/
Теги: алгебра
Текст
ELEMENTS DE MATHEMATIQUE
N. BOURBAKI
ALGEBRE
CHAPITRE X
ALGEBRE
HOMOLOGIQUE
MASSON
PARIS NEW YORK BARCELONE MILAN
1980
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИКИ
Н. БУРБАКИ
АЛГЕБРА
ГЛАВА X
ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ
АЛГЕБРА
Перевод с французского Е.С. ГОЛОДА
Под редакцией А.И. КОСТРИКИНА
МОСКВА "НАУКА"
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1987
ББК 22.14
Б91
УДК 512.66
Б у р б а к и Н. АЛГЕБРА. Глава X. Гомологическая алгебра: Пер. с фр./Под
ред. А.И. Кострикина. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. - 184 с.
Содержит современное, и в то же время достаточно элементарное, детальное изложение
основных разделов гомологической алгебры, находящих фундаментальные приложения как
в самой алгебре, так и в, других разделах математики, прежде всего, в алгебраической гео-
геометрии и топологии. Обширный дополнительный материал, содержащийся в многочисленных
упражнениях, позволяет овладеть еще рядом важных разделов гомологической алгебры,
которые либо не вошли в основной текст, либо в нем только кратко упомянуты. В целом
книга дает почти исчерпывающее представление о многообразии идей и методов гомологи-
гомологической алгебры.
Для математиков различных специальностей, применяющих в своих исследованиях мето-
методы гомологической алгебры.
©Masson, Paris, 1980
©Перевод на русский язык.
пая Издательство "Наука".
-ю* ?^? Главная редакция физико-
7
?^? р ф
05 3 @2)-87 математической литературы, 1987
СПОСОБ ПОЛЬЗОВАНИЯ ДАННЫМ ТРАКТАТОМ
Новое издание
1. В Трактате математика рассматривается с самых ее начал и с полными доказательствами.
Поэтому его чтение не предполагает в принципе никаких специальных математических знаний, а
требует лишь некоторого навыка к математическим рассуждениям и известной способности к
абстракции. Однако Трактат рассчитан преимущественно на читателей, обладающих хорошим
знанием материала по крайней мере в объеме первого или первых двух курсов университета.
2. Принятый способ изложения носит аксиоматический характер и чаще всего реализует переход
от общего к частному. К тому же нужды доказательства требуют, чтобы в принципе главы следовали
в строго фиксированном логическом порядке. Поэтому полезность некоторых рассмотрений будет
обнаруживаться лишь при чтении последующих глав, во всяком случае, если читатель еще не облада-
обладает достаточно обширными познаниями.
3. Трактат делится на Книги, а каждая Книга - на главы. Фактически опубликованы, полностью
или частично, следующие Книги:
Теория множеств обозначаемая через Е
Алгебра - А
Общая топология - TG
Функции действительного переменного - FVR
Топологические векторные пространства - EVT
Интегрирование — INT
Коммутативная алгебра - АС
Дифференцируемые и аналитические многообразия - VAR
Группы и алгебры Ли — LIE
Спектральная теория — TS
В шести первых Книгах (относительно указанного выше порядка) каждое высказывание апелли-
апеллирует лишь к определениям и результатам, изложенным ранее в текущей главе или в предшествую-
предшествующих главах, причем главы располагаются в следующем порядке: Е; А, главы I—III; TG, главы I—III;
А, главы IV и следующие; TG, главы IV и следующие; FVR; EVTj INT. Начиная с седьмой Книги,
в случае необходимости, читатель найдет в начале каждой Книги или главы точное указание на ис-
используемые Кнцги или главы (при этом шесть первых Книг всегда будут предполагаться известными).
4. Впрочем, кое-какие фрагменты представляют собой исключение из предыдущих правил. Они
выделяются двумя звездочками: *. . . , и либо представляют собой примеры, облегчающие понима-
понимание текста, но опирающиеся на факты, которые читатель, возможно, знает из других источников,
либо в них помимо результатов, предполагаемых известными на протяжении всей рассматриваемой
главы, используются также результаты, доказываемые в других разделах Трактата. Фрагменты
второго типа будут свободно использоваться в тех частях Трактата, в которых предполагаются
известными как главы, в которых эти фрагменты содержатся, так н главы, на которые они опи-
опираются. Мы надеемся, что читатель сможет убедиться в отсутствии порочного круга.
5. Некоторые Книги (как опубликованные, так и подготавливаемые к печати) снабжены сводка-
сводками результатов. Эти сводки содержат самое существенное из определений и результатов Книги, но
не включают никаких доказательств.
6. Логический остов каждой главы составляют определения, аксиомы и теоремы этой главы;
именно этот материал особенно необходимо удерживать в памяти для дальнейшего. Результаты ме-
менее важные или те, которые легко можно восстановить на основании теорем, фигурируют под назва-
название м "предложений", "лемм", "следствий", "замечаний" и т.д.; то, что может быть опущено при
первом чтении, напечатано петитом. Под названием "Схолия" дается иногда комментарий к особо
важной теореме.
Во избежание скучных повторений иногда вводятся те или иные обозначения или сокращения,
действительные лишь в пределах одной главы или одного параграфа (например, в главе, где все
рассматриваемые кольца коммутативны, под словом "кольцо" понимается всюду "коммутатив-
"коммутативное кольцо"). Такого рода соглашения всегда явно оговариваются в начале главы или параграфа,
где они применяются.
7. Некоторые места имеют своей целью предостеречь читателя от серьезной ошибки, в которую
он рискует впасть; эти места отмечены на поле знаком Z ("опасный поворот").
8. Упражнения предназначены, с одной стороны, для того, чтобы дать возможность читателю
удостовериться в правильном усвоении им текста, а с другой - чтобы познакомить его с результа-
результатами, для которых не нашлось места в тексте; наиболее трудные из них отмечены знаком 1.
Способ пользования данным трактатом
9. Терминология, принятая в этом Трактате, была предметом особого внимания. Были приложе
мы старания никогда не отклоняться от установившейся терминологии без весьма серьезных на то
оснований.
10. Приложены старания, не жертвуя простотой изложения, всюду пользоваться выдержанно точ-
точным языком. Насколько это возможно, вольности речи, без которых любой математический текст
рискует стать педантичным и даже неудобочитаемым, каждый раз оговариваются.
11. Так как текст посвящен догматическому изложению теории, читатель найдет библиографи-
библиографические ссыпки лишь в виде исключений; эти ссыпки будут сосредоточены в исторических очерках.
Библиография, которая следует за каждым из этих очерков, чаще всего содержит только книги и
оригинальные статьи, сыгравшие наибольшую роль в развитии рассматриваемой теории; она никоим
образом не претендует на полноту.
Что касается упражнений, не было вообще сочтено полезным указывать их происхождение,
которое может быть самым различным (оригинальные научные статьи, учебные руководства, сбор-
сборники задач).
12. В новом издании ссылки на теоремы, аксиомы, определения, замечания и т.п. даются, в прин-
принципе, путем указания последовательно Книги (с сокращениями из списка в п. 3), главы и страницы,
где они находятся. Внутри той же самой Книги упоминание о ней опускается. Например, в Книге
"Алгебра" сочетание
Е, III, р. 32, cor. 3
отсыпает к следствию 3, находящемуся в Книге "Теория множеств", гл. III. с. 32;
И, р. 24. prop. 17
отсылает к предложению 17 из книги "Алгебра", гл. II, с. 24.
Сводки результатов обозначаются буквой R. Например, EVT, R означает "сводка результатов из
книги "Топологические векторные пространства".
Так как новые издания некоторых Книг должны выйти позднее, ссылки на них даются путем
последовательного указания Книги, главы, параграфа и пункта, где находится цитируемый резуль-
результат; например,
АС, III, § 4, п° 5, cor. de la prop. 6 ')
1) В настоящем переводе сохранены ссылки иа оригинальные выпуски нового издания Трактата,
поскольку они по большей части не имеют соответствий в выпусках старого издания на русском
языке; в тех случаях, когда такие соответствия имеются, параллельно даны ссылки на надлежащие
места русского перевода. — Примеч. пер.
ГЛАВА X
ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА
§ 1. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
В этом параграфе через А обозначается кольцо. Если явно не оговорено противное,
все рассматриваемые модули и идеалы считаются левыми.
Все определения и результаты применимы также и к правым модулям, если их рас-
рассматривать как левые модули над противоположным кольцом.
Если М — А-модуль и если а ? А, то через дм обозначается гомотетия х^ах наМ.
Следовательно, 1м = Им (тождественное отображение множествам); когда это не мо-
может привести к путанице, вместо 1м пишется просто 1.
Наконец, через О обозначается А-модуль, состоящий только из своего нейтрального
элемента, выбранный раз и навсегда (ср. II, р. 8).
1. Коммутативные диаграммы
Пусть, например, В, С, D, E, F - пять множеств, и пусть/ - отображение Е в F,g -
отображение В в С, А — отображение D в Е, и — отображение В в D и v — отображе-
отображение С в Е. Для простого описания ситуации такого рода часто используются диаграммы;
так, рассматриваемая ситуация описывается следующей диаграммой (Е, II, р. 8; Теория
множеств, И, с. 91) :
В
D
С
1"
E
T
В такой диаграмме группа знаков Е —* F схематически обозначает, что / есть отобра-
отображение Е в F. Когда ясно, о каком отображении идет речь, буква/ опускается и пишется
просто Е -* F.
Когда В,С,D, E, F — группы (соответственно А-модули) uf,g,h,u, и — гомоморфиз-
гомоморфизмы групп (соответственно А-модулей), для краткости говорят, что диаграмма A) —
это диаграмма групп (соответственно А-модулей).
В принципе диаграмма не является математическим объектом, а только рисунком,
предназначенным для облегчения чтения. На практике диаграммы часто используют
как краткие обозначения, позволяющие избежать подробного наименования рассматри-
рассматриваемых множеств и отображений; так, говорят: "рассмотрим диаграмму A)" вместо
того, чтобы сказать: "пусть В, С, D, E, F — пять множеств... и и — отображение С в Е";
см., например, формулировку предложения 1 в п. 2.
Рассмотрим, например, следующую диаграмму:
В *
ь[ i i
В' > С » D'
/' я' *
Всякому пути, составленному из некоторого числа отрезков диаграммы, проходимо-
проходимому в направлении, указанном стрелками, ставится в соответствие отображение множест-
множества, изображаемого началом первого отрезка, в множество, изображаемое концом
последнего отрезка, представляющее собой композицию отображений, изображаемых
различными проходимыми отрезками. Принимается соглашение, что для всякой
§ 1. Дополнительные сведения из линейной алгебры
вершины диаграммы, например, С, имеется путь, сводящийся к С, и ему ставится в соот-
соответствие тождественное отображение 1с-
В диаграмме B), например, имеются три пути, выходящие из В и оканчивающиеся
в D'; соответствующие отображения — это d°g°f, g'°c°f и g' ? f' ° Ъ. Говорят,
что диаграмма коммутативна, если для всякой пары путей этой диаграммы, имеющих
одинаковые начало и конец, два соответствующих отображения равны; в частности,
если у некоторого пути его конец совпадает с его началом, соответствующее отображе-
отображение должно быть тождественным.
Дня того чтобы диаграмма B) была коммутативной, необходимо и достаточно,
чтобы выполнялись соотношения
f'ob = c°f, g'<>c = d°g, h'od = e<>h; C)
иначе говоря,-необходимо и достаточно, чтобы три квадратных диаграммы, выделенных
из диаграммы B), были коммутативны. Действительно, из соотношений C) вытекает,
что d° g о f = g' о с° f, так как do g = g' о с, и что g'° c° f=g' ° f' ° Ъ, так как
с о f = /' о Ь; следовательно, три пути, выходящих из В и оканчивающихся в D', дают
одно и то же отображение. Так же проверяется, что четыре пути, выходящих из В и
заканчивающихся в Е' (соответственно три пути, выходящих из С и заканчивающихся
в Е'), дают одно и то же отображение. Соотношения C) означают, что два пути, выхо-
выходящих из В (соответственно С, D) и оканчивающихся в С' (соответственно D', Е')
дают одно и то же отображение. Все другие пары вершин диаграммы B) могут быть
соединены самое большее одним путем, и диаграмма B), следовательно, коммутативна.
В дальнейшем мы будем предоставлять читателю формулировку и проверку анало-
аналогичных результатов для других типов диаграмм.
2. Змеевидная диаграмма
Предложение 1. Рассмотрим коммутативную диаграмму А-модулей
/J «[ 4 D)
М' > N' у Р'.
и' v
Предположим, что обе строки диаграммы D) точные. Тогда:
(i) Если отображение h инъективно, то
lm(g)nim(u') = lm(u'of) = lm(gou). E)
(ii) Если отображение f сюръективно, то
Kerfe) + Im(u) = Ker(i/ о g) = Кег(Л ° v). F)
Докажем (i). Ясно, что
Im(u' о /) = lm(g о и) С Imfe) П Im(u').
Обратно, пусть у' е lm(g) П Im(u'). Имеется элемент ^€N, для которого у' =
= g(y). Так как v о и = 0, то 0 = v'(y') = v'(g(y))= h(v (у)),откуда v{у) = 0, так как
Л инъективно. Так как (и, v) — точная последовательность, то имеется элемент л?М,
для которого у = и(х), откуда у' = g(u(x)) .
Докажем (ii). Так как v° u = 0 и v' ° и' = 0, то ясно, что
Kerfe) + Im(u) С Ker(i/ »g) = Кег(й ° v).
Обратно, пусть у & Ker(u'og). Тогда#0>)€ Кег(и'), и имеется элемент х'е М',
для которого и'(х') = g(y), так как последовательность (и', и) точная. Так как/
сюръективно, то имеется элемент х е М, для которого f(x) = x', откуда g{y)= и '(/(*)) =
= g(u(x) ); отсюда заключаем, что у - и(х) е Ker(g), чем доказательство заканчивается.
Лемма 1. Рассмотрим коммутативную диаграмму К-модулей:
М -^N
Л 4 G)
М' > N'.
§ У. Дополнительные сведения из линейной алгебры
Существуют и притом единственные гомоморфизмы их: Кег(О -*Кег(?) и иг
= Сокег(/) -* Coker(g), для которых диаграммы
'1 4 (8)
M »TSI
и
и
М' -=-•- N'
"\ *\ (9)
Coker (/)—-*> Coker (д)
коммутативны, где i и j обозначают канонические вложения, р и q - канонические
сюръекции.
Действительно, если х 6 Кег(/), то f{x) = 0 и g (и (х) ) = и'(/(х)) = 0, следовательно,
и(х) ? Кег (?), что немедленно дает существование и единственность гомоморфизма ы,.
Точно так же, имеем:
следовательно, при переходе к фактормодулям и' дает гомоморфизм
и2- Сокег(Л-»¦ Cokerfe),
единственный, для которого диаграмма (9) коммутативна.
Будем теперь исходить из коммутативной диаграммы А-модулей D); ввиду лем-
леммы 1 ей соответствует коммутативная диаграмма
г (Я
4
М
4
М'
4
i—'-*-
и
и'
Ker(g
4
N
4
N'
4
)-^ Кег (А)
4
-ь*- Р
4
—*- Р'
1
A0)
Coker (/) —^ Coker (g) ¦—+ Coker (A),
где г, /, к — канонические вложения, р, q,r — канонические сюръекции, и\,иг (соот-
(соответственно i>i, и2) — гомоморфизмы, полученные из и, и (соответственно v,v) с
помощью леммы 1.
Предложение 2. Предположим, что в коммутативной диаграмме D) строки
{и, и) и (и1, и') точные. Тогда:
(О Vi ° «1 =0; ес^и и' инъективно, то последовательность (ui,ui) точная.
(И) и2 о«2=0; если и сюръективно, то последовательность {и2,иг) точная.
(ш) Предположим, что и' инъективно и и сюръективно. Тогда существует и притом
единственный гомоморфизм d: Ker(A) -> Coker(O, обладающий следующим свойст-
свойством: если элементы z G Кег (А), у ? N и х' G М' удовлетворяют соотношениям
v(y) = k(z) и u'(x') = g(y), то d(z)=p(x'). Кроме того, последовательность
Кег(/)—^ Кег(?)-^-»Кег(А)—> Cokf r(/) -^-> Cokerfe) -^-> Coker(A) (*)
10 § 1. Дополнительные сведения из линейной алгебры
Кет (f) -*-*¦ Кег(<?) —Ь_*. Кег (А)--,
Ч 4 1
М -^-^ N -^-* Р
^___7j_ 9j hjr__j
| M' -т— N' -т— Р'
| 1 1 1
L-> Coker(/) -—- Coker (g) —^ Coker (A)
Докажем (i). Так как ut и vt получены из ограничений отображений и и и на Кег (/)
иКег(#) соответственно, то i>i о ut =0. Имеем:
Кег (pi) = Кег (g) Л Кег (и) = Кег (g) П Im (м) = Im (/) Л Im (м).
Но, согласно предложению 1 (i),имеем Ker(i)i) = Im(/° «i) = Im(Mi), еслим' инъек-
гивно.
Докажем (ii). Так как и2 и и2 получаются из и и и путем перехода к фактормоду-
лям, ясно, что v2 о и2 =0. Предположим, что и сюръективно; так как р и q сюръектив-
ны, то, ввиду предложения 1 (ii), имеем:
Кег (и2) = q (Кег (v2 °q)) = q (Кег (и') + Im (g)) =
= q (Кег (i/)) = <7 (Im (и1)) = lm(qoU') = lm (м2 « p) = Im (u3).
Докажем, наконец, (iii). Если z E Ker(A), то имеется элементу Е N, для которо-
которого и (у) = k{z), поскольку v сюръективно; кроме того, v'(g(y)) = A(?(z)) = 0, и,
следовательно, имеется единственный элемента' ? М', для которого и' (х1) =g(y), по-
поскольку и' инъективно. Покажем, что элемент р(х') Е Coker (/) не зависит от элемен-
элемента у Е N, для которого и (у) = /с (г). Действительно, если><1 ? N — второй такой эле-
элемент, что v(yi) = к (z), то у 1 =у+и(х) ,гдел:? М; покажем, что если х [ Е М' тли' (х[) =
= g(yi),™x[ =x'+f(x); действительно, и'(х' + f(x)) =m'(jc') +u'(f(x)) =g(y) +
+ g(u(x)) = g(y + u(x)) = g(j>\). Наконец, отсюда заключаем, что р(х[) = р{х') +
+ p(f(x)) = p(x'). Следовательно, можно положить d(z) = p(x'), и этим определено
отображение d: Кег (А) -* Coker (f).
Если теперь zx, z2 -- элементы из Кег (A), X,,X2EA hz=X1z1+\2z2,to находим
элементы у\ и у2 из N, для которых v(y\) = k(zх) и и (у2) = ^(z2), и выбираем в ка-
качестве у Е N элемент X ^i + \2у2; тогда непосредственно видно, что
следовательно, d — гомоморфизм.
Предположим, что z = vt (?) для некоторого t G Ker(g); тогда выбираем в качест-
качестве у Е N элемент / (г). Так как g (j (f)) = 0, то отсюда заключаем, что d(z) = 0, следо-
следовательно, do и, =0. Обратно, предположим, что d(z) =0. В предыдущих обозначениях
имеем, следовательно, что х' =f(x), где jc G М. В этом случае g (у) -и' (fix)) =g (и (х)),
откуда^ (у - и(х)) =0. Элемент у -и(х) имеет, следовательно,вид /(и) для п ? Кег (g),
и получаем:
k(z) = v(y) = v(u (х) +/ (п)) = v Q (и)) = * (и, (и));
так как к инъективно, то z = ut (и), и это доказывает, что последовательность (*) гоч-
ная в члене Кег (А).
Наконец, имеем (все в тех же обозначениях) :
щ. {d (г)) = и2 (р (х')) =q(u' (*')) = q(g(y)) = 0,
следовательно, и2 ° d - 0.
Обратно, предположим, что элемент w =p(x') из Coker (/) таков, что
и2 (w) = и2(р (*')) = 0 (где УеМ').
§ 1. Дополнительные сведения из линейной алгебры 11
Таким образом, q(u'(х')) = 0 и, следовательно, и'(х1) =g(y) для некоторого ;> G N;
так как и'(м'(х')) = 0, то v'(g(y)) = 0, следовательно, h(v(y)) = 0, иначе говоря,
v (у) =k(z) для некоторого z €Е Ker (ft), и, по определению, w =d(z); это доказывает,
что последовательность (*) точная в члене Coker if). Мы видели в (i), что Она точная
в члене Ker (g), и в (ii), что она точная в члене Coker (g); это завершает доказательст-
доказательство утверждения (ш).
Следствие 1. Предположим, что диаграмма D) коммутативна и ее строки юч-
ные. Тогда:
(i) Если u',fuh инъективны, тоg инъективно.
(ii) Если v,fuh сюръективны, тоg сюръективно.
Утверждение (i) представляет собой следствие утверждения (i) из предложения 2:
действительно Кег (/) = 0 и Ker (h) = 0, следовательно, Ker (g) = 0.
Утверждение (ii) представляет собой следствие утверждения (ii) из предложения 2:
действительно, Coker @ = 0 и Coker (Л) = 0, следовательно, Coker (g) = 0.
Следствие 2. Предположим, что диаграмма D) коммутативна и ее строки точ-
точные. При этих условиях:
(i) Если g инъективно и если f и v сюръективны, то А инъективно.
(ii) Если g сюръективно и если А и и' инъективны, то f сюръективно.
Для доказательства утверждения (i) рассмотрим диаграмму
и(М) -2*- N -2*. Р
где /' - отображение, полученное ограничением отображения g на и (М), w и w' — кано-
канонические вложения; ясно, что эта диаграмма коммутативна и что ее строки точные.
Кроме того, w ' инъективно и, по предположению, и сюръективно; имеем, следователь-
следовательно, согласно предложению 2 (ш) точную последовательность.
Ker (g) -> Ker (A) ^ Coker (/');
поскольку g инъективно, а/' сюръективно, получаем, следовательно, что Кег (А) = 0.
Для доказательства утверждения (ii) рассмотрим диаграмму
м -^v
1
М' -г*-
и
где на этот
N
•1
N'
раз
w'
1 А
отображение, полученное ограничением отображения А на и (N),
а отображения w и w' получены соответственно из отображений и и и'; эта диаграмма
коммутативна, и ее строки точные. Кроме того, w сюръективно и, по предположению,
и инъективно, следовательно, согласно предложению 2 (ш), имеем точную после-
последовательность
Кег (А') Д Coker if) -*¦ Coker (g);
поскольку g сюръективно и h' инъективно, получаем, следовательно, что Coker (f) = 0.
Следствие 3 (лемма о пяти гомоморфизмах). Рассмотрим коммутативную
диаграмму А-модулей
М"|. J.M . ХЛ . ХЛ X*
! —•> М2 —•> М3 —*¦ М4 —»> М5
м; -%> м'2 ^*- м3 -^ м; -^v м^,
в которой строки точные.
(i) Ясл« гомоморфизмы /2 и А инъективны и /i сюръективен, то /3 инъективен.
(ii) Ясли гомоморфизмы /2 « /4 сюръективны и /5 инъективен, то /з сюръективен.
В частности, если f\,fi,is, ufs - изоморфизмы, то тем же свойством обладает uf3.
12 §7. Дополнительные сведения из линейной алгебры
Для доказательства утверждения (i) положим М2 = Coker(ui), M2 = Coker (u[) и
обозначим через/2: М2 -+Щ отображение, полученное из/2. Из следствия 2 (i) выте-
вытекает, что/2 инъективно. Применяя следствие 1 (i) к диаграмме
м2 -^ м3 -^ м4
Л1
м2 -z*. м3 -^ м;,
где отображения ы2 и й'г получены из «2 и и2, видим, что/3 инъективно.
Для доказательства утверждения (ii) положим М4 = Кег (и4), М4 = Кег (и4) и обоз-
обозначим через/4: М4 -*М4 отображение, индуцированное/4. Из следствия 2 (ii) выте-
вытекает, что /4 сюръективно. Применяя следствие 1 (ii) к диаграмме
М2 Hi*. М3 -^V М4
'¦I . '4 Л1
м2 -^ м3 -^ м;,
где м3 и й'3 получены из и3 и и'3, видим, что/3 сюръективно.
3. Плоские модули
Определение 1. Говорят, что А-модуль Е плоский, если для всякой точной
последовательности правых А-модулей и гомоморфизмов
и
М' -> М -> М" A1)
последовательность Z-линейных отображений
U«] U в 1
М'®АЕ > М®АЕ > М ®А Е A2)
точная.
Предложение 3. Для того чтобы А-модуль Е был шюским, необходимо и до-
достаточно, чтобы для всякого инъективного гомоморфизма и: М' ->М правых А-моду-
А-модулей отображение и ® 1: М' ®А Е -> М ®А Е &ыло инъективным.
Если модуль Е плоский и отображение и: М' ->М инъективно, то последовательность
, и , и в i
О -*М -»¦ М точная, следовательно, последовательность 0 -*• М ® А Е *¦ М ®А Е также
точная, и отображение и ® 1 инъективно. Обратно, рассмотрим точную последователь-
последовательность A1); положим: М" = 1>(М), и пусть /: М" -*¦ М" — каноническое вложение и
II I " Р !•
р: М ->¦ Mi - отображение m •-* v(m). Последовательность М -*¦ М -> Mi -* 0 точная;
согласно II, р. 58, prop. 5, последовательность М ®А Е >• М®А Е *¦ Mi ®A E точ-
точная. Кроме того, v = i о р, следовательно, v ® 1 = (/ ® 1) °(р ® 1); если Е удовлетворяет
условию из формулировки предложения, то отображение i ® 1 инъективно, следо-
следовательно,
Кег (и ® П = Кег (р ® 1) = lm (и ® 1),
и последовательность A2) точная.
Предложение 4. (i) Если (Е,)/ег- семейство А-модулей, Е = ф Е( - их
прямая сумма. Для того чтобы А-модуль Е был плоским, необходимо и достаточно
чтобы каждый из модулей Е, обладал этим свойством.
(ii) Пусть I - направленное по возрастанию предупорядоченное множество, (EaJpa) -
индуктивная система А-модулей относительно I, Е = lim Еа — ее индуктивный предел.
Если каждый из А-модулей Еа плоский, то Е - плоский модуль.
§ 1. Дополнительные сведения из линейной алгебры 13
Пусть М' -*М -*М" - точная последовательность правых А-модулей.
(i) Для того чтобы последовательность ф (М'®а Е/) ~* ф (М ®А Е/) -*¦
/е i . /е i
-*¦ © (М" ®А Et) была точной, необходимо и достаточно, чтобы каждая "из последо-
/ei
вательностей М' ®А Et -*¦ М ®А Е/ -*¦ М" ®А Е/ была точной (II, р. 13, prop. 7); это дока-
доказывает утверждение (i), поскольку ф (М ®а Е/) канонически отождествляется с М ®А Е
(II, р. 61, prop. 7).
(ii) По предположению, каждая из последовательностей М' ®А Е/-*М®А Et-*
-*¦ М" ®А Е/ точная, следовательно, такова же и последовательность М' ®А Е -*М ®А Е ->
-* М"®А Е, поскольку переход к индуктивному пределу коммутирует с тензорным
произведением (П, р. 93, prop. 7) и сохраняет точность (II, р. 91, prop. 3).
Примеры. 1. Ясно, что А, является плоским А-модулем; из предложения 4 (i)
следует, что всякий свободный А-модуль и, более общо, всякий проективный А-модуль
является плоским (см. также II, р. 63, cor. 6).
•Обратно, всякий конечно представимый плоский А-модуль проективен (п. 5).,
2. Согласно предложению 4 (ii), всякий А-модуль, представляющий собой индуктив-
индуктивный предел направленной индуктивной системы свободных А-модулей, является плос-
плоским. Мы докажем обратное в л. 6.
3. Если кольцо А полупросто, то всякий А-модуль проективен (VIII, § 5, n° I, prop. 1),
следовательно, плоский.
4. * Если А — артиново локальное кольцо (не обязательно коммутативное), то А-мо-
А-модуль является плоским если и только если он свободен (АС, II, § 3, п° 2, cor. 2 de la
prop. 5; Коммутативная алгебра, И, с. 119, следствие 2 предложения 5).,
5. Если А — целостное кольцо, то его поле частных К является плоским А-модулем
(II, р. 118, prop. 27).
6. * В АС, Пи III (Коммутативная алгебра, II и III), мы изучим два важных примера
плоских А-модулей, когда А - коммутативное кольцо: кольца частных S А и, когда
А —нётерово, отделимое пополнение кольца А относительно J-адической топологии.»
7. Пусть элемент a G А таков, что отображение дА: х^+ах кольца А в себя инъективно
("а не является левым делителем 0"). Если Е - плоский А-модуль, то гомотетия дЕ
инъективна, поскольку отождествляется с отображением «А® l:Ad®AE-*Ad®AE.
В частности, если А - целостное кольцо, то всякий плоский А-модуль не имеет круче-
кручения. Обратно, если А - кольцо главных идеалов, то всякий А-модуль без кручения
плоский: действительно, если А-модуль Е не имеет кручения, то всякий подмодуль ко-
конечного типа в Е свободен (VII, § 4, n°4, cor. 2 аи th. 4; Алгебра, VII, с. 54, следствие 2
теоремы 2), и Е представляет собой возрастающее направленное объединение плоских
подмодулей, следовательно, является плоским (предложение 4 (ii)).
8. Пусть В - кольцо и р: А -+ В - гомоморфизм. Если Е - плоский А-модуль, то
В-модуль Е(В) = В ®А Е плоский. Пусть, действительно, и: N' -*¦ N - инъективный го-
гомоморфизм правых В-модулей; тогда ив в ^Е/в) канонически отождествляется с гомо-
гомоморфизмом и ®А 1Е: N' ®A E -*N ®А Е, который инъективен, если Е плоский.
9. Предположим, что А = К[Х, Y], где К - поле. Тогда максимальный идеал т, по-
порожденный X и Y, является А-модулем без кручения, но не плоским. Рассмотрим, дей-
действительно, кольцо В = A/(Y), которое изоморфно К(Х), следовательно, целостное.
В-модуль Ш(в) изоморфен модулю m/Ym = (X, Y)/(XY, Y2), в котором класс Y пе-
периодический. Следовательно, Ш(в) не является плоским В-модулем, поэтому и го не
плоский.
10. Предположим, что кольцо А коммутативное. Пусть В - алгебра А [Хь..., Х„] /(Р),
где Р — ненулевой многочлен. Для всякого простого идеала J) в А обозначим через
к(» поле частных целостного кольца A/j>, через E(J>) — алгебру k(j>) [Xi, . . ., Х„]
и через Р( $) — образ Р в Е(>) при каноническом отображении.
Можно доказать, что для того чтобы алгебра В была плоским А-модулем, достаточно,
чтобы Р(>) ^0 для всякого простого идеала > в А. Если А целостное, то это условие
и необходимое.
* На геометрическом языке мы рассматриваем проекцию я: Spec (В) -*¦ Spec (А).
Для всякого р S Spec (А) слой я ( р) отождествляется с подмногообразием Vp аф-
14 § 1. Дополнительные сведения из линейной алгебры
финного пространства А{[ («) = Spec (Е (>>)), определяемым многочленом Р ( р ), и мно-
множество F тех простых идеалов р , для которых это подмногообразие совпадет со всем
пространством (т.е. для которых P(j») = 0), представляет собой замкнутое подмно-
подмножество в Spec (A). Предыдущее условие означает, что это замкнутое подмножество пус-
пусто, иначе говоря, что для всякого р подмногообразия Vp является гиперповерхностью
11. Пусть S и X - два комплексных аналитических пространства и/: Х-+ S - неко-
некоторый морфизм. Говорят, что / плоский в точке х из X, если кольцо О\гХ, рассматри-
рассматриваемое как Од,/(х)"м°ДУль посредством гомоморфизма/*: ©s,/(*) ~*&x,x< является
плоским. Множество точек X, в которых морфизм/ плоский, открыто в X, и ограни-
ограничение / на это открытое множество является открытым отображением. Если X и S —
связные аналитические многообразия конечной размерности, то морфиэм / плоский
(во всякой точке из X) в том и только том случае, если/(Х) - открытое множество
в S и все слои f"l(s) для s е /(X) имеют одну и ту же размерность.,
4. Конечно представимые модули
Представлением (или представлением длины 1) А-модуля Е называется точная
последовательность А-модулей
L, -> Lo -> Е -> 0, A3)
в которой Lo и Li свободны.
Всякий А-модуль Е допускает представление. Действительно, известно (II, р. 27,
prop. 20), что существует сюръективный гомоморфизм м: Lo -> Е, где Lo — свободный
модуль; если R — ядро и, то существует также сюръективный гомоморфизм v: Li ->R,
где Lt - свободный модуль. Если рассматривать v как гомоморфизм L, в Lo, то по-
v и
следовательность Li -> Lo -> E -> 0 является точной по определению, откуда следует
наше утверждение.
Если р: А ->В - гомоморфизм колец, то представление A3) модуля Е дает представ-
представление модуля Е(В) = В®а Ё:
B®ALi-+B®ALo->B®AE->0, A4)
ввиду II, р. 58, prop. 5 и того факта, что В ®А L — свободный В-модуль, когда L сво-
свободен.
Говорят, что представление A3) модуля Е конечное, если свободные модули L© и L,
имеют конечные базисы. Ясно, что если представление A3) конечное, то таково же и
представление A4). Говорят, что Е - конечно представимый А-модуль, если он до-
допускает конечное представление.
Предложение 5. (i) Всякий модуль, допускающий конечное представление,
является модулем конечного типа.
(ii) Если кольцо А нётерово слева, то всякий А-модуль конечного типа допускает
конечное представление.
(ш) Всякий проективный модуль конечного типадопускает конечное представление.
Утверждение СО тривиально следует из определений. Предположим, что А иётерово
слева и Е — модуль конечного типа. Тогда существует сюръективный гомоморфизм
и: Lo ¦* Е, где Lo - свободный А-модуль, обладающий конечным базисом; ядро R го-
гомоморфизма и имеет конечный тип, следовательно, существует сюръективный гомомор-
гомоморфизм v: L, ¦* R, где L, — свободный модуль с конечным базисом, и точная последо-
V U
вательиость Li -* Lo -* Е -+0 служит конечным представлением для Е, что даст утверж-
утверждение (ii).
Наконец, предположим, что Е — проективный модуль конечного типа; он является
тогда прямым слагаемым некоторого свободного модуля конечного типа Lo (II, р. 40,
cor. 1); ядро R сюръективного гомоморфизма L© -+ Е изоморфно тогда некоторому
фактормодулю модуля Lo,.следовательно, имеет конечный тип, и доказательство закан-
заканчивается как и выше.
§ 1. Дополнительные сведения из линейной алгебры 15
Предложение 6. Пусть А — кольцо, Е — конечно представимый А-модуль.
Для всякой точной последовательности
где G - модуль конечного типа, модуль F имеет конечный тип.
Пусть Li ¦+ Lo -*Е -+0 — некоторое конечное представление; если (е^) — базис моду-
модуля Lo, то для всякого / существует такой элемент ?/ G G, что p(g{) - s(e/-);* следова-
следовательно, гомоморфизм и: Lq ->-G, при котором и(е/) =gi, таков, что s -р ° и. Так как
s о г = 0, то M(r(Li)) CKerp, и так как модуль Кегр изоморфен F, то мы видим, что
существует гомоморфизм и: Ц -*• F, для которого диаграмма
L, -U. Lo ^ Е —> О
коммутативна. Так как гомоморфизм / инъективен, a s сюръективен, то можно приме-
применить предложение 2 (с. 9), т.е. имеется точная последовательность
d
Кег 1 е "*• Coker и -»• Coker и -* Coker IE.
Она показывает, что модуль Coker и изоморфен модулю G/m(Lo) , который, по предпо-
предположению, конечного типа. Кроме того, имеем точную последовательность
О -* v (L,) -> F -+ Coker и -»• О,
и так как u(Li) и Cokeru имеют конечный тип, то из нее заключаем, что тем же свой-
свойством обладает и F (II, р. 17, cor. 5).
Предложение 7. Пусть М - А-модуль. Существует направленное по возраста-
возрастанию упорядоченное множество I и индуктивная система относительно I конечно пред-
ставимых модулей (Ыа, Фра), для которой модуль М изоморфен UmMa. Если М обла-
обладает системой порождающих из п элементов, то можно предполагать, что тем же свой-
свойством обладают и Ма.
Рассмотрим представление
пусть I - множество таких пар а = (К', L'), где К' (соответственно L') - конечное
подмножество в К (соответственно в L), что и индуцирует отображение иа подмоду-
АК' .(К) . L' .(L) _, ..
ля As модуля А, в подмодуль As модуля А, ; для aGI пусть Ма — коядро иа
и va: As -*Me — каноническое отображение, так что получаем коммутативную диа-
диаграмму с точными строками:
А<к» -Z+. A«L» i-M -* 0
4 4 4
Ак \А^М,- 0 ,
где ia и fa — канонические вложения, а/а индуцировано отображением/а при переходе
к фактормодулям. Упорядочим множество I посредством отношения:
а = (К', L') </3 = (К", L"), если К' С К", L' С L";
для а <|3 пусть <рда: Мв -*М,з - гомоморфизм, получаемый при переходе к фактормоду-
L' L "
лям из вложения А4. в А^ . Тотчас проверяется, что упорядоченное множество I на-
направленное, что (Ма, ip0a) - индуктивная система А-модулей и что (уа) - индуктив-
индуктивная система А-гомоморфиэмов. При переходе к индуктивному пределу получаем
16 § 1. Дополнительные сведения из линейной алгебры
коммутативную диаграмму
А(К) JL+ да, J_^ м _^ 0
\ 4 Л A5)
Km А? —*¦ Нт А)' —*¦ Нт М„ —*- 0 ;
строки этой диаграммы точные (II, р. 91, prop. 3); так как i и/ биективны, то и <р би-
биективно, что доказывает предложение.
5. Гомоморфизмы конечно представимых модулей
Пусть Е - А-модуль. Если I - направленное предупорядоченное множество и (G/,M/,) -
индуктивная система А-модулей относительно I, то канонические отображения G; -*
-*¦ limG,- индуцируют гомоморфизмы HomA (E, G,) -*HomA (E, limG,), что дает канони-
канонический гомоморфизм
Нт НотА (Е, G,) -* НотА (Е, Нт G,). П5)
Iе1 i6i
Пусгь В — другое кольцо, F — В-модуль, G - (А, В)-бимодуль; тогда определен (II,
р. 75) канонический гомоморфизм:
HomA(E,G)®BF-*HomA(E,G®BF). A7)
Предложение 8. а) Если А-модуль Е конечного типа (соответственно конечно
представимый), то канонический гомоморфизм A6) инъективен (соответственно
биективен).
б) Предположим, что В-модуль F плоский; если A-модуль Е конечного типа (соот-
(соответственно конечно представимый), то канонический гомоморфизм A7) инъективен
(соответственно биективен).
Докажем, например, б) (доказательство утверждения а) аналогично). Считаем
А, В, F, G фиксированными и для всякого А-модуля Е положим
T(E)=HomA(E,G)(gBF, T'(E)= HomA(E,G®B F)
и обозначим через v^ гомоморфизм A7); для всякого гомоморфизма А-модулей
и: Е -> Е' положим Т (v ) = Hom(u, 1G) ® 1F н T'(ii) = Hom(u, 1G ® 1F). Пусть
v *v
I_! -> Lo ->E-*0 - представление Е; предполагаем, что свободный модуль Lo (соответ-
(соответственно свободные модули Lo и Li) конечного типа. Диаграмма
О ^ Т(Е) 22. T(L0) 21 T(L.)
Ч vj -J A8)
коммутативна, и ее вторая строка точная (II, р. 36, th. 1); кроме того, последова-
последовательность
О -> HomA(E,G) -> HomA(Lo,G) -> Hom(L,,G)
точная (II, p. 36, th. 1), и так как F плоский, то первая строка в A8) - тоже точная
последовательность (с. 12, определение 1) . Известно, что гомоморфизм yL биективен
(соответственно i>L<> и yL, биективны) (II, р. 75, prop.2). Если предполагать только,
что vl0 биективен, то из A8) следует, что гомоморфизм v^ о T(w) = T'(w) о ve
инъективен и, таким образом, vE также инъективен. Если предполагать, что и^ и^
§ 1. Дополнительные сведения из линейной алгебры 17
оба биективны, то из следствия 2 (И) (с. 11) заключаем, что гомоморфизм v% сюръек-
тивен, и так как мы только что видели, что vE инъективен, то он биективен.
Следствие. Всякий конечно представимый плоский модуль проективен.
Действительно, пусть Е — конечно представимый плоский А-модуль. Применяя б) к
случаю В = А, G=sAd, F = Е, видим, что канонический гомоморфизм
НотА(Е,А)®АЕ -* НотА(Е,Е)
сюръективен. Это влечет, что Е проективен (II, р. 77, remarque 1).
Согласно предыдущему следствию и предложению 5, классы конечно представимых
плоских модулей и конечно порожденных проективных модулей совпадают. Зато суще-
существуют конечно порожденные плоские модули, не являющиеся конечно представимыми
и, следовательно, не являющиеся проективными (ср. с. 27, упражнение 17, см. тем не
менее, с. 26, упражнения 13 и 14).
6. Структура плоских модулей
Лемма 2. Пусть I - направленное по возрастанию упорядоченное множество,
(Еа. Vpa) - индуктивная система множеств относительно I, E - ее индуктивный пре-
предел и ipa: Еа -> Е, а? I, - канонические отображения. Пусть /: I -+I - отображение,
при котором /(а) > а для а 6 I, и пусть заданы для каждого аб I множество La и
отображения иа: Еа -> La и va: La -* Еда) , удовлетворяющие условию: va ° иа =
= |?да)>а. Пусть J - упорядоченное множество, которое получается, если I наделить
отношением: " а < /3, когда а = /3 или /(а) < C". Если а, /3 € J и а < C, го пусть фра :
La -* L<3 - такое отображение, что фра = Id при а = /3 и фра = ир ° ^C,/(.а) ° va nPu
/(а) < 0. Если a G J , то пусть фа: L^ -* Е - отображение ^/(а) ° va. Тогда упорядо-
упорядоченное множество J направленное, (La, фра) - индуктивная система относитель-
относительно J, (фа) — индуктивная система отображений и отображение ф: lim Ьа-»Е,опре-
а € I
деляемое системой (Фа), биективно.
Ясно, что J направленное. Если а,0? J и а< 0,то
аналогично,если <х,&,у G J иа
^70 ° Фра = «7 ° ^7,/@) ° «(} ° "C
° <рр, /(а) п »о = ° V
Докажем последнее утверждение: для всякого aG J имеем:
следовательно, ^а(Еа) = ^о.(ма(Еа)) С ^Q,(La), и ф сюръективно. Пусть а? J, и
пусть элементы х,уе La таковы, что <//а(х) = фа(у), т.е.!/?/(„)(иа(х)) =?>/(„)(
существует индекс 0 е I, &> f(a), для которого
следовательно,
и ф инъективно.
2. Н. Бурбаки
18 § 1. Дополнительные сведения из линейной алгебры
Теорема 1 (Д. Лазар1)). Для всякого А-модуля Е следующие условия экви-
эквивалентны:
(i) Е плоский.
(ii) Для всякого конечно представимого А-модуля Р канонический гомоморфизм
HomA(P, A)®A E -»• HomA(P, E)
сюръективен.
(iii) Для всякого конечно представимого А-модуля Р и всякого гомоморфиз-
гомоморфизма и: Р -*¦ Е существуют свободный А-модуль конечного типа L и гомоморфизмы
и: P->L« w:L-*E, для которых u = w°v.
(iv) Существуют направленное упорядоченное множество J, индуктивная система
свободных модулей конечного типа (L/ )/ е j и изоморфизм Е на lim L;-.
(iv) => (i): это следует из предложения 4 (i i) (с. 12). *"
(i) =* (ii): это следует из предложения 8, б) (с. 16).
(ii) => (iii ): пусть Р - конечно представимый А-модуль им: Р -»¦ Е - гомомор-
гомоморфизм; согласно (ii), существуют элементы vx vn € HomA(P, A), wb ..., и>„€ Е ,
для которых и(х) = Xvj{x)Wj при любом х? Р; если и: Р -* А" — гомоморфизм
с компонентами (и,) и и>: А" -* Е — гомоморфизм (а,) *-> ? я, и>,-, то и = w ° v.
(iii) => (iv) предположим, что (iii ) выполняется, и пусть (Еа,^0а) -индуктив-
-индуктивная система (относительно направленного множества I) конечно представимых моду-
модулей с индуктивным пределом Е (с. 15, предложение 7). Заменяя, если необходимо,
множество I лексикографическим произведением I XN с Е(а# „) = Еа для всякого п,
можно предполагать, что I не содержит наибольшего элемента. Для каждого а 6 I
пусть La — свободный А-модуль конечного типа и иа: Еа -*¦ ha, v'a : La ->-E — гомомор-
гомоморфизмы, для которых v'a ° иа — каноническое отображение уа: Еа -> Е; так как мо-
модуль Lq, свободный конечного типа и в I нет наибольшего элемента, существуют индекс
|3 > а и гомоморфизм v'^: La ^- Е^, для которого v'a = ^р ° v'^ ; так как \р@ о v'^ ° иа =
= VC ° Vpa и так как модуль Еа« конечно представимый, то иэ предложения 8, а)
(с. 16), следует, что существует индекс у> 0, для которого <fyp о yJJ о и<х = фур ° <рра =
= ^7а• положим 7 = /(a)> и пусть va — гомоморфизм уур ° v'a из La в Ef (a), имеем:
va° ua = <Pf(a),a- Теперь можно применить лемму 2, откуда следует (iv).
Следствие. Пусть кольцо А коммутативно. Для всякого плоского А-модуля Е
А-модуль Т(Е), S(E),A(E),T"(E),S"(E), Л"(Е) 2) плоские.
Действительно, Е представляет собой индуктивный предел направленной системы
(Ly) свободных А-модулей конечного типа, поэтому Т(Е) (соответственно S(E)
и т.д.) является индуктивным пределом направленной системы свободных А-модулей
T(L;) (соответственно S(L;) и т.д.) и, следовательно, плоским модулем (ср. III,
р. 61, prop. 6, р. 62, th. 1,р. 73, prop.8, р. 75, th. 1, р. 83, prop.9, р. 86, th. 1).
Т С I
3 а мечание. Рассматривая в (i i) конечное представление А^ -»• As -*¦ Р -»¦ 0, полу-
получаем условие (ii'), также эквивалентное предыдущим:
(ii') Для всякой конечной матрицы (сц ),е I, / е j с элементами из А всякое
решение
е = (e^eiSE1
системы однородных линейных уравнений
2 са = о, /gj,
/е I
1) Эта теорема независимо доказана также В.Е. Говоровым (О плоских модулях // Сиб. мат. ж. -
1965. -Т. 6, №2. -С. 300-304). -Примеч. пер.
') Т(Е), S(E), Л(Е) обозначают соответственно тензорную, симметрическую, внешнюю алгебру
модуля Е. - Примеч. пер.
§ /. Дополнительные сведения из линейной алгебры 19
можно записать в виде гф^ + ... + znbn, где Ъ\, ..., Ь„ ? Е и где zr = (zr> ,•),• s j при
г = 1,..., л - некоторое решение в А1 системы уравнений
O, /GJ.
7. Инъективные модули
Определение 2. Говорят, что А-модуль Е инъективен, если для всякой точной
последовательности А-модулей и гомоморфизмов
М' ^ М ^ М" A9)
последовательность Z-линейных отображений
НотА (М", Е) НотА<"Л)> НотА (М, Е) НотА<"¦'>. НотА (М', Е) B0)
точная.
Лемма 3. Для того чтобы А-модуль Е был инъективен, необходимо и достаточно,
чюбы для всякого инъективного А-линейного отображения и: М -* М отображение
НотА(и, 1): НотА(М, Е)-> НотА(М', Е)
было сюръективным.
Если Ё инъективен и если отображение и: М' -*¦ М инъективно, то последовательность
, и Нот (и, 1)
0-+М ->М точная,следовательно,последовательность Нот(М,Е) > Нот(М ,Е)->0
также точная и отображение Нот (и, 1) сюръектавно. Обратно, рассмотрим точную по-
последовательность A9); положим М[' = v (М), и пусть /: М" -*м" - каноническое вло-
вложение и р: М ->М|' - отображение m и- v (m). Последовательность М'->М-*-М" ->0 точ-
точная; согласно II, р. 36, th. 1, последовательность
НотА (М], Е) —> НотА (М, Е) »• НотА (М', Е)
точная. Кроме того, имеем: Нот(и, 1) = Нот(р, 1) о Нот(г, 1). Если Е удовлетво-
удовлетворяет условию леммы, то отображение Hom(i\ 1) сюръективно, следовательно, образ
Нот(и, 1) совпадает с образом Нот(р, 1) и последовательность B0) точная.
Замечание. Пусть Е — инъективный А-модуль, и: М'-^Ми/: М' -> Е — гомо-
гомоморфизмы А-модулей. Если Кег и С Кег /, то существует гомоморфизм g: М -> Е, для
которого g о и = /. Это следует из предыдущей леммы, примененной к инъективному
гомоморфизму М'/Кег и-* М, полученному из и.
Предложение 9. Пусть (Е,),е t - семейство А-модулей, Е = ПЕ/ - их
произведение. Для того чтобы А-модуль Е был инъективен, необходимо и достаточно,
чтобы каждый из Е/ обладал этим свойством.
Пусть и: М'-> М — инъективный гомоморфизм А-модулей. Для того чтобы произ-
произведение гомоморфизмов П НотА(М, Е,-) -> П НотА(М', Е;) было сюръектив-
/ е i i e I
ным, необходимо и достаточно, чтобы таким был каждый из гомоморфизмов
НотА(М, Е,) -»• НотА(М', Е,) (II, р. 10, prop. 5); это доказывает предложение,
так как П HomA(M, E,-) канонически отождествляется с HomA(M, E).
/е i
П редложение 10. Пусть Е — А-модуль. Для того чтобы Е был инъективен,
необходимо и достаточно, чтобы для всякого идеала а кольца Аи всякого А-гомомор-
физма /: а -> Е существовал такой элемент ебЕ, что f (а) = ае для всякого а ? а.
Предположим, что Е инъективен; пусть й — идеал в А, /: а "*Е - А-гомоморфизм,
и обозначим через i: Л -»• А каноническое вложение. Тогда отображение
Ноша(г, 1): НотА(А, Е) -> НотА( а, Е)
20 § 1. Дополнительные сведения из линейной алгебры
сюръективно (определение 2); если гомоморфизм g € HomA (А, Е) таков, что
f = g ° i то
f(a) = g(a) = ag(l)
для всякого дев.
Обратно, предположим, что сформулированное условие выполняется, пусть
М - А'модуль, N - подмодуль в М, и: N -> Е - А-гомоморфизм, и докажем, что сущест-
существует А-гомоморфизм и: М -> Е, продолжающий и (см. лемму 3). Пусть 9>- множест-
множество пар (Р, и), где Р - подмодуль в М, содержащий N, и и - гомоморфизм из Р в Е,
продолжающий и. Множество SP, упорядоченное по отношению продолжения гомомор-
гомоморфизмов, индуктивно: если (Р,-, и7-) - линейно упорядоченное семейство элементов
из 3>, то положим Q = U Р^, и пусть w. Q -> Е — единственное отображение, индуци-
индуцирующее V,- иа Р,- для всякого /; тогда (Q,w) G #*и (Q,w) мажорирует (Р,-, и,-) для
всякого /. Пусть теперь (Р, и) — некоторый максимальный элемент в #¦ (Е, III, р. 20,
th. 2; Теория множеств, III, с. 177, теорема 2); достаточно доказать, что Р = М. Пусть
х G М, и пусть Л — идеал, состоящий из всех таких элементов a G А, что axG P; поло-
положим /(в) = и (ел:) для не к; получаем тем самым А-гомоморфиэм /: в -> Е.
Пусть теперь е - элемент из Е, для которого /(в) = ае при всяком а € а . Положим
Р' - Р + Ах, и пусть и': Р'->• Е — единственный А-гомоморфизм, при котором
v'(p + ах) = и(р) + ае для pG Р, в € А; тогда (Р', и') принадлежит ^и мажори-
мажорирует (#¦, v ), следовательно, Р' = Р, т.е. х€ Р, что завершает доказательство.
Следствие 1. Если кольцо А нётерово слева, то прямая сумма инъективных
А-модулей является инъективным модулем.
Пусть (Ef),-ei - семейство инъективных А-модулей, Е - их прямая сумма,
« - идеал вАии: а -> Е — А-гомоморфизм. Так как А нётерово, а имеет конечный
тип и, следовательно, каноническое отображение
</>: ф НолтдХ <», Е,) -> HomA( a, E)
биективно; пусть (и2) - прообраз и при </>. Так как каждый модуль Е/ инъективени
семейство (и<) обладает конечным носителем, то существует элемент (e<)<ei в Е,
для которого Щ(а) = ае{ для всякого в€ а и всякого i? I, таким образом,
и(а ) = а ((в<)) для всякого а & а , и Е инъективен.
Замечание. Если всякая прямая сумма инъективных А-модулей является
инъективным А-модулем, то кольцо А нётерово слева.
Предположим, что колько А целостное '). Говорят, что А-модуль Е делимый, если
гомотетия в? сюръективна для всякого ненулевого элемента а из А.
Следствие 2. Предположим, что кольцо А целостное.
а) Всякий инъективный А-модуль делим.
б) Всякий делимый А-модуль без кручения (II, р. 115) инъективен.
в) Если А - кольцо главных идеалов, то всякий делимый А-модуль инъективен.
Если а € А - ненулевой элемент, то гомотетия аА инъективна; с другой стороны,
для всякого А-модуля Е гомотетия аЕ канонически отождествляется с отображением
Нот(аА, 1): НотА(А, Е) -> НотА (А, Е),
следовательно, Е делим, если и только если отображение Hom(eA, 1) сюръективно для
всякого ненулевого элемента ае А. Утверждение а) следует, таким образом, из опреде-
определения 2 (с. 19).
Пусть Е — делимый А-модуль; предположим, что А — кольцо главных идеалов
(соответственно Е - модуль без кручения) и докажем, что Е инъективен, применив
предложение 10. Пусть а - идеал вАи/: а->Е- А-гомоморфизм. Пусть х& а и
а = Ах (соответственно хФО, если аФО), и пусть еб Е - элемент, для которого
1) То есть коммутативное кольцо без делителей нуля. - Примеч. пер.
§ /. Дополнительные сведения из линейной алгебры 21
хе =/(х). Докажем, что
/(а) =ае
для всякого а €Е в ; это очевидно, если а €Е Ах, откуда следует утверждение в случае,
когда А - кольцо главных идеалов; если Е - модуль без кручения и если a G а ,
то xf{a) =f(ax) =ахе, следовательно, f(a) =ае, так как хФ 0, когда а Ф 0.
Примеры. 1. Если А - целостное кольцо, то его поле частных К - инъективный
А-модуль. Если А — кольцо главных идеалов, то К/А — инъективный А-модуль.
2. Например, Z-модули Q и Q/Z инъективны.
3. Пусть А — кольцо главных идеалов и пусть а — ненулевой элемент из А. Тогда
А/а А -инъективный А/а А-модуль (с. 27, упражнение 20).
8. Инъективные копорождающие
Предложение 11. Пусть В — кольцо, F — В-модуль и Р — (В, А)-бимодуль.
Если F - инъективный В-модуль и Р - плоский правый А-модуль, то Нотв (Р. Р) -
инъективный А-модуль.
Пусть и: М' ->М - инъективный гомоморфизм А-модулей. Имеем коммутативную
диаграмму
НотА (М, Нотв (P. F)) —Нот»<"-" * НотА (М\ Нотв (Р, F))
р* нот1 , Н
Нотв (Р ®А М, F) on"lf'S>"''F'« Нотв(Р®АМ', F),
где Р и Р' - канонические изоморфизмы из II, р. 74. Так как Р плоский над А, гомо-
гомоморфизм 1р®м: Рй^М'^Р^аМ инъективен. Так как модуль F инъективный, то
гомоморфизм AР®и, 1F) сюръективен, следовательно, гомоморфизм Hoitia(". 1)
также сюръективен, а это доказывает, что HomB(P, F) — инъективный А-модуль
(с. 19, лемма 3).
Определение 3. Говорят, что А-модуль Е является копорождающим, если
для всякого А-модуля М и всякого ненулевого элемента х из М существует А-гомо-
морфизм и: М -*Е, при котором и(х) Ф 0.
Говорят, что А-модуль L является порождающим, если для всякого А-модуля М и всякого эле-
элемента х из М существует А-гомоморфизм и: L->M, при котором хе m(L). Например, А-модуль
As является порождающим.
Предложение 12. Пусть Е — инъективный А-модуль. Для того чтобы Е был
копорождающим, необходимо и достаточно, чтобы HomA (S, Е) Ф 0 для всякого прос-
простого А-модуля S.
Условие, очевидно, необходимо. Обратно, пусть М — А-модуль их — ненулевой
элемент из М, подмодуль Ах модуля М обладает простым фактормодулем S (VIII,
§2, n°l, prop. 3; Алгебра, VIII, с. 146, предложение 2). Если Hoitia(S, E) ^0, то
Ноша (Ах, Е) т^О и существует гомоморфизм /: Ах-»-Е, при котором /(х) =?0;
так как Е инъективен, то/ продолжается до гомоморфизма и из М в Е и и(х) =/(х) Ф 0.
Пример. Инъективный Z-модуль Q/Z (пример 2, выше) является копорождающим.
Действительно, всякий простой Z-модуль изоморфен модулю Ъ/рЪ, рФО, и модуль
Homz (Z/pZ, Q/Z) ненулевой (он содержит, например, отображение, получаемое пере-
переходом к фактормодулям из гомоморфизма х **х/р модуля Z в Q).
Предложение 13. Пусть В — кольцо, F — инъективный В-модуль, являющийся
копорождающим, Р- (В, А)-бимодуль. Предположим, что Р плоский над А и что
Р®А8Ф0 для всякого простого А-модуля S (* т.е. строго плоский над А в смысле
АС, I (Коммутативная алгебра, I, с. 53)*). Тогда А-модуль HomB (P, F) является
копорождающим и инъективным.
Действительно, А-модуль Нотв(Р, F) инъективен согласно предложению 11. С дру-
другой стороны, для всякого простого А-модуля S Z-модуль Hom.A(S, Нотв(Р, F))
изоморфен HomB(P®AS, F) и, следовательно, ненулевой, так как Р®А5^0 и В-
модуль F является копорождающим; А-модуль HomB (P, F) является, таким образом,
копорождающим согласно предложению 12.
22 § 1. Дополнительные сведения из линейной алгебры
Следствие 1. А-модуль ЕА = Homz (A, Q/Z) инъективен и является копорож-
дающим.
Применяем предложение 13 с В = Z, F = Q/Z (см. пример) и Р = А^.
Для всякого А-модуля М положим
и пусть ем: M~»J0(M) — гомоморфизм, сопоставляющий элементу wSM элемент
(*(w))*e Нот(м, еа) е 1° (М).
Тогда:
Следствие 2. А-модуль 1°(М) инъективный и А-гомоморфизм е^: М-»-10(М)
инъективен.
Действительно, 1°(М) инъективный, так как Ед инъективный (с. 19, предложе-
предложение 9) ; с другой стороны, ем инъективен, так как Ед — копорождающий.
Следствие 3. Всякий А-модуль изоморфен подмодулю инъективного А-модуля.
Следствие 4. Дгя того чтобы А-модуль Е был инъективным, необходимо и
достаточно, чтобы всякий инъективный А-гомоморфимз f: E-»-F обладал А-линейной
ретракцией.
Предположим, что Е инъективен, и пусть / : Е -¦¦ F — инъективный А-гомоморфизм.
Тогда отображение Нотд(/, 1е): Ноша(Р> Е)->-НотА(Е, Е) сюръективно, следо-
следовательно, существует гомоморфизм rGHom^(F, E), для которого г°/=1Е и г -
А-линейная ретракция для /. Обратно, существует инъективный А-модуль I и инъек-
инъективный А-гомоморфизм/: Е-*1 (следствие 2); если / обладает А-линейной ретрак-
ретракцией, то Е инъективен согласно предложению 9 (с. 19).
9. Инъективные оболочки
О п р..е д е л е н и е 4. Пусть М — А-модуль. Инъективная оболочка модуля М —
это пара (I, /), где I — инъективный А-модуль иг: М-*1 — гомоморфизм, обладаю-
обладающий следующим свойством:
(Е) для того чтобы подмодуль Pel был нулевым, необходимо и достаточно, чтобы
его полный прообраз i'1 (P) был нулевым.
Отметим, что (Е) влечет инъективность /. Часто М отождествляют с подмодулем
i (М) в I, и тогда говорят, что I является инъективной оболочкой модуля М.
Пример 1. Предположим, что кольцо А целостное и М - А-модуль без кручения.
Пусть К — поле частных кольца А и /: М^КвдМ — канонический гомоморфизм.
Тогда (К®а М, 0 - инъективная оболочка модуля М (II, р. 116, prop. 26, а также
следствие 2 на с. 20).
Теорема 2. Пусть М - А-модуль.
а) М обладает инъективными оболочками.
б) Если (I, /) и (J, /) — две инъективные оболочки модуля М, то существует изо-
изоморфизм f: I -*¦ J, для которого /о i =/.
Отметим, что гомоморфизм /, существование которого утверждается в б), вообще говоря не
определен однозначно.
а) Можно предполагать, что М— подмодуль некоторого инъективного А-модуля
Е (следствие З.выше). Рассмотрим упорядоченное по включению множество $ под-
подмодулей I в Е, содержащих М и для которых каноническое вложение г: М-М удов-
удовлетворяет свойству (Е). Так как ^индуктивно, оно обладает максимальным элемен-
элементом (Е, Ш,_р. 20; Теория множество, III, с. 177); пусть I — некоторый максимальный
элемент в^-. Достаточно доказать, что подмодуль I является прямым множителем
для Е. Пусть N — подмодуль в Е, для которого N П I = 0 и который максимален отно-
относительно этого свойства (такой N существует согласно Е, III, р. 20; Теория множеств,
III, с. 117). Композиция гомоморфизмов
где и и v - канонические гомоморфизмы, инъективна; так как Е инъективен, то су-
существует гомоморфизм w. E/N-*E, для которого и>° v ° и = и, т.е. w° v(x) = x для
§ 1. Дополнительные сведения из линейной алгебры 23
хЕ I. Положим Г =lm(w) = lm(w° и), и пусть i': M-»-l' — каноническое вложение.
Тогда 1С Г; чтобы закончить доказательство, достаточно показать, что /' удовлет-
удовлетворяет условию (Е); это повлечет за собой, что I =* I' (ввиду максимальности I) и,
следовательно, что w ° и — проекция Е на I.
Пусть, таким образом, Р - подмодуль в Г, для которого РПМ=0. Имеем: Р =
= w о u(Q), где Q - некоторый подмодуль в Е, содержащий N; кроме того,
QnM=w°u(QnM)CPnM = O,
следовательно, Q О I =0, так как /: М^-I обладает свойством (Е). Ввиду максималь-
максимальности N, это влечет Q=N, т.е. u(Q) =0, следовательно, Р = 0, что и требовалось
доказать.
б) Пусть (I, /) и (J,/) - две инъективные оболочки модуля М. Так как .Гинъекти-
вен, то существует гомоморфизм/: l->-J, для которого/ ° /=/; имеем:
/-1(Кег/)=Кег/ьо>
следовательно, Кег/ = 0 и / инъективен. Тогда /(I) - инъективный подмодуль в J
и, следовательно, прямой множитель; так как / удовлетворяет (Е), то/(I) =J и/
биективен.
Замечания. 1. Пусть (I, /) - инъективная оболочка модуля Ми/: M-»-J -
инъективный гомоморфизм из М в инъективный А-модуль J. Согласно предыдущему
доказательству, существует инъективный гомоморфизм/: I ->• J, для которого/ о / =/.
2. Пусть (I. 0 - инъективная оболочка модуля М. Отождествим М с подмодулем
г(М) в I. Дня всякого подмодуля N в М существует инъективный подмодуль в I, слу-
служащий инъективной оболочкой модуля N (применить замечание 1 к N). Обратно,
всякий инъективный подмодуль J в I является инъективной оболочкой модуля
J ом.
Предложение 14. Пусть I - ненулевой инъективный А-модуль. Следующие
условия эквивалентны:
(i) I неразложим (VII, § 4, п° 7, def. 3);
(ii) 0 не представляется в виде пересечения двух ненулевых подмодулей в I;
(iii) I - инъективная оболочка всех своих ненулевых подмодулей;
(iv) кольцо EndA(I) локальное (VIII, § l,n°4, def. 4).
(i) ^(iii): пусть М - ненулевой подмодуль в I. Согласно замечанию 2, существует
инъективный подмодуль Г в I, служащий инъективной оболочкой модуля М. Так
как I — ненулевое прямое слагаемое в I, то 1=1, если I неразложим;
(iii) =*(ii): пусть Е и F - два подмодуля в I, для которых Е О F = 0. Если Е Ф 0,
то I - инъективная оболочка модуля Е согласно (iii); следовательно, "Е О F = 0"
влечет и "F =0"
(ii) =*• (i) : тривиально.
(iv) =* (i) : это следует из VIII, § 1, п° 6, prop. 13.
(i) =*(iv) : предположим, что I неразложим. Отметим сначала, что всякий инъектив-
инъективный эндоморфизм / модуля I биективен (так как тогда/(I) - ненулевое прямое сла-
слагаемое в I). Кроме того, всякий эндоморфизм/ модуля I, ограничение которого на
какой-либо ненулевой подмодуль Е в I инъективно, инъективен (действительно, так
как (i) => (iii), то I - инъективная оболочка модуля Е; следовательно, "Е О Кег/ = 0"
влечет "Кег/ = 0"). Пусть теперь / - необратимый элемент из EndA (I); согласно VIII,
§ 1, n°4, prop. 9, достаточно доказать, что элемент 1 -/ обратим. Так как эндомор-
эндоморфизм / не инъективен, то Кег/ Ф 0; так как ограничение эндоморфизма 1 —/ на Кег/
инъективно, то 1 -/инъективен и, следовательно, биективен.
Следствие 1. Отношение "I есть класс неразложимых инъективных А-модулей"
является коллективизирующим.
Действительно, согласно (iii), всякий неразложимый инъективный А-модуль явля-
является инъективной оболочкой некоторого моногенного А-модуля.
Следствие 2. Пусть М - А-модуль, I - инъективная оболочка модуля М. Для
того чтобы модуль I был неразложим, необходимо и достаточно, чтобы 0 не пред-
представлялся в виде пересечения двух ненулевых подмодулей в М.
24 § 1. Дополнительные сведения из линейной алгебры
Условие необходимо согласно предложению 14 ((i) ^(ii)). Обратно, если I —
прямая сумма ненулевых подмодулей Ь и 12, то
и (I, ПМ)ПA2 ПМ) = 0.
Пример 2. Если А — нётерово коммутативное кольцо, то Неразложимые инъек-
тивные А-модули - это в точности инъективные оболочки модулей А/р , где р -
простой идеал (с. 29, упражнение 27).
10. Структура инъективных модулей
Лемма 4. Пусть М - ненулевой нётеров А-модуль, I - инъективная оболочка
модуля М. Тогда I обладает неразложимым инъективным подмодулем.
Можно, очевидно, предполагать, что М - подмодуль в I. Пусть N - подмодуль в М,
для которого I не является инъективной оболочкой и который максимален относитель-
относительно этого свойства. Согласно замечанию 2 (с. 23), существует подмодуль I] в I, служа-
служащий инъективной оболочкой модуля N; тогда Ii — прямое слагаемое в I, пусть J —
его дополнение. J Ф 0; покажем, что модуль J неразложим. Если J — ненулевое прямое
слагаемое bJ.toJ'OM^Oh
(J'nM)nNCJ'ni, =0.
Подмодуль N' = (J'nM)+NBM является прямой суммой J' О М и N и, следователь-
следовательно, строго содержит N. Кроме того, N' содержится в подмодуле J' + Ii, который яв-
является прямой суммой J и 1,, следовательно, инъективен. В силу максимальности N
это влечет, что J' + Ii =1; следовательно, J' = J,и J неразложим.
Обозначим через ?f множество (с. 23, следствие 1) классов неразложимых инъек-
инъективных А-модулей.
Напомним (с. 20, следствие 1), что если кольцо А нётерово слева, то всякая прямая
сумма инъективных А-модулей представляет собой инъективный А-модуль.
Теорема 3. Пусть I - инъективный А-модуль.
а) Если I - инъективная оболочка нётерова А-модуля М, то I - прямая сумма ко-
конечного семейства неразложимых (инъективных) подмодулей.
б) Если кольцо А нётерово слева, то I - прямая сумма некоторого семейства не-
неразложимых (инъективных) подмодулей.
в) Если I — прямая сумма неразложимых (инъективных) подмодулей, то сущест-
существует, и единственное, такое семейство кардинальных чисел (aE)^^j, что модуль I
изоморфен модулю
© Е(аЕ>.
Отметим сначала, что в) следует из предложения 14 (с. 23) и из VIII, § 1, n°7, th. 2.
Докажем а).
Пусть N - подмодуль в М, инъективные оболочки которого представляют собой
прямую сумму конечного семейства неразложимых подмодулей и который максима-
максимален относительно этого свойства (такой существует, поскольку М нётеров). Согласно
замечанию 2 (с. 23), существует подмодуль l! в I, служащий инъективной оболочкой
модуля N. Если Ii =1, то доказательство закончено; в противном случае пусть J -
дополнение к 11 в I. Тогда J — инъективная оболочка нётерова модуля J П М (заме-
(замечание 2, с. 23), следовательно, обладает неразложимым инъективным подмодулем J'
(лемма 4). Тогда модуль I] + J' инъективен, представляет собой прямую сумму конеч-
конечного семейства неразложимых подмодулей и является инъективной оболочкой подмо-
подмодуля (Ii + J') П М в М, который строго содержит N, откуда получаем противоречие.
Предположим, что А нётерово слева и докажем б). Пусть X - множество, пред-
представляющее собой объединение множеств НотА (Е, I) для Е G J . Каждому подмно-
подмножеству Y в X. следующим образом сопоставим А-модуль Еу и А-гомоморфизм/у: Еу "*1:
Y есть объединение семейства (Y (Е)) Е е j, где Y (Е) С HomA (E, I); положим
Еу= е
Ее ^
§ 1. Дополнительные сведения из линейной алгебры 25
и ограничение /у на прямое слагаемое в Еу, соответствующее элементу у из Y(E) С
С Ноша(Е, I), есть у: Е-*1. Пусть Y — подмножество в X, для которого гомомор-
гомоморфизм /у инъективен и которое максимально относительно этого свойства (такое
подмножество существует согласно Е, III, р. 20; Теория множеств, III, с. 177); доста-
достаточно доказать, что /Y биективно. В противном случае пусть J — дополнение инъектив-
ного подмодуля Im(/Y) в I; так как модуль J ненулевой, он обладает ненулевым
нётеровым подмодулем (поскольку кольцо А предполагается нётеровым) и, следо-
следовательно, ненулевым инъективным подмодулем J', являющимся инъективной обо-
оболочкой нётерова модуля. Согласно а), J' — прямая сумма непустого конечного се-
семейства неразложимых подмодулей. Следовательно, существует непустое конечное
подмножество Y' в X, для которого /Y» отображает биективно EY' на J'. Так как
Im(/Y) Л J'=0, то УП Y1 =0и гомоморфизм/YUY- инъективен; это противоречит
максимальности Y и завершает доказательство.
Упражнения
1. Пусть
М — N-^- P —Q
I- I- I- I-
M'-N'-^P'-Q'
- коммутативная диаграмма А-модулей с точными строками; предположим, что гомоморфизм и
сюръективен, a s инъективен. Доказать, что
Ker (w) = t (Ker(u)), Im(u) = t'"' (Im(u)).
2. Пусть и: M-*N, и: N->P - два гомоморфизма А-модулей. Показать, что существует точная
последовательность
0 -* Кет(и) -* Кет (и о и) -> Кет(и) -* Сокег(») -* Сокег(и° и) -* Сокег(и) -* 0.
3. В диаграмме А-модулей
Р « М
1X1
N
обязательно ли коммутативность двух извлеченных из диаграммы треугольников влечет комму-
коммутативность диаграммы?
4. Пусть к - поле, В = к [Т ], А - подкольцо к [Т2, Т3 ] С к [Т ]. Показать, что В - А-модуль без
кручения, но не является плоским А-модулем.
5. Пусть* - поле, С =*[Х, Y] рассматриваются нодкольца А = *[Х4, Y4 ], В =Аг[Х4, X'Y, XY», Y4]
и В~= klx4. X3Y, X2YJ, XYS, Y4 ] в С. Включения А С В с В позволяют определить на В и В струк-
структуры А-модуля. Показать, что В - плоский А-модуль, в то время как А-модуль В не является
плоским.
6. Показать, что А-модуль Е является плоским, если и только если он удовлетворяет следующему
условию (ср. с. 18, замечание):
(ii") Для всякого конечного семейства (с() (-е|Элементов из А всякое решение е = (е/)(-е урав-
уравнения Бс,е(- = 0 можно записать в виде zibl +... +znbn, где 6,,... ,6„6Е игде, для г- 1, ...
...,п, zr= (zrj) j^i является решением уравнения ? C(Zrj = 0-
7. Пусть Е - моноид и S - устойчивое подмножество в Е, регулярное и удовлетворяющее пред-
предположениям упражнения 17 нз III, р. 121, так что существует "моноид частных" Е и инъективный
гомоморфизм е: Е-> Е. Пусть А - коммутативное кольцо. Гомоморфизм е индуцирует гомомор-
гомоморфизм моноидных алгебр и: А( ' -»а(е) , который позволяет рассматривать \(Е) как левый
А^ '-модуль. Показать, что этот модуль плоский над а' ' (представить А^ ' как направленный
индуктивный предел свободных А ^ ' -модулей ранга 1).
*8. Пусть А - кольцо непрерывных функций с вещественными значениями на интервале [0, 1].
а) Показать, что идеал функций, обращающихся в нуль в 0, является плоским А-модулем (по-
(показать, что он представляет собой направленный индуктивный предел идеалов А/, где / - функ-
функция, которая обращается в нуль только в 0).
б) Показать, что идеал I функций, обращающихся в нуль в окрестности 0, является проектив-
проективным А-модулем (показать, что существует последовательность (//г)л> ь/пе '• удовлетворяющая
26 § 1. Дополнительные сведения из линейной алгебры
условиям: Supp(/n) С ,¦— I и Б/»(х) = 1 при хФ 0; вывести отсюда, что всякий элементh
L и+2 п J „
из / записывается в виде h = Б (fnh) еп, где еп = Б /г, и использовать II, р. 46, рюр. 12. „
п г<п+1
9. Пусть Р - А-модуль. Показать, что следующие условия эквивалентны:
а) Для того чтобы последовательность М' it М Д М"¦ правых А-модулей была точной, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы последовательность
М'®А Р JL?I_>M®A Р "81,М"®А Р
была точной.
0) Р плоский и М ® д Р Ф 0 для всякого ненулевого правого А-модуля М.
7) P плоский и канонический гомоморфизм
HomA(M,N)-HomZ(M®A P,N ®A P)
инъективен для любых правых А-модулей М, N.
8) Р плоский и ЮР Ф Р для всякого максимального правого идеала Ш в А.
При выполнении этих условий говорят, что Р - строго плоский А-модуль.
10. а) Показать, что строго плоский модуль является точным (II, р. 28; Алгебра, II, с. 197).
б) Z-модуль Q точный и плоский, но не строго плоский.
в) Пусть (р„) - строго возрастающая последовательность простых чисел, и пусть А - прямое
произведение колец П Z/pnZ. Показатель, что прямая сумма Е абелевых групп Z/pnZ представляет
п
собой точный проективный А-модуль, но не является строго плоским А-модулем (заметить, что Е-
идеал в А, для которого Е2 = Е).
11. Пусть 0-*Р'-*Р-*Р"-*0 - точная последовательность А-модулей. Предположим, что модули
Р' и Р" плоские и что один из них строго плоский. Показать, что Р строго плоский.
12. Пусть р: А-»В — гомоморфизм колец, превращающий В в строго плоский правый А-модуль,
пусть М - некоторый А-модуль.
а) Показать, что для того чтобы М был модулем конечного типа (соответственно конечно пред-
ставимым), необходимо и достаточно, чтобы этим свойством обладал В-модуль В®А М.
б) Предположим, что р(А) содержится в центре кольца В. Показать, что модуль М плоский
(соответственно строго плоский, проективный конечного типа) если и только если В-модуль
В ®д М обладает указанным свойством.
13. Показать, что плоский модуль конечного типа Р над целостным кольцом А проективен (рас-
/' Р
смотреть представление 0-*R -»L ->Р-*0, где L - свободный модуль конечного типа; выбрать
подмодуль конечного типа R'bR, для которого R/R' - периодический модуль, и применить теоре-
теорему 1, с. 18).
f 14. а) Пусть 0-*R-+L-»E-*0 - точная последовательность А-модулей, где L - свободный
А-модуль; пусть (е а) — базис L. Показать, что следующие условия эквивалентны:
a) Е - плоский А-модуль.
C) Для всякого хб R, если йх - правый идеал, порожденный компонентами х относительно
базиса (еа),хе йхК.
у) Для всякого xeR существует гомоморфизм и^: L-*R, при котором их(х) = х.
b) Для всякой конечной последовательности (х{) \ <,•<« элементов из R существует такой гомо-
гомоморфизм и: L-* R, что и(х{) =xt при 1 < i < л. (Использоватьтеорему 1, с. 18).
6) Пусть Г - радикал кольца А, и пусть 0 -+R-*L-»E-<-0 - точная последовательность А-моду-
А-модулей, в которой L свободен. Предположим, что Е плоский и что R содержится в rL. Показать, что
тогда R = 0 (в обозначениях из пункта а) заметить что йх - идеал конечного типа и что
в) Пусть Е — плоский А-модуль конечного типа; предположим, что существует двусторонний
идеал Ь кольца А, содержащийся в его радикале, для которого E/tE - свободный А/Ь-модуль.
Показать, что тогда Е — свободный А-модуль (заметить, что существует свободный А-модуль конеч-
конечного типа L, для которого модуль L/&L изоморфен E/frE и применить б)). В частности, всякий
плоский модуль конечного типа нвдлокалъным кольцом свободен.
15. Пусть А - кольцо, в — элемент из А. Показать, что следующие свойства эквивалентны:
а) а еяАв,
C) Ад— прямое слагаемое в модуле A,j.
7) As/Aa - плоский А-модуль.
б) Для всякого правого идеала Ь в А имеет место равенство Ь п Аа = Ь а.
16. Пусть А - кольцо. Показать, что следующие свойства эквивалентны:
а) Всякий элемент ее А удовлетворяет эквивалентным свойствам из упражнения 15.
C) Всякий левый идеал конечного типа является прямым множителем в А^.
7) Всякий левый А-модуль плоский.
б) Всякий правый А-модуль плоский.
§ 1. Дополнительные сведения из линейной алгебры 27
В этом случае говорят, что А - абсолютно плоское кольцо (ср. VIII, § 8, exercice 15; Алгебра,
VIII, стр. 202, упражнение 15 ')).
17. Пусть А - абсолютно плоское кольцо (упражнение 16).
а) Пусть Р - проективный А-модуль. Показать, что всякий подмодуль конечного типа в Р
является прямым множителем в Р (свести к случаю, когда Р свободный конечного типа).
б) Показать, что всякий проективный модуль представляет собой прямую сумму моногенных
подмодулей, изоморфных моногенным идеалам в А. (Использоватьтеорему Капланского (II, р. 183,
exercice 2) для сведения к случаю, когда Р обладает счетным семейством порождающих, затем
использовать а).)
в) Показать, что всякий идеал в А, порожденный счетным семейством порождающих, проек-
тивен.
т) Дать пример абсолютно плоского кольца А н непроективного А-модуля конечного типа.
f 18. Пусть М - А-модуль. Показать, что следующие условия эквивалентны:
а) М конечного типа (соответственно конечно представим).
C) Для всякой индуктивной .системы А-модулей (N,-. uy() относительно направленного предупоря-
доченного множества I канонический гомоморфизм Вт Нотд(М, N,-) -* Нотд(М, Ит N,-) ннъекти-
/ei lei
вен (соответственно биективен).
у) Дпявсякого семейства (Ру). , правых А-модулей канонический гомоморфизм
( П рлвдМ- П (Р,-«.м)
(II, p. 61) сюръективен (соответственно биективен).
5) Для всякого множества I канонический гомоморфизм А^»АМ->М сюръективен (соответ-
(соответственно биективен).
19. Пусть А и В - два кольца, v»:A->B - гомоморфизм, М - В-модуль. Наделим ВвдМ и
Ношд(В, М) структурами левого В-модуля, получаемыми соответственно из структур левого и пра-
правого В-модуля на В. Говорят, что М проективен относительно А, или <р-проективен, если канони-
каноническая сюръекция В^аМ-^М обладает В-линейным сечением; говорят, что М инъективен от-
относительно А, или ip-инъективен, если каноническое вложение
M->HomA(B. M)
обладает В-лннейной ретракцией.
а) Если М проективен (соответственно ннъективен) как А-модуль н ^-проективен (соответствен-
(соответственно vJ-ннъективен), то М - проективный (соответственно инъективный) В-модуль.
б)•Длявсякого А-модуля N В-модуль В ®д N (соответственно Ношд(В, N)) ^-проективен
(соответственно ^-ннъективен).
в) Предположим, что <р(А) содержится в центре В. Пусть N-А-модуль, Р - ip-проективный
В-модуль. Показать, что В-модуль Р ®д N (соответственно правый В-модуль Нотд (Р, N)) ip-проек-
тивен' (соответственно улшъективен).
20. Пусть А - кольцо главных идеалов, а - ненулевой элемент в А, В = А/Аа. Показать, что
В-модуль Bs инъективен.
21. Показать, что следующие условия эквивалентны:
а) Кольцо А нётерово.
C) Всякий индуктивный предел инъективных А-модулей является инъективным А-модулем.
-у) Всякая прямая сумма ннъективных А-модулей является инъективным А-модулем.
(Для доказательства импликации 7) "*<*) рассмотреть возрастающую последовательность
(а„)п>1 левых идеалов в А, 0= U й„ и 1„ - ннъективная оболочка А-модуля й/ 0„. Естествен-
Естественный гомоморфизм 0 в ® 1„ представляет собой ограничение некоторого гомоморфизма/: А->« 1„;
рассмотреть /A)).
22. Пусть А - кольцо главных идеалов, К-его поле частных, тг - один из экстремальных элемен-
элементов в А. Показать, что я-примарная компонента А модуля К/А представляет собой инъективную
оболочку А-модуля А/тг"А для всякого п>\.
1 23. Пусть I - инъективный А-модуль, Е - кольцо ЕпйдA), t - множество всех элементов и
из Е, для которых I - ннъективная оболочка подмодуля Кег(и).
а) Показать, что t - двусторонний идеал н что кольцо E/t абсолютно плоское (упражне-
(упражнение 16). (Пусть и - элемент из Е, N - подмодуль в I, для которого N п Кег(ы) = 0 и максималь-
максимальный относительно этого свойства; показать, что существует элемент и е Е, для которого
vu(x) = х при любом х е N н вывести отсюда, что uvu - и G Г.
б) Показать, что Г - радикал кольца Е (включение (Е) С Г следует нз а); показть, что для
всякого net отображение 1-й биективно).
в) Предположим, что I — прямая сумма конечного семейства неразложимых инъективных мо-
модулей. Показать, что кольцо Е/ г полупросто.
1) Здесь такие кольца называются регулярными. - Примеч. пер.
28 § 1. Дополнительные сведения из линейной алгебры
Ч 24. Пусть /: А -> I - инъективная оболочка А-модуль \s. Положим Е = ЕпйдA) и В = EndgCI),
так что В представляет собой бикоммутант А-модуля I(VIII, § 3, def. 1; Алгебра, VIII, с. 122, опре-
определение 4). Рассматриваем А как подкольцо в В. Обозначим через /: В -*1и р: Е-*1 отображения,
определяемые формулами
j(b) = b(i(l)) и p(u)=u(/(l)) для ЬеВ, «еЕ.
а) Показать, что р - сюръекция и / - вложение.
б) Показать, что следующие условия эквивалентны:
а) Отображение р биективно.
р) Отображение / биективно.
у) А-модуль В инъективеи.
Если эти условия выполняются, то отображение /"' ° р осуществляет изоморфизм кольца Е
на кольцо, противоположное В.
в) Пусть S - множество левых идеалов Л в А, для которых й лЬ Ф @) при любом ненуле-
ненулевом левом идеале Ь . Обозначим через $(А) множество элементов а из А, для которых существует
такой идеал й е 8 , что а а =0. Показать, что s(A)- двусторонний идеал в А.
г) Показать, что следующие условия эквивалентны:
a) j(A)=0.
0) Кольцо Е без радикала.
у) Кольцо В абсолютно плоское.
Если эти условия выполняются, то удовлетворяются эквивалентные свойства из б).
(Пусть s(I) - множество элементов х из I, для которых существует такой идеал eeff , что
й х =0. Используя упражнение 23, доказать, что р"' (s(I)) совпадает с радикалом Г кольца Е, отку-
откуда импликация 0) =*а). Показать далее, что из а) вытекает равенство X = Кег (р) = 0, а это влечет
за собой справедливость 0) и у) (принимая во внимание упражнение 23), а также условия а из б) .
Показать, наконец, что из у) следует а).)
д) Если А нетерово слева, то идеал s(A) нильпотентен (доказать сначала, что всякий элемент с
из s(A) иильпотентен, рассматривая левые аннуляторы его степеней а", затем использовать из VIII,
§ 9, exercice 8,6)).
f 25. Предположим, что кольцо А нетерово слева и ие содержит нильпотентных двусторонних
идеалов.
а) Доказать, что кольцо В, определенное в упражнении 24, полу просто {"теорема Голди"; ис-
использовать упражнение 23, в), и упражнение 24, г) ид)). Если, кроме того @) - первичный дву-
двусторонний идеал в А (VIII, § 8, exercice 19; Алгебра, VIII, с. 236, упражнение б ')), показать, что В
простое.
б) Отождествим А с подкольцомв В. Доказать следующие свойства:
(i) Всякий элемент из А, регулярный слева, обратим в В (следовательно, регулярен в А).
(и) Всякий элемент Ъ из В может быть записан в виде s~lo, те s 6 А, в е А и s регулярный.
Иногда говорят, что В -левое полное кольцо частных кольца А.
(Для доказательства утверждения (ii) свести его к случаю, когда В простое. Показать, что тогда
идеал @) в А первичный. Пусть а - идеал из б, а - элемент из й , для которого правый идеал бВ
максимален сведи идеалов а'В (в' е 4 ), х - элемент из В, для которого аха = а. Доказать, что
ВA -ха) С я В, откуда
(ВA - ах) п й) ¦ (ВA - ха) П а ) = @);
вывести отсюда, что а регулярен. Закончить, взяв в качестве а множество элементов а е А, для
которых аЪ еА.)
в) Предположим, что всякий ненулевой элемент в А регулярен. Показать, что В - тело, представ-
представляющее собой левое тело частных для А (ср. I, р. 155, exercice 15).
Щ 26. а) Показать, что следующие условия эквивалентны:
а) Кольцо А нетерово справа и А-модуль А$ ииъективен.
а°) А иётерово слева и А-модуль Ad инъективеи.
/3) Кольцо А самоинъективно (VIII, § 2, exercice 11).
(Доказать, что а) влечет Г= Г° для всякого правого идеала I. Показать затем, что радикал
г (А) нильпотентен, и вывести отсюда, используя упражнение 23, что А артииово справа. Доказать
затем, что сопряженный модуль простого левого модуля является простым. Вывести отсюда, что
А нетерово слева и, наконец, что А самоинъективно.)
б) Показать, что кольцо А самоииъективио в том и только том случае, если всякий инъективный
А-модуль проективен и всякий проективный А-модуль инъективен.
К 27. Предположим, что кольцо А нетерово слева.
а) Пусть I - неразложимый инъективный А-модуль. Показать, что множество аннуляторных
идеалов ненулевых подмодулей в I обладает наибольшим элементом ИA), который представляет
собой первичный двусторонний идеал (VIII, § 8, exercice 19; Алгебра, VIII, с. 236, упражнение 6')).
б) Показать, что для всякого первичного двустороннего идеала р в А существует неразложимый
ииъективный А-модуль I, для которого К (Г) = р (рассмотреть неразложимый прямой множитель
инъективной оболочки модуля А/р).
1) Здесь вместо термина "первичный" использован термин "простой"; однако в русской лите
ратуре последний термин обычно применяется лишь к идеалам в коммутативных кольцах. —
Примеч. пер.
§ 1. Дополнительные сведения из линейной алгебры 29
в) Предположим, что кольцо А коммутативное. Показать, что всякий неразложимый иньектив-
ный А-модуль I представляет собой инъективную оболочку модуля А/ V (I). Вывести отсюда, что
отображение I >-* Я (Г) определяет биекцию множества У классов неразложимых инъективных
А-модулей на множество простых идеалов в А. Обратная биекция сопоставляет идеалу в инъектив-
инъективную оболочку модуля А/р.
г) Показать, что для того чтобы отображение I г-» 8 (I) множества Cf на множество первичных
двусторонних идеалов кольца А было биективным, достаточно чтобы А удовлетворят о следующе-
следующему условию (Н):
(Н) Для всякого левого идеала й в А существуют такие элементы х,,.. .,х^в А/а, что
i
д) Показать, что условие (Н) удовлетворяется в следующих случаях:
а) Все левые идеалы в А являются двусторонними.
/3) А артииово.
7) Центр Z кольца А является нётеровым кольцом и А - Z-модуль конечного типа.
в) Пусть к - поле, Q* - аддитивный моноид рациональных чисел > О, А - кольцо нормирова-
нормирования w поля частных моноидной алгебры к^ ' построенное в Коммутативной алгебре, с. 448, при-
пример 6, а - ненулевой элемент из А, I - инъективная оболочка модуля А/Аа. Показать, что А-модуль
I неразложим, но не содержит никакого подмодуля, изоморфного А/ р с простым р (заметить, что
множество идеалов в А линейно упорядочено и что А содержит только два простых идеала).
28. Пусть А - нётерово кольцо, М — А-модуль, I - инъективиая оболочка модуля М, представля-
представляющая собой прямую сумму некоторого семейства (Ia)ttej неразложимых подмодулей. Обозначим
через Ass (М) множество первичных двусторонних идеалов V (Iq) для а е J (упражнение 27); если
р е Ass (М), то говорят, что идеал р ассоциирован с М.
а) Ass (М) Фф, если М Ф 0; если М конечного типа, то множество Ass (M) конечное.
б) Показать, что первичный двусторонний идеал р ассоциирован с М в том и только том случае,
если М содержит такой подмодуль N, что Ann(N') » p для всякого ненулевого подмодуля N' в N.
Если А коммутативно, то р ассоциировано с М в том только том случае, если М содержит подмо-
подмодуль, изоморфный А/ р.
в) Пусть М' — подмодуль в М. Показать, что
Ass (M') с Ass (M) С Ass (M') и Ass (M/M').
г) Положим Jb = Б LhQ(b) = ( ? J. ) п М. Показать, что П Q(n) = 0 и
НAв)-> «#* j>SAss(M)
Q (») Ф 0 для всякого подмножества Е в Ass (М), отличного от Ass (М). Для всякого р е Ass (M)
имеем Ass (M/Q (р)) = { р} .
д) Пусть а - элемент из центра А. Показать, что для того чтобы гомотетия относительно а была
инъективна в М, необходимо и достаточно, чтобы а не принадлежал никакому из ассоциированных
с М первичных идеалов.
• 29. Предположим, что кольцо А коммутативно и нётерово. Пусть й - идеал в А.
а) Пусть Н - А-модуль, в котором всякий элемент из Н аннулируется некоторой степенью a . По-
Показать, что для инъективности Н достаточно, чтобы для всякого целого л > 1, всякого А-модуля
М конечного типа, аннулируемого идеалом а", н всякого подмодуля М' в М естественный гомо-
гомоморфизм Нотд (М, Н) -»Нотд(М', Н) был сюръективен.
(Использовать тот факт, что для всякого идеала Ь кольца А существует целое число к > 0, при ко-
котором >п в* с Ь в (АС, Ш, §3, п° 1, сог. 2; Коммутативная алгебра, III, с. 244, следствие 2).
б) Пусть М - инъективный А-модуль. Для л > 1 обозначим через Нп подмодуль в М, образован-
образованный элементами аннулируемыми идеалом йп\ положим Н = и Н„. Показать, что Н - инъективный
А-модуль.
в) Показать, что всякий элемент инъективной оболочки модуля А/ й аннулируется некоторой
степенью идеала a . »
30. Предположим, что кольцо А локальное, коммутативное и нётерово; обозначим через Ш его
максимальный идеал, к = А/m. Пусть I - А-модуль, в котором всякий элемент аннулируется сте-
степенью Ю. Для всякого А-модуля М обозначим через Т(М) А-модуль Нотд (М, I) и через сщ: М ->
-> (Т (Т (М)) - гомоморфизм, определяемый по формуле
(см (»»)) (и) = и (тя) для от ем, меТ(М).
Показать, что следующие свойства эквивалентны:
<*) Для всякого А-модуля М конечной длины А-модуль Т (М) имеет конечную длину и гомомор-
гомоморфизм см: М -> Т(Т(М)) биективен.
0) Для всякого А-модуля М конечной длины long Т (М) = long M.
7) А-модуль I инъективен и А-модули к и Т(к) изоморфны.
6) А-модуль I изоморфен инъективной оболочке А-модуля к.
Когда эти условия удовлетворяются, говорят иногда, что I - дуализирующий модуль для
кольца А.
(Показать, что свойство 7) эквивалентно каждому из трех других; чтобы увидеть, что 7) следу-
следует из а) или Д), использовать упражнение 29).
30 § 2. Комплексы А-модулей
31. В предположениях предыдущего упражнения пусть В - коммутативное и нётерово локаль-
локальное кольцо, и пусть р: А -» В - гомоморфизм колец, превращающий В в А-модуль конечного типа.
Если I - дуализирующий модуль для А, то показать, что В-модуль Нотд (В, I) дуализирующий для В.
В частности, для всякого идеала Л кольца А подмодуль в I, образованный элементами, аннулируе-
аннулируемыми идеалом а , представляет собой дуализирующий модуль для А/а •
32. а) Сохраняем предположения упражнения 30; предположим, кроме того, что А содержит по-
поле к„, над которым к является векторным пространством конечной размерности. Показать, что
А-модуль I = lim Hom^ (А/т", к„) дуализирующий для А.
л
б) Пусть к - поле характеристики нуль, В - кольцо формальных рядов к[[Т:, . . . , Т„1 ]. Наде-
Наделим группу I = k[Xt, . . . , Х„] структурой В-модуля, положив Т/ ¦ Р = ЭР/ЭХ; для всякого
Р е к [ X,,. .. , Хл ]. Показать, что I - инъективная оболочка В модуля А:.
§2. КОМПЛЕКСЫ А-МОДУЛЕЙ
В этом параграфе через А обозначается кольцо. Когда мы будем говорить об к-моду-
лях без уточнений, это всегда будет относиться к левым А-модулям.
Мы будем называть градуированными модулями градуированные модули типа Z
(II, р. 164). Если М - градуированный А-модуль с градуировкой (Мл)„е z. T0 полага-
полагаем М" = М_„ и говорим, что М„ (сответственно М") - однородная компонента нижней
степени п (соответственно верхней степени п) модуля М.Если и: М -+N — градуирован-
градуированный гомоморфизм степени р градуированных А-модулей (II, р. 166), го обозначаем че-
через и„: М„ ->-М„+р (соответственно и": М" -+М"~Р) гомоморфизм, получаемый из и;
он называется однородной компонентой нижней (соответственно верхней) степени п
гомоморфизма и; говорят также, что и - гомоморфизм нижней степени р или верхней
степени — р.
1. Комплексы А-модулей
Определение 1. Дифференциальный комплекс А-модулей - это пара (С, d),
образованная градуированным А-модулем С и градуированным эндоморфизмом d: C-*C
нижней степени -1, для которого d ° d = 0.
Говорят также короче: комплекс А-модулей, или А-комплекс, или комплекс. Часто
пишус С вместо (C,d); эндоморфизм d называют дифференциалом комплекса (С, d)
или, злоупотребляя языком, комплекса С.
Если С„ (соответственно С) - однородная компонента нижней (соответственно
верхней) степени п градуированного А-модуля С, то задание d эквивалентно заданию
последовательности гомоморфизмов
с,А о,.,-..., A)
соответственно
... + С"-1 > С-* С+1 -*..., (Г)
для которой dn ° dn+i = 0 при всяком и в Z (соответственно d" ° dn~x =0 при вся-
всяком п ? Z). Злоупотребляя языком, будем также называть комплексом задание такой
последовательности А-модулей и гомоморфизмов.
Отметим мнемоническое правило, согласно которому, если в диаграммах A) и A') двигаться
в направлении стрелок, нижняя степень уменьшается, а верхняя степень увеличивается.
Всякий градуированный А-модуль будет молчаливо рассматриваться как комплекс,
наделенный нулевым дифференциалом; получаемые таким образом комплексы будут
называться комплексами с нулевым дифференциалом. В частности, всякий А-модуль
М будет считаться наделенным единственной структурой А-комплекса, при которой
Мо = М° = М. Комплекс (С, d) называется нулевым, если С - нулевой .модуль. В по-
последующем через 0 обозначается нулевой комплекс, выбранный раз навсегда.
Присоединим к упорядоченному множеству ZflBa элемента, обозначаемые через
—оо и +оо; полученное множество обозначим через Z и наделим его отношением поряд-
порядка, продолжающим порядок на Z и таким, что — °° < и < +°° для всякого и € Z; всякое
подмножество в Z обладает нижней и верхней гранями.
§ 2. Комплексы А-модулей 31
Пусть С_ — комплекс; правой и левой1) границами С называются элементы bd (С) и
й^(С)из Z определяемые следующими условиями:
bd (С) = inf { n G Z, С„ Ф 0} , Ь, (С) = sup { п в Z, С„ Ф 0} .
Говорят, что комплекс С нулевой справа, если bd(C) > 0, ограниченный справа, ес-
если id (С) Ф -°°, нулевой слева, если й^ (С) <0, ограниченный слева, если Z>? (С) =? +°°;
говорят, что С ограниченный, если
Ъа(С)Ф-°°, Ье(С)Ф+^.
Длиной2) комплекса С называют элемент /(С) из Z, определяемый следующим об-
образом: если С нулевой, то /(С) = —°°; если С ограниченный и ненулевой, то /(С) =
= bg (С) - bd (С); если С неограниченный, то / (С) =+°°. * При соглашениях из TG, IV,
р. 13-17, всегда/(С) =bg(C) -bd(C).,.
Например, если к последовательных компонент комплекса С отличны от нуля, а все другие
нулевые, то / (С) =к - 1, если А: > О, /(С) = -°°,если? = 0.
Говорят, что комплекс (С, с?) свободный, проективный, плоский, инъективный, если
каждый из модулей С„ обладает соответствующим свойством. Отметим, что комплекс
(С, d) проективный или плоский,если и только если модуль ? обладает этим свойст-
свойством (II, р. 39, prop. 3, а также предложение 4, с. 12), но что модуль С может быть
свободным, хотя комплекс (С, d) таковым не является (так как прямой множитель
свободного модуля не всегда свободен), а также что комплекс (С, d) может быть
инъективным, хотя модуль С не инъективен (с. 27, упражнение 21).
Пусть (С, с?) - комплекс. Положим Z(C, d) - Ker(d), В (С, d) = lm(d); это градуи-
градуированные подмодули в С, называемые соответственно модулем циклов и модулем гра-
границ комплекса (C,d); однородные компоненты модулей Z(C, d) и В (С, d) обозна-
обозначаются через Zn(C, d) = Z-"(C,d),Bn(C,d) =B~n(C,d); имеем: Zn(C,d) = Ker (dn),
n n) l()
Так как d о d = 0, то В (С) С Z(C); два цикла называются гомологичными, если их
разность - граница; градуированный фактормодуль Н(С, d) =Z(C,d)/B(C,d) называ-
называется модулем гомологии комплекса (С, d); его элементами служат классы гомологии;
его однородные компоненты обозначаются через Н„(С, d) = H~"(C, d)
Пример. Если С - комплекс с нулевым дифференциалом, то Z (С) = С, В (С) =0
иН(С) канонически отождествляется с С.
Имеют место точные последовательности, называемые каноническими:
A„) 0 - Zn (С) - С„^ В„_, (С) - 0,
(п„) о-вп(С)-*гп + н„(С) + о,
(Ш„) О-ВП(С)-С„ + С„/ВП(С) + О,
(IV,,) 0 - Н„ (С) - С„/В„ (С) -J В„_, (С) - 0,
где б„ и б„ получены из dn. Цутем комбинации (IVn) и (IIn_i) получаем точную по-
последовательность
(Vn) 0->Hn(C)^Cn/Bn(C)^Zn_,(C)^Hn_,(C)^0, ¦
которая записывается также, с заменой п на -и, в виде:
(Vй) о -> н" (С) -> с/в" (С) -+ z"+1 (q ^ нп+1 (С) ¦+ о.
Определение 2. Пусть (С, d) и (С', d') - два комплекса. Морфизмом3) ком-
комплекса (С, d) в (С', d') называется градуированный А-гомоморфизм степени 0 граду-
') Слова правый и левый употребляются относительно описания комплекса С с помощью ди-
диаграмм A) и (I1)-
2) Не следует смешивать понятие длины комплекса (С, d) с понятием длины модуля С (II, р. 21;
Алгебра, I, с. 110).
*' Или морфизмом степени 0 (ср. с. 88).
32 § 2. Комплексы А-модулей
ированного модуля С в С', для которого
d' о и -и °d.
Для всякого п имеем, следовательно: d'n ° и„ = Mn_x " d„ и d'n ° и" = и"+1 ° d"
Имеем:
i*(Z(C))CZ(C), «(В (С)) с В (С),
и через Z(m): Z(C) -»Z(C'), В(и): В(С) -»¦ В(С'), H(u): H(Cj ->Н(С') обозначаются
гомоморфизмы, получаемые из этих включений; однородные компоненты этих мор-
физмов обозначаются через Zn (м), Z" (м),.. .
Если и- другой морбизм комплекса (С, d) в (С, <Г ), то и + и - морфизм (C,J)
в(С',сГ)и
Z (u + v) = Z (и) + Z (у), В (м + у) = В(и) + В(и),
Н(м + у) = Н(м) + Н(у).
Кроме того, если А — алгебра над коммутативным кольцом к и если X ? к, то Хм — мор-
морфизм (C,d) в (C',d) и
Z(Xm) = XZ(m), B(Xm) = XB(m), Н(Хм) = ХН(и).
Если м': (С1, </') -»¦ (С", d") - другой морфизм комплексов, то и' ° и - морфизм
(С,сГ)в (C",d")H
Z (и' о м) = Z (м') о Z (м), В (и' о и) = В (и1) о В (м),
Н («' о Ц) = Н (и') о Н (и).
Ясно, что биективный морфизм комплексов является изоморфизмом.
Определение 3. Пусть (С, d) и (С\ d') — два комплекса. Гомологизмом (или
квазиизоморфизмом) комплекса (С, d) в (С, cf') называется морфиэм и: (С, d) ¦+
-+ (С1, d'), для которого гомоморфизм Н(м) биективен.
Всякий изоморфизм является гомологизмом, всякая композиция гомологизмов -
гомологизм.
Говорят, что (С, d) - комплекс с нулевой гомологией, если Н(С) = 0, т.е. если од-
однозначно определенный морфизм комплексов 0 -*¦ С (соответственно С -*¦ 0) является
гомологизмом. Говорят, что комплекс (С, d) ацикличен в нижней степени п (соответст-
(соответственно в верхней степени п), если Н„ (С) = 0 (соответствеиио Н" (С) = 0).
Пусть (С, d) — комплекс и р Е Z; р-м сдвигом комплекса (C,d) называется комп-
комплекс (С(р), d{p)), получаемый следующим образом: С(р)- - А-модуль, получаемый
сдвигом нар номеров градуировки С (II, р. 163, exemple 3), так что
С(Р)„=С„+Р, С(р)"=С"-Р;
в частности, С(рH =СР; следует отметить также, что С представляет собой прямую
сумму своих градуированных подмодулей Ср(-р), р Е Z (соответственно Ср(р),
pGZ). Положим dip) = i-\)pd. Имеем: Z(C(p)) = Z(C) (p), B(C(p)) = В(С) (р) и
и Н(С(р))=Н(С)(р).
Например, d представляет собой морфиэм комплексов С в С(-1) и гомоморфизм
H(d): Н(СИН(С)(-1)
нулевой.
Для всякого морфизма комплексов и: (С, d) -> (С', d') и всякого р в Z м являет-
является также морфизмом (С(р), dip)) в (С'(р), d'(p)); его обозначают иногда через
и (р), причем
2. Операции над комплексами
На множестве А X А два закона
(а, Ъ) + (в\ Ъ') = (a+q',b+ Ъ'), (а, Ь) (а1, Ъ') = (аа', ab'+ba')
определяют структуру кольца, обозначаемого через А(е), с единицей 1 = A,0); вло-
§ 2. Комплексы А-модулей 33
жение а >-*¦ (а, 0) =д1 позволяет отождествить А сподкольцом в А(е); модуль А(е)
свободен с базисом {1, е}, где с = @г 1); имеем: е2 = 0 и е — центральный элемент
вА(е).
Когда кольцо А коммутативно, А(е) называется алгеброй двойных чисел над А
(Ш, р. 15).
Наделим А(е) структурой градуированного кольца (И, р. 164), для которой А(еH =
= А • l,A(e)_j = А ¦ е иА(е)„ = 0 при п Ф 0, — 1. Ясно, что задание структуры А-комп-
декса на множестве С равносильно заданию на С структуры градуированного А (е)-мо-
(е)-модуля, дифференциал d при этом соответствует гомотетии ес; кроме того, морфизмы
комплексов соответствуют градуированным гомоморфизмам степени 0 градуирован-
градуированных А (е)-модулей.
Таким образом, роды структуры градуированных А (е)-модулей и А-комплексов
эквивалентны (Е, IV, р. 9—10; Теория множеств, IV, с. 252—254). Мы используем этот
факт для перенесения в теорию комплексов обычных понятий теории градуированных
модулей.
Понятию градуированного под-А(е)-модуля соответствует понятие подкомплекса:
таким образом, подкомплекс комплекса (С, d) — это такой градуированный подмо-
подмодуль С' в С, чю dn(C'n) С С^_! для всякого п 6 Z; если обозначить через d' градуи-
градуированный А-гомоморфизм С в С', получаемый из d, то (C',d') представляет собой
структуру комплекса, о которой говорят, что она индуцирована структурой (С, d).
Без явного указания противного всякий подкомплекс будет считаться наделенным
индуцированной структурой.
Мы предоставляем читателю явно сформулировать также понятия факторкомплекса,
точной последовательности комплексов, ядра, коядра, образа морфизма комплексов,
следуя приведенному ниже словарю:
градуированный фактор-А(е)-модуль = факторкомплекс,
ядро коядро, образ градуирован-1 fo
ного А(е>гомоморфизмастепе- } = Г ' Г г
_, п морфизма комплексов,
ни и /
точная последовательность градуи- \ тчная последовательность
рованных А(е)-модулей и градуиро- = комтексов
ванных гомоморфизмов степени 0 >
Например, канонические точные последовательности из п. 1 дают точные последователь-
последовательности комплексов, называемые каноническими:
(I) 0-* Z(C)-* С ¦? В(С)(-1)-»-0,
(II) 0-*B(C)-*Z(C)-*H(C)-*0,
(III) 0 -* В(С) -* С -* С/В (С) -> 0,
(V) 0 -* Н(С) -> С/В(С)^ Z(C) (-1) -* Н(С) (-1)ч- 0.
Точно так же определяются понятия прямой суммы комплексов, индуктивной
системы комплексов, индуктивного п'ределаындуктивной системы комплексов.
Пусть (С/, d/)/e7"- семейство комплексов. Произведением этого семейства, обоз-
обозначаемым через П (Ct,dt), называется комплекс (С, d), получаемый следующим
образом: ¦ /ei
а) для всякого «GZ С„ представляет собой произведение П (С;)„ однородных
компонент (Q)n данных комплексов, 'е 1
б) для всякого h€Z dn: Cn-*Cn-i представляет собой А-гомоморфизм с компо-
компонентами (dt)n.
Когда I конечно,комплекс П (Cj,dt) равен комплексу © (С,-,d{).Следуетпредо-
ie I /e i
стеречь читателя, что, вообще говоря, модуль, на котором определен комплекс
П (С;, dj), не совпадает с произведением модулей П С,-.
m i ie i
3. Н-. Бурбаки
34 § 2. Комплексы А-модулей
Рассмотрим семейство (соответственно направленную индуктивную систему) ком-
комплексов (Cf);ei. Пусть С - прямая сумма (соответственно индуктивный предел)
семейства (С/), и пусть щ: С/ ->• С —канонические гомоморфизмы. Тогда гомоморфиз-
гомоморфизмы H(<*f): H(Q) —>-Н(С) определяют градуированный гомоморфизм степени 0, называе-
называемый каноническим, прямой суммы ® Н(С;) (соответственно индуктивного предела
lim H(Q)) в Н(С). Кроме того, канонические проекции П С/ -*С; определяют
градуированный гомоморфизм степени 0, называемый каноническим, модуля гомоло-
гомологии Н(П С,) в П (Н(С,)>.
i<= I *е I
Предложение I. Для всякого семейства комплексов (C;)iei канонические
гомоморфизмы
® Н(С,)->Н( в С,), Н( П Q)-> П Н(С,) B)
биективны.
Для всякой направленной индуктивной системы (Q) ie. \ канонический гомомор-
гомоморфизм
Um H(Cf)->-H( Ит С,) C)
биективен.
Это немедленно следует из И, р. 14, cor. la la prop. 7, p. 11, cor. a la prop. 5 и p. 91,
prop. 3.
3. Связывающий гомоморфизм
и гомологическая точная последовательность
В этом пункте рассматривается точная последовательность комплексов
О-С'-^С-^С" + О;
дифференциалы в комплексах С, С и С" обозначаются одной и той же буквой d.
Пусть Г - множество теххG С, для которыхdxG Im(и) ; приxGV имеем:
d(u 'Hdx)) = Wl (dd(x)) = 0,
следовательно, и'1 (dx) G Z (С') ; имеем также: dv (x) = vd(x) G Im (v ° и) = О, следо-
следовательно, v(x) GZ(C"); рассмотрим теперь линейное отображение <р: Г-*Н(С") X
ХН(С'), которое отображает всякий элемент *е Г в класс элемента (v(x),u~x (dx)).
Лемма 1. Образ у (Г) множества Г в Н(С") X Н(С') представляет собой график
некоторого градуированного А-гомоморфизма степени —1 модуля гомологии Н(С") в
Н(С').
а) Если xG Г и если v (x) G В(С"), то и'1 (dx) GB(C'): действительно, существует
элемент z"GC", для которого v(x) =dz", далее, существует z G С, для которого
z" = v(z), следовательно, v(x)=v(dz), наконец, существует г'еС', для которого
x-dz =u(t' ), а зто дает, что dx = u(dt'), следовательно, u (dx) =dt'€ B(C').
б) Всякий элемент из Z(C") является образом при отображении v некоторого
элемента х из С, для которого v (dx) = 0, т.е. dx G Im и, т.е. х G Г.
в) Из а) и б) следует, что ^(Г) представляет собой график функции; поскольку
отображение у биоднородное бистепени @, -1), доказательство леммы закончено.
Определяемый таким образом градуированный гомоморфизм степени —1 модуля
Н (С " ) в Н (С') называется связывающим гомоморфизмом относительно точной пос-
последовательности (м,и); его обозначают через д (и,и), или 3UiU, или просто Э. Его
однородные компоненты обозначаются через
Э„(и,и): Н„(С")->НП_,(С') и Э>,1О:'Н"(С")-Н"+1(С).
По определению, для построения образа класса aGHn(C") при Э надо выбрать
цикл z" GZn(C") из класса а, затем элемент х из С, для которого и (х) =z"; тогда
dx имеет вид u(t' ) ,t' €-С'п-1,ид (а) есть класс гомологии цикла t'
§ 2. Комплексы А-модулей 35
В терминах соответствий Э„(и,и) получается, таким образом, исходя из соответ-
соответствия и~п-\ о dnov'n между С'^ и C^_j посредством перехода, к подмножествам
Ъп (С ") и Zn_ 1 (С'), а затем и их фактормножествам Н„ (С " ) и Н„_ j (С' ). Это пока-
показывает, в частности, что если заменить С, С' , С", и, v на С(р), С (р), С"(р), и(р),
v(p),to
Э(и(р), и(Р))=(-1)"Э(и,и); D)
кроме того, если X и ju - два обратимых элемента из центра кольца А, то
Щи, yv) = X'V'SCm, и). E)
Можно также установить связь гомоморфизма Э (м, и) со змеевидной диаграммой
(с. 9). Согласно предложению 2, с. 9, последовательности
где п~п и п~„ получаются из и и и, точные. Используя канонические точные последова-
последовательности (VM), получаем коммутативную диаграмму с точными строками и столбцами:
¦ \ \ \
0 0 0
Гомоморфизм Н„(С") ->-Ни_! (С), ассоциированный с этой диаграммой (с. 9, пред-
предложение 2 (ш) ), совпадает по построению с Ьп(и, и) . Это влечет, кроме того, что после-
последовательность гомоморфизмов (Н„(м), Нл(и), Э„(и,и), Hn_i(w), Hn_!(i))) точная;
следовательно, имеет место
Теорема 1. Неограниченная в обе стороны последовательность гомоморфизмов
А-модулей
Н.(ц)
H
п+ ,
(nO Н(и) H(f) а("") и
гочиоя.
Эта последовательность называется гомологической точной последовательностью,
ассоциированной с точной последовательностью (и,и); ее записывают иногда в виде
точного треугольника А-модулей
Н(С)
Н(и)/ \ММ
36 § 2. Комплексы А-модулей
Следствие 1. Если два из трех комплексов С,С' ,С" имеют нулевую гомоло-
гомологию, то третий таков же. Для того чтобы морфизм и (соответственно v) был гомоло-
гизмом, необходимо и достаточно, чтобы комплекс С" {соответственно С') имел
нулевую гомологию. Для того чтобы гомоморфизм Ъ (и, v) .был биективным, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы комплекс С имел нулевую гомологию.
Следствие 2. Пусть и — морфизм комплексов. Если комплексы Кег и и Сокеги
имеют нулевую гомологию, ти- гомологизм..
Действительно, пусть и: Е-*Е' — морфизм комплексов. Если Кегы (соответствен-
(соответственно Сокеги) имеет нулевую гомологию, то канонический морфизм Е-*1ты (соответ-
(соответственно Im и->-Е') является гомологизмом согласно следствию 1.
Предложение 2. Рассмотрим коммутативную диаграмму комплексов с точ-
точными строками
О —- С -V С -2*. С" —- О
г\ 'I г\
о —- с; -^ с, -^v q _- о
Тогда U(f') о д(и, у) = Э(И1, и,) о Н(/").
Пусть a"s Н(С"); пусть г" — цикл из класса а" и х - элемент из С, для которого
v(x) = z"; имеем:
=f'(u-1(dx))=H(f')(u-1(dxy)=(H(f')oduiV)(a").
Пример. Пусть С — комплекс. Рассмотрим каноническую точную последователь-
последовательность
(I) O^Z(C)-^ C-S-* В(С)(-1)^0,
и пусть i: В (С) -»-Z(C) - каноническое вложение. Тогда связывающий гомоморфизм
Э (/,«): Н(В(С)) (-1)-*H(Z(C))(-1) отождествляется с гомоморфизмом Н(/) (-1),
как немедленно проверяется. Так как НE) =0, то гомологическая точная последо-
последовательность, ассоциированная с (I), распадается на короткие точные последовательности
(II,,) 0-MQ -^ 2„(С)-^1 Ня(С)-0.
Приложения:
1. Сингулярная гомология.
Пусть А - кольцо. Для всякого топологического пространства X следующим образом определя-
определяется сингулярный комплекс С(Х, А) этого пространства с коэффициентами в А:
В R обозначим через (е„) канонический базис; каноническим л-мерным симплексом назы-
называется выпуклая оболочка Д„ множества {е0 е„). Юля i е {0 л) определим аффинное
отображение »,: Ди-1 "* лл. полагая ^.(е^) = ек при к < i н it{ek) =ek+t при Ic > i. Обозначим
через СП(Х, А) А-модуль А*^1* , где ?П(Х) - множество непрерывных отображений ,Д„ в X;
при л < 0 положим С„ = 0. Для i е {0, ..., л} определим линейное отображение ЭЛ);: СЛ(Х, А) -»
-> Cn_i(X, А), полагая Эл>,(е4) = eso . для s e ?„(Х), и nonojijj»*-<<s(^s(-l)'9n>/. Проверяет-
Проверяется, что
... - С„(Х, А) -?-+ С„_!(Х, А) - . . .
— комплекс. Его гомология называется сингулярной гомологией пространства X с коэффициента-
коэффициентами в А н обозначается через Н (X, А) или просто Н (X).
Если Y - подпространство в X, то через С(X, Y, А) обозначим факторкомплекс С(X, A)/C(Y, A)
и через Н(Х, Y, А) - его гомологию. Из теоремы 1 следует, что имеет место точная последова-
последовательность
. . . -> Hn(Y, А) - НИ(Х, А) -> Н„(Х, Y, А) - Hn_t(Y, A) -+ Hn_j(X, A) -* ...
2. Конечные клеточные комплексы.
Пусть X - отделимое топологическое пространство. Конечное клеточное разбиение пространст-
пространства X задается возрастающей последовательностью (Х„) n? z замкнутых подпространств в X, удов-
удовлетворяющей следующим условиям:
(i) Х„ ¦ ф при л < 0;
(ii) существует N, для которого Хм = X (следовательно, Х„ = X прн всех п > N);
§ 2. Комплексы А-модулей 37
(ш) для всякого и пространство Х„ - Хп_1 имеет только конечное число связных компонент,
назьшаемых клетками размерности л;
(iv) для всякого л и всякой связной компоненты С пространства Х„ - Х„_| существует гомео-
о
морфизм открытого евклидова шара Вп размерности и (TG, VI, р. 10) на С, который продолжается
до непрерывного отображения замкнутого шара в X.
Можно показать, что из этих условий следует, что Н„(Х„, Xn_i, А) представляет собой свобод-
свободный А-модуль Гп ранга, равного числу клеток размерности и, н что Н/(Х„, Хп_|, А) =0 при / Ф п.
Имеем: С(Х„, Xn_i, А) = С(Х„, Х„_2, A)/C(Xn_i, Х„_2, А), откуда получается точная последо-
последовательность
Н„(Х„, Х„_2)-» Н„(Х„, Х„_!) ^ Hn_i(Xn_i, Х„_2)-> Н„_!(Х„, Х„_2),
включающая связывающий гомоморфизм dn: Г„ -* rn_t. Имеем: dn ° dn+l = 0; это позволяет опре-
опрели
делить комплекс Г: . .. -* Г„ > Г„_1 -* ...
Точная последовательность
1)-» Н„(Хр)-Н„(Хр,Хр_1)-Н„_1(Хр_,)
показывает индукцией по р, что Н„(Хр) " 0 при р < л, что НЛ(Х„) =Кег (dn: Yn-* rn_i) и что
Нц(Хр) = Н„(Г) при р > п. В частности, Н„(Х) отождествляется с Н„(Г).
Пример. Рассмотрим произведение сфер S, X S, и комплексное проективное пространст-
пространство Р, (С).
Пусть Ъ е Sj, определим клеточное разбиение (У„) пространства Y = S, X S2, полагая
Yo =Y, ={F,Ь)}, Y, =Y3=({6}XS2) и (S, X{&}), Y4=S2XSa;
это разбиение включает одну клетку размерности 0, две — размерности 2 и одну — размерности 4.
Дифференциалы ассоциированного комплекса по необходимости нулевые, следовательно, модули
H,(Y), H,(Y) и H4(Y) свободные ранга 1, 2 и 1 соответственно и Hn(Y) = 0 при л ?{0, 2, 4}.
Клеточное разбиение (Zn) пространства Р2 (С) получим, полагая
Z0=Zt={c}, Z, =Z,-P,(C), Z4=P,(C),
где пространство fx (Q вложено в P,(Q (TG, VIII, p. 20), а с - некоторая точка нз Р, (Q; это
разбиение включает по одной клетке размерности 0, 2 и 4. Здесь снова дифференциалы комплекса
по необходимости нулевые, откуда следует, что модуль Нл(Ра(С)) изоморфен А при л е {0, 2, 4}
и 0 в противном случае.
Так как модули гомологии степени 2 двух рассмотренных пространств свободные ранга 2 и 1
соответственно, эти пространства не гомеоморфны. *
4. Гомотопии
Определение 4. Пусть (C,d) и (C',d') —два комплекса,/ и g —два морфиз-
ма С в С'. Гомототшей, связывающей/ eg, называется всякий градуированный А-гомо-
морфизм степени 1 из С в С', для которого g — /= d' о s + s ° d.
Говорят, что морфизмы fug гомотопны, если существует гомотопия, связываю-
связывающая / с g.
Если И — третий морфизм С в С' и если s (соответственно t) — гомотопия, связываю-
связывающая / с g (соответственно g с А), то s +1 — гомотопия, связывающая/ с А; следователь-
следовательно, отношение "/ и g — два гомотопных морфизма С в С'" есть отношение эквивалент-
эквивалентности, классы которого называются гомотопическими классами морфизмов С в С'.
* Если даны два топологических пространства X и Y и непрерывное отображение /: X -¦ Y, то
определяется линейное отображение /» сингулярного комплекса (см. п. 3) С(Х, А) в C(Y, A),
при котором f*(es)~ efo s тя *е?л(Х)- Это отображение представляет собой морфизм комп-
комплексов.
Два непрерывных отображения / и g пространства X в Y называются топологически гомотопны-
гомотопными , если существует непрерывное отображение h пространства [0,1] X X в Y, для которого Л@, х) =
= f{x) и йA, х) = g (ж) при всяком i€X, Показывается, что если f н g топологически гомотопны
то морфизмы/. и gt гомотопны в смысле данного выше определения 4. Именно этот факт объяс-
объясняет происхождение терминологии, используемой в алгебре. «
Предложение 3. Если fug - два гомотопных морфизма С в С', то Wf) = H(g).
Пусть s — гомотопия, связывающая / с g. Имеем
(g-f) (Z(C)) = (d'o!l + sod) (Z(C)) = {d' о S) (z(Q) с в(с'),
следовательно, H(g - /)= 0 и H(g) = Н(/).
38 § 2. Комплексы А-модулей
Следствие. Морфизм, гомотопный гомологизму, является гомологизмом.
Предложение 4. Пусть С, С', D, D' - четыре комплекса, /: C-+C',g: C-*C',
и: D -* С, и: С' -»¦ D' - четыре морфизма. Если s - гомотопия, связывающая / сg,n>
vо s о и - гомотопия, связывающая v° f ° и и vo g о и. Если fug гомотопны, то
v°f°u и v°g°u также гомотопны.
Это очевидно.
Следствие. Пусть С, С1, С" - три комплекса, fug - два морфизма С в C',/i и
gi — два морфизма С' в С". Если s и si - гомотопии, связывающие f с g uf\ cg\ соот-
вественно, то st ° f + gt о s представляет собой гомотопию, связывающую f\°fc
gi°g. Если f и f\ гомотопны g и gt соответственно, то морфизм f\°f гомото-
гомотопен gi о g.
Действительно, Sj °.f связывает /i ° / с #i ° /, a gi о s связывает gx ° f с g\ ° g.
Определение 5. Морфизм комплексов /: С -* С' называется гомотопизмом,
если существует морфизм /': С' -* С, для которого f'°fuf°f' гомотопны 1 с и 1с'
соответственно.
Ясно, что /' тогда тоже гомотопизм; говорят также, что/' - обратный к f морфизм
с точностью до гомотопии. Если /' и // — любые два обратных к / с точностью до гомо-
гомотопии, то/ и/j гомотопны (действительно, согласно предыдущему следствию, мор-
морфизм // =/i'° lc' гомотопен//о/о/' и, следовательно, гомотопен 1С0/' ~ f')-
Предложение 5. Всякий гомотопизм является гомологизмом; композиция
гомотопизмов - гомотопизм. Морфизм, гомотопный гомотопизму, - гомотопизм.
Пусть/: С->С'и/,: С' -+С" - гомотопизмы комплексов,/': С'->-Си/,': С"->-С'-
морфизмы, обратные им с точностью до гомотопии. Имеем:
НС/1') ° Н(Л = НС/' ° /) = НA с) = 1 н(с)
(предложение 3) и точно так же Н(/) о Н(/') = 1H/Cv следовательно, отображение
НСО биективно и / — гомологизм. С другой стороны, морфизм (/' о /,') о (/, о /)
гомотопен /'о ic, о / (предложение 4), следовательно, гомотопен 1С; точно так же,
морфизм (fi°f)° (f'°fi) гомотопен 1С» и fx о / — гомотопизм. Наконец, если
g: С ->• С' — морфизм, гомотопный /, то морфизм f'°g гомотопен/'"° /, следователь-
следовательно, гомотопен 1С; точно так же морфизм # о /' гомотопен/о /', следовательно, гомо-
гомотопен 1С., и g — гомотопизм.
Следствие. Пусть С, С1, D, D' - четыре комплекса, /г С -*С' - морфизм, и: D-^C
и и: С' -*¦ D' - гомотопизмы. Для того чтобыморфизм v°f°u был гомотопизмом (соот-
(соответственно гомологизмом), необходимо и достаточно, чтобы / обладал соответствую-
соответствующим свойством.
Если / - гомотопизм (соответственно гомологизм), то и° /° и — композиция го-
гомотопизмов (соответственно гомологизмов), следовательно, обладает тем же свойст-
свойством. Обратно, пусть пи и — морфизмы, обратные и и и с точностью до гомотопии; тогда
морфизм по (и о /ом) о п гомотопен / согласно предложению 4; отсюда следует
требуемое заключение, согласно предложению 5 и следствию из предложения 3.
Говорят, что комплекс С гомотопен нулю, если морфизм 1с гомотопен нулевому
отображению, т.е. если существует градуированный эндоморфизм s степени 1 моду-
модуля С, для которого lc-s°d+d°s. Это равносильно также тому, что однозначно
определенный морфизм 0-»С (соответственно С-»-0) является гомотопизмом.
Комплекс, гомотопный нулю, имеет нулевую гомологию.
Пример. Пусть и: M-*N и и: N-*P — гомоморфизмы А-модулей, для которых
и о и = 0; пусть С — комплекс, в котором С2 = М, Ct = N, Со = Р, С; = 0 при i Ф 0,1,2,
d2~u, di=v, di = 0 при \Ф\,2. Тогда комплекс С имеет нулевую гомологию, если
и только если последовательность 0 ->¦ М —>-N —>• P-+-JD точная. Он гомотопен нулю, ес-
если и только если эта последовательность расщепляема. Действительно, тот факт, что
комплекс С гомотопен нулю, означает, что существуют А-гомоморфизмы s: P-^N, и
t: N -> М, для которых и о. s = 1Р, s° v + u° 1 = 1^, Гои = 1м; это влечет, что последо-
§ 2. Комплексы А-модулей 39
вательность расщепляется; обратно, если s — А-линейное сечение гомоморфизма и,
то определим t из условия и° t = \^- s°v, что возможно, так как v ° (In — s°v) =
-V — U° S ° l> =0.
5. Расщепляемые комплексы
Предложение 6. Пусть (С, d) - комплекс. Следующие условия эквивалентны:
(i) существуетгомотопизм (C,d) на (Н(С),О);
(ii) существует градуированный степени 1 А-зндоморфизм s модуля С, для кото-
которого d = d о s о d\
(iii) В(С) и Z(C) - прямые множители модуля С;
(iv) (С, d) - прямая сумма подкомплексов, которые либо имеют длину 0, либо дли-
длину 1 и нулевую гомологию.
(i) =* (ii). Пусть у; С -*Н(С) — гомотопизм, тогда существуют морфизм комплек-
комплексов ф : Н(С) -*¦ С и градуированный степени 1 эндоморфизм s модуля С, для которых
ф °Ф = 1С - s °d - d о s. Имеем: d°ф = фoQ = 0, следовательно,
O = doфo^p = d-d°sod-d°d°s=d-d°s°d,
откуда следует (ii).
(ii) =*(iii). Пусть s — эндоморфизм, фигурирующий в условии (ii). Тогда
d°(lc— s о d) = 0, следовательно, 1 с - s ° d — проектор С на Z (С) и (d о s) ° d = d,
следовательно, d ° s — проектор С на В (С).
(iii) =* (iv). Для каждого п G Z положим Ъп = Zn(C), В„ = В„(С) и выберем подмоду-
подмодули К„ и В^ в С„, для которых С„ = В^®г„, ZM=Kn®Bn. Тогда
- подкомплексы в (С, d); имеем: (С, d)= ®7(Е(„) ®F(n)), каждый комплекс
Е(„) либо нулевой, либо длины 0, каждый комплекс F („) либо нулевой, либо длины 1
с нулевой гомологией, откуда следует (iv).
(iv) =* (i). Достаточно заметить, что условие (i) удовлетворяется, когда комплекс С
длины нуль или с нулевой гомологией и длины 1.
Определение 6. Комплекс С называется расщепляемым, если он удовлетворяет
эквивалентным условиям предложения 6.
Эндоморфизм s для С, удовлетворяющий условию (ii) предложения 6, называет-
называется-расцеплением С.
Примеры 1. Комплекс с нулевым дифференциалом расщепляется.
2. Комплексы, гомотопные нулю, представляют собой расщепляемые комплексы
с нулевой гомологией, т.е. комплексы С, для которых Н(С) =0 и Z(C) - прямой
множитель в С.
3. Пусть /: М -*¦ N - гомоморфизм А-модулей н С — комплекс, для которого Ci = М,
Со = N, С,- = 0 при i = 0,1, di = f, dt = 0 при гФ\. Тогда С расщепляем, если и только
если Кег /— прямой множитель в М и Im/ — прямой множитель, в N.
4. Комплекс С расщепляем, когда модули В (С) и Н(С) проективны (соответственно
когда В„(С) и Н„(С) инъективны для каждого и). Действительно, согласно точным
последовательностям A„) -. (IV,,) нз п. 1, тогда Z(C) - прямой множитель в С и В (С) -
прямой множитель в Z(C) (соответственно В (С) — прямой множитель в С и Z(C)/B (С) —
прямой множитель в С/В (С)).
5. В частности, если А —кольцо главных идеалов, свободный комплекс С расщепля-
расщепляем, если н только если комплекс Н(С) свободный (т.е. Н„(С) — свободный модуль
для всякого n?Z).
Замечание.» Предположим, что каноническая точная последовательность гра-
градуированных А-модулей
(II) 0^B(C)^Z(C)-^H(C)^0
расщепляема (это имеет место, например, если модуль Н(С) проективен или модуль
В„(С) инъективен для каждого и) ; пусть a: H(C)->Z(C) — градуированное А-линейное
40 § 2. Комплексы А-модулей
сечение отображения тг и пусть ф — гомоморфизм х*+о(х) модуля Н(С) в С. Тогда
ф - гомологизм комплекса (Н(С), 0) в С, для которого ЩФ) = 1н(с)-
б) Предположим, что каноническая точная последовательность градуированных
А-модулей
(iv) о
расщепляема (это имеет место, например, если модуль В (С) проективен или модуль
Н„(С) инъективен для каждого и); пусть т: С/В (С) ->Н(С) — градуированная А-ли-
нейная ретракция для вложения i уцр — гомоморфизм модуля С в Н(С), сопоставляю-
сопоставляющий каждому элементу из С образ при т его класса по модулю В (С). Тогда у — гомо-
гомологизм комплекса С в (Н (С), 0), для которого H(i^)= 1н(с)-
6. Конус и цилиндр морфизма комплексов
Пусть и: (C',d')-*(C,d) - морфизм комплексов. Пусть Су1(и) и Соп(и) — градуи-
градуированные А-модули Су1(ы) = С ® С'(-1) ® С, Соп(ы) = С'(-1)® С; определим градуиро-
градуированные А-линейные отображения степени —1:
D: Су1(и) - Су1(ы), Ъ(х',у\ х) = (d'x' + у', -d'y', dx - «(/)),
D: Con (и)-> Con (и), D (у', x) = (-d'y', dx -u(y')).
(Здесь и в дальнейшем через х, у, ... обозначаются произвольные элементы из С, через
х , у ,...— произвольные элементы из С'.)
Лемма 2. (Су1(и), D) и (Con(и), D) — комплексы А-модулей.
Действительно, имеем:
D о D(x',y', х) = D(d'x' +/, -d'y', dx - и(у')) =
= (d'(d'x'+y')-d'y', -d\-d'y'),d{dx-u{y'))- u(-d'y')) = 0,
так как d' ° d' = 0, d od = 0 и d о u = uod'. Точно так же D о D = 0.
Определение 7. Комплексы Су1(и) и Соп(и) называются соответственно ци-
цилиндром и конусом морфизма и.
Пример. Пусть и: M->N — гомоморфизм А«модулей; тогда единственными
ненулевыми компонентами комплексов Су1(ы) и Соп(ы) будут
Су1!(ы) = М, Cylo(u) =MeN,
Coni(«) = M, Con0(«) = N,
при этом D(m) = (m, -u(m)), D(m) = -u(m) для mSM; следовательно,
H, (Соп(ы)) = Кег(ы), Н0(Соп(ы)) = Сокег(ы).
* Пусть X и Y - два топологических пространства и f - непрерывное отображение X в Y.
Цилиндром f называется факторпространство СуЦ/) топологической суммы пространств [0,1 ] X
X X и Y по отношению эквивалентности, отождествляющему точку A,х) пространства
[0, 1 ] XX с точкой f{x) пространства Y для всякой точки х е X. Конусом f называется фак-
факторпространство Соп(/) топологической суммы пространства, состоящего из одной точки s, и
пространства Cyl(f) по отношению эквивалентности, отождествляющему s с образом в Су1(/)
точки @,х) для всякой точки хеХ; образ точки s в Соп(/) будем по-прежнему обозначать
через s. ¦
Предположим, что X и Y наделены клеточными разбиениями (Х„) и (Yn) (см. п. 3), и пред-
предположим, что /(Х„) С Yn для всякого и. Мы получим клеточное разбиение (Sn) пространства
Су1(О (соответственно Соп(/)),взяв в качестве Sn образ подпространства ({0} X Х„) и([0,1] X
X Xn_t)u Yn (соответственно {s }u (@.1] X Х„_!) и У„),еслии > 0. Обозначим через Г(X), Г(Y),
Г (Су!(/)), Г(Соп(/)) комплексы, ассоциированные с этими клеточными разбиениями. Комплекс
Г($), ассоциированный с пространством {s}, наделенным своим единственным клеточным разбие-
разбиением, сводится к модулю А и отождествляется с подкомплексом в Г(Соп(/")); обозначим че-
через Г (Con(Л, s) факторкомплекс. Отображение / определяет морфизм комплексов Г(/): Г(Х) -¦
->• Г (Y), и можно показать, что комплексы Г (Су1(Л) иГ(Соп(/),5) отождествляются соответствен-
соответственное СуЦГ(П) нСоп(Г(Л).
Впрочем, и без дополнительных предположений относительно X н Y с отображением f ассо-
ассоциируется морфизм комплексов ft: C(X, A)-»C(Y, А). Можно построить инъективные гомото-
пизмы комплекса Су1(/"„) в С(Су1(/). А) и комплекса Con(/,) в C(Con(f), {s}. A).
§ 2. Комплексы А-модулей 41
Пусть/: Х-*Су1(/) - отображение, сопоставляющее точке х образ точки @, х),а: Y->Cyl(/)-
каноническое отображение и /3: Cyl(/)-+Y- отображение, сопоставляющее точку у ее образу в
Су1(/) для у В Y и точку /(л) образу (f, *) в Су1(/) для f е[0,1]и л?Х. Отображение / опреде-
определяет гомеоморфизм пространства X на замкнутое подпространство в Cyl(/), (Joa-Hy и ото-
отображение а о р топологачески гомотопно тождественному отображению пространства Су1(/). Эти
свойства можно сопоставить с предложением 7 ниже. •
Рассмотрим теперь градуированные А-линейные отображения степени 0:
и: С'->Су1(«), й(х') = (х', 0,0),
a: C^Cyl(«), а(*)«@,0,*),
|5: Су1(«)^С, |5(*'./,*)-«(*')+*,
я: С->Соп(и), я(д:) = (О,лг),
я: Су1(и)-*Соп(и), *(*',/,*) = (/,*),
5: Соп(«)->С'(-1), 80'',*)=^'.
Предложение 7. а) Отображения и, а, 0, я, я, 5 - морфизмы комплексов; шие-
ем: « = 0о«, я = яоа, 0оа = 1с.
б) Последовательности морфизмов комплексов
0 -> С' -^ Cyl(«) JL-» Соп(и) -> 0, F)
0-*С^Соп(и)-^*С'(-1)->0 G)
точные.
в) Морфизмы а: С -* Су1(«) и /3: Су1(«) -> С представляют собой гомотопизмы,
взаимно обратные с точностью до гомотопии.
Утверждение а) эквивалентно формулам:
«o<i' = Do2, a°<i = Doa, /3°D=<io/3, я<>^ = Ооя, 7f°D = Do7f,
fioD = — d'oS, и=$°й, я = я о a, 0oa=lc,
которые проверяются непосредственными вычислениями. Утверждение б) тривиально.
Докажем в); имеем, с одной стороны, /3 о a = 1С, с другой стороны, если а: Су1(м) ->•
-*• Су1(и) — градуированное степени 1 А-линейное отображение, при котором
а(х', у', х) = @, *'', 0), то немедленно проверяется, что
откуда следует в).
Предложение 7 можно резюмировать посредством следующей коммутативной
диаграммы, в которой строки точные, а вертикальные стрелки - гомотопизмы:
О
о -— с
-*¦ с
1
(«0
—*¦ Con (и)
1'
-^ Con (и)
с -^ с
Следствие. Для всякого морфизма комплексов и:С'-+С существуют инъек-
ективный морфизм комплексов и: C'-*Cj и гомотопизм /3: Ci -*C, для которых
и = /3 о й.
Лемма 3. а) Связывающий гомоморфизм:
Эя+1(я,8): Н„(С')^Н„(С)
относительно точной последовательности G) равен -Н„(м).
б) Связывающий гомоморфизм
относительно точной последовательности F) равен Н„(8).
42 § 2. Комплексы А-модулей
Пусть x'eZn(C); так как х' = 6(*',0) и
-D(x', 0) = (d'x\ и(х')) = @, и(х')) = п(и(х')),
то, по определению,-д (я, 5) отображает класс х' в Н„(С') на класс -м(х') "в Н„(С,
откуда следует а).
Пусть элемент (у1, х) € Соп„(м) таков, что D(/, х) = 0; тогда (-d'y\ dx - и(у')) = 0.
Так как (у',х) = %@,у', х) и
5@,/, х) = (/, -rf'/. dx - и(у')) = (/, 0,0) = мF(/, *)),
то, по определению, д(и, п) отображает класс (у1, х) в Н„(Соп(м)) на класс 5 (у', х) в
Hn- i(c'). откуда следует б).
Предложение 8. Имеет мест неограниченная точная последовательность
Действительно, если принять во внимание лемму 3, а), то это следует из теоремы 1
(с. 35), примененной к точной последовательности G).
Следствие. Для того чтобы морфизм и был гомологизмом, необходимо и
достаточно, чтобы комплекс Соп(м) имел нулевую гомологию.
Замечание. Рассмотрим диаграмму
... — Н„(С) -Щ?Ц. Н„(Су1 (и)) -bffi- н„(Соп (и)) '-=^t нп_,(С) — ...
в которой первая (соответственно вторая) строка представляет собой гомологическую
точную последовательность, ассоциированную с точной последовательностью F) (со-
(соответственно G)). Отображения Н„(/3) биективны (предположение 7, в)), и диаграмма
коммутативна, так как:
а) и = 0 о и (предложение 7, а)), следовательно, Н„(м) = Н„@) о Н„(й),
б) Н@) = Н„(ск)~' и 7т = 7тоск (предложение 7, а) и в)), следовательно, Н„(я) =
= Н„(тг)оН„03),
в) Н„ E) = д„ (м, я) (лемма 3,6)).
7. Конус инъективного морфизма;
новое определение связывающего гомоморфизма
Рассмотрим теперь точную последовательность комплексов
0^С'-^С-^С"^0. (9)
Определим градуированное А-линейное отображение степени О
V>: Соп(м)->-С",
полагая у>(у', х) = v(x). Имеем тогда коммутативную диаграмму А-модулей с точными
стоками
0 —*- С -^ Cyl (м) -*»- Con (и)—*- 0
00)
О —^ С -^ С -^ С" —- 0 .
Предложение 9. Отображения |3 и ^ - гомологизмы комплексов.
Для j3 это следует из предложения 7, в). Имеем:
/, х) = rt-d'y', dx-u(y'))
следовательно, <р — морфизм комплексов. С другой стороны, отображение у сюръек-
тивно и его ядро отождествляется с комплексом (К, dK), где К = C'(-l) ® С,
§ 2. Комплексы А-модулей. 43
если dK(j>', дг') = 0,то¦ y' = d'x', следовательно, (y\x') = dK(-x', 0); отсюда следует,
что Н(К) = 0 и <р — гомологизм согласно следствию 1 на с. 36.
Замечание. Гомологизм /3 представляет собой гомотопизм, но у, вообще говоря,
не является гомотопизмом (см. с. 48, упражнение 8).
Следствие. Диаграмма градуированныхА-модулей
ЩСвП («)) ^да
Н(С) н«р)| Н(С')(- 1)
HdrN< * >^(«. г)
Н(С")
коммутативна, и отображение Щу) биективно.
В коммутативной диаграмме A0) имеем: НAс') ° Э(и, тг) = Э(м, и) ° H(v?) (с. 36,
предложение 2) и Э(м, п) - НE) (с. 41, лемма 3,6)), следовательно,
с другой стороны, Н(и) о Н@) = Н(<?) ° Н(тт)= Н(<?) ° Н(тг) о Н@), согласно замеча-
замечанию на с. 42. Так как Н@) биективно, то это дает, что Н(и) = Н(<?) о Щя).
Имеем, следовательно, что Э(м, и) = НF) о H(ip)~l, и это дает новое определение
связывающего гомоморфизма Э(и, и). Отметим, с другой стороны, что если отождест-
отождествить Н(Соп (и)) с Н(С") посредством Н(<^>), то предыдущее следствие означает, что точ-
точная последовательность (8) отождествляется с гомологической точной последователь-
последовательностью относительно (9).
8. Характеристики Эйлера-Пуанкаре
В этом пункте мы рассматриваем множество % классов А-модулей, которое адди-
аддитивно и точное слева, т.е. удовлетворяет следующим двум условиям:
(А) Если М м N - два модуля типа %, то М ® N - модуль типа *€,.
(G) Если 0->М' ->М->М"^-0- точная последовательность А-модулей и если М и
U"типа %, то М'Типа^.
Говорят, что множество % устойчивое, если оно удовлетворяет следующим усло-
условиям, которые влекут за собой (А) и (G):
(Е) (" % устойчиво относительно расширений".) Если O^-М'-^М^-М''-^О точная
последовательность А-модулей и если М'иМ" типа 4S, то М типа % .
(S) (" % устойчиво относительно ядер и коядер".) Для всякого гомоморфизма /
А-модулей типа % А-модулиКег/ и Coker/ имеют тип 40,.
Обозначим через K($) группу Гротендика множества сё и через [М]<^ или [М]
элемент вК(^), определяемый А-модулем М (VIII, § 6, п° 2). Пусть G - коммутатив-
коммутативная группа и ^ — гомоморфизм К( Щ в G.
Примеры. 1. Если А — поле, то можно взять в качестве Ч? множество классов
векторных пространств конечной размерности и в качестве у - изоморфизм К ((S) на Z,
при котором i^([M]) = dim(M). ч
2. Можно взять в качестве 4$ множество классов модулей конечной длины и в ка-
качестве у. К( Щ -> Z — гомоморфизм, при котором <р([М]) = longAM.
Говорят, что градуированный А-модуль М имеет тип %, если М„ - модуль типа #
для всякого п (для этого необходимо, если М ограниченный, и достаточно, если %
устойчиво, чтобы модуль М был типа % ).
Определение 8. Пусть М — ограниченный градуированный А-модуль типа %
и (М„) - его градуировка. Элемент Б(-1)"^( [Мп]) группы G называется ^-характе-
^-характеристикой модуля М и обозначается через v, (Щ или просто х(М) •
Это определение применяется, в частности, когда М - градуированный модуль, на
котором определен некоторый комплекс А-модулей.
Примеры. 3. Если М ограниченный типа % , то тем же свойством обладает М(р)
для всякого p&Z и х(м(Р)) = (-1)рх(М)-
4. Пусть О-^М'-^М-^М "-*•() — точная последовательность градуированных А-моду-
А-модулей и градуированных гомоморфизмов степени 0. Если М, М' и М" ограниченные
§ 2. Комплексы А-модулей
типа '€> , то
Если М и М" - ограниченные типа CS , то таков же М'; если '? устойчиво и если два из
трех модулей ограниченные типа 4S, то тем же свойством обладает и третий модуль.
5. Пусть и: С -*¦ С - морфизм ограниченных комплексов типа 'S. Тогда Con (и) —
ограниченный комплекс типа гё и
6. Можно взять в качестве G саму группу К(г?) ив качестве у - тождественное ото-
отображение; отметим, что в этом случае элемент х<ДМ) = 2 (-1)"[М„] из К Си1) обозна-
обозначается через х«> (М).
3 амечание. Многочленом Пуанкаре ограниченного градуированного модуля М
типа % относительно у называется элемент Рм@ = 2</>([М„]) t" & G ®Z [t, Г1 ]. Имеем:
РМA) = ^([М]) и РМ(-1) = Х(М).
Лемма 4. Пусть С - ограниченный комплекс типа 'g. Если Н(С) = 0, то х (С) = 0.
Это следует из VIII, § 6, п° 1, cor. de la prop. 1.
Предложение 10. Пусть С и С' - два ограниченных комплекса типа %. Если
существуетгомологизм и: С'->-С, то х(С) = х(С).
Действительно, Con (и) -ограниченный комплекс типа '? и х(Соп(ы)) = х(С) -х(С);
с другой . стороны, Н(Сой(и)) =0 согласно следствию на с. 42, следовательно,
Х(Соп (и)) = 0 (лемма 4).
Предложение 11. Пусть С - ограниченный комплекс типа %'.
а) Если '& устойчиво, то Н(С) - модуль типа 'ё.
б) Если Н(С) типа 'С ,то тем же свойством обладают В (С) и Z(C) и х(Н(С)) = х(С).
а) Если Чё устойчиво, то для всякого п модуль Zn(C) имеет тип г<? как ядро гомо-
гомоморфизма dn: С„ -> С„_i и Н„(С) типа гё как коядро гомоморфизма С„+1 -*¦ Zn. С дру-
другой стороны, Н„ (С) = 0, когда С„ = 0.
б) Предположим, что Н(С) типа $. Канонические точные последовательности
o + zn(C)->с„->в„_,(С)-о, о->в„(с)->г„(о-н„(С)-*о
показывают индукцией по п, начиная с правой границы С, что Zn(C) и В„(С) имеют
тип е$ для всякого п. Имеем тогда:
Х(С) = X(Z(C)) + Х(В(С) (-1)) = X(Z(C)) - х(В(С)) = х(Н(С)).
Следствие. Если '€> устойчиво и С - ограниченный комплекс типа %, то градуи-
градуированный модуль Н(С) ограниченный, имеет тип % и х(Н(С)) = х(С).
Предложение 12. Пусть 0 -> С' -> С -* С" ->0 - точная последовательность
комплексов.
а) Если Н(С), Н(С') и Н(С") ограниченные типа С6, то
Х(Н(С)) = х(Н(С')) + х(Н(С")).
б) Если 'ё устойчиво и если два из трех градуированных модулей Н(С), Н(С') и
Н(С") ограниченные типы %, то тем же свойством обладает, и третий.
Часть а) следует из леммы 4, примененной к комплексу с нулевой гомологией, опре-
определяемому гомологической точной последовательностью, соответствующей данной точ-
точной последовательности. Часть б) вытекает, если рассмотреть зту же гомологическую
точную последовательность, из следующей леммы:
Лемма 5. Пусть M^-N-^-P->-Q->R — точная последовательность А-модулей. Если
% устойчиво и если М, N, Q, R - модули типа Чо, то модуль Р также типа Ч§.
Положим N' = Coker(М -¦ N) и Q' = Ker(Q -> R). Модули N' и Q' типа % , и имеем
точную последовательность 0->-N'->P->Q'->-0.
Следствие. Предположим, что г€ устойчивое, и пусть и: С' -* С - морфизм комп-
комплексов, для которых Н(С) и Н(С') ограниченные типа ^S. Тогда Н(Соп(и)) ограничен-
ограниченный типа Й? и
Х(Н(Соп(и)) = х(Н(С)) -
§ 2. Комплексы А-модулей 45
Это следует из предложения 12, примененного к точной последовательности комплек-
комплексов (с. 41, предложение 7)
0-> С -> Соп(и)-> С'(-1) -> 0.
Замечание. Пусть Е — комплекс, А: Е -> С и А': Е -*¦ С' — гомотопизмы, где С и
С' ограниченные типа % . Тогда имеем: х(С) = х(С)- Действительно, если Ai - мор-
физм, обратный к А с точностью до гомотопии, то h' ° Иг ~ гомотопизм, следовательно,
гомологизм С в С', и можно применить предложение 10. Следовательно, можно распро-
распространить определение 8, положив х(Е) =х(С), когда существует гомотопизм Е на огра-
ограниченный комплекс С типа г&. Предложения 10, 11, 12 и их следствия обобщаются на
эту ситуацию.
Приложение:
* Пусть X - топологическое пространство, допускающее конечное клеточное разбиение (см. п. 3).
а) Пусть К н К' - два поля, положим bt = dimK (H/ (X, К)) и Ъ\ = dimK' {Щ (X, К')). Не обяза-
обязательно Ь^Ь\, но L(-l)'fti = L(-l)'&/'.
б) Пусть (Хп) и (Х'п) — два конечных клеточных разбиения пространства X, и обозначим через
сп и с'п число клеток размерности л в этих двух разбиениях. Имеем:
в) В обозначениях из а) и б) имеем: ?(-1)'е; = Z(-l)'fc,-.
Свойства а) н б) следуют из в), а в) следует из предложения 11, примененного к комплексу Г,
описанному в п. 3, если в качестве *ё взять класс векторных К-пространств конечной размерности
и в качестве <р функцию, при которой ^([М]) - dtmK (М) (с. 43, пример 1). ,
9. Комплексы правых модулей, комплексы мультимодулей
Комплекс правых А-модулей — это градуированный правый А-модуль (М„)ле г,
наделенный градуированным эндоморфизмом d степени —1 с нулевым квадратом;
таким образом, это комплекс модулей над кольцом А°, противоположным А. Все опре-
определения и свойства, сформулированные в предыдущих пунктах, следовательно, приме-
применимы к комплексам правых модулей, рассматриваемым как комплексы модулей над
кольцом А0.
Кроме того, если А и В — два кольца, то комплекс (А, В)-бимодулей — это градуиро-
градуированный (А, В) -бимодуль М, наделенный градуированным эндоморфизмом d степени —1
с нулевым квадратом; если М наделить его канонической структурой левого
A ®z В0-модуля, то d определяет на М структуру A®Z.B°-комплекса. Все определения
и свойства, сформулированные в предыдущих пунктах, применимы, следовательно, к
комплексам бимодулей. Аналогичным образом определяются комплексы мультимо-
мультимодулей.
10. Пример: комплекс де Рама
В этом пункте мы предполагаем, что А - коммутативная ^-алгебра над некоторым
коммутативным кольцом к. Через ?11А,к мы обозначаем А-модуль ^-дифференциалов
алгебры А (III, р. 134), через d°: А -+ ti\)к — ^-дифференцирование d^k и через
^ a /fc - градуированную fc-алгебру Ад (Р-\ м) •
Предложение 13. Существует единственное к-антидифференцирование
d- ^ A/fc "* ^A/fc степени 1 с нулевым квадратом, которое продолжает дифферен-
дифференцирование d°: А->-Пдд.
Докажем единственность антидифференцирования d. Так как d°d = O, то для
у, *,,..., хр € А имеем:
. d(ydxt Л ... Adxp) = dy Adxi Л... Adxp.
Так как А-модуль ?2?/А. порождается элементами dx\ Л ... Л dxp, это доказывает
единственность d.
. § 2. Комплексы А-модулей
Для доказательства существования достаточно построить ^-гомоморфизм d1: /
-*&\/k, удовлетворяющий условиям: d1 о d° = 0 и
d1(aui) = d°(a) Aco+ad1^) для д€А, со€ЛА/Аг. (И)
Действительно, тогда из III, р. 128, prop. 14 (с учетом III, p. 118,.remarque 2) следует,
что существует антидифференцирование d: S2a/& ~*^А/&> совпадающее с d° в степени О
и с dх в степени 1. Так как d° нулевое на к, то антидифференцирование d Лг-линейно;
так как d' о d° = 0, то d о d = 0, поскольку ?2А/& порождается как А-алгебра элемен-
элементами d°a для д G А.
Для определения d1 напомним (III, р. 133), что модуль ПА/& равен А-модулю З/З2,
где 3 — ядро умножения, т: A ®-fc A ->¦ А. Рассмотрим ^-линейное отображение м:
А®к А-^Па/л.при котороми(х®у) =d°(y) A d°(jt).Имеем:
) A
для х, у и д из А, откуда
A2)
Так как 3 порождается как правый А-модуль элементами (а ® 1 — 1 ® а) для д е А,
то отсюда выводим, что мC2) = 0, следовательно, и посредством ограничения на
3 и перехода к фактормодулю определяет Jfc-линейное отображение d : 3/3 2 -¦¦
а;*
Положив в A2) 5=й®1сйеА, получим, что^Ч*^0^)) =^°(*) Л d°(a); отсюда
следует, что d1 о d° =0 и dl(cu>) =d°(c)A u+cd^u) для с? А и co = bd°(a). Так
как ?2д/& порождается как Л-модуль элементами bd°(a) для д и Ъ из А, то формула
A1) выполняется для всякого ш€ &а/&> что завершает доказательство предложения.
Элементы coG П^,к иногда называют внешними дифференциальными формами
степени р на А над к, а антидифференцирование t tf - внешним дифференциалом
на J2A/fc; комплекс (Ла/к, d) называется комплексом де Рама алгебры А над Л, а его
гомология — когомологией де Рама алгебры А над к.
Пример 1. Возьмем в качестве А кольцо к [Xi,..., Х„]. Тогда ?2А/к ~" свободный
А-модуль с базисом dXi, ..., dXn (III, p. 134, exemple). Следовательно, если для вся-
всякого подмножества I ={/i, ..., ip) в [1, л] положить.dXi = dXii Л ... Л dXj (где
/i < ... < ip), то А-модуль ^A/fc имеет в качестве базиса элементы dXi, где I пробегает
множество^одмножеств в [1,и] мощности р. Имеем:
йР
d(PdX!)=dPAdX,= 2 (_i)»ao—. dXIu{/),
i^I ОХ,-
где яA, 0 обозначает число элементов в I, меньших i.
Следовательно, циклы нз Zp(S2A/t) - это такие элементы со = 2 P.dXr, что
' Card(i) = p
для всякого подмножества J в [1, я], содержащего (р + 1) элементов,
dPj
2 (_i)"C.0 L
ЭХ
ЭХ,
Элемент со .является, границей, если для всякого подмножества JC [1, я], содержа-
содержащего (р — 1) элементов, можно выбрать многочлен Qj e А так, что
Рх= 2 (-1)"('.'> 9Ql~{/} .
/ei ЭХ;
Мы увидим в § 9, что комплекс де Рама алгебры А над к ацикличен в степенях > 0,
если к — Q-алгебра (с. 166, замечание 4).
'Пример 2. Предположим, что к = С и А = С[Х, ХцЖР,. .'. ¦, Рг),где Р{ - такие мно-
многочлены от X,,.'.., Хп, что множество точек в Си, в которых все Р,- обращаются в нуль, представ-
представляет собой аналитическое подмногообразие V в С". Можно показать, что когомология де Рама
алгебры А над С изоморфна сингулярной когомологии Н (V, С). ,
§ 2. Комплексы А-модулей * 47
Пусть теперь М - А-модуль и V0 — Аг-линейное отображение М в M®A12A/fc, для
которого
V°(am) = av°(m)+m®da при абА, тем A3)
(иногда говорят, что 7° - связность на А-модуле М).
Предложение 14. (i) Существует единственное градуированное степени 1
k-линейное отображение V правого ПА/к-модуля М ®А ^ад в себя, которое продол-
продолжает 7° в степени 0 и удовлетворяет тождеству
+(-l)p:x:(dco) для х?М®АПрА/к, со?ПА/к. A4)
/
(ii) Композиция V ° V представляет собой ?1А/к-линейное отображение; в част-
частности, отображение R = V' о v° модуля М в М ®А нк/к А-линейно, и
V о V(m ® w) =R (m) ¦ со для m G М, со G J2A^.
Гомоморфизм Л иногда называют гомоморфизмом кривизны, соответствующим
связности V ; если он нулевой, то пара (М®А ^A/fc> V) представляет собой комплекс,
также называемый комплексом де Рама пары (М, V ) над к. _
Докажем (i). Единственность V очевидна. Определим Аг-гомоморфизм V модуля
М ®к &А/к вМ»А%, положив
V(m®fc со) = (V°m) со+т ®с?со для m6M, coGS2A/ffc.
Из A3) следует, что V(awz®co) =V(w®aco), так что мы получаем посредством
перехода к фактормодулю градуированный степени 1 А:-гомоморфизм V модуля
М®А S2A/fc в себя, продолжающий V в степени 0. Проверим A4): для ш€М,а6 ?2А,
со 6 &А/к имеем:
V ((т ® а) • со) =.V (m ® (а Л со))=
= V°(m) • (а Л со) + т ® с?(а Л со) =
=V°(m)a • со + (
= (V(m ®a)co +(-l
что доказывает A4) при x = m ® а; общий случай выводится по линейности.
Докажем (ii). Пусть хб М®А ?2A/fc, coG S2A/fc; повторным применением тождества
A4) получаем:
V о V(xco) =V (V(x) со + (-1)рV(xdco) =
= (V о v(x)) со + (-1)р +1 V(x)(dco) + (-1)рV(x)(dco) = (V о V(x)) со,
что доказывает первое утверждение из (ii); другие выводятся непосредственно.
Упражнения
1. Предположим, что А - кольцо главных идеалов; пусть С- комплекс свободных А-модулей.
а) Показать, что С - прямая сумма семейства комплексов (pE)pgZ' Удовлетворяющих ус-
условиям :РЕ„ = 0припёр, р- 1; Zp^E) =0.
б) Предположим дополнительно, что Сп конечного типа для всякого neZ. Показать, что С -
прямая сумма комплексов, имеющих только либо одну ненулевую компоненту, либо две последо-
последовательных ненулевых компоненты, причем эти компоненты изоморфны А.
2. Пусть С и С' - два комплекса А-модулей; предположим, что комплексы С и В (С) (соот-
(соответственно С' и Z(C')) проективны (соответственно инъективны). Показать, что всякий морфизм
комплексов из Н (С) в Н (С') индуцируется морфизмом из С в С'-
3. Пусть С - комплекс А-модулей; рассматриваем Скак А(е)-модуль (с. 33). Обозначим через
/: А->А(е)
каноническое вложение.
Показать, что следующие условия эквивалентны:
(i) Модуль С г-проективен (с. 27, упражнение 19).
(ii) Модуль С г-ииъективен (с. 27, упражнение 19).
(Ш) Комплекс С гомотопен нулю.
(iv) Существуют градуированный А-модуль М и изоморфизм градуированных А(е)-модулей
А(е) ®АМ->-С.
§ 2. Комплексы А-модулей
(v) Существуют градуированный А-модуль Nh изоморфизм градуированных А (е)-модулей
t- "¦ НоШд (А (е), N).
4. а) Пусть С - А-комплекс, ограниченный справа, причем комплексы Си Н(С) проективны.
Показать, что С расщепляем.
б) Над кольцом В = А (е) (с. 33) рассмотрим комплекс С. для которого Сл = В при всяком л
и d(b) =eb при всяком b В В. Комплекс С свободный с нулевой гомологией, ио не расщепляем.
5. Пусть С - комплекс, s - расщепление С, 6: С-*С - градуированный гомоморфизм степени
—1, для которого (d + 8) о (d + 6) =0. Обозначим через С' комплекс (С, d + б). Предположим,
что А-лииейное отображение 0 = 1с + 6гизСв С биективно.
а) Дня того чтобы отображение s8~' было расщеплением С', необходимо и достаточно, чтобы
6(Z(C))C6(B(C)).
б) Предположим» что условия из а) выполняются. Показать, что существуют разложения в пря-
прямую сумму С = В (С) • Kerfefi) = В(С') • Ker(ds). Если р (соответственно р') - проектор с образом
Ker (ds) и ядром В (С) (соответственно В(С')), то р' = рв~'.
в) Предположим дополнительно, что А-линейное отображение A. = lc + s6 биективно. Показать,
что Z(C ) = X1 (Z(C)) и С = Z(C) e bn(sd) = Z(C') в Im(sd). Если q (соответогвенио q') - проек-
проектор с образом Z( С) (соответственно Z(C')) и ядром Im(sd), то </' =\"'</.
6. Сохраняем обозначения из упражнения 5; предположим, кроме того, что кольцо А комму- ,
тативно, что комплексы С и С'/В(С') плоские и что существует идеал Ю кольца А, удовлетворяю-
удовлетворяющий условиям: 8(С) С Ю С и П (В (С) + ЮЛС) =В(С) (*это последнее условие всегда выполняет-
л
ся, если А - иётерово локальное кольцо с максимальным идеалом Ю и если Сп — А-модуль конечно-
конечного типа для всякого л, см. АС, 1П, § 3, n°3, prop. 6; Коммутативная алгебра, III, с. 249, предложе-
предложение 6*). Показать тогда, что sd~' — расщепление С'-
(Предположения о плоскостности влекут, что lm(d + 8) n m"С = (d + 6) ( ШЛС) для всякого и;
есля хе Z(C), то Построить по индукции элементы у„е С, г„е Z(C) л ШЛС, для которых 6(х) =,
= 8d (уп) + 6 (гл). Закончить с помощью упражнения 5, а).)
7. Пусть С и С' - два комплекса, s (соответственно s') - расщепление С (соответственно С'),
и: С'-+С — морфизм комплексов. Определим градуированный степени -1 А-эндоморфизм окомп-
лекса Соп(ы), положив
о(у',х) = (-i'(^-'), six) - sus'(y'))-
Показать, что для того чтобы отображение о было расщеплением комплекса Соп(ы), необходимо
и достаточно, чтобы Н (и) = 0.
U U
8. Пусть 0 -*М'—>М -> М" -*0 - точная последовательность А-модулей, которую можно рас-
рассматривать как точную последовательность комплексов (нулевых в степенях Ф 0). Показать, что
морфизм комплексов \р: Gon(u) ->M" (с. 42) является гомотопизмом, если и только если точная
последовательность 0-*М' -*М-+М" -*0 расщепляема.
9. Пусть и: С' -* С — морфизм А-комплексов. Обозначим через v: С-¦ Со ker (u) отображение
перехода к факторкомплексу. Рассмотрим градуированные А-гомоморфизмы
a: (Keru)(-l)-*Con(u) и <р: Con(u)->Coker(u),
определяемые по формулам: а(х') х (х\ 0), v(x', x) =t>(x) для х' е С', хе С- Показать, что а,
\f — морфизмы комплексов и что они приводят к точной последовательности
Hn_t (Ker и) Н(а^ Н„(Con(u)) ^fl Н„(Cokeiu ) i. Н„_2(Ker u) -*...,
где 8 - композиция связывающих гомоморфизмов относительно двух точных последовательностей
0-+Кегм-> С'-+Ьпи-*0 и 0 -* Ьпи •* С-* Coker u -» 0.
10- Пусть и: С-*С' — морфизм А-комплексов, Р — проективный А-модуль, и - целое число > О,
Л: Р-Н„(Соп(«))
- А-гомоморфизм. Показать, что существуют комплекс С, точная последовательность комплексов
0-+С '-* С-*Р(-п)-*0
и морфизм и: С-+С', для которых и о г = ии морфизм C(i): Con(u) -* Con(u), индуцированный
отображением f, обладает следующими свойствами: __
а) Отображение Нр(С(/)) : Hp(Con(u)) -*Hp(Con(u)) биективно при рфп, п+1;
C) Существует точная последовательность
11. Бикомпаексом А-модулей называется тройка (G«/.', d" ), где С - А-модуль, градуированный
по типу Z X Z, d': C-+C - градуированный А-эндоморфизм степени (-1, 0) nd" : С-»С - градуи-
градуированный А-эндоморфизм степени @, -1), удовлетворяющие соотношениям d' о d' =d" » d" =
= d' о d" + d" о d' = 0. Будет использоваться также верхняя градуировка Cp'q = С_р _<,
для р, q e Z.
§ 2. Комплексы А-модулей 49
Обозначим через Z'(C), Z"(C), В'(С), В"(С) подбикомплексы Kei(</'), Kei(d"), Im(rf'),
и через Н'(С) (соответственно Н"(С)) бикомплекс Z'(C)/B'(C) (соответственно Z"(С)/В" (С)).
а) Положим d=d' +d". Показать, что когда С наделен тотальной градуировкой, ассоциирован-
ассоциированной с заданной биградуировкой (определяемой, согласно II, р. 164, посредством С„= ® Ср,<?)>
пара (С, d) представляет собой комплекс. Говорят, что это комплекс, ассоциированный с бикомп-
лексом (С, d' ,d" ); его гомология обозначается через Н (С).
б) Пусть (С, d'. d" ) и (К, 6', 8") - два бикомплекса. Морфизмом из (С, d', d" ) в (К, 6', 5" )
называется градуированный А-гомоморфизм и степени @, 0) из С в К, удовлетворяющий условиям:
8' о и - и о d' и Ь" ° и = и о d" . Показать, что и индуцирует морфизм ассоциированных комплексов.
в) Пусть и, и - морфизмы бикомплексов из С в К. Гомотетией, связывающей ис и, называется
пара (j\ s" ) градуированных А-гомоморфизмов из С в К степеней A, 0) и @,1 ) соответственно,
для которой
v-u=d'oS' +s' о d'+d" о »" +s" о d"; s' ь d" +d" .j' = 0; s" ° d' +d' о s"=0.
Показать, что s' +s" - гомотопия, связывающая морфизмы ассоциированных комплексов, инду-
индуцированные морфизмами uhv.
12. Пусть (С, d', d" )- бикомплекс, для которого Н"Pi_p(C) = 0 при всякомре Z, H!_q>(?+i(C) =
= 0 при q > 0, Hj.>_r_i (С) = 0 при г > 0 и существуют такие положительные целые числа а и 6, что
Са,-а ~ С-Ь,Ъ = 0- Доказать, что А-модуль Но>о (С) нулевой.
13. Пусть I - конечное множество; через (е^) /^ I будем обозначать канонический базис Z-моду-
ля Z1. Назовем I-комплексом (соответственно 1-предкомплексом) А-модулей А-модуль С, градуи-
градуированный по типу Z1, надепеиный семейством А-эндоморфизмов (<fy)<e p причем df градуированный
степени (-е{) и выполняются следующие соотношения:
dj о dj = 0 для всякого / е I,
df о dj + dj odf = 0 (соответственно dj» dj = dj о dj) для /,/ 61.
Если Card (I) = 1, то I-комплекс — это комплекс; если Card (I) =2, то I-комплекс представляет
собою бикомплекс (упражнение 11). Если (С, (dj)) и (С, (<//)) - два 1-комплекса (соответствен-
(соответственно I-предкомплекса), то морфизм из (С, (dj)) в. (С', (tf)) -это градуированный гомоморфизм
степени нуль и: С -»¦ С', для которого dj о и = и ° dj при всяком /el.
а) Пусть (С, (dj)) - I-комплекс. Если наделить С тотальной градуировкой (по типу Z), получае-
получаемой из его градуировки, то показать, что (С, 2 А) представляет собой комплекс А-модулей, назы-
/SI
ваемый комплексом, ассоциированным с I-комплексом (С, (dj)). Показать, что морфизм I-комп-
I-комплексов индуцирует морфизм ассоциированных комплексов.
б) Пусть С - I-предкомплекс, и пусть R - некоторое отношение линейного порядка на 1, обозна-
2 *;
чаемое символом <. Для к = (*/)/е \, хе Qfc и /6 I положим 6; (х) = (-1)'' dj (x). Показать,
что (С, (S/)) представляет собой I- комплекс (который обозначают через Cr) .
в) Пусть Rq, Rj3 - два отношения линейного порядка на I, обозначаемые символами <а и <р.
Пусть ира - эндоморфизм G при котором и(х) = (-1)е(*'х для хб Cfc, где е(к) = 2 k(kj.
Показать, что ира - морфизм I-комплексов из Ci^ в Cr». / </з '
г) Пусть S - множество всех отношений линейного порядка на I; наделим S тривиальным отно-
отношением предпорядка (т.е. Rq < Rp для любых Rq, R^eS). Показать, что система (Cr^ Неф)
представляет собой проективную систему I-комплексов о"тносительно S, ее предел С - это 1-комп-
лекс, называемый I-комплексом, ассоциированным с I-предкомплексом С Показать, что всякий
морфизм I-предкомплексов индуцирует морфизм ассоциированных I-комплексов-
% 14. Спектральной последовательностью А-модулей называется задание последовательности
А-комплексов (Er, dr)r-> i и отображений ar: H (Er) -*-Er+i, для которых:
(i) Градуировка комплекса Ег представляет собой тотальную градуировку, ассоциированную
с некоторой биградуировкой
Er= « Erp'q (r>2);
p,q<?Z
имеет место: dr(Ef!'4) С Егр+Г'<?"''+1.
(ii) Отображения аг являются изоморфизмами биградуированных А-модулей.
Мы будем использовать также нижнюю биградуировку модуля Ег:. будем обозначать
ЪР,Я Ъг
а) Здесь мы будем обозначать через Zr +j(Er) (соответственно через Br +j(Er )) биградуирован-
ный А-модуль Kei dr (соответственно Ira dr). Пусть
- отображение перехода к фактормодулю и tr: Er +i -»Er/B|.+i(Er) - композиция отображения
4. Н. Бурбаки—
50 § 2. Комплексы А-модулей
а}.1 и естественного вложения. Для всякого г > 2 определим индукцией по к биградуированные
подмодули Zr+fc(Er) и Br+fc(Er) в Ег, положив:
Zr+fc(Er)=p;lOV(Zr+fc(Er+l)))^ Br+fc(Er)=p;1OV(Bfc+r(Er+i)))-
Доказать, что имеют место вложения:
0 С ВГ+1(ЕГ) С ВГ+2(ЕГ) С ... С Zr+2(Er) С Zr+i(Er) С Ег
и что модульEfcизоморфен Zfc(Er)/Bfc(Er) при к>г + 1.
Положим Z^CE,) = П Zr(Ej), B^Ej) = U В,(Е2) и Е„, = г„,(ЕгIВао(Е2). Говорят,
г>г г>3
что спектральная последовательность регулярна, если убывающая последовательность
(Zr(E, ' )) ^ > з стационарна для в сякой пары (р, <?).
б) Пусть Е = (Er,dr,ar)r>2 и Е' = (E^,d'r, a'r)r> 2 - две спектральные последовательности
А-модулей; морфизмом из Е в Е' называется последовательность морфизмов А-комплексов иг:
Ег -* Ег, совместимых с биградуировками и таких, что а'г ° Щиг) = ur+i ° <хг для всякого г > 2.
Показать, что для всякого г > 2 и всякого к > г + 1 ur индуцирует гомоморфизм Zfc(E,.) (соот-
(соответственно Вfc(Er)) в Zfc(Ej.) (соответственно Bfc(E^)). В частности,и, индуцирует гомоморфизмы
Z^Cu,): Z^CEj)-» Z.CE^), В^Си,): В^ОЕ,)-* B^Ei), u^: E^-^Е^; все эти гомоморфизмы совме-
совместимы с биградуировками.
в) Предположим, что и 2 —изоморфизм. Показать, что тогда иг —изоморфизм для всякого г > 2,
так же как и В^и,). Если, кроме того, спектральные последовательности Ей Е' регулярны, то
ZooCuj) и и„-изоморфизмы.
г) Пусть G = ф G" - градуированный А-модуль, наделенный убывающей последователь-
л€ Z
иостью (F pG)Dc 7 градуироваииых А-подмодулей, для которой Hf pG = 0 и UFPG = G. Говорят,
Р Р
что спектральная последовательность Е аппроксимирует (G, {У G)pe.z) (или просто G), если су-
существуют изоморфизмы^'4: е?><?-» (FPG)P 4/(Fp+1G)P q даявсякого (р, <?) е Z X Z.
Говорят, что спектральная последовательность Е сходится к G, если она аппроксимирует G и
если, кроме того:
(i) спектральная последовательность Е регулярна;
(ii) для всякого целого п существует такое целое р, что (FPG)" = 0.
Предположим, что Е (соответственно Е') сходится к G (соответственно G'). Пусть и: Е -» Е' -
морфизм спектральных последовательностей, v: G -» G' — такой градуированный гомоморфизм
степени 0, что t(F PG) С FPG' при всяком р и индуцированные гомоморфизмы vp'"'
(FpG)"/(Fp+1G)"-*(FpG')"/(Fp+1C)" удовлетворяют соотношению vp>p+q° цр><1= fi'™o up'q
PiQ
для всякой пары (р, q). Показать, что если и2 - изоморфизм для всякой пары (р, q), то v - изо-
изоморфизм.
15. Пусть Е - спектральная последовательность А-модулей, которая аппроксимирует градуиро-
градуированный А-модупь-G (упражнение 14).
р>я
а) Предположим-, что Е2 =0 при р < 0. Показать, что отображения а'1 индуцируют для вся-
всякого 4 инъективиые гомоморфизмы:
откуда посредством композиции с @ 'ч)~ * и с отображением перехода к фактормодулю получается
А-гомоморфизм yq: G4-»E,' .
Р* Я
б) Предположим, что Е2 =0 при q < 0. Показать, что отображения аг индуцируют сюръектив-
ные гомоморфизмы
откуда посредством композиции с рр'° получается А-гомоморфизм 6 р: ЕгР> -* Gp.
в) Предположим, что удовлеп
Показать, что последовательность
р>я
в) Предположим, что удовлетворяются условия из а) и б), т.е. Е2 = 0, если р < 0 или q < 0.
¦Gl -U-E,0-1 -*-*Ъ\'
Р.<
'жим, что Е,
аналогичную указанной в в).
точная. pq
г) Предположим, что Е, = 0, если р > 0 или q > 0; определить точную последовательность,
й )
д) Предположим, что существуют такие целые <исла г, d, где d > г > 2, что Ег' =0, если p*Q,d.
Определить точную последовательность:
d,n-d п о,п
% 2. Комплексы А-модулей 51
p,q
Если, аналогично, Ег =0 при q Ф 0, d, то показать, что существует точная последовательность
"•0 ,-л n—d,d _n+l,0
... -»¦ Er -» Gл -» Er -» Er -»¦...
e) Предположим, что Е, = 0, если q Ф 0 (соответственно р Ф0). Показать, что гомоморфизм
8n: E,n>0-Gn (соответственно уп: Gn-Е?1")
биективен для всякого п.
1 16. Пусть С - комплекс А-модул ей, {?pCfpe. 2 - убывающая последовательность подкомп-
подкомплексов в С.
а) Для р, q, г е Z пусть Мг' - множество элементов х H3(FpC)p+<?, для которых dxe Fp+rC; -
pa p.q p—r+l,o+r—2 p+l,o—1 - p. a
при г > 0 положим Е^ = Mr /(d(Mr_l ) + Мг ) и обозначим через dr: Е, ¦ -*
p+r,q—r+l
-* Ег гомоморфизм, получаемый из d переходом к фактормодулям. Показать, что для
всякого г > 0 существует изоморфизм ar: H(Er) -*Er+i, так что последовательность (Еу, dr)f ^ 2,
наделенная отображениями аг, представляет собою спектральную последовательность. Имеем:
E<P'* = (FpC)p+<?/(Fp+1C)p+''.
б) Предположим, что UFPC = С и что для всякого п существует такое целое р, что (F^C)" = 0.
Р
Показать, что спектральная последовательность, определенная в а), сходится (упражнение 14) к
градуированному А-модулю Н(С), наделеииому последовательностью градуированных подмодулей
Р^ЩС) = 1тНAр),где ip: FPC-»C - каноническое вложение.
в) Если F °С = С, то А-модуль Е^><7 нулевой при р < 0; если (FpQn = 0 при р > п, то Е^><7 = 0
при q < 0.
г) Пусть С' --второй комплекс, (FpC')pe z ~ убывающая последовательность подкомплексов
в С', Е' -ассоциированная спектральная последовательность. Пусть и: С-*-С' — морфизм комплек-
комплексов, при kotopomu(FpC) cFpC' для всякого р. Показать, что и индуцирует морфизм спектральных
последовательностей и: Е -* Е'.
д) В обозначениях из г) пусть и: С -»С' - второй морфизм, при котором u(FpQ С Ft' для вся-
всякого р, и пусть h — гомотопия, связывающая и с и. Пусть к - такое целое число > 0, что /KF РС) С
с Fp~ С' для всякого р. Показать, что ur = vr при г>к.
17. Пусть С - («комплекс (с. 48 упражнение 11).
а) Определим две убывающие последовательности ('FpC)pgZ и ("^ Q?ez подкомплексов
комплекса, ассоциированного с С, положив
('FpC)n
Пусть 'Е и "Е — соответствующие спектральные последовательности (упражнение 16, а)). Пока-
Показать, что для всякой пары (р, q) А-модуль 'Е^'* (соответственно "EP><)F) изоморфен 'НР("НЧ'(С))
(соответственно "^('Н'(С))).
б) Предположим, что существует такое целое п, что Ср'<* = 0 при р > п или при <7 <». Показать,
что спектральная последовательность 'Е сходится к Н(С). Если, аналогично, существует целое т,
для которого Ср><? = 0 при р <т или при q > т, то спектральная последовательность "Е сходится
кН(С).
в) Предположим, что С**1' = 0 при р < 0 или q < 0. Показать, что гомоморфизм 6Р: 'ЕР< -»
->НР(С) (упражнение 15) получается посредством переходак гомологии из канонического вложе-
вложения комплексов "V (С) -» С. Аналогично, гомоморфизм "Щ'р -* НР(С) получается из вложения
'Z°(C)-*C. ^ ^ _ :
г) Пусть С — второй б'икомплекс, 'Е и "Е - две ассоциированные спектральные последова-
последовательности. Показать, что всякий морфизм бикомплексов и: С -¦ С индуцирует морфизм спектраль-
спектральных последовательностей'и: 'Е-»-Ё и "и: "Е -» "Е. Показать, что если два морфизма и, и из С
в С гомотопны, то ассоциированные морфизмы 'и и 'v (соответственно "а и "v) равны (использо-
(использовать упражнение 16, д) ).
18. Пусть Е — спектральная последовательность (упражнение-14),, в которой А-модуль. Е2 имеет
конечную длину. Пусть Щ - множество классов А-модулей конечной длины; показать, что
Xg>(Ea) = Х^№г) = Xg>(E«>') для всякого г > 2 (с. 44).. Если, кроме того, Е сходится к градуиро-
градуированному А модулю G, то он имеет конечную длину и Xg> (G) - х#(Е2).
19. Симплициальной схемой называется пара (К, S-), где К - множество и S- - некоторое мно-
множество конечных подмножеств в К, называемых гранями К, .причем всякое подмножество грани
является гранью и всякая точка из К принадлежит по крайней мере одной грани. Симмициалъным
4*
52 § 2. Комплексы А-модулей
отображением симшшциалыгай схемы (К, $•) в симшшциальную схему (L,^) называется отобра-
отображение К в L, которое переводит всякую грань К в грань L.
а) Пусть л - целое число > 0; п-симплексом симплициальной схемы К называется всякая по-
последовательность (о„, . . . , а„) элементов из К, в которой все оц принадлежат одной и той же
грани К. Обозначим через Sn(K, А) свободный А-модуль, порожденный л-симплексами при
п > 0, н положим Sn(K, А) = 0 при п < 0. Определим А-гомоморфизм dn: S,,(K, A) ->• S,,_i(K, A)
п , л
положив dn = 0 При п < 0 и dn(a0 ап) = 2 (-1) (<*„,. . . , а,-,. .. , а„) для всякого л-симп
/=0
лекса (а0,...,ап) при п > 1 (знак * над буквой обозначает, что она должна быть опущена).
Показать, что dn_i»dn = 0 для всякого л, так что (S(K, A),d) - комплекс А-модулей.
Определим также А-комплекс С (К, А), положив С"(К, А) = Нот (Sn(K, Z), А), б" = Нот (dn, 1д)
для всякого и. При п > 0 иногда. обозначают через Н„(К, А) (соответственно н" (К, А))
А-модульН„(8(К, А)) (соответственно Н"(С (К, А))).
б) Пусть К, L - две симплициальных схемы, /: K->L - симплициальное отображение. Показать,
что / индуцирует морфизмы комплексов S (/): S (К, А) -> S (L, А) и С(/): C(L, А) -+С(К, А),
откуда получаем гомоморфизмы /,: Н (К, А) -* Н (L, А) и /*: H'(L, A) -»• Н'(К, А).
в) Пусть g: К -* L — второе симплициальное отображение. Говорят, что fug симплициально
гомотопны, если для всякой грани а из К множество /(а) и g(o) представляет собой грань в L.
Показать, что тогда морфизмы S (/) и S (?) (соответственно С (/) и С (g) ) гомотопны (определить
гомотопию И, положив
ЛК а„) = S (-1)'(/(а0),. . . ,/(<ч), ^(а,) ^(а„))
/= о
для всякого «-симплекса (а„ ап) ).
г) Говорят, что симплициальная схема К коническая, если существует такая точка s в К, что
для всякой грани а в К подмножество аи {s} является гранью. Показать, что тогда существуют
гомотопизмы комплексов S (К, А) и С(К, А) на А.
д) Обозначим через D(K, А) градуированный подмодуль в S (К, А), порожденный симплексами
(<*„,..., а„), в которых две из точек оц равны, и элементами вида (а0,... , а„) - е (а) • (аст(о), • ¦ .
..., аа(„)) для всякого л-симплекса (а„,..., ап) и всякой перестановки а множества {0,..., л}
Показать, что D(K, А) - подкомплекс в S (К, А) н что отображение перехода к факторкомплек-
су р: S (К, A) -+S (К, A)/D(K, А) является гомотопизмом (обратный гомотопизм получается вы-
выбором линейного порядка на К и сопоставлением классу симплекса (а0,... ,ап) по модулю
D(K, А) элемента е (а) ¦ (аа(о),..., «а(л) ) • гДе ° ~ перестановка, для которой ао@) < • • • < <%(«),
если все оц различны, и 0 в противном случае).
*20. Пусть R - полное кольцо дискретного нормирования (АС, VI, § 3, п° 6; Коммутативная
алгебра, VI, с. 450) с полем вычетов к характеристики р > 0. Предположим, что поле частных коль-
кольца R имеет характеристику 0. Обозначим через и нормирование кольца R, через Ш - максималь-
максимальный идеал в R и через R * - мультипликативную группу единиц в R. Для всякого целого п > 0
пусть R* (л) - подгруппа R*, образованная элементамих, для которых и (х - 1) > п.
а) Пусть г - целое число, г >v(p)/(p- 1). Показать, что ряд
ехр(х)= S x'/il
1=0
сходится для х е Шг и определяет изоморфизм аддитивной группы Шг на группу R * (г ).
б) Предположим, что к - конечное поле из q элементов. Пусть л - целое число > 1, »п - под-
подгруппа элементов х из R *, для которых хп = 1. Показать, что группы MnHR*/(R*)" конечны и что
Card(R*/R*")/Card(Mn) = q"^.
(Пусть 48- множество классов конечных Z-модулей, с/>: K(<g) ->Q* - гомоморфизм, при кото-
котором
*([G]) = Caxd(G) для Ge<g,
С^ - комплекс 2-модулей, в котором Ср =0 прир Ф 0, 1, Со ' =С, =R*(r),d1(x) =х"для
хе R* (i). Доказать, что х (Н (С ^г') не зависит от г; затем использовать а).),
21. Предположим, что кольцо А представляет собой коммутативную алгебру над некоторым
коммутативным кольцом к, А-модуль D^(A) ^-дифференцирований кольца А тогда отождеств-
отождествляется с модулем, сопряженным А-модулю П^, что определяет на Пд/fe структуру левого
Лд (Ц* (А) ) -модуля (ср. III, р. 165). Доказать формулу:
(X0A...AXp)J dw= 2 (-l)'X,((X0A...AX,A...AXp)J ы) +
i=0
+
2 (-D^'dX/.Xi] ЛХО Л... Л Jr,A...A X,-A...aXd)j w.
§ 3. Резольвенты 53
где u>e Од,к> Хо,. •. , XpG Dfc(A) и знак л над буквой обозначает, что она должна быть опущена.
(Свести к случаю р = 1.)
22. Сохраняются соглашения из предыдущего упражнения; если М - А-модуль, v - связность
на М и XS Dfc(А), то обозначим через Vx ^-эндоморфизм Aм • X) ° v модуля М.
а)Пусть Mj, М, - два А-модуля, наделенные связностями 'д, 1Д; показать, что определяется
связность на Ms е М, (соответственно Mj ®аМ,, соответственно НотдСМ,, М,)), если положить:
V(m, +ma) =lV(m1)+1v(ra,) для m, ё М,, m, ? М, (соответственно VxK * m2) = 'vx("'i)e
®m, +m, « 2Vx(wj) Для Xe Dfc(A), m, e M,, m, e M,, соответственно Vx (") ='Vx° u-u° '7\
WHXeDt(A),u6HomA(M,,M,)).
б) Пусть M - А-модуль, v: M -» M «д Од/fc - связность на М . Если X, Y e D^ (A), то обозначим
через R(X,Y) А-эндоморфизм модуля М, при котором R(X,Y) (m) =< R(m),XAY> для всяко-
всякого meM. Доказать формулу: R(X, Y) =[Vx>Vy I ~V[x,Y] (использовать упражнения 21).
в) Предположим, что А-модуль М проективен, так что гомоморфизм кривизны R отождествляет-
отождествляется с некоторым элементом из Епйд (М) ®д nA/fc- Если надалить EndA(M) связностью V, опреде-
определенной в а), то показать, что vJ R = 0.
§ 3. РЕЗОЛЬВЕНТЫ
Сохраняются соглашения из предыдущего параграфа.
1. Продолжение морфизмов комплексов
Лемма 1. Рассмотрим диаграмму А-модулей и гомоморфизмов:
м' -?» м -?+- м"
г\
в которой /оа' = |3о/', аоа'=0, Ker C = lm(i'uf = k"oa + (}°ku где модуль М'
проективен. Существует А-гомоморфизм к': М' -+N', для которого/' -k ° a + ]3' о к'.
Действительно, положим g = f' - ко а'; имеем:
j3o^=/3o/'-^oA:oa'=/oa'-^oA:oa' = A:"oaoa' = 0.
Это влечет за собой, что lm(g) CKer (g) = Im(|3'). Так как М' проективен, то сущест-
существует, следовательно, А-гомоморфизм к': M'-^N' , для которого ]3' о к' - g, откуда еле
дует утверждение леммы.
Лемма 2. Если в коммутативной диаграмме А-модулей и гомоморфизмов
м' -?*. м -su. м"
N -V N"
выполняются соотношения а о а' = 0, Кег /?= Imj3' ы есл« л^о^ль М' проективен, то су-
существует А-гомоморфизм и : М' -+N', для которого /?'о и' = м о а'.
Достаточно положить & "= м", А: = -м, /= 0, /' = 0 и и' = к' в лемме 1.
Лемма 1 bis. Рассмотрим диаграмму А-модулей и гомоморфизмов
М' ¦?*- М -=*> М"
в которой /</a' = Ko/', Kera = Ima', 0 о /3' = 0 и /' =^о а' + ]3' о А:' м где модуль
N" инъективен. Существует А-гомоморфизм k": M"-*N", для которого f.= к" ° а +
Действительно, положим^ =f-C° к, имеем:
г» а' =/оа'-0° A:oa' = j3o/'-i3ofcoa' = Coj3'ofc' = 0.
Это влечет за собой, что Ketg Э Ima' -Kera. Так как N" инъективен, то существует,
54 § 3. Резольвенты
следовательно (с. 19, замечание), А-гомоморфизм ifc" : M"-+N", для которого? = к" о а,
откуда следует утверждение леммы.
""Лемма 2 bis. Если в коммутативной диаграмме А-модулей и гомоморфизмов
М' ¦?*. М -*¦- Ы"
1 1
N' -?-»> N -?•- N",
выполняются соотношения Kera = Ima', |3 « |3' = Ом если модуль N" инъективен, то су-
существует А-гомоморфизм и": М" -> N",. «Зля которого и" о а = |3 ° и.
Достаточно положить м' =к', и = -к, /= 0, /' = 0 и fc" = u" в лемме 1 bis.
Предложение 1. Пусть (Р, с/Р) м (Е, dE) - дед комплекса А-модулей иг - це-
целое число.
а) Пусть (щ: ?i-+Ej)t<<zr - семейство гомоморфизмов, для которых dE ° щ =
= м,-_ 1 о dp ярм i <г. Предположим, что модуль ?{ проективен при i>r и что Hf (E) =0
при i > г. Тогда семейство гомоморфизмов щ продолжается до морфизма комплек-
комплексов из Р в Е; два таких продолжения гомотопны.
б) Пусть (и1: Р'-> E?)f <r - семейство гомоморфизмов, для которых иг ° dp =
= dE о м'~J яри i <г. Предположим, что модуль Е1 инъективен при i>r и чтоН'' (Р)= 0
ярм f >г. Гогдд семейство гомоморфизмов и* продолжается до морфизма комплек-
комплексов из Р в Е; два таких продолжения гомотопны.
Докажем а). Существование продолжения v для семейства («;)<<, следует немед-
немедленно из леммы 2 по индукции. Пусть v' — другое продолжение. Положим/ = v' — v и
построим по я гомоморфизм кп: Р„ -> En+1, для которого /„ = dE ° к„ + Jfcn_ i ° с/Р.
При i <г возьмем fcj = 0. Пусть я > г, и предположим, что отображения kt построены
при i <я. Рассмотрим диаграмму:
Предположения леммы 1 в ней удовлетворяются; следовательно, существует А-гомо-
А-гомоморфизм кп+1: Р„+1 -> Е„+2, для которого /„+1 = dE о к„+1 + кпо dp, откуда получаем
утверждение а).
Доказательство б) производится аналогично посредством лемм 1 bis и 2 bis.
2. Резольвенты
В последующем мы всегда отождествляем модуль с комплексом, для которого он
служит компонентой степени нуль, а все другие компоненты которого равны нулю.
Определение 1. Пусть М - А-модуль. Левой резольвентой для М называется
пара (Р, р), где Р — комплекс, нулевой справа, и р: Р -*М — гомологизм. Правой резоль-
резольвентой для М называется пара (е; Е), где Е - комплекс, нулевой слева, и е: М -> Е —
гомологизм.
Длиной резольвенты (Р, р) (соответственно (е, Е)) называется длина комплекса Р
(соответственно Е). Если (Р, р) и (Pf, р') (соответственно (е, Е) и (е\ Е')) - две ле-
левые (соответственно правые) резольвенты для М, то морфнзм комплексов/: "Р -*Р',
для которого р' о / = р (соответственноg: Е ->• Е', для которого g ° e =е'), называет-
называется морфизмом резольвент.
Предложение 2. Пусть Р - комплекс, нулевой справа, ир:?-*М- морфизм.
Для того чтобы пара (Р, р) была левой резольвентой для М, необходимо и достаточно,
чтобы последовательность
dp dp р0
...^Р„^Р„_1^...^Р,-*Р0^ М^О A)
была точной.
Действительно, высказывание, что р: Р -> М - гомологизм, означает, что НДР) = 0
при i >0 и чторо индуцирует изоморфизм модуля Coker (dP: Pj -*Ро) на М.
§ 3. Резольвенты 55
Точно так же:
Предложение 2 bis. Пусть Е - комплекс, нулевой слева, е: М -*¦ Е - морфизм.
Для того чтобы пара (е, Е) была правой резольвентой для М, необходимо и достаточ-
достаточно, чтобы последовательность
О -> М ^ Е°—^ Е1 ->...-> Е"-^ Е"+1 ->... (Ibis)
была точной.
Злоупотребляя языком, часто говорят, что последовательность A) (соответствен-
(соответственно A bis)) представляет собой левую (соответственно правую) резольвенту для М.
Определение 2. Проективной (соответственно свободной, плоской) резоль-
резольвентой А-модуля М называется такая левая резольвента (Р, р) для М, что комплекс Р
проективный (соответственно свободный, плоский) (с. 31). Инъективной резольвентой
для М называется такая правая резольвента (е, Е) для М, что комплекс Е инъективный.
Примеры. 1. Предположим, что А — кольцо главных идеалов; пусть М — А-мо-
дуль и (^)iei ~ некоторое порождающее семейство для М. Обозначим через Lo сво-
свободный модуль А*1', через (е<)<е i — его канонический базис и определим/?: Lo -*M,
положив p(et) = xt. Гомоморфизм р сюръективен и его ядро L! является свободным
А-модулем согласно VII, §3, сог. 2 аи th. 1 (Алгебра, VII, с. 43, теорема 1), следова-
следовательно, точная последовательность
0-»L1-*Lo-»M->-0
представляет собой свободную резольвенту для М длины 1. Если I конечно, то Lo и Li
имеют конечный тип.
2. Предположим, что кольцо А коммутативно; пусть Е — А-модуль и и — некоторый
эндоморфизм Е. Обозначим через Е„ А [X]-модуль, который получается, если Е наде-
наделить соответствующей структурой по правилу
(р,х)*+р(и) для р€А[Х] и*еЕ.
Согласно III, р. 106, имеет место точная последовательность:
0 -> А [X] ®А Е t А IX] ®А Е ? Е„ -> 0,
где у>(р ® х) = рх и ф(р ® х) = Хр ®х -р® и(х) длярб'А[X] их& Е. Эта точная по-
последовательность представляет собой резольвенту длины 1 для модуля Е„, которая
свободна (соответственно проективна, соответственно конечного типа1)), если Е —
свободный А-модуль (соответственно проективный, соответственно конечного типа).
3. Если А — кольцо главных идеалов, то точная последовательность
представляет собой инъективную резольвенту длины 1 для А-модуля As (с.21, пример 1).
Предложение 3. Пусть /: М' -» М - гомоморфизм А-модулей, р : Р' -*М' -
морфизм в М' нулевого справа проективного комплекса Р' и р: Р-*М - левая резоль-
резольвента для М. Существует, и притом единственный с точностью до гомотопии, морфизм
комплексов/:?'-*¦?,для которогор ° f =f ° р'¦ _
_ Рассмотрим комплекс Р, определяемый следующим образом: Р„ =vPn при пФ —1,
P_i=M,J_ = dP<n при и Ф0, —1, d- =po,d- =0, и комплекс Р', определяемый
аналогичным образом. Применяя к комплексам F и Р' предложение 1, а), с г = 0,
щ = 0 при i < — 1 и и_ 1 =/, получим утверждение предложения 3.
Следствие. Пусть (Р, р) и (Р', р') — две проективных резольвенты для М. Су-
Существует, и притом единственный с точностью до гомотопии, гомотопизм а: Р' ->Р, для
которого р о а =р'.
Действительно, существует морфизм а: Р' -> Р (соответственно 0: Р -*¦ Р'), для кото-
которого р о а = р' (соответственно р' о 0 = р). Так как р о а о /3 = р (соответственно
1) Говорят, что левая резольвента (Р, р) имеет конечный тип, если все компоненты комплекса Р
являются модулями конечного типа. - Примеч. пер.
3. Резольвенть'
р' о j3 о а = р'), то морфизм а о |3 гомотопен 1Р (соответственно морфизм|3 ° а гомото-
гомотопен 1Р')-
Предложение 3bis. ITycrbg: N -»-N' - гомоморфизм А-модулей, е : N' -+Е' -
морфизм из N' в нулевой слева инъективный комплекс Е' м е: N ->Е - правая резоль-
резольвента для N. Ом^есгв^ег и притом единственный с точностью до гомотопии, морфизм
комплексов g: Е -*¦ Е', для которого g ° е = е' ° g.
Это доказывается так же, как предложение 3, с помощью предложения^, б).
Следствие. Пусть (е, Е) и (е', Е1) - две инъективных резольвенты для М.
Существует, и притом единственный с точностью до гомотопии, гомотопизм а: Е-»-Е\
для которого а» е = е'.
3. Каноническая свободная резольвента
Для всякого А-модуля V! обозначим через L0(M) свободный А-модуль А^м) с
базисом М, (em)me м - его канонический бдзис и рм: L0(M) -»-M — гомоморфизм,
при котором
PM(em)am, тем.
Положим Z0(M)=KerpM, и пусть гм: Z0(M)^-L0(M) - каноническое вложение.
Имеем точную последовательность
WM + O. A)
Определим градуированный модуль L(М), положив Ln(М) = 0 при л<0и, индукци-
индукцией по п > О,
Ln(M)=L0(Zn_1(M))) Z^ZoCZ^CM)), B)
Определим А-гомоморфизмы d™: Ln(M) -»Ь„_!(М):
По построению, имеем точную последовательность
¦* Ь„(М) -=-> Ln_, (М) -* . .. -* L0(M) -^ М ¦+ О,
так что, если распространить рм до морфизма комплексов
рм: (L(M),rfM)-M,
то получим свободную резольвенту для М, называемую канонической свободной резоль-
резольвентой для М.
Пусть /: М -»-N — гомоморфизм А-модулей. Обозначим через
единственный А-гомоморфизм, при котором L0(/)(em) =ef^m-) для всякого ш?М.
Имеем:
Следовательно, Lo(/) индуцирует А-гомоморфизм Zo(/): Z0(M) -*-Z0(N), и имеем:
/NoZ0(/)=Lo(/)°iM- E)
Положим Ь„(/) =0 при я<0 и определим индукцией по и>0 гомоморфизмы
Ь„(/): Ln(M)^Ln(N)HZ«(/): Zn(M) ^Zn(N), положив:
U,(f)=U(Zn_l(f)), Zn(/)=Z0(Zn_1(/)). F)
Предложение 4, L(/): L(M) ^-L(N) — морфизм комплексов А-модулей,
для которого рм ° L(/) =/° pN.
§ 3. Резольвенты 57
Нужно доказать для всякого и > 0 формулу
Имеем сначала:
d? ° Ь,(Лв'№Рг,(Н)° Lo(zo(/)) (согласно C) и F))
= »N ° zo(f)°Pzo(M) (согласно D))
= Lo(/) о /м ° Pzo(M) (согласно E))
= Lo(/) ° df1 (согласно C)).
Когда п > 1, имеем последовательно:
<**° Ьп(Л=»г„_2(Ю °Pzn_1(N)oLo(z«-i(/)) (согласно C) и F))
e'zn_2<N)oZ"-i(/')oPzn_1(M) (согласно D))
= 'г„_2(ы)о2оB»-2(Л0Рг„_1(М) (согласно F))
= Lo(Zn_2a)H'zn_2(MHPzn_1(M) (согласно E))
= L*-1 (Л ° ^ (согласно C) и F) ).
Очевидно, имеем:
LAm)=1l(M). G)
С другой стороны, если g: N -»¦ Р — гомоморфизм А-модулей, то
L(gof)-L(g)oL(f). (8)
Действительно, для всякого га?М имеем:
следовательно, Lo(^ °/)=L0(^) oL0(/); следовательно, ZQ(g of) =Z0(g) о Zo(/);
отсюда индукцией по и тотчас получаем, что Ln(g о/) =Ln(#) » !„(/) для всякого
и > 0, что и требовалось.
Замечание. Если /, g e HomA (M, N), то равенство L(f + g)=L(f)+L(;g)
не имеет места. Однако эти два морфизма гомотопны согласно предложению 3, с. 55.
Пусть М — правый А-модуль; обозначим через А° кольцо, противоположное А,
через М° — А°-модуль, определяемый А-модулем М, через L(M°) — его каноническую
свободную резольвенту. А-комплекс L (М° ) °, определяемый А° -комплексом L(M°),
обозначается через L(M) и назьшается канонической свободной резольвентой для М.
Имеем, следовательно:
L(M°) =
4. Каноническая инъективная резольвента
Пусть F - А-модуль Нот % (A, Q/Z); для всякого А-модуля М положим 1° (М) =
_ pHomA(M,F) и обОзначим через ем: М->1а(М) гомоморфизм, который элемен-
элементу /я?М сопоставляет семейство (^Оя))^енотпА(м, F) ¦ Согласно следствию 2,
с. 22, 1°(М) - инъективный А-модуль и отображение ем инъективно. Положим
К°(М)= Сокегем и обозначим через qM: 1° (М)->К° (М) каноническую проекцию.
Имеем, таким образом, точную последовательность
0->М ?M-+i°(M) 2М_>к°(М)->-0.
Определим градуированный А-модуль 1(М), положив 1"(М) = 0 при и< 0 и, индукци-
индукцией по п > О,
(9)
58 § 3. Резольвенты
Определим А-гомоморфизмы 5 м : I"(M) -> I"+! (M):
5м=0, и<0,
5м =ек°(М)°^. A0)
5м=ек"(м) ° V-^M)' и>0
По построению, имеем точную последовательность
0->М i5Liki
так что если распространить ем до морфизма комплексов
ем: М-+A(М),5М),
то получим инъективную резольвенту для М, называемую канонической инъективной
резольвентой для М.
Пусть /: M->N — гомоморфизм А-модулей. Обозначим через 1° (/) гомоморфизм
из 1°(М) = FHon>A(M. F> в 1°(N) = FHomA(N> F>, который отображает семейство
(V*6HomA(M,F) на семейство (x^o f) фе HomA(N,F ) -Имеем
l°(f)°eM=eNaf. A1)
Следовательно, 1° (/) индуцирует гомоморфизм К°(/): К0 (М)->К° (N), и имеем:
Кв(/)в«м=«№к°(Л- A2)
Положим Iя (/) = 0 при л < 0 и определим индукцией по п > 0 гомоморфизмы
I"(/): I"(M)->In(N) иК"(П: К"(М) ->К"(N), положив:
1"(/) = 10(К"-1(Л). К"(/) = К°(К'-1(Л). A3)
Предложение 5. I(/): I(М) ->I(N) - морфизм комплексов А-модулей, для
которого I (/) о ем = eN о /.
Это доказывается аналогично предложению 4.
Имеем:
и для всякого гомоморфизма А-модулей g: N -*Р
1(*о/) = 1Су)(/). A5)
Замечание. Если f,g G HomA(M,N), то равенство 1(/+я) = !(/) + Ife) He
имеет места. Однако эти два морфизма гомотопны согласно предложению 3 bis, с. 56.
Если М - правый А-мо дуль, то положим 1(М) = 1(М°)°; эту резольвенту называют
канонической инъективной резольвентой для М, при этом имеем
5. Резольвенты конечного типа
Из двух предыдущих пунктов следует, в частности, что всякий А-модуль обладает
инъективными резольвентами, свободными резольвентами (следовательно, также
проективными или плоскими резольвентами). В некоторых случаях можно сделать
дальнейшие уточнения.
Предположим, что кольцо А нётерово слева, и пусть М — А-модуль конечного типа.
Построим по индукции последовательности (Ln)n>0, (Zn)n>0> (^«)«>i. где ДЛЯ
всякого п> 0 Ln — свободный А-модуль конечного типа, Zn — подмодуль в Ln и
drl+1: Ln+1 ->Ln - гомоморфизм. Для этого выберем конечное порождающее семейст-
семейство (mt)!eiB для М, положим Lo = А^1»^, определим р: Lo -+М, положив р(е{) = ш{,
и положим Zo = Кег (р). Если для и> 0 модули Ln и Zn уже построены, то Zn имеет
§ 3. Резольвенты 59
конечный тип, так как содержится в Ь„; выберем конечное порождающее семейство
(*л. /)<ein+1 Для Ъп, положим L^ = A0"*!*, определим </„+1, задав d^x (et) = xnJ
и положим Z „+! = Ker (cfn+ х).
По построению, имеем точную последовательность
откуда:
Предложение 6. Когда кольцо А нётерово слева, всякий А-модуль конечного
типа М обладает свободной резольвентой р: L ->М, в которой Ln - модуль конечного
типа для всякого п.
Более общо:
Предложение 7. Пусть С - А-комплекс, и пусть число aGZ таково, что
Н„(С) =0прип<а.
а) Существуют свободный А-комплекс L, в котором Ь„ = 0прип<а, и гомологизм
/: L-+C.
б) Предположим, что А нётерово слева и что А-модули Н„(С), «€Z, конечного
типа. Существуют свободный А-комплекс L, в котором Ln = 0 при п<а и Ln — А-мо-
А-модуль конечного типа для всякогоп, и гомологизм /: L-»-C.
Пусть С' - подкомплекс в С, в котором С '„ = С„ при п>а, С'а = Ze(С), С'„ = 0 при
п < а; тогда каноническое вложение С' в С — гомологизм. Заменив С на С, можно,
следовательно, предполагать, что С„ = 0 при п < а. Утверждение следует тогда из повтор-
повторного применения следующей леммы для г = а, а + 1,... :
Л е м м а 3. Пусть С - комплекс и г G Z. Существуют комплекс С' и гомологизм
/: С' -*-С, для которых /„: С^,-»-С„ - изоморфизм при п<г и С'г - свободный А-мо-
А-модуль. Если А нётерово и А-модули НГ(С) и C,_t конечного типа, то можно потребо-
потребовать, чтобы модуль С', был конечного типа.
а) Пусть сначала А: М-*-Сг — гомоморфизм А-модулей; обозначим через d= (dn)
дифференциал в С. Пусть N - подмодуль в МХСг+1, образованный парами (т,х), для
которых А (от) =dr+1 (x); определим комплекс (С' ,d'), положив С^, = С„ при пФг,
г + 1, Cj. =M, Cj.+ 1 =N, d'n =dn при пФг, г + 1, г + 2, d'r =dr о A, d'r+l (m,x) =т для
(т,х) е N и d'r+2(y) = @, dr+2 00) для yGCr+2. Рассмотрим также морфизм комп-
комплексов/: С'-^С, для которого/,, = 1слприп^=г,г + 1,/г = А,/г+1 (т,х) =х.
б) Комплекс Кег / нулевой и степени Фг,г + 1 и дифференциал d'r+1 индуцирует
изоморфизмКег/г+1 наКег/г следовательно, Н(Кег/)=0.
в) Когда композиция М—*С, ->^СГ/ВГ (С) сюръективна, мы видим также, что
H(Coker/) = 0, и/ в этом случае - гомологизм (с. 36, следствие 2).
г) Когда А предполагается нётеровым и А-модули НГ(С) иС,_1 конечного типа,
тогда модуль Сг/Вг (С) конечного типа, ввиду точной последовательности (с. 31)
0 + НГ(С) -> СГ/ВГ(С) ¦+ Сг_1;
в этом случае существуют свободный А-модуль конечного типа М и гомоморфизм
А: М-*СГ, для которых условие из в) выполняется; в общем случае существуют свобод-
свободный модуль М и сюръективный гомоморфизм h: М -*¦ С,. Это завершает дока-
доказательство.
6. Минимальные проективные резольвенты
Пусть М — А-модуль и пусть
(?) ... -> Р„^ Р„_! -> ... - Ро-^ М -* 0
- резольвента для М. Говорят, что (Р) — минимальная проективная резольвента, если
60 § 3. Резольвенты
для всякого и > 0 гомоморфизм 5„: Р„ -*\m(dn), индуцируемый dn, является проек-
проективным накрытием (VIII, § 8, п°5).
Предложение 8. Пусть М - к-модуль, Р и Р' - две минимальные проектив-
проективные резольвенты для Мм/: Р -*• Р' - морфизм резольвент. Тогда f - изоморфизм.
В частности, две минимальные проективные резольвенты для М изоморфны.
~ ~ ~(
Положим Р„ = Р„ при п Ф -1 л Р_1 =М; определим аналогично Р„ и положим
/_i = 1м- Покажем по индукции, начиная с -1, что /„: Р„-*РП - изоморфизм для вся-
всякого п. Это очевидно для-и = -1; предположим, что /„ и fn_x - изоморфизмы. Из
коммутативной диаграммы
d
следует, что /„ индуцирует изоморфизм gn из Ker dn на Ker d'n. Тогда из коммута-
коммутативной диаграммы
Р f dn
и из VIII, § 8, п" 5, следует, что /„+1 - изоморфизм.
Следствие. Пусть М - А-модуль, Р и Р' - две проективные резольвенты для М;
предположим, что Р минимальна. Пусть /: Р-*Р' и g: P' -+Y-дваморфизмарезоль-
-+Y-дваморфизмарезольвент. Тогда f инъективен, g с'юръективен и Р' - прямая сумма подкомплексов Im/ и
Ker #. Кроме того, Ker # имеет нулевую гомологию.
Действительно, а = g о f — автоморфизм Р (предложение 8). Положим / = / о а.
Имеем:
Im/ = Im/ и go f = lp;
это показывает, что Р' = Im/ ® Кег#. Так как последовательность
Р'Д- Р-0
точная Hg - гомологизм, то Кег# имеет нулевую гомологию.
Предложение 9. Пусть М — А-модуль и (Р, р) — проективная резольвента для М.
Обозначим через t радикал кольца А. Предположим, что Р„ — А-модуль конечного
типа для всякого п или что t нильпотентен. Тогда для того чтобы резольвента (Р, р)
была минимальной, необходимо и достаточно, чтобы комплекс (A/ t ) ®дРимел нуле-
нулевой дифференциал, иначе говоря, чтобы
</„+1(Р„+1)С Г Р„ для всякого п> 0.
Предположим, что резольвента (Р, р) минимальная. Согласно VIII, § 8, п°5, гомо-
гомоморфизм
1 ® 5„: (А/ С ) ®А Р„ -* (А/Г ) ®А 1т<*„
является изоморфизмом. Из точной последовательности
^Р
тогда следует, что гомоморфизм 1 ®/„: (А/ Г ) ®а Imdn+1 ->¦ (A/ f ) ®A Р„ нулевой;
так как dn+1 =/„« 5„+1, то отсюда вьтодим, что lA/j ®^«+i =0 для всякого п> 0.
Обратно, предположим, что для всякого п> 1 гомоморфизм lA/r ®dn нулевой,
иначе говоря, что \mdn = Kerdn_i содержится в HPn_i. Так как,гомоморфизм5n_t
сюръективен, то из VIII, § 8, п°5, следует, что 5„_ j - проективное накрытие при п> 1,
следовательно, что резольвента (Р, р) минимальна.
§ 3. Резольвенты. 61
Предложение 10. Предположим, что А - нётерово слева локальное кольцо,
и пусть М - А-модуль конечного типа. Тогда М обладает минимальной резольвентой
(Р, р); в ней Р„ - свободный модуль конечного типа для всякого п > 0.
Действительно, в построении, сделанном в п.5 (с. 58), можно, ввиду VIII, § 8, п°5,
взять в качестве (L0) р) проективное накрытие М и в качестве Ln+1 — проективное
накрытие Kerdn. Тогда полученная резольвента минимальна.
Замечания 1. Обозначим через tit максимальный идеал кольца А и положим
к = А/ ю . Пусть Р — минимальная проективная резольвента для М, и положим Ъп =
= dimfc(fc®A P/i)- Тогда Р„ - свободный А-модуль ранга Ъп. Из следствия предложе-
предложения 8 вытекает, что для всякой другой проективной резольвенты Р' модуля М выпол-
выполняются соотношения dinty (к ® р'пу > Ъп и что равенство имеет место, если и только
если резольвента Р' минимальна.
2. Согласно предложению 9, Ьп есть размерность над к векторного пространства
Н„(*®а Р)> * иначе говоря, пространства Тог „(Л, М). Это также размерность над к
пространства Ext^ (M, к) (ср. с. 105, пример 3).*
7. Градуированные резольвенты
В этом пункте предполагается, что кольцо А наделено градуировкой (An)nez.
для которой А„ = 0 при и < 0. Говорят, что градуированный А-модуль М ограничен
снизу, если М„ = 0 для достаточно малого п; всякий градуированный А-модуль ко-
конечного типа ограничен снизу.
Предложение 11. Если М - граудированный А-модуль, ограниченный снизу
(соответственно если М — градуированный А-модуль конечного типа и если кольцо А
нётерово слева), то существует неограниченная слева точная последовательность гра-
градуированных А-модулей
...-> Le-2
в которой Lf — ограниченные снизу свободные градуированные модули (соответствен-
(соответственно свободные градуированные модули конечного типа) и d,- — градуированные гомо-
гомоморфизмы степени 0.
Если N — градуированный А-модуль, ограниченный снизу (соответственно конечно-
конечного типа над нётеровым А), то существуют свободный градуированный А-модуль, огра-
ограниченный снизу (соответственного конечного типа) L и сюръективный градуированный
гомоморфизм L->-N (II, р. 167, remarque 3). Приняв это во внимание, предположим,
что задана точная последовательность градуированных А-модулей и градуированных
гомоморфизмов степени 0:
Ln ^¦Ln_1^...^Lo^L+M^O,
в которой L/, 1 = 0, ..., я, — ограниченные снизу свободные градуированные модули
(соответственно свободные градуированные модули конечного типа). Тогда модуль
N = Kerd ограничен снизу (соответственно конечного типа); следовательно, существуют
ограниченный снизу свободный градуированный (соответственно свободный градуи-
градуированный и конечного типа) А-модуль Ln+1 и градуированный гомоморфизм dn+l:
L *"LW степени 0, для которого lmdn+l =N; тогда последовательность
точная. Теперь утверждение следует из предыдущего индукцией по п.
8. Стандартная резольвента
В этом пункте мы предполагаем, что кольцо А представляет собой алгебру (ассо-
(ассоциативную н унитарную) над некоторым коммутативным кольцом к. Дляи> 0 обозна-
обозначим через В„ тензорное произведение над к (п + 2) -модулей, равных А. Оно рассмат-
рассматривается как (А, А)-бимодуль, наделенный структурой левого (соответственно пра-
62 § 3. Резольвенты
вого) А-модуля, получаемой из структуры левого (соответственно правого) А-модуля
первого (соответственно последнего) множителя тензорного произведения.
При п> 1 определим гомоморфизмы бимодулей dln (для 0< 1<я) и d„ из В„ в
В„_! по формулам:
...®х„ + 1, 0< /< п,
/ = 0
Ясно, что
d'n-i°dl,-dl,Z.\odln при /</,
и, следовательно,
Таким образом, если положить В„ = О при п < 0 и dn = 0 при л <0, то последова-
последовательность (В„, dn) определяет комплекс (А, А)-бимодулей (с. 45), который будет
обозначаться через В (А). Для воякого левого А-модуля М обозначим через В (А, М)
комплекс, образованный из тензорных произведений В„ ®а М и гомоморфизмов
^л® 1м> * иначе говоря, тензорное произведение комплексов В (А) ®а М»; это комп-
комплекс левых А-модулей.
Определим А-линейное отображение ем из В0(А, М) = (А®лА)»дМв М по фор-
формуле ем(а®й ®m) =abm для a, 2>е A, m€ М. Имеем: ем о d, =0, так что градуиро-
градуированный гомоморфизм FM: В (А, М) -* М, совпадающий с ем в степени 0, представляет
собою морфизм комплексов А-модулей.
Предложение 12. Отображение FM: В (А, М) -»-М является гомотопш-
мом комплексов k-модулей. В частности, комплекс В (А, М) расщепляем над k и
(В (А, М), ё"м) представляет собой левую резольвенту А-модуля М.
При п > 0 определим ^-линейное отображение sn: В„ -*¦ В„+1 по формуле
sn(*0®...®*n+i)=l.®Jf0® ...®х„+1 для Хо,. .
Это гомоморфизм правых А-модулей, который удовлетворяет тождествам:
d'n+i °«n =sn-i "df1 при п>\, 1</<л + 1,
dg+1 oSn = 1Ъп при п> 1,
и, следовательно, имеем:
dn+i °sn +$„_, °dn = lBn при п>\. A6)
Кроме того, имеем:
di °s0(xo®x1) = x0®Xi -1®х0Х! для хо,хх<ЕА. A7)
Обозначим через т?: A->-A®fc А отображение, определяемое по формуле: т?(а) = 1 ®а,
и через tj: А'-*-В (А) - морфизм комплексов, совпадающий с т? в степени 0. Ясно,
что FA о т? = 1А; формулы A6) и A7) показывают, что d°s + l°d = lB (^) — т? о ёА.
Полагая т?м =т? ® 1М, dM =d® 1М и sw = s ®1М, отсюда вьшодим, что Тм » т?м =1м
и dM° sM+sMo dM = 1B(a,m) -% ° ^м- Иначе говоря (с. 38, определение 5), FM
есть гомотопизм комплексов ^-модулей. Другие утверждения предложения из этого
немедленно выводятся.
Определение 3. Левая резольвента (В (А, М), FM) для М называется стандарт-
стандартной резольвентой А-модуля М.
Если А и М - проективные (соответственно свободные, плоские) ^-модули, то
стандартная резольвента В (А, М) представляет собой проективную (соответственно
свободную, плоскую) резольвенту для М.
§ 3. Резольвенты 63
9. Резольвенты и группы Гротеидика
Если % — некоторое множество классов А-модулей, то будем-говорить, что левая
резольвента (Р, р) ограниченная типа 'S, если комплекс Р ограниченный типа % (с. 43).
Теорема 1. Пусть % q и *& - два аддитивных и точных слева множества классов
k-модулей, для которых $ос % и всякий k-модуль типа % обладает ограниченной
левой резольвентой типа % . Тогда гомоморфизм а: К(^0)"^К(^), получаемый
из вложения г60 в %, биективен; если М — k-модуль типа %и Р— ограниченная левая
резольвента для М типа *€<>,то а"'([М]^) = Х^(Р) (с. 44, пример 6).
Лемма 6. Пусть f: М' ->М - гомоморфизм А-модулей типа % и р: Р-*М -
ограниченная левая резольвента для М типа Ч?о. Существуют ограниченная левая ре-
зольвента р': Р'->М' типа Г6О и морфизм комплексов и: Р ->Р, для которого
р о u=f о р'.
Рассуждаем индукцией по длине п резольвенты Р, причем утверждение тривиально,
когда последняя < 0. Рассмотрим отображение g: М' X Ро -> М, при котором
g(x,y)=f(x)-po(y) для xGM1, у??о,
и его ядро К; А-модуль К имеет тип ЧВ, так как g сюръективно и М' X Ро и М - мо-
модули типа^?. Пусть h:P'o -*К — сюръективный гомоморфизм, где Pi - некоторый мо-
модуль типа (ё0; обозначим через р'о: Ро^М1 (соответственно и0: Pq->P0) компо-
композицию гомоморфизма h и проекции К->М (соответственно К-*Р0); гомоморфизм
Ро сюръективен, и имеет место коммутативная диаграмма
Pi — Ро
Р'о\ \Ро
Достаточно теперь применить индуктивное предположение к гомоморфизму
получаемому из и0.
Лемма 5, Рассмотрим коммутативную диаграмму
P-Vp
1 \>
0—^М'^-М—> М"—^0,
в которой (Р, р) (соответственно (Р1, р')) — левая резольвента для М {соответствен-
{соответственном') и нижняя горизонтальная строка представляет собой точную последовательность.
Существует гомолвгизм р" : Con (и) ->М" .
Действительно, точная последовательность (с. 41, предложение 7)
0 -> Р -^ Соп(м)-^- Р'(-1) -> 0
дает гомологическую точную последовательность
... -> Н, (Соп(м)) -+ Но(Р')-^ Н0(Р) -> Н0(Соп(м)) -»¦ 0.
Согласно лемме 3, а), с. 41, Э = -Н0(и). Так как Н«(Р) = 0 = Н„(Р') при п> 0 и так
как отображение Н0(м): Но(Р') -^Н0(Р) отождествляется с/: М -»^М, то заключаем,
что Н„(Соп(м)) =0 при п> 0 и что модуль Н0(Соп(м)) изоморфен М", откуда следует
утверждение леммы.
Докажем теперь теорему.
а) Пусть М — А-модуль типа % . Для всякой ограниченной левой резольвенты (Р, р)
модуля М типа 'So элемент х#0 (Р) из К(^о) зависит только от М. Действительно,
пусть (Pi.Pi) и (Р2,Р2) - две резольвенты этого типа. Рассмотрим резольвенту
(Р,ХР2; р, Хр2)
M § 3. Резольвенты
А-модуля М X М и гомоморфизм Д: х^(х, х) изМвМХМ. Согласно лемме 4, сущест-
существуют ограниченная резольвента (Q, q) для М типа с?0 и коммутативная диаграмма
Q -V Р, х Р2
«I I Р, * Рг
М -^ М х М ;
из нее получаем коммутативную диаграмму
0 ^г^р,
1 , I"
М " > М , /=1,2.
Согласно лемме 5, Con (и ° рг() имеет нулевую гомологию, следовательно, и ° рг{ -
гомологизми xtfo (Q) =Xg>0 (fy) (с. 44, предложение 10); из этого следует, что xtfo (Pi) =
= Xg-0 (P2). что и утверждалось.
б) Для всякого А-модуля М типа % пусть <^(М) S К(^о) обозначает общее значе-
значение элементов Хя>0 (Р) для всех ограниченных левых резольвент Р модуля М
Покажем, что функция </»: (8 ¦>К( %^) аддитивна. Пусть, следовательно,
- точная последовательность А-модулей типа № . Согласно лемме 4, существует комму-
коммутативная диаграмма
P'-V P
О —^ М' -U- М —^ М" —*¦ 0 ,
в которой (Р, р) и (Р', р') — ограниченные левые резольвенты типа 'ёо- Тогда имеем:
и, согласно лемме 5,
V (М") = х *0 (Con (и)) = х *0 (Р) - X «, (Р') = V (М) - V» (М1),
что и требовалось доказать.
в) Пусть теперь /3: К($) -*KCi§0) - гомоморфизм, при котором, в предшествую-
предшествующих обозначениях, /3( [М]^) = х#0 (Р) • Так как р — гомологизм, то Х^(Р) = [M]g>, сле-
следовательно, а о /3([M]g.) -"(Х^, (Р)) = Xg.(P) = [М]у и а о д = lK(fp1. Если М типа
'So, то (М, 1м) - резольвента модуля М, следовательно, (? (М) = [М] ^ и
Р° а= ^K(g>0)>4TO завершает доказательство теоремы.
Мы применим зту теорему к модулям "конечной проективной размерности" в § 8
(с. 144).
Упражнения
1. Пусть л, Ь - два таких элемента из А, что левый аннулятор элемента л (соответственно Ь) равен
идеалу АЬ (соответственно Аа). Показать, что последовательность
6а «Ь «в sb sa
...->A,—>A,—» As-> As-> ...-<¦ As-* As-*A/Aa^0,
в которой 6а (соответственно 6j) обозначает умножение справа над (соответственно на Ь), опреде-
определяет свободную резольвенту А-модуля А/Ад. Показать, что эта конструкция применима в следую-
следующих двух случаях:
а) Пусть Ао - кольцо; возьмем Ая Ао (е) (с. 32), а = Ь = е.
0) Пусть G - конечная циклическая группа, о - порождающий группы G, к - коммутативное
кольцо. Возьмем 'А = k^G', а = 1 - ео, Ъ= 2 ео.
2. Предположим, что кольцо \ коммутативно. Пусть В - некоторая А-алгебра; для и > 0 обозна-
обозначим через^"(В) тензорное произведение над А (и + 1) модулей, равных В. Положим^ (В)= 0 при
§ 3. Резольвенты 65
п < 0 и.?#(В)= * ^'и(В). Определим градуированный А-эндоморфизм d верхней степени +1
п
п
положив:
п 1
d F0 в ... в 6„) = 2 (-1) 60 в ... в г>/_1 в 1В в bt в ... в Ъп для 6,,... , Ъп е В.
« = 0
а) Показать, что d » d = 0, так что(-7#(В),</) - комплекс А-модулей. Если М - некоторый А-мо-
дуль, то обозначим через^#(В, М) комплекс, в котором ^"(В, М)= .т#"(В)®а М, а дифференциал
ecjbd ® 1м-
б) Предположим, что алгебра В представляет собой строго плоский А-модуль (с 26, упражне-
упражнение 9). Показать, что комплекс «?#(В, М) определяет правую резольвенту А-модуля М. (Достаточно
проверить, что комплекс В вд^(В, М) определяет резольвенту для В »д М; построить А-линейный
гомотопизм между этими двумя комплексами.)
3. Пусть В - кольцо, й- двусторонний идеал в В, Ь - левый идеал в В, содержащий й. Обозна-
Обозначим через А кольцо В/й, через р: В -» А - гомоморфизм перехода к факторкольцу и через Ь' - иде-
идеал р (Ь) С А.
а) Рассмотрим последовательность канонических вложений
Показать, что последовательность, получаемая тензорным умножением на В/й :
...-* йиЬ/й"+1Ь-йи/ йи+1 -»...-» й/й2 -»&/йЬ -^А,
определяет левую резольвенту А-модуля А/&'.
б) Предположим, что идеалы О и Ь представляют собой свободные левые В-модули. Показать,
что предыдущая резольвента является свободной резольвентой А-модуля А/ Ь'¦
в) Пусть G - группа, к - коммутативное кольцо, А =к' ' - групповая алгебра группы G над к,
е: к-* к - гомоморфизм А:-алгебр, при котором е (eg) =1 для всякого yeG. Наделим к структурой
(левого) А-модуля, определяемой гомоморфизмом е. Пусть (fJtei - некоторое порождающее се-
семейство группы G, F - свободная группа, построенная иа I, В = к (F', я: F -<¦ G - гомоморфизм,
при котором я- (t) = gL для iS I, p: В-*А - гомоморфизм Л-алгебр, получаемый из я. Показать, что
идеалы в = Кег (р) и Ь= Кег (е о р) являются свободными левыми В-модулями; получить отсюда
свободную резольвенту к *¦ ' -модуля к.
(Согласно I, р. 147, exercice 20, группа Кег я обладает некоторым базисным семейством (гс,H,е У,
показать, что элементы (еГа - 1) для a?J (соответственно (et - 1) для ie I) образуют базис ле-
левого В-модуля й (соответственно Ь ).)
г) В обозначениях из в) положим R = Кег (я); пусть <р: R ->¦ R/ (R, R) - отображение перехода к
факторгруппе. Наделим А:-модульА:®2 R/(R, R) структурой А-модуля, для которой
еп(Л A в * (г)) = 1 в^СЛ-/)
при любых г е R,/ e F. Показать, что существует точная последовательность А-модулей
O-*k*z R/(R, R) -* АA) -» А - к -* 0.
4. Предположим, что кольцо А коммутативно.
Пусть G - группа, К - симплициальиая схема (с. 51, упражнение 19). Действием группы GwK
называется гомоморфизм G в группу биективных симплициальных отображений симплициальной
схемы К в себя.
а) Действие группы G на К определяет действие на А-модуле S (К, А) (с. 52, упражнение 19);
показать, что это действие превращает S (К, А) в комплекс А' '-модулей.
б) Предположим, что группа G действует свободно на множестве, на котором определена симпли-
циадьная схема К. Показать, что А' '-модули SM(K, А) свободны.
в) Предположим, что снмплициальная схема К коническая. Показать,что А *¦ ' -комплекс S (К, А)
определяет лезую резольвенту для А, наделенного структурой А* '-модуля, прн которой eva -a
для любых g e G, а е А.
г) Пусть I G I - симплициальная схема (С?"), где & - множество всех конечных подмножеств
в G. Группа G действует на симплициальной схеме I G | посредством левых сдвигов; показать, что
A ^G'-комплекс S (| G I, А) представляет собой свободную резольвенту А *• '-модуля А.
д) Пусть В (А *• ', А) - стандартная резольвента А *¦ ' -модуля А; для всякого и > 0 А *. -мо-
-модуль В„(А^С', А) отождествляется с (А 1О')®(И+Ч Показать, что А-линейный гомоморфизм и:
S (I G I, А) -* В (А (°), А), определяемый по формуле
"(Го 8п)=8о ®*o"*i ® •• в*
представляет собоя-изоморфизм А * ^-комплексов.
5. Н. Бурбаки
66 § 3. Резольвенты
5. а) Пусть О-»К-*Р-*М-*О, 0 -> К' ->-Р' -*М -*О - две точных последовательности А-модулей,
в которых Р и Р' проективны. Показать, что существует коммутативная диаграмма
О ->КфР'-» РфР' -*М -» О
в которой горизонтальные строки точные, а и и v - изоморфизмы (ср. II, р. 183. exercice4).
б) Пусть п целое число > О, (Р, р) и (Р', р') - две левых резольвенты А-модуля М, в кото-
которых Р,- = Р/ = 0 при / > п и А-модули Р,- и Р|- проективны при 0 < i < п - 1. Показать, что А-модули
I >0A>2' ®P2i+l^ и . ® (p2;eP2/+l) изоморфны.
/ ^ О
в) В предположениях пункта б) показать, что существуют два проективных комплекса R, R1 с
нулевой гомологией, в которых R/ = R/ = 0 при i $ [0, и ], и изоморфизм резольвент и: Р <в R-*P' e R'.
Ц 6. Пусть М левый А-модуль. Представлением длины п или п-представлением модуля М назы-
называется точная последовательность
Ln-Ln_1-»...-*L1-L0-*'M-0,
в которой L,- - свободный левый А-модуль @ < i < п). Это представление называется конечным,
если все L,- - свободные модули конечного типа.
Пели М - левый А-модуль конечного типа, то через \ (М) обозначим верхнюю грань (конечную
или равную +<»>) целых чисел п > О, для которых М обладает конечным «-представлением. Если М не
имеет конечного типа, то положим \ (М) = -1.
а) Пусть 0->P-*N-'M-*0 - точная последовательность левых А-модулей. Тогда X(N) >
> inf(A(P),A(M)).
In
б) Пусть Ln -> Ln_i ->. . . -»L0 -*M -*0 - конечное «-представление для М; еслиХ(М) > п, то по-
показать, что Ker (dn) - модуль конечного типа (использовать упражнение 5,6)).
в) Показать, что в предположениях пункта а) имеет место соотношение:
X(M)»inf (A (N),A(P) + 1).
(Если п <Ш (A (N), А (Р) + 1), то показать индукцией по л, чю А (М) > п, рассуждая как в а) и ис-
используя б).)
г) Показать, что в предположениях пункта а) имеет место соотношение
А(Р) > inf (A (N), А (М) - 1).
(Тот же метод, что в с).) Вывести отсюда, что если \ (N) =+°°,тоА(М) =А(Р) + 1.
д) Вывести из а) \ в) иг), что если N = М е Р. то
\(N) = inf(A(M), \(P)).
В частности, для того чтобы модуль N допускал конечное представление, необходимо и достаточно,
чтобы этим свойством обладали М и Р.
е) Пусть N,, N2 - два подмодуля А-модуля М. Предположим, что N, н N2 допускают конечное
представление. Для того чтобы модуль N, + N, допускал конечное представление, необходимо и
достаточно, чтобы модуль N, п Ns имел конечный тип.
7. а) В обозначениях из упражнения 6 показать, что если М - проективный модуль, то
А(М)=-1 или А(М) = +~.
Нсли А - нётерово слева кольцо, то для всякого А-модуля М либо А(М) = -1, либо \(М) = +•».
б) Если Л - левый идеал кольца А, не имеющий конечного типа, то А^/й - моногенный А-мо-
А-модуль, ие допускающий конечного представления, иначе говоря, A(A5/fl) = 0 (ср. с. 15, предложе-
предложение 6).
в) Дать пример моиогенного левого идеала а в некотором кольце А, для«^<оторого модуль
А^/й (обладающий конечным представлением) имеет сопряженный, который не является правым
А-модулем конечного типа. N
г) Пусть К - поле, Г. - векторное пространство К^ К (е„) - канонический базис Е, Т - тензор
ная алгебра пространства Е, базис которой образован всеми конечными произведениями в/ , е/ ... e,v
(к > 0; if е N для всякого/). Для заданного целого п пусть Ь - двусторонний идеал в Т, порожден-
порожденный произведениями е,е0, е2е, enen_i и е„+^еп для всякого к > 1; пусть А - факторкольцо
T/fr, и для всякого целого m пусть ат - канонический образ етв А. Показать, что если М = As/Aa0,
то А(М) = п (заметить, что для т <л - 1 левый аниулятор ат равен Aam+i,H использовать упражне-
упражнение 6, б)).
8. Пусть С - коммутативное кольцо, Е, F - два С-модуля. Показать, что A(E®cF) >
> inf (A(E), A(F)).
9. Пустьр: А-+В - гомоморфизм колец, М - А-модуль.
а) Если В - плоский правый А-модуль и если М обладает конечным n-представлением, то В-мо-
дуль В ®д М обладает конечным п-представлением.
§ 3. Резольвенты 67
б) Если В - строго плоский правый А-модуль (с. 26, упражнение 9) и если В-модуль В вдМ
обладает конечным и-представленнем, то М обладает конечным «-представлением (использовать
упражнение 6, б) и упражнение 12, с. 26).
10. Пусть Е - А-модуль. Е называется псевдокогерентным, если всякий подмодуль конечного
типа в Е конечно представим; всякий подмодуль псевдокогерентного модуля псевдокогерентен.
Модуль Е называется когерентным, если он псевдокогерентен и имее! конечный тип (следователь-
(следовательно, конечно представим).
а) Пусть 0 -* Е' -> Е ->• Е" ->• 0 - точная последовательность А-модулей. Показать, что если мо
дуль Е псевдокогерентен (соответственно когерентен) и Е' конечного типа, то модуль Е" псевдоко-
псевдокогерентен (соответственно когерентен). Показать, что если Е' и Е" псевдокогерентны (соответст-
(соответственно когерентны), то тем же свойством обладает Е. Показать, что если Е и Е" когерентны, то тем
же свойством обладает Е' (использовать предложение 6, с. 15).
б) Пусть Е - когерентный А-модуль, Е' - псевдокогерентный (соответственно когерентный)
А-модуль. Показать, что для всякого гомоморфизма и: Е-*Е' модули Im (и) и Кег (и) когерентны,
aCoker(u) псевдокогерентен (соответственно когерентен) (использовать а)).
в) Показать, что всякая прямая сумма (соответственно всякая конечная прямая сумма) псевдо-
псевдокогерентных (соответственно когерентных) модулей представляет собой псевдокогерентный (соот-
(соответственно когерентный) модуль.
г) Если Е - псевдокогерентный модуль и если М, N - когерентные подмодули в Е, го показать,
что модули М + N и М n N когерентны (использовать а) ив)).
д) Предположим, что кольцо А коммутативно. Показать, что если Е - когерентный А-модуль и
F - когерентный (соответственно псевдокогерентный) А-модуль, то Нотд(Е, F) - когерентный
(соответственно псевдокогерентный) А-модуль. (Свести к случаю, когда F когерентен, рассмотреть
конечное представление для Е и использовать б).)
f 11. а) Пусть А - кольцо. Показать, что следующие свойства эквивалентны:
а) А-модуль As когерентен (упражнение 10).
0) Всякий конечно представимый А-модуль когерентен.
7) Для всякого конечно представимого правого А-модуля М сопряженный А-модуль М* имеет
конечный тип.
б) Для всякого множества I правый А-модуль A<j плоский.
е) Всякое произведение плоских правых А-модулей является плоским.
(Чтобы доказать, что из а) следует 0), использовать упражнение 10, б). Чтобы увидеть, что из 6)
следует 7), использовать теорему 1, с. 18; чтобы показать, что из а) следует е), использовать упраж-
упражнение 18, с. 27).
Кольцо, удовлетворяющее этим свойствам, называется когерентным слева (или просто когерент-
когерентным) , и аналогичным образом определяется понятие кольца, когерентного справа.
б) Показать, что нётерово (слева) кольцо когерентно. Дать пример артинова справа кольца, не
являющегося когерентным (ср. VIII, § 1, exercice4; Алгебра, VIII, с. 144, упражнение 4).
в) Показать, что абсолютно плоское кольцо (с. 26, упражнение 16) когерентно.
г) Показать, что если А - когерентное кольцо и М - А-модуль, то \(М) = -1 или \(М) = 0 или
Х(М) = +"> (упражнение 6). В частности, всякий конечно представимый А-модуль обладает резоль-
резольвентой из свободных модулей конечного типа.
д) Пусть (Аа, Ф[)а) - индуктивная система колец с направленным множеством индексов, и
пусть А = limAa. Предположим, что для а < 0 кольцо А^ является плоским правым Аа-модулем.
Показать, что если кольца Аа когерентны, то таково же и кольцо А. (Заметить, что А - плоский пра-
правый Аа-модуль для всякого а и что для всякого левого идеала конечного типа Л с А существуют та-
такие индекс а и идеал йа в Аа, что Л изоморфен А ®да йа.)
е) Вывести нз д), что всякое кольцо многочленов (от произвольного конечного или бесконечно-
бесконечного множества переменных) над нётеровым -коммутативным кольцом когерентно. Вывести отсюда,
что факторкольцо когерентного кольца не обязательно когерентно.
ж) Для того чтобы кольцо А было когерентно слева, необходимо и достаточно, чтобы левый ан-
нулятор всякого элемента из А был конечного типа и чтобы пересечение двух левых идеалов конеч-
конечного типа имело конечный тип (использовать упражнение 6, е)).
12. Пусть С - бесконечное кардинальное число. Предположим, что всякий левый идеал кольца А
обладает множеством порождающих мощности < С. Показать, что всякий А-модуль, порожденный
множеством элементов мощности <С , обладает левой резольвентой из свободных А-модулей ранга
< С (ср. VIII, § l.exercice 13).
13. Пусть М - А-модуль. Минимальной инъективной резольвентой для М называется такая инъек-
тивная резольвента (е, I) модуля М, что Iй есть инъективная оболочка для Z"(I) при всяком и > 0.
а) Всякий А-модуль обладает минимальными инъективными резольвентами; две такие резоль-
резольвенты изоморфны.
б) Пусть I, I' - две инъективные резольвенты для М, причем I минимальна; пусть/: 1->Г ug:
Г -> I - два морфизма резольвент. Тогда / инъективен, g сюръективен и I' есть прямая сумма под-
подкомплексов Im (/") (изоморфного I) и Кег (g) (имеющего нулевую гомологию).
14. Предположим, что А - нётерово локальное кольцо; обозначим через 01 его максимальный
идеал. Пусть L - комплекс А-модулей конечного типа, нулевой в степенях < О, М - А-модуль ко-
конечного типа и q: L ->М - морфизм. Сделаем следующие предположения:
5*
68 § 3. Резольвенты
(i) Гомоморфизм 1 »q: (A/m) «д Lo -> (А/Ш)_«дМ инъективен.
(ii) dj(Lj) cmL/_i при! > 1 и отображение d/: L;/mL/ ->-mLf_i/m2L/_i инъективно.
Пусть. (Р, р) - проективная резольвента модуля М, и: L -> Р - морфизм, для которого р ° u -q.
Доказать, что и инъективен и что u (L) - прямой множитель в Р, рассматриваемом как градуирован-
градуированный А-модуль (свести к случаю, когда резольвента Р минимальна, и использовать VIII, § 8, п°3,'сог.З).
1 15. Пусть А - нётерово локальное кольцо, Ю- его максимальный идеал, к = А/Ш. Пусть Р -
минимальная проективная резольвента А-модуля к; для п > 0 обозначим через Ъп ранг свободного
А-модуля Рл.
а) Показать, что Ьо = 1 и что ft, = <Цт?(ГО/ГО2) - минимальное число порождающих для Ю.
б) Если кольцо А коммутативно, то ft, > ft, (ft, - 1)/2 (рассмотреть точную последователь-
последовательность Р2 -тр, ->т2 -»о).
в) Предположим, что кольцо А артиново (не обязательно коммутативное). Доказать неравенст-
неравенство Ъг > Ь?/4. (Пусть М/ - подмодуль в Р,, образованный элементами х, для которых d, (x) e ю'р,;
показать, что
го'р, с м1+1
и что существует точная последовательность 0 -> M;/Mj+i -*Ю Р, /ГО Р, -*ГО /ГО -»0. Вывести
отсюда, что многочлен p(f) =2 (dim^dir/ro ))f удовлетворяет соотношению (ft,f2 - ft,f +
+ 1) p(f) > 0 при О <Г < 1. Закончить, рассматривая отдельно случаи ft, = 1, ft, > 2.)
16. а) Пусть О ->М' -*-М -+М" -»0 - точная последовательность А-модулей, (Р', р') (соответст-
(соответственно (Р", р") - проективная резольвента для М' (соответственно М"). Показать, что существуют
проективная резольвента (Р, р) для М и коммутативная диаграмма
0-*Р'-^р-~Р" — О
I'1 V \р"
0-^М'-«-М —М"-*0,
в которой горизонтальные строки точные.
б) Пусть O-^N'-^N-^N" -> 0 — вторая точная последовательность А-модулей, (Q, ?) (соответст-
(соответственно (Q', ?'), соответственно (Q", q") - проективная резольвента для N (соответственно N',
соответственно N"), причем существует коммутативная диаграмма с точными строками
Г' Г I*"
О— N' — N-*-N"-~O
Пусть, с другой стороны,
0-»N-*N-^N-«-0
- коммутативная диаграмма точных последовательностей, и пусть и"! Р' -*Q' и- и": Р" -+Q" - мор-
фнзмы комплексов, для которых и' « р' =-q' « и' и и" »р" = ?" » !Г". Показать, что существует
морфизм комплексов и: Р-+ Q, для которого и ° p-q° и w диаграмма
0-^Р'-*Р— Р"-^0
\tr la is-
¦ ¦ t (*)
0-^Q'-*Q— Q" —0
коммутативна.
в) Пусть и",': Р' -*Q', ut: f-*Q и и",": Р" -+Q" - три морфнзма комплексов, для которых
u'op'=q'«u', и о р = q о и,, и" о р" = ?" о и"
и диаграмма («) коммутативна; пусть s' (соответственно s") - гомотопня, связывающая и' с и[
(соответственно и" с и"). Показать, что существует гомотопия s, связывающая и" и и,, для которой
диаграмма
коммутативна.
г) Сформулировать и доказать результаты, соответствующие а), б), в), дяя инъективных ре-
резольвент.
§ 3. Резольвенты 69
11 17. В этом упражнении, если (K,d',d") -бикомплекс (с. 48,упражнение 11), через Кр>. будет
обозначаться комплекс (® Кр_ „,d"). Всякий комплекс будет рассматриваться как бикомплекс, ну-
нулевой в степени (р, q) при q ФО.
Пусть С - комплекс А-модулей. Проективной резольвентой для С называется пара (Р, р), в ко-
которой Р - бикомплекс и р: Р'-»С - морфизм бикомплексов, причем PPl(? - 0 при q < 9 и комплекс
Рр_. (соответственно ZPi.(P), BPi.(P), НР).(Р)) определяет проективную резольвенту для Ср (со-
(соответственно Zp(C), Вр(С), Нр(С)) при всяком р е Z. Для того чтобы бикомплекс (Р, р) был проек-
проективной резольвентой для С, достаточно, чтобы комплексы Вр,-(Р) н Нр>.(Р) определяли при вся-
всяком р проективные резольвенты для Вр(С) и Нр(С).
а) Показать, что всякий А-комплекс С обладает проективной резольвентой (выбрать для всяко-
всякого р проективные резольвенты Вр>. и Нр>. для Вр(С) и Нр(С); используя упражнение 16, а), постро-
построить проективные резольвенты Zp>. для Zp(C) и Рр>. для Ср, а также точные последовательности:
0-BPj.-ZP).-*HP;.-*0, 0-Zpi.-»Pp>.-Bp_li.-0).
б) Пусть С' - другой комплекс, (Р', р') - проективная резольвента для С', и: С-*С' - морфизм
комплексов. Показать, что существует морфизм бикомплексов н: Р-»Р\ для которого и °.р = р'.° и
(для всякого р е Z выбрать морфизмы Вр>.(Р) ->• Вр>.(Р') и Нр_.(Р) -* Нр>.(Р'); построить и
как в предшествующем пункте, используя упражнение 16, б)).
в) Пусть и: С -* С - морфизм комплексов, гомотопный и, и пусть и: Р-»Р' - морфнзм бикомп-
бикомплексов, для которого и о р - р' ° v. Показать, что и н и гомотопны (в смысле упражнения И, в),
с. 49; использовать упражнение 16, в)).
г) Пусть Е - подмножество в Z, С — А-комплекс, в котором Gp = 0 прн р е Е. Показать, что
существует проективная резольвента (Р, р) для С, в которой Рр>(? = 0 для ре Е.
д) Предположим, что существует такое целое число п, что всякий А-модуль обладает проектив-
проективной резольвентой длины < п. Показать, что всякий А-комплекс С обладает проективной резольвен-
резольвентой (Р, р), в которой Рр q = 0 при q > п.
е) Пусть С - А-комплекс. Инъективноп резольвентой для С называется пара (е, I), в которой
I - бикомплекс и е: С ->• I — морфизм бикомплексов, причем 1Р><? = О.при q < 0 н комплекс 1Р'
(соответственно 'ZP'"(I), 'Вр>'A), 'Нр>'A)) определяет инъективную резольвенту для Ср (со-
(соответственно ZP(C), ВР(С), НР(С)) при всех ре Z. Сформулировать и доказать аналога резуль-
результатов а) — д) для ннъективных резольвент.
18. Предположим, что кольцо А коммутативно. Грудированной дифференциальной А-йагеброй
называется А-алгебра, градуированная по типу Z, для которой Sn = 0 при л < 0, наделенная анти-
антидифференцированием d степени -1, удовлетворяющим условию i« d = 0. Будем обозначать по-
прежнему через S комплекс А-модулей (S, d).
а) Пусть С - комплекс А-модулей, нулевой в степенях < 0. Показать, что на S = Т(С) (соот-
(соответственно S - S (С), соответственно S = А(С)) существует структура градуированной дифферен-
дифференциальной А-алгебры, для которой каноническое вложение С в S является морфизмом комплексов.
б) Показать, что умножение в S индуцирует структуру градуированной А-алгебры на H(S).
в) Пусть S, Т - две градуированных дифференциальных А-алгебры. Положим D(s в t) = ds ® t +
+ (-l)ps ® dt для s e Sp, t e Т. Показать, что D определяет структуру градуированной дифферен-
дифференциальной А-алгебры на косом тензорном произведении S *®А Т (III, р. 49).
19. Предположим, что кольцо А коммутативно.
а) Пусть (S, dg) - градуированная дифференциальная А-алгебра (упражнение 18), М - А-модуль,
и: М ->Zn(S) - А-гомоморфизм. Показать, что на S* ®дТ (М) существует такая Структура градуиро-
градуированной дифференциальной А-алгебры, что d(s ® 1) = d$s в 1 для jeS и d(l ® га) = u (m) в 1
для гаем.
б) Пусть В - А-алгебра. Показать, что существуют градуированная дифференциальная А-алгеб-
А-алгебра S и гомоморфизм А-алгебр р: So ->• В такие, что (S, р) представляет собой свободную резольвен-
резольвенту А-модуля В. (Построить индукцией по л с помощью а) градуированную дифференциальную ал-
алгебру S(n), свободную в каждой степени, для которой H/(S(/?)) = 0 при 0 < г < ли H0(S(n)) = В.)
в) Если алгебра В коммутативна, показать, что можно найти кооокоммутативную (III, р. S3)
А-алгебру S, удовлетворяющую условиям пункта б). Если, кроме того, А нётерово и В есть фактор-
кольцо кольца А по некоторому идеалу, то можно выбрать S таким образом, что So = А и
Sn - А-модуль конечного типа для всякого л.
Ц 20. Предположим, что кольцо А представляет собой алгебру над некоторым коммутативным
кольцом к. Пусть ч: Аг -» А — гомоморфизм, при котором ч(Х) = \1д для \ е Аг, и пусть А — его
коядро. Если а — элемент из А, то будем обозначать через а его образ в А. Положим Nn(A)=
® И
= А вк А »к А при и > 0, Nn(A) = 0 при я < 0 и
N(A)= в Nn(A).
neZ
70 § 4. Произведение кручения
а) Показать, что существует градуированный степени -1 (А, А)-эндоморфизм d бимодуля
N(A), при котором „_1
d(a» if, в .. . »в„ в ft) -аа^ «в, в. . . ва„ eft + 2 (-l)'a в . . . ^ajaj+l в . .. ва„ eft +
+ (-1) а в», в ... »a~n_j ®anft для а, а,, ... ,аи. ft e А.
б) Показать, что d » d = О, так что N(A) - комплекс (А, А)-бимодулей. Если М - левый А-мо-
дуль, то обозначим через N(A, M) А-комплекс N(A)»AM.
в) Пусть В (А, М) - стандартная резольвента для М (с. 62), р: В (А, М) ->N(A, M) - А-гомомор-
физм, определяемый по формуле: р(а0 в . . . в а„ в т) = а0 «в, в...«вв»т для а0, . . . , а„е А,
теМ. Показать, что р - гомотопизм А-комплексов (построить по индукции отображение, обратное
с точностью до гомотопии).
21. Пусть к - коммутативное кольцо, Ц - fc-алгебра Ли, U - ее обертывающая алгебра (см.
LIE, I, § 2; Группы и алгебры Ли, I, с. 20). Предположим, что Ц - свободный fc-модуль.
а) Показать, что для всякого и > 0 существует инъективный U-гомоморфнзм
/„: U*fcA"(e)-Ue<"+1>,
при котором
/п(цв(х, Л...Лх„)) = 2 е(о)ы в дсоA) в... «*„(„)
°е®п
для меи, л:,. х„е в .
Тем самым определен градуированный U-гомоморфизм степени 0 /: V efc Л( ц ) -* В (U, к), где
B(U, fc) - стандартная резольвента левого U-модуля к (структура U-модуля на к получена с по-
помощью естественного гомоморфизма U -» к). Показать, что U ®k A( g ) отождествляется посредст-
посредством / с подкомплексом в B(U, к), причем дифференциал на U ®fc A( g ) задается по формуле:
d(u ® (х, А ... Л х„)) = 2 (-1)'+1их,- в (х, Л . .. Л Xi Л . . . Л х„) +
1 <<
(-1)'+/« в ([*,-, лу] Л х, Л ... Л xi Л ... Л х,- Л ... Л х„)
n
для ueU, x, ,хяе в
(где знак " над буквой обозначает, что она должна быть опущена). Обозначим через V( g ) таким
образом определенный U-комплекс.
б) Показать, что V( g ) определяет свободную резольвенту U-модуля к. (Пусть (Un)n>0 -
естественная фильтрация на U, Fr V( Ц ) - /с-подмодуль в V( д ), порожденный элементами ир в х4
для Up? Up, х^еД^С fl), p + q <r. Показать, что FrV( j) -подкомплексе V( д ) и что комплекс
® FrV( e)/Fr_iV(g ) изоморфен комплексу S(g ) »А( j ), определенному на с. 160.
§ 4. Произведение кручения
В параграфах 4 — 8 через к обозначается коммутативное кольцо и через А - унитар-
унитарная ассоциативная k-алгебра. Роль кольца к вспомогательная; мы имеем в виду глав-
главным образом следующие три частных случая:
а) рассматриваем произвольное кольцо А, полагаем fc = Z и наделяем А естественной
структурой Z-алгебры;
б) рассматриваем произвольное кольцо А и берем в качестве к центр А;
в) рассматриваем коммутативное кольцо А и полагаем к = А.
1. Тензорное произведение двух комплексов
Пусть (С, d) комплекс правых А-модулей и (С', d') — комплекс левых А-модулей.
Наделимfc-модуль С ®А С' градуировкой, для которой
(с®Ас')„= z ср®Ас;,
и обозначим через D однозначно определенный fc-линейный эндоморфизм степени (-1)
градуированного модуля С®А С', при котором
D(x®x') = dx®x'+(-l)px®d'x', x&Cp, y^C'q, p,qGZ. A)
Имеем D о D = 0, так как, в обозначениях из A),
'x' +(-l)pdx ®d'x' +x®d'd'x=0.
§ 4. Произведение кручения 71
Комплекс Л-модулей (С® а С, D) называется тензорным произведением комплексов
(Cd)H(Cd').
Замечания. 1. Когда С' сводится к Со = М, то (С ®А С')и = С„ ®А М и D = d®lM;
например, С ®А As естественным образом отождествляется с С. Точно так же, когда С
сводится к Со =Р,то (С®А С')п=Р®А С; и D=lP»d.
2. Для всякого целого г имеем (С ®А С')(г) = С(г) ®А С', но (С ®А С')(г) и
С®А С(г) имеют, вообще говоря, разные дифференциалы.
Пусть р, q - два целых числа, х ? Zp(C), х' ? Z,j(C'); тогда элемент х ® х' из
Ср»А С^ принадлежит Zp+G(С®А С') согласно A); кроме того, если 7еС/>+1>
переходя к фактормодулям, получаем k-линейное отображение, называемое кано-
каноническим :
если модуль Н(С) ®А Н(С') наделен градуировкой, при которой
(Н(С)®АН(С'))„= 2 Нр(С)вА
то 7 определяют градуированное fc-линейное отображение степени О
7(С,С): H(Q®AH(C')-»H(CeAC').
Предложение 6 из И, р. 59, может быть переформулировано следующим образом.
Предложение 1. Если комплексы С и С' нулевые справа, то комплекс С ®А С'
нулевой справа и каноническое k-линейное отображение
700(С,С): Но(С)®АКо(С')-Но(С®АС)
биективно.
Пусть и: (C,uf)-* (Ci ,u?i) - морфизм комплексов правых А-модулей ни': (С',??')->¦
->¦ (Cj,c?i) - морфизм комплексов левых А-модулей; тогдаы ®и': С®А C'-*Ci®ACl —
морфизм комплексов к-модулей; действительно, он градуированный степени 0, и
если через D и Di обозначены дифференциалы в С®А С' и Ci ®A C'i, то для р, q € Z,
xSCp, д:'?С^ имеет место:
{и ® и') (D(x ® jc')) = u(dx) ® «'(•«') + (-iyu(x)»u'(d'x') =
Кроме того, следующая диаграмма коммутативна:
Н(С) ®А Н(С') ^^V H(C ®А С)
Щи) ® H(u')| I H(u ® и')
Н(С.) ®А Н(С1) у7г-^* Н(С, ®ACi).
Пусть А° - А:-алгебра, противоположная А, С° (соответственно С'°) - комплекс С
(соответственно С'), рассматриваемый как комплекс левых (соответственно правых)
А° -модулей. Обозначим через
а(С.С'): С®А С'-^С'°®Ао С°
однозначно определенное градуированное fc-линейное отображение степени 0, при ко-
котором для х ? Ср, х' € С^, р, q € Z
Предложение 2. Отображение а(С, С') : С®А С'-»С'° ®А= С° представляет
Собою изоморфизм комплексов k-модулей, для которого обратным изоморфизмом
служит а(С'°. С°).
72 § 4. Произведение кручения
Так как отображения а(С, С) и а(С'°,С°) обратны одно другому, то достаточно
доказать, что а(С, С') — морфизм комплексов. Обозначая через D° дифференциал в
С%А.С°, для
имеем:
а(С, С) о D(* *>х') = а(С, С) (Ac »х'+(-lfx ®dV) =
= (_1)(p+D<?jc' <sdx + (_i)p + p(<?+1 W 9X =
= (-l)pqd'x' ® * + (~l)pq+qx' ®dx = (-l)pqD°(x' e jc) = D° о а(С, С) (х в *');
это дает, что о(С, С') ° D = D° о а(С, С'), откуда следует искомое утверждение.
Изоморфизм а(С, С): С®А С'-> С'° ®А° С° назьтается изоморфизмом коммутиро-
коммутирования для тензорного произведения комплексов С и С'.
Если и: С -*¦ Ci им': С' -*¦ С[, — как и выше, два морфизма комплексов, то имеем
коммутативную диаграмму:
с®Ае g(C' C)> с° ®АоС°
и ® и'\
Будем предполагать до конца этого пункта, что кольцо А коммутативно (общий
случай см. в п. 9).
Пусть С, С', С" - три комплекса А-модулей; канонический гомоморфизм А-моду-
лей (III, р. 64)
представляет собой изоморфизм комплексов, что тотчас проверяется непосредственно
из определений.
Более общо, пусть (C^,d^)/eI - семейство комплексов А-модулей, где множест-
множество I конечно и линейно упорядочено; для упрощения обозначений мы отождествим I
с интервалом [Г, г] в N. Наделим А-модуль С = ® С ^ градуировкой, при которой
1 = 1
Pl Pj ()р
Pi + р3 + . . . + рг = п . г
и определим градуированный А-эндоморфизм степени —1 модуля С, положив
D(jc, ®...®.xr)= 2 (-1)р'+""+р/-1*, ® ...®jc/_i
где jc/?(C^^)p_ для i=\,...,r. Тогда (С, D) - комплекс А-модулей, называемый
тензорным произведением семейства (С,, dt). Для всякой строго возрастающей после-
последовательности элементов ro,...,rk из [0,г], в которой го=0, гк~г, канонический
изоморфизм ассоциативности
( ®
представляет собой изоморфизм комплексов.
Как и выше, определяется градуированный гомоморфизм степени О
® Н(С@)->Н(® С(/>).
(Ё1 F1
Замечания. 3. Можно определить тензорное произведение конечного семейства
комплексов, не наделяя множество индексов линейным порядком (с. 86, упраж-
упражнение 3).
§ 4. Произведение кручения 73
4. Предположим, что каждый комплекс С^ наделен структурой градуированной
алгебры, которая совместима с его градуировкой и такова, что d "' являются антидиф-
антидифференцированиями (III, р. 117). Наделим тогда ® С^ структурой алгебры косого
тензорного произведения заданных структур (III, р. 49). Тогда D представляет собою
антидифференцирование. Действительно, используя ассоциативность тензорного произ-
произведения, можно предполагать, что I = {1, 2}; пусть тогда pi, qi, р2, q2 G Z, x! e (C *' ^)p j}
; имеем
®x2dy2=
2. Тензорные произведения и гомотопия
Предложение 3. Пусть С, Ci - два комплекса правых А-модулей, С'С i -
комплекса левых А-модулей и
и: С->С!, и: С^С1; и': C'-*Cl, и': С -* С[
- морфизмы комплексов,
й) Если и и и гомотопны соответственно v и v', то дваморфизмаи ей'uv®v из
С®А С' в Ci ®A С[ гомотопны.
б) ?сли и и и' - гомотопизмы, то и ®и' - гомотопизм.
в) ?сли комплекс С или С' гомотопен нулю, то комплекс С ®А С' гомотопен нулю.
Обозначаем одной и той же буквой d дифференциалы комплексов С, Сь С', Ci и
буквой D — дифференциалы комплексов С®А С' и Ci ®A С[.
Если морфизм и (соответственно и') гомотопен v (соответственно и'), то сущест-
существует градуированный гомоморфизм степени 1 s: C-*Ci (соответсгвенно s': C'-*C'i),
для которого
и - v = ds + sd (соответственно и' - v = ds' + s'd). B)
Пусть S: С ®А С' -> Ci ®A Ci — однозначно определенный градуированный гомомор-
гомоморфизм степени 1, при котором для х G Ср, у G C'q, p, qGZ,
S(x ®y) = s(x)®u 'О) + (-1 )pv(x) ® s '(у). C)
Тогда в предшествующих обозначениях имеем:
= D(sx ® и» + (-l)pD(ux ® s» + S(djc ® j) + (-l)pS(x ®dj) =
= dsx®«'>1 +(-l)p+lsx®du'y +(-l)pdvx ®s'y +vx ®ds'y +sdx®u'y
+ (-l)p~' vdx e s'j + (-l)psx ® u'dj + да вs'dj = (ds + sd) (*) ® u'y +
+ их® (ds' + s'd) (у) = (ил - vx) ® u'j + tec ® (m'j - uV) = их ®и'у - vx
Это дает, что DS + SD = u®m'-u®i/, откуда следует а).
Докажем б). Если и и и' — гомотопизмы, то существуют морфизмы комплексов
a: Ci ->С и а': Ci -* С', для которых морфизмы и ° а, а ° и, и'о а, а' ° и' гомо-
74 § 4. Произведение кручения
топны соответственно IdCi, IdC) Idc» и Idc'. Тогда морфизм (и ® и') о (а ® а'), кото-
который равен (м о а) ® (м' о а'), гомотопен, согласно а), IdCl ® Id^ =? IdCj ® С', тогда
как морфизм (а ® а')о (м в м') гомотопен IdCe С', откуда следует б). Наконец, в)
следует из утверждения б), примененного к случаю, когда комплекс Ci или С i ну-
нулевой.
Следствие 1. Пусть С' - расщепляемый комплекс левых А-модулей, для кото-
которого модуль ЩС') плоский. Для всякого комплекса С правых А-модулей канониче-
каноническое отображение
7(С,С): Н(С)®АН(С')-*Н(С®АС')
биективно.
Согласно определению 6, с. 39, существует гомотопизм и': С' -*¦ Н(С'). Согласно
предложению 3,1^ ®м': С ®АС ->С ®АН(С') — гомотопизм; так как
НAС * и') о 7(С, С) = 7(С, Н(С')) о A н(с) ® Н(и'))
и так как отображения НAс ®м') и Н(и') биективны, то достаточно доказать, что
отображение т(С, Н(С')) биективно, и мы пришли к случаю, когда комплекс С' плос-
плоский и с нулевым дифференциалом. В этом случае канонические точные последователь-
последовательности
(I) 0-»Z(C)^C^ В(С)-*0,
(II) 0
дают точные последовательности:
О » Z(C) ® А С -i?i» С ® А С -5^» В(С) ® А С > 0 ,
О > В(С) ® а С ¦±^L* Z(C) ® а С' ^^-^ Н(С) ® а С' > 0 .
Так как d = i ° / ° 5, то D = с? ® 1С' =• 0* ® 1) <> (/ ® 1) ° (б ® 1), и это показы-
показывает, что канонические отображения Z(C)®AC' ¦"¦• Z(C®a С1) и В (С) ®А С -*¦
-*¦ В(С ®а С1) биективны,следовательно, таково же и отображение 7(С, С1), получае-
получаемое посредством перехода к фактормодулям.
Следствие 2. Пусть N - плоский левый А-модуль. Для всякого комплекса
правых А-модулей С канонические гомоморфизмы
7«(C,N): Н„(С) ®А N^H«(C ®A N>
биективны.
Следствие 3. Пусть С' - комплекс левых А-модулей, для которого модули
В (С) и Н(С') проективны. Для всякого комплекса правых А-модулей С отображе-
отображение-у (С, С1) биективно.
Действительно, комплекс С' расщепляем (с, 39, пример 4) и модуль Н(С') проек-
тивен; следовательно, можно применить следствие 1.
Замечания. 1. Используя изоморфизмы коммутирования, можно вывести из
следствий 1, 2 и 3 аналогичные утверждения, получаемые обменом ролей двух аргу-
аргументов тензорных произведений.
2. Мы увидим ниже (с. 84, следствие 4), что заключение следствия 1 остается спра-
справедливым, если предполагать,что компле.ксыС' и Н(С') плоские и С' ограничен справа.
3. Тензорное произведение иа плоский комплекс,
ограниченный справа
Лемма 1. Пусть С - комплекс правых А-модулей м Е - комплекс левых А-моду-
А-модулей. Предположим, что Н(С) = 0 и что Е плоский и ограниченный справа. Тогда
Н(С®АЕ)=О.
Для k e Z пусть Т( ' — подкомплекс в С ®А Е, для которого
(= 2 Ср®АЕч;
p+qr=n
q<k
§ 4. Произведение кручения 75
Тогда Т^к~ ^ С Т^ , и имеем точную последовательность комплексов:
c&A ?fc(_*)->.О,
где ik — каноническое вложение и где п проектирует указанную выше прямую сум-
сумму на ее слагаемое Cn-k ®a Efc = (С ®А Efc (-?))„. Согласно следствию 2 выше,
имеем: Н(С ®А Ек(-к)) = 0, следовательно, ik - гомологизм. Но т'*> =0 для дос-
достаточно малого к, поскольку комплекс Е ограничен справа; следовательно, индукци-
индукцией по к заключаем, что H(T***) =0 для всякого к. Наконец, канонический морфизм
lim Т^ -*¦ С ®а Е, очевидно, является изоморфизмом, следовательно, Н(С ®А Е) =
= 0 (с. 34, предложение 1).
Лемма 2. Если и: С -> С' - морфизм комплексов правых К-модулей «Е- комп-
комплекс левых А-модулей, то комплексы Соп(м) ®АЕ и Соп(м в 1Е) изоморфны.
По определению, Соп(м) ®А Е есть градуированный модуль (С'(-1) ® С) ®А
®а Е, наделенный дифференциалом D, при котором, для х €. Ср, у ес'(-1)р =
D((y',x) ® z) = (-dy',dx-u(y')) ® z + (-l)p(y',x) e dz,
тогда как Соп(м в 1Е) есть градуированньш модуль (С' ®А Е) (-1) ® (С ®А Е),
наделенный дифференциалом Di, при котором для х G Ср, у' G С'р_ i, z е Еч
DiO' ® z, х ® z) =
= (-dy' ® z-(-\)p-ly' ® dz, dx в z + (-l)px ® dz - и(у') ® z) =
= (-d^' ® z, (dx-мСу')) ® z) + (-l)p(y' ® dz, x ® dz),
откуда следует утверждение.
Предложение 4. Пусть и: С -> С' — гомологизм комплексов правых А-моду-
А-модулей и Е - комплекс левых А-модулей, плоский и ограниченный справа. Тогда
и ® 1Е: С ®А Е-*С' ®А Е
- гомологизм комплексов к-модулей.
Действительно, согласно следствию на с. 42 и (соответственно и ® 1Е) — гомоло-
гомологизм, если и только если Н(Соп (м)) =0 (соответственно Н(Соп (м ® 1Е)) = 0)).
Нужное заключение получаем теперь посредством лемм 1 и 2.
Замечание. Используя изоморфизмы коммутирования, можно вывести из
предыдущих утверждений аналогичные утверждения, получаемые обменом ролей
двух аргументов тензорных произведений.
4. Определение и простейшие свойства произведения кручения
Для всякого А-модуля Е обозначим через рЕ: L(E) ->E его каноническую свобод-
свободную резольвенту (с. 56).
Определение 1. Пусть М — правый А-модуль и N — левый А-модуль. Произве-
Произведением кручения для М и N называете* градуированный fc-модуль
ТогА (М, N) = Н(L(M) ®A L(N)). D)
Однородные компоненты для TorA (M, N) обозначаются через
TorA (M, N) = Н„ (L(M) ®A L(N)). E)
Так как комплексы L(M) и L(N) нулевые справа, то
ТогА (М, N) = 0 при п < 0. F)
Замечание 1. Ниже (с. 108, предложение 6) мы рассмотрим свойства конеч-
конечности модулей TorA (M, N). Например, если А — нётерово коммутативное кольцо
и если М и N - А-модули конечного типа, то каждый А-модуль TorA (M, N) имеет
конечный тип.
Пусть /: М -> М' — гомоморфизм правых А-модулей и g: N -> N' - гомоморфизм ле-
левых А-модулей, положим TorA (f, g) = H(L(/) ®A L (д)); это гомоморфизм градуи-
76 § 4. Произведение кручения
рованных Л-модулей
TorA (f,g): TorA(M,N)->TorA(M',N'),
однородные компоненты которого обозначаются через
TorA (f,g): Tor A (M, N) -> Tor A (M', N').
Согласно предложению 1, с. 71, канонический гомоморфизм
Г0H: Но (L(M)) ®А Но (L(N)) -> Но (L(M) ®А L(N))
биективен; используя изоморфизмы М -> Но (L(M)) и N -> Но (L(N)), получаем отсю-
отсюда изоморфизм
rM>N: М®А N + Tor0A(M,N), G)
называемый каноническим.
Мы всегда будем отождествлять TorA (M, N) с М ®А N посредством этого изо:
морфизма, При этом Л-линейное отображение TorA (f, g) отождествляется с / ® g.
Замечание 2. Морфизм комплексов ри ® Pn: L(M) ®a L(N) ->• М ®А N
индуцирует на гомологии степени 0 изоморфизм
ТйУ Tor0A(M,N)->M ®A N,
обратный к 7m,n-
Имеем: LAm) = 1 цм) . LAn) = 1l(N) . следовательно, переходя к гомологии,
получаем:
TorA(lM,lN)=lTorA(MN). (8)
Если /' : М'->М" (соответственно g' : N'->N") - гомоморфизм правых (соответ-
(соответственно левых) А-модулей, то L(g'о g) =L(g') о L(g) и L(/'°/) = L(/') ° L(/),
следовательно,
TorA(/',/^'o^) = TorA(/',g')oTorA(/^). (9)
Рассмотрим морфизмы Аг-комплексов
ЦМ) ®А N d®fs- ЦМ) ®А L(N) -^^* M ®A L(N)
и Аг-гомоморфизмы, которые они индуцируют в гомологии:
H(L(M) ®А N) &?±- ТогА (М, N) ^^ Н(М ® А L(N));
согласно предложению 4, с. 75, 1 ®pN и рм ® 1 - гомологизмы. Отсюда:
Предложение 5. к-гомоморфизмы
фм(Н): TorA(M,N)->H(L(M) ®A N),
fN(M): TorA(M, N)-> Н(М ®А L(N))
биективны.
Следствие. Если модуль М или N плоский, то Тог;А (М, N) =0 при i > 0.
Предположим,что модуль N (соответственно М) плоский; тогда рм ® 1: L (M) ®A N-*
->М ®А N (соответственно 1 ®pN:M ®AL(N) ->M ®A N) - гомологизм (с. 75, предло-
предложение 4), следовательно, модуль H;(L(M)®AN) (соответственно H/(M®AL(N))
нулевой при i > 0.
Замечание 3. Если g: N ->• N' — гомоморфизм левых А-модулей, то
§ 4. Произведение кручения TJ
следовательно, диаграмма
H(L(M)<g>AN)
Tor* (I, 3I I H(l g) g)
Tor* (M, N') :!^- Н(ЦМ) <g>A N')
коммутативна.
Точно так же, если/: М-*М' - гомоморфизм правых А-модулей, то имеем ком-
коммутативную диаграмму:
TorA(M, N) h^l^ h(M®aL(N))
Tor4 (/,1I |н(/®1)
Тог* (M', N) ^-^^*- H(M' <g>A L(N)).
Предложение 6. Отображение (ffg) ^Tor^ (f,g) :
НотА(М, М') X HomA(N,N')-HHomfc(TorA(M, N), TorA(M', N'))
Пусть/€HomA(M,M'),fi,f2 GHom(N,N'),Xi,X2 €fc. Тогдаморфизмы
Х1(Ц/)®^1)+Х2(Ц/)®Я2) И L(f)®(\igl+\2g2)
из L(M) ®A N в L(M' ) ®A N'совпадают; согласно предложению 5 и замечанию 3,
имеем, следовательно:
ТогА(/Д, gi +X2*2) = X, TorA(/(f,) + ^TorA(/,f2). A0)
Аналогичные рассуждения используются и для отображения f*+ TorА (/, g).
Следствие. Яисгь X е Л. ?слм элемент X аннулирует М шш Н го ои аннулирует
мТогА(М,Ы).
Действительно,
Предложение 7. Яисгь I м J - две множества, (Ма) ае i - семейство правых
А-модулей, (N^) p6 j - семейство левых А-мо$улей. Гомоморфизм
см., np) -»тог^ (е м.,
ael
получаемый из канонических гомоморфизмов Ма -*ф Ма u N^ -»¦ ® NC, биективен.
Достаточно доказать, что для всякого правого А-модуляМ (соответственно всякого
левого А-модуля N) канонический гомоморфизм
TorA(M,Nfi)->TcxrA(M, ®
(соответственно в ТогА (Ma,N)->TorA( ®. Ma,N)) биективен. Но Зто следует
aei aei
из предыдущего, из предложения 1, с. 34, и канонических изоморфизмов
ф (L(M) ®A М„) -» L(M) ®A @ N,) ,
е (м, ®А
Аналогичное рассуждение дает:
Предложение 8. Пусть I (соответственно]) - направленное вправо пред-
упорядоченное множество, ((Ма),, ("а" а)) (соответственно ((N^), (ty p)) - мк-
дуктивная система правых (соответственно левых) А-модулей относительно I (со-
78 § 4. Произведение кручения
ответственно J). Гомоморфизм градуированных к-модулей
lim TorA(Ma,N0)->-TorA( Hm Ma> lim N^),
(a,0)elXJ a?I /3SJ
получаемый из канонических А-гомоморфизмов Ma -Him Ma и Ntf-HimNp, биективен.
В частности, взяв J =1 и заметив, что элементы (a,a), аб I, образуют конфиналь-
ную часть в I XI, получаем:
Следствие. Пусть I — направленное вправо предупорядоченное множество,
(М,-, м//) {соответственно (N,-,^))- индуктивная система правых {соответственно
левых) k-модулей относительно L Гомоморфизм градуированных к-модулей
lim TorA(M,-,NI)->torA( lim M,, lim N,),
/e i /e i /e I
получаемый из канонических А-гомоморфизмов Ht -Him Mt и Ц- -Him N;-, биек-
биективен.
Пусть М - правый А-модуль, N - левый А-модуль, А° - кольцо, противоположное А,
М° - левый А°-модуль, определяемый правым А-модулем М, № - правый А°-модуль,
определяемый левым А-модулем N. Имеем: L(M°) = L(M)° и L(№) = L(N)°, откуда
следует изоморфизм коммутирования (с. 71, предложение 2):
a(L(M),L(N)): ЦМ) ®А L(N) -> L(№) ®A» L(M°).
При переходе к гомологии a(L(M), L(N)) индуцирует градуированный изоморфизм
степени 0 aM>N: TorA(M, N)->ТогА° (№,М°), называемый изоморфизмом ком-
коммутирования для произведений кручения.
Отметим, что aN«Mo ° aMN = ИТога(м> n) и что aMN индуцирует на членах
степени 0 гомоморфизм коммутирования для тензорного произведения. С другой
стороны, если/: М-*М'и#: N->N'- гомоморфизмы А-модулей, то
5. Связывающие гомоморфизмы и точные последовательности
Пусть М - правый А-модуль. Напомним, что для всякого левого А-модуля N мы
определили в предыдущем пункте (с. 76, предложение 5) изоморфизм
i//M(N): TorA(M,N)->-H(L(M)®AN).
Пусть
{&) 0->N'-^N-^N"->0
— точная последовательность левых А-модулей; тогда последовательность А:-комп-
лексов
("V) 0 у L(M) ®A N' -i?iU L(M) <8>a N -151» L(M) ®A N" -> О
является точной (с. 74, лемма 1); пусть
д{м?): H(L(M) ®A N") -> H(L(M) ®A N')
— соответствующий связывающий гомоморфизм (с. 34).
Определен Ичв 2. Композиция гомоморфизмов
3(M,Pa)=<//M(N')-1 d(M?>^M(N"): TorA(M, N")-*TorA(M, N')
называется связывающим гомоморфизмом для произведений кручения относительно
модуля М и точной последовательности (?).
Это градуированный А:-гомоморфизм степени — 1, однородные компоненты которого
обозначаются через Э„ (М, & ) : TorA (M, N") -*ТогА_, (М, N').
§ 4. Произведение кручения 79
Теорема 1. Неограниченная слева последовательность гомоморфизмом к-модулей
• — Tor? (M, N') l2lii_^TorA (MN) Totf(i,»).TorA (MN1
^^1(M.N') Т°Г--AЦ). -. 1=21^ Tort (М,Ю
''<M"'°> M ®А. N' i^V М ® А N -^- М ® А N" -— О
является точной.
Действительно рассмотрим диаграмму
Тог<I u) Tor(I.r) <2<М,сП ТогA,м
Tor(M.N') *- Tor(M.N) Tor(M,N") *- Tor (M.N1) ——* Tor (M. N)
*»(N")| *m<N|| *m(N!|
* H(l®»> * H(l(?rl ' Л) ' H(l®") '
H(L(M)® N') >Н(ЦМ)® N) -H(L(M ® N")— H(L(M) ® N') «- H(L(M) ® N)
Она коммутативна согласно замечанию 3, с. 76, и определению 2. С другой стороны,
нижняя строка точная (с. 35, теорема 1),а все отображения фм биективны (с. 76, пред-
предложение 5).
Следствие 1. Если Tor ^ (M, N") = 0, то последовательность
О > М ®А N' -^> М ®А N -^^ М ®А N" > О
точная.
Следствие 2. Пусть 0->-С'-*С-*С"-*0 - точная последовательность комплексов
левых А-модулей и Е - комплекс правых А-модулей. Если С " или Е плоский, то после-
последовательность
О >Е ® А С -^±* Е ® А С --^U Е ® А С" > О
точная.
Действительно, Torf1 (Е, С") = 0 согласно следствию предложения 5 (с. 76).
Пример. Пусть а - идеал в А. Точная последовательность
0-*Л-»Ах-»А/а->-0
левых А-модулей порождает точную последовательность произведений кручения, в
которой члены ТогА(М,А) равны нулю при / >0. Из нее получаем изоморфизмы
Tor^+i(M,A/a )^Тог^(М, а),
и точную последовательность
0->Тог^ (М.А/4 )-^M®A st-+M
из нее следует, что Тог^(М, А/а ) отождествляется с ядром канонического гомомор-
гомоморфизмам ®А Л-^-М.
Например, взяв в качестве М модуль вида А^/Ь, где Ь — правый идеал в А, получаем
изоморфизм ^-модуля Тог^ (А/ Ь, А/й )на(йП&)/{>а.
Предложен ие 9. Пусть /: М ->¦ М, - гомоморфизм правых А-модулей и
(ё) 0 —^ N' -^ N -!— N" —- О
(Л) о -* n; Д^ n, ^N'; -^ о
-коммутативная диаграмма с точными строками из гомоморфизмов левых А-модулей.
80 § 4. Произведение кручения
Диаграмма к-модулей
Тог* (М, и*)'*"'**» Тог* (М, N')
Tor* (f.g")\ iTor* (/.о)
. * а(м,,*,) *
Тог* (М„ N',') ^ ТогА (М„ N',)
коммутативна.
Это следует из предложения 2 (с. 36), примененного к коммутативной диаграмме
0 •—*¦ L(M) <g>A 1ST -^~ L(Mj <g>A N -^ L(M) <g>A N" —*- 0
Ц/) ® И L(/) ® J Ц/) О 9"|
о —*¦ мм,) <g>A n; ^? мм,) <g>A n, '-^ цм,) <g>A N';—- о.
Аналогичным образом, если N — левый А-модуль и
(F) 0-*M'-t->-M-s4-M"-*0
— точная последовательность правых А-модулей, то определяются связывающие го-
гомоморфизмы
d(#\N):TorA(M",N)-+TorA(M',N), 3n(F,N): Tor A(M",N)-* Tor^j (M',N)
по формуле 3(F, N)=^j(M')'1 =3(fN)oifN(M"), где 9(^"N) - связывающий
гомоморфизм из точной последовательности
(TN) 0-*M'®AL(N)^M®AL(N)-*M"®AL(N)-*0,
получаемой из ^, и имеет место
Теорема 1 bis. Неограниченная слева последовательность гомоморфизмов к-
модулей
Тог? (г, 1) TorJ (j, 1) й.(#\ N)
-^ Tor^M'. N) •> Tor* (M, N) Тог* (М'\ N) «-Tor*. ,(M', N)
a,(#\N) r®i *®1
¦¦•-^Тог*(М", N)- ^ M'®AN >М <g>AN >- M"®AN —^ 0
является точной.
Предоставляем читателю сформулировать и доказать свойства, аналогичные следст-
следствиям из теоремы 1 и предложению 9. Кроме того:
Предложение 10. Обозначим через (F0) точную последовательность левых
А°-модулей
Диаграмма
Tor* (M", N) **• Nt Tor* (Mf, N)
Tor*°(№, M"°) ^ Tor*°(№, M'°)
коммутативна.
Действительно, это следует из предложения 2 (с. 36), примененного к коммута-
коммутативной диаграмме
0 —- М' ®А L(N) -L^*- M <g>A L(N) -i&i*- M" ®A L(N) —> 0
o(M\ UN)) I o(M, UN))I o(M". L(N)) I
0 —*- L(N) ®A. M'° ^i- L(№) ®A. M° i^i- L(№) ® A. M"° —^ 0 .
Мы увидим в дальнейшем другие соотношения коммутирования (с. 135, следст-
следствие 1).
§ 4. Произведение кручения 8]
6. Плоские модули и произведения кручения
Теорема 2. Пусть Е - правый А-модуль. Следующие условия эквивалентны:
(i) E — плоский модуль;
(И) для всякого левого А-модуля F и всякого целого п> О
Tor,A(E,F) = 0,
(iii) для всякого конечно представимого моногенного левого А-модуля F
Tor^E,F) = 0,
(iv) для всякого левого идеала конечного типа Л в А каноническое отображение
Е ®А л -*Е инъективно;
(v) для всякой точной последовательности правых А-модулей, имеющей вид
O^G-^H-^-E^O,
и всякого левого А-модуля F последовательность
О ^G®AF-^H®AF^.E®AF >0
точная.
(i) =* (ii) : это следствие предложения 5, с. 76.
(И) =*(Ш) : это тривиально.
(iii) *=>(iv): всякий конечно представимый моногенный левый А-модуль изомор-
изоморфен фактормодулю А/й , где а -левый идеал конечного типа; так что условие (iii)
эквивалентно (iv) согласно примеру на с. 79.
(iii) =* (i): согласно предложению 3, с. 12, и теореме 1, с. 79, модуль Е плоский, если
Tor^ (E, F) = 0 для всякого левого А-модуля F. Если (iii) выполняется, то это так,
когда модуль F моногенный и конечно представимый. Согласно предложению 7, с. 15,
всякий А-модуль (соответственно всякий моногенный А-модуль) представляется как
направленный индуктивный предел конечно представимых модулей (соответственно
конечно представимых моногенных модулей); мы видим, таким образом, что, согласно
предложению 8, с. 77, достаточно доказать, что если Tori^ (E, F) = 0, когда модуль F
моногенный, то это также верно и когда модуль F конечного типа. Проводим, следова-
следовательно, индукцию по числу элементов в системе порождающих (/\,... ,/„) модуля F;
точная последовательность
О -> А/, -»• F -> F/A/, -> О
определяет точную последовательность
так что Tor^ (E, F) = 0, поскольку Toi^ (E, A/i) = 0 и так как Tor^ (E, F/A/,) = 0 по
индуктивному предположению.
(О ** (v) '¦ это следствие 2 из теоремы 1 (с. 79).
(v) => (iii) : точная последовательность (с. 56).
О -> Z0(E) -X. L0(E) ^ Е -* О
определяет для всякого левого А-модуля F точную последовательность
О > Тог? (Е, F) > Z0(E) ®А F А®1» Lo(E) 0Д F 1ш®± Е ®А F > 0 .
Если (v) выполняется, то Тог^ (Е, F) = 0, откуда следует (iii).
Следствие 1. Пусть 0-*Е'->Е->Е"->0 - точная последовательность правых
А-модулей. Предположим, что Е" плоский. Тогда для того чтобы модуль Е был плос-
плоским, необходимо и достаточно, чтобы плоским был Е'.
Пусть F - левый А-модуль. Так как Тог^ (Е", F) = 0 при / = 1,2 (теорема 2, (i) =*
=* (ii) ), то имеем точную последовательность
0-> Tor^(E', F)-> Tor^(E, F)-> О,
откуда следует утверждение (теорема 2, (i) *=> (Hi)).
6, Н. Бурбаки-
82 § 4. Произведение кручения
Следствие 2. Пусть O-»-En-»-En_i-»-...-*Ei -*¦() — точная последовательность
правых k-модулей. Если модуль Е{ плоский для i = 1,..., п — 1, то модуль Е„ плоский.
7. Формула Кюннета
В этом пункте мы рассматриваем комплекс (С, d) правых А-модулей и комплекс
(С', с?') левых А-модулей. Рассмотрим канонические точные последовательности:
(I) O
(II) 0-»-B(C)-i*Z(C)-?*H(C)-»-0;
из 5 получаем А:-гомоморфизм
НFв1): Н(ОАС)-*Н(В(С)®АС')(-1);
из (II) получаем связывающий гомоморфизм
Э(П, Н(О): Тог,А(Н(С),Н(С'))- В(С)вАН(С);
если наделить Тог*(Н(С), Н(С')) градуировкой, однородная компонента степени и
которой представляет собой © ТогА(Нр(С), НЧ(С')), то этот связьтающий гомо-
p+q =n
морфизм будет градуированным степени 0. Мы располагаем также каноническим гомо-
гомоморфизмом (с. 71)
7(В(С),С): В(С)вАН(С')-Н(В(С)вАС).
В этих обозначениях имеем:
Теорема 3. Предположим, что А-модули В (С) и Z(C) плоские. Существует
единственный гомоморфизм степени -1 градуированных к-модулей
а: Н(С®АС')-*ТогА(Н(С),Н(С)),
при котором коммутативна диаграмма
Н(С ®А С) а * Tort(H(C), Н(О) (- 1)
Н(8®1)| ]Э(И,Н(С'))
?(В(С),С)
Н(В(С).®А С) (- 1) ++ ¦ (В(С) ®А Н(О) (-т 1).
Последовательность градуированных к-модулей
0 > Н(С) ® А Н(С') ^^ Н(С ® А С) —5-» Тог^ (Н(С), Н(С')) (-1) •¦ 0
точна.
Имеем, следовательно, для каждого п точную последовательность
О > 0 Нр(С)®АН,(С'M^?^н„(С®АС)
rf
Torf (Hp(C), Н,(С')) > 0 .
Положим для простоты В = B(C),Z = Z(C),H = H(C) и Н' =Н(С').
Так как модуль В плоский, получаем из A) точную последовательность (с. 79,
следствие 2)
0 ;Z®AC'-i^C<g)AC'-^(B®AC')(- 1) >0. A2)
Лемма 3." Связывающий гомоморфизм Н(В ®А С') -»-H(Z ®A С), соответствую-
соответствующий точной последовательности A2), равен Н(г® 1).
Действительно, пусть а€ 2(В ®А С'); так как модуль В плоский, то а принадлежит
образу В ®А Z(C'), следовательно, записывается в виде Y,da\ ® 6,\, гдеа^ G С, Ь\ 6 С ,
х.
§ 4. Произведение кручения .83.
db\ = 0. Образ класса а при искомом гомоморфизме есть, по определению, класс эле-
элемента D(Xa\ ® Ьх) = ^dax ® b\ = (i® 1) (а), откуда следует лемма.
Гомологическая точная последовательность, ассоциированная с A2), имеет, следо-
следовательно, вид:
1 > Н(В ® А С) (- 1) ( > H(Z ®А С) (- 1).
Кроме того, так как модуль Z плоский, получаем из (II) точную последовательность
градуированных ^-модулей
О
наконец, мы располагаем каноническими гомоморфизмами из п. 1:
7в=7(В,С):
7z=7(Z,C):
7С=7(С,С): Н®АН'-Н(С®АС),
откуда получается диаграмма градуированных А:-модулей с точными строками
Ч н„ » ^ о®» Ч
Н(В ® С) "" ® " H(Z ® С') ^-^ Н(С ® С) ^^ Н(В ® С) (- 1) ^^ H(Z ®
-1).
которая коммутативна по определению гомоморфизмов у. Но так как комплексы
В и Z расщепляемые и плоские, отображения уъ и yz биективны (с. 74, следствие 1).
Из этого выводим, с одной стороны, что отображение 7с инъективно и его образ равен
КегНF® 1), а с другой стороны, что отображение ув о Э(И, Н') инъективно и его
образ равен ImHE ® 1). Отсюда непосредственно следует утверждение теоремы.
Следствие 1. Если модули В (С) и Z (С) плоские, то для всякого левого А-
модуля Nm всякого целого п имеет место точная последовательность
О -^ Н„(С) ®А N ^ Н„(С ®А N) -^ Tort (Н„- х(С), N) -^ 0 . A3)
Следствие 2. Предположим, что модули В (С) и В(С') проективны и модуль
Z(C) плоский. Тогда последовательности к-модулей A1) м A3) точные и расщеп-
расщепляемые.
Это вытекает из теоремы и следующей леммы:
Лемма 4. Если модули В (С) и В(С') проективны, то канонический гомоморфизм
7(С, С): Н(С) ®АН(С')- Н(С ®АС)
обладает k-линейной ретракцией.
Действительно, согласно замечанию б), с. 40, существуют гомологизмы у: С-*Н(С)
и у'; С'^-Н(С'), для которых Н(^)=1Н(с) и Н(^') =1н(с'). В коммутативной
диаграмме
Н(С)®АН(С) Y(C'C> > Н(С®АС)
Н(ф)®
') и 7(Н(С), Н(С')) - тождественные отображения, откуда следует утверж-
утверждение.
Следствие 3 ("формула универсальных коэффициентов"). Предположим, что
А - кольцо главных идеалов. Если комплексы Сн С свободные, то последователь-
6*
84 § 4. Произведение кручения
ности А-модулей A1) точные и расщепляемые; если комплекс С свободен, то после-
последовательности А-модулей A3) точные и расщепляемые для всякого к-модуля N.
Действительно, В (С), Z(C) и В(С') — подмодули свободных модулей С, С, С1,
следовательно, свободны (VII, § 3, cor. 2; Алгебра, VII, с. 43, теорема 1), и применимо
следствие 2.
Следствие 4 ("формула Кюннета"). Предположим, что комплекс С ограничен
справа, С и Н(С) — плоские; тогда канонический гомоморфизм
7(С,С): Н(С)®АН(С')+ЩС®АС')
биективен.
Согласно теореме, достаточно доказать, что модули В (С) и Z(C) плоские. Но имеют
место точные последовательности
откуда, согласно следствию 1, с. 81,импликации: (В„_!(С) плоский) =*(Zn(C) плос-
плоский) =* (В„(С) плоский) ; завершаем доказательство, замечая, что В„(С) =0 при доста-
достаточно малом п.
Следствие 5. Пусть и: С-*С' - гомологизм комплексов правых к-модулей,
плоских и ограниченных справа. Дня всякого комплекса Е левых А-модулей морфизм
м® 1е: С ®аЕ-*С* проявляется гомологизмом.
Действительно, комплекс Соп(м) плоский, ограниченный справа и с нулевой го-
гомологией; следовательно, Н(Соп(м) ®АЕ) =0 согласно следствию 4, следовательно,
Н(Соп(и ® 1Е)) = 0 (с. 75, лемма 2), и и ® lg - гомологизм.
8. Ограниченные плоские комплексы над нётеровым кольцом
Предложение 11. Предположим, что кольцо А нётерово слева, и пусть С — огра-
ограниченный плоский комплекс левых А-модулей, для которого Н (С) - А-модуль конеч-
конечного типа. Пусть а и Ъ - два таких целых числа, что а <? и Н„(С) = 0 при п< а, С„ = О
при п>Ь. Существуют комплекс Р левых А-модулей, в котором Р„ - проективный
модуль конечного типа при каждом и и Р„ = 0 при пф [а,Ь], и гомологизм и: Р-*С.
Кроме того, для всякого комплекса Е правых А-модулей гомоморфизм
НAЕ®м): Н(Е®АР)->Н(Е®АС)
биективен.
Согласно предложению 7, с. 59, существуют комплекс (L, d), в котором модуль
Ln свободен и конечного типа при каждом и и нулевой при п<а, и гомологизм/:
L->C. Пусть Р — факторкомплекс L/L', где Lj, = O при n<b, Lj, = Ln при п>Ь, Ь'ь =
= Bft(L). Так как Сп = 0 при n>b, to/(L') = 0, следовательно, отображение/фактори-
зуется через морфизм комплексов и: ?-*С:
... —*~ Lb+i •- Lb •- Lft_, *- ...
\ J II
р — р, — р,_, —...
\ 1" I*-
о -*- с„ -^сь_,-». ...
Так как/ — гомологизм, то Н(Соп(/)) = 0,откуда получаем точную последовательность
-¦••*¦ Lj+j > Lu -*¦ Lu_i ® Си -^^ь-г фСй_1 -»¦...
Имеем, следовательно, точную последовательность
Она показывает, с одной стороны, что конус морфизма и имеет нулевую гомологию
§ 4. Произведение кручения 85
и, следовательно, и - гомологизм, а с другой стороны, что модуль ?ь плоский (с. 82,
следствие 2); так как модуль Рй конечного типа как фактормодуль модуля Lb+1,
то он проективен (с. 17, следствие). Пара (Р, и) отвечает, таким образом, требуемым
условиям. Последнее утверждение следует из следствия 5, с. 84.
'Пример. Пусть А - нётерово коммутативное кольцо, X - собственная плоская А-схсма,
9- - когерентный Й^-модуль, плоский над А. Существует такой ограниченный комплекс Р, обра-
образованный проективными А-модулями конечного типа, что для всякого А-модуля М модуль
Н(Х, ^"»АМ) естественным образом отождествляется с Н(Р®АМ). Действительно, пусть U -
покрытие X конечным числом аффинных открытых множеств, &(Ц ,&¦) -соответствующий комп-
комплекс Чеха. Показывается, что модуль Н'(?(Ц , 3-У) изоморфен А-модулю Н'(Х, &) и что этот
последний имеет конечный тип; кроме того, для всякого А-модуля М комплекс аA1,50 »АМ изо-
изоморфен комплексу аШ.^вдМ). Применяя предложение 11 к комплексу &(U.>) (который
ограничен), получаем искомый комплекс Р.
Для всякой точки у из Spec(A) обозначим через к (у) иоле вычетов кольца А в у, через Ху -
= X®AfcO>) -слой X над у, 3:у=3:'*Ак(у), и положим hP(y) = dimfc(>,j HP(XV. & у) для />> 0.
Из существования комплекса Р легко выводятся следующие результаты:
(i) функция hpполунепрерывна сверху на Spec(A);
(и) функция Б (-1) PhP локально постоянна на Spec(A). .
р> 0
9. Обобщение на комплексы мультимодулей
Пусть В и В' — два кольца, С - комплекс (В, А)-бимодулей, С' - комплекс (А, В')-
бимодулей (с. 45); тогда (С®аС\ D) (с. 71) - комплекс (В, В')-бимодулей и кано-
канонический гомоморфизм
у: Н(С)®АН(С')->Н(С®АС)
совместим со структурами (В, В')-бимодулей на обоих членах.
Если В" - третье кольцо и С" - комплекс (В', В")-бимодулей, то канонический
гомоморфизм (II, р. 64, prop. 8)
(С®АС')®в'С"->С®А(С'®в'С")
представляет собой изоморфизм комплексов (В, В" )-бимодулей.
Для дальнейших обобщений мы предоставляем читателю развить теорию тензорных
произведений линейно упорядоченных конечных семейств комплексов мультимодулей
по образцу п.1 (с. 72) и II, р. 65-72 (изоморфизм ассоциативности, коммутатив-
коммутативности, .. .). (
Пусть В и В' -двакольца, к*-3) и А^в * - моноидные алгебры мультипликативных
моноидов колец В и В' соответственно, М - (В, А)-бимодуль, N - (А, В')-бимодуль;
тогда согласно (8), с. 57, L(M) представляет собой комплекс (к^в\, А)-бимодулей,
a L(N) - комплекс (А, &(В ^)-бимодулей, и, следовательно, L(M) ®AL(N) - комплекс
(к^в\, к^ъ )) -бимодулей, так что TorA (M, N) естественным образом наделяется струк-
структурой градуированного (&^, А^в ^)-бимодуля, которая посредством канонических
гомоморфизмов к*-3) ->-В, А:^в * ->В* индуцирует на TorA (M, N) структуру (В, Ва-
Вабимо дуля Гер. с. 57, замечание); на члене степени 0 зта структура совпадает со струк-
структурой (В, В )-бимодуля HaM®AN.
Если Хе В, Х'ев' и если обозначить через Хм, Х^ДтДт гомотетии *<-*Х*, у *->
>-*у\', zn-\z, z^+zX' на M,N, Tor A(M, N),TorA(M,N) соответственно, то
XT=TorA(XM,lN), X'T=TorA(lM,X'N),
и это дает другое описание структуры бимодуля на TorA (M, N).
Мы предоставляем читателю обобщить п.5 и 7 на случай комплексов мультимодулей.
Упражнения
1. Обозначим через В кольцо А (в) (с. 32) ; пусть С - комплекс (В, В)-бимодулей, для которого
С„=В при всяком neZ, d(x) = ex при любом хе С- Показать, что комплекс С имеет нулевую
гомологию, но что модуль Н„(СвзС) изоморфен А при всяком ле Z. Вывести отсюда, что нельзя
устранить предположение "комплекс Е ограничен справа" в лемме 1 и предложении 4, с. 74-75.
86 § 4. Произведение кручения
2. Пусть р: А ->В - гомоморфизм колец, М - А-модуль, Показать, что следующие свойства экви-
эквивалентны:
а) Тог, (р»(Р), Л1) = 0 для всякого правого В-модуля Р.
/3) Тог, (р»(Р) , М) =-0 для всякого моногенного правого В-модуля Р.
А
7) В-модуль ВвАМ плоский и Тог, (В, М) = 0.
(Чтобы увидеть, что у) —¦ а), рассмотреть точную последовательность 0 -<¦ R -* L -<¦ Р -<¦ 0 правых
В-модулей, в которой L свободен.)
3, Предположим, что кольцо А коммутативно. Пусть I — конечное множество и (О ' ,-d"'),
i e I, — семейство комплексов А-модулей.
а) Наделим тензорное произведение ® С *" градуировкой по типу Z и А-эндоморфизмами
dt = ® d, , где d, - 1 ,п при / Фг nd. = d *• , Показать, что таким способом мы полу-
чаем I-предкомплекс (упражнение 13, с, 49); ассоциированный 1-комплекс называется тензорным
произведением комплексов С *''. Комплекс, ассоциированный с этим I-комплексом, также назы-
называется тензорным произведением комплексов С *¦ ,
б) Показать, что выбор линейного порядка на I позволяет определить изоморфизм комплекса,
являющегося тензорным произведением комплексов С , на комплекс, определенный на с. 72.
4. Пусть л - двусторонний идеал в А, Пусть М - А-модуль, для которого Тог, (А/в , М) = Ои
(А/а ) -модуль М/а М проективен.
а) Предположим, что модуль М конечно представим и Л содержится в радикале кольца А или
что 0 нильпотентен. Показать, что М проективен (использовать VIII, § 8, п° 3, сог, 3).
б) Предположим, что модуль М конечного типа, что п в" = 0 и что (А/в ) -модуль М/ о М свобо-
¦ л
деи, Показать, что А-модуль М свободен.
р) Дать пример локального кольца А с максимальным идеалом Ш н неплоского А-моДуля конеч-
конечного типа М, для которого Тог, (А/Ш.М) =0.
5. Предположим, что существует (унитарный) гомоморфизм fc-алгебр я-; А --к, который наде-
наделяет к структурой А-модуля. Рассмотрим стандартную резольвенту В (А, к) (с. 62); для л > 0
отождествим В„(А, к) с А»^А "и обозначим через «[«,, .-., а^ элемент а в а, в ... в а„ из
а) Показать, что комплекс В (А, к) в^ В (А, к) определяет резольвенту (А ®& А)-модуля к.
Показать, что (A ®fc А)-линейный гомоморфизм
g: B(A»kA,k)-* B(
при котором
p1 n[,p, ... Ур[ур+1, ...,
0<~р<п
для х,, „., х„, у, у„е А, представляет собою морфизм резольвент.
б) Предположим, что кольцо А коммутативно. Показать, что на В (А, к) существует структура
градуированной А-алгебры, относительно которой для х,,..., х„<~ А:
[х1,...,хр)[хр+1,...,х„]= 2
где Мр „ — подмножество в @„, образованное перестановками а, для которых стA) < ... < ст(р) и
ст(р+ 1) < ... < ст(л).
Показать, что тогда В (А, к) представляет собой градуированную дифференциальную А-алгебру
(с. 69, упражнение 18).
6. Пусть Р - плоский комплекс правых А-модулей. Для всякого А-модуля М и всякого целого /
положим
Т?(М) = Н,(Р ®А М),
р
если и: М -»¦ N - А-гомоморфизм, то обозначим через Т; (и) ^-гомоморфизм Н; Aр ® и),
а) Пусть г - целое число. Показать, что следующие условия эквивалентны:
а) Для всякого вложения и: М' ->М отображение Тг (и) инъективно.
/3) Для всякой сюръекции v: М-»М" отображение Тр"+1 (и ) сюръективно,
у) Правый А-модуль РГ/ВГ(Р) плоский.
§ 4. Произведение кручения 87
б) Существуют плоский комплекс правых А-модулей Р', в котором дифференциал dr+l нулевой,
и для всякого А-модуля М и всякого целого i такой Ас-изоморфизм <р{ : Tf (М) -*Тt (M), что
тГ'(«)о^ = *f°T?(«)
для всякого А-гомоморфизма и: М -> N.
(Чтобы доказать, что у) влечет 6), определить Р', положив P|.+i = Zr+i (Р) и Р? = Pr/Br (P).)
б) Предположим дополнительно, что кольцо А иетерово и что А-модули Р/ конечного типа.
Показать, что условия из а) эквивалентны следующему условию: .
е) Существуют А-модуль Q и для всякого А-модуля М такой ^-изоморфизм \1> : ТиМ) -»
-» Нотд (Q, М), что ii о Тг {и) = Нот A, и) » 0 для всякого А-гомоморфизма и: М -»N.
(Чтобы доказать, что «) влечет е), перейти к случаю, когда dr+i = О, и взять в качестве Q мо-
модуль, сопряженный к Zr (P).)
в) Показать, что результат пункта б) остается справедливым в предположении, что кольцо А
нетерово, модули Н,-(Р) конечного типа при всяком i и Н,-(Р) = 0 при i < /0 (использовать предло-
предложение 10, с. 61).
7. Пусть С - комплекс правых А-модупей и М — левый А-модупь. Произведением кручения С и М
называется градуированный Аг-модуль for (С, М) = Н(С»д 1.(М)).Если/: С-*С' —' морфизм ком-
комплексов и g: М -»М' - гомоморфизм А-модулей, то обозначим *Гог (/, g) = Н (/ в L (g)).
а) Если /: С-»С' - гомологизм, то ?Гог (/, 1) - изоморфизм; если С - плоский и ограничен
справа, то градуированный ^-модуль STor (С, М) изоморфен Н (С в д М).
б) Если 0-»С -*С-*С " -*'О - точная последовательность комплексов правых А-модулей и если
М - А-модуль, то показать, что существует точная последовательность
, М) ^ <^Ь^(С, М)
Если 0-»М' -*М->М" -+ 0 - точная последовательность А-модулей, то показать, что существует
точная последовательность
(Заметить, что существует гомотопизм комплекса L (М" ) "йа коиус L (/).)
в) Показать.что существует спектральная последовательность ТЕ (с.49-51, упражнения 14-17), схо-
сходящаяся к аГог (С, М), для которой ' Щ)> q f ТоГр (H? (С), М). Если комплекс С ограничен справа,
показать, что существует спектральная последовательность "Е, сходящаяся v. Sot, (С, М) Рдля кото-
которой " Ер( q = Hp(Tor<j (С, М)) (рассмотреть бикомплекс С вд L (М)).
8. Пусть А, В - две ^-алгебры (ассоциативные и унитарные), М - правый А-модуль,Р-левый
В-модульи N- (А, В)-бимодуль.
а) Показать, что существуют две спектральные последовательности к -модулей 'Ен аЕ, сходя-
сходящиеся к одному и тому же градуированному Ас-модулю, для которых
1 E2Ptq = TinA(M, Tor|(N, P)); *E?>(? = ТоГр(ТогА(М, N), P).
(Рассмотретьбикомплекс L (М) вд (N®g L(P).)
б) Если N - плоский В-модуль, то показать, что спектральная последовательность * Е сходится
к Тот (М, N®b Р). Если N — плоский А-модупь, то последовательность 'Е сходится к
TorB(M»AN,P).
в) Пусть р: А-*В - гомоморфизм к -алгебр. Получить из б) спектральную последовательность Е,
сходящуюся к Тог (М, Р), для которой
9. Пусть Р - комплекс правых А-модулей, Q - комплекс левых А-модулей. Предположим, или
что Р и Q ограничены справа, или что существует такое целое число d, что всякий левый или правый
А-модуль обладает проективной резольвентой длины < d.
а) Показать, что существуют две спектральных последовательности (с, 49, упражнение 14) 'Е и
" Е, сходящиеся к одному и тому же градуированному ^-модулю, для которых
'E^'HpCTor^P.Q)); "?¦?,<,= » ТогА(Н ,(Р), Н „(Q))
q+q"=q
(где Totq (P, Q) обозначает комплекс, ассоциированный с бикомппексом е Тог А (Pr , Qs)).
r s
88 § 5. Модули расширений
(Рассмотреть проективные резольвенты (с. 69, упражнение 17) &> н & для Р н Q и бикомплекс С,
в которомСр ,= «• (,#>, ,9К& „ „).)
q'+q"-q
б) Если Р плоский, то показать, что спектральная последовательность " Е сходится к Н (Р ® a Q) •
Если Н (Р) плоский, то последовательность 'Е сходится к Н (Р) ® а Н (Q).
§ 5. Модули расширений
Сохраняются общие соглашения из параграфа 4. Принимается также, что если явно не
оговорено противное, то все рассматриваемые модули - это левые модули, все рассмат-
рассматриваемые комплексы - это комплексы левых модулей.
1. Комплексы гомоморфизмов
Пусть (С, d) и (С1, d') — два А-комплекса. Рассмотрим градуированный ^-модуль
Homgr А(С, С')(Н,р. 174,175): для л€ Z Но1гщгА(С,С')„есть ^-модуль градуиро
ванных А-линейных отображений степени п из С в С'; иначе говоря, Homgr A (С, С') ка
ионически отождествляется с ^-модулем
в П НотА(Ср,Ср+„) = в П НотА(Ср,С'«).
«eZpeZ л е Z p + q = n
Определим Л-линейные отображения
Dn: HoirigrA(C,C')n-+HomgrA(C,C')n_1> «?Z,
по формуле
Dn(/j = rf'o/-(-i)"/°rf; (i)
имеем:
= d' od'of-(-l)nd' ofod-t-l)"-^' ofod-f°dod = 0.
Тогда (HomgrA (С, С), D) представляет собой комплекс fc-модулей, называемый ком-
комплексом гомоморфизмов из С в С'.
Например, комплекс HomgrA (А, С') канонически отождествляется с С'. Отметим
также, что HomgrA (С, С') (и) = HomgrA(C,C'(n)) для всякого «S Z.
Элементы из Zn(HomrA (С, С1) ) -- это градуированные гомоморфизмы / (нижней)
степени и из С в С1, удовлетворяющие условию d' ° / = (— 1)"/ ° d, т.е. морфизмы
комплекса С в С' (и) или, если угодно, С (р) в С' (р + и) для любого фиксированного р.
Их называют морфизмами комплексов (нижней) степени п из С в С'; если /, g S
G Z „(Homgr А (С, С1)) и s G Homgr а (С, С')„+1, то условие g - f = Ds означает, что
s — гомотопия, связывающая морфизмы / и g из С в С' (и), так что Hn(HomgrA (C,Cf))
представляет собой k-модуль гомотопических классов морфизмов (нижней) степени п
из С в С'.
Пусть a S Hn(HomgrA(C, С' )) и р? Z. Представим класс а элементом / Е
S Zn(HomgrA(C, С)); тогда / — морфизм комплексов из С в С'(и), следовательно,
Нр(/) есть гомоморфизм из Нр(С) в Нр(С'(и)) = Нр+и(С'); так как Нр(/) зависит
только от гомотопического класса а морфизма / (с. 37, предложение 3), то получаем
отсюда канонический гомоморфизм ^-модулей
Hn(HomgrA(C,C')) -> HimA(Hp(C), Н„+р(С'))
и, следовательно, градуированное k-линейное отображение степени 0, называемое
§ 5. Модули расширений . ...89'.
каноническим:
Х(С, С'): H(HomgrA(C, C'))-> HomgrA(H(C), H(C')).
Однородные компоненты отображения X (С, С') часто будут обозначаться через
Х"(С,С'): H"(HomgrA(C,C'))^ П HomA(Hp(C)(H<*(C')).
Предложение 1. Если комплекс С нулевой справа, а С1 нулевой слева, то ком-
комплекс HomgrA ( С, С') нулевой слева и каноническое k-линейное отображение
Х°(С, С): H°(HomgrA(C, С1)) -» НотА(Но(С), Н°(С'))
биективно.
Имеем точные последовательности
О -> Н°(С) -^ С'0 ^ С'1,
С, Д Со -^ Н0(С) -> 0.
С другой стороны, HomgrA(C, С') отождествляется с НотА(Со, С0),
Z°(HomgrA(C, С')) отождествляется тогда с множеством гомоморфизмов /:
Со -> С'0, для которых d'° ° f - 0, /<>(/, = 0; модуль В0 (HomgrA(C,C')) нулевой;
наконец, отображение Х° сопоставляет классу / по модулю {0} гомоморфизм у.
Но (С) -»¦ Н° (С') /для которого f = i ° *р ° р, что и доказывает предложение.
Пусть и: С-»Сим': С' ->С' —морфизмы комплексов; тогда канонический гомо-
гомоморфизм HomgrА (и, и') : HomgrА(С, С') -*¦ HomgrА(С, С ' ), определяемый по пра-
правилу / <->• и' ° f о и, представляет собой морфизм комплексов, как следует немедленно
из формулы A). Кроме того, следующая диаграмма коммутативна
H(HomgrA (С, С')) ' > HomgrA (Н(С), Н(С'))
H(Homgr4 (и, и")) I |HomgrA (Щи), Щи1))
H(HomgrA (С, С')) Х(С'С<)> HomgrA (H(C), Н(С')).
и v
Предложение 2. а) Пусть С' -»¦ С -*¦ С" - точная последовательность А-ком-
плексов, Р - проективный комплекс, Е — инъективный комплекс (с. 31). Тогда
последовательности
HomgrA (P, С) Нот«г<1'ц>. HomgrA (P, С) Нот'г<^^ HomgrA (P, С")
и
HomgrA (С", Е) Нот»г<"-1>. HomgrA (С, Е) Нот«г<цЛ)> HomgrA (С, Е)
представляют собой точные последовательности комплексов кмодулей.
б) Пусть 0 -» С -»¦' С -> С -» 0 — последовательность А-комплексов, которая расщеп-
расщепляема как точная последовательность градуированных А-модулей (это имеет место, на-
например, если комплекс С' инъективен или С" проективен). Тогда для всякого ком-
комплекса Е последовательности
0 - HorrigrA (E, С) Нот»г <''">. HomgrA (E, С) SsbhIL^ HomgrA (E, С") - 0,
0 -> HomgrA (С", Е) Нот»г<"-1>. HomgrA (С, Е) Нот»г<"'Ч HomgrA (С, Е) -> 0
представляют собой точные последовательности комплексов к-модулей.
90 § -5- Модули расширений
В случае а) замечаем, что последовательности
НотА(Рр, С'с,) -> НотА(РР, С,) -> НотА(Рр, ф
и
НотА(С;', Ер) -> НотА(С,, Ер) -> НотА(С^, Ер )
точные для всех р, q €Е Z, и применяем II, р. 10, prop. 5 и II, р. 13, prop. 7. Доказательст-
Доказательство утверждения б) аналогично.
2. Комплексы гомоморфизмов и гомотопии
Предложение 3. Пусть С,С,С',С' — четыреА-комплекса, и: С->С, и: С-*¦ С,
и': С'->С'и и': С'-^С'— четыреморфизма комплексов.
а) Если и и и' гомотопны v и v' соответственно,то дваморфизма HomgrA(M, и') и
HomgrA(u, v')u3 HomgrA(C, С') в HomgrA(C, С') гомотопны.
б) Если и и и' — гомбтопизмы, то HomgrA(M, и') — гомотопизм.
в) Если комплекс С или С гомотопен нулю, то комплекс HomgrA (С, С) гомотопен
нулю.
Обозначаем одной и той же буквой d дифференциалы комплексов С, С, С', С' и
буквой D дифференциалы комплексов HomgrA(C, С') и HomgrA(C, С'). Если морфизм
и (соответственно и') гомотопен о (соответственно о'), то существует градуированный
гомоморфизм степени 1
w: С-^С (соответственно w': C'->C'),
для которого
u-v = dw + wd (соответственно u'—v' = dw'+w'd). B)
Пусть W: HomgrA(C, С)-> HomgrA(C, С') — градуированный гомоморфизм степени 1,
при котором для /S HomgrA(C, С')„, п S Z,
= w'fu + (-l)V/w. C)
Тогда имеем:
(DW + WD)(/) = D[w'fu + (-l)"v'fw] + W[df-(-l)"fd] =
= dw'fu - (-l)n+1w'fud + {-Ifdv'fw + v'fwd +
+ w'dfu + (-I)"" 1v'dfw - (-l)"w'fdu + v'fdw =
= (dw' +w'd)fu+v'f(wd + dw) =
= (u'-v')fu + v'f(u -v) = u'fu - v'fv;
это дает, что DW + WD = HomgrA(M, м') - HomgrA(o, v'), откуда следует а).
Докажем б). Если мим'- гомотопизмы, то пусть а: С -> С и а': С '-»¦ С' - морфиз-
физмы комплексов, для которых композиции м о а, а ° и, и'° а', а'° и' гомотопны со-
соответственно Idc, Idg, Idg,, Idc,. Тогда морфизм Homgr(M, и') о Homgr(a, а'), кото-
который равен Homgr(a о и, и' °а'), гомотопен, согласно а), морфизму
HomgrA(Idg, Idg,) = IdHomgr(g е<);
аналогично,морфизм Homgr(a,a')о Homgr(M, и')гомотопен Инотег(с с')> 0ТКУДа
следует б).
§ 5. Модули расширений 91
***
Наконец, в) следует из утверждения б) (примененного к случаю, когда комплекс С
или С' нулевой).
Следствие 1. Если комплекс С расщепляем и модуль Н(С) проективен (соот-
(соответственно если С'расщепляем и Н„(С') инъективен для каждого и), то канонический
гомоморфизм
Х(С, С): H(HomgrA(C, С)) -> HomgrA(H(C),
биективен.
Предположим, например, что комплекс С' расщепляем и модуль Н„(С') инъективен
для каждого и, так как случай, когда С расщепляем и Н(С) проективен, доказывается
аналогичным образом. Согласно определению 6, с. 39, существует гомотопизм и':
С' -*¦ Н(С'); согласно предложению 3, HomgrA(l, и') — гомотопизм комплекса
HomgrA (С, С') на HomgrA (С, Н(С)) ; так как
HomgrA(l, Н(«')) о Х(С, С) = Х(С, Н(С')) о H(HomgrA(l,«'))
и так как отображения HomgrA(l,H(«')) и H(HomgrA(l,w')) биективны,то достаточ-
достаточно доказать, что отображение Х(С, Н(С')) биективно; это сводит утверждение к слу-
случаю, когда комплекс С' инъективен и имеет нулевой дифференциал.
Тогда канонические точные последовательности (с. 33):
(III) О—>В(С)—*С-^С/В(С) —* О,
(IV) 0 —» Н(С) -^ С/В(С) -^ В(С) —>¦ О
дают точные последовательности (с. 89, предложение 2, а) ):
О — HomgrA(C/B(C), С) Л HomgrA(C, С)--^ HomgrA(B(C), С) — О,
О -> HomgrA(B(C),C) Л HomgrA(C/B(C),C) Л HomgrA(H(C),C) -> 0.
Так как rfc = i ° & ° р, то дифференциал D в HomgrA(C, С') задается формулой
Dn= (-1)"+1Р„о д„о in> имеем теперь:
Z(HomgrA(C,C')) = Кег(РоДо1) = Kerl = Im P,
B(HomgrA(C,C')) = 1т(РоДо1) = РAт Д) = P(Kerl);
отсюда получаем изоморфизм у: H(HomgrA(C, С')) -> HomgrA(H(C), С1) такой, что
если а & HomgrA (С/В (С), С'), то образ при у класса Р (а ) есть J(a); немедленно про-
проверяется, что отображение у совпадает с каноническим гомоморфизмом X.
Следствие 2. Предположим, что модули В (С) и Н(С) проективны (соответст-
(соответственно В„(С') и Н„(С') инъективны при каждом и). Тогда отображение Х(С, С1)
биективно.
Действительно, комплекс С (соответственно С') тогда расщепляем - см. с.39,при-
с.39,пример 4, - и применимо следствие 1.
Следствие 3. Пусть М — проективный (соответственно инъективный) А-мо-
дуль. Для всякого комплекса А-модулей С и всякого целого п канонический гомо-
гомоморфизм
H"(HomgrA(M, С)) -» НотА(М, Н"(С))
(соответственно H"(HomgrA(C, М))-> НотА(Н„(С), М)) биективен .
Лемма 1. а) Если комплекс С или С' ограничен справа, если С проективен и если
Н(С') = 0, то H(HomgrA(C,C')) = 0.
92 § 5. Модули расширений
б) Если комплекс С или С' ограничен слева, если С' инъективен и если Н(С) = 0, то
H(HomgrA(C,C')) = 0. ,
Пусть / S Zn(HomgrA(C, С')); следовательно, / - морфизм комплексов из С в
С'(и); в случае а) (соответственно б)) отображение fm нулевое для достаточно мало-
малого (соответственно достаточно большого) тп. Согласно предложению 1, с. 54, мор-
морфизм / гомотопен нулю, следовательно, принадлежит Bn(HomgrA(C, С )), откуда
получаем искомое заключение.
Предложение 4. Пусть и: С' -> С — гомологизм комплексов, Р — проектив-
проективный комплекс, Е - инъективный комплекс.
а) Если комплекс Р ограничен справа или если С и С' ограничены справа, то
HomgrA(l,u): HomgrA(P,C') -+ HomgrA(P,C)
- гомологизм.
б) Если комплекс Е ограничен слева или если С и С' ограничены слева, то
HomgrA(u, 1): HomgrA(C, E) -> HomgrA(C',E)
- гомологизм.
Предположим сначала, что морфизм и инъективен, и положим С" = Соке г и. Так
как и— гомологизм, комплекс С" имеет нулевую гомологию. С другой стороны, име-
имеем точные последовательности (предложение 2):
О -» HomgrA (Р, С) н<""*г<''">> HomgrA (Р, С) -> HomgrA (Р, С") -> 0 ,
О -> HomgrA (С", Е),-» HomgrA (С, Е) Нот*г<иД>> HomgrA (С, Е) -^> 0;
согласно лемме 1, комплекс HomgrA(P, С")'имеет нулевую гомологию в случае а),
HomgrA(C", E) имеет нулевую гомологию в случае б), откуда следует искомое
заключение. ^
В общем случае существуют (с. 41, следствие предложения 7) комплекс С', который
ограничен справа (соответственно слева), когда С и С' таковы, инъективный мор-
морфизм и: С' -*¦ С' и гомотопизм /3: С' -*¦ С, для которых и = /3о и. Тогда и — гомоло-
гомологизм (с. 38, следствие предложения 5); согласно предыдущему, Homgr A Aр , и ) (соот-
(соответственно HomgrA(u, 1e)) - гомологизм в случае а) (соответственно б)). С другой
стороны, HomgrаОр > Р) (соответственно, HomgrAd3, lg)) — гомотопизм (предложе-
(предложение 3); поэтому HomgrA AP , и) (соответственно. HomgrA (и, 1е)) представляет собой
композицию двух гомологизмов и, следовательно, является гомологизмом.
3. Определение и простейшие свойства модулей расширений
Для всякого А-модуля Е обозначим через Ре,: L(E) -*• Е (соответственно е^.'.
Е -* 1(Е)) каноническую свободную (соответственно инъективную) резольвенту,
см, с. 56 (соответственно с. 58).
Определение 1. Пусть М и N — два А-модуля. Модулем расширений модуля N
посредством М называется градуированный fc-модуль
ExtA(M,N) = H(HomgrA(L(M), I(N)). D)
Однородные компоненты модуля ExtA(M, N) обозначаются через
ExtA(M, N) = H"(HomgrA(UM), I(N)). E)
Так как комплекс L(M) (соответственно I(N)) нулевой справа (соответственно
слева), то
Ext^(M,N) = 0 при я < 0. F)
§ 5. Модули расширений 93
Замечание 1. Ниже(с. 108—109,предложение 6)мы рассмотрим свойства конечности
модулей ExtA(M, N). Например, если А — нётерово коммутативное кольцо и если М и
N — А-модули конечного типа, то каждый А-модуль Extj?(M, N) имеет конечный тип.
Пусть/: М' -+Мну: N-*N' - гомоморфизмы А-модулей; положим
ExtA(/,s) = H(HomgrA(L.(/), l(g));
это гомоморфизм степени 0 градуированных fc-модулей
): ExtA(M,N) -* ExtA(M',N'),
однородные компоненты которого обозначаются через
ExtA(/,s):ExtA(M,N) -* ExtA(M',N).
Согласно предложению 1, с. 89, канонический гомоморфизм
X°(L(M, I(N)): H°(HomgrA(L(M), I(N)) -> HomA(H0(L(M)),
биективен; используя изоморфизмы M ->H0 (L(M)) и Н° A (М)) -> N, получаем отсю-.
да изоморфизм, называемый каноническим,
*m,n: ExtA(M,N) - HomA(M,N). G)
Мы всегда будем отождествлять ExtA(M, N) с HpmA(M, N) посредством этого
изоморфизма. При этом fc-линейное отображение ExtA( /, g) отождествляется
cHomA(/, g).
Замечание 2. Морфизм комплексов
HomgrA(pM, eN): HomA(M,N) - HomgrA(L(M), I(N))
индуцирует на гомологии степени 0 изоморфизм
Xm,n: HomA(M,N) - ExtA(M,N),
обратный к Xm,n-
Имеем: LAm) = 1l(M). I A n) = li(N)> следовательно,при переходе к гомологии,
получаем:
Ех1аAм, In) =
Если /': М" -^ М' и g': N' -+ N" — гомоморфизмы А-модулей, то L(/°/') =
= L(/) о L(/') и l(g' ° g) =l(g') о l(g), следовательно,
ExtA(/o/',j'oj) = ExtA(f, g') о ExtA( f,g). (9)
Рассмотрим морфизмы Аг-комплексов
HomgrA(MM), N)H°mgrAA'' N>}HOpigrA(L(M), I(N)) ?OmgrA(PM'° HomgrA(M,I(N))
и гомоморфизмы, которые они индуцируют в гомологии:
Н( HomgrA(L(M), N) ^M(N) > ExtA(M, N) < "М(М) H(HomgrA(M,
Согласно предложению 4, с. 92, HomgrA(l,eN) и HomgrA(PM, 1) - гомологизмы,
откуда:
Предложение 5.Гомоморфизмы
?>M(N): H(HomgrA(L(M),N))H.ExtA(M,N)
u
ipN(M): H(Homgr(M,I(N))-*ExtA(M,N)
биективны.
94 § 5. Модули расширений
Следствие. Если модуль М проективен (соответственно если N инъективен),
то Ext'A (M, N) = 0 при i > О.
Действительно, морфизм
HomgrA(l,eN): HomA(M, N)-»> HomgrA(M, I(N.))
(соответственно HomgrA(pM, 1): HomA(M,N)"* Homgr(L(M), N)) представляет
собою гомологизм (с. 92, предложение 4), откуда следует искомое заключение.
Замечания.З. Eamg: N-*N'— гомоморфизм А-модулей, то
HomgrA(lL(M)^N'HHomgrA(lL(M).^) = HomgrA(lL(M), I(g-))oHomgrA(lL(M),eN),
следовательно, диаграмма
H(HomgrA (L(M), N)) Фм(Г<" > ExtA (M, N)
H(HomgrA(lLIM),9))| |ExtA(lM,#)
H(HomgrA (L(M), N')) <Pm(N>» ExtA (M, N')
коммутативна.
4. Аналогично, если/: М' -»• М - гомоморфизм А-модулей, то диаграмма
H(HomgrA (M, I(N))) 9n<M)> ExtA (M, N)
H(HomgrA (
) I I ExlA
<P(M)
H(HomgrA (M', I(N))) <Pn(M)» ExtA (M', N)
коммутативна.
Предложение 6. Отображение (f, g)^ Ext \(f,g)'-
HomA(M', M) X HomA(N, N')-> Homgrfc(ExtA(M, N), ExtA(M', N'))
к-билинейно.
Пусть /GHomA(M',M), gx,g2 G HomA(N, N'), Xi,X2Gfc; тогда морфизмы
HomgrA(L(/), Xigi+X2?2> и Xj HomgrA (L (/), g,) + X2HomgrA(L(/),?2) из
Homgr(L(M), N) в HomgrA(L(M), N') совпадают; следовательно, согласно предло-
предложению S и замечанию 3,
ExtA(/,X,^ +X2^2)=X,ExtA(/;^) + ^Ext(/^2). A0)
Аналогичные рассуждения применимы и для отображения/•-»¦ ExtA (f,g)-
Следствие. Пусть X G it. Если элемент X аннулирует М ыли N, то он аннулирует
ExtA (M, N).
Действительно, XIExtA(MjN) = ExtA(X 1M, 1N) = ExtA(lM, X 1N).
Предложение 7. Яусгь I и J - два множества, (Ma)aei и (N/3)Cej - <^вд
семейства А-модулей; гомоморфизм ExtА( Ф Ма, П N«) -»• П ExtA(Ma,N,3),
aei CSJ /3SJ,ael
получаемый из канонических гомоморфизмов Ма->-®Ма и ПЫ^-*^ — биективен.
Достаточно доказать, что для всякого А-модуля М (соответственно N) гомомор-
гомоморфизмы
ExtА ( М, П Np) -+ П ExtА (М, Np) (соответственно ExtА (© Ма, N )-»• П ExtA (Ma, N))
биективны. Но это следует из предыдущего, из предложения 1 (с. 34) и из канони-
канонических изоморфизмов HomgrA(L(M),IlN^) -»• IlHomgrA(L(M),N^)иHomgrA(®Ma,I(N))->
^nHomgrA(Ma,I(N)).
Замечание 5. Пусть Р и Q — два правых А-модуля. Определим ExtA (P, Q),
положив
ExtA(P, Q) * H(HomgrA(L(P), I(Q)) =
= H(HomgrA. (L(P°), I(Q°)) = ExtA« (P°, Q°).
Все определения и предложения этого параграфа применимы, следовательно, к правым
А-модулям путем рассмотрения их как левых модулей над кольцом А°.
§ 5. Модули расширений ' 95
4. Связывающие гомоморфизмы и точные последовательности
Пусть М - А-модуль. Напомним, что для всякого А-модуля N мы определили в пре-
предыдущем пункте изоморфизм Аг-модулей
% (N) = H(HomgrA (ЦМ), N)) ¦* ExtA (M, N).
Пусть
(S) 0-+N'-**-»¦ N-^N"-»-О
— точная последовательность А-модулей; тогда последовательность ^-комплексов
(J) о > HomgrA (L(M), N') Homgr(l-"\ HomgrA (ЦМ), N)
Homgr"'). HomgrA (ЦМ), N") > О
является точной (с. 89, предложение 2, а)); пусть
Э(м &): H(HomgrA (L(M), N")) -> H(HomgrA(ЦМ), N')
- соответствующий связывающий гомоморфизм (с. 34).
Определение 2. Композиция гомоморфизмов
6(M,?) = V'M(N')oa(ME)o^M(N")-1: ExtA(M,N'VExtA(M,N')
называется связывающим гомоморфизмом для модулей расширений относительно
модуля М и точной последовательности ( ?).
Это градуированный fc-гомоморфизм верхней степени 1, однородные компоненты
которого обозначаются через б " (М, ? ) : Ext^ (M, N") -+ ExtA+ J (M, N').
Теорема1. Неограниченная справа последовательность гомоморфизмовк-модулей
О > НотА (М, N') Homi1'H'. НотА (М, N) "«"М1-"), НотА (M,-N
8°(М/>» Exti (M, N') -» ••¦ 8""<м-'?>, ExtA (M, N') Е""'1-и') ExtA (M; N)
Е-1''. ExtA (M, N") 8"(М'^) . ExtA+ ] (M, N') -» •••
является точной.
Действительно, рассмотрим диаграмму
ь, (М, N) E"t"-1'). Ы (М. N-) S(M^) . Е« (М. N') E"('"». E« «M. N)
<pM(N)
H(Homgr(l.u))
<Pm(N")
H(Homgr(l,t))
<Pm(N)
H(Homgr (l, и))
H(Homgr (L(M). N)| — H(Homgr (ЦМ), N)) —- H(Homgr (ЦМ). NO)—> H(Homgr (ЦМ). N'))—" H(Homgr (UM). N))
Она коммутативна согласно замечанию 3 (с. 94) и определению 2; с другой стороны,
нижняя строка точная (с. 35, теорема I), а вертикальные стрелки биективны (с. 93,
предложение 5).
Следствие. Если ExtA (М, N') = 0, то последовательность
^ HomA(M,N")->-0
точная.
Предложение 8. Пусть f: Mt ->-M —• гомоморфизм А-модулей и
(S) ¦ 0 —•> N' -*+¦ N -U- N"-*-0
(/,) 0 — N'.-Vn.-Vn?— О
- коммутативная диаграмма А-модулей с точными строками. Диаграмма к-модулей
ExtA(M,N") 8-^^t ExtA(M,N')
ExtA (М„ N'O 8-^^- ExtA (М„ N',)
коммутативна.
96 § 5. Модули расширений
Это следует из предложения 2, с. 36, примененного к коммутативной диаграмме
Homgr(l.M) Homgr(l.r)
О -*> HomgrA (L(M), N') —*- HomgrA (L(M), N) —*- HomgrA (L(M), N") ¦*¦ 0
Homgr(L(/),f/')I |Homgr(L(/), 3) iHomgr (L(/), g")
I HomgrO,!/,) T Homgr(l.r,) T
0-^ HomgrA (L(M,), N;) —«> HomgrA (L(M,), N,) —-HomgrA (L(M,), N',') --0
Пусть N - А-модуль и
— точная последовательность А-модулей; последовательность комплексов
(J^m) 0 > HomgrA (М", ЦЩ Homsr<s-'>. HomgrA (M, I(N))
н<""»г<гЛ). HomgrA (M',
является точной (с. 89, предложение 2, а)); пусть
Э( 5n): H(HomgrA)(M',I(M)))^H(HomgrA(MM(N)))
— соответствующий связывающий гомоморфизм.
Определение 3. Композиция гомоморфизмов
называется связывающим гомоморфизмом для модулей расширений относительно
точной последовательности ( S-) и модуля N.
Это градуированный fc-гомоморфизм верхней степени 1, однородные компоненты
которого обозначаются через 5 " ( #, N) : Ext" (М', N) -> Ext"+ г (М ", N).
А А
Так же, как и выше, доказываются следующие утверждения:
Теорема 2. Неограниченная справа последовательность гомоморфизмов к-мо-
дулей
0 > НотА (М", N) Нот <*¦'>. НотА (М, N) Нот<г-1>> НотА (М\ N)
A (M N) _, ... «"-'^-N), Ех1д (Nr< N)
Ext"<r-''» ExtA (M', N) 8"^'N> . ExtA+1 (M", N)-*
является точной.
Если Ext.
А
0 > НотА (М", N) н<""<5-^) НотА (М, N) Hom'r-1>> HomA (M', N)
Следстви е.Если Ext1. (M", N) = 0, то последовательность
А
точная.
Предложение 9. Пусть g: N -> Ni - гомоморфизм А-модулей и
'I 1 . '1
0 —^М' J— М ^-^ М" —>-0
коммутативная диаграмма А-модулей с точными строками. Диаграмма к-модулей
ExtA (M\ N) **' N>» ExtA (M", N)
ExtA (M;, N,) ^i^^ ExtA(M';, N,)
§ 5. Модули расширений 97
5. Проективные модули, инъективиые модули и модули расширений
Предложение 10. Пусть М - А-модуль. Следующие условия эквивалентны:
(i) Модуль М проективен.
(ii) Ext'A (M, N) = 0для всякого А-модуля Nm всякого целого i > 0.
(iii) ExtА (M, N) = 0 для всякого А-модуля N.
(iv) Существует точная последовательность
0-*К -^Р -^М-^-0,
в которой модуль Р проективен и ExtA (M, К) = 0.
(i)=* (ii): это следствие предложения 5 (с. 93).
(ii) =* (iii): это тривиально.
(iii) =* (iv): это очевидно, так как М есть фактормодуль некоторого свободного модуля.
(iv) =* (i): так как ExtA (M, К) = 0, то каноническое отображение
НотА (М, Р) -* НотА(М, М)
сюръективно (с. 95, следствие); существует, следовательно, А-линейное сечение гомо-
гомоморфизма и, и модуль М изоморфен прямому множителю модуля Р, следовательно,
проективен.
Предложение 11. Пусть N - А-модуль. Следующие условия эквивалентны:
0) Модуль N инъективен.
(ii) Ext' (M, N) = 0 для всякого А-модуля М. и всякого целого i > 0.
(iii) Ext A (M, N) = 0 для всякого А-модуля М.
(iv) Существует точная последовательность
0-+N ^1 -^>С-*0,
в которой модуль I инъективен и Ext1. (С, N) = 0.
(v) Ext1. (M, N) = 0 для всякого моногенного А-модуля М.
А
(i) =* (ii): это следствие предложения 5 (с. 93).
(ii) => (iii) => (v): это тривиально.
(iii) =* (iv): это очевидно, так как N есть подмодуль некоторого инъективного А-мо-
А-модуля (с. 22, следствие 3).
(iv) =*¦ (i): так как Ext^ (С, N) = 0, то канонический гомоморфизм
НотА (I, N) -* НотА(N, N)
сюръективен (с. 96, следствие); существует, следовательно, А-линейная ретракция
вложения и, и модуль N изоморфен прямому множителю модуля I, следовательно,
инъективен (с. 19, предложение 9).
(v) =*¦ (i) : если а - идеал в А, то Ext А (А/ й , N) = 0; каноническое отображение
HomA(A,N) ->-HomA( й ,N), следовательно, сюръективно, и модуль N инъективен
(с. 19, предложение 10).
6. Формула универсальных коэффициентов
В этом пункте рассматриваются два комплекса А-модулей(С,^) и (С ,d'). Рас-
Рассмотрим канонические точные последовательности:
(I) О^ ^
из 5 получаем ^-гомоморфизм:
H(HomgrE,l)): H(HomgrA(B(C), C'))(l)-+ H(HomgrA(C, С'));
из (IIр) получаем связывающие гомоморфизмы:
5(Ир,Н<ЧС')): HomA(Bp(C),H<?(C))-.ExtA(Hp(C),H<?(C')),
7. Н. Бурбаки
98 § 5. Модули расширений
откуда посредством перехода к произведению, гомоморфизмы Л-модулей:
?>": HomgrA(B(C),H(C'))-+ П Ext» (Hp(C),H«(C')).
А p+q=n A
Кроме того, мы располагаем каноническими гомоморфизмами (с, 89)
Х"(В(С), С): И" (HomgrA (В(С), С') - Homgr д(B(C), Н(С')).
В этих обозначениях имеет место:
Теорема 3. Предположим, что А-модули В (С) и Z(C) проективны. Для каждого
п существует единственный гомоморфизм к-модулей
/3": П ExtA(Hp(C),H«(C'))+H"(HomgrA(C,C')),
p+q=n—I
определяющий коммутативную диаграмму
V" 1(ШС) С)
HomgrT ЧВ(С), Н(О) — И"" 4HomgrA (B(C), С))
V"~'\ |H"(Homgr(8, I))
П ExtA(Hp(C), Н«(С')) - - H"(HomgrA (С, О) •
р+«=п-1
Последовательности к-модулей
О —» П ExtA (НР(С), Н«(С')) -*=» H"(HomgrA (С, С'))
р + q =s »i - t
-iabU П HomA(Hp(C), №(C'))-»0 A1)
являются точными.
Замечание. Можно доказать аналогичное утверждение, предполагая модули
В„(С) и С7В„(С')икъектывкылш для каждого п.
Положим для простоты; В = В (С), Z = Z(C), Н = Н (С) и Н' = Н (С'). Так как модуль
В проективен, то из (I) получаем точную последовательность
0-+ HomgrA(B, C')(l) HomEMV>, HomgrA(C, С)
Homgr(/. I).
HomgrA(Z, С) ->0. A2)
Лемма 2. Связывающий гомоморфизм
H"(HomgrA(Z,C'))^ H"(HomgrA(B, С')),
соответствующий точной последовательности A2),равен (-l)"+1H(Homgr(i, 1)).
Действительно, пусть а & Z"(HomgrA(Z, С')); это морфизм комплексов верхней
степени п из Z в С', значения которого содержатся, следовательно, в Z(C'). Так как
точная последовательность (I) расщепляется (поскольку модуль В проективен), а
продолжается до некоторого элемента Ъ из HomgrA(C, Z(C')). По определению, образ
класса а при искомом связывающем гомоморфизме есть класс в H"(HomgrA(B, С'))
гомоморфизма и из В в С', для которого при х G С
u(dx) = Db(x) =d'bx - (-l)"b(dx) = (-l)n+1b(dx) = (-l)n+la(dx),
откуда следует утверждение леммы.
Гомологическая точная последовательность, ассоциированная с A2), дает, следова-
следовательно точную последовательность
- H"(HomgrA (Z, C'))H(Homsr(U)). H"(HomgrA (В, С'))
H(HomgrE-'4 H"+ '(Horngr,, (С, С')) Н(Ного8гС/Л)). Н"+ •(Homgr,, (Z, С')) -
роме того, так как модуль Z проективен, из (Ир) получаем точные послед
»сти
О ¦* НотА(Нр, Н'?) -> HomA(Zp, Н'") ¦* НотА(Вр, Н'") - ExtA(Hp, Н"») ¦*О,
§ 5. Модули расширений 99
откуда посредством перехода к произведениям имеем точные последовательности
0+Homgr^(H,H')->HomgrA(Z,H')-*HomgrA(B,H')-* П Exti(Hp, Ht<J)-*0.
p + q~=n
Наконец, мы располагаем каноническими гомоморфизмами из п. 1:
Хв - Х(В, С): H(HomgrA(B, C))^ HomgrA(B, H'),
Xz =X(Z,C'): H(HomgrA(Z,C'))+HomgrA(Z,H'),
Хс =Х(С,С): H(HomgrA(C,C'))+HomgrA(H,H'),
откуда получаем диаграмму с точными строками
Homgr11"' (i, 1)
Homgr;-'(Z, Нг) •-HomgrV ' (В. Н")
И"" '(Homgr (i.
H"(Homgr (8. 1)) H^Homgr (y, 1)) H"(Homgr (i, 1))
H- '(HomgrA (Z, C')) — И"" '(HomgrA (B, C')) — H'(HomgrA (C, C")) — H4HomgrA (Z, C» — H"(HomgrA (B. C)(
¦ ¦ I
Ч1
Homgr" 0,1) Т Homgr" (i,l) f
О— HomgrJ (H. H') > Homgr;(Z, Hr) •- HomgrA(B, H)
Эта диаграмма коммутативна по построению гомоморфизмов X. Кроме того, так как
комплексы В и Z расщепляемы и проективны, гомоморфизмы Хв и X z биективны (с. 91,
следствие 1). Отсюда заключаем, с одной стороны, что гомоморфизм Х? сюръективен и
имеет ядро, равное Im H" (Homgr E,1)), а с другой стороны, что гомоморфизм <рп~хо Xg1
сюръективен и имеет ядро, равное KerH"(HomgrF, 1)). Отсюда непосредственно сле-
следует теорема.
Следствие 1. Предположим, что модули В (С) и Z(C) проективны, а модуль
В"(С') инъективен для каждого и. Тогда точные последовательности A1) расщепляемы.
Это вытекает из теоремы и следующей леммы:
Л е м ма 3. Если модуль В(С)проектвен и модуль В"(С')инъективен при каждом п,
то канонический гомоморфизм Х(С, С') : H(HomgrA(C, С')) -*HomgrA(H(C), Н(С'))
обладает k-линейным сечением.
Действительно, согласно замечаниям а) и б), с, 39—40, существуют гомологизмы
<р: С-*Н(С) и </>': Н(С')^С,
для которых Н(<?) = 1Н(с) и Н((/>') = 1Н(с>
В коммутативной диаграмме
H(HomgrA(H(C), H(O) H(H°mgr"t'"'')V H(HomgrA (С, С'))
Х(Н(С). Н(О)| Ыс, С)
' Homgr (Н(ф), Н(<р')) *
HomgrA (Н(С), Н(С')) *• HomgrA (Н(С), Н(О),
гомоморфизм Х(Н(С), Н(С')) биективен, a Homgr(H(i^), H(i^')) тождественный, от-
откуда следует утверждение.
Следствие 2. Если модули В (С) и Z(C) проективны, то для всякого А-модуля
N и всякого целого п имеем расщепляемую точную последовательность
О—Ext; (Н„_,(С), N) -Е> H"(HomgrA (С, Щ-^ НогоА (Н„(С), N) —¦ 0 .
Следствие 3 ("формула универсальных коэффициентов"). Предположим, что
А - кольцо главных идеалов и что комплекс С свободен. Для всякого А-модуля N и
всякого целого п имеет место расщепляемая точная последовательность A3).
Действительно, модули В (С) и Z(C) свободны как подмодули свободного модуля С
(VII, § 3, cor. 2 аи th. 1; Алгебра, VII, стр. 43, теорема 1).
Следствие 4. Если комплекс С ограничен справа и если С и Н(С) проективны,
то гомоморфизм
Х(С; С): H(HomgrA(C, С')) - HomgrА(Н(С), Н(С'))
биективен.
7*
100 § 5. Модули расширений
Согласно теореме, достаточно доказать, что модули В (С) и Z(C) проективны. Но мы
имеем точные последовательности
следовательно, (Bn_i(C) проективен) =>(Zn(C) проективен) =>(В„(С) проективен).
Получаем искомый вывод, замечая, что Ви (С) = 0 прн достаточно малом и.
7. Обобщение на комплексы мультимодулей;
канонические изоморфизмы
Пусть В, В1 —два кольца, С —комплекс (А, В)-бнмодулей, С'-комплекс (А, В')-би-
модулей; тогда (HomgrA(C, С'), D) - комплекс (В, В')-бимодулей и канонический
гомоморфизм X: H(HomgrA(C, С')) -* HomgrA(H(C), H(C')) представляет собою
гомоморфизм (В, В')-бимодулей.
Пусть к'в' и к^ ' — моноидные алгебры мультипликативных моноидов колец В
и В' соответственно. Если М - (А, В)-бимодуль и N — (А, В')-бимодуль, то, согласно
формуле (8), с. 57, ЦМ) представляет собой комплекс (А, ?(в))-бимодулей, al(N),
согласно формуле A5), с. 58,— комплекс (А, к^в ^)-бимодулей и, следовательно,
HomgrA(L(M), I(N)) -комплекс (fc(B), ?(в))-бимодулей, так что ExtA(M. А) естест-
естественным образом наделяется структурой градуированного (к^в\ к^в ^)-бимодуля,
которая посредством канонических гомоморфизмов к^ -> В и Л*в * -*В' индуцирует
на ExtA(M, N) структуру градуированного (В, В')-бимодуля (ср. с. 57, замечание.и
с. 58, замечание); на члене степени 0 эта структура совпадает со структурой (В, В') -би-
модуля на HomA(M, N) (II, р. 35).
Если Х€ B.X'S В'и если обозначить черезXm,Xn,Xe,X'e гомотетииx^x\,y^y\',
zH'zX'наM,N,ExtA(M,N),ExtA(M,N) соответственно,то
= ExtA(XM,l),
и зто дает другое описание структуры бимодуля на ExtA(M, N).
Мы предоставляем читателю обобщить результаты п.4 и 6 наслучай комплексов муль-
тимо дулей.
Пусть С, С', С" - комплексы А-модулей. Композиция отображений определяет гра-
градуированный гомоморфизм степени нуль:
HomgrA(C, С") \ HomgrA(C, С) -> HomgrA(C, С"). A4)
Пусть В, В', Е - кольца, С, С', С" - комплексы (В', А)-бимодулей, (А, Е)-бимоду-
лей, (В, Е)-бимодулей соответственно. Посредством ограничения канонического изо-
изоморфизма из II, р. 73, получаем биективный гомоморфизм (В, В')-бимодулей
HomgrE(C®A С, С")- HomgrA(C, HomgrE(C, С")). A5)
Пусть, наконец, В - кольцо, С - комплекс правых В-модулей, С' — комплекс пра-
правых А-модулей, С" - комплекс (В, А)-бимодулей. Из канонических гомоморфизмов
(И, Р- 75)
Ср ®в НотА(С^, Сг")- НотА(С^, Ср ®в С?)
получаем градуированный гомоморфизм степени нуль:
С®в Нотр^С'.С^-^НошрАСС'.СввС"). A6)
Этот гомоморфизм биективен, когда С - проективный модуль конечного типа (П,
р. 75, prop. 2).
Предложение 12. .Гомоморфизмы A4), A5), A6) представляют собой мор-
физмы комплексов.
§ 5. Модули расширений 101
Докажем это, например, для гомоморфизма A4). Обозначим этот гомоморфизм
через
к: HomgrA(C, С")®fc HomgrA(C, С)-¦ HomgrA(C, С").
Пусть/eHomgrA(C',C")p и ^eHomgrA(C, С')^; тогда по определению имеем:
~f°g- Кроме того:
D/®?+ (-l)p/® Dg =
= (d" ° n®g -(-\)p(fo d')Q g + (-l)Pf® (d' ° g) - (-iy + «f®(g ° d),
откуда
Аналогично доказьшается, что гомоморфизмы A5) и A6) являются морфизмами
комплексов.
Из морфизма A4) получаем гомоморфизмы Л-модулей (с. 71) :
H*(HomgrA (С, С")) ®k H«(HomgrA (С, С')) -» Hp+«(HomgrA(C, С")). A7)
Взяв С = А, мы видим, что гомоморфизм
HomgrA(C',C")®fcC'-+C", A8)
который отображает / ® х на /(х), является морфизмом комплексов левых А-моду-
лей; с ним ассоциируется канонический гомоморфизм (с. 85) градуированных А-моду-
лей 7: H(HomgrA (С1, С")) ®fc H(C') -*¦ Н(С"), который соответствует каноническому
гомоморфизму ^-модулей
X: H(HomgrA(C',C"))-> HomgrA(H(C), H(C")).
Упражнения
% 1. А-комплекс С называется чистым, если Н(Р®АО = 0 для л сякого правого А-модуля Р.
а) Комплекс, гомотопный нулю, «истый; комплекс из плоских модулей, имеющий нулевую
гомологию и ограниченный справа, является "истым. Дать пример комплекса из свободных модулей
ранга 1, имеющего нулевую гомологию, но не являющегося чистым.
б) Показать, что следующие условия эквивалентны:
а) комплекс С чистый;
(?) H(HomgrA(M, С)) = 0 для всякого конечно представимого А-модуля М;
у) существует направленная индуктивная система (С )де j комплексов, гомотопных нулю,
для которой С = lim C^a\
(Чтобы увидеть, что условие 0) влечет у), свести доказательство к случаю, когда С/ = 0 при
i < /0, и представить С/о как индуктивный предел конечно представимых модулей.)
2. Пусть М - А-модупь. Подмодуль М' в М называется чистым, если комплекс, определяемый
точной последовательностью 0 -»• М' -»• М-»• М/М' -» 0, чистый (упражнение 1).
а) Показать, что когда А - кольцо главных идеалов, это понятие чистого подмодуля совпадает с
введеннымв VII, § 2, exeicice 7 (Алгебра, VII, с. 37, упражнение 7).
б) Предположим, что А-модуль М плоский. Показать, что следующие условия эквивалентны:
а) подмодуль М' чистый;
C) фактормодуль М/М' плоский;
у) М' п в М = в М' для всякого идеала в в А.
3. Пусть М - А-модуль, п — целое число > 1. Показать, что следующие условия эквивалентны:
а) М попускает конечное «-представление (с. 66, упражнение б).
0) Для всякой направленной индуктивной системы (Na)ae j канонический гомоморфизм
lim ExtA(M, Na) -> ExtA(M, Шп Na)
биективен при i <n.
у) Для всякого семейства (рC)я е j правых А-модупей канонический гомоморфизм
> П ТогА
CSJ
биективен при i < п.
П Pfl, M)-> П ТогА(Р,М)
0GJ P CSJ '
102 § 5. Модули расширений
6) Для всякого множества I канонический гомоморфизм Kd »дМ-*М биективен и
ToiA(aJ,, М) = 0 при 0 < i < п.
(Применитьиндукцию по п, используя упражнение 18, с. 27.)
4. Пусть Р - комплекс проективных А-модулей, нулевой справа, и п - такое целое число, что
Н/(Р) =0 при i < п. Пусть М - левый А-модуль, N - правый А-модуль. Показать, что
Н1 (HomgrA(P, M)) =0 и H,-(N«AP) = 0 при i <п и что канонические гомоморфизмы
\": H"(HomgrA(P, М))-НотА(Н„(Р),М), у„: N»A Н„(Р)- Hn(N«A P)
биективны.
Ц 5.Пусть Р - проективный А-комплекс, нулевой справа, п — целое число > 0. Показать, что
следующие условия эквивалентны:
а) Существуют комплекс Р' из проективных А-модулей конечного типа, для которого Pj = 0
при i > п или i < 0, и такой морфизм /: Р' -*¦?, что отображение Н; (/.) биективно при (<ли
сюръективно при i = я.
0) Для всякой направленной индуктивной системы'"А-модулей (Ма)ае1 канонический гомо-
гомоморфизм
Um H'(HomgiA(P, Щ)) -* H'(HomgiA(P, Um Ma))
биективен при i < п н инъективен при i = п.
у) Для всякого семейства правых А-модулей (Na)ae , канонический гомоморфизм
Н,((П Na) eA Р)-» П H,(No « Р)
биективен при i < п н сюръективен при i = п.
(Чтобы доказать, что нз а) следуют 0) « у), применить упражнение 4 к конусу морфнзма /.
Чтобы доказать, что нз 0) нлн у) следует а), рассуждать индукцией по л, применяя упражнение 4,
упражнение 18 (с. 27) и упражнение 10 (с. 48).)
6. Пусть А и В - две ft-алгебры (ассоциативные н унитарные), М - левый А-модуль, Р - левый
В-модуль, N - (В, А)-бимодуль.
а) Показать, что существуют две спектральные последовательности (с.49-51, упражнения 14-17)
fc-модулей 'Ей аЕ, сходящиеся к одному н тому же градуированному fc-модулю, для которых
¦" = Extj^M, Ext?(N, P)),
б) При помощи композиции гомоморфизмов у и 6 из упражнения 15, с. 50, определить ^-гомо-
^-гомоморфизм
ц: ExtA(M, HomB(N, P)) - HomB(Tor A(N. M), P).
Если модуль Р инъективен, то показать, что ц - изоморфизм.
в) Если N - плоский А-модуль, то показать, что последовательность ' Е сходится к
ExtB (N ®А М, Р); если N - проективный В-модуль, то последовательность 2Е сходится к
ExtA(M, HomB(N, P)).
г) Пусть р: А -> В - гомоморфизм Л-алгебр. Показать, что существуют спектральная последова-
последовательность Е, сходящаяся к Ext д(М, Р), для которой
Е2Р'Ч = Extg(Tor^(B, М). Р),
и спектральная последовательность 'Е, сходящаяся к ExtA(P, M), для которой
'Ef4 = Ext? (P, Ext A (В, М)).
7. Пусть С - А-комплекс, М - А-модуль. Модулем расширений модуля М посредством комп-
комплекса С (соответственно комплекса С посредством модуля М) называется градуированный А:-мо-
дуль
&д*А (С, М) = Н (HomgrA (С, I (M))
(соответственно &xt (М, С) = Н (HomgtA (L (М), С))).
Если /: С -+ С* - морфизм комплексов н q: M-*M' - гомоморфизм А-модулей, то положим
& xtA (/, g) = H (Homgr (/, I <?))), ? xtA (g, f) = H (Homgi (L (g), /))).
а) Если/: С -»¦ С' -¦ гомологизм, то Л-гомоморфизмы &xt/^(f, 1) и &xfA(l,/) биективны.
Если комплекс С проективен и ограничен справа (соответственно инъективен и ограничен слева), то
градуированный fc-модуль Й xtА (С, М) (соответственно &xtА (М, С)) изоморфен Н (HomgrА (С, М))
(соответственно Н(HomgrA (M, С))).
6. Использование неканонических резольвент 103
б) Пусть 0 -*С' -*С -*С" -*0 - точная последовательность А-комплексов и 0 -»М' ->М -»М" -»
* 0 - точная последовательность А-модулей. Показать, что существуют точные последовательности
?xfA(C",M)-* ?xfA(C,M)-» ?xfA(C',M)-» ?jcrA+1 (С",М)
?xfA(C,M')-+ ?xfA(C,M)-» SxfA(C,M")-*?xfA+1 (C,M)
?xfA(M,C')-* SxfA(M,C)
в) Показать, что существует спектральная последовательность "Е (с.49-51, упражнения 14-17),
сходящаяся к ?xfA (С, М), для которой "Ef'4 = H4(Ext^ (С, М)). Если комплекс С ограничен
справа, то показать, что существует спектральная последовательность 'Е, сходящаяся к &xt а (С, М),
для которой 'Ef*4 = Ext ? (Нч (С), М) (рассмотреть бикомплекс Ноп^гд (С, I (М))).
8. Пусть Р, Q — два А-комплекса. Предположим, или что Р ограничен справа и Q ограничен слева,
или что существует такое целое число d, что всякий А-модуль обладает проективной резольвен-
резольвентой длины <d.
а) Показать, что существуют две спектральные последовательности 'Е и "Е, сходящиеся к одно-
одному и тому же градуированному fc-модулю, для которых
Hp(ExtA(P,Q)), "Ef'4= , ¦»„ Ext A (Hv (P), Hq" (Q))
(где Ext A (P, Q) обозначает комплекс, ассоциированный с бикомплексом в ExtA (Pr, Qs)).
r,s
б) Если комплекс Р проективен или Q инъективен, то спектральная последовательность "Е
сходится к H(HomgrA (P, Q)). Если Н(Р) проективен или H(Q) инъективен, то последовательность
Е сходится к Homgi А (Н (Р), Н (Q)).
§ 6. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НЕКАНОНИЧЕСКИХ РЕЗОЛЬВЕНТ
По-прежнему сохраняются соглашения из § 4.
1. Вычисление модулей Тог А (Р, М) и Ext A (M, N)
Пусть М, N — левые А-модули, Р — правый А-модуль. Пусть, с другой стороны, а:
R -+М - левая резольвента для М, b: S -+Р - левая резольвента для Рис: N -* Е - правая
резольвента для N.
Согласно предложениям 3 и 3bis, с. 55-56, существуют морфизмы комплексов а:
L(M)-*-R, 0: L(P) -> S, 7: Е ->¦ I(N), для которых а о а = рм,Ь ° /3 = р?, у о с = <?N,
и гомотопические классы морфизмов а, /3, у зависят только от заданных резольвент.
Согласно предложению 3, с. 73, и предложению 3, с. 90, гомотопические классы
морфизмов
/3®а: L(P) ®AL(M)-+S ®A R,
HomgrA (а, 7): HomgrA (R, E) -> HomgrA (L(M),
зависят только от заданных резольвент, откуда при переходе к гомологии получаем
градуированные /^-гомоморфизмы степени 0
ф (S, R): ТогА (Р, М) ¦* H(S eA R),
^(R, E): H (HomgrA (R, Е)) -* ExtA (M, N),
не зависящие от выбора а, 0, у.
Например, беря в качестве а, Ь, с тождественнные отображения модулей М, Р, N
соответственно, мы приходим к гомоморфизмам i^(P, М): ТогА (Р, М) -> Р ®а М и
<? (М, N) : HomA (M, N) -* ExtA (M, N), введенным в замечании 2 на с. 76 и в замеча-
замечании 2 нас. 93.
Теорема 1. а) Если одна из резольвент R или S плоская, то ф(S, R) - изомор-
изоморфизм градуированных к-модулей.
б) Если резольвента R проективна или если резольвента Е инъективна, то <^(R, E) -
изоморфизм градуированных к-модулей.
104 § 6. Использование неканонических резольвент
а) Предположим, например, что резольвента R плоская, и выберем морфизмы а.
и 0, как указано выше. Морфизм 0 ® а представляет собой композицию морфизмов
1 L</P) • а 0 • 1 R
L(P) ®А L(M) > L(P) ®А R «-S ®А R.
Так как комплекс L(P) (соответственно R) плоский и а (соответственно 0) — го-
гомологизм, то 1l(P) ® а (соответственно 0 ® 1r) — также гомологизм согласно пред-
предложению 4, с. 75, Следовательно, 0 ® а— гомологизм и отображение i//(S,R) =
= Н@ ® а) биективно.
б) Рассуждаем аналогично, используя предложение 4, с. 92,
Следствие. ?"слм R - плоская резольвента модуля М, то гомоморфизм
ф(Р,К): ТогА(Р,М)-»Н(Р ®А R)
биективен. Если R - проективная резольвента модуля М, то гомоморфизм
у (R, N): H (HomgrA (R, N)) "> ExtA (M, N)
биективен. Если Е - инъективная резольвента модуля М, го гомоморфизм
V (М, Е): Н (Homgrа (М, Е)) -» ExtA (M, N)
бмекп/век.
Замечание. Диаграмма к- модулей
То^ (Р, М) MS-R) > H(S®AR)
"гм I |H(<J(S. R))
. ' t(R°, Se) '
TorA (M°, P°) ^ H(R° ®A. S°),
где орм и a(S, R) — изоморфизмы коммутирования (с. 78 и 71), коммутативна: зто
выводится посредством перехода к гомологии из коммутативной диаграммы комп-
комплексов
L(P) ®А L(M)
a(L(P), L(M)) I
L(M°) ®A« L(P°)
("гомоморфизмы ф совместимы с изоморфизмами коммутирования").
Аналогично, пусть а^: Кг -*Ы, b\\ Si -*P, C\: N->-Ei — морфизм комплексов, где
Ri и Si - проективные и нулевые справа, а Ei - инъективный и нулевой слева. Со-
Согласно предложениям 3 и 3bis, с. 55—56, существуют морфизмы комплексов
<*i: Ri -> L(M), 0,: Si
для которых рм ° ai =льРр ° ^i =^ь 7i ° eN = ci> и> следовательно, морфизмы
комплексов:
& в at: S, ®А Ri -*L(P) ®A L(M);
HomgrA (a,, 7i): HomgrA (L(M), I (N)) -+ HomgrA (R,, E,),
и, посредством перехода к гомологии, градуированные ^-линейные отображения степе-
степени 0:
*'(S,,R,): H(S, ®A R,)^TorA(P,M),
V>'(Ri.Ei): ExtA (M,N)^H(Homgra (Ri,E,)),
относительно которых проверяется, как и выше, что они не зависят от выбора а!,
01,71-
Предложение 1. Если дь b\, ct - гомологизмы, то ф' (Si, Ri) и у' (Ri, Ei)
представляют собой биекции, обратные биекциям >K'Si, Ri) и <p(Ri, Ei) соответст-
соответственно.
§ 6. Использование неканонических резольвент 105
Действительно, а ° aj есть морфизм комплекса Ri в себя и eto (a ° <*i) = рм °
о aj = tfj, 61 о (C о 0i) = рР о ^ = Ъ\. Согласно предложению 3, с. 55, морфизмы
а ° ai и C о Ci гомотопны 1rs и lgj соответственно. Поэтому, согласно предложе-
предложению 3, с. 73, морфизм / = (Д ® а) о @j ® aj) комплекса Si ®А Ri в себя гомото-
гомотопен lgj eA r, • Следовательно, Н(/) = 1 и
в а)
точно так же ф' (Si, Ri) ° ф (Si, Ri) = 1. Для отображений <р и </ рассуждения прово-
проводятся аналогичным образом.
Примеры. 1. Пусть я - элемент из А, для которого отображение \р: х -*ха коль-
кольца А в себя инъективно ("а не является правым делителем нуля"). Используя резоль-
резольвенту
мы видим, что для всякого правого А-модуля М
Torf(М, А/Ая) = 0 при I > 1
и что А-модуль Тог^ (М^А/Ад) изоморфен Кег (йм) .
Аналогично, для всякого левого А-модуля М
ExtА (А/Ая, М) = 0 при i > 1
иЛ:-модуль Ext^ (А/Ая,"М) изоморфен М/яМ.
2. Предположим, что кольцо А целостное: пусть К - поле частных кольца А и М -
А-модуль. Используя плоскую резольвенту
(с. 13, пример 5), мы видим, что Тог^(К/А, М) = 0 при / > 1 и, кроме того, принимая
во внимание П, р. 116, prop. 26- (И), что А-модуль Torf (К/А, М) изоморфен подмо-
подмодулю кручения модуля М.
3. Предположим, что А — нётерово локальное кольцо, обозначим через Ш его мак-
максимальный идеал и положим к = А/ ГО. Пусть М — А-модуль конечного типа, Р — минималь-
минимальная проективная резольвента для М (с, 59—60). Для всякого п > 0 векторные fc-прост-
ранства Тог^ (к, М) и Ext? (M, к) имеют конечную резме.рность, равную рангу свобод-
свободного А-модуля Р„; действительно, комплексы к ®А Р и HomgrA. (P, к) имеют нуле-
нулевой дифференциал.
2. Вычисление отображений ТогА (;,/) и ExtA (/, h)
Пусть /: М -»¦ М', Л: N' -*¦ N — гомоморфизмы левых А-модулей, g: Р -* Р' — гомо-
гомоморфизм правых А-модулей, a: R -»• М, я': R1 -*Mf, b: S -»¦ Р, b': S' -*Р' — левые
резольвенты для М, М1, Р, Р' соответственно, с: N -*-Е, с': N' -*>?' — правые резоль-
резольвенты для N и N', /: R->-R', g- S->-S', Я: Е' -*Е - морфизмы комплексов, для
которых
а о /=/ о я, Ъ о g=g о b, h о с' = с о h.
Предложение 2. Следующие две диаграммы коммутативны:
Tor* (P, M) *(S'Ю * H(S ®A R)
Tot* (», ЛI |Н(Я®Л
Tor* (P', W)^S'-R\ H(S' ®A R-) ,
H(HomgrA(R', E')) Ф(К'Е/>» ExtA (M', N')
H(HomgrA (/, А))| I ExtA (/, А)
Н (HomgrA (R, Е)) Ф(К'Е>> ExtA (M, N) .
106 § б. Использование неканонических резольвент
Пусть о: L(M)->R, a': L(M') -*R', у: L(P)->S, у': L(P')-*S' - морфизмы
комплексов, для которых
По определению, гомоморфизм H(if ®/) ° i^(S, R) равен
Н (| в/) о НG в а) = Н((? о 7) в (/ о а)),
тогда как гомоморфизм ^(S\ R') ° TorA (g,f) равен
НG' ««') ° H(Lfe) в Ц/)) = Н(G' « Ц*))« («' « Ц/)))-
С другой стороны, a'oL(/) и / ° a — это два морфиэма иэ L(M) в R', для которых
a'o(a'oL(/))=pM'oL(/)=/opM=/oaoa=a о (/о а). Согласно предложению 3,
с. 55, морфизмы а' о L(/) и/«и гомотопны; точно так же гомотопны морфизмы
у'o_L(g) и g.o у, следовательно, морфизмы (T.'°L(?))e(a'oL(/)) и (рт)*
в (/ о а) гомотопны, согласно предложению 3, с. 73. Таким образом,
/) о ф (S, R) - Н((?° у) ®(/ ° а)) =
= H((r'oL(g))®(o'o L(/))) = ^(S',R')°TorA(^,/).
Относительно второй диаграммы рассуждения проводятся аналогичным образом.
Замечание. Рассмотрим также коммутативные диаграммы морфизмов комп-
комплексов
R, -^V M S, -^*- P N' -^ Е'
r; -X м-, s; -^ P', n-^e,,
где комплексы Ri, R'i, Si, S', проективны и нулевые справа, а комплексы Е(, Е',
инъективны и нулевые слева. Тогда
^.'(R!, ЕО - ExtA(/,^) = H(HomgrA(/,Я)) с ^'(R',, Е',),
что доказывается аналогично предложению 2.
3. Вычисление связывающих гомоморфизмов
Рассмотрим коммутативную диаграмму
O-^R'i^RivR'^O A)
1 1 1
0—»-М' -^М -U-M"—^0, B)
где первая строка A) — точная последовательность комплексов левых А-модулей,
вторая строка B) — точная последовательность левых А-модулей и где вертикальные
стрелки обозначают левые резольвенты.
Предложение 3. а) Пусть Р — А-модуль, b: S -+Р - левая резольвента для Р;
предположим, что последовательность комплексов к-модулей
0-»S®AR'—2 «-SeAR-5—>-S®AR"-»0 C)
точная. Тогда следующая диаграмма коммутативна
Тог*
H(S I
(Р,
1
М")
R")
g(P.B))t
Тог*
H(S(
(Р,
мо
S. R)
R0
§ 6. Использование неканонических резольвент 107
б) Пусть N - левый А-модуль, с: N -+Е - правая резольвента для N; предположим,
что последовательность комплексов к-модулей
0 -> HomgrA (R", E) Honisr'(f~". HomgrA (R, E) Homgr*("-". Homg.A (R', E) - 0 (.4)
точная. Тогда следующая диаграмма коммутативна:
H(HomgrA(R\ Е)) -^- H(HomgrA (R", E))
4><R\ E) I IqKR-, E)
ExtA (M', N) 8)'N) > ExtA (M", N) .
Докажем, например, а). Пусть &: L(P) ->S - морфизм комплексов, для которого
b о /} =рр; рассмотрим диаграмму ^-комплексов
0ш С /Ov D ' ;-/. fc С /Ov D ^ С /Ov D ^f fc Л
^^ О V^y А ^^ А ^^ А
э®|-1 ®if p®vt
0-*L(P)®AR' ' 8"> L(P) ®A R '¦®8> L(P) ®AR"—»^0
I ® «'I 1 ® a I 1 ® a"\
0 -»- L(P) ®A M' ^VL(P) ®a M i^V L(P) ®A M"-^0 .
Она коммутативна и имеет точные строки (согласно предложению для первой строки
и в силу того, что комплекс L(P) плоский, для двух других). Имеем, следовательно,
коммутативную диаграмму (с. 36, предложение 2, и с. 78, определение 2):
H(S®AR") г(C)) » H(S®AR')
Н(ЦР) ®А R") ^ Н(ЦР) ®А R')
НA ® в")| |НA ® в')
Н(ЦР) ®А М") ^ H(L(P) ®A M')
Фр(М")| { Фр(М')
Тог(Р, М") г(Р|B))» Tor(P, M').
Согласно предложению 4, с. 75, отображения НA®д") и НA®д') биективны;
с другой стороны, по определению гомоморфизмов ф, имеем: Н(/3 ® 1) о ^(L (P), R") =
, R") и H(lee").o*(L(PX R")=^(L(P), M")=0P(M"), следовательно
точно так же, t//(S, R') =Н(Д®1) « НA ел') о фр(М'), и искомое утверждение
Э(C)) о i/>(S, R") =ф(8, R') о Э(Р, B)) следует из коммутативности предыдущей
диаграммы.
Замечания 1. Используя изоморфизмы коммутирования, можно вывести из а)
аналогичное утверждение, получаемое заменой ролей двух аргументов в тензорном
произведении.
2. В обозначениях утверждения а) предположим, что либо резольвента S плоская,
либо резольвенты R, R', R" плоские; тогда, с одной стороны, последовательность
C) точная (с. 79, следствие 2), и можно применять предложение 3; с другой стороны,
отображение t//(S, R') биективно (теорема 1), следовательно,
Э(Р, B)) = *(S, R'r' • Э(C)) о ф (S, R").
3. В обозначениях утверждения б) предположим, что либо резольвента Е инъективна,
либо резольвенты R, R', R" проективны; тогда, с одной стороны, последовательность
D) точная (с. 89, предложение 2), и можно применять предложение 3; с другой сторо-
108 § 6. Использование неканонических резольвен]
ны, отображение <p(R', Е) биективно (теорема 1); следовательно,
5 (B), N) = „(R", Е) о Э(D)) о „(R', Е).
Рассмотрим теперь коммутативную диаграмму
0 —- N' -V N -i*- N" —*- 0 E)
0 —*> Е' -=— Е -U- Е" —«> 0 F)
в которой первая строка E) — точная последовательность левых А-модулей, вторая
строка F) — точная последовательность комплексов левых А-модулей и вертикальные
стрелки обозначают правые резольвенты. Рассуждая, как в предложении 3, можно
доказать следующее предложение:
Предложение 4. Пусть М — левый А-модуль, a a: R->M - такая левая резоль-
резольвента для М, что последовательность
0-»HomgrA (R, Е') Jl^luiU HomgrA (R, E) "om"r'r-"> HomgrA (R, E")-»0 G)
точная. Тогда, следующая диаграмма коммутативна:
H(HomgrA (R, Е")) -2Ши H(HomgrA(R, E'))
E")l |<p
8(МE)>
|. E)
ExtA (M, N") 8(М'E)> > ExtA (M, N').
Замечания. 4. Если резольвента R проективна или резольвенты Е, Е', Е" инъек-
тивны, то последовательность G) точная (с. 89, предложение 2); кроме того, отобра-
отображение y?(R, E") биективно (теорема 1); следовательно,
6(М,E)) = *(R, E') о Э(G)) о „(R, E")-1 •
5. Мы предоставляем читателю сформулировать и доказать предложения, аналогич-
аналогичные предложениям 3 и 4, относительно гомоморфизмов ф' и у .
4. Конечность модулей расширений н кручения
Пусть М — левый А-модуль, I — направленное предупорядоченное множество,
(N,-, u/i) — индуктивная система левых А-модулей относительно I, N = limN; - ее
индуктивный предел.м,-: N,-»-N,iG I, - канонические отображения. Тогда (ExtA(M,N,),
ExtA(lM, иц)) — индуктивная система ^-модулей и (ExtA(lM, u{)) — индуктивная
система отображений, индуктивный предел которой представляет собой гомоморфизм
градуированных Л-мо дулей
lim ExtA(M, N,) -> ExtA(M, lirn^ N,), (8)
называемый каноническим.
Предложение 5. Если кольцо А нётерово слева и если М — А-модуль конечного
типа, то канонический гомоморфизм (8) биективен.
Действительно, пусть (с. 59, предложение 6) р: L->M — свободная резольвента
для М, в которой Ь„ — модуль конечного типа для каждого п. Канонический морфизм
^•комплексов
и: lim HomgrA(L, N,)-» HomgrA(L, lim N,)
биективен, следовательно, таков же гомоморфизм
lim H(HomgrA(L, N,)) -> H(HomgrA(L, limN,)),
получаемый из гомоморфизмов H(Homgr(l, ut)) (с. 34, предложение 1). Заканчиваем
вывод теперь ссылкой на предложение 2 (с. 105 ) и теорему 1 (с. 103).
Предложение 6. Пусть В - кольцо и N — (А, В)-бимодуль, являющийся нёте-
ровым Ъ-модулем (соответственно, В-модулем конечной длины).
§ 6. Использование неканонических резольвент 109
а) Предположим, что кольцо А нётерово справа, и пусть М - правый А-модуль ко-
конечного типа. Тогда В-модули (с. 85) Tor? (M, N) нётеровы {соответственно, конечной
длины).
б) Предположим, что кольцо А нётерово слева, и пусть М —левый А-модуль конечно-
конечного типа. Тогда Ъ-модули (с. 100) ExtA (M, N) нётеровы (соответственно конечной
длины).
Выберем свободную резольвенту р: L-*M, в которой каждый из А-модулей Ln
конечного типа (с. 59, предложение 6)-, и пусть С - комплекс В-модулей L®AN в
случае а), HomgrA (L, N) в случае б). Каждый из В-модулей С„ изоморфен произве-
произведению конечного числа экземпляров модуля N, следовательно, нётеров (соответствен-
(соответственно, конечной длины); отсюда следует, что тем же свойством обладают модули Н„(С).
Но согласно теореме 1,с. 103, эти модули изоморфны Tor*(M,N) в случае a),ExtA(M,N)
в случае б) •
Следствие. Пусть р: А -*¦ В - гомоморфизм нётеровых коммутативных колец,
М — А-модуль конечного типа, N - В-модуль. Если N - В-модуль конечного типа (соот-
(соответственно конечной длины), то тем же свойством обладают Ъ-модули Tor?(M, N) и
Ext?(M,N).
5. Гомоморфизмы TorB(P, N) ®A Q -»¦ TorB(P, N ®A Q) и
ExtB(M, N) ®AQ ¦* ExtB(M, N ®AQ)
Пусть В — кольцо, N — (В, А)-бимодуль, М —левый В-модуль, Р - правый В-модуль,
Q — левый А-модуль.
Согласно сказанному на с. 71, мы имеем гомоморфизм
7,: H(L(P)®BN)®AQ + H(L(P)®BN®AQ);
кроме того (с. 76, предложение 5), имеем изоморфизмы
tfP(N)elQ: TorB(P,N)®AQ+H(L(P)®BN)®AQ,
MN®AQ): Torp(P,N®AQ)+H(L(P)®BN®AQ).
Градуированный гомоморфизм степени 0, называемый каноническим,
TorB(P,N)®AQ-*TorB(P,N®AQ). (9)
определяется как композиция Ф-р(Ц®^0)~1 °7i °(^p(N)®1q).
Точно так же из канонического морфизма комплексов
a: HomgrB(L(M), N) ®A Q -* HomgrB(L(M),N ®A Q)
получаем гомоморфизм Н (а); имеем канонический гомоморфизм (с. 71)
у2: H(HomgrB (L(M), N)) ®A Q ¦* H(HomgrB (L(M), N) ®A Q)
и изоморфизмы (с. 93, предложение 5),
VM (N) ® 1 q •• H(HomgrB (L(M), N)) ®A Q ¦+ ExtB(M, N) ®AQ,
VM(N ®aQ): H(HomgrB(L(M), N ®AQ) - ExtB(M, N ®AQ).
Градуированный гомоморфизм степени 0, называемый каноническим,
ExtB(M,N)®AQ^ExtB(M,N®AQ) A0)
определяется как композиция
Предложение 7. а) Если А-модуль Q плоский, то гомоморфизм (9) биективен.
б) Если А-модуль Q проективен и конечного типа, то гомоморфизм A0) биективен.
в) Если А-модуль Q плоский, кольцо В нётерово и В-модуль М конечного типа, то
гомоморфизм A0) биективен.
а) Если модуль Q плоский, то гомоморфизм 7i биективен (с. 74, следствие 2).
б) Если Q — проективный модуль конечного типа, то он плоский, следовательно,
гомоморфизм72 биективен,и, кроме того, морфизма биективен (II, р. 75, prop. 2,а)).
110 § б. Использование неканонических резольвент
в) В предположениях утверждения в) гомоморфизм у2 биективен, поскольку мо-
модуль Q плоский. Кроме того, (с. 59, предложение 6) существует резольвента L для М,
в которой каждый модуль Ь„ свободен и конечного типа; пусть и: L(M) -*L - гомо-
топизм (с. 55, следствие предложения 3); в коммутативной диаграмме
HomgrB (L(M), N) <g>A Q -^ HomgrB (L(M), N ® A Q)
t 5 t
HomgrB (L, N) ® A Q -1*- HomgrB.(L, N ® A Q) .
вертикальные стрелки, получаемые из и, представляют собой гомотопизмы (с. 73,
предложение 3, и с. 90, предложение 3) и отображение а биективно (II, р. 75, prop. 2 (ii)).
Следовательно, отображение Н(а) биективно и гомоморфизм A0) биективен.
6. Гомоморфизмы Тогв (Р, N ®А Q) -> TotA (P ®в N, Q) и
ExtA(Q, HomB(N, M) - ExtB(N ®AQ, M)
Сохраним предыдущие обозначения и предположим, что N — плоский модуль над А.
1 в Pq
Тогда морфизм N®AL(Q) —-^Ne^Q является гомологизмом (с. 75, предложе-
предложение 4), откуда получаем гомоморфизмы
®AL(Q)): TorB(P,N®AQ) + H(P®BN®AL(Q)),
A L(Q), M): H(HomgrB (N eA L(Q), M)) ¦+ ExtB (N ®A Q, M).
Используя далее изоморфизмы
^q(P®BN): TorA(P®BN,Q)-+H(P®BN®AL(Q)),
0: HomgrA (L(Q), HomB (N, M)) ¦+ HomgrB(N вA L(Q), M),
^Q(HomB(N, M)): H(HomgrA(L(Q), HomB(N, M))) - ExtA(Q, HomB(N, M)),
мы получаем градуированные гомоморфизмы степени 0, назьшаемые каноническими:
TorB(P,N®AQ)-^TorA(P®BN,Q), A1)
ExtA(Q, HomB(N, M))¦*¦ ExtB(N ®AQ, M). A2)
Предложение 8. а) Если N - плоский модуль над А и над В, го гомоморфизм
A1) биективен.
б) Если N — плоский модуль под А и проективный над В, то гомоморфизм A2)
биективен.
Действительно, модуль N®AL(Q) изоморфен прямой сумме копий модуля N, а
потому является плоским (соответственно проективным) В-модулем, когда В-мо-
дуль N плоский (соответственно проективный); затем применяем теорему 1 (с. 103).
7. Гомоморфизмы В ®А TorA (E, F) -> Тогв (Е ®А В, В ®А F) и
В ®А ExtA(E, F) ¦* ExtB(B вА Е, В ®А F)
В этом пункте мы предполагаем, что кольцо А коммутативно; считаем заданными
гомоморфизм колецр: А-»-В, для которого р(А) содержится в центре В, и два А-
модуля Е и F. Имеет место канонический изоморфизм комплексов А-модулей
и: В®А(ЦЕ) ®А L(F)) - (L(E) ®АВ) ®В(В ®
с другой стороны, так как L(E) ®AB и В ®AL(F) — свободные В-комплексы, имеем
канонический гомоморфизм градуированных А-модулей (с 104)
ф '(L(E) ®А В, В ®А L(F)): H(L(E) ®А В) ®в (В ®А L(F)) -> Torв (Е ®А В, В ®А F);
наконец, мы располагаем гомоморфизмом (с. 71)
у: В ®ATorA(E, F)- H(B ®AL(E) ®AL(F)).
!; 6. Использование неканонических резольвент lit
Канонический гомоморфизм градуированных В-модулей
B®ATorA(E,F)-*TorB(E®AB,B®AF) A3)
определяется как композиция ф '(L(E) ®A В, В ®А L(F)) о Щи) о у.
Предложение 9. Если В - плоский модуль над А, то гомоморфизм A3)
биективен.
Действительно, гомоморфизм \p'(L(E) ®AB, B®AL(F)) биективен (с. 104, предло-
предложение 1) и гомоморфизм-у биективен (с. 74, следствие 2).
Предположим, что В — плоский модуль над А. Подставляя в гомоморфизм A2)
Е вместо Q, В вместо N и В ®А F вместо М, получаем гомоморфизм
ExtA(E, В ®AF)'-> ExtB(B ®АЕ, В ®AF),
который биективен согласно предложению 8. Подставляя в гомоморфизм A0) Е
вместо М, F вместо N, А вместо В, В вместо Q и переставляя множители тензорных
произведений, получаем гомоморфизм В-модулей
B®AExtA(E,F)-*ExtB(E,B®AF),
откуда посредством композиции получаем гомоморфизм
В ®AExtA(E. F)-» ExtB(B ®AE, В ®AF), A4)
называемый каноническим.
Предложение 10. Гомоморфизм A4) биективен в следующих случаях:
а) В -проективный А-мооуль конечного типа:
б) В - плоский А-модуль, А нётерово и Е - А-модуль конечного типа.
Это следует из предложения 7 (с-109).
8. Приложение: гомология и когомология групп
Пусть G — группа, Z^G* - ее алгебра над Z (III, р. 19). Напомним (см. III, р. 20,
exemple), что если М - коммутативная группа, то задание действия группы G на М
(т.е. гомоморфизма г: G -* Aut (М)) равносильно заданию структуры левого Z * ' -мо-
-модуля на аддитивной группе М. В частности, мы будем рассматривать группу Z как левый
Z ^G) -модуль, наделив ее тривиальным действием.
Определение 1. Пусть М - левый (соответственно правый) Z^G*-модуль,
п - целое число > 0. Группа Ext ?(G)(Z, М) (соответственно Тог,? ¦ (М, Z)) обознача-
обозначается через H"(G, M) (соответственно H,,(G, M)) и называется п-ой группой когомоло-
гии (соответственно гомологии) группы G с коэффициентами в М.
Стандартная резольвента (с. 62) B(Z(G), Z) представляет собой свободную резоль-
резольвенту Z(G>-модуляг; отсюда следует, что группыН"(С, М) (соответственно НИ(С,М))
отождествляются с группами гомологии комплекса Homgr yG) (B(Z (G), Z), M) (соот-
(соответственно M <? (G) B(Z(G>,Z). z
Используя канонический изоморфизм (Z(G))" на Z(gW) (III, p. 36) и свойства
расширения скаляров (II, p. 82), заключаем, что группа H"(G, M) канонически изо-
изоморфна группе гомологии верхней степени п комплекса C(G, M), определяемого сле-
следующим образом: C"(G, M) =0 при и<0; при п> 0 C"(G, M) представляет собой
Z-модуль отображений множества G" в М; при п> 0 дифференциал dn: C"(G, M) -*
-*С"+| (G, М) определяется по формуле
(d"f)(go.... ,g,,)=go f(gi,'... ,gn) +
+ "Z (-l)'+1/(*0, • . . ,gtgi+1,. . . ,gn)+(-l)"+1f(g0, ¦ ¦ ¦ ,gn-l)
i= 0
для всех /еС"(С, М) и go,...,gnGG.
Аналогично, группа Hn(G, M) отождествляется с группой гомологии степени «комп-
«комплекса C'(G, M), где c;,(G, M) =M®ZZ(G") при п> 0, Cj,(G, M) =0 при л<0, при-
112 § б. Использование неканонических резольвент
чем дифференциал dn: C^,(G, M) ->Cj)_i (G, М) определяется по формуле:
*..(»»•«*,.¦...*,)*»» Si • et,.....tH +
п-Х
+ 2 (-1)'т®е„ _,- - + (-1)"т®е„ „
длявсех и> 1, тем,и g{,. . .,gnGG.
Примеры- 1. Прямо из определения следует, что группа H°(G, M) изоморфна
подмодулю элементов из М, инвариантных относительно действия G.arpynna H0(G, M) —
фактормодулю модуля М по подмодулю; порожденному элементами m-g — m для
meM, gGG.
2.Из предьщущего следует, что группа H^G, М) изоморфна Z-модулю Z 1(G,M)/B1(G,M)>
rfleZ^G.M) - Z-модуль отображений/из G в М, удовлетворяющих условию:
f(gig2)=gi f(g2)+f(gi) длявсех ?ii2eG,
a B'(G, M) - Z-подмодуль в Z'(G, M), образованный теми отображениями/, для
которых существует такой элемент m e M, что
f(g)-gm -m для всех g&G.
Z'(G, М) иногда называют Z-модулем скрещенных гомоморфизмов группы G в М,
а В (G, М) — подмодулем главных скрещенных гомоморфизмов.
Обозначим через т: G-*Aut(M) гомоморфизм, задающий действие группы G, рас-
рассмотрим внешнее полупрямое произведение М XTG и расширение ?т: М —>М ХтG-^*G
A, р. 64). Пусть е: G-*MXTG — отображение, для которого р° e = lG; тогда е =
= (/. 1g). где /е C'(G, М). Дня того чтобы отображение е было гомоморфизмом
(т.е. сечением расширения ?,.), необходимо и достаточно, чтобы /eZ'(G, М). Для
того чтобы два сечения расширения ?т были сопряжены посредством элемента из/(М),
необходимо и достаточно, чтобы соответствующие скрещенные гомоморфизмы опре-
определяли один и тот же класс в Н1 (G, М).
Когда G действует тривиально на М, B'(G, M) =0 и группа H^G, M) изоморфна
Z-модулю гомоморфизмов группы G в М.
3. Аналогично, группа H2(G, M) изоморфна Z-модулю Z2(G, M)/B2(G, M), где
Z2(G, М) - Z-модуль отображений/ множества G X G в М, удовлетворяющих условию:
gi
для любыхgltg2,g3 S G, и B^(G, M) - Z-подмодуль в Z2(G, M),образованный теми
отображениями/, для которых существует такое отображение А из G в М,
для любых g 1, ?2 е G.
Мы приходим, таким образом, к определению группы Н2 (G, М), данному в VIII, Арр.
Отсюда следует, в частности, что существует канонический изоморфизм группы
H2(G, М) на группу классов расширений группы G посредством М (VIII, Арр.).
4. Пусть М — Z-модуль, который рассматривается как правый Z ^G^ -модуль с три-
тривиальным действием группы G. Группа Hi(G, M) изоморфна фактормодулю Z-модуля
M®ZZ(G* по Z-подмодулю, порожденному элементами tn®(eglg} —Cgt ~eg1) пля
M,^i,g2eG,откуда легко следует,что группа Hi(G,M) изоморфна M®z (G/(G,G)).
Обозначим через а антиавтоморфизм алгебры Z'G), определяемый тем, что a(eg) ~Cg~l для
jeG. Всякий левый Z (G) -модуль может рассматриваться с помощью а как правый Z (G) -модуль
и обратно. Это позволяет, например, определить группы Hg (G, М) для левого Z (G'-модуля М,
(G)
7(G)
положив Нч (G, М) = Hq (G, ст.(М)) = Тог^ (Z, М).
Лемма 1. Пусть М - Z-модуль; обозначим через MG группу Homz (Z^G), М),
наделенную естественной структурой левого Z^G^ -модуля. Тогда
H'(Q,MG) = 0 при i> 1.
§ 6. Использование неканонических резольвент 113
Действительно, из предложения 8, б) (с. ПО), примененного к A = N=Z^G^ и
В = Q = Z, получаем, что имеет место канонический изоморфизм
Extz(G)(Z,MG)-»Extz(Z,M),
откуда следует лемма.
Предложение 11. Пусть L - расширение Галуа конечной степени поля К с
группой Галуа G.
а) H'(G,L) =0 при i> 1.
б) H^G.L*) =0.
в) Группа Н2 (G, L*) канонически изоморфна группе Вг (К, L) (VIII, §13).
.Теорема о нормальном базисе (V, § 10, n°9, th. 6; Алгебра, V, с. 180, теорема 5)
показывает, что L как Z*G*-модуль изоморфно KG =Homz (Z^G^, К); утвержде-
утверждение а) следует теперь из леммы 1. Если принять во внимание пример 2, утвержде-
утверждение б) будет следовать из V, § 10, n°5, prop. 9, cor. 1; наконец, утверждение в) до-
доказано в VIII, § 13.
Упражнения
1. Пусть р: А->В - гомоморфизм колец, М, N -два левых В-модуля, Р - правый В-модуль.
а) Пусть Lg (соответственно ^LA) - проективная резольвента В-модуля (соответственно А-
модуля) м: Показать, что существует А-линейный морфизм резольвент LA-»-LB, единственный
с точностью до гомотопии; получить отсюда градуированные ^-гомоморфизмы степени 0
а: ТогА(Р, ND-'-Toi^Q'.M), /3: ExtB(M, N)-> ExtA(M, N).
б) Рассмотрим канонические гомоморфизмы (с. 110)
\: ТогА(Р,М)-Тогв(РвАВ,М), и: ТогА(Р, М)- Тогв(Р, В »АМ),
v: ExtB(BeAM,N)-*ExtA(M, N), p: ExtB(M,HomA(B, N))-*ExtA(M, N).
Пусть га: В»АМ-»М, р: РвАВ-+Р и п: N-+HomA(B, N) - В-гомоморфизмы, определяемые
по формулам: га (Ь »х) = Ьх, р(у ® Ь) =уЪ и n(z) ф) =bz для ЬеВ, хе М, у е Р, z e N. Дока-
Доказать равенства:
а = ТогAр,/и)о д = Тог(р, 1м)о\,
2. Пусть А, В - две fc-алгебры (ассоциативные и унитарные); пусть М - левый А-модуль, Р -
правый В-модуль, N - (А, В)-бимодуль. Рассмотрим гомоморфизм
a: HomB(N, Р) »АМ-> HomB(HomA(M, N), Р),
При котором а(ивот) (и) =ио и(га) для «eHomB(N, P), i»eHomA(M, N), гаеМ (II, р. 190,
exercice 6).
а) Заменяя М проективной резольвентой, определить с помощью а ^-гомоморфизм
т: ТогА (HomB (N, Р), М) - HomgrB (ExtA (M, N), Р).
б) Предполагаем в дальнейшем, что кольцо А нётерово слева и что А-модуль М конечного типа.
Показать, что если В-модуль Р ннъектнвен, то т - изоморфизм.
в) Показать, что существуют две спектральные последовательности Е и 'Е (с. 49-51, упражне-
упражнения 14—17), сходящиеся к одному и тому же градуированному Аг-модулю, для которых
Ef •ч = Tor^p (Extg (N, Р), М), 'Ef'ч = Ext| (ExtX" (M, N), Р).
3, Пусть I - инъективный fc-модуль; для всякого А-модуля М обозначим через D(M) правый
А-модуль Homfc (М, I). Пусть М и N - два левых А-модуля, Р - правый А-модуль. Доказать, что для
всякого р > 0 ^-модули ExtA(P, D(M)) и D(TorA(P, M)) изоморфны; если кольцо А нётерово
слева и М - А-модуль конечного типа, то ^-модули TorA(D(N), M) и D(ExtA(M, N)) изоморфны
(использовать упражнение 2, б), и упражнение 6, б), с. 102).
4. Для всякой группы G обозначим через eg: Ъ ' -*Z гомоморфизм колец, при котором
eG (еу) = ! Для любого {SG; положим \q - Ker (cq) ¦
а) Показать, что группа Н, (G, Z) изоморфна Iq/Iq.
б) Пусть (Si)iei - порождающее семейство для G; показать, что элементы (eg - 1) для i6 I
порождают идеал Iq.
в) Предположим, что семейство (?t)tei базисное (I, р. 86). Показать, что {eg - l)tei есть ба-
базис левого Z ' ' -модуля Iq.
8. Н. Бурбаки
1L § 6. Использование неканонических резольвент
5. Пусть X - множество, G = F (X) - свободная группа, построенная на X, М - Z *• '-модуль.
Показать, что группы Нч (G, М) и Hq (G, М) равны нулю при q > 2 (использовать упражнение 4).
6. Пусть G - конечная группа порядка и, М - Z* '-модуль. Показать, что для всякого q > 1
Z-модули H^G, M) и H(j(G, M) аннулируются числом и (рассмотреть гомотопию h комплекса
C(G, M) в себя, определяемую по формуле
hf(gx s,) = (-O* 2 f{gl gq,g)
«ее
для / е Cq+l (G, М) и g, #,,..., gq e G). Если М - Z-модуль конечно/о типа, то группы И4 (G, М)
и l\q (G. М) конечны для q > 1.
7. Пусть G - циклическая группа порядка и, М - Z ' л' -модуль, а - порождающий группы G.
Обозначим через N умножение в М на элемент 2 ее из Z ' '. Показать, что Z-модуль Н° (G, М)
«EG *
(соответственно Но (G, М)) изоморфен КегA - <*м) (соответственно Coker(l - ам)); Для нечет-
нечетного q группы н'(С, М) и H^+j (G, М) изоморфны KerN/Im(l - о^), для четного q > 2 группы
H4(G, М) и H<j_i (G, М) изоморфны Кег A - oM)/IraN. (Использовать упражнение 1,г. 64).
8. Пусть F - свободная группа, R - нормальная подгруппа в F. G = F/R. Показать, что группа
На (G, Z) изоморфна ((F, F) n R)/(F, R) (использоватьупражнение 3, с. 65).
9. а) Пусть G - группа, М - Z ^'-модуль, g - такой элемент из центра группы G, что эндомор-
эндоморфизм m r+gm - m модуля М биективен. Показать, что группы HP(G, М) и Hp(G, М) нулевые для р > 1.
б) Пусть V - векторное пространство над полем к, причем Card(fc) > 3. Доказать, что группы
HP(GL (V), V) и Hp(GL (V), V) нулевые при р > 1.
10. Пусть G и И - две группы, и: Н -*G - гомоморфизм, М - Z ^'-модуль. Для всякого q > 0 из
гомоморфизмов а и C упражнения 1 получаются гомоморфизмы
и": Н, (Н, М) -> Н, (G, М), иЧм: НЧ (G, М) -> Нч (Н, М),
которые обозначаются просто через Uq и и', если нет неясности относительно модуля М.
а) Для /ее' (G, М) обозначим через /„ элемент из С4 (Н, М), для которого /Ы(Л,, . . . , hq) =
= /(и(Л,), . . . ,u(hq)) при Л,, . . . , hq e H. Показать, что отображение /*-»/« представляет собой
морфизм комплексов из C'(G, М) в (ЛН, М), который индуцирует на гомологии гомоморфизм ®uq.
Определить аналогичным образом морфизм из С. (Н, М) в C.(G, М), который индуцирует ® Uq.
б) Предположим, что Н = G и возьмем в качестве и внутренний автоморфизм группы G. Дока-
Доказать, что гомоморфизмы uqwuq равны тождественному (провести индукцию по q).
11. Пусть G - группа, Н - нормальная подгруппа в G, М - G-модуль. Согласно упражнению 10,
группа G действует посредством сопряжения на Z-модулях Н4 (Н, М); поскольку действие под-
подгруппы Н тривиально, то указанные модули наделены, следовательно, структурой Z ' ' '-модулей.
а) Показать, что существует спектральная последовательностьЕ(с.49-50,упражнение 14), сходя-
сходящаяся к ® Hft(G, М), длч которой Ef'4 = HP(G/H, Нч (Н, М)) (рассмотреть спектральную последо-
последовательность из упражнения 6, г), с. 102, приняв во внимание канонический изоморфизм A2),с. 110).
б) Показать, что существует точная последовательность
0-Н1 (G/H, Н° (Н,М))->Н" (G, М)->Н° (G/H, Н1 (Н,М))^
- Hs (G/H, Н° (Н, М) - Н2 (G, М).
Описать гомоморфизмы этой последовательности, используя описание групп Hn(G, M) в терминах
комплекса С (G, М).
в) Определить спектральную последовательность, аналогичную спектральной последовательности
из а), для групп гомологии.
12. Пусть G - группа. Z' '-модуль М называется коиндуцированным (соответственно индуци-
индуцированным), если существует такой Z-модуль А, что М изоморфен Нот/ (Z (G', А) (соответствен-
(соответственно Z(G)®zA)-
а) Всякий Z( '-модуль изоморфен подмодулю некоторого коиндуцированного модуля и фак-
тормодулю некоторого индуцированного модуля.
б) Пусть М - Z ' ' -модуль. .Показать, что следующие условия эквивалентны:
а) М - прямой множитель некоторого коиндуцированного модуля.
0) М инъективен относительно Z (упражнение 19, с. 27).
у) СуществуетG-среднее на М A,р. 136, exercice 8), т.е. такой Z к '-гомоморфизм т: С1 (G, М) ->
-»М (где структура Ък '-модуля на С1 (G, М) определяется по формуле (gf) (дг) =g /(?~'х) для
g e G, х В М), что если/х - постоянная функция со значением х е М, то т (fx) = х.
в) Показать, что следующие условия эквивалентны:
а) М - прямой множитель некоторого индуцированного модуля.
C) М проективен относительно Z (упражнение 19, с. 27).
§ 6. Использование неканонических резольвент J15
у) Существует такой Z-эндоморфизм р модулям, что для всякого дсеМ семейство (p(?~'x)]^eG
имеет конечный носитель и выполняется равенство х = ? gp(g''x).
г) Пусть М - инъективный (соответственно проективный) Z* '-модуль относительно Z. Пока-
Показать, что Н' (G, М) = 0 (соответственно Н, (G, М) = 0) при q > 1.
д) Если группа G конечная, показать, что понятия индуцированного и коиндуцированного (соот-
(соответственно проективного и ннъектнвного относительно Z) модуля совпадают.
13. Пусть G - группа, Н - подгруппа в G, М - левый Z W-модуль, N - правый Z ^ '-модуль.
а (с*Л v (G\
Наделим группу М = Нот _ (н) (^ , М) (соответственно N = Ne _ (Н) % ) структурой левого
(соответственно правого) Z ^ ' -модуля, полученной из структуры правого Z ' ' -модуля на Z ' >
Пусть ти: М -•• М и л: N -»¦ N - Z v ' -гомоморфизмы, при которых m (и) = и A) для иЕМи
л (ас) = х в 1 для ас е N, и пусть i: Н -* G - каноническое вложение. Доказать, что композиции го-
гомоморфизмов
/*: Hq (G, М) -* Н* (Н, М) —* Нч (Н, М)
и
Н,(Н,л) v i,
/,: Н, (Н, N) > Ид (Н, N) -* Н, (G, N)
представляют собой изоморфизмы для всех q > 0.
14. Пусть G - группа, Н - подгруппа конечного индекса в G. Положим л = (G : Н).
а) Пусть Q, М - Z ' ' -модули. Показать, что существует Z-гомоморфизм
t: Homz(H) (Q, M) -* Homz(G) (Q, M),
при котором, для всякой системы представителей ?,, . . . , gn классов группы G по модулю Н,
л
(№)(<?)= S gtu(g{lg) для <?eQ, ueHomz(H)(Q, M).
Если/: Horn (g) (Q» м) -»Нот (н) (Q, М) - каноническое вложение, то t ° / = л • Id.
Z Z
б) Пусть N - правый Z ' ' -модуль. В обозначениях из пункта а) показать, что существует Z-го-
Z-гомоморфизм в: N® (g) Q-*N® (н) Q' ПРИ котором
Я
в (л »<j) = ? ngf1 ® gjq для и е N, <j e Q.
/= 1
Если р: N в (щ Q -* N в (g) Q - каноническое отображение, то р » в = и • Id.
в) Пусть Р - проективная резольвента Z * ' -модуля Z,q - целое число. Применяя а) и б) к Q = ?ч,
определить гомоморфизмы tч: Н4 (Н, М) -> Нч (G, М) и вц\ Н^ (G, N) ->¦ Н^ (Н, N). Если / обозначает
каноническое вложение Н в G, то tч « iq = л • Id и iq о еч = л • Id.
г) Рассмотрим Z ' ^ -модули М = Нот (н) (z ^G'» м) и N = N в (ц) z (упражнение 13).
Взяв Q = Z (G', получим исходя из гомоморфизмов t и в (пункты а) и б)) гомоморфизмы tм =
= M-*Mh6]v|:N-»N. Показать, что эти гомоморфизмы Z' '-линейны. Показать, что композиция
гомоморфизмов
Нч (Н, М) > Пч (G, М) > Нч (G, М)
q(,N) v (,)
(соответственно Hq (G, N) > H^ (G, N) > H,j(H,N)) равна tч (соответственно eq).
д) Пусть (g,,!.., jn) - система представителей классов группы G по модулю Н и пусть х е
л
е Н° (Н, М). Показать, что t° (х) = 2 ?/х Определить Г'
/ = 1
е) Если отождествить группы Н, (G, Z) н Н, (Н, Z) с G/(G, G) и Н/(Н, Н) соответственно, то
гомоморфизм t отождествляется с гомоморфизмом ("перенесение", "трансфер") V: G/(G, G) ->¦
-*Н/(Н, Н). Если s: H\G -*G - некоторое сечение канонического отображения, то показать, что V по-
получается посредством перехода к факторгруппе исходя из отображения Vs: G -¦ Н, при котором
Vs(g)= П s(x)g(s(xg)-1 для
\
116 § б. Использование неканонических резольвент
15. Пусть G - группа и к - поле, которое наделим структурами Z' ' -модуля и к' ' -модуля, по-
полученными из тривиального действия группы G.
а) Показать, что группа H*(G,-*) изоморфна Ext*^Gj (к, к) для всякого q > 0 и, следователь-
следовательно, обладает структурой векторного ^-пространства; обозначим через Л*(С к) его размерность
над Л.
б) Предположим, что группа G обладает представлением (I, р. 86), определяемым d порождаю-
порождающими и г соотношениями. Доказать неравенства
d > Л1 (G, к) и г > A1 (G, к)
(использовать упражнение 3, г), с. 65).
116. Пусть G - р-группа (I, р. 72, def. 9). Положим </(G) = dimp H1 (G, Fp) и г (G) =
= dimcH1 (G, Fp) (см. упражнение 15).
а) Показать, что </(G) есть минимальное .число порождающих группы G (доказать, что группа
Н1 (G, Fp) изоморфна группе, двойственной к G/Gp D(G),h использовать I, p. 140, exercice 32).
б) Если Card (G) = р", то показать, что d (G) < п и г (G) < л (л + 1) /2 (доказать индукцией по л,
что существует представление группы Gen порождающими и л (л + 1)/2 соотношениями). Если
G = (Z/pZ) ", то показать, что и d (G) = л и г (G) = л (л + 1) /2.
в) Если группа G нетривиальна, доказать неравенство г (G) > (</(G))]/4 ("теорема Голода -Ша-
феревича": использовать упражнение 15, с. 68, и упражнение 22 из VIII, § 8).
г) Доказать, что г (G) - d (G) = dim p (H* (G, Z) • z Fp) •
17. Пусть G - конечная группа. Обозначим через N элемент 2 ея е Z ^ '. Для всякого Z ' '
модуля М умножение на N, определяет посредством перехода к фактормодулю. гомоморфизм
No: Но (G, М)-» Н" (G, М). Положим Н" (G, М) = Coker (No ), Н"' (G, М) = Ker No, Нч(G, М) = H4(G, M)
при q > 1 иН (G, М) = H,_i (G, М) при q > 2.
а) Пусть (&): 0-*М'-*М-»М"-»0- точная последовательность Z ' ' -модулей; определить точ-
точную последовательность
...-Н4 (G.M") ^* H(?(G,M')-H<7(G,M)-H<7(G,M") — H4+1 (G.M')-...
л _
б) Если модуль М проективен относительно Z, то показать, что Нч (G, М) = 0 при всех q <e Z (см.
упражнение 12).
в) Пусть Н - подгруппа группы G, /: Н -*G - каноническое вложение. Для всякого Z ' ' -модуля
М и всякого рационального целого числа q определим гомоморфизмы i Jj:H'(G, М) -*Нч'(Н, М) и
'%'¦ ^' W' М) -* H<J (G, М) (обозначаемые просто через i4 и tч, если нет неясности относительно М)
следующим образом: для q > 1 положим i4 = i4 и?' =t4 (упражнения 10 и 14); для q < -2 поло-
положим /" = в_ч_ j и t" = /_g_j; наконец, определим «° и t* (соответственно«"' и t"' ) посредством
перехода к фактормодулям (соответственно подмодулям) исходя из i° и t° (соответственно 10 и i0).
Доказать, что t' ° i' = л • Id для всякого <? е Z, где и - индекс Н в G. Вывести отсюда, что группы
Н4" (G, М) аннулируются порядком группы G (ср. упражнение 6, с. 114),
г) В обозначениях из пункта в) показать, что
t4^,1 о Ьч (H.S) = Э" (G,?) о t4u,,
для всякого q e Z.
д) Пусть р - простое число и Н - силовская р-подгруппа (I, р. 74) группы G. Показать, что ядром
гомоморфизма /': H4'(G, М) ->НЧ'(Н,М) служит сумма /-прнмарных компонент Z-модуля H4'(G, M)
для / Ф р. В частности, если для всякого простого числа р выбрана некоторая силовская р-подгруппа
Н„вС, то отображение H4(G, М) -*ПНч(Н„, М), получаемое из гомоморфизмов «', иньективно.
Р
18. Пусть G - конечная группа и М - Z' ' -модуль., М называется когомологически тривиаль-
тривиальным, если для всякой подгруппы Н в G и для всякого q e Z группа н' (Н, М) нулевая.
а) Показать, что Z *G' -модуль, проективный относительно Z (в частности, индуцированный мо-
модуль, см. упражнение 12), когомологически тривиален.
б) Пусть л, г, к - три целых числа, причем к" - 1 делится на г; пусть G - циклическая группа
порядка л, а - порождающий группы G. Наделим Z-модуль М = Z/rZ структурой Z^ '-модуля,
определяемой условием, что от = km для всякого т е М. Доказать, что Z ' ' -модуль М проективен
относительно Z, если и только если числа лиг взаимно просты.
§ 6. Использование неканонических резольвент 117
в) В обозначениях из пункта б) показать, что для того чтобы Hq (G, М) = О при всяком q e Z,
необходимо и достаточно, чтобы (г, к - 1) (г, 1 + к + ... + кп~1) =г.В частности, если г - к" - 1. то
показать, что модуль М когомологически тривиален.
г) Получить из пунктов б) и в) пример когомологически тривиального Z * ' -модуля, не являю-
являющегося проективным относительно Z, и Z' ^-модуля М, для которого H^CG, M) =0 при всяком
q e Z, но не являющегося когомологически тривиальным.
И 19. Пусть р - простое число, G - р-группа, М - Z *G' -модуль. Положим А = F * '.
а) Предположим, чторМ = 0. Показать, что следующие условия эквивалентны:
а) Существует рациональное целое число q, для которого H*'(G, M) = 0.
0) Модуль М когомологически тривиален (упражнение 18).
у) М - индуцированный Z (G) -модуль.
8) А-модуль М свободен.
(Чтобы доказать, .что из а) следует 6), свести утверждение к случаю q = -2; показать, что тогда
TorA(Fp> М) = 0,
и закончить доказательство с помощью упражнения 4, с. 86, и упражнения 22 из VIII, § 8).
б) Предположим, что в М умножение на р инъективно. Показать, что следующие условия экви-
эквивалентны.
а) Существует целое число, для которого группы H^(G,M)h H4+1(G,M)HyneBbie.
C) Модуль М когомологически тривиален.
у) А-модуль М/рМ свободен.
Ц 20. Пусть G - конечная группа, М - Z' ' -модуль. .
а) Предположим, что Z-модуль М свободен. Показать, что Z^ '-модуль М проективен, если и
только если для всякой силовской подгруппы HcG Z * '-модуль М когомологически тривиален.
(Для доказательства достаточности условия рассмотреть резольвенту 0-*R-»-L-*M-»-0 Z(G)-
модулям,в которой L - свободный z' '-модуль; показать, что Z^ '-модуль Q = Homz(M, R)
когомологически тривиален, заметив, что модуль Q/pQ когомологически тривиален, и используя
упражнение 19. Вывести из упражнения 17, д), что Н1 (G, Q) = 0 и отсюда сделать вывод, что мо-
модуль М проективен.)
б) Показать, что следующие условия эквивалентны:
a) Z' ' -модуль М когомологически тривиален.
C) Z * ' -модуль М обладает конечной проективной резольвентой.
7) Z' ' -модуль М обладает проективной резольвентой длины 1.
(Чтобы доказать, что из а) следует у), рассмотреть точную последовательность O-^R-^I. -+М-+0.
в которой L - свободный Z ^ ' -модуль, и применить утверждение а) к R.
в) Предположим, что Z-модуль М делимый. Показать, что Z(°) -модуль М когомологически
тривиален, если и только если он инъективен (рассмотреть точную последовательность 0-»-М->1 -»
-«¦Q-^О, в которой 1 - инъективный Z^ '-модуль, н показать, используя утверждение б), что
Z * ' -модуль Hpmz (Q, М) когомологически тривиален).
г) Для того чтобы Z' '-модуль был когомологически тривиален, необходимо и достаточно,
чтобы он обладал ннъсктивной резольвентой длины 1.
Ц 21. Пусть G - циклическая группа конечного порядка.
а) Если М — Z (G) -модуль и q - четное (соответственно нечетное) рациональное целое число,
то группа Нч (G, М) изоморфна H°(G, M) (соответственно H'(G, M)) (ср. упражнение 7).
б) Обозначим через ^множество классов Z (G) -модулей Т, для которых группы Hq (G, Т)
конечны при всех ijeZ; если Z ( ' -модуль М имеет тнн 'ё, то положим
h (М) = Card (H° (G, M))/Card (Н' (G, М)).
Пусть 0-»-М'->М->-М"-»-0 - точная последовательность Z (G)-модулей. Показать, что если два
из модулей М', М, М" имеют тип 4%, то тем же свойством обладает третий модуль, и тогда
Л(М) =/г(М')/Г(М"). В частности функция h определяет гомоморфизм группы Гротендика Kf#)
в мультипликативную группу О .
в) Пусть М - конечный Z ^G' -модуль. Показать, что тогда М имеет тип % и h (М) = 1.
г) Предположим, что -порядок группы G — простое число р. Обозначим через Чё' множество
классов Z (G) -модулей, в которых умножение нар имеет конечное ядро и коядро; если М - модуль
типа 43', то положим *р (М) = Card(CokerpM)/Card(Kerpj^). Доказать, как и в пункте б), что <р
определяет гомоморфизм группы К Сё') в Q *.
д) Показать, что группа К('ё') порождается классами z' '-модулей Т, обладающих одним из
следующих свойств:
(i) Модуль Т = Z и наделен тривиальным пействнем группы G.
(ii) Модуль Т конечный.
(Ш) Умножение на р в Т биективно.
118 § б. Использование неканонических резольвент
(iv) T = Z<G>.
(v) Модуль T = Qp/Zp (см. TG, III, p. 84, exercice23; Общая топология, III, с. 115, упражне-
упражнение 23) и наделен тривиальным действием группы G.
(G>
) z(p/p
(Показать сначала, что всякий Z (°)-модуль типа <&' представляется в ^{48') как сумма
модуля конечного типа над Z и Z (°'-модуля, в котором умножение нарсюръективно. Определить
затем структуру простых модулей над кольцами Q ^G' и QiG^).
е) Вывести нз предыдущего, что 1$' Cg и что, если М - Z (°)-модуль типа ЧВ\ то
(Проверить формулу в шести случаях, рассматриваемых в пункте д).)
22. Пусть К - поле, L - конечное расширение Галуа поля К, G - его группа Галуа.
а) Показать, что точная последовательность Z' -модулей
позволяет определить изоморфизм *L: (Ln n K*)/K*" -»• Н1 (G, jun(L)). Когда ц „(К) содержитп
элементов и группа H'(G, млA.)) отождествляется с Hom(G, мп(К)), показать, что *L совпадает
с гомоморфизмом, определенным в V, § 11, п°8.
б) Пусть р - простое число; предположим, что К имеет характеристику р. Показать, что точная
последовательность модулей (V, § 11,п°9)
О ->¦ ?р ->• L ^- р (L) ->• О
позволяет определить изоморфизм eL: (p(L) П К)/р(К) -<• Н1 (G, Fp), который совпадает с гомо-
гомоморфизмом, определенным в V, § 11, п°9, если группа Н1 (G, Fp) отождествлена с Hom(G, Fp).
23. Пусть G - группа, М - группа с операторами из G (I, р. 29, def. 2; Алгебра, I, с. 100, опре-
определение 10). Мы будем обозначать через gm композицию элементов g e G и m e M. Мы будем
называть М С-группой, если (gm) = gm для m e M, g,/ieG, иначе говоря, если отображение <р
группы G в Aut (M), при котором <fi(g) •m= gm для g e G, тбМ, представляет собой гомоморфизм.
Если М - G-группа, то обозначим через H°(G, M) подгруппу в М, образованную элементами
т S М, для которых gm = т при всех j?G,h через Z1 (G, М) — множество отображений h группы
G в М, для которых
при g.g'eG.
а) Два элемента Л,, Й,е Z1 (G, М) называются когомологичными, если существует элемент
, для которого hi{g) = m'1hl(g)8m при всяком g S G. Показать, что отношение, таким
образом определенное, представляет собой отношение эквивалентности на Z'(G, M); соответст-
соответствующее фактормножество обозначается через H'(G, M). Классе H'(G, M) отображения /eZ'(G, M),
при котором /(g) = eM для всякого geG, обозначается через eG м нли просто ем.
б) Пусть /: M-»N - гомоморфизм G-групп (I, p. 30, def. 3); показать, что / индуцирует го-
гомоморфизм групп /°: Н° (G, М) -+ Н° (G, N) и отображение/': H*(G, M)-»H'(G, N), при котором
n , р
в) Пусть М —> N -+ Q — последовательность G-групп н гомоморфизмов, в которой гомомор-
гомоморфизм i ннъективгн, р сюръективен и
= Ker(p).
Показать, что группа N' =p"' (H°(G, Q)) действует на Z1 (G, М) таким образом, что (n-h)(g) =
= n~'h(g)gn для neN', h e Z1 (G, M), jeG; показать, что это действие определяет посредством
перехода к фактормножеству действие группы H°(G,Q) на H'(G,M). Отображение i1: H'(G,M)-+
-*H'(G, N) переносится на фактормножество н определяет биекцию H'(G, M)/H°(G, Q) на1т(/').
г) Действие группы Н" (G, Q) на Н1 (G, М) позволяет определить отображение Э : Н° (G, Q) -¦
->H'CG, M) по формуле: d(q) = q- eM для fleH°(G, Q). Показать, что
д) Мы предполагаем в дальнейшем, что /°(М) содержится в центре группы N. Показать, что
Э - гомоморфизм групп; построить действие группы H'(G, М) на множестве Н1 (G, N) таким
образом, чтобы отображение р1 переносилось на фактормножество и определяло биекцию
Н1 (G, N)/H' (G, М) на Im(p').
е) Пусть Е - множество отображений к группы G в N, для которых poke Z'(G. Q). Для
t?E показать, что существует • такой элемент /fceZ1(G,M), что i(fk(x, y))= к(х)хк(у)(к(х, у))'1
для i,ji?G. Показать, что отображение к '-'•/^ определяет посредством перехода к фактормно-
фактормножествам отображение Э1 : Н1 (G, Q)-» H2(G, М). Доказать, что Im(p') = (э1) @).
§ 6. Использование неканонических резольвент 119
24. Пусть К — поле, L — конечное расширение Галуа поля К с группой Галуа G.
Пусть V (соответственно V) - векторное К-пространство, / (соответственно t') - тензор
типа (р, q) на V (соответственно V) (III, р. 63). К-изоморфизмом (или просто изоморфизмом)
(V, t) на (V', г') называется К-линейный изоморфизм и: V -» V, для которого (Тр(ы) *
®Тч(м)) (t) = г'. Мы будем обозначать через Vl векторное L-пространство Ь®„У и через rL -
тензор типа (p,q) на Vl, получаемый из t расширением скаляров. Через Fi_/KCV,f) обозна-
обозначается множество классов относительно изоморфизма пар (W,т), для которых пара (Wl.tl)
L-изоморфна (Vl, t\J).
а) Пусть М - группа L-автоморфизмов пары 0/^,1^,). Пдя ">еМ и G положим:
"in = пу(а)о m о пу(а)-',
пу(а)о m о пу
где 7rv: G-*AutK(VL) обозначает действие G на Vl = L®kV, получаемое из действия G на L.
Показать, что таким способом на М определяется структура G-группы.
б) Пусть (W,t) - элемент из ^i^iyiSyt), ипустьи и - L-изоморфизм (Vl,/l) иа (Wl.tl).
Для ceG обозначим через fu(a) элемент и'1 о п^(а)о и о 7гу(а)-' группы М. Показать, что
/ueZ'(G,M) (упражнение 23) и что его класс в Н1 (G, М) не зависит от выбора и; он обозна-
обозначается через в (W, т).
в) Показать, что отображение в: Fl/k(v>0"* H1 (G, М) биективно и что 0(V, Г) = ем.
Ц 25; Пусть К - поле, L - конечное расширение Галуа поля К, G - его группа Галуа. Опре-
Определим действие группы G на группе GL(n,L), положив a(fl(y) = (a(e/,-))для aeG, (<z(y)eGL(r/,L).
Всякая подгруппа в GL(n,L), устойчивая относительного этого действия, наделяется тем са-
самым структурой G-группы (упражнение 23).
а) Показать, что множества Н1 (G, GL(n, L)) и H'(G, SL(n, L)) состоят из одного элемента
(ср. V, § 10,п°5,ргор. 9).
б) Показать, что множество H'(G, PGL(h, L)) отождествляется с множеством классов отно-
относительно изоморфизма центральных простых алгебр S, для которых алгебра L ®K S изоморфна
М„(Ь) (использовать упражнение 24). Сопоставляя такой алгебре ее класс в группе Вг(К, L) и
отождествляя эту последнюю группу с Ha(G, L*) (VIII, § 13), получаем отображение
Н1 (G, PGL (л, L)) -» H2(G, L*), которое противоположно отображению Э1 (упражнение 23, а),
получаемому из расширения L* -* GL(n, L) -* PGL(n, L).
в) Показать, что множество Н1 (G, SpBn, L) ) состоит нз одного элемента (ср. IX, § 5, п° 1, th. 1).
г) Пусть Q - квадратичная форма на векторном К-пространстве V, Ql - квадратичная форма,
которая из нее получается на L »к V. Показать, что Н1 (G, O(Ql)) отождествляется с множеством
классов относительно изоморфизма квадратичных форм Q' на V, для которых форма Q'L изо-
изоморфна Ql-
26. Обозначим через А А:-алгебру A®fcA°; всякий (А, А)-бимодуль естественным образом
наделяется структурой левого Ае -модуля, а также структурой правого Ае -модуля. Пусть М -
(А, А) -бимодуль, и - целое число > 0; положим
Н„(А, М) = ТогАС(М, А), Н"(А, М) = Ext" e (A, M).
а) Л-модуль Н0(А, М) изоморфен фактормодулю Л-модуля М по ^-подмодулю, порожденному
элементами am—та для а е А, те М; Л-модуль Н°(А, М) изоморфен Л-подмодулю в М, образован-
образованному элементами т, для которых am = та при всех нЕА. Л-модуль Н1 (А, М) отождествляется с
фактормодулем А:-модуля дифференцированнй Dfe (A, M) по А;-подмодулю внутренних дифференци-
дифференцированнй, т.е. дифференцирований dm, определяемых для me M по формуле dm(.a)-am-ma для вся-
всякого оеА (ср. III,р. 132).
б) Предположим, что А - проективный 'к-модуль. Показать, что стандартная резольвента В (А)
(с. 62) определяет проективную резольвенту левого Ае-модуля А. Вывести отсюда, что Ат-модули
НИ(А, М) изоморфны модулям гомологии комплекса С (А, М), где при р Э> 0 С(А, М) представ-
представляет собой Ат-модуль А;-полилинейных отображений Ар в М, СР(А, М) = 0 при р < 0, а дифферен-
дифференциал задается по формуле
р-1
(<*/)(*„¦ •••*р>=*в-/С*| хр)+ 2 (-1)'+1/(*о xixl+1 хр) +
1=0
+ (-DP+1/U« *p_i)*p,
для /е СР(А, М), *„ Хр е А.
Дать аналогичное выражение для А:-модулей НЛ(А, М).
в) В предположениях пункта б) пусть р: к -*к' - гомоморфизм коммутативных колец, А' -
Ат'-алгебра к' efc А, М — (А', А')-бимодуль. Показать, что А;-модули Н„(А, М') и НЛ(А', М') (со-
(соответственно НЛ(А, М') н НЛ(А', М')) изоморфны.
г) Предполагаем в дальнейшем, что к - поле. Пусть В - другая А;-алгебра (ассоциативная и уни-
унитарная) , М — (А, А) -бимодуль, N — (В, В) -бимодуль. Для всякого п > 0 определить изоморфизм
120 § 6. Использование неканонических резольвент
А:-модулей
Н„(АвкВ, MefcN)
+=и
Если предположить дополнительно, что алгебры А и В конечной размерности над к, то показать, что
существует также Л-изоморфизм
Hn(A»fc В, М»к N)-» в (НР(А, MJetCH^CB, N))
для всякого п > 0 (использовать теорему 3, с. 82).
д) Пусть М, N - два левых А-модуля, Р - правый А-модуль, так что А:-модули Homfc(M, N) и
Ме^Р имеют естественные структуры (А, А)-бимоделей. Определить для всякого п > 0 изомор-
изоморфизмы &-модулей
Н"(А, Homfc(M,N))->ExtA(M,N) и Н„(А, М в *?)-<¦ Tor A(P, M).
Ц 27. Пополнением *-алгебры А называется унитарный гомоморфизм *-алгебр я: А -* к; пара
(А, я) называется пополненной к-алгеброй. Пополнение наделяет к структурой левого А-модуля.
Пусть М - левый А-модуль, N - правый А-модуль; положим
Hn(A;7r;N) = TorA(N,*) и Н"(А, тг; М) = Ext А(*, M)
для всякого п > 0.
а) Обозначим через М(„) (соответственно N(w)) группу М (соответственно N), наделенную
структурой (А, А)-бимодуля,определяемой по формуле:
ата' = п(а')ат (соответственно ana' = пп(а)а')
для j.j'eA, mSM, n S N.
Показать, что fc-модуль Н0(А, я; N) (соответственно Н°(А, я; М), соответственно Н1 (A, я; M))
изоморфен *-модулю Н0(А, N(w)) (соответственно Н°(А, М(я)), соответственно HJ(A, М(„)),
определенному в упражнении 26.
б) Далее мы предполагаем, что А - проективный Ar-модуль. Определить с помощью стандартной
резольвенты (с. 62) ^-изоморфизмы <рп: Н„(А, N(w)) -* Н„(А, я; N) и ^": Н"(А, М(„)) -*
-* НП(А, я; М) для всех п > 0.
в) Предположим, что существует гомоморфизм Ar-anFe6p p: A -+ Ае, который превращает Ае
в проективный правый А-модуль н для которого левый идеал в Ае, порожденный множеством
р(Кег (я) ), совпадает с ядром гомоморфизма A ®fc A° -»¦ А, определяемого умножением в А. Пока-
Показать, что для всякого (А, А)-бнмодуля Q и всякого целого п > 0 существуют &-изоморфизмы
Н„(А, л; Q) -<• Н„(А, Q) (соответственно Н"(А, п; Q) -<• Н"(А, Q)), где Q рассматривается как
правый (соответственно левый) А-модуль при помощи гомоморфизма р. (Использовать канони-
канонические гомоморфизмы A1), A2), с. 110).
г) Показать, что предположения в пункте в) выполняются в следующих случаях:
а) А - групповая алгебра (над к) некоторой группы G, р определяется условием: P{cg) =
0) А - тензорная (соответственно симметрическая) алгебра проективного А:-модуля V; р опре-
определяется условием:
p(v) = i)»l -Ни.
*7) А - обертывающая алгебра алгебры Ли g над к, которая свободна как fc-модуль; имеем:
xel -lex для х69
(использовать LIE, I, § 2, n°7, cor. 5 аи th. 1; Группы и алгебры Ли, I, с. 32, следствие 5 теоремы 1)
6) А- кольцо функций гладкой алгебраической группы G над полем к; полагаем
к к
Р(/)= S //»//', где /(?Л-')= Б //(?)//'(Л) для g.heG..
*28. Пусть t — алгебра Ли над коммутативным кольцом к, U - ее обертывающая алгебра. Наде-
Наделим к структурой левого U-модуля, соответствующей тривиальному представлению алгебры Ли g .
Пусть N - правый 0 -модуль, М - левый fl -модуль, п - целое число > 0; положим:
Hn(fl,N) = TorJ/(N,*) и Н"(9, N) = Extu(Ar, M).
а) fc-модуль Ho(fl,N) (соответственно H°(fl,M)) изоморфен N/N fl (соответственно под-
подмодулю в М, образованному элементами, аннулируемыми алгеброй Лн g ). Обозначим через
Z'(fl,M) (соответственно B'(fl,M)) it-подмодуль в Нот^( fl ,М), образованный элементами/
для которых f ([x,'y]) =xf(y) -yf(x) прн х,уе ц (соответственно такими элементами fm для
тем, что fm(x) =xm при xGfl ). Показать, что Н1 (fl,M) отождествляется с фактормодулем
§ 7. Композиционное произведение 121
6) Предполагаем в дальнейшем, что л - свободный fc-модуль. Показать, что ^-модули Н"( g , М)
отождествляются с модулями гомологии комплекса С(в . Ю> где для p>_Q CP(J,M) пред-
представляет собой fc-модулькососимметрических полилинейных отображений JpiB М, Ср( Л , М)= 0 для
р < О, а дифференциал задается по формуле
*/( ) 2 A)'+1хг/(*,,...,ж, *р+1> +
для /е Ср.( i, М), Xj,.. ., Xp+i e а (где знак л над буквой означает, что она должна быть опу-
опущена) .
Дать аналогичное выражение для fc-модулей Нр( fl.M). (Использовать упражнение 21, с. 70.)
в) Предположим, что dimfc(fl ) = «<—. Показать, что Нр(й,М) =0 для всякого р>п+1
и всякого в-модуля М и что существует Л-модуль N, для которого Н "( в, N) * 0 (взять N = Кпд ,
где л действует по формуле
п
х ¦ (х, л ... лх„)= 2 х, л ... лл7_! Л [х, Xj] AXj+i л ... лх„ ;
1=1
показать, что df = 0 для всякого/е С" ( в, N )).
г) Присоединенное представление алгебры Ли л и представление g на М определяют представ-
представление в алгебры Ли Л в С ( fl, М), при котором
Р
для /ёСр(Ц,М), х, х,,.. ., Хр € л . Показать, что е (х) для всякого хе J представляет собой
гомотопный нулю эндоморфизм комплекса С ( i, М) (определить гомотопию i (x), положив
(/(х)/) (х, хр) =/ (х, х,,.'.., хр)). ,
И *29. Сохраняем обозначения из предыдущего упражнения; предположим, кроме того, что к -
поле характеристики нуль и что алгебра Ли g полупроста (LIE, I, § 6; Группы и алгебры Ли,
I, с. 64). Пусть М - J -модуль конечной размерности иад к.
а) Если ц -модуль М прост и нетривиален, тоНр(а,М)=0 для всех р > 0 (билинейная форма
на 0 , ассоциированная с М, невырождена (LIE, I, § 6, n° I, prop. 1; Группы и алгебры Ли, I, с. 65,
предложение 1); заметить, что умножение на соответствующий элемент Казимира (LIE, I, § 3, пс 7;
Группы и алгебры Ли, I, с. 47) нулевое в Л и биективно в М).
б) Показать, что Нl ( i , М) =0 для всякого М (использовать пункт а) и тот факт, что 8 = Sb % ) ¦
Обратно, Л-алгебра Ли ф (конечной размерности), над которой для всякого модуля М конечной
размерности Н1 ( ф, М) = 0, полупроста.
в) Наделим, к структурой л -модуля, соответствующей тривиальному представлению. Показать,
что для всякого р > 0 векторное ^-пространство Нр( Л, к) изоморфно векторному подпространству
в Ср( л.*) образованному теми кососимметрическими р-линейными формами/, которые иква-
риантны, т.е. таковы, что
Р
2 f(xi,... ,[x,Xf],... ,хр) = 0 для всех х,х^ хре Л".
(Вывести из полупростоты представлений алгебры Ли Л и из упражнения 28, г), что пространст-
пространство Нр( л.?) изоморфно Нр(С0(л .?))> где Со ( fl, к) - подкомплекс в С( Л Д) аннулируемый
всеми эндоморфизмами в (х) для хе л 5 затем показать, что Со ( Л > *) имеет нулевой дифферен-
дифференциал).
г) Вывести из пункта в), что Н* ( л , М) =0 для всякого л -модуля М конечной размерности
над к. (Показать, что всякая инвариантная билинейная форма на fl - симметрическая, сведя рас-
рассмотрение к случаю, когда алгебра Ли л простая и поле к алгебраически замкнуто.) .
§ 7. КОМПОЗИЦИОННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
Сохраняются Общие соглашения из § 4.
1. Гомоморфизм ExtA(N, P) ® ExtA (M, N) -> ExtA (М, Р)
Пусть М и N - два левых А-модуля. Рассмотрим гомологизмы Рм: L(M) -»-M, ем:
М->1(М) и ем о рм; L(M) ->I(M); согласно предложению 4, с. 92, отсюда получаем
биективный гомоморфизм
aM)N: H(HomgrA(eMoPM>l)): H(HomgrA(I(M),
122 % 7. Композиционное произведение
Напомним, кроме того (с. 88), что H"(Homgr(I(M),I(N)) представляет собой
множество гомотопических классов морфизмов верхней степени п комплекса 1(М)
в комплекс I(N). Например, если/ G HomA (M, N), то гомотопический класс морфизма
I (/) переводится отображением вм, N в /•
Если Р — третий левый А-модуль, то согласно изложенному на с. 100, имеем кано-
канонический ^-гомоморфизм
H(HomgrA(I(N), I(P» ®* H(HomgrA(I(M), I(N)) ¦* H(HomgrA(I(M), I(P)),
из которого получаем с помощью изоморфизмов a-ц,р, ^m.n йм,р ^-гомоморфизм
(гомоморфизм композиции)
си ,n ,p : ExtA (А, Р) ®* ExtA (М, N) -» ExtA (М, Р).
Он соответствует k-билинейному отображению
ExtA (N, Р) X ExtA (M, N) -»• ExtA (М, Р), A)
которое разлагается на однородные компоненты
ExtA(N,P)X Ext/A(M,N)^ExtA+/(M,P). B)
Если mG ExtA (N, P), v G ExtA (M, N), то образ пары (и, и) при отображении A) назы-
называется композиционным произведением элементов и и и и обозначается через и о и.
Если g (соответственно/)— морфизм комплексов верхней степени / (соответствен-
(соответственно i) из 1(М) в I(N) (соответственно из I(N) в I(P)) ng~ (соответственно/ ) - его
гомотопический класс, то композиционное произведение flN,p(/ ) °ам,1чAГ) пред-
представляет собой образ при изоморфизме ам Р гомотопического класса морфизма fog
из1(М)в1(Р).
Пример 1. Если и G HomA (N, Р), и € Нот(М, N), то и о и есть композиция го-
гомоморфизмов и тли.
Пример 2. Если и G HomA (N, Р), и G ExtA(M, N), то
и о v = ExtA AМ, и) (и) G ExtA(M, P).
Аналогично, если и G ExtA (N, P), v GHomA(M, N), то
и о v = ExtA (и, 1 Р)(и) G ExtA(М, Р).
Это следует из определений и замечаний на с. 94.
Если Q, M, N, Р - четыре левых А-модуля и если
MGExtA(N,P), uGExtA(M,N), wGExtA(Q,M),
то (м о и) о w = и о (и о w) : композиционное произведение ассоциативно; поэтому
мы будем обозначать композиции нескольких элементов без скобок. В частности,
согласно примеру 2:
Пример 3. Пусть М, N, М', N' - четыре левых А-модуля. Если иG ExtA (M, N),
/€HomA(M',M),?GHomA(N,N'),TO
ExtA(/^)(M)=^oMo/GExtA(M'>N'). C)
Это дает новое доказательство Jfc-билинейности отображения (f,g) i-*ExtA(/,#)
(с. 94, предложение 6).
2. Семь вычислений композиционного произведения
Пусть М,М' и М" - три левых А-модуля, a: R-*M, a' : R' -*М' и а" : R"->M" -
проективные резольвенты, с:М->Е, с': М' ->Е' и с": М"-*Е" — инъективные резоль-
резольвенты. Из теоремы 1, с. 103, и предложения 2, с. 105, следует, что диаграмма:
H(HomgrA (М, Е')) ^H(HomgrA (R, Е')) •+ H(HomgrA (R, М'))
4 ¦ W4_?9 |<P(R,
H(HomgrA(E, Е')) Ф(Е'Е) » ExtA(M, М') * Ф(К'К) H(HomgrA (R, R')),
в которой необозначенные гомоморфизмы канонически получаются из с,а, с', а', ком-
§ 7. Композиционное произведение
123
мутативна и что все стрелки в ней представляют собой изоморфизмы, дающие пять
описаний модуля ExtA (М, М'). Аналогично получаем пять описаний для ExtA (М', М" ),
и столько же для ExtA (М, М").
Рассмотрим теперь семь гомоморфизмов композиции
H(HomgrA(С', С")) ®fc H(HomgrA(С, С'))^H(HomgrA(С, С" )),
гдевкачестве (С,С',С") последовательно берутся семь троек (R,R',R"), (R,R',M"),
(R.R'.E'^.CR.M'.E"), (R.E'.E'^.CM.E'.E'^.CE.E'.E"):
R •> R' >- R"
E".
Отождествляя H(HomgrA(C,C')) с Ext(M.M') посредством соответствующего
изоморфизма из указанных выше, и аналогично для H(HomgrA(C',C")) и
H(Homgr A (С, С" )), получаем семь гомоморфизмов
ExtA(M',M")«kExtA(M,MVExtA(M,M").
Эти семь гомоморфизмов совпадают и не зависят от выбора резольвент. В частности,
они совпадают с гомоморфизмом, определенным в п. 2 посредством тройки A(М),
I (М') , I (М ")). Действительно, это следует из интерпретации модулей Н" (HomgrA (С,С'))
как модулей гомотопических классов морфизмов комплексов из С в С и из того
факта, что если в диграмме комплексов
с -?+» с -?*- с"
«I ,J orj
морфизм а" о g гомотопен ^ » а' и а' ° f гомотопен /\ ° а, то а" ° g ° / гомотопен
gI ° /i ° а (с. 38, предложение 4 и следствие).
В дальнейшем мы будем использовать в зависимости от обстоятельств ту или иную
из семи предыдущих конструкций гомоморфизмов композиции.
3. Класс, ассоциированный с точной последовательностью
Предложение 1. Пусть (С, d)u (С', d') - два комплекса левых А-модулей
и n,p,q - три целых числа, причем р> q. Для р> i > q - 1 пусть ft: Ct -*C)+n+1
гомоморфизм А-модулей, для которого fp ° d = 0, ft ° d = d' о fi+1 при p>i > q - 1
Положим a -fp-1 ° d = d' ° fp, |3 -fq~ i ° d = d' ° fq, и пусть а {соответственно b) -
градуированный А-гомоморфизм степени п из С в С', единственная ненулевая биодно-
родная компонента которого есть а {соответственно 0). Тогда а € Z,,(HomgrA(C,C' )),
6€Zn(HomgrA(C,C'))Mfl-(-l)(»+')(P-«?N€Bn(HomgrA(C,C')).
Имеем: d'°a = d'°d'°fp = 0>a°d=fp_1 ° d ° d = 0, следовательно,
a€Zn(HomgrA(C,C'));
аналогично, ft€Zn(HomgrA (С,С' )). Положим е = (— 1) n+1. В комплексе HomgrA (С,С')
124 § 7. Композиционное произведение
имеют место соотношения:
D/p_! =d'°/p_1 -e/p_i od=fp_2od-ea,
D/, = d'o/,-e/,od=y;_, od-ef^d (p - l>i
Wq=d'ofq-efqod = l3- efq ° d,
следовательно.
что доказывает предложение.
Рассмотрим два левых А-модуля М и N и точную последовательность А-модулей
0->N->Rn->Rn_!-> >-Ri-»M-*O. D)
Согласно предложениям 3 и 3 bis, с.55-56,существует коммутативная диаграмма
О *- N е" » I°(N) -*- ...—V '(N) ^-i- I"(N) -^I"+ »(N)
t A /A A /A t
о ^n—/—~K ^ ... -Ri—А-м ^o E)
t A/ ,..t 4/ -4 t
LM^- M -0.
Рассмотрим два элемента Z» и а из HomgrA(L(M), I(N)), единственными ненуле-
ненулевыми биоднородными компонентами которых служат
Ъп = eN о Un : Ln (М) -> 1° (N) и а" = v" о Рм: Lo(M) -* I"(N)
соответственно.
Предложение 2. Имеем а, Ъ € Z " (HomgrA (L (М), I (N)). Кроме того, классы
а и Ъ элементов а и Ъ в H"(HomgrA (L(M), I(N)) =Ext^(M, N) зависят только от
точной последовательности D) и равны между собой.
Согласно предложению 1, примененному к двум крайним строкам диаграммы E)
и композициям вертикальных стрелок дляр = и,<7=0,имеем:я, b&Z "(HomgrA (L(M),
a _ ъ = a - (-1)(~" + °" b e B" (HomgrA (L(M), (I(N))).
Так как а (соответственно b) не зависит от выбора и (соответственно и), то эле-
элемент а = Ь из Ext'A (M, N) не зависит от выбора морфизмов и и и, что доказывает пред-
предложение.
Определение 1. Элемент в из Ext" (M, N) определяемый по формуле в =
= (-l)"("+1)/2 a = (-1)"^"+1^/2 Ь, называется классом, ассоциированным с точной
последовательностью D).
Замечания. 1. Пусть (Р, р) - проективная резольвента для М. Согласно предло-
предложению 3, с. 55, существует коммутативная диаграмма
0 *¦ N ^R, —^ —*¦ R! —«-М —•>0
в.-if
В обозначениях из § 6, б есть образ при изоморфизме <р (Р, N) гомотопического класса
морфизма P-*N, определяемого отображением (—1)"^"+1^2ып. Аналогично, если
(е,Е) - инъективная резольвента для N, то существует коммутативная диаграмма
О —*¦ N —^Е° —*¦ ... —^ Е"" —*¦ Е"
О—^N—^Rn—>• ...—*¦ R, —- ЬЛ —*- О,
§ 7. Композиционное произведение 125
и в есть образ при <^(М, Е) гомотопического класса морфизма М -»Е, определяемого
отображением (-l)"("+1)/2 Jj". Это следует из конструкции класса б и определений
изоморфизмов <ф (Р, N) и \р (М, Е).
2. Когда и = 0, точная последовательность D) принимает вид 0-+N—»М->0, и
ассоциированный с ней класс представляет собой f~l ? Нотд (М, N) =
4. Свойства класса, ассоциированного с точной последовательностью
Предложение 3. Пусть
0->N— -+Rn->Rn_1,-»...->-R1 -+M->0 G)
— две точные последовательности левых А-модулей, которым соответствуют классы
в е Ext д (N, Р) и в' € ExtA (M, N). Класс в Ext^*"(М, Р), ассоциированный с точной
последовательностью
0^P^Sm^...^S, ¦^-Rw-»...-»R1^M-*0, (8)
равен композиционному произведению в о в'.
Рассмотрим коммутативные диаграммы
О —*> P —^ I°(P) —*...-*¦ Г"ЧР) -^ HP)
о —- p -— sm —*- ... -*¦
0 —*- N —*- I°(N) —*- ... —*- V '(N) —*- I"(N)
..t .4 ,-t ,t
0—+-N -V Rn —*- ... _*. R, —^ м —^ 0.
Так как модуль Im (P) инъективен, существует гомоморфизм h°: 1° (N) ->I'"(P),
для которого wm = h° ° e ; согласно предложениюЗ bis, с.56 ,A° продолжается до мор-
морфизма комплексов A: I(N) -^I(P) (— т). Тогда wm = h° о е =А° о и0 о ^, следо-
следовательно,
и следующая диаграмма коммутативна:
0—>-Р—»-10(Р)—»> —•> 1т""ЧР)—*- 1т(Р)—»-1т+1(Р)—""¦¦¦—^1т+в(Р)
,4 A .-t ,t 4 4
о—^p-*sm —- ... —- s, ттГ" R- -*- R--i ~* ¦¦¦ — м — °>
где t°=h° о и0, t1 = (-1)тА1 о и1,...,?' =(-1)т'Л' « и',.. ., f" = (-1) """Л" о и"
Класс в, ассоциированный с точной последовательностью F), — это класс отображе-
отображения (-l)m (m + l)l2 wm e Homgrд (N, I(P)), следовательно, соответствует при изо-
изоморфизме arN р классу морфизма (-1) т (и+ • > I2 h e Homgr™ (I (N), I (Р) ); класс 9',
ассоциированный с точной последовательностью G), - это класс отображения
(_1)и(«+1)/2 уие Homgr^(M,I(N)); класс, ассоциированный с точной последо-
последовательностью (8), - это класс отображения (-1) (m+n) (m+n+1> I21" e Homgr ^ +"(M,I(P)),
откуда следует искомый вывод, согласно определению композиционного произведения
(с. 122) и формуле
т(т + 1)/2 + п(п + 1)/2 = (т + п) (т + п + 1)/2 - тп.
126 § 7. Композиционное произведение
Предложение 4. Рассмотрим коммутативную диаграмму А-модулей с точными
строками:
О — N — R. — R,., — ... — R, — М — О
O^i'-J.^R-1 _ _]¦ _iLo
Пусть в (соответственно в') - класс первой (соответственно второй ) строки в
Ext^(M.N) (соответственно Ext? (M', N')). 5Ext^(M,N') справедливо соотноше-
соотношение: в' о f =g о в .
Действительно, рассмотрим коммутативную диаграмму
I I
0 »- N »> Rn > ... >Rj »-M ^0
II II'
о —*¦ N' *¦ r; > ••¦ —>r; ^м' «-о
t I t . , \'
0 N'—^-*I°(N')-^-* ...-*> rN')^I"(N').
По определению, в' о /есть класс морфизма (—1) "(л*1)'2|)"о/ормб Homgr? (L(M),
I(N')), тогда как g ° в есть класс морфизма (-1)"("+1) /2 eN- ° g о ми. Согласно пред-
предложению 1, примененному к крайним строкам диаграммы, эти два класса равны.
Следствие 1. Рассмотрим коммутативную диаграмму с точными строками:
0 —*- N —- Rn —*- •¦• —> R, —*¦ М —*- 0
'II I 'I
0 —*- N —*¦ R'n —^ ¦•¦ —«- R; —> М —»- 0 ;
строки этой диаграммы имеют один и тот же ассоциированный класс в Ext^(M,N).
Следствие 2.Пусть
- точная последовательность, в G Ext? (M, N) - ассоциированный с ней класс, ах,. ..
.. . ,а„+1 Gfc обратимы. Класс, ассоциированный с точной последовательностью
wn1
равен (a^ai1 ...а-\х)в.
Действительно, достаточно применить предложение к коммутативной диаграмме
0 —^ N аУ-". Rn —• >- R2 "lfl > R, ai/l > M —- 0
I a, oj la,
0 —^ N Jntl > Rn —• »> R2 Л » R,
/n +1 /ft /i
Следствие 3. Яусгь 0 ¦+ N > Rn ->¦...-> Rj ^M^-0- точная после-
последовательность, в - ее классе Extд(М, N), и: М' -*¦ М и v: N ¦* N' - два гомомор-
гомоморфизма А-модулей.
а) Элемент u<>0eExt^(M, N') равен классу точной последовательности
, f'n.+1 /л /л - 1
0 -> N' »¦ R; -» Rn_ , > . . . -» Rj ¦+ M -> 0,
в которой R^ есгь А-фактормодуль модуля Rn ® N' no подмодулю, образованному пара-
§ 7. Композиционное произведение 127
ми (fn + i(x), -v(x)) для х 6 N, а отображение f'n + l (соответственно /„') получает-
получается из канонического вложения (соответственно из отображения (/„, 0)) посредст-
посредством перехода к фактормодулям.
б) Элемент вой GExtA(M', Щ равен классу точной последовательности
f" f"
0 -> N -* Rn -»• . . . -»• R2 -Л Ri -4 М' -»• О,
в которой R'i есгь расслоенное произведение Ri Хм М', г.е. A, р. 44) подмодуль в
Ri X М', образованный парами (х, у), для которых /i(x)eM(y), в отображение f'{
(соответственно //') получается из (/2, 0) (соответственно из проекции на второй
множитель).
Докажем, например, а). Пусть z - элемент из R'n, для которого fn'(z) = 0; если
z - класс пары (х, у), где х 6 Rn, у 6 N', то fn(x) = 0, так что существует эле-
элемент / € N, для которого х = /п + 1(/)- Тогда z = fn'+i(y +v(t)), что доказывает
равенство Кег/„' = 1т/„'+1. Инъективность/я'+1 следует из инъективности /„+!•
Пусть /: Rn -> R'n — гомоморфизм, получаемый из канонического вложения;
имеем коммутативную диаграмму с точными строками:
0 —^ N ^ Rn ^*- Rn_, — ... —^М —»> 0
К- \' г с I1
0— N'^iRi^R,.,— ... —M-vO;
утверждение а) следует теперь из предложения.
Доказательство утверждения б) аналогично.
Замечание. Пусть в 6 Ext^(M, N), соответственно в' & Ех1д(М', N'),-класс
некоторой точной последовательности
fn +1 Л
0 -»• N > Rn ->...-> Ri —> М -> 0,
i
, ^п + 1 , , /i ,
соответственнб 0 -* N > Rn ->...-> Rn —* М -> 0.
Пусть /'n, j'n' — канонические вложения модулей N и N' в N ® N',
проекции модуля М ® М' на М и М'. Рассмотрим гомоморфизм
модуля ExtA(M, N)© ExtA(M', N') в ExtA(M«M',N« N'). Элемент
т(в, в) = iN°eoqu+ ;N. »в'.?м,
представляет собой класс точной последовательности
О -> N фN' > Rn ® Rj, -»...-» R, ф R', > М«М' ^ О.
Действительно, если обозначить этот класс через в", то из предложения 4 будет
следовать, что
согласно предложению 7, с. 94, это влечет, что в" = wF, 0').
S. Связь между точными последовательностями и элементами из ExtA(M, N)
Теорема 1. Пусть п - целое число > 1, М и N - два К-модуая.
а) Всякий элемент из ExtA(M, N) представляет собой класс некоторой точной по-
последовательности (с. 124, определение 1).
б) Пусть
О -> N ——>• Rn —>...-> R, -^ М -»• О
и
о -* n-11-^ r; '^ . . . -> r; '-i м -> о
128 § 7. Композиционное произведение
- две точные последовательности, вив'- ассоциированные классы. Следующие усло-
условия эквивалентны:
(О О = в1;
(ii) существует коммутативная диаграмма с точными строками:
О _+- N ^ Rn —^ ... —^ R, Л- М —^ О
«4 f t t«-
0 -*- N —^ R; —•-... —*- R'i -*- М —>О
i, i I . i-
О —^ N^ R; —-... -^гДм —«-О;
(iii) существует коммутативная диаграмма с точными строками:
О —*. N ^i- R. —*- ... —•> R, ¦?*. М —•> О
"I I I I-
О —>¦ N —•* R^' —"...-*¦ R'l —+~ М —*¦ О
-t л, t t к \,
о —*- n —^ r; —*-... —*- r; —+- м —^ о.
Докажем а). Пусть а е Ext а (М, N), и пусть Р - проективная резольвента для М.
Пусть а: Р(л) ->¦ N — морфизм комплексов, представляющий элемент а; его единствен-
единственной ненулевой компонентой является некоторый А-гомоморфизм и: Ри -* N, удовлет-
удовлетворяющий условию и<>г/и + 1=0и, следовательно, разлагающийся в композицию и =
= п о 5„, где 5„: Ри ->¦ Zw _ 1 — отображение, индуцированное гомоморфизмом dn (мы
полагаем Zw_ j = Im dn), а п — некоторый А-гомоморфизм модуля Zn__ j в N. Соглас-
Согласно замечанию 1, с. 124, класс б е ExtA (M, Zw _ j) точной последовательности
о->г„_1->-рп_,->-...->-р()->-м->-о
равен гомотопическому классу морфизма (-1)" ^" + 1^28Л • Имеем, следовательно,
а = (-1
что позволяет, согласно следствию 3, с. 126, представить а как класс некоторой точной
последовательности.
Докажем б). Из следствия 1 (с. 126)вытекает, что (ii) =* (i) и (iii) =* (i). Пред-
Предположим, что выполняется условие (i), и пусть Р - проективная резольвента для М.
Существует коммутативная диаграмма
4 ]"•-. "С f i
рЛ'.-1-Р.-; -> ... — Р„ — М— 0
0 —^N -^*~ R'n —*-R^-i —*~ ••• —*-Ri —*~ М —*- 0 .
Морфизмы комплекса Р(и) в N, определяемые отображениями и„ и и'„, гомотопны,
так как они принадлежат одному и тому же классу (-1)"("+1)/20, следовательно,
разность и'„ - и„.представима в виде w ° dn, где w: Р„_ х. ->¦ N — некоторый А-гомо-
А-гомоморфизм. Заменяя и'„ _ j на и'„ _ t — fn+1 ° w к и'„ на. и„, мы сводим доказательство
к случаю, когда и„ = и'„. Это позволяет построить новую коммутативную диаграмму
% 7. Композиционное произведение 129
с точными строками:
О —^N—*- N' —~PB_2 -*>•..—•¦ Ро —*~М->-О
'¦I I' I*- t ('¦
о _*- n —- r; —*- r;_, —*- ...'—*> R', —«~м—»~о,
где N' - фактормодуль модуля Р„ _ t ® N по подмодулю, образованному парами
(dn(x), -un(x)) для х € Р„, и где отображение v (соответственно v') определяется
посредством перехода к фактормодулю отображением ип _ х ® /и + i (соответственно
и'п - i ®/п +1) • Условие (ii), таким образом, удовлетворяется.
Снова предположим, что выполняется условие (i), и пусть Е — инъективная
резольвента для N. Существует коммутативная диаграмма
О
- N —
- N —
4
N—•
2, как
*~R»—¦*-
и
и выше,
... — R, -
'-I
... —^Е"-1-
... -— Ri -
можно считать,
-*- М -
->Е"
\,,
¦*¦ М -
ЧТО v'n •
-*> 0
*¦ о,
= vn. Тогда имеем коммутативную диа-
0
грамму с точными строками:
0 —*> N —*> RB —*>...—*- R2 —^ R, —^ М —^ 0
н \ it с-
0 —*- N —•¦ Е° —•> ... —•¦ Б" —- М' —»> М —•- 0
¦4 t t t К
в которой М' = М ХЕп Еп~ 1 (с. 127, следствие 3, б)). Условие (Ш), таким образом,
удовлетворяется, что завершает доказательство теоремы.
Замечание 1. Если кольцо А нё'терово и если модули М и N конечного типа,
то из доказательства утверждения а) следует, что всякий элемент в Ext>v (M, N) пред-
представляет собой класс, ассоциированный с точной последовательностью 0 -»¦ N ->Rn -*. . .
. . . ->Ri -*M ->0, в которой R,- — модули конечного типа.
/ g f g
Следствие. Пусть 0->N-*R->M-*0m0-*N-»-R'-*M->0- две точные последо-
последовательности, в и в' - их ассоциированные классы в Ext^ (M, N). Для того чтобы
в = в', необходимо и достаточно, чтобы существовал А-гомоморфизм h: R ->R'( делаю-
делающий диаграмму
N \h M
коммутативной. Всякий такой гомоморфизм непременно является изоморфизмом.
9. Н. Бурбаки
130 § 7. Композициоиное произведете
Условие достаточно согласно следствию 1 предложения 4. Если в = в', то имеем
коммутативную диаграмму с точными строками:
0 —^ N —*- R —-.М —•> 0
0—*-N—*-R"—*-M—•> 0
'"J, *'J
0-*N-*-Rr— M —*- 0.
Гомоморфизмы Л' и А" являются изоморфизмами согласно следствию 3, с. 11, и А =
= А" о А1 -1 отвечает нашему требованию. Последнее утверждение — также результат
упомянутого следствия 3, с. 11.
Замечание 2. Теорема 1 дает описание ExtA (M, N) как множества классов
эквивалентности точных последовательностей; легко описать групповой закон, ко-
который мы получаем на этом множестве переносом структуры. Действительно, пусть
fn +1 fn
в (соответственно в ) — класс точной последовательности 0 -*¦ N *¦ К„ -*¦...-*¦ Ri -*¦
. fn +1 ,f'n
-*¦ М ->¦ 0 (соответственно 0 -* N > Кп~* ¦ • "¦ Ri "* М -* 0). Пусть Д: М -* М ® М и
V: N ® N ->• N - А-линейные отображения, определяемые по формулам Д (х) = (х, х)
для х € М и V(y, z) -у +z для .у, z € N. Рассмотрим отображение
т: ExtA(M, N) в ExtA(M, N) -> ExtA(M в М, N в N),
определенное в замечании на с. 127. В обозначениях из зтого замечания имеем: V ° г^=
= In и <7м ° д = 1м. и. следовательно, в + в' = V °т(в, в') о Д. С учетом вышеупомяну-
вышеупомянутого замечания и следствия 3, с. 126—127, это дает точную последовательность класса
в + в'; если, например, п > 2, то можно взять последовательность
0 -+ N -+ R^ ->¦ Rn _ t ® R; _, -^-^ ^-i . . . -* R2 ® Ri -* Ri' -* M ->• 0,
где R'n - фактормодуль модуля Rn ® к'„ по подмодулю, образованному парами
(/л + iW. ~fn+i(x) ДЛЯ х € N,
и где Ri'=R, XM Ri.
6. Композиционное произведение
и связывающие гомоморфизмы для модулей расширений
Предложение 5.' Пусть
(?) 0 -* М' i м 5- М" -+ 0
точная последовательность левых А-модулей, в € ExtA(M", M') - ассоциированный
класс, N — левый А-модуль, п - целое число.
а) Связывающий гомоморфизм 5"(N, ?): ExtA (N, M") ->¦ ExtA+' (N, Mf) представ-
представляет собой композиционное произведение а >->¦ в о а на в.
б) Связывающий гомоморфизм Ь" (&, N): Ext? (М', N) ¦ ->¦ ExtA+' (М", N) представ-
представляет собой композиционное произведение а^(-1)" + 1а°0ка (-1)л + 10.
а) Рассмотрим коммутативную диаграмму
0 —^ М' -Х- I°(M') -^ I'(M').
По определению, в есть класс морфизма —и1 G Homgr'(M", 1(М')). С другой стороны,
а € ExtA(N, M") представляется некоторым элементом а из HomgrA(L(N), M").
По построению, элемент 5"(а) получается следующим образом: гомоморфизм
§ 7. Композиционное произведение 131
а" е HomA (Ln (N), М") поднимается до гомоморфизма
Z>eHomA(Ln(N),M),
и 6" (о) есть класс морфизма ем,»с, где с G HomA (Ln+i (N), М') - гомоморфизм,
для которого
/oc = Db = (-l)"+1 b°dn+1.
Имеем, следовательно, коммутативную диаграмму
<-
0-
0 •
Нов
D
1Г+1с|
-*- M' —f—
1H.I
—+. M' е" '*-
HomgrA(L(N),
Y
1°(М')-
1(М'))
о Ь-(-
*М" —
. 1'
¦^I^M')
имеем:
-1)" и0о ,
•>0
b°dn +
l=v1 о а" +е , о с.
Классы морфизмовем. оС и (-и1) °о ExtA (N, М'), следовательно, равны,откуда
получаем а).
б) Рассмотрим коммутативную диаграмму
Li(M") ^*- L0(M") ^*- М" —^ 0
у, ,. ,.
О >- М' =—^ М » М" —*¦ 0 .
По определению, б есть класс морфизма -и\ G HomgrA (L(M"), M'). С другой сторо-
стороны, о ? ExtA(M', N) представляется некоторым элементам а нз HomgrA (M', I(N)).
По построению, элемент 6"(а) получается следующим образом: продолжаем гомомор-
гомоморфизм а" е HomA (M', I" (N)) до гомоморфизма
Ь€ НотА(М, I"(N)),
и 6" (о) есть класс морфизма с о рм„, где с G HomA (M", In+1 (M)) - гомоморфизм,
для которого
Имеем, следовательно, коммутативную диаграмму:
L,(M") Л- L0(M") -^ М" —^ О
Н4 , I1"
О —^ М' ——*¦ U —9-+ М" —^ О
•I 1
Но в HomgrA (L(M"), I(N)) имеем:
D(b о и0)- дп о b о и0 - (-1)" Ь о Мо о d, = с о рм„ - (-1)" «"«и,.
Классы морфизмов с°рм„ и (-1)п+1а"° (-и^ в ExtA (M', N), следовательно,
равны, откуда получаем б).
Следствие 1. а) Связывающий гомоморфизм НотА (М", М") "*ExtA (М", М1)
отображает 1 м„ на в.
б) Связывающий гомоморфизм НотА(М', М') -> ExtA(M", М') отображает 1М<
9»
132 § 7. Композиционное произведете
Следствие 2. Рассмотрим две точные последовательности левых А-модулей:
О -»• М' -»• М -»• М" -* О,
О -»• N' -*N -»• N" -»• О.
Композиции связывающих гомоморфизмов
ExtA (М', N") -» ExtA+1 (M", N") -» ExtA+2 (M", N')
ExtA(M',N") -» Ext^ + 1(M',N')^ ExtA+2(M", N').
противоположны друг другу.
Действительно, если вх, в2 — классы, ассоциированные с данными точными после-
последовательностями, и если a G ExtA (M', N"), то образы а равны соответственно
62° ((-О^'аоООи^оа)» ((-Ои+20,).
Рассмотрим точную последовательность левых А-модулей
fn f"-i fx
(8) 0 -> N -»• Rn -»• Rn_j > ...-»• R, -»• M -> О
и положим Ко = М, К,- = Кег //( i = 1,.. ., и - 1, К„ = N. Имеем, таким образом, точные
последовательности:
О -»• К, -»• R, ¦+ К^,_! -* 0, 1 < i <и, (9)
которым для всякого левого А-модуля Р соответствуют связывающие гомоморфиз-
гомоморфизмы:
Ext"(K,,P)
откуда посредством композиции получаем итерированные связывающие гомоморфиз-
гомоморфизмы, ассоциированные с точной последовательностью (S):
5 m (Р, 8): Ех1д (Р, М) -»• ExIa +и (Р, N),
5m(S,P): Ext^1 (N.P)-*- Ех1д +И(М, PV
Следствие 3. Если в G Ext A (M, N) - класс точной последовательности ( § ), то
5т(Р, «)(а) = 0»а, 5т(«,Р)(^) = (-1)т"+и("+1)/2/Зо0.
Если в( G Ext^ (K,_i, К;) — класс, ассоциированный с точной последовательностью
(9), то, согласно предложению 5, имеем:
5т(Р, ?)(«)= в„ о ...о^ов.оа,
Кроме того, согласно предложению 3 (с. 125), имеем, что в = в„ ° .. . о вх. Следствие
непосредственно вытекает отсюда и из соотношения (Е,Ш, р. 44)
и(л+1)
(т + 1) + ... + (т + п) = тпп + .
Следствие 4. Если каждый модуль Rj, i = 1,... , п, инъективен {соответствен-
{соответственно проективен), то отображение а •-* в ° а (соответственно а <->-а о в) из ExtA (P, М) в
ExtA (P, N) (соответственно из ExtA (N, Р) в ExtA (M, Р)) биективно для вся-
всякого К-модуля Р и всякого m > О.
Действительно, это вытекает из следствия 3 и из точных последовательностей
§ 7. Композиционное произведение 133
(соответственно
Ext^'-1 (R,, Р) -> Ext**'-1 (К,-, Р) ¦¦* Ext* + <(K,_lf Р) -> Ext?+'(R,, P))
крайние члены которых нулевые по предположению.
Замечание. Определения и предложения из п. 3—6 применимы к правым А-мо-
дулям, рассматриваемым как левые модули над кольцом А0, противоположным А.
7. Гомоморфизм ExtA (P, Q) ® ТогА (Р, М) -»• TorA (Q, М)
Пусть М — левый А-модуль, Р и Q — два правых А-модуля. Рассмотрим гомоморфизм
HomgrA(L(P), L(Q)) ®fc (L(P) ®A L(M)) -»• L(Q) ®A L(M), который элементу
/® (x ®y) сопоставляет f(x) ® у. Согласно сказанному на с. 101, это морфизм комп-
комплексов '). Из него получаем градуированное fc-линейное отображение степени 0
H(HomgrA (L(P), L(Q))) ®fc TorA (P, M) -* TorA (Q, M),
следовательно, посредством изоморфизма ^(L(P), L(Q)) из § 6 (с. 103, теорема 1),
градуированное fc-линейное отображение степени 0
ExtA (P, Q) ®fc Tor А(Р, М) ¦* TorA (Q, М), (Ю)
соответствующее fc-билинейным отображениям
(P,M)^Tor^_n(Q,M); A1)
образ пары (а, ,7) при отображении ср> Q. м называется композиционным произведе-
произведением элементов а и 7 и обозначается через а ° у.
По построению, а° у получается следующим образом: а представляется некоторым
морфизмом коплексов /: L(P) -»• L(Q) (-и), 7 - элементом z G Zm (L(P) ®A L(M)),
и а о 7 есть класс элемента
(f® l)(z)eZm(L(Q)(-n) ®A L(M))=Zm_n(L(Q) ®A L(M)).
Например, если aG HomA (P, Q), то а ° у = Тог (а, 1) G)-
Замечания 1. Если использовать изоморфизмы ф, рассмотренные на с. 76, то
можно также определить композиционное произведение посредством коммутативной
диаграммы
Ext; (P. Q) х Тог? (Р, М) ^ *. Тог^_и (Q, М)
5,.Q х <ММ)| JfQ(M)
Н" (HomgrA (L(P), L(Q))) x Hm(L(P) ®A M) -*• Hm_n(L(Q) ®A M) ;
другими словами, мы представляем а морфизмом/ из L(P) в L(Q) (-и), у — циклом
х G Lm (Р) ® А М, и а о 7 есть класс цикла
1) Если R, S - комплексы правых А-модулей и Т - комплекс левых А-модулей, то так же, как
на с. 101, легко проверяется, что канонический гомоморфизм
и: HomgrA (R, S) -> Homgrfc (R ®д T, S вд Т)
представляет собой морфнзм комплексов. Используемый в тексте морфизм комплексов полу-
получается как композиция морфизма « « 1r8xH морфизма A8), с. 101. Отметим, что канонический
гомоморфизм
HomgrA(S, Т) - Homgrfc(R »д S, R вд Т),
где R - комплекс правых А-модулей и S, Т - комплексы левых А-модулей, не является морфиз-
морфизмом комплексов. Поэтому гомоморфизм
ExtA (M, N) в Тог^ (Р, М) - Tor^ (P, N)
определяется ниже (с. 134) с помощью изоморфизмов коммутирования. - Примеч. пер.
134 § 7. Композиционное произведение
2. Можно также использовать резольвенты 1(Р) и I(Q).
Аналогично, если N —второй левый А-модуль, то определяется композиционное про-
произведение (д, у)** A о у, обозначаемое через
<P;M,N: Ext A(M, N) X Tor A(P, M) - Tor ? _ ДР, N),
посредством коммутативной диаграммы
^ (М, N) х Тог^ (Р, М) е^2—*- Тог?_г (Р, N)
1 х °р.м,,| к™..-, A2)
Ext'v (М°, №) х Torf (М°, Р°) fM0'w°"°-> Torf_r (№, Р°),
где а обозначает гомоморфизмы коммутирования (с. 78).
Если /iGExtA(M, N) — класс морфизма g: L(M)-» L(N) (—г) и если 7G
Z G Torm(P, М) — класс цикла z = 2 z{j, где z^ G L/(P) ®A (L;(M)), то /х о у есть, таким
образом, класс цикла 2(-l)'r(l ®#)(zv).
Можно также представить 7 циклом у S Р в Lm(M), и д ° у есть в этом случае класс
цикла A ®я) (у) G Р » I™ _Г(М).
Предложение 6. Яусгь К, М, N - левые А-модули, Р, Q, R - правые А-модули,
aS ExtA(P, Q), 0G Ext^(Q, R), \ G ExtA(K, M),
MeExtA(M,N), 7eTor^(P,K).
Тогда
^p_n(R,K), A3)
г_ДР, N), A4)
я_ДО,М). A5)
Формулы A3) и A4) немедленно следуют из определений."Докажем A5). Пусть
i = 2z,y, zy S L,(P) в Ly(K), - цикл, представляющий 7. /: L(P) -*L(Q)(-«) и
у: ЦК) -»• L(M) (- г) - морфизмы, представляющие а и X. Тогда X о (а о 7) есть класс
цикла 2(-l)('-")r(feg)(zi/), a a»(Xo7) есть класс цикла 2(-l)tr(f®g)(zij),
откуда получаем A5).
8. Композиционные произведения и
связывающие гомоморфизмы для произведений кручения
Предложение 7. а) Пусть
- точная последовательность правых А-модулей, в G ExtA(P", P') - ее ассоциирован-
ассоциированный класс, М - левый А-модуль. Связывающий гомоморфизм
8„(&, М): ТоглА(Р", М) - Тог^ДР', М)
представляет собой отображение у*+6 °у.
б) Пусть
- точная последовательность левых А-модулей, Ог G ExtA(M", M') - ее ассоциирован-
ассоциированный класс, Р - правый А-модуль. Связывающий гомоморфизм
8п(Р, 4,): ТогяА(Р, М") - Тог А_,(Р, М')
представляет собой отображение у* в\ °у.
% 7. Композиционное произведение 135
Пусть 7еТог?(Р",М) -классцикла z"€Zn(L(P")®A ЦМ)), и пусть
о —^ р' —L-*. р —L+. р" _». о
МР") -i*- L0(P") -2V Р» -^ о
— коммутативная диаграмма. Мы будем обозначать через р': L (Р') -* Р' и р ": L (Р ") -*¦
->Р" канонические морфизмы комплексов. По определению, 5 (у) € Tor^jCP', M) по-
получается следующим образом: выбираем элемент х € Р ® Ь„ (М), для которого
(g ® 1) (х) = (р " ® 1) (г ") и 5 (у) есть класс циклов z'€ Zn_ i (ЦР') ® ЦМ)), для которых
(fei)G»'el)B')-A •</„)(*).
При 0 <i <л обозначим через zf" компоненту элемента z" в L;(P") ® Ь„_/(М),имеем
О = Dz" = Z (<f, в 1 + (-1)' • d«_,) (z/1),
следовательно, (d, ® 1) (zj1) = (-1)'®^„_/+i(zj!_ t), и, в частности,
Теперь можно выбрать х = («0 ® 1) (zo); в самом деле, имеем:
fe*l)(*) = (Po
Так как
то отсюда следует, что 5 (у) есть класс циклов z' G Zn_i(L(P') ®д L(M)), для ко-
которых (р' ® 1)(^') =~("i ® 1) (*"). Но, по определению, класс 0 соответствует при
изоморфизме Ext\ (Р",Р') -+Н1 (HomgrA (L(P"),P;) классу морфизма A: L(P) (l)->
-»¦ Р', определяемого отображением — «j, и произведение в о у есть класс циклов
для которых
(р' в 1)(г') = (А • l)(z") = -(«,
что завершает доказательство утверждения а). Утверждение б) выводится из а) с по-
помощью изоморфизмов коммутирования.
Следствие 1. Пусть 0 -*¦ Р' ->¦ Р ->¦ Р" -*¦ 0 - точная последовательность правых
к-модулей, О -*М' ^М -*¦ М" -*¦ 0 - точная последовательность левых А-модулей. Ком-
Композиции связывающих гомоморфизмов
противоположны друг другу.
Действительно, если в и в i — классы, ассоциированные с данными точными последо-
последовательностями, и если у G Тог? (Р",М"), то образы равны соответственной о
о (в 1 о -у) и в 1 ° @ о 7) и, следовательно, противоположны согласно предложе-
предложению 6.
Воспользуемся снова обозначениями со с. 132, и рассмотрим последовательность
левых А-модулей ( $ ) и связывающие гомоморфизмы, соответствующие точным
последовательностям (9):
из них посредством композиции получаем итерированные связывающие гомоморфизмы
ЭОТ(Р, 8 ): Тог? (Р.М)^Тог4_л(Р,К).
Согласно предложению 7 и предложению 3, с. 125, имеет место
136 % 7. Композиционное произвесение
Следствие 2. Если в ? ExtA (M, N) - класс, ассоциированный с точной пос-
последовательностью ( $ ), то Эт(Р, g )(а) = в о а для всякого а Е Тог* (Р, М).
Следствие 3. Если все модули R/, / = 1,..., я, плоские, то отображение а •¦+
»+ в о а из Тог?,+„ (Р, М) в Tor m (P, N) биективно для всякого правого А-модуля
Р м всякого целого m > 0.
Это вытекает из следствия 2 и точных последовательностей
Тог*+И_,+ , (P.R,)-»-Тог*, (рк.^^
^>Тог а +я_, (Р, К,) - Тог а +„_, (Р, R,),
в которых крайние члены нулевые по предположению.
Аналогично, если
- точная последовательность правых А-модулей и М — левый А-модуль, то определя-
определяются итерированные связывающие гомоморфизмы
Эга(«,,М): Тог А (Р,М)-ТогА_и@,М)
и имеет место:
Следствие 4. Если вх ? Ext^ (P, Q) - класс, ассоциированный с точной пос-
последовательностью (§,), то 3,„ ($!, М) (а) = 01 о а длл всякого а ? Тог^ (Р, М).
9. Вычисление композиционных произведений посредством сдвига резольвент
Пусть
0->М^К„->К„_1->...->К, ^М'->0 A6)
-точная последовательность левых А-модулей и в ? ExtjJ (М', М) — ее ассоциирован-
ассоциированный класс.
Пусть a: (R, d) -> М - левая резольвента для М; имеем, таким образом, точную
последовательность
dk d, a.
-> Rk -> Rk_ i -> ... -> Ro -* M -> 0
и, посредством сдвига на я (с. 32), точную последовательность
(-1L
¦
<)* (i), (L
-> Rk > Rfc_ i -> . .. »• Ro -¦ M -> 0. A7)
Из A6) и A7) получаем точную последовательность
(-1L
дающую резольвенту R' для М'; обозначим через <р: К1 -*R(-ri) морфизм, при кото-
котором <рь — 1 Rk_ для к~^ п.
Если N — левый А-модуль и Р — правый А-модуль, то имеем, следовательно, гомо-
гомоморфизмы:
НAР ® <р): H(P ®A R')->H(P ®A R)(-«),
Н (HomgrA (<p, 1N)): H (HomgrA (R, N)) (и) -> Н (HomgrA (R', N)).
Пусть к - целое число.
Предложение 8. а) Следующая диаграмма, в которой hg (а) = (-1) п(~"~
о а. коммутативна:
TorkA+B (Р, М') * ^ TorA(P, M)
H*+n(P ®A R') Н""п ^ V)* H*(P ®A R) ¦
§ 7. Композиционное произведение 137
б) Следующая диаграмма, в которой 5е @) = (-1)"*"-r )/2 0 <> в, коммутативна:
H*(HomgrA (R, N)) ""iHomgrA(9,D)t H*+"(HomgrA (R', N))
<P*(R,N)I |q>'+"(R',N)
ExtA(M, N) ExtA+" (M', N).
Пусть a: L(M) ->R - морфизм комплексов, для которого а ° а = рм, и пусть
Ц,(М') — Ln^(M') — ... — L0(M') — М'—¦ О
О >М -—«-К„ > ... »>&! М'—^0
— коммутативная диаграмма; выберем гомоморфизм vn: Ln(M ) -* Lo (M), для кото-
которого рм ° vn = (— 1)"и„; согласно предложение 1, а), с. 54,vn продолжается до мор-
физма комплексов и: L(M') ->L(M)(-m) и (-l)"("-l)l2 6 есть образ при каноничес-
каноническом изоморфизме H"(HomgrA (L(M'), L(M) -> ExtA (M', M) класса и (с. 124, заме-
замечание 1). Определим морфизм комплексов $: L(M') -*К', положив |Зр = ир прир <
<и - I,j3p = ap_n о vp при р> и; имеем:
<р о |3 = a(—и) о v.
С другой стороны, по определению отображений у и ф, имеем:
фк(Р, R) =Hk(pP®a), /(R, N)=Hk(HomgrA(a, eN)),
4/k+n(P,R') =Нк+и(рР®/3), /+n(R',N) =Hfc+"(HomgrA«3, eN)).
Наконец, по определению композиционного произведения имеем:
he = H(pP) lL(MK-n)) °H(lp®u)oH(pp, 1L(M'))-
8в =H(HomgrA(u, li(N)))-
Следовательно, имеем равенства:
фк(Р, R) о he =Hk(pP®a)°Hk(pP® I) oHk(lp,u)° Hk+n(pP, 1) =
ou))o Hk+n(pP,l) = Hk+M(lp®(^oK))o Hk+n(pP, 1) =
(Я> ° 0)) = Нк+ИA ® v?) о Hfc+P(pp ° 0) = Нл+ЛA ®<р) о ^к+и(Р, R'),
откуда следует утверждение а); доказательство утверждения б) аналогично.
Замечание. С помощью изоморфизмов коммутирования из а) выводится анало-
аналогичное утверждение в случае точной последовательности A6) правых А-модулей.
Пусть теперь Ъ: М' ->Е' - правая резольвента для М'; имеем, таким образом, точ-
точную последовательность
О _* м' -^ Е'° -^ Е'1 -> ... ¦* Е'* -> E'k+1 ¦* ...,
из которой получаем точную последовательность
соответствующую правой резольвенте Е-для М; обозначим через о: Е'(и) ->Е морфизм,
для которого о* = 1 , к_п при к> п. Имеем, следовательно, гомоморфизм
H(HomgrA(lN , a)): H(HomgrA(N, Еч))(и) -* H(HomgrA(N, E)).
138 § 7. Композиционное произведение
Предложение 9. Следующая диаграмма, в которой ув (а) = (- l)"^")/2^ о а ,
коммутативна:
H*(HomgrA (N, Е')) Н'>1Н°Ш8Г'"№°"> H*+"(HomgrA (N, Е))
4>4N,E-)| J4>*+"(N, E>
ExtA(N, M') - *- ExtA+" (N, М).
Это доказывается аналогично предложению 8.
Упражнения
1. Пусть к - коммутативное кольцо, А - унитарная ассоциативная Л-алгебра, М - (А, А) -бнмо-
дуль. Расширением алгебры А посредством М называется задание унитарной ассоциативной
Л-алгебры В и точной последовательности
' Р
(а) о-ч-м-в-а-о,
где р - гомоморфизм алгебр и где
i(p(b)m) = bi(m) н i(mp(b)) = i(m)b для йеВ, m e M.
i р i p
Два расширения 0->М-»В-»А->0 и 0-*М->В->А->0 называются эквивалентными, если сущест-
существует гомоморфизм алгебр и: В -> В', для которого р'о й = р и и<> » = и'; такой гомоморфизм и
всегда биективен. ,• р
а) Предположим, что точная последовательность Аг-модулей 0-»М-*В-*А->0 расщепляема;
пусть s: A ->¦ В - А:-линейное сечение отображения р. Показать, что существует элемент
/еС1 (А, М) (с. 119,упражнение26,б)), для которого s(a)s{a") - s(aa') = i(f (а, а'.)) для
а, а'- е А. Показать, что / - 2-коцикл и что его класс в Н1 (А, М) ие зависит от выбора s; ои обо-
обозначается через с (S ).
б) Пусть Exfc (А, М) - множество классов эквивалентности расширений алгебры А посредст-
посредством М, которые тривиальны как расширения ^-модулей. Показать, что с определяет биекцию мно-
множества Exfc (А, М) наН2(А, М).
«" Р , «"' ,Р
в) Пусть (?): 0->М-»В-»А-»0и (S): 0 -> М -¦ В ->А->О-два расширения алгебры А
посредством М. Обозначим через С подалгебру в В X В', образованную элементами (Ь, Ь'), для ко-
которых р(Ь) = р'(й'); пусть С - идеал в С, образованный элементами (i (m), —i' (m)), где
meM, В" - алгебра С/С, я: С->В" -"гомоморфизм перехода к факторалгебре. Пусть I"; М-*В"
и р": В" -> А - гомоморфизмы, при которых i"(m) =п((т, 0)) для т е М и р"я((й, b'))= p (Ь)
i" p"
для Ь е В, Ь е В . Показать, что последовательность 0-»М-»В'-»А->0 представляет собой
расширение алгебры А посредством М, называемое суммой расширений (&) и (&'), и что таким
способом определяется закон коммутативной группы на множестве классов эквивалентности
расширений алгебры А посредством М. В частности, множество Ех^(А, М) наделяется при этом
структурой группы, и отображение с оказывается изоморфизмом групп.
2. Предположим, что Аг-алгебра А обладает пополнением я: А -> к (с. 120, упражнение 27) и что,
кроме того, А - проективный Л-модуль. Обозначим через I ядро п. Пусть М - левый А-модуль.
• Р
а) Пусть (S): 0-»М(я)->-В->А->-0- расширение алгебры А посредством (А, А)-бимоДуля В
(с. 120, упражнение 27); обозначим через В идеал в В, образованный элементами b e В, для ко-
которых р(Ь) е I, Имеем i (т)Ь = 0 для т е М и b e В, так что В наделяется структурой левого
А-модуля, относительно которой р@)й = /36 для C е В, b e В. Показать, что существует точная
последовательность А-модулей 0->М-*В-»1 ->0; обозначим через в (&) класс этой точной последо-
последовательности в Ext\(I,M).
б) Показать, что в определяет отображение множества Ex/t (А, М(п)) в ExtA(I,M).Доказать ком-
коммутативность диаграммы
Ех, (А, М(„)
V
Н2 (А. М(„)
— Exti
^Exti
(I,
(к.
М)
5
М),
IT
где В - связывающий гомоморфизм, соответствующий точной последовательности 0-»1->А->Л->0,
§ 7. Композиционное произведение 139
а <р2 — изоморфизм, получаемый из вычисления с помощью стандартной резольвенты (с. 120, уп-
упражнение 27,6)). Вывести отсюда, что в - изоморфизм групп.
3. Пусть G - группа, А - алгебра 1> \ у. G -<¦ А - каноническое вложение. Наделим алгебру А
пополнением я: А -» Z, определяемым условием: ir{eg) = I Для всякого g е G. Пусть М - левый
А-модуль.
' Р
а) Пусть 0 -> М(„) -» В -» А -+ 0 - расширение алгебры А посредством , (А, А) -бимодуля М („)
(с. 120, упражнение 27). Обозначим через Г подмножество в В, образованное элементами Ъ е В, для
которых p(b) e/'(G). Показать, что множество Г, наделенное умножением, индуцированным умно-
умножением в В, представляет собой группу, являющуюся расширением группы G посредством G-mo-
дуля М.
б) Предыдущее построение определяет отображение группы Exz( А, М(„)) в Ex(G, M) (VIII, §13).
Показать, что диаграмма
?х^ (А, М(„,) — Ex (G, М)
Н2(А, М,,,)-^ H2(G,'M)
коммутативна.
* 4. Пусть 0 - Л-алгебра Ли, М - в -модуль. Расширением Ц посредством М называется точная
' Р
последовательность fc-модулей 0 --» М -» ф ->¦ Й-»0, где ф - fc-алгебра Ли, р - гомоморфизм
алгебр Лии i(p(H)m) = [H,/(m)l для Неф,, тем. Два расширения.
' Р '' , р'
называются эквивалентными, если существует гомоморфизм и: ф •* ф', для которого р' о и = р,
и ° / = /'. Обозначим через Liex ( й , М) множество классов эквивалентности расширений j посред-
посредством М. Предположим, что 8 - свободный fc-модуль.
а) Пусть (&): 0 -> М —> Ь —<¦ fl -+0 - некоторое расширение в посредством М; выберем Аг-ли-
нейное сечение s: й ->¦ Ь для отображения р. Определим элемент / S CJ(fl, M) (с. 121, упражне-
упражнение 28, б)), положив
(У)] -*({х.у)] для x.y&g.
Показать, что / есть 2^коцикл и что его класс в HJ( fl , М) не зависит от выбора s; он обозначается
через т(&).
б) Показать, что 7 определяет биекцию множества Liex( в , М) на Н2( в , М). Дать прямое описа-
описание структуры группы на Liex( fl , М), получаемой переносом структуры на HJ( fl, M) посред-
посредством т.
в) Пусть U - обертывающая алгебра алгебры Ли в, /: в -¦ U - каноническое вложение, Щи) —
(U, и)-бимодуль, ассоциированный с М с помощью пополнения п: U->Ar, определяемого условием:
р
"(/'(*)) = 0 для всякого х е в (с. 120, упражнение 27). Пусть 0 -¦ М(я) -*В—*U-*0 — некоторое
расширение алгебры U посредством М(я) (упражнение 1); обозначим через Ь множество элемен-
элементов b е В, для которых р(Ь) е /(fl ). Показать, что Ь — Аг-алгебра Ли, являющаяся расширением fl
посредством М. Эта конструкция определяет отображение \: Ex/t(U, М(„)) -* Liex(fl , М). Пока-
Показать, что диаграмма
Ex» (U, М(.() ^*- Liex (9, М)
Н2 (U, М(„) -^ Н2 (9, М)
(где <рг - изоморфизм, определенный в упражнение 27, с. 120), коммутативна. Вывести отсюда,
что X - изоморфизм. *
% 5. Пусть F, G — две группы.
а) Для всякого расширения &: F -> Е -> G группы G посредством F (I, р. 62) действие Е иа F
посредством внутренних автоморфизмов определяет гомоморфизм Е -> Aut(i'), откуда путем
перехода к факторгруппам получаем гомоморфизм групп Э: G -> Aut(F) /Int(F), называемый гомо-
гомоморфизмом, ассоциированным с расширением (S). Два изоморфных расширения G посредством F
имеют один и тот же ассоциированный гомоморфизм.
б) Обратно, рассмотрим гомоморфизм групп в: G->-Aut(F)/Int(F). Обозначим через
р: Aut (F) -> Aut (F)/Int (F)
отображение перехода к факторгруппе. Выберем отображение оизG в Aut(F), для которого р»о =
= 0,и отображение /из GxG Blnt(F), для которого о(х)о(у)(о(ху))~1 = lnt(f(x, у)) для
140 § 7. Композиционное произведение
x.yeG; положим
с(х, у, z) = o(x) (f(y. г)) • f(x, yz) ¦ {f(xy, г)) ¦ (f(x, у)Г1.
Показать, что с(х, у, г) принадлежит центру Z группы F.
в) Будем рассматривать группу Z как G-модуль, положив g- z = o(g) (z) для g?G,zeZ; это
определение не зависит от выбора о. Отображение с определяет элемент из C3(G, Z); показать, что
с есть 3-коцикл и что его класс в H3(G, Z) не зависит от выбора о и /. Он обозначается че-
через cj(G, F, в).
г) Показать, что обращение в нуль класса cj(G, F, в) представляет собой необходимое и доста-
достаточное условие для существования расширения группы G посредством F, имеющего в в качестве
ассоциированного гомоморфизма (если u(G, F, 0) = 0, то показать, что можно выбрать/ так, чтобы
коцикл с был нулевой, затем определить групповой закон на G X F).
д) Предположим, что w(G, F, в) = 0. Показать, что множество классов относительно изоморфиз-
изоморфизма расширений группы G посредством F с ассоциированным гомоморфизмом в представляет собой
главное однородное множество над группой И1 (G, Z).
е) Пусть Н - группа, М - Z* -модуль» х - элемент из НЭ(Н, М). Показать» что существуют
группа Е с центром М и гомоморфизм >р: Н ->Aut(E)/Int(E), индуцирующий на М заданную струк-
структуру Н-модуля, для которых ш(Н, Е, >р) - х (взять Е ¦ М X L, где L - свободная группа, построен-
построенная иа Н X Н).
6. Пусть М - правый А-модуль, N - левый А-модуль. Для л > 0 обозначим через *Г„(М, N) мно-
множество троек (Р, р, <?), где Р - комплекс свободных А-модулей конечного типа, в котором ?г = 0
при г < 0 и г > п, и где р: ?-*Nnq: Р*-*М(л) ~ морфизмы А-комплексов (через Р* обозначается
комплекс HomgrA(P, А)). Два элемента (Р, р, q) н (Р\ р', <?') из |Г„(М, N) называются связанны-
связанными, если существует морфизм и: Р -¦ Р', для которого р = р'° и и q' = q ° и; обозначим через
Т„(М, N) фактормножество множества i^,(M, N) по самому тонкому отношению эквивалентности,
для которого два связанных элемента эквивалентны (ср. И, р. 52, exercice 9).
а) Показать, что Т„(М, N) отождествляется с Тог^(М, N).
б) Пусть (Ё): 0 -> М1 —¦ М —> М" -> 0 — точная последовательность правых А-модулей. Описать
связывающий гомоморфизм Э: Т„(М", N) -> Tn_j(M', N), получаемый из Э(&, N) с помощью
предыдущих отождествлений. _ _
(Если (Р, р, q) е ^,(М", N), то показать, что э(Р, р, (?) = (Р, р, q), где Р- комплекс, получаемый
заменой Р„ иа 0 в Р, р - морфизм, получаемый из р, и гомоморфизм (q)n~ : Рд_1 -»М' равен
и"~ , где и — морфизм из Р* в комплекс (Con(i)) («), для которого пои" =<?".)
Ц 7. Пусть А' - fc-алгебра (ассоциативная и унитарная и В = А «к А'.
а) Пусть М — левый А-модуль, Q - правый А-модуль, М' - левый *А'-модуль, Q'-правый А'-мо-
дуль. Пусть (Р, р) (соответственно (Р', р'), соответственно (R, г)) — проективная резольвента
А-модуля М (соответственно А'-модуля М', соответственно В-модуля M®fcM'). Показать, что су-
существует единственный с точностью до гомотопии морфизм В-комплексов
и: Pe^p'-R.
для которого г о и = р в р'. Определить с помощью и градуированный ?-гомоморфизм степени 0
Т: TorA(Q, M) 9k TorA (Q1. М') - TorB(Q вк Q, Mefc M').
Показать» что Т не зависит от выбора резольвент Р, Р', R и морфизма и. Если а <= Тог (Q, М) и
а' еТог (Q'. М') то положимТ(д ее') =а Те'.
б) Предположим дополнительно, что fc-модули А и А' проективны и что Torn(M, M') = 0 при
и > 0. Показать, что тогда Р \Р' представляет собой проективную резольвенту В-модуля М efc M'
получить отсюда для всякого А-модуля N и всякого А'-модуля N' градуированный fc-гомоморфнзм
степени 0
V: ExtA(M, N) ek ExtA-(M'. N')- ExtB(M efc M'. N*ft. N').
Показать, что V не зависит от выбора резольвент Р н Р'. Если Ъ е ExtA(M, N) и b' e ExtA» (M', N'),
то обозначим V (Ь »Ь') = Ь V Ь'.
в) Пусть А" - третья А;-алгебра (ассоциативная и унитарная), М" н N" -левые А"-модули, О" -
правый А"-модуль, Отождествим между собой fc-алгебры Aefc (A'®fc А") н (A®fc A') «fc А", так же
каки?-модули M»fc(M'efcM") и (М »к М') «л М", Nefc(N'»feN") и (Nefc N')efc N").
(Oek(O'»fcQ") и (QefeQ')efcQ". Доказать формулы:
а Т (а' Та ") = (а Та') Та "
для eeTorA(Q. M). c'eTorA'@'.M'). a" e TorA"(Q", M"):
ft v (Ь' Vb")-(b v b') vb"
§ 7. Композиционное произведение 141
для beExtA(M, N), fc'eExtA'(M',N'), b" eExtA»(M". N").
г) Пусть
о: TorA8fc A (Qefc Q', M efc M') - TorA ** A(Q »fc Q, M' efc M)
и
т: ExtA8,kA.(MefcM'.N«fcN')-ExtA.e A(Mefc M, N' efc N)
- изоморфизмы, получаемые из изоморфизмов коммутирования
А «к А' -> A' »fc A. M»tM'-»M'»tM. NefcN'-*N'efcN, Q efc Q' -> Q' efc Q.
Доказать формулы:
o(aTa) =(~lfqa'Ta для в <= Tor A(Q, M), в'eTorA(Q. M');
6 для 6eExtA(M, N). bl G ExtA.(M', N').
д) Пусть (S): 0 -»M, -¦ M, -» Mo -* 0 - точная последовательность А-модулей, для которой после-
последовательность (S в М'): 0 -» М2 »fc М' -» М, Ф^М' -» Мо ®fcM' -»-0 тоже точная. Обозначим через 6
(соответствеино Д) связывающий гомоморфизм 3(Q, а) (соответственно 3(Q»fcQ', a«M')).
Показать, что F<z) Те' = Д(д Те') для а е Тог (О, Мо), а' е TorA(Q', М'). Доказать аналогичную
формулу для произведения V.
е) Если к - поле, показать, что Т представляет собой изоморфизм градуированных Аг-модулей;
то же самое справедливо для V, если, кроме того, алгебры А и А' нётеровы слева и если А-модуль
М и А'-модуль М' имеют конечный тип.
ж) Отождествив модули Torn (Q, М) с множествами Tn(Q, M) , определенными в упражнении 6,
доказать формулу: (Р,р, q) Т (Р\ р', q') = (Р®^ Р'.р ep', q «q').
8. Сохраняем обозначения из упражнения 7; предполагаем, что Аг-модули А и А' проективны.
а) Предположим, что Тог, (М, М') = 0 при i > 0. Показать, что отображение b**b V lMi опреде-
определяет градуированный Аг-гомоморфизм степени нуль из ExtA(M, N) в ExtB(M»fcM', NefcM'), кото-
который индуцирует в степени нуль канонический гомоморфизм b -» Ъ • 1 м(.
б) Предположим, что Аг-модуль М' плоский. Пусть
0-N^Rn-*...^R,-*M^0
- точная последовательность А-модулей с классом Ъ е ExtA(M, N). Показать, что точная последова-
последовательность В-модулей
0 -* N»fc M' - Rn »fc M' -* ... -+ R, efc M1 ^ M efc М' - 0
имеет в качестве класса элемент b V 1М> eExtB(M ®fc M', Nefc M').
в) Предположим, что Аг-модули М, М'. N, N' плоские. Показать, что
6V6'=(JV 1N.) о AМ V Ь') = (-1)P<7AN V Ъ ) о ф V 1м0
для 6eExtA(M.N). 6'6ExtA4M', N').
9. Предположим, что кольцо А коммутативно. Пусть В, С - две унитарные ассоциативные А-ал-
гебры; обозначим через тв: В »А В -*В умножение в В и через тс - умножение в С.
а) Показать, что гомоморфизм
Tor(mB, тс) о Т: Тог А(В. С) »А ТогА(В. С) -> ТогА(В. С).
(см. упражнение 7) определяет на Тог (В, С) структуру унитарной ассоциативной градуированной
А-алгебры.
б) Пусть S - градуированная дифференциальная А-апгебра и р: So ->B - гомоморфизм А-алгебр,
причем (S, р) представляет собой свободную резольвенту для В (см. с. 69, упражнение 18). Пока-
Показать, что изоморфизм
MS. С): TorA(B.C)^H(S»Ac)
является изоморфизмом А-алгебр, если H(S »А С) наделить структурой алгебры, получаемой из
структуры градуированной дифференциальной алгебры на S ®А С (с. 69, упражнение 18, б) ив)).
в) Если А-алгебры В и С коммутативны, доказать, что градуированная алгебра Тог (В, С) косо-
коммутатвна (ср. с. 69, упражнение 19).
10. Пусть В - к-бигебра (III, р. 148). которая рассматривается как пополненная Аг-алгебра (с. 120,
упражнение 27) с помощью коединицы у: В -» к; предположим, что Аг-модуль В проективен.
а) Пусть М, N-два левых А-модуля. Гомоморфизм v из упражнения 7 отождествим с градуи-
градуированным гомоморфизмом степени нуль
Н (В, у; М) *к II (В. у; N) -> Н (В »fc В. у в у; М efc N);
142 § 8. Гомологическая размерность
посредством композиции с гомоморфизмом, получаемым из коумножения, получить отсюда гра-
градуированный гомоморфизм степени нуль
~: Н*(В, у; М) вк Н'(В, у; N) - Н'(В, у; М«к N).
б) Пусть С - унитарная ассоциативная fc-алгебра, которую наделим структурой В-модуля, полу-
получаемой из у.
По.казать, что гомоморфизм ^ определяет на Н* (В, у; С) структуру унитарной ассоциативной
градуированной jfc-алгебры; если алгебра С коммутативна и если бигебра В коммутативна, то алгеб-
алгебра Н'(В,7; С) косокоммутативна.
в) Возьмем С = к. Показать, что произведение v совпадает с композиционным произведением
на ExtB(fc, к).
г) Пусть G - группа, М и N - два Z ^-модуля. Наделим М ®z N структурой Z * '-модуля, опре-
определяемой условием: g(x ® y)=gx» gy для ge G, x e M, у 6 N. Показать, что отображение
~: H(G,M)ezH(G,N)-»H'(G,MezN)
представляет собой гомоморфизм, индуцируемый на гомологии градуированным гомоморфизмом
степени нуль
u: C'(G,M)®ZC"(G,N)-C'(G,M®ZN),
определяемым по формуле: u(/«ft)fe, ?p+q) = /С?,, . ¦ ¦ , gp) tsg1---gph(gp+i 8p+q)
для/еСр(С,М), hec'(G,N), gt,...,gp+qeG.
(Использовать упражнение 5, с. 86.)
Ц 11. Предположим, что бигебра В обладает обращением (см. III, р. 198, exercice 4). Пусть М и
N - В-модулн. lfc-модуль М »к N (соответственно Homfc(M, N)) имеет естественную структуру
В ®fc В-модуля (соответственно В «fc В° -модуля); наделим его структурой В-модуля, получаемой
из коумножения с (соответственно Aв ф О ° с) •
а) Показать, что гомоморфизм v (упражнение 10) определяет градуированный гомоморфизм
степени нуль
~: Н (B.7;Homfc(M, N))efc Н"(В,7; М)-* Н'(В,7; N)-
б) ПустьО-> М-> Rn->.. .->R, -*k-*Q- — точная последовательностьВ-модулей, в которой моду-
модули R,- проективны A < »'<и); пусть в -ее класс в ExtB(fc, М) =НП(В, 7; M).
Показать, что для р>\ отображение ху*х^в определяет к-изоморфизм модуля
НР(В,7; Homfc(M, N)) на Нр+"(В,у; N).
(Доказать, что это отображение разлагается в композицию
НР(В, у; Homfc(M, N)) -> Extg(M, N) ^* ExtB+"(lfc, N).)
в) Пусть G - группа, N - Z^ '-модуль. Пусть F - свободная группа, р: F ->G - сюръективный
гомоморфизм, R = Кег (р), R = R/ (R, R), F =F/ (R, R). Расширение R -> F -> G определяет класс
е 6 HJ(G, R); доказать, что отображение х*+х~ е из Hp(G,Homz(R, N)) в HP+2(G, N) является
изоморфизмом при р > 1 (использовать упражнение 3, г), с. 65).
§ 8. ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ РАЗМЕРНОСТЬ
В этом параграфе сохраняются соглашения из § 5.
1. Проективная размерность модуля
Определение 1. Пусть М — А-модуль. Проективной размерностью модули М
называется нижняя грань в Z длин его проективных резольвент (с. 54); она обозначает-
обозначается через dpA(M).
Таким образом, dpA(O) = -°°, dpA(M) > 0, если М Ф 0. Для того чтобы модуль М
был проективен, необходимо и достаточно, чтобы dpA(M) < 0.
Лемма 1. Если dpA(M) < л < + °°, то Ext А(М, N) = 0 для всякого А-модуля N и
Тог„ (Р, М) = 0 для всякого правого А-модуля Р.
Этот тотчас следует из того факта, что М обладает проективной резольвентой длины
< п, и из теоремы 1, с. 103.
Предложение 1. Пусть М — А-модуль ип- целое число > 0. Следующие усло-
условия эквивалентны:
§ 8. Гомологическая размерность 143
(i) dpA(M) < п (т.е., по определению 1, М обладает проективной резольвентой дли-
длины <п);
(ii) ExtА(М, N) = 0 для всякого А-модуля N и всякого целого числа г>п;
(iii) ExtA+1 (M, N) = О для всякого А-модуля N;
(iv) для всякой точной последовательности
0->К->Р„_1-*...->Р0->М->0,
в которой модули Р/ проективны, модуль К проективен.
(О =* (ii): это следует из леммы 1.
(ii)^(iii): это тривиально.
(iii) =* (iv) : в ситуации, описанной в (iv) для всякого А-модуля N имеем изомор-
изоморфизм ExtA(K, N) на ExtA+1(M, N) (с. 132,следствие 4); если условие (iii) выполня-
выполняется, то
ExtA(K, N) = О
для всякого N и, следовательно, модуль К проективен (с. 97. предложение 10)
(iv)=*(i): рассмотрим точную последовательность (с. 56)
Если (iv) выполняется, то модуль Zn_j(M) проективен и М обладает проективной ре-
резольвентой длины <и.
Следствие 1. Пусть (М,)(. е Е - семейство А-модулей. Имеем
dpA( e M,)= sup dpA(M,).
;еЕ ?E
Это следует из эквивалентности условий (i) и (iii) предложения 1 и из предложе-
предложения 7, с. 94.
В следующей формулировке принимается, что +°°+1 = + <»_ ] = + «>
Следствие 2. Пусть
0->М'^М->М"^0
— точная последовательность А-модулей.
а) Имеем:
dpA(M) < sup(dpA(M'), dpA(M")).
Еаш dpA (M") Ф dpA(M') + 1, то имеет место равенство.
б) Имеем:
dpA(M")<sup(dpA(M),dpA(M') + 1).
Если dpA(M) Ф dpA(M'), то имеет место равенство.
в) Имеем
dpA(M') < sup(dpA(M), dpA(M") - 1).
Если dpA(M) Ф dpA(M "), то имеет место равенство.
Докажем, например, а), поскольку доказательства утверждений б) и в) аналогичны.
Если N — произвольный А-модуль и л — целое число > 0, то имеем точную после-
последовательность
ExtA(M', N) -* ExtA+1(M", N)-* ExtA+1(M, N)-> ExtA+1(M\ N) -+
-+ ExtA+2(M", N) -+ ExtA+2(M, N).
Если dpA(M'), dpA(M") <n, то ExtA+1(M(, N) = 0 и ExtA+1(M",N)= 0 (предложе-
ние 1), следовательно ExtA * (M, N) = 0 и dpA(M) < n (предложение 1), так что
dpA(M) < sup(dpA(M'), dpA(M")).
Если dpA(M) < sup(dpA(M'), dpA(M")), то dpA(M) < +°°. Для всякого п > dpA(M)
144 S 8. Гомологическая размерность
и всякого А-модуля N имеем: ExtA (M", N) Ф 0 => ExtA(M', Nj^=O и
ExtA+1(M\ N) =?0 <=> ExtA+2(M", ЩФО,
согласно предыдущей точной последовательности; согласно предложению!, отсю-
отсюда немедленно следует, что dpA(M") = dpA(M') + 1, так как одна из величин
dpA(M'),dpA(M")>dpA(M).
Пример. Пусть а — элемент из А, который не является ни обратимым справа, ни
правым делителем нуля. Тогда dpA(A/Aa) = 1.
f
Действительно, согласно точной последовательности 0 -> Aj —> Aj -> А/Ад -*¦ 0, где
у(х) = ха, имеем: dpA(A/Aa) < 1. Если dpA(A/Aa) < 1, то модуль А/Ад проективен и
существует А-линейное отображение ф: As -»• As, для которого ф ° <р =Id; отсюда сле-
следует, что
и а обратим справа.
Предложение 2. Предположим, что кольцо А нётерово слева Пусть М - А-мо-
дуль конечного типа и п — целое число > 0. Следующие условия эквивалентны:
(i)dpA(M)<«.
(ibis) М обладает проективной резольвентой Р длины <и, в которой Р, - А-модуль
конечного типа для каждого i.
(ii) ExtA(M, N) = 0 для всякого А-модуля конечного типа N и всякого г> п.
(iii) ExtA (M, N) = 0 для всякого А-модуля конечного типа N.
(iv) Tor^(P, М) = 0 для всякого правого А-модуля Ри всякого г>п.
(v) Tor^+j (А/ а , М) = 0 для всякого правого идеала конечного типа а в А.
(i bis) =* (i): это тривиально.
(i) => (ii): это следует из леммы 1.
(iii) =*(i) : согласно (iii) и предложению 5, с. 108, имеем: ExtA (M, N) =0 для вся-
всякого А-модуля Ы,и, следовательно, справедливо (i) согласно предложению 1.
(О =* (iv): это следует из леммы 1.
(iv) => (v): это тривиально.
(v) =* (ibis): пусть (L, d) — свободная резольвента модуля М, в которой L,. - мо-
модуль конечного типа для всякого г (с. 59. предложение 6). Положим К = Zn_,(L),
тогда К имеет конечный тип как подмодуль в L,, _,, и получаем точную последова-
последовательность
0->К^1^_! ->Ln_2 ->...->L, -> U ->M->0. A)
Согласно (v) и следствию 3, с. 136, имеем Тог^(А/ Л,К) = 0 для всякого правого
идеала конечного типа Л в А. Согласно теореме 2, с. 81, А-модуль К плоский; так
как он конечного типа и, следовательно, конечно представим (с. 14, предложение 5),
то он проективен (с. 17, следствие), следовательно, A) представляет собой проектив-
проективную резольвенту для М.
Следствие. Предположим, что кольцо А нётерово слева, и пусть '?0 (соответ-
(соответственно гё ) — множество классов проективных А-модулей конечного типа {соответ-
{соответственно А-модулей конечной проективной размерности и конечного типа). Тогда гомо-
гомоморфизм групп Гротендика К( Й'о) -> К( Щ биективен.
Это следует из теоремы 1, с. 63 (отметим, что множества с?0 и % точные слева со-
согласно следствию 2).
2. Гомоморфизм Tor,f (Р, М) -> HomA(Ext"A(M, A), P)
Пусть М -левый А-модуль, Р -правый А-модуль, п —целое число > 0. fc-билинейное
отображение (с. 134)
ср; м, A,: ExtA(M, А) X Tor,f (Р, М) - Р®А А
§ 8. Гомологическая размерность 145
соответствует некоторому ^-линейному отображению
Тог *(Р, М) ¦* Horn* (Ext A (М, А), Р). B)
Кроме того, если Л-модуль ExtA(M, А) наделен структурой правого А-модуля, происхо-
происходящей из структуры бимодуля на А, то, как легко проверяется, образ гомоморфиз-
гомоморфизма B) состоит из А-линейных отображений; отсюда получаем ^-гомоморфизм, назы-
называемый каноническим
Тог„А(Р, М) - HomA(ExtA(M, A), P). C)
Предложение 3. а) Если dpA(M) < и, то канонический гомоморфизм C)
инъективен.
б) Если dpA(M) < п, если кольцо А нётерово слева и если М - модуль конечного
типа, то канонический гомоморфизм C) биективен.
Проводим индукцию по п. Если и = 0, то модуль М проективен, гомоморфизм C)
отождествляется с каноническим гомоморфизмом Р®А М -+ Ногпа(М*, Р) из II, р. 77,
и предложение следует из II, р. 77, cor. Если п > 0, то пусть
0-+N-+L-+M-+0' D)
- точная последовательность А-модулей, где модуль L свободен (и конечного типа в
случае б)); тогда dpAN<n — 1 (с. 143, следствие 2, в)) и N конечного типа в слу-
случае б).
Пусть в 6 ExtA(M, N) — класс, ассоциированный с точной последователь-
последовательностью D) (с. 124, определение 1). Обозначим через
и„. ExtA~1(N,A)^ExtA(M,A), и„: Tor?(P,M)-> Tor*_,(P, N)
отображения, определяемые по формулам: и„(а) = а<>9 и и„ @) = в о 0. Имеем:
(а о в) о 0 = а о @ о 0)
для любых а G Ext^'CN, А), 0 G Тог„(Р, М) (с. 134, предложение 6), так что диаг-
диаграмма
Tor?(P, M) — HomA(Exti(M,A), P)
|г. Нот (и„. 1I E)
Тог:_ , (Р, N) -^ HomA (Extr' (N, А), Р),
в которой горизонтальные стрелки представляют собой канонические гомоморфизмы,
коммутативна.
Если и = 1, то имеем, таким образом, коммутативную диаграмму
О О
\ \
Тог?(Р, М) ^ HomA (ExtA (М, А), Р)
|»1 Нот (и,, 1I
Р ®А N . *¦ НотА (N*, Р)
\ 1
Р ®А L ^ НотА (L*, Р) ,
в которой столбы точные; из нее получаем искомый результат в этом случае. Если
и > 2, то отображения и„ и и„ биективны (с. 132, следствие 4, и с. 136, следствие 3).
Согласно индуктивному предположению, канонический гомоморфизм
Тог^_, (Р, N) - HomA(ExtA-' (N, А), Р)
инъективен (соответственно биективен); диаграмма E) показывает, что тем же свойст-
свойством обладает и канонический гомоморфизм Тог„(Р, М) -+ HomA(ExtA(M, A), P), что
завершает доказательство.
Уг 10. Н. Бурбаки
146 § 8. Гомологическая размерность
3. Гомологическая размерность кольца
Определение 2. Гомологической размерностью кольца А называется верхняя
грань в Z множества целых чисел п, для которых существуют такие два А-модуля М и
N, что ExtA(M, N) Ф 0;' она обозначается через dh(A) ').
Имеем; dh(O) = — °°, dh(A) > 0, если А Ф 0. Мы увидим ниже, что dh(A) = 1, если
А — кольцо главных идеалов, не являющееся полем, и что если К —поле, то
dh(K[X1,...,Xn]) = «.
П р е д л о же ни е 4. Пусть п — целое число > 0. Следующие условия эквивалентны:
(i)dh(A)<n;
(ii) dpA(M) < п для всякого А-модуля М;
(и') dpA(M) < п для всякого А-модуля М конечного типа:
(iii) для всякой точной последовательности
в которой Р,- проективны, модуль К проективен;
(iv) для всякой точной последовательности
^->I1 ->...->I"-1 ->N->0,
в которой I' инъективны, модуль N инъективен;
(у) всякий А-модуль обладает инъективной резольвентой длины < п.
Эквивалентность условий (i), (ii) и (iii) следует из предложения 1. Очевидно,
что (ii) =*(ii'). Нам достаточно, таким образом, доказать импликации (ii') =*(iv)=*
•*(v)=»(i).
(ii') =*(iv): в обозначениях из (iv) пусть К - ядро гомоморфизма 1° -Ч1. Согласно
следствию 4, с. 132, для всякого А-модуля М имеем изоморфизм ExtA(M, N)->-
->¦ ExtA (М, К); из (ii') тогда следует, что ExtA(M, N) = 0 для всякого А-модуля М ко-
конечного типа. Согласно предложению 11, с. 97, это влечет за собой, что модуль N
инъективен, откуда следует (iv).
(iv) =» (v): пусть М — А-модуль. Применяя (iv) к точной последовательности
с. 58, заключаем, что модуль К" -1(М) инъективен, откуда следует (v)
(v) =* (i): это следует из теоремы 1, с. 103.
Замечания. 1. Если dh(A) < п < + °°, то Тогп+1 (Р, М) = 0 для всякого А-моду-
А-модуля М и всякого правого А-модуля Р, так как dpAM < п (ср. лемму 1).
2. Для того чтобы гомологическая размерность dh(A) была конечной, необходимо
и достаточно, чтобы проективная размерность dpA(M) была конечной для всякого
ненулевого А-модуля М. Действительно, это следует из предыдущего и из следствия 1,
с. 143.
Следствие. Предположим, что кольцо А нетерово слева, и пусть п - целое число
> 0. Следующие условия эквивалентны:
(ii) для всякой пары А-модулей М м N конечного типа Ext A (M, N) = 0;
(iii) для всякого левого А-модуля М конечного типа и всякого правого А-модуля Р
конечного типа Тог„ + х (Р, М) = 0.
Это следует из предложений 2 и 4.
Замечание. Согласно эквивалентности условий (i) и (iii), имеем: dh(A) =
= dh(A°), если кольцо А не'терево справа и слева. Это равенство не выполняется в
общем случае (с. 155, упражнение 20).
') Гомологическую размерность кольца часто называют также глобальной размерностью кольца
и обозначают через gl. dim(A). - Примеч. пер.
§ 8. Гомологическая размерность 147
Предложение 5. Предположим, что кольцо А нётерово слева и имеет конечную
гомологическую размерность, и пусть 'в0 {соответственно Г6) множество классов
проективных А-модулей конечного типа (соответственно А-модулей конечного типа).
Тогда канонический гомоморфизм групп Гротендика КСЙ'О) ~* К( '&) биективен.
Это выводится из следствия, с. 144.
4. Кольца гомологической размерности О
Предложение 6. Следующие условия эквивалентны:
(О всякий А-модуль проективен;
(и) всякий А-модуль инъективен;
(iii) всякий идеал в А представляет собой инъективный модуль;
(iv)dh(A)<0;
(v) кольцо А полупрост;
(vi) А нётерово и всякий А-модуль плоский,
(vii) всякий комплекс А-модулей расщепляем;
(viii) всякая точная последовательность А-модулей расщепляема.
Согласно предложению 4, (i) <=*(ii) *=»i(iv); согласно следствию предложения 4,
(vi)=>(iv). Согласно, примеру 4, с. 39, (i)=»(vii); так как импликации (ii) =*(Ш) и
(vii) => (viii) тривиальны и так как импликация (viii) =>(i) следует из II, р. 39, prop. 4,
нам остается доказать импликации (Hi) =»(v) и (v)=>(vi), последнее утверждение
следует из VIII, § 5, п° 1, prop. 1, 2; наконец, если всякий идеал в А инъективен, то он
является прямым множителем в А, откуда следует справедливость (iii) => (v).
5. Кольца гомологической размерности 1
Предложение 7. Следующие условия эквивалентны:
(i)dh(A)<l
(ii) всякий подмодуль проективного модуля проективен:
(й) всякий идеал в А проективен;
(iii) всякий фактормодуль инъективного А-модуля инъективен;
(iv) для всякого проективного комплекса С существует такой гомологизм
<р: С-Н(С), что Н&0 = 1Н(с);
(v) для всякого инъективного комплекса С существует такой гомологизм ф: Н(С) -»¦
^С, что ЩФ) = 1ЩСу
(i) <=» (ii) <=* (iii): это следует из предложения 4 (с. 146).
(ii) => (iv): пусть С — проективный комплекс. Если условие (ii) выполняется, то
подмодуль В (С) модуля С проективен, откуда следует (iv), согласно замечанию б)
на с. 40.
(iii) => (iv): пусть С — инъективный комплекс. Если условие (iii) выполняется, то
фактормодуль В„(С) модуля С„+1 инъективен для всякого п, откуда следует (v),
согласно замечанию а) нас. 39.
(iv) => (ii): пусть Р - проективный А-модуль, М — подмодуль в Р, i: M -*Р - канони-
каноническое вложение. Пусть р: L -*Ы — сюръективный гомоморфизм свободного модуля L
на М. Рассмотрим проективный комплекс С, в котором Ci = L, Co =P, Q = 0 при
i?=0, I, d\ =i°p. Если удовлетворяется условие (iv), то пусть у. С-*Н(С) — гомо-
гомологизм, для которого Щф)=1щСу Так как Hi(C) = Kerp, то tpi представляет со-
собой проектирование модуля L на Кегр, следовательно, точная последовательность
расщепляема и модуль М изоморфен прямому множителю модуля L, следовательно,
проективен.
(v) => (iii): пусть I - инъективный модуль, М — фактормодуль модуля I, -л: I -*М -
каноническая проекция. Пусть /: M-*J — инъективный гомоморфизм модуля М
в инъекгивный модуль J. Рассмотрим инъективный комплекс С, в котором С0 = I,
С1 = J, С'=0 при i'#0,l, d° = i<>jr. Если условие (v) удовлетворяется, то пусть
Vi 10*
148 § 8. Гомологическая размерность
ф: Н(С) -* С — гомологизм, для которого Н(^) = 1н(с>- ^ак как
H1(C) = Cokeri,
то ф1 представляет собой сечение канонической проекции J-*Cokeri, и модуль М
является прямым множителем в J, следовательно, инъективен.
(И) =» (ii'): это тривиально.
(ii') =*(ii): это следует из VII, § 3, th. I, cor. 1.
Пример. Если А - кольцо главных идеалов, то dh(A) < 1.
Замечание. Если кольцо А целостное (коммутативное), то предыдущие условия эквивалент-
эквивалентны также следующим:
(ш') всякий делимый А-модульинъективеи;
(vi) всякий А-модуль без кручения является плоским н кольцо А нётерово.
Целостные кольца, удовлетворяющие этим условиям, называются дедекиндовыми (см. с. 154,
упражнение 12, и АС, VII, § 2, n°2, th. 1; Коммутативная алгебра, VII, с. 571, теорема 1).
Следствие. Пусть А - кольцо гомологической размерности < 1, С - комплекс
проективных А-модулей, С - комплекс проективных правых А-модулей, С' - комп-
комплекс инъективных А-модулей, Р - правый А-модуль, М - левый А-модуль, п - целое
число. Тогда имеем расщепляемые точные последовательности:
0 "* р + ®= „ НРF) ФА *ч (С> -^ Н« (С фа С) "^ р + , ®„ _, Torf (Нр (С), Н, (С)) - О,
±* ПНотА(Нр(С), Н""Р(С'))^ О,
О - р еА Н„ (С) -^ Н„ (Р еА С) ^* Тог^(Р, Н„_,(С)) -> О,
О -*¦ ExtA(Hn_!(С), М) Л Hn(HomgrA(C, М)) -^ НотА(Н„(С), М) -> 0.
Так как комплексы Z(C), B(C), Z(C) и В(С) проектавны, а комплекс В(С')нньек-
тивен, то это следует из следствия 2, с. 83, следствия 1 и следствия 2, с. 99.
6. Гомологическая размерность колец многочленов
Лемма 2. Пусть р: А -*¦ А' - гомоморфизм колец, М — А-модулЬ, М' — А'-модуль.
Если правый А-модуль А^ плоский, то dpA< (А' ®А М) < dpA(M). Если А-модуль AJ
проективен, то dpA (M') <dpA> (M1).
Первое утверждение очевидно, если dpAM = ±°°; если dpA(M) =n G N, то существу-
существует точная последовательность А-модулей
0-^Рп-^Рп_1^...-*Ро-^М^0,
в которой модули Р/ проективны; последовательность А'-модулей
является точной, так как правый А-модуль А^ плоский, и А'-модули А ®А Р,- проек-
проективны (II, р. 89, cor.); следовательно, dpA' (А' ®А М) < п = dpA (M). Второе утвержде-
утверждение очевидно, если dpA* (М') = ±°°; если dpA< (М1) = m G N, то существует точная по-
последовательность А'-модулей,
0^P^^P;_i^...^Po^M'^0,
в которой модули Р/ проективны; она представляет собой также точную последова-
последовательность А-модулей. С другой стороны, каждый А'-модуль Р/ является прямым мно-
множителем некоторого модуля А^ , следовательно, является проективным А-модулем;
таким образом, dpA (M') <m = dpA» (Mr).
§ 8. Гомологическая размерность 149
Лемма 3. Предположим, что кольцо А коммутативно 1),и пусть М - А[X]-мо-
А[X]-модуль.
а) Имеют место неравенства: dpA(M) <dpA[X] (M) <dpA(M) + 1.
б) Если гомотетия Хм инъективна, то dpA (M/XM) <dpA[x] Ы) ¦
в) Если ХМ = 0, то dpA (M) + 1 =dpA[X](M).
а) Имеем точную последовательность А [X]-модулей (III, р. 106 и VII, §5, п°1):
0->-А[Х] ®АМ-*А[Х]®АМ-*М-*0;
утверждение а) следует теперь из следствия 2, с. 143, и из леммы 2.
б) Если dpA[x ] (М) = ±°°, го утверждение тривиально. Если А [X] -модуль М проек-
проективный и ненулевой, то А-модуль М/ХМ отождествляется с А ®А[Х] М, следовательно,
проективен и dp А (М/ХМ) < 0=dpA [ х ] М. Далее проводим индукцию по dpA [ х j (M) = п,
предполагая, что п > 0. Рассмотрим точную последовательность А [X] -модулей 0 -*¦ N ->
->L -*М -+0, где L - свободный А [X] -модуль; применяя к диаграмме
0 —«> N --•> L —•> М -*0
х„| xLJ xMJ
предложение 2, с. 9, мы видим, что гомотетия Xjj инъективна и что имеет место точная
последовательность
0 ¦* N/XN -»• L/XL-»- М/ХМ -> 0.
Так как модуль L свободен над А [X], то модуль L/XL свободен на А, и имеем:
dPA[X] (N) = и - 1, dpA (М/ХМ)< 1 + dpA (N/XN);
поскольку dpA (N/XN) < п — 1 согласно индуктивному предположению, то отсюда по-
получаем неравенство dpA (М/ХМ) <п, которое и требовалось доказать.
в) Утверждение тривиально, если dpA[x] (М) = ±°°, а также если dpA[x] (М) = 0
(что невозможно, поскольку ХМ = 0). Можно, следовательно, предполагать, что
и > 0. Рассматривая, как и выше, точную последовательность 0 -*
*0, где L — свободный А[Х]-модуль, получаем точную последователь-
последовательность
0 -»• М -> N/XN -> L/XL -> М -> 0.
Согласно б), dpA (N/XN) < dpA {х j (N) = dpA (x, (M) -1 - n - 1; так как dpA (L/XL) =0,
то из предыдущей точной последовательности, применяя два раза следствие 2, с. 143,
получаем, что dpA М <п — 1. Но, согласно а), имеем:
dpA(M)>dpA[x)(M)-l=n-l,
откуда следует утверждение в).
Теорема 1. Предположим, что кольцо А коммутативно '). Тогда
dh(A[X]) = dh(A) + l.
Для всякого А [X] -модуля М имеем (лемма 3) :
< dpA (M) + К dh(A) + 1,
следовательно, dh(A[X]) < dh(A) + 1; обратно, если М -любой А-модуль, то пусть
М - А [X] -модуль, получаемый введением на М структуры А [X] -модуля, для которой
ХМ = 0; тогда (лемма 3)
dpA (М) = dpA[x, (М) - 1 < dh (А) - 1,
таким образом, dh(A) <dh(A [X]) - 1.
1) Требование коммутативности кольца А в этой лемме, а также в теореме 1 и следствии 1 явля-
является излишним. - Примеч. пер.
150 §8. Гомологическая размерность
Следствие 1. Предположим, что кольцо А коммутативно '). Имеем:
dh(A[X,,...,Xwi) = dh(A) + n.
Это вытекает из теоремы с помощью индукции по п.
Следствие 2. Пусть К - поле (соответственно кольцо главных идеалов * или де-
декиндово кольцо», не являющееся полем). Тогда гомологическая размерность
dh(K [X,, ..., XnJ) равна п (соответственно п + 1).
Это следует из того, что dh (К) = 0 (соответственно dh (К) = 1).
7. Гомологическая размерность градуированных модулей
В этом пункте мы предполагаем, что А — градуированное кольцо со степенями > 0.
Обозначим через (А„)„е z его градуировку; имеем, таким образом, что А„ = 0 при
п < 0, Ао — подкольцо в A, Jo = ф А„ — двусторонний идеал в А и градуированное
и > о
факторкольцо A/Jo отождествляется с Ао.
Лемма 4. Пусть М - градуированный А-модуль, ограниченный снизу (с. 61).
Если Ао ® А М = 0, то М = 0.
Так как модуль Ао ®А М изоморфен M/J0M, то зто следует из И, р. 171, prop. 6.
Лемма 5. Пусть М - ограниченный снизу градуированный А-модуль и пусть
' s: A®Ao M/J0M-»M
- градуированный А-гомоморфизм, для которого отображение 1 ®А s:
Ао ®а (А ®А,, M/J0M) ->• А0®АМ представляет собой канонический изоморфизм. Тог-
Тогда гомоморфизм s сюръективен. Если Тог* (Ао, М) = 0, то гомоморфизм s биективен.
Имеем точную последовательность
O->-Kers->-A®Ao
o
причем градуированные А-модули Ker s и Coker x ограничены снизу. Из точной после-
последовательности
1« s
Ао ®А (А®А(| M/J0M) *¦ Ао ®А М -»• Ао ® Cokers -»• 0
заключаем, что Ао ®А Cokers = 0, следовательно, гомоморфизм s сюръективен (лем-
(лемма 4). Имеем теперь точную последовательность:
1 « $
Torf (Ао, М) -> Ао ®А Kers -*¦ Ао ®А (А ®Ао МД0М) »¦ Ао ®А М.
Если ТогА(А0> М) = 0, то Ао ®А Kers = 0 и гомоморфизм s инъективен (лемма 4).
Предложение 8. Пусть М - ограниченный снизу градуированный А-модуль.
а) Следующие условия эквивалентны:
(i) М изоморфен градуированному А-модулю вида А ®А(| N, где N - проективный
(соответственно градуированный свободный) градуированный А0-модуль;
(ii) M - проективный (соответственно градуированный свободный) А-модуль;
(ш) M/J0M - проективный (соответственно градуированный свободный) А0-мо-
дуль и ТогА (Ао, М) = 0.
б) Предположим дополнительно, что М обладает системой порождающих, образован-
образованной из однородных элементов ограниченных степеней. Тогда следующие условия экви-
эквивалентны:
(i) Градуированный А-модуль М обладает конечным композиционным рядом, фак-
факторы которого изоморфны градуированным А-модулям вида А®А(| N, где N - плоский
градуированный А0-модуль;
(ii) M - плоский А-модуль;
(in) M/J0M - плоский А0-модуль и ТогА (Ао, М) =0.
В каждом из двух случаев, имеем, очевидно, импликации: (i) =» (ii) =* (iii). Остает-
Остается, таким образом, доказать импликацию (iii) =* (i).
1) См. сноску на с. 149. - Примеч. пер.
§ 8. Гомологическая размерность 151
а) Градуированный А-модуль А ®А M/J0M представляет собой проективный А-мо-
дуль, так как M/J0M — проективный А0-модуль. Канонический гомоморфизм А-мо-
дулей
p:M-*M/J0M
сюръективен; следовательно, существует градуированный А-гомоморфизм степени
нуль
s: A®A() M/J0M-»-M,
для которого poj(a«x) = ах при а?Аих? М/Jo M.
Согласно лемме 5, s представляет собой изоморфизм А-модулей нз А ®Ао M/J0M на
М, откуда следует (i).
б) Согласно сделанному относительно М предположению, существуют такие целые
числа а, Ь, причем а <Ь, что М порождается множеством ® М». Проводим индук-
а < i < Ь
цию по положительному целому числу Ъ -a.
Если Ъ - а = 0, то М порождается множеством Ма и канонический Ао -гомоморфизм
Н, -»¦ M/J0M биективен; из А-гомоморфизма А ® Ао Н, ->¦ М, определяемого структу-
структурой А-модуля на М, получаем градуированный А-гомоморфизм
s: А®Ао M/J0M-»-M,
удовлетворяющий условию леммы 5. Согласно лемме 5, гомоморфизм s биективен,
откуда следует (i).
В общем случае пусть М^ - (градуированный) А-подмодуль в М, порождаемый
множеством М„, и М'- фактормодуль М/М^. Имеем точную последовательность
из которой, так как, по предположению, ТогА(А0, М) = 0, получаем точные последо-
последовательности
Тог А (Ао, М') -> Tor A (Ао, M<e>) -> 0, F)
0-TorA (Ao,M')-M(a>/JoM(a) ^Л M/JoM ^Л М'ДоМ'-О. G)
Но канонический гомоморфизм Ма ->-М^ Д0М^а^ биективен. Отсюда следует, что го-
гомоморфизм 1 ® /: М^ /J0M^a^ -»¦ M/J0M инъективен и что его образ - прямой множи-
множитель Ао-модуля МД0М. Поэтому из точной последовательности G) вытекает, что
ТогА (Ао, М') =0 и что Ао-модуль М'ДоМ' плоский, так как он изоморфен прямому
множителю Ао-модуля M/J0M. Согласно индуктивному предположению (которое при-
применимо к модулю М', так как он порождается множествами Mj для а < i <b), модуль
М' удовлетворяет условию (i), следовательно, плоский. Из точной последовательнос-
последовательности F) теперь получаем, что ТогА(А0, М*"^) =0;. но M^/J0M^ отождествляется
с Н,, который является плоским Ао-модулем (как прямой множитель Ао -модуля
M/J0M); согласно уже доказанному} градуированный А-модуль М^ изоморфен
А ®Ао Мв и, следовательно, тоже удовлетворяет условию (i), что завершает доказа-
доказательство.
Следствие 1. Пусть М - градуированный А-модуль конечного типа. Если Ао-мо-
Ао-модуль МД0М проективный (соответственно градуированный свободный, соответственно
плоский) и если ТогА (Ао, М) =0, то А-модуль М проективный (соответственно градуи-
градуированный свободный, соответственно плоский).
Следствие 2. Предположим, что всякий проективный Ао-модуль свободен (со-
(соответственно, что кольцо А нётерово и что всякий проективный А0-модуль кднечного
типа свободен). Пусть М - ограниченный снизу градуированный А-модуль (соответст-
(соответственно градуированный А-модуль конечного типа) ¦ и п - такое целое число > 0, что
dpAM < п. Существует точная последовательность градуированных, А-модулей и гра-
градуированных гомоморфизмов степени 0
0-Ц,->!,„_!-...-Lo-M-0,
152 § 8. Гомологическая размерность
в которой Lf - ограниченные снизу свободные градуированные А-модули (соответст-
(соответственно свободные градуированные А-модули конечного типа).
Действительно, существует (с. 61, предложение 11) точная последовательность гра-
градуированных А-модулей и гомоморфизмов степени О
0-I«-I«_I-...-Lo-»M-0,
в которой модули hi ограничены снизу (соответственно конечного типа) при 0 </ <и
и являются градуированными свободными при 0 </ < п - 1.
Так как ёрд (М) <я, то А-модуль Ln проективен, следовательно, Ао ®А Ln — проек-
проективный Ао-модуль, следовательно, градуированный свободный; так как А-модуль
Ь„ ограничен снизу и Ао -модуль Ао ®А Ln градуированный свободный, то Ь„ - градуи-
градуированный свободный модуль (предложение 7).
Следствие 3 (теорема Гильберта о сизигиях). Предположим, что Ао - поле и
что А порождается как А0-алгебрап алгебраически независимыми однородными эле-
элементами степеней > О.Для всякого градуированного Л-модуля М, ограниченного снизу
{соответственно конечного типа), существует точная последовательность градуирован-
градуированных А-модулей и градуированных гомоморфизмов степени О
О -> Ц, -*Ln_1-*... -> Lo -> М -> О,
в которой L/ - свободные градуированные модули, ограниченные снизу (соответствен-
(соответственно конечного типа).
Действительно, dh (А) = и согласно теореме 1, с. 149, и можно применить следствие 2.
Замечание. Следствие 2 применимо равным образом к следующим случаям:
а) Ао — кольцо главных идеалов и А = Ао [X],..., Х„_ t ],
б) * Ао - регулярное локальное нётерово кольцо размерности г и А = Ао [Xj, . . .
• • • > Xn_r]*.
Следствие 4. Предположим, что Ао - полупростое кольцо. Пусть М - ограни-
ограниченный снизу градуированный А-модуль и п — целое число > 0. Для того чтобы
dpA (М) <и; необходимо и достаточно, чтобы Tor A+1 (Ао, М) =0.
Если dpA (М) < и, то Тог^+1 (Ао, М) = 0 (с. 142, лемма 1). Обратно, пусть 0 ->К -*¦
-> Ь„_ 1 ->. . . -> Li -> Lo -> М -> 0 - точная последовательность ограниченных снизу граду-
градуированных А-модулей, в которой Lo, • • • . Ь„_ i — свободные градуированные модули
(с. 61, предложение 11); согласно следствию 3, с. 136, равенство Tor^+i (Ао, М) = 0
влечет за собой, что Тог^(А0, К) = 0; так как КДоК — проективный А0-модуль (по-
(поскольку кольцо Ао полупростое, см. предложение 6, с. 147), А-модуль К проективен со-
согласно предложению 8 (с. 150) и dpA(M) < п.
Следствие 5. Предположим, что кольцо Ао полупростое. Если Tor?+1 (Ао, Ао ) = 0,
го dpA (М) <и для всякого ограниченного снизу градуированного А-модуля М.
Обозначим через А0 градуированное кольцо, противоположное А; имеем (А°)о =
= (Ао)°, следовательно, кольцо (А°)о полупростое (VIII, §5, n°l, remarque 3; Алгеб-
Алгебра, VIII, с. 167, предложение 2). Так как ТогД^Ао, Ао) =0, то dpA (A%s) <я согласно
следствию 4; это влечет, что ТогД i (М°, Ао ) =0 для всякого А-модуля М, следователь-
следовательно, Тог?+1 (Ао, М) = 0, и можно применить следствие 4.
Упражнения
1. Пусть и: А -» В - гомоморфизм колец, М - В-модуль. Доказать неравенство
dPA (MX dpB (M) + dpA (Bj).
(Провести индукцию по dpB(M) или использовать спектральную последовательность из упраж-
упражнения б, с. 102.)
2. Предположим, что кольцо- А нётерово; пусть М - А-модуль конечного типа проективной раз-
размерности п. Показать, что ^-модуль Ext A (M, А) ненулевой.
3. Пусть я - целое .число > 1. Показать, что dh(Mn(A)) = dh (А) (ср. VIII, § 4). _
4. Пусть М - А-модуль. Инъективной размерностью модуля М называется нижняя грань в Z длин
его инъективных резольвент; она обозначаеся через diA (M).
Если п - целое число > 0, показать*, что следующие условия эквивалентны:
a)diA(M)<n;
§ 8. Гомологическая размерность 153
C) Ext д (N, М) = 0 для всякого А-модуля N и всякого целого г > п;
у) ExtA+1 (N, М) = 0 для всякого А-модуля N;
6) ExtA (N, М) = 0 для всякого моногенного А-модуля N;
е) для всякой точной последовательности 0 -* М ->I0 -*¦. . . ->l""~ -* N -*0, в которой модули I
инъективны, модуль N ннъективен.
5. Пусть (М,-);е е ~ некоторое семейство А-модулей
а) Показать, что diA ( П М;) = sup diA (M/).
fSE (€Е
б) Если кольцо А нётерово, показать, что diA( ® М;)= sup diA (M,-).
*еЕ (?Е
в) Если diA ( Ф М( ) = sup diA (M;) для всякого семейства А-модулей (M;);g е>токольЦ° А
fSE fSE
нётерово (использовать упражнение 21, с. 27).
6.Пусть1 - множество всех левых идеалов кольца А. Показать, что dh(A) =sup dpA(A/e).
eel
7. Пусть М - А-модуль. Плоской размерностью модуля М называется нижняя грань в Z длин его
плоских резольвент; она обозначается через dplA(M).
а) Если п - целое число > О, то показать, что следующие условия эквиваленты:
a)dplA(M)«n;
C) Torr (N, М) = 0 для всякого правого А-модуля N и всякого целого г> п;
у) Тог„+1 (N, М) = 0 для всякого правого А-модуля N;
8) Тог?+1 (N, М) = 0 для всякого моногенного правого А-модуля N;
е) для всякой точной последовательности 0 -»К ->¦ Pn_j -»¦...->¦ Р„ -»¦ М ->¦ 0, в которой модули Pfc
плоские, модуль К плоский.
б) Показать, что dplA (М) < dpA (М); если кольцо А нётерово и М - модуль конечного типа,
то имеет место равенство.
в) Пусть (Na)a e j - индуктивная система А-модулей и N - ее индуктивный предел. Доказать
"еравенство:
dplA (N) < sup dplA (No).
8. tor-размерностью кольца А называется верхняя грань в Z множества целых чисел п, для кото-
которых существуют левый А-модуль N и правый А-модуль М такие, что Тог „ (М, N) Ф 0; она обознача-
обозначается через td(A).
а) Пусть п - целое число > 0. Показать, что следующие условия эквивалентны:
a)td(A) <n;
C) dplA (М) < п (упражнение 7) для всякого А-модуля М;
у) Ф1а (М) * " Для всякого моногенного А-модуля М.
б) Показать, что td(A) =td(A°) и td(A) <dh(A); если кольцо А нётерово слева, то имеет мес-
место равенство.
Ц 9. а) Показать, что следующие условия эквивалентны:
а) Всякий (левый) идеал конечного типа в А является проективным А-модулем.
C) Всякий подмодуль конечного типа в проективном А-модуле проектнвен.
7) td(A) <1 (упражнение 8) и кольцо А когерентно (с. 67, упражнение 11).
8) Для всякого множества I всякий подмодуль в А1 плоский.
б) Предположим, что кольцо А удовлетворяет эквивалентным условиям из пункта а). Доказать,
что всякий проективный А-модуль изоморфен прямой сумме идеалов конечного типа кольца А.
(Рассмотреть сначала случай модуля конечного типа; затем рассмотреть случай модуля, обладающе-
обладающего счетной системой порождающих, замечая, что всякий элемент проективного А-модуля Р содер-
содержится в прямом множителе конечного типа модуля Р. Общий случай вывести из теоремы Капланс-
кого (II, р. 183, exercice 2).)
10. Предположим, что кольцо А целостное; пусть К - его поле частных. Идеал Й кольца А назы-
называется обратимым, если существуют такие элементы х,,...,% е К. что хгйс А для 1 </ <п и
2х,-а=А.
а) Показать, что всякий обратимый идеал имеет конечный тип.
б) Показать, что ненулевой идеал кольца А представляет србой проективный А-модуль в том и
только том случае, если он обратим.
в) Пусть Л - обратимый идеал кольца A, D- делимый А-модуль. Доказать, что txtA(A/ft, D) =0
приг > 1.
11. а) Предположить, что кольцо А целостное. Показать, что условия а) -8) из упражнения 9 эк-
эквивалентны еще следующим условиям:
г) Всякий А-модуль конечного типа без кручения проективен.
J) Всякий А-модуль без кручения плоский.
п) Всякий подмодуль плоского А-модуля плоский.
(Использовать упражнение 13, с. 26.)
Целостное кольцо, удовлетворяющее этим условиям, называется прюферовым.
11. Н. Бурбаки
154 % 8. Гомологическая размерность
б) Пусть В - целостное кольцо, представляющее собой объединение возрастающего направлен-
направленного семейства прюферовых подколец. Показать, что кольцо В прюферово.
* в) Показать, что кольцо всех целых алгебраических чисел прюферово. *
12. Предположим, что кольцо А целостное. Показать, что следующие условия эквивалентны:
a) dh(A) <1.
0) Всякий делимый А-модуль инъективен.
¦у) Кольцо А прюферово (упражнение 11) и нётерово.
(Чтобы доказать, что из а) следует 0), использовать упражнение 10.)
Когда эти условия выполняются, А называют дедекиндовым кольцом.
13. Предположим, что кольцо А нётерово слева и справа. Показать, что следующие условия эк-
эквивалентны :
a) dh(A) <2.
0) Для любых целых чисел р, q и всякого А-линейного отображения и: А**-> А* ядро и представ-
представляет собой проективный А-модуль.
у) Модуль, сопряженный к произвольному А-модулю конечного типа, проективен.
14. Пусть х - элемент кольца А, регулярный слева.
а) Показать, что идеал хА двусторонний, если и только если существует эндоморфизм о коль-
кольца А, для которого ах = хо (о) при любом а е А.
б) Предполагаем, далее, что выполнены условия пункта а). Пусть М - А-модуль, для которого
хМ = 0. Доказать равенство с1рд (М) = dpA/xA (М) + 1 (можно использовать спектральную последо-
последовательность из упражнения 6, г), с. 102).
в) Предположим, что х принадлежит радикалу кольца А и что А иётерово. Пусть N - А-модуль
конечного типа, для которого гомотетия относительно х инъективна в N. Показать, что dpA (N) =
d(NN)
/
г) В условиях пункта в) показать, что dh(A) = dh(A/xA) + 1.
15. Пусть о - автоморфизм кольца А.
а) Обозначим через Аа[Х] кольцо, определенное в VIII, § 1, п°3. Показать, что
dh(Aa[X]) = dh(A) + l.
(Неравенство dh(Aa[X]) > dh(A) + 1 следует из упражнения 14, б); для получения противопо-
противоположного неравенства, взять за образец доказательство леммы 3, а), с. 149.)
б) Обозначим через Аа[[Х] ] кольцо, определенное в IV, §4,exercice8 (Алгебра, IV, с. 80-81,
упражнение 10). Показать, что если кольцо А нётерово, то dh(Aa[[X] ]) =dh(A) + 1 (использовать
упражнение 14).
16. Пусть А - локальное кольцо, нётерово справа и слева, Ш- его максимальный идеал; обозна-
обозначим через ks (соответственно к^) левый (соответственно правый) А-модуль А/Ш. Пусть М - левый
А-модуль конечного типа ил- целое число.
а) Показать, что dpA (М) < л, если и только если Tor ?+1 (kj, M) = 0 (использовать упражнение 4,
с. 86).
б) Показать, что dhA (А) = dpA(fcs); для того чтобы dh (А) < л, необходимо и достаточно, чтобы
ToiA+1 ikd, ks) = 0.
в) Пусть х - элемент из центра кольца А, принадлежащий Ш, причем гомотетия относительно х
в М инъективна. Показать, что dpA (М/хМ) = dpA (М) + 1 (см. также упражнение 14).
17. Пусть М - А-модуль, I - вполне упорядоченное множество, (Ma)a e I - возрастающее семей-
семейство подмодулей в М, для которого М = U Ыа. Положим Н'а = О Мд для aEl.
aeI 0< a
а) Доказать неравенство dpA (М) < sup dpA (Ыа/Ы'а).
ei
б) Предположим, что существует целое число л, для которого dpA(M^) < л при всяком а е I.
Показать, что
dpA(M)<n + l.
18. а) Пусть (Ma)ag ] - индуктивная система А-модулей относительно счетного множества I,
М - ее предел, л - целое число > 0. Показать, чтч если dpA (Ma) < л для всякого a 6 I, то dpA (M) <
< л + 1 (свести к случаю л = 0 и I = N, затем написать точную последовательность 0 -<¦© М„ -*® М„ ->
л л
-М-0).
б) Пусть Р - плоский модуль, обладающий представлением А1' -«• А* ' -*Р-*0, где множест-
множество S счетное. Вывести из а), что dpA (Р) < 1.
в) Предположим, что всякий левый идеал кольца А порождается счетным множеством элемен-
элементов. Доказать, что dpA(M) <dplA(M) + 1 для всякого А-модуля М, порождаемого счетным семейст-
семейством элементов. Вывести отсюда неравенства: dh(A) <td(A) +1 и |dh(A) -dh(A°)| <1. (Исполь-
(Использовать упражнение 12, с. 67, упражнение 8, с. 153, а также пункт б).)
Ц 19. а) Пусть л - целое число > 0, (Ma)a е I - индуктивная система А-модулей, М - ее предел.
Предположим, что Card(I) <К„ (Е, III, р. 87,exercice 10; Теория множеств, III, с. 231, упражне-
упражнение 10) и что существует целое число г, для которого dpA (Ма) <г при всяком а е I. Показать, что
dpA(M) < г + л + 1 (провести индукцию по л, используя упражнение 18, а), и упражнение 17).
§ 8. Гомологическая размерность 155
б) Предположим, что всякий левый идеал кольца А порождается семейством элементов мощнос-
мощности < К „. Доказать, что dpA(M) < dplA(M) +« + 1 для всякого А-модуля М, порождаемого семейст-
семейством элементов мощности < Кп. Вывести отсюда неравенства
dh(A)<td(A) + « + l и |dh(A)-dh(A°)|<« + l.
Ч 20. Пусть R - кольцо главных идеалов, К - его поле частных. Обозначим через В подкольцо
в М, (К), образованное матрицами ( V, где а е R, х, у е К.
\ ™ У i
а) Показать, что кольцо В нётерово слева, но не является нётеровым справа.
б) Показать, что dh(B) = 1, a dh(B° ) = 2.
121. Пусть t - радикал кольца А. Показать, что следующие условия эквивалентны:
а) Кольцо A/1 иолупросто и для всякой последовательности (ап) я > i элементов из t сущест-
существует такое целое число я, что в,...а„ = 0.
0) Всякий А-модуль обладает проективным накрытием.
у) dplA(M) = dpA(M) (с. 153, упражнение 7) для всякого А-модуля М.
б) Для всякой индуктивной системы А-модулей (Ма, f)
dpA( Urn Ма) < sup dpA(Ma).
е) Всякий плоский А-модуль проектйвен.
у>) Всякая убывающая последовательность моногенных правых идеалов кольца А стационарна.
(Для доказательств эквивалентности условий а) и 0) см. VIII, § 8, exercice 26. Чтобы показать,
что из 0) следует у), заметить, что М обладает минимальной проективной резольвентой Р и что мо-
модуль ?п/ Г Р„ изоморфен Тог„ (А/ Г , М). Для доказательства импликации е) =»у>) пусть A„)„ > 1 -
убывающая последовательность моногенных правых идеалов, так что
1„=д, ... а„А, где а,-6 А.
В свободном модуле А*- ' рассмотреть подмодуль Np> порождаемый элементами е1—а1ег, ...
..., ер — врвр+i. Вывестинзе), 4ToN=uNp представляет собой прямой множитель в А^; отсюда
сделать вывод, что In+i = In при достаточно большом п. Для доказательства импликации у>) =*а)
использовать VIII, § 9, exercice 12.)
22. Показать, что следующие условия эквивалентны:
а) Всякий конечно представимый А-модуль конечной проективной размерности проектйвен.
0) Всякий ннъективный А-гомоморфиэм Ар -¦ А4 допускает ретракцию.
т) Для всякого правого идеала конечного типа 4, отличного от А, существует ненулевой эле-
элемент хе А, для которого х а = 0.
5) Всякий конечно представимый простой правый А-модуль изоморфен (минимальному) право-
правому идеалу кольца А.
(Заметить, что условие 7) эквивалентно условию 0) в случае р = 1.)
f 23. Показать, что следующие условия эквивалентны:
а) Всякий А-модуль конечной проективной размерности проектйвен.
C) Кольцо А удовлетворяет эквивалентным условиям упражнения 21, и для всякого правого
идеала конечного типа в , отличного от А, существует элемент х Ф 0 в А, для которого хй =0.
т) Кольцо А удовлетворяет эквивалентным условиям упражнения 21, н всякий простой А-мо-
А-модуль является фактормодулем ннъективного А-модуля,
(Используя доказательство упражнения 21, показать, что из условия а) следует, что всякая убы-
убывающая последовательность моногенных правых идеалов в А стационарна. Затем вывести из упраж-
упражнения 22 эквивалентность условий а) и 0). Чтобы увидеть, что нз условия а) следует 7), рассмот-
рассмотреть проективное накрытие Р простого модуля М, ннъективный модуль I, содержащий Р, и проек-
проективное накрытие Q модуля I; определить надлежащий А-гомоморфиэм из Q в Р и получить отсюда
сюръекцию модуля I на М. Чтобы вывести, что из 7) следует а), показать, что А-модуль М, для ко-
которого dpA(M) < 1, проектйвен, рассмотрев проективное накрытие р: Р-*М н сюръекцию моду-
модуля Кег р на некоторый простой модуль.)
24. Обозначим через dhf(A) (соответственно dif(A), соответственно tdf(A)) верхнюю грань
проективных (соответственно ннъективных, соответственно плоских) размерностей А-модулей, для
которых эта размерность конечна. Если А имеет конечную гомологическую размерность, то
dhf (A) = dif (A) =dh(A) н tdf(A) =td(A). Если td(A) < ~,то tdf(A) =td(A).
а) Показать, что tdf (A) < dif (A° ); если кольцо А нётерово слева, то имеет место равенство
(использовать упражнение 3, с. 113).
6) Предположим, что кольцо А нётерово слева. Показать, что dhf (A) < diA(Aj). Если размер-
размерности diA (Aj) и dif (А) конечны, то показать, что они равны (использовать упражнение 2, с. 152).
в) Пусть G - конечная группа, не сводящаяся к одному нейтральному элементу, А - коль-
кольцо Z ( '. Показать, что
dh(A)-+~, dhf(A) = dif(A) = tdf(A) = l, diA(A,) =+~.
(ср. упражнение 20, с. 117).
11'
156 % 8. Гомологическая размерность
г) Предположим, что кольцо А самоинъективно (с. 28, упражнение 26), но не полупросто. Пока-
Показать, что всякий непроективный А-модуль имеет бесконечные проективную и инъективную размер-
размерности. Вывести отсюда, что dh(A) = + ~ , dhf(A) = dif (A) = tdf(A) = diA(A,) = 0.
25. Обозначим через Ае &-алгебру A sk A°, и будем рассматривать А как левый Ае-модуль.
Положим
dafc(A) = dpAe(A).
Если п - целое число > 0, то неравенство dafc(A) < и эквивалентно, таким образом, обращению
в нуль Л-модуля Hn+1 (А, М) для всякого (А, А)-бимодуля М (с. 119, упражнение 26). Имеем:
dafc(A) =da*(A°).
а) Показать, что da* (М„(Л)) =0 и dafc(*[X, Х„]) =и для всякого п> 0.
б) Если к - поле, то da^(A) = 0, если и только если Л-алгебра А абсолютно лолупростая
(см. VIII, § 11, п° 3, th.2; Алгебра, VIII, с. 223, определение 2).
в) Пусть М - свободный Л-модуль. Доказать, что da*(Tfc(M)) = 1 (если (<?/)/е i - базис моду-
модуля М, то доказать, что элементы (е,- в 1 - 1 в ef) образуют базис левого идеала алгебры Ае, служа-
служащего ядром умножения А « к А0 -* А, где А = Т^ (М)).
г) Предполагаем далее, что fc-модуль А проективен. Пусть р: к -* к' - гомоморфизм коммута-
коммутативных колец; показать, что da^CA » *&')<аа*(А).' Если гомоморфизм р инъективен и р(к) -
прямой множитель Л-модуля к', то имеет место равенство (использовать упражнение 26, в),
с. 119).
д) Пусть В - вторая Л-алгебра (ассоциативная и унитарная), проективная над к. Показать, что
dafc (А «к В) < da*(A) + dafc (В).
Если, кроме того, к - поле и алгебры А и В конечномерны над к, то имеет место равенство (исполь-
(использовать упражнение 26, г), с. 119—120).
е) Предположим, что к - поле. Доказать неравенства: dh(A) < dafc(A) и dh(A°) < dafc(A)
(ср. упражнение 26, д), с 120).
26. Пусть А - пополненная А:-алгебра (с. 120, упражнение 27); предположим, что существует
гомоморфизм р: К -* Ае, удовлетворяющий условиям упражнения 27, в), с. 120. Показать, что
dafc (A) = dpA(&); если, кроме того, к - поле, то da^(A) = dpA(fc) = dh (A) = dh (A0 ). (Использовать
упражнение 27, б) ив), с. 120, и упражнение 26, д), с. 120.) В частности, если V - ненулевое вектор-
векторное ^-пространство, то dh Tfc(V) =1.
*27. Предположим, что к - поле. Пусть й - алгебра Ли над к размерности п, U - ее оберты-
обертывающая алгебра. Показать, что dh U = и. (Использовать упражнение 26, упражнение 27,г), с. 120, и
упражнение 28, в), с. 121.) ,
1 28. Пусть G - группа. Когомологической размерностью группы G называется проективная
размерность Z ^ '-модуля Z; она обозначается через dc(G). Если и - целое число, то, следователь-
следовательно, dc(G) <п, если и только если H'(G, М) = 0 для всякого Z (°) -модулям и всякого q > п.
а) Доказать, что daz(Z^ ') =dc(G) (использовать упражнение 26 н упражнение 27, г), с. 120).
б) Если G - свободная группа, не сводящаяся к нейтральному элементу, то dc (G) = 1.
в) Пусть Н - подгруппа в G; доказать неравенство: dc(H) < dc(G). Если dc(G) < ~ и Н имеет
конечный индекс в G, то показать, что dc (Н) = dc (G) (показать, что для q = dc (G) гомоморфизм
t4: H'(H,M) - H'(G.M)
из упражнения 14, с. 115, сюръективеи).
г) Показать, что когомологическая размерность конечной группы, не сводящейся к нейтрально-
нейтральному элементу, бесконечная. Вывести отсюда, что если dc(G) < ~, то всякий элемент группы G,
отличный от нейтрального элемента, имеет бесконечный порядок (в этом случае говорят, что G -
группа без кручения).
д) Если G - группа без кручения и Н - подгруппа конечного индекса в G, то показать, что
dc(H) = dc(G) . (Если (Р, р) - проективная резольвента Z^H'-модуля Z и если (G : Н) = и, то опре-
определить на градуированном Z^H>-модуле TZ(P) структуру г^-комплекса таким способом, чтобы
пара (Т^О*), рв") была проективной резольвентой Z^G' -модуля Z.)
е) Если Н - нормальная подгруппа в G, то показать, что
dc(G) < dc(H) + dc(G/H).
§ 9. Комплексы Козюля 157
§ 9. КОМПЛЕКСЫ КОЗЮЛЯ
В этом параграфе все рассматриваемые кольца коммутативны.
1. Комплексы К(«), К.(и, С), К (и, С)
Пусть А — кольцо, L - А-модуль, и: L -> А - линейная форма и A(L) - внешняя
алгебра А-модуля L. Для х G A(L) обозначим через du(x) внутреннее произведение
х L и (III, р. 161, exemple; см. также Алгебра, III, с. 442-445). Согласно III, р. 162,
формула F0), имеем:
л
<*„(«, Л... Ле„)= 2 (-1I+1м(е/)е1Л...Ле1_1Ле1+1Л... Леп A)
i = 1
для в\, ..., е„ G L. Согласно III, р. 164 и 165,отображение du: A(L) -*A(L) представ-
представляет собой антидифференцирование степени -1, имеющее нулевой квадрат. Это единст-
единственное антидифференцирование А-алгебры A(L), продолжающее отображение и:
A'(L)-*A°(L).
Определение 1. Комплекс (A(L), du) обозначается через КА(м) или К(м).
Следует обратить внимание, что К„(и) = А"(и) = К~"(и).
Ясно, что комплекс К(и) нулевой справа и что Но(К(и)) = Coker (и) = A/<J , где
q - идеал m(L) в А.
Для всякого комплекса А-модулей С положим:
КА(м, С) = С ®А КА(м), КА(м, С) = HomgrA(KA(«), С),
НА(м, С) = Н(С®А К>)), НА(м, С) = H(HomgrA(K>), С)),
НА(м,С)= НГ(С®А КА(и)), НХ(и,С) = H'(HomgrA(K>), С)).
Имеем, следовательно, канонические гомоморфизмы А-модулей (с. 71 и с. 89):
7о: H0(C)®AA/q -¦ НА(и,С),
Х°: Hi(ii,C)- HomA(A/q,H°(C)).
Лемма 1. Если комплекс С нулевой справа (соответственно слева), то комплекс
КА(м, С) (соответственно КА(м, С)) нулевой справа (соответственно слева) и отобра-
отображение у 0 (соответственно Х°) биективно.
Это следует из предложения 1, с. 71, и предложения 1, с. 89.
Предложение 1. Пусть x6L; обозначим через Rx: yt+x А у умножение слева
на х в алгебре A(L). Тогда du °RX + RX° du=u(x) • 1д(ь) = "(*)a(L)-
Действительно, (d,, о Rx + Rx о du)(y) = du(xAy) +x Adu(y)\ так как du- анти-
антидифференцирование, то du(x Ay)+x Adu(y) = du(x)Ay = u(x) -y.
Следствие 1. Если отображение и сюръективно, то комплекс К(м) гомотопен
нулю (с. 38), так же как и комплексы КА(и, С) и K\(v, С) для всякого комплекса С.
Действительно, существует элемент х G L, для которого и(х) = 1. Поэтому ком-
комплекс К (и) гомотопен нулю согласно предложению 1, следовательно, тем же свойством
обладают комплексы КА(и, С) (с. 73, предложение 3) и КА(м, с) (с. 90,предло-
90,предложение 3).
Следствие 2. Пусть С - комплекс, Апп(С) - его аннулятор. Тогда идеал
q + Ann(C) аннулирует НА(м, С) и НА(м, С).
Для всякого X ? <\ гомотетия Хк (и) гомотопна иулю согласно предложению 1, сле-
следовательно, тем же свойством обладают и отображения 1 с ® X К(и) и Homgr (Xr(u) ,1с).
согласно предложению 3, с. 73, и предложению 3, с. 90; отсюда вытекает, что эле-
158 § 9. Комплексы Козюля
мент X аннулирует Н,(и,С) иН* (и,С). Если\?Апп(С),то отображения 1к(м) ®Хс и
Homgr(lK(u), Xc) нулевые.
Предположим, что модуль L проективен (соответственно, что комплекс К(м) ацик-
ацикличен в степенях > 0). Тогда комплекс К(м) проективен согласно III, р. 87, cor. 2 (со-
(соответственно представляет собой резольвенту для A/q); согласно изложенному на
с. 104 (соответственно на с. ЮЗ) имеем, следовательно, для всякого А-модуля М го-
гомоморфизмы
НА(н, М) ¦* Тог А(А/ „ , М), ExtA( А/ <,, М) ¦* Нд(и, М), B)
соответственно
TorА(A/q , М) - НА(«, М), НА(« , М) ¦* ExtA(A/ 4 , М). C)
Если модуль L проективен и комплекс К(м) ацикличен в степенях > 0, то гомомор-
гомоморфизмы B) и C) биективны и взаимно обратны (с. 104, предложение 1).
Предложение 2. Пусть (L,),- e i - семейство А-модулей, где множество I
конечно и линейно упорядочено. Пусть и - линейная форма на ® L/, щ - ее ограни-
IG I
чение на L,-. Канонический изоморфизм А-алгебр (III, р. 84)
g: *® A(L,) ¦* А( в. U)
Fi ie i
определяет изоморфизм комплекса ® К(«,) (с. 72) на комплекс К (и).
/е 1
Действительно, согласно замечанию 4, с. 73, дифференциал D комплекса ® К(м,)
is i
представляет собой антидифференцирование; антидифференцирования du и g о D о g~*
алгебры A(®L/) совпадают на ®L; с отображением х \-* и(х)\ модуля «L( в
А( ® L/) и, следовательно, равны (III, р. 128, cor.).
Пусть С и С' — два комплекса А-модулей. Имеем (с. 72 и с. 100) канонические
изоморфизмы комплексов
С®а(С'®аК(«))- (С*аС')*аК(и),
HomgrA(C', HomgrA(K(«), С)) ¦* HomgrA(C'®A K(«), С),
т.е. изоморфизмы
С®А КА(«, С1) - КА(«, С ®А С), D)
HomgrA(C\ КА(и, С)) ¦* HomgrA(KA(« , С'), С). E)
В D) и E) возьмем С' = К(м'), где и': V -*¦ А — линейная форма на некотором
А-модуле L', и заметим,что комплексКА(м, К(м')),который равен,по определению,
К(ь') вА К(м), отождествляется, согласно предложению 2, с К(и' ®и), где м'®м:
L' ® L -»• А — линейная форма (*', х) i->m' (x') +и(х). Получаем поэтому изоморфиз-
изоморфизмы комплексов
Ка(м'ф«, С) ¦* КА(«, КА(м', С)), F)
КА(«', КА(и, С)) ¦* КА(и' в и, С). G)
Переходя к гомологии, получаем отсюда изоморфизмы А-модулей:
НА(м'ем,С) _> НА(м,.КА(м',С)), г € Z,
\С» — НА(и'ви,С), r€Z.
§ 9. Комплексы Козюля 159
Отметим, наконец, что гомоморфизм, получаемый из произведения в алгебре A(L),
т: KA(u)®AKA(u)-»KA(u),
представляет собой морфизм комплексов (так как du — антидифференцирование).
Предполагая модуль L свободным ранга п и беря композицию с морфизмом комплек-
комплексов КА(«) -»¦ Л"Ь(-л), который является тождественным в степени и, получаем
морфизм комплексов
х: КА(«) ®А КА(«) -> ЛлЦ-и);
этому морфизму канонически соответствует, согласно предложению 12, с. 100, мор-
морфизм комплексов
V КА(«) -> HomgrA(KA(u), Л"Ц-л)),
который биективен (III, р. 87, формула B0); см. также Алгебра, III, с. 445-448). Для
всякого комплекса С отсюда получаем, беря композицию, изоморфизм
КА(и,С) = С®А КА(«) -^-^С в HomgrA(KA(«), А"Ц-и)) ->
-> HomgrA(KA(u),C®AAnL(-/i)) = KA(u, С®АЛ"Ц-и)).
При переходе к гомологии имеем, следовательно, канонические изоморфизмы
HA(u,C)^ H^-'(U,C®A A"L), r€Z. (8)
Замечания. 1. * Все предшествующее остается справедливым, когда L - проек-
проективный модуль ранга п. *
2. Так как L — свободный модуль ранга п, то модуль Л" L изоморфен А, и мы имеем
неканонические изоморфизмы НА(«, С) -> НА~'(м,С).
2. Функториальность
Пусть /: С -> С' - морфизм комплексов. Обозначим через
КА(«, /): КА(«,С)->КА(«,С),
КА(«, /): КА(«,С)-> КА(«,С)
морфизмы комплексов /® 1к(и) и HomgrA(lK(M), /).
Обозначим через НА(и,/): НА(и, С)->НА(и, С'), НА(и, /): НА(и,С)-* НА(и,С'),
НА(«,/): НА(«,С)^НА(«,С), НА(«,/): НА(«,С)^НА(«,С) морфизмы, индуци-
индуцируемые в гомологии. Отображение /-> КА(ы, /) линейно; если g: C'-> С" - другой
морфизм комплексов, то КА(«, g° f) = KA(«, g) о КА(«, /); аналогично для КА, НА,
НА, НА, НХ.
f g
Пусть 0 -+ С' -+ С -> С" -+ 0 — точная последовательность комплексов.
а) Предположим, что модуль L плоский; тогда A(L) - плоский модуль (с. 18, след-
следствие) . Поэтому последовательность
0 ^ КА(и,С) К-("'/^ кА(и, С) К'(И'^КА(и,С")->0
точная, и она определяет (с. 35) гомологическую точную последовательность
... - HA(U,C) ^^U нА(И)с) -^^ нА(„,с") -^ нА_1(„, С) ->...
160 § 9. Комплексы Козюля
б) Предположим, что модуль L проективный; тогда A(L) - проективный модуль.
Поэтому последовательность
, КА(и,Я . КА(и, g) . „
0 - КА(м,С') >КА(м,С) > КА(м,С") - 0
точная, и она определяет гомологическую точную последовательность
...-hJUm.C) н-^Л Нл(и,с) н ("'g> нА(ц,с")-^-> нА+1(",с')-^...
Пусть р.: А -* А' - гомоморфизм колец, L' - А'-модуль А' ®А L, и': \J -> А' -
линейная форма 1 ® м. Биективный канонический гомоморфизм (III, р. 83, prop. 8)
ф АА. (А' ®а L) -* А' ®А A(L)
представляет собой изоморфизм комплексов А'-модулей. Отсюда:
1) для всякого комплекса А'-модулей С' получаем изоморфизм комплексов
А-модулей
кА7ы' г'1 -> кА(и с'\
беря композицию
где i/) — каноническая биекция (III, p. 85, prop. 14);
2) для всякого комплекса А-модулей С получаем изоморфизм комплексов
А'-модулей
КА'(м\ А'®а С) -> А'®А КА(м,С),
откуда возникают гомоморфизмы А'-модулей
А'®АНА(м,С) -> НА'(м',А'®АС),
которые биективны, когда А' - плоский модуль над А (с. 74, следствие 2).
Пусть L' — А-модуль, и': L -* А — линейная форма, /: L -»-L' — А-гомоморфизм,
для которого и' о f= и.
Из III, р. 161, формула E5), следует, что гомоморфизм Л(/): A(L) -»-A(L') удов-
удовлетворяет соотношению du° Л(/) = Л(/) ° du, и, следовательно, определяет мор-
физм комплексов Л(м).: КА(м) -* КА(м'). Если С — А-комгшекс,то получаем мор-
физмы комплексов
1с®Л(м):КА(м,С)->КА(м',С) и Homgr(A(M), lc) : КА(и', С)-* КА(м, С).
Если отображение / биективно, то эти морфизмы являются изоморфизмами.
3. Пример 1: комплекс S(L) ®д A(L)
Пусть А- кольцо, L-А-модуль, S(L)-его симметрическая алгебра, S(L)«A L—S(L)-
модуль, получаемый посредством расширения скаляров, и: S(L) ®A L ->S(L) -линей-
-линейная форма, для которой u(s ® х) = sx при s G S(L),xe L. При каноническом изомор-
изоморфизме S(L) -модулей (III, р. 83, prop. 8)
AS(L)(S(L)®A L) - S(L)®AA(L)
— дифференциал комплекса К ^l'(m) превращается в отображение
d: S(L)®AA(L) -* S(L)*AA(L),
§ 9. Комплексы Козюля t6t
при котором для х,,.... хр, ух,..., yq G L имеем
d((Xl ... хр)в0>, Л... A^))= 2 (-1У+1Л*, ... хр»(У1Л... Л>>,_, Л
1= 1
Л... Л7,). (9)
Отметим, что d отображает А-модуль SP(L) ®А A" (L) в SP+1(L) ®А A.q~l(L) сле-
следовательно, комплекс А-модулей S(L) ®А A(L) распадается в прямую сумму ком-
комплексов, описываемых следующими диаграммами:
(?„): O^S°L®AA"L^S1L«»AA"-1L^ ... -> S"L®A A°L-> О, «€N.
Если А-модуль L представляет собой прямую сумму конечного семейства (L,),-ei,
где множество I линейно упорядочено, то каноническая биекция
*® (S(L,)®aA(L,)) - S(L)®AA(L)
i e I
представляет собой изоморфизм комплексов А-модулей (это следует из предложения 2
(с. 158) или из формулы (9).
Предложение 3. Если А-модуль L плоский, то последовательности (§„) выше
являются точными при п > 0.
а) Отметим сначала, что если pL обозначает композицию гомоморфизмов
S(L)®AA(L) S. S°(L)®AA°(L) ¦? А,
где а - тензорное произведение канонических проекций, а 0 - канонический изомор-
изоморфизм, то нужно доказать, что отображение H(pL) биективно.
б) Если L = 0 или если L = А, то предложение очевидно.
в) Предположим, что L - свободный модуль конечного ранга; представим его как
прямую сумму Li ® ... з» Ln свободных А-модулей ранга 1. Согласно замечанию, пред-
предшествующему предложению, комплекс S(L)®A A(L) изоморфен тензорному и свобод-
свободных комплексов S(L,-)®A A(L^), гомология которых, согласно б), представляет со-
собой свободный модуль. Согласно следствию 4, с. 84, канонический гомоморфизм
п
Т. 9 H(S(L,)®AA(L,)) -> H(S(L)®AA(L))
i = i
биективен. Согласно б),отображение Н(рц.) биективно для всякого i. Так как
п
» H(pl,) = H(pL)®у, то гомоморфизм H(pL) биективен.
/= 1
г) В общем случае L представляет собой индуктивный предел направленной индук-
индуктивной системы (L,),- g j свободных модулей конечного ранга (с. 18, теорема 1). Так
как канонический биективный гомоморфизм
limS(L,)«AA(L,) - S(L)®AA(L)
представляет собой изоморфизм комплексов, то предложение следует из предложе-
предложения 1, с. 34.
Замечания. 1. Мы увидим ниже (с. 165, пример) другое доказательство части в)
предложения 3.
2. Если А — Q-алгебра, то заключение предложения 3 остается справедливым без огра-
ограничения на L (см. с. 173, упражнение 1).
*3. Пусть G - группа и р: G -+ GL(L) — линейное представление группы G в пло-
плоском А-модуле L. Тогда (ёп) представляют собой точные последовательности линей-
162 § 9. Комплексы Козюля
ных представлений. Предположим, что L — проективный модуль конечного типа и обо-
обозначим через Ra(G) кольцо представленной группы G в проективных А-модулях конеч-
конечного типа. Из предложения 3 следует, что в RA(G) имеют место соотношения
л
2 (-1)'[S'(L)][-AI|-'(L)] = 0- и > 0. (Ю)
/= о
Рассматривая формальные ряды
оо
j(T)= 2 [S'(L)]T'eRA(G)[[T]],
i = О
Х(Т)= 2 [A'(L)]T'eRA(G)[[T]],
i = О
соотношения A0) можно записать в виде
J(T)X(-T) = 1.. A1)
4. Пример 2: случай свободного модуля
Пусть к - кольцо, М - fc-модуль, I — некоторое множество и р целое число > 0.
Отображение ш: 1Р -*¦ М называется кососимметрическим (или знакопеременным), если
оно удовлетворяет следующим двум условиям:
а) для всякой перестановки а€ @р и всякой последовательности (aj,..., ар) е 1Р
m(aCT(i),...,aa(p)) = eam(al,...,ap),
б) для всякой последовательности (а,, ..., ар) е 1Р, в которой два из элементов
ai, ..., ар равны, ш(а,, ..., ар) = 0. (В случае, когда I — fc-модуль й отображение m
полилинейное, мы приходим к понятию, введенному в III, р. 80; Алгебра, III, с. 392.)
р
Предположим, что множество I конечное, и обозначим через Cj (М) fc-модуль косо-
симметрических отображений из 1Р в М.
Пусть Lo - Л-модуль, (ef)iei - семейство элементов из Lo; определим два
^-линейных отображения
g: Homfc(ApL0,M) -»• Cf(M), A: c'(M) -»• М «k APU
следующим образом: если / е Homfc ( ДрLo , М), то положим:
?(/)(«,,...,ар) = f(eai А ... Л еар);
пусть m e СР(М), определим h(m) e M ®fcApL0. Для всякой последовательности
(а,, ..., ар) е 1Р элемент m(alt .... ар) ® (ей1 Л ... Л ейр) из М ®fc ApLo равен нулю,
если Card {а), ...,ар} <р,и не зависит от порядка элементов а,, ...,ар,если
Card{ab...,ap} = р.
Он зависит только от подмножества J = (а1г ..., ар) в I; обозначим его через Aj(m);
имеем: hj(tn) = 0, если Card ( J) < p; положим теперь:
где J пробегает подмножества в I, имеющие р элементов.
Лемма 2. Если Lo - свободный к-модуль с базисом (e/)Fi, то к-линейные
отображения g и h биективны.
§ 9. Комплексы Козюля 163
Это следует из III, р. 79, th. 1 (Алгебра, III, стр. 397, теорема 1).
Пусть теперь М - Jt-модуль и х = (х,- )iSI - семейство попарно перестановочных
Л-эндоморфизмов модуля М. Рассмотрим кольцо многочленов А = *[(Xf)fSi] и
наделим М структурой А-модуля, относительно которой P(Xf )т = Р(х,)ти для Р€ А
и т € М. Пусть, с другой стороны, L - свободный А-модуль А , (e,)f e i - его кано-
канонический базис и и: L -*¦ А — линейная форма, которая отображает е,- в Xf для всякого
i G I. Рассмотрим комплексы Л-модулей К*(ы,М) и Ка(м,М); имеем канонические
изоморфизмы
и, М) = НотдСЛ^А1), М) - Нот* (Aft*1), М),
из них посредством композиции с изоморфизмами g и А получаем изоморфизмы
к-модулей
в": КА(н,М) -> С?(М), вр: cf(M) - kJ(«i,M).
Обозначим через
Эр: Cf(M) - Cf+1(M), Эр: С?(М) - Cf^M).
Л-гомоморфизмы, получаемые переносом дифференциалов из Кд(ы, М) и К^(ы,М)
посредством изоморфизмов в. Имеем, например,
р+1
C"iB)(o1,...,op+1)- 21(-1У+1ха.ш(а1,...,а/_1,а/+1,...,ар+1). A2)
Комплекс, образованный модулями Cf(M) и гомоморфизмами Зр (соответствен-
(соответственно Эр) обозначается через К'(дс, М) (соответственно К.(дс, М))и назьшается верхним
(соответственно нижним) комплексом Козюля, ассоциированым с модулем М и после-
последовательностью эндоморфизмов (jci, ..., х„). Имеем, таким образом, изоморфизмы
комплексов k-модулей
в': КХ(м,М)-»К*(х,М), в.: К.(х,М)-^К.А(м,М).
Замечание. Обратно, пусть В - Л-алгебра; L - свободный В-модуль с базисом (е().е1и
М - В-модуль. Задание линейной формы и: L->B эквивалентно заданию семейства *=(*/)fgi
элементов из В посредством соотношения xf = H(ef). Тогда комплекс Л-модулей Kg (u, M) (соот-
(соответственно Кв (и, М)) отождествляется посредством изоморфизма в* (соответственно в.) с комп-
комплексом Козюля К '(х, М) (соответственно К. (ж, М)). Например, комплекс Кв (и) отождествляется
с К.(л. В).
Так же как и в п.1 (с. 157), вводим обозначения Н.(дс,М), Н(х, М)ит.д. ,и с надле-
надлежащими изменениями к этим модулям применимы все результаты из п.1 и 2, в которых
в качестве модуля L берется свободный модуль А1. Например, имеем изоморфизмы
Но(*,М)->М/(*)М,
Н°(*,М)-+НотА(А/(.*),М),
где (х) обозначает идеал 2 Axt в А. Еще один пример: если комплекс К.(дс, А) ацикли-
ацикличен в степенях> 0, то имеют место изоморфизмы
Ext а(А/(х), М) -> Иг(х, М).
Наконец, предположим, что множество I (конечно и) линейно упорядочено, напри-
например, I = {1, .. •, и); отождествим А-модуль A"(AX) с А с помощью базисного элемента
в!Л .. .Л е„ и переведем в новые обозначения изоморфизм Кр (и, М) -*Кд~р(ы, М)
со с. 159. Посредством переноса с помощью вр и в"~р он превращается в изоморфизм
164 § 9. Комплексы Козюля
сопоставляющий элементу т€ Cf(M) элемент тиз С"~Р(М), для которого
т{ах,...,ар) =«(/?,,. . .Д,_р), A3)
если (а,, ..., ар, 0t, ..., /?„_р) есть четная перестановка множества {1,..., и}. За-
Заметим также, что когда I ={ 1, ..,,»}, можно отождествить Cf(M) с множеством се-
семейств /я (от!,..., ар) элементов из М, где о^ < а2 < ... < ар; формула A2) остается
справедливой, так же как и соотношение A3).
Пример. Возьмем M = k[Ti, . . ., Т„]; комплекс Козюля К'(Э/ЭТ, М), ассоции-
ассоциированный с последовательностью эндоморфизмов (Э/ЭTj, .. ., Э/ЭТ„), отождествляет-
отождествляется с комплексом де Рама алгебры k [xi,.. . ,хп] над к (с. 46): элементу /я? С?, „i(M)
соответствует дифференциальная форма
со(/я) = 2 m (а,,.. ., ap)dxa Л ... Л dxa .
«1<-<"р ' р
см. формулу A2) и пример 1, с. 46.
5. Пример 3: случай L = А
Если L = А, то положим иA) =х& А. Комплекс К(и) имеет в этом случае длину 1,
Ко(u) =Kj(u) =А и di(a) =ха, следовательно, для всякого А-модуля М модули
К0(и, М), K.i(u, М), К°(м, М) иК'(и, М) отождествляются с М, причем дифференциалы
dx: К,(м,М)->К0(м,М) и d°: К°(м, М)->- Kl(u, M)
представляют собой отображение m *+xm. Имеем, агедовательно, изоморфизмы:
Н0(д;, М) -* А/х А ®А М *- Н' (х, М),
Н, (х, М) -> НошА(А/хА, М) -^ Н °(х, М).
Лемма 3. Пусть К - комплекс, для которого К,- = 0при i?=0, \,uпусть С - комп-
комплекс up - целое число.
а) Если комплекс К плоский, то для всякого р е N имеем точную последовательность
О - Но (К ®А Нр(С)) - Нр(К ®А С) - Н, (К ®А Нр_, (С)) ^ 0.
б) Если комплекс К проективный, то для всякого р& N имеем точную последо-
последовательность
0 -> Н'(HomgrA(K, Нр~'(С)))-> Hp(Homgr(K, С))-> H°(HomgrА(К, НР(С)))-> 0.
Докажем утверждение а), поскольку утверждение б) доказывается аналогично.
Для всякого i обозначим через К(,-) комплекс К,-(—/). Имеем точную последователь-
последовательность комплексов, расщепляемую как точная последовательность А-модулей:
последовательность
0->К@)®АС^^К®АС^-^КA)®АС->0 A4)
точная, и так как комплекс К плоский, гомоморфизмы
То>Р(К(о), С): К(о) ®АНр(С)- Нр(К@) ®АС),
7i,P-,(KA),C): KA)®AHp_,(C)->Hp(KA)®AC)
биективны (с. 74, следствие 2). Вычислим связывающий гомоморфизм д(а в 1, /J ® I);
по определению, он отображает класс цикла ? щ ®bj на класс цикла Xda,- ®fc,-, а это
означает, что
Э(а ® 1, |3 ® 1) о 7(КA), С) = 7(К@), С) о (dK в 1).
Гомологическая точная последовательность, ассоциированная с A4), принимает, таким
§ Р. Комплексы Козюля 165
образом, вид:
К, •АНр(С)-^+КовАНр(С)->Нр(КвАС>->
откуда а).
Применяя лемму 3,а) к комплексу К (и) и используя изоморфизмы коммутирова-
коммутирования, получаем:
Предложение 4. Дпя всякого комплекса С имеют место точные последова-
последовательности
О •* A/jcА ®А Нр(С) ¦+ Hp(jc, С) -+ HomA(A/jcA, Hp_ t (С)) •* 0.
Следствие 1. Для того чтобы Нр(х, С) = 0, необходимо и достаточно, чтобы
гомотетия относительно х в Нр(С) была сюръективна, а в Hp_j(C) - инъективна.
Следствие 2. Пусть х= (xlt .. ., хп) - последовательность элементе из А,
М - А,-модуль, х' - последовательность (jcj, . .., x,,_i). Имеют место точные после-
последовательности :
0 -> А/дг„ А ®АНр(У, М) -> Hp(jc, М)-> НотА(А/*„ А, Нр_,(У, М)) -> 0.
Следствие 3. Дпя того чтобы модуль Н,(дг, М) был нулевым при всех />0,
необходимо и достаточно, чтобы гомотетия относительно хп в Н,(У, М) была биектив-
биективна при всех />0 и чтобы гомотетия относительно хп в M/(jc')M была инъективна.
6. Полные пересечения
Пусть А — кольцо, М — А-модуль, х = (xt)t& j — семейство элементов из А.
Определение 2. Семейство х называется полным пересечением для М, если
(c, M) =0приг>0.
Если множество I конечно, то это равносильно (с. 159) тому, что H'(jc, M) =0 при
/<Card(I).
Следующее предложение позволяет дать примеры полных пересечений.
Предложение 5. Пусть х= (xi, ..., х„) — последовательность элементов
из А. Если при i = 1,..., и гомотетия относительно X/ в А-модуле М/^ М +...+xs _ х М)
инъективна, то последовательность х представляет собой полное пересечение для М.
Последовательность, удовлетворяющая условиям предложения, называется регу-
регулярной относительно М, или М-регулярной. Отметим, что это свойство зависит, вообще
говоря, от порядка элементов jc,-; например,последовательностьA,0)всегда М-регуляр-
на, тогда как последовательность @, 1) регулярна, только если модуль М нулевой.
Зато тот факт, что последовательность представляет собой полное пересечение, не
зависит от порядка ее членов.
Докажем предложение индукцией по и, причем случай и = 0 очевиден. Положим
jc' = (дсь . . ., лс„_ 1); если последовательность jc М-регулярна, то последовательность
х М-регулярна и умножение на хп в М/(У)М инъективно; согласно индуктивному
предположению, Н; (дг'.М) = О при i >0; из следствия 3 теперь вытекает, что
H,(jc, M) =0при/>0.
Пример. Пусть к — кольцо; возьмем А = к[Хх, . .., Х„] и х= (Х1; . . ., Х„).
Последовательность jc А-регулярна, и предложение дает новое доказательство ацик-
ацикличности в степенях> 0 комплекса S^ (к ) ®кА(кп) (см. с. 161, предложение 3).
Аналогично, в кольце степенных рядов A=fc[[Xi, ..., Х„]] последовательность
(X,, . .., Х„) А-регулярна, следовательно, является полным пересечением для А.
Предложение 6. а) Если 2 х,-А = А, то семейство (x/)/ei представляет
/ei
собой полное пересечение для М.
б) Пусть jc= (xi,.. ., хп) -последовательность элементов из А.Пусть (а(/) G GLn(A);
положим
166 % 9. Комплексы Козюля
Если последовательность х является полным пересечением для М, то тем же свойством
обладает и последовательность у = (у1г ... ,у„).
в) Пусть ki, ..., к„ - целые числа > 1; для того чтобы последовательность (д^1,...
..., хп") была полным пересечением для М, необходимо и достаточно, чтобы последо-
последовательность хбыла полным пересечением для М.
Утверждение а) вытекает из следствия 1, с. 157.
Докажем б). Пусть /: А"-»-А" — изоморфизм, определяемый матрицей '(д/Д;
из сказанного на с. 160 следует, что 1М ®Л(/) есть изоморфизм комплекса К. (у, М)
на комплекс К. (х, М), откуда вытекает б).
Для доказательства утверждения в), очевидно, достаточно доказать, что если к -
целое число > 1, то последовательность (jet, ..., xn-lt x),) является полным пересе-
пересечением в том и только том случае, если этим свойством обладает последовательность х.
Пусть х' = (xi xn-i); согласно следствию 3, с. 165, первое (соответственно вто-
второе) условие означает, что гомотетия относительно х* (соответственно х„) биективна
в Hf(x\ М) при i> 1 и инъективна в М/(х')М. Эти два условия, очевидно, эквивалент-
эквивалентны, откуда следует в).
Замечание 1. Утверждение, аналогичное в), справедливо и для регулярных
последовательностей (с 173, упражнение 5).
Предложение 7. а) Пусть N — плоский А-модуль. Если семейство х является
полным пересечением для М, то оно обладает тем же свойством и для М ®д N.
б) Пусть О-^М'-^М-^М"*¦*() — точная последовательность А-модулей. Если семей-
семейство хявляется полным пересечением для М' и М", то оно обладает тем же свойством
и для М.
Комплекс К.(лг, М»дЮ. изоморфен, по определению, комплексу К.(дг, М) ®aN;
так как модуль N плоский, то отсюда получаем изоморфизм Н.(х, M)®aN -*¦
-*¦ Н.(х, М ®АN) (с. 74, следствие 2), откуда следует а).
Так как комплекс К.(х) плоский, то имеем точную последовательность комплексов
0 -+ К.(х, М)-»- К.(х, М)-> К.(х, М") -+ 0;
Утверждение б) следует из ассоциированной гомологической точной последовательности.
Замечания. 2. Утверждения, аналогичные а) и б), для регулярных последова-
последовательностей очевидны.
3. Если семейство х представляет собой полное пересечение для А, то комплекс
К.Сх, А) определяет свободную резольвенту А-модуля A/jr, где Х= 2 jc,A; следо-
ie I
вательно, для всякого целого / > 0 и для всякого А-модуля М имеют место изомор-
изоморфизмы:
ЕйХ-'(А/* , М) ¦* Н"-'{х, М) ¦* Н,(х, М) ¦* Тог,А(А/| , М). A5)
4. Последовательность х= (хь ... , х„) называется М-корегулярной, если (через
(Xf)M обозначается гомотетия относительно х( в М) гомотетия относительно xt в
модуле
Ker(x,)Mn...nKer(xI-_I)M
сюръективна при i = 1, ...,«. В зтом случае Н/(х, М) = 0 при i < п; это доказьшается
тем же способом, что и предложение 5.
Возьмем, например, кольцо А = k [Dt, ..., Dn], где к - Q-алгебра, и -Ат-модуль М =
= Jfc[Ti, .. ., Т„], наделенный структурой А-модуля, относительно которой DiP=3P/9T/
для всякого Р€ М A < /< и). Тотчас проверяется, что последовательность (D,, ...
..., Dn) М-корегулярна; принимая во внимание пример на с. 164, получаем отсюда,
что комплекс де Рама алгебры k [Tt,..., Т„] над к ацикличен в степенях > 0.
7. Критерий для полных пересечений
Пусть А - кольцо, М — А-модуль, X - идеал в А. X -одической топологией на
М называется топология, совместимая со структурой группы на М, для которой мно-
множество подмодулей ц'М (г>0) образует фундаментальную систему окрестностей
нуля (TG, III, р. 5, exemple; Общая топология, III,с. 102, пример 2). Эта топология
§ 9. Комплексы Козюля 167
отделима, если и только если
П f = 0.
Предположим теперь, что идеал X порождается последовательностью х= (xi,. .. ,х„)
элементов из А. Рассмотрим градуированный А-модуль © jr'M и градуированный
'¦ > о
А-гомоморфизм степени О
а*: А[Х1,...,Х„1*АМ-»> © Х'М,
при котором ejJi(P®m) =P(*i> • • • > хп) т> гДе Р - однородный многочлен от Xi, . ..
..., Хи, а те М. Обозначим через b идеал в A[Xi, ..., Х„], порожденный элемента-
элементами (х{X/ — ху X,) для 1 < / < у < и. Имеем: Р(jc, , ..., хп) = 0, если Р S b , так что
отображение а^ дает посредством перехода к фактормодулю градуированный А-гомо-
А-гомоморфизм степени О
Беря тензорное произведение с A/jr , получаем иза^ градуированный А-гомоморфизм
степени О
0м: (А/;)[Х,,...,ХП]®АМ^ © (jc'M/jc'+1M).
г>0
Гомоморфизмы <?м'ам и^м сюръективны.
Теорема 1. Рассмотрим следующие условия:
(i) Последовательность х М-регулярна (с. 165).
(ii) Последовательность х представляет собой полное пересечение для М (с. 165,
определение 2).
(Ш) Н,(х,М) =0
(iv) Гомоморфизма^: (А[X!,...,Хи]/b ) ®аМ-»¦ © f'Мбиективен.
> О
г > О
(v) Гомоморфизм 0* : (A/jt ) [Xt, .. ., Х„] ®А М ^^ ©о (f rM/y ,+i м)
Имеют место импликации: (i) =*(ii) =*(iii) *=>(iv) =*(v). ?"сли d/и 1</<и
А-модуль M/(jCiM + ... + jc,-_jM) отделим относительно X-одической топологии, то
условия (i)-(v) эквивалентны.
Теорема будет доказана в н.8 и 9.
"Следствие 1. Если кольцо А нё'терово, А-модуль М имеет конечный тип и
элементы xt принадлежат радикалу кольца А, то условия (i)-(v) в теореме экви-
эквивалентны.
Действительно, на каждом из модулей M/(jcjM + ... +jc,_,M) jc -адическая топо-
топология отделима (АС, III, § 3, n°3, prop. 6; Коммутативная алгебра, III, стр. 249, пред-
предложение 6). *
Следствие 2. Предположим, что А - градуированное кольцо с положительными
степенями, М — ограниченный снизу градуированный А-модуль и х,- — однородные
элементы степени > 0 из А. Тогда условия (i) -(v) в теореме эквивалентны.
Действительно, % -адическая топология отделима для всякого ограниченного снизу
градуированного А-модуля N, так как если N„ = 0 при п< п0, то ^NC 2 Ny
для всякого а > 0. ' ** ""+"
Следствие 3. Предположим, что модули М/ (xt М + ... + х(_ [ М) отделимы
относительно X -одической топологии A </<и); пусть р - целое число, заключен-
заключенное между 1 и п. Дпя того чтобы последовательность х была полным пересечением
для М, необходимо и достаточно, чтобы последовательность (Xi ,xp) была полным
пересечением для М и чтобы последовательность (хр+1> .. ., х„) была полным пере-
пересечением для М/ (xi Ы + ... + хрМ).
Действительно, следствие очевидно, если в его формулировке заменить "полные
пересечения" на "регулярные последовательности"; но оба эти понятия в данном случае
совпадают, согласно теореме.
168 § 9. Комплексы Козюля
Замечание. Пусть х= (xit .. ., лг„) — последовательность элементов из А, для
которой Н^дг, А) =0; тогда ядро сюръективного гомоморфизма и: А"-*¦ f, при ко-
котором мBа;е() = 2a,-Xf, порождается элементами хуе,- — х(-е;-; следовательно, А-алгебра
A[Xi, . . ., Х„]/Ь изоморфна симметрической алгебре SA(jr) (HI, p. 69, prop. 4).
Следовательно, из теоремы 1 вытекает, что гомоморфизм алгебр SA (jt) -»©jr", полу-
П
чаемый из канонического вложения модуля jt в © jt", представляет собой изоморфизм.
п
То же самое справедливо для гомоморфизма Sa (jt/ jt2) -*® ^"/jt" ¦
8. Доказательство теоремы 1: первая часть
Импликация (i) =*(ii) уже доказана (с. 165, предложение 5). Импликация (ii) =*(iii)
очевидна; то же самое относится к импликации (iv) ^-(v), так как гомоморфизм
/3j5j совпадает с ajjj в 1А,, .
Чтобы доказать, что из условия (iv) следует (Ш), рассмотрим гомоморфизм (ajjj)i,
индуцируемый на компонентах степени 1. Обозначим через Е градуированный А-модуль
А[Хь .. ., Х„]; А-модуль Е! свободен с базисом Xi, . . ., Х„, а Ь\ есть А-подмодуль
в Ei, порождаемый элементами (XfXy — луХ/) для 1 <j</<w. Следовательно, мо-
модуль ((E/b ) ®AM)i отождествляется с модулемК^дг, M)/Bi(K.(*, M)), причем гомо-
гомоморфизм (ajjj)i отождествляется с отображением модуля К^дг, M)/Bi(K.(jc, M)) на
В0(К.(дг, М)), индуцированным гомоморфизмом d^ ¦ Таким образом, обращение мо-
модуля H^jc, M) в нуль равносильно инъективности отображения (ajjjj)i, откуда следует
импликация (iv) =*(iii).
Чтобы доказать, что из условия (iii) следует (iv), мы воспользуемся следующей
леммой:
Лемма 4. Пусть Ао - кольцо Z [Т],..., Т„] и пусть и: Ао[Х1;... ,Х„] ->A0[U] -
гомоморфизм А0-алгебр, при котором и(Х{) =T,-U. Ядром гомоморфизма и служит
идеал bo в Ао [Xi,. .. , Х„], порождаемый элементами (Т,-Ху - Т/Х,-) для 1 </</<«.
Если t обозначает идеал в Ао, порожденный последовательностью (Т1; .. ., Т„), го
и индуцирует изоморфизм
п: Ао[Х,,...,Хя]/Ьо-»- ® f.
Достаточно, очевидно, доказать первое утверждение. Для всякой последовательности
натуральных целых чисел a = (ao, . . ., а„) и всякого целого числа k G [0, и] обозначим
через Pa k одночлен
пусть N - Z-подмодульв АО[ХЬ ... , Х„], по рожденный одночленами Pa)fc nnHa€N"+1
и 0<к<п. Мы покажем, что ограничение гомоморфизма u на N инъектавно и что
Ао [Xi,. .. ,Х„] = bo+N; так как Ьо С Кегм, то отсюда будет следовать лемма.
Заметим, что N порождается множеством S, образованным теми одночленами Ра,к>
для которых либо к - 0, либо к > 0 и ак Ф 0. Чтобы доказать инъективность ограниче-
ограничения мна N, достаточно показать, что два разных элемента из S имеют в качестве образа
S о,
при и разные одночлены в A0(U). Но и(Ра>к) =Т"° ...т"^+а* + 1 . . . T^U1* fc+1 ,
так что равенство и(Ра<к) =и(Ра',л') влечет за собой, что (а0,... ,ак +ак+1,... ,а„) =
= (а'о,. .. ,а'к'+a'k' + i,. . . ,а'„) и 2 а,-= 2 а'. Предположим, что одночлены
i>k+l i>k' + l
P<t,/t и pa',/t' принадлежат S. Если к = 0иао = 0, то к' = 0,a0 =0иа = а'. Если же afc ^=0,
то а'к' Ф 0, откуда к = к' и a = а'. Это дает искомый результат.
Покажем, что всякий одночлен TaX^ G Ao [Xi, ¦ ¦ ¦ , Х„] сравним по модулю Ьо с
некоторым P^.fc- Для всякого Х€ N" обозначим через г(Х) (соответственно/^)) наи-
наименьшее (соответственно наибольшее) целое число' к G [1, п] для которого Х^^=0.
В множестве одночленов Т7Х8, сравнимых с ТаХ" по модулю Ьо, выберем тот, для
которого целое рациональное число){у) —гE) минимально; покажем,что тогда/G) —
-/F)<0. Предположим, что /(у) >/($); обозначим/=/(>), i = i(S) и пусть е =
§ 9. Комплексы Козюля 169
= infG/,5,). Так как многочлен (Т/Х/ -Т/Х/) делится на (Т,Х,--Т,Х;), следова-
следовательно, принадлежит Ьо, то видим, что одночлен ТТХ* сравним по модулю Ьо с
Т7'х8', где 7/ =7i + е, 7/ =7/ - е, y'k =yk при к #/,/ и 5} = 5, - е, Sy = 5у + 6, Ь'к = 5Л при
кФ1,}. Так как 7/ или 5} равно нулю, то j(y") — i(&') <i(y)-i(&), что противоречит
минимальности /(у) —/(8). Следовательно, /G) < i(S), откуда ТТХ5 е N, что завер-
завершает доказательство леммы.
Докажем, что из условия (Ш) следует (iv). Рассмотрим кольцо Ао =Z[Tly..., 1„]
и идеал t в Ао, порожденный элементами Т], ..., Т„. Наделим М структурой Ао-
модуля, относительно которой Т//я = Х/пг для m?M, I < z < и. Согласно сказанному на
с. 163, Л-модуль Н/(эс, М) канонически отождествляется с Н/(Т, М).
Так как последовательность Т регулярна относительно Ао, то из импликации (i) =»
=»(ii) следует, что комплекс К. (Т, Ао) определяет свободную резольвенту Ао-модуля
A0/t . Заметим, что последний отождествляется с группой Z, наделенной структурой
Ао-модуля, относительно которой TfZ=0 для 1<г<п. Таким образом, условие
(ш) эквивалентно условию Tor^» (M, Z) =0.
Покажем, что условие (ш) влечет за собой, что Тог^» (М, Ао/ tr) -0 для всякого
г> 1. Это следует из предыдущего при г = 1. В общем случае рассмотрим точную по-
последовательность
0+ Г/ Г+1-*А0/ tr+1^A0/ tr^0. A6)
Ао-модуль f/ tr+l изоморфен конечному произведению экземпляров модуля Z.
Следовательно, Tor,A» (M, f/ t' + 1) = 0. Отсюда индукцией по г выводим, что
Тог^» (М, Ао/ tr) = 0 для всякого г.
Поэтому точная последовательность A6), умноженная тензорно на М, дает точную
по ел е дов ате л ьно сть
0->( Г/ Г^вл.М^М/^М^М/jr'M-H), A7)
откуда получаем изоморфизм модуля ( f/ f + 1) йАоМ на frMlfr+l M. Рассматривая
точную последовательность 0-* tr+1 -¦• tr-> tr/ tr+1 -*0, далее получаем индукцией
по г, что отображение mr: f ®A()M -* jcrM, индуцируемое действием Ао в М, является
изоморфизмом.
Для доказательства условия (iv) остается заметить, что диаграмма
(ао[х„ ...,х„]/ьо)®Аом *®1м > е (tr®а„м)
(А[Х„...,Х,,]/Ь)®АМ * фаг'М,
в которой е - канонический изоморфизм расширения скаляров (II, р. 85, ргор.6),
коммутативна, и применить лемму 4.
9. Доказательство теоремы 1: вторая часть
Рассмотрим снова точную последовательность
0-+ tr/tf>+1-^Ae/t'+1-??>Ao/tr^O A6)
и соответствующую точную последовательность модулей кручения:
A8).
Ядро гомоморфизма рг ®1М отождествляется с j/M/jr1^1 M; кроме того, модуль
f/ t''+1 аннулируется элементами Т,- и отождествляется с однородной компонентой
степени г в Ао, так что гомоморфизм ( tr/ tr + 1) ®а„М-> JcrM/)tr+1 M, получаемый
из /,® 1М, отождествляется с однородной компонентой степени г гомоморфизма /3^.
12. н. Бурбаки
170 S 9. Комплексы Козюля
Поэтому из точной последовательности A8) следует, что условие (v) эквивалентно
условию
(v'): гомоморфизм TorA° (pr, 1M): Torf» (Ao/ f+1, M) -*TorA° (Ao/ f, М)
сюръективен для всех г > 1.
Нам остается доказать импликацию (v) =* (i), когда модули
отделимы относительно у -адической топологии A < i < п). Обозначим А-моцуль
М/х(М через М. По определению, последовательность х регулярна для М, если'и только
если гомотетия (*i)m инъективна и последовательность х = (х2, ¦ .., хп) регулярна
для М. Проводя индукцию по п, достаточно, таким образом, доказать, что если мо-
модуль М отделим относительно f -адической топологии и если гомоморфизм^^ биекти-
биективен, то отображение (xi)m инъективно, a /Jjjj биективно. Но биективность /3^ влечет
за собой, в частности, что гомотетия относительно Xi в $ jrrM/jr'+1 M инъективна1),
следовательно, что Ker(jCi)M С Пу'м и тем самым, что отображение (xt)M инъектив-
но, если f -адачеекая топология на М отделима.
Таким образом, остается доказать, что если отображение (лгОм инъективно и мо-
модуль М удовлетворяет условию (v1), то модуль М удовлетворяет условию (v1) отно-
относительно последовательности х'.
По предположению, имеем точную последовательность
0-*М—-^М->М->0;
положим Ао =Ao/TiAo, t= tA0. Пустьq: L-*M — свободная резольвента А0-модуля
М; так как гомотетия относительно Т( инъекгивна в А0) то она инъективна в L и мы
имеем точную последовательно'сть комплексов
и коммутативную диаграмму
— 0
о —^м^м—^м —+¦ о
Так
ствие 1
Так как q - гомологизм,_то q~: L -*М - свободная резольвента А0-модуля М (след-
(следие 1, с. 36). Для всякого Ад-модуля Р имеем канонический изоморфизм
откуда, переходя к гомологии, получаем изоморфизм
Если м: Р-*Р' - Ао-гомоморфизм, то
рр. о ТогА»(и, 1М)= ТогА»(и, 1М) о ^р.
Учитывая это, предположим, что условие (v1) удовлетворяется для М, и докажем,
что оно справедливо для М. Пусть т - целое число > 1; имеем коммутативную диаграм-
диаграмму с точными строками:
О -— A0/tf ^V A0/f+ > —*- Ао/?+ ' —^ О
О —*-АоДг~1 -^— Ао/Г
') Здесь ®frM/fr+l M рассматривается как градуированный модуль над градуированным коль-
кольцом (A/JT) [X,, . . . , Х„]. -Примеч. пер.
§ 9. Комплексы Козюля 171
из которой получаем коммутативную диаграмму с точными строками:
Torf (A0/t'+', М) -— Тог?°(А0/Тг+», М) -— M/jf M ^ M/x'+» M
Тог, (р„ 1I Тог,(Дг, 1)| | |
Тог?°(А0Лг, М) —*¦ Тог?°(А0Д"г, М) -*> М/*'-» М ^- М/ar* М
Но умножение на xt определяет вложение М/ jtr М в М/ ]tr+1 M: это немедленно следует
индукцией по г из точной последовательности
О-* jr'-1 М/ yrM-*M/ j^M^M/ х|-1М-*0
и инъективности гомотетии относительно Х1 в Ф (jcrM/jr'"flMI). Условие (v),
г> О
таким образом, влечет за собой, что гомоморфизм ТогА° (р,, 1м) сюрьективен для
всякого г>\. Беря композицию с изоморфизмами (<рг .-г m )"' Hip_ _,., по-
А о /» А „ 1%
лучаем отсюда, что гомоморфизм
сюръективен при г > 1, т.е. справедливость условия (v') для М. Это завершает дока-
доказательство теоремы.
10. Класс расширений, ассоциированный
с регулярной последовательностью
Пусть А — кольцо, М — А-модуль, х= (xi,.. ¦ ,х„) — последовательность элементов
из А. Обозначим через М ^ А-модуль M/foM + . .. +xt_lM) для/ =0,. .., л+ 1, так что
Мо и Mi отождествляются с М , а Мп+1 = М/(лг)М. Обозначим через
х,: ЬА1_1-*М1, 1=1 я,
А-гомоморфизм, представляющий собой композицию гомотетии модуля M?_i отно-
относительно Xf и канонической проекции М;_} на М,-. Обозначим, наконец, через р: М„-+
->М/(дг)М каноническую проекцию. Диаграмма
0-*М*-*1 М, ^>М2 -*... Х-*"М„-5-М1(х)М¦*0 A9)
представляет собой точную последовательность, если и только если последовательность
х М-регулярна.Предполагаем в дальнейшем, что. последовательность хрегулярна для М.
Элемент 0xG Ext" (М/(лг),М),М), ассоциированный с точной последовательностью
A9) •, называется также ассоциированным с М-регулярной последовательностью х.
Пусть i -целое число, 1 <i <и. Заметим, что последовательность A9) может быть
разложена на две точные последовательности
0-*М— -*Mi-^M2-*...-^Mf-*M/(x1M + ...+x/M)-*0, B0)
^M,;, ->...-* М„ -^> М/(х) М -+ 0, B1)
которые представляют собой не что иное-, как точные последовательности, соответст-
соответствующие последовательности (xit. .. ,xt), которая регулярна для М, и последователь-
последовательности (Xf+l,. .,х„), которая регулярна для М/(хгМ + .. . + xtM). Обозначая через
в(Х{+1 х„) € Ext"-' (М/(ж) М, М/С*, М + ... + X; М ))
классы расширений, ассоциированные с B0) а B1), согласно предложению 3, с. 125,
имеем:
0(х,,... ,х„) - 0(х,,;...*,) ° e(xi+ J Хп). B2)
')См. сноску нас. ПО.-Примеч. пер.
12*
172 § 9. Комплексы Козюля
Кроме того, согласно предложению 5 (с. 165), комплекс Козюля К(дг, М) ацикличен
в степенях Ф п, откуда получаем точную последовательность
О¦*М-^¦К1(х,М)-^*К2(х,М)-^ ...-*К" (*, М)«-»• М/(ж)М ¦*0, B3)
в которой мы отождествляем К0 (х, М) с М и в которой q отображает каждый элемент
те К"(дг, М) на класс в М/(х) М элементашA, 2,.. . ,и) € М.
Предложение 8. Предположим, что последовательность х регулярна для М.
Элемент из ExtA (М/(ж)М, М), ассоциированный с точной последовательностью B3),
равен (-1)п<"-1>/29х.
Для i =0,1 и определим следующим образом А-линейное отображение
a': K/(x>M)-»MI = M/(x,M + ...+x,_i M):
если те К' (ж, М), то а' (ш) есть класс в М; элемента mA, 2,..., /) € М. Ясно, что
а0 — тождественное отображение модуля М и чтор° а"=<7.Кроме того, ai+i о Э'(т)
есть образ в М t+J элемента
i+i
2 (-1)*+Ixkm(l,2, ...Д-1Д + 1,... ,.f+l).
Так как xk аннулирует Mj+1 при k = 1 /, то e'+1 ° Э' (m) совпадает также с обра-
образом элемента
следовательно,
а'*1 о Э'-(-!)'*,+ , о в'.
Согласно следствиям 1 и 2, с. 126, элемент из Ext"А (М/(лг)М, М), ассоциированный с
л-1
B3), равен П (-1)' вх, откуда следует утверждение.
/=о
Следствие. Предположим дополнительно, что модули M/(xj, М + ... + *,-_ г М)
отделимы относительно(х)-одической топологии, и пусть (atj) 6 GLn(А).Положим
yt = X ttijXf И У = (Ух,...,Уп).
Тогда последовательность у регулярна для М и ву = det(aI/) вх.
Действительно, последовательность у регулярна для М согласно предложению 6
(с.165-166)и теореме 1 (с.167); последнее утверждение следует из предложения 8 и из
предложения 4 (с. 126).
Предложение 9. Предположим, что последовательность х регулярна для М.
Если N- А-модуль, для которого (x)N= 0, то Ext' (N, М) =0 при i < n и отображе-
отображение ai+0xo а из HomA (N, М/(дг) М) в Ext" (N, М) (которое представляет собой также
связывающий гомоморфизм, соответствующий точной последовательности A9), - см.
с. 132, следствие 3) биективно.
Нужно доказать, что гомоморфизм ф': ан-б^оа из Ext^~"(N, М/(дг) М) в
Ext^ (N, М) биективен при i <и. Проводим индукцию по и, причем утверждение три-
тривиально при п- 0. Положим М, = M/xjM, х' =(х2,. .. ,л:п),так что последовательность
х М, -регулярна. Согласно индуктивному предположению, гомоморфизм
из ExtA~"(N, М/(дс)М) в ExtA~5 (N,Mi) биективен при i <и. Кроме того, рассмотрим
точную последовательность
соответствуюший связывающий гомоморфизм ExtA(N, Mi) -^Ext'^+1 (N, M) представ-
представляет собой отображение <р': /J<-»0 ° ($ (с. 130, предложение 5); так как Ext'(In.
§ 9. Комплексы Козюля 173
(*1) м) = Ext' ((xt) N, 1 м) = 0, то получаем отсюда точные последовательности
O-»Ext'A(N,M)-Ext/A(N,M1)-*-* ExtA+l(N,M)->0.
Так как ExtA (N, М,) =0 при / < и - 1, то из этих точных последовательностей полу-
получаем, что ExtA+1 (N, М) = 0 при / < и - 1, т.е. / + 1 < и, отсюда следует, что гомомоп-
физм <р* биективен при / <п Так как Ф* (а) =0х° <x = QXt ° ® х' ° <* = <fl~l ° ^'"'(а)
для а 6 ExtA~" (N, М/ (х) М), то гомоморфизм ф1 биективен при / <и.
Упражнения
1. Пусть А - кольцо. L - А-модуль, К - комплекс S (L) ®д A(L) (с. 160, пример 1).
а) Показать, что существует такой А-линейный эндоморфизм s модуля К, что
l^a'^L и
для любых целых р, q > 0 и всякого дге S PL «д
б) Предположим, что А- Q-алгсбра. Показать, что комплекс К определяет резольвенту А-моду-
ля А.
2. Пусть А - кольцо, и: L -»М - гомоморфизм А-модулей.
а) Обозначим через е множитель коммутирования на Z2, определяемый по формуле: е (а0) =
= аг 0г для а. /} е Z 2, а = (а,, аг). C = @,, /}2). Показать, что существует единственное (А, е) -диф-
-дифференцирование (III, р. 118) d биградуированной алгебры S(M) »дА(Ь) степени A,-1), при
котором d(\ в дг) ~и(х) » 1 для xeL. Показать, что d о d =0. так что модуль S(M) «д A(L), на-
наделенный градуировкой, получаемой из градуировки модуля A(L). и дифференциалом d, опреде-
определяет некоторый комплекс К (и).
б) Если М - L и и = Ы^, то показать, что комплекс К (и) совпадает с комплексом, определенным
вп. З.с. 160-161.
в) Пусть В = Sa(M), и пусть и: В фд L -»В - В-гомоморфизм. получаемый из и. Показать, что
п
коплекс К (и) канонически отождествляется с комплексом К (и).
г) Пусть и' : L' -»М' - второй А-гом ом орфизм. Показать, что комплексы К (и ®и' ) и К (к) ®д
вд К (и' ) изоморфны.
д) Пусть/: L->L' н;: М-»М' - два А-гомоморфиэма, для которых g о и = и' » /. Показать,
что гомоморфизм S (?) ®Л (/) представляет собой морфиэм комплексов из К(н) в К (и '). В част-
частности, если I': М-*Р - А-гомоморфизм, для которого и о и = 0, то получаем морфизм комплек-
комплексов/, : К(«0 -SA(P). у v
е) Предположим, что последовательность 0-*L—«-М-—>Р-*0 есть точная последователыюсть
плоских А-модулей. Показать, что А - гомологизм (свести к случаю, когда L, М, Р свободные
модули конечного типа и использовать г)). Вывести отсюда для всякого я > 1 точную последо-
последовательность
0 - AnL - М «д л" L - ... - S" М «д L - S" М - S" Р - 0.
3. Пусть п - целое число, к - кольцо А = k[Xt,.. . . Х„]. Показать, что для всякого А-модуля
М существует такой изоморфизм градуированных А-модулей.
6М: TorA(*,M)->ExtA(Jt,M)(-n),
что для всякого гомоморфизма А-модулей и: М -» N имеет место равенство: ExtO*. к) о ьм =
= 8N о Тог A*, и).
4. Пусть А - кольцо, L - А-модуль, и: I. -»А - линейная форма.
а) Показать, что комплекс К(»), наделенный структурой алгебры A(L), представляет собой
градуированную дифференциальную А-алгебру (с. 69, упражнение 18).
б) Пусть В - косокоммутативная (III, р. 53) градуированная дифференциальная А-алгебра.
для которой Во = А, и пусть /: L -> В, - А-гомоморфизм. удовлетворяющий условию d1 о / =
= и. Показать, что существует единственнный морфиэм градуированных дифференциальных А-
алгебр F: К (м) -* В, для которого Fo =1диР, =/.
5. Пусть А - кольцо, М - А-модуль, х = (х,,. .. , х„) - последовательность элементов из А,
к = (Л,,. . ., кп) е N", л* = (г *i,.. . . х пI ) . Доказать, что последовательность л* М-регуляр-
на в том только том случае, если этим свойством обладает последовательность х; в этом случае
А-модуль М/ (* ) М обладает композиционным рядом, факторы которого изоморфны М/ (дг) М.
(Провести индукцию по л).
1 ) Здесь предполагается, что к/ > 1,1 = 1,. . . и. - Примеч. пер.
174 § Р. Комплексы Козюля
6. Пусть А - кольцо, х - (х, х„) - последовательность элементов из A, Jt - идеал
2 Xf А. Пусть
0-»М'-^М-М"->0
-точная последовательность А-модулей. Предположим, что последовательность х представляет собой
полное пересечение для М и что А-модули M"/(*iM" +...+ x,-_iM")'отделимы относительно
X -адической топологии A <i < л). Показать, что следующие условия эквивалентны:
а) Последовательностьх является полным пересечением для М",
C) Гомоморфизм в ( frM'/ Jf+1M') -> в ( JCrM/ f+1M), индуцированный вложением
;', ииъективен.
7) Гомоморфизм М1/ t М' ->М/ ХМ, индуцированный вложением i, инъективен.
7. Пусть А — кольцо, М — А-модуль, х = (ж,,..., Хд) - последовательность элементов из А.
а) Показать, что существует спектральная последовательность Е (с. 49-51, упражнения 14-17),
сходящаяся к Н. (х, М), для которой Epq = Tor?(Hg(x, A), M) (использовать упражнение 8,
с. 87).
б) Пусть р - целое число < л; положим х' = (xlt. . . , Хр) и х" = (хр+1 хп). Показать, что
существует спектральная последовательность ' Е, сходящаяся к Н. (х, М), для которой 'Ep(j =
=Нр(ж",Нч(х',М)).
8. Пусть А - кольцо, М - А-модуль, х' = ¦(*,,.'.., Хр) их" = (хр+1 хп) - две последова-
последовательности элементов из А; обозначим через х последовательность (х,,. . . , хп) и через М' - А-мо-
А-модуль М/(х')М.
а) Если х' есть полное пересечение для М и х" - полное пересечение для М\ то показать, что
х - полное пересечение для М.
б) Если последовательность х и х* являются полными пересечениями для М, то показать, что
последовательность х" есть полное пересечение для М'.
в) Дать пример такой А-регулярной последовательности (х, у), содержащейся в радикале коль-
кольца А, что х есть полное пересечение для AJyA, но у не является полным пересечением для А.
9. Пусть А - кольцо, М - А-модуль, к - целое число > 1. Семейство х элементов из А называ-
называется fc-пересечением для М, если Н,- (х, М) = 0 при 1 < i < &. Таким образом, семейство х есть пол-
полное пересечение, если и только если оно является ^-пересечением для всякого к > 1.
а) Пусть 0 -* М' -»М-*М"-+0- точная последовательность А-модулей. Показать, что если се-
семейство х является ^-пересечением для М' и М", то оно обладает тем же свойством для М.
б) Если х - fr-пересечение для М и если N - плоский А-модуль, то х - Л-пересечение для
М еА N.
в) Пусть в,,. . ., а„ - целые числа > 1. Показать, что последовательность (х,,. .. ,х„) является
fc-пересечением для М в том и только том случае, если этим свойством обладает последовательность
У
„
г) Для всякой пары целых чисел к, и, где 1 < к < л, дать пример кольца А, А-модуля М и после-
последовательности (Xj,. . . , хп) элементов из А, которая является fc-пересечением, но не (к + 1)-пере-
1)-пересечением для М (использовать замечание 4, с. 166).
10. Пусть А - кольцо, М - А-модуль, х = (х,,..., ХгО — последовательность элементов из А,
р - целое число <п. Введем обозначения: х' = (х,,..., хр), х" = (Xp+i,..., х„) и М1 = М/(х*)М.
а) Пусть к, к' -целые числа, причем к <к'. Предположим, что последовательность х' является
к'-пересечением для М (упражнение 9). Показать, что последовательность х является Аг-пересечением
для М, если и только если последовательность х" - fc-пересечение для М'.
б) Показать, что если последовательность х является 1-пересечением для М, то последователь-
последовательность х" - 1-пересечение для М'.
Ч 11. Пусть А - нётерово локальное кольцо, Ш - его максимальный идеал, к = А/т ¦ Пусть
М - ненулевой А-модуль конечного типа. Глубиной модуля Ц называется верхняя грань целых чи-
чисел п, для которых существует последовательность fc,,. . . , х^) элементов из Ш , представляю-
представляющая собой полное пересечение для М; глубина модуля М обозначается через prof (M).
а) Показать, что prof (М) = 0, если и только если идеал Ш ассоциирован с М (с. 29, упражне-
Hfa 28), иначе говоря, если модуль М содержит подмодуль, изоморфный к (заметить, что идеал,
содержащийся в объединении конечного множества простых идеалов, непременно содержится в
одном из них).
б) Показать, что prof (М) есть нижняя грань целых чисел п, для которых модуль Ext д (к, М)
ненулевой (провести индукцию по п). Если pi of (М) =л, то всякая последовательность (х,,...
..., хр) элементов из Ш , представляющая собой полное пересечение для М (р < л), может быть про-
продолжена до последовательности (х,,. . ., .vn), содержащейся в 01 и являющейся полным пересе-
пересечением для М.
в) Если (х,,..., х/с) - последовательность элементов из Ш , являющаяся полным пересечением
для М, то показать, что
prof(М/(х, М + ... + xfcM)) = prof (M) - к.
г) Предположим, что модуль М-имеет конечную проективную размерность. Доказать равенство
+piof (М) = prof (А) (провести индукцию по <1рд (М)).
i 9. Комплексы Козюля 175
д) Показать, что prof (А) есть верхняя грань проективных размерностей А-мояулей. имеющих
конечный тип и конечную проективную размерность.
11 12. Пусть А - нётерово локальное кольцо, m - его максимальный идеал.
а) Показать, что если 0 < dh (А) < <», то существует неделитель нуля, содержащийся в m -
- Ша (показать, как и в упражнении 11, а), что в противном случае идеал 01 был бы ассоциирован
с А, и, следовательно, существовала бы точная последовательность
0-fc-A->N-»O;
привести это к противоречию, используя упражнение 16, с. 154).
б) Пусть л - целое число. Показать, что dh (A) = n в том и только том случае, если существует
последовательность (х,..... х„) являющаяся полным пересечением для А и порождающая m (про-
(провести индукцию по л, используя а) и упражнение 14, с. 154).
Локальное кольцо А называется регулярным, если оно нётерово и имеет конечную гомологи-
гомологическую размерность.
13. Пусть А - регулярное локальное кольцо (упражнение 12) гомологической размерности п;
обозначим через m его максимальный идеал, и пусть к = А/ГО.
а) Показать, что dim^ (ГО/ щ2) =л.
б) Показать, что А:-алгебра ® (Ш'/ю' ) изоморфна алгебре многочленов от п переменных.
г>0
в) Если л = 0, то А - поле. Если л = 1, то показать, что А - кольцо главных идеалов* и, следо-
следовательно, кольцо дискретного нормирования» (показать, что А целостное, замечая, что
Ш П ГО".= П ГО", откуда П го" = 0).
п п п
г) Показать, что кольцо А [ [ Т ] ] регулярное.
14. Пусть А - кольцо, a - идеал в А. Рассмотрим косокоммутативиую градуированную (А/й )-
алгебру ТогА (А/в , А/а ) (см. с.141 , упражнение 9) и гомоморфизм градуированных (А/а )-ал-
гебр в: Лд/а ( й/a *) ->-ТогА(А/(» , А/й ), получаемый из изоморфизма а/ й1 -»Тог , (А/й ,
А/а ) (с. 79). Показать, что если идеал а порождается последовательностью, являющейся полным
пересечением для А, то в - изоморфизм.
15. Пусть А - нётерово кольцо, a - идеал, содержащейся в радикале кольца А. Предположим,
что А/ а -модуль й/ а2 свободен и что гомоморфизм в г: Лд;в ( <Ч й') -»Тог , (А/й , А/й )
(упражнение 14) сюръективен. Показать, что fl порождается последовательностью, являющейся
полным пересечением для А. (Если х - минимальное семейство порождающих в й , то показать с
помощью упражнения 7 (или непосредственно), что модуль Coker (в2) изоморфен И, (х, А) вд А/й .)
16. Пусть А - нётерово локальное кольцо, ГО - его максимальный идеал, А: = А/Ш. Показать,
что гомоморфизм градуированных А:-алгебр в: Л* (ГО/ГО') -»TorA(fc, k) инъективеи; если отобра-
отображение в а биективно, то кольцо А регулярное (упражнение 12). ¦
(Если х -минимальная система порождающих идеала 01, то показать, что комплекс К(х, А) удов-
удовлетворяет условиям упражнения 14, с.67-68; использовать упражнения 4 и 15.)
11 17. Пусть А - кольцо, для которого А-модуль As имеет конечную инъективную размерность
(с. 152, упражнение 4; регулярное локальное кольцо (упражнение 12) обладает этим свойством).
а) Пусть х - элемент, который не является делителем нуля и необратим в А. Показать, что
(Пусть 0-* A -»I° -»IJ -»...- минимальная инъективная резольвента (с. 67, упражнение 13) для А;
показать, что комплекс Нотд (А/Ах, I') -»Нотд (А/Ах, I*)-»... определяет минимальную инъек-
инъективную резольвенту (А/Ах)-модуля А/Ах.)
б) Предполагаем, далее, что А - нётерово локальное кольцо. Доказать равенство di (A) = prof (A)
(упражнение 11; провести индукцию по di (A)).
в) Пусть х = (Xj,. . . , хл) - последовательность, являющаяся полным пересечением для А, содер-
содержащаяся в максимальном идеале кольца А, причем n = di(A). Показать, что кольцо А/(х) само-
иньективно (с. 28, упражнение 26).
18. Пусть А - иё'терово кольцо, 4S - устойчивое множество классов А-модулей (с. 43), х = (х,,...
.. ., х„) - последовательность элементов из А, X - идеал, порожденный последовательностью х.
Обозначим через %х множество элементов из 'ё, аннулируемых идеалом X . Пусть М - А-модуль
конечного типа.
а) Доказать, что для всякого i > 0 существует такой элемент М/ ^rSx, что
к>0
в К Сёх) (провести индукцию по и, используя предложение 4, с. 163; в случае л = 1 рассмотреть
последовательные степени эндоморфизма (х, )м).
б) Предположим, что модуль А/X имеет конечную длину. Показать, что существуют такие
положительные целые числа m,- (f > 0), что long Н,- (х, М ) = пщ +
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
(C,dK0 ExtA(M,N),ExtA(M,N)92
С».С" 30 *m(N),*-n(M)93
Z(C,d),Zll(C,d),B(C,d),B(,(C,?/),H(C), S(M g)95
Hn(C,d),H"(C,dKl 6(.fN)96
H(m),Z(«)>B(mK2 ^(s'r),^(R,E) 103
A(e) 3:
Соп(м)
К(#),
Х,(М),
V47
ЦМ),
г
34
,Су1(мL0
Щщ , [MJ 43
,Х(МL3
45
ЦЛ 56
H"(G,M))H,,(G,M)U1
aM n 121
CMNp иоиП2
(РД).в (i.PI32
cP;M,n134
Эм(Р,«),Эт(«,,М) 135,136
ft V b', а Та' 140 (упр. 7)
dpA(MI42
B(A,MN2 dh(AI46
C®AC'7O diA(M)l52(ynp.4)
r(C,C): H(C)®AH(C')^H(C®A C'O1 dplA(M) 153 (упр. 7)
,C'O1 td(AI53(ynp.8)
1^ (M, N) 75 dak(A) 156 (упр. 25)
TorA(/,g) 75 dc(G) 156 (упр. 28)
^m(n).^n(mO6 К(и),К.(и,С),КЧи,СI57
^м ,N 78
HomgrA(C,C')88
X(C,C')89
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютно плоское кольцо 27 (упр. 16)
JT -одическая топология 166
Алгебра градуированная дифференциальная 69 (упр. 18)
-пополненная 120 (упр. 27)
Ассоциированный с точной последовательностью класс 124
Ацикличный в степени л комплекс 32
Бикомплекс48 (упр. 11)
Верхняя степень 30
Гильберта теорема о сизигиях 1S2
Голди теорема 28 (упр. 25)
Голода - Шафаревича теорема 116 (упр. 16)
Гомологизм 32
Гомологии классы 31
-модуль 31
Гомологическая размерность 146
- точная последовательность 35
Гомологичные циклы 31
Гомология группы 111
- сингулярная 36
Гомоморфизмов комплексы 88
Гомотопизм 38
Гомотопия 37
Гомотопные морфизмы 37
- симплициально отображения 52 (упр. 19)
Гомотопный нулю комплекс 38
Дедекиндово кольцо 148,154 (упр. 12)
Делимый модуль 20
Де Рама комплекс 46
Диаграмма змеевидная 8
Диаграммы коммутативные 7
Дифференциал 30
- внешний 46
Дифференциальная алгебра 69 (упр. 18)
Дифференциальные формы 46
Длина комплекса 31
- представления 66 (упр. 6)
Дуализирующий модуль 29 (упр. 30)
Змеевидная диаграмма 8
Индуцированный модуль 114 (упр 12)
Инъективная оболочка 22
- размерность 152 (упр. 4)
- резольвента минимальная 67 (упр. 13)
Инъективные модули 19
Итерированные связывающие гомоморфизмы 132, 135,136
Каноническая ннъективная резольвента 58
- свободная резольвента 56
178
Класс, ассоциированный с точной последовательностью 124
Классы гомологии 31
Клеточные комплексы 36
Когерентное слева, справа кольцо 67 (упр. 11)
Когерентный модуль 67 (упр. 10)
Когомологическая размерность 156 (упр. 28)
Когомологически тривиальный модуль 116 (упр. 18)
Когомологичные элементы 118 (упр. 23)
Когомология групп 111
Козюля комплексы 157,163
Коиндуцированный модуль 114 (упр 12)
Кольцо абсолютно плоское 27 (упр. 16)
- дедекиндово 148, 154 (упр. 12)
- когерентное слева, справа 67 (упр. 11)
- локальное регулярное 175 (упр. 12)
-прюферово 153 (упр. 11)
- самоинъективное 28 (упр. 26)
Коммутативные диаграммы 7
Коммутирования изоморфизм 78
Комплекс, ацикличный в степени л 32
- , гомотопный нулю 28
- де Рама 46
- , нулевой слева, справа 31
- , ограниченный слева, справа 31
- расщепляемый 39
Комплексы 30
- гомоморфизмов 88
- клеточные 36
- Козюля 157,163
Композиционное произведение 122
Конечное представление 14
Коническая симплициальная схема 59 (упр. 19)
Конус морфизмов комплексов 40
Копорождающий модуль 21
Корегулярная последовательность 166
Коэффициентов универсальных формула 83, 99
Кручения произведение 70, 75
Кюннета формула 84
Лемма о пяти гомоморфизмах 11
Минимальная инъективная резольвента 67 (упр. 13)
- проективная резольвента 5 9
Модули ннъективные 19
- плоские 12
- расширений 88, 95
Модуль гомологии 31
- делимый 20
- дуализирующий 29 (упр. 30)
-индуцированный 114 (упр. 12)
- когерентный, псевдокогерентный 67 (упр. 10)
- когомологически тривиальный 116 (упр. 18)
-коиндуцированный 114 (упр. 12)
- конечно представимый 14
- копорождающий 21
- относительно инъективный, проективный 27 (упр. 19)
- строго плоский 26 (упр. 9)
Морфизм комплексов 31
Нижняя степень 30
Нулевой слева, справа комплекс 31
Оболочка инъективная 22
Ограниченный слева, справа комплекс 31
Относительно проективный, инъективный модуль 27 (упр. И
Предметный указатель
Перенесение 115 (упр. 14)
Пересечение полное 165
Плоская размерность 153 (упр. 7)
Плоские модули 12
Плоский строго модуль 26 (упр. 9)
Плоское абсолютно кольцо 27 (упр. 16)
Полное пересечение 165
Пополнение алгебры 120 (упр. 27)
Последовательность когерентная 166
- регулярная 165
- спектральная 49 (упр. 14)
- точная гомологическая 35
Предкомплекс 49 (упр. 13)
Представление 14
- длины я 66 (упр. 6)
- конечное 14
Проективная размерность 142
- резольвента минимальная 59
Произведение композиционное 122
- кручения 70, 75
- тензорное двух комплексов 71
Прюферово кольцо 153 (упр. 11)
Псевдокогерентный модуль 67 (упр. 10)
Пуанкаре многочлен 44
Размерность гомологическая 14
- инъективная 152 (упр. 4)
-когомологическая 156 (упр. 28)
- плоская 153 (упр. 7)
- проективная 142
Тог-размерность153 (упр. 8)
Расширение алгебры 138 (упр. 1)
- - Ли 139 (упр. 4)
Расширений модули 88, 95
Расщепление 39
Расщепляемый комплекс 39
Регулярная последовательность 165
- спектральная последовательность 50 (упр. 14)
Регулярное локальное кольцо 175 (упр. 12)
Резольвента 54
- градуированная 61
- инъективная каноническая 58
минимальная 67 (упр. 13)
- , проективная комплекса 69 (упр. 17)
- проективная минимальная 59
- свободная каноническая 56
- стандартная 62
Самоинъективное кольцо 28 (упр. 26)
Связность 47
Связывающие гомоморфизмы итерированные 132, 135,136
Связывающий гомоморфизм 34
для модулей расширений 95, 96
произведений кручения 78
Сдвиг р-й 32
Сизигии (теорема о сизигиях) 152
Симплекс 52 (упр. 19)
Симплициальная схема 51 (упр. 19)
Симплициально гомотопные отображения 5 2 (упр. 19)
Сингулярная гомология 36
Спектральная последовательность 49 (упр. 14)
Стандартная резольвента 62
Степень верхняя, нижняя 30
Строго плоский модуль 26 (упр. 9)
Схема снмплициальная 51 (упр. 19)
Сходящаяся спектральная последовательность 50 (упр. 14)
180
Тензорное произведение двух комплексов 71
Теорема Гильберта о сизигиях 152
- Голди 28 (упр. 25)
- Голода - Шафаревича 116 (упр. 16)
Топология Jt-адическая 166
Трансфер 115 (упр. 14)
Тривиальный когомологически модуль 116 (упр. И
Универсальных коэффициентов формула 83, 99
Формула Кюннета 84
- универсальных коэффициентов 83, 99
Формы дифференциальные 46
Характеристика Эйлера - Пуанкаре 43
Цилиндр морфизмов комплексов 40
Шафаревича - Голода теорема 116 (упр. 16)
Эйлера - Пуанкаре характеристика 43
СОДЕРЖАНИЕ
СЛОГОВ ПОЛЬЗОВАНИЯ ДАННЫМ ТРАКТАТОМ 5
§ 1. Дополнительные сведения нэ линейной алгебры 7
1. Коммутативные диаграммы 7
1. Змеевидная диаграмма 8
3. Плоские модули 12
4. Конечно предсталимые модули I4
5. Гомоморфизмы конечно представимых модулей 16
6. Структура плоских модулей 17
7. Инъективные модули 19
8. Инъективные копоровдающие 21
9. Инъективные оболочки 22
10. Структура инъективных модулей 24
Упражнения 25
§ 2. Комплексы А-модулей 30
1. Комплексы А-модулей 30
2. Операции над комплексами 32
3. Связывающий гомоморфизм и гомологическая точная последовательность 34
4. Гомотопии 37
5. Расщепляемые комплексы 39
6. Конус н цилиндр морфнзма комплексов .• 40
7. Конус инъективного морфизма; новое определение связывающего гомоморфизма' . . 42
8. Характеристики Эйлера - Пуанкаре 43
9. Комплексы правых Модулей, комплексы мультимодулей 45
10. Пример: комплекс де Рама 45
Упражнения 47
§ 3. Резольвенты ¦ 53
1. Продолжение морфнзмов комплексов 53
2. Резольвенты 54
3. Каноническая свободная резольвента 56
4. Каноническая ннъективная резольвента 57
5. Резольвенты конечного типа 58
6. Минимальные проективные резольвенты 59
7. Градуиронанные резольвенты 61
8. Стандартная резольвента 61
9. Резольвенты н группы Гротендика 63
Упражнения 64
§ 4. Произведение кручения 70
1. Тензорное произведение двух комплексов 70
2. Тензорные произведения н гомотопия 73
3. Тензорное произведение на плоский комплекс, ограниченный справа 74
4. Определение н простейшие свойства произведения кручения 75
5. Связывающие гомоморфизмын точные последовательности 78
6. Плоские модули и произведения кручения 81
7. Формула Кюннета 82
8. Ограниченные плоские комплексы над нётеровым кольцом 84
9. Обобщение на комплексы мультимодулей ' 85
Упражнения . 85
§ 5. Модули расширений 88
1. Комплексы гомоморфизмов 88
2. Комплексы гомоморфизмов н гомотопии 90
3. Определение и простейшие свойства модулей расширений 92
182 Содержание
4. Связывающие гомоморфизмы и точные последовательности 95
5. Проективные модули, инъективные модули и модули расширений 97
6. Формула универсальных коэффициентов 97
7. Обобщение на комплексы мультимодулей; канонические изоморфизмы 100
Упражнения 101
§ б. Использование неканонических резольвент 103
1. Вычисление модулей ToiA(P, M) и ExtA(M, N) 103
2. Вычисление отображений ToiA(y,/) и ExtA(/, А) 105
3. Вычисление связывающих гомоморфизмов 106
4. Конечность модулей расширений и кручения 108
5. Гомоморфизмы ТогВ(Р, N) вд Q -* ToiB(P,N »А Q) и ExtB(M, N) eA Q -*
-<• ExtB(M, N eA Q) 109
6. Гомоморфизмы ТогВ(Р, N«AQ)-<-ToiA(PeBN, Q) и ExtA(Q, HomB(N, M)-
-ExtB(NeAQ,M) : 110
7. Гомоморфизмы В eA ToiA(E. F) -> ТогВ(Е вд В, В eA F) и В ®AExtA(E, F) -
-> ExtB(B eA Е, В «А F) 110
8. Приложение: гомология и когомология групп 111
Упражнения ' 113
§ 7. Композиционное произведение 121
1. Гомоморфизм ExtA(N, P) в ExtA(M, N) - ExtA(M, P) 121
2. Семь вычислений композиционного произведения 122
3. Класс, ассоциированный с точной последовательностью 123
4. Свойства класса, ассоциированного с точной последовательностью 125
5. Связь между точными последовательностями н элементами из ExtA(M, N) 127
6. Композиционное произведение и связывающие гомоморфизмы для модулей расшире-
расширений 130
7. Гомоморфизм ExtA(P,Q) eToiA(P. M)-ToiA(Q, M) 133
8. Композиционные произведения и связывающие гомоморфизмы для произведений
кручения * 134
9. Вычисление композиционных произведений посредством сдвига резольвент 136
Упражнения ¦ 138
§ 8. Гомологическая размерность 142
1. Проективная размерность модуля 142
2. Гомоморфизм XoiA(P. M)->HomA(ExtA(M,A),P) 144
3. Гомологическая размерность кольца 146
4. Кольца гомологической размерности 0 147
5. Кольца гомологической размерности 1 147
6. Гомологическая размерность колец многочленов . 148
7. Гомологическая размерность градуированных модулей 150
Упражнения 152
§ 9. Комплексы Козюлн 157
1. Комплексы K(u), K.(u.C), К'(и, О 157
2. функториальность 159
3. Пример 1: комплекс S(?)»AA.(?) 160
4. Пример 2: случай свободного модуля 162
5. Пример 3: случай L = A 164
6. Полные пересечения -...>• 165
7. Критерий для полных пересечений 166
8. Доказательство теоремы 1: первая часть . . . • 168
9. Доказательство теоремы 1: вторая часть 169
10. Класс расширений, ассоциированный с регулярной последовательностью 171
Упражнения • 173
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ . . . .' 176
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 177