «Некоторый S есть Р» (столбцы 1 и 3), а также между
«Всякий S не есть Р» и «Некоторый S не есть Р» (столбцы 2 и 4), т. е:
5. Всякий S есть Р 1= Некоторый S есть Р.
6. Всякий S не есть Р 1= Некоторый S не есть Р.
Это обосновывает и позволяет принять умозаключения следующих видов:
Всякий S есть Р Всякий S не есть Р
и
Некоторый S есть Р Некоторый S не есть Р.
а по контрапозиции - и умозаключения вида:
-.Некоторый S есть Р —.Некоторый S не есть Р
—.Всякий S есть Р —.Всякий S не есть Р.
Учитывая тот факт, что по контрапозиции всегда можно перейти от
умозаключения вида А I- В к умозаключению вида -.В I А, последние
умозаключения далее указываться не будут.
Таким образом, любое конкретное высказывание типа / выводится из
высказывания типа а (высказывание типа о выводится из высказывания типа е).
Например, из высказывания «Все учащиеся успешно сдали экзамены по логике»
выводится высказывание «Некоторые учащиеся успешно сдали экзамены по ло-
252

гике», а из предложения «Каждый ученый не умеет читать» выводится
предложение «Некоторые ученые не умеют читать».
Согласно логическому квадрату, между высказываниями а и е имеет место
отношение контрарности {противоположности), т. е. они не могут быть
одновременно истинными, хотя и могут быть одновременно ложными. Это прямо
видно из рассмотрения столбцов 1 и 2 таблицы 2. Но тогда конъюнкция вида
«Всякий S есть Р & Всякий S не есть Р» является ложным утверждением на
каждой модельной схеме, и тем самым ее отрицание будет всегда истинным.
Отсюда следует, что имеет место логический закон:
7. 1= —.(Всякий S есть Р & Всякий S не есть Р) - закон контрарного
противоречия,
что позволяет сразу же обосновать и принять умозаключение вида:
Всякий S есть Р
—Всякий S не есть Р.
Между I и о существует отношение субконтрарности (подпротивополож-
ности), т. е. эти высказывания не могут быть одновременно ложными, хотя и
могут быть одновременно истинными. Столбцы 3 и 4 подтаблицы 1 показывают,
что это действительно так. Отсюда сразу получаем, что дизъюнкция этих двух
высказываний на каждой из семи модельных схем принимает значение
«истина», т. е. имеет место логический закон:
8. 1= (Некоторый S есть Р v Некоторый S не есть Р) -закон субконтрарного
исключенного третьего.
Данный закон позволяет обосновать непосредственное умозаключение по
логическому квадрату вида:
—.Некоторый S есть Р
Некоторый S не есть Р.
На диагоналях квадрата расположены высказывания, находящиеся в
отношении контрадикторности (противоречия). Они не могут быть одновременно
истинными и одновременно ложными (см. столбцы 1 и 4 (2 и 3)). Таким
образом, имеем:
9. 1= —.(Всякий S есть Р & Некоторый S не есть Р) - закон противоречия
для а и о.
10. 1= —.(Всякий S не есть Р & Некоторый S есть Р) - закон противоречия
для е и I*.
11.1= (Всякий S есть Р v Некоторый S не есть Р) - закон исключенного
третьего для an о.
12. 1= (Всякий S не есть Р v Некоторый S есть Р) - закон исключенного
третьего для е и /'.
Это обосновывает умозаключения следующих видов:

Всякий S есть Р -.Всякий S есть Р
и
-.Некоторый S не есть Р Некоторый S не есть Р
Всякий S не есть Р -.Всякий S не есть Р
и
-^Некоторый S есть Р Некоторый S есть Р.
Данные непосредственные умозаключения по логическому квадрату
называются диагональными соотношениями. Они говорят о том, что выражения,
стоящие над чертой и под чертой, являются эквивалентными, т. е. несут одну и
ту же информацию. Например, сказать «Неверно, что все птицы улетают зимой
на юг» - то же самое, что сказать «Некоторые птицы не улетают зимой на юг», а
сказать «Неверно, что некоторые писатели не люди» - то же самое, что сказать
«Все писатели являются людьми». Здесь одна и та же информация выражается
предложениями различной формы.
3.2. Обращение
Перейдем теперь к рассмотрению подтаблицы 2, которая позволяет
проверить правильность умозаключений другого типа, называемых операцией
обращения.
Под обращением (conversio) понимается непосредственное
умозаключение, в котором субъект заключения совпадает с предикатом
посылки, а предикат заключения - с субъектом посылки.
Различают два вида обращения: чистое обращение (conversio simplex), когда
количественная характеристика высказывания не изменяется, и обращение с
ограничением (conversio per accidens), когда количественная характеристика
изменяется. Для высказывания е и i (см. столбцы 2 и 6 (3 и 7)) правильным является
чистое обращение вида:
Всякий S не есть Р Некоторый S есть Р
Всякий Р не есть S Некоторый Р есть S. i
Например, высказывание «Ни одно четное число не является
иррациональным» логически эквивалентно высказыванию «Ни одно иррациональное
число не является четным», а высказывание «Некоторые высокомерные люди
являются красавцами» эквивалентно высказыванию «Некоторые красавцы -
высокомерные люди».
Для высказывания типа а правильным является только обращение с
ограничением (см. столбцы 1 и 7):
Всякий S есть Р
Некоторый Р есть S,
а переход от высказывания типа «Всякий S есть Р» к высказыванию «Всякий Р
есть S» является неправильным. Например, от предложения «Все киты - млеко-
254

питающие» можно умозаключить только к предложению «Некоторые
млекопитающие - киты».
Обращение с ограничением имеет место также и для высказываний типа е
(см. столбцы 2 и 8):
Всякий S не есть Р
Некоторый Р не есть S.
Высказывания типа о вообще не обращаются, так как любые их обращения
неправильны, что легко устанавливается по таблице 2.
Упражнения
1. Установите отношения между следующими высказываниями:
а) Ни одна тождественно-ложная формула не является выполнимой;
Ни одна выполнимая формула не является тождественно ложной.
б) Все квадраты - ромбы; Некоторые ромбы - не квадраты.
2. Осуществите все возможные выводы по логическому квадрату из
следующих высказываний и установите их истинность или ложность:
а) Всякое предложение есть то, что выражает суждение.
б) Все птицы зимой улетают в теплые края.
в) Ни одно млекопитающее не живет в воде.
г) Неверно, что некоторые целые числа не являются рациональными.
3. Осуществите обращение следующих высказываний:
а) В некоторых общих суждениях предикат распределен.
б) В некоторых озерах нет пресной воды.
в) Ни одно религиозное учение не является научным.
4. Выявите логическую форму умозаключения и установите, является ли
оно правильным:
а) Некоторые жидкости проводят электрический ток, поскольку неверно,
что всякая жидкость является проводником электрического тока.
б) Некоторые космонавты не являются мужчинами, так как некоторые
мужчины - не космонавты.
в) Каждое разумное существо обладает членораздельной речью.
Следовательно, все существа, обладающие членораздельной речью, разумны.
§ 4. Простой категорический силлогизм
4.1. Фигуры и модусы простого категорического силлогизма
Рассмотрим двухпосылочные умозаключения вида: Аь А21- В.
Умозаключение, в котором от наличия некоторых отношений между
терминами а и р и терминами Р и у, фиксируемых в посылках, при-
255

ходят к заключению о наличии определенного отношения между
терминами а и у, называется простым категорическим силлогизмом.
Общий термин, содержащийся в посылках At и А2, связывает посылки и
опосредует следование из них заключения В. Поэтому умозаключения такого
вида часто называются опосредованными.
Примером силлогизма является умозаключение:
Слово "бег" обозначает действие.
Слово "бег" - существительное.
Некоторые существительные обозначают действия.
В нем содержатся три высказывания: первые два являются посылками, а
последнее - заключением. Общим термином служит словосочетание «слово "бег"»,
связывающее термины посылок - «существительное» и «обозначает действие».
Будем далее называть меньшим термином тот термин, который
является субъектом заключения, а большим тот, который является
предикатом заключения. Термин же, являющийся общим для обеих
посылок, будем называть средним термином.
Будем далее называть посылку, содержащую меньший термин,
меньшей посылкой, а посылку, содержащую больший термин, - большей
посылкой.
Условимся также всегда помещать большую посылку на первое место, а под
ней записывать меньшую посылку. Приняв эти условия, можно все простые
категорические силлогизмы разделить по так называемым фигурам.
Фигура - это структура простых категорических силлогизмов,
определяемая расположением среднего термина в посылках (см. Рис. 3).
l.M^-P 1.Р —iM 1.М |— Р 1. Р —7 м
2.S -^ М 2.S —I М 2.М I— S 2.М ^— S
3 S — Р 3.S — Р 3. S — Р 3. S — Р
Фигура I Фигура II Фигура III Фигура IV
Рис.3
Здесь цифрой 1 обозначается большая посылка, цифрой 2 - меньшая
посылка, а цифрой 3 - заключение. Буква S обозначает меньший термин, буква Р -
больший, а буква М - средний термин. Очевидно, что средний термин можнс
расположить только указанными четырьмя способами.
Если в фигуре указать тип высказываний, стоящих на местах посылок и
заключения, то получим разновидность силлогизма по данной фигуре. Так, если
положить, что I фигуре большая посылка, меньшая посылка и заключение - эк
высказывания типа а, то получим разновидность силлогизма по I фигуре:
1. Всякий М есть Р.
2. Всякий S есть М.
3. Всякий S есть Р.
256

Такого рода разновидности силлогизмов называются модусами фигур. В
каждой фигуре имеется 64 модуса (разновидностей фигур), а по всем
четырем фигурам - 256. Однако не во всех из них заключение логически следует
из посылок.
Модусы, для которых между посылками и заключением существует
отношение логического следования, называются правильными.
Всего существует 24 правильных модуса. Все они в средневековье получили
специальные названия. Так, приведенный выше модус I фигуры называется
Barbara (иногда пишут ааа, указывая последовательно слева направо типы
высказываний большей, меньшей посылок и заключения).
I фигура
Barbara {ааа)
Celarent (еае)
Darii (aii)
Ferio (eio)
Barbari (aii)
Celaront (eao)
II фигура
Baroko (aoo)
Cesare (еаё)
Camestres (aee)
Festino (eio)
Camestrop (aeo)
Cesaro (eao)
III фигура
Bokardo (oao)
Disamis (iai)
Datisi (aii)
Ferison (eio)
Darapti (aai)
Felapton (eao)
IV фигура
Camenos (aeo)
Dimaris (iai)
Camenes (aee)
Fresison (eid)
Bramantip (aai)
Fesapo (eao)
Табл. 3
Для проверки правильности конкретных рассуждений, строящихся в форме
простого категорического силлогизма, вовсе нет необходимости запоминать
правильные модусы, знать их названия. Для этого можно воспользоваться
семантическими условиями истинности категорических высказываний,
задаваемых пунктами (1)-(4) § 2. Проверим, например, правильность рассуждения:
1. Ни одно ластоногое животное не есть рыба.
2. Все тюлени - ластоногие животные.
3. Ни один тюлень не является рыбой.
Это рассуждение осуществляется по модусу Celarent I фигуры:
1. Ни один М не есть Р.
2. Всякий S есть М.
3. Ни один S не есть Р.
Чтобы проверить его правильность, достаточно рассмотреть лишь такие
модельные схемы, на которых посылки одновременно принимают значение
«истина». Множество таких схем по трем переменным S, Р и М состоит в точности из
следующих четырех модельных схем:
9 Введение в логику

На каждой из этих схем термины М и Р, а также S и М находятся в таких
отношениях друг к другу, что посылки «Ни один М не есть Р» и «Всякий S
есть М» оказываются одновременно истинными. Проверяя теперь, в каком
отношении на этих схемах находятся термины S и Р, обнаруживаем, что в
каждой из них справедливо утверждать «Ни один S не есть Р», что и обосновывает
следование.
Обоснование модуса Celarent означает, что умозаключение данной формы
правильно для любых непустых и неуниверсальных терминов S, Р и М. Так, взяв
в качестве S термин «правильный модус по I фигуре», в качестве Р -
«физический закон» и в качестве М - «силлогизм», можем утверждать, что так как
предложения «Ни один силлогизм не является физическим законом» и «Любой
правильный модус по I фигуре - это силлогизм» истинны, то по модусу Celarent
обязательно должно быть истинным и предложение «Любой правильный модус
по I фигуре не есть физический закон».
Модельные схемы позволяют не только устанавливать, но и опровергать
наличие логического следования. Для этого необходимо сначала выявить
логическую форму рассуждения, а затем указать хотя бы одну модельную схему, на
которой посылки будут истинными, а заключение - ложным. Пусть проверяется
рассуждение:
1. Некоторые вещества, ускоряющие химические реакции, не участвуют в реакции.
2. Все катализаторы являются веществами, ускоряющими химические реакции.
3. Все катализаторы не участвуют в реакции.
Положив, что S - это «катализаторы», М - «вещества, ускоряющие
химические реакции» и Р - «вещества, участвующие в химических реакциях»,
находим, что рассуждение имеет форму модуса оае I фигуры, т. е:
1. Некоторый М не есть Р (о).
2. Всякий S есть М (а).
3. Ни один S не есть Р (е).
Приведенная сразу же под рассматриваемым силлогизмом модельная схема.
как говорят в логике, «проваливает» данный модус, так как на этой схеме обе
посылки силлогизма будут истинными, а заключение - ложным. На основе этой
схемы можно построить и другие контрпримеры данному рассуждению. Для
этого необходимо так подобрать термины S, Р и М, чтобы посылки оказались
истинными, а заключение - заведомо ложным. В качестве таких терминов
можно взять, например, «треугольник» (М), «равносторонний треугольник» (Р) и
«равноугольный треугольник» (S). Осуществляя подстановку этих терминов в
рассматриваемый модус оае I фигуры, получим умозаключение с истинными
посылками:
258

1. Некоторый треугольник не является равносторонним.
2. Всякий равноугольный треугольник - треугольник.
и ложным заключением:
3. Всякий равноугольный треугольник не есть равносторонний треугольник.
Итак, умозаключения рассматриваемого вида не удовлетворяют отношению
логического следования.
4.2. Общие правила силлогизма и свойства фигур
Семантический метод решения вопроса о правильности модусов
сталкивается с той трудностью, что число возможных модельных схем отношений между
терминами быстро растет с увеличением числа терминов. Если в логике
высказываний число строк в таблице истинности определялось по формуле 2", где п -
число различных пропозициональных переменных, то в силлогистике число
модельных схем определяется по чрезвычайно сложной формуле, которую мы
приводить не будем. Однако число это возрастает чрезвычайно быстро (так, для
случая одного термина число модельных схем равно 1, для 2 терминов равно 7,
то уже для 3 терминов число различных модельных схем равно 193), что делает
необходимым нахождение более простых и не столь громоздких способов
проверки правильности модусов простого категорического силлогизма.
Такой способ имеется. Он носит синтаксический характер и содержит
перечень правил. Выполнение каждого правила является необходимым, а всех
вместе - достаточным условием, чтобы считать некоторый модус правильным. Эти
правила называются общими правилами силлогизма и подразделяются на
правила терминов и правила посылок.
Модус простого категорического силлогизма является правильным,
если и только если он удовлетворяет следующим требованиям.
Для терминов:
(1) Средний термин должен быть распределен хотя бы в одной из
посылок.
(2) Если крайний термин не распределен в посылке, то он должен
быть не распределен и в заключении.
Для посылок:
(3) По крайней мере, одна из посылок должна быть утвердительной.
(4) Если утвердительными являются обе посылки, то и заключение
должно быть утвердительным.
(5) Если имеется отрицательная посылка, то и заключение должно
быть отрицательным.
Эти правила позволяют быстро и эффективно решать вопрос о правильности
или неправильности модусов. Так, приводившийся пример модуса оае I фигуры
нарушает условие (1) для терминов, а потому не является правильным.
259

Для отдельных фигур существуют специальные свойства, которые
выполняются для всех правильных модусов этих фигур. Но они не являются
критериями правильности, так как выполняются и для некоторых неправильных
модусов. Эти свойства таковы: в любом правильном модусе по I фигуре большая
посылка - общее высказывание, а меньшая - утвердительная; в любом
правильном модусе по II фигуре большая посылка - общее высказывание, одна из посылок
отрицательна; в любом правильном модусе по III фигуре меньшая посылка -
утвердительное высказывание, а заключение - частное, для IV фигуры такие
простые свойства сформулировать не удается. Еще раз подчеркнем, что эти
свойства не являются критериями правильности, так как существуют неправильные
модусы, которые обладают указанными свойствами.
Сказанное только что о критерии правильности простого категорического
силлогизма может быть использовано лишь в том случае, если мы имеем дело
именно с силлогизмом, а не с некоторым рассуждением, которое только внешне
похоже на категорический силлогизм. Одной из распространенных ошибок
является построение рассуждения по форме напоминающей категорический
силлогизм, но содержащей не три термина, как это должно быть в правильном
силлогизме, - меньший, средний и больший, - а четыре термина. Такая ошибка
называется учетверение терминов. Рассмотрим конкретный пример.
1. Все произведения Льва Толстого нельзя прочитать за один день.
2. «Филиппок» - произведение Льва Толстого.
3. «Филиппок» нельзя прочитать за один день.
На первый взгляд перед нами рассуждение по модусу Barbara I фигуры.
Все посылки - истинные утверждения, так как Лев Толстой действительно
написал рассказ «Филиппок», а все его произведения еще никому не удалось
прочитать за один день. Тем не менее заключение ложно. Это произошло в
силу учетверения терминов. Дело заключается в том, что наличествующий в
рассуждении термин «произведения Льва Толстого», который якобы играет роль
среднего термина, на самом деле таковым не является. В первой посылке
субъектом высказывания является не термин «произведения Льва Толстого», а
термин «все произведения Льва Толстого». Здесь слово «все» не является
квантором, а является составной частью субъекта.
Вообще, слово «все» употребляется в естественном языке в двух смыслах -
в собирательном, когда имеется в виду «все вместе», и в разделительном, когда
имеется в виду «каждый в отдельности». В логике кванторные слова всегда
употребляются во втором - разделительном смысле. В высказывании же «Все
произведения Льва Толстого нельзя прочитать за один день» слово «все» явно
употребляется в собирательном смысле - «Все вместе произведения Льва
Толстого нельзя прочитать за один день». Именно в этом смысле данная посылка и
является истинной. Если же мы будем трактовать слово «все» в первой посылке
в разделительном смысле - «Каждое в отдельности произведение Льва Толстого
нельзя прочитать за один день», то становится очевидной ее ложность. Но в
таком случае понятно, почему и заключение оказалось ложным: ведь если рассуж-
260

дение правильно, а одна из посылок ложна, то заключение может оказаться
ложным, каковым оно и является в нашем случае.
4.3. Энтимемы
Значение силлогистики состоит прежде всего в том, что исследуемые здесь
формы рассуждений широко используются в повседневной практике, являются
важным элементом построения аргументации в ходе различного рода дискуссий.
Однако при практическом осуществлении некоторого аргументационного
процесса, в ходе полемики обычно не пользуются развернутой (полной) формой
силлогизма, когда точно указываются все аргументы в пользу какого-либо
утверждения и затем скрупулезно демонстрируется, что данное утверждение
является логическим следствием принятых аргументов. На самом деле в
аргументации обычно используют так называемые энтимемы.
Энтимемой называется сокращенная форма рассуждения с
пропуском некоторых посылок или заключения.
Иногда такие пропуски делаются намеренно, ибо недобросовестному
спорщику не всегда бывает выгодно раскрывать подлинные свои цели и намерения,
т. е. раскрывать подлинные теоретические основания аргументации.
Энтимемы делятся на корректные и некорректные.
Энтимема считается корректной, если выполнены два условия:
(1) Она может быть восстановлена до правильного модуса
категорического силлогизма.
(2) Все посылки в восстановленном правильном модусе оказываются
истинными утверждениями.
Последнее требование вытекает из теории аргументации, которая является
одной из важнейших составных частей логической прагматики. Согласно этой
теории, аргументация считается корректной только при истинности аргументов.
Проверка энтимемы на ее правильность осуществляется с помощью
некоторой процедуры, суть которой продемонстрируем на примере следующего
рассуждения. Допустим, что некто аргументирует таким образом. «Медь - металл, -
говорит он, - так как медь - проводник». Спрашивается: можно ли принять эту
аргументацию или она является неверной?
Прежде всего надо установить, что пропущено в рассуждении: пропущено
ли заключение или посылка (и какая именно). Для этого в энтимеме надо найти
формальные показатели наличия следования. Таковыми являются слова и
словосочетания «отсюда следует», «поэтому», «потому что», «ибо», «так как» и
другие. Рассматривая с этой точки зрения нашу энтимему, устанавливаем, что некто
пытается обосновать положение (тезис) «Медь - металл» ссылкой на то, что
«Медь - проводник» (аргумент). Это сразу же указывает на то, что
высказывание «Медь - металл» - заключение, где «медь» - меньший, а «металл» -
больший термины. Но тогда предложение «Медь - проводник» - это меньшая
посылка, где «проводник» средний термин. Итак, зафиксируем, что нам известно:
261

1. 1.
2. Медь - проводник (а) 2. SaM
3. Медь-металл (я) 3. SaP
Исходя из этой информации, теперь можно попытаться восстановить
полный модус следующим образом: можно средний термин (М) поставить в
большей посылке на место субъекта и идти к модусу I фигуры, либо средний
термин поставить в большей посылке на место предиката и восстановить эн-
тимему до некоторого модуса II фигуры. В результате получим следующие
две конфигурации:
1.М Р IP М
2. SaM или 2. SaM
3. SaP 3. SaP
Но во II фигуре нет правильных модусов, имеющих в заключении
высказывание типа а. Поэтому такая возможность отпадает и остается только первый
вариант. Рассматривая этот случай, приходим к выводу, что большая посылка
должна быть общеутвердительным высказыванием. Итак:
1. Всякий проводник - металл (а) 1. МаР
2. Медь - проводник (я) 2. SaM
3. Медь - металл (а) 3. SaP
Это модус Barbara I фигуры. Рассуждение, содержащееся в энтимеме,
восстановлено до правильного силлогизма. Однако, исходя из логико-
прагматических соображений, энтимему нельзя признать удовлетворительной,
так как большая посылка в ней является ложной, а потому данную
аргументацию нельзя признать корректной.
Рассмотрим еще один пример энтимемы. Пусть некто аргументирует
следующим образом: «Всякое преступление должно быть наказуемо, значит, и
всякое воровство - преступление». Применяя к данной энтимеме указанную
выше процедуру, приходим к выводу, что высказывание «Всякое воровство -
преступление» является заключением аргументации, т. е. тезисом, который
некто хочет обосновать, а в качестве обосновывающего аргумента
выдвигается положение: «Всякое преступление должно быть наказуемо». Из этого
анализа вытекает, что меньшим термином (субъектом заключения) будет
термин «воровство», а большим термином (предикатом заключения) -
термин «преступление». В таком случае термин «должно быть наказуемо»
является средним термином, а приведенный аргумент - это большая посылка.
Зафиксируем эту информацию:
1. Всякое преступление должно быть наказуемо (а)
_2.
3. Всякое воровство - преступление (а)
или то же самое в форме недостроенной фигуры силлогизма:
262

l.PaM
2.
3. SaP
Теперь мы должны попытаться восстановить энтимему до полного
правильного модуса силлогизма одной из фигур. Очевидно, что термины S и М можно
расположить в меньшей посылке только двумя способами:
l.PaM l.PaM
2.S М или 2.М S
3. SaP 3. SaP
где первое расположение среднего термина даст нам некоторый модус по II
фигуре, а второе его расположение даст модус по IV фигуре. Но и во II, и в
IV фигурах отсутствуют правильные модусы, у которых заключением было
бы высказывание типа а. Таким образом, данную энтимему нельзя в
принципе восстановить до правильного силлогизма, а потому она является
некорректной. Воровство, конечно же, преступление, но обосновывать этот тезис
следует иначе.
Упражнен ия
1. Установите состав, фигуру, модус и правильность силлогизмов:
а) Все англичане пью чай с молоком. Ни один француз - не англичанин.
Следовательно, ни один француз не пьет чай с молоком.
б) Некоторые кошки любят молоко, а некоторые - не любят мышей.
Следовательно, некоторые любители молока не любят мышей.
в) Во всех общих суждениях субъект распределен. Поэтому в суждении
«Антинейтрино - отрицательная частица» субъект должен быть распределен,
так как оно общее.
г) Все студенты 1-й группы разбежались по домам. Иванов - студент 1-ой
группы, а потому Иванов тоже разбежался по домам.
2. Укажите какую-либо модельную схему «проваливающую» следующие
силлогизмы:
а) силлогизм III фигуры oio,
б) силлогизм II фигуры aii,
в) силлогизм IV фигуры оао,
г) силлогизм I фигуры ieo.
3. Проверьте правильность энтимем:
а) Все шутки для того и предназначены, чтобы смешить людей. Но ни один
президентский указ - не шутка.
б) Данное явление нельзя считать случайным событием, так как оно имеет
свою причину.
в) Данный силлогизм имеет три термина, и потому он правильный.
г) Все студенты культурны, поскольку они грамотны.
263

§ 5. Негативная силлогистика
5.1. Отрицательные термины
До сих пор рассматривалась простая (элементарная), позитивная
традиционная силлогистика, в которой выполнялись все ограничительные условия,
описанные в §1 для этого типа логической теории. Переходя теперь к
построению негативной традиционной силлогистики, одно из требований будет
ослаблено, а именно: будем теперь интересоваться внутренней структурой
терминов, т. е. будем пользоваться не только примитивными, элементарными
терминами вида S, Р, М, но и сложными терминами, образованными из простых
посредством их отрицания. В качестве знака отрицания терминов (так
называемого терминного отрицания) будем использовать штрих. Таким образом, в
негативной (отрицательной) силлогистике появляются новые термины вида S'.
Р', М', которые будут читаться: «не-S», «не-Р», «не-М». Например, теперь,
наряду с положительными (примитивными) терминами «человек», «высокий
человек», «человек, знающий все европейские языки», разрешается использовать
и такие отрицательные термины, как «не-человек», «невысокий человек»,
«человек, не знающий все европейские языки» и т. д.
Особо подчеркнем принципиальное различие между двумя видами
отрицаний, выражаемых знаками «'» и «—.». Первое отрицание - это операция над
терминами (терминное отрицание), позволяющая строить из одних терминов
другие термины - отрицательные термины. Второе же отрицание - это
пропозициональное отрицание, т. е. операция не над терминами, а над
высказываниями. Оно позволяет из некоторого высказывания строить новое
(отрицательное) высказывание.
Введение отрицательных терминов расширяет виды категорических
атрибутивных высказываний. Теперь, наряду с высказыванием, например, вида
«Всякий S есть Р» у нас будут и высказывания вида «Всякий S есть Р'», «Всякий S'
есть Р», «Всякий S' есть Р'». Все эти новые виды будем относить к
высказываниям типа а. Аналогично будем поступать и с категорическими атрибутивными
высказываниями типа е, i и о.
Так как все новые выражения принадлежат к высказываниям типа а, е, i и о.
то для них по-прежнему будут сохраняться все условия истинности, заданные в
пунктах (1)-(4) § 2. Надо только с отрицательными терминами в этом случае,
скажем с термином Р', связывать теперь в точности те предметы из универсума
U, которые не обладают свойством Р. На модельных схемах этому будет
соответствовать класс предметов, лежащих вне класса Р. Его принято называть
дополнением к Р в универсуме U (см. Рис. 4).
U
Рис.4
264

На рисунке затенением показан класс предметов из универсума U,
которые как раз не обладают свойством Р. Этот класс и считается значением
отрицательного термина Р'. Аналогично трактуются и все остальные
отрицательные термины.
5.2. Законы тождества в негативной силлогистике
Какие же изменения произойдут в традиционной силлогистике, если к числу
примитивных терминов добавлены и отрицательные термины? Остановимся
прежде всего на простых высказываниях, содержащих ровно один термин, и
рассмотрим этот случай. Построим с этой целью силлогистическую таблицу
истинности (см. Табл. 4).
Модельные схемы
©
©
©
SaS*
л
S'aS
л
S'aS'
и
SeS*
и
SVS
и
SVS'
л
S/S*
л
S7S
л
S'iS'
и
SoS'
и
S'oS
и
S'oS'
л
Табл.4
Из таблицы видно, что в негативной силлогистике появляются новые
логические законы. К ним, например, относятся законы вида:
13. t= —.Всякий S есть S'.
14. 1= Всякий S не есть S'.
15. t= -.Некоторый S есть S'.
16. 1= Некоторый S не есть S'.
Поэтому логически истинными высказываниями будут высказывания
«Неверно, что всякий человек есть не-человек», «Всякое существо, наделенное
разумом, не есть существо, не наделенное разумом», «Неверно, что некоторое
четное число есть нечетное число», «Некоторая планета не есть не-планета» и т. д.
5.3. Непосредственные умозаключения в негативной силлогистике
Введение отрицательных терминов позволяет получить и новые виды
непосредственных умозаключений для случая вхождения в простые высказывания
различных терминов. Построим с этой целью силлогистическую таблицу
истинности - таблицу 5 (см. Табл. 5).
I
265

Модельная
схема
©>
&
d3>
s
Р
0®
о
@®
SaP
1
и
и
л
л
л
л
л
SeP
2
л
л
л
и
л
л
SzP
3
и
и
и
л
л
и
и
SoP
4
л
л
и
и
и
и
SaP'
5
л
л
л
и
л
л
SeP'
6
ы
л
л
л
л
л
SiP'
7
л
л
и
и
и
и
и
SoP'
8
и
и
и
л
л
и
и
Табл. 5
Из таблицы видно, что столбец 5 полностью совпадает со столбцом 2,
столбец 6 - со столбцом 1, столбец 7 - со столбцом 4 и столбец 8 - со столбцом 3.
Это говорит о наличии отношения логической эквивалентности между
соответствующими высказываниями. Итак, имеют место следующие умозаключения:
17. Всякий S есть Р НЬ- Всякий S не есть Р',
18. Всякий S не есть Р 41- Всякий S есть Р',
19. Некоторый S есть Р -\ \- Некоторый S не есть Р',
20. Некоторый S не есть РЧ1- Некоторый S есть Р',
называемые операциями превращения {obversio), где знак «ЧН-» означает
наличие выводимости в обе стороны.
Под превращением понимается непосредственное умозаключение, в
котором субъект заключения совпадает с субъектом посылки, а
предикат заключения является термином, который противоречит
предикату посылки.
Например, высказывание «Всякий человек разумен» по превращению
эквивалентно высказыванию «Ни один человек не является не-разумным».
Используя две операции (обращение и превращение), в негативной
силлогистике можно ввести еще некоторые операции.
Операция противопоставления предикату (контрапозиция
предикату) получается последовательным применением к исходному вы-
266

оказыванию операции превращения и к полученному результату -
операции обращения.
Это приводит к следующим умозаключениям:
21. Всякий S есть Р ЧI- Всякий Р' не есть S.
22. Всякий S не есть Р I- Некоторый Р' есть S.
23. Некоторый S не есть PHh Некоторый Р' есть S.
При противопоставлении предикату термины S и Р меняются местами, и
термин Р берется с отрицанием. Для высказываний типа / операция
противопоставления предикату не выполняется, так как при превращении это выражение
перейдет в высказывание типа о, а для последнего нет обращения. Примером
противопоставления предикату будет переход от высказывания «Все люди - разумные
существа» к высказыванию «Ни одно не-разумное существо не есть человек».
Операция противопоставления субъекту (контрапозиция субъекту)
получается последовательным применением к исходному
высказыванию операции обращения и к получившемуся результату -
операции превращения.
Это приводит к умозаключениям следующих видов:
24. Всякий S есть Р \- Некоторый Р не есть S'.
25. Всякий S не есть РЧЬ Всякий Р есть S'.
26. Некоторый S есть РЧЬ Некоторый Р не есть S'.
Как видим, при противопоставлении субъекту термины Р и S меняются
местами и термин S берется с отрицанием. Для высказывания типа о операция
противопоставления субъекту не выполняется, так как любое обращение этого
высказывания неправильно.
Существует еще одна операция, которая называется операцией
противопоставления субъекту и предикату, ее можно также назвать чистым
противопоставлением (контрапозициеи).
Чистое противопоставление осуществляется последовательным
применением операции превращения, обращения и снова превращения.
Это дает следующие умозаключения:
27. Всякий S есть Р HI- Всякий Р' есть S'.
28. Всякий S не есть Р I- Некоторый Р' не есть S'.
29. Некоторый S не есть PHI- Некоторый Р' не есть S'.
Например, мы можем перейти от высказывания «Все люди - разумные
существа» к высказыванию «Все не-разумные существа суть не-люди».
5.5. Негативный категорический силлогизм
Введение отрицательных терминов существенно обогащает и класс двухпо-
сылочных следований, т. е. класс категорических силлогизмов. Однако в отли-
s 267
г

чие от простого категорического силлогизма, в негативном категорическом
силлогизме общие правила фигур перестают действовать. Так, в негативной
силлогистике является правильным следующий модус:
Всякий М не есть Р (е)
Всякий S не есть М' (е)
Некоторый S есть Р' (/),
который содержит вместо трех терминов - пять, и в котором нарушается
правило (3) общих правил силлогизма. Это обстоятельство вновь ставит вопрос о
критериях правильности рассуждений, осуществляемых в рамках теперь уже
негативной силлогистики.
Данная задача может быть решена различным образом. Можно, например,
построить аксиоматическую дедуктивную теорию негативной силлогистики и
считать, что некоторый модус негативного категорического силлогизма обоснован,
если он доказуем в данной аксиоматической теории. На такую возможность, но
для позитивной силлогистики, обратил внимание уже Аристотель. Он взял в
качестве исходных умозаключений (аксиом) модусы Barbara, Celarent, Darii и Fe-
rio I фигуры, а все остальные модусы сводил к указанным модусам.
Его метод получения новых модусов в позитивной силлогистике был
закодирован средневековыми логиками в их названиях (см. таблицу 3). Первая
заглавная буква в названии модуса указывает, к какому модусу I фигуры будет
сводиться исследуемый силлогизм; буква «s», стоящая сразу после гласной,
показывает, что высказывание, обозначенное этой гласной, должно быть подвергнуто
чистому обращению; буква «р» в такой же позиции говорит, что
соответствующее высказывание должно быть обращено с ограничением; буква «т» означает,
что посылки силлогизма должны быть переставлены местами, т. е. большая
посылка становится на место меньшей и наоборот; буква «Ь> служит показателем
того, что модус надо доказывать методом от противного.
Например, докажем модус Camestrop II фигуры, следуя описанной
средневековой инструкции, т. е. докажем модус:
Всякий Р есть М а
Ни один S не есть М е
Некоторый S не есть Р о.
Так как первая буква в названии модуса «С», то, следовательно, его
доказательство будет осуществляться с использованием модуса Celarent I фигуры (как
говорят, доказываемый модус будет «сведен» к данному модусу). Итак:
1. РвМ -пос.
2. SeM -пос.
3. MeS - из 2 по чистому обращению (в силу буквы «s» в названии модуса)
4. PeS - из 3 и 1 по Celarent ( в силу буквы «w» в названии модуса)
5. SoP - из 4 по обращению с ограничением (в силу буквы «р» в названии модуса.
Негативная традиционная силлогистика является фрагментом логики
предикатов, а именно - логикой одноместных предикатов, ограниченной условием
их непустоты и неуниверсальности. Поэтому для проверки правильности
негативных категорических силлогизмов можно поступить следующим образом:
268

осуществить перевод категорических атрибутивных высказываний на язык
логики предикатов, а далее для проверки правильности силлогистических
рассуждений применить методы, используемые в логике предикатов и исчислении
предикатов.
Для традиционной силлогистики перевод осуществляется в два этапа.
Вначале осуществляется так называемый фундаментальный перевод. Будучи
применен к элементарным высказываниям типа a, e,iuo он имеет следующий вид:
а«р —> \/х(а(х) zd Р(х)),
ае(3 -» Vx(a(x) zd ->Р(х)),
cup -> Зхф(х) & p(jc)),
аоР -» 3*(a(jc) & -.р(ж)).
При этом надо иметь в виду, что каждый отрицательный термин, скажем
«а1», переводится в исчисление предикатов формулой <<-ia(jc)». Здесь знак «—>» -
знак осуществляемого перевода.
Затем к полученному результату применяется функция приписывания
пресуппозиций (некоторых предварительных условий). В традиционной негативной
силлогистике такими предварительными условиями являются требования, чтобы
все термины были непустыми и неуниверсальными.
Выразим это более точно. Пусть А будет произвольным утверждением
негативной традиционной силлогистики. Пусть В будет формулой исчисления
предикатов, образованной из А с помощью фундаментального перевода. Пусть
далее аь а2,..., ап - список всех различных элементарных терминов, входящих
в А. Обозначим через А* конъюнкцию вида Здса^дг) & Зха2(х) &...& 3jcan(.x).
Данная конъюнкция выражает условие о непустоте всех терминов, входящих в
А. Обозначим посредством А** конъюнкцию вида Зх—\(Х\(х) & Зх—м2(х) &...&
Зх—>an(jc). Эта конъюнкция выражает условие о неуниверсальности всех
терминов, входящих в А. Тогда можно показать справедливость следующего
утверждения:
А является общезначимым выражением традиционной позитивной и
негативной силлогистик тогда и только тогда, когда (А* & А**) и В
является общезначимой формулой логики предикатов (теоремой
исчисления предикатов).
Таким образом, проверять правильность силлогизмов можно и в рамках
исчисления предикатов, и в рамках логики предикатов.
Покажем, как это можно делать, на примере приведенного выше модуса
негативной силлогистики:
Всякий М не есть Р (е)
Всякий S не есть М' (е)
Некоторый S есть Р' (i).
Так как в данный силлогизм входят три примитивных термина - S, Р и М, то
формула 3jcS(jc) & Зд:Р(х) & Эл:М(л:) выражает условие непустоты этих терминов,
269

а формула 3x-iS(x) & 3x-iP(x) & Зх-.М(х) выражает условие их
неуниверсальности. Осуществим теперь фундаментальный перевод с языка силлогистики на язык
исчисления предикатов посылок и заключения данного модуса. В результате
получим следующие формулы: Vx(M(x) з —.Р(х)) - перевод первой посылки, Vx(S(x)
з —г-iM(jc)) - перевод второй посылки и 3x(S(x) & ->Р(х)) - перевод заключения.
Таким образом, требуется обосновать метаутверждение о выводимости вида:
3xS(x) & ЗхР(х) & ЗхМ(х),
3x-,S(x) & 3jc-,P(jc) & 3x-,M(x),
Vx(M(x) з -P(x)),
Vx(S(x) з -н-,М(х)),
3x(S(x) & -,P(x)).
Данное метаутверждение о выводимости можно обосновать, например, в
натуральном исчислении предикатов с помощью соответствующего вывода.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
3xS(x) & ЗхР(х) & ЗхМ(х)
3x-^S(x) & Зх^Р(х) & Зх-нМ(х)
Vx(M(x) з -нР(х))
Vx(S(x) з -,-,М (х))
3xS(x) - &и, 1
S(x) - Зи, 5, х - абс.
S(x) з -,-пМ(х) - V» 4
-i-iM(x) - зи, 7, 6
М(х) —,и,8
М(х) з -,Р(х) - Уи, 3
-,Р(х) -зи, 10, 9
S(x) & -,Р(х) - &в, 6, 11
3x(S(x) & -пР(х)) -Зв,12
-пос.
-пос.
-пос.
-пос.
огр.
Так как в данном выводе в посылках и заключении не встречается свободно
переменная х, которая абсолютно ограничивалась, то вывод является
завершенным и тем самым рассматриваемый модус негативной силлогистики обоснован.
Этот же самый результат можно получить и методом аналитических таблиц, что
предоставляется проверить самим читателям.
Упражнения
1. Осуществите все возможные противопоставления высказываний:
а) Неверно, что некоторые сдобные булочки не являются вкусными.
б) Ваше утверждение не является правильным.
в) Некоторые моряки не умеют плавать.
г) Многие грибы не съедобны.
д) Некоторые толстяки едят ночью.
2. Проверьте правильность силлогистических умозаключений с помощью
вывода в исчислении предикатов и методом аналитических таблиц:
а) Некоторые музыканты любят логику, а потому некоторые люди, не
любящие логику, не являются музыкантами.
270

б) Ни один человек не живет более 300 лет, но Н. прожил более 300 лет.
Поэтому Н. является не-человеком.
в) Все животные являются неразумными существами, а любой человек -
разумен. Значит, ни один человек не является животным,
г) Некоторые юристы - следователи, а некоторые - выпускники МГУ.
Следовательно, некоторые выпускники МГУ - следователи.
§6. Аристотелевская силлогистика
6.1. Позитивная и негативная аристотелевская силлогистика
Традиционная силлогистика содержит два ограничения на используемые
силлогистические термины: они должны быть непустыми и неуниверсальными. В отличие от
этого, силлогистика, построенная самим Аристотелем, не содержала такого рода
ограничений. Чтобы задать аристотелевскую силлогистику, необходимо существенно
расширить класс модельных схем. Рассмотрим в этой связи все возможные двухтерминные
модельные схемы (см. Рис. 5).
ос = 0
Р = 0
1
©
pv0
а
а = 0
Р
2
а
®
7
®
а
р = 0
3
®
Р
8
(а)
®
а
Р
4
0)
9
а
Р
а = 0
®
5
10
О
и
12
13
Рис.5
14
15
Написание в таблице а = 0 или (3 = 0 означает, что объемы соответствующих
терминов пусты. В схемах 2, 4, 8 объем термина р совпадает с универсумом, это же самое
верно для а в схемах 3,4 и 7.
Теперь аристотелевское понимание смыслов простых категорических высказываний
можно задать следующим образом:
(1) «Всякий а есть р» - истинно, если и только если аир находятся в одном
из отношений, задаваемых модельными схемами 4, 8,9,11.
(2) «Всякий (Ни один) а не есть р» - истинно, если и только если аир
находятся в одном из отношений, задаваемых модельными схемами 1, 2, 3, 5,
6,12,14.
(3) «Некоторый а есть р» - истинно, если и только если аир находятся в одном
из отношений, задаваемых модельными схемами 4,7,8,9,10,11,13,15.
(4) «Некоторый а не есть Р» - истинно, если и только если аир находятся в
одном из отношений, задаваемых модельными схемами 1, 2, 3, 5, 6, 7,10,
13,15.
271

Еще одним точным способом передачи аристотелевского понимания смыслов
категорических высказываний является их перевод в первопорядковое исчисление
предикатов. Для аристотелевской силлогистики этот перевод выглядит следующим образом:
ааР -> Vx(a(x) з р(дг)) & Эл:а(л:),
аер -> Ух(а(х) з -$(.*;)),
а/р -> Зх(а(х) & P(jc)),
а<?р -> Злс(а(л:) & -$(*)) v ->3л;а(л:).
Используя этот перевод, можно в рамках исчисления предикатов решать вопрос о
выводимостях, имеющих место в аристотелевской силлогистике. В связи с эти отметим,
что целый ряд соотношений, имевших место в традиционной силлогистике, в
аристотелевской логике оказываются неверными. Так, например, в аристотелевской логике
неверны законы силлогистического тождества ни в форме S«S, ни в форме Si'S. В
негативной аристотелевской силлогистике вместо принципов превращения вида
Всякий S есть Р ЧI- Всякий S не есть Р',
Всякий S не есть РЧЬ Всякий S есть Р',
Некоторый S есть PHh Некоторый S не есть Р',
Некоторый S не есть Р Ч Ь- Некоторый S есть Р',
остаются в силе лишь превращения от утвердительных высказываний к отрицательным,
т. е. превращения вида:
Всякий S есть Р I- Всякий S не есть Р.
Некоторый S есть Р I- Некоторый S не есть Р'.
В то же время в аристотелевской логике верны все законы логического квадрата,
все законы обращения и все 24 модуса простого категорического силлогизма.
6.2. Расширенная аристотелевская силлогистика
В завершении данной главы рассмотрим аксиоматическое представление
расширенной аристотелевской силлогистики. При этом под расширенной силлогистикой имеется
в виду силлогистика со сложными терминами.
Алфавит расширенной силлогистики содержит следующие символы: S, Р, М, Sb Р\,
Мь S2,... - примитивные термины; &, v, z>, -i, a, e, i, o,', u, n - логические константы, а
также в качестве технических символов - скобки.
Понятие термина расширенной силлогистики:
1. Примитивные термин есть термин силлогистики.
2. Если Р - термин, то Р' - термин.
3. Если аир- термины, то (а п Р), (а и Р) - термины.
Понятие формулы расширенной силлогистики определяется теперь следующим
образом:
1. Если Р и у - термины, то Pay, Р^у, pry, Роу - силлогистические формулы.
2. Если А - формула, то -А - формула.
3. Если А и В - формулы, то (А & В), (A v В), (А з В) - формулы.
Так как силлогистики являются кванторными теориями, то они представляют собой
надстройки над логикой высказываний. Поэтому в качестве дедуктивных средств силло-
272

гистика должна содержать некоторый вариант исчисления высказывании, например
натуральное исчисление высказываний. В качестве дедуктивных средств, задающих кван-
торную часть теории, можно взять следующие аксиомные схемы:
А1. уаа & аер з у«Р', А6. аеа',
А2. yia & ае(3 z> у/р', А7. аоа',
A3, (а п р)еу з (у п а)ер, А8. ааР з аеР',
А4. ае(Р и у) = (а^р & аеу), А9. ш'Р з ааа,
А5. ае(Р п у)' = (шф' & аеу'), А10. ааР" з а«р.
По определению вводятся следующие знаки:
(A.B)%(AdB)&(BdA),
а = р =Df а^Р' & р^а',
0 =Df а п а',
1 =Df а и а'.
Данная система расширенной аристотелевской силлогистики представляет собой
булеву алгебру (см. ниже), выраженную в терминах силлогистики.

Глава VIII
НЕКЛАССИЧЕСКИЕ ЛОГИКИ
§ 1. Классическая и неклассическая логика
1.1. Принципы, лежащие в основе классической логики
Классическая логика представляет собой наиболее фундаментальный раздел
современной логики, который дает в руки исследователю мощный аппарат
дедукции, позволяющий в большинстве познавательных ситуаций осуществлять
процедуру корректного рассуждения, обеспечивая «сохранение» истины при
выведении тезиса (обосновываемого утверждения) из аргументов.
Каркас классической логики составляют рассмотренные в предыдущих
главах логические теории: классическая логика высказываний, классическая логика
предикатов первого порядка, логика предикатов с равенством, логики
предикатов высших порядков, а также традиционная силлогистика.
Перечисленные логические системы различаются выразительными
возможностями языков, а значит, и классами выделяемых в них логических законов и
способов правильных рассуждений. Тем не менее все эти теории базируются на
ряде общих положений, некоторые из которых явно формулируются в качестве
исходных принципов, а другие - в виде неявно принимаемых предпосылок
теоретико-познавательного, методологического или онтологического характера.
Наиболее существен статус двух принципов, лежащих в основе систем
классической логики, - принципа двузначности (бивалентности) и принципа
экстенсиональности (взаимозаменимости).
Принцип двузначности (в сильной формулировке) применительно к
высказываниям естественного языка гласит:
(1) Всякое высказывание имеет в точности одно из двух значений -
значение «истина» или значение «ложь».
Применительно к правильно построенным формулам это утверждение
может быть адаптировано следующим образом:
(1') Всякая формула при определенной интерпретации нелогических
символов, входящих в ее состав, принимает ровно одно из двух
значений - либо значение «истина», либо значение «ложь».
«Сильная» формулировка принципа двузначности, по существу, включает
три различных, но дополняющих друг друга положения. Первое из них -
принцип двузначности в «слабой формулировке» - очерчивает множество
допустимых значений высказываний и говорит об отсутствии у последних каких-либо
иных, кроме указанных, значений:
(1.1) Возможными значениями высказываний (формул) являются
лишь абстрактные объекты «истина» и «ложь».
274

Второе положение - принцип всюду-определенности истинностной оценки -
налагает запрет на ситуации, при которых высказывание вообще не имеет
значения (т. е. оно ни истинно, ни ложно) и отвергает тем самым возможность так
называемых «провалов значений» высказываний:
(1.2) Высказывание (формула при некоторой интерпретации ее
нелогических символов) принимает, по крайней мере, одно значение
из множества {«истина», «ложь»}.
Наконец, третье положение - принцип запрета пресыщенных истинностных
оценок - указывает на принципиальную недопустимость ситуации, при которой
высказывание имеет сразу несколько значений (т. е. оно одновременно и
истинно, и ложно):
(1.3) Высказывание (формула при некоторой интерпретации ее
нелогических символов) принимает не более одного значения из
множества {«истина», «ложь»}.
При этом предполагается, что истинностная оценка высказыванию дается
относительно конкретного положения дел: определенного места, времени, в
определенном аспекте и т. п., что в рамках логической теории для
произвольной формулы ее языка как раз и задается посредством выбора конкретной
интерпретации нелогических символов. Так, повествовательное предложение
«Петр взрослый» может иметь разные значения применительно к различным
людям, носящим имя «Петр», да и относительно одного и того же Петра в
разные периоды его жизни это сделать тоже бывает затруднительно. К тому же, в
силу нечеткости понятия «взрослый человек» в так называемый переходный
период (когда Петр, как говорят, «уже не ребенок, но еще и не взрослый»)
сложно бывает дать вообще какую-либо истинностную оценку данному
предложению. Но все эти соображения ни в коей мере не ставят под сомнение
правомерность принципа двузначности. Он вступит в силу, когда мы зафиксируем
денотат имени «Петр», примем соглашение о точных критериях того, что
означает «быть взрослым», а также установим, к какому именно отрезку жизни
Петра относится данное утверждение.
Другим важнейшим принципом, лежащим в основе систем классической
логики, является принцип экстенсиональности:
(2) Значение сложного выражения зависит только от значений
составляющих его выражений.
Данный принцип подчеркивает, что для установления значения выражения
языка необходимо и достаточно знать именно значения его составных частей,
т. е. те сущности, которые репрезентируются знаками; смыслы же знаков или
иные синтаксические, семантические и прагматические их характеристики
могут в данном случае вовсе не приниматься во внимание. Зачастую указанный
принцип формулируют в виде правила взаимозаменимости равнозначных
выражений (см. по этому поводу главу II).
275

При построении систем классической логики принцип
экстенсиональности, в отличие от принципа двузначности, не всегда постулируется явным
образом. Тем не менее его действие проявляется в наличии в указанных
системах логических законов замены равного равным и замены эквивалентного
эквивалентным.
Логический закон замены равного равным имеет место в кванторных
классических системах с равенством и является конкретизацией правила
взаимозаменимости применительно к термам:
t1 = t2=)(A(t1)sA(t2)),
где ti и t2 - замкнутые термы (аналоги имен естественного языка), a A(t2) -
формула, получающаяся в результате замены некоторого числа вхождений терма ti
в формулу A(ti) на терм t2.
Закон замены эквивалентного эквивалентным, справедливый во всех
классических логических теориях, конкретизирует правило взаимозаменимости
применительно к формулам:
(А = В)з(СА = Св),
где А и В - замкнутые формулы (аналоги предложений естественного языка),
СА - формула с выделенным вхождением А в качестве подформулы, а Св -
результат замены в СА выделенного вхождения подформулы А на В.
Еще одной отличительной чертой классической логики является
использование при интерпретации формул так называемой классической («корреспон-
дентной») трактовки истины, которая восходит к трудам Аристотеля и может
быть выражена следующим образом:
(3) Высказывание истинно, если и только если то, что в нем
утверждается, имеет место в действительности.
Согласно приведенному определению, истина понимается как отношение
соответствия наших утверждений, выраженных в языке, описываемой
действительности. Причем это отношение носит объективный характер, не зависит от
воли и познавательных способностей человека. Иначе говоря, любое
высказывание, в соответствии с классической трактовкой, само по себе либо соответствует
действительности (т. е. истинно), либо не соответствует ей (т. е. ложно),
независимо от того, имеются ли у нас какие-то знания на этот счет, владеем ли мы
методами решения данной проблемы и существует ли, вообще, принципиальная
возможность такого решения.
Про истину, трактуемую подобным образом, говорят, что это - «истина в
себе». Например, высказывание «Древние карфагеняне знали теорему
Пифагора» является само по себе истинным или ложным, несмотря на отсутствие у нас
сведений, подтверждающих либо опровергающих данный тезис.
Другая важнейшая особенность большинства систем классической логики
(а именно, кванторных логик, логик предикатов) состоит в том, что они
представляют собой экзистенциальные логические теории - теории, в которых
принимаются предпосылки о существовании объектов вне языка.
276

К числу предпосылок экзистенциального характера относится, во-первых,
требование непустоты предметной области, предъявляемое при построении
семантики классической логики предикатов:
(4.1) Область интерпретации (универсум рассмотрения) содержит, по
крайней мере, один объект.
Следствием принятия данного принципа является факт наличия в
классических системах законов, утверждающих существование объектов в универсуме,
например закона 3jkP(jc) v 3jc-iP(x).
Во-вторых, классическая логика экзистенциальна в том смысле, что
именные конструкции ее языка (т. е. термы) не могут быть пустыми (мнимыми)
знаками относительно выбранного универсума, не могут репрезентировать
объекты, отсутствующие в предметной области теории.
(4.2) Значениями термов являются элементы области интерпретации.
Иными словами, в качестве денотатов термов в семантике классической
логики выступают те объекты, которые существуют в исходном универсуме.
Более того, утверждения о непустоте термов, о существовании их денотатов
являются законами в классических системах с равенством: Эх(х = t), где t -
произвольный терм.
1.2. Неуниверсальность принципов классической логики
Принципы, на которых базируется классическая логика, предполагают
принятие достаточно сильных абстракций, устанавливают исследователю весьма
жесткие рамки в процессе осуществления логических операций. Поэтому
использование средств и методов классической логики при анализе языковых
контекстов и процедур рассуждения часто огрубляет предмет исследования,
представляет эти контексты и процедуры в упрощенном и схематизированном виде,
не позволяет в полной мере выразить их логические содержания и особенности
структуры.
Кроме того, лежащие в основании классических систем предпосылки не
носят исключительно логического характера, но влияют на принятие в логических
теориях тех или иных законов. Естественным образом возникает вопрос о
статусе последних: являются ли они подлинно логическими законами, и должен ли
включать их в свой дедуктивный арсенал исследователь, занимающий иные
гносеологические и онтологические позиции?
Подчеркнем, что в огромном множестве - если не в большинстве - случаев
аппарат классической логики достаточно гибок и богат для успешного
решения основных логических задач - адекватного воспроизведения логической
формы контекстов языка и проверки рассуждений на предмет их корректности
или некорректности. Однако нельзя на этом основании считать системы
классической логики единственно верными, а принципы, которые составляют их
фундамент - «истинами в последней инстанции», носящими универсальный
277

характер. Зачастую в процессе познания возникают ситуации, когда
применение методов классической логики приводит к затруднениям или
нежелательным результатам, и сам предмет исследования диктует необходимость
пересмотра ее основоположений.
Неуниверсальность принципа двузначности была замечена еще
Аристотелем, который указал на невозможность оценки как истинных или ложных (в
момент их произнесения) высказываний о будущих случайных событиях. В
истории философии можно найти и другие мотивации к расширению множества
возможных значений высказываний. Хорошо известны, например, попытки ти-
пологизации истинности и ложности: необходимая и случайная истинность и
ложность, «истины факта» и «истины разума», аналитическая и синтетическая
истинность и т. п. При желании их можно рассматривать как самостоятельные
истинностные оценки. Да и в обычной познавательной практике мы зачастую
наряду с характеристиками «истинно» и «ложно» употребляем и такие оценки
высказываний, как «скорее истинно, чем ложно», «скорее ложно, чем истинно».
Имеются серьезные основания и для критики других положений,
составляющих принцип двузначности, например тезиса о всюду определенности
истинностной оценки. К числу высказываний, не имеющих вообще никакого
истинностного значения, естественно отнести такие, в которых объектам предици-
руется признак, не только им не присущий, но и в принципе не приложимыи к
объектам данного типа. Примером подобного высказывания будет «Число 7
старше, чем число 5»: отношение «старше» может осмысленно предицироваться
объектам, имеющим возраст, а числа возраста не имеют. Если бы мы его
посчитали ложным, то из его ложности в классической логике вытекала бы
истинность его отрицания «Неверно, что число 7 старше, чем число 5», но в силу
равнозначности выражений «не старше» и «моложе или одного возраста» отсюда
следовала бы истинность высказывания «Число 7 моложе, чем число 5, или
одного возраста с ним», что противоречит интуиции. Знаменитый гегелевский
пример «Дух зеленый» можно отнести к высказываниям этого же типа.
Возможность «провалов значений» возникает и в том случае, когда наши
высказывания соотносятся с некоторой базой данных: последняя может не
содержать информации ни о наличии, ни об отсутствии ситуации, о которой идет
речь в высказывании. Кроме того, по разным причинам база данных может
содержать противоречивые сведения - информацию о наличии ситуации наряду
с информацией об ее отсутствии. В подобных случаях имеются основания для
того, чтобы оценить соответствующее высказывание и как истинное, и как
ложное, нарушив тем самым налагаемый классической логикой запрет
«пресыщенных оценок».
В пользу тезиса о допустимости одновременного приписывания
нескольких истинностных значений высказыванию часто приводят аргументы
философского характера. К их числу относятся, например, диалектический принцип
противоречивости мира, а также субъективистское истолкование
действительности как сферы человеческих знаний, мнений и верований, которая также
может быть противоречивой. Подобные аргументы не всегда убедительны и
278

логически выверены, но и нельзя полностью отрицать рационального зерна,
заложенного в них.
Действительно, в процессе познания мы часто встречаемся с ситуациями,
получившими название апорий, антиномий, парадоксов. Языковые
формулировки некоторых из них представляют собой высказывания, которые с равным
успехом можно считать и истинными, и ложными (например, высказывание
«Я лгу» - одну из формулировок знаменитого парадокса Лжеца). Подобные
положения не могут иметь места в теориях, базирующихся на классической
логике, поскольку, в противном случае, класс их законов совпал бы с множеством
всех предложений языка (в силу известного принципа «из противоречия следует
все, что угодно»). Признание допустимости «пресыщенных оценок» - один из
возможных путей к созданию дедуктивного аппарата, позволяющего корректно
оперировать парадоксальными высказываниями, дающего возможность строить
теории, где противоречие содержится, но «локализовано», т. е. оно не тривиали-
зирует класс законов.
Принцип экстенсиональности также задает весьма жесткие рамки. Как уже
было сказано в главе II, существуют контексты естественного языка, в которых
этот принцип нарушается - так называемые интенсиональные контексты.
Последние имеют существенную научную значимость.
Так, одной из задач науки является отличение необходимого от случайного,
возможного от невозможного, но значения контекстов, содержащих термины
«необходимо», «случайно», «возможно», «невозможно» и др. (эти термины
называют модальностями, а соответствующие контексты - модальными), зависят
не только от значений входящих в них выражений.
Не удается адекватная экспликация в рамках классической логики и союза
«если..., то» естественного языка. Наиболее близкой ему по смыслу
истинностно-функциональной связкой является материальная импликация AdB. Но при
трактовке союза «если..., то» как материальной импликации, в силу
семантического определения последней, мы получаем противоречащий содержательной
интуиции вывод об истинности высказываний следующего типа:
Если 2 + 2 = 4, то Земля шарообразна.
Если 2 + 2 = 5, то Земля шарообразна.
Если 2 + 2 = 5, то Земля имеет форму куба.
Высказывание вида «Если А, то В» (символически: А —» В) несет, как
правило, дополнительную информацию о том, что первая ситуация обусловливает
вторую. Эта условная связь носит смысловой характер. Поэтому для
установления истинности выражений А —>■ В недостаточно знать значения А и В,
последние должны быть релевантны друг другу, т. е. связаны по содержанию.
К числу интенсиональных относятся многие косвенные контексты
естественного языка. Они широко используются в науках, исследующих особенности
личности человека, его взгляды и мнения, представления о мире, специфику
мышления (т. е. в психологии, этнографии, истории и других науках). Однако
адекватный логический анализ такого рода контекстов невозможно осущест-
279

вить средствами классической логики, поскольку и в этом случае значения
простых выражений не детерминируют значения более сложных. Например,
контекст типа «субъект s считает, что А» при истинном А может оказаться как
истинным, так и ложным:
«Птолемей считал, что Земля вращается вокруг Солнца» - ложное предложение,
«Птолемей считал, что 2 + 2 = 4»- истинное предложение,
и при ложном А контексты данного типа также могут принять разные значения:
«Птолемей считал, что Солнце вращается вокруг Земли» - истинное предложение;
«Птолемей считал, что 2 + 2 = 5»- ложное предложение.
Подразумеваемая в классической логике концепция «истины в себе»
является очень мощной абстракцией. К тому же, классическая трактовка истины
далеко не единственная. Ее пересмотр может состоять, например, в том, чтобы
перестать рассматривать истину как нечто независимое от познавательных
способностей человека, т. е. субъекта познания. Истинностным оценкам может быть
придан, например, процедурный характер, т. е. с истинностью и ложностью
можно связать некий субъективный процесс конструктивного порождения
данных характеристик. С этой точки зрения, некоторое высказывание А считается
истинным, когда имеются эффективные средства доказательства (обоснования)
А, и ложным, когда имеются эффективные средства опровержения А. Подобная
конструктивизация понятия истинного и ложного высказываний приводит к
изменению классов логических законов и способов правильных рассуждений, т. е.
к отказу от классической логики.
К аналогичным последствиям приводит и устранение лежащих в основе
кванторных систем классической логики экзистенциальных предпосылок.
Отказ от допущения непустоты универсума рассмотрения может быть
мотивирован желанием сделать более универсальной сферу применения дедуктивных
процедур, распространить ее на предметные области с произвольным числом
элементов, свести до минимума влияние онтологических факторов на логику.
Отказ от требования непустоты единичных терминов позволяет осуществлять
анализ рассуждений, в состав которых входят высказывания о
несуществующих объектах. Такого рода высказывания нередки в практике научного
познания, ведь даже для того, чтобы утверждать, что некий объект (например,
флогистон, теплород, элемент пустого множества) не существует, необходимо
употребить его имя, «пустой» термин, что непозволительно делать с точки
зрения классической логики.
1.3. Общая характеристика неклассических логик
Следствиями пересмотра классических принципов, как уже было сказано,
могут стать ревизия допустимых способов рассуждения и модификация класса
логических законов. Логика как наука должна предоставить адекватный аппарат
дедукции исследователю, который при решении определенной познавательной
задачи сталкивается с необходимостью выйти за рамки канонов классической
280

логики. Роль такого дедуктивного аппарата как раз и выполняют разнообразные
системы неклассической логики.
В области современной неклассической логики имеется множество
разделов, одно перечисление которых занимает несколько страниц; причем каждый
раздел включает внушительное (иногда бесконечное) число логических систем.
Выделим наиболее важные с философской точки зрения разновидности систем
неклассической логики.
Укажем на типы логических систем, которые получаются в результате
отказа от положений, составляющих классический принцип двузначности.
Логические теории, при построении которых помимо оценок «истина» и
«ложь» вводятся иные возможные значения формул, образуют класс
многозначных логик. Многозначная логика представляет более изощренный аппарат
для интерпретации логических констант, нежели классическая. Достаточно
сказать, что в двузначной логике существует лишь 4 различные унарные
пропозициональные связки и 16 различных бинарных связок (т. е. число унарных
и бинарных функций истинности на двухэлементном множестве {и, л} равно,
соответственно, 4 и 16), в то время как уже в трехзначной логике можно задать
27 различных унарных и 19683 различных бинарных пропозициональных
связок. Конечно, для многих из них трудно найти аналоги в естественном языке.
Но, с другой стороны, исследователь получает возможность в зависимости от
содержательного истолкования истинностных оценок выбирать различные
семантические определения логических констант, получая при этом
альтернативные системы многозначной логики.
Логические системы, в семантике которых допускается, что формула при
некоторой интерпретации может не принять никакого истинностного значения,
называются логиками с «провалами» значений (или логиками с «частичными»
оценками). Логические теории, в которых может иметь место ситуация, когда
при одной и той же интерпретации формула принимает несколько истинностных
значений, называются логиками с «пресыщенными» оценками.
Примерами подобного рода теорий являются так называемые
неклассические системы релевантного первоуровневого логического следования. В них
выделяются законы вида А —> В, где А и В - формулы языка классической
логики, а «—>» представляет собой аналог метаязыкового отношения
следования. Отказ от запрета «провалов» значений приводит нас к так называемой
логике Хао Вана, отказ от запрета «пресыщенных» оценок дает логику,
которая является двойственной логике Хао Вана, отказ же от обоих запретов дает
логику де Моргана (одну из систем релевантной логики, которая решает
проблему адекватной экспликации понятия условной связи). Указанные системы
интересны тем, что они лишены некоторых парадоксальных свойств
классического логического следования: так, например, в логике Хао Вана неверен
классический принцип: «логический закон является следствием любого
утверждения» - (А —» (В v -iB)), в двойственной ей логике неправомерен
другой принцип: «из противоречия логически следует любое утверждение» -
((А & -пА) —» В), в логике же де Моргана отбрасываются оба эти принципа.
281

Следует также отметить, что допущение возможности «пресыщенных»
оценок (когда формула может одновременно оказаться и истинной, и ложной) - это
один из способов построения так называемых паранепротиворечивых логик.
Использование последних в качестве аппарата дедукции позволяет
формулировать нетривиальные теории (теории, в которых не все предложения
соответствующего языка доказуемы) даже при наличии в них противоречия (некоторого
предложения А и его отрицания -А). В философском плане, паранепротиворе-
чивые логики решают задачу создания корректной системы рассуждений,
относящейся к противоречивой онтологии.
Широкий класс неклассических логик составляют системы,
предназначенные для адекватного анализа различного рода неэкстенсиональных контекстов,
значения которых зависят не только от значений входящих в них выражений.
Это так называемые интенсиональные логики. В их рамках исследуются
логические связки, не являющиеся знаками функций истинности, например
модальности, условная связка и др.
В связи с тем, что контексты, содержащие подобные термины, не
удовлетворяют классическому принципу экстенсиональности, в системах
интенсиональной логики происходит существенный пересмотр правил, позволяющих
осуществлять замену одного выражения другим. Например, для корректной
замены формулы А, находящейся в области действия оператора необходимости
(D), на формулу В недостаточно, чтобы А и В были равнозначными, а требуется
их логическая эквивалентность. Иными словами, формула (А = В) :э (ПА = ПВ)
не является законом, зато правомерен следующий принцип:
I-А = В
I- ПА= ПВ.
К числу наиболее разработанных систем интенсиональной логики
относятся модальные логики - дедуктивные теории, исследующие модальные
контексты языка. В связи с разнообразием типов модальностей различают логики
алетических модальностей (эти модальности - «необходимо», «возможно»,
«случайно» и др. - характеризуют положения дел с точки зрения их
соответствия некоторому множеству законов), деонтические логики (деонтические
модальности - «обязательно», «разрешено», «запрещено» и др. - оценивают
действия, поступки с позиции некоторого кодекса норм), логики оценок или логики
аксиологических модальностей (эти модальности - «хорошо», «плохо»,
«прекрасно», «безобразно» и т. п. - характеризуют ситуации относительно
некоторой системы ценностей), временные или темпоральные логики (модальности
времени - «было», «будет», «всегда было», «всегда будет», «прежде чем»,
«после того, как» и др. - соотносят события с временным рядом), эпистемические
логики (эпистемические модальности - «субъект s знает, что», «субъект s
считает, что» и т. п. - характеризуют ситуации с точки зрения мира знаний,
мнений, верований некоторого субъекта) и др.
Важнейшим направлением в интенсиональной логике является релевантная
логика. Она решает две существенные задачи: во-первых, задачу адекватной
282

экспликации условной связи, выражаемую союзом «если..., то» естественного
языка, во-вторых, задачу формулировки понятия логического следования как
особого типа связи между высказываниями по логическому содержанию,
которое было бы свободным от парадоксальных свойств классического отношения
следования («логический закон следует из чего угодно», «из противоречия
следует все, что угодно» и др.).
Среди логических теорий, использующих отличные от классической
трактовки истины и лжи, особо отметим интуиционистскую логику. Истинность
(и ложность) понимается в ней не просто как соответствие (несоответствие)
высказывания действительности, но и как существование его конструктивного
доказательства (опровержения).
Отказ от экзистенциальных предпосылок, лежащих в основе классической
логики, ведет к созданию нестандартных теорий квантификации, так
называемых неэкзистенциальных логик.
Так, отмена ограничения непустоты предметной области дает
универсальную логику, в которой некоторые законы классической логики предикатов
(например, VxP(x) => ЗхР(лг), ЕЬс(Р(лг) з Р(л:)), Зл:Р(л:) v 3*-.Р(л:)) перестают быть
общезначимыми. Другой тип логик - это свободные логики, которые получаются
при снятии требования обязательной непустоты термов. В подобного рода
теориях объекты, составляющие предметную область, стратифицируются в
зависимости от их онтологического статуса, среди них могут выделяться актуальные,
возможные, виртуальные и объекты других типов, однако в качестве значений
предметных переменных, связываемых квантором существования, могут
выступать лишь актуальные объекты. И в данном случае не все классически
общезначимые формулы сохранят статус закона. Так, формула Р(а) з ЗлсР(л;) окажется
опровержимой, поскольку она ложна в модели, где ни один актуальный объект
не обладает свойством Р, а значением константы а является неактуальный
объект, который этим свойством обладает.
Системы неклассической логики могут строиться двумя способами: как
альтернативы классической логике и как расширения классических теорий.
В первом случае они формулируются в том же языке, что и классическая
логика, но логические символы интерпретируются другим способом или же
видоизменяются некоторые исходные семантические понятия и правила. В
результате система неклассической логики выделяет в стандартном классическом языке
иной класс логических законов и форм корректных рассуждений. Этот способ
построения характерен, например, для ряда многозначных логик,
интуиционистской логики, неэкзистенциальных логик.
Во втором случае язык классической логики обогащается новыми
логическими константами. Все классические законы сохраняются, но к ним
добавляются новые законы, характеризующие логические свойства введенных констант.
Обычно таким образом строят различные системы модальной логики.
В заключение обратим внимание на одно важное обстоятельство. В
последние 20-30 лет в обиходе логиков-профессионалов прочно утвердился термин
«философская логика». Этот термин связывают обычно с логическими система-
283

ми, средствами которых эксплицируются фундаментальные философские
категории и принципы, проясняются важные философские проблемы.
Неклассические логические теории (по крайней мере, значительную их часть) можно с
полным основанием считать «философскими» логиками, поскольку в их рамках
осуществляется анализ (в логическом аспекте) таких базисных понятий
философии, как истина, необходимость, случайность, возможность, действительность,
противоречие, причинность, время, существование и многих других.
§ 2. Многозначная логика
2.1. Принцип многозначности
Первыми хорошо разработанными логическими теориями, которые
осознанно строились в качестве альтернатив классической логике, были системы
многозначной логики. С их рассмотрения уместно начать знакомство с
различными неклассическими логиками.
Под многозначной логикой имеется в виду раздел неклассической
логики, который объединяет логические теории, основанные на
принципе многозначности, т. е. теории, допускающие, что высказывания
могут быть не только истинными и ложными, но и могут иметь
другие истинностные значения.
Таким образом, в многозначных логиках не действует классический принцип
двузначности, согласно которому у высказываний есть лишь два возможных
значения - «истина» и «ложь». Взамен принимается так называемый принцип
многозначности:
Всякое высказывание (формула) имеет более чем два возможных
значения истинности.
В качестве мотива отказа от принципа двузначности выступает то
обстоятельство, что в ряде познавательных ситуаций мы сталкиваемся с
невозможностью оценить некоторое высказывание как истинное или ложное.
Тезис об универсальности принципа двузначности был поставлен под
сомнение уже основателем логики Аристотелем. В знаменитой 9-ой главе
трактата «Об истолковании» он исследует вопрос об истинностном статусе
высказываний о будущем, а именно, о случайном будущем, о тех событиях, которые
могут произойти, а могут и не произойти, т. е. событиях, которые не
детерминированы ни законами, ни фактически сложившимися в настоящем
обстоятельствами. Рассматривая пример подобного высказывания «Завтра будет
морское сражение», Аристотель отмечает, что применение к нему принципа
двузначности ведет к фаталистическим следствиям, т. е. к утверждению о
предопределенности будущего. Действительно, если это высказывание истинно уже
сейчас, то независимо от наших решений и поступков завтрашнее сражение с
неотвратимостью должно произойти (в противном случае, высказывание
«Завтра будет морское сражение» было бы ложным). Если же данное высказывание
284

в настоящий момент времени ложно, то сражение неизбежно не произойдет
(иначе высказывание оказалось бы истинным). Таким образом, будущее в
любом случае оказывается предопределенным: морское сражение либо с
необходимостью происходит, либо с необходимостью не происходит. Это приводит к
тезису об отсутствии объективной случайности и свободы воли. Аристотель не
разделяет данный тезис, а потому ставит под сомнение использовавшийся в
качестве аргумента принцип двузначности.
Ход рассуждений Стагирита можно реконструировать следующим образом
(пусть р — высказывание «Завтра произойдет событие s», причем s — случайное
событие):
1. (р истинно) v (р ложно)
2. s случайно
3. (р истинно) з (s неизбежно произойдет)
4. (р ложно) з (s неизбежно не произойдет)
5. (s неизбежно произойдет) v (s неизбежно не произойдет) - из 1, 3 и 4, сложная
конструктивная дилемма
6. —,(s случайно) - из 5
7. —i((p истинно) v (р ложно)) - из 2 и 6, —.в
i Аристотелевский анализ высказываний о будущих случайных событиях
высвечивает одно важное обстоятельство: фаталистический вывод о
предопределенности будущего, который носит, вообще говоря, онтологический характер,
оказывается следствием логического принципа - принципа двузначности.
Возникает проблема, известная в современной логике и философии как проблема
логического фатализма: фаталистический тезис претендует на статус
логического закона, ведь логическими следствиями логических принципов могут быть
только логические законы. Предлагаемый Аристотелем выход состоит, по
существу, в отказе считать принцип двузначности подлинно логическим в силу
неуниверсальности его сферы действия - неприложимости к высказываниям о
будущих случайных событиях. Отсюда один шаг до принятия принципа
многозначности, т. е. допущения возможности, чтобы подобные высказывания имели
третье значение, отличное от «истины» и «лжи». Этот шаг не был сделан ни
самим Аристотелем, ни его античными и средневековыми последователями.
В европейской логико-философской традиции идея многозначности так и не
была явным образом реализована до XX столетия, хотя связанные с ней мотивы
так или иначе проявлялись, например, в дискуссии о соотношении
божественного провидения и свободы человеческой воли.
Интересно, что в восточных философских школах принцип двузначности не
занимал столь доминирующих позиций. Так, в философии джайнизма считалось, что
наши утверждения могут быть не только истинными и ложными, но и
неопределенными. Причем последователи данного учения шли еще дальше: они допускали, что
к утверждению может быть приложимо сразу несколько из этих трех характеристик
(т. е., говоря современным языком, они отвергали запрет «пресыщенных» оценок), и
каждому такому случаю соответствует самостоятельное истинностное значение.
Таким образом, философы-джайнисты принимали принцип семизначности, полагая,
что высказывание может иметь одно из следующих семи значений: «только
истинно», «только ложно», «только неопределенно», «истинно и ложно», «истинно и
неопределенно», «ложно и неопределенно», «истинно, ложно и неопределенно».
285

2.2. Трехзначная логика Лукасевича и логики Поста
Первые логические системы, которые базировались на принципе
многозначности, были построены в начале 20-х г. XX в. польским логиком и
философом Я. Лукасевичем и польско-американским логиком и математиком
Э. Постом.
Логика Лукасевича.
Лукасевич при создании своей системы многозначной (а именно,
трехзначной) логики отталкивался от аристотелевского анализа проблемы высказываний
о будущих случайных событиях. Им было предложено естественное и
элегантное решение данной проблемы и связанной с ней проблемы логического
фатализма. Поскольку высказывания о случайном будущем нельзя оценить как
истинные или ложные (такая оценка, как было показано выше, как раз и влечет
фаталистические следствия), Лукасевич предложил ввести для них новое, третье
значение - «случайно» или «недетерминировано». Тогда вывод о
предопределенности будущего (в аристотелевском рассуждении) оказывается
неправомерным, поскольку базируется на ложном аргументе - принципе двузначности
(«всякое высказывание истинно или ложно»). Взамен Лукасевич предлагает не
ведущий к принятию фатализма принцип:
Всякое высказывание либо истинно, либо ложно, либо случайно.
Эти три истинностных значения удобно выражать с помощью чисел:
значение «истина» посредством «1», значение «ложь» посредством «0» значение
«случайность» - в виде дроби «Vi».
Введение в логику дополнительного истинностного значения возвращает
нас к проблеме оценки сложных высказываний (формул) при тех или иных
значениях составляющих. Лукасевич полагает, что при ее решении в
многозначной логике необходимо соблюдать максимальную преемственность по
отношению к принятым в классической логике семантическим определениям
пропозициональных связок. Эта преемственность выражается в следующем:
при классических аргументах («1» и «0») формулы должны принимать в
многозначной логике те же самые значения, что и в классической двузначной
логике. Остается решить вопрос, какую истинностную оценку следует дать
сложной формуле, если какая-либо из ее подформул принимает
неклассическое значение «Уг».
В трехзначной логике Лукасевича (системе L3) отрицание задается
посредством истинностной таблицы, а стандартные двухместные
пропозициональные связки задаются посредством так называемых матриц следующим
образом:
А&В
1
v2
0
1
1
%
0
%
v2
%
0
0
0
0
0
А
1
V
г
0
-А
0
%
1
286

А = В
1
v2
0
i
i
V2
0
%
V,
1
V,
0
0
V2
1
А^В
1
%
0
1
1
1
1
%
%
1
1
0
0
v2
1
AvB
1
v,
0
l
l
l
l
v2
l
v2
v2
0
l
v2
0
В левом столбце матрицы для каждой бинарной пропозициональной связки
указаны возможные значения подформулы А, а в верхней строке - возможные
значения подформулы В. Значение всей сложной формулы помещено на
пересечении соответствующих строки и столбца матрицы. Например, если А
принимает значение «О», а В - значение «!/2», то формула А & В примет значение «О»,
формулы AvBhAsB- значение «У2», формула АэВ- значение «1».
Процедура построения таблиц истинности в трехзначной логике аналогична
той, которая используется в классической двузначной логике. Разница состоит
лишь в том, что возможные значения пропозициональных переменных берутся
не из множества {и, л} (или {1,0}), а из множества {1, %, 0}. Поэтому число
наборов значений для п различных пропозициональных переменных (т. е. число
строк в таблице для формулы с п переменными) равно не Т, а 3".
В качестве примера построим таблицы истинности для некоторых законов
классической логики, опираясь на приведенные определения
пропозициональных связок в L3:
р
1
V,
0
pv-np
1 0
% \
1 1
-(р & -ф)
1 0 0
1/г % %
1 0 1
рзр
1
1
1
Р
1
1
1
v2
\
%
0
0
0
q
1
\
0
1
\
0
1
v2
0
(Pvq)
1
1
1
1
v2
V,
1
v2
0
-(-P
1 0
1 0
1 0
i v2
V2 \
i v2
l l
l l
l l
^q)
1
1
1
1
1
v2
1
v2
0
(pvq)>
1 1
1 ]
1 ]
1 ]
V2 ]
V2 i
1 ]
V2 ]
0 ]
-=((p
=)
l
%
0
l
l
v2
l
l
l
q)
=>q)|
l
l
l
l
v2
v2
1
v2
0
Как и в любой другой логической теории, в L3 необходимо ввести понятия
закона (общезначимой формулы) и отношения логического следования.
Формула А общезначима в трехзначной логике Лукасевича тогда и
только тогда, когда А принимает значение «1» при любых наборах
значений из множества {1, У2,0} пропозициональных переменных,
входящих в А.
287

Как явствует из первой построенной выше таблицы, классические законы
исключенного третьего р v —ip и противоречия —.(р & —.р) не общезначимы в
трехзначной логике Лукасевича, в то время как классический закон тождества
р г> р является также и законом L3.
Вторая таблица показывает, что не все классически корректные способы
эквивалентного выражения одних пропозициональных связок через другие
справедливы в L3. В частности, в этой системе неправомерно выражать
дизъюнктивную формулу вида A v В через отрицание и импликацию посредством —А => В,
как это делается обычно в классической логике. Вместе с тем дизъюнкция может
быть определена в логике L3 через импликацию посредством следующей
равносильности (A v В) = ((А =з В) з В).
Отношение между множествами законов классической логики
высказываний и трехзначной пропозициональной логики Лукасевича, заданной в языке со
стандартными связками -i, &, v, z>, =, таково: всякая общезначимая в L3
формула является классическим законом, но не всякий классический закон
общезначим в L3. i
Из множества формул Г в трехзначной логике Лукасевича логически
следует формула В тогда и только тогда, когда В принимает
значение «1» на всех наборах значений (из множества {1,1/2, 0})
пропозициональных переменных, входящих в Г или в В, на которых каждая
формула из Г принимает значение «1». А
В качестве примера проверим наличие логического следования в трех-]
значной логике Лукасевича, а именно, следует ли формула —,р из формул р з q *
и р г) —.q.
р
1
1
1
%
%
\
0
0
0
q
1
%
0
1
%
0
1
%
0
Р=>ч
1
%
0
1
1
%
1
1
1
p=3^q
0
v2
1
%
^p
0
0
0
%
%
v2
l
l
l
Таким образом, алгоритм проверки наличия или отсутствия отношения
логического следования между формулами Аь А2,..., А„ и формулой В в L3 сходен
с тем, который используется в классической логике: строится совместная
таблица для всех формул, выделяются строки, в которых Аь А2,..., А„ одновременно
истинны, и устанавливается значение В в каждой из выделенных строк; если во
всех таких строках В примет значение «1», то Аь А2,..., А„ 1= В, в противном
случае, логическое следование отсутствует. В приведенном примере логическое
288

следование не имеет места, так как в пятой строке таблицы формулы р з q и
р з -.q принимают значение «1», а формула -.р нет.
Импликация и отношение следования в трехзначной логике Лукасевича
лишены очень важного свойства, имеющего место для материальной импликации
и логического следования классической логики: формула вида A з В является
классическим законом в том и только в том случае, когда А 1= В. В системе L3
можно указать такие А и В, что А 1= В, но формула А з В не общезначима.
Легко установить, например, что из р & -пр в L3 следует q, в то время как формула
i р & -ip) з q в данной системе необщезначима.
Но в трехзначной логике Лукасевича можно выразить бинарный оператор
импликации (обозначим его посредством з*), для которого указанная
взаимосвязь с отношением следования будет иметь место, т. е. для новой импликатив-
ной связки з* будет справедлива теорема: Г, А 1= В тогда и только тогда,
когда Г 1= А з* В для произвольного (в том числе и пустого) множества формул
Г. Эта связка определима через обычную импликацию L3 следующим образом:
A з* В =Df А з (А з В), а ее матрица выглядит так:
Аз* В
1
V,
0
1
1
1
1
V,
%
1
1
0
0
1
1
Трехзначная логика Лукасевича впервые была аксиоматизирована М. Вайс-
бергом в 1931 г. В качестве исходных пропозициональных связок Вайсберг (как,
кстати, и сам Лукасевич) выбирает —. и з. Аксиомами данного исчисления
являются следующие формулы:
L3l.pz>(q=>p),
L32. (р з q) з ((q з г) з (р з г)),
L33. (^р з -,q) з (q з р),
L34. ((р з -,р) з р) з р.
Правилами вывода являются modus ponens и правило подстановки вместо
пропозициональных переменных.
Связки v, & и = могут быть введены посредством следующих определений:
A v В =Df (А з В) з В,
А & В =Df -,(-А v -,В),
А = В =Df (А з В) & (В з А).
Понятия доказательства и вывода определяются так же, как и в
классическом аксиоматическом исчислении высказываний с конечным числом аксиом.
Говоря о метатеоретических различиях классической логики и трехзначной
логики Лукасевича, следует иметь в виду одно важное обстоятельство. Как
известно, система связок {—., з} в двузначной логике является функционально
полной, т. е. любую функцию истинности, заданную на множестве {и, л} (или
10 Введение в логику
289

{1, 0}), можно выразить посредством формулы, не содержащей никаких других
связок, кроме этих двух. Однако связок —.из логики L3 недостаточно, чтобы
выразить любую функцию, заданную на множестве из трех истинностных
оценок-{1, У2, 0}.
Ученик Лукасевича Е. Слупецкий показал, что для получения системы
связок, функционально полной относительно «трехзначных» функций истинности,
достаточно к отрицанию и импликации системы L3 добавить унарный оператор
Т (оператор Слупецкого), задаваемый следующей таблицей:
А
1
V,
0
ТА
V,
%
%
Таким образом, любая «-местная функция вида {1, V2, 0}" -> {1, V2, 0} может
быть выражена формулой, не содержащей иных связок, кроме -i и =э
трехзначной логики Лукасевича и оператора Слупецкого Т.
Аксиоматику для трехзначной логики Лукасевича, которая расширена за
счет добавления нового оператора Слупецкого, легко можно получить
присоединив к исчислению Вайсберга две дополнительные аксиомы:
L35. Тр z> -.Тр,
L36. -iTp zd Тр.
Логика Поста. i
Примерно в одно время с Я. Лукасевичем свою оригинальную систему <
многозначной логики предложил Э. Пост. Но если Лукасевич пришел к идее
многозначности по соображениям философского характера, в результате
анализа логическими средствами серьезных философских проблем фатализма,
детерминизма, свободы воли, то Пост относился к проблеме пересмотра
классического принципа двузначности как математик. Введение дополнительных
значений в логику рассматривалось им как чисто абстрактная возможность,
которая, коль скоро она имеется, должна быть детально исследована и сама по
себе, и в сопоставлении с двузначной классической логикой. Строя
многозначную логику, Пост трактовал логические теории как чисто формальные
системы, соотносимые с абстрактными структурами определенного типа, которые
вовсе не обязаны были воспроизводить процедуры дедукции, имеющиеся в
практике наших рассуждений, т. е. в практике научного познания. Такое
понимание логических систем очень распространено в современной логике,
особенно в той ее части, которая называется математической логикой. Пост был
одним из первых ученых, инициировавших построение широкого класса
логических систем и делавший при этом акцент на исследовании их формальных,
метатеоретических свойств и межтеоретических отношений.
Пост, по существу, сформулировал целый спектр многозначных логик,
задаваемых в соответствии с единым стандартом. Эти логики имеют произвольное
290

конечное число к возможных значений переменных, причем некоторое их число
т из множества всех значений (где т<к) могут рассматриваться как различные
типы истины (такие значения принято называть выделенными).
Рассмотрим одну из многозначных логик Поста - систему Р3, в которой
имеется три возможных значения формул - 1, V2 и 0, и лишь одно из них - а
именно, 1 - является выделенным (интерпретируется как «истина»). Исходными
пропозициональными связками у Поста являются отрицание и дизъюнкция. Но
если семантическое определение дизъюнкции в Р3 такое же, как и в трехзначной
логике Лукасевича, то отрицание задается иным образом, нежели в L3:
AvB
1
v2
0
i
i
l
i
v2
l
v2
%
0
l
v2
0
A
1
\
0
^A
%
0
1
Отрицание в системах Поста называют циклическим, оно, в отличие от
отрицания Лукасевича, которое называется диагональным, не удовлетворяет
принципу преемственности многозначной логики по отношению к двузначной: на
классическом аргументе «1» циклическое отрицание принимает не то же самое
значение, что в классической логике, а именно, не значение «О», а «'/2»-
Это обстоятельство приводит к интересному следствию, отличающему Р3 от
L3: некоторые законы логики Поста (содержащие связки -i и v)
необщезначимы в классической логике, например такова формула —i—i—i(p v —>p v —i—>p).
Наиболее важным свойством трехзначной логики Поста является тот факт,
что ее исходные операторы - постовские отрицание и дизъюнкция - составляют
функционально полную систему связок, т. е. с их помощью можно представить
любую функцию истинности, заданную на множестве {1, /2, 0}. Свойство
функциональной полноты исходной системы связок характерно, вообще, для любой
и-значной логики Поста.
2.3. Общая схема построения многозначных логик
Семантическое построение любой системы многозначной
пропозициональной логики осуществляется на основе некоторого общего стандарта.
С этой целью сначала задается множество М возможных значений формул.
Например, в трехзначной логике Лукасевича М = {1, V2, 0}. В многозначных
логиках М должно включать в себя, как минимум, три элемента. Если М содержит
конечное число к истинностных оценок, то соответствующая многозначная
логика называется конечнозначной, а именно, k-значной. Если же множество
возможных истинностных значений формул в системе многозначной логики
бесконечно, то это - бесконечнозначная логика.
Во множестве М выделяется правильное (т. е. непустое и не
совпадающее с М) подмножество М*: М* а М. Элементы М* называют выделенными
значениями. С содержательной точки зрения, они представляют собой раз-
291

личные виды истины. В системе L3 имеется лишь одно выделенное значение -
«1», т. е. М* = {1}.
Далее осуществляется интерпретация нелогических и логических
символов формализованного языка. Напомним, что язык пропозициональной логики
(логики высказываний) содержит только один тип нелогических символов -
пропозициональные переменные, и один тип логических символов -
пропозициональные связки.
Интерпретация пропозициональных переменных - это процедура
приписывания им в качестве значений произвольных элементов исходного множества М.
Пропозициональные связки интерпретируются как знаки функций истинности,
заданных на множестве М. Точнее, каждой исходной и-арной связке языка
многозначной логики сопоставляется и-местная функция, аргументами и
значениями которой являются истинностные оценки из М (т. е. функция вида М" —> М).
Сами функции истинности, выступающие в качестве значений
пропозициональных связок, могут задаваться различными способами. Если число к
истинностных оценок из М конечно и относительно невелико, то наиболее наглядный
характер имеет табличный или матричный способ определения этих функций,
т. е. задания соответствующей логики. Определение матрицы таково:
Матрицей логики называется кортеж М = <М, М*, fb f2,..., fk>, где М -
множество всех истинностных значений, М* - множество
выделенных истинностных значений, a fb f2,..., fk - различные
пропозициональные функции, вводимые с помощью соответствующих таблиц
истинности.
Построение многозначной логики, связанной с матрицей М, завершается
определениями общезначимой формулы {закона данной системы) и отношения
логического следования:
Формула А общезначима, если и только если при любой
интерпретации пропозициональных переменных (т. е. при любом
приписывании им значений из М) формула А принимает выделенное значение
(значение из М*).
Из множества формул Г логически следует формула В (Г 1= В), если и
только если при любых интерпретациях пропозициональных
переменных, при которых каждая формула из Г принимает выделенное
значение, формула В также примет выделенное значение.
Так, с помощью семантических матриц мы интерпретировали
пропозициональные связки, осуществляя построение трехзначной логики Лукасевича.
Однако, если число возможных значений формул достаточно велико, то указанные
функции удобнее задавать аналитически (при бесконечном числе значений это
просто необходимо). Именно с этой целью в качестве истинностных оценок в
многозначной логике, как правило, используются числа: в таком случае
пропозициональные связки интерпретируются как знаки (аналитически задаваемых)
операций над числами. Например, связке —i в L3 соответствует операция вычита-
292

ния аргумента из единицы (т. е. числовая функция 1 - х), а связке & - операция
взятия наименьшего (минимального) из аргументов (т. е. числовая функция
твт(х,у)).
2.4. Примеры многозначных логик
Рассмотрим несколько интересных примеров многозначных логик. Прежде всего
остановимся на системах, которые представляют собой обобщение трехзначной логики
Лукасевича L3. Это обобщение достигается за счет принятия в качестве возможных
значений формул не трех, а либо произвольного конечного числа k (где k > 2), либо
бесконечного множества истинностных оценок. В первом случае мы будем иметь конечно-
значные {к-значныё) логики Лукасевича Lk, а во втором - бесконечнозначные логики
Лукасевича L„o.
В конечнозначных логиках Лукасевича неклассические оценки (т. е. оценки,
отличные от 1 и 0) удобно обозначать посредством дробных чисел а таких, что 0 < а < 1.
Точнее, множество возможных значений формул М в £-значной логике Lk задается
следующим образом:
I M={0,Vk_1,2/k_1,...,k-2/k-bl}.
Например, в четырехзначной логике Лукасевича (т. е. в L4) М = {0, V3,2/3,1}, в
пятизначной логике (L5) М = {0, V4,2/4, \, 1} и т. д.
Что касается бесконечнозначных логик Лукасевича, то тут имеются две
возможности. Первая состоит в том, чтобы значениями формул считать все рациональные числа
(числа, которые можно представить в виде дроби n/m) в замкнутом интервале [0, 1].
Поскольку множество рациональных чисел счетно, то соответствующая многозначная
логика называется счетнозначной. Другой вариант состоит в том, чтобы положить М
равным множеству всех действительных (как рациональных, так и иррациональных) чисел
в интервале [0, 1]. Данное множество не является счетным и, как говорят, имеет
мощность континуума. В этом случае мы будем иметь дело с континуалънозначной логикой.
Во всех многозначных логиках Лукасевича - и в Lk, hbL„- имеется лишь одно
выделенное значение - значение 1, т. е.
М*={1}.
Какая же содержательная интерпретация может быть дана «промежуточным» -
отличным от «истины» (1) и «лжи» (0) - оценкам формул в многозначных логиках
Лукасевича? Напомним, что в L3 значение «/2» связывалось с высказываниями о будущем и
трактовалось как «случайно» или «недетерминировано». Однако, пытаясь оценить
высказывание о будущем событии, мы часто не только констатируем, что это событие
может произойти, а может и не произойти, не только фиксируем факт его
недетерминированности, но и стараемся выяснить, какова степень этой недетерминированности. В
результате мы характеризуем будущее случайное событие как такое, которое «скорее
произойдет, чем не произойдет» или «может произойти, но это маловероятно» или
иным, но сходным образом.
Множество истинностных значений в многозначных логиках Лукасевича может
быть истолковано как некая шкала, с помощью которой будущие события оцениваются с
точки зрения степени их детерминированности-недетерминированности. Тогда значение
«1» будут иметь высказывания о событиях, наступление которых детерминировано,
значение «0» - высказывания о событиях, которые наверняка не произойдут, «промежуточ-
293

ные» значения - высказывания о случайных событиях, причем, чем выше степень
недетерминированности события, тем ближе значение соответствующего высказывания к
«О», а чем больше в настоящем имеется оснований утверждать, что событие наступит,
тем ближе к «1» будет значение высказывания. Итак, для конечнозначных и бесконечно-
значных логик Лукасевича мы указали множество возможных значений М и множество
выделенных значений М*. Продолжим построение логических теорий.
Определим интерпретирующую функцию ср, которая каждой пропозициональной
переменной р* сопоставляет какое-либо значение из множества М: ф(рО е М.
Далее задаются правила приписывания значения произвольной формуле языка при
некоторой интерпретации ф пропозициональных переменных (выражение метаязыка
«|А|ф» будет читаться так: «значение формулы А при интерпретации ф»):
|Pil<P = Ф(Р0>
|-А|ф = 1 - |А|ф,
|А & В|ф = min(|A|„ |В|Ф),
|А v В|ф = тах(|А|ф, |В|„),
|А=>В!Ф = тт(1,1-!А|ф+|В|ф),
|А^В|ф = 1-тос1(!А|ф-|В|ф).
Сформулированные семантические правила определяют значения
пропозициональных связок в многозначных логиках Лукасевича: каждой связке сопоставляется
особая арифметическая операция, заданная на множестве М. Установление значений
сложных формул сводится к вычислению значения соответствующей функции при
тех или иных числовых аргументах.
Так, чтобы установить значение негативной формулы —.А, необходимо из
единицы вычесть значение формулы А. Для установления значения конъюнктивной
формулы А & В нужно выбрать наименьшее из значений подформул А и В, а чтобы
установить значение дизъюнктивной формулы A v В - наибольшее из этих значений.
Вычисление значения импликативной формулы АзВ происходит следующим
образом: вычитаем из единицы значение А и прибавляем затем значение В, сравниваем
полученное число с единицей и выбираем наименьшее из них. Для определения
значения формулы вида А = В необходимо: вычесть значение В из значения А, взять
абсолютную величину (модуль) этой разности и, наконец, вычесть эту величину из
единицы.
В качестве примера установим в четырехзначной логике L4 значения формул -.р,
p&q, pvq, р з q, р = q в случае, когда ф(р) = V3, а ф(я) = %:
Ьр|ф = 1-1/з = г/3,
|p&q|(p = min(142/3) = 1/3,
|pvq|<p = max(142/3) = 2/3,
|р з q|„ = min(l, 1 - V3 + 2/j) = min(l, %) = 1,
|p ^ q|, = 1 - modCVj - %) = 1 - mod(- V3) = 1 - V3 = 2/3.
Формула А называется общезначимой в соответствующей многозначной логике
Лукасевича, если и только если |А|Ф = 1 при любом приписывании ф значений из М
пропозициональным переменным.
Среди общезначимых формул любой конечнозначной и бесконечнозначной логики
Лукасевича отсутствуют многие известные классические законы, например законы
исключенного третьего (р v -.р) и противоречия -.(р & ->р), а также так называемый закон
сокращения антецедентов - (р э (р d q)) z> (р з q).
294

Закон сокращения, а также его частные случаи, получающиеся в результате
подстановки вместо переменной q импликативных формул определенного типа, выполняют
роль своеобразных «индикаторов» для различных многозначных логик Лукасевича.
Хотя справедливый в двузначной логике закон сокращения (с двух одинаковых
антецедентов до одного) не имеет места в трехзначной логике, в L3 общезначима
формула, позволяющая «сокращать» число одинаковых антецедентов с трех до двух -
(р 3 (р з (р з q))) э(рэ(рэ q)). Но последняя формула не является законом L4. Зато
в четырехзначной логике справедлив закон сокращения антецедентов с четырех до
трех - (р d (р з (р э (р э q)))) d (р з (р э (р d q))), который, в свою очередь,
необщезначим в L5.
Вообще, любой закон сокращения с т одинаковых антецедентов до т - 1 имеет
место в каждой £-значной логике Лукасевича, где к < т, но необщезначим ни в одной Lk,
где к> т.В бесконечнозначной логике Лукасевича Ь„ несправедлив никакой из законов
указанного типа.
Сказанное выше может создать неверное представление, что каждая к + 1-значная
логика Лукасевича содержит более узкий класс законов, чем £>значная. На самом деле,
вопрос о соотношении множеств законов конечнозначных логик Лукасевича имеет
более сложное решение (оно впервые было найдено польским логиком А. Линденбаумом):
Lkявляется подсистемой Lm, если и только если к—\ делится нацело на т—\.
Например, L5 - подсистема L3, так как 5 - 1 кратно 3 - 1, но L4 не является
подсистемой L3, ведь 4 - 1 не делится нацело на 3 - 1.
Что касается бесконечнозначных логик, то классы законов счетнозначной и конти-
нуальнозначной логик Лукасевича совпадают, причем L„o представляет собой
подсистему любой конечнозначной логики Лукасевича.
Для каждой многозначной логики Лукасевича может быть построено адекватно ее
формализующее логическое исчисление. Общий принцип аксиоматизации ^-значной
логики Лукасевича для произвольного к весьма громоздок и не приводится здесь. А вот
бесконечнозначная логика L„„ имеет простую и элегантную аксиоматическую
формулировку. Она включает аксиомы L31, L32 и L33, правила modus ponens и подстановки
исчисления Вайсберга, формализующего трехзначную логику L3, а также вместо аксиомы
L34 этой системы новую аксиому:
LOT4. ((р з q) з q) з ((q з p) з p).
Логика Клини.
Еще одним примером многозначной логики является трехзначная логика Клини
(система К3). Мы рассмотрим эту логику достаточно подробно, поскольку она обладает
рядом важных метатеоретических свойств.
В системе К3, как и в трехзначной логике Лукасевича, множество возможных
значений М = {О, V2, 1}. Однако промежуточное значение «%» интерпретируется у Клини
иным образом. Он исходит из фундаментального для современной математики факта,
что в рамках дедуктивных математических теорий некоторые утверждения невозможно
ни доказать, ни опровергнуть. Такие утверждения называют неразрешимыми, и именно
для них Клини вводит оценку «!/2» (которая трактуется как «неразрешимо»). Оценку «1»
получают доказуемые высказывания, а оценку «О» - опровержимые высказывания.
В трехзначной логике Клини связкам -., & и v сопоставляются те же самые
функции истинности, что и в L3. Что же касается з и =, то им даются иные, чем в L3,
семантические определения. Для наглядности зададим их в виде следующих матриц:
295

АзВ
1
v2
0
i
i
i
i
v2
v2
v2
1
0
0
%
l
A = B
1
v2
0
l
l
v2
0
v2
%
%
%
0
0
V2
l
Из приведенных матриц хорошо видно, что отличие определений импликации и эк-
виваленции в L3 и в К3 состоит лишь в одном: когда А и В одновременно принимают
значение «V2», формулам АзВиА = Вв трехзначной логике Лукасевича дается оценка
«1», а в трехзначной логике Клини - оценка «V2».
Данное обстоятельство влечет важное следствие: произвольная формула примет в
Кз значение «V2» при приписывании каждой пропозициональной переменной значения
«V2». Поэтому если единственным выделенным значением в этой многозначной логике
считать «1» (т. е. если в К3 М* = {]}), то ни одна формула данной системы не будет
общезначимой (не будет принимать выделенного значения при всех интерпретациях
пропозициональных переменных). Трехзначная логика Клини, таким образом, оказывается
«пустой» логикой - логической теорией, класс законов которой пуст.
Вместе с тем среди переходов от непустого множества формул Г к формуле В
имеются такие, что из Г в системе К3 логически следует В (т. е. при любых интерпретациях
переменных, при которых каждая формула из Г принимает выделенное значение «1»,
формула В также примет данное значение). Причем класс этих переходов в К3 в
точности тот же, что и в классической логике:
Г 1= В в К3 тогда и только тогда, когда Г 1= В в классической логике
высказываний,
где множество формул Г непусто.
У предложенных Клини семантических определений пропозициональных связок
имеется еще одна интересная особенность. Если допустить, что в К3 не одно, а два
выделенных значения, а именно, что М* = {1, /2}, то класс общезначимых формул не
только станет непустым, но и совпадет с множеством классических тавтологий
(тождественно-истинных формул). Трехзначная логика Лукасевича этим свойством не обладает. Так,
классический закон -i(p r> -ip) v -,(—,р z> р) принимает в L3 значение «О» при
приписывании переменной р значения «V2».
Этот факт свидетельствует о том, что классическая логика высказываний (если мы
отождествляем ее с множеством классических тавтологий и с совокупностью
классически корректных переходов от множеств формул к формулам) может быть построена не
только на базе принципа двузначности, но и на основе альтернативного ему принципа
многозначности.
В заключение укажем еще на некоторые философски значимые направления в
многозначной логике, не давая развернутых формулировок логических систем.
Создание ряда многозначных логик осуществлялось в русле многочисленных
попыток решения фундаментальных проблем математики, возникших в связи с обнаружением
парадоксов в наивной теории множеств Кантора (например, парадокса Рассела). В
частности, в рамках программы математического интуиционизма ответственность за
возникновение парадоксов возлагалась на классическую логику, некоторые дедуктивные
принципы которой (законы исключенного третьего и снятия двойного отрицания,
рассуждение «от противного» и др.) способствуют доказательству в математических
теориях неконструктивных утверждений (например, утверждений о существовании объекта
определенного типа без указания эффективной процедуры обнаружения или построения
296

этого объекта). А. Гейтингом была предложена система трехзначной логики, где
подобраны такие семантические определения обычных пропозициональных связок, которые
позволяют отбросить многие, наиболее известные «неконструктивные» законы и
правила классической логики. Однако более адекватное решение проблемы формализации
конструктивных способов рассуждения дается в рамках интуиционистской логики,
рассмотрению которой посвящен § 5 данной главы.
Оригинальная попытка устранения парадоксов теории множеств логическими
средствами была предпринята советским логиком Д. А. Бочваром. В 1938 г. он
сформулировал систему трехзначной логики, язык которой включает два уровня - внутренний и
внешний. Формулы внутреннего уровня, с содержательной точки зрения, выражают
математические утверждения, рассматриваемые как предложения языка-объекта. Эти
утверждения могут быть как простыми, так и сложными, причем сложные образуются с
помощью так называемых «внутренних» связок. Внутренние формулы в логике Бочвара
могут иметь три значения: классические значения «1» («истина») и «О» («ложь»), а
также новое значение « /2», с помощью которого как раз и оцениваются утверждения о
противоречивых объектах (например, о множестве всех множеств, не содержащих себя в
качестве элемента из формулировки расселовского парадокса). Формулам внешнего
уровня, образуемым с помощью особых «внешних» связок, соответствуют метаязыко-
вые утверждения, указывающие на логические характеристики предложений объектного
математического языка, например на их доказуемость или опровержимость. Внешние
формулы в трехзначной логике Бочвара могут принять лишь два значения - «1» или «О»,
и на данном уровне, по существу, действует классическая логика. В числе внешних
операторов Бочвар рассматривает унарную связку Ф (оператор бессмысленности). Формула
ФА («А не имеет смысла») оценивается как истинная в том случае, когда А принимает
значение «1/2», и как ложная, когда А принимает значение «1» или «О». Предложенное
Бочваром решение парадоксов теории множеств состоит в следующем: в прикладных
теориях, построенных на основе его трехзначной логики, появляется возможность
доказывать утверждения о бессмысленности математических предложений о
противоречивых объектах (высказывания вида ФА, где А должно быть оценено посредством « /2»), в
частности доказывать бессмысленность парадоксальных предложений.
Иная трактовка бессмысленности эксплицирована в трехзначной логике
Г. Эббингхауза. Если у Бочвара оценка «бессмысленно» дается математически
абсурдным предложениям, причем их абсурдность заключается в том, что речь в них идет о
логически противоречивых объектах (типа круглых квадратов), то у Эббингхауза данная
оценка носит, скорее, лингвистически-семантический характер. Бессмысленными здесь
называют предложения, которые, с синтаксической точки зрения, являются правильно
построенными, но лишены при этом ясного семантического содержания. В их число
входят, например, предложения, предикаты которых лишь частично определены на
предметной области. В них утверждается наличие или отсутствие у объектов таких
свойств или отношений, которые в принципе не соотносимы с объектами данного рода.
Именно подобным предложениям («7 старше 5», «Дух зеленый» и пр.) Эббингхауз
предлагает приписывать значение «!4», переформулируя - в соответствии с такой трактовкой
промежуточного значения - определения пропозициональных связок.
Аппарат многозначной логики находит широкое применение и в других разделах
неклассической логики, таких как логика квантовой механики, логика изменения,
паранепротиворечивая логика и многих других.
В квантовой механике существенную роль играет понятие неопределенностной
ситуации. Высказывания, описывающие такие ситуации (например, утверждение, сооб-
297

щающее точные координаты частицы и величину ее импульса), нельзя оценить как
истинные или ложные. Г. Рейхенбах предложил ввести для таких высказываний
дополнительное третье значение «неопределенно». При этом подходе логическая теория,
оперирующая с высказываниями о квантовомеханических явлениях, будет представлять собой
особый вариант трехзначной логики.
Логика изменения ставит перед собой задачу построения дедуктивных систем для
анализа рассуждений, содержащих высказывания об изменении, возникновении,
становлении, уничтожении и других процессах подобного рода. Польским логиком Л. Роговским
была предложена оригинальная четырехзначная логика - «логика направленности», -
средствами которой автор попытался прояснить базисные положения диалектического
учения Гегеля о движении и изменении. Истинностные значения в этой логике
интерпретируются так: «является истинным», «перестает быть истинным» («становится ложным»),
«является ложным», «становится истинным» («перестает быть ложным»).
В рамках паранепротиворечивых логик, как уже отмечалось в предыдущем
параграфе, разрабатывается дедуктивный аппарат, позволяющий в конкретных теориях
оперировать с противоречивыми высказываниями, не делая эти теории тривиальными (т. е. избегая
того, чтобы в них были доказуемы все предложения языка). В настоящее время построено
несколько систем трехзначной логики, решающих эту задачу. Третье, промежуточное
значение в них истолковывается как «антиномично», «парадоксально», «противоречиво».
Еще одно важное приложение принцип многозначности находит в так
называемых нечетких логиках - одном из наиболее активно развивающихся направлений
современной логики. Эти системы призваны дать адекватный инструмент логического
анализа рассуждений и высказываний, содержащих нечеткие термины - термины с
«размытым» объемом. Они репрезентируют свойства и отношения, для которых
отсутствуют точные критерии обладания и необладания ими предметами. Примерами
нечетких терминов являются выражения «высокий», «пожилой», «красивый», «намного
южнее», «незначительно старше» и т. п. Наиболее естественно для оценки
высказываний с подобными терминами использовать множество значений бесконечнозначных
логик - множество действительных чисел в замкнутом интервале [0, 1]. Утверждение о
наличии признака у объектов получит (а) оценку 1, если эти объекты наверняка, без
всяких сомнений данным признаком обладают; (Ь) оценку 0, если объекты несомненно
им не обладают; (с) близкую к 1 оценку, если объекты этим признаком скорее
обладают, чем нет; (d) оценку, близкую к 0, если они им скорее не обладают, чем обладают.
В рамках нечетких логик развивается и более революционная идея о том, что и
само свойство «быть истинным» является размытым. Реализация этой идеи состоит, в
частности, в том, чтобы высказываниям в качестве значений приписывались не
конкретные числа, а нечеткие подмножества из интервала [0, 1].
Упражнения
1. Проверьте, являются ли законами трехзначной и четырехзначной логик
Лукасевича следующие формулы:
а) Н> з q) => (р v q), б) (pvq)D (-^р =э q),
в) (р & -нр) з (q v ^q), г) ((р з q) з р) z> р,
Д) ((Р =з (Р з q)) з р) з р, е) (р з (р з q)) э(рэ q),
ж) (р з (р => (р з q))) з (р з (р з q)), з) ((р v q) & -ир) з q,
и) ((р з q) з q) з ((q з р) з р), к) (р &-,р) z> q.
298

2. Проверьте наличие логического следования в 3-хзначной логике Лу-
касевича:
а) (-нр з q) 1= (р v q), б) (pvq)t= (->р => q),
в) р гэ -,q, q v г, р 1= г, г) (р v q) zd г 1= q r> г,
д) р => q, -nq 1= -нр, е) р v q, -,р 1= q,
ж) р & -ip 1= q.
3. Проверьте, являются ли формулы, указанные в п.1 данного упражнения,
законами трехзначной логики Поста.
§ 3. Модальная логика
3.1. Понятие модального высказывания. Виды модальностей
Всякое высказывание содержит утверждение о наличии или отсутствии
некоторой ситуации в действительности. В предыдущих главах мы
рассматривали лишь такие высказывания, в которых утверждается сам факт наличия
или отсутствия ситуации: например, высказывание «Дождь идет»
констатирует наличие ситуации выпадения осадков в виде дождя, а высказывание
«Дождь не идет» содержит информацию об отсутствии данной ситуации.
Высказывания подобного типа называют ассерторическими. Ассерторические
высказывания могут быть простыми и сложными: в простых ассерторических
высказываниях утверждается факт присущности или неприсущности
некоторых свойств или отношений предметам («Всякий человек разумен», «Иван
старше Петра» и т. д.), сложные ассерторические высказывания указывают на
факт взаимосвязи между ситуациями («Если наблюдается спад производства,
то растет безработица» и т. д.).
Однако существует и другой тип высказываний - так называемые
модальные высказывания, которые не просто сообщают, что некоторая ситуация имеет
или не имеет место, не только говорят о наличии или отсутствии у предметов
определенных свойств и отношений, но и дают оценку, квалификацию либо
самой ситуации, либо факту присущности или неприсущности свойств и
отношений предметам.
Так, в высказываниях «Хорошо, что идет дождь» и «Плохо, что идет дождь»
мы оцениваем ситуацию выпадения дождя, например, с точки зрения видов на
урожай. В высказывании «Гражданам запрещено нарушать законы» ситуация
нарушения законов гражданами квалифицируется как несовместимая с правовыми
нормами. Высказывание «Всякий человек с необходимостью разумен» не просто
констатирует обладание всеми людьми свойством разумности, но и указывает на
особый - необходимый (т. е. обусловленный природой человека) - характер
присущности ему этого свойства. Высказывание «Иван полагает, что Волга впадает в
Черное море» соотносит утверждение о впадении Волги в Черное море не с
объективной действительностью, а со сферой субъективных мнений Ивана, оценивает
соответствующую ситуацию как имеющую место с его точки зрения.
299

Модальная квалификация может даваться не только отдельным (простым)
ситуациям, но также и взаимосвязям между ними. Например, высказывание
«Спад производства с неизбежностью приводит к росту безработицы» не просто
выражает мысль о том, что при наличии одной ситуации имеет место и другая,
оно содержит также информацию о необходимом характере этой взаимосвязи:
первая ситуация обусловливает, детерминирует вторую. Высказывание «Петр
усердно занимался в течение семестра, а затем сдал экзамены на отлично»
указывает на временной характер отношения между двумя ситуациями: первая
предшествует второй во времени.
Модальными называют высказывания, содержащие дополнительную
информацию оценочного характера относительно ситуаций или
взаимосвязей между ними, или присущности признаков предметам.
Модальная квалификация осуществляется с помощью таких речевых
оборотов, как «хорошо», «плохо», «запрещено», «необходимо присуще», «полагает»,
«с неизбежностью приводит», «а затем». Слова и словосочетания подобного
рода называют модальностями.
Модальности - это термины, посредством которых
осуществляется оценка, квалификация ситуаций, взаимосвязей между ними и
присущности свойств и отношений предметам в модальных
высказываниях.
Существует большое разнообразие видов модальностей, причем
классификация последних может осуществляться исходя из различных оснований.
3.2. Деление модальностей по модальной квалификации
Характеристика, оценка ситуаций в модальных высказываниях может
производиться с различных точек зрения, в разных аспектах. В зависимости от того,
в какой плоскости, под каким углом зрения осуществляется модальная
квалификация, выделяют следующие виды модальностей.
(1) Алетические модальности оценивают ситуацию или связь признаков с
предметами с точки зрения некоторого множества законов - физических,
биологических, математических, логических и т. п. К числу алетических модальностей
относятся термины «необходимо», «возможно», «случайно», «невозможно» и др.
В высказывании вида «Необходимо, что А» утверждается, что наличие в
действительности ситуации, описанной высказыванием А, детерминировано
соответствующим множеством законов; в высказывании вида «Невозможно,
что А» - что законы детерминируют отсутствие данной ситуации.
Модальность «возможно» указывает на недетерминированность отсутствия ситуации
(т. е. на то, что эта ситуация, в принципе, может иметь место), а модальность
«случайно» квалифицирует ситуацию таким образом, что ни ее наличие, ни
отсутствие недетерминированы множеством законов (т. е. она может иметь, а
может и не иметь место).
300

Алетические модальности принято делить на логические и онтологические в
зависимости от того, с позиций какого типа законов - логики или природы - они
оценивают ситуации, взаимосвязи между ними или связь признаков с
предметами. Квалификация, даваемая логическими модальностями, исходит лишь из
логических форм соответствующих высказываний. Утверждение «Логически
необходимо, что А» справедливо, когда высказывание А истинно в силу своей
формы (т. е. логическая форма А выражается посредством общезначимой,
тождественно-истинной формулы). Утверждение «Логически невозможно, что А»
сообщает о ложности высказывания А в силу его формы (т. е. о
невыполнимости, тождественной ложности соответствующей формулы). Высказывание
«Логически возможно, что А» истинно, когда формула, фиксирующая логическую
форму А, выполнима, а высказывание «Логически случайно, что А» - когда эта
формула и выполнима, и опровержима.
Различие между логическими и онтологическими модальностями удобно
разъяснить на примерах.
Высказывание «Необходимо, что всякое животное смертно» истинно, если
необходимость понимается как онтологическая модальность, ведь смертность
каждого живого существа детерминирована законами биологии. Однако если
необходимость трактуется как логическая модальность, то данное суждение
ложно, ведь формула Vjc(P(x) id Q{x)), выражающая логическую форму
высказывания «Всякое животное смертно», не является общезначимой. В то же
время высказывание «Логически необходимо, что всякое смертное существо
смертно» можно оценить как истинное, так как формальная запись
высказывания «Всякое смертное существо смертно» дает общезначимую формулу
классической логики Vjc(Q(a:) z> Q(x)).
Высказывание «Возможно, что существует вечный двигатель», конечно же,
ложно, если возможность трактуется как онтологическая модальность, ведь
физические законы запрещают существование вечного двигателя. Однако,
поскольку логическая форма выражения «Существует вечный двигатель»
передается выполнимой формулой ЭдсР(лг), приведенное модальное высказывание
истинно, когда в нем подразумевается логическая возможность.
(2) Деонтические модальности («обязательно», «запрещено»,
«разрешено» и др.) квалифицируют ситуации с точки зрения некоторого кодекса норм -
правовых (юридических) или моральных (этических). В деонтических
высказываниях дается оценка человеческим действиям на предмет их соответствия
этим нормам.
Так, модальность «обязательно» указывает на то, что нормативный кодекс
требует совершения некоторого действия, а модальность «запрещено» - на то,
что кодекс требует воздержаться от его совершения. Модальность «разрешено»
означает, что кодекс допускает совершение действия. Последнее утверждение
может пониматься двояко: или кодекс содержит норму, прямо позволяющую
(хотя и не обязательно предписывающую) совершать это действие, или в нем
отсутствует запрет на его совершение. Во втором случае термин «разрешено»
эквивалентен по смыслу термину «не запрещено».
301

Например, высказывание «Депутаты обязаны отчитываться перед
избирателями» содержит информацию о том, что правовые нормы предписывают
депутатам отчитываться перед избирателями. В высказывании «Депутатам запрещено
заниматься коммерческой деятельностью» утверждается, что действующий
кодекс законов требует от депутатов воздержаться от занятий коммерческой
деятельностью. Высказывание «Депутатам разрешено преподавать в учебных
заведениях» сообщает, что с правовой точки зрения, педагогическая деятельность
депутата позволительна.
(3) Аксиологические модальности оценивают ситуации с точки зрения
некоторой системы ценностей. Позитивная оценка отдельно взятой ситуации при
этом выражается модальностью «хорошо», а негативная - модальностью
«плохо». В случае, если речь идет об эстетических ценностях, позитивная и
негативная оценка может выражаться соответственно терминами «прекрасно» и
«безобразно», а применительно к этической системе - терминами «добро» и «зло».
Бинарные аксиологические модальности - «лучше», «хуже», «равноценно» -
ранжируют ситуации по степени их ценностной предпочтительности.
(4) Временные модальности соотносят ситуации с временным рядом,
отвечая на вопрос, когда - в прошлом, настоящем или будущем - имеет место
некоторое положение дел, или же на вопрос, как соотносятся различные положения
дел во времени. Так, модальность «было» указывает на то, что некоторая
ситуация имела место когда-то в прошлом, а модальность «всегда будет» - на ее
наличие в каждый будущий момент времени. Контексты вида «А, а затем В»,
содержащие бинарную временную модальность «а затем», выражают утверждение
о наличии положения дел, описываемого в А, в настоящем, а ситуации,
описанной в В, - в следующий момент времени из будущего.
(5) Эпистемические модальности квалифицируют ситуации с позиций
некоторой познавательной системы. В качестве последней может, в частности,
выступать какая-то интерсубъективная совокупность знаний, например научная
теория. В этом случае модальная оценка осуществляется с помощью таких
терминов, как «доказано», «опровергнуто», «неразрешимо». Контекст «Доказано,
что А» означает, что А является законом данной теории, что средствами
последней обосновывается истинность высказывания А; контекст «Опровергнуто, что
А» означает, что в рамках теории обосновывается ложность высказывания А;
смысл контекста «Неразрешимо А» состоит в указании на отсутствие в теории
эффективной процедуры, позволяющей ответить на вопрос о том, каким -
истинным или ложным - является, с точки зрения данной теории, высказывание А.
Другая разновидность эпистемических модальностей характеризуется тем,
что они соотносят ситуации с миром знаний, мнений, убеждений и верований
некоторого познающего субъекта. Подобные модальности - «субъект а знает,
что», «а полагает, что», «а сомневается в том, что», «а уверен в том, что», «а
убежден в том, что», «а верит, что», и т. п. - имеют весьма тонкие смысловые
нюансы, отличающие их друг от друга.
Отличие модальностей знания и полагания проиллюстрируем на
следующем примере. Высказывание «Демокрит считал, что атом - неделимая
302

частица» указывает лишь на принятие Демокритом утверждения о
неделимости атома, в то время как высказывание «Резерфорд знал, что атом состоит из
ядра и электронов» - не только на то, что утверждение о подобном строении
атома - это частное мнение Резерфорда, но также и на соответствие данного
утверждения действительности. Таким образом, контекст вида «субъект а
знает, что А» эквивалентен по смыслу контексту «субъект а полагает, что А,
и А имеет место в действительности».
Эпистемические модальности могут выражать и степень уверенности
субъекта в наличии положения дел. Так, выражение «субъект а сомневается в том,
что А» означает следующее: «субъект а полагает, что А, но допускает, что А не
имеет места», в то время как выражение «субъект а уверен в том, что А» -
«субъект а полагает, что А, и не допускает, что А не имеет места».
Модальности рассматриваемого типа могут также указывать на основания
принятия субъектом тех или иных утверждений. Например, высказывание
«Коперник был убежден в том, что Земля вращается вокруг Солнца» выражает
мысль, что принятие Коперником тезиса о гелиоцентризме основывалось на
ряде рациональных аргументов, позволяющих строго обосновать данный тезис. В
то же время высказывание «Г. Уэллс верил, что на Марсе есть жизнь» указывает,
что для принятия тезиса о наличии жизни на этой планете у Г. Уэллса не было
достаточных рациональных доводов, и основание его мнения лежит, по
существу, в области веры.
3.3. Внутренние и внешние модальности
В составе высказываний естественного языка модальные термины могут
играть различную синтаксическую роль и иметь при этом различные объекты
модальной квалификации. Так, высказывание «Доказано, что сумма внутренних
углов треугольника равна 180°» образовано посредством сочленения эпистеми-
ческой модальности «доказано» с высказыванием «Сумма внутренних углов
треугольника равна 180°». Модальности этого типа называются внешними.
Внешние модальности оценивают ситуации в целом, давая квалификацию
утверждениям о наличии или же отсутствии ситуации, либо о наличии или
отсутствии связи между ними.
Модальные термины другого типа являются элементами внутренней
структуры простых атрибутивных высказываний и указывают на характер связи
признаков с предметами. Так, в высказывании «Все металлы с необходимостью
являются электропроводными» утверждается, что свойство электропроводности
необходимо присуще каждому металлу, а высказывание «Отдельные профессора
могут не иметь степени доктора наук» выражает мысль о том, что наличие
докторской степени - свойство, возможно неприсущее некоторым профессорам.
Термины, посредством которых дается оценка характеру присущности или
неприсущности свойств предметам («необходимо является», «возможно не
является» и т. п.), называют внутренними модальностями. В синтаксическом
аспекте модальности данного типа подобны терминам «есть» и «не есть».
303

Различение внутренних и внешних модальностей впервые было отчетливо
проведено в средневековой логике. Схоласты называли внешние модальности
модальностями de dicto (о сказанном, о речи), а внутренние - модальностями de
re (о вещи, о предмете).
Было установлено, что модальности с высказываниями de dicto и
высказывания с модальностями de re обладают существенно различными логическими
свойствами. Так, средневековые мыслители полагали, что обращение частноут-
вердительных высказываний, предваренных внешней необходимостью, т. е.:
Необходимо, что некоторый S есть Р
Необходимо, что некоторый Р есть S
является правильным умозаключением, а обращение типа / с внутренним
модальным оператором «необходимо есть», т. е.:
Некоторый S необходимо есть Р
Некоторый Р необходимо есть S
является некорректным. Действительно, несложно подобрать интерпретацию
параметров S и Р, демонстрирующую, что заключение последнего
умозаключения не следует логически из посылки. Сопоставим, например, параметру S
множество обитателей Московского зоопарка, а параметру Р - множество
теплокровных существ. Тогда посылка «Некоторые обитатели Московского зоопарка
с необходимостью являются теплокровными» окажется истинной, так как одной
из целей Московского зоопарка является получение в свою коллекцию
теплокровных животных, а заключение «Некоторые теплокровные существа с
необходимостью обитают в Московском зоопарке» ложным, так как если даже какое-
то теплокровное животное и обитает в Московском зоопарке, то какая именно
особь из числа теплокровных животных стала обитать в зоопарке произошло не
необходимым, а случайным образом.
Другой яркий пример логических отличий внутренних и внешних
модальностей был приведен Фомой Аквинским. Он полагал, что принцип
силлогистического тождества с de Л'с/о-модальностью представляет собой логический
закон, однако тот же самый принцип с модальностью de re
«Всякий S необходимо есть S»
не входит в класс логических законов. В подтверждение Фома приводит
пример: высказывание «Необходимо, что всякий сидящий является сидящим»
истинно (причем истинно логически), в то время как высказывание «Всякий
сидящий с необходимостью является сидящим» ложно, ведь свойство
сидения не относится к числу необходимых атрибутов для тех сидящих, которые
способны ходить.
В современной логике в качестве синтаксического критерия отличия
внутренних и внешних модальностей часто используют фактор нахождения
модальности в области действия некоторого квантора: если модальный
оператор содержится в этой области, то он оценивается как внутренний, в про-
304

тивном случае - как внешний. Например, высказывание «Некоторые
вещества с необходимостью кристалличны» - Здг(необходимо, что х кристалли-
чен) - имеет внутреннюю модальность, а высказывание «Необходимо, что
существуют кристаллические вещества» - Необходимо, что Зд:(д: кристал-
личен) - внешнюю модальность. При таком подходе деление на внутренние
и внешние модальности может быть осуществлено не только среди алетиче-
ских модальностей. Например, эпистемическая модальность «полагает, что»
в контексте «Иван полагает, что некое устройство является вечным
двигателем» - 5д:(Иван полагает, что л: есть вечный двигатель) - может быть
охарактеризована как внутренняя, а в контексте «Иван полагает, что вечный
двигатель существует» - Иван полагает, что 3jc(x есть вечный двигатель) -
как внешняя. С данной точки зрения, временная модальность «было» также
имеет свою de re-разновидность, например в контексте «Некий белый
предмет был черным» - Злфе белый & было так, что д: черный).
3.4. Абсолютные и относительные модальности
Внешние модальности, как и пропозициональные связки, могут иметь
различную местность. С синтаксической точки зрения, одноместные
(унарные) модальности образуют новое высказывание из одного высказывания,
двухместные (бинарные) - из двух, трехместные (тернарные) - из трех
высказываний и т. д.
Одноместные модальности называют также абсолютными, они дают
квалификацию отдельно взятой ситуации самой по себе. К числу абсолютных
относятся, например, алетические модальности «необходимо», «возможно»,
«случайно»; деонтические модальности - «обязательно», «разрешено», «запрещено»;
аксиологические модальности - «хорошо», «плохо»; временные модальности -
«было», «будет»; эпистемические модальности - «доказано», «опровергнуто».
Многоместные модальности, т. е. модальности, местность которых больше
1, называют относительными. Эти модальности квалифицируют характер связи
между несколькими ситуациями и могут рассматриваться как знаки особых
отношений между ними, имеющих оценочный характер. Примерами
относительных модальностей являются алетическая модальность - «с необходимостью
влечет»; аксиологические модальности - «лучше» и «хуже»; временные
модальности - «раньше» и «позже» (в тех контекстах, когда перечисленные термины
используются для связи двух высказываний в одном).
Иногда относительные модальности трактуются в более узком смысле -
как бинарные модальности, которые образуются из унарных следующим
образом: определенная квалификация отдельно взятой ситуации дается при
соблюдении некоторого дополнительного условия. Подобного рода модальностью
является так называемая производная обязанность. Эта деонтическая
модальность требует, с позиций нормативного кодекса, совершить некоторое
действие в особо оговариваемых ситуациях. Модальность производной обязанности
содержится, например, в высказывании «Иностранные граждане обязаны со-
305

блюдать российские законы, находясь на территории Российской Федерации»:
требование соблюдения российских законов действует для подданных других
государств в определенных обстоятельствах - при условии их пребывания на
территории России.
3.5. Личностные и безличностные модальности
Среди модальностей можно выделить те, в которых модальная
квалификация дается с позиций некоторой личности (субъекта). Такие модальности
называют личностными. Примерами личностных модальностей являются эпистеми-
ческие модальности «а знает, что», «а полагает, что», «а сомневается в том,
что», «а уверен в том, что», «а убежден в том, что», «а верит, что».
Модальности, не связанные с субъектом, называют безличностными. Таковыми, среди
эпистемических, будут модальности «доказано», «опровергнуто» и др.
Личностные модальности являются разновидностью широкого класса
языковых выражений, называемых пропозициональными установками. Эти
выражения представляют собой знаки особого рода отношений - отношений между
неким субъектом и некоторой ситуацией. Характер подобных отношений может
быть самым разнообразным: личностные эпистемические модальности
выражают познавательные отношения. Термины «видит», «слышит», «чувствует»
выражают перцептивные отношения; термины «хочет», «желает», «стремится»,
«ищет» - намерения и цели и т. д.
3.6. История возникновения модальной логики
Первая логическая теория, исследующая выводы из модальных высказываний, была
создана Аристотелем. Язык аристотелевской силлогистики, изложенной в Первой книге
«Первой Аналитики», наряду с ассерторическими атрибутивными высказываниями
(высказываниями «о присущем» и «о не присущем», как называл их сам Стагирит)
содержал также аподиктические высказывания («о необходимо присущем» и «о необходимо
не присущем») и проблематические высказывания («о возможно присущем» и «о
возможно не присущем»). При этом Аристотель различал два вида модальности
«возможно». Возможность первого типа сродни современной трактовке этой модальности:
«возможно присуще», по Аристотелю, означает, что допущение о присущности свойства
предметам не приводит к противоречию, т. е. равносильно «не необходимо не присуще».
Другой тип возможного поясняется Стагиритом так: это то, что может быть, а может и
не быть присуще; иными словами, эта возможность сходна с модальностью «случайно»
в ее современном понимании.
Напомним, что аристотелевская силлогистика формулировалась чисто
синтаксически - как дедуктивная система, напоминающая натуральное исчисление:
постулировался исходный набор форм корректных рассуждений (правил обращения, модусов I
фигуры силлогизма, некоторых умозаключений по логическому квадрату) и
указывались методы выведения из них других правильных рассуждений. Точная семантика
высказываний, в том числе и модальных, условия их истинности и ложности
Аристотелем не формулировались.
306

Отсутствие в силлогистике Стагирита точной интерпретации модальностей
породило у его последователей сомнение в том, насколько адекватно его дедуктивная система
гормализует понятия необходимого и возможного, принятые в науке и философии.
чроме того, логики последующих поколений считали, что Аристотель проявил
непоследовательность уже при выборе самих дедуктивных постулатов, лежащих в основании
его модальной силлогистики. Эта непоследовательность выражается прежде всего в
отсутствии у Аристотеля четкого различения внутренних и внешних модальностей; при
знакомстве с его силлогистикой возникают серьезные затруднения с ответом на вопрос,
модальности какого из этих двух типов она содержит.
С одной стороны, языковые конструкции, используемые Аристотелем для
выражения модальных суждений (например, «Р необходимо присуще всякому S», «Р возможно
не присуще некоторым S»), свидетельствуют о том, что модальность понимается им как
часть предицирующей связки, т. е. как модальность de re. Аргументом в пользу такого
решения проблемы является принятие Аристотелем некоторых модусов силлогизма,
которые, при истолковании содержащихся в них модальностей как модальностей de dicto,
однозначно должны оцениваться как некорректные. К таковым, например, относится
постулируемый Аристотелем модус Baarbaraa с аподиктическими (необходимыми)
большей посылкой и заключением и ассерторической меньшей посылкой:
Всякий М необходимо есть Р
Всякий S есть М
Всякий S необходимо есть Р.
Этот способ рассуждения можно оправдать только в том случае, если
необходимость трактуется как внутренняя модальность. Подобный же силлогизм с внешними
модальностями -
Необходимо, что всякий М есть Р
Всякий S есть М
Необходимо, что всякий S есть Р
следует отвергнуть исходя из общепринятого принципа: необходимое не может
следовать из ненеобходимого; таковой (ненеобходимой) в силлогизме является меньшая
посылка.
С другой стороны, Аристотель принимает в качестве постулата обращение
аподиктических частноутвердительных высказываний, которое, наоборот, как было показано
выше, корректно для модальностей de dicto, но некорректно для модальностей de re.
После того, как в средневековой логике было проведено четкое различение
внутренних и внешних модальностей, теория выводов из атрибутивных модальных
высказываний существенно уточнилась и расширилась.
Для проверки силлогизмов, содержащих высказывания с модальностью de dicto,
схоласты сформулировали специальное правило - так называемое правило слабейшей
посылки:
Модальность заключения не может быть сильнее, чем в слабейшей по
модальности посылке.
Данное правило требует пояснения того, что понимается под отношением между
модальностями по силе: самой сильной модальностью является необходимость, второй
по силе - модальность ассерторического высказывания, а самой слабой - возможность.
Поэтому из аподиктической и ассерторической посылок
307

Необходимо, что всякий М есть Р,
Всякий S есть М
не должно следовать аподиктическое заключение
Необходимо, что всякий S есть Р,
а должно следовать ассерторическое заключение
Всякий S есть Р,
а также более слабое проблематическое заключение
Возможно, что всякий S есть Р.
Следует отметить, что для выделения класса правильных (с точки зрения
современной теории алетических модальностей) силлогизмов с de cftcfo-аподиктическими, de
£#сго-проблематическими и ассерторическими высказываниями недостаточно к
обычным общим правилам категорического силлогизма добавить лишь правило слабейшей
посылки. Необходимо дополнительно принять следующее требование:
Если одна из посылок проблематическая, то другая посылка должна быть
аподиктической.
Иными словами, в современной модальной логике силлогизмы с двумя посылками о
возможном, а также силлогизмы с одной ассерторической и одной проблематической
посылками оцениваются как некорректные.
Практически сразу же после оформления в начале XX в. символической логики
велся активный поиск различных подходов к построению современной дедуктивной теории
модальностей - прежде всего алетических модальностей.
Предпринимались, в частности, попытки создания модальной логики в рамках
логики многозначной. Аргументом в пользу такого подхода выступало следующее
соображение. Невозможность выражения операторов необходимости, возможности и
случайности в классической логике обусловлена тем, что в ней имеется лишь два
возможных значения формул («истина» и «ложь»), и вследствие этого всего четыре унарных
функции истинности, ни одна из которых не может претендовать на роль значения
модального оператора. Расширение количества истинностных оценок приводит к
увеличению числа указанных функций, т. е. появляется возможность выбора из них таких
функций, которые могут «адекватно» воспроизводить интуиции, ассоциированные с
модальными понятиями.
Один из основоположников многозначной логики Я. Лукасевич предложил в
рамках своей трехзначной логики L3 следующие табличные определения модальностей
«необходимо» (□) и «возможно» (<>):
А
1
%
0
DA
1
0
0
ОА
1
1
0
Им был также сформулирован минимальный набор требований, которым должна
удовлетворять каждая система логики алетических модальностей.
(1) Формула Пр 3 р должна быть законом модальной системы, т. е. должен быть
справедлив принцип «все необходимое действительно (истинно)».
(2) Обратная импликация - р з Dp - не может быть законом модальной логики, т. е.
не все то, что имеет место в действительности, необходимо.
308

(3) Формула р z> Op должна быть законом модальной системы, т. е. должен быть
справедлив принцип «все действительное (истинное) возможно».
(4) Обратная импликация - Op r> р - не может быть законом модальной логики, т. е.
не все, что возможно, имеет место в действительности.
(5) Формула Ор не является логическим законом, т. е. некоторые утверждения
нельзя оценить как возможные.
(6) Формула Пр также не может быть законом модальной логики, т. е. не все
утверждения можно оценить как необходимые.
(7) Оператор 0 выразим через D и —. посредством эквивалентности О А = -,П-,А;
иными словами, утверждение возможно в том и только в том случае, когда его
отрицание не является необходимым.
(8) Оператор □ выразим через 0 и -i посредством эквивалентности ПА = —.0—.А;
т. е. утверждение необходимо тогда и только тогда, когда невозможно его отрицание.
Нетрудно убедиться в том, что трехзначная логика Я. Лукасевича, пополненная
приведенными выше определениями модальных операторов, удовлетворяет всем
указанным требованиям. Однако эта система (как и другие модальные системы,
построенные на основе конечнозначных логик) обладает рядом характеристик, не позволяющих
считать ее удачной реализацией задачи по построению дедуктивной теории алетических
модальностей. Одна из таких особенностей модального расширения системы L3 -
истинность применительно к ней следующих метаутверждений о логическом следовании:
А = В, ПА 1= DB; А = В, 0А 1= 0В.
Справедливость в логической теории этих метаутверждений свидетельствует о
возможности неограниченной замены в модальных контекстах одного из двух
эквивалентных высказываний другим. Однако, как уже отмечалось в §2 главы II и в §1
данной главы, модальные контексты имеют интенсиональную природу, и потому
стандартный принцип взаимозаменимости (в том числе и в данной формулировке) для них
не действует.
Другой, более удачный подход к построению систем модальной логики был
предпринят американским ученым К. И. Льюисом в 10-х-20-х гг. XX в. Непосредственной
задачей, которую он перед собой ставил, была не разработка алетической логики
необходимого и возможного, а создание дедуктивной теории строгой импликации.
Льюис исходил из того факта, что материальная импликация не является
адекватным объектно-языковым аналогом метаязыкового отношения логического следования в
классической логике. Действительно, из табличного определения связки гэ вытекает
справедливость двух утверждений:
(1) истинное высказывание имплицируется любым высказыванием (формула BdA
истинна, если ее консеквент А истинен, независимо от значения антецедента В);
(2)ложное высказывание имплицирует любое высказывание (формула AdB
истинна, если ее антецедент А ложен, независимо от значения консеквента В).
Эти утверждения носят парадоксальный характер при трактовке импликации как
аналога отношения «1=», поскольку классическое логическое следование подобными
свойствами не обладает. В общем случае, утверждения
(Г) истинное высказывание логически следует из любого высказывания,
(2') из ложного высказывания логически следует любое высказывание
неверны. Отношение следования в классической логике обладает иными свойствами:
309

(3) логически истинное высказывание следует из любого высказывания,
(4) из логически ложного высказывания следует любое высказывание.
Парадоксальный характер материальной импликации проявляется также и в
наличии среди ее законов таких формул, которые противоречат интуиции при
содержательном истолковании этой связки как дубликата «t=». Например, закон утверждения
консеквента -
А => (В => А) -
может быть понят в духе неправомочного утверждения (Г), а закон отрицания
антецедента -
-,А => (А => В) -
в духе неверного утверждения (2').
Льюис предпринял попытку создания логической теории, которая вместо
материальной импликации содержала бы неклассическую бинарную связку - аналог отношения
логического следования в классической логике. Эта теория, по замыслу Льюиса, не
должна была содержать парадоксальных (в указанном выше смысле) законов. Данную
связку он назвал строгой импликацией и предложил использовать для нее символ «Ч».
Содержательное отличие строгой импликации от материальной Льюис
сформулировал следующим образом. Если утверждение «А материально имплицирует В»
эквивалентно утверждению «Неверно, что имеет место А и не имеет места В», что может быть
выражено посредством определения
А:эВ=ш-л(А&-лВ),
то «А строго имплицирует В» представляет собой более сильное утверждение
«Невозможно, чтобы имело место А и не имело места В»:
A4B=DfnO(A&^B).
Таким образом, строгая импликация относится к числу модальных операторов,
поскольку в ее истолковании используется модальность «возможно».
Льюисом было построено пять пропозициональных систем строгой импликации
(исходными классическими связками в них являются -, и &), сформулированных в
форме аксиоматических исчислений.
Базисной (имеющей самый узкий класс законов) является система S1, содержащая
шесть аксиом и четыре правила вывода:
А1. (р & q) ■< (q & р),
А2. (р & q) -< р,
A3. р -< (р & р),
А4. ((р & q) & г) < (р & (q & г)),
А5. ((р ■< q) & (q -< г)) < (р < г),
А6. (р&(р< q)) -< q.
R1. правило подстановки вместо пропозициональных переменных,
А В
R2. — р р - правило введения &,
А ос В
R3. _—'- - modus ponens для <,
о
_ . А < В, В < А, СА
R4. — - правило замены строго эквивалентных.
<-в
310

В формулировке правила R4 СА - некоторая формула, содержащая А в качестве
подформулы, а Св - результат замены произвольного числа вхождений подформулы А в
Сд на формулу В. Отметим также, что данное правило не является каким-либо
вариантом принципа экстенсиональности, поскольку разрешает замену одного высказывания
другим не в случае их равнозначности, а при более сильном условии - их строгой (по
существу, логической) эквивалентности.
Понятия доказательства, теоремы, вывода из допущений аналогичны
соответствующим понятиям в классическом аксиоматическом исчислении высказываний с
конечным числом аксиом и правилом подстановки (см. главу IV).
Льюис обратил внимание на то, что базисная теория строгой импликации может
быть расширена за счет присоединения новых аксиом, выражающих различные
логические свойства модальности «возможно». Так, присоединение к S1 аксиомы,
утверждающей, что если возможна конъюнкция двух высказываний, то и каждое из них является
возможным, -
0(p&q) < (Op&Oq)
дает систему S2.
Система S3 получается присоединением к S1 аксиомы:
0(р <q)< (-,0q < ^Ор)
(возможность следования из одного высказывания другого обусловливает тот факт, что
из невозможности второго следует невозможность первого).
Для получения системы S4 необходимо добавить к S1 в качестве новой аксиомы
любую из следующих формул:
00р-<0р или Пр -< стар,
где DA понимается как —10—А. Первая формула утверждает, что из возможности
возможного высказывания следует его возможность, а вторая - что всякое утверждение о
необходимом само является необходимым.
Наконец, присоединяя к S1 аксиому, говорящую о том, что любое возможное
высказывание с необходимостью является таковым, -
Ор < п<>р
получаем наиболее сильную из упомянутых систему S5.
Таким образом, при построении логической теории строгой импликации Льюис
столкнулся с необходимостью учета различных логических характеристик модальностей
«возможно» и «необходимо», в силу чего построенные им логические исчисления
являются одновременно и системами алетической модальной логики.
Следует еще раз особо подчеркнуть, что главной неклассической связкой в льюи-
совских исчислениях является строгая импликация. Более того, имеется возможность
определить через нее (и классическое отрицание) модальные операторы:
О A =Df -,(А -< -пА), D A =Df -А < А.
Здесь определение возможности напоминает аристотелевскую трактовку этой
модальности: высказывание А возможно, когда из него не следует его отрицание, т. е.
допустив истинность А, мы не получаем противоречия. Определение необходимости
выражает весьма оригинальную мысль: высказывание А необходимо, когда А следует даже
из собственного отрицания.
После появления работ Льюиса усилия исследователей были направлены на
изменение самой идеологии построения модальной логики, ставилась задача переформули-
311

ровать его системы таким образом, чтобы исходными неклассическими операторами
оказывались бы □ или 0, дедуктивные постулаты фиксировали бы свойства именно этих
модальностей, а строгая импликация была производной связкой, т. е. вводилась по
определению.
Первым удачное решение указанной задачи нашел выдающийся австрийский
математик и логик К. Гёдель. Ему удалось переформулировать в указанном стиле льюисов-
ское исчисление S4. В дальнейшем были построены и детальным образом
проанализированы другие системы логики алетических модальностей, к изложению которых мы и
приступаем.
3.7. Нормальные системы логики алетических модальностей
Современные системы логики алетических модальностей, называемые
нормальными модальными исчислениями, строятся как расширения классических
логических теорий. Поскольку в данном учебнике излагаются лишь
пропозициональные варианты модальных логик, указанные исчисления будем
формулировать в виде надстройки над классическим исчислением высказываний.
К алфавиту классической пропозициональной логики добавляются
логические символы нового типа - модальные операторы. Имеется принципиальная
возможность ввести в алфавит только одну модальную связку: унарный
оператор необходимости - П.
Если А - формула, то ПА - формула.
Модальности «возможно» (0) и «случайно» (V) вводятся посредством
следующих определений:
<>A=Df -iD-A, VA=Df^QA&-,d-A.
Таким образом, принимается стандартное определение возможности. Что
же касается модальности «случайно», то правая часть соответствующего
определения эквивалентна формуле вида 0А & 0—А, т. е. ситуация, описываемая в
А, квалифицируется как случайная, когда возможны как ее наличие, так и
отсутствие.
Строгая импликация Льюиса (-<) также может быть определена через
исходные связки:
A<B=DfD(Az>B).
Это определение означает, что строго импликативная формула выражает
утверждение о необходимости классической импликативной формулы. Заметим
также, что правая часть определения равносильна формуле вида -iO(A & -iB).
т. е. символ < трактуется именно в льюисовском духе.
Минимальной нормальной системой модальной логики является исчисление
Т, построение которого связано с именами Р. Фейса и Г. фон Вригта.
Дедуктивные постулаты системы Т - схемы аксиом классического исчисления
высказываний, а также две дополнительные модальные схемы аксиом:
312

Al. DAdA,
A2. П(А з В) з (ПА з ПВ).
Принимаются два правила вывода:
R1 —— -modus ponens,
В
h- А
R2 - правило Гёделя.
Правило Гёделя сходно с правилом генерализации классического
исчисления предикатов в том, что его заключение не следует логически из посылки.
Именно поэтому данное правило, как видно из его формулировки, разрешается
применять только к доказуемым формулам. С содержательной точки зрения,
правило Гёделя означает, что любой логический закон является необходимым
\тверждением.
Понятие доказательства в исчислении Т - стандартное:
Доказательством называют непустую конечную последовательность
формул Сь Сг,..., Ск, в которой каждое Ci есть либо одна из аксиом,
либо формула, полученная из предыдущих формул
последовательности по какому-либо из правил - R1 или R2.
Доказательством формулы А в исчислении Т называется
доказательство, последняя формула которого совпадает с формулой А.
Формула А называется теоремой системы Т, если и только если
существует доказательство А в Т.
Понятие вывода из множества допущений Г в исчислении Т отличается, как
обычно, от понятия доказательства дополнительной возможностью для Q быть
элементом Г. Кроме того, накладывается ограничение на применение правила
Гёделя: Q может быть получено по этому правилу только из теорем системы Т.
Из множества допущений Г в исчислении Т выводима формула В (Г I- В) тогда
и только тогда, когда в системе существует вывод из Г, последней формулой
которого является В.
В исчислении Т справедлива метатеорема дедукции:
Если Г, А \- В, то Г I- А з В.
Система Т удовлетворяет сформулированному Я. Лукасевичем
минимальному набору требований, предъявляемых к логике алетических модальностей.
Приведем схемы важных теорем данной системы, выражающих принципы
комбинирования модальностей и бинарных истинностно-функциональных связок:
□(А & В) = (ПА & ПВ), 0(AvB) = (OAvOB),
(DAvDB)dD(AvB) 0(А & В) з (ОА & О В),
□ (АзВ)з(ФАзФВ), (ОАзОВ)зО(АзВ),
О (А з В) = (ПА з ОВ).
313

Существует бесконечно много нормальных модальных исчислений,
являющихся расширениями системы Т. Приведем формулировки трех наиболее
интересных из них.
Исчисление В Брауэра получается из системы Т за счет присоединения
дополнительной схемы аксиом:
A3. А з D ОА (все действительное с необходимостью является возможным).
Теоремами системы В являются также формулы вида О ПА з А, откуда с
использованием A3 можно доказать закон перестановки модальностей ОиП:
<>ПАзПОА.
Обратная импликация - ПОА з ОпА - не является теоремой ни в одной
нормальной логике алетических модальностей.
Гёделевскую формулировку исчисления S4 Льюиса можно получить
добавлением к дедуктивным постулатам Т схемы аксиом
А4. ПА з ПОА (все необходимое с необходимостью является
необходимым).
В данном исчислении доказуемы формулы типа 00А з О А. В силу того,
что обратные импликации данных формул и А4 также являются его теоремами
(в силу наличия уже в более слабой системе Т законов ПА з А и А з <>А),
исчисление S4 обладает важным свойством: любая формула С, предваренная
непустой конечной последовательностью символов П, эквивалентна в нем
формуле ПС, а любая формула С, предваренная подобной последовательностью
символов 0, эквивалентна в этом исчислении формуле ОС. Иными словами,
теоремами S4 являются формулы следующих типов:
□ П...пСзПС, оо...с>с = ос.
Еще одна льюисовская система - исчисление S5 - получается из системы В
за счет добавления к последней схемы аксиом А4, или же из системы S4
присоединением схемы аксиом A3. Кроме того, имеется возможность получить S5
непосредственно из Т, добавляя следующую схему аксиом:
А5. О А з П О А (все возможное с необходимостью возможно).
Законами S5 являются также формулы типа <)ПА з ПА. Вообще, в этой
системе в формулах, которые начинаются с модальной приставки, состоящей из
символов П и 0, существенной оказывается последняя модальность приставки.
Более строго, в S5 доказуемы формулы видов
МПВ^ПВ и МОВееОВ,
где М - любая конечная последовательность операторов П и О, расположенных
в ней в произвольном порядке.
Другое важное свойство исчисления S5, также связанное с редукцией
сложных модальностей к более простым, формулируется следующим образом: любая
314

; формула ®В, где В - формула, а <8> - конечная последовательность символов ->,
■ П и 0, взятых в произвольном порядке, эквивалентна в этом исчислении
формуле одного из шести типов: В, -.В, ПВ, П-В, <>В, О-iB. Заметим, что в системе
S4 выражение ®В можно эквивалентным образом свести к формуле одного из
четырнадцати типов: к шести указанным выше добавляются DOB, oO-iB, <>ПВ,
; Оп-В, ОпОВ, ОпО-пВ, пОпВ, ПОП-.В.
I- Модальности, осуществляющие квалификацию ситуаций в ином, нежели але-
s- тическом, аспекте, по своим логическим свойствам в чем-то сходны, а в чем-то
к отличны от них. Поэтому возможный набор дедуктивных постулатов в системах
I с деонтическими, аксиологическими, временными и эпистемическими
модальностями в каждом случае имеет свою специфику, хотя построение этих систем
осуществляется по тому же принципу, что и в нормальных модальных
исчислениях: они формулируются как надстройка над классической логикой.
В системах деонтической логики с исходной модальностью «обязательно»
(будем использовать для нее символ «О») отказываются по соображениям
содержательного порядка от аналога закона алетической логики DA z> А -
формулы ОА з А. Утверждение, которое содержит последняя формула - «все, что
предписывается нормативным кодексом имеет место в действительности», - не
согласуется с реальным положением дел, поскольку не всегда нормы морали и
права выполняются людьми. Обычно в качестве постулата в деонтических
системах вместо oAdA вводится другая схема - оАэ-.О—.А. Учитывая, что
комбинация символов «О—.» отождествляется по определению с модальностью
«запрещено», смысл указанной схемы состоит в том, что кодекс не может
одновременно обязывать совершать некоторое действие и запрещать совершать его.
Иногда в системах деонтической логики, отбрасывая постулат ОА п А,
принимают схему аксиом 0(ОА з А), гласящую, что нормативный кодекс требует
обязательного выполнения своих предписаний. Некоторые исследователи
считают содержательно неоправданным и правило Гёделя для модальности О,
поскольку его принятие означало бы, что кодекс норм содержит предписание о
необходимости выполнять логические законы. В этом случае вместо правила
Гёделя постулируется более слабое правило вывода:
ЬАрВ
I-OAd OB,
где заключение говорит о том, что если А является обязательным, то обязательны
и все логические следствия А.
При построении систем логики личностных эпистемических модальностей,
например «субъект а знает, что» (оператор Ка), «субъект а полагает, что»
(оператор Ва), вызывает серьезные сомнения принятие не только правила
Гёделя, но и более слабого - аналога приведенного выше деонтического правила
вывода. Наличие в эпистемической системе какого-то из правил -
НА НАэВ
Ь КаА ИЛИ I- КаА => КаВ
делает систему содержательно парадоксальной. Согласно первому правилу, субъект
обладает знанием всех логических законов, а согласно второму, субъект знает все логичес-
315

кие следствия из принимаемых им истинных высказываний. Эти и им подобные не
соответствующие интуиции положения получили название «парадоксов логического
всеведения». Принятие аналога алетического закона ПА з А правомерно для модальности
знания - КаА з А. В то же время, подобное утверждение для модальности полагания -
ВаА з А - неприемлемо, так как мнения субъекта, в отличие от его знаний, могут не
соответствовать действительности. Введение в эпистемическую логику отдельных
дедуктивных постулатов может некоторым образом ограничить класс предполагаемых
носителей знаний и мнений. Так, принятие в качестве законов формул вида ВаА з -iBa-A
свидетельствует о рациональности субъекта, о том, что он следует логическому
принципу непротиворечия, не считая одновременно справедливыми некоторое утверждение и
его отрицание, а наличие в эпистемической системе закона КаА з КаКаА говорит об
осознанности субъектом своих собственных знаний.
Хорошо разработанным разделом модальной логики является логика доказуемости.
в которой фиксируются логические свойства безличностных эпистемических
модальностей. Интерес представляет система GL, язык которой содержит унарный модальный
оператор (будем использовать в данном качестве символ И), понимаемый как аналог
выражения «в формальной арифметике доказуемо, что». Свойство высказываний
формальной арифметики «быть доказуемым» само формализуемо в данной теории.
Адекватное представление логических характеристик этого свойства осуществляется в
исчислении GL принятием следующих постулатов: схем аксиом классического исчисления
высказываний, двух модальных схем - Н(А з В) з (ИА з ИВ) и П(ПА з А) з ПА, а
также правила modus ponens и правила Гёделя для модальности Н.
Что касается логики унарных аксиологических модальностей «хорошо» и «плохо»
(логики оценок), то она во многом сходна с деонтической логикой, а особенности
построения логики временных модальностей (временной логики) будут рассмотрены в
следующем параграфе.
3.8. Семантика возможных миров для модальных исчислений
Системы модальной логики долгое время не имели адекватных семантик, в
которых придавался бы точный и интуитивно ясный смысл модальностям D и
О, формулировались бы условия истинности и ложности модальных формул.
Лишь на рубеже 50-х-60-х гг. XX в. усилиями многих исследователей, среди
которых необходимо особо выделить американского логика С. Крипке, такие
семантики были созданы.
При построении семантики алетической модальной логики мощную
эвристическую роль сыграла восходящая к Г. Лейбницу идея «возможных миров».
Согласно Лейбницу, окружающая нас реальность - действительный мир - не
является единственно возможной: мы можем представить себе иную реальность,
в которой какие-то ситуации, отсутствующие в «нашем» мире, имеют место, а
некоторые из тех, которые есть в действительности, отсутствуют. Такого рода
возможная реальность представляет собой некую альтернативу
действительному миру, это то, что могло бы в принципе иметь место, «если бы, - говоря
словами самого Лейбница, - Бог создавал мир в соответствии с иным планом».
Лейбниц исходил из множественности возможных реальностей, а
действительный мир считал одним из возможных миров (правда, наилучшим из них, по-
316

Е скольку именно он создан всеблагим, всемогущим и всеведущим Богом).
Единственное требование, предъявляемое Лейбницем к возможным альтернативам
действительному миру, - их непротиворечивость, согласованность с
фундаментальными объективными законами (в том числе и логическими), лежащими в
основе «мироздания».
В современной логике экспликация лейбницевских возможных миров была
осуществлена австрийским философом и методологом Р. Карнапом. Он исходил
из трактовки «мира», содержащейся в «Логико-философском трактате»
Л. Витгенштейна: мир есть совокупность фактов, а не вещей (предметов).
Простейший, «атомарный» факт выражается в языках логических теорий
элементарной формулой, а его отсутствие в мире - отрицанием элементарной формулы.
В качестве синтаксического аналога возможного мира Карнап использует
конструкцию, называемую классическим описанием состояния.
Классическое описание состояния - множество, которое в качестве
элементов содержит элементарные формулы языка или их
отрицания и удовлетворяет условиям непротиворечивости (никакая
формула не входит в него вместе со своим отрицанием) и полноты (для
любой элементарной формулы верно, что она сама или же ее
отрицание содержатся в нем).
Для языка логики высказываний понятие классического описания состояния
конкретизируется следующим образом: оно представляет собой подмножество а
множества {р, -пр, q, -nq, г, -,r, s, -,s, рь -,рь qb -,qb гь -,гь sb -,sb P2, ^Рг, •••},
которое обладает двумя свойствами -
(i) не существует пропозициональной переменной у такой, что yea
и -iy е a;
(ii) для всякой переменнойу,уеа или -.у б а.
Одно из описаний состояния выделяет положения дел, наличествующие и
отсутствующие в действительном мире; остальные же описания состояния
воспроизводят в языке возможные альтернативы реальному миру.
Иногда для решения практических задач описания состояния связываются с
конечным набором элементарных формул, в пропозициональном языке - с
конечным списком пропозициональных переменных уь уг,..., у„. В этом случае под
классическим описанием состояния понимается любое множество {у*ь у*2>--->
у*„}, в котором каждое y*j (1 < i < п) есть либо уь либо -iyj. Количество
различных описаний состояния относительно п переменных равно 2". Например,
относительно двух переменных - р и q - имеется четыре классических описания
состояния: {р, q}, {р, -,q}, Ьр, q}, Ьр, -,q}.
Имеются и другие экспликации возможных миров. Карнаповские описания
состояния представляют собой лишь частичные их описания, поскольку в них
фиксируется наличие или отсутствие отдельно взятых положений дел и не
воспроизводятся взаимосвязи между ситуациями, выражаемые в языках логических
теорий с помощью формул более сложной структуры. В этом отношении более
полное описание возможного мира обеспечивают так называемые максимальные
317

непротиворечивые множества формул. В языке классической логики
высказываний максимальным непротиворечивым называют множество формул А,
удовлетворяющее следующим условиям:
(1) не существует формулы А такой, что А е А и -А е А;
(2) для всякой формулы А верно, что А е А или —А е А;
(3) все тождественно-истинные формулы содержатся в А;
(4) А замкнуто относительно правила modus ponens, т. е. если A z> В е А и
А е А, то В е А.
Максимальные непротиворечивые множества обладают рядом важных свойств:
(а) -А е Д о А г А;
(Ь)А&ВеАоАеДиВеА; <
(c)AvBeAoAeA или В е А; \
(ё)АзВЕАоАёД или В е А.
И Лейбниц, и Карнап использовали абстракцию возможных миров для
прояснения содержания алетических модальных понятий. Так, согласно Лейбницу,
необходимые утверждения истинны не только в действительном мире, но и в
возможных мирах, альтернативных действительному. Карнап, решая задач}
уточнения понятия логической истинности (а тем самым и модальности
«логически необходимо»), утверждал, что логически истинным является
высказывание, которое истинно во всех классических описаниях состояния. Таким
образом, для установления значения модального высказывания недостаточно соотне-;
сти его с действительным миром, обязательно требуется также обратиться к
возможным альтернативам этому миру. Именно эта идея Лейбница и была
развита С. Крипке при построении семантик для нормальных модальных исчисле-S
ний. Необходимость понимается им как истинность в каждом мире,
альтернативном данному, а возможность - как истинность, по крайней мере, в одном из
таких миров. Приступим теперь к точной формулировке семантики возможных
миров для минимальной нормальной модальной логики - исчисления Т.
К числу исходных семантических конструкций относится прежде всего
некоторое наперед заданное множество М, истолковываемое как множество
возможных миров. Последние понимаются предельно абстрактно, как некие
«точки соотнесения» формул языка с внеязыковой сферой, благодаря
которым (точкам соотнесения) формулы приобретают те или иные истинностные
значения. Единственное требование, предъявляемое к множеству возможных
миров, - непустота последнего.
Один из элементов М (обозначим его т0) наделяется особым статусом -
объявляется действительным миром. При этом Крипке прямо следует за
Лейбницем: действительный мир - это всего лишь какой-то из возможных миров.
Таким образом, понятие возможного мира оказывается более фундаментальным,
нежели понятие действительного мира (подобную позицию в современной
философии называют поссибилизмом).
Важнейшим вкладом Крипке в решение проблемы построения адекватной
семантики для модальных исчислений было введение в нее особого бинарного
отношения R, связывающего возможные миры между собой. Это отношение сам
318

Крипке называл «отношением достижимости» одного мира из другого; для его
обозначения используется также термин «отношение альтернативности"». Ме-
таязыковое выражение Щгп\, /и2) означает, что из мира т\ достижим мир т2, или
что мир тг является альтернативой миру nt\. В семантике для системы Т
постулируется рефлексивность отношения достижимости: каждый возможный мир
достижим сам из себя - V тЩт, т).
Возможными значениями пропозициональных переменных, как и в
классической логике, являются и («истина») и л («ложь»). Однако оценка переменных
в семантике модальной логики релятивизируется относительно возможных
миров: пропозициональные переменные оцениваются как истинные или ложные
не сами по себе, а в каком-то возможном мире, причем в различных мирах одна
и та же переменная может принять разные значения. Такой подход к оценке
формул (причем не только элементарных, но и сложных) позволяет утверждать,
что в данной семантике реализована философская идея конкретности истины.
Техническое оформление этой идеи осуществляется следующим образом:
интерпретирующая функция I (функция приписывания значений нелогическим
символам алфавита) определяется как двухместная, она сопоставляет значения
из множества {и, л} парам, состоящим из пропозициональной переменной и
возможного мира. Выражение 1(р, т) = и, например, означает, что переменная р
в возможном мире т принимает значение «истина».
Множество возможных миров М, выделенный действительный мир га0,
отношение достижимости R и интерпретирующая функция I составляют моделъую
структуру.
Модельной структурой называется кортеж <М, m0, R, 1>, в котором:
(1) М * 0,
(2) m0 е М,
(3) R - бинарное отношение, заданное на М (т. е. R с: М х М) и
обладающее свойством рефлексивности - V тЩт, т),
(4) 1(у,т) е {и, л}, где у - произвольная пропозициональная
переменная, ашеМ,
Придание точных значений логическим символам языка - классическим и
модальным пропозициональным связкам - осуществляется посредством
указания на условия истинности и ложности формул, образованных с их помощью, в
произвольном возможном мире т е М произвольной модельной структуры
<W, m0, R, 1>. С этой целью с каждой модельной структурой ассоциируется
двухместная функция оценки \ \, которая каждой формуле в каждом мире
сопоставляет или и, или л. Выражение «|А|т» читается как «значение формулы А в
мире /и». Функция оценки определяется следующим образом:
1.|у|т = и<^>1(у, т) = и,
|у|т = ло1(у, /и) = л;
2. |—iA|m = и о |А|т = л,
|-,А|т = и о |А|т = и;
319

3. |А & B|m = и <=> |A|m = и и |B|m = и,
jА & В|т = и о |А|т = л или |В|т = л;
4. |А v В|т = и о |А)т = и или |В|Ш = и,
|А v В|т = л <=> |А|т = л и |В|т = л;
5. |А а В|т = и о |А|т = л или |В|т = и,
|А => В|т = л о |А|т = и и |В|т = л;
6. |ПА|т = и <^> V /w'(R(w, /и') => |А|т. = и),
|ПА|т = лО 3»t'(R(#i, /и') и |А|т. = л).
Первый пункт определения говорит о том, что значение пропозициональных
переменных обусловлено интерпретирующей функцией I. Следующие четыре
пункта - это стандартные семантические определения классических
пропозициональных связок, релятивизированные относительно возможных миров.
Последний пункт определения формулирует условия истинности и ложности
модальных формул вида ПА. Формула ПА истинна в возможном мире т в том и
только в том случае, когда в каждом мире, достижимом из т, оказывается
истинной формула А. ПА ложна в т тогда и только тогда, когда А ложна, по
крайней мере, в одном возможном мире, альтернативном миру т.
Основываясь теперь на определении оператора возможности - О A =D-
-.□—iA - можно сформулировать следующие условия истинности и ложности
формул вида ОА:
7. |<>А|т = и о Э т\Щт, т') и |А|т. = и),
|0 А(т = л <=> ^ m'(R(m, т') => |А|т' = л).
Формула О А истинна в возможном мире т в том и только в том случае,
когда существует мир, достижимый из данного, в котором формула А оказывается
истинной. <>А ложна в т, если и только если А ложна в каждом возможном
мире, альтернативном миру т.
Завершающий этап в построении семантики для модальной логики Т -
введение понятий истинности формулы в модельной структуре, общезначимости в
Т и различных логических отношений между формулами в Т (прежде всего -
отношения логического следования).
Формула А истинна в модельной структуре <М, m0, R, 1>, если и
только если А в мире т0 (действительном мире данной структуры)
принимает значение «истина».
Формула А Т-общезначима тогда и только тогда, когда А истинна в
каждой модельной структуре <М, m0, R, 1>.
Из множества формул Г в модальной логике Т логически следует
формула А, если и только если во всех модельных структурах, где
истинна каждая формула из Г, формула А также является истинной.
320

Моделью формулы А в модальной логике Т называется любая
модельная структура Т, в которой формула А принимает значение
«истина».
С. Крипке доказал метатеоремы о семантической непротиворечивости и
полноте исчисления Т относительно приведенной семантики. Таким образом,
класс теорем данного исчисления совпадает с множеством Т-общезначимых
формул. Он установил также, что адекватные семантики для ряда других
нормальных модальных систем, в частности исчислений В, S4 и S5, могут быть
получены за счет наложения дополнительных ограничений на отношение
достижимости R в модельных структурах <М, m0, R, 1>.
Так, понятие В-общезначимой формулы (объем которого равен классу
теорем исчисления В) может быть задано так: В-общезначимыми являются
формулы, истинные в любой такой модельной структуре <М, m0, R, 1>, где
отношение R наряду со свойством рефлексивности обладает свойством
симметричности, т. е.
\У ш\ У m2(R(mi, т2) => R(»f2, »*i)).
Принятие же наряду со свойством рефлексивности в качестве
дополнительного условия транзитивности отношения R, т. е.
V nti \f т2 V т3((Щт\, т2) и Щт2, т3)) => Щтъ т3)),
дает класс 84-общезначимых формул, совпадающий с множеством теорем
исчисления S4. Семантика для системы S4 обладает одним важным свойством: все
высказывания, которые необходимы в некотором возможном мире, остаются
необходимыми в любом мире, достижимом из него. Аналогичное утверждение
справедливо и для невозможных высказываний: они остаются невозможными во
всех альтернативах исходному миру. Что же касается формул, не имеющих вида
О А или -iOA, то, будучи истинными в мире т, они могут стать ложными в т\
достижимом из т.
Наконец, 85-общезначимыми являются формулы, истинные во всех
модельных структурах <М, m0, R, 1> с рефлексивным, симметричным и транзитивным
R. Множество таких формул совпадает с классом теорем исчисления S5. В
семантике системы S5 не только необходимые и невозможные формулы
сохраняют свой модальный статус при переходе из данного мира в достижимый из него
мир. Подобные утверждения верны также для возможных и ненеобходимых
формул: если формула О A (-iDA) истинна в мире т, то она сохранит свое
значение в каждом т\ альтернативном миру т. Заметим, что для получения
семантики, которая адекватна исчислению S5, можно наложить иное, более сильное
ограничение на отношение достижимости, потребовав, чтобы данное отношение
было универсальным:
V т\ V т2Щт1, т2),
т. е. каждый мир достижим из каждого мира. Отсюда следует, что семантика для
S5 может быть сформулирована вообще без использования отношения дости-
491
Введение влогику ~it* i

жимости. Истинность формулы ПА будет означать, что А истинна в каждом
мире из М, а ее ложность - что в М найдется мир, в котором А ложна. Такие
условия истинности формул вида DA напоминают определение логической
истинности по Карнапу. Последнее, по мнению многих исследователей, является
аргументом в пользу того, что S5 - это система, эксплицирующая логические
алетические модальности.
3.9. Метод аналитических таблиц в модальной логике
В главе V был рассмотрен метод аналитических таблиц для логики
высказываний и логики предикатов первого порядка. Этот метод позволял в
определенных случаях устанавливать наличие логического следования некоторой
формулы В из посылок Ai, А2,..., А„, а также позволял устанавливать, является ли
некоторая формула законом логики высказываний или логики предикатов.
Метод аналитических таблиц может быть использован и в области модальной
логики. Правда, в этом случае он несколько усложняется.
Усложнение будет состоять в том, что теперь при проверке
общезначимости модальных формул мы будем в общем случае иметь дело не с одной
аналитической таблицей, а с некоторым упорядоченным множеством аналитических
таблиц, а именно, деревом таких таблиц. Иначе говоря, мы будем иметь дело с
дважды упорядоченным деревом. С одной стороны, каждая аналитическая
таблица, входящая в данную структуру аналитических таблиц, будет древесно
упорядочиваться посредством правил редукции для пропозициональных
переменных - t&, fv, fb, t-i, f-i, f&, tv, tu. С другой же стороны, само
многообразие аналитических таблиц, которое возникает при проверке на общезначимость
некоторой модальной формулы, тоже будет древесно упорядочиваться
посредством правил редукции для модальных операторов □ и 0. Из описания
аналитических таблиц для логики предикатов, приведенного в главе V, известно, что
в ней для каждой конкретной аналитической таблицы всегда имеются линейно
упорядоченные множества отмеченных формул. Как и ранее будем называть
эти линейно упорядоченные множества отмеченных формул для конкретных
аналитических таблиц цепями. С другой стороны, в древесной структуре
совокупности самих аналитических таблиц тоже будут находиться линейно
упорядоченные множества этих таблиц. Будем называть эти линейно упорядоченные
множества аналитических таблиц, входящих в систему аналитических таблиц.
их ветвями.
Это усложнение обусловлено тем обстоятельством, что, согласно
условиям истинности, изложенным в предыдущем параграфе, ложность
формулы ПА в некотором возможном мире т означает, что подоператорная
формула А является ложной в некотором альтернативном к т мире /и'. Поэтому
при проверке общезначимости некоторой формулы в модальной логике,
коль скоро было установлено, что формула ПА в мире т является ложной,
необходимо перейти к построению нового мира т' и положить: 1) что этот
322

мир достижим из мира т и 2) что в этом новом мире подоператорная
формула А является ложной.
Аналогично необходимо поступать и в том случае, когда в мире т
установлена истинность формулы О А (см. п.7 условий истинности данного
параграфа). Единственное отличие от предыдущего случая состоит только в том,
что теперь подоператорная формула А должна быть оценена в альтернативном
мире т' как истинная.
В предыдущем параграфе было предложено трактовать описание состояния
(классические описания состояния) некоторого мира как синтаксический аналог
самого этого мира. Теперь же, рассматривая метод аналитических таблиц, будем
полагать, что синтаксическим аналогом миров являются аналитические
таблицы, которые тоже могут трактоваться как их описания.
Перейдем к заданию правил редукции для модальных логик. Прежде
всего отметим, что, так как рассматриваемые модальные системы строятся на
базе классической логики высказываний, мы без каких либо изменений
принимаем все правила редукции главы V, относящиеся к пропозициональным
связкам &, v, гэ и —1. К ним добавляются следующие правила редукции для
операторов □ и 0.
Правило to. Предположим, что в некоторой цепи таблицы т содержится
отмеченная формула tOA. Она выражает утверждение об истинности формулы
ПА в этой цепи. Из определения пункта 6 условий истинности модальных
формул следует, что формула ПА истинна в данной цепи т тогда и только
тогда, когда в каждой таблице т', относительно которых нам известно, что они
достижимы из данной цепи т (эти таблицы должны быть
обязательно уже построены), истинной должна быть подоператорная формула А.
Поэтому в указанные уже имеющиеся таблицы т' можно поместить
отмеченную формулу tA. Заметим, что во всех нормальных системах отношение
достижимости рефлексивно, т. е. каждая таблица достижима сама из себя, а
потому по отношению к любой таблице т всегда имеется таблица, которая уже
заранее построена. Таковой является сама таблица т. Сокращенная
формулировка данного правила выглядит следующим образом:
| tO А в цепи таблицы т
tA в каждой таблице т\ достижимой из цепи таблицы т
Правило fo. Предположим, что в некоторой цепи таблицы т содержится
отмеченная формула ША. Она выражает утверждение о ложности формулы ОА
в цепи таблицы т. Это означает, что существует таблица т\ достижимая из
данной цепи таблицы т, такая, что формула А в ней оценивается как ложная.
Эта таблица должна отличаться от тех таблиц, которые уже были построены.
Поэтому мы строим в обязательном порядке новую аналитическую
таблицу, которая порождает новую ветвь аналитических таблиц, объявляем ее
достигнутой из данной цепи таблицы т и помещаем в нее утверждение fA:
323

~ I fDA в цепи таблицы т ^^
| fA в новой таблице tri
Правило tO. Пусть в некоторой цепи таблицы т содержится отмеченная
формула tOA. Она выражает утверждение об истинности формулы О А в этой
цепи. Формула ОА истинна, если и только если существует таблица т\ достижимая
из данной цепи таблицы т, такая что формула А в ней оценивается как
истинная. Эта таблица должна отличаться от всех ранее построенных таблиц, а
потому мы должны в обязательном порядке построить новую таблицу,
которая порождает новую ветвь аналитических таблиц, объявить ее достигнутой
из данной цепи таблицы т и поместить в нее утверждение tA:
Л 1 tOA в цепи таблицы т ^
| tA в новой таблице т'
Правило fO. Наличие формулы fOA в некоторой цепи таблицы т выражает
утверждение о ложности формулы О А. Но данная формула ложна, если и только
если в каждой таблице, которая достижима из данной цепи таблицы т (эти
таблицы должны быть уже построены), ее подформула А оценивается
как ложная. Поэтому в каждую такую таблицу можно поместить отмеченную
формулу fA:
fOA в цепи таблицы т
fO
fA в каждой таблице т\ достижимой из цепи таблицы т
Новые правила редукции подразделяются на локальные и глобальные. К
локальным относятся правила fD и tO, т. е. те правила, которые в
обязательном порядке требуют введения новых т а б л и ц, к глобальным же
относятся правила tQ и fO, по которым работают с уже построенными
таблицами. При применении метода аналитических таблиц
рекомендуется вначале всегда применять локальные правила. Глобальные же
правила можно вновь и вновь применять по мере появления новых достижимых
таблиц. При этом при применении глобальных правил надо всегда помнить, что
отношение достижимости в различных системах обладает
различными свойствами.
Введем ряд понятий, связанных с применением метода аналитических
таблиц для модальной логики.
Аналитической таблицей ш0 назовем:
а) при обосновании общезначимости формулы А ту аналитическую
таблицу, которая начинается с отмеченной формулы fA.
б) при обосновании следования вида Аь А2,..., А„ N В ту
аналитическую таблицу, которая начинается с отмеченных формул tAb
tA2,..., tAn и ffl.
Системой аналитических таблиц называется множество
аналитических таблиц, древесно упорядоченное отношением достижимости.
324

Цепь аналитической таблицы т замкнута, если:
(1) в ее составе встречаются две отмеченные формулы вида - tC и fC,
(2) в ветви среди таблиц, достижимых из данной цепи таблицы т,
найдется хотя бы одна замкнутая таблица.
Аналитическая таблицы т замкнута, если все ее цепи замкнуты.
Система аналитических таблиц замкнута, если замкнута
аналитическая таблица т0.
Построение замкнутой системы аналитических таблиц для некоторой
формулы А, с учетом специальных свойств достижимости для соответствующей
модальной логики, означает, что эта формула является общезначимой (законом) в
этой логике. Аналогично построение замкнутой системы аналитических таблиц,
используемой для проверки наличия логического следования формулы В из
посылок А], А2,..., А„, с учетом специальных свойств достижимости для
соответствующей модальной логики, означает, что наличие данного следования в этой
логике имеет место.
Приведем теперь примеры работы в этой технике. Обоснуем общезначимость
формулы
□(А з В) з (DA з ПВ).
Начнем строить систему аналитических таблиц с построения аналитической
таблицы т0. Для этого введем в нее следующую отмеченную формулу
1. | fD(A з В) з (DA з ПВ).
Так как главным знаком формулы является з, то применим правило fb.
1. fO(A з В) з (QA з ПВ)
2. tn(A з В)
3. f(nA з ПВ)
В таблице т0 появились две новые отмеченные формулы, но вторая
формула связана с глобальным правилом tn, в то время как третья - с локальным
правилом f3. Поэтому продолжим построения аналитической таблицы с
использованием этого правила.
1.
2.
3.
4.
5.
fD(A з В) з (ПА з ПВ)
tn(A з В)
f(DA з DB)
ША
fDB
Итак, теперь в аналитической таблице т0 три отмеченные формулы, с
которыми еще не проводилась работа. Это формулы 2, 4 и 5. Но формулы 2 и 4 требуют
применения глобального правила tD, в то время как формула 5 связана с
применением локального правила fn. Это правило требует построения новой
альтернативной аналитической таблицы от', которая будет связана с аналитической
таблицей то отношением достижимости. Итак, применим правило fn к 5-й
отмеченной формуле.
325

1.
2.
3.
4.
5.
fD(A з В) з (DA з ПВ)
tD(A з В)
f(DA з ПВ)
tnA
fnB
->
fB
На последнем шаге у нас появилась новая аналитическая таблица т\
достижимая из единственной цепи таблицы т0. Это означает, что мы начали строить
новую ветвь и имеем право применить к формулам 2 и 4 глобальное правило tD.
Сделаем это сразу для обеих отмеченных формул.
1.
2.
3.
4.
5.
ГП(Аз
tn(A3
f(DAD
tnA
iDB
В)з
В)
пв)
(пАз
ПВ)
-Ч»
fB
t(A з В)
tA
С формулами 6 и 8 работать далее нельзя, так как они не редуцируются. Но
остается возможность работать с формулой 7, имеющей в качестве главного
знака импликацию. Правило t3 ведет к расщеплению таблицы т' на две под-
таблицы. А потому получаем:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
1П(Аз
Ш(Аз
f(nA3
tnA
fnB
В)з
В)
пв)
(ПАз
ПВ)
\
S
fB
t(A з В)
tA
fA tB
Как видим, обе подтаблицы таблицы /и' оказались замкнутыми (пункты 8-9 и
6-9). Тем самым таблица /я' замкнута. А так как таблица т' достижима из
единственной цепи таблицы т0, то это говорит о том, что последняя тоже замкнута,
и, следовательно, замкнута вся система аналитических таблиц. Таким образом,
методом аналитических таблиц показана общезначимость модальной формулы
П(АзВ)з(ПАзПВ).
При обосновании формулы П(А з В) з (ПА з ПВ) специальные свойства
отношения достижимости не использовались. А потому эта формула общезначима
в системе Т и во всех ее расширениях.
Покажем теперь, какое значение для обоснования общезначимости модальных
формул имеют специальные свойства отношения достижимости. Покажем,
например, что в системе Т и всех более сильных системах, где отношение дости-

жимости обладает свойством рефлексивности, является общезначимой формула
□А з А. Начнем строить систему аналитических таблиц.
1. | ШАэА
Так как у единственной формулы ОАэА, содержащейся в таблице, главным
знаком является знак импликации, то применим правило fb.
1.
2.
3.
fdA
tDA
fA
Отношение достижимости во всех системах обладает свойством
рефлексивности, т. е. построенная таблица достижима сама из себя, а потому к отмеченной
формуле 2 можно применить правило tD. Это позволяет продолжить построение
таблицы следующим образом:
1.
2.
3.
4.
fdA:
tDA
fA
tA,
и начальная аналитическая таблица т0 оказывается замкнутой (пункты 3-4). Тем
самым замкнута и система аналитических таблиц. Из этого примера легко
заметить, что без свойства рефлексивности мы не смогли бы замкнуть строящуюся
аналитическую таблицу.
Приведем еще один пример и покажем общезначимость формулы DAd DDA
в системах S4 и S5, где отношение достижимости обладает свойствами
рефлексивности и транзитивности. Начнем строить систему аналитических таблиц.
1. fDA^QDA
Применяем правило fb.
1.
2.
3.
fdAz>aoA
tDA
fDDA
По рефлексивности данная таблица достижима сама из себя и потому мы,
конечно же, можем применить правило tD ко 2-й отмеченной формуле, однако по
приоритету, который был выше указан, желательно первоначально применять
локальные правила. Последуем этой рекомендации и применим к отмеченной
формуле 3 правило fD.
1.
2.
3.
4.
fdA Г) DDA
tDA
fDDA
->
fdA
Итак, у нас теперь в системе аналитических таблиц находятся две таблицы -
таблица т0 и достижимая из нее таблица т'. Используя это обстоятельство, мы
327

можем применить правило to и во все достижимые таблицы поместить формулу
tA. Сделаем это.
ftlAD ППА
tDA
ftlDA э_
~~"* fDA
1.
2.
3.
4.
5.
->
tA
tA
У нас есть еще одна формула - 4-я, - с которой мы еще не работали. Если
применить правило fn к отмеченной формуле 4, то мы должны будем построить
еще одну аналитическую таблицу от", которая будет достижима из таблицы от'.
Проделаем эту процедуру.
□ □А
1.
2.
3.
4.
5.
6.
ЙАэ
tDA
fDDA
tA
fDA
tA
->
fA
Так как отношение достижимости в системе S4 обладает свойством
транзитивности, а нам известно, что таблица от' достижима из ш0 и в то же время
таблица от" достижима из от', то по транзитивности от" достижима из т0. Поэтому
мы можем по правилу tD перенести формулу tA в таблицу от" и тем самым
замкнуть ее.
fDA^ ППА
tDA
fDDA
fDA
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
tA
tA
->
fA
tA
Итак, третья таблица замкнута, а, следовательно, замкнута и начальная
таблица, что и обосновывает общезначимость в S4 и S5 формулы ПА zd ППА.
Упражнения
1. Определите в рамках семантики возможных миров условия истинности
и ложности следующих формул:
а) ПА => ОВ, б) ОВ з О А,
в)пОпА, г)0(ПА&ПВ).
2. В каких нормальных модальных системах являются законами следующие
формулы и имеют место отношения логического следования:
а)-,рзП^Пр, б) D(p => q) => (Dp z> (q v r),
в) -,Dp D П-iDp, г) 0 Dp =) □ Op,
д) 0pz>-.0-.0p, e) D(p & q) z>-.(-.Qp v-iDq),
328

ж) D(p & q) 1= On-i(p & -nq), з) Dp, ^(q v r) 1= ->П(р => q),
и) П(р =) q), Op, 0-^q 1= (q з p).
3. Продемонстрируйте правильность следующего модального рассуждения:
Необходимо, если число делится на 5, то оно оканчивается на 0 или на 5.
Следовательно, не может быть так, чтобы число делилось на 2, но не
оканчивалось на 0 или на 5.
§ 4. Логика времени
4.1. Обременённые высказывания
Среди высказываний естественного языка особую группу высказываний
составляют так называемые обременённые высказывания. Их отличительная
особенность состоит в том, что они содержат временной параметр или временную
характеристику.
Временной параметр представляет собой указание на определенный
момент или интервал времени. Под моментами и интервалами времени
подразумевают некоторые временные единицы - секунды, минуты, часы, дни,
месяцы, годы, столетия и т. п. При этом моменты времени понимаются как не
имеющие длительности. Ясно, что квалификация некой временной единицы
как момента предполагает наличие шкалы времени, для которой установлены
минимальные единицы измерения. Последние и выступают в роли моментов
времени. Временные интервалы, напротив, рассматриваются как имеющие
длительность, т. е. в их составе в рамках принятой шкалы времени можно
выделить другие временные интервалы.
Высказывания с временными параметрами утверждают наличие или
отсутствие ситуации в конкретный момент времени или в конкретный временной
интервал. Например, высказывание «Юрий Гагарин полетел в космос 12 апреля
1961 г.» содержит указание на фиксированный момент времени - точную дату
полета в космос первого космонавта, а высказывание «В течение сентября
2000 г. Большой театр гастролировал во Франции» указывает на определенный
временной интервал - тот период времени, когда проходили гастроли.
Временная характеристика - это оценка отдельно взятой ситуации или
нескольких ситуаций относительно временного ряда.
Вопрос о том, что представляет собой временной ряд, поток времени, занимал
и занимает умы многих поколений философов, физиков и ученых других
специальностей. В нашу задачу не входит детальный анализ различных концепций,
затрагивающий данный вопрос. Ограничимся лишь кратким изложением одной из
таких концепций, принадлежащей английскому философу Дж. Мак-Таггарту.
Согласно Мак-Таггарту, временной ряд можно понимать двояко. Во-первых,
его можно трактовать как состоящий из трех сфер - прошлого, настоящего и
будущего, при этом каждое событие принадлежит какой-то из указанных сфер.
Данную экспликацию временного ряда Мак-Таггарт назвал А-рядом. Во-вторых,
329

временной поток может пониматься как множество единиц времени,
упорядоченное отношением «раньше-позже», что позволяет характеризовать одно
событие как предшествующее другому, последующее за другим или происходящее
одновременно с ним. Временной ряд в этой трактовке получил название В-ряда.
Высказывание, содержащее временную характеристику, указывает на место,
которое занимает во временном ряду отдельная ситуация, или же на связь между
несколькими ситуациями во временном потоке. Так, высказывание «Санкт-
Петербург когда-то был столицей России» квалифицирует ситуацию столичного
статуса Санкт-Петербурга в Российской империи, как имевшую место в
прошлом, т. е. относительно А-ряда. Высказывание «Индия произвела испытание
ядерного оружия раньше, чем это сделал Пакистан» указывает на то, что
ядерные испытания в Индии предшествовали во времени аналогичным испытаниям в
Пакистане, соотнося, таким образом, две ситуации с В-рядом.
Включение овременённых высказываний в сферу логического анализа
предполагает построение теорий, в рамках которых оценивается логический статус
подобных высказываний (их отнесение к классам логически истинных, логически
ложных и логически недетерминированных высказываний), а также выделение
множества корректных рассуждений, содержащих овременённые высказывания.
Указанные логические теории составляют раздел современной логики,
называемый логикой времени (временной логикой, темпоральной логикой).
При построении временной логики исследователь так или иначе
сталкивается с необходимостью ответа на ряд вопросов содержательного, философского
характера, что ведет к принятию им определенной концепции времени. Прежде
всего — это выбор трактовки временного ряда как А-ряда, В-ряда или некоторой
комбинированной его интерпретации. Далее, следует определить структуру
временного ряда: принять абстракцию момента времени и предположить, что время
состоит из моментов, не имеющих длительности, или же считать время интер-
вально организованным. Наконец, надо решить, какими свойствами обладает
временной ряд: имеет ли он начало и конец, линеен он или нет, дискретен или
непрерывен и т. д.
Логические теории овременённых высказываний могут формулироваться
двумя способами - как прикладные теории на базе классической первопорядко-
вой логики, либо как модальные, неклассические логики, содержащие в своем
языке модальности особого типа - временные модальности.
4.2. Логика времени как первопорядковая прикладная теория
Логические формы овременённых высказываний можно фиксировать в
прикладном языке классической логики предикатов первого порядка. Для этого
требуется расширение стандартного первопорядкового языка.
Прежде всего необходимо ввести в него список временных констант
{параметров) - новый сорт предметных (индивидных) констант. Если исходить из
тезиса о том, что время имеет «моментную», а не «интервальную» структуру, то
эти константы, с семантической точки зрения, репрезентируют конкретные
моменты времени. Скажем, для обозначения настоящего момента времени можно
330

использовать константу t0. Следует добавить также и новый сорт индивидных
переменных, возможными значениями которых также являются моменты
времени. Будем использовать в качестве временных переменных символы t, ty, t2, ...
Временные константы и временные переменные образуют новую
разновидность термов первопорядкового языка - временные термы. Далее
осуществляется модификация предикаторных констант языка: каждая и-местная предикатор-
ная константа П" преобразуется в п + 1-местную Пп + ', причем элементарные
формулы прикладного языка Пп + '(ть х2,..., х„, х„ + i) образуются сочленением
модифицированной предикаторной константы Пп + 1 с обычными
(невременными) термами ть т2,..., х„ и временным термом х„ + v Кроме того, в язык вводится
выделенный двухместный предикатор, репрезентирующий отношение
временного порядка - отношение «раньше-позже» между моментами времени. Будем
использовать с этой целью символ «<». Данный символ разрешается сочленять
только с временными термами: Xi < х2 является формулой, если Xi и х2 -
временные термы. Выражение Х] < х2 означает, что момент Xi раньше во времени
момента х2, а т2, наоборот, позже Xi.
Элементарные высказывания естественного языка с временным параметром
выражаются в прикладном первопорядковом языке с помощью атомарных
формул Пп + (хь х2,..., х„, х„ + i), в которых х„ + 1 как раз и является указанным
параметром. Например, высказывание «Россия в настоящее время является
федеративным государством» может быть записано в виде формулы прикладного языка
предикатов Р(а, t0), где t0 - знак настоящего момента времени, константе а
соответствует имя «Россия», а константе Р - предикатор «федеративное
государство», рассматриваемый в данном случае как двухместный (как знак отношения
между предметом и моментом времени). Переводом в формальный язык
высказывания «Фишер в 1972 году победил в матче за шахматную корону Спасского»
будет выражение Q(b, с, 1972 год), где b и с соответствуют именам «Фишер» и
«Спасский», a Q - трехместному предикатору «(некто) победил в матче за
шахматную корону (кого-то) в (такой-то момент времени)».
Овременённые высказывания, которые содержат временные
характеристики, выражаемые терминами «было», «будет», «всегда было», «всегда будет»,
«прежде, чем», «после того, как» и им подобными, записываются в прикладном
языке с использованием выделенного предикатора «<» и кванторов,
связывающих временные переменные. Приведем примеры переводов таких высказываний
в формализованный язык:
«Земля была шарообразной» - 3t(t < t0 & Р(а, t));
«Земля будет шарообразной» - 3f(t0 < t & Р(а, t));
«Земля всегда была шарообразной» - \/t(t < t0 з Р(а, i));
«Земля всегда будет шарообразной»- V7(t0 </эР(а, *)),
где а соответствует имени «Земля», а Р - предикатору «шарообразна».
«Прежде чем стать великим музыкантом, Паганини усердно занимался на
скрипке» - 3<i3/2(P(a, tx) & Q(a, t2) & h < /2),
где а соответствует имени «Паганини», P и Q - предикаторам «усердно
заниматься на скрипке» и «великий музыкант», соответственно.
331

Логика времени может строиться как прикладное двухсортное исчисление
предикатов (см. § 3.3 главы VI) в сформулированном выше языке. В качестве ее
дедуктивных постулатов необходимо принять все аксиомы и правила вывода
классического предикатного исчисления. Кроме того, имеется возможность
расширить множество постулатов за счет добавления новых аксиом,
выражающих свойства, которыми обладает отношение временного порядка. Укажем на
некоторые из возможных свойств данного отношения:
(1) антирефлексивность - \ft—i(t < t) (никакой момент не предшествует
самому себе во времени);
(2) асимметричность - V*iVf2(fi < h => —1(*2 < *i)) (если один момент
времени раньше другого, то второй не может быть раньше первого);
(3) транзитивность - VtiV72V/3((*i <t2& t2 < t3) з t\ < t3);
(4) бесконечность в прошлое - \ft\3t2{t2 < h) (для каждого момента
найдется такой, который предшествует ему во времени);
(5) бесконечность в будущее - V/i3/2(fi < h) (каждый момент
предшествует некоторому моменту во времени);
(6) плотность - \/ti\/t2(ti < t2 з 3f3(*i < h & h < h)) (если один момент
предшествует другому, то найдется момент, который позже первого и
раньше второго);
(7) линейность в прошлое - VtiVt2Vt3((t2 < h & h < t\) => (t2 < t3v t3< t2v
h = h)) (два момента, предшествующих любому моменту во времени,
также связаны между собой отношением временного порядка);
(8) линейность в будущее - V/1V/2Vt3((/i < t2 & t\ < t3) id (t2 < t3 v t3 < t2 v
h = h)) (два момента, последующие любому моменту во времени, также
связаны между собой отношением временного порядка).
Отметим, что принятие или непринятие указанных постулатов зависит от
позиции, которую занимает исследователь по вопросу о природе времени и
характеристиках временного ряда. Так, для сторонников идеи цикличности
времени («все, что произойдет в будущем, уже происходило в прошлом») неприемлем
постулат (2). Исследователи, разделяющие креационистский тезис о том, что
мир со своими атрибутами - пространством и временем - имеет начало, не
примут постулат (4). Более того, для них естественным является введение в логику
времени в качестве аксиомы противоречащего ему следующего утверждения -
3ti\/t2—i(t2 < h). Адепты эсхатологических учений, предсказывающие
наступление конца света, должны отвергнуть постулат (5) и могут принять в качестве
аксиомы его отрицание. Концепция дискретности времени не согласуется с
постулатом (6), а взгляд на время, допускающий ветвление временных процессов в
будущее (т. е. различные варианты развития событий), - с постулатом (8).
Сказанное позволяет понять причину множественности логических
временных теорий: за каждым набором постулатов, характеризующих отношение
«раньше-позже», стоит своя трактовка времени, временного ряда и временного
порядка, а следовательно, и своя особая временная логика.
332
i

Первопорядковые логические теории могут быть построены и в том случае,
когда предполагается, что время имеет интервальную организацию. При этом
возможными значениями временных констант и переменных будут не моменты,
а интервалы времени.
Для выражения возможных свойств временного ряда при данном
понимании его структуры оказывается недостаточным введения в алфавит предикатор-
ной константы < - знака отношения «раньше-позже» между временными
интервалами. Следует дополнительно ввести знаки других отношений между ними:
отношения подынтервальности (включения одного интервала в другой) - =<, а
также отношения наложения, перекрещивания интервалов - ®.
Для отношения подынтервальности естественно включить в число
постулатов теории следующие аксиомы: \/t(t < t) - аксиома рефлексивности (каждый
интервал включается сам в себя), V/1V/2V/3((/, < t2& h < t3) => h < t3) - аксиома
транзитивности, VtiVt2((t\ < t2&t2 < U) ^>t\ = t2) - аксиома антисимметричности
(если каждый из двух интервалов включается в другой, то они равны, т. е.
представляют собой один и тот же интервал). Для отношения наложения интервалов
имеет смысл постулировать свойство его симметричности, т.е. постулировать
V/iV/2('i ® t2 =з t2 ® t\) (если один интервал перекрещивается с другим, то и
второй перекрещивается с первым).
Кроме того, необходимо также принять аксиомы, фиксирующие
взаимосвязи между отношениями <, =* и <8>, например V^V/2(^i < t2 n —\(t\ ® t2))
(несовместимость отношений предшествования и перекрещивания) и V^V^VfcCCfi < t2 &
t$ < ti) r> t3 < t2) (монотонность отношения предшествования относительно
подынтервальности) .
4.3. Виды временных модальностей
Альтернативный подход к построению логики времени основан на
трактовке овременённых высказываний как модальных. Временная характеристика,
квалифицирующая ситуации с точки зрения их отношения к временному ряду,
выражается при таком подходе с помощью особых терминов - временных
{темпоральных) модальностей.
Выделим основные типы временных модальностей.
Унарные метрические модальности указывают на то, какой промежуток
времени отделяет от настоящего тот момент, когда некоторая ситуация имела
место в прошлом или произойдет, осуществится в будущем. В естественном
языке эти модальности выражаются словосочетаниями «п единиц времени назад
было так, что» и «через п единиц времени будет так, что». В формализованном
языке временной логики для первой модальности используется символ Р", а для
второй - символ F". В качестве единиц времени могут выступать различные
меры длительности: секунды, минуты, часы, сутки, месяцы, годы и т. п. Например,
высказывание «Логика была создана Аристотелем 24 века назад» может быть
выражено в языке временной логики формулой Р24р (единицами времени в этом
333

случае являются века), а высказывание «Через 5 недель произойдет полное
солнечное затмение» - формулой F5q (единицами времени здесь будут недели).
Частными случаями унарных метрических модальностей являются термины
«вчера было» и «завтра будет». Символически их можно представить,
соответственно, как Р1 и F1, причем в качестве меры длительности выступают сутки.
Среди логических свойств метрических операторов особо выделим те
операторы, которые связаны с их комбинированием в языковых контекстах. Так,
выражение РлРдаА эквивалентно выражению Р" + тА, a FT" А - выражению
F"+ тА. Более сложно обстоит дело в случаях, когда комбинируются
модальности прошлого и будущего. Например, выражение P"FmA эквивалентно
выражению Р"" тА, когда п> т, выражению F™' "А в том случае, когда п < т, и
выражению А, когда п = т.
Унарные неметрические модальности квалифицируют отдельно взятые
ситуации, как имеющие место в некотором или во всяком моменте прошлого или
будущего, а также, возможно, и настоящего. Обычно выделяют четыре такие
модальности: «было так, что» (для этой модальности принято использовать
унарную связку Р), «будет так, что» (символически - F), «всегда было так, что»
(символически - Н), «всегда будет так, что» (символически - G). Высказывание
«"Спартак" был чемпионом России по футболу» может быть переведено в язык
временной логики посредством формулы Рр, а высказывание «Математику
всегда будут изучать в школе» - посредством формулы Gq.
К модальностям данного типа относятся также термины «всегда» («вечно»)
и «иногда». Утверждение о том, что ситуация, описываемая в А, всегда имеет
место, может быть выражено формулой НА & А & GA (А всегда было, есть и
всегда будет), а утверждение о том, что подобная ситуация иногда имеет
место - формулой PA v A v FA (А было, есть или будет). Неметрической
модальностью является и термин «сейчас» (символически - N). Однако нет
необходимости специально вводить его в язык логики времени, поскольку формула вида
NA логически эквивалентна А.
Унарные неметрические модальности могут быть определены через
метрические, если ввести в формальный язык кванторы, которые связывали бы
переменные, пробегающие по единицам времени. FA в этом случае трактовалось бы
как «А произойдет через некоторое число единиц времени», GA - как «А
произойдет через любое число единиц времени», и аналогично для РА и НА:
FA =м 3«F"A, GA =Df V«F"A,
PA =Df ЗиР"А, HA =Df V«P"A.
Бинарные модальности, связанные с А-рядом, характеризуют две ситуации,
как относящиеся к различным временным сферам (прошлого, настоящего или
будущего). Финским логиком Г. фон Вригтом были детально изучены
логические свойства двух бинарных модальностей подобного типа - Т и Т', которым в
естественном языке соответствует выражение «а затем». Формула вида АТВ
содержательно означает, что сейчас истинно А, а в некоторый момент будущего
будет истинным В. Смысл формулы АТ'В таков: в настоящий момент времени
334

истинно А, а в непосредственно следующий за ним момент будет истинным В.
Так, высказывание «Мэри выходит замуж, а затем родит ребенка» в
символической форме записывается как pTq, а высказывание «Сегодня светит Солнце, а
завтра пойдет дождь» записывается как pT'q.
Исходя из приведенных разъяснений смыслов модальностей Т и Т,
очевидно, что первая связка может быть выражена через неметрическую унарную
модальность F, а вторая - через метрическую унарную модальность F1:
АТВ =„ А & FB, А Т'В % А & F'B.
К числу модальностей рассматриваемого типа относятся также две
экспликации выражения «а перед этим». Введем для их обозначения символы f и Т".
Эти модальности имеют иную, нежели Т и Т, направленность во времени: не от
настоящего к будущему, а от настоящего к прошлому. Т и f' могут быть
определены через унарные модальности Р и Р1, соответственно:
ATB=DfA&PB, Af'B^ofA&P'B.
Интересно, что унарные модальности также выразимы через указанные
бинарные. Для неметрических операторов Р и F могут быть предложены
следующие определения:
FA sDf (р v -.р)ТА, PA =Df (р v -,р) f А
(сейчас истинен закон логики р v —.р, а в некоторый момент будущего
(прошлого) истинно А).
Аналогичная идея может быть использована и для определения метрических
модальностей F" и Р" (для произвольного п) через бинарные модальности Т' и
Т", например:
F,A=Df(pv-.p)T'A,
F2A =DKp v-ф)Г((р v-пр)Т'А),
F3A ^ (р v -пр)Т'((р v -,р)Т'((р v -,р)ГА)).
Бинарные модальности, связанные с В-рядом, характеризуют какую-то
ситуацию, как предшествующую во времени другой ситуации, последующую во
времени за ней или имеющую место с ней в одно и то же время. Примерами
подобных модальностей являются термины «прежде, чем», «после того, как»,
«одновременно с». Высказывание вида «А прежде, чем В» (например, «Англия
вступила во Вторую мировую войну прежде, чем это сделали США») означает,
что ситуация, описанная в А, имеет место раньше ситуации, описанной в В.
«А после того, как В» означает, что первая ситуация имеет место после второй, а
«А одновременно с В» - что обе ситуации происходят в одно и то же время.
4.4. Минимальная временная логика
Далее будет подробно рассмотрена только одна разновидность модальной
временной логики - логика с унарными неметрическими модальностями.
Большой вклад в ее создание внес выдающийся логик А. Прайор. Разработанные им
335

язык и системы временной логики предназначались для точной формулировки и
обсуждения в строгих логических терминах ряда философских проблем,
касающихся природы и свойств времени.
В отличие от изложенной в предыдущем параграфе алетической модальной
логики, рассматриваемые ниже системы логики времени являются
бимодальными: в них выразимы две группы унарных неметрических модальностей, которые
нельзя определить друг через друга. Это так называемые модальности прошлого
(«было так, что» и «всегда было так, что») и модальности будущего («будет так.
что» и «всегда будет так, что»).
В алфавит временной логики (наряду с пропозициональными
переменными, классическими связками, а также скобками) достаточно ввести одну
модальность прошлого и одну модальность будущего. В качестве исходных
связок будем использовать модальности Н («всегда было так, что») и G
(«всегда будет так, что»).
Формулами языка логики времени - помимо пропозициональных
переменных и выражений видов -А, (А & В), (A v В) и (A d В) - являются языковые
конструкции НА и GA, где А - формула.
Модальные операторы Р («было так, что») и F («будет так, что») могут быть
определены, соответственно, через модальности Н и G:
РА щх ^Н^А, FA =Df ^G^A
(ситуация А имела место в прошлом тогда и только тогда, когда неверно, что
всегда в прошлом эта ситуация отсутствовала; ситуация А будет иметь место,
если и только если неверно, что в будущем эта ситуация всегда будет
отсутствовать).
В качестве минимальной системы временной логики обычно рассматривают
исчисление К,. Как и нормальные модальные исчисления, Kt формулируется в
виде надстройки над классическим исчислением высказываний. Дедуктивными
постулатами системы Kt являются: схемы аксиом классического исчисления
высказываний, четыре дополнительные модальные схемы аксиом, отражающие
свойства временных модальностей -
КД. Н(А гэ В) з (НА з НВ), :
К,2. G(A з В) з (GA z) GB),
К,3. А => GPA,
К«4. А => HFA, "
а также три правила вывода:
R1 ~ - modus ponens,
1_ д
R2 — - правило Гёделя для оператора Н,
I— НА
1_ \
R3 ргт — правило Гёделя для оператора G.
336

Понятия доказательства и теоремы в системе Kt стандартные; при
определении вывода накладывается ограничение на применение правил R2 и R3: их
разрешается применять только к доказуемым формулам.
В составе исчисления Kt можно выделить два фрагмента, которые также
являются полноценными исчислениями: логику прошлого, включающую
классические постулаты, схему Ktl и правило R2, а также логику будущего,
получающуюся за счет добавления к классическим аксиомам и правилам
вывода временных постулатов Kt2 и R3. Однако бимодальная временная система
Kt не представляет собой механического объединения логики прошлого и
логики будущего, среди ее законов имеются формулы, фиксирующие характер
взаимосвязи прошлого, будущего и настоящего. К ним относятся формулы
видов Kt3 и Kt4 - так называемые аксиомы сопряженности. Они, с
содержательной точки зрения, выражают следующие отношения между различными
временными сферами: если А имеет место в настоящем, то - согласно Kt3 - всегда
в будущем верно будет сказать, что А было, и - согласно Kt4 - всегда в
прошлом верно было сказать, что А будет.
Заметим, что отношения между прошлым, настоящим и будущим, выражаемые
аксиомами сопряженности системы К,, вызывают серьезную критику со стороны
некоторых исследователей. Так, отечественный логик А. М. Анисов развивает
концепцию, согласно которой материальные следы событий имеют во времени
тенденцию к стиранию вплоть до полного исчезновения. В таком случае
истинность высказывания А в настоящем не гарантирует того, что в далеком будущем
сохранятся хоть какие-нибудь следы, сведения, свидетельства и т. п. о ситуации,
описанной в нем. Тогда просто не будет никаких оснований утверждать, что А
было истинным. Приведенное рассуждение ставит под сомнение правомерность
принятия постулата К,3. Схема аксиом К,4 подвергается критике по иным
причинам: утверждение о том, что в сколь угодно далекой древности о сегодняшнем
событии правомерно было наверняка сказать, что оно произойдет, имеет
слишком жесткий детерминистический и даже фаталистический оттенок. В качестве
приемлемого постулата предлагается обычно более слабая, с позиций
детерминизма, нежели К,4, схема аксиом - A r> PFA.
В системе Kt отношение между сферами времени обладает еще одной
важной характеристикой - свойством «зеркальности» прошлого и будущего. В
точных терминах эта характеристика разъясняется следующим образом: если в
произвольной теореме исчисления Kt каждое вхождение связки Н заменить на G, Р
на F, G на Н и F на Р, то полученная формула также будет доказуема в данном
исчислении.
Для временного исчисления Kt формулируется адекватная семантика,
базирующаяся на тех же принципах, что и предложенная С. Крипке семантика
возможных миров для нормальных систем логики алетических модальностей.
Исходные семантические конструкции временной логики будут иметь иные
(причем, более прозрачные, с точки зрения интуиции) содержательные трактовки.
Построение семантики для Kt начинается с задания непустого множества Т,
истолковываемого как множество моментов времени. В этом множестве
выделяется элемент t0, понимаемый как настоящий момент времени. На множестве мо-
337

ментов времени задается бинарное отношение R, которое можно
интерпретировать как временной порядок (отношение «раньше-позже»): выражение R(*i, h)
означает, что момент времени t\ предшествует моменту t2. Отношение R, в
отличие от логики алетических модальностей, не обязано удовлетворять свойству
рефлексивности. Вообще, в семантике для Kt никаких специальных
ограничений на отношение временного порядка не накладывается. Интерпретирующая
функция I каждой пропозициональной переменной в каждый момент времени
приписывает в качестве значения и («истину») или л («ложь»).
Множество моментов времени Т, настоящий момент t0, отношение «раньше-
позже» R и интерпретирующая функция I составляют модельную структуру для
логики Kt.
Модельной структурой для Kt называется кортеж <Т, t0, R, 1>, в
котором:
(1) т ф 0, i
(2) t0 е Т,
(3) R - произвольное бинарное отношение, заданное на Т (R с: Т х Т),
(4) I(y, t) е {и, л}, где у - произвольная пропозициональная
переменная, a t е Т. \
\
Далее определяется функция оценки | |, которая в произвольной модельной
структуре <Т, t0, R, 1> каждой формуле в каждый момент времени t0 е Т
сопоставляет или и, или л (выражение «|A|t» читается как «значение формулы А в
момент времени t»)\ 4
1.|у|, = и<=>1(у,*) = и, J
|у|, = ло1(у,*)=л; 1
2. |-iA|t= «<=> |A|t = л,
|-iA|t = и <=> |A|t = и;
3. |A & B|t = и <=> |A|, = м и |B|t = и,
|A & B|t= и о |A|t = л или |B|t = л;
4. |A v B|,= и о |A|,= и или |B|t = и,
|A v B|, = л о |A|t = л и |B|t = л;
5. |А zd B|t = и о |A|t = л или |В|, = и,
|А з B|t = л <$■ |А|,= и и |В|, = л;
6. |GA|t= и о V t'(R(t, О => |A|f = и),
|GA|, = л <=> Э f(R(t, f) и |A|t. = л);
7. |НА|, = и <^> V S(R(t\ t) => |A|f = и),
|НА|, = л о Э /'(R(f, /) и |A|t. = л).
Условия истинности и ложности формул, образованных с использованием
временных связок, задаются в шестом и седьмом пунктах приведенного
определения. Формула GA («всегда будет так, что А») истинна в момент t в том и толь-
338

ко в том случае, когда в каждый последующий временной момент истинна
формула A. GA ложна в момент t тогда и только тогда, когда А ложна, по крайней
мере, в один момент t\ более поздний, чем t. Формула НА («всегда было так, что
А») истинна в момент t, если и только если в каждый предшествующий ему во
времени момент истинна формула А. НА ложна в момент / в том и только в том
случае, когда существует более ранний момент времени t, в котором формула А
ложна.
Исходя из определений в системе Kt модальностей F и Р, можно
сформулировать следующие условия истинности и ложности формул FA («будет так, что
А») и РА («было так, что А»):
8. |FA|t= и о Э t'(R(t, f) и |A|f = и),
|FA|t = л о W(R(/, f) => |A|f = л);
9. |РА|,= в о Э W, t) и |A|t. = и),
|РА|, = л <^ V t'(R(t\ t) => |A|f = л).
Формула FA истинна в момент t, если А истинна в некоторый последующий
момент времени, и ложна в момент /, если А ложна в каждый такой момент.
Формула РА истинна в момент t, если А истинна в какой-то момент t\
предшествующий t во времени, и ложна в момент t, если А ложна в любой
предшествующий ему момент.
Формула А истинна в модельной структуре <Т, t0, R, 1>, если и
только если А в момент t0 (в настоящий момент времени данной модели)
принимает значение «истина».
Построение семантики для исчисления Kt завершается введением понятий
общезначимости и логического следования:
Формула А Kt-общезначима тогда и только тогда, когда А истинна в
каждой модельной структуре <Т, t0, R, 1>.
Из множества формул Г в логике времени Kt логически следует
формула А, если и только если в любой модельной структуре
<Т, t0, R, 1>, в которой истинна каждая формула из Г, формула А
также является истинной.
Моделью формулы А в логике времени Kt называется любая
модельная структура Kt, в которой формула А принимает значение
«истина».
Доказаны метатеоремы о семантической непротиворечивости и полноте
системы Kt относительно приведенной семантики. Это означает, что классы
теорем данной системы и Кгобщезначимых формул совпадают.
4.5. Расширения минимальной временной логики
Необходимость построения более богатых, чем исчисление К,, систем
временной логики обусловлена прежде всего семантическими соображениями. Вы-
339

ше уже говорилось, что в семантике минимальной логики времени не
накладывается никаких ограничений на отношение временного порядка R и,
следовательно, допускается, что временной ряд может как обладать каким угодно
свойством, так и не обладать им: иметь начало или не иметь его, быть или не быть
транзитивным и т. п. Однако исследователь, исходя из собственных
представлений о времени и его характеристиках, может постулировать в семантике наличие
некоторых свойств у отношения «раньше-позже». Наложение подобных
ограничений на отношение R в модельной структуре <Т, t0, R, 1> в ряде случаев
приводит к появлению новых общезначимых формул и новых форм корректных
умозаключений.
Например, формула Нр г> Рр («если всегда было р, то когда-нибудь было
р») не является Кгобщезначимой, но оказывается истинной во всех моделях, где
временной ряд бесконечен в прошлое, т. е. она становится общезначимой при
наложении на отношение R следующего ограничения - W, 3 (гЩ^г, h)-
Для того чтобы показать необщезначимость формулы Нр з Рр в семантике
минимальной временной логики, достаточно подобрать конкретную модельную
структуру <Т, t0, R, 1>, в которой эта формула примет значение «ложь». Пусть,
например, Т включает в себя два момента времени - t0 и tl5 причем t0
предшествует t,, т. е. Т = {t0, tj} и R = {<t0, tt>}. Пусть I сопоставляет переменной р в
моментах t0 и ti какие угодно значения. Очевидно, что в данной модельной
структуре утверждения R(t0, t0) и R(tb t0) ложны, а значит, истинны имплика-,
тивные высказывания R(t0, t0) => I(p, t0) = и и R(tb t0) => I(p, tt) = и. Отсюда,'
ввиду того, что Т содержит ровно два элемента -10 и t(, следует справедливость
общего утверждения: V f(R(t\ t0) => I(p, f) = и). Последнее, в силу пунктов 1 и 7
определения функции оценки, означает, что формула Нр в момент t0 принимает
значение «и». С другой стороны, из ложности утверждений R(t0, t0) и R(tb t0)
вытекает истинность импликативных высказываний вида R(t0, t0) => I(p, t0) = л и
R(tb t0) => I(p, ^)=л, а значит и истинность следующего высказывания вида
V t'(R(t\ t0) => I(p, f) = л). Отсюда, в силу условия ложности формул вида РА
(см. пункт 9), следует, что формула Рр в момент t0 принимает значение «л».
Таким образом, формула Нр =э Рр ложна в рассматриваемой модельной структуре,
ведь ее антецедент истинен, а консеквент ложен в момент t0.
Доказательство общезначимости формулы Нр г> Рр в классе модельных
структур с бесконечным в прошлое временным рядом будем осуществлять в
метаязыке методом «от противного». Предположим, что существует модельная
структура <Т, t0, R, 1>, в которой R удовлетворяет условию бесконечности в
прошлое -
1. W^Rfe/j), j
а формула Нр з Рр в ней ложна, т. е. 1
2.|НрзРр|(о = л. \
Отсюда в силу условия ложности импликативных формул вытекает:
340

3. IHpl, = и,
1 г ' to
4.|Рр|(о=л.
Используя пункты 7 и 9 определения функции оценки, получаем:
5. W(R(Mo)^|p|,. = H),
6. W(R(Y,t0)^|p|f^).
Снимем сначала квантор общности с утверждения 1-го шага, меняя t\ на t0 -
7. 3*2R(72,to),
а затем и квантор существования, меняя t2 на f (f при этом становится
абсолютно ограниченным):
8. R(f, to).
Снимем далее кванторы общности с утверждений 5 и 6:
9. R(t\ t«) => |р|, = и,
Применяя, наконец, дважды правило удаления импликации к утверждениям
9-го и 8-го, а также 10-го и 8-го шагов, получаем противоречие:
П.|р|г = и,
12. |р| t. = л.
Это свидетельствует о неверности допущения о необщезначимости
формулы Нр з Рр в классе модельных структур с бесконечным в прошлое
временным рядом.
Таким образом, принятие в семантике временной логики некоторых
условий, характеризующих отношение временного порядка, сужает класс
рассматриваемых модельных структур и может потребовать добавления новых
дедуктивных постулатов в исчисление для того, чтобы множество теорем последнего
совпало с множеством общезначимых формул, т. е. тех формул, которые
истинны в каждой модельной структуре из нового, более узкого их класса.
Приводимая ниже таблица фиксирует наиболее важные случаи соответствия
между семантическими ограничениями на отношение R (левая колонка) и
дополнительными схемами аксиом, которые в указанных случаях следует
присоединить к временному исчислению (правая колонка):
Ограничение на R Дополнительные схемы аксиом
R бесконечно в прошлое, т. е. \/1\ В t2R(t2, t\)
R бесконечно в будущее, т. е. V t\ Э t2R(ti, h)
R транзитивно, т. е. V t\ V t2 V t3((R(tb t2) и
R(t2, f3)) => Щ'ъ *з))
R плотно, т. е. ^ h V t2(R(tb t2) => Э t3(R(tr,
h) и R(f3, h)))
НА :э PA
GAdFA
HAdHHA, GA=)GGA
HHA^HA, GGA=>GA
341

R линейно в прошлое, т. е.
V h V h V t3((R(t2, h) и Rfe *,)) =>
(R(/2, /3) или R(/3, h) или /2 = h)
К линейно в будущее, т. е.
Vt^tzV t3((R(h, t2) и R(/b t3)) =>
(R(f2, 6) или R(fc, /2) или f2 = t3)
(PA & PB) =э (P(A & PB) v
P(B & PA) v P(A & B))
(FA & FB) => (F(A & FB) v
F(B & FA) v F(A & B))
Выбор модальной временной логики в качестве адекватной теории
рассуждений во временных контекстах языка зависит от того, какую позицию занимает
тот или иной исследователь относительно возможных свойств временного ряда.
Так, полагая, что время не имеет начала и, принимая условие V t\ Э t2R(t2, h),
исследователь - как видно из приведенной таблицы - должен пополнить свой
дедуктивный арсенал законами и правилами вывода, детерминированными
введением постулата НА г> РА. Если же он считает данное условие ложным и
принимает в семантике противоречащее ему ограничение 31\ V f2—'R(*2, h)
(существует момент, которому не предшествует никакой момент времени), то
временное исчисление, адекватное подобной содержательной установке, включает
иную дополнительную схему аксиом - Н(А & -A) v РН(А & -А).
Следует обратить внимание на то, что некоторым ограничениям на
отношение R в модельной структуре <Т, t0, R, 1> не соответствуют никакие новые
дедуктивные постулаты. К числу таких условий относятся, например, свойства
антирефлексивности и асимметричности отношения «раньше-позже» - V t—.R(f, t)
и V t\ V h (R(fi, ti) => -iRfe *i))- Их принятие в семантике временной логики не
расширяет класс общезначимых формул.
Отметим также, что позиция исследователя определяется не только явно
принимаемыми условиями, но и тем, какие семантические ограничения не
накладываются на класс модельных структур. Так, если из двух возможных
ограничений - линейности в прошлое и линейности в будущее - явным образом
принимается только первое, то тем самым мы запрещаем «ветвление времени»
в прошлое, считая прошлое неизменяемым, но допускаем «ветвление времени»
в будущее, не исключая вариативности последнего и тем самым не разделяя
тезиса о жесткой предопределенности в каждый момент времени дальнейшего
хода развития событий.
4.6. Определения алетических модальностей через временные
В истории философии неоднократно поднималась проблема установления
взаимосвязей между алетическими и временными модальностями, в частности
предпринимались попытки прояснения понятий возможного и необходимого во временных терминах.
Древнегреческий философ, представитель мегарской школы Диодор Кронос утверждал,
что возможное - это то, что имеет место сейчас или когда-нибудь будет иметь место. Из
этого положения, с учетом известных логических взаимосвязей между модальностями
«необходимо» и «возможно», «будет» и «всегда будет», вытекает следующая трактовка
необходимости: необходимое есть то, что имеет место сейчас и всегда будет иметь место.
342

В языке современной логики диодорово понимание возможного и необходимого
может быть представлено в виде следующих определений алетических модальностей
через временные:
f1 OA=DfAvFA,
"ь ПА =Df А & GA.
Очевидно, что при указанном подходе модальности «необходимо» и «возможно»
соотносятся лишь с двумя сферами времени - настоящим и будущим, но никак не
связываются с третьей временной сферой - с прошлым. Восполнить указанный пробел дио-
доровской трактовки модальностей можно посредством следующих естественных
модификаций определений возможности и необходимости: возможное - это то, что когда-
то имело место, или имеет место сейчас, или когда-нибудь будет иметь место;
необходимое есть то, что всегда имело место, имеет место сейчас и всегда будет иметь место.
Символически:
nf, <>A=Df PAvAvFA,
ПА =Df НА & А & GA.
Данную трактовку алетических модальностей часто связывают с именем
Аристотеля, ссылаясь на принятие им следующего принципа: никакая подлинная возможность не
может остаться нереализованной во времени, т. е. всякая подлинная возможность
обязательно реализуется или в прошлом, или в настоящем, или в будущем.
Эти определения модальностей можно лишь условно назвать «аристотелевскими»,
поскольку в его трудах содержится много различных трактовок необходимого и, в
особенности, возможного.
Несложно заметить, что при принятии Df.2 термин «возможно» оказывается
равносильным по смыслу временной модальности «когда-то» («иногда»), а термин
«необходимо» - модальности «всегда». Подобное понимание алетических модальностей
вызывает серьезные концептуальные возражения у многих исследователей - прежде всего
тех, кто допускает «ветвление времени» в будущее. Трактовка возможности
представляется им слишком сильной: в соответствии с ней к числу невозможных следует отнести
ситуации, которые когда-то ранее имели шанс осуществиться, но не осуществились в
силу каких-либо обстоятельств и никогда уже не реализуются (например, победа
Наполеона в битве при Ватерлоо). Трактовка необходимости, напротив, оказывается слишком
слабой. Действительно, некоторая ситуация, в принципе, может иметь место всегда, но
при этом оставаться случайной, не будучи детерминированной объективными законами.
С этой точки зрения для оценки ситуации как необходимой недостаточно, чтобы она
постоянно имела место в реальной истории, она должна всегда иметь место и при любом
альтернативном течении событий.
Указанные недостатки «аристотелевских» определений алетических модальностей
устраняются при принятии других их определений, предложенных российским логиком
В. А. Смирновым:
nf, OA=DfPFA,
DA =Df HGA.
Согласно Df.3, возможное трактуется как то, что могло бы быть, а необходимое -
как то, относительно чего в каждый момент прошлого верно сказать, что оно всегда
будет иметь место (как бы ни развивалась история).
Если принять постулаты о бесконечности времени в прошлое и его линейности в
будущее, то правые части соответствующих определений Df.2 и Df.3 оказываются логи-
343

чески эквивалентными. Различия этих определений отчетливо проявляются в модельных
структурах, в которых допускается «ветвление времени» в будущее.
Рассмотрим одну из таких модельных структур, графически представленную на
рисунке 1 (стрелки указывают направление из прошлого в будущее).
А
Допустим, что А в момент t2 принимает значение «истина», а во все другие
моменты времени - значение «ложь». Очевидно, что А ложно в каждый момент,
предшествующий t0 (момент t2 к таковым не относится), в настоящий момент времени (т. е. в t0) и
в каждый последующий за ним момент. Таким образом, принимая «аристотелевское»
определение возможности, мы должны квалифицировать А как невозможное. В то же
время, если возможность понимается в духе Df.3, А следует оценить как возможное,
поскольку утверждение PFA истинно в данной модельной структуре. Действительно,
существует момент (а именно, t{), предшествующий t0, и из него есть такой путь развития
событий в будущее (ведущий не к t0, а к t2), в котором А оказывается истинным.
Пусть А будет ложно в момент t2, но истинно во все другие моменты времени.
Тогда следующая модельная структура, представленная на рисунке 2, демонстрирует
случай, когда А необходимо в смысле определения Df.2, но не является таковым при
трактовке необходимости в стиле Df.3:
^А
Рис.2
Для того чтобы А можно было квалифицировать как необходимое в соответствии с
определением Df.3, нужно, чтобы А постоянно оказывалось истинным при любом ходе
истории из сколь угодно далекого прошлого в будущее. Пример такой модельной
структуры представлен на Рис. 3:
А А А А
Рис.3
Различные определения необходимого и возможного через временные модальности
позволяют дать содержательное истолкование многих нормальных систем алетической
модальной логики. Процедура подобной интерпретации алетических исчислений состоит *
следующем. В язык некоторой системы временной логики St добавляются модальности «О
и «О», а к списку их дедуктивных постулатов в качестве новых схем аксиом
присоединяются эквивалентности, соответствующие некоторому из трех приведенных выше определений;
в случае Df.l - ОА = (A v FA) и ПА = (А & GA), в случае Df.2 - О А = (PA v A v FA) и
□А = (НА & А & GA), в случае Df.3 - О А = PFA и DA = HGA. Далее, в рамках полученного
смешанного алетически-временного исчисления (назовем его St+Df.n) выделяют алетиче-
ский фрагмент - совокупность всех тех и только тех теорем исчисления S,+Df.n, которые не
344

содержат никаких других логических символов, кроме классических связок «П» и «Ф».
Пусть полученное множество совпадает с классом теорем некоторой системы Sa алетической
логики. Тогда говорят, что эта система формализует понятия необходимого и возможного,
выраженные соответствующими их определениями через временные модальности, при
такой трактовке временного ряда, на которой базировалась логика S,. В точных терминах
понятие алетического фрагмента формулируется так:
Алетическое исчисление Sa является алетическим фрагментом временного
исчисления S, при определениях Df.n алетических модальностей через
временные, если и только если произвольная формула А языка Sa доказуема в
ней в том и только в том случае, когда А доказуема в смешанном
исчислении St+Df.n.
Приведем ряд интересных метатеоретических результатов, позволяющих
рассматривать изложенные в предыдущем параграфе нормальные модальные исчисления Т, В,
S4 и S5 в качестве алетических фрагментов временных логик при принятии в них
различных определений необходимости и возможности.
При определениях Df.l система Т представляет собой алетический фрагмент
минимальной временной логики К,, а система S4 - фрагмент расширения Kt, получающегося
за счет добавления аксиом транзитивности - НА з ННА, GA з GGA. Поэтому Т и S4
можно трактовать как формализации диодорового понимания возможности и
необходимости, в случае системы Т с произвольным временным рядом, а в случае S4 - с
транзитивным временным рядом.
При определениях Df.2 алетическим фрагментом минимальной временной логики Kt
будет другая система - система В. А исчисление S5 при этих определениях является
фрагментом системы, получающейся присоединением к К, упомянутых аксиом
транзитивности, а также аксиом линейности: в прошлое - (РА & РВ) з (Р(А & РВ) v Р(В & PA) v Р(А
& В)) - и в будущее - (FA & FB) з (F(A & FB) v F(B & FA) v F(A & В)). Таким образом,
системы В и S5 отражают логические свойства модальностей □ и 0 в их
«аристотелевском» понимании, причем первая из этих систем допускает произвольный временной ряд,
а вторая предполагает, что время транзитивно и линейно как в прошлое, так и в будущее.
Для исчислений В и S5 возможна и другая содержательная интерпретация,
связанная с трактовкой модальностей в духе Df.3. Система В при данных определениях есть
алетический фрагмент расширения К, схемой бесконечности в прошлое - НА з РА, а
система S5 - фрагмент временной логики, в которой к дедуктивным постулатам Kt
добавляются аксиомы бесконечности в прошлое, транзитивности и линейности в прошлое.
ft.
Упражнения
t 1. В семантике системы Kt установите условия истинности и ложности
следующих формул:
a) GPq, б) F(p & Fp), в) Нр v Н^р.
2. Обоснуйте общезначимость в семантике системы Kt следующих формул:
а) (Нр & Hq) з Н(р & q), б) F(p v q) => (Fp v Fq),
в) -nHFp z» PG-ф.
3. Покажите опровержимость в семантике Kt следующих формул:
а) —.Рр з -iHp (случай, когда временной ряд имеет начало),
б) Gp z> GGp (случай, когда временной ряд нетранзитивен).
345

4. Покажите общезначимость следующих формул в расширениях Kt:
а) Gp z> Fp (при условии бесконечности временного ряда в будущее),
б) Нр гэ ННр (при условии транзитивности временного ряда),
в) Fp =) FFp (при условии плотности временного ряда). 4
§ 5. Интуиционистская логика j
5.1. Предпосылки возникновения интуиционистской логики 1
К концу XIX в. наиболее фундаментальной математической теорией
считалась теория множеств, созданная выдающимся немецким математиком
Г. Кантором. В терминах этой теории удалось сформулировать важнейшие
математические понятия (понятия натурального, рационального и действительного
числа, функции, плоскости, пространства и др.), что позволило надеяться
построить всю математику (с использованием теоретико-множественного
аппарата) на единых теоретических основаниях. Однако на рубеже ХГХ и XX вв. в
данной теории были обнаружены парадоксы, свидетельствующие о
противоречивости канторовского учения о множествах. Пример антиномичности этой теории
дает парадокс Б. Рассела, рассмотренный в главе VI.
Обнаружение парадоксов в теории множеств Г. Кантора {наивной теории
множеств, как ее стали называть) привело к кризису в математике. Особую
остроту этому кризису придавало то обстоятельство, что он затронул фундамент,
сами основания данной науки. Для преодоления кризиса в начале XX в. было
выдвинуто несколько программ. Среди различных направлений, предлагавших свои
пути элиминации парадоксов и перестройки математики на непротиворечивых
основаниях, известность приобрели логицизм, формализм и интуиционизм.
Суть программы логицизма состояла в создании формализованных
логических языков, богатые выразительные возможности которых позволяли бы
определять теоретико-множественные и другие математические термины, а также
строить непротиворечивые логические системы, где математические законы
доказывались бы как теоремы «чистой» логики. Английские логики-философы
Б. Рассел и А. Уайтхед, авторы фундаментального труда «Основания
математики», основываясь во многом на идеях немецкого логика и математика Г. Фреге,
разработали ряд подобных логических систем - исчисления предикатов высших
порядков, простую и разветвленную теории типов.
Программа формализма, развивавшаяся выдающимся немецким
математиком Д. Гильбертом и его школой, предполагала построение математических
теорий как формальных систем по типу логических исчислений и доказательство их
непротиворечивости в рамках особой содержательной метатеории
{метаматематики), опирающейся на надежные и бесспорные средства дедукции.
Заметим, что представители логицизма и формализма не ставили под
сомнение принципы, лежащие в основе классической логики, правомерность ее
законов и правил. Программа формализма требовала лишь некоторой осторож- \
\
346 '

ности в выборе способов рассуждений, причем только на метатеоретическом
уровне: обоснование формальных математических систем должно было
использовать финитные («конечные») средства, отвергающие слишком сильные
абстракции типа абстракции актуальной бесконечности.
Суть абстракции актуальной бесконечности состоит в отвлечении от
принципиальной незавершимости процесса образования бесконечного множества, от
невозможности его задания простым перечислением элементов. Принятие
данной абстракции в канторовском учении о множествах предполагало
рассмотрение бесконечных множеств по аналогии с конечными как «завершенных»
математических объектов. Последнее означало, что процедуры оперирования
конечными и бесконечными множествами подчиняются одним и тем же законам.
Представители третьего направления - математического интуиционизма
(его основателем был выдающийся голландский математик Л. Э. Я. Брауэр) -
видели источник парадоксов не только в принятии абстракции актуальной
бесконечности, но и в самих способах рассуждения и законах классической логики.
Некоторые из них, по мнению интуиционистов, неправомерны в
математических доказательствах. Таким образом, преодоление кризиса в математике в
рамках данного направления связывалось с существенным пересмотром
используемого логического аппарата.
Отвергая идею актуализации, мысленной завершимости бесконечных
множеств, интуиционисты трактовали их как потенциально бесконечные, т. е.
образующиеся посредством эффективной процедуры присоединения к сколь
угодно большому количеству их элементов нового элемента. Примером такого
множества является ряд натуральных чисел, порождаемый добавлением для
произвольного п к элементам 1, 2,..., п нового числа, на единицу большего,
чем п, т. е. числа п + 1.
Брауэр утверждал, что некоторые законы классической логики, будучи
справедливыми для высказываний о конечных классах объектов, теряют
свою общезначимость при расширении сферы их действия: применительно к
высказываниям, относящимся к бесконечным совокупностям (когда
последние понимаются как потенциально бесконечные множества). Одним из таких
неприемлемых, по мнению Брауэра, классических дедуктивных принципов
является закон исключенного третьего - р v —ip. Рассмотрим, например, в
качестве р высказывание «Для любого натурального числа, существует
большее, чем оно, число у такое, что и у, и у + 2 являются простыми числами».
Поскольку у нас в настоящее время отсутствует общий метод решения
вопроса о существовании или несуществовании числа у с указанными
свойствами для произвольного натурального числа, ни само р, ни его отрицание, с
точки зрения интуиционистов, нельзя считать истинными.
Особо жесткой критике в интуиционизме подверглись способы
рассуждений, используемые в математических доказательствах так называемых теорем
чистого существования.
В классической математике доказательства утверждений вида ЗаА часто не
позволяют получить информацию о том, какой именно объект удовлетворяет
347

условию А. По мнению интуиционистов, теорему вида ЗаА можно считать
доказанной лишь предъявив такого рода объект или указав процедуру его
построения, конструирования.
Одним из логических приемов классической логики, позволяющих
доказывать теоремы чистого существования, является рассуждение от противного:
Г, -,В Ь с
Г, ^В Н -пС
Г1-В.
Действительно, если получено противоречие из допущения -daA, то, в
соответствии с данным дедуктивным принципом, высказывание ЗаА о
существовании объекта, удовлетворяющего условию А, можно считать доказанным без
предъявления конкретного объекта указанного типа. Интуиционисты полагают,
что выведение противоречия из —ЗаА свидетельствует лишь о ложности
принимаемого допущения, т. е. о доказанности другого утверждения 1—daA.
Причем в доказательстве последнего применяется корректный, с их точки
зрения, логический прием -рассуждение сведением к абсурду:
г,вьс
Г, В Н ^с
ГЬ-пВ.
Однако и в этом случае возникает проблема логического характера: теорема
чистого существования ЗаА может быть выведена из —i—i3aA с использованием
классического закона снятия двойного отрицания .—.р з р. По этой причине
принятие данного закона также объявляется интуиционистами неправомерным.
Предпринятый в рамках математического интуиционизма критический анализ
законов и правил классической логики породил вопрос о выделении совокупности
интуиционистски приемлемых дедуктивных средств, т. е. о том, что представляет
собой интуиционистская логика - логика интуиционистской математики.
Решение этого вопроса сопровождалось установлением (хотя и на достаточно
содержательном уровне) более или менее определенных семантических отличий
классической и интуиционистской трактовок высказываний и логических констант.
5.2. Конструктивные объекты, доказательства и истина
Программа интуиционизма в ее оригинальном виде, представленном в работах
Брауэра, является весьма громоздким и разветвленным учением, включающим не только
чисто математические, но и философские построения. Причем философская
составляющая аутентичного математического интуиционизма использует ряд неясных терминов,
содержит множество трудно интерпретируемых утверждений, которые зачастую имеют
религиозно-мистический оттенок.
Последовательно рационалистическое истолкование основных положений
интуиционистской концепции было осуществлено в рамках конструктивного направления «
математике, значительный вклад в разработку которого внесли отечественные ученые
348

А. А. Марков, Н. А. Шанин и многие другие. Математический интуиционизм может
трактоваться как учение, чью предметную область составляют конструктивные
математические объекты, а основной задачей является построение и исследование
конструктивных доказательств утверждений, относящихся к такого рода объектам.
Под конструктивным объектом понимается такой объект, для которого существует
эффективный метод его построения (порождения) в конечное число шагов. Так, любое
натуральное число п > 1 может быть порождено (сконструировано) посредством
эффективной процедуры последовательного прибавления 1: сначала 1 прибавляется к 1, затем
к числу 1 + 1, затем к ((1 + 1) + 1) и т. д.; скажем, число 5 есть ((((1 + 1) + 1) + 1) + 1).
Примерами конструктивных объектов являются также слова - конечные
последовательности букв некоторого алфавита.
При построении конструктивных объектов предполагается принятие абстракции
потенциальной осуществимости. Ее суть состоит в игнорировании пространственных,
временных, материальных и других ограничений при практическом осуществлении
конструктивного процесса. Так, мы отвлекаемся от невозможности на практике записать
мелом на доске слово, состоящее из 1010'°букв: не хватит мела (материала), доски
(пространства) и жизни многих поколений людей (времени), чтобы создать этот
конструктивный объект.
Построение конструктивных доказательств также носит эффективный,
алгоритмический характер. Причем свойство конструктивной доказанности некоторого
высказывания, по существу, можно трактовать в определенном смысле как замещение в
интуиционизме другой важнейшей его характеристики - соответствия
содержащегося в нем утверждения действительности, т. е. свойства высказывания «быть
истинным» (в классической трактовке данного предиката). Последнюю мысль можно
выразить несколько иначе: интуиционизм предполагает в некотором смысле отказ от
классического понятия истины, истинными в нем признаются только такие
высказывания, которые конструктивно доказаны.
Особую важность имеет ответ на вопрос об условиях, означающих конструктивную
доказанность сложных высказываний различных типов. Решение этого вопроса
позволяет понять смыслы логических связок и кванторов, подразумеваемые в интуиционизме.
Конъюнктивное высказывание А & В считается конструктивно
доказанным, если и только если конструктивно доказаны и высказывание А, и
высказывание В.
Дизъюнктивное высказывание A v В считается конструктивно доказанным,
если и только если конструктивно доказано высказывание А или
конструктивно доказано высказывание В, причем точно известно, какое именно из
этих двух высказываний доказано.
Импликативное высказывание АэВ считается конструктивно доказанным,
если и только если имеется конструктивный метод, позволяющий преобразовать
конструктивное доказательство А в конструктивное доказательство В.
Негативное высказывание —А считается конструктивно доказанным, если и
только если имеется конструктивный способ выведения противоречия из
допущения о конструктивной доказанности А (в указанном случае говорят, что
высказывание А конструктивно опровергнуто).
Экзистенциальное высказывание ЗаА считается конструктивно доказанным,
если и только если указан конкретный конструктивный объект а из предметной
области теории, относительно которого конструктивно доказана справедливость
утверждения А(а).
349

Универсальное высказывание VocA считается конструктивно доказанным,
если и только если имеется общий метод, позволяющий относительно
произвольного конструктивного объекта а из предметной области теории
конструктивно доказать утверждение А(а).
Приведенные разъяснения не обладают достаточной ясностью и строгостью, чтобы
выступать в качестве точной семантики интуиционистской логики. Но они позволяют
уловить существенные моменты интуиционистского подхода к вопросу о том, каким
должно быть математическое доказательство. Кроме того, они делают более понятными
мотивы отказа интуиционистов от некоторых законов и правил классической логики.
Рассмотрим, например, отвергаемый в интуиционизме закон исключенного
третьего - р v -пр. С интуиционистской точки зрения он содержит утверждение о том.
что высказывание р конструктивно доказано или же конструктивно опровергнуто,
причем то или иное имеется в наличии. Данное утверждение не согласуется с
существованием множества математических высказываний, которые до сих пор не доказаны и
не опровергнуты. Более того, величайшим достижением математики и логики XX в.
явилось установление факта существования неразрешимых математических
предложений - высказываний, которые в принципе нельзя ни доказать, ни опровергнуть.
Если в качестве р мы возьмем неразрешимое предложение, то очевидна конструктивная
ложность утверждения р v —>р, что лишает данную формулу статуса логического
закона в интуиционизме.
5.3. Интуиционистское исчисление высказываний
Попытка формализации интуиционистски приемлемых, конструктивных
способов рассуждения была предпринята учеником Брауэра А.
Рейтингом в 1930 г.
Интуиционистское исчисление высказываний строится в языке с исходными
пропозициональными связками —., &, v и з. Его схемами аксиом являются:
Al.A=>(Bz>A),
А2. (А => (В => С)) =э ((А з В) з (А з С)),
A3. (А & В) з А,
А4. (A&B)dB, t ,
А5. А з (В => (А & В)), ' \
А6. А => (A v В), |
А7. В з (A v В), |
А8. (А =з С) з ((В =) С) з ((A v В) з С), _ 1
А9. (А z> В) zd ((А з -,В) о -А),
А10. -А => (А => В).
Единственное правило вывода - modus ponens.
Понятия доказательства, теоремы, вывода из множества допущений и
отношения выводимости задаются точно так же, как и в классическом исчисления
высказываний со схемами аксиом.
Классическое пропозициональное исчисление может быть получено
заменой схемы аксиом А10 на схему снятия двойного отрицания ,—А з А. Вооб-
350

ще, интуиционистское пропозициональное исчисление представляет собой
подсистему классического: всякая интуиционистски доказуемая формула
доказуема и классически, но не наоборот.
Исчисление Гейтинга обладает рядом оригинальных формальных свойств.
Существенной его характеристикой является неопределимость в исчислении
каждой исходной пропозициональной связки, т. е. невозможность
эквивалентным образом выразить ее с помощью других связок языка. Так, в отличие от
классической логики, выражение А & В в интуиционизме неравносильно
выражению -i(-iA v -iB), A v В неравносильно -.(-iA & -.В), аАэВ неравносильно
ни -A v В, ни —i(A & —iB), поскольку в интуиционистском исчислении не
доказуемы следующие формулы: -i(-tA v -iB) г> (А & В), —i(—iA & -,В) zd (A v В), (А
z> В) з (-iA v В), —i(A & -iB) Г) (А з В). Заметим, что обратные импликации
являются теоремами исчисления Гейтинга.
Важным свойством обладает интуиционистская дизъюнкция.
Дизъюнктивная формула A v В доказуема в данной системе в том и только в том случае,
когда, по крайней мере, один из ее членов - А или В - является теоремой
интуиционистского исчисления:
1-AvBohA v I- В - (свойство дизъюнктности).
В силу данного свойства классическая формула р v —.р не является
теоремой системы Гейтинга, поскольку она не требует доказуемости р или -.р.
Следует обратить внимание на то обстоятельство, что сам Гейтинг, строя
свое исчисление, не претендовал на окончательный и полный охват всех
интуиционистски приемлемых дедуктивных средств. Более того, его учитель Брауэр
вообще считал невозможной адекватную формализацию логики
интуиционистской математики в рамках конкретной логической системы.
Основатели интуиционизма допускали наличие множества различных
формальных исчислений, фиксирующих с разной степенью полноты
интуиционистские логические законы и способы рассуждений. В частности, некоторые
представители данного направления высказывали сомнение в конструктивности
закона отрицания антецедента Л гэ (А :э В), который входит в число
постулатов исчисления Гейтинга (А10). Поэтому иногда в качестве системы,
эксплицирующей логический аппарат интуиционизма, рассматривают минимальное
исчисление Иоганссона, которое получается из рассмотренной системы
отбрасыванием указанной схемы аксиом.
Вместе с тем интуиционистское исчисление Гейтинга (во многом, в силу
своих замечательных метатеоретических свойств) приобрело широкую
известность и рассматривается большинством специалистов в качестве наиболее
удачного формального представления логических идей интуиционизма. Кроме
того, многие современные исследователи полагают, что трактовка данной
системы исключительно как логики интуиционистской математики чрезмерно
сужает сферу ее возможных приложений в науке. Интуиционистская логика, с
этой точки зрения, обеспечивает тот аппарат дедукции, который необходим
351

при конструктивном подходе к построению любой (не обязательно только
математической) научной теории.
Уже сам Гейтинг характеризовал построенную им систему как логику
знания, противопоставляя ее классической логике -логике бытия. Многие
последующие истолкования и применения интуиционистской логики, которые
осуществлялись в данном направлении, так или иначе связывались с
различными областями конструктивного научного знания. Именно в указанном русле
находилась первая попытка точной интерпретации логической системы Гейтинга,
предпринятая выдающимся отечественным математиком А. Н. Колмогоровым в
1932 г. Колмогоров предложил трактовать интуиционистское исчисление
высказываний как исчисление задач.
Согласно Колмогорову, возможными значениями формул языка
пропозициональной интуиционистской логики являются не истинностные оценки, не
ситуации во внеязыковой действительности, а математические задачи.
Пропозициональные переменные репрезентируют элементарные задачи, а сложные формулы
репрезентируют задачи по решению других задач. Так, конъюнктивной формуле
А & В соответствует задача «решить обе задачи - задачу А и задачу В»,
дизъюнктивной формуле A v В - задача «решить, по крайней мере, одну задачу - А
или В», импликативной формуле А з В - задача «свести решение задачи В к
решению задачи А», а негативной формуле —А - следующая сложная задача:
«предполагая задачу А решенной, придти к противоречию».
5.4. Семантика возможных миров для интуиционистской логики
В 1965 г. С. Крипке предложил адекватную семантику для
интуиционистского исчисления высказываний Гейтинга. Ее исходные конструкции
аналогичны тем, которые использовались им при формулировке семантики возможных
миров для модальных систем.
Модельной структурой интуиционистской логики высказываний
называется кортеж <W, wo, R, 1>, в котором:
(1) W Ф 0,
(2) w„eW,
(3) R - бинарное отношение, заданное на W (R с W х W) и
обладающее свойствами рефлексивности и транзитивности,
(4) I(y, w) е {и, л}, где у - произвольная пропозициональная
переменная, awe W, причем I обладает так называемым свойством
сохранности: если 1(у, и»]) = и и R(wi, w2), то 1(у, и>2) = и.
Функция оценки формул в произвольном возможном мире w произвольной
модельной структуры <W, w0, R, 1> (где w e W) определяется так:
1. |y|w = и <=> I(y, w) =u,
|y|w = л <=> I(y, w) = л; ~
2. |-,A|W = и о V h>'(R(h>, w') => |A|W. = л),
|—iA|w = л <=> Э w'(R(w, w') и |A|W. = и); :_
352 I

Л 3. |A&B|w = «o |A|w = «h |B|W = «,
|A & B|w = л <=> |A|W = л или |B|W = л;
4. |A v B|w = «<=> |A|W = и или |B w = и,
|A v B|w = л <=> |A|W = л и |B|W = л;
5. |A з B|w = и <=> V и/(Щи>, и>') => (|A|W- = л или |B|W* = и)),
|A r> B|ff = л о Э h>'(R(w, и>') и |A|W. = и и |B|W. = л).
Из приведенного определения явствует, что для конъюнктивных и
дизъюнктивных формул сохраняется их классическая трактовка. Что же касается
негативных и импликативных формул, то они, по существу, трактуются как
необходимые утверждения: условия истинности и ложности —iA и А з В в
интуиционистской семантике совпадают с условиями истинности и ложности П-iA и
U(А з В) в семантике модальной логики.
Формула А истинна в модельной структуре <W, w0, R, 1>, если и
только если А принимает значение «истина» в мире w0.
Формула А интуиционистски общезначима тогда и только тогда,
когда А истинна в каждой модельной структуре <W, w0, R, I>.
Из множества формул Г в интуиционистской логике логически
следует формула А, если и только если во всех модельных структурах, где
истинна каждая формула из Г, формула А также является истинной.
Моделью формулы А в интуиционистской логике называется любая
модельная структура этой логики, в которой формула А принимает
значение «истина».
Интуиционистское исчисление Гейтинга семантически непротиворечиво и
полно относительно семантики Крипке, т. е. класс его теорем совпадает с
классом интуиционистски общезначимых формул.
Отметим, что принцип сохранности истины действует в данной семантике не
только для пропозициональных переменных, но и для всех формул любой
сложности: если произвольная формула А истинна в некотором мире wb и из этого мира
достижим мир и>2, то формула А обязательно окажется истинной и в и>2- Указанная
особенность семантики Крипке позволяет трактовать интуиционистскую логику как
логику роста и накопления знаний в русле кумулятивной модели развития научного
знания. Возможные миры здесь уместно трактовать как совокупности знаний на
разных этапах истории. Причем - в полном соответствии с кумулятивной моделью
- знание принципиально не исчезает, оно может только прирасти, расшириться.
5.5. Связь интуиционистской логики с классической и модальной
Важное метатеоретическое значение имеют результаты, устанавливающие
взаимосвязь интуиционистской логики с другими логическими теориями.
12 Введение в логику
353

Выше уже отмечалось, что интуиционистское исчисление высказываний представляет
собой подсистему классического, т. е. всякий интуиционистский закон является в то же
время и классическим, но некоторые законы классической логики отбрасываются в
интуиционистской. С этой точки зрения классическая логика представляется более богатой
логической системой, нежели интуиционистская. Тем неожиданней выгладит результат о том, что
все законы классической пропозициональной логики могут быть адекватно
интерпретируемы в интуиционистской. Советским логиком Гливенко было показано, что произвольная
формула А доказуема в классическом исчислении высказываний тогда и только тогда, когда
формула —1—А доказуема в исчислении Гейтинга. Иными словами, навешивание двух
отрицаний на классический закон дает теорему интуиционистского исчисления. Результат
Гливенко свидетельствует о том, что более богатое по классу законов классическое
пропозициональное исчисление погружается в более бедную интуиционистскую систему
посредством операции навешивания к произвольной формуле двойного отрицания.
Другая важная метатеорема о погружении одной логической системы в другую
выявляет взаимосвязь между исчислением Гейтинга и модальным исчислением S4.
Дж. Маккинси и А. Тарский в 1948 г. предложили естественный перевод формул языка
интуиционистской логики в язык логики алетических модальностей. Функция перевода
(назовем ее о) задается по степени сложности интуиционистской формулы следующим
образом:
а(у) = Пу, где у - пропозициональная переменная;
ст(-А) = D-ia(A);
ст(А & В) = ст(А) & а(В);
ст(А v В) = а(А) v о(В);
ст(А з В) = П(ст(А) з о-(В)).
Справедливо утверждение, что произвольная формула А языка интуиционистской
логики доказуема в исчислении Гейтинга тогда и только тогда, когда ее перевод <т(А)
доказуем в модальной системе S4. Данный результат свидетельствует о том, что а есть
операция, погружающая интуиционистское исчисление в S4, и интуиционистские
законы имеют адекватную интерпретацию в логике алетических модальностей.
5.6. Аналитические таблицы для интуиционистской логики
При применении метода аналитических таблиц для интуиционистской
логики полностью сохраняются такие понятия как система аналитических
таблиц, ветвь аналитической таблицы, замкнутая аналитическая таблица,
замкнутая цепь аналитической таблицы, замкнутая система аналитических таблиц,
которые были введены при рассмотрении данного метода для модальных
нормальных систем. Сохраняют свою силу и правила редукции для
пропозициональных связок & и v классической логики высказываний. Правила же
редукции для Z) и -1 теперь формулируются иначе. J
Правило to. Допустим, что в некоторой цепи таблицы и> содержится
формула t(A =э В), говорящая об истинности в этой цепи формулы (A z> В). Согласно
условиям истинности для импликации в интуиционистской логике, это означает,
что в любой таблице и>', достижимой из данной цепи таблицы и> (эти таблицы
уже обязательно должны быть построены), имеет место ложность
354

утверждения А или истинность утверждения В. Поэтому в таблицу w' мы можем
поместить, расщепляя ее на две цепи, отмеченные формулы fA и tB. Заметим,
что, в силу рефлексивности отношения достижимости в этой логике, каждая
таблица достижима сама из себя, а потому по отношению к любой таблице и>
всегда имеется таблица, которая уже заранее построена. Таковой является сама
таблица w. Итак:
t(A Г) В) в цепи таблицы и>
t3 ——I
fA I tB в каждой таблице w\ достижимой из цепи таблицы и>
Правило fz>. Пусть в некоторой цепи таблицы н> содержится формула
f(A з В), говорящая о ложности в этой цепи таблицы w формулы (А з В).
Согласно условиям ложности для импликации в интуиционистской логике, это
означает, что существует таблица w\ в которой антецедент импликации является
истинным утверждением, а консеквент - ложным. Поэтому необходимо в
обязательном порядке построить новую таблицу w\ с которой
начинается новая ветвь аналитических таблиц, объявить ее достижимой из цепи
таблицы w, и поместить в нее утверждения об истинности антецедента и ложности
консеквента:
[ f(A з В) в цепи таблицы w
fb tA .
в новой таблице w
гВ
Правило t—1. Предположим, что в некоторой цепи таблицы w содержится
формула t—iA, говорящая об истинности в этой цепи формулы —А. Согласно
условиям истинности для отрицания в интуиционистской логике, это означает, что
в каждой таблице и>', достижимой из данной цепи таблицы и> (эта таблица
обязательно должна быть уже построена), имеет место ложность
утверждения А. Поэтому в такую таблицу можно поместить отмеченную формулу
fA:
t-iA в цепи таблицы w
fA в каждой таблице w\ достижимой из цепи таблицы w
Правило f—I. Допустим, что в некоторой цепи таблицы w содержится
формула f—А, говорящая о ложности в этой цепи формулы —А. Тогда, согласно
условиям ложности для отрицания, это означает, что существует таблица w\
достижимая из данной цепи таблицы w, в которой формула А является истинной.
Поэтому в обязательном порядке строится новая таблица, с которой
начинается новая ветвь аналитических таблиц, она объявляется достижимой из
цепи таблицы w и в нее помещается утверждения об истинности А:
г. | f—А в цепи таблицы w ^
~' | tA в новой таблице и>'
Среди этих правил правила fb и f-i - локальные и им отдается
предпочтение в порядке применения, а правила t3 и t-i - глобальные. Последние можно
355

применять вновь по мере появления новых достижимых таблиц. Напомним так
же, что в интуиционистской логике отношение достижимости обладает
свойствами рефлексивности и транзитивности. Верен также следующий принцип
монотонности:
Если tpi в мире а и aR)3, то tpj в мире J3, где pi - произвольная
пропозициональная переменная.
Покажем, что в интуиционистской логике не является общезначимым закон
исключенного третьего. Посмотрим, что получится, если мы попытаемся
обосновать его общезначимость.
1. | f(Av-A)
Применим правило fv.
1.
2.
3.
f(A v -А)
fA
f-A
С формулой fA мы дальше работать не можем, так как она не редуцируется.
Что же касается формулы 3, то она требует построения новой аналитической
таблицы, достижимой из начальной таблицы. Применим правило f-i к
отмеченной формуле 3.
f(A v -А)
fA
f-A
->,
tA
Как видим, построение системы аналитических таблиц завершено. Ни одно
правило нельзя применить ни к формулам первой таблицы, ни к формулам
второй. И ни одна из них не является замкнутой. Таким образом, попытка
обосновать общезначимость закона исключенного третьего в интуиционистской логике
окончилась неудачей.
Покажем теперь справедливость в этой логике закона введения двойного
отрицания:
1- I £Az>-.-A
Применим правило fo.
1.
2.
3.
fA:
->
tA
f-,-A
Применим теперь к третьей отмеченной формуле правило f-i. Это приведет к
построению еще одной новой аналитической таблицы
1.
2.
3.
4.
fA3
■»
tA
f-,-A
f-A
Применим вновь, теперь уже к четвертой отмеченной формуле правило f-i.
356

1.
2.
3.
4.
5.
£Ar>-
->
tA
f-,-A
^>
f-iA
->
fA
Построена ветвь аналитических таблиц, состоящая из 4-х различных аналитических
таблиц. Ни одна таблица не является замкнутой. Но во второй таблице содержится
формула tA, а, согласно семантике для интуиционистской логики, отношение достижимости
является транзитивным, в силу чего из второй таблицы достижима четвертая таблица.
Кроме того, в интуиционизме доказывается, что принцип монотонности,
сформулированный выше для пропозициональных переменных, распространяется на все формулы,
т. е. справедлив принцип:
Если tA в мире а и aRp, то tA в мире р.
Это говорит о том, что все истинное в одном мире сохраняет свою истинность и во
всех мирах, достижимых из данного. Используя эти два обстоятельства, мы можем
перенести из второго мира в четвертый утверждение tA:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
fAzv
->
tA
f-п-пА
->
f-,A
fA
tA
Итак, таблица замыкается, а так как она по транзитивности достижима из
единственной цепи начальной таблицы, то начальная таблица тоже замыкается и потому вся
система аналитических таблиц замкнута. Это и обосновывает общезначимость закона
введения двойного отрицания А з ->—Л.
Упражнения
1. Методом аналитических таблиц установите, являются ли следующие
формулы законами интуиционистской логики:
а) (P3q)3 ((р з -,q) => -,р), б) (-^р з q) з ((-.р => -,q) з р),
в) -Чр vq)D Ьр & ^q), г) ((р э q) & (-.р => г)) з (q v г),
Д) ((Р & q) ^ г) з ((р & -,г) Z3 -,q), е) -,(-,р v -^q) з (р & q).
§ 6. Релевантная логика
6.1. Парадоксы материальной импликации и классического следования
Большую роль в анализе различного рода методологических проблем
играют понятия логического следования и условной связи. В пропозициональной
классической логике принято условные связи, выражаемые условными
предложениями «Если р, то q», представлять в виде импликативных высказыва-
357

щ
тельных форм р з q, где «з» - знак материальной импликации. Однако, как об
этом уже говорилось в главах II и III, материальная импликация является
истинностно-функциональной связкой. Это означает, что значение формулы
р з q полностью определяется значениями (и только значениями) антецедента
и консеквента. В § 1 данной главы было показано, что это влечет
несоответствие между смыслом союза «если..., то» естественного языка и материальной
импликацией. Например, вряд ли мы примем как истинное условное
предложение «Если 2 + 2 = 4, то Москва - столица России», так как в этом выражении
нет никакой обусловленности одного факта (фиксируемого в консеквенте»
другим фактом (фиксируемым в антецеденте). Скорее всего, любой
здравомыслящий человек воспримет эту фразу как полную нелепость или как
неудачную шутку. Тем не менее импликативное высказывание «2 + 2 = 4 d Mo- ;
сква - столица России» является истинным, так как, согласно определению
материальной импликации, импликативное предложение истинно, если
антецедент и консеквент (как это и имеет место в данном случае) истинные
предложения. Такого рода несоответствие нашей интуиции об истинности
условного высказывания (предложения), сформулированного на естественном
языке, с приведенным выше табличным определениием материальной
импликации называют парадоксами материальной импликации.
Классическая логика высказываний содержит и другие случаи
«парадоксальности» материальной импликации. Так, в этой логике являются
общезначимыми следующие формулы:
(А &^А) з В, 3
Вз(А^А), I
первая из которых утверждает: «из логического противоречия имплицируется
все, что угодно», а вторая утверждает: «общезначимое выражение
имплицируется из чего угодно».
Более того, общезначимость следующих формул классической логики
высказываний:
-А з (А з В) - закона отрицания антецедента и
A з (В з А) - закона утверждения консеквента
можно трактовать следующим образом: «из ложного предложения А
имплицируется все, что угодно» и «истинное предложение А имплицируется из
чего угодно», что не согласуется с нашей интуицией и конкретной
познавательной практикой, в рамках которой мы обычно таких импликаций не
осуществляем.
Итак, материальная импликация обладает целым рядом свойств, не
совпадающих с нашей интуицией, и в этом смысле она является «парадоксальной».
Эта «парадоксальность» распространяется также и на классическое понятие
логического следования, так как предложения о логическом следовании тесно
связаны с импликативными предложениями посредством соотношения:
A^Bo^AdB.
358

Учитывая эту связь, в классической логике легко воспроизводятся и
следующие несоответствующие нашей интуиции (и в этом смысле
«парадоксальные») утверждения о логическом следовании: «из противоречия логически
следует все, что угодно» и «тавтология логически следует из чего угодно».
6.2. Классическая логика и методологические проблемы
Неудовлетворительность трактовки условной связи посредством
материальной импликации и классического логического следования особенно ярко
проявляется при попытке на основе классической логики решить некоторые
задачи, относящиеся к области методологии науки. Остановимся на некоторых
из них подробнее.
Проблема экспликации понятия закона науки.
Обычно законы науки детерминистического характера, т. е. законы, которые
выражают отношения строгой (однозначной) связи между двумя фактами,
принято записывать в форме так называемой формальной импликации, т. е.
выражения вида Vjc(A(jc) гэ В(дс)). В главе III было показано, что запись
математического закона «Для всякого натурального числа х верно, что если jc - кратно 4, то д: -
кратно 2» в форме \/х(х - кратно 4 =э дс - кратно 2) позволяет понять и оправдать
табличное задание материальной импликации. Казалось бы, такое представление
законов науки является удовлетворительным. Однако это не так. На самом деле
не всякая истинная формальная импликация выражает закон науки, т. е.
обусловленность наличия одного факта другим фактом. Имеется, по крайней мере,
два случая, которые противоречат этому.
Во-первых, в виде формальной импликации часто записываются
предложения, выражающие не закономерную, а чисто случайную связь двух фактов,
например «Все люди, находящиеся в данном помещении, являются специалистами
в области логики». Это говорит о том, что формальная импликация не позволяет
отличить номологическое высказывание (высказывание о законе) от
высказывания, фиксирующего случайный характер связи.
Во-вторых, формальная импликация будет всегда истинным утверждением,
если антецедент импликации является утверждением всегда ложным, например
«Для всякого х верно, если л: - вечный двигатель, то лг - столица России».
Из этих двух примеров ясно, что ни в первом случае нет обусловленности
наличия некоторого человека в некотором помещении и тем, что он является
специалистом в области логики, ни во втором случае нет обусловленности того,
что некоторый объект является вечным двигателем и тем, что этот объект
является столицей России. Таким образом, чтобы формально зафиксировать
некоторый закон науки, нам нужна особая импликация, которая бы позволяла
фиксировать обусловленность одного факта другим.
Проблема экспликации контрфактических высказываний.
Под высказыванием контрфактического характера имеют в виду условное
высказывание в сослагательном наклонении вида «Если бы было А, то было
359

бы В». Попытка представить его в форме импликативного высказывания
«А => В & -iA», где «=>» - материальная импликация, приводит к тому, что
каждое контрфактическое предложение должно рассматриваться как истинное, в
силу ложности антецедента такого рода высказываний.
Пусть А обозначает высказывание «Я являюсь А. С. Пушкиным», а В
означает высказывание «Я открыл таблицу Менделеева». Тогда
контрфактическое предложение «Если бы я был А. С. Пушкиным, то я бы открыл таблицу
Менделеева», будучи представлено в форме «A z> В & -А», должно
трактоваться как истинное высказывание в силу ложности антецедента импликации,
хотя с содержательной точки зрения оно, несомненно, должно рассматриваться
как ложное, так как между свойством предмета «быть Пушкиным» и
свойством «быть создателем таблицы Менделеева» нет никакой обусловленной
закономерной связи. Из этого видно, что существует прямое несоответствие нашей
интуиции относительно истинности и ложности контрфактических
высказываний и их заведомой истинностью при использовании материальной
импликации для записи этих выражений. Совершенно очевидно, что адекватная запись
контрфактических утверждений тоже требует использования такой
импликации, в которой бы фиксировалась содержательная связь (обусловленность)
между антецедентом и консеквентом утверждения.
Отметим также, что контрфактическое высказывание может оказаться
истинным даже в том случае, когда между антецедентом и консеквентом
отсутствует помологическая (законоутверждающая) связь. Так, вполне возможно, что
контрфактическое предложение «Иванов был бы доволен, если бы сдал экзамен
по логике на удовлетворительно» является истинным, хотя даже высказывание
формальной импликации вида \/х(х сдал экзамен по логике на
удовлетворительно zd х доволен этим), конечно же, является ложным, так как не каждый студент
окажется доволен таким положением дел. Здесь существенными оказываются не
только взаимосвязь между получением той или иной оценки на экзамене и
удовлетворенностью этим результатом, но и определенные психологические
особенности, присущие Иванову.
Определение диспозиционных предикатов.
К числу диспозиционных предикатов относятся такие характеристики
предметов, которые указывают на способность предмета вести себя определенным
образом в определенной ситуации. Например, такое свойство предметов, как их
электропроводность, указывает на способность проводить электрический ток.
если к предмету приложено напряжение; свойство хрупкости указывает на то.
что при ударе по предмету предмет расколется и т. д.
Установление наличия у предметов диспозиционных свойств
осуществляется за счет их помещения в определенную проверочную ситуацию - А. После
чего смотрят на ту реакцию предмета - В, которая после этого последует. И по
характеру этой реакции судят, обладает предмет данным свойством или же
нет. Так, чтобы проверить обладает ли предмет свойством растворимости, его
помещают в воду (проверочная ситуация А) и наблюдают, растворится
предмет (В) или нет.
360

Казалось бы, является естественным определить диспозиционный предикат
следующим образом:
Щх)щн(А(х)=>Щх)).
Однако наличие в определяющей части данного определения материальной
импликации не позволяет принять такое простое решение. В самом деле,
согласно таблице истинности для импликации, выражение A(jc) z> В(лг) является
истинным утверждением, если антецедент ложен. Но в таком случае
соответствующим диспозиционным свойством заведомо будет обладать любой предмет,
который не помещался в проверочную ситуацию, т. е. для которого утверждение
А(лг) является ложным.
Как видим, и в этом случае желательно использовать особого рода
импликацию, в которой бы устанавливалась связь между антецедентом и консеквентом
не только по значению, но и по смыслу. В главе X будет предложен другой
способ определения диспозиционных предикатов.
Итак, рассмотренные примеры показывают, что имеется насущная
потребность в построении такой логической системы, в которой импликация выражала
бы условную связь по смыслу. Иначе говоря, в этой системе импликация и
понятие логического следования должны быть освобождены от «парадоксов»
материальной импликации и классического следования.
Релевантная логика есть раздел современной неклассической
логики, в которой исследуются понятия условной связи и логического
следования, свободные от парадоксов материальной импликации и
классического следования.
Мы будем далее использовать для обозначения условной (релевантной - от
relevant - уместный, относящийся к делу) импликации знак «—>» и читать
выражение «А —> В» как «А релевантно имплицирует В».
«Парадоксальность» понятия следования в классической логике была
отмечена еще средневековыми логиками. Тем не менее в течение долгого времени на
это обстоятельство не обращалось особого внимания. Впервые уже в наше время
борьбу с «парадоксами» осуществил К. Льюис, который в 1912 г. построил
несколько систем так называемой строгой импликации, о чем шла речь в §3 данной
главы. Строгая импликация определялась им следующим образом:
А -< В =Df П(А з В).
Льюису удалось избавиться от «парадоксов» материальной импликации,
однако в его системах появились аналогичные «парадоксы строгой импликации»:
ПА < (В -< А),
D-iA <(А< В),
т. е. «необходимое высказывание строго имплицируется из чего угодно», а
«необходимое ложное высказывание строго имплицирует любое другое».
В явной форме проблематика релевантной логики была впервые заявлена в
работе В. Аккермана в 1956 г. Правда, как было выяснено позже, первая
система релевантной логики была построена советским философом И. Е. Орловым
361

уже в 1928 г., а затем в 1950 и 1951 гг. появились системы Мо-Шау Кей и
А. Чёрча. Последняя система - система Чёрча - эквивалентна системе Орлова.
А. Андерсон и Н. Белнап построили системы Е (of entailment - следования) и R
(of relevant implication - условной импликации), которые сейчас
рассматриваются как основные системы, в которых задаются понятия релевантного (не
классического) следования и условной связи. После этого появился целый ряд
других систем релевантной логики. Особо следует отметить работы Р. Роутли
и Р. Мейера, а также Л. Максимовой, которые предложили семантику для
систем Е и R в терминах возможных миров с особым трехместным отношением
достижимости. Из отечественных ученых следует отметить также изыскания
Е. К. Войшвилло и Е. А. Сидоренко, работы которых существенно продвинули
исследования в этой области.
6.3. Система FDE
Наиболее простой релевантной логикой является система FDE (first degree
entailment), которая представляет собой первоуровневый фрагмент систем Е и R
(см. ниже), а также любой более богатой системы релевантной логики.
Релевантная импликация вида А —> В относится к числу формул
первого уровня, если как А, так и В содержат только знаки &, v и -..
Схемами аксиом системы FDE являются:
FDE1. (А & В) -> А,
FDE2. (А & В) -» В,
FDE3. A->(Av В),
FDE4. B->(Av В),
FDE5. (А & (В v С)) -* ((А & В) v С),
FDE6. А -» -,-А,
FDE7. -,-А -> А.
Правила вывода:
А -> В, В -> С А -> В, А -> С А -> С, В -> С А-> В
А->С А->В&С AvB->C _,В->-А
Начнем изложение семантики релевантной логики FDE с рассмотрения
вопроса об информативности законов классической логики.
Уже в первых главах учебника было отмечено, что содержание, которое
несут логические законы, не зависит от значений дескриптивных терминов, а
полностью определяется тем содержанием, которое сохраняется в логических
формах законов. Иначе говоря, оно должно полностью определяться содержанием
логических констант, входящих в логические формы законов. Это содержание
называется логическим содержанием. С другой стороны, наличие логического
следования А 1= В означает, что при любых значениях дескриптивных терминов
в А и В высказывание В всегда истинно, когда истинно высказывание А, т. е. это
362

отношение имеет место тогда и только тогда, когда логическое содержание
высказывания В составляет часть логического содержания высказывания А.
Но что представляет собой содержание высказывания? Обычно это
содержание трактуется как та информация, которую оно содержит о мире.
Рассмотрим этот вопрос с точки зрения семантической теории информации. Будем далее
под М понимать исходно заданное множество возможных миров. Тогда:
Объемом высказывания А называется множество тех миров из М, на
которых А принимает значение «истина». Это множество называется
также областью истинности высказывания А и обозначается МА.
Под информацией, т. е. содержанием высказывания А понимается
множество М\МА, которое показывает, как принятие высказывания
А сужает область возможного.
Здесь знак «\» означает теоретико-множественную разность (см. ниже).
Для случая, когда множество М конечно, можно ввести две специальные
числовые функции, одна из которых - функция к - будет характеризовать
мощность каждого подмножества множества М, т. е. будет указывать
количество элементов, входящих в него, а другая - функция /яДА) - будет
определять величину (количество) информации (содержания), которую несет
логическая форма высказывание А. Итак:
Величина информации, содержащаяся в логической форме
высказывания А (7иДА)), есть мера ограничения исходного множества
возможностей М, заданная в замкнутом интервале [0, 1 ] и определяемая
по формуле: 1 - к(МА)/к(М).
Для пояснения сказанного рассмотрим пример. Пусть нам дано
высказывание следующей логической формы: А = р & (q v г). Построим для этого
выражения таблицу истинности.
р
и
и
и
и
л
л
л
л
q
и
и
л
л
и
и
л
л
г
и
л
и
л
и
л
и
л
р
& (q v г)
и
и
и
л
л
л
л
л
В таблице содержится 8 строчек, которые можно понимать как различные
миры. Они задают множество М всех возможных значений истинности для трех
переменных в этих различных мирах - к(М) = 8. При построении таблицы мы
выяснили, что данная формула принимает значение «истина» только на трех
строчках. Тем самым задан объем истинности МА формулы А - к(МА) = 3. Из
363

таблицы видно, что данное логическое выражение ограничило число всех
возможностей, которых было 8, до трех, т. е. 5 строчек были отброшены. Тем
самым получаем, что /иДА) = /иДр & (q v г)) = 5/8. Иначе говоря, величина
информации высказывания определена формулой 1 - к(МА)/к(М) = m/n, где т - число
отброшенных строчек, а и - число всех возможных строчек.
Исходя из данного семантического понятия информации, становится ясным,
что тождественно-истинные формулы классической логики высказываний долж- ;
ны нести пустую информацию, т. е. если А - тождественно-истинная формула ]
(логический закон), то /и/(А) = 0. Действительно, эти формулы будут принимать
значение «истина» на всех строчках таблицы, но тем самым они вообще не
ограничивают сферу возможного: 1 - К(МА)/К(М)= 0, так как МА = М, т. е. к(МА) = к(М). :
а потому 1-1=0. Желая подчеркнуть информационную пустоту законов логики, -
их часто называют тавтологиями. Отсюда становится понятен тот парадокс
классического следования, согласно которому логически истинное высказывание
следует из любого - ведь пустая информация составляет часть любой информации.
С другой стороны, если формула А классической логики является
тождественно-ложной, то ее информативность наибольшая из всех возможных и равна
1 (/иДА) = 1). В самом деле, в этом случае таблица для такой формулы даст ;
нам оценку «ложь» на всех своих строчках, т. е. М\МА = М, и отношение числа j
вычеркнутых строчек т (а их число будет равно 0) к числу всех возможных
строчек п даст нам величину /К(М) = 0. Поэтому информативность таких формул
равна 1-0=1. Таким образом, тождественно-ложные формулы несут всю
возможную информацию, а потому из тождественно-ложного высказывания, как
это и имеет место в классической логике, следует все, что угодно.
Но действительно ли та информация, которую содержит в классической
логике некоторое высказывание А (точнее, логическая форма высказывания),
полностью определяется смыслом тех логических терминов, которые входят в
состав этих высказываний, т. е. является ли она их логическим содержанием?
Чтобы ответить на этот вопрос, мы будем представлять каждую строчку
таблицы истинности высказывания А как некоторое классическое описание
состояния, образованное из множества пропозициональных переменных рь р2.
Рз,..., рп, входящих в логическую форму высказывания А, и их отрицаний.
Понятие классического описания состояний было приведено в разделе 3.8
данной главы. Каждое такое описание состояний есть описание некоторого
возможного мира и является его языковым аналогом. В указанном разделе было
также отмечено, что каждое классическое описание состояний а фиксирует для
каждого возможного мира два его важных онтологических свойства, а именно.
- для каждой пропозициональной переменной выполняются условия:
(а) -.(pi е а & —ipt е а),
(б) (pj еа </ —iPi еа).
Первое из этих условий говорит о том, что миры, задаваемые классическими
описаниями состояний, являются непротиворечивыми, т. е. в них не могут одно-
364

временно быть истинными высказывания pi и —rpi. Второе свойство указывает,
что каждый из миров, рассматриваемый и допускаемый в классической логике,
является обязательно полным, т. е. содержит либо положительную, либо
отрицательную информацию обо всем фактическом содержании мира.
Эти два положения являются теми предпосылками, которые мы неявно
используем при установлении в классической логике содержания высказываний.
Таким образом, в этой логике содержание логических форм высказываний
определяется не только логическим содержанием, задаваемым смыслом логических
констант, но включает в себя дополнительно и онтологическую информацию о
мирах. Считается, что это и служит источником «парадоксальности»
материальной импликации и логического следования классической логики.
Чтобы избавиться от этих парадоксов и рассмотреть логику в совершенно
чистом виде, необходимо освободиться от указанной онтологической информации. С
этой целью вводятся так называемые обобщенные описания состояний, т. е.
допускаются наряду со старыми классическими описаниями состояний, которые полны и
непротиворечивы, описания и другого сорта - неполные и противоречивые. Так,
для трех пропозициональных переменных р, q и г, наряду со старыми описаниями
состояний, будем рассматривать теперь и описания такого вида: {р} - это описание
неполное, так как оно не содержит информации ни относительно высказывания q,
ни относительно высказывания г, {р, q, -iq} - это описание неполное, так как не
содержит информации относительно г, и противоречивое, так как в него входят
высказывания q и ->q, {р, q, г, -г} - описание относительно трех пропозициональных
переменных полное и противоречивое. Последние два описания состояний часто
называют «невозможными возможными мирами».
Освобождение от онтологической информации позволяет связать с
высказываниями именно их логическое содержание, определяемое только лишь
смыслом логических связок. В этом случае логические законы перестают быть
информационно пустыми, они становятся информационно насыщенными. С
другой стороны, у нас теперь не будет и высказываний, которые содержат
бесконечное количество информации. Это происходит в силу того, что теперь
для каждой формулы А обязательно найдется такой возможный мир, в
котором будет ложна как сама формула А, так и ее отрицание, и, с другой
стороны, найдется возможный мир, в котором истинна и данная формула, и ее
отрицание.
Вводя неполные и противоречивые описания состояний, ученый этим
самым вовсе не хочет сказать, что им соответствуют реальные миры, что мир, в
котором мы живем, может быть неполным и противоречивым. Описания
реальных миров (реальные описания состояний) - это различные описания
состояний, в которых может пребывать мир сам по себе. Он всегда полон и
непротиворечив. Миры же новые - неполные и противоречивые - это миры эпи-
стемические, т. е. описания наших знаний о мире, которые, естественно, могут
быть неполными и даже противоречивыми. Их введение ничем не запрещено.
В самом деле, в задании классических условий истинности для высказываний
нигде не говорится об особом характере тех миров, относительно которых ус-
365

танавливается истинность или ложность высказываний, т. е. онтология мира не
фиксируется. Последнее и позволяет перейти к рассмотрению обобщенных
описаний состояний.
Обобщенным описанием состояния называется любое подмножество
множества {рь -ipb Рг, -if>i,---, рп, ~^рп,•••} всех пропозициональных
переменных и их отрицаний.
В примерах, которые будут ниже строиться, мы ограничим обобщенные
описания состояний теми различными пропозициональными переменными,
которые содержатся в некоторой конечной совокупности формул Аь А2,..., Ат.
Количество таких переменных всегда будет конечным.
Если количество классических описаний состояний для данного конечного
случая определяется по закону 2П, где п - количество различных
пропозициональных переменных, то количество обобщенных описаний состояний
определяется по закону 4П. Эта степенная функция достаточно быстро растет: для
одной переменной, скажем р, будет всего 4 обобщенных описания - {}, {р}, {-.р}.
{р, -ip}. Первое обобщенное описание - это пустое множество, так как пустое
множество является подмножеством любого множества. Оно задает абсолютно
пустой мир, который является абсолютно неполным и непротиворечивым.
Второе и третье обобщенные описания состояний являются обычными
классическими описаниями для одной переменной. Наконец, последнее обобщенное
описание состояний задает мир, который является полным и противоречивым.
В силу быстрого роста числа обобщенных описаний состояний в
зависимости от количества различных пропозициональных переменных построим все
обобщенные описания еще только для двух переменных р и q.
1.{}, 5. bq}, 9. bp,q}, 13. {p,q,^q},
2. {р}, 6. {р, ^р}, 10. Ьр, -,Ч}, 14. Ьр, q, ^q},
3. Ьр}, 7. {p,q}, ll.{q,-.q}, 15. {р,-,р, q},
4. {q}, 8. {р, -,q}, 12. {р, -,р, -,q}, 16. {р, -,р, q, -,q}.
Табл. I
Здесь первое описание состояния является пустым, 2-5 - одноэлементными,
6-11 - двухэлементными, 12-15 - трехэлементными и последнее 16 - четырех-
элементным. Описания 7-10 являются классическими.
6.4. Семантика FDE
Чтобы задать семантику системы FDE введем следующие обозначения:
будем писать «|А|а = и» вместо «А истинно в обобщенном описании состоянии а»
и «|А|а = л» вместо «А ложно в обобщенном описании состоянии а».
Д1. Условия истинности для первоуровневых формул FDE:
1. |pi|a = «opi е а,
IPiU = ^ <=> —'Pi е а;
366

2. |А & В|а = и<=> |А|а = ии |В|а = и,
|А & В|а = л <=> |А|а = л или |В|а = л;
3. |А v В|а = и о |А|а = и или |В|а = и,
|А v В|а = л о |А|а = л и |В|а = л;
4. |-А|а = и о |А|а = л,
]-А|а = л о |А|а = и.
Отметим, что данные условия истинности можно использовать и как
условия истинности для классической логики высказываний. Отличие будет состоять
только в том, что в классической логике работают с классическими описаниями
состояний, а в системе FDE с обобщенными.
A2.MA=DfWa(|A|a = «).
ДЗ. Информация В является частью информации А о МА с Мв.
Д4. MAcMBoVa(|A|a = и => |B|a = и),
где знак «W» - оператор множественности. Обращаем внимание, что в Д4
справа от знака «<=>» используется обычная классическая материальная импликация,
но в метаязыке. В следующих трех определениях выражение «l=pCT» означает
релевантное логическое следование.
Д5. А ^рел В о V a(|A|a = и => |В|а = и).
В более общем случае имеем:
m
Д6. Аь А2,..., Am 1=рел В о n MAi с Мв.
Д7. Нрел А -» В о А Нрел В.
Используя эти определения, а также введенное выше понятие величины
информации, легко установить, что любая формула нулевого уровня, т. е. формула,
не содержащая знака релевантной импликации «->», в обязательном порядке не
является информационно пустым и в то же время не содержит всю возможную
информацию.
Для формул классической логики высказываний это означает следующее.
Поскольку система связок {&, v, ->}, используемая при построении формул
нулевого уровня, является классически функционально полной, мы можем
любую формулу классической логики высказываний представить в виде
формулы, содержащей только указанные связки. Для этого достаточно лишь
воспользоваться определениями других пропозициональных связок классической
логики через связки &, v и —>. Так, например, материальную импликацию
посредством выражения
Az)B=Df(-iAvB)
всегда можно заменить на выражение, которое уже не будет содержать знак
«з». Тем самым все законы классической логики становятся представленными в
системе FDE формулами нулевого уровня. А с учетом замечания, сделанного
367

выше относительно таких формул, это означает, что законы классической
логики (тождественно-истинные формулы) перестают быть информационно пустыми
тавтологиями; они теперь несут определенную информацию о мире, так как
область их истинности не совпадает с множеством всех возможностей М и они тем
самым ограничивают это множество. С другой стороны, область истинности
тождественно-ложных формул не является теперь пустой, так как имеются такие
обобщенные описания состояний, на которых эти формулы примут значение
«истина», а потому величина их информативности не равна 1.
Итак, в релевантной логике теряет свой смысл понятие классической
тождественно-истинной формулы. Однако теперь можно следующим образом
переопределить понятие закона классической логики.
Под законом классической логики в составе релевантной логики
будем понимать формулы нулевого уровня, истинные во всех
классических описаниях состояний.
Рассмотрим несколько примеров и покажем, что классические законы несут
информацию о мире. Определим на таблице 1 область истинности классического
закона исключенного третьего - р v —,р (вернее, его частного случая). Согласно
Д1, |р v -.р|а= и <=> |р|а = и или |-ф|а= и о р £ а или -ф е а. Отсюда
получаем, что M(pv^p) = {2, 3, 6-10, 12-16} обобщенных описаний состояний. В то же
время эта формула не является истинной в описаниях состояний 1, 4, 5, 11. Это
говорит о том, что величина информации, которую несет данный закон
относительно мира, /иДр v -.р) = (1 -K(M(pv"p))/K(M)))= V4.
Рассмотрим теперь другой частный случай этого же закона - q v —.q.
Проделывая ту же процедуру, получаем, что он будет истинным в тех а, где
выполняется условие q е а или -.q е а. Отсюда получим, что M(q v_,q) = {4, 5, 7-16}.
Так как под информацией, которую несет данное высказывание, понимается
область М\М(„ v _,„), и при этом М(р v _,р) Ф М(„ v _,„■), то теперь два частных
случая одного и того же закона исключенного третьего — р v —.р и q v —.q,
которые в классической логике были одинаково информационно пусты,
оказывается несут разную информацию о мире, хотя мера информации обоих законов
равна одной и той же величине - 1Л.
Рассмотрим с использованием той же таблицы формулу р & —ip. В
классической логике высказываний это тождественно-ложная формула и ее
информативность равна 1. Теперь же, согласно Д1, имеем: |р & ->р|а= и о |р|а = и и |-ip|a= и
ореаи-.реа. Отсюда получаем, что М(р&^р) = {6, 12, 15, 16}. Как видим,
область истинности данного выражения не пуста, а потому оно несет
информацию о мире, которая равна ЪА.
Рассмотрим отношение релевантного логического следования. Оно теперь не
является парадоксальным. В частности, в отличие от классической логики, из
противоречия в FDE не следует все, что угодно. Покажем, что р & -^р 1£рел q.
Действительно, чтобы такое следование имело место, необходимо, согласно Д5
и Д4, чтобы М(Р & _,Р) с: М„. Однако это условие не выполняется, так как М(р & ^v),
как только что было установлено, = {6, 12, 15, 16}, а Mq = {4, 7, 9, 11, 13-16}.
Как видим, отношения включения здесь нет. С другой стороны, имеет место
368

р & —.р 1=рел р. В самом деле, М(р&^р) = {6, 12, 15, 16}, а Мр = {2, 6-8, 12, 13, 15,
16}. Таким образом, М(р & _^р) с Мр, что и обосновывает наличие данного
релевантного следования.
Покажем теперь, что в системе FDE неверным является и утверждение о том,
что тождественно-истинная формула логически следует из чего угодно.
Рассмотрим следование вида q Е=рел р v —.р. Чтобы оно было справедливым в FDE,
необходимо следующее включение: Mq с M(pv^p). Проверяя это условие на
таблице 1, видим, что оно не выполняется, так как М„ = {4, 7, 9, 11, 13-16}, а
М(Р v ^р1 = {2, 3, 6-10, 12-16}. Таким образом, указанное следование в системе
FDE неверно. Более того, как известно, в классической логике любой
логический закон логически следует из любого другого закона, в системе же FDE это
оказывается неверным. Рассмотрим в этой связи следующий пример: q v —,q t=pejI
p v -,p. Чтобы такое следование было справедливым, необходимо наличие
включения М(„ v _,„) с М(р v _,р), а его нет, так как M(q v _,„) = {4, 5, 7-16}, а
M(pv^p) ={2,3,6-10,12-16}.
Между классическим и релевантным отношениями логического следования
имеет место следующая зависимость:
А ^рел В => А (=кл В.
Перехода в обратную сторону, т. е. от наличия классического следования к
наличию релевантного следования, нет.
В логике FDE, кроме формул нулевого уровня, существуют и первоуров-
невые формулы вида А —> В, с которыми тоже связаны логические законы -
законы релевантного характера. Релевантные законы 1=рел А —» В полностью
определяются условием: ^ а(|А|а = и => |В|а = и), где «=>» - метаязыковой
знак материальной импликации. Обращаем внимание, что эта материальная
импликация должна быть выполнена на всех обобщенных описаниях
состояний. Последнее возможно, так как в силу свойства материальной импликации
- быть истинной, когда антецедент ложен - подкванторное выражение будет
истинным, даже если антецедент - выражение |А|а - в каком-то мире а
окажется ложным.
В заключение отметим, что на обобщенных описаниях состояния можно
ввести не только классическое понятие логического следования, которое
удовлетворяет онтологическим условиям (а) и (б), не только релевантное понятие
логического следования, которое не удовлетворяет ни условию (а), ни условию (б),
но и другие виды логического следования. Так, можно, например, исключить
только условие (б), сохранив условие (а), т. е. допустить неполные, но
непротиворечивые описания состояний. В этом случае мы получим так называемую
логику Хао Вана. В ней из противоречия будет следовать все, что угодно, но
логически истинное высказывание не будет логически следовать из любого
высказывания. Если же исключить условие (а), но сохранить условие (б), то получается
логика двойственная к логике Хао Вана, в которой, наоборот, логически
истинное высказывание следует из чего угодно, но отрицается, что из противоречия
следует все, что угодно.
369

6.5. Система R релевантной логики
Выше говорилось, что система FDE является фрагментом системы R. В последней-!
нет ограничения на формулы: теперь они могут быть любого уровня, т. е. в формулад
вида А —> В, как А, так и В могут в свою очередь содержать (и притом неоднократно-
знак релевантной импликации. Исчисление R задается следующими схемами аксиом:
Rl. А -> А,
R2. (А -> В) -> ((В -> С) -> (А -> С)),
R3. (А -> (В -> С)) -> (В -> (А ч> С)),
R4. (А -» (В -> С)) -> ((А -> В) -» (А ->• С)),
R5. (А & В) -> А,
R6. (А & В) -» В,
R7. ((А -> В) & (А -> С)) -> (А -► (В & С)),
R8. А -> (A v В),
R9. В -> (A v В),
R10. ((А -> С) & (В -> С)) -> ((A v В) -> С),
R11. (А & (В v С)) -> ((А & В) v С),
R12. (А -» -А) -> -А,
R13. (А -> В) -> (-,В -> -А),
R14. А -» -,-А,
R15. ->-А -> А,
Правилами вывода являются:
А->В,А А, В
В А&В
Рассмотрим семантику для системы R, строящуюся как семантика возможных
миров. Модельная структура будет включать в себя множество возможных миров М:
в М выделяется «действительный» мир т0, т. е. мир, в котором верны все
классические тавтологии (то е М); на множестве М определяется одноместная функция *•
М —> М, удовлетворяющая определенным (формулируемым ниже) семантическим
постулатам. Кроме того, вводится специальное трехместное отношение
достижимости R на М, представляющее собой обобщение отношения достижимости в семанти-
ках Крипке (R с М3).
Итак, модельная структура системы R - это пятерка <М, R, т0, | |,*>, где | | -
функция интерпретации, ставящая в соответствие парам - <формула, возможным
мир> - ровно один элемент из множества значений {и, л}, так что для каждой
формулы А и для каждого возможного мира а из М имеет место |А|а = и или |А|а = л; * -
одноместная функция на множестве М. Содержательно поясним, что функция * дл!
каждого мира а работает следующим образом: 1) если для некоторого pi верно pi е а
и —ipi е а, т. е. мир а противоречив, то в а* эти оба случая отсутствуют (при
сохранении всех остальных вхождений переменных и их отрицаний), т. е. мир оказываетсж
неполным относительно предложения ps; 2) если в мире a pi g а и —ipi g а , т. е. мир
неполон относительно предложения рь то в а* имеет место р, 6 аи —.pj е а (при
сохранении всех остальных вхождений переменных и их отрицаний), т. е. мир а*
противоречив; 3) если в мире а присутствует только один из случаев: присутствует илж
Pi е а, или —.pi е а, то в а* = а.
370

Принимаются следующие семантические постулаты, которым должна
удовлетворять модельная структура и которые, как и в семантике Крипке для модальной логики,
необходимы для установления истинности определенных аксиом:
Для любых а, р, у, 5 и X из М верно:
п. 1. R(m0, а, а),
п.2. R(a, р, у) => R(P, а, у),
п.З. Э y(R(a, р, у) & R(y, 6,1)) => Э y(R(a, у, Я,) & R(P, 6, у)),
п.4. R(a, а, а),
п.5. \/ §((R(a, р, у) <& R(m0, 6, а)) => R(5, р, у)),
п.6. R(a, 5, у) => R(a, у*, 5*),
п.7. а** = а.
Модельная структура удовлетворяет специальному условию наследования:
V pi(pi £ a & R(m0, a, P) => p; e P).
Условия приписывания значений истинности высказываниям в системе R выглядят
теперь следующим образом:
1. jpi|a=M<»pi е а;
2. |А(а = л о неверно, что |А|а = и;
3. |-.А|а = иО |А|а»=л;
4. |А & В|а = и о |А|а = и и |В|а = и,
]А & В|а = л <=> |А|а = л или |В|а = л;
5. |А v В|а = и <=> |А|а = и или |В|а = и,
|А v В|а = л О |А|а = л и |В|а = л,
6. |А -> В|а = и о V р V y(R(a, р, у) => (|А|р = и => |В|у = «)).
ДК1. Формула А истинна в модельной структуре <М, R, mo, | |,*>, если и
только если |А|то = и.
ДR2. Формула А общезначима (1=рел А), если и только если она истинна в
любой модельной структуре.
ДКЗ. Из А следует В (А $=КЛВ), если и только если для всякого а из М верно,
что если JA|a = и, то |В]а = и.
JIR4. Моделью формулы А в релевантной логике R называется любая
модельная структура этой логики, в которой формула А принимает
значение «истина».
Сформулированное выше условие наследования легко распространить с
пропозициональных переменных на произвольные формулы. Соответствующая теорема
доказывается индукцией по виду произвольной формулы.
Доказательство для конъюнктивной, дизъюнктивной и негативной формул
тривиально. В качестве иллюстрации рассмотрим случай, когда формула имеет вид В —> С.
Итак, пусть R(m0, а, Р) и |В -» Cja= и. Требуется показать, что |В -» С|в= и, т. е. что
имеет место V 5 V y(R(P, 5, у) => (|В|5 = и => |С|Т = и)). По условию приписывания
значений |В -> С\а = и о V 5 V y(R(a, 5, у) => (|В|8 = и => \С\У = «)). Пусть имеет место
371

R(P, 8, у) и |В|8 = и, тогда необходимо получить, что имеет место |С|У = и. Выраженщ
R(P, 5, у) и R(m0, а, Р) по п.5. дают R(a, 5, у). Два раза применяя к допущеник-
V5Vy(R(a, 8, у) => (|В|5 = и => |С|7 = и)) modusponens, получаем |С|У = и, что и
обеспечивает доказательство теоремы для рассматриваемого случая.
Еще одна теорема, доказательство которой достаточно очевидно, связывает понятм
следования и истинности в выделенном мире.
Теорема следования:
Для произвольной модельной структуры <М, R, m0, | |,*> имеет место
следующее: А 1=рел В о |А -> В|т0 = и.
Доказательство.
1. А 1=рел В -пос.
2. V а из М верно, что если |А|а = и, то |В|а = и. - ДЗ, 1
3. если |А|а = и, то |В|а = и. -V„,2
4. R(m0, а, Р) - пос.
5. |В|а = и -пос.
6. R(m0, а, Р) & |В|а = и. - & в, 4, 5
7. |В|р = и - теорема наследования, 6
8. |В|„ = и => |В|„ = и -=>в,7
9. если |А|а = и, то |В|р = и. - транзитивность к 3 и 8
10. R(m0, a, р) => (|A|a = и => |В|Р = и) - =>в, 9
11. V a \/ p(R(m0, a, р) => (|А|„ = и => |В|р = и)) - V в, 10, 2 раза
12. |А->В|т0 = и. -условие 5 к 11
В обратную сторону:
1. [А —> В|т0 = и. - пос.
2. V a V P(R(m0, a, Р) => (|A|a = и r> |В|р = и)) - условие 5 к 1
3. |А|а = и -пос.
4. R(m0, а, а) -п.1.
5. R(m0> а, а) & |А|а = и -&в,4, 3
6. (R(m0j а, а) & |А|а = и) => |В|а = и - теорема наследования
7. jB|a = и -зик6и5
8. |А|а = и => |В|а = и - зв к 7
9. Va(|A|a = «=>!B|a=H) -VB,8
Ю. А^ЛВ -ДО, 9
Метатеорема доказана.
Простым методологическим следствием этой теоремы является упрощение
верификации релевантно импликативных формул в построенной семантике: теперь для этого
достаточно, допустив истинность антецедента в произвольном мире, показать, что коя-
секвент будет истинным в том же мире.
Множество теорем системы R увеличилось по сравнению с множеством теоре»
FDE не только за счет расширения понятия формулы. Некоторые формулы языка FDE.
не являвшиеся теоремами этой системы, становятся таковыми в контексте R. В
частности, законом релевантной теории импликации должна быть формула A v -А. Это озн:
чает, что выделенный мир, по крайней мере, в одном отношении является нормальным -
372

он полон в смысле |А|т0 = и, или |-iA(m0 = и. Последнее, по условию приписывания
истинности негативным формулам, означает, что либо |А[то = и, либо iAjm0* = л.
Система R относительно предложенной интерпретации является семантически
непротиворечивой и полной. Однако, как показали Роутли и Мейер, эта теория
неразрешима.
В чисто информационном и синтаксическом плане укажем, что система Е, в
которой формализуется отношение релевантного логического следования, может быть задана
заменой в системе R схем аксиом R1 и R3 на схему аксиом
(((А -> А) -> (В -> В)) -> С) -> С
с сохранением всех правил вывода системы R.
Логика Хао Вана может быть задана следующими постулатами:
1. р -> р v q,
2. р v q -^ q v р,
3. р& q ->р,
4. р & q -> q & р,
5. р -> ^-,р,
6. ^-,р -> р,
7.(p&(qvr))^((p&q)v(p&r)),
8. -.(р & q) -> (-,р v -,q),
9. (-,р v -nq) -> -,(р & q),
10.-n(pvq)->bp&^q),
ll.(-,p&-,q)-^-,(pvq),
12. (р & -ip) ->• q.
Правилами вывода являются:
А -> В, В -> С А -> В, А -» С А -> С, В -> С
А -> С А -► В & С A v В -» С,
а также правило подстановки (если доказана формула А, то доказана формула,
получающаяся из нее заменой всех вхождений переменной у некоторой формулой В). В
формулировке указанных правил формулы А, В и С не содержат знака «-»».
Система, двойственная к системе Хао Вана, получается из нее заменой аксиомы 12
на аксиому р —> (q v —.q).
6.6. Аналитические таблицы для FDE
Для системы FDE существуют достаточно простые правила редукции,
которые позволяют методом аналитических таблиц решать вопрос об
общезначимости в этой логике ее формул. Сформулируем эти правила.
Прежде всего заметим, что среди отмеченных формул у нас будут теперь
не только формулы вида tA и fA, но и формулы нового вида ~tA и ~fA. При
этом формула А во всех этих выражениях не должна содержать иных
пропозициональных связок, кроме &, v и ->. Отметка ~tA будет означать, что
формула А оценивается как «не истинная», а отметка ~£А будет означать, что
формула А оценивается как «не ложная». Выражение ~tA можно читать как
373

«неверно, что формула А истинна», а выражение ~fA - как «неверно, что 1
формула А ложна».
Правила редукции для t&, tv, t-i, f&, fv и f—i полностью сохраняются в их
формулировках для классической логики (см. § 3 главы V). Итак, нам остается i
сформулировать только правила редукции для ~t&, ~tv, ~t->, ~f&, ~fv и -f-..
Правило ~t&. Предположим, что в некоторой цепи аналитической таблицы
содержится отмеченная формула ~t(A & В). Она выражает утверждение о том.
что формула А & В не является истинной. Но, согласно обычному пониманию
конъюнктивного высказывания, конъюнкция не является истинной, если, по
крайней мере, один из членов конъюнкции не истинен. Поэтому исходная цепь
расщепляется на две самостоятельные цепи аналитической таблицы, в одну из
которых помещается ~tA, а в другую —tB:
~t& ~t(A&B)
~tA ~tB
3) Правило ~f&. Пусть в некоторой цепи аналитической таблицы
содержится отмеченная формула вида ~f(A & В). Она выражает утверждение о
неложности формулы А & В. Напомним, что конъюнктивная формула не является
ложной только в единственном случае, когда оба члена конъюнкции не являются
ложными. Поэтому в эту же цепь можно поместить (обязательно одну под
другой) две отмеченные формулы —fA и ~fB.
~f(A & В)
~f& ~fA
~fB
Правило ~tv. Наличие формулы ~t(A v В) в некоторой цепи означает
утверждение о неистинности формулы A v В. Но дизъюнкция не является истинной
только в единственном случае: когда оба члена дизъюнкции не являются
истинными. Поэтому в эту же цепь помещаем (обязательно одну под другой)
отмеченные формулы ~tA и ~tB.
~t(A v В)
~tv ~tA
tB
Правило ~fv. Наличие формулы ~f(A v В) в некоторой цепи
аналитической таблицы означает утверждение о неложности формулы A v В. Данна!
формула не является ложной, если, по крайней мере, одна из формул - А шш
В - не является ложной. Поэтому исходная цепь отмеченных формул
расщепляется на две самостоятельные цепи, в одну из которых помещается ~fA, а >
другую —fB.
~f(AvB)
~fV ~fA|~fB
374

Правило ~t-i. Наличие отмеченной формулы ~t-A в некоторой цепи
означает утверждение о неистинности -iA. В классической логике справедливо
следующее метаутверждение «Если формула А ложна, то формула -А истинна».
Отсюда по контрапозиции получаем: «Если неверно, что —А истинна (~t—А), то
неверно, что А ложна (~fA)», т. е. формула —А не является истинной только
тогда, когда формула А не является ложной. Поэтому в эту же цепь помещается
отмеченная формула ~fA и правило редукции имеет вид:
Правило ~f-i. Наличие в некоторой цепи отмеченной формулы ~f—А
означает утверждение о неложности —А. Поскольку неложность —А равносильна
неистинности А (что можно обосновать аналогично тому, как обосновывалось
предыдущее правило), то в эту же цепь помещается отмеченная формула ~tA:
. ~f—iA
Для проверки формул системы FDE можно строить разные аналитические
таблицы. Так как мы имеем все классические правила редукции для отмеченных
формул вида t&, tv, t—i, f&, fv и f-i, а система {&, v и -i}, как было доказано
выше, является в классической логике функционально полной, то мы можем и в
системе аналитических таблиц для FDE проверять формулы на их классическую
общезначимость и наличие классического логического следования. Для этого
необходимо лишь в случае наличия в проверяемом метаутверждении выражений с
пропозициональными связками, отличными от &, v и —i, заменить их, пользуясь
классическими определениями этих связок, такими выражениями, которые
будут уже содержать только связки &, v и —i.
Как и ранее, для проверки того, что формула А является классически
общезначимой, необходимо начать построение аналитической таблицы с допущения,
что формула А является ложной, т. е. начальной формулой (корнем дерева) надо,
положить формулу fA. При этом, как и ранее, формула А будет считаться
классически общезначимой (t= А), если и только если нам удастся построить
классически замкнутую аналитическую таблицу, начальная цепь которой начинается с
отмеченной формулы fA. Таблица считается классически замкнутой, если в
каждой ее цепи найдется некоторая формула С, отмеченная как знаком t, так и
знаком f. Этот факт говорит о том, что формула А принимает значение «истина»
на всех классических (именно классических) описаниях состояний.
В FDE сохраняется и способ проверки посредством построения
аналитических таблиц наличия классического логического следования А\, А2,..., А„ 1= В.
Чтобы данное метаутверждение оказалось истинным, необходимо построить
классически замкнутую аналитическую таблицу, начальная цепь которой
представляет собой линейную последовательность отмеченных формул tA1; tA2,...,
tA„, fB, где формула tAj является корнем дерева. Построение такой таблицы оз-
375

начает, что логическое следование формулы В из посылок Аь А2,..., А„ имеет
место на классических описаниях состояний.
Но нас будут интересовать не эти случаи, проверка которых может быть
осуществлена и в аналитических таблицах для классической логики, а случаи:
(а) релевантной общезначимости формулы (^рел А) и (б) релевантного
логического следования (Аь А2,..., Ат 1=рел В), которое в частном случае А (=рел В
эквивалентно выражению Нрел А —> В, где «—>■» - релевантная импликация.
Рассмотрим все эти случаи.
(а) Формула А релевантно общезначима (1=рел А), если и только если
существует релевантно замкнутая аналитическая таблица,
начальная цепь которой начинается с отмеченной формулы ~tA.
Цепь называется релевантно замкнутой, если в ее составе
встречается две отмеченные формулы - tC и ~tC, или fC и ~fC.
Аналитическая таблица называется релевантно замкнутой, если
каждая ее цепь является релевантно замкнутой.
Формула А —> В релевантно общезначима ((=рел А —> В), если и
только если существует релевантно замкнутая аналитическая
таблица, начальная цепь которой начинается с отмеченных
формул tA и ~tB.
(б) Формула В релевантно логически следует из посылок Аь А2,...,
Ат, (Аь А2,..., Ат 1=рел В), если и только если существует
релевантно замкнутая аналитическая таблица для формулы
следующего вида Ai & А2 &...& Ат —> В.
Приведем некоторые примеры на релевантную общезначимость и релевантное
следование. Проанализируем те примеры, которые рассматривались уже
несколько выше. Проверим, является ли релевантно общезначимой формула р v
-пр. Построение аналитической таблицы начинается так: .
1. ~tp v -,р -1
У нас имеется единственная формула, к которой можно применить только
правило редукции ~tv. Это нам даст следующую аналитическую таблицу:
1. ~tp v -,р
2. ~tp
3. ~t-,p
Единственным выражением, к которому мы теперь можем применить правило
редукции, является третья отмеченная формула. Поэтому по правилу редукции
~t—iA получаем:
1. ~tp v -,р
2. ~tp
3. ~t-,p si
4. ~fp <Sj
376 1

Построение таблицы завершено. Никакое правила редукции уже применить
невозможно. Тем не менее таблица не является релевантно замкнутой, а потому формула
р v -.р не является релевантно общезначимой (Фрт р v -ip), хотя классически
общезначимой, как нам известно, эта формула является.
Проверим наличие релевантного следования вида р v -ф t=pej, q v -iq. Начальной
таблицей будет:
1. tp v -,р
2. ~tq v -,q
Для продолжения построения таблицы можно применить два правила редукции:
либо применить к первой формуле правило tv, либо применить ко второй формуле
правило ~tv. Но правило tv ведет к расщеплению таблицы, а правило ~tv к расщеплению
не ведет. Поэтому применим именно данное правило.
1. tp v -,р
2. ~tq v -,q
3. ~tq
4. ~t^q
Четвертое выражение позволяет построить следующее продолжение
аналитической таблицы:
1. tp v -,р
2. ~tq v -,q
3. ~tq
4. ~t-,q
5. ~fq
Теперь применим правило tv. Получаем:
1. tp v -,р
2. ~tq v -,q
3. ~tq
4. ~t-,q
5. ~fq
6. tp t^p
В таблице появились цепи - левая и правая. Рассматривая левую цепь,
обнаруживаем, что в ней были осуществлены все дозволенные правила редукции. Тем самым
она завершена, но релевантно не замкнута. Этого уже достаточно, чтобы сказать, что
р v -ф Фрел qv-,q
Упражнения
1. Выявите те обобщенные описания состояния, в которых формула р v —.р
является:
а) истинной и неложной, б) истинной и неистинной,
в) истинной и ложной, г) неистинной и неложной,
377

д) ложной и неистинной, е) ложной и неложной. '
2. Проверьте методом аналитических таблиц, являются ли законами
релевантной логики все схемы аксиом системы FDE.
3. Проверьте методом аналитических таблиц, являются ли
общезначимыми следующие формулы:
а) Р -> (q v ^q), б) (р & ^р) -> q,
в) (р & (q v г)) -> ((р & q) v (р & г)).

р. Глава IX
ПОНЯТИЕ
§ 1. Общая характеристика понятий
1.1. Роль понятий в познании и обыденной жизни
Термины естественного языка (значимые слова или словосочетания,
входящие в состав языковых выражений) имеют две важнейшие характеристики:
значение и смысл. Напомним, что под значением (экстенсионалом) термина
понимают предмет (предметы), знаком которого (которых) данный термин является.
Под смыслом (интенсионалом) термина имеют в виду ту информацию о
значении, которую содержит сам термин или которая связывается с ним. В обыденной
жизни мы не очень задумываемся о смыслах терминов. Вполне достаточной
оказывается та языковая интуиция, которая стихийно складывается у каждого
человека в ходе овладения языком. Эта интуиция состоит в том, что со словами
связываются некоторые представления, посредством которых осуществляется
соотнесение слов с их значениями. Последние позволяют успешно пользоваться
терминами языка и не путать предметы, обозначенные, скажем, словом «стул», с
диванами, скамейками, табуретками, креслами и иными предметами, не
являющимися стульями.
Однако в целом ряде случаев требуется особая точность, когда опора только
на нашу интуицию может давать «сбой». Например, некто а заключил договор с
b на покупку партии стульев и через некоторое время получил от b партию
табуреток. Спрашивается, как они установят это расхождение, если b будет
настаивать на том, что он прислал именно стулья? Чтобы такие коллизии не
возникали, в самом тексте договора тем или иным способом стараются
зафиксировать, о каком товаре идет речь, каковы его характеристики, т. е. договариваются
об одинаковой трактовке терминов.
Другой областью, где также важна четкая терминология, является
юриспруденция (область судопроизводства). Здесь всегда необходимо знать, подпадают
ли поступки людей под ту или иную статью закона. Ведь от этого знания часто
зависит судьба человека. Поэтому в соответствующих кодексах стараются
однозначно зафиксировать используемую в судопроизводстве терминологию. В
частности, пытаются четко указать, какие именно деяния могут быть
квалифицированы соответствующей статьей, т. е. какого рода поступки могут быть
названы такими терминами, как «преступление», «небрежность», «халатность»,
«получение взятки», «хищение», «спекуляция» и др.
Столь же важное значение имеет точная терминология в научных
исследованиях. Так, если в евклидовой геометрии доказывается теорема «Сумма внутренних
углов треугольника равна 2d», то для понимания этого утверждения надо
предварительно знать, что имеется в виду под словами «треугольник», «внутренние углы»,
«сумма» и что за величина обозначена выражением «2d». Без такого знания мы не
только не сможем доказать данное утверждение, но и попросту не поймем его.
379

Необходимость принятия терминологических соглашений вытекает из факта
многозначности слов естественного языка, проявляющегося при их интуитивном
использовании. Ведь у разных людей может существовать разная интуиция, разное
понимание смыслов терминов. Употребляя одни и те же слова, но, вкладывая в них
разный смысл, мы теряем возможность правильно передавать другим свои мысли,
желания, намерения и, наоборот, теряем способность понимать то, что нам
пытается сообщить собеседник. Именно в этом скрывается причина многих споров. Люди
не соглашаются друг с другом не потому, что придерживаются разных мнений, а
лишь потому, что по-разному (в разном смысле) употребляют одни и те же слова. В
таких случаях говорят, что спор идет о словах. Итак, существует насущная
необходимость в однозначном понимании лексики языка. Но что значит понимать термин
и как можно достичь однозначного понимания?
Понимать термин - значит знать, какие именно предметы
подпадают под него, т. е. по любому предъявленному нам предмету
уметь устанавливать, можно ли данный предмет обозначить
данным термином.
Зная это, человек мысленно выбирает из совокупности всех предметов в
точности те из них, которые обозначаются этим термином, т. е. проводит
мысленно границу между теми предметами, которые подпадают под него, и теми,
которые под него не подпадают. Чтобы достичь такого понимания, с термином
соединяют особую мысль, в которой как раз и раскрывается его понимание. Эта
мысль называется понятием.
Понятие есть мысль, которая посредством указания на некоторый
признак выделяет из универсума и собирает в класс (обобщает)
предметы, обладающие этим признаком.
Например, мысль, выраженная словосочетанием «замкнутая геометрическая
фигура, ограниченная тремя сторонами», является понятием, так как она
позволяет мысленно (именно мысленно) собрать в один класс все геометрические
фигуры, обладающие признаком «быть замкнутой и ограниченной тремя
сторонами» и тем самым отличить их от всех иных геометрических фигур, не
обладающих данным признаком. Эта мысль может быть соединена с термином
«треугольник» и тогда она указывает на наше понимание этого термина. В этом
случае говорят, что рассматриваемая мысль является понятием треугольника.
Необходимо не путать сам термин и понимание этого термина, его понятие
С одним и тем же термином могут связываться разные понятия. Так, с термином
«человек» могут быть соединены такие понятия человека: (1) «двуногое и
бесперое существо» (Платон), (2) «животное, обладающее мягкой мочкой уха», (3
«политическое животное» (Аристотель), (4) «животное, способное производить
орудия труда» (Б. Франклин), (5) «животное, обладающее членораздельной
речью» и др. Из данных примеров видно, что понятия человека отличаются друг от
друга использованием разных признаков для отделения класса людей от всех
остальных предметов.
380

1.2. Языковая форма представления понятий
С синтаксической точки зрения и в самом общем виде любое понятие
выражается в языке конструкцией вида:
<аь а2,..., ап>А(а,, а2,..., ап),
где п = 1, 2, 3... Чтение этой конструкции таково: «упорядоченная и-ка
предметов <а,, а2,..., ап> из декартового произведения Uj х U2 х...х Un такая, что
для этих предметов верно отношение А(аь а2,..., ап)». Называется эта
конструкция универсалией. В частном случае, когда п = 1, в силу равенства <а> =
а (см. §3 главы И), понятие может быть выражено универсалией вида
аА(а),
которую можно читать следующим образом: «предмет а из универсума U такой,
что а обладает признаком А(а)».
Универсум Uj х U2 х...х Un, в котором каждая переменная otj пробегает по
множеству Ui, называется родом, а признак А(аь а2,..., ап) - видовым отличием,
т. е. всякое понятие выделяет в универсуме (роде) U! х U2 х...х U„ те и только те
чтюрядоченные и-ки предметов (элементы множества Uj х U2 х...х Un), которые
обладают видовым отличием А(аь а2>..., ап). Графически это изображается
следующей схемой (см. Рис. 1).
О
и
Рис. 1
На рисунке универсум (род) U = U4 х U2 х...х U„ изображен квадратом.
Точками изображены элементы, входящие в Ui х U2 х...х U„, т. е. «-ки предметов,
которые являются элементами множества Ui х U2 х...х Un, кружком,
помеченным буквой «А», изображен класс тех я-ок предметов, который выделен из
универсума Ui х U2 х...х U„ посредством видового отличия А(аь а2,..., ап). Этот
класс называется видом, выделенным в данном роде.
Итак, если языковой формой выражения такой мысли, как суждение,
является повествовательное (декларативное) предложение, то языковой формой
выражения такой мысли, как понятие, является универсалия.
В естественном языке при формулировке понятий явно указывается и род
i универсум), и видовое отличие, как, например, в понятии «животное, способное
производить орудия труда», где термин «животное» указывает на род, а
словосочетание «способное производить орудия труда» - на видовое отличие. В
принятой в учебнике записи понятий на языке исчисления предикатов в виде
универсалии <аь а2,..., ап>А(аь а2,..., ап), универсум явно не указывается. Однако,
поскольку в данном выражении оц, а2,..., а„ - переменные, а переменные обяза-
381

тельно имеют области изменения своих значений, то универсумы, по которьп
пробегают эти переменные, обязательно подразумеваются. Поэтому, чтобы
записать понятие в форме универсалии, предварительно необходимо указать
универсум рассуждения, т. е. род для понятия. Например, если взять понятие
человека, принадлежащее Аристотелю - «политическое животное», - то при запиа
его в прикладном исчислении предикатов в форме
хЗу(Полис(у) & Гражданин^, у))
предварительно надо договориться, что переменная д: пробегает по классу
животных, а переменная у - по классу государств. И эта информация должна
проговариваться, когда мы читаем данное выражение, а именно: «предмет х из
класса животных такой, что существует у из класса государств такой, что у -
это полис их гражданину».
В связи с данным примером обратим внимание на следующее
обстоятельство. В аристотелевском понятии человека свойство «быть политическим»
являлось весьма туманным, а потому его требовалось каким-то образом уточнить,
что и было сделано указанием на существование у - полисной структуры
организации греческих государств - и отношения х в качестве гражданина к этому у.
Свойство «быть политическим» в его точном аристотелевском смысле тем
самым оказалось сложным свойством.
И еще одна особенность демонстрируется приведенным примером. При
записи понятия был использован квантор существования для связывания
переменной у в выражении «Полис(у) & Гражданин^, у)». Это обусловлено требованием
к построению универсалий. Выражение <аь а2,..., ап>А(аь а2,..., а„) будем
далее считать правильно построенным, если в его видовом отличии А(аь а2,..., ап)
свободными являются в точности те переменные, которые входят в префиксное
выражение <аь а2,..., ап>. Если это условие не выполнено, то такие универсалии
в данном учебнике будут рассматриваться как неправильно построенные.
1.3. Объем и содержание понятий
С семантической точки зрения каждое понятие обладает двумя важнейшими
характеристиками - содержанием и объемом.
Содержанием понятия <аь аг,..., ап>А(аь а2,..., ап) называется
признак А(аь аг,.., ап), на основании которого обобщаются и
выделяются предметы из универсума.
Объемом понятия <аь а2,..., ап>А(аь а2,..., ап) называется класс всех
тех упорядоченных и-ок предметов <аь а2,..., а„> из универсума
Ui х U2x...x U„, которые обладают видовым признаком А(аь а2,..., ап).
Иначе говоря, значением универсалии <аь а2,..., ап>А(аь а2,..., ап), как
языкового выражения, является W<ab a2,..., an>A(ab a2,..., a„), т. е. множество тех
самых упорядоченных п-ок объектов, которым присущ признак А(аь а2,..., ап).
382

ап). Это множество и является объемом соответствующего понятия. Интенсио-
налом же, смыслом универсалии, содержанием этого понятия является признак
А(аь а-2,..., ап)- Сказанное можно представить в виде семантического
треугольника (см. Рис. 2). Тогда понятие следует ассоциировать с комплексом,
содержащим языковое выражение <аь а2,..., ап>А(аь а2,..., ап), т. е. универсалию, его
объем - W<ab a2,..., an>A(ab а2,..., an) и его содержание - А(аь а2,..., ап).
<аь ..., ап>А(аь ... ап)
(универсалия)
W<ab ..., an>A(ab ... a,,) A(ab ... a,,)
(объем) (содержание)
Рис.2
Будем далее те упорядоченные и-ки предметов (при этом п может быть
равно 1, 2, 3,...), которые входят в объемы понятий, называть элементами их
объемов.
В I главе было разъяснено понятие логической формы. Было указано, что
логической формой языкового контекста является выражение, фиксирующее ту часть
его содержания, которая остается в результате отвлечения от содержаний
нелогических терминов или же от содержаний простых высказываний, входящих в данный
контекст. Там же было отмечено, что эта часть содержания контекста является
его логическим содержанием. Одновременно с этим, наряду с логическим,
упоминалось также и конкретное (фактическое) содержание языковых контекстов,
которое зависит не только от содержания логических терминов, но и от
содержания простых высказываний, а также содержания тех дескриптивных
терминов, которые входят в состав выражений естественного языка.
Аналогична ситуация и с понятиями. Здесь тоже надо различать логическое
содержание понятий и их фактическое содержание. Рассмотрим, например,
аристотелевское понятие человека - «политическое животное». Его логической
формой будет выражение
x3y(¥(y)&Q(x,y)).
Из него мы узнаем, что: а) это понятийная форма (универсалия),
следовательно, перед нами понятие, б) это понятие о некотором объекте х, в)
существует некоторый другой объект у, который обладает каким-то свойством Р и к тому
же он находится в некотором двухместном отношении Q с нашим объектом х.
Именно эти сведения и составляют логическое содержание данного выражения.
При этом нам остается совершенно неизвестным, по какому универсуму
пробегают переменные х и у, о каком свойстве и каком отношении идет речь, т. е. нам
неизвестно фактическое содержание данного понятия. Оно станет известным,
если это формальное выражение будет проинтерпретировано, например,
следующим образом: 1) пусть переменная д: пробегает по множеству живых су-
383

ществ, а у пробегает по множеству государств, 2) пусть предикаторный
параметр Р обозначает в множестве государств свойство «быть полисом», а
двухместный предикаторный параметр Q обозначает отношение «дс гражданин у-ка».
Тогда перед нами появится выражение, наполненное не только логическим, но и
фактическим (т. е. конкретным) содержанием:
хЗу(Иолис(у) & Гражданин^, у)).
Итак, необходимо различать фактическое и логическое содержание
понятий. Но в таком случае с каждым из этих содержаний будет связан и свой
собственный объем, а потому мы вынуждены также различать фактический и
логический объемы понятий. В фактический объем понятия хЗу(Пояис(у) &
Гражданин^, у)) войдут те и только те живые существа, для которых будет верно
утверждать, что «х гражданин государства-полиса у-ка». С другой стороны,
логический объем понятия, связанный с понятийной логической формой вида
хЗу(Р(у) & Q(x, у)), является достаточно неопределенным классом предметов.
Единственное, что можно вполне определенно про этот класс сказать, состоит в
том, что в логический объем понятия, определяемого формой хЗу(Р(у) &
Q(x, у)), войдут любые предметы, понятие о которых может быть выражено этой
формой. Например, в логический объем понятия, выраженного данной формой,
войдут и все живые существа, которые родились в городе, так как понятие
«живое существо, родившееся в городе» задается конструкцией хЗу(Тород(у) &
Родился в(лг, у)), логическая форма которого является выражение хЗу(Р(у) &
Q(x, у)). В него же войдут и все двигатели, работающие на каком-либо заводе^
так как выражение хЗу(Р(у) & Q(x, у)) тоже будет логической формой последне-'
го понятия.
В конкретных научных теориях неопределенность логического объема понятий
может быть существенно уменьшена. Так как каждая теория имеет дело с вполне
определенным универсумом рассуждения U - классом тех предметов, которые
изучаются в данной теории, то в логический объем понятия, определяемого формой
хЗу(Р(у) & Q(x, у)) могут войти только предметы из данного универсума.
В силу того, что многие операции с понятиями, а также отношения между
ними зависят не только от логической их формы, но и от конкретного содержа-,
ния, мы будем далее записывать понятия на прикладном языке многосортной!
логики предикатов.
Упражнения
1. Свяжите с каждым из нижеследующих терминов понятие и укажите
какие-либо элементы их объемов:
а) всюду определенная двухместная функция, б) глагол, :
в) экономическая независимость государства, г) столица, \
д) Московская городская коллегия адвокатов, е) партнеры,
ж) подкласс натуральных чисел, з) коллектив,
и) планета Солнечной системы, к) отношение родства.
384

§ 2. Виды понятий
2.1. Простые и сложные понятия
I При выделении видов понятий можно учитывать различные их особенности.
г- Можно учитывать лингвистическую структуру соответствующей универсалии,
или семантические характеристики, или их гносеологическое значение и т. п.
Далее будут указаны лишь такие виды понятий, которые выделяются по их
основным логическим особенностям.
С синтаксической точки зрения, т. е. с точки зрения структуры универсалий,
посредством которых в языке выражается содержание понятий, последние
делятся на простые и сложные.
К простым относятся те понятия, содержание которых выражается
элементарными формулами логики предикатов, т. е. формулами
вида Щоц, а,2,..., ап), где П - и-местная предикаторная константа.
Например, (а) л:Человек(дг) - «х из класса животных такой, что х является
человеком», (б) л:Треугольник(л:) - «х из класса геометрических фигур такой, что
х - треугольник».
Специально обращаем внимание, что так называемые общие термины типа
«человек», «треугольник» и т. д. не являются универсалиями, а потому они и
не выражают понятий. Различие между общими терминами и
рассматриваемыми простыми универсалиями состоит в том, что универсалия обязательно
указывает на род и видовое отличие, а потому она и выражает понятие. Общие
же термины, например «человек», не указывают на род, в котором выделяется
класс людей.
Среди простых понятий можно выделить такие понятия, которым нельзя в
принципе в явной форме сопоставить сложные понятия, так как предметы,
входящие в их объемы, не удается описать какими-либо сложными признаками,
отличными от признаков самих простых понятий. Поэтому разъяснить, какого
рода предметы имеются в виду под данными понятиями, можно лишь на примерах,
с помощью предъявления соответствующих экземпляров. Такого рода понятия
играют чрезвычайно важную роль в познавательном процессе, так как они лежат
в основе всего нашего знания о мире. Именно с их помощью задается
содержание других понятий, поэтому они и называются фундаментальными понятиями.
В геометрии, например, к числу фундаментальных относятся такие понятия, как:
«хТочка(х)>>, <ссПлоскость(д;)», «хПрямая(х)>>, «<х, ^Принадлежит^, у)у>,
«<х,у>Ковтруэятяо(х,у)>>, где хну пробегают по классу геометрических
объектов, и многие другие. Используя последние понятия, в геометрии задают все
остальные понятия - понятие угла, треугольника, квадрата, катета и др. В
классической механике фундаментальными являются понятия массы, времени и
длины, посредством которых выражаются остальные физические величины.
В философии к числу простых фундаментальных понятий принято
причислять «понятия» особого рода - так называемые категории. Посредством по-
] 3 Введение в логику Эо~У

следних в языке фиксируются предельно общие характеристики бытия, такие
как материя, сознание, пространство, время и т. д. Впервые категории как
особого рода термины были рассмотрены Аристотелем. Последний выделил
следующие 10 категорий: сущность, количество, качество, отношение, место,
время, положение, состояние, действие и страдание. При этом он специально
отметил, что категории нельзя задать через род и видовое отличие, так как для
них, по мнению Аристотеля, нельзя указать рода, ибо этими терминами
фиксируются предельно широкие классы объектов. Тем самым, учитывая только что
приведенное различие между терминами и простыми понятиями, необходимо
констатировать, что Аристотель, фактически, трактовал категории в качестве
специфических терминов. Однако мы будем трактовать их как простые
фундаментальные понятия, так как и для них, с нашей точки зрения, может быть
указан род. Этот род задается самим термином «категория», что позволяет
построить, например, следующее простое понятие «R из класса категорий такое, что
Качество(Л)». В частном случае для таких фундаментальных выражений, как
«КМножество(К)», «хИндивид(дф>, можно указать в качестве рода предельно
широкий класс, обозначаемый терминами «предмет» или «нечто». Для
последних же терминов заведомо уже нет никакого более широкого класса: ведь
предмет = нечто - это все, что угодно. Поэтому мы можем делать только
утверждения типа «Предмет есть предмет» или «Нечто есть нечто».
К сложным относятся те понятия, содержание которых выражается
сложными формулами логики предикатов, т. е. формулами вида
А(аь а2,..., ап), в состав которых входят логические константы.
Например, (а') хЗу(Орудия труда(у) & Способен сделать(д;, у)) - «животное,
способное производить орудия труда», (б') дс(3амкнута(дс) & число сторон(дс) = 3) -
«геометрическая фигура, замкнутая 3 сторонами». Напомним, что родовые
признаки «быть животным», «быть геометрической фигурой» не вошли в запись
данных понятий, но предполагаются как универсумы, по которым пробегает
переменная х. Простым понятиям (а), (б), могут быть сопоставлены,
соответственно, сложные понятия (а1), (б'). Что означает такое сопоставление, будет
объяснено в следующей главе.
2.2. Виды понятий по объему
По объемной (семантической) характеристике понятия делятся на пустые и
непустые. Последние, в свою очередь, делятся на единичные и общие.
Рассмотрим эти виды понятий.
Пустые понятия - это понятия, в объеме которых нет элементов.
Непустые понятия - это понятия, в объеме которых содержится хотя
бы один элемент.
Например, мысль, выраженная словосочетанием «человек, побывавший на
Марсе», является пустым понятием, так как нет ни одного объекта, который бы
обладал признаком «быть человеком, побывавшим на Марсе». Естественно, это
понятие перестанет быть пустым, после того как люди совершат космическое
386

путешествие на Марс. Пустыми являются понятия «наибольшее натуральное
число», «нынешний король Франции», «среда, колебание которой представляет
собой распространение света». Последнее понятие раскрывает смысл, который в
науке долгое время соотносили термину «эфир».
Необходимо различать понятия, пустота которых обусловлена разными
причинами. Понятие может быть пустым в силу стечения обстоятельств, когда
фактический ход истории не позволил осуществиться некоторому событию, хотя
при других условиях это событие могло бы и произойти, и тогда понятие было
бы непустым. Таковым является, например, понятие «найденный А. С.
Пушкиным клад древних монет».
Другой причиной пустоты может быть невозможность существования
предметов со свойством А(аь а2,..., ап), вытекающая из законов природы.
Примерами таких пустых понятий являются понятия «вечный двигатель», «металл, не
проводящий электрический ток», «бессмертный человек» и т. д.
Относительно многих понятий, фигурирующих в науке, до сих пор
неизвестно, пусты они или нет. Таковым является понятие «нечетное совершенное
число» (совершенным называется число, сумма делителей которого, отличных
от него самого, равна этому числу). Четные совершенные числа известны: это,
например, число 6. Но прошло уже несколько тысячелетий, а ученые до сих пор
не выяснили, имеются ли нечетные совершенные числа. Другим примером
является понятие «элементарная частица, движущаяся со скоростью, большей
скорости света». Ученые даже придумали название для таких частиц - «тахионы». Но
вот имеются ли они в нашем мире - это пока неизвестно. Понятия, пустота
которых обусловлена указанными выше двумя причинами, называются
фактически пустыми.
Но понятия могут быть пусты не только по фактическим основаниям, но и в
силу законов логики. У последних видовое отличие А(аь а2,..., ап) является
самопротиворечивым, как, например, у понятия некруглого круга. Такие понятия
называются логически пустыми.
Если <аь oi2,..., а„>А(аь а.2,..., ап) - пустое понятие, то (независимо от того -
фактически или логически оно пусто) выражение W<ai, 0,2,..., an>A(ai, a2,..., an)
= 0, где «0» - знак пустого множества.
К единичным относятся те понятия, в объеме которых содержится
ровно один элемент.
Например, понятие «древнегреческий философ, выпивший по решению
афинского суда яд цикуты» содержит в своем объеме ровно один предмет,
которым является Сократ, понятие «автор романа "Евгений Онегин"» содержит в
объеме только лишь А. С. Пушкина, а понятие «простое четное число» содержит
в качестве элемента лишь число 2.
Единичные понятия следует отличать от имен. С помощью имен мы выделяем
некоторый предмет из универсума U. Понятия же не только выделяют предметы
из универсума, но и обобщают (собирают) их в класс. А потому экстенсионалом
имен является некоторый предмет и, который они именуют, экстенсионалом же
387

единичных понятий (универсалий) является не сам предмет и, а одноэлементное
множество {и}, а это, как уже говорилось, разные объекты, так как {и} =£ и.
Про некоторое отдельно взятое выражение естественного языка часто трудно
бывает сказать - имя это или универсалия. Так, словосочетание «автор романа
"Евгений Онегин"» можно трактовать и как имя, и как универсалию. Различить
эти два варианта возможно лишь в конкретных контекстах употребления
данного выражения, а, строго говоря, только в формальном языке логики предикатов.
К общим относятся понятия, в объеме которых содержится более чем
один элемент.
Такими понятиями являются понятия «человек, умеющий играть на
скрипке», «учащийся высшего учебного заведения», «спортсмен, завоевавший первое
место на Олимпийских играх» и т. д.
Среди рассмотренных понятий можно выделить две их разновидности -
универсальные и неуниверсальные понятия.
К числу универсальных относятся те понятия, объемы которых
совпадают с универсумом (родом) понятия. К числу же
неуниверсальных относятся все остальные понятия.
Универсальные понятия не несут никакой информации об объектах
универсума. Например, в универсуме (роде) квадратов таким понятием будет понятие
«квадрат, у которого все стороны равны». Так как видовое отличие - «равенство
всех сторон» - присуще всем квадратам, то эта характеристика не добавляет
ничего нового к знанию о квадратах, т. е. не ограничивает род (универсум). Если
выражение вида <аь а2,..., ап>А(аь а2,..., ап) - это универсальное понятие, то
W<ab a2,..., an>A(ab a2,..., an) = U, x U2 x...x Un, где Ui x U2 x...x U„ - род
данного понятия.
2.3. Виды понятий по типам обобщаемых предметов
Выделяемые здесь виды понятий непосредственно зависят от типологии
обобщаемых предметов. Последняя является чрезвычайно разнообразной и
сложно организованной. Поэтому далее рассматриваются лишь наиболее
простые виды понятий в зависимости от типологии обобщаемых предметов
(объектов).
Выше уже говорилось, что в логике и философии термин «предмет»
понимается очень широко. Предмет - это все, что может стать объектом
исследования, о чем мы можем нечто утверждать или отрицать, т. е. все то, что
может быть предметом нашей мысли. Если поставить вопрос так: а что не
может быть предметом мысли, то ответ будет таков - в мире нет ничего, что не
могло бы мыслиться человеком. Человек может сделать предметом своей
мысли буквально все - начиная от пустоты, ничто и кончая своей собственной
мыслью, которую он тоже может подвергнуть исследованию. Итак, предмет -
это все, что угодно. Однако некоторые предметы мы далее будем трактовать
как индивиды, другие же как упорядоченные п-ки индивидов <vb V2,..., vn>, где
388

п > 1, либо как свойства, присущие этим индивидам, либо как некоторые
отношения, в которых находятся индивиды, либо как собрания (классы)
индивидов или п-ок индивидов, либо как предметные функции
{предметно-функциональные характеристики) индивидов.
Из сказанного видно, что наиболее важным является понятие индивида.
Последний - это некоторая единичность, некоторая целостность, которую мы тем
или иным способом выделяем во внешней действительности или во внутреннем
(духовном) мире человека. Индивид - это то, что обладает самостоятельным
существованием или, по крайней мере, мы ему приписываем такую самосущность.
В этом смысле и-ки, свойства, отношения, множества и
предметно-функциональные характеристики не являются самосущими предметами, так как это
всегда и-ки чего-то, свойства, принадлежащие чему-то, отношения, существующие
между чем-то, классы и предметно-функциональные характеристики каких-то
предметов или и-ок предметов.
Конечно, приведенное только что описание не является удовлетворительным,
ведь понятие индивида фундаментально, несводимо к более простым и может
быть разъяснено только на примерах. Индивидами (индивидуальными
предметами) являются отдельные столы, дома, планеты, города, машины, элементарные
частицы, галактики, особи животного и растительного мира. Сюда же относятся
абстрактные и идеальные предметы: различного рода числа, геометрические
фигуры, инерциальные системы отсчета, меридианы и параллели,
пространственные и временные точки и т. д. В число индивидов попадут и различного рода
мифологические и литературные персонажи. С логической точки зрения
индивиды - это предметы, образующие исходный универсум рассуждения.
Учитывая сказанное, будем далее выделять: (I) понятия о предметах, (II)
понятия об п-ках предметов. Употребляя термин «понятие о предметах», будем
иметь в виду либо понятия об индивидах, либо понятия о признаках индивидов,
либо понятия о функциональных характеристиках индивидов, либо понятие о
множествах индивидов; наконец, употребляя термин «понятие об п-ках
предметов», мы будем иметь в виду либо понятия об п-ках индивидов, либо понятия
об п-ках признаков индивидов, либо понятие об п-ках функциональных
характеристик индивидов, либо понятие об п-ках множеств индивидов. Это и будут
основные логические типы предметов, которые мы рассмотрим.
Данная классификация разновидностей предметов является весьма
ограниченной. Чтобы продемонстрировать эту ограниченность, приведем один пример
понятия, которое задает предмет, не входящий в эту классификацию. Рассмотрим
такой математический предмет, как группа. Тип этого объекта точно указывается
соответствующим понятием, которое в данном случае имеет следующий вид:
<V,f, g\ jc!>VxVjVz((x е F& j е F& z е F& jc, = а & а еF) з
(f(f(x, у), z) =/(x,/(y, z)) &/(x, a) =/(a, x)=x &/(*, g\x)) =
/V(*),*) = a)).
Итак, понятие имеет вид выражения <аь а2, а3, a.4>A(ai, а2, аз, оц), т. е.
упорядоченной четверки предметов <aj, а2, аз, а4>, где а] - это некоторое
множество V, а2 - бинарная функция /, а3 - унарная функция g1, заданные на этом
множестве, а а4 - некоторый объект ДГ] = а из множества V, для которых
выполняются соотношения, указанные в круглых скобках. Если, например, бинарную
389

функцию обозначить посредством знака «+», унарную - посредством знака «-»,
а «а» обозначить как 0 (ноль группы), то записанные в скобках соотношения
будут означать следующее:
{(х + у) + z) = (х + (у + z)) - ассоциативность сложения,
(х + 0) = (0 + дг) = х - существование нейтрального элемента относительно
операции сложения,
(х + (-х)) = ((-*) + х) = 0 - существование обратного элемента.
Примером такого объекта является множество целых чисел с заданными на
нем операциями сложения и вычитания и числом 0 в качестве нейтрального
элемента. Итак, множество целых чисел является элементом данного понятия.
Вообще, в силу того, что мы можем вводить понятия в языках исчисления
предикатов любого произвольного к-го порядка (о таких языках см. главу II, а
также главу VI), то в универсалиях <аь а2,..., ап>А(а1, а2,..., а„) каждая оц может
тоже указывать на объект любого произвольного порядка.
Специально отметим, что все ниже рассматриваемые понятия об индивидах и
и-ках индивидов будут формулироваться в первопорядковом языке, в то
время как все остальные понятия потребуют использования второпорядко-
вой логики.
Кроме того, в учебнике не рассматриваются понятия о так называемых
сыпучих и текущих веществах типа меди, воды и т. д. С этими терминами можно
связывать два вида понятий - единичные понятия и общие. Например, с термином
«медь» можно связать, с одной стороны, единичное понятие о некотором
абстрактном объекте - химическом элементе, представленном ровно одним
предметом в таблице Менделеева, а можно, с другой стороны, связать с этим термином
некоторое общее понятие о вещественном предмете. Ведь любой кусок меди, а
таких кусков много, в этом последнем смысле тоже медь.
Не рассматриваются в учебнике и так называемые мереологические понятия. К
их числу относятся понятия, в объеме которых содержатся не виды предметов, а
части предметов. Например, термин «культура» в мереологическом смысле
является сложно организованным единичным предметом (конгломератом), а
потому это понятие нельзя делить на виды, которых он не имеет, но можно разделить
на части, т. е. создать понятие о частях культуры. Такими частями культуры, но
не ее видами, является литература, наука, религия, техника и т. д. Правда, их
можно рассматривать как виды, но не понятия «культура», а понятия «часть
культуры». С другой стороны, можно с термином культура связать некоторое
множество, некоторую совокупность культур. Видами этого понятия будут
выступать, например, «русская культура», «античная культура», «культура
европейского средневековья» и т. д., но ни литература, ни наука, ни религия, ни
техника не являются видами этого понятия, так как последние - повторим еще раз -
это не виды культуры, а виды частей культуры.
I. Понятия о предметах. Структура универсалии, задающей данные
понятия, имеет вид выражения аА(а). Различают следующие виды понятий
этого типа.
1(a). Понятия об индивидах. В этом случае «а» в выражении аА(а) есть
некоторая индивидная (предметная) переменная, скажем jc, и первопорядковая
структура понятия будет иметь вид
390

хА(х),
которая читается: «х е U такой, что A(jc)». Большинство вышеприведенных
примеров понятий были как раз этого вида.
1(6). Понятия о свойствах, присущих индивидам. В этом случае «а» в
выражении аА(а) есть некоторая одноместная предикаторная переменная, скажем Р,
и понятие имеет вид
РА(Р).
Читается данное выражение следующим образом: «свойство Р, заданное на
множестве U, такое, что верно А(Р)».
Например, второпорядковая универсалия Р\/д:(Металл(д;) з Р(х)) выражает
понятие «свойство Р, заданное на классе материальных предметов, такое, что Р
присуще всем металлам». В объем этого понятия - \\Т\/.х(Металл(А:) гз Р(х)) -
войдут такие свойства металлов, как их электропроводность, теплопроводность,
наличие свободных электронов и другие общие для всех металлов свойства.
Второпорядковая универсалия РЗхР(х), где х принимает значения из
множества планет Солнечной системы, задает понятие «свойство Р, заданное на множестве
планет Солнечной системы, такое, что Р присуще хотя бы одной планете этой
системы». В объем - WP3xP(x) - этого понятия войдут свойства - «движение
вокруг Солнца по эллиптической орбите», «наличие массы», «наличие
атмосферы», «наличие жизни» и многие др.
Обратите внимание, что в этом случае элементами объема понятия будут не
индивиды, а свойства индивидов.
1(в). Понятия об отношениях, в которых находятся индивиды. В этом
случае «а» в выражении аА(а) есть некоторый я-местный предикатор, скажем Rn,
где п > 1. Структура понятия примет вид
RaA(Ra)
и читается: «w-местное отношение Ra, заданное на декартовом произведении
Ui х U2 х...х U„, такое, что верно A(R")».
Например, второпорядковая универсалия R\/xR(x, х), где д: пробегает по
множеству натуральных чисел, выражает понятие «двухместное отношение R,
заданное на натуральных числах, такое, что каждое натуральное число находится в
отношении R к самому себе». В объем - WRVxR(x, х) - войдут отношения «>»,
«=» и др. Для них верно «х > х», «х = х» для любых натуральных чисел.
Пусть R есть двухместное отношение, заданное на множестве пар людей.
Тогда универсалия R\/x4y(R{x, у) = (Мужчина(х) & Родителях, у))) есть понятие
об отношении, которое выражается в русском языке термином «отец» в
контекстах вида «х отец у».
Универсалия RR(6, 3) есть понятие обо всех двухместных отношениях между
числами 6 и 3. Таковыми будут: «быть больше», «делиться на» и др.
Пусть х, у и z пробегают по множеству людей, тогда универсалия вида
RVx4y(R(x, у) = Зг(Предок(г, х) & Предок(г, у))) задает понятие о некотором
двухместном отношении, существующем между людьми. В объем этого понятия
391

в качестве элемента войдет ровно одно двухместное отношение - «отношение
родства». Таким образом, данное понятие будет по объему единичным.
Здесь тоже следует обратить внимание на то обстоятельство, что элементами
объема указанных понятий будут не индивиды, а отношения между ними.
1(г). Понятия о предметно-функциональных характеристиках индивидов.
В этом случае «а» в выражении аА(а) есть некоторый и-местный предметно-
функциональный символ, скажем f, где п > 0. Структура понятия имеет вид
/А(Л
и читается: «п-местная предметная функция, заданная на декартовом
произведении Ui х U2 х...х Un и принимающая значение в универсуме Un+b такая,
что А(/").
Пусть/будет одноместной функцией, заданной на небесных телах, а а -
планета Земля и переменная z пробегает по универсуму всевозможных величин
(действительные числа с различной размерностью), тогда второпорядковая
универсалия уЭг(Да) = z) выражает понятие «предметно-функциональная
характеристика/, заданная на множестве планет, такая, что имеется некоторая величина z
и эта величина = ДЗемли)». В объем этого понятия - \у/Эг(Да) = г) - войдут
такие, например, предметно-функциональные характеристики Земли, как «масса»,
«температура», «объем», «диаметр экватора» и др.
Пусть/- одноместная функция, заданная на множестве людей, х и у
пробегают тоже по множеству людей. Тогда второпорядковая универсалия вида
/УхЗу(Дх) = у = (Мужчина(у) & Родитель(у, л:))) есть понятие об одноместной
предметной функции, выражаемой в русском языке термином «отец» в
контекстах вида «отецдг-а», т. е. отец кого-то.
1(д). Понятия о множествах индивидов. В этом случае «а» в выражении
аА(а) есть переменная для множеств, скажем V. Структура понятия такова:
VA(V).
Читается: «множество V, заданное на универсуме U, такое, что A(V)».
Пусть U - класс натуральных чисел. Тогда второпорядковая универсалия
V(2 е V) есть понятие о всех тех множествах натуральных чисел, элементом
которых является число 2. В объем - WF(2 е V) - данного понятия в качестве
элементов объема войдут следующие множества: {2} - одноэлементное
множество, содержащее только число 2; всевозможные двухэлементные
множества, одним из элементов которых является число 2, а другим - любое другое
натуральное число; множество всех натуральных чисел и т. д.
Пусть U - класс людей, по которому пробегает переменная хина котором
заданы множества V. Тогда выражение Wx(x е V => Человек(л:)) есть понятие обо
всех подмножествах, которые содержатся в множестве людей. В объем этого
понятия в качестве элементов войдут такие множества, как «множество учащихся»,
«множество преподавателей», «множество русских» и т. д.
Рассмотрим универсалию V\(V\ = WV-iix(x е К2 z> Человек(л:))) при тех же
условиях. Это будет единичное понятие, так как в его объем войдет ровно одно
392

множество, а именно: множество, которое собрано из всех тех множеств,
которые содержатся в классе людей, т. е. единственным элементом объема этого
понятия будет в точности то множество, которое являлось объемом предыдущего
понятия. Это множество обозначается универсалией «множество всех
подмножеств множества людей».
Пусть переменная х пробегает по множеству материальных предметов. Тогда
универсалия вида РЭг(Помещение(г) & Хранится в( V, z) & V = \>/хКнига(х))
является понятием библиотеки, а выражение вида ^гСПомещение^) & Хранится
b(V, z)) & \/х(Человек(х) гэ Может пользоваться (х, V)) & V= \¥хКнига(х))
является понятием публичной библиотеки.
Универсалия вида V(V = \¥хЧеловек(х)) задает понятие, выражаемое в
русском языке термином «человечество».
II. Понятия об и-ках предметов, находящихся в п-местном отношении,
В этом случае универсалия, задающая такого рода понятия, имеет вид
<аь а2,..., ап>А(аь а2,..., ап), где <аь а2,..., ап> есть упорядоченная и-ка
предметов. Различают следующие виды понятий данного типа.
11(a). Понятия об я-ках индивидов, находящихся в п-местном отношении.
Тогда ои, а2,..., ап в выражении <аь а2,..., ап>А(аь а2,..., ап) являются
индивидными переменными, скажем дгь х2,..., х„, где п > 1. Структура понятия имеет вид:
<Х\, Хг,..., xn>A(xi, Xi,..., х„)
и читается: «и-ка индивидов <лг(, xj,..., хп> е Uj х U2 х...х U„ такая, что они
находятся в отношении A(xt, Хг,.-, *„)»•
Пусть хну пробегают по универсуму натуральных чисел, тогда первопоряд-
ковая универсалия <х, у>(х < у) выражает понятие «пара <х, у> натуральных
чисел, находящихся в отношении "меньше"». В объем - W<x, у>(х <у)- этого
понятия в качестве элементов войдут те и только те пары, у которых первая
компонента меньше второй: <1, 2>, <3, 7>, <100, 101> и т. д.
Пусть переменные х,у иг принимают значения в множестве людей, тогда пер-
вопорядковая универсалия <х, ^>Эг(Предок (г, х) & Предок (г, у)) задает смысл
термина «пара людей <х, у>, находящихся в отношении родства».
Пусть х и у принимают значения из класса городов, а г - из множества величин
длин, выраженных в километрах. Тогда элементами объема такого понятия, как
<х, у, г>(Расстояние между (х, у) = z), будут упорядоченные тройки <щ, иг, щ>,
где щ и и2 — города, а щ - расстояние между ними.
Пусть хну принимают значения из класса людей. Тогда выражение
следующего вида <х, у>(Мужчнпа(х) & Родителях, у)) есть первопорядковое понятие о
таких парах людей, первый из которых является отцом второго.
11(6). Понятия о находящихся в п-местном отношении признаках, присущих
индивидам. В этом случае упорядоченная совокупность <аь а2,..., а„> в
выражении вида <аь а2,..., ап>А(аь а2,..., ап) есть упорядоченная п-ка предикаторных
переменных различной местности, скажем <Р\', P-t2,..., Рп">, ГДО и > 1, а
структура понятия имеет вид:
<Р1и, Р2к2,..., Р„кп>А(Рук', Ргк2,..., Рвкп)
393

и читается: «и-ка признаков индивидов <Р\к', Pi2,..., Рпк">, где каждый Рк' задан
на декартовом произведении Un х U2i х...х иы, такая, что для них выполнено
отношение Х{Рк', Рг\..., />„*>.
Например, второпорядковая универсалия <Р, Q>\/x(P(x) z> Q(x)), где х
пробегает по классу живых существ, а Р и Q - это свойства, заданные на классе живых
существ, выражает понятие о двухместном отношении между свойствами,
которые присущи людям, а именно, импликативной зависимости свойства Q от
наличия у предмета свойства Р. В объем - W<P, Q>\/x(P(x) з Q(x)) - данного
понятия в качестве элементов войдут, например, следующие пары одноместных
признаков <Студент, Человек>, <Русский, Человек>, <Человек, Млекопитаю-
щее> и многие другие. Действительно, наличие у некоторого живого существа
первого признака влечет за собой и наличие у него второго признака.
П(в). Понятие об гс-ках, присущих индивидам предметно-функциональных
характеристик. В этом случае упорядоченная л-ка <аь а2,..., ап> в выражении
<аь а2,..., ап>А(аь а2,.-., ап) есть и-ка предметно-функциональных переменных
различной местности, скажем <fkl, fk2,--.,fkn>, где п > 1, а структура понятия
имеет вид выражения:
<f\ ,fi ,-,/n >A(/i ,/2 ,...,/„ )
и читается: «и-ка функций от индивидов <fkl, f2k2,..., fakn>, где каждая fk' есть
отображение вида Uu х U2i х...х иы —> U(k+1), такая, что для нее справедливо от-
ношение A(A*',//2,...,/nto)». :
Например, универсалия </, g>\/xxVx2...\/xa(f[xx, х2,..., хп) = g(xu х2,..., *„)), где
переменные хь х2,..., х„ пробегают по множеству натуральных чисел, выражает
понятие об отношении равенства «-местных функций натуральных чисел. Если
положить, что п = 3, то в объем данного понятия войдет, например, следующая
пара функций, задаваемая выражениями (xi ■ (х2 + х3)) и ((jci • лг2) + (xi ■ х3)).
П(г). Понятие об п-ках множеств индивидов. В этом случае <аь а2,..., ап> в
выражении <ai, a2,..., an>A(ab a2,..., an) есть упорядоченная и-ка множеств <Уи
F2l.., Vn>, где n > 1, а структура понятия имеет вид:
<Vt, V2,..., Vn>A(Vb V2,..., V„)
и читается: «и-ка множеств <Fb V2,..., VB> такая, что между ними имеет место
отношение МУъ V2,..., К„)».
Пусть, например, переменная х пробегает по множеству живых существ. Тогда
второпорядковая универсалия <Fb F2>Vjc (л: е Vx з х е V2) выражает понятие о
таком двухместном отношении между подмножествами живых существ, когда
вхождение в качестве элемента произвольного живого существа д: в первое
множество влечет его вхождение в качестве элемента и во второе множество. В
объем этого понятия W<Kb V2>\/x(x е V\ з л: е V2) - войдут, например, такие пары
множеств: <\¥л:Студент(л:), \Ул:Человек(л:)>, <\¥дгЧеловек(х), \¥л:Млекопитаю-
щее(х)> и др.
III. В логике принято все виды понятий по типам обобщаемых предметов.
которые были рассмотрены в предыдущих разделах I-II, группировать в особые
394

классы и тем самым выделять еще некоторые их виды, а именно: понятия делят
на конкретные и абстрактные, собирательные и несобирательные.
Соответствующие примеры приведены выше.
К числу собирательных относятся понятия о множествах предметов.
Все остальные понятия относятся к числу несобирательных.
К числу собирательных понятий относятся понятия о множествах
индивидов, о множествах свойств индивидов и множествах отношений между
индивидами, о множествах предметно-функциональных зависимостей между
индивидами и, наконец, о множествах множеств индивидов.
При выражении собирательных понятий на естественном языке их
формулировка всегда начинается с так называемых собирательных слов. В их
число входят следующие термины - множество, класс, совокупность,
собрание, многообразие, геометрическое место точек, стая, шайка, ансамбль и
многие другие.
Конкретными считаются понятия, элементами объема которых
являются индивиды или и-ки индивидов. Все остальные понятия (с
одним существенным ограничением) относятся к числу абстрактных.
Упомянутое ограничение касается понятий о множествах предметов.
Обычно эти понятия относятся к числу абстрактных понятий. И это, действительно,
так. Рассмотрим, например, понятие Wx(x е V з Человек(л:)). Выше было
сказано, что это есть понятие обо всех подмножествах, которые содержатся в
множестве людей. В его объем в качестве элементов входят такие множества, как
«множество учащихся», «множество преподавателей» и т. д. И это понятие,
несомненно, является абстрактным в силу той причины, что указанные
подмножества мы собираем лишь мысленно, они существуют лишь как результат
нашей абстрагирующей деятельности. С другой стороны, некоторые понятия о
множествах носят совершенно иной характер. В них фиксируется информация о
таких множествах предметов, которые реально собраны и существуют как
единое целое. Таковым является, например, приведенное выше понятие библиотеки
- РЗг(Помещение(г) & Хранится в(У, z) & V= \УлгКнига(х)). Это тоже понятие о
множестве, но указание на то, что это множество хранится в некотором
помещении, приписывает этому множеству вполне конкретное материальное свойство.
Ясно, что абстрактное множество хранить в помещении нельзя. Это можно
сделать только с реальным множеством, реальным собранием книг. А потому это
понятие мы вынуждены отнести не к абстрактным понятиям, а понятиям
конкретным.
Вообще понятие о множествах, когда элементами понятий являются так
называемые агрегаты, т.е. реальные собрания предметов, образующие некое
единое целое, относятся к конкретным понятиям. Таковыми будут понятия о
Солнечной системе, Измайловском лесопарке, галактиках и многие другие.
Следует особо оговорить, что к конкретным понятиям относятся любые
понятия об индивидах, даже если элементами их объема являются абстрактные
предметы, как, например, числа. Важно лишь одно - рассматриваем ли мы числа
как индивиды. Иногда числа трактуются по-иному - как некоторые свойства.
395

Так, в главе VI указывалось, что во второпорядковой логике можно задать
любое натуральное число. Например, число 0 вводилось условием:
Отсюда видно, что числа здесь трактуются абстрактно - как некоторые
свойства. Для данного случая это будет свойство «быть нулем», которое
является свойством свойств.
2.4. Виды понятий по содержанию
По содержанию видового отличия А(аь а2,..., ап) понятия подразделяют на
положительные и отрицательные.
Положительные понятия - это понятия, в содержании А(аь а2,..., а„)
которых нет знаков логического отрицания «-i».
Все примеры понятий, приводившиеся выше, были именно такого типа.
К отрицательным понятиям относятся те понятия, в содержании
которых используются знаки отрицания - «-i».
Так, в геометрии отрицательным понятием будет понятие о параллельных
прямых, как таких пар прямых, которые не имеют ни одной общей точки или же все
точки которых совпадают. Это понятие выражается посредством следующей
формальной записи: <х, ^(\/г(Принадлежит(г, х) = Принадлежит^, у)) v
—13г(Принадлежит(г, х) & Принадлежит^,у))), где хиу пробегают по множеству
прямых, лежащих в одной плоскости, а г - по множеству точек этой плоскости.
Относительными понятиями являются те понятия о предметах, в
которых признак А(а) представляет собой свойство, образованное от
отношения.
Поясним сказанное. Выше говорилось, что по любому «-местному признаку
(отношению) А(аь а2,..., ап) можно образовать новый признак меньшей
местности. Для этого достаточно подставить в выражение, которое задает этот
признак, вместо некоторой свободной переменной константу, либо связать ее
каким-либо квантором. Уменьшая таким образом местность исходного выражения,
можно получить в результате выражение вида А(а;), где единственной
свободной переменной будет а; (1 < i < п). Получившееся выражение задает уже
некоторое свойство, образованное из «-местного отношения, а потому такого рода
признаки называются «свойствами, образованными от отношений», или более
просто -реляционными свойствами.
Понятия о предметах, т. е. понятия, которые по характеру элементов объема
были выше рассмотрены в пункте I, образованные с помощью таких
реляционных свойств, как раз и называются относительными понятиями. Таковыми
будут, например, понятие человека, заданное выражением «животное, способное
производить орудия труда», и понятие треугольника, заданное выражением
«замкнутая геометрическая фигура, ограниченная тремя сторонами».
396

Безотносительными являются понятия о предметах, видовое
отличие которых - А(а) - не является реляционным свойством.
Примером может служить платоновское понятие человека.
Наконец, среди относительных понятий можно выделить пары понятий,
которые называются соотносительными понятиями. К их числу принадлежат
понятия, образованные за счет использования двухместного отношения, причем
данное отношение таково, что в языке существуют специальные термины С и В
для обозначения, соответственно, предметов а, находящихся в отношении
А(а, Р), и предметов (3, находящихся в отношении А(а, (3). В этом случае
понятие о предметах С задается универсалией «аЗ(ЗА(а, (3)», а понятие о предметах
В - универсалией «рЗаА(а, Р)». Сами понятия С и В считаются при этом
соотнесенными друг с другом.
Возьмем двухместное отношение «Обучает(д:, у)» и образуем понятие о
первой компоненте пары - хЭ^Обучает(л:, у). Оно задает смысл термина «учитель».
Сформулируем теперь понятие о второй компоненте - уЗхОбучает(х, у). Это
понятие задает смысл термина «ученик». Таким образом, понятия «учитель» и
«ученик» считаются взаимно соотнесенными. Произнося термин «учитель», мы
предполагаем наличие ученика, а, произнося термин «ученик», предполагаем
наличие учителя. Соотнесенными понятиями будут понятия «раб» и
«рабовладелец», «начальник» и «подчиненный», «делимое» и «делитель» и др.
Упражнения
1. Запишите следующие понятия на прикладном языке исчисления
предикатов, определите их вид и укажите какие-либо элементы объема:
а) двухместное отношение, в котором каждый человек не находится к
самому себе, но находится к некоторому другому человеку,
б) населенный пункт, который расположенный севернее Новгорода и южнее
Москвы,
в) конькобежец, быстрее всех пробежавший дистанцию 1000 м на
олимпиаде в Калгари,
г) государства, имеющие общие сухопутные или водные границы,
д) человек, имеющий брата, но не имеющий сестры,
е) континент, расположенный южнее Антарктиды,
ж) свойство, присущее некоторым студентам.
2. Образуйте понятие для следующей бесконечной последовательности пар
чисел и запишите его формально: <1, 3>, <2, 5>, <3, 7>, <4, 9>, <5, 11>,...
§3. Операции над понятиями
3.1. Булевы операции над понятиями
В математике исследуются различные операции, выполняемые над
числами. Их можно складывать, делить, вычитать, умножать, возводить в степень,
извлекать корни и т. д. Точно так же и в логике исследуются различные опера-
397

ции над высказываниями, понятиями и теориями. Так, выше были введены
операции вывода и доказательства для высказываний (см. главы IV и VI).
Теперь же будут рассмотрены операции над понятиями, которые можно
разделить на два вида - операции с объемами понятий и операции с их
содержаниями. Эти два типа операций, как будет показано далее, являются
взаимосвязанными друг с другом.
Операции, которые будут сейчас рассмотрены, называются булевыми
операциями - по имени английского логика Дж. Буля, построившего особую алгебру
логики, получившую в его честь название булевой алгебры.
Допустим, что даны два понятия аА(а) и аВ(а). Условимся, что род у этих
понятий один и тот же. Возьмем объемы данных понятий - WaA(a) и WaB(a).
Продемонстрируем теперь, что означают данные операции на конкретном
примере двух понятий - <о;Учащийся(х)» и «хСпортсмен(д:)», у которых общим
родом является класс людей.
Пересечь два множества, представляющих объемы понятий aA(a) и
aB(a), - это значит образовать объем нового понятия, элементами
которого будут те и только те предметы, которые одновременно
обладают как признаком А(а), так и признаком В(сс), т. е. обладают
сложным признаком А(а) & В(а):
WaA(a) n WaB(a) =nf Wa(A(a) & В(а)),
где «о» - знак операции пересечения.
Если взять объемы \\^хУчащийся(х) и \¥хСпортсмен(х), которые для
краткости обозначим, соответственно, через А и В, то результат их пересечения
будет представлен затененной частью на Рис. 3.
ш
Рис.3
Элементами в затененном множестве как раз и будут те и только те
предметы, для которых общим признаком является «быть учащимся и спортсменом»,
т. е. это будет объем - \¥л:(Учащийся(л:) & Спортсмен(л:)).
Объединить два множества, представляющих объемы понятий aA(a)
и aB(a), - это значит образовать объем нового понятия, элементами
которого будут те и только те предметы, которые обладают, по
крайней мере, одним из признаков А(а) или В(а), т. е. обладают сложным
признаком A(a) v В(а):
WaA(a) u WaB(a) =Df Wa(A(a) v B(a)),
где «u» - знак операции объединения.
398

Для нашего примера с объемами \¥хУчащийся(х) и \¥хСпортсмен(л:)
результат их объединения представлен затененной частью на рис. 4.
ш
Рис.4
Действительно, каждый элемент, входящий в затененное множество,
обладает признаком «быть учащимся или спортсменом», т. е. затененная часть - это
объем \¥л;(Учащийся(л-) v Спортсмен (л:)).
Вычитанием объема понятия аВ(а) из объема понятия аА(а) будет
объем нового понятия, элементами которого являются те и только те
предметы универсума, которые обладают признаком А(а) и не
обладают признаком В(а), т. е. обладают следующим сложным
признаком - А(а) & -iB(a):
WaA(a)\WaB(a) =Df Wa(A(a) & -iB(a)),
где «\» - знак теоретико-множественного вычитания.
В нашем примере при вычитании \¥хСпортсмен(х) из \¥дсУчащийся(л:)
образуется объем, элементами которого будут такие учащиеся, которые не являются
спортсменами. На Рис. 5 этот объем затенен.
ш
Рис.5
Симметрической разностью объемов понятий aA(a) и aB(a)
называется объем нового понятия, элементами которого будут те и только
те предметы, которые обладают не более чем одним из признаков
А(а) или В(а), т. е. обладают сложным признаком А(а) у В(а):
WaA(a) u WaB(a) =Df Wa(A(a) у B(a)),
где «и» - знак симметрической разности. Графически симметрическая разность
может быть представлена следующей схемой:
ш
Рис.6
Для нашего примера это означает, что каждый предмет, входящий в
затененную область, будет обладать сложным свойством «быть учащимся, но не
спортсменом, или же быть спортсменом, но не учащимся».
399

Рассмотренные операции являются бинарными, так как применяются к
парам понятий. Следующая же операция является унарной - она применяется к
отдельно взятым объемам понятий, заданным на некотором универсуме.
Взять дополнение объема понятия аА(а) - это значит образовать в
универсуме U объем нового понятия, элементами которого будут те и
только те элементы U, которые не обладают признаком А(а):
WaA(a)' =of Wa-A(a) (т. е. UYWaA(a)),
где «'» - знак взятия дополнения.
\¥л:-1Учащийся(лг) - это дополнение к объему \Ул;Учащийся(л:). На Рис. 7 он
представлен затененной частью.
I07!
Рис.7
Из приведенных определений видно, что существует прямая взаимосвязь
между операциями над объемами понятий - «n», «vj», «'», «и» и операциями
над их содержаниями - «&», «v», «-1» и «у», а именно: объемной операции
пересечения «п» соответствует операция над содержанием «&», объемной
операции объединения «и» соответствует операция над содержанием «v», объемной
операции симметрической разности «и» соответствует содержательная
операция «у», а взятию дополнения «'» соответствует операция отрицания «-i». Кроме
того, легко показать, что объемной операции теоретико-множественной
разности «\» соответствует содержательная операция, которая в главе III была названа
«антиимпликацией» (Ф). Поэтому оперировать можно не только с объемами
понятий, но и с их содержаниями. Так, если имеются два признака А(сс) и В(а).
составляющих содержание понятий aA(a) и aB(a), и они соединяются конъ-
юнктивно в признак А(а) & В(а), то тем самым создается видовое отличие для
понятия a(A(a) & B(a)), объем которого является пересечением объемов
понятий aA(a) и aB(a).
3.2. Булева алгебра
Введем вначале общее понятие абстрактной булевой алгебры с помощью
полуформального ее определения:
Под абстрактной булевой алгеброй имеется ввиду упорядоченная
4-ка объектов <V, + ■, -> такая, что для любых элементов из V
выполняются условия:
(х + (у + г)) = ((х + у) + г) - ассоциативность +,
(х • (у ■ г)) = ((х ■ у) ■ z) - ассоциативность •,
400

(jc + у) = (у + х) - коммутативность +,
(х • у) = (у ■ х) - коммутативность •,
(х + (у • z)) = ((х +у) ■ (х + z)) - дистрибутивность + относительно •,
(х ■ (у + z)) = ((х -у) + (х- г)) - дистрибутивность • относительно +,
(х + (у ■ х)) = х- поглощение для +,
(х ■ (у + х)) = х - поглощение для ■,
(х + (у ■ -у)) = х-закон противоречия,
(х- (у + -у)) =х-закон исключенного третьего.
В абстрактную булеву алгебру можно ввести по определению два
специальных объекта - ноль и единицу алгебры, а также определить отношение х<у
между элементами алгебры:
0=ы(у--у),
\=т(у + -у),
x<ysDf(x-y)=x.
В абстрактной булевой алгебре доказуемы следующие утверждения:
(jc + х) = л; - идемпотентность сложения,
(х ■ х) = х - идемпотентность умножения,
—х = х — закон двойного дополнения,
-(л; +у) — (-х ■ -у) - закон де Моргана для сложения,
-{х ■ у) = (-jc + -у) - закон де Моргана для умножения,
(1 + х) = 1 - закон поглощения слагаемого,
(1 -х)=х- закон поглощения 1,
(О + де) = х - закон поглощения О,
(О • х) = 0 - закон поглощения сомножителя.
В зависимости от выбора множества V и от интерпретации операций «•»,
«+» и «-» различают разнообразные уже не абстрактные, а конкретные
булевы алгебры.
Булева алгебра множеств.
Пусть М будет произвольным множеством. Образуем множество всех
подмножеств данного множества, т. е. образуем множество-степень 2м, и
положим, что V = 2м. На этом множестве проинтерпретируем булевы операции
следующим образом: знак «•» будем понимать как знак операции пересечения
множеств - п; знак «+» будем понимать как знак операции объединения
множеств - и; и знак «-» как знак операции взятия дополнения - '. В
качестве нуля (0) булевой алгебры множеств берется пустое подмножество
множества 2м - 0, а в качестве единицы (1) берется исходное множество М,
которое также является одним из подмножеств множества 2м. В этом случае
заданный выше определением знак «<» интерпретируется как знак включения
одного множества в другое (с). Так, если М = {а, Ь, с}, то 2м = {0, {а}, {Ь},
{с}, {а, Ь}, {а, с}, {Ь, с}, {а, Ь, с}}. Положив, что V = 2м и определив указан-
401

ным выше образом булевы операции, мы получим конкретный пример
булевой алгебры множеств - так называемую булеву решетку. Для
рассматриваемого случая имеем следующую решетку:
{а,Ь,с}
{а,Ь} {а, с} {Ь,с}
0
Булева алгебра высказываний.
Обозначим через V множество формул логики высказываний (см. главу III).
Проинтерпретируем знак «•», как обозначающий конъюнкцию - &, знак «+»
будем понимать как знак дизъюнкции - v, знак «-» как знак отрицания 1, а
равенство (=) будем понимать как отношение логической эквивалентности о,
которое трактуется следующим образом: «А о В, если и только если является
тождественно-истинной формула А = В». Нулем булевой алгебры высказываний
(0) является формула Т, а единицей алгебры (1) является формула ±. Знак «<»
интерпретируется теперь как знак логического следования одной формулы из
другой (t=). Булева алгебра высказываний дедуктивно эквивалентна
классической логике высказываний.
Булева алгебра контактно-релейных сетей.
Под элементарной контактно-релейной сетью будем понимать
электрическую цепь, содержащую вход, соединенный через (возможно) некоторый
контакт с выходом. Контакт представляет собой произвольное устройство,
способное находиться в двух состояниях - «замкнуто» и «разомкнуто». На вход
подается электрический ток, скажем от батареи (см. Рис. 8).
Рис.8
С каждым контактом жестко связаны реле и пружина, работа которых и
позволяет контакту находиться в двух указанных выше состояниях. Причем реле
бывает двух сортов - размыкающее и замыкающее. Схемы контакта с
размыкающим и замыкающим реле имеют следующий вид (см. Рис. 9 и 10).
х
2ф ^ ® 2® ^ 0
х
Рис. 9 Рис. 10
Левая схема работает следующим образом: когда по цепи 1 идет ток, то
срабатывает обмотка катушки, контакт оттягивается вниз и цепь 2 разрывается,
т. е. по ней не идет ток. Когда же по цепи 1 ток не идет, то срабатывает пружина,
которая притягивает реле вверх и тем самым цепь 2 замыкается. Правая же цепь
работает так: когда по цепи 1 идет ток, то срабатывает обмотка катушки,
контакт д: притягивается вниз и цепь 2 замыкается, т. е. по ней идет ток. Когда же пс
402

цепи 1 ток не идет, то срабатывает пружина, которая оттягивает реле вверх и тем
самым цепь 2 размыкается. Далее мы не будем изображать обмотки катушек
реле, а будем показывать лишь контакты.
Теперь зададим интерпретацию абстрактной булевой алгебры на контактно-
релейных сетях. Под множеством V будем понимать множество контактов,
объединенных в цепи. Булевой операции «•», присутствующей, например, в
выражении «х • у», соответствует цепь с последовательным соединением контактов
х и у; булевой операции «+», содержащейся в составе, например, выражения
«х + у», соответствует цепь с параллельным соединением контактов х и у. (см.,
соответственно, Рис. 11 и 12). Что же касается одноместной булевой операции
«-», то она реализуется посредством цепи, содержащей, например, контакт с
замыкающим реле. Таким образом, с помощью контактно-релейных схем можно
представить все три основные булевы операции.
0 ^ " 0 0—I Х \—0
х у
У
Рис.11 Рис.12
Равенства в абстрактной булевой алгебре, например равенство выражений
х ■ у = у • х, понимаются теперь как тождественность функций, которые
реализуются левой и правой контактно-релейными сетями. Нулем булевой алгебры
теперь является любая сеть, которая при всяких условиях не пропускают ток,
иначе говоря, 0 - это разрыв в проводнике, а единицей булевой алгебры является
такая сеть, которая всегда пропускают ток, т. е. 1 - это просто кусок проводника,
соединяющий вход и выход.
Приведем пример. Пусть имеется выражение (х ■ (((у + z) • х{) + {х\ ■ у))).
Тогда данная функция реализуется следующей контактно-релейной сетью.
Рис. 13
3.3. Операции ограничения и обобщения понятий
Кроме булевых операций над понятиями, над ними можно осуществлять и
еще целый ряд других операций. Одной из них является операция ограничения
понятий. Так как с каждым понятием можно связать логический и фактический
объемы, то операцию ограничения можно применять и к тем и к другим
объемам. Далее, как и ранее, мы будем операции ограничения и обобщения понятий
трактовать как операции над объемами понятий.
Ограничить понятие аВ(а) - это значит указать понятие аА(а)
такое, что для их объемов WotB(oc) и WaA(oc) будет справедливо
отношение строгого включения WaA(a) с WaB(a).
403

Отношение строгого включения было введено в §3 главы П.
Операция ограничения понятия аВ(а), таким образом, состоит в переходе
к видовому понятию аА(а). Само аВ(а) при этом рассматривается в качестве
родового понятия. Например, пусть на множестве людей задано понятие
«писатель». Тогда переход к понятию «русский писатель» является процедурой
ограничения. Понятие «русский писатель» является видовым по отношению к
понятию «писатель», которое трактуется как родовое.
Процесс ограничения можно продолжить, образовав новое понятие аС(а).
которое является видовым по отношению к понятию «русский писатель». Пусть
аС(а) есть понятие «русский писатель начала XIX в.». Над последним понятием
можно, в свою очередь, произвести операцию ограничения. В результате такой
процедуры возникает система подчиненных друг другу понятий (см. Рис. 14). На
рисунке мы, как и ранее, сокращенно обозначаем объемы соответствующих
понятий посредством знаков С, А и В.
Рис. 14 .1
При работе с фактическими объемами понятий пределом их ограничения
считается единичное понятие. Действительно, так как ограничение понятия
состоит в разбиении его объема на две непустые части, одна из которых и
рассматривается как объем видового понятия, то ясно, что единичное понятие уже
нельзя далее разбить указанным способом. Что же касается логического объема
понятия, то пределом его ограничения является логически пустое понятие, т. е.
самопротиворечивое понятие.
Операцию ограничения объема понятия нельзя путать с операцией
членения предмета (мереологическое ограничение). Первая операция являетсж
действием с понятиями, т. е. с мыслительными конструкциями, вторая же ос\-
ществляется с элементами понятий, т. е. с самими предметами. Например,
понятие «здание» можно последовательно ограничивать до понятий
«административное здание», «административное здание, расположенное в Москве» и т. д..
в то время как мереологическое ограничение самих зданий (элементов понятие
«здание») будет состоять в выделении той или иной его части, например
крыши, стен, окон или дверей и т. п. С логической точки зрения различие межд}
двумя этими процедурами проявляет себя в том, что при правильном
ограничении понятия аВ(а) до понятия аА(а) должно оказаться истинным
предложение «Всякий А есть В», в то время как при мереологическом ограничение'
предмета В до предмета А предложение указанного вида будет ложным. В
самом деле, истинным является предложение «Всякое административное здание
есть здание», но ложным будет предложение «Всякое окно есть здание». Ъл
404

особенность является критерием, имеем ли мы дело с логическим
ограничением понятия или с мереологическим.
Осуществить операцию обобщения понятия осА(а) - это значит
указать понятие ссВ(сс) такое, что для их объемов WaA(oc) и WaB(a)
будет справедливо отношение строгого включения WaA(a) с WaB(a).
Процедура обобщения, таким образом, состоит в переходе от рассмотрения
видового понятия aA(a) к рассмотрению родового понятия aB(a).
Пусть на множестве людей задано понятие «поэт». Тогда переход к понятию
«писатель» является процедурой обобщения исходного понятия. Последнее
понятие можно обобщить далее до понятия, скажем, «человек умственного труда».
В результате последовательного выполнения этой процедуры возникает система
подчиненных друг другу понятий (см. Рис. 15).
Рис. 15
Пределом обобщения как при рассмотрении фактических объемов понятий,
так и при рассмотрении их логических объемов является универсальное
понятие, т. е. некоторое понятие aD(a) такое, что WaD(a) = U.
3.4. Деление понятий
Под делением непустого понятия aB(a) понимают построение на
основании модификации какой-либо характеристики \|/ элементов
объема WaB(a) этого понятия системы S объемов видовых понятий
такой, что S = {WaAi(a), WaA2(a),.., WaAn(a)}.
При осуществлении операции деления используется следующая
терминология: понятие aB(a) называется делимым понятием; видовые понятия,
aAj(a), aA2(a),.., aA„(a), по которым строятся их объемы, входящие в
систему S, называются членами деления, а характеристика \|/ - называется
основанием деления.
Деление по фактиченским объемам считается правильным, если:
1) Деление осуществляется по одному основанию, т. е. в качестве \\г
используется в точности одна (простая или сложная)
характеристика предметов,
2) Vj(WaAi(a) с WaB(a)) - члены деления, входящие в S, является
видами по отношению к понятию aB(a),
3) VjVj(i Ф j zd WaAj(a) n WaAj(a) = 0) - члены деления из S попарно
несовместимы,
405

4) Vi(WaAj(a) ф 0) - члены деления из S не пусты,
5) WaAi(a) u WaA2(a) u...uWaA„(a) = WaB(a) - объединение
объемов всех членов деления из S совпадает с объемом aB(a).
Таким образом, всякое правильное деление по фактическим объемам
разбивает объем исходного родового понятия aB(a) на непересекающиеся объемы не
пустых видовых понятий aAj(a), причем оно делает это так, что в сумме они по
объему исчерпывают весь объем родового понятия. В случае деления
логического объема понятия aB(a) условие 4 опускается.
Различают два вида деления - дихотомическое и деление по
видоизменению основания.
В случае дихотомического деления родового понятия aB(a) основанием
деления является некоторый признак, присущий лишь части предметов, входящих
в объем WaB(a). Деление осуществляется по наличию или отсутствию этого
признака у предметов объема делимого понятия. Например, понятие «человек»
дихотомически делится, если взять в качестве основания деления признак «быть
мужчиной», ровно на два класса - \Уд:Мужчина(л;) и \¥л;-1Мужчина(л:),
соответствующих понятиям хМужчина(лг) и л;-1Мужчина(л:). Это же понятие, но уже по
другому основанию, может быть разбито и иначе - на класс \\^хУчащийся(л) и
\¥дг-1Учащийся(д:). В объем одного понятия войдут учащиеся, а в объем другого
все другие люди.
Графически дихотомическое деление представляют в виде дерева с двумя
ветвями (см. схему 1).
человек человек
мужчина не мужчина учащийся не учащийся
Схема 1
Другой вид деления - это деление по видоизменению основания. В этом
случае в качестве основания деления используются предметно-функциональные
характеристики элементов объема делимого понятия. Необходимо только (для
выполнения условий деления) следить, чтобы предметная функция f, берущаяся
в качестве основания, была всюду определена на множестве WaB(a). При таком
делении объемы видовых понятий представляют собой собрания тех и только
тех предметов щ и и2, для которых выполняется условие f(u\) = f(M2)-
Примером деления по видоизменению основания является деление понятия
«зрячий человек» по цвету глаз. Цвет глаз - это одноместная предметно-
функциональная характеристика каждого зрячего человека. Значением этой
функции будет множество цветов {голубой, серый, коричневый,...}. Применяя
эту функцию к отдельным людям, будем получать выражения вида «цвет
глаз(Ивана) = голубой», «цвет глаз(Петра) = зеленый» и т. д. В один класс
теперь соберутся все люди, обладающие одним и тем же цветом глаз, например
голубым. Тем самым порождается множество голубоглазых людей. Аналогично
406

образуется множество сероглазых людей и т. д. Эти классы и являются
объемами членов деления.
Если выбрать в качестве основания деления другую
предметно-функциональную характеристику, присущую каждому человеку, то можно осуществить
другое деление этого же понятия. Например, понятие «человек» можно
указанным способом разделить по этнической принадлежности, росту и т. д.
Всякое правильное деление должно удовлетворять требованиям, указанным
в определении. Невыполнение какого-либо из этих требований приводит к
неправильному делению. Так, невыполнение требования - деление должно
осуществляться по одному основанию - ведет к ошибке в делении {путаное деление).
Другой ошибкой является так называемый скачок в делении, состоящий в том,
что в системе S одни члены деления являются видами аВ(а), а другие - его
подвидами. Например, выше указывалось, что понятие «человек» может быть по
отношению к процессу обучения дихотомически поделено на понятия
«учащийся» и «не учащийся». В свою очередь понятие учащегося по другому основанию -
характеру обучения - может быть поделено на подвиды «учащийся в системе
начального образования», «учащийся в системе среднего образования» и
«учащийся в системе высшего образования». Совмещая эти два деления в одном, т. е.
осуществляя ошибочное деление сразу по двум основаниям, можно получить,
например, систему понятий S = {«не учащийся», «учащийся в системе
начального образования», «учащийся в системе среднего образования» и «учащийся в
системе высшего образования»}, в которой понятие не учащегося является
видовым, а все остальные понятия подвидовыми, так как для них ближайший их род -
это понятие учащегося, которое ошибочно не указано. Данное деление
неправильно, так как оно осуществлено не по одному основанию и ведет к скачку в
делении, т. е. исходное понятие делится не на ближайшие видовые понятия.
Операцию деления, наподобие того, как это было с ограничением понятий,
иногда путают с операцией мереологического членения предмета, т. е. вместо
перечисления видовых понятий перечисляют части предмета. Ошибка
устанавливается с помощью того же критерия, что и в случае с ограничением понятия. Для
каждого видового понятия aAi(a) должно быть истинным высказывание
«Всякий Aj есть В», в то время как ни для одного понятия о частях предмета
предложение такого вида не будет истинным. Однако любое мереологическое членение
можно превратить в правильное деление некоторого понятия - так называемое
ыереологическое деление (деление на части). Для этого достаточно вместо
понятия aB(a), которое ошибочно делилось на части предмета, взять понятие
«осЧасть В(оф>, т. е. «а такое, что а есть часть В». Например, выше такой
предмет, как здание, членился на свои части: окна, двери, стены и т. д. Если теперь
образовать понятие «часть здания», то тогда то, что раньше - окна, двери, стены
и т. д. - не было видами понятия «здание», становится теперь видами, но видами
понятия «часть здания».
Требование, чтобы всякое деление проводилось по одному основанию,
вовсе не предполагает, что в качестве такого основания в обязательном порядке
должен выступать некоторый простой признак. В качестве основания деления
может использоваться и сложный признак. Важно лишь одно - чтобы этот при-
407

знак был один. Например, класс людей можно разбить по одному, но сложному
основанию, в качестве которого выступает признак «быть мужчиной и
студентом». В этом случае возникает правильное дихотомическое деление,
образующее следующую систему видовых понятий (см. схему 2).
человек
мужчина & мужчина & не мужчина & не мужчина &
студент не студент студент не студент
Схема 2
3.5. Операция классификации ■
Операция деления лежит в основе различного рода классификаций.
Под классификацией понимается результат последовательного
деления некоторого понятия на его виды, видов на подвиды и т. д.
Классификации играют большую роль в научном познании и практической
деятельности людей. Обычно исследование любой совокупности объектов
всегда завершается построением их классификации. Это позволяет правильно
ориентироваться в окружающем мире, принимать верные решения и осуществлять
эффективные (ведущие к достижению нужных целей) действия.
Любая классификация может быть представлена в форме дерева понятий
(см. схему 3). Дерево классификации выглядит как множество точек (вершин).
соединенных линиями (ребрами). Каждая вершина представляет объем
некоторого понятия, которое называют таксоном (таксономической единицей). Ребра
же показывают, на какие подвиды разбиваются данные таксоны.
корень дерева, 0-й ярус
1 -й ярус
2-й ярус
3-й ярус
k-й ярус
Схема 3
Вершина К0 называется корнем дерева. Она репрезентирует (представляет)
объем исходного делимого понятия. Таксоны группируются по ярусам. В
каждом ярусе собраны таксоны, полученные в результате одинакового числа
применений операций деления к объему исходного понятия. Те таксоны, которые
408

в данной классификации уже далее не делятся на свои виды, называются
концевыми таксонами. Предельной классификацией является такая
классификация, все концевые таксоны которой представляют собой (при классификации
фактического объема исходного понятия) объемы единичных понятий. Однако
в зависимости от целей, которые преследуются при построении
классификации, концевые таксоны могут и не быть (да часто и не бывают) объемами
единичных понятий.
При построении классификации могут использоваться обе разновидности
деления - дихотомическое и по видоизменению основания. Причем, каждый акт
деления, который применяется при построении классификации, может
осуществляться по своему собственному основанию, отличному от оснований, которые
использовались в других актах деления.
Примером дихотомической классификации может служить так называемое
древо Порфирия. В этой классификации Порфирий (греческий философ II в.
новой эры) классифицирует философское понятий субстанции, т. е. так
называемой первой сущности в терминологии Аристотеля (см. схему 4).
телесная бестелесная
живая не живая
одушевленная не одушевленная
разумная не разумная
Схема 4
Примером классификации по видоизменению основания является
классификация биологических организмов. Возникающие при этом члены деления
распределяются по ярусам, получая в каждом ярусе специальные названия. Так, все
организмы делятся первоначально на два множества, называемые царствами -
царство животных и царство растений (мы представляем здесь не современную
классификацию). Эти два множества образуют 1-й ярус - ярус царств. В свою
очередь царства делятся на типы, типы на классы, классы на отряды, отряды на
семейства, семейства на роды, роды на виды. Последние делятся на
разновидности, а разновидности на расы и т. д.
Так как в основе любой классификации лежит операция деления, то
условием правильности классификации является выполнение требований, которые
определяют правильность деления. Однако реальная научная практика
классификаций оказывается настолько сложным процессом, что часто приходится
прибегать к специальным приемам, чтобы общая абстрактная схема данной операции
была выполнена. Например, в реальной классификации часто встречаются
случаи, когда некоторые предметы не удается поместить ни в один из
существующих таксонов. Для того чтобы общая схема классификации, тем не менее,
соблюдалась, для таких предметов создается либо особый таксон (при этом часто
409

возникает проблема, в какой ярус поместить данный таксон), либо такие
предметы помещают в так называемый отстойник. В последнем содержатся все
объекты, место которых в системе классификации на данный момент не
установлено. Кроме того, следует иметь в виду, что в реальной практике
классификационной систематики существующая на нынешний день классификация
объектов зачастую не является окончательной - она постоянно изменяется и
трансформируется в соответствии с новыми научными данными, а потому объект,
первоначально помещенный в некоторый таксон, может по мере получения
новых данных изменить свое место в классификации. Существуют и другие
сложности, которые не позволяют абстрактные требования деления выполнить в
реальной классификации полностью.
Различают еще два вида классификаций - искусственные и естественные.
Они различаются по характеру оснований, которые используются в операциях
деления. Если в качестве оснований делений берутся существенные
характеристики предметов, то классификация считается естественной, если же в качестве
оснований берутся несущественные, т. е. случайные, характеристики предметов,
то классификация относится к искусственной.
Обычно к числу существенных относят те характеристики предметов,
которые являются их теоретическими характеристиками, т. е. используются при
теоретическом описании той предметной области, элементом которой является
данный предмет. С этой целью из огромного числа различных свойств,
отношений, предметно-функциональных характеристик, присущих предметам,
стараются выбрать такие, с помощью которых можно осуществить процедуру
дедуцирования как можно большего числа других свойств, отношений,
предметно-функциональных характеристик. Существенные характеристики предмета
как бы лежат в основе всех других характеристик и составляют его (предмета)
сущность. Знание того, что предмет обладает данными характеристиками,
позволяет получить очень богатую и разнообразную дополнительную
информацию о нем. Так, наличие у человека способности к созданию орудий труда,
прямохождение и способность к членораздельной речи являются
существенными его признаками, так как позволяют при теоретическом описании
человека развернуть стройное учение о нем и его бытии. В противоположность
этому, такой признак, как наличие у человека мягкой мочки уха, не является
существенным. Зная эту особенность, присущую людям, ничего важного и
нового из этого нашего знания получить нельзя.
Из сказанного вовсе не следует делать вывод, что искусственные
классификации не представляют никакого интереса. Напротив, они часто выполняют
важные практические задачи и без них наша жизнь была бы затруднена.
Например, алфавитный библиотечный каталог является, конечно же, искусственной
классификацией книг библиотеки, так как знание того, что книгу, которую я
ищу, написал автор с фамилией Иванов, ничего еще не говорит о содержании
этой работы. Однако использование алфавитного каталога позволяет быстро
найти нужное произведение.
С другой стороны, основная особенность естественных классификаций как
раз и состоит в том, что, зная местоположение некоторого предмета в данной
классификации, нам удается сразу же получить большое число других сведений
410

о нем. Например, естественная классификация химических элементов,
предложенная Д. И. Менделеевым (таблица Менделеева), позволяет по одному только
местоположению того или иного химического элемента в таблице установить
огромное число его свойств, предсказать поведение элемента в самых различных
химических реакциях. То же самое характерно и для современной
классификации биологических организмов.
Упражнения
1. Укажите результаты следующих булевых операций, выполненных над
объемами понятий:
а) Чему равен результат пересечения следующих понятий:
Солнечная система - Солнце.
б) Чему равен результат объединения следующих понятий:
русалка - женщина, береза - кедр,
четырехугольник с равными углами или сторонами - четырехугольник с
равными сторонами.
в) Чему равен результат вычитания следующих понятий:
- из понятия мужчины понятия сын,
- из понятия русалка понятия русская русалка,
- из понятия суп понятия тарелка,
- из понятия чашка с молоком понятия молока.
г) Чему равен результат взятия дополнения для следующих понятий:
- равносторонний треугольник в универсуме треугольников,
- кошка в универсуме усатых и полосатых существ.
д) Чему равен результат симметрической разности всех указанных выше
пар понятий!
2. Используя аксиомы булевой алгебры, выведите следующие равенства:
a)(x + x)=x, 6)(х-х) = х, b)(1+jc) = 1,
г) (1 •*) = *, д)(0+*)=х, е) (0 •*) = <).
3. Представьте следующие выражения булевой алгебры в виде контактно-
релейных схем:
a)(x + (yz))-((x-y) + (z-(x+y))),
6)(x-(y + z)) + (y-(x + z)) + (z-(x+ у)),
в) ((* --у) + (у -z) + (х ■ z)) ■ Шгх+у) -(y + z))+x + z).
4. Решите вопрос, представляют ли члены следующих
последовательностей понятий этапы их обобщения или ограничения! Изобразите кругами
Эйлера как соотносятся между собой данные классы предметов.
а) населенный пункт - город - столица России - городской район - район
Москвы, где расположен МГУ,
б) частица вещества - молекула - атом - ядро атома,
в) Солнечная система - планета Солнечной системы - ближайшая к Солнцу
планета Солнечной системы,
г) многоугольник - четырехугольник - параллелограмм - ромб - квадрат -
треугольник - трапеция - окружность.
411

5. Проверьте правильность следующих ниже делений, и если имеются
ошибки, то укажите, в чем они состоят:
а) предложения бывают личные, безличные и неопределенно-личные,
б) простое предложение состоит из подлежащего, сказуемого и
второстепенных членов,
в) транспорт бывает сухопутный, водный, воздушный, железнодорожный,
механический и гужевой.
6. Осуществите дихотомическое деление понятия «студент» по признаку
«способный и трудолюбивый».
7. Предложите свою классификацию понятий «студент» и «транспорт».
§ 4. Отношения между понятиями
4.1. Фундаментальные отношения между понятиями
Операции над понятиями - это некоторые действия с ними. Но между
понятиями существуют и определенные объективные, независимые от нашей воли и
наших желаний отношения. Тот факт, что какие-то два понятия находятся друг
к другу в некотором отношении, можно установить как по их объемным, так и
по содержательным характеристикам.
Будем говорить, что понятия аА(а) и аВ(а) несравнимы, если в
первом понятии а е Ui, во втором понятии а е U2 и Ui ф U2, т. е. если
род первого понятия отличен от рода второго понятия.
Например, при обычной формулировке понятий несравнимыми будут понятия
человека и натурального числа, понятия формулы и небесного тела. У каждого из
этих понятий имеется свой собственный род, отличный от рода другого понятия.
Два понятия аА(а) и аВ(а) считаются сравнимыми, если и только
если совпадают их роды, т. е. Ui = U2.
Среди всевозможных пар сравнимых понятий прежде всего выделим те,
которые находятся в трех фундаментальных разновидностях этого
отношения. Последние считаются фундаментальными в том смысле, что с помощью
различных их комбинаций задаются все другие виды отношений. К
фундаментальным отношениям принадлежат отношения совместимости,
включения и исчерпывания.
Два понятия аА(ос) и аВ(а) считаются совместимыми, если и только
если пересечение их объемов А и В непусто, т. е.
А п В Ф 0.
Это означает, что в универсуме имеется, по крайней мере, один элемент,
обладающий как признаком А, так и признаком В, т. е. За(А(а) & В(а)).
Ясно, что если условие совместимости аА(а) и аВ(а) не выполнено, т.е.АпВ
412

= 0, то такие понятия следует считать находящимися в отношении
несовместимости. В этом случае в универсуме отсутствуют элементы с
признаком А(а) & В(а).
Понятие аА(а) включается в понятие аВ(а),если и только если
каждый элемент объема А является элементом объема В, т. е.
Va(A(a) =э B(a)).
Наличие такого отношения между объемами А и В обозначается
посредством записи АсВ. Это отношение уже рассматривалось в главе II.
Отношение включения может иметь место и в обратную сторону - когда
понятие aB(a) включается в понятие aA(a). В этом случае каждый элемент
объема В является элементом объема А, т. е. Va(B(a) гэ А(а)). Наличие этого
отношения между объемами понятий обозначается посредством записи ВсА.
Два понятия aA(a) и aB(a) находятся в отношении исчерпывания,
если и только если для их объемов А и В справедливо утверждение:
А и В = U.
Это означает, что каждый предмет из универсума U является элементом или
объема первого, или объема второго понятия - Va(A(a) v B(a)). Если данное
условие не выполняется для объемов некоторых понятий aA(a) и aB(a), то
такие понятия называются находящимися в отношении неисчерпывания.
4.2. Производные отношения между понятиями
Учитывая теперь различные комбинации фундаментальных отношений,
которые возможны для некоторых двух конкретных понятий aA(a) и aB(a) (их
совместимость, включенность одного в другое и исчерпываемость), можно
установить для них различные производные (нефундаментальные) отношения.
Каждое из этих отношений задается некоторой модельной схемой. Всего таких
модельных схем 15. Все они были заданы, когда речь шла о силлогистике
Аристотеля. Если же ограничиться рассмотрением только непустых и неуниверсальных
понятий, то для них можно установить, как мы видели, ровно 7 различных
отношений. Для последних существуют хорошие их представления с помощью так
называемых модельных схем (см. Рис. 16).
На схеме (а) представлено отношение равнообъемности между понятиями
aA(a) и aB(a). Оно определяется следующими фундаментальными условиями:
понятия aA(a) и aB(a) совместимы, первое понятие по объему включается во
второе -АсВ, второе понятие по объему включается в первое - В с: А и, кроме
того, понятия находятся в отношении неисчерпывания. Отношение
равнообъемности принято выражать записью А = В. В этом отношении находятся,
например, понятия «жвачное животное» и «парнокопытное животное», так как их
объемы совпадают.
413

А
В
(е)
Рис. 16
На схеме (б) графически представлено отношение подчинения понятия
аА(а) понятию аВ(а). Оно определяется посредством следующих
фундаментальных условий: понятия совместимы, первое понятие включается по объему
во второе - А с В, но неверно, что второе понятие включается в первое, и
понятия находятся в отношении неисчерпывания. Наличие такого объемного
отношения принято выражать посредством записи А с В. При этом понятие
аА(а) называется видовым, а понятие аВ(а) - родовым. В этом отношении
находятся, например, понятия учащегося и человека, понятия планеты и
небесного тела, если с аА(а) соотнесены, соответственно, первые из них, а с
аВ(а) - вторые.
На схеме (в) также представлено отношение подчинения, но подчинение
обратное, а именно подчинение аВ(а) понятию аА(а). Отличие от предыдущего
отношения состоит лишь в том, что здесь понятие аВ(а) включается по объему
в понятие ctB(a) и неверно, что имеет место обратное включение. Естественно,
это объемное отношение выражается посредством записи В с А. В этом случае
понятие аВ(а) является видовым, а аА(а) родовым. В качестве примеров такого
рода отношения могут быть взяты предыдущие понятия, но с аВ(а) необходимо
теперь соотнести, соответственно, первые из них, а с аА(а) - вторые.
На схеме (г) показано отношение пересечения. В этом случае понятия аА(а)
и аВ(а) совместимы, отсутствуют включения по объему первого понятия во
второе, а также второго понятия в первое, и понятия находятся в отношении
неисчерпывания. В таком отношении находятся, например, понятия учащегося и
спортсмена на множестве (универсуме) людей.
На схеме (д) представлено отношение дополнительности. Оно определяется
такими фундаментальными условиями: понятия аА(а) и аВ(а) совместимы,
находятся в отношении исчерпывания, но не включаются по объему друг в друга.
В этом отношении находятся, например, понятия «число, меньшее ста» и
«число, большее восьмидесяти» на универсуме натуральных чисел.
На схеме (е) показано отношение противоречия между аА(а) и аВ(а). В
этом случае понятия являются несовместимыми, находятся в отношении исчер-
414

пывания, и отсутствует включение по объему первого понятия во второе и
второго в первое. В этом отношении, в частности, находятся любые два понятия с
видовыми отличиями аА(а) и а-А(а), например, понятия «учащийся» и «не
учащийся», «преподаватель» и «не преподаватель» и т. д.
На последней схеме (ж) графически задано отношение соподчинения. Оно
определяется условиями: понятия аА(а) и аВ(а) несовместимы и не
исчерпывают универсум, и, кроме того, оба понятия не включаются по объему друг в
друга. Такое отношение свойственно, например, понятиям кометы и звезды на
множестве небесных тел.
4.3. Закон обратного отношения
Выше говорилось, что имеется взаимосвязь между объемными
характеристиками понятий и их содержательными характеристиками. Одно из важнейших
проявлений такой взаимосвязи - так называемый закон обратного отношения
между объемами и содержаниями понятий. Словесная формулировка этого
закона звучит так:
Объем понятия аА(а) составляет часть объема понятия аВ(а), если и
только если содержание аВ(а) является частью содержания аА(а).
Так, объем понятия «планета» составляет часть объема понятия «небесное
тело», но в таком случае из информации о том, что некий объект х является
планетой, можно извлечь информацию, что л: является и небесным телом. Заключить в
обратную сторону нельзя, так как если х - небесное тело, то это вовсе не означает,
что х - планета: ведь х в таком случае мог бы быть и кометой, и астероидом, и
звездой, и чем-то еще. Таким образом, информативность выражения «х - планета»
больше, чем информативность выражения «х - небесное тело», т. е. содержание
понятия «небесное тело» составляет часть содержания понятия «планета».
Однако здесь необходимо сделать одно замечание. Выше было сказано, что
необходимо различать логические и фактические содержания и объемы понятий.
Учитывая это, закон обратного отношения между содержаниями и объемами
понятий формулируется несколько отличным образом для логических содержаний и
объемов, с одной стороны, и фактических содержаний и объемов - с другой.
Пусть выражения аА(а) и аВ(а) будут некоторыми логическими формами
понятий, а выражения а А* (а) и аВ*(а) конкретными понятиями указанных
форм. Тогда для логических объемов и содержаний будет верно:
WaA(a) с WaB(a) о Ь- Va(A(a) z> B(a)) и If Va(B(a) => A(a)),
а для фактических объемов и содержаний верно несколько иное:
WaA*(a) с WaB*(a) oTh Va(A*(a) з В*(а)) и Т If Va(B*(a) => А*(а)),
где в первом выражении левая его часть, стоящая перед знаком «о», говорит об
отношениях между логическими объемами понятий, а правая указывает на то,
415

что формула Va(A(a) =з B(a)) является логическим законом, в то время как
формула Va(B(a) => A(a)) логическим законом не является; с другой стороны,
левая часть второго выражения говорит, что класс реально существующих
предметов, образующий объем понятия aA*(a), составляет часть реального
объема понятия aB*(a), а правая часть означает, что конкретное утверждение вида
Va(A*(a) zd B*(a)) является теоремой в некоторой теории Т, а обратное
утверждение теоремой этой теории не является.
Последняя формулировка показывает, что вопрос о наличии отношения
подчинения между фактическими объемами понятий может быть сведен к
вопросу о выводимости в теории Т некоторого предложения, т. е. присущность двум
понятиям данного отношения можно установить с помощью логики предикатов.
Это же верно и для других фундаментальных отношений.
Действительно, вопрос о наличии у понятий aA(a) и aB(a) отношения
совместимости между их фактическими содержаниями сводится к построению в
исчислении предикатов относительно соответствующей теории Т вывода вида:
Т Н Ba(A*(a) & B*(a)),
а вопрос о наличии у них отношения исчерпывания сводится к построению в
исчислении предикатов относительно теории Т вывода:
Т \- Va(A*(a) v B*(a)).
Но так как через данные фундаментальные отношения определяются
отношения всех других типов, то отсюда следует, что наличие всех указанных выше
отношений может быть установлено посредством применения логики предикатов.
4.4. Диаграммы Венна
В качестве практического средства установления различных отношений
между понятиями можно использовать так называемые диаграммы Венна. Под
диаграммой Венна имеют в виду некоторую графическую схему, на которой
представлен универсум рассуждения, разбитый по некоторому списку
параметров на взаимно дополнительные подклассы.
Пусть задан некоторый универсум рассуждения U и пусть задан список
каких-то характеристик предметов, входящих в этот универсум, - Рь Р2,..., Р„.
Тогда можно построить следующую схему (см. схему 5).
Схема 5
416

На данной схеме универсум представлен прямоугольником. Далее этот
универсум последовательно членится по каждой характеристике Pj ровно на два
подкласса - на подкласс предметов, обладающих признаком Pf, и на подкласс
предметов, этим признаком не обладающих. На представленной схеме
начинается такое членение с характеристики Рь по которой универсум разбивается на
два класса: на класс предметов, обладающих свойством Pi (левая часть схемы),
и класс предметов, обладающих свойством —.Pj (правая часть схемы). Вслед за
этим универсум делится по характеристике Р2 ровно на два класса: на класс
предметов, обладающих свойством Р2 (верхняя часть схемы), и на класс
предметов, обладающих свойством -Р2 (нижняя часть схемы). Далее универсум
делится ровно на два класса по характеристике Р3: на класс предметов, обладающих
свойством Р3, и на класс предметов, обладающих свойством -iP3 (обратите
внимание, как происходит это деление универсума ровно на два класса), и т. д. На
схеме пунктирными линиями показано возможное дальнейшее членение
универсума на два класса по другим характеристикам.
Каждый прямоугольник, который возникает в результате такого членения,
представляет собой класс пересечений некоторых параметров Рь Р2,..., Р„ и их
отрицаний. Например, самый верхний левый квадрат (без учета пунктирных
линий и с учетом того, что рассматриваются только параметры Рь Р2, Рз, Р4) - это
класс предметов со сложной характеристикой Pt n Р2 n Р3 п Р4, следующий
квадрат, находящийся правее данного, - это класс предметов с характеристикой
Pi п Р2 п Р3 п -,Р4, самый нижний правый квадрат - это класс предметов с
характеристикой -iPi П -iP2 П -iP3 п -,Р4.
С помощью диаграмм Венна удобно представлять объемы таких понятий, в
содержание которых не входят кванторы. В этом случае в качестве универсума
выбирается род понятия, а в качестве характеристик, по которым
осуществляется членение универсума на подклассы, берутся все примитивные предикаторы,
входящие в содержание понятия, т. е. в его видовое отличие А(а). Далее
поступаем следующим образом.
Если в содержании понятий А(а) содержатся логические связки, отличные
от &, v и —1, то выражение А(а) преобразуется таким образом, чтобы в
окончательном результате остались только логические константы &, v и —>. Для этого
можно использовать известные уже из предыдущего обсуждения эквивалентные
преобразования для наиболее употребимых связок:
(а) (A v В) = (А & ^В) v (-А & В),
(б) (AsB)s(AdB)&(Bd А),
(в) (АэВ) = (-пА vВ).
Далее пытаемся «опустить» знак отрицания со сложного выражения до
элементарных формул, используя для этого эквивалентные преобразования:
(г) -,(А & В) = (-А v -,В),
00-<AvB)s(-1A&-,B),
(е) -,-А = А.
14 Введение в логику
417

По так преобразованному понятию аА(а) строится выражение, которое
именует его объем, т. е. строится выражение WaA(a). Далее по определения\
теоретико-множественных операций булевой алгебры n, и и ' производится
«опускание» оператора множественности до элементарных формул, что ведет к
замене &, v и -, на операции n, и и ', и далее последовательно на диаграмме
Венна по законам булевой алгебры высчитываем объем исходного понятия.
Рассмотрим, как используются диаграммы Венна на примере понятия
«человек, который не жалуется на судьбу, потому что удовлетворен работой или
счастлив в семейной жизни». Запишем первоначально данное понятие в
прикладном первопорядковом языке:
^((Удовлетворен работой(х) v Счастлив в семейной жизни(х)) •
3 —.Жалуется на судьбу(дс)), -1
где х пробегает по классу людей.
Выявим логическую структуру этого выражения. С этой целью обозначим
предикатор «удовлетворен работой» параметром Р, предикатор «счастлив в
семейной жизни» - параметром Q, а предикатор «жалуется на судьбу» -
параметром R. Тогда логической формой этого понятия будет выражение:
x((P(*)vQ(*))3^R(x)). ■*
В этом выражении встречается логическая связка з, которая должна быть
устранена. Применяя эквивалентное преобразование (в), получаем:
*(-,(P(jc) v Q(x)) v -,R(x)).
В данном выражении знак -i стоит над сложным выражением, поэтому,
применяя эквивалентное преобразование (д), получим выражение, в котором знак
отрицания будет стоять над примитивными формулами:
x«-,J>(x)&^Q(x))v-,R(x)).
Образуем теперь объем данного понятия:
Wx((-,P(x) & -,Q(x)) v -R(x)).
Применяя последовательно к данному выражению введенные выше
определения для булевых операций n, и и ', получаем:
Wx((-,P(*) & -,Q(*)) v -,R(*)) = Wx(-^P(x) & -.Q(jc)) и Wx^R(x) =
(Wx^P(x) n Wx^Q(*)) и Wx-^R(x) = (W*P(*)' n W*Q(jc)') и WxR(x)'.
Теперь можно приступить к построению диаграммы Венна и осуществить на
ней поиск объема исходного понятия. Для этого возьмем в качестве универсума
множество людей, в качестве характеристик предметов параметры Р, Q и R и
разобьем универсум указанным выше способом на подклассы. Далее, учитывая
структуру полученного выражения, будем высчитывать соответствующие
классы предметов. Структура последнего выражения говорит, что для этого вначале
надо пересечь два класса - WxP(jc)' и WxQ(x)', а затем получившийся результат
надо объединить с классом предметов WxR(x)'. Проделаем вначале первую
операцию, т. е. пересечем класс Wx¥(x)' с классом WxQ(Ar)' (см. схему 6).
418

р'
Q
Q'
R
R'
R
R'
Q
Q'
Схема 6
На схеме 6 осуществлена указанная выше операция, а заливкой показан
класс предметов WxP(x)' n WjtQ(jt)', образовавшийся в результате
пересечения WxP(at)' с Wa:Q(a:)'. Теперь, чтобы получить окончательный результат,
необходимо объединить полученный класс с классом WjcR(jc)'. Проделаем
это. В результате этой процедуры мы должны получить следующую схему
(см. схему 7).
pp.
R
R'
R
R'
Схема 7
На этой схеме заливкой показан объем нашего понятия - класс (WxP(x)' г»
WxQ(a:)') и W*R(x)'. Отметим, что, так как рассматривалась логическая форма
исходного понятия, то данный объем является логическим объемом
рассмотренного нами понятия.
Научившись находить на диаграмме Венна объемы отдельно взятых понятий,
нетрудно будет устанавливать по ним отношения между понятиями. Для этого
надо найти на диаграмме объемы каждого из понятий, а затем сравнить их.
Укажем только, что, как и в случае с высказываниями, для установления отношений
между которыми требовалось строить совместную таблицу, точно также и при
установлении отношений между понятиями требуется строить совместную
диаграмму Венна, т. е. необходимо членение универсума всегда проводить одинаково
по всем параметрам, которые присутствуют хотя бы в одном из понятий.
Не проводя вновь во всех деталях те конкретные шаги, которые
осуществлялись нами в предыдущем примере (эти шаги предлагается сделать
читателю), проделаем работу по установлению отношения между двумя
следующими понятиями:
а*) «число, не делящееся на 3, или делящееся на 4 и на 2»,
б*) «число, не делящееся на 2, но делящееся на 3 и на 4, или же не делящееся на
4 и на 3».
Универсумом рассуждения здесь является множество чисел. Обозначим
параметром Р предикатор «делится на». Тогда логические формы данных понятий
можно представить следующими выражениями:
419

а) х (-п¥(х, a) v (Р(х, Ь)) & Р(х, с))),
б) х((-п¥(х, с) & Р(х, а) & Р(л:, b)) v (-,Р(х, Ь) & -,Р(лг, а))),
а их объемы, соответственно, выражениями:
Wx¥(x, a)' u (WxP(x, b) n WxP(x, с)),
(W*P(*, с)' n WxP(x, a) n WxP(x, b)) u (WjcP(x, b)' n WxP(a:, a)').
Теперь построим совместные диаграммы Венна и установим отношения
между указанными понятиями по их логическому объему (см. схему 8).
Р(х, Ю
Р(х, Ь)'
Р(х, а) Р(лг,
\
)
V
)
•
а)'
Р(х, с)
Р(х, с)1
Р(лг, с)
Р(х, с)'
Р(лг, а) Р(х,
Р(х, Ь)
Р(*, Ь)'
•
а)'
Р(х, с)
Р(х, с)'
Р(х, с)
Р(*, с)
Объем понятия а
Объем понятия б
Схема 8
При наложении данных построенных схем друг на друга легко можно
установить, что по логическому объему эти два понятия находятся в
отношении пересечения.
Рассмотрим теперь, в каком отношении находятся эти понятия по их
фактическим объемам. Для этого надо использовать сведения из математики о
свойстве делимости чисел. Согласно этим сведениям, натуральных чисел, которые бы
не делились на 2, но делились на 4, нет, т. е. подкласс, который задается
условием Wa:P(jc, с)' n V°/xP(x, b), пуст. На схемах соответствующие подклассы
помечены звездочкой. Поэтому из фактических объемов понятий эти подклассы
должны быть исключены. Но тогда получаем следующие совместные
диаграммы Венна (см. схему 9).
Р(дг, а) Р(д:, а)'
Р(х, с)
Р(х, с)1
Р(х, с)
Р(х, с)'
Р(х, Ь)
Р(х, Ь)'
Объем понятия а*
Р(х, а) Р(х, а)'
Р(х, с)
Р(х, с)'
Р(х, с)
Р(х, с)'
Объем понятия б*
Р(х, Ь)
Р(х, ЪУ
Схема 9
А это говорит о том, что по фактическим своим объемам понятие б*
включается в объем понятия а*.
В случае, когда в содержании понятия присутствуют кванторные
выражения, при решении вопроса об отношениях между понятиями удобнее применять
аппарат исчисления предикатов. Уже сама формулировка закона обратного
отношения говорит, что вопрос об отношении строгого включения между
понятиями аА(а) и аВ(а) по их логическому содержанию сводится к вопросу о
построение доказательства в исчислении предикатов логического закона вида
420

\/a(A(a) з В(а)) и обоснованию того, что формула Voc(B(a) з A(a)) не является
логическим законом, а установление отношения строгого включения по их
фактическим содержаниям сводится к вопросу о выводимости в теории Т в качестве
ее закона предложения Va(A*(a) з B*(a)) и обоснованию того, что выражение
Va(B*(a) з A*(a)) не является законом теории. Таким образом, присущность
двум понятиям отношения строгого включения можно установить с помощью
логики предикатов.
Покажем конкретно на одном примере, как это может быть сделано.
Установим отношение между двумя нижеследующими понятиями по их логическим
содержаниям:
в*) «человек, знающий все европейские языки»,
г*) «человек, знающий все живые европейские языки».
Запишем теперь логическую форму соответствующих понятий, обозначив
одноместным параметром Р предикатор «европейские языки», одноместным
параметром Q - предикатор «живые языки» и двухместным параметром R -
предикатор «знает»:
в)х(Уу(Р(у)^Щх,у))),
e)xO/y((P(y)&Q(y))^R(x,y))).
Покажем, что первое понятие по логическому содержанию шире второго, т. е.
из содержания первого понятия выводимо содержание второго. Для этого
достаточно показать, что законом логики является выражение следующего вида:
Vy(P(v) з Щх, у)) з Vy((P(y) & Q(y)) з R(jc, у)), и в то же время импликация в
обратную сторону неверна. Итак,
(- Vj(P(jO з Щх, у)) з Vj((P(j) & QG0) з R(x, у)).
1. \/y(P(y)^R(x,y)) -пос.
2. P(y)&Q(y) -пос.
3. P(y)zDR(x,y) -V№1
4. POO -&И)2
5. R(jt,.y) -т.р. к 3,4
6. (P(y)&Q(y))^R(x,y) -зв,5
7. Vy((P(v)&Q0))3R(x,j)) -VB,6,j/-a6c.orp.
8. Vy(PO0 з R(x,у)) з Vj((P(v>) & QGO) з R(x,у)) - зв, 7
Импликация в обратную сторону неверна, что может быть установлено,
например, методом аналитических таблиц. Отсюда следует, что понятие г уже по
логическому содержанию, чем понятие в. Но тогда, согласно закону обратного
отношения, по логическим объемам понятие в строго включается в понятие г,
т. е. справедливо утверждение:
WxVKPOO з R(x, у)) с w*YK(PO0 & QO0) => R(*> у))-
Упражнения
1. Рассмотрите 15 модельных схем аристотелевской силлогистики (см.
глава VII) и каждую из них задайте с помощью фундаментальных отношений.
421

2. Используя круги Эйлера, изобразите отношения между фактическими
объемами следующих понятий: ■
а) женщина - мать - дочь - жена, "1
б) молодая ведьма - русская ведьма - ведьма, принявшая участие в шабаше
на Лысой Горе (указание: термин ведьма трактуется, как «женщина, летающая
на метле и имеющая вес меньше 49 кг»),
в) слово, изменяющееся по лицам - слово, изменяющееся по лицам и
числам - слово, изменяющееся по падежам - глагол - прилагательное -
существительное.
3. Используя диаграммы Венна, укажите логический и фактический объемы
следующих понятий:
а) населенный пункт, который севернее Новгорода и южнее Москвы,
б) геометрическая фигура, у которой число сторон равно 2, или замкнутая
геометрическая фигура, у которой число сторон равно 2,
в) натуральное число такое, что если оно не оканчивается на 5 или не
делится на 3, то оканчивается на 0 и делится на 6.
4. Используя диаграммы Венна, установите отношения по логическим и
фактическим объемам и содержаниям следующих понятий:
а) параллелограмм, у которого все стороны равны, - четырехугольник с
взаимно перпендикулярными диагоналями,
б) разумное животное - разумное животное, обладающее членораздельной
речью - разумное животное, живущее на Марсе,
в) число, не делящееся на 3, но делящееся на 5 - число не делящееся на 2
или на 3, но делящееся на 5.
5. Используя исчисление предикатов, установите отношения между
следующими понятиями:
а) студент, сдавший все экзамены на отлично - студент, сдавший некоторые
экзамены на отлично - студент, сдавший логику на отлично - студент, сдавший
логику или историю философии на отлично,
б) человек, изучивший все восточные языки, кроме японского - человек,
изучивший некоторые восточные языки.

Глава X
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
§1. Теоретико-познавательные характеристики определений
1.1. Понятие определения
В предыдущей главе говорилось, что в повседневной разговорной практике
словарный запас языка обычно используется на интуитивном уровне. У каждого
человека эта интуиция складывается стихийно в ходе овладения языком. Было
отмечено также, что подобная ситуация в силу наличия у разных людей
различной интуиции может вести к взаимному недопониманию и даже
недоразумениям. Поэтому имеется насущная потребность в уточнении значений терминов. Но
осуществить такое уточнение языковыми средствами можно лишь одним
способом - указав смысл, в котором следует понимать данный термин. Именно эту
функцию и выполняют определения.
Русский термин «определение», как и латинский его эквивалент - udefini-
tio», является производным от слов «предел», «граница». В логике термин
«определение» понимается следующим образом:
Определение (дефиниция) - это логическая процедура, состоящая в
придании строго фиксированного смысла языковым выражениям
(терминам языка).
Так, ставя в соответствие математическому термину «треугольник»
выражение «замкнутая геометрическая фигура, ограниченная тремя сторонами», мы
придаем ему тот смысл, в котором он должен использоваться в математике. При
этом само соответствие между термином и приданным ему смыслом достигается
посредством лингвистической конструкции вида:
«треугольник есть, по дефиниции, замкнутая геометрическая фигура,
ограниченная тремя сторонами»,
которая и называется определением. Так как значения языковых выражений
зависят от их смыслов, то всякий раз, придавая через определение какой-либо
смысл (содержание) языковому выражению, одновременно с этим невольно
указывают и его значение (экстенсионал), т. е. в некотором универсуме
очерчивается (опредёливается) граница того класса предметов, которые подпадут под него.
Иначе говоря, каждое определение задает не только смысл термина, но и его
значение, а потому будем далее полагать, что одной из основных функций
определения является задание значения определяемого термина.
1.2. Роль определений в познании
В языковой практике определения применяются для решения различных
задач. Часто, например, встречаются ситуации, когда некоторый термин при ин-
423

туитивном его употреблении разными людьми оказывается столь расплывчатым
и неоднозначным, что возникают трудности с его пониманием. В таких случаях
встает проблема экспликации (уточнения) смысла данного термина, что крайне
важно для его нормативного использования. Эту задачу выполняют толковые и
энциклопедические словари, где каждый термин посредством его определения
получает некую однозначную стандартную трактовку. Например, в философии
термин «понятие» употребляется на интуитивном уровне и имеет весьма
туманное значение. Наше описание в предыдущей главе теории понятий имело одной
из целей прояснение смысла данного термина и введение его стандартного
употребления.
С другой стороны, для многих терминов (хотя они и употребляются
однозначно в том смысле, что ими обозначаются вполне определенные объекты)
зачастую остается неясным, по каким признакам осуществлено отличение данных
предметов от всех остальных. В таком случае возникает задача указать
некоторый признак, на основе которого отождествляются одни предметы, а другие -
отличаются от них. Именно эта цель и стояла перед Платоном, когда он
определил термин «человек» посредством условия: «человек есть бесперое и двуногое
живое существо».
Иногда интуитивное употребление термина в составе теории может вести к
противоречиям. В этом случае задачей определения становится построение
такого определения, которое бы не позволяло получать противоречия. Именно
такая ситуация возникла в наивной теории множеств Г. Кантора, где
полуинтуитивное употребление термина «множество» привело к возникновению
парадоксов, например парадоксу Рассела о множестве всех нормальных множеств.
Вообще, значение четкой и однозначной терминологии особенно велико в
научных исследованиях, где вопросу об определениях уделяется самое
пристальное внимание. При этом, правда, надо учитывать, что для решения
различных научных задач одному и тому же термину могут ставиться в
соответствие различные смыслы. Так, для решения задач, которые стояли перед
Аристотелем, ему оказалось достаточным определить термин «человек»
посредством выражения «политическое животное». С другой стороны, для
Б. Франклина такое определение оказалось недостаточным, и он определил
данный термин другим условием: «животное, способное производить орудия
труда». Но и это определение человека не может удовлетворить ученого-
естественника (биолога), для которого главными признаками человека
являются не юридические или социальные признаки, но прежде всего признаки,
характеризующие его биологическую природу.
Данный пример показывает, что для решения различных задач один и тот же
термин может определяться различными способами. Вообще, не существует
определений, которые были бы пригодны для решения любых познавательных
проблем. Напротив, в повседневной практике смыслы терминов часто строго .
фиксируются только на момент ведения беседы, и не более того. И даже в сфере 1
науки, где терминам стремятся придать устойчивые, постоянные смыслы,
нередко возникают ситуации, которые требуют уточнения, переопределения уже
ранее определенных терминов. Последнее является следствием постоянного раз-
424

вития и уточнения научного знания, в соответствии с чем трансформируются и
определения научных терминов.
Всякое определение, независимо от целей и способов его введения,
представляет собой простую констатацию приписывания терминам языка некоторого
смысла. Например, выражение «человек есть политическое животное»,
рассматриваемое в качестве определения, представляет собой констатацию того, что
термин «человек» будет употребляться в смысле «политическое животное».
Такого рода констатации выражают конвенции (соглашения) об
употреблении некоторого термина. Причем, конвенциональный характер определений
либо указывается намеренно в прямой и явной форме, либо наличие конвенции
имеет неявный, скрытый характер. В первом случае определение очевидным
образом не является предложением, а потому ему и нельзя
приписывать свойства «быть истинным» или «быть ложным». Здесь
можно лишь говорить, что то или иное определение является удачным или нет,
достигает оно поставленных целей или нет. Во втором же случае в качестве
определений используются такие формы их выражений, которые являются
предложениями, а потому о них можно говорить как об истинных или ложных
утверждениях. Что это конкретно означает, будет рассмотрено несколько ниже.
§ 2. Явные определения
2.1. Структура явных определений
Определения можно разделить на несколько видов. Наиболее существенно
их подразделение на явные и неявные. Последние будут рассмотрены в
следующем параграфе. Здесь же мы остановимся только на явных определениях.
Явными определениями называются определения, задаваемые
лингвистической конструкцией вида:
A[t]<+DfB.
Каждая такая конструкция содержит четыре части: A[t] называется
определяемой частью, В - определяющей частью, а знак <->Df указывает, что
выражение A[t] по конвенции означает то же самое, что и выражение В. Кроме того, в
определяемой части A[t] всегда присутствует некоторый термин t, который и
служит целью построения всего определения. Этот термин называется
определяемым термином. В явных определениях определяемым термином является та
минимальная часть определяемого выражения A[t], которая не встречается в
определяющей части В.
В случаях конкретных определений вместо знака <«->щ» пишется либо знак
«=Df» (читается: «равно по дефиниции»), либо знак «=Df» (читается:
«эквивалентно по дефиниции»). Первый знак употребляется в - том случае, когда
определяемая часть A[t] является именной конструкцией, а второй - в том случае,
когда A[t] - высказывательная конструкция. Выше эти знаки уже использовались.
425

2.2. Виды явных определений по характеру определяемой части
Явные определения делятся по разным основаниям на несколько видов. Для
этого могут быть использованы различные синтаксические и семантические
характеристики определений.
Так, в зависимости от синтаксической структуры определяемой части, т. е. в
зависимости от того, к какой языковой категории относится определяемая часть
A[t], различают следующие виды явных определений.
а) Дефиниция называется определением имени, если A[t] - это собственное
имя к некоторого предмета. При этом к может быть не только именем индивида,
но и именем любого другого предмета - именем свойства, отношения,
множества, предметно-функциональной характеристики или чего-то еще, т. е. к - мета-
переменная, пробегающая по именам различных типов предметов. Вся
дефиниция имеет вид выражения:
k=DfQaB(a),
где Q - это либо оператор определенной дескрипции «i», если к графически
совпадает с именем некоторого индивида, либо оператор множественности «W»,
если к совпадает с именем класса, либо Х,-оператор (лямбда-оператор), который
используется в логике для фиксации имен свойств, отношений или предметно-
функциональных характеристик. Читается данная конструкция следующим
образом: «к равно по дефиниции тому а, для которого верно В(а)». Приведем
некоторые примеры таких определений.
Выражение вида «А. С. Пушкин, по определению, - это автор "Евгения
Онегина"» является дефиницией (определением) имени некоторого конкретного
индивида - А. С. Пушкина.
Выражение вида «стоимость, по определению, - это то общее, что есть у всех
товаров» является определением имени некоторой предметно-функциональной
характеристики товаров, т. е. тех предметов, которые обмениваются друг с
другом на рынке.
Выражение «человечество, по определению, - это множество людей»
определяет смысл имени некоторого множества.
Выражение «родство, по дефиниции, есть такое отношение между людьми,
когда у этих людей имеется общий предок» является определением имени
двухместного отношения.
Выражение «пара <2, 3>, по определению, есть та самая единственная пара
натуральных чисел, где первое число простое и четное, а второе получено из
первого прибавлением 1» определяет имя этой конкретной пары чисел.
Эти определения призваны указать, в каком смысле будут употребляться
данные имена. Их формальная запись будет выглядеть следующим образом:
А. С. Пушкин =Df ис(автор(л:, "Евгения Онегина")),
стоимость =x>f >^/Ул:\/у(Обменивается на рынке с(дг, у) =fix) =fiy)),
человечество =Df \\^лсЧеловек(дс),
родство =Df XR4x\/y{R(x, у) = Эг(Предок (г, х) & Предок (г, у))),
<2, 3> =тс i<x, ,у>(Простое(л:) & Четное(х) & у = х + 1).
426

б) Если A[t] - это универсалия вида <аь..., ап>П(аь..., ап), где П - п-
местный предикатор, то дефиниция называется определением универсалии и
записывается в следующей форме
<аь а2,..., а„>П(а,, а2,..., ап) =Df <аь а2,..., ап>В(аь а2,..., а„).
Определяемая часть <аь а2,..., ап>П(аь а2,..., ап) в определениях этого
вида, где «=1,2,3,..., является языковым выражением простого понятия, причем
понятия либо об индивидах, свойствах, отношениях, предметных функторах или
множествах, которые обладают каким-либо свойством (в этом случае п = 1),
либо «-ках индивидов, свойств, отношений, предметных функторов или множеств,
находящихся в определенном отношении (в этом случае п > 1). В свою очередь,
определяемая часть <аь а2,..., ап>В(аь а2,..., ап) является языковым
выражением сложного понятия. Смысл определения состоит в том, что в нем посредством
<аь а2,..., ап>В(аь а2,..., а„) «раскрывается» содержание простого понятия. В
этом случае определяемым термином t является «-местный предикатор П.
Такими определениями являются следующие формальные выражения:
Платоновское определение <осЧеловек(х) =Df х(Двуного(л;) & Бесперое(л:))
задает понятие человека.
«<х, _у>Дед(х, у) =Df <х, ^>Эг(Отец(л:, г) & Родитель(г, у))», задает смысл
простой универсалии о «паре предметов <х, у>, находящихся в отношении х дед у-
ка», согласно которой дедом j-ка является тот самый мужчина х, который
является родителем одного из родителей у-ка.
Выражение «Р0(Р) =Df Р—ЗхР(х)», которое может быть прочитано следующим
образом: «произвольное свойство Р является числом 0, если и только если
свойство Р не выполняется ни для одного предмета», что (при экстенсиональной
трактовке свойств) эквивалентно фразе «число 0 - это произвольное множество
Р, которое является пустым».
«Дтранзитивно(Л) =м RVx\/yVz(R(x, у) & R(y, z) з R(x, г))». В этом
определении задается понятие о таком свойстве, как «транзитивность», имеющем место
для двухместных отношений.
Выражение <«Р, исключается в(Р, Q) =Df <Р, Q>Vx(P(x) :э Q(x))» задает
понятие о двухместном отношении включения между одноместными предикатора-
ми Р и Q.
Выражение «/всюду определена(/) =ш/3¥\ЭУгУх(х е V\ =э Эг(Дх) = г & z е
V2))» задает понятие об особой разновидности функций, которые называются
всюду определенными одноместными функциями.
«<КЬ К2>вид(Кь V2) =Df «<V\, К2>(F] с F2)». Данное определение вводит
понятие вида и говорит о том, что некоторый класс V\ считается видом класса Уг,
если V\ по отношению к V2 является его собственным подмножеством.
Выражение «<V\, Р"2>совместим с(Кь Уг) =Df <УЪ Уг>Эх(х е Vi&x е К2)»
определяет понятие о паре множеств, находящихся в отношении совместимости.
в) Определения высказывательных формы. Эти определения существуют в
двух видах.
в1) Если A[t] - высказывательная форма вида Щои, ос2,..., ап), где П -
примитивный предикатор, то мы имеем дело с определением предиката. В этом
427

случае определяемым термином t является и-местный предикатор П, а само
определение имеет вид:
П(аь а2,..., ап) =Df В(аь а2,..., ап).
Посредством такого рода определений «раскрывается» смысл предиката
Щщ, а2,..., ап). Приведем пример такого сорта определения.
Выражение вида «Человек(дс) =Df (Двуногое(х) & Бесперое(х))» есть
определение одноместного примитивного предиката Человек(х).
«л: есть наименьший элемент в множестве М тогда и только тогда, когда он
меньше или равен любому элементу из множества М» задает смысл двухместной
высказывательной формы (предиката) «х наименьший элемент в М».
Формальная запись определения выглядит следующим образом: «Наименьший элемент
в(х,М) =DfVz(z e!dx<z)».
«R транзитивно =Df VjcVyVz(ft(x, y) & R(y, z) => R(x, г))»- В этом определении
задаются примитивный одноместный предикат «Транзитивное)», выражающий
свойство, присущее двухместным отношениям.
Выражение вида «Совместимо c(V\, Vj) =Df Эх(х € V\ & х е Кг)» определяет
предикат «быть совместимыми» между парой множеств.
в2) Если A[t] - элементарное выражение, содержащее знак некоторой
логической константы, то мы имеем дело с определением логических констант.
Определяемым термином t в этом случае является сама логическая константа.
Примерами такого сорта определений являются следующие выражения:
(а) (А у В) =Df (А & -,В) v (-А & В),
(б)(А = В)=и(АзВ)&(В=>А),
(B)(A=>B)SDf(-,AvB),
(г) ЗаА(а) =Df -iVa-A(a).
В первой из этих дефиниций определяется пропозициональная связка строгой
дизъюнкции (знак «v»), во второй - эквиваленции («=»), в третьей - импликации
(«z»>) и в последней - квантор существования («3»).
Обратим внимание, что в определениях этого вида в качестве знака
конвенционального тождества используется знак =Df.
Обратим внимание также и на следующее обстоятельство. Выше были
последовательно рассмотрены два вида определений одного и того же термина.
1)л:Человек(д:) =Df д;(Двуного(д:) & Бесперое(дг)),
2) Человек^) =Df (Двуного(дг) & Бесперое(д:)).
Во всех случаях определяемым термином был термин «человек». Однако
определялся этот термин везде по-разному. В первом случае он был
ассоциирован с понятием человека (универсалией), а в последнем был ассоциирован с
одноместным предикатом. Выбор какого-либо из этих определений всегда
обусловливается теми прагматическими познавательными целями, которые мы
перед собой ставим, а также способом использования данного термина в
составе наших рассуждений.
428

Аналогична ситуация и со многими другими определениями. Так, выше
термин «транзитивность» определялся разными способами: в составе
универсалии «/?транзитивно(/?)>> и в составе одноместного предикатора «й транзитивно».
Но можно этот термин определить и как имя некоторого свойства:
«транзитивность =ш \PVR(P(R) = 4xVyVz(R(x, у) & R(y, z) з R(x, г)))»,
т. е. здесь термин «транзитивность» есть второпорядковое имя одноместного
признака, присущего двухместным отношениям между индивидами тогда и
только тогда, когда выполняется условие Va;VjVz(7?(jt, у) & R(y, z) => R(x, z))).
г) Определения функциональных выражений. Эти определения тоже
существуют в двух видах.
г]) Если A[t] - выражение вида Ф(аь а2,..., ап), где Ф - «-местный
предметный функтор, то дефиниция называется определением предметного функтора.
Сама дефиниция в этом случае принимает вид:
Ф(а,, а2,..., ап) =Df Е(аь а2,..., а„),
где Ф(аь схг,..., ап) - простое функциональное выражение, а 2(аь а2,..., ап) -
сложное функциональное выражение. Определяемым термином t в этом случае
является функтор Ф.
Примером определения этого типа является следующее определение функции
Q - «квадрата суммы», - которую можно трактовать как так называемую
суперпозицию функции сложения, умножения и возведения в квадратную степень:
&{х, У) =Df (х2 + 2ху+ у2).
Другими двумя примерами являются следующие явные определения.
Допустим, что нам уже известна двухместная функция вычитания «х -ь _у», которая
принимает значение х - у, если х > у и принимает значение 0 в противном
случае. Допустим также далее, что знак «+» используется в обычном своем
арифметическом смысле. Тогда определения для натуральных чисел вида:
\x-y)=Df(x+y) + (y + x),
тт(х,у)=о{хЦх+у)
задают, соответственно, двухместную функцию вычитания по абсолютной
величине и двухместную функцию выбора из двух чисел х т у минимального числа.
Используя эти дефиниции и зная, как вычислить значения правых выражений,
можно узнать и значения левых выражений для соответствующих значений х и у.
г2) Специально выделим еще один тип определений функциональных
выражений. Если A[t] - элементарное выражение, содержащее знак операции над
множествами, то мы имеем дело с определением множественных операторов.
Определяемым термином t является знак операции.
Примерами такого сорта дефиниций являются следующие два определения:
А х В =Df W<jc,у>(х е А & je В),
WctA(ot) n WotB(oc) =Df Wa(A(a) & B(a)).
429

2.3. Виды явных определений по характеру определяющей части
В зависимости от того, каким образом в определяющей части явных
дефиниций охарактеризованы предметы, задаваемые определением, различают
несколько их типов.
а) Генетические определения. К ним относятся определения, в которых в
определяющей части В указывается на способ порождения (образования)
предметов.
Например, генетическим будет определение «окружность есть замкнутая
линия, образованная вращением радиуса определенной длины вокруг неподвижной
точки в некоторой плоскости». Здесь определяющая часть содержит указание на
то, как можно построить окружность.
б) В определяющей части В может указываться на то, как используется
предмет, какие функции он выполняет, для достижения каких целей он
применяется. Такие определения можно назвать целевыми.
Например, целевой дефиницией является определение «транспорт есть
средство, с помощью которого осуществляется пространственное перемещение людей
и грузов».
в) В определяющей части В может фиксироваться, что предмет
представляет собой, т. е. в этой части фиксируются какие-то его структурные особенности,
его атрибуты, а также особенности внешнего вида. Такие определения можно
назвать квалифицирующими.
Пример такого определения является выражение «ромб есть четырехугольник
с равными сторонами».
г) В определяющей части В могут просто перечисляться те предметы,
которые подпадают под определяемый термин. Такие определения называются
перечислительными.
Например, выражение «день недели - это понедельник, вторник, среда,
четверг, пятница, суббота, воскресенье» отвечает на вопрос, что называется
термином «день недели». Формальная запись этого определения в прикладном
языке предикатов может выглядеть так: дгДень недели(лс) =Df х{х = понедельник
vx = вторник vх = среда vх = четверг vx = пятница vx = суббота vх =
воскресенье).
д) Условные определения. В определениях данного типа равенство
определяемой и определяющей частей дефиниции осуществляется только в том случае.
когда выполнено некоторое предварительное условия. Структура таких
определений на самом деле имеет вид выражения
«A[t] oDf В, если выполнено условие С; в противном случае термин
t не определен».
Частным случаем таких определений являются операциональные
определения. В определениях данного типа равенство определяемой и опреде-
430

ляющей частей дефиниции осуществляется только в том случае, когда
выполнено некоторое проверочное условие (процедура), осуществляя
которую, можно узнать, подпадает ли произвольный предмет из рода U под
данный термин или нет.
Например, определение «кислота есть по определению жидкость, которая
окрашивает лакмусовую бумажку в красный цвет» относится к
операциональным. Более строго в формальном виде это определение можно записать так:
«Кислота(дг) sDf Эу(Лакмусовая бумажка(у) & Окрашивает в(х, красный цвет,
у)), при условии, что у опущена вдг;в противном случае термин "кислота" не
определен».
Такого рода определениями обычно вводят в теорию так называемые диспо-
зщионные предикаты, т. е. предикаты, задающие некоторые скрытые качества
предметов, наличие которых приводит к существованию у них некоторой
предрасположенности (диспозиции) реагировать определенным образом на внешнее
воздействие. Об этих предикатах уже шла речь в главе VIII при обсуждении
парадоксов материальной импликации. Такими предикатами являются, например,
«растворимый», «электропроводный», «хрупкий», «способен производить
орудия туда» и многие другие. В данном случае, определяя операционально термин
кислота, мы трактуем последний как диспозиционный предикат.
е) Еще одной особой разновидностью условных определений являются так
называемые определения по частям. В этих определениях A[t] приравнивается
Вь если выполнено условие Q; приравнивается В2, если выполнено условие
С2;...; приравнивается В„, если выполнено условие С„. Для корректности
определений последнего типа необходимо выполнение следующих требований: 1)
условия С], С2,..., С„ должны быть исчерпывающими и 2) эти условия должны
быть также попарно несовместимы.
Определения этого рода уже использовались в учебнике. Так, в третьей главе
при доказательстве функциональной полноты системы связок {&, v, -.}
выражение p*j определялось следующим образом:
[р , если б и = и
' 1-ф^если бч=л
Другим примером такого рода определения является определение выражения
х -г у, рассмотренного выше в данном параграфе, которое, условно говоря, задает
функцию греческого отрицания («условно» потому, что греки не знали числа 0).
_ \х - у, если х > у
x^y-Df |0; если х<у
ж) Определения через гипостазирование. С их помощью раскрывается
содержание собственных имен для свойств, отношений и функций, например,
таких, как «теплопроводность», «краснота», «белизна», и т. д. Особенность
определений этого вида состоит в том, что их определяющие части как бы фиксиру-
431

ют в своей структуре три интеллектуальные процедуры, с помощью которых
строятся объекты, обозначаемые указанными терминами.
Вначале посредством так называемой обобщающей абстракции
создаются конкретные понятия об индивидах или «-ках индивидов, обладающих
некоторым признаком. Затем с помощью изолирующей абстракции эта их
характеристика абстрагируется от индивидов и, наконец, с помощью
процедуры гипостазирования она превращается в самостоятельный абстрактный
объект мысли. Рассмотрим это на примере определения такого термина как
«отцовство».
Исходным понятием является понятие о паре предметов, между которыми
существует отношение «х отецд>»:
<х, з»(Мужчина(л:) & Родитель(х, у)).
Это понятие конкретное, здесь речь идет именно об индивидах (их парах),
обобщенных данным понятием. Затем мы можем отделить отношение «отец» и
рассмотреть его самостоятельно, т. е. создать понятие уже не о паре предметов, а
о двухместном отношении «отец»:
RVxVy(R(x,y) = (Мужчина(д:) & Родитель(д:, у))).
Это уже абстрактное понятие, а не конкретное, так как элементами его будут
не пары индивидов, а отношения. Но это еще не гипостаза. Следующим этапом
является гипостазирование этого отношения, т. е. превращение его в
абстрактный индивид:
XR\/xyy(R(x,y) = (Мужчина(дг) & Родитель^, у))).
Данное выражение является уже именем некоторого предмета, а именно -
отношения отцовства, что и фиксируется дефиницией:
отцовство =Df 1R4x\/y(R(x, у) = (Мужчина(х) & Родитель^, у))),
т. е. «отцовство по дефиниции - это то единственное двухместное отношение,
которое имеет место между любыми х и у тогда и только тогда, когда дг является
мужчиной и х является родителем j-ка».
Такой же характер носят и два следующих определения:
родство =Df XR\/x\/y(R(x, у) = Зг(Предок (г, дс) & Предок (г, у))),
человек =Df \PVx(P(x) = (Двуного(дг) & Бесперое(д:))).
Отметим, что последнее определение задает не общий термин «человек», а
задает имя (именно имя) единичного свойства «быть человеком».
з) Другим важным определением является определение через абстракцию. В
логике так называют определения, в которых определяющая часть фиксирует
еще одну интеллектуальную процедуру.
Часто замечают, что некоторые предметы в определенных ситуациях ведут
себя одинаковым образом и потому в отношении именно этой ситуации
являются как бы неразличимыми, «тождественными» друг другу. Например,
будучи положены на две чаши весов, они уравновешивают их или, вступив на
рынке в отношение купли-продажи, они обмениваются друг на друга и т. д. Такое
432

равенство указывает на то, что они (будучи разными предметами) обладают
одинаковой величиной какой-то своей характеристики. Тогда можно создать
абстрактное понятие об этой их характеристике, которое будет звучать
примерно так: «то общее у предметов, что делает их «равными» друг другу в
рассматриваемой ситуации».
В частности, рассмотрим абстрактное понятие об одноместной предметно-
функциональной характеристике «вес какого-либо предмета»:
у\/л;Уу(Уравнивают весы(х, у) =/{х) = Ду)).
Если теперь мы собираемся задать гипостазу «вес», т. е. собираемся
образовать новое понятие о некотором абстрактном предмете, то для этого достаточно
применить к данному абстрактному понятию процедуру гипостазирования. В
результате этой процедуры строится определение:
вес =и А/\/д:\/ХУравнивают весы(л:, у) =J{x) =fiy)),
которое выражает мысль о том, что термин «вес» следует понимать как имя той
самой предметно-функциональной характеристики, соответствующие величины
которой для любых л: и у будут равны тогда и только тогда, когда эти предметы
уравновешивают чаши весов.
Явные определения обладают одним замечательным свойством -
определяемые и определяющие части могут в любом контексте замещаться друг на
друга, т. е. для них верно следующее правило:
C^DfD,
К(С)
K(C:D),
называемое правилом замены по дефиниции. Правило надо понимать так:
пусть дано произвольное явное определение С Oof D и пусть дан некоторый
контекст К(С), содержащий в качестве подтекста выражение С, которое
является либо определяемой, либо определяющей частью дефиниции С <->Df D.
Тогда можно перейти от контекста К(С) к контексту K(C:D), т. е. к
контексту, в котором некоторый подтекст С (не обязательно каждый) заменен на
подтекст D. Это правило позволяет использовать явные определения в
процессах дедуктивного вывода.
Упражнения
1. Запишите на языке прикладного исчисления предикатов и укажите вид
следующих определений:
а) геометрическая прогрессия - это числовой ряд, в котором каждое число,
непосредственно следующее за другим, получается умножением предыдущего
на некоторое постоянное число,
б) прибыль - разница между выручкой предприятия за реализованную
продукцию или услугу и издержками на ее производство,
в) сутки - отрезок времени, в течение которого Земля делает полный оборот
вокруг своей оси,
433

г) шар есть геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от
некоторой точки,
д) шар есть геометрическое тело, образуемое вращением полукруга вокруг
диаметра.
2. Дайте определение следующим терминам и запишите их на языке
прикладного исчисления предикатов:
а) лес, б) белизна, в) л: наименьший общий делитель у и z,
г) студент, д) отношение больше (между числами),
е) самолет, ж) месяц (как время года),
з) родство, и) настойчивость.
3. Запишите формально и укажите, в чем состоит различие следующих
определений:
Sin - функция, которая соотносит каждому острому углу х прямоугольного
треугольника число, равное отношению длины катета, противолежащего углу х,
к длине гипотенузы,
Sin(jc) - число, которое равно отношению длины катета, противолежащего
углу л:, к длине гипотенузы прямоугольного треугольника.
§3. Неявные определения
3.1. Структура неявных определений
Существует целый ряд определений, не имеющих вид тождеств A[t] <->Df В.
т. е. не относящихся к явным определениям. Такого рода определения
называются неявными.
Неявные определения - это определения, задаваемые
лингвистической конструкцией вида:
t есть по дефиниции то, что удовлетворяет условиям: Вь В2,..., В„.
Все неявные определения имеют следующие особенности: 1) условия
Вь В2,..., В„ представляют собой предложения, т. е. выражения, которые с
содержательной точки зрения могут оцениваться как истинные или ложные
утверждения; 2) определяемый термин t - это то минимальное выражение, которое
входит в каждое определяющее условие Вь В2,..., Вп; 3) в силу сказанного для
неявных определений не действует правило замены по дефиниции.
Неявные определения делятся на три вида: индуктивные, рекурсивные и
аксиоматические.
3.2. Индуктивные определения
Тот вид определений, который называется индуктивным, уже использовался
в учебнике. Именно с помощью индуктивных определений вводилось понятие
434

формулы в логике предикатов и логике высказываний и понятие терма в логике
предикатов. Приведем еще один пример индуктивного определения, а именно -
определение натурального числа. Итак:
«Натуральное число по дефиниции есть то, что удовлетворяет условиям:
1. О есть натуральное число.
2. Если п - натуральное число, то ri - натуральное число.
3. Ничто иное не есть натуральное число».
Суть таких определений состоит в следующем. Если нам требуется задать
класс предметов, подпадающих под некоторый термин, то мы прямо и
недвусмысленно объявляем некоторые предметы элементами этого класса. Данный
пункт определения называется базисом индукции. В приведенном примере ему
соответствует 1-й пункт определения, где число 0 объявлено натуральным
числом. После этого все остальные предметы, входящие в класс, порождаются с
помощью некоторых процедур. Такой пункт определения называется
индуктивным шагом. В нашем примере ему соответствует пункт 2, который говорит, что
если удалось построить некоторое натуральное число, то и число, получающееся
из него с помощью порождающей процедуры, тоже будет натуральным числом.
В качестве порождающей процедуры здесь используется функция, обозначенная
штрихом, которая называется функцией «следования за». 3-й пункт определения
ограничивает класс натуральных чисел только теми объектами, которые
задаются первыми двумя пунктами.
Результатом применения этого определения будет построение множества
натуральных чисел. Действительно,
| по пункту 1, 0-натуральное число;
тогда, по пункту 2, объект 0' - тоже натуральное число;
тогда, по пункту 2, объект 0" - тоже натуральное число и т. д.
Таким образом, возникает бесконечная последовательность:
О, О', О", О'", О"", О""',...
Используя теперь цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 и позиционную запись имен
натуральных чисел, мы можем обозначить любое натуральное число цифрами:
цифрой «О» обозначается число 0, цифрой «1» обозначается число 0', цифрой
«2» обозначается число 0" и т. д.
Обратим внимание на то примечательное обстоятельство, что определяемый
термин, а определялся термин «натуральное число», входит в каждое из
предложений нашего определения. Такая особенность (вхождение определяемого
термина в определяющие выражения) является характерной чертой для всех
неявных определений.
В общем случае в пункте, задающем «базис индукции», может
указываться не один предмет, а много предметов, и даже бесконечное их число. С
другой стороны, в пунктах, задающих индуктивные шаги, может
использоваться не одна порождающая операция, как это имеет место в приведенном
примере, а несколько операций. Именно с такой ситуацией мы сталкиваемся
435

в индуктивном определении формул логики высказываний. Здесь в базисе
индукции любая пропозициональная переменная, а их число бесконечно,
объявляется формулой. Порождающими же процедурами в этом случае
являются процедуры применения логических констант —i, &, v, з> к ранее
построенным формулам.
3.3. Рекурсивные определения
Рекурсивные определения очень похожи на определения индуктивные, но
применяются для задания не классов предметов, а некоторых функций.
Приведем пример рекурсивного определения сложения. Итак:
«Операция сложение (+) по определению есть то, что удовлетворяет условиям:
1)* + 0=дс
2) х + у'= (х + у)'».
Основная особенность этого определения такова. Понимание некоторой
функции состоит в знании ее значений для определенных значений аргументов.
Именно это и позволяет делать рекурсивное определение сложения.
Действительно, 1 -й пункт определения, который называется базисом рекурсии, говорит,
что значение функции х+у равно х, если у = 0. 2-й пункт, который собственно и
называется рекурсией, говорит, что если мы хотим вычислить значение х + у',
где/ - число, следующее за у, то надо вычислить для этого у, чему равно х + у, и
взять число, следующее за дг + у.
Покажем действие этого определения на примере. Пусть нам требуется
вычислить, чему равно выражение 5 + 2.
По пункту 1, мы знаем, что 5 + 0 = 5.
Тогда, по 2-му пункту, 5 + 1 = 5 + 0' = (5 + 0)' = 5' = 6.
Тогда, по 2-му пункту, 5 + 2 = 5+ Г = (5 + 1)' = 6' = 7.
Итак, мы установили, что 5 + 2 = 7.
3.4. Аксиоматические определения
Еще одна разновидность неявных определений - аксиоматические
определения. Считается, что в этих определениях некоторый термин определяется
путем указания той совокупности аксиом, в которой он содержится. Так как
аксиомы - это истинные утверждения о предметах некоторой предметной области,
то тем самым термин, входящий в эти аксиомы, получает и свое значение.
Например, считается, что аксиомы Евклида неявно определяют, например, такие
термины, как «точка», «прямая», «плоскость».
Про термины, входящие в аксиомы теории, говорят, что они являются
исходными терминами аксиоматической системы. Однако не всегда такого рода
термины оказываются независимыми друг от друга. Иногда одни исходные
термины удается определить через другие термины системы и тем самым показать,
что их наличие в качестве исходных в аксиоматике не является обязательным.
436

Разберем следующий пример. В исчислении высказываний САР,
задававшемся схемами аксиом СА1-СА9, можно вместо САЗ-СА8, которые
рассматриваются как неявные аксиоматические определения логических связок & и v,
использовать явные их определения посредством следующих выражений:
AvB=Df-A3B,
А&В^ш-,(А:э-,В).
Тогда в качестве схем аксиом исчисления останутся лишь схемы СА1, СА2 и
СА9, т. е. исходными терминами системы будут теперь только знаки «—.» и <о».
Легко показать, что система, построенная таким способом, по классу выводимо-
стей дедуктивно эквивалентна системе САР. В главе XII данного учебника она
используется при описании доказательства ограничительных теорем.
Упражнения
1. Запишите нижеследующие утверждения на языке многосортного
исчисления предикатов, установите вид определения, а также решите вопрос, какие
термины определяются этими предложениями:
Для любых трех различных точек Х\, х2, х3, не лежащих на одной и той же
прямой^, существует не более одной плоскости z, принадлежащей этим точкам.
Для любых двух различных точек дсь х2 существует не более одной прямой
у, принадлежащей каждой из этих двух точек.
Если две различные плоскости Z\ и гг имеют общую точку jcb то они имеют,
по крайней мере, еще одну общую точку х2.
Если две различные точки лгь х2 прямой у лежат в плоскости z, то всякая
точка прямой у лежит в плоскости z.
Существуют, по крайней мере, четыре различные точки, не лежащие в
одной плоскости.
Существуют, по крайней мере, три различные точки, не лежащие на одной
прямой.
На каждой прямой у существуют, по крайней мере, две отличные друг от
друга точки.
Для любой плоскости z всегда существует принадлежащая ей точка.
2. Установите вид определения и решите вопрос, какие термины в них
определяются:
а) 1. Треугольник есть многоугольник.
2. Если некоторая фигура - многоугольник, то фигура, которая
получается в результате построения на какой-либо из ее сторон треугольника и
вычеркивания этой стороны, есть многоугольник.
3. Ничто иное не является многоугольником.
б) 1.х°=1, в) 1.0! = 1,
2.д^' = ^.х; 2.(у'у. = (у\)-(у+1);
г) 1.5(0) = 0, д) 1. sg(jc) = 0, еслил; = 0,
2.5(/)=j; 2.sg(x')=l.
437

§ 4. Другие виды определений
4.1. Определения контекстной зависимости
Кроме указанного членения всех определений на явные и неявные,
существуют и другие способы их деления, по иным основаниям.
Часто говорят о некоторой контекстной зависимости определяемого
термина. При этом сам термин «контекстная зависимость» понимается в двух
различных смыслах. С одной стороны, речь может идти о получении некоторого
неявного знания об интересующем нас термине из рассмотрения того
контекста, в состав которого он входит. В этом случае понимание смысла контекста
позволяет нам предположить и возможное значение соответствующего
термина. С другой стороны, речь часто идет о дефиниции термина посредством
определения всех контекстов, в состав которых он входит. В первом случае
будем говорить об определении через контекст. Во втором - о контекстуальном
определении. Причем последнее определение относится к числу явных
определений, а первое - к числу неявных. Более строго данное различие можно
выразить следующим образом.
Определение некоторого термина t считается контекстуальным,
если и только если определяемая часть A[t], в которую входит
данный термин, представляет все контексты его употребления. В
противном случае определение считается неконтекстуальным.
Примером такого определения является следующая дефиниция знака «з»:
(Az>B)sDf(-AvB),
где выражение (А z> В) задает все контексты употребления знака <о», что всегда
достигается использованием в определении метазнаков, в данном случае мета-
знаков А и В. К числу контекстуальных относятся и следующие, например,
определения, которые выше уже упоминались:
(А у В) =ш (А & -,В) v (-А & В),
(A,B)%(AdB)&(BdA),
ЭаА(а) =0{ -iVjc-.A(jc),
А х В =D, W<x, у>(х е А & уе В),
WaA(a) n WaB(a). =Df Wa(A(a) & В(а)),
B(ucA(jc)) =ш Зх(А(х) & V*VX(A(jc) & А(у)) z>x=y)& B(x)).
Определения через контекст - это определения, в которых
определяющая часть представляет собой совокупность каких-то
конкретных контекстов (предложений) использования определяемого
термина, В противном случае определение не относится к числу
определений через контекст.
Примером определения через контекст является неявное аксиоматическое
определение терминов «точка», «прямая», «плоскость» посредством аксиом
Евклидовой геометрии. Другим примером определения через контекст является
неявное аксиоматическое определение пропозициональной связки «&» в системе АР:
438

A3, (р & q) з р,
А4. (р & q) з q,
А5. р r> (q з (р & q)).
Действительно, совокупность данных утверждений неявно задает смысл
входящего в них знака «&».
4,2. Реальные и номинальные определения
Выше говорилось, что все определения являются конвенциями, т. е.
соглашениями об употреблении терминов. Иногда даже специально
подчеркивают конвенциональный характер определений посредством введения их такими
фразами, как: «давайте считать, что термин t обозначает...», «термином t будем
называть...», «под термином t я буду понимать...» и многими другими (не столь
определенными) способами. Так, например, в главе III в состав языка логики
высказываний были введены выражения вида (А -I В), (A v В), (А = В)
посредством их определения. При этом было особо подчеркнуто, что эти выражения
должны рассматриваться как сокращения для формул следующих, соответственно,
видов: (-А & ->В), (А & -,В) v (-А & В) и (A z> В) & (В з А). Указание, что
данные выражения должны рассматриваться как простое сокращение для более
«громоздких» формул, как раз и говорит о том, что в данном случае мы имеем
дело с конвенцией.
Среди определений со времен Аристотеля стали выделять конвенции двух
видов - реальные и номинальные. Различие между ними, согласно Стагириту,
осуществляется на чисто семантическом основании, а именно: подпадают ли под
определяемый термин реально (в частности, материально) существующие
объекты или же ими являются предметы, которые реально (например, материально) не
существуют. Так, в «Аналитиках» он указывает, что если и можно определить, что
мы должны понимать под термином «козлоолень», то это будет определением
лишь имени, так как козлоолени не существуют. Иначе говоря, в этом случае,
согласно Аристотелю, мы имеем дело только лишь с номинальным определением.
Понятно, почему определения последнего рода относят к номинальным:
ведь в этом случае реально (т. е. материально) существует только термин (имя),
а не его значение. Поэтому к номинальным с этой точки зрения должны быть
отнесены определения таких терминов, как, например, «Пегас», «кентавр»,
«единорог» и т. п., которые являются не более чем порождением нашей
фантазии, но реально не существуют.
Сложнее обстоит дело с определениями математических объектов. Относить
ли их к реальным или номинальным определениям зависит от принятия того или
иного взгляда на вопрос о способе их существования. Если мы признаем их
реальное существование в некотором особом идеальном мире, то
соответствующие определения будут реальными, если же мы считаем их не более чем
порождением нашей абстрагирующей деятельности, то они должны быть отнесены к
номинальным определениям. К числу последних следует отнести и определения
439

терминов, обозначающих различного рода абстрактные и идеальные объекты
естественных наук - «идеальный маятник», «идеальный газ», «абсолютно черное
тело» и т. д. Итак:
Определение считается реальным, если значением определяемого
термина является реально (в частности, материально)
существующие предметы или их характеристики (свойства, отношения,
предметно-функциональные характеристики).
Определение считается номинальным, если значением определяемого
термина являются предметы реально (в частности, материально) не
существующие, а также их характеристики.
Всякое определение, будучи конвенцией, не может трактоваться как
предложение, а потому и не может оцениваться ни как истинное, ни как ложное
выражение. Этому на первый взгляд противостоит следующее положение. j
Выше говорилось, что неявные определения имеют структуру, в состав
которой входят именно предложения Вь В2,..., В„. Правда, при этом отмечалось,
что структура неявных определений имеет следующий вид: «t есть по
определению то, что удовлетворяет условиям: Вь В2,..., В„», что как раз и показывает
условный (конвенциональный) характер определений этого типа. Тем самым
предложения Вь В2,..., В„ в этом выражении должны трактоваться не просто
как истинные, а как конвенционально истинные утверждения, т.е. истинные по
конвенции.
Однако достаточно часто, особенно в составе аксиоматических теорий,
конструкция вида «г есть по определению то, что удовлетворяет условиям:
Вь В2,..., В„» не используется, а используются в качестве аксиом лишь
предложения В], В2,..., В„, входящие в состав условий неявных определений. Например,
в составе формальной арифметики присутствуют в качестве аксиом два
утверждения:
л; + 0 = х,
х+у' = (х+уУ,
посредством которых задается смысл операции сложения.
Аналогичная ситуация имеет место и для явных определений. Например, мы
могли бы не вводить знак «у» по определению, а задать его в некоторой
логической системе посредством формулы вида:
(А у В) е. ((А & ^В) v (-А & В)).
Строго говоря, про такого рода предложения нельзя сказать, что они
являются определениями в собственном смысле этого слова, но про них можно
сказать, что они в составе теории играют роль определений, т. е.
опять-таки являются конвенционально истинными предложениями. Далее мы
увидим, что существуют и другие лингвистические конструкции, которые в
составе теоретического знания могут играть (и на самом деле реально
играют) роль определений.
440

Но почему в науке принят такой способ работы с определениями? Еще
Аристотель в своих «Аналитиках», подчеркивая конвенциональный характер
любых определений, отметил, что введение некоторого объекта по определению
вовсе не гарантирует его существование. В самом деле, в главе VI было введено
по определению нормальное множество условием: М - нормальное множество,
если и только если М g М. Однако это определение, как мы видели, не гарантирует
существования множества всех нормальных множеств. Можно, например, ввести
по определению следующие объекты - «яблоневые сады, которые растут на
Солнце», но совершенно очевидно, что таких объектов в природе нет. Поэтому,
следуя Аристотелю, мы должны не только ввести некоторый объект
определением, но и гарантировать его существование посредством специального
утверждения. Так, например, следующая аксиома бесконечности как раз и
гарантирует нам существование натуральных чисел:
Существует, по крайней мере, одно множество со, обладающее
следующими свойствами:
а) 0 б со,
б) если х е со, то {х и {х}} е со.
Здесь одновременно единым утверждением осуществляются сразу две
процедуры - задается определение натурального числа условиями а)-б), что
порождает следующую последовательность: 0, {0}, {0, {0}}, {0, {0}, {0, {0}}},
{0, {0}, {0, {0}}, {0, {0}, {0, {0}}}} и т. д., а также гарантируется
существование этого ряда чисел.
Именно это обстоятельство - возможность единообразным способом
одновременно определить объект и гарантировать его существование (ведь аксиомы
рассматриваются как истинные утверждения об исследуемой области) - и
является причиной такого косвенного использования настоящих определений.
4.3. Родовидовые определения
Часто среди определений выделяют так называемые родовидовые
определения, т. е. определения через указание на род и видовое отличие. Собственно
говоря, к таким определениям относятся почти все определения, так как почти
любая дефиниция содержит некоторые переменные, пробегающие по какому-то
универсуму. Последний как раз и является тем родом, внутри которого с
помощью видового отличия выделяются определяемые объекты. Однако слово
«почти» не является случайным. Среди определений имеются и такие, которые
нельзя отнести к родовидовым. Это так называемые фундаментальные индуктивные
определения.
В самом деле, характеристика некоторого определения как родовидового
предполагает, что род уже имеется и потому остается только с помощью
видового отличия в этом наличествующем роде выделить класс определяемых
предметов. Однако фундаментальные индуктивные определения не предполагают
никакого заранее данного универсума, напротив, они сами строят универсум
441

рассуждения. Примером фундаментального определения является только чтс
рассмотренное (пункты а)-б)) индуктивное определение натурального числа.
1
§5. Требования к корректности определений 1
5.1. Содержательные и формальные требования \
К определениям предъявляют различного рода требования, соблюдение
которых гарантирует корректность этой логической операции. Они распадаются на
требования общего характера, которые применяются ко всем определениям, и
требования, которые должны выполняться для отдельных видов определений
(некоторые из них уже были указаны выше). Кроме того, среди них можно
выделить, с одной стороны, требования содержательного характера и, с другой -
те, которые связаны с формальной записью определений.
j
1. Общие требования. *
(1.1) Всякое определение должно быть ясным и четким.
Это означает, во-первых, что смыслы терминов, посредством которых
разъясняется смысл определяемого термина, должны быть ясными. Если
смыслы этих терминов неясны, непонятны, то определение не достигает
основной своей познавательной цели - приписывания термину строго
фиксированного смысла и значения. В этом случае должны быть предварительно
разъяснены (определены) термины, посредством которых задают смысл
исходного выражения.
Во-вторых, это означает, что в определении надо указывать лишь то, что
необходимо и достаточно для задания смысла термина, т. е. в определении не
должно быть ничего лишнего. Например, определение термина «квадрат» через
указание на то, что это «четырехугольник, являющийся ромбом, у которого
равны все стороны, равны все углы, равны диагонали и последние делятся при их
пересечении пополам», трудно признать корректным, так как оно содержит
совершенно лишнюю информацию, которая не столько разъясняет, сколько
затемняет смысл определяемого термина, делая его громоздким.
В-третьих, связь между осмысленными терминами, входящими в
определение, сама должна оказаться осмысленной. В противном случае мы будем иметь
дело с абракадаброй, тарабарщиной. Приведем без каких либо комментариев
несколько примеров такой тарабарщины, довольно часто встречающейся в
различного рода псевдонаучных определениях.
а) «Понимание - это реконструкция личностных измерений объективации
человеческой деятельности».
б) «Философская работа - это такая модальность сознания как внутреннего
многомерного гетерогенного дискретного пространства экзистенциальной
территории личности, которая может быть описана как виртуальное поле смыслов и
как уникальное время человеческой субъективности».
в) «Информация - это фундаментальный генерализационно-единый
безначально-бесконечный законопроцесс автоосциляционного, резонансно-сотового,
442

частотно-квантового и волнового отношения, взаимодействия,
взаимопревращения и взаимосохранения (в пространстве и времени) энергии, движения,
массы и антимассы на основе материализации и дематериализации в микро- и
макроструктурах Вселенной».
(1.2) Требование ясности и четкости определений заставляет нас одни
термины определять посредством других, а эти последние, в свою очередь,
определять через некоторые иные термины. В науке это приводит к построению
системы взаимосвязанных определений. К этим совокупностям определений
предъявляется требование: они не должны содержать порочного круга, т. е. не должно
возникать ситуаций, когда выражение В, посредством которого определяется
термин t, содержит некоторый термин t\, который в конечном итоге сам
определяется через термин t. Например, система из двух определений - «логика - это
наука о законах правильного мышления» и «правильное мышление - это
мышление, подчиняющееся требованиям науки логики» - содержит круг, так как
«логика» определяется через «правильное мышление», а «правильное
мышление» в свою очередь определяется через «логику». Наличие порочного круга
считается ошибкой в системе определений.
(1.3) Определения - это конвенции и потому в них допускаются такие
трактовки определяемых терминов, которые могут не совпадать с общепринятым их
словоупотреблением. В частности, задаваемый определением класс предметов
может оказаться шире или уже того класса предметов, который по традиции
связывается с определяемым термином. Такое расхождение в общем случае не
является ошибкой, хотя и может быть неудобным и вести к недоразумениям.
Поэтому, если данное расхождение обусловлено какими-то важными и
принципиальными соображениями, а не является досадным промахом, то следует каждый
раз специально оговаривать это расхождение.
Если же целью определения была попытка уточнения (экспликации)
значения термина, который используется в обыденной жизни или научной
практике, то такого рода расхождение следует считать ошибкой. Иначе говоря, в
этом случае в качестве условия правильности определений необходимо
потребовать, чтобы они были соразмерными, т. е. класс предметов, который
традиционно считается подпадающим под определяемый термин, должен
совпасть с тем классом, который задается определяющей частью. Выше
говорилось, что цель Платона, который определил человека как «двуногое и
бесперое существо», состояла в попытке найти такую совокупность признаков,
которая была бы присуща только людям. Поэтому понятна та издевка, с
какой киник Диоген произнес фразу «Вот тебе человек!», бросив к ногам
Платона ощипанного петуха.
2. Специальные требования
(2.1) В дополнение к сказанному выше к явным определениям
предъявляется требование, состоящее в том, что определяемый термин t из определяемой
части A[t] не должен встречаться в определяющей части В. Если явное
определение таким свойством не обладает, то оно считается ошибочным. Про такое оп-
443

ределение говорят, что оно является тавтологичным, т. е. определяет то же
через то же, а тем самым не несет никакой новой информации об употреблении
терминов. Является тавтологичным, например, определение множества как
совокупности любых предметов, так как определяемый термин «множество»
входит в определяющую часть, где слово «совокупность» есть просто синоним
слова «множество».
Понятие множества, как об этом говорилось выше, является
фундаментальным понятием, т. е. является таким понятием, смысл которого нельзя задать
посредством явного определения через другие термины. Однако это не означает,
что данное понятие и, вообще, другие фундаментальные понятия не могут быть
в принципе определены. На самом деле они определяются, но не явно, а неявно -
посредством аксиоматических определений. Так аксиомы теории множеств
неявно определяют понятие множества.
(2.2) Как выше уже было отмечено, данное требование - отсутствие
определяемого термина в определяющей части - не выполняется (и не должно
выполняться) для неявных определений. При этом в данном случае никакой ошибки
тавтологичности нет.
3. Формальные требования
Для всех явных определений при их формальной записи на языке
исчисления предикатов должны выполняться следующие требования согласованности:
(1) тип переменных в определяемой части A[t] и определяющей части В должен
быть одинаков, т. е. если а - индивидная переменная в определяемой части A[t],
то и в определяющей части В переменная а должна являться индивидной, если
а - это предикатная переменная определенной местности в A[t], то и в В
переменная а должна быть предикатная переменная той же местности и т. д.; (2) тип
выражения A[t] должен совпадать с типом выражения В, т. е. если A[t] - имя, то
и В должно быть именем, если A[t] - универсалия, то и В должно быть
универсалией и т. д.; (3) свободные переменные, входящие в определяемую часть A[t]
должны в точности совпасть со свободными переменными, входящими в
определяющую часть В.
5.2. Приемы, сходные с определением
Среди различных познавательных процедур существует ряд приемов,
которые, не будучи сами по себе определениями, в какой-то мере выполняют роль
разъяснения значений терминов, т.е. выполняют роль определений. К
таким приемам относятся так называемые остенсивные «определения», описание
предмета и его сравнение с какими-то иными предметами. Все эти приемы не
следует путать с собственно определениями.
Остенсивное «определение» - это разъяснение значений терминов путем
непосредственного предъявления экземпляров предметов, которые
обозначаются ими. Ясно, что эта операция, хотя и носит условное название «определение»,
не является таковой, так как выходит за пределы языка.
444

Остенсивные «определения» являются чрезвычайно важным
познавательным приемом. Именно с их помощью мы постепенно овладеваем родным
языком, накапливаем предварительные сведения о его словарном составе.
Велика роль остенсивных «определений» и в научной практике - ведь
смыслы наиболее фундаментальных терминов нельзя задать через их явные
словесные формулировки, т. е. их нельзя свести к чему-то более простому и
более фундаментальному, так как ничего более простого и более
фундаментального просто не существует. Поэтому для разъяснения значений таких
терминов приходится прибегать к наглядным примерам, указывать или
предъявлять те экземпляры предметов, которые обозначаются данными
терминами, т. е. осуществлять процедуру экземплификации. Вводя таким
способом фундаментальные термины, мы получаем тем самым возможность далее
разъяснять смыслы других терминов, уже не выходя за рамки языка.
Например, что такое «метр» нельзя разъяснить никакой фразой. Метр - это тот
предмет, тот эталон, который хранится в Париже в особых условиях.
Поэтому настоящий метр можно только предъявить, показать.
Другим познавательным приемом является описание. В этом случае
вместо определения термина приводят более или менее подробный перечень тех
признаков, которые присущи предметам, подпадающим под него. Например,
«тигр - это животное, похожее на кошку, но более крупных размеров,
имеющее рыжую окраску с черными поперечными полосами и являющееся
хищником». Этот перечень может продолжаться и далее. Цель такого описания -
создать у слушателей, которые ни разу не видели тигра, некоторый образ
этого животного. Вообще, в биологии учеными биологами создаются
специальные справочники - определители растений и животных, - в которых
приводятся подробные описания различных видов живых организмов. Они
чрезвычайно нужны практически работающим биологам для идентификации
особей живых существ.
Описания не следует недооценивать. Особое значение они имеют для так
называемых описательных дисциплин - истории, биологии, геологии и т. д. В
этих науках описания выполняют роль определений и позволяют, хотя и
недостаточно четко, фиксировать смыслы терминов.
Иногда выражения языка разъясняются с помощью сравнения одного
предмета с другими предметами. Этот прием тоже может играть роль определения.
Однако зачастую такого рода сравнения носят чисто метафорический характер,
например «верблюд - корабль пустыни», «нефть - черное золото» и т. п.
Выражения такого рода, конечно же, определениями не являются, они не могут даже
играть роль определений и научной ценности не имеют, хотя и могут выполнять
роль идеологических клише.
Упражнения
1. Проверьте правильность следующих определений, установите их вид и
укажите ошибки, если таковые имеются:
445

а) среда - третий день недели,
б) истина - дочь разума и мать опыта,
в) психическое - относящееся к психике,
г) деформация есть изменение формы предмета,
д) эллипс - это окружность, вписанная в квадрат 3x4,
е) форма фигуры - это то общее, что есть у всех подобных фигур,
ж) пианино - музыкальный инструмент наподобие рояля, но значительно
меньших размеров,
з) рак - это небольшая красная рыба, которая ходит задом наперед,
и) луч - это бесконечная прямая, которая имеет начало в том конце, где он
начинается,
к) лунное затмение - явление, которое возникает, когда Земля оказывается
на линии, которая соединяет Луну и Солнце,
л) прекрасное есть закон в его ограниченном временем, пространством и
конкретной исторической формой проявлении,
м) «Молодой человек лет двадцати трех, тоненький, худенький, несколько
приглуповат, и, как говорят, без царя в голове - один из тех людей, которых в
канцеляриях называют пустейшими. Говорит и действует без всякого
соображения. Он не в состоянии остановить постоянного внимания на какой-нибудь
мысли. Его речь отрывиста, и слова вылетают из уст его совершенно неожиданно»
(Н. В. Гоголь. «Ревизор»).

Глава XI
ПРАВДОПОДОБНЫЕ РАССУЖДЕНИЯ
§ 1. Общие сведения о правдоподобных рассуждениях
1.1. Понятие правдоподобного рассуждения
Важнейшей задачей логики является исследование различных
интеллектуальных процедур, посредством которых из уже имеющихся у нас сведений
можно получать новую информацию. Одна из таких процедур - процедура
дедукции, имеющая место в том случае, когда совокупная информация,
выраженная предложениями Аь..., А„, содержит в качестве своей части (иногда в
неявной форме) информацию, выраженную высказыванием В. Дедукция
позволяет извлечь эту информацию и представить ее в явной форме. Способом
такого извлечения является вывод. Его построение как раз и должно убедить
нас в том, что заключенная в высказывании В информация «вытекает» из
имеющихся у нас сведений.
Однако довольно часто мы встречаемся с иной ситуацией: полученные тем
или иным способом сведения Аь..., А„ используются не для осуществления
дедуктивного вывода высказывания В из посылок Аь..., А„, а применяются как
некая «подсказка», «намек», «подводящий», «наводящий» нас на мысль о
возможности принятия высказывания В. Рассуждение в этом случае строится по
следующей схеме: если информация, содержащаяся в посылках Аь..., А„,
верна, то правдоподобно было бы считать, что имеет место и В. Переход от
посылок к заключению носит здесь не достоверный (как при дедукции), а лишь
правдоподобный (проблематичный) характер. Посылки лишь подтверждают В,
делают истинность В более вероятной. Именно такого рода рассуждения и
будут далее считаться правдоподобными.
Правдоподобный характер связи между посылками и заключением будем
обозначать посредством записи:
АЬ...,А„^В,
которая читается: «из посылок Аь..., А„ правдоподобно следует В». При этом
отношение правдоподобного следования «11=» надо отличать от отношения
логического следования «1=», лежащего в основе теории дедукции.
1.2. Массовые события
Иногда при осуществлении правдоподобного перехода от посылок к
заключению удается достаточно точно оценить степень этой
правдоподобности, т. е. оценить, насколько обоснованным является заключение В при
принятии Аь-.-, А„. Для решения этой задачи используется теория вероятности.
В теории вероятности исследуются так называемые массовые события -
события, которые могут быть исходами (результатами) какого-то много раз повто-
447

ряющегося опыта. Такими событиями являются, например, выпадение той или
иной грани игральной кости при неоднократном ее бросании, прыжок
спортсмена на определенную длину, попадание в «десятку» при стрельбе из лука, мнение
человека, высказанное им в ходе социологического опроса, и т. д. Обычно, если
осуществляется некоторый опыт а и имеется полная система несовместимых
исходов (результатов) данного опыта - U = {хь хо,—, Хк}, то каждое событие Xj е
U называют элементарным событием. При этом под полной системой
несовместимых исходов имеют в виду такую систему результатов опыта, которая
удовлетворяет двум условиям: (1) каждый возможный результат опыта а может
быть представлен с помощью данной системы исходов, (2) попарно различные
исходы х-, и Xj, входящие в данную систему, не могут осуществиться
одновременно. Так, в случае, когда опыт а состоит в бросании игральной кости,
элементарными событиями будут выпадения различных граней. Если опыт а состоит в
прыжках в длину, то элементарными событиями будут прыжки на определенное
расстояние.
Сложные события трактуются как совокупности элементарных, т. е. как
подмножества множества U. Считается, что сложное событие осуществилось,
если осуществилось, по крайней мере, одно из элементарных событий,
входящих в него.
Если события выражать посредством использования пропозициональных
переменных р, q, г, s,..., то сложные события можно записывать в виде формул -
(р & q), (г v р), (s 3 q), (р = s), -.р. Первая формула говорит о наступлении сразу
двух событий - р и q, вторая формула говорит о наступлении, по крайней мере,
одного из событий - г или р. Третья формула говорит о наступлении так
называемого условного события q, которое осуществляется всякий раз, когда
осуществляется событие s. Четвертая формула говорит о наступлении двух условных
событий - s и р. Причем событие s осуществляется всякий раз, когда
осуществляется событие р, а событие р осуществляется всегда, когда осуществляется
событие s. Наконец, последняя формула говорит о наступлении события, которое
осуществляется тогда и только тогда, когда не осуществляется событие р.
Допустим, что при бросании игральной кости посредством параметра р
репрезентировано высказывание о событии «выпало четное число», а через q -
«выпало число, делящееся на 2». Тогда эти два высказывания будут
эквивалентными - (р = q), так как они говорят об одном и том же подмножестве событий -
{выпало число 2, выпало число 4, выпало число 6}. Если через р
репрезентировано высказывание «осуществлен прыжок за 5 метров», а через q -
«осуществлен прыжок за 4 метра», то справедливо будет утверждать - (р => q), так как
множество прыжков за 5 метров включается во множество прыжков за 4 метра.
Если р репрезентирует высказывание «выпало четное число», а —ip - «неверно,
что выпало четное число», что эквивалентно событию «выпало нечетное число»,
то выражение (р v -ip) задаст событие «выпало четное или нечетное число»,
которое совпадает с множеством всех исходов бросания игральной кости;
выражение же (р & —>р) задаст событие «выпало четное и нечетное число», которое
является пустым множеством, так как такое событие никогда не может осущест-
448

виться. Первое из этих событий, реализующееся при любом исходе опыта,
называется достоверным и обозначается знаком «1». Второе событие называется
невозможным и обозначается знаком «О».
1.3. Вероятностная мера
С каждым событием или высказыванием о событии А иногда удается
связать величину Р(А), называемую вероятностной мерой (или просто
вероятностью). Функция Р(А) принимает значения в замкнутом интервале [0, 1]. При
этом, если А - это событие, то величина Р(А) указывает на вероятность
осуществления этого события, а если А - высказывание о событии, то величина Р(А)
говорит о вероятности оценки данного высказывания как истинного.
Одноместная функция Р(А) считается вероятностной мерой, если
она удовлетворяет следующим условиям:
1) 0 < Р(А) для любого А,
2)Р(1) = 1,
3) Если А & В = 0, то Р(А v В) = Р(А) + Р(В).
Эти условия позволяют вычислять вероятность сложного события
(высказывания), если известны вероятности элементарных событий (высказываний),
т. е. задача о вероятности любого А сводится к задаче о вероятности
элементарных событий (высказываний).
Рассмотрим два способа задания вероятности исходов опыта. Первый из них
основан на идее симметрии и ведет к так называемому классическому
{априорному) понятию вероятности. Это понятие используется тогда, когда у нас нет
оснований считать, что вероятность одного элементарного исхода некоторого
опыта должна отличаться от вероятности других элементарных исходов.
Например, при бросании монеты у нас нет никаких оснований полагать, что выпадение
одной стороны монеты («орла») должно происходить чаще, чем выпадение
другой стороны («решетки»), так как монета - симметричный объект. Так как
равновероятных элементарных исходов в этом случае существует ровно 2, то
вероятность каждого из событий («выпал орел» и «выпала решетка») должна быть
равна !/2. В случае бросания игральной кости, в силу ее симметричности, можно
априорно считать вероятность каждого из исходов равной Уб.
Представим теперь, что мы имеем дело с фальшивой игральной костью, в
которую запаян свинец так, чтобы чаще выпадало число 6. Теперь нельзя
воспользоваться идеей симметрии и априорно задать вероятность исходов, так как
симметрия нарушена, а потому необходимо произвести испытание. С этой
целью осуществляется серия опытов а: бросается кость и записываются исходы
бросания. Допустим, проведена 1 тысяча бросков и выяснилось, что в 350
случаях выпало число 6. Тогда можно ввести некоторую величину 5, которая
называется относительной частотой исхода х - 8(х) = ш/п, где т - число
благоприятных (положительных) исходов, а п - число всех исходов в данной серии опытов.
В нашем случае 5(6) = 7/2о. На практике эту величину принимают за вероятность
15 Введение в логику
449

выпадения шестерки, т. е. считают, что Р(6) = 7/20. Введенная так величина
называется статистической {апостериорной) вероятностью.
Использование относительной частоты в качестве вероятностной меры
определяется законом больших чисел, согласно которому при неограниченном
увеличении серии опытов относительная частота исходов 8 будет колебаться около
некоторой величины, постепенно приближаясь к ней. Величина, к которой будет
стремиться относительная частота при неограниченном увеличении серии
опытов, как раз и есть вероятность наступления события. Она будет находиться
где-то вблизи 7/2о, а потому последняя величина и может быть принята за
приблизительное значение вероятности. Чтобы расхождение между относительной
частотой и вероятностью не было значительным, серия опытов, в которой
устанавливается относительная частота, должна быть представительной.
Рассмотрим сказанное на примере формул логики высказываний. С каждой
формулой А, содержащей г различных переменных, свяжем величину Р(А),
задающую вероятность ее истинности. Для этого рассмотрим 2Г различных
наборов значений переменных. Множество этих наборов представляет собой
полную систему несовместимых исходов опыта, состоящего в том, что на каждом из
этих наборов проверяется значение А. Так как у нас нет никаких оснований
предпочесть один набор значений пропозициональных переменных другому,
будем считать, что все они равновероятны, и потому вероятность каждого
набора априорно определяем равной 72г.
Будем считать далее некоторый набор значений переменных
благоприятным исходом, если формула А на нем принимает значение «истина». Величин}
Р(А) можно тогда определить как относительную частоту исходов "7П, где т -
это число благоприятных исходов (наборов), а п - число всех вообще наборов.
Так как тождественно-истинная формула А принимает значение «истина» на
всех наборах значений своих переменных, ее относительная частота m/n = 1, т. е
Р(А) = 1. Это означает, что каждая тождественно-истинная формула описывает
некоторое достоверное событие и потому А = 1. С другой стороны, для
тождественно-ложной формулы А величина m/n = 0, т. е. Р(А) = 0. Это говорит о том, что
такие формулы описывают некоторое невозможное событие и потому А = 0.
Вероятность всех остальных формул лежит в интервале [0, 1], т. е. для каждой
формулы справедливо, что 0 < Р(А) < 1. Рассматрим с этой точки зрения
истинностную таблицу, скажем формулы р & (q v г):
р
и
и
и
и
л
л
л
л
q
и
и
л
л
и
и
л
л
г
и
л
и
л
и
л
и
л
р & (q v г)
и
и
и
л
л
л
л
л
450

Таблица показывает, что вероятность исследуемой формулы равна /8, т. е.
P(p&(qvr)) = 3/8.
1.4. Условная вероятность
В теории вероятностей два события (высказывания) А и В называются
независимыми, если осуществление (истинность) или неосуществление (ложность)
одного из них никак не влияет на осуществление (истинность) или
неосуществление (ложность) другого. Так, при бросании кости два события - «выпало
четное число» и «выпало число, делящееся на 3» - являются независимыми.
Если А и В независимые события (высказывания), то для них в теории
вероятности справедлива теорема:
(1)Р(А&В) = Р(А)-Р(В),
откуда сразу же получаем, что
(2)р(В) = Р(А&В)/р(А);
где Р(А) Ф О, так как деление на 0 - запрещенная операция.
Величина Р(Л&В)/Р(А) называется условной вероятностью.
Условная вероятность обозначается записью Р(В/А), которая читается:
«вероятность В при условии А».
Для формул логики высказываний имеется простая процедура вычисления
условной вероятности по совместной истинностной таблице для формул В и А.
Из таблицы вычеркиваются все строчки, в которых формула А принимает
значение «ложь», т. е. оставляют только те строчки, где А принимает значение
«истина», подсчитывают их число и принимают за п. А далее на этих п строчках
подсчитывают число благоприятных исходов для формулы В, получая таким
образом число т. Величина ш/п и является условной вероятностью Р(В/А).
Подсчитаем, например, чему равна Р(р & (q v r)/p v г).
p
и
и
и
и
л
л
л
л
q
и
и
л
л
и
и
л
л
г
и
л
и
л
и
л
и
л
р&
и
и
и
л
л
л
л
л
(q
v г)
р V г
и
и
и
и
и
л
и
л
В таблице вычеркиваются строчки, где формула р v г принимает значение
«ложь». Оставшиеся 6 строк, где р v г выполнено, дают число п. Теперь нам на-
451

до установить, на скольких строчках из этих 6 оказывается истинной формула
р & (q v г). В нашем случае таких строчек 3, т. е. т = 3. Отсюда получаем, что
Р(р & (q v г)/р v г) = 72.
1.5. Определение правдоподобного следования
Итак, если А и В независимы друг от друга, то имеет место равенство
следующего вида:
(3) Р(В) = Р(В/А).
Если же они зависят друг от друга, то указанное равенство нарушается. При
этом оно может нарушаться двояким образом: либо левая величина будет
больше правой, либо наоборот. Наиболее интересным является именно случай, когда
Р(В) < Р(В/А), как это имеет место в нашем примере. Последнее говорит о том,
что вероятность В без учета информации А меньше, чем вероятность этого же
высказывания при учете А, т. е. наличие сведений, фиксируемых высказыванием
А, увеличивает вероятность истинности В.
Учитывая данное соотношение, теперь можно определить правдоподобное
следование посредством условия:
(4) Аь..., А„ IN В =Df Р(В) < Р(В/А! &... & Ап).
О данном определении говорят, что отношение правдоподобного
следования задано с помощью условия позитивной релевантности.
Отметим, что иногда отношение правдоподобного следования определяют
условием так называемой обратной дедукции:
(5) Аь..., An IN В =„В t= А, & ... & А„,
или, учитывая связь между знаками I- и \= в первопорядковой логике
предикатов, условием:
(6) A,,..., An IN В =и В Н А, & ... & А„.
Определения (4) и (5) не всегда являются взаимосогласованными в том
смысле, что определив наличие правдоподобного следования условием (5), мы
можем не установить наличия такого следования при применении условия (4).
Это обстоятельство надо иметь в виду, чтобы не возникло недоразумений.
Семантическому понятию правдоподобного следования (IN) соответствует
синтаксическое понятие правдоподобной выводимости, которое можно
обозначить знаком «1Ь».
Величина P(B/Ai &... & А„) характеризует как вероятность истинностной
оценки предложения В при условии справедливости посылок Ai,..., А„, так и
степень связи заключения В с данными посылками. Так, рассматривая
предыдущий пример, можно сказать, что имеет место правдоподобная выводимость
р v г lb р & (q v г))
452

со степенью связи посылки с заключением, равной 72. В частном случае, когда
P(B/Ai &... & А„) = 1, связь между посылками и заключением является
достоверной. Вообще, отношение правдоподобного следования (выводимости)
обобщает понятие логического следования (выводимости), но с одной существенной
оговоркой: выражение вида А! &... & А„ не должно быть тождественно-ложным.
Упражнения
1. Применяя определения правдоподобного следования посредством
позитивной релевантности и обратной дедукции, проверьте, имеют ли место
следования вида:
а) р v q 11= р & q, б) р з q, q lt= р,
в) р & (q v г) lt= р v г, г) р з q, q гэ г, р \\= -.р,
д) р => (q & -нг) 11= (р & q) v г.
2. Определите, в каких случаях свидетельства подтверждают гипотезу, в
каких понижают ее вероятность, а в каких - не изменяют вероятности их
истинности:
а) гипотеза: Петр получил по логике 4.
свидетельства: Петр получил по логике 5 или 4.
Если бы Петр умел доказывать метатеоремы, он получил
бы по логике 5.
Петр не умеет доказывать метатеорем.
б) гипотеза: «Динамо» не заняло призовое место.
свидетельства: Если бы «Спартак» проиграл, то «Динамо» заняло бы
призовое место.
«Спартак» не проиграл.
в) гипотеза: Иванов не совершал преступления.
свидетельства: Совершил преступление Иванов, Петров или Сидоров,
Ни Петров, ни Сидоров его не совершали.
г) гипотеза: Механизмы В и С не работают одновременно.
свидетельства: Если работает механизм А, то работает и механизм В,
Если же механизм С не работает, то не работает и
механизм А.
§ 2. Обобщающая индукция
2.1. Полная индукция
Правдоподобные рассуждения делятся на обобщающую индукцию, методы
установления причинных зависимостей {исключающую индукцию) и аналогию.
Под обобщающей индукцией (наведением) понимают такие
рассуждения, в которых переходят от знания о некоторых отдельных
предметах какого-либо класса к знанию обо всех предметах этого класса,
т. е. переходят от единичных утверждений к общим.
453

Примером обобщающей индукции является следующее рассуждение. До
пустим, что некто приехал в незнакомый город и решил зайти в магазин. Iipj
этом оказалось, что магазин а, в 19 часов был закрыт, магазин а2 тоже оказался j
закрытым, это же верно оказалось и для магазина а3. Тогда, на основе этих дан- I
ных, приезжий сделал вывод по обобщающей индукции, что все магазины горо- 1
да закрываются в 19 часов. |
Различают несколько видов обобщающей индукции - статистическую и |
нестатистическую, полную и неполную, эмпирическую и математическую, по- \
пулярную и научную. Рассмотрим первоначально нестатистические виды
обобщающей индукции. Начнем с полной обобщающей индукции. Она бывает дв> \
типов - эмпирическая и математическая. Схема рассуждения по полной
эмпирической индукции имеет следующий вид:
1.
2.
п.
п+ 1
В первых п посылках фиксируются результаты эмпирической проверки
предметов аь а2,..., а„ на наличие у них интересующего нас свойства Q. Посылки
показывают, что каждый проверенный предмет обладает этим свойством, т. е. ни
для какого as не встретился случай -.Q(aj). Если бы такой случай встретился, то
данное рассуждение было бы заведомо неверным.
Для полной индукции чрезвычайно важной является п + 1-я посылка,
указывающая, что множество проверенных предметов в точности составляет класс S.
Это позволяет сделать достоверное заключение о наличии свойства Q у всех
предметов из S.
Достоверность заключения по полной обобщающей эмпирической
индукции определяется тем обстоятельством, что условная вероятность высказывания
Vjc(S(jc) z> Q(x)) при данных посылках равна 1. Этот факт можно установить щ -
тем подсчета относительной частоты исходов опыта, состоящего в
последовательной проверке предметов аь а2,..., а„ на наличие у них свойства Q. Так как
класс S содержит ровно п предметов, то число всех применявшихся
проверочных процедур равно п, из которых число благоприятных случаев тоже равно п.
Таким образом, относительная частота 7П = 1. Этот результат говорит о том, что
в случае полной обобщающей эмпирической индукции между посылками и
заключением имеет место отношение логического следования.
В дедуктивных науках (математике и логике) используются различные
разновидности полной индукции. Одной из них является так называемая индукция
по построению, ее частными случаями выступают разные виды
математической индукции. Они применяются в тех случаях, когда исследуемый класс S за-
454
Q(ai)
Q(a2)
Q(a»)
{аь а2,..
•■> ап
} =
= S
- пос
-пос.
-пос
-пос
-пос
- пос
- пос
Vx(S(x) =э Q(jc))

дается (строится) индуктивным определением. Как было показано в главе X,
индуктивное определение состоит в том, что первоначально некоторые объекты
прямо объявляются принадлежащими данному классу. Все же остальные
объекты порождаются из исходных с помощью каких-либо процедур fb h,—> h- Чтобы
доказать теперь общее утверждение о наличии у всех предметов класса S
свойства Q, применяют следующую схему рассуждения:
1. Q(aO - базис индукции
2. V*!...Vxa((Q(Xl) &...& Q(xa)) z> Q(fi(*b...,*„))) - шаг для fi
3. yxl..yxa((q(xi)&...&Q(xa))=>Q(Uxl,...,xa))) -шаг для f2
-шаг для...
к+1. Vxi-VA:n((Q(xi) &...& Q(x„)) => Q(fk(xb-,*n))) -шаг для fk
Vjc(S(x) з Q(x)),
где каждый at - это объект, принадлежащий классу S по базисному пункту
индуктивного определения S, п = 1, 2, 3,..., a fj, где 1 < j < к, - это функции,
порождающие класс S из базисных объектов.
Согласно этой схеме, вначале для исходных объектов а, (их может быть
много) обосновывают, что они обладают свойством Q, т. е. пытаются
доказать утверждение, которое называется базисом индукции по построению.
Далее предполагают, что свойство Q выполняется для некоторых произвольных
уже построенных объектов Х\,..., л;„, т. е. имеет место выражение Q(a:i) &...&
Q(xn), называемое индуктивным предположением. Исходя из данного
предположения стремятся осуществить так называемый индуктивный шаг -
доказать для каждой порождающей функции fj, что тогда и объект fj(jci,..., дс„),
образованный из Xi,..., ха с помощью порождающей процедуры fj, тоже
обладает свойством Q. Если все эти пункты удается обосновать, то, согласно
индукции по построению, считается, что свойство Q присуще всем предметам
класса S. Именно таким способом мы в главе IV доказывали лемму, которая
нам потребовалась для доказательства метатеоремы о семантической полноте
системы САР.
С собственно математической индукцией мы имеем дело в том случае,
когда множество S - это множество натуральных чисел, образованное с
помощью того индуктивного определения натуральных чисел, которое было
рассмотрено в предыдущей главе. Рассуждение в этом случае строится
следующим образом:
1. Q(0) - базис индукции
2. \/x(Q(n) z> Q(n') - индуктивный шаг
VxQ(x).
Здесь выражение Q(n) представляет собой индуктивное предположение о
наличие свойства Q у произвольного числа п.
Разновидностью математической индукции является так называемая
возвратная индукция, которая была объяснена и использована в главе IV для дока-
455

зательства теоремы дедукции. Повторим еще раз - общая схема рассуждения по
этому методу имеет следующий вид:
Vn(Vm(m </id QO)) => Q(n)) h- VxQ (x).
2.2. Популярная индукция
Полная эмпирическая индукция является ограниченным познавательным
приемом. В эмпирических науках она может применяться лишь в том случае,
когда класс S конечен и легко обозрим. В наиболее же интересных
познавательных ситуациях сплошная проверка предметов просто невозможна. Например,
хотя класс рыб, существующих в настоящее время во всех водоемах Земли,
конечен, нельзя предложить никакой реально осуществимой процедуры, с
помощью которой можно было бы у каждой рыбы установить по схеме полной
обобщающей эмпирической индукции наличие некоторого свойства Q. Для
этого пришлось бы переловить всех рыб, что заведомо невыполнимо.
С другой стороны, имеются и такие случаи, когда класс S хотя и конечен,
но сплошная его проверка потребовала бы таких огромных затрат, на которые
общество не может пойти. Например, достаточно часто и по разным поводам
проводятся социологические опросы, но каждый такой опрос требует затрат
времени, материальных и людских ресурсов. Ясно, что проведение каждый раз
сплошной проверки населения по тому или иному поводу неприемлемо ни по
затратам материальных и людских ресурсов, ни по затратам времени - хотя бы
по той причине, что к моменту, когда станут известны результаты такой
проверки, они уже могут никого не интересовать.
Наконец, сплошная проверка бывает неприемлемой в силу того, что ведет к
уничтожению проверяемого предмета. Например, если наша цель -
установление доброкачественности партии пищевых продуктов, то каждая проверка,
осуществляемая путем вскрытия упаковки и взятия соответствующей пробы, делает
их непригодными к дальнейшему использованию.
Итак, имеются самые разнообразные причины, по которым сплошная
проверка бывает невозможной. В таких случаях применяется процедура неполной
обобщающей индукции. Неполная обобщающая эмпирическая индукция делится
на популярную и научную.
Схема популярной индукции имеет следующий вид:
1. Q(ai) -пос.
2. Q(a2) - пос.
- пос.
- пос.
- пос.
п. Q(a„) - пос.
и+1- {аь а2,..., а„} с S -пос.
Vx(S(x) zd Q(x)).
456

Отличие неполной индукции от полной состоит в п + 1-й посылке. При
полной индукции класс {аь а2,..., а„ } в точности совпадал с классом S. При
индукции же неполной он составляет лишь часть этого класса. Ясно, что истинность
заключения Vjc(S(jc) з Q(x)) в данном случае является проблематичной, но
отнюдь не достоверной, что и фиксируется двойной чертой под посылками,
говорящей о том, что в данном случае мы имеем дело лишь с правдоподобной
выводимостью. Ведь среди непроверенных предметов могут быть и такие, которые
свойством Q не обладают.
Хорошо известным примером ложного заключения, полученного
посредством популярной индукции, является предложение «Все лебеди белы». Оно,
казалось бы, «вытекало» из фактов: каждый раз при наблюдении некоторого
конкретного лебедя европейцы убеждались, что он обладает белым цветом. Тем не
менее после открытия Австралии, где были обнаружены черные лебеди, стало
ясно, что это индуктивное заключение неверно.
2.3. Научная индукция
Популярная (народная, вульгарная) индукция осуществляется с наивной
простотой, состоящей в том, что на наличие свойства Q проверяются
первые попавшиеся объекты. После чего проводится поспешное обобщение -
типичная ошибка индуктивного рассуждения. Однако вывод по неполной
индукции можно существенно усовершенствовать и добиться повышения
степени надежности получаемых результатов. Для этого необходимо
организовать систематический поиск тех предметов, которые в наибольшей
степени подтверждали бы, что все предметы из класса S обладают свойством
Q. С этой целью мы должны искать в совокупности S не предметы, которые
обладают свойством Q, а напротив - те предметы, которые свойством Q не
обладают. Ясно, если такая процедура не увенчалась успехом, т. е., проводя
по определенной методике всеми доступными нам способами поиск тех
предметов, которым свойство Q не присуще, мы все время находим
предметы, этим свойством обладающие, то это существенно повышает надежность
заключения.
Если при осуществлении дедуктивного вывода Аь А2,..., А„ (- В
исследователь должен всеми доступными ему методами стремиться получить из посылок
А], А2,..., А„ утверждение В, то при осуществлении индуктивных рассуждений
Аь А2,..., Ап II- В исследователь, наоборот, всеми доступными ему средствами
должен стремиться показать ложность утверждения В.
Итак, в случае использования научной индукции проверяются на наличие
свойства Q не первые попавшиеся предметы класса S - генеральной
совокупности, - а те из них, которые специально отобраны для этой цели. В
результате такого отбора образуется класс выбранных предметов, который
называется выборкой. Выборка подвергается сплошной проверке, и если проверка
на выборке оказывается удачной, т. е. каждый предмет из выборки обладает
457

проверяемым свойством Q, то тогда полученный на выборке результат может
быть перенесен с достаточно высокой степенью вероятности на всю
генеральную совокупность. Такой перенос и осуществляет окончательное
индуктивное обобщение.
1. Q(aO -пос.
2. Q(a2) - пос.
- пос.
- пос.
- пос.
п. Q(a„) - пос.
п+\. {аь а2,-, ап } = В -пос.
Vx(B(x) з Q(jc)) - полная индукция для выборки
п + 2. УдЩу) з S(*)) -пос.
Vx(S(jc) =э Q(x)) - индуктивное обобщение.
В схеме посредством В обозначена выборка. Поэтому первые п посылок
указывают на результат сплошной ее проверки, а первое умозаключение
осуществляется по полной обобщающей индукции и касается именно
выборки. Далее вводится еще одна, п + 2-я, посылка, которая говорит, что
предметы выборки взяты из более широкого класса S - генеральной совокупности.
Используя это знание, мы и осуществляем перенос результата на все
предметы исследуемого класса S.
Слабым местом в данном рассуждении является переход от утверждения,
что все предметы из выборки обладают свойством Q, к утверждению, что все
предметы генеральной совокупности обладают свойством Q. Для его надежного
обоснования требуется, чтобы выборка была репрезентативной. Это означает,
что выборка должна достаточно точно передавать структуру класса S,
разнообразие его состава, в частности те его особенности, которые могут влиять на
отсутствие свойства Q. Добиться такого структурного соответствия между
генеральной совокупностью S и выборкой В, т. е. добиться репрезентативной
выборки, можно следующим способом.
Способ основан на выдвижении некоторых гипотез (предположений) о
том, в силу каких причин у предмета х е S может отсутствовать свойство Q.
Например, если проверяется доброкачественность продукции, выпускаемой
пищевой промышленностью (свойство Q), то опыт подсказывает, что
отсутствие этого свойства может зависеть от срока хранения продукта, от условий его
хранения, от того, какое предприятие выпустило продукцию, от партии
выпущенной продукции и других параметров. Далее генеральная совокупность
логически делится по выбранным параметрам (основание деления) на подклассы
- члены деления (здесь может быть использована рассмотренная в главе IX
техника построения диаграмм Венна), и из каждого подкласса выбирается
какое-то количество продукции для дальнейшей сплошной ее проверки. Тем
самым формируется выборка. При этом если наши гипотезы точно фиксируют
все случаи, в силу которых продукция может оказаться недоброкачественной,
458

и если в генеральной совокупности S таковая имеется, то в выборку
обязательно попадет какое-то ее количество.
У данного метода имеются два недостатка. Первый связан с тем, что у нас
могут отсутствовать хоть какие-то разумные гипотезы для объяснения свойства
Q. Второй же состоит в том, что мы можем по тем или иным причинам упустить
какой-либо важный параметр, от которого зависит отсутствие свойства Q. Тем
самым будет делаться определенная систематическая ошибка, которая и
приведет к неверным результатам.
Чтобы выборка была репрезентативной, она должна быть объемной, так как,
согласно закону больших чисел, закономерности, которым подчиняются
массовые явления, обнаруживаются лишь при большом числе наблюдений.
2.4. Статистическая индукция
Перейдем к рассмотрению так называемой обобщающей статистической
индукции, которая чрезвычайно широко применяется в социологических
исследованиях. Эта индукция, наподобие индукции нестатистической, тоже может
быть как полной, так и неполной, как популярной, так и научной. Далее мы
ограничимся изложением только двух вариантов научной статистической индукции,
тем более что в составе этих рассуждений будут представлены и полная, и
неполная статистические индукции. Итак, одним из вариантов научной
статистической обобщающей индукции является рассуждение, осуществляемое по
следующей схеме:
1. Q(ai) - пос.
- пос.
- пос.
- пос.
т. Q(am) - пос.
т+1. -,Q(am+1) -пос.
- пос.
- пос.
- пос.
п. ->Q(a„) - пос.
п + 1. {аь а2,..., а„} = В - пос.
Vjc(B(x) Z3 S(Q(x)) = k) - полная статистическая индукция
п + 2. \/х(В(х)=эS(x)) -пос.
Vx(S(jc) з 8(Q(x)) = k) - индуктивное обобщение.
В схеме знаком «В» обозначена выборка. В первых п посылках указаны
результаты сплошного обследования предметов из выборки. Посылки показывают,
что из п проверенных предметов только часть обладает интересующим нас
свойством. Пусть таких предметов будет т. Тогда устанавливается относительная
частота обладания свойством Q для произвольного предмета из выборки = ш/„.
Эта информация и фиксируется на первом этапе данного рассуждения в заклю-
459

чение по полной статистической индукции, касающейся выборки - Ух(В(д:) =>
8(Q(x)) = к), где к = т/„, а далее этот результат индуктивно обобщается на всю
генеральную совокупность. Итак, любой объект из генеральной совокупности
обладает свойством Q с вероятностью, равной к.
По методу статистической индукции, как говорилось, осуществляются
социологические обследования, где заведомо нереально было бы ожидать, что все
люди выскажутся одинаково. Напротив, следует предположить, что на
некоторый вопрос один человек ответит «да», а другой - «нет», а потому
нестатистические формы индуктивных рассуждений здесь перестают действовать.
При проведении социологических опросов чрезвычайно ответственным
действием является предварительное формирование выборки. Чтобы выборка была
репрезентативной, в этом случае приходится учитывать такие параметры, как
возраст людей, их профессию, образовательный уровень, партийную
принадлежность, место жительства, половые различия и т. д. Кроме того, если для
получения репрезентативной выборки при нестатистических формах рассуждений
достаточно учитывать лишь структурные особенности генеральной
совокупности S, т. е. учитывать лишь типы предметов, входящих в S, то при
статистической индукции, как количественном методе, необходимо также следить за
сохранением в выборке процентных соотношений (пропорций) между типами
предметов, которые входят в генеральную совокупность. Так, если аграрии в
генеральной совокупности составляют 10 процентов населения, а в выборке они
представлены в количестве 70 процентов, то такая выборка нерепрезентативна,
если наша цель - выяснение мнения всего населения по какому-то вопросу, а не
мнения аграриев.
Но и при соблюдении указанных условий статистическая индукция может
потерять свой научный характер и стать наукообразной формой фальсификации,
если термину «выборка» исследователь склонен придать смысл термина
«подборка». Ведь в силу наличия у людей различных взглядов в выборку всегда
можно отобрать в непропорционально большом количестве тех из них, кто,
высказывая свое мнение, исказит подлинную социологическую картину. Такая
подтасовка результатов может произойти и за счет накопления систематической
ошибки даже помимо воли самого исследователя.
В этих условиях, чтобы «смягчить» второй недостаток, применяют
следующий способ формирования выборки. После проведения разбиения
генеральной совокупности на взаимно непересекающиеся классы, выбор
предметов из каждого из них осуществляется чисто случайным образом, т. е. с
помощью метода, обеспечивающего равную вероятность извлечения
произвольного элемента генеральной совокупности. Для этого используют
специальные таблицы случайных чисел, а сам метод работает следующим
образом. Все предметы в каждом из образованных классов нумеруются.
Затем берут таблицы случайных чисел и в выборку помещают те предметы из
соответствующего класса, номера которых совпадают с числами таблицы.
Такая процедура проделывается с каждым выделенным классом в
генеральной совокупности. Это гарантирует от неосознанной фальсификации данных.
460

В противном случае заключение, полученное по статистическому
рассуждению, нельзя признать научно обоснованным.
И повторим еще раз - даже при учете всех этих факторов выборка может
оказаться нерепрезентативной, если она не является достаточно объемной.
В практике социологических обследований часто используется несколько
усложненный вариант статистической индукции, так как на один и тот же
вопрос может быть получено не два ответа - «да» или «нет», а несколько
различных ответов - Qb Q2,..., Qr- Тогда схема рассуждения по статистической
индукции строится таким образом:
1. Qi(ai) - пос.
- пос.
- пос.
- пос.
т. Qi(am) - пос.
- пос.
- пос.
- пос.
r+\. Qr(aH-i) -пос.
- пос.
- пос.
- пос.
п. Qr(an) -пос.
и+1. {аь а2,-, а„ } = В -пос.
Vje(B(x) :э 5(Qj(jc)) = к,) - полная статистическая индукция
п + 2. \/х(В(х)idS(x)) -пос.
Va;(S(x) =э 5(Qi(*)) = к;) - индуктивное обобщение,
где 1 < i < г, а к; — относительная частота проявления свойства Qi в выборке.
Заключение этого рассуждения имеет следующий смысл: любой предмет из
генеральной совокупности S с вероятностью kj обладает свойством Qi. Ясно, что для
достижения репрезентативности выборка в данном случае должна быть более
объемной, чем в простом варианте статистической индукции.
Практика применения научных форм индукции показывает, что при
соблюдении всех предосторожностей от различных возможных вольных или
невольных ошибок при формирования выборки надежность этих рассуждений может
приближаться к 100%.
2.5. Индукция «к следующему за»
Особой разновидностью индукции является индукция «а- следующему за». Данное
рассуждение может быть определено следующим образом:
Индукция «к следующему за» есть переход от знания о том, что свойство Q
выполнено для и-го предмета, к утверждению, что это свойство будет
выполнено и для п + 1-го предмета.
461

Схема рассуждения в этом случае выглядит таким образом:
1. Q(»i) -пос.
2. Q(a2) - пос.
- пос.
- пос.
- пос.
п. Q(an) - пос.
и+1. Q(a„+1) -пос.
Простым примером подобного рассуждения является известный еще древним
грекам парадокс «Куча», в котором затрагивается серьезнейшая философская проблема о
возникновении нового качества в результате количественных изменений: 1 зерно - не
куча, а потому и 2 зерна - не куча, откуда следует, что и 3 зерна - не куча, но тогда и 4
зерна - не куча, следовательно, и 5 зерен - не куча, а потому и 6 зерен - не куча и т. д. до
бесконечности. Другим аналогичным и столь же древним парадоксом является парадокс
«Лысый», согласно которому потеря человеком 1, 2, 3,..., десятков волос и т. д. на
голове не делает его еще лысым. Продолжая это рассуждение и далее по вышеуказанной
схеме, получаем, что даже в том случае, когда у человека выпадет последний волос и
далее уже нечему будет выпадать, человек все равно не становиться лысым. Нелепость
таких заключений очевидна.
Тем не менее мы часто делаем подобного рода заключения и вероятность
истинности таких заключений достаточна высока. Так, на вопрос «Какая завтра будет погода?»
надо всегда отвечать - «Такая же, как сегодня». Известно, что правильность подобного
прогноза достигает 80%, что является достаточно хорошим результатом, если учесть,
что он был сделан без использования каких-то данных о процессах, протекающих в
атмосфере, без использования мощной компьютерной техники и соответствующего
программного и математического обеспечения.
Рассматриваемый способ рассуждения «к следующему за», конечно же, является
неправильным и носит типично популярный характер. Однако существует возможность
его непарадоксального использования в том случае, когда относительно некоторой
генеральной совокупности S установлена, например, по полной индукции истинность
утверждения Vx(S(jc) => Q(a:)), или доказано утверждение вида Q(an) з Q(a„+i).
Упражнения
1. По какому методу индуктивного рассуждения можно было бы
обосновать утверждение, что все металлы электропроводны!
2. По какому методу индуктивного рассуждения можно получить
заключение, что все вороны черного цвета!
3. Объясните, по какому методу рассуждал и действовал Ходжа Насред-
дин, когда обучал своего осла обходиться без пищи, и почему осел все же умер!
- в первый день осла не кормили, и он был живой,
- во второй день осла не кормили, и он был живой,
- в и-й день осла не кормили, и он был живой,
Следовательно, думал Ходжа, он и в п + 1-й день должен быть живым, но
осел, к его удивлению, почему-то помер.
462

4. В каком из следующих рассуждений заключение является более
правдоподобным и почему!
Все известные в логике способы рассуждения осуществимы на русском,
английском, немецком и итальянском языках. Следовательно, они осуществимы
на любом языке.
Все известные в логике способы рассуждения осуществимы на русском,
арабском, японском и венгерском языках. Следовательно, они осуществимы на
любом языке.
§ 3. Причинная зависимость
3.1. Действующая причина
Одной из разновидностей индукции, так называемой исключающей
индукцией, являются методы установления причинных зависимостей, когда на
основании некоторых эмпирических данных между двумя массовыми событиями
(часто говорят «явлениями») хну устанавливается отношение причинной
(каузальной) связи, состоящей в том, что существование события (явления) х
обусловливает существование события (явления) у. Будем в таком случае
говорить, что «х каузально влечет у», и записывать это утверждение в форме <сс э>
.V», где х называется причиной, у - следствием или действием этой причины, а
знак «Э» - каузальной импликацией. Например, такое событие, как удар камнем
по стеклу, явилось причиной другого события - стекло оказалось разбитым;
приложение напряжения к проводнику явилось причиной возникновения в
проводнике электрического тока; нагревание чайника с водой явилось причиной
того, что вода в чайнике закипела, и т. д.
Существование каузальных связей определяется наличием в природе
различного рода сил, при непосредственном участии которых одни тела
оказывают воздействие на другие. К числу таких воздействующих факторов относятся
различного рода соударения, тепловые, гравитационные, электромагнитные,
химические и другие воздействия. Любое такое воздействие некоторого
фактора на объект а связано с передачей ему энергии или вещества. В ответ на
воздействие подобного рода объект а определенным образом реагирует,
причем спектр ответных реакций может быть очень разнообразным: а может
изменить какие-то свои свойства, изменить свое состояние, превратиться в
новый объект Ь, породить целый ряд новых объектов Ьь Ь2,..., Ь„, вступить в
какие-то отношения с другими объектами и т. д. Графически данную ситуацию
можно изобразить схемой 1:
объект
а
Схема 1
463

На схеме квадратом изображен объект а, стрелкой л: - некоторый
воздействующий на а фактор, а стрелкой у - ответная реакция а на воздействие х.
Из рассмотрения схемы вытекает, что любой фактор, способный
воздействовать на некоторый предмет и вызвать его ответную реакцию, можно понимать
как причину этой реакции. Например, причиной образования льда в чайнике с
водой является воздействие на воду холода, а причина заболевания малярией -
укус человека малярийным комаром. В этих примерах действие холода и укус
комара являются воздействующими факторами. Так понимаемая причина
называется в науке действующей причиной и является наиболее фундаментальной ее
разновидностью. Рассмотрим характерные особенности причинной связи.
3.2. Основные свойства причинной связи
1. Действующая причина всегда обладает активностью по отношению к
следствиям, которые она порождает. Этим каузальная связь отличается от
других видов обусловленности (детерминации). Так, при осуществлении
логического вывода заключение детерминировано наличием посылок и правил вывода,
но сами по себе последние не порождают заключения. Приводит в действие
посылки и правила вывода человек; именно он проявляет активную форму
поведения. Действующая же причина сама по себе творит свои следствия.
2. Активный характер действующей причины осуществляется за счет
потока вещества и энергии. Но, согласно современным физическим
теориям, передача вещества и энергии всегда осуществляется с конечной
скоростью, не превышающей скорости света, а потому действующая причина
должна по времени предшествовать своему следствию. Это
предшествование может быть сколь угодно малой величиной, но оно всегда имеет место.
Так, при ударе по покоящемуся бильярдному шару другим шаром нам
кажется, что покоящийся шар пришел в движение одновременно с
соударением. На самом же деле замедленная съемка показывает, что имеется
определенный временной разрыв между моментом соударения и началом
движения покоящегося шара. Однако при практическом решении вопроса о
наличии каузальной связи между х и у наибольшую трудность
представляют не случаи их практически одновременного проявления, а как раз случаи
временного разрыва, когда х воздействовал на а в некоторый момент t, а у
осуществилось значительно позже: ведь за это время на а могли
подействовать и многие другие факторы, среди которых как раз и может оказаться
подлинная причина появления у.
Итак, причина и действие находятся в отношении временной
последовательности, а потому поиск причины для у всегда следует вести среди
предшествующих наступлению у обстоятельств.
Однако не любая временная последовательность событий является
каузальной. Так, например, за днем всегда наступает ночь, но это не значит, что
день является причиной наступления ночи. Некритическое отношение к
обнаруженной временной последовательности двух событий ведет к типичной для
464

причинных рассуждений ошибке поспешного установления каузальной связи,
известной в логике как ошибке «вслед за этим - значит по причине этого».
Данная ошибка лежит в основе многих суеверий (причиной моего несчастья
явилось то, что перед этим черная кошка перебежала мне дорогу), а также
различного рода антинаучных построений.
3. Из схемы 1 можно усмотреть, что порождение следствия у действующей
причиной х опосредовано объектом а, перерабатывающим фактор х в ответную
реакцию у. Последнее осуществляется за счет работы некоего внутреннего
механизма, присущего а и определяемого структурой объекта. Иногда этот
механизм известен в деталях, иногда же он неизвестен. В последнем случае говорят,
что а представляет собой «черный ящик», т. е. объект со скрытым от нас
механизмом своей работы. Так, задаваясь вопросом, почему данное ружье
выстрелило, можно было бы ответить, что причиной выстрела явилось нажатие на
спусковой крючок. Последнее событие рассматривается как воздействующий на
ружье (объект а) фактор д:. Но чтобы это воздействие породило следствие у
(выстрел), в ружье должна произойти некоторая последовательность событий:
после нажатия на спусковой крючок боевая пружина распрямилась и привела в
движение курок, последний воздействовал на боек, который ударил по капсюлю,
содержащему гремучую ртуть, взрыв которого поджег порох, а уже давление
пороховых газов вытолкнуло из ствола заряд дроби.
Каждое событие, входящее в эту последовательность, называемую цепью
причинения, является, с одной стороны, непосредственным {ближайшим)
следствием предшествующего события, а с другой - непосредственной
{ближайшей) действующей причиной следующего события. Так, ближайшим следствием
нажатия на спусковой крючок было распрямление боевой пружины. Последнее
же в свою очередь было ближайшей действующей причиной движения курка и
т. д. Итак, нажатие на спусковой крючок вовсе не ближайшая причина выстрела,
а является причиной отдаленной, т. е. причиной, действующей через некоторую
последовательность промежуточных каузальных связей.
Любое событие в цепи причинения с не меньшим основанием, чем нажатие
на спусковой крючок, может быть названо действующей причиной выстрела.
Поэтому вопрос о том, что является причиной события у, зависит, во-первых, от
наличия у нас определенных знаний о каузальных связях и, во-вторых, от тех
познавательных задач, которые ставятся. Так, если механизм работы ружья нам
неизвестен, то в ответ на вопрос, почему ружье выстрелило, естественно будет
указать на то предшествующее событие, которое в наиболее наглядной форме
выступает как причина этого явления, - нажатие на спусковой крючок. Но,
установив данную каузальную связь, можно продолжить анализ и задать
следующий вопрос: а почему нажатие на спусковой крючок привело к выстрелу? Тем
самым ставится задача отыскать причину наличия самой причинной связи
между нажатием спускового крючка и выстрелом. Допустим, что ответ был таков:
нажатие на спусковой крючок является причиной движения курка. Но тогда
можно поставить новые два вопроса. С одной стороны, постараться выяснить,
что является причиной наличия каузальной связи между нажатием спускового
465

крючка и движением курка, а с другой - почему движение курка привело к
выстрелу. Ответы на все эти «почему» постепенно раскрывают весь механизм
работы ружья и тем самым дают ответ на вопрос «как» - как работает ружье.
4. Наличие определенной внутренней структуры у объекта а может либо
способствовать появлению следствия у в ответ на воздействие х, либо
воспрепятствовать этому. Так, чтобы осуществить выстрел, ружье должно быть
взведено, боевая пружина и курок должны быть способны работать в
определенном режиме, боек должен быть не сточен, в ружье должен находиться патрон в
не перекошенном состоянии, порох в патроне должен быть сухим и т. д. Без
наличия всех этих условий каузальная связь не осуществится, а потому каждое
из них можно трактовать тоже как причину выстрела. Но эти причины особые,
указывающие на определенную структуру объекта, его форму, а потому они
называются формальными причинами.
Формальная причина сама по себе не вызывает действие, не обладает
активностью, как это свойственно действующей причине, но она является
необходимым условием того, чтобы действующая причина сработала. В самом
деле, активность действующей причины связана с передачей вещества и энергии.
Формальная же причина либо способствует этому процессу, либо препятствует
ему. Если ружье испорчено, скажем стесан боек, то попытка выстрелить из
такого ружья не приведет к успеху, и на вопрос, почему ружье не стреляет,
естественно будет ответить - потому что стесан боек. В данном случае в качестве
причины отсутствия выстрела указывают именно на формальную, а не на
действующую причину. Почему не работает телевизор? Потому что сгорел
трансформатор (перегорел предохранитель, пробит конденсатор и т. д.). Все это -
формальные причины.
Приведенные примеры демонстрируют те каузальные ситуации, когда
наличие формальных причин способствует осуществлению некоторого каузального
процесса переноса энергии и вещества, а отсутствие хотя бы одного из
формальных условий ведет к его нарушению. Но бывают и иного рода случаи, когда
отсутствие некоторого условия способствует осуществлению процесса, а его
наличие препятствует этому. Например, на вопрос, что явилось причиной
самопроизвольного спуска под уклон железнодорожного вагона, можно ответить -
отсутствие тормозных колодок. Или: что является причиной отсутствия падения
подвешенного груза? Наличие нити, на которой этот груз подвешен. Указанные
ситуации можно графически изобразить схемой 2:
X
Z+J
объект
а
+ -
У
Схема 2
На схеме знаками «+» и «-», помещенными в квадрат, обозначающий
объект а, показано, что механизм переработки фактора х в реакцию у может нахо-
466

диться в двух состояниях - способствующем каузальной связи «х D у» (знак
«+») и препятствующем этой связи (знак «-»). Стрелкой г показан еще один,
внешний по отношению к объекту а, фактор, который также либо способствует
каузальной связи, либо блокирует ее.
5. Часто наступление события у происходит только при совместном
действии нескольких причин. В этом случае принято говорить о сложной причине
события у. Например, пусть имеется исправный радиоприемник, т. е. все
формальные условия для прослушивания радиопередачи, связанные с приемником,
наличествуют. Допустим, далее, что мы желаем послушать музыку по
радиоканалу «би-би-си». Причиной осуществления данного события является сложный
фактор, состоящий из осуществления четырех действующих и формальных
причин: радиоприемник включен в сеть, радиоканал «би-би-си» в данное время
работает на определенной частоте, осуществлена настройка приемника на данную
частоту, радиоприемник исправен. Схема этого случая графически может быть
представлена следующим образом:
X
X
z+|
объект
а
+
У
Схема 3
Рассмотрим еще один пример. Допустим, что расследуется причина
автомобильной катастрофы. В ходе расследования выяснилось, что данному
событию предшествовали следующие обстоятельства: машина двигалась с
большой скоростью, перед этим прошел дождь и асфальт был мокрым,
погода стояла пасмурная и была плохая видимость, тормозное устройство
машины было неисправно, шофер находился в утомленном состоянии и его
реакции были замедленны. Можно ли из указанных обстоятельств вычленить
одно и сказать, что именно это обстоятельство и никакое иное явилось
причиной автомобильной катастрофы? Вряд ли! В данном случае следует
говорить о совокупности, сложной причине события, когда каждое из
перечисленных обстоятельств внесло свою лепту в наступление дорожного
происшествия. Здесь и формальные и действующие причины в одинаковой мере
участвовали в наступлении события.
6. Принято различать два вида каузальной связи между причиной х и
следствием у. С одной стороны, каузальную связь, носящую жесткий,
однозначный характер, когда всякий раз при наличии формальных условий и
наличии причины л: с необходимостью возникает (порождается) следствие у. В
этом случае говорят, что причинная связь между х и у носит динамический
характер. С другой стороны, обусловленность у причиной х может быть и
не однозначно жесткой, а лишь статистически вероятностной, т. е. при
наличии х следствие у осуществляется лишь с определенной степенью
вероятности. В этом случае говорят, что каузальная связь между х и у носит
статистический характер.
467

3.3. Понятия причинности
Различают несколько трактовок понятия причины. Иногда о событии х
говорят как о причине у, если осуществление х является достаточным условием
последующего осуществления у. Это означает: всякий раз, т. е. в какой бы
пространственно-временной точке ни осуществилось л:, если в наличии имеются все
формальные условия, то имеется некоторый естественный пространственно-
временной интервал, определяемый скоростью развития процесса, такой, что в
рамках этого интервала осуществится и событие у. Если посредством буквы t
обозначить пространственно-временную точку, посредством Т -
пространственно-временной интервал, через jct выразить условие наступления события х в
точке t, а через ут - условие наступления события у в интервале Т, то сказанное
можно записать выражением Vt3T(jct z> ут). Упрощая это выражение, можно
ввести следующее понимание такой причинности:
Dfi: х Ш> у =Df Всякий раз (л: ^эу).
Другое понятие причины связано с его пониманием как необходимого
условия для наступления следствия. Словесная формулировка такого понимания
звучит следующим образом: всякий раз, т. е. какой бы ни была пространственно-
временая точка, если событие х не осуществилось в этой точке, то при наличии
всех формальных условий имеется некоторый естественный пространственно-
временной интервал, определяемый скоростью развития процесса, такой, что в
рамках этого интервала событие у не осуществится. Иначе говоря,
справедливым будет утверждение: Vt3T(-i*t з -iJt)- При упрощении этого выражения
данное понимание причины можно записать так:
Df2: х з) у =D{ Всякий раз (-ос з —<у).
Третье понимание причины трактует ее как такое событие, которое
удовлетворяет одновременно как условию достаточности, так и условию
необходимости: Vt3T(jct =Ут)- Это позволяет сформулировать следующее определение:
Df3: х Ш> у =Df Всякий раз (х =у).
Наконец, часто причину понимают как событие, модификация (отсутствие
модификации) которого влечет за собой модификацию (отсутствие
модификации) следствия. Такое понимание предполагает, с одной стороны, что
модификация причины - достаточное условие модификации следствия, а с другой -
отсутствие модификации причины будет влечь за собой отсутствие
модификации следствия. Определение в этом случае будет таким:
Df3: х Ш> у =Df Всякий раз (х* =у*),
где х* и у* - это модифицированные хиу (их усиление или ослабление).
3.4. Процедурные аспекты установления каузальной связи
При поиске причинных зависимостей можно поступать трояким образом:
либо у нас нет разумных гипотез о том, что явилось причиной наступления со-
468

бытия у, и мы ищем его причину в предшествующих обстоятельствах; либо
предполагаем, что определенные обстоятельства являются возможными
причинами наступления у, и проверяем, какое из этих обстоятельств есть подлинная
причина; либо, зная х и у, пытаемся выяснить, связаны ли они каузально.
В первом случае при отсутствии разумных гипотез о том, что явилось
причиной наступления события, эмпирическое исследование ведется в
естественных, природных условиях ее проявления. Именно так осуществляют зачастую
свои исследования натуралисты - ботаники, зоологи, геологи, астрономы и др.
Методом исследования в этом случае является простое наблюдение за
поведением объекта и протоколирование наблюдаемых последовательностей событий. В
данной ситуации, пытаясь обнаружить причину у, мы вынуждены
просматривать различные обстоятельства, предшествующие наступлению у. Но число
факторов xh хг,..., влияющих на объект а, когда он находится в естественных
условиях, очень велико, и среди них мы должны выделить тот фактор дсь который
породил у.
В тех же случаях, когда у нас имеется предположение о некотором л: как о
причине наступления у и мы можем его по своему усмотрению воспроизводить,
применяется более сложная форма исследования, называемая экспериментом
{опытом). При проведении эксперимента исследователь активно вмешивается в
ход процесса, старается осуществить его в различных условиях. Главное
достоинство эксперимента состоит в том, что здесь возможно контролировать каждый
фактор, влияющий на поведение объекта а. Для этого эксперименты часто
осуществляют в специально созданных искусственных условиях (на специальных
установках), когда объект а изолируется от различных побочных воздействий.
Так, И. П. Павлов, чтобы исключить побочные воздействия, осуществлял свои
опыты по выработке у животных условных рефлексов в специально
построенном здании, которое было оборудовано звуконепроницаемыми комнатами.
Наконец, в третьем случае мы осуществляем так называемую корреляцию
взаимосвязи д: и у. Как это конкретно происходит, будет рассмотрено далее.
Почти во всех случаях установления причинных зависимостей всегда
остается одно сомнение относительно справедливости получаемого заключения. Оно
связано с допущением наличия некоторых скрытых параметров, которые по
каким-то причинам выпали из поля нашего зрения, присутствуют во всех
наблюдаемых случаях и являются подлинной причиной наступления интересующего
нас события. Наличие скрытых параметров всегда обусловлено некоторыми
особенностями проведения наблюдения или эксперимента, в частности
особенностями экспериментальных установок, используемых в опыте, которые
систематически влияют на получаемые результаты. Чтобы ликвидировать влияние
такой систематической ошибки, любой эксперимент или наблюдение проверяют
на разных экспериментальных установках или осуществляют в каких-то иных
условиях внешней среды. Это гарантирует, что мы не столкнемся с одними и
теми же скрытыми параметрами, а потому, даже если такие параметры
присутствуют, они должны оказывать различные действия. Получая теперь одни и те
469

же результаты в разных условиях проведения наблюдений или экспериментов,
мы можем считать себя застрахованными от влияния скрытых параметров.
Тем не менее всегда бывает желательно каким-то способом удостовериться
в правильности тех заключений о причинах наступления события у, которые мы
делаем, применяя методы установления причинных зависимостей. Это можно
сделать как экспериментально, так и теоретически. Что здесь имеется в виду,
будет объяснено ниже.
§ 4. Методы установления причинных связей
4.1. Основные принципы исключающей индукции
Приступим к рассмотрению исключающей индукции - одному из важнейших
методов эмпирического научного познания.
Под исключающей индукцией понимается умозаключение,
посредством которого устанавливается причина наступления события q
путем исключения из предшествующих q обстоятельств тех из них,
которые не могут быть причиной наступления события q.
При применении исключающей индукции (часто неявно) используют
несколько основополагающих принципов элиминации предшествующих
обстоятельств, в силу чего данная разновидность индукции и называется
исключающей.
Действительно, мы должны, как об этом говорилось выше, искать причину
наступления некоторого события q среди предшествующих этому событию
обстоятельств. Но таких обстоятельств очень много, а фактически их число
бесконечно. Поэтому мы должны иметь некоторые способы (методы), которые
позволили бы нам элиминировать те обстоятельства из числа рассматриваемых,
которые заведомо не могут считаться причиной наступления интересующего нас
события q. Перечислим их.
(1)Если в нашем распоряжении имеются сведения, что при отсутствии
события А событие q все же осуществилось, то считается, что
событие А не является причиной события q.
(2) Если в нашем распоряжении имеются полученные в опыте сведения,
что всегда при наступлении А событие q не происходит, то можно
предположить, что А - не причина q.
(3) Если в нашем распоряжении имеются полученные в опыте сведения,
что при отсутствии модификации фактора А событие q
модифицируется, то считается, что событие А не является причиной события q.
(4) Если всякий раз в нашем распоряжении имеются полученные в
опыте сведения, что при модификации фактора А событие q не
модифицируется, то считается, что событие А не является причиной
события q.
470

4.2. Метод сходства
Различают несколько методов установления причинных зависимостей.
Одним из них является метод сходства. В соответствии с этим методом для
отыскания причины некоторого явления обращаются к предшествующим событиям
(обстоятельствам, факторам) и пытаются среди них обнаружить то общее, что
всегда присутствует перед наступлением интересующего нас явления.
Отыскание этого общего фактора осуществляется за счет элиминации тех
предшествующих обстоятельств, которые заведомо не являются причинами наступления
интересующего нас события.
Допустим, что в некотором населенном пункте N произошло острое
пищевое отравление нескольких человек. Желательно предотвратить дальнейшее
отравление людей, а потому необходимо установить, что явилось причиной
этого события, найти его источник. Для этого поступают следующим образом:
пытаются установить, какие продукты употребляли отравившиеся люди. Если
среди продуктов найдется только один, употреблявшийся каждым из числа
отравившихся, то прием в пищу именно данного продукта и считается причиной
явления. Обозначив большими латинскими буквами А, В, С,... различные
пищевые продукты, а через q - факт отравления, можно построить, например,
такую таблицу:
люди
Иванов
Петров
Сидоров
предшествующие обстоятельства
А
+
+
+
В
+
-
-
С
+
+
-
D
-
+
-
К
-
-
+
L
-
-
+
М
-
-
+
наблюдаемое явление
ч
q
ч
Таблица показывает, что, согласно первому принципу элиминации
обстоятельств, которые претендуют на признание их в качестве причины явления q, мы
должны отказать в этом обстоятельствам В, С, D, К, L и М. Единственным не-
исключенным и сходным обстоятельством во всех трех случаях отравления
является употребление заболевшими продукта А. Отсюда с определенной долей
проблематичности делается вывод, что причиной отравления стало
употребление в пищу продукта А.
Каждый раз при установлении причинной связи большую роль играет
предварительное знание или предположение о возможной области поиска
причины исследуемого события. Так, в случае с отравлением мы заранее
предположили (а может быть, и знали), что причиной заболевания явилось именно
пищевое отравление, а не действие каких-то иных факторов. Это направило
наше внимание на выявление тех продуктов, которые употреблялись больными
в пищу. Тем самым был существенно сужен поиск возможных факторов
влияния. Если бы этого предположения не было, то нам пришлось бы
анализировать и другие возможные причины, скажем воздействие каких-то физических
или химических факторов.
471

Обозначим через A, Blv.., Вт, Сь.-, Ск различные факторы, предшествующие
исследуемому явлению (возможные его причины). Тогда рассуждение по методу
сходства можно в общем случае представить в виде следующей логической схемы:
1. A, Bjj, Си q - наблюдаемый факт
2. A, Bj2, С12 q - наблюдаемый факт
q - наблюдаемый факт
q - наблюдаемый факт
q - наблюдаемый факт
п. A, Bin, Cin q - наблюдаемый факт
Во всех данных случаях (А з q) - описание фактов
Всякий раз (А :з q) - индуктивное обобщение
дз)а - по Dfi причины,
где 1 < ib i2,-, in < m и 1 < 1ь 12,..., 1„ < k.
На схеме цифрами обозначены результаты актов конкретных наблюдений.
Исходя из них, вначале строится чисто фактуальное обобщение
рассмотренных случаев, т. е. описывается, что имело место в конкретных актах
наблюдения. Полученный результат гипотетически распространяется (обобщается) на
любое наблюдение, которое когда-либо может быть осуществлено и будет
сходно с рассмотренными ситуациями по наличию фактора А. На
заключительной стадии, используя определение причины как достаточного условия,
окончательно заключают о том, что именно А - причина события q.
Получаемые заключения являются лишь проблематическими, а не
достоверными, что обусловлено рядом обстоятельств. Прежде всего это касается
числа фактуальных посылок: всегда бывает желательно, если это возможно,
расширить круг наблюдений, что повышает надежность заключения. Но если даже
число фактуальных посылок существенно увеличено, остается все же сомнение
относительно справедливости заключения, которое связано с допущением
наличия некоторого скрытого параметра (например, фактора F), который выпал из
поля нашего зрения, хотя он-то и является подлинной причиной наступления
события q. Как следует поступать в этом случае, было уже сказано выше.
В правильности сделанного по методу сходства заключения в нашем
примера о пищевом отравлении можно удостовериться, например, так: надо выделить
фактор А и осуществить прямую эмпирическую проверку, может ли он вызвать
явление q. Для этого нужно взять какое-то количество пищевого продукта А для
химико-биологического анализа. Если анализ подтвердит
недоброкачественность продукта, например зараженность его каким-либо болезнетворным
микробом, то тем самым напрямую будет обоснована верность заключения.
4.3. Метод различия
Метод сходства применяется главным образом как метод наблюдения, а не
эксперимента. Неудобство сочетания этого метода с экспериментом, наглядно
демонстрируемое самой схемой данного индуктивного рассуждения,
определяется тем обстоятельством, что в этом случае нам пришлось бы, фиксируя один
472

фактор, варьировать присутствие или отсутствие большого числа других
факторов. Но одно дело, когда такое варьирование происходит в естественных
условиях и осуществляется самой природой, а на нашу долю остается лишь
констатировать наличие этих вариаций актами наблюдения, и совершенно другое -
когда такие вариации должны быть произведены самим экспериментатором.
Удобнее бывает поступить иначе: зафиксировать некоторое множество
обстоятельств так, чтобы они не менялись, и начать варьировать («включать» или
«выключать») одно вполне определенное обстоятельство. Такой подход приводит
нас к более сильному методу установления причинных зависимостей - методу
различия. Его логическая схема выглядит следующим образом:
1. А.В!,...,^
.
.
.
к. A, Blv.., Bm
k+l. ^A,Bb...,Bm
.
.
•
п. -А, Вь..., Bm
q
q
q
q
q
^q
^q
-4
-iq
-rq
Во всех данных случаях (-
Всякий раз (-А г>
Aliq
-q)
- наблюдаемый факт
- наблюдаемый факт
- наблюдаемый факт
- наблюдаемый факт
- наблюдаемый факт
- наблюдаемый факт
- наблюдаемый факт
- наблюдаемый факт
- наблюдаемый факт
- наблюдаемый факт
-А => —iq) - описание фактов
- индуктивное обобщение
- Df2 причины.
Метод различия - экспериментальный метод. Его применение состоит в
осуществлении экспериментальных ситуаций двух типов, из которых в одной
явление q исследуется в присутствии некоторого предшествующего
обстоятельства А, а в другой - это обстоятельство изымается из числа воздействующих
факторов при сохранении всех других. Таким образом, два типа эксперимента
различаются единственным обстоятельством, а исключение предшествующих
обстоятельств Вь..., Вт осуществляется по принципу (2) элиминации.
Именно этим методом было установлено, что причиной несовпадения
скорости падения тел с различным весом является наличие воздуха. Для этого
проводились следующие эксперименты. В стеклянный сосуд, соединенный с
воздушным насосом, помещают два предмета различного веса, например стальной
шарик и легкое птичье перышко, и проводят первое исследование в присутствии
воздуха: сосуд переворачивают и наблюдают, что стальной шарик под
действием силы тяжести падает быстрее, чем легкое перышко. Затем из сосуда
выкачивают воздух и опыт повторяют. Оказывается, без присутствия воздуха и шарик,
и перышко падают с одинаковой скоростью. Отсюда по методу различия
заключают, что сопротивление воздуха ведет к несовпадению скоростей падения тел.
Метод различия - это очень мощный метод. Однако заключение, полученное
по методу различия, является в общем случае проблематичным, так как и с ним
тоже связано сомнение относительно наличия скрытых параметров. Исключение
473

этого сомнения осуществляется теми же способами, что и в случае метода
сходства. Но методу различия присуща и еще одна специфическая трудность. Так
как обстоятельства Вь..., Вт сохраняются во всех экспериментах, то всегда
остается сомнение, не является ли причиной наступления q в эксперименте не
обстоятельство А, а некоторое сложное обстоятельство, например - А & Вь Чтобы
элиминировать это допущение, требуется осуществить дальнейшее
исследование причинной зависимости. Так, если удастся построить эксперимент,
результат которого будет иметь вид:
А, —iBb В2,..., Bm - q,
где —iBi означает, что обстоятельство Bi отсутствует, то это сразу же по
принципу (1) элиминации предшествующих обстоятельств исключит предположение о
совместном действии А и В! в качестве причины q, ибо событие q
осуществляется и без участия Bj.
4.4. Совместный метод сходства и различия
Еще одним методом установления причинных зависимостей является
совместный метод сходства и различия, применяемый в случаях, когда у нас
отсутствуют соображения о возможной причине наступления события, а
разнообразие факторов, претендующих на эту роль, чрезвычайно велико.
Пусть, как и ранее, А, Вь..., Bm, Ci,..., Ск будут обстоятельствами,
претендующими на роль возможной причины наступления некоторого события. Тогда
схему рассуждения по этому методу можно представить в следующей форме:
1. A,BibC„
.
.
.
т. A, Bim, C,m
т+\. -A, BtoH, Сыт
.
•
п. -A, Bta, С,
1. А,Вц, Си
•
•
•
т. A, Bim, О™
Во всех случаях (А
Во всех ра
Всякий раз (А =
q
q
q
q
q
=>q)
ссмотр
q)
m+ 1.
•
•
.
n.
q - наблюдаемый факт
q - наблюдаемый факт
q - наблюдаемый факт
q - наблюдаемый факт
q - наблюдаемый факт
—>q - наблюдаемый факт
—,q - наблюдаемый факт
—,q - наблюдаемый факт
—,q - наблюдаемый факт
—,q - наблюдаемый факт
-A, Bim+b Clm+i -nq -разделение фактов
-,q - разделение фактов
-,q - разделение фактов
-!q - разделение фактов
-A, Bin, Си, -.q - разделение фактов
Во всех случаях (-A z> -.q) - описание фактов
енных
-инд
случаях (A = q) -определение =
уктивное обобщение
AS)q -Df3 причины.
474

При рассмотрении данной схемы может создаться превратное
представление о ее излишней сложности. Казалось бы, вывод о том, что обстоятельство А
является причиной q, можно получить из первых т опытных данных по методу
сходства. Это было бы так, если бы у нас имелось заранее предположение, что
именно А есть причина q. Тогда данное предположение можно было бы
проверять, строя наблюдения таким образом, чтобы фактор А все время
присутствовал, а остальные обстоятельства изменялись. Однако когда заранее никаких
предположений о возможной причине q нет, исследователь вынужден
накапливать большой экспериментальный материал с двумя возможными исходами -
присутствия q и отсутствия его. Далее весь этот материал разбивается (в чем и
состоит использование метода различия) по принципу присутствия и отсутствия
q на две группы - на наблюдения, когда событие q присутствует, и наблюдения,
когда это событие отсутствует, после чего становится естественным
предположить, что осуществление q в первой группе опытов и неосуществление во
второй связано с каким-то одним обстоятельством, которое присутствует во всех
опытах первой группы и отсутствует во всех опытах второй группы. Если такое
обстоятельство действительно обнаруживается (в нашем случае им оказалось
обстоятельство А), то оно и объявляется причиной наступления q.
Примером применения этого метода является исследование выпадения росы
на некоторых предметах. Вначале удалось отделить предметы, на которых
выпадала роса, от всех остальных. А затем удалось установить, что общим
обстоятельством, которое было присуще всем первым предметам и отсутствовало у
всех остальных, являлась быстрота скорости охлаждения их поверхности.
4.5. Метод сопутствующих изменений
Использование методов различия и совместного сходства и различия
связано с одним недостатком. Допустим, мы хотим узнать, почему различные
маятники имеют одинаковый период колебаний. Можно предположить, что
причиной этого могли бы быть такие факторы: - химический состав вещества
маятников, его плотность и твердость, сила тяжести, вес маятников и их длина и т. п.
Однако все эти факторы нельзя полностью элиминировать, их можно только
модифицировать, т. е. менять значения соответствующих величин. В этом случае
можно воспользоваться особым методом установления причинных зависимостей -
методом сопутствующих изменений. Схема рассуждений выглядит так:
1. А', Вь..., Bm q' - наблюдаемый факт
2. A", Bi,..., Bm q" - наблюдаемый факт
- наблюдаемый факт
- наблюдаемый факт
- наблюдаемый факт
п. А" ', Bt,..., Bm q" ' - наблюдаемый факт
Во всех данных случаях (А* = q*) - описание фактов
Всякий раз (A* s q*) - индуктивное обобщение
д = п - Df4 причины.
475

Заключение, что А причина q, делается здесь на основе наблюдения
одновременной модификации как обстоятельства А, так и следствия q по их
интенсивности (степени), что как раз и показывается знаком «штрих». Например,
выкачивая из-под колокола, в котором находится звонок, воздух и оставляя все
остальные параметры неизменными, можно наблюдать постепенное ослабление
звука по мере выкачивания воздуха; увеличивая сопротивление в электрической
цепи, можно одновременно наблюдать ослабление силы тока; перемещая
барометр на разные высоты, можно наблюдать изменение высоты ртутного столба,
модифицируя длину маятника, можно установить, что именно этот фактор
является причиной изменения периода его колебания, и т. д.
Получившееся заключение о причине наступления события q можно в
данном случае попытаться обосновать и чисто теоретическим способом. Для
пояснения того, что здесь имеется в виду, обратимся к последнему нашему примеру
с маятником. Основываясь на классической механике Ньютона, можно чисто
теоретически рассмотреть колебания гармонического маятника и установить,
что период его колебания Т определяется величиной:
откуда вытекает, что при равенстве длин двух маятников их периоды колебаний
должны тоже совпадать.
Важность рассматриваемого метода определяется несколькими
существенными обстоятельствами.
1. Большое число физических, химических, биологических, социальных и
иного рода характеристик предметов допускают разнообразную модификацию,
являясь тем самым так называемыми интенсивными величинами, т. е. они
обладают различной по величине степенью своего проявления. Действительно,
такие, скажем, характеристики, как скорость, давление, температура, вязкость, вес,
электропроводность, объем тела, частота колебаний и т. д., - это все величины,
имеющие различные степени своего проявления, а, следовательно, их можно
различным образом модифицировать по этим степеням.
2. Методом сопутствующих изменений можно проверить не только какое-то
вполне определенное одно обстоятельство относительно его влияния на
наступление q, но можно проверить и влияние остальных факторов, участвующих в
эксперименте. Последнее особенно важно в том случае, когда в принципе нельзя
исключить некоторое обстоятельство из числа воздействующих факторов, что
создает сомнение относительно действия сложной причины, вызывающей q.
Так, в опыте с периодом колебаний маятника нельзя устранить вес маятника.
Однако, применяя метод сопутствующих изменений по фактору веса, т. е.
оставляя все другие параметры неизменными и модифицируя лишь вес маятника,
можно показать, что такая модификация не оказывает никакого влияния на
период колебаний, а тем самым не входит составной частью в причину данного
явления. С другой стороны, попытка проверить этим же методом, не влияет ли
на величину периода колебаний другой неустранимый фактор - сила тяжести,
476

даст положительный результат. Последнее подтверждается и чисто
теоретическим рассмотрением вопроса, ибо в формулу, определяющую период колебаний,
величина веса маятника не входит, а величина силы тяжести входит.
3. Все рассмотренные ранее методы позволяли лишь констатировать
наличие причинной связи, т. е. позволяли сказать: «да, причинная связь имеется».
Метод же сопутствующих изменений дополнительно к этому дает возможность
выявить и математическую закономерность, существующую между величиной
параметра А и величиной q. Откладывая, например, по оси ординат величину А,
а по оси абсцисс величину q, можно построить график изменения q в
зависимости от изменения А и найти то аналитическое выражение, которое будет
соответствовать этому графику. Последнее дает нам возможность перейти к чисто
математическому описанию причинных зависимостей, т. е. перейти к
теоретическому рассмотрению исследуемого вопроса.
4. Метод сопутствующих изменений делает возможным определить и так
называемые граничные условия установленной по этому методу казуальной
закономерности, т. е. позволяет эмпирически определить, при каких условиях
данная закономерность начинает и при каких условиях она перестает
действовать. Определение граничных условий является чрезвычайно важным и
существенным моментом в познании природы.
5. Методы установления причинных зависимостей, как говорилось выше, не
дают гарантию однозначного решения вопроса о причине q, так как заключения
по этим методам оказываются проблематическими в общем случае. Метод
сопутствующих изменений тоже страдает некой степенью неопределенности, но
он же обладает и одним чрезвычайно важным достоинством. Действительно,
коль скоро модификация А причинно связана с модификацией q, то эта связь
(какой бы сложной она ни была) может быть в пределах, не выходящих за
граничные условия, быть либо прямо пропорциональной, либо обратно
пропорциональной. В таком случае можно построить два графика: изменения величины А
и изменения величины q по времени (см. Рис.1), а затем их совместить.
В результате должно получиться нечто подобное тому, что изображено на
рис. 1. Вероятность чисто случайного совпадения этих двух графиков столь
ничтожно мала, что вероятность наличия причинной связи между А и q становится
почти достоверностью, т. е. близкой к 100%.
А
i t
ч
t+M
Совмещенный график изменения А и q по времени t
при прямой пропорциональной зависимости
Рис. 1
477

Аналогично можно поступить и в случае применения метода различия, если
рассматривать наличие и отсутствие причины А и следствия q во времени.
Результатом, если между А и q имеется причинная связь, должен явиться,
например, такой совмещенный график (см. рис. 2).
А
1 ппп П ПП Ц О ПИ „Л1
Рис.2
Совпадение этих двух графиков тоже не может быть случайным, а потому А
с высокой степенью вероятности должно быть признано причиной q. Сама
возможность рассмотрения метода различия подобным образом говорит о том, что
фактически мы имеем здесь дело с частным случаем метода сопутствующих
изменений, а именно с тем случаем, когда фактор А дихотомически
модифицируется по его наличию или отсутствию.
4.6. Статистические причинные зависимости
Во всех рассмотренных до сих пор случаях причинные зависимости носили
жесткий однозначный характер, были динамическими. Однако они могут носить
и не столь жесткий характер. Например, некоторое событие q может
осуществляться при наступлении А лишь в определенном числе случаев, т. е. связь между
q и А осуществляется лишь вероятностным образом.
Допустим, при наличии А с необходимостью осуществляется в точности
одно из событий qi,-.-, qr- Это означает, что А жестко (динамически)
детерминирует наступление сложного события qi v...v qr, но лишь случайным образом
(статистически) детерминирует наступление именно события qj. На первый
взгляд логическая схема рассуждения, применяемого в этом случае, имеет вид:
1. A qn - наблюдаемый факт
2. A qi2 — наблюдаемый факт
- наблюдаемый факт
- наблюдаемый факт
- наблюдаемый факт
п. A qin - наблюдаемый факт
A^S(qO = ki,
где 1 < ib..., in < г, a 5(q0 - относительная частота наступления явления qs под
действием предшествующего обстоятельства А.
Например, бросание монеты (А) жестко детерминирует выпадение или
«орла» (qx), или «решетки» (q2), но бросание монеты лишь случайным образом
детерминирует выпадение при данном бросании именно «решетки». Прохождение
478

фотона сквозь узкие щели жестко детерминирует его попадание в некоторую
точку экрана, но это событие лишь случайным образом детерминирует, в какую
именно точку экрана он попадет. Вероятностный характер этого процесса
выражается в том, что при прохождении большого количества фотонов через узкие
щели на экране появится интерференционная картинка в виде светлых и темных
колец. В квантовой механике имеется специальная ^-функция, позволяющая
теоретически вычислить вероятность, с которой произвольный фотон в данном
опыте отклонится на определенный угол от прямолинейного движения.
Однако здесь есть один сомнительный момент: схема нарушает один из
основополагающих принципов элиминации - принцип (3), согласно которому,
отсутствие модификации по фактору А при наличии модификации у q означает,
что А не является причиной q. Иначе получится, что нечто неизменное (фактор
А) является причиной изменяющегося (q). Кроме того, в схеме среди
обстоятельств, претендующих на роль причины наступления каждого qi, указано лишь
обстоятельство А. Тем самым предполагается, что мы каким-то образом уже
заранее установили, помимо данного рассуждения, причину явления q{. На самом
же деле в реальном эмпирическом исследовании имеется большое число других
обстоятельств, которые тоже могут каким-то образом влиять на наступление qj.
Выход из данной ситуации состоит в следующем. Во-первых, можно
полагать, что другие факторы В и С, содержащиеся в опыте, действительно
неизменны в каждом из экспериментов. В то же время само обстоятельство А является
сложным событием. Например, подбрасывание монеты связано со следующими
характеристиками: высотой, с которой ведется подбрасывание, силой броска,
скоростью закручивания монеты и т. д. Таким образом, фактор А состоит из
факторов D, К, S, которые меняют свое значение в экспериментах. Далее можно
предположить, что возможные значения интенсивностей последних величин
распадаются ровно на два класса: на класс значений D', К', S', при которых
выпадает «орел», - qb и на класс значений D", К", S", при которых выпадает
«решетка», - q2. Обозначим первый класс как бросок с интенсивностью А', а второй -
как бросок с интенсивностью А". Тогда рассуждение о каузальной связи примет
вид метода сопутствующих изменений:
1.
•
•
т.
т+ 1.
•
.
п.
А', В, С
А', В, С
А", В, С
А", В, С
А*з,5(Ч0 =
qi
qi
qi
qi
qi
q*
q2
qi
q2
q2
= k„
479
наблюдаемый факт
наблюдаемый факт
наблюдаемый факт
наблюдаемый факт
наблюдаемый факт
наблюдаемый факт
наблюдаемый факт
наблюдаемый факт
наблюдаемый факт
наблюдаемый факт

где i = 1 или 2. В этом случае причиной выпадения «орла» и «решетки»
действительно является бросание монеты, но сам этот фактор оказывается сложной
интенсивной величиной.
Во-вторых, можно полагать, что фактор А является неизменным, но кроме
фактора А имеется и другое неизвестное нам сопутствующее обстоятельство
В, которое изменяется. Тогда схема установления причинной зависимости
будет строиться по методу, напоминающему метод сходства, но со сложной
причиной:
1. А, [Вц] qu - наблюдаемый факт
2. A, [Bi2] qa - наблюдаемый факт
- наблюдаемый факт
- наблюдаемый факт
- наблюдаемый факт
п. A, [Bin] qin - наблюдаемый факт
A&[Bir]^5(qi) = ki,
где выражение А & [Bir] означает, что в качестве возможной причины
рассматривается совместное действие неизменного фактора А с каким-либо
изменяющимся, но неизвестным нам фактором В. Так как наличие фактора В
остается нам неизвестным, то он выступает в качестве так называемого
скрытого параметра.
Независимо от того, какое из предложенных уточнений принимается,
согласование исходной схемы с фундаментальным понятием причинности
требует признания наличия некоторых скрытых параметров, которые меняются
от эксперимента к эксперименту.
Тем не менее ряд физиков явно или неявно склонны признать действие в
рамках квантовой механики исходной формы статистического рассуждения. При
этом часто прямо говорится об отказе от принципа детерминизма и признании
концепции индетерминизма, т. е. признания возможности нарушения принципа
причинности. Различие же в поведение электрона после прохождения им щелей
объясняется тем, что здесь мы имеем дело якобы с подлинно случайным
событием, т. е. таким спектром различий в поведении объекта, которые являются
беспричинными. Однако концепция индетерминизма является весьма
подозрительной с философской и логической точек зрения. Поэтому многие физики при
интерпретации квантовой механики тем или иным способом вводят скрытые
параметры. В качестве таковых указывают на различные обстоятельства. Это
может быть концепция размытости квантовомеханического объекта, т. е.
концепция его нахождения сразу в нескольких состояниях: в опыте всегда происходит
взаимодействие с объектом, находящимся в определенном состоянии, но нам
остается неизвестным с каким именно; это может быть трудно учитываемое
влияние прибора на результаты эксперимента или даже влияние всей Вселенной на
результаты опыта.
480

4.7. Метод корреляции
1.
2.
3.
А, В, С,
А, В, С,
-А, В, С,
q
-■ч
^ч
Более оправданным является другое понимание статистической
причинной зависимости. Выше говорилось, что действующая причина А не всегда
может проявить свою активность и породить следствие q. Часто другие
внутренние или внешние факторы могут накладываться на каузальное
взаимодействие и препятствовать действию причины. В ситуациях же, когда эти
препятствующие факторы исчезают, А проявляет свое подлинное действие,
порождая q. В этом случае мы не ищем причину наступления события q, а зная
заранее обстоятельство А и следствие q, пытаемся установить, существует ли
между ними каузальная связь или нет. Установление наличия причинной
зависимости осуществляется по следующей схеме метода различия и
называется методом корреляции А и q:
- наблюдаемый факт
- наблюдаемый факт
- наблюдаемый факт
- наблюдаемый факт
- наблюдаемый факт
- наблюдаемый факт
п. А, В, С, q - наблюдаемый факт
п + 1. -,А, В, С q отсутствует такой опыт
5(q/A)>kr>AD q
где 5(q/A) - относительная частота наступления q при условии наступления
события А (при подсчете этой частоты следует учитывать только результаты
экспериментов, выражаемых посылками вида 1 и 2), а к - величина нашего доверия
к наличию каузальной связи между А и q.
Применение данного рассуждения основано на следующих соображениях.
Если между А и q имеется каузальная связь, то ее можно было бы попытаться
установить методом различия. Об этом как раз и говорят посылки 1 и 3, в
которых фиксируются результаты экспериментов, получаемые в обычных условиях
по этому методу. Однако посылка 2 показывает, что стандартные условия
метода различия нарушены влиянием какого-то неизвестного нам фактора. Тогда для
подсчета степени связи между А и q надо учесть количество экспериментов вида
1 по отношению к общему числу экспериментов вида 1 и 2.
Чрезвычайно существенной в этой ситуации является п + 1 -я посылка,
которая гласит, что нам ни разу не встретился случай, когда при отсутствии А
наступило событие q. Действительно, если ко всем опытным данным присоединяются
еще и случаи вида —А - q, то это прямо означало бы, что фактор А и событие q
независимы друг от друга. И тогда у нас не было бы оснований полагать, что
осуществление q обусловлено наличием А. Именно наличие п + 1-й посылки и
говорит, что между А и q, видимо, существует каузальная связь в смысле
определения Df2, т. е. А является необходимым условием для наступления q - без А
событие q не наступает.
16 Введение в логику
481

Отметим, что для получения достоверного заключения с использованием
данного рассуждения чрезвычайно важно накопление статистического
материала. При этом, чем слабее связь между А и q, тем большее количество
экспериментов надо проводить. Целью же накопления статистического материала
является как раз обоснование п + 1-й посылки.
Данный метод часто пытаются применить для экспериментального
оправдания такого псевдоявления, как телепатия - «передача» мыслей на расстояние.
Однако в опытах по телепатии всегда присутствуют эксперименты вида п + 1 -й
посылки, а это означает, что акт «передачи мысли» (событие А) и так
называемый «прием мысли» (событие q) независимы друг от друга. Кроме того, для
получения действительно хорошо обоснованного заключения требуется
постоянство результатов в сериях опытов, что применительно к экспериментам по
телепатии не выполняется, так как в значительном их числе результат бывает
отрицательным.
Интерес представляет и другой достаточно часто использующийся в науке
прием установления корреляции между некоторым обстоятельством А и
следствием q. Обстоятельство А в этом случае не является причиной q, но наличие А
так или иначе (позитивно или негативно) модифицирует q. Например, внесение
в почву удобрений не является причиной роста растения, но его подкормка
удобрениями может увеличить урожайность. Применение в автомобилях ремней
безопасности не устраняет причин аварий, но оно может уменьшить число
аварий с тяжелыми последствиями. Итак, фактор А, не будучи причиной q, может,
тем не менее, модифицировать его величину и тем самым является причиной
модификации этой величины.
Чтобы установить такого рода корреляцию, поступают следующим образом:
проводят, по крайней мере, два эксперимента. В одном из них фактор А
отсутствует (этот эксперимент называется контрольным), в других же фактор А
присутствует. Рассуждение в этом случае выглядит следующим образом:
1.
.
.
.
т.
т+ 1.
.
.
.
п.
-А, В, С
.
.
.
-А, В, С
А, В, С
.
.
,
А, В, С
q'
q'
q'
q'
q'
q"
q"
q"
q"
q"
- наблюдаемый факт
- наблюдаемый факт
- наблюдаемый факт
- наблюдаемый факт
- наблюдаемый факт
- наблюдаемый факт
- наблюдаемый факт
- наблюдаемый факт
- наблюдаемый факт
- наблюдаемый факт
A§>(|q"-qD*0,
где выражение, стоящее в заключении, означает, что А является причиной
изменения абсолютной величины q. Если q' и q" выражаемы числами, то величину
корреляции между А и q можно вычислить.
482

Упражнения
1. Укажите схемы умозаключений, которые применялись для установления
причинной зависимости в следующих экспериментах:
а) При изучении возникновения рака легких ученые выбирали людей так,
что они различались условиями жизни, употребляемой пищей и другими
обстоятельствами, но все они были заядлыми курильщиками. У некоторых из
этих людей был отмечен факт заболевания раком легких. Отсюда был сделан
вывод, что в определенных случаях причиной данного заболевания является,
скорее всего, курение.
б) Замечено, что все люди, которые умирали, употребляли в пищу разные
продукты. Единственным общим продуктом для всех людей был хлеб. Отсюда
был сделан вывод, что именно употребление хлеба и является причиной смерти.
в) Посредством следующих экспериментов доказывается, что у тараканов
органы слуха находятся на ногах. Берут двух тараканов. Одного из них кладут
на стол, и громко бьют в ладоши. Таракан слышит хлопок, пугается и убегает.
Берут второго таракана, отрывают у него ноги, кладут на стол и громко бьют в
ладоши. Таракан не убегает, так как ничего не слышит.
г) Без примеси углерода железо легко куется. При добавлении небольшого
количества углерода железо куется труднее. При большом количестве углерода
железо вообще не куется. Отсюда делается заключение, что присутствие
углерода является причиной ухудшения ковкости железа.
2. Явлению q предшествуют обстоятельства А, В, С, Е, F. Какие опыты
или наблюдения надо осуществить, чтобы установить причинную связь между
F и q по методу сходства, различия и сопутствующих изменений!
§ 5. Гипотетико-дедуктивный метод
5.1. Понятие гипотезы
При рассмотрении причинных зависимостей указывалось на важную роль,
которую играют в поиске этих зависимостей определенные соображения
(предположения) о возможной причине события. Такого рода предположения
позволяют более целесообразно организовать исследовательскую работу,
существенно сузить область поиска возможной причины, а если предположение оказалось
верным, то и быстро достигнуть положительного результата.
Вообще, имея дело с фактами окружающей действительности, человек всегда
стремится понять и объяснить, почему мир устроен именно таким, а не иным
образом. С этой целью он выдвигает различного рода предположения о том, как устроен
отдельно взятый предмет и мир в целом, допускает существование различных сил,
действующих в мире, наличие закономерных связей между явлениями, высказывает
соображения о механизмах взаимодействия между предметами. Все эти
предположения, допущения и соображения носят первоначально проблематический (вероят-
483

ностный) характер и могут, в конце концов, оказаться как обоснованными
(верифицированными), так и опровергнутыми (фальсифицированными).
Проблематическое предположение, высказанное для объяснения
совокупности фактов, называются гипотезой.
Однако не всякое предположение может быть названо научной гипотезой. К
числу последних относятся лишь такие предположения, которые удовлетворяют
ряду условий.
Во-первых, предположение не должно вступать в противоречие с
установленными и неоднократно проверенными научными фактами, эмпирическими
сведениями о мире. Наличие подобного несоответствия прямо и заранее
указывало бы на ложность выдвинутой гипотезы.
Во-вторых, научная гипотеза должна основываться на допущении действия
лишь естественных, существующих в самой природе, сил и сущностей, т. е. не
выходить за рамки естественных причин. Несоблюдение этого условия, допущение в
качестве объясняющей причины наличия некоторых сверхъестественных факторов,
скажем божественной воли или демонических сил, лишает гипотезу статуса
научного предположения. Последнее объясняется следующими обстоятельствами:
(1) предположение о действии воли Бога или дьявола является слишком
сильным допущением, так как с помощью этих факторов можно объяснить все,
что угодно,
(2) это предположение нельзя экспериментально ни обосновать, ни
опровергнуть,
(3) из сказанного вытекает, что, вводя такого рода допущения, мы сделали
бы бессмысленным само научное исследование, и оно, еще не начавшись,
должно уже было бы считаться завершенным.
В-третьих, при формулировке научных гипотез надо стараться не вводить
без весьма веских оснований таких допущений, которые вступали бы в
противоречие с твердо установленными теоретическими положениями. Так, если для
объяснения некоторых фактов вводится гипотеза, согласно которой допускается
существование вечного двигателя, то такая гипотеза (если в ее пользу не
приведено очень мощное фактуальное обоснование) должна расцениваться как
антинаучная, ибо она вступает в противоречие с законами термодинамики, которые
прямо запрещают существование вечных двигателей.
Характерным примером в этом отношении является история с открытием
нейтрино - одной из элементарных частиц. При исследовании Р-распада ядер
атомов выяснилось, что подсчет баланса энергии, количества движения и момента
количества движения начального ядра и продуктов распада не сходится. Это
привело некоторых ученых к идее о нарушении при (3-распаде одних из
наиболее фундаментальных законов физики - законов сохранения, что лежало за
гранью научной рациональной гипотезы. Выход из положения был найден В.
Паули, который предположил, что в Р -распаде принимает участие еще одна, не
наблюдаемая в опыте, частица с нулевой массой покоя, которая как раз и уносит с
484

собой часть энергии. Эта частица получила название «нейтрино», а ее
существование было обосновано экспериментально в 1953 г.
Кроме этих самых общих условий, каждая хорошо организованная научная
гипотеза должна обладать еще некоторыми особенностями. Прежде всего это
касается степени ее развитости. Первоначально гипотеза рождается как простая
догадка. Далее эта догадка уточняется, детализируется, наполняется более
богатым содержанием. В частности, если гипотеза допускает математическое
описание, то желательно довести ее до такой степени, чтобы она не только объясняла
явления, но и предсказывала их количественные характеристики.
Кроме этого, достаточно часто указывают, что всякая хорошо
организованная гипотеза должна допускать свою принципиальную проверку на истинность.
Иначе говоря, всегда должна существовать принципиальная возможность с
помощью различного рода экспериментов или наблюдений либо подтвердить ее, а
может быть и доказать (установить истинность, верифицировать), либо
опровергнуть (фальсифицировать).
Наконец, добротное научное предположение не должно «обрастать»
гипотезами ad hoc {гипотезами для данного случая). Их появление связано с тем,
что порой основное предположение не в полной мере объясняет ту совокупность
фактов, ради которых оно и было выдвинуто, а лишь часть их. В таком случае
для объяснения этого «остатка» приходится вводить дополнительные гипотезы,
которые и носят название гипотез ad hoc.
Например, Птолемей для объяснения видимого движения планет
предположил, что движение каждой планеты осуществляется одновременно по двум
концентрическим окружностям. В центре одной из этих окружностей, называемой
деферентом, помещалась неподвижная Земля. Предполагалось, что небесное
тело движется с постоянной скоростью по еще одной окружности, называемой
эпициклом, центр которого перемещался по деференту. В результате сложения
этих двух движений Птолемею удалось достаточно точно, в математически
строгом виде описать видимые перемещения планет по небесному своду. Это
позволило предвычислять положение планет на небосводе, составлять
календари, рассчитывать движения судов. Однако по мере накопления расхождений
между реальным положением планет и их вычисленными положениями общую
схему Птолемея пришлось усложнить, вводя новые эпициклы второго, третьего
и т. д. порядка. Введение эпициклов и-го порядка, центры которых
перемещались по эпициклам п - 1 -го порядка, было, конечно же, искусственным
построением и представляло собой гипотезу ad hoc.
5.2. Структура гипотетико-дедуктивного метода
Широкое использование гипотез свойственно всем наукам - как
дедуктивным, так и эмпирическим. Но в эмпирических науках это использование
оформляется в особый познавательный прием, называемый гипотетико-дедуктивным
методом. Метод представляет собой сложный процесс формирования и
проверки гипотез, распадающийся на несколько этапов:
485

(1) На основе эмпирических наблюдений выделяется некоторый процесс
или событие и относительно этого процесса или события устанавливается
наличие некоторых наблюдаемых фактов рь р2,..., Рп-
(2) Пользуясь предшествующим опытом и имеющимся уже заранее знанием
Г, а также установленными фактами рь р2,.., Рп, для объяснения этих фактов
выдвигают гипотезу h. Переход от Г и рь р2,..., рп к гипотезе h представляет
собой правдоподобное следование Г, рь р2,..., р„ \\= h, причем считается, что это
следование имеет место, только если из Г и h можно дедуцировать каждый из
наблюдаемых фактов рь р2,..., р„, т. е. имеет место Г, h I- Pi (здесь очевидным
образом используется понятие правдоподобного следования как обратной
дедукции). Если данное условие не выполнено, т. е. из Г и h не выводимо
некоторое Pi, то гипотеза h является неверной уже при своей формулировке и должна
быть отброшена.
(3) Из Г и h дедуктивно выводятся следствия фактуального характера гь
r2,..., rk, утверждающие наличие новых фактов, отличных от уже
наблюдавшихся фактов рь рг,..., рп, известных до формулировки гипотезы. Итак, на данном
этапе осуществляется дедукция вида Г, h Ь- Г[.
(4) На последнем этапе каждое следствие гь r2,..., rk фактуального характера
подвергается эмпирической проверке. Если каждое из следствий гь r2,..., rk
согласуется с опытом, то гипотеза h считается подтвержденной (иногда даже
можно заключить, что она доказана). Если же хотя бы одно из следствий гь r2,..., rk
не согласуется с опытом, то гипотеза считается фальсифицированной.
Покажем действие гипотетико-дедуктивного метода на одном примере.
Наблюдая за поведением пчел, ученые заметили, что насекомые на некоторых
цветках полностью завершали сбор нектара (pi), в то время как на другие
цветки они садились лишь на мгновение и тут же взлетали (р2). Так как никакой
гипотезы по поводу этого различия в поведении пчел сделано не было, то
наблюдения были продолжены над отдельно взятыми пчелами. В результате
выяснилось, что пчела полностью завершала сбор, если она посещала цветок впервые
(р3). Если же подлетала к цветку, который недавно посетила, то ее поведение
менялось и она, присев на него, мгновенно улетала (р4). Тем самым уже на
уровне простого наблюдения фактов была установлена связь поведения пчел
(Рь Рг) от числа посещений цветка (р3, р4)- Для объяснения этой связи и была
выдвинута гипотеза h. Используя знание о том, что многие животные помечают
посещаемые ими места различного рода пахучими веществами (Г), ученые
предположили, что пчелы при первой посадке на цветок тоже помечают его
специальным пахучим химическим веществом - феромоном. Эта гипотеза
позволила объяснить, в чем заключалась причина различия в поведении
насекомых, так как из Г и h можно было сделать два следующих вывода: Г, h Ь-
Рз zd pi и Г, h I- р4 з> р2. Кроме того, гипотеза h позволила представить
поведение пчел как целесообразное с биологической точки зрения. Действительно,
феромон служил для пчелы знаком, что посещаемый ею цветок является уже
истощенным объектом. Тем самым энергозатраты пчелы снижались и
повышалась эффективность ее работы.
486

Но гипотезу надо было подтвердить. Ее можно было бы доказать, если бы
исследователям удалось выделить феромон и проделать с ним соответствующие
опыты. Однако они применили иной прием обоснования гипотезы - проверили те
следствия, которые вытекали из нее. Так как вещество было пахучим, то
естественно было считать, что снижение пахучести феромона должно было как-то
повлиять на поведение пчел (г). С этой целью над пчелами были проведены опыты
по наблюдению их поведения в условиях действия вытяжного вентилятора.
Оказалось, что в обычных условиях пчела на сбор нектара с цветка тратила вполне
определенное время. В случае же, когда был включен вентилятор и тем самым
феромонный сигнал значительно ослабевал, пчела затрачивала на сбор нектара
большее количество времени. Этот опыт согласуется с выдвинутой гипотезой и
тем самым ее подтверждает, хотя и не обосновывает полностью.
5.3. Процедура опровержения гипотез
Описанная выше общая теоретическая схема гипотетико-дедуктивного
метода представляет собой лишь идеализированную модель того, как она
используется в реальных условиях. Покажем идеализированный характер общей схемы
на примере опровержения гипотезы.
На первый взгляд представляется, что опровержение гипотезы есть простое
воспроизведение аналога схемы modus tollens дедуктивной логики:
h \- г, -J
-,h.
Но в дедуктивной логике modus tollens применяется как теоретический
метод познания. В случае же эмпирического познания многие моменты не
являются жестко определенными, а потому ход опровержения будет отличаться от
простого применения modus tollens.
В самом деле, допустим, что имеется дедуктивное выведение вида: Г, h I- г.
Наличие такого вывода при хорошо развитой дедуктивной теории можно
установить надежно, а потому не будем сомневаться в выводе вида Г, h I- г.
Допустим далее, что опыт показывает на наличие -.г. Тем самым возникло
противоречие между предсказанием г и показанием опыта —г. Означает ли это, что надо
сразу же отбросить гипотезу h как неверную? Попав в такую ситуацию,
исследователь может далее поступить по-разному.
Во-первых, он может предположить, что опыт неверен, и на самом деле
имеет место как раз г, а не -ir, т. е. он может подвергнуть сомнению результаты
эмпирической проверки утверждения г. Таким образом, что должно быть
отвергнуто - гипотеза h или свидетельство —ir, - еще только следует установить
дальнейшими проверками.
Допустим далее, что, проведя несколько независимых друг от друга проверок,
удалось окончательно доказать наличие —>г. Означает ли это, что гипотеза h
теперь должна быть отброшена как неверная? Оказывается, даже в этом случае
такой вывод был бы слишком поспешным. Ведь г выводилось не просто из гипоте-
487

зы h, а из h, взятой совместно с совокупностью сведений Г. Поэтому можно
допустить, что противоречие между г и —т есть результат не учета какого-то
обстоятельства А, которое должно входить в Г, а на самом деле в нем отсутствует.
Следовательно, можно, не отбрасывая гипотезу h, видоизменить Г на Г', где Г' - это
новая совокупность сведений, в которой уже учитывается обстоятельство А.
Из данного рассмотрения видно, что гипотезу не так уж и легко бывает
опровергнуть. Для этого необходимо убедиться, что эмпирический результат -.г
твердо установлен и не вызывает сомнений и, кроме того, что не удается
устранить различие между теоретически полученным г и эмпирическим -т
допущением каких-то факторов, не учитываемых в Г, несмотря на все попытки это
сделать. Только при учете всех этих обстоятельств можно заключить о неверности
именно гипотезы h. Рассмотрим на примерах все эти случаи.
При создании своей знаменитой таблицы химических элементов Д. И.
Менделеев оставил некоторые клетки незаполненными, так как в то время, когда
он создавал таблицу, соответствующие химические элементы не были
известны. Одно из таких мест отводилось химическому элементу, который
Менделеев назвал экаалюминием. Используя гипотезу, которая легла в основу
построенной им таблицы, он теоретически предвычислил атомный вес экаалюминия и
предсказал его свойства. Через некоторое время французский исследователь
П. Лекок экспериментально выделил новый химический элемент, названный
им в честь Франции галлием, который совпадал по химическим свойствам с
гипотетическим экаалюминием, но опытная проверка П. Лекоком его атомного
веса показала расхождение с теоретически предсказанным Д. И. Менделеевым.
На этом основании П. Лекок заявил о неверности гипотезы Менделеева.
Однако Менделеев не согласился с этим выводом и настоял на перепроверке
результатов опыта. При более тщательной проверке результаты экспериментов
совпали с предсказанными Менделеевым, а источником первоначального
расхождения оказалось наличие в образцах галлия, по которым эмпирически
устанавливался атомный вес, примесей других химических элементов.
Рассмотрим другой пример.
В результате теоретических расчетов, выполненных на основе небесной
механики Ньютона (h), было выявлено расхождение между теоретически
вычисленным движением планеты Уран (г) и наблюдаемым ее движением на небесной
сфере (-ir). При этом были учтены возмущающие действия других небесных тел
на движение Урана (Г). Таким образом, возникла ситуация, логическая суть
которой представима в форме:
Г, h I- г, но фактически имеет место —т.
Однако уверенность ученых в правильности механики Ньютона (h) и
правильности результатов наблюдений (-ir) была столь высока, что причину
расхождения заподозрили в совокупности сведений Г. Было высказано предположение,
что эта совокупность неполна, так как не учитывает существования еще одной,
неизвестной планеты, орбита которой более удалена от Солнца, чем орбита
Урана, и возмущающее действие которой на Уран как раз и является причиной
указанного расхождения.
Итак, для объяснения несоответствия между г и —т была выдвинута новая
гипотеза о существовании некоторой еще не открытой планеты, что изменило со-

вокупность сведений Г на Г'. Французский исследователь Леверье и англичанин
Адаме, исходя из величин расхождения данных, предвычислили орбиту
предполагаемой планеты и указали место ее нахождения на небосводе. В результате
проведения астрономических наблюдений планета действительно была открыта
в указанном месте и получила название Нептун.
В связи с данным примером заметим, что по мере того, как с помощью
гипотезы h удается получить объяснение все новых и новых фактов, доверие к ней
возрастает, и она переходит в разряд теории, т. е. становится широко признанным
рабочим инструментом исследователя. Гипотетический характер теории не
изменяется, но ученый, при возникновении расхождения между теоретически
вычисленной величиной г и эмпирически наблюдаемой, склонен в этом случае
объяснять данное несоответствие не неверностью теории, а действием
некоторых неучтенных факторов. Для опровержения теории он всегда потребует очень
веских оснований. Чаще всего это происходит в том случае, когда на смену
одной теории приходит новая теория, которая лучше, чем первая, объясняет
совокупность имеющихся фактов. Именно с этим обстоятельством связан
следующий пример.
Астрономам было известно, что перигелий планет, движущихся вокруг
Солнца по эллиптическим орбитам, т. е. ближайшая к Солнцу точка их орбиты, со
временем перемещается в направлении движения планеты. Для всех планет
такое вековое смещение их перигелия удалось объяснить возмущающим
действием других небесных тел. Но у Меркурия величина смещения оказалась
достаточно значительной, причем эту величину не удавалось полностью объяснить
действием других небесных тел. История науки показала, что в данном случае
это расхождение между теорией и эмпирией опровергало как раз теорию (h) -
небесную механику Ньютона. При замене h на h' - общую теорию
относительности Эйнштейна - расхождение между теоретической величиной и
эмпирической удалось устранить.
5.4. Процедура подтверждение гипотез
Рассмотрим теперь, каким образом происходит процесс подтверждения
гипотез. При этом заметим, что бывают случаи, когда гипотеза при ее
эмпирической проверке не просто подтверждается, т. е. увеличивается степень доверия к
ней, но она и доказывается {верифицируется). Именно так произошло с
гипотезой о возмущающем действии неизвестной планеты на движение Урана после
того, как эта планета (Нептун) была эмпирически обнаружена, а расчеты
показали, что учет гравитационного действия новой планеты достаточен, чтобы
согласовать теоретические расчеты с данными наблюдений. Но такая ситуация
возможна далеко не всегда, а только когда гипотеза носит частный и эмпирический
характер. В других же случаях, когда в качестве гипотезы выступает общее
утверждение или утверждение теоретического характера, согласованность
гипотезы с фактами является все же не окончательным ее доказательством, а лишь
увеличивает степень ее правдоподобия, т. е. подтверждает ее.
Так, специальная теория относительности основана на принятии гипотезы о
постоянстве скорости света в вакууме в любой системе отсчета. Она подтвер-
489

ждается различного рода экспериментами и, в частности, наблюдением за
движением двойных звездных систем. Действительно, если бы скорость света,
приходящего к нам от каждой из звезд двойной системы, была различной, то мы
должны были бы наблюдать нарушение законов гравитационного
взаимодействия при их взаимном движении. Однако таких нарушений не наблюдается.
Гипотеза о постоянстве скорости света является эмпирической гипотезой,
но она носит общий характер, а потому никакие ее эмпирические проверки
никогда не могут ликвидировать сомнения: всегда ли верна данная гипотеза.
Этому сомнению учит нас история с небесной механикой Птолемея и механикой
Ньютона, которые господствовали в науке в течение долгого времени, были
неоднократно подтверждены различного рода наблюдениями и, тем не менее,
оказались ложными. Причина такого положения заключается в том, что каждый
раз, проверяя на практике (эмпирически) теоретические утверждения,
исследователь действует в исторически ограниченных условиях, а потому имеет дело с
некоторой ограниченной практикой. Так, механика Ньютона проверялась на
объектах, которые двигались с весьма умеренными скоростями, где
расхождения между эмпирическими данными и предсказанием теории столь
незначительны, что их нельзя зафиксировать ни одним прибором. Движение же
объектов со скоростями, близкими к скорости света, например элементарных частиц в
синхрофазотронах, сразу же показывает, что механика Ньютона неверна.
Указанную ограниченность нашей сегодняшней практики приходится всегда
учитывать и при рассмотрении современных научных теорий.
Обнаружение новых, ранее не известных, фактов, которые совместимы с
гипотезой, ведет к повышению ее достоверности. Вероятность истинности
особенно повышается в том случае, когда факты, подтверждающие гипотезу, являются
разнородными.
Так, немецкий ученый Вегенер для объяснения совпадения в очертаниях
современных материков выдвинул гипотезу об их перемещении, согласно которой
в прошлом существовал единый субматерик Пангея, в результате тектонических
процессов он раскололся, а отдельные его части, разойдясь в разные стороны,
образовали нынешнее расположение современных материков. Проведенные
исследования по теоретической реконструкции субматерика позволили выявить
его конфигурацию в отдаленном прошлом. Это позволило установить, что
геологическое строение тех регионов нынешних материков, которые некогда
соприкасались, является идентичным. Эти факты существенно повысили степень
доверия к гипотезе Вегенера. В свою очередь, палеонтологические исследования
показали наличие сходства в этих регионах ископаемых остатков флоры и
фауны. Но окончательно гипотеза стала рассматриваться как хорошо обоснованная
теория после того, как были открыты срединно-океанические хребты с рифто-
выми зонами, в которых происходит постоянное изливание магматического
вещества, ведущее к раздвижению материков. В настоящее время уточненная
версия этой гипотезы известна как теория литосферных плит.
Очень веским доводом в пользу гипотезы является эмпирическое обнаружение
такого эффекта, существование которого ранее не было известно и было
предсказано лишь исходя из положений гипотезы. Таким доводом в пользу гравита-
490

ционной гипотезы Эйнштейна (общая теория относительности) стало
обнаружение английским астрономом А. Эддингтоном в 1919 г. искривления лучей света
при прохождении вблизи массивных тел (Солнце) - эффект, который до
гипотезы Эйнштейна не мог быть предсказан.
Часто для объяснения одной и той же совокупности фактов рь рг,~, Рп
выдвигается две или большее количество различных гипотез hi,.-., hm. В этом
случае возникает ситуация так называемых конкурирующих гипотез. При их
дальнейшей проверке может оказаться, что все гипотезы, кроме одной, скажем hb
будут опровергнуты. В таком случае считается, что вероятность истинности hi
возрастает. Рассуждение в данном случае строится многократным
использованием модуса tollendo ponens:
hi v h2 v-v hm, -4i2,..., -.hm
h,.
Известно много различных конкурирующих гипотез. Таковыми являются или
являлись гипотеза Гюйгенса-Френеля, объяснявшая световые явления волновыми
процессами, с одной стороны, и гипотеза Ньютона, рассматривавшая эти же
явления с корпускулярной точки зрения, - с другой; гипотезы органической и
неорганической природы происхождения нефти; гипотезы Менделя-Дарвина, Ламарка и
Берга, объясняющие явления наследственности с различных позиций, и т. д.
Проходя проверку эмпирическим испытанием, одна гипотеза
необязательно должна победить другую. Достаточно часто возникает ситуация, когда обе
конкурирующие гипотезы в своих исходных формулировках оказываются
опровергнутыми, а вместо них принимается другая гипотеза, которая в тех или
иных формах совмещает в себе обе гипотезы. Так, например, произошло с
корпускулярной и волновой гипотезами света. В современной квантовой механике
показано, что свет одновременно обладает как корпускулярными, так и
волновыми свойствами, хотя и теория Гюйгенса-Френеля, и теория Ньютона в их
исходных вариантах не могут быть приняты.
§ 6. Аналогия
6.1. Аналогия по свойствам
К правдоподобным относится еще один тип рассуждений, называемых
рассуждениями по аналогии. Под аналогией обычно понимают сходство,
подобие предметов, т. е. наличие у них некоторых одинаковых характеристик.
Рассуждением по аналогии (или просто аналогией) в логике называют вывод,
основанный на данном сходстве.
Рассуждение по аналогии состоит в том, что на основе сходства двух
предметов (систем предметов) а и (3 по каким-то характеристикам, а
также на основе того, что а присущ некоторый признак, заключают
о присущности этого признака и р\
491

Одной из разновидностей таких рассуждений является аналогия по
свойствам. О последней говорят в том случае, когда а и b представляют собой
индивиды, а в качестве характеристики, переносимой с одного предмета на
другой, выступает некоторое свойство. Данное рассуждение имеет
следующую структуру:
1. Pi(a)&P!(b) -пос.
2. Р2(а)&Р2(Ь) -пос.
- пос.
- пос.
- пос.
п. Р„(а) & Р„(Ь) -пос.
а~Ь
п+\. Q(a) -пос.
Q(b),
где «а « Ь» означает, что «предмет а подобен предмету Ь», а знак ««» - знак
подобия (сходства).
Рассуждение состоит в следующем. Допустим, что исследователь желает
установить наличие некоторого свойства Q у предмета b и при этом по каким-либо
обстоятельствам лишен возможности сделать это посредством эмпирической
проверки. В этой ситуации он может опереться на подобие предмета b и
предмета а. Первые п посылок как раз и устанавливают наличие такого подобия между
а и b на основании их сходства в признаках Рь Рг,..., Р„, о чем и делается первое
заключение - а « Ь. Далее, опираясь на подобие а и b и на п + 1-ю посылку,
которая говорит, что у предмета а наличествует свойство Q, исследователь может
распространить это подобие и на указанное свойство Q, перенося последнее с
предмета а на предмет Ь.
Заключение, получаемое по данному рассуждению, носит проблематичный
характер и является лишь вероятностным, более или менее правдоподобным. С
теоретической точки зрения это легко объяснить, ведь а и b - разные предметы,
а, следовательно, они должны чем-то различаться. Поэтому, будучи сходны
между собой по признакам Рь Рг,..., Рп, они как раз и могут различаться по
наличию у одного и отсутствию у другого признака Q. Это непосредственно
вытекает из рассматривавшегося при обсуждении второпорядковой логики принципа
тождества неразличимого Г. Лейбница, согласно которому два предмета
тождественны (т. е. являются одним и тем же предметом) тогда и только тогда,
когда все свойства, которыми они обладают, одинаковы:
a = b=DtVP(P(a)S/»(b)).
Отсюда следует, что если предметы не тождественны, а только подобны, то
у них имеется, по крайней мере, одно различающее их свойство.
Чтобы гарантировать более высокую степень вероятности заключения,
полученного по аналогии, необходимо учитывать какие-то дополнительные со-
492

держательные условия. По наличию или отсутствию этих дополнительных
содержательных условий различают популярную и научную аналогию.
Популярная аналогия строится без какого-либо систематического анализа и
отбора тех свойств, по которым устанавливается наличие подобия между двумя
предметами, и не учитывает, связаны ли каким-либо образом эти свойства
Рь Рг,.--» Рп с переносимым признаком Q или нет. В популярной аналогии первое
случайно встретившееся сходство между а и b служит уже основанием переноса
интересующего нас признака, т. е. она осуществляется как попало.
Примером такого рода рассуждения может служить попытка следующим
образом аргументировать, что на Марсе имеется жизнь - Q(b). С этой целью
сравниваются свойства, присущие Марсу и Земле, и устанавливается, что и Марс, и
Земля являются планетами (Pi), что они вращаются вокруг Солнца по
эллиптической орбите (Рг), светят отраженным светом (Pj), вращаются вокруг своей оси
(РД и Марс, и Земля имеют спутники (Р5), обе планеты подчиняются законам
тяготения (Р6). Таким образом, сходство (подобие) этих предметов по Рь Рг,.-.,
Р6 очевидно. Отсюда, действуя по популярной аналогии, можно получить вывод,
что, следовательно, они сходны и в наличии на этих планетах жизни (Q).
Недостаток этого рассуждения состоит в том, что подобие двух планет - Земли
и Марса - установлено с помощью признаков, которые или вообще не имеют,
или имеют весьма отдаленное отношение к переносимому признаку Q.
Важнейшее же условие построения научной аналогии состоит как раз в том,
чтобы два предмета а и b уподобились по свойствам, существенным для
переносимого признака Q. Это означает, что свойства Рь Рг,..., Р„ должны быть не
любыми, а лишь такими, которые, будучи непосредственно связаны с переносимым
признаком Q, с какой-то долей вероятности гарантировали бы перенесение
признака Q на предмет Ь. К числу таких свойств, если иметь в виду жизнь в тех
биологических формах, как она существует на Земле, должны быть отнесены:
сходство или различие в температурном режиме обеих планет, наличие
атмосферы, возможность существования тех или иных веществ (воды, например, в
жидком состоянии) и вообще любые свойства, создающие возможность
образования на Марсе аминокислот и нуклеиновых кислот.
Таким образом, в научной аналогии по свойствам фактическая
вероятность истинности высказывания Vje((Pi(x) & Рг(Х) &...& Pn(X)) ^ Q(*))
должна быть близкой или равной 1. В случае, когда это высказывание истинно,
аналогия по свойствам называется строгой. В рассуждениях строгой
аналогии одновременная фактическая истинность посылок гарантирует получение
истинного заключения.
6.2. Аналогия по отношениям
Другой формой аналогии является аналогия по отношениям. Эта форма
умозаключения применяется в том случае, когда а и b - системы объектов,
например я-ки объектов - а = <аь а2,..., а„> и b = <ЬЬ Ь2,..., Ь„>. Рассуждение в
этом случае строится следующим образом:
493

1. Р,(аь a2,..., am) & P,(bb b2,..., bm) -пос.
2. Р2(аь а2,..., ат) & P2(bb b2,..., Ьт) - пос.
- пос.
- пос.
- пос.
п. Рп(аь а2,..., ат) & Pn(bb b2,..., Ьт) -пос.
а*Ь
"+1 • Q(ab а2,..., ат) - пос.
Q(bb b2,..., bm).
Например, после открытия Галилеем спутников у Юпитера для этой системы
объектов стало возможным установить целый ряд отношений Р,, Р2,..., Р„ и, в
частности, тот факт, что каждый спутник вращался вокруг наиболее массивного
небесного тела, входящего в данную систему, - планеты Юпитер (Q). Это
явилось веским доводом в пользу гелиоцентрического устройства нашей планетной
системы, позволив сделать по аналогии отношений вывод, что и сами планеты
вместе со своими спутниками вращаются вокруг наиболее массивного небесного
тела - Солнца (Q). Подобным же образом Резерфорд на основании проведенных
им экспериментов установил целый ряд сходных отношений, существующих
между электронами и атомным ядром, с одной стороны, и планетами и Солнцем - с
другой. Исходя из этого, он сделал по аналогии отношений вывод о планетарном
строении атомов, допустив, что электроны вращаются вокруг ядра по
определенным орбитам наподобие того, как планеты вращаются вокруг Солнца.
Аналогия по отношениям также бывает двух видов - популярной и научной.
В популярной аналогии не учитывается взаимосвязь между отношениями Рь Р2,...,
Р„ и переносимым признаком Q. В научной аналогии по отношениям фактическая
вероятность истинности высказывания VjCi...Vjcm((Pi(xb..., д;т) & Р2(дгь..., дст)
&...& Pn(.Xi,..., хт)) з Q(xr,..., хт)) должна быть близкой или равной 1. Когда
это высказывание истинно, аналогия по отношениям называется строгой.
Выше были выделены наиболее употребимые способы рассуждений по
аналогии, но имеются и другие виды аналогии. Одной из них является аналогия по
сходству функций. Рассуждение в этом случае ведется следующим образом.
1. VxQ(x, аь а2,..., ат) - пос.
2. ft(x, аь а2,..., ат)«f2(y, bt, b2,..., bm) -пос.
VjQCv, b,, b2,.., bm).
Примером такой аналогии является следующее умозаключение. Пусть х пробегает
по классу животных, а у — по классу рыб. Пусть Я\ есть воздушная среда, a bj - водная
среда, пусть далее а2 есть такой орган животных, как легкие, а Ь2 - жабры как орган, присущий
рыбам. Тогда:
1-я посылка. Всякое животное дышит в воздушной среде легкими.
2-я посылка. Функция fj, которую выполняют у животных в воздушной среде
легкие, подобна функции f2, которую выполняют у рыб в водной среде жабры (и те и другие
служат для получения кислорода).
Отсюда аналогия по сходству функций позволяет заключить:
Всякая рыба дышит в водной среде жабрами.
494

Аналогия по свойствам и отношениям широко используется в процессах
моделирования. Прежде чем приступить к строительству дорогостоящего
сооружения (самолета, гидроэлектростанции, корабля и т. д.), создают модель этого
объекта и затем устанавливают различные свойства и отношения, присущие модели,
которые далее по аналогии переносятся на оригинал. Чтобы правомерно
осуществить такое перенесение, необходимо предварительно быть уверенным, что модель
и оригинал подобны друг другу. Для решения этого вопроса существует
специальная теория подобия, которая устанавливает условия подобия двух объектов.
Выполнение этих условий позволяет с высокой вероятностью переносить
результаты эмпирических исследований, полученные на модели, на оригинал.
Выводы по аналогии играют большую роль при выдвижении тех или иных
гипотез. Так, на основании сходства процессов распространения волн в жидких
средах с процессами распространения звука в свое время по аналогии был сделан
вывод о том, что звук - это распространение волн в воздушной среды. Заключение
данной аналогии стало гипотезой, которая в дальнейшем была экспериментально
подтверждена. В течение долгого времени на основании сходства многих эффектов,
присущих как звуковым, так и световым явлениям (отражение, интерференция,
дифракция и т. д.), считалось, что распространение света представляет собой
колебательный процесс особой среды - эфира. Последняя аналогия оказалась неверной,
так как гипотеза о существовании эфира не выдержала экспериментальной проверки.
В настоящее время большую роль в научных изысканиях играет аналогия
между работой головного мозга и компьютера. Эта аналогия, с одной стороны,
позволяет из знания, как работает компьютер, лучше понять, каким образом
осуществляется переработка информации живыми биологическими системами, в
частности человеком, а с другой - исследования в области нейрофизиологии и
информатики позволяют переносить на искусственные системы все более и
более тонкие детали работы головного мозга, приближаясь тем самым к созданию
искусственного интеллекта.
Наконец, можно сказать, что все наше познание окружающего мира есть не
что иное, как воспроизведение этого мира в аналоговых конструкциях.
Действительно, наши теории, посредством которых описывается мир, представляют
собой теоретические модели этого мира. С этой точки зрения теоретическое
описание различных процессов, происходящих в мире, если наши теории
являются хорошими подобиями этого мира, позволяет переносить на саму
действительность то, что мы установили чисто теоретически.
Упражнения
1. Известно, что закон гравитации Ньютона записывается следующим
образом F = km|'m2/r2, где F - сила гравитационного взаимодействия двух тел с
массой Ш] и т2, находящихся на расстоянии г друг от друга, а к-
гравитационная постоянная.
495

Как должен выглядеть закон силы электрического взаимодействия между
двумя точечными телами с электрическими зарядами Qj и Q2, находящимися на
расстоянии г, если применить рассуждение по аналогии?
2. Какие из методов аналогии были использованы в следующих
рассуждениях и является ли они правильными:
Известно, что скорость v, пройденное телом расстояние - s, и время - t, за
которое тело прошло это расстояние, определяется законом v = 7t.
а) Отсюда заключаем по аналогии, что цепь, находящаяся под действием
электрического напряжения U, обладающая силой тока I и сопротивлением R,
должна удовлетворять закону Ома I = U/R.
б) Отсюда же заключаем по аналогии, что колебание в упругой среде,
распространяющееся в виде волны, за время Т со скоростью v на отрезке "к должно
определяться по закону v = /т.
3. Какой метод используется в следующих экспериментах и в чем состоит
здесь аналогия:
Необходимо спроектировать автомобиль так, чтобы при аварии была
минимальна возможность травмы черепа водителя. С этой целью проводятся
эксперименты над куриными яйцами, которые разбиваются при различных условиях.
4. Установите вид аналогии и ее правильность:
Иванов и Петров сдали первый экзамен в сессию на отлично.
Иванов и Петров сдали второй экзамен в сессию на хорошо.
Иванов сдал третий экзамен в сессию на удовлетворительно.
Следовательно, Петров тоже сдал третий экзамен в сессию на
удовлетворительно.

Глава XII
ТЕОРИЯ
§ 1. Общая характеристика теорий
1.1. Опытное знание
С первых шагов своей жизни человек с помощью органов чувств, действий с
предметами, а по мере овладения языком и с помощью мышления начинает
осваивать (познавать) окружающий и свой собственный внутренний мир. В основе
познавательного процесса лежит фундаментальная способность, свойственная
всем людям, - умение видеть сходство и различие, присущие предметам,
явлениям, событиям, процессам того мира, в котором он живет. Эта способность
позволяет отождествлять сходные (подобные) предметы и тем самым собирать их
в классы, т. е. обобщать; она же позволяет замечать различия в предметах и тем
самым отделять их друг от друга, т. е. структурировать мир. Во многом этот
процесс идет стихийно, неосознанно, без использования каких-либо специально
созданных познавательных приемов и инструментов. Его результатом является
так называемый обыденный опыт, который всегда незавершен, разрознен,
эмпиричен, описателен, а порой ошибочен и неверен.
В отличие от обыденного, научный опыт является результатом активной
деятельности человека. В этом случае человек не просто видит, но и
всматривается, не просто слышит, но и вслушивается в то, что говорит природа, т. е.
производит исследование интересующих его объектов. Это вслушивание и
всматривание ведутся с помощью использования таких познавательных приемов, как
научное наблюдение, эксперимент и измерение. Применению данных
эмпирических приемов обычно предшествует некоторая рациональная работа, связанная с
выдвижением различного рода гипотез и их дальнейшего обоснования или
опровержения методами научного наблюдения, эксперимента или измерения.
Иначе говоря, научное познание, как правило, связано с процессом вопрошания
природы, т. е. с умением вполне осознанно задавать природе вопросы и
понимать ее ответы.
Научное наблюдение осуществляется всегда целенаправленно:
определяются параметры, наличие или отсутствие которых следует установить актами
наблюдения; сами наблюдения протоколируются (далее эти протоколы
используются при их рациональной обработке); достаточно часто применяются научные
приборы, которые призваны усилить возможности наших органов чувств
(микроскоп, телескоп, рентгеновский аппарат, камера Вильсона и т. д.).
В отличие от простого наблюдения, эксперимент - это такой эмпирический
метод познания, когда человек активно вторгается в естественный ход
исследуемого процесса, задает условия его проведения, устанавливает определенные
параметры и их величины, следит за их стабильностью или меняет их по своему
усмотрению. Такое вторжение в естественный процесс может иметь разную
степень - от незначительной корректировки условий опыта до полного его прове-
497

дения в искусственных условиях. В последнем случае создаются специальные
экспериментальные установки, состоящие из исследовательских и
измерительных приборов. Эксперимент в обязательном порядке включает в себя и
наблюдение, которое не всегда непосредственно ведется за исследуемым предметом -
во многих случаях впрямую следят за показаниями приборов, а тем самым уже
опосредовано и за поведением самого объекта.
Еще одним эмпирическим методом познания является измерение. Этот
метод применяется в том случае, когда исследуемому предмету присущи
количественные характеристики. Их называют величинами и выражаются они
посредством некоторого числа с размерностью (например, 11 см, 25 сек, 56 км/сек2,
23 ом, 98°С, 74 г/см2 и т. д.). Применение процедуры измерения предполагает,
что у нас в наличии имеются специальные измерительные инструменты,
соответствующим образом проградуированные, а это, в свою очередь, предполагает
наличие некоторых единиц измерения и наличие шкалы измерения (линейной,
логарифмической или какой-либо иной).
1.2. Законы и факты
В современной методологии науки принято различать законы природы и
законы науки. Первые представляют собой те регулярности общего характера,
которые действуют в самой материальной или идеальной природе и не зависят от
нашей воли, наших намерений, от того, знаем мы их или нет. Про эти законы
говорят, что они существуют объективно (т. е. объектно). Вторые же
представляют собой предложения, в которых фиксируются и выражаются законы природы.
Их существование субъективно и зависит от того, познан ли некоторый закон
природы и зафиксирована ли информация о нем в виде предложения. Законы
науки являются, таким образом, лингвистическими (языковыми) объектами.
Аналогична ситуация и с термином «факт». Различают факты природы и
факты науки. Первые из них понимаются как некоторые объективно
существующие положения дел (ситуации), имеющие место в мире. Они
устанавливаются актами наблюдения и эксперимента и касаются наличия или отсутствия
некоторого свойства у того или иного отдельно взятого предмета, некоторого
отношения между отдельными предметами, определенной функциональной
зависимости между какими-то конкретными предметами. Такие факты
называются единичными фактами. С другой стороны, к числу общих фактов относятся
устанавливаемое актами наблюдения и эксперимента наличие или отсутствие
некоторого свойства у всех предметов той или иной конечной их совокупности,
некоторого отношения между всеми конечными наборами п-ок предметов,
определенной функциональной зависимости между всеми конкретными
конечными наборами «-ок предметов. По наличию или отсутствию свойств, отношений,
функциональных зависимостей все факты природы можно подразделить на
положительные (наличие некоторого положения дел) и отрицательные
(отсутствие соответствующего положения дел). Таким образом, факты природы
существуют объективно, т. е. независимо от нас.
498

Под фактом же науки имеют в виду либо единичные предложения, в
которых фиксируются единичные факты природы, либо общие предложения вида
«Во всех рассмотренных случаях имеет место А», в которых в общем виде
фиксируется информация о конечном числе проведенных наблюдений, измерений
или экспериментов. Таким образом, факты науки, как и законы науки, это тоже
лингвистические объекты.
1.3. Понятия теории
Научный опыт, несомненно, содержит весьма ценные сведения об
окружающем мире. Однако сам по себе он дает нам лишь мозаичное представление
об устройстве этого мира и является исходным материалом для дальнейшей
интеллектуальной его обработки. Чтобы получить целостную научную картину
мира, необходимо связать разрозненные данные наблюдений, экспериментов и
измерений в некоторую стройную и целостную систему знания, в которой
истинность одних утверждений будет зависеть от истинности других, в которой
степень обобщения опыта настолько высока, что мы далеко выходим за пределы
чувственных (эмпирических) данных.
Такая работа выполняется нашим интеллектом и результатом ее является
построение теории как самой высшей формы фиксации наших знаний о мире.
Именно при построении этой формы знания в полном объеме используется вся
(без исключения) совокупность рассмотренных выше логических процедур:
формируется язык исследования, вводятся понятия, определяются термины,
формулируются высказывания разных типов, осуществляется дедукция и
индукция, строятся аналогии и модели, осуществляются формализации и
интерпретации и т. д. Рассмотрение каждого из этих логических приемов в
отдельности было необходимо для того, чтобы можно было корректно созидать
теоретическое знание, где все они комплексно применяются.
Термин теория происходит от греческого слова Весорга - рассмотрение,
исследование - и в современном своем употреблении может быть задан
следующим определением:
Теория - это система знания, посредством которой описывается,
объясняется, систематизируется или предсказывается наличие или
отсутствие в некоторой предметной области тех или иных фактов.
Введенное понятие является содержательным понятием теории и
оказывается непригодным для целей логического их анализа. Поэтому в науке
формулируется формальное понятие теории, с которым удобно теоретически и
практически работать. При этом предварительно фиксируется язык, на
котором формулируется теория, и относительно этого языка определяется понятие
выводимости.
В качестве языка L теории Т берется обычно та или иная разновидность
языка логики предикатов, содержащего словарь логических и нелогических
терминов. В словарь логических терминам входят знаки логических констант, сло-
499

варь же нелогических терминов состоит из списка индивидных, предикатных и,
если таковые имеются, функциональных констант. Понятие выводимости в этом
случае определяется средствами исчисления предикатов.
Итак, пусть Т будет множеством предложений, сформулированных на языке
L, пусть А будет предложением языка L. Тогда:
Теория(Т) =ш V А(Т Ь А О А е Т),
т. е. множество предложений Т считается теорией при условии, что каждое
предложение входит в него тогда и только тогда, когда оно выводимо из данной
совокупности. Более кратко это выражается следующей словесной формулой:
Теория - это множество предложений, замкнутое относительно
отношения выводимости.
Данное формальное понятие, хотя и является весьма абстрактным и общим,
позволяет успешно решать целый комплекс проблем, возникающих при метате-
оретическом исследовании теорий.
Если во множестве предложений Т существует собственное индуктивно
(часто говорят, рекурсивно) заданное подмножество А такое, что
VA(AhAoAeT),
то говорят, что теория Т рекурсивно аксиоматизируема. В качестве аксиом в
этом случае выступают предложения, входящие во множество Д. Если
множество А конечно, то говорят, что теория Т конечно аксиоматизируема.
Иногда бывает удобно использовать другое формальное понятие теории,
которое, впрочем, является равнообъемным только что введенному. Для этой цели
определим операцию замыкания Сп некоторого множества предложений Г,
которая задается условием:
Cn(T)=DfWA(Tl-А).
Из определения следует, что операция замыкания по любому множеству
предложений Г образует класс всех предложений А, которые являются его
следствиями. Операция замыкания обладает следующими свойствами:
1) Г с Сл(Г),
2) Сп{Сп(Т)) = Сп(Т),
3) А с Г => Си(А) с Си(Г),
4) Для всякого предложения А е Сп(Т) существует такое конечное множество
предложений А с Г, что А е Сп(\).
Теперь можно понятие теории определить следующим образом:
Теория(Т) =ш Т = Си(Т).
1.4. Основные виды теорий
Теории подразделяются на научные и ненаучные (антинаучные). Целью
построения научной теории является достижение истинного знания о мире.
Поэтому в этих теориях действуют чрезвычайно жесткие процедуры установления и
500

проверки истинности фактуальных и теоретических положений, входящих в их
состав. Целью построения ненаучных теорий (астрология, алхимия, хиромантия
и др.) является все, что угодно, но только не достижение истины. Дальнейшее
изложение будет касаться только научных теорий.
Теория, как об этом говорилось в определении, представляет собой систему
знания. Данная система знания выражается предложениями, которые логически
связны друг с другом. Такая связь необходима для того, чтобы теория могла
выполнять основные свои функции: объяснять факты и систематизировать их.
Иногда, в качестве логической связи, как это видно из формальных определений
теорий, используются процедуры дедукции, формализующие отношение
логического следования (иногда в качестве логической связи используются и
процедуры правдоподобного вывода).
Выше в главе VI уже были описаны содержательные (не
аксиоматизированные) теории, в которых нет четкого членения утверждений на аксиомы и
теоремы. Были рассмотрены также формализованные (аксиоматические)
теории, а также формальные теории - теории, в которых оформляется
(структурируется) не только само знание, но и средства его получения. Только
относительно таких теорий можно решать метатеоретические проблемы:
устанавливать их непротиворечивость, полноту, выявлять вопрос о разрешимости,
обосновывать наличие различных отношений между ними и т. д. Среди
формальных особо были выделены те теории, содержание которых фиксируется на
специально созданном символическом языке, а все допустимые
преобразования (в том числе и рассуждения) строятся как преобразования одних
последовательностей символов в другие их последовательности. Такого рода теории
были названы исчислениями.
Важное членение класса теорий состоит в том, что среди них выделяют, с
одной стороны, логико-математические теорий, а с другой - теории
эмпирические, к числу которых относятся теории разнообразных эмпирических наук:
физики, химии, биологии, геологии, истории, социологии, психологии и т. д.
Объектом исследования в первых теориях являются не реальные предметы
эмпирически данного нам мира, а объекты абстрактной (идеальной) природы. В
силу этого здесь не применяются эмпирические методы познания - наблюдение,
эксперимент, измерение. Теоретическое знание возникает в этих теориях за счет
особой работы интеллекта, способного создавать, конструировать абстрактные и
идеальные объекты.
Действительно, в логике, например, предметом исследования не являются
реальные рассуждения конкретных людей. Предметом ее исследования является
рассуждение как некий абстрактный объект, а потому она, как мы видели в
предыдущих главах, и не проверяет правильность своих построений обращением к
конкретной практике человеческого мышления. Описание особенностей
последнего является задачей психологии, а не логики. Аналогична ситуация и в
области математики. Так, в геометрии Евклида непосредственно описываются
свойства и устанавливаются отношения, справедливые для геометрических фигур,
которые являются идеальными объектами. А потому теоремы геометрии Евклида,
501

например теорема «Сумма внутренних углов треугольника равна 2d», вовсе не
относятся к реальным геометрическим телам, скажем к треугольникам,
нарисованным мелом на доске, выпиленным из дерева или отлитым в металле. Для них
это свойство даже нельзя проверить, так как любое измерение будет давать
определенную погрешность - ведь у нас нет идеальных измерительных приборов,
а всякий материальный прибор измеряет ту или иную величину лишь с
некоторой степенью точности.
Логические и математические теории выполняют в научном познании
инструментальную роль, т. е. они входят в состав других теорий в качестве
средств, позволяющих осуществлять как индуктивные, так и дедуктивные
процедуры вывода.
Логические теории входят в состав любой другой теории - будет ли она
дедуктивной или эмпирической. При этом если список параметров нелогических
терминов формальной теории не интерпретирован, то мы имеем дело с
некоторой чистой логической теорией. Если же список параметров нелогических
терминов интерпретирован, то мы имеем дело прикладной логической теорией.
Если, кроме того, в составе теории присутствуют специальные аксиомы,
задающие содержание нелогических терминов, то речь идет о некоторых специальных
нелогических теориях, которые можно рассматривать как прикладные логики.
Математические теории входят в состав математизированных эмпирических
теорий, а потому любая математизированная эмпирическая теория может
трактоваться как прикладная математика. Таковыми являются, например,
физические теории, в которых математика выступает как средство теоретической
работы физика.
В противоположность логико-математическим теориям предметом
исследования в теориях эмпирических являются не абстрактные, а реальные объекты
эмпирического мира, т. е. основной целью построения таких теорий всегда
является изучение некоторого фрагмента реальности. Поэтому проверка наличия у
этих эмпирически данных нам предметов определенных свойств, отношений
или функциональных зависимостей осуществляется здесь эмпирическими
методами - процедурами наблюдения, эксперимента или измерения.
При этом термин «наблюдение» используется в методологии науки весьма
широко. Это может быть: наблюдение, осуществленное с помощью органов
чувств; наблюдение, осушествленное с помощью тех или иных приборов;
получение каких-либо фактуальных данных на основе измерений; наконец, к
числу наблюдений может быть отнесен и тот вычисленный результат, который
приобретен на основе сведений, ранее добытых эмпирическими способами.
Так, в классической механике в качестве исходных терминов наблюдения
принимаются термины «время», «длина», «вес». На основе этих терминов можно
далее определить производные термины, такие как - «скорость», «ускорение»,
«сила», «количество движения», «кинетическая и потенциальная энергия»,
«работа», «момент силы», «импульс силы» и другие. Значения последних
терминов могут быть теоретически вычислены, если нам известны значения
исходных, а потому они тоже могут быть отнесены к терминам наблюдения.
502

Совокупность полученных в ходе такого исследования фактуальных
предложений составляет эмпирический базис теории. Если сами фактуальные
предложения в состав теории не входят, т. е. в ней имеются лишь помологические
утверждения, т. е. законы науки, то такая теория называется чистой эмпирической
теорией. Если же в составе теории имеются фактуальные предложения, то
теория называется прикладной эмпирической теорией.
В зависимости от того, каким способом в эмпирических теориях
представлены предметы исследования - описываются ли они только внешними
(наблюдаемыми) параметрами или учитывается их внутренняя структура, - можно
различать теории двух типов. Первые называются феноменологическими, а вторые
структуры ыми.
Исходными терминами в феноменологических теориях (от греч. феномен -
то, что дано явно, очевидно) являются так называемые термины наблюдения.
Это означает, что в качестве значений этих терминов, т. е. в качестве свойств,
отношений, предметно-функциональных характеристик выступают такие
характеристики реальных предметов наличие или отсутствие которых может быть
установлено эмпирическими методами (актами наблюдения). В структурных
теориях реальные объекты рассматриваются как обладающие некоторой
внутренней структурой. С этой целью в теорию вводятся особые гипотетические, т. е. не
наблюдаемые сущности, образующие эту внутреннюю структуру, поведение
которых и описывается в теории.
Примером конечно аксиоматизированной чистой логической теории может
служить то аксиоматическое исчисление высказываний АР, которое
рассматривалось в главе IV. Это исчисление содержало конечное число аксиом и два
правила вывода: modus ponens и правило подстановки. Примером рекурсивно
аксиоматизируемой чистой логической теории может служить исчисление
высказываний со схемами аксиом САР, которое тоже рассматривалось в главе IV. В
главах IX и X при записи понятий и определений использовалось так
называемое прикладное исчисление предикатов.
Примером конечно аксиоматизированной математической теории может
служить, например, теория частичного порядка. В этом случае к исчислению
предикатов 1-го порядка присоединяются следующие специальные аксиомы,
задающие свойства нелогического знака «<»:
\/х—.(jc <х)- антирефлексивность,
VxVyVz(JC <y&y<z^x<z)- транзитивность.
Примером рекурсивно аксиоматизированной (в силу того, что принцип
математической индукции является схемой аксиом) математической теории может
служить формальная арифметика - ФА (см. ниже). Еще одним примером
аксиоматической математической теории может служить теория множеств Цер-
мело-Френкеля. В этом случае к первопорядковому исчислению предикатов
присоединяются следующие специальные аксиомы:
ТМ1. Аксиома объемности. Два множества д: и у равны, если содержат одни и те
же элементы, т. е. х = у = {х с у & у с jc).
ТМ2. Аксиома пары. Если хну- различные множества, то существует
множество {х, у}, содержащее элементами в точности л: и у.
503

ТМЗ. Аксиома выделения. Для всякого множества л: и предиката А,
определенного на этом множестве, существует множество у, состоящее в точности из
тех элементов z множества х, для которых верно, что А(г), т. е.
X?x3y\/z(z ey=zex&А(г)).
ТМ4. Аксиома объединения. Для любого множества множеств л: существует
множество их, состоящее в точности из всех элементов, являющихся
элементами элементов множества х.
ТМ5. Аксиома бесконечности. Существует, по крайней мере, одно бесконечное
множество - множество натуральных чисел.
ТМ6. Аксиома множества-степени. Для любого множества х существует
множество 2х всех подмножеств множества х.
ТМ7. Аксиома выбора. Для любого непустого множества х попарно
непересекающихся множеств существует некоторое множество Сх, содержащее в
качестве своих элементов ровно по одному элементу из каждого элемента
множества х.
ТМ8. Аксиома подстановки. Для каждого множества л: и однозначной функции
f, определенной на х, существует множество у, содержащее в качестве
элементов f(z) для z е х.
Примером конечно аксиоматизированной и математизированной физической
теории является классическая механика Ньютона, которая содержит следующие
специальные аксиомы:
МН1. Первый закон Ньютона. Если на материальное тело не действует никакая
сила или равнодействующая всех сил равна нулю, то тело пребывает в
состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.
МН2. Второй закон Ньютона. Сила, действующая на некоторое материальное
тело, прямо пропорциональна его массе и ускорению, т. е. F = m • а.
МНЗ. Третий закон Ньютона. Силы взаимодействия двух материальных тел
равны по модулю и направлены в противоположные стороны, т. е. имеет
место равенство mod|Fik| = mod|Fki|, где Fik - сила, с которой тело i
действует на тело k, a Ft, - сила, с которой тело к действует на тело i.
МН4. Преобразования скоростей Галилея. Пусть К и К' две инерциальные
системы отсчета. Пусть положение в момент времени t некоторого тела в
системе К задается координатами х, у, z. Пусть v - скорость
прямолинейного и равномерного движения второй системы относительно первой.
Тогда координаты этого тела по осям координат в системе К' при равенстве
t = t' определяются преобразованиями:х' = х- \xt;у' =у~ vyt; z' ~z— vzt.
Данная теория, будучи обогащена законом всемирного тяготения:
F = kml m2/r2;
становится теорией чистой классической небесной механики Ньютона. Эта
теория относится к классу феноменологических теорий.
Чтобы в рамках этой теории описать движение Земли вокруг Солнца, чистая
небесная механика обогащается терминами «Земля» и «Солнце», вводятся такие
величины, как массы этих тел, расстояние между ними, положение Земли на
орбите в определенный момент времени. При более детальном анализе могут
вводиться и другие параметры, Так, если мы пожелаем учесть возмущающее
влияние других планет Солнечной системы, то нужно в фактуальных предложениях
описать и все необходимые параметры для этих небесных тел (какие при этом

нужны параметры, определяется законами - уравнениями движения, которые
будут применяться). Полученная так теория представляет собой уже не чистую,
а прикладную небесную механику. В рамках этой теории, вводя соответствующие
величины в уравнения движения, можно вычислить положение Земли на орбите
в любой интересующий нас момент времени и выразить эту информацию
соответствующим фактуальным предложением.
Еще одним примером чистой физической феноменологической теории
является классическая термодинамика - теория, исследующая распространение тепла
в твердых, жидких и газообразных сплошных средах. Терминами наблюдения в
ней являются термины «объем», «давление», «температура», «теплообмен»,
«внутренняя энергия», «работа», «обратимый» и «необратимый процесс» и др.
Примером чистой структурной физической теории является статистическая
термодинамика, в которой сплошные среды трактуются, как состоящие из
молекул и атомов, находящихся в состоянии хаотического движения. В силу этого
предполагается, что с данными гипотетическими объектами (их реальность была
обоснована рентгеноскопическими исследованиями) связаны различные
динамические характеристики - скорость, кинетическая энергия, количество
движения и т. д. В статистической термодинамике выводятся, например, в качестве
производных законы Бойля-Мариотта и Гей-Люссака классической
термодинамики. Здесь удается объяснить такие макронаблюдаемые явления, как вязкость,
теплопроводность, диффузию, сжимаемость, испарение и другие феномены за
счет интерпретации терминов наблюдения в терминах статистической
термодинамики. Например, внутренняя энергия системы определяется как среднее
статистическое значение суммы энергий микрочастиц, давление идеального газа на
стенки сосуда определяется как функция от количества молекул соударяющихся
со стенками и их скоростью, диффузия рассматривается как поток молекул, а
теплопроводность как поток энергии.
Примером философской конечно аксиоматизированной теории может
служить самая первая известная из истории науки аксиоматическая теория, которая
была сформулирована древнегреческим философом Парменидом - теория
онтологии (от греч. слова ovto^ - бытие). Она содержит единственную аксиому -
«Бытие есть, а небытия - нет». Из этого положения выводится ряд теорем.
Рассмотрим некоторые из них:
1. Бытие едино (т. е. существует только одно бытие).
Доказательство ведется методом от противного. Допустим, что существует не
одно бытие, а их несколько, например два. Тогда они отделялись бы друг от
друга небытием, которое в этом случае должно было бы существовать. Однако,
согласно аксиоме, небытия нет. Итак, мы получили противоречие, из чего
вытекает, что наше допущение о существовании более чем одного бытия неверно, и,
следовательно, бытие едино.
2. Бытие не ограничено.
Действительно, допустим, что бытие имеет границу. Тогда оно ограничивалась
бы небытием. Но небытия нет, а потому наше предположение неверно, и,
следовательно, бытие не имеет границ.
3. Бытие неподвижно.
Допустим противоположное, т. е. что бытие движется. Тогда оно может
двигаться только там, где существует небытие. Но небытия, согласно принятой
505

аксиоме, нет, а потому данное предположение неверно, и, следовательно,
бытие неподвижно.
4. Бытие не имеет начала и конца во времени.
Действительно, допустив противоположное, мы вынуждены будем признать
существование небытия, которое предшествует существованию или воспоследует
после существования бытия. Это ведет нас к противоречию, в силу чего мы
вынуждены признать, что бытие не имело начала и не будет иметь конца своего
существования.
Что касается философских теорий, то их отнесение к числу дедуктивных или
эмпирических определяется характером типа философствования, который
развивался тем или иным философом. Так, в рационалистических вариантах
философские теории строятся обычно как дедуктивные системы (неоплатонизм -
Плотин, Прокл, Декарт, Спиноза, Лейбниц, Вольф, Гегель и др.), при эмпирическом
же подходе к философской проблематике и сами философские теории строятся
как эмпирические (Локк, Гоббс, Миль и др.).
1.5. Интерпретация теорий
С научными теориями - будут ли они логико-математическими или
эмпирическими - можно связать две возможные их реализации. С одной стороны, в
качестве возможной реализации языка научной теории выступает некоторый
фрагмент объективно сущей реальности. Будем в этом случае говорить, что мы
имеем дело с реальной интерпретацией теории - RI. С другой стороны, всякая
непротиворечивая теория в обязательном порядке имеет в качестве возможной
реализации своего языка область, состоящую из абстрактных и идеальных
объектов. Будем в этом случае говорить об абстрактной интерпретации теории -
AI. Между этими двумя интерпретациями существует отношение более или
менее точного подобия, так как элементы из AI выступают в качестве
теоретических копий (образов) реальных предметов из RI. Иначе говоря, RI » AI, где ««» -
знак подобия. Поясним сказанное подробнее.
Под абстрактным объектом (предметом) обычно имеют в виду объект,
который образуется путем отвлечения (абстрагирования) от реальных предметов
некоторых их признаков и гипостазирования далее этих признаков в некоторые
самостоятельные сущности (индивиды). Таковыми являются числа, меридианы,
параллели, орбиты планет, математические функции и т. д. Под идеальным
объектом имеют в виду некий предмет, образованный посредством наделения
реальных предметов такими абсолютными (предельными) характеристиками,
которые им заведомо не присущи. Таковыми являются инерциальные системы
отсчета (здесь мы наделяем некоторый предмет признаком абсолютной
изолированности от действия на него каких-либо реальных сил), материальная
точка (реальный предмет наделяется свойством абсолютного отсутствия
размеров), абсолютно упругое тело, идеальный газ и т. д.
Эти абстрактные и идеальные объекты являются теоретическими копиями
(моделями) реальных предметов из RI. Так, часто говорят, что в теории для
описания неких реальных предметов и процессов была использована модель абсо-
506

лютно твердого тела, сплошной среды, идеального упругого тела, идеальной
жидкости, вязкой жидкости, идеального газа, пластического тела,
гармонического осциллятора и т. д. Это следует понимать в том смысле, что некоторый
реальный эмпирический предмет был рассмотрен в теории с точностью до
принятых в этой теории абстракций и идеализации.
Выше говорилось, что объектом исследования в логико-математических
теориях являются не реальные предметы эмпирически данного нам мира, а
объекты абстрактной (идеальной) природы. В частности, в логике предметом
исследования не являются реальные рассуждения конкретных людей. Тем не менее
логика применяется для анализа именно конкретных рассуждений, т. е.
используется как средство анализа некоторого фрагмента реальности - в данном случае
языкового, мыслительного фрагмента реальности. Последнее оказывается
возможным потому, что формальное рассуждение - исследуемый в логике
абстрактный объект - является более или менее точной теоретической копией
(моделью) реальных рассуждений, которые мы осуществляем на каждом шагу своей
практической деятельности. В силу этого логические теории в обязательном
порядке интерпретируются и на саму реальность. В ходе такого сравнения логики
с реальностью устанавливается недостаточность той или иной логической
теории, выявляется необходимость построения иных логических теорий. Именно
таким образом вслед за силлогистикой была построена классическое исчисление
предикатов, а вслед за этим были созданы различные неклассические логики -
многозначные, модальные, релевантные и многие другие.
Аналогична ситуация и с математикой, которая широко применяется в
расчетах различных реальных инженерных конструкций, эмпирических науках, т. е.
используется для описания некоторых фрагментов реальности. Последнее
оказывается возможным только потому, что идеальные объекты математики,
например геометрические фигуры, являются теоретическими копиями (аналогами)
геометрических форм реальных тел, т. е. формы реальных тел в большей или
меньшей степени подобны геометрическим фигурам, а числа являются
теоретическими копиями реальных величин, присущих материальным объектам.
Чтобы подчеркнуть эту особенность, часто специально различают
геометрию как математику и геометрию как физику. В первом случае говорят о
математическом пространстве, а во втором - о пространстве физическом. Первое
исследуется интеллектуально, в то время как второе изучается с помощью
эмпирических методов. Так, например, известно, что Лобачевский пытался
эмпирически обосновать справедливость своей неевклидовой геометрии путем измерения
внутренних углов треугольников с большими размерами сторон. Тем самым он
пытался найти соответствие между математическим пространством своей
геометрии и физическим пространством.
Итак, наши примеры показывают, что, имея дело с логико-математическими
теориями, мы можем интерпретировать (и на самом деле интерпретируем) их
как на абстрактные объекты, так и на саму объективную реальность, т. е. имеем
дело с двумя типами интерпретаций - RI и AI.
507

Перейдем к рассмотрению эмпирических теорий. Выше говорилось, что в
последних объектом исследования являются реальные предметы эмпирического
мира. Это действительно так, но при детальном рассмотрении эмпирических
теорий ситуация оказывается гораздо более сложной, ибо каждая научная теория
(в том числе и эмпирическая) никогда не описывает объективную реальность
непосредственно. Последнее осуществляется с помощью фактуальных
предложений, а не теоретических. Теория же всегда основывается на принятии
некоторых абстракций и идеализации, а потому при теоретическом описании
некоторого фрагмента реальности эта реальность рассматривается не во всей своей
конкретной полноте, но лишь с точностью до принятых в теории абстракций и
идеализации.
Обычно для описания реальности используется не одна, а спектр теорий, в
каждой из которых происходит последовательное снятие тех абстракций и
идеализации, которые лежали в основе исходной теории. Однако надо всегда
помнить, что ни одно теоретическое построение никогда полностью не совпадает с
самой реальностью. Не только в самых общих (абстрактных) теориях, но даже в
теориях технических - баллистика, сопротивление материалов, теория
гироскопов, гидравлика и других - мы никогда не достигаем полного, завершенного
описания реальности, так как целый ряд свойств эмпирически данных нам
предметов всегда остается неучтенным, или даже непознанным.
С подлинной, настоящей реальностью мы имеем дело только в эмпирии, при
практическом оперировании с предметами. Например, при перемещении
предмета перемещается не некий его абстрактный аналог, а конкретный предмет со
всеми своими познанными и непознанными свойствами. Отклик предмета на
наше воздействие на него всегда подлинен. Именно поэтому практика и
выступает в качестве настоящего, окончательного, последнего критерия истинности
для эмпирических теорий.
Рассмотрим сказанное на примере небесной механики Ньютона. Для описания
движения Земли вокруг Солнца Ньютон построил первоначально прикладную
теорию, основанную на теории чистой небесной механики, в которой Земля и
Солнце рассматривались весьма абстрактно - как две материальные точки, одна
из которых неподвижна, а другая вращается вокруг первой по некоторой орбите.
Уже на этой стадии ему удалось вывести в качестве производных все законы
Кеплера, которые были получены последним как эмпирические обобщения.
Далее он перешел к рассмотрению другой прикладной теории, в которой обе
материальные точки вращались вокруг своего общего центра тяжести. После этого
им была разработана теория, в которой и Земля и Солнце рассматривались уже
не как точечные объекты, а как тела, имеющие шарообразную форму. Вслед за
этим он начал работать над теорией, в которой эти тела вращались вокруг оси и
их вращение было неоднородным. Тем самым он начал учитывать различия в
распределении плотности вещества в объемах этих небесных тел. Затем он
допустил межпланетарные силы и начал строить теорию, в которой на движение
Земли свое возмущающее гравитационное воздействие оказывали другие
планеты. После чего он развил прикладную теорию, в которой Земля и Солнце
рассматривались как деформированные, а не шарообразные тела. Но на этом исто-
508

рия точного описания движения Земли вокруг Солнца не окончилась. Она
продолжилась и после Ньютона в работах ученых XVIII-XX вв.
Этот пример показывает, что даже прикладные феноменологические теории,
в которых мы вроде бы наиболее непосредственно описываем саму реальность
и потому они должны были бы интерпретироваться прежде всего на эту
реальность и только на нее, на самом деле имеют и еще одну интерпретацию - на
область абстрактных и идеализированных объектов. В этом смысле любое
теоретическое знание - будет ли это логико-математическое знание или это будет
эмпирическое знание - имеет общие черты, которые позволяют говорить об их
сходстве.
Подводя итог сказанному, приведем общую схему взаимоотношений теории
с ее двумя интерпретациями - RI и AI.
теория (Т)
/\
AI « RI
Схема 1
1.6. Функции теории
Рассмотрим кратко вопрос о тех функциях, которые выполняют теории. К
их числу обычно относят функции систематизации, объяснения и предсказания.
Под систематизацией в общем случае имеют в виду установление
некоторых логических зависимостей (взаимосвязей) между фактами природы, т. е.
введение некоторой структуры во множество фактов. Мир в этом случае предстает
перед нами не как некоторая беспорядочная груда фактов, а некоторое
структурированное многообразие. Различают два способа систематизации: дедуктивную
и индуктивную.
Пусть Т будет чистой эмпирической теорией, сформулированной в языке L,
пусть далее h и е будут нетавтологичными фактуальными предложениями, т. е.
предложениями, взятыми из эмпирического базиса теории. Тогда:
Т осуществляет дедуктивную систематизацию, если существуют
такие hue, что:
\.еУ- h,
2.Ти {е} К h.
В данном определении в случае, когда Т - конечно аксиоматизированная
теория, условие 2 можно заменить условием 2': Т & е \- h. Отметим, что теория
Ти{е}-это уже прикладная теория.
При тех же условиях понятие индуктивной систематизации определяется
следующим образом:
Т осуществляет индуктивную систематизацию, если существуют
такие h и е, что:
509

\.e¥h,
2.Tu {e} 4- h,
З.Ти {e} II- h,
В этом определении важным моментом является понимание отношения
правдоподобной выводимости, которое трактуется либо в смысле позитивной
релевантности, либо обратной дедукции.
Чрезвычайно существенной функцией теоретического знания является
функция объяснения. Наиболее общей схемой процедуры объяснения является
так называемая дедуктивно-номологическая ее модель: считается, что теория
объясняет некоторое явление (факт природы), если и только если
соответствующее фактуальное предложение может быть подведено под законы науки,
т. е. может быть дедуцировано из утверждений теории. Иначе говоря,
Т объясняет h sDf Т I- h,
где Т - прикладная эмпирическая теория.
Введенное так понятие объяснения является наиболее общим, так как
применимо и к теориям, которые носят феноменологический характер, и к теориям
структурным. Если Т феноменологическая теория, то данное понятие может
быть названо феноменологическим объяснением. Однако наиболее ценной
формой объяснения является тот случай, когда Т - это структурная теория, и
объяснение наличия факта h состоит в раскрытии механизма причинного порождения
явления h. Такое объяснение может быть названо структурным объяснением.
Так, объясняя феноменологически, почему медь проводит электричество, мы
можем сослаться на то, что все металлы являются проводниками, а медь - это
металл, т. е. осуществляем силлогистический вывод предложения «Медь -
проводник электричества» в прикладной теории Т, содержащей номологическое
утверждение «Все металлы - проводники электричества» и фактуальное
предложение «Медь - металл». Объясняя же это явление структурно, мы можем
сослаться на тот факт, что медь содержит атомы, легко отдающие электроны с
внешней своей орбиты. Это приводит к тому, что в меди имеются свободные
электроны, которые при приложении к медному проводнику тока начинают
перемещаться, что и фиксируется нами как электрический ток.
Другими важными функциями теоретического знания являются функции
предсказания. Схема выполнения теориями этих функций аналогична
вышеприведенной, т. е.
Т предсказывает h =Df Т Ь h.
Различие же между предсказанием и объяснением состоит лишь в том, что
при предсказании h - это факт, который еще только следует установить, а не
факт, который уже нам известен.
Часто некоторым теориям отказывают в научности, потому что они не
обладают «предсказательной силой». Обычно это говорится о теориях таких
дисциплин, как биология, геология, история, социология, философия и др. Однако надо
510

иметь в виду, что не каждая даже физическая теория, заданная с помощью
дифференциальных уравнений движения, обладает «предсказательной силой». Такими
являются, например, теории, моделирующие явление неравновесных процессов,
динамического хаоса. В этом случае поведение системы достаточно быстро
становится непредсказуемым, хотя все законы строго детерминистичны.
§ 2. Логический анализ теорий
2.1. Основные метатеоретические свойства теорий
Выше был обсужден вопрос о том, что представляют собой теории с
общефилософской точки зрения. Теперь опишем основные металогические
характеристики нелогических формальных теорий, т. е. укажем на основные свойства,
присущие данным теориям; операции, которые с ними можно выполнять; а
также на некоторые отношения, которые существуют между теориями.
Обычно каждую формальную теорию пытаются проверить на ее
непротиворечивость и полноту. При этом различают семантическую и
синтаксическую непротиворечивость и полноту. Чтобы приступить к обсуждению
указанных металогических свойств теорий, необходимо напомнить о некоторых
важных понятиях.
В главе V было сказано, что следует понимать под интерпретацией перво-
порядкового языка L на непустое множество U. Речь в этом случае шла о
некоторой интерпретирующей функции I, приписывающей значения нелогическим
терминам языка L. Здесь же было определено понятие возможной реализации
языка L, т. е. был введен объект 3 = <U, 1>, и задано понятие истинности
произвольной замкнутой формулы (предложения) А языка L в возможной реализации
3 = <U, 1>.
Далее во всех определениях в качестве выражения А будут рассматриваться
именно замкнутые формулы языка L, т. е. предложения.
Исходя из этого, теперь можно следующим образом задать понятие
семантической непротиворечивости для нелогической теории Т:
Т семантически непротиворечива, если и только если 3 3 V А(Т I- А
=> А истинна в 3),
Информация, которая заключена в этом определении, часто выражается
более кратко следующей фразой:
Т семантически непротиворечива тогда и только тогда, когда она
имеет модель.
Отсюда становится ясным, что семантически противоречивые теории не
имеют моделей, т. е. они ничего не описывают, а потому такого рода теории
не представляют никакого научного интереса.
Важным понятием является понятие синтаксической непротиворечивости:
511

Т синтаксически непротиворечива =Df -^3 А(Т Ь- А & Т I А).
Согласно данному определению, в противоречивой теории доказуемо
противоречие, т. е. доказуемо некоторое утверждение А и его отрицание —А. Если
это так, то тогда, в силу так называемого закона Дунса Скотта классической
логики - (А & —А) з В, в такой теории доказуемым становится любое
утверждение, а это плохо, так как при построении теории мы преследуем цель
установить, что имеет место в мире. Тем самым мы пытаемся отделить сущее в
мире от не сущего, но синтаксически противоречивая теория как раз эту функцию
и не может выполнить, а потому противоречивая теория не имеет научной
ценности. Среди теорий, построенных на основе классической логики с
некоторым фиксированным словарем нелогических терминов, существует ровно
одна противоречивая теория - это множество всех предложений,
сформулированных на данном языке.
Доказательство непротиворечивости некоторой теории является
нетривиальной задачей. В настоящее время соответствующие метатеоремы доказаны для
целого ряда математических формальных теорий. Доказательство
непротиворечивости относительно теорий ограничено тем известным результатом (см.
ниже), согласно которому в таких доказательствах необходимо использовать более
мощные дедуктивные средства, чем те средства, которые формализуются в
самой теории. Поэтому для многих теорий часто доказываются метатеоремы не об
их непротиворечивости, а об их так называемой относительной
непротиворечивости: некоторая теория Tj считается непротиворечивой относительно теории
Т2, если допущение противоречивости Ti означает, что в таком случае и теория
Т2 тоже противоречива.
Перейдем теперь к рассмотрению свойства полноты теорий.
Т семантически полна щ^ Э 3 V А(А истинна вЗ=>Т1- А).
Выполнимость для некоторой теории этого условия, совместно с
выполнением условия о семантической ее непротиворечивости, означает, что у теории
существует такая модель, истинность в которой любого предложения возможно
тогда и только тогда, когда это предложение является теоремой теории. В этом
случае говорят, что семантика теории адекватна ее синтаксису, т. е. полностью
формализует класс истинных утверждений.
Т синтаксически полна (максимальна) =т V А(Т f- A v Т I А).
Как было показано в главе VI, классическое исчисление предикатов
первого порядка не обладает свойством максимальности. Однако классическое
первопорядковое исчисление предикатов может быть пополнено
специальными аксиомами таким образом, что некоторая нелогическая теория
окажется синтаксически полной. Такой теорией является, например, теория
частичного порядка.
Еще одним важным свойством теорий является свойство их
разрешимости. Теория считается разрешимой тогда и только тогда, когда существует
512

некоторая алгоритмическая процедура, которая в конечное число шагов дает
ответ на вопрос, является некоторое утверждение теоремой теории или нет.
Иначе говоря:
Тразрешима-^ 3fVA(f"(А) = j*' если А-теорема )
10, если А - не теорема,/
где f - рекурсивная функция, которая как раз и является указанной конечной
процедурой, т. е. является разрешающим алгоритмом. Свойством
разрешимости обладают некоторые математические теории и классическая логика
высказываний.
2.2. Операции над теориями
Так как теории представляют собой классы предложений, над ними можно
производить все операции, которые производятся и над множествами. Единственное условие
состоит в том, что результатом этих операций должна быть опять теория. Для
рассмотрения данного вопроса нам потребуется использовать второе введенное выше
формальное понятие теории.
Пересечение двух теорий Tj п Т2 всегда является теорией. Однако в общем случае
объединение двух теорий Ti и Т2 необязательно является теорией. Тем не менее
С«(Т] и Т2) всегда есть теория. Поэтому можно ввести новую операцию объединения
для теорий - Ti О Т2 = Си(Т] и Т2). Наименьшей теорией является теория С«(0),
которую можно обозначить термином «0». Эта теория не содержит ни одного предложения,
т. е. она представляет собой пустое множество. Наибольшей теорией является теория,
которую можно задать условием - Сп(А & —.А). Она обозначается символом «1». Это
противоречивая теория, она содержит класс всех предложений, который может быть
построен в некотором фиксированном языке L. Что касается операции дополнения над
теориями, то здесь опять-таки надо иметь в виду, что в общем случае класс
предложений, определяемый условием 1\Т, где «\» — знак теоретико-множественного вычитания,
не есть теория. Поэтому дополнение вводится следующим образом: по каждому
предложению А, являющемуся теоремой теории Т, строится теория Сп(—А) и затем
образуется пересечение всех таких теорий. Это и будет теория, являющаяся дополнением
теории Т, т. е. Т = п Ся(-А).
АеТ
А. Тарский показал, что класс всех теорий, сформулированных на одном и том же
языке на базе классической логики, образует относительно операций п, О ,', 0 и 1 так
называемую брауэрову алгебру. С другой стороны, если ограничиться рассмотрением
только конечно аксиоматизируемых теорий, то класс всех таких теорий образует
булеву алгебру.
Действительно, каждую конечно аксиоматизированную теорию можно описать с
помощью единственной аксиомы, являющейся конъюнкцией конечного числа аксиом.
Обозначим эту конъюнктивную формулу посредством А. Тогда под теорией Т, заданной
конъюнкцией аксиом А, понимается замыкание А, т. е. Сп(А), а соответствующие
операции вводятся следующим образом. Наименьшая (0) и наибольшая (1) теории
определяются, как и ранее, дополнением теории Т = Сп(А) будет теория Т' = Си(—.А), операция
объединения двух теорий определяется условием Си(А) О Си(В), а пересечение —
условием Ся(А) D С«(В).
17 Введение в логику
513

2.3. Отношения между теориями
Существует огромное количество различных отношений между теориями. Мы
укажем только некоторые, наиболее важные, с нашей точки зрения, отношения. Рассмотрим
вначале отношения между теориями, которые формулируются на одном и том же языке
и используют один и тот же словарь нелогических терминов. Тогда:
Tj дедуктивно эквивалентна Т2 (Ti = Т2) =Df V A(Ti Ь- А о Т21- А),
Т] является подтеорией Т2 (Ту с Т2) =Df ^ A(Ti \- А => Т2 Н А),
Т! несовместима с Т2 sDf Сп(Т\ и Т2) - противоречива,
Т, и Т2 независимы друг от друга =Df Tt о Т2 = Сп(0).
Так, например, различные формулировки классического исчисления высказываний,
задаваемых различным набором аксиом, являются дедуктивно эквивалентными теориями.
Интуиционистская логика высказываний является подтеорией классической логики
высказываний. Геометрия Евклида и геометрия Лобачевского являются несовместимыми теориями.
Интересным является случай, когда теории формулируются в разных языках
(языках с разными словарями): теория Тх в языке Lb а теория Т2 в языке L2. В этом случае
можно ввести следующие отношения между теориями. Пусть А] будет предложением
языка Li. Тогда:
Т2 является некреативным расширением Tt =Df V A^Tj I- Ax о Ti Ь- A)).
Например, классическое первопорядковое исчисление предикатов является
некреативным (т. е. нетворческим, от греч. креация - творение) расширением классического
исчисления высказываний. Языки, в которых формулируются эти теории, различны.
В частности, в исчислении высказываний нет кванторов, индивидных переменных и
констант, отсутствуют предикатные и функциональные параметры. Тем не менее каждая
формула, содержащая лишь знаки алфавита исчисления высказываний, доказуема в пер-
вопорядковом исчислении предикатов только тогда, когда она доказуема в классическом
исчислении высказываний. Существуют и креативные расширения. Так, аналитическая
теория чисел является креативным расширением элементарной теории чисел: в
аналитической теории доказываются такие теоремы, относящиеся к элементарной теории чисел,
которые в последней недоказуемы.
Пусть далее Д) будет множеством определений всех терминов языка L2, которые
отсутствуют в языке Lb посредством терминов языка Li. Тогда:
Т2 является дефинициальным расширением Tj =Df Т2 = Сп(Т\ и ДД
Т] дефинициалъно эквивалентна Т2 =Df существуют дефининиальные
расширения Tj до Т2 и Т2 до Ti, которые эквивалентны друг другу.
Например, пусть теории Tj и Т2 строятся на базе исчисления предикатов с
равенством и теория Т] характеризуется двумя аксиомами:
Vjc-i(jc < х) - антирефлексивность,
\/х \/у Vz (x<y&y<xz)x<y)- транзитивность,
а теория Т2 характеризуется тремя аксиомами:
\/х (х < х) - рефлексивность,
VxVj (x<y&y<xzDX=y)- антисимметричность,
VjcVy \/z (х < у &. у < z^> х < z) - транзитивность.
514

Тогда, определяя в Т, предикат «<» посредством дефиниции:
Ai-x<y =Df x<yvx=y,
и, определяя предикат «<» в Т2 посредством дефиниции:
Д2: ж <у =Df х <у & л: фу,
можно показать, что теории Т) и Д] и Т2 и Д дедуктивно эквивалентны друг другу.
Фактически это просто разные формы теории частичного порядка.
Чрезвычайно важным способом сравнения теорий, применимым даже в том случае,
когда теории построены не только в разных языках, но и строятся с использованием
различных логик, является понятие переводимости. Пусть Tj и Т2 будут теориями,
сформулированными соответственно в языках Lj и L2 с соответствующими каждой из них
логиками. Пусть ф будет рекурсивной функцией, сопоставляющей каждой формуле языка L(
некоторую формулу языка L2. Функция ф называется переводом теории Тг в Т2, если и
только если выполняется условие: i/ А(А е Ti => ф(А) е Т2). В этом случае говорят, что
теория Т] вложима в теорию Т2. Если дополнительно к этому выполняется условие:
\/ А(ф(А) е Т2 => А е Tj), то говорят, что Ti погружается в Т2. Итак,
Т] погружаема в Т2 =ш Э ф(ф погружает Т] в Т2).
В настоящее время доказано большое число метатеорем, обосновывающих
погружаемость одной теории в другую. В частности, известен результат о погружаемости
классического исчисления высказываний в интуиционистскую логику.
§3. Идея доказательства ограничительных теорем1
3.1. Общее представление о формальной арифметике
Принципиально важное значение для философии и понимания процесса познания
имеют ограничительные теоремы, которые были получены в логике. К их числу
относятся теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики, теорема Чёрча о
неразрешимости первопорядкового исчисления предикатов, теорема Тарского о
невыразимости предиката истинности для некоторой системы, средствами самой этой системы и
др. Так как доказательство этих теорем достаточно громоздко, далее будет
рассмотрена лишь общая идея их доказательства. Но предварительно кратко рассмотрим, что
представляет собой формальная арифметика.
Формальная арифметика ФА строится на основе первопорядкового исчисления
предикатов со следующими схемами аксиом:
СА1. А з (В з А),
СА2. (A з (В з С)) з ((А з В) з (А з С)),
САЗ. (-А з -,В) з ((-Л з В) з А),
СА4. Va(A з B(a)) з (А з VaB(a)), где А не содержит свободно а,
СА5. VaA(a) з A(a/t).
1 Изложение материала в этом параграфе существенно опирается на работу Э. Мендельсона
«Введение в математическую логику», М., «Наука», 1976.
515

Правилами вывода являются modus ponens и правило генерализации.
Алфавит ФА содержит знаки:
\.х,у, z, Xi,yi, Z\,х2,... - бесконечный список индивидных переменных,
2. aj - индивидная константа,
3. Р] - двухместный предикатор,
4. ft1, ft2, f22 - функторы (первый - одноместный, а два последних - двухместные),
5. з, —1, V - логические константы,
6. (,),, - технические символы.
Отметим только, что далее квантор общности V будет пониматься как сокращение
для следующей последовательности символов «(л:)». Такой выбор не является
случайным. Он определяется той процедурой арифметизации синтаксиса системы ФА, которая
будет ниже осуществлена. Кроме того, для ясности смысла формул будем использовать
знак «=» как замещающий предикатор Р] ; «'» - как замещающий функтор fi ; «+» - как
замещающий функтор f^; «•» - как замещающий функтор f22; «О» - как замещающий
индивидную константу ai. Обращаем внимание на то, что знаки «=», «'», «О», «+» и «•»
являются именно замещающими знаками и пишутся только для ясности дальнейших
формулировок. Тогда понятие терма можно задать следующим образом:
1. Любая индивидная переменная есть терм.
2. О - терм.
3. Если t] и t2 - термы, то (ti +t2), (tj • t2) и tt' - тоже термы.
4. Ничто иное не есть терм.
Понятие формулы теперь задается так:
1. Если tj и t2- термы, то (tj = t2) - формула.
2. Если А - формула, то -А - формула.
3. Если А и В - формулы, то (А з В) - формулы.
4. Если А - формула и а - индивидная переменная, то VaA - формула.
5. Ничто иное не является формулой.
Знаки «&», «v», «=» и «3» вводятся обычными определениями.
Система ФА кроме логических аксиом логики предикатов первого порядка
содержит также следующие специальные аксиомы:
ФА1. Х\ = jc2 з {х\ = лс3 з х2 = х3),
ФА2.Х\ = х2 зjci' = хг,
ФАЗ.О**,',
ФА4. xi = х2' з jcj = х2,
ФА5. *] + 0 = *,,
ФА6. хх + х2 = (х\ + х2)',
ФА7. дг! • 0 = О,
ФА8. Jtj • х2 = (xt ■ х2) + хь
ФА9. А(0) з (Vxi(A(xO з A(jc,')) з VjciA(xx)).
Понятие доказательства определяется стандартным образом.
В списке дедуктивных средств выражение ФА9 представляет собой не аксиому, а
схему аксиом, т.е. схему бесконечного множества аксиом. Конкретный вид аксиомы по-
516

лучается в том случае, когда вместо метавыражения А ставится та или иная конкретная
формула указанного языка.
Разворачивание системы является чисто формальным, не требующим какой-либо
интерпретации. Однако при ее построении, конечно же, предполагаются некоторые
содержательные соображения. Так, предполагалось, что знак «=» — это знак равенства, что
знак «О» - это имя числа 0, что аксиомы ФА5 и ФА6 определяют рекурсивно операцию
сложения, а ФА7 и ФА8 - операцию умножения. В аксиомах ФА1-ФА8, хотя кванторы
и не стоят, что соответствует распространенной математической практике, но они всегда
предполагаются.
В ФА доказуемы, например, в качестве теорем все аксиомы равенства, что и
обосновывает понимание знака «=» как предиката равенства.
h х~х — рефлексивность
1. х + 0=х -ФА5
2. x + 0=xzi(x + 0 = xz3X = x) - частный случай ФА1
3. х = х - т.р. 2 раза к 2 и 1
\- х=у=>у=х — симметричность
1- x=y^>(x = xz>y=x) - частный случай ФА1
2. x = x^>{x=yzDy = x) - перестановка антецедентов
3. х = х -теорема
4. x=yz>y = x -т.р. к2иЗ
\-x=yz}(y = z^>x = z)- транзитивность
1. y=xzD{y = z^x = z) - частный случай ФА1
2. х=у^>у = х -теорема
3. x=y^>(y = z^>x = z) - транзитивность з к 2 и 1
В ФА доказуемы принципы замены для термов и формул, т. е.
x=y^(t(x) = t(y)),
х = у з (А(х) =э А(у)),
где t и А, соответственно, произвольные терм и формула ФА.
Без доказательства укажем на некоторые теоремы, которые доказуемы в ФА. При
этом будем использовать знаки t, г, и s как произвольные термы.
Ь t = rz)(t + sz)r + s)- монотонность сложения,
Ht + s = s + t- перестановочность сложения,
I- (t + s) + г = t + (s + г) - ассоциативность сложения,
ht = rD(t'SDr-s)- монотонность умножения,
Ь-1 • s = s • t - перестановочность умножения,
Ь- (t • s) • г = t • (s • г) - ассоциативность умножения,
t- t • (s + г) = (t ■ s) + (t • r) - дистрибутивность • относительно +.
По определению можно ввести знаки «<» и «<»:
(t < s) =Df Зх(х Ф 0 & t + х = s),
(t < s) ^Qf t < s v t = s.
В таком случае доказуемыми становятся следующие, например, формулы:
517

h-t<r3(r<s3t<s)- транзитивность <,
h- t < t — рефлексивность <,
I— 0 < t — минимальность 0,
Ь- t = rvt<svs<t- линейность натурального ряда чисел, и другие.
Покажем теперь на некотором простом примере, как используется
математическая индукция при доказательстве теорем. Докажем с этой целью следующую
теорему:
I- \/х(х = 0+х).
Для ее доказательства надо использовать метод математической индукции, т. е.
надо доказать два утверждения: А(0) - базис индукции и А(д:) з А(х') - индуктивные шаг.
Начнем доказательство с базиса индукции:
\- А(0), т. е. Ь- 0 = 0 + 0
1. 0 + 0 = 0 - частный случай АФ5
2. 0 = 0 + 0 -по симметричности = из 1
Базис доказан. Теперь необходимо, принять индуктивное допущение, что наше
утверждение верно для случая А(дг), и обосновать, что оно будет верно и для случая А(д:'),
т. е. для числа, следующего за л:. Итак:
Ь- А(х) => А(х'), т. е. I- (х = 0 + *) з (*' = 0 +х')
1. л: = 0 + л: - индуктивное допущение
2. 0 + х' = (0 + х)' - частный случай АФ6
3. (0 + х)' = 0+х' - симметричность = к 2
4. х = 0 + х з л:' = (0 + х)' - частный случай АФ2
5. лг' = (0+*)' -т.р. к4и1
6. jc' = 0 + х' - транзитивность = к 5 и 3
Итак, осуществлен вывод: л: = 0 + л: I- х' = 0 + л:'. Так как в этом выводе мы не
использовали правило генерализации, то, применяя теорему дедукции, получаем:
Ь (x = 0+x)z>(x' = 0 + x').
Применяя к доказанному утверждению правило генерализации, получаем:
I- \/х((х = 0 + х) з (*' = 0 + *'))•
А отсюда (из базисного утверждения и индуктивного шага) по схеме
математической индукции следует окончательно доказываемое утверждение.
Можно поставить вопрос, какая часть арифметики доказуема в системе ФА?
Оказывается, что в данной формальной теории доказуемы все истинные утверждения
арифметики, которые были получены на протяжении многих веков содержательного развития
этой теории. Означает ли такой результат, что формальная арифметика является полной
теорией, т. е. что в ней доказуемы все истинные утверждения арифметики? Ответ на этот
вопрос в отрицательном плане был дан знаменитой метатеоремой Гёделя о неполноте
рассматриваемой системы.
Вообще, ФА имеет принципиально важное значение для всей философии в плане
понимания процесса научного познания, так как относительно нее были получены
важнейшие ограничительные метатеоремы, т. е. теоремы, указывающие на границы
нашего познания.
518

3.2. Теория рекурсивных функций
Разобьем теперь доказательство теоремы на некоторые пункты.
Пункт 1.
Рассматривается так называемая рекурсивная арифметика. Ее исходными
положениями являются:
1. Z(x) = 0 - нуль-функция,
2. N(jc) = х + 1 - функция прибавления 1,
3. U,n(xb х2,..., хп) =х,- проектирующая функция, где и = 1, 2,...; / = 1, 2,..., п.
В качестве правил, позволяющих порождать из данных исходных функций новые
функции, принимаются:
(а) Правило подстановки (суперпозиции):
f(xb х2,..., хп) = g(hi(x,, х2,..., xn),..., hm(xb х2,..., хп)),
где g - /«-местная функция, a hi-hm - «-местные функции.
(б) Правило рекурсии:
f(xi, х2,..., хп, 0) = g(xb х2,..., хп),
f(xb х2,..., хп, у + 1) = h(x,, х2,..., х„, у, f(xb х2,..., хш у)),
где g - «-местная функция, a h - и + 2-местная функция.
(в) Правило для \x-onepamopa:
Если для любых х\, х2,..., х„ существует, по крайней мере, одно значение у,
для которого g(xb х2,..., хп, у) = 0, то тогда:
f(xb х2,..., хп) = Мё(х\, х2,..., хп, у) = 0),
где (I - оператор взятия наименьшего числа_у, для которого g(xb х2,..., хп, у) = 0.
Далее вводятся следующие определения:
Функция f называется примитивно рекурсивной, если она может быть
получена из исходных функций с помощью правил подстановки и рекурсии.
Функция называется общерекурсивной (просто рекурсивной), если она может
быть получена с использованием правил подстановки, рекурсии и правила
для д-оператора.
Например, следующие функции являются примитивно рекурсивными:
\)х+у, 2)х-у, 3)ху
[х — у, если х > у, \х~у, если х>у,
0,еслих< у [у-х,еслих< _у
(О,если х=0, [1,если х=0,
6)sg(x)= ' ' 7)sg(x)^ '
1, если хФ 0 [0, если х^ 0
Пусть N будет множеством натуральных чисел. Тогда любую функцию f
вида N" —> N будем называть арифметической функцией, а предикат R вида
Nn—» {и, л} - арифметическим отношением. Будем говорить, что
множество V является арифметическим множеством, если V определяется
арифметическим свойством, т. е. одноместным арифметическим отношением.
519

Арифметическая функция f(xb х2,..., хп) представима в теории Т, если в
теории найдется такая формула А(лгь х2,..., дсп+]), что для любых натуральных
чисел щ, U2,.-., ип верно:
(l)Earaf(wbw2,..., ип) = ип+],то h А(йгй2, ,йп,йп + ]),
(2) t-BiXn+iACuj.u^ ,un,un +,,*„+!),
где и- нумерал числа и. В данном случае под нумералом некоторого числа понимают
стандартные цифры, которые являются именами чисел. В нашем случае такими
стандартными цифрами являются выражения 0, 0', 0", 0'", 0"" и т. д. Эти нумералы далее
будем обозначать, соответственно, посредством выражений 0,1,2,3,4 и т. д. При этом
надо иметь в виду, что выражение 0 является в формальной арифметике не более чем
сокращением исходного выражение ai.
В ФА доказывается теорема, согласно которой любая рекурсивная функция
является представимой в теории ФА. Это означает, что теория рекурсивных функций
содержится в формальной арифметике.
В ФА для отношений различной местности (и = 1,2, ...) вводится особое свойство -
свойство выразимости.
Арифметическое отношение R(xb х2,..., хп) выразимо в теории Т, если в
теории найдется формула А(хь х2,..., хп) такая, что для любых натуральных
чисел иъ и2,..., ип верны следующие утверждения:
(1) ЕслиЩ«ь ы2,..., ип) истинно, то в Т I- A(u1,u2, ,Gn),
(2) Если R(«i, и2,..., wn) ложно, то в Т I iA(u,,ii2, ,un).
Характеристической функцией отношения R(xb х2,..., хп) называется
функция CR(jcb х2,..., хп), задаваемая условием:
„ , ._ J0, если R(xj, х1,...,хп) истинно,
[1, если К{х1,х2,..., хп) ложно.
В ФА доказывается теорема, согласно которой отношение R(xb х2,..., хп) является
выразимым в ФА тогда и только тогда, когда характеристическая функция этого
отношения CR(xi, х2,..., х„) представима в ФА.
Отношение R(xb х2,..., хп) называется примитивно рекурсивным
(рекурсивным) отношением, если характеристическая функция этого отношения
CR(xb х2,..., хп) является примитивно рекурсивной (рекурсивной) функцией.
Например, отношение х = у примитивно рекурсивно, так как ее
характеристическая функция С=(х, у) = sg(|x - у\) является примитивно рекурсивной функцией.
Примитивно рекурсивным будет и отношение х < у, так как ее характеристическая
функция С<(х, у) = sg(y -j- х) является примитивно рекурсивной. Свойство Рг(х) - «х есть
простое число» - примитивно рекурсивно, в силу того, что примитивно рекурсивной
является ее характеристическая функция СРг(х) = sg((D(x) -=- 2) + sg(|x - 1|) + sg(|x - 0|)),
где D(x) - функция, принимающая значение 1, если х = 0, и принимающая в качестве
значения число делителей х, если х > 0. Относительно этой функции доказывается, что
она примитивно рекурсивна.
Вообще, можно доказать теорему о том, что любое арифметическое отношение
рекурсивно, если и только если оно выразимо в ФА.
520

Арифметическое множество V выразимо в теории Т, если в теории
существует формула А(х) такая, что для любого натурального числа и верно:
(1) если и е V, то в Т \- А(й~),
(2) если и g V, то в Т I ,А(й).
Множество V рекурсивно в некоторой теории тогда и только тогда, когда
рекурсивна его характеристическая функция.
3.3. Арифметизация синтаксиса формальной арифметики
Пункт 2.
Следующим шагом является арифметизация синтаксиса формальной арифметики.
Это означает, что осуществляется отображение всех знаков алфавита, всех термов,
формул и их последовательностей (например, доказательств) во множество натуральных
чисел. Данная процедура называется гёделевской нумерацией и является вычислимой, т. е.
по любому натуральному числу можно построить то выражение, которое является
прообразом данного натурального числа при данном отображении. Сами же натуральные
числа, которые ставятся в соответствие синтаксическим объектам теории, называются их
гёделевскими номерами. Для осуществления арифметизации ФА введем особую
функцию g, которая как раз и будет сопоставлять всем выражениям теории некоторое
натуральное число - гёделев номер этого выражения:
g(() = 3; gO) = 5; g(,) = 7; gR = 9; g£>) =11,
g(xk) = 5 + 8k,niek=l,2,...,
g(ak) = 7 + 8k,rflek=l,2,...,
g(fk") = 9 + 8(2n3k),TOekHn>l,
8(Ркп)=11+8(2пЗк),гдекип>1,
g(lil2...lr) = 2S( i' • 3S< 2' • ... • pr8' f \ где lib.-.lr - последовательность символов
алфавита, входящих в сложное выражение, а рг - очередное простое число.
Например, гёделевский номер выражения VxiPi'^i) высчитывается
следующим образом. Так как квантор общности является сокращением для
последовательности «(jc)», исходное выражение преобразуется в выражение (л^РДл^), к
которому и применяется функция g. В результате получаем:
gCCvOPiW) = 2В(() ■ 3g( *> > • 5Е(» • 7g< pi > • 11g(( > • 13g( х>] • 17g(» =
23-313-55-759. П3- 13°- 175 = ш.
С другой стороны, если к числу т применить хорошо известную по школьному
курсу математики операцию разложения этого числа в произведение степеней простых
сомножителей, то мы в результате этой операции получим число 2-3 -5-7 -11-
1313 • 175, по которому, используя определение функции g, установим, что этому числу
соответствует выражение (х^Т^х^, т. е. V^iPi1^).
Отметим, что гёделевские номера выражений (формул и термов) являются четными
числами, чем они отличаются от гёделевых номеров символов алфавита. В свою очередь
гёделевы номера последовательностей выражений (мы не приводим их гёделизацию) не
только четны, но и имеют четный показатель степени при 2. Тем самым гёделевы номера
последовательностей выражений отличаются как от гёделевых номеров символов
алфавита, так и от гёделевых номеров формул и термов.
Далее доказывается, что метатеоретические синтаксические свойства и отношения,
с помощью которых описывается формальная арифметика, оказываются примитивно ре-
521

курсивными (рекурсивными) арифметическими предикатами. К их числу относятся,
например, следующие синтаксические свойства и отношения:
1С(х) - «г есть гёделев номер предметной константы теории ФА»,
FL(x) - «х есть гёделев номер функциональной буквы теории ФА»,
РЦх) - «х есть гёделев номер предикатной буквы теории ФА».
Эти три свойства являются примитивно рекурсивными на алфавите с конечным числом
индивидных констант, функциональных и предикаторных констант, что как раз и верно для
формальной арифметики. Рекурсивными являются и следующие свойства и отношения:
Evbl(x) - «х есть гёделев номер выражения предметной переменной теории ФА»,
МР(х, у, z) - «выражение с гёделевым номером z непосредственно следует из
выражений с гёделевыми номерами х и у по правилу modus ponens»,
Gen(x, у) - «выражение с гёделевым номером у получается из выражения с
гёделевым номером х по правилу генерализации»,
Trm(x) - «х есть гёделев номер терма теории ФА»,
Fml(x) - «х есть гёделев номер формулы теории ФА»,
Fr(x, у) - «х есть гёделев номер выражения теории ФА, содержащей свободно
переменную с гёделевым номером у»,
Pf(x, у) - «х есть гёделев номер вывода формулы с гёделевым номером у».
Являются примитивно рекурсивными (рекурсивными) следующие функции:
Sub(x, у, z) = «гёделеву номеру результата подстановки терма с гёделевым номером
у вместо всех свободных вхождений переменной с гёделевым номером z в выражение с
гёделевым номером х»,
Num(x) = гёделевому номеру выражения х. Например, Num(O) = Num(ai) = 215.
Neg(x) = гёделевскому номеру формулы —А, если х - гёделевский номер А.
Завершая эту часть описания общей схемы доказательства теоремы Гёделя,
отметим, что вводится и много других свойств, отношений и функций, которые позволяют
полностью арифметизировать ту часть метаязыка, с помощью которой мы говорим о
синтаксисе формальной арифметики.
Пункт 3.
Для дальнейшего обсуждения проблемы требуется ввести особое понятие о
непротиворечивости теории.
Будем говорить, что теория Т с тем же алфавитом, что и в ФА, называется
(^-непротиворечивой, если для всякой формулы А(дс) этой теории из того,
что для любого натурального числа п имеет место Т I- А( п), вытекает, что
в теории невозможно доказать формулу 3x—*Mx).
Здесь п есть цифровое выражение (нумерал) числа п. Легко устанавливается, что
если Т ©-непротиворечива, то она и просто непротиворечива.
3.4. Ограничительные теоремы
Далее приступают к доказательству ограничительных теорем.
Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики
В результате всех указанных выше построений Гёдель переходит к доказательству
неполноты формальной арифметики. При этом произвольная теория Т считается полной,
522

если для любого предложения р этой теории является верным, что или само р доказуемо
в теории, либо его отрицание - предложение —.р доказуемо, т. е. используется то понятие
полноты, которое было введено в предыдущем параграфе данной главы.
Гёдель показывает, что в формальной арифметике может быть задано
следующее двухместное примитивно рекурсивное отношение W(m, у):
W(m, у) - «и есть гёделев номер формулы A(xt), содержащей свободную
переменную хи и у есть гёделев номер вывода в ФА формулы А(П)».
Это утверждение является в формальной арифметике эквивалентным выражению
Fml(K) & Fr(w, 213) & Pf(y, Sub(M, Num(M), 213)).
Так как отношение W(m, у) примитивно рекурсивно, то оно выразимо в ФА
некоторой формулой D(jct, х2). Это означает, что для любых натуральных чисел щ и и2 имеют
место следующие соотношения:
(1) если W(«i, «2) истинно, то в ФА I- D(u,,u2),
(2) если W(mi, и2) ложно, то в ФА I—Л(йуй2).
Далее рассматривается следующая формула:
V*2-,D(xb хг) - (*),
т.е. формула, утверждающая следующее: «каков бы ни был гёделев номер х2
последовательностей формул, являющихся доказательством в ФА, этот гёделев номер не является
номером доказательства формулы А(х1), получающейся из формулы A(*i)
подстановкой вместо переменной Xi нумерала х ».
Пусть т будет гёделевым номером формулы (*). Подставим в формулу (*) нумерал
ш на место свободной переменнойх\. В результате получим формулу:
Vjc2-,D( ш, дс2) -(**).
По смыслу W(mi, и2) отношение W(m,y) означает:
(a) W(w, у) истинно тогда и только тогда, когда у есть гёделев номер
доказательства в ФА формулы (**).
Сформулируем теперь саму теорему Гёделя:
(1) Если теория ФА непротиворечива, то формула (**) недоказуема в ФА,
(2) Если теория ФА (^-непротиворечива, то формула —.(**) недоказуема в ФА.
Доказательство.
(1) Допустим, что теория ФА непротиворечива и формула Va:2-iD( m, х2) доказуема
в теории. Тогда должно существовать некоторое доказательство этой формулы. Пусть
натуральное число и будет гёделевым номером этого доказательства. Отсюда, в силу (а)
должно быть справедливо W(w, и), а в силу выразимости этого отношения формулой D в
ФА должна быть доказуема формула D( rn, u). Но из формулы Vjc2—iD( ш , хг), по
правилу Уи, выводима формула -iD( пт, и). Итак, получено противоречие, что не согласуется с
предположением о непротиворечивости ФА. Таким образом, допущение, что в
непротиворечивой системе ФА доказуема формула Vjc2—iD( пт, х2), не является верным.
(2) Допустим, что теория ФА ^-непротиворечива и в ней доказуема формула вида
-.Vjc2-iD( га, jc2), т. е. доказуема формула 3jc2D( ш , дс2). Так как теория ФА одновременно
523

и непротиворечива, то в ней, в силу принятого допущения о выводимости формулы
-1 Vjc2-iD( ш, х2), не должна быть доказуема формула Vjc2—>D( га, лг2). Но тогда (в силу
отсутствия доказательства) никакое натуральное число к не является гёделевым номером
доказательства Vjc2—>D( га, х2), т. е. отношение W(m, к) ложно для любого натурального
числа к. Последнее означает, что —D( га, к) для любого к. Теперь по свойству
ю-непротиворечивости получаем, что в ФА не является доказуемой формула вида
=bt2—I—iD( га, jc2), т. е. не является доказуемой формула rbc2D( га, х2). Таким образом, одна
и та же формула и доказуема и недоказуема, что в силу непротиворечивости ФА
невозможно. Следовательно, наше допущение неверно и формула —.Vx2-iD( га, х2)
недоказуема в ФА. Доказательство завершено.
Итак, построена некоторая конкретная замкнутая формула такая, что ни она, ни ее
отрицание не являются доказуемыми в ФА. Это говорит о том, что формальная
арифметика не является полной системой. При этом с содержательной точки зрения формула
вида Vjc2-iD( га, х2) является истинным утверждением. Действительно, данная формула
выражает в теории ФА отношение W, а потому она утверждает, что для каждого
натурального числа х2 отношение W(m, х2) является ложным, т. е. что в ФА отсутствует
доказательство формулы Vx2-iD(ra, д:2). Иначе говоря, данная формула утверждает свою
собственную недоказуемость, но она действительно недоказуема, а потому является
истинным утверждением.
Полученный результат означает, что в формальной арифметике не хватает
дедуктивных средств для доказательства истинного предложения Vx2-iD( тп, х2).
Но ситуация является более сложной. Формальная арифметика, оказывается, не
может быть усилена принятием новых аксиом так, чтобы стать полной системой.
Допустим, что мы включим в число аксиом формальной арифметики предложение
Vx2—iD(ra, х2). Так как это предложение истинно, мы имеем право проделать такую
процедуру. В этом случае мы получим более сильную теорию, чем рассмотренная
теория ФА, и в этой системе формула вида Vx2—iD( га, х2), конечно же, будет доказуемым
утверждением просто в силу того, что она принята как аксиома. Но в этой более
сильной теории могут быть вновь проведены все указанные выше построения и найдена
такая новая формула, что ни она сама, ни ее отрицание не будут доказуемы в этой
новой системе. Поэтому про формальную арифметику говорят, что она не только не
полна, но и принципиально непополнима.
Вторая ограничительная теорема Гёделя
Так как ранее введенная метаязыковая функция Neg(x) рекурсивна, то она предста-
вима в ФА некоторой формулой. Обозначим эту формулу посредством Neg(x, у).
Поскольку ранее введенное отношение Pf(x, у) примитивно рекурсивно, то оно тоже
выразимо с помощью некоторой формулы. Обозначим эту формулу посредством Pf(x, у).
Обозначим теперь посредством СопФА следующую формулу:
VjtiVx:2V;t3Vjt4-i(Pf(.*b *з) & Щ*2> х4) & Neg(x3, х4)).
С содержательной точки зрения формула СопФА утверждает
непротиворечивость формальной арифметики, т. е. невозможность доказательства в ней
одновременно некоторой формулы и ее отрицания. С другой стороны, в предыдущей теореме
Гёделя о неполноте формальной арифметики метаязыковыми средствами
доказывалось, что если ФА непротиворечива, то формула Vjc2-iD(tti, х2) недоказуема в ней.
Поэтому формула вида СопФА z> Vx2-iD( га, д:2) должна интерпретироваться следую-
524

щим образом: «если формальная арифметика непротиворечива, то Vjc2—iD(m, х2) в
ней недоказуема». Метаязыковые средства, которые использовались при
доказательстве пункта (1) теоремы Гёделя, могут быть формализованы в ФА и тем самым мы
можем получить в качестве теоремы формальной арифметики утверждение:
Ь СоПфАr> Vjc2-hD(т,х2).
Доказательство.
Так как в формальной арифметике доказуемо утверждение СопФА z> \/х2—D( т, дг2),
то допущение, что в ФА доказуема и формула СоПфА, сразу же по modus ponens дало бы,
что в ФА доказуема формула Vjc2-iD( ш , х2), что невозможно, так как по ранее
доказанной теореме эта формула недоказуема. Доказательство завершено.
Таким образом, теорема утверждает, что доказать непротиворечивость
формальной арифметики средствами, которые формализуются в самой этой системе,
невозможно. Следовательно, для осуществления такого доказательства необходимо
использовать более мощные дедуктивные средства по сравнению с теми, которые
содержатся в самой формальной арифметике. Именно так и поступил Генцен,
который при доказательстве непротиворечивости ФА использовал так называемую
трансфинитную индукцию до первого трансфинитного числа ео, которая является
более сильным дедуктивным принципом, чем обычная, содержащаяся в ФА,
математическая индукция.
Первая теорема Тарского
Перейдем к рассмотрению других ограничительных теорем. А. Тарским были
получены две метатеоремы о невыразимости в формальной арифметике двух важных классов
формул. Первая метатеорема гласит, что класс теорем, т.е. доказуемых утверждений
формальной арифметики, обозначаемый посредством предиката ТтФА, невыразим в
формальной арифметике. Сама теорема выглядит следующим образом:
Пусть Т будет произвольной теорией. Обозначим через Ттт класс гёделевых
номеров теорем теории Т. По определению:
Теория Т рекурсивно неразрешима, если множество Ттт нерекурсивно.
Рассмотрим теперь формальную арифметику. Рассмотрим также функцию D(x) = и,
которая была введена выше и которая по каждому х - гёделевому номеру формулы AOi)
со свободной переменной Xi - выдает и - гёделев номер формулы А(х). Из ее
определения следует, что DO) = SubO, Num(x), 213), т. е. она является представимой в ФА и
потому примитивно рекурсивной. Тогда можно доказать следующую теорему о
невыразимости ТтфА в формальной арифметике:
Если ФА непротиворечива, то класс ТгПфА невыразим в теории ФА.
Доказательство.
В силу представимости функции D в ФА должна найтись некоторая
представляющая ее формула. Обозначим эту формулу посредством D(xt, х2). Для нее должны
выполняться свойства представимости, т. е.:
(1) если DO) = к, то ФА I- D(x,u),
(2) ФА \-З^Щх,х2).
Допустим также, что класс ТтфА выразим в формальной арифметике. Это означает,
что в ФА должна найтись некоторая формула, которая выражает данный класс. Обозна-
525

чим данную формулу посредством Tm(x2). Тогда, в соответствии с понятием
выразимости, имеет место:
(3) если л' е TirupA, то ФА h Tm(x),
(4) если х <£ Тгпфд, то ФА I iTm( х).
Рассмотрим формулу A(xi) вида \/x2(D(xi, х2) з —,Тт(х2)). Пусть к - гёделев
номером этой формулы. Образуем формулу А(к), т. е. формулу Vjc2(D(k, х2) з —iTmfo)).
Пусть т будет гёделевым номером этой формулы. Тогда D(k) = т, а потому, по свойству
(1), ФА I- D(k ,тп). Для формулы А(к") верно одно из двух: (а) либо она недоказуема в
ФА, либо (б) она доказуема в ФА.
(а) Допустим, что формула А(к~) недоказуема в ФА. Тогда т - гёделев номер этой
формулы - не является элементом класса ТШфД, и, в соответствии со свойством (4),
ФА I- пТт(ш).
(б) Допустим, что формула А( к) доказуема в ФА, т. е. имеет место утверждение
Vx2(D(E, x:2) з —iTm(jC2)). Снимая теперь квантор общности с этой формулы, получаем:
ФА I- (D(k, m) з -.Tm(m)). Но как было только что установлено ФА Ь- D(k", m).
Следовательно, ФА I iTm(m).
Отсюда по закону исключенного третьего и рассуждению по случаям следует, что
ФА I- -,Tm(m).
Из ФА 1- D(k~, ш) и свойства (2) по законам исчисления предикатов с
равенством следует ФА Ь (D( к , х2) з х2 = га). Но так как ФА I iTm( га), то по закону
утверждения консеквента и замене равного равным получаем ФА I- х2 =та з
—iTmfo), откуда по транзитивности ФА I- (D(k, х2) з -iTm(x2). Теперь по
генерализации имеем выводимость: ФА ь- Vx2(D(k, х2) з -iTm(x2))- Итак, в формальной
арифметике доказано утверждение А(к), и, следовательно, гёделев номер т
является элементом класса ТтФА. Отсюда по свойству (3) получаем ФА Ь Тт(пт).
Таким образом, получается, что ФА противоречива, что не согласуется с принятым
допущением о непротиворечивости данной теории. Итак, класс ТтФА невыразим в
ФА. Доказательство завершено.
Невыразимость класса ТтФА означает, что его характеристическую функцию
нельзя задать никакой формулой формальной арифметики. С другой стороны, все
рекурсивные функции представимы в формальной арифметике. Отсюда вытекает, что класс
ТШфд не является рекурсивным, а, следовательно, формальная арифметика является
неразрешимой теорией, т.е. для формул формальной арифметики не существует такой
эффективной процедуры (алгоритма, рекурсивной функции), которая бы в конечное
число шагов отличила теоремы формальной арифметики от тех формул, которые
теоремами не являются.
Вторая теорема Тарского
Теперь в качестве следствия легко можно получить теорему Тарского о
невыразимости в формальной арифметике класса ТгФА - класса гёделевых номеров истинных
формул ФА.
Доказательство.
Рассмотрим теорию Т, которая является расширением ФА за счет принятия в
качестве аксиом всех истинных с содержательной точки зрения формул формальной
арифметики. В силу этого теория Т непротиворечива. Класс теорем теории Т, т. е. класс Ттт,
526

будет в этом случае равнообъемен с классом ТгФА. Но класс теорем по только что
доказанному утверждению невыразим в ФА. Следовательно, и класс ТгФА тоже невыразим.
Это означает, что в ФА не существует формулы А(х), такой что класс ТгФА совпадает с
множеством натуральных чисел и, для которых выражение А( й") истинно.
Доказательство завершено.
Теорема Черча о неразрешимости исчисления предикатов
Еще одной важной ограничительной теоремой является теорема, полученная
А. Чёрчем в 1936 г. Эта теорема утверждает, что:
Первопорядковая логика предикатов неразрешима.
Доказательство.
Допустим, что исчисление предикатов - разрешимая логическая теория, т. е.
допустим, что существует некоторая алгоритмическая процедура, с помощью которой можно
установить в конечное число шагов, является некоторая формула теоремой исчисления
или нет. Тогда класс ТтФА теорем формальной арифметики, в противоречии с только
что доказанным утверждением о его рекурсивной (алгоритмической) неразрешимости,
был бы рекурсивно разрешим.
Действительно, пусть множество {ФА} будет объединением всех аксиом
формальной арифметики. Доказательство формулы А в ФА состоит в ее выведении из аксиом
этой системы, т. е. {ФА} I- А. Однако из понятия вывода следует, что в выводе всегда
принимает участие только конечное число формул, а следовательно, и конечное число
аксиом. Обозначим конечное множество тех аксиом, которые участвовали в выводе
формулы А посредством {А}. Так как это множество конечно, то можно взять
конъюнкцию всех аксиом множества {А}. Обозначим эту конъюнкцию через А. Применяя
теорему дедукции, которая справедлива в формальной арифметике, мы можем вывод А НФА А
превратить в доказательство в рамках некоторого прикладного исчисления предикатов в
качестве теоремы формулы А :э А. Заменяя в этой формуле знаки «О» на аь «'» на fj1,
«+» на f]2, «•» на f22 и «=» на РД мы получим некоторое общезначимое выражение
(теорему) уже чистого исчисления предикатов. Допустим теперь, что у нас имеется
алгоритмический способ проверки, являются ли формулы теоремами чистого исчисления
предикатов. Тогда, в силу того, что проверка, является ли некоторая формула аксиомой ФА,
осуществляется эффективно, мы легко можем установить, является ли А конъюнкцией
аксиом ФА, а, тем самым и является ли теоремой формула А. Таким образом, у нас
имелся бы эффективный способ установления теорем формальной арифметики, т. е.
класс Тгг^д был бы рекурсивно разрешим, что невозможно в силу теоремы Тарского.
Доказательство завершено.
Подведем итог сказанному.
1) Во-первых, данные теоремы неслучайно называются ограничительными. Они и на
самом деле указывают на некоторую ограниченность наших познавательных
способностей. Как известно, лозунг методологии XIX в., который состоял в том, что нет ничего в
мире, что не было бы доступно нашему познанию, что мы не могли бы познать, оказался
неверен. Эти теоремы четко указали, что есть такие положения дел в мире, которые не
могут быть в принципе познаны.
2) Полученный Гёделем результат носит самый общий характер и применим к
весьма большому классу формальных систем. Данный результат распространяется
527

на все теории, в которые может быть вложима рекурсивная
арифметика. И понятно почему именно для таких систем результат Гёделя оказывается
справедливым. Дело в том, что в этом случае всегда можно арифметизировать синтаксис
системы.
3) Но, и об этом говорит вторая теорема Тарского, если синтаксис формальной
арифметики может быть арифметизирован (как это делается, было показано Гёделем),
семантика формальной арифметики не поддается арифметизации. На первый взгляд
это выглядит странно. Казалось бы, что может быть более простым объектом, чем
натуральное число. Придумать более простой объект просто трудно. И, тем не менее, мы,
работая с этими объектами, столкнулись с огромными трудностями. Все дело,
оказывается, заключается в том, что натуральный ряд чисел бесконечен, он счетен. Но тогда
ясно в чем состоит суть второй теоремы Тарского. Действительно, количество любых
синтаксических выражений формальной теории - термов, формул,
последовательностей формул и т. д. не более чем счетно, а потому множество тех свойств и отношений,
которые могут быть определимы (заданы) в арифметике тоже счетно. Количество же
различных свойств и отношений, которые существуют во множестве натуральных
чисел, т. е. множество всех подмножеств множества натуральных чисел несчетно
(континуально), а потому и количество различных арифметических истин тоже несчетно.
Ясно, что счетными средствами мы не можем задать несчетное количество признаков,
присущих натуральным числам.

Приложение 1 (Логика и онтология)
Взаимосвязь между логикой и философией многообразна и
взаимообусловлена. Во-первых, исследования в области логики позволяют прояснить ряд
философских проблем самой этой дисциплины, т. е. прояснить философские
проблемы самой философии, во-вторых, применение логики при обсуждении
различных философских проблем позволяет переводить как саму
философскую проблематику, так и способы ее анализа в план строго научных
концепций. С другой стороны, различные философские концепции влияют на
возникновение внутри логики все новых и новых разделов этой науки, которые
призваны эксплицировать содержание этих концепций, сделать их четкими и
внятными.
Об этой взаимосвязи мы достаточно подробно говорили в главе VIII, где
рассматривались различные аспекты неклассических логик, и указывались не
только идейные философские основания возникновения этих логик, но и
подчеркивалось то прояснение смысла многих философских терминов, которое
достигалось посредством построения этих неклассических систем. Об этом же шла
речь и в главах XI и особенно XII. Здесь логика позволила прояснить целый ряд
философско-методологических концепций. Поэтому на этой стороне дела мы
далее останавливаться не будем.
Здесь же, в данном приложении мы хотели бы затронуть один
специфический аспект связи философии и логики, а именно затронуть связь логики и
онтологии. Для этого нам потребуется кратко охарактеризовать саму философии и
указать ее основные разделы.
Термин философия происходит от греческого «любовь к мудрости», т. е.
это любомудрие. Обычно философию трактуют как область знания о наиболее
общих законах природы, общества и мышления, т.е. как науку об общих
принципах мироустройства и общих принципов познания этого мироустройства.
Этот общий взгляд на мир существенно отличает философское знание от
знания, которое добывается в других науках, которые называются конкретными
науками. Различие состоит в следующем:
а) Если конкретные науки изучают отдельные фрагменты природного
устройства мира, его натуру, его естество, т. е. те или иные его стороны, то
философия изучает мир как таковой - в целом, его общую структуру или, как
говорят, его онтологию. При этом необходимо специально обратить
внимание на то, что природа, натура, естество мира и онтология мира это разные
вещи, что особенно ярко проявляется в категориальном наполнении
философского знания.
В самом деле, в философии мы вводим и рассматриваем в самом общем
виде такие категории, как предмет (индивид), свойство (атрибут), отношение
(реляция), функциональная зависимость, действительное, случайное, возможное,
необходимое, причина и ее следствия, материя, сознание, количество, качество и
многие другие. Эти категории изучаются именно в философии, только в
философии, и нигде более. Например, выяснение того, что может быть названо тер-
18 Введение в логику
529

мином «предмет» и какими бывают предметы, - это задача именно философии.
Никакая другая наука этим вопросом не занимается.
Термином же «предмет» в философии называется все, что угодно, так как
данный термин понимается здесь как то, что может быть предметом нашей
исследовательской мысли, т. е. все, о чем мы можем высказывать те или иные
суждения, что может стать объектом нашего рассмотрения. Но в мире нет ничего,
что не могло бы стать объектом нашего рассмотрения. Предметы, таким
образом, могут быть самой разнообразной природы.
Напротив, конкретные науки всегда занимаются лишь частными видами
предметов. Так, физика интересуется не предметом как таковым, не предметами
вообще, а именно материальными предметами, арифметика интересуется не
предметом как таковым, не предметами вообще, а именно числами и т. д. Общее
же понятие предмета они берут из философии.
Аналогично обстоит дело и с другими категориями. Например, физик
будет интересоваться не свойствами и отношениями вообще, а именно
свойствами и отношениями, присущими материальным объектам, а математик -
свойствами и отношениями, присущими математическим объектам. Что же такое
свойство вообще или отношение вообще, свойство и отношение как таковые,
исследуется в философии и только в философии. С этой точки зрения
философия как раз и изучает онтологическую структуру мира. Философию не
интересует вопрос о том, какие именно конкретные предметы наполняют мир физика
или математика, какие конкретно свойства, отношения и функциональные
характеристики присущи объектам их интереса. Тем самым философа не
интересует природная, натурная составляющая этого мира, а интересует лишь его
онтологическая составляющая. В отличие от этого, конкретные науки изучают
именно природную структуру мира, широко используя для этого указанные
выше философские категории.
б) Философия опять-таки в самом общем виде изучает различного рода
познавательные процедуры. Это так называемые общенаучные методы, т. е.
методы, которые используются в любой науке. Иначе говоря, это такие методы,
которые не зависят от характера изучаемых объектов. К их числу относятся
следующие познавательные процедуры: дедукция, индукция, определение, деление
понятий, классификация, аналогия, моделирование, аксиоматизация,
формализация и т.д., т. е. это те самые познавательные процедуры, анализу и изучению
которых как раз и был посвящен весь данный учебник. Конкретные науки
используют наработки философии (в лице логики) по этим общенаучным методам
в своих конкретных исследованиях. При этом, конечно, каждая из наук создает и
свои специфические приемы познания, свои методики, характер которых
зависит от характера исследуемых объектов.
в) Наконец, предметом философии является и изучение результатов
познания. Я имею в виду изучение того, что такое истина, как она достигается, что
такое знание, что такое законы природы и факты природы. Конкретные же науки
используют в своих исследованиях наработки, которые в этом плане были
сделаны внутри философии.
530

Итак, основными составными частями философии являются: учение о
бытии и мире (онтология), причем это надо понимать с учетом отмеченного
различия между онтологией и природоведением; учение о познании
(гносеология); учение о всеобщих, общенаучных методологических регулятивах
(методология); учение о ценностях (аксиология); учение об общенаучных
приемах познания (логика).
Останавливаясь теперь на первой (онтологической) стороне дела, отметим
некоторые выводы, которые следуют из рассмотренного в учебнике материала.
(1) Любая логическая теория строится на основе принятия некоторых
основополагающих для нее абстракций и идеализации. Совокупность этих
абстрагирующих и идеализирующих концепций задает онтологию языка, т. е. задает ту
модель устройства мира, которая и описывается соответствующей логической
теорией.
Так, классическая логика предикатов предполагает наличие в мире таких
сущностей, как индивиды. При этом конкретный характер этих индивидов
совершенно неважен. Это могут быть какие угодно предметы. Последние не
имеют внутренней структуры, а потому рассматриваются как элементарные
объекты. Они обладают некоторыми свойствами и находятся в некоторых
отношениях, конкретный характер которых тоже совершенно неважен. Это
тоже могут быть любые свойства и любые отношения. Свойства и отношения
жестко фиксированы в том смысле, что (в силу отсутствия в этой логике
временных параметров) предметы не имеют истории своего развития и
становления, т. е. они всегда обладают одними и теми же свойствами и всегда
находятся в одних и тех же отношениях. Последние жестко фиксированы и в том
смысле, что в классической логике отсутствуют размытые свойства и
отношения, когда про некоторые предметы нельзя определенно сказать, обладают
они этими свойствами или нет, находятся они в данных отношениях или нет.
Фактически классическая логика предполагает онтологию парменидовского
математического бытия. Это позволяет без всяких кавычек назвать данную
логику математической логикой.
Конечно, эта онтология может быть изменена. Можно потребовать,
например, чтобы индивиды не были жестко раз и навсегда привязаны к своим
свойствам и отношениям. Можно допустить, что, например, свойство «быть
философом» Сократу было присуще не всегда, что Сократ, будучи ребенком, еще не
был философом, что философом он стал гораздо позже. Это означает, что мы
принимаем онтологию изменяющегося бытия, бытия становящегося. Но тогда
соответствующей этому бытию (этой онтологии) логика должна стать либо
временной, т. е. включающей темпоральные параметры, либо модальной
логикой, рассматривающей различные миры, а потому допускающей, что эти миры
могут быть наполнены разными объектами, обладающими в разных мирах
разными свойствами.
Если мы захотим отказаться от жесткости свойств и отношений и станем
рассматривать так называемые размытые признаки, о которых шла речь в VII главе,
т. е. если мы введем в нашу онтологию такого рода признаки, то нам
потребуется и соответствующая логика - какой-то из вариантов многозначной логики.
Можно пойти далее и принять онтологию противоречивого мира, т. е. мира, в
котором допустимо одновременное утверждение А и —.А. Такая онтология сразу
531

же потребует и принятия особой логики. Это будет либо паранепротиворечивая
логика, либо тот или иной вариант релевантной логики.
Если мы захотим отличить онтологию мира, в котором содержатся множества
с бесконечным числом элементов, от онтологии мира, в котором все множества
являются конечными, то мы вынуждены будем прибегнуть к помощи
интуиционистской логики.
(2) Итак, с этой точки зрения любая логическая теория представляет собой
не просто теорию рассуждения о мире, но и саму теорию того или иного
онтологического взгляда на мир, т. е. онтологическую теорию. Это можно выразить
следующим тезисом:
Логика и есть формальная теория онтологии.
Среди современных логиков широко распространены следующие два
утверждения. Одно из них гласит: дайте мне онтологию, и я построю
вам логику, в которой уместно будет рассуждать об этой
онтологии, и прямо противоположное утверждение: покажите мне, как
вы рассуждаете, и я скажу вам, какова ваша онтология.
(3) В силу сказанного не существует никаких неизменных, раз и навсегда
данных логических законов. Какие утверждения будут рассматриваться как
логические законы, зависит от принятой логической теории, а, в конечном счете,
от принятой онтологии. Тем самым законы логики отражают онтологию мира.
Исходя из сказанного, становится понятным и характер влияния логики на
обсуждение различного рода метафизических проблем философии.
Действительно, коль скоро логическая теория так тесно взаимосвязана с онтологией, то
применение точного научного аппарата этой дисциплины при анализе
онтологических проблем не может не перевести их содержание в строго научные рамки.
Так, например, все содержание учебника однозначно свидетельствует о том, что
взаимосвязь между теорией и ее моделью строится на основе интерпретации.
Последние же представляют собой конкретные реализации
общегносеологической концепции отражения. Иначе говоря, при интерпретации осуществляется
отражение мира в языке. Конечно, рассмотренные в учебнике интерпретации
логических теорий являются весьма упрощенными отражательными процедурами.
В науках используются гораздо более сложные приемы отражения, тем не менее
общий вывод о необходимости для анализа теоретического знания
использования теории отражения демонстрируется логикой однозначно.
532

Приложение 2 (Логика и истина)
Именно в рамках теории отражения рассматривается в логике и такое
фундаментальное понятие, как понятие истины. Фундаментальность данного
семантического понятия для логики определяется тем простым обстоятельством, что
оно непосредственно, как мы видели, участвует в определении таких
основополагающих для данной дисциплины понятий, как логический закон и логическое
следование, а также в формулировках понятий семантической
непротиворечивости и полноты теорий.
Таким образом, логика дает наглядный демонстративный пример всей
значимости понятием истинности для анализа научного знания. Тем самым логика
своим примером подкрепляет ту философскую позицию, которая признает
понятие истины одним из центральных понятий гносеологии. В силу важности этого
вопроса рассмотрим его более детально.
Прежде всего познакомимся с различными концепциями истинности.
1) Наиболее существенным для науки является классическое (корреспон-
дентное) понятие истинности, восходящее к Аристотелю, согласно которому
«сказать, что существующее не существует или что не существующее
существует, значит высказать ложь, сказать же, что существующее существует, а
несуществующее не существует, значит высказать истину» (сравните это
положение с единственной аксиомой Парменида). Иначе говоря, здесь истинность
понимается как соответствие наших утверждений положению дел в мире. В
современной логике эта концепция была уточнена А. Тарским. Последний ввел
основополагающий постулат этой концепции, который часто выражается
посредством следующего метаязыкового выражения:
«р» истинно <=> р.
Приведенная эквивалентность не является определением понятия
истинности. Она просто устанавливает условия адекватности любого вводимого в
теорию понятия истины. Иначе говоря, как бы мы не вводили семантический
предикат истинности в состав метатеории - определив ли его строгим образом через
другие понятия или описав посредством системы аксиом, - он должен
удовлетворять указанной схеме, чтобы соответствовать классической концепции
истинности. Введенное строгим образом семантическое понятие истинности будет
адекватным, если для него верны все частные случай подстановки в эту схему.
Итак, чтобы оцениваться как истинные или ложные, синтаксически правильно
построенные высказывания должны - в соответствии со схемой Тарского -
соотноситься с внелингвистическими ситуациями, задаваемыми предложением р.
Как при этом работает корреспондентная концепция истины, было наглядно
продемонстрировано в главах III, V, VII и VIII при задании интерпретации для
классических и неклассических логик.
Именно таким образом мы и действовали в главе VI, когда устанавливали
условия истинности для формул логики предикатов. Так, например,
приводившиеся там метавыражения
533

|nn(tb t2,..., tn)|„ = и «. <|t,|„, |t2|,,..., |^|ф> € 1(ПП),
|nn(tb t2,..., е„)|ф=л c^ <|t1|„ №„,..., |t„|9> г i(nn)
удовлетворяют рассматриваемой схеме. Действительно, справа от знака
эквивалентности стоят метаутверждения, говорящие об истинности или ложности
предложения Tln(ti, t2,..., tn), а слева указываются положения дел в мире, которые
обусловливают эту истинность или ложность.
В рассматриваемой общей схеме Тарского слева от знака «<=>» тоже стоит
метаязыковое утверждение об истинности предложения р, где «р» - это мета-
языковое имя предложения р языка-объекта, а справа стоит само предложение р,
выражающее некоторое положение дел в мире. Эквивалентность же (о) как раз
и утверждает, в соответствии с теорией отражения, наличие адекватности
(соответствия) между предложением «р» и положением в мире р. Примером
такого рода утверждения будет: «"Снег бел" истинно <=> Снег бел».
Для прояснения смысла последнего утверждения, да и самой общей схемы
Тарского необходимо вспомнить принципы употребления языковых выражений,
и, в частности, принципы использования кавычковых имен (см. § 2 главы II).
Итак, слева от знака <=> стоит утверждение «"Снег бел" истинно», а справа
предложение «Снег бел», но без кавычек. В соответствии с принципом
предметности, который утверждает, что, употребляя знаки, мы говорим не о знаках, а об их
значениях, предложение «Снег бел», стоящее справа от знака <=> (естественно,
без кавычек), приписывает свойство белизны не слову «снег» (естественно без
кавычек), а значению этого слова, т. е. самому реальному снегу. Аналогично,
предложение «"Снег бел" истинно» приписывает по принципу предметности
свойство быть истинным не выражению «Снег бел» (в кавычках), а значению
этого выражения. Выражение «Снег бел» (в кавычках) вообще не может
оцениваться ни как истинное, ни как ложное, так как это кавычковое имя, правда имя
предложения, но все же имя, а имена не бывают ни истинными, ни ложными.
Истинным или ложным является тот объект, который обозначается этим
именем, а обозначается этим именем выражение, стоящее под кавычками, т.е.
значением его является предложение «Снег бел» без кавычек. Именно оно и
является истинным.
Что же у нас получается в итоге при рассмотрении предложения «"Снег
бел" истинно о Снег бел»? А получается вот что. Левая часть предложения
утверждает, что предложение «Снег бел» без кавычек является истинным
предложением тогда и только тогда, когда верна правая часть утверждения. А правая
часть говорит, что реальный снег при этом должен быть белым. Тем самым это и
означает, в соответствии с теорией отражения, что предложение истинно, если
то, что утверждается этим предложением, имеет место в мире.
Но почему же именно классическое (корреспондентное) понятие истины
является наиболее важным для науки? Дело состоит в том, что целью любого
научного познания является установление того, как реально устроен мир, а
также как устроены предметы, наполняющие этот мир. С этой точки зрения
534

именно данное понятие истины как раз и соотносит наше знание с тем, что
имеет место в мире.
2) Часто классической (корреспондентной) концепции противопоставляют
другие концепции истинности. Одной из них является концепция когерентной
истины, согласно которой предложение считается истинным, если оно входит в
состав непротиворечивой теории, т. е. если оно выводимо из аксиом такой
теории. Здесь истинность понимается как взаимная согласованность утверждений,
их взаимная непротиворечивость.
Именно данное понятие истинности широко используется в геометрии.
Действительно, в геометрии непосредственно описываются свойства и
устанавливаются отношения, справедливые для геометрических фигур, которые
являются объектами идеальными. А потому, скажем теорема евклидовой
геометрии, гласящая, что «Сумма внутренних углов треугольника равна 2d» вовсе
не относится к реальным геометрическим телам, а потому истинность этого
утверждения нельзя проверить, соотнося его с материальным миром. Любая
попытка такого соотнесения закончится неудачей, так как, во-первых, любое
практическое измерение величины углов будет давать определенную
погрешность - ведь всякий материальный прибор измеряет ту или иную величину с
некоторой степенью точности, в силу чего мы никогда не получим буквально
величину 180°, но всегда будем получать эту величину с погрешностью, а во-
вторых, такая процедура и бесполезна, так как утверждения геометрии
относятся не к материальным предметам, а к идеальным, но у нас нет идеальных
измерительных приборов, нет идеальных транспортиров. Таким образом,
единственным обоснованием истинности этого утверждения является его
выведение из аксиом.
Поэтому когерентное понятие истины является немаловажным понятием, но
у него есть один существенный недостаток. Он состоит в том, что мы можем,
взяв ложные утверждения о мире, построить внутренне непротиворечивую
систему. Хорошим примером такой теории является, скажем небесная механика
Птолемея, несоответствие которой действительности было установлено только
через тысячу лет. Приведу еще один пример. В свое время Р. Декарт построил
теорию соударения биллиардных шаров. А на замечание других ученых, что его
теория не соответствует фактам, отвечал: «Тем хуже для фактов» - мол, чего вы
ко мне пристаете, ведь я построил непротиворечивую теорию.
Конечно же, когерентная концепция истинности должна обязательно
проверяться тем или иным способом на корреспондентную истинность. Правда, чаще
всего в этом случае проверяется не истинность отдельно взятых положений
теории, а вся теория в целом. Такой проверкой правильности евклидовой геометрии
(и не только геометрии, но и других математических теорий) является ее (их)
широкое использование при построении различных технических устройств -
самолетов, машин, мостов, гидросооружений и т. д.
3) Еще одной часто упоминаемой концепцией истинности является
концепция конвенциональной истины, согласно которой все наше знание есть не что
535

иное как результат принятых нами соглашений, конвенций об употреблении
терминов. В самом деле, почему, например, 2 + 2 = 4, а не 5, или какому-то
другому числу? Почему из конъюнкции предложений р & q логически следует
предложение р? Ясно, что это связано с принятие конвенций об употреблении
знаков «+» и «&». Если мы примем другие конвенции относительно этих знаков,
то тогда, может быть, 2 + 2 и будет равно 5. Но это говорит лишь о том, что
наши конвенции относятся не к самим операциям, которые нас интересуют, а к
языку, т. е. способу обозначения этих операций. Если нас интересует операция
сложения такая, что, складывая 2 и 2, мы обязаны получить число 4, то мы
могли бы для этой операции ввести какой-то другой знак, а не знак «+». Но мы по
конвенции выбрали именно этот знак. Иначе говоря, не само наше знание
является конвенциональным, но лишь способы представления этого знания с
помощью языка. Не сами столы и наши знания о них являются конвенциональными,
конвенциями является лишь то, что в русском языке эти объекты обозначаются
термином «стол», а в английском термином «table». Однако данное понятие
истины весьма существенно в таких дедуктивных дисциплинах, как логика и
математика, где эта концепция опирается на тот факт, что в нашем знании
действительно содержится значительное количество самых разнообразных
конвенций. Даже аксиомы научных теорий, как мы видели, могут пониматься не просто
как утверждения о мире, но и как конвенционально принятые определения
входящих в них терминов.
4) Последней концепцией истинности, которую имеет смысл рассмотреть,
является прагматическая концепция. Согласно последней, предложение
считается истинным, если следование ему ведет к успеху в нашей практической
деятельности. Например, предложение «Грибы растут под деревьями» является
прагматически истинным, поскольку позволяет успешно осуществлять поиск
грибов, так как мы, в соответствии с утверждением предложения, должны
будем идти в лес и станем искать грибы именно там, - в лесу и под деревьями, а
не на асфальте в городе.
Казалось бы, последние три концепции противостоят классической коррес-
пондентной концепции. Но на самом деле они нисколько не противостоят
классической концепции истинности, а являются важными ее дополнениями.
Процесс познания настолько сложен, что обойтись единственной классической
концепцией истинности не представляется возможным. И мы вынуждены в разных
науках использовать различные трактовки истинности. Но при этом, конечно же,
ведущей и главной остается концепция Аристотеля.
Рассмотрим теперь вопрос о том, а как устанавливается истинность того или
иного предложения? Оказывается, при рассмотрении этого вопроса мы можем
выделить, и действительно реально выделяем, различные виды предложений в
зависимости от того, каковы обстоятельства установления их истинности.
Выше говорилось о существовании у теорий двух видов интерпретации -
абстрактной и реальной. Так вот, в том случае, когда мы соотносим
предложение не с реальным (материальным) миром, а с абстрактной моделью, принято
говорить об истинности в модели. В том же случае, когда решается вопрос об
536

истинности наших утверждений относительно самой реальности, то говорят об
их материальной истинности.
Далее. Вопрос о материальной истинности часто бывает осложнен целым
рядом обстоятельств. Так, согласно классической концепции истинности, мы
должны соотнести наше предложение с миром. Но что нам делать в том случае,
если мира, к которому отсылает нас предложение, нет? Например, мы
высказываем утверждение о том, что когда-то было в прошлом или когда-то будет в
будущем. Первый мир уже не существует, а второго еще нет. Можем ли мы и в
этом случае говорить об истинности предложения? Да, классическая концепция
истинности позволяет в некоторых случаях это делать. Так, от прошлого
остаются определенные «следы» в настоящем, а потому по характеру этих «следов»
мы можем судить об истинности или ложности некоторых предложений о
прошлом. С другой стороны, настоящее содержит определенные тенденции
(потенции) развития будущих событий, а потому, учитывая эти тенденции, учитывая
различного рода законы, мы можем устанавливать и истинность некоторых
предложений о будущем.
Но имеется и еще один интересный случай. Рассмотрим в качестве
иллюстрации этого случая предложение «Древние карфагеняне знали теорему
Пифагора». Истинно оно или нет, мы не можем точно сказать, так как до нас не
дошли никакие сведения ни о том, что карфагеняне знали ее, ни о том, что они
ее не знали. Тем не менее когда-то существовал мир, в котором жили
карфагеняне, и в этом мире было определенное положение дел. Поэтому, хотя мы и не
можем точно сказать, какое это было положение дел, наше предложение
объективно, т. е. независимо от наших намерений и желаний, само по себе
соотносится с этим миром, а потому является либо истинным, либо ложным. Такое
понимание истинности называется истинностью в себе. Оно весьма
характерно для классической концепции истинности. Но иногда нас не удовлетворяет
такое чисто платонистическое понимание истинны и мы принимаем иную
трактовку истинности предложения. Мы говорим, что предложение считается
истинным, если у нас есть реальные средства установить эту истинность, и
ложным, если у нас имеются столь же реальные средства установить его
ложность. Такое понимание истинности называется конструктивным. С этой
последней точки зрения рассмотренное предложение о карфагенянах не является
ни истинным, ни ложным.
В эмпирических теориях, как говорилось, имеются предложения,
фиксирующие факты природы, состояние дел в объективном мире. Для
установления истинности такого сорта предложений используются эмпирические
методы познания - наблюдение, эксперимент или измерение. Про предложения,
истинность которых установлена этим способом, говорят как о фактуально
истинных. Но здесь мы встречаемся с первым релятивным моментом,
который необходимо учитывать при оценке на материальную истинность
эмпирического знания. Он касается процедур измерения. В самом деле, мы часто
рассматриваем некоторое эмпирическое утверждение с точностью до
показаний приборов, что иногда приводит к тому, что мы не можем установить на-
537

личие некоторого факта природы, так как нам не хватает точности
измерения. Например, мы до сих пор не можем проверить одно из наиважнейших
предсказаний общей теории относительности А. Эйнштейна - предсказание о
существовании гравитационных волн. Их величина настолько мизерна, что
гравитационное излучение часто сравнивают с «космическим шепотом». Но
даже современные детекторы, которые настолько чувствительны, что прибор,
находящийся в Австралии, слышит топот африканских слонов, тепловое
движение атомов в самом приборе, не может уловить «гравитационного
шепота». Если он и есть, то он глушится указанными шумами. Поэтому
установление истинности предсказания остается пока под вопросом.
В составе эмпирических теорий содержатся не только фактуальные
предложения, но и законы науки, которые являются теоретическими
(помологическими) положениями относительно изучаемой действительности. О какой
истинности в этом случае может идти речь? Здесь имеется одно важное
обстоятельство, которое заставляет нас говорить не просто об истинности номологи-
ческих предложений, а об их относительной истинности.
Как было отмечено выше, каждая эмпирическая научная теория только
приблизительно верна, так как она лишь с определенной степенью точности
описывает реальность. Это еще одна релятивная сторона дела, которая прямо
фиксируется самим названием этой истинности. Такая релятивность понятия
материальной истинности предложений научных теорий определяется
следующим. Проверяя эмпирическую теорию на ее материальную истинность,
т. е. устанавливая ее адекватность некоторому фрагменту реальности, мы
всегда имеем дело не со всем этим фрагментом, а лишь с той его частью, которая
дана нам практически. Но практика с течением времени изменяется: в нее
постепенно входят новые объекты, что существенно расширяет эмпирически
данную нам часть этого фрагмента реальности. Поэтому некоторая теория
может быть истинной относительно одной практики (известного в определенное
время фрагмента реальности) и оказаться ложной относительно другой.
Так, например, в механиках Ньютона и Эйнштейна применяются
различные законы сложения скоростей - преобразования, соответственно, Галилея и
Лоренца, а потому, вычисляя скорость одного тела относительно другого, мы
всегда будем получать математически разные результаты. Однако в случае
движения тел с малыми скоростями это расхождение в вычисленных
величинах может оказаться столь незначительным, что его нельзя будет
зафиксировать ни одним прибором. Это (проверка законов теории Ньютона на объектах,
движущихся с малыми скоростями) и явилось причиной того, что долгое время
расхождения в расчетах движения тел, осуществляемых, согласно механике
Ньютона, на основе преобразований Галилея, с их реальным положнием никем
не были замечены. Однако рассмотрение движения элементарных частиц в
синхрофазотроне (новая практика) сразу же показывает неверность
ньютоновской теории. Правда, в практическом нашем обиходе мы часто встречаемся со
случаями, когда нам и не нужны бывают очень точные результаты измерения,
а потому определенными погрешностями теории мы можем пренебречь. По-
538

следнее говорит о том, что мы в данном случае руководствуемся
прагматической концепцией истины.
С другой стороны, истинность многих предложений математики и логики
напрямую связана с принятыми соглашениями об употреблении терминов, т. е.
с конвенциями. Эти конвенции (соглашения) играют в науке операциональную
роль и позволяют устанавливать истинность предложений априорно (не
обращаясь к эмпирическому опыту). Для логики высказываний, например, такой
процедурой установления априорной истинности является построение таблиц
истинности, а для первопорядковой логики предикатов - специальная
процедура построения так называемых аналитических таблиц. В свою очередь, в
математике, например, мы конвенционально, на основе уже рассмотренного
ранее в учебнике рекурсивного определения операции сложения, определяем
истинность предложения «5 + 2 = 7». Как это делается, было показано выше.
Таким образом, это предложение должно быть отнесено тоже к числу
априорно истинных.
К предложениям указанного типа часто применяют и несколько иную
терминологию. Так, про них часто говорят, что они являются аналитически
истинными (для предложений логики говорят об их логической истинности).
Фактически этими разными названиями просто пытаются зафиксировать
некоторые характерные особенности истинности данных предложений.
Предложения же, истинность которых не может быть установлена на основе принятых
конвенций об употреблении терминов, называются синтетически (апостери-
орно) истинными.
В свое время Г. Лейбниц подразделил все утверждения на синтетические и
аналитические. Он считал, что предложение «S есть Р» является аналитически
истинным, если предикат (свойство) Р, который мы приписываем объектам
класса S, составляет часть того содержания, которое мы связываем с понятием S.
Так, если понятие о предметах класса S раскрывается путем указания на то, что
это те самые предметы, которые обладают свойствами Р, Q, R и М, то наше
знание о том, что все предметы из класса S обладают свойством Р, является, во-
первых, априорным (до опытным), т. е. не требует проведения никаких
эмпирических исследований на предмет установления своей истинности, а, во-вторых,
оно является аналитическим, т. е. это знание вытекает из простого анализа
содержания понятия S. Примером таких суждений являются «Все холостяки - не
женатые люди», или «Все четные числа делятся на 2». С другой стороны,
предложение «S есть К», при тех же условиях о содержании понятия S, будет
синтетическим, так как в содержании понятия S свойство К не входит. Синтетический
характер предложения «S есть К» означает, что для установления истинности
этого предложения необходимо использовать методы практической проверки,
например некоторые эмпирические процедуры.
Далее, если при установлении истинности предложения «р» используются
такие методы, которые делают совершенно несущественными мнения, желания,
намерения субъекта, который проводит исследование, т. е. процедура
установления истинности предложения является в принципе интерсубъективной,
независимой от субъекта, то говорят, что данное предложение выказывается объек-
539

тивно, т.е. является объектно истинным. Это самый важный вид истинности и
любая наука стремиться обосновать, что ее утверждения являются объективно
истинными.
Если же эти методы таковы, что в них как неустранимый элемент
присутствуют те или иные субъективные особенности человека, его мнения и
желания, то про такие предложения говорят, что они являются субъективно
истинными («человек есть мера всех вещей» - утверждал Протагор). Последнее
понятие (понятие субъективной истины) играет большую роль при установлении
истинности так называемых оценочных высказываний этики и эстетики - «Это
хорошо», «Это плохо». «Это прекрасно», «Это безобразно (т.е. безобразно)».
Здесь мы в обязательном порядке должны указывать на субъект, который
высказывает предложение, о чем шла речь в главе VIII.
Уже из рассмотренного материала видно, что при установлении истинности
предложений мы можем пользоваться различными методами. Например, при
рассмотрении фактуальных и номологических предложений эмпирических наук
в качестве критерия их истинности могут выступать экспериментальные данные,
данные наблюдений и измерений. Если мы имеем дело с предложениями логики,
которые являются аналитически истинными, то для них критерием истинности
выступают специальные алгоритмы их проверки на истинность, о чем
говорилось в соответствующих разделах учебника. Для утверждений математики в
качестве такого критерия выступает факт их доказательства как теорем в
некоторой непротиворечивой аксиоматической теории. Однако если речь идет о
материальной истинности предложений, то, поскольку, как это было показано выше,
любая теория в обязательном порядке имеет реальную интерпретацию,
окончательным критерием истинности выступает практика, понимаемая в самом
широком смысле этого слова. При этом практика выступает не только как критерий
истинности отдельно взятых положений той или иной теории, но и как критерий
истинности всей теории в целом.
И это верно даже для логики и математики. Эти дисциплины исходно имеют
дело с абстрактными и идеальными объектами, а не объектами реального мира,
и потому, казалось бы, мы не можем их соотносить с эмпирическим положением
дел в мире. Но логика входит как неотъемлемый элемент в состав любой теории,
а математика в состав эмпирических математизированных теорий. Последние же
широко используются в нашей практической деятельности. Успешность нашей
деятельности подтверждает истинность данных эмпирических теорий, но тем
самым эмпирически (практически) подтверждается и истинность
математических и логических теорий, входящих в их состав. Таким образом, практика и в
этом случае выступает в качестве последнего критерия истинности.
540

Приложение 3
Виктор Коллегорский
ПОДРАЖАНИЕ ДРЕВНЕГРЕЧЕСКОМУ
Зря нас, поэтов, бранят, что без всякой мы логики пишем.
Логика есть и у нас - вот вам ее образец.
Люди, по общему мнению, все до единого смертны.
Если Сократ - человек, смертен, конечно, и он.
Вывод тогда лишь бесспорен, коль также бесспорны посылки.
Кто ж нам докажет их верность - может быть, тот же Сократ?
Будь и Сократ, не докажешь ты правильность главной посылки -
Нет доказательств, пока жив хоть один человек.
Вот хоть Сократ, например, до сих пор еще жив, а не умер.
Кто его знает, а вдруг никогда не умрет.
Так никогда, я боюсь, не решим мы нашей задачи.
Не подойти ли к решенью с другого конца?
Если Сократ - человек, то он, по условию, смертен.
Да, но ведь он еще жив - так человек ли Сократ?
Это нетрудно проверить - дадим ему выпить цикуты.
Если подействует яд, значит, Сократ - человек.
Выпил. Подействовал яд. Но опять нас терзают сомненья:
То, что Сократ - человек, это, конечно же, ясно. Но люди ли мы?
Впрочем, и это сужденье тоже нетрудно проверить:
Вот в изобилии яд - выпьем его, как Сократ.
Если, подобно Сократу, и мы все умрем от цикуты.
Значит, мы все были люди - в этом сомненья нет.
В миг, как последний умрет, силлогизм наш будет доказан.
Жаль, не найдется никто доказательство это постичь.
541

предметный указатель
В предметном указателе содержатся ссылки на страницы, где вводится
соответствующий термин - посредством определения или другим способом.
Абстракция, 15, 22
актуальной бесконечности, 347
изолирующая, 432
обобщающая, 432
потенциальной бесконечности, 347
потенциальной осуществимости, 349
Автонимное употребление имен, 62
Агрегат, 395
Адекватная формализация, 35, 127, 156
Аксиомы, 126
временной логики К,, 336
второпорядковой логики, 234
интуиционистской логики, 350
исчисления АР, 138
исчисления АРг, 208
исчисления САР, 141
логики двойственной Хао Вану, 373
логики Лукасевича, 289
логики Хао Вана, 373
модальной логики S4 Льюиса, 314
модальной логики S5 Льюиса, 314
модальной логики В Брауэра, 314
модальной логики Т Фейса, фон Вригта,
312
релевантная логика R, 370
релевантной логики FDE, 362
релевантной логики Е, 373
сопряженности, 337
формальной арифметики, 516
Активность причины, 464
Алфавит, 33
временной логики, 336
второпорядковой логики, 233
классической логики высказываний, 85
классической логики предикатов, 160
многосортного исчисления, 224
модальной логики, 312
силлогистики, 245
формальной арифметики, 516
Анализ вывода, 130
Аналитическая таблица, 188, 194
для классического следования, 195
для классической общезначимости, 195
для релевантного логического
следования, 376
для релевантной общезначимости, 376
замкнутая, 194, 325
начальная, 324
релевантно замкнутая, 376
Аналогия, 491
научная, 493
по отношениям, 493
по свойствам,492
по сходству функций, 494
популярная, 493
Антецедент, 60
Аргумент, 18, 75
Атрибут. См. Свойство
Базис
индукции, 435, 455
рекурсии,436
Булева алгебра, 400
абстрактная, 400
высказываний, 402
контактно-релейных сетей, 402
множеств, 401
В
Величина информации (мера информации),
363
Вероятность, 449
классическая (априорная), 449
статистическая (апостериорная), 450
условная, 451
Вершина дерева, 408
Ветвь дерева, 322
Вид, 68, 381
Видовое отличие, 381
Возможная реализация языка, 173
Возможный мир, 316
Вопрос, 48
Временная логика, 329
будущего, 337
минимальная К,, 335
прошлого, 337
расширения К,, 339
Временной ряд, 329
Л-ряд, 329
бесконечный в будущее, 341
542

бесконечный в прошлое, 341
В-ряд, 330
линейный в будущее, 342
линейный в прошлое, 342
непрерывный, 341
с ветвлением в будущее, 344
транзитивный, 341
Вхождение переменной в формулу
свободное, 167
связанное, 167
Выборка, 457
репрезентативная, 458
случайная, 460
Вывод, 129
в исчислении АРг, 210
в исчислении NPr, 204
в исчислении NP, 129
в исчислении САР, 142
в логике 2-ого порядка, 240
завершенный, 204
косвенный (от противного), 135
прямой, 134
Выделенные значения, 291
Выражение, 47
категорематическое, 47
простое, 54
синкатегорематическое, 48
сложное, 54
Выразимость
арифметических множеств, 521
арифметических отношений, 520
Высказывание, 17, 49
аподиктическое, 306
ассерторическое, 299
атрибутивное, 242
единичное, 243
единичноотрицательное, 242
единичноутвердителъное, 242
истинное в возможной реализации, 184
категорическое, 242
контрфактическое, 359
логически истинное, 31, 100, 183
логически ложное, 31, 100, 183
логически недетерминированное, 31, 100,
183
множественное, 243
модальное, 300
общее, 243
общеотрицателъное, 242
общеутвердительное, 242
овременённое, 329
отрицательное, 243
проблематическое, 306
утвердительное, 243
частное, 243
частноотрицателъное, 242
частноутвердителъное, 242
Гёделев номер, 521
Гёделева нумерация, 521
Генеральная совокупность, 457
Гипостазирование, 432
Гипотеза, 484
ad hoc, 485
конкурирующая, 491
общая, 489
теоретическая, 489
частная, 489
эмпирическая, 489
Гипотетико-дедуктивный метод, 485
Главный знак формулы, 87
д
Действие (следствие), 463
Действительный мир, 318
Декартова степень, 70
Декартово произведение, 69
Деление понятий, 405
дихотомическое, 406
мереологическое, 407
по видоизменению основания, 406
Дерево, 74
дважды упорядоченное, 322
частично упорядоченное, 74
Дескриптор, 52
Дескрипция
неопределенная, 57, 223
определенная, 57, 222
Детерминация (обусловленность), 464
Диагональные соотношения, 254
Диаграмма Венна, 416
совместная, 419
Дилемма
простая деструктивная, 118
простая конструктивная, 118
сложная деструктивная, 118
сложная конструктивная, 118
Диспозиционный предикат, 431
Доказательство
в исчисление АРг, 208
в исчислении NP, 130
в исчислении NPr, 204
в исчислении АР, 139
завершенное, 204
Древо Порфирия, 409

3
Задание множества
алгоритмическое, 66
аналитическое, 66
графическое, 68
перечислительное, 66
Задание функций
аналитическое, 77
графическое, 76
матричное, 286
рекурсивное, 78
табличное, 77
Заключение, 18
правила, 128
рассуждения, 125
Закон
ассоциативности, 113
больших чисел, 450
введения двойного отрицания, 114
введения дизъюнкции, 113
введения кванторов, 183
введения конъюнкции, 114
введения отрицания, 114
взаимовыразимости кванторов, 184
взаимовыразимости связок, 115
де Моргана, 115
дистрибутивности, 113
Дунса Скотта, 115
идемпотентности, 114
импортации, 114
исключенного третьего, 113
классической логики высказываний, 99
коммутативности, 113
контрапозиции, 115
контрарного противоречия, 253
логики Лукасевича, 287
логики Поста, 291
логики предикатов, 180, 183
монотонности, 114
науки, 359, 498
непустоты предметной области, 183
обратного отношения объемов и
содержаний понятий, 415
обратной контрапозиции, 115
отрицания антецедента, 114
отрицания импликации, 115
отрицания кванторов, 184
перестановки кванторов, 184
перестановочности антецедентов, 114
Пирса, 114
поглощения, 114
подчинения, 183
природы, 498
пронесения кванторов, 183
противоречия, 113
противоречия для е и i, 253
противоречия для а ж о, 253
самодистрибутивности, 114
силлогистики, 249
силлогистического тождества, 251
сложной контрапозиции, 115
снятия двойного отрицания, 114
субконтрарного исключенного третьего,
253
тождества, 113
транзитивности, 114
удаления кванторов, 183
удаления конъюнкции, 113
утверждения консеквента, 114
экспортации, 114
Замыкание множества относительно вывода,
500
Знак, 44
выводимости, 130
-индекс, 45
каузальной импликации, 463
-копия, 45
логического следования, 102
метазнак, 41
Нико, 89
правдоподобного следования, 447
равенства по дефиниции, 425
-сигнал, 45
-символ, 45
эквивалентности по дефиниции, 425
Знаковая ситуация, 44
Значение (экстенсионал), 46
имени, 50, 55
предикатора, 51
предложения, 57
И
Измерение, 498
Имена, 50
действительные, 56
кавычковые, 62
как знаки функций, 79
мнимые, 56
описательные, 57
простые, 56
с приданным смыслом, 56
с собственным смыслом, 56
собственные (имена ярлыки), 56
функциональные, 57
Императив, 49
Импликация
544

материальная, 52
номологическая, 80
релевантная, 361
строгая, 309
формальная, 359
Индивид, 41,389
Индуктивное обобщение, 457
Индуктивное предположение, 455
Индуктивный шаг, 435, 455
Индукция
к следующему за, 461
обобщающая. См. Обобщающая
индукция
установления причинных связей. См.
Исключающая индукция
Интенсивная величина, 476
Интерпретатор знака, 44
Интерпретация, 28, 89, 170
абстрактная, 506
индивидных переменных, 173
категорических атрибутивных
высказываний, 246
параметров, 24
предикаторных констант, 171
предметно-функциональных констант,
172
предметных констант, 171
пропозициональных переменных, 90
реальная, 506
термов, 173
формул, 175
Интуиционизм, 347
Исключающая индукция, 463, 470
различия, 473
совместного сходства и различия, 474
сопутствующих изменений, 475
статистическая, 478
сходства, 470
Истина, 17, 533
аналитическая, 539
априорная, 539
в модели, 536
в себе, 537
классическая (корреспондентная), 533
когерентная, 535
конвенциональная, 535
конструктивная, 537
логическая, 539
материальная, 537
объективная, 540
относительная, 538
прагматическая, 536
синтетическая (апостериорная), 539
субъективная, 540
условная, 126
фактуальная, 537
Исход массового события, 447
благоприятный, 450
Исчисление, 126
£-исчисление, 223
аксиоматическое (классической логики
высказываний), 137
второго порядка, 226
второпорядковое (аксиоматическое), 233
второпорядковое (натуральное), 239
высказываний, 125, 126
логическое, 34
многосортное, 224
натуральное (классической логики
высказываний), 127
предикатов 1-ого порядка
(аксиоматическое), 208
предикатов 1-ого порядка (натуральное),
200
с дескрипциями, 221
с равенством, 219
со схемами аксиом, 141
К
Категория, 385
Качество высказывания, 243
Квантор, 52
общности, 52
существования, 52
Классификация, 408
дихотомическая, 409
естественная, 410
искусственная, 410
по видоизменению основания, 409
Количество высказывания, 243
Компонента коротежа, 69
Конвенция (соглашение), 425
Конкретное содержание, 30
Конкретность истины, 319
Консеквент, 60
Константа, 53
логическая, 53
Конституэнта истины, 109
Конструктивизм, 348
Контекст
интенсиональный, 64
экстенсиональный, 64
Корень дерева, 74, 408
Кортеж, 69
конечный, 69
пустой, 69
Круги Эйлера, 66
545

л
Логика, 13
FDE См Релевантная логика
к-значная, 291
R См Релевантная логика
51 Льюиса, 310
52 Льюиса, 311
53 Льюиса, 311
54 Льюиса См Модальная логика
55 Льюиса См Модальная логика
аксиологическая, 316
бесконечнозначная, 291
Бочвара, 297
времени См Временная логика
высказываний, 85
Рейтинга, 297
двойственная Хао Вану См
Релевантная логика
дедуктивная, 32
деонтическая, 315
доказуемости, 316
изменения, 297
интенсиональная, 282
интуиционистская, 283, 346
Иоганссона, 351
квантовой механики, 297
классическая, 35
Клини, 295
конечнозначная, 291
континуальнозначная, 293
Лукасевича (бесконечнозначная), 293
Лукасевича (конечнозначная), 293
Лукасевича (трехзначная), 286
многозначная, 281, 284
модальная См Модальная логика
неклассическая, 274
нечеткая, 298
неэкзистенциальная, 283
паранепротиворечивая, 282
Поста, 290
предикатов, 159
прикладная, 502
пустая, 296
релевантная См Релевантная логика
Роговского, 298
с "пресыщенными" оценками, 281
с "провалами" значений, 281
свободная, 283
свободная от экзистенциальных
допущений, 223
счетнозначная, 293
универсальная, 283
Хао Вана См Релевантная логика
Эббингхауза, 297
эпистемическая, 315
Логицизм, 346
Логическая связка, 52
антиимпликация, 96
бинарная, 60
дизъюнкция, 52
истинностно-функциональная, 96
константа истины, 85
константа лжи, 85
конъюнкция, 52
материальная импликация См
Импликация
материальная эквиваленция, 52, 95
Нико, 95
обратная антиимпликация, 96
обратная импликация, 96
отрицание, 52
предицирующая, 242
строгая дизъюнкция, 93, 95
унарная, 60
Шеффера, 96
Логическая форма, 22, 27
Логический закон, 31
Логический квадрат, 252
Логическое подлежащее См Субъект
Логическое сказуемое См Предикат
Логическое следование, 23, 29
в интуиционистской логике, 353
в логике высказываний, 102
в логике Лукасевича, 288
в логике предикатов, 185
в модальной логике, 320
в релевантной логике, 371
в силлогистике, 249
в системе К,, 339
Логическое содержание, 30
Ложь, 17
м
Математика (прикладная), 502
Матричное задание логики, 292
Мереологическое ограничение, 404
Мереологическое членение, 407
Местность
терма, 167
формулы, 168
Метод аналитических таблиц
для интуиционистской логики, 354
для классической логики, 189
для логики FDE, 373
для модальной логики, 322
Метод корреляции, 481
546

Множество, 66
арифметическое, 519
бесконечное, 67
возможных миров, 318
древестно-упорядоченное, 74
конечное, 67
линейно-упорядоченное (цепь), 74
максимальное непротиворечивое, 318
непустое, 67
несчетное, 67
одноэлементное, 67
пустое, 67
-степени, 68
счетное, 67
упорядоченное, 73
Модальная логика, 282, 299
54 Льюиса, 314
55 Льюиса, 314
аксиологическая, 282
алетическая, 282
В Брауэра, 314
временная, 282
деонтическая, 282
Т Фейса и фон Вригта, 312
эпистемическая, 282
Модальность, 300
de dicto, 304
de re, 304
абсолютная, 305
аксиологическая, 302
алетическая, 300
безличностная, 306
бинарная с А-рядом, 334
бинарная с В-рядом, 335
будущего, 336
временная, 302
деонтическая, 301
личностная, 306
логическая, 301
онтологическая, 301
относительная, 305
пропозициональной установки, 306
прошлого, 336
унарная метрическая, 333
унарная неметрическая, 334
эпистемическая, 302
Моделирование, 495
Модель
содержательных рассуждений, 127
формулы в интуиционистской логике,
353
формулы в логике времени К,, 339
формулы в модальной логике Т, 321
формулы в релевантной логике R, 371
формулы классической логики, 184
Модельная структура
для временной логики К,, 338
для инутиционистской логики, 352
для модальной логики, 319
Модельная схема
для аристотелевской силлогистики, 413
для традиционной силлогистики, 246
Модус фигуры силлогизма, 257
н
Наблюдение, 469, 497
Набор значений пропозициональных
переменных, 90
Наименьший элемент, 74
Непротиворечивость
относительная, 213
семантическая, 215
синтаксическая, 217
Непрямой способ аргументации, 19, 119
Неявное определение, 434
аксиоматическое, 436
индуктивное, 434
рекурсивное, 436
через контекст, 438
Нормативный характер логики, 20
Нумерал, 520
О
Область
действия дескрипции, 222
действия квантора, 166
значения функции, 75
определения функции, 75
Обобщающая индукция, 453
научная, 457
неполная, 456
полная возвратная, 455
полная математическая, 455
полная по построению, 454
полная эмпирическая, 454
популярная, 456
статистическая, 459
Обоснование (верификация) гипотезы, 484
Обращение, 254
с ограничением,254
чистое, 254
Общие правила силлогизма, 259
для посылок, 259
для терминов, 259
Объем
высказывания, 363
547

понятия, 382
понятия (логический), 384
понятия (фактический), 384
оказывания, 249
Объяснение, 510
структурное, 510
феноменологическое, 510
Оператор, 52
абстракции, 52
единственного существования, 220
множественности, 52
неопределенной дескрипции, 52
определенной дескрипции, 52
Операции с понятиями, 397
булевы операции, 398
взятие дополнения, 400
вычитание, 399
деление. См. Деление понятий
обобщение, 405
объединение, 398
ограничение, 403
пересечение, 398
симметрическая разность, 399
Операция с теориями
взятие дополнения, 513
объединения, 513
перевода, 515
пересечения, 513
погружения, 515
Описание, 444
Описание состояния
классическое, 317
обобщенное, 365, 366
Определение, 423
неявное. См. Неявное определение
номинальное, 440
реальное, 440
родовидовое, 441
тавтологичное, 444
фундаментальное, 441
явное. См. Явное определение
Определяемая часть определения, 425
Определяющая часть определения, 425
Опровержение (фальсификация) гипотезы,
484
Основание деления, 405
Остенсивные "определения", 444
Относительная частота исхода, 449
Отношение, 16, 17, 41, 50
- как множество, 71
антирефлексивное, 73
антисимметричное, 73
арифметическое, 519
асимметричное, 73
включения множеств, 68
достижимости, 319
наложения интервалов, 333
нерефлексивное, 73
несимметричное, 73
подинтервальности, 333
порядка, 73
примитивно рекурсивное, 520
принадлежности, 66
равенства множеств, 68
раньше-позже, 331
рекурсивное, 520
рефлексивное, 73
симметричное, 73
строгого включения, 68
типа равенства, 73
транзитивное, 73
функциональное. См. Функция
Отношение между теориями, 514
вложимости, 515
дедуктивной эквивалентности, 514
дефинициального расширения, 514
дефинициальной эквивалентности, 514
независимости, 514
некреативного расширения, 514
несовместимости, 514
погружения, 515
подтеории, 514
Отношения между понятиями, 412
включения, 413
дополнительности, 414
исчерпывания, 413
неисчерпывания, 413
несовместимости, 412
несравнимости, 412
пересечения, 414
противоречия, 414
равнообъемности, 413
совместимости, 412
соподчинения, 414
сравнимости, 412
фундаментальное, 412
Отношения между формулами, 102
выводимости, 127
логического подчинения, 104
логического следования, 185, См.
Логическое следование
логической эквивалентности, 104
независимости, 104
подпротивоположности
(субконтрарности), 104, 253
подчинения, 252
противоположности (контрарности), 104,
253
548

противоречия (контрадикторное™), 104,
253
совместимости по истинности, 102, 185
совместимости по ложности, 102, 185
фундаментальное, 102, 185
Отрицание
диагональное, 291
циклическое, 291
Ошибки в делении, 407
пуганое деление, 407
скачок в делении, 407
п
Парадокс
Грелинга, 43
Лжеца, 43
логического всеведения, 316
материальной импликации, 358
Рассела, 228
Параметр, 22, 53
Переменная, 53
абсолютно ограниченая, 202
взятая в интерпретации всеобщности, 202
взятая в условной интерпретации, 202
временная, 331
индивидная, 53, 161
метапеременная, 112
ограниченная, 202
пропозициональная, 54, 86
свободная, 167
связанная, 167
существенная, 78
фиктивная, 78
Подмножество
несобственное, 68
собственное, 68
Подтверждение гипотезы, 489
Подформула, 87
Познание, 14
восприятие (перцепция), 14
ощущение, 14
представление, 14
рациональное (интеллектуальное), 14, 15
фантазия, 14
чувственное, 14
Полная система несовместимых исходов,
448
Полнота
семантическая, 217
синтаксическая, 156
Понимание термина, 380
Понятие, 16, 379, 380
абстрактное, 395
безотносительное, 397
видовое, 414
делимое, 405
единичное, 387
конкретное, 395
логически пустое, 387
мереологическое, 390
непустое, 386
несобирательное, 395
неуниверсальное, 388
о множествах индивидов, 392
о предметно-функциональных
характеристиках индивидов, 392
о свойствах индивидов, 391
об индивидах, 390
об отношениях между индивидами, 391
об и-ках индивидов, 393
об я-ках множеств, 394
об и-ках предметно-функциональных
характеристик, 394
об и-ках признаков, 393
общее, 388
относительное, 396
отрицательное, 396
положительное, 396
простое, 385
пустое, 386
родовое, 414
сложное, 386
собирательное, 395
соотносительное, 397
универсальное, 388
фактически пустое, 387
фундаментальное, 385
Понятие теории
содержательное, 499
формальное, 499
Порочный круг, 443
Поспешное обобщение, 457
Поспешное установление каузальной связи,
464
Поссибилизм, 318
Посылка, 18
большая, 256
исключенная из вывода, 130
меньшая, 256
правила, 128
рассуждения, 125
Правдоподобная выводимость, 452
Правдоподобное следование, 447, 452
по обратной дедукции, 452
по позитивной релевантности, 452
Правила вывода, 125
введения дизъюнкции, 128
549

введения импликации, 129
введения квантора общности, 203
введения квантора существования, 202
введения конъюнкции, 128
введения отрицания, 129
Гёделя, 313
генерализации, 208
двухпосылочные, 128
замены по дефиниции, 433
исключения дизъюнкции, 128
исключения импликации (modus ponens),
129
исключения квантора общности, 202
исключения квантора существования,
203
исключения конъюнкции, 128
исключения отрицания, 129
однопосылочные, 128
подстановки, 139
Правила редукции, 190, 191
для истинного квантора общности, 193
для истинного квантора существования,
194
для истинного отрицания в
интуиционистской логике, 355
для истинного отрицания в классической
логике, 192
для истинной возможности, 324
для истинной дизъюнкции, 192
для истинной импликации в
интуиционистской логике, 354
для истинной импликации в
классической логике, 192
для истинной конъюнкции, 191
для истинной необходимости, 323
для ложного квантора общности, 193
для ложного квантора существования,
194
для ложного отрицания в
интуиционистской логике, 355
для ложного отрицания в классической
логике, 193
для ложной возможности, 324
для ложной дизъюнкции, 192
для ложной импликации в
интуиционистской логике, 355
для ложной импликации в классической
логике, 192
для ложной конъюнкции, 191
для ложной необходимости, 323
для не истинного отрицания, 375
для не истинной дизъюнкции, 374
для не истинной конъюнкции, 374
для не ложного отрицания, 375
для не ложной дизъюнкции, 374
для не ложной конъюнкции, 374
Правило
деления, 405
для (д-оператора, 519
подстановки (суперпозиции), 519
рекурсии, 519
Правильная подстановка, 200
Прагматика языка, 47
Превращение, 266
Предикат, 58
диспозиционный, 360
силлогистический, 243
существования, 223
Предикатор, 50
как знак функции, 79
многоместный, 50
одноместный, 50
Предицирующая связка, 52
отрицательная, 52
утвердительная, 52
Предложение, 49
вопросительное, 49
дизъюнктивное, 60
единичное, 58
как знак функции, 79
конъюнктивное, 60
материальной импликации, 60
множественное, 59
отрицательное, 60
побудительное, 49
повествовательное, 49
простое, 58
сложное, 58, 60
эквиваленции, 60
Предмет, 388
абстрактный, 389, 506
идеальный, 389, 506
Предметный функтор, 51
как знак функции, 79
Предсказание, 510
Представимость
арифметических функций, 520
Предшествующие обстоятельства, 464
Пресуппозиция, 269
Признак, 16
индивидов, 41
несущественный, 410
признака, 41
существенный, 410
Принцип
взаимозаменимости, 63
двузначности, 274
детерминизма, 480
550

индетерминизма, 480
классической трактовки истины, 276
однозначности, 61
предметности, 62
экзистенциальное™, 276
экстенсиональности, 275
элиминации, 470
Причина (каузальность), 463
действующая, 464
динамическая, 467
как достаточное условие, 467
как необходимое и достаточное условие,
468
как необходимое условие, 468
как условие модификации следствия, 468
непосредственная, 465
отдаленная, 465
сложная, 467
статистическая, 467
формальная, 466
Пропозициональная связка
как знак функции, 79
Противопоставление
предикату, 266
субъекту, 267
Р
Равенство
графическое, 69
индивидов, 230
кортежей, 69
множеств, 68
отношений, 72
функций, 76
Различие, 497
Распределенность терминов, 249
Рассуждение, 18, 125
дедуктивное, 125
от противного, 19, 120
по правилу дедукции, 119
правдоподобное, 125, 447
разбором случаев, 123
сведением к абсурду, 122
содержательное, 126
формальное, 127
Ребро дерева, 408
Результирующий столбец, 97
Рекурсия, 436
Релевантная логика, 281, 282, 357, 361
FDE, 362
R, 370
двойственная Хао Вану, 281, 369, 373
де Моргана, 28)
Е,373
Хао Вана, 281, 369, 373
Реляционное свойство, 396
Реляция. См. Отношение
Род, 68,381
С
Свойства естественного языка
грамматическая неоднозначность, 42
замкнутость, 43
многозначность, 42
универсальность, 42
Свойство, 16, 17,41,50,242
- как множество, 70
Семантика возможных миров, 316
Семантика языка, 47
Семантические категории, 48
Семантический треугольник, 46
Силлогизм
негативный, 268
простой категорический, 255
Силлогистика, 242
аристотелевская, 245, 271
негативная, 245, 264
позитивная, 245
расширенная, 272
традиционная, 244
Символы
индивидных (предметных) констант, 160
логические, 86, 16J
нелогические, 86, 160
предикаторных констант, 160
предметно-функциональных констант,
160
технические, 86, 161
Синтаксис языка, 46
Система аналитических таблиц, 324
замкнутая, 325
Систематизация
дедуктивная, 509
индуктивная, 509
Смысл (интенсионал), 46
имени, 56
предикатора, 51
предложения, 57
Событие
достоверное, 449
массовое, 447
невозможное, 449
независимое, 451
сложное, 448
условное, 448
элементарное, 448
551

Соглашение о сокращении скобок, 87
Содержание
высказывания, 363
высказывания (логическое), 365
высказывания (онтологическое), 365
понятия, 382
понятия (логическое), 383
понятия (фактическое), 383
Соразмерность определения, 443
Сравнение, 444
Степень интенсивности, 476
Субъект, 58, 243
Суждение, 17, 48
Сущность, 410
Схема формул, 113
Схемы аксиом, 141
Сходство, 497
т
Таблица истинности, 91
для дизъюнкции, 93
для конъюнкции, 92
для материальной импликации, 93
для отрицания, 92
для формулы, 96
силлогистическая, 250, 251
совместная, 103
Тавтология, 364
Таксон, 408
Тезис, 18
Теорема, 127, 130, 139,204
чистого существования, 347
Теорема дедукции
в исчислении высказываний, 142
в исчислении предикатов, 210
Теория, 17,499
со-непротиворечивая, 522
аксиоматическая, 126, 500
бытия (онтологии), 505
вероятности, 447
дедукции, 125
кванторная, 160
классической термодинамики, 505
конечно аксиоматизируемая, 500
логико-математическая, 501
логическая, 32, 34
логическая (прикладная), 502
логическая (чистая), 502
математизированная, 502
механики Ньютона, 504
множеств, 65
научная, 500
небесной механики Ньютона, 504
нелогическая, 502
ненаучная (антинаучная), 500
относительно непротиворечивая, 512
отражения, 532
первопорядковой логики, 160
подобия, 495
прикладная эмпирическая, 503
прикладной небесной механики
Ньютона, 505
разрешимая, 157, 513
рекурсивно аксиоматизируемая, 500
рекурсивной ариифметики, 519
семантически непротиворечивая, 149,
511
семантически полная, 512
семантических категорий, 80
синтаксически непротиворечивая, 151,
512
синтаксически полная (максимальная),
156,512
содержательная, 125, 501
статистической термодинамики, 505
строгой импликации, 309
структурная, 503
типов, 228
феноменологическая, 503
формализованная, 126, 501
формальная, 126, 501
формальной арифметики, 503
Цермело-Френкеля, 503
частичного порядка, 503
чистая эмпирическая, 503
эмпирическая, 501
Терм, 161
временной, 331
второпорядковой логики, 233
замкнутый, 168
простой, 161
сложный, 161
формальной арифметики, 516
Термин, 49
больший, 256
в силлогистике, 242
крайний, 256
логический, 25, 50
меньший, 256
наблюдения, 503
нелогический, 49
нелогический (дескриптивный). 25
непустой, 244
нераспределенный, 249
неуниверсальный, 244
определяемый, 425
отрицательный, 245
552

положительный, 245
распределенный, 249
средний, 256
Термин «все»
разделительный смысл, 260
собирательный смысл, 260
Терминное отрицание, 245, 264
Тождество неразличимых, 492
Требования к определениям, 442
У
Умозаключение, 18
непосредственное, 252
неправильное, 23
опосредованное, 256
от противного, 120
по modus ponens, 116
по modus tollens, 116
по ponendo tollens, 117
no tollendo ponens, 117
по логическому квадрату, 252
правильное, 23
разделительно-категорическое, 116
условно-категорическое, 115
условно-разделительное, 1 i 7
Универсалия, 381
Универсум рассуждения, 41, 170
Учетверение терминов, 260
Ф
Факт, 498
единичный, 498
науки, 498
общий, 498
отрицательный, 498
положительный, 498
природы, 498
Фигура силлогизма, 256
Форма
высказывательная, 54
замкнутая, 54
именная, 54
незамкнутая, 54
Формализм, 346
Формула
R-релевантно общезначимая, 371
84-общезначимая, 321
SS-общезначимая, 321
В-общезначимая, 321
второпорядковой логики, 234
выполнимая, 99, 182
доказуемая, 139, 204, См. Теорема
замкнутая (предложение), 168
интуиционистски общезначимая, 353
исключенная из вывода, 130
истинная в модельной структуре, 320
К,-общезначимая, 339
логики высказываний, 86
логики предикатов, 162
невыполнимая, 182
общезначимая, 99,180
опровержимая, 99, 181
отмеченная, 190
первого уровня, 362
силлогистическая, 245
сложная, 86, 162
Т-общезначимая, 320
тождественно-истинная, 99
тождественно-ложная, 99
формальной арифметики, 516
элементарная, 86,162
Фундаментальный перевод, 269
Функтор
высказываниеобразующий, 82
имяобразующий, 82
функторобразующий, 82
Функции естественного языка
информационная, 42
коммуникативная, 42
познавательная, 42
экспрессивная, 42
Функциональная полнота, 85,109
Функция, 75
арифметическая, 519
булева, 79
интерпретирующая, 170
истинности, 96
истинностно-истинностная, 78
как операция, 75
логическая, 78
предметная, 78
предметно-истинностная, 78
предметно-предметная, 78
примитивно рекурсивная, 519
приписывания значений индивидным
переменным, 173
рекурсивная (общерекурсивная), 519
характеристическая, 520
ц
Цель вывода, 133, 134, 135
Цепь
замкнутая, 194, 325
релевантно замкнутая, 376
Цепь причинения, 465
553

ч
Черный ящик, 465
Чистое противопоставление, 267
Члены деления, 405
э
Эвристика, 133
1-я эвристика, 133
2-я эвристика, 134
3-я эвристика, 135
4-я эвристика, 206
Экземплификация, 445
Эксперимент (опыт), 469, 497
Элемент множества, 66
Эмпирический базис теории, 503
Энтимема, 261
корректная, 261
Я
Явное определение, 425
высказывательной формы, 427
генетическое, 430
имени, 426
квалифицирующее, 430
контекстуальное, 438
логических констант, 428
множественных операторов, 429
операциональное, 430
перечислительное, 430
по частям, 431
предиката, 427
предметного функтора, 429
универсалии, 427
условное, 430
функционального выражения, 429
целевое, 430
через абстракцию, 432
через гипостазирование, 431
Язык, 40
второго порядка, 42
естественный, 40
искусственный, 40
логики высказываний, 85
логики предикатов, 159
метаязык, 41
науки, 40
объектный, 41
первого порядка, 42
прикладной логики предикатов, 166
формализованный, 32, 40
Ярус дерева, 408

Бочаров Вячеслав Александрович
Маркин Владимир Ильич
Введение в логику
Учебник
Корректор Л.П. Сидорова
Компьютерная верстка С. Ч. Соколовского
Оформление серии КВ. Пономарева
Сдано в набор 14.01.2008. Подписано в печать 14.04.2008.
Формат 70x100 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Гарнитура Тайме. Усл. печ. л. 45,15. Уч.-изд. л. 48,50. Тираж 2000 экз.
Заказ №3118.
ЛР№ 071629 от 20.04.98
Издательский Дом «ФОРУМ»
101000, Москва-Центр, Колпачный пер., 9а
Тел./факс: (495) 625-39-27
E-mail: forum-books@mail.ru
ЛР№ 070824 от 21.01.93
Издательский Дом «ИНФРА-М»
127282, Москва, Полярная ул., 31в
Тел.: (495) 380-05-40; факс: (495) 363-92-12
E-mail: books@infra-m.ru
http://www.infra-m.ru
По вопросам приобретения книг обращайтесь:
Отдел продаж «ИНФРА-М»
127282, Москва, ул. Полярная, д. 31в
Тел.: (495) 363-42-60
Факс: (495) 363-92-12
E-mail: books@infra-m.ru
Центр комплектования библиотек
119019, Москва, ул. Моховая, д. 16
(Российская государственная библиотека, кор. К)
Тел.: (495) 202-93-15
Магазин «Библиосфера» (розничная продажа)
109147, Москва, ул. Марксистская, д. 9
Тел.: (495) 670-52-18, (495) 670-52-19
Отпечатано в ОАО «Тверской ордена Трудового Красного Знамени
полиграфкомбинат детской литературы им. 50-летия СССР».
170040, г. Тверь, проспект 50 лет Октября, 46.