Ю. П. Дудницын
ГЕОМЕТРИЯ
РАБОЧАЯ ТЕТРАЛЬ
яiКласс
Пособие для учащихся общеобразовательных учреждений
8-е издание
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ 2011
УДК 373.167.1:514
ББК 22.151я72
Д81
Рабочая тетрадь является дополнением к учебнику «Геометрия, 7—9» А.В. Погорелова и предназначена для организации самостоятельной работы учащихся, направленной на усвоение ими основных теоретических фактов и практических умений в процессе решения задач.
Условные обозначения:
— упражнение, обязательное для всех учащихся
О	— определение
А	— аксиома
Тс — теорема, выражающая свойство фигуры Тп — теорема, выражающая признак фигуры Точка — новый термин
— необходимый справочный материал
ISBN 978-5-09-025742-8
© Издательство «Просвещение», 2001 © Художественное оформление.
Издательство «Просвещение», 2001 Все права защищены
Геометрия — это наука о свойствах геометрических фигур
Основные свойства простейших геометрических фигур
1. Геометрические фигуры
2. Точка и прямая
Основные геометрические фигуры — точка и прямая.
Точки обозначают буквами А, В, С, В, В, В, М, Ку Р, ..., прямые обозначают буквами a, b, с9 d9 т9 l9 k9 ... .
Запишите под каждым из рисунков название изображенной на нем
фигуры.
Обозначьте буквами фигуры, изображенные на рисунках.
Точки ....
и.....
3
4
Проведите прямую а через данные две точки.
Через точки Aw В	Через точки EuD		Через точки Р и Т
А	• Е	М	• р
В •		•	т •
с	К	D	м
Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
4
5
Проведите прямые через каждую пару данных точек. Сколько таких прямых существует?
А
в
9
.В
С
а)
Ответ.
б)
а)		 прямых;
б)	................ прямых.
6
Перечислите все данные на рисунках точки, которые принадлежат:
1)	прямой а;
2)	прямой Ь;
3)	прямой с.
Ответ.
а)	1) Прямой а принадлежат точки .........................
2)	прямой b принадлежат точки .......................
б)	1) Прямой а принадлежат точки .........................
2) прямой b принадлежат точки .......................
3) прямой с принадлежат точки .......................
5
На рисунках к задаче 6 найдите точки, которые принадлежат двум прямым.
Ответ.
а) Прямым ...........и .........принад- б) Прямым .и .принадлежит точка ........................................ лежит	точка .
Прямым .....и ......принад-
лежит точка ...
Прямым ........и ...принадлежит точка ........
8
Начертите прямую и отметьте три точки, две из которых лежат на этой прямой, а третья не принадлежит ей.
9
Начертите две пересекающиеся прямые и два отрезка, концы которых лежат на этих прямых.
10
Проведите через точку М прямые а и Ь, которые пересекают прямую с. Лежат ли точки их пересечения и точка М на одной прямой?
Ответ...........................
11
Начертите отрезки АВ и ВС, которые не лежат на одной прямой. Проведите прямую АС. Как расположены прямая АС и точка В?
Ответ. Точка В ................
...................... прямой	АС.
6
12
Сколько прямых, точек, отрезков изображено на рисунках?
Ответ, а) Прямых точек ..;
отрезков ..
в) Прямых ....
точек . ;
отрезков ...
13
Как расположены на рисунке данные фигуры?
Ответ.
1)	Прямые а и b ................
2)	прямая а и отрезок AD .......
3)	точки А, В и М ..............
прямой Ь;
4)	отрезки КС и ВМ .............
5)	точки В, К и С ..............
......................одной прямой.
3.	Отрезок
4.	Измерение отрезков
14
В каждой тройке точек, лежащих на одной прямой, найдите точку, которая лежит между двумя другими точками.
7
Ответ.
а)	Точка .. лежит	между точками ... и	..; точка .. лежит
между точками .... и	...
б)	Точка .. лежит	между точками ... и	..; точка .. лежит
между точками .... и	...
в)	Точка   лежит между точками   и  ; точка   лежит между точками .... и	...; точка ... лежит	между точками .. и
...; точка ... лежит	между точками .... и	...
Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
Каждый отрезок имеет определенную длину.
Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
МК==5см МК-МР + РК
15
Отметьте точки А и В. Проведите прямую АВ. Отметьте точку С, лежащую между точками А и В. Отметьте точку К, лежащую между точками В и С.
16
Отметьте на рисунке точку, которая лежит между точками:
1)	А и В;
2)	В и С;
3)	А и С.
8
Отметьте точку, которая лежит между точками:	к
1)	К и А;
2)	М и В;
3)	А и М;
4)	К и В.	А
М
В
1»
Измерьте длины всех отрезков, изображенных на рисунках. Вычислите сумму двух меньших. Сравните ее с длиной большего отрезка.
Решение.
а)	АВ = ...  ВС	= ...... б) МР = ......., РК = ......
АС = ...., АВ + ВС = ...... КМ = ....., МР+РК =....,
АВ + ВС..АС.	МР + РК...МК.
20
Дано: АС = 2,1 см, ВС = 1,8 см. Вычислите расстояние между точками А и В.
Решение.
АВ = АС... СВ =
Ответ. АВ =
9
Дано: КР = 3,6 см, МР = 2,1 см. Вычислите длину отрезка МК.
Решение.
МК = КР. МР =....
Ответ. МК =......
22-----------------------------------------------------------------
Точки К, М9 Р лежат на одной прямой. МК = 8,7 см, МР = 3,1 см, КР = 5,6 см. Какая из точек лежит между двумя другими?
Решение. Вычислим сумму меньших расстояний.
МР 4- КР = 3,1 см 4- 5,6 см = 8,7 см = МК.
Следовательно, точка Р лежит между точками М и К.
23----------------------------------------------------------
Точки А, В, С лежат на одной прямой. ВС = 12,3 см, АС = 18,4 см, АВ = 6,1 см. Какая из этих точек лежит между двумя другими?
Решение......... 4-.... =.............. 4-............. =
=............ =...... Следовательно,	точка .... лежит между
точками ..... и....
24-------------------------------------------------------------
Даны точки Е9 F, Т . Известно, что EF = 13,8 см, ЕТ = 23,2 см, FT= = 9,4 см. Лежат ли эти точки на одной прямой?
Решение. EF 4- FT =............ 4-........... =	...........,
т. е. EF 4- FT.. ЕТ. Следовательно, точки В, F, Т .............
на одной прямой.
25-------------------------------------------------------
Даны точки М, Р и К. Известно, что РК = 18,6 см, МР = 8,6 см, МК = 10 см. Есть ли среди данных точек одна, которая лежит между двумя другими?
Решение...............................................
Ответ.
10
26----------------------------------
Используя линейку с делениями, отметьте точки К, М и Р так, чтобы КМ = 3,6 см, МР = 2,4 см, КР = 6 см.
27
Используя линейку с делениями, изобразите различные варианты расположения точек К, М и Р на прямой а, если известно, что КМ = 3,8 см, МР =1,3 см. Для каждого варианта вычислите длину отрезка КР.
Ответ, а) КР =............
б)	КР =............
б)
28
Точка А лежит между точками В и С. ВС = 6,4 см, АС = 2,8 см. Точка К — середина отрезка АВ. Сделайте рисунок и вычислите расстояния от точек В и С до точки К.
Ответ. ВК =...........
СК =...........
29
Точка В лежит между точками А и С, точка D — между точками А и В, причем АС = 5,6 см, AD = ВС = 2,2 см. Сделайте чертеж и вычислите расстояние между точками В и В.
Решение. AD 4- ВС =....... = ...
BD = АС — (.... +........)	=......
Ответ.......................
30
Дано: АВ = 36 см. Е и К — середины отрезков АС и BD. АЕ 4- КВ = = 14 см. Вычислите длину отрезка CD.
11
Решение.
ЕС + KD =
АС + BD = .
CD=AB — (.
Ответ
5. Полуплоскости
А | Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
31
Перечислите все отмеченные на рисунке точки, которые лежат в:		А	м
1) полуплоскости ах;	а		• к
2) полуплоскости а2. Ответ.	а2	С	л
1) 				•В
2) 				
32
Перечислите все отрезки, концы которых принадлежат:
1) одной полуплоскости (аг или а2);
2) разным полуплоскостям.
Ответ.
1)................;................
2).................................
33
Начертите отрезки МР и МК. концы
которых М и К лежат в разных полупло-	е
скостях, а Р и К — в одной полуплоско-	М	а.
сти-	«1	-----------а2
12
34
Начертите отрезки АВ и ВС, концы которых А и В лежат в одной полуплоскости, а В и С — в разных полуплоскостях.
35
Проведите прямую т так, чтобы точки А и В лежали в разных полуплоскостях, а точки А и С — в одной полуплоскости.
36
Проведите прямую I так, чтобы точ-	р
ки Р и К лежали в одной полуплоскос-
ти, а точки К и Т — в разных полуплоскостях.	#
37
Заполните пропуски таким образом, чтобы полученное утверждение было верным:
1) если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то этот отрезок .................. данную	прямую;
2) если концы отрезка лежат в одной полуплоскости, то этот отре-
зок ................  данную	прямую.
38
Начертите все отрезки, концами которых являются данные точки, так, чтобы они:
1) пересекали прямую с;
2) не пересекали прямую с.
13
39
Постройте на прямой I точку, которая лежит между точками:
1)	А и D;
2)	А и С;
3)	В и D.
40
Существует ли на прямой а точка,	.	.
которая лежит между точками:	К	?
1)	М и Р;
2)	М и Т;	------_
3)	F и К;	М *Т
4)	Р и Т?
Ответ. 1) ......................; 2) ......................;
3).......................; 4).......................
6. Полупрямая
Полупрямая (луч) — часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной ее точ-
ки.
41
Перечислите все данные точки прямой а, которые лежат по одну
а) ................................;	б) ................................
14
42
Перечислите точки, отмеченные на рисунке, которые:
1) принадлежат лучу AM;
2) не принадлежат лучу AM.
Ответ. 1) .................
2) .................
43
Отметьте на прямой а три точки, которые лежат по ту же сторону от точки О, что и:
1) точка В;
2) точка А.
44
Сколько полупрямых изображено на каждом рисунке?
а)	б)
Ответ, а) .................
б) .................
45
Начертите луч с началом в точке В, .	в
который проходит через точку: 1) А; 2) С. А Запишите их обозначения.
Ответ. 1) Луч ..............
2) Луч ..............
46
Найдите на рисунке дополнительные полупрямые. Запишите их обозначения.
Ответ............. ......
15
47
Найдите на рисунке две пары дополнительных полупрямых. Запишите их обозначения.
Ответ.
Полупрямые ........ и ........;
полупрямые ...... и	.....
48
Проведите луч с началом в точке ЛГ, пересекающий прямую I. Сколько таких лучей можно провести?
Ответ. .......................
7. Угол
О	Угол — это фигура, которая состоит из точки (вершины угла) и		В
	двух различных полупрямых, исходящих из этой точки (сто-		
	рон угла).	ZBAC	
49
Какие из данных точек:
1) принадлежат данному углу;
2) не принадлежат данному углу?
Ответ.
1) ................
2) ................
50
Отметьте на рисунке:	&
а)	по две точки на каждой стороне угла;
б)	три точки, которые не принадлежат данному углу.
16
51---------------------------------
Найдите на каждом рисунке луч, который проходит между двумя другими лучами.
Ответ.
а)	Луч ......... проходит	между
лучами ......... и	.........
б)	Луч ......... проходит	между
лучами ......... и	.........
52-------------------------------------
Начертите углы: 1) АВС; 2) ВСА.
Укажите их вершины и стороны.
Ответ.
1) Вершина ...,	стороны .... и
2) Вершина ...,	стороны .... и
53---------------------------------
Начертите два луча, исходящие из точки О, один из которых проходит между лучами а и Ь, а другой — между лучами b и с.
54
Сколько углов изображено на рисунке? Какой из них является развернутым углом?
Ответ. .......угла, развернутый —
угол ......
В
55
Проведите луч между лучами:
1)	АВ и АС;
2)	АВ и построенным лучом;
3)	АС и первым построенным лучом.
а
/7
А	Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Градусная мера развернутого угла равна 180°.	А/		М__*Р к
		О ZAOB=83° В	ZMPK=180°
56
Измерьте с помощью транспортира данные
углы. Запишите их
градусные меры.
.....	в) /.OFT-.....
Измерьте с помощью транспортира данные углы. Запишите их градусные меры.
58
Измерьте с помощью транспортира все углы, изображенные на рисунке. Запишите их градусные меры. Запишите соотношение между ними в виде равенства.
Ответ.
18
59
Оцените на глаз градусную меру каждого угла. Сравните ее с 90° или 180°. Запишите полученный результат:
Проверьте правильность оценки с помощью измерений.
Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
62
Дано: точка О лежит между точками А и В, АСОА = 56°. Вычислите градусную меру угла СОВ.
Решение. ААОВ = ААОС......АСОВ,
ААОВ = 180° (по условию).
Значит, АСОВ = ААОВ ..... АСОА	=
Ответ. ........
В
63
Угол МКТ равен 50°. Угол РКМ на 15° больше угла МКТ. Вычислите гра- Т дусную меру угла ТКР.
Решение. АРКМ = AM КТ -I- 15° (по условию), поэтому АРКМ = ..........+
АМКР =
АТКР = АТ КМ
Ответ. АТКР =
641------------:-----------------
Угол СОЕ равен 130°. Луч ОА проходит между сторонами этого угла. Вычислите градусную меру каждого из образовавшихся углов, если угол АОЕ в 5 раз меньше данного угла.
Решение. .....................
Ответ. .......................
20
65
АРМК =150°. Угол KMT на 30°
меньше угла РМТ. Вычислите градусные
меры углов РМТ и KMT.	М	К
Решение. Пусть АКМТ = х°, тогда	s' \
АРМТ = (х 4- 30)° (по условию). АРМК =	s''	\
= Z.PMT + ^ТМК= (х + 30)° + х°. Так Ps'	\
как АРМ К = 150° (по условию), соста-	\
вим уравнение х + 30 + х = 150. Полу-	\ у1
чаем 2х + 30 = 150, 2х = 120, х = 60.
Ответ. АКМТ = 60°, АРМТ = 90°.
66
А АВС = 168°. Угол СВМ в 2 раза меньше угла АВМ. Вычислите градусную меру меньшего из данных трех углов.
Решение. Примем градусную меру меньшего угла за х°, т. е. АСВМ = х°. Тогда ААВМ = 2х° (по условию). А АВС = = ААВМ......АМВС = 2х°..... х°	= Зх°.
Составим уравнение Зх = 168. Получим х = ........
Ответ.
67
Луч ВК проходит между сторонами угла АВС. Меньший из трех образовавшихся углов равен 50°. Он на 75° меньше наибольшего из этих углов. Вычислите градусные меры двух неизвестных углов.
Решение. .....................
Ответ. ............; .........
21
68
ZMP2T=160°. Градусные меры углов MPF, FPT и ТРК пропорциональны числам 3, 7 и 6. Вычислите градусную меру меньшего из углов.
Решение. Пусть Z_MPF= Зх°, тогда Z_FPT= 7х°, АТРК = 6х°, AMPK=AMPF + + AFPT -I- АТРК = Зх° 4- 7х° 4- 6х° = = 16х°. Составим уравнение 16х =.,
х =....
Следовательно, градусная мера меньшего угла равна 3-..°=....°.
Ответ............
69
Луч ВК проведен между сторонами угла АВС, равного 156°. Между сторонами угла КВС проведен луч ВМ. Градусные меры углов АВК, КВМ и МВС пропорциональны числам 5, 4 и 3. Вычислите градусные меры этих трех углов.
Решение.....................
Ответ............;.........;
8. Откладывание отрезков и углов
На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.
22
70
Отложите на луче h отрезки АВ, AC	h.
и АВ, длины которых равны соответст-венно 2 см, 3 см и 4,5 см.
1)	Вычислите устно расстояние меж-ду точками: а) В и С; б) В и D.	А
2)	Какая точка лежит между точками: а) В и D; б) А и С?
Ответ. 1) а) ........; б) ........;	2) а) ...;	б).....
71
Отложите на прямой а от точки М отрезки: МК и МР, длины которых равны 1,3 см; МТ, равный 2,1 см.
Вычислите устно расстояние между точками: 1) К и Р; 2) К и Т (рассмотрите два случая их расположения относительно точки М).
Перечислите точки, лежащие между точками: 3) К и Р; 4) М и Т (рассмотрите два случая).
Ответ. 1) .....;	2) а)......; б) .
3)		;	4) а).........; б)...........
От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.
72
Отложите от луча ОА в полуплоскость а угол АОВ, равный 50°, и угол АОС, равный 70°.
1) Какой из трех лучей лежит между двумя другими?
2) Вычислите устно градусную меру угла ВОС.
Ответ: 1) .........;	2) ..........
23
73
Отложите от луча КР в разные полуплоскости угол МКР, равный 80°, и угол ТКР, равный 60°.
1) Какой из трех лучей проходит между двумя другими?
2) Вычислите устно градусную меру угла МКТ.
Ответ.
1)...............................
2) ..............................
74
Сколько существует точек на луче, которые удалены от его начальной точки на заданное расстояние?
Ответ.
75
Сколько существует точек на прямой, которые удалены от данной на ней точки на заданное расстояние?
Ответ.
76
Сколько существует лучей в данной полуплоскости, которые образуют с данным лучом угол с заданной градусной мерой (меньшей 180°)?
Ответ.
77
Сколько существует лучей, которые образуют с данным лучом угол с заданной градусной мерой (меньшей 180°)?
Ответ.
24
9. Треугольник
10. Существование треугольника, равного данному
На каком из приведенных рисунков изображен треугольник? Обозначьте его вершины и запишите обозначение треугольника.
Ответ. ......................... изображен	на рисунке ......
79
Перечислите все треугольники, изображенные на каждом рисунке.
25
80
Начертите треугольник АВС. Перечислите все его: 1) вершины; 2) стороны. Ответ.
1) Вершины — ..................
2) стороны — ..................
81
Вычислите периметры данных треугольников.
Ответ.
а) Вавс = .....5	б) Рмрк = ....;
в) = ..........;	г) Р_ = ........
82
Перечислите все треугольники, вершиной которых является точка А.
26
83------------------------------------------------------------
Вычислите периметр треугольника МКР, если о его сторонах известно, что МК = 18 см, КР на 2 см больше стороны МК, а МР на 4 см больше МК.
Ответ. Р = ..........
84----------------------------------------------------------------
Периметр треугольника АВС равен 38 см, сторона АВ = 13 см. Сторона ВС на 5 см больше стороны АС. Вычислите длины неизвестных сторон данного треугольника.
Решение. Пусть ВС = х см, тогда АС = (х— 5) см (по условию). Периметр треугольника будет равен (13 + х + х — 5) см. По условию периметр равен 38 см, и мы можем составить уравнение 13 + х + (х — 5) = = 38. Решаем его: ...........................  х	= ...... Значит,
ВС = 15 см, АС =(15 — 5) см = 10 см.
Ответ. ВС = 15 см, АС = 10 см.
85
Периметр треугольника CDE равен 55 см. Сторона СЕ на 1 см больше стороны CD и на 2 см меньше стороны DE. Вычислите длины
всех сторон данного треугольника.
Решение. Пусть СЕ = х см, тогда CD = (....) см, DE = (....) см.
Периметр треугольника будет равен (............) см. По условию
периметр равен 55 см, и мы можем составить уравнение ...................=	.... , откуда ........
Следовательно, СЕ = ....см, CD = .....см, DE = .....см.
27
0 I Два отрезка равны, если они I имеют одинаковую длину.
0 I Два угла равны, если они име-I ют одинаковую градусную меру.
Треугольники равны, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны.
28
90
Найдите на рисунке равные треугольники. Запишите найденные
пары.
91
Начертите:
а)	две пары равных отрезков;
б)	две пары равных углов;
в)	два равных треугольника.
29
92
Даны длины нескольких отрезков: АВ = 36 мм, CD = 2,5 см, EF = = 4,1 см, КМ = 3,6 см, РТ = 24 мм, OQ = 41 мм. Найдите пары равных отрезков.
Ответ..........................
93
Даны градусные меры нескольких углов: АА = 63°, АВ = 29° 30', АС = 121°, AD = 63°, АЕ = 29° 30', AM = 120° 55'. Найдите пары равных углов.
Ответ........................
Дано: АМКР = ABDC. Отметьте на рисунке равные элементы этих треугольников.
30
96
Дано: ACEF = АКРТ. Найдите градусные меры углов треугольника КРТ.
Ответ.
97
Дано: &ABC = i±EFD. Найдите длины сторон треугольника DEF.
Ответ.
DE =.... ,	EF=......
DF =......
98
1) Дано: &MKR = &POF. Найдите величины элементов треугольника POF, соответствующих данным элементам треугольника MKR.
2) Дано: &АВС = &PQR. Найдите величины элементов треугольника АВС, соответствующих данным элементам треугольника PQR.
Ответ.
1) АВ=.......,	ВС=........,	АВ=........
2) .....................................
99
Дано: ACDE = APFM.
Используя данные на рисунке длины сторон треугольников, вычислите их периметры.
Ответ. Р CDE • • • Р PFM = .....
31
100
Дано: ДАВС = ДТЛГК, ZA=72°, ZC=53°, AM = 55°. Найдите градусные меры остальных трех углов данных треугольников.
Ответ. А......= ........,	А.....= ........, А.....= .........
101
Сколько пар равных элементов двух треугольников нужно найти для того, чтобы стало верным утверждение об их равенстве?
Ответ. .................
102
Даны равные треугольники. Используя равенство отмеченных на рисунке сторон, найдите равные углы треугольников. Запишите равенство данных треугольников.
Решение. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Так как ВС = AD (по условию), то АСАВ = A ABD. Сторона АВ — общая для данных треугольников, поэтому ААСВ = = AADB. По условию треугольники равны, значит, и третья пара их сторон — равные стороны, т. е. СА = BD. Следовательно, АСВА = = ADAB.
Ответ. А
А АВС = Д.....
103
Внимательно прочитайте задачу 102 и ее решение.
Даны равные треугольники. Используя равенство отмеченных на рисунке сторон, найдите равные углы треугольников. Запишите равенство данных треугольников.
Решение. .......................
Ответ. ..................................................
32
Начертите треугольник, равный треугольнику АВС, так, чтобы одна его сторона была отложена на луче а от его начала, а вершина, соответствующая точке А, лежала в полуплоскости а1л Запишите равенство этих треугольников.
Ответ.
а)	ДАВС = А.......
б)	ДАВС = Д.......
11.	Параллельные прямые
2 Дудницын
33
106---------------------------------------------------------
Начертите две пары параллельных прямых и одну пару пересекающихся прямых.
107
Проведите через точку А прямую, параллельную прямой Ь, и через точку В прямую, параллельную прямой а. Как расположены проведенные прямые?
Ответ.
Прямые .... и .................
34
108
Дано: прямые а и Ъ параллельны.
Как расположены прямые b и с?
Ответ.
а
Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.
109
С помощью линейки и чертежного угольника постройте прямую, проходящую через точку А и параллельную данной прямой /.
110
Сколько существует прямых, параллельных данной прямой?
Ответ..........................................
111
Сколько существует прямых, пересекающих данную прямую?
Ответ..........................................
112
Прямые а и b параллельны. Существуют ли на прямой Ъ две точки, которые расположены в разных полуплоскостях относительно прямой а?
Решение. Если такие точки существуют, то отрезок, концами которого они являются, ................... прямую а. Значит, и
прямая b ....................... прямую	а. Но по условию они
параллельны. Поэтому такие точки ..................
Ответ......................
35
12.	Теоремы и доказательства
13.	Аксиомы
О	Теорема — это утверждение (о свойстве той или иной геометрической фигуры), справедливость которого устанавливается путем рассуждений (доказательства).
Формулировка теоремы обычно состоит из условия (что дано) и заключения (что требуется доказать).
О	Аксиома — это утверждение, справедливость которого принимается без доказательства (основные свойства простейших геометрических фигур).
113-------------------------------------------------------
Как называют две части формулировки теоремы?
Ответ............. ; ..................
ТПГ-------------------------------------------------------
Как называют рассуждения, с помощью которых устанавливают справедливость данного утверждения?
Ответ.................
7ТГ-------------------------------------------------------
Найдите в учебнике формулировку аксиомы о расположении трех точек на прямой. Прочитайте ее. Как расположены три точки, если одна из них лежит между двумя другими?
Ответ. Три точки ......................................
Тй--------------------------------------------------------
Найдите в учебнике формулировку основных свойств измерения отрезков. Прочитайте ее. Запишите два утверждения, которые содержит эта аксиома.
1)		
2)	....................................................
36
117------------------------------------------------------------
1)	Можно ли провести прямую, на которой лежат две данные точки?
2)	Найдите в учебнике аксиому, на основании которой получен ответ к задаче 1). Сколько таких прямых можно провести?
3)	Сколько утверждений содержится в этой аксиоме?
Ответ. 1) ...........;	2) ...........;	3) ..........
118-------------------------------
Сколько прямых задают три данные точки?
Решение. Точки А, В, С не лежат на одной прямой. Через каждую пару точек можно провести ........ пря-
мую. Все эти прямые различны. Значит, точки А, В, С задают...... прямые.
Проведите их на рисунке.
В
119
Дано: АВОС= 25°, Z. АОС = 52°.
Вычислите градусную меру угла АОВ (поясните решение).
Решение. Луч ОС проходит ...
.............Z	АОВ = Z АОС + Z. ВОС
(по аксиоме об ....................).
Следовательно, А АОВ =.....°	+....°	=
Ответ.

Смежные и вертикальные углы
14.	Смежные углы
Смежные углы — это углы, одна сторона которых общая, а две другие являются дополнительными полупрямыми.
AABD и ACBD - смежные
37
120
На каком из рисунков изображены смежные углы?
а)
Ответ.
121
Начертите три пары смежных углов. Выделите в каждом случае общую сторону этих углов.
																										
																										
																										
																										
																										
																										
																										
																										
																										
122
Начертите угол, смежный с данным углом, используя линейку.
Сколько углов, смежных с данным углом, можно построить?
Ответ...................
38
124
Углы А и В смежные. Угол А на 50° больше угла В. Вычислите их градусные меры.
Решение. Пусть ZB = x°, тогда АА = (....... 50)°. По условию
углы А и В смежные. Следовательно, их сумма ........... 180°.
Составим уравнение х 4- (..... 50)	= 180, откуда .......... ,
х = ........
Ответ. АА = .........°, ZB = .....°.
125
Углы М и К смежные. Угол К на 24° меньше угла М. Вычислите градусные меры данных углов.
Решение..............................................
Ответ. AM =.........°,	АК = .......
126
Углы О и Р смежные. Угол О в 5 раз больше угла Р. Найдите градусные меры данных углов.
Решение. Пусть АР = х°, тогда ZO = 5x°. По свойству ......
углов их сумма равна .......... Составим	уравнение х + 5х = 180,
откуда ........... ,	х = .......
Ответ. АО = ........°,	АР = .........
127
Углы КОМ и МОР смежные. Угол КОМ в 8 раз меньше угла МОР.
Найдите градусные меры данных углов.
Решение.................................................
Ответ. АКОМ = .........°, АМОР =
39
128-------------------------------------------------------
Градусные меры смежных углов С и Е пропорциональны числам 4 и 5. Вычислите их градусные меры.
Решение. Пусть ZC = 4х°, тогда Z_E= 5х°. По свойству смежных
углов их сумма ................... Составим уравнение 4х 4- 5х = 180,
откуда ...................,	х = 20. Таким образом, Z.C = 4 • 20° = 80°,
=..• 20° =.....°.
Ответ. Z.C = 80°, АЕ =............°.
~129------------------------------------------
Градусные меры смежных углов Р и Т пропорциональны числам 8 и 7. Найдите градусные меры этих углов.
Решение.....................................
Ответ. ZP =.....
ZT =.......
Тзо-------------------------------------------
Дано: AABD = 110°, АКВС = 130°.	/р
Найдите градусную меру угла KBD.	/
Решение......................... \	/
......................................... АВС
Ответ. AKBD = .......°	.
Чз?-------------------------------------------
Вычислите градусную меру угла COD. Решение. Углы АОВ и ВОС смежные, значит, Z.BOC=	 А Углы ВОС и COD	 Следовательно, ACOD =	 Ответ. ACOD = 	°.	\В 65°Л	С о\ А
40
132--------------------------------------------------------
Вычислите градусную меру угла О, если сумма двух смежных с ним углов равна 160°. (При необходимости воспользуйтесь рисунком к задаче 131.)
Решение..................................................
Ответ. ZO = ........
133
Сумма градусной меры угла А и двух смежных с ним углов равна 210°. Сделайте рисунок и вычислите градусную меру угла А.
Решение. Сумма угла А и одного смежного с ним угла равна Поэтому второй угол равен Значит, А А = ......=
134
Вычислите градусные меры углов СВА и CAD.
Решение......................
Ответ. АСВА = ........°,	ACAD =
135
Дано: ABCF = ABAD.
Докажите, что АВСА=-~ ABAC.
Доказательство.
Углы ВСА и BCF ............... Следовательно, АВСА= ............ Углы
ВАС и BAD ............Следовательно,
ABAC = ............ По условию
ABCF = ABAD. Поэтому равны углы .......... и	.........
41
136
Начертите на клетчатой бумаге с помощью линейки два смежных угла, один из которых равен 135°.
Q I Прямой угол — это угол, рав-I ный 90°.
0 I Острый угол — это угол, мень-I ший 90°.
Тупой угол — это угол, больший 90° и меньший 180°.
137
Запишите названия углов, изображенных на рисунке, оценив на глаз их градусные меры.
138
Каким углом является угол, смежный с углом: 1) острым; 2) тупым; 3) прямым?
Ответ. 1) ...................
2) ..................
3) ..................
42
Какие углы могут образоваться, если провести луч между сторонами прямого угла?
Ответ............................
Ч7Т--------------------------------------------------------------
Какие углы могут образоваться, если провести луч между сторонами угла: 1) тупого; 2) развернутого?
Ответ. 1) ..................... ;	.....................
2)...................... ;......................
15.	Вертикальные углы
Вертикальные углы — это углы, у которых стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого.
142
Найдите на рисунках пары вертикальных углов. Запишите их.
43
143
Начертите с помощью линейки угол, вертикальный с данным углом.
а)	б)
146
Найдите на рисунках все пары вертикальных углов. Запишите их.
Ответ.
а)		и ......, .....и ........ ...
и ....
б)	....и ..........   и	....... ...
и ........    и	....
44
Тс
Вертикальные углы равны.
147
Один из углов, образованных при пересечении прямых а и Ь, равен 130°. Вычислите градусные меры других углов.
Решение. В условии дана градусная мера тупого угла. Таких углов два — это Z.1 и Z.3. Они равны (по свойству вертикальных углов).
Значит, Z.1 = Z.3 = 130°. Угол 2 является смежным с углом 1, поэтому Z2 = 180° — ......... = ........... Z4	и Z2 — вертикальные.
Поэтому Z.4 = Z2 = ....... (по	свойству вертикальных углов).
Ответ. Z.1 = Z.
...........°,	Z.2 = Z
148
Ответ. Z1 = ..... ,	Z2 = .... ,	Z.3 = .... ,	Z.4 = ....
149
Сумма двух вертикальных углов равна 90°. Во сколько раз один из них меньше смежного с ними угла? (Решите задачу устно.)
Ответ..................
45
150
Дано: ААОТ = 90°, ААОМ = 44°. Вычислите градусные меры углов ТОК и МОР.
Решение......................
Ответ. АТОК = .........°,	АМОР =..........
16.	Перпендикулярные прямые
18. Биссектриса угла
О	Перпендикулярные прямые — это прямые, которые пересекаются под прямым углом.	ь а	-|90°	
			
151
Используя чертежный угольник, проведите прямую, перпендикулярную прямой а, через:
1) точку А;
2) точку В.
152
Докажите, что прямые, на которых лежат лучи ОВ и ОС, перпендикулярны.
Доказательство. Вычислим градусную меру угла ВОС. Углы АОВ и BOD смежные, следовательно, Z-BOD = = 180° — 120° = 60°. Луч OD проходит между сторонами угла ВОС, поэтому Z.BOC = 60° 4- 30° =...°, т. е. угол
ВОС прямой.
46
153
Отложите от луча ОА в полуплоскость ai угол АОВ9 равный 90°, а в полуплоскость а2 угол АОС9 тоже равный 90°.	ai
1) Верно ли, что лучи ОВ и ОС — до-полнительные полупрямые?
2) Верно ли, что прямая ВС перпен- а‘‘ дикулярна прямой а?
Ответ. 1) .................
2) .................
О	а
154
Дано: ДАВС = АМРК9 АВ±ВС. Найдите перпендикулярные стороны второго треугольника.
Ответ..................
'р Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
Биссектриса угла — это луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам.
47
156
Начертите биссектрису данного угла при помощи транспортира.
158
Луч ОР — биссектриса угла АОВ. Чему равна градусная мера углов, которые образует биссектриса со сторонами данного угла, если угол АОВ равен: 1) 68°; 2) 90°; 3) 154°? (Решите задачу устно.)
Ответ. 1) ...... ;	2) ..... ;	3) .....
159
Дано: АМРК = 160°, ААРК = 70°, лучи РВ и PC — биссектрисы углов МРА и АРК. Чему равен угол ВРС (между биссектрисами)?
Решение. АМРА = АМРК— ААРК = = 160° — 70° = 90°, так как луч РА проходит между сторонами угла МРК.
АВРА = 90° : 2 = 45°, так как РВ — ..............;
ААРС = 70° : 2 = 35°, так как PC — ..............;
АВРС = АВРА + ААРС = .......+	.......= ......  так
как луч РА проходит между лучами ... и	.......
Ответ................
48
160
Решите предыдущую задачу при условии, что ЛАРК = 110°. Решение запишите кратко (только вычисления).
Решение.
Ответ...................
Какое предположение о градусной мере угла ВРС можно сделать? Запишите его:
ЛВРС = ..........,	какую бы меру угла АРК мы ни взяли.
161
Один из вертикальных углов равен 80°. Чему равна градусная мера угла, образованного их биссектрисами?
Решение.
Ответ.........
162
Сами задайте градусную меру одного из вертикальных углов, например ..........°. Вычислите градусную меру угла между их биссект-
рисами.
Решение.
Ответ..........
Запишите общее предположение о величине угла между биссектрисами вертикальных углов:
49
3
Признаки равенства треугольников
20. Первый признак равенства треугольников
На каждом рисунке обозначены равные элементы двух треугольников. Равны ли данные треугольники? Ответ запишите с помощью символов. Запишите остальные равные элементы этих треугольников.
Ответ.
а) А АВС = А.........., б) АОР/Г = А.......,	в) АСОВ = А..........
АС =...., АА = А.... , ОК = , АО = А.... , CD = , АС = А...........
АС = А....	АК = А.....	AD = А....
164
Дано: ABAD = ACAD, АВ = АС.
1) Докажите равенство треугольников BAD и CAD.
2) Докажите, что луч DA является биссектрисой угла BDC.
Доказательство. 1) Данные треугольники имеют по два равных элемента. По условию АВ = АС и ABAD = ACAD.
50
Одна сторона у треугольников общая (т. е. имеется третья пара равных элементов). Равные углы заключены между соответственно равными сторонами треугольников. Значит, мы можем воспользоваться первым признаком равенства треугольников. Получаем, что AABD = A ACD.
2) В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Углы BDA и CDA расположены против сторон ............. и	.......
которые равны. Следовательно, ABDA = AC DA, поэтому луч DA является ...................... угла .........
165
Какое условие необходимо добавить для того, чтобы можно было
воспользоваться признаком равенства данных на рисунке треугольников? Отметьте это условие на рисунке и запишите равенство треуголь-
ников.
166
Докажите равенство двух треугольников, изображенных на рисунке.
Доказательство. Рассмотрим треугольники ........ и........Найдем их равные элементы...... = .....
(по условию). Сторона .... у данных
треугольников общая. ABDA = 180° — 90° (по свойству............... углов).
Значит, ABDA = ABDC. Воспользуемся ................. равенства	треугольников. Следовательно, ABDA = ABDC.
51
167
Докажите равенство треугольников АСВ и BDA.
Доказательство. Найдем в треугольниках пары равных элементов. Это углы АВС и BAD........... — общая
сторона. AD = АО 4- OD = ВО 4- ОС = ВС (по условию). Значит, мы можем вое- А
в
пользоваться первым признаком равен
ства треугольников.
Следовательно, ДАСВ = ДВ2М.
168---------------------------------------------------------------
Начертите треугольник, равный данному треугольнику АВС. Запишите равенство этих треугольников.
Ответ, а) Д АВС = Д............;	б) Д АВС = Д............
169
Докажите равенство треугольников, изображенных на рисунке. Запишите их равенство. Найдите угол, равный углу BDA, поясните их равенство.
Доказательство. Найдем пары ......... элементов треугольников ......... и	.... АВ = ...................... AABD = Z......................  BD	— .
Значит, мы можем воспользоваться ...............................
равенства треугольников. Следовательно, Д..........=	Д ...........
ABDA = А ..........  так	как они расположены в ...................
треугольниках против ............ сторон	........ и ............
52
170
Сколько пар равных элементов двух треугольников используется в: 1) определении равенства треугольников; 2) первом признаке равенства треугольников?
Ответ. 1) ............; 2) ............
22. Второй признак равенства треугольников
Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
171
На каждом рисунке обозначены равные элементы двух треугольников. Равны ли эти треугольники? Ответ запишите с помощью символов. Запишите остальные равные элементы этих треугольников.
Ответ, а) А.....= А.......
Z.P = А...,
МР = ...,	РК = ...
б) А.....= А .
AF = А...,
BF = ..,	KF =
в) А......= А........
Z.A = А....,
АВ = ...,	АС = ....
172
Какое условие необходимо добавить для того, чтобы можно было воспользоваться вторым признаком равенства треугольников? Отметьте это условие на рисунке и запишите равенство треугольников.
53
173
1) Докажите равенство треугольников, изображенных на рисунке.
2) Докажите, что точка D является серединой отрезка АС.
Доказательство.
1) Найдем равные элементы треугольников ABD и......... Z	ABD = Z......
(по условию). ABDC = 180° — 90° = 90°, так
. Значит, А.........
как углы........ и
= А........... Сторона	..... у рассматриваемых треугольников
.............. . Можем воспользоваться вторым признаком равенства треугольников. Итак, А.......... = Д...........
2) Стороны............ и .......... лежат	в равных треугольниках
против равных углов .......... и........... Следовательно,	..... =
=.......,	т. е. точка D является серединой отрезка......
174
Дано: ABAF = ABCD, АВ = ВС. Докажите, что:
1) ААВС = ACBD;
2) AF = CD.
Доказательство.
1) Рассмотрим............... ,
найдем равные их элементы. Стороны ............. и........... равны, углы. и...................................... равны	(по.).
54
Угол .................. - .................... для рассматриваемых
треугольников. Воспользуемся ....................................
..........................Следовательно,	........... =...........
2) Стороны ......... и .......... лежат	в равных треугольниках
против ......... угла	В. Поэтому .... =........
175
Точки А и В лежат на прямой а.	М.
В разных полуплоскостях относительно этой прямой расположены точки М и К так, что AM АВ = АКВА, A MBA = --------------*--------------------
= АКАВ. Докажите, что АМАВ = АКВА.
1) Дополните рисунок: отметьте с по-мощью символов равные элементы треугольников, о которых сказано в условии задачи.
2) Проведите доказательство, сопровождая его краткими записями.
В треугольниках.......... и........... находим	равные элементы:
Можем воспользоваться ...........................................
Получим, что А........... =	А..........
176------------------------------------------------------------
Известно, что Л АВС = АА1В1С1. На сторонах АВ и AiBi отмечены точки D и Di так, что AACD = AA^CiDi. Докажите, что AADC = AAiDtCt.
1) Сделайте рисунок. Для этого начертите два равных треугольника. Обозначьте соответствующим образом их вершины, отметьте точки D и Dl9 проведите отрезки CD и CiDi.
2) Доказательство.
Рассмотрим треугольники 	 и	. . Найдем их равные элементы. Углы...................... и. равны (по условию). Углы
......... и	......... равны (как соответственные углы в равных треугольниках). Стороны ........ и	........ равны (соответственные в равных треугольниках). Значит, А...... =	А..........
(по .......... признаку	равенства треугольников).
55
177
Докажите, что в равных треугольниках биссектрисы равных углов равны.
1) Сделайте рисунок и нанесите необходимые обозначения.
2) Доказательство..............
178
Докажите равенство треугольников, изображенных на рисунке.
Доказательство................
179---------------------------------
Через точку Р биссектрисы угла О проведена прямая, перпендикулярная биссектрисе.
Докажите равенство отрезков, которые эта прямая отсекает на сторонах данного угла.
1) Сделайте нужные обозначения на рисунке.
56
2) Доказательство.................................
180
1)	Семиклассник нашел у двух треугольников три пары равных элементов. Может ли он смело утверждать, что эти треугольники равны?
2)	Если среди найденных пар только одна — равные углы, то какому условию они должны удовлетворять, чтобы треугольники были равны?
3)	Если среди найденных пар только одна — равные стороны, то какому условию должны удовлетворять пары углов, чтобы треугольники были равны?
Ответ. 1) ..................................................
2) Углы должны быть ........................................
3) Углы должны быть ........................................
23. Равнобедренный треугольник
Q I Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две I стороны (боковые стороны) равны.
В
Q I Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все I стороны равны.
181
Найдите на рисунках равнобедренный, равносторонний и разносторонний треугольники.
57
Ответ. Равнобедренный треугольник — ...............................
Равносторонний треугольник — ...............................
Разносторонний треугольник — ...............................
J82------------------------------------------------------------
Основание равнобедренного треугольника равно 11 см, оно на 5 см меньше боковой стороны. Вычислите периметр данного треугольника.
Решение. Боковая сторона треугольника равна 11 см 4- .....=
= .......... Периметр треугольника равен ........ +	........ +
+ ........ = .........
Ответ...................
18?------------------------------------------------------------
Периметр равнобедренного треугольника равен 42 см, его основание —
12 см. Вычислите длину боковой стороны треугольника. Решение.......................................................
Ответ...................
Тм"------------------------------------------------------------
Периметр треугольника BCD равен 40 см. BD = 15 см. Вычислите периметр треугольника АВС. Решение	 Ответ		В л	'о '	с
58
185
Периметр треугольника BDC в 1,5 раза больше периметра треугольника АВС. Вычислите длину стороны CD, если АВ = 8 см.
Решение.
Ответ..................
186"----------------------
Периметр равнобедренного треугольника равен 55 см. Длины его боковой стороны и основания пропорциональны числам 4 и 3. Вычислите длины всех сторон данного треугольника.
Решение.
Пусть длина боковой стороны равна 4х см, тогда длина основания будет равна ... см. Составим уравнение .........................
откуда .......................................................
Боковая сторона равна ..........  основание	равно ...........
Ответ..........................
187
Докажите, что отрезки, соединяющие середину основания равнобедренного треугольника с серединами его боковых сторон, равны.
59
Доказательство. Рассмотрим треугольники ...... и......... Находим
их равные элементы: ....... =......
(по условию), Z.......... = Z......
(по свойству равнобедренного треугольника), ...... =....... (так как это по-
ловины равных сторон треугольника АВС). Значит, ................. (по
первому признаку равенства треугольников). В этих треугольниках стороны
...... и ....... лежат против равных
............. Следовательно, ...... =
188
Чему равна градусная мера угла ВСА данного треугольника АВС?
Решение. ABAC = А.............. =
=........° (по свойству .............
углов). АВСА = А ......... =	........°
(по свойству.........................
.....................................).
Ответ. АВСА =.........
189
Вычислите градусную меру угла МРК данного треугольника МРК.
Решение.......................
Ответ. АМРК =........
190
В равнобедренном треугольнике МОК МО = КО9 АМКО = 70°. На прямой КО отложен отрезок ОР, равный боковой стороне треугольника. Вычислите градусную меру угла КМР, если АОРМ = = 20°.
60
Решение.
АКМО = А............................... (по ...............
.). Значит, А КМО= 70°. Треугольник МОР .......... (по условию). Следовательно, АРМО = А.............................. =	.°. Луч МО проходит .
....................,	поэтому АКМР = Z....... 4-	Z.......=
Ответ. АКМР =......
191
Дано: АВ = ВС, AM = КС. Докажите, что: 1) ВМ = ВК; 2) АВМС = АВКА.
Доказательство.
Рассмотрим треугольники .......
и ........... Найдем их равные элементы: ...... = .... ,	....=........
(по ...........), А ВАМ = А...........
(по ...............................).
Воспользуемся ............. признаком
......................... Получим, что А АВМ = А................ Следовательно,
......(так как лежат в этих треугольниках против равных углов).
192
На продолжении основания АВ равнобедренного треугольника АВС, где АС = = ВС, за вершину В отложен отрезок BD. Точки С и D соединены отрезком. Периметр треугольника CDB равен 27 см, периметр треугольника ADC равен 37 см. Вычислите длину основания АВ.
Решение.
Запишем периметр треугольника ACD.
PACD =AC + CD+ BD 4- BA по условию равен 37 см. Если в этой сумме
заменить отрезок АС на равный ему отрезок СВ, то вся сумма будет записана так: .........4- .........4- .........4-	ВА. Сумма первых
трех слагаемых — это периметр треугольника CDB, который равен 27 см. Теперь наше равенство примет вид ......... 4-	АВ = 37 см.
Отсюда получим, что АВ = ...... см.
Ответ. АВ =............
61
193
Дано: А АВС — равносторонний. AAY = = ВВГ = ССг. Определите вид треугольника ApBjCj.
Решение. Рассмотрим три треугольника, сторонами которых являются отрезки В.С., СгА19 А1В1. В этих треугольниках имеются равные стороны и равные углы. Найдем их. А1А = В1В = С1С (по .................).	Отрезки ВАХ =
= СВ1=АС1 равны, так как каждый из них состоит из одинаковых пар отрезков. СВГ = ВС + ВВ19 АС1 = СА 4-.......
ВА, = ......
ду собой (по
Углы АгВВ19 ВгСС19 С1АА1 являются смежными с углами треугольника АВС, поэтому они ............. Можем	воспользоваться .............
признаком равенства треугольников. Получим, что А............... =
= А............. Отсюда	следует, что ....... =	...... =..........
Значит, треугольник А^В^ .............................
. Углы треугольника АВС равны меж-
194-----------------------------------------------------------
Начертите на клетчатой бумаге (отрезок в 1 клетку считаем равным 0,5 см) с помощью линейки без делений равнобедренный треугольник: а) боковая сторона которого равна 3 см, а угол при вершине равен 90°; б) основание которого равно 4 см, а угол при основании равен 45°.
																										
																										
																										
																										
																										
																										
																										
24. Обратная теорема
О
Теорема, обратная данной, — это теорема, условие которой совпадает с заключением данной, а заключение совпадает с условием данной теоремы.
Т: А->В ОТ: В->А
62
195--------------------------------
1) Запишите условные обозначения для соответствующих предложений в схеме обратной теоремы:
2) Запишите формулировку свойств вертикальных и смежных углов в виде условных предложений (см. схему):
Если углы являются .............
.............. то они .............
Если углы являются .............
Теорема
Если А, то В
Обратная теорема
Если ...  то	....
, то их сумма ........
196 ---------------------------------------------------------
Запишите теорему, обратную теореме:
1) Если все углы равны, то этот треугольник равносторонний.
2) Если один из смежных углов острый, то другой угол тупой.
Ответ. 1) Если ...........................................
то его углы .................
2) Если один из ..........................................
то другой .................
197------------------------------------------------------------
Подчеркните в данном предложении: одной чертой — условие; двумя чертами — заключение.
1) Если луч ОС проходит между лучами О А и ОБ, то градусная мера угла АОВ равна сумме градусных мер углов АОС и ВОС.
2) Если точки А и В лежат в разных полуплоскостях относительно прямой а, то отрезок АВ пересекает прямую а.
Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
АВ = ВС
198------------------------------
Докажите, что треугольник МРК равнобедренный.
Доказательство................
63
Основания АС и МР равнобедренных треугольников АВС и МКР равны. ABAC = АКРМ. Докажите, что данные треугольники равны.
Доказательство................
201
Начертите с помощью линейки с делениями и транспортира равнобедренный треугольник, у которого:
1)	основание равно 2,3 см и угол при основании равен 54°;
2)	боковая сторона равна 2,9 см, а угол при его вершине равен 70°.
25.	Высота, биссектриса и медиана треугольника
О
Высота треугольника, опущенная из данной вершины, — это перпендикуляр, проведенный из этой вершины к прямой, которая содержит противолежащую сторону треугольника.
64
о
Биссектриса треугольника, проведенная из данной вершины, — это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне.
о
Медиана треугольника, проведенная из данной вершины, — это отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны.
202
Найдите на рисунках отрезки, которые являются: 1) высотой треугольника; 2) биссектрисой треугольника; 3) медианой треугольника.
Ответ.
1)	Высота — ................................................
2)	Биссектриса — ...........................................
3)	Медиана — ...............................................
203
Опустите высоты данного треугольника АВС из его вершин В и С (воспользуйтесь чертежным угольником).
а)
3 Дудницын
65
204
Проведите биссектрисы треугольника АВС из его вершин В и С (воспользуйтесь транспортиром и линейкой).
205
Проведите все медианы данного треугольника МРК (воспользуйтесь линейкой с делениями).
206
Проведите в данном треугольнике из вершины С высоту, биссектрису и медиану (воспользуйтесь чертежным угольником, транспортиром и линейкой с делениями).
26.	Свойство медианы равнобедренного треугольника
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
66
207
Медиана равнобедренного треугольника АВС, проведенная к его основанию АС, равна 12 см. Периметр одного из образовавшихся треугольников равен 36 см. Вычислите периметр треугольника АВС.
Решение.......................
Ответ................
208
Высота МТ треугольника КМР является биссектрисой этого треугольника. Докажите, что данный треугольник является равнобедренным.
Доказательство. Рассмотрим треугольники 	 и	. Их элементы ...................
Воспользуемся ............. признаком
	 ,	откуда . Следовательно, ...................................................
Значит, ........................ является	........................
209-----------------------------
Докажите, что медианы, проведенные из концов основания равнобедренного треугольника, равны. Сделайте рисунок.
Доказательство................
67
210
В равнобедренном треугольнике ОРТ проведены биссектрисы углов при основании ОТ. Докажите, что они отсекают на боковых сторонах треугольника равные отрезки.
Доказательство................
На медиане BF равнобедренного треугольника АВС с основанием АС отмечена точка М. Докажите, что МА = = МС.
Доказательство. Рассмотрим треугольники АВМ и ..........Найдем	их
.................. АВ =........... (по ..............), сторона МВ —
................. ААВМ = А......... так как медиана BF —..............
угла ......(по свойству .....................,...).	Воспользуемся
Получим, что А
= А........ поэтому .....
68
27.	Третий признак равенства треугольников
Равны ли треугольники, изображенные на рисунках? Если они равны, то запишите их равенство и равенство двух пар углов этих треугольников.
Ответ.
а) Д...	...=д		.. б) д...	...=ь		.. в) Д...	...=N		.. г) Д...	
Z...	... = А		А...	... = А....<	А...	... = А		А...	... = А.
Z...	... = А....	А...	... = А.....	А...	... = А....<	А...	... = А.
214
Отметьте на прямой а точки А и В.
В разных полуплоскостях относитель-
но прямой а отметьте точки М и К а так, чтобы МА = КА, МВ = КВ.
Докажите равенство треугольников АВМ
и АВК.
69
Доказательство....................................
215
Дополните каждый рисунок условием, при котором можно утверждать, что изображенные треугольники равны.
216
Соедините две точки данной фигуры отрезком так, чтобы на рисунке образовались два равных треугольника. Докажите, что полученные треугольники равны. Найдите угол, равный углу РКО.
Доказательство................
Ответ. Точки .. и	.... АРКО=А......
217
Даны равносторонние треугольники АВС и
1) Нужно ли проверять равенство трех пар сторон этих треугольников, чтобы можно было утверждать их равенство?
2) Назовите наименьшее число таких пар.
Ответ. 1) ...............; 2) ...............
70
Отметьте на прямой I две точки А и В. В одной из полуплоскостей относительно прямой I отметьте точки М и К так, чтобы AM = КВ и МВ = КА.	I
Докажите, что:
1) ААМВ = АВКА;
2) АМВА = АКАВ.
Доказательство. Рассмотрим треугольники .......... и ............
Они имеют две пары равных сторон: ...... =	...... .. = .....
(по ...................), сторона ................... , значит,
Д .......... =	Д ......... (по	............................
................................................)...............................................Отсюда следует: 1)................................................; 2).
220
Дано: AM = KD, АВ = CD, СМ = ВК.
Докажите, что ААВМ = ADCK.
Доказательство. Рассмотрим треугольники ........ и...........
Найдем их равные элементы: AM =.... (по ...........), АВ=...
(по ............................
МВ = МК + ........  КС	= МК +
отрезки .... и ...... равны	(по ,
.....). Следовательно, МВ = .
. Мы можем воспользоваться
). С
откуда Д ...... =	Д .... ,	поэтому ААВМ =А.......
71
221
Внутри равнобедренного треугольника КМР (КМ = КР) отмечена точка А так, что AM = АР. Докажите, что луч КА является биссектрисой угла РКМ.
Доказательство.
222
Дано: AM = АК, DM = DK.
Докажите, что: 1) BD = CD\ 2) АВ = АС.
Доказательство. Проведем отрезок ....Рассмотрим
два треугольника A AMD и А .......
223
Вычислите градусные меры углов CAD и BDM.
Решение.
Ответ. ACAD = ....°,	ABDM = .....
72
224
Внутри равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС) отмечена точка М так, что AM = МС. Докажите, что прямые ВМ и АС перпендикулярны.
Доказательство.
225
Докажите, что:
1) AC ± BD;
2) АО = ОС.
Доказательство.
Рассмотрим треугольники ABD и ....
Их равные элементы: ...............
Мы можем воспользоваться .............
Следовательно, ................................. Поэтому равны углы ABD
и CBD, ADB и CDB. Это значит, что ВО — .......................................... угла ........ ,	a DO — биссектриса угла..................... Треугольники	AJ3C
и ADC равнобедренные (по .............................). Значит, отрезки ВО
и OD являются их высотами и медианами, т. е.:
1)	BD ±......;
2)	АО =......
226
Вспомните формулировки трех признаков равенства треугольников. Пара каких элементов двух треугольников обязательно содержится в условиях этих теорем?
Ответ........................................................
73
Сумма углов треугольника
29.	Параллельность прямых
227
Начертите две параллельные прямые а и Ь. Отметьте точку М, которая не принадлежит этим прямым, и проведите через нее прямую с, параллельную прямой а. Имеют ли общую точку какие-либо две из этих прямых?
Ответ..................
228
Начертите две пары параллельных прямых а и Ъ, с и d так, чтобы прямые а и с не были параллельны. Как расположены прямые Ъ и d*!
Ответ.
Прямые ... и ..................
229
Прямые т и I пересекаются, прямые с и т параллельны. Имеют ли общую точку прямые:
1)	т и I; 2) т и с; 3) I и с*!
Ответ.
1)	
2)	................
3)	................
т
74
30.	Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей
31.	Признак параллельности прямых
230
Вычислите градусные меры внутренних накрест лежащих углов 1 и 2 и внутренних односторонних углов 3 и 1. (Решите задачу устно.)
Ответ.
Z.1 = ....°, Z.2 = ...°,
Z3 = .....°.
231
Вычислите градусные меры внутренних односторонних углов 1 и 2 и внутренних накрест лежащих углов 3 и 1. (Решите задачу устно.)
Ответ.
Z.1 = ....°, Z.2 = ...°,
Z3 =......°.
232
Вычислите сумму каждой пары внутренних односторонних углов.
Решение.......................
Ответ. Zl + Z2 = ....°,	Z3 + Z4 = ....
75
233
Вычислите градусные меры каждой пары внутренних накрест лежащих углов. Равны ли между собой углы каждой пары?
Решение.
Ответ.
Z1 =......°, Z2 =......°, Z1 .....Z2;
Z3 =......°, Z4 =......°, Z3......Z4.
На каком из двух рисунков прямые
76
236
Запишите соотношения между отмеченными углами, которые должны выполняться для того, чтобы прямые b и d были параллельны.
Ответ.
237
Дано: Z.1 = Z.3. Докажите, что прямые т и I параллельны.
Доказательство. Z.1 = Z...... (по
свойству .................. углов).
Следовательно, Z3 = Z...Эти два угла
.................... Значит,	прямые
.... и ....... —	.....................
(по.............параллельности	прямых).
238 -------------------------------
Пересекаются ли прямые а и Ъ? (Ответ поясните.)
Решение. Найдем градусную меру угла АВС. Углы АВС и...... являются
............... Значит, А АВС = А...... и А АВС = 119°.
Вычислим сумму углов DAB и
Следовательно, прямые ...... и
.................. (по............................................).
Значит, эти прямые ......................
Ответ.
239
Как расположены прямые а и &, если при пересечении их прямой т образовались: 1) два острых внутренних односторонних угла; 2) два тупых внутренних односторонних угла; 3) острый и тупой внутренние накрест лежащие углы; 4) два прямых внутренних односторонних угла?
77
Ответ.
1)..................................................................
2)		
3)		
4)		............................................................
240
Пересекаются ли прямые а и АС? (Ответ поясните.)
Решение.....................
Ответ.
241
Какие две прямые, изображенные на рисунке, параллельны? (Ответ поясните.)
Решение......................
Ответ.
242
Найдите на рисунке параллельные прямые. (Ответ поясните.)
Решение. 1) Рассмотрим прямые ВС и AD и секущую......Углы ВС А и DAC
внутренние накрест лежащие при этих прямых. ABAC ............... =.20°. Следовательно, прямые ........ и	..... —
(ПО ................................).
2) Рассмотрим прямые АВ и CD и секущую
Ответ................
78
243
Пересекаются ли прямые:
1) а и Ь; 2) Ъ и с; 3) а и с? Ответ поясните.
Решение.
1).....Рассмотрим прямые..и.....Прямая 	— секущая. Углы МАВ и АВР
2)		
3)		
Ответ.
1)	Прямые . и	.......................................
2)	Прямые . и	.......................................
3)	Прямые . и	.......................................
244
Пересекаются ли прямые АВ и СП?
(Ответ поясните.) Решение.
Рассмотрим треугольники ..........
и ............. Их	равные элементы —
..... Следовательно, ................
(по .................................
.....................................).
Поэтому АО В А = А......Они явля-
ются внутренними ........................... при	прямых ... и	..
и секущей.....Значит, прямые ....и ..............................
(по ..........................................................),
т. е. они ......................
Ответ........................
79
245
Докажите, что АВ || DF.
Доказательство.
Треугольник АВС — ..............
(по .................),	следователь-
но, .......................... (по
...................................).
Треугольник CDF — .................
(по ................................),
следовательно, .......................
(по ..................................
Углы...... и...... — ..............
Значит, они .............. (по	..........
Отсюда следует, что равны углы ....... и
.................. ).
. Эти углы являются
	 при прямых 	 и	. и секущей ........................................... Следовательно,.прямые . и	. —
	 (по	. ................................................................).
246 ------------------------------
Могут ли быть равными все внутренние накрест лежащие углы и все внутренние односторонние углы, образованные при пересечении двух прямых третьей?
Ответ...........................
В случае, если такое расположение прямых возможно, попробуйте изобразить его на рисунке.
247
Докажите, что: 1) АВ || CD; 2) AD||BC.
Доказательство...............
80
32.	Свойство углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей
Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180°.
248
Дано: а || Ь. Чему равны градусные меры углов 1 и 2? (Решите задачу устно.) Ответ.
Z1 =.......°, Z2 = ....°.
249
Прямые с и d параллельны. Сумма градусных мер углов 1 и 2 равна 110°. Вычислите градусные меры углов 2 и 3. (Решите задачу устно.)
Ответ.
Z2 =.......°, Z3 = ....°.
Прямые т и I параллельны. Угол 1 в 2 раза больше угла 2. Вычислите градусные меры углов 3 и 4.
8/
Решение. Сумма углов 1 и 2 равна 180°, так как они являются .........
Пусть Z.2 = х°, тогда Z1 = 2х° (по .
......) . Составим и решим уравнение
Получим Z2 =.......°,	Z1 = .....°.	Углы 2 и 3 ...............
Следовательно, Z.3 = .....°. Углы 1 и 4 — ....................
поэтому Z4 =......°	— ......°	=......°.
Ответ. Z.3 =.....  Z.4	= ......
252
Дано: Zl = Z.2. Вычислите градусную меру угла 3.
Решение.....................
Ответ. Z3 =......
Дано: МК || АС. Найдите градусные меры всех углов треугольника АВС.
82
Решение. Углы АСВ и СВК явля- М_______________ В ___________К_
ются ............................... 80°'ч7\^70°
..	 при	/ \ параллельных прямых МК и АС и секу-........../ \
щей ......... поэтому А АСВ = .....°.	/	\
Углы САВ и АВМ являются ......... /	\
........... при	параллельных прямых	/	\
МК и АС и секущей .........  поэтому	^4	с
АСАВ = .....°.
Вершина В данного треугольника лежит на прямой .......Поэто-
му A MBA + А АВС + АСВК - 180°.
Следовательно, А АВС = .....°	— (80° 4- 70°) = ..°.
Ответ. АА = .......°, АВ = ....°,	АС = .....°.
255
Дано: АВ || CD, АВ = CD. Докажите, что: 1) ВС = AD; 2) ВС || AD.
Доказательство. Рассмотрим треугольники ABD и BCD. Их равные элементы: АВ = .... (по	............),
BD — ......................  углы
.... и .................. (так	как
являются ...........................
........................ при параллельных прямых 	 и	. и секущей .........................................................) . Воспользуемся ..............
......................... Отсюда	получаем, что A ABD = А .......... Значит, ВС = ...................................................... и ACBD = ABDA. Но они являются .
..............при.......прямых 	 и	. и секущей ........Значит, прямые .......................................................... и	. (по .
...............................................).
256
Дано: а || Ъ, лучи AM и ВК— биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных при пересечении прямых а и Ъ секущей с. Докажите, что прямые AM и ВК параллельны.
Доказательство..............
83
257
Дано: КМ || АС, АВ = ВС. Докажите, что ВК = ВМ. Доказательство. Сначала докажем равенство углов ВКМ и ВМК. А А = Z.1, так как ........
.......... ,.А ВКМ = А1 (по свойству .............). Значит, А ВКМ = А А. Аналогично АС = = ........... (	
................), А ВМК = А....... (свойство ......
). Поэтому
АВМК= АС. Но А А = АС Следовательно, Д ВМК......
). АВКМ = А .
, значит, ВК.....ВМ.
258
Проведите через точки М и К две па-	*М
раллельные прямые, которые пересекают данную прямую т под углом 45°. (Вос-пользуйтесь чертежным угольником, ™К имеющим угол 45°.)
259
Проведите через точки М и К две параллельные прямые, пересекающие данную прямую I под прямым углом. (Воспользуйтесь чертежным угольником.)
260
Можно ли назвать свойство углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, теоремой, обратной признаку параллельности прямых?
Ответ.
84
261
Можно ли назвать признак параллельности прямых теоремой, обратной свойству углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей?
Ответ...................
33.	Сумма углов треугольника
34.	Внешний угол треугольника
Тс
Сумма углов треугольника равна 180°.
Z.A+rB+Z.C=180‘
262
Вычислите градусные меры углов равнобедренного треугольника, если один его угол при основании равен 55°. (Решите задачу устно.)
Ответ...................
263
Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 80°. Вычислите градусные меры его углов при основании. (Решите задачу устно.)
Ответ...................
264
Угол В треугольника АВС на 35° меньше угла А и на 55° меньше угла С. Найдите градусные меры каждого угла треугольника АВС.
Решение. Пусть АВ = х°, тогда А А =............°,	АС =........°.
Составим уравнение ............................ (так	как сумма углов
треугольников равна...........), откуда..................... Значит,
АВ = ..........°, АС = .............°, АА = .....°.
Ответ...........................*.................................
265
Верно ли, что любой треугольник имеет хотя бы один острый угол?
Ответ...................
85
266
Дано: /\АВС=/\КМР, ZA=46°, ZP=74°. Вычислите градусные меры углов: С, В, М.
Решение. АК =	46° (так как данные треугольники равны).
Ответ...............................................
267
Вычислите градусную меру тупого угла, образованного двумя биссектрисами равностороннего треугольника.
Решение........................
Ответ................
268 ------------------------------------------------------------
Существует ли треугольник, два угла которого тупые? (Ответ поясните.)
Решение. Градусная мера тупого угла больше ..................
Поэтому сумма двух тупых углов ................. 180°. Тогда сумма
всех трех углов треугольника будет еще больше превышать ........
Но этого не может быть согласно теореме о ......................
Следовательно, такого треугольника ................
Ответ....................
269
Вычислите градусные меры углов треугольника АВС. (Решите задачу устно.)
Ответ.
86
270
Дано: АВ||CD. Найдите градусные меры углов треугольника COD.
Решение.......................
Ответ.................
271
Дано: АВ=ВС. ZC=64°, AM— биссектриса угла А треугольника АВС. Вычислите градусную меру угла ВМА.
Решение.......................
Ответ.................
272
Дано: BC||AD, ВС = AD. Вычислите градусные меры углов АВС и ADC.
Решение......................
Ответ........................
87
273
Вычислите градусную меру угла CBD.
Решение. Треугольник АВС равнобедренный (по ....................).
Следовательно, АВСА = ABAC =.......°
(по .................................
...........................). BD — ................... А АВС (по .................).	Следовательно, BD — ............ и
............ треугольника АВС. Значит, A BDA = A BDC = 90°. Тогда A ABD = = 180° —(...°	+.....°)	=....°,	откуда ACBD = AABD =
Ответ....................
274
Вычислите градусную меру угла ВАС.
Решение.....................
Ответ................
275--------------------------------
Отрезок ВМ соединяет вершину треугольника АВС с точкой М, лежащей между вершинами А и С. Сделайте рисунок.
1)	Чему равна сумма градусных мер всех углов треугольников АВМ и ВСМ?
2)	Чему равна сумма углов всех треугольников, изображенных на рисунке?
Ответ: 1) ...... ;	2)......
88
Ответ.......................
277
Градусные меры углов треугольника МРК пропорциональны числам 3, 4, 5. Вычислите градусную меру каждого угла треугольника.
Решение. Пусть Z-M = Зх°, тогда ZP = 4х° и LK = .....°. Так
как Z_M + АР 4- А К = ..° (по свойству углов треугольника), составим уравнение .........., откуда .................,	х=.......
Поэтому AM = 3 •.....°,	АР = 4 • ..°,	АК = 5 • ..°.
Ответ. АМ = ......°,	ZP = .....°, АК = ......°.
278
Градусные меры углов треугольника АВС пропорциональны числам 11, 5, 4. Вычислите градусную меру меньшего угла треугольника.
Решение...............................................
Ответ.................
279
Один из углов треугольника равен сумме двух других углов. Сделайте рисунок. Определите вид этого треугольника.
Ответ............................
89
О	Внешний угол треугольника при данной вершине — это угол, смежный с углом треугольника при этой вершине.	В
т хс	Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.	A	CD A BCD- внешний угол ABCD=AA + АВ
т гс	Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.	ABCD>AA, abcd>ab
280
Вычислите градусные меры углов ВС А и АВС. (Решите задачу устно.)
Ответ.
281
Вычислите градусные меры углов ВАС и АС В. (Решите задачу устно.)
Ответ.
282
Внешний угол при вершине равнобедренного треугольника равен 130°. Вычислите градусные меры углов данного треугольника. (Дополните рисунок и решите задачу устно.)
Ответ.
90
283
Вычислите градусную меру угла BCD. Решение. ZA 4- AABD = .....°	(по свойству
	).	Z А = AABD, так как A ABD — ......
(ПО ...........................).
Следовательно, A ABD = 72° : 2 = ..
ADBC=AABD = ......°,	AC = ....°	—
— (.....° + .....°) =.....°.
Ответ.
284
Может ли внешний угол треугольника быть равен сумме любых двух внутренних углов этого треугольника? (При утвердительном ответе сделайте рисунок с помощью шаблона.)
Ответ...........................
35.	Прямоугольный треугольник
36.	Существование и единственность перпендикуляра к прямой
Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого есть прямой угол.
о
Гипотенуза прямоугольного треугольника — это его сторона, противолежащая прямому углу.
о
Катеты прямоугольного треугольника — это его стороны, прилежащие к прямому углу.
91
285
Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.
Запишите названия его сторон.
Доказательство...............
АВ — .....................
АС —........ ,	ВС —.........
286
Докажите, что треугольник ВМС прямоугольный.
Запишите названия его сторон.
Доказательство...............
AM	D
МВ —
МС
ВС — ..................
287
Вычислите градусные меры острых углов треугольника АВС. (Решите задачу устно.)
Ответ.
288
Начертите на клетчатой бумаге с помощью линейки прямоугольный треугольник, у которого: а) катеты равны 3 см и 4 см; б) катеты равны между собой, а гипотенуза равна 5 см.
92
																										
																										
																										
																										
																										
							•																			
																										
																										
																										
																										
289
Дано: АС±ВС, CD±AB, AACD = 50°.
Вычислите градусные меры углов Ап В.
(Решите задачу устно.)
Ответ.
290
Градусные меры острых углов прямоугольного треугольника пропорциональны числам 2 и 7. Чему равны углы этого треугольника? (Решите задачу устно.)
Ответ.........................°, ......................°,
291
Градусные меры углов треугольника пропорциональны числам 2, 3, 5. Докажите, что этот треугольник прямоугольный. Чему равен меньший его угол?
Доказательство.........................................
Ответ.
о
93
292
Один из углов треугольника на 50° и на 70° меньше двух других его углов. Является ли этот треугольник прямоугольным? (Ответ поясните.)
Решение...............................................
........................................9................
Ответ.................
Докажите, что точка О — середина отрезка AD.
Доказательство...............
294
Докажите, что BF = AD.
Доказательство.....
94
295
Докажите, что Z.CAB = A DAB.
Доказательство...............
296
Докажите, что:
1)	BD = АС; 2) АО = DO; 3) ВО = СО.
Доказательство.
1)	Рассмотрим треугольники ABD и ACD, в которых ....................
Следовательно, &ABD = А.............
откуда BD =.........
2)	Рассмотрим треугольник AOD. У него /LOAD = AODA. так как эти углы лежат в .................... треугольниках. Значит, АЛОВ —
................................., поэтому АО = .........
3)	ВО = BD — DO. СО = АС — АО. Но мы доказали, что .......... ,
........ ,	поэтому ВО =.........
т Ас
Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один.
о
Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую.
95
297
Дано: ВМ — биссектриса угла АВС. Докажите, что точка К этой биссектрисы одинаково удалена от сторон угла АВС.
Доказательство.
Опустим из точки К перпендикуляры на стороны угла АВС (т. е. прямые ВС и АВ) — это отрезки КР и КТ. Рассмотрим
треугольники ВРК и ВТК. Они прямоугольные, АВРК = АВТК = 90° (по построению). Гипотенуза В К — их ............ сторона. АРВК =
= АТВК (по............).	Следовательно, АВКР = 90° — АРВК = 90° —
— А КВТ = АВКТ. Теперь можем воспользоваться .......................
.....Значит, АВРК = Д............ Поэтому	КР = .....................
В прямоугольном треугольнике с углом 30° катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы.
298
На одной стороне угла А отложен отрезок АВ, равный 20 см. Угол А равен 30°. Вычислите расстояние от точки В до второй стороны угла А. (Выполните нужные построения на рисунке.)
Решение.......................
Ответ................
96
299
Вычислите расстояние от точки А до прямой а. (Решите задачу устно.)
Ответ.
300
Вычислите длины отрезков, на которые делит гипотенузу высота треугольника АВС. Решение. Найдем длину гипотенузы треугольника АВС. АВ =......... см. Рассмотрим
треугольник ACD. В нем ACDA =.......°
(по ...................), ACAD = 90° — 30° =.......°,	тогда AACD =
=.........° —..........° =..........°.	Теперь найдем отрезок AD.
см. Следовательно, BD =
AD=.....
= АВ — AD =
Ответ. ...
2 =
см.
301
Точки М и К лежат в разных полуплоскостях относительно прямой I и одинаково удалены от нее. Докажите, что отрезок МК делится прямой I на равные части. (Выполните на рисунке необходимые построения.)
Доказательство.
1)	Опустим перпендикуляры МР и КТ на прямую I. МР = КТ (по.......).
Рассмотрим треугольники........ и
Сравним их соответствен-
ные углы: ..........................................................
Теперь можем воспользоваться .......................................
.................Получим,	что А........ = А.........Следовательно,
4 Дудницын
97
302
Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 16 см. Вычислите расстояние от вершины прямого угла треугольника до гипотенузы. (Выполните нужные построения.)
Решение........................
Ответ................
303
В треугольнике АВС внешний угол при вершине А равен 150°, АС = 90°, ВВ1 — биссектриса угла В, ВВ1 = 10 см. Вычислите длину отрезка СВг.
Отметьте на рисунке данные, перечисленные в условии задачи.
Решение........................
Ответ................
304
Начертите на клетчатой бумаге (воспользуйтесь линейкой):
а)	прямоугольный равнобедренный треугольник, вершина прямого угла которого удалена от его гипотенузы на 3 см;
б)	равнобедренный треугольник, основание которого равно 4 см, а высота, проведенная к основанию, равна 2,5 см.
98
.5
Геометрические построения
38. Окружность
39. Окружность, описанная около треугольника
Окружность — это фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки. Эта точка — центр окружности.
Радиус окружности — это расстояние от центра окружности до ее точки или любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром.
Q I Хорда — это отрезок, соединя-I ющий две точки окружности.
0 | Диаметр — это хорда, проходя-I щая через центр окружности.
99
305
Начертите с помощью циркуля и линейки с делениями:
а)	окружность с центром в данной	а
точке О и радиусом 1 см, а также ее радиус и диаметр;
б)	окружность с центром в данной & точке О19 проходящую через точку А; измерьте ее радиус и вычислите длину ее диаметра.
Ответ, б) ......................
Вычислите длину диаметра окружности. (Решите задачу устно.)
308
Дано: Zl = Z2.
Докажите, что АВ = CD.
Доказательство...............
100
309
Дано: АВ = CD.
Докажите, что ААОВ = ACOD.
Доказательство...............
310
Дано: АВ и CD — диаметры окружности. Вычислите периметр треугольника АОС.
Решение.......................
311
Диаметр окружности с центром О равен 10 см. Хорда АВ этой окружности равна 4 см. Вычислите периметр треугольника АОВ. (Решите задачу устно.)
Ответ...................
Ill--------------------------------------------------------
АВ и CD — диаметры окружности с центром О. Докажите, что хорды АС и BD параллельны. (Выполните на рисунке нужные построения.)
Доказательство. Рассмотрим треугольники ......... и.............
Их равные элементы: ..............
Воспользуемся.................................................
Получим, что А..........
А.......... ,	откуда следует, что
101
313-------------------------------
Вычислите длину хорды ВС.
Решение.
CD =......... ,	так как ODLBC (по
.........),	/.DOB =	,	следовательно, &ODB —........... ,
поэтому BD = ........ =...........
Значит, СВ = ..........
Ответ...............
314
Через точку А окружности с центром О проведен диаметр АВ, равный 20 см, и хорда АС. Угол САВ равен 30°. Вычислите расстояние от центра окружности до прямой АС. (Сделайте на рисунке нужные построения.)
Решение.
Ответ.............
102
— это окружность,
Чтобы найти центр окружности, описанной около треугольника, нужно построить точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам (достаточно двух).
Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно к нему.
Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведенных через середины этих сторон.
315
Гипотенуза равнобедренного треугольника АВС равна 12 см.
1)	Найдите расстояние от середины гипотенузы до каждой вершины треугольника.
2)	Является ли точка О центром окружности, описанной около треугольника АВС?
3)	Чему равен радиус этой окружности? Решение. ОА = ...... =...... см,	СО — ........ (по	........),
следовательно, СО LAB (так как треугольник АВС ..............).
АО АС = АОВС =............°. Поэтому ААСО =............°, значит,
ДАСО — ................... Получим,	что ОА = ОС = ОВ = ... см.
Ответ. 1) ......................;	2) .....................;
3) .................
103
316
Начертите на клетчатой бумаге прямоугольный равнобедренный треугольник МРК, гипотенуза МР которого равна 4 см. Постройте окружность, описанную около треугольника МРК.
																										
																										
																										
																										
																										
																										
																										
																										
																										
																										
317
Верно ли, что центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника, лежит на прямой, содержащей его медиану, проведенную к основанию? (Ответ поясните.)
Пояснение. Медиана, проведенная к основанию, является и ................... этого треугольника, а следовательно, лежит на ................... к.	основанию.
Ответ....................
40. Касательная к окружности
41. Окружность, вписанная в треугольник
о
Касательная к окружности — это прямая, проходящая через точку окружности перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку (ее называют точкой касания).
Касательная к окружности не имеет с ней других общих точек, кроме точки касания.
104
318
Прямая т — касательная к окружности, радиус которой равен 6 см. Найдите расстояние от центра окружности до прямой т. Сделайте нужные построения на чертеже. (Решите задачу устно.)
Ответ....................
пг
319
Расстояние от центра окружности до касательной к ней равно 12 см. Чему равна длина диаметра данной окружности? (Решите задачу устно.)
Ответ...................
320
СА — касательная к окружности. Вычислите градусную меру угла ВАС.
Решение.
А АОВ ........................,
так как АО = ОВ. Следовательно, АОАВ= = Z ....... = ......°. ОА — радиус,
проведенный в точку касания, поэтому ОА ...АС. Значит, ABAC = .......°	-
Ответ................
321
МР — касательная к окружности, АКМР = 30°. Вычислите градусную меру угла МОК.
Решение......................
Ответ................
105
322
Дано: АВОА = 110°, АСАВ = 55°. Докажите, что прямая АС является касательной к данной окружности.
Доказательство. Докажем, что ОА ± АС. Рассмотрим треугольник АОВ. АОАВ + АОВА = 180° — ..........°	=
= ........°.	Но АОАВ = АОВА, АО =
= ......... (это	радиусы). Значит,
АОАВ = ........°	: 2 = .......°.
Теперь найдем градусную меру угла ОАС. АОАС = ........°	+ .......°	=
= .......°.	Отсюда следует, что прямая АС является касательной к
данной окружности.
323
Через точку А проведены две касательные к окружности с центром О, причем В и С — точки касания.
1) Докажите, что луч АО является биссектрисой угла ВАС.
2) Сравните длины отрезков АВ и АС.
Доказательство.
Проведем радиусы в точки В и С.
Ответ. 2) ...............
324
Вычислите расстояние между центрами данных окружностей, если они имеют:
а)	внешнее касание;
б)	внутреннее касание.
Ответ, а) ..................
б)..................
106
о
т
с
т
С
Окружность, вписанная в треугольник, — это окружность, которая касается всех его сторон.
Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.
Чтобы найти центр окружности, вписанной в данный треугольник, нужно построить точку пересечения его биссектрис (достаточно двух).
С
325
Проведите через точки А, В и С касательные к данной окружности.
1) Проведите ее радиусы в точки касания. Чему равно расстояние от центра окружности до касательных, если радиус данной окружности равен 2 см?
2) Рассмотрите треугольник, образованный проведенными касательными. Является ли данная окружность вписанной в этот треугольник?
Ответ. 1) .................; 2) ...
326
Верно ли, что центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, лежит на его медиане и высоте, которые проведены к основанию треугольника?
Ответ..................
327 ----------------------------------------------------------
Верно ли, что точкой касания основания равнобедренного треугольника и окружности, вписанной в этот треугольник, является середина основания?
Ответ...................
107
328
В треугольник МРК вписана окружность, О — ее центр, AM = 50°, АК = 70°. Вычислите градусные меры углов МОК, МОР, РОК.
Решение.
Рассмотрим треугольники МОК, МОР, РОК. О — центр окружности, вписанной в треугольник МРК, значит, О — точка пересечения ....................
этого треугольника. Поэтому АОМК = =АОМР = ................°,	АОКР =
=АОКМ = ............°.	Теперь найдем
угол Р. АР = ........°	— (.........°	+
4- ........°) = ..........°. Значит, АМРО = АОРК =
Вычислим градусные меры углов с вершиной О. АМОК = 180° — — (.......° + ......°)	= ......°,	АМОР = 180° — (......°	+
+.......°) =.....°,	АКОР =.......° — .......° + .....°)	=
Ответ.................................
329
В равносторонний треугольник АВС вписана окружность, точка О — ее центр. Чему равны углы АОС, АОВ и ВОС? (Решите задачу устно.)
Ответ.
330
Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны соответственно 8 см и 10 см. Чему равны длины отрезков, на которые делятся стороны треугольника точками касания их с окружностью, вписанной в этот треугольник? 108
Решение. Центр окружности О лежит на медиане треугольника, проведенной к основанию. ОМ — радиус окружности, М — точка касания. Следовательно, AM = = МС =........см, AM = АР =........см,
МС = СК= ......... см (по свойству от-
резков касательных, проведенных к окружности из одной точки), ВК = ВР =
Ответ.
331
Дано: АВ = ВС = 18 см, периметр треугольника АВС равен 48 см. О — центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Вычислите длины отрезков КС и ВМ.
Решение.......................
Ответ........................
42.	Что такое задачи на построение
43.	Построение треугольника с данными сторонами
44.	Построение угла, равного данному
В задачах на построение идет речь о построении геометрической фигуры с помощью данных чертежных инструментов. Чаще всего используют линейку и циркуль.
Задача на построение считается решенной, если указан способ построения (часто он описывается при выполнении построения) и доказано, что получена фигура с требуемыми свойствами.
109
С помощью линейки проводят: 1) произвольную прямую; 2) прямую, проходящую через данную точку; 3) прямую, проходящую через две данные точки.
С помощью циркуля: 1) проводят окружность данного радиуса с центром в данной точке; 2) откладывают данный отрезок от данной точки на данной прямой.
332
Проведите прямую, которая пересекается с прямой т в точке А.
333 -------------------------------------------------------------
Проведите прямую, которая пересекает данную окружность в данных точках М и К.
334
110
335 --------------------------------------------------------------
Проведите прямую, которая пересекает стороны угла АВС в данных точках Р и Т.
336
Отложите на прямой с от точки М по разные стороны от нее отрезки, равные данным отрезкам а и Ь.
337
Постройте треугольник, стороны которого: а) равны данным отрезкам; б) имеют длины 2 см, 2,5 см, 3 см.
а
с__
b
111
338 -----------------------------------------------------------
Постройте две окружности с центрами в точках А и В, которые проходят через точку О.
Проведите прямую через две общие точки этих окружностей.
339 --------------------------------------------------------
Отложите на сторонах данного угла от его вершины отрезки, равные данному.
340 ----------------------------------------------------------
Постройте с помощью циркуля и линейки угол, градусная мера которого в 2 раза больше градусной меры данного угла.
112
341 --------------------------------------------------------------
Постройте: 1) на одной стороне данного угла точку, которая удалена от его вершины на 3 см; 2) на другой стороне данного угла две точки, которые удалены от точки, построенной при выполнении задания 1, на 2,5 см.
342
Постройте равносторонний треугольник, сторона которого равна данному отрезку.
а
343
Постройте равнобедренный треугольник, боковая сторона и основание которого равны соответственно данным отрезкам а и Ъ.
а
Ъ
113
344
Постройте равнобедренный треугольник, боковая сторона и угол при вершине которого равны данным углу и отрезку.
345 -------------------------------------------------------------
Постройте с помощью циркуля и линейки два угла, равные данному углу, так, чтобы они были расположены в разных полуплоскостях относительно данной полупрямой ап, вершины их находились в точках А и В, две стороны лежали на прямой т и не имели общих точек.
Как расположены другие стороны построенных углов?
(Ответ поясните.)
Ответ.............................................
Пояснение.........................................
114
45.	Построение биссектрисы угла
46.	Деление отрезка пополам
47.	Построение перпендикулярной прямой
346
347
Постройте с помощью циркуля и линейки прямую, которая будет делить данные два вертикальных угла пополам.
115
348
Постройте биссектрисы данных смежных углов.
Чему равна градусная мера угла, образованного построенными биссектрисами? (Ответ поясните.)
Ответ...............°.
Пояснение........................................
349
116
350
Постройте угол, равный четверти данного угла.
з
Какой из построенных углов равен — данного угла?
4
(Ответ поясните.)
Ответ.................
Пояснение.........................................
351
Разделите с помощью циркуля и линейки два данных отрезка пополам.
117
352
Постройте с помощью циркуля и линейки окружность, диаметром которой является данный отрезок.
353
Постройте с помощью циркуля и линейки биссектрису угла при вершине данного равнобедренного треугольника.
Сколькими способами можно выполнить это построение?
Ответ................
118
354 --------------------------------------------------------
Постройте две окружности с центрами в концах данного отрезка, радиусы которых равны половине его длины.
В	С
355------------------------------------------------------------
Постройте с помощью циркуля и линейки отрезок, соединяющий середины двух сторон данного треугольника.
Измерьте длины этого отрезка и противоположной стороны треугольника (с помощью линейки с делениями). Сравните их длины.
Ответ.................
356
119
357
Постройте с помощью циркуля и линейки точку пересечения двух медиан данного треугольника.
Сравните длины отрезков, на которые делится этой точкой одна медиана.
Ответ.................
358 ------------------------------------------------------------
Постройте с помощью циркуля и линейки одну высоту данного треугольника.
120
359 ----------------------------------------------------------
Постройте с помощью циркуля и линейки перпендикуляр к данной хорде, проходящий через центр данной окружности.
Сколькими способами можно выполнить это построение?
Ответ...................
Постройте с помощью циркуля и линейки диаметр данной окружности, перпендикулярный ее диаметру АВ.
361
121
362
Постройте диаметр данной окружности, который проходит через данную точку касания ее с прямой т.
363 ----------------------------------------------------------
Постройте равнобедренный треугольник, основание которого равно данному отрезку а и высота, проведенная к основанию, равна данному отрезку Ь.
а
b
364-----------------------------------------------------------
Постройте с помощью циркуля и линейки равнобедренный треугольник, гипотенузой которого является данный отрезок АВ.
48.	Геометрическое место точек
49.	Метод геометрических мест
Q I Геометрическое место точек — это фигура, которая состоит из I всех точек плоскости, обладающих определенным свойством.
Серединный перпендикуляр к отрезку — это геометрическое место точек, равноудаленных от его концов.
АМ=МВ АР—РВ АК=КВ
АХ=ХВ
Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от его сторон.
Метод геометрических мест — это один из методов решения задач на построение. Его сущность состоит в следующем. Если надо найти точку, удовлетворяющую, например, двум условиям, то строят геометрическое место точек, удовлетворяющих первому условию (фигура FJ, затем геометрическое место точек, удовлетворяющих второму условию (фигура F2). Искомая точка является точкой пересечения фигур F. и F2.
123
365
Постройте на прямой I точку, которая находится на равном расстоянии от концов отрезка МР.
Решение. Строим геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка МР. Им является ...................................
Искомая точка — это точка пересечения прямой I и построенного
366---------------------------------------------------------------
Постройте на прямой т точки, удаленные от данной точки Р на 2 см. Решение. Строим геометрическое место точек, удаленных от данной точки на 2 см. Им является ...................................
Искомая точка (точки) — это пересечение прямой т и построенной
/24
367
Постройте на прямой а точку, которая равноудалена от сторон данного угла.
Решение. Строим геометрическое место точек, равноудаленных от сторон данного угла. Им является .................................
Искомая точка — это точка пересечения ...................... и	построенной ......................................................
368
Постройте все точки, которые удалены от данной точки М на 2 см, а от точки К на 1,5 см. (Выполните только построение.)
Всегда ли такие точки существуют?
Ответ....................
/25
369
На стороне ВС данного треугольника постройте точку, равноудаленную от двух других его сторон. (Выполните только построение.)
370
На стороне МК треугольника МКР постройте точку, равноудаленную от его вершин М и Р. (Выполните только построение.)
Постройте на данной окружности точки, которые равноудалены от точек М и Р этой окружности. (Выполните только построение.)
126
372
Постройте геометрическое место центров окружностей, которые касаются данной прямой в точке К.
Решение. Радиус ОК любой окружности, касающейся прямой I в точке К, .......................... прямой I. Значит, центры таких
окружностей лежат на ............................................
к прямой Z, проходящем через точку К. Таким образом, приходим к выводу, что искомое геометрическое место точек — это ............
373
Постройте геометрическое место центров окружностей, каждая из которых проходит через две данные точки.
Решение. Центр любой окружности, на которой лежат точки А и В, равноудален от этих точек. Значит, он расположен на............
Поэтому искомое геометрическое место точек — это ..................
А
в
127
374
Постройте геометрическое место центров окружностей, проходящих через данную точку А, радиус которых равен 2 см.
Решение. Центр любой окружности, которая проходит через точку А и имеет радиус, равный 2 см, ..............................
Поэтому искомым геометрическим местом является .................
А
375
Постройте геометрическое место вершин равнобедренных треугольников, основанием которых является данный отрезок МР. (Выполните только построение.)
128
Учебное издание
Дудницын Юрий Павлович
ГЕОМЕТРИЯ
Рабочая тетрадь 7 класс
Пособие для учащихся общеобразовательных учреждений
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова Редактор Л. В. Кузнецова Младший редактор Н. В. Ноговицина Художники Е. В. Анненкова, О. П. Богомолова Художественный редактор О. П. Богомолова Компьютерная графика: И. А. Шалеев Технические редакторы Е. А. Сиротинская, Н. Т. Рудникова Корректоры Н. И, Новикова, Л, А. Ермолина
Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93—953000. Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать 15.10.10. Формат TOXiOOVie. Бумага писчая. Гарнитура Школьная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 5,28. Тираж 10000 экз. Заказ № 30871.
Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение». 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Отпечатано в ОАО «Саратовский полиграфкомбинат». 410004, г. Саратов, ул. Чернышевского, 59. www.sarpk.ru