/
Текст
Я. Л. ТРАЙНИН
ОСНОВАНИЯ
ГЕОМЕТРИИ
ПОСОБИЕ
ДЛЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИНСТИТУТОВ
Под редакцией Ю. И. С о ρ кипа
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР
Моек ва 1961
Данная книга рекомендована Ученой комиссией
по математике ГУ ВУЗа Министерства просвещения
РСФСР в качестве учебного пособия для
физико-математических факультетов педагогических
институтов.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга является результатом многократного
чтения курса оснований геометрии в Новосибирском
педагогическом институте.
На основании своего педагогического опыта автор пришёл
к убеждению, что наряду с такими прекрасными учебниками,
как книга Н. В. Ефимова «Высшая геометрия» и книга В. И.
Костина «Основания геометрии», будет целесообразным и
полезным издание такого учебника оснований геометрии, который
ещё в большей мере отвечал бы характеру преподавания в
педагогическом институте, задачам подготовки преподавателей
математики средней школы и полностью соответствовал бы
существующей программе курса оснований геометрии.
Этими целями и руководствовался автор при создании пред·»
лагаемого пособия, стремясь придать ему такие особенности
изложения и структуры, подчеркнуть такие стороны, которые,
по мнению автора, способствовали бы достижению указанных
целей.
Прежде всего автор стремился дать максимально доступное
и в то же время достаточно строгое изложение как принципа
альных идей и важнейших понятий, так и фактического
материала курса, отобрать наиболее простые и наглядные варианты
доказательства многих теорем.
Добиваясь достижения этой педагогической цели, автор не
стремился давать всюду непременно оригинальные доказатель*
ства и аргументацию, а счёл наиболее целесообразным широко
использовать имеющуюся у нас богатую литературу. Помимо
произведений Н. И. Лобачевского, автор использовал замечав
тельные книги, статьи и комментарии профессора В. Ф. Каган,
«Краткий очерк основ геометрии Лобачевского», профессора
П. А. Широкова, «Основания геометрии» профессора С. А.
Богомолова, книги Ф. Клейна, учебник «Высшая геометрия»
Н. В. Ефимова, статьи академиков П. С. Александрова и
А. Н. Колмогорова, статьи профессоров А.· П. Нордена и
С. А. Яновской и др.
В книге уделено довольно много места освещению истории;
развития важнейших геометрических идей. Без такого истори*
&
ческого обзора было бы трудно мотивировать возникновение
геометрии Лобачевского и современного аксиоматического
метода и сделать для студента понятным значение многих проблем,
затрагиваемых в курсе.
В отличие от учебников Н. В. Ефимова и В. И. Костина в
предлагаемой книге геометрия Лобачевского излагается перед
аксиоматикой Гильберта. Хотя этим и нарушается требование
строгой логической обоснованности теорем абсолютной
геометрии, на которые приходится опираться при изложении геометрии
Лобачевского, %но такое положение вещей вполне оправдано из
педагогических соображений. Необходимо раньше познакомить
студентов с гиперболической геометрией, чтобы дать им
возможность на конкретном материале понять ту роль, которую*
играет в построении геометрии принятие той или иной аксиомь,
в данном случае аксиомы параллельности, при сохранении
остальных аксиом. Тем самым даётся исходная основа для
постановки вопросов о полноте, независимости и непротиворечивости
системы аксиом. Таким образом, более раннее ознакомление
студентов с геометрией Лобачевского, хотя бы и со
значительными элементами геометрической интуиции, очень полезно в том
отношении, что подводит их к уяснению причин и мотивов воз-*
никновения и разработки современного аксиоматического
метода и неевклидовых геометрий, к пониманию проблем
современной математики.
Не лишне, кроме того, отметить, что такой порядок
изложения соответствует и исторической последовательности развития
вдей.
Далее автор стремился придать изложению некоторую (хотя,
возможно, и в недостаточной мере) профессиональную
направленность. Это выразилось в попытках связать изложение, где
это представилось уместным, с преподаванием соответствующих
тем школьного курса геометрии и разъя£нить важность и
значение того или иного теоретического вопроса для учителя
математики.
Особенностью предлагаемого пособия является также
освещение на протяжении всего изложения вопросов
принципиального и философского характера, с которыми органически связан
курс оснований геометрии, с позиций диалектического
материализма. О важности этой стороны курса для будущего учителя
говорить не приходится. Последний параграф книги специально
посвящен краткому изложению философской трактовки
некоторых вопросов аксиоматики.
Не останавливаясь на многих других деталях книги,
отметим лишь, что в ней содержится также материал, выходящий за
пределы программы. Этот материал напечатан мелким
шрифтом и может быть рекомендован для изучения интересующимся
студентам, а также для использования на семинарских и
кружковых занятиях. Сюда в первую очередь относится изложение
,4
различных попыток доказательства 5-го постулата, тригономет^
рии и аналитической геометрии Лобачевского.
Автор оставляет на суд читателей решить, насколько
успешно удалось реализовать в предлагаемом руководстве
поставленные цели.
Рукопись настоящей книги находилась на обсуждении
математических кафедр ряда педагогических институтов, с ней
ознакомились многие отдельные работники кафедр. За любезно
•взятый ими на себя труд приношу всем им свою горячую
признательность.
Считаю своим особым долгом выразить свою глубокую
благодарность за отзывы, рецензии, за ценные критические заме-'
чания и дружеские советы по улучшению книги: профессору
Б. А. Розенфельду, доцентам Б. И. Аргунову, Б. М. Бахтину,
Б. Вострецову, М. В. Гиршевичу, Е. Г. Гонину, А. Н.
Колмогорову, А. М. Лопшиц, И. Ф. Тесленко, В. Д. Чистякову,
С. Л. Эдельману и ст. преподавателю Т. И. Сикорскому. В меру
возможности значительная часть этих замечаний и советов мной
использована.
Автор
ВВЕДЕНИЕ
Первостепенное значение геометрии в формировании наших
пространственных представлений и в практической деятельности
человека, её неразрывная связь со многими естественными и
техническими науками, наконец, её роль в развитии логического
мышления учащихся — всё это вполне определяет тот большой удельный
вес, какой имеет геометрия как предмет преподавания в учебном
плане средней школы, а т£кже ту ответственность за высокое
качество её преподавания, которая ложится на учителя математики.
Как известно, в геометрии (и в других математических науках)
применяется особый, выработанный уже более двух тысяч лет
назад в древней Греции, дедуктивный, или аксиоматический,
метод изложения. Его сущность заключается в том, что весь
материал, все истины геометрии выводятся чисто логическим путём из
небольшого числа основных предложений (аксиом) и понятий,
положенных в основу всего геометрического здания.
В связи с этим перед педагогом с первых же шагов, с первых же
уроков геометрии встают весьма важные и трудные вопросы,
которые имеют не только глубокий математический, но и философский
интерес и от решения которых зависит правильность, научность
и глубина самого преподавания.
Таковы, например, вопросы о том, в чём сущность и роль и
каково происхождение основных понятий и аксиом геометрии;
каково их отношение к реальному пространству; в чём сущность
и роль математического доказательства и какую роль играют
логика и очевидность в геометрии, каково их соотношение; откуда
черпаем мы уверенность в том, что, развивая содержание
геометрии, мы никогда не придём к логическому противоречию; какова
структура геометрии как науки и чем отличается изложение её
в школе от строго научного её построения.
Эти принципиальные вопросы на протяжении многих веков
приковывали к себе внимание математической и философской мысли.
В зависимости от их решения геометрия как наука и как учебная
дисциплина на протяжении нескольких тысячелетий своего
развития меняла свои основные принципы, цели, содержание и
методы.
За последнее столетие, со времён Лобачевского, под влиянием
открытой им новой геометрии научная мысль сделала огромный
шаг вперёд в развитии точных представлений об основах геометрии.
6
Критическое исследование привело к коренному пересмотру всех
прежних геометрических воззрений и к весьма широким
обобщениям, имеющим большую философскую значимость и
характеризующим исключительную мощь современной математической
мысли. Многое из старого отжило и является ничем не оправдываемым
пережитком, многое получило совершенно иной, более глубокий
смысл.
Поэтому овладение современными общими идеями геометрии
и знакомство с геометрией Лобачевского, породившей эти идеи,
" является необходимым и существенным элементом педагогического
образования учителя математики. Без такого знакомства он не
будет во всеоружии, как с научной, так и с педагогической точки
зрения, при передаче геометрических знаний подрастающему
поколению. Чтобы не быть рабом традиций и учебника, а быть мастером
своего дела, педагог должен уметь глубоко и критически подходить
к излагаемому им материалу, уметь правильно сочетать
научность изложения с теми требованиями, которые к нему
предъявляются возрастными особенностями учащихся и конкретными
условиями преподавания. Этого можно достичь лишь при том
условии, если педагог будет хорошо знаком с современными
идеями геометрической науки.
Задачей курса оснований геометрии и является изложение
сведений о тех общих идеях и принципах, которые лежат в основе
построения геометрической системы. Содержание этого курса сводится
к учению об основных понятиях и аксиомах
геометрии, о принципах дедуктивного
(аксиоматического) построения геометриче·
ской системы и о возможности замены
одних аксиом другими.
Понимание этих идей, причин и мотивов их появления было бы
сильно затруднено без исторического освещения. Поэтому является
целесообразным рассматривать возникновение этих идей на фоне
исторического развития геометрии.
Изложение исторических сведений будет дано нами очень сжато
и лишь в той мере, насколько это будет связано с тремя
решающими поворотными моментами в истории развития учения об
основаниях геометрии. Эти моменты связаны с именами Евклида,
Лобачевского и с созданием современного аксиоматического метода.
Из сказанного вытекают две особенности курса оснований
геометрии. С одной стороны, трудно указать такие вопросы в этом
курсе, которые не имели бы прямого отношения к школьному
курсу геометрии. В то же время этот курс проникнут идеями
столь общего и философского характера, имеющими
первостепенное значение для математики в целом, что едва ли в какой-либо
другой дисциплине встречается столько возможностей расширения
математического кругозора будущего учителя.
ГЛАВА I
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР
РАЗВИТИЯ ОСНОВАНИЙ ГЕОМЕТРИИ
§ 1. РАЗВИТИЕ ГЕОМЕТРИИ ДО ЕВКЛИДА
1. Догреческий период развития геометрии
Более двух тысяч лет назад в древней Греции впервые
возникли и стали развиваться основные воззрения, относящиеся
к вопросам обоснования геометрии. Это развитие привело к
созданию в III в. до н. э. первой логически связанной
геометрической системы величайшим геометром древности Евклидом.
Однако древнегреческому периоду развития геометрии
предшествовал многотысячелетний период возникновения и накопления
геометрических знаний человечеством.
Первоначальные геометрические знания наряду с понятием
числа имеют свои истоки в ранних, доисторических, временах
человеческой культуры, в практике первых измерений и счёта,
производившихся человеком.
Наибольшего развития геометрических знаний в догреческий
период достигли древневосточные цивилизации (Египет, Ассиро-
Завилония, Индия, Китай). Как свидетельствуют дошедшие до
нас исторические памятники, геометрические сведения,
накопленные в течение тысячелетий этими народами, носили
узкопрактический и эмпирический характер и были непосредственно
связаны с удовлетворением насущных жизненных потребностей,
с измерением земельных участков, со строительством дворцов и
храмов, с изучением небесных явлений, с торговлей.
«Как и все другие науки,— писал Ф. Энгельс, — математика
возникла из практических нужд людей: из измерения площадей
земельных участков и вместимости сосудов, из счисления времени
и из механики» (Энгельс, Анти-Дюринг, 1948, стр. 37).
Так, возникновение геометрических знаний в Египте
историками объясняется необходимостью измерений земельных участков,
которые приходилось ежегодно проводить из-за разливов Нила,
смывавших границы участков. Эгим объясняется и название
геометрии — «землемерие».
Насколько были значительны геометрические знания, напри-
8
мер у древних египтян, свидетельствуют грандиозные храмы,
дворцы и поражающие своими размерами пирамиды.
Их геометрические сведения представляли собой собрание
разрозненных, догматически излагаемых правил, иллюстрируемых
на частных численных примерах; ни о каком доказательстве этих
утверждений в общем виде, об установлении между ними какой-
либо логической связи не было и мысли. Правила решения задач,
относящихся главным образом к измерению площадей и объёмов,
носили характер голых рецептов, практических предписаний,
бывали иногда неточными. Геометрия в ту отдалённую эпоху являла
собой механическую смесь не связанных друг с другом
геометрических фактов; то была эпоха предварительного
накопления геометрических сведений.
Говорить о геометрии как науке на этой стадии, конечно, нельзя
2. Основные периоды развития греческой математики
до Евклида
В VII в. до н. э. геометрические знания благодаря
оживлённым торговым сношениям проникли из Египта в Грецию. Здесь
на новой почве, в связи с общим расцветом экономики, науки,
искусства и общественной жизни в древней Греции, геометрия
получила широкое развитие и в руках греческих ученых и
философов претерпела в сравнительно короткий исторический срок
коренные изменения.
Греки освободили геометрию от узкоприкладного и
рецептурного характера, который она имела у египтян, и в течение трёх
столетий преобразовали геометрию в строгую теоретическую науку
и продвинули её развитие неизмеримо дальше, чем египтяне в
течение нескольких тысячелетий.
Развитие греческой математики до Евклида можно разделить
на три периода в связи с передвижением центра развития
греческой науки и философии. Первый период развития греческой
геометрии относится к VII—VI вв. до н. э. и связан с так называемой
ионийской школой в Малой Азии, основателем и главным
представителем которой являлся Фалес Милетский. Затем, во второй
период, центр развития переносится в Южную Италию (VI—V вв.
до н. э.), этот период олицетворяется Пифагором и его школой.
Третий период, падающий на IV в. до н. э., характеризуется
перемещением центра развития в Афины, и наиболее выдающимися
представителями этого периода являются философские школы
Платона и Аристотеля и математики Евдокс Книдский и Менехм.
Не имея возможности подробно останавливаться на отдельных
этапах развития геометрии в древней Греции до Евклида, мы
отметим лишь самые основные достижения и проблемы, выдвинутые в
процессе исторического развития геометрической мысли и в
-значительной степени определившие содержание, метод изложения,
группировку материала и научную строгость «Начал» Евклида.
9
Излагая в дальнейшем лишь очерк развития идей, имевших
важнейшее значение для создания «Начал» Евклида, заметим,
однако, что эти идеи были порождены не одной лишь внутренней
логикой развития математической мысли без всякой связи с
культурой и экономикой древнегреческого общества.
Наоборот, навеем развитии математики в древности лежит ярко
выраженная печать влияния на неё различных философских
учений от материализма Демокрита до идеализма Платона. Это
влияние определяло задачи, методы и принципы геометрии как науки.
Философские же учения древней Греции были идеологическим
выражением той острой политической борьбы, которую вели между
собой различные группы господствующего класса рабовладельцев
на почве столкновения противоположных экономических
интересов. Философская и научная мысль неизбежно испытывала на себе
влияние различных экономических и политических форм
существования древнего рабовладельческого общества в Греции, борьбы
демократии и аристократии, походов Александра Македонского,
создания и падения его грандиозной империи. Всё это, разумеется,
наряду с непосредственными запросами техники и астрономии
прямо или косвенно влияло на идейное развитие математики, даже
на формы доказательства её теорем. Вместе с тем такая
органическая связь математики с философией, с политической жизнью и
экономикой эпохи делала математику одним из значительных
элементов эллинской культуры.
3. Первый период развития древнегреческой геометрии
Первый период развития геометрии в древней Греции,
центральной фигурой которого был Фалес Милетский, является
поворотным пунктом в развитии геометрии. Геометрия в этот период
из собрания эмпирических и разрозненных правил для решения
узкопрактических задач, унаследованного греками от народов
древнего Востока, в руках греческих философов постепенно стала
превращаться в науку. Греки впервые стали логически
доказывать отдельные предложения геометрии в ебщем виде. Так, Фалесу
приписывают доказательство следующих теорем:
1) Угол, вписанный в полуокружность, прямой.
2) Диаметр делит круг на две равные части.
3) Вертикальные углы равны.
4) Углы при основании равнобедренного треугольника равны
между собой. '
5) Треугольник определяется одной стороной и двумя
прилежащими к ней углами.
Таким образом, было положено начало научному оформлению
материала, позаимствованного у египтян, приведению
геометрических истин в стройную систему, наряду с чем происходил и
дальнейший процесс накопления новых геометрических фактов,
включавшихся в создаваемую научную систему.
10
Это достижение греческих математиков имело важнейшее
значение в развитии геометрии. Во-первых, общее доказательство
геометрического предложения охватывало все возможные частные
случаи и тем самым освобождало от необходимости эмпирической
проверки каждого отдельного случая. Тем самым суживалось поле
применения опыта и наблюдения в геометрии. Во-вторых, этот
процесс логической обработки геометрического материала указал
на новый чрезвычайно плодотворный и надёжный путь открытия
новых геометрических фактов — путь логического вывода. Всё
более и более укреплялось стремление довести анализ логических
связей до самых основных посылок.
Постепенно выделялись те немногие первоначальные
предложения геометрии (аксиомы), которые единственно должны быть
заимствованы из опыта и положены в основу геометрии без
логического доказательства. Было заложено начало
созданию дедуктивного, или
аксиоматического, метода изложения геометрии.
4. Второй период развития древнегреческой геометрии
Процесс накопления материала и научной его обработки
продолжался и в период расцвета пифагорейской школы. Пифагору
приписывают доказательство следующих важнейших
предложений:
1) Сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым
углам.
2) Плоскость можно покрыть правильными треугольниками,
четырёхугольниками и шестиугольниками.
3) Площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна
сумме площадей квадратов, построенных на катетах (теорема
Пифагора).
Далее, Пифагору приписывается открытие геометрического
способа решения квадратных уравнений; построение
многоугольника, равновеликого данному многоугольнику и подобного другому;
построение звездообразного пятиугольника; открытие пяти
правильных многогранников (тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр,
икосаэдр); знакомство с арифметической, геометрической и
гармонической пропорциями, с треугольными, совершенными и
дружественными числами.
Но самым важным открытием школы Пифагора явилось
открытие существования несоизмеримых отрезков. Это поразившее
греков открытие оказало огромное влияние на всё дальнейшее
развитие греческой математики. До этого открытия греки считали, что
отношение двух любых отрезков может быть выражено
отношением двух целых чисел, т. е. рациональным числом. Оказалось,
что это неверно. В сознании грека, знавшего только
рациональные числа, легла непроходимая грань между понятием числа и
понятием непрерывной величины, выражаемой сплошным отрез-
п
ком прямой. Эго явилось настоящим кризисом в развитии
греческой математики. Основное положение философии школы
Пифагора, что «число есть мера вещей», потерпело поражение, так как
оказалось, что те числа, которые были известны грекам, совершен-
но недостаточны для выражения меры произвольных
непрерывных величин. Не сумев подняться до понятия иррационального
числа, греческая математика пришла к той мысли, что
геометрическая непрерывная величина является более общим понятием, чем
число, ибо всякое рациональное число можно представить при
помощи отрезка прямой, но не всякий отрезок можно выразить при
помощи числа. Поэтому геометрия греков не знает придожений
алгебры или арифметики к геометрии, а, наоборот, мы имеем там
дело с приложением геометрии к алгебре и арифметике.
Геометрия, сточки зрения древнегреческой математики, есть более общая
наука, чем учение о числе, а потому должна трактоваться
независимо от науки о числах и должна занимать господствующее
положение в математической науке. Геометрия и арифметика должны
быть строго разграничены между собой. Таким образом,
современная математика, принципиально полагающая своим основным
понятием число и сводящая геометрические понятия и образы к
арифметическим понятиям и операциям, стоит на диаметрально
противоположной точке зрения сравнительно с древнегреческой
математикой.
В тесной связи с открытием несоизмеримых величин,
невыразимых при помощи числа, находится другая характерная черта
древнегреческой математики.
Разработка многих вопросов геометрии неизбежно приводила
греческих математиков и философов к понятиям бесконечности и
движения, к учению о бесконечно малых. К таким вопросам
относились приближённые вычисления несоизмеримых величин;
рассмотрение вопросов, связанных со спрямлением окружности
и квадратурой круга при помощи вписанных и описанных
многоугольников; вычисление объёмов и поверхностей круглых тел и
объёма пирамиды; философская разработка основных понятий
геометрии— точки, линии, поверхности, движения — и связей между
ними*). На этом пути греческая математика натолкнулась на
глубокие противоречия и парадоксы, в ряде случаев допускались
в логических рассуждениях весьма шаткие заключения,
основанные на злоупотреблении понятием бесконечности, на
произвольном и необоснованном перенесении выводов, верных в отношении
конечных процессов на бесконечные процессы. Эти противоречия
вызвали ожесточённую критику и споры среди философов.
*) Выдающуюся роль в разработке учения о бесконечно малых в геометрии
сыграла материалистическая школа древнего атомиста Демокрита из Абдеры (V в.
до н. э.), являющегося предшественником гениального учёного древности
Архимеда и зачинателя идей анализа в новое время Кавальери. Тормозящее влияние
на развитие идей Демокрита оказала реакционная идеалистическая философия
Платона.
12
Это привело греческую математику к необходимости устранения
понятий бесконечности и движения из логических рассуждений.
Нужно было найти обходный путь, который бы прочно защитил
математические построения от нападок критики. Крайняя научная
осторожность в построении геометрической системы и привела
греческих учёных к отказу от употребления бесконечных процессов,
а также к стремлению избегать использования движения в
геометрии.
5. Афинский период
Таким образом, древнегреческая математика в процессе своего
развития, натолкнулась на такие трудности, которые грозили
прочности всего геометрического зданий и которые могли быть
преодолены лишь на пути тщательного критического пересмотра
всего накопленного материала.
Перед учёными и философами встала первостепенная задача
выработать строгие научные методы и определённые формы
строгого доказательства геометрических истин, подвести прочный
фундамент под всё здание геометрии и свести её истины в единую
стройную систему. Нужно было сделать геометрию неуязвимой и
защищенной от нападения самой придирчивой и изощрённой
критики. При этом считалось, что строгое построение геометрической
системы возможно лишь при условии, если оно будет
осуществлено без привлечения понятий числа, бесконечности и
движения.
Эта задача была в значительной степени выполнена в Ιλ' в. до
н. э. главным образом благодаря философским школам в Афинах
Платона и Аристотеля и математической школе Евдокса.
Со школами Платона и Аристотеля связывают два основных
достижения: во-первых, выработку принципов научного
построения геометрической системы, расчленения её предложений на
аксиомы, теоремы и определения; во-вторых, разработку
определённых методов и форм доказательства: анализ,'синтез,
доказательство от противного. Ясное и чёткое изложение эти вопросы
получили у создателя логики как науки Аристотеля (384—322 гг.
до н. э.). 1
Заслуга Аристотеля в развитии математики заключается в
чёткой формулировке логических принципов изложения
математической науки, дедуктивного метода изложения математики.
Аристотель использовал математику как готовый арсенал образцов
для различных форм логических выводов. Следует подчеркнуть
ещё один момент в его влиянии на изложение геометрии.
Аристотель первый указал на различие числа и величин
протяжения: в то время как число является величиной дискретной,
раздельной, изменяющейся скачками, вторые непрерывны. На
основании этого Аристотель считает непозволительным прилагать
арифметику к геометрии и возвёл в принцип требование
трактовать геометрию независимо от науки о числах.
13
Что касается преодоления тех трудностей, которые возникли в связи с от
крытием существования несоизмеримых величин и требованием исключить понятие
бесконечности, то это также было достигнуто в IV в. до н. э. благодаря
трудам современника Платона Евдокса Книдского. /
Поскольку отношение двух несоизмеримых величин не может быть
выражено числом, Евдокс поступает следующим образом, если выразить его мысль;,
прибегая к буквенной символике. Пусть α и b — две однородные величины (аре
числа). Будем говорить, что они образуют отношение, если при достаточно
большом натуральном η будет па > έ, где под символом па понимается величина а,
повторённая π (раз. у
Далее, Евдокс определяет равенство двух отношений несоизмеримых/величин
следующим образом. Будем полагать, что а : b=c : d, если при любых целых
числах тип как для членов 1-го, так и 2-го отношения будут одновременно
соблюдаться неравенства одного и того же смысла:
ma^nb и тсЩпа.
а ^ η с ^ η
Если перепишем эти неравенства в виде —^—» -—^—» то становит-
Ь ^ т a < m
ся ясным, что отношения несоизмеримых величин определяются по приближению
рациональными числами, т. е. здесь имеем идею, положенную Дедекиндом в
основу определения иррационального числа. Евдокс, таким образом, нашёл выход
из положения без введения иррациональных чисел, определив отношение
несоизмеримых величин при помощи неравенств с целыми числами.
Евдоксом же был разработан* так называемый метод исчерпывания, который
дал возможность доказывать предложения геометрии, связанные с бесконечными
процессами, таким образом, чтобы запретное понятие бесконечности нигде в
рассуждении не фигурировало и, следовательно, этим обходным путем оно как-бы
«изгонялось» из геометрии. Этот способ доказательства, получивший своё
неудачное название в XVII столетии, основывается на следующей теореме: если из
какой-либо величины отнять половину её или более, с остатком поступить так
же и т. д., то при достаточно большом числе повторений этой операции можно
дойти до такой величины, которая будет меньше любой данной величины.
Метод исчерпывания позволил Евдоксу путем рассуждения от противного
доказывать предложения, связанные с измерением площади круга, объёма
пирамиды, конуса и шара. Он играл в этих вопросах ту же роль, которую играет в
наше время метод пределов.
Заметим, наконец, что ученик Евдокса Менехм открыл конические сечения и
начал развивать их теорию.
Таковы искания, основные проблемы и результаты,
достигнутые в области геометрии к началу III в. до н. э. Наступила эпоха,
которая требовала объединения всего этого материала в единую
систему, построенную с полной строгостью в соответствии с
разработанными принципами и методами безупречных доказательств.
Остановимся на более подробном освещении тех принципов
научного изложения геометрии, которые, как отмечалось выше, были
сформулированы универсальным учёным и философом древности
Аристотелем.
6. Принципы научного построения геометрии
Геометрия изучает свойства и взаимные отношения целого ряда
понятий: точка, прямая, плоскость, угол, треугольник,
окружность, диаметр и т. д. При этом к научному изложению геометрии
предъявляется требование максимальной последовательности, ло-
14
гич^ской связности, определённости и ясности. Поэтому
выдвигается принцип чёткого расчленения всего материала геометрии на
ряд Уочно сформулированных предложений, которые носят
название Цсиом, теорем и определений.
Какова роль и значение этих геометрических предложений?
Свойства и отношения геометрических понятий выражаются
в виде\некоторых утверждений, справедливость которых
устанавливаете^ при помощи доказательства. Если мы присмотримся
к процёрсу доказательства какого-либо геометрического
предложения, to убедимся, что сущность доказательства заключается в
том, что мы при помощи рассуждений, построенных по законам
логики, устанавливаем истинность рассматриваемого
предложения, опираясь на другие предложения. Иначе говоря, мы путём
логических умозаключений выводим данное предложение
как логическое следствие других предложений, справедливость
которых считается уже установленной. Но, обращаясь к этим
ранее установленным предложениям, которыми мы пользовались
как логическим основанием при доказательстве данного
предложения, мы заметим, что они в свою очередь являются
логическими следствиями предложений, доказанных ещё ранее, и т. д.
Этот процесс сведения новых предложений к ранее доказанным
не может быть бесконечным, он неизбежно приведёт в конце
концов к таким предложениям, которые без ошибки порочного круга
уже не могут быть логически обоснованы ссылкой на другие
предложения. Мы вынуждены принять их без доказательства
и положить в основу логического вывода всех прочих
предложений геометрии.
Такие предложения, которые
принимаются без доказательства, как основные,
первоначальные, называются аксиомами (или
постулатами), а все прочие предложения
геометрии, которые доказыбаются на основе
аксиом, называются теоремами*).
Такова роль аксиом и теорем. Перейдём теперь к
определениям.
В процессе развития геометрической системы приходится
постоянно сталкиваться с одними и теми же сочетаниями уже
известных понятий, причём эти сочетания имеют важное
практическое и теоретическое значение, они и порождаются в результате
запросов повседневного опыта, практики и теории. Каждому ясно,
насколько практически важны, например, понятия окружности
или подобия. Поэтому в целях облегчения и углубления
дальнейшего развития геометрии, что в значительной степени связано
с краткостью и удобством речи, такое сочетание понятий
объединяют в одно сложное понятие, которому дают особое название,
*) Так называемые «следствия» и «леммы» являются также теоремами,
играющими некоторую особую роль в геометрической системе.
15
т. е. обозначают специальным термином. Так, например, мы
говорим: «Диаметром называется хорда, проходящая через цртр
окружности». Здесь понятие «диаметр» является определённым
сочетанием понятий: «хорда», «проходит через», «центр»
«окружность». Это сочетание оказывается очень важным при изучении
окружности, и потому оно выделено в самостоятельное приятие
и получило особое наименование — «диаметр».
В интересах ясности изложения, гарантии от недоразумений
и расплывчатости в понимании к научному построению геометрии
предъявляется требование: каждый раз, когда вводится
специальный термин, выражающий новое понятие, необходимо разъяснить
точный смысл этого термина, раскрыть содержание
вновь/вводимого понятия через знакомые уже понятия, сочетанием/ которых
оно является.
Предложение, устанавливающее смысл
нового термина, раскрываю щ.е е содержание
нового понятия через известные уже
понятия, называется определением.
Таким образом, при помощи определения новое понятие
сводится к ранее известным, более простым или более общим понятиям.
Но и последние в свою очередь при помощи определений сводятся
к понятиям, определённым ещё ранее. Этот процесс сведения одних
понятий к другим, ранее определённым, неизбежно приведёт в
конце концов к таким понятиям, которые уже не могут быть без ошибки
порочного круга сведены к другим понятиям. Определить
решительно все понятия геометрии невозможно, какие-то понятия мы
вынуждены принять без определений и положить их в основу определения
всех остальных понятий геометрии.
Такие понятия, принимаемые в начале
изложения геометрии без определений,
называются основными или первоначальными. Все прочие
понятия геометрии должны быть обязательно определены через
основные и ранее определённые понятия и называются
производными понятиями.
Итак, все предложения геометрии, в которых содержатся
некоторые утверждения о геометрических понятиях, строго делятся
на две категории: аксиомы и теоремы; аналогично все
геометрические понятия также делятся на две категории: основные и
производные.
Основное требование, которое
предъявляется к строго научному построению
геометрии, заключается в том, что всякое
суждение о геометрических понятиях должно
быть или открыт о помещено в числе аксиом,
и h и строго доказано только лишь на основе
аксиом и ранее доказанных теорем;
аналогично, всякое понятие должно бытьили
открыто помещено в число основных, или
16
точно определено с помощью основных и
ранее определённых поняти й*).
Заметим, что метод изложения науки на основе изложенных
выше принципов называется дедуктивным или
аксиоматическим, так как он состоит.в развитии всего
содержания научной теории при помощи дедукции, т. е. логического
вывода из небольшого числа аксиом и первоначальных понятий.
Таким образом, дедуктивная система изложения заключается
в следующем:
1) Даётся перечень основных понятий.
2) Излагается перечень всех аксиом.
3) Формулируются теоремы.
4) Даётся доказательство каждой теоремы.
5) Дается определения всех вновь вводимых понятий.
Всё сказанное выше относится не только к геометрии, но и к
любой математической науке. Эги принципы явились путеводной
нитью для греческих геометров в деле научной систематизации
накопленного материала, в деле превращения геометрии в единое
стройное логическое здание, основанное на небольшом числе
исходных предпосылок.
Насколько назрела в этом необходимость, свидетельствует тот
факт, что уже задолго до Евклида появились попытки создания
систематических руководств по геометрии, каковы, например,
сочинения Гиппократа Хиосского (V в. до н. э.), Февдия из
Магнезии (IV в. до н. э.) и других. Однако эта задача по
систематизации геометрии нашла своё наиболее совершенное и
полное разрешение в созданных Евклидом «Началах», явившихся
в этом отношении кульминационным пунктом достижений древних
и относящихся к следующему, Александрийскому, периоду
развития греческой математики.
§ 2. «НАЧАЛА* ЕВКЛИДА
Сведения о жизни Евклида, дошедшие до нас, очень скудны.
Известно, что Евклид жил около 300 г. до н. э. и что расцвет его
творчества приходится на Александрийский период развития
эллинской культуры и науки, когда после смерти Александра
Македонского и распада его огромной империи на первое место по
своему экономическому, политическому и культурному значению
выдвинулся г. Александрия, новопостроенная столица Египта.
Евклид является центральной фигурой этого периода, а вместе
с тем и всей древнегреческой математической науки. Он при царе
Птолемее преподавал математику в Александрии и был основате-
*) Необхолимо иметь в виду, что первоначальными понятиями и аксиомами
не исчерпываются все начальные предпосылки геометрии. Кроме них, в качестве
предпосылок подразумеваются законы и правила логики и общелогические
термины, такие, как «каждый», «все», «существует», «если, ...то», «необходимо и
достаточно» и т. д.
17
лем математического отделения музея, учрежденного Птолемеем.
Сохранилось несколько недостоверных рассказов об Евклвде.
В одном из них повествуется, что царь Птолемей обратил/я к
Евклиду с вопросом, не существует ли более короткого пути к
познанию геометрии, чем изучение «Начал». Евклид гордо ответил
царю, что в геометрии нет особого царского пути. Из работ,
написанных Евклидом, главным произведением являются «Начала».
Кроме «Начал», до нас дошли его сочинения «Данные», «О делении
фигур», «Оптика» и один астрономический трактат. Ряд/других
работ Евклида, в частности его работа «Конические сучения»,
утрачены.
1. Содержание «Начал» и их характеристика
«Начала» Евклида состоят из 13 книг. Из них I—VI посвящены
планиметрии, VII—IX — арифметике, X — несоизмеримым
величинам, XI—XIII — стереометрии.
Первая книга содержит учение об отрезках, о сторонах и углах
треугольника, о построении треугольников, о перпендикулярных
и параллельных прямых, о параллелограммах, о площадях
треугольников и параллелограммов, теорему Пифагора.
Книга II целиком опирается на результаты I и посвящена
вопросам геометрической алгебры. В ней, например, даётся в
геометрической форме тождество (а + Ь)2 = а2 + 2 ab + Ь2. Книга
заканчивается геометрическим решением квадратных
уравнений.
В III книге излагается учение об окружности и круге, о
секущих и касательных и об углах, образуемых ими, о степени
точки относительно окружности.
Книга IV посвящена учению о вписанных и описанных
многоугольниках, построению правильных четырёхугольника,
пятиугольника, шестиугольника, пятнадцатиугольника.
Книга V содержит евдоксово учение о пропорции, и тем самым
даётся геометрический эквивалент положительного вещественного
числа и оправдание производства действий с несоизмеримыми
величинами. Евдоксова теория пропорций заменяла грекам теорию
иррациональных чисел.
Приложения учения о пропорциях даются в VI книге, где
излагается учение о подобных фигурах и расширяется область
геометрической алгебры.
Книги VII—IX посвящены арифметике, теории чисел.
Характерно, что здесь учение о пропорциях с целыми числами снова
рассматривается и притом независимо от исследований V книги. Мы
видим, таким образом, что Евклид здесь строго придерживается
принципа разделения учения о числах от учения о геометрических
величинах. В этих книгах даются теоремы о непрерывных
пропорциях и о прогрессиях. Особо следует упомянуть, что именно в этих
книгах Евклид излагает знаменитый алгорифм нахождения общего
наибольшего делителя двух целых чисел и известное доказательство
18
бесконечности множества простых чисел, а также теорему о чётных
совершенных числах.
ρ Χ книге Евклид вновь возвращается к несоизмеримым
величинам и даёт классификацию тонко разработанной системы
квадратичных иррациональностей в геометрической форме. Весь этот
материал является вспомогательным для стереометрических
рассмотрений XIII книги.
Кн^ги XI—XIII посвящены стереометрии. В-них излагаются
начала ^стереометрии, определяются отношения площадей кругов,
объёмов пирамид и других тел, причём используется евдоксов
метод исчерпывания.
В кн^ге XIII изучаются правильные многогранники.
Краткий обзор содержания «Начал» в свете результатов,
достигнутых геометрией до Евклида, делает возможным сделать ряд
заключений о характерных чертах этого творения.
«Начала» объединили в одно целое всё то из элементов
геометрии, что было сделано предшественниками Евклида в этой области.
Весь этот материал приведён Евклидом в строгую систему и строга
распределён по роду изучаемых вопросов, а также в соответствии
с принципами отделения геометрии от арифметики, планиметрии
от стереометрии.
Прежде всего Евклид тщательно заботится о том, чтобы сделать
свой труд безупречным не только сеточки зрения общего
построения, но и сделать его неуязвимым от нападений критики при
разработке вопросов, связанных с несоизмеримыми величинами и с
понятиями бесконечности и движения. Он полностью использует
принципы строгих доказательств и, в частности, методы Евдокса.
Следует при этом отметить способ изложения «Начал». Каждое
предложение сперва формулируется, затем указывается, что. дано
и что требуется доказать. Далее излагается доказательство со всеми
ссылками на ранее доказанные предложения, постулаты и
аксиомы. Каждое доказательство заканчивается словами «что и
требовалось доказать». В каждом доказательстве рассматриваются все
детали, все возможные случаи. Предложения следуют друг за
другом без всяких пояснений и связующих рассуждений о значении
и цели той или иной темы или предложения или о ходе
доказательства. Эта утомительная «изрубленная» однообразная манера
изложения является одной из причин отрицательного отношения в
новое время к «Началам» Евклида как к учебному руководству
в школьном преподавании.
«Каждое из 470 предложений евклидовых «Начал»,— говорит
В. П. Шереметевский,— защищено процессом доказательства с
соблюдением одинаковых логических формальностей, невольно
вызывающих на сравнение с юридическими обрядами судебной
защиты; великий адвокат геометрической истины каждый раз
предусматривает все мельчайшие возражения «противной стороны»,
для которой опущение хотя бы самого очевидного силлогизма, хотя
бы одной логической формальности даёт повод к кассации всего
19
доказательства; сходство простирается до приведения налицо
всех свидетелей защиты в виде дословного цитирования раньше
доказанных теорем, подтверждающих её положения» (В. П. ше-
реметевский, Очерки по истории математики, Учпедгиз,
1940, стр. 30).
Не нужно, однако, думать, что Евклид в «Началах» выстУпает
только в роли собирателя и систематизатора. Личный творческий
вклад Евклида в "этом произведении очень'велик. Во-первыл/, сама
работа по систематизации материала под углом зрения
удовлетворения всем высоким требованиям научной строгости и точности
изложения не могла быть выполнена без огромных творческих
усилий автора. Требовалось критически пересмотреть
вс^известные геометрические предложения и существовавшие их
доказательства, многому дать новые доказательства, сопоставить с/другими
теоремами в рамках новых связей и соответствующим образом рас
положить материал. Например, Евклиду приписывается
знаменитое доказательство теоремы Пифагора, независимое от подобия
и пропорций.
Во-вторых, кроме уточнения и расчленения старого, Евклиду
принадлежит классификация несоизмеримых величин в X книге
«Начал». Если учесть, что греки не обладали нашей алгебраической
символикой и все вычисления производились «геометрически», то
нельзя не изумляться огромной силе воображения автора и его
таланту.
Далее, необходимо отметить, что «Начала» содержат не весь
материал, известный грекам в то время. В связи с поисками
решения знаменитых задач о квадратуре круга, трисекции угла,
удвоении куба греческие геометры ^изучали некоторые высшие кривые
(квадратриса Динострата, конхоида Никомеда и др.). К этому же
времени была разработана теория конических сечений; сам Евклид
написал сочинение «Конические сечения», которое до нас не д-шло.
Однако в «Началах» ни о знаменитых задачах древности,'ни об
указанных кривых, ни о конических сечениях нет ни слова. В то
же время «Начала» не являются также и обычным школьным
учебником, это скорее курс лекций для высшей школы,
преследующей не практические цели, а цели философского характера.
«Начала» считались необходимыми для подготовки к занятиям
философией.
«Такое назначение «Начал» делает понятным, почему главное
значение придавалось выработке логических связей и
установлению замкнутой самой в себе системы геометрии, тогда как все
практические применения целиком отодвигались в сторону»
(Ф. Клейн, Элементарная математика с точки зрения высшей,
т. II, Гиз, 1934, стр. 312).
Для «Начал» весьма характерно полное отсутствие
приближённых вычислений, а также полное пренебрежение к практическим
приложениям математики. Это можно объяснить следующими
причинами. Во-первых, Евклид стремился построить строгую логи-
20
чесную систему геометрии, развивая её из небольшого числа
основных посылок без всяких пробелов и скачков, пользуясь точной
терминологией и определениями, точными приёмами доказатель-
стваДВсё, что не служило этой главной цели, не включалось в
изложение. Приближённые же вычисления означали бы отказ от
абсолютно точных соотношений, а отсутствие понятия
иррационального числа сделало бы все эти вычисления просто
противоречащими всему духу и назначению «Начал». Поэтому Евклид,
устанавливая, что площади кругов относятся, как квадраты их
радиусов, а длины окружностей, как радиусы, в то же время и не
попыталая вычислить число π и длину окружности. Во-вторых,
большое значение имело то обстоятельство, что греки не обладали
удобным аппаратом для производства арифметических одераций
в виде десятичной системы нумерации, не знали буквенной
символики и не имели понятия об отрицательных и мнимых числах.
Поэтому всякие сложные вычисления, особенно извлечение корней,
представляли для них огромные трудности. В-третьих, большую
роль сыграло то, особенно подчёркнутое Аристотелем,
принципиальное отделение арифметики от геометрии,' которое красной нитью
проходит через всю историю греческой математики и нашло своё
яркое выражение в создании геометрической алгебры. Наконец,
что особенно важно отметить, вопросы вычислительной практики
и приложения математики считались третьестепенными, к ним
относились с пренебрежением и полагали, что эти вопросы
относятся не к области науки, а являются уделом торговцев,
ремесленников и рабов. Все перечисленные выше обстоятельства, ярко
выражающие отрыв науки от практики, характерный для науки той
эпохи, коренятся в самом характере древнего рабовладельческого
общества, где господствующий класс был оторван от
непосредственного участия в процессе производства, а последнее,
основанное на рабском труде, достигши известной высоты развития, дальше
не прогрессировало. Верхушка общества, носительница
древнегреческой культуры, при таких условиях неизбежно должна была
в философии и науке прийти к пренебрежительному и
высокомерному отношению к использованию науки в практических целях,
к вопросам технической практики. Эги воззрения были
господствующими в среде учёных. Идеалист Платон заявлял, что
математикой надо заниматься лишь философам, военачальникам и
администраторам, причём они должны, по мнению Платона,
упражняться в науке исчисления «не как люди простые, но входили
своей мыслью в созерцание природы чисел — не для купли и
продажи, как занимаются этим купцы и барышники, а для войны и
самой души, чтобы облегчить ей обращение от вещей преходящих
к исшне и вечной сущности».
Сократ заявлял, что геометрия есть наука лишь постольку,
поскольку она созерцает «сущее» (т. е. не материальное); поскольку
же она направляется на «бытное» — она не наука.
Таково же мнение и близкого к материализму Аристотеля. «Учи
21
всему,— писал он,— что украшает жизнь, избегая всего
практического, ремесленного: это удел рабов и илотов».
Очевидно, что Евклид был в плену этих господствовавших £ его
время философских взглядов и в соответствии с ними создавал
свои «Начала».
2. Определения, постулаты, аксиомы «Начал»
Перейдём теперь к рассмотрению того, как Евклид
осуществляет строго логическое построение геометрии на основание
немногих исходных положений.
Каждой из 13 книг «Начал» предпосылаются основные
предложения, необходимые для вывода всех предложений
рассматриваемой книги. Эти предложения делятся на 3 категории: определения,
аксиомы и постулаты.
Первая книга «Начал» начинается с 23-х определений, после чего
«следуют постулаты и аксиомы. Приведём список некоторых
определений «Начал», а также список постулатов и аксиом.
Определения:
1. Точка есть то, что не имеет частей.
2. Линия есть длина без ширины.
3. Границы линии суть точки.
4. Прямая есть линия, которая одинаково расположена
относительно всех своих точек.
5. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.
6. Границы поверхности суть линии.
7. Плоскость есть поверхность, которая одинаково расположена
по отношению ко всем прямым, на ней лежащим.
8. Угол есть взаимное наклонение двух встречающихся линий,
расположенных в одной плоскости, но не расположенных на одной
прямой.
Последнее, 23-е определение относится к понятию
параллельности.
Определение 23.
Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости
и будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той ни
с другой стороны между собой не встречаются.
Постулаты:
Требуется:
I. Чтобы из каждой точки ко всякой другой точке можно
было провести прямую линию.
II. И чтобы каждую ограниченную прямую можно было
•продолжать неограниченно.
III. Я чтобы из каждой точки, как из центра, можно было
произвольным радиусом описать окружность.
22
IV. И чтобы все прямые углы были равны друг другу.
. V. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя
другими прямыми образует с ними внутренние односторонние
углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые
пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.
Аксиом ы:
I. Равные порознь третьему равны между собой.
U. И если к равным прибавим равные, то получим равные.
III. И если от равных отнимем равные, то получим равные.
IV. И если к неравным прибавим равные, то получим
неравные.
V. И если удвоим равные, то получим равные.
VI. И половины равных равны между собой.
VII. И совмещающиеся (величины, образы) равны между собой.
VIII. И целое больше части.
IX. И две прямые линии не могут заключать пространства.
Исходя из перечисленных выше основных положений, Евклид,
должен был развить всю геометрическую систему исключительно
логическим путем, без всяких логических пробелов, без всякой
ссылки на наглядность и очевидность и не вводя скрытым образом
других аксиом или постулатов, которые не были бы указаны в
вышеприведённом списке. Нашей ближайшей задачей является·
рассмотреть, насколько Евклиду удалось осуществить эту цель.
3. Критика определений Евклида
С современной точки зрения, одним из самых слабых мест
«Начал» Евклида являются определения.
Чтобы лучше уяснить недостатки определений Евклида,
рассмотрим некоторые важнейшие требования, которые
предъявляются к построению и содержанию математических определений^
Во-первых, как уже говорилось ранее, все геометрические
понятия должны быть строго распределены на две категории:,
на основные понятия, принимаемые без определений (нужные их
свойства должны найти своё полное описание в аксиомах), и на
производные понятия, которые вводятся при помощи
определений, связывающих эти понятия с основными.
Во-вторых, раскрывая содержание определяемого понятия,,
определение одновременно должно удовлетворять ещё одному
назначению: оно должно служить опорой для логического вывода
всех других свойств определяемого понятия, не указанных
в числе признаков, характеризующих это понятие, в самом
определении. Например, определение диаметра окружности
позволяет доказать, что он делит окружность пополам или что
вписанный угол, опирающийся на диаметр, есть прямой угол, и т. д.
В-третьих, всякое определение, сводя новое понятие к уже
знакомым, строится по известному в логике принципу указа--
2$
н и я рода и видового признака. Это значит, что
в определении необходимо указывать то общее, ранее известное
понятие (род), к которому в качестве частного случая относится
определяемое понятие, и существенный отличительный признак
(вид), который выделяет это понятие из всех других, входящих
в родовое понятие.
Например, в определении диаметра это понятие сводится
к более общему понятию хорды. Хорды составляют род, частным
случаем которого является диаметр, а именно: это есть хорда,
проходящая через центр окружности. Указание последнего
видового признака отличает диаметр от всех хорд, не обладающих
этим признаком.
В-четвёртых, определение не должно быть «перегруженным»
признаками определяемого понятия, в нём не должно быть
«избыточных» признаков, наличие которых может быть доказано на
основе самого же определения. Например, определение биссектрисы
угла как прямой, делящей угол пополам, точки которой
равноудалены от сторон угла, является перегруженным.
В-пятых, если одному и тому же понятию даются два различных
определения, то необходимо дать доказательство их
равносильности, т. е. показать, что признак определяемого понятия,
фигурирующий в первом определении, логически вытекает из второго
определения, и наоборот.
Наконец, необходимо указать, что не всякое определение имеет
право на существование в данной геометрической системе. В самом
деле, ведь всякое определение разъясняет смысл нового термина,
раскрывает содержание нового понятия. Следовательно, оно
в скрытом виде содержит новое утверждение, а именно
утверждение того, что рассматриваемое сочетание понятий
действительно существует и не противоречит всему ранее
установленному. Отсюда вытекает требование: каждое определение вновь
вводимого понятия сопровождать теоремой
существования, в которой было бы строго доказано, что определяемый
объект действительно существует, что он, следовательно, не
противоречит принятым аксиомам, доказанным теоремам и ранее
введённым определениям.
Например, определяя параллельные как непересекающиеся
прямые, лежащие в одной плоскости, мы обязаны доказать, что
такие прямые действительно существуют.
И вот, обращаясь к определениям Евклида, следует прежде
всего отметить, что у него нет ясного перечня
основных понятий. Он даёт определения таких понятий, как
точка, прямая, плоскость. Получается такое впечатление, что Евклид
стремится дать определение решительно всем геометрическим
понятиям. Мы уже знаем, что это невозможно. Такие попытки
обречены на неудачу. И действительно, многие определения Евклида,
с современной точки зрения, неудовлетворительны.
Прежде всего в определениях 1, 2 и 5 понятия точки, линии
24
и поверхности определяются через понятия «часть», «длина»,
«ширина». Определение 1: «Точка есть то, что не имеет частей» —
неопределённо, ибо даёт возможность под понятие точки подвести поня-
Т1Я, не имеющие никакого отношения к тому, что обычно
подразумевается под точкой, например понятия смелости, коварства.
Кроме того, в этом определении нет указания на род и видовой
признак. Что касается понятий длины и ширины, то они сами
гораздо сложнее, чем понятие точки. Понятие длины связано с
понятием отрезка, определяемого двумя точками на прямой, и
поэтому должно быть само определено через понятия точки и прямой.
Однако прямая определена Евклидом позже, чем понятие линии.
Следует также отметить, что в настоящее время понятие линии
рассматривается как сложное понятие и определение 2: «Линия
есть длина без ширины» — может оказаться неправильным, если мы
кривую определим через задание двух непрерывных функций: χ =
= φ (/), у = ψ(/), ибо тогда понятие линии охватывает и такую
кривую, как кривая Пеано, заполняющую без пробелов площадь
квадрата.
Другим недостатком определений Евклида является наличие
двух различных определений понятий точки и линии. Именно:
в определениях 3 и 6 точка и линия определяются вторично через
понятие «граница». Но если одному и тому же понятию даются два
различных определения, то следовало бы доказать их
эквивалентность, чего Евклид не делает.
Существенным недостатком некоторых определений Евклида
является их крайняя туманность. Таким определением является,
например, определение 4: «Прямая есть линия, которая одинаково
расположена относительно всех своих точек». «Смысл этого
предложения,— говорит Клейн («Элементарная математика с точки
зрения высшей», т. II),— совершенно тёмен, и под ним можно
разуметь всё, что угодно. Оно могло бы означать, что прямая всюду
имеет одинаковое направление, и тогда нужно было бы признать
направление за основное понятие, привычное для каждого
человека. Но можем его понимать также и в том смысле, что прямая, если
представить её себе реализованной в виде твёрдого стержня, при
определённых движениях пространства всегда совпадает сама
с собой, а именно при вращениях около неё же самой, как около
оси, и при таком понимании евклидова определения пришлось бы,
конечно, снова предполагать известным понятие движения... Во
всяком случае, не удалось найти однозначной интерпретации для
данного Евклидом определения прямой, как и для многих из
дальнейших его определений».
Так же обстоит дело и с определением 7 плоскости. Заметим
также, что под определение 4 прямой при известном толковании
можно подвести понятие окружности, а под определение 7
плоскости можно подвести понятие сферы.
Наконец, как указывалось выше, к каждому математическому
определению предъявляется требование, чтобы оно содержало
25
такие признаки определяемого понятия, которыми можно было бы
пользоваться по существу при построении системы, чтобы из него
можно было логически вывести другие свойства определяемого
понятия.
Между тем определения Евклида точки, прямой, плоскости,
как мы видели, чрезвычайно туманны и не обладают
математическим содержанием, которое можно было бы использовать в
дальнейшем изложении. Они являются логически не действующими.
Фактически Евклид нигде этими определениями не пользуется.
Подобные определения бесполезны и могут быть опущены без
всякого ущерба для последующих рассуждений.
Чем же объяснить наличие у Евклида этих определений? С одной
стороны, в то время, по-видимому, ещё не полностью была
осознана необходимость строгого разделения понятий на основные
к производные. С другой стороны, Евклид, вероятно,
преследовал цель дать своими «определениями» наглядное описание
абстрактных основных геометрических образов.
Наши наглядные представления о точке, линии и поверхности чрезвычайно
расплывчаты и неясны, ибо точность их ограничена так называемым нижним
порогом ощущения, в силу которого наш глаз неспособен различать отрезки,
длина которых меньше некоторой границы. Поэтому точки мы можем
представить себе лишь в форме маленьких материальных пылинок, линии — в виде
очень тонких, но всё же имеющих некоторую толщину нитей, поверхности —
в виде очень тонких, но имеющих некоторую толщину листов. Эти .наши
представления как отражения действительности имеют сугубо приближённый
характер, ибо стоит лишь нам обратить внимание на поверхность губки или
надломленного хлеба, на поверхность стены или, наконец, на поверхность
жидкости, непрерывно вследствие испарения испускающей в окружающее
пространство огромное множество частичек, стоит лишь учесть современные
физические теории атомного строения материи, чтобы понять, как упрощены
наши геометрические представления и насколько действительность сложнее их.
«Как скоро человек от своих умозрений хочет перейти к природе, — писал
Н. И. Лобачевский,— он видит, что образцовые его понятия не находят
здесь примера, а только представляют одно приближение».
Евклидово определение 1 точки выражает результат предельного перехода
от представления о материальном теле небольших размеров, например песчинке,
которая неограниченно уменьшается путём хотя бы непрерывного дробления на части.
Понятие точки получается как некоторый мысленный предел (реально не
существующий) указанного процесса. Геометрическая точка не имеет массы, она
недоступна нашему наглядному представлению и описанию, это идеальное понятие,
являющееся абстрактным отражением в нашем мышлении реально наблюдаемых
процессов уменьшения тел или тел, размерами которых можно пренебречь.
Понятие геометрической точки является крайним, окончательным мысленным
упрощением нашего наглядного представления о точке как о теле очень малых
размеров.
Аналогично обстоит дело и с понятием линии и поверхности. Они также
получаются в результате предельного перехода в мышлении от наших
упрощённых представлений о соответствующих телесных объектах. Понятия
геометрической линии и поверхности не имеют пространственного реального осуществления
и являются результатом абстрагирующей работы нашего мышления. «Поверхности,
линии, точки как их определяет геометрия,— писал Н. И. Лобачевский,— суще-
струют только в нашем воображении...» «В природе нет ни прямых, ни кривых
линий, нет плоскостей и кривых поверхностей: в ней находим одни тела, так что
все точки, созданные нашим воображением, существуют в одной теории» («Новые
начала геометрии»).
26
Этот процесс идеального отражения объектов реального пространства
чрезвычайно важен для развития геометрии и для самой практики, ибо он позволяет
отвлекаться от тех сторон действительности, которые несущественны для данного»
конкретного вопроса.
Так, если мы измеряем протяжённость верёвки или забора или высоту
здания, то для нас являются совершенно безразличными материал, из которого они
сделаны, цвет, толщина и ширина и т. д., мы от всего этого отвлекаемся к
приходим к понятию линии без ширины и толщины. Все геометрические понятия
и положения носят поэтому «идеальный», абстрактный характер, в котором
отброшено всё несущественное и оставлено лишь то, что отражает интересующую»
нас сторону явлений. Этим самым мы в геометрии отражаем материальную
действительность в упрощённом схематическом виде, приближённо.
«Чистая математика,— писал Энгельс,— имеет своим объектом
пространственные формы и количественные отношения действительного мира. Тот факт, что
этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо
затушевать его происхождение из внешнего мира. Но чтобы быть в состоянии
исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно
отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне, как нечто
безразличное: таким путём мы получаем точки, лишённые измерений, линии,
лишённые толщины и ширины...» («Анти-Дюринг»).
Таким образом, рассмотренные определения Евклида являются по существу
попыткой дать наглядное описание понятий о точке, линии, поверхности," прямой
и плоскости, понятий, являющихся крайней абстракцией и упрощением тех
расплывчатых представлений, которые у нас создаются в результате опыта и
наблюдений над окружающими нас телами. Эти попытки Евклида могут быть
оправданы тем, что, по-видимому, в его эпоху «ещё были весьма живы
отголоски той первой ступени в развитии геометрии, когда она была опытной наукой
и точка рисовалась небольшим телом, верёвка или цепь точно воспроизводила
линию. Надо было оторвать геометрию от этой грубо-эмпирической основы,
идеализировать и уточнить представления о геометрических образах.
Определения Евклида, изгоняя последние материальные признаки из представлений
о точке, прямой, плоскости и т. д., являются завершением указанного процесса»
(С. А. Богомолов, Основания геометрии).
К сказанному добавим, что, как увидим впоследствии (см. гл. III и V),
в современной геометрии понятия точки, прямой, плоскости получили ещё более
абстрактный смысл и могут быть истолкованы самыми разнообразными способами,
так что эти истолкования не имеют ничего общего с обычным геометрическим
содержанием этих понятий, при этом вопрос о размерах точки или толщине
линии не играет никакой роли и даже делается бессодержательным. При таком
понимании указанные определения Евклида вовсе теряют какой-либо смысл.
Что касается определений производных понятий у Евклида,
то они вполне соответствуют своему назначению. Но и в этой
категории определений мы встречаем такое явление, как
«перегруженность», т. е. наличие в них излишних утверждений. Так,
определение 17 гласит: «Диаметр круга есть прямая, проходящая через
центр и ограниченная с обеих сторон окружностью; она разделяет
круг пополам». Последнее утверждение о том, что диаметр делит
круг пополам, безусловно является излишним, ибо оно может
быть доказано, исходя из первой части определения диаметра.
4. Критика постулатов и аксиом Евклида
Переходя к рассмотрению постулатов и аксиом «Начал»,
следует прежде всего обратить внимание на самое подразделение этих
предпосылок геометрии. В чём отличие аксиомы от постулата?
27
Трудно провести строгую грань между ними, и по этому вопросу
существуют различные мнения. Если исходить из содержания тех
и других у Евклида, то, по мнению одних, в постулатах
указываются свойства геометрических фигур, а в аксиомах— свойства
всякой величины. Если это так, то непонятно, почему аксиомы
VII и IX не отнесены к постулатам.
Надо, кроме того, иметь в виду, что в различных изданиях-
«Начал»*) расположение и содержание постулатов и аксиом не
одинаково, так что в некоторых изданиях в числе постулатов значатся
лишь первые три, а все остальные входят в число аксиом, в связи
с чем, например, 5-й постулат в
некоторых изданиях отнесён к
аксиомам и называется 11-й аксиомой
Евклида.
С современной точки
зрения, различия между
1^ постулатами иаксио-
мами нет, и все они
могут называться
аксиомами.
ЧеРт· 1- Загадочным является наличие
среди постулатов 4-го постулата:
«Все прямые углы равны между собой», ибо если воспользоваться
понятием движения, то это утверждение о равенстве прямых углов
может быть доказано как логическое следствие остальных аксиом
и ггостулатов, а потому должно быть помещено в числе теорем.
Некоторые полагают, что этот постулат и помещён для изгнаний
понятия движения из геометрии, однако, хотя и очень редко, Евклид
прибегает к движению.
В формулировке 5-го постулата содержится излишнее
требование, чтобы фигурирующие там прямые пересекались с той
стороны, с которой сумма внутренних односторонних углов меньше
двух прямых. Это дополнительное требование может быть доказано
при помощи остальных постулатов, а потому должно быть
исключено из 5-го постулата.
*) Подлинный текст «Начал» Евклида не сохранился. Самые старые списки
текста «Начал», которые дошли до нашего времени, написаны в IX в. н. э. и
большинство из них ведёт своё начало от списка текста древнегреческого издателя
Теона Александрийского (середина IV в. н. э.). В 1808 г. в Ватикане был найден
манускрипт X в., содержащий список «Начал» с текстом, составленным ранее
Теона. Все эти списки очень отличаются друг от друга и часто в самых
важных местах. Многие списки являются арабскими и латинскими переводами с
греческого, значительно искажающими подлинник. Огромная исследовательская работа
математиков и филологов по восстановлению подлинного текста Евклида привела к
значительному успеху, и наиболее достоверным и лучшим текстом считается
текст датского математика Гейберга и германского филолога Менге, изданный
в 1883—1888 гг. Захметим ещё, что первое средневековое издание Евклида на
латинском языке представляет собой перевод с арабского (1482 г.), первое
издание греческого текста «Начал» появилось в 1503 г.
28
Действительно, пусть для прямых а и 6, пересекаемых прямой £,
выполняется требование 1-й части 5-го постулата, и они
пересекаются в некоторой точке Μ (черт. 1). Предположим, что сумма
внутренних односторонних углов α и β, расположенных с той же
стороны, что и точка пересечения М, больше двух прямых α +
+ P>2d; обозначая через γ угол, смежный с а, получим α + γ=
=2d.
Отсюда следует, что γ<β, что невозможно, так как внешний
угол треугольника γ должен быть больше внутреннего угла β,
с ним не смежного (теорема о внешнем угле треугольника не
зависит от 5-го постулата).
Аксиомы I—VI содержат в себе утверждения, относящиеся к
любым величинам, в том числе и геометрическим. Однако, с
современной точки зрения, эта система аксиом очень неполна, а, с
другой стороны, аксиомы V, VI являются следствиями первых и
во многих изданиях исключаются из числа аксиом. Аксиома VII
устанавливает важнейший признак равенства (конгруэнтности)
геометрических фигур — совмещение при наложении. Её можно
рассматривать как определение понятия конгруэнтности при
помощи понятия движения (совмещение при наложении).
Аксиома IX может быть истолкована как утверждение,
дополняющее постулат I о том, что через две точки проходит лишь одна
прямая, а также в том смысле, что две прямые могут пересекаться
не более чем в одной точке.
После этих общих замечаний о характере постулатов и аксиом
перейдём к рассмотрению самых существенных недостатков и
особенностей в системе основных положений «Начал».
Первый недостаток нами уже указан выше — отсутствие
точного перечня основных понятий и связанные с этим
неудовлетворительные, неясные формулировки ряда определений.
Вторым важнейшим недостатком «Начал» является
неполнота системы аксиом (понимая под этим и постулаты,
и аксиомы «Начал»), Это выражается в том, что Евклид уже при
доказательстве первых теорем вынужден молчаливо пользоваться
утверждениями, основанными на непосредственной очевидности,
утверждениями, которые не мотивированы системой аксиом,
принятых Евклидом. Этим самым Евклид нарушил основной принцип
построения строго логической системы: всякое предложение, как
бы оно ни казалось очевидным, должно быть либо строго доказано
на основании аксиом, либо должно быть открыто помещено в число
аксиом.
Отсутствие аксиомы непрерывности
Так, в самом начале изложения Евклид рассматривает
следующую задачу-: На данном отрезке построить равносторонний
треугольник.
Поскольку.возможность такого построения, или, иначе говоря,
существование требуемой фигуры, не постулируется, оно должно
29
быть доказано, что и делает Евклид. Доказательство Евклида
таково.
Построение. Пусть дан отрезок АВ (черт. 2). Из точки Л,
как из центра, описываем окружность радиусом А В (на основании
постулата III), из точки В, как из центра, описываем окружность
радиусом В А (на основании того же постулата III). Эти окружности
пересекаются β точке С. Соединяем прямыми точки Л и С и точки
8 и С (на основании постулата I). Треугольник ABC — искомый.
Доказательство:
АС = АВ и ВС = В А (по определению окружности).
Следовательно, АС = ВС (на основании аксиомы I), а потому АС =
= ВС --= АВ, что и требовалось доказать.
Мы видим, что все построения и
^Х^ утверждения в этом изложении строго
//Vs обоснованы соответствующими постула-
/ / \ \ тами и аксиомами Евклида, но имеется
/ / \ \ один существенный пробел: ничем не
/ / \\ обосновано утверждение о существова-
/ \\ нии точки С пересечения окружностей.
/ / \ В системе постулатов Евклида нет
/ / γ таких, которые утверждали бы сущест-
а \l jI В вование точек пересечения прямой
с окружностью или двух окружностей.
Черт. 2. Таким образом, в изложенной выше
задаче Евклид, утверждая
существование точки С, основывается исключительно на очевидности, на
неотразимой убедительности чертежа.
В основе этих утверждений лежит представление о том, что
прямая и окружность обладают свойством непрерывности. Если
допустить, что прямая или окружность имеют разрывы, зияющие
отверстия, то, например, точки С пересечения двух окружностей
(черт. 2) могло бы не существовать.
Для обоснования таких утверждений требуется так
называемая аксиома непрерывности, что было обнаружено лишь
в XIX столетии. Поэтому мы не можем сильно обвинять Евклида
в столь существенном пробеле в системе его предпосылок
геометрии. i
Отсутствие аксиом движения
Далее, 4-е предложение I книги «Начал» содержит первую
теорему о равенстве треугольников: Если две стороны и угол,
заключённый между ними, одного треугольника равны соответствующим
элементам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Эту теорему Евклид доказывает (на основании аксиомы VII)
путём наложения треугольников, как это делается и теперь в
школьном преподавании. Это значит, что понятие равенства
(конгруэнтности) фигур основано у Евклида на понятии движения. В самом
30
деле, аксиома VII гласит: «И совмещающиеся равны между собой».
Совмещение, как признак равенства (конгруэнтности), и
наложение, как приём доказательства, неизбежно предполагают
движение, ибО|Для совмещения двух фигур надо одну из них вывести
из первоначального положения и передвинуть в другое, в котором
она может совпасть со второй фигурой. Таким образом, движение
у Евклида является основным понятием (которое он
даже не пытается определить, как в случае точки, линии,
поверхности), а понятие равенства фигур —производным.
При этом Евклид молчаливо приписывает геометрическому
движению такие свойства, заимствованные из эмпирических
представлений о механическом движении твёрдых тел, как
неизменяемость формы и размеров фигуры при движении; между тем в
системе постулатов и аксиом Евклида нет постулатов,
устанавливающих свойства движения, и, следовательно, мы снова имеем здесь
дело с молчаливым обращением к очевидности. В системе Евклида
мы видим снова пробел: отсутствие аксиом
движения, без которых указанную выше теорему о равенстве
треугольников доказать нельзя.
Здесь уместно будет остановиться на той роли, которую играет понятие
движения в «Началах» Евклида. Мы уже говорили о тех причинах, которые
привели греческую математику к признанию необходимости изгнать движение
из геометрии.
Существует мнение, что Евклид стремился решить эту проблему в своих
«Началах». Однако позиция Евклида в отношении
использования понятия движения в геометрии противоречива. С одной
стороны, Евклид действительно как будто избегает пользоваться движением и
прибегает к нему очень редко. Так, в планиметрии он пользуется методом
наложения фигур всего три раза: при доказательстве 4-го (см. выше) и 8-го
предложений (равенство треугольников по трём сторонам) в I книге «Начал» и
24-го предложения в III книге (о равенстве сегментов); в стереометрии он
прибегает к этому методу несколько чаще. С другой стороны, самый факт
использования метода наложения показывает, что Евклид не сумел обойтись без
движения и, следовательно, оказался не в состоянии разрешить проблему,
поставленную древнегреческой философией.
Между тем Евклид мог бы устранить двойственность своей позиции в
отношении понятия движения двояким образом: либо смело без ограничения
пользоваться движением в геометрических доказательствах, списав его свойства
в аксиомах, либо принять понятие равенства (конгруэнтности) фигур за
основное, аксиоматически описав его свойства, и тогда действительно понятие
движения делается излишним и его можно устранить из геометрии (об этом
подробнее см. гл. III, § 5). ·
Наконец, полезно будет останорить внимание читателя на вопросе о том, как
следует понимать в геометрии движение.
Мы видели, что Евклид, считая это понятие непосредственно ясным, не
перечисляет его свойств в аксиомах, а молчаливо заимствует эти свойства из
опытных данных, наблюдаемых при механическом движении твёрдого тела.
Однако движение как геометрическое понятие нельзя отождествлять с
механическим движением твёрдого тела. Конечно, геометрическое движение является
абстракцией, выработанной нашим сознанием на основе наблюдений над
свойствами механического движения твёрдых тел, но в этой абстракции отброшены
некоторые важные признаки механического движения, как несущественные и
неприменимые в отношении геометрических фигур.
Так, прежде всего нельзя говорить в том же смысле, как в случае
механического движения материальных тел, о передвижении в пространстве и о наложе-
31
нии друг на друга геометрических фигур, так как последние, являясь крайними
идеализациями, лишены такого важного свойства материальных тел, как массы.!
Во-вторых, «геометрическое движение,—скажем словами профессора
С. А. Богомолова, — теряет два существенных признака движения
механического. Последнее совершается ео времени и состоит в том, что дрижущееся тело
проходит через непрерывный ряд промежуточных положений. В геометрии же
при наложении фигур время не имеет никакого значения, безразличны и те
промежуточные положения, которые должен пройти первый треугольник,
чтобы совместиться со вторым. Геометра интересует лишь начальный и последний
моменты того процесса, который целиком изучается механиком. Следовательно,
геометрическое движение непосредственно переводит фигуру из одного
положения в другое» (С. А. Богомолов, Основания геометрии).
Таким образом, так же, как, отвлекаясь от тех или иных размеров тел,
приходят к понятиям точки, линии, поверхности, в геометрии отвлекаются от
ряда не существенных для дела сеойств механического движения (время,
скорость, промежуточные положения тела, наличие массы у движущихся тел) и
приходят к понятию геометрического движения.
Итак, нужно было создать такое понятие о движении, описав его свойства
в аксиомах, которое было бы полностью применимо к геометрии. Эта задача и
была разрешена в XIX столетии при помощи идей соответствия и
преобразования пространства, о чём более подробно будет сказано в соответствующем
месте курса (глава III, § 5).
Отсутствие аксиом порядка (или расположения)
Продолжим рассмотрение вопроса о неполноте системы аксиом
Евклида.
В геометрических рассуждениях мы часто прибегаем к таким
выражениям: «точка А лежит между точками В и С»; «две точки
лежат по разные стороны прямой»; «две точки лежат по одну
сторону прямой»; «точка лежит внутри круга» и т. д. Встречающиеся
здесь понятия «между», «внутри», «по одну сторону», «по разные
стороны» непосредственно ясны, но для логического построения
этого недостаточно, необходимо иметь точные описания в
аксиомах свойств этих понятий. Эти аксиомы называются
аксиомами порядка или аксиомами
расположения. И вот третий существенный пробел в системе аксиом
Евклида заключается в отсутствии у него аксиом
порядка. Так, уже в формулировке 5-го постулата
подразумевается такое расположение точек плоскости, что каждая прямая
разделяет плоскость на две части, между тем такого предложения
нет ни среди аксиом, ни среди теорем Евклида.
Не нужно думать, что отсутствие аксиом порядка является
маловажным пробелом в предпосылках «Начал». Вот что по этому
вопросу говорит Ф. Клейн:
«Возвести полное логическое здание геометрии возможно
только в том случае, если явно и отчётливо формулировать основные
факты соотношений положения или так называемые «аксиомы
расположения». А не выполнив этого, подобно Евклиду, мы не
достигнем идеала чисто логического овладения геометрией и должны
будем всегда снова обращаться к чертежу для проверки соотношений
положения... Не следует недооценивать значения этих аксиом
расположения; они столь же важны, как и все другие аксиомы, если
32
мы действительно желаем построить геометрию, как логическую
науку, которая не нуждалась бы неизбежным образом для
установления своих выводов в апеллировании к интуиции и чертежам
после установления аксиом» (Ф. Клейн,
Элементарная математика с точки зрения высшей, т. II, ОНТИ, 1934,
стр. 331—333).
Именно в силу этого пробела Евклид вынужден при
доказательстве некоторых теорем рассматривать отдельно различные частные
случаи расположения фигур при помощи соответствующих
чертежей. Таковы, например, теоремы о квадрате стороны треугольника,
лежащей против острого и тупого угла, которые мы, вводя знаки
отрезков, объединяем в одну теорему. Это же можно
иллюстрировать на сложении отрезков. Мы, вводя направленные отрезки,
снабжая их знаками +, тем самым выражаем различие в
расположении концов отрезков, что даёт нам возможность для любого
расположения трёх точек Л, 5, С прямой написать общее
соотношение АВ + ВС = АС. Это освобождает нас от обязанности
каждый раз обращаться к чертежу для проверки этого
соотношения. С точки зрения же Евклида пришлось бы различать несколько
случаев взаимного расположения трёх точек на прямой,
рассматривая каждый раз конкретный чертёж.
Таким образом, отсутствие аксиом порядка заставляет нас
незаслуженно приписывать чертежу решающее значение в оценке
правильности наших умозаключений, поэтому неверно
выполненный чертёж может легко ввести нас в заблуждение. На этом как раз
и основаны так называемые геометрические софизмы, которые
сбивают с толку именно тем, что логически правильные и даже
особо тщательно разработанные рассуждения относятся к заведомо
неверному чертежу, грешащему в расположении элементов, т. е.
противоречащему аксиомам расположения, в то время как
интуиция, в силу своей неточности, не в состоянии нам непосредственно
указать, в чём же ошибка.
Следует отметить, что впервые аксиомы порядка были
разработаны в работах Паша в 1882 г.
Постулат Архимеда
Таковы основные недостатки «Начал» Евклида.
Некоторые из них обратили уже на себя внимание великого
геометра древности Архимеда, жившего непосредственно после
Евклида (287—212 гг. до н. э.).
Мы видели, что Евклид в «Началах» совершенно не касается
вопросов'измерения длин, площадей и объёмов, ограничиваясь
лишь установлением отношений этих величин. Он доказывает, что
площади двух кругов относятся, как квадраты их радиусов; что
объёмы шаров относятся, как кубы их радиусов; что объём конуса
составляет третью часть объёма цилиндра, имеющего то же
основание и высоту, что и конус. Однако Евклид не даёт формул
за
для вычисления площади круга или объёма' шара или объёмов
цилиндра и конуса и даже не ставит вопроса о вычислении длины
окружности и поверхности тел вращения.
В этом направлении далеко продвинул геометрию Архимед,
великий математик, механик и инженер древности, который в своём
сочинении «О сфере и цилиндре» поставил и разрешил эти
метрические задачи, развив теорию измерения площадей и объёмов и
завершив тем самым изложение Евклида.
Архимед, развивая метрическую геометрию, значительно
углубил методы, излагаемые Евклидом, и добавил для обоснования
теории измерения следующий постулат:
«Из двух неравных линий, двух неравных поверхностей или
двух неравных тел большая окажется меньше той величины,
которую мы получим, если повторим меньшую надлежащее число раз».
Этот постулат, носящий название «постулата Архимеда», имеет
весьма существенное значение в построении полной системы аксиом
геометрии и является важным добавлением к системе постулатов,
высказанных Евклидом.
Он фигурирует и теперь в качестве основной предпосылки в
системе аксиом Гильберта (см. гл. III). Следует, однако, отметить,
что он фактически имеется у Евклида в скрытом виде и,
вероятно, имелся уже у Евдокса. Действительно, в V книге «Начал»
даётся такое определение отношений двух величин: «Величины
имеют отношение, если кратное каждой из них может превзойти
другую величину». Здесь по существу неявно содержится
постулат Архи.еда.
5. Пятый постулат Евклида
Чтобы закончить характеристику «Начал» Евклида, необходимо
остановиться ещё на одном особенно важном вопросе, сыгравшем
выдающуюся роль в истории развития идей, связанных с
обоснованием геометрии. Мы имеем в виду то особое положение, которое
занимает в системе постулатов Евклида 5-й постулат, или, по
другим изданиям, 11-я аксиома Евклида.
Пятый постулат органически связан с теорией параллельных.
Основываясь на теореме о том, что внешний угол
треугольника больше каждого из внутренних
углов, с ним не смежных (предложение 16 книги I),
Евклид в предложениях 27 и 28 книги I доказывает известную
теорему:
Если при пересечении двух прямых, лежащих в одной
плоскости, третьей прямой имеет место одно из соотношений:
а) соответственные углы равны между собой,
б) внутренние накрест лежащие углы равны между содой,
в) внешние накрест лежащие углы равны между собой,
г) два внутренних односторонних угла в сумме составляют 2d,
д) два внешних односторонних угла в сумме составляют 2d,
то данные две прямые параллельны.
34
Таким образом, каждое из указанных 5 соотношений является
достаточным для параллельности данных двух прямых.
Естественно возникает вопрос: будет ли справедлива обратная
теорема: «если две данные прямые параллельны, то имеют место
указанны? 5 соотношений»? Иначе говоря, будет ли каждое из
5 соотношений не только достаточным, но и
необходимым условием 'параллельности
данных прямых? Чертёж нам как будто подсказывает, что обратная
теорема также будет справедлива. И вот оказывается, что
доказательство этого обратного предложения наталкивается на
непреодолимые трудности. Несомненно, что такое доказательство усердно
искали уже до Евклида, но усилия оставались безуспешными. В
связи с этим Евклид вынужден был принять обратное
предложение в качестве постулата, фактически же он в качестве постулата
принял равносильное предложение, а именно
предложение, противоположное изложеннойвы-
ше прямой теореме, а это и есть 5-й постулат Евклида.
В самом деле, предложение, противоположное прямой теореме
о параллельных в отношении свойства г), гласит:
«Если при пересечении двух прямых, лежащих в одной
плоскости, третьей прямой сумма внутренних односторонних углов не
равна 2d, то данные две прямые пересекаются».
Мы получили перефразировку 5-го постулата Евклида.
Пятый постулат занимает в системе постулатов «Начал» особое
положение в силу следующих соображений.
Прежде всего обращает на себя внимание то обстоятельство,
что утверждение о пересечении двух прямых, содержащееся в 5-м
постулате, не имеет столь простого и очевидного характера, какой
имеют прочие постулаты. Действительно, если упомянутые две
прямые расположены близко друг к другу и сумма внутренних
односторонних углов значительно отличается от 2d, то наше
пространственное воображение легко соглашается с утверждением
5-гопостулата о пересечении этих прямых. Но представим себе,
что эти две прямые чрезвычайно удалены друг от друга, а сумма
внутренних углов меньше 2d на столь малый угол (скажем, на
сотую долю секунды), что для нашего глаза он будет неощутим. Тогда
очевидность этого постулата делается весьма сомнительной, ибо
нашему пространственному представлению отчётливо доступна
весьма ограниченная часть пространства, здесь же мы имеем дело
с фактом, который предъявляет нашему воображению
непосильное требование.
Во-вторых, формулировк?а 5-го постулата, в отличие от прочих
постулатов Евклида, носит довольно сложный и громоздкий
характер.
В силу этих причин с давних времён уже стремились заменить
5-й постулат каким-либо другим предложением, ему равносильным,
но более очевидным и простым по формулировке. Таким именно
предложением, которое вместо 5-го постулата кладётся в основу
35
теории параллельных в современной школьной практике, является
аксиома параллельных, введённая в 1795 г.
английским учёным Джоном Плейфером:
Через точку у лежащую вне прямой, проходит только одна прямая,
параллельная этой прямой.
Позже будет показано, что если принять в качестве основного
предложения 5-й постулат Евклида, то аксиома параллельных
Плейфера может быть доказана. Обратно, приняв без
доказательства аксиому Плейфера в качестве основы, можно доказать как
теорему 5-й-постулат (см. гл. I, § 5, стр. 59—60). Это значит, что
оба предложения равносильны и могут заменить друг друга в
качестве предпосылок геометрии.
Отметим, наконец, третью особенность, характеризующую
особое положение 5-го постулата в системе изложения Евклида. Она
заключается в весьма своеобразном использовании Евклидом этого
постулата В то время как все остальные постулаты используются
Евклидом с самого начала, при изложении первых же теорем,
5-й постулат применяется впервые лишь в доказательстве 29-го
предложения (обратного прямой теореме о параллельных), и
большинство следующих предложений доказывается или при его
помощи, или при помощи теорем, основанных на применении 5-го
постулата. Таким образом, применение 5-го постулата в
«Началах» Евклида резко разграничивает геометрические предложения
на две категории: на предложения, доказываемые без помощи 5-го
постулата и, следовательно, от него независящие, и на
предложения, которые не могут быть доказаны без 5-го постулата. В
настоящее время совокупность предложений первой категории
называется абсолютной геометрией; предложения же второй
категории образуют так называемую собственно
евклидову геометрию. В результате такого
использования 5-го постулата Евклидом создаётся впечатление, что он
стремится сначала изложить по возможности всё то, что допускает
доказательство без применения 5-го постулата, и отодвинуть это
применение как можно дальше, и только тогда, когда уже без этого
постулата нельзя никак обойтись, Евклид вводит его в действие.
Благодаря такому позднему применению 5-го постулата
некоторые вопросы рассматриваются Евклидом дважды: без помощи
5-го постулата, а затем с использованием его. Например, в 16-м
предложении I книги доказывается, что внешний угол
треугольника больше внутреннего, с ним не смежного, а в 17-м, что
сумма двух внутренних углов треугольника меньше двух прямых
углов. Эти предложения не зависят от 5-го постулата. Затем Евклид
возвращается к этому вопросу и в 32-м предложении, уже на
основе 5-го постулата, доказывает, что внешний угол треугольника
равен сумме двух внутренних, с ним не смежных, и что сумма всех
трёх внутренних углов треугольника равна 2d.
Изложенные особенности 5-го постулата имели большое
значение для последующего развития геометрии. Исследователи, жившие
36
после Евклида, и комментаторы «Начал» стали рассматривать
5-й постулат в силу его особенностей как предложение, которое
не следует помещать среди постулатов, а необходимо доказать как
теорему. Были убеждены в его доказуемости. Так, любопытно
отметить, что комментатор «Начал» Прокл (410—485 гг. н. э.)
выдвигал следующий довод в пользу доказуемости 5-го постулата:
«Разве может быть постулатом обращение доказанной теоремы?»
Преклоняясь перед строгостью «Начал» и авторитетом
Евклида, стали видеть в 5-м постулате чуть ли не единственное «тёмное
пятно» евклидовой системы, не замечая её действительных «пятен»,
т. е. тех недостатков, о которых говорилось выше. Поэтому усилия
многих поколений математиков были направлены главным
образом на то, чтобы устранить это «пятно», доказать 5-й постулат при
помощи остальных постулатов и тем самым свести его в разряд
теорем. Эги усилия продолжались в течение двух тысячелетий
и в конце концов в XIX столетии привели к построению
неевклидовых геометрий. Как мы далее увидим, это означало, что 5-й
постулат не зависит от остальных аксиом Евклида и не может быть
доказан с их помощью, а потому, поместив его в числе постулатов,
Евклид был полностью прав.
Что касается действительных недостатков «Начал», то
справедливость требует ещё раз указать, что эти недостатки в великом
творении Евклида в основном были замечены критической мыслью
лишь в XIX веке, что критическая переработка оснований
геометрии является одной из самых глубоких и трудных проблем
математической мысли и одним из самых значительных её
достижений. Поэтому, отмечая то, что, с современной нам точки зрения,
недостаёт у Евклида, мы не можем поставить ему этого в вину, если
учтём состояние науки в его время. Наоборот, мы должны
признать это произведение древности замечательным по своей
продуманности, выдержанности и строгости для той эпохи.
6. Историческое значение «Начал»
Заканчивая рассмотрение «Начал» Евклида, резюмируем всё
сказанное оценкой их исторического значения.
Едва ли можно указать в истории человечества какую-либо
другую книгу, которая могла бы сравниться с «Началами» Евклида
по длительности своего влияния на культуру и науку
цивилизованных народов, по той роли, которую в течение двух
тысячелетий играли «Начала» как научное и воспитательно-педагогическое
руководство, как источник научных идей, стимулирующий к
дальнейшему развитию творческой математической мысли. Ни для
одной другол науки мы не имеем такого беспримерного исторического
факта, когда учебник древности оставался бы в этой роли учебники
в течение тысячелетий, как это имело место с «Началами»^Евклида.
«Начала» Евклида пережили крушение греко-римской
цивилизации и средневековье. Через арабов и Византию они дошли
37
в различных переводах и списках до эпохи Возрождения.
Переведённые на все языки, «Начала» Евклида вплоть до конца XVIII в.
оставались единственным учебником, по которому изучали
геометрию в университетах и школах Европы, единственным источником
всякого геометрического познания. «Начала» с 1482 г. выдержали
свыше 500 изданий почти на всех языках мира*).
По этой книге изучали математику Коперник, Галилей, Декарт,
Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Ломоносов, Лобачевский и другие
корифеи науки.
О безраздельном авторитете «Начал» Евклида и о том
восторженном благоговении, с каким относились к этому произведению
учёные Европы, можно судить по следующему высказыванию
крупного итальянского учёного XVI в. Кардано: «Неоспоримая
крепость их догматов и их совершенство настолько абсолютны, что
никакое другое сочинение по справедливости нельзя с ними
сравнивать. В них отражается такой свет истины, что, по-видимому,
только тот способен отличать в сложных вопросах геометрии
истинное от ложного, кто усвоил Евклида».
Глубокая продуманность изложения «Начал» во всех деталях,
несокрушимая логика, заложенная во всём плане и структуре этого
произведения, вызывали восхищение у геометров. Так,
английский математик де Морган писал: «Никогда не было системы
геометрии, которая в существенных чертах отличалась бы от плана
Евклида, идо тех пор, пока я этого не увижу собственными
глазами, я не поверю, что такая система может существовать» (1849 г.).
Историческое значение «Начал» Евклида заключается,
во-первых, в том, что они явились завершением, венцом всего
накопленного трудами нескольких поколений древнегреческих математиков
и философов, что в них, как в фокусе, собраны достижения
геометрии за огромный период культурного развития человечества.
Во-вторых, «Начала» Евклида послужили источником, из
которого черпали и на котором формировались умы многих
выдающихся учёных в последующие два тысячелетия, и явились
основанием для дальнейшего развития геометрических идей.
«Начала» Евклида связаны самым тесным образом с
современной человеческой культурой: с одной стороны, все современные
школьные учебники геометрии, по которым учатся в школах всех
стран, так или иначе имеют своим прообразом «Начала» Евклида,
с другой стороны, в основе всех физико-математических наук —
астрономии, механики, физики, а следовательно, и техники —
лежит геометрия Евклида.
Наконец, «великое историческое значение «Начал» Евклида
*) На русском языке «Начала» Евклида впервые были изданы в 1739 г.
(перевод с латинского), затем в 1769 г. (перевод с французского), 1784, 1789 гг.
(перевод с греческого), в 1819—1835 гг. (перевод с греческого Ф. Петрушевско-
го), в 1877 г. (перевод с немецкого) и в 1880 г. (перевод проф. М. Е. Ващен-
ко-Захарченко).
В 1948—1950 гг. выпущен перевод «Начал» Евклида с греческого с
комментариями Д. Д. Мордухай-Болтовского.
38
состоит в том, что они передали последующим временам идеал
вполне логической обработки геометрии» (Ф. Клей н). «Начала»
Евклида органически связаны с развитием обоснования математики
вообще и геометрии в особенности.
§ 3. ПОПЫТКИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ПЯТОГО ПОСТУЛАТА ЕВКЛИДА
Изложенные выше особенности 5-го постулата Евклида, как мы
уже говорили, постоянно обращали на себя внимание
математиков последующих веков. Если при этом учесть, что вплоть до
конца XIX в. царила та точка зрения, что безусловным и
неотъемлемым признаком аксиом и постулатов является их
непосредственная очевидность, то станут понятными упорное стремление и
непрекращавшиеся в течение двух тысячелетий попытки доказать 5-й
постулат, т. е. свести его в разряд теорем. Таким образом, наряду
с тремя знаменитыми задачами древности (квадратуры круга,
трисекции угла, удвоения куба) возникла не менее знаменитая
проблема доказательства 5-го постулата. Попытки доказать 5-й
постулат наталкивались на огромные трудности, причём эти трудности
были особого порядка, ибо были связаны с нашими основными
понятиями и пространственными представлениями, с основами
самой геометрической науки, они требовали особой
проницательности и силы отвлечённой логической мысли, особенно глубокого
проникновения в структуру геометрической системы. За
разрешение этой проблемы брались математики самых различных рангов,
но все попытки оказались тщетными.
Известно, например, что великий французский математик Ла-
гранж, занимаясь проблемой доказательства 5-го постулата,
написал в конце своей жизни мемуар о параллельных линиях. Во время
чтения этого мемуара в Академии наук он вдруг остановился и
сказал: «Я должэн ещё подумать об этом». Так, не закончив доклада,
он собрал свои записи и бэльшэ никогда не упоминал об этом
мемуаре.
«Трудно себе представить, сколько усилий было для этого
затрачено. Люди ставили себе это задачей жизни, тратили на
это многие годы, доходили до мистического агностицизма, а
иногда даже до потери рассудка» (В. Ф. Каган, Лобачевский,
изд. АН СССР, 1944, стр. 127). Насколько велик труд,
затраченный на исследования, связанные с проблемой доказательства
5-го постулата, можно судить по тому, что известно около 250
серьёзных сочинений, посвященных теории параллельности и не
достигших поставленной цели*).
Наиболее интересные попытки доказательства 5-го постулата
заслуживают хотя бы краткого знакомства с ними.
*) В 1853 г. академик В. Я. Буняковский (1804—1889) опубликовал работу
«Параллельные линии», в которой дается исторический обзор многих попыток
доказательства 5-го постулата Евклида, их классификация и критика. Отметим,
что Буняковский все же не смог подняться до понимания геометрии Лобачевского.
39
Комментарии Прокла
Прежде всего следует упомянуть одного из древнегреческих
комментаторов «Начал» — Прокла (410—485 гг. н. э.). В своих
комментариях на I книгу «Начал» Евклида он не только сам
пытается доказать 5-й постулат, но и сообщает весьма ценные
сведения о таких попытках, сделанных до него.
Так, Прокл сообщает, что живший в I в. до н. э. Посидоний
предлагал называть параллельными две прямые, лежащие в
одной плоскости и равноотстоящие друг от друга. Между
тем Евклид определял параллельные как две прямые, лежащие
в одной плоскости, которые нигде не пересекаются (см. стр. 17).
На основе своего определения парал-
^--^^^ лельности Посидонию удаётся доказать
А · "-^ ^-^^^—& 5-й постулат, но при этом он фактиче-
""*·—£ ски своим определением параллельных
вводит новый постулат, заключающий-
° ся в том, что геометрическое
цертт s. место точек,
равноотстоящих от данной прямой с
одной её стороны, есть прямая. Таким
образом, успех Посидонием достигается заменой одного постулата
другим. С другой стороны, если принять 5-й постулат
Евклида, то легко показать, что линия, все точки которой
одинаково удалены от данной прямой, есть прямая и притом
параллельная данной. Следовательно, оба эти предложения
равносильны.
Сам Прокл даёт доказательство 5-го постулата, исходя из того
предположения, принимаемого им за очевидное, что расстояние
от точки, лежащей на одной стороне острого угла, до другой его
стороны при удалении этой точки от вершины угла может быть
сделано сколь угодно большим. Это предложение, кстати сказать,
может быть доказано без помощи 5-го постулата и принадлежит
абсолютной геометрии. На основании этого предположения Прокл
доказывает, что если прямая пересекает одну из
параллельных прямых, то она пересечёт
и другую.
При этом он рассуждает так: пусть АВ и CD—две
параллельные прямые и EG пересекает прямую АВ в точке F (черт. 3).
Тогда на основании указанного выше предположения точка луча
FG по мере её удаления от F будет безгранично удаляться от прямой
АВ, но так как расстояние между
параллельными АВ и CD конечно, то EG обязательно пересечёт CD.
Отсюда немедленно вытекает, что через точку F проходит только
одна прямая АВ, параллельная CD (предложение Плейфера), что
в свою очередь приводит к справедливости 5-го постулата. Но это
достигнуто только потому, что Прокл пользуется предпосылкой,
что расстояние между параллельными конечно. Однако это есть
40
новый постулат, равносильный 5-му постулату, ибо, наоборот, из
5-го постулата следует, что параллельные равноотстоят друг от
друга, а значит, расстояние между ними конечно.
Доказательство. Нассир-Эддина
С падением античной культуры в Европе наступает эпоха
мрачного средневековья, приведшая почти к полному забвению
блестящих достижений древности. Частичным сохранением этих
достижений и возможностью их использования для дальнейшего
развития европейской культуры мы обязаны народам Ближнего Востока:
арабам, таджикам, азербайджанцам и др.
Роль учёных средневекового Ближнего Востока сводилась не
только к комментированию произведений древних. Среди них были
Черт. 4.
Черт. 5.
выдающиеся математики, внёсшие большой вклад в
дальнейшее развитие математической науки. Крупными геометрами
были, например, Омар Хайям (1040—1123) и
азербайджанский учёный Нассир-Эддин Туей (1201—1274), занимавшиеся
комментированием Евклида и давшие свои доказательства 5-го
постулата.
Эти доказательства являются довольно сложными и длинными,
но они замечательны тем, что содержат идеи, предвосхитившие
идеи позднейших выдающихся исследователей — Саккери и Ле-
жандра (см. § 4).
Нассир-Эддин, например, исходит из следующего
предположения: Если из двух прямых г и s (черт. 4) одна
перпендикулярна, а другая наклонна к
отрезку АВ, то отрезки перпендикуляров,
опущенных из точек прямой s на г, будут
меньше АВ с той стороны, где А В образует
с s острый угол, и больше АВ с той стороны,
где АВ образует с s тупой угол.
Отсюда следует теорема:
Если отрезки АВ и А'В\ расположенные по одну сторону от
ВВ\ равны между собой и перпендикулярны отрезку ВВ\ то
прямая АА' перпендикулярна к АВ и отрезок АА равен ВВ' (черт. 5).
41
Доказательство:
Допустим, что -4 А не прямой; если предположить, что он острый, то на
основании вышеуказанной предпосылки Нассир-Эддина имели бы А'В'<АВ, в.
предположении же, что -4 А тупой, имели бы A'Bf>AB; то и другое
противоречит условию, что А'В'=АВ. Следовательно, -4 А прямой. Аналогично
покажем, что -4 Л' также прямой. Проведём теперь диагональ АВ'. Полученные
треугольники ABB' и АА'В' равны, как имеющие совпадающие гипотенузы и
равные катеты АВ и А'В'. Отсюда AA' = BBf *).
Доказав, таким образом, существование прямоугольника, т. е.
четырёхугольника с равными противоположными сторонами и четырьмя прямыми углами,
Нассир-Эддин получает еозможнссть доказать, что сумма углов треугольника
равна 2d. Действительно, сумма углов прямоугольника равна Ad, следовательно,
сумма углов прямоугольного треугольника равна 2d, а тогда и сумма углов
всякого треугольника равна 2d, ибо его можно проведением одной из высот
разложить на два прямоугольных треугольника.
Доказательство 5-го постулата Евклида проводится далее для частного
случая, когда прямая пересекается перпендикуляром и наклонной.
Пусть АВ и CD — две прямые, пересекаемые прямой АС, причём
CD±AC, А В — наклонная. Отложим на АВ отрезок ЛЯ и проведём НН'±АС+
х^
D
h
и
к
и
С с м' к1 н'
Черт. 6.
Черт. 7.
Если Н' совпадает с С или упадёт по другую сторону С, то АВ и CD
пересекутся**). Если же Н' лежит между А и С, то проведём AL±AC, причём
AL=HH'. Соединяя точки Η и L прямой, получим (на основании доказанной
выше теоремы) прямоугольник, у которого HL=AH'. Отложим далее НК=АН
и проведём КК' ±АС. Легко показать, что КК'>НН'. Отложим K'L'=HH'
и соединим прямой точки Η и L'. Опять по вышедоказанному получим
прямоугольник. К'L'HH'; и точки Ζ/, Η и L расположены на одной прямой. Отсюда
следует, что aAHL=aHL'K по гипотенузе и острому углу (*4L'HK=^AHL,
как вертикальные). Поэтому L'H^HL," а значит, К'Н'=Н'А. Далее
откладываем отрезок КМ=НК и аналогично доказываем, что М'К' = К'Н' = И'А.
Продолжая этот процесс, мы (на основании постулата Архимеда) получим,
наконец, столь большой отрезок АО', кратный отрезку АН', что точка О'
окажется вне отрезка АС по другую сторону точки С. Тогда перпендикуляр CD
не может встретиться с О'О, ибо О'ОхАС. Следовательно, CD встретит
гипотенузу О А прямоугольного треугольника АОО'.
*) Таким образом, мы имеем здесь доказательство того, что при наличии
предпосылки Нассир-Эддина для четырёхугольника Саккери имеет место
гипотеза прямого угла (см. гл. I, § 4).
**) Это утверждение у Нассир-Эддина основано на наглядности, но оно может
быть обосновано так называемой аксиомой Паша: «Если прямая пересекает
сторону треугольника, не проходя ни через одну из его вершин, то она пересекает
одну из двух других сторон треугольника».
42
Рассмотрим теперь общий случай (черт. 7). Пусть АВ и CD пересекаются
прямой EF и *4DEF+*$BFE<2d. Пусть EFB — острый угол. Проведём
EG1.AB.
Так как сумма углов треугольника равна 2d, то -4FEG-\- ^GFE—d,
следовательно, -4DEG — острый, а значит, АВ и CD пересекаются, как перпендикуляр
и наклонная к EG.
Итак, Нассир-Эддин доказал 5-й постулат Евклида, пользуясь
своим предположением. Последнее, однако, является
равносильным 5-му постулату и мэжет быть доказано, если 5-й постулат
принять в качестве исходной предпосылки. Исследования Нас-
сир-Эддина, между прочим, отчётливо выдвинули вопрос о связи
суммы углов треугольника с 5-м постулатом Евклида.
Доказательство Джона Валлиса
С пробуждением Европы к новому культурному развитию
в период Возрождения наряду с усвоением сохранившихся
сочинений древности и изучением «Начал» Евклида начинается
собственный прогресс европейской математической науки, приведший
в XVI—XVII вв. к созданию алгебраической символики,
аналитической геометрии, дифференциального и интегрального
исчисления. Распространение и изучение «Начал» Евклида вновь
привели к возникновению многочисленных поисков доказательства
5-го постулата. Из этих попыток следует особенно указать на
доказательство Джона Валлиса (1616—1703), профессора
Оксфордского университета.
В своём доказательстве Валлис сознательно вводит постулат:
«Для каждого треугольника существует подобный ему треуголь·
ник при любом отношении подобия». Валлис, таким образом,
заменяет 5-й постулат другим постулатом, в котором используется
наглядное представление о форме фигуры, независимой от её
размеров, после чего ему действительно удаётся доказать 5-й
постулат. Но дело в том, что постулат Валлиса также является
равносильным 5-му постулату и может быть доказан на основе
последнего; это утверждение будет нами доказано ниже
(см. § 5).
Доказательство Фаркаша Бояи
Наконец, отметим доказательство венгерского математика
Фаркаша Бояи (1775—1856), отца знаменитого Яноша Бояи,
одного из создателей неевклидовой геометрии. В одном из своих
сочинений, опубликованном в 1833 г., уже после открытия
неевклидовой геометрии, Фаркаш Бояи выдвигает постулат: «Три
точки, не лежащие на одной прямой, всегда принадлежат
некоторой окружности». На основе этого постулата он легко
доказывает 5-й постулат Евклида. Однако постулат Бояи также
является следствием 5-го постулата и, следовательно,
равносилен ему (см. § 5).
43
Общая характеристика доказательств пятого постулата
Все рассмотренные выше попытки доказательства 5-го
постулата носят некоторые общие характерные черты.
Во-первых, авторы всех этих доказательств исходили из
уверенности о единственной возможности и абсолютной истинности
5-го постулата и не мыслили себе другсй возможности;
авторитет Евклида был для них незыблемым.
Во-вторых, все они считали, что предложения, принятые
в качестве аксиом, обязательно должны быть непосредственно
очевидными, и поэтому были убеждены в доказуемости 5-го
постулата при помощи остальных псстулатов. На этом пути их
всегда подстерегала опасность впасть в ошибку «порочного»
круга. Они иногда сознательно, а большей частью незаметно для
себя, вводили в рассуждение «очевидное» предположение,
фактически равносильное 5-му постулату, и считали, что
достигли, наконец, желанного результата. Но затем при
тщательном исследовании неизменно оказывалось, что найденное
доказательство ошибочно, так как использованная в нём предпосылка
сама является следствием 5-го постулата, и, следовательно, их
усилия не достигли цели. В самсм деле, в чём заключается
правильная постановка проблемы доказательства 5-го постулата?
Она состоит в том, чтобы доказать 5-й постулат,
основываясь исключительно на остальных
постулатах и аксиомах Евклида (лежащих в основе
абсолютной геометрии), не вводя, для этой цели
новых специальных постулатов. Как раз против этого
требования и грешат все рассмотренные выше попытки
доказательства 5-го постулата.
Таким образом, мы приходим к третьей характерной черте
всех доказательств 5-го постулата: все они отражают
отсутствие правильной постановки самой проблемы
доказательства 5-го постулата. Что же мешало этой
правильной постановке? Дело в том, что она требовала знания
полного списка аксиом, на которых покоится геометрия
Евклида, между тем основным недостатком «Начал» как раз и
является неполнота списка аксиом. Это обстоятельство и
стояло препятствием на пути к правильному разрешению вопроса
о доказуемости 5-го постулата. Мысль об этом существенном
пробеле в основаниях геометрии никому не приходила в голову,
и разработка полной системы аксиом геометрии явилась делом
лишь конца XIX и начала XX в.
Однако, несмотря на безрезультатность и тщетность всех
попыток доказательства 5-го постулата, они всё же не были
бесполезны. Наоборот, они сыграли весьма положительную роль в
развитии геометрии, ибо в результате этих многовековых
поисков были выяснены логические зависимости
между некоторыми важными геометрическими пред-
44
ложениями и, в частности, были открыты
предложения, эквивалентные 5-му постулату. Всё это
подготовляло почву для правильного решения проблемы
параллельных и содействовало дальнейшему более глубокому анализу
оснований геометрии.
Эквивалентность предложений
Итак, многие доказательства 5-го постулата Евклида страдают
общим пороком, состоящим в том, что в рассуждение большей
частью молчаливо и незаметно вводили допущение, эквивалентное
этому постулату.
Уточним понятие эквивалентности аксиом. Пусть
некоторая дедуктивная теория основана на системе аксиом
{Αχ, А2у ..., Ап) и пусть Μ и N — две новые аксиомы, связанные
между собой так, что если мы к данной основной системе аксиом
добавим одну из аксиом Μ или N', то из системы аксиом
{Аг, А2, ..., Ап, М) можно вывести N как теорему, а из системы
аксиом {Ах, А2, ..., Ап, Ν) можно вывести Μ как теорему,
тогдл говорят, что предложения Μ и N эквивалентны друг
другу относительно основной системы аксиом {Ах, А2, ..., Ап).
Рассмотрим теперь этот вопрос применительно к проблеме
5-го постулата. Откладывая пока точное определение полноты
системы аксиом геометрии, скажем лишь, что полнота системы
аксиом обеспечивает возможность доказать все теоремы
геометрии без обращения к опыту и очевидности, исключительно
логическим путём. В качестве полной системы аксиом геометрии
Евклида можно принять систему аксиом Гильберта, которую мы
рассмотрим в главе IJI.
И вот если мы в качестве основной системы аксиом возьмём
систему аксиом Гильберта, выбросив из неё только аксиому
параллельности, т. е. оставим лишь аксиомы абсолютной
геометрии, то относительно этой системы будут равносильны друг другу
и 5-му постулату Евклида, например, следующие предложения:
1. Через каждую точку, лежащую вне прямой, проходит
только одна прямая, параллельная данной (аксиома Плейфера).
2. Две параллельные при пересечении их третьей прямой
образуют равные соответственные углы.
3. Сумма внутренних односторонних углов, образованных
двумя параллельными при пересечении их третьей прямой, равна
2d (Птолемей).
4. Если какая-нибудь прямая пересекает одну из двух
параллельных, то она пересекает и другую (Прокл).
5. Расстояние между двумя параллельными конечно (Прокл).
6. Геометрическое место точек, расположенных по одну
сторону прямой на одном и том же расстоянии от неё, есть прямая
(Поси доний).
7. Сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым
(Нассир-Эддин, Саккери, Лежандр).
45
8. Существуют подобные треугольники (Валлис).
9. Через всякую точку, лежащую внутри угла, можно
провести прямую, пересекающую обе стороны угла (Лежандр).
ίθ. Через три точки, не лежащие на одной прямой, всегда
можно провести окружность (Ф. Бояи).
11. Если из двух прямых г и s одна перпендикулярна, а
другая наклонна к секущей АВ, то отрезки перпендикуляров,
опущенных из точек s на г, меньше АВ с той стороны, с которой АВ
образует с секущей s острый угол (Нассир-Эддин).
12. Существует треугольник с произвольно большой
площадью.
13. Высоты треугольника всегда пересекаются.
14. Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат
гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
15. Сторона вписанного в круг правильного шестиугольника
равна радиусу этого круга.
Любое из этих предложений можно положить в основу теории
параллельных вместо 5-го постулата, тогда последний может быть
доказан как теорема, а вместе с ним могут быть выведены все
зависящие от него теоремы геометрии Евклида. Эквивалентность
некоторых из этих предложений 5-му постулату будет доказана
в § 4 и 5 настоящей главы.
§ 4. ИССЛЕДОВАНИЯ САККЕРИ, ЛАМБЕРТА И ЛЕЖАНДРА
В XVIII столетии произошло существенное продвижение
в постановке вопроса о методах доказательства 5-го постулата
Этот прогресс связан с именами трёх человек: итальянского
учёного иезуита Джироламо Саккери, немецкого учёного Иоганна
Генриха Ламберта и французского учёного Андриана Мари Ле-
жандра. Основная идея их исследований заключалась в
попытках доказать 5-й постулат методом от противного. Эта идея
оказалась столь плодотворной, что непосредственно подвела к
окончательному решению " проблемы 5-го постулата в XIX столетии.
Исследования Саккери (1667—1733)
В своей книге «Евклид, очищенный от есяких пятен, или
опыт, устанавливающий самые первые принципы универсальной
геометрии», изданной в 1733 г., Саккери в качестве исходной
фигуры берёт четырёхугольник с двумя
прямыми углами и двумя равными боковыми
сторонами, называемый ныне в честь
автора четырёхугольником Саккери.
Возьмём произвольный отрезок АВ
(черт. 8) и по одну сторону от него
проведём отрезки AD и ВС, равные
между собой и перпендикулярные к АВ. Сое-
46
динив точки С и D прямой, получим четырёхугольник с двумя rip*.*
мыми углами А и В и равными боковыми сторонами. Саккери
прежде всего ставит вопрос, что можно сказать относительно углов
С и D, если основываться на всех аксиомах и постулатах
Евклида, за исключением 5-го постулата. Он доказывает, что
независимо от этого постулата можно утверждать, что ^C—^D.
Мы приведём это доказательство Саккери, но уточним его,
пользуясь так называемой аксиомой Паша. Последняя
формулируется так: Если прямая пересекает сторону треугольника
и не проходит ни через одну из его вершин, то она пересекает
одну и только одну из двух других сторон треугольника.
Восставим в середине О отрезка АВ перпендикуляр 00'.
Прямая 00' пересекает сторону АВ треугольника ABC и не
проходит через его вершины. Следовательно, по аксиоме Паша она
пересечёт либо сторону ВС, либо сторону АС. Но 00' и ВС не
пересекаются, как перпендикуляры к АВ. Значит, 00'
пересечёт сторону АС в некоторой точке Е. Опять видим, что прямая
00' пересекает сторону АС треугольника ACD и не проходит
ни через одну из его вершин. Следовательно, 00' пересечёт по
аксиоме Паша сторону DC в некоторой точке О', так как
сторону AD, перпендикулярную к АВ, она пересечь не может.
Соединим О' с Л и В. Тогда ААОО' = АВОО' по двум катетам,
следовательно, АО'=ВО' и ^ОАО' = ^ОВО', а значит, ^DAO' =
z=^CBO\ как углы, дополняющие первые до прямого угла.
Рассматривая теперь A ADO' и /\ВСО'', убеждаемся, что они
равны по двум сторонам и углу, заключённому между ними,
откуда следует, что ^C=^D и, сверх
того, что DO'=0'C, т. е. что О' есть сере- ^^^~
дина стороны DC. D ^-rtTCTL--
Рассмотрим теперь четырёхугольник, |
у которого AD<^BC (черт. 9).
Отложим BE=AD. Тогда на основании Д\
предыдущего ^ADE = ^BED. Но ^BED
внешний к треугольнику DEC, следова- Черт. 9.
тельно, ^BED>^C, отсюда ^D>^C.
Легко от противного доказать и обратные предложения.
Всё сказанное приводит к следующей лемме Саккери,
которая относится к абсолютной геометрии.
Лемма. Если β четырёхугольнике с прямыми угла ш А и В
стороны AD и ВС равны, то угол С равен углу U, если же
стороны AD и ВС не равны, то из двух углов Си Ьтот больше,
который прилежит к меньшей стороне.) имеют место и
обратные предложения.
Рассмотрим теперь первый случай, когда AD = BC и,
следовательно, ^C~^D. Что в таком случае можно утверждать
о величине углов С и D? Исходная точка зрения Саккери
такова: мы можем относительно углов С и D строить три
предположения: 1) либо оба они острые, 2) либо оба они прямые,
47
3) либо оба они тупые. Эти предложения будем называть
соответственно гипотезами острого, прямого, тупого угла.
Что касается гипотезы прямого угла, то она, как доказал
Саккери (см. также доказательство Нассир-Эддина), равносильна
постулату Евклида. Следовательно, если удастся доказать, что
гипотезы острого и тупого утла приводят к противоречию
с другими аксиомами и постулатами Евклида или ранее
доказанными теоремами, то тем самым будет доказана справедливость
гипотезы прямого угла, а вместе с тем и 5-го постулата. Эту
задачу и ставит себе Саккери, и если бы ему это удалось, то
получилось бы безупречное доказательство от гротивного 5-го
постулата Евклида.
Рассмотрим несколько простерших теорем, доказанных Саккери в
предположении справедливости той или иной гипотезы.
Саккери желает прежде г.сего доказать, что если одна из гипотез
верна для какого-нибудь одного четырёхугольника
Саккери, то этаже гипотеза будет справедлива и для всех
четырёхугольников того же типа. Для этого он доказывает
предложение:
В случае справедливости гипотезы прямого угла
Л£=СД при гипотезе острого угла AB<CD, при
гипотезе тупого угла AB>CD, и обратно.
г\
1 \
! \
\
\
\
\
7
/
/ 1
/
/
/
/ , J
с
Черт. 10. Черт. П.
Действительно, в случае гипотезы прямого угла ^C=^D=d. Применяя
лемму Саккери к основанию AD, имеем в предположении, что ΑΒΦΟΌ, также
^СУ--4£ = £/, что противоречит условию.
В случае гипотезы острого угла имеем ^$С= ^D<d.
Проведём 00' ±АВ, где О середина АВ (черт. 10). Мы уже видели, что О'
есть середина DC. Из равенства треугольников 0AD и ОВС (по двум катетам)
следует OD = OC. Отсюда имеем равенство треугольников ΟΌΟ' и ОСОг (по
трём сторонам). Следовательно, -- 00'D = -4ОО'С, т. е. 00' ±DC. Так как
^D<^A = d, то по лемме Саккери применительно к основанию 00' имеем
A0<D0', а значит, AB<CD.
Аналогично, при условии, что ^C=^D>d, покажем, что AB>CD.
Методом от противного легко доказать обратное предложение: если АВЩВС,
то имеет место соответственно гипотеза острого, прямого, тупого угла.
Пользуясь этим предложением, Саккери далее доказывает теорему,
сформулированную выше, о том, что если одна из гипотез верна в одном случае, то
она же верна и во всех других случаях.
После этого Саккери доказывает весьма важное предложение: Сумма
углов треугольника меньше, равна или больше 2d в зависимости от того, имеет
ли место гипотеза острого, прямого или тупого угла.
Приведём доказательство этой теоремы (черт. 11). Пусть ABCD —
четырёхугольник Саккери с основанием АВ. В случае гипотезы прямого угла лАВС=
= aACD, ибо BC = AD, AB=CD. Следовательно, ^2=^3. Отсюда А\ + -32+
л. ^4=* -ф1 -f^3+^i4= 2d.
48
В случае гипотезы острого угла AB<CD, а потому ^с2<^3, ибо Δ ЛВС и
&ADC имеют две равные стороны {АС общая, AD = BC). но третьи их стороны
не равны. Но ^l-j-^3-f-^4 = 2cf. следовательно, ^ 1-f-^2+-44<2d.
В случае гипотезы тупого угла AB>DC, а потому ^2>-43.
Следовательно, ^1+^2+^4>2<ί.
Таким оэразом, теорема доказана для всех прямоугольных
треугольников, после чего её легко распространить на произвольный
треугольник, разлагая его высотой на два прямоугольных треугольника.
Затем доказывается от противного обратная теорема: Если сумма углов
треугольника равна, меньше или больше 2d, то UMtem место соответственно
гипотеза прямого, острого, тупого угла.
Таким образом, Саккери доказал эквивалентность
предложения о сумме внутренних углов треугольника
соответствующей гипотезе об углах четырёхугольника Саккери.
Далее Саккери прэвэдиг рассуждения, которые, с одной стороны, приводят
к дэ.чазательству 5-го постулата Евклида при условии справедливости гипотезы
прямого угла, а с другой стороны, — к устранению гипотезы тупого
угла.
Устранив гипотезу тупого угла, Саккери все дальнейшие свои усилия на-
прэвляэт на устранение гипотезы острого угла. На этом пути он открывает
много интересных теорем, связанных с допущением гипотезы острого угла и
парадоксальных с точки зрения обычной геометрии. Так, Саккери доказывает,· что
в случае гипотезы острого угла
существуют такие перпендикуляр и на- _,#
клонная к одной и той же прямой,
которые не пересекаются.
Пусть ABC — треугольник, у которого С —
прямой угол (черт. 12). Построим прямую BD так, чтобы
^ΑΒΌ был равен углу ВАС. Так как мы допус- -
тили справедливость гипотезы острого угла, то
сумма углов треугольника ABC меньше 2d, а потому Черт. 12.
в силу того, чтоуголС прямой, ACAB+^CBA<d,
вместе с чем 4ΌΒΑ + ^АВС== ^DBC<d. Таким
образом, АС является перпендикуляром, a BD — наклонной к ВС, и всё же эти
прямые не пересекаются, ибо, допустив противное, мы получим треугольник,
для которого *4САВ являлся бы внешним и в то же время он равнялся бы
внутреннему углу DBA, что невозможно.
Развивая дальнейшие следствия из гипотезы острого угла,
Саккери, в частности, приходит к построению, которое положил
в основу своей геометрической системы Лобачевский. Саккери
показал, что в случае гипотезы острого угла в
множестве прямых, проходящих через
точку Л (черт. 13), лежащую вне
прямой а, имеются две прямые/?, q,
асимптотические к а, обе они
разделяют пучок А на две части, из
которых одна состоит из прямых,
пересекающих а, а другая — из пря-
Черт. 13. мых, имеющих с α общий
перпендикуляр.
Саккери показал также, что в случае гипотезы острого угла
перпендикуляр к стороне острого угла сначала пересекает
вторую сторону, а потом, по мере удаления от вершины (черт. 14),
перестаёт её пересекать; при этом существует предельный
первый не пересекающий перпендикуляр.
49
Саккери открыл тот факт, что в случае гипотезы острого *
угла геометрическое место точек, равноудалённых от данной
прямой, есть кривая.
Будучи, однако, твёрдо убеждённым, что никакой другой
геометрии, кроме геометрии Евклида, существовать не может,
Саккери после весьма длинного исследова-
/ . ния различных следствий гипотезы острого
угла в конце концов приходит к ложному
заключению, что гипотеза острого угла
приведена к противоречию и что она
«противоречит природе прямой линии».
Значение Саккери в истории развития
геометрии состоит в том, что он явился
пионером в проложении нового плодотворного
Черт. 14. пути в исследовании проблемы 5-го постулата.
Исследования Ламберта (1728—1777)
Ламберт — выдающийся самоучка, сын бедного ремесленника,
fio происхождению — швейцарец. С 1765 г. он был членом
Берлинской Академии наук. Ламберт занимался астрономией,
геодезией и фотометрией. В области математики он прославил себя
доказательством иррациональности числа π и исследованиями
постулата о параллельных.
Как по содержанию, так и по методу исследования вопроса
.о доказательстве 5-го постулата Евклида, Ламберт является
непосредственным продолжателем Саккери. В своём сочинении
«Теория параллельных линий», написанном в 1766 г. и изданном
в 1786 г., Ламберт, так же как и Саккери, исходной фигурсй
берёт четырёхугольник, но не с двумя, а с тремя прямыми
углами (такой четырёхугольник называется четырёхугольником
Ламберта). Вопрос о величине четвёртого угла остаётся открытым,
и Ламберт также допускает три гипотезы: гипотезу прямого,
тупого и острого угла.
Установив эквивалентность гипотезы прямого угла 5-му
постулату, Ламберт легко приводит к противоречию гипотезу
тупого угла, после чего он сосредоточивает всё внимание на
развитии следствий из гипотезы острого угла с целью
обнаружить в них противоречие. В процессе исследований Ламберт
приходит к результатам, которые были уже получены Саккери,
в частности, он нашёл, что сумма углов треугольника меньше
двух прямых углов. Но Ламберту удалось пойти дальше Саккери
и открыть существенно новые следствия гипотезы острого угла.
Он, например, установил, что площадь треугольника
пропорциональна разности между 2d и суммой
углов треугольника (так называемый дефект
треугольника), а также открыл существование некоторой абсолютной
единицы длины, о чём будет более подробно сказано в
своём месте (см. гл. II, § И, стр. 115).
50
Ламберт оказался последовательнее Саккери и в отличие от
последнего никогда не считал, что им доказан*5-й постулат,
Еполне отчётливо сознавая, что ему не удалэсь получить
противоречие из гипотезы острого угла, несмотря на парадоксальность
полученных результатов.
Ламберт первый заметил, что если на поверхности шара
приписать большим кругам роль прямых линий, то гипотеза тупого
угла будет полностью реализована на сфере. Он делает
правильное замечание, что сферическая геометрия не зависит от
постулата Евклида. Наталкиваемый этим фактом к заключению по
аналогии, Ламберт после безуспешных попыток привести
гипотезу острого угла к противоречию, восклицает: «Я почти
принуждён прийти к заключению, что третья гипотеза находит себе
применение на мнимой сфэре. Дэлжча же быть причина,
вследствие которой она на плоскости далеко не поддаётся
опровержению, как это легко можзт быть сделано со второй гипотезой».
Ламберт полностью осознал всю трудность проблемы
доказательства 5-го постулата и всю тщэтность сделанных до него
в этом направлении попыток. «Доказательства евклидова
постулата,— говорит он,— могут быть доведены столь далеко, что
остаётся, по-зидимому, ничтожная мелочь. Но при тщательном
анализе оказывается, что в этой кажущейся мелочи и
заключается вся суть вопроса; обыкновенно она содержит либо
доказываемое предложение, либо равносильный ему постулат».
Исследования Лежандра (1752—1833)
В конце XVIII в. в Европе наблюдается оживлённый интерес
к исследованиям по основаниям геометрии. Этот интерес в
первую очередь был обусловлен тем, что идеологическая подготовка
к Великой французской революции 1789 г. (деятельность
французских просветителей XVIII в.) и последовавшие за этой
революцией коренные экономические и социальные изменения во
Франции и других странах Европы вызвали острую борьбу и
ломку в общественных взглядах по вопросам воспитания,
образования и принципов постановки преподавания. «Если до этого
времени,— говорит Клейн,— речь всегда шла главным образом
лишь об образовании высших сословий, в частности о
подготовке к военной карьере, то теперь на первый план выступа от
новые социальные слои буржуазии, и перед преподаванием
ставятся новые цели, и в него вводятся новые методы». Если
раньше главная роль геометрии усматривалась в том, чтобы при её
помощи развивать и укреплять формальную дисциплину ума, то
теперь на первый план выступало требование, чтобы
преподавание геометрии давало учащимся фактические сведения о
пространственных соотношениях и развивало пространственные
представления, чтобы преподавание геометрии было ближе к
запросам жчзни, к требованиям технического прогресса и было
более доступным для новых, более широких слоев населения.
51
Наступила реакция против многих особенностей «Начал»
Евклида как учебного руководства, критиковались их тяжеловесность,
неудобочитаемость, громоздкость доказательств, отсутствие
практических приложений, изгнание числа и движения,
пренебрежение к наглядности. Новые принципы преподавания геометрии
получили своё наиболее удачное и яркое воплощение в
знаменитом* сочинении крупного французского математика Лежандра
«Начала геометрии», первое * издание которых вышло в 1794 г.
Лежандр был профессором Политехнической школы, членом
Парижской Академии наук. Им сделан крупный вклад во многие
области математики, и во многих вопросах он был
предшественником Гаусса.
По мысли Лежандра, сочинение «Начала геометрии» должно
было заменить «Начала» Евклида в школьном преподавании. Эта
книга в своё время оказала решающее влияние на преподавание
геометрии не только во Франции, но и в других странах и после
«Начал» Евклида приобрела наибольшее распространение из всех
учебников элементарной геометрии. Лежандр в этом
учебнике уделяет много внимания изложению основ геометрии и
особенно теории параллельности. Так же, как Саккери и Ламберт,
Лежандр предпринимает попытку доказать 5-й постулат от
противного. В отличие от них он в качестве исходной основной фигуры
берёт треугольник и рассматривает проблему параллельности
с точки зрения вопроса о сумйе углов треугольника.
Поставив себе целью доказать 5-й постулат без введения
заменяющих его новых постулатов, Лежандр прежде всего
непосредственно показывает, что если принять без доказательства,
что сумма углов треугольника равна 2d, то 5-й постулат может
быть доказан, как теорема. Этим самым Лежандр
непосредственно устанавливает эквивалентность этих двух предложений.
Приведём это доказательство.
Теорема I. Если сумма углов треугольника равна 2d, то имеет
место 5-й постулат Евклида.
Пусть прямая а является перпендикуляром, а прямая Ь —
наклонной к прямой ЛВ, причём ^Л=р острый (черт. 15).^
Докажем, что b непременно пересечёт а. Для этого на прямой а от-
52
ложим п отрезков: ВВ1=ЛВ; B1Ba=^i. В2В3=АВ2ч ..., Вп_1Вп =
=ЛВл-1, соединяя точки Blf β2, β3, ···> ΒΛ с точкой Л.
Рассмотрим треугольники АВВЪ АВгВ2, АВ2В3у ..., АВп^гВп.
По условию сумма углов каждого из них равна 2d.
Треугольник АВВХ равнобедренный прямоугольный, и, так как
по условию сумма его углов равна 2d, каждый из его острых
углов равен —. Но ^АВХВ есть внешний для /\АВХВ2,
следовательно, он равен сумме двух внутренних углов, с ним не смежных,
на основании того же условия теоремы. В силу равнобедренности
ААВгВ2 получим, что ^АВ2В=—=^-. Рассуждая таким образом,
мы получим, что ^АВпВ=- . Но так как сумма углов
треугольника равна 2d, то будем иметь ^ВАВп=— —. Так
как угол β острый, то можно положить β=- α, где 0<]α<;
< —. Мы всегда можем добиться при достаточно большом п,
чтобы было —~п—<а. Следовательно, при достаточно большом η
будем иметь:
β=— - α < * *_= ^ВАВп.
г 2 2 2п+1 п
Таким образом, прямая b будет проходить внутри угла ВАВп и,
следовательно, пересечёт противоположную сторону ВВп
треугольника ВАВп*). Теперь нетрудно доказать 5-й постулат в его
общей формулировке (см. стр. 43).
Итак, эквивалентность 5-му постулату предложения о том,
что сумма внутренних углов треугольника равна 2d, доказана.
Отсюда заключаем, что если бы удалось доказать, не опираясь
на 5-й постулат, что сумма углов треугольника равна 2d, то
тем самым был бы доказан 5-й постулат. Поэтому Лежандр
задаётся вопросом, что можно сказать о сумме углов треугольника
независимо от 5-го постулата, и допускает три гипотезы: 1)
сумма углов треугольника больше 2d, 2) равна 2d, 3) меньше 2d.
Для доказательства 5-го постулата необходимо привести к про·
тиворечию 1-ю и 3-ю гипотезы и этим их устранить. В этом
направлении и ведёт исследование Лежандр.
Прежде всего Лежандр несколькими способами показывает,
что 1-я гипотеза не может иметь места, т. е. доказывает
следующую теорему:
Теорема II. Сумма углов треугольника <2d.
Будем доказывать теорему от противного.
*) Это может быть строго доказано при помощи аксиомы Паша.
5&
Пусть дан ΔΛχβχ^, углы которого равны α, β, γ (черт. 16).
Предположим, что a+p+T^^d. Продолжим сторону АгА2 и
отложим на продолжении η отрезков, равных АхАг, так чт©
ΑχΑ2=Α2Αζ=... = ΑηΑη+χ.
На этих отрезках построим η треугольников, равных
треугольнику ΑχΒ^. Соединим их вершины ВЪВ2, .. ., Вп отрезками
прямых, получим η — 1 треугольников, которые равны между
собой по двум сторонам и углу между ними β'.
3, вг β3 δ*
Черт, 16.
Следовательно, β1β2=β2β3== · · · = Βη--ι Дг
Так как α+β+γ> 2d и в то же время α+β'+γ = 2ίί, то β> β',
а поскольку в £^А1В1А2 и /\ВХА2В2 две стороны соответственно
равны, но углы между ними не равны, то AtA2^> B±B2. Далее
замечаем, что ломаная
AA+in- 1)В1В2+Вл41+1>/1.Л1Ла.
Отсюда в силу равенства ВпАп+1=В1А2:
η ·(ДЛ2 — ВгВ2) < ΑΧΒΧ - βχβ2+ ΒΧΑ2.
Так как по доказанному А^^ B±Btf или АгА2—βχβ2>0,
то полученное неравенство противоречит аксиоме Архимеда, ибо
я может быть взято сколь угодно большим, а потому эт©
неравенство невозможно, а значит, α+β+Τ < 2d.
Рассмотрим ещё другое
доказательство этой теоремы,
данное Лежандром.
Предположим, что в
данном треугольнике ABC (чео-
тёж 17) S (AABC) = 2d+at
где а > 0 и символ 5 (Δ)
означает сумму его
внутренних углов. Соединим А с
серединой D противоположной
стороны и медиану AD
продолжим на равную ей длину
DE. Соединив Ё с В,
получим aDEB— a ADC по
Черт. 17. двум сторонам и углу, заклю-
54
чённому между ними. Поэтому ^ Ό АС « -4 D£B и -4 i4CD = -4 1>В£. Легко·
видеть, что S (Δ ABE) = S ( δ ЛВС) = 2d-fa, причём сумма двух углов
треугольника ABE в конечных точках удвоенной медианы АЕ
^ВАЕ+А ВЕА = ^А.
А
Следовательно, наименьший из этих двух углов < -от. Предположим, что*
это угол ВАЕ. Тогда мы с треугольником АЕВ повторяем тот же процесс,
т. е. проводим медиану AF из вершины меньшего угла, удваиваем её, получаем-
AAGB, у которого
5 (&AGB) = S(AAEB) = S(AABC) = 2d+a
д
и в котором один из углов в конечных точках удвоенной медианы <"о2".
Продолжая этот процесс η раз, получим треугольник, сумма трёх углов которого
равна 2d-\-a и один из углов которого < -ψϊ. При достаточно большом η этот
угол сделается меньше а. Следовательно, сумма остальных двух углов этого
треугольника будет равна
д
2d-\-a — -^>2d.
Но это невозможно, так как в силу того, что внешний угол треугольника больше
внутреннего, с ним не смежного, сумма двух углов треугольника всегда
меньше 2d.
Полученное противоречие и доказывает теорему.
Заметим, что теорема II Лежандра относится к абсолютной геометрии.
Итак, гипотеза 1-я устранена. Остаётся для доказательства 5-го постулата
привести к противоречию 3-ю гипотезу. Для этого Лежандр предварительно
доказывает следующую теорему.
Теорема Ш. Если β одном треугольнике S ( δ ) = 2d, то это имеет место
во всяком треугольнике.
Доказательства этой теоремы приводить не будем. Из теоремы III легко
получается:
Теорема IV. Если в одном треугольнике S(A)<2d, то это имеет место·
во всяком треугольнике.
Действительно, если предположить противное, то должен существовать
хотя бы один треугольник, в котором сумма углов равна 2d, но тогда по
теореме III и в данном треугольнике S(A) = 2d, что противоречит условию.
Теоремы III и IV приводят к следующему заключению: если удастся
доказать хотя бы для одного треугольника, что сумма его внутренних углов
равна 2d, то 5-й постулат Евклида будет доказан. Поэтому Лежандр для
устранения 3-й гипотезы и ставит своей задачей доказать, что хотя бы в одном
треугольнике S (A) = 2d. В различных изданиях своих «Начал геометрии» Лежандр
делает всё новые и новые попытки доказать это предложение, даёт различные
варианты доказательства 5-го постулата. Все эти доказательства оказались,
конечно, ошибочными, но тем не менее они интересны своим остроумием и
изяществом и поучительны в том отношении, что вскрыли ряд эквивалентов 5-му
постулату. Поэтому будет полезно рассмотреть некоторые из этих доказательств»
Пусть дан произвольный острый угол с вершиной О (черт. 18). Возьмём на
одной из его сторон точку В и опустим перпендикуляр ВА на другую сторону.
По тефреме II имеем:
S (Δ ОАВ) < 2d, или 2d — S (аОАВ)>0.
Докажем, что неравенство 2d — S (аОАВ)>0 не может иметь места, чем.
и будет доказано, что S (Δ О А В) = 2d. Допустим противное, что 2d — S (Δ ОАВ) «
= ε>0. Отложим отрезок ААг = О А и соединим В с Άχ, затем восставим в Аг
перпендикуляр к О А. Пусть он пересечёт сторону ОВ в точке Вг.
65^
Тогда
SiAOA^J
S(AOAB)+S(AAA1B) + S(AA1BB1) — 4d,
тде Ad есть сумма углоз, образовавшихся при точках А и В.
Полученное равенство можно переписать в виде
2d-S(AOA1B1) = [2а-5(дОЛБ)]+[2^-5(л^Л1Б)]+[2^~5(Л^1ВВ1)].
Но ААА^В = а О А В по двум катетам, следовательно, первые два
слагаемых в правой части в сумме составляют 2ε, откуда
2d — S(AOA1B1)>2e.
Отложим далее на О А отрезок АгА2 = ОАг, соединим Вг и Л2 и восставим
•в А 2 перпендикуляр к ОЛ2, который пересечёт сторону О В в некоторой течке В2.
Тогда аналогично предыдущему докажем, что
2d — S(AOA2B2)>4e.
После η таких построений получим аОАпВп, для которого будет иметь
место неравенство
2d — S{AOAnBn)>2ns.
Но при достаточно большом η мы непременно получим неравенстю 2п ε>2ί/,
а тогда
2d — S(AOAnBn)>2d, или S( ΑθΑηΒη)< О,
что является нелепостью. Следовательно, остаётся принять, что ε = О, т. е.
S (АОАВ) = 2d, вместе с чем доказан 5-й постулат Евклида.
В чём заключается порочность этого доказательства? Диказател?ство зто
основано на «очевидном» предположении, что, как бы далеко от вершины О мы
ни брали точки А1} А2, . . . , Ап всегда перпендикуляры, восставленные в зтих
точках к стороне ОА, обязательно пересекут сторону ОВ, т. е. Лежандр молча-
.ливо допускает, что перпендикуляр и наклонная к одной и
той же прямой всегда
пересекаются, а это есть эквивалент
5-го постулата.
В другом варианте рассуждения
строятся следующим образом Прэдпо-
ложим, что в А АВС (черт. 19)
S (aABC) = 2d — α, где 0<a<2d.
Построим aBCD^ равный a ABC,
так, что BDX= АС и СОг= АВ. Тогда
S(ABD1C)=2d — a.
Точка D1 обязательно попадёт
внутрь угла ВАС, ибо по теореме
о том, что внешний угол
треугольника больше внутреннего, с цим не
Черт. 19. смежного, *$CBDX= <$ АСВ<^ СВЕ
'56
и *4BCD1 = -4АВС <*4BCF, т. е. BDj и CD расположатся внутри угла»
EAF, а потому и точка Dx расположится внутри этого угла.
Проведём теперь через точку Dx прямую С^ВХ так, чтобы она пересекала
в некоторых точках Сх и Вг обэ стороны угла. Получим aBD1B1 и aCD^^
Пусть
S(ABD1Bl) = 2d — β и S(aCD1C1) = 2^ —т>
где β>0, γ>0.
Тогда
S(aAB1C1) = S(aABC)+S(aBCD1)+S(aBD1B1)+S (aCD^^ — 6d =
== (2d — a) + (2d — a)+(2d — 3)+(2d — γ) — 6d = 2d — 2α — ρ — γ < 2d — 2α.
Повторяя аналогичное построение в отношении Δ ABtClt получим aB1C1D2=^
= аАВ1Съ где точка D2 будет расположена внутри угла EAF; затем через
точку D2 проводим прямую, пересекающую сторону угла EAF в некоторых
точках С2 и £2, и для треугольника АВ2С2 будем иметь
S(AAB2C2)<2d — 22a.
Повторяя эту операцию /г раз, мы придём к треугольнику АВпСп, для
которого
S(AABnCn)<2d-2na.
Но при достаточно большом η величина 2Ла превзойдёт 2d, следовательно,
при таком η получим S (аАВпСп)<0, что является абсурдом, а потому
а = 0 и S(AABC) = 2d.
Приведённое доказательство также неудовлетворительно, ибо оно основано
на допущении, что через все точки Dlt D2 Dn, . . . всегда можно
провести прямые пересекающие обе стороны угла EAF, т. е. Лежандр принимает за
очевидное след)ющее предложение: через любую точку, лежащую
внутри угла, можно провести прямую, пересекающую
обе стороны угла. Между тем это
предложение эквивалентно 5-му постулату.
Лежандр пытался доказать, что S(A)=2d ещё
следующим образом.
Предположим, что в Δ ABC (черт. 20) со
сторонами a, b, с сумма углов «S (AABC)<2d.
Возьмём на стороне АВ точку D и проведём прямую
DE так, чтобы -4 ADE=^ В. Эта прямая не
может пересечь отрезка ВС в силу теоремы о внешнем
угле треугольника, следовательно, она пересечёт Черт. 20.
сторону АС. В четырёхугольнике BDEC сумма
углов <4d, ибо его можно диагональю разбить на два треугольника, сумма углов
каждого из которых по предположению меньше 2d. Так как -з В-{-*$ BDE = 2d,
то -4 C+*$CED<2d, а потому из равенства <4 AED+*$ CUD = 2d имеем
-4 AED> А С. Отсюда заключаем, что с уменьшением стороны AD угол AED
увеличивается, и наоборот, т. е. угол AED есть убывающая функция стороны AD.
Таким образом, мы имеем зависимость
C = f(A, В, с). (а)
но тогда с = φ (А, В, С). ( * )
Этот результат Лежандр считает абсурдным, ибо при таком соотношении
нарушается так называемый «принцип однородности». Правая часть равенства (*)
зависит только от выбора единицы измерения углов и не зависит от выбора
единицы длины, а левая часть зависит только от выбора единицы длины.
Поэтому равенства (а) и (*) невозможны и равенство (а) следует переписать в
виде C=f(A, В). Отсюда уже не трудно показать, что «S (a ABC) = 2d.
Это доказательство также основано на предположении, эквивалентном 5-му
постулату: Длины сторон треугольника не являются функциями только его
углов, или иначе: Существует треугольник с равными соответственно углами,
по с неравными соответствующими сторонами (постулат Валлиса).
57
Наконец, приведём ещё одно доказательство Лежандра. Предположим опять,
что «S (аАВС) = a<2d (черт. 21), причём допустим, что α есть наибольшая
возможная сумма углов треугольника, меньшая чем 2d. Проведём трансвер-
•саль CD, получим два треугольника ACD и BCD, сумма углов каждого из
которых не превосходит а, ибо а есть наибольшая из еозможных сумм углов
треугольника.
Отсюда
S (Δ ADQ+S ( Δ BCD) = S (Δ ABC)+2d < 2α,
или
a+2d < 2α, а потому 2d < α, что противоречит
β условию. На основании этого заключаем, что
Черт. 21. S(AABC) = 2d.
Это доказательство основано на том ошибочном
допущении, что существует треугольник с
наибольшей суммой углов а; дело в том» что бесконечное ограниченное сверху числовое
множество может и не иметь наибольшего числа, т. е. может не достигать своей
верхней грани.
На основании всего изложенного можно дать следующую
оценку исследований Лежандра по теории параллельных.
Лежандр по существу проблемы 5-го постулата никаких
новых результатов по сравнению с Саккери и Ламбертом не дал.
Все его результаты содержатся у последних, более того, они
ушли гораздо далее Лежандра в полученных следствиях из
гипотезы острого угла.
Во всех своих доказательствах 5-го постулата он неизменно
впадал в ошибку «порочного круга», незаметно для себя допуская
в рассуждениях новые предпосылки, равносильные 5-му постулату.
Тем* не менее заслуга Лежандра заключается в том, что, взяв
за исходную фигуру треугольник, он с особенной
отчётливостью установил непосредственно связь вопроса о сумме углов
треугольника с 5-м постулатом Евклида. При этом большое
значение имела та талантливая и доступная форма изложения, в
которую облёк свои сочинения и доказательства Лежандр. Это
обстоятельство наряду с громким именем автора и широкой
распространённостью его учебника в сильной степени содействовало
привлечению внимания многих математиков в конце XVIII и
начале XIX в. к проблеме параллельных и способствовало
развитию новых исследований в этой области. ,
Если к тому же учесть, что сочинения Саккери и Ламберта
прошли мало замеченными, то эта заслуга Лежандра становится
особенно важной.
Наконец, самые ошибки Лежандра поучительны и
плодотворны, ибо их критика приводила к установлению новых
эквивалентов 5-го постулата.
Общая оценка работ Саккери, Ламберта и Лежандра
Исследования Саккери, Ламберта и Лежандра по теории параллельности все
проникнуты твёрдой уверенностью в безусловной истинности и единственной
возможности 5-го постулата и верой в его доказуемость при помощи всех прочих
58
аксиом и постулатов Евклида. Такая установка сближает этих учёных с
геометрами прежних веков..
Но в отношении метода доказательства и подхода к проблеме все они встали,
на совершенно новый путь. Теории, развитые ими, являются попытками доказать
5-й постулат от противного. Но их внутренняя убеждённость в том, что,
заменяя 5-й постулат гипотезой острого угла, они непременно должны прийти к
противоречию, приводила их в конце концов к ошибкам (Саккери, Лежандр), или
же исследование оставалось незавершённым (Ламберт).
Допуская хотя бы теоретически гипотезу острого угла, противоречащею
евклидову постулату, они сразу получают ряд замечательных по своей новизне
и необычайности результатов. Перед ними приоткрылась завеса в новый
неведомый геометрический мир, но, будучи в плену старых воззрений, они остановились
на полдороге, приняли новые геометрические факты за обманчивый мираж. Этим
самым они закрыли себе дорогу, ведущую к решению двухтысячелетней проблемы.
Они умерли с ложным сознанием, что ими устранён этот «мираж» или что его
можно устранить.
Но нужно признать, что трудности в разрешении проблемы параллельных
были колоссальны. Они таились и в непререкаемости авторитета Евклида, и в
неразработанности основных предпосылок геометрии, и в укоренившихся
привычных пространственных представлениях, подтверждаемых повседневным опытом, и
в необычности и кажущейся абсурдности следствий гипотезы острого угла.
К этому следует добавить значительное тормозящее влияние на умы кантов-
ской философии, рассматривавшей пространство не как нечто объективно
существующее, а как априорную форму сознания и считавшей аксиомы геометрии
безусловными истинами, данными нам вне опыта, до опыта.
С этой точки зрения, геометрические аксиомы Евклида коренятся в самом
разуме и не зависят от опыта, а потому абсолютно достоверны, всеобщи и
неизменны. Необходима была исключительная гениальность, большая научная
смелость Лобачевского, чтобы преодолеть все эти трудности и стать на совершенно-
новую принципиальную точку зрения в отношении проблемы параллельных.
§ 5. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ НЕКОТОРЫХ
ПРЕДЛОЖЕНИЙ ПЯТОМУ ПОСТУЛАТУ ЕВКЛИДА
В конце третьего параграфа был указан ряд предложений,,
эквивалентных 5-му постулату.
Остановимся в настоящем параграфа на доказательстве
эквивалентности 5-му постулату трёх важных предложений: 1)
аксиомы параллельности Плейфера, 2) постулата Валлиса и 3)
постулата Ф. Бояи.
а) Аксиома параллельности Плейфера
Как известно, аксиома параллельности, которая обычно
кладётся в основу учения о параллельных в школьном курсе
геометрии, формулируется следующим образом:
Через точку, лежащую вне данной прямой, можно провести
только одну прямую, параллельную данной.
Теорема 1. Аксиома параллельности Плейфера и 5-й постулат
Евклида являются эквивалентными предложениями.
Доказательство:
Докажем, что из аксиомы параллельности Плейфера вытекает
5-й постулат Евклида.
5^
Пусть прямые а и Ь (черт. 22) при пересечении прямой с
образуют с правой стороны от с внутренние односторонние углы
απβ, причём a+P<2d. Проведём через точку Μ пересечения
прямых b и с ещё одну прямую е так, чтобы для прямых а и е
сумма внутренних односторонних углов α и β' равнялась 2d,
a+3' = 2d. Тогда β' > β и, следовательно, прямые ί? и е
различны. На основании прямой теоремы о параллельности,
изложенной в 27-м и 26-м предложениях «Начал» Евклида (см. § 2),
прямая е параллельна прямой а. Но так как имеет место
аксиома параллельности Плейфера, то, кроме
прямой е, через точку Μ не проходит другой прямой,
параллельной а, следовательно, прямая а пересекается с прямой Ь.
Черт. 22. Черт. 23.
Пусть теперь имеет место 5-й постулат Евклида, докажем,
что из него вытекает аксиома параллельности Плейфера. Пусть
дана прямая α и не лежащая на ней точка М. Опустим из Μ
перпендикуляр MP на прямую α (черт. 23) и проведём через Μ
прямую Ь, перпендикулярную к MP. Тогда b параллельна а.
Проведём через Μ какую-нибудь произвольную прямую с,
отличную от Ь. Тогда с не перпендикулярна MP, а потому с какой-
нибудь стороны от MP образует с ней острый угол а. Таким
образом, прямые а и с при пересечении прямою MP образуют
с одной её стороны внутренние односторонние углы, сумма
которых меньше 2d. Так как имеет место постулат
Евклида, то прямые а и с пересекаются, т. е. прямая с не
параллельна прямой а, значит, прямая b есть единственная прямая,
проходящая через точку УМ, параллельная прямой а, что и требовалось
доказать.
б) Постулат Валлиса
Постулат Валлиса можно формулировать так: существуют
два подобных и неравных треугольника.
Теорема 2. Постулат Валлиса и 5-й постулат Евклида
являются эквивалентными предложениями.
До казател ьс тво:
Пусть имеет место постулат Валлиса и существуют два
треугольника: ААВС и ΔΛ^ι^ι» подобные, но неравные, так
60
чт0 44«4Л. -4Β = ^β1> ^C=<4Clf но АВфАхВъ ВСфВхС1у
АСфА1С1 (черт. 24). Выведем 5-й постулат Евклида.
Допустим, что ЛВ>Л1В1. Отложим на ЛВ отрезок В/С=В1Л1.
Точка ^С упадёт между А я В. Проведём прямую KL так, чтобы
^4 BKL—-4 Ах = ^ А. На основании прямой теоремы о
параллельных (см. § 2) KL || ЛС в силу равенства соответственных углов:
^Л и 4 B/CL. Следовательно, KL не может пересечь AC, a
потому пересечёт сторону ВС в некоторой точке L, лежащей
между В и С*). Полученный ABKL = AAlB1C1 в силу равенства
сторон KB и Л^ и двух прилежащих к ним углов.
Следовательно, -4 BLK=-4 Cx = *h С. В выпуклом четырёхугольнике ЛЛХС,
как легко подсчитать, сумма углов равна 4d. Разобьём его
диагональю КС на два треугольника: АКС и KCL. Будем иметь
S(AAKC)+S(AKCL) = 4d.
с,
л
/ \
/ \
с „/ \
L Α Δ_
А
В А. ~ В,
Черт. 24. Черт. 25.
Можно сделать следующие предположения:
1) Либо S{AAKC)>2df тогда S(AKCL)<:2d.
2) Либо » <2d, » » >2d.
3) Либо » = 2d, » » = 2d.
Но, как мы видели (см. § 4, теорема II Лежандра), сумма углов
треугольника не может быть больше 2d, и предположения 1)
и 2) отпадают. Остаётся лишь одна возможность:
S(AAKQ = 2d9 S(AKCL) = 2d.
Отсюда по теореме I Лежандра вытекает справедливость
5-го постулата Евклида.
Пусть теперь имеет место 5-й постулат Евклида, выведем из
него постулат Валлиса. Пусть дан ААВС и отрезок АХВХФАВ
(черт. 25). Проведём прямые АХК и BXL так, что ^ КА1В1 = ^А
и ^LB1A1 = ^B. Так как имеет место 5-й постулат Евклида,
то S.(AABC)=^2d, а потому ^.А+^4 B<2d. Следовательно,
-4 Лх + -3 Вх <2d, τ· е· мы имеем две прямые АХК и BXL,
пересечённые прямой А1В1у причём сумма внутренних односторонних
углов Ах и Вх меньше 2d. На основании 5-го постулата Евклида
прямые АХК и BXL пересекаются в некоторой точке Сх.
Полученный δΛΒ^ подобен данному, ибо -4 Лд ==^Л, ^Вг = -4 δ и
-4 C^S (АЛ^А) — -3 А, — ^ Bx = 2d — -4 А— -£ В--> С.
*)На основании аксиомы Паша.
6!
в) Постулат Φ. Боя и
Постулат Ф. Бояи формулируется так: Через всякие три
точки, не лежащие на одной прямой, проходит окружность.
Теорема 3. Постулат Ф. Бояи и 5-й постулат Евклида
являются эквивалентными предложениями.
До казательство:
Пусть имеет место постулат Ф. Бояи. Проведём к отрезку АВ
перпендикуляр ВВ' и наклонную АА' (черт. 26), причём -4 А
Черт. 26.
острый. Возьмём на прямой АВ внутри или вне отрезка АВ
произвольную точку Λί, а затем построим симметричную ей точку ΛΓ
относительно АА и симметричную к Μ точку Λί" относительно В В'.
Так как ММ'±_АА', а прямая АВ не перпендикулярна к АА\
то ММ' не совпадает с ЛВ, следовательно, точка М' не лежит
на АВ. А так как точки Μ и Λί" лежат на АВ, то три точки
Λί, Μ' и Μ" не лежат на одной
прямой, а потому в силу постулата
Ф. Бояи через них проходит
окружность, хордами которой являются
ММ' и ММ". Прямые ВВ' и АА'
* являются перпендикулярами к
хордам ММ" и ММ', проходящими через
их середины, а потому они
пересекутся в центре окружности О. Итак,
перпендикуляр и наклонная
пересекаются, а отсюда, как мы уже
неоднократно отмечали, вытекает
постулат Евклида в общем виде.
Пусть теперь обратно имеет
место постулат Евклида, покажем, что
из него вытекает постулат Ф. Бояи. Пусть Л, В и С —три точки,
не лежащие на одной прямой (черт. 27). Соединив их
отрезками, получим ААВС. Для доказательства постулата Ф. Бояи
нужно показать, что существует точка, равноудалённая от
вершин этого треугольника Л, β и С.
Черт. 27.
62
Пусть АВ — наибольшая сторона треугольника, тогда -4 В
необходимо острый. Через середину Ε стороны АВ проведём
ЕЕ'±АВ. Так как имеет место постулат Евклида,
то перпендикуляр ЕЕ' и наклонная ВС обязательно пересекутся
в некоторой точке £', причём ^ВЕ'Е острый, ибо АВЕЕ'
прямоугольный с прямым углом Е. Проведём теперь через
середину F стороны ВС перпендикуляр FF'. В силу 5-го
постулата Евклида перпендикуляр FF' и наклонная Е'Е
пересекутся в некоторой точке D. Так как точка D лежит одновременно
на перпендикулярах ЕЕ' и FF\ проведённых через середины Ε
и F сторон АВ и ВС треугольника ЛВС, то она одинаково
удалена от точек Л, В и С и является центром окружности,
проходящей через эти три точки.
§ 6. СОЗДАНИЕ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ.
Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
Создание неевклидовой геометрии
Безуспешные поиски доказательства 5-го постулата
сыграли ту положительную роль, что помогли глубже
проникнуть в структуру геометрии, уяснить взаимную связь её
важнейших предложений. Эти попытки подготовили поч^у для
возникновения у передовых учёных предположения, что 5-й
постулат недоказуем . при помощи остальных аксиом геометрии
Евклида.
Здесь повторилось замечательное явление, неоднократно
наблюдавшееся в истории науки вообще и математики в частности,
когда достаточно созревшие новые идеи возникали у нескольких
учёных одновременно. Эго обстоятельство весьма красочно
выражено в одном из писем Ф. Бояи к своему сыну Я. Бояи: «Как
весной сразу всюду появляются фяалки, так и для научных
открытий бывают эпохи, когда одни и те же мысли вспыхивают
у учёных в разных местах». В течение первых же десятилетий
XIX в. проблема 5-го постулата была решэна несколькими
лицами почти одновременно и независимо друг от друга, но
совершенно не так, как предполагали это прежние учёные: была
создана новая геометрия, независимая от 5-го постулата, осно-'
ванная на замене его утверждением, эквивалентным гипотезе
острого угла Саккери.
К открытию новой, так называемой «неевклидовой», геометрии
пришли три человека: 1) профессор Казанского университета
Николай Иванович Лобачевский (1792—1856), 2) великий
немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777—1855), 3) венгерский
офицер Янош Бояи (1802—1860), сын Фаркаша Бояи, автора
рассмотренного нами постулата (см. § 5, стр. 62—63). Однако
вклад в создание новой геометрии, сделанной этими учёными,
весьма не равноценен.
63
Что касается Гаусса, то он совершенно не оставил никаких
следов систематического изложения своих открытий в области
неевклидовой геометрии и три жизни не опубликовал ни одной
строчки по этому вопросу. Всё, что нам известно о его
размышлениях над основаниями геометрии, изложено им в виде
отдельных замечаний и высказываний о сеоих сокровенных думах
в частных письмах к друзьям, опубликованных уже после его
смерти. Из этих писем, а также из б>мэг, оставшихся после
Гаусса, видно, что он уже в 1816 г. владел некоторыми
основными идеями неевклидовой геометрии и в дальнейшем
продвинулся в развитии своих взглядов. Однако, бсясь уронить свой
огромный авторитет в глазах учёного мира, не подготовленного
ещё к восприятию нсвых, совершенно необычных идей, Гаусс
не только не решился опубликовать результаты своих
исследований и не только запрещал друзьям разглашать содержание
своих писем к ним, но даже не оказал открытой моральной
поддержки Яношу Бояи, Лобачевскому и другим, которые приходили
к тем же мыслям, но были совершенно не пеняты
современниками и подвергались обидным насмешкам или становились жертвой
замалчивания их открытий. Это на долгий срок отодвинуло
признание и развитие новей геометрии.
Янош Бсяи пришёл к открытию неевклидовой геометрии в
1823 г., будучи в возрасте 21 года, но опубликовал сбои
результаты в 1832 г. (позже Лобачевского) в вид£ приложения к
учебнику математики «Спыт введения учащегося юношества в начала
чистой математики», изданному его отцом Ф. Бояи. Это
произведение Я. Бояи, написанное на латинском языке, называется
«Приложение, излагающее абсолютно верное учение о пространстве,
независимо от правильности или ложности XI аксиомы Евклида
(что a priori никогда не может быть решено), с добавлением
геометрической квадратуры круга для случая ложности аксиомы».
Больше ни одного произведения по новой геометрии Я. Бояи не
оп}бликовал. Непонятый своими современниками, встретивший
сдержанное, нечуткое отношение со стороны Гаусса, он впал в
глубокое отчаяние. Озлобленный, преследуемый манией
подозрения, что его приоритет в открытии новой геометрии присвоен
Гауссом и каким-то вымышленным Лобачевским, под именем
которого скрывается якобы тот же Гаусс, Я. Бояи остаток жизни
трагически провёл в нужде, неизвестности и полном одиночестве,
пережив и Гаусса, и Лобачевского.
Однако всё сделанное в области геометрии Гауссом и Я. Бояи
представляет собой лишь первые шаги по сравнению с
глубокими и далеко идущими исследованиями Лобачевского, котсрый
всю жизнь упорно и настойчиво разрабатывал с разных точек
зрения своё учение, довёл его до высокой степени совершенства
и опубликовал целый ряд крупных сочинений по новой геометрии.
Поэтому как с формальной стороны (первое по времени
опубликование открытия в 1826 г.), так и по существу первое место
64
сэеди лиц, разделяющих славу создания неевклидовой
геометрии, следует безраздельно отвести Н. И. Лобачевскому, имя
которого и носит созданная им геометрия*).
Н. И. Лобачевский
Николай Иванович Лобачевский родился 1 декабря 1792 г.
(нов. ст.) в Нижнем Новгороде, в семье мелкого чиновника.
После детства, полного нужды и лишений, он благодаря энергии
своей матери был принят в 1802 г. в Казанскую гимназию,
откуда в 1807 г. перешёл в незадолго перед тем основанный
Казанский университет. Своими выдающимися математическими
способностями он обратил на себя внимание профессоров Казанского
университета—математиков Бартельса, Реннера и других.
По окончании университета в 1811 г. Лобачевский был
оставлен при университете, в 1814 г. он утверждён адъюнктом, а в
1816 г. экстраординарным профессором. В первые же годы
своей педагогической деятельности Лобачевскому пришлось читать
студентам курс геометрии. Задумываясь над основами геометрии,
Лобачевский постепенно приходит к мысли, что «Начала»
Евклида обладают крупными недостатками и геометрия требует
коренной переработки. Особенное внимание Лобачевского привлёк 5-й
постулат Евклида, здесь он впервые подошёл к проблеме
параллельных. Этот особый интерес Лобачевского нашёл своё
выражение в самостоятельных попытках доказать 5-й постулат.
Размышления над проблемой параллельных привели Лобачевского к
убеждению, что «строгого доказательства сей истины до сих пор
не могли сыскать; какие были даны, могут назваться только
пояснениями, но не заслуживают быть почтены в полном смысла
математическими доказательствами».
Прогрессивное для своего времени мировоззрение
Лобачевского складывалось под сильным влиянием материалистических
традиций, заложенных в русской науке Ломоносовым, а также под
влиянием сенсуализма Локка и французских материалистов XVIII в.,
сочинения которых Лобачевский внимательно изучал.
Лобачевский был знаком с материалистическими взглядами
талантливого профессора математики Харьковского университета
Т. Ф. Осиповского (1765 — 1832), атеиста и страстного противника
учения Канта о пространстве и времени и других идеалистических
учений. Твёрдо став на материалистические позиций в вопросе
отношения мышления к бытию, Лобачевский считал, что источником
нашего познания являются ощущения как результат воздействия
на наши органы чувств внешнего мира. Лобачевский был
решительным противником теории врождённых идей, он полностью
*) Следует указать ещё на двух лиц, пришедших к идеям новой геометрии:
1) Ф. К. Швейкарт (1780—1859), профессор права в Харьковском университете
с 1812 по 1817 г. и 2) его племянник Тауринус (1794—1874). Однако они дали
лишь самые беглые наброски новой геометрии.
65
отвергал философлю Канта, рассматривавшую время и
пространство как априорные, внеопытные формы сознания. «Первые
понятия, с которых начинается какая-нибудь наука, должны быть
ясны и приведены к самому меньшему числу. Тогда только они
могут служить прочным и достаточным основанием учения.
Такие понятия приобретаются чувствами: врождённым не должно
верить» (Лобачевский, О началах геометрии).
Лобачевский считал, что основные понятия и аксиомы
геометрии заимствованы из внешнего мира путём чувственных
восприятий и практики. Он писал:
«Все математические начала, которые думают произвести из
самого разума, независимо от вещей мира, останутся
бесполезными для математики, а часто даже и не оправдываемые ею»
(Л. В. Μ од за л евс к и й, Материалы для биографии Н. И.
Лобачевского, стр. 204).
«Поверхности и линии не существуют в природе, а только
в воображении: они предполагают, следовательно, свойства тел,
познание которых должно родить в нас понятия о поверхностях
и ллниях» (там же, стр. 177).
Истинность геометрии заключается в её соответствии со
свойствами реального пространства. Критерием её истинности для
Лобачевского был опыт, практика. Говоря о безуспешных
попытках доказательства 5-го постулата, он писал: «Напраснсе
старание со времён Евклида в продолжение двух тысяч лет
заставило меня подозревать, что в самих понятиях ещё не
заключается той истины, которую хотели доказывать и которую
проверить, подобно другим физическим законам, могут лишь опыты,
каковы, например, астрономические наблюдения»
(Лобачевский, Новые начала геометрии).
Лобачевский подходил к геометрии прежде всего как естествоиспытатель и
видел в геометрии науку о реальном пространстве, а не чисто
логическую систему. Взгляды же Лобачевского на физическое пространство резко
отличались от установившихся в науке его времени взглядов и содержали
гениальные догадки, задолго предвосхитившие современные физические теории
пространства, в том числе и основную идею современного принципа
относительности Эйнштейна о взаимосвязи времени, пространства и материи. Лобачевский
рассматривал пространство не как пустое вместилище для материи, не как
всюду одинаковое по своим свойствам и однородное, а как форму существования
тел природы, геометрические же свойства пространства — как органически
связанные с физическими свойствами материи.
Отсюда его мысль о том, что в различных областях пространства могут
осуществляться и различные геометрии.
Вот его слова: «...пространство само собой отдельно» (от движущейся
материи) «для нас не существует. После чего в нашем уме не может быть
никакого противоречия, когда мы допускаем, что некоторые силы в природе
следуют одной, другие другой особой геометрии...». Он полагал, что все свойства, и
физические, и геометрические, движущейся материи тесно связаны между собой.
«Нельзя сомневаться, что силы всё производят одни: движения, скорость, время,
массу, даже расстояния и углы». Этот взгляд на пространство нриЕёл
Лобачевского к возможности взаимозависимости угла и отрезка, характерной для его
геометрии. Геометрия для него была в своих исходных понятиях и аксиомах такой
6S
же опытной наукой, как физика или химия, а аксиомы геометрии — основными
гипотезами о свойствах пространства, требующими опытной проверки.
Мысль о множественности геометрий, царящих в природе, приводила его к
выводу, что принятие Евклидом 5-го постулата за исходную предпосылку
является произвольным допущением, не обоснованным физически и незаконно
отбрасывающим другие возможности.
Эти материалистические воззрения Лобачевского определили его резко
отрицательное отношение к философии Канта, которую он полностью отвергал.
Философия Канта сыграла реакционную роль в развитии науки и, в
частности, тормозила развитие новых геометрических идеи, стояла преградой на пути
признания открытия Лобачевского.
Учение Канта представляет собой попытку примирения материализма и
идеализма. Кант признаёт существование вне и независимо от нашего сознания
реального мира, материи, которую он называет «вещью в себе». По Канту, «вещь
в себе», действуя на наши органы чувств, вызывает ощущения, являющиеся
основой для функционирования нашей рассудочной деятельности, мышления.
Однако Кант утверждает, что наши ощущения, представления и понятия не яеляют-
ся копиями, отражениями в нашем сознании реально существующих вещей. Они
в корне отличны от вызывающих их объектов, абсолютно не похожи на эти
объекты, а определяются исключительно внутренними, врождёнными формами
нашего сознания и формами связи между ощущениями и понятиями.
Поэтому, по Канту, мы не можем судить, каков мир на самом деле, «вещи
в себе» недоступны нашему познанию, сущность вещей для нас непостижима и
принципиально непознаваема. Наше сознание не отражает свойств внешнего мира,
а всецело определяется внутренне ему присущими, априорными, врождёнными
свойствами и законами.
По мнению Канта, наш разум даёг нам лишь чисто субъектную картину
мира, ничего не говорящую об истинной его сущности. Пространство, время,
причинность объективно не существуют, им ничего не соответствует в мире
вещей, они не имеют опытного происхождения, а являются чисто субъективными
априорными формами сознания, присущими ему изначально, до опыта и
независимо от опыта. Не из внешнего мира наш рассудок почерпнул понятия о
пространстве, времени и причинюсти, а, наоборот, нашз сознание само привносит их
в создаваемую им самим картину мира. Отсюда кантовский принцип: «Разум
предписывает свои законы природе».
Поэтому Кант считает, что истинность наших суждений заключается не в
соответствии их с объективной действительностью и не может быть проверена
человеческой практикой, опытом. Бэзусловную общность и нэобходимость
наших суждений, независимость их от опыта обеспечивает априорный характер
форм нашего мышления. Так, по Канту, геометрические аксиомы имеют
всеобщий, абсолютный и достов?рный характер и непосредственно очевидны потому,
что они органически свойственны априорным представлениям о пространстве, они
не зависят от опыта и никаким опытом не могут быть ни доказаны, ни
опровергнуты.
Таким образом, по Канту, наши чувства являются не мостом, соединяющим
сознание человека и природу, а стеной, отгораживающей сознание от внешнего
мира.
«Основная черта философии Канта есть примирение материализма с
идеализмом, комлромисс между тем и другим, сочетание в одной системе разнородных
противоположных направлений. Когда Кант допускает, что нашим
представлениям соответствует нечто вне нас, какая-то вещь в себе, то тут Кант
материалист. Когда он объявляет эту вещь в себе непознаваемой, трансцендентной,
потусторонней, Кант выступает как идеалист. Признавая единственным источником
наших знаний опыт, ощущения, Кант направляет свою философию по линии
сенсуализма, а через сенсуализм, при известных условиях, и материализма. При-
зтвая априорюсть пространства, времени, причинности и т. д., Кант
направляет свою философию в сторону идеализма» (В. И. Ленин, Материализм и
эмпириокритицизм).
Совершенно ясно насколько учение Канта противоречило воззрениям
Лобачевского, для которого наши ощущения и понятия были не разделяющей
67
пгрегородкой между сознанием человека и природой, а связующим звеном
между ними, для которого понятия и идеи не врождены, а «приобретаются
чувствами».
Материалистический характер взглядов Лобачевского в
вопросах познания, его материалистические взгляды на пространство
и природу геометрических понятий имели первостепенное
значение в том отношении, что позволили ему смело переступить
через установившиеся веками привычки и философские
предрассудки об умозрительном характере геометрических понятий и аксиом.
Лобачевский до 1823 г. стоял ещё полностью на почве
господствовавших взглядов в теории параллельных и верил в
доказуемость 5-го постулата. По-видимому, он ещё настойчиво
продолжал-поиски доказательства 5-го постулата на путях, сходных
с путями Саккери, Ламберта и Лежандра, т. е. методом от
противного. По-видимому, он пытался доказать 5-й постулат при
помощи отрицания аксиомы параллельности Плейфера,
предполагая, что через точку, взятую вне прямой, можно провести более
одной прямой, не пересекающей данной. Имея целью привести
эту гипотезу к противоречию, Лобачевский, как и Саккери, стал
развивать из этой гипотезы ряд следствий, но в
противоположность Саккери он скоро пришёл к твёрдому убеждению, что
перед ним развёртывается совершенно новая геометрическая
система, лишённая противоречий.
И вот 11 февраля 1826 г. (ст. ст.) Лобачевский на заседании
физико-математического факультета делает доклад об открытии
им новой геометрии, основанной на всех аксиомах Евклида,
кроме 5-го постулата, и на предложении, противоречащем этому
постулату, и однако свободной от противоречий.
Эта дата является одной из самых знаменательных во всей
истории математики и естествознания, ибо stot день явился
гранью между двумя эпохами в развитии знаний человечества о
космосе: эпохой безраздельного господства евклидовой геометрии,
как единственно возможной, когда аксиомы геометрии считались
абсолютными и неизменными истинами, и ^овой эпохой широких
обобщений наших взглядов на пространство, начало которым
положено открытием геометрии Лобачевского.
С этого же момента начинается самоотверженная упорная
борьба Лобачевского за признание новых идей. Новая геометрия
была столь странной, настолько противоречила установившимся
веками взглядам на свойства пространства и привычным
представлениям, что никто из современников не мог понять нового
учения. Лишь один Гаусс, ознакомившись с сочинениями
Лобачевского, их повял и восторженно отозвался о них в одном
частном письме, не решившись, однако, заявить о своём мнении
публично. Даже крупнейшие русские математики академики
Остроградский и Буняковский не поняли идей Лобачевского.
В процессе отстаивания права на существование своей
«воображаемой геометрии» (так назьшал свою геометрию сам Лобачев-
68
ский) и разъяснения новой теории Лобачевский неустанно в
своих сочинениях разрабатывает свою геометрию с разных точек
зрения и ищет её оправдания в приложениях к вычислению
определённых интегралов. Он совершенствует своё творение,
доводит его до того же уровня, что и геометрия Евклида, создав
неевклидову планиметрию, тригонометрию, стереометрию и
аналитическую геометрию. Он ищет пути к наиболее
популярному изложению своей системы. Он, наконец, близко подходит
к доказательству непротиворечивости своей системы и пытается
исследовать вопрос, не находит ли она осуществления в
физическом пространстве. Лобачевский написал следующие
сочинения по новой геометрии:
1. «О началах геометрии» (1829—1830 гг.).
2. «Воображаемая геометрия» (1835 г. и на французском
языке в 1837 г.).
3. «Применение воображаемой геометрии к некоторым
интегралам» (1836 г.).
4. «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных»
(1835—1838 гг.).
5. «Геометрические исследования по теории параллельных»
(на немецком языке в 1840 г.).
6. «Пангеометрия» (1855 г.).
Нельзя без волнения пройти мимо борьбы Лобачевского за
признание своих идей, поистине удивительной по настойчивости
и мужеству. В этой борьбе проявилось всё величие его духа,
все его высокие моральные качества героически смелого
революционера в науке. Лобачевский не побоялся, подобно Гауссу,
насмешек и косности взглядов современников. Издевательская
статья о его сочинениях, напечатанная в «Сыне отечества» в
1834 г., замалчивание новых идей и их непонимание даже со
стороны близких друзей и учеников, тяжёлые обиды по службе
и личные несчастья не сломили Лобачевского; он не сложил
оружия, не пал духом. В этой борьбе Лобачевского
поддерживала непоколебимая вера в свою правоту и беззаветная
преданность науке и человеческому прогрессу; его поддерживало
ясное понимание великого значения своих идей и уверенность в
том, что они в конце концов восторжествуют над
ограниченностью мысли и пробьют себе дорогу в будущее через всю толщу
предрассудков и привычек. Именно поэтому Лобачевский не впал
в отчаяние, подобно Я. Бояи, и не остановился на полдороге,
а неустанно продолжал своё дело.
Трагедия Лобачевского заключалась в том, что он намного
опередил своё время. Потребовалось полвека после
возникновения геометрии Лобачевского, чтобы новые идеи получили
всеобщее признание в науке и дальнейшее широкое развитие.
Лобачевский же так и сошёл в могилу, непризнанный и
непонятый при жизни.
69
Лобачевский умер 12 (24) февраля 1856 г. Незадолго перед
кончиной (1855 г.) он ослеп и последнее его сочинение «Пангео-
метрия» было им продиктовано*).
*) Рекомендуем прочитать о жизни и деятельности Лобачевского
следующую литературу:
1. В. Ф. Каган, Великий русский учёный Н. И. Лобачевский и его
место в мировой науке, ГТТИ, 1948.
2. В. Ф. Каган, Лобачевский, изд. АН СССР, 1944 (изд. 1)и 1948 (изд. 2,
дополненное).
3. П. С. Александров и А. Н. Колмогоров, Н. И. Лобачевский,
Сборник статей, Гостехиздат, 1948.
4. «Н. И. Лобачевский (1792—1856)». Сборник статей Б. Л. Лаптева,
П. А Широкова, Н. Г. Чеботарева, изд. АН СССР, 1943.
5. Э. Кольман, Великий русский мыслитель Н. И. ЛобачеЕский, Гос-
политивдат, 1944 (изд. 1) и 1956 (изд. 2, переработанное).
ГЛАВА II
ОЧЕРК ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО
Изучение геометрии Лобачевского является совершенно
обязательным и необходимым элементом математического и
педагогического образования учителя математики средней школы.
Исключительная важность этого изучения обусловлена
прежде всего тем, что геометрия Лобачевского явилась важнейшим
источником и основой развития современных идей обоснования
геометрии и математики вообще. Так, современный
аксиоматический метод в математике и связанные с ним методы
исследования берут своё начало в творении Лобачевского. Поэтому знание
геометрии Лобачевского является необходимой ступенью для
изучения оснований геометрии. Знание геометрии Лобачевского
обостряет, так сказать, наше «геометрическое зрение» и
способствует лучшему пониманию геометрической науки вообще, в
частности более глубокому пониманию строения в целом и взаимной
зависимости и роли ряда предложений евклидовой геометрии.
Из сопоставления фактов геометрий Евклида и Лобачевского
становится предельно ясной та разграничительная роль в
построении геометрической системы, которую играет принятие или
замена той или иной аксиомы, в данном случае аксиомы
параллельности.
Отсюда понятно, насколько знание геометрии Лобачевского
важно для правильного преподавания геометрии в школе. К
тому же следует учесть, что в обязанности учителя входит
краткое ознакомление учащихся с геометрией Лобачевского на
уроках и в порядке кружковой работы.
§ 1. АБСОЛЮТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Как уже говорилось в первой главе, в геометрии можно
выделить ряд предложений, которые не зависят от 5-го постулата.
Совокупность таких предложений образует так называемую
абсолютную геометрию*).
*) Этот термин введён Я. Бояи,
Л
Там же указывалось, что задача исследования логической
зависимости 5-го постулата от остальных аксиом геометрии
только тогда может получить определённое решение, если будут
полностью перечислены все аксиомы абсолютной геометрии, на
основе которых должны вестись логические рассуждения.
Между тем этой точно очерченной логической базы не было,
перечень аксиом, данный в «Началах» Евклида, был очень не полон,
вследствие чего Евклид и все геометры после него вынуждены
были в своих доказательствах часто прибегать к помощи
чертежа, т. е. ссылаться на очевидность.
Лобачевский находился в таком же положении относительно
предпосылок геометрии, он нигде в своих сочинениях не
высказывает явно системы аксиом геометрии, не даёт полного их
перечня, да и не мог дать, а потому так же, как и Евклид,
вынужден часто основываться на очевидности чертежа. Вместо
перечня аксиом Лобачевский приводит список некоторых
предложений геометрии, которыми он пользуется при развитии своей
геометрической системы. Не будучи полным, этот перечень
представляет собой некоторые важнейшие предложения абсолютной
геометрии.
Лобачевский по существу берёт за отправной пункт всё то,
что Евклид доказал без помощи 5-го постулата. Все эти
предложения являются общими как для геометрии Евклида, так и
для геометрии Лобачевского.
Таким образом, все предложения абсолютной геометрии
сохраняют свою силу и в геометрии Лобачевского. Абсолютная
геометрия есть общая часть и общий фундамент евклидовой
геометрии и геометрии Лобачевского. Дальнейшее развитие
геометрической системы за пределы абсолютной геометрии зависит
от того, примем ли мы в качестве аксиомы параллельности 5-й
постулат Евклида или противоречащую ему аксиому
Лобачевского (см. § 2).
В первом случае мы получим геометрию Евклида, во втором
случае — геометрию Лобачевского. Отсюда ясно, что всё
сходное в геометриях Евклида и Лобачевского имеет свои основания
в абсолютной геометрии, а всё то, что различно в них,
коренится в различии аксиом параллельности.
При изложении геометрии Лобачевского мы в соответствии
со сказанным будем пользоваться всеми аксиомами и
предложениями абсолютной геометрии как исходным материалом.
Однако мы дополним аксиомы Евклида, относящиеся к
абсолютной геометрии, ещё тремя аксиомами, связанными с
понятиями расположения и непрерывности, которых, как мы видели,
не было у Евклида.
1. Аксиома Паша. Если прямая ау лежащая в плоскости ABC
(черт. 28), не проходит ни через одну из вершин треугольника
ABC и пересекает отрезок АВ, то она непременно пересекает
один из отрезков: ВС или АС
72
2. Аксиома Архимеда. Каковы бы ни были два отрезка а и
Ъ, существует такое натуральное число п, что па^>Ь.
3. Аксиома Дедекинда. Если все точки прямой (или
отрезка) разбиты на два класса так, что 1) ни один из классов не
пуст, 2) каждая точка принадлежит одному и только одному
из этих двух классов, 3) каждая точка первого класса лежит
по одну и ту же сторону от каждой точки
второго класса, то на прямой (или на
отрезке) существует одна и только одна
такая пограничная точка S, по одну сторону
которой лежат все точки первого класса,
а по другую сторону — все точки второго
класса. Сама точка S принадлежит либо
первому, либо второму классу.
Впоследствии мы увидим, что аксиома Архимеда есть
следствие аксиомы Дедекинда. В дальнейшем, говоря о системе
аксиом абсолютной геометрии, будем включать в неё и указанные
три аксиомы.
Укажем ряд важнейших планиметрических теорем,
относящихся к абсолютной геометрии.
1. 1. Каждый отрезок и каждый угол можно единственным
образом разделить пополам.
1. 2. Через каждую точку можно провести единственный
перпендикуляр к данной прямой.
1. 3. Сумма двух смежных углов равна 2d.
1. 4. Все прямые углы равны между собой.
1. 5. Вертикальные углы равны.
1. 6. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при
вершине является медианой и высотой, углы при основании
равны.
1. 7. Перпендикуляр короче наклонной. Известные теоремы
о сравнении перпендикуляров, наклонных и их проекций.
1. 8. Внешний угол треугольника больше внутреннего угла»
с ним не смежного.
1. 9. Во всяком треугольнике не может быть более одного
прямого или тупого угла.
1. 10. В треугольнике против большей стороны лежит
больший угол, и обратно.
1. 11. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше
катета.
1. 12. Сумма двух сторон треугольника больше третьей.
1. 13. Три признака равенства треугольников.
1. 14. Если при пересечении двух прямых третьей
соответственные углы равны, или внутренние накрест лежащие углы
равны, или сумма внутренних односторонних углов равна 2d.
то данные прямые не пересекаются.
1. 15. Два перпендикуляра к третьей прямой не
пересекаются.
2£*
73
1. 16. Через точку, лежащую вне прямой, в плоскости, ими
определяемой, проходит по крайней мере одна прямая, не
пересекающая данной.
1. 17. Сумма углов треугольника не более 2d (П-я теорема
Лежандра).
1. 18. Если в плоскости две точки лежат по разные стороны
прямой, то отрезок, их соединяющий, пересекает данную
прямую.
1. 19. Если луч проходит через вершину треугольника внутрь
его, то он пересекает противоположную сторону треугольника.
1. 20. Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной
точке, лежащей внутри треугольника.
1. 21. В треугольник можно вписать единственную
окружность.
1. 22. Прямая пересекает окружность не более чем в двух
точках.
1. 23. Равные дуги окружности стягиваются равными
хордами, и обратно.
1. 24. Если выбрать единичный отрезок, то всякому отрезку
можно поставить в соответствие единственное положительное
число, называемое длиной отрезка, и, обратно, каждому
положительному числу можно поставить в соответствие некоторый
отрезок, длина которого выражается этим числом.
1. 25. Если все внутренние лучи, выходящие из вершины
угла АОВ, а также стороны ОА и ОВ разбить на два класса
так, что 1) каждый луч принадлежит одному и только одному
из этих классов, луч ОА принадлежит первому классу, а луч
ОВ — второму, 2) каждый луч первого класса лежит между О А
и jjfo6biM лучом второго класса, то существует один и только
один луч /, пограничный между лучами обоих классов, причём
сам луч I принадлежит либо первому, либо второму классу.
К 26. Если выбрать некоторый угол в качестве единицы
измерения, то каждому углу можно поставить в соответствие един-
сьенное число, называемое мерой или величиной угла.
§ 2. АКСИОМА ЛОБАЧЕВСКОГО.
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ И СВЕРХПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ЛОБАЧЕВСКОГО
Переходим к рассмотрению геометрической системы
Лобачевского. При этом мы не ставим себе целью дать вполне строгое,
логически совершенное изложение геометрии Лобачевского.
Мы постоянно будем пользоваться данными непосредственной
очевидности. Наша задача заключается в том, чтобы дать
достаточно подробное и ясное представление об основных фактах
геометрии Лобачевского, знакомство с основными образами этой
геометрии. Это даст возможность, во-первых, уяснить черты
сходства и различия этой геометрии со знакомой геометрией Евклида;
во-вторых, почувствовать достаточно отчётливо ту разграничи-
74
тельную роль, которую играет в структуре геометрической
системы принятие или отрицание 5-го постулата.
Наш очерк познакомит читателя с планиметрией, стереометрией,
тригонометрией и основами аналитической геометрии Лобачевского.
Исходным пунктом геометрии Лобачевского является
принятие всех предложений геометрии Евклида, не зависящих от 5-го
постулата (т. е. абсолютной геометрии, включая аксиомы Паша,
Архимеда, Дедекинда), и присоединение к ним взамен
отброшенного 5-го постулата следующей аксиомы, противоположной
аксиоме Плейфэра, а значит, и 5-му постулату.
Через точку, лежащую вне пряной в плоскости, определяемой
ими, можно провести не менее двух прямых, не пересекающих
данной прямой *).
Заметим, что существование хотя бы одной прямой, проходящей
через данную точку и не пересекающей данной прямой, есть
факт абсолютной геометрии (см. теорему 1. 16).
Аксиома Лобачевского утверждает
существование по крайней мере двух таких прямых. ^-^^_м_^——— °
Отсюда немедленно следует, что таких ~ΊΐΞ3^"^^3^~
прямых существует бесконечное
множество.
Не приводя строгого доказательства этого
следствия, сошлёмся на его очевидность. ' ~с
Пусть прямые b и с, проходящие через
точку Μ (см. черт. 29), не пересекают прямой а Черт. 29.
(их существование обеспечивается аксиомой
Лобачевского).
Тогда очевидно, что все прямые, проходящие через точку Μ
внутри вертикальных углов α и β, образованных прямыми b и с,
также не пересекают а, а таких прямых бесконечное множество.
Плоскость (или пространство), в которой предполагается
выполнение аксиомы Лобачевского, называется плоскостью (или
пространством) Лобачевского.
Заметим также, что по некоторым причинам, в объяснение
которых мы входить не будем, геометрию Лобачевского называют
гиперболической геометрией, в соответствии с чем
плоскость и пространство Лобачевского называются
гиперболическими.
Исследуем теперь, какие следствия вытекают из аксиомы в
отношении структуры пучка прямых, проходящих через
некоторую точку плоскости Лобачевского, лежащую вне данной
прямой.
*) Собственно, достаточно аксиому Лобачевского высказать в следующей
форме: В плоскости существует такая прямая и вне ее точка, что через
точку проходит не менее двух прямых, не пересекающих данной прямой.
Отсюда следует, что это свойство будет иметь место для любой прямой и любой
точки, лежащей вне этой прямой.
75
^'"""^^^a^
с
β' . .
А
Ρ \
Черт. 30.
Пусть в плоскости дана прямая ВВ*, которую будем также
обозначать через а, и точка А вне её (черт. 30). Опустим из А
перпендикуляр АР на прямую а, обозначим его длину через ρ
и проведём через А прямую СС ±_АР. По теореме 1. 15 СС не
пересекает ВВ'. По аксиоме Лобачевского через А проходит
бесконечное множество прямых, не пересекающих ВВ'. Рассмотрим
пучок лучей, выходящих из точки А вправо от перпендикуляра АР
и расположенных внутри угла САР.
Эти лучи можно разделить на две категории: на
пересекающие прямую а и не пересекающие её. Обозначим через α переменный
угол, образуемый лучом, исходящим из А, с перпендикуляром АР.
г. Легко видеть, что если луч AF
первой категории, то чем правее
будет лежать точка У7 на луче Ρ В,
тем больше угол α (теоремы 1. 7).
Если AD — луч второй категории,
то соответствующий ему угол
αχ;>α, ибо в противном случае
луч AD проходил бы между
лучами АР и AF и по
теореме 1. 19 пересекал бы
противоположную сторону PF
треугольника APF, а это противоречит предположению, что /ID —
луч 2-й категории. Таким образом, для всякого луча 1-й
категории имеем 0 < α <; — , ибо луч АС заведомо относится ко
2-й категории.
Нетрудно видеть, что эти две категории лучей образуют два
класса, удовлетворяющие условиям теоремы 1/25, а потому на
основании этой теоремы можно утверждать, что существует
единственный луч AG, пограничный между лучами 1-й категории,
пересекающими ВВ', и лучами 2-й категории, не
пересекающими ВВ'. Пусть этот луч AG образует с перпендикуляром АР
угол а0. Относительно луча AG можно утверждать, что он сам
есть либо луч 1-й категории, либо луч 2-й категории. Докажем,
что он является лучом 2-й категории, т. е. что он не пересекает
ВВ'. Предположим противное, пусть луч AG пересекает ВВ' в
некоторой точке Μ (предоставляем читателю сделать
соответствующий чертёж). Тогда, взяв на ВВ' точку Ν, лежащую
правее М, получим луч AN 1-й категории, который образует с АР
угол а^>сх0, что невозможно.
Итак, среди правых лучей существует единственный
граничный луч AG, отделяющий множество лучей, пересекающих
прямую ВВ', от лучей, не пересекающих ВВ'. Угол а0, образуемый
этим лучом с АР, удовлетворяет условию 0 < а0 < — .
Рассматривая теперь левые лучи, проходящие через точку А,
легко убедимся, что в силу симметрии существует также и ле-
76
вый пограничный луч, который также образует с АР угол,
равный а0.
Покажем теперь, что фактически 0<^а0<;—.
Действительно, взяв любую, отличную от Р, точку F на ВВ\
получим луч AF 1-й категории, у которого а]>0,
следовательно, α0^>α>0. С другой стороны, если предположить, что
а0= —, то в этом случае правый и левый пограничные лучи
составили бы вместе единственную прямую, проходящую через
точку Л и не пересекающую ВВ', ибо всякая другая прямая,
проходящая через Л, с какой-либо стороны составляла бы с АР
острый угол α <^α0 и, следовательно, пересекала бы ВВ'. Но это
находится в противоречии с аксиомой Лобачевского,
утверждающей существование не менее двух различных прямых, не пере-
секающих ВВ'. Таким образом, ог0<[^-.
Если мы теперь дополним правые и левые лучи до полных
прямых, то получим в пучке прямых, проходящих через точку Л,
две граничные прямые, разделяющие все прямые на два класса:
на класс прямых, пересекающих ВВ', и на класс прямых, не
пересекающих ВВ', причём сами эти граничные прямые относятся
ко второму классу.
Мы приходим к следующей основной теореме.
Теорема 2. 1. Пусть β плоскости даны прямая а и не
лежащая на ней точка А. Тогда β пучке прямых с центром β точке А
существуют две пограничные
прямые, разделяющие все
прямые пучка на два класса: на
класс прямых, пересекающих а,
и класс прямых, не пересека- $'
ющих а. Эти граничные прямые
сами не пересекают а. в' с
Всё сказанное приводит нас
к следующей картине располо- Черт. 31.
жения прямых пучка с центром
в точке Л, взятой вне данной прямой ВВ'. В этом пучке сущест·
вуют две граничные прямые СС и DD' (черт. 31), симметрично
расположенные относительно перпендикуляра АР, опущенного
из точки Л на ВВ', и образующие с ним ^ САР = ^ D'AP =
= α<Γ— .
^ 2
Эти прямые, а также все прямые пучка, проходящие внутри
заштрихованных вертикальных углов CAD и CAD', не
пересекают прямой ВВ', а все прямые пучка, проходящие внутри
вертикальных углов CAD' и CAD, пересекают ВВ'.
Две граничные прямые СС и DD' называются
параллельными прямой ВВ' в точке Л, причём прямая СС называет-
С
С
77
ся параллельной β'β в направлении В'В, а прямая DD'
называется параллельной прямой ВВ' в
направлении ββ'. Острый угол а, образуемый параллельными с
перпендикуляром АР, называется углом параллельности в
точке Л относительно прямой ββ'. Этот угол, как увидим
дальше (см. § 5), есть функция длины ρ перпендикуляра АР и
обозначается так: а=П (р). АР называется отрезком
параллельности в точке А относительно прямой ββ'.
Все прямые пучка, не пересекающие ββ' и лежащие внутри
заштрихованных вертикальных углов, называются
расходящимися с ββ' или сверхпараллельными к ββ'; угол,
образуемый такой прямой с перпендикуляром АР с обеих от него
сторон, больше угла параллельности а.
Наконец, все остальные прямые пучка, образующие с АР с
какой-либо стороны острый угол, меньший угла параллельности а,
называются пересекающими прямую ββ' или
сходящимися с ββ'.
Таким образом, различие структуры пучков прямых
относительно прямой, не проходящей через центр пучка, в геометрии
Евклида и в геометрии Лобачевского можно охарактеризовать
следующим образом. В то время как в геометрии Евклида пучок
состоит из бесконечного множества прямых,
пересекающих ββ\ йодной единственной прямой, параллельной ββ',
образующей с перпендикуляром АР угол параллельности а=— ,
в геометрии Лобачевского пучок содержит три сорта
прямых: бесконечное множество прямых,
пересекающих ββ', две параллельные прямые и бесконечное
множество расходящихся прямых, которые не являются ни
пересекающими, ни параллельными.
Непосредственно ясно, что геометрию Евклида можно
рассматривать как частный случай, лучше сказать, как предельный
случай, геометрии Лобачевского, имеющий место при условии,
что угол параллельности <х=—, вследствие чего обе
параллельные Лобачевского сливаются в одну параллельную Евклида.
Заметим здесь же, что α=Π (р), будучи в геометрии
Лобачевского меньше —, есть величина переменная, зависящая от ρ
(см. § 5), в геометрии же Евклида а==— есть величина
постоянная и от ρ не зависит.
Необходимо обратить внимание на то, что в геометрии
Лобачевского при указании, что прямая СС параллельна прямой ββ',
является совершенно обязательным также указывать, во-первых,
в каком направлении СС параллельна ββ' (τ. е. мы
будем СС и ββ' считать ориентированными в сторону
параллельности, что на чертеже будет указываться стрелкой), и,
78
•во-вторых, в какой точке, ибо у нас пока нет уверенности
в том, что если мы на прямой СС возьмём какую-нибудь точку Λί,
отличную от Л, то и по отношению к пучку прямых с центром
в точке Μ прямая СС будет граничной прямой.
В связи с этим дадим следующее определение параллельной
в смысле Лобачевского.
Определение. Прямая С С называется
параллельной прямой В'В в направлении В'В (черт. 32) в
точке Л, если, во-первых, прямая
СС не пересекает прямой ВВ',
во-вторых, С С является
граничной в пучке прямых с
центром в точке Л, т. е. всякий луч
АЕ, проходящий внутри угла
CAD, где D — любая точка
прямой ВВ', пересекает луч DB.
Замечание. Из вышеизложенного
ясно, что через точку Л,
лежащую вне прямой ВВ', можно провести в каждом
из двух направлений лишь единственную
параллельную Лобачевского к прямой ВВ', т. е. каждому
значению длины перпендикуляра ρ соответствует вполне
определённое значение угла параллельности а.
— β
Черт. 32.
§ 3. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛОБАЧЕВСКОГО
Условимся в целях краткости и удобства обозначать
параллельное^ прямой СС к ВВ' в направлении В'В символом
СС || В'Ь, где порядок букв указывает направление
параллельности. На чертеже направление параллельности указывается
стрелками (черт. 32).
Покажем прежде всего, что
требование указывать, в какой
точке одна прямая
параллельна другой, является фактически
излишним. Именно имеет место
следующая теорема.
Теорема 3. 1. Если прямая
В В' \\АА'в точке Μ, то ВВ' \\ АА
в любой своей точке N (черт. 33).
Рассмотрим два случая. Пусть сперва точка N расположена
на ВВ' в направлении параллельности от точки Μ (черт. 33).
Возьмём на АА' произвольную точку S и проведём прямые SM и
SN. Затем из N проведём произвольный луч ΝΡ, проходящий
внутри угла B'NS. Для доказательства теоремы нужно показать,
что луч NP непременно пересечёт АА'. Возьмём
произвольную точку Ρ на луче ΝΡ. Если точка Ρ окажется лежащей
на АА\ то теорема доказана; если точка Ρ окажется лежащей
Черт
79
по другую сторону от АА', чем точка Λί, а значит, и чем точка Ν,·
то луч ΝΡ также пересекает АА' (теорема 1. 18). Поэтому
предположим, что Ρ лежит по ту же сторону от АА', что и точка М.
Проведём прямую MP. В силу того что ββ' \\ АА в точке М,
луч MP, проходящий внутри угла B'MS, пересечёт прямую АА!
в некоторой точке Τ (см. определение параллельной). Сопоставим
теперь Δ SMT и луч ΝΡ. Так как луч ΝΡ не совпадает с
лучом NS и точка Ρ есть внутренняя точка отрезка МГ, то луч
ΝΡ не проходит через вершины Δ SMT. Следовательно, по
аксиоме Паша луч NP должен пересечь либо отрезок SM, либо
отрезок ST. Но отрезка SM луч NP не пересекает, ибо все
точки отрезка SM лежат вне угла B'NS, а луч NP лежит
внутри этого угла.
Следовательно, луч NP
пересекает отрезок ST, а тем
самым и прямую АА\ а это в силу
произвольности луча NP значит,
что ββ' || АА' в точке N.
Рассмотрим второй случай.
Пусть теперь точка N
расположена на ββ' относительно Μ
в направлении,
противоположном направлению параллельности прямой ββ' к АА' (черт. 34). Из
произвольной точки S на АА' проведём прямые SM и SN, а также
проведём произвольный луч ΝΡ внутри угла B'NS, этот луч
пересечёт в некоторой точке Ρ отрезок SM (теорема 1. 19).
Продолжим отрезок ΡΝ по другую сторону от ββ' и на
продолжении возьмём произвольную точку Q, из которой проведём
луч QM. Так как точка Q лежит по разные стороны с точкой 5
относительно прямой ββ' и по разные стороны с точкой В'
относительно прямой SM, то луч QM, пересекая в точке Μ
одновременно и прямую SM, и прямую ββ', неизбежно пойдёт внутрь
угла SMB' и непременно пересечёт АА' в некоторой точке Τ в
силу того, что ββ' || АА' в точке М. Сопоставим теперь Δ SMT
и луч NP. Этот луч пересекает отрезок SM во внутренней
точке Ρ и не совпадает с лучом NS, а также не совпадает с лучом
Q7\ а следовательно, не проходит через вершины Δ STM.
Отсюда по аксиоме Паша он должен пересечь либо отрезок 77W,
либо отрезок ST. Но отрезка МТ он не пересекает, ибо
встречается с его продолжением в точке Q, следовательно, луч NP
пересекает отрезок ST, а тем самым и прямую АА\ и теорема
полностью доказана.
Таким образом, в силу доказанной теоремы при рассмотрении
двух параллельных достаточно указывать лишь направление их
параллельности без упоминания о точке, в которой одна из
прямых параллельна другой, ибо это может быть любая точка прямой.
Теорема 3. 2. Если В В' || АА', то и обратно: АА' \\ ВВ'.
83
Пусть ВВ' || ЛЯ (черт. 35). Из произвольной точки Μ прямой
ВВ' опустим на АА' перпендикуляр МС. Луч СА' не пересекает
ВВ', поэтому остаётся показать, что любой луч CD, проходящий
внутри угла А'СМ, пересекает ВВ'. Очевидно, что это
достаточно будет доказать для любого луча CD, образующего с СА' угол
β;>0, меньший угла параллельности В'МС. Опустим из Μ
перпендикуляр MD на луч CD, пусть D — основание эгого
перпендикуляра. Тогда ^C/WD = y<[3, ибо сумма углов треугольника
CMD не превосходит 2d (теорема 1. 17). Так как катет MD
меньше гипотенузы СМ (теорема 1. И), то можно отложить
ME^MD, и точка Ε будет лежать между Μ и С.
Проведём луч EFJ_MC, этот луч не пересекает АА'', ибо
АА' \_МС (теорема 1. 15). Отложим внутри угла В'МС угол
B'MS = 7> чт0 возможно, ибо γ меньше угла параллельности В'МС.
Луч MS, лежащий внутри угла параллельности В'МС,
непременно пересечёт СА' в некоторой точке Т. Луч EF по аксиоме
Паша должен пересечь отрезок МТ в некоторой точке F. Отложим
на луче MB' отрезок MF' = MF и проведём отрезок DF'.
Нетрудно убедиться, что /\MDF' = /\MEF, ибо MD-=ME и MF' =
=rMF по построению и ^ F'MD=^ FME (теорема 1. 13). Отсюда
следует, что *4 MDF' ~^MEF = —. Но тогда в силу того, что
MD±_CD, отрезок DF' есть продолжение отрезка CD и,
следовательно, луч CD пересекает ВВ' в точке F'.
Итак, параллельность в некотором направлении двух прямых
взаимна, как и параллельность двух прямых в геометрии Евклида.
Замечание. В геометрии Евклида две различные прямые,
параллельные третьей, параллельны между собой, и прямая,
пересекающая одну из параллельных, непременно пересекает и
другую. В геометрии Лобачевского первое предложение может
оказаться неверным, ее ли не сделать оговорки о
направлении параллельности, второе же предложение вообще
неверно. Например, прямые ВВ' и СС, параллельные прямой АА'
в точке Μ в противоположных направлениях, пересекаются в
точке Μ (черт. 36). Далее, проведём через Μ расходящуюся с
АА' прямую DD'; она пересекает обе параллельные к АА'
прямые, но не пересекает прямой АА'.
Ы
В геометрии Лобачевского справедливо свойство
транзитивности параллелизма для прямых, параллельных в одном и
том же направлении. Именно имеет место
Теорема 3. 3. Если АА \\ СС и ВВ' || СС, то АА' || ВВ'.
Заметим сразу же, что прямые АА' и ВВ' не могут
пересекаться, ибо в противном случае через точку их пересечения проходили
бы две прямые АА и ВВ', параллельные прямой СС в одном и
том же направлении, что невозможно (см. замечание на стр. 79).
Рассмотрим два возможных случая.
Случай 1. Пусть АА и ВВ' лежат по одну сторону от СС и
пусть для определённости ВВ' лежит между АА и СС (черт. 37).
Взяв на АА и СС произвольные точки Л и С, проведём
отрезок АС, который пересечёт прямую ВВ' в некоторой точке β, ибо
——т4—.
_ в
С
Х|_
ΰ"
-±а'
^в'
— с'
А
4—
1 ^
_\^
в
—■ _
>>^
^
^А-
Г'
ш- Я
Черт. 37. Черт. 38.
А и С лежат по разные стороны от ВВ' (теорема 1. 18). Из
точки А проводим произвольный луч внутри угла А АС, он
пересечёт СС в некоторой точке D, ибо по условию АА || СС. Но
так как точки А и D лежат по разные стороны от ВВ\ то этот
луч пересечёт и ВВ' в некоторой точке Ε (теорема 1. 18).
Следовательно, АА || ВВ\
Случай 2. Пусть АА' и ВВ' лежат по разные стороны от
СС (черт. 38). Берём на АА и ВВ' произвольные точки А и В,
тогда отрезок АВ пересечёт СС в некоторой точке С, ибо А и В
лежат по разные стороны от СС (теорема 1. 18). Любой луч AD,
проходящий внутри угла А АС, пересечёт СС в некоторой точке D,
ибо АА || СС по услрвию, но тогда он пересечёт и ββ', ибо
СС || ββ', а луч AD пройдёт внутри угла CDB. Следовательно,
АА' || ββ'.
Теорема 3. 4. Если прямая СС лежит между двумя
прямыми АА и ВВ', параллельными в некотором направлении, не
пересекая их, то СС параллельна обеим этим прямым в том же
направлении.
Действительно, отрезок АВ, соединяющий любые точки Л и β
параллельных прямых АА и ββ' (черт. 39), пересечёт СС в
некоторой точке С, ибо СС по условию лежит между АА и ββ'
(теорема 1. 18).
В силу параллельности АА и ββ'. любой луч АЕ,
проходящий внутри угла ААВ, пересечёт ββ", а значит, и СС. Следова-
82
тельно, АА' || СС. Пользуясь теоремами 3. 2 и 3. 3, легко
убедиться, что ВВ' || СС.
Интересно отметить, что в геометрии Лобачевского прямая
может пересечь две параллельные, не
пересекая третьей. Действительно, например, любая прямая EF
(черт. 39), расходящаяся с АА', пересекает СС и ВВ', не
пересекая АА'.
Для изучения вопроса об углах, образуемых при пересечении
двух параллельных третьей прямой, докажем следующее
предложение.
Р' , л/<*
ъУй1
В'
А'
Черт. 39.
Черт. 40.
Теорема 3. 5. Если две прямые при пересечении с третьей
образуют равные соответственные углы, или равные накрест
лежащие углы, или внутренние односторонние углы, в сумме
составляющие 2d, то эти прямые расходятся.
Пусть прямые АА' и ВВ' пересекаются прямой СС, при этом
-^1 = ^2 (черт. 40). Через середину S отрезка RR' (теорема 1.1),
отсекаемого прямыми АА' и ВВ' на прямой СС, проводим
перпендикуляры SP\_AA' и SP'±_BB'. Тогйа ASPR^ASP'R' по
гипотенузе и острому углу, ибо ^3 = ^2. Следовательно,
^ PSR=^ P'SR' и PSP' есть прямая, перпендикулярная к АА'
и к ВВ'. Будучи перпендикулярными к одной и той же прямой РР',
прямые АА' и ВВ' не пересекаются (теорема 1. 15), в то же
время они не могут быть параллельными, ибо угол папаллельно-
сти меньше прямого угла. Следовательно, АА' и ВВ' расходятся.
Отсюда легко получить доказательство теоремы и в
остальных двух случаях.
На основании этой теоремы мы приходим к следующему
важному следствию.
Следствие. Сумма внутренних односторонних углов при двух
параллельных, пересекаемых третьей прямой, не равна 2d, она
меньше 2d для углов, расположенных от третьей прямой в
сторону параллельности. Соответственные углы при параллельных
и накрест лежащие углы не равны.
Это следствие является прямым отрицанием 5-го постулата
Евклида.
83
§ 4. О СУММЕ УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА И ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА.
О ПОДОБИИ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Обратим внимание читателя на то обстоятельство, что
можно получить целый ряд теорем геометрии Лобачевского,
пользуясь следующим положением:
Всякое предложение, эквивалентное 5-му постулату Евклида,
не выполняется в геометрии Лобачевского, ибо в противном случае
выполнялся бы 5-й постулат и аксиома Плейфера, что
противоречило бы аксиоме Лобачевского.
Так как предложение о том, что сумма углов треугольника
S&=2d, является эквивалентным 5-му постулату, то на
основании сделанного замечания заключаем: В геометрии
Лобачевского сумма углов треугольника Sb=^2d. Но
по 2-й теореме Лежандра, относящейся к абсолютной геометрии
(теорема 1. 17), Sa < 2d. Так как равенство отпадает, то
получаем теорему:
Теорема 4. 1. β геометрии Лобачевского S^<^2d.
Мы получили эту теорему, как следствие аксиомы
Лобачевского и теорем абсолютной геометрии. Покажем теперь, что,
обратно, из предположения, что
5д<С2й, вытекает аксиома
Лобачевского.
Пусть Sa < 2d. Возьмём в
плоскости прямые АА и ВВ',
перпендикулярные к некоторой прямой PQ
(черт. 41). Тогда АА' и ВВ' не
перетерт. 41. секаются. Докажем, что через
точку Q проходят и другие прямые,
кроме SB', не пересекающие АА.
Возьмём на АА произвольную точку Μ и проведём луч QM и луч
QR вне угла PQM так, чтобы ^ MQR=^ QMP. Так как
SApQ\«<2>d, то ^PQM+*4PMQ<Zd, а потому ^PQM +
+ .4 MQR=-^4 PQR <d, т. е. луч QR пройдёт внутри угла B'QP.
В то же время луч QR не пересекает АА, ибо если
предположить противное, то получится треугольник, внешний угол
которого PMQ равен внутреннему углу MQR, с ним не смежному, что
невозможно (теорема 1. 8). Итак, кроме QB', имеется ещё луч
QR, не пересекающий АА', т. е. имеет место аксиома Лобачевского.
Таким образом, приходим к следующей теореме:
Теорема 4. 2. Аксиома Лобачевского и предложение о том,
что сумма углов треугольника меньше 2d, являются
эквивалентными предложениями.
К тому же результату можно прийти доказательством от
противного.
Теорема 4. 3. Сумма углов треугольника в геометрии
Лобачевского есть величина переменная и зависит от формы и размеров
треугольника.
Действительно, предположим, что сумма углов у всех
треугольников одна и та же и равна γ <;2 d.
Пусть в ААВС проведена трансверсаль BD, разбивающая
треугольник на два треугольника: ABD и BCD (черт. 42). Тогда
т. е. γ+7 — T+2d, или ^ =2dy что противо- , /^ I \
речит условию *>. А</. L Λ Γ
Разность 2d —S^ec=2d —(Л+В+С) D
называется дефектом треугольни- Черт. 42.
к а АВС и обозначается через Dabc-
Очевидно, что 0<^D^<^2d. Докажем, что Da обладает
свойством аддитивности.
Теорема 4. 4. Dabc=Dabd+Dbdc (черт. 42).
Действительно, имеем
DABC~2d — S^ABC^^d — [S^abd-\-S^bdc — 2d] =
= [2d — S/^ABD\-\-[2d — Sabdc] = Dabd+Dbdc-
Перейдём теперь к четырёхугольникам в геометрии
Лобачевского. Из теоремы 4. 1 получаем:
Теорема 4. 5. Сумма углов всякого четырёхугольника
меньше 4d.
Отсюда немедленно следует:
Теорема 4. 6. В геометрии Лобачевского равные углы при
верхнем основании четырёхугольника Саккери (глава 1, § 4) острые,
т. е. в геометрии Лобачевского справедлива гипотеза острого
угла Саккери.
В 1-й главе мы видели, что из гипотезы острого угла Саккери
вытекает, что сумма углов треугольника меньше 2d, но тогда
по теореме 4. 2 имеет место аксиома Лобачевского. Это значит,
что справедлива:
Теорема 4. 7. Аксиома Лобачевского и гипотеза острого угла
Саккери являются эквивалентными предложениями.
Аналогично придём к теореме.
Теорема 4. 8. Аксиома Лобачевского и гипотеза острого угла
Ламберта (см. гл. 1, § 4) являются эквивалентными предложениями.
Обратимся к вопросу о подобии треугольников.
В главе 1 (§ 5) была установлена эквивалентность 5-го
постулата Евклида и предложения Валлиса о существовании
подобных и неравных треугольников. Поэтому справедлива:
Теорема 4. 9. В геометрии Лобачевского подобных неравных
треугольников не существует.
*) Отсюда, между прочим, видно, что предложение «Сумма углов треугольника
есть величина постоянная для всех треугольников» эквивалентно 5-му постулату.
85
Отсюда заключаем:
Теорема 4. 10. Если три угла одного треугольника
соответственно равны трём углам другого, то эти треугольники равны.
Эта теорема даёт новый, четвёртый, признак равенства
треугольников, помимо тех, которые имеются в абсолютной
геометрии, причём этот признак не имеет места в геометрии Евклида.
§ 5. УГОЛ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ. ФУНКЦИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
Рассмотрим теперь свойства угла параллельности. Прежде
всего исследуем, как изменяется угол параллельности α с
изменением длины перпендикуляра р. Пусть AN — данная прямая,
восставим в некоторой точке Ρ этой прямой перпендикуляр
и отложим на нём два отрезка: РМ=рг, ΡΝ = ρ2ι ρ2 > р1 (черт. 43).
Черт. 43. Черт. 44,
Проведём через Μ и N прямые ММ' и ΝΝ\ параллельные в одном
и том же направлении прямой AN'. Пусть ах и а2—углы
параллельности соответственно в точке Μ и в точке Ν, а угол β —
смежный к аь так что α1+β=π. Так как по теореме 3. 3
ММ' || ΝΝ\ то в силу следствия из теоремы 3. 5 (стр. 83) имеем
α2+β <С π. Следовательно, а2<^а1т Таким образом, при р2> рх
имеет место неравенство α2<^αΧι т. е. с
возрастанием ρ угол параллельности строго убывает.
Следовательно, различным значениям ρ соответствуют различные
значения а.
Покажем, что значение α при данном значении ρ не
зависит от выбора прямой и точки Ρ на ней, т. е. для
данного значения ρ угол параллельности α будет иметь вполне
определённое одно и то же значение, где бы мы в пространстве
Лобачевского ни взяли прямую и точку на ней.
Действительно, пусть АА' и ВВ'—две произвольные прямые,
Ρ и Q — две произвольные точки этих прямых (черт. 44).
Восставим в этих точках перпендикуляры к данным прямым и
86
отложим на них отрезки PM=^QN=py через точки Μ и N
проведём параллельные ММ' ц АА и Ν Ν' \\ ВВ'. Обозначив
полученные углы параллельности через <хг и а2, предположим для
определённости, что ах > а2. Тогда, отложив <^cPMR=a2>
получим луч MR, проходящий внутри угла М'МР и пересекающий
АА в некоторой точке R. Отложим QS=PR, тогда AQNS=*
= APMR по двум катетам, а потому ^QMS=-a2, т. е. луч NS
совпадает с лучом NN\ что невозможно, ибо луч NS пересекает
ВВ'. Аналогично доказывается невозможность неравенства αχ<;α2.
Следовательно, αχ=α2.
Итак, принимая во внимание теорему 2. 1, мы приходим к
следующему результату.
Теорема 5. 1. Каждому значению ρ соответствует вполне
определённое значение угла параллельности а, т. е. а есть
функция от р, а = Щр), с областью существования 0<j?<;+oo. Это
функция строго убывающая.
В силу известного свойства строго монотонных функций из
теоремы 5. 1 следует, что функция а=П(р) имеет обратную
функцию, также строго убывающую на множестве значений а.
Это множество значений, как мы знаем, содержится внутри
отрезка 0,— (см. § 2 настоящей главы).
Но нам пока неизвестно, будет ли каждому значению из
интервала (0»—) соответствовать вполне определённое значение ρ
или, может быть, в этом интервале существуют и такие
значения а, которым не соответствует никакого значения р. Иначе
говоря, возникает вопрос, будет ли множество значений функции
а=П(р) совпадать с интервалом (0,—), т. е. для каждого
ли острого угла α существует определённый
отрезок р, для которого α является углом
параллельности? Утвердительный ответ на этот вопрос получается на
основании следующей важнейшей теоремы геометрии
Лобачевского.
Теорема 5. 2. Для каждого
острого угла существует
единственная прямая,
перпендикулярная к одной его стороне и
параллельная другсй.
Доказательство теоремы
ведём от противного. Пусть дан
острый угол MON, и допустим,
что всякий перпендикуляр к
стороне ОМ пересекает сторону
ON (черт. 45). Отложим на ОМ
А А,
Ъу^
/
г
/
•
Τ
N
Μ
Черт. 45.
произвольный отрезок ОА, а
затем отрезки ААх = ОА, ΑλΑ2=--ΟΑν Α2Α3-=ΟΑ2, ..., Α^Α^ΟΑ^.
87
В точках Л, Ах, Л2, . .., Ап восставим перпендикуляры к ОМ,
которые при любом п, по предположению, все пересекут сторону
ON в некоторых точках В, Вг, В2, . .., Вп. Проводим далее
отрезки ВАЪ ВХА2, В2А3, . . ., Вп^Ап. Тогда легко убедиться, что
АОАВ=ААВАъ аОА&^аА&А,, ΑθΑ*Β2 = ΑΑ2Β2Α3, . ..,
АОА^В^^ АА^В^А..
Поэтому на основании свойства аддитивности дефекта
треугольника (теорема 4. 4) имеем:
Dobax ^^Doab
DoBiAx = DoBAt +DBAtBt = 20oA5+^^iBi^>2DoAB
DoB^^-DoB^+DB^.B^^DoBtAr+DB^^^^DQ^Q
Dob3a3 = ^ов2л,+ ^2л,в8^20о52л2+Об2л3б,!>230оа5
Вообще получим DoBnA^>^n Doab.
Так как DOAB>0, то при достаточно большом π правая часть
этого неравенства станет больше π и подавно будет Оовпап^>^у
что невозможно, ибо всегда Da <jc. Полученное противоречие и
доказывает, что не всякий перпендикуляр к ОМ пересекает ON.
Итак, на луче О Μ существуют точки двух классов:
перпендикуляры к ОМу восставленные в точках 1-го класса, пересекают
сторону ON, а перпендикуляры к ОМ, восставленные в точках
2-го класса, не пересекают ON. Всякая точка 1-го класса лежит
Черт. 46.
ближе к вершине О, чем любая точка 2-го класса, ибо в
противном случае мы при помощи аксиомы Паша должны были бы
заключить, что точка 2-го класса является одновременно точкой
1-го класса, что является абсурдом.
Очевидно также, что каждый класс не пустой. Отсюда (черт. 46)
на основании аксиомы Дедекинда на ОМ существует такая
пограничная точка Р, что все точки, лежащие между О и Р,
принадлежат 1-му классу, а все точки, лежащие дальше, чем Р, от
вершины О, принадлежат 2-му классу. В какой же класс попадёт
сама точка Р?
Докажем, что Ρ — точка 2-го класса.
Предположим, что Ρ есть точка 1-го класса, тогда
перпендикуляр к ОМ в точке Ρ пересечёт ON в некоторой точке S
(черт. 47). Возьмём на ON любую точку R, лежащую дальше
88
от О, чем S, и опустим из R на ОМ перпендикуляр RT; точка Τ
будет лежать дальше от О, чем точка Р, ибо О и R лежат по
разные стороны от S и RT не пересекает SP (теорема 1. 15).
Следовательно, Τ есть точка 2-го класса, а в то же время
перпендикуляр к ОМ в этой точке пересекает ON. Мы пришли к
противоречию, и, значит, Ρ есть точка 2-го класса, т. е.
перпендикуляр PL (черт. 46) не пересекает ON.
Покажем теперь, что всякий луч Р/С, проходящий внутри
угла OPL, пересекает сторону ON. Возьмём на этом л>че
произвольную точку К (черт. 46). Если точка /С окажется на луче ON
или по разные стороны с точкой Ρ относительно ON, то наше
утверждение доказано (теорема 1. 18). Предположим, что
точка К лежит по ту же сторону от ON, что и Р. Опустим из неё
перпендикуляр KU на ОМ. Точка U лежит между О и Р, т. е.
является точкой 1-го класса, а потому KU пересечёт ON в
некоторой точке V. Луч Р/С пересекает сторону UV
треугольника OUV и не проходит ни через одну из его вершин; по
аксиоме Паша луч Р/С пересечёт ON. Отсюда заключаем, что PL
параллельна ON.
Ткк как MON есть произвольный острый угол и ОР есть
отрезок, для которого этот угол является утлом параллельности,
то теорема 5. 2 даёт непосредственный ответ на поставленный
выше вопрос, именно, имеем:
Следствие. Для каждого острого угла а существует
определённый отрезок р, для которого угол а является углом
параллельности.
Это значит, что функция а=Щр) при изменении ρ от 0 до
+ оо принимает все значения, заключённые между 0 и —.
Так как функция П(р) при возрастании ρ от 0 до +оо
монотонно убывает и принимает все промежуточные значения
между — и 0, то она непрерывна для всех положительных
значений р. Объединим всё сказанное относительно функции П(я),
Теорема 5. 3. Функция Лобачевского Щх), определённая для
всех положительных значений х, О^ж^+эо, есть строго
убывающая непрерывная функция, принимающая все промежуточные
значения, заключённые между 0 и —, причём
lim:i(*)= — t lim ЩХ)^=0.
Относительно равенства lim П(*) = 0 будем также говорить,
лг-*+оо
что Π (х)=0 при x=-foo или что функция Π (а;) принимает
значение «нуль» в «бесконечно удаленной» точке плоскости.
Впоследствии мы увидим (см. § 11 п. «в» настоящей главы),
что функция Лобачевского II (х) может быть очень просто
89
выражена аналитически через элементарные функции, что даёт
возможность определить Щя) для всех вещественных
значений χ единым аналитическим выражением.
Отметим ещё, что равенство lim П(*)^— говорит о том,
*-*о 2
что в достаточно малой части плоскости геометрия Лобачевского
сколь угодно мало отличается от геометрии Евклида (подробнее
см. § 11 п. «ж» настоящей главы).
Возвращаясь снова к теореме 5. 2, нетрудно получить из неё
в качестве следствия следующую теорему:
Теорема 5. 4. Для каждого угла, меньшего 2d, существует
единственная прямая, параллельная обеим сторонам этого угла
(в противоположных направлениях).
В самом деле, пусть ^A0B<^2d
(черт. 48). Проведём его биссектрису
ОС (теорема 1. 1), тогда ^AOC<^d и по
теореме 5. 2 существует единственный
перпендикуляр PL к стороне ОС,
параллельный к ОА. В силу симметри% его
продолжение PL' является
перпендикуляром к ОС и параллельным к ОВ.
Таким образом, UL || ОА и LU || ОВ.
Заметим, что прямая LU называется
заградительной прямой угла АОВ.
Замечание. В связи с теоремой
5. 4 будет уместно остановиться на одном из доказательств
Лежандра постулата Евклида, рассмотренном в § 4 главы 1
(стр. 56—57). Это доказательство основано на скрытом
допущении Лежандра, что через всякую точку, лежащую внутри угла,
можно провести прямую, пересекающую обе стороны угла. Между
тем в геометрии Лобачевского, как легко убедиться, это
утверждение неверно. Действительно, можно показать (предоставляем
это сделать читателю), что прямая, проходящая через любую
точку прямой LL* (черт. 48) или через точку, лежащую справа
от LU, пересекает не более чем одну из сторон угла АОВ.
Обратно, если это обстоятельство имеет место, то справедлива
аксиома Лобачевского. Отсюда нетрудно убедиться, что
допущение Лежандра является эквивалентом 5-го постулата Евклида.
§ 6. О ВЗАИМНОМ РАСПОЛОЖЕНИИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ
И РАСХОДЯЩИХСЯ ПРЯМЫХ
Рассмотрим вопрос о расстоянии между двумя параллельными
и двумя расходящимися прямыми.
Предварительно докажем для плоскости Лобачевского
следующую теорему, фактически относящуюся к абсолютной
геометрии.
90
Μ
Ra
J
В/у
/
ζ
/
/ J
/
У
/
' L
A A, S Ρ
Черт
. 49.
Теорема 6. 1. Расстояние точка, лежащей на одной стороне
острого угла, от другой стороны неограниченно возрастает при
неограниченном её удалении от вершины угла.
Возьмём на стороне ОВ острого угла АОВ (черт. 49) две точки:
Вх и В2. Опустим из Вх и В2 перпендикуляры ВХАХ и В2А2 на
сторону О А В четырёхугольнике AJi^B^ с двумя прямыми
углами угол Л1В1В2, как смежный острому углу OB±Av является
тупым, угол же ВХВ2А2 острый. Отсюда на основании, леммы
Саккери (см. гл. I, § 4) имеем Л1В1<А2В2,
т. е. по мере удаления точки В по
стороне ОВ от вершины её расстояние от
ОА возрастает. Докажем, что оно
возрастает неограниченно. Пусть РМ —
перпендикуляр к стороне О А,
параллельный стороне ОВ (теорема 5. 2). Отложим
на этом перпендикуляре отрезок PL
наперёд заданной сколь угодно
большой длины. Проведём отрезок OL,
он лежит целиком внутри угла ОАВ,
и5о точка L—внутренняя точка этого
угла. Угол OLM, очевидно, тупой. Проведём LR±PL, тогда
LR пересечёт ОВ в некоторой точке /?, ибо PL \\ ОВ и луч LR
лежит внутри угла OLM. Опустим из R перпендикуляр RS на
ОА. В четырёхугольнике SRLP с тремя прямыми углами
четвёртый угол LRS острый (теорема 4. 5), а потому на основании
леммы Саккери (гл. I, § 4) имеем RS^>LP.
Теорема 6. 2. Расстояние точки, лежащей на одной
параллельной, до другой параллельной неограниченно убывает при
перемещении этой точки по первой прямой в направлении
параллельности и неограниченно возрастает при её перемещении в
противоположном направлении.
Пусть ВВ' || АА' и М% Λ? —две
точки на ВВ\ взятые так, что
отрезок MN направлен в сторону
параллельности данных прямых
(черт. 50). Построив MP ±AA'
и NS±AA', получим
четырёхугольник PMNS с двумя прямыми
углами, у которого ^PMN
острый, как угол параллельности
в точке М, a ^SNM тупой, как
сме:хный с углом параллельности SNB' в точке N, поэтому по
лемме Саккери MP>MS, т. е. при перемещении точки Μ по
ВВ' в сторону параллельности расстояние её от АА' убывает,
а в противоположном направлении — возрастает.
Отложим теперь на РМ сколь угодно малый отрезок PL,
который мы можем считать меньшим, чем MP, а потому L· будет
лежать между Ρ и М. Через L проведём лучи LL·' || РА и
91
LL" || PA. Продолжим LL" в противоположном направлении,
тогда прямая LL" пересечёт в некоторой точке N луч MB',
ибо LL \\ MB' (теорема 3. 3). Отложим на NB' отрезок NMX-=LN
и опустим перпендикуляры NS и М1Р1 на АА'. Легко убедиться,
что ALNS=/±SNMV Действительно, MS — общая сторона,
LN=^NM1 и ^LNS^^MXNS, как углы параллельности в точке N.
Отсюда LS^MjlS. Но тогда ALPS = A Μ^β по гипотенузе и
острому, углу. Следовательно, M1P1 = LPi т. е. расстояние МгРх
сколь угодно мало.
Аналогично доказывается, что при перемещении точки Μ в
противоположном направлении расстояние её от АА'
неограниченно возрастает.
Читателю рекомендуется самому провести это доказательство.
Эта теорема свидетельствует об асимптотическом сближении
двух параллельных Лобачевского в направлении их параллельности.
Теорема 6. 3. Всякие две расходящиеся прямые имеют
единственный общий перпендикуляр, по обе стороны от которого
расстояние точки, лежащей на одной из расходящихся прямых,
до другой неограниченно возрастает при удалении этой точки от
общего перпендикуляра.
Прежде всего ясно, что двух общих перпендикуляров
расходящиеся прямые иметь не могут, ибо тогда получился бы
четырёхугольник, сумма углов
которого равна 4d, что невозможно.
Докажем, что один общий
перпендикуляр обязательно существует.
Пусть АА' и ВВ'— две
расходящиеся прямые (черт. 51). Из
произвольной точки С прямой
АА' проведём лучи CD || В;В и
CD' |! ВВ'. Рассмотрим углы ACD
и A'CD'. Один из этих углов
обязательно острый, другой может быть либо острым, либо тупым,
либо прямым. Чертёж 51 построен в предположении, что оба эти
угла острые. По теореме 5. 2 существуют перпендикуляры
а
Черт. 52.
Черт. 53.
АЕ±АС и А'Е'±СХ такие, что АЕ || CD и А'Е' \\ CD'. Тогда по
теореме 3. 3 АЕ \\ В'В, А'Е'\\ВВ'. Пусть S — середина
отрезка АА', AS^=SA'. Опустим из S перпендикуляр SQ на ВВ'.
Покажем, что SQ и есть общин перпендикуляр для прямых АА
92
и ВВ'. Для этого проведём лучи SF || В'В kSF' \\ ВВ'. Тогда по
теореме 3. 3 SF || Л£, SF' \\ А'Е', а вследствие того, что AS^SA\
имеем ^ASF = *4A'SF', как углы параллельности,
соответствующие одинаковым отрезкам. С другой стороны, ^FSQ = ^F'~SQ,
как углы параллельности в точке S относительно ВВ'.
Следовательно, ^ASQ==^i4'SQ-—. Если угол A CD окажется тупым,
то смежный с ним J$ACD острый, тогда перпендикуляр АЕ
строим для смежного угла (черт. 52). Если ^ACD прямой, то
получим расположение прямых, указанное на чертеже 53.
Остальные рассуждения остаются без
изменения *).
Остаётся доказать последнюю
часть теоремы. Пусть QS — общий
перпендикуляр двух расходящихся
прямых ~АА' и ВВ' (черт. 54)
и точка Μ удаляется по ВВ' от
Q в сторону В'. По способу, ука- Черт. 54.
занному в теореме 6. 1, легко
убедиться, что её расстояние ΜΝ
(ΜΝ_[_ΑΑ') от АА' возрастает. Докажем, что ΜΝ возрастает
неограниченно. Проведём SF || QB'. Очевидно, что SF целиком
лежит между AAf и ВВ'. Перпендикуляр MN пересечёт SF в
некоторой точке L и разобьётся на два отрезка: NL и LM.
При неограниченном удалении точки L по лучу SF точка Μ
будет неограниченно удаляться по лучу QB' от точки Q. В
самом деле, проведём L/C_1_SQ. Легко убедиться, что ^KLN острый,
а, значит, ^KLM тупой. При помощи леммы Саккери
убеждаемся, что QNli>KL. При неограниченном удалении точки L по
лучу SF от точки S перпендикуляр KL к стороне SQ острого
угла QSL неограниченно возрастает (теорема 6. 1).
Следовательно, и QM неограниченно возрастает, что и требовалось доказать.
Одновременно в силу теоремы 6. 1 перпендикуляр LN к
стороне SA' острого угла A'SF неограниченно возрастает.
Тогда MN и подавно неограниченно возрастает, ибо MN>LN'.
Замечание. На основании теорем 6. 1, 6. 2, 6. 3 легко
убедиться, что в геометрии Лобачевского
геометрическое место точек, равноудалённых от данной
прямой, есть кривая линия. Действительно, если бы это
геометрическое место представляло собой прямую, то эта^ прямая
должна либо пересекать данную прямую, либо быть ей
параллельной, либо расходиться с ней. Из доказанных теорем следует,
что ни один из этих случаев не может иметь места. Отсюда
легко заключить, что предложение «Геометрическое место точек,
*) Из доказательства теоремы вытекает тот интересный факт, что вся
прямая ВВ' проектируется на конечный отрезок расходящейся с ней прямой А А*'.
93
равноудалённых от данной прямой и расположенных по одну
сторону от неё, есть прямая» является эквивалентом 5-го
постулата Евклида. В свете сказанного делается ясной порочность
доказательств 5-го постулата, принадлежащих Проклу и Поси-
донию (гл. I, § 3).
Необычность теорем геометрии ЛобачеЕского, расхождение их с привычными
для нас пространственными представлениями и резкое несоответствие между их
выводами и иллюстрирующими их чертежами невольно на первых порах
порождают некоторое чувство недоверия к этим выводам. Возникает вопрос о причине
этого расхождения данных чертежа с логическими выводами. В то время как
из чертежа неотразимо ясно, что прямые пересекаются (или равноудалены),
строгое рассуждение приводит к несомненному вьтоду, что эти прямые не
должны пересекаться (или должны взаимно удаляться, или сближаться).
Естественно, в качестве ответа на этот вопрос напрашиваются два
предположения: либо геометрия Лобачевского таит в себе внутреннее противоречие,
а потому, конечно, не может согласоваться с действительностью, либо, будучи
логически безупречной, она не соответствует реальному физическому
пространству, которое, возможно, является евклидовым, а потому мы не можем в
чертежах отобразить соотношения, имеющие место в геометрии Лобачевского.
Что касается первого предположения, то оно должно быть отброшено, ибо
совершенно строго установлено (см. гл. V, § 6), что геометрия ЛобачеЕского
столь же непротиворечива, как и геометрия Евклида.
Со вторым же предположением дело обстоит следующим образом.
Представим себе, что углу параллельности а, отличающемуся от прямого угла на
неощутимо малый угол, соответствует отрезок р, превосходящий в миллион раз
радиус земной орбиты; тогда углам параллельности, меньшим а, будут
соответствовать отрезки параллельности, ещё большие, чем ρ (теорема 5. 1). Тогда
в пределах привычных для нас ограниченных частей мирового пространства
практически мы не сможем определить, какая из геометрий, Евклида или
Лобачевского, более точно отображает свойства реального пространства; обе
геометрии для нас будут неотличимы друг от друга. Практически мы не
сможем уловить разницы между ними. Поэтому расхождение наших чертежей,
которые приходится чертить искажённо на небольшом листе бумаги или на
доске, с выводами геометрии Лобачевского можно объяснить тем, что в
действительном пространстве осуществляется с огромной точностью либо геометрия
Евклида, либо геометрия Лобачевского, отличающаяся в пределах пространства
небольших размеров неощутимо мало от геометрии Евклида.
Можно для пояснения привести следующую аналогию. Кратчайшей
(геодезической) линией между двумя точками земной поверхности будет дуга
большого круга (если считать приближённо земную поверхность сферой). Это и
учитывается в мореходной практике и в авиационных полётах. Однако для
участков небольших размеров эту кратчайшую линию считают прямой. На
малых участках земной поверхности это различие невозможно уловить, а на
топографических чертежах этим пользуются, изображая геодезические прямыми.
В отношении же использования чертежей в геометрии следует помнить, что
они играют лишь вспомогательную роль, они своей наглядностью облегчают
ход и направление наших рассуждений, решающего же значения они иметь не
могут. Вспомним, что с таким же успехом мы применяем неточно выполненные
от руки чертежи при доказательстве теорем евклидовой геометрии, что, однако,
не мешает нам делать правильные логические заключения.
Ещё Аристотель подчёркивал, что геометр не основывает своих заключений
на частных особенностях проведённых им линий, но опирается на «то, что
проведённые им линии изображают». Сам же Лобачевский по этому вопросу писал:
«На первый взгляд может показаться, что теоремы геометрии, названной мной
воображаемой геометрией, вообще противоречивы, однако замечу, что хотя они
и противоречат нашему представлению и привычке, но, однако, совершенно
безупрэчны со стороны логической».
94
§ 7. ПУЧКИ ПРЯМЫХ В ПЛОСКОСТИ ЛОБАЧЕВСКОГО
В плоскости Евклида имеются две линии — прямая и
окружность, характерной особенностью которых является то, что
каждая из них может без деформации скользить по себе самой;
такие кривые называются кривыми постоянной
кривизны. Факт существования лишь двух кривых постоянной кривизны
тесно связан с тем, что в плоскости Евклида возможны лишь
два случая взаимного расположения двух прямых: две прямые
либо пересекаются в одной точке, либо параллельны. Отсюда
следует существование лишь двух видов пучков прямых: 1) пучка
прямых, сходящихся в одной точке, называемой центром пучка,
2) пучка параллельных прямых. Очевидно, что ортогональные
траектории пучка пересекающихся прямых являются
окружностями, а ортогональные траектории пучка параллельных прямых
суть прямые. Прямую, кроме того, можно рассматривать как
предельное положение окружности при безграничном удалении
центра пучка вдоль какой-нибудь прямой пучка.
В плоскости же Лобачевского две прямые могут либо
пересекаться, либо могут быть параллельными в некотором
направлении, либо расходящимися. Поэтому в плоскости Лобачевского
существует три вида пучков прямых: 1) пучок прямых,
пересекающихся в одной точке, называемой центром пучка; такой
пучок называется центральным или эллиптическим;
2) пучок прямых, параллельных в заданном направлении
некоторой прямой, называемой осью пучка; такой пучок называется
параболическим; 3) пучок расходящихся прямых,
перпендикулярных к некоторой прямой, называемой базой пучка;
такой пучок называется гиперболическим.
Легко убедиться, что любой из этих пучков определяется
двумя своими прямыми, а параболический — одной с выбранным на
ней направлением и что через всякую точку плоскости (кроме центра
эллиптического пучка) проходит одна и только одна прямая пучка.
В дальнейшем будем мыслить прямые каждого пучка
ориентированными в определённую сторону, причём прямые
параболического пучка будем считать ориентированными в
направлении параллельности.
Покажем, что эти три вида пучков связаны с тремя основными
кривыми плоскости Лобачевского, являющимися кривыми
постоянной кривизны.
Прежде всего рассмотрим, как в геометрии Лобачевского
обстоит дело с прохождением окружности через три точки
плоскости. Мы видели, что в геометрии Евклида предложение
Ф. Бояи «Через всякие три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит окружность» является эквивалентом 5-го
постулата. Поэтому заранее ясно, что это предложение в геометрии
Лобачевского неверно. И действительно, здесь имеет место
следующее предложение:
95
Теорема 7. 1. Три перпендикуляра к сторонам треугольника
в их серединах либо пересекаются в одной то^ке, либо
расходятся, будучи все перпендикулярными к некоторой прямой, либо
параллельны между собой в одном направлении, т. е.
принадлежат либо одному эллиптическому, либо гиперболическому, либо
параболическому пучку.
Если два из этих перпендикуляров пересекаются, то легко
убедиться, что через точку их пересечения пройдёт и третий
перпендикуляр. Поэтому рассмотрим лишь доказательство теоремы
в двух остальных слут ачх.
Пусть АХА2, ВХВ2, CiC2— перпендикуляры к сторонам
треугольника ABC в их серединах Аг, Въ d (черт. 55), причём АХА2
и СХС2 расходятся. Тогда по теореме
6. 3 существует единственный общий
перпендикуляр DF к этим двум
расходящимся прямым. Опустим на DF из
вершин треугольника ABC
перпендикуляры AD, BE, CF и докажем, что
AD=BE = CF. В самом деле, легко
убедиться путём наложения, что четы-
С2 В2 Ε А2 F рёхугольники Ламберта AC,C2D
И
г-"
3,
А
G ι
Черт. 55.
СгВЕС2 равны, следовательно, AD= BE.
Аналогично докажем, что BE=CF, а
поэтому AD=BE = CF.
Рассмотрим теперь четырёхугольник Саккери ACFD с нижним
основанием DF и равными боковыми сторонами AD и CF. По
доказанной в § 4 главы I теореме перпендикуляр ВХВ2,
проведённый через середину верхнего основания АС, является также
перпендикуляром к DF. Таким образом, АХА2, СХС2 и ΒλΒ2 — все
перпендикулярны к DF, а потому принадлежат одному
гиперболическому пучку, имеющему DF своей базой.
Попутно мы доказали, что вершины треугольника
А, В и С равноудалены от базы DF.
Предположим теперь, что СХС2 || АХА2. Тогда
перпендикуляр ВХВ2 не может ни пересекаться с АХА2 и СХС2, ни
расходиться с ними, ибо в противном случае на основании вышедо-
казанного АХА2 и СгС2 также пересекались бы или расходились.
Следовательно, ВХВ2 параллельна как АХА2, так и СгС2.
Докажем теперь, что все три прямые АХА2, ВХВ2 и СХС2
параллельны друг другу в одном направлении. Для этого
предварительно заметим, что большая сторона треугольника ABC,
пусть это будет АС, пересекает все три перпендикуляра.
Действительно, допустим, что СгС2 не пересекает АС. Тогда по
аксиоме Паша СХС2 пересечёт сторону ВС в некоторой точке К *),
а потому КВ=КА. Но КС+КА>АС, в то же время КС+КА =
= КС+КВ = ВС, а потому ВС^>АС, а это противоречит пред-
*) Предоставляем читателю сделать чертёж.
96
положению, что АС большая сторона треугольника ABC. Аналогично
докажем, что АС пересекает перпендикуляр АХА2.
Пусть же АХАЪ ВгВ2 и СгС2 пересекают сторону АС
соответственно в точках Я, Вх и G и пусть, к примеру, В± лежит
между Η и G. Тогда В^В2 лежит между параллельными CiC2 и АХА^
Отсюда на основании теоремы 3. 4 заключаем, что ВХВ2
параллельна им в одном и том же направлении.
Из рассмотренной теоремы ясно, что в геометрии Лобачевского
не около всякого треугольник'а можно описать
окружность.
Для дальнейшего развития учения о пучках и о кривых
постоянной кривизны нам придётся ещё рассмотреть так
называемые секущие равного наклона.
Определение. Секущей равного наклона к двум
данным прямым называется прямая, которая при
пересечении с данными образует равные
внутренние односторонние углы.
Докажем сперва существование таких прямых.
Теорема 7. 2. Пусть на плоскости дан пучок ориентированных
прямых. *Тогда для любой пары прямых пучка через каждую точку
одной из них проходит секущая равного наклона к обеим прямым
и притом только одна.
Если данные две прямые а и Ь пересекаются в точке О
(черт. 56), то, как легко видеть, секущие равного наклона можно
получить, откладывая от точки О равные
отрезки О А и ОВ на лучах а и 6, тогда -*.. A^r1^ a
прямая АВ и будет секущей равного на- " ^^><Cl[[Tl
клона. , -000~ °^£$-^ь
Если данные прямые α и 6
расходятся, то по теореме 6.3 существует Черт. 56.
единственный общий их перпендикуляр
CD, который является секущей равного наклона (черт. 57).
Откладывая CA=^DB, CA1=^DB1 и т. д., получим секущие
равного наклона АВ, А^ и т. д.
Если, наконец, прямые а и Ь параллельны, то фиксируем на
них по произвольной точке С и D и проводим секущую CD
(черт. 58). Биссектрисы углов ACD и BDC пересекутся в
некоторой точке О, лежащей между прямыми а и Ь (доказать!).
Из точки О опустим перпендикуляры ОЕ на CD, ОА на а и ОВ
на Ь. Ясно, что ОА = ОВ = ОЕ по свойству биссектрис. Докажем,
что АВ есть секущая равного наклона. Действительно,
треугольник ОАВ — равнобедренный, следовательно, ^ОАВ^^ОВА, а
потому ^4CAB = ^DBA. Итак, мы построили некоторую секущую
равного наклона. Отложим теперь от Л и β на прямых а и Ь
равные отрезки АА1~ВВ1 оба в сторону параллельности или
оба в противополэжном направлении. Тогда Αβχ есть также
97
секущая равного наклона. Чтобы в этом убедиться, заметим, что
ί\ΑΑχΒ= /\ВВХА (по двум сторонам и углу между ними), откуда
ΑΒγ^-ΒΑχ. Далее, /\ААХВХ^ /\ВВгАг (по трём сторонам),
следовательно, ^АА1В1=^ВВ1АЪ т. е. АХВХ—секущая равного
наклона.
Итак, мы видим, что через
всякую точку Аг одной из
параллельных прямых а можно провести
секущую равного наклона АгВг к а и ft,
для чего достаточно построить
одну произвольную
flee к у-
С
Черт. 57.
Черт. 58.
щую равного наклона АВ и отложить BB1 = AAli тогда
АХВХ и будет секущей равного наклона.
Докажем её единственность. Пусть АВ — секущая равного
наклона к а и ft, проведённая в точке А. Предположим, что
через А проходит другая секущая
равного наклона АС (черт. 59), тогда
-41 = ^2.
Но, с другой стороны, ^1 меньше,
а ^2 больше соответствующих левых
внутренних односторонних углов при
Л и β, образованных секущей равного
наклона АВ к прямым а и ft,
следовательно, <$:1<^2. Полученное
противоречие и доказывает единственность секущей равного наклона АВ.
Из единственности секущей равного наклона следует обратное
предложение:
Теорема 7. 3. Если к ориентированным прямым а и ft
проведены две секущие равного наклона АВ и АгВъ то AA1=BBL (черт. 59).
Наконец, докажем следующую теорему:
Теорема 7. 4. Если на плоскости даны 3 прямые: a, ft, с,
принадлежащие одному пучку и проходящие соответственно через
точки А, В, С, и если АВ есть секущая равного наклона к а и
ft, ВС — секущая равного наклона к b и с, то АС есть секушая
равного наклона к а и с.
Если а, ft, с принадлежат эллиптическому пучку, то Л и В,
я также В и С равноудалены от центра пучка, а потому Л и С
равноудалены от центра пучка, следовательно, АС есть секущая
равного наклона.
Если a, ft, с принадлежат гиперболическому пучку, то ана-
98
логично докажем, что А и С равноудалены от базы пучка, а
потому АС есть секущая равного наклона.
Пусть теперь а, Ь, с, принадлежат параболическому пучку.
Проведём через середины сторон треугольника ABC
перпендикуляры /, /я, η (черт. 60). Перпендикуляр / не может пересечь
ни прямую а, ни прямую 6, ибо если предположить, например,
что / пересекает а, то, в силу того
что АВ образует равные углы саиб,
нетрудно убедиться, перегнув чертёж
по прямой /, что в той же точке I
пересечёт и 6, а значит, а и b пересекутся,
что невозможно, ибо а и Ь по условию
параллельны. На основании теоремы
3.4 заключаем, что I параллельна а и Ь
в том же направлении. Аналогично
докажем, что т\\ b, m || с. Отсюда
вытекает, что I || т (теорема 3. 3).
Но тогда по теореме 7. 1 перпендикуляр
η параллелен прямым / и т, а значит,
η параллелен а и с.
Следовательно, углы 1 и 2 суть углы параллельности при
прямых а и с относительно прямой п, а так как AN = CN, то
эти углы параллельности равны между собой, т. е. АС есть
секущая равного наклона к а и с.
Попутно мы доказали следующую очень полезную теорему:
Теорема 7. 5. Если АВ есть секущая равного наклона к
параллельным прямым а и Ь, то перпендикуляр к отрезку АВ в
его середине параллелен а и b в том же направлении.
Теперь мы подошли вплотную к определению основных
кривых геометрии Лобачевского.
Черт. 60.
§ 8. ОКРУЖНОСТЬ, ОРИЦИКЛ, ЭКВИДИСТАНТА
Определение
Прежде всего введём понятие о точках, соответственных
относительно пучка.
Определение. Если а и Ь—две прямые пучка и АВ —
какая-нибудь секущая равного наклона,
пересекающая а и Ь в точках А и β, то эти точки
называются взаимно соответственными относительно
пучка.
Возьмём какую-нибудь прямую а данного пучка и на ней
произвольную точку А. Тогда, проводя через точку А секущие
равного наклона ко всем прямым пучка, мы на каждой прямой
пучка найдём точку, соответственную точке А относительно пучка.
Геометрическое место всех таких точек определит на плоскости
99
некоторую линию. В зависимости от того, какого рода пучок
рассматриваем, мы получим различные линии, построенные
указанным вышэ способом.
Определение. Геометрическое место точек,
соответственных некоторой точке Л, взятой на одной
прямой пучка, называется окружностью,
орициклом (или, иначе, предельной линией) или эк вид и-
с/пан/пой в зависимости от того, будет ли данный
пучок прямых соответственно эллиптическим,
параболическим или гиперболическим. Сама
точка Л также включается в соответствующее
геометрическое место.
Заметим, что прямая, как база гиперболического пучка,
является частным случаем эквидистанты.
Легко показать, что в силу теоремы 7. 4 совершенно
безразлично, какую из соответственных точек данного геометрического
их места с проходящей через неё прямой пучка взять за исходную
для построения: линия получится та жз самая.
Основные свойства
Рассмотрим подробнее свойства этих линий. Прежде всего
покажем, что все они, за исключением базы гиперболического
пучка, являются кривыми.
Теорема 8. 1. Никакие три точки окружности, орицикла и
эквидистанты, отличной от прямой, не лежат на одной прямой.
Предположим, что три точки: Л, В, С, принадлежащие
окружности или орициклу, лежат на одной прямой
А
β
Черт. 61.
[/ 2
3 4\
h'
F
Черт. 62.
(черт. 61). По определению этих кривых АВ, ВС и АС являются
секущими равного наклона к соответствующим парам прямых
пучка АА', ВВ', СС. Следовательно, ^1 = ^2, -43-^4,
-41 —-Н.
Но тогда ^2=^3^d, а потому ^1^^4 = rf, т. е. все
три прямые пучка АА', ВВ', СС перпендикулярны к АС и,
следовательно, попарно расходятся, что противоречит условию.
Предположим теперь, что три точки: А, В, С
эквидистанты лежат на одной прямой (черт. 62). Пусть DF есть
база гиперболического пучка. Как и выше, мы снова докажем,
что ^l = -42=^3 = -^4 = d, Но тог^а четырёхугольники Сак-
100
кери ABED и BCFE имеют все углы прямые, что в геометрии
Лобачевского невозможно.
Попутно заметим, что в силу самого способа построения
секущих равного наклона для прямых гиперболического пучка,
когда на всех прямых этого пучка для построения
соответственных точек откладываются от базы пучка одинаковые отрезки,
видно, что эквидистанта есть геометрическое место
точек, равноудалённых от прямой (базы пучка).
Мы, таким образом, снова убеждаемся, что в геометрии
Лобачевского геометрическое место точек, равноудалённых от
прямой, есть кривая. Её название — эквидистанта — означает:
линия равных расстояний. Длина h перпендикуляра,
опущенного из любой точки эквидистанты на её базу,
называется высотой эквидистанты. Очевидно, что прямую можно
рассматривать как эквидистанту с высотой h=0.
Ясно, что в теореме 8. 1 идёт речь об эквидистанте в
собственном смысле, для которой ИГ>0.
Покажем теперь, что все три кривые — окружность, орицикл
й эквидистанту можно рассматривать как ортогональные
траектории соответствующих им пучков. Это будет вытекать из
следующей теоремы.
Теорема 8. 2. Пусть- для данного пучка, в зависимости от
его вида, построена окружность или орицикл, или эквидистанта.
Тогда каждая прямая пучка является нормалью к
соответствующей кривой.
Опуская доказательство для окружности, рассмотрим лишь
случаи орицикла и эквидистанты. В силу сходства
доказательства будем его проводить одновременно для обеих кривых.
Пусть А есть произвольная точка орицикла (черт. 63) или
эквидистанты (черт. 64), лежащая на прямой а параболического
или соответственно гиперболического пучка. Пусть / — прямая,
проходящая через точку А перпендикулярно к а. Возьмём
произвольную точку кривой В и проведём хорду АВ, являющуюся
секущей равного наклона к α и прямой пучка Ь, проходящей
через точку В. Наконец, через середину D хорды АВ проведём
перпендикуляр с к этой хорде. В случае орицикла с \\ а и с \\ b
(теорема 7. 5), поэтому угол α между хордой АВ и прямыми
а или Ь есть угол параллельности, соответствующий отрезку
AD = BD=—, т. е. а=П| — | и, следовательно, а<^—.
В случае эквидистанты, отличной от прямой, углы при
секущей равного наклона острые, как углы при верхнем основании
четырёхугольника Саккери А1АВВ1 (А1В1—база эквидистанты),
т. е. тоже а< —. Но так как а и Ь — расходящиеся прямые,
то а>П(ЛО) = П/'-2Б).
101
Итак, для обеих кривых имеем:
-η· / АВ \
причем для орицикла а=П —
па
«<
(1)
(2)
(3)
для эквидистанты 11/^— J <jx<^—
Из (1) заключаем, что все точки В обеих кривых, отличные
от А лежат по одну сторону от прямой /. Пусть теперь
точка В неограниченно приближается к А. Тогда АВ-+0 и из
соотношений (2) и (3) получим lima=limll(— )== — (теоре-
ав-»о ав-*о \ 2 / 2
ма 5. 3). Это значит, что перпендикуляр / есть предельное
положение секущей АВ при неограниченном приближении
точки β к точке А, т. е. / есть касательная к кривой в точке А.
Следовательно, прямая пучка а есть нормаль к кривой. Вместе
с тем видно, что орицикл обращен вогнутостью в сторону
Черт. 63.
параллельности прямых пучка, а эквидистанта обращена
вогнутостью к своей базе. Ясно также, что касательная имеет с
окружностью, орициклом и эквидистантой только одну общую точку.
Итак, окружность, орицикл и эквидистанта являются
ортогональными траекториями соответствующих пучков. Теорему 8. 2
мы можем теперь сформулировать так:.
Все нормали окружности пересекаются β одной точке и
образуют эллиптический пучок; все нормали орицикла параллельны
в одном направлении и образуют параболический пучок; все нормали
эквидистанты перпендикулярны к некоторой прямой (базе) и
образуют гиперболический пучок. Хорды этих кривых являются
секущими равного наклона к нормалям.
Построение орициклов и их конгруэнтность
Укажем ещё способ построения орицикла, принадлежащий
Лобачевскому.
Возьмём произвольную ориентированную прямую α и на ней
некоторую точку А. Из точки А будем проводить всевозможные
102
лучи, образующие острые углы α с лучом АА' прямой а (черт. 65).
На каждом таком луче отложим отрезок AM такой, что угол α
есть угол параллельности половины этого отрезка, т. е. а=
= П | —). Геометрическое место точек Μ
и есть
Черт. 65.
\ 2/'
орицикл. В самом деле, проведём через точку Μ прямую /я,
параллельную АА\ и через середину D отрезка AM
прямую DD'J_AM. Так как а=^П(ЛО), то DD' \\ АА\ следовательно,
по теореме 3. 3 также DO' \\ ММ'. Но MD=AD, следовательно,
^АММ'=П (Λίΰ)=Π (—)=α, и AM есть секущая равного
наклона к параллельным а и т, а потому
Λί лежит на орицикле, определяемом
прямой а и точкой Л.
Совершенно очевидно из построения,
что орицикл есть кривая, симметрично
расположенная относительно нормали а.
А так как выбор исходной нормали
безразличен, то орицикл симметричен
относительно любой своей
нормали. Поэтому нормали орицикла
называются его осями. Кроме этого, заметим
что так как параболический пучок, в отличие от других, вполне
определяется одной из своих прямых, то орицикл вполне
определяется любой своей осью и точкой на ней.
Будем называть две кривые конгруэнтными, если между
точками этих кривых можно установить такое взаимно
однозначное соответствие, при котором каждая хорда одной кривой равна
хорде, соединяющей соответствующие точки другой кривой.
Докажем следующее свойство предельных линий,
сближающее их с прямыми.
Теорема 8. 3. Все орициклы конгруэнтны между собой.
Пусть даны два орицикла. Возьмём на каждом из них по
произвольной точке А и А' (черт. 66) и проведём проходящие
через них нормали α и а'
орициклов. Поставим во взаимно
однозначное соответствие такие точки
Μ и М' этих орициклов, для
которых секущие AM и А'М'
образуют равные углы α с прямыми а
и' а'. Тогда AM=А'М', ибо
/ЛМ\ ττ [А'М'\
Пусть теперь /С, Μ и К', М'—
пары соответствующих точек
АК=А'К', ^КАМ^^К'А'М9.
и'
м
«'
м
Черт. .66.
орициклов. Тогда AM—А'М
Следовательно, αΑΚΜ=ΑΑ'Κ'Μ', а потому КМ = К'М'.
103
Таким образом, условие конгруэнтности выполнено.
Понимая под дугой орицикла множество его точек, лежащих
между двумя его точками, называемых концами дуги, мы можем
из предыдущей теоремы заключить, что дуги орициклов,
стягиваемые равными хордами, равны между
собой, и обратно. Большую дугу орицикла
стягивает большая хорда, и обратно.
Кривые постоянной кривизны
Из теоремы 8.3 с очевидностью следует, что орицикл
может скользить по себе самому без
деформации, подобно тому как это имеет место для прямой и
окружности.
Совершенно очевидно, что таким же свойством
обладает и зквидистанта: если заставить скользить по самой
себе базу эквидистанты, то и сама эквидистанта будет скользить
сама по себе без деформации, ибо расстояния всех точек
эквидистанты от базы равны между собой.
Таким образом, в геометрии Лобачевского имеется
четыре типа линий постоянной кривизны: прямая,
окружность, орицикл и эквидистанта.
Возвращаясь к теореме 7.1, мы теперь можем легко
убедиться, что в зависимости от того, принадлежат ли три
перпендикуляра в серединах сторон треугольника к эллиптическому,
гиперболическому или параболическому пучку, около
треугольника можно описать либо окружность, либо
эквидистанту, либо орицикл, ибо стороны треугольника
будут секущими равного наклона относительно
соответствующего пучка. Присоединяя сюда ещё тот случай, когда три-точки
лежат на одной прямой, мы указанную теорему можем
сформулировать в следующем виде:
Теорема 8. 4. Через всякие три точки плоскости проходит
кривая постоянной кривизны.
В такой формулировке эта теорема остаётся справедливой
одновременно и в геометрии Лобачевского, и в геометрии Евклида.
В заключение заметим, что наряду с общими свойствами,
сближающими орицикл и эквидистанту с окружностью (единый
метод построения, отличие от прямой, симметрия относительно
нормалей, постоянство кривизны и др.), у орицикла и
эквидистанты имеются свойства, сближающие их с прямой.
Прежде всего в отличие от окружности орицикл и
эквидистанта — линии незамкнутые. Для эквидистанты это
очевидно, для орицикла это свойство вытекает из следующей теоремы.
Теорема 8. 5. Каждая ось орицикла пересекает его в одной
и только одной точке.
104
Действительно, по определению орицикла он имеет с каждой
своей о£ью общую точку.
Другой общей точки орицикл не может иметь с данной осью,
ибо в противном случае все другие оси орицикла имели бы в
точках орицикла не менее двух секущих равного наклона с
указанной осью, что невозможно в силу свойства единственности
секущих равного наклона (теорема 7. 2).
Так как орицикл и все его оси лежат в одной плоскости, то
из теоремы 8. 5 следует, что орицикл есть незамкнутая линия.
Заметим ещё, что в то время, как окружности отличаются
друг от друга длиной радиуса, эквидистанты — высотой,
орициклы, как мы видели, все конгруэнтны между собой, это их ещё
более сближает с прямыми.
Далее, если прямую в геометрии Евклида можно
рассматривать как предельное положение окружности при безграничном
удалении центра по нормали, то в геометрии Лобачевского
орицикл является, с одной стороны, предельным положением
окружности, если центр её неограниченно удаляется по нормали, а с
другой стороны, предельным положением эквидистанты, если
база эквидистанты неограниченно удаляется, оставаясь
перпендикулярной к некоторой прямой гиперболического пучка.
§ 9. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ ЛОБАЧЕВСКОГО
Переходя к краткому обзору основных образов и фактов
стереометрии Лобачевского, прежде всего укажем несколько
стереометрических предложений, не зависящих от 5-го постулата
Евклида, т. е. относящихся к абсолютной геометрии. Они
являются общими как для геометрии Евклида, так и для геометрии
Лобачевского. Таковы, например, следующие предложения:
9. 1. Через всякие три точки, не лежащие на одной прямой,
можно провести плоскость и притом только одну.
9*. 2. Линия пересечения двух плоскостей есть прямая.
9. 3. Если прямая а, пересекающая плоскость а,
перпендикулярна к двум прямым этой плоскости, проходящим через точку
пересечения α и а, то прямая а перпендикулярна ко всякой
прямой плоскости а, проходящей через ту же точку.
9. 4. Через каждую точку пространства можно провести одну
и только одну прямую, перпендикулярную к данной плоскости.
9. 5. Плоскость а, проходящая через прямую а,
перпендикулярную к плоскости β, перпендикулярна к плоскости β.
9. 6. Через каждую точку пространства можно провести одну
и только одну плоскость, перпендикулярную к данной прямой.
9. 7. Через каждую прямую а, наклонную к плоскости β,
можно провести только одну плоскость а, перпендикулярную
к данной плоскости β. Линия пересечения плоскостей аир
называется проекцией прямой а на плоскость β.
9. 8. Если плоскость α перпендикулярна к плоскости β и пря-
103
мая а плоскости α перпендикулярна к линии пересечения
плоскостей α и β, то прямая а перпендикулярна к плоскости β. %
9. 9. Прямая, проведённая в плоскости через основание
наклонной перпендикулярно к её проекции, перпендикулярна к
самой наклонной, и обратно, прямая, проведённая в плоскости
перпендикулярно к наклонной, перпендикулярна и к её проекции
(теорема о трёх перпендикулярах).
9. 10. Линия пересечения двух плоскостей,
перпендикулярных к третьей плоскости, есть перпендикуляр к этой плоскости.
В пространстве Лобачевского параллельность и расходимость
прямых, а также прямой и плоскости определяются следующим
образом:
Определение 1. Две прямые в пространстве
называются параллельными (расходящимися), если они
лежат в одной плоскости и в этой плоскости они
параллельны (расходятся).
Определение 2. Прямая а называется параллельной
плоскости а, если она параллельна своей
проекции на эту плоскость.
Определение 3. Прямая а называется
расходящейся с плоскостью а, если она расходится со своей
проекцией на эту плоскость.
Из последних определений немедленно следует, что прямая,
параллельная плоскости, неограниченно сближается с последней
в сторону параллельности, а прямая, расходящаяся с плоскостью,
имеет с этой плоскостью единственный общий перпендикуляр,
в обе стороны от которого в проектирующей плоскости прямая
неограниченно удаляется от плоскости.
Теорема 9. 11. Если через две параллельные прямые а и Ъ
провести соответственно плоскости α и β, то в случае
пересечения последних прямая их пересечения параллельна данным
прямым в направлении их параллельности.
Пусть прямая с есть линия 'пересечения плоскостей α и β;
γ — плоскость, в которой лежат прямые а и Ь (черт. 67).
Прямая с не пересекает ни
прямой а, ни прямой Ъ.
Действительно, если предположить, что
с пересечёт прямую а в
некоторой точке, то эта точка будет,
с одной стороны, общей точкой
плоскостей α и β, так как лежит
на с, а с другой стороны, об-
Черт. 67. щей точкой плоскостей α и γ,
так как она лежит на прямой а.
Но тогда эта точка,будет общей точкой плоскостей β и γ, τ. е.
будет лежать и на прямой Ь. В таком случае а и Ь
пересекаются, что противоречит условию. Итак, с не пересекает ни а, ни 6.
Юб
Докажем, что с параллельна а. Возьмём три произвольные
точки Μ, Ν, Ρ по одной на каждой из прямых а, Ь, с. Через
точку Ρ проведём произвольный луч РР' в плоскости а внутри
угла сРМ, обращенного отверстием в сторону параллельности
прямых а и Ь. Проведём плоскость ΝΡΡ' (обозначим её через δ),
которая пересечёт плоскость γ по некоторой прямой ΝΝ',
проходящей внутри угла bNM, образованного прямыми Ь и MN,
обращенного отверстием в сторону параллельности прямых а и Ь.
Тогда ΝΝ' пересечёт прямую а в некоторой точке S, ибо Ь || а.
Точка S, принадлежащая прямой а и прямой ΝΝ', будет общей
точкой плоскостей α и δ, а следовательно, должна лежать на
прямой РР', являющейся геометрическим местом таких точек.
Следовательно, РР' пересекает а, а это значит, что с || а.
Аналогично доказывается, что с || Ь.
Теорема 9. 12. Две прямые, параллельные третьей в одном и
том же направлении, параллельны между собой в том же
направлении.
Пусть а || Ь, с || Ь (черт. 67). Докажем, что а || с. Проведём
плоскости γ κ β. Возьмём на прямой с произвольную точку Ρ и
проведём плоскость α через точку Ρ и прямую а. Так как
плоскости α и β проходят через параллельные прямые а и 6, то они
пересекаются по некоторой прямой, проходящей через точку Р,
параллельной (теорема 9. 11) прямым а и Ь. Но через точку Ρ
проходит только одна прямая с, параллельная b в данном
направлении. Следовательно, а \\ с.
Теорема 9. 13. Если прямая а параллельна какой-нибудь
примой, лежащей в плоскости β, то она параллельна этой
плоскости.
Пусть прямая а параллельна некоторой прямой 6, лежащей
в плоскости β (черт. 68). Спроектируем прямую а на плоскость β
плоскостью а, перпендикулярной к плоскости β (теорема 9. 7).
Пусть с есть проекция прямой а на плоскость β. Таким образом,
через две параллельные прямые а и b проведены две плоскости
α и β, пересекающиеся по прямой с. По теореме 9. 11 прямая с
параллельна а, а это по определению значит, что а параллельна
плоскости β.
Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
Лобачевского вполне характеризуется при помощи так
называемого конуса параллельности, являющегося аналогом
понятия угла параллельности.
Пусть дана плоскость α и не лежащая на ней точка А (черт. 69).
Пусть АА!—перпендикуляр к а, проектирующий точку А в
точку Л' на плоскости а. Пусть далее АВ — прямая, параллельная
плоскости а, и А В'— её проекция на а. Тогда угол ВАЛ' есть
угол параллельности в точке А прямой АВ относительно прямой
А В'. Будем вращать прямую АВ около перпендикуляра АА\
107
тогда АВ опишет круглую коническую поверхность с вершиной
в точке Л, все образующие которой параллельны плоскости а.
Эта поверхность называется конусом параллельности
β точке А относите льно плоскости а. Таким
образом, конусом параллельности в точке А
относительно плоскости α называется геометрическое
место всевозможных прямых, параллельных
плоскости α в точке Л. (Очевидно, что в евклидовом
пространстве конус параллельности вырождается в плоскость.)
Из этого определения ясно, что всякая прямая, проходящая
через точку Л и лежащая внутри конуса параллельности,
пересекает плоскость а, а всякая прямая, проходящая через точку Л
и лежащая вне конуса
параллельности, расходится с
плоскостью а.
Конус параллельности в
точке Л позволяет все
плоскости, проходящие через
точку Л, разбить на три
категории: 1) плоскости,
пересекающее конус по двум
образуют [м, 2) плоскости, каса-
Черт, 68.
ющиеся конуса по образующей, 3) плоскости, имеющие с конусом
лишь одну общую точку Л.
Совершенно ясно, что плоскости 1-й категории содержат
прямые, проходящие через Л и лежащие внутри конуса
параллельности, а потому эти плоскости пересекают плоскость а. При
этом прямая пересечения с плоскостью α параллельна в
противоположных направлениях проекциям образующих, по которым
плоскость 1-й категории пересекает конус параллельности.
Плоскости 2-й и 3-й категории не содержат прямых, проходящих
внутри конуса параллельности, а потому не могут пересекаться
с плоскостью а.
Определение. Плоскость, проходящая через
точку Л, называется сходящейся с плоскостью а,
паралле льной плоскости а, или расходящейся
с плоскостью а, смотря по тому, будет ли эта
Черт. 69.
108
плоскость пересекать конус параллельности
в точке Л по паре образующих, или будет
касаться конуса по образующей, или не будет
иметь с конусом общих прямых.
Можно показать, что свойство двух плоскостей быть
параллельными или расходящимися не зависит от выбора точки Л,
через которую проходит одна из плоскостей.
В плоскости Лобачевского через точку, лежащую вне прямой,
проходят две прямые, параллельные данной. В пространстве
Лобачевского через точку, лежащую вне плэскэсти, можно
провести бесконечное множество прямых, параллельных данной
плоскости, это и будут образующие конуса параллельности.
Возникает вопрос, сколько параллельных плоскостей к данной
плоскости можно провести через прямую, параллельную Данной
плоскости. Оказывается, что здесь дело обстоит так же, как и
в геометрии Евклида, а именно имеет место следующая теорема:
Теорема 9. 14. Через прямую а, параллельную плоскости а,
можно провести только одну плоскость, параллельную а.
Так как прямая а параллельна плоскости а, то она является
образующей конуса параллельности в любой своей точке Л
относительно а. Проведём через а плоскость, касающуюся
конуса параллельности по образующей а. Эта плоскость
параллельна плоскости а. Всякая другая плоскость, проходящая
через а, пересекает конус параллельности ещё по другой
образующей, а потому пересекает плоскость а. Следовательно, через а
проходит только одна плоскость, параллельная плоскости а.
§ 10. СФЕРА, ОРИСФЕРА, ЭКВИДИСТАНТНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
По аналогии с плоскостью в пространстве Евклида имеется
только два типа поверхностей, которые могут без деформации
передвигаться сами по себе, так, чтобы каждая точка
поверхности совмещалась с любой другой её точкой и притом, чтобы
направление любой касательной к поверхности в первой точке
совместилось с направлением любой касательной во второй
точке. Такими поверхностями являются плоскости и сферы.
В пространстве Лобачевского, как мы увидим, существует
четыре типа поверхностей, обладающих указанным свойством и
являющихся аналогами прямой, окружности, орицикла и эквиди-
станты на плоскости. Построение этих поверхностей может
быть проведено по тому же плану, что и построение основных
кривых па плоскости. Для этого воспользуемся понятием связки
прямых.
Определение. Связкой прямых называется
совокупность всех таких прямых в пространстве,
каждая пара которых лежит в одной плоскости.
Эти плоскости называются плоскостями связки.
109
Из этого определения вытекает, что в пространстве
Лобачевского существует лишь три типа связок
в соответствии с тремя возможностями взаимного расположения
пары прямых в плоскости Лобачевского.
Действительно, пусть а и Ь — две прямые связки. Так как
они по определению лежат в одной плоскости, то возможны
ντρπ случая: 1) либо а и b пересекаются в некоторой точке О,
2) либо они параллельны, 3) либо они расходятся.
1-й случай. Пусть а к b пересекаются в точке О. Возьмём
произвольную третью прямую связки с. Тогда каждая пара
прямых (а, Ь)% (а, с), (6, с) определяет проходящую через них
плоскость связки. Обозначим эти плоскости так: b и с определяют
плоскость α; α и с — плоскость β; β и b — плоскость γ. Таким
образом, прямая α есть линия пересечения плоскостей β и γ; Ь —
прямая пересечения плоскостей α и γ; с— прямая пересечения
плоскостей α и β. Следовательно, точка О, лежащая на прямых а
и 6, принадлежит одновременно плоскостям α и β, а потому и
прямой с. Это значит, что любая прямая связки проходит через
точку О, т. е. все прямые связки пересекаются в точке О. Такая
связка называется эллиптической.
2-й случай. Пусть а и Ь параллельны в заданном направлении.
Тогда при тех же обозначениях убеждаемся, что любая третья
прямая связки с, являясь линией пересечения плоскостей α и β,
проходящих соответственно через параллельные прямые Ь и а,
на основании теоремы 9. 11 будет параллельной к а и Ь в том
же направлении. Итак, все прямые связки параллельны друг
другу в некотором направлении. Такая связка называется па-
раболиче ской.
3-й случай. Пусть прямые а и Ь расходятся (черт. 70). В
плоскости γ, определяемой этими прямыми, существует единственный
их общий перпендикуляр (теорема 6. 3),
обозначим его через ms Проведём через т
плоскость о, перпендикулярную к
плоскости γ (теорема 9. 7), и возьмём
произвольную третью прямую связки с.
Прямые а и b перпендикулярны к δ
(теорема 9. 8). Следовательно, плоскости β
и а, проходящие через а, с и Ь, с, также
перпендикулярны к δ (теорема 9. 5), а
потому прямая их пересечения с перпенди-
Черт. 70. кулярна к плоскости о (теорема 9. 10).
Таким образом, любая прямая связки
перпендикулярна плоскости δ. Итак, связка в этом случае состоит
из прямых, перпендикулярных к одной и той же плоскости,
называемой базой связки. Такая связка называется
гиперболической.
Мы рассмотрели все возможные типы связок в пространстве
Лобачевского.
по
Легко показать, что через каждую точку пространства
проходит прямая связки (любого типа).
Покажем теперь, что для связки имеет место теорема,
аналогичная тоореме 7.4 для пучка прямых на плоскости.
Теорема 10. 1. Пусть а, Ь, с — три прямые связки, не
лежащие в одной плоскости и проходящие соответственно через
точки Л, β, С; если АВ есть секущая равного наклона к прямым
а и Ь,ВС — секущая равного наклона к b и с, то АС есть
секущая равного наклона к прямым а и с.
Теорема легко доказывается для случаев, когда а, Ъ, с
принадлежат эллиптической или гиперболической связке*). Поэтому
рассмотрим лишь доказательство для случая параболической
связки. В этом случае прямые связки а, 6, с параллельны
между собой в одном и том же
направлении. Пусть /С, L, Μ (черт. 71)
—середины секущих ВС, АВ, АС. Проведём
через них прямые fe, /, /и,
параллельные α, 6, с, а следовательно, и
между собой. Сперва докажем, что
проекции прямых fe, /, m на плоскость
треугольника ABC пересекаются в одной
точке. Так как к и / параллельны
между собой, то они не могут обе
составлять с плоскостью ABC прямые углы.
Предположим, что к образует с
плоскостью ABC острый угол а. Пусть KS—
проекция прямой к на плоскость ABC,
на которой отложим отрезок /CS такой,
что II (KS)=a. Через точку S проведём прямую s, нерпендику-
лярную к плоскости ABC. Тогда s лежит в одной плоскости
с к и s || fe, а потому s параллельна и прямым Ζ и т. Но тогда
плоскости (/, s) и (m, s) перпендикулярны к плоскости ABC
(теорема 9. 5) и, следовательно, LS и MS суть проекции на ABC
прямых / и т. Так как по условию АВ и ВС — секущие равного
наклона, а L и К — их середины, то, как легко убедиться, 1±АВ,
kJ_BC. Но тогда по теореме 9. 9 о трёх перпендикулярах
AB±LS, BCJ_/CS и, следовательно, точка S есть центр
окружности, описанной около, треугольника ABC. Поэтому SMj_AC
и опять по теореме 9.9 т±АС. Но так как т параллельна
прямым а и с и проходит через середину Μ секущей АС, то отсюда
следует, что AM и МС суть разные отрезки параллельности
в точках А и С относительно прямой т. Таким образом, АС есть
секущая равного наклона к а и с.
Теперь вводим понятие о соответственных точках.
*) Рекомендуем читателю провести доказательство.
111
Определение. Если а и Ь—две прямые связки и
АВ — секущая равного наклона, пересекающая а
и Ь в точках А и β, то эти точки называются
взаимно соответственными относительно связки.
Взяв в данной связке некоторую прямую α и на ней
произвольную точку Л, будем из этой точки проводить секущие
равного наклона к прямой а со всеми .прямыми сеязки. Таким путём
мы получим все соответственные с А точки относительно
данной связки.
Определение. В зависимости от того, будет ли
данная связка эллиптической, параболической
или гиперболической, геометрическое место
точек, соответственных с А относительно связки,
называется сферой, о рис фе рой и ли
эквидистантной по еерхностью. Сама точка А также
включается в соответствующую поверхность.
Ясно, что плоскость является частным случаем
эквидистантной поверхности.
Из этого определения также очевидно, что любая из этих
поверхностей определяется заданием двух прямых, лежащих
в одной плоскости, и точки на одной из них, а орисфера
определяется заданием только одной прямой с выбранным на ней
направлением и точкой на ней. Эта прямая называется осью орисферы.
В силу теоремы 10. 1 в качестве исходной точки для
построения этих поверхностей можно взять любую точку
соответствующей поверхности, т. е. все их точки равноправны. Легко
также убедиться, что плоскость связки пересекает
сферу по окружности, орисферу — по орициклу,
эквидистантную поверхность — по эквидистанте.
Любая плоскость связки называется диаметральной
плоскостью соответствующей поверхности.
Докажем следующее предложение:
"'Теорема 10. 2. Пусть для данной связки, в зависимости от
ее вида, построена сфера, или орисфера, или эквидистантная
поверхность. Тогда каждая прямая связка является нормалью
к соответствующей поверхности.
Действительно, возьмём на любой из указанных поверхностей
произвольную точку Μ и через неё проведём прямую связки.
Затем через эту прямую проведём всевозможные плоскости.
Каждая из этих плоскостей связки пересечёт нашу поверхность
соответственно по окружности, или орициклу, или эквидистанте.
Касательные к этим кривым в точке Μ все будут
перпендикулярны к прямой связки, проходящей через Μ (теорема 8. 2) и,
следовательно, все лежат в одной плоскости, касательной
плоскости к поверхности в точке М. Следовательно, прямая
связки, будучи перпендикулярной к этой касательной плоскости,
является нормалью к поверхности в точке М.
112
Поэтому можно сказать, что нормали к сфере пересекаются
в одной точке (в центре сферы), нормали к орисфере взаимно
параллельны, нормали к эквидистантной поверхности все
перпендикулярны к одной и той же плоскости (базе эквидистантной
поверхности).
Из других общих свойств сферы, орисферы и эквидистантной
поверхности следует отметить следующее:
Теорема 10. 3. Сфера, орисфераи эквидистантная поверхность
являются поверхностями вращения, причём в качестве оси
вращения можно взять любую их нормаль.
В самом деле, возьмём за ось вращения произвольную
нормаль а к рассматриваемой поверхности. Пусть а пересекает
поверхность в точке А и пусть Μ — любая другая точка
поверхности, нормаль в которой обозначим через т (чертёж!/. Вращая
нормаль т около оси а, возьмём некоторое её новое
положение тг, и точку на mlf в которую перейдёт точка М, обозначим
через Мг. Очевидно, что секущая равного наклона AM прямых
а и т перейдёт при вращении в секущую равного наклона АМХ
к прямым а и тх. Так как при этом вращении mi остаётся
прямой связки, то Μι есть точка нашей поверхности. Таким
образом, любое новое положение точки Μ при вращении её около
оси а есть также точка нашей поверхности, т. е. последняя
является поверхностью вращения.
Из этого свойства вытекает важное следствие:
Следствие. Сфера, орисфера и эквидистантная поверхность
так же, как и плоскость, допускают движения без деформации
по самим себе, так, что любая точка поверхности с взятым
направлением касательной в этой точке может быть
совмещена с любой другой точкой той же поверхности с взятым в ней
направлением касательной.
В самом деле, еслл на любой из этих поверхностей взять
две произвольные точки Λ1 и М1 -с произвольно направленными
касательными в этих точках, то, во-первых, возможно
совместить точку Μ с точкой М1 вращением поверхности около
некоторой нормалт и, вэ-вторых, созместить направления
касательных в совмещённых точках путём вращения поверхности около
нормали, проходящей через совмещённые точки.
Важность установленного свойства делается совершенно
ясной, если обратить внимание на те причины, в силу которых
мы можем развивать метрическую геометрию на плоскости
независимо от трёхмерного пространства. Нетрудно видеть, что
дело здесь заключается в возможности при измерении отрезков
перемещать на плоскости отрезок, принятый за единицу
измерения, так, чтобы его начало совпало с любой точкой
плоскости и направление — с любым направлением, исходящим из этой
точки, что сводится к возможности перемещения по самой себе
без деформации самой плоскости. Аналогичное положение мы
ИЗ
имеем и на сфере, если роль прямых приписать дугам больших
кругов сферы (геодезические л гний на сфере), почему и возможно
развивать сферическую геометрию, не выходя за пределы сферы.
В геометрии Лобачевского мы имеем три типа поверхностей,
которые обладают свойством возможности передвижения по
самим себе без деформации. Поэтому если мы на орисфере и
эквидистантной поверхности найдём такие линии, которые по
своим свойствам будут аналогичны прямым на плоскости и большим
кругам на сфере (они должны быть, очевидно, геодезическими
линиями на соответствующих поверхностях и одновременно
кривыми постоянной кривизны), то можно будет применить тот же
процесс измерения отрезков этих линий путём перемещения
единичного отрезка по поверхности. Таким образом, возникает
возможность строить метрическую геометрию без выхода в
трёхмерное пространство не только ка плоскости и сфере, но и на
орисфере, и на эквидистантной поверхности.
Рассмотрим Еопрос о построении геометрии на орисфере.
Заметим, кстати, что все орисферы конгруэнтны друг
другу, ибо все орициклы конгруэнтны друг Другу (теорема 8. 3).
В этом отношении орисфера родственна плоскости, чего нельзя
сказать о сфере или эквидистантной поверхности: сферы
различных радиусов, а также эквидистантные поверхности, отстоящие
от базы на различные расстояния, не конгруэнтны друг другу.
Замечательным является тот факт, что орициклам на
орисфере можно приписать ту же роль, что и прямым на плоскости.
Оказывается, что орициклы на орисфере
удовлетворяют всем аксиомам абсолютной геометрии,
каким удовлетворяют прямые на плоскости. Мы
ограничимся проверкой этого утверждения лишь в отношении
некоторых аксиом.
Предварительно докажем следующее предложение.
Теорема 10. 4. Всякая недиаметральная плоскость,
проходящая через точку орисферы, либо пересекает орисферу по
окружности, либо касается орисферы в указанной точке.
Если недиаметральная плоскость имеет с орисферой общую
точку Μ и перпендикулярна к оси орисферы т,
проходящей через эту точку, то эта плоскость есть касательная
плоскость к орисфере в точке Μ (ибо т есть нормаль к орисфере
по теореме 10. 2) и точка Μ —единственная их общая точка.
Если недиаметральная плоскость пересекает орисферу по
кривой, то нормали орисферы в точках этой кривой, очевидно,
не могут быть перпендикулярны к указанной плоскости. Пусть А
есть некоторая общая точка плоскости и орисферы и АА'— ось
орисферы, которая образует с плоскостью острый угол а.
Проведём через АА' (черт. 72) диаметральную плоскость,
проектирующую АА' на данную недиаметральную плоскость, и пусть
АВ — проекция прямой АА', АСВ — орицикл, по которому диа-
114
метральная проектирующая плоскость пересекает орисферу.
Проекция АВ пересекает орицикл в некоторой точке В. Пусть
S есть середина отрезка АВ. Проведём через S в
диаметральной плоскости прямую S71, перпендикулярную к АВ. Нетрудно
видеть, что ST \\ AN (теорема 7. 5). Следовательно, ST есть
прямая параболической связки, определяемой лучом АА\ а
потому ST является нормалью к орисфере, лежащей в одной
диаметральной плоскости с орициклом АСВ. Пусть ST пересекает
этот орицикл в точке С. Нормаль СТ перпендикулярна к
данной недиаметральной плоскости, ибо лежит
в перпендикулярной плоскости (теоре- А
ма 9. 8). Так как орисферу можно
рассматривать как поверхность вращения
вокруг оси СТ, а данная недиаметральная
плоскость перпендикулярна СТ, то она
пересекает орисферу по окружности.
Переходим теперь к проверке
выполнения некоторых аксиом для орициклов
орисферы.
1. Через всякие две точки орисферы
проходит на этой поверхности один и £
только один орицикл (I постулат
Евклида).
Действительно, пусть А и В — две
точки орисферы и АА'—нормаль в
точке А. Проведём диаметральную плоскость через АА и точку S,
она в сечении с орисферой даст орицикл, проходящий через
точки Л и В. Этот орицикл является единственным, ибо всякая
другая плоскость, проходящая через точки Л и β, не является
диаметральной и пересечёт орисферу не по орициклу, а по
окружности (теорема 10. 4).
2. Дугу орицикла можно неограниченно продолжить в обе
стороны (II постулат Евклида).
Это вытекает из неограниченности и незамкнутости орицикла.
3. Вокруг каждой точки орисферы можно провести
окружность любым орициклическим радиусом (III постулат Евклида).
Это следует из того факта, что орисфера есть поверхность
вращения вокруг любой своей оси (теорема 10. 3).
4. Орициклы на орисфере удовлетворяют аксиоме Паша.
Пусть ABC — криволинейный треугольник, образованный на
орисфере дугами трёх орициклов (черт. 73), и MN — орицикл,
пересекающий дугу АВ во внутренней точке Ρ и не проходящий
ни через одну из вершин Л, В, С. Докажем, что ΜΝ пересечёт
одну из двух других сторон треугольника ABC во внутренней
точке. Проведём плоскость ABC и диаметральную плоскость
через MN, которая пересечёт плоскость ABC по некоторой
прямой. Эта прямая пересечёт сторону АВ плоского прямолинейного
треугольника ABC в некоторой точке Plf лежащей на прямой
115
связки РР'. По аксиоме Паша эта прямая пересечёт одну из
других сторон плоского треугольника в некоторой внутренней
точке Qi. Через точку Q1 проведём ось орисферы, она пересечёт
соответствующую дугу криволинейного треугольника в точке Q,
через которую проходит и орицикл MN.
5. Для орициклов на орисфере
выполняется аксиома Дедекинда
Пусть все точки дуги АВ орицикла
разбиты на два класса в соответствии
с условиями аксиомы Дедекинда.
Приведём во взаимно однозначное соответствие
точки этой дуги с точками стягивающей
хорды АВ, относя каждой точке Μ дуги
АВ точку пересечения оси орицикла,
проходящей через М, с хордой АВ и
обратно. Тогда точки отрезка АВ разобьются
соответственно на два класса Дедекинда и по аксиоме Дедекинда
на хорде АВ существует пограничная между обоими классами
точка С. Соответствующая ей точка D на дуге орицикла также
будет пограничной между обоими классами.
Итак, орициклы играют на орисфере такую же роль, как
прямые на плоскости. Возникает вопрос, какая же аксиома
параллельности осуществляется на орисфере в системе орициклов?
На этот вопрос даёт ответ следующая замечательная теорема.
Теорема 6. Через всякую точку орисферы, лежащую вне
орицикла той оюе орисферы, можно провести только один орицикл,
не пересекающий данного (черт. 74).
Пусть АВ — орицикл на орисфере и С — точка орисферы, не
лежащая на АВ. Проведём через АВ диаметральную плоскость
и через точку С ось орисферы, которая будет
параллельна указанной диаметральной
плоскости по теореме 9. 13. Все орициклы орисферы,
проходящие через точку С, являются
сечениями орисферы диаметральными плоскостями,
проходящими через точку С. Но по теореме
9. 14 через ось СС можно провести лишь одну
плоскость, параллельную диаметральной
плоскости, проходящей через орицикл АВ,
Следовательно, через точку С проходит лишь один
орицикл, не пересекающий АВ,
Таким образом, на орисфере в системе орициклов осущест
вляется аксиома параллельности Плейфера.
Мы видим, что все аксиомы планиметрии Евклида осущест
вляются на орисфере. Это значит, что если в этих
всюду заменим слово «плоскость» словом «орисфера»
«прямая» словом «орицикл», то получим предложения,
ливые для орициклов на орисфере.
Черт. 74,
аксиомах
, а слово
справед-
116
Но если при указанной замене слов все аксиомы евклидовой
планиметрии оказываются справедливыми на орисфере, то на
ней будут справедливы и их логические следствия, т. е. все
теоремы евклидовой планиметрии, если в них сделать ту же
замену слов, и новых доказательств для них не потребуется.
Всё сказанное приводит нас к следующему важнейшему
положению, открытому Лобачевским.
Теорема 10. 5. На орисфере в системе орициклов имеет место
планиметрия Евклида.
Таким образом, мы приходим к замечательному заключению:
отрицая евклидову геометрию на плоскости и заменяя 5-й
постулат Евклида аксиомой о параллельных Лобачевского, мы
в новой геометрии Лобачевского вновь находим осуществление
планиметрии Евклида на орисфере в системе орициклов.
Интересно отметить, что это обстоятельство позволяет
рассматривать планиметрию Евклида, осуществлённую на орисфере,
как логическое следствие геометрии Лобачевского. Поэтому
если мы в качестве исходной предпосылки примем утверждение,
что геометрия Лобачевского не содержит противоречий, то
отсюда непосредственно следует отсутствие противоречий и в
планиметрии Евклида.
Естественно, что для нас было бы важнее доказать обратное,,
что из непротиворечивости геометрии Евклида вытекает
непротиворечивость геометрии Лобачевского. Мы уже отмечали, что
сам Лобачевский упорно искал доказательство
непротиворечивости своей системы. Понятно, что сведение этого вопроса к
непротиворечивости геометрии Евклида явилось бы важнейшим,
аргументом в пользу геометрии Лобачевского. Позже мы
увидим, что такое доказательство непротиворечивости геометрии.
Лобачевского действительно можно провести совершенно строго.
В заключение отметим, что на эквидистантной поверхности
осуществляется вновь планиметрия Лобачевского, если роль
прямых приписать эквидистантам.
Таким образом, если в пространстве Евклида имеет место
евклидова геометрия на плоскости и сферическая геометрия на
сфере, то в пространстве Лобачевского на плоскости
реализуется геометрия Лобачевского, на сфере (в системе больших
кругов)— сферическая геометрия, на орисфере (в системе
орициклов) — евклидова геометрия и на эквидистантной поверхности
(в системе эквидистант) — геометрия Лобачевского.
§11. ТРИГОНОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
Построение обыкновенной тригонометрии в плоскости Евклида основано на
существовании подобных треугольников. Это позволяет ввести
тригонометрические функции, зависящие только от величины угла, но не зависящие от длины
сторон угла. Так как в плоскости Лобачевского подобных фигур не существует,
то в ней обыкновенная тригонометрия не применима.
117
Однако то обстоятельство, что в геометрии Лобачевского на орисфере в
системе предельных линий осуществляется геометрия Евклида, даёт нам
возможность строить обыкновенную тригонометрию на.орисфере. Для этого надо прежде
всего установить на орисфере систему измерения дуг орициклов и углов. Такую
систему можно установить в силу того, что орисфера может перемещаться сама
по себе без деформации (следствие теоремы 10. 3) и что все орициклы
конгруэнтны друг другу (теорема 8. 3) и являются кривыми постоянной кривизны.
Выбрав какой-либо отрезок дуги орицикла в качестве единицы измерения длины,
мы можем путём совмещения и откладывания этой единицы установить систему
измерения длин дуг орициклов на орисфере.
При этом, конечно, придётся опираться на предложение Архимеда для дуг
орицикла, которое может быть строго доказано. С другой стороны, мы можем
длину дуги орицикла находить как предел последовательности периметров
ломаных, вписанных в эту дугу, при условии, что длина наибольшего звена ломаной
стремится к нулю. Существование этого предела может быть строго доказано.
Оба указанных способа измерения длины дуги орицикла могут быть согласованы
между собой так, что будут давать одни и те же численные результаты.
Проведя через точку на орисфере пару орициклических лучей, исходящих
из этой точки, мы назовём полученную фигуру углом на орисфере. Два угла на
орисфере будем считать равными, если можно некоторым перемещением орисферы
по самой себе совместить эти углы между собой так, чтобы совпали вершины и
лучи, образующие эти углы. Назовём равные смежные углы на орисфере
прямыми; тогда все прямые углы, очевидно, будут равны между собой, что
позволяет принять прямой угол на орисфере за основу для установления
единицы измерения углов. Примем в качестве меры прямого угла число
—·, тем самым будет установлена система измерения углов (можно также
установить и градусное измерение углов, если принять за единицу измерения
I
-^тг часть прямого угла).
Очевидно, что угол между касательными в вершине к сторонам прямого угла,
образованного двумя орициклами на орисфере есть линейный прямой угол, ве-
π
личину которого мы также будем считать равной — (или соответственно 90°).
Тогда величина любого угла между орициклами на орисфере будет выражаться
тем же числом, как и линейный угол, образованный касательными в вершине
к сторонам угла на орисфере.
Можно также сказать, что угол между двумя орициклами на орисфере
измеряется тем же числом, что и двугранный угол между диаметральными
плоскостями, проходящими через данные орициклы, ибо этот двугранный угол в свою
очередь измеряется линейным углом между касательными к орициклам в вершине
угла на орисфере, так как эти касательные лежат в указанных диаметральных
плоскостях и перпендикулярны к оси орисферы, по которым эти плоскости
пересекаются.
При таком измерении дуг орициклов и углов на орисфере все теоремы
планиметрии Евклида будут на ней справедливы. В частности, сумма углов
треугольника, образованного тремя орициклами на орисфере, равна двум прямым углам
или π; существуют подобные орициклические треугольники. Поэтому на
орисфере устанавливаются точно такие же определения тригонометрических функций,
как и в плоскости Евклида. Величины этих тригонометрических функций угла
будут совпадать с их величинами, вычисленными для соответствующего линейного
угла, взятого в Евклидовой плоскости.
Попутно отметим, что, несмотря на то что углы в геометрии Евклида и
в геометрии Лобачевского измеряются одинаковым образом, как в градусном
выражении, так и в радианном, однако последний способ измерения в геометрии
Лобачевского иначе связан с длиной окружности, чем в геометрии Евклида, ибо
в геометрии Лобачевского отношение длины окружности к радиусу не является
постоянным и длина окружности не равна 2лт, где τ — радиус окружности.
118
называется высотой
(Заметим также, что вписа шый угол, опирающийся на диаметр, меньше
прямого.) На орисфере же, где в системе орициклов осуществляется планиметрия
Евклида, длина окружности равна 2ns, где s — длина дуги орицикла, являющейся
«радиусом» окружности.
а) Свойства дуг параллельных орициклов
При доказательстве теоремы о существовании секущих равного наклона
к двум прямым плоскости мы убедились, что отрезки на данных прямых,
отсекаемые двумя секущими равного наклона, равны между собой (теорема 7. 3);
отсюда на основании определения орицикла следует:
Теорема 11. 1. Отрезки осей, содержащиеся
между двумя орициклами, имеющими общие оси,
равны между собой.
В силу этого свойства мы будем
называть два орицикла, имеющие общие
оси, параллельными, а общую длину
отрезков осей между ними — расстоянием между
параллельными орициклами.
Пусть АС — дуга орицикла, заключённая
между двумя осями а и Ь, проходящими соответственно
через точки А и С (черт. 75). Опустим из точки А
перпендикуляр АВ на ось Ь. Этот перпендикуляр
дуги орицикла АС.
Теорема 11. 2. Длина дуги орицикла вполне определяется высотой этой дуги*
Действительно, построим прямую а', параллельную к а и b и
расположенною симметрично к а относительно Ь. Продолжение дуги орицикла пересечёт
прямую а' в точке А', симметричной к точке А, т. е. лежащей на продолжении
перпендикуляра АВ так, что АВ=ВА'*). Хорда АА9 вполне определяет длину
дуги орицикла АСА' (см. следствия из теоремы 8.3), следовательно, высота
АВ =——АА' вполне определяет длину дуги орицикла АС.
Теорема 11. 3. Длины дуг параллельных орициклов убывают в сторону
параллельности осей, между которыми заключены дуги.
Это очевидное свойство непосредственно вытекает из теоремы П. 2, из
убывания расстояния между параллельными в сторону их параллельности
(теорема 6. 2) и следствия теоремы 8.. 3.
Теорема 11. 4. Отношение дуг двух параллельных орициклов, заключённых
между двумя осями, не зависит от их длин, а только от расстояния между
орициклами, а именно это отношение рав-
х
но ek , где χ — расстояние, между
параллельными орициклами, к — постоянная
(подразумевается отношение большей дуги κ
меньшей )у е — основание натуральных
логарифмов. Прежде всего докажем, что
отношение дуг двух параллельных орициклов, если
эти дуги заключены между двумя осями, не
зависит от их длин.
Пусть АВ и А'В' такие дуги,
заключённые между осями А А' и ВВ', и дуги тех же орициклов АС и А'С
заключены между осями А А' и СС (черт. 76).
Пусть сперва дуги АВ и АС соизмеримы и общая их мера содержится в
АС т раз, а в дуге АВ — η раз. Через точки деленил проведём общие оси
β рилу симметричности орицикла относительно любой своей оси.
11»
орициклов, тогда дуги Л'В' и Л'С также разделяются соответственно на η
и т равных частей, ибо равным дугам орицикла отвечают равные дуги на
параллельном орицикле (доказательство предоставляется читателю).
Отсюда
;АВ
к^А'В'
>АС
jA'C
= —; следовательно, -
к^АВ
^ А'В'
;АС
;А'С
Если дуги АВ и АС несоизмеримы, то, разделив дугу АС на q равных
частей, отложим такие части на дуге АВ\ пусть таких частей на дуге АВ
содержится ρ (ρ — натуральное число).
Тогда
ρ vjAB p-\-l
После
также
проведения через
q ^jAC q
точки деления осей
орициклов убедимся, что
_Р_
Я
;А'В' р+\
kjA'C
<
Так как q можно взять сколь угодно большим, то из этих неравенств сле-
.дует, что
^>АВ ^>А'В' kjAB kjAC
а значит,
kjAC kjA'C
vA'B'
kjA'C
Из доказанного следует, что отношение дуг двух параллельных орициклов,
заключённых между двумя осями, зависит только от их расстояния. В самом
деле, пусть расстояние χ между дугами АВ и А 'В' равно расстоянию между
другими параллельными дугами ED и E'D\ Наложим фигуру DEE'D' на
полосу ABB'А' так, чтобы отрезок оси DD' совпал с АА'. Тогда в силу
конгруэнтности орициклов и нормальности осей фигура DEE'D' совместится с
некоторой полосой ЛССМ', составляющей часть полосы ABB'A'. На основании
^предыдущего будем иметь
^>АВ ^>АС kjDE
kjA'B'
jA'C
kjD'E'
Таким образом, мы видим, что отношение дуг параллельных орициклов вполне
определяется их расстоянием друг от друга.
X
Докажем теперь, что это отношение равно с . Пусть имеем три
параллельных орицикла и пусть длины их дуг, заключенных между двумя осями, сутья^
s2, s3i причём 51>s2>s3. Обозначим расстояние между первой и второй дугой
через х, а между второй и третьей — через у (черт. 76). Тогда расстояние
между первой и третьей дугой равно х-\-у. Так как отношение дуг зависит от
расстояния между ними. т. е. является функцией этого расстояния, то, обозначив
эту искомую функцию через / (х), получим:
—-/<*>.
s2 s3 s3
Перемножая первые два отношения, получим:
/(*+У)=/(*)-/(У) О)
Функция f(x) по теореме 11. 3 — возрастающая. Покажем, что f(x) есть
показательная функция.
Пусть η — натуральное число. Полагая *—η—1, у=1, из (1) получим
/И=/(/г-1)./(1).
Отсюда рекуррентным путём легко получить, что /(л)*=[/(1)] я. Обозначим /(!) =
«=а>1 (см. теорему 11.3}. Тогда имеем:
— /(У). — = /(*+У).
/(/г) «ал
(2)
120
Пусть теперь х=—, где т — целое положительное число.
т
Тогда
с=/(1) = /[т· ) = /( l· — + ■ · ■+—)='/( — )Г на основании (1).
\ т ] \ т т т J { \ т) J
Следовательно,
т раз
/
(i'p
(3)
flvcTb теперь χ=^—% где η и т — натуральные числа.
т
Тогда
т. е.
η раз
/ι— =°
(4)·
Соотношения (2), (3). (4) убеждают нас, что при χ рациональном f(x)=ax.
Пусть теперь χ—иррациональное положительное число. Тогда, взяв две
последовательности рациональных чисел, сходящиеся к числу х, гп и гп% из которых
первая возрастает, а вторая убывает, так что rn<x<rnt будем иметь в силу
монотонного возрастания функции / (х):
или
аГп</(х)<аГп (*)
/ Г х Г χ
Но при η —► оо будем иметь гл—>х, гп—+х> а потому ап^*а,ап—+а.
В силу неравенств (*) отсюда заключаем, что
/(*)=«*
(5)
Тем самым доказано, что функция f(x) тождественно совпадает при всех
положительных χ с показательной функцией а* .
! L
Так кака=е ι™, то, полагая 1η α=——, т. е. а^ек , получим окончательно
ι Χ
/(*) = ** (6)
Остановим своё внимание на величине к. Полагая в (6) х=ку получим
f(k) = e. Это значит, что к есть длина отрезка,
представляющего расстояние между двумя параллельными
орициклами, отношение соответствующих η ·
дуг которых равно числу е. Отсюда вы- β'^^^ ^^^ С
текает способ построения этого отрезка "
На орицикле возьмём произвольную дугу АВ
(черт. 77) и отложим дугу AC=e-\jAB.
Проводим оси орицикла А А' и ВВ', а через точку С —
эквидистанту, для которой АА' является базой.
Пусть эта эквидистанта пересекает ВВ' в точке D.
Через эту точку проводим орицикл, параллельный
Черт. 77.
121
орициклу АС. Дуга этого орицикла DE, заключённая между осями АА' и ВВ',
равна по длине дуге АС, ибо определяется высотой DF, равной высоте CG
дуги АС (теорема 11.2). Следовательно, ^ED=e-^>AB, откуда BD=AE=
Число к, выражающее длину указанного отрезка, называется постоянной
пространства Лобачевского или по причинам, изложенным дальше,
радиусом кривизны пространства Лобачевского и играет
существенную роль в учении Лобачевского. Это число, конечно, зависит от выбора
единицы измерения длин.
Черт. 78.
б) Соотношения Либмана
Выведем соотношение, связывающее длину дуги орицикла с длиной отрезка
касательной в конце этой дуги, заключённого между точкой касания и осью,
проходящей через другой конец дуги, а также соотношение между длиной дуги
орицикла и длиной её высоты.
Прежде всего рассмотрим одно построение, приводящее нас к некоторой
постоянной дуге орицикла. Возьмём в плоскости Лобачевского две взаимно
перпендикулярные прямые ОА кОВ (черт. 78).
Тогда существует заградительная
прямая А'В', параллельная в
противоположных направлениях обеим сторонам
прямого >гла АОВ (теорема 5. 4).
Опустим из О перпендикуляр ОС на
прямую А'В'. Получим' ^АОС=^ВОС,
как углы параллельности в точке О
относительно прямой А'В', а потому
π η
каждый из них равен—— . Построим
4
теперь дугу орицикла OD, имеющую
В'А' и О А своими осями; отрезок ОС
является высотой этой дуги. Так как
ОС, как отрезок параллельности, соот-
π
ветствующий углу параллельнрсти —,
4
имеет вполне определённую постоянную длину, то и длина дуги орицикла OD по
теореме 11.2 имеет некоторое постоянное значение, которое обозначим через σ.
Вскоре мы убедимся, что σ=Λ (см. стр. 124).
Построим теперь дуги орициклов КЕ и LF, параллельные дуге OD и
заключённые также между осями ОА и В'А', причём точки К и L расположены
на оси ОА по разные стороны от точки О. Обозначим длину дуги КЕ черэз slt
длину дуги LF—через s2. Тогда s2>a>s1 (теорема 11. 3). Проведём в точках
К и L касательные к орициклам, они перпендикулярны к оси О А. Легко
убедиться, что касательная в точке К пересекает А'В*. Действительно, опустим из
К перпендикуляр КМ на А'В'. Так как, очевидно, КМ<ОС, то угол параллель-
я я
ности ^АКМ>—, а потому дополнительный до прямого угла *4МКТ<—,
4 * 4
т. е. меньше угла параллельности в точке К относительно Л'Б', следовательно,
КТ пересечёт А'В'. Аналогично доказывается, что касательная в точке L не
пересекает А'В'. Таким образом, мы приходим к заключению:
Если дуга орицикла s<a, mo касательная β одном конце дуги пересекает
ось, проходящую через другой конец, если же s>o, то не пересекает.
После этих замечаний перейдём к выводу соотношений, о которых
говорилось выше.
Пусть снова АОВ — прямой угол, А'В' — заградительная, τ е. прямая,
параллельная обеим сторонам этого угла, и OD — дуга орицикла, имеющая
длину σ (черт. 79). Возьмём на луче ОВ произвольную точку С и проведём прямую
CL || ОА, которая отсечёт дугу орицикла ОЕ, длину которой обозначим через s;
122
очевидно, что s<o. Отрезок касательной ОС к дуге орицикла обозначим через ^
а отрезок оси СЕ — через /. На прямой CL в противоположном направлении от
С отложим отрезок CK<=>t и проведём KMA.KL. Тогда КМ II ОВ, ибо *$ВСК =
= ^LCO*=n (О» а отрезок CK = t и СК±КМ. Вместе с тем КМ II А'В'
(теорема 3.3). Проведём далее через К дугу орицикла /CN, параллельную дуге ED.
Так как А 'В' параллельна сторонам прямого угла LKM, то длина дуги KN
равна σ. Заметив теперь, что длина дуги ED равна σ — s. а расстояние КЕ
между параллельными дугами KN и ££> равно /+/, по формуле (6) получим:
s —-
(7)
Отложим теперь отрезок OC=t (черт. 80) на продолжении луча ОВ вниз от
О Л и проведём CL \\ О А. На CL отложим отрезок CK^t и проведём KMJjCL.
Тогда /СМ || ОВ || Л 'Б', ибо ^OCK^U(t) и по построению CK = t. Через
точки О и К проводим параллельные орициклы EOD и /(Ν, заключённые
между осями CL и В'Л'. Легко видеть, что длина дуги £OD равна σ-f-s, длина
Черт, 79.
Черт. 80.
дуги KN равна σ, расстояние между дугами EK = t — / (заметим, что всегда
*>/). Поэтому по формуле (6) имеем:
t-f
σ+S
(8)
или
В результате сложения (7) и (8) получим:
2=e~~k[eT+e~T)
} ·*ν
« ch
t
2 ~ /с
Вычитание же соотношения (7) из (8) даёт
2s
(9)
Li *
k
(ek-e *).
т. е.
s=oe k sh-
123
Подставляя сюда (9), получим одно из искомых соотношений
t
S = a th -
■ О)
В этсй формуле s<a. Выведем теперь формулу, связывающую длину дуги
орицикла с её высотой. Пусть дуга орицикла АС, имеющая длину s,
ограничена осями АВ и CD. Проведём высоту дуги СЕ J_ ΒΑ и через
точку Ε проведём дугу орицикла· EF, параллельную дуге АС; длину дуги
EF обозначим через s' (черт. 81). Отрезок СЕ является высотой для дуги s и
касательной для дуги s'. В зависимости от этой роли будем обозначать длину
отрезка СЕ через h или t. Кроме того, полагаем CF=AE=f.
L t
имеем: s=s'ek, но на основании (a) s'*=oth—-, а потому,
Л
лучим:
По формуле (6)
учитывая (9), по-
s=ath—·
к
ch— = o-sh
Но для дуги s отрезок t служит высотой h.
, h
S = a sh— .
-LLP _ k
t_
к '
Поэтому можем записать
(β)
Эта формула справедлива для любых
значений 5. Пользуясь формулой (В), покажем, что
о = к.
При доказательстве мы воспользуемся
предложением, что π ре дел отношения длины
дуги орицикла к длине
стягивающей её хорды при стремлении
последней к нулю равен единице.
(Доказательства этого предложения не приводим.)
Учитывая разложение sh х=х-\- — +~Г~Η 1 справедливое при всех веще-
3! 5!
Черт. 81.
ственных
значениях
Отсюда
χ
имеем
2s=
2s
2/Г
= 2?
/
i
из
(7
1
к
(β):
- +
+-
Л3
3!Л3
Л2
3! Л»""
Л5
5! Л5
/ζ*
5!Л5
■+·
·)·
2s
заик —
Так как на основании вышеуказанного предложения Urn—— = 1,
п-о2Л
постоянные, то при Л—*0 предыдущее равенство в пределе перейдёт в равенство
σ
1 = —» т. е. σ«Λ.
к
Таким образом, постоянную пространства Лобачевского
можно истолковать как длину дуги орицикла, высота
которой есть отрезок параллельности, соответствующий
углу параллельности, равному 45°.
Вместе с тем формулы (а) и (β) можно переписать в следующем виде:
s=*th—(s<k) , . . . (Ιχ)
s=k sh—
к
■(I,)
124
Так как длина окружности на орисфере C*=2ns, где s — длина дуги
орицикла, высота которш есть радиус окружности г, то в силу формулы (12)
получаем формулу для длины окружности:
С=2лЫ1
~лк(ек-е *j .(I,)
в) Выражение функции П(дг) через элементарные функции
Одним из важнейших достижений Лобачевского является нахождение им
выражения чер?з элементарные функции для угла параллельности П(#).
Для вывода этого выражения воспользуемся тем обстоятельством, что на
орисфере осуществляется планиметрия Евклида.
Рассмотрим плоский
прямоугольный треугольник ABC (черт. 82)
с прямым углом в вершине С и
обозначим его катеты через а и Ь,
гипотенузу — через с соответственно
противолежащим углам А, В и
С. Проведём прямую АА'
перпендикулярно к плоскости ABC,
а через вершины В и С проведём
параллельные к АА', прямые ВВ'
и СС. Параллели АА'} ВВ', СС
определяют некоторый трёхгранник.
Построим орисферу, приняв А
за её вершину и АА' за её ось.
Эта орисфера касается плоскости
ЛВС в точке А и пересекает грани
трёхгранника по орициклам АВЪ
АСг и ВгСъ ибо эти грани
являются диаметральными плоскостями
орисферы. Получается
криволинейный треугольник на орисфере ABxClt
образованный дугами орициклов.
Угол А этого криволинейного
треугольника равен углу А
прямолинейного треугольника ABC, так как
стороны Ь и с последнего являются
касательными к орициклам АСХ и
АВг в точке Л. Докажем, что
угол Сх криволинейного
треугольника АВ1С1 —прямой. Для этого
заметим, во-первых, что грань
А'АСС перпендикулярна к
плоскости ABC, так как она проходит
через перпендикуляр А А' к этой плоскости (теорема 9. 5). Во-вторых, сторона а
перпендикулярна к грани А'АСС, ибо а перпендикулярна к стороне Ь,
являющейся пересечением двух перпендикулярных плоскостей ABC κ А'АСС, и в то
же время а лежит в плоскости ABC (теоремы 9. 8). Следовательно, грань В'ВСС,
проходящая через а, перпендикулярна к грани А'АСС (теорема 9.5). Угол
между этими гранями равен углу Сх криволинейного треугольника, а потому
угол Сх — прямой.
Итак, треугольник АВХСХ, образованный орициклами на орисфере,
прямоугольный, и в силу осуществления на орисфере планиметрии Евклида имеем:
Черт. 82.
^АВХ
= sin A
■(«>
125
Проведём орициклы СВ2 и ВС2, параллельные орициклу СхВг, и орицикл
BAlt параллельный орициклу ВгА. Так как расстояния между параллельными
орициклами АА1 = В1В = С1С2, то по теореме 11.4
'ВгСг
^ВС9
^ВАХ
— или
Отсюда на основании равенства (о)
^уВ1С1
^ВгА~
^ ВС9
уВС2
'^ВАг
;ВАХ
-=siny4.
Заметим, что катет а есть высота дуги орицикла ВС2, а гипотенуза с есть
высота дуги орицикла ВАг. Таким образом, отношение дуги орицикла,
имеющей высотой катет прямоугольного треугольника,
к дуге орицикла,
имеющей высотой его гипотенузу,
равно синусу угла, противолежащего
катету.
" Это свойство справедливо для всякого
прямоугольного треугольника в плоскости Лобачевского. Применим
его к частному случаю.
Пусть АВ—отрезок, имеющий длину χ (черт. 83).
Проведём А А' ± А В и В В' \\ АА'. Тогда
<4АВВ' = П(х). Опустим на ВВ' перпендикуляр АС
и через точки А и В проведём дуги параллельных
орициклов AM и BN, заключённые между осями NA'
и ВВ'. Полагаем AN=MB=fx.
Отрезок χ является отрезком касательной к дуге
AM в точке Л, взятым от точки касания до точки
встречи β с осью, проходящей через другой конец
дуги, одновременно он является высотой дуги ΝΒ,
отрезок АС является высотой дуги AM. На основании теоремы 11.4 и форму-
Черт
лы (9) имеем:
;АМ
jNB
1
ch
(?)
С другой стороны, по выведенному выше свойству для прямоугольного
треугольника ABC, для которого АВ=х является гипотенузой, АС катетом,
противолежащим углу В, имеем:
у^АМ
= sin £=είπΠ (χ) (γ)
^>ΝΒ
Из соотношений (β) и (γ) заключаем:
sin Π (*)*=-
1
(Ξ.
к
(10)
ch-
Отсюда, учитывая, что Π (χ)—острый угол, находим
cosri(x)=|/T^
-sin2 Π(*)=-- / 1
к х
-th—
χ . χ к
ch2— ch—
к к
♦ •J-™ wi/'1-~cosn(*)- sinn(*> - L
g 2 U) у l+cosn(x) l+cosn(*) .gjjJL,
X
*+chT
126
Итак,
tg—n{x)=e k (II')
или
χ
n(*) = 2arctg/* (II)
♦ Соотношение (II') или равносильное ему (II) называется основным
уравнением Лобачевского.
Уравнение (II') выведено в предположении, что х>0. Но оно же послужит
нам для определения П(х) при отрицательных значениях х. Именно полагаем,
что при х>0
χ х-
tg — П(—*)=<?*.
2
Тогда на основании (II')
; —Щ-дО-ctg—П(х).
1 π 1
Поэтому можно положить -т~Щ—*)«=-—— ~^~ Π (χ) или П(—х) «=
= π — Π (χ) и функция Π (χ) теперь определена на интервале — оо<#<-1-оо.
Легко убедиться, что дифференциал
ах 1
dYl (х) = — =— — sin Π (x)dx.
, χ к
kch—
к
Выпишем для удобства использования все важнейшие соотношения для функции
Щх):
X
n(*)=2arctg<T* (II)
1
sinn(*) = , (ΙΙΧ)
cosn(*) = th-£- (II2)
tgn(x) — .(II.)
sh—
к
ctgnU)=sh-£- (H4)
Λ
I dx
dU(x)= ——sin Π (*)<**= — (ΙΙδ)
κ χ
kch—
к
Из этих формул ясно, что гиперболические функции играют в геометрии
Лобачевского такую же важную роль, какую играют в геометрии Евклида
тригонометрические функции.
127
Заметим, что длину дуги орицикла и длину окружности, которые
выражены у нас формулами (Ii, 2, 3)> мы можем теперь выразить через функцию Π (χ)
следующим образом:
s-/ccos YlU)(s<k) (Ιχ)
s=kctgYl(h) (Ιο)
C=2π/cctgΠ(r) (Ι3)
г) Решение прямоугольных треугольников
Перейдём теперь к выводу формул тригонометрии Лобачевского,
относящихся к прямоугольным треугольникам. На основании признаков равенства
прямоугольных треугольников в абсолютной геометрии и в силу отсутствия
подобия треугольников в геометрии ЛобачеЕского (теорема 4. 10) заключаем, что
прямоугольный треугольник вполне определяется любыми двумя
элементами из следующих пяти: а, Ь, с, Л, В, где д и Ь — катеты,
с—гипотенуза, А и В— острые углы, противолежащие соответственно катетам а и Ь.
Поэтому искомые формулы должны дать возможность по данным двум
элементам прямоугольного треугольника вычислить остальные три. Каждая из искомых
формул должна содержать 3 элемента, чтобы можно было определить один из
них через остальные два. Следовательно, мы должны получить всего С\ = 10
уравнений, из них любые 3, в своей совокупности содержащие все 5 элементов
треугольника, должны быть независимы, чтобы можно было определить 3
неизвестных элемента в зависимости от данных двух, а остальные 7 уравнений
будут следствиями этих трёх соотношений. В зависимости от выбора двух данных
элементов треугольника псего получим С^ — 10 различных случаев решения
прямоугольных треугольников.
Возвращаясь к криволинейному треугольнику АВ1С1 на орисфере (черт. 82),
имеем ВВх^ВВ2+В2В1ш
Из сравнения с чертежом 83 имеем:
A^BB^fc, BB2=CC2=fa, B^B^CC^fb.
Следовательно, /с=/д-{-/&.
Но тогда
h /a fb
е к =е к .е к #
На основании формулы (10) отсюда имеем:
sinn(c) = sinn(a).sinn(6) (ΙΗι)
Мы получили первое уравнение из искомых; оно представляет собой аналог
теоремы Пифагора, ибо связывает катеты прямоугольного треугольника с
гипотенузой.
Далее, из орициклического треугольника АВгСг на орисфере (черт. 82)
имеем b' **с' cos Л, а на основании формулы (\г) Ь' =& cos Π (b), c' = kLOsr\(c),
поэтому
cosn(6)=cosn(c)-coSi4 (И12)
Аналогично
cosn(a)=cosn(c)-cos£ (Hlg)
Мы получили 3 уравнения: (IIIx), (III2), (IH^k содержащие все 5
элементов прямоугольного треугольника. Эти уравнения независимы, из них
исключением каких-нибудь двух величин можно получить все остальные 7 уравнений.
Исключим а и с. Из (1Н2) и (111^) имеем:
cos Π (b) cos Π (b) (*\
cos Π (с) - У-^- , cos Π (<f)= τ2" *cos В { >
cos A cos Л
123
Возведём (IHi) в квадрат и перейдём к косинусам, это даст после простых
преобразований
cos2 Π (c)=cos2 Π (a)+cos2 Π (b) — cos2 Π (α)·cos2 Π (b).
Подстановка в это равенство соотношений (*) после преобразований приводит к
нужному уравнению
sin4=sinn(&)-cos£ (III3J
и по аналогии
sin£ = sinn(a)-cos А . . . „ (Шз)
Перемножением равенств (1П3) и (III3) на основании (111х) легко
исключаем а и b и получаем ещё одно уравнение
sinn(c) = tgA-tgB (Ш4)
~ , .. . „,, sin Π (с) , cos Π (α)
Определяя из (ПЫ sinn(6)==—п , и из (III0) cos β= ипод-
smTl(a) Δ cos Π (с)
ставляя эти выражения в (1113), получим:
sin^-tgn(c).ctgn(a) (ΙΙΙδ)
Аналогично
sin£=tgn(c).ctgn(6) (ΙΙί5)
Наконец, определяя из (IIIO)cosЛ =—;——— и из (IIIO) cosf[(c)=-
0 tin IT I n\ *·' '
sin Π (α)
cos β
и подставляя в (II12), получим:
cosn(6)-ctgn(a).tg^ (III6)
и по аналогии
cosn(a) = ctgn(6).tgA (Hie)
При помощи формулы (Hi—4) легко все полученные уравнения выразить
через гиперболические функции.
Приведём сводку всех этих уравнений в двух формах:
sinn (c)=sinn(a)-sinn(6)
cosn(&)=cosFl (c)coSi4
cosn(a)=cosn (c)-cos£
sin A = sinI"I(&)-cos£
sin β= sin Π (a)-cos A
sinn(c) = tg A-tgB
sin4 = tgn(c)-ctgn(a)
sin B=tg Π (c).ctg Π (b)
cosYl(b)=ctgU(a)'igB
cosn(a)=ctgn(6)-tg/4
! и с и а и b
ch —= ch — · ch—
к к к
b с
th—«th—-cos Л
к к
а с
th—=th—--cos β
к к
, Ь . л
cos£=ch—- -sin Л
к
а
coSi4=ch—— -sin β
к
с
ch —=ctg Л-ctg В
κ
а с
sh—=sh-— -sin Л
к к
L Ь U C · r,
sh — =sh—-sin β
к к
b a
th—= sh —-AgB
к к
1 th-£-=shJ-.tiM
(IIIi)
(HI,)
(ΐιφ
(HI,)
(in;)
(III4)
(Ш.)
(ΠΙ5)
(in.)
(I He)
129
Относительно полученных формул необходимо сделать несколько замечаний.
Во-первых, все они имеют ту особенность, что длины сторон треугольника
входят в эти формулы не непосредственно, а под знаком тригонометрических
функций от соответствующих углов параллельности или под знаком
гиперболических функций.
Во-вторых, формулы (Ш3), (Шз), (ΠΙ4) не имеют себе аналогов в
тригонометрии Евклида: соотношения
sin Л
sin Π (b)=
cos В
sin Π (α)=
sin В
cos А
smn(c)=tgA:tgB
выражают катеты и гипотенузу прямоугольного треугольника только через его
острые углы. Это значит, что прямоугольные треугольники, имеющие равные
углы, имеют и равные стороны, иначе говоря, указанные соотношения выражают
тот факт, что в геометрии Лобачевского не существует подобных треугольников.
В-третьих, фактические вычисления можно производить по формулам,
выраженным в гиперболических функциях, если известно значение постоянной к.
Черт. 85.
Черт 86.
Можно, например, принять её в качестве единицы измерения отрезков, т. е.
положить &= 1
Наконец, составление этих формул подчиняется правилу, аналогичному
правилу Непера в сферической тригонометрии. Каждый из элементов
прямоугольного треугольника а, Ь, с, А, В имеет два прилежащих элемента (см.
черт. 84) (при этом угол С пропускается), остальные два элемента будут
неприлежащими. Это изображено на схеме чертежа 85. Тогда правило составления
формул прямоугольного треугольника, выраженных в гиперболических
функциях, можно сформулировать следующим образом:
Длины сторон входят под знаками гиперболических
функций, а величины углов—под знаками
тригонометрических. Косинус элемента равен произведению синусов
неприлежащих элементов л и б о к ота н г ен со в пр и л ежа щих,
причём если под знаком функции входит катет, то
функцию надо заменить кофункцией (т. е. синус — косинусоми
обратно, тангенс — котангенсом и обратно).
Для составления же формул, содержащих функции углов параллельности,
следует воспользоваться схемой чертежа 86. Тогда правило таково:
Синус любой из величин, указанных в схеме, равен
произведению тангенсов прилежащих величин либо
косинусов неприлежащихвеличин.
д) Формулы сложения для функции П(х)
Пользуясь формулами (1^—4) и формулами сложения гиперболических
функций, нетрудно получить следующие формулы сложения для функций Щх):
. п/ sinn (x)-sinn(y) (iv \
sinn(jc±y)=- -~ —— ' ^ιν"
1 ± cos Π (л:)-cos Π (у)
130
„ , cos Π (χ) ± cos Π (ν)
cosU(x±y)— ^- -^- (IV.)
,; l±cosn(jc).cosIl(y) v 2/
Отс юда
, „ sin Π (χ)-sin Π (ν)
tgn(*±y)= — KJ-L- (IV.)
* ν /; cos Π (*)± cos Π (y) ι "
j π/ cosn(*)±cosn(y) , „
^"^^..nnuUnW (IV4>
Эти формулы справедливы для всех вещественных значений л: и у.
е) Решение косоугольных треугольников
В случае косоугольного треугольника имеем шесть его элементов a, b,cf
А, В, С. Треугольник определяется любыми тремя из них. Следовательно, всего
имеется С^=20 случаев решения косоугольного треугольника. Для выражения
любого элемента треугольника через 3 данных элемента мы должны иметь
всевозможные уравнения, выражающие связь между
любыми четырьмя элементами из шести,
следовательно, всего уравнений должно быть С\ = 15.
Из этих уравнений любые 3, в своей
совокупности содержащие все 6 элементов, можно считать
независимыми, чтобы можно было определить 3
неизвестных элемента в зависимости от данных трёх.
Пусть имеется косоугольный треугольник
ABC, элементы которого обозначены через а, Ь, чРПт
с, А, В, С. Опустим из вершины С (черт. 87) черт.
высоту CD на сторону АВ. Основание этой
высоты D будет лежать либо внутри отрезка АВ, либо вне его. Пусть имеет место
1-й случай. Получаем два прямоугольных треугольника: BCD и ACD.
Обозначив отрезок AD через d, а высоту CD через h и применяя к треугольникам
BCD и ACD формулы (ΙΙΙδ), получим
sin B=tg Π (α).ctg Π (Λ),
sin^ = tgn (b)-ctgn(h).
Отсюда
igll(a) sin В ctg Π (a) ctg Π (b)
— =—; ИЛИ ~. = .
tg Π (b) sin A sin A sin В
Тот же результат получится и в том случае, если точка D будет лежать
вне отрезка А В."
ctg Π (a) ctgTl(c)
Аналогично получим: ;—-— = ·.
sin Л sin С
ctgll(fl) ctgU(b) ctg Π (с)
Таким образом, мы имеем: —;—-—= = (V,—,)
sin Л sin β sin С * '
Формулы (Vj^—з) представляют собой аналогию теореме синусов
евклидовой геометрии. Они заключают в себе 3 уравнения, из которых
независимы 2.
π ,
Полагая С =» —-, мы получим формулы (Шб)» (Н15). .
Выведем теперь формулы, аналогичные теореме косинусов. Пусть
опять точка D лежит внутри отрезка АВ, тогда углы А и В—острые. По
формуле (IHi) для прямоугольных треугольников BCD и ACD имеем:
sinn(a) = sinn(/z)-sinn (с — d) (α)
sinn(&)-sinn(rt).sinn(d). . . (β)
131
и по формуле (1П2)
cosU(d)^cosU(b)-cosA (,)
Применяя в (а) формулу сложения (1УХ), получим:
. „, . „, sin Π (с).sin Π (d)
' ;1 —cosn(C).cosn(ii)
Учитывая (γ), можем записать
. „, . „, sin Π (с), sin Π (d)
sin Π (α)=sin Π (Λ) -^- — — ·
' 1 — cos Π (с)·cos Π (ft),cos A
Делением на (β) получаем:
sin Π (я) sin Щс)
sin Π (6) 1 —cos Π (с) -cos Π (ft), cos A
Отс ю да
sinn(a)=sinn(^).sinn(c)+sinn(a).cosn(6)-cosn(c).cos A . . . (V4)
Совершенно такой же результат получится, если точка D лежит вне отрезка
АВ. Циклической перестановкой получим ещё две аналогичные формулы:
sinn(^)=sinn(c)-sinn(a)-{-sinn(^).cosn(c).cosn(a)-cosB . . (V5)
sin Π (c) = sin Π (a).sm Π (b) -fsin Π (c)-cos Π (α).cos Π (ft), cos С . . (V6)
В гиперболических функциях формулы (V4—в) можно выразить следующим
образом. Делим обе части уравнения (V4) на sin Π (α) sin Π (ft) sin Π (с), тогда
имеем:
. „, = . „, 7—^г,— — ctg Π (ftbctg Π (c)-cos Л,
sinri(a) sinn(ft)-sinn(c) s w
откуда на основании формул (I Ιχ—4) получаем:
. а . Ь , с , ft с
ch —-=ch—--ch— — sh — -sh—-zosA (V4)
к к к к к
и аналогично после циклической перестановки букв
ft с , а , с , а
ch—-=ch —-.ch-— — sh—--sh—- cos β (Vfi)
к к к к к '
с a ft , a ft
ch— = ch—.ch-— — sh —--sh —- cos С (V6)
к к к к к '
При С=—формула (V6) обращается в формулу (ΙΙΙι). Уравнения (V4—6)
независимы, и из них можно исключением каких-нибудь двух элементов
получить все остальные 12 уравнений. В частности, исключая сторону и
противолежащий ей угол, можно получить уравнения (V^-з).
Формулы (Vi—3) выражают связь двух сторон треугольника с двумя
противолежащими им углами, формулы (V4—в) связывают три стороны и угол.
Установим теперь соотношение, связывающее сторону и три угла. Вычисления будем
вести в гиперболических функциях.
Пусть высота h разбивает угол С на два угла: Сх и С2 (черт. 87), С=
=-Сг+С2. По формулам (1П8) Для прямоугольных треугольников BCD и ACD
имеем:
, с — d . . „ cos В
cosC^ch «sin В, sinC! =
*т
132
d cos Л
cosC2 = ch — «sin Л, sinC,= .
2 к 2 f h
chT
Следовательно,
cosC=cos(C1+C2)=cos C1cosC2 — sin C1slnC2 =
d . c — d . cos A-cos В
= ch—— -ch -—sin A- sin β — (δ)
к к h w
ch2—
A
Но на основании (III!)
, h c — d a h d h
ch—--ch —-=ch —-; ch—-ch—= ch .
к к к к к к
Поэтому (δ) после умножения на ch2— получит вид
К
cosC-ch2—=ch—-ch —sin Л-sin J3--cos/4-cos£ . . . . (δ')
К К К
a b cab
По формуле (V6) ch —-ch—-=ch — -f-sh —-sh — -cosC,
К К К К 1С
а по формуле (1Пб)
и h и h
sh —- , ch —
u а к h к
sh ——= —; , sh-— «= —:——.
к sin В к sin Л
Следовательно, (δ') перепишется так:
~+—:—:—:—7TcosCI sin Л -sin ι
sin Α .«iin R '
h \ с .. .
cosC-ch2 —— =\ ch—-+—;—-—:—— cosC/ sin Л-sin Б — cos Л-cos θ
к ч к smA-smB
. а h f . /г
или, учитывая, что ch2 — — sh2—=1,
Λ Λ
С
cosC=ch— sin A -sin В — cos Л-cos θ
к
или , с cosC-fcos Л-cos β
ch ~~Γ= · л · D ·
к SinA-SlTlB
a b
Аналогичные формулы получим для ch —- и ch —-. Эти формулы остают-
К К
ся справедливыми и для случая, если точка D лежит вне отрезка АВ, Итак,
имеем:
a cos A+cosB-cosC
ch-— = . . (V7)
Λ sin£-sinC
6 С05^+С05С-С05Л
ch —= . _ .— (V8)
k smC-sinA
, с cosC+cos Л-cosZ?
ch—-= . . (V9)
Λ sin Л-sinZ?
Эти формулы показывают, что стороны треугольника определяются его
углами, и вновь выражают то обстоятельство, что в геометрии Лобачевского
133
не существует подобных треугольников. При помощи формулы (II χ) легко
записать формулы (V7—9) через функцию Π (χ).
Наконец, найдём связь между двумя сторонами" и двумя углами
треугольника, если один из этих углов заключён между двумя данными сторонами.
Перепишем (V7) и (V8) в виде
а
coSi4 = ch— sin£-sinC — cosfi-cosC (V7)
к
cos£=ch—— sin C-sin Л—cosC-cos^ (V8)
/v
На основании (V1—3) имеем:
sh-
sin£=-
sini4
(μ)
sh-
k
Подстановка выражений (V8) и (μ) вместо cos В и sin β в (V7) даёт
a k b
cos Л = сп—· sin Л-sin С — ch ---sin Л-sin C-cos C-f-cos Л-cos2 C.
k . a k
sh-
Отсюда
k
sh —
a k b
cos Л-sin2 C=ch—. -sin Л-sinC — ch -—-sin Л-sin C-cosC
k a k
sh-
и после деления на sin Л-sin С
ct
Аналогично получим
k
cth —-sh —=ch—-cosC+ctgA-sinC.
к к к
, baa
cth —- · sh —-= ch —- cos C-fctg £-sin C.
k k k
Всего, таким образом, получим б формул.
Сделаем сводку полученных формул,оставляя лишь по одной формуле
каждой серии.
ctg Π (α) ctg Π (b) ctg Π (с)
sin Л sin В sin С
sin Π (α) = sin Π (b) sin Π (c)+
+sinn(a)-cos Π (b)·cos Π (с) cos A
1 cos A + cos В · cos С
sin Π (α) sin β sin С
^ta ΓΙ (α) cos С
— =. . „— +ctg£-sinC
cos Π (b) sin Π (α) ^ б
sh
sh-
sh-
sin Л sin В sin С
и а и Ь и C
ch —-=cn -—-en — —
k k k
(Vx-a)
ch
■sh-.sh-cosA (v,-,)
cos Л+cos β-cos
η sin В -sin С ( 7_э)
aba
bii - · cth— = ch—cos С +
k k k
+ ctg В - sin С (V10~ie)
134
ж) Связь между гиперболической тригонометрией и сферической
На сферз в пространстве Лобачевского в системе больших кругов сферы
осуществляется сферическая геометрия, причём формулы сферической
тригонометрии в пространстве Лобачевского совершенно не отличаются от
соответствующих формул сферической тригонометрии в пространстве Евклида. Не
останавливаясь на доказательстве этого утверждения, отметим лишь, что указанное
обстоятельство свидетельствует, что сферическая геометрия не зависит от 5-го
постулата Евклида.
Как известно, основные формулы сферической тригонометрии, связывающие
элементы сферического треугольника, на сфере радиуса R имеют следующий еид:
а . b с
sin-— sin-—- sin-—
R R R
—.—Г = ——7Г = —.—— (теор ема синусов),
sin Л sin θ sin C J '
й b с . b . с. л t
cos—=cos —— -cos-—-fsin sin —-cosЛ (тео;ема косинусов),
R R R R R
cos-
a cos Л-{-cos В cos С
R sin£-sinC
a b a
sin -^"-ctg —=cos — cos C-f ctg В -sin C.
R R R
Между тригонометрическими и гиперболическими функциями имеют место
следующие соотношения:
sin ζ = —г sh (/2), cos ζ=ch (iz), tg ζ= — til (/г), ctgζ = / cth (/г),
sh г=—r sin (**)» ch г= cos (iz), th z= —7- tg (iz), cth г= / ctg (iz).
χ ix
Полагая в первых формулах <z=~, а во вторых г=—, получим:
/ft х\
х I , х х , х ± х 1 х, *
sin¥=TshT· C0SlirchT' tg^=TthT·
ctgi-=Tcthf ·' ·. (α)
. ix . . X и ix Х iu ίΧ ι Х iU iX λ t x /оч
*т-мш-. ch-=cos-, th-^tg-.cth-^-ctg^. (β)
Лобачевский обнаружил замечательную связь между формулами
гиперболической и сферической тригонометрии. Именно, если в формулах тригонометрии
Лобачевского всюду вместо а, Ь, с, к подставить ш, bi, ci, R, или, что то же
самое, Есюду вместо к подставить — и воспользоваться соотношениями (β), то
формулы (V) перэйдут соответственно в формулы сферической тригонометрии,
написанные выше. Отсюда следует обратное положение: если в формулах сф»ери-
а Ь с ,
ческой тригонометрии заменить а, Ь, с, R через ——, —г~, ~г> к, или, что то
же самое, заменить R на Λ/, то эти формулы при помощи соотношений (а)
перейдут в формулы гиперболической тригонометрии (V). То же относится и к
формулам для прямоугольного треугольника (III). Поэтому можно сказать,
что формально уравнения гиперболической тригонометрии имеют место на сфере
135
мнимого радиуса R—ki. Напомним, что ещё Ламберт высказывал в своё время
догадку, что гипотеза острого угла «находит применение на мнимой сфере».
Таким образом, мы могли бы формально все уравнения тригонометрии
Лобачевского получить из формул сферической тригонометрии при помощи
подстановки /?= ki. Лобачевский видел в этом факте подтверждение непротиворечивости
своей геометрии.
Заметим ещё следующее. Величина — называется кривизной сферы, по
1 1
аналогии величина = — — называется кривизной
гиперболического пространства, а постоянная к — радиусом кривизны
гиперболического пространства η том смысле, что гиперболическую
плоскость можно формально рассматривать как сферу с кривизной— —. Бо-
к2
лее глубокое обоснование эта терминология находит в дифференциальной
геометрии.
з) Связь геометрии Евклида с геометрией Лобачевского
Нами неоднократно указывалось, что геометрия Евклида является
предельным случаем геометрии Лобачевского при условии, что угол параллельности
π
Π (χ) стремится к —. Из основного уравнения Лобачевского
ri(*)=2arctg£
π
мы видим, что П(*)-> — либо при х-+0, либо при к-+ оо*). Поэтому мы
заранее можем предвидеть, что тригонометрические формулы Лобачевского при
χ -»· 0 или при к -*· оо должны в пределе перейти в соответствующие формулы
тригонометрии Евклида.
Проверим это на нескольких примерах. Для этого напишем разложения
в ряды Маклорена:
χ _х_ χζ хъ χ*η+ι
ShT = T+ 3!Λ3 + 5!Λ5 +'"+ (2/2+1)! Λ2^1 + '"
χ χ2 χ* х2П
к 2! к*' ^ 4! Λ* ^ г (2м)! к2П
я проверим, например, формулы (111х), (Vi—з) и (V4):
cab
ch—- «=ch —— -ch——;
к к к
и а и Ь и С
sh —- sh — sh —-
к к к
sin A sin В sin С
^ а ь. b и с и b и с л
ch — = ch -— -ch—- — sh —-sh ——cosЛ.
к к к к к
*) Смысл предельного перехода при к -> оо будет разъяснён в следующем
пункте и).
136
Подставляя в эти формулы указанные выше разложения, получим:
с2 с*
1 + 4- 4-... =
2! к2 4! Л* т
/ а2 а4* W б2 ^ \
а а3 Ь Ьг с с3
—4- Η —4- Η — + 4-···
к ^ 3! Л3 /с 3! &3 Л 3! Л» ^
sin Л sin Б sin С
о2 а4
14- 4- -I =
2! Л2 4! к*
I b2 Ь* \/ с2 с* \
\ + 2!/с2 + 4!Л* + '"Д1 + 2!&2 + 4!Л4 +""J""
/ft bz \( с с3 \
. -(т-+1^+-)(т+1^-+-)созЛ·
Эти равенства легко преобразуются в следующие:
с* л а*+Ь*+6а2Ь2
с2 4- -1 = а2 + 62 + ■ 4-··
^ 12Λ2 ^ т ^ 12Λ2 ^
a3 ft3 с3
а+!7^+··· 6+^iF+··· C+W+·
sin Л sin В sin С '
а* t9 nt ь*+с*+6Ь2с* — 4bc(b2+c2)cosA
Из этих соотношений в пределе при ft^-oo и постоянных а, Ь, с получим:
с2=а2+Ь2 (теорема Пифагора),
а Ь с
— =—:——« . . (теорема синусов),
sin Л sin В sin С
а2 = Ь2+с2 — 26ссо5Л . . . (теорема косинусов).
К тем же результатам мы придём, если при постоянном к будем
считать а, Ь, с достаточно малыми по сравнению с Λ и отбросим члены выше
второго порядка малости.
Всё сказанное можно сформулировать в ниде следующих двух положений:
Евклидову тригонометрию можно рассматривать как
предельный случай гиперболической при
неограниченном возрастании радиуса кривизны к гиперболического
пространства.
Если в формулах гиперболической тригонометрии
считать а, Ь, с достаточно малыми по сравнению с к и
удержать только члены не выше второго порядка
малости, то получатся формулы евклидовой тригонометрии,
иначе говоря, в достаточно малой части пространства
Лобачевского геоме τ ρ и я Лобачевского с коль угодно мал о
отличается от геометрии Евклида. Можно также сказать, что
геометрия Евклида есть как бы первое приближение к геометрии
Лобачевского в том смысле, что в пространстве Лобачевского в
достаточной малой его области можно вместо формул Лобачевского с достаточной
точностью пользоваться евклидовыми формулами как приближёнными.
137
Приведём по этому вопросу высказывание самого Лобачевского:
«Воображаемая геометрия обнимает употребительную геометрию как частный случай,
к которому переходим, принимая линии бесконечно малыми: так что в этом
отношении употребительная геометрия может быть названа геометрией
дифференциальной» .
и) Абсолютная единица длины.
Геометрия Лобачевского и реальное пространство
Ещё Ламберт обратил внимание на одно из следстрий гипотезы острого
угла — на существование «абсолютной меры длины».
В геометрии Евклида имеет место существенная разница между процессом
измерения углов и процессом измерения отрезков в отношении выбора единицы
измерения. При измерении углов мы можем определить единицу меры чисто
логически на основании аксиом геометрии. Например прямой угол определяется
на основании аксиом как угол, равный своему смежному. В силу этого
определения мы можем указать точное геометрическое построение, в результате
которого получится указанная единица измерения. В качестве такой единицы можно,
например, взять прямой угол или угол в 60° и т. д., построение которых
хорошо известно. Таким образом, для измерения углов нам не нужно иметь
физический «эталон» единицы их измерения, ибо мы всегда можем'построить её
чисто геометрически без всякого задания дополнительных угловых величин.
Не так обстоит дело с выбором единицы измерения отрезков. В геометрии
Евклида не существует такого построения, при помощи которого мы могли бы
получить определённый отрезок без задания других отрезков, которые служили
бы исходными при построении первого. Нет никаких логических оснований
предпочесть какой-либо отрезок в качестве единицы меры, в этом отношении все
отрезки равноправны. Поэтому здесь единица измерения отрезков может быть
установлена только путём задания некоторого «эталона» или «стандарта». Такой
стандартный отрезок нельзя описать аксиоматически, и если он уже выбран, то
требуется обязательно его показать, чтобы дать непосредственное представление
о нём.
Можно сказать, что отличие между процессом измерения углов и отрезков
в геометрии Евклида заключается в том, что, в то время как единицу измерения
углов можно определить математически, единица измерения отрезков
может быть задана только физически выбором соответствующего эталона
—отрезка. Это обстоятельство выражается ещё иначе: говорят, что измерение углов
носит абсолютный характер, а измерение отрезков — относительный.
Принципиально иное положение имеет место в геометрии Лобачевского.
Характерной её особенностью является неразрывная связь между угловыми и
линейными величинами, выражающаяся в том, что каждому углу параллельности
соответствует вполне определённый отрезок параллельности и обратно (см. § 5
настоящей главы). Эта связь, как мы знаем, аналитически выражается уравне-
х
нием а = П(д;) = 2агс tg e k. В силу этой связи в геометрии Лобачевского
не существует подобных треугольников, ибо стороны треугольника вполне
определяются его углами. Но эта же самая связь между угловыми и линейными
величинами приводит к замечательному и своеобразному заключению, что в
геометрии Лобачевского не только измерение углов, но также и измерение отрезков
носит абсолютный характер, что в ней возможно установить абсолютную единицу
меры длины. Абсолютный характер измерения углов здесь автоматически
переносится и на измерение отрезков, поскольку последние полностью определяются
заданием угла.
В силу связи σ = Π (χ) мы можем в качестве единицы длины выбрать вполне
определённый отрезок х, заданный углом параллельности а. Например, мы
можем в качестве такой единицы выбрать тот отрезок, который определяется ра-
π
венством П(*) = —, т. е. отрезок параллельности, соответствующий углу
4
параллельности в 45°. В качестве абсолютной единицы можно также взять сто-
138
рону равностороннего треугольника, все углы которого равны, например, 45°,
или жз длину к дуги орицикла, высота которой есть отрезок параллельности,
соответствующий углу параллельности в 45°. Любой из указанных отрезков
олрзцглягтся точным гзомзгрчческим построением в пространстве Лобачевского
и вполне определяется геометрическими свойствами этого пространства.
Необходимо заметить, что абсолютный характер измерения отрезков служил
сильней л им препятствием к признанию новой геометрии. Это свойство казалось
настолько странным и неправдоподобным, что именно в нём Лежандр видел
сильнейший довод в пользу единственной возможности и непротиворечивости 5-го
постулата Евклида. Даже Гаусса это свойство приводило в смущение, он нахо-
дид, что оно «противится нашему разуму», и долго не мог отделаться от
сомнений и колебаний в вопросе о логической правомерности и истинности новой
геометрии.
Обратимся теперь к величине Λ, фигурирующей в формулах гиперболической
тригонометрии.
Это есть абсолютная константа гиперболического пространства и вполне его
характеризует. Мы можем величине к приписать любое численное значение, но
каждый раз при этом фиксируем совершенно определённую абсолютную единицу
измерения отрезков. Обратно, выбрав единицу длины, мы тем самым
устанавливаем определённое численное значение к. Очевидно, что с увеличением единицы
длины во столько же раз уменьшается значение &, а также численное
выражение длины любого другого отрезка, и обратно. В частности, полагая &=1, мы
тем самым выбираем отрезок к в качестве единицы измерения отрезков.
Но можно подойти к величине к с другой точки зрения. Можно
зафиксировать единицу длины и давать к произвольные положительные значения. Тогда
каждому значению к будет соответствовать своя гиперболическая геометрия.
Таким образом, к является переменным параметром, каждому значению которого
соответствует особое гиперболическое пространство, аналогично тому, как каждое
значение радиуса R сферы характеризует эту сферу.
Иначе говоря, существует бесконечное множество гиперболических
пространств, характеризуемых различными радиусами кривизны к. Чем больше будет к,
тем меньше будет отличаться соответствующее гиперболическое пространство от
пространства Евклида и в пределе при к -»- оо гиперболическое пространство
стреми гея стать евклидовым. Именно в этом смысле нужно понимать результат
предыдущего пункта з), что геометрия Евклида есть предельный случай
геометрии Лобачевского при к -* оо.
Итак, теоретически величина к может иметь любое значение при
фиксированной единице измерения отрезков, и потому существует бесконечное множество
гиперболических пространств. Поэтому, если предположить, что реальное
физическое пространство является гиперболическим, то возникает вопрос, какую
величину имеет к для этого пространства. Этот вопрос, так же как и вообще
вопрос о том, является ли реальное пространство гиперболическим, есть уже не
математическая, а физическая проблема, которая должна решаться эксперимен-'
тально. Мы теперь имеем возможность изложить те соображения, которые по
этому вопросу были высказаны самим Лобачевским, исходившим при этом из
материалистических философских взглядов на геометрические понятия, как
отражения свойств реального пространства в нашем сознании, и считавшим, что
истинность геометрии подлежат опытной проверке *).
Предположим, что реальное пространство является гиперболическим. Тогда
сумма углов треугольника должна быть меньше 180°. Чтобы можно было
заметить отклонение этой суммы от 180°, нужно взять треугольник наибольших
-размеров, какие только доступны нашим измерениям, ибо из повседневного опыта
ясно, что в пределах привычных для нас расстояний во всяком случае невозмож-
*) Приведём собственные слова Лобачевского: «...принятое в обыкновенной
геометрии явно или скрытно предположение, что сумма трёх углов всякого
прямолинейного треугольника постоянна, не есть необходимое следствие наших
понятий о пространстве. Один опыт только может подтвердить истину этого
предположения, например, измерением на самом деле трёх углов прямолинейного
треугольника...» (Пангеометрия).
139
но решить, какая геометрия имеет место. Поэтому Лобачевский прибегает к
данным астрономии и берёт треугольник астрономических размеров.
Вопрос ставится так: каковы должны быть размеры постоянной к для
реального физического пространства, если оно является гиперболическим, чтобы
вычисления по формулам гиперболической геометрии согласовались с
эмпирическими данными астрономии?
Пусть F —орбита Земли и АВ=а — её диаметр (черт. 88). Во время
прохождения Земли через точку А зафиксируем такую звезду S, чтобы угол SAB
был прямым. Когда Земля окажется в диаметрально противоположной точке В
орбиты, измерим угол SB А.
Полагаем -4 SBA=— — 2р. Величина 2р называется годовым параллаксом
звезды S, она находится из наблюдения. Через точку В проведём луч ВС
параллельно AS. Тогда -4Л£С=П (а). Очевидно, что *4АВС> -4 SBA,
следовательно,
Отсюда
ПИ>-7Г-2р.
Ъ-уЩа)>Ц-^--р)--
1-tgp
Htgp
-^-<2tgp(l
т. е. на основании основного уравнения Лобачевского (II)
е k > ——
1+tgp ·
Логарифмируя это неравенство, получим:
-у< ln(l+tgp)-ln(l-tgp).
Так как данные астрономических наблюдений
дают для параллаксов звёзд величину 2р < 1", то
tgP < tgl"< 1, а потому правую часть неравенства
можно разложить в ряд Маклорена по степеням tg р. Π о-
лучим:
|1+—tg2p+—tg*p+...j<
<2tgp(I-Hg*p-Hg*p+..-)= ^g^-tggp-
a
Итак, имеем неравенство -7~<tg2p.
Но так как даже для ближайших звёзд 2р<1", то отсюда мы имеем:
-f-<tgl* или *>-^р-.
Но tg 1/"<0,5·10-δ, а потому
Таким образом, постоянная к должна превосходить диаметр земной орбиты
более чем в 200 000 раз. '
Отсюда делается непосредственно ясным, что наши обычные земные
расстояния должны быть настолько малы в сравнении с величиной к, что результаты
вычислений по формулам евклидовой геометрии практически будут совпадать
с соответствующими результатами, полученными по формулам гиперболической
геометрии. Даже если взять равнобедренный прямоугольный треугольник с.
катетами, равными диаметру земной орбиты, то и для него сумма углов
отличается от 180° меньше, чем на 0",000003, т. е. на величину, неуловимую для точ-
ιΙ40
нейших угломерных инструментов, ибо она находится в пределах их
погрешности. В самом деле, обозначив сумму углов этого треугольника через π—2 δ.
где 2 δ— дефект треугольника, получим для острого угла значение — — δ.
По формуле (III6) имеем:
-я.-?-·
к и а и а
sh — en —
к к
Или
Отсюда
l-tgS_ 1
1+tgi a '
chT
Igft.
сЬт-1_^(т)+1г(т)+^г(т)+-
chT+1 2Пг(т)пг(т)+···
ι — (—)* ι (α V
1 / α \2 +3»4\ ft / + 3-4.5-6 \ ft / + '" —(—Υ
- 41 ft j' j_/m2, 1 μι4.,,, < 4 U/
^2·2\ ft / 2.2-3-4 \ ft /
Отсюда, учитывая, что ft>2· ΙΟ5 · α,
2δ<2ίβδ<^^)2<^.τ^Γο<0^,000003.
2 4· ΙΟ10
«По крайней мере наблюдения астрономические убеждают в том, что все
линии, которые подлежат нашему измерению, даже расстояния между небесными
телами, столь малы в сравнении с линией, принятой в теории за единицу, что
употребительные до сих пор уравнения прямолинейной тригонометрии без
чувствительной погрешности должны быть справедливы» (Н. И Лобачевский,
О началах геометрии).
Таким образом, непосредственные астрономические наблюдения не дают
решающего ответа на вопрос, является ли реальное пространство евклидовым или
гиперболическим.
Для характеристики современного состояния вопроса о соответствии
геометрии Лобачевского свойствам реального пространства приведём слова проф.
Казанского университета А. П. Нордена: «В 1931 году Ф. Шиллинг показал, что
эксперимент Лобачевского, основанный на определении суммы углов треугольника
с вершинами на земле, солнце и неподвижной звезде, не может привести к
решающим результатам и при современной технике наблюдений, если радиус
кривизны превышает 60 световых лет.
Проблема связи геометрии Лобачевского и строения действительного мира
получила совершенно новое освещение в общей теории относительности. Как
известно, эта теория опирается на геометрическую схему
пространственно-временного многообразия, геометрия которого зависит от распределения и движения
тяготеющих масс. Если допустить, что эти массы равномерно заполняют
пространство, то можно прийти к схеме так называемого изотропного мира. В изотропном
мире можно отделить пространственные и временные координаты и поставить
вопрос о кривизне трёхмерного мирового пространства. Чтобы определить знак
и величину этой кривизны нужно учесть значение средней плотности р космиче:
ской материи и отношение α средней скорости внегалактических туманностей к
их расстоянию от наблюдателя. Исходя из современных астрономических данных,
на основе которых можно считать
р= 10—30 г/см* и а= 1,8-10—17 сек-1,
Ш
теория показывает, что кривизна пространства отрицательна, т. е. оно является
пространством Лобачевского, а радиус кривизны к равен 1,8· 109
световых лет.
Сравнение этой величины с приведённой ранее величиной 60 световых лет
показывает, почему непосредственные астрономические наблюдения не могут
решить вопроса о строении космического пространства» (А. П. Η орден, 125 лет
неевклидовой геометрии. Доклад на торжественном заседании Казанского
университета 24 февраля 1951 года*)).
Приведём ещё высказывание академика П. С. Александрова: «Основные
геометрические понятия — точки, прямые и т. п., — конечно, взяты из опыта, но
не непосредственно, а получаются из опытных данных путём абстракции. Поэтому
бессмысленно спрашивать, можно ли «на самом деле» через данную точку к дан*
ной прямой провести одну или две параллельные, так как «на самом деле»,
т. е. в области непосредственных опытных данных, не обработанных
математической абстракцией, не существует точек и прямых в том идеализированном
смысле, в каком их понимает геометрия, а существуют лишь предметы, более или
менее напоминающие точки и прямые. Тем более бессмысленно спрашивать о том,
пересекутся или нет две данные «физические прямые» (т. е., например, 'два
данных световых луча), так как никогда и ни в каком физическом опыте эти
«прямые» не даны во всей их бесконечной протяжённости, а даны лишь большие или
меньшие их отрезки. Поэтому единственно, что мы можем утверждать, оставаясь
на почве опыта, что евклидова геометрия является адэкватной идеализацией
пространственных представлений, полученных в условиях наблюдений явлений,
происходящих на земной ли поверхности или, скажем, в масштабе солнечной
системы, но не выходящих из этих масштабов слишком далеко ни в ту, ни в другую
сторону. Геометрия «мировых областей» средней величины
есть, конечно, евклидова геометрия — в том смысле, что
евклидова геометрия с вполне достаточной точностью
описывает всё то, что мы в этих областях действительно
наблюдаем. Если же выйти за их пределы, то, как
обнаруживается в современной физике, могут
понадобиться системы гораздо более сложные, чем даже и
неевклидова геометрия в том смысле, как её понимал
Лобачевский. Тем более нельзя говорить «о единой»,
неподвижной геометрии, раз навсегда охватывающей всё
разнообразие пространственных соотношений, которые могут
быть отвлечены нашим познанием от окружающего нас
материального мира» (П. С. Александров, Николай Иванович
Лобачевский (Краткий очерк жизни и деятельности). Статья в сборнике
«Н. И. Лобачевский», ГТТИ, 1943).
Итак, на основании данных опыта можно утверждать, что обе геометрии,
и евклидову, и гиперболическую, следует с весьма высокой точностью
приближения считать правильно отражающими свойства физического пространства в
некоторых, достаточно широких границах. За евклидовой геометрией остается лишь
то преимущество, что в применении к пространствам в пределах
непосредственных астрономических наблюдений она проще с точки зрения вычислений и
свойств, чем гиперболическая.
§ 12. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ
ЛОБАЧЕВСКОГО. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИН ДУГ, УГЛОВ И ПЛОЩАДЕЙ
При введении прямоугольных координат на плоскости Лобачевского
возникают существенные различия по сравнению с евклидовой плоскостью в связи
с тем, что в плоскости Лобачевского не существует четырёхугольника с четырь-
*) См. также книгу Ландау Л. Д. и Лифшиц Ε. Μ. «Теория поля», 1941,
стр. 277.
142
чя прямыми углами. Здесь придётся иметь дело с четырёхугольником, имеющим
три прямых угла, т. е. с четырёхугольником Ламберта. Поэтому и начнём с
рассмотрения последнего.
а) Четырёхугольник Ламберта
Обозначим длины сторон четырёхугольника Ламберта ОАСВ с прямыми
углами при вершинах О, А, В и острым углом С (черт. 89) следующим
образом: ОА = х, АС=у, ВС=х',.ОВ'=*у'. Кроме того, пусть ОС=г, *4 АОС=ч,
*4В0С=$. Как известно, х<х', у>у'*). Из прямоугольных
треугольников О АС и ОВС по формулам (II12) имеем:
cos Π (χ)=cos Π (г) cos α =s cos Π (г) sin β (*)
cos Π (у')=cos Π (г) cos β = cos Π (r) sin α (**)
а на основании формул (1П6)
tg*-cosn(y)-tgn(jt), tgP=cosn(*')-ign(y') (***)
Из равенств (*) и (**) следует, что tga =
cos Π (у') 1
cos!l(*) tgji
Подставляя это выражение в равенство (***),
получим:
cosn(*)=cosn(*')sinn(y') \ (la)
cosn(y')=ccsn(y).sinri(A:) J ' * (16)
Формулы (1) выражают связь между
сторонами четырёхугольника Ламберта; зная две из его
сторон, мы по этим формулам можем найти
остальные две.
Из равенств (*) и (**) вытекает соотношение
cos2n(*)+cos2n(y')«cos2II(r) (2)
Выведем ещё формулу для угла С. Диагональю ОС он разбивается на два
угла: γ и δ, С=» /+&. По формулам (Ш2) и (П1б) находим
Черт. 89.
COS")f =
cos Π (у)
sinf=
ctgll(*)
ctgn(r)'
coso=
cos Π (λ/)
cos Π (г) '
sino=
ctg Π (у')
ctg Π (г)'
cos Π (г) '
Следовательно,
cos С=cos (γ+δ)«= cos γ cos δ — sin γ sin5=
cosn(y)»cos Π (λ/) ctgn(.y)-ctgn(y/)
cos2 Π (г) ~~ ctg2 Π (г)
Из формулы (1) легко получить соотношение
cos Π (у') -cos Π (χ) „, χ „,
cosnW-cosn(,^sinn(;c):sinn(y,;-ctgn(,).ctgn(y>).
Следовательно,
cosC=cosn(y)-cosn(*')
1
1
cos2 Π (г) ctg2 Π (r)\
-cos Π (у).cos Π (a·') [sec2 Π (г) — tg2 Π (г)].
Окончательно,
cos C=cos Π (у) cos Π {χ')
(3)
*) См. гл. 1, § 4, лемма Саккери
143
— χ
б) Введение координат
Возьмём на плоскости Лобачевского две взаимно перпендикулярные оси: Ох
и Оу и установим на них положительные направления (черт. 90). Пусть точка
Μ — произвольная точка плоскости, опустим перпендикуляры ΜΝ на Ох и ΜΝ'
на Оу Получим четырёхугольник Ламберта ΟΝΜΝ', в котором полагаем ΟΝ=*χ;
NM=='y ON' = y'\ N'M = x'. Мы можем в качестве координат точки Μ взять
любую из четырёх пар чисел: (х, у), (х, у')> (*'. У) и (*'. У')· Обычно
употребляются первые две системы.
Нетрудно видеть, что между множеством пар чисел (*, у) и множеством
точек плоскости существует взаимно однозначное соответствие. Этого нельзя
сказать относительно пар чисел (х, у'), ибо если каждой точке Μ плоскости
можно поставить в соответствие определённую пару чисел (х, у'), то обратное не
всегда имеет место. Действительно, если при фиксированном χ будем увеличивать
по абсолютной величине число у', то
как легко показать, при достаточно
большом абсолютном значении у'
перпендикуляр в точке Ν' к оси Оу уже
не будет пересекать перпендикуляра в
точке N к оси Ох, ибо эти
перпендикуляры окажутся параллельными или
расходящимися. Для того чтобы пара
чисел (х, у') действительно определяла
точку на плоскости, эти числа должны
удовлетворять некоторому условию,
которое будет скоро указано.
Заметим, что в системе
координат (х, у) координатными линиями
χ=const будут прямые,
перпендикулярные к оси Ох, а координатными линиями
y=const являются эквидистанты с базой Ох, ортогональные к "Рям™ x-const.
R гигтрмр кппппинят (х V') координатными линиями являются прямые
,-it^ * «*■■эта система ко°рдинат не
°РТ^Тм™ выводом уравнения прямой. Если прямая проходит через начало
координат под углом «к оси Ох, то её уравнение легко получить из
треугольника ONM, применяя формулу (Ш6) Для м
прямоугольных треугольников: "
cosn(y)=ctgn(A:)-tga.
Выведем общее уравнение прямой в
нормальном виде. Пусть ρ — длина
перпендикуляра, опущенного из начала на
данную прямую (черт. 91), М —
произвольная точка прямой с координатами
{х, у), ОМ=г — её радиус-вектор, ω —
угол между перпендикуляром ρ и осью
"ΟΧ, α и β — углы, образованные
радиусом-вектором гс ОХ и с р. В
прямоугольном треугольнике OSM имеем по
формуле (Ш2):
cos Π (p)=cos Π (г) cos β=
=COSn (r)-COS(o> — a) =
=cos Π (г)cos α-cos ω+cos Π (r)sin α-sin ω.
На основании равенств (*) и (**) можем записать:
Черт. 91.
cos Π (a:)-cos ω+cos Π (у') sin a>=cos Π (ρ)
(4)
Таково уравнение прямой в нормальном виде. В нём в качестве координат
точки на прямой фигурируют числа (х, у'). Мы видим, что уравнение прямой
144
не выражается линейно через текущие координаты точки этой прямой. Но
структура уравнения (4) наводит на мысль о возможности ввести такие координаты,
относительно которых это уравнение имело бы линейный вид.
Именно, легко видеть, что если мы введём так называемые координаты
Бельтрами (или бельтрамиевы координаты) при помощи равенств
X=cosn(;0 = th-^-, K=cosn(y')=th— (5)
то уравнение (4) получит линейный вид:
X cos ω-f-Υ sin ω = cos Π (ρ) (6)
Бельтрамиевы координаты дают возможность легко установить те
ограничения которые должны быть наложены на пару чисел (х,~ у'), чтобы этой парой
определялась точка на плоскости. Именно на основании равенства (2) имеем
из (5):
X2_j_y2=C0S2 n(*)+cos2 Π (y')=cos2 Π (г) < 1.
Но если предположить, что cos2 Π (г) = 1, то отсюда следовало бы, что
cosn(r)=l, П(г)=0, г=оо, т. е. мы получили бы бесконечно удалённую точку
плоскости (см. стр. 89). Следовательно, для всех конечных точек плоскости
Х2+К2<1 (7)
Отсюда, между прочим, легко усмотреть, что при помощи бельтрамиевых
координат гиперболическая плоскость отображается на круг единичного радиуса
-евклидовой плоскости. Это обстоятельство используется в вопросе об
интерпретациях гиперболической геометрии (см. гл. V, § 7, п. «б»).
Рассматривая теперь общее уравнение первой степени в бельтрамиевых
координатах АХ+ВУ+С=0, можно сказать, что оно представляет прямую, если
только коэффициенты А, В и С удовлетворяют условию А2+В2>С2, "ибо,
обозначая через N нормирующий множитель уравнения, найдём Ni4=cosa>,
N£=sina>, NCc= —cos Π (ρ).
N*(A2+B2)=l, N2C2 = cos2ri(p)<l,
т. е.
А2+В2>С2.
Рассмотрим вопрос о пересечении двух прямых. Пусть две прямые заданы
уравнениями в бельтрамиевых координатах:
ЛхХ+Я^-С^О, A2X+B2Y — C2 = 0 (8)
Введём обозначения для определителей:
I А1В1 |_д I СгВг I д I АгСг |_д
I /12°2 I I и2°2 I I -^г^г I
Решая систему (8), получим при Д^О для координат точки пересечения
значения
Х== Δ' Κ=Δ·
В силу условия (7) заключаем, что если Δ^+Δ2<Δ2» то данные прямые (8),
действительно пересекаются, если же Δ^+Δ2>Δ2, то прямые не пересекаются,
причём можно доказать, что в случае, когда Δ\+&2S= Δ2» прямые параллельны»
а когда Δι+Δ2>Δ2, прямые расходятся. Это можно выразить и в другой форме.
Полагая
можем сказать, что прямые пересекаются, параллельны или расходятся в
зависимости от того, будет ли соответственно δ<0, или 5=0, или δ>0.
145
А В
В частности, если Δ = 0, т. е. ~==~~, то δ > 0? и прямые в этом случае
**2 2
либо совпадают, либо расходятся.
Если в плоскости Лобачевского обычным образом ввести полярные
координаты, то связь бельтрамиевых координат точки с полярными вполне .аналогична
связи декартовых координат с полярными в евклидовой плоскости. В саиом
деле, из чертежа 92 по формулам (*) и (**) имеем:
cos Π (#)=cosn(r)-cos 9,
cos Π (y')=cos Π (r)-sin θ.
Следовательно,
X=cosn(r)-cos0, K=cosn(r)sin0 (9)
У,
/V
ν'
0
(^(Θ
χ
ly^
* /
Μ
4
V
- χ
Черт. 92.
Черт. 93.
Выразим теперь расстояние между двумя точками плоскости в полярных
координатах, а затем в бельтрамиевых. Пусть
МЛги θι), М2(г2, θ,)
две точки плоскости, искомое расстояние между ними обозначим через dt а угол
МгОМ2 обозначим через о>. По формуле косинусов (V4—6) имеем (черт. 93) для
определения d равенство
chT=chi,chi~shT,shi*cos(01"e2)'
.(Ю)
Ибо ω=θ1 — θ2.
Для перехода к бельтрамиевым координатам формулу (10) перепишем при
помощи соотношений (П1_4) в виде
sinn(d) = -
sinn^r^sinTHrg)
1 — cos Π (гг) cos Π (r2) (cos θχ cos 02+sin Θχ sin θ2)'
Так как sin2n(r)=l—Χ2 — К2, то, обозначая бельтрамиевы координаты
точек Λίχ и М2 через (Хи Кх), (Х2, К2), получим:
sinn(^)=-
V
ην
" *2 ~~ ^2
1 ^1^2 ^1^2
(Π)
отсюда нетрудно получить явное выражение для d.
Выведем формулу для вычисления угла между двумя пересекающимися
прямыми (8) в том частном случае, когда обе эти прямые пересекают ось ОХ
(черт. 94) в некоторых точках* М(Х2, О) и N(XZ, О). Обозначив длины сторон
треугольника MNP через a, b χ с, как указано на чертеже, получим для угла γ,
146
образуемого данными прямыми MP и NP по формулам V4—β для косоугольных
треугольников,
sin Π (с) — sin Π (α) · sin Π (b)
* Т~ sin Π (с) -cos Π (a) - cos Π (b)
cos:
Сг
Полагая в уравнениях (8) К = 0, получим Х2=—, Χ3β—"
^1 ^2
Кроме того, Х1=—, К1=--2. По формуле (11) будем иметь для длин
сторон a, b и с:
sin Π (α) =
ΐΛ-χ'ΐΛ-xf-rf Уа\-с\Уь?-ь\-ь\
ι-ад
ΛιΔ—CiAi
sinll (6) =
sinn(c)=
1-ад Λ,Δ-^Δχ
1-ХЛ
^1^2 ^1^2
Отсюда можно получить выражения для cos Π (α) и cos Π (b). Подставляя
все эти результаты в правую часть равенства (*), после преобразования π о л у-
М
чим со8л=———·, где
NtN2
М= (Α, Δ - C^Q (Л2Д — С2 Δι) - (АгАг - СХС2) (Δ2 - Д^ - Ь*),
Νχ= ]^Μ1Δ-^Δ1)2-μ2-^)(Δ2-Δ?-Δ22),
^2 =]/~И2 Δ - С2 Δι)2 - (Л| - С|) (Δ2 - Δ? - Δ|) ·
Раскрывая скобки в числителе этой дроби и группируя члены, получим в
числителе
Μι Δι - Сг Δ) (Л2 Δχ - С2 Δ)+ΜΗ2 - С^) Δ|.
Но легко видеть, что ΛχΔι— C^ = #i Δ2» ^2 Δι — 02Δ = #2Δ2> а
потому числитель преобразуется к виду
147
Аналогичными преобразованиями подкоренные выражения в знаменателе при-
ведём к виду
(Л?+А?-С?)Д!и(д1+В|-С1)д1.
Таким образом, окончательная формула для cos γ будет иметь вид
COSf = -
V a\+b\-c\Y a\+b\-c\
(12)
Можно показать, что эта формула остаётся справедливой и в том случае,
когда одна или обе данные пересекающиеся прямые не пересекают ©си ОХ.
Выведем ещё уравнения окружности, орицикла и эквидистанты в полярных
координатах.
Пусть окружность с центром С, расположенным на оси ΟΥ, касается оси ОХ
в начале. Взяв произвольную точку Μ окружности (черт. 95) с координатами
(ρ, Θ), опустим перпендикуляр CD из С на радиус-вектор ОМ. Тогда OD=DM=*
=-!--. По формуле (1И2) имеем
cos Π (OD)=cos Π (ОС).cos
или cosH (-М-cos Π (#).sin θ.
Полагая cos Π (fl)=C=const, имеем:
(f-)
cos
ni-yUcsine, (C<1) (13)
Пусть теперь орицикл касается оси ОХ в начале, так что ось OY является
нормалью орицикла (черт. 96). Пусть (ρ, Θ) — полярные координаты
произвольной точки орицикла М. Тогда (см. § 8)
-4ЛЮК = п(-|-) или γ-θβπ(|).
Отсюда cosni—Wsinθ.
Полученное уравнение можно записать в виде
-(f)-
С · sinO, (C=l)
.04)
148
Наконец, пусть эквидистанта касается оси ОХ в начале и LT — её база,
ά — высота, Μ — произвольная точка кривой с координатами (ρ, Θ) (черт. 97),
Опустим из точки Μ и из середины D отрезка ОМ перпендикуляры МТ и DS
на базу LT. Так как четырёхугольник OMTL есть четырёхугольник Саккери,
то DSJ^OM. Поэтому ODSL есть четырёхугольник Ламберта с острым углом
LOM. По формуле (3)
cos (LOM)=cos Π (OL).cos Π (OD)t
или sine = cosn(d) · cos Π [ — l
или cosnf — J = secn02) · sin Θ.
Полученное уравнение при помощи обозначения sec Π (d) = C=const можно
записать в виде
Черт. 97.
На основании (13), (14), (15) заключаем, что уравнения окружности
орицикла и эквидистанты имеют один и тот же вид, отличаясь лишь значением
параметра С, причём окружности соответствует С<1, орициклу — С=1, эквидистан-
те — С>1. Орицикл является предельной кривой для остальных двух при С-Л.
ДО
в) Вычисление длин дуг, углов между кривыми и площадей
В заключение рассмотрим, как в геометрии Лобачевского вычисляются длины
дуг кривых, углы между кривыми и площади.
Длиной дуги кривой называется предел последовательности периметров
вписанных в эту дугу ломаных при условии неограниченного увеличения числа
звеньев ломаной и стремления наибольшего из этих звеньев к нулю, в
предположении, что указанный предел
существует.
Пусть плоская кривая (черт. 98)
задана уравнением у«=/ (х) или в
параметрическом виде *==? (/),
y = ty(t), в предположении, что
рассматриваемые функции
дифференцируемы и имеют непрерывные
производные. Пусть А В — звено ломаной,
вписанной в дугу кривой, причём
АС и BD перпендикулярны к ОХ,
ОС^х, СА = у, CD'=&xt BD=
= У+&У, DE=CA=y, AB=d.
AEDC — четырёхугольник Саккери.
Пусть К и L — середины его
оснований CD и ЛЕ, тогда
четырёхугольники ALKC и LEDK оба яв-
Черт. 98. ляются равными друг другу
четырёхугольниками Ламберта.
Обозначим КЬ=у\ ΑΕ=Δχ'.' Найдём
соотношение между Δ χ' и Δ х с точностью до бесконечно малых более
высокого порядка. Применяя первую формулу (1) к четырёхугольнику ELKD,
получим:
|
0
А1
у-
-I
ί
У
: ι
к
У
в
Ε
0
COS
n(V)eCos11 (^-)-sinn(y')·
Для простоты, полагая Λ=1, перепишем это равенство в гиперболических
функциях:
Chy'.th— = th— (а)
2 2 '
Очевидно, что limy' = y. Следовательно, при достаточно малом Δ* в силу не-
Ах-*0
прерывности функции ch у' можно написать
ch y'=chy-f-s,
где ε -»- О при Δ х -*· 0, и соотношение (а) можно переписать в виде
(chy-f-s).th
Δ* ..Δ*'
~~^'= ΪΠ —~—
Отсюда видно, что при Δ х -*· 0 также Δ χ' -*· 0, причём Δ л: и Δ я' бесконечно
малые одного порядка. Пользуясь разложением ihz=z—— ζ3 -f- ···, отсюда
получим:
chy-Δ χ+η = Δ*'
Δ*
Δ*' =
+η.
sin Π (у)
где η — бесконечно малая не ниже 2-го порядка
150
(16)
Обратшся теперь к вычислению d. По формуле (3) и м е е м:
/Δ *'\
coSi4£D«=cosn(y) · cosll 1= — cos ^AEB.
Пользуясь формулой (V4—6)» получим:
chd=ch Δ х' ch Ду-fsh Δ x' sh Δ У cos Π (у).cos Π I 1.
Отсюда при помощи разложений в ряды придём на основании (16) к
равенству
где η2 и η3 — бесконечно малые не ниже 2-го порядка
Составляя теперь интегральную сумму, выражающую периметр вписанной
ломаной, и переходя к пределу, получим для вычисления длины дуги кривой
интеграл
U
!-ί/"
s- \ Л/ *У2+ ^
sin2 Π (у)'
Отсюда дифференциал дуги выражается формулой
dx2
ds2=dy*+ . „, (17)
7 sin2 Π (у) '
или
( JL -±?dx2
ds*=dy*+\ek +е k) — (18>
Пользуясь формулами (*) и (1 а) § 12 и (Нб) § 11 (стр. 143 и 127)
cosn(x)=cosn(r) · cos9, ctg n(y)=ctg ri(r)sin©,
d Π (χ) = — — sin Π (χ) dx,
к
выразим дифференциал дуги в полярных координатах.
Дифференцируя 1-е равенство, получим:
sin2n(*)d*=sin2n(r)cos0 . dr — Л cos П (г) . sin θ d θ
Так как sin Π (χ) · sin Π (у) = sin Π (г), то
sin Π (χ) . sin Π (г)
sin2 Π (*)- . - . ч .
sin Π (у)
Поэтому получим после подстановки в (*):
dx
sin ГЦ*)· -sinn(r) . cos® dr — fcctg Π (r).sin Θ d θ. (α)
sin Π (у)
Дифференцируя 2-е равенство, будем иметь:
dy sin θ dr+ft cos Π (г) - cos Θ - d θ
sin Π (у) sin Π (г)
или
sinn(x)dy=sin0dr-f&cosn(r) · cos θ d θ (β)
151
Возводя (α) и (β) в квадрат и складывая, имеем:
dx2 Ί
= [sin2 Π (г) cos2 θ+sin2 θ]. [dr2+k2 ctg2 Π (r) d θ2].
sin2 Π(*) dy2-f—οπ ,
ν ;L sin2 Π (у)
Но
sin2 Π (r) cos2 θ+sin2 0 = sin2 Π (*),
следовательно,
ds2=dr2-\-k2ctg2n(r)dS2~dr2+k2sh2 — d θ2 (19)
Λ
Эту формулу можно было бы непосредственно вывести, исходя из
формулы (10).
Наконец, приведём без вывода формулу дифференциала дуги в бельтрамие-
вых координатах:
(1 —Y*)dX2+2XYdXdY+(\ — X2)dV2
Пользуясь формулой (19) для вычисления длины окружности, центр которой
помещён в начале, придём к известной уже формуле (13).
В качестве примера возьмём эквидистанту с высотой /г, причём ось ОХ
совместима с базой эквидистанты. Тогда уравнение эквидистанты получит вид у=/г.
Применяя формулу (17), получим S=x-ch — ·
К
Отсюда видно, что длина дуги эквидистанты пропорциональна длине проекции
её на базу.
Переходим к вычислению угла между двумя пересекающимися кривыми. По
определению углом между двумя кривыми называется, как обычно, угол между
касательными к этим кривым в точке их пересечения.
Как и в евклидовой аналитической геометрии, легко убедиться, что
уравнение прямой, проходящей через две точки, в бельтрамиевых координатах имеет
вид
Υ — Υι_ Х — Хл
Υ 2 — Υ1 Х2 — Хг
Пусть теперь дана кривая уравнениями в бельтрамиевых координатах в
параметрическом виде
Χ=φ(/), Κ = ψ(0,
где φ(ί) и ψ (Ζ) — дифференцируемые функции в области их определения. Взяв
на кривой две точки, соответствующие значениям параметра / и ί+Δ/, получим
по формуле (*) уравнение секущей, проходящей через эти точки,
• Κ-ψ(0 = Χ-;Ρ(/)
Δ ψ (Ο Δ?(0
Отсюда в пределе при Δί -*- 0 придём к уравнению касательной в точке,
соответствующей значению параметра /,
Ψ' (/)
dy Y U) dy
или K-y=-f(X-x), ибо-^Ш = ^.
dx φ' (t) dx
Если теперь две кривые пересекаются в некоторой точке (х, у), то для них
будем иметь две касательные:
dy δ у
Υ - у=f (Χ - χ) и Υ - у--^ (X - χ),
αχ οχ
152
5y
где производная, вычисленная для второй кривой.
Воспользуемся теперь формулой (12). Полагая в этой формуле
by
by
получим для угла между кривыми в точке пересечения выражения в бельтра-
миевых координатах:
COSf =
(1 — у2) dxb x-fxy (dxb у+Ъ x^y)+(l-~x2)d уЪу
Y(l —y?)dx2+2xydxdy+(l-~x2)dy2Y(\—y2)b х2+2хуЪ хЬу+([—х2)Ъу2
В прямоугольных координатах #, у мы получили бы:
dxbx+sin2T\(y)dy · by
cosy=
У dx2-f-sin2 Π (у)dy2 V Ь χ2+sin2 Π (у)Ьу2
а в полярных координатах г, θ
dr · br+k2ctg2U(r)dBb9
(21)
(21')
COS")f =
Υ dr2+k2ctg2Tl(r)dQ2 Υ br2+k2ctg2ri(r)b θ2
(21")
О
ΔΧ'
ал
— х
Оставляя строгое рассмотрение вопроса
об определении и измерении площади
многоугольника в геометрии Лобачевского до
главы IV, будем исходить из той идеи,
что в достаточно малых областях
геометрия Лобачевского не отличается от
геометрии Евклида, и выведем формулу для
элемента площади в плоскости Лобачевского.
Рассмотрим четырёхугольник,
сторонами которого являются Δ\х' и Δ У,
соответствующие приращению Δ х (черт. 99).
При достаточно малых размерах можно
считать, ч*го это евклидов прямоугольник,
а потому его площадь на основании
формулы (16) можно считать равной
Δ х · Δ У
Δл:'^ΔУ = "/ .
sin Π (у)
Поэтому элемент площади можно записать в виде
dx · dy
sin Π (у)
Из подобных же соображений легко установить формулу для элемента площади
в полярных координатах
da=k .ctgY\(r)dr -de (23)
Чтобы получить выражение для элемента площади в бельтрамиевых
координатах, используем формулу замены переменных в двойных интегралах, исходя из
формулы (22) и соотношений
X=cosn(jc), K = cosn(y) - sinni*).
Черт. 99.
(22)
153
Пусть σ есть площадь некоторой области G в плоскости Лобачевского. Тогда
по формуле (22) и в силу формулы замены переменных в двойных интегралах
будем иметь
JJ sin Π (у) JJsinn(y)11 JJsinn(y) I Ix|
G Gt Gt
где Gx — область, в которую отображается область G при перехоле к бельтра-
миевым координатам, причём под знаком второго и третьего интегралов χ и у
должны быть выражены как функции X, К из соотношений (*), а якобиан
D(x, у) 1 D(X, Υ) Ι
1=^(^7Г1? где 1^-Щ^1^5Ьзп^ ■sin2n(y)·
Таким образом,
dXdY
к 2JJsin3n
(x)-sin3
i(y)-l
П (У)
ι/1'
]/
— X2 —К2
1_Λ>
Легко видеть, что
sinnU)=Vri —
откуда после подстановки в подинтегральное выражение и преобразований
окончательно получим:
σ=Α2 ГГ <*« .
JJ (1— X2 — К2)3/а
Следовательно, элемент площади в бельтрамиевь'х координатах
Л , dX . dY
do=k* . . .(24)
(1— Χ2 —Κ2)72 ν ;
На основании формул (22), (23), (24)
при помощи двойного интегрирования
можно вычислять площади плоских фигур.
β Вычислим, например, площадь
треугольника. Вначале вычислим площадь
прямоугольного треугольника ABC с пря-
Q мым углом С, поместив начало в верши-
, г не А и направив ось ОХ по катету АС
и С (черт. 100).
Полярное уравнение катета СВ таково:
Черт. 100. cos Π(δ)=α»Π (р) · cos6
(см. (II12), стр. 129).
На основании формулы (23) площадь треугольника ABC выразится так:
4
= k{{cigU(9)dpdQ=k Г rf θ f ctgn (p)dp=-
AABC 0 0
A p A
154
Вычислим значение функции в верхнем пределе.
В данном случае
cos Π(b) p к
cosn(p)= — или th = ;
cos 6 к cos 6
, Ρ COS θ
отсюда en —=
Следовательно
1 \<ίθ =
„ . cose^e
= к2 — ftM =
/;
■*т
*к2 arc sin -
/
b
1 — th2 —
к
x ( b \
— k2A=*k2 arc sin sin Л-ch —Ι — ΛΜ.
il·
Полагая α = arc sin [ sin Л ch -7-), имеем sin α = sin Л · ch —.
Сравнивая этот результате формулой (1П3), видим, что α= — В.
Следовательно,
сА=к2(-^---А--в\ = к2(ъ--А--В-- С) (25)
Таким образом, площадь треугольника ЛВС равна его дефекту,
умноженному на к2.
Разбивая произвольный треугольник высотой на два прямоугольных
треугольника, легко убедимся, что полученный результат остаётся справедливым для
любого треугольника.
Из формулы (25) вытекает парадоксальный, с привычной точки зрения, факт,
что в геометрии Лобачевского площадь треугольника не может быть сколь
угодно велика, ибо, как видно из этой формулы, она не может быть больше π к2,
так как дефект треугольника π —А — В — С < π.
Вычислим, наконец, площадь круга. Возьмём уравнение окружности с
центром в начале координат в полярном виде
9-R,
где R — радиус круга.
Используя формулу (23), п о л у ч им:
R 2к R
σκρ=/Μ cthn(p)dp ( ад=2кк\ sh η~άρ =
о оо
155
Итак,
R
*κρ = 4π*2. sh2 — (26)
Нетрудно убедиться, что при к^оо площадь круга стремится к nR*t т. е.
в пределе формула (26) переходит в формулу площади круга, имеющую место
в евклидовой геометрии.
В заключение отметим следующее обстоятельство, которое впоследствии
будет нами использовано (см. гл. V, § 7, пункт в). Если в формулах (17), (2Г)
и (22) положить
£<*·«-55π^)·,'ί*.Λ-ο.ο(*.Λ-ι.
в формулах (19), (2И) и (23)
£(г, θ)-1, F(ry θ)=0, G(r, 6)=ft«ctg«II(r)
и, наконец, в формулах (20), (21) и (24)
(1_ Х2__у2)2' ' ' (1_Χ2__^2)2»
fe2(l— *2)
G(X, К) = -
(1—*« —К»)*'
то в случае любой из этих координации дифференциал дуги кривой, угол между
кривыми и элемент площади выразятся, как легко проверить, следующими
формулами общего вида:
ds*=E(u, v)du2+2F(u, v)dudv+G(ut v)dv*,
Ε dub u+F (duЬ υ+dvbu)+Gdvbu
cos? =
Ve du*+2F du dv+Gdv* Ve Ь h2+2F5 и Ь υ+G δ у2
dQ=y EG — F*dudv.
Полученные формулы для указанных величин в плоскости Лобачевского
полностью совпадают с известными формулами дифференциальной геометрии
поверхности евклидова пространства в криволинейных координатах.
На этом мы заканчиваем обзор основных фактов геометрии Лобачевского,
§ 13. ЗНАЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО
Исключительная научная смелость и материалистическая
концепция в понимании геометрии, как науки о реальном
физическом пространстве, позволили Лобачевскому порвать с
многовековыми традициями абсолютизации геометрии Евклида и стать на
совершенно новые принципиальные позиции в отношении проблемы
параллельных. В отличие от Саккери, Ламберта и Лежандра
Лобачевский отбросил постулат Евклида и принял противоположную
гипотезу не для того, чтобы привести её к абсурду, как это делали
они, а имея в виду показать, что она приводит к новой
геометрической системе, столь же строгой, как и система Евклида.
Лобачевский тем самым доказал, что 5-й постулат не зависит
от прочих аксиом Евклида, а потому и не
может быть с помощью их доказан.
156
Таким образом, Лобачевский дал решение задачи, которой были
посвящены огромные и тщетные усилия математиков в течение
двух тысяч лет*). Своим открытием он дал исчерпывающее
объяснение безуспешности всех попыток доказать 5-й постулат. Отныне
было твёрдо установлено, что все такие доказательства не могут
привести к цели и заранее обречены на неудачу. Но это значит,
что Лобачевский оправдал Евклида в том, что последний поместил
5-й постулат в числе постулатов геометрии.
Открытие Лобачевского вместе с тем является первым в истории
математики доказательством невозможности некоторого
построения или вывода. Лишь во второй половине XIX в. были найдены
доказательства невозможности произвести при помощи циркуля
и линейки квадратуру круга, трисекцию угла и удвоение куба,
также являющихся задачами, над которыми в течение веков
тщательно бились многие исследователи. Трудно переоценить
значение открытия Лобачевского с этой точки зрения, если представить
себе, сколько оно сэкономило напрасных усилий человеческой
мысли.
Однако значение геометрии Лобачевского не сводится только
к доказательству независимости 5-го постулата и к оправданию
позиции Евклида. Гораздо более важным результатом явилось
доказательство Лобачевским того, что геометрия Евклида
не является единственно возможной, а
только одной из возможных. Этим самым было
ликвидировано прежнее господствующее,
привилегированное положение геометрии
Евклида и было указано её истинное
место, как предельного случая геометрии
Лобачевского. Этот факт был первым в истории геометрии вы
дающимся достижением, ломающим застывшие рамки евклидовой
системы. Ведь как бы ни был велик прогресс в развитии геометрии
от Евклида до Лобачевского, выразившийся в создании аналитиче*
ской, дифференциальной, начертательной и проективной геометрий,
все они вращались в кругу евклидовых представлений о
пространстве и не выходили за их рамки. И лишь Лобачевский созданием
своей геометрии положил начало созданию новых «неевклидовых»
геометрий, характерных для современной математики.
Во избежание неправильных представлений следует
подчеркнуть, что геометрия Лобачевского не отменяет и не опровергает
как ложную геометрию Евклида. Обе они, и геометрия Евклида,
и геометрия Лобачевского, в логическом отношении равноправны
и обе непротиворечивы. Но геометрия Лобачевского является
более общей, почему она и названа своим творцом «пангеомет-
рией», т. е. всеобщей геометрией.
*) Следует заметить, что решение проблемы независимости 5-го
постулата от прочих аксиом Евклида, данное Лобачевским, не было окончательным до
тех пор, пока не была доказана непротиворечивость построенной им геометрии.
Это было сделано уже после смерти Лобачевского (см. гл. V).
157
Этот результат имеет большое философское значение.
Открытием гиперболической геометрии Лобачевский нанёс
сокрушительный удар по идеалистическому учению Канта о пространстве и
создал важнейший аргумент в пользу материализма в борьбе с
идеализмом в математике.
Мы видели, что, по учению Канта, пространство объективно не
существует, а является априорной формой сознания, от рождения
вложенной в разум человека. Доказательство в пользу своего
учения Кант усматривал в очевидности геометрических аксиом,
в невозможности представить себе пространство, обладающее
свойствами, отличными от тех, которые выражены в аксиомах
Евклида.
Если бы, полагал Кант, истины геометрии не коренились в
самом разуме, а были бы почерпнуты из опыта, то они не носили бы
столь очевидного, абсолютно достоверного и необходимого
характера и всегда можно было бы ожидать, что новый опыт мог бы
опровергнуть эти истины, и «суждение, что между двумя точками
возможна лишь одна прямая линия, не было бы необходимым, но
только опыт всякий раз поучал бы нас тому, что это так». Таким
образом, по Канту, евклидова геометрия есть чисто субъективное
построение нашего ума, её истины априорны и не связаны ни с
каким опытом, она единственно возможная
геометрия, поскольку «можно представить себе только одно
единственное пространство».
Созданием своей геометрии Лобачевский доказал полную
несостоятельность учения Канта о пространстве.
В самом деле, поскольку наряду с геометрией Евклида была
открыта новая геометрическая система, сколь же внутренне
непротиворечивая, то говорить о всеобщности, необходимости и
абсолютной достоверности геометрических истин нельзя. Аксиомы
геометрии являются не априорными, внеопытными истинами нашего
разума, а научными гипотезами опытного характера о свойствах
реального пространства, которые нуждаются в проверке практикой,
наблюдениями. Наш разум может предложить несколько
геометрий, логически равноправных и с достаточным приближением
верно отражающих свойства реального пространства, но только
опыт, наблюдения, естествознание могут и должны решить вопрос,
какая геометрия и в каких пределах действительно имеет место
в природе или в каких явлениях природы реализуется та или иная
геометрия. Именно исходя из этих воззрений, Лобачевский считал
возможным искать подтверждение истинности своей геометрии
в смысле соответствия её с реальным пространством. Он полагал,
что постоянная к гиперболической геометрии для реального
пространства может быть установлена только экспериментально, и
пытался это сделать, привлекая данные астрономических
наблюдений. Никакой речи не может быть о пространстве, как об
априорной форме нашего разума, о внеопытном, врождённом характере
и об абсолютной достоверности геометрических аксиом. Геометрия
158
в своих исходных предпосылках такая же опытная наука,
как и любая другая наука.
Созданием своей геометрии Лобачевский показал, что основные
понятия и аксиомы геометрии имеют своим источником наши
ощущения и чувства и являются абстрактным отражением в нашем
сознании свойств объективно существующего пространства. Эги
абстракции могут верно отражать свойства реального
пространства с той или иной степенью точности.
Задача естествознания, физики, астрономии — исследовать,
какая геометрическая система даёт лучшее приближение к
истинным свойствам физического пространства. В этом отношении
взгляды' Лобачевского полностью согласуются с учением
диалектического материализма об абсолютной и относительной истине:
«В мире нет ничего, кроме движущейся материи, — писал
В. И. Ленин,— и движущаяся материя не может двигаться иначе,
как в пространстве и во времени. Человеческие представления о
пространстве и времени относительны, но из этих относительных
представлений складывается абсолютная истина, эти
относительные представления, развиваясь, идут по линии абсолютной истины,
приближаются к ней» (В. И. Л е н и н, Материализм и
эмпириокритицизм).
Идеи Лобачевского играют выдающуюся прогрессивную роль
в борьбе с идеалистическими извращениями в математике, они
ведут к выработке научных, материалистических взглядов на
природу пространства, геометрических аксиом и на отношение
математических истин к объективной реальности.
Идеи Лобачевского послужили источником развития
важнейших идей современной математики. Прежде всего они легли в
основу развития современного учения об основаниях геометрии
и привели к разработке полной системы аксиом геометрии и
современного аксиоматического метода в геометрии, который затем
получил распространение и в других областях математики
(арифметике, алгебре, теории вероятностей, а также в механике). Очень
важным результатом идей Лобачевского явилось развитие новых
«неевклидовых» геометрий, как прямое следствие идеи
Лобачевского о множественности мыслимых геометрий. Математики наряду
с трёхмерным евклидовым пространством и пространством
Лобачевского изучают аффинное, проективное пространство, различные
п-мерные, ρимановы, топологические пространства и т. д., каждое
из которых имеет свою аксиоматику, свою «геометрию».
Современная математика порвала с идеей незыблемости аксиом и.
неизменяемости геометрической системы.
Распространение геометрического языка в самых различных
отделах математики позволило использовать эти абстрактные
геометрические системы и понятие абстрактного математического
пространства для дальнейшего развития современного
математического анализа, теории функций и других разделов математики.
Под абстрактным математическим пространством понимается лю-
159
бое множество объектов безразлично какой природы (это могут
быть векторы, числовые системы, функции, состояния, цвета и т. д.),
между которыми установлены определённые отношения, в той или
иной степени сходные с пространственными отношениями обычного
евклидова пространства. Эта «геометризация» всей математики,
тесно связанная с развитием теоретико-множественной точки
зрения, является характернейшей чертой современного
математического мышления.
«Наблюдая картину развития нашей науки и сравнивая
геометрию Евклида с зерном, пролежавшим в почве в течение двух
тысячелетий, а геометрию Лобачевского с первым мощным побегом,
который дало это зерно, мы должны уподобить современную
геометрию взрослому широко разветвлённому дереву, которое
продолжает расти и развиваться» (А. П. Η ο ρ д е н, 125 лет
неевклидовой геометрии. Сб. «125 лет неевклидовой геометрии
Лобачевского», ГТТИ, 1952, стр. 17).
Все эти вытекающие из идей Лобачевского построения имеют
огромное значение и для современных физических теорий, для
разработки теорий, которые бы полнее выражали свойства реального
пространства в соответствии с данными механики, физики и
астрономии.
Геометрия Лобачевского и его геометрические и физические
взгляды нашли свое непосредственное применение в теории
относительности Эйнштейна и квантовой механике. Без идей
Лобачевского и их развития было бы немыслимо создание современных
научных взглядов на строение физического пространства и
строение материи, современной атомной физики. «Идеи Лобачевского,—
пишет академик В. А. Фок,— глубоко проникли в современную
физику и стали золотым фондом, питающим современную науку...»
«...Всякий новый шаг в развитии теории тяготения Эйнштейна
является вместе с тем новым шагом в развитии идей Лобачевского»
(В. А. Фок, Некоторые применения идей неевклидовой
геометрии Лобачевского в физике, 1950).
Вот сжатая характеристика значения идей ЛобачеЕского: «На
современную геометрию, на теорию познания, на механику,
физику, космологию — на все отрасли философии и точного знания
идеи Лобачевского положили печать, которая не только никогда
не сотрётся, но сохранит основное значение. Лобачевский
принадлежит к числу величайших гениев — творцов современной науки»
(Полное собрание сочинений Н. И. Лобачевского под ред.
В. Ф. Кагана, т. I, Гостехиздат, 1946, стр.- 14).
Лобачевского с полным основанием называют Коперником и
Колумбом геометрии. Так же, как Коперник революционизировал
воззрения людей, в течение тысячелетий считавших, что Земля
неподвижна и является центром вселенной, так и Лобачевский в
корне изменил освящённые веками научные идеи о пространстве, чем
совершил величайший переворот в науке. Более того, можно
сказать, что Лобачевский разрешил более трудную и глубокую задачу,
160
чем Коперник, ибо «легче было двинуть Землю, чем уменьшить
сумму углов в треугольнике, свести параллели к схождению и
раздвинуть перпендикуляры прямой на расхождение» (В. Ф. К а г а н,
Празднование Казанским университетом столетия неевклидовой
геометрии Н. И. Лобачевского, Казань, 1927).
Творчество Лобачевского имеет особое значение для русской
науки.
Лобачевский был первым после Ломоносова крупнейшим
русским учёным. Но если Ломоносов был «отцом русской науки», то
Лобачевский был выразителем начала её самостоятельного
развития и зрелости; если до Лобачевского после Эйлера русская
математика значительно отставала от общего мирового развития,
то непреходящей заслугой Лобачевского перед русской наукой
является то, что он своим творчеством сразу вывел русскую
математику на передовые мировые позиции. Лобачевский своим
творчеством предуказал пути дальнейшего развития нашей науки и дал
образец высокой идейности, прогрессивности и
материалистического подхода к проблеме в научном исследовании*).
Геометрия Лобачевского явилась одним из крупнейших
вкладов русской научной мысли в мировую науку, оказавшим на
последнюю сильнейшее влияние.
Советская математика продолжает глубоко и всесторонне
развивать идеи, заложенные Лобачевским. В развитии современной
геометрии первостепенную роль играют работы выдающихся
советских геометров: В. Ф. Каган, С. П. Финикова, А. Н.
Колмогорова, П. С. Александрова, П. К. Рашевского, А. Д. Александрова,
А. П. Нордена, В. В. Вагнера и других.
Характеристика значения творчества ЛобачеЕского для
русской культуры была бы недостаточно полной, если бы мы не
указали ещё на одну сторону его деятельности, сыгравшую особую
роль в развитии русской науки, культуры и народного
просвещения. Мы имеем в виду его административную и
общественно-педагогическую деятельность. Трудно дать характеристику и оценку
этой деятельности Лобачевского в более ярких словах, чем
следующие слова академика П. С. Александрова.
«Лобачевский принадлежит не только мировой и русской
науке, он принадлежит и русской культуре, и русскому
просвещению в самом широком смысле слова. Памятником его кипучей
деятельности, как одного из крупнейших организаторов нашей
высшей школы, является Казанский университет, сами камни
которого, кажется, говорят о Лобачевском. Лобачевский по существу
создал этот университет, ректором которого он был целых девят-
*) Кроме работ по геометрии, Лобачевский написал ряд работ по алгебре
и анализу. Из крупных его достижений следует указать на открытый им способ
приближённого решения алгебраических уравнений, который несправедливо
приписывался Греффе. Лобачевский первый указал на необходимость отличать
непрерывность от дифференцируемости функции. Он первый дал современное
определение понятия функции, основанное на понятии соответствия.
161
надцать лет (в благодарность за это правительство Николая I
уволило его без прошения от должности ректора)... Как ректор, он
в совершенно невиданном объёме входил во все нужды
университета, начиная от строительства университетских зданий,
значительная часть которых выстроена по проектам, составленным либо
самим Лобачевским, либо при ближайшем его участии, и кончая
деятельными заботами чуть ли не персонально о каждом студенте.
Лобачевский собственноручно приводил в порядок библиотеку,
музеи и лаборатории, принимал героические меры по борьбе со
вспыхнувшей в Казани холерной эпидемией... словом, понимал
свои обязанности ректора в самом широком смысле слова.
Лобачевский был не только одним из величайших математиков всех
времён, но и одной из самых ярких и многогранно одарённых
личностей, какие знает история русской культуры» (П. С.
Александров, Н. И. Лобачевский, «Успехи математических наук»,
т. I, вып. I, 1946).
Нельзя также не упомянуть о деятельности Лобачевского в
области школьного образования. Будучи, как ректор Казанского
университета и попечитель Казанского учебного округа,
непосредственно связанным с деятельностью школы, Лобачевский в своих
указаниях, письмах и наставлениях учителям оставил
значительное педагогическое наследство, проникнутое прогрессивными
материалистическими идеями, демократическим духом.
Педагогические взгляды Лобачевского, его учебники по геометрии и алгебре
сыграли положительную роль в развитии передовой русской
педагогики. Важнейшие из его педагогических идей не потеряли своей
значимости и актуальности и для советской школы.
ГЛАВА III
АКСИОМАТИКА ГИЛЬБЕРТА
§ 1. ОТ ЛОБАЧЕВСКОГО ДО ГИЛЬБЕРТА
Идеи Лобачевского намного опередили общее состояние науки
и при его жизни не были поняты и оценены современниками. Лишь
один Гаусс, ознакомившись с работами Лобачевского, восторженно
отозвался о них в переписке с друзьями, но открыто высказать своё
мнение не решился.
Но уже через десятилетие после смерти Лобачевского его
открытие привлекло всеобщее внимание математических кругов и
послужило могучим стимулом к коренному пересмотру взглядов на
основания геометрии.
Эго объясняется тем, что к этому времени самим развитием
математики была подготовлена почва к правильному восприятию и
пониманию идей Лобачевского и к их дальнейшему углублению
и развитию.
Развитие математики в первой половине XIX столетия
ознаменовалось под влиянием работ Гаусса, Коши и Абеля глубоким
критическим пересмотром основ математического анализа,
стремлением к коренной перестройке анализа на началах строго
арифметического его обоснования. XVI—XVIII столетия были эпохой
создания и бурного развития аналитической геометрии и мощных
методов дифференциального и интегрального исчисления, ζ
также их приложений к геометрии, механике, астрономии, физике.
Однако такие важнейшие понятия анализа, как число, функция,
бесконечно малая, дифференциал, предел, производная, интеграл,
сходимость ряда и др., носили в то время весьма туманный,
противоречивый, расплывчатый и даже мистический характер.
Поэтому методы математического анализа возбуждали
недоверие и приводили к частым нападкам на математику и спорам по
поводу возникавших парадоксов, неясностей и нелепостей.
Необходимо было заняться критическим исследованием
важнейших понятий, дать им строгий, рациональный вид, освободить
их от всякого тумана и мистики. Перед математикой встали
вопросы обоснования иррациональных, комплексных чисел,
обоснования понятий функции, предела, непрерывности, сходимости
163
и т. Д. на основе понятия числа; встала задача строгой арифметиза-
ции анализа. Было на первый план выдвинуто требование
совершенной строгости математических работ, требование точных
определений, тщательно разработанных доказательств,
основанных не на расплывчатой наглядности, очевидности и аналогиях,
а на точных логических умозаключениях, с необходимостью
вытекающих из немногих предпосылок. Математическому анализу был
придан характер строго дедуктивной науки, основанной на
понятии числа и его важнейших свойствах. Идеи Коши получили
в XIX столетии полное развитие в работах Дедекинда, Римана,
Вейерштрасса, Кантора и других, в результате чего
математический анализ получил современный облик, характерной чертой
которого является безукоризненная точность и строгость
рассуждений.
В эту работу по критическому пересмотру основ анализа внёс, как
известно, вклад и Лобачевский. Мы имеем в виду предвосхищение
им современного определения понятия функции на основе понятия
соответствия числовых множеств, различение им понятий
непрерывности и дифференцируемости функции и данный им первый
подход к формулировке аксиом непрерывности.
Эта тенденция критического пересмотра основ и строгости
изложения не могла не коснуться и геометрии, тем более, что и
в этой области в перЕОЙ половине XIX в., помимо открытия
Лобачевским неевклидовой геометрии, произошли очень важные сдвиги,
которые к середине столетия подвели к пониманию и дальнейшему
развитию идей Лобачевского.
Здесь прежде всего следует указать на создание французским
математиком Понселе (1788—1867) новой геометрической
дисциплины — проективной геометрии. В процессе её развития
выяснилось, что по существу её содержание составляют так называемые
проективные свойства геометрических фигур, т. е. такие свойства
взаимного расположения точек, прямых и плоскостей, которые
совершенно не связаны с понятием меры. Это привело к
необходимости разграничения геометрических аксиом, лежащих в основе
Йроективных свойств фигур, и аксиом, на которых базируются
метрические свойства. Ряд вопросов проективной геометрии
непосредственно выдвигал необходимость логического обоснования
понятия непрерывности в геометрии. Далее, введение несобственных
элементов и связанный с этим .известный принцип двойственности
проективной геометрии, поразительный в том отношении, что одни
и те же теоремы одинаково справедливы для столь различных
образов, как точка и плоскость (или точка и прямая), выдвигали
вопрос о возможности различного истолкования основных
геометрических понятий.
Другим важнейшим элементом, подготовившим возможность
углубления идей Лобачевского, явилось развитие новых
плодотворных методов и теорий в области дифференциальной геометрии
в исследованиях Гаусса и Римана.
164
Гаусс после Эйлера и Монжа внёс в дифференциальную
геометрию обобщения большой важности. В своём мемуаре «Общие
исследования о кривых поверхностях» (1827 г.) в связи с работами по
геодезии Гаусс глубоко развил теорию поверхностей. Гауссом была
создана общая теория квадратичных форм поверхности и
проведено глубокое изучение так называемой внутренней геометрии
поверхности. Внутренней геометрией поверхности называется
совокупность свойств поверхности, не изменяющихся при её
изгибании, т. е. при деформациях поверхности без растяжения и
разрывов, при которых сохраняются длины всех линий на поверхности.
Можно сказать, что внутренняя геометрия — это совокупность
таких свойств поверхности, которые могут быть установлены
измерениями на самой поверхности без выхода в окружающее
пространство. При изгибании поверхностей не меняются не только
длины, но также углы между линиями и площади соответствующих
кусковТюверхности. Гаусс ввёл понятие полной кривизны
поверхности, доказал её инвариантность при изгибании, развил теорию
геодезических линий и доказал знаменитую теорему о сумме углов
геодезического треугольника: «На поверхности постоянной
полной кривизны К сумма углов треугольника, образованного
геодезическими линиями, равна π, если К = О, больше π при К^>0 и
меньше π при К<СР».
В 1840 г. профессор Дерптского (ныне Тартуского) университета
Миндинг опубликовал свои исследования о поверхностях
постоянной гауссовой кривизны. Он доказал, что поверхности с
одинаковой постоянной гауссовой кривизной налагаются друг на друга,
и указал все поверхности вращения постоянной отрицательной
кривизны, в том числе псевдосферу.
Все эти результаты подготовили понимание и всеобщее
признание идей Лобачевского. В то же время сама геометрия
Лобачевского выдвинула ряд важнейших проблем в области учения об
аксиомах геометрии. Во-первых, геометрия Лобачевского,
явившись первым доказательством независимости аксиомы
параллельных от прочих аксиом Евклида, выдвинула общий вопрос об
исследовании независимости аксиом геометрии.
Вместе с тем выяснилось, что этот вопрос упирается в неполноту
системы аксиом «Начал» Евклида, выяснилась необходимость
разработки перечня всех необходимых и достаточных предпосылок
геометрии. Наконец, возникли две тесно связанные проблемы,
порождённые тем обстоятельством, что сам Лобачевский не довёл до
конца исследование о непротиворечивости своей
системы и о реальном её осуществлении.
При этом следует отметить, что Лобачевский созданием своей
геометрии не только поставил эти проблемы в области
обоснования геометрии, но и предуказал пути для их решения.
Своими идеями Лобачевский оказал' огромное влияние на
исследования западноевропейских математиков второй половины
XIX столетия, определив направления и тематику многих выдаю-
Ш»
щихся работ этого периода, приведших к развитию современного
аксиоматического метода в математике и созданию новых
«неевклидовых» геометрий.
В 1854 г. Риман в своей диссертации «О гипотезах, лежащих
в основаниях геометрии» дал глубокое и богатое по содержанию
обобщение идей Гаусса и Лобачевского. Эта работа была
опубликована лишь в 1868 г. после смерти Римана. В этой работе он
впервые дал построение п-мерного аналитического пространства,
связал вопрос о движении с вопросом о постоянстве кривизны
пространства, дал образец взаимного проникновения и органического
слияния геометрии и анализа. Как один из частных результатов,
Риманом была получена так называемая эллиптическая геометрия,
отличная от геометрий Евклида и Лобачевского, в которой через
точку, лежащую вне прямой, не проходит ни одной параллельной
к этой прямой и все прямые замкнуты. Развитие идей Лобачевского
Риманом приблизило создание тензорного исчисления и явилось
этапом, подготовившим впоследствии почву для создания теории
относительности.
Выдающимся результатом, который произвёл на математиков
особенно большое впечатление, было
дифференциально-геометрическое исследование итальянского математика Бельтрами (1835—
1900) «Опыт истолкования неевклидовой геометрии» (1868 г.).
Использовав результаты Миндинга, Бельтрами в этой работе
показал, что планиметрия Лобачевского при некоторых
ограничениях получает своё осуществление, как внутренняя геометрия
поверхностей постоянной отрицательной кривизны
(псевдосферические поверхности) в системе геодезических линий. Таким образом,
планиметрия Лобачевского с этого времени перестала быть
«воображаемой», гипотетической, ибо в пределах пространства
Евклида были обнаружены объекты, реализующие все соотношения
геометрии Лобачевского. Вместе с тем открытие Бельтрами
содержало важную идею о возможности различных интерпретаций
геометрической системы*).
В 1869 г. известный немецкий математик Феликс Клейн,
основываясь на работах в области проективной геометрии, дал другую
интерпретацию геометрии Лобачевского, в которой планиметрия
Лобачевского реализуется в системе прямых внутри «абсолюта»,
представляющего собой круг или эллипс.
В 1872 г. тот же Клейн в знаменитой «Эрлангенской программе»
связал вопрос об основаниях геометрии с теорией непрерывных
групп преобразований, выдвинув плодотворную идею о том, что
каждая геометрическая система является наукой об инвариантах
некоторой группы преобразований пространства.
В начале 80-х годов французский математик А. Пуанкаре нашёл
новую интерпретацию геометрии Лобачевского, связанную с гео-
*) Заметим, что по существу эта идея содержится уже у Лобачевского,
давшего истолкование, евклидовой планиметрии на орисфере в системе орициклов.
1К
метрией кругов и сфер, дав аналогичные интерпретации геометрии
Евклида и эллиптической геометрии.
Во всех этих исследованиях, как в фокусе, сошлись идеи
геометрии Лобачевского, дифференциальной геометрии, проективной
геометрии и теории групп. К этому же времени Дедекиндом, Вей-
ерштрассом и Кантором был разработан вопрос о непрерывности,
который был, наконец, поставлен на строго логическую основу.
В начале 80-х годов начинаются интенсивнее поиски в области
построения полной системы аксиом геометрии. Уже Клейн в
«Эрлангенской программе» подчеркнул важное значение
исследований о независимости каждой аксиомы от других аксиом.
Первым крупным шагом в этом направлении явились работы
немецкого математика Паша, который в 1882 г. в «Лекциях по
новой геометрии» дал первую строгую разработку так называемых
аксиом расположения или порядка, связанных с употреблением
понятий «между», «внутри» и т. п., он же дал системы аксиом
конгруэнтности, приняв понятие конгруэнтности за первоначальное.
Далее следует указать на работы итальянского математика
Пеано и его школы (1889 г.). Для этой школы характерно введение
логического символизма при разработке системы аксиом. Важной
заслугой этой школы явилось её особенное внимание к разработке
вопросов о полноте, независимости и совместимости системы аксиом
и первоначальных понятий.
В 1891 г. итальянский математик Веронезе в сочинении
«Основания геометрии» пытается дать обоснование всей математики, в
том числе и геометрии, при помощи построенной им арифметики
трансфинитных чисел.
Вся эта настойчивая и углублённая работа над созданием
прочного логического фундамента геометрии получила, наконец, своё
наиболее цолное завершение в вышедшей в 1899 г. знаменитой
работе выдающегося немецкого математика Давида Гильберта (1862—
1943) — «Основания геометрии».
Являясь известным завершением идей Лобачевского в области
исследований взаимной независимости аксиом геометрии, книга
Гильберта содержит важнейшие идеи по аксиоматическому
обоснованию геометрии, явившиеся исходным пунктом дальнейших
изысканий как в области геометрии, так и в области других
математических наук.
Работа Гильберта в основном разрешила вопрос о построении
полной аксиоматики геометрии. В ней изложена первая полная
система аксиом геометрии Евклида, подвергавшаяся в дальнейшем
уточнениям, дополнениям и сокращениям*).
*) «Основания геометрии» Гильберта выдержали несколько изданий, в
которые им вносились дополнения и улучшения. Имеется русский перевод с пятого
издания под редакцией проф. А." В. Васильева, здесь приложен также
исторический очерк А. В. Васильева сОт Евклида до Гильберта» и отзыв Пуанкаре
о работах Гильберта.
Последнее (седьмое) издание книги Гильберта вышло в 1930 г. и содержит
167
§ 2. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА АКСИОМАТИКИ ГИЛЬБЕРТА
Имеется принципиальная разница в постановке вопроса об
аксиоматическом обосновании геометрии у Гильберта от той
постановки, которая имела место до него.
Евклид в своих «Началах» наметил идеал строго логического
изложения геометрии, хотя и не смог до конца выполнить свой
замысел. Согласно этому замыслу необходимо строго отделить ми~
нимум того, что должно быть заимствовано и абстрагировано из
опыта и геометрической интуиции и с полной ясностью и
отчётливостью высказано в аксиомах, от того, что должно быть
выведено из аксиом исключительно логическим путём без всяких
обращений к очевидности и опыту. Весь длительный путь развития
геометрии от Евклида до Гильберта показывает, насколько было
трудно осуществить эту задачу. Трудность её таилась в трудности
преодоления влияния очевидности, наглядных представлений на
логический процесс при выяснении необходимых и достаточных
первоначальных предпосылок геометрии.
Наше пространственное воображение, наглядные
представления и конкретное понимание геометрических понятий являются
весьма ценным и необходимым спутником нгшэго мышления. Они
в логическом процессе играют наводя дую роль и служат как бы
предварительной ориентировке в изучаемых язлениях. Они дают
возможность охватить эти явления в целом и наметить тот путь, по
которому следует направить логические рассуждения для
окончательного доказательства истины и проверки фактов, добытых
при помощи наблюдения и опыта.
Короче говоря, «созерцание намечает, логика проверяет;
созерцание предуказывает, логика устанавливает; ссзэрцание
открывает, логика доказывает» (В. Ф. Kara н).
Одна логика не может нам объяснить, почему мы в качестве
аксиом выбираем то или иное предложение, почему мы выбираем
для изучения то или иное понятие. Первостепенную роль при
выборе аксиом и геометрических понятий играют опыт, индукция,
наглядные представления, чертёж. Они играют большую роль
также в нахождении самого пути логического доказательства,
в построении той цепи умозаключений и аргументов, которые
обосновывают доказываемое предложение. Одна логика не может
ряд улучшений. Перевод на русский язык этого издания под редакцией
П. К. Рашевского выпущен Физматгизом в 1948 г.
Отметим, что независимо от Гильберта и в другой форме разработал
полную систему аксиом геометрии крупный учёный проф. Вениамин Фёдорович
Каган (1869—1953). В своём двухтомном сочинении «Основания геометрии»
(Одесса, т. I, 1905, т. II, 1907) проф. В. Ф. Каган не только дал полную
систему аксиом, отличную от гильбертовой, но и полное построение геометрии
Евклида с доказательствами всех теорем, в то время как в книге Гильберта
доказательства теорем большей частью опущены. Второй том содержит
замечательный исторический очерк развития учения об основаниях геометрии^
В. Ф. Каган посвятил всю свою научную деятельность популяризации,
распространению и развитию идей творца неевклидовой геометрии Н. И. Лобачевского.
1W
объяснить, почему при доказательстве избираются эти построения
и преобразования, а не другие. Здесь мы имеем широкое поле
действия геометрической интуиции, наглядности, догадки*).
. Однако наряду с этой незаменимой и полезной ролью для
логического построения геометрии, наглядны? конкретные
представления о Геометрических объектах таят в себе определённые
опасности и трудности.
Во-первых, если наши геометрические понятия о точке, прямой
и т. д. неразрывно связаны с определёнными конкретными
наглядными представлениями, то это ведёт к потере общности
и к сужению поля применимости геометрических истин и
логических рассуждений, ибо создаётся впечатление, что эти истины
и рассуждения справедливы только по отношению к тем объектам
реального мира, которые отражаются в наших наглядных
представлениях, хотя, возможно, они имеют силу и в отношении
объектов другой природы. Таким образом, из-за деревьев мы не видим
леса.
Во-вторых, при строго логическом построении геометрии в
геометрических понятиях и аксиомах должны найти своё выражение
лишь те свойства и отношения объектов реального мира, которые
являются существенными для логических рассуждений. Только
эти существенные признаки и должны быть отмечены в аксиомах
и определениях. Все остальные признаки и стороны этих объектов
должны быть оставлены в стороне, какие играющие никакой роли
в рассуждениях и не имеющие значения для дедукции. Мы должны
от них отвлечься. Между тем если наши геометрические понятия
срастаются с обычными их наглядными конкретными
представлениями, то указанные существенные свойства сливаются в нашем
представлении со многими другими несущественными для
логических выводов свойствами. Эго чрезвычайно затрудняет выделение
существенных для дедукцчи признаков и установление их
логических зависимостей. Вместе с тем чрезвычайно затрудняется
выделение минимума исходных предпосылок геометрии и проверка
их на непротиворечивость, независимость и полноту.
Поэтому, если мы ставим перед собой задачу составить полный
перечень аксиом геометрии, а также разработать принципы
проверки их на непротиворечивость и независимость и сохранить
общность геометрических истин, мы прежде всего должны
позаботиться о максимальном устранении влияния наглядных
представлений на наши рассуждения. Мы должны отвлечься от всего
несущественного и безразличного для логического построения
геометрии, добиваясь наибольшей общности и применимости
получаемых выводов к изучению объектов реального мира.
*) Воспитание живого пространственного воображения, способности к
непосредственному схватыванию скрытых свойств фигуры и к удачной догадке
при поисках доказательства является одним из важнейших элементов преподавания
геометрии. Не заглушать эту способность, а умело сочетать ее с воспитанием
логического мышления и потребности в доказательствах—такова задача педагога.
169
И вот Гильберт установил совершенно новую точку зрения на
основные понятия и аксиомы геометрии.
Если до Гильберта под аксиомами геометрии понимались
совершенно конкретные познавательные истины, относящиеся к
вполне определённым конкретным объектам — точкам, прямым,
плоскостям и т. д., которые связаны с вполне определёнными
пространственными представлениями, то для Гильберта основные
понятия геометрии (а следовательно, и производные) не связываются
ни с какими конкретными объектами, они вводятся без прямых
определений и всё, что о них необходимо знать, излагается
в аксиомах. Аксиомы Гильберта являются в
этом смысле косвенными определениями
основных понятий. #
Гильберт, начиная изложение своих «Оснований геометрии»,
предполагает существование трёх различных систем вещей,
природа которых безразлична: «вещи первой системы мы называем
точками и обозначаем их Л, β, С,...; вещи второй системы
называем прямыми и обозначаем их а, 6, с,...; вещи третьей
системы мы называем плоскостями и обозначаем их а,
β, γ, ...; точки называются также элементами линейной
геометрии, точки и прямые называются элементами
плоской гео мет ρ и и и, наконец, точки, прямые и
плоскости называются элементами пространственной
геометрии или элементами пространства».
Далее, предполагается, что «точки, прямые, плоскости
находятся в некоторых взаимных отношениях, и обозначаем эти
отношения словами «лежат», «между», «параллельный», «конгруэнтный»
и «непрерывный»; точное и для математических целей полное
описание этих отношений даётся аксиомами геометрии».
Таким образом, в системе Гильберта основные понятия и
аксиомы представляют собой дальнейший процесс абстракции от вещей
реального мира, они становятся абстрактными формами с
переменным содержанием. Теперь уже слова «точка», «прямая», «плоскость»
и т. д. обозначают не обязательно те объекты, которые под этими
словами привыкли понимать обычно, а могут обозначать объекты
любой другой природы, лишь бы отношения между ними «лежит»,
«между», «конгруэнтный», также понимаемые определённым
образом, удовлетворяли той же системе аксиом. Эго значит, что мы
теперь абстрагируемся от качественной природы геометрических
объектов, для нас важно лишь, чтобы структура отношений между
ними была такова, что для них выполняются все аксиомы
Гильберта. Но раз для различных систем объектов будут справедливы
эти аксиомы, то и все логические следствия из них, т. е. все теоремы
геометрии, остаются справедливыми, независимо от природы
рассматриваемых объектов, т. е. отпадает необходимость повторять
доказательства теорем для каждой системы объектов.
Это приводит нас к возможности различных истолкований
одной и той же геометрии. Удаляя из геометрии всё, что связано с
170
обычными пространственными представлениями, и оставляя лишь
её логический скелет, мы получаем возможность заполнять его
различным конкретным материалом.
«Пространственное представление играет чрезвычайно большую
роль при самом построении аксиоматики. Оно определяет, что
должно быть охвачено системой аксиом, и указывает путь, на
котором могут быть получены новые результаты, новые абстрактные
формулировки.
Однако в готовой уже системе ссылки на ту или иную
конкретную интерпретацию не должны иметь место. Пространственное
представление можно сравнить в этом отношении с лесами,
необходимыми при постройке аксиоматического здания, но которые
убираются, когда оно закончено» (Р. Б а л ь д у с, Неевклидова
геометрия, ГТТИ, 1933).
Обычное понимание геометрических элементов и отношений
между ними является лишь одним из таких возможных истолкований.
Так, например, аксиома «Через всякие две точки проходит одна
и только одна прямая» может быть истолкована обычным образом.
Но мы можем придать ей другой смысл, понимая под «точками»
пары вещественных чисел (х, у), под «прямой» — уравнение ах +
+ by +с=0, а под термином «прямая проходит через точку» —
тот факт, что числа х, у удовлетворяют указанному уравнению.
Можно также под «точками» понимать обычные прямые,
проходящие через данную точку О, а под «прямой» — плоскость,
проходящую через две такие прямые, и опять указанная аксиома в этом
новом истолковании остаётся справедливой.
Другим примером может служить выполнение всех аксиом
евклидовой планиметрии на орисфере в системе орициклов.
Понимая поД «плоскостью» орисферу, под «прямой» — орицикл на
орисфере, под «точкой» — точку на орисфере, мы получаем новое
истолкование всех аксиом Евклида.
Этот процесс совершенно аналогичен процессу абстрагирования
в алгебре, когда, например, под символом а + b сперва
понимается лишь обычное сложение двух конкретных чисел, а затем
сложение любых чисел, а затем под а, Ь и + понимаются объекты и
отношения другой природы, как; например, сложение векторов,
матриц, тензоров и т. д.
Однако не нужно думать, что при таком абстрактном
понимании геометрия теряет реальную почву. Наоборот, возможность
различных реализаций, разнообразных конкретных истолкований
геометрии расширяет область её приложений.
Если раньше геометрия развивалась применительно к объектам
конкретной области, то теперь, когда в аксиомах не сообщается,
о каких объектах идёт речь и каков конкретный смысл отношений,
в которых эти объекты выступают, мы в геометрии изучаем
свойства количественных отношений и пространственных форм во всей
их общности. Оказалось, таким образом, что хотя геометрия была
изобретена и развита с той целью, чтобы изучить свойства физи-
171
ческого пространства, но её истины имеют, однако, более общее
значение и остаются в силе и для многих объектов, которые
качественно отличны от объектов, связанных с обычными нашими
геометрическими представлениями.
Огромная степень абстракции не уменьшает, а неизмеримо
умножает возможности применения геометрии к изучению
закономерностей реального мира. «Мышление, восходя от конкретного
к абстрактному, не отходит,— если оно правильное, от истины,
а подходит к ней... Все научные (правильные, серьезные, не
вздорные) абстракции отражают природу глубже, вернее, полнее»
(В. И. Л е н и н).
Таковы общие замечания по вопросу о понимании сущности
основных понятий и аксиом в системе Гильберта, которые читатель
должен иметь постоянно в виду.
С указанной точки зрения понятно, что, строго говоря, при
построении геометрической абстрактно-логической системы
чертежи и обычные пространственные представления являются лишь
вспомогательными средствами; они облегчают находить путь
логических рассуждений и позволяют проверить правильность
логического вывода на конкретном материале.
Изучение аксиоматики Гильберта необходимо связать с двумя
важнейшими задачами. Во-первых, читатель должен получить
ясное представление о строго научном построении геометрии на
точно очерченной аксиоматической базе; во-вторых·, будущий
педагог должен в результате этого изучения получить отчётливое
понимание того, насколько школьный курс геометрии отличается
от строго логического изложения геометрии. Он увидит, что целый
ряд предложений, которые со всей тщательностью, до тонких
деталей доказываются при строго логическом изложении, в
школьном преподавании принимаются без доказательства просто как
само собой разумеющиеся. Таковы, к примеру, предложения о том,
что точка делит прямую на два луча, что прямая делит плоскость
на две полуплоскости, что прямая содержит бесконечное множество
точек, что простой многоугольник делит плоскость на внутреннюю
и внешнюю области, что внутренний луч, выходящий из вершины
треугольника, пересекает противоположную сторону
треугольника и т. д. Знать это различие чрезвычайно важно для учителя.
Школьный курс геометрии по необходимости приспособляется к
возрастным особенностям учащихся, к требованиям практики
и психологии, а поэтому не может совпадать со строго логическим
курсом. Но знание строго научной трактовки вопросов геометрии
предостережёт педагога от ряда ошибок и слепого следования
учебнику; учитель будет понимать, где даётся мнимое
доказательство, а где действительно дан строгий вывод, где даётся простое
описание, а где настоящее определение; он не будет видеть полного
доказательства там, где имеется неизбежный пробел, и будет
открыто и сознательно, а не слепо допускать в случае необходимости
такие отступления.
J 72
Аксиомы Гильберта делятся на 5 групп:
Группа I. Аксиомы связи (соединения, сочетания) (8аксиом).
Группа II. Аксиомы порядка или расположения (4 аксиомы).
Группа III.'Аксиомы конгруэнтности (5 аксиом).
Группа IV. Аксиома непрерывности (1 аксиома).
Группа V. Аксиома параллельности (1 аксиома).
Всего 19 аксиом. Заметим, что в отношении порядка и
содержания аксиом групп IV и V мы допускаем некоторые отступления
от изложения у Гильберта *).
§ 3. ГРУППА I. АКСИОМЫ СОЕДИНЕНИЯ
Как уже говорилось, у Гильберта основными элементами
геометрии являются неопределяемые понятия «точка», «прямая»,
«плоскость». Между этими элементами в первой группе аксиом
устанавливается некоторое отношение, выражаемое
неопределяемым понятием «лежать н а», связывающим точку и прямую,
а также точку и плоскость. Так, мы говорим: «Точка лежит на
прямой или на плоскости». Но то же отношение выражается словами:
«прямая проходит через точку» или «плоскость проходит через
точку». Для единообразия терминологии вводится единый термин
«принадлежности» или «инцидентности». Мы
говорим: «Точка и прямая принадлежат друг другу или инцидентны
друг другу». При этом никакого конкретного смысла в понятие
«принадлежности» или «инцидентности» мы не вкладываем, это
может быть любое отношение между элементами геометрии, лишь
бы оно удовлетворяло аксиомам первой группы. Аксиомы
соединения представляют собой косвенное определение понятия
инцидентности.
. Мы всё же наряду с этими терминами будем употреблять
привычные выражения, связанные с обычными наглядными
представлениями: «точка лежит на пря лой», «прямая проходит через точку»
и т. Д. Будем также говорить: «на прямой а существует точка Л».
Если точка Л принадлежит прямой а и прямой Ь, то мы также
будем говорить: «Прямые а и Ь имеют общую точку Л» или
«Прямые а и Ь пересекаются в точке Л». Если прямая а принадлежит
двум точкам Л и β, то мы будем говорить: «Прямая проходит
через точки Л и β или соединяет точки Л и β».
Формулируем теперь аксиомы первой группы.
1Х. Для любых двух точек Л ийсу шествует
прямая, принадлежащая каждой из них.
(В обычной терминологии: через любые две точки Л и β
проходит прямая.)
12. Существует не более одной прямой,
принадлежащей каждой из двух данных
точек Л и β.
*) Мы не рекомендуем заучивать аксиомы Гильберта наизусть. Их усвоение
и запоминание придёг само собой в процессе изучения доказательств теорем.
173
Если аксиома Ιι утверждает, что через две точки проходит не
менее одной прямой, то аксиома 1г утверждает, что через две точки
проходит не более одной прямой. Отсюда непосредственно следует
теорема: «Через любые две точки проходит одна и только одна
прямая, т. е. прямая вполне определяется двумя точками». Эту прямую
можно обозначать через АВ или В А.
I з. На каждой прямой существуют ρ о
крайней мере две точки. Существуют по
меньшей мере три точки, не
принадлежащие одной прямой.
Аксиомы Ιχ-з устанавливают связь между понятиями «точка»
и «прямая». Следующие аксиомы выражают связи между этими
понятиями и понятием «плоскость».
14. Для любых трёх точек Л, β, С, не
принадлежащих одной прямой, существует
плоскость, принадлежащая каждой из этих
точек; каждой плоскости принадлежит по
меньшей мере одна точка.·
15. Каковы бы ни были три точки Л,β, С, не
принадлежащие одной прямой,
существует не более одной плоскости,
принадлежащей каждой из трёх точек Л, β, С.
Из аксиом 14 и 15 непосредственно вытекает предложение:
Теорема. «Через всякие три точки А, В, С, не лежащие на
одной прямой, проходит одна и только одна плоскость». Эту
плоскость можно обозначить через ABC.
16. Если две точки Л иВ прямой а
принадлежат плоскости а, то и каждая точка
прямой а принадлежит плоскости а.
Определение. Относительно прямой а, каждая точка которой
принадлежит плоскости а, будем говорить, что «прямая а
принадлежит плоскости а» или что «прямая а лежит на плоскости а» или
что «плоскость а проходит через прямую а».
Таким образом, понятие «принадлежности» в отношении прямой
и плоскости является определяемым понятием.
17. Если две плоскости α и β имеют общую
точку Л,то они имеют по меньшей мере ещё
одну общую точку β.
18. Существуют по меньшей мере четыре
точки, не принадлежащие одной плоскости.
Аксиомы 1х__з называются плоскостными, аксиомы
14_8 — пространственными.
Обратим внимание на то, что аксиомы первой группы
обеспечивают существование на прямой лишь двух точек, существование
трёх точек, не лежащих на одной прямой, и существование лишь
одной точки, лежащей на плоскости. Таким образом, пока наши
прямые и плоскости чрезвычайно бедны точками. Если бы мы
исходили из наглядных представлений, то мы неизбежно включили
174
бы в аксиомы требование существования на прямой и плоскости
бесконечного всюду плотного множества точек. Теперь же,
поскольку это требование отсутствует, существование бесконечного
множества точек на прямой должно быть строго доказано.
\ Заметим ещё, что аксиомы 1х_2 соответствуют первому
постулату Евклида. Аксиом, соответствующих остальным аксиомам
первой группы, у Евклида нет.
Следствия аксиом соединения
Рассмотрим теперь несколько теорем, которые могут быть
доказаны с помощью лишь одних аксиом первой группы.
Теорема 3. 1. Две прямые не могут иметь более одной общей
точки.
Доказательство:
Предположим, что две различные прямые а и Ъ имеют две общие
точки А и β. Но по аксиоме Ь существует не более одной прямой,
проходящей через точки А и В. Следовательно, прямые а и Ъ
совпадают, что противоречит условию. Таким образом, две прямые
а и Ь либо вовсе не имеют общих точек, либо имеют только одну
общую точку.
Теорема 3. 2. Две плоскости или не имеют ни одной общей
точки, или имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки
этих двух плоскостей.
Доказательство:
Пусть две различные плоскости α и β имеют общую точку Л.
Тогда у них существует по меньшей мере ещё одна общая точка В
(аксиома 17). Точки А и В определяют единственную прямую,
проходящую через эти точки (аксиомы Ιι—2). Эта прямая АВ
принадлежит каждой из плоскостей α и β (аксиома 16). Никаких других
общих точек плоскости α и β не имеют, ибо если предположить
противное, т. е. что существует общая точка С плоскостей α и β, не
лежащая на прямой АВ, то в силу аксиом Ι 4_δ существовала бы
лишь одна плоскость ABC, проходящая через точки А, В, С, а
потому плоскости α и β должны совпасть, что противоречит условию.
Теорема 3. 3. Плоскость и не лежащая на ней прямая не
могут иметь более одной общей точки.
Доказательство:
Если предположить, что прямая а, не лежащая в плоскости а,
имеете ней две общие точки А и В, то по аксиоме 16 каждая точка
прямой а должна лежать в плоскости а, т. е. прямая а лежит
в плоскости а, что противоречит условию.
Теорема 3.4. Через прямую и не лежащую на ней точку
проходит одна и только одна плоскость.
175
Доказательство: /
Пусть дана прямая α и не лежащая на ней точка Л. На прямой
а существуют по меньшей мере две точки В и С (аксиома 13). Точкр
Л, β и С не лежат на одной прямой. /
В самом деле, если допустить противное, то проходящая через
них прямая должна совпасть с прямой а, так как в силу аксиом
11_2 существует лишь единственная прямая а, проходящая через
точки В и С. Но в таком случае прямая а проходит через точку Д,
что противоречит условию. Итак, точки А, В и С не лежат на
одной прямой, а потому через них проходит единственная плоскость α
(аксиома 14 и 15). Плоскость а, проходя через точки β и С прямой
а, проходит через прямую а (аксиома 16). Итак, плоскость α
проходит через прямую а и точку А.
Теорема 3.5. Через две прямые, имеющие общую точку,
проходит одна и только одна плоскость.
Доказательство:
Пусть а и Ь — две прямые с общей точкой С. На прямой Ь
существует пп меньшей мере ещё одна точка β, отличная от С
(аксиома 1з). Точка В не лежит на прямой а, ибо в противнем случае
прямые а и 6, имея общие точки β и С, совпадали бы в силу
аксиом 12_2. На основании теоремы 3.4 через прямую а и точку В
проходит одна и только одна плоскость а. Эга плоскость проходит
через точки С и β, а следовательно, и через прямую Ь (аксиома 16).
По аксиоме 14 на каждой плоскости существует по меньшей мере
одна точка; теперь мы можем доказать существование на плоскости
трёх точек.
Теорема 3.6. На каждой плоскости существуют по меньшей мере
три точки, не лежащие на одной прямой.
Доказательство:
Пусть дана плоскость а. По аксиоме 14 на плоскости существует
точка А. По аксиоме 13 существуют три точки А, В и С, не лежащие
на одной прямой. Если точки β и С лежат на плоскости се, то
теорема доказана. Если С не лежит, а В лежит на плоскости а, то
найдена вторая точка β, лежащая на плоскости а. Если ни β, ни С
не лежат на плоскости а, то три точки Л, β и С, не лежащие на
одной прямой, принадлежат одной и только одной плоскости β
(аксиомы 14-5)· Плоскость β, имея с плоскостью α общую точку Л,
имеет с ней ещё одну общую точку D (аксиома 17). Остаётся
доказать существование ещё одной точки на плоскости а.
По аксиоме 18 существует точка М, не лежащая в плоскости β.
Точки Л, В и Μ не лежат на одной прямой, ибо прямая АВ
лежит в плоскости β (аксиома 16), а точка Μ не лежит в этой
плоскости. Если точка Μ лежит на плоскости а, то теорема доказана.
Если точка Μ не лежит на плоскости а, то через три точки Л,
β и М, не лежащие на одной прямой, проходит единственная
плоскость γ (аксиомы 14_5), имеющая с плоскостью α одну общую
176
точку Л. По аксиоме 17 плоскости α и γ имеют ещё одну общую
т(\чку F. Три точки Л, D и F плоскости α не лежат на одной
прямей. Действительно, если бы Л, D и F принадлежали бы одной
прямой, то, проходя через точки Л и D плоскости β, эта прямая
по аксиоме 16 лежала бы в плоскости β, а проходя через точки А
и Д она принадлежала бы плоскости γ, τ. е. эта прямая была бы
общей прямой плоскостей β и γ. Кроме того, точка 5, не лежащая
на £той прямой (ибо она не лежит в плоскости а), также является
оби|ей точкой плоскостей β и γ. По теореме 3. 4 плоскости β и γ
должны совпасть и, следовательно, точка Μ должна лежать в
плоскости β. Полученное противоречие и доказывает, что точки
Л, D и F не лежат на одной прямой.
Как впоследствии будет доказано (см. гл. V, § 5), при помощи
одних лишь аксиом соединения нельзя доказать существование
бесконечного множества точек у прямой или плоскости. Но если
мы воспользуемся аксиомами следующей группы, аксиомами
порядка, то это окажется возможным.
§ 4. ГРУППА II. АКСИОМЫ ПОРЯДКА
В аксиомах второй группы описываются основные свойства
неопределяемого понятия «лежать между», выражающего
некоторое отношение трёх точек, лежащих на одной
прямой. Напоминаем ещё раз, что никакого конкретного
содержания и наглядного представления мы с термином «лежать
между» не связываем.
Нр Если точка В лежит между точкойЛ
и точкой С, то Л,β,С — различные точки одной
прямой и В лежит также между С и Л.
Заметим, что в этой аксиоме фигурируют три точки прямой,
однако их существование не постулируется, а даётся условно («если...»).
В следующей аксиоме прямая обогащается ещё одной точкой.
ΙΙ2. Ε с л и А и В — две точки, то на прямой АВ
всегда существует по меньшей мере одна
такая точка С, что В лежит между Ли С.
113. Из трёх точек прямой не более одной
точки лежит между двумя другими.
Эга аксиома означает, что для трёх точек А, В, С прямой не
может быть одновременно, чтобы В лежала между Л и С, Л
лежала между В и С и С лежала между Л и В. Может иметь
место не более одного из указанных положений. Однако будет ли
обязательно иметь место одно из них, об этом в аксиоме не
говорится и будет впоследствии доказано.
Заметим, что аксиома И3 означает незамкнутость
прямой. Если точки Л, В и С лежат, например, иа окружности,
то каждая из этих точек будет лежать между двумя другими.
Определение. Система двух точек прямой Л и β называется
отрезком АВ или ВА\ точки А и В называются концами отрезка;
177
точки, лежащие между А и В (если такие точки существуют),
называются точками отрезка АВ или внутренними точками
отрезка АВ; все остальные точки прямой АВ называются
внешними точками к отрезку АВ,
Заметим, что аксиомы ΙΙχ-з не утверждают существования
внутренних точек отрезка, но из аксиомы Н2 вытекает, что Для
всякого отрезка существует по крайней мере одна внешняя точка.
Аксиомы Πχ-з называются линейными аксиомами порядка;
следующая аксиома является плоскостной.
П4. (Аксиома Паша.) Пусть А, В, С — τ ρ и τ о ч-
ки, не лежащие на одной прямой, и а —
прямая в плоскости ABC, не проходящая ни
через одну из точек Л,β, С. Тогда если прямая
α проходит через внутреннюю точку
отрезка АВ, то она проходит также через
внутреннюю точку одного и только одного из
двух других отрезков АС или ВС*).
Напомним, что в «Началах» Евклида совершенно о^утствуют
аксиомы, соответствующие аксиомам расположения Гильберта.
Перейдём теперь к рассмотрению важнейших теорем, которые
вытекают из аксиом первой и второй групп. Прежде всего займёмся
установлением существования бесконечного множества точек на
отрезке. Как известно, в школьном преподавании этот факт
принимается без доказательства.
Существование бесконечного множества точек отрезка
Теорема 4. 1. Если А и С — две точки, то существует по
крайней мере одна точка В, лежащая между А и С.
Доказательство:
По аксиоме 13 существует
точка D, не лежащая на
прямой АС (черт. 101). По
теореме 3.4 через прямую АС и
точку D проходит
единственная плоскость а. По аксиоме
П2 на прямой AD существует
такая точка Е, что D лежит
между А и Е. По аксиоме 1в
точка Ε лежит в плоскости а.
По аксиоме П2 на прямой ЕС
Черт. 101. существует такая точка /\ что
С лежит между Ε и F'. По
аксиоме 16 точка F лежит в плоскости α и прямая FD также лежит
в плоскости а. По аксиоме II3 F не лежит между £ и С,
*) Что прямая а проходит через точку только одного из отрезков АС или
ВС, можно доказать:
178
т. е. не принадлежит отрезку ЕС. Прямая FD не проходит ни через
одну из точек Л, Е, С. В самом деле, прямая FD имеет с
прямой ЕС общую точку F, отличную от £ и С по аксиоме Hi,
а по теореме 3.1 других общих точек быть не может. Прямая FD
не проходит и через точку Л, ибо имеет с прямой Л £ общую
тоукуО, отличную от Л и Ε (аксиома 11г) и других общих точек
не|Имеет (теорема 3. 1). Поэтому мы имеем право к точкам Л, Ε
и Си прямой DF применить аксиому Паша П4, в силу которой
прямая DF пересекает либо отрезок ЕС, Либо отрезок АС во
внутренней точке. Но, как мы уже видели, DF не имеет общих
точек с отрезком ЕС, следовательно, прямая DF пересекает
отрезок АС в некоторой внутренней точке В, чем и доказано
существование последней.
Казалось бы, что теперь легко сразу доказать, что на отрезке
АС существует бесконечное множество точек, применяя
доказанную теорему к отрезку АВ или ВС и т. д. Но это не так. Дело в
том, что если В лежит между А и С, а точка D лежит между В и
С, то из наших аксиом непосредственно не видно, что точка D бу*
дет также лежать между А и С. Поэтому необходимо будет
предварительно рассмотреть несколько вспомогательных предложений.
Прежде всего дополним аксиому Н3.
Теорема 4. 2. Из трех точек прямой одна и только одна лежит
между двумя другими.
Доказательство:
Пусть Л, β, С — точки одной прямой, причём Л не , лежит
между В и С и С не лежит между Л и β. Докажем, что
обязательно В лежит между Л и С. По аксиоме 13 существует точка D, не
лежащая на прямой АС (черт 102). По
аксиоме П2 на прямой BD существует такая f
точка G, что D лежит между В и G. /|\
Пэ аксиоме Паша П4, применённой к точ- / I \
камВ, С, G и прямой AD, последняя пере- ^/ \ \J
секает отрезок GC в точке £", лежащей / J>K^\
между G и С. Аналогично докажем, что / ./l^V \
прямая CD пересекает отрезок AG в точ- /у^ \ хА
ке F. Применяя аксиому П4 к точкам Л, 4^— L -ЬйС
G, Ε и прямой CF, убедимся, что точка D
лежит между Л и Е. Наконец, применяя Черт. 102.
аксиому И4 к Л, Е, Си прямой BG,
докажем, что В лежит между Л и С. В силу аксиомы II3
теорема 4.2 полностью доказана.
Теорема 4. 3. Если В лежит между А и С, а С лежит
между В и D, то В и С лежат между А и D.
Доказательство:
В силу аксиомы П1 точки Л, β, С и точки В, С, D лежат на
одной прямой ВС, т. е. все 4 точки Л, β, С, D лежат на одной
179
прямой (черт. ЮЗ). По аксиоме 13 существует точка Е, не лежащар
на прямой АВ. По аксиоме П2 на прямой ЕС существует такая то^-
ка F, что Ε лежит между С и F. Применяя аксиому Н4 кточк/м
β, С, F и прямой Л£, найдём, чго
f прямая АЕ пересекает отрезок
BF в некоторой точке G. По той
же аксиоме, применённой к
точкам G, В, D и прямой FC, найдём,
что FC пересекает отрезок GD
в некоторой точке Н. Наконец,
применяя аксиому П4 к точкам
Л, G, D и прямой FH, найдём,
что FH пересекает отрезок AD
в точке С, т. е. точка С лежит
между А и D.
Аналогично доказывается, что
В лежит между А и D.
Теорема 4. 4. Если В лежит между А и С и С — между А и
О, то С лежит между В и D, а В — между А и D.
Доказательство:
Легко опять доказать, что точки А, В, С, D все лежат на
одной прямой (черт. 103). Докажем, что С лежит между В и D.
По аксиоме 13 существует точка F, не лежащая на прямой AD.
По теореме 4.1 на прямой BF существует точка G, лежащая между
В и F. По аксиоме Н3 точка F не лежит между В и G. На основании
теоремы 3. 1 прямая CF, имея общую точку F с прямой BF, не
имеет общей точки с отрезком BG. Так как по аксиоме П3 точка
С не лежит между А и В, то прямая CF не пересекает отрезка АВ
(теорема 3. 1). Отсюда следует, что CF не пересекает отрезка AG,
ибо в противном случае она по аксиоме П4 должна была бы
пересечь либо отрезок BG, либо отрезок АВ, что, как мы видим»
невозможно. Применяем теперь аксиому Н4 к точкам Л,G, D и
прямой FC, пересекающей отрезок AD в точке С. В силу этой
аксиомы FC пересекает отрезок GD в некоторой точке Я, ибо
отрезка AG она не пересекает. Наконец, применяя аксиому П4 к
точкам β, G, D и прямой FH, найдём, что FH пересекает отрезок
BD в точке С, т. е. С лежит между В и D.
Итак, мы имеем: В лежит между Л и С, а С лежит между В и
D. Следовательно, по теореме 4. 3 точка В лежит межцу Л iiD.
Теорема 4. 5. Между любыми двумя точками прямой лежит
бесконечное множество точек.
Доказательство:
Пусть на прямой а даны две точки Л и β. По теореме 4Л
существует точка С, лежащая между Л и β; по той же теореме
существует точка Сг, лежащая между Л и С. По теореме 4.4 точка
1&0
Сг лежит между А и В, причём точки Л, В', С, С1— различные
точки прямой (аксиома Н^.По теореме 4.1 существует точка С2,
лежащая между А и Clf она по теореме 4.4 лежит между А и С,
а поэтому по той же теореме С2 лежит между Л и β и по аксиоме
Их отлична от точек Л, β, С, С±. Повторяя эти рассуждения, мы
докажем существование на отрезке АВ любого числа точек.
Заметим, что пока нами доказано существование на прямой
лишь счётного множества точек.
Для доказательства существования на прямой несчётного
множества точек мощности континуум аксиом групп I и II
недостаточно. Для этого необходимо привлечь аксиомы непрерывности
(группа IV). То же относится и к доказательству бесконечности
множества прямых в плоскости и плоскостей в пространстве.
Деление прямой на два луча, плоскости на две полуплоскости,,
пространства на два полупространства
Перейдём теперь к рассмотрению ряда других предложений,,
которые в школьном преподавании всегда считаются само собой
разумеющимися,— предложений о делении прямой на два луча,
плоскости на две полуплоскости и пространства на два
полупространства. Введём следующую терминологию.
Определение. Пусть Л, В, О — три точки прямой. Если О
лежит между Л и В, то говорят, что Л и β лежат на прямой по
разные стороны от О, если О не лежит между Л и β,
то говорят, что Л и β лежат на прямой с одной стороны
от точки О.
Теорема 4.6. Каждая тонка О прямой а делит все остальные
точки этой прямой на два класса так, что любые две точки,
принадлежащие одному и тому же классу, лежат с одной стороны от О,
а любые две точки, принадлежащие разным классам, лежат по*
разные стороны от О.
Доказательство этой теоремы является простым, но
громоздким. Наметим лишь ход доказательства. Возьмём на данной
прямой произвольную точку Л, отличную от О, и разобьём все точки
прямой на два класса: к первому классу отнесём точку Л и все те
точки, каждая из которых лежит вместе с Л по одну сторону от
О, а ко второму классу — все те точки, из которых каждая
лежит с точкой Л по разные стороны от О. Далее доказываем,
что всякая точка данной прямой, кроме О, попадает в один и
только один из этих классов. Затем, пользуясь теоремами 4.2, 4.3
и 4.4, доказываем, что если β и С — точки одного и того же
класса, то точка О не лежит между β и С, если же точки β и С
принадлежат разным классам, то О лежит между β и С.
Теорема 4.6 позволяет ввести понятие луча.
Определение. Множество всех точек прямой а, лежащих по
одну и ту же сторону от точки О, т. е. принадлежащих к одному
18L
классу, называется лучом или полупрямой, исходящей
из точки О, называемой началом или вершиной луча.
Таким образом, теорема 4.6 говорит о том, что каждая
точка прямой делит её на два луча.
Определение. Пусть в плоскости α дана прямая а и две точки
А и β, не лежащие на прямой а. Если отрезок АВ не
пересекает а, то говорят, что точки А и В лежат по одну сторону
ό τ α; если отрезок АВ пересекает а, то говорят, что точки А
и В лежат по разные стороны от а.
Теорема 4. 7. Каждая прямая α β плоскости α делит все точки
этой плоскости, не лежащие на прямой а, на два класса так, что
любые две точки, принадлежащие одному классу, лежат с одной
стороны от а, а всякие две точки, принадлежащие разным
классам, лежат по разные стороны от а.
Доказательство:
Пусть А — точка плоскости а, не лежащая на прямой а.
Разобьём все точки плоскости а, не принадлежащие прямой а, на
два класса. К цервому классу отнесём точку А и все те точки,
которые вместе с А лежат по одну сто-
gf рону от а. Ко второму классу отнесём
А^—-—""7 все те точки, которые с точкой А лежат
|\\. / по разные стороны от а.
|\ ^^7^ Каждая точка плоскости о, не при-
I \ / надлежащая а, попадает в один и толь-
— 1—X—V ко один из указашшх классов, ибо
I \ / какова бы ни была точка В плоскос-
I \ / ти а, возможны лишь два случая: либо
| \/ отрезок АВ пересечёт прямую а, либо
r'L—-— С не пересечёт.
Покажем, что любые две точки
Черт. 104. одного класса лежат с одной стороны
от а.
Пусть В и В' — две произвольные точки первого класса
'(черт. 1Q4), т. е. отрезки АВ и АВ' не пересекают а. Если точки
А, В, β' не лежат на одной прямой, то отрезок ββ' не пересекает
а, ибо если предположить противное, то отсюда следовало бы по
аксиоме П4, что прямая а пересекает один из отрезков: АВ илиЛВ',
что противоречит условию.
Если точки А, В, В' лежат на одной прямой /, то возможны
лишь два случая: либо / пересекает а, либо не пересекает. Если /
пересекает а в некоторой точке S, то точки Л и β, а также А
и В' лежат с одной стороны ot«S, а потому и точки β и β' лежат
с одной стороны otS, т. е. отрезок ββ' не пересекает а, а значит,
В и В' лежат с одной стороны от а. Если же / не пересекает а, то
и отрезок ββ' не пересекает а, и снова точки β и β' лежат с
одной стороны от а.
182
Пусть теперь С и С — точки второго класса. Докажем, что
они также лежат с одной стороны от а.
Если А, С, С не лежат на одной прямой, то прямая а,
пересекая отрезки АС и АС, по аксиоме П4 не может пересечь
отрезок СС
Если А, С, С лежат на одной прямой /, то эта прямая
пересекает а в некоторой точке 5, причём S лежит между Л и С, а также
между Л и С, т. е. Л и С, а также Л и С' лежат на / по
разные стороны от «S, а поэтому по теореме 4.6 точки С и С лежат
по одну сторону от «S и, следовательно, отрезок СО не пересекаете.
Пусть, наконец, β— точка первого класса, С — второго класса.
Это значит, что отрезок АВ не пересекает а, а отрезок АС
пересекает а. Докажем, что β и С лежат по разное стороны от а.
Если Л, β, С не лежат на одной прямой, то по аксиоме П4
прямая а пересекает отрезок ВС, ибо она пересекает отрезок АС,
но не пересекает отрезка АВ.
Если А, В, С лежат на одной прямой /, пересекающей прямую
а в точке 5, то Л и В лежат по одну сторону от S, а точки Л
и С — по разные. Следовательно, по теореме 4.6 точки В и С
лежат по разные стороны от «S, т. е. отрезок ВС пересекает а, а это
значит, что β и С лежат по разные стороны от а.
Каждый из двух рассмотренных классов точек называется π о-
луплоскостью плоскости а. Таким образом, каждая
прямая делит плоскость на две
полуплоскости.
Сформулируем ещё аналогичную теорему для пространства..
Определение. Пусть α — некоторая плоскость и точки Л и Я
не лежат в плоскости а. Если отрезок АВ не пересекает а, то
говорят, что точки Л и β лежат по одну сторону от плоскости
а, если отрезок АВ пересекает а, говорят, что точки Л и β лежат
по разные стороны от а.
Теорема 4.8. Каждая плоскость α разделяет все точки
пространства, не лежащие на а, на два класса так, что любые две
точки А иВ одного и того же класса лежат по одну сторону от а, а
любые две точки А и В разных классов лежат по разные стороны от а.
Таким образом, каждая плоскость разделяет
пространство на две области, называемые·
полупространствами.
Теоремы об угле, ломаной, многоугольнике
Определение. Пара лучей h, k, выходящих из
точки О и не при надлежащих одной прямой,
называется углом, который обозначается
знаком < (A, k) и л и < (k, h). Если А и В — точки,
лежащие соответственно на лучах h и k, то
угол обозначается также< АОВ и л и < BOA.
18.*
Точка О называется вершиной угла, лучи
Л и k — сторонами угла*).
Определение. Пусть дан угол (Л, k). Дополним лучи ft и /с до
полных прямых лучами h и к (черт. 105). Все точки плоскости,
проходящей через эти прямые (теорема 3.5), отличные от точки О
и не лежащие на лучах ή и /с, делятся углом на две области: все
точки, которые лежат с той же стороны от прямой Л, Л, что и
точки луча к, и с той же стороны от прямой к, к, что и точки луча ft,
называются внутренними
точками угла (ft, k), а их совокупность
называется внутренней
областью угла; все остальные точки
плоскости называются внешними, а их
совокупность — внешней областью.
Можно показать, что прямые ή, Λ и
Черт. 105. ^ ^ делят плоскость на 4 области,
попарно не имеющие общих точек, это внутренние области углов
(ft, k), (к, Λ), (Λ, к), (к, ή).
Сформулируем без доказательства следующую теорему.
Теорема 4. 9. Если А и В — внутренние точки угла, то
отрезок А В не пересекает сторон угла и не проходит через вершину
угла; если А — точка луча ft, а В — точка луча к, то все точки
отрезка А В — внутренние точки угла; если А — внутренняя,
а В —внешняя точка угла, то отрезок А В пересекает одну сторону
угла или проходит через вершину угла О.
Определение. Пусть ή, к, / — три луча с общей вершиной О,
лежащие в одной плоскости. Будем говорить, что луч / лежит
между лучами пик или что I проходит внутри угла (Λ, к), если
все точки луча I являются внутренними точками этого угла.
Теорема 4.10. Всякий луч I, проходящий внутри угла КОВ
через его вершину О, пересекает отрезок KB; обратно, всякий луч,
проходящий через вершину угла и точку отрезка KB,
соединяющего две точки К и В, лежащие на сторонах угла, есть внутренний
луч угла КОВ.
Доказательство:
Пусть I — внутренний луч угла
КОВ (черт. 106). Докажем, что
он пересекает отрезок КВ.
Возьмём точку С на дополнительном
к ОВ луче к, тогда О —
внутренняя точка отрезка ВС. По
аксиоме П4, если её применить к точ- Черт.
*) Таким образом, угол в определении Гильберта есть не плоская «плёнка»,
не часть плоскости, а фигура, состоящая из двух пересекающихся лучей. Раз-
свёрнутые и сверхтупые углы этим определением исключаются.
i84
кам /С, β, С и к прямой, которой принадлежит луч /, найдём,
что эта прямая должна пересечь либо отрезок /(С, либо отрезок
КВ. Но точки прямой, содержащей /, содержатся внутри углов
(ft, k) и (ft, k), а точки отрезка КС содержатся внутри угла (#7ή).
Следовательно, эта прямая пересекает отрезок КВ. Так как
все точки отрезка KB — внутренние точки угла КОВ, то
отрезок KB пересекается лучом I.
Обратно, пусть луч / проходит через О и внутреннюю точку S
отрезка KB и пусть Μ — любая точка луча /. Возможны лишь
два случая: либо Μ лежит между О и 5, либо S лежит между
О и М. Следовательно, Μ и «S лежат по одну сторону как
относительно прямой Л, Л, так и относительно прямой ky k~ Это значит,
что любая точка Μ луча I есть внутренняя точка угла КОВ,
т. е. луч I есть внутренний луч.
Можно доказать ещё теорему о порядке лучей.
Теорема 4. 11. Из трёх лучей h, k, I с общей вершиной О.
расположенных в общей полуплоскости относительно прямой,
проходящей через О, один и только один лежит между .двумя другил и.
Рассмотрим ещё понятие ломаной и многоугольника.
Определение. Совокупность конечного числа отрезков АВ, ВС,
CD, . . ., KL с общими концами В, С, . .., К называется
ломаной, составляющие отрезки называются звеньями
ломаной, начальная точка А и конечная L называются концами.
В
В
ломаной. Ее ш А и L совпадают, то ломаная называется
многоугольником, причём Л, β, . . ., /. называются
вершинами многоугольника, звенья ломаной — сторонами
многоугольника. Если все вершины многоугольника лежат в
одной плоскости, то многоугольник называется плоским.
Плоский многоугольник называется простым, если: 1) все его
вершины различны, 2) ни одна из его вершин не лежит внутри
какой-либо стороны, 3) никакие две несмежные его стороны не
пересекаются.
Например, многоугольники, изображённые на чертеже 107,
не являются простыми.
Укажем на важнейшее свойство простого многоугольника.
Теорема 4. 12. Всякий простой многоугольник делит все точки
плоскости, отличные от точек многоугольника, на две области:
18Г>·
любые две точки первой области (внутренней) всегда можно
соединить ломаной, не пересекающей многоугольник, и не существует
прямой, целиком лежащей внутри этой области', любые две точки
второй области (внешней) также можно соединить ломаной, не
пересекающей многоугольник, и существует пряная, целиком
лежащая в этой области', если две точки принадлежат разным обчастям,
то всякая ломаная, их соединяющая, пересекает многоугольник.
§ 5. ГРУППА Ш. АКСИОМЫ КОНГРУЭНТНОСТИ
В «Началах» Евклида в учении о равенстве фигур основным
понятием является понятие движения. Однако это Евклидом явно
не формулируется, и свойства движения (неизменяемость формы
и размеров фигур) не получают точного описания в аксиомах.
По существу движение у Евклида непосредственно связано с
представлением о механическом движении твёрдого тела. Такое
понимание движения неизбежно связано с введением в геометрию
чуждых понятий времени и скорости, а также предполагает
рассмотрение всех промежуточных положений фигуры.
В первой главе мы уже говорили о неприменимости такого
понимания движения к геометрическим фигурам.
В учении о равенстве фигур время, скорость и путь движения
никакой роли не играют, важно лишь начальное и конечное
положение фигуры.
Напомним также о той двойственной позиции, которую Евклид
занимал, считая движение основным понятием и в то же время
стремясь из философских соображений изгнать его из геометрии.
В современном научном изложении учение о равенстве фигур
строится двумя способами: либо в качестве основного принимается
понятие равенства или конгруэнтности, главные свойства которого
описываются в аксиомах, и тогда понятие движения является
производным, определяемым; либо за основное принимается понятие
движения, главные свойства которого явно формулируются в
ряде аксиом, и тогда понятие равенства или конгруэнтности
делается производным, определяемым/
Гильберт пошёл по первому пути, приняв в качестве основного
понятие конгруэнтности или равенства. Поэтому в системе
Гильберта понятие движения является производным и может быть
совершенно исключено из геометрии, так как оно используется в
геометрии только для установления конгруэнтности фигур. При этом,
конечно, Гильберт в понятие конгруэнтности не вкладывает
никакого конкретного смысла, это может быть любое отношение между
отрезками и углами, удовлетворяющее аксиомам третьей группы.
Что касается терминов «равенство» или «конгруэнтность», то
предпочтительнее пользоваться вторым термином, ибо
рассматриваемое понятие не обладает важнейшим свойством равенства: если
к равным прибавить равные, то получатся равные. Так при
рассмотрении плоских или пространственных фигур мы не можем
186
утверждать, что в случае конгруэнтности частей фигур будут
конгруэнтны и целые фигуры*).
Итак, вводим неопределяемое понятие «конгруэнтный» в
применении к отрезкам и углам, свойства которого выражаются в
следующих аксиомах:
II 1г. Если А и В —две точки прямой а и А' —
точка на той же или другой прямой α', τ о
существует на прямой а'по данную сторону
от точки Л' такая точка В', что отрезок АВ
конгруэнтен отрезку А'В'', что
обозначается знаком АВ=А'В'. В се г д а АВ=ВА.
Короче говоря: «Каждый отрезок может быть «отложен» на
любой прямой в ту или другую сторону от любой её точки».
Заметим, что в аксиоме Н^ утверждается лишь существование
точки В', но ничего не говорится о её единственности, что будет
доказано ниже.
Ш2. Ε с л и АВ = А'В' и АВ=А "В", то А В' = А* ВТ.
П13. Пусть АВ и ВС — два отрезка прямой а без
общих внутренних точек и пусть А'В' и В'С—два
отрезка прямой а! (отличной от а' или с ней
совпадающей) также без общих внутренних точек. Если
АВ=АВ\ ВС = ВХ\ то АС = А'С.
Короче: «суммы» соответственно конгруэнтных отрезков
также конгруэнтны.
1П4. Пусть дан ^ (ft, fc) в плоскости а, а также
определённая относительно прямой а'
полуплоскость плоскости а\ пусть К—луч прямой а',
выходящий из точки О'. Тогда на плоскости а9
существует один и только один луч к", такой, ч τ о <t (ft, к)
конгруэнтен ^(h\ к') и при этом все внутренние
точки *4(h\ к') лежат в данной полуплоскости а'9
это записывается символически:
Всегда
-4 (ft, к) = * (Λ, к)
и
-4(й, к) ^^ (к, ft).
Короче говоря: «Каждый угол может быть однозначно
отложен в данной плоскости по данную сторону при данном луче».
1И5. Если для двух треугольников ABC и А9В9С
имеют место конгруэнции: АВ = АВ9, АС = А'С,
^ВАС^^ В9 А С, τ о -^ ABC == -4 А'В* С,
*) С замечаниями по этому вопросу рекомендуем ознакомиться по книге
Н. М. Бескина «Методика геометрии», изд. 1947 г., стр. 92—93.
187
Среди аксиом Евклида нет соответствующей аксиоме Ш^
аксиоме Ш2 отвечает первая аксиома Евклида, аксиоме Ш3—
вторая. Третья аксиома Евклида (если отнять от
конгруэнтных отрезков конгруэнтные, то получатся конгруэнтные
отрезки) может быть доказана, как теорема. Аксиомы Евклида I—III
относятся ко всяким величинам, аксиомы Гильберта — специально
к отрезкам.
Аксиомы ΙΙΙχ-з называются линейными аксиомами
конгруэнтности, аксиомы 1Н4-5—плоскостными.
Отметим различия в формулировках аксиом ΙΙΙχ-з Для
отрезков в сравнении с аксиомой 1П4 для углов. Для отрезков
свойство единственности точки В' в аксиоме 11^ не указано, а в
аксиоме Ш4 единственность луча к' постулируется. Свойство
рефлективности конгруэнтности отрезков не фигурирует в ак^
сиоме IIIlf а в аксиоме II14 для углов оно содержится. Зато
свойство транзитивности конгруэнтности имеется для отрезков
в аксиоме Ш2, а* для углов это свойство в аксиоме 1П4
отсутствует. Свойство симметричности конгруэнтности не упоминается
ни для отрезков, ни для углов. Все эти свойства в школьном
преподавании считаются очевидными и явно не формулируются.
Теоремы о кснгруэнтности отрезков, углов и треугольников
Докажем прежде всего единственность точки В' в аксиоме
IIIlf а также свойства рефлективности и симметричности для
конгруэнтности отрезков.
Теорема 5. 1. Точка В\ о существовании которой говорится
в аксиоме IIIlf—единственная.
Доказательство:
Предположим, что на прямой а' существуют две такие точки
β' и В" по одну сторону от точки А\ что АВ=А'В' и АВ=А'В"
(черт. 108). Пусть точка С не лежит на АВ (аксиома 13);
рассмотрим А АВС. Пусть а'—плоскость, проходящая через а'. В этой
плоскости по аксиоме II14 существует
g л J— такой луч A'D\ что ^ ВАС= -4 B'A'D\ a
N. / так как Α',Β',Β" лежат на одном луче, то
V^ л ^BAC=^B"A'D'. По аксиоме IIIX суще-
, а' " В В' В" ствует такая точка С на луче A'D\ что
\ // AC=AfC. Прямые С9 В9 и С В" лежат в
Х/' плоскости а' по аксиоме 16. По аксиоме 1Н5
C*D J$ ACB = J} А'С В', ибо АВ = А'В\ АС =
Черт. J08. = А'С, ^ ВАС =^В'А'С. По той же
аксиоме ^ АСВ = ^А'С'В", ибо АВ^А'В",
АС = А'С\ ^ ВАС = ^ ВпА'С. Таким образом, по одну и ту же
сторону от луча С'/Г существуют два луча С В' и С В", таки-, что
^ АСВ = -4 А'С В' и ^ АСВ = ^ АСВ". Это находится в про-
188
тиворечии с аксиомой II14, в которой утверждается
единственность такого луча.
Следовательно, точка β' — единственная.
Теорема 5. 2. Каждый отрезок конгруэнтен самому себе, т. е.
АВ=АВ {свойство рефлективности).
Доказатель ство:
По аксиоме IIIj. АВ=ВА и ВА^АВ. Предположим, что АВфАВ;
пусть АВ=АВ\ где β'—точка луча АВ. Тогда по аксиоме IIL>
из ΑΒξ=ΒΑ и АВ=АВ' следует, что ВА=АВ'. Но так как ВА=
~АВ, то по теореме 5.1 точка В' совпадает с точкой В, т. е.
АВ=АВ.
' Теорема 5.3. Если АВ=АВ\ то и АВ'=АВ (свойство сим-
метричности).
Доказательство:
Пусть АВ=АВ'. По теореме 5. 2 АВ=АВ. Следовательно,
по аксиоме ΙΙΙ2 ΑΒ'ξξΑΒ.
Поэтому можно говорить, что отрезки АВ и А!В'
конгруэнтны друг другу.
Теорема 5. 4. Если АВ=АВ' и АВГ=АВ\ то АВ=АВ\
(свойство транзитивности в другой форме).
Доказательство:
По теореме 5. 3 АВГ=АВУ отсюда по аксиоме Ш2 АВ=А"В".
Теорема 5. 5. Если точки В и С лежат на одном луче с
вершиной в точке А, а точки В' и С лежат на одном луче с
вершиной в точке А\ причём АВ=А'В\ АС=АС'У то ВС=В'С. Если
при этом точка В лежит между А и С, то и точка В* лежит
между А и С.
Короче: «При «вычитании» конгруэнтных отрезков из
конгруэнтных отрезков получатся конгруэнтные отрезки». Эту теорему
предоставляем доказать читателю.
Рассмотрим теперь важнейшие теоремы о конгруэнтности
углов и треугольников.
Определение. Треугольник ABC называется конгруэнтным
треугольнику АВ'С\ если
АВ=АВ\ АС=АС\ ВС=В'С\
^А-^^А, ^В=^В\ ^С=^С.
Это записывается так: ААВС= А А'В'С.
Теорема 5. 6. (Первая теорема о конгруэнтности
треугольников.) Если у двух треугольников ABC и АВ'С имеем (черт. 109)
АВ^АВ', АС^АС, ^А=^А\
то ААВС=ААВГС\
189
Доказательство:
По аксиоме Ш5 имеем ^С=^С, а также <£B=<tB'.
Остаётся доказать, что ВС^В'С. Предположим, что ВСфВ'С. Поакси-
л оме ΙΙΙχ на луче В'С существует такая точка D,
что BC=BfD. Тогда для треугольников ABC и
АВ'П имеем: АВ~АВ\ BC^B'D, ^B=^B\
vg а потому по аксиоме III5 ^$BAC=<£.B'AD.
г, Но по условию 2^ВАС=^ВГАС, т. е. по
* одну сторону луча А'В' существуют два
pas's^ личных луча АС и AD, такие, что ^ВАС=
A'^ZZ—\ff = ^BfAC и ^BAC=^B'ADy что
противоречия чит аксиоме Н14. Следовательно, ВС=В'С и
Черт. 109. аАВС=аА^
Теорема 5. 7. (Вторая теорема о конгруэнтности
треугольников.) Если у двух треугольников ABC и АВ'С имеем (черт. ПО)
АВ=АВ\ ^А=^А\ ^В=^В\
то аАВС=аАВ'С.
Доказательство:
Надо доказать, что АС=АС', ВС=В'С и
-4С=-4С. Предположим, что АСфА'С. По ^>^ \д
аксиоме ΙΙΙχ на луче АС существует такая *
точка D, что AC=AD. Тогда по теореме 5. 6 СУ,'
AABC=AABfD. Но в таком случае ^В=
==^.AB'D, в то же время ^В=^АВ'С\ т. е. д^
получаем противоречие с аксиомой Ш4.
Следовательно, АС=АС. Отсюда по теореме 5: 6 Черт. но.
ААВС^ААВ'С.
Теорема 5. 8. В равнобедренном треугольнике углы при
основании конгруэнтны.
Доказательство:
Пусть в треугольнике ABC имеем АС=ВС. Рассматриваем
этот треугольник, как два треугольника: ААВС и аАВ'С,
причём вершины последнего соответственно совпадают с
вершинами β, Л, С данного. Тогда имеем: АС=АС, BC=BfC\ ^АСВ~
= <4А'С'В'. Следовательно, по теореме 5. 6 AABC=AABfC\
а поэтому ^ВАС^^В'АС, т. е. ^ВАС^^АВС.
Обратим внимание, что в этих доказательствах мы нигде не
пользуемся «наложением» или «вращением», т. е. движением.
Везде речь идёт о существовании соответствующих
конгруэнтных отрезков или углов. Это полное отсутствие
использования понятия движения характерно и для всех прочих
доказательств.
Прежде чем получить доказательство третьего признака
конгруэнтности треугольников, придётся рассмотреть ряд других
теорем.
190
Определение. Два угла, имеющие общую вершину и общую
сторону, не общие стороны которых составляют одну прямую,
называются смежными. Два угла с общей вершиной, стороны
которых попарно составляют прямые линии, называются
вертикальными.
Теорема 5. 9. Если угол -4 (h, к) конгруэнтен углу ^(h!'. к'),
то и угол, смежный первому углу, конгруэнтен углу, смежному
с вторым углом.
Доказательство:
Пусть ^{h, k)~^(fi', k') (черт. 111). Пусть их'смежные
углы будут соответственно -£ (к, /) и «4-(к', I). На лучах ή, к, I
и Η\ к', Г возьмем соответственно точки к
Л, β, С и Л', В', С так, чтобы имело 4ί
место: ОА^О'А, ОВ = 0'В' и ОС = ^Ύ\Α а
== О'С. Тогда по теореме 5. 6 АОАВ= е С О
= Δ О'АВ', а потому АВ = А'В', а'
j$ ОАВ = -4 О'АВ'. Так как О А = О'А' ВТ/
и ОС = 0'С, то по аксиоме Ш8 , ^Х/\ /
АС^АС. Следовательно, по теореме ^> Λ) //—^jt—h
5.6 ААВС^АА'В'С, откуда еле- *
дует, что ВС ==В'С и ^ВСО =-4 ^CQ'. VePm· ш·
Тогда по теореме 5.6 Δ ОВС=
= ЛО'ВГ, а потому *^ВО.С=^ В'0'С\ т. е. -^ (к, /) =
= ^(fc'. О·
Теорема 5. 10. Вертикальные углы конгруэнтны. <
Легко доказывается на основе теоремы 5. 9.
Теорема 5. 11. Пусть ft, k, I и К, к', V — лучи, исходящие
соответственно из точек О и О', и каждая из этих троек лучей
расположена в одной плоскости] пусть при этом лучи h, k и
ti\ к' расположены либо те и другие по одну сторону от луча I,
соответственно V, либо те и другие — по разные стороны. Тогда
из ^{h, l) = ^(h\ Ϊ) и ^.(1, k)=^(l'f к) следует -£ (А, к) =
Доказате льство:
Рассмотрим сперва тот случай, когда ή, к расположены по
одну сторону от /, а К, к' — по одну сторону от /' (черт. 112).
Для определённости полагаем, что луч к лежит между лучами
Λ и / (теорема 4. 11). Возьмём на лучах h, l, h', Г
соответственно точки Л, С, Л', С так, что ОА = 0'А\ О.С^О'С. По
теореме 5. 6 имеем АС^А'С и ^ОСА^^О'С'А. Так как луч к
проходит внутри угла ^f. (h, /), то по теореме 4. 10 он
пересекает отрезок АС в некоторой точке В. По аксиоме IIIX на луче
СМ' существует такая точка В', что СВ^С'В'. По теореме 5.6
AQCB = &0'C'B\ а потому ^СО.В^ ^С'0!В', ^СВО =
191
==^$СВ'0', ОВзяО/В'. В силу аксиомы Ш4 отсюда следует, что
луч О.'В' совпадает с лучом к'.
Теперь мы имеем: точки А и В лежат на луче С А, точки Л'
и В' лежат на луче С'А', причем СА^СА', СВ = СВ\ поэтому
в силу теоремы 5. 5 ВА = В'А'. Кроме того, так как точка В
лежит между Л и С, то и точка В' лежит между Л' и С.
0^^\* н
Черт. 112.
По теореме 5. 9 -4 О.ВА = -4 О'В'А. Следовательно, по теопе-
ме 5. 6 /\ОВА= Αθ'ΒΆ\ а потому ^ВОА=^В'0'А\ т.' е.
Пусть теперь й, к расположены по разные стороны от / и Λ',
к'—по разные стороны от /' (черт. 113). Тогда лучи к и 7с',
являющиеся продолжениями лучей к и к' за точки О и Q', будут
с лучами h и h' лежать по одну сторону лучей / и /'. По
условию ^ (А, I) == -φ (ή', Г) и по теореме 5. 9 ^ (/^_ к) = ^ (/' /?),
на основании рассмотренного выше случая -3 (ή, k) = ^4(h\ к7),
а потому по теореме 5. 9 -4 (Λ, к) = ^4 (h\ к').
Теорема 5. 12. (Третья теорема о конгруэнтности
треугольников.) Если у треугольников ABC и А'В'С'
АВ = А'В\ АС = А'С, ВС = В'С\ то Δ ABC = А А'В'С.
Доказательство:
Требуется доказать, что ^А^=^А\ ^В=^В\ ^С =
= -4 С. По аксиоме Ш4 существует луч А'С (черт. 114) по
другую сторону от А'В\ нежели точка С, такой, что -4 ВАС=
ξξξ^4 В'А'С", а по аксиоме П^ на этом луче существует точка С
такая, что АС = А'С". По аксиоме Ш2 А'С = А'С". По теореме
5. 6 ЛАВС= АА'В'С. Отсюда ВС = В'С\ а так как ВС = В'С\
то по аксиоме 1И2 В'С'^В'С". Таким образом, треугольники
А'С С и В'С'С" — равнобедренные. По теореме 5. 8 ^1 = ^2
и ^3=^4. По теореме 5. И -4А'С'В9 = ^ А'С'В'. По
теореме 5. 6 Δ А'В'С Ξ- АА'В'С.
Черт. 113.
192
Но отсюда ещё нельзя делать заключения, что ААВС^
= Δ А'В'С, ибо не доказано свойство транзитивности
конгруэнтности углов, а значит, и треугольников.
Допустим, что -4 ВАС ψ Л В'А'С. Тогда в силу аксиом ΙΙΙΧ
и И14 существуют с той ж^ стороны, что и точка С\ луч А'Х
и ка нём точка Сг такие, что ЗС ВАС = ^ В'А'Х и AC = A'CV
По теореме 5. 6 Δ ABC = ААВ'СХ и, следовательно, BC = B'CV
Далее, в силу аксиомы Ш2 АС, = АС1 и В'С" = B'CV Затем
совершенно таким же путём, как мы доказывали, что ААВ'С =
^дД'й'С", мы теперь докажем, что Δ АВ,С1 = А АВ'С.
Отсюда следует, что ^ В'Л'СХ ξ ^ ИМ'С".
Но мы ранее доказали, что -4 В'А'С =
=-4 В'Л'С" (ибо Δ Л'В'С = Δ Л'В'С), а это
противоречит аксиоме Ш4. Следовательно,
ЗС ВЛС =-з В'Л'С, а поэтому в силу
теоремы 5. 6 ААВС= ААВ'С.
Теперь легко вывести для
конгруэнтности углов свойства транзитивности и
симметричности.
Теорема 5. 13. Если ЗС (Л, к) ~ $С (Л', к') и
^ (Л, к)=^(Л", к"), /по -4(А', к') = ЗС (/ι", к*).
Доказательство:
Возьмём на лучах А и к точки Л и β
(черт. 115). На лучах Л', Л*, к', к" найдутся
точки А, А, В\ В" такие, что ОА = 0'А\
ОА=0"А\ ОВ = 0'В\ ΟΒεξΟ'Β"
(аксиома Шж>. и в силу аксиомы III, также О'Л' г ОМ", О'Б' = 0"В"
По теореме5. 6 будем иметь Δ ОАВ = Α 0ΆΒ\ Α ΟΑΒ=Αθ'л В'
Черт. 114.
Поэтому АВ=АВ\ ΑΒξξξΑΒ" и по аксиоме
IIL АВ'^АВ".
Следовательно, по теореме 5. 12 дО' А В' == А О'А'В", а потому
*4АО'В' е±$:АО"В\ т. е. ^ (А', к') = -4 (Λ", к").
Теорема 5. 14. Если -^ (А, к)-=ЗГ(Л', /с'), mo ^ (А', /с') =
= ^(К к).
Доказательс тво:
По условию ^(А, k) = 3z(h\ к'). По аксиоме III, ^C (A. k)^
= ^ (А, к). Отсюда по теореме 5. 13 _; (А' к')^^{п ч.
Поэтому можно говорить, что углы <Х (А, к) и ^С(А'. к')
взаимно конгруэнтны.
193
fc')
Теорема 5. 15. Если ^ (Л, fc)==$;(A'f к') и ^(А', к') =з
^ ^ (Л", к'), то ^ (ή, к) еее ^ (Л", к").
Доказательство:
По теореме 5. 14 из конгруэнтности <£(А, к) = -4 (Л', fc'J
имеем -4(ft'f k') = ^(h, к). По условию ЗС(А', к') = ^(А', к").
Отсюда по теореме 5. 13 <£ (А, к) == ^ (А", к').
Теоремы о прямом угле
Докажем теперь существование прямого угла и
конгруэнтность прямых углов.
Определение. Угол, конгруэнтный своему смежному,
называется прямым. Стороны прямого угла называются взаимно
перпендикулярными.
Теорема 5. 16. Прямой угол существует.
Доказательство:
Возьмём произвольный угол (Л, к). По аксиоме Ш4 по
другую сторону от луча А, нежели луч к, существует такой луч /,
что ^ (Л, к) ξ ^ (А, /) (черт. 116). Взяв на луче к некоторую
точку Л, мы можем на луче / найти такую точку В, что ОЛ =
=ьОВ (аксиома IIIj). По
теореме 4. 7 отрезок ЛВ
пересекает прямую,
которой принадлежит луч А.
При этом возможны 3
случая: либо точка
пересечения С принадлежит
* лучу А, либо совпадает
с его вершиной О, либо
принадлежит лучу Л,
дополнительному к Л.
В первом случае по
а потому -4 ОСА ξ= ^4 0CjB·
и / образуют одну прямую, при
В
Черт. 116.
теореме 5. 6 Δ О АС = Δ ОВС,
Во втором случае лучи к
этом -4 (A, fc) = -4 (А, /). _ _
В третьем случае по теореме 5. 9 ^(fc, А) = ^(А, /), так
как эти углы смежны с конгруэнтными углами; следовательно,
АОАС^ее'аОВС по теореме 5. 6, а потому ^ОСА = ^ОСВ.
Во всех трёх случаях существование прямого угла доказано.
Теорема 5. 17. Все прямые углы конгруэнтны.
Доказа те л ьс тво:
Пусть утлы -3(А, к) и -3(Л', к') — прямые (черт. 117). Это
по определению значит, что -3 (А, к)=^(А, к), -3(А', к') =
==^(Л', к'), где А и Л' — лучи, дополняющие лучи А и А' до
194
прямых. Требуется доказать, что -4 (ft', к') == ^ (Л, к). Допустим,
что -4 (Л', к') # -4 (Л» Л). Тогда по аксиоме Ш4 существует луч /,
выходящий из О, такой, что -4 (ft', к') = -4 (ft, /).
Луч / ft либо проходит внутри угла ^:(Л, к), либо внутри
угла -3 (Л, /с). Допустим для определённости, что он лежит
внутри угла -4 (ft, fc). По аксиоме Ш4 по другую сторону луча к
существует такой луч /п, что -4 (Л к) = ^ (ш, /с). Так как
-4 (к, ή) = -4 (fc, Л) и ^ (/, fc) ξξ -4 (/я, fc), лучи ή и /
расположены но одну сторону от к, а лучи /ι, m — по другую сторону,
то в силу теоремы 5.11-3 (ft, /) =
т
\
\
к е
I
ι
/
Л'
*/?рт. //7.
^ .4 (ft, /η), причём луч m проходит
внутри -3(Л, /с). ·
По свойству транзитивности
(теорема 5. 15) имеем -4 (ft» /и)== ^ (А, /)==
==^(ft', к'). По теореме 5. 9 в силу
транзитивности имеем отсюда <£ (ft» m) =
===J}(h'X) = -4 (ft\ к'). Таким образом,
имеем одновременно ЗС (ft, 0 = -3 (Л',к')
и -4 (Л» /и) = -4 (ft', fc'), получилось противоречие с аксиомой
Ш4. Поэтому предположение, что -4 (ft', fc')#^(ft, к),
неверно, а значит, ЗС(А\ к')Е=<£(Л, к).
Мы видим, таким образом, что четвёртый постулат Евклида
в системе Гильберта является теоремой.
Теоремы о делении отрезка и угла пополам и другие
Теорема 5. 18. Каждый отрезок можно разделить пополам
и притом единственным образом.
Доказательство:
Пусть дан отрезок АВ (черт. 118). Строим произвольный
*<£ВАС и по другую сторону прямой АВ строим <£ ABD == <£ВАС
(аксиома Ш4). На луче АС берём произвольную точку С и на
луче BD откладываем отрезок BD == АС (аксиома IIIJ. По
теореме 4. 7 отрезок CD пересечёт
прямую АВ в некоторой точке Е.
Докажем, что Ε есть середина отрезка
АВ, т. е. что ΑΕξξξΕΒ.
Действительно, по теореме 5. 6
д ABC =5 Δ ABD, следовательно,
BC = AD. Но тогда по теореме 5.12
Δ ACD ξξξ Δ BCD, а поэтому §; 1 s
=== <£ 2. Отсюда на основании
теоремы 5. 7 следует, что Δ АСЕ ξ=δ SD£
и Л£ = £β. Нетрудно показать, что
точка Ε лежит между А и В.
В самом деле, допустим, что Ε не лежит между А и В.
Тогда по теореме 4. 2 либо Л лежит между Ε и В, либо β
195
лежит между Ε и А. Для определенности положим, что А
лежит между £ и В, т. е. точки А и В лежат по одну сторону
от точки Е. Тогда получается, что по одну и ту же сторону
от точки Ε на прямой ЕА имеются две различные точки А и В,
для которых по доказанному выше выполняются соотношения
ЕА^ЕВ, что противоречит теореме 5.1. Следовательно, А не
лежит между Ε и В. Аналогично докажем, что В не лежит
между £ и А По теореме 4. 2 остаётся принять, что Ε лежит
между А и В, что и требовалось доказать.
Предположим теперь, что у отрезка АВ имеется ещё одна
середина £', так что АЕ' = Е'В. Тогда по теореме 5. 6 /\АСЕ'=
ξξξ/sBDE' и, следовательно, §С АЕ'С ==<£BE'D. Докажем, что
отрезки СЕ' и E'D должны тогда принадлежать одной прямой.
Действительно, в противном случае существует луч E'F%
отличный от луча Е'С и дополняющий луч Ε D до прямой. Углы
AE'F и BE'D конгруэнтны, как вертикальные (теорема 5. 10).
Таким образом, угол BE'D конгруэнтен двум углам: АЕ'С
и AE'F, что противоречит аксиоме Ш4. Итак, отрезки СЕ'
и E'D принадлежат одной прямой; тогда через точки С и D
проходят две различные прямые CED и С E'D, но это
противоречит аксиоме 12. Следовательно, точка Ε есть единственная
середина отрезка АВ.
Следствие. Каждый отрезок можно разделить на
2т конгруэнтных частей, где /л — любое
натуральное число.
Если отрезок АВ разделён на 2т конгруэнтных отрезков
и отрезок CD конгруэнтен одному из этих отрезков, то
условимся писать: CD=—-AB и AB==2m-CD.
Теперь легко доказать теорему.
Теорема 5. 19. Каждый угол можно разделить пополам и
притом единственным образом.
Вводя далее обычные определения биссектрисы угла, а
также медианы и высоты треугольника, мы можем доказать
следующие теоремы:
Теорема 5. 20. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла
при вершине есть медиана и высота.
Теорема 5. 21. Через всякую точку плоскости проходит
единственный перпендикуляр к данной прямой, лежащей в этой
плоскости.
Далее можно доказать теоремы.
Теорема 5. 22. Если две прямые перпендикулярны к третьей
прямой, то они не пересекаются между собой.
Теорема 5. 23. Если две прямые при пересечении с третьей
образуют конгруэнтные соответственные или внутренние
накрест лежащие углы, то они не пересекаются.
196
Доказательство:
Пусть а и b (черт. 119) —две прямые, пересекаемые прямой с>
причём <£: 1 === <χ 2. Следовательно, §: 3 == ^ 2 (теоремы 5. 10
и 5. 13). Пусть D — середина отрезка АВ (теорема 5. 18).
Из D опустим на а
перпендикуляр О£(теорема 5.21),
при этом мы предпола- b
гаем, что 4 1 и ^: 2 не
прямые. Отложим на b BF^AE
так, чтобы Ε и F лежали
по разные стороны от с. а
Тогда Δ BDF =е Д ADE
(теорема 5. 6). Следовательно,
^BDF^^ADE; ^BFD== Черт. ид.
==ЗСО£Л, т. е. ED и DF
составляют одну прямую, перпендикулярную к прямым а и Ь.
На основании теоремы 5. 22 прямые а и Ь не пересекаются.
Теорема 5. 24. Если β плоскости а даны прямая а и не
лежащая на ней точка А, то β плоскости α через точку А
проходит по меньшей мере одна прямая, не пересекающая прямой а.
Сравнение отрезков и углов
Для отрезков и углов можно ввести соотношения «больше»
и «меньше» при помощи следующих определений.
Определение. Пусть даны два отрезка АВ и А'В'. Если
существует такая внутренняя точка С отрезка АВ, что АС=А'В'У
то говорят, что отрезок А'В' меньше отрезка АВ или что
отрезок АВ больше отрезка А'В', что записывается так:
А'В' <>Ш, АВ>А'В'.
Определение. Пусть даны два угла: ^ (h, k) и ^ (ή', к'). Если
существует такой внутренний луч / -4 (h, к), проходящий через
его вершину, что -$Z(h, /)==^(/ι', к'), то говорят, что *4(h',k')
меньше ^(ή, /с), или что -4 (ή, к) больше -4 (А', к'), что
записывается так: -4"(Α'. Ό<^(Λ, ft), <£(/*> fc)>^(A', fc').
Можно доказать, что понятия «больше» и «меньше»
обладают следующими свойствами:
Теорема 5. 25. а) Для всяких двух отрезков АВ и CD имеет
место одно и только одно из трёх соотношений: либо AB==CD,
либо AB>CD, либо AB<:CD; б) Если АВ^А'В' и А'В'<А"В",
то АВ<^А"В" (свойство транзитивности).
Можно, далее, ввести понятие суммы и разности отрезков
и доказать:
в) Если АВ = А'В', CD<ZC'D\ то АВ + CD < А'В'+CD';
г) Если AB>CD, то --· AB>~-CD.
197
Такими же свойствами обладают понятия «больше», «меньше»
в применении к углам. Затем вводим понятия «острый» и
«тупой» углы.
Теорема о внешнем угле треугольника и другие
Теорема 5. 26. Внешний угол треугольника больше каждого
внутреннего угла, с ним не смежного.
Доказательство:
Пусть Дан А АВС (черт. 120). Докажем, что внешний ^CBF
больше внутреннего -4 АСВ.
По теореме 5. 18 существует середина D отрезка ВС. На
луче AD отложим отрезок DE, конгруэнтный отрезку AD, так,
чтобы точка D лежала между А и Ε (аксиома И^). В
треугольниках ACD и BDE имеем AD = DEt CD = DB, ^ADC^^BDE,
как вертикальные, поэтому в силу
теоремы 5. 6 AACD=/\BDE и,
следовательно, ^ACB — ^DBE.
Ε Докажем теперь, что луч BE лежит
внутри угла CBF. Так как луч АЕ есть
внутренний луч угла FAG (теорема 4. 10),
ρ то точка Ε лежит внутри этого угла, т. е.
В точка Ε лежит в той же полуплоскости
луча AF, что и луч AG, и в той же полу-
ерт' * плоскости луча AG, что и луч AF. Так
как все точки отрезка ВС являются
внутренними точками угла FAG (теорема 4. 9), то отрезок ВС лежит
в той же полуплоскости луча AF, что и луч AG. Поэтому точка
Ε лежит в той же .полуплоскости луча BF, что и луч ВС. С
другой стороны, точка Ε и луч BF расположены с точкой А по
разные стороны относительно прямой ВС, следовательно, точка Ε
расположена в той же полуплоскости прямой ВС, что и луч
BF. Таким образом, точка Ε лежит в той же полуплоскости
луча BF, что и луч ВС, и в той же полуплоскости луча ВС, что
и луч BF. Следовательно, точка Ε лежит внутри угла CBFt
а потому луч BE есть внутренний луч угла CBF. По
определению тогда "^ CBF^> -4 СВЕ и, следовательно, -4 CBF^> ^ АСВ.
Заметим, что Евклид доказывал существование параллельных
при помощи теоремы о внешнем угле треугольника. Однако,
как мы видели, соответствующую теорему 5. 23 можно доказать
и без помощи теоремы 5. 26.
Далее, могут быть доказаны теоремы о том, что во всяком
треугольнике по крайней мере два угла острые, что в треугольнике
против большего угла лежит большая сторона, и обратно, что
перпендикуляр короче наклонной, что сумма двух сторон
треугольника больше третьей стороны.
А/
198
Теорема 5. 27. Если две стороны одного треугольника
соответственно конгруэнтны двум сторонам другого, а углы,
заключённые между этими сторонами, не конгруэнтны, то
против большего из этих углов лежит и большая сторона (и
обратная теорема).
Можно далее доказать, что сумма углов треугольника не
превосходит 2d (теорема Лежандра).
Укажем ещё некоторые теоремы о круге, которые могут быть
доказаны при помощи аксиом I—III.
Определение. Пусть О — произвольная точка плоскости.
Множество всех точек Μ плоскости, для которых отрезки ОМ
конгруэнтны одному и тому же отрезку АВ (а следовательно, и между
собой), называется окружностью с центром в
точке О и радиусом АВ. Все точки плоскости Μι, для
которых ОМх<^АВ, называются внутренними точками к
окружности, их совокупность называется
внутренней областью окружности; все точки плоскости Μ 2,
для которых ОМ£>АВ, называются внешними точками
к окружности, их совокупность образует внешнюю
область относительно окружности.
При помощи аксиом I—III можно доказать следующие теоремы:
а) Конгруэнтным центральным углам в круге соответствуют
конгруэнтные хорды, и обратно.
б) Прямая пересекает окружность не более чем в двух точках.
в) Прямая, проходящая через точку окружности и
перпендикулярная к радиусу, соединяющему эту точку с центром, не имеет
более общих точек с окружностью и называется касательной к
окружности в указанной точке.
г) В каждый треугольник можно вписать одну и только одну
окружность.
д) Две окружности могут иметь не более двух общих точек,
в случае существования двух общих точек центры обеих
окружностей лежат на перпендикуляре, проходящем через середину
отрезка, соединяющего эти точки.
Однако при помощи аксиом I—III нельзя доказать, например,
что всякая прямая, проходящая через внутреннюю точку круга,
пересекает окружность или что две окружности, из которых одна
проходит через внутреннюю и внешнюю точку другой,
пересекаются. Нельзя также ещё доказать, что множество точек прямой
(а также множество прямых в плоскости и множество плоскостей
в пространстве) несчётно. Для доказательства этих предложений
необходимо ввести аксиому непрерывности.
Движение
Выше говорилось, что в системе Гильберта можно определить
понятие движения как производное. Дадим теперь это
определение.
199
Если множество всех точек пространства поставлено во взаимно
однозначное соответствие с множеством всех точек того же
пространства, то будем называть такое точечное соответствие
преобразованием или отображением
пространства в самого себя.
Определение. Движением называется такое
преобразование пространства в самого
себя, при котором всякий отрезок
преобразуется в конгруэнтный отрезок.
Нетрудно видеть, что определённое таким образом движение
существенно отличается от механического движения, ибо время,
скорость, промежуточные положения фигуры в этом определении
не играют никакой роли, фиксируется лишь положение прообраза
и образа. Коль скоро понятие конгруэнтности может иметь
различный смысл, то и понятие движения может получить различные
конкретные истолкования.
Что касается существования движений и их свойств, то они
выражаются в следующих предложениях, которые можяо доказать
при помощи гильбертовских аксиом I—III.
ΙΙΙ'Χ. Каждую точку пространства
движение преобразует в точку того же
пространства.
ПГ2. Если прямая а и лежащая на ней
точка А движением преобразуются в прямую
а' и τ о ч к у Л', то точка Л' лежит на прямой а'.
Заметим, что последовательное применение двух
преобразований называется произведением этих преобразований.
Ill'g. Совокупность всех движений
образует группу, т. е.:
а) Произведение двух движений есть
также движение.
б) Существует движение, при котором
каждая точка преобразуется сама в себя.
Такое движение называется
тождественным и играет роль единицы группы
движений.
в) Для каждого движения существует
обратное движение, произведение которого
сданным движением даёт тождественное
движение.
г) Произведение движений ассоциативно, т. е.
удовлетворяет сочетательному закону.
НГ4 Если три точки Л, β, С, из которых В
лежит между Л и С, при движении
преобразуются в точки Л', В', С\ то В' л е ж и τ между Л'
и С.
ПГб. Существует одно и только одно
движение, преобразующее данную точку Л, опре-
200
делённый луч с вершиной в А и
определённую полуплоскость относительно этого
луча соответственно в другую данную то ч-
ку А\ в определённый луч с вершиной в Л'
и в определённую полуплоскость
относительно этого луча
Шб. Существует движение, при котором
отрезок АВ переходит в отрезок В А.
Шу. С у щ е с τ в у е τ движение, при котором
(A, k) π е ρ е χ о д и τ в (А, К).
ПЦ. Если точка О и исходящий из неё луч
преобразуются движением в самих себя,
то каждая точка этого луча
преобразуется сама в себя.
При помощи предложений ΠΐΊ_8 можно далее доказать целый
ряд других теорем о движениях. Сформулируем некоторые из них:
1) Каждое движение преобразует прямую
в прямую, луч в луч, угол в угол, плоскость
в плоскость, полуплоскость в
полуплоскость, полупространство в полупространство.
2) Любое движение можно свести к
последовательному осуществлению двух
частных случаев движения: сдвига и вращения
около точки, т. е. любое движение можно
рассматривать как произведение сдвига
и вращения.
3) Задание двух конгруэнтных
тетраэдров вполне определяет движение,
преобразующее первый тетраэдр во второй, т. е.
положение пространственной фигуры
вполне определяется четырьмя её
точками, не лежащими в одной плоскости.
4) Заданием двух конгруэнтных
треугольников вполне определяется движение,
преобразующее первый треугольник во
второй, т. е. положение плоской фигуры
вполне определяется тремя её точками,
не лежащими на одной прямой.
Последнее предложение делает понятной ту важную роль,
какую играют в теории конгруэнтности признаки конгруэнтности
треугольников.
Относительно групповых свойств движений заметим, что, как
легко убедиться, вообще совокупность всех преобразований
пространства самого в себя есть группа. Отсюда заключаем, что
группа движений есть подгруппа группы
всех отображений пространства самого
в себя.
201
Если мы теперь, обратно, примем понятие движения за
основное, а предложения ИР^^примем в качестве аксиом движения,
то понятие конгруэнтности делается определяемым,
производным, а все аксиомы конгруэнтности Гильберта 111х 5 могут быть
доказаны как логические следствия аксиом I—II и ИГ.
Понятие конгруэнтности в этом случае определяется
следующим образом:
Определение. Две фигуры называются
конгруэнтными, если существует такое
движение, которое преобразует первую
фигуру во вторую.
Таким образом, мы можем резюмировать связь между
понятиями конгруэнтности и движения следующим образом: при
наличии аксиом Гильберта I—II аксиомы
конгруэнтности Гильберта IIIх 5 и аксиомы движения
111х 8 являются эквивалентными.
§ 6. ГРУППА IV (ПО ГИЛЬБЕРТУ V). АКСИОМЫ НЕПРЕРЫВНОСТИ
Наше наглядное представление о прямой или окружности
неразрывно связано с представлением об их непрерывности, т. е.
с представлением об отсутствии у них «просветов» или зияющих
отверстий. Факт непрерывности прямой обладает для нас столь
непосредственной и принудительной очевидностью, что в
течение всего многовекового развития геометрии вплоть до середины
XIX столетия ни у кого не возникало и мысли, что понятие
непрерывности нуждается в логическом обосновании. Евклид в
вопросах геометрии, связанных с понятием непрерывности,
неизменно прибегал к очевидности чертежа, считая соответствующие
факты геометрии само собой разумеющимися, о чём уже подробно
говорилось в первой главе.
Между тем целый ряд вопросов и проблем геометрии не мог
получить строгого обоснования без точной логической формулировки
понятия непрерывности. Таковы, например, упоминавшиеся уже
нами вопросы о пересечении окружности с прямой и окружностью.
Нельзя было также логически обосновать такую важнейшую
проблему геометрии, как теорию измерения отрезков, углов,
площадей и объёмов. Аналитическая геометрия, исходящая в своём
координатном методе из идеи непрерывности прямой и из взаимно
однозначного соответствия между множеством точек прямой и
множеством действительных чисел, также, начиная с Декарта,
строилась исключительно на данных наглядного представления,
а не на логических основаниях. В связи с последним
обстоятельством в математическом анализе имело место такое положение,
что при отсутствии строгой теории действительного числа весь
анализ фактически держался на шатком фундаменте наглядных
представлений о прямой. С одной стороны, при доказательстве
многих теорем о пределах и непрерывности ссылались на не-
202
прерывность геометрических образов, иллюстрирующих
соответствующие понятия анализа; с другой стороны, непрерывность
самих этих геометрических образов сводилась к нашим смутным
представлениям, не получившим точной математической формулировки
в аксиомах.
Таким образом, вся теория пределов и связанная с ней
непрерывность функции была в логическом отношении построена «на
песке».
Первый, кто поставил этот вопрос и дал точную формулировку
сущности понятия непрерывности, был Дедекинд (1831—1916)*).
Он поставил и разрешил две задачи: 1) в своей известной аксиоме
он дал точную логическую формулировку понятия непрерывности
прямой и этим создал надёжную основу для дальнейших
умозаключений геометрии; 2) независимо от геометрии он построил чисто
арифметическую теорию иррациональных чисел исключительно
на основе свойств системы рациональных чисел и тем самым
освободил анализ от необходимости апеллировать к наглядным
геометрическим представлениям, ибо теперь свойства системы
действительных чисел становились логическими следствиями общего
определения действительного числа.
С этого момента были поставлены на строго логическую почву
все чисто геометрические построения, связанные с непрерывностью
прямой, вся теория измерений в геометрии и все здание
аналитической геометрии и математического анализа (теория
пределов).
Вскоре после Дедекинда понятие непрерывности получило
логическую обработку в других формах в работах Вейерштрасса
и Г. Кантора. Гильберт в своих «Основаниях геометрии» выразил
непрерывность прямой в виде, отличном от указанных теорий.
Гильберт в своей системе не пользуется аксиомой Дедекинда,
а вместо неё вводит две аксиомы — аксиому Архимеда и так
называемую аксиому полноты, которые в своей совокупности
эквивалентны аксиоме Дедекинда относительно аксиом I—III групп.
Мы в своём изложении будем исходить из аксиомы Дедекинда.
Аксиома Дедекинда формулируется так:
IV. Если все точки отрезка АВ, включая
и его концы, распределены на два класса
так, что:
1) каждая точка отрезка принадлежит
одному и только одному из этих классов,
точка Л принадлежит первому классу,
а точка В — второму классу;
2) каждая точка первого класса,
отличная от Л,лежит между Ли любой точкой вто-
* Теория Дедекинда изложена з его небольшой работе «Непрерывность и
иррациональные числа» (1872 г.). Имеется русский перевод С.Шатуновского, 1923г.
203
рого класса, то на отрезке АВ су щес твует
одна и только одна такая точка С, что
всякая точка, лежащая между Л и С,
принадлежит первому классу, а всякая точка,
лежащая между С и В, принадлежит второму
классу. Сама точка С принадлежит либо
первому, либо второму классу.
(Не исключено, что точка С может совпасть с одной из точек Л
или В.)
Точка С называется точкой пограничной между двумя
классами; говорят также, что точка Сопредел яет деде-
киндово сечение отрезка (дедекиндова точка).
Замечания: 1) Строго говоря, требование
единственности точки С является лишним, ибо может быть
доказано. Действительно, допустим, что имеется ещё одна точка Сг,
производящая сечение отрезка АВ, и для определённости
предположим, что С лежит между А и Сг Так как Сх лежит между А
и 5, то по теореме 4.4 точка Сг лежит также между С и В. Пусть
теперь Μ—любая точка, лежащая внутри отрезка ССг По
теореме 4.4 эта точка Μ лежит между А и Clf т. е. попадает в
первый класс; но по той же теореме Μ лежит между С и β и,
значит, относится ко второму классу. Полученное противоречие и
доказывает единственность точки С.
2) В условии аксиомы IV говорится, что каждая точка первого
класса, отличная от Л, лежит между точкой А и любой точкой
второго класса Можно доказать, что каждая точка
второго класса, отличная οχ β, лежит между В
илюбой точкой первого класса.
В самом деле, пусть Υ есть некоторая точка второго класса и
X — любая точка первого класса По условию аксиомы точка X
лежит между Л и К, в то же время Υ лежит между Л и β;
следовательно, по теореме 4.4 точка У лежит между X и В.
3) Далее, можно доказать, что ни одна
точка одного из классов не лежит между
к а к о й-л ибо парой точек другого класса.
Действительно, допустим что точка Υ второго класса лежит
между точками Хх и Х2 первого класса.. Тогда по условию
аксиомы Хх лежит между Ли Υ, a Y по допущению лежит между Xt
и Х2, отсюда по теореме 4.3 Υ лежит между Л и А4, т. е. Хг не
лежит между А и Υ (теорема 4.2). Но, с другой стороны, точка
первого класса Х2 по условию аксиомы лежит между Л и К.
Полученное противоречие и доказывает требуемое.
4) Заметим, наконец, что аксиому Дедекинда можно
высказать для всей прямой, для чего достаточно
к первому классу дополнительно отнести все точки прямой,
лежащие относительно Л по другую сторону, нежели β, а ко второму
классу — все точки прямой, лежащие относительно В по другую
сторону, нежели Л.
204
Из аксиомы Дедекинда можно вывести два фундаментальных
предложения — постулат Архимеда и принцип Кантора.
IVj. (Постулат Архимеда.) Пусть АВ и CD —
два произвольных отрезка и пусть на луче
АВ с вершиной в Л взяты точки ^, Л2, i43
расположенные так, что Аг лежит между Ли Л2,
точка Л2 лежит между Л1иЛ3ит.д.> причём
отрезки ААг, АгА2, А2А3, ... конгруэнтны отрез-
к у CD. Тогда существует такой номер л, что
точка В лежит между Л и Л„.
Если воспользоваться понятиями «меньше» и «больше», то
постулат Архимеда можно высказать следующим образом.
Каковы бы ни были отрезки АВ и CD, в с е г д а
можно на прямой последовательно
отложить отрезок CD столько раз, чтобы
полученный отрезок был больше отрезка АВ.
Если мы полученный отрезок ААп обозначим в виде
произведения η · CD, то постулат Архимеда можно ещё выразить так:
Каковы бы ни были отрезки АВ и CD,
существует такое натуральное число я, чтоп-СО]>
>ЛВ.
IVa. (Принцип вложенных отрезков
Кантора.)
Пусть на произвольной прямой а дана
бесконечная последовательность
отрезков Л! Blt А2В2, Л3В3, ···» из которых каждый
последующий лежит внутри предыдущего,
пусть при этом не существует отрезка,
лежащего внутри всех отрезков данной
последовательности. Тогда на прямой а
существует одна и только одна точка Z,
лежащая внутри всех отрезков АгВг, Л282, Л3В8,...
Замечание. Если принять принцип Кантора за аксиому,
то, строго говоря, в предложении IV2 достаточно утверждать
существование по крайней мере одной точки Z, ибо еди нствен-
ность этой точки может быть доказана
В самом деле, допустим, что существуют две различные точки
Zx и Z2, лежащие внутри всех отрезков Л,В, (/--1,2,3....) В
таком случае легко доказать, что все точки отрезка ZtZt лежат
внутри всех этих отрезков AtBt, или, иначе говоря, отрезок ZXZ.<> лежит
внутри всех этих отрезков, что противоречит условию принципа
Кантора
Фундаментальная роль предложений IV, и IV, состоит в том,
что они лежат воснове всей теории измерения.
Именно постулат Архимеда позволяет при заданной единице
длины поставить каждому отрезку в соответствие некоторое
положительное число, которое называется длиной отрезка. Принцип
Кантора позволяет разрешить обратную задачу — для каждого
20j
положительного числа установить существование отрезка, для
которого это число является длиной.
Итак, докажем, что при помощи аксиомы IV можно вывести
предложения IV! и IV2.
Теорема 6. 1. Из аксиом Гильберта I—/// и аксиомы Дедекин-
да вытекает постулат Архимеда.
Доказательство:
Будем доказывать теорему от противного. Допустим, что
существуют такие два отрезка АВ и CD, для которых постулат
Архимеда несправедлив, т. е. каково бы ни было натуральное
число л, все точки А1з Л2, Л3,..., Л„, ... лежат между Л и В, или,
иначе, отрезок n-CD<^AB. Распределим все точки отрезка А В
на два класса следующим образом: к первому классу отнесём зсе
такие точки X, для каждой из которых существует натуральное
число п, удовлетворяющее условию η · CD^>AX; такие точки
назовём «архимедовыми». Ко второму классу отнесём все такие
точки Υ, для которых такого натурального числа не существует,
т. е. каково бы ни было число п, всегда η · CD<AY, такие точки
отрезка' назовём «неархимедовыми».
Очевидно, что каждая точка отрезка АВ относится к одному
и только к одному из указанных двух классов, при этом точки Л,
Аг, Л2, Л3, ..., АПУ... все относятся к первому классу, т. е.
архимедовы, а точка В по допущению неархимедова, т. е. принадлежит
второму классу. Далее, каждая точка первого класса лежит
между Л и любой точкой второго класса. В самом деле, пусть X есть
какая-нибудь точка первого класса, a Y — любая точка второго
класса. Тогда существует такое натуральное число п, что η · CD ^>
>ЛХ и в то же время η · CD<^AY, т. е. AX<^AY, т. е. X лежит
между А и Y.
Таким образом, наше разбиение точек отрезка АВ на два
класса удовлетворяет условиям аксиомы IV, а потому существует одна
и только одна такая точка «S отрезка АВ, что все точки, лежащие
между А и S, являются архимедовыми, а все точки, лежащие
между S и β, являются неархимедовыми. Сама точка 5 должна
принадлежать либо первому, либо второму классу. Но точка 5 не
может быть точкой первого класса, ибо при этом допущении
существовало бы такое натуральное п, что η · CD^>AS, т. е.
точка Ап первого класса оказалась бы неархимедовой точкой, что
невозможно. Следовательно, точка 5 должна принадлежать второму
классу. По аксиоме II \г можно на луче ЯЛ с вершиной в 5
отложить отрезок SE=CD. Точка £, лежащая между Л и5, —
архимедова, а потому найдётся такое натуральное п, что η · CD^>AE,
в то же время η - CD <; AS. Следовательно, точка Ап лежит между
Ε и 5, а потому Ап S<^CD. Точка Ап+1 лежит между Ап и 5, т. е.
Ап Ап+1<^Ап «S, отсюда Ап An+1<^CD. По условию же постулата
Архимеда Ап An+l==CD. В силу теоремы 5. 25 а) мы получили
206
опять противоречие. Итак, точка S не принадлежит ни первому,
ни второму классу, а это противоречит аксиоме Дедекинда, что
и доказывает справедливость постулата Архимеда.
Теорема 6. 2. Из аксиом Гильберта I—/// и аксиомы Дедекинда
вытекает принцип Кантора.
Доказательство:
Пусть все условия предложения IV2 выполнены, при этом
любая точка AiU>1) лежит между Ах и любой точкой Bk.
Распределим все точки отрезка А1В1 на два класса: к первому классу
отнесём все точки Ah а также все те точки отрезка АгВ19 которые
лежат между точкой Аг и любой из точек Л,·; ко второму классу
отнесём все остальные точки отрезка АгВ19 в этот класс, в
частности, попадут все точки Bt. Очевидно, что это разбиение на два
класса удовлетворяет условиям аксиомы Дедекинда. Поэтому в
силу этой аксиомы существует одна и только одна точка С, которая
определяет сечение. Следовательно, все точки, лежащие между Аг
и С суть точки первого класса, а все точки, лежащие между С и Bl9
принадлежат второму классу. Так как С не лежит между Αι и
любой из точек Аш>1) и не совпадает ни с одной точкой Аь
(совпадение возможно было бы лишь в случае, когда, начиная с
некоторого номера k, все точки Ak, Ak+li Ak+2i...
совпадают), то С не принадлежит первому классу. В то же время все
точки β; (|>1), как точки второго класса, лежат между С и Вг.
Следовательно, точка С есть точка второго класса, лежащая внутри
всех отрезков А{ Βέ. Она единственная точка, обладающая этим
свойством, в силу замечания к предложению IV2.
Итак, мы доказали, что постулат Архимеда и принцип Кантора
при наличии аксиом Гильберта I—III являются следствиями
аксиомы Дедекинда. Оказывается, что имеет место и обратное
предложение.
Теорема 6. 3. Из аксиом Гильберта I—/// и предложения
Архимеда IV1 и Кантора IV2 вытекает предложение Дедекинда IV.
Доказательство:
Пусть произведено распределение всех точек отрезка АВ на
два класса, удовлетворяющее условиям предложения Дедекинда
IV. Нужно доказать существование точки, определяющей дедекин-
дово сечение отрезка АВ.
Разделим отрезок АВ пополам (теорема 5.18), тогда концы
одной из половин отрезка АВ принадлежат различным классам;
обозначим этот отрезок через АХВХ. Разделим отрезок АХВХ снова
пополам, обозначим через А2В2 ту из половин, концы которой
принадлежат разным классам. Продолжая этот процесс деления
пополам неограниченно, мы получим бесконечную
последовательность отрезков АВ, А±В1ч Л8£2,..., АпВп , ..., из которых каждый
207
последующий содержится внутри предыдущего, причём концы
At все относятся к первому классу, a β,— ко второму.
Легко методом от противного доказать, что всякая точка X,
лежащая между А и любой точкой А., будет точкой первого класса,
а всякая точка Y, лежащая между В и любой точкой β., есть
точка второго класса.
Докажем, что не существует отрезка, лежащего внутри всех
отрезков А.В.. Действительно, пусть CD — произвольный
наперёд заданный отрезок. Тогда на основании постулата
Архимеда существует такое натуральное число п, что n-CDy>
>ЛВ. Всегда можно найти такое натуральное число ал, чтобы
выполнялось неравенство 2т>п. Следовательно, будем иметь
2m-CD^>n-CD>AB. Так как отрезок АтВт получился в
результате m-кратного деления пополам отрезка АВ, то2тАтВт^АВу
а потому имеем 2rn-CD^>2mAmBm. Отсюда на основании теоремы
5.25 г) AmBm<^CDy т. е. при достаточно большом натуральном т
все отрезки АтВт, Ат+1Вт+1, Ат+2Вт+2, .... недодержат
отрезка, конгруэнтного отрезку CD, каков бы ни был последний.
Таким образом, последовательность вложенных отрезков AiBi
удовлетворяет всем условиям принципа Кантора, а
потому на основании этого принципа (принимаемого нами теперь
за аксиому) существует одна и только одна такая точка Ζ отрезка
ЛВ, которая принадлежит всем отрезкам последовательности.
Докажем, что эта точка Ζ и есть дедекиндова точка.
Действительно, любая точка X, лежащая между А и Ζ, либо
совпадает с одной из точек Л,., либо лежит между А и Л., т. е.
принадлежит первому классу, а любая точка К, лежащая между Ζ
и β, либо совпадает с одной из точек β., либо лежит между В. и
β, т. е. принадлежит второму классу. Единственность точки Ζ
вытекает сама собой в силу замечания 1) к аксиоме Дедекинда.
Итак, если мы к аксиомам Гильберта I—III присоединим в
качестве аксиомы предложение Дедекинда IV, то предложения
Архимеда и Кантора доказываются, как теоремы; если же к аксиомам
I—III присоединить в качестве аксиом постулат Архимеда IV\ и
принцип Кантора IV2, то предложение Дедекинда IV становится
их следствием. Таким образом, мы можем сделать следующее
заключение.
Теорема 6. 4. Аксиома Дедекинда при наличии аксиом I—///
эквивалентна совокупности двух аксиом, аксиомы Архимеда и
аксиомы Кантора.
Можно доказать, что одна аксиома Кантора не эквивалентна
аксиоме Дедекинда и что аксиома Архимеда не зависит от аксиомы
Кантора, так же как аксиома Кантора не зависит от аксиомы
Архимеда.
Из изложенного вытекает, что мы в качестве аксиом
непрерывности можем по желанию либо взять аксиому Дедекинда IV, либо
две аксиомы: IV2 (Архимеда) и 1V2 (Кантора).
208
Предложения Дедекинда, Архимеда и Кантора могут быть
распространены и на углы, причём все они в этом случае могут быть
доказаны, как теоремы.
Теорема 6. 5. (Предложение Дедекинда для углов.) Если все
внутренние лучи, выходящие из вершины 0^c(h, k), а также лучи h
и k распределены на два класса так, что:
1) каждый луч принадлежит одному и только одному из
классов, луч h принадлежит первому классу, а луч k — второму,
2) каждый луч первого класса, отличный от h, лежит между
h и любым лучом второго класса, то существует один и только один
такой пограничный луч I, что всякий луч, лежащий между h и I,
принадлежит первому классу, а всякий луч, лежащий между I и k,
принадлежит второму классу. Сам луч I принадлежит либо
первому, либо второму классу.
Все замечания, сделанные в отношении аксиомы Дедекинда для
отрезков, сохраняют свою силу и для углов.
Доказательство:
Пусть отрезок АВ (черт. 121) соединяет точки А и В, взятые
соответственно на лучах h и k. По теореме 4. 10 лучи, лежащие
между h и k, пересекают отрезок АВ во
внутренних его точках. Ставя друг другу .
в соответствие внутренний луч с точкой его By/^ у
пересечения с отрезком АВ, мы приведём Уу^^^ е
во взаимно однозначное соответствие мно- у^^^Сх^ ж
жество всех внутренних лучей ^ (h, k) с /7,^
множеством всех точек отрезка АВ с сохране- ^ h
нием одинакового взаимного расположения
тех и других. При этом разбиению лучей на Черт. 121.
два класса будет соответствовать разбиение
точек отрезка АВ на два класса, удовлетворяющее условиям
аксиомы Дедекинда. Поэтому на отрезке АВ существует
единственная точка L, производящая сечение. Луч /, проходящий через
точку L, и будет пограничным лучом.
Формулировку предложений Архимеда и Кантора для углов
предоставляем читателю.
Как уже говорилось в начале настоящего параграфа, аксиомы
непрерывности вместе с аксиомами I—III дают возможность
решить проблему измерения отрезков и углов, а также установить
взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек
прямой и множеством всех вещественных чисел, что позволяет
установить несчётность множества точек прямой и обосновать
введение координат на прямой, плоскости и в пространстве.
Оставляя рассмотрение всех этих вопросов до главы IV,
остановимся на доказательстве теоремы о пересечении окружности
с прямой.
209
Теорема 6. 6. Прямая, лежащая в одной плоскости с
окружностью и проходящая через внутреннюю точку k окружности,
пересекает эту окружность в двух точках. '
Доказательство:
Пусть прямая а проходит через внутреннюю точку Ρ к
окружности с центром О, радиус которой конгруэнтен отрезку г
(черт. 122). Будем предполагать, что прямая а не проходит чет
рез центр О, ибо в случае прохождения её через О теорема легко
доказывается на основании аксиомы ΙΙΙ1#
По теореме 5. 21 существует единственный перпендикуляр,
опущенный из О на прямую а. Пусть его основанием является точка
Л, вообще говоря, не совпа-
о дающая с Р. Так как перпен-
дикуляр короче наклонной,
то ΟΑ^Χ)Ρ<Ύ, τ. е. А есть
внутренняя точка
окружности. Отложим на прямой а
отрезок АВ^г в какую-либо
сторону от А. Так как пер-
г пендикуляр АВ короче
наклонной ОВ, то OBt>AB^r,
Черт. /22. т. е. точка В — внешняя
точка. Итак, на прямой АВ мы
имеем две точки: Л и В, причём первая — внутренняя, а
вторая — внешняя к окружности.
Разобьём теперь все точки отрезка АВ на два класса: к
первому классу отнесём все те точки X, для которых ОХ</„
т. е. внутренние к окружности; ко второму — все остальные
точки, т. е. такие точки У, Для которых OYT^r. Очевидно, что каждая
точка отрезка АВ попадает в один и только один из этих двух
классов, точка Л попадает в первый, а В во второй класс.
Далее, каждая точка первого класса лежит между Л и любой
точкой второго класса, ибо OX<^OY, в силу чего AX<iAY
(большей наклонной соответствует и большая проекция). Все
условия аксиомы Дедекинда выполнены, а потому в силу этой
аксиомы на отрезке АВ существует единственная точка С,
которая производит сечение. Докажем, что С принадлежит
второму классу.
Действительно, если допустить, что точка С принадлежит
первому классу, т. е. ОС<1г, то по аксиоме III,. на луче СВ
можно будет отложить СЕ^г—ОС. Тогда АЕ=АС+СЕ<ОС-{-
-\-СЕ~г^АВ, т. е. точка Ε лежит между С и β, а потому
любая внутренняя точка Υ отрезка СЕ лежит между С и β
и, следовательно, принадлежит второму классу. В то же время из
треугольника OCY имеем OY<OC+CY<^OC+CE=r, т. е. 07 <
<V, что для точки второго класса невозможно. Полученное
противоречие и доказывает, что С есть точка второго класса
210
и, следовательно, либо ОС^>г, либо ОС=г. Докажем, что
неравенство О.Ог приводит к противоречию. Действительно, если
допустить, что О.СГ>г, то в силу аксиомы ΙΙΙχ можно будет
на луче СА отложить отрезок CD=OC—r, но АС>ОС—ОА>
*>ОС—r=CD. Следовательно, D лежит между Л и С. Любая
точка X, лежащая внутри отрезка CD, лежит между Л и С и
принадлежит первому классу. В то же время из треугольника OCX
имеем ОХ*>ОС—СХ^>ОС—СО=г, т. е. ОХ^г, что для точки
первого класса невозможно. В силу теоремы 5. 25 а) отсюда
следует, что ОС=г, т. е. прямая а пересекает окружность в точке С.
Отложив теперь на прямой а по другую сторону от точки А
отрезок АСг=АС, из конгруэнтности треугольников О АС и OACt
(теорема 5. 6) убеждаемся, что ОС^ОС^г, т. е. точка Сх
есть вторая точка пересечения прямой с окружностью.
Легко, наконец, показать, что третьей точки пересечения Не
существует.
Совершенно аналогичным образом, хотя и с некоторыми
усложнениями, можно, опираясь на аксиому Дедекинда, доказать
теорему:
Теорема 6. 7. Если две окружности лежат в одной
плоскости, причём одна из них проходит через внутреннюю и
внешнюю точки к другой, то эти окружности пересекаются в двух
точках.
Доказательство:
Пусть окружность /Сх с центром в точке Ог радиуса гг
проходит через точки А к В, где А — внутренняя, а В—внешняя
точка относительно окружности К с центром в точке О
радиуса г (черт. 122 а).
Точки О и О! не совпадают, ибо в противном случае
окружности К и Кх были бы концентрическими и Кг проходила бы или
только через внешние (при г{^>г), или только через внутренние
(при г^г) точки относительно окружности /С, или совпадала
бы с окружностью К (при гг=г). Не нарушая общности, можно
считать, что прямая АВ не проходит через Οχ.
Рассмотрим угол АОхВ. Каждый внутренний луч этого угла
пересекает окружность К\ в единственной точке М,' ОгМ^гь
(теорема 6. 6). Разобьём все внутренние лучи этого угла и его
стороны на два класса: к первому классу отнесём все те лучи,
которые пересекают окружность /Ct в точках М, внутренних
относительно К (т. е. для которых OM<^r), a ко второму —
остальные лучи (для которых ОМТ^г). Легко убедиться, что
наше разбиение удовлетворяет всем условиям теоремы
Дедекинда об углах (теорема 6. 5), что предоставляем сделать
читателю. На основании этой теоремы можно утверждать, что
существует единственный пограничный луч 0±S, такой, что все
лучи, лежащие между 0.гА и Οβ, принадлежат первому классу,
211
а все лучи, лежащие между Οβ и 0LB,—второму классу. Луч
O^S может входить либо в первый, либо во второй класс.
Покажем, что луч Οβ принадлежит второму классу.
Допустим, что он входит в первый класс. Тогда лежащая на
нём точка Λί0 окружности Кг (01Mi^r1) есть внутренняя точка
относительно окружности /С, т. е. ОМ0<^ г. Возьмем на луче
ОМ0 произвольную точку F, такую, что OM0<^OF<^r (черт. 1226).
Пусть L—середина отрезка MQF4 т. е. M0L == - M0F.
Опустим из М0 перпендикуляр М0Р на луч 0YL. Тогда MUP^M0L, т. е.
M{tP^~M0F.
На перпендикуляре МиР возьмём далее точку N,
симметричную к М0 относительно прямой OxL. Тогда 01N^01M{^rli
т. е. точка N лежит на окружности Кх и -4/101S<^i401A/t т. е.
луч OxN лежит между лучами OxS и ОхВ и, следовательно,
принадлежит второму классу.
Но в то же время из треугольника OM{)N и из (*) видим,
что ON<VMu+Ml>N^OM0+2M1P%OM{)+M0F^OF<:r1 т. е. ОЛ/<
<У. Следовательно, луч ΟτΝ входит в первый класс.
Полученное противоречие свидетельствует, что луч OtS есть луч
второго класса и, следовательно, ОМ0^>г.
Далее, совершенно аналогично можно показать, что
предположение о том, что ОМ0>г приводит к противоречию
(предоставляем это сделать читателю). Отсюда на основании теоремы
5. 25а) следует, что 0/И0=г.
Таким образом, точка M{i есть общая точка окружностей /(»/(,.
Возьмём теперь точку МО, симметричную к М0 относительно
линии центров ООх (черт. 122а). Тогда легко получаем:
ОМ'0=ОМ0=г, O^o'sOjAlosrj.
212
Это значит, что существует вторая точка пересечения ЛГ0
окружностей К и Кг.
Остаётся показать, что третьей точки пересечения
окружностей, отличной от Л10 и Л4'0, не существует. Это легко
доказывается от противного, чем и завершается доказательство теоремы.
Теоремы 6.6 и 6. 7 являются основными в вопросах
построения при помощи циркуля.
В § 5 мы доказали, не опираясь на аксиому непрерывности,
что всякий отрезок можно разделить на 2т конгруэнтных
частей (теорема 5.18 и следствие). Пусть теперь η — любое
натуральное число. В школьном курсе геометрии, как известно,
возможность деления отрезка на η конгруэнтных частей или,
иначе, существование для каждого отрезка АВ такого отрезка CD,
что n-CD^AB, доказывается путем построения ряда
параллельных. Мы сейчас докажем существование такого отрезка, не
опираясь на аксиому о параллельных, и, тем самым, убедимся, что
это предложение принадлежит абсолютной геометрии. При
доказательстве придётся опираться на аксиому непрерывности.
Теорема 6. 8. Для каждого отрезка АВ, каково бы ни было
натуральное число п, существует пмкой отрезок AD, что
n-AD=AB или ΑΌ= * АВ.
η
Доказательство:
Теорему достаточно доказать для л=£2т, так как случай
я = 2да рассмотрен в § 5. В таком случае п^>2. Разобьём все
точки данного отрезка АВ (черт. 123) на два класса, относя к
первому классу все те точки X,
для которых η·ΑΧ<^ΑΒ, а к f
второму классу — все остальные д -"^ г ~q g
точки Υ отрезка АВ. Докажем,
что это разбиение удовлетво- Черт. 123.
ряет всем условиям аксиомы IV.
В самом деле, оба класса не пусты, например точка В и середина
отрезка Ε принадлежат второму классу, ибо п]>2, а всякая
точка F, для которой AF= АВ, где 2m^>nt принадлежит
первому классу, ибо η · AF<2m - AF=AB. Отнесём к первому классу
и точку А. Далее, каждая точка отрезка АВ попадёт в один и
только один из двух классов в силу теоремы 5. 25а).
Наконец, каждая точка X первого класса лежит между А и любой
точкой Υ второго класса, ибо η · ЛХ<ЛВ, η · ΑΥ^ζ АВ, откуда
η · ΑΧ<η·ΑΥ и ΑΧ<ΑΥ.
В силу изложенного по аксиоме IV на отрезке АВ
существует единственная точка D, пограничная для обоих классов,
принадлежащая либо первому, либо второму классу. Допустим,
что D — точка первого класса, тогда η · AD< АВ. Пусть η · ΑΩέξξ
213
=AG<^AB. Рассмотрим отрезок GB. По следствию теоремы 5. 18
существует отрезок Οβ, где 2т^>п. Возьмём отрезок AS=
=ЛО+ -Kfn-GB. Так как AS>AD, то 5 —точка второго класса,
«о
п- AS=n- AD+n^'OB^AO+OBEzAB,
следовательно, точка S принадлежит также первому классу.
Полученное противоречие свидетельствует, что точка D не
может быть точкой первого класса, а значит, она принадлежит
второму классу. Тогда либо η · AD^>AB, либо η · AD^AB.
Предположим, что η · AD^>AB. Пусть η · AD^AG^AB и возьмём
отрезок— -BGly где 2т>п. Тогда отрезок ASX=AD -· BG^AD
ζ ζ
и точка St принадлежит первому классу.
С другой стороны,
η · AS^n · AD - n^BG^>AQ1 _ BGX=AB
и 5Х принадлежит также второму классу. Из этого
противоречия заключаем, что предположение n-AD^AB следует
отбросить. Остаётся, что π-ΑΩξξξ ΑΒ. Теорема доказана.
§ 7. ГРУППА V (ПО ГИЛЬБЕРТУ IV). АКСИОМА ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ
Совокупность рассмотренных нами аксиом, входящих в
группы 1 — IV, ещё недостаточна для обоснования евклидовой
геометрии, необходима ещё аксиома параллельности.
Все те предложения геометрии, которые могут быть
доказаны на основе аксиом соединения, порядка, конгруэнтности
и непрерывности, составляют абсолютную геометрию.
К абсолютной геометрии относится, как мы видели, теорема
о том, что через точку, лежащую вне прямой, в определяемой
ими плоскости проходит по меньшей мере одна прямая, не
пересекающая данной прямой (теорема 5. 24); гарантируя
существование такой прямой, эта теорема, однако, не предрешает,
будет ли указанная прямая единственной.
В зависимости от того, примем ли мы в качестве
дополнительного требования, чтобы указанная прямая была единственной
или нет, мы получим соответственно либо геометрию Евклида,
либо геометрию Лобачевского. Абсолютная геометрия,
основанная лишь на аксиомах групп I—IV, является общей частью этих
геометрий.
Аксиому параллельности евклидовой геометрии можно
сформулировать так:
V. Пусть а — произвольная прямая и А — точка,
лежащая вне прямой; тогда в плоскости, опреде-
214
ляемой ими, через точку А можно провести не
более одной прямой, не пересекающей а*).
На основании теоремы 5. 24 и аксиомы V немедленно
заключаем, что через точку Л проходит одна и только одна
прямая, не пересекающая а\ эта прямая называется
параллельной к прямой а.
Теперь, опираясь на аксиомы I—V, мы имеем возможность
доказать весь ряд теорем собственно евклидовой геометрии. Мы
можем доказать 5-й постулат Евклида, теорему, обратную
теореме 5. 23, теорему о том, что S/\ = 2d\ что внешний угол
треугольника равен, сумме двух внутренних углов, с ним не
смежных. Можно также доказать, что через всякие три точки
плоскости, не лежащие на одной прямой, прохойит
единственная окружность, что вписанные в окружность углы,
опирающиеся на равные хорды, равны; можно, Далее, развить всю теорию
подобия фигур, теорию измерения площадей, доказать теорему
Пифагора. Всё это позволяет затем обосновать декартову
аналитическую геометрию и тем самым арифметизировать
евклидову геометрию.
Если бы мы в аксиоме V вместо слов «не более одной
прямой» поставили слова «более одной прямой», то мы получили
бы аксиому Лобачевского, и тогда система аксиом I—V
определяла бы геометрию Лобачевского. Таким образом, на основе
аксиом I—IV возможно построение лишь двух геометрий,
Евклида и Лобачевского, в зависимости от
присоединения той или иной аксиомы параллельности. Никакой третьей
геометрической системы при наличии аксиом I—IV построить
нельзя.
Возможность геометрии Лобачевского одновременно
свидетельствует о том, что аксиома V или эквивалентный ей 5-й
постулат Евклида не зависят от аксиом I—IV. В связи с этим
напомним, что для всех попыток доказательства 5-го постулата
было характерно отсутствие правильной постановки этой
проблемы; эта постановка носила неопределённый, расплывчатый
характер, ибо не было известно полного перечня аксиом
абсолютной геометрии, лишь на основе которых и следовало
пытаться доказывать 5-й постулат.
Теперь, когда в нашем распоряжении имеется полная
система аксиом Гильберта, возможно дать точную формулировку
*) В этой формулировке аксиома V содержит лишние требования.
Достаточно потребовать, чтобы она выполнялась лишь для одной определённой точки и
одной определённой прямой. Тогда аксиома V может быть высказана так: V.
Существует некоторая прямая а и некоторая точка А вне её, такие, что в
плоскости, определяемой ими, через точку А можно провести не более одной прямой,,
не пересекающей а.
Что этим свойством обладает любая прямая и любая не лежащая на ней
точка, можно доказать. Доказательство имеется в книге Р. Бальдуса
«Неевклидова геометрия».
215
проблемы доказательства 5-го постулата Евклида. Проблема эта
заключается в следующем: можно ли на основе аксиом
групп I—IV доказать аксиому V (или
равносильный ей 5-й постулат)? или иначе: является ли
аксиома V независимой от аксиом соединения,
порядка, конгруэнтности и непрерывности или нет?
Построением своей геометрической системы Лобачевский
дал уже известный нам отрицательный ответ на этот вопрос:
аксиому V нельзя вывести из аксиом I—IV. Однако
этот результат Лобачевского будет обладать несомненной
убедительностью лишь в том случае, если мы докажем логическую
непротиворечивость его геометрии.
В заключение следует ещё сказать, что если мы в системе
аксиом Гильберта отбросим и заменим некоторые другие
аксиомы, то возможны геометрические системы, отличные и от
геометрии Евклида, и от геометрии Лобачевского. Такой,
например, геометрией является эллиптическая геометрия Римана, в
которой через точку, лежащую вне прямой, не проходит ни
одной параллельной к данной прямой. Для построения этой
геометрии следует внести изменения в аксиомы II, III, IV групп.
Некоторое представление о двумерной эллиптической геометрии
Римана читатель получит, ознакомившись с содержанием § 9
главы V.
ГЛАВА IV
ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
Вопросы, связанные с измерением геометрических величин
(отрезков, углов, дуг окружностей, площадей и объёмов),
имеют большое практическое значение и занимают значительную
часть школьного курса геометрии. Настоящая глава содержит
логическое обоснование теории измерения на основе
аксиоматики геометрии, изложенной в главе III. Особенное внимание
уделено логической связи вопросов измерения с аксиомами
группы IV (непрерывности), о значении которых в этом отношении
говорилось в начале § б главы III.
§ 1. ИЗМЕРЕНИЕ ОТРЕЗКОВ
При помощи аксиом порядка и конгруэнтности мы имели
возможность ввести понятия «меньше» и «больше» для отрезков
и вывести их основные свойства (см. гл. III, § 5). Таким
образом, мы получили возможность сравнения отрезков без понятия
длины отрезка, без использования понятия числа. Но для
построения теории измерения отрезков и других геометрических
величин без понятия о вещественных числах обойтись нельзя.
Поэтому мы будем заранее предполагать уже
известной теорию вещественного числа, построенную
независимо от геометрии.
Таким образом, в теории измерения геометрических величия
мы будем опираться не только на аксиомы Гильберта I—V, но
и на теорию действительного числа (и на основанную на этой
теории теорию пределов).
Прежде чем сформулировать, в чём заключается основная
задача теории измерения отрезков, дадим определение понятия
длины отрезка**.
*) Заметим, что следовало бы во избежание двусмысленности строго
различать три термина: 1) «Отрезок», как совокупность двух точек (см. определение
отрезка в § 4 главы III), 2) «длина отрезка», как часть прямой, ограниченная
двумя точками, 3) «мера длины», как число, отнесённое к отрезку в соотвегст-
вии с нижеприводимым определением. 1. Однако для краткости речи вместо
термина «мерз длины» употребляют обычно термин «длина», чего мы и будем
придерживаться. Вместо термина «измерение длин» тогда правильнее будет говорить
^измерение отрезков»
217
Определение 1. Пусть каждому отрезку АВ поставлено в
соответствие положительное число ρ (АВ) так, что при этом
выполняются следующие три условия:
а) конгруэнтным отрезкам соответствуют равные числа
(свойство инвариантности);
б) если точка В лежит между Л и С, то отрезку АС
соответствует число, равное сумме чисел, соответствующих
отрезкам АВ и ВС, т. е.
ρ (АС) = ρ (АВ + ВС) = ρ (АВ) + ρ (ВС)
(свойство аддитивности);
в) некоторому определённому отрезку PQ соответствует
число 1.
Тогда число р(АВ) называется длиной отрезка АВ,
отрезок PQ называется единицей измерения отрезков или
линейной единицей.
Заметим сразу же, что если действительно множество всех
отрезков отображено в множество положительных чисел, как
указано в определении 1, то из условий а) и б) немедленно
вытекает, что выполняется также и условие
г) большему отрезку соответствует и большая длина
(свойство монотонности).
В самом деле, если AC^>DE, то это означает, что на
отрезке АС существует такая внутренняя точка В, что AB=DE.
Тогда по свойству a) p(DE) = р(АВ), а по свойству б) р(АС) = р(АВ)-\-
+Р(ВС)> р(АВ)= p(DE).
Естественно возникает вопрос, правомерно ли наше
определение, возможно ли множеству всех отрезков поставить в
соответствие множество положительных чисел с соблюдением
условий а), б) и в) и будет ли это соответствие однозначным?
Основная задача теории измерения отрезков как раз и
заключается в том, чтобы на основе аксиом Гильберта и теории
действительного числа доказать возможность установления
указанного соответствия или, как говорят, доказать возможность
установления системы измерения отрезков. Иными словами,
основная задача теории измерения отрезков состоит в
доказательстве существования и единственности
длины для каждого отрезка.
Приступая к решению этой задачи, будем предполагать
известным из курса элементарной геометрии доказательство
существования несоизмеримых отрезков и рассмотрим два случая.
Случай 1. Пусть отрезок АВ соизмерим с
единицей измерения PQ.
В этом случае существует общая мера отрезков АВ и PQ,
т. е. существует такой отрезок РРг (черт. 124), который
укладывается без остатка q раз в отрезке PQ и ρ раз в отрезке АВ,
где ρ и q— натуральные числа, так что
РРх^РгР^ . . . ^p^q^AA^A.A^ .. . ^Λρ_ιβ (*)
218
Предположим теперь, что измерение отрезков в смысле
определения 1 возможно, и выясним в этом предположении,
какую длину должен иметь отрезок АВ. Так как в силу только-
что сказанного должны иметь место условия а), б) и в), то р{АВ) =
BSp(AA1)+p(A1A2)+ . . . + р{Ар-гВ) в силу условия б), p(PQ)=>
=Ρ(ΡΡι) + ρ(ΡιΡ2)+ · · · + P(Pq-iQ) B силу того же условия б).
Тогда из конгруэнтности (*) и условия а) вытекает, что
р(АВ)=р piPPJ, p(PQ) = q p(PPx) (**).
Так как p(PQ) = 1, то из второго
равенства (**) имеем р(РРг)= ί £· £l_ ·, L АГ ?
1
а тогда из первого равенст-
-+-
ва (**) получим: у
п Черт. 124.
р(ЛВ)«-£-.
я
Покажем, что этот результат не зависит от выбора
общей меры отрезков АВ и PQ. В самом деле, пусть РР' —
другая их общая мера, содержащаяся q' раз в PQ и р* раз в АВ,
где р' и q' — натуральные числа.
р'
Тогда аналогично прежнему получим длину р'(ЛВ)=-^—.
я'
Разделим теперь отрезок PQ на qqf конгруэнтных частей
(теорема 6. 8 гл. III). Для полученного отрезка РР" будем иметь по^
свойству транзитивности конгруэнтности отрезков
PQ^q.PP^q'PP'^qq'-PP".
Отсюда
PPx=q'-PP\ PP'=q-PP*.
Далее,
AB^p.PP^pq'-PP',
AB=p'-PP'=p'q-PP*.
Следовательно, pq'-PP"=p'q-PP,n а тогда pq' = p'q*
Отсюда заключаем, что
р'(ЛВН-4-=—=Р(АВ).
я' я
Итак, мы пришли к следующему, пока условному
результату: если измерение отрезков в соответствии
с определением 1 возможно, то в случае, когда
данный отрезок АВ имеет с единицей измерения
общую меру, которая содержится ρ раз в отрезке
АВ и q раз в единице измерения, длиной этого
отрезка может быть лишь единственное полстжи
тельное рациональное число —, не зависящее от
Я
выбора общей меры отрезков.
219*
Если мы теперь каждому отрезку АВ, соизмеримому с
единицей измерения PQ, сопоставим полученное вышеуказанным
способом число — и докажем, что эти числа удовлетворяют
условиям а), б) и в) определения 1, то этим самым будет доказано
существование длин у таких отрезков, именно р(АВ) = -р~.
Что касается условий а) и в), то они очевидно
удовлетворяются. Остаётся проверить выполнимость условия б). Пусть двум
соизмеримым с PQ отрезкам АВ и ВС сопоставлены полученные
вышеуказанным образом числа -^—
• · · ρ" ^
а зон ото значит, что некоторый
pphpV q отрезок РР' (черт. 125) содержится
q' раз в PQ и р' раз в Л β, а некото-
Черт. 125. рым отрезок РР" содержится q"
раз в PQ и р" раз в ВС Посмотрим,
какое число будет соответствовать отрезку АС=АВ+ВС. Для
этого разделим отрезок PQ на q'q" конгруэнтных частей
(теорема 6. 8 гл. III). Тогда для полученного офезка РР'" будем
иметь:
PQ==q'q" .PPn,=q' .PP'^q" -РР".
Следовательно,
PP'=q".PP'\ PP"=qf.PP"'.
Далее,
AB=p§.PP'=f/<f.pP'".
ВС=р"РР" = pnq'Ρ Ρ'".
Следовательно,
АС=АВ+ВС^(р'дп + р''Ч').рР'",
т. е. отрезок РР'" содержится в PQ q'q" раз, а в AC p'q" + p'q' раз.
Значит, отрезку АС будет соответствовать число
p'q" q' q"
Таким образом, условие б) выполняется.
Итак, мы приходим к следующему окончательному результату:
Теорема 1. 1. Всякому отрезку АВ, соизмеримому с
единицей измерения PQ< может быть поставлено в соответствие
единственное положительное рациональное число р(АВ) так, что
β этЬм соответствии выпожяются условия а), б) и в). Именно
р(АВ)=—, если общая мера отрезков АВ и PQ содержится q
я
раз в Рк4 и ρ раз в АВ; это число и является длиной отрезка АВ,
220
Случай 2. Пусть отрезок АВ несоизмерим
с единицей и-зме рения PQ.
В этом случае предыдущие рассуждения неприменимы, и
нам придётся искать другой метод определения длины отрезка
АВ. Чтобы этот метод сделать общим, мы при его рассмотрении
не будем предполагать, что отрезок АВ является непременно
несоизмеримым с PQ, и будем в наши рассуждения включать также
случай соизмеримости, как частный случай.
Итак, пусть дан произвольный отрезок АВ. Взяв
произвольное натуральное число q, разделим единицу измерения PQ
на q конгруэнтных отрезков (теорема 6. 8 гл. III):
а на луче АВ отложим отрезки
АА1=А1А<й=...===Ап—1 Ап^...:^РР1.
По аксиоме Архимеда I Уг найдётся такое натуральное
число р, что ΑΑρ^ΑΒ<ΑΑρ+11 причём знак конгруэнтности в
первой части будет иметь место тогда, когда РРг будет общей
мерой отрезков АВ и PQ. На основании теоремы 1. 1 будем иметь
Р(ЛЛ„)=^-, p(A4p+1)=.-e±L.
р я я
Выберем теперь произвольную возрастающую
последовательность натуральных чисел
ffl<?f<?8<.»<0*<". · (О
и для каждого из этих чисел повторим описанный выше процесс
нахождения соответствующих чисел ръ р2, ps, ..., pk> таких, что
A4pSAB<A4p + 1 . (а)
9(ААР)= IL9 9(ААР ) = -U±Lt (/=1, 2, 3, ...).
< Qi '+i Qi
Таким образом, мы получаем две последовательности
положительных рациональных чисел с возрастающими знаменателями:
Pi Jh_ Jh _Р*_ /ο\
, , , ..., , ... . . .... у*.)
Ях Я2 Яъ Як
Ρι+1 Ρ2+1 Рз-Н Pk + { /оч
_ _ 9 ^ f . . wj
Ях Яг Яг Як
Наша цель будет заключаться в том, чтобы доказать, что
обе эти последовательности независимо от выбора
последовательности знаменателей (1) сходятся к одному и тому же пределу,
который, как мы убедимся, и будет являться длиной отрезка АВ.
Для этого рассмотрим сперва частный случай, когда
последовательность (1) совпадает с последовательностью всех нату-
221
ральных чисел #=1, 2, 3, ..., /с, .... В этом случае
последовательности (2) и (3) получат вид
1 ' 2
pI+i Р2+1
1 ' 2
В силу соотношений (а) и условия (г) (стр. 182) любой член
последовательности (2') меньше любого члена последовательности
(3'). Отсюда заключаем, что последовательность (2') ограничена
сверху, так как все её члены меньше, например, числа р\ + 1.
Следовательно, у последовательности (2') существует верхняя
грань ξ, удовлетворяющая всем неравенствам:
^<Е<^-, (лг=1, 2, 3, ...) .(4)
η η
Легко показать, что верхняя грань ξ есть единственное
число, удовлетворяющее всем неравенствам (4).
Докажем, что число ξ есть предел последовательности (2').
В силу (4) для всякого η имеет место неравенство
η η
Следовательно, каково бы ни было ε>0, взяв натуральное
ЛС> — или "j^"<>, мы для всех n^>N будем иметь:
ξ—^■<-L<^r<^ т. е. ξ_ε<Α<ξ.
η η Ν η
Но это и означает, что
П«*ао И
В таком случае
Итак, последовательности (2') и (3') обе сходятся к одному и
тому же пределу ξ.
Если теперь взять произвольную последовательность
знаменателей (1), то соответствующие последовательности (2)и(3)
будут являться подпоследовательностями соответственно
последовательностей (2') и (3'), а потому будут сходиться к тому же
пределу ξ. Обозначим этот предел через ЦАВ), ξ = 1 (ΑΒ).
Итак, какова бы ни была последовательность
(1), соответствующие последовательности (2) и (3)
сходятся к одному и тому же пределу 1(АВ).
_Рз_
3' ·
Рз-И
Pk_
к
Pk+l
- · · (2')
• · -(30
222'
Предположим теперь опять, что измерение отрезков возможно;
тогда в силу условий а) и б), а значит, и г) из соотношений (а)
заключаем, что длина отрезка ЛВ, р(АВ), должна удовлетворять
всем неравенствам:
1JL<p(AB)<^±L9 (n=]>2,3, ...)·
η η
Но так как единственным числом, удовлетворяющим всем этим
неравенствам, является число £=/(ЛВ), то неизбежно получим
что р(АВ) = 1(АВ).
Мы пришли к следующему, пока условному результату:
Если предположить заранее, что измерение
отрезков возможно, то длиной любого отрезка АВ
может быть лишь единственное положительное
число / (АВ), равное пределу последовательностей
(2) и (3), независящему от выбора возрастающей
последовательности знаменателей (1).
Поэтому естественно назвать дроби -^- и Pk прибли-
Як Як
женными значениями длины отрезка АВ соответственно
с недостатком и с избытком с точностью до —.
Як
Если, в частности, в качестве последовательности (1) взять
последовательность степеней g^ = 10*, то получим десятичные
приближения длины отрезка. Аналогично можно получить
двоичные, троичные и вообще я-ичные приближения.
Убедимся теперь, что в случае соизмеримости отрезка
АВ с единицей измерения PQ новый, пока предположительный,
метод нахождения длины отрезка даёт тот же числовой
результат JL? что и в первом методе.
Я
Итак, пусть в этом случае длина отрезка, найденная первым
методом, равна —, где ρ и q — натуральные числа. Возьмём в
Я
качестве последовательности (1) такую:
ϊι=ϊ. ?2=2?, ?3=3#, ..., qk = kq, ...
Тогда последовательность (2) примет вид
ρ 2р Зр кр
Я 2q Ц kq
Очевидно, что предел этой последовательности равен —.
Я
В силу независимости предела 1(АВ) от выбора
последовательности (1) отсюда заключаем, что I (АВ)=— .
Поставим теперь в соответствие каждому отрезку АВ
полученное описанным способом число /(ЛВ). Если мы докажем, что
223
эти числа удовлетворяют условиям а), б) и в), то этим будет
доказана возможность измерения отрезков, т. е. существование
длин у всех отрезков, ибо тогда / (АВ) и будет длиной отрезка.
Что касается условий а^ и в), то они, очевидно,
удовлетворяются. Проверим выполнимость условия б). Пусть ЛС=ЛВ-+ ВС
(черт. 125). Возьмём произвольную возрастающую
последовательность натуральных чисел (1) и пусть PPk есть отрезок,
получившийся в результате деления единицы измерения PQ на qh
конгруэнтных частей. Тогда для отрезков АВ и ВС получим
последовательности приближённых значений их длин вида (2)
и(3):
II 1
-*-. -" для АВ и ^-, i*±- для ВС (к= 1, 2, 3, ...).
Як Чк Як Як
Тогда
ИАВ)--=\\т -*■ , /(SQ=lim-^-
pk Pk +Pk-
9ft Як
И*
Pk
Як
ι ρ*ι
1 1
Як
Як Як
При этом будем иметь соотношения
ρ;·ρρ*<Λβ<(Ρ;+ΐ) ppk\
p;.pp4<bc<(p;+1) ppk\ *=ι. *.<>.···
Отсюда по теореме 5, 25 б) и в) главы III
(P'k+Pd-pPk<AC<(p'k+p'k+2). P,.
Следовательно, последовательность приближённых значений
длины отрезка АС с недостатком
а.
--, где afc=0 или 1.
Як
Отсюда, переходя к пределу, получим I (АС)=1 (АВ)+1(ВС)
Условие аддитивности выполняется.
Мы пришли к общей теореме.
Теорема 1. 2. Всякому отрезку АВ при выбранной единице
измерения может быть поставлено в соответствие единственное
число р(АВ) так, что β этом соответствии удовлетворяются
условия а), б) и в). Это число есть предел 1(АВ) любой
последовательности приближённых значений длины отрезка АВ, оно
и является длиной отрезка АВ, р(АВ)=1(АВ).
Легко видеть, что в случае несоизмеримости отрезка ' АВ
с единицей измерения о (АВ) есть иррациональное число
Таким образом, основная задача — доказать возможность
установления системы измерения отрезков — решена полностью.
Сделаем теперь несколько дополнительных замечаний:
1. Длина отрезка р(АВ) зависит не только от отрезка АВ,
224
но и от выбора единицы измерения. Именно здесь имеет место
следующая
Теорема 1. 3. При переходе от одной единицы измерения
к другой длины всех отрезков умножаются на одно и то же число,
равное длине старой единицы измерения, измеряемой при помощи
новой единицы.
На доказательстве её останавливаться не будем.
2. В силу условия а) конгруэнтные отрезки имеют равные
длины. Справедливо и обратное предложение:
Теорема 1. 4. Отрезки, имеющие равные длины, конгруэнтны
друг другу.
Теорема легко доказывается от противного на основании
теоремы 5. 25 главы III и свойства d).
Аналогично доказывается
Теорема 1. 5. Из двух не конгруэнтных отрезков тот больше,
у которого длина больше.
Из этих предложений следует, что сравнение отрезков
можно заменить сравнением их длин. В связи с этим возникает очень
важное понятие «отношение отрезков».
Определение 2. Отношением двух отрезков АВ и CD
называется отношение их длин при одной и той
лв
же единице измерения. Оно обозначается символом .
CD
Отсюда следует, что длина отрезка есть
отношение его к единице измерения.
Отметим без доказательства следующую теорему:
Теорема 1. 6. Отношение двух отрезков не зависит от
выбора единицы измерения.
Доказав существование и единственность длины у всякого
отрезка при выбранной единице измерения, мы ещё не
закончили теорию измерения отрезков. Необходимо ещё разрешить
вопрос, обратный по отношению к задаче измерения отрезков:
будет ли при выбранной единице измерения для всякого
положительного числа α существовать отрезок, имеющий это число
своей длиной? Иначе говоря: если рассмотреть множество всех
отрезков, то будет ли множество их длин исчерпывать все
положительные числа, так что между этими двумя множествами
будет иметь место взаимно однозначное соответствие*). Ответ
на этот вопрос даёт следующая
Теорема 1. 7. Каково бы ни было положительное число а,
существует отрезок, длина которого равна а.
*) Мы подразумеваем здесь, что все конгруэнтные друг другу отрезки
представлены одним из них, т. е. неотличимы друг от друга.
225
Доказательство:
Если α есть число рациональное, а=—, где ρ и q— нату-
Ч
ральные числа, то отрезок, длина которого равна а, получить
легко. Для этого достаточно разделить единицу измерения PQ
на q конгруэнтных частей и построить отрезок АВ, равный
сумме ρ таких конгруэнтных отрезков. Тогда р(АВ)~—=а.
Я
Предположим теперь, что положительное число а
иррационально. Тогда, как известно, можно указать две
последовательности положительных рациональных чисел: одну
возрастающую
Ί < г2 <г3 <... <г„ <... <а,
а другую убывающую
'ί>'ί>'ί>...>';>·..>«.
такие, что limrn=limr^ =α, и, следовательно, г'п— гп->0.
На произвольном луче с вершиной в некоторой точке О мы
на основании вышедоказанного можем для рациональных чисел
rk и r'kуказать такие точки Ak и Вк (сделайте чертёж!), что
9(OAk)=rk, ?{pB^r'k (fc=l, 2, 3, ...).
Нетрудно видеть, что AkBk(k=\y 2, 3,...) образуют
последовательность вложенных друг в друга отрезков, причём не
существует отрезка, который бы лежал внутри всех отрезков
последовательности. Отсюда по аксиоме Кантора 1V2 следует,
что на нашем луче существует единственная точка С, лежащая
внутри всех отрезков АкВк(к=\, 2, 3, ...). Рассмотрим
отрезок ОС. По теореме 1. 2 он имеет определенную длину ρ (ОС),
причём в силу свойства d)
9 (О А,) < ρ (ОС) < ρ (OBJ и ли rfc < ρ (ОС) < r'fc
для. всех /с=1, 2, 3, ...
Но limr^limr^ =α. Следовательно, р(ОС)=а. Отрезок ОС
и есть искомый, теорема доказана.
Выберем теперь на произвольной прямой две точки: О и Л,
луч ОА назовём положительным, а дополнительный луч —
отрицательным. Приняв отрезок ОА за единицу измерения,
отнесём точке О число 0, а точке А число 1, а всякой другой
точке Μ прямой ОА отнесём действительное число х,
абсолютная величина которого равна длине отрезка ОМ% причём число χ
возьмём положительным или отрицательным в зависимости от
того, будет ли точка Μ лежать на положительном или
отрицательном луче. Это число χ назовём координатой точки ЬЛ.
На основании теоремы 1. 7 можно утверждать, что и обратно,
каково бы ни было число х, на прямой ОА найдётся
единственная точка, координата которой равна х. Таким образом, прихо-
226
дим к теореме, лежащей в основе координатного принципа
аналитической геометрии:
Теорема 1. 8. Между множеством всех точек прямой и
множеством всех вещественных чисел можно установить взаимно
однозначное соответствие так, что эти числа будут являться
координатами точек прямой.
Нетрудно затем распространить координатный принцип на
плоскость и пространство.
Как обобщается понятие длины для дуг кривых, излагается
в курсах математического анализа.
В заключение следует обратить внимание на следующее.
Доказательство руществования и единственности длины отрезка
(теоремы 1. 1 и 1. 2) опиралось исключительно на аксиомы I —
III и аксиому Архимеда IVг; при доказательстве же теоремы
1. 7 о существовании отрезка любой длины α мы вынуждены
были присоединить ещё и аксиому Кантора IV2.
Это обстоятельство уже отмечалось в начале § б главы III.
Вполне понятно, что теорему I. 7 можно было доказать также,
опираясь на аксиому Дедекинда IV (рекомендуем проделать
в качестве упражнения).
Далее, важно заметить, что в теории измерения отрезков мы
нигде не ссылались на аксиому параллельности V,
следовательно, эта теория принадлежит абсолютной геометрии, а потому
она одинаково справедлива как в геометрии
Евклида, так и в геометрии Лобачевского.
§ 2. ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ
Теория измерения углов строится совершенно аналогично
теории измерения отрезков и никаких принципиально новых
моментов не содержит. Поэтому ограничимся лишь
формулировкой относящихся сюда определений и теорем.
Определение. Пусть каждому углу поставлено в соответствие
положительное число так, что при этом выполняются три условия:
а) Конгруэнтным углам соответствуют равные числа.
б) Сумме двух углов соответствует число, равное сумме чисел,
соответствующих составляющим углам.
в) Некоторому определённому углу соответствует число 1.
Тогда число, поставленное в соответствие данному углу,
называется мерой или величиной угла. Угол, котооому
поставлено в соответствие число 1 называется единицей
измерения углов.
На основе предложений Архимеда и Кантора для углов (см. гл.
III, § 6) так же, как и для отрезков, доказывается существование и
однозначность меры угла при выбранной единице измерения углов.
Заметим, что обычно вместо выражения «сумма мер углов»
говорят короче: «сумма углов».
227
Несколько иначе формулируется теорема, аналогичная
теореме 1. 7. В то время как для любого положительного числа α
существует отрезок, имеющий длину а, для углов имеет место
Теорема 2. 1. Если при выбранной единице измерения прямой
угол имеет меру ω, то любому числу α, 0<^α<^2ν>9
соответствует угол, имеющий меру а.
Как известно, обычно единица измерения углов выбирается
π
так, чтобы прямой угол выражался числами 90 или г\ В
первом случае единица измерения называется градусом, во
втором—радианом.
Если обобщить понятие угла так, как это делается в
тригонометрии, то теорема 2. 1 получила бы формулировку,
аналогичную теореме 1. 8, т. е. между множеством всех
действительных чисел и множеством всех углов можно установить
взаимно однозначное соответствие.
В геометрии Лобачевского теория измерения углов остаётся
той же, поскольку в ней не приходится опираться на принятую
аксиому параллельности.
Напомним ещё о существенном отличии, имеющем место
в евклидовой геометрии, между абсолютным характером выбора
единицы измерения углов и относительным характером выбора
единицы измерения отрезков, о чём говорилось подробно в главе
II, § 11, з). Это отличие исчезает в геометрии Лобачевского.
§ 3. ТЕОРИЯ ПЛОЩАДЕЙ ПРОСТЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
В ГЕОМЕТРИИ ЕВКЛИДА
В теории площадей рассматриваются два тесно связанных
между собой вопроса: вопрос об измерении площадей и вопрос
о так называемом превращении плоских фигур. '
Ограничимся изложением теории площадей простых
многоугольников.
В отличие от теории измерения отрезков и углов, теория
измерения площадей существенно зависит от принятой аксиомы
параллельности. Поэтому приходится теорию площадей
рассматривать отдельно в геометрии Евклида и в геометрии Лобачевского.
а) Измерение площадей простых многоугольников
Определение понятия простого многоугольника было дано
в главе III, § 4. В дальнейшем для краткости будем простые
многоугольники называть просто многоугольниками*).
*) Как и в случае отрезков, следует заметить, что, строго говоря,
следовало бы раяличать три термина:
1) «многоугольник»,
2) «площадь многоугольника»,
228
Введём предварительно понятие суммы многоугольников.
Определение I. Пусть дан многоугольник Ρ и пусть две его
точки соединены какой-нибудь ломаной, целиком лежащей
внутри Ρ и не имеющей кратных точек; получатся два новых
простых многоугольника Рг и Р2. Будем называть тогда
многоугольник Ρ суммой многоугольников Рг и Р2, будем также
говорить, что многоугольник Ρ распадается, или разлагается, или
разбивается на многоугольники Рх и Р2, и будем писать Ρ =
=Ρι + *V*)·
Определение 2. Пусть каждому многоугольнику Ρ
поставлено в соответствие положительное число S (Р) так, что при этом
выполняются следующие три условия:
а) Конгруэнтным многоугольникам соответствуют равные
числа (свойство инвариантности).
б) Многоугольнику Р, являющемуся суммой
многоугольников Рх и Р2, соответствует сумма чисел, соответствующих
многоугольникам Pi и Р2, т. е. S (Р) = S (Рг)+5 (Р2) (свойство
аддитивности).
в) Квадрату, сторона которого есть единица длины,
соответствует число 1.
Тогда число S (Р) называется площадью
многоугольника Р, а квадрат со стороной, равной линейной единице,
называется единицей площади.
Если соответствие, указанное в определении 2, установлено,
то говорят, что установлена система измерения площадей
многоугольников.
Основная задача теории измерения площадей как раз и
заключается в оправдании определения 2, т. е. в доказательстве
возможности установления системы измерения площадей
многоугольников и притом однозначным образом при выбранной
единице площади, иначе говоря, в доказательстве существования
и единственности площади в смысле определения 2 у каждого
простого многоугольника.
3) «мера площади многоугольника», понимая под многоугольником замкнутую
ломаную, под площадью часть плоскости, ограниченную этой ломаной, или,
иначе, множество всех внутренних точек многоугольника с прибавлением
границы, а под мерой площади многоугольника — число, поставленное в соответствие
каждому многоугольнику согласно определению, данному в тексте.
Однако для сокращения речи, как это обычно и делается, мы вместо ·
термина «мера площади» будем употреблять термин «площадь», а термин
«многоугольник» будем часто"понимать в двух смыслах: и как ломаную, и как часть
плоскости, ограниченную этой ломаной. С этой точки зрения выражение
«измерение площадей» неправильно, представляя собой тавтологию. Однако, мы
будем пользоваться этим выражением, оно правильно, с точки зрения строгой
терминологии, указанной выше, в нём под словом «площадь» понимается не
число, а часть плоскости.
**) Заметим, что в первой фразе определения слово «многоугольник»
понимается как ломаная, а во второй — как часть плоскости. Этим достигнута краткость
речи: вмест^ того, чтобы гозорить, что часть плоскости, ограниченная
многоугольником Я, разбивается на две части, ограниченные многоугольниками Рг и
Р2, мы говорим: многоугольник Ρ разбивается на многоугольники Рг и Р.>.
229
Уместно будет подчеркнуть отличие в постановке проблемы
измерения плсщадей в школьном курсе геометрии от
изложенной выше. В школьном преподавании учение о площадях
основано на уверенности в существовании площади у каждой
плоской фигуры. Там вовсе не ставится вопроса о том, можно ли
каждой плоской фигуре, в частности многоугольнику, поставить
в соответствие положительное число, называемое площадью,
удовлетворяющее условиям а), б) и в). Эта возможность в
школьном преподавании считается заранее совершенно очевидной и
несомненной и часто даже не высказывается явно, а просто сама
собой подразумевается. По существу эта всзможность фактически
принимается молчаливо за аксиому, лежащую в основе измерения
площадей. Поэтому в школьном курсе геометрии задача
измерения площадей заключается вовсе не в том, чтобы доказать
существование плсщади плоской фигуры, а в тем, чтобы ответить
на вопрос, как найти это число, существование которого само
собой разумеется.
С педагогической точки зрения такое изложение учения о
площадях вполне оправдано, ибо для учащихся средней школы
настолько несомненно существование площади многоугольника,
настолько неотразима убедительность соответствующих
наглядных представлений, что для них будет просто недоступной даже
самая постановка проблемы о существовании площади и мысль,
что здесь имеется какой-либо логический пробел. Давать здесь
строгую теорию площадей было бы просто напрасной и даже
вредной тратой учебного времени.
Однако в строго логическом изложении геометрии, где
единственной исходной базой для выводов должна быть принята
полная система аксиом, вводить дополнительный постулат
о существовании площади многоугольника не только нет
никакой необходимости, но это противоречило бы аксиоматическому
принципу изложения.
Наконец, не лишне будет указать ещё на то обстоятельство,
что основанная на наглядных представлениях уверенность в
существовании площади плоской фигуры без логической проверки
может привести к ошибке. Оказывается, что существуют
фигуры, ограниченные непрерывными замкнутыми кривыми без
кратных точек, которые, однако, не имеют площади; это так
называемые неквадрируемые фигуры *).
Переходя теперь к доказательству существования и
единственности площади многоугольника, мы наметим тот же план, что
и в теории измерения отрезков. Вначале, предполагая измерение
площадей многоугольников возможным, мы докажем
единственность площади при выбранной единице измерения, а затем уже
*) По этому вопросу см., например, книги:
1) Η. Η. Лузин, Теория функций действительного переменного.
2) В. Немыцкий, М. Слудская, А. Черкасов, Курс
математического анализа т. 1, ГТТИ, 1940, стр. 436—438.
230
докажем, что площадь многоугольника действительно
существует.
Исходя из предположения, что измерение площадей
многоугольников возможно, т. е. каждому многоугольнику можно
поставить в соответствие положительное число так, чтобы
выполнялись условия а), б) и в), мы можем доказать следующие теоремы
(носящие пока условный характер):
Теорема 3. 1. Если измерение площадей многоугольников
возможно и единица площади выбрана согласно условию в), то
а) площадь прямоугольника равняется произведению основания
на высоту *);
б) площадь параллелограмма равна произведению любой из ег&
сторон на соответствующую высоту]
в) площадь треугольника равняется половине произведения
любой из его сторон на соответствующую высоту.
На доказательстве этих теорем останавливаться не будем,
оно известно из школьного курса геометрии.
На основании теоремы 3. 1 и в силу условия б) площадь
любого многоугольника следует определить как сумму площадей
тех треугольников, на которые этот многоугольник· разложен
произвольным образом **). В школьном преподавании так и
делается и на этом заканчивается теория измерения площадей. Однако
в действительности здесь как раз и возникает существенная
трудность с точки зрения обоснования единственности площади
многоугольника. В самом деле, возникает вопрос, не будет л»
площадь многоугольника, определённая как сумма площадей
составляющих треугольников, зависеть от способа разбиения его
на треугольники так, что для одного и того же многоугольника
мы будем получать различные площади при различных способах
разбиения его на треугольники. Это означало бы, что
выполнение условий а), б) и в) не гарантирует единственности .площади
многоугольника.
Таким образом, перед нами встаёт необходимость доказать
следующую теорему, называемую основной теоремой те-
ории площадей:
Теорема 3. 2. Если измерение площадей многоугольников воз-
можно, то каким бы способом ни разложить данный
многоугольник на треугольники, сумма площадей этих треугольников будет
одна и та же.
Для доказательства придётся предварительно рассмотреть
несколько вспомогательных предложений.
*) Мы для краткости, как это общепринято, позволяем себе говорить:
«произведение основания на высоту» вместо «произведение длины основания на длину
высоты». Это замечание относится и к дальнейшему.
**) Возможность разбиения многоугольника на треугольники и притом
бесконечным множеством способов может быть строго доказана.
231
Черт. 126.
Пусть дан произвольный многоугольник (в частности,
треугольник) и О — произвольная точка в плоскости этого многоугольника
(черт. 126). Соединяя точку О со всеми вершинами многоугольника,
мы получим треугольники,
р\2 /vj4 имеющие общей вершиной точ-
^ ку О, а основаниями —
стороны данного многоугольника.
Если такой треугольник с
вершиной в О и хотя бы часть
внутренней области
многоугольника, непосредственно
примыкающая к их общей
стороне, расположены по
одну и ту же сторону от
этой общей стороны, то
треугольник называется
положительным
относительно данного
многоугольника (например, ОМгМ21 0М5М6), в противном случае —
отрицательным (например, ОМгМ9ч ОМ9М8, ОМ7М6).
Лемма 1. Если выбрать в плоскости треугольника произвольную
точку О и соединить её с вершинами данного треугольника, то
разность между суммой площадей положительных и суммой
площадей отрицательных треугольников (или первая из этих сумм,
если отрицательных треугольников не имеется) равняется
площади исходного треугольника.
(Напомним, что все формулировки и доказательства даются в
положении, что измерение площадей многоугольников возможно.)
Доказательство:
Вся плоскость делится прямыми, на которых лежат стороны
треугольника ABC, на 7 областей (черт. 127): одну внутреннюю
(1), три — примыкающие к сторонам (2, 3, 4) и три, лежащие
внутри углов, вертикальных с углами треугольника (5, 6, 7).
Черт. 128.
А
Черт. 129.
Рассмотрим 5 возможных случаев расположения точки О.
1) Точка О лежит на одной из сторон,
например на А В. Получатся два положительных треугольника: О АС
232
и ОВС (черт. 128), имеющих общую высоту Л с треугольником
ABC. Имеем:
S(OAC)+S(OBC)=j. 0А- h+l- · OB.h=\(O.A+OB) . й =
=7^β· ^=s (ABC), ч. т. д.
2) Точка О лежит на продолжении одной из
сторон, например на продолжении АВ за вершину А (черт. 129).
Получаем положительный треугольник ОВС и отрицательный ОАС,
имеющие общую высоту h с треугольником ABC. На основании
случая 1) будем иметь:
S (ОАС) + S (ABC) = S (ОВС).
Отсюда
S (ОВС) — S (ОАС) = S (ABC), ч. т. д.
3) Точка О лежит внутри треугольника ABC (черт.
130). Получим три положительных треугольника: ОАВ, ОАС, ОВС.
Пусть СО пересекает АВ в некоторой точке D. На
основании случая 1) будем иметь:
S (ОАВ) = S (OAD) + S (O.BD),
На основании случая 2) получим:
S (ОАС) = S (ADC) — S (OAD),
S (ОВС) = S (BDC) — S (QBD).
Отсюда
S (OAB)+S(OAC)+S(OBC) = S (ADC)+S (BDC) = S (ABC)
в силу случая 1).
4) Точка О лежит вне данного треугольника
ABC в области, примыкающей к одной из его
сторон, например к АВ (черт. 131). Получим положительные
треугольники ОАС и ОВС и отрицательный ОАВ. Пусть D —
точка пересечения ОС и АВ. На основании случая 1) имеем:
S (OAC)=S (ADC)+S (OAD), ·
S (OBC) = S (BDQ+S (OBD),
S (OAB)=S (OAD)+S (OBD).
Следовательно,
S (OAQ+S (QBC) — S (OAB)=S (ADC)+S (BDC) = S (ABC)
опять же на основании случая 1).
5) Точка О лежит внутри угла, вертикального
к одному из углов треугольника ABC, например
углу А (черт, 132). Получим положительный треугольник ОВС
23а
и два отрицательных: ОАВ и О АС. Так как А есть внутренняя
точка треугольника ОВС, то на основании случая 3) получим:
S (OBC) = S (OAQ+S (OAB)+S (ABC).
Отсюда
S (OBC)-S (OAB)—S (OAC)=S (ABC).
Черт. 130. Черт. 131. Черт. 132.
Лемма 2. Если выбрать в плоскости данного многоугольника,
разложенного каким-либо способом на треугольники, произвольную
точку О и соединить её со всеми вершинами многоугольника, то
разность между суммой площадей положительных и суммой
площадей отрицательных треугольников (или первая из этих
сумм, если отрицательных треугольников не будет) равна сум-
ме площадей тех треугольников, на которые разложен данный
многоугольник.
Доказательство:
Предположим сперва, что данный многоугольник М1М2М3...Мп
(обозначим его через Р) разложен на треугольники так, что
каждые два треугольника этого разложения либо совсем не имеют
общих точек, либо имеют общую вершину, либо имеют общую
сторону, т. е. ни у одного из треугольников разложения его
вершины не являются внутренними точками сторон других
треугольников разложения. Такое разложение на треугольники
называется триангуляцией.
Взяв произвольную точку О в плоскости многоугольника Ρ
и соединив её не только с вершинами многоугольника, но и
с вершинами всех составляющих треугольников, мы получим
положительные и отрицательные треугольники двух категорий:
во-первых, положительные и отрицательные треугольники
относительно многоугольника Р, а именно ОМ1М2у ОМ2М3, .. .,
ОМп^±МПУ ОМпМ1; во-вторых, положительные и отрицательные
треугольники относительно кпждого составляющего треугольника.
Рассмотрим сперва треугольники второй категории.
Пусть ABC — какой-нибудь составляющий треугольник, тогда
ОАВ, ОАС, ОВС — положительные или отрицательные
относительно него треугольники; на основании леммы 1 площадь
треугольника ABC равна разности между суммой площадей
положительных и суммой площадей отрицательных треугольников.
Выразив, таким образом, площадь каждого составляющего тре-
234
угольника через площади трёх треугольников с вершиной в О
и сложив результаты, убедимся, что сумма площадей всех
составляющих треугольников 2 равна разности между суммой
площадей S' всех положительных треугольников и суммой
площадей S" всех отрицательных треугольников второй категории,
Заметим теперь, что если сторона АВ составляющего
треугольника ABC лежит внутри многоугольника Р, то
обязательно имеется единственный соседний составляющий
треугольник ABD, имеющий с ABC общую сторону АВ*). Треугольники
ABC и ABD расположены по разные стороны от АВ. Поэтому
треугольник ОАВ является положительным относительнд одного
из треугольников ABC и ABD и отрицательным относительно
другого. Отсюда следует, что площадь треугольника ОАВ войдёт
слагаемым как в сумму S', так и в сумму S", а потому
фактически выпадает из разности S'—S". Следовательно, суммы S'
и S" можно заменить суммами S1 и S2, где Sx и S2—суммы
площадей оставшихся положительных и отрицательных
треугольников второй категории,, основаниями которых являются лишь
стороны составляющих треугольников, лежащие на контуре
многоугольника Р. Поэтому Σ =5Χ — S2.
Пусть теперь Nly N2, ..., Ns — вершины составляющих
треугольников, лежащие на стороне MkMk+1 многоугольника Р.
Тогда треугольники OMkNlf ON±N2, ..., ONs^Nsy ONsMk+l
будут либо все положительными, либо все отрицательными
относительно соответствующих составляющих треугольников, а их
площади все войдут слагаемыми либо только в сумму Sv либо
только в сумму S2. Треугольник же первой категории OMkMk+1
будет положительным или отрицательным относительно Р, смотря
по тому, будут ли положительными или отрицательными все
треугольники второй категории:
OMkNlt ΟΝ,Ν^, ..., ONs+1Ns, ONsMk+1.
На основании случая 1 леммы 1
S(OMkMk+1)=S(OMkN1)+S(O.N1NJ+ ... +S(ON sMk+1).
Поэтому, объединяя теперь в Sx и S2 площади треугольников,
основания которых составляют одну сторону многоугольника Р,
убедимся, что Sx есть сумма площадей положительных, а 52
сумма площадей отрицательных треугольников относительно
Р, т. е. Σ = S1— S2 есть разность между суммами площадей
положительных и отрицательных треугольников первой категории.
Если разложение многоугольника Ρ на треугольники не
является триангуляцией, так что у некоторых составляющих
треугольников вершины являются внутренними точками сторон других
*) Это вытекает из того, что мы имеем дело с триангуляцией
многоугольника Р.
235
составляющих треугольников, то проведением вспомогательных
отрезков, соединяющих эти точки с противоположными
вершинами соответствующих треугольников, мы можем данное
разложение превратить в триангуляцию. На основании доказанного
выше сумма площадей треугольников, составляющих
триангуляцию, Σ' =S1 — *S2. Но, пользуясь леммой 1, нетрудно убедиться,
что сумма площадей треугольников в первоначальном
разложении Σ = Σ'. Следовательно, снова имеем Σ = Sx — S2.
Лемма 2 полностью доказана.
Теперь легко доказать основную теорему 3. 2.
Пусть многоугольник Ρ разбит на треугольники двумя
различными способами и пусть сумма площадей составляющих
треугольников в первом разбиении равна Σχ, а во втором Σ2.
На основании леммы 2, как бы ни была расположена в
плоскости многоугольника Ρ точка О, всегда будем иметь для первого
разбиения Sx — S2 — Σχ, т. е. разность Sx — S2 есть величина
постоянная, не зависящая от положения О, ибо она всегда равна
одному и тому же числу Σ1# С другой стороны, по той же
лемме. 2 имеет место равенство Σ2 = Sx — S2. Следовательно,
ΣΧ=Σ2 = const, ч. т. д.
Таким образом, предположение, что измерение площадей
возможно, мы вполне оправдали.
Определение 3. Площадью многоугольника
называется сумма площадей треугольников, на
которые каким-либо способом разбит многоугольник.
Вместе с тем доказана в том же предположении
единственность площади у каждого многоугольника.
Чтобы доказать теперь существование площади, остаётся
доказать, что полученные вышеуказанным образом числа
действительно удовлетворяют условиям а), б) и в) определения 2.
Итак, поставим каждому треугольнику в соответствие число,
равное —α/г, а каждому многоугольнику — сумму таких чисел,
вычисленных для всех треугольников, на которые произвольным
способом разбит многоугольник. Тогда, очевидно, условие а)
выполняется, ибо конгруэнтные многоугольники можно разбить
на конгруэнтные попарно треугольники. Условие б) также
удовлетворяется, ибо если Р = Р'-{-Р", то, разбивая Р' и Р" на
треугольники, мы тем самым разлагаем и Ρ на треугольники.
Отсюда ясно, что S (P)=S (P')+S (P"). Наконец, условие в)
также выполняется, ибо разбивая квадрат, сторона которого равна
линейной единице, на два равнобедренных прямоугольных
треугольника диагональю, каждому из которых соответствует
число— Ы=—ι для квадрата получим число 1. Следовательно,
полученные числа действительно являются площадями
соответствующих многоугольников. Мы приходим к окончательному
результату.
236
Теорема 3. 3. Каждому многоугольнику можно поставить
в соответствие и притом единственным образом положительное
число — его площадь — так, что эти числа удовлетворяют
условиям а), б) и в) определения 2.
Короче: При выбранной единице площади возможно
установить систему измерения площадей многоугольников и притом
однозначно.
Вместе с тем теоремы 3. 1 а), б), в), 3. 2, леммы 1 и 2 и
определение 3 перестают носить условный характер и должны быть
перефразированы в безусловной форме.
Одновременно мы получаем возможность доказать так
называемое предложение Децольта.
Теорема 3. 4. Не существует такого многоугольника, который
можно было бы разложить на части так, чтобы последние при
ином расположении составили новый многоугольник, целиком
помещающийся внутри первоначального.
Доказательство:
Предположим, что такой многоугольник Ρ существует, и пусть
после некоторого его разложения на части и иного их взаимного
расположения образовался многоугольник Q, целиком
помещающийся внутри Р. Так как Ρ и Q составлены из попарно
конгруэнтных частей, то в силу теоремы 3. 3 и условий а) и б)
определения 2 имеет место равенство S(Q) = S (P). С другой стороны,
так как, по предположению, Q целиком помещается внутри Р, то,
разбивая на треугольники область, заключённую между
контурами многоугольников Ρ и Q, мы разлагаем Ρ на части, одни
из которых составляют-Q, а другие состоят из только что
указанных треугольников. В силу теоремы 3. 3 существует сумма
площадей этих треугольников Τ > О. На основании условия б)
определения 2 мы должны иметь S (P)=S (Q)-\-T. Но в таком
случае S(P) > S (Q). Полученное противоречие и доказывает
теорему.
На этом теория измерения площадей многоугольников
закончена. Теория измерения площадей любых плоских фигур, а также
кривых поверхностей основана на изложенной выше теории и
рассматривается подробно в любом строгом курсе
математического анализа.
Замечание. Отметим ещё одно различие между теорией измерения
отрезков и теорией измерения площадей многоугольников. Мы видели, что
для отрезков понятия «меньше» и «больше» устанавливаются на основе аксиом
порядка и конгруэнтности отрезков до введения понятия о длине
отрезка. В теории же площадей многоугольников дело обстоит как раз
наоборот. Сперва устанавливается понятие площади многоугольника, лишь после
этого можно установить понятия «меньше» и «больше» для многоугольников.
Именно, будем считать, что из двух многоугольников тот больше, у которого
площадь больше.
237
б) Равносоставленность многоугольников
Второй важнейшей частью теории площадей многоугольников
является учение о превращении многоугольников. Под
превращением многоугольников понимается построение многоугольника,
имеющего площадь, равную площади данного многоугольника.
Важность этого вопроса для геометрии состоит в том, что на
нём основываются доказательства теорем о сравнении площадей
многоугольников и выводы соотношений между площадями
многоугольников (например, доказательство теоремы Пифагора).
Важнейшими понятиями учения о превращении
многоугольников являются понятия равносоставленности и равнодополни-
мости многоугольников, определения которых даны ниже.
Определение 4. Два многоугольника, имеющие равные площади,
называются равновеликими.
Если мы условимся два отрезка, имеющие равные длины,
также называть равновеликими, то немедленно заметим, что
соотношения между равновеликостью и конгруэнтностью для
отрезков и многоугольников существенно различны.
В самом деле, по свойству а) длины (определение 1 в § 1)
и в силу теоремы 1.4, если два отрезка конгруэнтны, то они
равновелики и, обратно, если они равновелики, то они и
конгруэнтны. Конгруэнтность является необходимым и достаточным
условием ра внове ли кости отрезков. Можно поэтому сказать, что
понятие конгруэнтности есть геометрический эквивалент
числового понятия равновеликоети отрезков. С этим связана
возможность установления взаимно однозначного соответствия между
множеством всех положительных чисел и множеством всех
отрезков, если все конгруэнтные друг Другу отрезки считать
тождественными.
Для многоугольников дело обстоит иначе. Понятие
конгруэнтности многоугольников не является геометрическим
эквивалентом понятия равновеликости многоугольников. Если
многоугольники конгруэнтны, то они равновелики, но два равновеликих
многоугольника не обязательно конгруэнтны друг другу.
Конгруэнтность является достаточным, но не является необходимым
условием равновеликости многоугольников. Если мы все
конгруэнтные друг другу многоугольники будем отождествлять с
каким-нибудь одним из них, взятым в качестве их представителя,
то соответствие между множеством всех положительных чисел
и множеством всех многоугольников не будет взаимно
однозначным, ибо одну и ту же площадь будут иметь бесконечное
множество многоугольников, попарно не конгруэнтных друг другу.
Между тем в теории площадей многоугольников совершенно
необходимо иметь геометрический эквивалент понятию
равновеликости, который позволял бы при помощи лишь одних чисто
геометрических соображений, при помощи превращения
многоугольников, ке прибегая к понятию числа, устанавливать равно-
238
великость многоугольников и находить соотношения между их
площадями.
Таким понятием, служащим геометрическим эквивалентом
понятия равновеликости многоугольников, является, как мы
ниже убедимся, понятие равносоставленности многоугольников.
Определение 5. Два многоугольника называются ρ а в н о с о-
ставленными (или равновеликими по
разложению), если они могут быть разложены на одно и то же число
попарно конгруэнтных многоугольников (в частности,
треугольников).
Иначе говоря, два многоугольника равносоставлены, если
каждый из них можно разложить на такие многоугольники,
которые при некотором ином способе взаимного расположения
составляют многоугольник, конгруэнтный другому данному
многоугольнику.
Равносоставленность многоугольников Ρ и Q будем
символически обозначать так: РХ Q.
Очевидно, что если PXQ, то QXP, и что РХР. Из
определения 5 ясно также, что при добавлении к равносостазленным
многоугольникам конгруэнтных или равносоставленных
многоугольников вновь получатся равносоставленные многоугольники.
Перед нами стоит задача доказать, что равносоставленность
является необходимым и достаточным условием равновеликости
многоугольников. Достаточность доказывается весьма просто.
Теорема 3. 5. Если два многоугольника равносоставлены, то они
равновелики.
Доказательства:
Пусть PXQ. Это значит, что Ρ и Q можно разложить на
попарно конгруэнтные многоугольники Р. и Q^:
Pt = Qh (i=l, 2, 3,..., k),
т. е.
Ρ=Σ Р„ Q=I>Qi.
i=\ i=\
Но тогда
s(P)=is(pt)
и
i=l
А так- как SiP^SiQ^ то S(P)=S(Q).
Гораздо труднее доказать обратную (и менее очевидную)
теорему о том, что равновеликие многоугольники всегда равно-
составлены. Эта теорема была впервые и независимо друг от
друга доказана Фаркашем Бояи (1832 г.) и Гервином (1833 г.),
почему и называется теоремой Бояи — Гервина. Её доказатель-
239
ству предшествует доказательство ряда теорем, рассматриваемых
ниже.
Теорема 3. 6. Два многоугольника, равносоставленные с
третьим, равносоставлены между собой (свойство транзитивности
равносоставленности).
Доказательство:
Пусть для трёх многоугольников: Р, Q и R известно, что
PXR, QXR. Требуется доказать, что PXQ.
Так как по условию PXR, то можно разложить Ρ и R на
одинаковое число к попарно конгруэнтных многоугольников
соответственно Pt и Riy так что
Р, = Я,(/=1, 2,..., к) иР-ΣΡ/, /? = Σ*,.
Аналогично из условия QXR следует, что Q и R можно
разложить на одинаковое число / попарно конгруэнтных
многоугольников соответственно QJ и R', так что
Q/ = /?/(/=l, 2...Г, /) и Q=I,QJ, R=11RJ.
Таким образом, многоугольник R разложен два раза, вообще
говоря, различными способами, при этом в R получаются две
системы отрезков, одна из которых осуществляет
разложение R на многоугольники R.(i=lt 2,... , к), а другая
осуществляет разложение R на многоугольники Rj(i— l, 2,..., /).
Рассмотрим теперь разложение R на многоугольники,
осуществляемое одновременно отрезками обеих систем. Это будет
третье разложение R на многоугольники, причём каждый
многоугольник этого третьего разложения будет входить как часть
в один определённый многоугольник Rt первого разложения и
в один определённый многоугольник RJ второго разложения.
Обозначим поэтому этот многоугольник третьего разложения
двумя соответствующими индексами R{, т. е. R{ обозначает
многоугольник третьего разложения, являющийся общей частью
многоугольников первых двух разложений Rt и RJ. Если же
окажется, что два произвольных многоугольника первых лвух
разложений: Rt и R* не имеют общей части, то
многоугольника R{ просто не существует. Таким образом, мы будем иметь:
/ k
Ri= Σ ft (i фиксировано), R'= Σ R{ (/ фиксировано).
Но тогда
Р-= Σ Ri=k ( Σ Ri )= Σ#/(по всем /, /)
/=1 i=l \j=l J it f
и Q=Z#= ς(ς$) = Σ#ι (по всем i, /),
240
т. е. Р и Q разложены на одинаковое число попарно
конгруэнтных многоугольников R{ (1=1, 2,..., к; / = 1,2,...,/),
следовательно, PXQ.
Теорема 3. 7. Два равновеликих параллелограмма равносостав-
лены.
Доказательство:
а) Пусть данные равновеликие параллелограммы ABCD и
ΑΒ^χϋ имеют по одной конгруэнтной стороне, в силу чего эти
стороны можно совместить (черт. 133 и 134). Так как
параллелограммы по условию равновелики, то их высоты,
соответствующие стороне AD, конгруэнтны, вследствие чего стороны
ВС и ВгСх лежат на одной прямой. Доказательство
равносоставленности параллелограммов непосредственно усматривается
в том случае, когда ВС и ВгСг имеют хотя бы одну общую
точку. На чертеже 133 отмечены индексами 1 и 2 части, на
которые разлагаются оба параллелограмма, причём одинаковыми
индексами отмечены конгруэнтные треугольники. Если ВС и
βχβχ не имеют общих точек, т. е. отрезок BXCX лежит целиком
вне отрезка ВС, то отложим на луче СгВ конгруэнтные отрезки
(черт. 134).
Cl#l = β1β2 = ··· = β/2-1βη = ···
По аксиоме Архимеда существует натуральное число η
такое, что
(п—1) · С^^С^^п · СгВг (*).
Тогда точка Вп будет лежать между точками β и С, ибо в
силу неравенств (*)
С^Кп- СгВх = СгВп ^ СгС+С^ = СгВ.
Соединим точки А и D с точками Blf β2,.. ., fl„-lf Bn. Получим
параллелограммы с общим основанием AD:
ADC,Bly ADBtB2i.. ., ADBn^ Bn.
Из них каждый следующий равносоставлен с предыдущим на
основании уже рассмотренного выше случая, так как верхние
основания их имеют общие точки. По свойству транзитивности
(теорема 3. 6) все они равносоставлены с ADCiBL. Последний
параллелограмм ADBn_1Bn опять же на основании доказанного
241
/"
A
В' В"
V
Черт
ι
и
с с"
У
D'
. 135.
выше случая равносоставлен с ADCB, так как стороны ВС и
Βη-ι^η имеют общие точки. По свойству транзитивности
параллелограммы ABCD и ADC^ равносоставлены, ч. т. д.
б) Пусть теперь даны два произвольных равновеликих
параллелограмма (черт. 135): ABCD и A'B'CD' и пусть, например,
А В' < АВ. Воспользовавшись теоремой 6.6 главы III, легко
В с показать, что на прямой В'С
существует такая точка В", что АВ"^АВ.
Построив параллелограмм АВ"С"П,
равновеликий с А'В CD' и имеющий
с ним общую сторону A'D\ на
основании случая а) заключаем, что
AB'CD'XAB"C"D'. С другой
стороны, параллелограммы ABCD и АВ"С"П
также равновелики, причём АВ == А В".
Следовательно, опять в силу случая а)
ABCDXABfCEf. Отсюда на
основании теоремы 3.6 заключаем, что ABCDR A'B'CD'.
Замечание. Обращаем внимание на то, что при
доказательстве теоремы 3. 7 пришлось воспользоваться аксиомами
непрерывности, в частности аксиомой Архимеда.
Теорема 3. 8. Всякий треугольник равносоставлен (а потому
и равновелик) с параллелограммом, имеющим общее основание с
треугольником и высоту, равную половине высоты треугольника.
Доказательство очевидно (см. черт. 136,
где AD = DB, DE \\ АС, СЕ \\ АВ).
Теорема 3. 9. Всякие два равновеликие
треугольника равносоставлены.
Доказательство:
Пусть Δι и Δ2 — Два равновеликих
треугольника. По теореме 3. 8 каждый из них
равносоставлен с параллелограммом,
имеющим общее основание с соответствующим треугольником и
половинную высоту. Обозначим эти параллелограммы через Р± и Р2.
Эти параллелограммы, очевидно, равновелики, а потому в силу
теоремы 3. 7 равносоставлены.
Таким образом, имеем:
Δι Ε Ρι, Δ2ΕΡ2, РгХР2 (*)
по свойству транзитивности равносоставленности (теорема 3. 6).
Из первого и третьего соотношений имеем Δι ^ Рг> а из этого
соотношения и второго соотношения (*) следует, что ΔιΕ/\2
Теорема 3. 10. Всякий многоугольник равносоставлен с
некоторым равновеликим ему треугольником.
242
Доказательство:
Пусть площадь данного многоугольника Ρ равна S (Р). Пусть,
далее, h — некоторое произвольное положительное число.
Построим треугольник ABC с основанием a^=2S(<P^ и высотой h
(черт. 137).
Этот треугольник равновелик с данным многоугольником Р,
ибо площадь его равна —= S(P).
Докажем, что ААВС равносоставлен с Р. Для этого
разобьем Ρ произвольным образом на треугольники Δχ, Δ2,..,,Δ*.
Черт. 137.
Пусть их площади будут соответственно равны Slt S2,.. . .Sk,
причём 5χ+52+·—\-Sk=S(P). Для каждого треугольника Δ,
2S-
найдём число ty=—L. Тогда
h
а1+й2+ ... +fl>,2(S1+s.+...+sfc),giuM β . . (**}
Отложим на стороне ЛВ треугольника ЛВС последовательно к
отрезков ААЪ АхАг,... , Л^-х, Ak так, что длины их равны
соответственно αΐ9 α2,.. . , ak. В силу (**) точка Ak совпадёт с β.
Соединив точки Аъ Л2,... , Ak-X с вершиной С, получим
разбиение треугольника ABC на /с треугольников:
/i/ljL», /1^/12^, /12/13^» · · · » /lj^—i-^C-#|
которые соответственно обозначим через 8lf о2,. .. , δΛ. Нетрудно
видеть, что треугольники Δ* и δ, равновелики, а потому по
теореме 3. 9 равносоставлены.
Таким образом, многоугольник Ρ и треугольник ABC разбиты
каждый на к треугольников, причём каждый из треугольников,
составляющих многоугольник Р, равносоставлен с
соответствующим треугольником, входящим в разбиение треугольника ABC.
Отсюда ясно, что PI д ABC.
Теперь всё подготовлено к доказательству основной теоремы.
Теорема 3. 11. (Бояи —Гервина.) Всякие, два равновеликие
многоугольника равносоставлены.
243
Доказательство:
Пусть Ρ и Q — два равновеликих многоугольника. По
теореме 3. 10 существуют два треугольника: Δρ и Aq, такие, что
Ρ £ Δρ, Q£ Aq. Треугольники Ар и AQ равновелики, а
следовательно, по теореме 3.9 равносоставлены, Ар^ Aq. В силу
теоремы 3. 6 (свойство транзитивности) отсюда легко получа'ем,
что P^Q, ч. т. д.
в) Равнодополнимость многоугольников
При доказательстве равновеликости двух многоугольников можно
пользоваться не методом разложения их на конгруэнтные части, а так называемым
методом дополнения. Этот метод основан на понятии равнодополнимости
многоугольников и часто значительно облегчает и упрощает доказательство
равновеликости многоугольников. Мы лишь кратко коснёмся этого вопроса.
Определение G. Два многоугольника называются равнодополнимыми
(или равновеликими по дополнению), если к ним можно
присоединить конечное число таких попарно равносоставленных многоугольников, что
полученные многоугольники будут равносоставлены.
Очевидно, что равносоставленные многоугольники
являются и равнодополнимыми, ибо, присоединяя к ним
равносоставленные многоугольники, мы снова получим равносоставленные многоугольники.
Возникает, естественно, вопрос, будут ли равнодополнимые многоугольники равно-
составленными?
Равнодополнимость обладает следующими свойствами:
1. Два многоугольника, равнодополнимые с третьим, равнодополнимы между
собой.
2. Равнодополнимые многоугольники равновелики.
3. Равновеликие многоугольники равнодополнимы.
Отсюда немедленно вытекает ответ на поставленный выше вопрос.
4. Равнодополнимые многоугольники равносостав-
л е н ы:
Действительно, если Ρ и Q — равнодополнимые многоугольники, то по
свойству 2 они равновелики, а тогда по теореме Бояи — Гервина они равносоставлены.
Таким образом равнодополнимость эквивалентна равносоставленности.
Заметим, однако, что эта эквивалентность имеет место лишь в том случае, если мы
будем опираться на аксиому Архимеда, ибо, как мы видели, теорема Бояи —
Гервина доказывается путём использования этой аксиомы. Гильберт в «Основаниях
геометрии» показал, что все свойства 1, 2, 3 равнодополнимости
многоугольников, кроме 4, не зависят от аксиомы Архимеда и что в неархимедовой геометрии
существуют равнодополнимые, но не равносоставленные треугольники. Это
значит, что свойство 4, если отбросить аксиому Архимеда, вообще говоря, неверно
и что в этом случае равносоставленность есть понятие более узкое, чем
равнодополнимость, и является частным случаем равнодополнимости.
Доказательство равновеликости многоугольников по методу дополнения
основывается на свойстве 2. В качестве примера докажем равновеликость
параллелограммов, имеющих общее основание и общую высоту методом дополнения.
Обращаясь к чертежам 133 и 134, видим в обоих случаях, что, дополняя
параллелограммы ABCD и AB-fiJ) конгруэнтными треугольниками АВВг и DCClt
получаем одну и ту же трапецию АВС^. Это значит, что ABCD и ЛВ1С1£)
равнодополнимы, а, следовательно, по свойству 2 они равновелики. Мы видим,
насколько проще это доказательство, чем доказательство при помощи метода
разложения.
В заключение необходимо сделать следующее замечание, имеющее
принципиальную важность. Из педагогических соображений для упрощения
доказательства равновеликости многоугольников в школьном преподавании
рекомендуется в зависимости от конкретных обстоятельств пользоваться как методом
244
разложения, так и методом дополнения. Однако на основании теорем 3. 5, 3. 11
и свойства 4 равнодополнимости можно сделать заключение, что при
доказательстве ра вно ве л и к ост и м н ого у го л ь н ик ов и при
сравнении их площадей всегда можно обойтись одним лишь
методом разложения, основанным на понятии равносоставленности.
Никакой необходимости прибегать к методу дополнения или к методу пределов
с принципиальной точки зрения нет.
В качестве примера рекомендуем познакомиться с различными
доказательствами теоремы Пифагора, основанными либо на методе разложения, либо не
методе дополнения *).
§ 4. ТЕОРИЯ ПЛОЩАДЕЙ ПРОСТЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
В ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО
Теория площадей многоугольников и формула для вычисления площади
треугольника в геометрии Евклида непосредственно связаны с понят, ями
площади квадрата, прямоугольника и, следовательно, существенно зависят от аксиомы
параллельности евклидовой геометрии В геометрии Лобачевского не существует
четырёхугольников, сумма углов которых равнялась бы 4dt а потому нет ив
квадратов, ни прямоугольников. Ясно поэтому, что теория площадей в
геометрии Лобачевского должна быть построена на совершенно иной основе. Такой
основой является учение о дефекте многоугольника.
а) Учение о дефекте многоугольника. Равносоставленность
многоугольников
В главе II дефектом треугольника δ была названа разность D(A)=2d—
— σ (Δ), где σ ( δ ) — сумма углов треугольника Δ. Так как σ ( δ ) < 2dt то всегда
Ο(Δ)>0
Дадим теперь общее определение дефекта многоугольника Напомним, что
всюду идёт речь о простых многоугольниках. Определение суммы двух
многоугольников остаётся прежним (см. § 3). * %
Определение 1. Дефектом многоугольника Р, имеющего η
вершин, называется разность
D(P)=2d(n-2)-a(P),
где σ(Ρ)—сумма углов многоугольника.
Замечание. В этом определении подразумевается, что у многоугольника
могут быть углы и большие 2d, но каждый угол всегда меньше Ad.
Очевидно, что у одноимённых многоугольников, имеющих равные дефекты»
суммы внутренних углов также равны.
Теорема 4. 1. Дефект суммы двух многоугольников равен сумме дефектов
составляющих многоугольников (свойство аддитивности).
Доказательство:
Пусть многоугольник Р, имеющий η вершин, разбивается ломаной, имеющей,
кроме концов, ν вершин, на два многоугольника: Рг и Р2, число вершин
которых равно соответственно пг и п2 Если концы ломаной, разбивающей
многоугольник Я, являются вершинами этого многоугольника (черт. 138), то легко
убедиться, что п1+п2~п+2+2 ν, ибо при подсчёте суммы чисел вершин
многоугольников Рг и Р2 придётся вершины ломаной и её концы считать по два раза,
а остальные вершины многоугольника Ρ — по одному разу
*) См., например: 1) «Лачала» Евклида. Книги I—VI. Перевод и
комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского, Гостехиздат, 1948, стр. 290—292; 2) Д. И.
Перепёлки и, Курс элементарной геометрии, Гостехиздат, 1948, стр. 190—193.
245
Общая же сумма всех углов многоугольников Рг и Р2 будет включать в
себя суммы всех углов многоугольника Ρ и, кроме того, сумму углов,
образуемых при вершинах ломаной, т. е. c(P1)+a(Pt) = <3(P)+4dv.
Если один или оба конца ломаной являются внутренними точками каких-либо
сторон многоугольника Р, го полученные равенства легко обобщаются
следующим образом:
где г=0, либо 1, либо 2, в зависимости от того, будут ли
соответственно концы ломаной совпадать с вершинами Ρ или
один или оба конца будут внутренними точками сторон
многоугольника Р.
Отсюда получаем формулы
п=пх+пг — 2 — 2ν — г, <*(Р) = о(Р1)+
Черт. 138. 4-σ (Р2) — Ad v — 2rd ...(*)
Пользуясь формулами (*), находим
D(P)-2d(n-2)-o(P)=2d(/i1-b/i2 — 4 —2ν~Γ)-σ(Ρ1) —σ(Ρ2) +
+4d^+2rd={2d(n1 — 2)-a(P1)}-b{2rf(/z2-2)-a(P2)} = D(P1)4-D(P2).
Следствие 1. Дефект многоугольника равен сумме дефектов конечного
числа треугольников, на которые многоугольник разложен произвольным способом,
а значит, дефект многоугольника есть всегда число положительное.
Следствие 2. Сумма дефектов треугольников, на которые разложен данный
многоугольник, не зависит от способа разбиения многоугольника на
треугольники.
Пусть в треугольнике ABC проведена трансверсаль CD (черт. 139). Пусть
длина отрезка АО равна к. Будем передвигать точку D вдоль стороны АВ. Очевидно
что при этом углы ACD и ADC будут непрерывными функциями от х. Отсюда
следует, что дефект треугольника A DC, D {ADC)=2d —
— А—a — (4. есть также некоторая непрерывная функция
от jc, / (jc). Эта функция — монотонно возрастающая, ибо,
взяр трансверсаль CDlt для которой ADl~xl>x, получим
треугольник ADXC, состоящий из двух треугольников:
A DC и DDLC, и по теореме 4. 1
/Ut)-/ (*>+Я iDDxC)>f (χ).
Если условимся считать, что при совпадении точки D
с точкой А дефект треугольника A DC равен нулю, то всё
сказанное приводит к следующей теореме.
Теорема 4. 2. Пусть β треугольнике ABC трансверсаль CD отсекает на
стороне А В отрезок AD длиной х, тогда дефект D(ADC) есть непрерывная
строго возрастающая функция f(x), определённая на отрезке 0<*<с, где
с — длина стороны А В и принимающая значения от 0 до D ( ABC)*=f (с).
Установим теперь важную связь, существующую между понятием дефекта и
понятием равносоставленности многоугольников, определение которого остаётся
прежним (см. § 3, определение 5).
Свойство транзитивности равносоставленности многоугольников, выраженное
в теореме 3. 6, а также его доказательство остаются без изменения и в
геометрии Лобачевского.
Теорема 4. 3. Равносоставленные многоугольники имеют равные дефекты.
Это вытекает из теоремы 4. 1т ибо, очевидно, конгруэнтные многоугольники
имеют равные дефекты. Оказывается, что справедлива и обратная теорема
доказательству которой придётся предпослать изложение ряда вспомогательных теорем.
246
Теорема 4. 4. Если на стороне HG четырёхугольника Саккери ABGH, при-
лежащей к прямым углам, построить отрезок HXGX = HG, то четырёхугольны*
ABG1Hl равносоставлен с ABGH.
Доказательство:
1-йслучай. Точка Нг лежит между Η и G либо
совпадает с G. В этом случае справедливость теоремы непосредственно усматривается
из чертежа 140, где одинаковыми индексами отмечены конгруэнтные части.
Η HnG мп., Нг Hi G
Черт. 140. Черт. 141.
2-й случай. Точка Нг лежит вне отрезка HG (черт. 141).
Отложим на луче GXH отрезки
GlH1 = HxH2?iH2HJi==... = Hn—xHn.
По аксиоме Архимеда существует натуральное число л, такое, что
(п—1) HXGX ^ G1G<nHlGl. Тогда точка Нп будет лежать между точками Η
и G, ибо в силу этих неравенств
GxG<n-HxGx = GxHn < GXG+HXGX=GXH.
Соединим точки А и В с Нх, Я2, Н9, ..., Нп. Получатся четырехугольники
ABGxHlf АВНХН„ АВН2Н3, ..., АВНп-хНп.
Из них каждый следующий равносоставлен с предыдущим. В самом деле, возьмём,
например, первые два четырёхугольника. В них имеем &ΒΗβχ = аАН2Нх, в
силу конгруэнции Η2Н1 = ΗXGX AHl = BGv АН2 = ВНХ (последние две конгруэнции
вытекают из конгруэнтности прямоугольных треугольников АННХ, BGGX и АНН*,
BGHX). Таким образом, оба они составлены из попарно конгруэнтных частей.
Аналогично проведём доказательство для остальных случаев. Но тогда по
свойству транзитивности все они равносоставлены с ABGXHX. Последний
четырёхугольник АВНп—хНп на основании доказанного 1-го случая равносоставлен с
четырёхугольником Саккери ABGH. В силу транзитивности получим окончательно,
что ABGXHX равносоставлен с ABGH.
Теорема 4. 5. Всякий треугольник А ВС равносоставлен с
четырёхугольником Саккери ABGH, который получается, если из вершин треугольника А и
В спустить перпендикуляры АН и BG на прямую, соединяющую середины D
и Ε сторон АС и ВС. Каждый острый угол четырёхугольника Саккери равен
половине суммы углов треугольника А ВС.
Доказательство:
Возможны 4 случая: 1) обе точки Ό η Ε лежат между Η и G (черт. 142а),
2) точка D лежит между HnG, точка Ε совпадает с G (черт. 1426, 3) точка D лежит
между Η и G а точка Ε лежит вне отрезка HG (черт. 142в), 4) точки D и Ε
обе лежат вне отрезка HG (черт. 142г).
Что четырёхугольник ABGH является четырёхугольником Саккери, видно из
того, что, опустив из С пер^ендик>ляр С К на HG, получим аСЕК = δ EG В и
Δ CD/C = aDHA по гипотенузе и острому углу, откуда (Ж ξ АН = BG, что и
подтверждает сказанное.
247
Во всех четырёх случаях HG^2DE. Это непосредственно видно из
чертежей 142а и 1426 в силу конгруэнтности указанных выше треугольников. В
случае чертежа 142в имеем: ·
HG = HD+DGelDK+DG~DG+GE+EK+DG=2-DG+2-GE=
= 2(DG+GE) = 2.DE.
В случае чертежа 142г получим в силу того, что HD = DK и GE=GD+
+DE=EK, такие результаты:
HG = HD—GD = DK — GD = DE+EK — GD=DE + GE — GD = DE+GD+DE —
— GD = 2DE.
Во всех четырёх случаях отложим на луче DH отрезок DL — DE и
соединим А с L. Отрезок LE=2 DE = HG. Четырёхугольник ABEL равносоставлен,
г С
от
L Μ
Оу
υ/
/λ
Λ
к
j
\£
и
кА
Черт. 142а.
Черт. 1426,
Черт. 142в.
Черт. 142г.
с одной стороны, с треугольником ABC, ибо aADL=aCDE по двум сторонам
и углу между ними, а, с другой стороны, по теореме. 4. 4 он равносоставлен с
четырёхугольником Саккери ABGH. По свойству транзитивности &АВС равно-
составлен с четырёхугольником Саккери ABGH.
Легко также убедиться, что во всех случаях сумма острых углов
четырёхугольника Саккери И А В и GBA равна сумме углов треугольника ABC.
Но **НАВ=*4 GBA, следовательно, каждый из этих углов равен половине суммы
углов треугольника ABC.
Теорема 4. 6. Если два треугольника имеют равные дефекты, то они
ранно составлены.
Доказательство:
Рассмотрим сперва частный случай, когда у данных равнодефектных
треугольников ABC и А1В1С1 имеется по одной конгруэнтной стороне, например АВ=А1В1
(черт. 143). По теореме 4. 5 треугольник ABC равносоставлен с
четырёхугольником Саккери ABGH и треугольник Аф^ — с четырёхугольником Саккери
АхВгСхНг.
Так как треугольники имеют равные дефекты, то у них равны суммы
внутренних углов, в силу чего по теореме 4. 5 острые углы обоих
четырёхугольников Саккери конгруэнтны. Легко доказать от противного методом наложения,
что четырёхугольники Саккери ABGH и Α^βχΗ^ имеющие конгруэнтные
стороны А В и АгВх и острые углы конгруэнтны друг другу. Отсюда следует, что
треугольники ABC и А1ВХС1 равносоставлены.
24$
Рассмотрим теперь общий случай. Пусть даны произвольные равнодефектные
треугольники ABC и А^С^ причём АС<А1С1 (черт. 144). Пусть, далее,
ABGH— четырёхугольник Саккери, соответствующий треугольнику ABC.
Пользуясь теоремой 6. 6 главы III, можно показать, что на прямой HG существует
такая точка L, что AL = —- . АгСг. На прямой AL отложим отрезок LC2 = AL
так, чтобы L лежала между А и С2. Соединяя В и С2\ получим
треугольник АВС2. Пусть Μ — точка пересечения ВС2 и HG. Опустим на HG
перпендикуляр С2К. Из конгруэнтности треугольников КМС2 и GMB (по катету и озгро-
му углу) убедимся, что МС2 = МВ, т. е. что Μ есть середина стороны £С2.
Отсюда следует, что четырёхугольник Саккери, соответствующий треугольнику
АВС2, совпадает с четырёхугольником ABGH. Но тогда по теореме 4. 5 сумма
углов треугольника АВС2 равна сумме углов треугольника ABC, а следовательно,
эти треугольники равнодефектны. Так как по условию треугольники ABC и А\В1С1
имеют равные дефекты, то и треугольники АВС2 и ΑΧΒ£Χ равнодефектны, причём
у них имеется по одной конгруэнтной стороне, а именно AC2 = 2-AL = A1C1.
На основании доказанного выше. частного случая заключаем, что треугольники
ΑΧΒ£Χ и АВС2 равносоставлены. С другой стороны, треугольники ABC и АВС2
также равносоставлены, ибо каждый из них равносоставлен одному и тому же
четырёхугольнику Саккери ABGH. По свойству транзитивности треугольники
ABC и ΑχΒ^χ равносоставлены.
Теперь всё подготовлено для доказательства основной теоремы.
Теорема 4. 7. Если два многоугольника имеют равные дефекты, то они
равносоставлены.
Доказательство:
Теорема уже доказана для частного случая, именно для двух равнодефект-
ных треугольников (теорема 4. 6.), т. е. для двух равнодефектных
многоугольников, общее число вершин которых равно 6. Применяя доказательство по индукции,
249
предположим, что теорема доказана для любой пары равнодефектных
многоугольников, общее число вершин которых есть любое натуральное число из ряда 6,
7, . . ., п. Докажем, что тогда теорема справедлива и для всякой пары равно-
дефектных многоугольников Ρ и Q, общее число вершин которых равно л+1.
Пусть числа вершин многоугольников Ρ и Q равны соответственно пх и л2, так
что пх-\-п2 = п+1.
Пусть А, В и С — три последовательные вершины многоугольника Р, такие,
что А С есть диагональ, лежащая целиком внутри Р, и аналогично Ах Blt Сг —
три последовательные вершины многоугольника Q,
такие, что диагональ АхСг целиком лежит внутри Q *)
(черт. 145).
Если треугольники ABC и А1В1С1 равнодефектны,
то они равносоставлены (теорема 4. 6). Если мы их
отбросим, то от многоугольников Ρ и Q останутся
многоугольники, имеющие соответственно пг — 1 и
п2 —1 вершин, причём оба они равнодефектны, ибо мы
от равнодефектных многоугольников Ρ и Q отбросили
равнодефектные треугольники. Но общее число вершин
оставшихся равнодефектных многоугольников равно
(пх— 1)-{-(я2 — 1)=/ζ— 1, следовательно, по
предположению, для них теорема доказана, т. е. они
равносоставлены. Отсюда следует, что многоугольники Ρ и Q
также равносоставлены.
Если треугольники ABC и Α^^χ не равно-
дефектны, то Допустим для определённости, что
D(ABC)<D(A1B1C1). Тогда по теореме 4. 2 на
Черт. 145, стороне ВгСг треугольника А1В1С1 существует такая
точка Dlt что трансверсаль A1D1 отсекает треугольник
ΑχΒχΌ^ дефект которого равен дефекту треугольника
ABC. По теореме 4. 6 треугольники ABC и A1B1D1 равносоставлены. Отбросив
их, мы в остатке получим опять два равнодефектных многоугольника, причём
один из них, оставшийся от Р, имеет пг— 1 вершин, а другой, оставшийся от Q,
имеет л2 вершин. Общее число вершин оставшихся равнодефектных
многоугольников равно (пг—\)-{-п2 = п, следовательно, они равносоставлены, а тогда равно-
составлены и многоугольники Ρ и Q. Теорема полностью доказана.
б) Теория измерения площадей многоугольников
Определение 2. Пусть каждому многоугольнику Ρ поставлено в соответствие
положительное число S (Р) так, что при этом удовлетворяются следующие три
условия:
а) Конгруэнтным многоугольникам соответствуют равные числа.
б) Сумме двух многоугольников соответствует число, равное сумме чисел,
соответствующих составляющим многоугольникам.
в) Некоторому определённому треугольнику поставлено в соответствие
число 1.
Тогда число S (Р) называется площадью многоугольника Р. #
Наша задача состоит в доказательстве существования и единственности
площади у каждого многоугольника.
Сопоставляя условия а) и б) с определением 1 дефекта многоугольника и
теоремой 4. 1, непосредственно убеждаемся, что этим требованиям удовлетворяют
как дефекты многоугольников, так и пропорционгльные им числа. Итак, поставив
каждому многоугольнику Ρ в соответствие число mD(P), где т — произвольный
постоянный положительный множитель, мы получаем множество положительных
чисел, удовлетворяющее требованиям а) и б). Однако в силу произвольности т
мы такое соответствие можем установить бесконечным множеством способов.
*) Существование таких трёх последовательных вершин у всякого простого
многоугольника можно доказать.
250
Выберем теперь число m«m0 так, чтобы некоторому определённому
треугольнику δ © в этом соответствии отвечало число 1. Это можно сделать, полагая
m0D ( δ ο) = 1, откуда т0=—— .
Таким образом, числа m0D(P), где т0 выбрано указанным способом,
удовлетворяют уже всем трём условиям а), б) и в), чем и доказано
существование площади в смысле определения 2 у каждого многоугольника Р, а
именно
S(P)=m0D(P)) гдет.-— (*)
ЬЧА0)
Однако этим ещё не доказана единственность такого соответствия.
Может возникнуть сомнение, нельзя ли указать другие числа, отличные от чисел
получаемых по формуле (*), которые также удовлетворяли бы условиям а), б),
в). Предположим, что существуют такие числа, обозначим их через δ (Ρ). Если
мы для каждого многоугольника Ρ его дефекту D(P) приведём в соответствие
число δ(Ρ), то получим функцию δ = /(Ζ)), которая в силу условия б)
будет возрастающей. Разобьём многоугольник Ρ на два многоугольника: Рг и Я2,
их дефекты пусть будут Dx и D2 и пусть им соответствуют числа Ьг и δ2.
Тогда в силу теоремы 4. 1 и условия б)
D^D^D, Ъг+Ъ9-Ъ, причём ^-/ФО, ^-/(Dt).
Отсюда
5=/(D)=/(D1+D2)=S1+S2^/(D1)+/(D2),
/Φι+0,)-/(0ι)+/Φ,).
Как известно из анализа *), таким свойством обладают только функции /(*)=
— сх, где с — произвольный постоянный множитель. Таким образом, δ—c-D.
В силу условия в) δ(Δ0)=1. Отсюда b(k0)=\ = c-D(A0)=c—.
Отсюда с=/л0 и окончательно имеем:
b(P) = m0D(P),
т. е. числа Ь(Р) совпадают с прежде указанными числами S(P)=m0D(P).
Единственность системы измерения при выбранной единице
площади До Доказана. Сформулируем окончательный результат.
Теорема 4. 8. При выбранной единице измерения площади δ0 площадь
многоугольника пропорциональна его дефекту, S (P)=*m0 D(P), где >л0=-- .
ЩА0)
Полученная формула для площади многоугольника называется формулой
Ламберта, впервые нашедшего её.
Если мы снова многоугольники, имеющие одинаковые площади,
назовём равновеликими, то сразу получаем:
Следствие. Многоугольники, имеющие равные дефекты, или, что то же
самое, равные суммы углов, равновелики, и обратно·
Обращаясь теперь к теоремам, доказанным в предыдущем разделе а)
настоящего параграфа, и заменяя там слово «равнодефектные» на «равновеликие», что
мы имеем право делать в силу только что выказанного следствия, получим
предложения, аналогичные соответствующим предложениям геометрии Евклида.
Теорема 4. 9. Площадь многоугольника равна сумме площадей составляющих
его треугольников (см. следствие 1 теоремы 4. /, это аналог определения 3
из § 3). Эта сумма не зависит от споссба разбиения многоугольника на
треугольники (см. следствие 2 теоремы 4. 1, это аналог основной теоремы о
площадях 3.2).
*) См., например, Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и
интегрального исчисления, т. 1, 1947, стр. 187—189.
251
Теорема 4. 10. Для того чтобы όβα многоугольника были равновелики,
необходимо и достаточно, чтобы они были равносоставлены (см. теоремы 4.3 и 4. 7).
Таким образом, теоремы 3. 5 и 3. 11 (Бояи — Гервина) сохраняются и в
гиперболической геометрии.
Остановимся ещё на выборе множителя т0 в формуле Ламберта. Если
исходить из того требования, чтобы площадь треугольника в геометрии Лобачевского
при достаточно малых размерах сторон треугольника сколь угодно мало отличалась
от площади, вычисленной по формуле евклидовой геометрии, то необходимо будет
подобрать соответствующее значение т0. Потребуем, чтобы указанные площади,
вычисленные по формулам Лобачевского и Евклида, были при стремлении сторон
треугольника a, b и с к нулю бесконечно малыми эквивалентными. Очевидно,
что достаточно рассмотреть случай прямоугольного треугольника.
Пусть а и b — катеты, с — гипотенуза прямоугольного треугольника ABC.
Пользуясь формулами IIIх—β главы II § И (стр. 107), найдём
и а и b
sh —-sh
k k
cos(4+£)=
Далее.
Следовательно,
с
1+chy
D (ABC)~η — A — В — C=-y — (Л-f B).
a b
sh —-sh —
k k
smD(ABC) = cos(A+B) =
с
1-f-ch —
k
По формуле Ламберта S (ABC)=m0D(ABC). По формуле же евклидовой
геометрии площадь треугольника ABC равна - ab. Если α-*ϋ, b-+0, то и с-»0
и D{ABC)-+0. 2
sin D (ABC)
Следовательно, D(^C) - 1.
Рассмотрим предел
— h b
S(ABC) f. m^sinD(ABC) . Sh k *S k
Mm ' =lim -=2w0 Iim-
α-*·ί) 1 «-*·) I с-» о , f с \
Ь+q —ab 6-*J -~ ab b-*) ( 1-fch—-jab
>)
получим:
2 2
Учитывая, что
sh — sh —
k 1 ft 1 с t
lim = "~T » ',m—7——— . Iirri cii — =1,
u-+) a k ь-»о b k c-+o k
. S(ABC) 1 m9
Urn —\ -=2/w0· — = —·-.
G-o 1 2/c2 ft2
6^0 — a6
1
Требование эквивалентности бесконечно малых S(ABC) и -— ab приводит к
равенству -°- = 1 или m0=ft2. Таков должен быть выбор множителя mQ для до-
252
стижения указанной цели. В таком случае формула для вычисления площади
треугольника получит уже знакомый нам вид (см. стр. 131, форм. (25)).
S (АВС)= к2 (л — Л —В — С).
В главе II мы указывали уже, что из этой формулы вытекает, что в
геометрии Лобачевского площадь треугольника ограничена, ибо не
происходит числа η к2. Это предложение об ограниченности площади
треугольника является эквивалентом аксиомы параллельности Лобачевского.
§ 5: ОБ ИЗМЕРЕНИИ ОБЪЁМОВ ПРОСТЫХ МНОГОГРАННИКОВ
В ГЕОМЕТРИИ ЕВКЛИДА. ПОНЯТИЕ О ТЕОРЕМЕ ДЕНА — КАГАНА
Учение об объёмах простых многогранников *) строится по
тому же образцу, как и учение о площадях простых
многоугольников. Именно, под объёмом простого многогранника
понимается положительное число, удовлетворяющее условиям: а)
конгруэнтные многогранники имеют равные объёмы, б) многогранник,
разложенный на два многорранника, имеет объём, равный
сумме объёмов составляющих многогранников, в) куб с единичным
ребром имеет объём 1.
Далее устанавливается единственность и существование
объёма у каждого многогранника, при этом, как и в случае теории
площадей многоугольников, доказывается основная теорема о том,
что объём многогранника не зависит от способа его разложения
на тетраэдры.
Называя два многогранника равновеликими, если они
имеют равные объёмы, и равносоставленными, если
они могут быть разложены на одинаковое число попарно
конгруэнтных многогранников, мы вновь сталкиваемся с проблемой
о связи этих понятий, о возможности получить путём
разложения и перегруппировки частей из одного данного многогранника
другого, ему равновеликого. И вот здесь выступает резкое
отличие теории объёмов многогранников от теории площадей
многоугольников.
Как известно, в стереометрии в учении об объёмах
чрезвычайно важное значение имеет лемма о пирамидах: «Две пирамиды
с равновеликими основаниями и конгруэнтными высотами
равновелики». В доказательстве этой леммы всегда приходится
применять теорию пределов, рассматривая объём пирамиды как предел
суммы объёмов вписанных или описанных призм. Это
доказательство, основанное на теории пределов, издавна носит
выразительное название «чёртовой лестницы». Возникает вопрос, является
ли здесь применение метода пределов существенно необходимым
или же возможно обойтись без него? Нельзя ли эту лемму
доказать методом разложения на конгруэнтные многогранники, как
и в случае равновеликости многоугольников.
*) Определение простых многогранников аналогично определению простых
многоугольников: граница не должна иметь кратных точек.
253
Этот вопрос оказался настолько трудным, что Гильберт в
1900 г. на Первом международном математическом конгрессе
в Париже в числе 23 труднейших нерешённых тогда задач и
важнейших проблем математики выставил следующую проблему (3-я
проблема), аналогичную теореме Бояи — Гервина для
многоугольников: всякие ли два равновеликих многогранника равносостав-
лены.
И вот оказалось, что сформулированный Гильбертом вопрос
имеет отрицательный ответ, т. е. для многогранников дело
обстоит совершенно по-иному, чем для многоугольников. Именно,
в 1901 г. ученик Гильберта Ден доказал следующую теорему:
Если два равновеликих многогранника Ρ и Q равносоставлены,
причём аг, а2, ..., ат суть двугранные углы одного многогранника,
а Ри ?2 ···» βΛ—двугранные углы другого, то необходимо
существуют такие натуральные числа А±, А2, ..., Ат, В19 Я2, ..., Вп и
такое целое число /с, что
(Ala1+A2a2+...+AmaJ-(B1$1+B$2+. .. +Bn$n)=-2kd,
где d — прямой угол.
Далее Ден доказал, что существуют равновеликие
многогранники (например, правильный тетраэдр и
равновеликий ему прямоугольный параллелепипед), для которых
указанное в теореме равенство не выполняется,
и следовательно, они не равносоставлены.
Однако доказательство Дена носило чрезвычайно сложный
характер. В 1903 г. учёный нашей страны В. Ф. Каган дал
совершенно элементарное и гораздо более простое доказательство той
же теоремы основанное на ином принципе. Доказательство
В. Ф. Кагана изложено в книге «О преобразовании
многогранников» *).
Из соображений, изложенных выше, делается ясным, что
доказательство равновеликости двух многогранников, вообще говоря,
не может быть достигнуто одним лишь методом разложения
(или дополнения), в силу чего приходится прибегать к методу
пределов. Этим и объясняется неизбежная необходимость
«чёртовой лестницы» в доказательстве леммы о пирамидах.
*) Существуют два издания этой книги: 1-е издание 1913 г. Одесского
издательства Mathasis и 2-е издание 1933 г. ГТТИ.
В последние годы швейцарским геометром Хадвигером и другими были
получены новые результаты и дальнейшие обобщения в учении о равновеликости
и равносоставленности многоугольников и многогранников, давшие, в частности,
возможность разработать более элементарное доказательство теоремы Дена —
Кагана. Изложение этих новых результатов можно найти в книжечке В. Г.
Болтянского «Равновеликие и равносоставленные фигуры», ГТТИ, 1956 (Из серии
«Популярные лекции по математике»).
ГЛАВА V
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ АКСИОМАТИКИ ГЕОМЕТРИИ
§ 1. ИНВЕРСИЯ
Во втором параграфе главы III указывалось, что аксиоматика Гильберта
геометрии Евклида представляет собой абстрактную логическую схему, которая
может быть наполнена различным конкретным содержанием. Основные понятия
и аксиомы Гильберта представляют собой лишь формы с переменным
содержанием, они могут получить реальное воплощение при помощи объектов любой
природы, лишь бы между этими объектами
сохранялись отношения, которые выражены в
аксиомах Гильберта.
В следующем параграфе будет дана
подробная иллюстрация этой идеи, основанная на
преобразовании плоскости методом инверсии, к
изложению которого и перейдём.
Пусть в плоскости дана окружность с
центром в точке О радиуса а (черт. 146). Точечное
преобразование плоскости самой в себя, при
котором каждой точке Μ ставится в соответствие Черт. 146.
точка ЛГ, лежащая на луче ОМ и
удовлетворяющая условию ОМ-ОМ' =а2, называется
инверсией относительно данной окружности. Эта окружность называется осн о-
вой окружностью или окружностью инверсии, её центр О называется
центром инверсии, её радиус — радиусом инверсии, а квадрат
радиуса а2 — степенью инверсии.
Точки Μ и ЛГ, соответствующие друг другу в инверсии, а также две
фигуры, соответствующие друг другу в инверсии, называются взаимно
обратными относительно основной окружности.
Из определения инверсии вытекает и способ геометрического построения
точки, взаимно обратной с данной.
Именно если дана точка М, лежащая внутри круга инверсии, то проводим
через Μ прямую Μ Г \_ОМ и в точке пересечения Τ этой прямой с основной
окружностью проводим касательную до пересечения с лучом ОМ. Точка
пересечения ЛГ и будет обратной к М\ ибо, как нетрудно видеть, ОМ-ОМ' =а*.
Обратно, если дана точка ЛГ, внешняя к основной окружности, то, проведя
касательную МТ и опустив перпендикуляр из точки Г на луч ОМ', получим точку Λί,
лежащую внутри круга инверсии и обратную к точке М'.
Запишем преобразование инверсии в векторной форме^ Поместим начало
радиусов-векторов в центр инверсии О, обозначим через г и г' радиусы-векторы
взаимно обратных точек Μ и М'. Тогда по определению инверсии имеем:
|Т| · \Т'\ = а2 и Ρ = λ7, где λ>0.
255
Определим скаляр λ. В силу второго равенства
а2=\ г\ ■ |г'| = ' |/f= г2.
а2
Отсюда λ = — . Следовательно, инверсия в векторной форме запишется в виде
г2
- я2 —
/·'=— г . . (1)
г2
Теперь легко получить для инверсии выражения в координатной форме.
Обозначим прямоугольнье координаты с началом в точке О точек Μ и М'
соответственно через (л:, у) и (χ', у'). Тогда из (1) следует, что
а2х а2у
х' = ν' = — (2\
х2+у2' У х2+у2 ;
Аналогично легко получить и формулы для обратного преобразования:
__ а2 - а2х' а2у'
т -=Г,''· Х'~7Ц^ · у'-?^г. (3)
Из определения.инверсии ясно, что при движении точки М' по лучу ОМ'
к центру инверсии О взаимно обратная точка Μ движется ей навстречу* по тому
же лучу и обе точки сливаются на окружности инверсии При дальнейшем
движении М' и неограниченном приближении её к точке О точка Μ выйдет за
пределы круга инверсии и будет по тому же лучу неограниченно удаляться от центра
инверсии.
Совершенно очевидно, что инверсия есть взаимнооднозначное преобразование
плоскости самой в себя за исключением лишь одной точки — центра инверсии О,
для которой в плоскости нет соответствующей при инверсии, ибо при г -> О, имеем:
Чтобы сделать инверсию взаимно однозначным преобразованием без всяких
исключений, дополним евклидову плоскость ещё одной «несобственной»
(бесконечно удалённой) точкой О', которая должна в инверсии соответствовать точке О.
Мы должны будем тогда принять, что всякий луч, выходящий из О, проходит
через эту несобственную точку О'.
Сформулируем теперь ряд важных свойств инверсии.
1. Внутренние точки окружности инверсии
преобразуются во внешние и наоборот; точки самой окружности
инверсии остаются неподвижными, т." е. преобразуются
сами в себя.
2. Преобразование, обратное для данной инверсии, есть
также инверсия, т. е. если точка Μ переходит при инверсии
в точку Μ', то одновременно, обратно, точка М' переходит
в точку М.
Это непосредственно ьидно из сравнения соотношений (1) и(3).
Исследуем, как инверсия преобразует прямые и окружности. Пусть в
плоскости дана окружность
A U2+y2)+£*+Cy+D = 0. ( у
На основании формул преобразования (3) легко видеть, что при инверсии эта
окружность перейдёт в кривую, уравнение которой имеет вид
Аа* + Ва*х' + Са2у' + D(x'2+y'2) =0. (-)
Возможны следующие случаи.
а) А Ф 0, D Φ 0. -Тогда (и) есть окружность, не проходящая через центр
инверсии, она переходит в окружность (β), также не проходящую через центр
инверсии.
256
б) Л =£ О, D = 0. Тогда (?) есть окружность, проходящая через О, она
переходит впрямую (β), не проходящую через точку О.
в) Л=0, D Φ 0. Тогда прямая (*), не проходящая через О, переходит в
окружность (β), проходящую через О.
г) Л=0, D=0. Тогда прямая (а), проходящая через О, переходит сама в
себя, ибо (β) есть в этом случае та же прямая (а), вследствие
пропорциональности коэффициентов.
Таким образом, мы получили следующие свойства инверсии.
3. а) Окружности, не проходящие через О, преобразуют-
ся в окружности, не проходящие через О.
б) Окружности, проходящие через О, преобразуются в
прямые, не проходящие через О.
в) Прямые, не проходящие через О, преобразуются в
окружности, проходящие через О; прямые, проходящие
через О, преобразуются сами в себя.
Рассмотрим ещё особо случай в), когда Л = 0, D Φ 0. Тогда прямая Вх+
-j-Cy-f D=0, не проходящая через центр инверсии, преобразуется в окружность,
проходящую через О.
Ba*x'+Ca2y'+D (х"*+у'2) = 0 .(β7)
Уравнение касательной к этой окружности имеет еид
(Ba2+2Dx') (X— x')+(Ca2+2Dy')(Y — y')=0.
Найдём уравнение касательной к окружности в центре инверсии, т. е. при
х'=у'=0.
Получим вх+су=о.
т.е. окружность (β') имеет в ценгре инверсии касательную, параллельную данной
прямой.
4. Прямая, не проходящая ^орез центр инверсии, π ре о б-
разуется в окружность, проходя-ц у ю через центр
инверсии, причём касательная к этой окружности вцентре
инверсии параллельна данной прямой.
Отсюда непосредственно заключаем, что
5. Прямые, параллельные и не проходящие через центр
инверсии, преобразуются в окружности, касающиеся друг
друга в центре инверсии и обратно.
Важнейшим свойством инверсии является следующее:
6. И н ве ρ с и я ее τ ь к о н фо ρ мн ое преобразование, т. е. при
инверсии угол между двумя кривыми в точке их
пересечения сохраняется.
Докажем это прямым вычислением.
Предварительно найдём связь между единичным вектором касательной к
данной кривой L и таким же вектором касательной в соответствующей точке
кривой L', в которую переходит при инверсии кривая L. Пусть векторное уравнение
кривой L будет г = r(s), где 5 — длина дуги кривой L, отсчитываемая от
некоторой фиксированной точки. Пусть, далее, векторное уравнение кривой L' будет
г'=г'(з), где σ есть длина дуги кривой L', отсчитываемая от точки,
соответствующей начальной точке отсчёта параметра s. Орты касательных в соответ-
dr~ ~dr'
ствующих точках кривых L и// будут равны — и — . Нам и надлежит найти
ds da
связь между ними. Так как радиусы векторы соответствующих точек кривых L
и U связаны соотношением (1), т.*е.
а?-
г' (σ)=- г (s),
г2 (s)
то - а2 2а2 ,_. ч_
dr'=z.-dr — (г dr) г . (;}
Г2 ( А2)2
257
Следовательно,
dr'*=
(Г2)2
- 4al·
dr*-
4α* ,_
ζ—- ( rd r )2+—— ( г d~r)\
№
(г2)4
или
dr'
α* _
-dr*.
Но это значит, что
и·
do»=-
α*
И»
ds2 т. е.
а2
da=*zr-ds.
г2
Поэтому соотношение (γ) можно переписать в виде
ί/σ ds 72 \ ^s/
(δ)
Это и есть искомое соотношение.
Пусть теперь две кривые на плоскости L и_ Lx пересекаются в некоторой
точке, радиус-вектор которой обозначим через г. Тогда кривые L' и^', в кото-
— а2_
рые преобразуются данные кривые, пересекутся в точке г'*=—^~г.
_ г2
Пусть кривые L и Lx образуют в точке г угол Θ, а кривые L' и Lx'
образуют в точке г' угол Θ'. Обозначим орты касательных L и Lx в точке 7 че·
dr~ Ъг , . я . _ dF ЬР
рез
, а орты касательных L*
ds bs
Учитывая равенство (δ), получим
и Lx' в точке г' — через
dv
δσ
« <*r' br
cos6' =—.—
dz lz
\ds 7* \ ds )l\bs Ji \ bsjl
= «L.±I_± (T*-\(-r b-L\*(7*l)(
ds bs ft \ ds )\ bs) rt\ ds J\
bs
dr
ds
bs
= cost
Итак, cos Θ' = cos Θ. Этим конформность преобразования полностью доказана.
7. Как бы ни были расположены в плоскости две
произвольные окружности, или окружность и прямая, или две
параллельные прямые, всегда можно их преобразовать
друг в друга при помощи инверсии, если к инверсии при:
числить её предельный
случай — симметрию
относительно прямой.
Рассмотрим лишь тот случай,
когда данные две окружности с центром
в точках О и О' лежат одна вне другой
или пересекаются (черт. 147).
Проведём линию центров и общую
внешнюю касательную. Если
окружности не равны, то касательная пересечёт
линию центров в некоторой точке S,
являющейся центром подобия данных
окружностей. Примем «S за центр
окружности радиуса а, где a*=ST-ST'. Докажем, что инверсия относительно
этой окружности и есть искомая, т. е. она преобразует данные окружности друг
в друга.
Черт
258
Для этого проведём произвольный луч SM', пересекающий данные
окружности в точках Μ, Ν, Ν', Μ'. По свойству касательных будем иметь:
SM-SN-ST* и SM'-SN'^ST'* (*)
Замечая, что
ASOM~ASO'N' и aSON~aSO'M'9
получаем:
SM SO SN SO SM SN
SN'~~SO' И SM'~ SO' ' T'e' SN'~~SM~' '
Сопоставляя это равенство с равенствами (*), заключаем, что
SM-SM'^SN-SN'=ST-ST' = a*,
т. е. точки Μ и ЛГ, а также N и Ν' являются взаимно обратными относительно
окружности инверсии с центром в S радиуса а.
Очевидно, что инверсия переводит полуокружности AT В и А'Т'В' друг
в друга.
Если данные окружности равны, то инверсия вырождается в симметрию
относительной прямой.
Остальные случаи предоставляем разобрать читателю.
8. Всякую окружность (или прямую) можно при помощи
инверсии преобразовать саму в себя так, чтобы две фи-
Черт. 148. Черт. 149.
ксировянные точки этой окружности (или прямой)
переходили друг в друга.
Пусть на окружности даны две различные точки: А и В (черт. 148).
Проведём хорду АВ и произвольный диаметр, не имеющий общей точки с
отрезком АВ. Пусть прямая АВ пересекает диаметр в точке S. Построим окружность
с центром в S радиусом а, равным отрезку касательной ST. Тогда инверсия
относительно этой окружности и будет искомой, ибо для любой секущей
SM-SM' =SA-SB~ST* = a2.
Легко убедиться, что эта инверсия преобразует дуги AT и ВТ друг в друга
и дуги СТ и DT друг в друга. В случае, когда А и В совпадают, хорда АВ
заменяется касательной.
Если выбранный диаметр окажется параллельным хорде А В, то окружность
инверсии вырождается в прямую, проходящую через центр О и перпендикулярную
к выбранному диаметру, а инверсия вырождается в симметрию относительно этой
прямой.
Пусть теперь на прямой даны две точки А и В (черт. 149). Возьмём на
этой прямой произвольную точку S, лежащую вне отрезка АВ. Построив
окружность с центром в S радиусом ST=a, где ST есть отрезок средний
пропорциональный между отрезками SA и SB, получим искомую окружность инверсии.
Рассмотрим теперь вопрос о пучках окружностей.
Определение. Говорят, что множество окружностей, центры которых
лежат на одной прямой, образует:
1. Эллиптический пучок, если все они пересекаются попарно в двух
фиксированных точках А и В.
259
2. Параболический пучок, если все они касаются попарно друг друга
в одной и той же точке.
3. Гиперболический пучок, если они все ортогональны к одной
и той же окружности.
Исследуем вопрос об ортогональных траекториях каждого из этик
пучков окружностей.
Начнём с гиперболического пучка.
Построить гиперболический пучок окружностей можно следующим образом.
Пусть дана окружность с центром О на XX, пересекающая эту прямую в
точках А и В (черт. 150). Если
X' в любой точке этой окружности
провести касательную до
пересечения с прямой XX, то
окружность с центром в точке
пересечения и радиусом, равным
отрезку касательной, будет
ортогональной к данной окружности.
Следовательно, совокупность всех,
таких окружностей образует
гиперболический пучок. Он состоит
из двух систем окружностей,,
вложенных друг в друга и
стягивающихся к' точкам А и В,
Эти точки А и В называются
предельными точками
гиперболического пучка
окружностей.
Для нахождения
ортогональных траекторий
гиперболического пучка применим инверсию»
относительно окружности с
центром в точке А радиуса АВ.
Эта инверсия преобразует
прямую XX саму в себя по
свойству Зв, а данную окружность,
проходящую через А и β,— в прямую КК, перпендикулярную к оси XX и
касательную в точке В данной окружности в силу свойств I, 36 и4(черт. 151).
Так как окружности, принадлежащие гиперболическому пучку, ортогональны
к данной окружности и к прямой XX, то они должны преобразоваться в силу
свойств За и 6 (конформность) в
окружности, ортогональные к оси
XX и к указанной выше
касательной прямой, т. е они должны
преобразоваться в концентрические
окружности с центром в точке В
(черт. 151). Поэтому искомые
ортогональные траектории
гиперболического пучка должны перейти в силу
конформности инверсии в
ортогональные траектории семейства
концентрических окружностей с центром
в точке В. Но ортогональные
траектории этого семейства суть
всевозможные прямые, проходящие через
точку В (черт. 151). Поэтому в силу
свойства 2 искомые ортогональные
траектории гиперболического пучка
суть те кривые, которые переходят при инверсии в указанный пучок прямых,
гересекающихся в точке В, и обратно. По свойству же 36 и 1 прообразами этих
прямых являются окружности, проходящие через центр инверсии А и через
2G0
неподвижную точку В. Таким образом, ортогональными траекториями
гиперболического пучка окружностей являются всевозможные окружности, проходящие
через точки А и В (черт. 150). Очевидно, что их центры расположены на прямой
Х'Х', проходящей чергз О перпендикулярно к XX. Следовательно
ортогональные траектории гиперболического пучка сами образуют эллиптический пучок
окружностей с центрами на прямой Х'Х'.
Если мы теперь возьмём эллиптический пучок окружностей, центры которых
расположены на прямой XX и проходящих через точки Л и В, то очевидно,
что его ортогональными траекториями являются окружности гиперболического
пучка с линией центров Х'Х' и предельными точками А и В (черт. 151а).
Черт. 151а. Черт. 152.
Рассмотрим теперь параболический пучок с линией центров XX, все
окружности которого касаются друг друга в некоторой точке О (черт. 152), называемой
центром пучка. Возьмём точку О в качестве центра инверсии с
произвольным радиусом инверсии. Тогда в силу свойств 36 и 4 эти окружности
преобразуются во всевозможные прямые, перпендикулярные к прямой XX. Следовательно,
искомые ортогональные траектории параболического пучка должны по свойству
конформности преобразоваться в ортогональные траектории этого пучка параллельных
прямых. Такими траекториями являются прямые, параллельные прямой XX.
В силу свойства 2 они должны перейти в искомые ортогональные траектории
параболического пучка окружностей. Но семейство прямых, параллельных
прямой XX, по свойству 4 преобразуется в семейство окружностей, касающихся
прямой XX в точке О.
Следовательно, искомые ортогональные траектории суть окружности, имеющие
центры на прямой Х'Х', перпендикулярной к XX, и касающиеся друг друга
в одной и той же точке О, т. е. они образуют параболический пучок с линией
центров Х'Х'.
Резюмируем результаты.
9. а) Ортогональные траектории эллиптического пучка
окружностей, пересекающихся попарно в точках Л и В,
образуют гиперболический пучок окружностей, имеющий точ-
к и Л и β предельными точками и прямую АВ линией центров.
б) Ортогональные траектории параболического пучка
окружностей образуют также параболический пучок
окружностей с тем же центром пучка и с линией центров
перпендикулярной к л и н и и цен τ ро в данного пучка.
в) Ортогональные траектории гиперболического пучка
окружностей с предельными точками Л и В образуют эллип-
261
тический пучок окружностей, попарно пересекающихся
в точках Л и β.
Заметим в заключение, что совокупность всех окружностей и прямых
плоскости, проходящих через данную точку, называется параболической
связкой окружностей; совокупность всех окружностей и прямых,
ортогональных к данной окружности, называется гиперболической связкой
окружностей. Наконец, совокупность всех окружностей и прямых,
пересекающих данную окружность в диаметрально противоположных её точках,
называется эллиптической связкой окружностей.
Совершенно аналогичные соотношения можно развить в применении к
пространству, если воспользоваться инверсией относительно сферы.
§ 2. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПУАНКАРЕ ПЛАНИМЕТРИИ ЕВКЛИДА
В СИСТЕМЕ ОКРУЖНОСТЕЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ СВЯЗКИ
В настоящем параграфе излагается истолкование Пуанкаре планиметрии
Евклида. Оно основано на применении инверсии, а именно на свойстве Зр) (при
инверсии прямые переходят либо в окружности, либо в прямые, проходящие
через центр инверсии).
Рассмотрим в плоскости Евклида множество всех прямых. Выбрав в этой
плоскости некоторую произвольную точку О в качестве центра инЕерсии с
произвольным радиусом инверсии, преобразуем множество всех этих прямых в
множество всех прямых и окружностей, проходящих через точку О.
Таким образом, мы отображаем при помощи инверсии множество всех прямых
плоскости Евклида в множество всех окружностей и прямых параболической
связки с центром в О.
В целях удобства будем рассматривать данную плоскость Евклида с
множеством всех её прямых и её отображение с множеством всех окружностей и
прямых параболической связки с центром в точке О в виде двух отдельных плоскостей.
Тогда при помощи инверсии одна плоскость Евклида, назовём её первой,
отображается на другую плоскость, назовём её второй. Это отображение первой
плоскости на вторую является взаимно однозначным за одним единственным
исключением: точке О в первой плоскости не соответствует никакой точки во
второй, обратно, точке О во второй плоскости не соответствует никакой точки в
первой. Поэтому всякая прямая первой плоскости, не проходящая через точ-
к\ О, отображается не в полную окружность связки второй плоскости, а в
окружность связки с выключенной точкой О. Если же прямая в первой плоскости
проходит через точку О, то при отображении она переходит также в прямую
второй плоскости, проходящую через точку О, но при этом точка О первой
прямой не имеет себе соответствующего образа на второй прямой, т. е. первая
прямая отображается не полностью, а с изъятием точки О. Обратно, вторая
прямая отображается в первую также не полностью, а с изъятием точки О.
Чтобы добиться взаимно однозначного соответствия, поступим так: из второй
плоскости исключим одну точку О, как бы прокалывая плоскость в этой точке,
но зато дополним её «несобственной» («бесконечно удалённой») точкой О',
которую будем считать соответствующей точке О первой плоскости. Вторую
плоскость после указанных изменений будем называть плоскостью Пуанкаре и
обозначать буквой /7. Первую плоскость обозначим через Е.
Легко видеть, что теперь инверсия, отображающая плоскость Ε на
плоскость Я, есть полностью взаимно однозначное преобразование. Действительно,
всякой течке плоскости Ε отвечает в плоскости Π одна и только одна точка>
в частности точке О плоскости Ε отвечает несобственная точка О' плоскости /7.
Обратно, каждой точке плоскости Π отвечает одна и только одна точка
плоскости Е, в частности несобственной точке О' плоскости Π отвечает точка О
плоскости Е. Теперь всякая прямая плоскости Е, не проходящая через точку О,
по-прежнему отображается на окружност ь связки в плоскости Π с выключенной
точкой О, а всякая прямая плоскости Е, проходящая через О, полностью
отображается на прямую плоскость /7, проходящую через точку О, но с выключен-'
ной точкой О и как бы смыкающуюся в несобственной точке О'. Таким обра-
262
зом, прообразы — все прямые плоскости Ε — полностью без всяких «изъянов»
отображаются — на образы — прямые и окружности параболической связки
плоскости Я, все имеющие «изъян» в точке О, причём все прямые связки в
плоскости Я содержат бесконечно удалённую точку О'.
В силу установленного взаимно однозначного соответствия между
плоскостью Ε и плоскостью Я будет естественным в качестве основных объектов и
отношений аксиоматики Гильберта принять вместо точек и прямых и т. д.
евклидовой плоскости Ε те образы и отношения между ними на плоскости Я, в которые
при инверсии переходят первые. Для этого устанавливаем следующее
истолкование основных понятий системы Гильберта или «интерпретационный
словарь», указывающий, какой смысл мы придаём основным понятиям системы
Гильберта.
Определение 1. «Точка Пуанкаре» (короче: Я-точкой) называется
любая точка плоскости Я, τ е. любая точка плоскости Евклида с выключенной
точкой О и дополненной несобственной точкой О'.
Определение 2. «Прямой Пуанкаре» (Я-прямой) называется любая
прямая или окружность параболической связки с центром связки О плоскости Я,
т. е. любая прямая или окружность параболической связки плоскости Евклида
с центром связки О, если из этой плоскости выбросить точку О и дополнить её
несобственной точкой О'.
Определение 3. «П-инцидентность» между Я-точками и Я-прямыми
будем понимать в обычном смысле.
Определение 4. Пусть три Я-точки: А, В, С, инцидентные одной
Я-прямой, инверсией преобразуются в три точки: А',В', С,.инцидентные одной
прямой в плоскости Е. Тогда будем говорить, что «В лежит между Л и С а
смысле Пуанкаре», если соответствующая точка В' лежит между А' и С в
обычном смысле слова.
В соответствии с установленным принципом построения нашего
«интерпретационного словаря» мы должны будем, далее, определить понятия Я-отрезка,
Я-луча, Я-угла точно так же, как это сделано Гильбертом в отношении понятия
отрезка, луча, угла, при этом очевидно, что инверсия преобразует Я-отрезок,
Я-луч, Я-угол соответственно в обычные отрезок, луч, угол плоскости Ε и
обратно. В силу свойства конформности инверсии Я-угол между Я-прямыми равен
соответствующему обычному углу между теми обычными прямыми плоскости Е,
которые переходят в данные Я-прямые.
Определение 5. «Конгруэнтность в смысле Пуанкаре» («Я-конгруэнт-
ность») в применении к Я-отрезкам и к Я-углам означает конгруэнтность в
обычном смысле тех отрезков или углов плоскости Е, которые преобразуются
инверсией в данные Я-отрезки или Я-углы.
В силу конформности инверсии ясно, что Я-конгруэнтность Я-углов означает
равенство мер этих углов.
Учитывая свойства 4 и 5 инверсии (см. § I), естественно принять
следующее определение.
Определение 6. Две Я-прямые называются «параллельными в смысле
Пуанкаре», если они в плоскости Я изображаются двумя окружностями или
окружностью и прямой, касающимися в точке О.
Ясно, что поскольку точка О исключена из плоскости Я, эти Я-параллель-
ные Я-прямые не имеют общей Я-точки.
Так как мзжду плоскостями Ε и Π установлено при помощи инверсии
взаимно однозначное соответствие, причём на все образы мы переносим термины,
имеющие место для прообразов, то все плоскостные аксиомы Гильберта I—V в
отношении Я-точек и Я-прямых в плоскости Я выполняются, поскольку они
выполняются для точек и прямых плоскости Е.
Это значит, что в системе окружностей и прямых
параболической связки в плоскости Я полностью
реализуется планиметрия Евклида.
Проверим выполнимость нескольких аксиом.
Так как в плоскости Евклида через всякие три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит единственная окружность, то через всякие две точки,
отличные от центра параболической связки окружностей, проходит либо вполне
263
определённая единственная окружность связки, либо прямая связки. Отсюда
получаем справедливость аксиом \1—2.
Через всякие две //-точки плоскости проходит одна
и только одна Я-прямая.
Проверим аксиому \1\1. Пусть даны ДЕе окружности параболической связки
с центром срягжи О (черг. 153). Пусть на одной окружности отмечены дне
точки: А и В, а на другой окружности — точка С. Инверсией относительно
точки О эти окружности преобразуются в две прямые, причём дуга АВ перейдёт
в некоторый отрезок А'В' соответствующей прямой, а точка С перейдёт в
некоторую точку С другой прямой. По аксиоме \\\1 для обычных прямых отложим
от точки С на второй прямой отрезок CD' ч-А'В' по ту или иную сторону
от точки С. Тогда точка D' инверсией преобразуется обратно в' некоторую
точку D второй окружности. В соответствии с определением 5 Я-конгруэнтности
/7-отрезков выполняется аксиома Ш^
На каждой Я-прямой от данной на ней Я-точки С
можно по данную сторону отложить Я-о τ ρ е з о к, Я-к о н г ρ у-
энтный наперёд заданному Я-от резку АВ другой Я-прямой.
Рассмотрим ещё выполнимость аксиомы V.
Пусть в параболической связке взята окружность а и точка А в плоскости
связки, лежащая вне окружности а (черт. 154). При помощи простых геометри-
<£) .О
в м с ^- -'
Черт. 153 Черт. 154.
ческих построений легко убедиться, что существует лишь одна окружность связки,
проходящая через А и касающаяся окружности а в центре связки О Переходя
к терминам интерпретации Пуанкаре, получим предложение:
Через Я-точку Л, лежащую вне Я-прямой а, в Я-п л ос
кости, ими определяемой, проходит только одна Я-прямая,
Я-параллельная а.
Таким путём можно проверить выполнимость всех аксиом Гильберта.
Поскольку в интерпретации Пуанкаре выполняются все плоскостные аксиомы Гильберта,
то все следствия из них, т. е. все теоремы планиметрии Евклида, будут
справедливыми и в ноаой интерпретации. Например, будет справедлива теорема:
Сумма Я-у г л о в всякого Я-тр е у г о л ь н и к а равна двум
прямым Я-у г л ам.
Рекомендуем читателю проверить справедливость этой теоремы
непосредственно.
Остановимся ещё на одном вопросе, который может возникнуть у читателя.
Прямая в евклидовой геометрии должна быть безграничной, между тем в
плоскости Я роль прямых играют не только грямые, проходящие через О, но и
окружности, проходящие через ту же точку. Как это согласовать со свойством
безграничности прямой? Нетрудно, однако, убедиться, что установленное нами
гочятие Я-конгруэнтности Я-отрезков делает точку О недостижимой и позволяет
установить такую систему измерения Я-отрезков* которая превращает точку О
как бы в «бесконечно удалённую», «недоступную» точку, плоскости Я.
Пусть на некоторой Я-прямой, изображаемой окружностью с центром в С,
проходящей через центр инверсии О (черт. 155), зафиксирован некоторый Я-от-
геюк АВ, изображаемый дугой АВ указанной окружности. Инверсия
относительно О преобразует нашу Я-прямую в обычную прямую, параллельную каса-
.264
тельной к данной окружности в точке О (свойство 4). При этом /7-отрезок АВ
перейдёт в обычный отрезок А'В' прямой.
Будем называть «Я-д л и н о й» Я-о τ ρ е з к а АВ обычную дл*
ну отрезка А'В'. Легко убедиться, что определённая таким образом
Я-длина удовлетворяет всем условиям, которым должно удовлетворять понятие
длины (см. определение 1 гл. IV, § 1).
Длину отрезка А'В' можно выразить через длины сторон треугольника ОАВ.
Для этого заметим, что треугольники ОАВ и О А'В' подобны, ибо О А · ОА' = а2,
ОА ОВ'
ОВ · ОВ =а2% где а — радиус инверсии, следовательно, —= . Отсюда
ОВ О А'
А'В'
АВ ''
О А'
= ОВ'
или А'В' = -
АВ -ОА'
ОВ
А В
НоОЛ' = —.
ОА
Следовательно,
А'В' = а2 ,..
ОА ■ ОВ
На основании нашего соглашения
теперь записать:
Я-длина Я-отрезка АВ=*а2·
АВ
ОА-ОВ*
С)
8'
Черт. 155.
где АВ, ОА и ОВ означают обычные длины этих
отрезков.
Отсюда непосредственно видно, что, если
одна из Я-точек: А или В, будет приближаться к О, то Я-длина неограниченно
возрастает, ибо ОЛ-»-0 или ОВ-+0.
Можно формулу (*) преобразовать к тригонометрическому виду. Обозначим
радиус окружности с центром С через г9 углы ОСА и ОСВ — через <? А и φβ,
углы СО А и СОВ — через α и β.
Тогда ОЛ=2 г cos α, 0£=2rcos3, AB=2r sin (β —· α) Но
ϊ*=
π-<Ρ/
Следовательно,
OA = 2rcos\—- — -г =2г sin-τ*
2
*4
2
OB = 2rcos
) = 2rsin
— = 2r sin —-
\2 2 / 2
Подставляя полученные выражения в (*), получим после преобразований
Я-длина Я-отрезка Л£е
2г \
ctg
¥--¥)
.(**)
Из формулы (**) снова видно что с приближением точки В к О правая часть
неограниченно возрастает.
Такова интерпретация Пуанкаре планиметрии Евклида. Совершенно
аналогично для пространства можно показать, что при помощи инверсии относительно
сферы геометрия Евклида полностью реализуется в системе сфер и плоскостей,
проходящих через цент инверсии.
265
В заключение заметим следующее. В основе интерпретации Пуанкаре лежит
идея взаимно однозначного преобразования плоскости или пространства, именно
таким преобразованием является инверсия. Очевидно, что и всякое другое взаимно
однозначное преобразование плоскости или пространства Евклида приведёт нас к
некоторой интерпретации геометрии Евклида, если мы при помощи
«интерпретационного словаря» на образы перенесём все термины, имеющие место для
прообразов. Отсюда следует, что существует бесконечное множество истолкований или
моделей геометрии Евклида*).
§ 3. ТРЕБОВАНИЯ, ПРЕДЪЯВЛЯЕМЫЕ К СИСТЕМЕ АКСИОМ
Исключительно абстрактный "и формальный характер
аксиоматики Гильберта, возможность вкладывать в её основные понятия
и аксиомы различное конкретное содержание и смысл,
позволяет придавать геометрии Евклида самые разнообразные
истолкования. Пример одного из таких истолкований рассмотрен в
предыдущем параграфе.
В то же время аксиоматика, определяющая геометрию
Евклида, не является однозначной: возможен другой выбор основных
понятий и аксиом, отличный от системы Гильберта, который
приводит к той же геометрии Евклида. Так, можно заменить
аксиому V параллельности любым эквивалентным ему
предложением, аксиому Дедекинда заменить двумя аксиомами —
Архимеда и Кантора, понятие конгруэнтности — понятием
движения. Таким образом, мы обладаем известной степенью свободы
в выборе основных понятий и аксиом геометрии Евклида, ибо
можно заменить те или иные основные понятия и аксиомы
другими, не изменяя геометрической системы по существу.
Но пусть так или иначе перечень основных понятий и
аксиом составлен. На этом не заканчивается построение
аксиоматики геометрии (или любой другой математической дисциплины).
Это только первый этап построения. Далее, мы вступаем во
вторую фазу, которая неизбежно вытекает из самого существа дела.
В самом деле, перечень основных понятий и аксиом не
может быть совершенно произвольным и случайным, он должен
удовлетворять ряду логических требований. Выполнение этих
требований должно ограничивать наш произвол в выборе
основных понятий и аксиом и оправдать с логической точки зрения
этот выбор.
Прежде всего возникает вопрос: не содержит ли
рассматриваемая нами система аксиом логических противоречий? Этот
вопрос нужно понимать не только в тривиальном, грубом смысле,
не содержит ли система двух непосредственно противоречащих
друг другу аксиом. Вопрос состоит в том, имеется ли гарантия,
что путём правильных логических умозаключений, как бы мы
*) Рекомендуем познакомиться с интересной интерпретацией Евклидовой
геометрии в круге, изложенной в популярной статье Б. Н. Делоне «Неевклидова
геометрия Лобачевского», напечатанной в журнале «Математика в школе», 1947,
№ 6. В этой интерпретации евклидовы прямые преобразуются в полуэллипсы.
266
далеко ни развивали следствия из системы аксиом, мы никогда
не придём к двум взаимно исключающим друг друга
противоположным предложениям.
Эта проблема называется проблемой
непротиворечивости или совместности данной системы аксиом.
Во-вторых, исходя из основного принципа дедуктивного
построения математической науки о строгом подразделении всех
предложений этой науки на аксиомы и теоремы, мы,
естественно, должны поставить вопрос: имеется ли гарантия, что то или
иное предложение, фигурирующее в данном списке аксиом,
не является логическим следствием других аксиом этого списка?
Иначе говоря, не может ли быть та или иная аксиома
доказана, как теорема и, следовательно, является лишней в нашем
списке. Таковой, например, была проблема доказательства 5-го
постулата Евклида. Итак, имеем вторую проблему —
проблему независимости или минимальности системы
аксиом.
Наконец, мы должны задаться вопросом: возможно ли на
основании данного перечня аксиом без всяких добавочных
предпосылок, без всякого обращения к наглядным представлениям и к
эксперименту, доказать либо опровергнуть любое предложение,
относящееся к данной математической области, или, иначе, решить,
«истинно» ли оно или «ложно» относительно данной системы
аксиом? Эта проблема называется проблемой π о, л ноты или
достаточности системы аксиом. Примером неполной
системы аксиом является система постулатов «Начал» Евклида.
Итак, три основных требования предъявляются к системе
аксиом: система аксиом должна быть 1) непротиворечивой,
2) независимой и 3) полной.
Рассмотрим же, как исследуются указанные три проблемы и
удовлетворяет ли, в частности, аксиоматика Гильберта всем трём
требованиям. Начнём с проблемы непротиворечивости.
§4. ИССЛЕДОВАНИЕ НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ ГЕОМЕТРИИ ЕВКЛИДА
Требование непротиворечивости является важнейшим из всех
трёх требований, предъявляемых к системе аксиом, ибо наличие
противоречий в системе аксиом означает полную, её негодность:
такая система аксиом логически бессмысленна, является
бессодержательной и потому исключается из математики.
Было бы ошибочно думать, что всегда возможно легко и
непосредственно решить вопрос о том, является ли данная
система аксиом непротиворечивой. В самом деле, этот вопрос было
бы просто решить, если бы из данной системы аксиом
вытекало бы лишь конечное число всевозможных следствий. Тогда
достаточно было бы лишь попарно сопоставить между собой
все эти следствия и таким путем непосредственно проверить,
содержат ли они противоречия. Фактически же число теорем,
267
которые могут быть выведены из данной системы аксиом,
является неограниченным, и поэтому нет возможности перебрать
все теоремы для .попарного сопоставления. С другой стороны,
в каждый данный момент число известных теорем является
ограниченным, и поэтому нет никакой гарантии, что при дальнейшем
развитии науки не встретится двух взаимно исключающих
следствий. Это относится и к такой древней науке, как
геометрия Евклида. Если противоречия в геометрии Евклида не
встретились до сего времени, то это вовсе не служит гарантией того,
что и в будущем мы не натолкнёмся на противоречия.
* Тем более такой вопрос законно поставить по отношению
к геометрии Лобачевского. То, что было сделано Лобачевским
в области созданной им новой геометрии, по существу есть лишь
установление факта, что в тех пределах, в которых ему удалось
развить следствия из своей аксиомы параллельных, не
встретилось противоречий. Но можно ли быть уверенным, что они
никогда не встретятся при дальнейшем развитии. Поэтому уже
сам Лобачевский стремился найти критерий, который позволил бы
доказать непротиворечивость гиперболической геометрии.
Мы говорили до сих пор о необходимости исследования на
непротиворечивость аксиоматики геометрии, как абстрактной
формальнологической системы, в которой основные понятия и
аксиомы не связываются с представлениями о каких-либо
определённых, конкретных вещах. Но и при обычном понимании
геометрических понятий необходимость проверки системы аксиом
геометрии на совместность проистекает из самого факта
происхождения этих понятий путём абстракции из опыта, из наших
чувственных представлений. Данные наших зрительных
ощущений являются расплывчатыми и поэтому могут быть подвергнуты
процессу абстракции неоднозначным образом. Наши наглядные
представления, например, не могут дать нам точного ответа,
проходит ли через две точки только одна прямая, ибо точки
и прямые нам рисуются всегда в виде тел, занимающих
некоторую часть пространства. Точно так же мы не можем на
основании наших наглядных представлений категорически утверждать,
что через точку, расположенную вне прямой, проходит только
одна параллельная. Наряду с этим основные предпосылки
геометрии заключают в себе разнообразные предложения, которые
относятся к разнородным и различным свойствам геометрических
образов. Одни из них трактуют о взаимном сочетании точек,
прямых и плоскостей, другие — о взаимном их расположении,
третьи — о непрерывности и т. д. В силу этого сразу вовсе не
является очевидным, что между принятыми нами предпосылками
не содержится скрытых противоречий. Так, с первого взгляда
совершенно неясно, будет ли противоречивой система аксиом,
полученная присоединением к аксиомам I—IV Гильберта
гипотезы тупого угла Саккери. Точно так же непосредственно не
является очевидным, что, включив в число аксиом предложение
268
о существовании подобных треугольников и аксиому
параллельности Лобачевского, мы получим противоречивую систему.
Все эти обстоятельства и диктуют необходимость представлять
доказательство непротиворечивости системы аксиом.
Идея доказательства непротиворечивости данной системы
аксиом основана на той мысли, что если существует
хотя бы одна такая область вещей, некоторые
отношения между которыми удовлетворяют
данной аксиоматике, то последняя не может
содержать логических противоречий.
Множество таких объектов, в которых данная система аксиом
находит своё реальное воплощение, называется «моделью» или
«интерпретацией» данной системы аксиом.
Таким образом, доказательство
непротиворечивости системы аксиом сводится к
доказательству существования хотя бы одной модели или
интерпретации, в которой реализуется данная
аксиоматика.
Поэтому чтобы исследовать, является ли геометрия Евклида,
выраженная в аксиомах Гильберта, непротиворечивой системой,
мы должны .попытаться найти или построить такую модель,
в которой реализуется аксиоматика Гильберта.
Может возникнуть вопрос: нельзя ли в качестве модели
евклидова пространства взять само физическое реальное
пространство, которое ведь и явилось первоначальным источником
развития наших геометрических представлений, понятий и
создания евклидовой геометрии? На основании сказанного выше мы
должны ответить на этот вопрос отрицательно. Точки, прямые
и плоскости в обычном их геометрическом понимании являются
лишь идеализациями наших, довольно расплывчатых, наглядных
геометрических представлений, которые в свою очередь являются
упрощёнными, приближёнными снимками в нашем сознании свойств
реального физического пространства. Если мы это реальное
пространство примем в качестве точной модели евклидовой
геометрии, то тем самым мы без достаточных оснований заранее
решаем вопрос о точном и абсолютном соответствии между
отражёнными в нашем мышлении евклидовыми идеализациями
и физическим пространством, т. е. становимся на путь
абсолютизации евклидовой геометрии, считая её не первым
приближением к действительности, а совершенно точной копией. Хотя
многовековой опыт и экспериментальные данные не давали
материала для сомнения в истинности евклидовой геометрии, но
нужно помнить, что никакой опыт, всегда обладающий лишь
ограниченной точностью, не может служить окончательной
гарантией абсолютной истинности геометрической системы в
смысле точного соответствия с действительным пространством.
269
Никогда не исключена возможность, что при дальнейшем
усовершенствовании нашей измерительной техники будет обнаружено
отклонение геометрии Евклида от свойств реального
физического пространства. Как раз задача физики и естествознания и
заключается в выяснении на основании новых экспериментальных
данных и их теоретических обобщений, какая геометрическая
система наиболее верно и точно отражает свойства сложного
физического пространства.
«В противоположность идеальным математическим
пространствам свойства реального физического пространства известны
нам только приближённо. В соответствии с этим не имеет
смысла вопрос о том, какая из различных идеальных «геометрий»,
рассматриваемых чистой математикой, окончательно и с полной
точностью отражает свойства реального пространства. Осмыслен же
только вопрос о том, какие из идеальных математических геометрий
удовлетворительно отражают наши познания об устройстве
реального пространства, имеющиеся в данный момент. Ответ на
этот последний вопрос может меняться со временем и никогда
не может стать вполне однозначным» (А. Н. Колмогоров,
Лобачевский и математическое* мышление девятнадцатого века).
Если, далее, обратиться к той интерпретации геометрии
Евклида, которая была рассмотрена в § 2 настоящей главы,
т. е. к интерпретации Пуанкаре, то и она не может служить
доказательством непротиворечивости аксиоматики Гильберта, ибо
объектами этой интерпретации являются образы той же
геометрии Евклида, именно прямые и окружности параболической
связки. Их свойства определены теми же аксиомами геометрии
Евклида, непротиворечивость которых нам надо доказать. Не
можем же мы сводить доказательство непротиворечивости
геометрии Евклида к ссылке на противоречивость её же самой, это
было бы ошибкой порочного круга.
Таким образом, для доказательства непротиворечивости
геометрии Евклида мы должны построить такую её модель, объекты
которой были бы совершенно не связаны с нашими
пространственными представлениями. В качестве' таких объектов возьмём
множество всех вещественных чисел, причём непротиворечивость
аксиоматики арифметики вещественных чисел будем считать
установленной, и попытаемся построить арифметическую
интерпретацию евклидовой геометрии, выраженной в аксиомах
Гильберта. В этой арифметической модели все понятия аксиоматики
Гильберта должны получить некоторый арифметический смысл,
они должны быть сведены к некоторым числовым множествам и
к аналитическим операциям над числами. Этот числовой
характер понятий геометрии должен сделать нашу модель совершенно
независимой от наших пространственных представлений.
Если нам действительно удастся построить такую
арифметическую интерпретацию, в которой реализуются все аксиомы
Гильберта I—V, то этим будет доказано, что геометрия Евклида
270
непротиворечива постольку, поскольку непротиворечива
арифметика.
Метод построения арифметической модели геометрии Евклида
подсказывается нам аппаратом аналитической геометрии.
В интересах простоты ограничимся лишь рассмотрением
интерпретации евклидовой планиметрии.
Начинаем прежде всего с установления «интерпретационного
словаря», разъясняющего арифметический смысл геометрических
терминов.
Определение 1. «Точкой» называется любая пара
вещественных чисел (х, у), взятых в определённом порядке.
Определение 2. «Прямой» называется отношение любых трёх
вещественных чисел (а:Ь:с), взятых в определённом порядке,
при условии, что по крайней мере одно из двух чисел: а или Ь,
не равно нулю.
Определение 3. Фраза «точка (х, у) инцидентна с прямой
(а : b : φ или «точка (*, у) лежит на прямой (а : Ь : φ или
«прямая (а: Ь : с) проходит через точку (*, у)» означает, что
числа х, у удовлетворяют линейному уравнению ax+by+c^Q.
Смысл других геометрических понятий будем устанавливать
по мере надобности
Во избежание неправильного понимания существа дела
необходимо иметь в виду, что хотя наши определения «точка»,
«прЯхмая» и «лежать на» напоминают то, что излагается в
аналитической геометрии, однако наша точка зрения теперь в корне
иная. В аналитической геометрии под точкой и прямой обычно
понимаются привычные нам геометрические образы, не
сводящиеся сами по себе к числам; там они считаются основными и
знакомыми нам объектами, которые и изучаются аналитической
геометрией при помощи координатного метода. Пара чисел (*, у)
в аналитической геометрии получается в результате измерения
геометрических отрезков и характеризует положение
геометрической точки на плоскости, а линейное уравнение лишь
выражает соотношение между координатами любой точки
геометрической прямой. В нашей же интерпретации предполагается, что
мы вовсе не имеем в виду никаких обычных геометрических
представлений о точках и прямых. У нас термин «точка»
означает именно самую пару чисел (х, у) и ничего больше; термин
«прямая» означает лишь отношение трёх чисел (а : b : с) и ничего
больше, а «инцидентность» означает лишь самый арифметический
факт, что удовлетворяется линейное уравнение ах+Ьу+с^О.
Никаких обычных геометрических представлений мы с этими
терминами не связываем.
Всё сказанное о чисто арифметическом смысле наших
понятий относится ко всему дальнейшему построению и изложению
нашей интерпретации.
Перейдём теперь к проверке выполнимости в нашей
арифметической интерпретации первой группы аксиом Гильберта.
271
Проверка аксиом сочетания Ιχ_3
Аксиома 1х имеет место. В самом деле, пусть А (х} γγ)
и В(*2, у2) — две различные точки, т. е. точки, для которых
имеет место по крайней мере одно из неравенств: х±фх2, У\Фу2-
Нужно доказать, что существует прямая (а : Ь : г), инцидентная
обеим точкам А и В. Для этого нужно показать, что система
двух однородных уравнений
ax1+byl+c=0\ ({)
ах2+Ьу2+с=0) · · w
с тремя неизвестными а, Ь, с имеет хотя бы одно решение,
причём по крайней мере одно из чисел: а или 6, не равно нулю.
Так как ранг системы (1), очевидно, равен 2, то согласно
известной теореме о системе η — 1 однородных уравнений с η
неизвестными, матрица коэффициентов которой имеет ранг η—1,
получаем:
= (Ух — У%) · (Х% — *ι) · {ХгУ* — Wi).
В СИЛУ ТОГО УСЛОВИЯ, ЧТО ЛИбО У1=/=У2у ЛИбо ΧχφΧ2, ВИДИМ, ЧТО
по крайней мере одно из чисел: а или 6, отлично от нуля.
К тому же результату можно прийти и непосредственно.
Вычитанием соответствующих частей уравнений системы (1)
находим а(х1 — х2)+Ь (у1 — у2)=0. Предположим, что х1фх2,
тогда а:Ь=(у1 — у2):(х2 — х1).
Полагая а=\(ух—у2), Ь=\(х2 — хх), подстановкой в первое
уравнение получаем: с=\(х1у2— х2У\)·
Следовательно, а: b : с=(у1 — у2): (х2 — χγ): (хху2 — х2Уг).
Аксиома 12 имеет место. Действительно, если
предположить, что существует другая прямая {а': Ь' : с'), проходящая
через точки А и β, то, повторяя вышеуказанные рассуждения, придём
к равенству а': Ь' : с' =а: Ь:с, т. е. эта прямая совпадает
с первой.
Аксиома 13 имеет место. В самом деле, уравнение
ax-\-by+c = 0 имеет бесконечное множество решений (х, у). Эта
значит, что на прямой имеется не только две, а бесконечное
множество различных точек.
Пусть, далее, (а:Ь:с) — данная прямая. Мы можем указать
три точки А(х1,у1)у В(х2,у2), С(х3,у3), лежащие на этой прямой.
Возьмём теперь точку D(*3,y4)> гДе Уа^=Уз- Тогда числа (х3,у4)
не удовлетворяют уравнению ах-{-Ьу-\-с=0, т. е. точка D не
лежит на данной прямой. Следовательно, точки Л,В, и D не лежат
на одной прямой. Наше доказательство справедливо в
предположении, что ЬфО. Если 6 = 0, то хг = х2 = х3 =——. Тогда точка
а
D(*4,y),. где хАфхг, не лежит на данной прямой.
а: Ь : с=
Ух1
y2i
1*1
1*2
272
Проверка аксиом порядка 11^4
Определение 4. Пусть три точки: A(xvy±), В (*2,у2), С (х3>Уз),
лежат на прямой (а:Ь:с). Если ЬфО, то будем говорить, что
«точка В лежит между точками А и С», если xL<x2<x3 либо
*1>*2>*з· Если же & = 0 (в этом случае х1 = х2 = х3= —),
а
то будем говорить, что «точка В лежит между точками А и С»,
если У1<у2<Уз либо у1>у2>Уз-
Аксиомы IIX, Н2, Из имеют место. Доказательства
не приводим в силу его крайней простоты и непосредственной
очевидности.
Доказательству выполнимости аксиомы Н4 предпошлём
некоторые дополнения.
Нашему определению понятия «лежать между» можно
придать другую равносильную форму.
Пусть две точки: А(х1,у1) и В(х2,у1), лежят на данной
прямой (a: b : с). Тогда справедливы равенства
ах1 + Ьу1-\-с=0]
ax2+by2 + c=0\
а(х2-х1) + Ь(у.2-у1) = 0 . (*)
Пусть теперь (х. у) — произвольная третья точка той же
прямой (a: b : с), следовательно, имеют место равенства
ax+by+c=0 и а(х — хх) + Ь(у — ух)=0 .... (**)
Из (*) и (**) заключаем, что
* —*ι =У — Ух __л
*2 — χι У 2 — У ι
Поэтому все точки (*, у) прямой (а: b : с) определяются двумя
параметрическими уравнениями
x=x1 + (x2 — x1)t\ ы
где параметр / пробегает значения (— оо, +оо). При хгфх2
первое равенство определяет х, как строго монотонную функцию
от /; аналогично второе равенство при угФу2 определяет у, как
строго монотонную функцию от /. Следовательно, различным
значениям / будут соответствовать и различные точки (х, у),
лежащие на данной прямой (а: b : с), причём если для трёх
значений параметра: /lt /2, 'з> имеют место неравенства /i<C^<^3»
то одновременно будем иметь при хгфх2 либо х\ <^χ'2<Ζχ^ ЛИ~
бо х\ ^> х'2 > х'ъ и обратно.
Аналогично будет и для у в случае у±фу2. Поэтому
определение 4 можно выразить в следующем равносильном виде.
Определение 4. Если точки, лежащие на прямой (а: b · с),
определяются параметрическими уравнениями (а) и трём точкам:
273
С, D, £, этой прямой соответствуют значения параметра: /ь /2, /3>
то будем говорить, что «точка D лежит между точками С и £»,
если /χ < /2 < 'з или /х > /2 > /3.
Заметим, что точкам Л и β соответствуют значения
параметра: /=0 и /=1. Поэтому все точки прямой (а:Ь:с),
лежащие между точками Л и β, определяются значениями
параметра /, удовлетворяющими неравенствам 0<^t<^l.
В связи с этим мы можем понятию «отрезок» дать
следующее аналитическое определение.
Определение 5. Система двух точек: А{хъ уг), В(х2, у2)>пРям°й
(а: b : с) называется отрезком АВ или ВА\ точки А и В
называются концами отрезка; точки прямой, которые соответствуют
в уравнениях (*) значениям параметра /, удовлетворяющим
неравенствам 0<[/<;1, называются внутренними точками
отрезка АВ; все остальные точки прямой называются
внешними точками к отрезку АВ.
Для проверки выполнимости аксиом Н4 докажем следующие
леммы.
Лемма 1. Пусть А (х^ yt) u В (х2, у2) — концы отрезка,
М(х0, у0)—внутренняя точка отрезка АВ. Тогда для всякой
прямой (а:Ь:с), проходящей через точку Μ и отличной от
прямой АВ, числа
^1=ах1+Ьу1+с и ч2=ах2+Ьу2\-с
имеют противоположные знаки.
Доказательство:
Все точки прямой АВ определяются из уравнений (а):
х=х1+(х2~ *ι)Λ У=У1+(У2— y±)t (α)
Внутренней точке М(х09 у0) отрезка АВ соответствует здесь
некоторое значение параметра t = t0% причём 0</0<Ч.
Пусть (а : b : с) —- некоторая прямая, проходящая через Λ4, но
не совпадающая с прямой АВ. Тогда
ах0+Ьу0+с=0, Ti=a*i+fcyi+c^O, ъ=ах2+Ьу2 + сфО.
Так как
х0=х1+(х2- x,)t0, у0=У1+(у2 — У1)/0,
то из 1-го равенства имеем
α [χ1+(χ2—χ1) t0]+b [yl + (y2 — Vi) t0]+c=0.
Это равенство преобразуем к виду
(l — t0)-(ax1+by1 + c) = —'t0(ax2+by2+c)9
т. е.
О—Ό)τιβ—'от*
274
Ho t0^> О, 1 — ί0^> 0. Следовательно, γχ и γ2 имеют
противоположные знаки.
Лемма 2 (обратная). Пусть А(хъ уг) и В(хъ у2) —концы
отрезка и для прямой (а: Ь: с) числа
^1=ах1+Ьу1 + с и Ч2=ах2 + Ьу2+с
имеют противоположные знаки. Тогда прямая (а: Ь: с) проходит
через некоторую внутреннюю точку М(х0, у0) отрезка АВ.
Док а зате льет во:
Для определённости положим, что γχ > 0, γ2 < 0. Прямая
(а: b: с) не совпадает в силу этого с прямой АВ. Точки прямой
АВ определяются уравнениями (д).
Попытаемся определить точку М, общую для прямых АВ
и (а: Ь: с). Искомое значение параметра /0, соответствующее
точке М, должно удовлетворять уравнению
а[хг+{х2 — хг) t]+b [у!+(у2 — Vi) t]+c=Q,
или
(1 - /) (ax1 + by1+c)+t (axt+byt+c)~0.
или
(1-')ϊι+/Τι=0. .
Отсюда искомое значение параметра
Так как, по предположению, тх>>0, γ2<0, το Τι — Ϊ2^>7ι
и 0 <С /о ^С 1 · Следовательно, прямая (а:Ь:с) проходит через
точку М(х0, у0), где х0=хг-\-(х2 — Xl)/0, yQ^yl+{y2~y1)tQ,
причём Μ — внутренняя точка отрезка АВ.
При помощи этих лемм легко проверить выполнимость
аксиомы П4.
Аксиома И4(Паша) имеет место. Пусть Л(*ь у^,
В (*2, Уг)» С(х3,у3) —· три точки, не лежащие на одной прямой,
и прямая (а:Ь:с) проходит через внутреннюю точку отрезка АВ,
но не проходит ни через одну из точек Л, β, С. Тогда числа
7ъ Ϊ2 и Тз будут отличны от нуля
^1 = ах1+Ьу1+сфО, ч2=ах2 + Ьу2+сфОу ^3=ах3 + Ьу3+сфО.
По лемме 1 числа γχ и γ2 имеют противоположные знаки. Тогда
число γ3 будет иметь знак противоположный либо с γ^ либо
с γ2. Если γ3 противоположно по знаку с γχ, то по лемме 2
прямая (а: Ь: с) проходит через внутреннюю точку отрезка АС
и не проходит через внутреннюю точку отрезка ВС; если же γ3
противоположно по знаку с γ2, то по лемме 2 прямая (a: b : с)
проходит через внутреннюю точку отрезка ВС, но не проходит
через внутреннюю точку отрезка АС.
27Г.
Дадим теперь арифметическую трактовку определений понятий
«луч» и «угол».
Пусть дана прямая (а: Ь: с) и на ней точка О(*0, у0). Выбрав
на той же прямой какую-нибудь другую точку A (xlt ух), мы
получим все точки прямой из уравнений
x=x0+mt) m=*r—*0
У=Уо+Ш У п=у1-у0.
Так как для любой точки прямой (a: b : с) имеем:
χ — х0 т
у — у9 п '
то мы можем под тип понимать не самые числа хг — хп
и У\— Уо» а им пропорциональные. Точке 0(х0, у0) соответствует
значение параметра /=0. Разделим теперь все точки прямой
(а:Ь:с) на два класса: к 1-му классу отнесём все те точки,
которым соответствуют значения />0, а ко 2-му классу—все
те точки, для которых /<;0. Нетрудно видеть, что точка О(х0, у0)
всегда лежит между точками разных классов и не лежит между
точками одного и того же класса.
Определение 6. «Лучом» прямой (а: Ь:с) с вершиной в точке
О (х,„ у0) называется множество всех точек этой прямой,
определяемых уравнениями x=x0-\-mt, y=y0+nt, соответствующих
либо значениям /^>0, либо значениям /<^0.
Эти два луча будем обозначать символами h=(x0, y0', т:п)
и h=(x0. yQ\ —т:—п).
Определение 7. «Углом» называется совокупность двух лучей:
Λ и к, с вершиной в точке (*0, у0).
Обозначение: ^(Л, к).
Проверка аксиом конгруэнтности ΙΙΙΧ 5
Определение 8. Пусть даны две пары точек: A(xv yx), В(х2, у2)
и С (х3, у3)> £*(*4. Уь)- Отрезки АВ и CD называются
«конгруэнтными», если имеет место равенство
V(x2 - xtf + (y2 - у,)2 =V(x, - *3)2+(У4 - Уз)2.
Определение 9. Пусть даны два угла: один с вершиной
в точке A(xl9 у±) определяется лучами h1 = (x1, y±; т1:п1) и кг=
= (хъ У\\ т\т-п[), другой с вершиной в точке В(хъ у2)
определяется лучами
Л2=(*2, У2; гп2:п2) и к2=(х2, у2\ т'2:п'2).
Будем углы (hl9 кг) и (h2, k^) называть «конгруэнтными», если
имеет место равенство
т^т J -\-nxn j tn2ni2 +п2п2
V'т\+п\Ут'?+п? \'т\+п\ Vm'fWf
276
, Аксиома Illi имеет место. В самом деле, пусть дана
произвольная прямая (а : b: с), точки которой определяются
уравнениями x=x0+mt, y=y0+nt, и произвольный отрезок АВ,
определяемый концами А(хъ уг) и В(х2у у2). Покажем, что
на прямой (а:Ь:с) по обе стороны от точки О (х0, у0)
существуют такие точки С и С, что ОС=АВ и ОС'=АВ.
Искомые точки (х, у) должны удовлетворять равенству
(X - *0)2+(У - Уо)2= (*2 - *1)2+(У2 - У1)2
или
™Ψ+ηΨ=(χ2 - ^)2+(У2 - yi)2.
Отсюда искомые значения параметра /
/-+Ί /^2-^i)2+(y2-~yi)2
"" у т2+п2
Мы получим две точки, расположенные на прямой (a: b : с)
по разные стороны от точки О(х0, у0) и удовлетворяющие
требованию конгруэнтности отрезку АВ.
Справедливость аксиом 1П2 и Ш3 очевидна.
Аксиома Ш4 имеет место. Пусть дана произвольная
прямая (а: b: с), точки которой определяются уравнениями
*=*0+m0/, y=y0+n0t и произвольный угол (Л, к) с вершиной
в точке A(xv ух), образованный лучами /г=(*ь у,; щ1:п1)
и к=(х1,у1;т2:п2). Покажем, что существует угол с вершиной
в точке (х0, у0), для которого луч (х0, у0; т0: п0) при / > 0
является одной из сторон и который конгруэнтен данному углу
Искомый луч (х0, у0; т: п) определяется из условия
тхтг-\-пхп% т0т-\-п0п
Vm\+n\V т\+п\ ' Vm2+n2Vm*±n*
Обозначим число, стоящее в левой части равенства, через S,
а числа — ° и — ° — через α и β. Легко видеть, что
Vm20+n20 V т%+п%
5|<1*) и а2+р2=1. Неизвестные —z=- и —П обозна-
Vm2+n2 V т2+п2
чим соответственно через ξ и η; ясно, что ξ2+η2=1.
Таким образом, имеем систему двух уравнений:
*ξ + βη=5, &2+η2=1,
*) Рассмотрим разность
(mf+/if)(m|+n|) — (т1та+я1ла)1=в(/п1яа — пгтл)*>0.
Следовательно,
ΙΛΙ,ΛΙ,+ΖΙΛ | <ут2+п2ут2^п2^
Откуда
I Wi/n2+/»i/»g 1 <л
V m\+n\V tn\+nl
277
с двумя неизвестными: ξ и η. Эта система имеет два решение,
оба вещественные (|s|<l):
ξ1=α5 + ρΚΠ^72\ i2=7S-yV\—s2\
τέ1=βδ —aVl—5»Г η,-fs+a'/ 1—s2j'
Любые числа тип, удовлетворяющие условию— = -Il или
η Άι
—=—s_f определяют два луча с вершиной в точке 0(*0, у0),
составляющие с лучом (*(), у0; т0:п0) углы, конгруэнтные углу
(Λ, к). Можно было бы показать, что эти лучи расположены
по разные стороны (а : Ь : с).
Аксиома Шб имеет место. Пусть дан треугольник
ABC с вершинами Л (л^, у^, В(х2, у2), С(*3, Уз) и треугольник
А'В'С с вершинами Л' (х4, у4). В' (*5, y5), С (*6, у6), причём
ΑΒξξξΑ'Β', АС = А'С'\ ^А = ^А'.
Это значит, что имеют место равенства
(*2 - Хг)2+(У2 - Ух)2= (*, - *4)2+(У5 - У4)2 · · . · (1)
(х3-х1)2+(У3-У1)2=(х6-х,)2 + (У,-У,)2· · · -(2)
(х2 — Xj) (х3 — Xi)+(y2 — У1НУ3 — Vi)
ΐΛχ2 - Χι)2 +(У2 - Ух)2 "К (х, - *i)2+(y3 - У1)2
__ (*5 — Xj) (χ* — *4)+(у5—у*) (у» — у*)
, , -· · . · (3)
V (х. - **)2+(Уб - У4)2 V (X. - *4)2+(У« - У1)2
В силу равенств (1) и (2) равенство (3) можно переписать
в более простом виде
(*2 — Χι) (Xa — *i)+(y4 — Уг) (Уз — У1) = (*« — xt) (*β — xt)+
+(ys — yi)(yls — yi) (4)
Нам нужно доказать, что ^βΞ=<£β', иначе говоря, что имеет
место равенство'
(Х„ — Х!)(х3 — Х2)+(У2 — У1)(Уз — У t) ^
V(xt - х,)г+(уг - У ι)2 V (X, - Х2)2 +(Уз - У2)2
(χ6 — *4) (χβ — х5)+(у5 — у4)(Ув — у»)
У(хь - х4)2+(У6 - У4)2 У(х* - х5)2+(Ув - У6)2
В силу равенства (1) достаточно доказать равенство
(ха — xt) (х3 — х2 )+(у2 — yt) (у3 — у2)_
/(хз-х^+^-Уг)2
^ (*» — х4) (Χβ— *»)+(У» — У4) (Ус — У5)
/(x.-x.^+iy.-y.)2
278
(5)
\ Докажем прежде всего равенство знаменателей. В этом
легко убедиться, складывая левые и правые части равенств (1)
и(2) и вычитая удвоенные левую и правую части равенства (4).
Затем вычитанием из обеих частей равенства (4)
соответствующих частей равенства (1) убедимся также, что равны и
числители в выражениях (5), чем равенство (5), а вместе с тем
и выполнимость аксиомы Ш5 полностью доказаны.
Проверка аксиомы непрерывности IV
Аксиома IV (Дедекинда) имеет место. Действительно,
пусть даны две точки: А (*lt ух), В(х2, у2), определяющие
отрезок АВ. Все точки прямой АВ определяются из уравнений
yZyl+n! f где w==*-**· n=y*-yi о
Все точки отрезка АВ, включая и его концы, получаются
из равенств (*) при значениях параметра, удовлетворяющих
неравенствам 0</<1.
Предположим теперь, что все точки отрезка АВ разделены
на два класса так, что при этом выполнены все условия
аксиомы Дедекинда IV, т. е. •
1. Каждая точка отрезка АВ принадлежит одному и только
одному из этих классов, точка А принадлежит первому, а
точка В—второму классу.
2. Каждая точка первого класса, отличная от Л, лежит
между Л и любой точкой второго класса.
Докажем, что тогда выполняется и заключение аксиомы
Дедекинда.
Для этого разобьём все числа отрезка 0</<1 также на два
класса. К первому классу отнесём те числа /, которым в
равенствах (*) соответствуют точки (х, у) отрезка АВ первого класса,
а ко второму классу отнесём те числа /, которым соответствуют
в равенствах (*) точки отрезка АВ, принадлежащие второму
классу. Ясно, что при таком разбиении каждое число /, 0</<1,
попадает в один и только один класс, причём число 0
попадает в первый, а число 1 —во второй класс.
Далее, пользуясь определением 4 понятия «лежать между»,
видим, что если М(х\ у') есть какая-нибудь точка первого
класса, а N (х'\ у") — любая точка второго класса и, следовательно,
по условию 2) Μ лежит между А и Ν, то соответствующие
значения параметра /' — первого класса и /" — второго класса
удовлетворяют неравенствам 0 <[/'<[ /", т. е. в разбиении чисел
отрезка 0</<1 каждое число первого класса меньше любого
числа второго класса.
Таким образом, все вещественные числа /, 0</<1 разделены
на два класса, удовлетворяющие условиям теоремы
Дедекинда о непрерывности множества всех вещественных чисел.
279
Поэтому на основании этой теоремы на отрезке [0, 1] существует
единственное число /0, такое, что все числа, удовлетворяю/
щие неравенству 0</<;/0, относятся к первому классу, а в^е
числа /, для которых t0<^t<U относятся ко второму класру.
Значению параметра t~tQ на отрезке АЬ соответствует
некоторая единственная точка С (x0t y0)> гДе *о—*i+m*o. Уо=Уг+^о-
Возьмём теперь какую-нибудь точку Μ (*, у), лежащую между А
и С. По определению 4 это значит, что соответствующее значение
параметра / удовлетворяет неравенствам 0<7<[/0, т. е.
/принадлежит первому классу чисел, а точка Μ принадлежит первому
классу точек, аналогично докажем, что любая точка Ν,
лежащая между С и β, принадлежит второму классу точек. Итак,
точка С и есть пограничная дедекиндова точка, и аксиома IV
выполняется.
Проверка аксиомы параллельности V
Аксиома V имеет место. Пусть дана прямая (а : Ь : с)
и точка (*0, у0), не лежащая на этой прямой, т. е. имеет место
неравенство
ахи + Ьуъ + сфО (6)
Как известно, из, аксиом I—IV вытекает существование
по крайней мере одной прямой, проходящей через точку (*0, у0)
и не имеющей общей точки с прямой (а: Ь: с). Мы сразу же
можем указать такую прямую; именно такой является прямая
(а: Ь:—(ах0 + Ьу0). В самом деле, равенство
ах{) 4- Ьу0 — (α*ο + ί%) = 0.
очевидно, справедливо, т. е. указанная прямая проходит через
точку (х0, у0). С другой стороны, эта прямая не имеет общей
точки с прямой (а: Ь: с), ибо уравнения
ax + by+c=0 1
ax+by — (axn + by()) = 0 J
образуют несовместную систему вследствие того, что
определитель системы уаЬ =0 и свободные члены не равны в силу
неравенства (6),
Докажем, что другой прямой, обладающей указанными
свойствами, не существует. Действительно, предположим, что
существует ещё одна прямая (а': Ъ' : d), проходящая через точку
(*о> Уо) и не имеющая общей точки с прямой (а: Ь: с). Тогда
должно, во-первых, удовлетворяться равенство
а'хо+Ь'у0+с' = 0 (7)
и, во-вторых, должна быть несовместной система уравнений
ax + by+c=0 \
a'x + b'y+c' = 0 J"
280
Но такая система может быть несовместной только в том
случае, если имеет место равенство
1 Iа Ь I f, ,ut с\ а' ь' ,
\α· h>\ = ab' — а'Ъ = 0 или —=—-=λ.
11 а ь
, Следовательно, α' = λα, 6'=λ6. Из условия же (7) находим
сГ=—**(ах0+Ьуь).
Таким образом, мы имеем соотношение
а' :Ь' \ с' =г-а \Ь\ — (ах0-\-Ьу0),
т. е. прямая (а': Ь': с') совпадает с первой прямой.
Единственность параллельной установлена и аксиома V выполняется.
Итак, в построенной нами арифметической интерпретации
выполняются все планиметрические аксиомы Гильберта: \г-г, 11х 4,
ΗΙι-б' IV, V. Аналогично мы могли бы построить
арифметическую интерпретацию пространства, в которой выполнялись бы
все 19 аксиом Гильберта: Ιχ.β. 11х 4, 1Н1_6, IV, V.
Проведённая нами проверка выполнимости аксиом Гильберта
показывает, что все они при указанном нами арифметическом
смысле основных геометрических понятий являются логическими
следствиями системы аксиом, лежащих в основе арифметики
вещественных чисел (например, системы аксиом Пеано). Отсюда
следует, что если бы аксиоматика Гильберта была
противоречивой, то неизбежно была бы
противоречивой и арифметика. В самом деле, предположим, что
мы из системы аксиом Гильберта вывели два противоречащих
друг другу предложения. Но так как аксиомы Гильберта
выполняются в нашей арифметической интерпретации, то в ней имеют
место и все их логические следствия, в частности указанные
два взаимно исключающих предложения, а это значит, что
арифметика вещественных чисел противоречива. Следовательно,
доказанная нами выполнимость всех аксиом Гильберта
свидетельствует о справедливости следующего предложения:
Если арифметика вещественных чисел
непротиворечива, то непротиворечива и система
аксиом Гильберта I—V, т. е. непротиворечива геометрия
Евклида.
Вопрос о непротиворечивости евклидовой геометрии сведён,
таким образом, к вопросу о непротиворечивости арифметики
вещественных чисел. Непротиворечивость же арифметики,
являющейся основанием всей математики, принята нами в качестве
исходной предпосылки, справедливость которой мы усматриваем
в том, что она неотразимо подтверждается всей многовековой
практикой человеческого общества. Это, конечно, не лишает нас
права искать логического доказательства непротиворечивости
самой арифметики, но этот вопрос уже не относится
непосредственно к основаниям геометрии. Заметим, однако, что вопрос
о непротиворечивости арифметики сводится к вопросу о непротиво-
28 L
речивости самой логики, а этот вопрос в свою очередь
неизбежно должен свестись к вопросу о соответствии нашего мышления
с реальной действительностью/ Критерием же этого соответствие
опять являются данные человеческой практики. Критерий
практики человеческого общества, соответствие нашего мышления
материальной действительности, познаваемость реального мира
нашим мышлением в конечном счёте являются решающими
в утвердительном решении вопроса о непротиворечивости аксиом
арифметики. Непротиворечивость арифметики и означает по
существу соответствие её с материальной действительностью,
правильное отражение в нашем сознании количественных отношений
реального мира; вне этого она нэ имела бы права на
существование как наука.
В заключение сделаем ещё несколько замечаний по поводу
рассмотренной нами арифметической интерпретации.
Мы уже говорили, что в отличие от аналитической геометрии,
где исходными являются обычные геометрические образы, в
нашей интерпретации сами числа являются теми объектами, из
которых построена арифметическая модель евклидовой геометрии.
Добавим теперь, что наше доказательство существования такой
модели является обоснованием самой аналитической геометрии
в том смысле, что гарантирует возможность без противоречий
переводить каждое утверждение евклидовой геометрии на язык
арифметики и алгебры.
Важность построенной нами модели заключается не только
в том, что она даёт возможность доказать непротиворечивость
евклидовой геометрии без всякой ссылки на геометрическую наглядность,
но также и в том, что она при соответствующих изменениях
может быть использована для решения других вопросов
аксиоматики, именно при исследовании независимости и полноты
аксиоматики Гильберта.
Наконец, заметим, что, доказав непротиворечивость геометрии
Евклида, мы имеем теперь право в дальнейшем вопрос о
непротиворечивости какой-либо системы аксиом в свою очередь сводить к
непротиворечивости геометрии Евклида, выбирая в качестве
объектов, из которых построена модель этой новой аксиоматики,
образы геометрии Евклида. Этим обстоятельством мы скоро
воспользуемся.
§ 5. ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЗАВИСИМОСТИ АКСИОМ
Требование независимости непротиворечивой систему
аксиом заключается в том, чтобы в эту систему не включалось
такое предложение, которое может быть доказано на основании
остальных аксиом системы и, следовательно, являясь излишним
в этой системе, должно быть отнесено в категорию теорем.
Иначе говоря, система аксиом должна содержать минимальное
число предложений, необходимых для логического вывода всех
остальных предложений математической теории.
282
Важно подчеркнуть, что если невыполнение условия
непротиворечивости означает полную негодность всей аксиоматики, то
невыполнение условия независимости этого вовсе не означает.
Если данная система аксиом непротиворечива, но в то же время
не удовлетворяет требованию независимости, т. е. содержит
лишние предложения, то это лишь свидетельствует о некотором
логическом несовершенстве этой системы, заключающемся в том,
что не доведено до конца выделение исходных предпосылок
и допущено нарушение принципа построения дедуктивной науки
о строгом отделении друг от друга первоначальных и доказуемых
предложений.
Поэтому отступление от выполнения требования
независимости аксиом вполне допустимо из педагогических или иных
практических соображений. В школьном курсе геометрии, где
приходится учитывать психологические и возрастные особенности
учащихся, мы неизбежно должны допустить очень много предложений
без доказательства, считая их истинность само собой
разумеющейся и даже явно их не формулируя, т. е. фактически мы
допускаем гораздо больше аксиом, чем это требуется с точки
зрения строго логического изложения геометрии. Наличие
излишних предложений в системе аксиом сильно упрощает изложение
и облегчает усвоение геометрии, ибо доказательство самых
простых и очевидных предложений геометрии требует очень тонких
и кропотливых рассмотрений, цель которых будет непонятна,
а усвоение недоступно для детей школьного возраста.
Интересно отметить, что в то время, как проблема
непротиворечивости системы аксиом геометрии не возникала да и не могла
возникнуть вплоть до XIX столетия, наоборот, проблема
независимости аксиом, как это мы видели в историческом очерке
в отношений 5-го постулата, привлекала к себе издавна внимание"
многих математиков.
Но до Лобачевского в математике не были известны методы
доказательства независимости аксиом. Поэтому если какое-либо
предложение не удавалось доказать на основании аксиом, то это
можно было всегда истолковать двояко: либо такое
доказательство возможно, но его пока не удалось найти, либо такое
доказательство невозможно в силу независимости от принятых
аксиом доказываемого предложения. Установить, какая же из этих
двух ситуаций фактически имеет место, математика была
бессильна. Первый, кто пробил в этом вопросе брешь, был Лобачевский.
Метод решения вопроса о независимости аксиом,
предуказанный уже Лобачевским, сводится к исследованию
непротиворечивости аксиом следующим образом.
Пусть дана некоторая непротиворечивая система аксиом
{Аъ А2 An) и требуется установить, является ли одна из этих
аксиом At логическим следствием системы остальных аксиом:
U={A1% Л2,..., Д-1, Л/+1,..., Αι). Для этого рассмотрим
совокупность аксиом i/+;4/f где At есть предложение, противоположное
233
аксиоме Ah т. е. А{ есть предложение «аксиома Ах неверна».
Если окажется, что система аксиом t/-f А также
непротиворечива, то отсюда следует, что аксиома At не зависит от
остальных аксиом U. В самом деле, если бы Д было
логическим следствием системы аксиом t/, то система аксиом U-\-A,-
неизбежно была бы противоречивой, ибо в этой системе аксиом
имели бы место два отрицающих друг друга предложения: At и Д..
С другой стороны, непротиворечивость системы аксиом
устанавливается путём построения модели, в которой реализуется
эта система. Таким образом, мы приходим к следующему
методу доказательства независимости аксиом.
Чтобы доказать, что некоторая аксиома А (или
вообще некоторое предложение) не является
логическим следствием остальных аксиом
системы (или вообще некоторой системы
предложений), нужно найти такую интерпретацию, в
которой реализуются все аксиомы данной системы,
кроме Л, но предложение А не выполняется.
Отсюда ясно, насколько кропотливо исследование
независимости системы аксиом. В то время как для доказательства
непротиворечивости данной системы достаточно построить одну
модель, в которой осуществляются все аксиомы системы, для
доказательства независимости системы аксиом нужно построить
столько моделей, сколько имеется аксиом в системе, причём
каждая модель должна реализовать все аксиомы, кроме одной —
исследуемой на независимость.
Дадим простую иллюстрацию исследования независимости предложений.
В конце § 3 главы III (стр. 149) было высказано утверждение, что
предложение «множество точек, принадлежащих прямой, бесконечно» не может быть
доказано только лишь на основании аксиом группы I Гильберта, т. е. это
предложение не зависит от аксиом соединения.
Дадим теперь доказательство этого утверждения.
Для этого построим арифметическую модель, в которой выполняются все
аксиомы \1—в и в то же время не выполняется предложение о бесконечности
множества точек прямой.
Будем называть «точками» натуральные числа 1, 2, 3, 4. «Прямыми»
назовём пары различных чисел из совокупности (1, 2, 3, 4). Следовательно, всего
будем иметь С^ = 6 «прямых»:
(1, 2), (1, 3) (1, 4), (2,3), (2,4), (3, 4).
«Плоскостями» назовём тройки различных чисел из той же совокупности
(1, 2, 3, 4). Всего будем иметь С|=4 «плоскости»:
(1, 2, 3) (1, 2, 4), (1, 3, 4), (2, 3, 4).
Итак, наше аналитическое пространство содержит только 4 «точки», 6
«прямых» и 4 «плоскости».
Будем говорить, что «точка принадлежит прямой» или «точка принадлежит
плоскости», если соответствующая пара или тройка чисел содержит то
натуральное число, которое означает указанную «точку».
Легко проверить, что все аксиомы соединения l1^.s полностью реализуются
в нашей модели, в то же время каждая «прямая» содержит только две «точки»,
284
т. е. предложение о бесконечности множества точек прямой не выполняется.
Этим доказано, что это предложение не зависит от аксиом 1х_8 и не может
быть только с их помощью доказано. Для этого, как мы видели в § 4 главы.
III, требуется ещё привлечь аксиомы группы II.
Заметим, что рассмотренная нами модель может быть заменена
геометрической моделью, если «точками» называть 4 вершины тетраэдра, «прямыми» — era
рёбра, а «плоскостями» — грани этого тетраэдра.
Гильберт в «Основаниях геометрии» изложил доказательства независимости
аксиом IV2, Ш5 и IVX.
Остановимся лишь на доказательстве независимости от прочих аксиом
Гильберта аксиомы параллельности V.
§ 6. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕЗАВИСИМОСТИ АКСИОМЫ
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ V
И НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО
На основании сказанного выше, для доказательства
независимости аксиомы параллельности V от прочих аксиом Гильберта,
образующих абсолютную геометрию, мы должны построить
модель, в которой реализуются все аксиомы Гильберта I—IV, но
не выполняется аксиома параллельности V. Так как из аксиом
I—IV вытекает, что через точку, лежащую вне прямой, в
плоскости ими определяемой проходит по меньшей мере одна
прямая, не пересекающая данной *), то в той модели, в которой
выполняются аксиомы I—IV, но не выполняется аксиома V,
неизбежно должна выполняться аксиома параллельности
Лобачевского. Таким образом, доказательство
независимости аксиомы V от аксиом абсолютной геометрии
I—IV сводится к доказательству
непротиворечивости гиперболической геометрии. Это и есть
основная идея Лобачевского.
Итак, построение модели геометрии Лобачевского даст нам
возможность одновременно -доказать и непротиворечивость
геометрии Лобачевского, и независимость аксиомы параллельности V
от аксиом абсолютной геометрии. Для построения модели
геометрии Лобачевского воспользуемся тем, что
непротиворечивость геометрии Евклида уже установлена. Если
в евклидовом пространстве найдутся такие фигуры, между
которыми имеют место такие же соотношения, какие имеют между
собой точки, прямые и плоскости в геометрии Лобачевского, то
эти фигуры могут послужить объектами для построения модели
геометрии Лобачевского. Таким путём непротиворечивость
геометрии Лобачевского будет сведена к непротиворечивости
геометрии Евклида.
Действительно, такую интерпретацию геометрии
Лобачевского в пространстве Евклида можно построить и притом многими
способами.
*) См. гл. III, § 5, теорема 5.24.
285
Рассмотрим прежде всего одну из интерпретаций,
принадлежащих А. Пуанкаре, связанных с применением инверсии. Для
простоты ограничимся лишь интерпретацией планиметрии
Лобачевского.
Пусть в евклидово» плоскости дана некоторая прямая XX
{черт. 156). При помощи нижеследующих определений составим
«интерпретационный словарь», устанавливающий смысл, который
мы придаём основным понятиям геометрии.
Определение 1. «Плоскостью Лобачевского» (коротко: Л-пло-
•скостью) будем называть верхнюю евклидову полуплоскость,
определяемую прямой XX,
причём сама прямая XX
исключается.
Определение 2.
«Точками Лобачевского»
(коротко: Л-точками) будем
называть евклидовы точки
верхней полуплоскости,
определяемой прямой XX
(точки самой прямой XX
исключаются).
Определение 3. «Прямыми Лобачевского» (коротко: Л-прямы-
ми) будем называть евклидовы полуокружности верхней
полуплоскости, ортогональные к оси XX, т. е. имеющие центры
на этой прямой, а также евклидовы полупрямые,
перпендикулярные к прямой XX, с вершинами на этой прямой и расположенные
в верхней полуплоскости.
Определение 4. Будем говорить, что «некоторая Л-точка
инцидентна с некоторой Л-прЯхМОЙ» или что она «лежит» на этой
,Л-прямой, если соответствующая евклидова точка в обычном
смысле слова лежит на соответствующей евклидовой
полуокружности или полупрямой.
Смысл остальных понятий будем разъяснять по мере
надобности.
Проверка выполнимости аксиом соединения Ιχ_3
Аксиомы 1х и 12 имеют место. В самом деле, если
А и В — две точки верхней полуплоскости (черт. 156), то, как
видно из построения, через них проходит либо . единственная
полуокружность с центром О на прямой XX, либо единственная
полупрямая, перпендикулярная к прямой XX. Таким образом,
в новой терминологии имеем:
Через л.ю б ы е две Л-т очки проходит одна
и только одна Л-прямая.
Аксиома 13 имеет место. Это вытекает из того, что
на каждой полуокружности и полупрямой существует
бесконечное множество точек и вне каждой из них существуют точки
верхней полуплоскости.
286
Проверка выполнимости аксиом порядка 11х_4
Определение 5. Пусть Л, β, С —три Л-точки, лежащие
на Л-прямой а. Будем говорить, что Л-точка С лежит между А
и β, если точка С лежит между точками Л и β на
соответствующей полуокружности или полупрямой в обычном
евклидовом смысле.
Аксиомы ΙΙι-з имеют место. Это следует из того,
что они имеют место для точек полуокружности или
полупрямой.
Далее, обычным обоазом определяем понятия Л-отрезка
внутренних и внешних Л-точек Л-отрезка (см. гл. III, § 4).
Остаётся доказать выполнимость аксиомы П4.
Рассмотрим уравнение окружности с центром на прямой XX
при условии, что начало координат расположено на этой
прямой и прямая XX принята за ось абсцисс:
1 = (х — а)2+у2 — г2=0 (1)
Здесь (а, 0)—координаты центра, г — радиус окружности.
Как известно, для внутренних точек к окружности γ<0, а для
внешних точек γ^>0. Возьмём лишь верхнюю полуокружность.
Можно показать, что для того, чтобы эта полуокружность
пересекала дугу АВ другой верхней полуокружности с центром
на XX во внутренней точке дуги, необходимо и достаточно,
чтобы левая часть уравнения (1) γ имела в точках Л и β
значения противоположных знаков.
Рассмотрим теперь криволинейный треугольник ABC,
образованный дугами трёх пересекающихся верхних
полуокружностей, имеющих центры на прямой XX. Пусть некоторая
четвёртая полуокружность пересекает дугу АВ во внутренней
точке и не проходит через точки Л, β и С, причём (1) есть
уравнение этой четвёртой полуокружности. Тогда γ^ и γ5 имеют
противоположные знаки. Пусть для определённости Тл^>0,
γβ<0. Так как тс#0, то либо γ^ΟΟ, либо тс<^0. В первом
случае четвёртая полуокружность пересекает во внутренней
точке дугу ВС, во втором случае—дугу АС.
Если мы выразим этот факт в новой терминологии, то получим
содержание аксиомы Н4 для Л-точек и Л-отрезков. Итак,
аксиома И4 имеет место.
Далее, можно обычным образом дать определение понятий
Л-луча и Л-угла (см. гл. III, § 4).
Проверка выполнимости аксиом конгруэнтности ΙΠι_5
Прежде всего определим смысл понятия «конгруэнтность»
в нашей интерпретации.
Определение 6. Два Л-отрезка АВ и CD будем называть
конгруэнтными, если существует такая конечная последователь-
28?
ность инверсий с центрами на прямой XX, в результате которых
соответствующая дуга АВ одной евклидовой полуокружности
преобразуется в дугу CD другой.
Аксиома II 1х имеет место. В самом деле, пусть даны
две полуокружности: а и Ьу с центрами на прямой XX, на
первой дан отрезок дуги АВ, а на второй зафиксирована точка С
(черт. 157). В силу свойства инверсии 7 (см. § 1 настоящей
главы) существует инверсия с центром на оси XX,
преобразующая полуокружность а в полуокружность Ь. Пусть при этом
точки Л и β переходят в некоторые точки А' и В' на полуок.
ружности Ь. Тогда по свойству инверсии 8 существует инверсия
Черт. 157.
•с центром на оси XX, преобразующая полуокружность Ъ самоё
в себя так, что либо точка А переходит в С, либо В'
переходит в С. В первом случае точка В' перейдёт в некоторую
точку D' полуокружности ЬУ во втором случае точка А' перейдёт
в некоторую точку ТУ полуокружности Ь. Точки D' и D"
расположены по разные стороны от С.
В соответствии с определением 6 понятия конгруэнтности
.Л-отрезков будем иметь «ЛВ» = «CD'y> и «AB»=«CD'f».
Черт. 158.
Для того чтобы доказать, что «АВ» == «ВЛ», достаточно
отобразить полуокружность а саАмоё в себя так, чтобы точки Л и β
перешли друг в друга, что возможно в силу свойства инверсии 8.
Опуская доказательство выполнимости аксиом Ш2 и 1Н3,
обратимся к аксиоме Ш4.
Определение 7. Два Л-угла: (А, к) и (h\ fc'), будем называть
конгруэнтными, если существует такая последовательность
инверсий с центрами на прямой XX, в результате которых дуги
полуокружностей, изображающих стороны первого Л-угла,
переходят в дуги полуокружностей, изображающих стороны второго.
Аксиома П14 имеет место. Пусть дан Л-угол (А, к)
с вершиной Л и Л-луч h! с вершиной Л' (черт. 158). Пользуясь
свойствами инверсии 7 и 8, мы найдём .последовательность ин-
588
версий, в результате которых Л-прямая а перейдёт в Л-прямую
а' так, что А перейдёт в Л' и Л-луч h — в Л-луч А'. При этом
Л-прямая b перейдёт в некоторую Л-прямую Ь\ проходящую
через А\ а Л-луч к перейдёт в Л-луч к' Л-прямой Ь'. По
определению 7 Л-угол (Λ, к) конгруэнтен Л-углу (Λ', /с'). Взяв
теперь в качестве окружности инверсии окружность а\ мы
отобразим Л-луч /с' в некоторый Л-луч к", расположенный по
другую сторону Л-луча h'. По определению 7 Л-угол (Λ, к)
конгруэнтен Л-углу (ft', k").
Пользуясь свойствами инверсии 7 и 8, мы можем
преобразовать Л-луч ή в к и обратно. Следовательно, Л-угол (ή, к)
конгруэнтен Л-углу (к, Λ). Повторяя ещё раз ту же
последовательность инверсий, убедимся, что Л-угол (ή, к) конгруэнтен самому
себе.
Доказательство выполнимости аксиомы Ш5 предоставляем
читателю.
Заметим, что инверсия с центром на прямой XX играет
в нашей интерпретации такую же роль, какую играет движение
в геометрии Евклида. Поэтому мы можем назвать инверсию
указанного вида «Л-движением».
Проверка выполнимости аксиомы непрерывности IV
и аксиомы параллельности Лобачевского
Аксиома Дедекинда имеет место. В определении 5
мы свели понятие «лежит между» для Л-точек Л, β, С,
принадлежащих Л-прямой, к понятию «лежать между» для
евклидовых точек A, Bs С верхней полуокружности с центром на XX.
Последнее же легко свести к понятию «лежать между» для их
ортогональных проекций А\ В\ С на ось XX, если установить
между точками верхней полуокружности и их проекциями на
XX взаимно однозначное соответствие. Но так как для точек
евклидовой прямой XX аксиома Дедекинда IV имеет место, то
она автоматически переносится на точки верхней
полуокружности, а тем самым для Л-точек Л-прямой.
Таким образом, в нашей интерпретации выполняются все
аксиомы I—IV абсолютной геометрии. Остаётся исследовать,
как обстоит дело с аксиомой параллельности.
Пусть дана верхняя полуокружность а с центром на XX
и не принадлежащая ей точка А (черт. 159). Существуют две
и только две верхние полуокружности Ь и с (одна из них
может обратиться в луч, ортогональный к XX) с центрами на XX,
проходящие через А и касающиеся полуокружности а в точках
Μ и N оси XX. Очевидно, что через точку А проходит беско-,
нечное множество верхних полуокружностей с центрами на XX,
не имеющих общих точек с а (все они проходят внутри
заштрихованных вертикальных криволинейных углов, образуемых
полуокружностями Ь и с)\ через А проходит также бесконечное
289
множество верхних полуокружностей с центрами на XX,
пересекающих а (все они проходят внутри незаштрихованных углов).
В установленной нами терминологии этот факт можно выразить
так:
В пучке Л-прямых, проходящих через Л-точку
Л, существует бесконечное множество
Л-прямых, не пересекающих Л-п рямую а, и
бесконечное множество Л-прямых, пересекающих Л-п
рямую а.
Это значит, что в нашей интерпретации
осуществляется аксиома Лобачевского, причём роль
граничных Л-прямых, т. е. параллельных Лобачевского, играют
полуокружности b ис, ибо
они в пучке отделяют друг
от друга Л-прямые
указанных выше двух категорий,
а сами они не имеют
общих точек с а, ибо точ:<и
касания Μ и Ν', лежащие
мм "ν на оси XX, исключены.
Черт 159 Полуокружность е,
проходящая через А и
ортогональная к а, играет
роль перпендикуляра, опущенного из Л-точки Л на Л-прямую а,
а Л-угол а, образуемый им с Л-лучом AN или Л/W, играет роль
угла параллельности Лобачевского.
Таким образом, мы действительно получили модель
планиметрии Лобачевского, осуществлённую в образах планиметрии
Евклида. Совершенно аналогично можно построить модель
полного пространства Лобачевского при помощи полусфер
верхнего полупространства Евклида с центрами на плоскости, делящей
пространство Евклида на два полупространства.
Всё сказанное даёт нам основание сделать следующие
заключения:
1) Поскольку все аксиомы геометрии Лобачевского в
интерпретации Пуанкаре перефразируются в некоторые теоремы
геометрии Евклида, то и всякому следствию из аксиом
Лобачевского, каждой теореме гиперболической геометрии соответствует
определённая георема геометрии Евклида. Следовательно, если
бы в геометрии Лобачевского встретились бы два противоречащих
друг Другу предложения, то имелось бы противоречие и между
соответствующими им предложениями геометрии Евклида.
Таким образом, геометрия Лобачевского
непротиворечива постольку же, поскольку
непротиворечива геометрия Евклида. А так как
непротиворечивость геометрии Евклида сведена
к непротиворечивости арифметики, то геометрия
Лобачевского непротиворечива постольку же,
290
поскольку непротиворечива арифметика
вещественных чисел.
2) Поскольку геометрии Евклида и Лобачевского обе
непротиворечивы, то с аксиомами Гильберта абсолютной геометрии
I—IV совместима как аксиома Гильберта (Плейфера) V, так
и аксиома параллельных Лобачевского. А это означает, что
аксиома V или эквивалентный ей 5-й постулат
Евклида не зависят от аксиом I—IV, а
следовательно, не могут быть доказаны при помощи
этих аксиом.
3) Поскольку геометрия Лобачевского нашла своё конкретное
осуществление в образа^ геометрии Евклида, она перестаёт
быть «воображаемой», как называл её сам творец, а имеет такое
же реальное значение, как и геометрия Евклида.
4) Построение модели геометрии Лобачевского бесповоротно
кладёт конец всяким попыткам доказать 5-й постулат Евклида
на основе аксиом абсолютной геометрии, попыткам опровергнуть
геометрию Лобачевского*).
Рассмотрим ещё несколько вопросов, связанных с интерпретацией Пуанкаре
геометрии Лобачевского.
Прежде всего выясним, какие образы в этой интерпретации соответствуют
окружностям, орициклам и эквидистантам геометрии Лобачевского. Для этого
вспомним, что эти линии являются ортогональными траекториями соответственно·
эллиптических, параболических и гиперболических пучков прямых Лобачевского,
У
Черт. 160.
Но, очевидно, в интерпретации Пуанкаре эллиптический, параболический,
гиперболический пучок ,/7-прямых изобразится верхними евклидовыми
полуокружностями соответственно эллиптического, параболического или гиперболического
пучка окружностей с центрами на оси XX (см. их определение в § 1 настоящей
главы, стр. 218—220).
*) Приведём слова проф. Б. Н. Делоне:
«До сих пор наши центральные научные учреждения нередко получают рукописи,
содержащие «доказательство» пятого постулата Евклида, т. е. аксиомы Евклида о
параллельных».
(Б. Н. Делоне, Краткое изложение доказательства непротиворечивости
планиметрии Лобачевского, изд. АН СССР, 19 53, стр. 3.).
291
В силу совпадения углов евклидовых и неевклидовых в интерпретации
Пуанкаре ортогональные траектории к тому или иному пучку Л-прямых изобразятся
также ортогональными траекториями к соответствующему пучку верхних
полуокружностей. Поэтому на основании свойств 9 а), б), в) инверсии (см. § 1)
заключаем:
а) Окружности Лобачевского в интерпретации Пуанкаре изображаются
евклидовыми окружностями, целиком лежащими в верхней полуплоскости (черт. 160).
б) Орициклы изображаются евклидовыми окружностями верхней
полуплоскости, касающимися оси XX, при условии выключения точки касания (черт. 161).
Черт 161.
в) Эквидистанты изображаются верхними дугами евклидовых окружностей,
проходящих через произвольные точки А и В оси XX (черт. 162).
Рассмотрим, далее вопрос об измерении Л-отрезков в интерпретации
Пуанкаре. Будем исходить из определения 6, согласно которому два Л-отрезка
называются конгруэнтными, если они отображаются друг в друга при <;омощи
конечного числа инверсий с центрами на оси XX.
Черт. 162.
Условимся прежде всего в том, что мы будем понимать под длиной
.Л-отрезка.
Введём в евклидовой плоскости систему прямоугольных координат, приняв
ось XX за ось абсцисс с положительным направлением оси у в верхней
полуплоскости. Тогда координаты Л-точек (х, у) будут подчинены неравенствам:
— oo<*<-foo. 0<у<+оо
В соответствии с определением длины отрезка, данным в конце $ 1 главы IV,
вводим следующее:
292
Определение 8. Будем называть длиной Л-отрезка АВ такую
положительную непрерывную функцию Л-точек A (xlt ух) и В (х2, у2):
Π (A, B)=D{xv yi; x2) у2),
которая удовлетворяет следующим условиям:
а) Эта функция должна быть инвариантной относительно Л-движерий, т. е.
относительно инверсий с центрами на XX, иначе говоря, конгруэнтным Л-отрезкам
соответствуют равные значения функции.
б) Эта функция должна обладать свойством аддитивности, т. е. для любых
трёх Л-точек А, В, С Л-прямои где В лежит между Л и С, должно иметь
место равенство
D (Л, C) = D(A, B)+D (В, С).
в) Для некоторого Л-отрезка значение этой функции равно 1.
Выясним вопрос о существовании и виде
этой функции. Начнём с того случая,
когда Л-прямая изображается евклидовым лучом
РР', ортогональным к XX (черт. 163).
Пусть уравнение этого луча будет χ—с.
Возьмём на этом луче две точки: Ε (с, 1)
и Μ (с, у), где у — произвольное
положительное число. Обозначая через φ (у) Л-длину
отрезка ЕМ, получим:
<p(y) = D (Я, М) = D (с, 1; с, у) . . (*)
Очевидно, что φ (1)=^ (£, Е)=0. Будем
предполагать, что φ (у) — дифференцируемая
функция, и найдём её производную. Пусть
сперва у>1. Давая у положительное
приращение Ду, получим φ (y-fAv)=£> (с, 1;
С У+Ду) и по свойству б) Л-длины
l·
X —
ρ*
А
β
Μ
Ε
— К
Черт. 163.
<р(у+Ду) = £> (с, 1; с, y)+D(c, у; с, у+Ьу)=* (y)+D(c, у; с, у+Ду) =
= <p(y)+D(c, у+Ду; с, у)
по свойству а) Л-длины.
Преобразуя точку (с, у-ЬДу) в точку Ε (с, 1)при помощи инверсии (с цент-
у+Ду / у+Ду\
ром в точке Ρ) ζ' = мы переведём точку Μ (с, у) в точку I с, -1
и по свойству а) Л-длины получим:
D(c, У+1У\ с, y)=D\c
на основании (*).
Поэтому
1; с,
у+Ду
/У + Ду\
φ (у+Ду)=? (yj+φ г
Отсюда правая производная
<р(у+Ду) — φ (у)
У+ДУ'
У
)·
φ' (y) = lim-
Ду-*0
Ду
= tim
Ду-*0
'("7")
Δ>·
Применяя правило Лопиталя, ибо числитель последней дроби стремится к
<р (1)=0, получаем дифференцированием по Ду.
φ' (y)-lim —^ ; У =<?' (1) . — .
Легко показать, что к тому же результату придём, полагая Ау<0.
293
Наложим условие φ' (1)=&>0. Тогда φ' (у) =— и, следовательно,
<р(у) = &1пу.
Можно, в частности, положить к=1. Итак, при у>1
D (£, M)=D(c, 1; с, у)=&1пу (при любом с) (**)
Так как у>1, то D (Е, М)>0.
Пусть теперь у<1. Тогда при помощи инверсии z' = — с центром в точке Ρ
ζ
переведём точку Ε (с, 1) в самоё себя, а точку Μ (с, у) в точку М' (с, — I ,
ι 1 у!
где — >1, и по свойству а) Л-длины на основании (**)
D(E,M)=D(E,M') = d(c,1\c9—Uftln— = — fclny>0. . .(***)
\ У J У
Объединяя формулы (**) и (***) при любом расположении точки Μ (с, у) на
луче РР', имеем:
D(£, M)=D(c, 1; с, у) = к | In у | . . Г (1)
Пусть теперь на луче РР' взяты две произвольные точки: А (с, ух)
у}
и В (су у2). Если Ух>у2^ то инверсией г' = — преобразуем точку А (с, уг)
в точку Ε (с, 1), а точку β в точку [с, — ]. По свойству а) Л-длины и по
\ У2/
формуле (1) имеем:
D(A, B) = D(c, ух; с, y2)=D (с, 1; с, — ) = к In ->0.
V уа/ у2
Если У!<у2, то
Я(Л, B)=D(B, A) = D(c, у2\съ y1) = D(c9 1; с,—) = Ып^>0.
Оба случая можно объединить одной формулой
D(A,B) = D(c, yx; с, у2)=Л
In
(2)
У
1
—-
л/
1 А/х**/
\
£ J
Р1
В*
Пусть теперь в верхней
полуплоскости даны две произвольные
точки: А (*!, ух) и Б (х2. у2), не
лежащие на луче, ортогональном
к XX (черт. 164). При этом для
упрощения поместим качало
координат О в левом конце той
полуокружности, на которой лежат А и В.
Пусть радиус этой
полуокружности равен г. При помощи инверсии
с центром в О радиуса 2г
преобразуем нашу полуокружность в луч
РР\ перпендикулярный к XX и
касающийся полуокружности в
правом её конце Р. Эта инверсия
выражается формулами
Черт. 164.
АгЧ
х2+у2
У' =
Агъу
х2 + у2
294
Так как уравнение окружности, проходящей через А и В, будет
(х — г)2+у2 = г* или *2-by2=2r*,
то точки А и В перейдут соответственно в точки луча РР'.
щиВ>(2гт.
Следовательно, по свойству а) Л-длины
А' 2г
D{A, B) = D{A
',£') = £ (2r,
Wi
2г,
2гуъ\
*2 )
1п-
2г*
*2
2г^
= ΛΙ In
У2
In
Ух
Итак, при указанном выборе начала координат
D(A, B) = D(Xl, yi; *2, у2)=Л
ln^-ln
■<«)
Нетрудно убедиться, что полученная функция удовлетворяет всем
выставленным в определении длины условиям. Из полученной формулы видно также, что
при приближении одной из точек А или В к оси XX длина отрезка D (Л, В)-+оо.
Формулу (*) можно преобразовать к другому виду, не зависящему от выбора
начала О. Обозначим через φ л и φ β центральные углы, образуемые радиусами С А
и СВ с положительным направлением оси -XX. Тогда, очевидно, получим;
#1 2
*» 2
и формула (а) получит вид
D(A. B)=k
tg
Тв|
In
tg
<Ρλ
(β)
Теперь при помощи интерпретации Пуанкаре можно получить все формулы
тригонометрии Лобачевского. Ограничимся для примера выводом основной
формулы Лобачевского для угла параллельности Π (χ)
Пусть а есть Л-прямая и Μ — не лежащая на ней Л-точка. Л-прямые b и с^
проходящие через Μ и параллельные к а, образуют с Л-пр^мой е, проходящей
через Μ и ортогональной к а, угол параллельности α (черт. 165). Если «/7-дли-
295
ну Л-отрезка ИМ обозначим через р, то а = П(р). Для упрощения вычислений
применим инверсию с центром в точке О. Тогда по свойству инверсии 3 Л-пря-
мые а и b изобразятся после инверсии евклидовыми лучами а' и Ь' (черт. 166),
Л-прямая е в силу конформности инверсии изобразится полуокружностью е'
с центром в вершине А' луча а', ортогональной к лучу а' и образующей угол *
с лучом Ь'. При этом Л-отрезок ИМ перейдёт в Л-отрезок Н'М'. а потому
p=D(//, M) = D(H\ ΛΓ).
π
Замечая, что <4 М'А'В'=а, а -4 Н'А'Е'*=—-, на основании формулы (β)
получаем:
p=D(H' M')=kln
= Л1п
π
=& In ctg-
Отсюда
-=— к In tg-
= Π (ρ) «= 2arc \ge
В заключение заметим, что интер-
Черт. J 66. претация Пуанкаре (как и любая
другая) даёт возможность доказывать
своеобразным методом теоремы
евклидовой геометрии. Например, можно утверждать, что с>мма углов криволинейного
треугольника, образованного дугами окружностей, ортогональных к некоторой
прямой, меньше 2d, ибо такой треугольник можно трактовать как Л-треугольник.
§ 7. НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ИНТЕРПРЕТАЦИИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ
ПЛАНИМЕТРИИ
а) Интерпретация Пуанкаре внутри евклидова круга
Из рассмотренной интерпретации геометрии Лобачевского можно получить
при помощи инверсий сколько угодно новых интерпретаций той же геометрии.
Они также принадлежат Пуанкаре.
Возьмём в нижней полуплоскости, определяемой прямой XX, произвольную
точку О в качестве центра инверсии с радиусом инверсии, не превосходящим
расстояния точки О до прямой XX. Тогда прямая XX перейдёт в определённую
окружность, проходящую через О. Эту окружность назовём абсолютом. Верхняя
полуплоскость отобразится во внутреннюю область абсолюта, а верхние полу:
окружности, ортогональные к XX и верхние' лучи, ортогональные к XX
отобразятся во внутренние к абсолюту дуги окружностей, ортогональных к абсолюту
и в диаметры абсолюта (черт. 167).
*) Подробный вывод всех важнейших формул геометрии Лобачевского на
основе интерпретации Пуанкаре дан в книге проф. С. А. Богомолова «Основания
геометрии», Госиздат, 1923, а также в книге Б. В. Кутузова «Геометрия
Лобачевского и элементы оснований геометрии», Учпедгиз, 1955.
296
Из сказанного ясно, что "мы получаем новую интерпретацию геометрии
Лобачевского, в которой Л-точки изображаются внутренними точками абсолюта, Л-пря-
мые изображаются внутренними дугами окружностей, ортогональных к абсолюту,
и диаметрами абсолюта.
Таким образом, можно сказать, что планиметрия Лобачевского
осуществляется в гиперболической связке окружностей
ортогональных к абсолюту.
На чертеже 167 изображены Л-прямая а, не
лежащая на ней Л-точка А и Л-прямые b и с,
параллельные к а, проходящие через А. Легко убедиться, что
Л-окружности изображаются окружностями d,
целиком лежащими внутри абсолюта, орициклы —
внутренними к абсолюту окружностями е, касающимися
абсолюта с выключенной точкой касания. Наконец, экви-
дистанты изображаются внутренними дугами
окружностей /, пересекающих абсолют, но не
ортогональных с ним.· а также хордами абсолюта, отличными от
диаметра.
Роль Л-движений в этой интерпретации будут
играть инверсии, в которых окружностью инверсии
является любая окружность, ортогональная к абсолюту. Каждое Л-движение
переводит абсолют самого в себя *).
б) Интерпретация Бельтрами — Клейна
В главе II, § 12 (стр. 122), в гиперболической плоскости были введены
бельтрамиевы координаты:
X=cos Π (*)= th -η- , K = cos Π (y') = th ^- ·
Там было установлено, что для всех точек гиперболической плоскости имеет
место неоавенство
Х2+К2</ (α)
Равенство же
X*+Y* = l \ ...(?)
имеет место для бесконечно удалённых точек гиперболической плоскости (см.
стр. 74 и 122).
В бельтрамиевых координатах уравнение всякой прямой гиперболической
плоскости имеет линейный вид
ΑΧ+ΒΥ — С=0, где Л2+Б2>С2 (γ)
Введём теперь в евклидовой плоскости систему декартовых прямоугольных
координат и поставим в соответствие каждой точке гиперболической плоскости
с бельтрамиевыми координатами (Χ, Υ) точку евклидовой плоскости с такими же
декартовыми координатами (Χ, Υ). В силу соотношений (>) и (β) ясно, что
установленное соответствие ,отображает всю гиперболическую плоскость
*) Для подробного ознакомления с этой интерпретацией рекомендуем
обратиться к книгам: 1) И. И. Привалов, Введение в теорию функций
комплексного переменного, ГТТИ, 1954, гл. III; 2) А. И. Маркушевич. Элементы
теории аналитических функций, Учпедгиз, 1944, гл. 5, § 4; 3) А. И, Map-,
кушевич, Теория аналитических функций, ГТТИ, 1950, гл. II, § 4,
стр. 112—118. В этих книгах изложение ведётся на основе теории аналитических
функций комплексного переменного. Рекомендуем также статью В. Депутатова
«Основания геометрии» в журнале «Математика в школе» 1938, № 3 и книгу
акад. Я. Успенского «Введение в неевклидову геометрию Лобачевского — Бояи»,
1922 г.
Черт. 167.
297
на внутреннюю область круга единичного радиуса Окружность которого назовём
абсолюто м.
Так как уравнение всякой прямой гиперболической плоскости имеет в бель-
грамиевых координатах линейный вид (γ), то в силу установленного нами
соответствия, она отобразится в евклидовой плоскости в некоторую хорду
абсолюта, причём концы хорды исключаются.
Пусть PQ — прямая гиперболической плоскости и С — не лежащая на ней
точка. Пусть, далее, СР' и CQ'—две параллельные в противоположных
направлениях к PQ, CD—пересекающая прямая и MN—расходящаяся с PQ
(черт. 168).
В евклидовой плоскости прямой PQ соответствует некоторая хорда pq
абсолюта и точке С — некоторая внутренняя точка с, не лежащая на хорде pq.
Выясним, з какие прямые
отобразятся параллельные СР' и CQ',
а также CD и MN.
Пусть в бельтрамиевых
координатах уравнения прямых
гиперболической плоскости PQ, СР' и CQ'
будут соответственно
AX+BY — С-0, AtX+BJT—C^
=0, A2X+B2Y — С2 = 0.
Эти же уравнения в
евклидовой плоскости будут вьражать в
декартовых координатах образы
неевклидовых прямых в абсолюте.
Как известно из гла^ы II, § 12
(стр. 123), две прямые
гиперболической плоскости пересекаются,
параллельны или расходятся в
зависимости от того, будет ли
соответственно Δ\-\-Δ2 меньше, равно или
больше^ Δ2·
Так как СР' и CQ'
параллельны прямой PQ, то для них
Δ?-1-Δ! = Δ2. Находя точки
пересечения соответствующих евклидовых
хорд абсолюта, получим:
Черт. 168.
Х =
Δι
Δ "
Υ =
Δ2
следовательно, Χ2+Κ2^
ΔΤ + Δ5
Это значит, что хордь: абсолюта, проходящие через точку с и отображаю-'
щие параллельные Лооачевского СР' hCQ', пересекаются с хордой pq на
абсолюте, τ е. это суть хорды ср и cq.
Для прямых PQ и CD будем иметь Δ?4-Δ2<Δ2.
Поэтому для координат точки пересечения соответствующих евклидовых хорд
абсолюта получим Х2+К2<1, т. е. CD отображается в хорду абсолюта cd%
пересекающую хорду pq внутри абсолюта. Для прямых PQ и MN имеем
Δ^+Δ|>Δ2, я для точки пересечения соответствующих хорд абсолюта pq итп —
Χ2-}-Κ2>1, т. е. прямая ΜΝ, расходящаяся с PQ, отображается в хорду тп,
пересекающую pq вне абсолюта, или евклидову параллельную к pq. При этом
прямые ср и cq являются граничными между пересекающими хорду pq и не
пересекающими её хордами.
Таким образом, каждому соотношению между точками и прямыми плоскости
Лобачевского отвечает вполне определённое соотношение между точками и
прямыми евклидовой плоскости внутри абсолюта.
298
Если мы теперь назовём Л-точками внутренние точки атюолюта, Л-прямы-
ми — хорды абсолюта и введём надлежащие соглашения относил ел ьно терминов
«лежать на» и «лежать между» для Л-точек и Л-прямых и, кроме того, введём
такую метрику внутри абсолюта, чтобы расстояния между Л-точками и углы
между Л-прямыми выражались теми же числами, которые получаются для
расстояний и углов в гиперболической плоскости по формулам § 12 главы II вбель-
трамиевых координатах, то пол>чим новую интерпретацию гиперболической
планиметрии в образах евклидовой геометрии. Эта интерпретация носит название
интерпретации Бельтрами — Клейна. Её особенность заключается в том, что
в ней прямые гиперболической геометрии отображаются в виде отрезков прямых
евклидовой плоскости. Отсюда мы видим, что ошибочно было бы думать, что
прямые Лобачевского не могут быть истолкованы, как обычные евклидовы
прямые. С другой стороны, гиперболическая мера углов в этой интерпретации (см.
формулу (12) § 12 гл. II, стр. 125) не совпадает с их евклидовой мерой, между
тем как в интерпретации Пуанкаре такое совпадение имеет место*).
в) Интерпретация Бельтрами гиперболической планиметрии
на псевдосфере
Идея, лежащая в основе этой интерпретации, родственна идее Лобачевского,
открывшего, что планиметрия Евклида осуществляется н пространстве
Лобачевского на орисфере в системе орициклов. Естественно возникает вопрос, не
существует ли в евклидовом пространстве такая поверхность, на которой в системе
некоторых линий осуществляется планиметрия Лобачевского.
Для ответа на этот вопрос необходимо воспользоваться некоторыми
сведениями из дифференциальной геометрии. Как известно, внутренняя геометрия
поверхности вполне определяется её первой квадратичной формой.
ds2 = E (u,v)du2+2F(uy v) dudv+G (и, v)dv2 (α)
где и, υ — криволинейные координаты на поверхности.
Если две поверхности имеют одинаковый линейный элемент или он для обеих
поверхностей может быть приведён к одинаковому виду, то их внутренняя
геометрия тождественна. Это значит, что они могут быть получены друг из друга
при помощи изгибания, т. е. такой деформации, при которой сохраняются длины
соответствующих кривых. При этом остаются неизменными также углы между
кривыми и площади соответствующих фигур на поверхности, ибо, как видно из
формул, для угла
Edu Ь ы + F (du Ь υ+dv Ь u) + Gdv Ь ν
cos?=—= . . . .(«
V Edu2+2Fdudv+Gdu2 у ЕЬ u2+2Fb ubv+Gb υ2
и для элемента площади
do=VEG — F2dudu, .(7)
они зависят лишь от коэффициентов Е, F, G первой квадратичной формы.
*) К этой интерпретации Ф. Клейн пришёл из других соображений, а именно
исходя из идей проективной геометрии, развитых Кэли. Поэтому интерпретация эта
носит ещё название интерпретации Кэли — Клейна. Подробное рассмотрение
интерпретации Кэли—Клейна с проективной точки зрения даётся в следующих книгах:
1) Бальдус. Неевклидова геометрия, ГТТИ, 1933.
2) Клейн Ф., Неевклидова геометрия, ОНТИ, 1936.
3) Н. А. Глаголев, Проективная геометрия, ч. II, гл. III, ОНТИ, 1936.
4) Костин, Основания геометрии.
Заметим, что интерпретация Бельтрами—Клейна может быть легко получена
и из интерпретации Пуанкаре в круге путём несложных геометрических или
аналитических преобразований (см., например, Костин, Основания геометрии или
Гильберт и Кон-Фоссен, Наглядная геометрия, Широков П. Α.,
Краткий очерк основ геометрии Лобачевского, в сб, «Н. И Лобачевский», изд.
АН СССР, 1943).
290
К внутренней геометрии поверхности, как доказал Гаусс, принадлежит также
так называемая гауссова кривизна поверхности
1 _Ш — М*
где /?х и R2 — главные радиусы кривизны поверхности, L, Μ и N —
коэффициенты второй квадратичной формы. Таким образом, величина К также не
изменяется при изгибании.
Наконец, отметим ещё, что к внутренней геометрии поверхности относятся
также геодезические линии этой поверхноаи, т. е. линии кратчайшего
расстояния в достаточно малой часги поверхности (например, винтовые линии на
цилиндре). Это непосредственно вытекает из того, что при изгибании длины кривых
не меняются, а потому линии кратчайшего расстояния и должны таковыми
оставаться при изгибании. Геодезические линии на поверхности представляют собой
аналог прямых на плоскости.
Теперь обратим внимание на то, что в плоскости Лобачевского
линейный элемент, угол и элемент площади могут быть выражены формулами того
же вида (<), (β), (γ) (см. гл. II, § 12, стр. 132). В частности, линейный
элемент в полярных координатах в плоскости Лобачевского имеет вид
ds2=dr*+k*sh* ~r~--db2 (*)
(форм. (19) гл. II, § 12, стр. 128).
Отсюда следует, что если в пространстве Евклида существуют такие
поверхности для которых в некоторой системе криволинейных координат линейный
элемент выражается такой же формулой, то на этой поверхности длины линий,
углы между кривыми, площади и вообще все факты внутренней геометрии будут
тождественны с аналогичными соотношениями на плоскости Лобачевского, и,
в частности, геодезические линии будут обладать теми же свойствами, что и
прямые плоскости Лобачевского. Таким образом, все эти поверхности будут
носителями гиперболической геометрии аналогично тому, как орисфера в
гиперболическом пространстве несёт на себе планиметрию Евклида.
И гак, для решения поставленного вопроса нужно исследовать, существуют
ли в евклидовом пространстве поверхности, первая квадратичная форма которых
может быть приведена к виду (*). Здесь основное значение имеет следующая
теорема дифференциальной геометрии.
Если первая квадратичная форма некоторой
поверхности в евклидовом пространстве может быть приведена
к виду (*), то эта поверхность имеет постоянную
отрицательную гауссову кривизну /(=—— в о всех точках.
к
Обратно, если поверхность в евклидовом пространстве
имеет во всех обыкновенных точках постоянную
отрицательную гауссову кривизну /(=——-, то в некоторой ок-
к
рестности каждой её обыкновенной точки её первая
квадратичная форма может быть приведена в некоторой
системе криволинейных координат (в так называемой
полугеодезической системе) к виду (*).
Докажем сейчас существование одной из поверхностей с отрицательной
гауссовой кривизной. Для этого рассмотрим одну замечательную кривую в евклидовой
плоскости — трактрису. Эта кривая характеризуется тем свойством, что отрезок
её касательной, заключён» ый между точкой касания и некоторой прямой,
которую мы примем за ось абсцисс, имеет постоянную длину к.
300
Отсюда легко получаем дифференциальное уравнение трактрисы
lV"l+y'2=ft или dx=±* к2 — У2 dy.
У' У
Полагая y=&sin tt получим общее решение этого дифференциального уравнения:
*= ±к Пп tg -y+cos t)+C.
Полагая С—О, получим уравнение трактрисы в параметрическом виде
х=±к (In tg——- -fcos t) Λ π
V * 2 τ / L где 0<ί<—,
y—/c sin ί 'Ι
или, что то же самое,
[ In tg -r--f-cos , J
где 0</<π.
y=&sin /
Эта кривая симметрична относительно оси ОК, асимптотически приближается
π
2~
к оси ОХ (при t ^0 и при t -+ π), в точке (О, Л) (при *=-^-| имеет точку
возврата и всюду вогнута вверх (см. черт. 169).
Будем вращать трактрису вокруг а с и м п - 4 ?
то ты, получим поверхность вращения,
называемую псевдосферой.
Черт. 170.
Примем для псевдосферы асимптоту за ось ΟΖ, оси ОХ и ОУ направим
в плоскости круга, образованного вращением точки возврата (черт. 170).
Тогда уравнения псевдосферы в параллелях и меридианах будут
*=r cos φ, у=г sin φ
z = ft(lntgy+cos t) \t 0 ./<π.
г =/с sin /
301
Подсчитаем гауссову кривизну псевдосферы. Имеем по известным формулам:
dz L d*z 1
-г-ctg/, ——
dr ' dr2 ksm2t'COSt '
dz\2
£=1+ —J =cosec2/, F=0, G = r2,
Следовательно,
d2z
dr2 1
L— —— .
Μχ2 ksint-cost
ν О
dz
r — ·
ι ν — — г cos ι
LNj-_M2_ J_^ *
LG — F2~ k2 *
M=0,
Итак, псевдосфера есть поверхность Еращения с постоянной отрииательной
гауссовой кривизной — —. Следовательно, по указанной выше обратной теореме
её линейный элемент может быть приведён к виду (*), а потому на
псевдосфере в системе её геодезических линий реализуется плани-
метрия Лобачевского. Полученный результат и является содержанием
теоремы Бельтрами,
В заключение заметим, что псевдосфера не единственная поверхность
евклидова пространства, на которой имеет место планиметрия Лобачевского, и что
плоскость Лобачевского лишь частично может быть отображена на псевдосферу
в силу наличия у псевдосферы ребра возврата. Гильбертом доказано, что в
евклидовом пространстве не существует поверхностей с отрицательной постоянной
кривизной, на которых плоскость Лобачевского отображалась бы полностью,
в силу наличия у них особых точек. Этим недостатком не страдают
интерпретации Пуанкаре и Кэли—Клейна, дающие отображение всей плоскости
Лобачевского на область, ограниченную абсолютом.
§ 8. ПОЛНОТА СИСТЕМЫ АКСИОМ
Нам осталось рассмотреть вопрос о третьем требовании,
предъявляемом к системе аксиом, — о полноте. Предварительно
сделаем следующее замечание. Если дана непротиворечивая
система аксиом некоторой дедуктивной науки, то множество всех
предложений, содержащих высказывания о понятиях этой науки,
можно разбить на три категории относительно данной системы
аксиом. Именно всякое предложение а попадает в одну и только
одну из следующих категорий:
1. Либо а может быть доказано при помощи данной системы
аксиом, т. е. является логическим следствием этой системы; говорят
также, что оно является истинным в данной системе аксиом.
2. Либо а может быть опровергнуто, т. е. не только не
может быть выведено из данной системы аксиом, но, наоборот,
302
противоречит либо какой-нибудь аксиоме, либо истинному
предложению.. Такое предложение является противоречивым,
несовместным, ложным относительно данной системы аксиом*).
3. Либо а, не находясь в противоречии с данной системой
аксиом, в то же время не является и логическим её следствием,
т. е. не может быть ни опровергнуто ни доказано. Это значит,
что с данной системой аксиом совместимы два противоречащих
друг Другу предложения а и а. Такое предложение, как
известно, называется независимым относительно данной
системы аксиом.
В соответствии с тем, что говорилось ранее о
непротиворечивости и независимости, можно также сказать, что
предложения 1-й категории реализуются во всех
интерпретациях данной системы аксиом, предложения
2-й категории не реализуются ни в одной
интерпретации данной системы аксиом и, наконец,
предложения 3-й категории реализуются в одних
интерпретациях, но существуют и такие
интерпретации, в которых они не реализуются.
Смысл требования полноты непротиворечивой системы аксиом
(см. § 3 настоящей главы) заключается в том, чтобы она давала
возможность без всяких добавочных предпосылок, без всякого
обращения к наглядным представлениям и опыту, исключительно
логическим путём либо доказать всякое предложение,
относящееся к понятиям данной дедуктивной теории, либо его
опровергнуть. Иначе говоря, полнота системы аксиом означает, что
на основе этой системы в отношении всякого предложения а,
высказанного о понятиях данной теории, можно решить вопрос,
истинно оно или ложно.
Но так как в случае истинности а будет ложным а, и
наоборот, то можно также сказать, что на основе полной системы
аксиом из всяких двух взаимно противоречащих предложений а
и α одно всегда может быть доказано, а следовательно, другое —
опровергнуто.
Таким образом, относительно полной системы аксиом всякое
предложение данной теории принадлежит либо к 1-й, либо ко
2-й категории, предложений же 3-й категории (т. е. независимых
предложений) не существует. Наоборот, если непротиворечивая
система аксиом не является полной, то относительно такой
системы, помимо предложений 1-й и 2-й категорий, существуют и
предложения независимые, т. е. 3-й категории.
Примером неполной системы аксиом является, как мы
видели (гл. I), система постулатов «Начал» Евклида. Отсутствие
среди них аксиом непрерывности, движения и расположения
*) Заметим, что если через а обозначать предложение: «предложение а
ложно», то можно утверждать, что, если а истинно, то а ложно; и наоборот.
303
делает невозможным ни доказать, ни опровергнуть цель.й ряд
предложений. Поэтому Евклид и вынужден был явно или неявно
пользоваться свидетельством чертежа.
Другим примером неполной системы аксиом может служить
система аксиом абсолютной геометрии I—IV. В этой системе
не может быть ни доказана, ни опровергнуто ни одно
предложение, опирающееся на аксиому параллельности V или на
аксиому параллельности Лобачевского.
Сопоставим между собой требования непротиворечивости и
полноты системы аксиом.
Если непротиворечивость гарантирует, что относительно
данной системы аксиом не могут быть одновременно истинными
два взаимно противоречащих предложения а и а, то полнота
системы гарантирует, что одно из них обязательно будет
истинным.
Иначе говоря, непротиворечивость исключает возможность
доказуемости двух взаимно противоречащих предложений, а
полнота обеспечивает доказуемость одного из них. Оба требования
вместе дают гарантию разрешимости всякого вопроса теории
и притом только в одном смысле.
Если непротиворечивость ведёт к исключению из теории
предложений 2-й категории, то полнота говорит, кроме того,
об отсутствии предложений 3-й категории.
Как же фактически узнать, является ли данная система
аксиом полной или нет. Долгое время считали, что, например,
полноту системы аксиом геометрии можно проверить только
одним путём: фактически шаг за шагом доказать все теоремы,
которые обычно включаются в курс геометрии. Ясно, что этот
путь является фиктивным и неопределённым, ибо число
предложений геометрии неограниченно, и, следовательно, мы никогда
не сможем в действительности убедиться в полноте системы.
Ведь нет никакой гарантии, что в будущем не встретится
предложения, независимого от данной системы. Таким образом,
решение вопроса о полноте системы аксиом никогда не будет
достигнуто, мы всегда будем находиться в зависимости от
наличного состояния рассматриваемой теории и будем ограничены
рамками того, в какой мере к данному моменту развита эта
теория.
Поэтому важно иметь такой критерий, который позволил бы
нам решить вопрос о полноте системы аксиом независимо от
того, в каком состоянии находится соответствующая теория
к данному моменту, много или мало получено следствий из этой
системы, имеет ли эта теория многовековую давность или
возникла совсем недавно.
Такой критерий можно дать при помощи понятия
изоморфизма интерпретаций.
Определение 1. Две различные интерпретации
одной и той же системы аксиом называются изоморф-
304
ными, если между основными объектами этих
интерпретаций можно установить взаимно
однозначное соответствие, удовлетворяющее
следующему условию: если те или иные объекты связаны
каким-либо из основных отношений водной
интерпретации, то соответствующие им объекты
связаны аналогичным отношением в другой
интерпретации.
Например, если мы имеем две изоморфные интерпретации
системы аксиом Гильберта, то это значит следующее. Пусть
точке Л и прямой а в одной интерпретации поставлены в
соответствие точка Л' и прямая а' другой интерпретации; если при
этом точка Л лежит на прямой а, то и точка А' лежит на прямой а'.
Аналогично если точка В лежит между точками Л и С в одной
интерпретации, то и для соответствующих им точек Л', В' и
С в другой интерпретации точка В' будет лежать между
точками Л' и С и т. д.
Очевидно, что понятие изоморфизма интерпретаций обладает
свойством транзитивности, т. е. если две
интерпретации изоморфны третьей, то они изоморфны
между собой.
Покажем, например, что интерпретации планиметрии
Лобачевского, данные Пуанкаре и Клейном, изоморфны.
Черт. 171.
Пусть в евклидовой плоскости α дан круг единичного
радиуса /С' с центром О (черт. 171) и пусть U—сфера единичного
радиуса, касающаяся плоскости α в точке О*). Пусть, далее, М' —
любая точка, лежащая внутри круга или на окружности /С'.
Спроектируем точку ΛΓ ортогонально к плоскости α на нижнюю
*) Для наших целей касание сферы с плоскостью α не существенно, плоскость
α может пересекать и или лежать вне сферы и.
305
полусферу, ограниченную · горизонтальным экватором Л'0 в
некоторую точку сферы Λί0, а точку М0 в свою очередь
спроектируем из полюса сферы S обратно на плоскость α в некоторую
точку М. Очевидно, что в результате этих двух
проектирований— ортогонального и стереографического — мы получим
взаимно однозначное соответствие между точками круга /('
единичного радиуса и точками круга К с центром в О, имеющего
радиус, равный 2. При этом хорда А В' круга /(' перейдёт при
ортогональном проектировании в полуокружность Α{β0 на
полусфере, ортогональную к экватору. В силу известных свойств
стереографической проекции полуокружность А0В0 при
проектировании из S на плоскость α перейдёт в дугу окружности АВ,
ортогональную к окружности /С. Таким образом, между хордами
круга К' и дугами окружностей, ортогональных к /С,
устанавливается взаимно однозначное соответствие.
Если теперь в круге К' осуществлена интерпретация Бельт-
рами — Клейна, а в круге К — интерпретация Пуанкаре
планиметрии Лобачевского, то ясно, что указанным выше способом
обе эти интерпретации приводятся в изоморфное соответствие.
Если воспользоваться понятием изоморфизма интерпретаций,
то независимость предложения от данной системы аксиом ί/,
как это следует из сказанного в § 5 настоящей главы и в
начале настоящего параграфа, может быть определена следующим
образом:
Определение 2. Предложение А не зависит от
системы аксиом ί/, если существуют такие две
неизоморфные интерпретации системы U, в
одной из которых А осуществляется, а в другой
не имеет места.
Поэтому полную систему аксиом, которая должна
гарантировать отсутствие независимых предложений, можно определить
следующим образом.
Определение 3. Система аксиом называется
полной, если все её интерпретации изоморфны Друг
ДРУ г у.
Это определение даёт возможность исследовать вопрос о
полноте Данной системы аксиом независимо от степени
развития теории, основанной на этой системе аксиом.
Следует, однако, отметить, что указанное ранее (стр. 256)
понимание полноты системы аксиом в том смысле, что полная
система аксиом должна давать возможность либо доказать,
либо опровергнуть всякое предложение, относящееся к понятиям
данной дедуктивной теории, не равносильно, вообще говоря,
пониманию полноты в смысле определения 3. Для некоторых
теорий, в частности, для системы аксиом натуральных чисел,
доказано, что они, удовлетворяя требованию полноты в
смысле определения 3, в то же время не являются полными в
первом смысле.
306
Обратимся теперь к доказательству полноты системы аксиом
Гильберта I—V, ограничиваясь лишь геометрией на плоскости.
Пусть У есть некоторая интерпретация плоскостных аксиом
Гильберта I—V. В этой интерпретации какие-то конкретные
объекты названы «точками», какие-то другие объекты названы
«прямыми» и какие-то вполне определённые отношения между
этими объектами получили выражения в словах
«инцидентность», «лежать между» и «конгруэнтность». В силу
того что для этих объектов и отношений между ними имеют
место все аксиомы Ιχ—3> И, III, IV, V, то и все следствия из
этих аксиом также имеют место в нашей интерпретациии J.
Поэтому мы можем в этой интерпретации внести
прямоугольную систему координат, так что каждой «точке» будет
соответствовать пара вещественных координат (х, у) и, обратно,
каждой паре вещественных чисел (х, у) будет соответствовать
«точка» с координатами (*, у). При этом каждой «прямой» будет
соответствовать определённое отношение (a: be) трёх
вещественных чисел (где а и b одновременно не равны нулю), такое,
что для координат «точек», «инцидентных» этой «прямой»,
удовлетворяется уравнение ax-\-by-\-c=0\ и обратно, каждому такому
отношению (а:Ь:с) будет соответствовать определённая «прямая»
интерпретации J. Строя таким путём аналитическую геометрию
в множестве объектов нашей интерпретации, мы получим все
обычные формулы в прямоугольных координатах. Эти формулы
будут полностью совпадать с формулами арифметической
интерпретации, рассмотренной нами в § 4 настоящей главы, для
аналогичных отношений между арифметическими объектами,
также названных нами «точками» и «прямыми». Таким путём
мы шаг за шагом установим в конце концов, что между
объектами интерпретации J и объектами арифметической интерпретации
установлено изоморфное соответствие.
Итак, любая интерпретация J плоскостных аксиом Гильберта
I—V изоморфна с арифметической интерпретацией этой
системы.
В силу свойства транзитивности изоморфизма отсюда
заключаем, что все интерпретации плоскостных аксиом Гильберта
I—V изоморфны друг Другу, а потому по определению 3 эта
система аксиом является полной. То же относится и к системе
всех аксиом I—V Гильберта.
Совершенно аналогично можно доказать полноту системы
аксиом, лежащих в основе геометрии Лобачевского.
В заключение заметим, что в современной математике все
большее значение приобретают математические теории,
основанные на неполной аксиоматике. Таковы, например, теория групп
и топология. Значение таких теорий состоит в том, что они
в силу неполноты соответствующей системы аксиом отличаются
чрезвычайной общностью и абстрактностью своих предложений
и чрезвычайной обширностью своих приложений, богатым
307
разнообразием охватываемых ими явлений. Кроме того, они
позволяют глубже исследовать логические зависимости между
предложениями данной теории и выяснить роль той или иной
аксиомы в структуре данной науки.
Например, большую часть своей книги «Основания
геометрии» Гильберт посвятил так называемой «неархимедовой» геометрии,
т. е. геометрии, в которой не выполняется постулат Архимеда, чтобы
выяснить, какие факты геометрии не зависят от аксиом
непрерывности. Аналогично рассматриваются недезарговы, непаска-
левы и т. д. геометрии. Все такие геометрии носят общее
название неевклидовых геометрий. Поэтому не совсем
правильно относить это название только к геометрии
Лобачевского, являющейся лишь одной из неевклидовых геометрий.
§ 9. ПОНЯТИЕ ОБ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ РИМАНА
Если в геометрии Евклида через точку, не лежащую на
данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную
данной, а в геометрии Лобачевского — две, то в эллиптической
геометрии Римана вовсе не существует параллельных прямых.
В эллиптической геометрии имеет место следующая аксиома:
Всякая пара прямых, лежащих в одной
плоскости, пересекается (*).
Выясним, какие основные изменения следует внести в
систему аксиом Гильберта, чтобы получить аксиоматику
эллиптической геометрии, причём мы ограничимся лишь двумерной
эллиптической геометрией.
Так как совокупность аксиом Гильберта групп I—IV совместима
только с двумя аксиомами параллельности — Плейфера и
Лобачевского, то ясно, что для построения системы аксиом
эллиптической геометрии необходимо внести изменения в гильбертов-
ские аксиомы первых четырёх групп. Что касается аксиомы
параллельности Гильберта V (стр. 179), то нетрудно видеть,
что она остаётся в силе и в эллиптической
геометрии (так же как и 5-й постулат Евклида), так как
является прямым следствием указанной выше аксиомы (*)
эллиптической геометрии об отсутствии параллелизма. Но в таком
случае аксиому V надо исключить из перечня аксиом как
излишнюю, а введённую вместо неё аксиому (*) целесообразно
поместить в группу I аксиом соединения.
Таким образом, V группа аксиом отпадает, а группа I
аксиом соединения эллиптической планиметрии будет состоять
из следующих аксиом:
1г. Через всякие две точки А и В проходит прямая.
12. Через две^ точки А и В проходит не более одной прямой.
13. На каждой прямой существуют по крайней мере две точки.
Существуют по меньшей мере три тачки, не лежащие на
одной прямой.
308
L. Всякая пара прямых, лежащих в одной плоскости,
пересекается, т. е. имеет общую точку.
Какие же свойства эллиптической прямой вытекают из этой
группы аксиом.
OvcTb в эллиптической плоскости дана прямая α и не
лежащая на ней точка А (черт. 172). Рассмотрим пучок прямых,
проходящих через Л. По аксиоме 14 все прямые этого пучка
пересекают а, в том числе и прямая ft, перпендикулярная к
прямой АР, где АР _!_ а. Так как в силу аксиом группы I две прямые
пересекаются в единственной точке, то между прямыми пучка
точками прямой а имеет место взаимно однозначное
соответствие. Пусть прямая Ь пересекает прямую а в некоторой точ-
о-
Черт. 173.
ке С. В силу симметрии относительно АР та же прямая Ь
должна пересечь я ещё в точке С, симметричной с С относительно
АР. Таким образом, прямые а и b пересекаются в двух точках
С и С, что противоречит аксиомам 1л_2. Чтобы устранить это
. противоречие, мы должны принять, что точки С и С сливаются
в одну точку. Это значит, что прямая а замкнута.
Итак, эллиптическая прямая замкнута аналогично
окружности. Из замкнутости прямой следует, что для трёх точек
прямой Л, В и С понятие «лежать между» теряет
определенный смысл, ибо каждая из них лежит между двумя другими,
а потому понятие «лежать между» не характеризует их
взаимного расположения.
Чтобы характеризовать взаимное расположение точек на
эллиптической прямой, вводится другое основное понятие:
«разделение двух пар точек». Наглядное представление об
этом понятии дано на чертеже 173. Пусть Л, β, С, D — четыре
различные точки на прямой (мы условно на чертеже изображаем
её окружностью). Точки Л и В делят прямую на две различные
части. Если точки С и D принадлежат различным частям, то
говорят, что пара точек Л. В разделяет пару точек С, D; если
же С и D обе принадлежат одной и той же части прямой, то
пара Л, В не разделяет пары С, D.
Черт. 172.
309
Если пара Л, В разделяет пару С, D, то будем это
записывать символом AB/CD.
Основные свойства понятия «разделение двух пар то/^ек»
можно описать, например, следующей группой аксиом, которая
заменяет группу II аксиом Гильберта. '
Группа II. Аксиомы расположения*)
II!. Если ABJCD, то все четыре точки Л, β, С, D различны
и принадлежат одной прямой.
112. Если А и β—различные точки прямой, то существуют
на прямой две такие точки Μ и Ν, что имеет место ABjMN.
И3. Если ABJCD, то CDJAB.
И4. Если ABjCD, то ABJDC.
И5. Если AB/CD, то не имеет места AC/BD.
П6. Если Л, В, С, D — различные точки прямой, то имеет
место одно и только одно из разделений: или ABJCD, или
ЛС/ВД или ADJBC.
Пт. Если ABJCD и АС\ВЕ, то AC/DE.
П8. Если четыре прямых пучка пересекают две какие-нибудь
прямые соответственно в точках Л, В, С, D и Av Въ Cv DL
и если. AB/CD, то Л1В1/С101.
Смысл этих аксиом легко уяснить на условном чертеже,
изображая эллиптическую прямую в виде окружности.
Отметим некоторые
характерные особенности, имеющие место
в эллиптической геометрии.
В отличие от геометрии
Евклида и Лобачевского в
эллиптической геометрии точка не делит
прямую на два луча, а две точки
Л и В на прямой определяют
не один, а два взаимно
дополнительных
отрезка (черт. 173).
Другое отличие заключается
в том, что прямая в эллиптической плоскости не
делит эту плоскость на две полуплоскости. В самом деле, для
любых двух точек Л и β, не лежащих на прямой а (черт. 174),
прямая АВ делится этими точками на два взаимно
дополнительных отрезка, из которых один пересекает а, а другой не
пересекает. Поэтому нельзя утверждать ни то. что точки Л
и В лежат по одну сторону от ау ни то, что Л и β лежат по
разные стороны от а.
*) См. книгу С. А. Богомолова «Введение в неевклидову геометрию
Римана», 1934.
Его же «Основания геометрии», 1923.
310
\ Однако можно утверждать, что две прямые
разделяет плоскость на две части (черт. 175), каждая из
которых образует угол. Таким образом, при точке О образуются
два\взаимно дополнительных угла (I и II), которые называются
смежными углами. Если смежные углы равны, то они
называйся прямыми углами. Сумма смежных углов равна 2d.
Из\ замкнутости эллиптической прямой и разделения её двумя
точка\^1 на два взаимно дополнительных отрезка следует, что
три точки Л, В и С эллиптической плоскости, не лежащие на
одной (прямой, определяют не один, а четыре треугольника,
вместе \ составляющие всю плоскость (на чертеже 176 эти
треугольники занумерованы).
Отметим ещё, что для всякой пары прямых в эллиптической
плоскости существует единственный общий перпендикуляр.
Не останавливаясь на
аксиомах конгруэнтности в
эллиптической геометрии,
отметим лишь, что и они в ряде _
отношений отличаются от У
Черт. 175
Черт. 176.
аксиом III Гильберта. Аксиома IV Дедекинда в эллиптической
геометрии сохраняется с учётом того, что две точки прямой
делят её на два отрезка. Четырьмя группами аксиом и
исчерпывается аксиоматика эллиптической геометрии.
Укажем ещё некоторые теоремы эллиптической геометрии
отличающиеся от соответствующих теорем евклидовой и
гиперболической геометрий.
1) Геометрическое место точек, равноудаленных от данной
прямой, есть окружность.
2) Сумма углов треугольника больше π.
Это значит, что в эллиптической геометрии осуществляется
гипотеза тупого угла Саккери.
В частности, в эллиптической геометрии существуют
треугольники с двумя и тремя прямыми углами.
3) Длина всякой прямой равна π, т. е. эллиптическая
прямая конечна.
4) Внешний угол треугольника либо меньше, либо равен,
либо больше внутреннего угла, с ним не смежного.
5) Периметр треугольника меньше 2π.
311
' 6) Площадь треугольника равна его избытку, т. е. разноси
между суммой его внутренних углов и числом π:
S(k)^A+B+C — π.
7) Площадь эллиптической плоскости равн^ 2π.
Чтобы убедиться в непротиворечивости эллиптической/
двумерной геометрии, достаточно построить её модель в образах
геометрии Евклида.
Приведём одну из таких моделей, в которой используется
сфера в евклидовом пространстве. На этой модели многие
особенности эллиптической геометрии получают очень наглядное
истолкование.
Рассмотрим сферу единичного радиуса с центром в точке О
в евклидовом пространстве (черт. 177). Примем следующие
определения:
. «Точкой» будем называть всякую пару
диаметрально противоположных точек этой
сферы.
«Прямой» будем называть всякий большой
круг сферы.
«Плоскостью» будем называть саму сферу.
Фраза: «Точка лежит на данной прямой»
означает, что две диаметрально
противоположные точки сфгры лежат на данном большом
Черт. 177. кРУге сферы.
Тогда легко убедиться, что все 4 аксиомы
группы I осуществляются на нашей модели.
1) Через любые две «точки» проходит одна и только одна
«прямая», ибо через любые две пары диаметрально
противоположных точек сфгры проходит один и только один большой
круг сферы.
2) На каждой «прямой» существуют две «точки» (даже
бесконечное множество «точек»), ибо на каждом большом круге
существуют две пары (даже бесконечное множество пар)
диаметрально противоположных точек. Аналогично убеждаемся, что
существуют три «точки», не лежащие на одной «прямой».
3) Всякие две различные «прямые» пересекаются, притом
в единственной «точке», ибо всякие два различных больших
круга пересекаются в единственной паре диаметрально
противоположных точек сферы.
Свойство замкнутости, а также свойство конечности «прямой»
получают на нашей модели совершенно наглядный характер, ибо
«прямая» изображается большим кругом сфгры. В то же время
совершенно наглядным делается понятие «разделение двух пар
точек» и выполнимость всех аксиом расположения группы II
легко проверяется.
Под «отрезком» АВ мы будем понимать любую из двух пар
противоположных дуг АВ большого круга, проходящего через
312
точки Л и β. На модели мы видим (черт. 177), что «точки» Л и
β определяют два «отрезка»: один изображается парой
противоположных дуг, не содержащих концы диаметра СС, а другой —
парой противоположных дуг, содержащих диаметрально
противоположные точки С. Очевидным делается и тот факт, что «прямая»
не дш1ит «плоскость» на две «полуплоскости».
В самом деле, каковы бы ни были «точки» Л и β (черт. 177),
не лежащие на «прямой», а, «прямая» АВ пересекает «прямую» a
в единственной «точке» С. Следовательно, только один из двух
«отрезков», определяемых на «прямой» АВ «точками» Л и β,
пересекая упрямую» α в «точке» С, а другой не пересекает.
Так^м путём можно проверить выполнимость всех аксиом и
любой теоремы эллиптической двумерной геометрии на нашей модели.
Рассмотрим в качестве дополнительных иллюстраций
некоторые сформулированные выше теоремы о треугольнике.
Прежде Ъсего следует указать, что понимается под
терминами «угол», «мера угла», «длина отрезка» в нашей интерпретации.
«Углом» будем называть одну из двух пар противоположных
двуугольников, на которые разбивается сфера двумя большими
кругами, играющими роль «сторон угла».
«Мерой угла» будем считать величину соответствующего
двугранного угла, заключённого между Двумя плоскостями
указанных больших кругов сферы.
«Длиной отрезка» АВ будем называть величину плоского
угла, заключённого между двумя диаметрами сферы АА и ββ,
иначе говоря, длину любой дуги
большого круга, изображающей
соответствующий «отрезок» АВ.
Тогда всякая «прямая» имеет «длину»,
равную длине половины большого
круга, т, е. π, что утверждается
теоремой 3).
Проверим теоремы 2) и 5).
«Треугольник» ABC (черт. 178)
изображается двумя сферическими
треугольниками ABC. «Углы» Л, β и С нашего
«треугольника» измеряются двугранными
углами трёхгранного угла ОАВС с вер- Черт. 178.
шиной в О, а «стороны»
«треугольника» a, b и с измеряются плоскими углами того же
трёхгранного угла. Как известно из элементарной геометрии, сумма
двугранных углов трёхгранного угла больше 2d, а сумма его плоских
углов меньше 4d (см. Д. И. Перепёлкин, Курс элементарной
геометрии, ч. II, 1949, стр. 125). В переводе на новые термины
получим: сумма «углов треугольника» больше π, а «периметр»
его меньше 2π.
Будем понимать под «площадью» фигуры в эллиптической
плоскости площадь соответствующей фигуры на сфере. Основы-
313
ваясь на теоремах геометрии сферы, легко проверим, что
площадь «треугольника» ABC равна его избытку А-\-В-\-С — π и ^то
площадь всей «плоскости» равна площади полусферы, т. e./ζπ,
о чём и говорится в теоремах 6) и 7). /
Осуществление эллиптической планиметрии на евклидовой
сфере даёт основание утверждать, что двумерная эллиптическая
геометрия с τ о л ь же непротиворечива, сколь и гео-
метрия Евклида. ,
Замечая, что множество всех пар диаметрально
противоположных точек сферы с центром в точке О может быть
приведено во взаимно однозначное соответствие с множество^ всех
прямых связки с центром в О, а множество всех больших
кругов сферы—с множеством всех плоскостей той же связки,
естественно приходим ещё к одной интерпретации эллиптической
планиметрии в образах евклидовой геометрии при помощи связки
прямых и плоскостей с центром в точке О. Очевидно, что здесь
под «точкой» надо понимать прямую связки, под «прямой» —
плоскость связки, под «плоскостью» — связку и т. д. Это значит,
что двумерную эллиптическую геометрию Римана можно
рассматривать как геометрию связки прямых в евклидовом
трёхмерном пространстве.
В заключение для более основательного изучения
эллиптической геометрии Римана (двухмерной и трёхмерной) отсылаем
к книге проф. С. А. Богомолова «Введение в неевклидову
геометрию Римана», изд. 1934 г., а также к книге проф. В. Ф.
Каган «Основания геометрии», ч. II, изд. 1956 г.
§ 10. АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД В ФИЛОСОФСКОМ ОСВЕЩЕНИИ
В заключение курса оснований геометрии кратко остановимся на некоторых
вопросах философии математики, тесно связанных с этим курсом и имеющих
важное значение для преподавания математики
1. Материализм и идеализм в философии математики
По вопросу о сущности математики, о происхождении и природе её понятий
и аксиом существуют две системы взглядов: материалистическая и
идеалистическая.
Идеалистические, реакционные, антинаучные взгляды, распространённые среди
буржуазных учёных, сводятся к тому, что математические понятия и теории
независимы от опыта, являются свободными творениями человеческого духа и не
отражают каких-либо отношений и связей предметов реального мира. С этой
точки зрения математика образует какой-то особый замкнутый круг идей,
оторванный от познания действительности. Применимость математики к изучению законов
природы, в технических науках и в человеческой практике объясняется
случайностью или объясняется тем, что не наш разум отражает закономерности природы, а,
наоборот, наш разум предписывает природе свои законы. Идеализм отрицает
всякое познавательное значение математики, осуждая её на беспредметную и
бесплодную игру в символы, ничего неотражающие из реального мира.
Научная" марксистско-ленинская точка зрения на математику в корне
враждебна идеализму. Диалектический материализм не отрывает математику от
познания реального мира, а рассматривает математические понятия и теории, как
отражения, как достаточно верные копии, снимки в нашем сознании количественных
314
отношений и пространственных форм внешнего мира, как абстракции отношений и
связей, имеющих место в действительности. Математика, черпая своё
содержание ^з реального мира, из практики, имеет огромное познавательное значение.
Её применимость к познанию законов природы, к практике, в технике является
поэтому не случайностью, а неизбежным и закономерным фактом.
2. О предмете математики и характере
математических понятий
Идеализм в математике спекулирует в основном на особом характере
математических! абстракций.
Специфические особенности математических понятий и теорий коренятся в
самом предмете математики, глубокое определение которого дано Ф. Энгельсом
в книге <4А.нти-Дюринг». Энгельс определяет математику, к а к «н а у к у,
имеющую с^оим предметом пространственные формы и
количественные отношения действительного мира».
Всё дальнейшее развитие математики после Энгельса и особенно развитие
современного аксиоматического метода неизмеримо расширило и углубило смысл
этого определения на более широкой и богатой основе современных идей.
Общей характерной чертой как количественных отношений, так и
пространственных форм является их безразличие к особой качественной природе тех
предметов, количественные отношения или пространственные формы которых
рассматриваются.
Например, 7 человек, 7 яблок, 7 книг являются множествами· различной
качественной природы, но их количественная характеристика, безразличная к их
качествам, у всех трёх множеств, одинакова. Когда мы решаем уравнение
ах+Ь=0, мы тем самым одновременно решаем бесконечное множество
конкретных задач, приводящих к уравнению указанного вида. Это могут быть задачи
о купле-продаже, о возрасте, о скорости и т. д. Отвлекаясь от конкретных
условий этих задач, мы фиксируем общую для них форму количественной связи,
безразличную к конкретным особенностям, и приходим к указанному уравнению.
ь
Аналогично, разыскивая численное значение интеграла J f(x)dx, мы отвлека·
а
емся от конкретного смысла переменной χ и функции f(x) и тем самым
разрешаем необозримое число задач: находим площади, объёмы, длины дуг, массы,
центры тяжести, моменты инерции и т. д. в зависимости от того, какой
конкретный смысл придаётся переменной χ и функции /(*).
Точно так же, когда мы говорим о шаре или пирамиде, мы вовсе не
интересуемся, о каких конкретных телах или фигурах идёт речь, нас интересует лишь
форма и размеры их, безразличные к материалу, цвету, весу, температуре и
другим качественным особенностям соответствующих предметов.
Таким образом, изучая количественные отношения и пространственные
формы, математика отвлекается, абстрагируется от содержания и качественной
природы оэъэктов, между которыми имеют место данные отношения, она устраняет
их содержание и качества, как безразличные для дела. Поэтому математическая
теория может быть применена к изучению вещей самой разнообразной природы,
лишь бы только структура отношений этих вещей была совершенно одинакова,
изоморфна. Это позволяет для одной и той же математической теории находить
различные её конкретные истолкования, интерпретации.
Энгельс, говоря о количественных отношениях и пространственных формах
действительного мира, пишет: «То, что этот материал является в крайне
абстрактной форме, может только для поверхностного взгляда скрыть его
происхождение от внешнего мира. Но, чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и
отношения, необхрдимо совершенно отвлечь их от их содержания, оставив это
последнее в стороне, как не существенное» (Энгельс, Анти-Дюринг).
Все эти черты математических абстракций нашли наиболее полное выражение
в современном аксиоматическом методе, в котором определение Энгельса
предмета математики получило особенно глубокое значение и яркое подтверждение.
315
3. Материализм и идеализм в истолковании современного
аксиоматического метода
Как известно, характерными чертами современного аксиоматического метода
являются следующие: 1) основные понятия и отношения между ними в данной
теории даются без определений; всё, что нужно знать о них, излагается В' аксш>
мах; 2) основные понятия и аксиомы не закрепляются за определённой
конкретной системой вещей, а мыслятся абстрактно, как формы с переменным
содержанием; 3) к системе аксиом предъявляются требования непротиворечивости и
независимости, и в пределах эквивалентности понятия и аксиомы могут быть /выбраны
произвольно. Для проверки системы аксиом на непротиворечивость и
независимость, а также на полноту применяется метод моделей или интерпретаций.
В современной геометрии это приводит к тому, что не только
различные геометрические системы отражают различные системы
пространственных форм, но и что .одна и та же
геометрическая система может иметь не одно, а много различных
реализаций, может осуществляться в различных
множествах объектов разнообразной природы.
Эти основные особенности современного аксиоматического метода и пытаются
использовать идеалисты. Поскольку основные понятия и аксиомы мы можем
выбирать произвольно, лишь бы они не находились в логическом противоречии
и поскольку они могут быть истолкованы различным и «произвольным» образом, то
с точки зрения идеализма они являются продуктами совершенно свободного
творчества и фантазии математиков и выражают лишь внутренние свойства нашего
мышления. Поэтому они якобы не зависят от материальной действительности
и никакого отношения к ней не имеют.
Произвол в выборе основных понятий и аксиом и возможность их различных
истолкований даёт идеалистам повод рассматривать математические понятия и
аксиомы как произвольные и условные соглашения и символы, которые мы создаём
совершенно свободно, по своему капризу, и поэтому можно, например,
произвольно создавать различные геометрии: неевклидовы, неархимедовы и другие и
различные алгебры.
Более того, поскольку основные математические понятия не определяются
и конкретный их смысл не указывается, некоторые идеалисты трактуют их как слова,
не имеющие вообще никакого смысла, как слова пустые, бессодержательные и
именно поэтому могущие быть истолкованными по нашему произволу. Так, слова
«точка», «прямая», «лежать на» и т. д. с их точки зрения вообще ничего не
означают. Математика поэтому делается у них беспредметной и превращается в
пустую логическую игру по условным правилам с произвольными ничего не
означающими словами^ терминами, символами, наподобие игры в шахматы. С
позиций идеализма современный аксиоматический метод якобы свидетельствует
о независимости нашего мышления от внешнего мира и о возможности
априорного внеопытного познания, не имеющего никакой связи с реальным
миром.
Кстати отметим, что идеалисты с этих позиций стремятся использовать
геометрию Лобачевского, превратно истолковывая философское её значение. Они
проводят мысль о том, что геометрия Лобачевского явилась будто бы плодом
чисто логической умственной игры, что великий творец неевклидовой геометрии
при её создании занимался чисто логическим упражнением и этим стремился
якобы утвердить право математика строить геометрию, исходя из любых
произвольных допущений, и хотел доказать, что математика есть свободное творение ума,
независимое от внешнего мира, «свободное от его тирании».
Такое истолкование совершенно не соответствует действительности и является
грубым извращением идей Лобачевского, всю жизнь боровшегося за
материалистическое понимание основ математики. Лобачевский был решительным
противником произвольных допущений в математике, противником идеалистического
истолкования аксиом геометрии, как чисто умозрительных истин априорного характера.
Как известно, он рассматривал геометрические аксиомы как научные гипотезы
о свойствах реального пространства, подлежащие опытной проверке.
316
^Итак, пользуясь огромной степенью абстрактности математических теорий,
крайней отвлечённостью математических понятий, имеющих место при современных
аксиоматических построениях, идеализм стремится затушевать происхождение их
из материального мира и практики, отрицает познавательное значение
аксиоматического метода.
Самый рост математики, дальнейший процесс её обобщений и отвлечений от
действительности идеализм использует для искажения фактического положения
вещей. Вместо того чтобы видеть в абстрактности аксиоматического метода ещё
больший, более полный охват и более глубокое отражение математикой
количественных отношений и пространственных форм действительного мира, идеализм
видит в этом обеспредмечивание и полный отрыв математики от действительности,
превращая абстрактность из силы математики в её слабость.
Между тем, с точки зрения диалектического материализма, сила современного
аксиоматического метода как раз и состоит в том, что основные понятия и
аксиомы задаются абстрактно: в аксиомах не сообщается, о каких конкретных объектах
идёт речь; не говорится, каков конкретный смысл отношений, в которых эти
объекты выступают. Эго вовсе не означает, что основные понятия и аксиомы суть
бессодержательные слова и формы, а няоборот, это значит, что они могут иметь
очень богатое и разнообразное содержание, это — формы с переменным
содержанием, отвлечённые ог внешнего мира. Эта абстрактность
и позволяет изучать свойства количественных отношений
и пространственных форм действительного мира во всей
их общности, чего не было раньше, когда математические теории развивались
применительно к объектам конкретной области.
Огромная сила аксиоматического метода как раз и заключается в том, что
все выводы, которые мы получаем из данной абстрактной системы аксиом, можно
сразу распространить на все множества объектов, структура отношений которых
подчиняется данной системе аксиом. Эги выводы доказаны логически сразу для
всех областей объектов, несущих изоморфную структуру. Каждая теорема
выражает, таким образом, свойство объектов любой интерпретации данной системы
аксиом. Это даёт возможность установить связи иногда между очень отдалёнными,
на первый взгляд, разделами математики.
Применимость математической теории к изучению свойств реального мира
неизмеримо возрастает.
4. О непротиворечивости системы аксиом
Одно из важнейших требований, которому должна удовлетворять данная
система аксиом,— непротиворечивость — с позиций идеализма получает
совершенно извращённое толкование. Идеалисты отрывают вопрос о логической
непротиворечивости системы аксиом от их истинности, т. е. от соответствия с
действительностью. Так математик-идеалист Пуанкаре заявлял: «Математика не зависит от
существования материальных вещей; в математике слово существовать
может иметь только один смысл — оно означает устранение от противоречия».
Конечно, поскольку с идеалистической точки зрения математические понятия
ничего не отражают в реальном мире и математик свободно и независимо от
внешнего мира создаёт математические теории, никакой опоры в реальной
действительности нельзя искать для признания системы аксиом истинной. Поэтому истинность
сводится не к соответствию с действительностью, а к внутренней согласованности,
к непротиворечивости математических понятий и системы аксиом.
Однако фактическое положение вещей совершенно противоположно
идеалистическим утверждениям. В самом деле, как известно, для доказательства
непротиворечивости системы аксиом нужно показать, что существует хотя бы одна
такая конкретная система объектов (модель), для которой исследуемая система
аксиом реализуется и получает вполне содержательный смысл. Это значит, что
доказательство непротиворечивости системы аксиом носит материалистический
характер. Не непротиворечивость системы аксиом определяет её истинность и
право на существование, а, наоборот, существование определённой области объектов^
реализующих систему аксиом, определяет её непротиворечивость.
317
Непротиворечивость системы аксиом той или иной математической теории
коренится в соответствии их с действительностью, в том, что математические
понятия и аксиомы являются абстракциями, отражениями в нашем мышлении
определённых сторон реального мира. Этим и ограничена наша свобода в выборе
аксиоматических систем.
Как бы ни были безразличны к особой качественной природе вещей
математические понятия и операции, они должны удовлетворять тому требованию, что
должна существовать хотя бы одна область объектов, в которой они
осуществляются. Уверенность в непротиворечивости системы аксиом имеет в конечном
счёте опытное происхождение. Критерием истины в математике, как и в любой
другой науке, является практика.
5. Об очевидности аксиом
Опыт показывает, что многие из оканчивающих среднюю школу имеют
превратные с научной точки зрения представления о сущности и роли аксиом. Очень
распространено убеждение, что аксиома — это предложение, принимаемое без
доказательства вследствие своей очевидности и крайней простоты. Следствием
такого понимания аксиом является неверная трактовка сущности и цели
доказательства в математике.
Источником таких превратных представлений часто является неправильное
освещение этих вопросов в учебниках геометрии и в процессе преподавания
математики. Такая точка зрения на аксиомы является отголоском воззрений,
господствовавших в течение огромной исторической полосы в развитии геометрии от
Евклида до XIX столетия. На протяжении многих веков в науке считалссь
несомненным, что непременным и неотъемлемым признаком аксиом является их
непосредственная очевидность, о чём неоднократно уже говорилось нами
в главе I.
Вполне понятно, что преподаватель математики должен иметь по этим
вопросам правильное научное представление.
Прежде всего остановимся на вопросе о роли очевидности в науке вообще
и в математике в честности.
В главе III (§ 2) говорилось о том, какую важную и незаменимую роль
играют очевидность, наглядность, чертёж, живое созерцание в математике.
Однако история науки и многие научные факты показывают, что одна
очевидность, одно чувственное познание, индукция не являются достаточным
основанием истины и без логической проверки, без теоретического анализа могут
привести иногда к ошибочным, обманчивым заключениям.
Это прежде всего объясняется известной неточностью,
расплывчатостью, неопределённостью наших ощущений. Но главное
заключается в том, что если мы будем руководствоваться только данными непосредственной
очевидности, то в нашем познании могут получить отражение лишь
несущественные, поверхностные стороны явлений, в силу чего эти
явления нам будут казаться не такими, каковы они в действительности, мы
получим обманчивую картину реального мира, застой в науке.
Достаточно хотя бы вспомнить, что противники Колумба и Коперника в сбоих
нападках на великих пионеров исходили из фактов непосредственной
«очевидности», когда опровергали возможность существования антиподов и еозможность
вращения Земли вокруг оси и вокруг Солнца. «Глаза—свидетели, что небо
обращается вокруг Земли в двадцать четыре часа!» — восклицал сподвижник
Лютера Меланхтон.
Что касается математики, то здесь обнаруживается слабость наших
непосредственных представлений и геометрической интуиции в двух отношениях. Во-
первых, наши наглядные представления и очевидность бессильны в тех вопросах,
которые связаны с бесконечными процессами и бесконечными множествами. Во-
вторых, они не в состоянии следовать за теми тончайшими конструкциями,
которыми так богата современная математика.
Так, наивный перенос очевидных свойств, присущих конечным множествам
318
и процессам, на бесконечные множества и процессы, какой, например, имел место
в XVIII столетии в учении о бесконечных рядах (переместительность и
сочетательность суммы), привёл к скандальному положению в математике. Это
положение было преодолено лишь в XIX столетии на путях строгой логической
разработки теории рядов.
Возьмём, далее, такие примеры. Можем ли мы наглядно представить себе,
что множество всех рациональных точек, обладая свойством плотности, в то же
время не заполняет сплошь никакого отрезка? Как ясно нарисовать себе всюду
непрерывную кривую, не имеющую нигде касательной?
Живое созерцание, наблюдение, опыт дают нам тот сырой материал и ту
ориентировку в изучаемых явлениях, без которых невозможно дальнейшее раз
витие познания материальной действительности. Но без теоретической обработки,
без абстрагирующей работы мышления и рационального отделения видимого,
случайного от существенного, без расчленения, классификации, обобщения и
проверки обобщений на практике — тот сырой материал, который доставляет
нам наблюдение и очевидность, мсжет привести к искажённому представлению
о действительности.
Ленинское положение о диалектическом пути познания «От живого
созерцания к абстрактному мышлению, а от него к практике» находит в приведённых
фактах из истории науки яркое подтверждение.
Перейдём теперь специально к вопросу об очевидности аксиом.
В старое время подразделение предложений геометрии на аксиомы и теоремы
носило абсолютный характер, причём в сюнове этого подразделения лежал
признак очевидности. Исходили из понимания аксиом, как предложений, которые
принимаются без доказательства в силу их очевидности и простоты. Но в таком
случае возникает вопрос, зачем доказываются такие предложения' геометрии,
которые не менее очевидны, чем принятые без доказательства аксиомы.
. Например, теоремы о том, что в равнобедренном треугольнике углы при
основании равны, что перпендикуляр короче наклонной или что сумма двух
сторон треугольника больше третьей стороны, весьма очевидны, однако они
доказываются, а не принимаются в качестве аксиом.
Из этих примеров видно, что признак очевидности, с
одной стороны, не является исключительным свойством
аксиом, но присущи многим теоремам геометрии, ас другой
стороны, как легко убедиться, он не является непременным
свойством аксиом.
В самом деле, можно заранее ожидать, что некоторые аксиомы могут быть
более сложными и менее очевидными, чем многие теоремы. Ведь аксиомы могут
служить основой, зародышем целой теории, теоремы которой выражают лишь част
ные факты, а потому, естественно, могут быть проще и очевиднее, чем лежащая
в основе теории аксиома. Например, аксиома непрерывности Дедекинда более
сложна и менее очевидна, чем основанные на ней теоремы о пересечении окружности
и прямой или двух окружностей.
Главное же заключается в том, что определение аксиом, как истин,
принимаемых без доказательства вследствие их очевидности, противоречит
аксиоматическому методу изложения геометрии, особенно
в современной его" форме и ведёт к неразберихе в системе предложений
геометрии.
В самом деле, если строго придерживаться указанного определения аксиом,
то теряется всякая почва для классификации предложений геометрии на аксиомы
и теоремы.
Признак очевидности настолько субъективен и расплывчат, что на
его основе нельзя установить чёткой грани между аксиомами и теоремами. То, чю
для одного человека является очевидным и простым, для другого можчт оказаться
вовсе не очевидным и сомнительным. Более того, то, что для меня сегодня
неочевидно, завтра может показаться очевидным. В таком случае система
геометрического изложения должна каждый раз перестраиваться вместе с субъективным
изменением геометрических знаний человека. В зависимости от этого число аксиом,
как очевидных истин, должно меняться от человека к человеку или для одного
и того же человека с течением времени.
319
Из сказанного, далее, следует, что при указанном определении аксиом
ломаются все принципы аксиоматического построения геометрии.
В самом деле, допустим, что мы составили перечень аксиом геометрии,
руководствуясь признаком их очевидности. Спрашивается, будет ли у нас гарантия,
ντο эта система не содержит внутренних противоречий?
Нетрудно убедиться, что такой гарантии нет. Не является ли, например,
достаточно очевидным утверждение, что существуют подобные треугольники.
Однако если мы присоединим это утверждение в качестве аксиомы к системе
аксиом геометрии Лобачевского, то, как известно, полученная таким образом
система аксиом несовместна.
Легко убедиться, что не обеспечиваются также требования
независимости и полноты системы аксиом. Мы, например, можем в основу теории
положить хоть тысячу очевидных аксиом и все же это не обеспечит полноты системы
аксиом. Может оказаться, что это множество аксиом не охватывает всех
необходимых и достаточных предпосылок для логического построения геометрии.
Наконец, вопрос об очевидности аксиом теряет всякий смысл,
если стать на точку зрения современного аксиоматического метода и рассматривать
основные понятия и аксиомы абстрактно, не связывая их с определённой областью
объектов, поскольку они могут иметь самые разнообразные истолкования.
Какой, например, может иметь смысл вопрос об очевидности аксиомы: «Две
точки определяют проходящую через них прям\ю», если заранее не указывается,
какие именно объекты следует понимать под словами «точкам, «прямая»,
«проходит через».
В тесной связи с вопросом об очевидности аксиом находится вопрос об их
доказуемости. Дело в том. что имеет распространение мнение, что аксиомы,
как самоочевидные истины, не только не нуждаются в доказательстве, но в силу
очевидности и простоты не могут быть логически доказаны, а основные
понятия не могут быть определены при помощи других понятий.
Такое понимание нуждается в существенной поправке. Известно, что при
составлении перечня аксиом геометрии мы в известных границах свободны в их
выборе. Мы можем заменить один перечень аксиом другим, лишь бы та и другая
системы аксиом были эквивалентны. Тогда в системе аксиом, входящих в первый
перечень, аксиомы второй системы могут быть доказаны, как теоремы, и, наоборот,
аксиомы первого списка могут быть доказаны, как теоремы, на основании аксиом
второй системы. Аналогичным является положение с вопросом об определяемости
основных понятий.
Таким образом, одно и то же предложение может
оказаться аксиомой или теоремой в зависимости от принятого
порядка изложения. При одном порядке изложения некоторые
предложения принимаются в качестве аксиом и не могут быть доказаны, как исходные
положения теории, а при другом порядке изложения они делаются доказуемыми.
Это значит, что деление предложений на аксиомы и теоремы
является в известных границах условным, а не абсолютным.
Конечно, если данная система независимых предложений уже принята в
качестве аксиом, лежащих в основе некоторой дедуктивной теории, то они
действительно не могут быть доказаны, но вовсе не потому, что они очевидны или
просты, а по совершенно другой причине. Причина их недоказуемости чисто
логическая: построение математической теории неизбежно приходится начинать
с каких-то исходных предпосылок, которые, раз уж их выбор сделан, не могут
быть сведены к другим при помощи логических рассуждений. Они не могут быть
доказаны, так как являются исходными, начальными для доказательства
всех других предположений теории, хотя сами могут быть и неочевидными.
Но аксиомы могут быть доказаны не только в случае замены их
эквивалентными предложениями. Можно указать еще один важный случай, когда аксиомы
превращаются в теоремы Мы имеем в виду проверку выполнимости аксиом
в той или иной интерпретации системы аксиом.
Так, в случае арифметической интерпретации геометрии Евклида, базируясь
на аксиомах арифметику мы доказываем, что аксиомы Гильберта выпол-
320
няются в этой интерпретации, т. е. являются следствиями аксиом арифметики
при надлежащем арифметическом истолковании основных понятий геометрии.
Точно так же, рассматривая модель Пуанкаре геометрии Лобачевского, мы
доказываем, что все аксиомы этой геометрии справедливы в этой модели и
превращаются в некоторые теоремы геометрии Евклида.
Во всех подобных случаях аксиомы одной дедуктисной науки превращаются
в теоремы другой теории, основанной на некоторой своей аксиоматической базе.
Примером сказанного может ещё служить сферическая геометрия, которая,
с одной стороны, может быть определена аксиоматически, а с другой, может
быть выведена на основе геометрии Евклида или геометрии Лобачевского, как
геометрия на сфере в евклидовом или гиперболическом пространстве.
Итак, единственно правильным определением аксиом является следующее.
Аксиомы — это утверждения, принимаемые без
доказательства в начале изложения математической теории, как
первоначальные, исходные в логическом построении всей
теории. Система аксиом должна удовлетворять требованиям
непротиворечивости и независимости.
Следует, однако, отметить, что мнение об аксиомах, как очевидных истинах,
имеет некоторое оправдание в том смысле, что при выборе системы аксиом, как
исходных предпосылок теории, мы, естественно, при прочих равных условиях
будем по возможности отдавать предпочтение таким предложениям, которые
представляются нам наиболее простыми и очевидными. Но это уже вопрос не определения
сущности аксиом, а вопрос практического удобства, продиктованный, например,
педагогическими соображениями или соображениями наибольшей простоты
дальнейшего изложения теории.
В соответствии с вышеизложенным решается и вопрос о сущности и цели
логического доказательства в математике. Если мы будем исходить из
определения аксиом как истин, не требующих доказательства вследствие их очевидности,
то неизбежно придём к мысли, что доказательство есть рассуждение, целью
которого является сделать неочезидное положение очевидным. Но, как уже
говорилось, тогда становится совершенно непонятным, для чего же доказываются
весьма очевидные положения. А отсюда уже недалеко до мысли, что простая
эмпирическая проверка математического предложения является достаточно
убедительной для признания его истинности.
В действительности доказательство есть рассуждение,
цель которого показать, что истинность данного
утверждения логически вытекает из истинности аксиом и
предыдущих теорем. Иначе говоря, цель доказательства — вскрыть логическую
зависимость математических предложений друг от друга и в конечном счёте от аксиом,
сделать очевидной логическую связь данного утверждения с аксиомами и
предыдущими теоремами. Поэтому, как бы ни казалась нам очевидной
данная теорема, она должна быть обязательно доказана,
т. е. должна быть показана её логическая неизбежность при принятых аксиомах.
Это тем более важно, что при изменении аксиоматической базы это «очевидное»
утверждение может оказаться совершенно неверным. Мы видели много примеров
этому при сопоставлении ряда теорем евклидовой и гиперболической геометрии.
ЛИТЕРАТУРА
Общие сочинения и учебники по основаниям геометрии
1. Каган В. Ф. Основания геометрии, ГТТИ, ч. 1, 1949, ч. II, 1956.
2. Гильберт Д. Основания геометрии, ГТТИ,' 1948.
3. Богомолов С. А. Основания геометрии, ГИЗ, 1923.
4. Вебер и Вельштейн. Энциклопедия элементарной математики, т. II, кн. 1,
Одесса, 1909.
5. Ефимов Н. В. Высшая геометрия, изд. 3, ГТТИ, 1953. '
6. Костин В. И. Основания геометрии, изд. 2, Учпедгиз, 1948.
7. Кутузов В. В. Геометрия Лобачевского и элементы оснований геометрии,
изд. 2, Учпедгиз, 1955.
«Начала» Евклида
1. «Начала» Евклида. Переводе греческого и комментарии Д. Д. Мор-
духай-Болтовского, ОГИЗ, 1948—1950.
2. Гейберг И. Л. Естествознание и математика в классической древности,
ОНТИ, 1936.
3. Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние века, ГТТИ,
1932.
4. Шереметевский В. П. Очерки по истории математики, Учпедгиз, 1940.
5. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей, т. II,
ГТТИ, 1934.
6. «Историко-математические исследования», вып. 1, 1948.
Н. И. Лобачевский, его жизнь и научная деятельность
1. Каган В. Ф. Лобачевский, изд. АН СССР, изд. 1, 1944, изд. 2 1948.
2. Каган В. Ф. Великий учёный Н. И. Лобачевский и его место в мировой
науке, изд. АН СССР, 1943.
3. Кольман Э. Великий русский мыслитель Н. И. Лобачевский, изд. 2.
ГИЗ, 1956.
4. Гнсденко Б. В. Очерки по истории математики в России, §8.
5. «Историко-математические исследования», вып. П, III, IV, IX.
322
Геометрия Лобачевского и развитие его идей
1. Н. И. Лобачевский. Полное собрание сочинений, под. ред. В. Ф. Каган,
т. I, II, III.
2. «Об основаниях геометрии». Сборник классических работ по геометрии
Лобачевского и развитию её идей, под ред. А. П. Нордена, ГТТИ, 1956.
3. Больяи Янош. Аппендикс, ГТТИ, 1950.
4. Успенский Я. Введение в неевклидову геометрию Лобачевского—Бояи, 1922.
5. Бальдус Р. Неевклидова геометрия, ГТТИ, 1933.
6. Норден А. П. Элементарное введение в геометрию Лобачевского, ГТТИ,
М., 1953.
7. Клейн Ф. Неевклидова геометрия, ОНТИ, 1936.
8. Лукьянченко С. Элементы неевклидовой геометрии Лобачевского —
Бояи, ГТТИ, 1933.
9. Букреев Б. Я. Планиметрия Лобачевского в аналитическом изложении,
ГТТИ, 1951.
10. Каган В. Ф. Лобачевский и его геометрия, ГТТИ, 1955.
11. Широков П. Α., К^ган В. Ф. Строение неевклидовой геометрии, ГТТИ,
1950.
12. Александров П. С. и Колмогоров А. Н. Николай Иванович
Лобачевский, ОГИЗ, 1943.
13. «Николай Иванович Лобачевский», изд. АН СССР, 1943.
14. Делоне Б. Н. Краткое изложение доказательства непротиворечивости
планиметрии Лобачевского, изд. АН СССР, 1953.
15. Богомолов С А. Введение в неевклидову геометрию Римана, ГТТИ,
1934.
16. Розенфельд Б. А. Неевклидовы геометрии, ГТТИ, 1955.
17. «125 лет неевклидовой геометрии Лобачевского», под. ред. А. П.
Нордена, ГТТИ 1952.
18. Яновская С. А. Передовые идеи Н. И. Лобачевского — орудие борьбы
против идеализма в математике, изд. АН СССР, 1950.
19. Математика, её содержание, методы и значение, т. III, гл. XVII,
изд. АН СССР, 1956.
20. Марков Н. В. Геометрия Н. И. Лобачевского и её философское
значение, «Вопросы философии», 1951, № 5.
Литература по отдельным вопросам оснований геометрии
1. Каган В. Ф. О преобразовании многогранников, Одесса, 1913.
2. Болтянский В. Г. Равновеликие и равносоставленные фигуры, ГТТИ,
1956.
3. Лопшиц А. М. Вычисление площадей ориентированных фигур, ГТТИ,
1956.
4. Фетисов А. И. О доказательстве в геометрии, ГТТИ, 1954.
5. Лоцман В. Теорема Пифагора, Физматгиз, 1960.
6. Перепёлкин Д. И. Курс элементарной геометрии, т. I, 1948.
7. Кутузов Б. В. Геометрия, Учпедгиз, 1950.
Статьи в журнале «Математика в школе»
1936 г., № 2. Иовлев. Очерки по геометрии Лобачевского.
1938 г., № 1—6. Депутатов. Основания геометрии.
1940 г., № 1. Хилькевич. Геометрия Н. И. Лобачевского.
1947 г., № 6. Делоне Б. Н. Неевклидова геометрия Лобачевского.
1948. г., № 2. Юшкевич. Математика и её преподавание в России в
17—19 вв.
1950 г., № 5. Дубнов Я. С. К истории постулата параллельности в связи
с практикой современного преподавания.
1950 г., № 1. Четверухин Η. Φ. О научных принципах преподавания геометрии
в советской школе.
1951 г., № 1. Дахия. Теорема Пифагора как эквивалент постулата Евклида.
1952 г., № 4. Тесленко. О неевклидовой геометрии в средней школе.
1954 г., № 4. Чистяков. Из опыта проведения математических вечеров
в девятых и деся!ых классах.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3
Введение 6
Глава первая
Исторический обзор развития оснований геометрии
§ 1. Развитие геометрии до Евклида 8
§ 2. «Начала» Евклида 17
§ 3. Попытки доказательства пятого постулата Евклида 39
§ 4. Исследования Саккери, Ламберта и Лежандра 46
§ 5. Доказательство эквивалентности некоторых предложений пятому
постулату Евклида 59
§ 6. Создание неевклидовой геометрии. Н. И. Лобачевский 63
Глава вторая
Очерк геометрии Лобачевского
§ 1 Абсолютная геометрия 71
§ 2. Аксиома Лобачевского. Параллельные и сверх параллельные
Лобачевского . 74
§ 3. Основные свойства параллельных Лобачевского ... .79
§ 4. О сумме углов треугольника и четырёхугольника. О подобии
треугольников ... 84
§ 5. Угол параллельности. Функция Лобачевского 86
§ 6. О взаимном расположении параллельных и расходящихся прямых . 90
§ 7. Пучки прямых в плоскости Лобачевского 95
§ 8. Окружность, орицикл, эквидистанта 99
§ 9. Прямые и плоскости в пространстве Лобачевского 105
§ 10. Сфера, орисфера, эквидистантная поверхность 109
| 11. Тригонометрия Лобачевского . . 117
§ 12. Элементы аналитической геометрии на плоскости Лобачевского.
Вычисление длин дуг, углов и площадей 142
§13. Значение геометрии Лобачевского 156
Глава третья
Аксиоматика Гильберта
§ 1. От Лобачевского до Гильберта ... 163
§ 2. Общая характеристика аксиоматики Гильберта 168
§ 3. Группа I. Аксиомы соединения 173
§ 4. Группа II. Аксиомы порядка 177
§ 5. Группа III. Аксиомы конгруэнтности 186
§ 6. Группа IV. (По Гильберту V.) Аксиомы непрерывности 202
§ 7. Группа V. (По Гильберту IV·) Аксиома параллельности ..;... 214
325
Глава четвёртая
Теория измерения геометрических величин
§ 1. Измерение отрезков 217
§ 2. Измерение углов 227
§ 3. Теория площадей простых многоугольников в геометрии Евклида . . 228
§ 4. Теория площадей простых многоугольников в геометрии Лобачевского 245
§ 5. Об измерении объёмов простых многогранников в геометрии Евкли
да. Понятие о теореме Дена — Кагана 253
Глава пятая
Общие вопросы аксиоматики геометрии
§ 1. Инверсия ... 255
§ 2. Интерпретация Пуанкаре планиметрии Евклида в системе
окружностей параболической связки 262
§ 3. Требования, предъявляемые к системе аксиом 266
§ 4. Исследование непротиворечивости геометрии Евклида 267
§ 5. Исследование независимости гксиом 282
§ 6. Доказательство независимости аксиомы параллельности V и
непротиворечивости геометрии Лобачевского 285
§ 7. Некоторые другие интерпретации гиперболической планиметрии . . 296
§ 8. Полнота системы аксиом 302
§ 9. Понятие об эллиптической геометрии Римана 308
§10. Аксиоматический метод в философском освещении 314
Литература 322
Яков Львсвич Трайнин
ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
Редактор Г. С. Уманский
Переплет художника В. 7\ Сидоренко
Художественный редактор Б. Л. Николаев
Технические редакторы
И. Г. Крейс и В. И. Корнееча
Корректор К. А. Иванова
* # *
Сдано в набор 26/XI 1960 г. Подписано
к печати 5/V 1961 г. 60x92Vl6 Печ. л. 20,5
Уч..изд. л. 22,52 Тираж 30 т. экз. А05412.
Заказ № 578.
* * *
Учпедгиз,
Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41
Типография изд-ва «Уральский рабочий»,
Свердловск, ул. имени Ленина, 49.
Цена без переплета 68 коп. Переплет 8 коп.