Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции Ламе и Матье - Бейтмен Г., Эрдейи А.

Автор: Бейтмен Г. Эрдейи А.
Теги: анализ физика прикладная математика
Год: 1967
Похожие
Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены
Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра
Эллиптические функции
Трансцендентная функция
Текст
                    ПРАВОЧНАЯ
АТЕМАТИЧЕСКАЯ
ИБЛИОТЕКА
ВЫСШИЕ
ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ
ФУНКЦИИ
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ
И АВТОМОРФНЫЕ
ФУНКЦИИ
ФУНКЦИИ ЛАМЕ И МАТЬЕ

Этот труд посвящен памяти
ГАРРИ БЕЙТМЕНА,
создавшего столь грандиозный
проект и продвинувшего свой
замысел столь далеко по пути
к завершению

HIGHER
TRANSCENDENTAL
FUNCTIONS
Volume 3
BASED, IN PART, ON NOTES LEFT BY
HARRY BATEMAN
AND COMPILED BY THE
STAFF OF THE BATEMAN MANUSCRIPT PROJECT
DIRECTOR ARTHUR ERDELYI
NEW YORK TORONTO LONDON
MC GRAW-HILL BOOK COMPANY, INC.
1955

СПРАВОЧНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА
Г. БЕЙТМЕН и А. ЭРДЕЙИ
ВЫСШИЕ
ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ
ФУНКЦИИ
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ
И АВТОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
ФУНКЦИИ ЛАМЕ И МАТЬЕ
Перевод с английского
Н. Я- ВИЛЕНКИНА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА>
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА J 967

517.2 @83)
Б 41
УДК 517.5 @83)
АННОТАЦИЯ
•Эта книга является переводом завершающего третьего
тома трехтомной mohoiрафии по теории специальных
функций. Она содержш теорию эллиптических функций
(которая в американском издании входила в состав вто-
второго тома), теорию автоморфных функций, а также
теорию функций Ламе и Магьв. Кроме того, подробно
изложена теория сфероидальных и эллипсоидальных
функций, даны сведения о функциях теории чисел.
Весьма подробно изложена теория производящих функ-
функций. Таблиц 13, иллюстраций 15, библ. 531 назв.
Настоящая книга, как и две предыдущие, явится
настольной для физиков-теоретиков и экспериментаторов,
инженеров-исследователей, математиков-прикладников
и др.
ШТАБ ПО ОСУЩЕСТВЛЕНИЮ ПРОЕКТА БЕЙТМЕНА
Директор
АРТУР ЭРДЕЙИ
Руководство штаба:
ВИЛЬГЕЛЬМ МАГНУС, ФрИЦ ОБЕРХЕТТИНГЕР.
ФРАНЦИСКО Г. ТРИКОМИ
Ассистенты:
Д. Бертин, Д. Л. Том сои,
В. Б, Ф а л к с, Мария А. Вебе р.
.Д. Р. Харви, Е. Л. Уитией

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 13
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИНТЕГРАЛЫ
13.1. Введение - 9
Часть первая. Эллиптические интегралы 9
13.2. Эллиптические интегралы 9
13.3. Приведение эллиптических интегралов 11
13.4. Периоды и особенности эллиптических интегралов . . . . 14
13.5. Приведение G (х) к нормальной форме 16
13.6. Вычисление эллиптических интегралов Лежандра 22
13.7. Некоторые дальнейшие свойства нормальных эллиптических интегралов Ле>
жандра 23
13.8. Полные эллиптические интегралы , 26
Часть вторая. Эллиптические функции . . . . 29
13.9. Обращение эллиптических интегралов ..'.'.'.'.'.'.'. 29
13.10. Двояко-периодические функции 30
13.11. Общие свойства эллиптических функций 32
13.12. Функции Вейерштрасса •> v 34
13.13. Дальнейшие свойства функций Вейерштрасса 36
13.14. Выражение эллиптических" функций и эллиптически'х'и'нт'егр'ал'ов через функ-
функции Вейерштрасса 39
13.15. Дескриптивные свойства и вырожденные случаи функций Вейерштрасса . . 42
13.16. Эллиптические функции Якоби , 43
13.17. Дальнейшие свойства эллиптических функция Якоби 46
13.18. Дескриптивные свойства и вырожденные случаи эллиптических функций
Якоби 50
13.19. Тета-фуикции S3
13.20. Выражение эллиптических функций н эллиптических интегралов через тета-
функции. Проблема обращения 57
13.21. Теория преобразования эллиптических функций 61
13.22. Уннмодуляриые преобразования 62
13.23. Преобразования второго порядка 65
13.24. Эллиптические модулярные функции 67
13.25. Конформные отображения . 68
Глава 14
АВТОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
14.1. Разрывные группы в дробно-линейные преобразования . 73
14.1.1. Дробно-лниейиые преобразования 73
14.1.2. Неподвижные точки. Классификация преобразований ......... 76

(j ОГЛАВЛЕНИЕ
14.1.3. Разрывные группы , 76
14.1.4 Фундаментальная область 76
14.2. Определение автоморфных функций 78
14.3. Группа икосаэдра 79
14.4. Параболические преобразования 81
14.6. Бесконечная циклическая группа с двумя неподвижными точками 83
14.6. Эллиптические модулярные функции 84
14.6.1. Модулярная группа 84
14.6-2. Модулярная функция J (г) 85
14.6.3. Подгруппы модулярной группы 88
14.6.4. Модулярные уравнения 90
14.6.5. Приложения к теории чисел 91
14.7. Общая теория автоморфных функций S1
14.7.1. Классификация групп 91
14.7.2. Общие теоремы об автоморфных функциях , . 92
14.8. Существование и конструкция автоморфиых функций 93
14.8.1. Общие замечания 93
14.8.2. Римановы поверхности г 94
14.8.3. Автоморфные формы. Тета-ряды Пуанкаре 94
14.9. Униформизация 95
14.10. Некоторые частные виды автоморфных функций 97
14.10.1. Функции треугольника Рннаиа - Шварца 97
14.10.2. Автоморфиые функции Бернсайда gg
14.11. Модулярные группы Гильберта 98
14-12. Функции Зигеля , 99
Глава 16
ФУНКЦИИ ЛАМЕ
15.1. Введение . . . , 103
IS. 1,1. Координаты, связанные с конфокальными областями второго порядка 103
15.1.2. Координаты конфокальных коиусов 106
15.1.3. Координаты конфокальных цнклид вращения 107
18.2. Урввнение Ламе щ
15.3. Уравнение Говна U2
15.4. Решения общего уравнения Ламе 116
15.5. Функции Ламе 117
15.5.1. Вещественные периоды функции Ламе 117
15.5.2. Функции Ламе с чисто мницым периодом. Формулы преобразования 122
15.5.3. Интегральные уравнения дли функций Ламе 124
15.5.4. Вырожденные случаи 126
15.6. Функции Ламе- Вангерииа 126
16.7. Эллипсоидальные и сферо-коиическне гармоники J30
15.8. Гармоники, связанные с цнклидами вращения 133
Глава 16
ФУНКЦИИ МАТЬЕ, СФЕРОИДАЛЬНЫЕ И ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ
ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ
16.1. В веде вне 136
16.1.1. Координаты эллиптического цилиндра 136
16.1.2. Координаты вытянутого эллипсоида вращения (вытянутого сфероида) 138

ОГЛАВЛЕНИЕ '
16.1.3. Координаты сжатого эллипсоида «ращения (сжатого сфероида) . . . 139
16.1.4. Эллипсоидальные координаты 140
Функции Матье 141
16.2. Общее уравнение Матье и его решение 141
16.3. Приближения, интегральные соотношения а интегральные уравнения для
решений общего уравнения Матье 14в
16.4. Периодические функции Матье 151
16.5. Разложения функций Матье и функций второго рода 155;
16.6. Модифицированные функции Матье 1БЗ ,
16.7. Приближения и асимптотические формы 162
16.8. Ряды, интегралы, задачи разложения 16S
Сфероидальные .волновые функции 169
16.9. Дифференциальное уравнение для сфероидальных волновых функций в его
решение 169.
16.10. Дальнейшие разложения, приближения, интегральные соотношения 175
16.11. Сфероидальные волновые функции 179.
16.12. Приближения и асимптотические формы для сфероидальных волновых
функций 183
16.13. Ряды и интегралы, содержащие сфероидальные волновые функцвн 187
Эллипсоидальные волновые функции
16.14. Волновое уравнение Ламе 189'
Глава 17
ВВЕДЕНИЕ В ФУНКЦИИ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
17.1. Элементарные теоретнко-чнеловые функции, порождаемые дэета-фуикцией
Римава 194
17.1.1. Обозначения и определения 194
17.1.2. Явные выражения и производящие функции 196
17.1.3. Соотношения и свойства 197
17.2. Раабиекня 200
17.2.1. Обозначения и определения 200
17.2.2. Разбиения н производящие функции 201
17.2.3. Свойства сравнений 203
17.2.4. Асимптотические формулы н родственные вопросы 204
17.3. Представления в виде суммы квадратов 204
17.3.1. Определения и обозначения 204
17.3.2. Формулы для г* (я) 206
17.4. Функция Рамануджана 207
17.5. Символ Лежандра- Якобн 209
17.6. Тригонометрические суммы и связанные с ними вопросы 210
17.7. Дзета-функция Римана и распределение простых чисел 211
17.8. Характеры и t-ряды 215
17.9. Дзета-фуикция Эпштейна 217
17.10. Целочисленные решетки 218
П.11. Тождества для функций Бесселя 219
Глава 18
РАЗЛИЧНЫЕ ФУНКЦИИ
18.1. Функция Миттаг-Лефлера Еа(г) и связанные с ней функции 221
18.2. Тригонометрические н гиперболические функции порядка я 226
18.3. Функция v(jf) и родственные функции 229

8 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 19
ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Часть первая. Общий обзор 236
19.1. Введение 236
19.2. Типичные примеры применения производящих функций 237
19.3. Общие теоремы 242
19.4. Символические соотношения 246
19.5. Асимптотические представления 249
Частьвторая. Формулы 250
19.6. Рациональные и алгебраические функции. Степени с произвольными показа-
показателями * 250
19.7. Показательные функции 253
19.8. Логарифмы, тригонометрические и обратные тригонометрические функция.
Другие элементарные функции и в* интегралы 261
19.9. Функции Бесселя Вырожденные гипергеочетрическае функции и их частные
случаи (функции параболического цилиндра и др ) 264
19.10. Гамма-функция. Функции Лежавдра и гипергеометрическая фуикцая Гаусса.
Обобщенные гипергеочетрические функции . 266
19.11. Производящие функции для многих переменных . 269
19.12. Некоторые производящие функции, связанные с ортогональными многочле-
многочленами 271
19.13. Производящие функции для некоторых непрерывных ортогональных систем 274
Цитированная литература 27S
Именной указатель .,,,...,.291
Предметный указатель 293
Указатель важнейших обозначений 298

ГЛАВА 13
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИНТЕГРАЛЫ
13.1. Введение
Эллиптические интегралы встречаются впервые у Джона Валлиса
в 1655—1659 гг. Они были известны Эйлеру, который в 1753 г. получил для
них теорему сложения. Лежандр, чья работа над эллиптическими интегра-
интегралами продолжалась многие десятилетия, ввел нормальные формы этих ин-
интегралов, которые применяются и в настоящее время. Якоби в 1828 г. ввел
эллиптические функции, получив их путем обращения (неопределенных)
эллиптических интегралов; кроме того, он систематически изучил тета-функ-
ции. Абель получил независимо от Якоби некоторые из его результатов. Он
также изучил интегралы, называемые сейчас гиперэллиптическими или абе-
левыми. Вейерштрасс показал, что теория эллиптических функций может
быть основана на теории функций комплексного переменного, и построил
общую теорию двояко-периодических функций.
История эллиптических функций изложена в статье Р. Фрике (R. Fricke)
в Encyklopadie A913). Эта статья содержит список литературы вплоть до
1913 г. Наиболее важные книги об эллиптических функциях, появившиеся
позже 1913 г., указаны в конце этой главы. Относительно более старой ли-
литературы отсылаем читателя к упомянутой статье Фрике.
Эта глава состоит из двух частей, первая из которых посвящена эллип-
эллиптическим интегралам, а вторая—эллиптическим функциям. Во второй части
рассматриваются как функции Якоби, так и функции Вейерштрасса. Первые
весьма полезны при численных расчетах, а вторые важны ввиду их симмет-
симметрии и простоты основных соотношений. Следует отметить, что Невиль (Ne-
(Neville; 1944) развил систематические обозначения для эллиптических функций
Якоби, с помощью которых заметно упростил соответствующие формулы;
в этой главе мы будем придерживаться традиционных обозначений, поскольку
их часто употребляют в современных pa6ofax Тета-функции также включены
во вторую часть, где, кроме того, есть небольшой раздел, касающийся эл-
эллиптических модулярных функций. Относительно дальнейшей информации
о модулярных функциях см. главу 14.
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
13.2. Эллиптические интегралы
Простейшими (неопределенными) интегралами являются интегралы от
рациональных функций. Следующим по простоте является тип интегралов
вида
$ О)

Ш ГЛ. 13. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИНТЕГРАЛЫ
где #—рациональная функция от двух переменных, а у—алгебраическая
функция от х. Это означает, что д удовлетворяет уравнению вида
Р(х,у) = 0, B)
где Р —многочлен степени п от двух переменных. Такие интегралы назы-
называют абелееыми интегралами.
Замечательной особенностью теории абелевых интегралов является то,
что поведение интеграла A) зависит не столько от природы функции R,
сколько от природы функции Р, или, точнее говоря, от алгебраической кри-
кривой С„ в (х, у)-плоскости, выражаемой уравнением B). В теории абелевых
интегралов алгебраические кривые степени п классифицируются по их роду
Род равен разности между наибольшим возможным числом (П~п ) двой-
двойных точек невырожденной кривой степени п и наличным числом двойных
точек d рассматриваемой кривой. Род является бирациональным инвариан-
инвариантом, т. е. он остается неизменным, если подвергнуть кривую бирациональ-
ному преобразованию
дг=7?1(|,Т1), y=R2(t.rd, D)
где рациональные функции R1 и #2 таковы, что существуют две другие ра-
рациональные функции R3 и Ri такие, что
Б = Я»(х. У), r\=Rt{x,y). E)
Кривые рода нуль называются уникурсальными (или рациональными)
Кривыми. Известно, что для таких кривых х и у могут быть выражены как
рациональные функции параметра. Так как рациональные функции одно-
однозначны, этот параметр является униформизирующей переменной для кривой.
Если принять этот параметр за новую переменную интегрирования в A), то
подынтегральная функция окажется рациональной функцией параметра и
интеграл может быть вычислен в элементарных функциях (парамегра). Сам
параметр является алгебраической функцией от х. Следовательно, абелевы
интегралы рода нуль могут быть выражены через элементарные и алгебраи-
алгебраические функции.
Для алгебраических кривых рода один Клебш (Clebsch; 1865; доказал,
что х и у могут быть выражены как рациональные функции двух параметров
? и г], где if является многочленом от | третьей или четвертой степени.
Введем I как новое переменное интегрирования а интеграл A), тогдт каж-
каждый интеграл рода один сводится к интегралу, для которого уравнение B)
имеет вид
2 * + 43 + 6^ + 4 F)
где либо а„ ф 0, либо ао = ° и % Ф 0. Интегралы, определяемые формулами
A), F), называют эллиптическими интегралами, и мы показали, что абелевы
интегралы рода один можно свести с помощью рациональной подстановки
к эллиптическим интегралам. Ниже, в п. 13.14, мы увидим, что в уравне-
уравнении F), а следовательно, и для любой алгебраической кривой рода от,ин,
можно выразить переменные х и у рационально через однозчачную эллип-
эллиптическую функцию переменной г, которая является униформизирующей пе-
переменной для рассматриваемой кривой.
При р=з2 ситуация значительно сложнее. Мы имеем здесь гиперэллип-
гиперэллиптические интегралы, для которых уравнение B) имеет вид
Н. ••+*„• G)

13.3. ПРИВЕДЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ Н
Однако не все кривые можно преобразовать с помощью бнрационального
преобразования к виду G). Поэтому гиперэллиптических функций недоста-
недостаточно для униформнзации алгебраических кривых рода рЭ=2 и для этого
приходится использовать еще автоморфные функции, см. также п. 14.9.
В этой главе мы ограничимся рассмотрением эллиптических интегралов,
определяемых равенствами A), F), и эллиптических функций, связанных
с такими интегралами. Многочлен в правой части равенства F) при ao-fi0
будем обозначать через G4(x), а при ай = 0, аг ф 0—через G3(x). Если много-
многочлен в правой части равенства F) имеет двойной нуль, то интеграл / может
быть выражен через элементарные функции. Поэтому мы будем предпола-
предполагать, что G4 (или Gs) не имеет двойных нулей.
13.3. Приведение эллиптических интегралов
В п. 13.2 было указано, что свойства эллиптического интеграла
(*, y)dx, j/2 = flex* + 4o1x3 + 6o8Jt*+4o3JC+a1 A)
более зависят от многочлена a0x4 + ... + а4> чем от рациональной функции/?.
Это утверждение оправдывается и значительно уточняется следующей тео-
теоремой, принадлежащей Лежандру.
Эллиптический интеграл A) может быть выражен в виде линейной
комбинации (с постоянными коэффициентами) интеграла от рациональной
функции аргумента х и интегралов следующих видов:
*.
У
где с—постоянный параметр и
'Н'-т C)
интерпретируется как интеграл ls, соответствующий случаю с = оо. Приве-
Приведение выполняется в несколько шагов.
Поскольку любая четная степень у может быть выражена в виде много-
многочлена от х, то R можно представить в виде
\у [Ml(x) + M2(x)y][N1(x)-Ni(x)y]y
где Mlt Мц, Nlr Nt являются многочленами от х. Это выражение можно
переписать так:
*l*.rt-«iM+^. E)
где Ri{x) и #а (х)~рациональные функции. Этим завершается первый шаг
процесса приведения.
Второй шаг заключается в том, что рациональная функция Rt (x) раз-
разлагается на многочлен от х и сумму элементарных дробей. Таким образом,
л т, г
и вам достаточно в дальнейшем рассмотреть интегралы
хп
п

12 гл. 13. эллиптические функции и интегралы
Третий шаг процесса приведения основан на некоторых рекуррентных
соотношениях для интегралов /„ и Нг. Определим Ьй, ..., bt с помощью
тождества
2 + Aasx + а4 =
= Ь0 (x-c)« + 46i (х-с)8 + 6&2 (х-с)* + 4Ья (x—c)+bt. (8)
Мы имеем тогда следующие тождества:
my'
+ ±хт Dйох»+ 12а^+ 12а4*+4й8I =
+2Bm+3)ai—-+6(/n + l)a2i— +
is if
^^, (9)
Полагая в (9) т = 0, 1, 2, ..., а в A0) т. — — 1, —2, —3, ... и интегри-
интегрируя, последовательно получаем
~Г dx+2'
•-8-»A-(S?^.
A2)
Но
JlZf Jfc=f)! A3)
Следовательно, равенства A1) и A2) позволяют выразить /„ и Нг через Jo,
Jlt /2, Нг и некоторые рациональные функции от х и у. Кроме того, срав-
сравнивая G) с B) и C), мы видим, что
/, = /lt Jt = l%, a0J2^2Ia-2a1ll, Я1 = /8. A4)
Тем самым теорема Лежандра доказана.
Если (io=O. а следовательно, и Ь0 = 0, то описанный процесс несколько
упрощается. В этом случае
/„ = ^/8, ао=0 A5)

13.3. ПРИВЕДЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ
13
и, следовательно, все интегралы сводятся к линейной комбинации интегра-
интегралов Л, /„ /, Из A1) и A2) видно, что в этом случае все интегралы / иЯ
могут быть выражены через интегралы /„. Л. #i и рациональные функции
от х и у.
Интегралы Ilt I2, 13 называются соответствеиио эллиптическими инте-
интегралами первого, второго и третьего рода.
Если сделать в A) дробно линейное преобразование переменной интегри-
интегрирования, то многочлен у* изменится. Выбирая соответствующее преобразова-
преобразование этого вида, можно свести многочлен к стандартной форме (см. п. 13,5),
Обычно применяются две такие стандартные формы, и мы укажем в этом
пункте наиболее важные результаты для каждой из этих двух стандартных
форм, а также дадим краткие сведения относительно третьей формы.
Форма Вейерштрасса. Здесь
#а = 4дс«—gix— g3. A6)
Интегралами первого, второго и третьего рода являются соответственно
dx
=1
(х-с) D**--яах:--?зIЛ'
Первыми рекуррентными соотношениями являются
A7)
A8)
Форма Лежандра. Здесь
y* = (\~x*)(l-k*x*). A9)
Принято определять соответствующие эллиптические интегралы первого,
второго и третьего рода соответственно формулами
dx Г ^ф
1A— x*){l—k*x*)]l/' J A—fe^sin^I/!
П=:[- *Е
I
dif
A — с"
A —Л* sin» ф)'/» '
B0)

14 гл. 13. эллиптические функций и интегралы
Основными интегралами общей теории являются
/(f?)
B2)
^A-,„
: in B3)
(*2—с*)[A — ж*)A— *«x«)Jv» с '
Xdx B4)
— л--
[A-*»)A-*«*»)]'«
Первый интеграл во второй строке формулы B3) и интеграл B4) могут быть
выражены через элементарные функции, а потому любой интеграл можно
выразить через Е, F, П. Рекуррентное соотношение для /„ имеет вид
= ** Ц1—Х*) O—
а рекуррентное соотношение для Нг может быть получено из равенства A2).
Третий канонический вид
у*=х(х-т)(х-\) B6)
был вв-гден Лау (A. R. Low; 1950). В некотором смысле он занимает про-
промежуточное положение между формами Вейерштрасса и Лежандра и обла-
обладает некоторыми преимуществами, присущими и тому и другому. Он может
быть получен из формы Вейерштрасса с помощью сдвига и нормализации,
а из формы Лежандра с помощью подстановки х2—1/1, </2= Г|2/?8. Недав-
Недавние исследования показали, что параметр т соответствует параметру к2
в форме Лежандра.
13.4. Периоды и особенности эллиптических интегралов
Мы будем рассматривать
X
JO«, (О
где
t,»=Q (S)=fl,g«+4o1g» + 6aal»+4a^+fl«. B)
и изучим / (х) как функцию от верхнего предела х, считая нижний предел а
f и таким, что подынтегральная функция регулярна в точке
Под знаком интеграла стоит двузначная функция от |, точки ветвления ко-
которой совпадают с точками ветвления для щ; нам будет удобнее изучать поведе-
поведение / (х) не на ^-плоскости, а на римановой поверхности для функции [G (х)рг.

13.4. ПЕРИОДЫ И ОСОБЕННОСТИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ 15
В случае, когда Оц ф 0, обозначим через ах, а3, а*, а* четыре (различ-
(различных) нуля функции G« (а:); если же ао = 0 (и ах ф 0), то через щ, otj, 0С3 обоз-
обозначим три (различных) нуля G^(x) и положим а4=оо. В обоих случаях
соединим % и а2 дугою с, a oca и а4—дугою с', ие пересекающейся с с.
Разрежем два экземпляра комплексной х-плоскости вдоль кривых с и с' и
склеим эти экземпляры крест-накрест вдоль разрезов. Мы получим тог-
IlTU?
да модель римановой поверхности Э{
для функции [G (х)]1/'. Подынтегральная
функция R (х, у) мероморфна на поверх-
поверхности 31, т. *. R (х, у) является однознач-
' ной функцией от х на 5?> всюду анали-
тичной, за исключением конечного числа
точек, где она может иметь полюсы. С дру-
другой стороны, / (х) является многозначной
функцией на 31, так как на поверхности 31
существуют замкнутые кривые Г, которые
нельзя деформировать в точку и на которых
С R&X Ф 0. Примерами таких кривых яв-
являются Vi и Тз на рис. 1. (Кривая пересе-
пересекает разрезы, и часть, изображенная пунк-
пунктиром, лежит на «втором листе» римано-
римановой поверхности.) Кроме того, существуют
кривые, окружающие полюсы, в которых
вычеты не равны нулю. Пусть Ь1 — один из
полюсов функции R и rt —вычет функции
R в полюсе bt. Пусть С—любая замкнутая кривая на римановой Поверх-
Поверхности 5?. Деформируя ее, получаем
Res
Рис. I.
Ye
где т, ft, Pt— целые числа (положительные, отрицательные или равные нулю).
Это показывает, что если /0(^)—одно из возможных значений /(х), то
все остальные значения этой функции имеют вид
C)
fi^—некоторые комплекс-
комплексназывают периодами или
где т.у, ..., тк—любые целые числа, a Q^ .
ные числа, не зависящие от х. Числа щ,...
модулями периодичности функции I (х).
Каждый эллиптический интеграл имеет по меньшей мере два периода
(например, периоды, соответствующие кривым Yi и уг). Подынтегральные
функции интегралов /, и /а в 13.3 B) не имеют отличных от нуля вычетов
в разрезанной плоскости, следовательно, эллиптические интегралы первого
и второго рода имеют ровно два (независимых) периода. С другой стороны,
для подынтегральной функции в /3 х = с является простым полюсом с вычетом
[G (с)]~'/'2. Следовательно, эллиптические интегралы третьего рода имеют
три (независимых) периода.
Мы можем теперь описать особые точки эллиптических интегралов пер-
первого, второго и третьего рода. Все они имеют точки ветвления при x=alt
Oj, a3, a4 и их значения в этих точках ветвления конечны, за единственным
исключением—точки at=a> для /2 в случае ао=О. Кроме того, мы имеем
следующие свойства этих интегралов.
Эллиптические интегралы первого рода аналитичны на римановой поверх-
поверхности 91, исключая точки х=ах, <Xj, a,, a4. Они конечны в каждой точке

16 ГЛ. 13. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИНТЕГРАЛЫ
ри маковой поверхности &. Это очевидно из свойств подынтегральной
функции.
Эллиптические интегралы второго рода аполитичны на римановой поверх-
поверхности 5?» исключая точки х — а.^, а2, а3, а4 и оо. Если а0 Ф О, то прих = а>
вти интегралы имеют полюс. (Если а0 — 0, то а4=а> и интеграл /2 имеет
здесь точку ветвления и принимает в ней бесконечное значение.) Если а0 ф О,
то мы имеем два полюса на бесконечности, по одному на каждом листе
поверхности SI, причем вычеты в этих полюсах равны нулю.
Эллиптические интегралы третьего рода аналитичны на 31, исключая
точки .* = «!, а2, а3, а4 и с. При х = с они имеют логарифмическую особен-
особенность. Мы имеем две точки х = с, по одной на каждом листе римаиовой
поверхности 5? и /3 в этих точках имеет логарифмическую особенность вида
±[О(с)Г*Чп{х-с).
Различие в свойствах эллиптических интегралов показывает, что, вообще
говоря (т. е. за исключением некоторых специальных значений с или х),
эллиптический интеграл третьего рода не может быть сведен к эллиптическим
интегралам первого и второго рода.
Другое любопытное свойство эллиптических интегралов третьего рода
выражается теоремой перестановки. Пусть
Тогда
h(x,c)-Ii(c,x) =
Относительно доказательства сформулированных в этом пункте утверж-
утверждений и дальнейших деталей см. Tricomi A937).
13.5. Приведение G(x) к нормальной форме
При изучении эллиптических интегралов удобно приводить многочлен
G (x)=aoxi+4a1x» + 6aix^ + 4a3x+ai^yi A)
к одной из двух стандартных форм, указанных в п. 13.3. Это приведение
выполняется с помощью дробно-линейного преобразования переменной х.
Для формы Вейерштрасса один из нулей функции О (х) отображается в бес-
бесконечно удаленную точку, а центр тяжести оставшихся грех нулей совмеща-
совмещается с точкой х — 0. Для приведения к форме Лежандра выбирают пару
точек Zi, z2, образующую ангармоническую четверку с двумя непересекаю-
непересекающимися парами нулей многочлена G (*)> т. е. такую, что
zx—аг ' za—а2 ' zt—а4 " z2—а4
и точки 2V z2 отображаются в нуль и в бесконечно удаленную точку. Поскольку
четыре корня многочлена G (х) можно тремя различными способами разбить
на две пары, мы получаем три различных пути приведения данного многочлена
О(х) к форме Лежандра. Форма Вейерштрасса более симметрична и поэтому
более удобна для теоретических исследований; форма Лежаидра более стан-
стандартизирована и поэтому более удобна в численных расчетах. Большинство
из существующих таблиц эллиптических интегралов вычислены для формы
Лежандра. Мы опишем здесь кратко приведение к обеим стандартным формам.

13.5. ПРИВЕДЕНИЕ G(Jtr) К НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ
17
Приведение к нормальной форме Вейерштрасса. Если а„ Ф 0, то мы сводим
G (х) к кубическому многочлену с помощью преобразования
*--Х* y==
W'
где at—один ив нулей функции G (я). Это преобразование переводит много-
многочлен A) в
ГАе Л 2 з ' , 4 ' ¦
1
D)
"« — 24 v *' — °"
Если dj = 0, то многочлен A) уже имеет форму C) и поэтому не требуется
выполнять предварительное преобразование.
Далее, исключим член, содержащий квадрат независимого переменного.
Для этого выполним преобразование
которое преобразует C) к форме Вейерштрасса
Из D) и G) видно, что
ga=2A1AiA3-Al-A\Ai.
а0
«а
(S)
F)
G)
(8)
являются инвариантами кривой четвертой степени G(x) = O; см., например,
Burnside и Panton A892, п. 160), где даны выражения этих инвариантов в
виде симметрических функций от корней многочлена G(x). Следует отметить,
что окончательная форма F) не зависит от того, какой именно нуль много-
многочлена G (х) отображен в бесконечно удаленную точку, а также что коэффи-
коэффициенты многочлена F) являются рациональными функциями (точнее говоря,
многочленами) от коэффициентов A). В частности, если а0, .. ., а4—вещест-
а4—вещественные числа, то gn и g3 также вещестпениы.
Приведение к но'рмальной форме Лежандра. Покажем сначала, что много-
многочлен G (х) может быть следующим образом разложен на множителя:
х-уП - (9)
В самом деле, многочлен G (х) всегда можно представить в виде
G(x) = Q1(x)Q2(x),
\
i. f
Если для некоторого Я выполняется условие
A1)

18 ГЛ. 13. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИНТЕГРАЛЫ
то Qx—^Qs является точным квадратом. Пусть Хх, к2—корни уравнения A1),
тогда
и, следовательно,
«—#f.l«_ni.J.f..l«_W. . ^
где В1( ..., V—некоторые постоянные; тем самым доказано равенство (9).
Далее, пусть а„, ..., at—вещественные числа и G (х) имеет по крайней
мере одну пару комплексных корней, скажем, пусть Qi(x) имеет комплекс-
комплексные корни. Тогда левая часть равенства A1) положительна при Я = 0 и
отрицательна или равна нулю при K^pjp^; поэтому корни X, и Х2 уравне-
уравнения (И) вещественны, а потому Р и у в A2) вещественны. Следовательно,
вещественны и Blt ..., Сг в формуле A3). Если же а0, ..., а4—вещест-
а4—вещественны и все корни многочлена G (х) вещественны, то разложение A0) можно
выбрать так, чтобы нули многочлена Ot(x) не перемежались с нулями
многочлена Q2 (*)• Легко видеть, что в этом случае Вх у—веществен-
у—вещественные числа. Таким образом, для вещественного многочлена G (х) всегда
существует вещественное разложение вида (9). Это разложение имеет место
как для Gt, так и для Gs. В последнем случае либо Bi+C1 = 0, либо
С 0
Полагая в (9)
получаем нормальную форму Лежандра
A5)
Величину А называют лоЗулелс. Не теряя общности, можно считать, что
)/га|<1, причем в случае, когда |fea) = l, можно, изменив группировку
нулей, сделать так, что |?2| < 1. Единственным исключением является так
называемый эквиангармонический случай, когда —k1 является комплексным
кубическим корнем из единицы. Этот исключительный случай встречается,
когда корни многочлена A—12)A — Щ?) лежат на концах двух диаметров
единичного круга, образующих друг с другом угол л/6. В случае, когда
коэффициенты в (I) вещественны и G(jc)SsO, на промежутке интегрирования
можно указать иную формулу приведения. В этом случае приведение может
быть выполнено с помощью вещественного преобразования так, чтобы имело
место неравенство 0 < fe2 < 1. Мы выполним это приведение в тригономет-
тригонометрической форме (переменная ф в равенстве 13.3 B0))
уа = созафA—&2sin29). A7)
Делением на положительное число мы можем добиться того, чтобы коэффи-
коэффициент при старшем члене (а0 в Gt или at в G8) равнялся ± 1. Поэтому
можно считать, что многочлен G (я) имеет вид
-«<>• A8)
где i=l, 2, 3, 4 или » = 1, 2, 3 в зависимости от того, имеет ли многочлен G
четвертую или третью степень. Мы будем использовать сокращенные обо-

13.5. приведение 0(х) к нормальной форме
значения
—аг. A9)
54- " B0)
где u.—постоянное и
__dx___ dip
11
Таким образом, ц связано с обращением эллиптических интегралов пер-
первого рода.
Табл. 1 дает формулы преобразования для случая, когда все корни
многочлена G (х) вещественны, причем предполагается, что
B3)
(в случае многочлена G3 надо опустить <х4). Для каждого из двух возмож-
возможных значений 1 или —1 коэффициента при старшем члене многочлена G (х)
таблица дает перечень промежутков, в которых G (х) ^ 0, формулы преоб-
преобразования, некоторые соответствующие значения of, значения &2 и р,.
Табл. 2 дает соответствующие преобразования в случае, когда много-
многочлен имеет комплексные корни. В случае многочлена G3 вещественным
корнем является ах, а комплексными
Ь ± ic, О 0. B4)
В случае многочлена G4< имеющего два вещественных корня и пару комп-
комплексных корней, al > Og являются вещественными корнями, а равенство B4)
задает комплексные корни. В случае, когда G« имеет две пары комплексно
сопряженных корней, эти корни имеют вид
*i±»Ci, &1±«с„ *i3&*,, C!>0, с8>0. B5)
В этой таблице формулы преобразований, А2 и ft выражены через некото-
некоторые вспомогательные величины, определяемые равенствами
¦ va "^ "l j.  ~\" vi
'tg-i-s-^tg-^-l
B6)
tg = E г-» *Ве4 = ь Г'
18 2=E5sT4-
Формулы преобразования, данные в этих таблицах, остаются справед-
справедливыми и в случае, когда нули G (х) не удовлетворяют условиям, указан-
указанным в первом столбце таблицы, и равенствам B3)—B5); однако в этом слу-
случае преобразования и величина fe2 являются, вообще говоря, комплексными.
Есть много таблиц интегралов, учебников и работ, где даны таблицы
формул приведения эллиптических интегралов к нормальной форме. Мы
укажем книги Grobner, Hofreiter A949, пп. 241—246, 1950, пп. 221—223);
Янке—Эмде—Лёш A964, стр. 96—98); Magnus и Oberhettinger A949, гл. VII);
Meyer zur Capellen A950, п. 2.3); Oberhettinger и Magnus A949, п. 2), Tricomi
A937, стр. 76, 77) и И. С. Градштейн и И. М. Рыжик A963, стр. 233—295).

Таблица 1
Преобразования к нормальной форме Леяандра. Все нули О (х) вещественны
Нули
0(х)
04 (x) имеет
четыре ве-
вещественных
нуля
0,(х) имеет
три вещест-
вещественных нуля
Коэффи-
Коэффициент
при
старшем
члене
+ 1
-1
+ 1
-1
*
Промежуток
а, < х или
*<а4
а, < х < а,
а4 < х < а,
а, < * < а,
а, <*<«*
о, < х
а, < х < а,
Преобразование
х=
ai«4s-aja41 sin» ф
a4,—a4, sin* ф
aja4i-a4a,2 sin* ф
«42 ~аал "Я1 ф
<z4a!M-t-<x,a4a sin9 Ф
««+«4» sra1 ф
OiGL,t— ОБ$(Х9| Sin8 ф
«м-Вц »>na ф
«s+а.г sin2 Ф
Oi—oij <in' ф
1 —sin8 ф
Ot»l
а>а»1-«»«г1 sins?>
«л—asl sin^ ф
sin' cp=
atl x-a,
a41 x-a,
аАг x-a,
a,j x-at
«11 *-««
«4t «t-«
И»1 *-«2
«л д:-а,
Ом
x-ai
х-аг
«„ Jt-a,
Соответствующие
значений
х 1 q>
a,
a4
«t
«2
«4
a,
a,
a,
as
a,
a,
a>
— 00
a,
0
Я/2
0
K/9
0
П/2
0
Л/2
0
Я/2
0
It/2
0
Я/2
0
Я/2
**
(а!а2а4а,)
(a,asata,)
a«
a»
o^
a»
2
2

Преобразования к нормальной форме Лежандра. О (ж) имеет комплексные пули
Таблица 2
Нули в (л)
0, (ж) имеет
два вещ<ет-
венныч и два
комплексных
нуля
О я (х) имеет
два комп-
комплексных нуля
С« (х) имеет
четыре комп-
комплексных нуля
О, (х) имеет
четыре комп-
комплексных куля
Коэффи-
Коэффициент
при
старшем
члене
1
-1
1
-1
1
Проме-
Промежуток
а,<х ила
a, <*<ai
*<*
*<-
Преобразование
— Cti + Cbj Oti — Otj V —СО8 ф
*"' 2 2 1-гсозф
Ф, cos в, а, -х
6 2 соввгд:-аа
с I—cos ф
1 СОвв! 1+СО8ф
,=*1+е1*г(ф+9'/')
д: = bi—Cx ctgф
Вспомога-
Вспомогательные
величины
в, острый
92 тупой
6j, 9j острые
8i тупой
6i острый
е„ et, ^-
острые
Соответствующие
значения
QD
— се
СО
ф
0 S
Я
о'
Я
*+е,+е4
2
е,+е<
~ 2
я-е,-е«
2
**
sia2e.
И
(-cos61cose,)l/2
с
(cos6, cos6 ,)г'2
с
/'-ео.е.У'»
Ч с У
/cose.y/*
j_
«1
СО
ел
a
•о
х
а
т
)
т
О
х
о
-о
>
О"
I

22 гл. 13. эллиптические функции и интегралы
Приведенные здесь таблицы заимствованы нз книги Tricomi. См. также книгу
Byrd, Friedman A954).
Относительно вычисления эллиптических интегралов с помощью эллип-
эллиптических функций см. п. 13.14; относительно их выражения через тета-
функции см. п. 13.20.
13.6. Вычисление эллиптических интегралов Лежандра
В шт. 13.3 и 13.5 было описано, как приводится любой эллиптический
интеграл к эллиптическим интегралам первого, второго н третьего рода в нор-
нормальной форме. Выражение интегралов в нормальной форме Вейерштрасса
через эллиптические функции Вейерштрасса будет дано в п. 13.14; в этом
пункте мы рассмотрим вычисление эллиптических интегралов Лежандра.
Сначала уточним определение 13.3B0), положив
<р
F(ф, А)= J A —к* sin? *)-1/s it, A)
о
<р
Е (ф. к) «* J A — к* sin* 01/a Л, B)
о
П(ф, v, *)=\ (l + vain*t)-1 (l-k*sin*t)~1/lldt. C)
о
Напомним, что за исключением эквиангармонического случая приведение
может быть выполнено так, чтобы удовлетворялось условие
Интегралы первого и второго рода могут быть вычислены путем разло-
разложения подынтегральной функции по биномиальной формуле:
E)
F)
я=о
гае
Т1 /л» _J_ м I
G)
s (-и-(.!:„) ^^i. («)
Таким образом, в вещественном случае мы получаем хорошо сходящиеся
ряды для вычисления F и Е Если модуль k близок к единице, то ряды
сходятся медленно и в этом случае должны быть использованы другие,
более сложные разложения Некоторые из таких разложений даны Радоном:
(Radon; 1950), который указал также разложения для F и Е в тригономет-
тригонометрические ряды Есть много обширных численных таблиц для эллиптических
интегралов первого и второго рода; см. Янке—Эмде—Лёш A964, стр. 103—108),
Fletcher, Miller и Rosenhead A946, п. 21).

13.7. СВОЙСТВА НОРМАЛЬНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ 23
Вычисление эллиптических интегралов третьего рода значительно более
громоздко, поскольку они зависят от трех параметров. Аналогом равенств
E) и (б) является
? 4»/в> (?) S4(9). (9)
где
— усеченное биномиальное разложение. Условие | v] < 1 в (9) ограничивает
полезность этого разложения. Относительно других разложений см. Ra-
Radon A950).
Относительно вычисления П (<р, v, k) с помощью тета-функций и эллип-
эллиптических функций Якоби см. п. 13.20.
Отметим, что
П(Ф> 0, k)=F(q>, ft), (It)
-#")П (ф, -ft», к) =
, -1, ft) = (l-fc2)Ffo, k)-E(<?, ft) + tg?(l-fe»6in^I/s. A3)
13.7. Некоторые дальнейшие свойства нормальных
эллиптических интегралов Лежандра
Интегралы
K=K(ft) = F(n/2, k), Е = Е(*) = ?(я/2, k) A)
являются соответственно полными эллиптическими интегралами первого я
второго рода. Назовем-
k'^l-k*I'* B)
дополнительным модулем. Тогда
К' = К'(*)=^(я/2, *'). E' = E'(*) = E(ji/2, k'). C)
Неполные эллиптические интегралы F (ф, k) и Е (ф, k) являются мно-
многозначными функциями на римаиовол поверхности gi функции у, опреде-
определенной равенством 13 3 A9) Точками ветвления являются х = втф=?1(
±k~x. Периоды можно выразить через полные эллиптические интегралы.
Интегралы Периоды
F(<f, k), 4K, 2гК',
), 4Е, 2«(К' —Е').
Первый из этих периодов называется вещественным, а второй—мнимым
периодом (поскольку они соответственно вещественны или мнимы, когда
0fcl)
)
Хотя F(cp, К) и Е (ф, k) являются многозначными функциями 9
на римановой поверхности Щ, функция Е, рассматриваемая как функция
от F, однозначна на ?А; разумеется, мы рассматриваем здесь лишь соответ-
соответствующие друг другу значения Е и F, получаемые при интегрировании
вдоль одного н того же пути. Это приводит к функции Якоби ? (и),
см. п. 13.16.

24 - ГЛ. 13. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИНТЕГРАЛЫ
Эллиптические интегралы, как и эллиптические функции, обладают
теоремами сложения. Пусть заданы ф и if. Определим X из равенств
A—ft* sin* ф sin* if) sin Х=
= sin ф cos if A —ft* sin* ifI/s + sin if аюф A — ft* sin* фI/4,
A—ft8 sin* ф sin* if) cos X= Г ^
= cos ф cos if—sin ф sin if A—ft* sin* фI/'*A—ft* sin* ifI^2.
Обозначим через «sa соотношение (конгруэнтности) между двумя функциями,
отличаюшимися друг от друга лишь линейной комбинацией их периодов
(с постоянными коэффициентами) Тогда
E)
F (X) = Е (ф) + Е 0|>)—ft* sin ф sin ф sin х F)
являются теоремами сложения для Е (ф, ft), f (ф, ft).
Теорему перестановки, указанную в п 13.4, удобнее всего выражать
для эллиптического интеграла третьего рода
J A_
=.ctgi|)(l-ft*sin*T|5I/2[n(9> -ft* sin* if, A)-F(9, ft)]. G)
Она имеет для него вид
П*(Ф, ^)—П* (t|j, ф^(ф)?(г|>)-Р0|5)?(ф) + Лл*. (8)
Здесь в сиуволах всех эллиптических интегралов опускается ft, и л является
целым числом.
Обе теоремы сложения и теорема перестановки зависят от связи между
эллиптическими интегралами и эллиптическими функциями
В п. 13 5 было указано, что перегруппировка нулей для G (х) приводит
к изменению модуля. Если k—первоначальное значение модуля, то путем
такой перегруппировки мы можем получить одно из следующих значений
модуля:
у JL ft' 1 ± Л л»
ft> k' • • k ¦ ft' * ift ¦ w
Эллиптические интегралы, принадлежащие любым двум из этих модулей.
связаны друг с другом рациональными соотношениями (линейными преобра-
преобразованиями). К выражениям, перечисленным в (9), добавим
Эллиптические интегралы от модулей ft и A0) также связаны рациональными
соотношениями (преобразования Ландена)
Табл. 3 дает для любого из модулей (9) или A0), обозначенного
через ft', преобразованное значение ф, выраженное через ф и ft, а также
F(cp, ft) и ?(ф, k), выраженные через F (<p, ft), ?(<p, ft), ф и ft. Мы исполь-
используем здесь, как и выше, обозначения B) и сокращенные обозначения
Д(я/2, fc) = ft'. (И)

13.7. СВОЙСТВА НОРМАЛЬНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ
25
в
в
ч
IS
л
о
S
о.
S
X
S
g
S
S
h
Б
В
к
ж
X
л
1
1
Ipeo
.
1*.
•е-
CDS
•8-
§
&
^*
1
1
ч
_
!
-
•
—
(ф,
1
&
ЕЦ
к«
7
IS-
-* §
1 и
9-
ft'
&
9-
|
(Ф.
«?"
1
э.
-ift'F
¦
COSI
е-
a»
-ь
1 [
е-
е-
с
a-
*
S
ё
ч
1 I
ft)
&
k'F I
ft)
Д (Ф.
s-
' sin
—
s- -.
о
о
&
с
—
.«г
1
*
(Ф.
1
¦**
В
ч
*
¦ё
7
&
uis з
&
&
3
С
S
1
&
k'F
+
&
f
1
л;
1
&
1
е-
S
U
&
sin
+
1-ft'
&

26 ГЛ. 13. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИНТЕГРАЛЫ
Величина <р в этой таблице определена с точностью до кратного 2п заданием
Sirup И СОЗф.
Отметим также формулы дифференцирования
dF_ I [E-k'*F sing)cosф1 дЕ E—F
dk~k*l k Д(Ф> к, J ' Ш~~Т~- W
13.8. Полные эллиптические интегралы
Мы будем использовать следующие обозначения для полных эллиптиче-
эллиптических интегралов первого, второго и третьего рода:
я/г 1
К = К(й)= I 7
/г 1
I 7--.=; I -_. (П
о о
Я/% 1
Е=Е (ft)= j Д (ф, к) Лр= Г D^f-)V' *f, B)
я/» 1
(v, ft)- j {i
о о
Из 13.6 (8) следует
л/а
]^*-!!^*.. D)
о
Используя это в 13.6E), F) и (9), имеем
В формулах E) и F) ^
является гипергеометрическим рядом Гаусса, см. гл. 2. Трикоми (Trlcoml;
19Э5, 1936/ указал также разложение
[][(+)Ь ^ (8)
н неравенства
+/ (9)
Из E) видно, что К (k) является монотонно возрастающей функцией от к на

13.8. ПОЛНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
27
промежутке 0 < k < 1. К@) = я/2, и из (9) видно, что К логарифмически
стремится к бесконечности, когда k —> 1. Более точно,
"infc'). ft'-i-O. A0)
С другой стороны, F) показывает, что функция Е убывает в промежутке
О < k < 1 и из B) следует, что
1<Е<я/2, 0<?<1. A1)
Разложения, справедливые в окрестности точки k=l, были указаны многими
авторами; см., например, Radon A950). Отметим также формулу для инте-
интегралов третьего рода, выведенную Гамелем (Hamel; 1932).
Относительно вычисления полных эллиптических интегралов первого
и второго рода с помощью тета функций см. п. 13.20.
Соответственно преобразованиям табл. 3 имеют место преобразования
полных эллиптических интегралов. Они указаны в табл. 4 (точки ветвления
обходятся выше вещественной оси).
Таблица 4
к
1
к
к'
1
~кГ
ik
к'
1к
1-*'
l+k'
2k1''
\+k
Преобразования
К«*>
* (К+/К0
К'
*К'
1+fe'
„¦«к
К'<*>
*К'
к
«'К
*' (К'+Ж)
МК+Ж')
( + Ж
2
полных эллиптических
-А
В'
к'
4--
Е+*'К
1+fc'
2E-ft'*K
«+*
интегралов
К,
'К,
Е
-р-Е
2E'-i*K'
l+k'
E'+ftK'
1+ft
Преобразования
A2)
играют особо важную роль, поскольку их можно использовать для отыска-
отыскания численных значений К. Первое равенство в A2) можно также записать
в виде
a 2fe/Vl

2$ ГЛ. 13, 8ЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИНТЕГРАЛЫ
Здесь к' < k < 1 при 0 < k' < 1. Если повторить это преобразование не-
несколько раз, то к' быстро стремится к единице. Соответствующее значение
К@) равно я/2. Положив теперь
К4'
Последовательно применяя преобразование A2), получаем
Для четырех полных эллиптических интегралов, принадлежащих допол-
дополнительным модулям, мы имеем соотношения Лежандра
КЕ'+К'Е—КК' = я/2. A5)
Для частных значений k укажем следующие соотношения:
К B-'/.)=К' B-V.) = Щ4»! , A6)
4я'«
A7)
К' B1/»_ 1)=21/'КB1/'— 1), A8)
^ , A9)
К' (е'я/«) - е""' К (е'"/') = Я^ГA/6) е - W.. B0)
' 2.3vTB/3)
Перво? из этих соотношений соответствует лемнискатным функциям, которые
возникают при обращении интеграла
$A-*
а последние соотношеиия отвечают жвиангармоническомд случаю для эллип-
эллиптических интегралов.
Полные эллиптические интегралы третьего рода Пг (v, ft) могут быть
выражены через неполные эллиптические интегралы первого и второго рода.
При v > —1 это было отмечено Лежандром, а для v<—1 (когда надо
брать главное значение интеграла в смысле Коши) доказано Трикоми. Пара-
Параметр v выражается через вспомогательную величину 9; при это л имеют
место различные выражения в промежутках (— оо, —1), (—1, —k2), (—ft2, 0)
и @, оо). Результаты имеют вид
ctg9A(9, ?)nir-iJr_) ft)=E(ft)F(9, fc)-K(ft)?(9, ft), B1)
ft' s^c°s9 [Щ (-Д2 (9, ft'), k) —K (k)\ =
= я/2—[E (ft)—K(k)] F (9, k') -K (k) E (9, k), B2)
ctg9A(9, k) [nt (-ft* sina 9, k)—К (ft)] = — E F (Q, ft)+K?(9, k), B3)
(ftatg*9, ft)—К (ft) cos8 9] =
F(Q, ft')+K(ft)?(9, ft'). B4)

13.9. ОБРАЩЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ 29
Вместо К, Е, Пх в некоторых случаях удобно ввести
It/2 Я/2
0
Я/2
Р (siny cos ф)а
J ~[Д(ф, ft)]» *Р-
B5)
При K = fta имеем следующие формулы дифференцирования и интегрирова-
интегрирования, а также соотношения между различными интегралами
2dK_JJ_ 2dE_ 2 ciDP—С
9dB-C 2*dC- В ас
B8)
Разложения в ряды и другие формулы для этих интегралов, а также
краткие числогые таблицы см. Янке—Змде—Лёш A964, стр. 109—119).
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
13.9. Обращение эллиптических интегралов
Исторически эллиптические функции впервые были введены путем обра-
обращения эллиптических интегралов. Чтобы получть глиптические функции
Якоби, рассмотрим соотношение
-1/'d< = F(q), k) ' A)
между комплексными переменными и и <р. Мы уже знаем, что и является
многозначной функцией от x = sin<p. Обратно, равенство A) определяет (р
или sin ф как (быть может, многозначную) функцию от и. Якоби положил
ф = ат« = ат (и, k)
и принял в качестве основных функций
sn и — sn (и, ft) = sin (am и), I
en и = сп (и, ft) = cos (am u), f C)
dn « = dn(«, fe) = 4)) ' )
I
f

30 ГЛ. 13. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИНТЕГРАЛЫ
Кроме них, часто используются- следующие девять функций:
1 1 j 1
sn и спи dn и
спи sn и , sn и
, 8СИ = , Sd« = -i ,
sn а сп и dn и
dn и . dn а , сп и
, dc«= , cda = -j—.
snu со и dnu
U)
Эти обозначения ввел Глешер.
При и—0 положим
snO = O, cnO = dnO=l. E)
Это, очевидно, определяет три основные функции, а следовательно, я девять
функций D), как однозначные аналитические функции в некоторой окрест-
окрестности точки и = 0 (исключая функции hsm, csu, ds«, которые имеют про-
простые полюсы при и = 0 и аналитичны в «проколотой» окрестности этол
точки). Важнейшим фактом теории эллиптических функций является то,
что аналитическое продолжение двенадцати функций, определенных таким
образом в окрестности и = 0, приводит к однозначным, функциям от и всюду
аналитичныч, за исключением бесконечного множества точек, где эти функ-
функции имеют простые полюсы Этот результат может быть получен путем исследо-
исследования проблемы обращения для интеграла A), см. Hancock A917),
Neville A944).
Эллиптические функции Веиерштрасса возникают аналогичным образом.
Соотношение
О)
^§tt-g,)-l''dt F)
между двумя комплексными переменными г и w может быть обращено и
приводит к ^-функции Веиерштрасса
w = f(z)=f(z;gi,g3). G)
Эта функция однозначна и аналитична всюду, за исключением бесконечного
множества полюсов (второго порядка).
В обоих случаях задача обращения чрезвычайно громоздка (исключая
случай интеграла A) в вещественной области при 0 < k < 1), причем есть
различные пути решения этой задачи, каждый из которых имеет свои пре-
преимущества. Вейерштрасс показал, что изучение двояко-периодических анали-
аналитических функций естественным образом приводит к теории эллиптических
функций. Поэтому обычно изложение теории эллнптических функций начи-
начинают с изучения общей теории двояко-периодических аналитических функций.
Мы сделаем это в данной главе, а позже установим связь с эллиптическими
интегралами, см. п. 13.14.
13.10. Двояко-периодические функции
Пусть 1(г)—однозначная функция, аналитическая всюду, за исключе-
исключением изолированного множества особых точек. Периодом такой функции
называют комплексное число р такое, что
f(z)=JE (*+/>) A)
для всех значений г, при которых I аиалитична. Функция, имеющая один
(отличный от нуля) период, имеет бесконечное множество периодов (а именно

13.10. ДВОЯКО-ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 31
пр для всех целых п). Пусть Q — множество всех точек комплексной пло-
плоскости, соответствующих периодам фиксированной функции / (г). Если f (г)
постоянна, то Q совпадает со всей плоскостью. Если исключить этот случай,
то можно доказать (сч , например, Tncomi, 1937, гл I, п. 2), что Q либо
является системой равноудаленных точек, лежащих на проходящей через
начало координат прямой линии, либо точечной решеткой, образованной
путем пересечения двух семейств равно\даленных параллельных линий
(линейной решетки). В первом случае f (z) называют просто-периодической
функцией, а во втором случае—двояко-периодической функцией
Рассмотрим двояко-периодическую функцию / (z) и соответствующую
точечную решетку Q. Эта решетка может быть различными способами полу-
получена путем пересечения двух семейств равноудаленных параллельных линий.
Она состоит, таким образом, из бесконечного множества конгруэнтных парал-
параллелограммов. Возьмем один из этих параллелограммов, одной из вершин
которого япляется нуль, а тремя другими вершинами—точки 2со, 2со',
2ш -(- i.o , Тогда 2w и 2ш' называют парой примитивных периодов f (г), а
все остальные периоды имеют вид
/я, я —целые. B)
Очевидно, что <»'/<» не является вещестренным числом, и примитивные пери-
периоды можно выбрать так, чтобы выполнялось условие
Im (со'/») > 0. C)
Мы будем предполагать это условие выполненным на протяжении всей этой
главы.
Как уже говорилось, точечная решетка может быть получена бесчислен-
бесчисленным множеством способов путем пересечения двух семейств равноудаленных
параллельных линий Поэтому можно бесчисленным множеством способов
выбрать пару примитивных периодов. П)сть со, со' — примитивные полу пе-
периоды Q, и пусть а, C, 7. 6—любые целые числа. Тогда
D)
являются парой полупериодоз. Если
об—07=1. E)
то нз D) имеем
так что со и со', а следовательно, и все полупериоды f(z) являются линей-
линейными комбинациями с целыми коэффициентами со, со'. Поэтому D) дает дру-
другую пару примитивных полупериодов. Эквивалентные пары примитивных
полупериодов связаны друг с другом унимодулярними преобразованиями
I. G)
Можно показать [см., например, Tricomi A937, гл. I, п. 2)], что пару
примитивных периодов всегда можно выбрать так, чтобы выполнялось условие
(8)
Мы не будем, однако, требовать в этой главе выполнения условий (8).
Две точки z-плоскости назовем конгруэнтными, если они отличаются друг
от др^а на период Связное множество точек называется фундаментальной
областью, если каждая точка плоскости конгруэнтна в точности одной точке
этого множества. Мы будем брать в качестве фундаментальной области парал-

32 ГЛ. 13. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИНТЕГРАЛЫ
лелограмм, и считать, что две стороны этого параллелограмма и вершина,
в которой они пересекаются, рассматриваются как принадлежащие паралле-
параллелограмму, а две другие стороны и три вершины не принадлежат ему. При
фиксированном г0 точки
1, 0<т) < 1 (9)
образуют фундаментальный параллелограмм периодов. Любой параллело-
параллелограмм, полученный из него смещением на период, т. е. любое множество
точек вида
z=-2(,+2(m + ?)cu+2(n + Ti)fi)', 0<|<1, 0<т)< 1 A0)
для фиксированной пары целых чисел (/я, я) является параллелограммом,
периодов.
Поскольку двояко-периодическая функция принимает одинаковые значе-
значения в конгруэнтных точках, то достаточно описать свойства такой функции
в любом параллелограмме периодов. Так как / (г) имеет лишь изолирован-
изолированные особые точки и изолированные нули, то всегда можно выбрать фунда-
фундаментальный параллелограмм периодов (т. е. точку г0) так, чтобы на грани-
границе этого параллелограмма не было ни одной особой точки и ни одного нуля
функции f (г). Это условие будет предполагаться выполненным в общих
теоремах п. 13.11. Такой параллелограмм периодов мы будем для краткости
называть ячейкой.
13.11. Общие свойства эллиптических функций
Двояко-перисдическая мероморфная функция называется эллиптической
функцией. Иными словами, мы определяем эллиптическую функцию как
однозначную двояко-периодическую аналитическую функцию, единственными
особенностями которой в любой конечной части плоскости могут быть полюсы.
Здесь мы будем обозначать такую функцию через / (г). Через со и со' обо-
обозначим пару примитивных полупериодов / (z) и через Q точечную решетку,
связанную с f (z).
Заметим, что часто сигма- и дзета-фуикции Вейерштрасса, тета-функции
и другие функции, связанные с эллиптическими функциями, также называют
эллиптическими функциями (в обобщенном смысле). Однако в этой главе
термин «эллиптическая функция» будет использоваться лишь в указанном
выше смысле.
Каждая эллиптическая функция, не являющаяся тождественной посто-
постоянной, имеет полюсы.
В самом деле, если бы / (г) не имела полюсов в параллелограмме пери-
периодов, то она была бы ограничена в нем, а тогда она была бы ограничена и
во всей плоскости. По теореме Лиувилля она была бы постоянной.
Любая аналитическая функция имеет в каждом параллелограмме пери-
одов лишь конечное число полюсов и в случае, когда она не равна тождест-
тождественно нулю, лишь конечное число нулей.
В самом деле, если бы она имела в параллелограмме периодов бесконечно
много полюсов, то тогда эти полюсы имели бы предельную точку, которая
была бы существенно особой точкой. Аналогично, если бы в каком-нибудь
параллелограмме периодов эллиптическая функция имела бесконечно много
кулей и не обращалась тождественно в нуль, то она должна была бы иметь
существенную особенность.
Число полюсов, лежащих в ячейке, причем каждый полюс считается
столько раз, какова его кратность, называется порядком эллиптической функ-
функции. Множество полюсов или нулей в заданной ячейке называется неприво-
неприводимым множеством.

13,11. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 33
Сумма вычетов эллиптической функции во всех полюсах, принадлежащих
любой ячейке, равна нулю. Пусть С—граница ячейки. Сумма вычетов рав-
равна =—: \ f (z) dz, но эта сумма равна нулю, поскольку интегралы, взятые по
с
противоположным сторонам, взаимно уничтожаются.
Нет эллиптических функций первого порядка.
В самом деле, такая функция должна была бы иметь в каждой ячейке
в точности один простой полюс, а тогда вычет в этом полюсе равнялся бы
нулю в силу предыдущей теоремы.
Эллиптическая функция порядка г принимает в любом параллелограмме
периодов каждое значение в точности г раз (считая кратность).
Для того чтобы доказать, что функция f (z)—с имеет в точности г нулей
внутри каждого параллелограмма периодов, возьмем этот параллелограмм
таким, чтобы функция /' (z)/[f (z)—с] была регулярной на его границе. Раз-
Разность между числом полюсов и числом нулей функции / (z)—с равна
но этот интеграл равен нулю, поскольку взносы по противоположным сто-
сторонам параллелограмма взаимно уничтожаются.
Сумма неприводимого множества нулей конгруэнтна сумме неприводи-
неприводимого множества полюсов (кчждый нуль и полюс берутся столько раз, какова
их кратность). Пусть С—граница ячейки, и пусть at, а2, ..., осг—нули, а
р\, р2 рг—полюсы функции f,(z), лежащие внутри С. Функция /' (z)/f (г)
имеет простые полюсы с вычетом k в нулях порядка k и простые полюсы с
вычетом —k в полюсах порядка k функции }(г). Имеем
A=l
Если вершинами ячейки являются г0, го + 2и, гв+2<в + 2ю', го + 2<о', то ин-
интеграл A) принимает вид
8@
1 Г
L С Г(«о+ *)/'
L
0
= ^L {2w[ln JS (г, + <)]Г'-2«>' [in «(zo+0]Г}'
Так как f, (г) имеет периоды 2со, 2ш', то ta f B0), In f B0+2а>') и In f (го+2и)
отличаются друг от друга на целое, кратное 2ш\ следовательно, интеграл
в формуле A) имеет значение вида 2/лш + 2шо'.
Из этих фундаментальных теорем легко вытекают некоторые следствия.
Отметим лишь два из них.
1. Две эллиптические функции, имеющие одинаковые периоды, одинако-
одинаковые полюсы и одинаковые главные части в каждом полюсе, отличаются друг
от друга лишь постоянным слагаемым.
О 1~
15-«

ГЛ. 13. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИНТЕГРАЛЫ
2. Отношение двух эллиптических функций, имеющих одинаковые пери-
периоды, полюсы и нули (и кратности полюсов и нулей), явгяется постоянным.
Все эллиптические функции, имеющие одинаковые периоды Bсо, 2<в'),
образуют поле Я, т. е. сумма, разность, произведение и частное двух таких
функций имеют одинаковые периоды Очевидно, что любая рациональная
функция (с постоянными коэффициентами) от таких функций принадлежит
Я. Кроме того, производная любой функции из Я также принадлежит Я,
т. е. Я является дифференциальным полем Интеграл от функции из Я может
не принадлежать St. Хотя Bсо, 2(й') является парой примитивных периодов
для некоторых функций из я и парой периодов для любой функции из Я,
она может не быть парой примитивных периодов для всех функций из Я.
Из представления эллиптических функций через некоторые стандартные
функции (см. п. 13 14) легко вывести дополнительные результаты.
Любые две функции f и g из Я связаны друг с другом алгебраическим
уравнением P(f, g) — 0, где Р (х, у)—многочлен с постоянными коэффициен-
коэффициентами и алгебраическая кривая Р (х, у) = 0 уникурсальна
Любая эллиптическая функция удовлетворяет алгебраическому диффе-
дифференциальному уравнению первого порядка P(f, t') = 0. Здесь Р (х, у) также
является многочленом с постоянными коэффициентами рода нуль.
Любая эллиптическая функция I (х) удовлетворяет алгебраической тео-
теореме сложения
АЦ{) i() |(+)] 0, B)
где А (х, у, г)—многочлен с коэффициентами, не зависящими от и и v, и B)
выполняется тождественно по и и v.
Обратно, можно показать, что однозначная аналитическая функция от г,
удовлетворяющая алгебраической теореме сложения вида B), является либо
рациональной функцией от г, либо рациональной функцией от e^z при неко-
некотором %, либо эллиптической функцией.
Простейшими (не тривиальными) эллиптическими функциями являются
функции рода два. Среди них можно выбрать в качестве стандартных функ-
функций либо функции, имеющие один двойной полюс (с нулевым вычетом)
в каждой ячейке, либо функции, которые в каждой ячейке имеют два прос-
простых полюса (с вычетами, равными по абсолютной величине, но противопо-
противоположными по знаку) Первая возможность использована в теории Вейер-
штрасса, вторая—в теории Якоби.
13.12. Функции Вейерштрасса
Пусть 2о), 2и'—фиксированная пара примитивных периодов
т=—, Imt>0, A)
w=wmn=2m®+2n<?>'. B)
Будем обозначать через 2 и И бесконечные суммы и произведения, взятые
по множеству всех пар целых чисел т, п, а через 2' и Д'—суммы и про-
произведения, взятые по множеству всех пар целых чисел т, п, за исключе-
исключением /я = л = 0
Функция Вейерштрасса ф (z) = %> (z \ со, ю') является эллиптической функ-
функцией второго порядка с периодами 2ш, 2со', имеющей двойной полюс в точке
г = 0. Ее главная часть в этом полюсе равна z~2, причем функция jj?(z)—z~*
обращается в нуль при z=0 и аналитична в окрестности этой точки. Эти
условия однозначно определяют $ (г). Для того чтобы получить аналитиче-
аналитическое выражение этой функции, построим мероморфную функцию, имеющую

13.12. ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА 35
двойные полюсы в каждой точке w=wmn с главной частью (г—w)~a. Раз-
Разложение такой функции на элементарные дроби имеет вид
г-аО-2-а-г]. C)
Полученная функция такова, что /(г)—г~а обращается в нуль при г = 0.
Кроме того, меняя порядок членов ряда, убеждаемся, что /(г+2ш) = /(г) =
= /(г+2до'). Отсюда вытекает, что построенная функция /(z) = {^(z) Таким
образом,
УМ-ИИ«, ц') = гт + ?'[(.-gj-^'i'-g—+й»').]• <4>
Функция $> (z) является четной Поэтому
Г (г) = -2г"8— 22'(г-ву)-8=_22(г-а')-8. E)
Интегрируя почленно, мы потучаем дзета-функцию Вейерштрасса, кото-
которая является мероморфной функцией с простыми полюсами:
t(z) = t(*l«>, (о') = 2-1 + 2'[(г-а')-1+а'~1 + гш->], F)
Р<1)=—С(*). G)
Функция ? (г) нечетна. Она не является двояко-периодической и, следова-
следовательно, не есть эллиптическая функция. Обычно полагают
(8)
Так как ?(z) нечетная функция от г, то
Интегрируя %{г) по границе ячейки, получаем соотношение Лежандра
i,B,'-i,'m=JL. (to)
Сигма-функция Вейерштрасса является целой функцией, логарифмиче-
логарифмическая производная которой равна дзета-функция
Используя сокращенные обозначения
й = 602'о.-4, ge^HO^'ffi'-6, ' A3)
можно записать разложение о (г) в степенной ряд, а также лорановские
разложения функций ?(z), #> (z)ir' (г) в окрестности точки г—0 в виде
2*-3-5 23-3-5.7 2e-32-5-7 2'-3a.5a-7-ll "•" u;
g^3 8*г* g|z^
2a-3-5 22-5-7 2*-3-5a-71'""' l '

36 ГЛ. 13. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИНТЕГРАЛЫ
Радиус сходимости этих рядов равен наименьшему расстоянию между точ-
точками решетки Q, т.е. наименьшему из чисел |2со|, |2to'|, |2о)±2ю'|.
Формулы для функций Вейерштрасса могут быть записаны в более сим-
симметричном виде с помощью обозначений
@1 = ш, tos=—а>—ш', юа = и', A8)
¦П«=? К,). о=1, 2, 3. A9)
Мы имеем тогда
о=1, 2, 3, B0)
оB+2и>«)=—о(г)ехр[2т|.(г + <»«)], а=1, 2, 3. B1)
Удобно ввести три функции
Для них имеем
ов(г+2©в)=-а,(г)ехр[211«(г+(вA)], а=1, 2, 3, 1 .
o.B+2cD8) = ae(«)eipl2ti(,rz + «Dp)], а, р=1, 2, 3, о ^ р. / ^'
Функция <р' (г) является нечетной эллиптической функцией третьего
порядка с периодами 2ша, о=1, 2, 3; она имеет три нуля в каждой ячейке.
Но р (—ыа)=.р (toa), так как f имеет период 2<ве, и $' (—ша) = — fp' (to.),
так как ^'(z) является нечетной функцией от г Таким образом, г = (оа,
а=1, 2, 3 является неприводимым множеством нулей для ^' (г). Обычно
полагают
•.=*(««). а= 1,2,3. B4)
Функция $ (z)—^"(ша) является эллиптической функцией второго порядка.
Она имеет полюсы второго порядка во всех точках, конгруэнтных точке
2 = 0, и нули второго порядка в точках, конгруэнтных с а>а Поскольку ее
порядок равен двум, она имеет лишь эти полюсы и нули. Следовательно,
функция [^ (z)—ea]V« является однозначной функциен (но 2<о, 2<а' не явля-
являются ее периодами, см. пп. 13.13, 13 16).
13.13. Дальнейшие свойства функций Вейерштрасса
Мы будем указывать зависимость $> (г) от полупериодов ш, <о' следующим
образом. $ (г \ <в, ©'), а зависимость от инвариантов g2 и gs так: ф (z; g3, &,).
Аналогичные обозначения будут применяться для других функций Вейер-
Вейерштрасса
По определению при любом t Ф 0 имеют место соотношения однород-
однородности
f (tz | to, /<»')= Г *&• (г | ш, со'),
f{tz\ta, t<o')=r*$>(z\<o, to'),
I Иг \ to, <«')== t~% (г | ш, ©').
с {tz | ta>, tat') = to (z | to, to');
Г (<z; t~*gt, t~%) = Г"Г (z; ft, fc),
!?«г; t-*g%. t-*gt)=*t-f(z; gs, g3),
? (<г; Г«g,, r»gs) = Г »C (z; ft, g8),
c(fr, r*ft, t-'gs)=ta(z, л, &).
Таким образом, функции Вейерштрасса зависят, по сути дела, от двух пара-
параметров, в качестве которых мы можем, например, выбрать отношения г, <о
и и'. Выражение инвариантов через периоды дано в 13.12A3). Обратно, из

13.13. ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА 37
13.9F) и 13.12B4) имеем в
со,
>= J D*s-g2*-g3)-'/
Функции $'2{г) и [f(z)—e1]№(z)—e2][f{z)—es] являются эллиптиче-
эллиптическими функциями шестого порядка с периодами 2соа. а=1, 2, 3 Обе оии
имеют неприводимое множество нулей в точках шл, а=1, 2, 3 и полюс
шестого порядка в точке 2 = 0 В ckij общей теоремы п. 13.11 отношение
этих двух функции является постоянной величиной Значение этой постоян-
постоянной может быть вычислено из разложений 13 12D) и E). Мы получаем,
таким образом, алгебраическое дифференциальное уравнение для ^-функций
Веиерштрасса
Г2 <z) = 4[Jp W-eJ [f (z)-e,J [?(*)-«,] C)
Иной вид этого дифференциального уравнения может быть получен из того,
что $'2 (z) — 4$>3(z)-f-g2^(z) является эллиптической функцией не более чем
шестого порядка и что все полюсы этой функции конгруэнтны с точкой 2 = 0.
Из разложений 13 12A6) и A7) вытекает, что эта функция регулярна при
z = 0 и, следоватечьно, в силу результатов п 13 11, постоянна. Значение
этой постоянной, полученное с помощью формул 13 12A6) и A7) равно —g3,
следовательно, мы получаем иной вид дифференциального уравнения:
rI(z) = 4Sp«(«)-ft<p(z)-A D)
Сравнение правых частей уравнений C) и D) показывает, что еа, а=1,
2, 3, являются корнями алгебраического уравнения it3—?2^—?з=0. Исполь-
Используя формулы для симметрических функций корней алгебраических урав-
уравнений, получаем следующие соотношения:
ei+e2+es = 0, —4(e2e<, + e3e1+e1ei) = ffa. 4e1e2e3=?s, E)
е!+е!+е1=^й. е*+ «5+«5=4** ex+ei+4=jgl F)
16 (е2-е3)з (e3-eiJ fa-e,)»=«5-27*5 = А- G)
Последнее выражение является дискриминантом кубического уравнения.
Используя дифференциальное уравнение D) и замечая, что при г=0
функция <$ (г) имеет полюс и, следовательно, обращается в бесконечность,
устанавливаем соотношения 13.9F) и G) Таким образом, мы получили связь
между канонической формой Веиерштрасса для эллиптических интегралов
первого рода и ^-функцией Веиерштрасса. Из D) имеем также
Г (г) = 6Г (г)- y А, {?'" (г) = 1* (г) Г (г), (8)
отсюда по индукции следует, что
являются многочленами степени я (Р()
Теорема сложения для ^"-функций может быть написаиа в различных видах:
S9 (и) fP' (и)
=0, ПО)
~{1пНР1и)-«р(|»)}}. A2)

38 ГЛ. 13. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИНТЕГРАЛЫ
Эти теоремы сложения могут быть получены многими путями. Их можйо
доказать, например, если заметить, что функции в обеих частях равенств
являются эллиптическими функциями с одинаковыми периодами, полюсами
и главными частями, и принимают одинаковые значения в некоторых фик-
фиксированных точках.
Из теорем сложения вытекают многие формулы для функций Вейер-
Вейерштрасса. Отметим следующие:
^^=^. «=1,2,3, A3)
A4)
e1)l>>[f(z)-eJ>K A5)
В первой из них а, р\ у—любая перестановка чисел 1, 2, 3. Равенство A4)
называется формулой удвоения. Квадратный корень в A5) выбирается в со-
отвстсгвии с формулой B2).
Для дзета- и сигма-функций Вейерштрасса имеют место соответствующие
формулы
a(u+v)a(u-v)= -о* {и) a» (a) [f {u)-f(o)]. A7)
Эти формулы иногда называют теоремами сложения для дзета- и сигма-функ-
сигма-функций, хотя они и не являются теоремами сложения в смысле, введенном
в 13.11B). Так как ? (и) и о (и) не являются эллиптическими функциями,
они не могут обладать алгебраическими теоремами сложения. Следующие
формулы выводятся из A6) и A7):
C^±»J=CW±4.+Yp|yS;' «=1-2,3, A8)
m, я — целые, A9)
= (—1)л+*+я"аB)ехр[(г+тй> + лсо')Bтт|+2пт|'I, т, п-целые. B0)
Равенства A6) — A8) можно доказать, выражая эллиптические функции
W (и) — $>'Ш/[$(и)—${v)] через дзета-функции, ф(и)—&{v) через сигма-
функции и jp (z)/[f(z)~ej через дзета-функции (см. следующие пункты).
В п. 13.12 в строке, следующей за формулой 13 12B4), было отмечено,
что можно определить П?(г)— еа]1/г как однозначную функцию от г. Для
этого надо выбрать квадратный корень так, чтобы при z = 0 функция имела
простой полюс с вычетом 1. Так как главная часть вблизи точки z = 0 для
функции |р (г) равна —2z~3, это определение приводит к
B1)
Чтобы получить явную формулу для [$>(?) —еа]1/2, положим в формуле A7)
и = г, о=ив и применим формулы B0) и 13.12B1):

13.14. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИЙ ВЕЙЕРШТРАССА 39
Извлекая квадратный корень в соответствии с данным выше определением,
получаем
№W-eJ/2=af$. B2)
В частности, полагая р
В соотношениях, содержащих квадратные корни, например таких, как A5)
мы будем всегда предполагать, что квадратные корни определены так, как
в B2) и B3). Из B3) и 13.12B2) имеем
^ B4)
Это равенство вместе с соотношением Лежандра 13.12A0) показывает, что
13.14. Выражение эллиптических функций
и эллиптических интегралов через функции Вейерштрасса
Рассмотрим задачу о выражении эллиптической функции через стандарт-
ные функции либо в виде рациональной комбинации $> и j^' (линейной по
jp'), либо в виде линейной комбинации дзета-функции и ее производных,
либо в виде отношения двух произведений сигма-функций. Пусть 1(г)—
эллиптическая функция с периодами 2а>, 2со', и пусть $> (г), ?(z), a(z)—
функции Вейерштрасса, построенные по примитивным периодам 2ш, 2<й'.
Выражение через $> (г) и J?'(z). Рассмотрим сначала случай, когда ?(г)
является четной функцией от г. Если f (г) имеет нуль или полюс при z—0,
то этот нуль или полюс должен иметь четный порядок и, следовательно,
при некотором целом значении s функция f (z) [$> (z)]s должна быть анали-
аналитической и отличной от нуля при z = 0. Нули и полюсы четной функции
/(z)[$>(z)]f симметрично расположены относительно точки z = 0. Пусть
ах, ..., а,/,, —ах, ..., —ад—неприводимое множество нулей и Pi, ..., рд,
— р1( ..., —Рй—неприводимое множество полюсов, где каждый нуль и
каждый полюс встречаются столько раз, какова их кратность. Тогда
является эллиптической функцией, не имеющей нулей и полюсов и, следо-
следовательно, постоянна. Итак, любая четная эллиптическая функция может
быть вырашна как рациональная функция от f (г). Пусть теперь ? (г)—
любая эллиптическая функция. Запишем ее в виде
Ц»)=4 U (»Ж (-»))+»' W f (У(г)~~г) •
Здесь /(г)+/(—г) и [f (г) — f (—z)]/^' (z)—четные эллиптические функции
и, следовательно, являются рациональными функциями от i?(z). Таким
образом, любая эллиптическая функция может быть представлена в виде
где Rx(w) и /?а (ki)—рациональные функции от w.

40 гл. 13. эллиптические функции и интегралы
Из доказанного утверждения и из дифференциального уравнения и
теоремы сложения для функции $ легко вытекает, что любая эллиптическая
функция удовлетворяет алгебраическому дифференциальному уравнению и
обладает алгебраической теоремой сложения, а также что любые две эллип-
эллиптические функции с одинаковыми периодами алгебраически зависимы (см.
п. 13.11).
Выражение через дзета-функции. Функция ?(г) не является эллипти-
эллиптической функцией, но из 13.13A9) легко вывести, что функция
2crt(*-Yr)
Г=1
является эллиптической тогда и только тогда, когда
ft
2*г=о.
Г=1
Кроме того, ?'(z)=— *P(z), так что производная от функции ?(z) является
эллиптической функцией.
Пусть Pi рд—неприводимое множество различных полюсов функ-
функции I (г), и пусть
тг
является главной частью (суммой отрицательных степеней в лорановском
разложении) функции f,(z) в окрестности точки z = $r, являющейся полюсом
порядка тк. Рассмотрим функцию
ft Пг i 1\S— 1
ф w-f w- 2 2 77=?пг К л1*-1' («-м-
r=is=i v> */'
Но
h
является эллиптической функцией, поскольку сумма 2 Ъг i равна нулю как
сумма вычетов для неприводимого множества полюсов (см! п. 13 11). С дру-
гойстороиы, ?1*~х) (z—рг) является при s = 2, 3, ... эллиптической функ-
функцией, а потому Ф (г)—эллиптическая функция. Так как главная часть
?(«—Рг) при z = $r равна (z —р,), то Ф (z) не имеет полюсов в точках
z==Pi> •••> Рй- Но тогда эта функция вообще не имеет полюсов и, следова-
следовательно, является постоянной. Итак, любая эллиптическая функция может
быть представлена в виде
h tnT
1Z=W
Такое представление особо полезно при интегрировании эллиптических функ-
функций. Из B), 13.12G) и 13.12A2) вытекает, что
ft

13.14. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА 41
Разложение B) можно использовать для вывода формул 13.13A6) и
A8).
Выражение через сигма-функции. Хотя функция а (г) не является эллип-
эллиптической, легко показать с помощью 13.13B0), что функция
5?8
п5?8
является эллиптической тогда и только тогда, когда 2 (аг~ Рг)""О. Пусть
Г = 1
«!, ..., од Pi ..., Рл—неприводимые множества нулей и полюсов
функции I (г), каждый из которых берется столько раз, какова его крат-
h
ность. Мы зиаем (см. 13.11), что 2(аг—Рг) является периодом. По-
г-1
этому, заменяя, если потребуется, некоторые из нулей конгруэнтными, мы
ft
можем добиться, чтобы 2 (аг—Рг)*=^ Образуем функцию Y(z) по фор-
Г = 1
муле D). Мы видим, что f(z)IW{z) является эллиптической функцией,
не имеющей нулей и полюсов, и, следовательно, постоянна. Итак, любая
эллиптическая функция может быть представлена в виде
где «j, ..., ад— неприводимое множество нулей и pt, .... рд—неприводи-
рд—неприводимое множество полюсов функции I (г), причем каждый нуль и каждый полюс
повторяются столько раз, какова их кратность, н множества эти выбраны
так, что
ft ft
Представление E) можно использовать для доказательства формулы 13.13A7).
Эллиптические интегралы. Пусть дан эллиптический интеграл в кано-
канонической форме Вейерштрасса
I = J R (х, у) dx, у* = 4*-ft*-ft. G)
Если положить
*=P(«;gnfo). У = Р& gi> 8з), (8)
то этот интеграл примет вид
/=¦$*№(*). Р <*)]»'(*>*• (9>
Подынтегральная функция является рациональной функцией от ^ (г) н j^' (г)
и, следовательно, эллиптической функцией, скажем, f(z). Эту функцию
можно разложить по формуле B), а тогда интеграл может быть вычислен
в виде C).
Подстановка (8) представляет точки алгебраической кривой
y* = 4x*-gix-g3. (Ю)
Координаты х ml у выражаются как однозначные функции параметра г, ко-
который является униформизирующей переменной для A0) (см. также п. 13.2).

42 ГЛ. 13. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИЙ И ИНТЕГРАЛЫ
Любой эллиптический интеграл
/=$/?(*, y)dx. A1)
yt=G(.x) = a0x* + 4a1x3 + 6a2x* + 'ia<lx+ai A2)
может быть сведен к функциям Вейерштрасса. Сначала мы сводим A2) к ка-
канонической форме Вейерштрасса согласно п. 13.5 и далее поступаем, как
указано выше. Громоздкость вычислений, указанных в п. 13.5, может быть
устранена, если использовать выражения 13.5(8) для инвариантов, по кото-
которым строятся функции Вейерштрасса. См., например, Bianchi A916, 371—374),
где проведено вычисление эллиптического интеграла первого рода вида A2).
13.15. Дескриптивные свойства и вырожденные случаи
функций Вейерштрасса
Во многих приложениях коэффициенты многочлена G (*) вещественны.
В этом случае 13.5(8) показывает, что инварианты g2 и g3 также вещественны.
Мы опишем кратко свойства функций $(z) для вещественных значений
g2 н g3. При этом рассмотрим раздельно случаи, когда дискриминант
Д = ?а—27gj положителен, и когда он отрицателен.
Пусть Д > 0. Тогда существует такая пара примитивных периодов 2ш,
2ш', что со—вещественное число, а со' — чисто мнимое. В этом случае точеч-
точечная решетка, состоящая нз всех периодов функции, получается путем пересе-
пересечения двух взаимно перпендикулярных систем, состоящих из равноудаленных
параллельных линий. Параллелограмм периодов в этом случае является
прямоугольником. Функция i^(z) вещественна на прямых этих систем
Rez = 2mco, ilmz = 2na', /re, и—целые,
а также на прямых, соответствующих полупериодам
1)со, Итг = Bп-\-1)а', m, n—целые.
Мы имеем следующие соотношения симметрии, в которых гх и za—вещест-
za—вещественные числа:
Здесь черта означает переход к сопряженному комплексному выражению.
В этом случае величины elt е2, es—вещественны, el>e2>e3, et>Q, e3<0.
Когда z пробегает границу прямоугольника 0, <а, ю + со', со', 0, функция
$ (г) убывает сначала от бесконечности до el = $(®), потом до е3 — #> (со+со'),
затем до е3 = ^(со') и, наконец, до —оо.
Пусть теперь Д < 0. Этот случай существенно отличается от рассмот-
рассмотренного выше. Здесь также существует пара периодов, первый из которых
веществен, а второй—чисто мнимый, но В данном случае они не являются
примитивными периодами. Однако существует пара комплексно сопряженных
примитивных периодов, порождающая фундаментальный параллелограмм,
который является ромбом. Если 2а>, 2<в' — пара комплексно сопряженных
примитивных периодов, то диагоналями параллелограмма периодов являются
линии
Reг = т(со+<»'), Итг=п(а>—а'), т, п—целые.
На этих и только на этих линиях ^(г) вещественна. В данном случае
только е2 вещественно, числа же et и е3 комплексно сопряжены. Когда г
Пробегает диагонали параллелограмма периодов от нуля до ш+ш' и далее
до 2ш (или 2ш'), ^(z) убывает от +оо до ег, а потом до — оо.

13.16. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ 43
Вырожденные случаи функции Вейерштрасса встречаются когда один или
оба периода бесконечны или, что то же самое, два или все три из чисел
ev e3, е3 совпадают. Мы имеем следующие три случая.
1. Вещественный период бесконечен:
е1 = е2=а„ е3=—2а, A)
g2=12aa, gs=— 8а3, и=оо, <в' = A2а)~1/*я/, B)
g> (г; \2а\ -8a*)=e+3a jsh [Ce)v' г]\~\ C)
?(z; 12а2, — 8а3) = — аи + Ca)v* cth [(ЗаL'г], D)
cr(z; 12аа, — 8as) = Ca)-'/'sh lCaI/'z]^p(~~axA . E)
2. Чисто мнимый период бесконечен:
ei—2a, е»=еэ=—в, F)
ga=12a», gs=8a», ® = A2а)-1/'п, o'etoe, " G)
f (z; 12а2, 8a8) = -a + 3a {sin [Ca)Vs г]} " *, (8)
?(z; 12aa, 8as) = az + Ca)'/ictg[Ca)v»z], (9)
а (г; 12в*. 8й«) = (За)/. sln [Ca)l/- zl exp (~ аг* \. A0)
3. Оба периода бесконечны:
et—e%=e3 = Q, ga=g3=0, <в=— *V = oo, A1)
i?(z-, 0, 0) = г"г, ?(z; 0, 0) = z-i, а(г; 0, 0) = z. A2)
Во всех трех случаях Д = 0.
13.16. Эллиптические функции Якоби
Функция Якоби
(И, k) A)
может быть определена, как в п. 13.9, с помощью интеграла
/* dx, B)
где квадратный корень принимает значение 1 при * = 0. Поэтому sn@, *) = 1.
Интеграл можно вычислить через функции Вейерштрасса (см. п. 13.14).
Оказывается, что
е1:г2:ез=B-Аа):B^-1):-A+А8), z=(e1-e8)-1^u C)
в
sn(u, k)= (gl-e3)V;/. D)
Для других двух основных функций Якоби имеем

44
ГЛ. 13. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИНТЕГРАЛЫ
В D), E), F) имеем
= («!—е3)*/г
Все встречающиеся здесь квадратные корни однозначно определяются согласно
13.13B2) и B3). Используя эти два соотношения, можно переписать соотно-
соотношения D)—F) в виде
sn(u, ?) = (*!—е
СП (И, k) =
ai(z)
(8)
Девять вспомогательных функций 13.9D) могут быть аналогичным образом
выражены через сигма-функции. В дальнейшем мы не будем указывать фор-
формул для этих девяти функций, поскольку их легко получить из формул
для трех основных функций (8).
В п. 13.9 функции Якоби были определены в окрестности точки z=0
с помощью обращения эллиптического интеграла. Равенства (8) показывают,
что аналитические продолжения этих функций причодят к однозначным ана-
аналитическим функциям, полюсами которых являются нули функции а3 (г).
Кроме того, яз (8) и 13.12B3) легко следует, что функции Якоби —двояко-
периодические. Положим
и назовем К вещественной четвертью периода, а К' — чисто мнимой чет-
четвертью периода. Легко проверить, что (9) находится в соответствии с опре-
определением К и К' как полных эллиптических интегралов в 13.7A) и B). При-
Примитивные периоды функций sn, en, dn могут быть теперь найдены с помощью
13.12B3). Нули функции о (г) являются простыми и могут быть определены
из 13.12A1), нули же для aa(z) находятся с помощью 13.12B2). Это дает
(простые) нули и полюсы для функций Якоби Наконец, нз 13.12A4) и
13.13B3) легко найти вычеты всех трех функций (8). Результаты указаны
в табл. 5.
Таблица 5
Периоды, полюсы и вычеты эллиптических функций Якоби
man — целые
Функции
in (u, k)
en (u, к)
dn (я, к)
Примитивные
периоды
4К
2Ж'
4К
2K+2W
2К
ПК'
Нули
—¦
Полюсы
Вычеты
(-1)"
ik
Если 0 < Аа < 1, то К и К' вещественны. Выбирая и еа вещественными,
можно в силу C) сделать так, что ех > е2 > е3, а тогда <в принимает веще-
вещественное значение и со'—чисто мнимое. Это—случай Д > 0 в и. 13.15.
Для любого k2 (Ф 0, 1) Еозьмем параллелограмм, который является
восьмой частью фундаментального параллелограмма для sn или dn, и обозна-

13.16. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИЙ ЯКОЬЙ 45
чим его вершины буквами S, С, D, N, как на рис. 2. В этих обозначениях
первая буква символа двенадцати функций Якоби указывает положение
нуля, а вторая—положение полюса. Нули и полюсы повторяются через по-
половину периода.«
С помощью табл. 5 легко проверить, что любая ячейка содержит два
простых полюса (причем сумма вычетов в этих полюсах равна нулю) и два
простых нуля любой эллиптической функции Яко-
бн. Таким образом, функции Якобиsn,cn, йпяв-
ляются эллиптическими функциями второго по-
порядка. Если задан модуль ft, то формулы 13.7 A)
и B) определяют четверть-периоды К. и К' как
функции от k, однозначные в ^-плоскости, раз-
разрезанной от —со до — 1 и от 1 до оо. Поэтому
данные, указанные в табл. 5, однозначно опре-
определяют функции Якоби. Мы выразили эти функ-
ции через сигма-функции, однако можно про-
вести конструкцию независимым образом так, как Рис 2
это было проведено в п. 13.12. См. Neville
A944), где симметричным образом проведена
конструкция всех двенадцати функций Якоби. (Читатель должен иметь,
однако, в виду, что обозначения Невиля несколько отличаются от обычных
обозначений, используемых в этой книге.)
Полные эллиптические интегралы Лежандра второго рода также можно
выразить через функции Вейерштрасса
Модуль k и дополнительный модуль k' однозначно определяются формулами
Если задан модуль k. то равенство C) определяет значение еа (с точ-
точностью до общего множителя), а тогда по формулам 13.13E) можно найти
инварианты. Функции Вейерштрасса, построенные по этим инвариантам,
полностью определяют функции Якоби, их периоды и полные эллиптические
интегралы. Обратно, функции Вейерштрасса, построенные по любым инва-
инвариантам, определяют функции Якоби, модуль которых задается формулой A1).
В п. 13.7 было указано, что (неполный) эллиптический интеграл второго
рода является однозначной функцией от и. Он определяет функцию Якоби
?(ц). Полагая в 13.6B) <р = ат («, ft), sin <p = sn (и, k) и sin < = sn(*, k),
получаем
f, k)dx. A2)
Функция Якоби Е (и) не является периодической, так как
К'—Е'). A3)
В некоторых случаях удобно использовать функцию " *
Z (и) =?(«)--1-«, A4)

46 ГЛ. 13. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИНТЕГРАЛЫ
которая является просто-периодической, так как
') = Z(a)—<я/К. (J5)
Хотя функции Б (и), Z{u) не являются эллиптическими, они обладают мно-
многими свойствами, похожими на свойства эллиптических функций. См., на-
например, Уиттекер и Ватсон A963, пп. 22.73—22.734).
13.17. Дальнейшие свойства эллиптических
функций Якоби
Мы будем часто употреблять сокращенные обозначения
s=sn(it, fe), с = сп(и, fe), d = dn(u, fe). A)
Следующие основные формулы являются следствиями определений функций
Якоби и свойств ^-функций Вейерштрасса. Дифференцирование по перемен-
переменной и обозначено штрихом. Таким образом,
B)
(s)'=cd, (c)'=-sd, (d)' = -fe2sc, C)
s2), D)
E)
F)
G)
sn(—«)=—sntt, сп(—и) = спи, dn(—u) = dn«, (8)
snBK—a) = sn«, cnBK—u)—— спи, dn BK—«) = dn u, (9)
snBiK'—u)=— sna, cnB«K'—и)=~спи, dnB*K' — u;=— dnu. A0)
Разложения в степенные ряды
sn(a, Л) = н-
сп (и, k) = l— ^j
dn(a, fe) = l— fea
имеют радиус сходимости
(И)
'|, |2K+tK.'|, |2К-Ж'|). A2)
Теоремы сложения для функций Якоби могут быть получены из теорем
сложения для #>-функций с помощью преобразований (см. на стр. 64
табл. 11 я. 13.22)
sn(iu, fc) = isc(M, fe'), en («и, Л)=пс(и, к'), dn<ti*. fe) = dc(K, k'). A3)
В теоремах сложения мы будем применять сокращенные обозначения
S! = sn (ult k), s2 = sn(«!1, k), s'2 = sn(«2, fe') A4)

13.17. ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ЯКОБИ 47
и аналогичные сокращенные обозначения для en, dn. Мы имеем
A5)
сп
, k)-
а. *) = —Ь 7~hr •
A6)
sn Bи, k) = z
спBи, &) = -
dnBa, fe) = -
sn(«/2, ft) = (l — cI^2
en (и/2, fe)=
dn(«/2, A) =
Iscd
A7)
A8)
В формулах A7) и A8) снова использованы обозначения A). Равенства
A6) показывают, что значения эллиптнческих функций Якоби для любого
комплексного числа и могут быть вычислены, если известны значения этих
функций и функций с дополнительным модулем на вещественной оси.
Отметим также следующие разложения в ряды Фурье:
2я
A9)
где
B0)

48
ГЛ. 13. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИНТЕГРАЛЫ
Частные значения эллиптических функций Якобв
Таблица S
\. «К/2
в/К'/2 \^
0
4-*'
/К'
— /К'
2 /К
0
0
/ft-1/.
»
-/ft-1/.
К/2
A+*')-'/.
Bfc)-V»t(l +ft)V«+/(l -ftI/*]
(l-fe')-V.
{2*)-Vi[(l+ft)Vi_/(i_*)Vs]
к
1
k-V.
&-»
*-•/.
3K/2
A +*')-*/•
B*)-Vi[(l+*)Vi_
-/(I-*I/.]
Bfc)-IA[(l+A)V.+
\ mK/2
irfK'/2 ^^
0
t'k'
fK'
t'k'
0
1
*-V,(i+*)'/.
-A-V.(i+ft)'A
K/2
*'V.(i+*')-'/i
*'l/«B*)-Vi(l-»)
-rt'Vt(i_fc')-Vi
-ft''/»B*)-V«(l+/)
1 к
0
-/*-Vi(i_*,V,
3K/2
-ft'Vi(i+ft')-V.
-*'ViB*)-V»(l+«)
-/u'Vi(i_ft')-V«
*'VtB*)-V»(l_i)
— ¦
dn(mK/2+n<K'/2)
^4 mK/2
n/K'/2 \^
0
4-*'
/К'
4-*-
0
1
A+ftI/.
о
-<1+*)'/.
К/2
ft'1/.
(i<:D:;;r
к '
ft'
(l-ft)V.
-(I-*I/.
ЗК/2
ft'1/.
+/ (l-ft')V.l
/ft'1/.

13.17. ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ЯКОБИ 49
Разложения A9) справедливы в полосе комплексной плоскости, ограничен-
ограниченной прямыми линиями ± гК' + Ж, —оо < % < оо.
Значения sn, en, dn в точках вида mK-j-шК' (т, n—целые) могут быть
найдены с помощью 13.12B4); после этого значения в точках
т, п—целые,
B1)
могут быть найдены с помощью формул A8). Результаты для 0<т,/КЗ
указаны в табл. 6. В этой таблице в каждом случае взяты точки, принад-
принадлежащие половине ячейки. Значения в точках вида B1), принадлежащих
второй половине ячейки, могут быть найдены с помощью табл 7, а в осталь-
остальных точках B1)—с помощью свойств периодичности функций sn, en, dn. Все
квадратные корни в этой таблице взяты положительными при 0 < k < 1, а для
остальных значений k определяются с помощью аналитического продолжения.
Из теорем сложения и табл. 6 можно получить значения функций Якобк
в точках вида -^пШ-'г-^тК.' + и через их значения в точке и. Табл. 7 дает
результаты для точек вида /лК+ш'К'± и. Для того чтобы выявить симметрию
N Таблица?
Изменение аргумента аллиптических функций на четверть н половину периода.
Симметрия
sn(mK+n(K'±B)
N. ГОК
»/К'\
-1К'
0
Ж'
2<К'
-к
-dl(kc)
-eld
-dl(kc)
-c/d
0
± ll(ks)
±s
±t/(*s)
±s
К
dl(kc)
c/d
dRkc)
c/d
2K
T »/<fts>
*s
TS
3K
-d/(kc)
-eld
~il(kc)
-c/d
cn(mK+nZK'±B)
\^ гоК
я/К' ^ч
-»К'
0
«К'
2/К'
-К
-ik'Hkc)
tk'sld
ik'Kkc)
*k's/d
0
±,dl(ks)
e
;№)
-c
К
tk'/(kc)
-Ik'Hkc)
tk'sfd
2K
*«/(**)
-c
±tdl(ks)
с
3K
-ik'Kkc)
±k's/d
ik'Kkc)
*k's/d

50 ГЛ. 13. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИНТЕГРАЛЫ
Продолжение табл. 7
ШК' N.
-iK'
0
iK'
2iK'
3iK'
-К
ftk's/c
k'ld
±tk'slc
-k'ld
yik's/c
0
±ic/s
d
-d
±IC/S
К
ftk-t/e
k'/d
±tk's/c
-k'/d
^.ik'i/c
2K
±ie/s
d
-rf
±ic/a
функций Якоби относительно точек S, С, D, JV, в таблицу включены значе-
значения, выходящие за границы одной ячейки В таблице используются сокра-
сокращения A). В тех случаях, когда в ней встречаются двойные знаки, верхний
знак относится к точке тК + и(К' + «, а нижний —к точке /пК + mK'—и.
Если заданы elt ег и е3. то эллиптические функции Якоби можно исполь-
использовать для вычисления функций Вейерштрасса Модули функций Якоби
и значения переменных для этих функций даются формулами 13 16 G).
Периоды функций Вейерштрасса вытекают из 13 16(9), а значения величин
т[ и т)' — из 13.16A0). Основной функцией Вейерштрасса является
B2)
Величины еа нумеруются при этом так, чтобы выполнялось неравенство
13.18. Дескриптивные свойства и вырожденные случаи
эллиптических функций Якоби
Во многих приложениях встречается случай, когда 0 < k < 1 При этом
выполняется также неравенство 0 < k' < 1, и соотношение 13 8 A) показывает,
что К и К' вещественны. В этом случае точечная решетка mK+mK' поро-
порождается прямоугольной решеткой (последняя, однако, не обязана соответ-
соответствовать примитивным периодам) Укажем свойства, которыми в этом случае
обладают функции sn и, спи, dn« (рис 3—5) Обозначения вне фигуры
указывают положение точек решетки mK + и/К'. Обозначения внутри фигуры
дают значения рассматриваемой функции в точках решетки Вдоль сплошных
прямых функции вещественны, причем они монотонны между двумя соседними
точками решетки Вдоль пунктирных прямых функции принимают чисто
мнимые значения, причем коэффициенты при i монотонно меняются между
любыми двумя соседними точками решетки Вдоль прямых, соединяющих
нуль данной функции с ее полюсом, знзк мнимой части не всегда ясен из
рисунка, и мы его указываем знаками минус и плюс,

13.18. ДЕСКРИПТИВНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ЯКОБИ 61
Из рис 3—5 видно, чго все три функции вещественны и периодичны на
прямых 1ти — 2пК' Функции sn и сп имеют период 4К и колеблются от —1
до +1. Функция dn имеет гериот, 2К и колеблется от +1 до к' нч прямых,
/К'
\о
ilk
-1
I
о\
к 2К ак
Рис, 3. sn (и) для 0 eg Re и sS 4К 0s?Im«sg2K'
4К
соответствующих четным значениям л, и от —1 до — К на прямых, соответ-
соответствующих нечетным значениям п
Рисунки могут быть также использованы для определения знаков веще-
вещественных и мнимых частей функции Якоб и в любом из прямоугольников.
Возьмем, например, прямоугольник, вершинами которого являются К, 2К,
О К 2К ЗК 4К
Рис 4 сп (и) для QsSReHsS4K, 0sSlmnsS2K\
2K + iK', K + tK'. Из рас. 3—5 видно, что на границах этого прямоугольника
Resnw^sO, Imsn«<0,
Recn«<0, Imcnu<0,
Rednu^O, Imdnu^O;
и в силу свойств конформного отображения эти равенава остаются справед-
справедливыми и внутри прямоугольника
Симметрии эллиптических функций Якоби также можно вывести из
рис. 3—5. Пусть, скажем, мх и «2 симметричны относительно нуля или полюса
одной из функций Якоби / («), пусть «I и ил симметричны относительно точки
решетки, которая не является ни нулем, ни полюсом, и} и м4 симметричны
относительно прямой, на которой f (а) вещественна, и ut и иъ симметричны
относительно прямой, на которой /(и) принимает чисто мнимые значения
(рис 6). Тогда

52
ГЛ. 13. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИНТЕГРАЛЫ
Отметим также, что
\anu\=k~l/',
|dnaj=fe'*/l.
1ти =
Reu =
0)
B)
Поворот
иа прямой угол преобразует диаграмму для sn и (рис. 3) в диа-
диаграмму для dn и (рис. 5), вращение
на пряч'ой угол не изменяет диаграм-
диаграмму для спи (рис. 4).
Более полное описание свойств
эллиптических ф}нкций Якоби при
О < k < 1 содержится в изображении
рельефа этих функций, данном в кни-
книге Янке —Эмде—Леш A964, стр. 122,
123). V
Эллиптические функции Якоби
вырождаются, если один или оба их
периода обращаются в бесконеч-
бесконечность, т е если fe2 равно нулю, еди-
единице или не определено (последний
случай тривиален). Как и для функ-
функции Вейерштрасса (см. п. 13 15), мы
укажем три случая:
1. Вещественный период беско-
бесконечен:
k — l. ft' = 0. К=оо. К' = я/2, C)
/
со
+
-/
оо __
к' ' 1
0 оо
-к' -1
0 од*
+
к' /
О
Ряс. S.
оо,
sn(K, l) = th
en (a, l)=dn(a, 1)
1
"спи
,}
2К
6п(и) для 0^й
0^ Im «s?4K
2. Чисто мнимый
нечен:
период беско-
К=
К/ „
= 00,
sn(u, 0)=sin и, сп(и, 0) = cosh,
I
я/2, \
E)
F)
JL
и,
f(u)-0 или оо
О о
Щ+0, ею
Рис. 6. Симиетряи эллиптических функций Якобн,
3. Оба периода бесконечны:
К=К'=о>,
G)

13.19. ТЕТА-ФУНКЦИИ 53
13.19. Тета-функции
Хотя функции, тесно связанные с тета-функциями, изучались Эйлером,
Яковом Серн^ лли и Фурье, их систематическое изучение и применение к теории
эллиптических функций было проведено Якоби. Тета-функции Якоби соответ-
соответствуют сигма-функциям в теории Вейерштрасса. Подобно сигма-функциям,
тета-фучкции являются целыми и, следовательно, не обладают двоякой пе-
периодичностью. Однако они весьма просто преобразуются при сдвиге на пе-
период. Тета-функции более стандартизированы, чем сигма-функцни. Они пе-
периодичны, могут быть представлены чрезвычайно быстро сходящимися рядами
и являются наилучшим средством для вычисления значений эллиптических
функций.
Для функций Вейерштрасса с переменкой г и полупериодами <в, и' мы
положили и —<о'/а и введи условие 1га т > 0. Функции Якоби были выра-
выражены через и и четверти периодов К, К', где
« = (ei-e3)Vllz, K=(e1-esI/io)) iK'= fa-e3?''<*'. A)
Тета-функции выражаются через переменную
а в качестве параметра выбирается либо
т = ^-=»-^-, 1т-с>0, C)
либо
Полупериодами являются 1 и т. Используя 13.10 (8), можно добиться того,
чтобы выполнялось неравенство
|?|<exp^--^«J- <5>
Однако в дальнейшем не будет предполагаться, что примитивные периоды
выбраны так, чтобы выполнялось это неравенство.
Четыре тета-функции определяются следующим образом:
F)
сов
е$ (I/) = e3 (i/, q) = 63 (v | т) = 1 + 2 2 Чп* cos Bля1>), (8)
Последняя из этих функций обычно обозначается просто через 90(») или
6 (i/); эти ряды сходятся для всех (комплексных) v и для всех значений q
таких, что \q\< 1. Благодаря наличию множителя qni ряды сходятся

54 гл. 13. эллиптические функции и интегралы
чрезвычайно быстро. Эти четыре ряда можно переписать так:
e3<«)=
•*»•¦»
A0)
(И)
A2)
/IS=-O)
= 2 (-и-
В этом виде они определяют лорановское разложение по переменной
exp (inv) н сходятся для всех конечных значений этой переменной, отлич-
отличных от нуля.
Все четыре тета-функции являются целыми функциями от о. Все они
периодичны, причем период Qt и 82 равен 2, а период 03 и 64 равен 1. Их
свойства прн сдвиге на половину и четверть периода видны из табл. 8,
в которой приняты сокращения
A(v) = e-ln<*v+x\ B(v)=:e-l!l<0+x/iK A4)
Табл. 8 показывает также четность или нечетность тета-функций.
Таблица 8
Изменение аргумента тета-функцни на четверть н половину периода. Симметрия
в(о,
6,@)
..«
.,«
е4(о)
8 (-в)
9,(о)
ело)
в @+1)
-М,)
-92 (о)
9, (о)
et(v)
9 (o+t)
-Л (9)9, (в)
Л (о) 8» <сг)
А (о) 8, (о)
-А (о)84 (о)
9
А
-А
А
-;
@+1
(о)9
(о) 1
(о) С
1@)
+ t)
.(о)
»»(о)
«(о)
9@+
-в,
94
в,
1/2)
«
(»)
,)
(о)
9(о+т/2)
/В(о)в«(о)
В (W) 9, @)
В @) в, @)
1В (о) 9, <?>)
в(о+1/2 +Т/2)
В (о)8,(ч)
fB (о) 9, (о)
В (о) 9г (о)
Табл. 8 показывает также, что тета-функции могут порождаться любой
из них путем прибавления четвертей периодов. Из этой таблицы видно, что
функция 9Х имеет нуль при у = 0 и, следовательно, нули во всех точках
m + пт, где т и п — целые. Можно доказать (путем интегрирования QxlQx по
границе параллелограмма с вершинами ±1/2 d- т/2), что этим исчерпываются
нули функции 9]^; табл. 8 может быть использована для того, чтобы опре-
определять нули остальных трех тета-функций. В табл Эти и —целые числа.
Поскольку мы знаем нули тета-функций, можно получить разложение
ЭТИХ функций в бесконечные произведения, а из эгих произведений —раз-
—разложения для In 6 (у) и 0' (и)/6 (v) на простые дроби. Из A7) вытекает также

13.19. ТЕТА-ФУНКЦИИ
6(»)
Нули
9,@)
т+пх
Нуле тета-фуикцви
в,<»)
ет+1/2 + nt
6.@)
m+l/2+(n+l/2) t
Таблица 9
64(о)
m+(n + I/2) т
разложение A9). В этих произведениях мы используем обозначение
Соответствующие формулы имеют вид
6Х (v) = 2q0 q4t sin no Д A — 2q2" cos 2яо+1?4"),
n=i
00
в* (t;) = 2?0 ?'/4 cos nv JJ A + 2qan cos 2яс + ?*"),
B=l
m
e3@)J
k(O)
/га
sin*
m
i »-«¦
A5)
A6)
A7)
A8)

56 ГЛ. 13. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИНТЕГРАЛЫ
1 , [sinn
= ln I
-—)J+2 L -^a
- sin 2тяо sin 2mnw,
» in \^° + W\] =2 V ЫС -?_ sin
2 Le("")J ^ lsa
/и l-
A9)
1 ta ГJbj?±^"| =2 V -I -?— sin 2тдо sin 2mnw.
Равенства A6) справедливы во всей у-плоскости. Равенства A7) и Aб)
для функций 6]. и 92 справедливы в полосе | Im о | < Im т, а для функций
6а и в4—в полосе | Imo | < у Imx. Что касается равенств A9), то первые
два из них справедливы, если | Im o|+| Ima»| < Imt, а последние два —
если | Im v | +1 Im w \ < -~- Im t. Из A8) вытекает, что
B0)
Между квадратами тета-функций одного и того же переменного имеют
место следующие соотношения:
01 (о) 91 @) = 0! (v) 91 (О)-в! (о) 91 @),
о? (v) el @)=e! (v) el @)-ei и el (О),
el (t>) el @)=e| (с) el (O)-eS (v) el @).
Каждое из этих соотношений может быть доказано следующим образом: мы
показываем, что отношение обеих частей равенств является двояко-периоди-
двояко-периодической функцией (с периодами 1 и т), не имеющей нулей и полюсов, а сле-
следовательно, постоянно, и вычисляем эту постоянную, используя специаль-
специальные значения v (полупериоды).
Равенства B1) являются частными случаями так называемых формул
сложения для тета-функций, которые выражают 4
через квадраты тета-функций от v и ш (см. Уиттекер и Ватсон, 1963,
п. 21.21).
«Тета-функций нулевого аргумента»
в»@). 6,@), 93@), МО)

13.20. ВЫРАЖЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ Ф-ЦИЙ ЧЕРЕЗ ТЕТА-ФУНКЦИИ 57
имеют важное значение (см. п. 13.20). Они удовлетворяют многим тождест-
тождествам, среди которых наиболее важными являются
B2)
е| @)+е| со)=е| @). B3)
Относительно графической иллюстрации свойств тета-функций нулевого
аргумента и относительно графического изображения н описания свойств
ва (i/10; 1) при вещественных значениях v см. книгу Tricomi A937, стр.
137-140).
Тета-функции встречаются, помимо теории эллиптических функций,
в теории теплопроводности и аналогичных краевых задачах математической
физики. Как видно из A0)—A3), функции 6„ (-к х \ iя() , а = 1, 2, 3, 4,
удовлетворяют дифференциальному уравнению в частных производных
д*у_ду
dx*~dt "
В этой связи следует отметить, что тета-функции имеют чрезвычайно про-
простое преобразование Лапласа.
Существуют также нелинейные дифференциальные уравнения первого
порядка (по переменной v), которым удовлетворяют отношения тета-фуикций.
Эти уравнения могут быть легко выведены из связи между эллиптическими
функциями и отношениями тета-функцнй (см. п. 13.20).
Эрыит изучал функцию
ехр [inX {n+i и)а+2'Я"("+4 1*) + '»™] B5)
(см. Гурвиц, 1933, стр. 260—263). Четыре тета-функции Якоби- являются
частными случаями функции Эрмита.
13.20. Выражение эллиптических функций и эллиптических
интегралов через тета-функции.
Проблема обращения
Тета-функции тесно связаны с сигма-функциями Веиерштрасса. Поэтому
функции Веиерштрасса можно выразить через тета-функции. Поскольку функ-
функции Якоби выражаются через функции Веиерштрасса, их также можно вы-
выразить через тета-функции. Наконец, с помощью тета-функций можно по-
получить выражения для полных и неполных эллиптических интегралов
третьего рода. Мы будем использовать обозначения гдля переменной в функ-
функциях Веиерштрасса, и—для переменной в эллиптических функциях Якоби
и V—для переменной в тета-функциях. Эти переменные связаны форму-
формулами 13.19B^. Связь между различными обозначениями периодов и других
величин дается равенствами 13.19A)—D).
Функции Веиерштрасса:
a==i,2, 3, ¦ B)'

58
ГЛ. 13. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИНТЕГРАЛЫ
S(z)-"?z+2uo7W
*', @) в,
+i@)
1 в, (в) в, ft») 6,
¦+i(p)i'
а-1, 2, 3,
C)
D)
@)
=l?e*<°b
-^1/а = 17й91(°).
в* @)+в* @)] [е* @)—a* (Q)],
_
12а.
в;" @)
; @)
я/ t е'/Чо)
2со 12» в; @)"
F)
G)
(8)
(9)
(Ю)
Для доказательства равенства A) заметим, что отношение функций,
стоящих в обеих частях равенства, является двояко-периодической функцией,
не имеющей полюсов и нулей, и стремится к единице, когда v и z стремятся
к нулю Равенство B) следует из 13.12B2) и табл. 8 п. 13 19. Равенство C)
получается логарифмическим дифференцированием A), равенство D)—из B)
и 13.13B2), равенство E)—из D) и 13.13B1), равенства F) и G)—из
13.13B3), равенство (8) —из 13.13E) и F), равенство (9) —из 13.13G) и
равенство A0) — из A) и C). Все функции Вейерштрасса имеют периоды
2<о, 2со' н переменную г. Переменные v и q для тета-функций даются соот
ношениями 13 19 B) и D).
Эллиптические функции Якоби. Следующие соотношения получаются
из формул п. 13.16 с помощью равенств A)—A0):
з<0)'
-¦?4@),
,@N.@)'
6.@N,@)
,@N.@)'
6,@N,@)
,@)в.-(в)'
г,. > Е
A2)
A3)

13.20. ВЫРАЖЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ Ф-ЦИЙ ЧЕРЕЗ ТЕТА-ФУНКЦИИ 59
Если дано т, то равенство A1) определяет модуль эллиптических функ-
функций Якоби, равенство A2)—четверть периоды, а равенство A3)—сами функ-
функции. В приложениях эллиптических функций обычно бывает задана величина
fe2 и задача состоит в том, существует ли число q такое, что | q \ < 1 и
6* @, Я) 6* @, q)
k*= 2 =1 *-—-. A4)
в* @, <?) в* @, q)
Задача известна под названием проблемы обращения. Во многих практичес-
практических приложениях мы имеем 0 < А2 < 1. В этом случае по 13.19A6) имеем
Когда q возрастает по вещественной оси от 0 до 1, то бесконечное произве-
произведение монотонно убывает от 1 до 0 и, следовательно, уравнение A4) имеет
в точности одно решение q, для которого 0 < q < 1. Для других значений
ft2 изучение значительно более сложно (см., например, Уиттекер и Ватсон,
1S63, пп. 21.7—21.71) и приводит к комплексным значениям q. Доказатель-
Доказательство единственности системы эллиптических функций Якоби для заданного
k2 =6 0, 1 может быть основано на теории эллиптических модулярных
функций.
Эллиптические интегралы. Основные эллиптические интегралы в нор-
нормальной форме Лежандра 13.6A)—C) можно вычислить с помощью тета-
функций. Образуем эллиптические функции Якоби с модулем k, определим
четверти периода К и К' и положим параметр и аргумент тета-функций
соответственно равными
Torga в силу A3) имеем
Вычисление эллиптических интегралов третьего рода более сложно. Мы
укажем результаты для случая, когда <р и v вещественны и 0 < k < 1, вы-
выразив v через вспомогательный вещественный параметр у, причем в проме-
промежутках ( — оо, —1), (—1, —ft2), (—fe2, 0), @, оо) это выражение имеет
различный вид. Используя A5) и полагая
имеем (см. Tricomi, 1937, стр. 153—158)
en (у, fe)dn(y, ft) Г ' 1 Л __
sn(v, fe) L sna(Y, fe) J
A8)
, У)сп(у.
,k')

60 ГЛ. 13. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИНТЕГРАЛЫ
«НУ.»') п Г fc.aiVy, Ю J
sn(v, ft')cn(Y, k') Lv> B cn*(Y Jfe'j ¦ J
Во всех этих формулах берется главное значение логарифма В A8) и B0)
оно вещественно, в A9) и B1)—я<1ш 1п[ ]<п Правые части равенств
A9) и B1) вещественны Из 13 19A8) и A9) следует
sh 2пяР> B2)
1 1пГО.(р+«РП
2t Ш*-Ш
0
= -arctg (th яр-tg яу) + 2^ ^i- ^-^sin 2«ny.sh2nnp, B4)
я=1 ~q
Бесконечные ряды в B3) и B5) не всегда сходятся столь быстро, как
этого хотелось бы Если q не слишком мало, то для вычисления правых
частей равенств A9) и B1) можно использовать разложения
О* (о ± 'Р) = I + 2 2 (— !)"9 со« BЯ1К1) ch
/1=1
± i 2 (— 1)"" V! sm Bпяр) sh BллР), B6)
в3 (iP) = 1+22 9"'ch Bяяр), B7)
/i=i
/1=1
Эти разложения, равно как и некоторые другие полезные для вычисления
формулы, вытекают из 13 19F)—(9)
Выше уже было дано выражение полных эллиптических интегралов
первого рода через тета-функции (см. A2)). Для полных эллиптических

13.21. ТЕОРИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 61
интегралов второго рода из формул F), G), A0) и 13 16 A0) следует
6*@) + 6*@) j 6^"@)
зе* @) ~~ 12к е'2 @)
Полные эллиптические интегралы третьего рода были сведены в 13 8B1)—
—B4) к эллиптическим интегралам первого и второго рода Следовательно,
их тоже можно вычислить с помощью тета функций
Укажем, наконец, что когда тета фу нкшш применяются для вычисления
эллиптических ф\нкции Якоби или элпиптических интегралов с заданным
модулем k, Q<k<\, их параметр q можно вычислять по формулам
9 = е+2е5+15е»+150е"+ ... 2t~l~k'\* C0)
13.21. Теория преобразования эллиптических функции
Теория преобразования эллиптических функций дает соотношения между
эллиптическими функциями, соответствующими различным парам примитив
иых периодов Так как любая эллиптическая функция с периодами 2ш, 2а>'
может быть алгебраически выражена через $> (г | w а'), то достаточно из\чить
соотношения между <(р функциями Б\дем предполагать здесь, что выполнены
условия
) A,
и кратко сформулируем результаты общей теории преобразований, отсылая
читателя относительно доказательств и дальнейших деталей к книгам, ука
занным в конце этой главы
Скажем, что функции /(г) и g (г) алгебраически зависимы, если суще
ствует многочлен Р(х, у) от двух переменных такой, что тождественно по г
выполняется равенство P[f(z), g(z)] = 0
Для того чтобы функции $ (и \ а, ш') и ^ (u | w, d>') были алгебраически зови
симы, необходимо и достаточно, чтобы существовали целые числа a, f>, у, б, р
такие, что
•/II «и ,'¦ - - >0 ®
(о J Ly 6J Lw'_
Сели выполнено равенство B), то как ^ (и |<а, »'), так и j? (и | w, of)
являются четными эллиптическими фу нкциями с периодами р<в, рш' и,
следовательно, они являются рациональными функциями от $(и\рц>, ро»')
Таким образом, достаточно рассмотреть подстановку B) при р=1. В этом
случае ее можно записать в матричных обозначениях как
ly fiJLw'J' D== y 8
Тогда соотношение между
x = $>(z\<a, (о'), у = ^ (г | (о, а>') Н)
имеет вид
Р(х,у) = 0, E)
где Р—многочлен от х и у, линейный по х и имеющий степень D по о
(Степень по у выясняется с номощью подсчета числа полюсов ) Мы назовем

62 ГЛ. 13. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИНТЕГРАЛЫ
D степенью или порядком преобразования
ч; я
и будем перемножать преобразования как матрицы
Га р"] Го 61_Гаа+рс ab+Щ
LY Ь\ U d] ~ UY<*-* & yb+bdj"
Преобразования C) можно рассматривать как дробно-линейные преобра-
преобразования верхней полуплоскости в себя
Все преобразования первого порядка образуют группу (модулярную
группу). Для того чтобы выполнялось равенство $4«|<в, <в') = ^(и|ш, оУ),
необходимо и достаточно, чтобы а>, <в' и со, <в' были связаны друг с другом
преобразованием первого порядка (унимодулярным преобразованием).
Модулярная группа порождается преобразованиями
41 Я- 4-?.i]-
(8)
иными словами, любое унимодулярное преобразование можно представить
в виде произведения степеней преобразований А я В. Таким образом, при
изучении унимодулярных преобразований можно ограничиться изучением
преобразований А и В.
Точно так же изучение преобразования второго порядка сводится к изу-
изучению преобразования Ландена
L
-[о ?]'
так как любое преобразование S второго порядка может быть представлено
в виде S = HLK, где Н и К—унимодулярные преобразования.
13.22. Унимодулярные преобразования
Унимодулярные преобразования оставляют неизменной решетку Q, со-
состоящую из всех периодов (см. п. 13.10). Так как функции Еейерштрасса
а (г), ?(z), $>(z) и инварианты g2. g3, b=g\—ZIg\ зависят лишь от Q, они
также остаются неизменными. Величины еа могут лишь переставляться друг
с другом. Из 13.12A9) и 13.13A9) следует, что
и, таким образом, т) и ц' преобразуются с помощью того же преобразования,
что (о, со'. Функции аа (г) подвергаются лишь перестановке. Прямое вычис-
вычисление показывает, что преобразование А из 13.21 (8) переставляет в elt e2, е3
и о"! (г), a2 (z), a3(z) индексы 2 и 3, а преобразование 5—индексы 1 и 3.
Более сложно повеление при унимодулярных преобразованиях эллип-
эллиптических функций Якоби. Если в 13 21 F) а и S являются нечетными целыми
числами, а |3 и v~ четными целыми числами, то назовем Т Х-преобразованием.
Легко проверить, что совокупность всех ^-преобразований образует подгруппу

13.22. УНИМОДУЛЯРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 63
модулярной группы. Ее называют К-группой. При ^-преобразованиях имеем
В самом деле, р\»' является при четном J3 периодом, a quo при нечетном
а отличается от w на период. Точно также доказывается, что ёа=г2 и e3 = et.
Из 13.16D)—F) следует, что функции Якоби sn, en, dn инвариантны относи-
относительно ^-преобразований. Все остальные унимодулярные преобразования
меняют эллиптические функции Якоби.
Рассмотрим пять преобразований:
г 1 п г п п
.A)
Последние три из них выражаются через А и В:
D = ABAB, E = BABA.
B)
В табл. 10 преобразованиям U (тождественное), А, ... , Е сопоставлены соот-
соответствующие перестановки величин еа. Мы видим, что при этом встречаются
все возможные перестановки ev ea> ез- Так как перестановка ех полностью
определяет преобразование эллиптических функций Якоби, достаточно рас-
рассмотреть преобразования A) для того, чтобы получить все возможные уни-
унимодулярные преобразования эллиптических функций Якоби.
Таблица ю
Перестановки
Преобра-
Преобразования
и
А
В
а>
со
01'
<в'
W
<В+Щ'
-а
«1
и
it
в»
«а
ег
*i
Преобра-
Преобразования
С
D
Е
а
<в+и'
-«-к»'
<о'
it'
<в'
-(В
«1
е,
*i
е,
Ч
«1
«а
«1
«а
Ч
Эта таблица в сочетании с 13.16D) — F), (9) и A1) приводит к форму-
формулам преобразования, указанным в табл. 11.
Относительно преобразований эллиптических интегралов см. табл. 3 п. 13.7
(стр. 25) н табл. 4 п. 13.8 (стр. 27).
Преобразования четырех тета-функций могут быть получены из выражения
•«¦ •-=• '-*•
которое следует из 13.20A), (9) и 13.19B), C). Мы знаем уже, как преобра-
преобразуется правая часть этого равенства при унимодулярном преобразовании
13.21F). В частности, отметим, что в силу 13.12A0) имеем
ca оиа
р (ту»' — i\'
2<вш

64
ГЛ. 13. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИНТЕГРАЛЫ
Таблица 11
Унимодулярные преобраэованвя эллиптических функций Якобн
Преобра- 1
зования
А
В
С
D
Е
•
@
<0+<й'
w
— <о
<в'
-<в+<в'
-<в
ш'
и
k'u
-iu
ku
-ih'u
-iku
к
ik
k'
k'
1
T
1
ft'
k>
Ik
ft'
1
ft'
ft
k'
ik
ft
«'
1
ft
kl
ft'К
К'
ft(K+/K')
ft'(K'+/K)
ftK'
K'
ft'(K'-'K)
к
ftK'
ft'K
ft(K+«K')
sn («, ft)
.,sn(a,ft)
dn<«, ft)
sn (и, ft)
en <и, ft)
ft sn (a, ft)
.,sn (и, ft)
" СП (Ы, ft)
sn (a. 6)
dn (a. ft)
en («, ft)
en (u, ft)
dn («, ft)
1
en (a, k)
dn («, ft)
<f/t (u, ft)
en («, ft)
1
dn (u, ft)
dn (u, ft)
1
dn (u, ft)
dn(u, ft)
en («, ft)
en («. ft)
1
en (», ft)
en (к, ft)
dn (a, ft)
а также
0 = —г =
Таким образом, мы имеем в силу C) общую формулу преобразований вх (в | т)
при унимодулярных преобразованиях
! (f | X), D)
где 88 = 1. Множитель е связан с многозначностью дробных степеней в C)
и может быть определен путем деления D) на v, перехода к пределу при
v—>-0 и сравнения обеих частей. Тогда преобразования остальных трех
тета-функций следуют из табл. 8. п. 13.19 (стр. 54).
Явная формула для преобразований Л и В из A), порождающих моду-
модулярную группу, имеет следующий вид.
Преобразование А:
b-v, i=l+T, q=-q, (Б)
ЛФ), v
Преобразование В:
I
т= — — ,
In q'
G)
(8)

13.23. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
65
В этих формулах (— «тI/а имеет главное значение (лежащее в правой по-
полуплоскости). Преобразование В известно как мнимое преобразование Якоби.
Преобразование В можно использовать для вычисления значений тета-
функций, если q близко к единице или т очень мало, поскольку в этом
случае ряд для 6j(u|x) сходится очень медленно, в то время как ряд
в! (v/x\ — 1/т) сходится весьма быстро. В частности, этим способом может быть
изучено асимптотическое поведение при q —»¦ 1, и мы получаем
13.23. Преобразования второго порядка
Изучение преобразований второго порядка сводится, по сути дела,
к изучению одного такого преобразования; в самом деле, любое преобразо-
преобразование второго порядка получается путем суперпозиции преобразования
L =
и двух унимодулярных преобразований. В указанных ниже формулах пре-
преобразований мы считаем, что все функции Вейерштрасса, период которых
явно не указан, образованы с помощью примитивных периодов ш, со', а все
величины еа, т)а (не отмеченные точками) связаны с этими функциями.
а )а ( )
Преобразование Ландена. Функции Вейерштрасса:
са
а8 (
|., о)') =exp (^ «¦
;*м.
B)
C)
D)
E)
F)
G)
Так как преобразование Ландена функций Вейерштрасса затрагивает
величины еа, ца, которые не являются инвариантными относительно унимо-
дулярных преобразований, укажем основные формулы для двух других пре-
преобразований второго порядка.

f6 ГЛ. 13. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИНТЕГРАЛЫ
Преобразозание Гаусса, ^-функция Вейерштрасса:
e-[o V\ — BLB'
Иррациональное преобразование, ^-функция Вейерштрасса:
(8)
(9)
A0)
>—«a
Преобразование Ландена. Эллиптические функции Якоби и тета-функции.
В т х случаях, когда параметр тета-функции явно не указан, подразуме-
подразумевается, что он равен т:
u = (\-\-k')tt, к— ^ , ?, , «= j rj^/>
sn
СП
dn
to (a. At)
«, fe).
v=2v, t=2t, 9 = ?4;
es @1 2t) = 2
/2
A2)
A3)
A4)
A5)
12т>=
^ (v)+в; (о)
2d2@|2x)
е*(р)+в»(р)
С 6)

13.24. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ
67
Преобразование Гаусса. Эллиптические функции Якоби:
2ft1/a
1 + А
-A4-41
V1 1 "-J
СП (и.
1+*
'l-
к)
sn
;n2
f/ssn
dn (u
(u, /г)
1-fe
1 + *'
¦ ft)
i
A7)
sn
A8)
Преобразования высших порядков более сложны. Мы рассмотрим здесь
лишь преобразование (LBJ, имеющее четвертый порядок, которое приводит
к следующим формулам удвоения для теша-функций. Все тета-функции имеют
один и тот же параметр г:
6,@) 6,@N,@)
(»)
в,(О)в»(О)
^ и + е; (Р)
e»'
в;
в;(о)-в;
в«@)
A9)
13.24. Эллиптические модулярные функции
Эллиптической модулярной функцией f (т) называют функцию, регуляр-
регулярную с точностью до полюсов в верхней полуплоскости Im t > 0 и обладающую
тем свойством, что если хит связаны друг с другом преобразованием моду-
модулярной группы
х =
«т+р
а,
у. в—целые, об—Pv = l
A)
то f (х) и f (х) алгебраически зависимы. (Отметим, что а у имеют иной
смысл по сравнению с 13 21 G).) Если для любого преобразования модулярной
группы имеем ^(т) = /(т), то ?(т) называют автоморфной функцией моду-
модулярной группы.
Первым примером такой модулярной функции является квадрат модуля
для эллиптических функций Якоби. Из 13.16G) и 13.20 A4) следует, что
B)
является аналитической функцией от т в полуплоскости Im т > 0, причем,
вещественная т-ось является естественной гранкцей этой функции. Из инва-
инвариантности е1г еа, во относительно т-преобразований (а, 6—нечетные, |3, у —
четные, см. п. 13.22) следует, что К (т) является автоморфной функцией для

68 ГЛ. 13. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИНТЕГРАЛЫ
Х-группы. В общем случае преобразование модулярной группы переставляет
величины г„ и, следовательно, преобразует %(%) в одно из шести значений:
Щ, 1-Мт), щ, щ- Х(т) —1 ' *~Щ C)
Так как все эта значения алгебраически связаны с А,(т), то эта функция
является эллиптической модулярной функцией.
В силу 13.12A3) ?а, g, и A = g-| — 27g^ являются однородными функци-
функциями от со и и', имеющими соответственно степени —4, —6, —12. Абсолют-
Абсолютный инвариант 3 з
зависит только от т и аналитичен в верхней полуплоскости. Преобразования
модулярной группы оставляют неизменными g2 и Д (см. п. 13 22), откуда
следует, что J (т) является автоморфной функцией модулярной группы. В си-
силу 13.ГF), G) и 13.16C) / можно выразить через %, а в силу 13.20(8),
(9)—через тета-ф^нкшш
* (!-*+*')' l te8a(OlT) + e^O'TL6U°l^8 «
(t)7 A,2 A —ЯJ 54 в| @1 т) в| @1 т) в* @ \ тг) ' (
Назовем две точки т, г в верхней полуплоскости комплексной т-плоско-
сти эквивалентными, если их можно перевести друг в друга с помощью пре-
преобразования A) модулярной группы. Фундаментальная область для моду-
модулярной гр}ппы определяется неравенствами
Верхнюю т полуплоскость можно разбить на бесконечное множество областей,
каждая из которых ограничена тремя дугами окружностей (одна или две из
которых могут вырождаться в отрезки или прямолинейные лучи), причем
каждая из этих областей эквивалентна фундаментальной области. В самом
деле, каждая точка верхней полуплоскости эквивалентна в точности одной
точке ф$ндаментальной области.
Если задана авточорфная функция для модулярной группы, то достаточ-
достаточно изучить свойства этой функции в фундаментальной области. Например,
можно доказать, что J (т.) принимает в фундаментальной области каждое
конечное значение в точности один раз. Это показывает, что каждому (конеч-
(конечному) значению / отвечает в точности одна система функций Вейерштрасса.
Фундаментальная область для Х-группы ограничена прямыми линиями
Rex = - 1 и окружностью |2т ± 11 = 1; граничные точки в Rex^O принадле-
принадлежат области, граничные же точки в Re т < 0 не принадлежат ей. Можно
доказать, что Я (т.) принимает в фундаментальной области для ^.-группы
каждое конечное значение, отличное от нуля и единицы, в точности один
раз. Это замечание является ключом к решению проблемы обращения (см.
п. 13 20), можно использовать это замечание, чтобы доказать, что эллипти-
эллиптические функции Якоби однозначно определяются заданием квадрата модуля,
причем этот квадрат может быть любым числом, отличным от н^ля и единицы.
13.25. Конформные отображения
Эллиптические интегралы, эллиптические функции и связанные с ними
функции встречаются во многих важных конформных отображениях. Многие
примеры таких конформных отображений и некоторые дальнейшие ссылки
можно яайтн в книге: Н. Kober, Dictionary of conformal representations,

ф 13.25. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
1952, стр. 170-200). В этом пункте мы опишем лишь наиболее важные
На?Й?Г?й ПР°ТЯЖеНИИ """ ПУНКТЗ бУД6 РТ
0<й < 1, 0<q <1, & вещественно, <в' чисто мнимое, К, К' вещественны
и положим el>ei>e,. Мы полагаем Re z = Zl> Im z=z2 и аналогично для
QHCtf
If
rl—h
-й>'
Рис. 7. Отображение w=$> (г).
-К+/К'
г
IV
UfO
К+/К'
&
If
в
других комплексных переменных. На рис. 7 —14, иллюстрирующих конфор-
конформное отоЗражение ич плоскости одного комплексного переменного в плос-
плоскость другого комплексного переменного, соответствующие точки обозначают-
обозначаются одинаковыми буквами.
Функция iii = sf(z). Когда z пробегает границу прямоугольника с верши-
вершинами 0, со, <1> + ш', <в' (рис. 7), переменная w вещественна и убывает от оо
до ev затем от eL до в2, от е2 до еа
и от е3 до —со (см. п. 13 15). Эта
функция отображает внутреннюю
область прямоугольника на верх-
верхнюю гс-полуплоскость. В силу
принципа симметрии Шварца пря-
прямоугольник с вершинами —и>',
to—о', <в + й\ о' на z-плоскости
отображается на всю ш-плоскость,
разрезанную от —оо до et.
В лемнискатическом случае
g3=0, gi>0 мы имеем е2=0,
es=—et. Прямоугольник в г-пло-
скости в этом случае является квад-
квадратом, диагональ jpg,, соединяю-
соединяющая Ос <в + ш', отображается на от-
отрицательную мнимую полуось на
ш-плоскости, а диагональ 53$ ото-
отображается на нижнюю половину
окружности в а>-плоскости с цент-
-к
К
е- х rf a
Рис. 8. Отображение ai=sn («,
0 SO
ром в точке е2 = ° и радиусом ех.
При этом внутренняя область пря-
прямоугольного равнобедренного тре-
треугольника с вершинами <в'2+о)';2,
ю, <в' + (о в z-плоскости отображается на четвертый квадрант круга с радиу-
радиусом et на да-плоскости.
Функция w = sn(u, k). Из п. 13.18 видно, что внутренняя область прямо-
прямоугольника с вершинами О, К, К-МК', «К' на u-плоскости отображается на
первый квадрант ш-плоскости (рнс. 8). Прямоугольник —К, К, К+«К\

70
ГЛ. 13. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИНТЕГРАЛЫ
— К + гК' отображается на верхнюю полуплоскость ^-плоскости, а прямо-
прямоугольник с вершинами ± К ± »К' отображается на всю ш плоскость, разре-
разрезанную от —да до —1 и от 1 до оо. Можно доказать (см., например, Dixon.
1894, приложение А), что прямые их = const, ua = const отображаются на
дважды ортогональную систему конфокальных бициркулярных кривых
четвертого порядка на ^плоскости, фокусами которых являются ± 1, ± к'1.
Эти кривые четвертого порядка симметричны как относительно оси wlt так
и относительно оси w% Кривые четвертого порядка, соответствующие прямым
Uj^const, имеют две ветви, одна—охватывающая ¦$$. соответствует ut > О,
а другая, охватывающая JFj^f, соответствует ut < 0. Кривые четвертого
порядка, соответствующие и3 —0 являются овалами, охватывающими $С&.
В частности, при u2 = (n+l/2)K' мы получаем окружность, см. 13.18A).
Дальнейшие детали изображены на рис. 8.
Функция а)=сп(ц, fe) Внутренность прямоугольника с вершинами О,
К, К + 'К', *К' на «плоскости отображается на четвертый квацпант на
01-плоскости (рис. 9). Прямоугольник —К, К, К+(К', —К +/К'отображается
0
щ
А
0
1
/I
К<
3
а
т
К-Ж'
2К+/К'
2К
2К-/К'
S
-1
ш,-0
ik'fk
a
Рис. 9. Отображение а»=сп (и, А).
на правую да-полуплоскость, разрезанную от 0 до 1. Прямоугольник — iK',
К—<К', К+»К', *К' отображается на правую полуплоскость, разрезанную
от 1 до оо, а прямоугольник с вершинами ± Ж', 2К ± <К' отображается на
. . ik'
всю ш-плоскость, разрезанную от —оо до —1, от 1 до оо, от —t оо до г-
ik'
в от~х~ до / оо. Прямые Ui—const, иа=const отображаются на дважды
ортогональную систему конфокальных бициркулярных кривых четвертого
порядка на ш-плоскости, фокусами которых являются точки ± 1, ±-г~ • Оба
семейства являются овалами, причем овалы, соответствующие их = const,
охватывают %%, а соответствующие «2 = const—охватывают Л^. Оба семей-
семейства симметричны относительно осей w1 = 0, о>2=0.
Функция w=da(u, ft). Так как из табл. 7 (п. 13.17) и 11 (п.13.22)
следует, что
dn(«, ft) = ?'sn(K' — /К + ш, ft'),
то отображение w^dnu может быть сведено к отображению w=snu. В част-
частности, прямоугольник с вершинами О, К, K + 2tK', 2tK' отображается на
нижнюю w полуплоскость так, как изображено на рис. 10, а прямоугольник
С вершинами О, 2К, 2К + 2»К', 2*К' отображается на всю до-плоскость, раз-
разрезанную от — оо до —1 и от 1 до оо. Прямые «1=const, «2=const отобража-
отображаются в дважды ортогональную систему конфокальных бициркулярных кривых

13.25 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
71
четвертого порядка, фокусами которой являются точки ± 1, ± к'. В частнос-
частности, прямые «1 = (/п+1/2)К отображаются в окружность с центром в точке
а>=0 и радиусом к'1/а.
•Функции w=Z(z)-\-eaz. Очевидно,
/Кг
ш
/г
К+2М'
КЧК'
вещественно, ?(--»ze)—ч
мяямое; тех как из 13.13 A»)
следует, что
+т
?' («а)
то первое из этих двух выра-
выражений является чисто мни-
мнимым, а второе—вещественным.
Исследуя отображение прямо-
¦ Л угольника с вершинами 0, со,
ш'
Ряс. 10. Отображение tz>=dn (», h)
а <а
Рис. 11. z-плоскоСть.
ш + <а', а>' (рис. 11) на z-плоскости, мы убеждаемся, что Л'В и %& отобража-
отображаются на горизонтальны* прямые, a vtfg и A3)—«а Вертикальные прямые на
ю-плоскости (а=1, 2, 3). Кроме того,
Из 13.16(9), (Ю), (П)
Рассмотрим, какие знаки имеют г\+елш и
и 13 8B5), B6) следует, что
ва) (B = E-/s's K = fe*B > 0,
E-K AaD < 0,
-i (ei-e
(л'
')* -E' «>.
')= -E'- ^-вз)-1/
= -k'*B < 0,
0.
,(в1з)A + 1)
На рис. 12—14, иллюстрирующих отображения m=g(z)+fez прямоугольни-
прямоугольника ЛЪЧЦ), мы использовали сокращенные обозначения

ГЛ. 13. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Й ИНТЕГРАЛЫ
Из доказанного выше следует, что
H1>Hi>0>Hs, Н[>0> Н'Й>Н'3.
В каждом из случаев часть плоскости, лежащая слева от линии Л^ЛЛ
(в этом порядке), является образом прямоугольника. Путем отражений в сто-
Шо-0
Рис. 12. Отображение w=
Рис. 13. Отображение w=
ронах прямоугольника получаем следующие результаты. Функция w=Z,(z) +
t (рис. 12) отображает внутреннюю область прямоугольника с вершинами
± со, ± <в + 2ш' на г плоскости на об-
область до-плоскости, лежащею вне полу-
полубесконечной горизонтальной полосы с
вершинами ± Hi, ± H1-\-2iH'v Функ-
ция w = Z,(z)-\-ej,z (рис. 13) отображает
внутреннюю область прямоугольника
с вершинами ± w ± со' на г-плоскости
на внешнюю область прямоугольника в
и-плоскости с вершинами ± Н2± tH't.
Функция w = Z,(z)-\-esz (рис 14) ото-
отображает внутреннюю область прямо-
прямоугольника на г-плоскости с вершина-
вершинами ± со', 2ш ± w' на область, лежа-
лежащую вне двух полубесконечных верти-
вертикальных полос на йу-плоскости, верши-
вершинами которых являются ± »Я'8, 2HS±
ш,=0
Рис. 14. Отображение а»=Е(г)+г, (г).
Отображение ш = ? (z) + e2z можно скомбинировать с одним из рассмотрен-
рассмотренных выше отображений для того, чтобы получить отображение внешней
области прямоугольника на полуплоскость.

ГЛАВА 14
АВТОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
Эта глава содержит основные определения, касающиеся автоморфных
функций, и некоторые легко получающиеся примеры таких функций, в част-
частности модулярных функций. Мы не б>дем рассматривать здесь многочислен-
многочисленные разветвления теории, связанные с теорией групп, многими ветвями
геометрии, теории чисел и важными аспектами общей теории комплексного
переменного. Мы лишь схематично изложим фундаментальные идеи Феликса
Клаина, старательные исследования Фрикке, более современные открытия
Гекке и К- Л. Зигеля и приложения их результатов к теории чисел, а крат-
краткие замечания относительно тета-рядов Пуанкаре далеки от того, чтобы дать
адекватное изложение этой теории.
В конце главы указана библиография. Наиболее важными книгами,
касающимися содержания этой главы, являются Fncke A901 —1921), Fncke
и Klein A897, 1912), Fubini A908), Giraud A920), Schlesmger A924) и Форд
A936, с обширной библиографией). Относительно приложений к теории чисел
читатель может посмотреть Reid A910), а к алгебре— Ван дер Варлен A947).
К отдельным пунктам существенны следующие ссылки:
14 1 4—Форд A936),
14.3 —Klein A884),
14 4 — Krazer и Wirtinger A901, 1921).
14 6 —Klein и Fricke A890, 1892),
14 6 4.— Fncke A916, 1922).
Другие ссылки будут сделаны в соответствующих местах.
14.1. Разрывные группы и дробно-линейные преобразования
14.1.1. Дробно-линейные преобразования. П^сть г — комплексное пере-
переменное, изображаемое либо точкой z = x-\-iy на комплексной плоскости
(дополненной бесконечно удаленной точкой), либо точкой (хх, хг, х3) трех-
трехмерной сферы
*;+*;+*;=i. ш
Мы будем обозначать эту сферу через So и называть ее римановой сферой.
Соответствие между точками комплексной плоскости и точкой римановой
сферы определяется равенствами

74 ГЛ. 14. АВТОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
Отображение So на г-плоскость является конформным и известно под назва-
названием стереографической проекции Окружности на сфере отображаются при
этой проекции в окружности или прямые линии на плоскости. В этой главе
прямые линии будут рассмагриваться как частный случай окружностей
(а именно как окружности, проходящие через точку г=оо), так что под
словом «окружность» мы будем понимать обычную окружность или прямую
линию, а под дугой окружности—часть окружности или отрезок прямой
линии Если отрезок прямой линии содержит бесконечно удаленную точку,
то его изображение на евклидовой плоскости может состоять из двух компо-
компонент. Тем не менее на комплексной плоскости этот отрезок является связ-
связным множеством (поскольку обе компоненты соединяются в бесконечно уда-
удаленной точке)
Пусть а, Ь, с, d—любы е комплексные числа такие, что
ad-bc=\. D)
Соотношение
определяет отображение г-плоскости, или, что то же счмое, 50 на себя; это
отображение называется дробно-линейным преобразованием о. При такой
интерпретации мы рассматриваем г' как другую точку комплексной плоскости.
При иной интерпретации г' рассматривают как новое переменное или как
новую координату той же самой точки Однако в этой паве ми будем при-
придерживаться первой интерпретации. Если ad—ЬсфО, то отображение E)
не вырождено и, поскольку преобразование E) однородно относительно а, Ъ,
с, d, в этом случае можно добиться, чтобы выполнялось условие D) Таким
образом, D), (S) определяют самое общее невырожденное преобразова-
преобразование вида E). (Для вырожденного преобразования E) мы имеем ad—bc=0
и отображение либо не определено, либо переводит всю плоскость в одну
точку.) Соотношение между гиг' взаимно однозначно. Из D) и E) вытекает
- dz'-b
Пусть о'—другое дробно-линейное преобразование
Тогда
определяет дробно-лииейное преобразование, так как
(а'а + Ь'с) {c'b+d'd)-(a'b+b'd) (c'a + d'c)=(ad-bc) (a'd'-b'c')=l.
Преобразование (8) называют произведением преобразований о' и а (в этом
порядке) и обозначают через а'а. Произведение любого (конечного) числа
дробно-линейных преобразований определяется тем же способом Вообще
говоря, преобразования а'а и от' различны. Обратным к а является дробно-
линейное преобразование
«' = =?^-0~JM' ad-bc=l, (9)
которое мы будем обозначать через о~1. Если /—тождественное преобразо-
преобразование /(г)=г, то, очевидно, имеем
О0~1=о~1а=1 или с[а~1(г)]=а~1[о(г)] = г.

14.1. разрывные группы и дробно-Линейные преобразования 75
Любое дробно-линейное преобразование переводит любую окружность
на So в окружность, обратно, любое взаимно однозначное преобразование
сферы So на себя, при котором окружности переходят в окружности, явля-
является дробно линейным преобразованием.
14.1.2. Неподвижные точки. Классификация преобразование. Точка ?
называется неподвижной точкой преобразования а (г), если выполняется
условие а (?) = ?. Если с т 0, то неподвижными точками преобразования в,
заданного формулой E) п. 14.1.1, являются
если же с=0 и a ?t d, то неподвижными точками являются
Если с=0 я o=d, то обе неподвижные точки совпадают с бесконечно уда-
удаленной точкой, исключая случай, когда 6 = 0, в котором все точки вепод-
вижны В написанных вышз формулах для ?, и ?2 использовано условие D).
Дробно линейные преобразования можно классифицировать по их непод-
неподвижным точкам следующим образом.
1. Тождественное преобразование. Все точки неподвижны
a = d=±l, b—c—Q,
2. Параболические преобразования. Обе неподвижные точки созпад-дот
Друг с другом
Преобразование можно записать в одном из видов:
+8 S*
г'^г + Ъ, ? = 0.
В первом случае
„ a— d „
а во втором случае
3 Преобразование с двумя различными фиксированными точками
Такие преобразования могут быть записаны в одном из видов:
где
^h=-~{(a + d)~[(a + d)^~^'^} при с^О, Л=в пря <?=0.
Прн этом могут встретиться три возможности:
За) |Я| —1—эллиптическое преобразование;
36) Я вещественно—гиперболическое преобразование;
Зв) Я не является вещественным числом и |А,| Ф 1—локсодромическое
преобразование.

76 гл. 14. лвтоадоРФныЕ функции
Преобразования а и т~1ат, где х—невырожденное яробчо-линейное пре-
преобразование, называются подобными. Подобные преобразования имеют оди-
одинаковый тип, т. е. либо оба являются эллиптическими, либо оба параболи-
параболическими и т. д.
14.1.3. Разрывные группы. Множество G дробно-линейных преобразова-
преобразований а, а', ... называется группой, если оно обладает следующими свой-
свойствами:
1. Тождественное преобразование / принадлежит G.
1. Если а принадлежит G, то а также принадлежит (?.
3 Если а и о' принадлежит G, то сю' также принадлежит О.
Преобразования aL, cr2, ... называются образующими группы G, если
любое преобразование из G является произведением конечного числа поло-
положительных или отрицательных степеней некоторых из преобразований а,.
Две точки Р и Р' (на So или на комплексной плоскости) называются эквива-
эквивалентными или конгруэнтными относительно О, если Р*Р', иб содержит пре-
преобразование, переводящее Р в Р'
П^сть Do—фиксированная открытая область (открытое связное точечное
множество) на 50 или на комплексной плоскости, и пусть О—группа дробно-
линейных преобразований, каждое из которых переводит область Do в себя.
Некоторые из преобразований группы G мог>т иметь в Do непочвижные
точки. Удалим из Do все точки, которые либо являются неподвижными для
некоторых преобразований группы G (отличных от /), либо предельными
точками для множества неподвижных точек Предположим, что оставшееся
множество Di (являющееся открытым) связно и, следовательно, является
областью. Для любой точки Р1 из Dx рассмотрим множество всех точек,
эквивалентных Рх относительно G. Если для всех точек Рх из Dx выпол-
выполняется условие, что Рх не является предельной для множества точек, экви-
эквивалентных с Рх (т. е. если все точки, эквивалентные с Рх, лежат вне неко-
некоторой окрестности этой точки), то группа G называется разрытой группой
в области Da. Относительно простого доказательства критерия разрывности
группы вешественных преобразований см. Siegel A950).
14.1.4. Фундаментальная область. Мы будем рассматривать группу G
дробно-линейных преобразований, которым можно поставить в соответствие
(замкнутое связное множество) F*, обладающее следующими свойствами.
1. F" ограничено конечным числом окружностей или дуг окружностей
(при этом могут встретиться несколько непересекающихся дуг одной и той
же окружности). Мы будем обозначать эти окружности и дуги окружностей
через Аъ Аг, ..., А„. Точки, в которых пересекаются две дуги, будем назы-
называть вершинами и обозначать через Их, F2, . . ., Vm.
2. Никакие две внутренние точки F* не являются эквивалентными отно-
относительно G.
3. Компоненты А1г ..., Ап границы можно разбить на пары Ач, Av,,
v Ф v', так что для каждого v существует в точности одно преобразова-
преобразование о^ в G, отображающее Av в Av,.
4. Преобразования о* в условии 3 являются образующими G, иными сло-
словами, каждое преобразование в G является произведением конечного числа
(положительных или отрицательных) степеней преобразований о^.
Заметим сначала, что ни одно из преобразований G (отличных от /) не
имеет внутри F* неподвижных точек. Если точка Р является внутренней
для F* и неподвижна при преобразовании в в С, то о отображает окрест-
окрестность точки Р в некоторую окрестность той же точки, причем можно считать,
что обе эти окрестности принадлежат F*. Но тогда мы получили бы в F*
две эквивалентные внутренние точки, что противоречит условию 2. Рассмотрим
теперь образы множества F* при всрх преобразованиях G. Объединение всех

14.1. РАЗРЫВНЫЕ ГРУППЫ И ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 77
этих образов является областью (оно связно в силу условий 3 н 4). При
этом ни одна точка не может быть представлена двумя способами, как образ
внутренних точек F*. В самом деле, пусть а (Р) = о'(Р'), где Р и Р' — внут-
внутренние точки для F*. Тогда Р = а~го'(Р'). Если Р ф Р', то это равенство
противоречит условию 2. Если же Р=-Р', но а Ф о', то оно противоречит
условию отсутствия неподвижных точек. С другой стороны, точки, являю-
являющиеся образами граничных точек для F*, мог^т встретиться несколько раз,
например a*Pv=/Pv,, где Pv—точка из Ач и Pv<—соответствующая точка
из Av,. Если удалить часть границы F*, то получится область F, которая
не является ни открытой, ни замкнутой и образ которой при отображении от G
однократно покрывает область на So или на г плоскости. Эту область F мы
будем называть фундаментальной областью для группы О.
Чтобы построить F, возьмем окружности и дуги окружностей, состав-
составляющие границу F*, разобьем их на пары А^, А^,, как указано выше, и из
каждой пары оставим одну и удалим вторую. Удалим также вершины, в ко-
которых пересекается бесконечное число образов области /*", разделим остав-
оставшиеся вершины на классы эквивалентных вершин, в каждом классе оставим
одну вершину и удалим все остальные. Множество всех оставшихся точек
(куда, в частности, входят все внутренние точки из F*) является фундамен-
фундаментальной областью F для G: оно не содержит никаких двух эквивалентных
точек.
Пусть Oj, a2, ...—преобразования из G, причем ах—тождественное пре-
преобразование. Преобразование аг отображает F на Fr и FX = F. Объединение
всех Fr образует область Dx (не являющуюся, вообще говоря, ни открытой,
ни замкнутой), и множество внутренних точек Do нз Dx является открытой
областью, что было выяснено в п. 14.1.3.
Пусть г—любая точка из F, и пусть гг = аг(г). Предельная точка после-
последовательности \zr} называется предельной точкой для О (бесконечно удален-
удаленная точка также может быть предельной). Множество всех предельных точек
при каждом преобразовании из О отображается само на себя, оно может
быть использовано для определения границы Do или Z?x.
Для данной группы фундаментальная область F не является однозначно
определенной, и можно доказать (см. Fricke и Klein, 1897, гл. 2, стр. 128),
что F можно выбрать так, чтобы никакая из ее вершин не была неподвиж-
неподвижной точкой гиперболического или локсодромического преобразования. Для
эллиптических вершин V области F* угол между двумя дугами, пересекаю-
пересекающимися в V, имеет вид -j-.где^—натуральное число. Если V—неподвижная
точка эллиптического преобразования о из G, то а1—тождественное преобра-
преобразование, / называют порядком а или V. Вершина F", являющаяся неподвиж-
неподвижной точкой параболического преобразования из G, называется параболиче-
параболическим острием.
Две группы С и С дробно-линейных преобразований называются подоб-
подобными или эквивалентными, если существует фиксированное преобразование х
такое, что G' = x~1Ot, т. е. такое, что для каждого преобразования а из G
преобразование а'=х~1о~т принадлежит С, причем любое а' из G' может
быть получено, таким образом, из некоторого преобразования а, принадлежа-
принадлежащего G. Если F—фундаментальная область для О, то x~J F — F' является
фундаментальной областью для G' (т F является множеством всех точек
т~1(г), где г пробегает область F).
Данное нами определение фундаментальной области не является наиболее
общим, ради простоты мы ввели некоторые дополнительные ограничения;
относительно более общих рассмотрений см. Fricke и Klein A897). Вообще
говоря, для фундаментальной области не является существенным то обстоя-
обстоятельство, что она ограничена конечным числом окружностей и дуг окруж-

'78 ГЛ. 14. АВТОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
ностей. Существенно лишь то, что фундаментальная область соцержит полное
множество попарно неэквивалентных точек, что она связна и имеет .доста-
.достаточно регулярную форму. Легко дать точную формулировку первым двум из
этих условий. Однако весьма трудно сформулировать третье условие так,
чтобы эта формулировка была простой, точной и достаточно общей. Предполо-
Предположение о конечности числа вершин в F налагает некоторые ограничения на
автоморфные функции, которые мы будем рассматривать. Эти ограничения
ведут к сравнительно простым формулировкам некоторых общих теорем.
Относительно определений фундаментальной области для автоморфных
функций многих переменных см. литературу, указанную в пп. 14.11, 14.12.
14.2. Определение автоморфных функций
Пусть С—группа дробно-линейных преобразований
°Л— Ъ,сг=1, г = 0, 1,2 A)
ст0—тождественное преобразование
Пусть группа G разрывна в области Do, и пусть F—фундаментальная область
для G. Рассмотрим автоморфные функции q>(z)=q>(z; G), т.е. функции,
удовлетворяющие тождеству
г)] = Ф(г). г=0, 1. 2, ... B)
Поведение этих функций в окрестности особой точки z0 описывается с по-
помощью униформизирующей переменной t:
где /п —целое число и униформизирующая переменная определяется по
группе О следующим образом.
Если г„ не является неподвижной точкой какого-либо преобразования
из Q, мы полагаем
* = z—ze, гй Ф оо, D)
t = z~x, zc=oo. E)
Если z0—фиксированная точка параболического преобразования
^V = r-V+6' 'о*™' F)
Z —Zo Z — Zo
то полагаем
выбирая знак так, чтобы t -* 0, когда z —>¦ z0 в F. Если же z0=oo—непод-
z0=oo—неподвижная точка параболического преобразования
z' = z+6, (8)
то полагаем
(?)
снова выбирая знак так, чтобы t -»- 0, когда г -<¦ оо в F. Если z0—фиксиро-
z0—фиксированная точка эллиптического преобразования порядка / и z0—другая

14.3. ГРУППА ИКОСАЭДРА 79
неподвижная точка этого преобразования, то полагаем
t = z-K го=», г9ф оо, A11
< = (z—z0)', гоф os, z'0 = ». №)
Назовем функцию ф(г)=<р(г; G) авт^морфной функцией для группы G
(или принадлежащей к группе б), если она удовлетворяет следующим ус-
условиям:
1. ф(г) является однозначной функцией в F, аналитнчной во всех точ-
точках из F, исключая, быть может, конечное число точек.
2. Если ф (z) аналитична в точке г0 из F, то ее можно аналитически
продолжить (вн>три Do) в точку г. = а. (г0), причем все возможные анали-
аналитические продолжения (внутри ?>0) приводят к одному и тому же значению
ф(*,). и ф(г,) = ф(г0).
3. В окрестности особой точки z0 функция ф (г) может быть представ-
представлена в виде C).
4. ф (г) не является постоянной.
Напомним еще раз, что данное нами определение автоморфных функций
(и фундаментальных областей) не является самым общим. Для класса опре-
определенных выше функций можно дать простые формулировки теорем, о ко-
которых будет идти речь в п. 14.7. Форд A936, п. 86) называет автоморфные
функции рассмотренного здесь вида простыми автоморфными функциями.
Наиболее важным характеристическим свойством автоморфных функций
является их инвариантность относительно преобразований из О. Это свой-
свойство выражено равенством B). В более общем смысле термин автоморфная
функция применяется для функций одного или нескольких переменных,
инвариантных относительно группы преобразований этого переменного или
переменных. Некоторые примеры таких обобщений будут рассмотрены
в п. п. 14.11, 14.12.
14.3. Группа икосаэдра
Вообще группа О, входящая в определение автоморфных функций,
является бесконечной (т. е. состоит из бесконечного множества преобразо-
преобразований). В этом пункте мы рассмотрим автоморфные функции конечной группы
(состоящей из конечного числа преобразований). Этот пример позволит рас-
рассмотреть существенные принципы, связанные с конструкцией автоморфных
функций, не входя в осложнения, возникающие в общем случае. Группа,
которую мы рассмотрим здесь, является группой симметрии икосаэдра
(правильного многогранника, состоящего из двадцати равносторонних тре-
треугольников). Эта группа может рассматриваться как группа отображений
икосаэдра в себя и известна как группа икосаэдра. Она тождественна с
группой симметрии додекаэдра (правильного многогранника, состоящего из
двенадцати правильных пятиугольников) и поэтому иногда называется
группой додекаэдра. Согласно Евклиду, с каждым додекаэдром связан
к}б, ребра которого являются диагоналями граней додекаэдра. При этом в
любой додекаэдр можно вписать таким образом пять различных кубов, и
вращения додекаэдра приводят к перестановкам этих кубов. Таким образом,
нашу группу можно отождествить с группой перестановок пяти элементов,
точнее говоря, с знакопеременной группой (состоящей из всех четных пере-
перестановок).
Пусть икосаэдр вписан в сферу Se из 14.1A), и пусть ребра икосаэдра
проектируются на So из центра сферы. Мы получим тогда сеть из двадцати

80 гл. 14. автоморфные функции
конгруэнтных равносторонних сферических треугольников, покрывaioin\ioS<|.
Существует 60 рращений сферы, которые оставляют эту сеть инвариантном,
поскольку каждый центр тяжести треугольника может быть переведен в
любое из 20 положений, после чего остается еще три вращения (на угол
2я/3), оставляющих инвариантной нашу сеть.
Если отобразить сферу So на комплексную z-плоскоаь с помощью сте-
стереографической проекции 14.1B), то получим сеть из 20 криволинейных
треугольников на z-плоскости, каждый из которых ограничен дугами ок-
окружностей (в смысле п. 14.1.1, так что некоторые из этих дуг окружностей
могут быть прямолинейными отрезками). 60 вращений сферы индуцируют
60 дробно-линейных преобразований. Мы получаем, таким образом, группу
Ge0— реализацию группы икосаэдра. Выберем начало коордииат на z-плос-
z-плоскости в одной нз вершин, а вещественную ось z направим по оси симметрии
фундаментальной области. Тогда в группу G60 входят три преобразования
\ A)
B)
Для преобразований S и Т первая из двух записей является простейшей, а
вторая удовлетворяет условию унимодулярности 14.1D). Преобразования U,
S, Т являются образующими для группы Geo. Более точно, 60 преобразова-
преобразований из Ge0 задаются в виде
SK, S*TS\ US*, C/S"TS\ D)
где и, Я,=0, 1, 2, 3, 4. Тождественное преобразование в такой записи имеет
вид S0.
Группа Q№ разрывна и Do для нее совпадает со всей плоскостью. Фун-
Фундаментальная область F имеет вершины в точках го = О, гх и 1Х, где
E)
и гх, 2^—комплексно сопряжены. Граница области F состоит из прямоли-
прямолинейных отрезков А^, А2, соединяющих z0 с гх и гх, и дуги окружности А3,
соединяющей гх и гг и пересекающей вещественную ось в точке
_ 1
Все преобразования из Ge0 эллиптичны, причем U, S и Т имеют соответст-
соответственно порядки 2, 5, 2. Точки z0, г2, zx являются соответствен а о неподвиж-
неподвижными точками для преобразований S, Т и TS. S отображает AL на Л2, а
Т отображает часть /43, соединяющую zt и z2, на часть, соединяющую
г[ и z2. Таким образом, надо рассматривать две половины А3 как отдель-
отдельные дуги, 2а считать вершиной, а поэтому полное множество вершин для F
состоит из точек г0, zlr z2, гг. Если отбросить часть границы в соответст-
соответствии с п. 14.1.4, то образ F относительно 60 преобразований D) однократно
покрывает всю z-плоскость. Сеть треугольников на So или на z-плоскости
приведена в книге Forsyth A900, рис. 104, стр. 660 и рис. 107, стр. 667), где шесть
треугольников, попеременно окрашенных в белый и черный цвет, образуют
фундаментальную область.

14.4. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 81
В рассматриваемом случае все автоморфные функции являются рацио-
рациональными функциями от г, и можно показать (см., например, Fricke, 1926,
т. 2, гл. 3), что их можно выразить нижеследующим образом через функции
и (г) = га°+1 —228 (z15—z5)+494z10, G)
v (z) = г'0 + 1+522 (г»»-г»)—10 005 (z*>+z"), (R)
Пусть ft, I, т, п—целые числа, пё*0 (если п==0, то сумма в A0) может
быть заменена нулем, а произведение в A1)—единицей), пусть е„= ± 1 и
av и ^—отличные от нуля постоянные, v=l, .... п; кроме -юго, пусть
выполняется соотношение
20fc+30/+12/n+60 2 е„=°- A0)
Тогда любая функция вида
n (И)
V=l
является автоморфной функцией для группы G6tP и каждая автоморфная
функция этой группы может быть представлена в таком виде. Поскольку
три функции и, v, w не являются независимыми др}г от друга, а удовлетво-
удовлетворяют соотношению
«s_t)a+i23a,5 = 0, A2)
представление A1) не является однозначно определенным.
Относительно описания положения нулей и полюсов автоморфной функ-
функции, определенной равенством A\), и приложения теории автоморфных
функций группы G6o к решению общего уравнения пятой степени см. Fricke
A926, т. 2, гл. 2 и 3).
Можно перечислить все конечные группы дробно-линейных преобразо-
преобразований. Относительно теории автоморфных функции, соответствующих этим
группам, см. Fricke A926, т, 2, гл. 2).
14.4. Параболические преобразования
Если все преобразования группы G, за исключением тождественного,
параболичны, то можно показать, что все параболические преобразования
группы имеют общую неподвижную точку. Не теряя общности, можно пред-
предположить, что этой общей неподвижной точкой является бесконечно уда-
удаленная точка. В этом случае Do является конечной частью плоскости, т. е.
множеством всех конечных комплексных чисел г (конечную часть комплекс-
комплексной плоскости называют также плоскостью с выколотой бесконечно удаленной
точкой). Соответствующие разрывные группы принадлежат одному из сле-
следующих двух типов. Либо существ>ет вещественное или комплексное число со
такое, что
o>(z) = z + ru>, r = 0,±l, ±2,..., A)
либо существуют два фиксированных вещественных или комплексных числа
о и ш' такие, что ш/ш' не является вещественным числом, и преобразова-
преобразования группы имеют вид
<V(z) = z + r<o + rV, г, '' = 0, ± 1, ±2, ... B)
В случае гр\ппы, состоящей из преобразований A), автоморфной функ-
функцией для группы G является

82 гл. 14. автоморфные функции
Любая мероморфная функция от t (однозначная функция, аналитическая с
точностью до полюсов) является автоморфной функцией и каждая автоморф-
ная функция имеет такой вид. Таким образом, б этом случае автоморфными
функциями группы G являются мероморфные периодические функции с перио-
периодом (О.
Если G состоит из преобразований B), то автоморфными функциями
группы G являются мероморфные двояко-периодические (т е. эллиптичес-
эллиптические, см. п. 13.11) функции от G, имеющие периоды со, ю'.
Группы параболических преобразований с тремя или большим числом
периодов не представляют для нчс интереса, поскольку можно показать
(см. п. 13.10), что мероморфная функция комплексного переменного, имею-
имеющая более двух независимых периодов, постоянна. Таким образом, группы,
содержащие более двух независимых параллельных переносов, не обладают
автоморфными функциями.
Обобщения. Кратно-периодические функции. Группы параллельных пе-
переносов с несколькими независимыми образующими обладают автоморфными
функциями, если вместо функций одного комплексною переменного рассмат-
рассматривать мероморфные функции от р комплексных переменных, р = 2, 3, 4, ...
Такие функции могут иметь 2р (или меньше) периодов. Они определяются 2р2
постоянными
@^, ц = 1, 2 р;а=1,2 2р, D)
которые называются периодами,. Постоянные <в„я не могут быть выбраны
произвольно, а должны удовлетворять некоторым условиям. Можно пока-
показать, что путем соответствующего преобразования переменных и периодов
получаем
|'я8 ,
а>^=~-> <'W+* = ap.»=='V ц. v = l, ..., р, E)
где 6„у—символ Кронекера, е^—натуральные числа, и для всех веществен-
вещественных ха, удовлетр.оряюи*их условию
выполняется соотношение
Re ± 2 Wv<°" V
|1=1V=1
Пусть числа «^ таковы, что по крайней мере йля одного {г
при всех вещественных %,, .... КР, ™ исключением ^= V~0' H
пусть flu, и.)-однозначная аналитическая функция от р комплекс-
пусть Г^1- ¦;••_ ^„„, рная дЛЯ ВСех конечных значении их ир, за
при любых целых
п ц = 1, •••. Р. а—1.

14.5. БЕСКОНЕЧНАЯ ЦИКЛИЧЕСКАЯ ГРУППА 83
для всех конечных точек (ult ..., и„), в которых ? регулярна, выполня-
выполняется равенство
?(«i+% up+r\p) = f(ult .... ир). (9)
Можно доказать, что для любого множества периодов <я^л, удовлетво-
удовлетворяющего условиям E), G), существуют 2р-кратно периодические фучкцик.
При этом существуют р таких функций, которые алгебраически независимы
друг от друга; любые р+1 такие функции связаны алгебраическим соот-
соотношением (см. п. 13.11 для случая р = 1). Каждая 2р-кратно периодическая
функция может быть выражена как рациональная функция соответственно
выбранных тета-ф^нкций, определенных с помощью р-кратных бесконечных
рядов
во / JJ р р \
в(«1 «;,)¦= 2 ехР ( S 2l VVv+2 2 vJ • A0)
Здесь в^—вещественные или мнимые числа такие, что ReaLv образует
отрицательно определенную симметрическую матрицу, т. е. а„„=а„„ и
для всех вещественных xv ..., хр, удовлетворяющих условию
2 *¦ > о.
Ц = 1
Относительно теории кратных периодических функций и_ их связи
с алгебраическими функциями одного переменного и с теорией абелевых
функций см. Baker A907), Krazer и Wirtinger A901—1921).
14.5. Бесконечная циклическая группа с двумя
неподвижными точками
Пусть а—гиперболическое или локсодромическое преобразование. Если
ti и ?»—неподвижные точки преобразования а, то это преобразование
можно представить в виде
* —%2
„ли z'-
в зависимости от того, имеем ли мы ?s Ф да или ?2 = оо. В обоих случаях
предполагается, что \хф<я. Здесь р > 0, р Ф 1. Если q> является целым
кратным 2л, то преобразование гиперболично, в противном случае оно
локсодромическое.
Рассмотрим группу G, порожденную преобразованием в. Элементами
этой группы являются о". я=0, ±1, ±2, ... Преобразования о" можно
представить в виде
рЕ^г р"е'пф &ь' Cl> Es * "• (|)
или

84 Гл. 14. автоморфные функций
где р, ф—введенные выше величины и п—любое (положительное или
отрицательное) целое число.
Группа G разрывна в области ?>0, состоящей из всех комплексных
чисел, отличных от ?t и ?2 (т- е- являющейся комплексной плоскостью
с выколотыми точками Zt и ?2). Для того чтобы пол) чить фундаментальную
область F, возьмем любую окружность Со, разделяющую точки ?х и t2 (так
что любая непрерывная кривая, соединяющая ?i и ?2, пересекает Со), обо-
обозначим через С„ образ окружности С„ при отображении а". Последователь-
Последовательность окружностей С„, п = 0, ±1, ±2, ..., инвариантна относительно G.
При этом никакие две окружности этой последовательности не пересекаются
друг с другом. Любая область, ограниченная двумя смежными окружно-
окружностями Сп и С„ + 1 (причем одна окружность является частью области, а дру-
другая нет), может быть выбрана в качестве фундаментальной области F.
Автоморфными функциями группы G являются эллиптические функции
комплексного переменного
с периодами
«! = In p + Ир, Щ = 2ni. D)
То, что в качестве автоморфных функций группы G появились двояко-
периодические функции, может быть объяснено следующим образом:
группа G, по сути дела, совпадает с lpynnofl, рассмотренной в 14.4A).
Между этими группами с точки зрения алгебры нет никакого различия,
они изоморфны. Однако области, относящиеся к этим группам, существенно
различны. Область Do (плоскость с выколотой бесконечно удаленной точ-
точкой) и фундаментальная область F (бесконечная полоса) в 14.4A) были
односвязными областями; рассматриваемая здесь область Do (плоскость
с двумя выколотыми точками) и фундаментальная область F (ограниченная
двумя непересекающимися окружностями) двусвязны. В двусвязной области
(такой, как F) функция может быть всюду аналитична и многозначна, что
нарушает условие 2 п. 14.2. Мы используем одну из периодичностей, чтобы
сделать нашу функцию однозначной в F, а другую—чтобы определить ее
в образах области F в соответствии с 14.2B).
Относительно приложений к краевым задачам электростатики см. Burn-
side A891, 1892), где изучен случай 2я ограничивающих окружностей.
14.6. Эллиптические модулярные функция
14.6.1. Модулярная группа. Пусть М— группа всех дробно-линейных
преобразований
с целыми а, Ь, с, d. M называется модулярной группой (см, также п. 13.24);
она имеет бесконечный порядок и все ее преобразования отображают верх-
верхнюю полуплоскость Im г > 0 на себя. Пусть Do—верхняя полуплоскость.
Тогда М разрывна в ?•„. В качестве фундаментальной области F можио
взять множество точек г таких, что
Im г> 0 и либо |г|3г1, —1/2 < Re z «S 0, либо |г| > I,
0<Rez<l/2. B)

14.6. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ 85
Вершинами F являются точки
Преобразование а, соответствующее значениям параметра a = b~d = \,
с = 0, т. е.
z'=c(z)=z+l D)
отображает отрезок (луч), соединяющий гх и г4, на отрезок, соединяющий
г3 и г4, причем z4 является параболической неподвижной точкой этого пре-
преобразования. Преобразование т, соответствующее значениям параметров
a = d = 0, b=— 1, с=1, т. е.
— т W — —~ » W
отображает дугу верхней единичной полуокружности, соединяющую точки гА
и г2, на дугу, соединяющую г3 с z2. Для этого преобразования неподвижной
точкой является г3 (другая неподвижная точка лежит в нижней полупло-
полуплоскости).
Группа М порождается преобразованиями а, х. Так как тг = /, то любое
преобразование из М можно представить в виде
где
/=1,2,3 я1( п, = 0, 1. 2 /ц, .... пг_1 = 1,2, 3, ...
Образы области F при всех этих преобразованиях однократно покрывают
верхнюю полуплоскость.
14.6.2. Модулярная функция J{z). Абсолютный инвариант J (г) моду-
модулярной группы М возникает в теории эллиптических функций (где пере-
переменная обычно обозначается через т., см. п. 13.24). Он играет важную роль
в этой теории и ее приложениях. Тесно связанная с ним функция лежит
в основе первоначального доказательства теоремы Пикара. Основными свой-
свойствами J (z) являются следующие.
1. Функция J (г) однозначна и аналогична в Do (верхней полуплоскости)
и для всех преобразований 14.6A) модулярной группы выполняется условие
2. Функция w=J(z) отображает фундаментальную область F (опреде-
(определяемую согласно 14.6B)) взаимно однозначно на (полную) ш-плоскость так,
что граница F отображается на часть вещественной оси на плоскости w от
— оо до 1, причем
¦«. G)
3. В силу 1 и 2 J (z) является автоморфной функцией от М, причем
каждая автоморфная функция от М есть рациональная функция от J (z).
Кроме того, отметим, что каждая точка вещественной оси на плоскости г
является особой для / (г), а потому вещественная ось есть натуральная
граница для / (г).
Выражение J (г) через ряды Эйзенштейна. Пусть и, ю'—два веществен-
вещественных или комплексных числа таких, что Im (а>'/щ > 0. Будем рассматривать
о) и со' как полуперноды и образуем инварианты Вейерштрасса
~" "• (8)

^ ГЛ. 14. АВТОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
(см 13 12 A3)), где 2' означает суммирование по всем парам целых чисел
{т, л), за исключением m = n = 0 Мы полагаем также
Д(ш,«о')=Я«—27g« (Э)
fcM 13.13 G)). Очевидно, что #|/Д—это однородная функция нулевой степени
от ш и со' и, следовательно, она зависит только от
z = o>7<b. A0)
где г рассматривается как комплексное переменное, пробегающее верхнюю
пол> плоскость, Мы имеем
()|
(см 13 24D)).
Сгруппируем в рядах
?а (z) = <o4g* (<о, <о') = 60 2' (т+пг)\ \
(ш, ш') = И0 2' (+Г* I
все члены, для которых тип имеют один и тот же наибольший общий
делитель d, и пусть n=«f, /n =—td, s^=0, где s w t взаимно просты. Если
s = 0, то / = 1. Принимая во внимание соотношение
*~90'
п-тска.сщее из 1 13A6), мы получаем, наконец,
?»(г) = -|-я4| 1 + ? (si
L (s, t) = i. s> о
В последних двух суммах s пробегает все натуральные числа и для каждого
s переменная t пробехает все (положительные, отрицательные и нулевые)
целые числа, взаимно простые с s.
Ряды A4) являются примерами рядов Эйзенштейна Характеристическое
свойство таких рядов состоит в том, что на индексы суммирования налагают
теоретике числовые } словия
Выражения g2 и g3 в (8) называют однородными модулярными формами
(т е модулярными формами, которые рыражаются через однородные пере-
переменные ш, со') степени —4 и —6 соответственно, а Ег и Е3 в A4) называют
неоднородными модцгярными формами (т. е. модулярными формами, выра-
выражаемыми через неоднородное переменное г) Относительно определения моау-
лярных форм см Klein и Fncke A890, 1892) и п 14 8 3.
П^сть a, ft, с, d— целые числа такие, что ad — bc—l; тогда, если s и t
пробегают все множество пар взаимно простых целых чисел, то s'~as—ct,
t' = dt—bs пробегают это же самое множество При этом мы считаем, что
множеству принадлежит лишь одна из пар s', Г и —s', —/'. Отсюда сле-
следует, что для любого преобразования 14.6. A) в М имеем
A5)

14.6. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ
87
и потому
J 12» ^ -— —w—_ /1 с\
[?« (г)]*—27 [?3 (г)]1 * '
удовлетворяет F).
Из A4) видно, что функции Е2(г) и ?3(z) являются однозначными ана-
аналитическими функциями от г в верхней полуплоскости Do и что веществен-
вещественная ось является множеством особенностей этих функций Более подробное
иссле„ование показывает, что / (г) обладает этими же свойствами (см. выше
1 на стр 85) '
Выражение J (z) через тета-фунщии Положим
q = e™, \q\<\. A7)
Так как преобразование г'=г+1 принадлежит М, то / (г) является в верх-
верхней полуплоскости периодической аналитической функцией с периодом 1.
Следовательно, J (г)—это четная аналитическая функция от q в единичном
кр>ге с выколотой точкой ? = 0 и может быть разложена в ряд по четным
степеням q
Это разложение можно вывести из формулы
J (z) = 54 ё? ~~Zf tfi • <18)
вытекающей из 13.24E), 13.19A2) и B3), где
=ei @)
Л = 1
да
ел=е8@) =
е4=е4@)=
(см. 13 19A6)) являются тета-функциями нулевого аргумента. Из A8) и A9)
мы имеем разложение
A9)
1728 /(г) = <Г2+
B0)
сходящееся при 0 < | q\ < 1. Очевидно, что коэффициенты в„—целые числа;
относительно их значений при 0<ге<24, см. Zuckerman <lv39). Другое
выражение, которое можно получить из A8), имеет вид
.3
J(z)=-
B1)
Связь с гипергеометрическим рядом. Из свойства 2 функции /(z) сле-
следует, согласно п. 2 7 2, что обратная функция для / (г) может быть *ЫРД"
жена через гипергеометрическую функцию. См. также 13.24B) и (о) и 1Л.о\р)
И F).

гл. 14. автоморфные функции
Положим
где 2Fx—гипергеометрический ряд Гаусса, определенный в 2.1B), и введем
B3)
гD,
B4)
Можно показать, что
2 = еа№'/3 f~^-J/n/.fI • B5)
где положено J = J (г), F = F(J), F* — F*(J). Это равенство дает значение
г для любого /, принадлежащего единичному кругу. Вне единичного круга
мы имеем
2яи=—In/—ЗШ12Н
1/|>1, |arg(l —/)|<я, B6)
где JFX—снова ряд Гаусса и
G(a, Ь; 1; и) = 2рр
=1 )—И> AI. B7)
¦ф—логарифмическая производная гамма-функции (см. Fricke, 1930).
Относительно приложений модулярных инвариантов к теории чисел см.
п. 14.6.5. Относительно приложений к теории функций комплексного пере-
переменного (для доказательства теоремы Пикара) см. например, Курант A934,
стр. 249).
14.6.3. Подгруппы модулярной группы. Мы рассмотрим здесь некоторые
подгруппы модулярной группы. Эти подгруппы определяются сравнениями,
которым должны удовлетворять целые числа а, Ь, с, d, задающие дробно-
линейиое преобразование
Ш ad-bc=l- B8)
Пусть т—натуральное число. Обозначим через Мт множество всех
преобразований B8) из М таких, что
а+1, Ъ, с, d+l или a—l,b,c,d—l B9)
являются целыми числами, делящимися на т. Легко видеть, что М^ само
является группой, оно называется главной конгруэнц подгруппой /я-и сту-
ступени модулярной группы М. Каждая подгруппа Мт разрывна в полупло-
полуплоскости Im г > 0, причем фундаментальная область для Мт может быть по-
построена путем склеивания соответственным образом выбранных ут «копий»

14.6. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ 89
фундаментальной области F группы М (определенной в B)). Под «копией»
F мы понимаем область, являющуюся образом F при некотором модулярном
преобразовании. Если
m=p*lp**...pf, C0)
где р}, ..., рк—различные простые числа и а1( ..., ak—натуральные числа,
то у2 — 6 и
ут=-<г т?A—р~2)A—р~2)...11—Рь%), т>2. C1)
Мы рассмотрим в дальнейшем случаи т = 2, 5. Относительно других
подгрупп Мт см. Fricke A926), Klein и Fricke A890, 1892).
При /и = 2 мы имеем преобразование B8), где а и d—нечетные целые
числа, 6 и с—четные целые числа. Таким образом, М3 является Х-группой
(пп. 13.22, 13.24). Фундаментальная область F2 для /И2 определяется так:
Imz>0, |z—1/2|> 1/2, |z + l/2|Ssl/2, —l<Rez<l. C2)
Вершинами Fa являются точки
z1= — I, z2 = 0, z3=l, z4 = oo. C3)
Граница F2 состоит из лежащих в верхней полуплоскости частей прямых
линий Rez=± ! и окружностей | 2z ± 1| = 1. Обозначим компоненты гра-
границы At At,:
Ау: ImzSsO, Rez=— 1,
Л3: ImzSsO, |z+l/2| = l/2,
Л3: Imz^sO, | г —1/2 | = 1/2.
Rez=l.
Согласно C2) Ax и Лг принадлежат Fa, а А3 и At не принадлежат этой
области. Х-группа порождается (в смысле, указанном в п. 14.1.4) преобра-
преобразованиями
i C5)
Мы уже видели в п. 13.24, что R2 — X(z) является автоморфной функ-
функцией группы УИ2. Эта функция однозначна и аналитична в верхней полу-
полуплоскости, инвариантна относительно преобразований из УИ2 и отображает
Fa на всю ги-плоскость. Кроме того, каждая автоиорфная функция для груп-
группы М2 является рациональной функцией от k2 Так как ,М2—подгруппа
М и J (z)—автоморфная функция для группы М, то У (г) является авто-
автоморфной функцией и для М2 и, следовательно, рациональной ф}икцией от
ft2.- Явное выражение имеет вид
4 A—fe8+fe«K
Функцию А, (г) легко выразить через тета-функции (см. 13.20A4)). Мы
имеем
4
. C7)
где
<7=е«г, М<1. C3)

90 ГЛ. 14. АВТОМОРФВЫЕ ФУНКЦИИ
Разложение функции %(г) в ряды типа Эйзенштейна можно вывести из
теории ^-функции Вейерштрасса.
Функция
а>=К(г) C9)
отображает область
ImzSsO, 0<Re2«?f, \z—VJ > Va D0)
плоскости г на верхнюю полуплоскость ai-плоскости так, что точкам z=0,
1, оо соответствуют точки да=1, оо, 0. Как и в случае J (г), отсюда сле-
следует, что функция, обратная C9), может быть выражена через гипергеомет-
гипергеометрическую функцию. В силу 13.19C) и 13.8E) мы имеем
2^A/2, 1/2; 1; 1-Я)
ax(/2, 1/2; \;Х) ' D1J
где SF,—ряд Гаусса.
Другой подход к теории функций Я (г) принадлежит Нехари (Nehari;
1947), который рассматривал функциональное уравнение
f (q) = 4[t(q*)]'/l {1 + U (Я3)}'11}-2 D2)
и показал, что условие
f @) =0, f @) > 0, f (q) аиалитична для | q | < 1 D3)
определяет единственное решение fo(q) этого функционального уравнения-
Мы имеем f0(q) = X(г) = №, где q и г связаны соотношением C8), и D2) яв-
является, по сути дела, преобразованием Ландена (см. п. 13.23).
Перейдем теперь к рассмотрению подгруппы М^. Фундаментальная об-
область Fi для Мч состоит из 75 = 63 «копий» фундаментальной области F
группы М, лежащих в верхней полуплоскости. 60 модулярных преобразо-
преобразований, отображающих F на эти 60 копий, являются представителями шести-
шестидесяти смежных классов подгруппы Мъ в М. (Относительно понятия смеж-
смежного класса поцгруппы см. Ван дер Варден A947).)
Существует автоморфная функция A (z), таким же образом связанная с
Мв и Fb, как У (г) с М и F или X (г) с Ма и Fz. Явное выражение для
Л (г) имеет вид,
со
V / цт „шг+ат
А(г) = дг/,т=-л D4)
Каждая автоморфная функция для группы Л15 является рациональной
функцией от Л (г); абсолютный инвариант / (г) является автоморфной функ-
функцией для любой подгруппы М и, в частности, для М<,. Поэтому его можно
выразить как рациональную функцию от Л (г). Это выражение имеет вид
J_ [ц(Л)]а
J— 1~~ИЛ)]2> 1
где и, v, w—многочлены, определенные формулами 14 3G), (8), (9). Формула
D5) играет важн}ю ролп в знаменитом решении уравнения пятой степени,
принадлежащем Ф. Клейну. t
Для всех целых положительных чисел /функция [X(z)]'!l является ав-
автоморфной функцией некоторой подгруппы группы М. Тогда, и только тог-
тогда, когда / = 1, 2 или 4. существует главная конгруэнц-подгруппа (УИ4, Ms
и Mis соответственно), для которой [Я(г)] 2!—автоморфная функция.
14.6.4. Модулярные уравнения. Если f (г) яв тяется либо функцией J (z),
либо соответствующей автоморфной функцией главной конгруэнц-подгруппы

14.7. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ АВТОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ 91
{например, X (г) в случае М2 и Л (г) в случае Мъ), то для любого целого
I > 1 функции f (г) и f (lz) связаны алгебраическим уравнением. Такие урав-
уравнения называют модулярными уравнениями.
В случае абсолютного инварианта мы имеем следующее положение дел.
Для любого целого / > 1 функция J{lz) удовлетворяет алгебраическому
уравнению степени /+1. Коэффициентами этого уравнения являются раци-
рациональные функции от Дг), причем коэффициенты, входящие в эти рацио-
рациональные функции, являются рациональными числами. Корни этого уравне-
уравнения имеют вид
Укажем явное выражение модулярного уравнения, которому удовле-
удовлетворяет JBz). Оно имеет вид
+3*.5».4027/;*+28-3'.5« (/+/*)—21а-Зв-50=0, D6)
где для краткости положено
/=12»У(г), /» = 12»/Bz). D7)
14.6.5. Приложения к теории чисел. Эллиптические модулярные функ-
функции и связанные с ними функции (ряды Эйзенштейна, тета функции) играют
важную роль в теории чисел. Относительно некоторых приложении сч. пп.
17.2, 17.3, 17.4 и Hardy A940). Абсолютные инварианты J(z) обладают тем
свойством, что если а имеет положительную мнимую часть и является кор-
корнем квадратного уравнения с целыми коэффициентами, то /(а) является
целым алгебраическим числом. Алгебраические уравнения с целыми коэф-
коэффициентами, для которых одним из корней является /(а), являются так
называемыми уравнениями класса для мнимых квадратичных числовых по-
полей (см. Fncke A928), Fueter A924, 1927)), сы. также Schneider A936), Нес-
ке A939).
Новое и далеко идущее развитие этой теории было начато Гекке (Неске;
1935, 1937, 1939, 1940а, 19406), см. также Petersson A939) и, относительно
некоторых числовых результатов, Zassenhaus A941).
Некоторые результаты, относящиеся к теме этого пункта, но значительно
более общие, содержатся в статье Зигеля (Siegel; 1935).
14.7. Общая теория автоморфных функций
В этом пункте мы опишем кратко классификацию разрывных групп
дробно-линейных преобразований и сформулируем некоторые общие теоремы
об автоморфных функциях одного переменного. Все результаты, о которых
здесь будет идти речь, основываются на определениях первых пунктов этой
главы; мы хотим еще раз напомнить, что эти определения не являются наи-
наиболее общими.
14.7.1. Классификация групп. Автоморфные функции часто классифици-
классифицируют в соответствии с группами, к которым они принадлежат. Классифика-
Классификация всех разрывных групп дробьо линейных преобразований (см. п. 14 1 3)
была дана Пуанкаре. Она была далее развита Фрикке, который примерно
треть первого тома книги Fncke и Klem A897) посвятил детальной класси-
классификации. Ее результаты сформулированы на стр. 164, 165 этой книги (Fncke
и Klein, 1897, т. I).
Как и в начале этой главы мы будем обозначать через О группу дробно-
линейных преобразований о> (г = 0, 1, 2, 3, ...), где

92 ГЛ. 14. АВТОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
Если существует окружность Со, которая отображается на себя при всех
преобразованиях аг, то группу G называют фуксовой группой. Окружность
Со называют главной окружностью группы G, a G называют также группой,
обладающей главной окружностью. Если группа G имеет главную окруж-
окружность, то с помощью дробно-линейного преобразования плоскости z можно
преобразовать Со в стандартную окружность. Применяются две такие стан-
стандартизации:
1) Со—единичная окружность. Для того чтобы единичная окружность
отображалась на себя при дробно-линейном преобразовании аГ, необходимо
и достаточно, чтобы
dr = ar> cr=Fr, \аг\ф\Ь,\, г=0,1, 2, .... B)
где черточка сверху обозначает комплексно сопряженную величину.
2) Со—вещественная ось. Для того чтобы вещественная ось отображалась
на себя при всех преобразованиях аг, необходимо и достаточно, чтобы вы-
выполнялись условия
аг, br, cr, dr вещественны, a,dr—b/;r ф О, г=0, 1, 2, ... C)
Модулярная группа и ее подгруппы являются примерами разрывных групп,
для которых вещественная ось есть главная окружность.
В общем случае группа G имеет предельные точки (см. п. 14.1.4). Пусть
лх число равно I. Можно доказать, что / может принимать лишь значения
О, 1, 2 и оо. Если / = 0, ю очевидно, что группа G конечна (примеры таких
групп даны в п. 14 3). Если/ = 1, то можно показать, что G—группа пара-
параболических преобразований, причем вге преобразования этой группы имеют
одну и ту же неподвижную точку. Эти группы были изучены в п. 14.4.
Если 1 — 2, то мы имеем случай, изученный в п. 14.5, и несколько более
общий случай, когда G подобна группе, порожденной двумя преобразованиями
а(г)=ог. х(г) = ~, D)
где е—корень из 1, т. е. e"*=l для некоторого натурального значения ш,
см. Fricke и Klein A897). Если /=оо, то предельные точки группы G обра-
образуют бесконечное точечное множество и легко показать, что это множестао
замкнуто.
Если существует главная окружность Со и каждая точка этой окруж-
окружности является предельной для группы G, то Со называют предельной ок-
окружностью группы G, а саму группу G фуксовой группой первого рода. Если
же предельные точки образуют нигде не плотное множество на Со, то G на-
называют фуксовой группой второго рода. Все остальные группы G, обладаю-
обладающие бесконечным множеством предельных точек, называют клейновскими
группами. Если /=оз и группа не обладает главной окружностью, то можно
доказать, что она содержит локсодромические преобразования. Модулярная
группа и ее подгруппы, изученные в п. 14.6.3, являются примерами групп,
для которых вещественная ось есть предельная окружность.
14.7.2. Общие теоремы об автоморфных функциях. Пусть G — бесконеч-
бесконечная разрывная группа (см. п. 14.1.3) дробно-линейных преобразований, а
F—фундаментальная область (см. п. 14.1.4) и ф (z), ip^z), ... — автоморфные
функции (в смысле п. 14.2) группы G Для автоморфных функций справед-
справедливы следующие общие теоремы, которые соответствуют общим теоремам
п. 13.11 об эллиптических функциях (напомним, что эллиптические фикции
это автоморфные функции для группы 14.4B), порожденной двумя сдвигами).
Каждая автоморфная функция имеет полюсы в F. Число нулей и полю-
полюсов автоморфной функции в F одинаково. Автоморфная функция принимает
в F каждое значение одно и то же числр раз.

14.8. СУЩЕСТВОВАНИЕ И КОНСТРУКЦИЯ АВТОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ 93
Любые две автоморфные функции данной группы алгебраически зависимы,
иными словами, для любых двух автоморфных функций q>! (г) и фа (г) группы G
существует многочлен Р («, v) от двух переменных с постоянными коэффи-
коэффициентами, такой, что .P(<Pi(z), q>2(z)) = O для всех значений г, при которых
определены (pt (z) и ср2 (z).
Для любой гр\ ппы G можно найти две автоморфные функции щ (г) и
<ps B), такие, что любая автоморфная функция от G является рациональной
функцией от ф! (z) и ф2 (z) с постоянными коэффициентами. Выражение лю-
любой эллиптической функции через $> (z) и §>' (г) в п. 13.14 может служить
примером для этой теоремы.
Если существует автоморфная функция фо(г) группы G, имеющая един-
единственный простой полюс в F и аналитическая во всех остальных точках, то
каждая автоморфная функция от G является рациональной функцией от
Фо(г). Примерами такой функции могут служить J (z) в п. 14.6.2 и К (г) и
A(z) в п. 14.6.3. Можно доказать, что для существования такой функции
фо (z) необходимо и достаточно, чтобы «род» F равнялся нулю; относительно
определения рода фундаментальной области см. п. 14.8.2, а также Fricke и
Klein A897; или Форд A936, § 92).
Если существует автоморфная функция ф0 (z), обладающая указанными
выше свойствами, то она принимает каждое значение в точности один раз.
Поэтому существует обратная функция z = r\(w) для w = (fo(z). Эту функцию
можно представить в виде отношения yjy^ двух частных решений линейного
дифференциального уравнения
где и —рациональная функция от w. (В более общем случае м является ал-
алгебраической ф>нкцией, см. Форд A936, § 44) ) Относительно частного слу-
случая, когда E) эквивалентно гипергеометрическому уравнению, см. п. 14.10.
В случае функций J (z), К (г), А (г) дифференциальное уравнение, соответст-
соответствующее E), является частным случаем гипергеометрического уравнения.
Каждая предельная точка (в смысле п. 14.1.4) является существенно
особой точкой для любой автоморфкой функции группы G. В частности,
в случае фуксовой группы первого рода предельная окружность является
натуральной границей для всех автоморфных функций группы G; эти функ-
функции невозможно аналитически продолжить за эту окружность.
14.8. Существование и конструкция автоморфных функций
14.8.1. Общие замечания. В теории автоморфных функций есть две ос-
основные проблемы. Первая состоит в перечислении всех возможных фунда-
фундаментальных областей (или всех фундаментальных областей, удовлетворяющих
некоторым условиям), и пост роении групп, соответствующих каждой из этих
фундаментальных областей. Вторая проблема состоит в построении всех ав-
твморфных функций, принадлежащих заданной группе.
\ ^ Задача отыскания всех групп, обладающих фундаментальной областью,
полностью решена в случае групп, имеющих предельную окружность: см.
Fricke и Klein A897). Решение опирается на некоторые положения неевкли-
неевклидовой геометрии. Что касается более сложной проблемы об отыскании един-
единственной стандартной формы фундаментальной области для заданной группы,
то частичное решение ее известно в случае групп с предельной окружностью,
порождаемых конечным числом преобразований.
Что касается второй проблемы об отыскании всех автоморфных функций,
принадлежащих заданной группе с заданной фундаментальной областью, то
общие теоремы п. 14.7.2 показывают, что основной проблемой здесь является

94 ГЛ. 14. АВТОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
следующая: найти две автоморфные функции, через которые можно рацио-
рационально выразить все остальные функции, и найти алгебраические соохноше-
ния между автоморфными функциями, принадлежащими одной и той же
группе. Два мощных метода для решения этих проблем будут указаны
в п. 14.8 2 и 14.8.3.
В общем случае очень трудно получить явные формулы. Теории моду-
модулярных и эллиптических функций представляют в этом смысле исключение.
В частности, для большинства групп коэффициенты преобразований, входя-
входящих в эти группы, не могут быть охарактеризованы явным и простым образом.
14.8.2. Римановы поверхности. Пусть заданы группа G и фундаменталь-
фундаментальная область F. Тогда образующие группы G устанавливают соответствие
между парами граничных точек фундаментальной области F (см. п. 14.1.4,
условие 3). Если отождествить эквивалентные граничные точки, то полу-
получится риманова поверхность S. Эта риманова поверхность может иметь гра-
граничные точки, соответствующие неподвижным точкам преобразований из О на
границе F. Род римановой поверхности является также родом фундамен-
фундаментальной области F (см. Форд, 1936, § 92).
Однозначные аналитические функции на римановой поверхности S соот-
соответствуют автоморфным функциям группы G, так что построение автоморф-
автоморфных функций для данной группы с заданной фундаментальной областью
эквивалентно построению однозначных аналитических функций на (не обя-
обязательно открытой) римановой поверхности. Относительно эскиза этого ме-
метода см. Курант A934). Проблема униформизации (см. п. 14.9) играет важ-
важную роль в этом подходе к теории автоморфных функций.
В частных случаях конструкция может быть описана явным образом.
Простейшим примером являются функции треугольника Римана — Шварца.
Относительно этих функций и теорем о дифференциальных уравнениях, ко-
которым удовлетворяют функции, обратные к автоморфным, см. п. 14.10.
14.8.3. Автоморфные формы. Тета-ряды Пуанкаре. Пуанкаре, и, следуя
ему, Риттер (Ritter; 1892, 1894) и Фрикке (Fricke, Klein; 1912) развили тео-
теорию автоморфных функций с помощью метода, похожего на конструкцию
эллиптических функций Вейерштрасса.
Пусть G — разрывная группа дробно-линейных преобразований, как
в п. 14.2, и F—фундаментальная область для О.
Пусть s—постоянная, и пусть для каждого г = 0, 1, 2, ... задано ве-
вещественное или комплексное число о (о>), модуль которого равен единице
(так что v(pr) является функцией, заданной на группе G и принимающей
значения на единичной окружности комплексной плоскости). Мы будем на-
называть функцию -ф (г) автоморфной формой класса {О, —s, v\, если выпол-
выполняются следующие условия (мы используем здесь обозначения и определе-
определения п. 14.2).
1. Функция ip(z) аналитична и однозначна в F, за исключением, быть
может, конечного числа точек.
2. Если функция i|> (z) аналитична в точке г„ в F, то ее можно анали-
аналитически продолжить (в Do) в точку гг=ог (z0), причем все возможные ана-
аналитические продолжения в Do приводят к тому же самому значению г|> (гг)
Ц (г0). A)
3. В окрестности особой точки гЬ (г) может быть представлена в виде
14.2C).
4. г|г(г) ие является постоянной.
Функцию v (аг) называют системой множителей, и из соотношения A)
следует, что о является мультипликативной функцией на группе G, т. е.
v(or)v(or>). B)

14.8. СУЩЕСТВОВАНИЕ И КОНСТРУКЦИЯ АВТОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ 95
При этом обычно предполагают |а(о>)|=1. Автоморфные формы, удовлет-
удовлетворяющие соотношению A), называют формами размерности —s. Автоморф-
Автоморфные функции являются автоморфными формами нулевой размерности, для
которых система множителей имеет вид t)(ar)=l. Автоморфные формы, при-
принадлежащие подгруппам модулярной группы, называются также модуляр-
модулярными формами.
Конструкция автоморфных функций сводится к построению автоморф-
ных форм. Если ^i (?) и ij>2 (z)—автоморфные формы классов (G, —st, t>t} в
[G, — sa, u2} соответственно и если
Ыо>)]ЧМо>)Г> = 1. г = 0, 1. 2
то
<p(z) = hMzI4i>2(z)r>
является либо постоянной, либо автоморфной функцией для G.
Мож..о показать, что каждая автоморфная форма представима тетъ-ря-
дом Пуанкаре. Мы построим сейчас такой ряд при условии, что бесконечно
удаленная точка не является предельной точкой группы G. Этот ряд имеет
тогда вид
в (г; G) = 2 We,)) (crz + dr)-4H (zr), C)
где гг, v(ar), cr, dr имеют смысл, указанный в п. 14.2 и в этом пункте,
/—натуральное число ^2 и Я (г) — рациональная функция oi *, аналити-
аналитическая во всех предельных точках группы G. Этот ряд равномерно и абсо-
абсолютно сходится на каждом замкнутом подмножестве F, на котором функ-
функция Н (г) аналитична, и можно показать с помощью B) и соотношения
о> (zr>) = 07 [о>> (г)] = о> (z) = г,»,
что тета-ряд Пуанкаре представляет автоморфную форму класса {G, —2/, v\.
При построении автоморфных форм с помощью тета-рядов в некоторых
случаях, особенно если 0 является группой с предельной окружностью,
возникает осложнение, состоящее в том, что функция, представимая тета-
рядом, может тождественно обращаться в нуль. В случае автоморфны*
функций, имеющих полюсы, это осложнение можно устранить путем пост-
построения тега-ряда, имеющего единственный полюс в области F; очевидно,
что этот ряд не может тождественно обращаться в нуль в области F. С дру-
другой стороны, при построении автоморфных форм, аналитических в F и об-
обращающихся в нуль в параболических остриях F, функция Я (г) аналитична
в F и могло бы случиться, что ряд C) тождественно обращается в нуль.
Это обстоятельство было наибольшей трудностью, которую пришлось пре-
преодолеть Пуанкаре при построении теории тета-рядов C).
Петерсон (Petersson; 1940) дал новое обоснование теории автоморфных
форм и тета-рядов Пуанкаре с помощью метризации автоморфных форм.
Пусть G — фуксова группа первого рода, содержащая параболические пре-
преобразования. Если предельной окружностью для группы является вещест-
вещественная ось, то можно взять коэффициенты ап Ъг, cr, dr в преобразованиях
этой rpvnnii вещественными. При этих предположениях Петерсон полагает
z = x-\-h/ и определяет скалярное произведение двух форм равенством
) = J J
F
2,
где черточка сверху, как обычно, обозначает переход к комплексно сопря-
сопряженному выражению. Используя инвариантность гиперболической меры от-
относительно преобразований группы G, Петереон вычислил в явном виде ин-
интеграл D) для случая, когда ifi—автоморфная форма, аналитическая а

96 гл. 14. автоморфные функции
области F и обращающаяся в нуль во всех параболических остриях области F
(«Spitzenform»), а ip2—тета-ряд Пуанкаре. Получившаяся формула исполь-
используется для описания тета-рядов и для доказательства фундаментальных тео-
теорем теории этих рядов. Если G — конгруэнц-подгр\ппа модулярной группы,
то теория справедлива при s=2, и(о>)=1. Относительно расширений, обоб-
обобщений и приложений этого метода см. Petersson A941, 1914, 1949).
Для случая фуксовых групп первого порядка, содержащих лишь гипер-
гиперболические преобразования Далцел (Dalzell; 1932, 1944, 1949а, 1949b) развил
новый метод для тета-рядов Пуанкаре и родственных им ф>нкций.
Во многих случаях теория тета-рядов Пуанкаре может быть дополнена
теорией функций, аналогичных сигма- и дзета-функциям Вейерштрасса (в то
время как тета-ряды аналогичны ^-функции). См. Форд A936), ссылки, дан-
данные в п. 14.10.2, а также Ritter A892), Stahl A888), Dalzell A932).
В случае группы, не имеющей предельной окружности, тета-ряды Пуан-
Пуанкаре могут абсолютно сходиться при /=1 и системе множителей v(ar)=l
(см. п. 14.10.2).
14.9. Униформизация
Пусть G —фуксова группа первого рода, такая, что замыкание фунда-
фундаментальной области F целиком лежит внутри предельной окружности (если
в качестве предельной окружности выбрана вещественная ось, то мы считаем
внутренней областью верхнюю полуплоскость). Предположим, что все преоб-
преобразования в G (за исключением единичного, а0) гиперболические. Мы знаем
из п. 14.7.2, что любые две автоморфные функции фх (z) и ср2 (z) для группы G
алгебраически зависимы, т. е. тождественно в F удовлетворяют соотношению
Р(ф1(г), ф,B)) = 0, A)
где Р (и, v)— многочлен. Это означает, что переменные и, v, связанные соот-
соотношением
Р{и, в) = 0 B)
и, следовательно, такие, что каждая из них является алгебраической функ-
функцией другой, могут быть выражены как однозначные функции
и — щ(г), t> = <pa(z) C)
вспомогательной переменной z, называемой учиформизирующей пер~менной
для алгебраического соотношения B). С другой точки зрения B) можно рас-
рассматривать как уравнение алгебраической кривой, а C) как параметрическое
представление этой кривой через однозначные функции. Весьма важным яв-
является тот факт, что любое алгебраическое соотношение можно униформнзн-
ровать таким способом, причем наиболее общими функциями, используемыми
для этого, являются автоморфные функции (см. также п. 13.2). Этот резуль-
результат можно более детально описать следующим образом.
Пусть Р (и, v) — неприводимый многочлен от переменных и и v (т. е.
многочлен, который нельзя разложить на произведение многочленов меньшей
степени), и пусть переменные и и v связаны алгебраическим соотношением B).
Тогда существуют две функции фх (г) и ф2 (z) комплексного переменного г и
область F* на плоскости z со следующими свойствами: для любой пары и,
v комплексных чисел, удовлетворяющих B), существует z в F", такое, что
и = ф1(г), и = ф2(г) и исключая конечное число пар (и, v), это z в F* одно-
однозначно определено. Кроме того, функции фг (г) и ф2 (г) можно выбрать так,
что либо фх(г) и ф2(г)—рациональные функции н F*— вся плоскость г,
либо (fi(z) и ф2 (г)—эллиптические функции, имеющие общую пару пе-
периодов и F* —параллелограмм периодов для этих функций (при этом лишь
одна вершина и две из сторон этого параллелограмма принадлежат F*),

14.10. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ ВИДЫ АВТОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ 97
либо, наконец, Ух(г) и <fi(z) — автоморфные функции для фуксовой группы
первого рода, все преобразования которой (за исключением а0) гиперболичны
и F*—фундаментальная область этой группы.
Относительно теории и истории униформизации см., например, Курант
A934, гл. IX).
14.10. Некоторые частные виды автоморфных функций
Некоторые автоморфные функции были уже описаны в п. 14.3—14.6.3.
14.10.1. Функции треугольника Римана — Шварца. В некоторых случаях
дифференциальное уравнение 14.7E) можно свести к гипергеометрическому
уравнению 2.Ш). Получающиеся автоморфные функции обладают предельной
окружностью. Они называются функциями треугольника Римана—Шварца;
см. также п, 2.7.2, Klein и Fricke A890—1892), Форд A936, § 114).
Для того чтобы построить фундаментальную область для группы, свя-
связанной с функциями треугольника, и получить саму эту группу, возьмем три
окружности С-у, С2, С3 и окружность Со, ортогональную к С(> Cit C3. Мы
возьмем в качестве Со вещественную ось, а в качестве Сг, Са, С3—окружно-
С3—окружности, центры которых лежат на этой оси (одна или несколько из окружно-
окружностей С,-, 1 = 1, 2, 3, могут быть прямыми линиями, перпендикулярными к ве-
вещественной оси, в этом случае их центр лежит в бесконечно удаленной точке
вещественной оси). Пусть А—треугольник, ограниченный дугами Ль А2, А3
окружностей Clt C2, С3; мы предполагаем, что А лежит в верхней полупло-
полуплоскости. Пусть «J, п2, и3—три нат!ральных числа, и пусть внутренние углы
треугольника А равны ах, а2, а3, где
*1 = щ> / = 1,2,3, A)
причем
«1+а2 + аз<я;. B)
При этом допускаются углы, равные нулю (соответствующие бесконечному
значению п). Занумеруем углы и вершины так, что ах — угол, образованный
А% и А3 и т. д., Ух—вершина, в которой пересекаются Аг и А3 и т. д.
Пусть А'—треугольник, получающийся при инверсии А в окружности С3.
Точки Vi и V2 являются тогда вершинами А'; обозначим третью вершину А'
через V4. Мы можем тогда принять область А + Д' за область F* п. 14.1.4.
Очевидно, что область F* удовлетворяет условию 1 п. 14.1.4, и мы построим
группу G так, чтобы выполнялись и условия 2—4.
Существует единственная дробно-линейная подстановка dj с веществен-
вещественными коэффициентами, отображающая точку V1 в себя и переводящая Vs
в V4. Точно так же есть подстановка с2, которая оставляет точку V2 непо-
неподвижной и переводит V3 в V4. Очевидно, что aL отображает А2 на А'2, а а2 ото-
отображает Ах на Ai. Дуги Ах, А%, А2, А2 ограничивают область F*, а по-
потому выполнено условие 3 п. 14.1.4. Группа О, порожденная <st и са, удов-
удовлетворяет, очевидно, условиям 2 и 4. Пусть F — область, получающаяся из F*
отбрасыванием У4 и внутренних частей дуг А'±, Л2 . Тогда G—фуксова
группа первого рода, предельной окружностью которой является веществен-
вещественная ось, и F — фундаментальная область группы G.
Группа G имеет автоморфную функцию <po(z), обратная функция к ко-
которой является функцией Шварца (см. п. 2.7.2) и может быть выражена как
отношение двух гипергеометрических функций. Функция ф0 (г) принимает
каждое значение в области F в точности один раз, и каждая автоморфная
функция для группы 0 является рациональной функцией от ф0 (z). Простыми
примерами таких функций являются абсолютный инвариант п. 14.6.2 или
4 Г. Бейтмен, А. Эрдейи

98 гл. 14. лвтоморфные Функций
соответствующие автоморфиые функции (в п. 14.6.3) для подгрупп модуляр-
модулярной группы. Если
0!=--, «,=0, «,=-5-, C)
то G является модулярной группой М и мы можем положить <р0 (г) = J (г).
Если
ai=aj=ot3 = O, D)
то G является Х-группой М3, и можно положить фо (*) = ?*{г)=\{г).
Е. Т. Уиттекер (Е. Т. Whittaker; 1899, 1902)изучил другой класс авто-
морфных функций, обладающий тем свойством, что каждая функция этого
класса является рациональной функцией от одной автоморфной функции. См.
Форд A936, § 96).
14.10.2. Автоморфные функции Бернсайда. Пусть С^, С^, ц = 1, ..., т
такие 1т окружностей, что никакие две из них не пересекаются и никакая
окружность не разделяет двух других. Из этих предположений следует, что
среди окружностей есть не более одной прямой линии и что если среди них
есть прямая линия, то все остальные окружности лежат от иее по одну сторону;
полуплоскость, ограниченная прямой линией и не содержащая окружностей,
будет рассматриваться как внутренняя область.
Пусть та im такие т гичерболических или локсодромических пре-
преобразований, что Тц отображает внутреннюю область С^ на внешнюю об-
область С^, и пусть G—группа, порожденная преобразованиями xt хт.
Часть плоскости F, внешняя ко воем окружностям, является одной из фун-
фундаментальных областей для этой группы. Группа G не имеет главной
окружности. Если т > 1, то у группы G есть бесконечное множество пре-
предельных точек; если отбросить все эти точки, то оставшаяся часть z-плоско-
сти будет связной.
Автоморфные функции для группы G можно выразить через тета-ряды
Пуанкаре, в эгом случае ряды размерности—2 абсолютно сходятся. Теория
автоморфных функций для группы G была развита Бернсайдом (Burnside; 1891,
1892), применившим свои результаты к изучению граничных задач для урав-
уравнения Лапласа. См. также Риман A948) и, относительно похожей группы и
ее автоморфных функций, Schottky A887).
14.11. Модулярные группы Гильберта
Теория модулярных и автоморфных функций различными способами
обобщалась на функции нескольких переменных. Первые результаты принад-
принадлежат Пикару (Picard, 1882). В этом пункте мы кратко укажем на принад-
принадлежащий Гильберту подход к этой теории, а в следующем пункте опишем
исследование, ведущее начало от Зигеля. Относительно общей теории авто-
автоморфных функций многих переменных см. также Hurwitz A905), Fubmi
{1908, гл. 3). Sugawara A940 a, b), Hua A946).
Пусть R—поле рациональных чисел, Ki — конечное вещественное алге-
алгебраическое расширение R, Кг Кп—сопряженные с Ki поля, и пусть
все поля К., р = 1 я, вещественны. Для любого аA> из Ki обозначим
через а<4>, ..., а(п) сопряженные с ним числа, где а<?) принадлежит К • ана-
аналогичные обозначения используются для р, у, 6. Пусть zp, p=lr ..., п,—
комплексные переменные, и пусть S—область 1тг. > 0, р = 1, ..., я, в про-
пространстве п комплексных переменных (это пространство имеет вещественную
размерность 2л). Пусть осA), рA>, yA\ SA)—любые алгебраические целые чи-
числа в Кг, такие, что
(«б^у^р^^!. A)

14,12. функции зиГеля 99
Более общо, вместо единицы в A) можно взять любую вполне положи-
положительную единицу из Ki- Определим модулярное преобразование а равенством
п.
Ясно, что а отображает множество S иа себя. Множество таких а образует
группу, которую называют модулярной группой Гильберта поля /Ci -
Блюменталь (Blumenthal; 1903, 1904) доказал, что G имеет в S фунда-
фундаментальную область, а также что существуют автоморфные функции п ком-
комплексных переменных гх, ... , г„, принадлежащие группе G. Если наложить
условие регулярности, аналогичное условиям п. 14,2, то окажется, что любые
л+1 автоморфные функции связаны друг с другом алгебраическим соотноше-
соотношением и что можно так выбрать п + 1 автоморфную функцию, что любая
автоморфная функция для группы О является рациональной функцией этих
n-f 1 функций.
Маас (Maass; 1941) изучил модулярную группу Гильберта для случая,
когда Ki = R(V~5), т. е. поле получается присоединением У 5 к R и, сле-
следовательно, п = 2. Он применил теорию модулярных форм получающейся
группы к задачам теории чисел (квадратичных форм). Относительно других
исследований модулярной группы Гильберта и соответствующих автоморфных
функций и распространения на эту группу теории Петерсона тета-рядов
Пуанкаре, см. Maass A940a, b, 1942, 1948). Маас (Maass; 1940 a, b) изучил
также обобщения модулярной группы Гильберта.
Относительно обобщения результатов Блюменталя в направлении теории
Гекке модулярных форм одного переменного см. Bruijn A943).
14.12. Функции Зигеля
Зигель (Siegel; 1935, 1936, 1937, 1939) развил теорию модулярных функ-
функций от -я-п (n-f 1) комплексных переменных, где п=1, 2,... Исходным
пунктом для развития теории так называемых модулярных функций п-й сте-
степени явилась для него арифметическая теория квадратичных форм. Многие
общие теоремы этой теории сводятся при п = \ к известным результатам
о модулярных функциях или модулярных формах одного переменного; дру-
другие приводят даже в случае п=\ к новым результатам. Для теории Зигеля
характерно то, что вместо неевклидовой (гиперболической) геометрии в полу-
полуплоскости Пуанкаре, имеющей вещественную размерность 2, он использовал
симплектическую геометрию в пространстве вещественной размерности п(«+1)
(геометрию положительно определенных матриц в пространстве симметриче-
симметрических матриц). Это привело к теории автоморфных функций (Siegel, 1942,1943).
Другой характерной чертой этой теории является частое использование
арифметических методов для доказательства результатов, которые в случае
одного переменного обычно доказываются аналитически. Многие из групп
"автоморфных функций одного переменного обладают важными арифметиче-
арифметическими свойствами, однако обычно их изучают геометрически; в теории Зигеля
арифметические методы играют центральную роль при определении разрыв-
разрывных групп.
В этом пункте мы дадим некоторые из основных определений и резуль-
результатов в простейшем случае, соответствующем для функции одного переменного
теории модулярной группы М и ее абсолютного инварианта J (г). Рассмотре-
Рассмотрение дальнейших обобщений теории Зигеля и ее многочисленных важных
результатов и приложений останется вне рамок этого пункта.
Модулярная группа степени п. Назовем целыми матрицами матрицы,
элементы которых—целые числа. За исключением случаев, когда это будет

100 гл. 14. автоморфные функции
явно оговорено, прописными буквами й этом пункте мы будем обозначать
квадратные матрицы с п строками и п столбцами. Элемент, стоящий в 1-й
строке и k-м столбце матрицы А, мы будем обозначать а^ и писать
l,k=l,...,n. A)
Через N обозначим нулевую матрицу, а через /—единичную матрицу п-го
порядка,
# = [««], I = Ulk}> «*ft=0, ^=6/ft, /, fe = l п. B)
Транспонированную матрицу А обозначим через А', так что oJA = a^; обрат-
обратной матрицей для А является матрица А'1, так что АА~1 = А~1А = \.
Щсть А, В, С, JD—четыре (лхп)-матрицы с целыми коэффициен-
коэффициентами, и пусть
является BгаХ2л)-клеточной матрицей, состоящей из клеток А, В, С, D,
как указано в C). Определим Bях2п)-матрицу
'-(-? *)¦
Предположим, что целые матрицы А, ... , D таковы, что
M'JM = J. E)
Необходимым и достаточным условием для этого является
АВ' = ВА\ CD'=DC, F)
AD'—BC' = I. G)
Если С и D удовлетворяют второму условию F), т. е. если CD' является
симметрической матрицей, то мы будем говорить, что С й D образуют сим-
симметрическую пару. Пусть С], D, и С2, D2 — рае симметрические пары матриц.
Назовем их ассоциированными, если существует такая матрица U, что как U,
так и t/—целые матрицы и
Ci=UC2, D^UDi. ' (8)
Все симметрические пары матриц, ассоциированные с данной парой, обра-
образуют класс. Пусть С, D—фиксированная симметрическая пара целых матриц,
я пусть U пробегает множество всех невырожденных целых матриц. Матрицы
С и D называют взаимно простыми, если матрицы ?/~]С и U~1D являются
целыми тогда и только тогда, когда U'1 — целая матрица.
Все BпХ2п)-ыатрищл с целыми элементами М, удовлетворяющие усло-
зию E), образуют группу. Два элемента
N IJ
(9)
этой группы образуют нормальный делитель второго порядка. Факторгруппа
группы всех матриц М по подгруппе (9), т. е. группа, состоящая из матриц М,
удовлетворяющих условию E), где отождествлены Мх и Мг = —Мх, назы-
называется модулярной группой степени, п и обозначается Щ. Элементы Щ мы
будем называть преобразованиями. Каждое из них определяется четырьмя
матрицами А, В, С, D, удовлетворяющими условиям F), G). Матрицы А, В,
С, D и — А, — В, — С,—D определяют одно и то же преобразование.
Пусть Z — комплексная симметрическая матрица. Положим
I, k=i, ... ,п . A0)

14.12. ФУНКЦИИ ЗИГЕЛЯ 101
и соответственно
Z = X + IY, A1)
где Xft и у1к—вещественные числа, а X и У — вещественные матрицы. Мы
будем рассматривать г^ как комплексные переменные и ограничим их лишь
условием, что Y — положительно определенная матрица (т. е. квадратичная
форма, коэффициентами которой являются элементы Y, положительно опре-
определена). Матрица Z может рассматриваться как точка пространства, в ко-
котором координатами являются числа г^, либо Х(к и у(к; это пространство
имеет комплексную размерность -^-п (п-\-1) и вещественную размерность
п(п j-1). Обозначим через ф часть этого пространства, в которой У—поло-
У—положительно определенная матрица. Матрица Z пробегает пространство ф (по-
(положительный конус).
Для любых целых матриц А, В, С, D, удовлетворяющих условиям
F) и G), т. е. для любого элемента из Ш1 определено преобразование
o(Z)~(AZ + B)(CZ + D)-*. _ A2)
Можно доказать, что каждое преобразование A2) определяет взаимно одно-
однозначное отображение конуса 6 на себя и что группа этих преобразований
является гомоморфным образом группы 9Л. Можно показать также, что
группа 2R, рассматриваемая как группа отображений & на себя, имеет
фундаментальную область §¦, ограниченную конечным числом аналитических
гиперповерхностей. Относительно образующих Ш) см. Ниа и Reiner A949).
Модулярные формы и модулярные функции. Пусть L — множество всех
классов взаимно простых симметрических пар матриц. Выберем из каждого
класса пару С, D и образуем обобщенные ряды Эйзенштейна
'. A3)
Можно показать, что при достаточно больших натуральных г ряды в A3)
абсолютно сходятся для любого Z из § и определяют в § аналитическую
функцию от -^ п (л +1) комплексных переменных ztt. Функция ipr(Z), опре-
определенная таким образом, называется модулярной формой, соответствующей ffll.
Если г и s—достаточно большие целые числа, то существуют формы
* j
является модулярной функцией *Ш ^фундаментальной областью |F. Можно
показать, что существует -д- п (п +1) алгебраически независимых модулярных
функций вида A4) и что любые -=-n(n-f-l) + l таких функций связаны алге-
алгебраическим соотношением с рациональными коэффициентами.
Модулярную форму A3) можно также разложить в тета-ряд.
Теория Петерсона (Petersson; 1940) тета-рядов Пуанкаре была обобщена
Маасом (Maass; 1951). В этом обобщении гиперболическая метрика полу-
полуплоскости Пуанкаре заменяется симплектической метрикой Зигеля в поло-
положительном конусе jj.
Два тождества. Мы дадим в заключение нашего краткого изложения
теории Зигеля два замечательных тождества, имеющих место при п = 2.
Первое из этих тождеств принадлежит Зигелю (Siegel; 1937) и выражает
модулярную форму через двойные тета-ряды. Пусть L—множество всех
классов взаимно простых пар матриц второго порядка. Выберем из каждого

102 ГЛ. 14. АВТОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
класса пару С, D. Пусть Lt—подмножество всех таких пар, для которых
CD'^N (mod 2),
т. е. элементы CD' являются четными числами (если это условие выполнено
для одной пары, представляющей класс, то оно выполняется и для всех
других пар нз этого класса). Положим
'(" I)'
'X+iY,
где и, о и w—комплексные переменные, X, К—вещественные матрицы и К —
положительно определенная матрица, и пусть о, Ь пробегают множество всех
целых чисел. Тождество Зигеля устанавливает, что
A5)
Второе из этих тождеств принадлежит Витту (Witt; 1941) и является
тождеством, связывающим две модулярные формы второй степени Используя
обозначения, приведенные в A3), можно записать это тождество следующим
образом:
ip«(z) = M>i(z)]*- (Щ
Тождество Ввтта аналогично хорошо известной формуле
в теории рядов Эйзенштейна одного комплексного переменного. В формуле
'17) а и Ь пробегают все пары взаимно простых чисел такие, что ^О
= 1, если о=0.

ГЛАВА 15
ФУНКЦИИ ЛАМЕ
15.1. Введение
Функции Ламе возникают при решении уравнения Лапласа в некоторых
системах криволинейных координат. Разделение переменных для уравнения
Лапласа в пространстве трех измерений полностью изучено в книге Бохера
(Bocher; 1891) и в недавних работах Левинсона (Levinson), Богерта (Bogert)
и Редеффера (Redheffer; 1949), Муна и Спенсера (Moon and Spencer; 1952 a, b,
1953) относительно разделения переменных для более общих дифференциаль-
дифференциальных уравнений см. Eisenhart A934), где указаны ссылки на более ранние
работы, М. Н. Олевский A950).
Монография Стретта A935) содержит изложение результатов по теории
функций Ламе, полученных до 1932 г., многие приложения и обширную
библиографию. Относительно дальнейшей информации об этих функциях
см. также Уиттекер и Ватсон A963, гл. XXIII) и Гобсон A952, гл. XI).
IS.1.1. Координаты, связанные с конфокальными областями второго по-
порядка. Пусть а> Ь> с > 0—фиксированные числа, и пусть в —переменный
параметр. Уравнение
х* у1 г2
где х, у, г—прямоугольные декартовы координаты, представляет конфокаль-
конфокальное семейство поверхностей второго порядка. Поверхность второго порядка,
задаваемая уравнением A), является:
эллипсоидом, если —с2 < 6,
однополостным гиперболоидом, если-*&*<9<—с*,
двуполостным гиперболоидом, если—а2 < 9 <—6s,
мнимой поверхностью второго порядка, если Э<—а2.
При 6 = — а2, —б2, —с2 получаем вырожденные поверхности.
Так как A) является кубическим уравнением относительно 8, то через
каждую точку (х, у, г), для которой хуг Ф 0, проходят три поверхности
второго порядка, принадлежащие конфокальным семействам (условие хуг Ф 0
исключает плоскости, в которых лежат вырожденные поверхности). Рас-
Рассматривая знак левой части уравнения A) при изменении в, мы убеждаемся,
что в .каждом из промежутков (—с*, оо), (—б2, —с2), (—а2, —Ъ%) лежит
в точности один корень этого уравнения. Это показывает, что через
каждую точку (не лежащую на одной из координатных плоскостей) прохо-
проходит одни эллипсоид, один однополостный гиперболоид и один двуполостный
гиперболоид из конфокального семейства.
Пусть X, |i, v—три корня уравнения A) для заданных ненулевых зна-
значении х, у, г, и пусть
*.>—c*>ji>—6*> v>—а». B)

104 гл. 15. функции ламе
Мы можем считать X, \i, v—новыми криволинейными координатами. Пре-
Преобразуя уравнение Лапласа ^^ ^ ^
к этим криволинейным координатам, получаем
4fW д [(/^dW
4/(v) д Г.. . Ш', п ...
где
1/ E)
Но X., ц, v зависят лишь от х2, у*, г2 и, следовательно, принимают
одинаковые значения для восьми точек (± х, ± у, ± г). Для того чтобы
получить взаимно однозначное соответствие между декартовыми и криволи-
криволинейными координатами, введем униформизирующие переменные, выразив X,
p., v, а следовательно, х, у, г через эллиптические ф\нкции Якоби трех
новых переменных а, р, V- Положим
F)
В дальнейшем k будет модулем эллиптических функций. Положим далее
%.= — (a en aL— FsnaJ, ^
v=—(аспуJ—Fsn7J- >
В новых криволинейных координатах имеем
х = кг (а2—с2I/2 sn a sn p sn v.
2 = ~ (о8—с»I/2 dn a dn p dn y,
К-
и уравнение Лапласа C) принимает вид
(о2 — b*)* [(sn a)»—(sn Р)а] [(sn Р)а —(sn у)Ц [(sn YJ-(sn a)a]
X < [(sn 7J—(sn 6)а] -г-; + [(sn aJ—(sn y)
=0. (9)
Если а изменяется от гК' до К+*Ю, р—от К до К+2гК' и у—от 0 до
4К, то легко проверить с помощью формул и рисунков, указанных в п 13 18,
что выполняются неравенства B) и, кроме того, что (8) определяет взаимно
однозначное соответствие между декартовыми координатами х, у, г и криво-
криволинейными координатами а, р, 7 Мы будем называть их эллипсоидальными
координатами или координатами конфокальных поверхностей второго
порядка
Особо важную роль играют конечные точки отрезков, на которых меня-
меняются а, р, у. Они соответствуют бесконечно удаленной точке и вырожден-

15.1. ВВЕДЕНИЕ 105
ным поверхностям нашей системы и могут быть перечислены следующим
образом
а= гК' —бесконечность,
а = К + гК'—вырожденный эллипсоид, дважды покрывающий фокальный
эллипс,
|3 = К и р = К + 2гК'—две половины вырожденного гиперболоида, дважды
покрывающего область «между» двумя ветвями фокальной гиперболы;
р = К+гК.'—вырожденный гиперболоид (дважды), покрывающий область
на (х, у) плоскости, лежащую вне фокачьного эллипса,
Y = 0, К, 2К, ЗК, 4К — части вырожденного двуполостного гиперболоида,
дважды покоывающего площадь «вне» фокальной гиперболы, у = 0 и y = 4K.
представляют одну и ту же поверхность.
Вырожденные поверхности являются как бы сечениями ветвления и тре-
' бование непрерывности функции при переходе через эти сечения носит харак-
характер граничных условий
Отметим что а соответствует сферической координате г, р— координате
6 и у — координате ср
Вместо униформизирующих переменных Якоби многие авторы используют
переменные Вейерштрасса (см , например, Уиттекер и Ватсон, 1963, п. 23.31).
Уравнение Лапласа (9) имеет нормальные решения
W = A(a) B(P) С (у). A0)
Подставляя в (9), получаем
[(sn YJ-(sn pK] 4-+Ksn aJ-(sn YJ1 -§" +[(sn P)a-(sn«J] -^ = 0. A1)
Поскольку это равенство должно быть тождеством относительно а, |3, у, сущест-
существуют такие постоянные h и /, что
Jl
A2)
Положим / = &2n(n+l). Ясно, что функции А, В, С удовлетворяют урав-
уравнению Ламе
^ )Й(г) = 0 A3)
для соответствующих переменных.
Предположим, что A0) представляет решение уравнения Лапласа, непре-
непрерывное и имеющее непрерывный градиент на эллипсоиде a = const. Так как
•у = 0 и y = 4K представляют одну и ту же кривую на этом эллипсоиде, то
С@) = СDК), ^@)=^DК). A4)
Поскольку коэффициенты уравнения Ламе имеют период 4К, то С (у) также
должно иметь тот же период Если С (у) — любое решение уравнения Ламе,
имеющее период 4К, то С BК — у) и С (у) ± С BК—у) обладают теми же свой-
свойствами Поэтому можно ограничиться периодическими решениями, которые
являются либо четными, либо нечетными функциями от у—К, мы будем
называть такие решения четными или нечетными относительно К.
Кривые |3 — К и |5^К + 2гК' являются сечениями ветвления на эллипсоиде;
точки (К, у), (К, 2К — у) совпадают. Условие непрерывности имеет вид

106 ГЛ. 15. ФУНКЦИИ ЛАМЕ
Если С (у) четно относительно К, то имеем ^-(К)=0, так что В ф) также чет-
четно относительно К, а если С (у) нечетно относительно К, то имеем В(К) = 0,
так что В (Р) тоже нечетно относительно К. Аналогично обстоит дело при
Р=К+2(К'. Таким образом, если С (у) четно (нечетно) относительно К, то
В (Р) четно (нечетно) как относительно К, так и относительно К+2гК'. В обоих
случаях В (р) — периодическая функция с периодом 4<К' Кроме того, В F) и
С F) имеют одинаковую четность при 6 ¦= К и удовлетворяют одному и тому
же дифференциальному уравнению Отсюда следует, что они отличаются друг
от друга лишь постоянным множителем. Мы пришли, таким образом, к воп-
вопросу о существовании двояко-периодических решений уравнения A3). Ниже
мы увидим (см п. 15.5.2), что такие решения существуют лишь в случае,
когда п—целое число и h принимает одно из счетного множества собственных
значений. Надо отметить, что исследование решений в сферических полярных
координатах н в декартовых координатах также приводит к условию, что п
должно быть целым числом
Выбор А (а) зависит от рассматриваемого типа эллипсоидальных гармони-
гармонических функций. Для внутренних гармонических функций мы требуем, что-
чтобы A0) было регулярно внутри эллипсоида a = const. Но a=K-|-iK' является
сечением ветвления (фокальным эллипсом), точки (К+«К', р, у) и (K-fjK',
2K + 2tK' —p, у) идентичны, а потому, как и выше, выводим, что А @)и?F)
должны иметь одинаковую четность относительно К+«К' и, следовательно,
отличаться друг от друга лишь постоянным множителем Для внешних гар-
гармоник требуется, чтобы функция A0) была регулярна вне эллипсоида a=const,
в частности, на бесконечности, причем А (а) должно быть решением уравне-
уравнения Ламе, обращающимся в нуль при a—iK' Наконец, для эллипсоидальных
гармоник, регулярных между двумя эллипсоидами конфокального семейства,
мы берем линейные комбинации этих двух решений
15.1.2. Координаты конфокальных конусов. Введем координаты г, р, у,
связанные с декартовыми координатами х, у, г и сферическими полярными
координатами г, 6, q> соотношениями
х = г sin в cos ф = kr sn p sn у,
y = rsinQsin(f = i-rr rcn репу, . ....
« ^ A0)
z = rcos6=-r7-/-dn
Как и в п. IS.1.1, Р меняется от К до К+2«К', уот0до4Кнг>0. Коорди-
Координатными поверхностями являются концентрические сферы г = const и конфо-
конфокальные конусы
*V, У\, *' _п A7)
' где б есть |i или v (см. G)), и k определяется равенством F). Эти координаты
известны как сферо-конические координаты, см. Hobson, 1892 и Гобсон, 1952,
гл. XI.
Уравнение Лапласа в этих координатах имеет вид
JLAf
г* дг {
. dW\ I (
Г дг ) feV4(sn р)а—(sn у)*] \
Нормальные решения имеют вид

15.1. ВВЕДЕНИЕ
и приводят к дифференциальному уравнению
Id/ dR
(Г*П1П+1) B0)
Уравнение для В и С таково же, как в A2), где I
Если A9) является функцией, непрерывной и имеющей' непрерывны*
градиент на сфере /- = const, то те же самые рассуждения, что и в п. 15.1 1
приводят к выводу, что В (8) = С (8) должно быть двояко периодическим реше
кием уравнения Ламе. Следовательно, п должно быть целым числом и h—
одним из собственных значений. С другой стороны, соотношения A6) устана
вливают связь между сферическими и сферо коническими координатами, t
это приводит к связи между сферическими н эллипсоидальными гармоническим!
функциями Отсюда следует, что если я—целое число, то ft принимает ровне
2Я-1-1 собственных значений.
Ситуация меняется коренным образом, если A9) представляет функцию
регулярную внутри конуса p = const, где р лежит между К и К + гК'. Еслк
функция A9) регулярна внутри половины конуса р4 =const, то должновыпол
няться соотношение п=—1/2 + ip, где р вещественно и произвольно Есл!
же функция A9) регулярна лишь внутри части конуса, заключенной между
сферами г = г1 и г = га и обращается в нуль на этих сферах, то должно выпол-
выполняться соотношение п= — 1'2+ф, где р —корень трансцендентного уравнения
sin pin— =0. В обоих случаях п комплексно и Ren=—1/2. Поскольку
Y = 0 и y = 4K являются одной н той же поверхностью, то С (у) должно был
периодической функцией с периодом 4К и h должно принимать одно из счет
ного множества собственных значений. Непрерывность в точке |S = K приводи1:
к тому, что В F) и С F) имеют относительно К одну и ту же четность и
следовательно, отличаются друг от друга лишь постоянным множителем, однакс
получающиеся здесь функции не являются уже двояко-периодическими.
15.1.3. Координаты конфокальных циклид вращения. В цилиндрически}
координатах р, <р, г уравнение Лапласа принимает вид
lfclUl^-+^0 B11
dp \P dp )+ р* д<р» + дг* - * ( '
Введем теперь в меридиональной плоскости новые координаты и, v, положив
z = z(u,v), p = p(u, v). Вангерин (Wangenn; 1875) нашел наиболее общие
системы ортогональных криволинейных координат и, v, в которых уравнение
Лапласа допускает разделение переменных, т. е. обладает нормальными реше-
решениями вида
W=w(u,v)U(u)V [v) Ф (ф), B2)
где w {и, и)—фиксированная функция, a U, V, Ф —решения обыкновенных
дифференциальных уравнений Исследование Вангерина было повторено Сноу
(Snow, 1952), а также Р Лагранжем (R Lagrange, 1939, 1944). Мы изложим
сейчас вкратце исследования Вангерина, после чего более детально расскажем
о полученных нм системах криволинейных координат и о краевых задачах,
с которыми они связаны
Сначала доказывают следующий результат. Если и и о—ортогональные
координаты и уравнение Лапласа имеет решение вида B2), to w=p~ ' и
координаты и, v можно выбрать так, что отображение (г, р)-плоскости на
(и, р)-плоскость конформно. В соответствии с этим положим
B3)
где /—аналитическая функция; положим также
F^p-'/.iF (и, 0)е±ш»=р^1/»1/ (и) V(v)e±tm B4)

10S ГЛ. 15. ФУНКЦИИ ЛАМЕ
в уравнении Лапласа B1). Функция Ч удовлетворяет дифференциальному
уравнению в частных производных
йШНР
Если F имеет вид F (и, o) = Fi (m) + Fj (о), то уравнение B5) имеет решение
вида U (и) V (i>) При этом U и V удовлетворяют дифференциальным уравнениям
-(-4)
) И "-»¦ Sf- [»+С--т) Иv=0-
Доказано, что F(u, o)=Fl (B)-fFjj(t;) тогда и только тогда, когда I удов-
удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению
где <70, ..., а4—вещественные постоянные. Таким образом, f является либо
элементарной, либо эллиптической функцией. Кроме того, вид дифференци-
, . Af + B . D
ального уравнения для f не изменяется при замене f на ', . „ , где А, В,
С, D—вещественные постоянные и AD — ВС Ф 0. С помощью этого преоб-
преобразования можно привести уравнение к нормальному виду.
Мы будем предполагать, что многочлен Pt имеет четыре различных
нуля. В этом случае приведение к нормальному виду выполняется с по-
помощью процесса, описанного в п. 13.5. При этом возникают три различных
случая в зависимости от того, будут ли все нули этого многочлена вещест-
вещественны, все нули комплексны или мы имеем два вещественных и два комплекс-
комплексных нуля. Стандартными формами для f в этих трех случаях являются
o, k), isn(a + «o, k), сп(и + й>, k).
Изучим каждый из этих трех случаев отдельно Черта сверху обозна-
обозначает переход к комплексно сопряженному выражению. Кроме того, исполь-
используем следующие сокращенные обозначения:
s = sn (a + «о, k), s1=sn(a, k), sa = sn(it>, k), s'=sn(o, fe'),
B7)
Целью дальнейшего исследования является показать, что в каждом из
этих случаев F (и, v) имеет вид
[asn(bu+c, a/6)]2+[fllsn(V+C
так что уравнение B5) можно записать в виде
i>, k), с1=сп(и, ft), c2 — cn(iv, ft), c'2=cn(f, k'),
d=dn(u+iv, ft), dt = dn(u, ft), d2 = dn(w, ft), d'2 = dn(t;, ft'),
Для нормальных решений Т = U (и) V (о) и U и V удовлетворяют уравнениям,

15.1. ВВЕДЕНИЕ 109
легко сводящимся к уравнению Ламе, причем переменными в уравнении
Ламе являются Ьи-\-с и b1v-\-c1 соответственно. Мы изучим далее кра-
краевые условия, которые должны быть наложены на U и V.
Использованные выше координаты и, v наиболее естественным образом
возникают из общей теории Однако они не обязательно являются наиболее
удобными в той или иной конкретной задаче, и мы увидим в п. 15.8, как с
помощью теории преобразований эллиптических ф}нкций можно перейти к
новым более удобным координатам.
Случай I Четыре вещественных фокуса на оси. Положим
А' В> С' D Bem-ecTBeHHH> AD—ВСфО B8)
и найдем с помощью прямого вычисления, использующего 13.17A6), 13.23A3)
и табл. 7 из п. 13.18,
' icd с d fe'*s? d'1
B9)
Для дальнейшего исследования положим в B8) A = D = \, B = C = Q.
Отображение z + ip = sn (a + iu) было описано в п. 13.25. Мы видим из при-
приведенного там рис. 8, что полуплоскость р > 0 отображается на прямоуголь-
прямоугольник (и, ^-плоскости, имеющий вершины (± К, 0) и (± К, гК').
Таким образом —К<и<К и 0<и<К'. Кривые и = const и о = const
в (г, р)-плоекости являются конфокальными бициркулярными кривыми чет-
четвертого порядка, фок>сы которых лежат в точках z=±l, ± 1/fe, p = 0.
Отметим, что F обращается в бесконечность ври и—± К или и=0, К/ так
что концы промежутков для и и v соответствуют особым точкам обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений для U и V.
Для потенциала, регулярного внутри (или вне) поверхности M = const,
р~4/'У (v) должно быть конечным в обеих концевых точках v = 0, К'. Мы
увидим ниже, что это определяет некоторые собственные значения h, а также
собственные решения V (о). Для потенциалов, регулярных вне (внутри) по-
поверхности и=с < 0, или внутри (вне) поверхности и=с > 0, [/(К) [(/(-—К))
должно быть конечным, что определяет выбор U. Аналогичное утверждение
справедливо для потенциалов, регулярных внутри или вне поверхности
v = const.
Случай II. На оси нет вещественных фокусов. Здесь
C> D вец1ествешш' AD-ВСфО, C0)
C1)
Для дальнейшего исследования мы снова положим A = D=l, ? = С=0.
Отображение квадранта г < 0, р > 0 на прямоугольник с вершинами @, 0),
(К, 0), (К, К'). @, К') на (и, ц)-плоскости описывается рис. 8 в п. 13.25.
Чтобы допопнить отображение, отразим (г, р) плоскость в прямой г = 0, а
(и, ^-плоскость либо в и=0, либо в м = К. Линии u = const, o = const в

110 ГЛ. 15. ФУНКЦИИ ЛАМЕ
z, р)-плоскости являются конфокальными бициркулярными кривыми чет-
четвертого порядка с вещественными фокусами в г = 0, р=1, I/ft.
Для потенциалов, регулярных внутри или вне поверхности a = const,
отобразим полуплоскость р > 0 на прямоугольник на (и, и)-плоскости
с вершинами @, ± К'), (К,± К'); » = К' и и= — К' -являются обра-
образами z = 0, p > l/k. Рассуждения, аналогичные проведенным в п. 15.1.1,
показывают, что V (v) должно быть периодическим решением соответ-
соответствующего дифференциального уравнения, имеющим период 2К'. Это
условие определяет собственные значения h и соответствующие собст-
собственные функции V (о). Для потенциалов, регулярных внутри u = const,
условие непрерывности при м = К (т. е. г = 0,1 <р< l/k) приводит к
тому, что U относительно К и V относительно 0 имеют одинако-
одинаковую четность. Для потенциалов, регулярных вне м = const, U должно
оставаться конечным при и — О. Этот случаи детально изучил Пуль (Poole;
1929, 1930), который использовал несколько иное отображение.
Для потенциалов, регулярных внутри или вне поверхности w = const,
мы отображаем полуплоскость р > 0 на прямоугольник с вершинами @, 0),
BК, 0), BК, К'), @, К')- Здесь р1 'V (и) должно оставаться конечным как
при и —0, так и при и—2К, это условие определяет собственные значения А
и собственные функции U (и). Тогда V(v) определяется его четностью отно-
относительно нуля (для потенциалов, регулярных внутри v = const) или отно-
относительно К' {для потенциалов, регулярных вне t> = const).
Случаи III. Два вещественных фокуса на оси. Здесь
2+'Р = Сс+В' Л> Bl C' D веществеииы- AD-ВСфО, C2)
Asd s d с* с\
-1 (k-lk') sn [«(*+ **') (о - /К). J=j?] }*.
C3)
В этом случае модуль эллиптических функций, связанных с уравнением
Ламе, является не вещественной правильной дробью, а комплексным числом,
равным по модулю единице. С помощью теории преобразований эллипти-
эллиптических функций (см. табл. 11 в п. 13.22) можно привести все функции к
случаю вещественного модуля, лежащего между нулем и единицей. Поло-
Положим A = D = l, В = С = 0. Кривые M = const, tr=const в (г, р)-плоскостн
являются конфокальными бициркулярными кривыми четвертого порядка,
фокусы которых лежат в точках г—± 1, р = 0 и z = 0,p = k'/k. Дальнейшие
детали относительно отображения можно усмотреть нз п. 13.25.
Для потенциалов, регулярных внутри или вне поверхности u = const,
мы отображаем полуплоскость р > 0 на прямоугольник (и, и)-плоскостн с
вершинами @, —2К'), (К, —2К'), (К, 0), @, 0). Условие, что pl"V (о) ос-
остается конечным как вточкеи = 0, так и при о=— 2К', определяет собствен-
собственные значения h и собственные функции V (v). Для потенциалов, регулярных
внутри a = const, мы имеем разрез г = 0, p<k'/k или и = К. Условие не-
непрерывности при переходе через этот разрез показывает, что четность U от-
относительно К совпадает с четностью V относительно—К'. Для потенциалов,
регулярных вне и = const, p~l/*U определяется условием, что оно остается
конечным при и — 0.
Для потенциалов, регулярных внутри или вне поверхности v = const мы
отображаем полуплоскость р > 0 на прямоугольник в (а, к)-плоскости с

15.2. УРАВНЕНИЕ ЛАМЕ 111
вершинами (О, —К'), BК, —К'), BК, О), (О, 0). При этом p-'/i U(а) долж-
должно оставаться конечным как при и—0, так и при и=2К. Это условие оп-
определяет собственные значения h и собственные функции U(u). Для потен-
потенциалов, регулярных внутри v = const, p~1/*V(v) должно быть конечным при
к=0, а для потенциалов, регулярных вне v = const, четность V относительно
—К' должна совпадать с четностью U относительно К.
15.2. Уравнение Ламе
В предыдущих пунктах мы показали, что решение многих краевых за-
задач сводится к решению дифференциального уравнения
*?+{*_« <п+1)[*м> (г. *)]»}А=0, A)
которое мы будем называть якобиевой формой уравнения Ламе или, короче,
уравнением Ламе. Эта форма уравнения использовалась Эрмитом, Унттекером,
Айнсом и другими авторами и более удобна для численных расчетов, чем
указанные ниже другие формы.
В A) k обычно заключено между 0 и 1, но мы встретились в п. 15.1.3
со" случаем, когда k—комплексное число и |ft| = l; г — комплексное пере-
переменное, но в большинстве краевых задач г меняется вдоль линий Re г = NK,
Imz = ATK', где N—целое число. А—параметр, собственные значения
которого определяются либо из свойств периодичности, либо из условий
конечности, «—обычно целое число, иногда половина нечетного числа
(как в п. 15.1.3), иногда (как в одной из задач п. 15.1.2)—комплексное
число, вещественная часть которого равна—=" •
Мы встречались с различными типами решений. Во-первых, существуют
решения, имеющие заданную четность относительно одной из точек МК +
+iNK' (M, N—целые), либо решения, остающиеся конечными в одном из
полюсов 2MK-}-i BЯ+1) К' (М, ./V—целые) функции sn г. Такие решения
существуют и определены с точностью до постоянного множителя для лю-
любых заданных значений А, га, k. Далее существуют решения, имеющие за-
заданный период (который является также периодом snz). Мы увидим ниже,
что для заданных п и k существует бесконечное множество собственных
значений Л, при которых существуют такие решения В пп 15.1.1 и 15.1.2 нам
понадобились решения, имеющие два заданных периода Мы увидим ниже, что
такие решения существуют лишь в случае, когда 2п—целое число. Наконец, в
п. 15.1.3 мы ввели решение, которое остается конечным в двух полюсах.
Мы увидим ниже, что при заданных п и k есть бесконечная последователь-
последовательность собственных значений А, для которых существуют такие функции.
Помимо якобиевой формы A) уравнения Ламе, встречаются другие
важные формы этого уравнения. Если положить
V H B)
el e8
и использовать 13.16D) в сочетании с табл. 7 из п. 13.18, то получим форму
Вейерштрасса для уравнения Ламе
Эта форма была использована Альфаном и другими французскими матема-
математиками и часто встречается в современных теоретических работах,

42 гл. 15. функции ламе
Тригонометрическая форма может быть получена с помощью подстановки
snz = cos?, ? = n/2— amz, D)
которая приводит к уравнению
[l-(*cos?>2)|j4 +ft2co5?sin?^+Ift-n(n + l)(*co5?))!]A = 0. E)
Эта форма была использована Дж. Дарвином и Айнсом.
Встречаются также многочисленные алгебраические формы. С помощью
подстановки
(snZ)*=x F)
мы получаем из A) уравнение
1 /1 , 1 ¦ 1 ^А М-я(я+1)х
2 \ * х— 1 *—* V <** ix(x— l)(x—k~2) '
— l)(x—k~2)
а полагая
получаем из C)
¦ 1 / 1
dp* ^
Другие алгебраические формы могут быть получены с помощью рациональ-
рациональных преобразований этих форм. Алгебраические формы были использованы
Стилтьесом, Ф. Клейном, Бохером и др.
Алгебраические формы уравнения Ламе принадлежат к уравнениям типа
Фукса, имеющим четыре регулярные особые точки. Они имеют три конечные
регулярные особенности (в точках 0, 1,й~адляG)и еи eit ea для (9)) с индек-
индексами 0, 1/2 и регулярную особую точку на бесконечности с индексами
—=-, Т" . Относительно теории уравнений Фукса см., например, Айне
A939, стр. 498 и далее) или Poole A936, стр. 74 и далее).
Существуют общие теории, содержащие как частный случай другие формы
уравнения Ламе. Относительно теории дифференциальных уравнений сдвояко-
периодическими коэффициентами см. Айне A939, стр. 505 и далее) или Poole
A936, стр. 170 и далее). Относительно уравнений с периодическими коэффи-
коэффициентами см. Айне A939, стр. 513 и далее) или Poole A936, стр. 178 и
далее).
В дальнейшем, если не оговорено противное, мы будем рассматривать
A, k, n как заданные (вещественные или комплексные) постоянные, а пере-
переменные как комплексные переменные.
15.3. Уравнение Гойна
Можно доказать, что любое уравнение Фукса второго порядка с четырьмя
особыми точками можно привести к виду
d2w , / V , 6"
где
а+Р—Y-6—е+1=0. B)
Здесь *=0, 1, а, оо—особые точки уравнения A), причем индексы в этих
особых точках зависят от а, .. ., е, а постоянная q—так называемый вспо-
вспомогательный параметр, наличие которого связано с тем, что уравнение

15.3. УРАВНЕНИЕ ГОЙНА " ИЗ
Фукса второго порядка с четырьмя (или большим числом) особыми точками
не определяется однозначно положением особых точек и индексами. (См.
Айне, 1939, стр. 498 и далее; Poole, 1936, стр. 77 и далее.) Приведение
выполняется с помощью дробно-линейного преобразования независимого
переменного и соответствующего преобразования зависимого переменного,
соответственно D) и E). Уравнение A) известно как уравнение Гойна (Heun,
1889, Уиттекер и Ватсон, 1963, п. 23.71).
Уравнение Гойиа можно охарактеризовать с помощью Р-символа (см
п. 2.6.1, нли Айне, 1939, стр. 500):
i 0 1 о оо л
•I 0 0 0 а х\ .
11—V 1—6 1-е 8 J
C)
8
Следует отметить, что Р-символ не характеризует полностью уравнение и
что при любом преобразовании уравнения надо отдельно с помощью непос-
непосредственного вычисления установить, как преобразуется вспомогательный
параметр.
Для Р-символа с четырьмя столбцами мы имеем линейные преобразования
Ь сУ
Ь
6
М(а) М (Ь) М (с) М (d)
а' р" у' 6' М(х)
а" fi" у" Ь"
E)
F)
Если две из разностей показателей равны 1/2, то имеем квадратичное
преобразование. Например, если в A), C) мы имеем
а = е = 1/2, ¦?=«+?. G)
/01 А* ао \
= Р\а 0 0 а Х\,
U 1-Y 1-Y Р )
(8)

]|4 ГЛ. 15. ФУНКЦИИ ЛАМЕ
где в последнем Р-символе
t l-av« (Х _i)V,_ (X_a)'/.
Если три разности показателей равны 1/2 (как в случае алгебраической
формы уравнения Ламе), то имеем три различных квадратичны! преобразо-
преобразования. Делая после каждого из них еще одно квадратичное преобразование,
получаем биквадратные преобразования
Перейдем к аналитическим представлениям решений уравнения A).
Пусть a-i *4—особые точки Р-символа с четырьмя столбцами,
a't и d't—показатели в а,, и 2(а,'+с?)=2. По аналогии с 24 рядами Кум-
мера для Р-символа с четырьмя столбцами (п 2.9) имеем 192 ряда вида
x-ai
по)
тде i, /, k, I—перестановки 1, 2, 3, 4, р есть се| или а"; а есть а', или а"!
и т есть а* или а^. Лишь 96 из 192 рядов различны. Эти ряды были изу-
изучены Гойном (Неип; 1889), Сноу (Snow, 1952, гл VII) н др В тех случаях,
когда существуют квадратичные преобразования (как в случае уравнения (8)),
они приводят к новым разложениям в степенные ряды. \
С другой стороны, решения уравнения A) можно разложить в ряды по
гипергеометрическим функциям. Такие разложения были изучены СвартхолЬ-
мом (Svartholm; 1939) и Эрдейи (Erdelyi; 1942, 1944). В качестве типичного
разложения можно указать
/0 1 а <х> \ » ( 0 1 » 1
Р\ 0 0 0 a x\=*YAmP\ 0 0 Я,+да х 1, A1)
U-v'l-6 1-е Р ) т=« U-Y 1-8 ^-т J
где
Оказывается (Erdelyi, 1944), есть две существенно различные возможности
выбора К и |i. Для рядов типа I (Erdelyi, 1942) k=a, ц = Р—е. Эти ряды
сходятся вне эллипса с фокусами 0, 1, проходящего через точку а, и выра-
выражают ветвь C), которая соответствует показателю а в бесконечно удаленной
точке. Существуют три различных разложения такого типа для каждой
ветви C). Для рядов типа II (Svartholm; 1939) (i = 0, у — 1, б—i или
Y+S—2. Они являются рядами по многочленам Якоби, но, вообще говоря,
не сходятся; они сходятся в исключительном случае функций Гойна (см.
ниже), когда вспомогательный параметр имеет одно из собстсенных значений.
Во всех рассмотренных выше разложениях коэффициенты Хг удовлетво-
удовлетворяют трехчлеыиым рекуррентным соотношениям
2, ... /
( '
где аг, рг, уг имеют известные выражения через г и параметры, уг Ф 0 и
ог —*¦ а, рг —*¦ р, Vr —*¦ Y. когда г —*- оо. A4)
Если tx и tt являются корнями квадратного уравнения
A5)

15.3. УРАВНЕНИЕ ГОЙНА 115
и |М<|М> то существует Mm (Хг/Хг_г), который, вообще говоря
равен tt; если параметры задали удовлетворяют некоторым условиям, то
Urai=fl
г-квлг—1
(Perron, 1929, п. 57). Рекуррентное соотношение можно записать в виде
Путем повторного применения этой формулы приходим к бесконечной непре-
непрерывной дроби
«,-
Pr " " A8)
Можно показать, что эта непрерывная дробь расходился/, если |<i| = |'sl В
f] ^ ^, и сходится, если | <i | < | *21 или h = h> причем qr —>- tx, когда /•—»¦<».
Если | ?i f < | fg | и параметры удовлетворяют условию P0 = 9iYi> TO
xn'xr-i —> *к когда г —* оо и Хг можно вычислить с помощью qr; если
iKl'sl и Po^ftYi. то Х-г1Хт-х-+*ъ а если HjNKal, <i ^ <а, то
m (Xr/Xr_1) не существует.
В приложении к уравнению Гойна (а следовательно, и к уравнению Ламе)
Ро и 9/- зависят от вспомогательного параметра (q или И) • В общем случае
Р*о 9й 9iYi> XrlXr-i ~* ^»> область сходимости степенных рядов и рядов
типа I по гипергеометрическим функциям ограничена и содержит лишь одну
из четырех особых точек уравнения; ряды типа II по гипергеометрическим
функциям в этом случае не существуют. Если вспомогательный параметр
принимает одно из собственных значений, то p\> = 9iYii Xr/Xr_1—* tlt ряды
сходятся в более широкой области, содержащей по крайней мере две особые
точки, соответствующие собственные решения имеют заданный характер
в окрестности этих двух особых точек и называются функциями Гойна (или
Ламе). В этом случае ряды типа II по гипергеометрическим функциям также
сходятся и представляют функцию Гойна (или Ламе).
Теоремы о существовании и распределении собственных значений вспо-
вспомогательного параметра вытекают из общей теории (сингулярных) уравне-
уравнений Штурма —Лиувилля
Вообще, уравнение Po = <7iYi Для вспомогательного параметра трансцен-
трансцендентное однако случай, когда а^ = 0 для некоторого натурального значе-
значения R представляет исключение. При г<Я, qr является конечной непре-
непрерывной дробью и p\) = <7iYi—алгебраическим уравнением для вспомогатель-
вспомогательного параметра. Если p\) = 4iYi> то -Х# —О И из A3) следует, что Х^+1=»
= Xfl+2=. .=0. В этом случае разложения в ряды состоят из конечного
числа членов и мы имеем многочлены Гойна (или Ламе) или алгебраические
функции Гойна (или Ламе). С другой стороны, если а# = 0, можно положить
ло = х1= ... =Хц _! = 0, определить вспомогательный параметр из уравне-
уравнения p\p = 'Yp+i?#+i (которое является трансцендентным уравнением) и полу-
получить трансцендентные функции Гойна (или Ламе).

116
ГЛ. 15. ФУНКЦИИ ЛАМЕ
§ 15.4. Решения общего уравнения Ламе
Применим теперь результаты п. 15.3 к уравнению Ламе. Положим
s = snz, c = cnz, d=dnz. A)
' На протяжении этого пункта л и h произвольны.
Из 15.2. G) имеем
/ 0 1 А оо
^ Л = р| О О О —л/2
U/2 1/2 1/2 я/2+1/2
B)
и различные преобразования этого выражения вытекают из 15.3D), E), (8).
В частности, из 15.3 (8) следует
C)
0
— л/2
«/2+1/2
1
0
1/2
{ту
0
1/2
00
-й/2
я/2+1/2
1 + fc
l-k
d+kc
d—kc
Дальнейшее квадратичное преобразование B) приводит к
ft —ft~l
с
Л
Г1 '
= Р\ О О
Л=Р
—я/2 —я/2
ll/2 1/2 л/2+1/2 я/2+1/2
ft' -ft' «ft -ik
О 0 —я/2 —я/2
1/2 1/2 я/2+1/2 я/2+1/2
ik' —ik' t —i
О 0 —л/2
1/2 1/2 л/2+1/2 я/2+1/2
—л/2 —
S
D)
E)
F)
Из B), D), E), F) и результатов п 15.3 следует много разложений
для решений уравнения Ламе Неопубликованный список, состаьленный
Эрдеьи, даег 30 переменных, которые могут быть использованы в рядах,
аналогичных 15 3 A0), с четырьмя различными множителями для каждого
переменного Принимая во внимание, что для первых 18 ти из этих пере-
переменных р может равняться нулю или 1/2, мы получаем 192 различных ряда.
Относительно некоторых рз простейших степенных рядов и рекуррентных
соотношений для их коэффициентов см Ince, 1940 a, и указанную там лите-
литературу. Относительно разложений по функциям Лежандра см Erdeiyi, 1942 а.
Разложения по показательным и тригонометрическим функциям вытекают
из 15 2E) и flpjrux тригонометрических форм уравнения Ламе, с помощью
теории дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами
(Аинс, 1939, стр 513 и далее, Poole, 1936, стр 182 и далее) Эти разложе-
разложения были изучены Айнсом (Ince, 1940 b) и Эрдейи (Erdelyi, 1912a).

15.5. функции Ламе 117
§ 15.5. Функции Ламе
Мы будем предполагать, что k и п—заданные числа такие, что 0 < k < 1
и п(п-\-\) вещественно, так что либо п вещественно, либо п = — 1/2 + гр,
где р—вещественное число. Мы изучим периодические решения уравнения
Ламе и покажем, что такие решения существуют для некоторых (собствен-
(собственных) значений h; мы будем их называть периодическими функциями Ламе
или, кратко, функциями Ламе.
15.5.1. Вещественные периоды функции Ламе. Так как sn2z имеет
примитивный вещественный период 2К, то примитивный вещественный период
любой функции Ламе, обладающей вещественными периодами, должен иметь
вид Р = 2оК, где /? = 1, 2, Но sn22 является четной фvнкциeн от г—К,
и если А (г)—периодическое решение уравнения Ламе, то функции Л BК—г),
Л(г) ±ЛBК—г) также являются периодическими решениями этого урав-
уравнения Мы можем поэтому ограничиться рассмотрением функций Ламе,
которые являются четными или нечетными функциями от г—К Если функ-
функция Ламе с вещественным периодом является четной функцией от г—К, мы
будем обозначать ее Ес„ (z, k2), а если она является нечетной функцией от
г—К, то Esn(z, k2) Далее мы будем писать Ее™ (г, fe2) и Es™(z, k2) для
функций с периодом Р = 2рК, которые имеют р точности рт нулей на полу-
полуоткрытом промежутке 0<г<2/эК (или на любом полуоткрытом веществен-
вещественном промежутке длины Р) Собственные значения h, соответствующие Ес^1
и Es™, мы будем обозначать соответственно через a"(fe2) и 6™ (ft2). Эти обо-
обозначения были вве}ены Айнсом (Ince, 1940а) и модифицированы Эрдейи
(Erdelyi, 1941а) Поскольку для этих функций нет общепризнанной иорми-
ровки, мы будем считать функции Ес^ (z) и Es™ (z) заданными с точностью
до постоянного множителя Поэтому мы будем опускать постоянные множи-
множители в таких соотношенигх, как C1) (см ниже)
Решения с периодами 2К и 4К В каждом из этих случаев имеет место
в силу периодичности равенство Ее (—<.+ *) = Ее (ЗК+f), а это выражение
в силу четности равно Ес(—К—t) Таким образом, Ее (г) является четной
функцией как от г—К, так и от z+K. Мы имеем, таким образом, краевое
условие
Л'(—К)=Л'(К) = 0 для Л = Ес(г). A)
Обратно, если решение Л (г) уравнения 15 2A) удовлетворяет условию A),
то оно является четной функцией как от г—К, так и от z-f-K и поэтому
должно иметь период 4К. Аналогично,
Л (—К) = Л (К) = 0 для Л=Es (г) B)
Учитывая соотношения симметрии относительно ± К, достаточно изучить
функции Ламе с периодами 2К и 4К на промежутке (—К, К). Мы покажем,
что этот промежуток можно свести к @, К)
Пусть ? (г) означает либо Ее (г), либоЕз(г) Тогда Е (г) и Е(—г) удов-
удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению и, в силу A) н
B), одному и тому же граничному условию Поэтому они могут отличаться
друг от друга лишь постоянным множителем Таким образом, Е (г) является
либо четной, либо нечетной функцией от г, и мы имеем следующие четыре
случая (т = 0, 1, 2, ...):
ЛГО)=Л(К) = О,
Л'(О) = Л(К) = О,
Л@) = Л'(К) = О,
Л'(О) = Л'(К) = О,
A = Esr (z),
A = Es?m+1 (z),
A = Ecanm+1(z),
Л==ЕсГ(г),
с соответствующими соотношениями симметрии.
период 2К,
» 4К,
» 4К,
» 2К
C)
D)
E)
F)

H8 гл. 15. функции ламе
Наши функции можно определите также-как решения краевых задач на
промежутке (О, 2К):
= ЛBК) —0 для A=-Es*m(z) или Ec™+l(z), G)
Л'@) = Л'BК)-=0 для A=Esr+1B) Или ЕсГ(«). (8)
Существование в точности одного решения для каждой из задач C)—F)
при каждом т = 0, 1, 2, ... следует из теории уравнения Штурма—Лиувилля
(см, например, Айне, 1939, п. 10 61). Так как собственные числа для задачи
Штурма—Лиувилля образуют возрастающую последовательность, имеем из A),
B). G), (8):
а%<а\ <йп < ..., о{? -»- оо, когда т -+ оо, (9)
bk<b%< .... Ъ%-+№, » m-coo, A0)
1 ^ *8 ^ -.9 ^, tAt ^ 1\\\
а%<ЬХп<пЪ<Ъ\<,,. A2)
Таким образом, можно достаточно хорошо установить взаимное расположение
собственных значений, за исключением того, что мы не можем сделать ника-
никаких утверждений относительно взаимного расположения а" и 6™. Айне (Ince;
1940a, b) вычислил собственные значения для целых значений In, но надо
отметить, что его обозначения несколько отличаются от использованных нами:
чтобы согласовать обозначения Айнса с нашими, надо переставить а'"* и
ьТ+х.
Айне (Ince; 1940a) первым использовал для построения функции Ламе
степенные ряды. Позже A940b) он открыл разложения в тригонометрические
ряды, которые сходятся бысгрее, особенно если k близко к 1.
Разложения в тригонометрические ряды основаны на 15.2E) и аналогич-
аналогичном дифференциальном уравнении, которому удовлетворяет функция <. . .
Для каждой функции Ламе с периодом 2К или 4К мы имеем два разложения,
указанных ниже. Здесь используются сокращенные обозначения
?_^_amz, Я-2А—k*n(n+1) (Щ
и т является неогрицательным целым числом.
Тригонометрические ряды для функций Ламе с периодами 2К, 4К:
1
CvcosBr?)J , A4)
A5)
г=0 г=0
1 (г) - 2 Bar sin B/-E) - dn г 2 *>«• sin Br?), A6)
х а>

15.5. ФУНКЦИИ ЛАМЕ 1П
Рекуррентными формулами для коэффициентов 6 формулах A4) —A7) яв-
являются (г = 1, 2, 3, ...):
+±(n-2r-l)(n+2r+2)ftM,r+s=0,
—HC0+n(n
l(n-2r) (n+2r +1) й*Ва|.-[Я-Bг+2)» B-A»)]
1 (n-2r-3) (n
fl+2r) fe'Bg,.!—[H —Br +1)* B—
+ y(n-2r-
B0)
B1)
B2)
B3)
B4)

j20 ГЛ. 15. ФУНКЦИИ ЛАМЕ
B5)
Если каждое из этих восьми рекуррентных соотношений разделить на 4rz,
они примут вид 15.3A3), где Хг равно соответственно Air, A2r+1, ¦¦.,D2r+i-
Во всех восьми случаях а.=у = -^№, p=fea—2 и корни квадратного урав-
уравнения 15.3A5) равны
Для периодических функций Ламе Хг;Хг_1 стремится при г -+ оо к меньшему
корню и скорость сходимости рядов A4)—A7) при вещественных ? сравнима
со скоростью сходимости геометрической прогрессии со знаменателем
(ift')/(i+n
Непрерывная дробь 15 3A6) дает в каждом случае уравнение для собст-
собственных значений к. Эти уравнения получены Айнсом (Ince; 1940 b). Вообще
они являются трансцендентными, метод их численного решения дан Айнсом
(Ince, 1932, стр. 359). Однако если п — целое число, то некоторые из непре-
непрерывных дробей конечны, и мы получаем (для и = 0, 1, 2, ...) всего 2и + 1
функций Ламе, предстзвимых конечными тригонометрическими рядами. Эти
ряды являются, следовательно, многочленами от s,c,d Такие функции Ламе
известны как многочлены Ламе. Отметим, что и в этих случаях существует
бесконечная последовательность трансцендентных функций Ламе (Ince, 1940a).
Функции Ламе с вещественным периодом можно также представить в виде
рядов по функциям Лежандра (см. Erdelyi. 1948 и >казанную там литературу).
Мы получаем конечные разложения в случае многочленов Ламе и бесконечные
ряды для трансцендентных функций Ламе Коэффициенты в этих рядах яв-
являются кратными коэффициентам тригонометрических разложений. Разложе-
Разложения по многочленам Лежандра весьма полезны для построения функций Ламе
второго рода (см. ниже).
Айне (Ince; 1940b) изучил также вопрос о сосуществовании. Его резуль-
результаты могут быть сформулированы следующим образом. Если п не является
целым числом, то не могут существовать два различных периодических ре-
решения, соответствующих одному и тому же собственному значению h. Если
п —целое и мы имеем многочлен Ламе, то второе решение никогда не является
периодическим. С другой стороны, если п — целое и мы имеем трансцендентную
функцию Ламе, то четное и нечетное решения соответствуют одному и тому
же собственному значению h. Таким образом, (9) —A2) могут быть дополнены
соотношениями
°п Ф Ь'п для всех т = 0, 1, 2, ..., если я не является целым, |
или если п — целое и т = 0, 1, ..., \n + 1/i[—1/i; } B7)
dn—tfn, если т и я— целые и т > In + Vs | — 7г- J
Айне (Ince; 1940a) изучил также асимптотические свойства собственных
значений при больших значениях я и доказал, что для больших веществен-
вещественных п
Ь%т+*~Dт+г)к[п(п + 1)?'>.

15.5. ФУНКЦИИ ЛАМЕ 121
Решения с другими вещественными периодами. Решения с примитивным
периодом 8К можно представить в виде ряда Фурье
причем легко установить рекуррентные соотношения для коэффициентов н
связанное с непрерывной дробью уравнение для определения собственных
значений h Если 2га —нечетное целое число, то непрерывная дробь конечна
и мы получаем алгебраическое уравнение для h. Функции Ламе с периодом 8К,
соответствующие корням этого алгебраического уравнения, являются алге-
алгебраическими функциями от s, с, d и известны как алгебраические функции
Ламе (Относительно алгебраических функций Ламе см. Lambe, 1951, 1952 и
указанную там литературу). Как для алгебраических, так и для трансцен-
трансцендентных функций Ламе мы имеем a™+1/* = b™+1t* прит = 0, 1, 2, ... и всех
значениях п.
Решения с примитивным периодом 2рК можно представить в виде ряда
Фурье
Г Sin V PI
который приводит к соответствующим рекуррентным соотношениям и т. д. За
исключением случаев р=-1, 2 или 4, уравнение, определяющее п, является
трансцендентным и ряд Фурье бесконечен.
Функции второго рода. Пусть h равно одному из собственных значений
а™ или Ь™ Тогда одно из решений уравнения Ламе является (периодической)
функцией Ламе, например Е(г). Исключая случай, когда 2га—целое число и
т. > | n + Va | —ViF уравнение Ламе имеет единственное периодическое реше-
решение, и поэтому нам нужно построить функцию Ламе второго рода. Для мно-
многих задач удобной функцией второго рода является решение уравнения Ламе,
принадлежащее в бесконечно удаленной точке показателю "/a + x/a (CM-
15.4B)) Мы полагаем Ren3= — V2-
Существ\ет много конструкций функций Ламе второго рода. Так, из ра-
равенства 15 4B) можно получить разложение по убывающим степеням s, и тео-
теория уравнений Гойна указывает многочисленные иные разложения в степен-
степенные ряды. Далее, если ? (z) (периодическая) функция Ламе первого рода, то
Е(г)
• к'
представляет собой функцию Ламе второго 'рода. Это представление часто
использовалось в прежней литературе (см., например, Уиттекер и Ватсон, 1963,
п. 23 71)
Если функции Ламе первого рода можно представить в виде ряда по
функциям Лежандра первого рода, в котором переменная пропорциональна s,
с или d, то соответствующую ф\нкцию Ламе второго рода можно получить,
заменив каждую функцию Лежандра первого рода соответствующей функцией
Лежандра второго рода. Это решение особенно важно, если 2п и 2т — целые
числа, и 0</л< In-bVa | — '/г В этом случае функция Ламе первого рода
является многочленом Ламе (если 2л. четно) или алгебраической функцией
Ламе (если In нечетно) В обоих случаях она может быть представлена ко-
конечным рядом по функциям Лежандра первого рода, и соответствующая
функция Ламе второго рода может быть представлена в виде конечной ком-
комбинации функций Лежандра второго рода. Эти представления очень полезны
при конструировании внешних эллипсоидальных гармонических функций
(см. п. 15.1.1).

122 ГЛ. 15. ФУНКЦИИ ЛАМЕ
15.5.2. Функции Ламе с чисто мнимым периодом. Формулы преобразова-
преобразования. Так как snsz имеет примитивный чисто мнимый период 2(К', то прими-
примитивный период любой функции Ламе с мнимым периодом должен иметь вид
2tpK', где р=1, 2, ... Существование и свойства таких функций могутбыть
установлены тем же способом, что был применен в п. 15.5.1, путем сведения
к некоторой задаче Штурма—Лиувилля, например, для промежутка (К., К + «К').
Вместо этого мы выведем всю необходимую нам информацию из результатов
п. 15.51 с помощью мнимого преобразования уравнения Ламе.
Положим в 15.2 A)
ft B9)
(
и используем табл. 7 п. 13.18 и табл. 11 п. 13.22. Получаем
н, следовательно,
d~ + {k'-n(n + l)[k'sn(z', А'Iа}Л=0. C0)
Очевидно, что каждое решение уравнения C0) удовлетворяет 15.2A), я об-
обратно. Кроме того, решения уравнения C0), имеющие как функции от г'
вещественный период, будучи рассматриваемы как функции от г, имеют чисто
мнимый период. Из результатов п. 15.5.1 получаем следующую информацию.
Достаточно рассматривать функции Ламе с чисто мнимым периодом 2ipK',
р = 1, 2, ..., которые являются четными или нечетными функциями от
z—К = —i(z'—К'). Если четные функции имеют в точности рт нулей, когда
z=K + i7 и t принадлежит промежутку 0<f <2рК' (или любому полуот-
полуоткрытому промежутку длины 2рК') мы будем обозначать их Ec«m (z, fea). Соот-
Соответствующие нечетные функции мы будем обозначать Esjj" (г, fe2). Собствен-
Собственные значения ti ==«(«+1)—h для Ес^ и Es^ мы будем обозначать соот-
соответственно a™ (k*) и С (As).
Если 0 < fe < 1 и n(n-r-l) вещественно, то для каждого т=н0, 1, 2, ...
существует а точности одно Ее?* и для каждого m = 1, 2, ... в точности одно
Esnm. Эти функции имеют период 2«К', если т четно, и 4iK', если m нечетно.
Эти функции и соответствующие им собственные значения h' можно выразить
следующим образом:
(г, *») = Ес??', fe'»), Etf (г, ft«)=Es? (г', k'% C1)
. C2)
Два различных решения с перибцами 2/К' или 4t'K' принадлежат одному и
тому же собственному значению h' (или h) тогда и только тогда, когда п—целое
число и рассматриваемые функции являются трансцендентными функциями
Ламе чисто мнимого периода, т. е. т > | n + Vs | —1/3.
Информацию относительно взаимного расположения и асимптотических
свойств собственных значений можно получить с помощью соотношений C2)
и (9)-A2), B7), B8).
Многочлены Ламе, являясь многочленами по s, с я &, обладают как ве-
вещественным, так и чисто мнимым периодом. Исследование их нулей приводит

15.5. ФУНКЦИИ ЛАМЕ 123
к тождествам
:, **)™Ec'2""w(z, **)=Ес"~да(г', к'*),
I™ (z, ft»)=Es'?~m+1 (z, A*) = EsJ
которые справедливы при условии, что п — целое число, *и=0, 1, ...
.... | n-f-1/2 | — 1/2 и функции Ламе нормированы соответствующим образом
(Erdelyi, 1941a). В частности, при fcs = fc's = l/2 имеем
' C5)
? 2, ... C6)
Похожие соотношения справедливы для алгебраических функций Ламе
(Erdelyi, 1941 b)
* (г, k«i-EcTM <¦*>
(z, fe*) = Es'«- (z.
-т(г', ft"), 1
«-"l(z', k'*), j
C9)
при условии, что п —1/2—целое число, т=0, ... , \п—i/2| и функции
Ламе нормированы соответствующим образом. Отметим, что соответствующие
четные и нечетные алгебраические функции Ламе отвечают одному и тому же
собственному значению и, следовательно, для этих функций а=Ь. Из C9)
мы имеем также
т)=4Bот+т) Bт+т)« т-°« 1'2>- <40>
Обсудим теперь проблему сосуществования для решений с периодами
2К, 4К, 2г'К', 4tK' (см. Erdelyi, 1941 а). Мы знаем уже, что два решения с ве-
вещественными периодами сосуществуют (соответствуют одному собственному
значению) тогда и только тогда, когда и —целое и рассматриваемые функции
являются трансцендентными функциями Ламе с одним и тем же вещественным
периодом. Аналогично два решения с чисто мнимым периодом существуют
тогда и только тогда, когда п — целое число и рассматриваемые функ-
функции являются трансцендентными функциями Ламе с одним и тем же чисто
мнимым периодом. Кроме того, в случае многочленов Ламе функции Ламе
с вещественным периодом и функции Ламе с чисто мнимым периодом совпа-
совпадают. Многочлены Ламе являются двояко-периодическими функциями Ламе,
и можно показать, что они являются единственными двояко-периодическими
решениями уравнения Ламе с периодами 4К, 4iK'. Анализ информации отно-
относительно взаимного положения собственных значений показывает, что дре
различные функции Ламе, одна из которых имеет вещественный период 2К
или 4К, а другая—чисто мнимый период 2<'Ю или 4/Ю, никогда не могут
принадлежать одному и тому же значению h.
Суммируя сказанное выше, мы видим-, что если Еп(г)—функция Ламе
с периодом 2К, 4К, 2»К' или 4jK' и л не является целым числом, то Еп(г)
имеет либо только вещественный, либо только чисто мнимый период и яв-
является единственным периодическим решением уравнения Ламе. С другой
стороны, если п—целое, то Еп(г) является либо многочленом Ламе и в этом

124 гл. 15. функции ламе
случае двояко-периодично (в этом случае соответствующая функция Ламе
второго рода ие периодична), либо Еп(г)—трансцендентная периодическая
функция Ламе, сосуществующая с другой функцией Ламе, имеющей тот же
самый период.
15.5.3. Интегральные уравнения для функций Ламе. Интегральные урав-
уравнения для функций Ламе были открыты Уиттекером (Whittaker; 1915 а, Ь)
и из)чены Айнсом (Ince; 1922, 1940 a, b), Эрдейи (Erdelyi; 1943) и др. Соот-
Соответствующие интегральные уравнения для ф\нкций Гойна были изучены
Лэмбом, Уэрдом. (Lambe and Ward; 1934) и Эрдейи (Erdelyi; 1942 b).
Пусть N (р\ у) удовлетворяет уравнению в частных производных
n(n+l)[ksn(V,kWN=^—n(n+\)[ksu(bk)]*N, D1)
и пусть Л (у) адляется решением уравнения Ламе
~+{h-n <n+1) [k sn (у, ft)]»} A = 0. D2)
Тогда с помощью интегрирования по частям получаем
ь
{if2 + h~n{п+1] {k sn (р> *)]i} JN (Р> v) л(Y) dv=
a
Ь
b
+ \N(P. V) (^+{h~n (»+ V&sn(Т. Щл) dy. D3)
a
Отсюда следует, что если проинтегрированная часть [...]* обращается в нуль,
Ь
то \ N (Р, у) А (у) dy является решением уравнения Ламе.
а
Пусть теперь А=а" или 6", и пусть А(у)<=Е% (у) является решением
с периодом 2К или 4К, соответствующим h; предположим также, что N ф, v) —
решение уравнения D1), являющееся периодической функцией с периодом 4К
как по р\ так и по у. Тогда из наших рассуждений следует, что
2К
-гК
является решением уравнения Ламе, имеет период 4К и соответствует тому же
самому собственному значению, что и Е™ (у). Если п не является целым
числом или если /г—целое и т<п, так что ?™ {у) — многочлен Ламе, то
?^(у)—единственное периодическое решение уравнения D2), и мы получаем

15.5. функции ламе 125
интегральное уравнение для ?™,
2К
-аК
га=О, 1, 2, ... , т = 0, 1, ... , га,
или п не целое, m = О, 1, 2, ...
Если п — неотрицательное целое число и т > п, то уравнение Ламе имеет
два различных периодических решения и интеграл должен быть линейной
комбинацией Ес"ф) и Es™(P)- В этом случае мы получаем интегральные
уравнения для двух различных периодических решений, которые, вообще
говоря, не должны совпадать с Ее™ и EsJJ1. Однако можно получить инте-
интегральные уравнения для Ес^1 (Es™), выбирая в качестве JV ф, у) четную
(нечетную) функцию от ?5— К.
Построение соответствующего ядра N (Р, у) облегчается с помощью сле-
следующего замечания: если ввести новые независимые переменные 8, ф по
формулам
sin 6 cos ф = k sn p sn y,
k
sin 6 sin ф = i j-f сп р сп у,
]
cos 6 = tj dn p dn y.
ft
то из 15 1 A6) и 15.1A8) видно, что дифференциальное уравнение в частных
производных D1) превратится в дифференциальное > равнение в частных
производных для сферических гармоник, поэтому N ф, у) является некоторым
решением последнего уравнения, выраженным в сферо-ьочических координа-
координатах. Если п — целое число и N ф, y) — (регулярная) сферическая гармоника
и, следовательно (в соответствии с п. 15.1 2), также и (регулярная) эллипсо-
эллипсоидальная гармоника, то все собственные функции, соответствующие ненуле-
ненулевым значениям \™ ядра N, являются многочленами Ламе.
Перечислим некоторые простые ядра и соответствующие им собственные
функции (определенные путем рассмотрения четности ядра как функции от
- и р-К):
D6)
D7)
N = Pi (cos 6) sin q> = i А сп р сп у Pn (±r ^ p dn Y) . (Es*m), D8)
= 2i?. sn p nYCHpcnY^(pdnpdnA (Es*m+1). D9)
Если п—целое число, то собственные функции ядер D6)—D9) являются
многочленами Ламе: ядра, соответствующие трансцендентным функциям Ламе,
выражаются через Qn. Следует отметить, что известны и другие простые ядра,
выражающиеся через функции Лежандра от k sn p sn v или i \kjk') ей р сп у.

]26 ГЛ. 15. ФУНКЦИИ ЛАМЕ
15.5.4. Вырожденные случаи. Если fe = 0, то уравнение Ламе принимает вид
^Ч-АА=О. E0)
Мы имеем К = я/2, и решение уравнения E0), удовлетворяющее условиям
C)—F), имеют вид
Ес? (z, 0)=cos[m (г-я/2)], Es™ (z, 0) = sin [m (г-я/2)]. E1)
Оба эти решения соответствуют собственному значению
«? <W = С (°) =*"»•• E2)
Если fe = l, то из 13.18D) следует, что уравнение Ламе принимает вид
^ + [A_tt(n+l)(thz)»]A=0 (t3)
яК=», К' = я/2. В этом случае Айис (Ince; 1940 a) показал, что
= Dm+l)ft—4гяа, Ъ
= Dm + 3)ft—Bro+l)«, J
Frsm G W Fsam+1 h \\ pn-ifa nu -\
ССИ I*» I) "~*• HS_ \*» */ ^" * н I III Zl*
ft \rj д 4*^ /J л/
Наконец, пусть n —>- 00 и одновременно с этим Л —*- 0 таким образом, что
^-49. E6)
В этом случае sn(z, 0) = sinz и, в силу 15.2D), ?=1/2—г. Уравнение
15.2 E) принимает форму
^- + lA+4e<cosDalA=0, E7)
являющуюся одной из форм уравнения Матье. Функции Ламе с веществен-
вещественным периодом переходят при этом в функции Матье. Чисто мнямый период
К' в этом случае равен бесконечности.
15.6. Функции Ламе — Вангерина
Мы видели в п. 15.1.3, что некоторые из задач теории потенциала, сфор-
сформулированные во введенной Вангерином системе координат, приводят к оты-
отысканию решений, которые конечны в двух особых точках уравнения Ламе.
Покажем сейчас, что такие решения могут существовать лишь для некоторых
собственных значений h: соответствующие собственные решения будем называть
конечными функциями Ламе или функциями Ламе — Вангерина для того, чтобы
отличить их от периодических функций Ламе, изученных в предыдущих
пунктах. Относительно функций Ламе—Вангерина известно сравнительно мало,
и основной материал, который сейчас будет изложен, содержится в заметке
{1948 а) и в неопубликованных работах Эрдейи.
Функция Ламе—Вангерина является решением уравнения Ламе 15.2A)
и обладает тем свойством, что (snzI/f2A(z) ограничено в области, содержащей
по крайней мере два полюса sn г. Точнее говоря, мы будем обозначать через
Р% (г< &2) функцию Ламе—Вангерина, Для которой (sn zI/2 F% (z, ft2) ограни-
ограничено и имеет в точности т нулей в открытом промежутке (<К/, 2К+»'К');

15.6. ФУНКЦИИ ЛАМЕ — ВАНГЕРИНА 127
отсюда следует, что (sn zI^* F™ (г, fe8) ограничено также в области, содержащей
этот промежуток, а фактически в бесконечной полосе, содержащей линию
z = jK' + 2Kf,— оо <<<<». Собственные значения А, соответствующие У™, мы
будем обозначать с™ (k1).
Будем предполагать, что кип заданы и что для вещественных t вы-
выражение
п (п+1) [kK sn (iK' +2«, fe*)]*
вещественно, так что дифференциальное уравиение Ламе 15.2A) после пере-
перехода к независимому переменному t является дифференциальным уравнением
с вещественными коэффициентами. Не теряя общности, можно считать, что
Ren «г—1/2. Наше предположение заведомо выполнено, если 0 < & < 1 и
ге(га-|-1)— вещественное число, но из 15.1C3) видно, что могут встретиться
также и случаи комплексных значений к. Из 13.23A3) и табл. 11 в п. 13.22
легко получить, что функции, входящие в 15.1 C3), удовлетворяют нашему
условию вещественности.
Если F (г)—функция Ламе—Вангерина, то такими же будут и функции
/•BK+2tK'—г) и F (z\ ± F BK+2iK'— г).
Поэтому мы можем ограничиться рассмотрением функций Ламе—Вангерина,
являющихся четными или нечетными функциями от г—К—«К'. Если
F™(z, ft2)—такая функция, то она будет четной или нечетной функцией от
г—К—/К' в зависимости от того, четно или нечетно т. Мы получаем, таким
рбразом, следующие краевые условия:
(8пгI/аЛ(г) ограничено при 2 = «К', Л'(К + <К')=0 для К=>Р*ат(г)> A)
(sn z>1/s Л (г) ограничено при 2 = гК', Л(К+«К') = О для A=-F*m+1. B)
Так как z = «K'—особая точка уравнения Ламе, то существование и свой-
свойства функций Ламе — Вангерина связаны с теорией сингулярных уравнений
Штурма—Лиувилля. Однако характер особенностей в точке z = iK' и краевые
условия позволяют нам использовать простейшую форму теории сингулямых
уравнений Штурма—Лиувилля, сводящуюся, по сути дела, к теории регуляр-
регулярных уравнений Штурма—Лиувилля. Из работы Мак-Кри и Невиня (МсСгеа,
Newing; 1933) вытекает, что для каждого т. = 0,1, ... существует в точности
одна функция Ламе—Вангерина и что собственные значения K2ft, соответствую-
соответствующие этой функции, образуют неограниченную возрастающую последовательность
» <...., #*<% -». оо при. т -* ». C)
Если Ren> —1/2 или п = —1/2, то никакие две функции Ламе—Вангерина
ие принадлежат одному и тому же собственному значению, и мы имеем строго
возрастающую последовательность
К*с» < К*с» < К»с^ < ..., Re ft > —1/2 или п—1/2. D)
Если 0<Л < 1, так что К вещественно, то <% также вещественны, и мы
имеем
сп<с\<сп<---> %-+*' 0<*<1, /»Ss-l/2. E)
Функции Ламе—Вангерина могут быть представлены разложениями вида
15.3 A0). Различные разложения этого вида описываются Р-символами, дан-
данными в п. 15.4. Мы укажем здесь ряды по убывающим степеням s, которые
сходятся при 0 < k < 1.

128 гл. 15. функции ламе
Любая функция Ламе—Вангерина принадлежит в точке s=« показателю
п/2+1/2 в 15.4B), и 15.3A0) дает разложение этой функции по степеням s~2,
умноженное на s-n-i-sp-^c^i1*, где р и а принимают значения 0 или 1/2.
Очевидно, что для F%m имеем о = 0, а для F^m+1 имеем о = 1/2. Мы полу-
получаем, таким образом, степенные ряды
"~2r~1 = c 2 ^-П-2Г-2. F)
Рекуррентные соотношения для коэффициентов имеют вид (г = 1, 2, 3, ...):
(8)
B«+3)^C1 = 0, ч
+2)^]Cr+ \
r + 3)*2Cr+l=0, )
,+ } (9)
r+1 = 0, J
A0)
r+ f A1)
r+1=0. j
Если разделить каждое из этих рекуррентных соотношений на 4г2, оно
примет вид 15 3A3) Во всех четырех случаях а=1, р = — A + fe2), y = A2
и корнями квадратного уравнения 15 3A5) являются ^-=1, <3 = fe~2. Если h
не ^щияется собственным значением, то отношение двух последу ющих коэф-
коэффициентов стремится к k~2 и ряды F), G), где s~* = fe2, не сходятся при
z = K + iK'. Если h равно одному из характеристических значений, то отно-
отношение двух последующих коэффициентов стремится к 1, и ряд сходится
в области js|> 1, содержащей всю прямую Imz = K'.
Ряды F), G) неудобны, если |г|=1, т. е. в случае III п. 15.1.3. В этом
случар удобнее применять аналогичные ряды по убывающим степеням с.
Более удобные для численных расчетов ряды могут быть получены с по-
помощью Р-символов 15.4 D), E), F) При z = *K', c/s = — i функции Ламе—Ван-
Ламе—Вангерина принадлежат в точке c/s = —i показателю ~— (см. 15.4F)). Из
С+ is
15.3 A0) вытекает, что разложения имеют вид рядов по степеням —-— =
с ~*~ ts
= (c + *sJ, умноженных на
/r+_/sW2+i/2 /c—lk's\t fc+ik's\"
\С — (S/ \ С—IS ) \ С—IS J '
где р и а принимают значения 0 или 1/2. Ясно, что для четных т надо брать
р=а = 0, а для нечетных m р=а=1/2. Кроме того, вводя ?, как в 15.5A3),
имеем
cnz=sin?, с ± ts=± ie^ '^. A2)

15.6. ФУНКЦИИ ЛАМЕ ВАНГЕРИНА 129
Мы получаем, таким образом, иные разложения:
Fj}"l(z)=2 Лгехр [— (п + 2г+!)?«]> A3)
рш +1 {г) = dn z 2 Вг ехр j_ („ + 2г + 2) У], A4)
коэффициенты которых удовлетворяют рекуррентным соотношениям
Bг — 1) (п 4 ^feMr.i+t^ — (n+l+2rJB—k2)]Ar+ I A5)
где H = 2h — n(n-\ 1)?* и r = l, 2, 3, ...
Если разделить эти рекуррентные соотношения на 2г2, они примут вид
15.3A3), где a = Y = fe2, |J = — 2B—ft2), и корнями квадратного уравнения
15.3A5) являются
Если Re fe' > 0, то | <i I < | ^ I- Рассмотрим вопрос о сходимости рядов A3),
A4) при 0<fe, k' <1. Если 2 = /К' + м, 0<и<К, то из табл. 7 п. 13.18
видно, что
iksnu
j ?'
и, следовательно, |c4'"s |2<-гт-г7 • Если h равно одному из характеристи-
ческих значений, то отношение двух последовательных коэффициентов в A3)
или A4) стремится к tl = ...,, а потому ряды A3) и A4) сходятся иа пря-
прямой Imz = K' по меньшей мере столь же хорошо, как геометрическая про-
прогрессия со знаменателем f. , ,, j . Отметим, что
ksati
е "• = — <(c+ts) =
' 1 + dn и
вещественно на прямой 1тг = К'.
Другие разложения в степенные ряды* равно как н ряды по показатель-
показательным фикциям и разложения по функциям Лежандра, могут быть получены
способом, указанным в пп 15 3 и 15.4.
Для фикций Ламе —Вангерина можно получить много интегральных
уравнений тем же способом, что и для периодических функций Ламе. Как и
в п. 15 5 3, обозначим через N (р\ у) одно нз решений дифференциального
уравнения в частных производных lt>.5D1) и рассмотрим интеграл
J NW.y)FZ
К'
Г БеВтмен. А. Эрдейа
гК + iK'
J
«К'

130 гл. 15. функции ламе
Вычисление, намеченное в 15.5D3), показывает, что если ядро выбрано
так, что
когда y->iK' или ¦у-* 2К+/Х', то этот интеграл удовлетворяет уравнению
Ламе прн h—c™. Если, кроме того, JV(P, у) для всех у в области интегриро-
интегрирования принадлежит при р = *Х' и р = 2К+«Х' к показателю—^—, тоуказан-
ный выше интеграл отличается от функции Ламе—Вангерина лишь постоян-
постоянным множителем, и мы имеем интегральное уравнение
IK'
Построение соответствующего ядра N (В, у) основано на замечании, что
замена переменных 15.5 D5) преобразует 15.5 D1) в дифференциальное урав-
уравнение для сферических гармоник. Надо заметить (см. рис. 8—10 в п. 13.25),
что на отрезке (iK', 2K-f<K') s положительно, с лежит на отрицательной
мнимой полуоси и d вещественно, так что в 15.5 D5)
cos 9 вещественно, sin 9 cos ф > 0, / sin 0 sin ф > 0. A8)
Но для каждой достаточно регулярной функции f и каждого постоянного «
функция
t {x cosa-\-y sin a—iz)
является решением уравнения Лапласа (в декартовых координатах х, у, г).
Если взять /(н) = м~л^1 и выбрать а так, чтобы выражение в скобках не
обращалось в нуль, когда В и -у пробегают промежуток («К', 2K + iK'), то
(sin 9 cos ф cosa-f sin 0 sin cp sin a—j cos Q)~n~1 =
= ffesnpsnvcosa-(-i j^-cn p en v sin a— p dn pdny j A9)
dN
является сферической гармоникой. Кроме того, N н -^—»¦ 0, когда р или у
приближаются к одному из концов промежутка, так что A9) представляет
соответствующее ядро. В частности, при a= ± я/2 получаем интегральное
уравнение
2К + /К'
Можно также построить интегральные уравнения на промежутке («К/, К+'К').
которым удовлетворяют лишь четные или нечетные функции Ламе—Ванге-
рина. Соответствующие ядра являются суммами или разностями двух ядер в B0).
15.7. Эллипсоидальные и сферо-конические гармоники
Опишем кратко приложение полученных выше результатов для построе-
построения эллипсоидальных и сферо-конических гармоник.
Введем вместо прямоугольных координат х, у, г эллипсоидальные коор-
координаты а, р, у. Формулы преобразования даны в 15.1 (8), а области измене-
изменения a, P, 7 описаны в строках, следующих за формулой 15.1 (9). Мы будем

15.7. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ И СФЕРО-КОНИЧЕСКИЕ ГАРМОНИКИ 131
называть В ф) С (у) эллипсоидальной поверхностной гармоникой, если В и С
удовлетворяют уравнению Ламе ч ВС непрерывно и имеет непрерывный гра-
градиент на всем эллипсоиде a = const. Мы будем называть Л (а) В ф) С (у)
внутренней эллипсоидальной гармоникой, если А, В, С удовлетворяют урав-
уравнению Ламе и ABC непрерывно и имеег непрерывную производную внутри
эллипсоида a = const. Наконец, мы будем называть А (а) В ф) С (у) внешней
эллипсоидальной гармоникой, если выполнены условия, подобные указанным
выше, вне эллипсоида н А(<К') = 0.
Мы видели в п. 15.1.1, что для поверхностной эллипсоидальной гармо-
гармоники должно выполняться равенство В@) = С(9) и что эти функции должны
быть двояко-периодическими функциями Ламе с периодами 4< и 4jK'. В силу
п. 15.5.2 единственными функциями Ламе с периодами 4.< и 4гК' являются
многочлены Ламе, и для них п должно быть целым числом, которое можно
выбрать неотрицательным, а т<п. Таким образом, мы получаем 2п + 1
эллипсоидальных поверхностных гармоник степени п:
Sc|T(P, Y) — Ес!?(Р)Ес!? (у), и = 0, 1, 2, ... , т = 0, 1, .... п, \
Ss™(p\ y) = Es^(P)Es™G), re = l, 2, 3 т = 1, 2 п. J w
В переменных в, <р из 15.5 D5) эти функции являются сферическими поверх-
поверхностными гармониками,1 и число 2«+1 линейно независимых поверхностных
гармоник может быть получено с помощью этой связи.
Эллипсоидальные поверхностные гармоники образуют ортогональную
систему, т. е.
J J Sc? (р,
, у) [(sn №-(sn у)*\ <ф dy =
? (p, у) Ss? (p, y) [(sn p)*-(sn у)Ц dp dY=0, B)
за исключением случаев n=v и m = [i, и
c? (P, у) Ss!J (P, 7) [(sn P)*-(sn 7)a] dp dv = O. C)
Здесь ^? обозначает поверхность эллипсоида, р изменяется от К до К+2»К',
а 7—от 0 до 4К. Равенство C) вытекает из того, что функции Sc и Ss имеют
различную четность при у=К. Для того чтобы доказать равенство B) при
п ¦? v, вспомним, что
где Sn равно Sc^1 (P, 7) или Ss™ (P, 7). и, следовательно,
s / ^ д* \ (д* а« \
vVap2~5Y2/ e\.dp*~av»J v~
=[n (n-l)-v (v-1)] ft2 [(sn P)*-(sn yL SnSv.
Интегрируя по $, имеем
[„(„_1)_V(V_1)] JJ [(sn PJ_(snvJ]SBSvdpdY=0,
8
и, следовательно, B) выполняется при п Ф v. При n=v и т ;? ц заметим,
что Ее" и Ес*^ (и аналогично Es?* и EsJJ) являются двумя собственными
функциями одно"! и той же задачи Штурма—Лиувилля 15.5A) (или 15.5B))
К что в силу 15.5(9) (и 15.5A0)) они принадлежат различным собственным

132 гл, 15. функции ламе
значениям Равенство B) при n—v, m jt \i вытекает из свойств ортогональ-
ортогональности функций Штурма—Лиувилля
Свойство ортогональности эллипсоидальных поверхностных гармоник по-
позволяет определить коэффициенты разложений в ряды по эллипсоидальным
поверхностным гармоникам для любой функции, заданной на эллипсоиде $.
Справедливость этих разложений может быть выведена из связей между эллип-
эллипсоидальными и сферическими поверхностными гармониками
Для внутренних эллипсоида 1ьнык гармоник мы видели в п. 15.1.1, что
A (9) = В F) — С (О), так что внутренние эллипсоидальные гармоники имеют
одну из следующих форм
Не™ (а, р, 7) = Ес«(а)Ес
ге=0, 1,2, .... m=0, 1, 2, .... га,
Hs? («, р, у) = Es™ (а) Es? (p) Es« (Y), > { >
и = 1, 2, 3 т = 1, 2, 3,
Встречающиеся здесь многочлены Ламе могут быть записаны в виде произве-
произведения &с"<Г и многочлена степени 1>{п—р— о—т) от s2. Следовательно, Не™
н Нь™ являются многочленами степени п от декартовых координат х, у, г
(гармоническими многочленами).
Уиттекер (Уиттекер и Ватсон, 1963, п. 23 62) нашел изящное интеграль-
интегральное представление для внутренних эллипсоидальных гармоник
4К
J Р„ Щ Ес^1 (t) dT = k Hc^1 (a, p, у),
о
4К
E)
где
^snT + ycnTt>dnT=jfe8snas npgB т_
'1/2
ьг 1
jj- спаспРспусптН—jj dnadn^dnvdnT F)
К ft
является сферическим расстоянием двух точек единичной сферы, декартовы
координаты которых равны
/ ь 1 \
(fcsnasnp, t-rr enaenp, -^-dnadnpi G)
н
/ k 1 \
I ft sn у sn t, / -rr en y en т, -p- dn у dn т j . (8)
Чтобы доказать формулы E), заметим, что Pn(w) является решением
уравнения Лаплага, равно как и интегралы в левой части равенства E).
Кроме того, эти интегралы являются многочленами oTsna, sn p, sny> en a,...
. , Any Наконец, Р,(л), как функция от точки (8), является поверхностной
сферической гармоникой степени п, я в силу 15 5D4) интегралы должны
быть кратны Ес^1 (у), Es^ (у) Так как а, р, у входят в w симметрично, то
равенство E) доказано.

15.8. ГАРМОНИКИ, СВЯЗАННЫЕ С ЦИКЛИДАМИ ВРАЩЕНИЯ Ш
Внешние эллипсоидальные гармоники отличаются от D) тем, что Ее™ (а),
Е5™(а) заменяются соответствующими функциями Ламе второго рода (см конец
п. 15 5.1) Такие гармоники можно также выразить с помощью интегралов
4К 4К
Q, (ш) Ее™ (т) dx. J Qn (») Es? (t) dx,
где Qn—функции Лежандра второго рода и w задается 4 op !улои F)
В сферо конических координатах 15 1 A6) мы имеем поверхностные гармо-
гармоники A), которые, если р и у—сферо-конические коорчинаты, являются
сферическими поверхностными гармониками. Внутренние и внешние сферо-
сфероконические гармоники имеют соответственно вид
rn Scm(p\ у), r«Ss™ (р, у) (внутренние),
г-»-Чс^(р. у), r-"-»Ss?(p. у) (внешние),
где п—целое неотрицательное число и т < п.
15.8. Гармоники, связанные с циклидами вращения
Для того чтобы показать приложение функции Ламе—Вангерина для по-
построения гармонических функций, связанных с конфокальными системами
цикли 1 вращения, изучим более детально случай In 15 1 3 те случаи
конфокальной системы циклид вращения с четырьмя (вещественными) фоку-
фокусами на оси вращения В частности, построим гармонические функции, регу-
регулярные внутри поверхностей и = const > О
Для того чтобы свести дифференциальное уравнение для / к нормальной
форме, в этом случае целесообразно ввести криволинейные координаты и, v
с помощью преобразования
z+ip=s = sn(u + tv, k); A)
15.1 B9) показывает, что разделение переменных приводит к обыкновенным
дифференциальным уравнениям
т) [Ы
B)
В п 15.1.3 было показано, что граничные условия заключаются в том, что
р -i/*y должно оставаться конечным как при о=0 так и при v=K' (где
второе уравнение B) имеет особенность) и что p~^2U должно оставаться ко-
конечным при и —К (где имеет особенность первое уравнение)
Но уравнение B) имеет вид уравнения Ламе, и искомое решение может
быть полечено способом, указанным в п 15 6 Этот метод удовлетвори-
удовлетворителен, если k близко к 1 (когда два из фокусов конфокальной системы близки
к двум другим). Для меньших значений k удобнее иметь дело с уравнением
Ламе с модулем k, чем с модулем , как в B). Этого можно достичь,
1 -р к
используя криволинейные координаты и, v, отличающиеся от введенных в A).

134 ГЛ. 15. ФУНКЦИИ ЛАМЕ
Комбинируя преобразование В из табл. 11 п. 13.22 с преобразованием
Лаидена в 13.23A3), мы видим, что
. /¦ t»> 2» sn(u, k)
sa{a, fc)=-»sc(m *')=——Y '
en (it, k) + dn{u, k')
где
u = i(l + k)u, k= j-щ.
Это подсказывает ввести криволинейные координаты и, v с помощью равенств
^Т^^1=П^+И C)
где
s = sn (u + iv, k), c=cn(it+to, ft), d—<1п(и + ш> *) D)
и фокусы
конфокальной системы определяют а> 0 я k, 0 < й < 1. Начиная отсюда,
мы будем обозначать через и и v криволинейные координаты, введенные
в C), и применять сокращенные обозначения 15.1 B7).
С помощью формул п. 13.17 получаем вещественную форму преобразо-
преобразования C)
— 'afe's2 _ ak'sx ,,..
и также
= -l~fe%* = [ftsn(u + iK.', ft)]a — [ksn(iv, k)]». F)
Обыкновенные дифференциальные уравнения для U и V имеют вид
f/=0, G)
= 0. (8)
Преобразования (З) отображают прямоугольник с вершинами ± tK',
2К ± tK' на (и, v) плоскости на полуплоскость р > 0. На рис. 15 соответ-
соответствующие точки обозначены одинаковыми буквами. Прямая u=i>0> 0 отоб-
отображается на часть бициркулярной кривой четвертого порядка, фокусы
которой Л и SB лежат в точках
_
__, 2=_а|/т__> р=0.
Мы построим гармоническую функцию, регулярную внутри этой бицирку-
бициркулярной кривой четвертого порядка. Условие, что p~1/2t/V остается ограни-
ченным на оси вращения внутри v — vg, влечет за собой условие, что
V^j', k) U (и) остается ограниченным на промежутке @, 2К), а
Y&n(iv, k) V (v) остается ограниченным на промежутке (v9, К').

15.8. ГАРМОНИКИ, СВЯЗАННЫЕ С ЦИКЛИДАМИ ВРАЩЕНИЯ
135
Но дифференциальное уравнение G) является уравиеяием Ламе при
n = m —1/2 и z = u-H'K'. Решения, для которыхУ*пг U (и) ограничено при
z = /K' и 2=2К+'К'. существуют тогдаи только тогда, когда ft = с^_ 1/2(йа)н
единственным таким решением является
U (u)=Frm_1/t (и + Ж'. ft2). r=0, 1, 2....
В уравнения (8) мы имеем А=с^,_1/а {fea>, так что одним из решений этого
„ уравнения является
/К'
2К+/К'
в, #>).
Кроме того, это решение обладает тем
свойством, что у "nJTv, k) V (v) orpa-
0*0
2К-/К' ^ f<* m
Рис. 15. Отображение E).
ничено при t)=K' и определяется этим свойством с точностью до постоянного
множителя. Равенство 15.1 B4) показывает, что единственными нормальными
решениями уравнения Лапласа в криволинейных координатах, определенных
формулой C), являются
m=0, 1, 2 r=0, 1, 2, ...
(9)
Другие задачи теории потенциала в коор1инатах конфокальных циклид
вращения могут быть рассмотрены аналогичным образом. Следует отметить,
что ни одна из граничных задач, рассмотренных в п. 15.1.3, а иа самом деле
ни одна из известных граничных задач во введенных Вангерином координа-
координатах, не приводит к алгебраическим функциям Ламе (хотя такие функции и
существуют при некоторых значениях h, так как п +1/2 —целое число).
За исключением гармоник, связанных с плоским кольцом, которые были
изучены Пулем (Poole; 1929, 1930) и, как показано им, приводят к периоди-
периодическим функциям Ламе, все другие граничные задачи п. 15.1 3 приводят
к конечным функциям Ламе, т. е. к функциям Ламе—Ваигерина.

ГЛАВА 16
ФУНКЦИИ МАТЬЕ, СФЕРОИДАЛЬНЫЕ И ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ
ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ
16.1. Введение
В этой главе мы изучим функции, которые возникают при решении вол-
волнового уравнения Д№ + %2№— 0 путем разделения переменные в некоторых
системах криволинейных координат. Относительно общей задачи разделения
переменных в волновом уравнении и родственных ему дифференциальных
уравнениях в частных производных см. литературу, указанную в п. 15.1.
Относительно функций Матье существует основная работа Мак-Лахлана
A953), которая содержит многочисленные приложения этих функций и биб-
библиографию. Вышла также книга по теории и приложениям функций Матье и
сфероидальных волновых функций, написанная Мейкснером и Шефке (Meixner
and Schafke). Монография Стретта A935) содержит теорию всех функций,
изучаемых в этой главе, указывает их приложения и дает обширный список
литературы. Дополнения к этому списку опубликованы Стреттом A935). От-
Относительно функций Матье см. также Уиттекер и Ватсон A963, гл. XIX).
В этой главе мы дадим краткое описание основных свойств рассматрива-
рассматриваемых функций и ссылки на дальнейшую литературу. Относительно более де-
детального изучения этих функций и прежней литературы см. указанные выше
работы. В разделе о функциях Матье мы будем следовать книге Мак Лах-
лана, а в разделах о сфероидальных волновых функциях —работам Мейкснера.
Очень мало известно об эллипсоидальных волновых функциях. То, что из-
известно относительно них, изложено в монографии Стретта.
16.1.1. Координаты эллиптического цилиндра. Введем вместо декартовых
координат х, у криволинейные координаты u, о, связанные с ними соотноше-
соотношениями
y = cshusinv, A)
где с—положительная постоянная. На (х, 1/)-плоскости кривые u = const об-
образуют конфокальное семейство эллипсов, а кривые i> = const—конфокальное
семейство гипербол. Фокусы конфокальных систем находятся в точках (? с, 0).
Каждая кривая n = const является четвертью гиперболы, и мы получаем
полную {х, г/)-плоскость, если и и v изменяются в области (Хи < оо,
0<d<2ji. Кривые о = 0 и v = 2n совпадают (они являются частью оси х
от а = с до х= + оо). Кривая и=0 является вырожденным эллипсом (дваж-
(дважды пробегаемым отрезком —c<jc<|c). Этот отрезок является разрезом,
причем точки и = 0, v = vt н u=0, v = 2a—v1 совпадают. В пространстве
х, у, г мы имеем соответственно конфокальные семейства эллиптических и
гиперболических цилиндров.

16.1. ВВЕДЕНИЕ 137
В координатах, определяемых равенством A), имеем
Если существуют нормальные решения вида
W = U(u)V(v)Z(z), C)
то функции U, V, Z должны удовлетворять обыкновенным дифференциаль-
дифференциальным уравнениям
war/ '
^0, D)
0, E)
g0. F)
Здесь Л, 9 и t — постоянные разделения, h произвольно, причем
G)
Уравнение E) называют уравнением Матье; D) сводится к уравнению Матье
путем замены и на tv и известно как модифицированное уравнение Матье.
Для того чтобы волновая функция W была непрерывна и имела непре-
непрерывные прочзводные на эллиптическом цилиндре и = ы0, должны выполняться
условия 1/Bл) —1/@), V Bя) = V @) Так как 2л являе1ся периодом коэф-
коэффициентов уравнения E), то отсюда следует, что V (v) должно быть перио-
периодической функцией от о с периодом 2я Мы увидим, «то для заданного 9
имеется бесконечная последовательность собственных значений h, при кото-
которых существуют такие периодические решения Эти решения называют функ-
функциями Матье Если V (о) является периодическим решением уравнения E)
с периодом 2т, то такими же решениями являются V(—v) и V (v) ± V(—v),
поэтому мы можем ограничиться рассмотрением функций Матье, являющихся
четными или нечетными функциями от v.
Предположим теперь, что W непрерывно и имеет непрерывный градиент
внутри эллиптического цилиндра и = и0. Так как а = 0, v = vl и и = 0, v=
= 2я—vt представляют одну и ту же точку на противоположных сторонах
разреза, мы должны иметь
U @) V (vt) = U@)V Bя - ft), U' @) V (vt) = — W @) V <2я—о,)
при 0<fi^2n Если V \v) является четной функцией Матье, то VBя — fi) =
= V( — v1)=V(v1) Первое из этих условий выполнено всегда, а второе вле-
влечет за собой U'@) = 0 Из D) следует тогда, что U (и) является четной функ-
функцией от и и чго U (u) = V{iu) с точностью до постоянного множителя. Точно
так же, если V (v) является нечетной функцией от и, то U (и) должно быть
нечетной функцией от и, ненова U (u) — V{ш). Определенные таким образом
решения уравнения D) являются так называемыми модифицированными
функциями Матье первого рода.
На непрерывные и имеющие непрерывный градиент вне эллиптического
цилиндра и = «0 волновые функции W обычно налагаются условия на их
поведение на бесконечности (например, зоммерфельдовские условия излуче-
излучения). Для больших значений и
р = (д;2 + yffh — с [(Сп ц cos „J .|_ (Sn ц sin v)*L'
приблизительно равно -^ се", и решения уравнения D), которые асимптота-

138 гл. 16. функции матье
чески подобны exp I -g- йссе" ) или ехр ( — ¦«- ixce* 1, называют обычно мо-
модифицированными функциями Матье третьего рода.
16.1.2. Координаты вытянутого эллипсоида вращения (вытянутого сфе-
сфероида). Введем теперь координаты вытянутого сфероида с помощью ра-
венств-
je=csh«sinocos(p, y = cshusinvsinq>, z=cchucosv, (8)
где с—положительная постоянная. Поверхности а = const образуют конфо-
конфокальную систему вытянутых сфероидов, а поверхности i> = const — конфо-
конфокальную систему двуполостных гиперболоидов. Фокусы этих конфокальных
систем находятся в точках х = у = 0, г=±с. Соответствующие области из
менения и, v и ф имеют вид 0 < « < оо, 0 < и < я, 0 < ф < 2я. Поверх-
Поверхности ф = const являются меридиональными плоскостями, причем ф = 0 и
Ф = 2л совпадают; и = 0—вырожденный эллипсоид, который сводится к от-
отрезку х=у=0, —с^г^с; а поверхности и=0 яо=я являются двумя
половинами вырожденного гиперболоида системы, сводящимися соответствен-
соответственно к х = «/=0, zrssc и х = у = 0, z<—с. Таким образом, вся ось вращения
является особой линией координатной системы.
В координатах, введенных равенствами (8), имеем
1 dW
ZZ + kWO (9)
+ ¦;¦ ¦ ;¦¦ ¦ ¦. -¦Z-Z-
(с sh м sin uJ dip*
и если существуют нормальные решения вида
W = U(u)V(v)e±imi>, A0)
то функции U, V должны удовлетворять обыкновенным дифференциальным
уравнениям
где h—снова постоянная разделения. Уравнение A2) называют тригономет-
тригонометрической формой уравнения сфероидальных волновых функций: A1) сводится
к A2) заменой переменной и на tv.
Для того чтобы волновая функция W была непрерывна внутри или вне
сфероида и = и0, W должна быть периодической функцией от ф с периодом
2я; следовательно, т. в равенстве A0) должно быть целым числом. Далее, W
должна быть ограничена на эллипсоидах и = const; иными словами, V(v)
должна быть решением уравнения A2), ограниченным на отрезке 0<и<я.
Как и в случае уравнения Лежандра 3.1B), к которому сводится A2) прн
к=0, такие решения существуют лишь для некоторых собственных значе-
значений к: ограниченные решения A2) называются сфероидальными волновыми
функциями. Если W непрерывна внутри сфероида и = и0, то она должна быть
ограничена на вырожденном сфероиде и = 0; это определяет выбор решения
U и показывает, что U (и) должно отличаться от V (л>) лишь постоянным
множителем, т.е. U(и)—модифицированная сфероидальная волновая функ-
функция первого рода. С другой стороны, если W является волновой функ-
функцией, регулярной вне сфероида и = «0, то обычно требуют, чтобы ее пове-
поведение на бесконечности асимптотически совпадало с г~1ехр(± ш). где
г = {х*+ уг + z2I'1* = с [(sh и sin оJ + (ch и cos oJ]Vi

16.1. ВВЕДЕНИЕ 139
при больших и приблизительно равно -^ctF. Решение уравнения A1), об-
обладающее таким поведением на бесконечности, называют модифицированной
сфероидальной волновой функцией третьего рода. Решения уравнения A1),
для которых h имеет одно из собственных значений, более точно было бы
называть модифицированными вогновыми функциями вытянутого эллипсоида
вращения (вытянутого сфероида).
16.1.3. Координаты сжатого эллипсоида вращения (сжатого сфероида).
Координаты сжатого сферЬида и, v, ф определяются равенствами
x=cch«sins»cos<p, y = cchusmvsm(p, «=cshucosi>, A3)
где с—положительная постоянная. Поверхности н= const образуют конфо-
конфокальное семейство сжатых эллипсоидов вращения, поверхности v = const —
конфокальное семейство однополостных гиперболоидов и поверхности q> =
= const—семейство меридиональных плоскостей. Фокальными окружностями
конфокальной системы являются ла + у2 = с2, 2 = 0. Областью изменения пе-
переменных и, v, ф являются 0<и< во, 0<и < я, 0<ф< 2я, причем ф = 0
и ф = 2я являются одной и той же меридиональной плоскостью, и = 0 — вы-
вырожденный эллипсоид, дважды покрывающий область, лежащую внутри фо-
фокальной окружности, я = 0 и v — n—две половины вырожденного гипербо-
гиперболоида, сводящиеся тождественно к положительной и отрицательной полуоси
г, a v = n/2 является вырожденным гиперболоидом, который лежит на плос-
плоскости z = 0 и дважды покрывает область, лежащую вне фокальной окруж-
окружности. Таким образом, вся (х, #)-плоскость является особой поверхностью
координатной системы.
В координатах, определяемых равенством A3), имеем
+
(cchusinv)* ^
Если существуют нормальные решения вида
A5)
то функции U н V должны удовлетворять обыкновенным дифференциаль-
дифференциальным уравнениям
где ft—снова постоянная разделения. Уравнение A7) является дифференци-
дифференциальным уравнением сфероидальных волновых функций, где к?сг заменено на
—к?с2: A6) сводится к A7) подстановкой u — i(v—я/2).
Как и в п. 16.1.2 т должно быть целым числом, V—сфероидальной
волновой функцией и А—одним из собственных значений. Решения уравне-
уравнения A6) можно назвать модифицированными волновыми функциями сжатого
эллипсоида вращения (сжатого сфероида), и надо отметить, что модификация,
соответствующая сжатому сфероиду « = ги—^" j отличается от модифика-
модификации, соответствующей вытянутому сфероиду u = iv. Так как V(п—v), V(v)±
±V (л—v) также являются сфероидальными волновыми функциями, можно

140 гл. 16. Функции мАтьё
выбрать V (у) так, чтобы оно было четной или нечетной функцией от v—я/2.
Для волновых функций, регулярных внутри сфероида и = и0, рассмотрения,
подобные проведенным в п. 16.1.1, показывают, что из непрерывности на
вырожденном сфероиде координатной системы (где точки и = 0, t> = t>1 ии = 0,
v = n—vt совпадают) вытекает условие: U (и) должно быть четной или не-
нечетной функцией от и в зависимости от того, является ли V (v) четной или
нечетной функцией от v ^-, т. е. что U (u) = V { iv—n" • )> мы будем на-
называть такие решения уравнения A6) модифицированными сфероидальными
волновыми функциями первого рода. Волновые функции во внешней области
сжатого сфероида определяются их поведением при и = оо, и эти функ-
функции приводят к модифицированным сфероидальным функциям третьего рода.
16.1.4. Эллипсоидальные координаты. Определим эллипсоидальные коор-
координаты а, р, у равенствами 15.1(8), где а > 6 > с > 0 и Сдается равенством
15.1F). Относительно описания координатных поверхностен и области изме-
изменения а, р, v см. п. 15.1.1. Мы видим из 15.1(9), что в эллипсоидальных
координатах а, р, у дифференциальное уравнение в частных производных
ДЦ7 -\-K2W=0 принимает вид
+ (a«—Ь*) ft%a [(snaJ—(sn P)*] [(sn P)a—(sn yJ] [(sn yJ—(snaJ] № = 0.
A8)
Если существуют нормальные решения этого уравнения вида
A9)
то функции А, В, С должны удовлетворять обыкновенным дифференциальным
уравнениям
d"A
2+ [Ai{snaJ + (a26«) fe%* (sna)*] A = 0, B0)
W2R
щг + [h-l {sn p)« + (ai-fti) ?зк* (sn p)*] B = 0, B1)
+ [h-l (sn yJ + (a«-62) *««« (sn yL] C = 0, B2)
где h и I—постоянные разделения. Эти три уравнения имеют одинаковый
вид н отличаются областью изменения независимых переменных. Уравнения
этого вида называются уравнениями эллипсоидальных волновых функций или
волновыми уравнениями Ламе. Решения этих уравнений, которые удовлетво-
удовлетворяют соответствующим граничным условиям, называются эллипсоидальными
волновыми функциями или волновыми функциями Ламе. При к = 0 эти урав-
уравнения сводятся к уравнению Ламе (гл. 15) и волновые функции Ламе сво-
сводятся к функциям Ламе.
Если W непрерывно и имеет непрерывные производные внутри или вне
эллипсоида и = и0, то на В и С должны быть наложены граничные условия,
установленные в п. 15.1.1. Эти граничные условия определяют собственные
значения h и / и соответствующие волновые функции Ламе первого рода.
Для волновых функций, регулярных внутри эллипсоида и = «0, граничное
условие на А совпадает с установленным в 15.1.1, так что А является вол-
волновой функцией Ламе первого рода. Для волновых функций, регулярных вне
эллипсоида, задается асимптотическое поведение на бесконечности, т. е.
вблизи a = tK' и А можно выразить как волновую функцию Ламе третьего
рода.

16.2. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ МАТЬЕ И ЕГО РЕШЕНИЕ 141
ФУНКЦИИ МАТЬЕ
16.2. Общее уравнение Матье я его решение
Мы будем рассматривать
™ + [A-20cosBz)]u=O A)
как стандартный вид уравнения Матье. Этот вид применялся Айнсом (Incej
1932 и другие работы) и многими другими авторами. Многие авторы приме-
применяют другие формы. Уиттекер и Ватсон A963, гл. XIX) полагают h=a,
0 = — 8q. Стреттон (Stretton; 1942) и др. полагают А = 6—^ с2, 40= с*.
Янке—Эмде—Лёш A964) полагают А=4а, 6 = 8<7, а в таблицах, составленных
National Bureau of Standards A951), положено h=b—s/2, 0=s/4. Айне
(Ince; 1923) изучал также уравнение
которое он называет присоединенным уравнением Матье.
Подстановка u = (s'mzI^2v преобразует это уравнение в
т. е. в дифференциальное уравнение сфероидальных волновых функций, по-
поэтому мы не б}дем здесь его изучать.
В этой главе мы будем рассматривать ft и 0 как заданные вещественные
или комплексные постоянные. Уравнение A) будет называться тогда общим
уравнением Матье в отличие от уравнения для функций Матье, в котором
задано лишь 6, в то время как h является одним из собственных значений.
Для краткости будем называть A) уравнением Матье,
При
x=(sinz)» B)
получаем
4*A-*H+2A-2*)^+(А-29 + 4в*)и=О C)
н будем называть это уравнение алгебраическим уравнением Матье. Эта
алгебраическая форма и связанные с ней уравнения были использованы в
исследованиях Линдемана, Стилтьеса и др. Алгебраическое уравнение Матье
имеет две регулярные особые точки при х = 0 и х=\, обе с показателями О
и 1/2 и одну иррегулярную особую точку на бесконечности. Из-за этой ирре-
иррегулярной особенности уравнение C) сравнительно трудно для изучения. Тем
не менее его можно использовать для вывода некоторых разложений решений
как в ряды по степеням л: и 1 —х, так и в ряды по гипергеометрическим функ-
функциям. Эго уравнение является предельным случаем уравнения Гойна (п. 15.3).
Уравнение Матье A) является дифференциальным уравнением с перио-
периодическими коэффициентами. Из общей теории таких уравнений (Айне, 1939,
стр. 513 и далее, Poole, 1936, стр. 178 и далее) вытекает, что уравнение A)
имеет решение вида
#*Р(г), D)
где Р(г)—периодическая функция с периодом я, и р—постоянная, называе-
называемая характеристическим показателем, которая зависит от А и в (теорема

142 гл. 16. функции матье
Флоке). Очевидно, что
е-^ р (_2) E)
также является решением уравнения A). Вообще, решения D) и E) линейно
независимы и образуют фундаментальную систему решений уравнения A).
Единственным исключением является случай, когда /ц — Целое число. Этот
случай, когда функции Матье периодичны, будет изучен в пп. 16.4—16.8.
Решения вида D) и E) иногда называют решениями первого рода. Дру-
Другими важными решениями уравнения Матье являются решения, обращаю-
обращающиеся в нуль, когда г—ноо или z—> —«оо; такие решения называются
решениями третьего рода.
Существует много методов для определения ц. Мы опишем здесь кратко
некоторые из них и отошлем читателя к работам Blanch A946) и гл. IV и
V книги Мак-Лахлана относительно дальнейших деталей и описания числен-
численных методов.
Пуанкаре основывает определение ц на двух решениях и, и «2 уравне-
уравнения A), определяемых начальными условиями
«i(P) = l, @) =0; иг@)=0, и'а@) = 1. F)
Эти два решения линейно независимы, их вронскиан равен единице и их (ut)
является четной (нечетной) функцией от г. Если Р @);?0, то имеем
2Рф)
а если <Р'@) + (аР@}??0, то имеем
lW~ 2[Р'@) + цР@)| '
По крайней мере одно из этих двух выражений имеет смысл. Продифферен-
Продифференцируем щ и положим г=»я в их и и'г Так как Р (±я) = Р @), Р' (±п) = Р' @),
получаем
и1(л) = к'а(я). G)
Из G) очевидно, что |л определяется с точностью до знака и целого крат-
кратного 21. Соотношение G) можно применить для вычисления ц, если ut (я)
или и'а (я) можно вычислить с достаточной точностью. (См. также п. 16.3.)
Хилл разлагает решение D) в ряд вида
Подстановка в A) приводит к рекуррентным соотношениям
-6cn_i+[A+((i+2ni)«] cn~Qcn+1^Q, n = 0, ±1, ±2, ... (9)
для коэффициентов с„. Мы записываем (9) в виде
ce+Y»(|*)(cB-i + c«+i) = 0, «=0, ±1, ±2, ..., A0)
где

16.2. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ МАТЬЕ И ЕГО РЕШЕНИЕ
Бесконечный определитель системы A0) имеет вид
143
=Д(ц), A2)
и ц определяется из уравнения Д(ц) = 0. Бесконечный определитель A2),
очевидно, абсолютно сходится и представляет мероморфную функцию от ц.
Эта функция имеет простые полюсы в точках ц= ±*(А1/2 + 2л), д = 0, ±1,
±2, ... Так как V«(f» + 2*0 = 7n+*(f*)< k Целое и уп(~ц) = 7_и (|х), то ясно,
что Д (ц) является четной периодической функцией с периодом 11. Таким
образом,
Q
—cos (яА1/2) A3)
является четной периодической мероморфной функцией от ц. Если С опре-
определено так, что A3) не имеет полюса при ц = «й1/3, то A3) нигде не имеет
полюсов и, следовательно, является постоянной. Так как Д (ц)—>!, когда
ц—»¦ оо, то значение постоянной равно единице. Для того чтобы опреде-
определить С, полагаем ц = 0 и получаем
ch([ui)—
Так как |Л определяется уравнением Д(|1) = 0, получаем
) = 1 + 2Д @) [sin (I А»/8 а I2.
A5)
Относительно дальнейших работ о бесконечном определителе, встретив-
встретившимся в связи с уравнением Матье и родственными дифференциальными
уравнениями, см. Magnus A953).
Если А и 9 — вещественные числа, то из G) или A5) видно, что ch (цл)
также вещественно. Если —1 < ch([ijt) < 1, то jx—чисто мнимое число, при-
причем (х/ не является целым и из D) и E) вытекает, что каждое решение
уравнения Матье ограничено на вещественной оси г. Областями устойчи-
устойчивости являются те области на (А, 6)-плоскости, в которых —1 < ch (цп) <1.
Если сп(|хзт) > 1, то (i можно выбрать вещественным (и отличным от нуля),
а если ch (pi) <—1, то вещественным (и отличным от нуля) можно выбрать
число ц. — i\ в любом случае из D) и E) видно, что уравнение Матье не
имеет ограниченных решений на вещественной оси. Области на (А, 6)-пло-
скости, в которых ch ((in) > 1 или ch (цп) <—1 будем называть областями
неустойчивости. Области устойчивости и неустойчивости разделяются кри-
кривыми, вдоль которых сп(цл)=±1. На этих кривых одно из решений урав-
уравнения Матье ограничено (и периодично), а общее решение неограничено:
относительно этого исключительного случая см. пп. 16.4—16.8. Относительно
карты устойчивости, показывающей области устойчивости и неустойчивости
на (А, 6)-плоскости см. Стретт A935, стр. 22), Мак-Лахлан A953, стр. 50, 51),
а также стр. XLIV, XLV в NBS таблицах. Относительно вычисления карты
устойчивости см. также Blanch A946), SchSfke A950).
Многие численные методы решения уравнения Матье при небольших
значениях % и 6 основаны на рекуррентных соотношениях (9) или некоторых

144 ГЛ. 16. ФУНКЦИИ МАТЬЕ
видоизменениях этих соотношений. Из (9) следует, что
с„ в — в Bга — /ц)-«
с«-1 А_Bп - <»»— ^ii 1 - А Bп -1» -г+в Bя - г» ~2 ^+1
с» сп
Повторно применяя это соотношение, как в л. 15.3, мы получаем сходя-
сходящуюся бесконечную непрерывную дробь /?„, так что
^ = #»((*)• A6)
С другой стороны, из (9) мы имеем также
п
Повторное применение этого соотношения приводит к
сп+1
где ?„((!.) снова является бесконечной непрерывной дробью. Для определен
ния и имеем уравнение
Io(H/?i(|x)=l, A8)
и при вычислении \i из соотношения A8) все отношения A6) и A7) получа-
получаются автома!ически, так что
«W=ee«i(rt**(t»)-J?«0*b л-1, 2, 3 A9)
e.a=ceL-i(v)t:MlV)-L.u{ii), л = 1,2,3, ... B0)
Из A6) и A7) следует
lira^»= lim 2??i=_JLt B1)
так что ряд (8) абсолютно и равномерно сходится в любой области, где е±|Г
ограничено, например, в любой горизонтальной полосе комплексной г-плос-
кости.
В области устойчивости ц = ф, где р вещественно, и если с0 выбрано
вещественным числом все с„ будут вещественны,. Из (8) мы получаем два
линейно независимых вещественных решения:
5с„сов[(р+2п)г], |]Св5т[(р + 2я)г]. B2)
— 00 — 00
В области неустойчивости либо |х либо \а—i вещественно. В обоих случаях
(8) является вещественным решением и два линейно независимых вещест-
вещественных решения даются формулами
2све«ч-2»ог( Jc»*1"*'*- B3)
— 00 — QD
Хотя (8) является наилучшим разложением в случае, когда г вещественно,
для комплексных значений г другие разложения дают быстрее сходящиеся
ряды. Эти разложения удобны для представления решений третьего рода.
Эрдейи (Erdelyi; 1942) положил
}, B4)

16.2. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ МАТЬЕ И ЕГО РЕШЕНИЕ М5
где р—произвольное фиксированное вещественное или комплексное число.
Непосредственное вычисление, использующее рекуррентные соотношения и
формулы дифференцирования для бесселевых функций, показывает, что
^Ь—геср, cos Bz)=-eq>v_2-v3(pv-ecpv+a. B5)
Отсюда вытекает, что
2 B6)
является формальным решением уравнения Матье при условии, что коэф-
коэффициенты сп удовлетворяют уравнению (9), т. е. совпадают с коэффициен-
коэффициентами сп из (8).
Из асимптотической формулы для функций Бесселя находим
ЦтФ2в-,>-2= Цт V^-V -4 2
Цт= Цт , =
«->•«> ft2 q>2B_,> л-»-ю п2ф2в_1>+21 9[cos(z—р)]*
Соотношения B1) и B7) показывают, что ряд B6) сходится при условии
| cos (г—Р) | > 1 и представляет в этом случае решение. Область сходимости
состоит из двух непересекающихся частей, одна из которых целиком лежит
в полуплоскости Im (г—Р) > 0, а другая — в полуплоскости lm (г—Р) < 0.
Из B4) мы видим, что ф, равно целой функции от г, умноженной на
[cos (г — P)]v. При изменении г на г + 2зт в полуплоскости Im (г—Р) > О,
cos (г—Р) описывает линию, охватывающею начало координат и пробегае-
пробегаемую по часовой стрелке. Отсюда следует, что в области сходимости в полу-
полуплоскости Im(z—р) > 0 ряд B6) представляет собой решение первого
рода E). Аналогичные рассмотрения показывают, чго в области сходимости
в полуплоскости 1т(г—Р) < 0 ряд B6) представляет решение D).
При р=0 и р = я/2 получаем частные формы ряда B6). Это соответст-
соответственно
(-1)" с„ /*,,_ ,v B9Va cos г), B8)
00
Ряд (8) является предельной формой B6), когда р—моо.
Заменим теперь в B4) /„ на НЦ\ / = 1, 2, и обозначим получающиеся
функции через гр<р. Так как функции Бесселя первого и третьего рода
удовлетворяют одним и тем же рекуррентным соотношениям и тем же самым
формулам дифференцирования, то
является формальным решением уравнения Матье, если коэффициенты с„ те
же, что и в (8). Исследование сходимости ряда C0) по признаку Даламбера
показывает, что он сходится, если |cos(z — Р) | > 1 и |cos(z + |3)|> 1. Это-
приводит к двум областям сходимости, расположенным в полуплоскостях
Im г > | Im p | и Imz < — | Im P |. В обеих этих областях ряд C0) представ-
представляет решение третьего рода, что можно установить, рассматривая асимптоти-
асимптотическое поведение этого ряда при г—>i<x> (см. Meixner, 1949). Если | Im p |
достаточно велико, точнее, если sh | Im р | > 1, то существует третья область

146 ГЛ. 16. ФУНКЦИИ МАТЬЕ
сходимости, содержащая всю вещественную ось г и расположенная в полосе
j Im г | < | Im P |. В этой области сходимости ряд C0) представляет решение
первого рода, а именно D) или E) в зависимости от того, положительно или
отрицательно Im C.
Разложения решений уравнения Матье в ряды по произведениям функ-
функций Бесселя были введены Зигером (Sieger; 1908) И Дуголлом (Dougall; 1916).
В этом случае полагаем
<Pv х W -«*V,+i (в1'**) /v (e^e -*) C1)
и получаем путем непосредственного вычисления
2eq>v> x cos Bz) = frpv_u-Bv+b)»<pv,x-e<p,+i,i;. C2)
Это соотношение показывает, что
2«W-,-'f C3)
— 00
является формальным решением уравнения Матье, если коэффициенты ряда
определены соотношением (9). Tax как
_1, ит *"'-'» =-*-»*, C4)
4 ф/
"-*« Фв, -ip. 4 п-*-« фл+1,-
то из B1) следует, что ряд C3) сходится во всей г-плоскости. Так как C3)
равно целой функции от г, умноженной на &г, то оно представляет решение
первого рода D).
Имеется много рядов по произведениям функций Бесселя, например,
2 с.й<Я ^ (9V») /_„ (в1/*-*), /=1,2. C5)
Другие ряды являются модификациями н комбинациями рядов C3) и C5).
См. также пп. 16.5 и 16.6.
16.3. Приближения, интегральные соотношения
и интегральные уравнения для решений общего уравнения Матье
Приближения для малых |6|. Если 6=0, то двумя (вырожденными)
решениями первого рода уравнения Матье 16.2A) являются exp (± ih 1*г),
так что в этом случае \i = ili!°-. Для малых значений |9| определитель
16.2A5) может быть вычислен в виде
так что уравнение 16.2A5) принимает вид
ch (|U() = cos ( ftv» я) + 2 ,;- sin ( h1'' n)+0 F*) B)
A—h) h
и может быть использовано для вычисления (*• В свою очередь функцию uit

16.3. соотношения для Решений общего уравнения матье 147
определяемую формулами 16.2 A) и 16.2 F), можно разложить в степенной
ряд по в
где
Z
JcosBi)sin
а тогда для вычисления характеристических показателей (г можно использо-
использовать 16.2 G). Если ц известно, то коэффициенты разложения 16.2 (8) можно
вычислить с помощью непрерывной дроби или разложить функцию Р (г) из
16.2D) по степеням 9, а члены разложения рекуррентно определить
нз 16 2A).
Относительно других методов приближения при малых I в I см. Уиттекер
И Ватсон A963, п. 19.7) или Стретт A935, стр. 24).
Асимптотические формы при больших |А|, |в|. Будем предполагать,
что как Л, так и 9 вещественны.
Если h > 2 | в |, то преобразование Лиувилля
<tt, T) = [ft-2ecosBz)]*V C)
преобразует уравнение Матье 16.2 A) в
где
[ft—26cosBz)P
Если Л велико, то т (Q мало по сравнению с единицей, а потому решение
уравнения D), соответствующее иъ аппроксимируется кратным eos?, и из
16.2G) получаем
А—»-ее, 2|8|<й—8, е>0. F)
Если h <—2 |6|, мы применяем несколько иное преобразование
г
?=f [—h+2dcosBt)]4'dt, »J = [— A+28cosBz)]"*и
о
и снова получаем (Р). Фактически формула F) справедлива для любых
комплексных значений h при условии 2|6|<|Л|—е, е > 0.
Если Лив вещественны и —29 < h < 29, то функция г (?), задаваемая
формулой E), уже не является ограниченной и для значений г, близких

148 ГЛ. 16. ФУНКЦИИ МАТЬЕ
к -jj-arccossrf ее нельзя отбрасывать. Поэтому интеграл в F) не будет ни
вещественным, ни мнимым. Стретт A935, стр. 34) показал, что в этом случае
ch (ця) =
= cosj Rej [A—26cosB<)]1/f dt> ch J Ini j [h—26cosBf)]Vs dt\ + О (h ~%l'),
h—«-co. G)
Детальное исследование решения уравнения Матье 16.2A) для больших
вещественных А, 6 н комплексных значений г проведено Лангером (Lan-
ger, 1934)
Асимптотические формы для больших значений |sinz|. Точка х = «>
является иррегулярной особенностью алгебраической формы 16.2C) уравне-
уравнения Матье Существуют формальные ряды вида
ехр(±2в1^12)^а„Х-1-я/=,
удовлетворяющие 16 2 (ч), они являются поднормальными решениями (Айис,
1939, п 17 53) Хотя эти ряды расходятся, из общей теории линейных диф-
дифференциальных уравнений следует, что при х—*¦ оо они асимптотически
представляют некоторые решения 16 2C).
Обращая преобразование 16 2 B), видим, что существуют формальные ряды
exp (± M1'. sin г) ?J ап (sin z)^"", (8)
удовлетворяющие уравнению Матье 16 2A),и существуют некоторые решения
уравнения Матье (решения третьего рода), которые при Im z—>¦ ± as асимп-
асимптотически представляются тем или иным из рядов (8) Любое решение урав-
уравнения Матье можно представить в виде линейной комбинации двух рядов (8),
но коэффициенты этих линейных комбинаций различны в различных верти-
вертикальных почосах 2-плоскости См также Dougall A916) и Уиттекер и Ват-
сон A963, п 19 8)
Относительно асимптотических разложений решения первого рода по
убывающим степеням е'г и sin г см Erdelyi A936, 1938) Асимптотическое
поведение решений уравнения Матье при Imz—»• ± оо может быть также
установлено при помощи рядов по бесселевым функциям, представляющих
различные решения. Необходимые общие теоремы были доказаны Мейксне-
ром (Meixner, 1949a).
Интегральные соотношения и интегральные уравнения Пусть N (г, ?,) —
ядро, удовлетворяющее дифференциальному уравнению в частных произ-
производных
^^, (9)
и пусть ь
Тогда, последовательно интегрируя по частям, устанавливаем, что
&
g+ [fc-26cosBz)]g= j|^+[A_20cosB01 #
Ш

16.3. СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЙ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ МАТЬЕ 149
Если ядро N и пределы интегрирования а и Ь выбраны так, что
bf'-*3tJc ' w
то из равенства A1) следует, что если f (z) является решением уравнения
Матье, то g(z) явпяется решением этого же уравнения.
Сличай ch((in)=±l, приводящий к периодическим функциям Матье,
будет изучен ниже (см. пп. 16 4, 16 8) В этом пункте мы будем предпола-
предполагать, что ch (р,я) 9= ± 1 и что два решения первого рода
A3)
линейно независимы. Мы знаем из (8), что при г —*¦ ±ico
«о (г) =Ci (sin г)-'1' ехр BЭ>/г sin г) [1 +0 (| sin г Г*)]+
+са (sin г)~4' ехр (—29V' sin z) [1+0 (jsin 2 Г1)], A4)
где постоянные ct и с2 могут изменяться, когда мы переходим из одной
вертикальной полосы в другую.
Почожим в A0) /(?)=и»(С) и
Л-(г, g) = exp[2e1/a(sin2siu^smp + /coszcos?cosP)], A5)
где р—фиксированное вещественное или комплексное число; тогда A5)
удовлетворяет уравнению (9) Асимптотическое поведение выражения
в квадратных скобках в формуле A2), когда 1га?—»¦ ± оо, может быть
изучено при помощи A4) и A5). Положим
arg{9'/»[cosB-p)-l]}=ce!!) \
)-l]}=ce!!) \
)-l]}=«4. j
аз, arg{ в1'* [cosB+p)
Оказывается, что если p = Re? удовлетворяет условиям
sin(p—ofJ<O, sin(p— a,)<0, A7)
то
^«o-iV^-^0, когда Img—юо,
а если p' = Re^ удовлетворяет условиям
sin(p'+a,)>0, sin(p'+«,)>0, A8)
то
1% щ~м Ж~*0> когда Ira^—*—<»•
Неравенства A7) совместны, если Im(z—Р) Ф 0, а неравенства A8) сов-
совместны, если Im(z-fP);=O Если р является одним из решений системы
неравенств A7), то при цепом п и р-|-2п.л также является решением этих
неравенств Анаюгичное утверждение верно для р'. Это исследование пока-
показывает, что пути интегрирования в A0) можно выбрать подобными путям,
встречающимся в интегральных представлениях Зоммерфельда для функций
Бесселя (см. п. 7 3 5)
Пусть р удовлетворяет неравенствам A7). Рассмотрим интеграл
*»- J

150 гл. 16. функции МАтьё
где путь интегрирования подобен пути С3 из п. 7.3.5. Тогда выполняется
условие A2) и g(z) является решением уравнения Матье, а потому имеет
вид
г(г) = С1и,(г) + С1н,(-г). A9)
При переходе от г к г+2я в полуплоскости Im (г—р) < 0 величины at
и а2, а следовательно, и р, увеличиваются на 2я:
g(z+2n)~Cie^Uo(z) + Cze-W*ua(-t)^ J N (г, Q uB Q ft. B0)
Заменяя в последнем интеграле ? на ?+2я, получаем
Он. (С + 2n)dt-ew«g (z). B1)
Сравнивая B0) и B1), убеждаемся, что С2 = 0. Следовательно, решение
первого рода удовлетворяет сингулярному интегральному уравнению
*«о(г). Im(z-p)<0. B2)
Тесная связь с интегральным представлением Зоммерфельда 7.3B3) для
функций Бесселя первого рода становится ясной, если положить в B2)
р = 0. При этом уравнение B2) принимает вид
p
щ B) = const \ ехр B»ev* cos z cos ?) и0 @ d?, 1ш z < 0, B3)
p + (os
Это интегральное уравнение можно использовать также для того, чтобы про-
прояснить связь между различными разложениями решений первого рода, дан-
данными в п. 16.2. Если подставить под знак интеграла в B3) вместо и0 выра-
выражение 16 2(8) и использовать затем соотношение 7.3B3), то получится
16.2B8). Точно так же 16.2B6) получается из B2). Таким образом, интерес-
интересный факт, что все разложения в п. 16.2 имеют одинаковые коэффициенты,
является прямым следствием интегрального уравнения, которому удовлетво-
удовлетворяет и с (г).
Вместо пути интегрирования типа С3 из п. 7.3.5 можно использовать
пути Сг и С2. Пусть р и р' удовлетворяют неравенствам A7) и A8). Рас-
Рассмотрим
р+1»
g(z)= J JV (г, С) «о @ dC. 1т(г±р)?4 0. B4)
p'-i»
Предположим сначала, что г находится в полосе [ Im г | < | Im p |. Когда г
увеличивается в этой полосе на 2я, то либо р и р' увеличиваются на 2я,
либо р и р' уменьшаются на 2я в зависимости от того, положительно или
отрицательно Im p\ Таким образом,
р + ('оо
Ьио(±г), | Im г |< | Im p [, B5)
является другим интегральным уравнением, которому удовлетворяет и0 (г).
Это уравнение приводит к разложениям вида 16.2C0) для решений первого

16.4. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ МАТЬЕ 151
рода в полосе 11га г | < | Im р | (см. также п. 16 2). С другой стороны, если
Im г > j Im р41 или Im г < —| Im § |, то при увеличении р на 2л либо р' уве-
увеличивается на 2я, а г уменьшается на 2зт, либо наоборот, р' уменьшается
на 2я, a z увеличивается на 2п. В этом случае путь интегрирования в B4)
меняет как свой вид, так и положение, и интеграл не представляет больше
решения первого рода. Из поведения N при Im г -*¦ оо следует, что
р+!ОО
«,(*) = J N(z,Z)ug&)<%, Imz>|Imp|, B6)
р'-(оз
экспоненциально убывает, когда Ira z —*¦ оо и, следовательно, является реше-
решением третьего рода. Интегральные соотношения этого вида между решениями
первого и третьего рода приводят к разложениям вида 16.2C0) для решений
третьего рода.
Существуют также сингулярные интегральные уравнения для решений
третьего рода, а также интегральные соотношения, выражающие решения
первого рода в виде интеграла, содержащего и3.
16.4. Периодические функции Матье
Если гц— целое число, то решение перзого рода 16 2D) периодично:
если цх — четное црлое число, то период равен л, а если гц— нечетное число,
то я является полупериодом (т. е ре пение меняет знак, когда г увеличи-
увеличивается на п.). В последнем случае период равен 2я Если не оговорено
противоположное, мы будем называть решение периодическим, если его основ-
основной период равен я или полупериод равен я. Периодические решения встре-
встречаются во многих приложениях уравнения Матье и мы посвятим пп. 16.4—¦
—16.8 изучению периодических функции Матье и соответствующих им реше-
решений второго и третьего рода
Кривые на вещественной (А, 8)-плоскости, вдоль которых i\x является
целым числом, будем называть характеристическими кривыми. Они разби-
разбивают (/г, 9)-плоскость на области устойчивости и неустойчивости (см п. 16.2).
Если задано 9, то значения А, при которых существуют периодические решения,
называются собственными значениями, а соответствующие периодические реше-
решения называются функциями Матье или же функциями Матье первого рода.
Не существует общепризнанных определений и обозначений для функций
Матье. Мы будем использовать обозначения Айнса (Ince; 1932), которые при-
применяют также Мак-Лахлан A953) и многие другие авторы Следует, однако,
отметить, что 1) многие старые авторы применяли нормализацию, отличную
от предложенной Гольдштейном и использованной Аинсом и Мак-Лахланом,
которой мы следуем здесь; 2) Стреттон (Stratton) и др A941), а также авторы
таблиц NBS использовали другие обозначения и другие нормализации. На
стр. 38 таблиц NBS дано детальное сравнение трех видов обозначений.
Мы будем считать в нашем исследовании, что 8 вещественно, так что и
собственные значения h и соответствущие им собственные функции веще-
вещественны. Случай комплексных параметров был изучен Струттс-м (Strutt; 1935,
1948)
Если и (г) является функцией Матье, то и
и. (-г), а(г)±и(-г)
также являются функциями Матье. Мы можем поэтому ограничиться изуче-
изучением функций Матье, являющихся четными или нечетными функциями от г.
Четную функцию Матье, имеющую п нулей на промежутке 0<г<я или
на любом полуоткрытом промежутке вещественной оси длины я мы обозна-

152 гл. 16. функции матье
чим через се„ (г, 0), а нечетную функцию Матье с теми же свойствами — через
seB (г, 6) Соответствующие собственные значения h будут обозначаться через
ап F) и Ь„ (б) соответственно. Часто мы будем писать просто се„ (г), sen (г),
Qn< t>n< опуская 6
Функции Maibe являются собственными функциями задачи Штурма—Лиу-
вилля для дифференциального уравнения
55 + [А-2всо8B»)]в = 0 О)
и граничных условий
и @) = и(я) =0 для sen (z,6), B)
Й(Щ=Ж(Я)=О для се«<2'е)- C)
Из общей теории Штурма—Лиувилля (см , например, Айне, 1939, гл X) сле-
следует, что для любого я = 1, 2, .. существует определенная с точностью до
постоянного множителя собственная функция seB (г, 0) и что для каждого
п = 0, 1, 2, . . существует определенная с точностью до постоянного множи-
множителя функция се„ (г, 9) Мы дополним определение функции Матье, выбрав
произвольный постоянный множитель так, чтобы выполнялись условия
се„ @, в) > 0, ^ [се„ (г, в)]» dz = я,
о
="(oe)>o
D)
Если е(г) означает либо се„(г), либо sen(z), то е(г) и е(п—г) удовлет-
удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению и одинаковым гра-
граничным условиям Поэтому эти функции отличаются друг от друга лишь
постоянным множителем Следовательно, e(z) является либо четной, либо
нечетной функцией от я'2—г и мы имеем следующие четыре случая:
и@)=ыDн=0, e=seajB+g(z), период я, E)
2я, G)
Для каждого т=0, 1, 2, ... существует в точности одна собственная функ-
функция для каждой из четырех граничных задач и т равно числу нулей в про-
промежутке 0 < г < я/2
Из E) —(8) мы получаем также
--?")=« ("if)=0 ДЛЯ > ^
H для

16.4. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ МАТЬЕ
153
и окончательно
и( —я) =
(ID
для всех функций Матье.
Испо1ьз\ я теорему сравнения для собственных значений задачи Штурма—
Лиувилля, получаем al<an+1 для C), bn<bn+1 для B), а2ин х <
<b2mt-2<a2m + ., Для (9) и а2ет < hm+i. < a2m+2 Для A0). Таким образом, мы
знаем взаимное расположение собственных значений, исключая взаимное рас-
расположение аа и Ьп Айне доказал, что если 9 5; 0, то аа ф Ьп, и установил
из таблиц, что если G < 0, то ап > Ьп Таким образом, мы имеем
A2)
До
0».
<«i <
<fti<<
*„-* <*
&1 < &2 <
3i < 62 <
з, когда
а2
а2
л
< а3 <
<63<
—*¦ GO .
: 63 *
: «з ¦¦
< ..., 9;
с..., е<
> 0
Относительна дальнейших исследований, оценок и асимптотических форм
для собственных значений см. Strutt A943).
Соотношения симметрии для указанных выше граничных условий даны
В табл. 12.
Таблица 12
Соотношения симметрии для функций Матье
e(z)
Се2/я+1
Se2/n + l
se2;n + 2
e(-z)
ce2m
се2ет + 1
se2m+i
se2m+2
е(я—2)
ce2m
"~ce2M+i
se2ffl+l
se2« + 2
е(я + 2)
ce2m
— ce2m+i
Se2/n + l
se2m + 2
Уравнение Матье остается инвариантным при преобразовании 9=—9',
! = я 2 — г'. Из E) — (8) и A4) следует, что
F), A3)
A4)
се2ет (г, -в) = (-1)»се2я (я'2-2,9), Ч
ce2m+iB, -e) = (-l)»se2e+1 (я/2-2,0). J
Так как функции Матье являются собственными функциями некоторой
задачи Штурма—Лиувилля, для них имеют место следующие соотношения

154
ГЛ. 16. ФУНКЦИИ МАТЬЕ
ортогональности:
Я/2
ceaft (z) ceim (г)
о
я/г
= j ce2S+1 (z) ce2m+1 (z) dz
о
я/а
seg|B+1(z)dz= J se4ft+2(z)se!!lB+2(z)dz=0,
k,m=O, 1,2, ... ,k^m,
се„ (z) ce, (z)dz = ^ sen+1 (z) se,+1 (z) dz =
0 0
an
, n = 0, 1, 2, ...,1фп,
rfz = O, Л п = 0, 1, 2, ...
A5)
A6)
A7)
Если /р, является рациональным числом, то 16.2D) и 16 2E)—периоди-
2E)—периодические решения уравнения Матье, период которых кратен я. Такие решения
иногда называют функциями Матье дробного порядка (см. Мак-Лахлан, 1953,
гл. IV). Свойства ортогональности для таких решений были получены Шефке
(Schafke; 1953).
Интегральные уравнения для функций Матье могут быть получены из
результатов п. 16.3. Если /[—любая периодическая функция Матье и
Ь = а-\-2п, N — периодическое по Z, решение уравнения 16.3(9), то выполняется
условие 16.3A2), и 16.3A0) является решением уравнения Матье. Если N
является также периодической функцией от г, то 16.3A0) является периоди-
периодическим решением A) и, следовательно, кратно функции Матье. В качестве
ядра можно выбрать 16.3A5) при произвольном значении р или при частных
значениях р, комбинации ядер 13.3A5), частные производные этих ядер по р
Интегральные уравнения для функций Матье
Таблица 13
а
0
0
0
0
0
0
"Ь
Л
л
я/2
я/2
я/2
я/2
. N(z,0
ехр B»е1/2 cos z cos % cosp1) ch B61/a sin z sin ? sin p)
exp B<e1/a cos 2 cos ? cos P) sh B61/4 sin z sin % sin §)
cos (гв*/* cos z cos? cos p) ch B6l/a sin z sin ? sin P)
sin Bв1/а cos z cos? cos P) ch B9I/2 sin z sin ? sin P)
cos Bв1/а cos z cos? cos 0) sh Bв1/2 sin z sin ? sin P)
sin Bв1/а cos z cos? cos P) sh {^dll% sin z sin ? sin P)
e(z)
се„(*)
sen+1(z)
ce2JB (z)
ce2«+i(z)
se2«+i (z)
se2«+aW

16.5. РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ МАТЬЕ И ФУНКЦИЙ ВТОРОГО РОДА 155
и тому подобное. Промежуток можно привести, используя соотношения сим-
симметрии для функций Матье. В табл. 13 перечислены промежуткн и ядра глав-
главных интегральных уравнений вида
1еB) A8)
для функции Матье. Другие ядра могут быть получены путем придания спе-
специальных значений р (если р=зО или р = п/2, то надо предварительно раз
делить ядро на sin C или cos p), или путем интегрирования по р\ Таким путем
могут быть получены ядра, содержащие функции Бесселя (Erdelyi, 1942a,
Мак-Лахлан, 1953, гл. X).
16.5. Разложения функций Матье и функций.второго рода
Из периодичности функций Матье и указанных в табл. 12 свойств сим-
симметрии этих функций вытекает, что эти функции можно разложить в ряды
Фурье следующего вида:
сеа/я B, в) = 2 Av cos Bг2
/¦=о
B)
зеаи+1 (z, в) = 2 Bv+i «n lBr +1) *], C)
(г, в)= 2 B*r+* sin
Это—формы, к которым сводится 16.2(8) при целых значениях i\i. Если это
окажется необходимым, мы будем указывать порядок функции Матье и зна-
значение в и писать A\f @) вместо Агг и т. д.
Подставляя разложения A) —D) в уравнение Матье 16.4A), получаем
следующие рекуррентные соотношения для определения коэффициентов
hA0-QA2 = 0, л
Аг—0BЛ„—Ад~0, > E)
*^««.+ i(W. '=1,2 /
(А+0-1)В1-вВ3=О, ^
\ G)
a«+iF), /- = 1,2,..., )
(А-4)Ва-6В4 = 0, -j
(8)

156 ГЛ. 16. ФУНКЦИИ МАТЬЕ
Как и в случае 15.3A3), каждое из рекуррентных соотношений приводит
к выражению отношения двух последовательных коэффициентов в виде бес-
бесконечной непрерывной дроби, содержащей Л, а подстановка в первое уравне-
уравнение каждой из систем E) —(8) приводит к трансцендентному уравнению для А,
которое можно использовать для определения собственных значений. В случае
E), например, трансцендентное уравнение для h имеет вид
h
4
4 jA е*/576
16 h
36~""
Если h определено, то мы знаем отношение последовательных коэффициентов.
Для определения самих этих коэффициентов надо дополнить E)—(8) соотно-
соотношениями
г=о
2Л
2 [*»]• = !. (9)
2г+1>0, ijMir+d1»!. (Ю)
>0, 2
/-=0
2
Г=0 Г=0
вытекающими из 16.4D). Относительно более детального описания вычислений
см. Ince A932), Blanch A946) и Мак-Лахлан A953). Относительно списка чис-
числовых таблиц см. Bickley A945), а список литературы дан в таблицах NBS
A951).
Из бесконечных непрерывных дробей следует
Шп :!ф^= llm ^*±*= lim ^?±1= Um ^?±1=6 , A3)
так что ряды A) —D) сходятся во всей комплексной плоскости.
Разложения функций Матье в ряды функций Бесселя могут быть полу-
получены нз 16.2B6), B8), B9), если положить гц = О, 1 и использовать симмет-
симметрию функций Матье, или же из интегральных уравнений, указанных в табл. 13,
путем подстановки под знаком интеграла разложений Фурье A) — (!). Сле-
Следующие разложения вытекают из интегральных уравнений, если использовать
предельные формы ядер при р = 0, р = я/2:
е) 2 (~1)Г AirIir ^Чг sin 2^
2

16.5. разложения Функций матье и функций второго рода 157
' -*«. - V д / 1\Г /O_ I i\ Л г Inul/S .:— _Л (\Ъ\
A6)
seam+aB,e)=--
Г=0
В этих формулах положено е' = -р. Постоянный множитель X, в 16.4A8) в каж-
каждом случае определяется путем подстановки 2 — 0 или 2 = я/2 в само разло-
разложение или результат его почленного дифференцирования. Бесконечные ряды
по функциям Бесселя сходятся при всех значениях г.
Имеется значительное число разложений функций Матье по произведениям
функций Бесселя вида 16.2C3), C5). Наиболее важными среди них являются
г, е)=-2&а ? (-1)' А^т(в1^'*) /Г{&'Ч~1% A8)
X[Jr (№*) Jr+1 (в1/2е-'г) + /r+1 (I^V*) /r @1/2е-'г)], A9)
Х[/г (в1'1***) Jr+1 (81^е-'г)-/г+1 (в1'»*") /, (в^е-'"')], B0)
iz) jr+i (в1/**'*)—/r+i (в1/ае") Уг (в1/4е~'*I- B1)
Множители рп и sn были определены Мак-Лахланом A953, стр. 438 и
далее), который сравнил асимптотические формы обеих частей разложений

158 ГЛ. 16. ФУНКЦИИ МЛТЬЕ
A8) — B1). С помощью результатов п. 16.7 получаем
@) *,.+ !(-"* ^
eBjM+«.,.+1-ie;m+> @) se;m+a (я/2).
am+a'
Ряды A8) —B1) сходятся при всех значениях 2. Эти ряды и разложения
в ряды по произведениям функций Бесселя могут быть получены с помощью
интегральных уравнений, ядра Которых содержат функции Бесселя (Мак-Лах-
лан, 1953, стр. 216 и далее).
Айне доказал (см., например, Мак Лахлан, 1953, гл. VII), что при 0^0
общее решение уравнения Матье никогда не является периодическим. Таким
образом, если е(г)—любая функция Матье первого рода, то второе решение
уравнения Матье непериодично Так как функции Матье второго рода менее
важны, мы не будем останавливаться на деталях, касающихся этих функций,
и отошлем читателя к книге Мак-Лахлана или к аналогичным работам, свя-
связанным с модифицированным уравнением Матье, см п. 16 6.
Есть много путей для построения функций Матье второго рода. Вырож-
Вырожденная форма теоремы Флоке устанавливает, что в случае, когда щ—целое
число и е(г)—соответствующая функция Матье первого рода, второе решение
можно искать в виде ze(z) + /(z). Здесь / (г) — периодическая функция, кото-
которая разлагается в ряд Фурье по синусам, если е (г) разлагается в ряд по
косинусам и обратно. Другой метод основан на интегральных соотношениях
вида 16.3B6). Простейший и зачастую наиболее эффективный метод основан
на том замечании, что ряды по функциям Бесселя, данные в этом пункте,
остаются формальными решениями уравнения Матье, если заменить функции
Бесселя первого рода функциями Бесселя второго или третьего родов. Полу-
Получающиеся таким путем из A4) — A7) ряды сходятся, если |cosz|>l или
| sin г | > 1 соответственно, и неудобны для вычисления функций Матье вто-
второго и третьего рода при вещественных 2. С другой стороны, ряды по произ-
произведениям функций Бесселя, в которых один множитель является функцией
Бесселя первого рода, а второй множитель—ф^нкциеи Бесселя второго или
третьего рода, такие, как 16 2C5), сходятся для всех значении г. Эти ряды
весьма удобны для вычислений.
§ 16.6. Модифицированные функции Матье
Дифференциальное уравнение
g = 0 - A)
называют модифицированным уравнением Матье; оно отличается от уравне-
уравнения 16 2A) лишь тем, что г заменено в нем на 1г. Соответственно результаты
пп 16 2 и 16.3 применяются, с небольшими изменениями, к этому уравне-
уравнению. Часто уравнение A) появляется в связи с уравнением Матье, когда ft
принимает одно из собственных значений а„ или Ьп. Мы ограничимся этим
случаем.

16.6. МОДИФИЦИРОВАННЫЕ ФУНКЦИИ МАТЬЕ 16*9
Модифицированные функции Матье первого рода определяются форму-
формулами
г, в), А=а„(в), \
Sen (г, в) = -I вв„ (iz, в), h
= Ьп (9). j
Разложения модифицированных функций Матье в ряды Фурье, ряды по бес-
бесселевым функциям и в ряды по произведениям бесселевых функций вытекают
из результатов п. 16.5 и перечислены в книге Мак-Лахлана A953, пп. 2 30,
2.31, гл. VIII и XIII).
Модифицированные функции Матье второго рода получаются путем замены
в 16.5A1) — A7) функций Бесселя первого рода функциями Бесселя второго
рода. Аналогично функции Бесселя третьего рода входят в определение моди-
модифицированных функций Матье третьего рода. Мак-Лахлан использует следую-
'щие обозначения. Он обозначает через Fe ф\нкции, соответствующие Се, а
через Ge функции, соответствующие Se, и добавляет букву у для функций
второго рода и букву к для функций третьего ро^а.
Модифицированные функции Матье второго рода:
Fey2m+l(Z( e) = -
00
E <-
D)
GeyajB+1B, 6) =
(S)

ГЛ. 16. ФУНКЦИИ МАТЬЕ
i(z, в) =
2
0)
cth z L B^+2) Blr+,rtt.+l B8^ sh 2) =
a rs=o
CD
I). F)
В каждой из этих четырех групп разложений первый ряд сходится, если
I ch z | > 1, а второй—если | sh z | > 1, третий—для всех значений z. В пер-
первых лв) х рядах мы предполагаем также Re г > 0.
Имеется много модифицированных: функций Матье третьего рода.
Функции, получающиеся п\тем замены в рядах для Feyn и Geyn функций
Г, на H\J\ i = l, 2, обозначаются обычно через Ме(„;) и Ne*/>, ; = 1, 2. Функ-
Функции, получаемые путем замены Y2r(a) на ( — l/n'1 Kir( — iw), a Yar+1(w)
на (— 1 )гэх—1 K2r+i(—iw), в первых двух рядах, представляющих Feyre и
Сеу„, обозначаются соответственно Fekn и Gekn. Так как из 7.2E) и 7.2A7)
следует, что
то различные модифицированные функции Матье получаются из соотношений
, (л 9Fek (у (ft
} 2W + H (?)
gm + i^. 6)=-2Gek2m+a(z, 6),
(z, e)=-2«Gekam+2(z,e).
Относительно разложений различных модифицированных функций Матье
третьего рода см Млс-Лвхлан A953, пп 8 14, 8.30, 13 30, 13 40).
Асимптотическое поведение модифицированных ф\нкций Матье при z-»- oo
может быть выредено из их разложении в ряды по функциям Бесселя или
в ряды по произведениям ф^нкцчп Бесселя (см. п. 16 7).
Существует много интегральных соотношений между функциями Матье
и модифицированными функциями Матье, а также между различными моди-
фицирсанными функциями Матье. Если Л'(г, ?) является ядром на проме-
промежутке (а, Ь), таким, как в 16.4A8), то
отличается лишь постоянным множителем от модифицированной функции
Матье первого рода Интегральные соотношения, возникающие нз предельных
случаев р = 0, р = я/2 ядер в табл. 13 п. 16.4, перечислены в книге Мак-Лах-
лана A953, п. 10 20).

16.6. МОДИФИЦИРОВАННЫЕ ФУНКЦИИ МАТЬЕ 161
Пусть 6 > 0, z > 0. Тогда сходятся интегралы
zch?)Cen(?) 6) d?,
о
09
sh z sh I exp BF1/2 ch z ch ?) Sen+1 (?, 6) dt,.
Если подставить вместо модифицированных функций Матье первого рода
их разложения в ряды Фурье и вычислить получающиеся интегралы с по-
помощью формулы 7.12B1), то получаем следующие интегральные соотношения:
пА1т?екш{г, 6) =
= се»ш (я/2, 6) J ехр BЮ1* ch z ch ?) Ce2m ft, 6) d?, 6 > 0, г > 0, (8)
о
z, 9) =
л/2, 6)
о
6 > 0, г > 0, (9)
, 6) =
со
Jshzsh?expB«e1/8chzchC)Se2m+1(^ 9) dg,
о
е > о, z > о, (Ю)
;, 9) =
-2«е-1/2 se;m+a (я/2, 9) J sh z sh ? ехр B/е1'2 ch z ch ?) Seam+a ft, 9) dt,
e > o, z > o. (ii)
Отделим в соотношениях (8) — A1) вещественную и мнимую части с помощью
равенства G). Мы получим тогда следующую группу интегральных соотно-
соотношений:
00
= -2се2т (я/2, 9) J cos B91/2 ch г ch ?) Ce2m ft, 9) dj, в > 0, z > 0, A2)
=2e-1/2ce'2m+1 (я/2, 9) J sin B91/2 ch zch Q Ce2m+1 E, 6) d?,
e>o, z>o, A3)
6 Г. Бейтмен, А. Эрдейи

ГЛ. 16. ФУНКЦИИ МАТЬВ
to
9) ^ sh z sh ?cos Bв1/* ch zch ?)Se2OT+1 E, 0) d?,
о
6>0, z>0, A4)
*2т+* Geytm+t (г, в) =
= -4e/a se;m+a (л/2, 0) J sh z sh ?sin B01/8 ch zch %) Se2m+2 (?, 0) dt,,
о
e>o, z>o, A5)
а также интегральные уравнения
*. в)-
00
2се2я| (z, в) Jsin Bв1/2 ch z ch t) Ce2m (J, 9) d?, 0 > 0, z > 0, A6)
, 9) $cosB61/achzchS)Ce2m+1(t,
о
9 > 0, z > 0, A7)
nSjm+1Se2m+1(z, 9) =
«
2, 9)Jshzsh^sinBe1/2chzch?)Se2m+1(?, 9)d?,
9 > 0, z > 0, A8)
z, 6) =
IB
= -4e-l/ase'2m+8 (я/2, 9) J sh z sh fc cos B81'2 ch z ch ?)Se2ffl+2 E,9) dS.
e2m+8
о
0 > 0, z > 0. A9)
Относительно интегральных соотношений при отрицательном в см Мак-Лах-
лан A953, гл. X). Ошосительно интегральных соотношений с ядрчми, содер-
содержащими функции Бесселя, см. Мак-Лахлан A953, гл. X) и Meixner A951a).
Мейксиер (Meixner; 1951a) вычислил также некоторые интегралы, содер-
содержащие произведения функций Матье.
16.7. Приближения и асимптотические формы
Приближения при малых |6|. Если 6 = 0, то уравнение Матье сводится
к дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами, и мы
имеем
bn(O) = na, \
ceo(z, 0) = 2~12, се„(г, 0) = cos(пг), seB(z, 0) = sin(nz), л = 1, 2, ... /

16.7. ПРИБЛИЖЕНИЯ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМЫ 163
Отправляясь от соотношений A), можно разложить собственные значения
я собственные функции по степеням в. Стретт A935, стр. 42) доказал, что
в»(в) = ««+О(|в|»). ^,(в) = п»+О(|в|»), 6^0. B)
Отсюда видно, что характеристические кривые, соответствующие се„ и seB.
имеют в точке /t = n2, 6 = 0 касание порядка п — 1 Точка ft=n2, 6 = 0
является единственной общей точкой этих двух характеристических кривых.
Стретт A935, стр. 38 и далее) дал также разложение для а„(9) до б6 для
се„ (г, 9)/AjJ до Й4 и для некоторых коэффициентов А?/А% до 94 или б6.
Числовые границы для О-члена в B) получены Вайнштейном (Weinstein; 1935).
Асимптотические формы при больших значениях \г\. Асимптотическое
поведение функций Матье при Im г —>- оо нли модифицированных функций
Матье при Re г —>- оо можно вывести из разложений по функциям Бесселя
с помощью доказанной Мейкснером (Meixner; 1949a) общей теоремы. Она
устанавливает при некоторых условиях, что можно получить асимптотические
разложения рядов, подобных 16 6C), путем подстановки в эти ряды асимпто-
асимптотических разложений функций Бесселя.
Для того чтобы получить главный член асимптотических разложений
модифицированных функций Матье при Re?—>¦ оо, заметим, что
в силу 7.13C)
~-|^я— ^ п\ -~
Rez—s-оо, — я<1тг<я.
Подставляя это в 16.5A4), получаем
Сегя,(г, в)=сеат((г, 9)~
С другой стороны, применяя 16.5A8) и замечая, что при больших значениях
Re г первый член ряда доминирует над остальными, имеем
Се2яг(г, 9) = ce2lB(/z, 9) ~/>8|В(я/2Г1/29-1'4 e-r/1cos(e1/fe*— я/4).
Сравнивая последние два равенства, получаем первое соотношение 16.5B2),
остальные могут быть проверены аналогично. Для того чтобы получить
асимптотические формы модифицированных функций Матье второго рода
из 16 6C)—F), применим вместо 7.13C) формулу 7.13D), что сводится
к замене
2 хп 4j ш вш^в с 2 X
Этим путем получаются следующие результаты:
Се8Я1 (z, 9) ~ pia (я/2)'9 в"»/4 е~г'* cos(81 ^-я/4),
Се21Я+1 (z, 9) ~ pim+1 (я/2)-1/» в'4 е~г'9 со8(91'2ег-Зя/4),
Se2m+1 (г, 9) ~ sim+t (я/2)'» в/4 е"г^ cos (в^в'-Зя/»), C)
Re г—»-оо, — я <-g-arge+Imz < я,

164
ГЛ. 16. ФУНКЦИИ.МАТЬЕ
(г, 9) ~ рш (я/2)-1/8 в'* «-•.'¦ sin
Gey2)B+1 (z, 9) ~
Gey2ra+i(z, 8)~
e~zli sin F1 V—л/4),
Rez
оо, — я< Y
я.
Асимптотические ряды по убывающим степеням е* или chz могут быть
получены из модифицированного уравнения Матье 16.6A) (см. Мак-Лахлан
A953, гл. XI)).
Асимптотические формы при больших значениях | 0 |. Асимптотическое
поведение функций Матье и собственных значений h при больших вещест-
вещественных значениях 0 было изучено Джеффрисом, Гольдштейноч и Айнсом.
Результаты этих исследований и ссылки на литературу приведены у Стретта
A935, стр. 42 и далее) и Мак-Лахлана A953, пп. 11.40—11.44).
Основными результатами являются:
се,, (г, 9) ~ С„ (cosz)"" { [cos2"+1 (г/2+я/4)] ехр B91'2 sin z) +
-|-[sin2n+1 (г/2+я/4)] ехр (— 291'2 sin z) },
$е„+1(г, 9)~Sn+1 cos-B-1z{[cos2"+1(z/2+n/4)]expB61'2 sinz)-
—[sin2"*1 [г/2+я/4)] ехр (— 261/a sin z) } ,
— я/2<г<я/2, 9—i-oo,
Се„(г, 9)~
/-C^1'2"" (ch г)"J/a cos[2B1'2 sh z—Bn+1) arctg (th z/2)],
Se«+iB> e)~
~ SB+121/2~" (ch z)'2 sin [2B1'11 sh z—Bn+1) arctg (th z/2)],
z > 0, 9—»-oo.
При больших значениях г сравнение G) и C) приводит к
G)
(8)
где /п = [«/2], т. е. п=2т или n=2m-j-l в зависимости от того, четно
или нечетно п.
Лангер (Langer; 1934) изучил асимптотическое поведение функций Матье
при больших вещественных значениях 6, в то время как г может быть
комплексным числом.
Равенство F) описывает поведение функций Матье, когда — 1 < cos? < I,
и G), когда cosz> 1 Обе формулы теряют силу вблизи значений г, для
которых cosz=l. Для того чтобы получить формулы, справедливые в об-
областях, содержащих эту точку, Мейкснер (Meixner, 1948) и Сипе (Sips; 1949)
разложили функции Матье в ряды по функциям параболического цилиндра.
Эти разложения имеют вид
«
се„ (г, 9) = 2 аг*>г
(9)
— . I
seB+1(jz, 8) = sinz

16.8. РЯДЫ, ИНТЕГРАЛЫ, ЗАДАЧИ РАЗЛОЖЕНИЯ 165
где г пробегает четные или нечетные целые числа в зависимости от того,
четно или нечетно п, а аг и $г удовлетворяют рекуррентным соотношениям,
содержащим пять членов Если 6 велико, то доминирующий член разложений
(9) соответствует значению г = п, и мы получаем
cen(z, e)~a,,DnB81/2cosz), \
sen+1(z, e)~pnsinzDnB61/2cosz)( 9-*оо. J (Ш)
Коэффициенты а„ и рч можно определить, положив z = jt/2 (если необхо-
необходимо, то после дифференцирования) и использовав значения Dv@), D'v @),
полученные в 8.2D).
16.8. Ряды, интегралы, задачи разложения
Многие из известных бесконечных рядов, содержащих функции Матье,
можно интерпретировать как суперпозиции решений волнового уравнения.
Как и в п. 16.1.1, обозначим через х, у декартовы координаты, через и,
v—эллиптические координаты и через р, ф—полярные координаты, так что
x+iy = ccb(u+iv) = peb. A)
Типичными решениями двумерного волнового уравнения
в эллиптических координатах являются U(u)V(v), где V—функция Матье,
U—присоединенная функция Матье и
( 1 \а
6= (Т«] C)
в уравнении Матье. Типичными решениями в полярных координатах
являются
ZvMe4
где Zv—функция Бесселя порядка v. Замечание, что эллиптические цилиндри-
цилиндрические волны могут быть получены путем суперпозиции (круговых) цилиндри-
цилиндрических волн и обратно, приводит к большому числу важных бесконечных
рядов. Эллиптические цилиндрические волны могут быть аналогичным путем
связаны с плоскими волнами.
Рассмотрим
W = 2 (- VTA \? Ф)Н(» (icp) cos Bлр). / = 1,2, D)
как функцию от и и v и вспомним, что из A) следует
Таким образом, D) является разложением вида 16.2C0) и при вещественных
и к v (или, более общо, при | Im v | < | Re и | и фиксированном и сумма
этого разложения кратна сс2ш (у, 6). Так как
W = U(u)ce2n(v, 6),
то из 16.1.1 следует, что U (и) является присоединенной функцией Матье.
Асимптотическое поведение ряда D), когда и —*- оо и, следовательно, р —*¦ °°.

166 ГЛ. 16. ФУНКЦИИ МАТЬЕ
показывает, что U (и) должно быть присоединенной функцией Матье третьего
рода, а именно
. W = const Ме<Д(«, 6)ce2ffl(y, 6), /=1, 2.
Чтобы определить постоянный множитель, надо перейти к пределу при
и —^ со, р —>¦ оо, использовать формулы 7.13A), B) в левой части и 16.7C), D)
в правой части. Это вычисление и аналогичные вычисления для ce2m+v
se2m+1, se2B!+2 приводят к следующим разложениям, где для краткости
в обозначениях функций Матье и в коэффициентах опущено переменное 0,
(и) ce2m (v) =Pim |] (- YfA™ Hfr (кр) cos BгФ), 1
F)
lsin["~
№(Д+г (и) se2m+2 (о) =- sam+2 2 (- Dr5r+V Я<гг+г(кР)8'п К*+ 2) Ф],
г-а
/ = 1, 2.
Здесь р и s имеют тот же смысл, что и в 16.5B2).
При а = 0 и у = л/2 разложения F) сводятся к 16 5A4) — A7), а при
и—*¦ оо F) сводятся к 16.5A) — D), так что многие важные разложения
функций Матье являются частными или предельными случаями разло-
разложений F).
Мейкснер (Meixner; 1949a, см. также Schafke, 1953) обобщил разложе-
разложение F) в двух направлениях. Он использовал систему полярных координат,
полюс которой не совпадает с центром конфокального семейства эллипсов
и гипербол, и разложил произведение U (и) У (и), где V (v) — решение первого
родя общего уравнения Матье (т. е. с произвольно заданными h и 9), a U (и) —¦
решение третьего рода соответствующего модифицированного уравнения.
Его разложения имеют вид
U(u)V(v)~ 2 ^({^(кр)^-<»'?,
г— - ю
где
кр = 2 {9 [ch (u + iv)—a] [ch (и — it))— a] }l/a,
ch (и — iv)— a '
и |i —характеристический показатель общего уравнения Матье. Коэффи-
Коэффициенты dr представлены в статье Мейкснера в виде
где сп—встречающиеся в 16.2(8) коэффициенты и V (г) — решение общего
уравнения Матье, представляемое формулой 16.2(8).
Представление эллиптических цилиндрических волн как суперпозиции
плоских волн чаще приводит к интегралам, чем к рядам. Рассмотрим
W=\ exp[«K(A;cosa+i/sina)]ce4(a, 6)da G)

16.8. РЯДЫ, ИНТЕГРАЛЫ, ЗАДАЧИ РАЗЛОЖЕНИЯ 167
как функцию от и и о. Мы видим из табл. 13 п. 16.4, что W при фиксиро-
фиксированном и является кратным от се„(и), а при фиксированном v~ кратно
Се„(и). Таким образом,
W = const Се„ (ы) се„ (к).
Постоянный множитель можно найти, положив х=(/=0, т. е. и = 0, о = я/2
в функциях W или dW/dv в зависимости от того, четно или нечетно п.
Проводя аналогичную процедуру с sen+1 и используя соотношения сим-
симметрии из табл. 12 п. 16.4, получаем
Ce2ra(u)ce2m(t>) =
Я/2
= 2п~1р1т V cos (кх cos a) cos (ку sin а) сеая,(а)йх,
о
Я/2
2я~1/>м»+1 \ sin(Kxcosa)cos(Kj/sina)ce,,n+1(a) da,
о
t/»
5
n/i
\ sin(K^cosa)sin(/c(/sina)se2ra+8(a)(iz,
(8)
где х и у даны формулами 16.1A), 8—формулой C), а р и s—форму-
s—формулами 16.5B2).
Аналогичные интегралы, использующие функции Весселя вместо триго-
тригонометрических функций, даны Сипсом (Sips; 1953, 1954).
Обращение пол\ченных выше соотношений приводит к суммам беско-
бесконечных рядов произведений функций Матье. Равенства (8) можно рассматри-
рассматривать как выражения коэффициентов Фурье в разложениях функций
™° (xxcosa) ™? (к
в ряды по функциям Матье. Это приводит к следующим разложениям:
со
cos (кх cos a) cos (ку sin a)=2 2 Рът^т (a) ^а* («) ^гт (f).
sin (кдг cos a) cos (ед sin a) = 2 2 <
cos(kx cosa) sin (Ky sina) = 2 2 s~^+ 1жгт+ ^ (a) Se»OT+1 (a)
m=o
CD
sin (icxcosa) sin (xysina) = — 22 s^+isetm+t(a)Seam+a(u)se%m+1(v)
(9)

168 гл. 16. функции матье
Здесь снова х, у, к, с и и, v, 6 связаны, как в 16.1A) и 16.8C). Кроме
того, здесь в обозначениях функции Матье опущено 0, а о и s заданы
формулами 16.5B2). Из разложений (9) можно получить большое число
новых разложений путем дифференцирования по параметрам а, а или v и
выбора частных значений для некоторых из этих параметров. Некоторые
из этих разложений перечислены в книге Мак-Лахлана A953, пп. 10.60,
10.6П.
Обращение разложений F) приводит к разложениям функций
в ряды по произведениям функций Матье и присоединенных функций Матье
(см., например, Sips, 1953, 1954). Этот результат можно интерпретировать
как получение круговых цилиндрических волн путем суперпозиции эллип-
эллиптических цилиндрических волн. Сипе получил также разложения, содержа-
содержащие произведение четырех функций Матье. Эти разложения связаны со
сличаем, когда ось кругового цилиндра отличается от оси эллиптического
цилиндра. Обобщение на разложения, содержащие произведение решений
общего уравнения Матье, дано Шефке (Schafke; 1953).
Наконец, порождение эллиптических цилиндрических волн путем супер-
суперпозиции др}гих эллиптических цилиндрических волн приводит к так назы-
называемой теореме сложения для функций Матье (Schafke, 1953).
Несколько иной тип бесконечных рядов, составленных из функций
Матье и произведений функций Матье, был изучен Айнсом (Ince; 1939). Исполь-
Используя частные случаи разложений (9) и разложений, получаемых диф-
дифференцированием (9), он разложил—а"+1 ^ ¦'¦ в ряды вида 2агсеаг (z) и Дал
много других разложений, содержащих функции Матье и их производные
в комбинации с тригонометрическими функциями. При 6=0 разложения
Айнса сводятся к теоремам сложения и формулам дифференцирования для
тригонометрических функций и другим тригонометрическим тождествам.
Относительно интегральных соотношений, с тригонометрическими
ядрами см. пп. 16.4, 16.6 и (8), а также Мак-Лахлан A953, гл. X, XIV).
Интегралы, содержащие функции Бесселя, даны в книгах: Мак-Лахлан
A953, гл. X), Sips A949), Meixner A951), Schafke A953). Последний из этих
авторов вычислил интеграл от произведения трех функций Матье. Как
Мейкснер, так и Шефке распространили свои результаты на решения общего
уравнения Матье.
Свойства ортогональности функций Матье указаны в 16.4A5)—A7).
Из общей теории уравнений Штурма—Лиувилля следует, что каждая из
четырех систем функций
{сеага}, {ce2jB+1}, {se2OT+1}, {se9m+8}
полна на промежутке @, я/2), каждая из двух систем {се„}, {sen+x} полна
на @, я), а система { се„, sen+1} полна на @, 2л), где т, п=6, 1, 2, ...
Любая функция, которую можно разложить в ряд Фурье, может быть
также разложена в ряд по функциям Матье. Коэффициенты последнего
разложения можно вычислить, используя свойства ортогональности функций
Матье. Важными примерами таких разложений являются (9), а также раз-
разложения (круговых) цилиндрических волн в ряды по функциям Матье.
Задача о собственных значениях для (непериодических) решений общего
уравнения Матье была изучена Стреттом (Strutt; 1943), который дал границы
для собственных значений, асимптотические формы, формулы разложения
и теоремы о разложениях. В работе Стретта cosBz) в формуле 16.2A)
заменяется любой вещественной периодической функцией (с периодом р),

16.9. УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СФЕРОИДАЛЬНЫХ ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ 169
которую можно разложить в сходящийся ряд Фурье; получающееся диф-
дифференциальное уравнение является уравнением Хилла, и поэтому Стретт
назвал проблемой Хидла граничную задачу, состоящую из уравнения Хнлла
и граничных условий
где а задано (в случае периодических функций Матье, о—± 1).
Разложения в ряды по произведениям функций Матье и присоединеиных
функций Матье встречаются в связи с (двумерным) волновым уравнением B).
Предположим, что мы рассматриваем уравнение B) внутри эллипса и = щ,
и накладываем граничное условие W (м0, v)—0 (это условие соответствует
задаче о колебаниях эллиптической мембраны). Решение B) имеет вид
1|и„(и, о) = Се„(и, в)се„(о, 6),
*К-п(«. ")=Sen+, (и, вMея+1(о, 9), л = 0, 1, ...
Значения к, при которых Сеи(и0, 6) = 0 или Se,l^1(u0, 0) = О являются соб-
собственными значениями для уравнения B) в области й<й0. Они соответст-
соответствуют некоторым собственным значениям 0. Мы обозначим получающиеся соб-
собственные функции через ¦фс?, y<?%+i, л = 0, 1, 2 т=1, 2, ... Элемент
площади имеет вид [chBa)—cos{2v)\dudv, н мы получаем следующие соот-
соотношения ортогональности:
Во 2Я и„ 2Я
J [ Фп *с* № B") —cos Bt»)] dudv=\\ ^+1^+! [chBu)—cosBo)] da df=0,
0 0 0 0
k, n = 0, 1, ...; m, /=1, 2, ...; ft Ф п или m # t,
dv=0,
k, n = 0, 1, ...; /, m=\, 2, ...
Относительно вычислений интегралов, содержащих [1фс21]2и [iIjsJ1]2, см. Мак-
Лахлан A953, п. 9.40). Из этих формул вытекает разложение произвольной
функции в ряды по функциям ¦фс и ips в области и < и0. Существуют соот-
соответствующие разложения для других граничных условий.
СФЕРОИДАЛЬНЫЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ
16.9. Дифференциальное уравнение для сфероидальных
волновых функций и его решение
В качестве стандартной формы дифференциального уравнения для сфе-
сфероидальных волновых функций мы возьмем
A)
Здесь не существует общепринятой стандартной формы. Мейкснер в своих
недавних работах (Meixner; 1950, 1951) использовал уравнение A), где 40 = уг;
Бувкамп, Стретт (Bouwkamp, Strutt; 1932) и Мейкснер в своих более ранних
работах (Meixner; 1944, 1947, 1948) брали соответственно fe2z\ —feVz2 и—7ага
вместо 40A—z2), так что их % соответствуетХ + 40 в уравнении A). Стреттон
и другие (Stratton; 1941) использовали дифференциальное уравнение, которому
удовлетворяет A—z2I* 2 у. Мы б>дем в этом пункте рассматривать 0, X, ц

170 ГЛ. 16. ФУНКЦИИ МАТЬЕ
как заданные вещественные или комплексные параметры, z как комплексное
переменное, ц можно назвать порядком сфероидальных волновых функций.
Полагая
z = cos v, B)
получаем
g| [ J^] C)
Это—тригонометрическая форма дифференциального уравнения для сферои-
сфероидальных волновых функции (см также 16 1A1), A2), A6), A7)).
Мы будем рассматривать здесь многие специальные н предельные случаи
уравнения A), так как они облегчают поиск н>жных решений.
Если в волновом уравнении 16 1(9) и A4) 8 = 0, т. е. к=0, то уравне-
уравнение A) сводится к уравнению Лежандра 3 2A) npHX,=v(v-)-l). Относительно
решений в разрезанной г плоскости см. п. 3.2 и относительно соответствую-
соответствующих свойств решений на разрезе см п. 3 4.
Если [1=1/2, то простое вычисление показывает, что функция (sm v)~^2 у (v)
переменного v удовлетворяет уравнению Матье, где 6 имеет тот же смысл,
что и в 16 2A), и ft = Л, +1 /4 + 2G
Если принять за независимое переменное
S=291/Sz, D)
то уравнение A) принимает вид
Если положить в уравнении E) 6=0, то его решения можно выразить через
функции Бесселя. В частности, если 6=0 в (о), то это уравнение имеет сле-
следующие четыре решения:
F)
где k=v(v-fl) = (v-fl/2)a—1/4; относительно обозначений см также7.2D4).
Эти частные и предельные случаи важны не только потому, что они дают
возможность установить связь сфероидальных волновых функций с другими
специальными функциями, но и потому, что они указывают на поведение
решений уравнения A) вблизи особых точек и облегчают нахождение частных
решений уравнения A), равно как и разложение этих решений в ряды по
функциям Лежандра и Бесселя Относительно связи уравнения A) с диффе-
дифференциальными уравнениями для вырожденных гипергеометрических функций
и функций параболического цилиндра см Meixner A948, 1951), Sips A949).
Дифференциальное уравнение A) имеет три особые точки, z=l, —1 и
оо. При этом z = i_ 1 являются регулярными особыми точками, в каждой из
которых показатель равен —[i/2, a z=oo—нерегулярная особая точка При
этом E) показывает, что существуют два решения уравнения A), одно из
которых ведет себя в бесконечно удаленной точке как zv, умноженное на
однозначную функцию, а другое — как z"*, умноженное на однозначную
функцию Встречающийся здесь показатель v называется характеристическим
показателем уравнения A), он является функцией от G, % и \i и, подобно
характеристическому показателю уравнения Матье, определяется из соотно-
соотношения вида cosBnv) = /(A,, \i2, 6) Часто более удобно представлять К как
функцию от Э, |х и v и использовать обозначения Мейкснера ^ F) Очевид-

16.9. УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СФЕРОИДАЛЬНЫХ ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ 171
но, что
^@)=v(v+i), ^(9)=^м(е)=я.^_1(е). G)
Относительно обсуждения функциональных связей между X, ji, v и 8 см.
Schmid A948, 1949), Schafke A950), Meixner A951).
Мы будем предполагать, что в уравнении A) А.=A,*J (в), и выражать ре-
решение через 9, \i, v.
Первая группа решений может быть получена в виде разложений в ряды
по функциям Бесселя. Уравнение E) подсказывает искать разложения в ввде
/ = 1, 2, 3, 4, (8)
где г|>1У) являются функциями, определенными в F). Как правило, мы будем
писать аг вместо а" г F), а также упрощать таким же образом остальные
обозначения. Подстановка разложения (8) в уравнениеA) приводит к рекур-
рекуррентным соотношениям для коэффициентов аг, которые были даны Мейксне-
ром (Meixner, 1931). Они имеют вид
—3/2)(v +2/--1/2) ""'-i"
/¦ = 0, ±1, ±2, ... (9)
Начиная отсюда, мы будем предполагать, что v+1/2 не является целым чи-
числом (По-видимому, исключаемый случай не исследован полностью в на-
настоящее время )
Рекуррентное соотношение (9) подобно 16 2(9) После деления на соот-
соответствующий множитель оно приводит к бесконечному определителю, обра-
обращение в нуль которого дает функциональные соотношения между 6, К, р, v.
С другой стороны, точно так же как в 16 2A6), A7), можно вывести беско-
бесконе шые непрерывные дроби Rn и Ln. Мы будем предполагать, что а? 0 F) вы-
выбраны так, что
< о (е> =a-v-i. о (е> =<Со №)• (">)
Тогда мы имеем
^;^] (в). do
Из непрерывных дробей, как и в 16.2B1), имеем
lim r2BjL= Иш ^ = 1. A2)
r-t-at аг_г г-*—<яо.г+г *
за исключением случая, когда последовательность коэффициентов ..., о_2,
о_1. До> %. «а> ••• обрывается справа или слева. В этих случаях первый
или второй предел в A2) теряет смысл. Это может произойти лишь в случае,
когда v-fn или v—ц — целое число. Из асимптотических формул для

1?2 Гл. 16. функции мАтьв
функций Бесселя имеем
hra У Ъ
И из A2)—(И) вытекает, что разложение (8) сходится, если |z| > 1. В этой
области функция A — г~г)~" 2 может быть однозначно определена с помощью
биномиального разложения, и мы будем почагать в (8) —я < arge<n В слу-
случаях, когда один или оба предела в A2) теряют смысл, ряды из коэффициентов
обрываются в одном направлении и вопрос о сходимости в этом направлении
теряет смысл
Шмид (Н L Schmid, 1948, 1949) полностью изучил класс рекуррентных
соотношений» включающих в себя соотношение (9) Его рез> чьтаты устанав-
устанавливают существование и единственность с точностью до постоянного множи-
множителя для аг, а также разложение Х^иа" г в сходящиеся степенные ряды по 9.
Асимптотическое поведение SiJ) при г —»- со может быть получено с по-
помощью результатов Мейкснера (Meixner, 1949). Если г = 1, 2 и в > 0, то мы
полагаем, что г —г- оо в верхней или нижней полуплоскости, а если / = 3,4,
то г—>¦ оо любым образом Тогда из 7 13A)—D) следует, что
¦ф{1)
. ...
(—1)г при г—>•<».
Если положить в (8)
то
Вт [S* 0) (z, 6)/i|)« B9^ г)] = 1, A6)
Z —>- GO
где в случаях ] = \, 2 предполагается, что 1т(вуаг) ф 0. Это соотношение
можно записать также в виде
S? <'> (г, 9) ~ *W B61/2 z), /= 1, 2, 3, 4, * -f ¦, | arg (в1/9 i) |< я. A7)
В этой форме не надо исключать случай положительного б1/*2- Если/ = 3,4,
то область arg (81/а г) может быть расширена, как в 7.13A), B), до (—л, 2п),
(—2л, я) соответственно. Мы будем предполагать далее, что s!J определено
формулой A5).
Из F) вытекает, что ipJ+V,. а следовательно и S"J(l), равно г*, умножен-
умноженному на функцию, однозначную в окрестности бесконечной точки, поэтому
S^A> является решением первого рода S"B) можно назвать решением вто-
второго рода Из A6), F) и 7 13A), B) видно, что S? C) и S!JD) экспоненци-
экспоненциально убывают при г-*- со в полуплоскостях Im (В1/2г) > 0 и Im (91/2 z) < 0
соответственно Таким образом, S<3>41 являются решениями третьего рода.
Наряду с SjJ(/) мы имеем также решения S~^(/) и S*^1, /=-1, 2, 3, 4.
Межчу этими 16 решениями есть много соотношений, которые являются след-
следствиями соотношений A6) или A1) и тождеств между функциями Бесселя.

16.9. УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СФЕРОИДАЛЬНЫХ ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ 173
Укажем некоторые из этих соотношений, опуская гиб, которые всюду яв-
являются одними и теми же:
B0)
Соотношение A8) вытекает из соотношения A7), так как асимптотические
представления в секторе, угол которого больше я, однозначно определяют
решение уравнения A) Соотношения A9) и B0) вытекают из F), (8), A1) и
A5) в комбинации с 7.2D), E), F), (9) Меикснер (Meixner; 1951) дал эти и
другие соотношения, в частности формулы для аналитического продолжения
значений arg F1/2 2) за пределы (—я, и) и формулы для вронскианов реше-
решений S^'K Оказывается, как и в случае функций Бесселя, что любые два
нз наших четырех feпений линейно независимы, поскольку мы предположили,
что v + 1/2 не является целым числом.
Изученные здесь решения представлены рядами, которые сходятся при
| Z | > 1 и особо полезны, когда г велико. Перейдем теперь к решениям, по-
полезным вблизи ± 1, а также иа отрезке [ — 1, 1], и к разложениям, сходя-
сходящимся внутри единичного круга. Мейксяер обозначил эти решения следующим
образом.
г, 9)= 2 (
> B1)
QsiJ B, в) = 2 (- W < г t«/ ч v+ »r w | •
г= —со
со
/ D'at1 (9) Р^ (л) I
B2)
>= 2 (-vr<r(
Здесь Р и Q— функции Лежандра, определенные, как это сделано в п. 3 2,
на разрезанной плоскости, а Р, Q—функции Лежандра на разрезе, опреде-
определенные в п. 3.4. Соответственно в B1) z лежит на комплексной плоскости,
разрезанной вдоль вещественной оси от —оо до 1, и мы полагаем в B1)
|arg(z ± 1) | < я, а в B2) х лежит на разрезе — 1 < х < 1, хотя сами реше-
решения считаются аналитически продолженными в комплексную плоскость, раз-
разрезанную вдоль действительной оси от —оо до —I и от 1 до оо.
Подстановка разложений B1) и B2) в уравнение A) приводит к рекур-
рекуррентному соотношению (9), так что аг являются теми же коэффициентами,
что и ранее. Предположим теперь, что

174 гл. 16. функции матье
а также, что справедливы соотношения A0) и A1), так что
Ps!J(z, 0) = P!}(z), Qs!J(z, O) = Q!J(z),]
У B4)
Ps$ (x, 0) = P$ (x), Qs!J (x, 0) = Q!J (ж). J
Из A2) и п. 3.9.1 вытекает, что разложения B1) и B2) сходятся всюду, за
исключением, быть может, точек ± 1 и оо. Из 3.2C), 3.6B) следует, что
при \х Ф 0 функция Ps равна (z — \)~^2, умноженному на функцию, одно-
однозначную п окрестности точки z = l, а если ц. 5= 0, 1, 2, ... , то Ps равно
— 1)т/2, умноженному на функцию, однозначную в окрестности z = l.
з 3.2E) следует, что если ц+v не является отрицательным целым числом,
то Qs равно z~v~1, умноженному на функцию, однозначную в окрестности
бесконечно удаленной точки. Таким образом, Qs является решением первого
рода.
Между 16 решениями Ps±>\ Qs±», Pst^, Qst^, Р*$» &*».
Ps*^'_1, Qs*?_j имеется ряд соотношений. Они вытекают из аналогичных
соотношений для функций Бесселя, данных в п. 3.3.1 и 3.4 и напоминают нх.
Примерами таких соотношений являются
P$ = Ps4iv-v Ps^Ps^.,, B5)
е^Г (v+ fi+1) Qs-f^e-'^r[х-р+1) Qs», B6)
Ps? (-дг)=соз [(ц+v) я] Ps? (х)-{2/я) sin [((i+v) я] Qs? (дс), B7)
которые вытекают соответственно из 3.3A), 3.4G), 3.3B), 3.4A4) н фор-
формулы A1). Относительно более подробного списка таких соотношений и пе-
перечня вронскианов см. Ммхпег A951).
Укажем, наконец, соотношения между решениями, представляемыми
рядами функций Бесселя и решениями представляемыми рядами функций
Лежаидра. Как S^'1', так и Qs^.v_1 являются решениями первого рода;
кроме того, оба решения имеют один и тот же показатель v в бесконечно
удаленной точке. Следовательно, они могут отличаться друг от друга лишь
постоянным множителем. Мейкснер (Meixner; 1951) положил
S» w (z, 6) = я-1 sin[(v-ji)п] ,-<»+»+«** К}} (9) Qs%_i (г. 6) B8)
и установил ряд тождеств, которым удовлетворяет К§ F). Эти тождества
вытекают из тождеств для S§A) и Qs§. Явное выражение для К% основано
на замечании, что из (8), F) и 7.2B) вытекает
1 CD в gV/2+r+S,2r+SS
V<r <9> sir(v+2r+s+3/2) •
Г=-в 8=0
а из B1) и 3.2D1) следует
г-у A _*-»)!»/* ,-¦- Qs'l_v_1 (г, в) =
= я'/» V У(—IVa» (Q) 2>-<"-"*г-«Г-а< Г (P—

16.10. ДАЛЬНЕЙШИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ, ПРИБЛИЖЕНИЯ И СООТНОШЕНИЯ 175
Умножая обе части формулы B8) на z~v(l—г"I*'1, разлагая в ряд Ло-
Лорана и сравнивая коэффициенты при г2*, получаем после некоторых упро-
упрощений
К$ (в) = у (j
-r)l T(v+k+r+3/2)
rti(r-k)\T (\/2-v-k-r)
Так как все функции S^ могут быть с помощью равенства B0) выра-
выражены через S*1', a Ps могут быть выражены с помощью 3.3(8) через Qs, то
ясно, что B8) достаточно для того, чтобы разложить любую функцию Бес-
Бесселя по функциям Лежандра и обратно. Все эти соотношения заметно упро-
упрощаются, если ц и v—целые числа, см. п. 16.11.
16.10. Дальнейшие разложения, приближения,
интегральные соотношения
Разложения в степенные ряды. Разложения по степеням z или г*—1
были даны Фишером (Fisher; 1P37) и другими. Эти ряды представляются мало
полезными как для аналитических исследований, так и для вычислений.
Разложения в ряды по произведениям функций Бесселя, по видимому,
неизвестны, за исключением случая сфероидальных волновых функций, см.
также п. 16 11.
Мейкснер (Meixner; 1950) дал разложения произведений решений 16.9A)
в ряды по произведениям функции Бесселя и функций Лежандра. Его раз-
разложения основаны на следующем замечании: в обозначениях, лишь слегка от-
отличающихся от использованных в п. 16.1.2, мы вводим, с одной стороны,
сфероидальные координаты ?, т), <р, а с другой стороны—сферические по-
полярные координаты г, %, ф, полюс которых лежит на оси вращения. Эти
координаты связаны с декартовыми координатами соотношениями
г = c%i\ —r cosX+ca,
и мы полагаем, что 49 = жаса. Из п. 16.1.2 следует, что функции
S?<» (I, в) Ps» A,, 9) i±*», S$U> F, 9) Qs? (т|. 9) e±"**
являются решениями уравнения AW+k*W = 0, равно как и функции
*У> («г) Pj*(совх)»**». # (кг) Q
Изучение поведения этих решений, когда 1 —>¦ оо и, следовательно, г —> оо,
а также когда rj —»• ± I, и потому % —> 0 или я, дает разложения вида
^. в)= 2 <Ие.
, в) Qs!J (п. в) = 2 6v. ПО.

176 ГЛ. 16. ФУНКЦИИ ЯАТЬЕ
rge
( '
Мейкснер показал, что коэффициенты bt удовлетворяют рекуррентным
соотношениям, содержащим пять членов (которые при а=± 1 или а = 0 сво-
сводятся к трехчленным рекуррентным соотношениям), доказал существование
решений этих рекуррентных соотношений и сходимость в соответствующей
области разложения B) и дал явные представления для коэффициентов bf
через аг в 16 9(9) и некоторых других коэффициентов SijJ *, которые удовле-
удовлетворяют сравнительно простым рекуррентным соотношениям Он изучил слу-
случай, когда ц, v, |г ± v принимают целые значения, и показал, что все важные
разложения решений 16 9A) могут быть получены путем специального выбора
параметров в B) Например, если а = 0 и т)—> 1 в первом разложении B),
то получаем 16 9(8), а если а = 0 и ?—»-оо, то получаем 16 9B1)
Новые разложения для решений 16 9A) получатся, если положить в B)
а= ±1,1 —*¦ оо или ц —* I Эти разложения и их области сходимости имеют
следующий вид:
г,9)=ехр(±: _
1 D)
|i-l|>2, y-1, 2, 3, 4,
|2+П>2, ft=l, 2,3, 4. J
E)
Коэффициенты всех этих разложений удовлетворяют трехчленным рекуррент-
рекуррентным соотношениям и в некоторых областях эти разложения более удобны,
чем изученные в п. 16.9. Для Ps!J (х, 8), Qs!J (x, 0) надо заменить в D)
Мейксиер получил также более общие разложения, полагая в B) | —>¦ оо
или т] —*¦ 1 н не придавая специального значения параметру а Вытекающие
разложения содержат произвольный параметр при частных значениях произ-
произвольного параметра они сводятся к 16 9(8) и 16 9B2) или D) и E)
Разложения S*J(/)(z, 6) в ряды по функциям Бесселя аргумента
2в1/8 (га — 1I/а могут быть получены, если положить в разложении B) а=г\=0.
Такие разложения были ааны Фишером (Fisher, 1937), Мейксиером (Meixner;
1944) и другими.

16.10. ДАЛЬНЕЙШИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ, ПРИБЛИЖЕНИЯ И СООТНОШЕНИЯ 177
Приближения при малом |6|. Полагая в 16.9B9) к = 0, получаем из
16 9G), (9), B4), B8), B9)
Ps!J(z, 0) = P*(z), Qs!JB, O)=Q!J(z),
Ps!J (*, 0) = P$ (x), QsiJ (x, 0) = Q!J (*),
<«(°)=sv(°)=l. <r(°) = °. '=.±1, ±2. ....
2v+1
F)
Из последнего из этих соотношений и 16.9B0) легко вычислить
htnQ-v'aS»W(z, в), / = 2, 3, 4.
е-+о
Относительно разложений A.JJ F) ив„г F) по степеням 6 см. Meixner A944,
п 6 3)
Асимптотические формы при больших \г\ Из 16.9A7), 16.9F) и 7.13A), B)
следует, что
г—»-оо, — я< arg (в1/9г)< 2я, G)
)
г —> ов, —2я< arg (в1/аг) < я (8)
и асимптотические формы S^A', S?B>вытекают с помощью 16 9A9). Мейкснер
(Meixner, 1951) получил асимптотические разложения по убывающим степеням
z—а, где а произвольно, и дал четырехчленные рекуррентные соотношения,
которым удовлетворяют коэффициенты его разложений
Асимптотическая форма для функции Qs получается из 16 9B8), а функ-
функция Ps может быть в силу 3 3C) представлена как комбинация функций Qs.
Поведение вблизи г = I Если ц не является целым положительным чис-
числом, то из 16 9B1) и 3 2A4) следует, что
и, аналогично,
Поведение функции Qs может быть выведено из (9), а поведение SiJ(/' выте-
вытекает из 16 9B8) и 16 9B0).
Интегральные соотношения. Для того чтобы получить интегральные
соотношения между решениями уравнения 16 9A), заметим, что это уравнение

178 гл. 16. функции матье
возникает при решении волнового уравнения А№+к2Ц7 = 0 методом разделе-
разделения переменных в координатах |, т], ф, введенных равенствами A) Пусть
N (I, 11) ег|)' является решением уравнения AW -|-«:2W =0, и пусть / (zf—реше-
(zf—решение уравнения 16 9A). Вычисления, подобные проведенным в п. 16.3, пока-
показывают, что
о
6, л)/(ч)*| A1)
является решением 16.9A) (где t — г) при условии, что
Мы выберем f (тй = Ps~»*(z, в) и
N (I, т,) = (|«-1)^9 ft2-1I171 exp W1^)-
Из (9) и асимптотического поведения Ps вытекает, что A2) удовлетворяется
при а = 0, Ь = и» и Re(91/21) > [ИевЧ2 I- При этих предположениях
g(I) = (I8-1)2 $ №-
является решением уравнения 16.9A) с | = г. Кроме того, из (9) и теории
интегралов Лапласа следует, что при ?—* оо в области Re(91/a?)>|Re61/a|
функция g (|) имеет асимптотическое выражение
0»-
exp
так что из G) следует ,<$_-=!__ S^a> (|, в).
Таким образом, мы доказали первое из двух интегральных соотношений
5, 9) = -е~»/«<i*+v>Я'2Сe^'s1 (в)Aа-1)1 X
@0
X $ ft»-1)*/2 Ps-i^ ft, в) exp B91/2gtH dti, Re (в1'2!) > | Re в1'2 [, A4)
Доказательство A5) проходьт 1счи9 так Ж1<

16.11. СФЕРОИДАЛЬНЫЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИЙ 179
16.11. Сфероидальные волновые функции
В приложениях к решению волнового уравнения в координатах вытяну-
вытянутого или сжатого сфероида (см п 16 1 2 и 16 1 6) параметр ft в 13 9A)
является целым, |г = /п. Кроме того, представляют интерес лишь те значения v
и К, для которых 16 9A) обладает ограниченными на промежутке (— 1, 1)
решениями Не теряя общности, можно считать т = 0, 1, 2, .. Мы видим
из таблицы п 3 9 2, что единственным решением 16 9A), которое остается
ограниченным при г=1, является Ps™ (x, 6) (или кратное этой функции) Из
16 9B2) и 3 9A3) и A5) видно, что, за исключением случая, когда v также
целое число, эти решения не ограничены приг = —1 Поэтому, начиная отсюда,
мы ограничимся рассмотрением дифференциального уравнения
V-z*)^L-2z-JL + [W(Q) + 49(l-z*)-m*{l-z*)-i]y = 0, A)
где т и п—целые и 9—вещественно. В силу 16.9G) можно считать т, п =
= 0, 1, 2, ... и п^гт
Большинсгво из прежних и многие из современных работ посвящены
исключительно случаю целых fiivi решения уравнения A) обычно назы-
называют сфероида гьными волновыми функциями, хотя некоторые авторы приме-
применяют это же название для решений более общего уравнения 16 9A) Числа
Ji^(9), т, л = 0, 1, 2, .. , называют собственными значениями X и ограни-
ограниченные решения Ps^1 Ос, 0), которые являются соответствующими собственными
функциями, называются сфероидальнь ми волновыми функциями первого рода.
Существует очень обширная литература, посвященная сфероидальным волновым
функциям Относительно библиографии и сводки результатов, полученных
до 1932 г , см Оретт A935), относительно ссылок ча более новую литературу
см Bouwkamp A947) и Meixner A951), последняя работа содержит также
превосходную сводку всех результатов Некоторые из более новых работ
указаны в библиографии (см Abramowitz, Bouwkamp, Eberlein, Hanson,
Leitner и Spence. Meixner, Sips, Spence, Stratton и др Относительно таблиц
значений функиий см Stratton и др A941), Bouwkamp A941, 1947), Meixner
A944), Leitner и Spence A950) Следует отметить, что для этих функций нет
общепринятых обозначении, ото следует иметь в виду при использовании
результатов перечисленных выше статей
Вычисление значений К™ F) при небольших значениях 6 можно провести
с помощью бесконечных непрерывных дробей, выведенных в п 16 9, этот
метод имеет преимущество, поскольку в ходе вычислений получаются значе-
значения отношений аг1а0 Относительно описания принятой системы вычислений
см Bouwkamp A941, 1947), Blanch A946) Для малых значений 0 собствен-
собственные значения и коэффициенты могут быть выражены в виде рядов по воз-
возрастающим степеням 0 Бувкамп (Bouwkamp, 1950), а также Лейтнер и Спенс
(Leitner and Spence, 1950) дали разложение X™ @) по степеням 9 вплоть до 6*.
Численные значения коэффициентов в этих разложениях были протабулиро-
ваны Бувкампом (Bouwkamp, 1911, 1947, 1950) Мейкснер (Meixner, 1944) прота-
булировал коэффициенты разложений для X™ @) вплоть до 85 и для а
т 1а\
"' Г ВПЛОТЬ ДО 9*.
<о(9)
Мы будем теперь предполагать, что т и л—целые и 0</я<п. В этом
случае в рекуррентных соотношениях 16.9(9), которым удовлетворяют коэффи-

180 ГЛ. 16. ФУНКЦИИ МАТЬБ
циенты разложения 16.9B2), множитель при аг+1 обращается в нуль при
2г = — т—п—I или 2/- = —т—п—2
в зависимости от того, является ли т-\-п нечетным или четным числом Для
бесконечных непрерывных дробей, представляющих коэффициенты, отсюда
следует, что
m-n-I. B)
C)
Из 3
и первое
или
Р
6 C) и F) вытекает, что
разложение B2) сводится
р?(*.е)- S
00
PC+i*(*e>- S(-i)
00
r=o
—m—n—1
к
(-1)г«™
6+Гага+ай.г
< 2г < m—n,
r(e)p»+»»•(*)
fe. m = 0. 1. 2. ...
E)
Коэффициенты удовлетворяют 16.9 (9), где
|i=m, v=n и аг = 0 при 2г<—от—л— 1.
Мы нормируем D) так, что
В силу 3 12 A9) и B1) это эквивалентно нормировке коэффициентов, при
которой
SI (B + 2f + m)tr - т-Л_ 1 (я+тI .„
^>т пя+2г + 1/2(п + 2г-тI«- »•' WJ ~п+1/2(л—т)! ' w
и мы дополняем нормировку условием
<0{в)>0. (8)
Из 16 10F) видно, что эта нормировка совместима с 16.9B3). Ряды
(9)
сходятся при всех конечных значениях г и функции D) и (9) отличаются
лишь множителем (± «)"•
Из 3 3G), A0) и 16 9A1) вытекает

16.11. СФЕРОИДАЛЬНЫЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ
181
Многочисленные другие соотношения для Ps и Ps следуют из известных
формул для функций Лежандра Из 3 4 B0) и 3 4 B3) следует
A1)
Psm+8ft+1(°.e)=0, к, m=O, 1, 2
(О, 6) = О,
Bft+ 1)'
dx
Т(—1/2—k—m—г)'
к, т=0, 1, 2,...
Для решений 16 9 (8) мы имеем в этом случае
A2)
= 1,2,3,4.
^m—в
A3)
Функция Qsliv_1 обращается в бесконечность, если v—A является нулем
или целым положительным числом, ио функция sin[(v—|*)n]Qs|iv_1 при
этом стремитвя к конечному пределу. В силу 3 3 C) имеем при р, -»¦ т, v-* n
sm [(v-ц) я] Qs!lv_1 B, в) ч. (-1)т+"+1яРа% (г, в)
и 16 9 B8) дает соотношение
SjWfr е) = С(в)^(г,в) A4)
между двумя решениями (9) и A3) Это показывает, что сфероидальные вол-
волновые функции первого рода могут быть представлены в виде рядов по
функциям Бесселя первого рода, и эти ряды оказываются сходящимися для
любого конечного г, отличного от нуля Выражение для К™ заметно упро-
упрощается. Используя (9) и A3) и поступая так же, как и при выводе 16 9 B9)
. т—п . т—л+1
при k = —s— или * — <г
в зависимости от того, четно или нечетно
т—п, получаем
в) =
(9), п—т четно,
dPs"
п.-
6) =
ra+i
л.
т-п+1
F), п—т нечетно.
A5)
A6)

182 гл. 16. функции матье
Из A4), A5), A6) вытекает явное выражение для значений SA) и -т—
при z = 0.
Другими разложениями сфероидальных волновых функций первого рода
являются
i™ (г. 6) =ехр (± 261/2zj) 2 ^*К. t (e) РГ B)>
которые вытекают из 16.10D); некоторые разложения можго вывести из
16.10 B), E), а разложения по произведшим функций Бесселя были даны
Мейкснером (Meixner; 1949).
Сфероидальные волновые функции первого рода ортогональны на проме-
промежутке (— 1, 1). Относительно положения нулей этих функций см. Meixner A944).
Как S^B) (г, 6), так и Qs'? (г, 6) являются сфероидальными волновыми
функциями второго рода. Если |г| > 1, то обе эти функции удовлетворяют
функциональному уравнению /(—г) = ( — l)n+1/(z) и, следовательно, кратны
друг другу. Мейкснер (Meixner; 1951) дал соотношение между ними вида
Другими разложениями, следующими из 16.10B), (J), E), являются разло-
разложения по произведениям функций Бесселя, которые дал Мейкснер (Meix-
(Meixner; 1949). Сфероидальными волновыми функциями третьего рода являются
S™'3' J>: они могут быть выражены в виде рядов функций Лежандра с по-
помощью 16.9A9), 16.11A4), A8).
Мы можем теперь построить требуемые нормальные решения волнового
уравнения в сфероидальных координатах. Сначала рассмотрим координаты
вытянутого сфероида и, v, ф. В п. 16.1.2 было показано, что для волновых
функций, регулярных внутри сфероида и — щ, U является сфероидальной
волновой функцией первого рода, V—модифицированной сфероидальной
волновой функцией первого рода. Таким образом, внутренние волновые
функции вытянутого сфероида должны иметь вид
S™A) f ch и,±-к*сА Ps? (cost;, ^ к»сАе±1т9.
m = 0, 1. 2,..., л; л=0, 1, 2,..., A9)
в то время как внешние волновые функции вытянутого сфероида имеют вид
± imq>
/ = 3,4; m=0, I, .... л; п = 0, 1 B0)
где /=3 или 4 в зависимости от того, имеет ли асимптотическое поведение
на бесконечности вид /¦"%<"¦ или r~le~'"r.
Для волновых функций сжатого сфероида из п. 16.1.3 аналогичным
путем получаем
-1 sh и, 1 /с» сА Ps? (cos v, —j
/ = 1,3,4; m = 0, 1 п; W = 0, 1 B1)
где /=1 для волновых функций внутри и /=3, 4 вне эллипсоида и=и0.
В B1) надо положить 49 = — kV. При этом подразумевается, что в асимп-
асимптотических формулах п. 16.10 положено '

16.12. ПРИБЛИЖЕНИЯ ДЛЯ СФЕРОИДАЛЬНЫХ ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ 183
Разложение произвольных функций, заданных на (вытянутом или сжатом)
сфероиде и=и0, в ряды вида
2 2 (Ап cos тФ+в п sin ™Р) pSn (c°s о- в)
п=о т=о
справедливо при тех же условиях, что и для сферических поверхностных
гармоник, а коэффициенты этих разложений могут быть вычислены путем
использования свойств ортогональности тригонометрических функций и
сфероидальных волновых функций.
16.12. Приближения и асимптотические формы
для сфероидальных волновых функций
Поведение вблизи тонки ± 1. Поведение сфероидальных волновых функ-
функций вблизи точки ± 1 может быть изучено путем подстановки приближений,
данных в таблице п. 3.9.2, в разложения сферических волновых функций
по функциям Лежандра и последующего использования формул 16.11B),
16.9A1) и 16.9A5) для упрощения полученных формул. Результаты имеют
вид
m=0, 1 n; л=0, 1, ..., )
Qs°n (г, в) = -291/2fs» (в)]-*K°n F) S°n <»> (г> в) =
ir S= -я
B)
m=l, 2 n; n=l, 2, 3, ... ,/
где
А„ = 0, Л^=1 + 1+ ... +1, 4=1. 2, ... C)
Для Qs надо в формуле B) заменить г — 1 на 1—х.
Поведение этих функций вблизи точки —1 вытекает из формул
\
D)
Поведение на бесконечности. Для S™(/) см. 16.10G), (8) и 16.9A9).
Ps и Qs можно выразить с помощью формул 16.11A4), A8) через S™''*.
PsJ"(—г, 6) = ( — l)"Psm (г,6), Qs^f г, 6) = (—l)"+1QsmB, 6), \
pS/^(_Xf 6) = (—1) Ps^(x, 6), Qs™(—ж, 6) = ( —l)"~m+1Qs™(*, 6). J

184 гл. 16. функции матье
Приближения при малых |6 |. Относительно X, Ps, Qs, er, s"cm. 16.10F).
Из 16.10F) мы имеем также
и тогда в салу 16.11A4), A8)
т = 0, 1, ... , л; л=0, 1, ...
Асимптотические формы при больших значениях |6|. Рассмотрим сна-
сначала случай, когда 6 положительно. Подстановка
= 2 'G)
преобразует 16.11A) в
= 0, (8)
где
Л = 91/2+-т-6~1/а (Я,™—m—-m»). (9)
При больших значениях 9 дифференциальное уравнение (8) аппроксимируется
дифференциальным уравнением 8.2 A) для функций параболического цилиндра,
а интервал — 1 < г < 1 соответствует при предельном переходе 9 -»• оо про-
промежутку — во < Z < оо. Но Ps™ является ограниченным решением уравнения
16.11A), а функция A— z2)~m/2Ps™(z,9) также ограничена на — 1 < z < 1.
С другой стороны, из п. 8.4 видно, что дифференциальное уравнение Вебера
имеет решение, ограниченное на всей оси — оо < Z < оо тогда и только тог-
тогда, когда Л—1/2—неотрицательное целое число. Кроме того, это целое
число равно числу нулей ограниченного решения. Так как Ps™ имеет в
точности п—т нулей, мы выводим отсюда, что Л приблизительно равно
л-т+1/2н Psm приблизительно равно целому кратному функции
A—z2)m/zDB_fflB91/4z). Таким образом, получаем
*-sn(x, в)~СA— *4)m/2 ?>„_„» Bе1/4лЛ о - г * /
где
c^ = Ps™@, e)/Dn+.CT @), п—т четно,
^0-^@,9)/%*!
Явные выражения для с% вытекают из 8.2D) и 16.11A1), A2).
1 dPs I An
=т в/4-аг@> е) / т2 @)> п~т нечетно-

16.12. ПРИБЛИЖЕНИЯ ДЛЯ СФЕРОИДАЛЬНЫХ ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ 185
Для того чтобы получить более высокую точность, надо заменить A0)
формальным бесконечным рядом
»»(в) = -46 + 26*/* Bn-2m+1) + 2 в""к г,
\ A2)
подставить A2) в 16.11A) и приравнять коэффициенты при одинаковых сте-
степенях 9. В этом направлении приближения были получены Мейкснером
{Meixner; 1944, 1947, 1948, 1951), Эберлейном (Eberlein; 1948), Сипсом (Sips;
1949). В частности, Мейкснер (Meixner; 1951) дал разложения А,™ вплоть до
члена, содержащего 6~5^*, и установил также значения некоторых из коэф-
коэффициентов с^ г. Полезность этик формул была проверена численными рас-
расчетами.
Если х находится вне некоторой окрестности нуля, то функция парабо-
параболического цилиндра в формуле A0) может быть заменена ее асимптотическим
представлением 8.4A). В окрестности точки х = 0 поведение функции
Psjj* (x, 0) более сложно, так как около этой точки группируются все нули.
Если 6 отрицательно, то нули группируются около точек х = ± 1, и
поэтому в окрестности этих точек поведение функции Psjj* (x, 6) более
сложно. Для изучения поведения вблизи точки де=1 можно применить
подстановку
y = (l-z*)m/iY, 4(-вI/8A-г)=2, A3)
которая преобразует уравнение 16.11A) в
где
8Л=(— е)-1'1^»— т—т2). A5)
При больших значениях —6 дифференциальное уравнение A4) аппроксими-
аппроксимируется дифференциальным уравнением вида 6.2 A), где
00=1, 0^=0, flg = —1/4, bo = 0, bi=/w+l, Ьа—Л.
Общее решение этого аппроксимирующего уравнения было дано в 6.2F).
Оно имеет вид
где 3 (а, с, х) является общим решением 6.1B). Так как Y ограничено на
0 < г < 1, а этот промежуток при 9 —i—оо переходит в полуось 0 < 2 < оо,
то решение должно быть ограничено на этой полуоси. Но единственным
решением вырожденного гипергеометрического уравнения при с = /п + 1,
которое ограничено в точке 2 = 0, является Ф(а, с, Z), и из 6.13B) видно,
что эта функция экспоненциально возрастает, когда Z—>- оо, за исключением
случая, когда а—нуль или отрицательное целое число. Таким образом,

186
ГЛ. 16. ФУНКЦИИ МЛТЬЕ
)— Л=— М, где М=0, 1, 2, ... , и решение приближенно равно
кратному функции
е~г'*ф(-М, m + l, Z)
или в силу 6.9C6) кратному функции
ехр [2 (- в)*/' г] 1% D (- вI'* A -г)].
Но М является числом нулей решения на промежутке 0 < г < 1. Так как
Ps™ (г, 9) имеет П~1т или п~™~ нулей на этом промежутке в зависи-
мости от того, четно или нечетно число п—/л, мы имеем п = т-{-2М или
п = /п+2Л1+1 в зависимости от того, четно нли нечетно п—т. Кроме
того, Ps"(z, 6) является четной или нечетной функцией от г в зависимости
or того, четно или нечешо п—т. Следовательно, мы получили такие ре-
результаты:
в—> — оо,
AС)
-со,
X I.JJ1 [4 (— вI/я
в) ~ Y
X Lf
(l-x)]-apl-2i-V)W x] X
A +*)!}, в -к—«
X Lf \4 (-
A7)
Коэффициенты с™ могут быть вычислены путем сравнения обеих частей
прн малых значениях х.
Как и в случае 6 —>- оо, лучшую точность можно получить путем раз-
разложения %™ по убывающим степеням (—6I/Га и PsJJ* в ряды по многочле-
многочленам Лагерра (комбинированным с экспоненциальными функциями, как и
выше), подстановкой этих разложений в 16.11A) и последующим сравнением
коэффициентов при одинаковых степенях 6. См. Svartholm A938), Meixner
A944, 1947, 1948, 1951), Sips A949). В частности, Мейкснер (Meixner; 1951)
дал разложение для к™ вплоть до члена, содержащего (—Й)/2, а также
дал некоторые коэффициенты разложений в ряды по многочленам Лагерра.
Если * находится вне некоторых окрестностей точек ± I, то много-
многочлены Лагерра в A6) и A7) можно заменить главными членами
(_«)»/¦(!

16.13. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ СФЕРОИДАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 187
Вблизи точек ± 1 поведение Ps более сложно и не может быть описано
с помощью элементарных функций.
Другие асимптотические формы. Асимптотическое поведение %™ (9)
и в™ г (8) при п —у оо было изучено Мейкснером (Meixner; 1944), который
нашел, что непрерывные дроби приводят к разложениям по убывающим
степеням 2я+1. Он дал разложение для %™ вплоть до члена, содержащего
Bя+1)~6 и разложения для аг/ав вплоть до члена, содержащего Bп + 1)~а.
Абрамович (Abraniowitz; 1949) изучил случай больших значений т и
больших т и 9 с помощью метода, похожего на использованный выше,
при изучении больших значений |8|. Он также проверил свои формулы
численными расчетами.
16.13, Ряды и интегралы, содержащие сфероидальные
волновые функции
Интегральные соотношения и интегральные уравнения. Интегральные
соотношения, установленные выше, в конце п. 16.10, остаются справедливыми
и для сфероидальных волновых функций. Кроме того, существуют интеграль-
интегральные соотношения при а=—\, Ь=\, так как Ps% ограничено на (—1, 1) и
имеет на этом промежутке ограниченную производную, а следовательно,
16.10A2) выполняется при а = —1, 6=1, если N и dN/dr\ ограничены.
Используем ядра 16.10A3) и рассмотрим
s?(r,, в)ехРBв1/»1П')^П- A)
-l
Из результатов п. 16.10 следует, что это—эллипсоидальная волновая функ-
функция, и так как g(l) ограничено на промежутке — 1 <| < 1, эта функция
кратна PsJ"(c, 6). Для того чтобы определить коэффициент пропорциональ-
пропорциональности, вычислим
1
B)
-I
путем подстановки 16.11D). Но
1
J (l-Ti2)m/iP?+ir(H)Ai,
очевидно, обращается в нуль, если п—т—нечетное число, поскольку тогда
подынтегральная функция является нечетной функцией от ц. В силу
3.12B5) этот интеграл обращается также в нуль, если п—т чегно, ио
в+2г j?m. Наконец, при п-\-2г = т имеем в силу 3.12B5)
-г

188 гл. 16. функции матье
Аналогично интеграл
1
-г
обращается в нуль, за исключением случая, когда n+2r = /n-j-l, и
| ч (I -
так что
|@)=0,
«Z -6 (e)>
F)
Используя эти результаты и четности Ps, получаем из A) интегральные
уравнения
1
(т + 1/2) Ps? @, 9) A — I*)""* С A — r?)m/2 cos B61-'я1т^ Ps™ (tj, 6) dr\ =
о
= (_ if+m 2ffl-im! a^ _ft F) Ps? (I, 9), я = /и + 2А, G)
^@, 9) (l-|
= (-1)*+-»r/nlfl1/* a™ _fc(в) Ps™(l, в), n=m + »+l. (8)
Мейкснер (Meixner; 1951) дал также интегральные соотношения
JL
Jexp
2 [6 A -a«) A -n») (I2 —l)ll/s } Ps? (n, 9) dn
»(/) «¦e)
В A0) кг и cosX имеют тот же смысл, что и в 16.10C). При / = 1 фор-
формула A0) справедлива для всех |, а при /=2, 3, 4—лишь при достаточно
больших значениях с. Оба соотношения могут быть установлены, если за-
заметить, что их ядра как функции от | и ц удовлетворяют дифференциаль-
дифференциальному ураьнению в частных производных для /V из п. 16 10 и, следовательно,
интегралы, как функции от |, являются эллипсоидальными волновыми
функциями. Для соотношения (9) эта волновая функция ограничена прн
6=± 1 и, следовательно, кратна Sm (" (!)• Коэффициент пропорциональности

\ Ps"^, 6) PJ™ (*) dx = 0, если l—п отрицательно или нечетно,
-I
16.14. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ЛАМЕ 189
может быть здесь вычислен путем умножения обеих частей равенства (9)
на (?2 — 1)~т'2, предельного перехода |—>-1 и использования формул G),
(8) и 16.12 A). Для соотношения A0) используется асимптотическое поведе-
поведение правой части при | —*- оо.
Другие интегральные формулы могут быть получены из некоторых раз-
разложений, выведенных в предыдущих пунктах, путем использования свойств
ортогональности функций Лежандра. Например, из 16.11D), 16.9A1) и
свойств ортогональности н нормировки 3.12A9) и B1) для функций Лежандра
вытекает, что
(П)
(п—т)Г
Другие интегральные формулы могут быть выведены из таких разложений,
как 16.10B) и их различных частных и предельных случаев. Некоторые
важные интегралы могут быть получены путем подстановки специальных
значений для а, а, | в (9) и A0), см. Meixner A951).
Из полученных выше рядов и интегралов вытекает много разложений
в ряды по сфероидальным волновым функциям или по произведениям таких
функций. Формулы A1) могут рассматриваться как определяющие коэф-
коэффициенты Фурье в разложении Pj" (x) в ряды по сфероидальным волновым
функциям. Они приводят к разложениям
1/2 (l—m) I
если t—n = 2r, г = 0, 1, 2,
= Б (- и' /7+iJ1/2 a'~-m*'. »¦ <9) Ps'm-" <*•9)> <12)
которые могут рассматриваться как обращения 16.11D). Аналогично G) —
A0) можно интерпретировать как определение коэффициентов Фурье для
разложения ядер этих интегральных соотношений в ряды по сфероидальным
волновым функциям, см. Meixner A951) Разложения плоских, сферических
и цилиндрических волн по сфероидальным волнам были даны Мейкснером
(Meixner; 1944, 1951), Лейтнером и Спенсом (Leitner and Spence; 1950).
ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ
16.14. Волновое уравнение Ламе
Дифференциальное уравнение
^-+{А-/[8п(г, *)]« + <о«*»[м(*, ?)]*}Л=0 A)
(см. п. 16 1 4) называют жобиевой формой волнового уравнения Ламе; иногд1
его называют обобщенным уравнением Ламе или дифференциальным уравне-
уравнением эллипсоидальных волновых функций. Если <» = 0, то уравнение A)
сводится к уравнению Ламе 15.1F). В этом пункте мы будем рассматривать
эллиптические функции с одним и тем же модулем k, причем из 15.1F)

190 ГЛ. 16. ФУНКЦИИ МАТЬЕ
видно, что 0 < k < 1. Из п. 15.1.1 следует также, что в эллипсоидальных
волновых функциях встречаются лишь такие значения г, что Imz = 0 или
Imz = K'. либо, наконец, Rez = K. Однако сначала мы рассмотрим уравне-
уравнение A) ?ля произвольных комплексных значений г.
Алгебраическая форма волнового уравнения Ламе может быть получена
путем замены переменных
(sn2)a = *, B)
преобразующей уравнение A) в
2 \x+ x-\+ x-k-*) dx+ Ax(x-\){x-k~*) C)
Форма Вейерштрасса уравнения A) может быть получена путем под,
становки 15.2B), тригонометрическая форма—с помощью 15.2D), комбини-
комбинированной с A = f(z)Af, где f(г) равно 1, snz, cnz, dnz, cnzdnz, snzdnz,
sn г сп z или sn г сп г dn z и другие алгебраические формы—с помощью 15.2 (8)
и других рациональных преобразований уравнения C).
Уравнение C) имеет четыре особые точки: х — 0, 1, й~а являются ре-
регулярными особыми точками, каждая из которых имеет показатели 0 и
-л-, а л: = оо—нерегулярной особой точкой. Относительно общей теории
уравнений с нерегулярными особыми точками см. Айне A939, стр. 571 и
далее). В окрестности любой регулярной особой точки существуют решения
в виде степенных рядов, весьма напоминающих ряды для уравнения Точна
(см. 15.3), но в окрестности нерегулярной особой точки нет ни одного
сходящегося разложения. Однако существуют формальные разложения вида
где \=х1/%, (х—1I/2 или (х—feI/a (поднормальныерешения, Айне, 1939,
п. 17.53). Хотя эти формальные ряды расходятся, они асимптоги хески пред-
представляют решения уравнения C), когда х —>¦ а> в некоторых секторах.
Уравнение C) можно рассматривать многими способами кик вырожден-
вырожденную форму уравнения Фукса. В качестве отправного пункта можно выбрать
либо уравнение с пятью регулярными особыми точками (Айне, 1939, п. 15.4),
либо уравнение, имеющее шесть элементарных особых точек (Айне, 1939,
стр. 677).
Из общей теории дифференциальных уравнений с двоякопериоги <ескими
коэффициентами (Айне, 1939, стр. 505 и далее, Poole, 1936, стр. 170 и далее)
вытекает, что уравнение A) имеет решение вида
¦Р(г), E)
2К j
где а и \i—постоянные, зависящие от h, №, I, <e, и Р(г)—двояко-периоди-
Р(г)—двояко-периодическая функция с периодами 2К, 2/К'. (Мы использовали здесь соогношенне
13.20A) между сигма-функцией и тета-функциями.) Очевидно, что
Z
i

16.14. волновое Уравнение ламе 191
также является решением, и из E), F) и табл. 8 п. 13 19 видно, что а
определяется с точностью до знака и целого кратного 2К и 2гК'. Если
выбрано одно из возможных значений а, то тем самым определено ц.
Вообще, щ (г) и и0 (— г) линейно независимы и общее решение уравне-
уравнения A) является линейной комбинацией функций E) и F). Единственное
исключение возникает, если щ (г)= ± и0 (— г) или
Полагая г = а, получаем из табл. 9 п. 13.19, что в этом случае а/К яв-
является нулем 0j (и) и, следовательно, в этом случае а = /иК + пК'г. Полагая
z = K, получаем из табл. 8 п. 13.19, что e2(tK=± 1 и, следовательно, в этом
случае 2Хи = п'ш; простое вычисление показывает, что п = п' Во всяком
случае, видно, что для исключительных значении и0 является либо четной,
либо нечетной функцией or г, и0 (г + 2К) = ± иа (г), и0 (г-|-2К'г) = 1 и0 (г),
так что 2К и 2К'г являются периодами или полупериодами ыо(г). В этих
исключительных случаях, для того чтобы получить общее решение уравне-
уравнения A), надо построить решение второго (или третьего) рода.
В соответствии с п. 16.1.4 граничные условия для В ф) и С (у) в слу-
случае эллипсоидальных волновых функций являются теми же самыми, что и
в случае эллипсоидальных гармоник. В силу и. 15.1 1 это означает, что
единственным случаем, представляющим интерес с точки зрения эллипсои-
эллипсоидальных волновых функций, является случай, когда A) имеет решение,
являющееся двояко-периодической функцией от г с периодами 4К и 4(К'.
Это в точности исключительный случай предыдущего абзаца. Двояко-перио-
Двояко-периодическим решением является и0 (г) и оно называется волновой функцией
Ламе первого рода. Есть два условия для существования такого решения,
одно является условием на о, а другое — на р.. Если задано <о( = (а2 — й2I/2к
в случае волнового уравнения), то эти два условия определяют собственные
значения как для h, так и для /.
Начиная отсюда, мы будем предполагать, что в уравнении A) <о фикси-
фиксировано, a h и / принимают собственные значения. Если m —s- 0, то собствен-
собственные значения / стремятся к числам /fi = rt (rt+1) &ч, где п = 0, 1, ... , причем
каждому числу 1п соответствуют In \ 1 собственные значения А, а именно
собственные значения h, соответствующие многочленам Ламе (см. п. 15.1 1).
Это показывает, что при <о = 0 собственные значения для / вырождены (или
кратны), это вырождение нарушается, если ш ф 0 (см. также Стретт, 1935,
стр. 67).
Если Ли/ принимают собственные значения, то и0 (г) является волновой
функцией Ламе пгрвого рода. Мы видели выше, что в этом случае и0 (— г)
и и0 B) линейно зависимы, т. е. и0 является либо четной, либо нечетной
функцией от г, и можно доказать, как в п. 15.5.1 и 16.4, что м0 также
является четной или нечетной функцией от г — К и от г—К—К'г. В соот-
соответствии с четностью в точках О, К, Х + К'« функции Ламе первого рода
можно подразделить на восемь классов. Функция, принадлежащие одному
и тому же классу, можно охарактеризовать числом их нулей в промежут-
промежутках (О, К), (К, К + К'г). Для этих функций, однако, нет ни стандартных
определений, ни хорошо развитой системы обозначений.
Как и в п. 15.5 и 16.4, свойства волновых функций Ламе в точках
Z = 0, К, K-\-tK' можно использовать для постановки ряда задач Штурма —
Лиувилля на промежутках (О, К) и (К, К + К'/). Как и в п. 15.5, каждая
волновая функция Ламе является общей собственной функцией для двух
задач Штурма—Лиувилля, одна из которых ставится на промежутке (О, К),
а другая — на промежутке (К, K-\~K'i). Для каждой из этих двух задач
Штурма—Лиувилля мы получаем характеристические кривые, т. е. графики

192 гл. 16. функции матье
собственных значений А как функций от /. Собственные значения Аи/
являются координатами точек пересечения этих кривых на (А, /)-плоскости.
Свойства ортогональности волновых функций Ламе вытекают из свойств
ортогональности функций Штурма—Лиувилля в сочетании со свойствами
симметрии в точках О, К, К + К'/.
По-видимому, для волновых функций Ламе неизвестно никаких ин-
интегральных уравнений, однако Мёглих (Moglich; 1927) вывел интегральное
уравнение для эллипсоидальных поверхностных волновых функций. Из
16.1 B1), B2) видно, что функция
G)
удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных
-/}'P = 0. (8)
Регулярные на поверхности эллипсоида (см. п. 15.1.1) решения уравне-
уравнения (8) мы будем называть эллипсоидальными поверхностными волновыми
функциями. Через
1е, Ф?=0 (9)
сокращенно обозначим уравнение (8), преобразованное к координатам <р,
6, введенным в 15.5 D5). Рассмотрим теперь выражение
ехр [/к (х sin в' cos <р' + у sin 9' sin <р' + z cos в')], A0)
которое при фиксироваиных 6', <р' представляет плоскую волну и, следова-
следовательно, является решением уравнения AW + k2W=0. Используя 15.1 (8) и
15.5D5) и полагая <о = (аа—6*I//2к, получаем для A0)
К F, ф; в', <p')=exp[»4o(fcsnasinesine'cosq>cosq>' +
+» pcaasinesin6'sinq>sin<p' + t dnacos9cos6')]. A1)
Мёглих показал, что при любом фиксированном а функция К удовле-
удовлетворяет уравнению
Aв>ч>-/.е,ф,)Я = 0, A2)
и вывел с помощью процесса, использованного в пп. 15.5.3 и 16.3, что для
каждого фиксированного а собственная функция интегрального уравнения
Ь, ф; 6', ф')^(9', <p')sinO'd9'd<pf = XipF, <p) A3)
о о
является эллипсоидальной поверхностной волновой функцией, выраженной
в координатах 9, ср п. 15.5D5).
Весьма мало известно относительно конкретного построения волновых
функций Ламе. Эллипсоидальные поверхностные волновые функции при <в-*0
сводятся к эллипсоидальным поверхностным гармоникам, и это подсказы-
подсказывает искать разложения эллипсоидальных поверхностных волновых функций
в ряды по произведениям функций Ламе (т е. в ряды по произведениям
эллипсоидальных поверхностных гармоник). Для малых значений со эти раз-
разложения сходятся достаточно быстро (Стретт, 1932, стр. 67 и далее).
Мёглих (Moglich; 1927) полечил много разложений волновых функций
Ламе с помощью различных разложений ядра интегрального уравнения A3)
и подстановки различных частных значений а (обычно 0, ±К, ± К ± К'/).
Наиболее существенными из этих результатов являются разложения эл-

16.14. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ЛАМЕ 19*
липсоидальных поверхностных волновых функций в ряды по сферическим
поверхностным гармоникам, разложения волновых функций Ламе в ряды
по функциям Лежандра переменного k'~1Am (другими возможными пере-
переменными являются sn г, ksnz, cnz, ikk'~xcm и dnz) и разложения вол-
волновых функций Ламе в ряды по сферическим функциям Бесселя 16 9F).
Эти последние ряды представляются наиболее удобными для изучения асимп-
асимптотического поведения волновых функций Ламе при г-» «К'.
Волновые функции Ламе второго и третьего рода могут быть получены,
если заменить в разложениях Меглиха по функциям Бесселя i])^1' на ~^j\ j =
= 2, 3, 4 (Мёглих рассматривал ряды с ф^4', которые называл интегралами вто-
второго рода). Для эллипсоидальных волновых функций величины В и С в
п. 16 1.4 являются волновыми функциями Ламе первого рода, в то время как
А является волновой функцией Ламе первого или третьего рода в зависи-
зависимости от того, строится ли эллипсоидальная волновая функция внутри или
вне эллипсоида.
Относительно дальнейшей информации об эллипсоидальных волновых
функциях см Malurkar A935) и Moglich A927).

ГЛАВА 17
ВВЕДЕНИЕ В ФУНКЦИИ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
Предварительные замечания Целью этой главы является главным обра-
образом дать первоначальную информацию относительно часто встречающихся
функций теории чисел н указать, где можно найти дальнейшие результаты.
Мы не стремимся при этом к полному охвату материала, и, в частности,
будет опущена вся теория алгебраических чисел, равно как и все вопросы,
требующие определения группы, нормирования или других алгебраических
понятий
Для того чтобы не давать слишком много ссылок в тексте, мы приве-
приведем здесь список тех стандартных работ, к которым надо обращаться за
информацией относительно вопросов, рассматриваемых в каждом индивиду-
индивидуальном пункте Относительно всей главы 17 наиболее полным является труд
Диксона (Dickson, 1919—1923) Относительно отдельных пунктов смотри:
17.1. L E. Dickson, 1919, т I, Hardy и Wright, 1938, 1945.
17 2. Mac Mahon, 1915, 1916; Hardy и Wright, 1938, 1945.
17.3 L. E Dickson, 1919—1923
17.5. Landau, 1927, т. I.
17.6 Landau, 1927, т. I; Hardy и Wright, 1938, 1945.
17.7. Landau 1927, т. II; Титчмарш, 1947, 1953; Ингам, 1936.
17.8. Landau, 1927, т. I, 1909, т I
17.10 Landau, 1927, т. И.
17.1. Элементарные теоретико-числовые функции,
порождаемые дзета-функцией Римана
17.1.1. Обозначения и определения. На протяжении этой главы будут
использованы следующие обозначения
/, т, п обозначают натуральные числа (за исключением случая, когда
даются другие обозначения)
т | п означает, что т делит п.
т)(п означает, что т не является делителем п.
(т, п) обозначает наибольший общий делитель тип.
Если (т, л)=1, то мы говорим, что тип взаимно просты.
2, JJ —сумма или произведение, взятая по всем (положительным) дели-
А п d\n телям d\n.
2 —сумма по всем т, взаимно простым с п
обозначают простые числа, т. е. числа > 1, но не имеющие
йелителеи> за исключением единицы и самого числа.
Р> Pit Pa \
Яг Я* I

17.1. ФУНКЦИИ, ПОРОЖДАЕМЫЕ ДЗЕТА-ФУНКЦИЕЙ РИМАНА J95
2ТТ —сумма или произведение, взятые по всем простым числам р=
' А1 —9ЧЧ7 11
л = р?'р«*...р^ A)
является каноническим разложением числа п, т. е его записью в виде про-
произведения степеней различных простых чисел. За исключением случая л=1,
мы будем предполагать
О]>0, ай>0 а„>0. B)
v (л) обозначает число различных простых делителей числа л; v(l) = 0.
<р(я) обозначает функцию Эйлера. Она равна числу положительных
целых т, взаимно простых и не превосходящих л.
Ф* (я) = 2 т*: ^(п) = ф (я)
(/п, л)=1, 1<т<п
/д(л) при k = \, 2, 3, ... обозначает функцию Жордана. Она равна
числу различных множеств из k (равных или различных) на
туральных чисел <л, наибольший общий делитель которых
взаимно прост с л. Обычным обозначением для Jk(,n) является
т*(л)
d(n)==2j\—число делителей л.
dk(n) при k = 2,3,4,... обозначает число способов представить л
в виде произведения k различных множителей. Разложения,
отличающиеся порядком сомножителей, рассматриваются как
различные
обозначает сумму k-x степеней делителей числа л (включая 1 и л).
D)
Вместо at (л) мы будем часто писать а (л).
Следующие обозначения связаны с каноническим разложением A) чис-
числа л
Я, (я) обозначает функцию Лиувилля. Если л имеет каноническое разложе-
разложение A), то А,A) = 1 н Я.(л) = (-1)а'+ +V
|л(л) обозначает функцию Мебиуса, ц A) = 1, |х(я) = (—1)*, если a1=ots =
= ...=av=l В остальных случаях (i(л) =0.
Л (л) равно нулю, за исключением случая, когда п = рт, где р—простое
число. В этом случае
Л (я) = In p
Мультипликативные функции. Функция f(n), определенная для всех
натуральных л и такая, что
f(n)f(m) = f (пт), если (л, яг) = 1, E)
называется мультипликативной. Если f (a) f(m)=f(nm) для всех /я и я, то
f (n) называется вполне мультипликативной Применяются также термины
факторизуемая и дистрибутивная
Ф>нкцин, которые мы будем использовать в этой главе, называют также
арифметическими функциями Это название связано с тем, что все указан-
указанные функции /(л) определены для всех натуральных значений п.

196
ГЛ. 17. ВВЕДЕНИЕ В ФУНКЦИИ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
17.1.2. Явные выражения и производящие функции. Если л записано
в каноническом виде A), то <рA) = 1, Jk(\) = l и при п > 1
Pv1)' F)
(8)
Для мультипликативной функции ? (п) справедливо фундаментальное тож-
тождество
которое имеет место, если стоящий слева ряд абсолютно сходится. В этом
случае произведение в правой части равенства также абсолютно сходится
и называется произведением Эйлера для данного ряда. Если функция / (и)
вполне мультипликативна, те 1 + ? (/>)+?(/>*)+... является геометрической
прогрессией, и мы имеем
^,f{n) = J\[l—f(p)]~l, f(n) вполне мультипликативна.
Л = 1 Р
Применяя фундаментальное тождество для вполне мультипликативной
функции n~s и для некоторых связанных с ней мультипликативных функ-
функций, получаем ряд тождеств для дзета-фуикции Римана. Дзета-функция бу-
будет изучена в п 17 7, и многие из указанных ниже тождеств получаются
описанным способом-
л=1
Res>l.
Res>2,
Res>l,
Res> 1,
Res> 1, *«=2, 3,
A0)
A1)
№

17.1. ФуНКЦИИ, ПОРОЖДАЕМЫЕ ДЗЕТА-ФУНКЦИЕЙ РИМАНА 1Э?
вйе,^,,.,-, Res>u A4)
П = 1
оэ
)= ~2jOk{n)n~s, Res> max(l, ReA+1), A5)
П=1
Л=1
Res>max[l, Rea + 1, Re6+1, Re (a+b) + l], A6)
A7)
n=i
где Р —многочлен Лежандра (определен в п. 3.6 2),
?(«)
A8)
где штрих означает дифференцирование по переменной s. Соотношения A4),
A6) были открыты Рамануджаном, а A7) доказано Титчмаршем; A6) обоб-
обобщено Чоула (Chowla; 1928).
Функции в левой части равенств A0)—A8) могут рассматриваться как
производящие функции для коэффициентов при n~s в правой части в силу
следующей леммы.
' 00
Лемма. Если 2c"n~J обращается а нуль для всех вещественных
Л = 1
s^Sn, и если ряд абсолютно сходится при « = s0, то с„ = 0 при п =1,2,
3, ... (см. Hardy, Wright, 1945, п. 17.1).
17.1.3. Соотношения и свойства. Функции <р (п.), (i(n) и J^in) мульти-
мультипликативны и
2 A9)
Функции q>(n) и |i(n) связаны формулой обращения Мёбиуса (ее назы-
называют также формулой Дедекинда—Лиувилля). Пусть [(а) определено для
всех «=1, 2, 3, ..., и пусть
B0)
Тогда
/(rt)=2n(d)g(n/d) ш B1)
d\n
и обратно. В частности,
i[i(d). , B2)
d\n d\n
Формула обращения Мёбиуса является следствием формулы
7 Г. Бейтмен? А. Эрдейи

1^ ГЛ. 17. ВВЕДЕНИЕ В ФУНКЦИИ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
Ее можно записать также в виде
f(x) — 2 Р (m)m ~*F (тх)> B4)
если
CD
F(x)= 2 m~sf(.mx)> B5)
где f (х) определено для всех х > 0, | f, (х) \ = О (дЛ), когда *->оо и Re s> so+2.
Другая формула обращения (см. Hardy и Wright, 1945, гл. 16) состоит
в том, что следующие два равенства определяют взаимно обратные преобра-
преобразования
()
П=1 Л=1
Здесь х—вещественное положительное переменное, [х]—наибольшее целое
<х, причем пустая сумма (например, первая при х < 1) интерпретируется
как нуль. Если F{x) — l для всех х, то это приводит к формуле
JLl=i.
Формула обращения Мебиуса была оообщена (см. Cesaro, 1887;
Н. F. Baker, 1889, Gegenbauer, 1893, Bell, 1926) Она используется для
определения арифметического интегрирования и дифференцирования. Функцию
g(n) в формуле B0) называют «интегралом» функции f (п) (см. L. E Dickson,
1919, т. I, гл 14). Другие связи между |х и ф были установлены Радема-
хером и доказаны Брауэром (R. Brauer; 1926):
Ф (о) \ a J jL*l \ a j
d\m, (d, n)=l d\{m, л)
Для функции ф имеем
О, если п четно,
—л, если п нечетно,
. +пг, B8)
где г=1, 2, 3, ... и [д;] обозначает наибольшее целое <х;
У (n/d)<?k(d) = l*+2ft+ ... + я*, *=0. 1. 2 B9)
2|л
(Э0)
п
Ига |-
л-s-co [ла
8ф8(й) = B
фA)+ФB)+ ...+Ф(п)]1 -А, C2)
C3)

17.1. ФУНКЦИИ, ПОРОЖДАЕМЫЕ ДЗЕТА-ФУНКЦИЕЙ РИМАНА 199
где V—постоянная Эйлера. Девенпорт (Davenport; 1932) доказал, что при п-*<ю
и получил аналогичные результаты при a < 0.
Функцию |х (л) можно представить в виде
2 C4)
{т, п)= 1
Это показывает, что ц (п) является суммой первообразных корней n-й степени
из единицы, т. е. суммой таких чисел р, что р" = 1, но ртф\, если
1<т<я. Эти числа р являются корнями многочлена
U C5)
степени ф (л).
Относительно следующих ниже результатов см. Landau A927, т. 2, гл. 7)
и Титчмарщ A953). Пусть
М(л)=-цA) + И2)+...+|1(п). C6)
Тогда при п -*¦ оо
[>. (??!)] C7)
где Л—вещественная положительная постоянная. Следствием этого резуль-
результата является
C8)
Я=1
Гипотеза Римана (см. п. 17.7) вер ia тогда и только тогда, когда
2 |*(я)я-' C9)
/t=i
сходится для всех s, принадлежащих полуплоскости Re s > 1/2.
Для Л(п) аналогом C8) является
АЛ(п)-1_ ^ D0)
Л=1
где у означает постоянную Эйлера, определенную в 1.1D). См. также Kie-
Относительно следующего ниже перечня свойств а (п) ad (в) см. Hardy,
Wright A945, гл. 18). Мы имеем
о (я) = О (n In Inn),
а B)+...
Существует положительная постоянная А такая, что
о(п)Ф(п)
А < ^г <il»
lim sup {а„(п) л"»} = ?(«). "»>
Я* со
sup_^L=eT
• <р П Ш Ш П

200 ГЛ. 17. ВВЕДЕНИЕ В ФУНКЦИИ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
(см. Gronwall, 1913). Относительно случая —1 < а < 0 см. Bellmann A950).
Вайдинатасвами (Vaidyanathaswamy; 1930, 1931) показал, что
ok(m,n)=
d\(m, я)
и Ватсон (G. N. Watson; 1935) нашел, что для любого фиксированного целого k
ойт+1{п) делится на к для почти всех значений п. Выражение «почти все»
определено в начале п. 17.2.
Если е > 0 произвольно и фиксировано, то для всех достаточно больших
значений п
d (п) < 2A+е) ln n/In ln "
и для бесконечного числа п
d(п) > 2^~е^п л/1п 1п п.
При п~>- оо
d{l) + dB)+...+d(n)=nlnn+By-\)n + O(n1's),
где у—постоянная Эйлера. Относительно d(d(n)) и связанных с этим вопро-
вопросов см. Ramanujan A915).
Асимптотическое поведение
dk(\) + dkB)+...+dk(n)
при больших значениях п изучил Титчмарш (Titchmarsh; 1938).
Если Q (я) означает число целых /и, 1 <т<;я, которые не делятся на
квадрат целого числа > 1, то при п-+ оо мы имеем
Общие теоремы относительно арифметических функций. Бсллмаи и
Шапиро (Belimann and Shapiro; 1948) доказали, что функции ф(п), а(п),
d (n), 2V (n), [I (п) алгебраически независимы.
Шёнберг изучил асимптотические свойства класса арифметических функ-
функций. Относительно изучения аддитивных арифметических функций см. Erdos
и Winter A939). Относительно других результатов см. Е. Т. Bell A930),
D. H. Lehmer A931).
17.2. Разбиения
17.2.1. Обозначения и определения. Мы будем писать
а = 6 (mod n), A)
если а—Ь является целым числом, делящимся иа п.
Пусть {я,}, v=l, 2, 3, ... , — некоторое множество S натуральных чисел,
и пусть N (х)—число тех а„, которые не превосходят х. Предположим, что
существует
lim x~1N(x) = a. B)
Х-*- с»
Если а = 0, то говорят, что почти все целые числа п не принадлежат S.
Если а = 1, говорят, что почти все целые числа п принадлежат S.
Количество разложений
... +тк, k=l, 2, 3 C)
числа п в сумму любого количества натуральных чисел тх, та тк, где
. S» mk, D)

17.2. РАЗБИЕНИЯ 201
называется числом разбиений п и обозначается р (л). Если k ограничено
условием
E)
то число разбиений п на не более чем I частей мы обозначаем через Pi(n).
Если mt также ограничено, /пг<Л/, то мы обозначаем через Pitf/(n) число
разбиений п на не более чем / частей, каждая из которых не превосходит N.
Число разбиений в на четное число неравных слагаемых будет обозначаться
через Е(п), а на нечетное число неравных слагаемых—через U (п).
17.2.2. Разбиения и производящие функции. Если Р (п)—число разбие-
разбиений л некоторого типа, и если для достаточно малых | х | сходится ряд
2 P(n)xn=F~(x), F)
n=l
то производящая функция F (х) называется энумератой для Р (л). Иногда
удобно рассматривать и случай, когда F @) ф 0; тогда Р@) определяется
как F @). Мы имеем
Соотношение (8) выражает тот факт, что рт (п) является также числом раз-
разбиений л иа части, каждая из которых не превосходит т. Можно показать,
что число разбиений л на точно т равных частей, равно числу разбиений п
на части, наибольшая из которых в точности равна т.
Многие теоремы о разбиениях можно установить в виде некоторых тож-
тождеств для энумеративнон функции F (х). Эти тождества обычно имеют сле-
следующий вид: F (х) выражается как бесконечное произведение и как ряд;
как произведение, так и каждый член ряда могут быть разложены в степенной
ряд по х. Примеры:
И
k
И П }
k=\ k=l
Тождества Эйлера:
" „А*
*A1)
A2)
A3)
-^JU-**)...A-*!*)

202 ГЛ. 17. ВВЕДЕНИЕ В ФУНКЦИИ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
^ П4)
Тождества Якоби:
09 00
= 1+2 хп* (гал+г-ал)— JJ xm%%tm% г ф Q> A6)
n=l m=- со
00 09
— n (n+i)
** , A9)
- B0)
II {(I—*s*+8)(l—*6*+8)(l—*6*+Б)}= 2 i—l)mx* - B1)
6 — 0 fltc — (X)
Тождества Роджерса—Рамануджана:
II U»-'
Д |A-^+г)-1A-^+3)-х) = 1+^ B3)
*=о m=i
Тождества A7)—B2), а также A5) получаются из формулы Якоби A6)
при z = e"w, x = etr", при этом правая часть равенства A6) превращается
в разложение Фурье функции 03(«|т), а левая часть —в разложение 83 в
бесконечное произведение, где 6S—одна из эллиптических тета-функций в обыч-
обычных обозначениях (см. гл. 13). Обзор связей между задачей разбиения и мо-
модулярными формами дан Радемахером (Rademacher; 1940).
Формулы (9) —B3) можно сформулировать как теоремы о разбиениях.
Например,
Формула (9) показывает, что любое натуральное число п можно пред-
представить в точности одним способом как сумму различных степеней числа 2.
Формула A0) устанавливает тот факт, что число разбиений п на неравные
части равно числу разбиений на нечетные части.

17.2. РАЗБИЕНИЯ 203
Формула A5) показывает, что
?(n)-t/(n) = (-l)*, если n=i-ACft± 1), ft=l, 2, 3, .... т,
Е(п) — U (п) = 0 для всех остальных га,
здесь Е и U определены, как в п. 17.2.1.
Общий член суммы в правой части равенства B2) позволяет иайтн число
разбиений для я —тг на не более чем т частей. Так как
то этот общий член позволяет также найти число разбиений я на не более
чем т слагаемых с наименьшей разностью 2. Таким образом, равенство B2)
эквивалентно следующему утверждению: число разбиений я на части вида
5m -f 1 и 5т+ 4 равно числу разбиений п на части с наименьшей разностью 2.
Относительно соответствующей теоремы о числе разбиений на части вида
6/л + 1, 6/л + 5 см. Schur A926); асимптотическая формула для этого числа
была дана Нивеном (Niven; 1940).
Относительно некоторых тождеств теории разбиений см. D. H. Lehmer
A946) и Alder A948).
17.2.3. Свойства сравнений. Рамануджан (Ramanujan; 1919, 1921) вы-
высказал предположение, а Дарлинг (Darling, 1921) в Морделл (Mordell, 1922)
доказали, что
р Eя + 4) за 0 (mod 5), B4)
рGя +5L^0 (mod 7), B5)
рA1л + 6) = 0 (modll). B6)
Эти формулы могут быть выведены из некоторых тождеств, первые два
из которых имеют вид
ю /t „R6\S
B7)
Существует аналогичное тождество для энумеративной функции рA3в+6),
которое было открыто Радемахером и Цукерманом (Rademacher and
Zuckerman; 1939). Однако не все члены в правой части этого тождества
делятся на 13.
Ватсон (Watson; 1938) доказал, что если п=Тп', где <п', 7) = 1 и
Ь — 2, 3, 4, ..., и если 24га= 1 (mod7a6-2), то
р (п) = 0 (mod 7*). B9)
Относительно обзора результатов этого типа см. Rademacher A940).
Лемер (D. H. Lehmer; 1936; 1938) доказал, что
рE99) = 0 (mod54), C0)
рG21) = 0 (modll8), C1)
рA4031)з= 0 (modll*). C2)
Это подтверждает, что некоторые предположения Рамануджана справедливы
в отдельных частных случаях. Число р A4 031) имеет 127 цифр и было вы-
вычислено с помощью асимптотической формулы Харди и Рамануджаиа (см.
п. 17.2.4) для р(я).

204 ГЛ. 17. ВВЕДЕНИЕ В ФУНКЦИИ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
17.2.4. Асимптотические формулы и родственные вопросы. Харди и
Рамануджан (Hardy and Ramanujan; 1916, 1918) показали, что
lira 4п31/2р(«)ехр[-лBп/3)г/2]==1. C3)
Л -> СО
Они получили также асимптотический ряд для р(п) вплоть до членов
порядка 0(п~1/4); так как р (п)—целое число, то с помощью этого ре-
результата можно вычислять, пользуясь асимптотическим разложением, точ-
точные значения р(п) для достаточно больших значений п (D. H. Lehmer; 1938).
Относительно упрощенного доказательства см. также Кпорр и Schur A925).
Лемер (D. H. Lehmer; 1937) показал, что ряд Харди—Рамануджана расхо-
расходится. Радемахер (Rademacher; 1937 a, 1937 b, 1943) получил замечательный
сходящийся ряд для р (л), а именно
[т
(ft,
Формула суммирования для р(п) была дана Аткинсоном (Atkinson; 1939).
Хусими (Husimi; 1938) изучил интегральные представления для рт(п).
Трпкоми (Tncomi; 1928) установил асимптотическое поведение для
Pi,n(*)> а Бригем (Brigham; 1950)—общие асимптотические формулы для
функций разбиения.
Относительно вопросов, связанных с этим пунктом, см. также Rade-
Rademacher A940).
17.3. Представления в виде суммы квадратов
Общие замечания. Задача представления целого числа в виде суммы
квадратов является частным случаем задачи представления числа с помощью
(положительно определенной) квадратичной формы. Относительно этой
последней проблемы см. Siegel A935, 1936, 1937) и Minkowski A911). Пред-
Представление л в виде суммы квадратов можно также рассматривать как
частный случай задачи представления в в виде суммы фиксированного
числа k-x степеней. Относительно результатов в этой области см. Landau
A927, т. II).
Вычисление (или приближенное вычисление) суммы 2 Тк (") являет-
ся задачей подсчета числа точек целочисленной решетки внутри fe-мерной
сферы. Относительно случая k — 2 и общего случая целочисленных решеток
в двумерном пространстве см. Landau A927, т. II), а также п. 17.10.
17.3.1. Определения и обозначения. Пусть fe^2—фиксированное целое
число. Обозначим через rk (га) число представлений п в виде суммы k квад-
квадратов целых чисел

17.3. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ВИДЕ СУММЫ КВАДРАТОВ 205
где 1Ь ... , lk не обязательно должны быть отличными друг от друга и
могут быть отрицательными числами или нулями. Два представления счи-
считаются различными, если они содержат одни и те же числа lv ... , 1&, но
в разном порядке. Например, мы имеем г2B)=-4, так как 2=1а+12 =
= (— 1J+13 =12 + (— 1)- — (— 1)^ + (— IJ. Мы будем использовать суммы
степеней некоторых делителей п Пусть d*, d*\ id', d", d+, d_, dx, d3, ds,
dt—любые (положительные) делители п, удовлетворяющие условиям
d* = 1 (mod 4), d** == 3 (mod 4), B)
n/d'= 1 {mod 4), n/d" = 3 (mod 4), C)
rf+ = 0 (mod 2), d_ = 1 (mod 2), D)
3= 0 (mod 2), fifa = 0 (mod 2), 1 „
ds = 1 (mod 2), n/d3 = 1 (mod 2),
d3^ 0 (mod 2), n/d.f ^ 1 (mod 2),
d4 = 1 (mod 2), ra/d4 = 0 (mod 2).
Положим
Ek(n)^d*k-^,d**k, G)
)=? <*'*-2 <*"*. (8)
0)
A0)
Мы используем также коэффициенты разложений некоторых произведе-
произведений эллиптических тета-функцнй в степенные ряды. Пусть 9, (и, х)
[v = l, 2, 3, 4; 64(и, т) = 00(«, т)] обозначает четыре эллиптические
тета-функции (см. гл. 13). Мы б>дем писать 8V вместо 6„@, т) и q вместо е'1".
Тогда имеем
(!-?«*) A+?«*)«, A3)
Используя эти бесконечные произведения для 64, 6г, 63, определим
функции п (т), W {m), G (т), в (т) с помощью их производящих функций:
1о ^ it (m) q'" = O2D3O11 A5)
16 2 w(m)?'B=eieie!, Об)
со
т= о
CD
16 2 G(m)9/B=eJe!oS(eJ-e|). A8)

206 гл. 17. введение в функции теории чисел
17.3.2. Формулы для rk{n). Представления в виде суммы четного числа
квадратов. Глешер (Qlaisher; 1907) дал обзор известных формул для г2[(п),
где 21 = 2, 4, ..,, 18. Его таблица была пополнена Рамануджаном (Ra-
manujan; 1918), который дал формулы для г2С, г22, г24. При 2/^12 эти
формулы содержат функции Q (я), W (п), в (я), G (п), которые не имеют теоре-
теоретико-числового смысла. (Формулы, содержащие лишь выражения, имеющие
теоретико-числовой смысл, были даны Булыгиным (см. Dickson, 1939,
т. II, стр. 317). При 2/= 10 и 2/= 18 формулы в таблице Глешера содержат
также сумму степеней некоторых комплексных делите ней п. При этом под
комплексным делителем п мы понимаем число a-\-ib, где a, b — целые,
такое, что (а2 + 62)|я Если опустить эти два случая, то таблица Глешера
имеет вид (в обозначениях п. 17.3.1):
г2(п) = 4Е„(п), A9)
^(«) = {-1)л-18?1(я), B0)
г,(п)=4{4Е»(п)-Е1(п)\. B1)
) 1)»Ч B2)
B3)
Bя+ 1) = 8 { Дв Bя + 1) + 2Q Bя + 1) } , B4)
ruW=~{ 64Я'в (я) - Е, (я) + 364Г (я) } , B5)
B6)
Относительно формулы для л24 см. п. 17.4. Формула для гг(п) эквива-
эквивалентна тождеству в теории эллиптических тета-функций, а именно
= 1 + 4 "V <J qMm-з)" — qlim-i)" I
re, /n=i v )
B7)
Как следствие A9) получаем следующий критерий. Пусть k (p) — наи-
наивысшая степень простого числа р, на которую делится я. Для того чтобы я
можно было представить в виде суммы двух квадратов, необходимо и до-
достаточно, чтобы k (p) было четным при р —3 (mod 4).
Формула B0) эквивалентна знаменитому тождеству Якоби
eS=J "
= 1+8 ]^ {я?ляг—4nqinm}. B8)
Это тождество можно сформулировать следующим образом- число представ-
представлений я в виде суммы четырех квадратов в восемь раз больше суммы всех
делителей п, которые не делятся на четыре. Для всех нечетных я оно
в восемь раз больше (а для четных л в 24 раза больше) суммы четных
делителей я. Отсюда вытекает теорема Лагранжа: каждое целое я > 0 может
быть представлено в виде суммы четырех квадратов. Отсюда следует также,
что rk(n) > 0 для всех я и й = 4, 5, 6, ...

17.4: функция рамануджана 207
Представление в виде суммы нечетного числа квадратов. Эта задача
более сложна, чем задача представления в виде суммы четного числа квад-
квадратов. Число п можно представить в виде суммы трех квадратов тогда и
только тогда, когда п не имеет вида
4°(8ft + 7), a, 6 = 0, 1, 2, ... B9)
Для нечетных значений п Эйзенштейн (Eisenstein; 1847) показал, что
C0)
C1)
где f-rrj—символ Лежандра—Якоби, который будет определен в п. 17.5.
Если т—нечетное число и не делится на квадрат простого числа, то
г6(п) = — 80s, — 80о\ -112а, 80s, C2)
соответственно
п= 1, 3, 5, 7 (mod 8).
Это утверждение было сформулировано Эйзенштейном (Eisenstein; 1847) и
доказано Смитом (Smith; 1894) и Минковским (Minkowski; 1911).
Применяя символ Лежандра—Якоби из п. 17.5, имеем
л/2-l/S Л/2-1/Я
¦- L -> * • - 2 » * •
Харди (Hardy; 1920) доказал, что число гь(п) примитивных представ-
представлений я в виде суммы пяти квадратов (т. е. представлений, для которых
наибольший общий делитель пяти квадратов есть единица) равно
p? (^ C3)
где
с=80, 160, 112
в соответствии с
лзО, 1, 4, п^2, 3, 6, 7, га=5 (mod8).
Относительно более общих результатов, в частности, для г^(п) см.
Mordell A919 b), Stanley A927), Hardy A918, 1920, 1927).
Харди и Рамануджан (Hardy and Ramanujan; 1918) нашли асимптоти-
асимптотические разложения для rk{n), которые точны при fe = 3, 4, 5, 6, 7, 8.
17.4. Функция Рамануджана
Определим функцию Рамануджана т(п) для л = 1, 2, 3, ... равенствам

20$ гл. 17. введение в Функции теории чисел
Функция Рамануджана связана с функцией rai{n) (определенной в п. 17.3.1)
соотношениями
~А24Bп)=о11Bп)-2о'11(«)-8 [259т Bп) + 512т (п)], B)
691
-jg- гг1 Bn +1)=0U Bn +1) + 2072т Bга +1), C)
где ап(т)—сумма одиннадцатых степеней делителей т и a'lt(m) —сумма
одиннадцатых степеней его нечетных делителей; см. Ramanujan A916),
Hardy A927).
Рамануджан высказал предположение, доказанное Морделлом (Mordell;
1919 b), что т(п) является мультипликативной функцией (в смысле п. 17.1 1)
и что
2 %(п)п-**=Л[1~*(р)р-*+РП-1вГ1, D)
П=1 Р
где Res > 13/2 и произведение взято по всем простым числам р. Морделл
доказал также, что для всех р
т(Г'») = т(р)т(р'в-1)-р"т(рт-2), т = 2, 3, 4, ... E)
Из формулы E) вытекает, что т(р") является многочленом от т(р) и р11;
этот многочлен был определен Сенгупта (Sengupta; 1948). Относительно раз-
разложения 2 т (п) (x—n)k в ряд, содержащий функции Бесселя, см. Wilton
п < х
A929) и п. 17.112; относительно других рядов, содержащих х(п), см. van
der Bhj» A948)
Рамануджан высказал предположение, доказанное Ватсоном (Watson;
1935), что почти для всех и (в смысле, определенном в начале п. 17.2) т(п)
делится на 691. Это утверждение справедливо, однако, как показал Рама-
Рамануджан, т(п) не делится на 691, если
1<га<5000, « 5^ 1381.
Вальфиш (Walfisz; 1938) показал, что почти для всех п х{п) делится на
2в-32-52'7-69]. Относительно свойств делимости т(п) см. также Wilton A929),
Bambah и Chowla A947). Лемер показал, что если п< 214 928640 то
Т(ПO=О.
Морделл (Mordell; I917) доказал формулу, аналогичную формуле D),
для коэффициентов t (я) ряда
2 (-ч-fl
Л=1
Она имеет вид
is}-i, G)
Этот результат также был сформулирован ранее Рамануджаном. Относи-
Относительно других результатов и обобщений см. Rankin A939).

17.5. СИМВОЛ ЛЕЖАНДРА—ЯКОБИ 209
17.5. Символ Лежандра—Якобя
В этом пункте р, ри р2, ... обозначают нечетные простые числа, а
и, о—нечетные натуральные числа.
Целое число k назовем квадратичным вычетом (mod n), если сравнение
** за k (mod n) A)
имеет целое решение х. Определим символ Лежандра—Якоби (—J для всех
fe=0, ±1, ±2, ... и всех и = 1, 3, 5, 7, ... следующим образом. Если
и = р является нечетным простым числом, то
f — J=-l, если p\k и k является квадратичным вычетом (modp); B)
f — J = — 1, если pfa и ft не является квадратичным вычетом (mod /?); C)
(|-)=0,еслир|й. D)
Если и = р1рг... рг является произведением нечетных простых чисел
(не обязательно различных между собой), то положим
Если и и V—нечетные натуральные числа и (я, с) = 1, то
(?.\ flL\ =(_ !)(«/*-1/а) <»/a-i/s)f F)
J/*, G)
>/». . (8)
Равенства F), G), (8) называются соответственно квадратичным законом вза-
взаимности и его первой и второй дополнительными теоремами. В частности,
G), (8) устанавливают, чго —1 является квадратичным вычетом (modp)
тогда и только тогда, когда р е= 1 (mod 4), а 2 является квадратичным вы-
вычетом (modp) тогда и только тогда, когда рэ=1 или р = 7 (mod8). Лишь
в случае, когда и—нечетное простое число, из равенства I — 1 = 1 следует,
что k является квадратичным вычетом (mod u).
Символ Лежандра можно обобщить, если использовать теорию алгебраи-
алгебраических полей. См. относительно этого, например, Hasse A930).
ъСуммы Якобсталя. Определим q-ю сумму Якобсталя от s формулой
(fX^) (9)
Пусть простое число р имеет вид р=4/+1, где f—натуральное число.
Тогда р=а*-\-Ь*, где а, Ь—целые. Якобсталь (Jacobsthal; 1907) доказал, что
^ Ф() i<D(l)(p3)(mod8) A0)

&I6 ГЛ. 17. ВВЕДЕНИЕ В ФУНКЦИИ ТЕОРИЙ ЧИСЕЛ
где г обозначает любой квадратичный вычет, а п—любой квадратичный не-
невычет по модулю р. Аналогичные результаты для р = 6/+1 =а2 + 362 были
получены Шрутка (Schrutka; 1911) и Чоула (Chowla; 1949). Относительно
различных других результатов и обобщений см. Whiteman A949, 1952V,
Е. Lehmer A949).
17.6. Тригонометрические суммы и связанные с ними вопросы
Суммы Гаусса. Пусть п — натуральное число. Определим для любого
целого m
П-1
S(m, n)= 23 ехр Bш>2т/я). A)
Если (п, л')— 1, то
S(m, nn') — S(mn', n)S(mn, n'). B)
При т=1
A+0 я1/2, если п = 0,
пх/2, » nal, (mod 4)
0, » я = 2,
Если п=р—простое число и (т., р)—1, то
р—
(у)
г—1
р1/2, если р = 1 (mod 4), D)
/
— \iplh, » p = 3(mod4), E)
где f —-1 обозначает символ Лежандра, определенный в п. 17.5.
Суммы Рамануджана определяются формулой
сп{т)= 2] ехр Bяггт/л), F)
(Г, П) = 1
где сумма берется по множеству таких чисел г = \, 2, . ., п—1, что (г я)=1
Используя функцию Мебиуса (см. п. 17.1), можно записать сп(т) в виде
сп{т) =
где сумма берется по всем натуральным числам й, которые являются общими
делителями пят. Если (п, п')=1, то
Справедливо равенство
23 т-Ч(*0=-Л(л). (9)

17.7. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РИМАНА И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ 211
Относительно доказательств см. Holder A936). Относительно приложений
см. Ramanujan A918); суммы сп (т) важны в вопросах представлений чисел
в виде суммы квадратов. Относительно разложений в ряды см. Carmichael
A932); относительно статистики сумм Рамануджана см. Wintner A942).
Суммы Клостермана. Пусть п > 0—целое число, и пусть г обозначает
целое число 0 < г < п, взаимно простое с я. Тогда существует однозначно
определенное г' такое, что
О < г' < я, rr' == I (mod я), A0)
Суммы Клостермана определяются для целых и, о, я формулой
S(u, v, п) = V4 ехр —- (ur + vr') . A1)
Если (я, m)=I, то
S(u, v, n)S(u, w, m) = S(u, vtn^+wn^, nm). A2)
Относительно приложений см. Kloosterman A926), Atkinson A948). Относи-
Относительно обобщений см A. Weil A948), а также Sahe A931), D. H. Lehmer
A938), Whiteman A945)
Обобщения Суммы Гаусса можно обобщать в различных направлениях
Относительно of общений, связанных с теорией квадратичных форм, см.
Siegel A935, 1936, 1937, 1941). Выражения вида
при фиксированных значениях k > 2 были использованы Харди и Литтл-
вудом для определения так называемых сингулярных рядов в проблеме Ва-
ринга (т. е. в задаче о представлении целых чисел в виде суммы фиксиро-
фиксированного числа k х степеней), см Hardy и Littlewood A920, 1921, 1922а, Ь, 4,
1925) На эти работы обычно ссылаются под названием Partitio Numerorum.
Относительно других типов тригонометрических сумм см И. М Виноградов
A939, 1940).
17.7. Дзета-функция Римана и распределение
простых чисел
Пусть s—комплексное переменное. Тогда при Re s > 1 дзета функция
Римана
?(s)=f]n-* A)
является аналитической функцией от s Как показал Эйлер,
где произведение распространено на все простые числа р = 2, 3, 5, 7,
Интегральное представление

212 ГЛ. 17. ВВЕДЕНИЕ В ФУНКЦИИ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
показывает, что функцию ? (s) можно аналитически продолжить, причем это
продолжение однозначно и регулярно всюду, исключая точку s=l, где она
имеет простой полюс с вычетом 1. Равенство C) показывает также, что
?@) = _±, ?(-2m) = 0, ?<i-2m)=-||, D)
где /п=1, 2, 3, ... и Вт есть т-е число Бернулли (см. п. 1.13).
Ряд Лорана для ?(s)b окрестности точки s=l был получен Стялтьесом.
Мы имеем
где у обозначает постоянную Эйлера (см. 1.1D)) и где лри k=l, 2, 3, ...
(см. Hardy, 1912).
Из C) вытекают функциональные уравнения
? (s) =2V~i sin (Ins) Г A -s) ? A -s), E)
(s)Us). F)
Нули функции ?(s) в точках s=—2, —4, —6, ... являются ее единствен-
единственными вещественными нулями.
Можно показать, что за исключением этих нулей функция % (s) не имеет
нулей, лежащих вне полосы 0 < Res < 1, но что в этой полосе есть беско-
бесконечно много комплексных нулей р, причем
G)
где произведение распространяется на все комплексные нули р и где
6 = ln2n-l-i-Y. (8)
Определение постоянной Эйлера у дано в 1.1D).
Если А—положительная постоянная, s= ~ ' !Л
2nxy = \t\, x>h>0, y>h>0,
то
Это равенство называют приближенным функциональным уравнением для
дзета-функции. О-член в (9) можно заменить асимптотическим рядом по сте-
степеням 11 |~I/2, коэффициенты которого являются тригонометрическими функ-
функциями. См Siegel A931) и Титчмарш A935, 1953).

17.7. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РИМАНА И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ 213
Функция
удовлетворяет функциональному уравнению
g(l-s) = ?(s)
и имеет интегральное представление
О \Л=1 /
Если положить
•=-j-+«. IW = S@, A3)
то из уравнения A2) получаем
n=l
Относительно других результатов, связанных с функцией ? (&), см. п. 1.12.
#1/ли функции ? (s). Риман высказал гипотезу, что вещественная часть
всех комплексных нулей ? (s) равна 1/2 (т. е. функция S (t) имеет лишь
вещественные нули). Гипотеза Римана до сих пор не доказана и не опро-
опровергнута, однако со времени появления работы Римана получено много от-
относящихся сюда результатов. Известно, что для справедливости гипотезы
со
Римана необходимо и достаточно, чтобы ряд 2 y.(n)n~s сходился в полупло-
скости Res> 1/2 (относительно ц(п) см. пп 17 2 и 17.3).
Укажем некоторые известные в настоящее время результаты относительно
комплексных нулей ? (s). П^сть s = a-j-i< Обозначим через iV0G]) число тех
нулей ? (s), для которых сг= 1/2 и 0 < t < Г, через N (Г)—число тех нулей,
для которых 0<с<1 и 0</<Г,и через N (а', Т)— число нулей, для
которых 0 <f <Т и а>о'. Сельберг (Selberg; 1942) доказал существование
такого положительного числа А, что для достаточно больших Т
N0(T)> АТ\пТ. A5)
При Т -»¦ оо имеем
2я^(Г) = Г1п71-A+1п2я)Г + ОAп7'). A6)
Л (а, Г) = О[7'3<1-<1>/B-а)AпГ)Б). A7)
Последний результат был получен Ингамом (Ingham; 1940), и он справед-
справедлив для любого фиксированного а на отрезке 1/2 <с< 1. Выбирая а как
функцию от Т такую, чтобы о—1/2 было достаточно мало, Сельберг (Sel-
(Selberg; 1946) получил улучшение формулы A7).
Относительно некоторых вычислений, связанных с проверкой гипотезы
Римана, см Титчмарш A935, 1936). Титчмарш использова.1 приближенное
функциональное уравнение (9) и заменил 0-члены количественными прибли-
приближениями Это позволило ему вычислить комплексные нули функции ? (s-\-it)
вплоть до * = 1468, и он нашел, что все они лежа1 на прямой а = 1/2, при-
причем их число равно 1041.

214 ГЛ. 17. ВВЕДЕНИЕ В ФУНКЦИИ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
Большое количество теорем было доказано относительно распределе-
распределения значений ? (s). Относительно этих теорем см. Титчмарш A947). Относи-
СО
тельио нулей 2j(n4-a) * см. Davenport и Heilbronn A936).
Я=1
Распределение простых чисел Пусть я (х) обозначает число простых чи-
чисел, не превосходящих х. Тогда при х -+ оо имеем
X
(х)-^ —4-0! i's» I
J In и f
где в—абсолютная положительная постоянная В частности,
lim [х~'я (х) In х] = 1. A9)
Этот результат известен как теорема о распределении простых
чисел. Функция
X
я(х)-[^ = Р(х) B0)
при х -»¦ оо бесконечно много раз меняет свой знак. В самом деле, сущест-
существует постоянная а такая, что как неравенство
,1/2
Р(х)> a ij- In In In x, B1)
так и неравенство
Р (у) < —a iL- In In In у B2)
справедливы для некоторых произвольно больших значений х и у Однако в
пределах вычисленных до сих пор таблиц простых чисел для всех * > 10
выполняется неравенство Р (х) < 0.
Все эти результаты относительно п (х) могут быть дока°аны с помощью
теорем, касающихся распределения нулей ?(s). Если верна гипотеза Римана,
то при х -»• » имеем
P(x) = 0(x1l* In х). B3)
Однако это соотношение в настоящее время не доказано С другой стороны,
если считать доказанным B3) или если считать доказанным, что для любого
е > 0 мы имеем
при *-»-а>, то справедлива гипотеза Римана.
Миллс (Mills; 1947) доказал существование вещественного числа А > 1
такого, что [А3 ] является простым для всех целых /г;з=1, он весьма прос-
просто вывел это утверждение из принадлежащего Ингаму (Ingham; 1937) ре-
результата, а именно из того, что для всех больших х существует простое
число, лежащее между х3 и [x-f-1K См также Niven A951)
Обобщения Дзета функция Дедекинда является аналогом дзета-функции
Римана для полей алгебраических чисел, ? (s) можчо рассматривать также
как дзета функцию Дедекинда для поля рациональных чисел (Hasse, 1927,
1930, Brauer, 1947). Относительно определения дзета функции в «полях ха-

17.8. ХАРАКТЕРЫ И 1-РЯДЫ 215
рактеристики pi ив «простых алгебрах» см F К. Sc'imidt A93I), Hasse
A933), Deuring A935) и Eichler A949) Другими обобщениями дзета функции
Римйна явчяются L ряды Дирихле и их обобщения, а также дзета-функция
П Эпштейна Относительно этих обобщения см. пп 17 8 и 17 9.
17.8. Характеры и L-ряды
Пусть п > 1—фиксированное натуральное число, я пусть т—любое це-
целое число. Будем рассматривать функции %(т) такие, что
1) t(m) = t{m'), если т^т' (roodи),
3) % (т)=0, если (т, га) Ф 1,
4) t
Функции, обладающие этими четырьмя свойствами, называются характерами
по модулю га. Функция
% (т)^} '' если (/и> я)==1> A)
\ 0 в остальных случаях
называется главным характером по модулю га Значения X (т) отличны от
нуля тогда н только тогда, когда (т., п)=1, и ее<р(п)-я степень тогда равна
единице Здесь через <р(п) обозначена функция Эйлера из п 17 1 Характер
называется вещественным, если все его значения вещественны. Вещественны-
Вещественными характерами по модулю п являются главный характер и символ Лежакд-
ра—Якоби (—1. Произведение %а (т) %ь (т) двух характеров снова явля-
является характером по модулю га. Существует в точности <р (п) различных ха-
характеров по модулю п. Если мы обозначим ф (я) через h и h различных ха-
характеров через Хх 5Сд, то
JL h если v = n,
/и V.H-1.2, ...,*. B)
где черта сверху обозначает переход к комплексно сопряженному значению.
Если \т, п) = 1, (т', п) — 1, то
^ случаях.
л
Положив в равенстве B) ц=1, получим ^1Х(т) = 0, где сумма распрост-
т-1
ранена на все неглавные характеры.
Пусть п > 1 —фиксированное целое число, и пусть X—характер по мо-
модулю п. Тогда ряд
I(U)=2"Wm'! Res>l D)
m=i
называется L рядом. L-ряды были введены Дирихле Многие свойства этих
рядов являются общими с дзета-функцией Римана. Аналогом произведения

216 ГЛ. 17. ВВЕДЕНИЕ В ФУНКЦИИ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
Эйлера является
Hr1, Res>l, E)
р
где произведение берется по всем простым числам р. Если Xi обозначает
главный характер, то
i(s,Xi) = S(s)IIA-P"J). F>
р\п
где произведение берется по конечному числу простых чисел, делящийся
на п. Если X Ф Xi, то L(s, X) является целой функцией от s, не обращаю-
обращающейся в нуль при s=l.
Пусть %—характер по модулю п. Предположим, что для некоторого
фиксированного делителя N числа п (N < п) и для всех т и т', удовлетво-
удовлетворяющих соотношению
т==т' (modN), (m, n) — (m', n)=l,
имеем
ХИ=Х(т')-
Тогда характер У. называют импримитивным (mod n) В противном случае %
называют примитивным характером (modn). Если в > 1 и мы берем N=1,
то X импримитивно (mod п), если X(m) = X(>n') при (m, n) = (m', п) = 1. Так
как A, п)=1 и ХA) = 1. то такое X должно быть главным характером (modn).
Следовательно, главный характер (mod n) примитивен тогда и только тогда,
когда п=1.
Пусть X—примитивный характер (modn). Тогда, если Х(—1) = 1, то
L(s,%) обращается в нуль прн s = 0, —2, —4 а если %(—1)=— 1, то
при s=—1, —3, —5, ... Положим
а=~ уХ(-1). G)
Тогда для каждого примитивного характера % при п > 2
l(s, %) = %-s/2-a/2ns'i+a/2r (s/2+a/2)L(s, X) (8)
является целой аналитической функцией, которая ие обращается в нуль вне
полосы 0 < Res < 1. Она допускает представление в виде бесконечного про-
произведения, аналогичное 17.7 G), и удовлетворяет функциональному уравнению
s, х), (9)
где
а
в(Х)= —Ы-Ч*2 ХИ cosBmji/«). A0)
Можно показать, что |е(Х)| = 1.
L-ряды важны для изучения распределения простых чисел в арифмети-
арифметических прогрессиях.
Относительно связей между E) и (9) см. Неске A944), Petersson A948).
Нули функции % (s, X) ведут себя примерно так же, как нули ? (s). Су-
Существует не доказанное до сих пор предположение, что их вещественная часть
равна -и-. Относительно нижней грани для 1A, X) и приложений к теории
чисел см. Siegel A935, 1943), Page A935), Rosser A949).

17.9. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ ЭПШТЕЙНА 217
L-ряды были обобщены (Артином Artin; 1924, 1931, 1932). Артин ввел в
коэффициенты характеры групп, отличных от мультипликативной группы
классов вычетов, взаимно простых с п. (Эти характеры являются коэффи-
коэффициентами в обычных L-рядах.)
17.9. Дзета-функция Эшптейна
Пусть р— положительное число,
g = (gi gp), A = (Alf .... hp), m = (m1, ..., mp)
—векторы с р вещественными компонентами (компоненты т должны быть
целыми) и пусть
A)
V=l
является скалярным произведением g и h и аналогично для других векто-
векторов Пусть fayv] —невырожденная симметричная рхр матрица, [а^]—-об-
[а^]—-обратная (взаимная) матрица. Пусть
р р
м =iv=i
является квадратичной формой, связанной с [а„„], Ф* (х)—квадратичной
формой, связанной с [a,*v]. и Д —определителем матрицы а^. Предположим,
что вещественная часть квадратичной формы ф (*) положительно определена.
Наконец, П}сть s—комплексное переменное.
Дзета-функция Эпштейна порядка р, ассоциированная с квадратичной
формой ф, определяется равенством
- 2 ••• 2' 1Ф («+*)! а ""ехр[2ш(т,А)]. C)
ni,= - л т;)= — so
Штрих указывает, что суммирование ведется по всем целым числам
mlt .., тр, исключая случай, когда все компоненты g целые — в этом
случае надо опустить член m=—g. Ряд абсолютно сходится и определяет
аналитическую функцию or s в полуплоскости Res>l.
Фундаментальной теоремой в теории дзета-функций является функцио-
функциональное уравнение
ПК"
1 1
= Д~я~Ри~*'г|2-рA-<
Функция, определенная равенством C), и ее аналитическое продолжение
являются целыми функциями от s, за исключением случая, когда все
компоненты h целые. В этом случае дзета-функция имеет простой полюс

218 ГЛ. 17. ВВЕДЕНИЕ В ФУНКЦИИ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
в точке 8=1, причем вычет в этом полюсе равен
E)
Дзета-функция обращается в нуль в точках '
s=-2ft/p, fe=l, 2, 3, ... F)
Она также обращается в нуль при 5 = 0, за исключением случая, когда все
компоненты g—целые. В этом случае ее значение при s = 0 равно
-ехр[-2л/(& А)]. G)
Эти результаты принадлежат Эпштейну (P. Epstein; 1903, 1907). Эпштейн
изучил также некоторые частные случаи, например случай, когда р=1 и
р=2 и все компоненты g и h равны нулю. В частности, он вычислил по-
постоянную с0 в разложении Лорана
L n ft \sh— i+co + cl(s — ')+••• W
и и т s^~i
Он показал также, что результаты Герглотца (Herglotz; 1905) можно вывести
из его формул. Герглотц изучил суммы вида
СО °° ,
2 2 (а + 1Ь)п(а* + Ь*)-п/*-*, (9)
где п=0, 2, 4, ... Зягель (Siegel; 1943) изучил и обобщил дзета-функцию
Эпштейна и доказал теоремы относительно нулей этой функции.^
17.10. Целочисленные решетки
Назовем целочисленной решеткой на (лг, г/)-плоскости множество всех
точек, обе координаты которых целые. Существует общая теорема ван дер
Kopnyia (van der Corput; 1919) относительно числа точек решетки в неко-
некоторых областях. Частные случаи этой теоремы будут указаны ниже. Опре-
Определим область D на (к, у) -плоскости следующим образом. Пусть w—1'2—
натуральное число, и пусть функция / (х) определена и имеет непрерывные
положительные первую и вторую частные производные на отрезке
V. Пусть
/A/2)>2, 0<П*><1. /*(*)>*-•. О)
где г > 1 не зависит от х. Пусть D—замкнутая область
1/2<*<ш, 1/2<»</(г), B)
причем
О)
A(D)= J [/(*)-1/2]d* C)
1/2
является ее площадью, и пусть L{D)—число точек решетки в области D.
Тогда теорема ван дер Корпута утверждает, что
\L(D)-A(D)\<cz\ D)

17.11. ТОЖДЕСТВА ДЛЯ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ 219
где с —постоянная. Ярник (Jarnik; 1926) доказал, что для некоторых кри-
кривых f (x) показатель 2 в правой части равенства D) является наилучшим из
возможных в том смысле, что его нельзя заменить никаким меньшим
показателем.
Более детальные результаты были получены для областей, ограниченных
частными видами кривых, например окружностью. Пусть А (и) обозначает
число точек решетки внутри замкнутой области
х2 + .У2<«- E)
Используя обозначения п. 17.3, можно написать
А(и)= 2 Мл)- F)
Пусть Jt (z) обозначает функцию Бесселя первого рода первого порядка
{см. п. 7.2.1). Харди доказал, что для всех и > О
lim Г* Л(и + е)+-1 А{и-е)]=ки + и1'2 V iT1" тх (n) Jt[2n (пиI'1]
b->oL2 2 J ^
G)
Если и не является целым, то левая часть равенства G) просто равна А (и).
Можно доказать, что равенство
А (и) — ли = О(иУ)
справедливо для всех v^l/З и неверно для любого v<l/4.
Существует большое число работ, посвященных теории целочисленных
решеток; в частности, число целых точек в эллипсоиде было изучено ван
дер Корпутом.
17.11. Тождества для функций Бесселя
Изучение порядка роста различных числовых функций привело к боль-
большому числу тождеств", содержащих функции Бесселя. Два примера
2J A)
=1 П
I B)
были уже указаны выше. Другими примерами являются
4п,(пхI/2}, C)
п=1
-1)х+±-
-*1/2 S гГ1/г d(n) {Y1[An(nxI/l] + 2n-^ KAin (пхI/й]\, D)
П—1
где у—постоянная Эйлера и штрих указывает, что если х —целое число,
то последний член суммы надо умножить на -д- . Бесконечные ряды по

220 ГЛ. 17. ВВЕДЕНИЕ В ФУНКЦИИ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
функциям Бесселя можно рассматривать как точные выражения для ошибки,
получающейся при замене левой части равенства стоящими справа элемен-
элементарными функциями. /
Формула A) была высказана без доказательства Вороным A904), впер-
впервые ее строго доказал Харди (Hardy; 1915). Формула C) принадлежит
Вигерту (Wigert; 1917), и D)—Вороному A904).
Тонкие вопросы сходимости могут быть обойдены путем рассмотрения
«проинтегрированной формы» этих тождеств, в которых левые члены пред-
предполагаются имеющими вид
Оппенгейм (Oppenheim; 1926) дал общий метод вывода многих из этих наи-
наиболее общих тождеств и изучил суммируемость бесконечных рядов справа
с помощью средних Рисса. Апостол (Apostol; 1951) дал краткое доказатель-
доказательство теоремы Ландау (Landau; 1915); эта теорема гласит, что если числа а (п)
являются коэффициентами ряда Дирихле
да
q>(s) = 2 «(я)".
абсолютно сходящегося при Res>ft, сумма которого регулярна для всех
s, исключая возможный полюс при s=lc вычетом р, и обладает функцио-
функциональным уравнением вида
то имеет место тождество
X
Такие ряды Дирихле были детально изучены Гекке (Неске; 1938). Приме-
Примерами допустимых коэффициентов а (л) являются функция Рамануджана х(п)
и функция rk(n) п. 17.3. Ряды функций Бесселя в правой части E) абсо-
абсолютно сходятся, если q>k —1/3, но в некоторых частных случаях они могут
сходиться и при меньших значениях q.
Пример тождества иного типа был найден Харди (Hardy; ia«iu>.
(
Оно может рассматриваться как частный случай тождества для функций
Бесселя
где а (п) удовлетворяет тем же самым условиям, что и в E).
Относительно результатов, связанных с формулой суммирования,
см. Ferrar A935, 1937).

ГЛАВА 18
РАЗЛИЧНЫЕ ФУНКЦИИ
18.1. Функция Миттаг-Лефлера Ел(г) и связанные
с ней функции
Функция
была введена Миттаг-Лефлером (Mittag-Leffler; 1903, 1904, 1903) и была
изучена многими авторами, среди которых мы отметим Вимана (Wiman, 1905),
Полларда (Pollard; 1948), Гумберга (Humbert; 1953). В этой главе символ Е
мы будем использовать лишь дтя функции A); его не следует смешивать
с обозначением, применяемым физиками для неполной гамма-функции, о ко-
которой шла речь в п. 9.2.
Еа(г) при с*>0 дает важные примеры целых функций любого конечного
порядка. В некотором смысле каждая Еа (г) является простейшей целой
функцией своего порядка (Phragmen; 1904). Функции Миттаг-Лефлера дают
также примеры и контрпримеры, касающиеся роста и других свойств целых
функций конечного порядка, и имеют иные приложения (Buhl; 1925).
Мы имеем '
^B)=^, ?s(z2) = chz, El/i(z1/») = 2n-l/Je-«Erfc(—г1/8). B)
и ?„(гп) при натуральном п является обобщенной гиперболической функ-
функцией (см. также п. 18.2).
Многие нз наиболее важных свойств Ел(г) вытекают из интегрального
представления Миттаг-Лефлера
с
где путем интегрирования С является петля, начинающаяся и заканчиваю-
заканчивающаяся в —оо и охватывающая круг |<|<|г|1/'с' в положительном направ-
направлении: — я< arg / <; л. Для того чтобы доказать равенство C), разложим
подынтегральную функцию по степеням 2, почленно проинтегрируем и ис-
используем интеграл Ганкеля 1.6B) для функции 1/Г (г).
Подынтегральная функция в C) имеет точку ветвления при ? = 0. Раз-
Разрежем комплексную /-плоскость вдоль отрицательной вещественной полуоси.
Тогда в разрезанной плоскости подынтегральная функция будет однозначной.

222 Гл. 18. различные функции
Мы выберем в разрезанной плоскости главную ветвь для t*. Подынтеграль-
Подынтегральная функция имеет полюсы в точках
tm=zl/aeanlm/a, m — целое. D)
Но на разрезанной плоскости лежат лишь те из этих, полюсов, для которых
— ая < argz-|-2nm < ая. E)
Таким образом, число полюсов внутри С равно либо [а], либо [а+1] в зави-
зависимости от значения arg z
Феллер высказал предположение и Поллард (Pollard; 1948) доказал, что
при 0<«<1 функция ?„(—х) вполне монотонна на полуоси х^О, т. е.
что
^Ь^ F)
Доказательство основано на интегральном представлении C).
Для того чтобы изучить асимптотическое поведение Еа (г), когда z—> оо,
предположим сначала, что z стремится к бесконечности вдоль луча, лежа-
лежащего вне сектора largz|<a.T./2 (такие лучи существуют, еслиб<а<2).
Если существуют полюсы tm, удовлетворяющие E), то они должны лежать
в полуплоскости Re / < 0. Преобразуем путь С так, чтобы получились два
луча в полуплоскости Re t < 0 такие, что полюсы лежат слева от С.
Положим в C)
JV-1
КГ? Z*-?'-\l г)
П=1 Х '
и отметим, что функция A— fz) равномерно ограничена по \г\ и t,
если arg г постоянен и t лежит на контуре С. Снова применяя 1.6B),
получаем
-г) |< A-а/2) я, G)
О-член равномерен по arg г, если
|arg(—г|<A—а/2—8)л, е > 0.
Этот результат теряет смысл, если
Теперь предположим, что г —»- оо вдоль луча и | arg z [ <оя/2. Тогда
существует по крайней мере одно tm, удовлетворяющее условию
1 1
причем таких tm может быть много (если аё=2); эти полюсы лежат в полу-
полуплоскости RefSsO. Контур С можно теперь деформировать, как выше,
исключая то, что в ходе деформации С проходит через полюсы, удовлетво-
удовлетворяющие (8), н они дают вклад в виде вычетов. В этом случае результат
имеет вид
JV-1
(9)

18.1. ФУНКЦИЯ МИТТАГ-ЛЕФЛЕРА И СВЯЗАННЫЕ С НЕЙ фуНКЦИИ 223
где tm даиы формулой {4) я суммирование ведется по всем целым значе-
значениям т, удовлетворяющим (8). В частности, если 0<а<2, то т=0
является единственным целым числом, удовлетворяющим условию (8), в мы
имеем
Ea(z)=^txpzl/a+O(\z\->), 0<а<2, | arg г | < j ая, г
A0)
Из G), (9), A0) и определения порядка целой функции (см., например,
Левин, 1956. стр 11) заключаем, что при а > 0 функция Еа (г) является
целой функцией порядка 1/а Асимптотическое разложение G), (9) обобщено
на комплексные значения а Виманом (Wiman, 190S).
Нули функции ?„ (z) были изучены Виманом (Wiman, 1905). Он дока-
доказал, что если а Зг2, то функция Еа(г) имеет бесконечное множество нулей
нг отрицательной вещественной полуоси и не имеет иных нулей. Обозначим
через п (/•) число нулей функции ?я(г) в круге \г\<г. Виман доказал, что
г1/а я 1 Г г1/а
где [х] — наибольшее целое число, не превосходящее х. При 0 < а < 2 рас-
распределение нулей существенно отлично от этого случая. Виман доказал, что,
за исключением случая <х=1 (при котором нулей нет), нули асимптотически
лежат на кривой
Re 21/ос + In I z ] + In j Г (— а) [=0, A2)
а также что
l LV^-i-al+l, 0<a<.2, a^l. A3)
Кроме того, при 1 < а < 2 мы имеем нечетное число отрицательных нулей.
Виман также изучил нули функции ЕЛ (г) при комплексных значениях а.
Из равенства A) непосредственно вытекают функциональные соотношения
), A4)
А = о )
(* A5)
где m и и— 1—положительные целые числа. Из A6) следует, что
Интегрируя это равенство с помощью 9.1 A), получаем

224 ГЛ. 18. РАЗЛИЧНЫЕ ФУНКЦИИ
Явное выражение для Ет/п вытекает из A4) н A7). Третье равенство B)
вытекает из A7) при п = 2 с помощью 9.9A), B).
Интеграл
со
, 1
-(?a(rz)di=y—^-, ccSaO, A8)
был вычислен Миттаг-Лефлером, который показал, что область сходимости
этого интеграла содержит единичный круг и ограничена линией Rez1^a=l.
С помощью A8) можно получить преобразование Лапласа для функции Е^ (f),
это было использочано Г>мбертом (Humbert, 1953) для получения различ-
различных функциональных соотношении, которым удовлетворяет функция Ех(г).
Функция
обладает свойствами, весьма похожими на свойства функции Миттаг-Лефлера,
см. Wiman A905), Agarwal A953), Humbert и Agarwal A953). Следующие
формулы выводятся точно так же, как полученные выше их частные слу-
случаи при р== 1:
l
с
N-1
z)|<(l-a/2)ji, B1)
|argz|<lajt, B2)
B4)
B5)
В формуле B0) С —тот же самый путь, что и в формуле C). В B2) tm
задается формулой D) и т пробегает все целые числа, удовлетворяющие

18.1. ФУНКЦИЯ МИТТАГ-ЛЕФЛЕРА И СВЯЗАННЫЕ С НЬЙ ФУНКЦИИ 225
неравенству (8) В B1) и B5) т может быть любым целым положительным
числом. Область схояимости в B6) такая же, как И в A8). Преобразование
Лапласа функции tf~lEa,(t') можно вычисли ь с помощью с|орм\лы B6),
это было использовано Агарвачем (Agarual, 1453; и Г>чСертом и Агарвалем
(Humbert and Agarwal, 1553) для получения дальнейших свойств Ех< 3
Функция от дв>х переменных, похожая на Еа> f, была рассмотрена
кратко Гумбертом и Делерю (Humbert and Deleiue; 1953)-
Функции ЕТ и Еа> g стремятся к бесколечносш, когда z —>¦ оо в некото-
некотором секторе с углом ал, и стремятся к нулю, когда г —»- оо вне этого сек-
сектора. Известны также целые функции, которые стремятся к бесконечности
в единственном направлении и к нулю во всех остальных направлениях.
Двумя такими функциями являются
г и+4*)
0<а<1>
k=0
Они были соответственно изучены Мальмквистом (Malmquist; I905) и Линде-
лефом (Lindelof, 1903).
Берне (Baines, 1906) изучил асимптотическое поведение Еа(г) и многих
аналогичных функций, в частности функций
• г,
k=0 k=0
С функцией ЕЩ9, тесно связана целая функция
a, p > 0. B7)
Райт (Wright; 1934) использовал ее для асимптотической теории разбие-
разбиений. Связь с Ел в дается формулой
00
Ve~**q>(a, P; t)dt— s~1Ea ^(s), a>l, p > 0. B8)
a •
Функцию <р (г) можно представить интегралом (Wright, 1933)
<p(a, Р;г) = ^ J а-Рехр (u + ztt-V«. «>0. B9)
— (О
Для того чтобы доказать равенство B9), разложим подынтегральную функ-
функцию по степеням г н используем 1.6B). Асимптотическое поведение q> при
г —*¦ оо также было изучено Райтом (Wright, 1934а, 1940). Из B7) вытекают
соотношения
агер(а, о+р, г)=<р(а, р-1; г) + A_р)ф(а, р; г), C0)
C1)
=ф(а| р_^ г) + A_р) ф(а, р. г). C2}

226 ГЛ. 18. РАЗЛИЧНЫЕ ФУНКЦИИ
Так как
C3)
то функцию Райта можно рассматривать как одно из обобщений функции
Бесселя. Соотношение C0) является обобщением рекуррентного соотношения
для функций Бесселя, а C1), C2)—обобщениями формул дифференцирования
этой функции. Некоторые из свойств, которые являются у функции ср
общими с функциями Бесселя, были перечислены Райтом. Обобщенное пре-
преобразование Гаикеля с ядром
(а, Р; -
было изучено Агарвалем (Agarwal; 1950, 1951, 1953).
18.2. Тригонометрические и гиперболические функции порядка п
В этом пункте п. будет положительным целым числом в
п функций
л
n) = 7f XM<1~ftm ехр {т"х)' i==1> 2 й> ®
т= 1
иногда называют гиперболическими функциями порядка п. При п=2 они сво-
сводятся к гиперболическим функциям:
ht(x, \) = ex, ^(x, 2)=ch*. ha(x. 2) = shA:. C)
В общем случае п будет фиксированным положительным целым числом и,
как правило, не будет указываться. Нам будет удобно распространить опре-
определение B) на все (положительные, отрицательные или равные нулю) целые
числа i, чго равносильно тому, чтобы положить
ht+n(x, n) = h;(x, и), « — целое. D)
Это часто удрощает запись формул.
Так как <о" = 1, то вое А,- удовлетворяют дифференциальному уравнению
^-</=°. E)
и так как
0 для целых г, которые не делятся т п,
F)
и для целых г, которые делятся на п,
то А,- удовлетворяет начальным условиям
/'' /./=1,2 п. G)
i
Таким образом, функции пг А„ образуют линейно независимую систему
решений уравнения E), и их определитель Вронского равен единице.

18.2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ Ф-ЦИИ ПОРЯДКА Я 227
Разложение в степенной ряд
Г)' i=h2 п' W
получается путем разложения показательных функций в равенстве B) и ис-
использования соотношения F); интегральное представление
1 С tn~iext
Ъ
где С—простая замкнутая кривая, охватывающая единичную окружность
один раз в положительном направлении, получается, если вычислить интег-
интеграл в виде суммы вычетов, что приводит к равенству B); а соотношение
п
exp(«IBx) = ^|(a('-1IB/i1(*, п), т— целое, A0)
вытекает из (8).
Некоторыми из главных формул для гиперболических функций порядка и
являются
A3)
A5)
Здесь «, /, т—любые целые числа (за исключением формулы A5), где i при-
принимает лишь значения 1, 2, ...); A1) и A2) вытекают из B), A3)—из E),
так как ht(x+a) является решением дифференциального уравнения E),
/-я производная которого при х = 0 равна ft/_y(o); A4) является определите-
определителем Вронского от /ij, ..., hn\ этот определитель есть циркулянт (см. Д. К. Фад-
Фаддеев и И. С. Соминский, 1964, пример 300) и может быть явно вычислен. На-
Наконец, A5) является преобразованием Лапласа функции ft,- (/) и получа-
получается сходным образом из B) или (8).
Относительно этих и других формул см. Poll A940, 1949а, в последней
работе имеется детальная библиография), Oniga A948), Bruwier A949, 1949а)
в Silverman A953). Поли (Poll; 1949а) указал некоторые соотношения, имею-
имеющие место в случае, когда п—сложное число, дал разложения по функциям
^ и указал некоторые приложения. Брювье (Bruwier; 1949b) рассмотрел
1, <а, W2, ..., toх как единицы линейной алгебры, таблица умножения кото-
которой имеет вид <о'-а*'=в>'+'' (гиперкомплексные числа). еш* является гипер-
гиперкомплексным числом и A0) показывает, что ft,- являются компонентами для

2^ ГЛ. 18. РАЗЛИЧНЫЕ ФУНКЦИИ
Г>/чЭ»?т *акТ был использован Брювье для того, чтобы доказать свойства
п; (х). Матрицы, элементами которых, стоящими на пересечении i-й строки
и /-го столбца, являются aihJ_i(x, n)/af, где /, /=1, 2,.... лиа,, ... а„—
заданное множество постоянных, были изучены Лерером (Lehrer; 1954)
Из (8) н 18.1A9) следует
*-»?.,/(*"), « = 1,2 я, A6)
и, в частности,
Ai (*) = ?„(*») A7)
дает связь с функцией Миттаг-Лефлера.
и функций
иногда называют тригонометрическими функциями порядка п. Они являются
решениями дифференциального уравнения
Я$ + У=0 A9)
и удовлетворяют начальным условиям
-.'¦ '¦'-¦¦•• • м
Здесь также мы распространим определение на все целые значения i, положив
ki+n {х, п) — — ki {x, п). B1)
Эти функции были изучены указанными выше авторами, а также Микусин-
ским (Mikusinski; 1948). Положим
B2)
так что % является корнем n-й степени из —1. Мы имеем
ki (x) = kl~!hi(%x, n), B3)
и свойства функций к{ легко вытекают из свойств функции А,-. Основными
формулами являются:
B4)
(*), B5)
B6)
и
I V*
i \х) — ~ ?* А ехР
Я
СЛр \Л **) •— уУ | Л Kj \А^, \ЛО1
1 п tn-l„xt
Ь. (jf) г= -—^ \ ——р— 01, B9)
' 2ш J Г "Г 1
С

18.3. функция v(x) и родственные функции 229
л / п
(
—1
П (У.х«*-«1«+"*я«))-1. CD
Res > 1, < = 1 n,
• hi(x, n) + k,(x, n) = 2hi(x, 2n), \
hi(x, n)-k,(x, n) = 2hn+i(x, 2n). / w
Из B7) можно вывести, что функция ft,- (x, n) не является периодической
функцией, исключая случаи п=1, 2. Нули функции й,- (я) были изучены'
Поли (Poli; 1949а) для « = 3 и Минусинским (Mikusinski; 1948) для любого
п > 1. Исследование Минусинского основано на системе линейных дифферен-
дифференциальных уравнений, которой удовлетворяют функции ?х (*), ..., kn (x), в
приводит к следующим выводам. Каждая функция А,- (х, п) имеет беско-
бесконечно много простых положительных нулей; нули функций ft,- (x, п) и kj(x, n),
i^l (mod п.) перемежаются. Наименьший положительный нуль функции
fe,- (x, п) лежит между
Г(< + п-1)П ип г2(» + п-1)П
L (i-l)l J И [ («-1I J
Большие положительные нули функция к/ (х, п) приближенно равноотстокт
друг от друга;, расстояние между двумя последовательными нулями функции
ki (x, п) стремится к -: г- .
'v ' v sin п/n
Отношения вида ' . '—( можно рассматривать как обобщения функций
tgx и ctg*; относительно этих обобщений см. Oniga A948), Poli A949).
Совершенно иное обобщение тригонометрических функций было даио Гран*
меЛем (Grammel; 1948, 1948а, 1950).
18.3. Функция v (х) к родственные функции
В этом пункте мы рассмогрим следующие функции:
хх dt f xa+tdt
i ) Tla+t + 1)' <*>
о о
x* t? dt ' f xa+*fidt
Первая из этих функций встретилась у "Вольтерра в связи с его теорией
свертки (Volterra, 1916, гл. VI; Volterra and Peres, 1924, гл. X); Вольтерр*
обозначил v((/—х) через %(х, у) и \(у—х, а) череэ к(х, у; а) ил»
%(х,у\а). Эти функции встречаются также в связи с операционным исчис-
исчислением, входят в формулы обращения для преобразования Лапласа и инте-
интересны в связи с некоторыми интегральными уравнениями. Надо отметить,
8 Г. Бейтмен, А. Эрдейн

230 ГЛ. 18. РАЗЛИЧНЫЕ ФУНКЦИИ
что B) является определением функции ц, применяемым в современных ра-
работах; некоторые из более ранних работ используют символ ц для функции,
отличающейся от нашей на множитель Г(Р + 1).
Между четырьмя функциями, определяемыми равенствами A), B), суще-
существуют следующие соотношения:
v(x, a) = ]i(x, 0, а), р(х, Р) = ц(*. Р. 0)=*ц(х, р, -I, -1), I C)
xv(х, а—1)— а\(х, а) = \и(х, 1, а). I
Все интегралы в A), B) сходятся, если х Ф 0, а произвольно и Re Р > —I.
Все четыре функции являются аналитическими функциями от х с точками
ветвления прн « = 0и со и не имеющими других особенностей; v(x, a) и
р, (х, р, а) являются целыми функциями от а. Определение функции \i можно
распространить на всю плоскость р путем последовательного интегрирования
по частям. Из B) вытекает, что
dt
г(оь+ <+1)dLr(P + 2)J Г(р + 2)У dt[T(a+t+l
я последнее выражение можно рассматривать как определение ц (х, р, а)
при Re 6 >—m—1. Так распространенные функции ц,(я, р, а) и ц(х, Р)=
= ц(ж, р, 0) являются целыми функциями от р и аналитическими функциями
от х, а u,(x, p, a) является, кроме того, целой функцией от а.
Из D) вытекает, что
ц (х, -т, «) = {-1Г-» ?g^ [f^pjj] • «-I. 2, .... E)
я так как _, , .. является аелой функцией от а, имеем разложение в ряд
Тейлора
(—О*
^ я1°)"^г F)
Для того чтобы изучить поведение ц (х, р, а), когда х —»¦ 0, перепишем
вторую формулу B) следующим образом:
, р, а)=д;'' j exp ^-»n7J
Из F) имеем
и из леммы Ватсоиа (Copson, 1935, п 9.52) следует, что подстановка разложе-
разложения (8) в G) и почленное интегрирование дают асимптотическое разложение

18.3. ФУНКЦИЯ-V(jf) И РОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ 231
интеграла по убывающим степеням In —. Таким образом,
Rep> —1, х —0,
Асимптотвческве разложения других трех функции по убывающим степеням
In — вытекают из C). Первые члены асимптотических разложений для v [x)
и v(x, а) были получены Вольтерра.
Поведение v(x) при Rex—> с» видно из интеграла Рамануджана
(Hardy, 1940, стр 196):
в"** dt
Полное исследование асимптотического поведения v (x) было проведено Фор-
Фордом (Ford; 1936). Метод Форда вкратце заключается в следующем. Проин-
Проинтегрируем равенство
H(x,w);
1 С xa+t dt
f
о
[sin (яш)Р J Г(а+/+1)
по прямоугольнику на плоскости w с вершинами —N—'/а—te, ft+Vs—fc,
ft+'/a + гс, — N—1l2 + tc, где k и N—целые числа, k+N^sO и с—поло-
с—положительное число Функция Н (х, w) мероморфна и ее полюсами, лежащими
внутри прямоугольника, являются w=n, п — —N, —N-}-l, .... k—1, k.
Вычет функции Н в полюсе и=п равен , . Если с—>», то
интегралы вдоль горизонтальных сторон прямоугольника стремятся к нулю,
и мы получаем
i
IP I
*+"/»-1» -/V->/,-<»
Очевидно, что второй интеграл есть О(|ж|а"Л'/»). В первом интеграле
положим

232 гл. 18. РАЗЛИЧНЫЕ ФУНКЦИИ
Можно показать, что
1 р „ , I {•
2го" J * ~2ni J
Htdw—-0 при k—> oo,
«, следовательно, при ft —> oo получаем
Комбинируя этот результат с 18.1 B1), B2), выводим, что
\ 0A*1"-*), *— oe, n/2<|arg;c|<rt
для любого целого N.
Для функции |* (х, р, а) получаются несколько менее полные резуль-
результаты Из-за наличия точки ветвления для функции
Н lXt * Р>-[eta («*>]• J Г(а+<+1) •
при ш=0, приходится полагать ^ = —1, что, как и выше, приводит к
-т I »«**»*¦
Дальнейший прогресс связан с изучением асимптотического разложения
целой функции

18.3. ФУНКЦИЯ V{X) Н РОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
233
Из A) и B) вытекают следующие рекуррентные формулы, формулы
дифференцирования, ряды и интегралы:
A2)
1, «)=*(*(*, р, а—1)— ар.(х, р, а),
d"v (х) . . d"v (x, а) ,
dKn '=v(*. — n), d^a ' = v{x,a—n),
Ьр-±! = ц(х, р, а-п), A3)
n=o
A4)
, P, a),
n=o
-«, p,
-Y. a),
Rep> —1, Rey>0. A5)
Относительно многочисленных других формул, касающихся этих функций,
см ,в частносги, Barrucand A951), Colombo A950, 1953), Humbert и Poli A944).
Функции v и (.1 встречаются в операционном исчислении. С одной сто-
стороны, это связано с формулами
A7)
которые эквивалентны формулам A), B) и показывают, что v и jx являются
преобразованиями Лапласа функций простого вида, с другой стороны, это
связано с формулами
A8)
L, Res>l,
~**v(/, a)dt =s~e(lns)~i, Rea> — 1, Res>l,
f e~rfH(<, P)d/ = s-1(lns)-P-1, Res> 1,
о
-rfH(i, p, a)eK =s~"(lns)~p~1, Rea>—1, Res>l,
A9)
S* Г

234
гл. 18. различные функции
которые можно вывести из формул A), B), D) и которые показывают, что
v и и. обладают весьма простыми преобразованиями Лапласа. Для вывода
многих свойств 4>нкций v и ц применяется операционное исчисление. Отно-
Относительно приложения этих функций в операциснном исчислении см. Barru-
cand и Colombo A9-0), Colombo A943, 1943а, 1948), Humbert A944, 1950),
Humbert и Poli A9 4). Parodi A945, 1947. 1949) и Poli A946). Кроме того,
одна из многнх формул обращения для преобразования Лапласа
B0)
а именно формула (Doetsch, 1937)
00
F @= lim ~ f /(i)[v(st, -i/,+JU
содержит функцию v (дг, а>.
Формулы интегрирования
Г ехр (-?) A(ж, р, a)dx
, p, a/2),
Rea>-1,
B2)
Г
хеХр {-
, p,
, p. ей-1/.).
Rea>~2, Rej/>0, B3)
Rea>-1, Re(/>0,
B4)
могут быть получены путем подстановки в подынтегральную функцию выра-
выражения D). В последнем случае B4) мы применяем формулу 8.3B0;. Эли
формулы показывают, в частности, что функции v и р удовлетворяют сле-
следующим Интегральным уравнениям:
00
~ "'• J exp (-g
. p).
B5)

18.3. ФУНКЦИЯ V(X) И РОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ 235
fr, -l)dx = v(y, -1),
-^) |i(x, P, -l)dx = 2^0/, p, -1),
о
00
о
00
B6)
= v(#, a), Rea> —1,
2-'/-»»-'/., -V/-V. J exp (-g) ^.(-p^) И-. P.-)^
= 23ц,(У. p, a), Rea> — 1.
В случае интегрального уравнения с ядром
2я'/.//.
известно (Stankovid, 1953), что B5) дает все собственные функции, имеющие,
в некотором смысле, регулярный рост. Аналогичное утверждение, по-види-
по-видимому, справедливо в случаях B6) и B7). Относительно других интеграль-
интегральных уравнений, решения которых содержат функции v и и, см. Colombo
A943а, 1952) и Parodi A948).

ГЛАВА 19
ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ*)
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ОБЩИЙ ОБЗОР
19.1. Введение
Если последовательность чисел glt q2, ... определяется как последова-
последовательность коэффициентов разложения некоторой функции в бесконечный
ряд, то G называют производящей функцией для чисел gn.
Чаще всего в качестве такого ряда берут степенной ряд
Часто gn являются функциями от одного или нескольких переменных
хъ х2, ... , хр, и мы имеем соотношение вида
со
О (Н Хр, 0= 2 Sn (*1 Хр) tn. A)
л=о
Тогда Q называется производящей функцией для функций gr (xv ... , хр)
i i,, ... , Хр, t рассматриваются как р +1 независимых переменных.
На протяжении этой главы, за исключением нескольких важных случаев, мы
будем считать, что р равно единице, и писать
для производящей функции G (x, t) функций gn (x) одного переменного.
Как правило, степенные ряды, связанные с производящей функцией,
имеют положительный радиус сходимости Однако иногда бывает полезно
рассматривать степенные ряды, радиус сходимости которых равен нулю,
т. е. ряды, которые расходятся при всеч значениях t, за исключением
* = 0. Если вопрос о сходимости не играет роли, мы говорим о формальных
*) Эта глава основана на обширном списке производящих функций, со-
составленном покойным профессором Гарри Беитменом.
Профессор Е. Д. Рейнвилл любезно согласился дополнить этот список
другими производящими функциями и помогал при подготовке этой главы
весьма полезными советами и участием в обсуждениях.

19.2. ТИПИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРОИЗВОДЯЩИХ ФУНКЦИЙ 237
степенных рядах, пишем
?р
G(x, f)~ 2ft»M«" B)
и готорим, что G (х, t) эквивалентно или ассоциировано с формальным сте-
степенным рядом, стоящим в правой части равенства B).
Иногда рассматривают ряды Лорана, т. е. разложения вида
)= 2
П
C)
Степенные ряды и ряды Лорана не являются единственными разложе-
разложениями, встречающимися в теории производящих функций. В п. 17.12 мы
встретились с производящими функциями, приводящими к другим типам
рядов Эти ряды часто встречаются в теории чисел. Отметим еще фактори-
альные ряды, которые часто встречаются, например, а комбинаторном анализе.
Название «производящая функция» было введено Лапласом в 1812 г.
Краткое изложение работы Лапласа о производящих функциях можно найти
в книге Дёча (Doetsch, 1937). Лаплас использовал не только производящие
ряды, но также и производящие интегралы. Наиболее важным интегралом
такого рода является так называемый интеграл Лапласа, который записы-
записывают обычно в виде
f(s)=\e-sug{u)du.
Связь с производящим степенным рядом легче всего усмотреть, если
сделать замену переменной t — e~s. Как ряды, так и интегралы можно за-
заменить интегралом Лапласа—Стилтьеса
, D)
где а (и)—функция с ограниченным изменением и правая часть является
интегралом Стилтьеса. Многие современные авторы, например Уиддер
(Widder, 1946), применяют термин «производящая функция» в смысле D).
Легко видеть, что как производящие степенные ряды, так и ряды Дирихле,
н интегралы Лапласа являются частными случаями D)
19.2. Типичные примеры применения производящих функций
Производящая функция для последовательности чисел {gn} часто строится
для того, чтобы изучить свойства чисел gn. Приведем типичный пример из
комбинаторного анализа.
В обычной алгебре умножение ассоциативно, т. е. (ab)c = a{bc), и ана-
аналогично для любого числа множителей Произведение и сомножителей зависит
от их порядка, но не зависит от того, как они сгруппированы, чтобы
представить произведение в виде последовательного умножения двух сомно-
сомножителей. Даже в некоторых алгебрах, в которых не выполняется коммута-
коммутативный закон умножения ab = ba, умножение остается ассоциативным При-
Примером такой алгебры является алгебра матриц; однако существуют
алгебры, в которых не выполняется ассоциативный закон умножения. Их
называют неассоциативными алгебрами. В таких алгебрах может случиться,
что (ab)c и a (be) различны, так что произведение abc может иметь ра=2

238 гл. 19. производящие функции
различных значений в зависимости от того, умножаем ли мы произведение
ab на с, или а на произведение be. Заметим, что уы не изменяем порядок
сомножителей и различие результатов связано лишь с неассоциативностью
умножения. Если даны п сомножитечел в заданном порядке, то мы можем
различными способами расставить скобки для того, чтобы свести умножение
п сомножителей к п — 1 умножению двух множителей. Для четырех сомно-
сомножителей а, Ь, с, d имеем следующие возможности
((аЬ)(«0), (а F (cd))), (((ab)c)d), (a((bc)d)), ((а(М)<9-
Пусть р„— число способов расстановки скобок в произведении л сомножите-
сомножителей. Очевидно, что Pi=ft = l, Рз = 2 и р4 = 5
Последний шаг преобразования произведения п сомножителей заключается
в умножении произведения первых т сомножителей на произведение послед-
последних п—т сомножителей. Первые т сомножителей можно перемножить рт
способами, а последние п—т сомножителей рп_т способами. При этом т
может принимать любое из значений 1, 2 п—1. Таким образом,
Рп=Р1рл-1 + РгРа-г+---+Р„-1Р1- (I)
При п = 4 получаем р4=1-2 + Ы + 2-1=5; при л = 5 получаем Рв=1-5+
+ 1-2 + 2-1 +5-1 = 14 и т. д
Образуем теперь производящую функцию
<?@=2/»в<" * B)
и заметим, что в силу равенства A) коэффициент при /" для п^2 в раз-
разложении
lG<0]a = P|*a+(P2Pi + PiP2) t3 + (PsPi + P*P»+PiPs) *•+... C)
снова равен р„. При этом в разложении C) отсутствует линейный член.
Таким образом, мы имеем
[С (<)]•+< = С@- D)
Это является квадратным уравнением для G (t), и 0@—-корень этого урав-
уравнения, обращающийся в нуль при *=0. Положим | 4t | < 1 и обозначим
через (i_4fI/2 значение квадратного корня, имеющее положительную веще-
вещественную часть. Мы получим тогда
Разлагая правую часть равенства E) в биномиальный ряд, находим, таким
образом,
G(*)= — ~2^ (—4) ( „ ]* W
Л=1
н, следовательно,
Это равенство дает, то первых, простую формулу для вычисления рп, позво-
позволяющую найти значение р„, не вычисляя предварительно р,,_ь Рч_г< • • :
кроме того, формулу G) можно использовать для изучения асимптотического

19.2. ТИПИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРОИЗВОДЯЩИХ ФУНКЦИЙ 239
поведения р„ при п—><». Из 1.18D) находим
pn=n-1^i^n-in-3/2ll + O{n-1)], п-»-». (8)
Производящие функции являются также полезным средством для изуче-
изучения систем многочленов. В качестве примера изучим многочлены Чебышева
Тп(х), определяемые производящей функцией
/1=0
где *в=1 и в„ = 2 при л=1, 2, 3, 4, ... Свойства многочленов Тл(х) были
изучены в гл. 10. Разложение функции G в геометрическую прогрессию
G(x, 0 = A-П ? (-ta+W (Ю)
n=o
показывает, что коэффициент пои tn в правой части равенства является
многочленом от х, что наивысшей показа! ель степени х в коэффициенте
при t" в точности равен п и что коэффициент при xntn равен 2". Мы видим,
таким образом, что Тп(х) должно быть многочленом от х степени п и что
коэффициент при л" в Тв(х) при п^1 равен 2".
Умножая равенство (9) на 1— 2tx-\-t2 и собирая в обеих частях равен-
равенства члены, содержащие t", получаем
е Т 2х? Т -1-е Т -/ 0 при п>2,
Так как из A0) следует, что Го = 1, Т1 = х, то
1 = 0> п = 2, 3, 4, ... A1)
Пусть х вещественно и —1<*<1. Так как особыми точками G (x, t),
хак функции от t, явчяются t=tl и f = fa, где
tl=x+(i*-l)M, tt=*x-(x*-lI'; 1^1 = 1^1 = 1, A2)
то ряды в правой части равенства (9) абсолютно сходятся для всех комп-
комплексных значений t таких, что \t\ < I. Формула Коши дает поэтому
где через С обозначен любой замкнутый простои путь, окружающий точку
t = 0, и такой, что \t | < 1 вдочь этого пути С. Интеграчьные представления
типа A3) могут быть использованы цля того, чтобы шм^чить оценку пред-
представляемых им функций. В частном случае, который мы сейчас рассматри-
рассматривали, интеграл в A3) уожно вычислить в явном виде Мы полагаем
A:=cos(p, t1=e1', t2 = e~ri, так что
G(x, f) = (l— t*)(t— е'-)~Ч<— е-'4)-»,
и из A3) выводим

240 гл. 19. производящие функции
Если п^1, то бесконечно удаленная точка не является особой и вычисле-
вычисление интегралов с помощью выче.ов в полюсах /j и ta дает
rB(*) = cosn<p = ccs(narccosA:). A5)
Это выражение справедливо и при п = 0.
Если положить в (9)
x=cos<p, t = <?<», A6)
то получим
в(х, O = G*(q>, w) = (I-e"°+''5)-i4-a-e/ol-/e)-1-l A7)
Таким образом, G* является функцией, зависящей только от <р+ю и
ф—ш, и потому
Но
дф d<f дх дх '
1=JL±=U1. B0)
Подставляя A9), B0) в A8), находим из A7)
Разлагая левую часть B1) в степенной ряд по t, получаем, что функция
Тп(х) = у удовлетворяет дифференциальному уравнению
A —х2) у" —ху' + пгу = 0. B2)
Свойства ортогональности для Т„ (х) могут быть получены путем вычис-
вычисления интеграла
A — x*)-l!idx. B3)
Этот интеграл является элементарным и может быть вычислен в явной
форме. Результат имеет вид 2я( —- ) . Разлагая по степеням s и t
и сравнивая коэффициенты в обеих частях при smta, находим
° ПРИП^т' B4)
/8„ При П = Ш.
Хотя этот вывод равенств B4) несколько трудоемок, описанный здесь метод
полезно отметить, поскольку он может быть применен во многих случаях.
Доказательства формул A3), B2), B4) являются типичными примерами
того, каким образом можно использовать производящею функцию, чтобы
получать интегральные представления, дифференциальные уравнения или
интегральные соотношения для производимых ф>нкцин. Вообще, комбинации
рекуррентных соотношений и дифференциальных уравнений получаются,

19.2. ТИПИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРОИЗВОДЯЩИХ ФУНКЦИЙ 241
если удается найти соотношение между функцией G и ее производными по
t и х. Например, если
G(x, f) = (l-2tx + W-l/» = 2 Ра(х) Г, B5)
п=о
где Рп(х)—многочлены Лежандра степени п (см. гл. 3), то из тождества
.dG .
щш <26)
следует, что
пРп (х) = хР'п (х)-Р'п_х (*), B7)
а соотношение
51= tQ B8>
дает
P' — 2xP' , + P' „ = Р„ ,. f2Q)
Если исключить P/j_2. применяя равенство B7) с заменой я на я — 1, то
получим
nPn-i = P'n-xP'n-i- C0)
Из B7) и C0) вытекает, что
A— х*)Рп = ~ nxPn-\-nPn_v C1)
Дифференцируя C1) по х и комбинируя полученный результат с равен-
равенством B7), получаем дифференциальное уравнение Лежандра
A_ж2)Р^_2д:Рд + я(я+1)Ря=0. C2)
Во многих случаях, когда производящая функция содержит показатель-
показательную функцию, можно получить разностные уравнения. Производящая функ-
функция для многочленов Бернулли Вп(х) (см. гл. 1)
дает
'*< ? В„(х)]^.. C4)
л=о
Так как левая часть в равенстве C4) равна texi, то
Вв(х+1)—Ви(х) = пх"-К C5)
Другие типы функциональных уравненнй для порождаемых функций могут
быть получены аналогичным образом.
Наконец, существование производящей функции для последователь-
последовательности gn чисел или функций может оказаться полезным для вычисления
71=0

242 гл. 19. производящие функции
с помощью методов суммирования Абеля или Чезаро. Если
со
eW-ZJfa*- C7)
и если
1 2л V • C8)
л=о
то
со
в = 0
где
-«. Vn—^B^o+^n-i^i+ •••-hKStf D0)
19.3. Общие теоремы
Пусть для всех п — 0, 1, 2, ... функция gn(x) является многочленом
от х, имеющим в точности степень п. Если выполняется равенство
Agn{x)^g'n(x)=gn lW> eeli 2> з
то говорят, что многочлены gn(x) образуют множество Аппеля. В этом слу-
случае существует такой формальный степенной ряд
со
A (t) ~ 2 *»'"• ао 5* 0, A)
ЧТО
(i)e г-1 ?j ёп \х) * • I*/
л=о
Торн (Thome; 1945) показал: многочлены gn (x) образуют множество Аппеля
тогда и только тогда, когда существует функция а(х), имеющая ограничен-
ограниченное изменение на луче @, оо), такая, что все интегралы Стилтьеса
ц„= }x"da(x), л = 0, 1, 2, ....
сходятся, Но Ф 0 и
се
С г<г) (х) da, ( }= / ® ПРИ п ^ г'
J ¦ -\ I при п = г.
Тогда формальный степенной ряд /4 @ определяется так:
i -1
Шеффер (Scheffer, 1945) доказал, что {gn (*)} является множеством Аппеля

19.3. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ 243
тогда и только тогда, когда Существует функция р (х), Имеющая ofрайичен-
ное изменение на луче @, со) и такая, что интегралы
«=0, 1, 2
II
сходятся, Ьо Ф О В
00
^TrdP(a «=0,1,2,... C)
о
Варма (Varma; 1951) показал, что тогда при том же самом |3 (t) многочлены
00
8п W = J П *F» (- n, а, Ь; с, d; - t/x) dp (t)
(A)
также образуют множество Аптселя. Здесь з^а обозначает обобщенный
гипергеометрический ряд (см. 4.1). Производящая функция! связан-
связанная с g"n, имеет вид
о,
Л-0
где
А* (и) ~ J 3Ft (а, Ь; с, d; ut) d°l (t). F)
о
Относительно примеров множеств Аппеля см. формулы 19.7 A), 19.7B),
19.7B3) и 19.7C4)
Разложения вида
2 *«W" G)
были изучены Альфаном (Halphen; 1881) и Бердом (Bird; 1934). Шеффер
(Scheffer, 1939) использовал понятие множества Аппеля как основу для клас-
классификации множеств многочленов Пусть для каждого п = 0, 1, 2, ... функ-
функция ga(x) является многочленом от х, имеющим в точности степень п.
Тогда существует оператор J, однозначно определяемый функциями gn(x)
и обладающий следующими свойствами
J является линейным оператором, действующим на х" (и, следовательно,
на любой многочлен от х) П}сть у^у{х) является любым многочленом
от л, и У [у\ обозначает многочлен, в который переходит у при отображе-
отображении J. Пусть J таково, что при п=\, 2, 3, ... многочлен J [xn] имеет
в точности степень п —1 и что J [*°] есть нуль% Можно показать, что тогда
для любого у имеет место равенство
•Пу]= 2 ?»(*)«/<""(*). (8)
где у<я>) обозначает т-ю производную от у и где

244 гл. 19. производящие функции
является многочленом по х степени <т — 1 таким, что
>l)laI+... + m\lmja_1?O, m=l, 2, 3, ... A0)
Но Lm (х) (и, следовательно, J) однозначно определяются условием
Л&]=*.,-1. "=1> 2, 3, ... A1)
Пусть ft—наибольшая из степеней многочленов Lm(x). (Если степени Lm
не ограничены в совокупности, то полагаем k = оо.) Тогда говорят, что мно-
множество многочленов gn (х) имеет А-тип k. Аппелевы множества являются
частным случаем множеств нулевого Л-типа. Для них
Lm(x)=-cm, сгф0, т=1, 2, 3, ....
и ст—постоянные. Если сопоставить с J формальный степенной ряд
J(t)~c1t+cat*+c3t!>+...,
то можно определить другой формальный степенной ряд Н {t) формулой
ЛН (/)] = *. A2)
Тогда все множества gu(x), удовлетворяющие условию A1), могут быть
построены следующим образом. Мы выбираем любое множество постоянных
а„ (п = 0, 1, 2, ...), где а0 ф 0, полагаем
Мейкснер (Meixner; 1934) нашел все ортогональные множества gn(x),
определяемые производящей функцией такого типа (см. п. 19.12).
Случай, где
A-*)Рф @ expj^j =??„(*)<" A4)
n=o
и Ф(/) регулярно при |<|<1, был изучен Райтом (Wright; 1932), который
получил результаты об асимптотическом поведении gB (х) при п —> оо.
Хафф (Huff; 1947), а также Хафф и Рейнвилл (Huff and Rainville; 1952)
доказали: если
ТО
Чг <15>
09
V", A6)
-2л ink)t* A7)
л=о

19.3. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ 245
определяет множество gn (х), имеющее Л-тип k, тогда и только тогда, когда
f(*)-«f*<Pi. Р2 fa; ог), A8)
где o^t обозначает обобщенный гипергеометрический ряд (см. гл. 4), и
Pi» •••> Pfti о —произвольные постоянные. Относительно многочисленных
других результатов о производящих функциях типа A7) см. Huff A947),
Brenke A945). Рейнвилл (Rainville; 1947, не опубликовано) заметил, что
в частном случае, когда функция q>B) в A6) равна exp t, функции gn(x)
в A7) удовлетворяют соотношению
л=о
Относительно приложений см. 19.10A5) и 19.10A6).
Рейнвилл (Rainville; 1945) доказал: если
^^ n!
то
( J
B0)
(- D* ( J) ff* W = (- 1)"V", B4)
y)"-*g*(*). B5)
A=0
Фазенмайер (Fasenmyer; 1947) доказала: если
#«=|>„*в, B6)
я=о
то
00
/1 = 0
где
B8)
В случае, когда Н (х) является обобщенным гипергеометрическим рядом
pFq (см. гл. 4), каждое gn является обобщенным гипергеометрическим
рядом p+iFq+i.

246 гл. 19. производящие функции
Вильяме (К. P. Williams; 1924) изучил производящие функции вида
G)Bxt-{-t2), где Ф(г)—степенной ряд от г, и использовал свои результаты
для характеристики многочленов Лежандра и Эрмита.
Тресделл (Truesdell; 1948) изучил производящие функции F {г, а), удовле-
удовлетворяющие уравнению
gj F (*.(*)=*<*, а+1). B9)
В частности, Тресделл доказал следующую теорему.
Если функция F(z-{-t,a) разлагается в ряд Тейлора по степеням t, то
?j- C0)
Пусть для фиксированного значения а и г = г0 имеем
sup f'y+"+') ', кфО/ C1)
и пусть существует такое вещественное число А<1, что для некоторого
значения w такого, что \w\ < ft, имеем
\F(г + tw, a)|<eA/, f > г0. C2)
Тогда для того же самого значения w имеем
00
ас *
^ f (г, а+ п) w" = ) е~*Р (г + tw, a) dt C3)
п=о о
при условии, что ряд равномерно сходится по г в области, включающей
фиксированную точку г0. '
Другие теоремы Тресделла связаны с рядами
 F(z,a-n)w». C4)
Различные приложения будут перечислены в таблице производящих
функций, в частности, см. пп. 19.9 и 19.10.
19.4. Символические соотношения
В старых работах, для того, чтобы кратко выразить некоторые тожде-
тождества, а также для сокращенных доказательств, часто применялись символи-
символические соотношения. В современной литературе применение символических
соотношений стало реже. Мы укажем два примера.
Введем, следуя Реннвиллу (Rainville: 1946;, следующие обозначения.
Мы будем писать = вместо =, если в правой части равенства надо заменить
показатели индексами в любом символе, таком как В, Р, Н, L, не имеющем
смысла без индекса. Таким образом, если Вп обозначают числа Бернулли,
которые можно определить с помощью производящей функции
„?. 0)

19.4. СИМВОЛИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ 247
то будем писать
B)
для того, чтобы указать, что многочлены Бернулли Вп(х) из 19.2C3) можно
явно выразить в виде
Символический вывод этого выражения проводится следующим образом.
Производящие функции A) и 19.2 C3) имеют символическую форму
t <е*—I) = eBt, text (el — I) =
Путем сравнения получаем
и B) вытекает из сравнения коэффициентов при t".
Аналогично, если Ln (х) является многочленом Лагерра степени я
и если P/f — многочлен Лежандра степени к, то соотношение
2'ie[P(x)] = [L(x-l) + L(*+l)]» • E)
означает, что
i4?v
Соотношения ^5) и F) были доказаны Рейнвиллом (Rainville; 1946), который
дал много других подобных соотношений между многочленами Эрмита, Ле-
Лежандра и Лагерра. Доказательство использует производящие функции.
В исчислении конечных разностей часто употребляют символ Е для
оператора сдвига, который увеличивает индексы (или другие отметанные
переменные) на единицу. Таким образом,
к, л=0, 1, 2, ... G)
Применяя этот оператор, можно записать производящую функцию для много-
многочленов Эрмита
*'*<-»= |>«М? (8)
^). (9)
Определенный выше оператор Е действует на (дискретные) переменные п.
Фридман (Friedman; 1952) распространил "его определение так, что он дей-
действует также на переменные х. Пусть дана любая функция от х. Разложим
ее в ряд по многочленам Эрмита и применим Е к многочленам Эрмита.
Таким образом, если
/ (х) =а0Н0 (х)+ахНг (х)+..., A0)
то определяем

248 ГЛ. 19. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Все другие переменные (s, t, у, ...) не изменяются при действии оператора Е
и, следовательно, перестановочны с Е. Умножение на переменную х опреде-
определяет оператор, действующий на любую функцию f(x). Из рекуррентных
формул
На+1(х) = 2хНп(х)-2пН„_1(х) A2)
получаем
Следовательно, умножение на х отображает функцню f (x) в A0) на
00
xl(х) = а1Нл(*)+ ? [1 я„_1+(п+1)а„+11 Я„(*). A3)
Из A1) и A3) получаем
xEf.(x)-Exf(x) = f(x). A4)
Соотношения вида A4) между двумя операторами играют роль в квантовой
теории. Равенство A4) показывает, что Е не коммутирует с х. Однако мы
можем умножить любое выражение, содержащее Е, на величины, не содер-
содержащие х, и сложить. Например, из
n=o
00
ехр (й<- -^ <•*"') Л = 2я^^ exp (~ t/»s») A6)
находим, путем подстановки Е вместо s:
О»
= j exp BM + f«—J-<Vf) <Н, A8)
Сравнивая A7) и A9), получаем
ОС
ш" 1 ехр (- х*0%-г) =?(-Dn Я.» W ^ •
n=o
где oia=l— 4y*.

19.5. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 219
19.5. Асимптотические представления
Производящие функции успешно применяются для определения асимпто-
асимптотического поведения производимых чисел (или ф} ькций) при п —*¦ oo. Если ряд
имеет конечный радиус сходимости, то функция G (t) имеет одну или не-
несколько особых точек на границе круга сходимости, и природа этих особых
точек определяет поведение gn при больших п. Если ряд A) всюду сходится,
то G (/) является целой функцией и поведение G (г) при больших значениях
111 определяет поведение цп при больших п.
Случай конечного радикса сходимости ряда A)был впервые изучен Дарбу
(Darboux; 1878), а позднее—многими авторами. Метод Дарбу приводит к сле-
следующей общей теореме, сформулированной Сеге A962, теорема 8.4).
Пусть функция G(t) регулярна при |/[ < 1, и пусть она имеет конечное
число особых точек
B)
на единичной окружности |f | = 1. Пусть в окрестности точки el<fk имеем
00
G V) = 2 4*' A —fc-"p*)e*+v**' fe = 1, 2, ... , г, C)
v=o
где bk > 0. Тогда выражение
i i
V=0ft=l
дает асимптотическое выражение gn в следующем смысле: если Q—любое
положительное число, то взяв в D) достаточно много членов, мы
получаем приближенное выражение для gn, причем ошибка является O(n~Q),
когда п— > оо.
Любой конечный радиус сходимости R можно привести к единице путем
подстановки t—Ru. Метод Дарбу можно применить также для случая (изо-
(изолированных) логарифмических особенностей. Случай показательной особенно-
особенности на окружности сходимости более сложен. Он был изучен Перроном,
Фабером и Гейслером и, сравнительно недавно, Райтом (Wright; 1932, 1933,
1949), который дал ссылки на более раннюю литературу.
Метод Дарбу был с успехом использован для изучения асимптотического
поведения классических ортогональных многочленов и некоторых арифмети-
арифметических функций. Если производящая функция является целой, то во многих
случаях можно найти другой производящий ряд, имеющий конечный радиус
сходимости. Многочлены Эрмита (четной степени), например, могут быть
порождены либо 19.4(8), либо 19.4B0), и метод Дарбу применим ко второй
производящей функции, но не применим к первой.
Случай целой производящей функции был изучен многими авторами.
Среди более ранних авторов наиболее важные работы принадлежат Берису,
Линделёфу и Ватсону.
Форд (Ford; 1936) дал сводку результатов и ссылки на работы, появив-
появившиеся до 1936 г., а Райт (Wright; 1948) дал ссылки на более современную
литературу.

250 гл. 19. производящие функции
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. ФОРМУЛЫ.
Следующий ниже список производящих функций, разумеется, не претен-
претендует на полноту. Производящие функции приведены в порядке возрастания
сложности. Выбранная нами «иерархия» функций ясна из заголовков следую-
следующих ниже функций. Каждая производящая функция указана в пункте, соот-
соответствующем наивысшей из входящих в нее функций. Мы не использовали
лексикографического порядка, но были приняты следующие принципы при
составлении этого списка, которые могут облегчить отыскание требуемых
результатов. Функции параметров рассматриваются как более элементарные,
чем подобные функции главных переменных х и t. Таким образом, A + 0*
встречается позже, чем A—2xt-\-t2)~'>. Произведение алгебраической функции
и показательной считается более элементарной, чем показательная функция
от алгебраической функции.
Почти все изложенные ниже результаты сопровождаются ссылками на
литературу. Эти ссылки были выбраны так, чтобы они были наиболее до-
доступны, и далеко не всегда означают, что соответствующая производящая
функция впервые появилась в данной работе.
Мы не включили сюда производящие функции теории чисел. Относительно
эгих функций см. гл. 17. Производящие функции комбинаторного анализа
точно так же исключены из данного списка.
19.6. Рациональные и алгебраические функции.
Степени с произвольными показателями
? A)
Тп(х)—многочлены Чебышева гл. 10.
A_0"*A-*0'*=51 8{nk)(x)t", * = 0, 1, 2 B)
т = о
Здесь g^(x) является fe-м чезаровским средним первых п частичных сумм
ряда 1-J-* +¦**+•'¦ (Относительно приложений см. Obrechkoff, 1934.)
(С
О — 'Иг Л- №\~'/' V Р Ml"' tA\
Рп(х)—многочлены Лежандра (см. гл. 10).
в=о
?/и+1—многочлены Чебышева второго рода (см. гл. 10).
F)

19.6. РАЦИОНАЛЬНЫЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 251
Р„{х)—многочлены Лежандра, см. гл. 10.
'/•-J| gn{x)t". G)
Рекуррентные соотношения и линейное однородное дифференциальное уравне-
уравнение третьего порядка для gn было выведено Пинчерле (Pincherle; 1889). Мно-
Многочлены, порожденные функцией A—3xt+t3)~", были изучены Гумбертом
(Humbert; 1920). J V V
GO
V r(fe+n-v+l)Bv + D
2-
где Py(x)—многочлен Лежанчра степени v и Refe>— 1. Приложения к за-
задаче суммирования рядов Лапласа и Лежандра были даны Гронуоллом (Gron-
wall; 1914).
г
~[PW+Л1WI- 01)
Относительно приложений см. Gronwall A914); ср. также с (8).
С^—многочлены Гегеибауэра. См. гл. 10, п. 11.1.2, а также Gegenbauer
A874).
Пусть ш=A— 2xt-\-1*?'', тогда
где С*—многочлены Гегенбауэра из гл. 10; ср. также A2) и Szego A962).
Обыкновенные дифференциальные уравнения и дифференциальные уравнения
в частных производных для Hvn были выведены Девизмом (Devisme; 1932,
1933).
'" 05)

252 гл. 19. производящие Функций
Относительно изучения ms^ см. Devisme A936).
да
V-tf-'Q-t + xt)-*^ (c)aF(-n, b; с; х)(~ . A6)
л=о
Обозначения те же, что в п. 2.1. Относительно приложений (к физике) см.
Gordon A929).
Пусть tt-=(l — 2xt + t*I/2, тогда
00
= 2 Pf'®(x)tnt A7)
= V S5±iiaf (a + p + n+l, -n; a+1; ±.-±)t*, A8)
X-i я! V 2 2 у
ft — 0
где P^a' P^—многочлены Якоби (ср. гл. 10 и п. 2.5.1, где дано доказатель-
доказательство).
где
''*-" '"-" ' " п = 1, 2,3, ..., B0)
B1)
являются биномиальными многочленами от д:. Равенство A9) является хорошо
известной биномиальной теоремой, которая была строго доказана Абелем
в 1826 г.
?п (*) = <?-« F(-n, -ж; 1-я-дс; -1), B3)
==2atFA — n, I— jc; 2; 2), nSsl. B4)
Обозначения даны в п. 2.1. Ссылки: Mittag-Leffler A891), Bateman A940).
Производящая функция имеет обобщенный аппелев тип 19.3A3;, с A(t)—\,
и(*)<"- B5)
Явное выражение для gn(x) может быть получено из B2) и 19.2C7)—19.2D0),
где Л (/) = (!— t)'1. Относительно приложений см. Pidduck A910, 1912).
^" B6)

19.7. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИЙ 253
(см. Mittag-Leffler A891)).
. [l + |K(e(,+ai<+---+aftf*)]*/e=2 gn(x)ta. B7)
Функции gn (x) удовлетворяют функциональному уравнению
и любое решение уравнения B8), имеющее вид многочлена, может быть
получено из производящей функции вида
/ »
\ т = в
при соответствующем выборе постоянных j), e0, av ... Ссылки: Rene Lag-
range A928). Производящая функция является одной из функций обобщенного
аппелева типа 19.3A3).
Пусть G=G(x, t) является корнем уравнения
l+juG-U + G)*»***, B9)
обладающим разложением
ae.0-i;fc§?. C0)
Тогда
H^[1±?2#±1LT""}
и <?i — 2*^A—х)~"*/'!. Функции gn(x) были использованы Берисом (Barnes;
1906) для изучения асимптотического поведения (при г —> оо) ряда
п=о
19.7. Показательные функции
со
п- -т
Здесь L^—многочлены Лагерра из гл. 10. См. также Truesdell A948).
Я„—многочлены Эрмита из гл. 10.

254 гл. 19. производящие функции
(см. Humbert, 1923); функции gin(x) обладают свойством
аэ О
<***= J e-*Vg2J*)dx = 0, s=0, 1, 2 n-l.
L J л=~»
функции Jn (.t)—функции Бесселя первого рода (см. гл. 7).
/»..(*)«*'". F)
Л,Ш=-00
хл+т
дг 2 ^ -j-1, я -j-1;
где 0Fg—обобщенный гипергеометрический ряд (ср. п. 4.1). Для отрицатель-
отрицательных значений п, т. правая часть равенства G) понимается как
00
х \+
Относительно доказательств и приложений к решению уравнения
см. Humbert A930).
ехр (/2_ао)х_
/,т,л=о
см. Devisme A932, 1933).
/„(*)?_, A1)
я=о
где /=-5-, если п четно, и /=^й~ > если п нечетно. Нп—многочлены
2 *
Эрмнта из гл. 10; см. также B) и Cere A962).
00
л=о
„—многочлены Эрмита из B) (см. также гл. 10 и Чебышев A889)).
(П)
л=о

19.7. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 255
Функции ?"(*)—обобщенные многочлены Лагерра из гл. 10, См. также
Сете AЬ62).
A4)
П=й
/ ч*~ ft * *
= (Ш)-1 (-х/2)« 8F0 (- п, 1/2-П/2, 1 -п/2; - 4лг-а), A6)
где |4г1 ='^'• если п четно и l-jr-j =—^—, если л нечетно, а «Л>—обоб-
[nl п Г л 1
у =-s- > если п четно и \-^\
й й б
[
щенный гипергеометрический ряд; обозначения те же, что в п. 4.1. Относи-
Относительно приложений к задаче теории электрона см. Mott A932).
o(-n,n+l;-x{2)t-i; A7)
здесь 2F0—многочлены Бесселя. См. A8), A9) и Krall и Frink A949), Bur-
chnall A951).
*' «. Ь)'-1. A8)
п=о
Кролл и Френк (Krall and Frink; 1949) называют функции у„(х, а, Ь) обоб-
обобщенными многочленами. Бесселя; эти функции обладают свойствами ортого-
ортогональности на единичном круге в комплексной ^-плоскости. Относительно
доказательсгва A8) см. Burchnall A951). Явное выражение имеет вид
= s^o (—«. а—1 +л; —х/Ь), A9)
уа{Ьх, а, Ь) = х*-а<* exp (g)*,_«,,. п.ш+а/2 (х~*). B0)
Обозначения: 2^о—как в гл. 4; W— как в гл. 6; см. также п. 4.7 и A7).
<". B1)
^ B2)
см. A3) и пп. 2.1 и 6.9.2 относительно обозначений. Функции Z."^—обобщен*

256
ГЛ. 19. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
ные многочлены Лагерра. Ссылка: Wright A932).
п=о
B3)
B4)
В „(х)—многочлены Бернулли и Ел(х)—многочлены Эйлера степени п. Пусть
В„=Вп(% B5)
Е„ = 2«Е„A/2); B6)
Вп—числа Бернулли (см. гл. 1) и Еп—числа Эйлера.
B7)
B8)
Относительно отчета об обширной литературе и многочисленных результатах
и приложениях см. Fort A948) и Ndrlund A924). Относительно обобщений
ср. C0), C4)~C7) и E7).
B9)
Функции gn{x) тесно связаны с многочленами Бернулли (см. B3), а также
Hermite A878) и Berger A888) относительно обобщений и приложений).
C0)
называются обобщенными многочленами Бернулли. Ср. B3) и см.
также Norland A920, 1924). Частными случаями являются:
C1)
™{х)= J (s-1) (s-2)...(s-n)ds,
(х + Й
= ? ( * ) х (х-1)...(х-г+1) В«:? (у),
C2)
C3)

19.7. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 257
Если р Ф 0, то ©^—многочлен от х степени п. Если р-> оо, то
где Вп(х)—многочлен Бернулли (см. 19.4C) и B3)). Функции в>{,р)(ж) можно
разложить в ряды по функциям sinji,*, cosfijx, / = 1, 2, 3 где уц есть
2-й вещественный корень уравнения
ficos{i+psin ji = 0.
Относительно этого и других результатов, а также приложений к задаче
теплопроводности см. Н. С. Кошляков A935).
1).. .&# +1) е**=? Е\ГП (* 1 «i »i) J. C5)
n=o
-"* "() 5- '-'•2'3' - C7)
Функции B^"^, B^"—многочлены Бернулли порядка—f и I соответственно-
Функции Е^~1\ Е^—соответствующие многочлены Эйлера высшего порядка.
Относительно результатов и приложений этих многочленов см. Norlund
A920, 1924).
jT^+^ft C9)
п= о
Имшенецкий A884) изучил функции Фу>п+1, Y, „+1 при v = 0, 1, 2, ...
Они тесно связаны с обобщенными многочленами' Бернулли и Эйлера и с
C4)—C7); см. также Norlund A924).
ехр[*A+<-в*)] = 2 *„(*)? D0)
л = о
Малер (Mahler; 1930) ввел функции g.(x) для изучения нулей неполной гам-
гамма-функции (см. гл. 9, а также D1), D6)).
00
exp [at+x(l -*')}=? *<«> (х) ?. D1)
Функции ffi были изучены Тоскано (Toscano; 1950). Связанные с ними
функции были также изучены Хилбом (Hilb; 1922), ср. D6), и Малером

258 гл. 19. производящие функции
(Mahler; 1930), ср. D0). Тоскано (Toscano; 1950) дает ссылки на более раннюю
литературу, где функции g?** были введены в связи с математическими
задачами, возникающими в страховом деле. Одним из результатов Тоскано
(Toscano; 1950) является
8ie+1)W-*r Ю—5«S"»M- D2)
Равенство D2) связывает функцию g^ с изученным Тресделлом (Truesdeil;
1948) функциональным уравнением. Функции g^a) (x) являются многочленами
степени л как по х, так и по а.
ё; л~* <43)
Если Д„—разностный оператор, определяемый формулой
то
п
S^ (*) = fexp (- хД„)] а" =» ? ("^|)Я ж1» Д^о". D5)
т=»
Тоскано дал разложение для gj,a'(*) в ряды по многочленам Лагерра L°
(см. гл. 10) и доказал следующее интегральное соотношение:
J в»> (г) «U= (- I)V/*e-"g/(«-P+i> (a),
о
Соотношение л
т=о
было установлено Уиттекером и Ватсоном A963; гл. 15, задача 48).
CD
exp (e* — tx) С exp (sx—e3) ds=^ gn (x) tn. D6)
t n=o
Функции <?„(д;) были использованы Хилбом (Hilb; 1922) для того, чтобы
построить решеййе функционального уравнения
u(x+l)-xu(x) = h(x), D7)
гдб h (x)—заданная функция. Хилб показал, что при некоторых условиях
на h(x) решением уравнения D7) является
Здесь A«» = A(x) и А<"> есть n-я производная от

19.7. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 259
рп(х)—многочлены Пуассона — Шарлье из гл. 10; см. также Сеге A962).
A _ t)~*е** » ехр [х Bt+1*/2+ <»/3+ ...)] = 2 «. (*) *"; E0)
п=о
gn{x)—множество многочленов обобщенного аппелева типа 19.3A3). В обоз-
обозначениях п. 2.1
Сильвестр (Sylvester; 1879) изучил многочлены gn(x) и показал, что числа
gn A/4) можно использовать для подсчета количества различных членов в
определителе кососимметрической матрицы порядка 2п. Аналогично ^„('/g)
полезно при отыскании числа различных членов в определителе порядка 4я
матрицы, кососимметрической относительно обеих диагоналей.
...)J=S^W<n; <52>
gn(x)~-обобщенное аппелево множество тина 19.3A3), которое связано с мно-
многочленами Эрмита (см. гл. 10). Относительно применений к задаче об асим-
асимптотическом поведении многочленов Эрмита см. Veen A931).
-в A - Pf c/'exp [x(t42+ <з/3+ ...)]= 2 ga(х) tn. E3)
n=o
Функции j?n(i) образуют обобщенное аппелево множество многочленов типа
19.3A3). Они были введены Трикоми (Tricomi; 1949) для изучения асимпто-
асимптотического поведения многочленов Лагерра (см. гл. 10). Основным рекуррент-
рекуррентным соотношением является
l)gre-i+2*gn_8, E4)
S(-1>'M»W<"- E5)
n=o
Функции Ап(х) иногда называют многочленами Аппеля. Оии связаны с част-
частным случаем многочленов gn(x), определенных в 19.3A3). Это можно ус-
усмотреть, если заметить, что
e-*(l + JtO1/'==exp{x[e-4n(l-fs)-l]}, s=xt.
Мы имеем
E6)
Hm У,

260 ГЛ. 19. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Числа Рт применяются при вычислении теоретико-числовых функций (см
Appell; 1880). ^
= 0
'№ обобщают числа Бернулли (см. гл. 1 и ср. с B5)); В^ — многочлены от
х степени и, которые являются частным случаем многочленов Р. Лагранжа
(R. Lagrange, 1928) (см. 19.6B7)). Относительно других производящих функ-
функций см. 19.8F); теория и приложения даны в статьях Норлунд (Norlund;
1920, 1924). Путем небольшого изменения (см. E8)) из В^ получаются мно-
многочлены Стярлинга.
E8)
п=о
х)—многочлены Стирлинга. Они связаны с числами Стирлинга С(? и
соотношениями
|Й^-'. 2.8 (»)
1Г-^ .-¦)¦ т
Здесь i|H по определению равно -=¦ и числа Стирлинга определяются неза-
висимым образом формулами:
F2)
2 +
/•=0
Определение @п такое же, как в п. 2.1. Ссылки: Nielsen A906); Norlund
A924). См. также E7) и 19.8 G).
(I-
8 ¦ F6)
1
2.Г
Относительно приложений g,, р„ в F5), F7) к теории гиперболических диф-
дифференциальных уравнений см. Курант и Гильберт A951), гл. 6, § 5, п. 3.

19.8. ЛОГАРИФМЫ, ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ДРУГИЕ ФУНКЦИИ 261
19.8. Логарифмы, тригонометрические и обратные
тригонометрические функции.
Другие элементарные функции и их интегралы
X
Ja(l-a)...(n-l-«)rf«. B)
См. Appell A929), Jordan A929) и ср. с 19.6A9) и 19.10A4). Приложения к
вычислению Ъп~ .
Асимптотическое поведение А^ при я-j-oo было изучено Наруми (Narumi;
1929). Здесь /4(„к) (х)—коэффициент при tK /к! разложения -р/' тТ' по
степеням <. Они имеют приложения к доказательству теорем о функциях,
регулярных внутри единичного круга (г| < 1 и имеющих единственную осо-
особую точку фиксированного положения (z=l) и типа иа |z| = l.
Rev>a
о
) —биномиальный многочлен 19.6 A9) степени п от %х (см. Lerch,
п )
1905).
где Bjf) определено в 19.7 E7); см. Norlund A920, 1924).
^„—многочлены Стирлинга; см. 19.7E8) и Nielsen A906).
ktext
smkt
(8;
Пусть [|]=|. если я четно, и [.jj-tzi. если п нечетно. Пусть

262 ГЛ. 19. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
постоянные Ьгп определены формулой
я=о
Тогда
m= о
Относительно этого результата и приложений к задаче о приближении
функции с заданными средними значениями самой функции и ее производ-
производных см. Leaute A881). Аппель (Appell, 1897) показал, что при — k < х < k
, m>0,
Функции gn связаны с многочленами Бернулли из 19.7 B3):
Разложение
л=о
можно свести к 19.7 B3) (многочлены Бернулли). Приложения к двуточечным
разложениям аналитических функций см. Whittaker A933).
-ТТГТ = \. 8п (*) t • A2)
СП t JmJi ° ' V '
Функции ga связаны с многочленами Эйлера [см. 19.7 B4), а также Whittaker
A933)].
tn
y»-v,(*>in~' A3)
п=о
в»
cifi /vS Ov/\ «в ——
Oil* ^Л ~~™ ?Л it ^—
л=о
где /у (х)—функция Бесселя первого рода порядка v (относительно обозначений

19.8. ЛОГАРИФМЫ, ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ft другие ФУНКЦИИ 263
см. гл. 7). Ссылки. Glaisher A873).
(cost)" =2 сп(*><"> - A5)
п=о
Относительно приложений к теорий чисел БернуЛли и других свойств
функций с„, sn см. Nielsen A914) и- ср. с Norlund (I920, 1924) и 19.7E7).
(^) A7)
См. 19.6B2).
ехр (х arcsin t) = 2 Sn to **. A8)
ftW = b ?ito=*, A9)
^J, B0)
I)«I. B1)
Это—обобщенное аяпелево множество типа 19 3 A3) с А (*)э=1. Явная форма
для gn(x) может быть получена, если положить sinq>=< и продифференци-
продифференцировать A8) по ф.
ехр К s-i (I + s)* (I -s>-* ds = 2 ga (x) f, B2)
Lx J n=e
см Mittag-Leffler A901) и ср. с 19.6B2).
см. Mittag-Leffler A901).
1 - »
ех \ e-x'uu1/*da = -t ^gn(x)tn; B4)
i-t *=«
см. Rogowski A932).
. I'K». B5)
Относительно результатов и приложений к теории вероятностей см. Oettin-
ger A867). У .

264 гл, 19. производящие функции
19.9. Функции Бесселя. Вырожденные гипергеометряческяе
функции и их частные случаи
(функции параболического цилиндра и др.)
В этом пункте будут применяться обозначения гл 7 для функций Бес-
Бесселя и гл. 6 и 8 для вырожденных гипергеометрических функций н их
частных случаев.
см. гл. 7 и Truesdell A948).
см. Truesdell A948).
<*+ О"*1/, [2 (*+ <I/а ]= ? x-a/*-n/aJa+tt (х) {-=Ж ¦ B,
л=о
см. Truesdell A948).
CO
extjo [t A — x»I/a ] = ? Р„ (jc) ^-y, D)
OS
Р„, L,,—многочлены Лежандра и Лагерра (см. гл 10). Ссылки и приложе-
приложения: для D), E), F) Rainville A945); для G) Bateman A905).
j^-J"; (8)
^"—обобщенные многочлены Лагерра из гл. 10; см. также Сеге A962).
(
п=о
.^—многочлены Лагерра из гл. 10; см. также Truesdell A948), стр. 2.
= У [Bа+ 1)„]~1С^+ 1/а (ж) ta, A0)

19.9. ФУНКЦИИ ВЕССЕЛЯ. ВЫРОЖДЕННЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧ. Ф-ЦИИ 285
гае CJ — многочлены Гегенбауэра яз гл. 10; см. Truesdell A948).
1=0
-многочлены Лагерра из гл- 10; см. Сеге A962).
уМ*-
р{<>>, в) ix\ fit
JJ '—многочлены Якоби. См. гл. 10, 7 и 2 относительно обозначений и
Bateman A905) относительно доказательства. В случае а=р правая часть
равенства содержит многочлены Гегенбауэра; при сс=|3 = 0 функции />?"№
сводятся к многочленам Лежандра (ср гл 10), и A2) переходит в G).
(x+t) exp [i- Bxt + **)] = ? ( *) Dn (x) <»"»;
A3)
Dm (m=0, I, 2, ,..)—функции параболического цилиндра Сер- п. 8.2 и
Prasad A926)).
1=0
р—произвольно, а ?."—обобщенные многочлены Лзгерра из гл. 10. Ссылки:
Chaundy A943).
ь
\ ^ (с),
3 .
' l+4/aJ~
где /=-я-. если я четно, и l=-^f- , если п нечетна Ня—многочлены
Эрмнта из гл. 10. Ссылки: Brafman A951).
ев
e-fjfjf—fc, o+l;
см Truesdell A948).

266 гл. 19. производящие функции
19.10. Гамма-функция. Функции Лежандра
и гипергеометрическая функция Гаусса.
Обобщенные гипергеоиетрические функции
В этом пункте мы используем следующие обозначения: для Г и (а)„
см. гл. 1; для F, gFi см. гл. 2; для Р? см. гл. 3; для pFq см. гл. 4.
T(m+t)
—Функции, определенные в 19.8 C); см. также Narumi A929).
(_0», C)
ев
см. Truesdell A948).
(^) (пгJ (~2я-1) <¦, F)
где
/a, FvB)=^s(-v, v+l, 1/2+Z/2; 1, 1; 1). G)
Здесь Pv—функции Лежандра, Р„ (п=0, 1, 2, ...)—многочлены Лежандра
(см. гл. 3 и 10), з^а—обобщенный гипергеометрический ряд (см. п. 4.1.1).
Ссылки: Bateman A934), Rice A940)
. 1/2; p; -4**A-<Г8] = ? 3F,(-n, я+l, ft 1, p; *)/»; (8)
ifiF s^a—гипергеометрические и обобщенные гипергеометрнческие ряды.
Ссылки: Rice A940), Fasenmyer A947); см также 19.3 B7), 19.3 B8) и п 4.7.
^ 1+а/2+р/2;

19.10. ГАММА-ФУНКЦИЯ. ОБОБЩЕННЫЕ ГИПЕРГЕОМРТРИЧ. Ф-ЦИИ 267
р(а, Р) (д;)_мяогочлены Якоби; aFi~гипергеометрический ряд. Относительно
обозначений см. гл. 2 и 10, а относительно доказательства—Watson A939).
Р/2+1/2;
»=0
где С*—многочлены Гегенбауэра из гл. 10. Ссылки: Brafman A951). Пара-
Параметр р—произвольный. При а=0 С^ переходят в многочлены Лежандра.
Р; 1/2+</2-ю/2)=
где te!=(l—2ж<+<8I/*, Р^"'^—многочлены Якоби из гл. 10 и р—произволь-
р—произвольный параметр. Ссылки: Brafman A951). Частные случаи сс = Р и «=E = 0 при-
приводят к функциям, являющимся кратными ультрасферических многочленов
или многочленов Гегенбауэра и многочленов Лежандра (см. гл. 10).
• хп \2а, 26, а+Ь, -п; 1
[F(a, Ь; с; -ОР.*-^ Л ,-^»; A3)
F—гипергеометрический ряд, как в п. 2.1; 4fа—обобщенный гивергеометри-
гивергеометрический ряд, как в п. 4.1. Ссылки: Humbert A924).
С F (а, Р; г. 0*»-2 **+»W &'"; (И)
F—гипергеометрический ряд. См. п. 2.1 относительно обозначений и Арре11A929)
относительно приложений; gn+1 являются функциями из 19.8 B). Пусть
в* А (а; Ьг, V. -дЛ«) - ? & М -?г • (IS)
п=о
Тогда для любого с имеем
2, c/2+lA а; 1/2, 6„ fta; —«¦*¦ <1 — 0~"
со
<1в>
см. Rainville A947). Ср. с 19.3 A9).
И2—ml yi ^ fa) t" .

38 ¦ гл. 19. производящие функции
Р^—функции Лежандра из гл. 3; см. Truesdell A948).
</„(ж, а, ft)—обобщенные многочлены Бесселя. Ср. 19.7 A8) (Rainville, не
опубликовано). Равенство A8) является частным случаем равенства B3).
laF0 [1, 1/2; — 4<* A — 2xf)~8] ~ V Hn(x) t"; A9)
n=o
й„—многочлены Эрмита из гл. 10. Ссылки: Rainville A947).
2,0/2+1/2; — 4<*A— 2tx)~*]~ V %ЯП(*)(В; B0)
Яп—многочлены Эрмита из гл. 10. Ссылки: Brafman A951).
1 р [*!, .... V _ 4дс/ 1 _
i-< '«L^ V' о—oaj ~
" Г—п. я + 1. С! ар\ 1
По Li/2. 1. &1. •-. V» J
B1)
Обозначения, как в п. 4.1.1 См. также 19.3 B7), 19.3 B8) и Fasenmyer A947).
"Я, аи .... ар;
О—0
Pi, P*. •••• Р#;
"^| л!
—я.
B2)
Chaundy A943).
<1—4ж<)-1/*2е>-* [1 + 0 —
_Pi» Ps> •••» Р95
LPi. •••! P?;
—n, e+n, 1—Pi—n 1 — Р^—n;
1—ai—п, ..., 1—ар—и;
где
Rainville A947).
.Pi fig!
я=о
—я,
Pi, • • •, Pg>
чЛ B3)
B4)
4г« t25)

19.11. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ ДЛЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 269
Rainville A947).
f« [т. в; »+*. 1+Р; у*(«-!). -j*
V(v).FL „/„ я»
"а VеI ' (•"*)
где F«—гяпергеометрическая функция Аппеля от двух переменных (см. гл. 5);
/>(«> Р)—многочлены Якобн из гл. 5.
19.11. Производящие функции для многих переменных
?п(.х> У)—так называемые многочлены Лагранжа:
Приложения к статистике и общие ссылки: Lagrange A868).
где Fi—гипергеометрический ряд Аппеля от двух переменных (см. гл. 5).
Ссылки: Devisme A932, 1933).
exp [xt—yt3+-w-)=yun(х, у) tn. D)
Явное (но сложное) выражение для многочленов Vп было дано Девизмом
(Devisme; 1932, 1933), который указал также приложения к уравнению
d»U d*U &U о д»Ц
дх* + ду» +
и к родственным дифференциальным уравнениям в частных производных.
CD
«р {«[*A + t^-yt]} = Y*ga(x, У) tn, E)
n=o

270 гл. 19. производящие функции
[п~\ п Г п"\ п — \
~2~ ~~2 ' еСЛИ п четно> и "о" ==~2~~> если п иечетн0> к
первая функция Ганкеля порядка k—1/2. См. Hall A936), а относительно
приложений к задачам теплопроводности gm. Green A934).
m, n=o
Пусть р = 1—jea—t/a и cc> —1/2. Тогда
Г(а+1)ГBа+/п + п + 1) ...
см. Koschmieder A924).
Положим
ГBа+1)Г(а+/и+п+1) г дх^у1
ia, а > 0, Д = ас—Ь8 > О,
(9)
,aw/-f-ai/-, g = a*-t-oy, ц = ох-\-су. |
Многочлены, порожденные
ежр
т, «-о
отв=о
являются многочленами Эрмита от двух переменных. Относительно их свойств
и обобщений на случай многих переменных см. Appell и KampedeFeriet A926).
Относительно производящей функции для произведения таких многочленов см.
Koschmieder A937, 1938) и Erdelyi A938).
Некоторые производящие функции для многих пере-
переменных. Пусть Xi, ..., Х[—переменные, и пусть
~»)rsf f. A2)
Тогда so=l, s1 = x1-\-xi-\-...-\-Xi и sr является r-й элементарной симметри-
симметрической функцией от переменных хи .. , х{. Пусть ft=0, 1, 2, ..., и пусть
является суммой fe-x степеней переменных. Мы имеем тогда
. A4)
Умножая обе части равенства A4) на Go и сравнивая коэффициенты при одина-
одинаковых степенях t в обеих частях равенства, получаем рекуррентные формулы
Ньютона, которые позволяют выразить р^ через sr. Пусть у^[к=1,2,3, ...)

19.12. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С МНОГОЧЛЕНАМИ 271
являются переменными, и пусть
A3)
Тогда *~
"¦¦«" »-
где сумма берется по всем неотрицательным целым числам Oi,..., аптаким, что
at+2a,+ ...+rmn=n. A7)
Пусть теперь ff0 и sr определены равенством A2) и рк— равенством A3).
Тогда
[Go(Orls=SM*i **)*", A8)
я=о
где
А„ (xlt ..., х{) = В„ (Pl рг /»„), A9)
sr(xlt .... xi) = {—iyBfi—pt, —р3 — рг). B0)
Если г > l, то левая часть равенства B0) тождественно равна нулю. Это пока-
показывает, что правая часть дает алгебраическое соотношение между суммами
степеней хг, ..., xv Справедливость этих формул вытекает из того, что
к=\
B1)
B2)
Функции Вч применяются к теории групповых характеров. См. Littlewood
A940) для некоторых явных выражений функции В„. При небольшом изме-
изменении определения Вп были подробно изучены Еетлом (Bell; 1934).
Относительно производящих функций многих переменных см. также пп.
11.5, 11.6 и 11 8, где даны производящие функции для сферических и гипер=
сферических гармонических многочленов См. Appell и Kampe de Fenet A926)
относительно гармонических многочленов, изученных этими авторами.
19.12. Некоторые производящие функции, связанные
с ортогональными многочленами
В этом пункте мы опишем два множества производящих функций, кото-
которые были построены, исходя из точки зрения теории ортогональных много-
многочленов.
Пусть gn(x){n=Q, 1,2, ...)—последовательность многочленов такая, что
gn(x) имеет степень п, и пусть «(*)—функция с ограниченным изменением
такая, что интегралы Стилтьеса
Юг
$ ft, W «.<*)*»(*)=«**,* <1)

272 гл. 19. производящие функции
сходятся при п, /я = 0, 1, 2, ... Если %п,„=0 при пфт, то функции gn(x)
образуют ортогональную систему; если,'кроме того, А,„1П=1 при л=0, 1,
2, ..., то эта система называется ортонормальной (см. гл. 10). Если сущест-
dot
dot
вует -^ = w(x), то ш(х) называют весовой функцией, ассоциированной с систе-
системой gn. Если w равна нулю вне отрезка а<*<&, мы будем в A) писать
интеграл от о до b и говорить, что система gn ортоиормальна на отрезке
[а, Ь\. Ватсон (Watson; 1933, 1934) нашел явное выражение для билинейных
производящих функций
где gn—ортонормалыше системы, получаемые из многочленов Лежандра,
Гегенбауэра, Якоби, Лагерра и Эрмита (см. гл. 10). Используя обозначения
гл. 10, можно выразить результаты Ватсона следующим образом:
8/я"
± f
2я J {l-2t
Относительно явного выражения для
см. Watson A933).
_у8)У/» ?
Пусть
9д=Bп+«+Р+1) Г(в+а+1)Г(п+р+1J •
т. е.
е-»
Пусть

19.12. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С МНОГОЧЛЕНАМИ 273
(И)
02)
Тогда
id -х) A -im*» [A+*) A+9)f 2 е„р^-р) w pf ¦Р) or) р
Vzxcosreiy Vrjcosray ycos'w )
о
Эта формула была выведена Мелером (Mehler; 1866); см. также Erdelyi A938).
A5)
где /„—модифицированная функция Бесселя из гл. 7. Это—формула Хил-
ле—Харди (см. также Миллер-Лебедева, 1907).
Мейкснер (Meixner; 1934) определил все ортогональные многочлены ga (x),
обладающие производящей функцией вида
bwjlf A6)
n=o
Он показал, что возможны лишь пять случаев:
1) Многочлены, выражаемые через многочлены Эрмита
u(t)=t, g=exp(^). A7)
2) Многочлены, выражаемые через (обобщенные) многочлены Лагерра
A9)
B0)

274 ГЛ. 19. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
3) Многочлены, выражаемые через многочлены Пуассона—Шарлье
М). B2)
Здесь а(х) постоянно, за исключением точек
x=xn=%-1k—Кп, п = 0, 1, 2, .... B3)
где а (х) имеет скачок, определяемый формулой
B4)
4) Гипергеометрические многочлены; дискретное переменное
f @-[0-|»0*|1<1-ЛО~Х]*'1№-М. I BS)
где Я и ц вещественны и а(х) постоянно, за исключением точек вида
x = xm=k/X—(А,— р.)к, л=0, 1, 2 B6)
где акх) имеет скачок, определяемый формулой
/ Ь/«м\\
B7)
5) Гипергеометрические многочлены; непрерывное переменное; мы имеем
снова равенство B5), где К и |х комплексно сопряжены и
Im A > Im ц. B8)
Тогда при — оо < х < оо
da
B9)
»л ч «V/
где
|arH~t
Во всех случаях можно установить для gn(x) дифференциальные или раз-
разностные уравнения.
Относительно ссылок на другие случаи, когда производящая функция
содержит ортогональные функции, ср. конец п. 19.11.
19.13. Производящие функции для некоторых непрерывных
ортогональных систем
Многочлены Эрмита, Лагерра, Лежандра, Гегенбауэра и Якоби возникают
при изучении некоторых линейных дифференциальных уравнений типа Штур-
ма-Лиувилля. После умножения на весовую функцию получаемые таким обра-
образом ортогональные функции являются собственными функциями задачи Штур-
ма-Лиувилля, имеющей в этих случаях дискретный спектр. Относительно ли-
линейных и билинейных производящих функций для таких систем см. П. 19.12.

19.13. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ ДЛЯ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ 275
Для других областей изменения переменных эти же дифференциальные
уравнения могут иметь непрерывный спектр. Пусть /v(*)—соответствующая
система собственных функций. Тогда интегралы
\ t fi(x)dv, \ Pfv(x)f,(y)dv, t
взятые по соответствующей области значений v, могут называться линейными
и билинейными производящими функциями для /,(*)• Это связано с перво-
первоначальным определением Лапласа производящих функций (см. п. 19.1).
В этом пункте будут даны линейные и билинейные производящие функции
для функций параболического цилиндра Z>v из гл. 8, вырожденных гипер-
гипергеометрических функций Мк цИ №к[1изгл. 6, функций Гегенбауэра GJJ и гипер-
гипергеометрической функции, соответствующей многочленам Якоби (см. гл. 2 и 10).
Относительно доказательств и ссылок о приложениях непрерывных орто-
ортогональных систем к краевым задачам см. Erdelyi A941).
ехр (-1 **-*<-1^=B„0-1 J t*T(-v)Dv(x)dv, A)
с—its
Г /2и4- IW1 4-i
= Bni)~
(txiiI/2 /
1 л. t " I
Г11-*- ,
in(-v«)
, J ri/i+«-n
c—im
?)K tV/2-k-
ixyt 1
__l
L ! + ' J
t-|i)r(l/2+i
BЦ + 1)]2
c<0, \aTgt[<n/i,
< с < 0, | arg 11 < я/2,
ц) Г (.1/2—ie+ (i) AfK ц (jc) <f«,
< 1/2+ Re (i, | arg f | < n,
| arg 11 < n,
B)
C)
D)
где У2„— функция Бесселя первого рода порядка 2ц (см. гл. 7),и L—путь,
ведущий из —too в ioo и отделяющий полюсы Г A/2—«+(*) от полюсов
ГA/)
Заменив в равенстве D) функции J2f_ функцией Ганкеля Н™ первого
рода, получим
BШГ1 j tKel««-W [У (к)
где

276 гл. 19. производящие функции
Функции Гегенбауэра С? можно определить формулой
где F—гипергеометрический ряд из 2.1. При (i=0, I, 2, ... С является
многочленом Гегенбауэра или ультрасферическим многочленом из п. 11.1.2.
Линейная производящая функция имеет вид
С+1сл
1 С С"" (х)
A + 2* + ,*)-=-^ J ^^^ -2Rev<c<0. G)
c-ia>
Вычисление интеграла G) с помощью вычетов дает 11.1A6).
Наиболее важным случаем, когда в математической физике возникают
функции Гегенбауэра с нецелым индексом р, является ц=.— 1/2+<сг, а веще-
вещественно. В этом случае С*^~1 входит в выражение присоединенных сфери-
сферических гармоник. Нормированная форма для них дана Вейлем (Weyl; 191E),
она имеет вид
/=0, 1, 2, ... , (8)
гае
|^ (9)
Пусть
е>=*у-(*а-1I/!Ч«/!1-1I/асоз(ф-е). A0)
Тогда
C + ICB
)
Для обобщения многочленов Якоби мы имеем следующие результаты.
Пусть
44* A2)
l%, A3)
l + () + ] A1)
Тогда
TMfV—t—l\v-ifV-
V [-^2tTJ [~2—J
*Bm')-1 J Г (-v) Г G+ v) PF (-v, a+v; r. x) dv, A5)
0 < —с < Re v

19.13. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ ДЛЯ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ 277
т
1 I 2mjk 2uu
о
v
Х\ 2 2 / ST
= BлО J <J>(v)ff (-v, a+v; v; x)F{-v, a+v; у; y)dv, (]6)
0<—c<Rea, Re(a—Y)<— с < Rey,
где
O(v) = r(-v)r(a+v>r(T+v)r(v-o-v). A7)
Если параметр v в G) или параметры а, у в A5), A6) не удовлетворяют
соответствующим неравенствам, то путь интегрирования надо изменить так,
чтобы он отделял различные группы полюсов интегральной функции. Этот
искривленный путь можно деформировать так, чтобы он совпал с прямой
линней, идущей от с—t<x> к с+«оо. Если мы поступим так, то пересечем
некоторое количество полюсов, которые внесут сумму вычетов. Наша произ-
производящая функция будет тогда суммой вычетов и интеграла и представляет
собственные функции «смешанного» спектра.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
К главе 13
Appell Paul, Emile L ас о ur, 1922: Functions elliptiqueset applications, Gaut-
hier-Vlllars, Paris.
Blanchi L u i g i, 1916: Lezioni sulla teorla delle funzloni di varlabile complessa
e delle funzionl ellittiche, 2nd edition, Spoerri, Pisa.
Burkhardt Heinrich, Georg Faber, 1920: Elliptische Funktionen 3rd edi-
edition, Gruyter, Berlin.
Burnside W. S., A. W. P a n t о n, 1892: Theory of equations, 3rd edition, Long-
Longmans, Roberts and Green, London.
Byrd Paul F., Morris Friedman, Handbook of elliptic Integrals, Springer, 1954.
Clebsch Alfred, 1865: J. f. Math. 6*. 210-270.
Dixon A. C, J894: Elliptic functions with examples, Macmillan and Co. Ltd., Lon-
London.
Enriques Federlgo, Oscar Chisini, 1934: Funczioni ellitiche ed abeliane,
vol. IV, Delia Teorla geometrlea delle equazioni, etc. ZanichelH, Bologna.
Fletcher Allan, J. С. Р. Miller, Louis Rosenhead, 1946: An Index
of mathematical tables, Scientific Computing Service, London.
Fricke Robert, 1913: Elliptische Funktionen, Encyklopadie, der mathematischen
Wissenschaften, vol. 2, pt. 2, p. 181—348, B. G. Teubner, Leipzig.
Fricke Robert, 1916—1922: Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen
I, II, Б. G. Teubner, Leipzig.
ОтбЬпег Wolfgang, Nikolaus Hofreiter, 1949: Integraltafel, Erster Teil,
Unbestimmte Integrate, Springer-Verlag, Wien.
OrSbner Wolfgang, Nikolaus Hofreiter, 1950: Integraltafel, Zwelter
Tell, Bestimmte lntegrale, Springer-Verlag, Wien.
Hamel Georg, 1932: S.-B. Berlin Math. Ges. 31, 17—22.
Hancock Harris, 1917: Elliptic integrals, Wiley.
Humbert Pierre, 1922: Introduction a l'etude des fonctions elllptiques, Hermann
and Cie., Paris.
Kober Hermann, 1952: Dictionary of conformal representations, Dover.
K6nig Robert, Maximilian Kraift, 1928: Elliptische Funktionen, Gruyter,
Berlin.
Low A. R., 1950: Normal elliptic functions, University of Toronto press.
Magnus W 11 helm, Fritz Oberhettinger, 1949: Formeln und SStze fflr
die speziellen Funktionen der mathematischen Physik, Springer-Verlag, Berlin.
Gottingen, Heidelberg.
Meyer zur Cappellen Walther, 1950: Integraltafeln, Springer-Verlag, Berlin,
Gottingen, Heidelberg.
M11 n e-T h о m s о п L. M-, 1950: Jacoblan elliptic function tables, Dover, New York,
Neville E. H., 1944: Jacobian Elliptic Functions, Oxford, Clarendon Press.
Oberhettinger Fritz, Wilhelm Magnus, 1949: Anwendung der ellipti-
elliptischen Funktionen in Physik und Technik, Springer, Berlin-

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
279
Prasad Ganesh, 1948: An introduction to the theory of elliptic functions and hig-
higher pranscendentals, University of Calcutta.
Radon Brigitte, 1950: Atti Accad. Naz. Lincei, Mem., d. Sci. Fis. Mat. Nat.
(8) 2, 69-109.
Roberts W. R. Westropp, 1938: Elliptic and hyperelliptic integrals and allied
theory, Cambridge University Press.
SpenceleyG. W, R. M. Spenceley, 1947: Smithsonian Elliptic Functions Tab-
Tables, The Smithsonian Institute Washington.
Tricomi F. G.. 1935: Boll. Un. Mat. Hal. 14, 213—218 and 277-282.
Tricomi F. G., 1936: Boll. On. Mat. Hal. IS, 102—195.
Tricomi F. G., 1937: Funzioni elliptische, Bologna, Zanichelli, 1951 (German edi-
edition, Leipzig, Akad. Verlagsgesellschaft, 1948: second Italian edition 1951). "
Ахиезер Н. И., Элементы теории эллиптических функций, Гостехиадат, М., 1948.
Градштейн И. С. и И. М. Рыжик, Таблицы интегралов, сумм, рядов и про-
произведений, изд. 4 перераб., Физматгвз, М., 1963.
Г у р в и ц А., Теория аналитических и эллиптических функций, перев. с нем., Гостех-
нздат, М., 1933.
Кур аи т Р., Геометрическая теория функций комплексного переменного, перев.
с нем., Гостехиздат, М., 1934.
Уиттекер Э. и Г. Ватсоя, Курс современного анализа, перев. с англ., Физмат-
гиз, М., т. I, 1961, т. II, 1962.
ЯнкеЕ., Ф. Эмде, Ф. Л?ш, Специальные функции (формулы, графики, таблицы),
перев. с 6-го перераб. нем. изд , «Наука», М., 1964.
К главе 14
Baker H. F., 1907: Multiply periodic functions, Cambridge.
Blumenthal Otto, 1903: Math. Ann. Be, 509—548.
Blumenthal Otto, 1904: Math. Ann. 58, 497—527.
de В г u i j n .N i со 1 a a s, 1943; Over Modulaire Vormen van Meer Ver-nd. :,ken.
Thesis. Free University of Amsterdam.
Burns ide William, 1891: Proc. London Math. Soc. 22, 346—358.
Burnsibe William, 1B92: Proc. London Math. Soc. 23, 49—88.
Copson E. Т., 1935: Theory of functions of a complex variable, Oxford.
D a 1 ze 1 1 D. P., 1932: Proc. London Math. Soc. B) 'за, 539—558.
Dalzell D. P., 1944: J. London Math. Soc. 19, 135—137.
Dalzell D. P., 1949a: Proc. London Math. Soc. B) 61, 90—113.
Dalzell 0. P., 1949b: Proc. London Math. Soc. B) 51, 114—131.
Forsyth A. R., 1900: Theory of functions of a complex variable, second edition,
Cambridge.
Fricke Robert, 1901—1921: EnzyklopSdie der Mathematlschen Wissenschaften,
•vol. 2, second part, B4, Leipzig.
Fricke Robert, 1916, 1922: Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen,
2 volumes, Leipzig.
Fricke Robert, 1926: Lehrbuch der Algebra, vol. 2, Braunschweig.
Fricke Robert, 1928: Lehrbuch der Algebra, vol. 3, Braunschweig.
Fricke Robert, Felix Klein, 1897: Vorlesunger Qber die Theorie der auto-
morphen Funktionen, vol. 1, B. G. Teubner, Leipzig.
Fricke Robert, Felix Klein, 1912: Vorlesungen flber die Teorle der auto-
morphen Funktionen, vol. 2, B. G. Teubner, Leipzig.
Fublni Guido, 1908: Introduzione Nella Teoria Dei Gruppi Discontinul e Delle
Funzionl Automorfe, Pisa.
Fueter Rudolf, 1924, 1927: Vorlesungen fiber die singulSren Moduln und die
komplexe Multiplication der elliptischen Funktionen, 2 volumes, B. G. Teubner,
Leipzig.

280 ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
Glraud Georges, 1920: Lecons sur les fonctions automorphes, Gauthier-Vlllars,
Paris.
Hardy О. Н., 1940: Romanujan. Twelve lectures on subjects suggested by his life
and work, Cambridge.
Hecke Erich, 1912: Math. Ann. 71, 1-37.
Hecke Erich, 1927: Math. Ann. »7, 210—242.
Hecke Erich, 1935: Danske Vid. Selsk. Mat.-Fys. Medd. 13, No. 10, 16 pp.
Hecke Erich, 1937: Math. Ann. 114, 1-28,316—351.
Hecke Erich, 1939: Monatsh. Math. Phys. 48, 75—83.
Hecke Erich, 1940a: Vierteljschr, Naturforsch. Ges. Zurich. 85. Belblatt, 64—70.
Hecke Erich, 1940b: Danske Vld. Selsk. Mat.-Fys. Medd. 17, No. 12, 134 pp.
H u a L. K., 1946: Ann. of Math. B) 47, 167-191.
Hua L.K., Irving Reiner, 1949: Trans. Amer. Math. Soc. 66, 415—426.
Hurwltz Adolf, 1905: Math. Ann. 61, 325.
Klein Felix, 1884: Vorlesungen fiber das Ikosaeder und die Aufl5sung der Glelch-
ungen vom funften Grade, B. G. Teubner, Leipzig.
Klein Felix, Robert Fricke. 1890—1892: Vorlesungen fiber die Theorieder
elliptischen Modulfunktionen, 2 volumes, В. С Teubner, Leipzig.
KrazerAdolf, Wilhelm Wirt.inger, 1901—1921; Enzyklopadle der Mathe-
matischen, Wissenschaften, vol. 2, second part, B7.
Ma ass Hans, 1940a: Math. Ann. 117, 538-578.
MaassHans, 1940b: S.-B. Heldelberger Akad. Wiss., No.2. 26 pp.
Ma ass Hans, 1941: Math. Ann. 118, 65—84.
Maass Hans, 1942: Math. Ann. 118, 518-543.
MaassHans, 1948: Math. Z. 61, 255—261.
MaassHans, 1951: Math. Ann. 123, 125-151.
N e h а г i Z e e v, 1947: Amer. J. Math. 69, 70-86.
Petersson Hans, 1939; Math. Ann. 116, 401—412.
Petersson Hans, 1939: Math. Ann. 117, 39—64.
Petersson H a ns, 1940: Math. Ann. 117,453—537.
Petersson Hans, 1941: Abb. Math. Sem. Hansischen Univ. 14, 22-6Q.
PeterssonHans, 1944: Math. Z. 49, 441-496.
Petersson Hans, 1949: Comment. Math. Helv. 22, 168—199.
PicardEmlle. 1882: Acta Math. \, 297-320.
Picard Emi le, 1885: J. Math. Pures Appl. D) 1,87.
Poincare Henri, 1916: Oeuvres, vol. 2, Gauthier-Vlllars, Paris.
Rademacher Hans, 1940: Bull. Amer. Math. Soc. 46, 59—73.
Reid L. W., 1910: The elements of the theory oi algebraic numbers, MacMillan.
RitterErnst, 1892: Math. Ann.41, 1-82.
Ritter Ef a at, 1894: Math. Ann. 48, 473-554.
Rltter E г nst, 1894: Math. Ann. 46, 200—248.
SchlesingerLudwig, 1924: Automorphe Funktionen, B. Q. Teubner, Berlin and
Leipzig.
Schneider Theodor, 1936: Math. Ann. 113, 1—13.
Schottky Friedrich, 1887: J. Reine Angew. Math. 101, 227—2S7.
S legel С L., 1935: Ann. of Math. 36, 527— 606.
Siege 1 С L., 1936: Ann. of Math. 37, 230-263.
Siegel C. L., 1937: Ann. of Math. 38, 212—291.
Siege I C. L., 1939: Math. Ann. 116, 617—657.
Siegel С L., 1942: Ann of Math. B) 43, 613-616.
Siegel С L., 1943: Amer. J. Math. 65, 1 - 86.
Siegel C. L-, 1950: Mat. Tidsskr. B, 66-70.
Stahl Hermann, 1888: Math. Ann. 34, 291—309.
Sugawara Masao, 1940a: Ann. of Math. B) 41, 488—494.
Sugawara Masao, 1940b: Proc. Imp. Acad: Tokyo 16, 367—372.
Wh Ittaker E. Т., 1899: Philos. Trans. Roy Soc. London. Ser. A lit. t-32

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 281
Whittaker Е. Т., 1902: Messenger Math. 31. US—148.
Witt Ernst, 1941: Abh. Math. Sem. Hansischen Univ. 14,323—337. "
Zassenhaus Hans, 1941: Abh. Math. Sem. Hansischen Univ. 14, 285—288.
Zuckerman H. S., 1939: Bull. Amer. Math. Soc. 45, 917—919,
Ван дер ВарденБ. Л., Современная алгебра, перев. с ней., т. I, Гостехнздат,
М., 1947.
Г урви ц А., Теория аналитических в эллиптических функций, перев. с нем., Гос-
техиздат, М., 1933.
Курант Р., Геометрическая теория функций комплексного переменного, пере*, е
нем., Гостехиздаг, М., 1934.
Маркушевнч А. И., Теория аналитических функций, Гостехиздат, М., 19S0.
Рнман В., Сочинения, перев. с нем., Гостехнздат, М., 1948.
Форд Р., Автоморфные функции, перев. с англ., Гостехнздат, 1936.
К главе 15
BScher Maxim, 1891: Ober die Reihenenwicklungen der Potentialtheorie, G6tt!n-
gen, B. G. Teubner.
Ei sen hart L. P., 1934: Ann. Math. 35, 284—305.
Erdelyi Arthur, 1941a: Philos. Mag. G) 31, 123-130.
Erdelyi Arthur, 1941b: Philos. Mag. G) 32,348—350.
Erdelyi Arthur, 1942: Duke Math. J. 9, 48-58.
Erdelyi Arthur. 1942a: Proc. Cambridge Philos. Soc. 38, 364-367.
Erdelyi Arthur, 1942b: Quart. J. Math. Oxford, Ser. 13, 107-112.
Erdelyi Arthur, 1943: Proc. Edindurgh Math. Soc. B) 7, 3—15.
Erdelyi Arthur, 1944: Quart. J. Math., Oxford, Ser. J 6, 62—69.
Erdelyi Arthur, 1948: Proc. Royal Soc, Edinburgh, Sect. A62, 247—267.
Erdelyi Arthur, 1943a: J. London Math. Soc. 23, 64—69.
Heun Karl, 1889: Math. Ann. 33, 161—179, 180—196.
Hobs on E. W., 1892: Proc. London Math. Soc. 23, 231—240.
I псе Е. L., 1922: Proc. Royal Soc, Edinburgh, 42, 43—53.
I псе Е. L., 1932: Proc. Royal Soc, Edinburgh, 52 355—433.
I псе Е. L., 1940a: Proc. Royal Soc, Edinburgh, 60, 47—63.
I псе Е. L., 1940b: Proc. Royal Soc, Edinburgh. 60, 83—99.
Lagrange Rene, 1939: Acta Math. 71, 283—315.
Lagrange Rene, 1944: Bull. Soc. Math. France 72, 169—177.
L am be C. O., 1951: Quart. J. Math., Oxford, Ser. B) 2, 53—59.
Lam be C. G. 1952: Quart. J. Math., Oxford, Ser. B) 3, 107—114.
Lambe C. G., D. R. Ward, 1934: Quart. J. Math., Oxford, Ser. 5, 81—97.
Levinson Norman, В. В oger t, R. M. RedheHer, 1949: Quart. Appl.
Math. 7. 241-262.
McCrea W. H., R. A. Newing, 1933: Proc London Math. Soc. B) 37, 520—534.
Moon Parry, D. E. Spencer, 1952a: J. Franklin Inst. 253, 585—600.
Moon Parry, D. E. Spencer, 1952b: J. Franklin !nst. 254, 227—242.
Moon Parry, D. E. Spencer, 1953: Proc. Amer. Math. Soc. 4, 302—307.
Perron Oskar, 1929: Die Lehre von den KettenbrOchen. B. G. Teubner, Leipzig.
Poole E. G. C, 1929: Proc. London Math. Soc. B) 29, 342—354.
Poole E. G. C, 1930: Proc. London Math. Soc. B) 30, 174—186.
Poole E. G. C, 1936: Introduction to the theory of Linear differential equations,
Oxford.
Snow Chester, 1952: Hypergeometric and Legendre functions with applications
to integral equations of potential theory, National Bureau of Standards, Applied
Mathematics Series 19.
Sv art holm N.. 1939: Math. Ann. 116, 413—421.
W a n g e r i n Albert, 1875: Reduction der Potentialglefchung fflr gewisse Rotations-
кбгрег auf eine geuohnliche Differentialgleichung, S. Hirzel, Leipiig.

Л6Л
^ ЦИТЙРОВАННАЙ ЛИТЕРАТУРА
W h И t а к ег Е. Т.. 1915а: Proc. Royal Society E*dinbargh 35, 70-77.
whi ttaker E. Т., 1915b: Proc. London Math. Soc. B) 14, 260—268.
Айне И., Обыкновенные дифференциальные уравнения, перев. с англ., Харьков. 1939.
1 обе он Е. В., Теория сферических и эллипсоидальных функций, перев. с аигл.,
ИЛ, М., 1952.
Олевский М. Н., Матем. сб. 27 F9). 1950, стр. 379-426.
С т р е т т М. Д. О., Функции Ламе, Матье и родственные нм в физике и технике, перев.
с аигл., Харьков - Киев, 1935.
УиттекерЭ. иг. Ватсон. Курс современного анализа, перев. с англ , Фязиатгнз
М., т. 1, 1962, т. II, 1963.
¦ К главе 16
Abramowltz Milton, 1949: J. Math. Phys. 28, 195—199.
В 1 с kl e у W. G., 1945.: Mathematical tables and other aids to computation 1, 409—419.
Bi ckley \V. G., N. W. McL a chlan, 1946: Mathematical tables and other aids to
computation 2, 1—It.
Blanch Gertrude, IS 46: J. Math. Phys. 25, 1—20.
Bouwkamp С J., 1941: Theoretische en numerieke behandellng van de bulging
door een ronde opening, Gf oningen-Batavia.
Bouwkamp C. J... 1947: J. Math. Phys. 26, 79—92.
Bouwkamp C. J.. 1950: Proc. Nederl. Akad. Wetenseh. 53, 931—944.
Bouwkamp С J., 1950a: Philips Res. Rep. S, 87—90.
Dougall John, 1916: Proc. Edinburgh Math. Soc. 34, 176—196.
EberleinW. F., 1948: Phys. Rev. 74, 190—191.
Erdelyi Arthur, 1936: Math. Z. 41, 653-664.
Erdelyi Arthur, 1938: Compositio Math. 5, 435—441.
Erdelyi Arthur, 1942: Proc. Cambridge Philos. Soc. 38, 28-33.
Erdelyi Arthur, 1942a: Proc. Edinburgh Math. Soc. B) 7, 3-15.
Fisher Ernst, 1937: Philos. Mag. G) 24, 245-256.
Hanson E. Т., 1933: Philos. Trans. A2S2, 223-283.
Humbert Pierre, 1926: Fonctlons de Lame et lonctions de Mathiea (Memorials
des sciences mathematiques, Fasc. 10), Paris, Gauthier-Villars.
I nee E. L., 1923: Proc. Edinburgh Math. Soc. 41, 94-99.
I nee E. L., 1932: Proc. Royal Soc, Edinburgh 52, 355—433.
I псе Е. L., 1939: Proc. Royal Soc, Edinburgh. 59, 179-183.
LangerR. E., 1934: Trans Amer. Math Soc. 36, 637-695.
Leitner A.. R. D. S p e n с e, 1950: J. Franklin lnst. 249, 293—321.
Magnus Wilhelm, 1953: Infinite determinants in the theory of Mathieu's and
Hill's equations. Mathematics Research Group, Washington Square College of
Arts and Science, New York University, Res. Rep., No. BR-1.
Malurkar S, L., 1935: Indian J. Phys. 9. 45-80 and 251-254.
Meixner Josef. 1944: Die Lameschen Wellenfunktionen des Drehellipsoids, ZWB
Forschungsbericht, No. 1952. English translation appeared as NACA Technical Me-
Memorandum, No. 1224, April 1949.
Meixner Josef, 1947: Z. Angew. Math. Mech. 25/27, 1-2.
Meixner Josef, 1948: Z. Angew. Math. Mech. 28, 304—J10.
Meixner Josef, 1949: Arch. Math. 1, 432—440.
Meixner Josef, 1949a: Math. Nachr. 3, 9—19.
Meixner Josef, 1950: Math. Nachr. 3, 193-207.
Meixner Josef, 1951: Math. Nachr. Б, 1—18.
Meixner Josef, 1951a: Math. Nachr. 5, 371—378.
Meixner Josef, Schafke F. W., Mathieu'che Funktlonen und Spharoidfunk-
tionen, Springer, 1954.
M б g 11 с b Frtedrich, 1827: Ann. d. Phys. D) S3, 609—734.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 283
National Bureau of Standards, Computation Laboratory, 1951: Tables
relating to Mathieu. functions, Columbia University Press, New York.
Poole E. G. C, 1936: Introduction to the theory cf linear differential equations,
Oxford.
SchSfke F. W., 1950: Math. Nachr. 4, 175—163.
Schafke F. W., 1953: Math. Z. 68, 436-447.
Schmid H. L., 1948: Math. Nachr. 1,377—398.
S с h m i d H. L., 1949: Math. Nachr. 2, 35—44.
Sieger Bruno, 1908: Ann. d. Phys. D) 27, 626—664.
Sips Robert. 1949: Trans. Amer. Math. Soc. 66, 93—134.
Sips Robert, 1949a: Bull. Soc. Sci. Liege 18, 498—515.
Sips Robert, 1953: Bull. Soc. Royaie des Sci. de Liege 22, 341-387, 44-1-453.
530—540.
Sips Robert, 1954: Bull. Soc. Royaie Sci. de LiSge 23, 41-51, 90—102.
S pence R. D., The scattering of sound from prolate spheroids. Contract report,
undated.
S tra t ton J. A., P. M. Morse, L. J. С h u, R. A. H u t ne r, 1941: Elliptic cylin-
cylinder and spheroidal wave functions, Wtley.
Strut t M. J. O., 1935: Nieuw Arch voor Wiskunde 18, 31—55.
Strutt M. 3. O., 1943: Nederl. Akad. Wetensch. Verslagen, Afd. Naiuurkunde 52.
83—90. 97—104, 153-162, 212—222, 488-4S6, 684—591.
Strutt M. J. О., 1Э48: Proc. Royal Soc, Edinburgh, A62. 278—296.
Svartholm N.. 1938: Z. Physik 111, 186—194.
W e i n st e i n D. H., 1935: Philos. Mag. G) 20, 288—294.
А й н с И., Обыкновенные дифференциальные уравнения, перев. с англ., Харьков, 1941.
Мак-Лахлан Н. В., Теория и приложения функций Матье, перев. с англ.,
ИЛ, М.. 1953.
Стретт М. Д. О., Функции Ламе, Матье и родственные нив физике и технике,
перев. с англ., Харьков — Киев, 1935.
Уиттекер Э. и Г. Ватгон, Курс современного анализа, перев. с англ., физмат-
гиз, М„ T.I, 1961, т. II, 1962.
Я н к е Е., Ф. Э м д е, Ф. Лёш, Специальные функции (формулы, графика, таблицы),
перев. с 6-го перераб. ней. нзд, «Наука», М<> 1964.
К главе 17
Alder H. L., 1948: Bull. Amer. Math. Soc. 64, Г12-722.
Apostol Т. М., 1951: Duke Math. J. 18, 517—525.
A r 11 n Emll, 1924: Abh. Math. Sem. Univ., Hamburg, 3, 89—108.
Artin Emit, 1931: J. Reine Angew. Math. 164, 1—11.
Artln E m U,- 1932: Abh. Math. Sem. Univ., Hamburg, 8, 292—315.
Atkinson F. V., 1939: J. London Math. Soc. I*, 175—184.
Atkinson F. V., 1941: Proc. London Math. Soc. B) 47, 174—200.
Atkinson F. V., 1948: J. London Math Soc. 2 3, 128—135.
Baker H. F., 1889: Proc. London Math. Soc. 21, 30—32.
В am bah R. D., S. D. Chowla, 1947: J. London Math. Soc. 22, 140—147.
Bell E. Т., 1926: Amer. Math. Monthly 33, 206—210.
Bell E. Т., 1931: Bull. Amer. Math. Soc. 37, 251-253.
Bellman Richard, H. N. Shapiro, 1948: Duke Math. J. 15, 229—235.
Bellman Richard, 1950: Duke Math. J. 17, 159—168.
Blij Frederik van der, 1948: Math. Centrum Amsterdam, Rapport. ZW, 1948,
010, pp. 18.
Bohr Harald, Harald Cramer, 1922: Enzykl. Math. Wiss. He, 8, 815—826,
Brauer Richard, 1926: Jber. Deutsch. Math. Verein. 36, 94—96.
Brauer Richard. 1947: Amer. J> Math. 6», 243—250.
Brigham N. A., 1950: Proc. Amer. Math. Soc. 1, 182—191,

284 ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
Carmichael R. D., 1932: Proc. London Math. Soc. B) 34. 1—26.
Cesiro Ernesto, 1887: Giorn. di Mat. 26, 14—19.
Chowla S. D., 1928: J. Indian Math. Soc. 17, 153-16».
Cho w la S. D., 1945: Proc. Lahore Philos. Soc, 7 pages.
Chowla S. D., 1947: Proc. Nat. Inst. Sci. India 13, No. 4, 1 page.
Chowla S. D., 1949: Proc. Nat. Acad. Sci. India 35, 244—246.
Corput J. G. van dei, 1919: Diss. Leiden, 128 p., Noordhoff, Gronlngen.
Corput J.G. van der, 1920: Math. Ann. 81, 1—20.
Darling H. B. C, 1921: Proc. London Math. Soc. B) 1», 350—372.
Davenport Harold, 1932: J. London Math. Soc. 7, 290—298.
Davenport Harold, Hans Hellbronn, 1936: J. London Math. Soc. 11,
181—185.
Deuring Max, 1935: Aigebren, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Qrenzgebiete,
vol. 4, Springer, Berlin.
Dicks on L. E., 1919: History of the theory of numbers C vols.), vol. I, Washin-
Washington.
D 1 с к s о n L. E., 1939: History of the theory of numbers, vol. II, New York.
Eichler Martin, 1949: Ann. of Math. 50, 816-826.
Eisensteln Gotthold, 1847: J. Reine Angew. Math. 35, 368.
Eisenstein Gotthold, 1850: J. Reine Angew. Math. 39, 180—182.
Epstein Paul, 1903: Math. Ann. 56, 615—644.
Epstein Paul, 1907: Math. Ann. 63, 205—216.
Erdos Paul, A urel W i ntner, 1939: Amer. J. Math. 61, 713-721.
Estermann Theodor, 1928: Proc. London Math. Soc. B) 2», 453—478.
Ferrer W. L., 1935: Compositio Math. 1, 344-360.
Ferrar W. L., 1937: Compositio Math 4,394—405.
Gegenbauer Leopold, 1893: Akad. Wiss. Wien. S.-B. Ila, 102, Part 2, 951-976.
Claisher i- W. L,, 1907: Proc. London Math. Soc. B) 5, 479-490.
Gronwall T. H., 1913: Trans. Amer. Math. Soc. 14, 113—122.
Hardy G. H., 1912: Quart J. Math. 43, 215—216.
Hardy G. H., 1918: Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 4, 189—193.
Hardy G. H., 1920: Trans. Amer. Math. Soc. 21, 255-289.
Hardy G. H., 1927: Proc. Cambridge Philos. Soc. 23. 675—680.
Hardy G. H., 1940: Ramanujan, Cambddge.
Hardy G. H., J. E. L i 11 1 e w о о d, 1920: Nachr. Ges. Wiss., Gottingen, 33-54.
Hardy G. H., J. E^ L 1 t t 1 e w о о d, 1921: Math. Z. 9, 14—27.
Hardy G. H., J. E. Littlewood, 1922a: Acta Math. 44, 1—70.
Hardy G. H., J. E. L i 11 1 e wo о d, 1922b: Marh. Z. 12, 161—188.
Hardy G. H., J. E. L 1 11 lew о о d, 1922c: Proc. London Math. Soc. B) 22, 46-56.
Hardy G. H., J. E. Littlewood, 1925: Math. Z. 23, 1—37.
Hardy G.H.. Sr 1 n i v asa R a m a n u] a n, 1916: Proc. London Math. Soc. B) 16,
112—132.
Hardy G. H., Srlnlvasa Ramanujan, 1918: Proc. London Math. Soc. B)
17, 75-115.
HtrdyG.H., E. M. Wright. 1938, 1945: An Introduction to the theory of num-
numbers, first and second editions, Oxford.
H asse Helmut, 1926: Jber. Deutsche Math. Verein 35, 1—55.
Hasse Helmut, 1927: Jber. Deutsche Math. Verein 36, 233—311.
Hasse Helmut, 1930: Jber. Deutsche Math. Verein Erganzunngsband 6, 22—34.
Hasse Helmut, 1933: Nachr. Akad. Wiss. Gottingen, Math.-Phys. Kl., 253—262.
Hecke Erich, 1938: Dirichlet Series, Institute for Advanced Study, Princeton.
Hecke Erich, 1944: Math. Ann. 119,226—287.
Herglotz Gustav, 1905: Math. Ann. 61, 551—560.
Heilbronn Hans, 1937: asta Arith. 2, 212—213.
Holder Otto, 1936: Prace Mat.-Fiz. 43, 13-23.
Husimi K&di, 1938: Proc. Phys.-Math. Soc. Japan /3) 20, 912—925-

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 285
Ingh a m A. E., 1937: Quart. J. Math., Oxford, Ser. 8, 255—266.
Ingham A. E., 1940: Quart. J. Math., Oxford. Ser. 11. 291—292.
J а с о b s t h a 1 Ernst, 1907: J. Reine Angew. Math. 132, 238—245.
Jarntk V oj tech, 1926: Math. Z. 24, 500-518.
Jordan Camille, 1870: TraiU des Substitutions, Oauthier-Villars, Paris.
Kac Marc E. R. van К amp en, Aurel Wintner, 1940: Amer. J. Math.
62, 107—114, 613—626.
Klenast Alfred, 1926: Proc. London Math. Soc. B) 25, 45—52.
Kloosterman H. D., 1926; Acta Math. 49, 407—464.
KnoppKonrad, IssaiSchur, 1925: Math. Z. 24, 559—574.
Landau Edmund, 1909: Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen
B vols ), В. О. Teubner, Leipzig.
Landau E d m u n d, 1915: Nachr. Ges. Wtss. G6ttingen, Ma,th.-Phys. К.1.. 209-243.
Landau Edmund, 1927: Vorlesungen fiber Zahlentheorie C vols.), S. Hirzel,
Leipzig.
Lehmer D. H., 1931: Amer. J. Mdth. 58, 843-845.
Lehmer D. H., 1936: J. London Math. Soc. II, 114-118.
Lehmer D. H., 1937: J. London Math. Soc. 12, 171—176.
Lehmer D. H., 1938: Trans. Amer. Math. Soc. 43, 271—295.
Lehmer D. H., 1946: Bull. Amer. Math. Soc. 52, 538-544.
Lehmer Emma, 1948: Bull, Amer. Math. Soc. 55, 62.
MacMahon P. A., 1915—1916: Combinatory Analysis B vols.), Cambridge.
MacMahon P. A., 1926: Proc. London Math. Soc. B) 25, 469—483.
Maass Hans, 1949: S -B. Heidelberger Akad. Wiss., No. 1. 42 pp.
Mills W. H., 1947: Bull. Amer. Math. Soc. 53, 604, 1196.
Minkowski Herman, 1911: OesammeSte Abhandlungen, vol. 1,118—119, 133—
134. B. G. Teubner. Leipzig.
Mordell L. J., 1917: Quart. J. Math. 48, 93-104.
Мог dell L. J., 1919a: Trans. Cambridge Philos. Soc. 22, 361—372.
Mordell L. J., 1919b: Proc. Cambridge Philos. Soc. 19, 117—124.
Mordel 1 L. J., 1922: Proc. London Math. Soc, 408-416.
Mordell L. J., 1931: Proc. London Math. Soc. B) 32, 501—556.
Niven Ivan, 1940: Amer. J. Mith. 62, 343-364.
Niven Ivan, 1951: Proc. Amer. Math. Soc. 2, 753
Oppenheim Alexander, 1926- Proc. London Math. Soc. B) 26, 295—350.
Page Arthur, 1935: Proc. London Math. Soc. B) 39, 116—141.
Petersson Hans, 1948: Acta Math. 80, 191—221.
Rademacher Hans, 1937a: Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 23, 78—84.
Rademacher Hans, 1937b: Proc. London Math. Soc. <2) 43, 241—254.
Rademacher Hans, 1940: Bull. Amer. Math. Soc. 46, 59—73.
Rademacher Hans, 1943: Ann. of Math. 44, 416—422.
Rademacher Hans, H. S. Zuckerman, 1939: Ann. of Math. B) 40, 473—489.
Ramanujan Srinivasa, 1915: Proc. London Mith. Soc. B) 14, 347—409.
Ramanujan Srinivasa, 1916: Trans. Cambridge Philos. Soc. 22, 159—184.
Ramanujan Srinivasa, 1918: Trans. Cambridge Philos. Soc. 22, No. 13, 259—
276 (collected papers pp. 179—199).
Ramanujan Srinivasa, 1919: Proc. Cambridge Phitos. Soc. 19, 207—210.
Ramanujan Srinivasa, 1921: Math. Z. 9, 147—153.
Ramanujan Srinivasa, 1927: Collected mathematical papers, Cambridge.
Rank in R. A., 1939: Proc. Cambridge Philos. Soc. 35, 351—372.
Rogers L. J., Srinivasa Ramanujan, 1919: Proc. Cambridge Philos. Soc.
19. 211-216.
R os ser J. В., 1949: Bull. Amer. Math. Soc. 55, 906-913.
Sal ie Hans, 1931: Math. Z. 34, 91—109.
Schmidt F. K., 1931: Math. Z. 33, 1-32.
Schoenberg I,. J., 1937: Trans. Amer. Math. Soc. 39, 315—330,

286 ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
Schrutka Lothar Frelherr von, 1911: J. Reine Angew. Math. 140, 252—
265.
Schur Issai, 1926: S.-B. Preuss. Akad. Wiss., 488—495.
Selberg A tie, 1942: Skr. Norske Vid. Akad. Oslo I, Ko. 10, 1—59.
Selberg Atle, 1946: Arch. Math. Naturvid. B48, No. 5.
Sengupta H. M., 1948: Math. Student 15, 9—10.
Shapiro H. N.. 1950: Ann. of Math. 52, 217—230.
Siegel C. L., 1923: Math. Ann. 88, 184-210.
Siege 1С. L., 1931: Quel. Gesch. Math. B2, 45-80.
Siegel С L., 1935: Acta Arith. 1, 83-86.
S iege I C. L., 1935a: Ann. of Math. B) 36, 527—606.
Siegel C. L., 1936: Ann. of Math. B) 37, 230—263.
Siegel С L., 1937: Ann. of Math. B) 38, 212—291.
Siegel С L., 1941: Amer. J. Math. 63. 658—680.
Siegel C. L., 1943: Ann. of Math. B) 44, 143—172.
Smith H. J. S., 1867: Proc. Roy. Soc. London 16, 207 (Collected papers 1, 1894
p. 521).
Stanley О. К., 1927: J. London Math. Soc. 2, 91—96.
Stanley G. K., 1928: J. London Math. Soc. 3, 232—237.
T itch marsh E. C, 1931: Proc. London Math. Soc. B) 32, 488—500.
T Itch marsh E. C, 1935: Proc, Roy. London A151. 234—256.
Titchraarsh E. C, 1936: Proc. Roy. Soc. London A1S7, 261—264.
Titchmarsh E. С 1938: Quart. J. Math., Oxford, Ser. 9, 216—220.
Tricomi Francesco. 1928: Boll. Un. Mat. Ital. 7, 243—245.
Valdyanathaswamy R., 1930: Bull. Amer. Math. Soc. 36, 762—772.
Vaidyanathaswamy R., 1931: Trans. Amer. Math. Soc. 33, 579—662.
Voronoi Georges, 1904: Ann. Ec. Norm. C) 21, 207—268, 459—534.
Waif Isz A., 1938: Trans. Inst. Math., Tbillissl, 6, 145—152.
Watson G. H-, 1935: Math. Z. 39, 712—731.
Watson G. H., 1938: J. Reine Angew. Math. 179, 97—128.
Weil Andre, 1948: Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 34, No. 5, 204-207.
White man A. L., 1945: Bull. Amer. Math. Soc. SI, 373—377.
Whit em an A. L., 1949: Duke Math. J. 16, 619—626.
W h i tema n A. L., 1952: Amer. J. Math. 74, 89—99.
W igert S., 1917: Acta Math. 41, 197—21S.
Wilton J. R., 1929: Proc. Cambridge Philos. Soc. 25, 121—129.
Wintner Aurel, 1941: Amer. J. Math. 63, 619—627.
Wintner A u re 1, 1942: Amer. J. Math 64,106—114.
Wintner Aurel, 1946: Duke Math. J. 13, 185—193.
Wright E. M., 1931: Quart. J. Math., Oxford, Ser. 2, 177-189.
Wright E. M , 1931a: Proc. London Math. Soc. B) 36, 117—141.
Виноградов И. М., 1939: Известия АН СССР, серия матем., 371—382.
Виноградов И. М., 1946: ДАН СССР 81, 491-492.
Г у р в и ц А., Теория аналитических и эллиптических функций, перев. с иен., Гостех-
издат, М., 1933.
Ингам А. Е., Распределение простых чисел, перев. с англ., Гостехиздат, М., 1936.
Курант Р., Геометрическая теория функций комплексного переменного, перев. с нем.,
Гостехиздат, М., 1934.
Титчмарш Е., Дзета-функция Римана, ИЛ, М., 1947.
Титчмарш Е., Теория дзета-функции Римаиа, ИЛ, М., 1953.
К главе 18
Agarval R. Р., 1950: Ann. Soc. Sci. Bruxelles, Ser. 1, 64, 164—168.
Agarval R. P., 1951: Bull. Calcutta Math. Soc. 43, 153—167.
Agarval R. P., 1953: С R. Acad. Sci., Paris, 238, 2031—2032.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 287
Agar val R. P., 1953a: Bull. Calcutta Math. Soc. 45, 69-73.
Aitken A. C, 1939: Determinants and matrices, Oliver and Boyd, Edinburgh ,'nd
London.
Barnes E. W-, 1906: Philos. Trans. Royal Soc. A206, 249-297.
Barrucand Pierre, 1951: C. R. Acad. Sci., Paris, 232, 1058— 10G0.
BarrucandP. A., Serge Colombo, 1950: C. R. Acad. Sci., Paris, 230, 1335—1337.
Bruwier Laurent, 1949: Bull. Soc. Roy. Sci., Liege, 18, 72—82.
Bruw ier Lauren t, 1949a: Bull Sec Roy. Sci., Liege, 18, 169—183.
Bruwier Laurent, 1949b: Mathesis 58. 216—222.
Buhl Adolphe. 1925: Series analytique, Sommabillte (Mem. Sci. Math. Fasc. 7),
Gauthier-Villars, Paris.
Colombo Serge, 1943: Bull. Sci. Math. B) 67, 104-108.
Colombo Serge, 1943a: C. R. Acad. Sci., Paris, 216, 368—36S.
Colombo Serge, 1948: С R. Acad. Sci., Paris, 226, 1235—1236.
Colombo Serge, UbO: Ann. Telecomm. 6, 347—364.
Colombo Serge, 1952: C. R. Acad. Sci., Paris, 238, 857—858, 928—920.
Colombo Serge, 1953: Bull. Sci. Math. B) 77, 89-104.
С op son E. Т., 1935: An introduction to the theory of functions of a complex
variable, Oxford.
Doetsch uustav, 1937: Math. Z. 42, 263—286.
Ford W. В., 1936: The asymptotic developments of functions defined by Maclourin
series, Univ. of Michigan.
Grammel Richard, 1948: Arch. Math. 1, 47—51.
Grammel Richard, 1948a: lng.-Arch. 16, 188—200.
Grammel Richard, 1950: lng.-Arch. 18, 250—254.
Hardy G. H., 1940: Ramanujan, Cambridge.
Humbert P i erre, 1944: С R. Acad. Sei., Paris, 218, 99—100. -
Humbert Pierre, 1950: С R. Acad. Sci., Paris, 230, 604—505.
Hu mdert Pierre, 1953: С R. Acad. Sci., Paris, 236, 1467-1468.
Humbert Pierre, R. P. A g a r w a 1, 1953: Bull. Sci. Math. B) 77, 180—185.
Humbert Pierre, P a u 1 D e 1 e r u e, 1953: С R. Acad. Sci., Paris, 237. 1059-
1060. '
Humbert Pierre, Louis Poli, 1944: Bull. Sci. Math. <2) 68, 204—214.
Lehrer Yebiel, 1954: Riveon Lematematika 7, 71—73.
Lindelof Ernst, 1903: Bull. Sci. Math. B) 27, 213—226.
Malmquist Johannes, 1905: Acta. Math. 29, 203—215.
Mikusinski Jan G., 1948: Ann. Soc. Polon. Math. 21, 46—51.
Mlt t ag-Lef Пег G. M., 1903: C. R. Acad. Sci., Paris B), 137, 554-558.
Ml t tag-Lef f ler G. M., 1904: R. Accad. del Lincei, Rendiconti E), 13, 3—5.
M ittag-Le filer Q. M., 1905: Acta Math. 29, 101—182.
Oniga Theodore, 1948: С R. Acad. ScJ. Paris 227, 1138—1140.
Par«dl Maurice, 1945: Bull. Sci. Math. B) 69, 174-184.
Parodl Maurice, 1947: C. R. Acad. Sci., Paris, 224, 780—782.
Parodi Maurice, 1947a: Revue Set. 85, 360.
Parodi Maurice, 1948: Ann. Soc. Sci. Bruxelles 1, 62. 24—26.
Phragmcn Edvard, 1S04: Acta Math. 28, 351— 368.
Poli Louis, 1940: Ann. Soc. Sci. Bruxelles 1, 60, 15—30.
Poli Louis, 1946: С R. Acad. Sci., Paris, 222, 580-581.
Poll Louis, 1949: Ann. Univ. Lyon. Sect. A93, 1?, 5-25.
Poll Louis, 1949a: Cahlers Rhodanies 1, 1-15.
Pollard Hairy, 1948: Bull. Amer. Math. Soc. 64, 11 IS—1116.
Silver man L. L., 1953: Riveon Lematematika 6, 53—60.
Stan ко vie Bogoljub, 1953: Rec. Acad. Serbe Sci. 38, 95—106.
Volterra Vito, 1916: Ace. dei Lincei, Memorie E) 11, 167—249.
Volterra Vito and Joseph Peres, 1924: Lecons sur la composition et les
fonctions permutables, Gautchier-Villars, Paris.

288 ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
Wlman Anders, 1905: Acta Math. 29, 191—201, 217-234.
Wright E. M., 1933: J. London Math. Soc. 8, 71—79.
Wright E. M., 1934: Acta Math. 63, 143—191.
Wright E. M., 1934a: Proc. London Math. Soc. B) 38, 257—270.
Wright E. M., 1940: Quart. J. Math., Oxford, Ser. 11, 36—48.
Винер Н. и Р. Пэли, Преобразование Фурье в комплексное области, перев. с англ.,
«Наука», М., 1964.
Левин Б. Я., Распределение корней целых функций, Гостехнздат, 1956.
К главе 19
Appell Paul, 1880: Arch. Math. Phys. 65, 171—175.
Appell Paul, 1897: Nouv. Ann. Math. C) 16, 265—268.
Appell Paul, 1929: Acta Math. 52,317—325.
Appell Paul and Joseph Kampe de Feriet, 1926: Fonctlons Hyperge-
ometriques et hyperspheriques; Polynomes d'Hermite, Gauthler-Villars, Paris.
Barnes E. W., 1906: Cambridge Philos. Soc. Trans. 20, 215—232.
Bateman Harry, 1905: Proc. London Math. Soc. B) 3, 111—123.
Bateman Harry, 1934: Ann. of Math. 35, 767—775.
Bateman Harry, 1940: Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 26, 491—496.
Bell E. Т., 1934: Ann. of Math. B) 35, 258-277.
Berger A. H., 1888: Stoekh. Vetensk. Bihang. 13, 43.
Bird M. Т., 1934: Dissertation, Illinois.
Brafman Fred, 1951: Proc. Amer. Math. Soc. 2, 942—949.
Brenke W. C, 1945: Amer. Math. Monthly 52, 297—301.
Burchnall J. L., 1951: Canadian J. Math. 3, 62—68.
С h a u n d у Т. W., 1943: Quart. J. Math., Oxford, Ser. 14. 55—78.
D a rb о u x J. G., 1878: J. Math. Pures Appl. C) 4, 5—56 and 377—416.
Devisme Jacques, 193?: С R. Acad. Sci., Paris, 185, 437—439.
Devisme Jacques, 1933: Toulouse, Faculty des Sciences, Annales C) 28,143—238.
Devisme Jacqnes, 1936: Congres International des Mathematiciens, Oslo, 2, 92—93.
Doetsch Gustav, 1937: Theorie und Anwendung der Laplace Transformation
(p. 6ff), Springer, Berlin.
Erdelyi Arthur, 1938: Math. Z. 44, 201-211.
Erdelyi Arthur, 1941: Proc. Roy. Soc. Edinburgh, Sect. A., 61, 61—70.
Fasenmyer Mary Celine, 1947: Bull. Amer. Math. Soc. 63, 806—812.
Ford W. В., 1936: The asymptotic developments of functions defined by Maclaurin
series, University of Michigan Studies, Ann. Arbor.
Fort Tomlinson, 1943: Finite differences and difference equations in the real do-
domain, Oxford.
Friedman Bernard, 1952: Unpublished.
F r i n k О г г i n: see Krail H. L.
Gegenbauer Leopold, 1874: Akad. Wiss. Wien. S.-B., 1 la, 70, 433—443.
G 1 a I s h er J., 1873: Consult G. N. Watson, A treatise on the theory of Bessel functi-
functions, Cambridge, 1922 (p. 140).
Gordon W. O., 1920: Ann. Physik E) 2, 1031—1056.
Green George, 1934: Philos. Mag. G) 18, p. 631.
Gronwall Т.Н., 1914: Math. Ann. 75, 321-375.
Hall N. A., 1936: Bull. Amer. Math. Soc. 42, 695—698.
Halphen G., 1881: С R. Acad. Sci., Paris, 93, 781—783, 833—835.
H alp hen G., 1881: Bull. Sci. Math. B) 5, 462—488.
Hermite Charles, 1878: J. Reine Angew. Math. 84. 64-69.
Hilb Emil, 1922: Math. Ann. 86, 89—98.
Huff W. N., 1947: Duke Math. J. 14, 1091—1104.
Huff W. N. and E. D. R a i n v i 1 1 e, 1952: Proc. Amer. Math. Soc. S, 296—299.
Humbert Pierre, 1920: Proc. Edinburgh Math. Soc. 39, 21—24.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 289
Humbert Pierre, 1923: С. R. Acad. Sci., Paris, 178, 1282—1284.
Humbert Pierre, 1924: J. Ecole Polytech. 24, 59—75.
Humbert Pierre, 1930: С. Я. Acad. Sci., Paris, 190, 159.
Imschenetzky В., 1884: Petersb. Mem. G) 31, No. 11.
Jordan Charles, 1929: Acta Szeged 4, 130—150.
Kampe de Ferlet Joseph, 1926: see Appell, Paul.
Koschmieder Lothar, 1924: Math. Ann. 91, 62-79.
Koschmieder Lothar, 1937: Math. Z. 43, 248—254.
Koschmieder Lothar, 1938: Math, Z. 43, 783—792.
Koshliakov N. S., 1935: Rec. Math. 42, 425—434.
К rail H. L., Orrin Frink, 1949: Trans. Amer. Math. Soc. 65, 100—115.
La grange J. L., 1868: Oeuvres 2, 173—234, Paris.
La grange Rene, 1928: Acta Math. 51, 201—309.
Laplace P. S. de, 1812; Theorie analyfique des probabilites, Paris; Reprinted in
Oeuvres Completes, 7, Paris, 1886.
Leaute H., 1881: J. Math. C) 7, 185—200.
Lerch M., 1905: J. Reine Angew. Math. 128, 211—221.
L i 111 e w о о d D. E., 1940: The theory of group characters and matrix representations
of groups (in particular p. 82), Oxford.
Mahler Kurt, 1930: Rend. Clrc. Mat., Palermo, 64, 1—41.
Mehler F. G., 1866: J. Relne Angew. Math. 66, 161—176.
Melxner Joseph, 1934: J. London Math. Soc. 9, 6—13.
Mittag-Leff ler G. M., 1891: Acta Math. 15, 1—32.
Mit tae-Leff ler G. M., 1901: Acta Maih. 24, 183—204, 205—244.
Mott N. F., 1932: Proc. Roy. Soc. London, Ser. A, 136, 429—458 (particularly p. 442).
Myller-Lebe def f Wera, 1907: Math. Ann. 64, 388-416.
Nerumi Seimatsu, 1929: Tohoku Math. J. 30, 185-201.
Nielsen Niels, 1906: Handbuch der Theorie der Gamma Function (in particular
Chapter 5, §§ 26—28), B. G. Teubner, Leipzig.
Nielsen Niels, 1912: Ann. Math. C) 19, 179-204.
Nielsen Niels, 1914: Monatsh. Math. Phys. 28, 328-336.
N6rlund N. E., 1920: Acta Math. 43, 121-196.
N5rlund N. E., 1924: Vorlesungen Qber Differenzenrechnung, Springer, Berlin.
Obrechkoff Nikola, 1934: Bull. Soc. Math. France 62, 84—109.
Oettinger L., 1867: J. Reine Angew. Math. 67, 327—359.
Pi d due к F. В., 1910: Proc. Roy. Soc. London, Ser. A., 83, 347—3S6.
PI d due к F. В., 1912: Proc. Roy. Soc. London, Ser. A., 86, 396—405.
Pincherle Salvadore, 1889: Bologna Mem. E) 1, 337—364.
Prasad Ganesh, 1926: Proc. Benares Math. Soc, 7—8, 47—53.
R a i n V i 11 e E. D., 1945: Bull. Amer. Math. Soc. 61, 238—271.
R a i n v i 11 e E. D., 1946: Amer. Math. Monthly, 53, 299—305.
R a i n v i 11 e E. D., 1947: Unpublished results.
Rainville E. D., 1952: see akso Huff, 1952.
Rice S. O., 1940: Duke Math. J. 6, 108—119.
Rogowskl W., 1932: Arch. Electrotechnik 32, 643-678.
Sheffer I. M., 1939: Duke Math. J. 5, 590—622.
Shelter 1. M., 1945: Bull. Amer. Math. Soc. 51, 739-744.
Sylvester J. J., 1879: С R. Acad. Sci., Paris, 89, 24—26; Collected Mathe-
Mathematical papers C), 253-255. *
Tchebycheff P., 1889: Acta Math. 12, 287—322.
Thorne С J., 1945: Amer. Math. Monthly 62, 191-193.
Toscano Letterio, 1950: Rivista Mat. Univ., Parma, 1, 459—470.
Tricomi F. Q., 1949: Ann. Mat. Рига Appl. D) 28, 263—289.
Truesdell C. A., 1948: An assay toward a unified theory of special functions,
Princeton University Press, Princeton, N. J.
Van Veen S. C, 1931: Math. Ann. 10S, 408-436.

290 цитированная литература
Varna R. S., 1951: Proc. Amer. Math. Soc. 2, 593—596.
Watson G. N.. 1933: J. London Math. Soc. 8, 189—192, 194—199, 289-292.
Watson G. N., 1934: J. London Math. Soc. 9. 22—28.
Weyl H., 1910: Nachr. d. Gottinger Qes. Wiss. 442—467.
Whit taker J. M., 1S33: Proc. London Math. Soc. B) 36, 451—469.
W idder D. V., 1936: Trans. Amer. Math. Soc. 39, 244-298.
Williams K. P., 1824: Trans. 4mer. Math. Soc. 26,441—445.
Wright E. M., 1932: J. London Math. Soc. 7, 256-262.
Wright E. M., 1933: J. London Math. Soc. 8, 71—79.
Wright E. M., 1948: Trans. Amer. Math. Soc. 64, 409—438.
Wright E. M., 1949: J. London Math. Soc. 24, 304-309.
Курант Р. и Д. Гильберт, Методы математической физики, перев. с нем,
Гостехнздат, М., т. \, изд. 3, т II, изд. 2, 1951.
Сеге Д., Ортогональные многочлены, Физматгиз, М , 1962.
УиттекерЭ. и Г. Ватсон, Курс современного анализа, перев. с англ., Фнзмат-
гнз, М., т. I, 1961, т. II , 1962.
ЗАМЕЧЕННАЯ ОПЕЧАТКА
к книге: Г. Бейтмена и А. Эрдейи, Высшие транс-
трансцендентные функции (гиперболическая функция, функции
Лежандра), «Наука», 1965.
В формуле C2) из п. 3.7 интеграл следует читать так:
}¦
dt.

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абель 9, 2S2
Абрамович 187
Агарваль 225, 226
Айне 111, 112, 116 - 118,
120, 124, 1ЙВ, 141, 151,
153, 158, 164, 168
Альфан 111, 243
Апостол 220
Аппечь 262
Артнн 217
Атквнсон 204
Бейтчен 236
Белл 271
Белл» чн 200
Ьсрд 243
Берне 225, 249, 253
Бернсайд 98
Бернулди Я 53
Блюменталь 69
Бохер 112
Bpavsp 148
Бригеч 204
Брювье 227
Бувкамп 169, 179
Булыгин 206
Вайдннатасвами 200
Вайнштейн 163
Валдис Д 9
Вальйшш 208
Ван дер Корпут 219
Вангерин 107, 126
Вармя 243
Ватсои Г Н 141, 200, 203,
208, 249, 258, 271
Вейерштрасс 9, 30
Вейль 276
Вигсрт 220
Вильяме 246
Виман 221, 223
Витт 102
Boj'bTeppa 229, 231
Вороной 220
Гамель 27
Гейслер 249
Гекке 91, 220
Герглотц 218
Гильберт 98
Глешер 30, 206
Гойн 114
Гольдцпейн 151, 164
Граммель 229
Гронуолл 251
Гумберт 221, 224, 225, 251
Да^цел 96
Дарбу 2 49
Дарвин Дж 112
Дарлинг 203
Девенпорт 199
Девизм 251, 269
Делерю 225
Джеффрис 164
Дирихле 215
Дуголл 146
Зигель 98, 99, 101, 218
Зшер 146
И.шенецкнй 257
Ингам 213, 214
Клебш 10
Клейи Ф 90, 112
Кролл 255
Лчгрчнж Р 107
Лангср 148, 164
Лшлас 237
Лау 14
Лежандр 9, II, 28
Лейтнер 179, 189
Лемер 203, 204, 208
Лечер 228
Линделеф 225, 249
Линдеман 141
Литтлвуд 211
Лэмб 124
99, 101
Мак-Ьри 127
Мак-Лахлаи 157, 159
Мэлер 257
Мальмквист 225
Мейксьер 148, 162 - 164,
166, 168, 169, 171, 173-
177, 179, 182, 185-189,
244, 273
Мелер 273
Меглих 192
Минусинский 228, 229
Миллс 214
Мннковский 207
Миттаг-Лефлер 221, 224
Морделл 203, 208
Наруми 261
Невиль 9
Невннь 127
Нехари 90
Ни вен 203
Оппенгейм 220
Перрон 249
Петерсон 95
Пикар 9»
Пинчерле 251
Поли 227, 229
Поллард 221, 222
Пуанкаре 91, 94, 95, 142
Пуль НО, 135
Радечахер 198, 202-204
Радон 22
Райт 225, 226, 244, 249
Рамануджаи 197, 203, 204,
206, 207, 208
Рейнвилл 236, 244-247
Римаи 213
Риттер 94
Свартхольы 114
Сельберг 213
Сенгупта 208
Сильвестр 259
Сипе 164, 167, 168, 185
Смит 207
Сноу 107, 114 .
Спенс 179, 189
Стилтьес 112, 141, 212
Стретт 148, 151, 163, 16S,
169
Стреттон 141, 169
Титчмарш 197, 200, 213
Торн 242
Тоскано 257, 258
Тресделл 246, 258
Трнкоми 2G, 28, 204, 259

292
Унддер 237
Уиттекер 98, 111, 124, 132,
141. 258
Уэрд 124
Фабер 249
Фазенчайер 245
Феллер 222
Фишер 176, 176
Форд 79, 231,249
Френк 255
Фридман 247
Фрикке 91, S4
Фурье 53
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Харди 204, 207, 211, 219,
220
Хафф 244
Хилб 257, 268
Хилл 142
Хусими 204
Цукермаи 203
Чоула 197, 210
Шапиро 200
Шенберг 200
Шефке 164, 168
Шеффер 242, 243
Шмид 172
Шрутка 210
Эберлейн 18S
Эйзенштейн 207
Эй.-ер 9, 53, 211
Эпштейн 218
Эрдейи 114, 116, 117, 124,
126, 144
Эрмит 57, 111
Якоби 9, 29, 53
Якобсталь 209
Ярник 219

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоморфная форма класса {(?, —s, v\ 94
— — размерности —s 95
Автоморфные функции 78, 79, 95
— - Бернсайда 98
— - группы дробно-лннейных преобразо-
преобразований 79
— — — конечной 79
— — — модулярной 67
— -, общие теоремы ,92, 93
— —, представимость тета-рядом Пуанка-
Пуанкаре 95
— - Л (г) и % (г) 89, 90
Алгебра неассоциативная 237
Ассоциативность умножения 237
Вершина 76
Волны эллиптические цилиндрические 166
Вычет квадратичный (mod m) 209
Гармоника эллипсоидальная внешняя 131,
133
— - внутренняя 131, 132
— — поверхностная 131
Гармонические многочлены 132
Гипотеза Ричана213
Граница 77
Группа додекаэдра 79
— дробно линейных преобразований 76
— — —, главная и предельная окружности
92
— - -, образующие 76
— знакопеременная 79
— икосаэдра 79
— клейновская 92
— модулярная 62
— -, фундаментальная область 68
— разрывная 76
— фуксова 92
— - первого, второго рода 92
— X 63
Группы дробно-линейных преобразований
эквивалентные (подобные) 77
Дзета фь икция Вейерштрасса 35
— —, теорема сложения 38
— Дедекинда 2 14
— Римана 211, 214
— —, интегральное представление 211
— -, н\ли 213
— —, обобщения 214, 2 15
— —, приближенное функциональное урав-
уравнение 212
— —, разложение в ряд Лорана 212
— —, тождества 196
Дзета-функция Эпштейна 217
- -, функциональное уравнение 217
Дифференциальное уравнение Лежандра
- - эллипсоидальных волновых функций
Додекаэдр 79
Закон взаимности квадратичный 209
Икосаэдр 79
Инвариант абсолютный 68
- бирационяльный 10
Интеграл абелев 10
- - рода нуль 10
- гиперэллиптический 10
- Лапласа 237
- Лапласа-Стилтьееа 237
- Рамаиуджана 231
- эллиптический см. Эллиптический ин-
интеграл
Интегральное уравнение для эллипсои-
эллипсоидальных поверхностных волновых функ-
функций 192
Класс ассоциированных пар матриц 100
Конгруэнц-подгруппа главная 88
Конформные отображения эллиптических
функций 68-72
Координаты конфокальных поверхностей
второго порядка 104
— - цнклид вращения 107
— криволинейные ортогональные 107
— сферические полярные 175
— сфероида вытянутого 138
— - сжатого 139
— сфероидальные 175
— сферо-конические 106
— эллипсоида вращения сжатого 139
— - - вытянутого 138
— эллипсоидальные 104. 140
— эллиптического цилиндра 136
Кривая алгебраическая 10
~ - степени п 10
— рациональная 10
— рода нуль 10
— уннкурсальная 10
— характеристическая 151
Матрица клеточная Bлх2л) 100
— положительно определенная 101
— симметрическая отрицательно опреде-
определенная 83

294
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Матрица целая 99
Матрицы взаимно простые 100
Метод Дарбу 249
Многочлены Агшсля 259
— Бернулли 256
— — высшего порядка 257
— — обобщенные 256
— Бесселя 255
обобщенные 255
— Гегеибауэра 251
— Гойна 115
— Лагерра 253
— — обобщенные 25S
— Лагранжа 260, 269
— Ламе 115, 120, 123
— Лежандра 241, 250
— Пуассона —Шарлье 259
— Чебышева 250
— — второго рода 250
— Эйлера 256
— — высшего порядка 257
— Эрмита 253
— Якобн 252
Множество Аппеля 242, 244
— многочленов .А-типа 244
— неприводимое 32
— нулевого Л-типа 244
Модуль Периодичности эллиптического
интеграла 15
— эллиптического интеграла 18
— - - Лежандра 23
— — — — дополнительные 23
— — —, эквиангармонический случай 18
Модулярвая группа Гильберта поля Kt 99
— - степени л 100
М 84
— форма 95, 101
, выражение через двойные тета-ряды
102
— - неоднородная 86
— — однородная 86
— функция 10 1
— — степени л 99
J (z) 85, 87
— - -, связь с гипергеометрическим ря-
рядом 87
— — —, явное выражение 89
Модулярное преобразование 99
— уравнение 91
Область фундаментальная 31 '
— - для группы дробно-линейных преоб-
преобразований 77, 78
- - для модулярной группы 68
Оператор сдвига 247
Острие параболическое 77
Пара примитивных периодов 31
Параллелограмм периодов 32
Параметр вспомогательный 112
Переменная унифорчизярующая 10
Период 82
— функции 30
— эллиптического интеграла 15
— — — неполного 23
Плоскость с выколотой бесконечно уда-
удаленной точкой 81
Показатель характеристический 141
— — дифференциального уравнения для
сфероидальных волновых функций 170
Поле 34
— дифференциальное 34
Порядок неподвижной точки дробио-ли-
нейиого преобразования 77
- преобразования 62
- - дробно-линейиого 77
- сфероидальных волновык функций 170
- эчлиптнческой функции 32
Представление в виде суммы квадратов
204
- - - - нечетного числа квадратов 207
- - — — четного числа квадратов 206
Преобразование 100
- бирациональиое 10
- Гаусса для эллиптических функция
Якоби 67
- - для К?-фуикции Вейерштрасса 66
- гиперболическое 75
- дробно-лннейное 74
- иррациональное для ^-функции Вей-
Вейерштрасса 66
- Ландена 24, 62
- - для тета-функций 66
- - для функций Вейерштрасса 65
- - для эллиптических функций Якоби
66
- линейное 24
- Локсодромическое 75
- модулярной группы 67
—, обратное дробно-лннейному 74
- параболическое 75
- с двумя различными фиксированными
точками 75
- тождественное 75
- унимодулярное 62
- эллиптических интегралов 25
- — — полных 27
- эллиптическое 75
- Якобн мнимое 65
- А 62, 64
- В 62, 64
- >. 62
Преобразования второго порядка 65
-, образующие группы дробно-линейных
преобразований 76
- подобные 76
Проблема Вариига 211
- обращения 59
- Хилла 169
Произведение дробно-линейных преобра-
преобразований 74
- Эйлера 196
Производящая функция 236, 237
- — билинейная 271
- - для гипер1еометрнческого ряда от
двух переменных 269
- - для многочленов Аппеля 259
Бериулли 241, 256, 257
Бесселя 255
Гегенбауэра 251, 265
Лагерра 253, 264
Лагранжа 269
— Лежандра 250, 264
Пуассона — Шарлье 259
Стирлинга 260, 261
Чебышева 239, 250
Эйлера 256, 257
Эрмнта 247, 253, 265, 270
Якоби 252, 265
fiW 260, 261
для обобщенного гипергеометриче-
гипергеометрического ряда 254
для обобщенных многочленов Бернул-
Бернулли 256
Бесселя 255
Лагерра 254, 255, 264

ПГЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
295
Производящая функция для функций Бес-
Бесселя 254, 254
Ганкеля 269
— ¦— —— параболического цилиндра 266
g,i(«> 261. 262
лииейиая для функций Гегенбауэра
¦ примеры применения 237
Производящие функции для ортогональных
многочленов 273
— — для функций миогих переменных
269—271
Распределение простых чисел 214
Решения нормальные уравнения Лапласа
105, 106
— первого, второго, третьего рода уравне-
1 ия для сфероидальных волновых функ-
функций 172
Решетка лииейиая 31
— точечная 31
— целочисленная 218
Ричанова поверхность 15, 94
— сфера 73
Род алгебраической кривой 10
— фундаментальной области 94
Ряд гипергеометрнческий обобщенный 254
— Лорана 237
— степенной 236
ь формальный 237
— Эйзенштейна 86
обобщенный 101
— ML-ряд) 215, 216
Ряды по произведениям функций Бесселя
146
—, содержащее Функции Мэтье и присоеди-
присоединенные функции Матье 165—167
Снгма-фуикция Вейерштрасса 35
, теорема сложения 38
Символ Лежаидра — Якоби 209
— Р 113
, Преобразования биквадратные 114
, — квадратные 113, 114
, — лшейные 113
Симметрическая пара матриц 100
Симметрические пары матриц ассоцииро-
ассоциированные 100
Системы множителей 94
Собственные значения 151, 179
Соотношение Лежандра 35
Соотношения Лежандра для полных эллип-
ти' еских интегралов 28
Степень преобразования 62
Стереографическая проекция 74
Сумма Г iycca 210
, обобщения 211
— Клостермана 211
— Рауануджана 210
— Якобсталя 209
Теорема биномиальная 252
— Ваи дер Корпута 218
— Лагранжа 206
— Лаидгу 220
— Лежандра об эллиптической интегра-
интеграле 11
Теорема о распределении простых чисел214
— перестановки для эллиптического интег-
интеграла 16, 24
— сложения см. соответствующее название
ф>нкции
— Гресделла 246
— Флоке 142
Теоремы допочнительные квадратичного
закона взаимности первая, вторая 209
— о разбиениях 201, 202
— об апючорфных функциях 92, 93
— общие об арифметических функциях 200
Тета-ряд двойной 102
— Пуанкаре 95
Тета-функции 53, 57
— дискриптивные свойства 54
— нулевого аргумента 56
—, н> ли 55
—, преобразование Ландеиа 66
—, теорема сложения 56
—, форч>ла удвоения 67
—, формулы сложения 56
Тождества Роджерса — Рамануджаиа 202
— Эйлера 201
— Якобн 202, 206
Тождество Битта 102
— Зшеля 102
Точка дробко-линейного преобразования
неподвижная 75
— предельная для группы дробно-лнней-
ных преобразований 77
Точки конгруэнтные 31
огносительно группы дробио-лнией-
иых преобразований 76
— эквивалентные 68
относительно группы дробно-линей-
дробно-линейных преобразований 76
Умножение преобразований 62
Уинформизнрующая переменная 78, 96
Уравнение волновое 136
— — в координатах эллиптического ци-
цилиндра 137
— Гойна 112, ИЗ
— для сфероидальных волновых функций
169, 170
— Ламе 105, 111
волновое 140
, поднормальные решения 190
форма алгебраическая 190
— Вейерштрасса 190
— тригонометрическая 190
, — якобиева 189
, вырожденные случаи 126
, двояко-периодические решения 106
, мнимое пиеобразование 122
обобщенное 189
, форма алгебраическая 112
, — ВеЗерттрасса 111
— —, — тригонометрическая 112
, — якоЗиева 111
— Латаса в сферо конических координа-
координатах 10Ь
в цичиидрических координатах 107
, нормал! ные решения 105, 1"ь
, в о| гогональных криволинейных
координатах 107
— Матье 126. 137. 141
алгебсаическое 141
, асимптотические формы решении 147,
148
— —, интегральные соотношения между
решениями 149, 150
— —t — уравнения для

296
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Уравнение Матье, карта устойчивости ре-
решения 143
модифицированное 137, 158
, области неустойчивости, устойчивости
решения 143
общее 141
, поднормальные решения 148
присоединенное 141
— —, разложение решений в ряды по произ-
произведениям функций Бесселя 146
, решения первого, третьего рода 142
, численные методы решения 142
— сфероидальных волновых функций, три-
тригонометрическая форма 138
— Ф>кса 112
— Хилла 169
Уравнения эллипсоидальных волновых'
функций 140
Формула Дедекинда—Лнувилля 197
— Мелера 273
— обращения Мебиуса 197, 198
— Хилла — Харди 273
Функции алгебраически зависимые 61
— Бери>ллн обобщенные 260
— Бесселя первого рода 254
, тождества 219, 220
— Вейерштрасса 34, 35
, выражение через тета-функции 57
, вырожденные случаи 43
, дескриптивные свойства 42
, преобразование Ландена 65, 66
, соотношения однородности 36
— волновые 137
вытянутого сфероида внешние, внут-
внутренние 182
модифицированные 139
сжатого сфероида внешние, внутрен-
внутренние 182
модифицированные 139
сфероидальные 138, 179, 183
второго рода 182
, интегральные соотношения 187
модифицированные первого рода
138, 140
третьего рода 13S, 140
первого рода 174, 182
третьего рода 182
эллипсоидальные 140, 191
поверхностные 192
— Гегенбауэра 275
— гиперСолическне 226
порядка л 226, 227
— Гойиа 115
алгебраические 115
трансцендентные 115
— Знгеля 99
— Иглшенецкого 257
— Ламе 115, 117
алгебраические 115, 121, 123
— —, вещественные периоды 117, 120
волновые 140
второго рода 193
первого рода 191
— третьего рода 193
— — второго рода 121
, интегральные уравнения 124
— — конечные 126
нечетные, четные 117
первого рода 121
периодические 117
— —, проблема сосуществования 1 П
с периодами 2К, 4К 117, 118
с периодом 8К 121
Функции Ламе с чисто ыиимым периодом
122
трансцендентные 115
— Ламе — Вангернна 126
— Матье 137, 151, 152
, асимптотические формы 163, 164
— — второю рода 158
дробного порядка 154
, интегральные представления 167
, — уравнения 154
модифицированные, асимптотические
формы 153, 164
второго рода 159
первого рода 137, 159
третьего рода 138, 159, 160
нечетные, четные 152
первого рода 151
периодические 151
, разложение в ряды н по произведе-
произведениям 15Б—157, 164
, соотношения ортогональности 154
, — симметрии 153
, теорема сложения 168
— Тоскано 257
— треугольника Римана — Шварца 97
— трш онометрические порядка п 228
— gn(x) 2Ы
Функция автоморфная см. Автоморфная
ф}нкия
ф}ц
— алгебраическая 10
— арифметическая 195
— Вейерштрасса ф 34
, ал! ебранческое дифференциальное
уравнение 37
, преобразование Гаусса 66
, — иррациональное 66
, теорема сложения 37
, формула > двоения 38
— весовая 271
— вполне мультипликативная 195
— двояко-периодическая 31
— дистпиб\тивная 193
— Жордана 195
— кратио-периодическая 82
— лемиискатяая 28
— Ли>вилля 195
— мероморфная 82
— Мебиуса 195
— Миттаг-Лефлера 221
. асимптотическое поведение 222
, интегральное представление 221
, нучи 223
— модулярная см. Модулярная функция
— мультиптикатнвиая 195
— производящая см Производящая функ-
функция
— просто-периодическая 31
—, разложение по функциям Матье 168
— Райта 225
— Рамануджана 207
— факторвзуемая 195
— Эйлера 195
— эллиптическая см. Эллиптические функ-
функции
— Эрмита 57
— и. («-, 8) 229 — 235
— ц(с р,а) 229-235
— v (О 229—235
— v(*, а) 229—235
Характер 215
— вещественный 215
— главный 215
— импримитивный 216
— примитивный 216

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТеЛЬ
297
Циркулянт 227
Числа Бернулли 256
— гиперкомплексные 227
— Стерлинга 260
— Эйлера 256
Число, каноническое разложение 195
— разбиений 201
Эквивалентность функции с формальным
степенным рядом 237
Эллиптические функции 32
Вейерштрасса 30
, выражение через дзета-функцню 40
, сигма-функцию 41
, ? (г) и Г (г) 39
, конформные отображения 68—72
модулярные G7, 84
, общие свойства 32
порядка г 33
рода два 3 4
, теорема сложения 34
, теория преобразований 61
, унимодулярные преобразования
62-65
Якоби 29, 43, 44
—, выражение через тета-фуикции 58
, вырожденные случаи 52
, дескриптивные свойства 50, 51
, периоды, полюсы, вычеты 44
, преобразование Гаусса 67
, — Ландена 66
— , разложение в ряды 4В, 47
, теоремы сложения 46
, частные значения 48
Эллиптический интеграл 10
Вейерштрасса 13, 17
второго рода 13
, выражение через тетя-фуикиии 59, 60
, функции Вейерштрасса 41
Лежандра 13, 17
, вычисление 22
неполный 2 3
, вещественный и мнимый пери-
периоды 23
нормальный, свойства 23
полный второго рода 23, 45
первого рода 23
, формулы дифференцирования 23,
29
, модули периодичности 15
, особые точки 15
первого рода 13
, периоды 15
полный 26
, соотношения Лежандра 28
, приведение к каноническому виду ! I
, — к нормальной форме Вейерштрас-
Вейерштрасса, Лежандра 17, 20, 21
, свойства 15, 16
, теорема перестановки 16
, — сложения 24
третьего рода 13
, форма Вейершграсса 13, 17
, — Лау 14
, — Лежандра 13, 17
, форм5лы преобразований 20, 21, 25
, характер особых точек 15
Энумерата 201
Ячейка 32

УКАЗАТЕЛЬ ВАЖНЕЙШИХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Латинский и готический алфавиты
Л11
лены А
62
пггеля 259
An (ж)— многочлен
a = 6(mod л) — 200
"n F), Sn (в) - собственные значения для
функций Матье 152
a™(k'), b™{kl) - собственные значения
для функций Ламе 117, 122
В„ — числа Бернуллн 256
Вп(х), Вд • si —многочлены Бернулли
256, 257
Вх (л)-обобшенные многочлены Бернул-
ли 256
дМ —обобщенные функции Бериулли 260
C"t(x) — многочлены Гегеибауэра 261
^п ®п числа Стирлиига 260
с„(т) —сумма Рамануджана 210
с? (**) —собственные значения для функ-
функций Ламе—Ваигерина 126
Cen(z, в), Sen (z, 0)-модифицированные
функции Матье первого рода 159
cen(z, 8),cen(z) — четная функция Матье 152
°я»I*)-Функции параболического цилинд-
цилиндра 265
D-степень (порядок) преобразования 62
d (n) = S -число делителей п 19S
dj, (я) — число способов представить я в
виде произведения к различных множи-
множите, е i 195
?-опсратор сдвига 247
Е = С (ф, k) — эллиптический интеграл Ле-
жандра второго рода 13, 22
Я„-числа Эйлера 256
Еп {х) — многочлены Эйлера 256
в}, . Е^ —многочлены Эйлера высшего
порядка 257
E=E(ft), E'=E'(fe), В (А)-полный эллип-
эллиптический интеграл Лежандра второго
рода 23, 26, 29
В (г), Е о (г) - функция Миттаг-Лефле-
ра 221, '224
е(г)-функция Матье 152
Ес„(г, й2)-функция Ламе четная 117
Ес^(г, A»). Es^(«, **)-функции Ламе с
периодом Р=2р К 117
Ее'™, Es'™ —функции Лаке с чисто мии-
мым периодом 122
EsB(z, йг)-функция Ламе нечетная 117
F — область группы О 77
F = F <<р, к')-эллиптический интеграл Ле-
Лежандра первого рода 13, 22
oFj — обобщенный гипергеометрический
ряд 254
2Г0-миогочлеиы Бесселя 255
F™ (г, 62)-функцни Ламе—Вангерииа 126
Fekn(z, в), Gekn(z, в),
(г, в),
Ne^'(г, 9)—модифицированные функцнн
Матье третьего рода 159, 160
Fevn, B, в), Оеу„(z, в) — модифицированные
функции Матье второго рода 159
О — группа дробно линейных преобразова-
преобразований 76
l]
о-Реализация группы икосаэдра 80
л — «интеграл» функции f (п) 198
(t), G (х, О-степенной ряд 236
О(х,
Sn (*)'"-Функция О (х, f)
эквивалентна, ассоциирована с фор-
формальным степенным рядом 237
Ёп(х, У)-многочлены Лагранжа 269
g^*'-функции Тоскано 257
Нп (х) — многочлены Эрмита 253
Нс^(а, Р, Y), Hs^(a, р, V)- внутрен-
внутренние эллипсоидальные гармоники 132
hi (х, л) - гиперболические функции поряд-
порядка л 226
^-положительный конус 101
/—тождественное преобразование 74
Л> 'г. '» — эллиптические интегралы в
форме Вейерштрасса соответственно пер-
первого, второго, третьего рода 13
/ —модифицированная функция Бессе-
ОБ
ля 273
J [у\ — многочлен, в который переходит у
при отображении J 243
J» (л)-функции Бесселя первого рода 254

УКАЗАТЕЛЬ ВАЖНЕЙШИХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
299
)—модулярная функция 85
Л(). тЧл)-функция Жордана 195
К — вещественная четверти периода 44
К=К(«1, К'(*), D (й)-полный эллипти-
эллиптический интеграл Лежаидра первого рода
23, 26, 29
Кф, ф, 6', ф')—эллипсоидальная поверх-
поверхностная волновая функция 192
К'-чисто мнимая четверть периода 44
к—модлль эллиптического интеграла Ле-
жаьдра 18
ft'- модуль эллиптического интеграла Ле-
жандра дополнительный 23
ki(x, nj—тригонометрические функции по-
порядка я 228
(- ) -символ Лежандра—Якоби 209
L~\q i 1-преобразование Лайдена 62
L(s, x) — L-ряд 216
Lm (л:)~многочлены Лагерра 253
L™(х)-обобщенные многочлены Лагер-
Лагерра 255
т\п —т делнт я 194
mJ^n-m не делит л 194
(m, п)-наибольший общий делитель т и
л 194
ЗН-модуляриая группа степени п 100
Р-символ 113
•Р„(х)-многочлены Лежаидра 250
р(а,В) (Х) _ многочлены Якоби 262
Р» (х) — многочлен ы Пуассона—Шарлье 259
Pin). Pi(n), Pinin), F(n), V (л)-число
разбиений п 201
Рч\'. «'.', Ря\ } -пРостые числа 194
Si — риманова поверхность 16
81-поле 34
?к (и)-число представлений п в виде сум-
суммы k квадратов целых чисел 204
s=sn (и, k), c=cn (и, k), d=An (и, ft)-эл-
ft)-эллиптические функции Якобн 46
S (m, я)-суыыа Галсса 210
S (и, v, я)—сумма Клостермана 211
e^'Uz, в). Ps?<*,e), Qs*(z, в),
Ps{J (г, 9), Qsw (г, в)-сфероидальные вол-
волновые функции 173
Sc"(p, V). Ss^(P, v) - эллипсоидальные
поверхностные гармоники 131
sen (z> ")• sen(z)—нечетная функция от г 152
sn и, сп и, dn я,
паи, cs u, ds и, I-эллиптические функ-
d [ Яб 2 0
sn и, сп и, dn я, Ч
паи, cs u, ds и, I
пс и, ас и, dc a, [
nd u, sd u, cd и )
( 6) ( к)
ции Якоби 29. 30
, , )
sn (и, 6). сп (и, к), dn (u, А)-эллиптические
функции Якоби 43
¦Г? 8]
62
Тп (х) — многочлены Чебышева 250
U (г), S (г), Г (г)-преобразования обра-
образующие для группы О,„ 80
t/.+i (л)-многочлены Чебышева второго
рода 250
«о (г) — волновая функция Ламе первого
рода 191
W— волновая функция 137
уп(х, а, Ь)— обобщенные многочлены Бес-
Бесселя 255
Греческий алфавит
2 | ft | sx — Дзета-ФУнкИИЯ Эпштейна 217
E(z)=E(z]cu, to')-дзета-функция Вейершт-
расса 35
6, (^=е4 (ч, ?), вЛо)=вг (в, г). в,(о)=
=9, (р, г), в4 (о)=в4 (о, Ю - тета функ-
функции 53
в (И)ф Эрмита 57
(l (Л)-функцнч Мебиуса 19Б
V (я)-чнсло различных простых делителей
числа и 195
V (х), v (I, а), ц {х, Р), ц (*> 3. а)-229—235
П = П(ф, v, к) — эллиптический интеграл
Лежандра третьего рода 13, 22
ni=IIi (v, к), С (*)-полный эллиптический
иН1еграл Лежаняра третье! о рода 26, 29
я (х) — число простых чисел, не превосхо-
превосходящих х 1П
$ (z) = i@ (z|<o, со') -функция Вейерштрас-
са 30
Si ¦ —сумма или произведение по
¦ J.1 всем простым числам 195
П—сумма или произведение, взя-
взятые
jU • J.1 тые по всем положительным де-
й\п dn лителям d\n 194
VI =1 -сумма по всем ш, взаимно про-
?i стым с п 194
(пг, л)
0-дробио линейное преобразование 74
О(;)=0(гв, со')-сигма-функция Вейер-
штрасса 35
ак (П)=Т1 й^-сумма k-x степеней делите-
~Г лей числа п 135
а\п
t(n) —ф>нкция Рамануджана 207
Ф„ (s) - сумма Якобсталя 209
*v. я+ 1 (х)> ^v, я+ 1 <*)-ФУнк«ии Им"
шенецкого 257
ф(Л), <pi (п) — функция Эйлера 125
<р B)=ф (z, Gl-автоморфные функции 77
%(т) -характер 215
*с™' ^s™-co6cirBeB!IbIe Функции 169
ф„(л;) — мнгсчлены Стирлннга 260
§г (Z) -модулярная форма 101
^''(S)-сФ«Роидальные волновые функ-
функции 170
О-яшйка 32
Ql Q2, ,Йп-периоды или модуля пери-
периодичности эллиптического интеграла 15
со, со'-пара примитивных полупериодов 32
Математические знаки
=э соотношение конгруэнтности 24
г 246

Л Бейтмен и А Эрдепи
Высшие трансцендентные функции.
Эллиптические и автоморфные функции.
Функции Ламе и Матье
(Серия: «Справочная математическаи библиотека»)
М., 1967 г., 300 стр. с илл.
Редакторы: Н. X. Розов и А. 3. Рыекин
Техн. редактор А. А. Благовещенская
Корректоры 3 В Автонеееа а О. А. Сигал
Сдано в набор 30/Ш 1967 г. Подписано к печати
14/V1II 1967 г. Бумага 60Х90/„, тип Jra 1. Физ.
печ, л. 18,75. Условн. печ л 18.75. Уч -изд. л. 22,22.
Тираж 20 000 экз. Цена книги 1 р. 33 к.
Заказ № 1558.
Издательство «Наука»
Главная редакция
фнзико математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ордена Трудового Красного Знамени
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова
Главполиграфпроча Комитета по печати
при Совете Министров СССР
Москва, Ж-54, Валовая, 28