СЛЕНГ
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ
Перевод с английского
С. А. СТЕПАНОВА
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1984

22.161
Л 44
УДК 517.5
ELLIPTIC FUNCTIONS
SERGE LANG
1973
Addison-Wesley publishing
company, Inc.
Advanced book program Reading,
Massachusetts
LONDON-AMSTERDAM-DON MILLS,
ONTARIO-SYDNEY -TOKYO
Ленг С. Эллиптические функции: Пер. с англ.—М.: Наука, Главная
редакция физико-математической литературы, 1984, 312 с.
Книга содержит достаточно полное изложение всех аспектов теории
эллиптических функций и эллиптических кривых, начиная с классических и
кончая самыми современными.
Для специалистов в области теории функций и алгебраической геометрии*
Библ. 64 назв. Илл. 9.
Л
1702050000—153
053@2)—84
20—84
Copyright © 1973 by Addison-
Wesley Publishing Company, Inc.
Перевод на русский язык.
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы, 1984

ОГЛАВЛЕНИЕ
От переводчика
Предисловие
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
Глава 1. Эллиптические функции
§ 1. Теоремы Лиувилля
§ 2. Функция Вейерштрасса
§ 3. Теорема сложения
§ 4. Классы изоморфных эллиптических кривых
§ 5. Эндоморфизмы и автоморфизмы
Глава 2. Гомоморфизмы
§ 1. Точки конечного порядка
§ 2. Изогении
§ 3. Инволюция
Глава 3. Модулярная функция
§ 1. Модулярная группа •
§ 2. Автоморфные функции степени 2k
§ 3. Модулярная функция /
Глава 4. Разложения Фурье
§ 1. Ряды Фурье для Gk) g2, g3t А и /
§ 2. Ряд Фурье для функции Вейерштрасса
§ 3. Числа Бернулли
Глава 5. Модулярное уравнение
§ 1. Целочисленные матрицы с положительным определителем . . .
§ 2. Модулярное уравнение *
§ 3. Связь с изогениями
Глава 6. Высшие уровни
§ 1. Конгруэнц-подгруппы
§ 2. Поле модулярных функций над С *
§ 3. Поле модулярных функций над Q
§ 4. Подполя поля модулярных функций
Глава 7. Автоморфизмы поля модулярных функций 76
§ 1. Рациональные адели группы GL2 76
§ 2. Действие рациональных аделей на поле модулярных функций 78
§ 3. Точная последовательность Шимуры 84
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. КОМПЛЕКСНОЕ УМНОЖЕНИЕ. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ
КРИВЫЕ С СИНГУЛЯРНЫМИ ИНВАРИАНТАМИ
Глава 8. Результаты из алгебраической теории чисел 87
§ 1. Решетки в квадратичных полях 88
§ 2. Пополнения 97
§ 3. Группа разложения и автоморфизм Фробениуса 100
§ 4. Краткий обзор теории полей классов 107

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 9. Редукция эллиптических кривых ПО
§ 1. Невырожденная редукция. Общий случай 110
§ 2. Редукция гомоморфизмов 112
§ 3. Накрытия уровня N 113
§ 4. Редукция дифференциальных форм 117
Глава 10. Комплексное умножение 122
§ 1. Построение полей классов. Подход Дойринга 122
§ 2. Идельная формулировка для произвольных решеток .... 129
§ 3. Построение полей классов при помощи сингулярных значений
модулярных функций 132
§ 4. Эндоморфизм Фробениуса 136
Приложение. Соотношение Кронекера 144
Глава 11. Закон взаимности Шимуры 148
§ 1. Соотношение между общими и специальными расширениями 148
§ 2. Приложение к частному двух модулярных форм 153
Глава 12. Функция А (ост)/А (т) 159
§ 1. Поведение под действием автоморфизма Артина 159
§ 2. Разложение на простые множители 161
§ 3. Аналитическое доказательство соотношения сравнимости для
функции/ 166
Глава 13. /-адическое и /7-адическое представления Дойринга ... 169
§ 1. /-адические пространства 170
§ 2. Представления в характеристике р 173
§ 3. Представления и изогении 177
§ 4. Редукция кольца эндоморфизмов 180
§ 5. Теорема поднятия Дойринга 183
Глава 14. Теория Ихары , 186
§ 1. Представители Дойринга 186
§ 2. Общая ситуация . * 189
§ 3. Специальные ситуации 190
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ
С НЕЦЕЛЫМИ ИНВАРИАНТАМИ
Глава 15. Параметризация Тейта 193
§ 1. Эллиптические кривые с нецелыми инвариантами 193
§ 2. Эллиптические кривые над полным локальным кольцом . . . 198
Глава 16. Теоремы об изогении 202
§ 1. р-адические представления Галуа 202
§ 2. Результаты из теории Куммера 205
§ 3. Локальные теоремы об изогении 208
§ 4. Суперсингулярная редукция 211
§ 5. Глобальные теоремы об изогении 214
Глава 17. Точки конечного порядка над числовыми полями .... 219
§ 1. Теорема Шафаревича 219
§ 2. Теорема о неприводимости 224
§ 3. Горизонтальная группа Галуа 225
§ 4. Вертикальная группа Галуа 228
§ 5. Конец доказательства 230

ОГЛАВЛЕНИЕ
ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ. ТЭТА-ФУНКЦИИ [И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ
КРОНЕКЕРА
Глава 18. Бесконечные произведения 233
§ 1. Сигма-функция и дзета-функция. Кососимметрическое спарива-
спаривание . . 233
§ 2. Нормализация и ^-произведение для функции а (г) 240
§ 3. ^-разложения 242
§ 4. g-произведение для А 243
§ 5. т]-функция Дедекинда „ . . 246
§ 6. Модулярные функции уровня 2 248
Глава 19. Основная тэта-функция 251
§ 1. Основные свойства 251
§ 2. Функции Зигеля 252
§ 3. Специальные значения функций Зигеля 255
Глава 20. Предельные формулы Кронекера 258
§ 1. Формула суммирования Пуассона 258
§ 2. Примеры 260
§ 3. Функция Ks(x) 261
§ 4. Первая предельная формула Кронекера 265
§ 5. Вторая предельная формула Кронекера 267
Глава 21. Первая предельная формула и /.-ряды ......... 271
§ 1. Связь с L-рядами 271
§ 2. Определитель Фробениуса 276
§ 3. Приложение к L-рядам 278
Глава 22. Вторая предельная формула и /,-ряды 279
§ 1. Суммы Гаусса 279
§ 2. Выражение для L-ряда 281
ПРИЛОЖЕНИЯ. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ В ХАРАКТЕРИСТИКЕ р
Приложение 1. Алгебраические формулы в произвольной характе-
характеристике (Дж. Тейт) 287
§ 1. Обобщенная форма Вейерштрасса 287
§ 2. Канонические формы 290
§ 3. Разложение в окрестности О. Формальная группа 293
Приложение 2. След Фробениуса и дифференциал первого рода 295
§ 1. След Фробениуса 295
§ 2. Двойственность 296
§ 3. След Тейта 297
§ 4. Оператор Картье „ . 299
§ 5. Инвариант Хассе 304
Список литературы 309

ОТ ПЕРЕВОДЧИКА
Эллиптические функции появились в математике в начале XIX века,
который из-за обилия открытых в нем различного рода функций математики
иногда называют веком специальных функций. Среди всех специальных
функций эллиптические функции с момента их открытия выделились универ-
универсальностью своих свойств (причем не только аналитического, но и алгебро-
арифметического и топологического характера). Именно благодаря разно-
разнообразию свойств эллиптические функции постоянно служили источником но-
новых идей и являлись связующим звеном для различных математических
теорий.
С историей эллиптических функций и их ролью в математике XIX века
читатель может познакомиться по книге «Математика XIX века: геометрия,
теория аналитических функций» (под ред. А. Н. Колмогорова и А. П. Юш-
Юшкевича.— М.: Наука, 1981). Здесь же хотелось лишь отметить, что теория
эллиптических функций зародилась в трудах Гаусса, Абеля и Якоби. Даль-
Дальнейшее развитие теории связано с именами Эйзенштейна, Лиувилля, Вейер-
штрасса, Римана, Кронекера, Фробениуса, Вебера и Фрикке.
В первой половине XX века развивались только отдельные аспекты
теории эллиптических функций и в первую очередь те, которые связаны с
теорией полей классов. Полученные в этом направлении результаты связаны с
именами Гильберта, Фуртвенглера, Тагаки, Е. Артина, Дойринга, Хассе,
Шевалле и И. Р. Шафаревича. В полной мере интерес к эллиптическим
функциям возродился лишь в последние годы, и этим мы во многом обязаны
Шимуре, представившему классические результаты Кронекера, Вебера и
Фрикке в совершенно новом свете.
Несмотря на огромный интерес, который вызывали и вызывают эллипти-
эллиптические функции, на русском языке имеется очень мало книг, посвященных соб-
собственно эллиптическим функциям. Книга Н. И. Ахиезера «Элементы теории
эллиптических функций» (М.: Наука, 1970) затрагивает лишь аналитическую
сторону вопроса. В превосходной книге Г. Шимуры «Введение в арифме-
арифметическую теорию автоморфных функций» (М.: Мир, 1973) эллиптические
функции рассмотрены очень сжато, лишь как частный случай общих теорий.
Предлагаемый перевод книги С. Ленга должен в некоторой степени
устранить указанный пробел.
С. А. Степанов

ПРЕДИСЛОВИЕ
Эллиптические функции параметризуют эллиптические кривые
и, соединяя в себе аналитические и алгебро-арифметические тео-
теории, занимают центральное место в математике с начала XIX
столетия.
Недавно в этом старом предмете появились новые техничес-
технические приемы и точки зрения, продолжающие традиции Кроне-
кера, Вебера, Фрикке, Хассе, Дойринга. Книга Шимуры «In-
«Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions» *)
является блестящим эталоном современного изложения, и я на-
нашел ее очень полезной для себя при изучении некоторых аспек-
аспектов эллиптических кривых. Указанная книга придает особое
значение дзета-функции Хассе — Вейля, операторам Гекке и
обобщениям на случай высшей размерности (абелевым многооб-
многообразиям; кривым высших родов, появляющимся из арифметиче-
арифметических групп, действующих на верхней полуплоскости; ограничен-
ограниченным симметрическим областям с дискретной арифметической
группой, фактор-группа которой является алгебраической).
В предлагаемой книге внимание уделяется некоторым другим
аспектам теории. Для ее чтения требуется меньше предвари-
предварительных знаний, и изложение теории эллиптических функций
начинается с самого начала. В книге не обсуждаются операторы
Гекке, но рассматриваются некоторые вопросы, не освещенные
в книге Шимуры, а именно: теория Дойринга /-адических и
р-адических представлений; приложение к работе Ихары; об-
обсуждение эллиптических кривых с нецелым инвариантом и пара-
параметризации Тейта с приложением к работе Серра по группам
Галуа точек конечного порядка над числовыми полями и к тео-
теореме об изогении; наконец, предельная формула Кронекера и
обсуждение значений специальных модулярных функций, являю-
являющихся отношениями 9-функций, которые лучше значений функ-
функции Вейерштрасса, так как являются единицами при собствен-
собственной нормализации и ведут себя регулярным образом под дейст-
действием группы Галуа.
Таким образом, эта книга существенно отличается от книги
Шимуры. Однако оказалось невозможным полностью избежать
пересечений, и я решил переизложить теорию комплексного
умножения, следуя алгебраическому методу Дойринга, а также
воспроизвести некоторые результаты Шимуры либо с упроще-
упрощениями (например, в его законе взаимности для неподвижных
*) Имеется русский перевод: Ш и м у р а Г. Введение в арифметическую
теорию автоморфных функций.—М.: Мир, 1973.— Прим. перев.

8 ПРЕДИСЛОВИЕ
точек), либо с другим доказательством (например, для теоремы
об автоморфизмах поля модулярных функций).
Я не выделяю особо эллиптические кривые в характеристи-
характеристике р, за исключением случая, когда они возникают при редук-
редукции из характеристики 0. Таким образом, я опустил большую
часть теории, относящейся к собственно характеристике р, в
том числе изящную теорию суперсингулярных инвариантов. Однако
хотелось бы предупредить, что эта теория важна для более глу-
глубокого понимания арифметической теории эллиптических кривых.
Два приложения помогут читателю при ознакомлении с соответ-
соответствующей литературой.
Я благодарен Г. Шимуре за его терпеливость при объясне-
объяснении мне некоторых результатов его исследований; Эли Донкару
за его записи курса лекций, которые легли в основу данной
книги; Свиннертону-Дайеру и Вальтеру Хиллу за внимательное
прочтение рукописи.
Нью Хейвен, Коннектикут Серж Ленв

Часть первая
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
В этой части изучаются эллиптические кривые, которые мо-
могут быть определены уравнением Вейерштрасса у2 = 4xs — g2x— g3.
Мы увидим, что комплексные точки эллиптической кривой обра-
образуют коммутативную группу, аналитически изоморфную комплекс-
комплексному тору C/L, где L — некоторая решетка в С. Здесь изучаются
свойства, присущие в основном «общим» эллиптическим кривым.
Рассматриваются их гомоморфизмы, изоморфизмы и точки ко-
конечного порядка. Далее, устанавливается связь эллиптических
кривых с модулярными функциями и показывается, каким
образом изоморфные классы кривых параметризуются точками
верхней комплексной полуплоскости по модулю SL2(Z). При
этом постоянно учитывается взаимосвязь между трансцендентной
параметризацией и соответствующими алгебраическими свойст-
свойствами. Наша цель состоит в том, чтобы объяснить читателю, ка-
какие результаты справедливы в произвольной характеристике
(благодаря исследованиям Хассе), и дать их краткие доказа-
доказательства по большей части в характеристике 0 с использованием
трансцендентной параметризации.
Глава 1
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Теоремы Лиувилля
Под решеткой в комплексной плоскости С подразумевается
свободная подгруппа ранга 2 над Z, порождающая С над полем
действительных чисел R. Если ©^ со2—ба-
со2—базис решетки L над Z, то будем писать так-
также L=[<o1, co2]. Такая решетка представле-
представлена на рис. 1.1. При отсутствии специаль-
специальных оговорок будем всегда предполагать,
что Im (aVcOg) > 0, т. е. что (ojaJ лежит в
верхней полуплоскости tQ = {x+iy, у>0\. Рис. 1.1.
Эллиптическая функция f (по отношению к ре-
решетке/,) естьмероморфная на С функция, являющаяся L-периоди-
ческой, т. е. такой, что

10 эллиптические функции [гл. 1
для всех zgC и co?L. Заметим, что f является L-периодической
тогда и только тогда, когда
Всякая целая (т. е. без полюсов) эллиптическая функция
должна быть константой. Действительно, являясь непрерывной
функцией на компактном множестве C/L (гомеоморфном тору),
она ограничена на C/L и, в силу L-периодичности, на всей пло-
плоскости С. Отсюда следует, что / = const.
Если Ь = [ыи со2] и а?С, то множество точек
назовем основным параллелограммом решетки L (по отношению
к Данному базису). Основной параллелограмм можно было бы
определить также неравенства-
неравенствами 0^/1э ?2<1. Преимущество
такого определения состоит в
том, что в этом случае каждая
точка плоскости С будет иметь в
C/L единственный образ.
Теорема 1. Пусть Р—ос-
а новной параллелограмм решетки
Рис 12 L\ предположим, что эллиптичес-
эллиптическая функция f не имеет полюсов
на его границе дР. Тогда сумма вычетов функции f в парал-
параллелограмме Р равна нулю.
Доказательство. Имеем
f = ^f (z) dz.
дР
Но в силу периодичности / интегралы по противоположным сто-
сторонам параллелограмма Р (рис. 1.2) уничтожаются и [ f {г) dz = 0.
дР
Эллиптическую функцию можно рассматривать как мероморф-
ную функцию на торе C/L. Тогда теорема 1 утверждает, что
сумма вычетов этой функции на торе равна нулю.
Следствие. Эллиптическая функция *) имеет на торе по
меньшей мере два полюса (учитывая их кратности).
Теорема 2. Пусть Р — основной параллелограмм', пред-
предположим, что эллиптическая функция f не имеет нулей и полю-
полюсов на его границе. Пусть, далее, {at)—множество особых то-
точек (нулей и полюсов) функции f внутри Р и пусть f имеет
порядок mi в точке а{. Тогда
*) Имеется в виду не постоянная функция.— Прим. перге»

§2 ФУНКЦИЯ ВЕЙЕРШТРАССА \\
Доказательство. Заметим вначале, что если /—эллип-
/—эллиптическая функция, то /' и f'lf также будут эллиптическими
функциями. В таком случае
дР
что и требовалось доказать.
Можно сформулировать теорему 2 иначе: сумма порядков
особых точек функции f на торе равна нулю.
Теорема 3. В предположениях теоремы 2 имеет место срав-
сравнение
2тд = 0 (modL).
Доказательство. Поскольку
то
j
С другой стороны, интеграл по границе параллелограмма мож-
можно вычислить, взяв его одновременно по двум противоположным
сторонам. Одна из двух пар таких интегралов равна
Во втором интеграле сделаем замену переменного, положив
и = г—со2. Тогда оба интеграла берутся в пределах от а до
а-\-(о1У и после сокращения получим
2 J f(u)
при некотором целом k. Аналогично вычисляется интеграл по
другой паре сторон. Теорема доказана.
§ 2. Функция Вейерштрасса
Докажем существование эллиптических функций. Используем
для этой цели функцию Вейерштрасса &°(г):
*>(г)ся±+у Г_1 11
О V / Z2 Zmd L(Z 0J @2J *
coeL'
где суммирование ведется по множеству V всех ненулевых пе-
периодов. Мы должны показать, что этот ряд равномерно сходится

12 эллиптические функции [гл. 1
на каждом компактном множестве, не содержащем точек ре-
решетки. Для конечных г, отстоящих от точек решетки на неко-
некотором расстоянии, выражения в квадратных скобках оцениваются
величиной порядка 1/|со|3, поэтому достаточно доказать следую-
следующую лемму.
Лемма. Если А,> 2, то ряд V «.—ту сходится.
Доказательство. Частичную сумму V г^црассматри-
мого ряда можно представить в виде
n
У
| со i Я, •
п—\ п — 1 <| (о | <:п
Число точек решетки в круговом кольце п—1 <|со|^п оцени-
оценивается величиной порядка /г, и тогда
00 GO
Щри X > 2 последний ряд сходится, что и доказывает справедли-
справедливость леммы.
Из представления функции ?° (г) в виде ряда следует, что
она является мероморфной функцией, имеющей двойной полюс в
каждой точке решетки и не имеющей никаких других полюсов.
Кроме того, функция &° (г) является четной, т. е.
(суммирование по точкам решетки совпадает с суммированием
по этим точкам, взятым со знаком минус).
Почленное дифференцирование ряда для ^ (г) дает
где суммирование ведется по всем co?L. Заметим, что )$°'(г)
является периодической функцией и нечетной, т. е.
Из периодичности функции &0' (г) следует существование кон-
константы С такой, что
Положим в этом равенстве г=*—сс^/2 (—'а^/2 не является полю-
полюсом )$°(г)). Тогда получим

$2] ФУНКЦИЯ ВЕЙЕРШТРАССА 13
и так как &°(г)—четная функция, отсюда следует, что C=sO.
Следовательно, функция $ (г) сама является периодической, и
мы получим свойство, которое не сразу можно заметить из
рассмотрения ряда, определяющего &°(г).
Легко видеть, что множество эллиптических функций (отно-
(относительно данной решетки L) образует поле и что его полем кон-
констант является С.
Теорема 4. Поле эллиптических функций (относительно L)
порождается функциями $> (г) и |$°'(г).
Доказательство. Если/—эллиптическая функция, то ее,
как обычно, можно представить в виде суммы четной и нечет-
нечетной эллиптических функций, а именно:
f (у\ - /
/ \Z) —
Если /—нечетная, то произведение fff' будет четной функцией, и
тогда достаточно доказать, что С (ft) есть поле четных эллипти-
эллиптических функций. Другими словами, достаточно показать, что
если f—четная функция, то / является рациональной функцией
от tf(z).
Перед тем как приступить к доказательству этого утвержде-
утверждения, сделаем следующее замечание.
Предположим, что f—четная функция, имеющая нуль поряд-
порядка т в точке а. Тогда f будет иметь нуль того же порядка
в точке —а, поскольку
Аналогичное утверждение справедливо и для полюсов функции f.
Если и= — a(modL), то указанное утверждение выполняется
в более сильной форме, а именно, в этом случае f имеет в точке и
нуль (или полюс) четного порядка.
Действительно, условие и=—u(modL) эквивалентно тому,
что
2« = 0(modL),
и на торе имеются в точности четыре точки с этим свойством,
соответствующие точкам
из параллелограмма периодов. Если /—четная, то /' будет не-
нечетной функцией, т.е. f (u)=*—f (—и).
Далее, поскольку w=—tt(modL) и /' есть периодическая
функция, то f (и) =5 0, и в таком случае / имеет в точке и нуль
порядка не менее чем 2. Если «^O(modL), то из сказанного
следует, что функция g (г) =* ^ (z)—ff (и) имеет в точке и нуль
порядка по меньшей мере 2 (следовательно, по теореме 2—в точ-

14 эллиптические функции [гл. 1
ности порядка 2, так как &° (г) имеет на торе лишь один полюс
порядка 2). В таком случае функция fig будет четной, эллипти-
эллиптической и голоморфной в точке и. Если f (u)/g(u)^Oy то orda/=2.
Если же f(u)/g(u) = Oy то функция fig снова будет иметь
в точке и нуль по меньшей мере второго порядка, и можно
повторить предыдущие рассуждения. Если теперь &==0 (modL),
то, положив g— 1/jf и рассуждая аналогичным образом, полу-
получим, что функция / имеет в точке и нуль четного порядка.
Продолжим доказательство теоремы. Пусть uh l^t^r,—
семейство точек, являющихся нулями или полюсами функции /,
которое содержит по одному представителю из каждого класса
(и, —и) (modL), отличного от самого L. Пусть, далее,
trii — or&uj, если 2w/^0{modL),
m~-^ordu.fy если 2^.^=0 (modL).
Предыдущие замечания показывают, что при а^О (modL),agC,
функция f (г)—f (а) имеет в точке а нуль порядка 2 тогда и
только тогда, когда 2а = О (modL). В противном случае точки
а и —а являются различными нулями этой функции порядка 1.
Следовательно, функция / и функция
имеют одинаковые порядки во всех точках z ^0 (modL). To же
самое по теореме 2 имеет место и для точки г = 0. Но тогда
частное ///* есть эллиптическая функция без нулей и полюсов,
а следовательно, ///*== const, что и доказывает теорему 4.
Найдем теперь степенное разложение функций &° и f в начале
координат, что позволит получить алгебраическое соотношение
между этими двумя функциями. Имеем
СО € L
coeL' m= 1 " m=l
где cw= ^ mm + 2» причем заметим, что ст = 0у если т нечетно.
Отсюда, используя обозначение
Sm V-) = S^ =
получаем разложение
00
г, . ^Bn+l)sSn+g(I)z«»,

§2] ФУНКЦИЯ ВЕЙЕРШТРАССА 15
для которого выпишем в явном виде несколько первых членов
Далее, дифференцируя это разложение почленно, получим
Теорема 5. Пусть g^ — gz(L)=s60s4 и
Тогда
2
Доказательство. Выпишем степенное разложение функции
в начале координат, обращая особое внимание на члены с отри-
отрицательными степенями z и на постоянный член. Оказывается,
что указанные члены в этом разложении отсутствуют. Но тогда
Ф (г) является эллиптической функцией без полюсов и с нулем
в начале координат. Следовательно, ф(г) тождественно равна
нулю, что и доказывает теорему.
Теорема 5 показывает, что точки (&°(z), ff' (z)) лежат на кри-
кривой, определяемой уравнением
Кубический многочлен в правой части этого уравнения имеет
дискриминант
A-
Покажем, что он отличен от нуля.
Пусть
е/а«Ию//2), /=-1,2,3,
где L = [oI, co2] и со3 = оI + оJ. Тогда, по сказанному выше,
функция
h()
имеет в точке (о{/2 нуль четного порядка, так что j^0' (со^/2) = 0
для /=1,2,3. Сравнивая теперь нули и полюса, заключаем, что
Г (гJ = 4 № {z)-ex) (f (z)-e2) (tf> (z)-e3).
Таким образом, ег, е2, е3 являются корнями многочлена 4х3 —
— g2x—gs- Кроме того, |$° (г) принимает каждое значение е{
с кратностью 2 и имеет лишь один полюс порядка 2 по modL,
так что е{фе^ при 1ф\*). Это означает, что все три корня
рассматриваемого многочлена различны и, следовательно,
*) Если бы при некоторых различных it / имело место равенство в/ = ву,
то эллиптическая функция h(z) = $(z)—е/ имела бы два нуля второго по-
порядка, что невозможно.— Прим. перев.

16
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. 1
§ 3. Теорема сложения
Пусть заданы комплексные числа g, g3 такие, что gf^^
Тогда возникает вопрос о том, существует ли решетка L, для
которой эти числа будут являться инвариантами в смысле пре-
предыдущего параграфа. Ответ утвердительный, и это будет дока-
доказано в гл. 3. Сейчас рассмотрим случай, когда g2J g3 опреде-
определены, как в § 2, т. е. gr2 = 60s4 и g-3 = 140s6.
Мы видим, что отображение
, IP (г), Г (г))
параметризует точки кубической кривой Л, определяемой урав-
уравнением
#2 = 4лг3—g2x—g9.
Последнее уравнение является аффинным, и мы добавили коор-
координату 1, чтобы показать, что рассматриваем эту кривую как
вложенную в проективное пространство. Указанное отображение
фактически определено на торе C/L, и точки решетки, т. е. точка 0
на торе, являются единственными точками, в которых кривая
уходит в бесконечность. Пусть Aq означает множество комплекс-
комплексных точек на кривой А. Тогда получаем биекцию
C/L-{0}-+Ac-{oo\.
Действительно, для любого комплексного а функция $> (г)—а
имеет не менее одного и не более двух нулей, так что уже
с помощью ft0 (z) мы покрываем каждое комплексное число а.
Далее, использование ft0' (г) при-
приводит к разделению точек тора
C/L, лежащих над ос, и это дает
биекцию. Для читателя, знако-
знакомого с терминологией алгебраи-
алгебраической геометрии, заметим, что
кривая, определенная выше, яв-
является неособой и что рассмат-
рассматриваемое отображение является
аналитическим изоморфизмом
между C/L и Aq.
Кроме того, C/L имеет естест-
естественную групповую структуру,
и мы хотим теперь перенести ее на А. Мы увидим, что эта струк-
структура является алгебраической. Другими словами, если Р1=(х1, уг),
f>2==(x2^ У2)* ^3 = (X3» Уз) и Л$ = Л + ^2> то можно выразить х9,
уг как рациональные функции от (х1У у±) и (х2, у2). Будет пока-
показано, что Рг получается отражением относительно оси ОХ точки
пересечения кривой А с прямой, проведенной через точки Р1 и
Р2 этой кривой, как показано на рис. 1.3.
Рис. 1.3.

§3] ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ 17
Пусть ul9 ^2€C, ul9 u2^L\ предположим, что иг ^ u2(modL)»
Пусть а, Ъ—комплексные числа такие, что
Другими словами, прямая у=-ах-\-Ъ проходит через точки (ft0 (u^)
F'(Ui)) и (ft°(M2), f'(u2)). Тогда функция
имеющая в точке 0 полюс порядка 3, должна иметь три нуля,
считая их с кратностями. Двумя из этих нулей являются точки
иг и и2. Если, например, иг имеет кратность 2, то по теореме 3
и для фиксированного иг имеется единственное значение и2У удов-
удовлетворяющее этому соотношению. Предположим, что и2 прини-
принимает значение, отличное от указанного. Тогда оба нуля и19 и%
имеют кратность 1 и третий нуль и3 по теореме 3 удовлетво-
удовлетворяет соотношению
м, =—(иг + и2) (mod L).
Кроме того,
Уравнение
4х3—g2x—g3—(
имеет три корня, считая их с кратностями, и этими корнями
являются tfitit), tf(u2), tf(u3).
В таком случае
= b (x-tf (и,)) (x-tf (u2)) (х—р (и9))
и сравнение коэффициентов при х2 дает
Но из исходных уравнений для а и Ъ имеем
a (f (ai)—tf
и поскольку
ТО
или, в алгебраических терминах,
х - г х 1 1 (У1—У*У
Х3 — —Х1 — Х2-Г 4 \Xl-.X2) •

18 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 1
При фиксированном их указанная формула справедлива для всех,
кроме конечного числа, значений и2фиг (modL), и, значит, по
принципу аналитического продолжения она справедлива для всех
и2 ф u1(modL).
Для случая иг = и2 (modL) перейдем к пределу при ul—+u2,
Тогда получим
Эти соотношения дают нам желаемые алгебраические формулы
сложения. Заметим, что указанные формулы определяются ра-
рациональными функциями от xl3 x2, ylf у2, коэффициенты которых
зависят*) лишь от g2 и g3.
На этом мы в основном заканчиваем изучение общей теории
^-функций. Исключением является лишь разложение в ряд Фурье,
которое дается в гл. 4. Дальнейшие сведения в этом направле-
направлении читатель может почерпнуть из книги Фрикке [К2]. Напри-
Например, с помощью разложения в непрерывную дробь (указанного
Фробениусом) можно получить формулу для tf°(nz), и т. д. Сочи-
Сочинения классиков, такие как книга Фрикке, содержат множество
фактов, которые не отражены в современной литературе и кото-
которые не нашли еще достаточно широкого применения. Однако,
как показывает опыт, все, что было открыто классиками, рано
или поздно становится центром внимания исследователей.
§ 4. Классы изоморфных эллиптических кривых
Теорема 6. Пусть L, М—решетки в С и пусть отобра*
жение
X: C/L-^C/M
является комплексно-аналитическим гомоморфизмом. Тогда су*
ществует такое комплексное число ос, что диаграмма
€
коммутативна. Здесь верхнее отображение является умножением
па а, а вертикальные отображения суть канонические гомомор-
гомоморфизмы.
*) Функция (?(г) удовлетворяет дифференциальному уравнению
= 12JP2—g2-—Прим. перев.

§43 КЛАССЫ ИЗОМОРФНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРИВЫХ 19s
Доказательство. В малой окрестности точки 0 отобра-
отображение % может быть представлено степенным рядом
а так как любое комплексное число z в окрестности нуля един-
единственным образом представимо его классом вычетов по modL,
то сравнение
% (z + z') = Я (г) +1 (г') (mod M)
для близких к 0 точек гиг' может быть заменено равенством.
Следовательно, для всех г, близких к точке 0, должно быть
Далее, при произвольном г и большом п число zin лежит в ма-
малой окрестности точки 0, и тогда для любого z
X(z)^a1z (тосШ).
Теорема доказана.
Мы видим, что отображение к представляет собой умножение
на а и что
aLaM.
Обратно, для данного комплексного числа а и решеток L, М
таких, что аЬаМ, умножение на а индуцирует комплексно-ана-
комплексно-аналитический гомоморфизм C/L в С/М.
Два комплексных тора C/L и С/М изоморфны тогда и только
тогда, когда существует такое комплексное число а, что aL = М.
Если это условие выполняется, то решетки L и М будем назы-
называть линейно эквивалентными. В гл. 3 мы найдем аналитический
инвариант для классов эквивалентных решеток.
Под эллиптической кривой или абелевой кривой А понимается;
полная неособая кривая рода 1 со специальной точкой О, взя-
взятой в качестве начальной*). Теорема Римана — Роха определяет
групповой закон на группе классов дивизоров кривой А. Дей-
Действительно, если Р, Р'—точки на Л, то существует единствен-
единственная точка Р" такая, что
где символ ~ означает линейную эквивалентность, т. е. раз-
разность между левой и правой частями является дивизором рацио-
рациональной функции на кривой А. Тогда групповой закон на А
задается равенством Р -\-Р' = Р".
Используя теорему Римана—Роха, можно показать, что в ха-
характеристике, отличной от 2 или 3, кривая А может быть
*) Начальная точка является нейтральным элементом в групповом за-
законе сложения точек на А. Обычно в качестве начальной точки берется
бесконечно удаленная точка кривой А.— Прим. перев.

20 эллиптические функции [гл. 1
определена уравнением Вейерштрасса
гДе ?г> Яз лежат в том же основном поле, над которым эта кри-
кривая задана. Обратно, любое неособое однородное кубическое
уравнение имеет род 1 и определяет в проективной плоскости
абелеву кривую, как только выделена начальная точка. Все эти
факты непосредственно следуют из элементарного рассмотрения
кривых. Если кривая задана в проективном пространстве урав-
уравнением с коэффициентами из поля k, то говорят, что она опре-
определена над полем к. Для уравнения Вейерштрасса это означает,
k
g2 g3
Для наших целей, если читатель готов исключить из рас-
рассмотрения некоторые специальные случаи, всегда достаточно
представлять эллиптическую кривую как кривую, определенную
указанным выше уравнением, с законом сложения, заданным фор-
формулами из теоремы сложения для if-функции. В этом случае
в качестве начальной берется бесконечно удаленная точка кривой.
Если кривая А определена над к, то множество точек (х, у)
этой кривой с координатами х, у из поля к, а также бесконечно
удаленную точку мы обозначаем Ак. Назовем множество Ak груп-
группой к-рациональных точек кривой А. Это действительно группа,
поскольку сложение задается рациональными функциями с коэф-
коэффициентами из поля к.
Если Л, В—эллиптические кривые, то гомоморфизмом А в В
назовем любой групповой гомоморфизм, график которого яв-
является алгебраическим в произведении соответствующих прост-
пространств. Если X: А—+ В суть указанный гомоморфизм и кривые
Л, В определены над полем комплексных чисел, то X индуцирует
комплексно-аналитический гомоморфизм, также обозначаемый X,
X: Aq —> Bq,
групп комплексных точек на Л и В, рассматриваемых как комп-
комплексно-аналитические группы. Пусть кривые Л и В получены из
решеток L и М соответственно с помощью отображений
являющихся аналитическими изоморфизмами. Тогда, как мы
видели ранее, гомоморфизм X индуцируется умножением на неко-
некоторое комплексное число.
Обратно, можно показать, что любой комплексно-аналитиче-
комплексно-аналитический гомоморфизм
у: C/L-+C/M
индуцирует алгебраический гомоморфизм, т.е. существует алгебраи-

§4] КЛАССЫ ИЗОМОРФНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРИВЫХ 21
ческий гомоморфизм Я, делающий диаграмму
А
коммутативной.
Теперь посмотрим, как действует изоморфизм на коэффици-
коэффициенты уравнений, задающих эллиптические кривые, и на коорди-
координаты точек этих кривых.
До конца параграфа условимся, что если А—эллиптическая
кривая, параметризованная функциями Вейерштрасса, то отобра-
отображение
есть отображение вида
<ы*)=A, m r^)).
Функция if (г) зависит от L, и мы будем обозначать ее if (г, L).
Аналогично jf' (г) обозначим $>' (z, L). Эти функции удовлетво-
удовлетворяют условиям однородности
f {cz, cL) = с Y (г, L) и tf>' (сг, cL) = ^Т' (^ L)
для всех с 6 С, с =^0.
Пусть заданы две эллиптические кривые с параметризациями
Фл: C/Z, —Лс и Фв: С/М->ВС;
предположим, что
так что кривые изоморфны и изоморфизм
X: А-+В
индуцируется умножением на с. Тогда коэффициенты g2, g3 этих
кривых преобразуются по правилу
g2 (cL) = cgr2 (L); g3 (cL) = с-6^з (L).
Обозначим д:л и xs координаты в уравнениях Вейерштрасса, ко-
которым удовлетворяют кривые А и В соответственно. Тогда
у (Ф(г)) = ?>' (г).
Если Я—точка на кривой Л, то свойства однородности функций
Вейерштрасса могут быть выражены чисто алгебраически следую-
следующими формулами:
с~*хА(Р) и ув(ЦР))=с-*уА(Р).

22 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 1
Эти формулы справедливы в любой характеристике, отличной
от 2 или 3, и для их вывода можно указать чисто алгебраиче-
алгебраические доказательства. Другими словами:
Пусть Л, В—эллиптические кривые в произвольной характе-
характеристике, отличной от 2, 3, определенные уравнениями в форме
Вейерштрасса
У — ^л S2A 63
соответственно. Пусть, далее, X: А—+В является изоморфиз-
изоморфизмом, определенным над полем k. Тогда существует такой эле-
элемент с ? k, что
и если при этом изоморфизме точке (х, у) соответствует точка
(х9, у'), то
х'=с2х и у'=с3у.
Можно чисто алгебраически определить инвариант
#2 —
и на основе упомянутого выше результата (доказанного в харак-
характеристике 0 трансцендентными средствами) показать, что кривая Л
изоморфна кривой В тогда и только тогда, когда Ja = Jb (в ха~
рактеристике, отличной от 2 или 3). Позже мы изучим аналити-
аналитические свойства инварианта /. Предыдущие рассуждения приво-
приводят также к следующему утверждению:
Если Л, В—эллиптические кривые над полем k характерис-
характеристики, отличной от 2, 3, и если они изоморфны над некоторым
расширением поля k, то они изоморфны над расширением поля k
степени ^ 6.
Доказательство. Возьмем, как и раньше, эллиптическую
кривую в форме Вейерштрасса. Тогда для некоторого с из рас-
расширения поля k имеем c* = g'2/g2 (если g2=^=0) и c* — g'3/g3 (если
g-3:^=0). Тогда изоморфизм определен над расширением степени 6
и даже над расширением степени 2, если ё^ёз^О.
Пример. Имеется два важных примера со специальными
значениями с, а именно c = i и с = —р, где р = е2га'/3. Пусть кри-
кривая Л задана в форме Вейерштрасса. Тогда умножение на i ин-
индуцирует замену
(X, у)*->{—Х, —iy), g2'~>g2i g3*-> — gs>
а умножение на —р индуцирует замену (х, у)*-*{рх, —#),
g2*~~>Pg2i §з•—^§- В частности, если gz = 0, то кривая допускает i

§4] КЛАССЫ ИЗОМОРФНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРИВЫХ 23
в качестве автоморфизма, а если ?2 = 0, то кривая допускает
в качестве автоморфизма —р.
В произвольной характеристике Дойринг [4] дал полное опи-
описание всех случаев, которые могут возникнуть, а также указал
нормальные формы, заменяющие форму Вейерштрасса. Сжатое
изложение этого направления, сделавшее его доступным, было
предложено Тейтом. Оно оказалось полезным для многих и воспро-
воспроизводится в данной книге в виде приложения. Я благодарен
Тейту за его согласие впервые опубликовать здесь его записи.
Для заданного значения J всегда можно найти уравнение
эллиптической кривой с инвариантом /, которое задано в форме
Вейерштрасса
г/2 = 4л:3—сх—с.
Для этого достаточно найти с из уравнения
j _ с* с_
~~ с3—27с2 ~"с — 27'
которое разрешимо относительно с, а именно
если только J фО, 1. Два случая, соответствующие /= 0, 1,
оказываются специальными и связаны со значениями i, p в верх-
верхней комплексной полуплоскости. С алгебраической точки зрения,
указанное выше уравнение универсально «параметризует» все
эллиптические кривые (в характеристике ф2, 3) с /-инвариан-
/-инвариантом фО, 1, т. е. эти кривые могут быть получены специализа-
специализацией общего уравнения.
Для двух специальных случаев можно выбрать множество
моделей, например
г/2 = 4а;3 — За: для /-1,
у2=;4л:3—1 для /=s0.
При подходящей нормализации можно определить функцию
на эллиптической кривой, тесно связанную с А;-функцией, но ин-
инвариантную при изоморфизмах. Именно, если g2g3=7^0, определим
первую функцию Вебера равенством
Из указанных выше соотношений сразу же следует, что h\ инва-
инвариантна при изоморфизмах кривой Л. Когда g2 или g3 отличны
от 0, положим
= -fx2A, если
= х^> если

24 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 1
Позже мы увидим, что функции Вебера играют важную роль при
анализе полей, порожденных точками конечного порядка на
кривой.
Иногда полезно нормализовать функции Вебера таким обра-
образом, чтобы некоторые степенные ряды имели целые коэффициенты.
В этом случае в качестве первой функции Вебера берется выра-
выражение
р7о5 g2g3
— Z й —?- X.
Читатель должен запомнить, что эта нормализация введена лишь
для удобства и, где бы указанная нормализация ни встретилась,
всегда можно забыть о множителе —2735. Важно лишь то, что
присутствие этого множителя будет означать, что соответствую-
соответствующие ряды имеют целые коэффициенты.
§ 5. Эндоморфизмы и автоморфизмы
Если L = M, то мы получим все эндоморфизмы (комплексно-
аналитические) C/L из тех комплексных чисел а, для которых
aLdL. Те эндоморфизмы, которые индуцируются обычными
целыми рациональными числами, называются тривиальными,
В общем случае пусть L = [co1, co2] и ocLczL. Тогда существуют
такие целые рациональные а, Ь, с, d, что
<шх = аодх + 6оJ, асо2
Отсюда следует, что а есть корень полиномиального уравнения
х—а —Ь
— с х—d
и если а не является целым рациональным, то а будет квадра-
квадратичной иррациональностью над Q и, более того, а является целым
над Z. Далее, поделив асо2 на со2, видим, что
а = сх + d,
где т = со1/(о2. Но сох, оJ порождают решетку, и тогда их отно-
отношение не может быть действительным. Кроме того, если а не
является целым рациональным, то сфО, и, следовательно,
Q(t) = Q(oc).
Наконец, поскольку а не является действительным числом, то
а—мнимая квадратичность.
Кольцо R элементов oc?Q(oc) таких, 4toocLc:L, является под-
кольцом квадратичного поля ^ = Q(oc) и фактически является
подкольцом кольца ok всех целых элементов поля k. Единицы
кольца R представляют все автоморфизмы G/L. Хорошо известно
(и это легко доказать), что в мнимом квадратичном поле все

§ 5] ЭНДОМОРФИЗМЫ И АВТОМОРФИЗМЫ 25
единицы кольца R исчерпываются корнями из 1 и что квадра-
квадратичное поле содержит корни из 1, отличные от ±1, тогда и только
тогда, когда
k~Q(]f=l) или fteQ(|/"=)f
Если R содержит i = V—1, то R=Z[i] является кольцом всех
целых элементов поля k, которое тогда должно совпадать с по-
полем Q (t). Если R содержит кубический корень р из 1, то R=Z[p]
является кольцом всех целых чисел поля & = Q(j/^3). Едини-
Единицами этого кольца являются корни степени 6 из 1, порожденные
элементом —р.
Можно рассматривать функцию Вебера как функцию, отобра-
отображающую А на проективную прямую. Покажем, что она отобра-
отображает также фактор эллиптической кривой по ее группе автомор-
автоморфизмов.
Теорема 7. Если эллиптическая кривая А (над полем комп-
комплексных чисел) допускает в качестве автоморфизмов только ±1,
то функция Вебера для изоморфной ей кривой в форме Вейер-
штрасса определяется формулой
Если А допускает в качестве автоморфизма i, то функция
Вебера определяется формулой
а если А допускает в качестве автоморфизма р, то функция
Вебера определяется формулой
Пусть Р, Q—две точки кривой А. Тогда h(P)=h(Q)
в том и только в том случае, когда существует такой авто-
автоморфизм е кривой А, что e(P) = Q.
Доказательство. Предположим, что А задана в форме
Вейерштрасса. В первом случае имеется лишь один нетпивиаль-
ный автоморфизм, для которого
(х, У)*~> (х, —У), (!)
и тогда ясно, что h обладает желаемым свойством. Если, с дру-
другой стороны, А допускает в качестве автоморфизма i, то умно-
умножению на i в G/L соответствует отображение
(х, y)*~>(—x, — iy)y B)
и в этом случае x2(P)=x2(Q) тогда и только тогда, когда Р
и Q переходят друг в друга при некотором автоморфизме

26 ГОМОМОРФИЗМЫ [ГЛ. 2
кривой А. Наконец, если А допускает в качестве автоморфизма р,
то умножению на —р в Q/L соответствует отображение
(х, У)>~>(рх, —у), C)
и тогда х3 (Р)*=*х3 (Q) в том и только в том случае, когда Я и Q
отличаются друг от друга некоторым автоморфизмом кривой А.
Глава 2
ГОМОМОРФИЗМЫ
§ 1. Точки конечного порядка
Пусть А—эллиптическая кривая, определенная над полем k.
Для каждого натурального числа N обозначим AN ядро отобра-
отображения
t*->Nt, t?A,
которое представляет собой подгруппу точек порядка N. Если
кривая А определена над полем комплексных чисел, то из пред-
представления Aq » C/L непосредственно следует, что
AN&Z/NZxZ/NZ.
Действительно, прообразом этих точек в С служит точка решет-
решетки -дг-Ь, и их прообразом в C/L служит, следовательно, под-
подгруппа
^L/LaC/L.
Пусть <р: С—>Л<? является аналитическим представлением Aq
в виде C/L и пусть L = [co1, co2]. Если положить ^==ф ((ojN)
и /2 = ф (со2/Л/), то {tt, t2\ будет базисом для AN над Z/A^2 и,
следовательно AN есть прямая сумма циклических групп поряд-
порядка N, порождаемых элементами tx и t2 соответственно.
Если эллиптическая кривая определена над полем k характе-
характеристики нуль, то можно вложить k в С и применить предыду-
предыдущий результат.
Пусть теперь кривая А определена над произвольным полем k.
Обозначим б = бл тождественное отображение А. Тогда N8 яв-
является эндоморфизмом кривой Л. Хассе показал алгебраически,
чтс если Af не делится на характеристику, то эндоморфизм N8
является сепарабельным и его ядро состоит в точности из N2
точек, т. е. фактически снова имеем
AN&Z/NZxZ/NZ.
Если характеристика р делит N, то отображение может оказаться
несепарабельным, но по-прежнему имеющим степень N2 (см. [17]).
Эта ситуация будет обсуждена позже.

§ 1] ТОЧКИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА 27
Пусть эллиптическая кривая А определена над полем k и пусть
К—расширение поля k. Пусть, далее, а является изоморфизмом
поля К у не обязательно тождественным на k. Он определяет кри-
кривую Ла, полученную применением а к коэффициентам уравнения,
задающего кривую А. Например, если кривая А задана уравнением
у* = 4х*—g2x—?3,
то А0 определяется уравнением
Если Р, Q являются точками кривой А в поле К, то имеет
место формула
Сумма в левой части относится к сложению на Л, а сумма в пра-
правой части относится к сложению на А°. Равенство очевидным
образом следует из того, что алгебраическая формула сложения
задается рациональными функциями от координат с коэффициен-
коэффициентами из поля k. К тому же, если Р = (х, у), то Р°=г(х°у у°)
получается применением о к координатам.
В частности, предположим, что Р является точкой конечного
порядка, так что NP = O. Так как точка О — рациональная над &,
то для любого изоморфизма or поля К над k имеем NP° = O и,
следовательно, Р° также является точкой порядка N. Далее,
поскольку число точек порядка N конечно, отсюда следует, что
все они являются алгебраическими над k (т. е. их координаты
алгебраичны над k).
Если Р — (х, у), то обозначим k(P) = k(x, у) расширение
поля k, полученное присоединением координат точки Р. Анало-
Аналогично k(AN) обозначим композит полей k(P) для всех P?AN.
Заметим, что мы рассматриваем все точки конечного порядка как
точки с координатами из фиксированного алгебраического замы-
замыкания поля k, которое обозначим ak или ka.
Сделанные выше замечания показывают, что группа Галуа
Gal (kjk) действует как группа перестановок элементов мно-
множества AN. Следовательно, k (AN) является нормальным расши-
расширением поля k и является расширением Галуа, если N не делится
на характеристику поля k. Назовем k (AN) полем точек порядка N
кривой А над полем k.
Кроме того, если or есть автоморфизм поля k (AN) над k и если
{^i> М—базис AN над Z/NZ, то or можно представить матрицей
такой, что
b
d

28 ГОМОМОРФИЗМЫ [ГЛ. 2
Таким образом, мы получаем инъективный гомоморфизм
Gal(k(AN)/k)-+GLt(Z/NZ).
Основная проблема эллиптических кривых состоит в том, чтобы
определить, какие подгруппы группы GL2 получаются для полей &,
наиболее интересных с арифметической точки зрения: числовых
полей, р-адических полей, а также для общего случая.
§ 2. Изогении
Установим связь между точками конечного порядка и гомо-
гомоморфизмами эллиптических кривых. Пусть Л, В—эллиптические
кривые и пусть X: А—+В является гомоморфизмом (алгебраи-
(алгебраическим). Если ХфО, то ядро гомоморфизма X конечно. Алгебраи-
Алгебраические аргументы показывают, что, поскольку А и В являются
алгебраическими кривыми и имеют одинаковую размерность 1,
гомоморфизм X должен быть доминирующим и, стало быть, иметь
конечную степень. В случае комплексного поля имеются простые
аналитические аргументы. В самом деле, если А ? » C/L и В$ « G/M,
то гомоморфизм X аналитически представляется умножением на
комплексное число а такое, чтоаЬаМ, и тогда Lcoc~VW. Ядром
гомоморфизма
C/Af,
индуцированного гомоморфизмом X, является в точности аМ/Ьг
и это ядро конечно, поскольку а~1М и L имеют одинаковый
ранг 2 над Z.
Обозначим Нот (Л, В) группу гомоморфизмов А в В. Пусть
Х?Нот(Л, В) и пусть Хфб. Тогда пХфО для любого целого
рационального пфЬ. В характеристике 0 это очевидным обра-
образом следует из аналитического представления и доказуемо алгебраи-
алгебраически в любой характеристике. Если Г — график гомоморфизма Я,
то для любой точки Q ? В имеем
4) (Л)
1 = 1
где под суммой понимается формальная сумма и прообраз берется
с учетом кратностей, которые могут быть определены алгебраи-
алгебраически. Однако в большинстве случаеа эти кратности не вызывают
особого беспокойства, поскольку в характеристике 0 или когда Af
не делится на характеристику, они равны 1. Тогда Р{ просто
являются точками теоретико-множественного прообраза точки Q
при гомоморфизме X. Над полем комплексных чисел эти точки
в указанных выше обозначениях представляются множеством
<x~1M/L. Назовем число Af степенью гомоморфизма X и будем
обозначать эту степень v (X) или deg X.

§ 2] ИЗОГЕНИИ 2$
Если v (X) = N, то всегда существует такой гомоморфизм
ц: В-+А,
что |i о X = ^Х = #6.
Аналитическое доказательство этого утверждения очевидно.
Рассмотрим X как гомоморфизм C/L в С/М и обозначим Z//^ его
ядро. Тогда L''/L имеет порядок N и L'cz-^L. Следовательно^
имеем канонический гомоморфизм
для которого составной гомоморфизм
обладает ядром-ггЬ/Ь, представляющим AN в C/L. Далее, имеем
изоморфизм
задаваемый умножением на Af, и тогда составное отображение
дает желаемый гомоморфизм ji.
Заметим, что y!k = NbA, a также что X\i^=N8B, поскольку
и гомоморфизм X сюръективен.
Далее, так как пХфО для любого целого рационального
пфО и любого ненулевого Х?Нот(Л, S), то можно составить
тензорное произведение
Q(g)Hom (Л, В) = Нот (Л,
т. е. формально ввести знаменатели. Тогда любой ненулевой эле-
элемент из Нот (Л, ?)q будет иметь обратный б Нот (В, A)q.
Действительно, если гомоморфизм X ? Нот (Л, В) имеет степень
N, то Я-1 = —[х, гдец—такой элемент из Нот (В, Л), что [xA=Af6.
Положим End (Л) = Нот (Л, Л).
Предложение 1. Если End (Л) « Z t/yzt/ End (В) « Z, та
«л^/ Нот (Л, В) = 0, t/^гг/ Нот (Л, В) » Z.
Доказательство. Пусть End^)»Z и предположим,
что существует гомоморфизм X: А —+¦ В, Я^=0. Положим X\i = N8*
Отображение
о а

30 ГОМОМОРФИЗМЫ [ГЛ. 2
задает гомоморфизм Нот (Л, В) в End (Л), и этот гомоморфизм
должен быть инъективным. Действительно, если [ш = 0, то Na=
= Х[д,а=0, и следовательно, ос=0. Этим предложение доказано.
Две эллиптические кривые Л, В называются изогенными, если
существует гомоморфизм Л на В; такой гомоморфизм называется
изогенией.
Предложение 2. Если кривые Л, В изогенны и End (Л) « Z,
mo End (В) « Z. ?Ъш /г/ш этих условиях существует изомор-
изоморфизм X: А -+ В, то имеется еще только один изоморфизм А на 5,
а именно —X.
Доказательство этого предложения аналогично доказа-
доказательству предложения 1.
Пусть g—конечная подгруппа группы А. Тогда существует
гомоморфизм
X: А-+В,
ядром которого в точности является g, и в положительной
характеристике X можно взять сепарабельным. Таким образом,
X удовлетворяет свойству универсальности для всех гомоморфиз-
гомоморфизмов кривой Л, ядра которых содержат g.
Над полем комплексных чисел это доказывается очевидным
образом с использованием аналитического представления. Учиты-
Учитывая сказанное, мы иногда будем писать 5 = Л/g.
Предложение 3. Пусть End (А) ж Z и пусть g, fl'—
конечные подгруппы А одного и того же порядка. Тогда Л/g « Л/g'
в том и только в том случае, если g = g'.
Доказательство. Пусть X: Л/g -^ Л/g' является изомор-
изоморфизмом и пусть
ее: Л-^Л/g и а': А—>А/%'
суть канонические отображения. Тогда
deg (Ьа)= dega -= ord g — ord g' = dega'
и, следовательно, Ха и а' имеют одну и ту же степень. Далее,
поскольку Нот (Л, 4/$j')«Z, to
и тогда а и а' имеют одно и то же ядро, т. е. g = g'. Обратное
очевидно.
Пусть X: А—+В—изогения, определенная над полем К,
и пусть а—изоморфизм поля К. График гомоморфизма X есть
алгебраическое многообразие, которое на самом деле является
эллиптической кривой, изоморфной кривой Л, и можно приме-
применить изоморфизм а к X. Если Р?АК есть /С-рациональная точка
кривой Л, то имеет место формула

§ з] инволюция 31
Кроме того, сопоставление Xt—>Ха является изоморфизмом
Нот (Л, 5) — Нот(Ла, В0).
Эти элементарные алгебраические факты мы приводим без дока-
доказательств. Предположим далее, что кривая Л определена над
полем k и что g—такая конечная подгруппа Л, для которой
цикл
рационален над k. Мы также считаем известным, что А/% опре-
определена над k и что канонический гомоморфизм
определен над k.
§ 3. Инволюция
Пусть а: Л —»- Л—эндоморфизм кривой Л. Обозначим а'
такой эндоморфизм, что
аа' = а'а = v (а) б,
где v(a)—степень а. Ясно, что если а, Р^ЕгкЦЛ), то
(аР)' = Р'а\
Хассе доказал алгебраически, что (а+Р)' = а' + Р', и тогда
есть антиизоморфизм кольца End (Л). В комплексном случае
доказательство, как и всегда, очень простое. В самом деле,
пусть, как и ранее, Aq « C/L. Тогда можно рассматривать а как
комплексное умножение такое, что aLaL. При этом степень а
удовлетворяет условию
v(a) = (L: al),
т. е. является индексом aL в решетке L. Кроме того, этот индекс
равен определителю det(a), если рассматривать а в качестве
эндоморфизма решетки L, как свободного модуля ранга 2 над
кольцом Z. Если эндоморфизм а не тривиален, то, как мы уже
видели в гл. 1, § 5, поле Q(a) будет мнимым квадратичным
полем и умножение на а в L будет регулярным представлением
квадратичного поля. Следовательно,
a' = v (a) a
является комплексно сопряженным к а и v (a) есть норма числа а.

32 модулярная функция [гл. з
Глава 3
МОДУЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ
§ 1. Модулярная группа
Под SL2 будем понимать группу B х2)-матриц с определите-
определителем 1. Обозначим SL2(R) множество тех элементов группы SL2i
которые имеют коэффициенты в кольце R. В качестве R обычно
берут Z, Q, R. Назовем группу SL2(Z) модулярной группой.
Если L—решетка в С, то всегда можно выбрать такой ее
базис L = [<»!, со2], что со1/со2 = т лежит в верхней полуплоскости,
т. е. имеет положительную мнимую часть. Любые два базиса
решетки L можно перевести друг в друга с помощью целочислен-
целочисленной матрицы с определителем ±1, но если нормализовать эти
базисы таким образом, чтобы выполнялось указанное выше
условие, то определитель матрицы будет равен 1. Другими сло-
словами, матрица должна принадлежать SL2(Z). Обратно, действуя
на базис с указанным свойством матрицей из SL2(Z), мы снова
получим базис с таким же свойством. Это устанавливается с по-
помощью следующих простых вычислений. Если матрица
лежит в GL2(RI т.е. является вещественной неособой матрицей,
и если Im (г) > 0, то
Tm faz+b\ __ (ad —be) Im (г)
im[cz+dJ \cz+d\* '
Обозначим § верхнюю полуплоскость, т. е. множество
комплексных чисел г с Im (г) > 0. Если а—матрица указанного
выше вида из GL$ (R) (т. е. а имеет положительный определи-
определитель), то мы видим, что элемент
rf(y\ az+b
a (z) = —г--г
4 ' cz+d
также лежит в $, и непосредственная проверка показывает,
что сопоставление
(a, z)*->a(z)=*az
определяет действие группы GLt (R) на полуплоскости $, т. е.
является ассоциативным, и единичная матрица действует тож-
тождественным образом. Все диагональные матрицы al *) (a 6 R)
действуют при этом тривиально, в том числе матрицы ± /. Сле-
Следовательно, мы имеем действие на ,ф группы SL2(R)/±I. Далее,
*) Здесь / — единичная матрица.— Прим. перев.

§1] МОДУЛЯРНАЯ ГРУППА 33
для agSL2(R) имеет место часто употребляемая формула
Если /—мероморфная функция на Q, то функция /оа, опреде-
определенная равенством
также является мероморфной.
Положим r = SL2(Z), так что Г является дискретной подгруп-
подгруппой группы SL2(R). Под фундаментальной областью D для
группы Г в ^ будем подразумевать подмножество точек из §
такое, что каждая орбита группы Г имеет хотя бы один элемент
в D и два элемента множества D принадлежат одной и той же
орбите тогда и только тогда, когда они лежат на границе D.
Теорема 1. Пусть D состоит из всех г 6 «?) таких, что
— l/2<Re(e)<l/2 и |z|>l.
Тогда D есть фундаментальная область для Г в полуплоско-
полуплоскости <§. Пусть, далее,
1 1\ с /О —Г
.0 1 и S= 1 о,
Тогда матрицы S, Т порождают Г.
Доказательство. Область D изображена на рис. 3.1.
На этом рисунке указана точка i, а также точки, в которых
вертикальные прямые пересекаются с окружностью радиуса 1.
Точка слева есть
т. е. кубический корень из 1.
Пусть Г' — подгруппа группы Г, порожденная элементами S
и Т. Заметим, что —I=S2 принадлежит Г'. Для заданного
г(Е,<р итерация Т показывает, что орбита точки z под действием
степеней Т содержит элемент, действи-
действительная часть которого лежит в интер-
интервале [—1/2, 1/2]. Далее, формула, даю-
дающая преобразование мнимой части под
действием группы Г, показывает, что мни-
мнимые части любой орбиты Тг ограничены
и стремятся к 0 при max(|c|, |d|), стре-
стремящемся к бесконечности. Следовательно,
в орбите Г'г можно выбрать элемент w, у
которого мнимая часть максимальна. Если
| w | < 1, то элемент Sw ?Yrz будет иметь
большую мнимую часть, и значит, | w | ^ 1. Рис. 3.1.

34
модулярная функция
[ГЛ. 3
Теперь докажем, что если г, z'?D и г, г' принадлежат
одной и той же орбите группы Г, то эти элементы приводят
к следующей очевидной ситуации: или они лежат на вертикаль-
вертикальных сторонах и переводятся друг
в друга сдвигами на 1 или —1, или
же они лежат на дуге окружности,
представляющей собой дно области
D, и переводятся друг в друга с по-
помощью S (рис. 3.2). Докажем так-
Рис- 3-2- же, что они принадлежат одной и
той же орбите группы Г'. Если
а (г) «в г', то задача заключается в том, чтобы определить а и,
в частности, показать, что а принадлежит Г'. Пусть Im (zr) ^
^1т(г) и г'=а(г), где
а Ь
с d
Умножая а, если это необходимо, на матрицу —/, можно счи-
считать, что с^О. Из формулы для мнимых частей видим, что
и так как Im (z) ^ У3/2, то \сУЗ/2\^.1, откуда с = 0 илис=1.
Если с = 0, то
ьу
и поскольку az?Dy то 6 = ±1, так что приходим к очевидной
ситуации.
Если с=1, тогда d = 0 или ^=±1. Если d = 0, то
а —1
1 0
*TaS
a(z)=a—1/z.
В этом случае | z \ = 1, так что Sz также лежит на дуге окруж-
окружности в области D, и тогда z должна быть концевой точкой этой
дуги, т. е. г = р или z = Sp. Кроме того, ясно, что а=±1. Если
d = ±l, тогда |z + d|^l, и мы снова очевидным образом имеем
z = p или z = Sp. Пусть г = р. Если d=l, то
и а(р) = р или а
a a—\
Ф+1. Пусть а(р) = р+1. Тогда
1
Но —1/(р+1) = р и тогда a = TSTy так что приходим к одному
из «очевидных» случаев. Рассмотрение других возможных случаев
проводится аналогично.

§2] АВТОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ СТЕПЕНИ 2k 35
Таким образом, мы показали, что каждая орбита группы,
порожденной элементами S, Т, имеет в D хотя бы одну точку,
и если г, г' лежат в D и г'=*а(г) при некотором а?Г, то на
самом деле а?Г', и мы имеем «очевидную» ситуацию.
Покажем теперь, что элементы S, Т порождают группу Г.
Пусть абГ и пусть z—внутренняя точка области D. Тогда
существует элемент а' ? Г' такой, что a'az ? D. Поскольку точка z
не лежит на границе D, то из сказанного выше следует, что
<х'аг = г. Снова, поскольку z не лежит на границе, то а'а=чь/
и тогда а принадлежит Г'. Теорема доказана.
Замечание, Мы имеем, что S2 = (STK=i—/ и что {S},
\ST\ являются группами изотропии точек i и р соответственно*).
Для всех других точек, не лежащих на орбите точек i или р,
группа изотропии есть ±/. Это сразу же следует из рассужде-
рассуждений, которые были использованы при доказательстве теоремы.
§ 2. Автоморфные функции степени 2k
Пусть снова «!р—верхняя полуплоскость, В>0 и «?)л—мно-
«?)л—множество комплексных чисел z с Im (z) > В. Отображение
является голоморфным отображением $в в проколотый круг,
т. е. в круг с выкинутым началом координат. Кроме того, если
>$>В/Т—фактор-пространство $в по модулю сдвигов на целые
рациональные числа (по существу цилиндр), тогда q индуцирует
аналитический изоморфизм между $В/Т и этим проколотым кру-
кругом (проверка тривиальна, так как для z = x-{-iy имеем е2ли =
— e2nixe-2nyy Следовательно, любая мероморфная функция / на
<§я, имеющая период 1, т. е. инвариантная относительно Т,
индуцирует мероморфную функцию /* на проколотом круге. Не-
Необходимым и достаточным условием мероморфности /* в точке О
является существование такого положительного целого N, что
функция /* (q) qN ограничена в малой окрестности этой точки.
Если это так, то /* имеет степенное разложение
f(q)nq
-N
Будем говорить, что функция / мероморфна (соответственно
голоморфна) на бесконечности, если f* мероморфна (соответст-
(соответственно голоморфна) в точке 0. Допуская вольность в обозначе-
обозначениях, запишем
/U7
- N
*) Часто группу изотропии точки г называют стационарной группой
этой точки.— Прим. перге.

36 модулярная функция [гл. з
и назовем этот ряд q-разложением функции f в бесконечности.
Коэффициенты сп называются коэффициентами Фурье функции /.
Если с_мФ§, то назовем —N порядком функции f в бесконеч-
бесконечности и обозначим его vTO(/). Кроме того, для любого
порядок функции / в точке z обозначим vz(f).
Пусть ЭД1—поле мероморфных функций на ^ и пусть
(
=
\
является элементом группы T = SL2(Z). Для каждого целого
J0 и для /?ЯК положим
Легко видеть, что Тк(а) определяет действие группы SL2(Z)
на Ш. Назовем функцию / автоморфной функцией веса 2k или
степени 2k, если Tk(a)f = f для всех а^Г и если / мероморфна
на бесконечности. Заметим, что сдвиг на 1 оставляет / инвариант-
инвариантной и тогда данное определение имеет смысл. Условие Tk(a)f=f
можно также записать в виде
Замечание. Функцию / веса 2k часто называют также
функцией веса k. Последнее более предпочтительно в случае,
когда вместо условия
рассматривается эквивалентное условие
означающее инвариантность относительно Г дифференциальной
формы / (г) (dz)k.
Теорема 2. Пусть f—автоморфная функция веса 2k и
О. Тогда
voo(/)+~vp(/) + lv/(/)+ Е М/)=4,
РФ(, р
где последняя сумма берется по всем точкам Р верхней полу-
полуплоскости по модулю Г, не принадлежащим орбитам точек
р и i.
Доказательство. Вычислим интеграл от функции fIf
по контуру, указанному на рис. 3.3, а, но слегка измененному,
как показано на рис. 33, б, при помощи дуг малых окружностей,
описанных вокруг возможных полюсов функции /7/ на границе
фундаментальной области. Чтобы упростить изложение, дадим
доказательство в предположении, что функция / не имеет на гра-
границе других нулей или полюсов, кроме i или р, которые наибо-

§2] АВТОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ СТЕПЕНИ 2k
лее коварны. Имеем
37
Вычислим теперь интегралы по верхней части контура, боковым
сторонам, дугам вокруг угловых точек, дуге вокруг i и по основ-
основным дугам нижней окружности. При замене z\—>e2niz верхний
в'с с'в
Рис. 3.3.
отрезок между Е и А переходит в окружность с центром в на-
начале координат, которая обходится по часовой стрелке. Следо-
Следовательно, интеграл по верхнему отрезку дает
Интегралы по вертикальным сторонам уничтожаются в силу
периодичности функции f.
Интеграл по дуге окружности с центром в р равен
Переведем точку р в 0 и предположим, что мы рассматриваем
функцию, которую в малой окрестности начала также обозначим
/ и которая имеет степенное разложение
/ B) =CZ»A + ...)•
Тогда
= у + голоморфные члены.
Если радиус окружности стремится к 0, то интеграл от голо-
голоморфных членов также стремится к 0. Далее, дуга ВВГ обхо-
обходится по часовой стрелке, и центральный угол, соответствующий
этой дуге, стремится к зх/2, когда радиус стремится к 0. Зна-
Значит, рассматриваемый интеграл равен —т/6. Аналогичный резуль-

38 модулярная функция [гл. з
тат получается при интегрировании по дуге окружности с цент-
центром в точке —р. Следовательно, вклад от этих двух дуг равен
-4vp</).
Такие же рассуждения показывают, что вклад от интегриро-
интегрирования по дуге малой окружности с центром в i равен
Осталось вычислить интегралы по основным дугам
С D
S+J-
Б' С
Отображение S переводит дугу В'С в дугу DC. По определению,
и тогда
^ = Г (Sz) Jr = z2T (z) + 2fe«"V (z).
Так как
1 f'(Sz) f'(z) . 2k
z2 f (Sz) f (z) "T" z '
то мы видим, что один член интеграла по дуге В'С уничтожается
интегралом по дуге DC, а другой член
с
в пределе при В' —> р и С —*» t дает величину
^ —А
12 6 *
Учитывая все сказанное выше, получаем утверждение теоремы.
Примеры строятся на основе следующего замечания.
Имеется биекция между однородными функциями решеток
степени —2k, т. е. удовлетворяющими условию
G (XL) = Х-*Щ (L), к ? С,
и функциями g на $, удовлетворяющими условию

§2] АВТОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ СТЕПЕНИ 2k 39
Эта биекция получается следующим образом. Для данной
однородной функции G степени —2k положим
где под G (г, 1) понимается функция на решетке [г, 1]. Тогда
сразу же получаем
Обратно, для данной функции g, удовлетворяющей этому
условию, определим
G(z, 1) = <
и для любой решетки L=[co1, co2] положим
G (L) =z(d22kg (оI/(д2).
Тогда снова сразу же получаем, что G (kL) = 'k~2kG (L).
Тот факт, что G является функцией решеток, можно записать
в «вертикальных обозначениях» как
co2
для всех a?SL2(Z).
Удобно использовать один и тот же символ для функции
двух переменных и для функций одной переменной, так что будем
писать
Автоморфная функция веса 2k называется автоморфной фор-
формой*) (веса 2k)f если она голоморфна на JQ и на бесконечности.
Примеры, которые мы сейчас приведем, будут давать функции
этого типа. В следующем параграфе мы построим автоморфную
функцию веса 0, которая голоморфна на <§, но не голоморфна
в бесконечности.
Рассмотрим функции
Тогда функция
*) Автоморфные формы (функции) относительно SL2 (Z) часто называют
также модулярными формами (функциями).— Прим. перев.

40 модулярная функция [гл. з
очевидно, голоморфна на «§, и формальная подстановка г = оо дает
Позже мы получим #-разложение для функции Gk и увидим,
что Gk голоморфна на бесконечности и принимает там указанное
выше значение. Следовательно, Gk является автоморфной формой
веса 2k и отлична от нуля в бесконечности.
Пусть Mk—множество автоморфных форм веса 2k. Тогда Mk
является векторным пространством над С. Ясно, что
Следовательно, прямая сумма
может рассматриваться как градуированная алгебра, структура
которой выясняется в следующей теореме.
Теорема 3. Функции g-2 = 60s4 и g%= 140s6 алгебраически
независимы, и
k[gtg,l
Доказательство. Заметим, что g2, g3 порождают под-
подалгебру рассматриваемой градуированной алгебры. Чтобы изу-
изучить Мк, применим теорему 2 и заметим, что для f?Mk, [0
все порядки в левой части формулы
Рфи р
неотрицательны. Будем действовать систематически.
& = 0. Правая часть указанной формулы равна 0, и тогда все
члены в левой части также должны равняться 0. Если f^M0 и
/=7^=0, то / не имеет нулей на § и в бесконечности. Все кон-
константы содержатся в Мо, и если с = /(оо), то функция g* = /—с
равна нулю на бесконечности. Но тогда g тождественно равна
нулю и, следовательно, М0 = С.
k=\. Правая часть формулы равна 1/6. Из рассмотрения
левой части следует, что равенство возможно тогда и только
тогда, когда / = 0, так что Mj=0.
k = 2. Докажем, что M2 = (g2) является 1-мерным векторным
пространством, порожденным функцией g2. Пусть f^M2 и /^0.
Правая часть указанной выше основной формулы равна 1/3. Это
совместимо с левой частью лишь в одном случае, когда все члены
левой части (за исключением ^-vp(/)J равны 0. В этом случае

2] АВТОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ СТЕПЕНИ 2k 4I
vp(/)=l и функция / не имеет других нулей. В частности, мы
доказали:
функция g2 имеет только один нуль р, и его порядок равен 1.
Далее, функция /—cg2 при некоторой константе с имеет
нуль на бесконечности и лежит в М2. Тогда она должна быть
тождественным нулем и, следовательно, f = cg2. Этим утвержде-
утверждение доказано.
й = 3. Докажем, что M3 = (g3). Для f?M3y f=?0, правая
часть основной формулы равна 1/2. В этом случае имеется един-
единственная возможность, когда v,- (/) = 1 и / не имеет других нулей.
В частности,
функция g3 имеет только один нуль i, и его порядок равен 1,
Те же аргументы, которые приводились ранее, показывают, что
f-*cg3 при некоторой константе с.
k = \. Докажем, что M4 = (g|). Правая часть формулы для
/g7W4, /=7^=0, равна 2/3. В таком случае vp(/) = 2 и / не имеет
других нулей. Отсюда, как и ранее, следует, что f = cg\.
k = b. Докажем, что M5 = (g2g3). В этом случае рассуждения,
аналогичные тем, которые были использованы ранее, показы-
показывают, что функция /?/W5, /=7^=0, имеет два нуля i, р порядка 1
и не имеет других нулей, а также что f = cg2g3.
k^6. Напомним, что функция A = gi—27gl не имеет нулей
на б и что Ag7W6. Правая часть основной формулы при ft = 6
равна 1, и это показывает, что vto (А) = 1, т. е. А имеет в беско-
бесконечности нуль порядка 1.
Далее G6g7W6 и G6(oo)^0. Если /?М6, то существует такая
константа с, что /—cG6 обращается на бесконечности в нуль.
Тогда
и мы видим, что f = bA-{-cGe при некоторой постоянной Ь. Тот
же самый прием совместно с индукцией показывает, что для
6
Индукцией по k можно доказать, что любая функция f€.Mk
является многочленом от g2 и g3. Это уже было показано для
й^5. Если &>6, то положим k = 2r или k = 2r+l и вычтем
из / функции cg2 или cgr2~1g3 с такой константой с, чтобы полу-
полученная разность являлась функцией, обращающейся в нуль на
бесконечности. Тогда
или
А
лежат в Mk_Gy и утверждение следует по индукции.
Чтобы убедиться в том, что мы получаем формальное кольцо
многочленов, остается установить алгебраическую независимость

42 модулярная функция [гл. з
функций g2 и g3. Из свойства однородности следует, что не су-
существует нетривиальных линейных соотношений между элемента-
элементами из различных Мк, т. е. если fly ..., fm—функции различных
весов, то они линейно независимы над полем комплексных чисел.
Предположим, что g2y gs связаны некоторым алгебраическим
соотношением. Тогда можно считать, что входящие в это соотно-
соотношение одночлены имеют один и тот же вес. Если g2 входит в
это соотношение в чистой степени, то соотношение имеет вид
где Р—некоторый многочлен. Но это невозможно, так как в
точке i имеем g3(i)=0 и g2(i)?=®- Аналогичным образом по-
показывается, что g3 также не может входить в соотношение в
чистой степени. Стало быть, .каждый одночлен должен содержать
g2, и после сокращения на g2 мы приходим к соотношению
меньшей степени. Окончание доказательства проводился теперь
по индукции.
Изложение этого параграфа следует изложению Серра [К 10] *),
§ 3. Модулярная функция /
Определим модулярную функцию /:
/=1728/, где J^gi/A.
Множитель 1728 введен для того, чтобы некоторые степенные
ряды, которые будут рассмотрены позже, имели целые коэф-
коэффициенты. Заметим, что 1728 = 2633.
Из свойств g2, g3, установленных в § 2, видим, что / яв-
является автоморфной функцией веса 0, Далее, так как она голо-
голоморфна и отлична от нуля на §, то / имеет в бесконечности
полюс порядка 1. Позже мы докажем, что вычет функции / в
^-разложении равен 1.
Теорема 4. Отображение /: Г\^5—>С биективно.
Доказательство. Применим основное соотношение тео-
теоремы 2 с й=0 к функции /—с, где с?С. Правая часть этого
соотношения есть 0, и так как /—с имеет простой полюс в
бесконечности, то
Все члены в левой части неотрицательны, и равенство выпол-
выполняется тогда и только тогда, когда /—с имеет единственный
нуль г в Г\<?). Кратность этого нуля равна 1, если г не лежит
на орбитах точек р, f, и равна 2 и 3 в точках i и р соответ-
соответственно. Этим теорема доказана.
*) Есть русский перевод: С е р р Ж. П. Курс арифметики. —М.: Мир, 1972.
— Прим. перев.

§з] модулярная функция / 43
Можно рассматривать / как функцию решеток в соответствии
с общей схемой, дающей преобразование однородных функций
двух переменных в функции одной переменной. Поскольку вес
функции / равен нулю, для любой решетки L = [co1, co2], у ко-
которой оI/оJ = т лежит в §, можно записать
Если L = XM для некоторого комплексного числа ХфО, тогда
j(L) = j(M). Но тот факт, что / дает биекцию между Г\.§ и С,
может быть установлен в однородной форме, и поэтому спра-
справедливо обратное утверждение.
Следствие 1. Пусть L, М—решетки в С. Тогда j (M) =
= j (L) в том и только в том случае, если решетки L и М
эквивалентны.
Из теоремы 6 гл. 1, § 4 видно, что условие следствия 1
эквивалентно тому, что C/L и С/М изоморфны. Следовательно,
/ дает желаемое аналитическое выражение, параметризирующее
классы изоморфных эллиптических кривых (комплексных торов).
Следствие 2. Пусть с2, cs—комплексные числа, удовлет-
удовлетворяющие условию
с1—27с1Ф0.
Тогда существует решетка L такая, что
Доказательство. По теореме 4 существует т?<?), для
которого
Пусть М = [т, 1]. Если с2 = 0, то /(т) = 0 и т = р. Выберем та-
такое оу?С*, что w~Qg3(M) = c3=^0, и положим L = wM. Тогда
?2 (L) = w~*g2 (M) = w-*g2(p) = c2 = 0,
и в этом случае следствие доказано.
Если с2ф0, то выберем w?C* таким, чтобы w~*g2(M)=c2f
и положим снова L = wM. Тогда g2(L)=c2 и, следовательно,
3 (I) с3
с\ — 27сз g2 (L) — 27g3 (L) c2 — 27g3 (L)
Отсюда

44 модулярная функция [гл. з
и
В случае необходимости заменим w на iw. Такая замена не
меняет g2J но меняет g3 на —^з- Тогда L будет той решет-
решеткой, для которой g2, g3 имеют желаемые значения. Следствие до-
доказано.
Этот результат показывает, что произвольная эллиптическая
кривая
y2 = 4x3—с2х—св
с отличным от нуля дискриминантом всегда может быть пара-
параметризована эллиптическими функциями. Действительно, можно
выбрать такую решетку L, что
и тогда параметризация кривой осуществляется соответствующими
функциями Вейерштрасса ?° и jf'.
Если Л—эллиптическая кривая, то обозначим jA значение
/(L) для любой решетки L такой, что Aq и C/L изоморфны. Это
значение не зависит от выбора L и называется ^инвариантом кри-
кривой. Заметим, что указанное значение рациональным образом
выражается через коэффициенты уравнения, определяющего кри-
кривую А. Теперь можно переформулировать следствие 1 следующим
образом.
Следствие 3. Две эллиптические кривые А и В изоморфны
тогда и только тогда, когда /л = /в.
Замечание. Пусть т таково, что / (т) трансцендентно над
Q. Тогда эллиптическая кривая с инвариантом / (т) необходимо
имеет тривиальное кольцо эндоморфизмов. В самом деле, из
гл. 1, § 5 известно, что если кривая обладает нетривиальными
эндоморфизмами, то число т должно быть минимальным квадра-
квадратичным. Таких чисел т имеется лишь счетное множество, в то
время как множество трансцендентных комплексных чисел над
Q несчетно. Пусть эллиптическая кривая А± с трансцендентными
инвариантом ]\ определена над полем К19 конечно порожденным
над Q, и кривая Л2 с трансцендентным инвариантом /2 определена
над полем К2. Зададим изоморфизм a: Q (]\) —->¦ Q (/2) путем со-
сопоставления элемента jt элементу /2 и распространим о на Кг.
Тогда кривая Л? имеет инвариант /? = /2 и> следовательно, Л?
изоморфна Л2. Расширяя, если это необходимо, Кг до большего
поля, можно считать, что все эндоморфизмы кривой Ах опреде-
определены над Кг- Тогда End (Л?)==Епс1 (Л^0, и в таком случае кри-
кривые Л2 и Аг имеют изоморфные кольца эндоморфизмов. Это до-
доказывает замечание.

§ 1] РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ Gk, g2, g3, АИ/ 45
Глава 4
РАЗЛОЖЕНИЯ ФУРЬЕ
§ 1. Ряды Фурье для (??, g2, g3, А и j
В этом параграфе мы получим обещанные разложения в бес-
бесконечности для Gk, Аи/.
Будем исходить из бесконечного произведения для синуса:
Взятие логарифмической производной дает
= _1_ у Г_!_
z ^ lz п '
sin яг z *-* \z — n l z-{-n]
Ho cos до = -—^— , sin до = -—-^r—, откуда
cos nz = 4- e-inz (e™iz+ 1),
Yie~izlz (e2niz— 1).
Положим
Тогда для каждого т, лежащего в верхней полуплоскости §, имеем
00
cos ят . о1 +1 . , 2т . о . V^ v /o\
sin ят <7—1 ' ^—1 ^ ^ v '
Многократное дифференцирование выражений A) и B) дает
оо оо
EB^)ftvft-V C)
/1= - oo V ' У V=l
и из определения
tn, ti
получаем, суммируя отдельно при m = 0 и i
00 00
Ш=1 П= - оо
т-\ v=l
Положим ok (n) = 2jdk.

46 РАЗЛОЖЕНИЯ ФУРЬЕ [ГЛ. 4
Предложение 1. Имеем
оо
Gk (т) = 21 Bft) + 2 Jg^ ? G2ft_x (n) q». D)
V ' /2=1
Наиболее интересные частные случаи дают:
4 E)
24 F)
где
Х=2<х3(п)<Г и Г=2а,(п)<7".
Здесь мы воспользовались стандартными значениями
СD) = я4/90 и СF)-я6/945.
В таком случае
^. G)
Мы утверждаем, что все коэффициенты в ^-разложении выраже-
выражения, заключенного в квадратные скобки, делятся на 2633 = 1728.
Сразу же видно, что
и требуется доказать, что
5X + 7F = 0(mod4), 5Х + 7Г = 0 (mod3).
Для этого достаточно показать, что
2 d3 = 2 db (mod 4), 2 d3 = 2 'd* (mod 3).
d\n d\n d\n d\n
Но для всех d имеем
этим утверждение доказано.
Таким образом, ^-разложение для А имеет вид
(8)
где все коэффициенты являются целыми рациональными. Отсюда
ясно, что ^-разложение для / также имеет целые рациональные
коэффициенты, а именно
+ Zaj*, (9)
п=0

§ 2] РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА
где ап ? Z. Первые члены этого разложения имеют вид
/ = —+ 744+196 884</+...
§ 2. Ряд Фурье для функции Вейерштрасса
Для Lt = [t, 1] запишем
tf{z, Lx) = tf(z; т, 1) = ?>(*; т).
Из соотношений A) и B) имеем
/1=1 V VW/
где qw = e2Sliw, и из определения |f-функции находим
; т) = iF+2^ [^ (г_тт_яJ — (тт+лJ J =
/9ттЛ2
—2
Напомним, что ?B) = jt2/6, и заметим, что
Для Im (т) > 0 имеем | qx \ < 1, и тогда в области
\Чх\<\йг\<ЧЯх\
получаем первое q-разложение для ^-функции:
Предложение 2 Имеем
В этом разложении все коэффициенты, за исключением 1/12,
целые рациональные.
С другой стороны, можно воспользоваться второй формулой
в правой части A0). Применяя ее к формуле A1), видим, что
одна из сумм имеет вид
V
4i
Г (jxqz i Их/Яг 1
iL(i-C^Ji"(i-^2JJ '

48 РАЗЛОЖЕНИЯ ФУРЬЕ [ГЛ. 4
Умножая во втором члене числитель и знаменатель на q^mq\ и
производя аналогичные простые преобразования другой двойной
суммы в формуле A1), мы приходим ко второму выражению для
q-разложения ^-функции:
Предложение 3. Имеем
Отсюда, дифференцируя, получаем
BшK0 v"' J~
Используя разложение типа A2) или же проверяя это не-
непосредственно, можно показать, что указанные вторые формулы
справедливы для всех г б С при каждом фиксированном т.
Формулы для g2 и g3, найденные в § 1, при более кратком
обозначении q = qx могут быть записаны в аналогичной форме.
Предложение 4. Имеем
л=1
Из разложений для g\j, g3 и для функции Вейерштрасса мы
тривиальным образом получаем разложение для функции Вебера.
Предложение 5. Пусть
fo(z, T) = -2'3»g'(yVfr т, 1).
Пусть, далее, q = qx и w = qz — emiz. Тогда
п^»»(а;» + а;-»-2) ,
—\ J
степенной ряд с целыми рациональными коэффициентами,
начинающийся с q.
Возьмем L = [2mr, 2ni]. Тогда, зная из гл. 1, § 4, как ft0,
if» ^2> ёГз преобразуются под действием изоморфизмов, мы ви-
видим, что указанные выше выражения фактически дают
gt(L), ga(L), f(z,L), ?'{z,L).

§3] ЧИСЛА БЕРНУЛЛИ 49
Поэтому, если положить
g2 = g2(L) и g3 = g3(L),
то эллиптическая кривая
параметризуется функциями, имеющими второе разложение.
Кроме того, так как отображение
задает гомоморфизм (который сюръективен) комплексной плоскости
С в эллиптическую кривую и так как формула для f B, т) за-
зависит только от qz, отсюда следует, что формулы из Предло-
Предложения 3 дают гомоморфизм мультипликативной группы комплекс-
комплексных чисел на комплексные точки эллиптической кривой. Для
выяснения алгебраического смысла этих фактов следует ознако-
ознакомиться с параметризующей Тейта в гл. 15.
§ 3. Числа Бернулли
Этот параграф нигде не будет использован в дальнейшем и
включен в книгу лишь для удобства читателя при чтении дру-
других источников, касающихся эллиптических функций и L-рядов.
В частности, в этом контексте особенно часто используется тео-
теорема фон Штаудта.
Определим числа Бернулли Вп с помощью разложения в сте-
степенной ряд
Из соотношения
n=0
п=0
получаем для чисел Бернулли рекуррентную формулу
Во , Вг . , Дв-1 __fl> если п=1>
п\о\^"(п~\)\\\^" '•" ^п^ — 1)! |0, если п>1.
Из этой формулы Во = 1,
31-\-B0 = 0J откуда Вг = —1/2,
J1-j-6o = O, откуда В2— 1/6,
и т. д.
Из тождества
Z , Z ;
2 \е* — \ 2 P*/2_e-z

50 РАЗЛОЖЕНИЯ ФУРЬЕ [ГЛ. 4
бидно, что функция
ez— 1 ' 2
является четной и, следовательно, имеет в разложении в сте-
степенной ряд только члены с четными номерами. Это означает,
что все нечетные числа Бернулли, за исключением В1У равны 0.
Первые числа Бернулли таковы:
В10 = 5/66, В1а = —691/20730, В148 = 7/6.
Имеем
GO
^2и 2^п
2 g?/2_g-z/2 *-* Bл)!
и, заменяя z на 2шг, получаем
Сравнивая теперь это разложение с полученным ранее разложе-
разложением для п ctg nz, видим, что
Теорема фон Штаудта. Имеем
В =— V -
Доказательство. Пусть D = d/dz. Тогда
_П« / —log (I— (I— ez)
= о~ V 1-е*
Раскладывая теперь log в степенной ряд и дифференцируя
почленно, находим
п+1 л+1
где
Г)« /1 pz\k-l I
Лемма. Если кф^ и k составное, то k делит Ak.
Доказательство. Пусть k — ab и 2^a^Vk. Запишем
A _e*)*-i = A —ez)a A — ez)b (I _^)eb-e"b-1.
При этом аЬ—а—Ь—1^0. Действительно, функция y = k—х —
— — — 1 имеет максимум при x = Vk и минимум (k — 6)/2 при

§3] ЧИСЛА БЕРНУЛЛИ 51
х = 2, который неотрицателен при k^6. Дифференцируя про-
изведение
ll
видим, что ненулевой вклад при г = 0 появится в случае, когда
по меньшей мере один раз дифференцируются множители A—ez)a
и A—ez)b. Но эти члены делятся на ab = kt и этим лемма
доказана.
Чтобы вычислить ?n(modZ), рассмотрим теперь Ак для тех
значений, которые были исключены.
Если & = 4, то нужное нам значение находим при помощи
разложения
A— ezy=zl—3
и дифференцирования. При я=1 или при п четном получаем
Л^ = —3 + 3.2*—3* = 0 (mod 4),
и в этих случаях никакого вклада в 5w(modZ) нет.
Если же k = p является простым, не превосходящим я+1,
то запишем
n = (p—l)q + r, 0<г<р—1.
Тогда
A) (
(Т)
i=0 V J i =0
и, следовательно,
если
-1' если г=0-
При г = 0 получаем вклад —l(modZ). При г>0 имеем
и в таком случае Ар = 0. Этим теорема фон Штаудта доказана.
Глава 5
МОДУЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ
Эта глава посвящена изучению /-инвариантов изогенных
эллиптических кривых, что равносильно изучению /о а, где
а—рациональная матрица. Вначале нам потребуются некоторые
алгебраические леммы, касающиеся целочисленных матриц с по-
положительным определителем.

52 МОДУЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ [ГЛ. 5
§ 1. Целочисленные матрицы с положительным
определителем
Пусть AfJ(Q), М% B) означают множества Bх2)-матриц
с элементами из Q, Z соответственно и с положительным опре-
определителем. Наряду с этим будем также употреблять запись
МЦО) = GLJ(Q). Если
d)
есть матрица из A1J(Z), то назовем ее примитивной, если
(a, ft, с, d) = 1, т. е. если a, ft, с, d взаимно просты. Множество
целочисленных матриц с определителем п обозначим Д„, а его
лодмножество, состоящее из примитивных матриц, обозначим А*.
Ясно, что умножение слева или справа на элементы из Г = SL2 (Z)
отображает множество А* в себя.
Так как j о а== j оуа для всех у€Г, то это приводит к изу-
изучению смежных классов Га для agA*.
Теорема 1. Группа Г действует транзитивно слева на
правые смежные классы и транзитивно справа на левые смежные
классы множества А* по группе Г.
Доказательство. Пусть а—примитивная целочисленная
матрица указанного выше вида и пусть L = [t, 1] — решетка
в комплексной плоскости С. Тогда M = [ar-\-by cr-\-d] является
подрешеткой решетки L и по теореме об элементарных делителях
существует такой базис {©х, ©2} решетки L и такой базис
{©1, щ) решетки М, что
причем е1\е2. Далее, из условия (a, ft, с, d) = l следует, что
€1=1. Это означает, что существуют элементы у, у' б Г такие, что
1 (Г
О П;
и, следовательно, А* = ГаГ. Кроме того, Г действует транзитивно
на смежные классы, и мы получаем желаемый результат.
Укажем теперь простое множество представителей для левых
смежных классов множества А* по группе Г. Для заданной мат-
матрицы а указанного выше вида всегда можно найти такую матрицу
у 6 Г, что
Например, возьмем такие взаимно простые г, w gZ, что za-{-wc=Oi
и затем выберем такие *, y?Z, что xw—гг/=1. Тогда в ка-
качестве у можно взять матрицу
у= и
г V z w

§П целочисленные матрицы с det a > 0 53
Предположим теперь, что матрица а является треугольной,
т. е.
-с:)-
Так как
1 k\ fa b\ _ fa b+kd\
0 \) \Ъ d)-[0 d )'
то каждый левый смежный класс содержит в качестве предста-
представителя одну из матриц а с 0^&<d. Кроме того, легко про-
проверить, что элементы
fa b"
VO
с <2>0, 0^6<d и ad = n лежат в различных смежных клас-
классах множества А*.
Обозначим -ф (ft) число левых смежных классов множества А*.
Если п = р есть простое число, то г|)(р) = /?+!> и в этом случае
представителями смежных классов будут матрицы
(о 0 и lo pj.
где 0<i<p.
В общем случае имеем
Хотя мы и не будем пользоваться этим результатом, все же
дадим его простой вывод.
Требуется сосчитать число матриц указанного выше нормали-
нормализованного вида. Для данного d число a = n/d определено одно-
однозначно и при е = (a, d) имеется — ф (ё) *) возможных значений
для Ь, так что
d\ n
где e = (d, n/d).
Функция г|) мультипликативна (в смысле элементарной теории
чисел), т.е. если ft = ft1ft2 и (ftx, я2)=1, то
В самом деле, d^d^, е^=еге2 и, следовательно,
*) Здесь ф (т)—функция Эйлера, указывающая число положительных
целых <;т, взаимно простых с т.— Прим. перев.

54 МОДУЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ [ГЛ. 5
Таким образом, изучение функции тр сводится к случаю, когда
п = рг есть степень простого числа. При d=l, е=1 получаем
в сумме для i|) (рг) вклад 1. При d = pr и е = 1 этот вклад
равен рг. Следовательно,
v=l
r-\
v=l
и желаемая формула следует из свойства мультипликативности.
§ 2. Модулярное уравнение
В этом параграфе под Т-модулярной функцией или просто
под модулярной функцией будем подразумевать автоморфную
на <!р функцию веса 0 или, что то же самое, мероморфную функ-
функцию на <§, инвариантную под действием Г и имеющую ^-разло-
^-разложение в бесконечности.
Теорема 2. Пусть f есть Т-модулярная функция, голо-
голоморфная на $) и имеющая q-разложение
Тогда f является многочленом от j с коэффициентами, принадле-
принадлежащими модулю над 2, порожденному коэффициентами Фурье сп.
Доказательство. Запишем функцию / в виде
qM
члены высшей степени,
так что функция /—c_MjM является голоморфной на ^ и имеет
^-разложение, начинающееся с полярного члена самое большее
порядка М—1. Повторяя эту процедуру несколько раз, можно
вычесть из / многочлен от /, чьи коэффициенты лежат в модуле
над Z, порожденном коэффициентами сп, и в результате получить
модулярную функцию, голоморфную на ф и равную нулю на беско-
бесконечности. Но такая функция должна быть тождественно равной
нулю. Утверждение доказано.
Пусть agAlJ(Q) и пусть т—такое положительное целое
число, что та является целочисленной матрицей. По свойству
однородности имеем
/ о та = j о а,
и тогда изучение / о а для рациональных матриц а сводится
к изучению / о а для целочисленных матриц а. Кроме того, из
любой целочисленной матрицы а можно вынести наибольший
общий делитель ее компонент, и следовательно, достаточно огра-
ограничиться рассмотрением примитивных матриц а.

§ 2] МОДУЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ 55
Пусть
К-}, 1<*<1Ф),
являются представителями правых смежных классов множества А*
по группе Г. Тогда функции / о at переставляются транзитивно
под действием группы Г, где, как обычно, действие Г на функ-
функцию / задается как
Положим
'Ф(п)
11
где X—независимая переменная. Коэффициенты многочлена Фп(Х)
являются элементарными симметрическими функциями от / о ah
и, следовательно, они голоморфны на «§, инвариантны под дейст-
действием группы Г и мероморфны в бесконечности. Чтобы убедиться
в справедливости последнего свойства, заменим т на
ах + Ь
d
в ^-разложении функции / и заметим, что в результате полу-
получается степенной ряд от q\ld. Отсюда следует, что каждая функ-
функция / о а. возрастает в бесконечности самое большее как степень q.
Кроме того, коэффициенты при степенях q1^ в разложении
функции joat лежат в Z [?.*], где tid = e27lild. В самом деле, если
где Р — степенной ряд с целыми рациональными коэффициентами,
и если
ТО
a/df-b
±d
Из теоремы 2 заключаем, что коэффициенты многочлена Фп (X)
являются многочленами от /, чьи коэффициенты лежат в кольце
Z[?j. Кроме того, можно рассматривать все эти функции как
вложенные в поле степенных рядов Q (?я) ((q1/n)).
Если k—произвольное поле, X — независимая переменная
л а—автоморфизм поля k9 то сг можно продолжить до автомор-
автоморфизма поля степенных рядов k ((X)) по правилу

56 МОДУЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ [ГЛ. 5
Пусть r?(Z/NZ)*. Автоморфизм аг поля Q (?я) такой, что
естественно продолжается до автоморфизма поля степенных рядов
Q (?n) ((qlfn))y и мы видим из A), что этот автоморфизм переставляет
функции joa{. Следовательно, коэффициенты многочлена Фп (X)
инвариантны при всех таких автоморфизмах ап г ? (Z/NZ)*,
и тогда их ^-разложения лежат в поле Z((q)).
Из теоремы 2 следует, что коэффициенты многочлена Фп (X)
являются элементами кольца Z[/], т. е. являются многочленами
от / с целыми рациональными коэффициентами. Тогда можно
рассматривать Ф„ (X) как многочлен от двух независимых пере-
переменных X и / и записывать его в виде
Назовем Фп (X, /) модулярным многочленом порядка п.
Теорема 3.
1) Многочлен Фп (X, /) неприводам над полем С (/) и имеет
степень г|)(п).
2) Имеет место равенство Фп (X, /)=ФП(/, X).
3) Если п не является полным квадратом, то Фга(/, /) есть
многочлен от j степени > 1 и со старшим коэффициентом ±1.
Доказательство. Первое утверждение вытекает из того
факта, что группа Г представляет функции / о ah l^i^i|)(n),
транзитивно и действует как группа автоморфизмов поля
С(/, / оа1э ..., /оаф(п)).
Докажем свойство симметрии 2). Одну из матриц а- можно
взять в виде
/1 0\
V0 п)'
Тогда /о— является корнем многочлена Фп (X, /), т. е.
Ф„ (/ (х/п) j (т))=0 для всех т, и, следовательно, Фп (/ (т), / (пх))=О
для всех т. Другими словами,
В таком случае /on является корнем многочлена Фп (/, X) и
также является корнем многочлена Ф„(Х, /), соответствующим
матрице
о 1
Из неприводимости многочлена Ф„ (X, /) тогда следует,
Фп(Х, /) делит Фя(/, X), т.е.
что

§2] МОДУЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ 57
и по лемме Гаусса g(X, j)?Z[X, /]. Далее,
<bn(i>x)=g(x9 j)g(j
тогда
откуда g(X, /) —±1. Если предположим, что g(X, /) =—1, то
получим
и тогда функция / должна являться корнем Фп(Х). Но много-
многочлен Фп (X) неприводим над полем Q (/) и, стало быть, это
невозможно. Тогда g(X, j) = l и этим свойство 2) доказано.
Для доказательства C) предположим, что п не является
полным квадратом, так что если
/а Ь\
есть примитивная матрица и ad~ny то афй. Имеем
•• 1 л 1
и так как аф&, то в этом разложении полярные члены не
уничтожаются и старший коэффициент равен корню из единицы.
Кроме того, Фи(/, /)€Z[/]. Перемножив теперь все / — /оаг.,
видим, что ^-разложение функции Фп (/, /) начинается с члена
qm "Г • • •»
где сда = ±1, ввиду того, что ст есть целое рациональное и яв-
является корнем из единицы. В таком случае
есть многочлен от / со старшим коэффициентом ст=*± 1, и этим
теорема доказана.
Следствие. Для любой матрицы а^М^(О) функция /о а
является целой над кольцом Z[j].
Доказательство. Можно считать, что а есть целочис-
целочисленная матрица с определителем п. Тогда / о а является корнем
многочлена Фп (X), имеющего старший коэффициент 1 и лежа-
лежащего в кольце Z[/, X].
Теорема 4. Если tG<§ есть мнимая квадратичность, то
/ (т) является целым алгебраическим числом.
Доказательство. Пусть /C = Q(t) и пусть а = [г, 1] яв-
является кольцом целых элементов поля К- Всегда можно найти
такой элемент A,?jo, что его норма является свободным от квад-
квадратов целым рациональным числом. Если K = Q(i)r возьмем

58 МОДУЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ [ГЛ. 5
%z= 1-fj, и если /C = Q(J/—m), где m > 1 свободно от квадра-
квадратов, возьмем Х = У—т. Далее,
где а, Ь, с, d — целые рациональные, и норма X (над Q) равна
определителю ad—be. Тогда матрица
а Ь\
с d)
является примитивной и z = az. Следовательно, j (г) является
корнем многочлена Фп(Х, X), лежащего по теореме 3 в кольце
Z [X] и имеющего старший коэффициент 1. Отсюда следует, что
j (г) есть целое алгебраическое число. Далее, имеем Q(z) = Q(t)
и x = uz-\-v с рациональными и и v. Это означает, что % = $z
для некоторой примитивной матрицы f>?M?(Z). Так как по
теореме 3 функция / о C является целой над Z[/], то число
j фг) = j (т) будет целым над Z [/ (г)] и тогда / (т) также будет
целым алгебраическим числом, что и нужно было показать.
В разделе, посвященном комплексному умножению, будет
показано, что / (т) порождает абелево расширение поля Q(t).
Предложенные здесь доказательства вполне классические
и восходят к Кронекеру и Веберу. До сих пор эти доказатель-
доказательства во всей их полноте являются, благодаря ^-разложениям,
наиболее простыми. Можно было бы дать алгебраические дока-
доказательства, но такие доказательства слишком сложны. Это яв-
является одной из причин, мешающей достижению подобной полноты
формулировок в высшей размерности.
Для более тонкого анализа того, каким образом многочлен
ФЯ(Х, X) раскладывается на множители, мы отсылаем читателя
к приложению к гл. 10.
Покажем теперь, как указанная выше техника приводит к соот-
соотношению сравнимости Кронекера
Фр(Х, j) s (X—jP) (Xp-j) (mod/?)
для каждого простого числа р. Более сильные результаты с ис-
использованием другой техники будут выведены позже, и читатель
может пропустить приведенные ниже рассуждения.
Для простого числа р представителями примитивных матриц
определителя р являются матрицы
(р

§з] связь с изогениями 59
Через /• (q) обозначим ^-разложение модулярной функции / и ана-
аналогичным образом обозначим ее q1^ -разложение. Такое разложе-
разложение является степенным рядом от qxlN. Если коэффициенты этого
разложения лежат в кольце Z[?], где ?—примитивный корень
степени р из единицы, то запись
будет означать, что все коэффициенты qxlN-разложения f* (q) —
— §* (ч) лежат в идеале кольца Z[?], порожденном элементом
1-Е-
Выполняя указанные выше подстановки в ^-разложениях для
joa{, сразу же находим, что
(/о а,)» (?) = /•(?)* (mod р)
и
(j о a;)* (q) ^j*(q)VP (mod 1-Q.
Заметим, что число 1—? является простым в кольце Z[?]
и делит р в Z[?]. Отсюда следует, что
Ф^ (X, /• (^)) ^ (Х-Г (яУ) (Х»-Г Ш (mod 1 -С)
в том смысле, что соответствующему сравнению удовлетворяют
степенные ряды от q, являющиеся коэффициентами рассматри-
рассматриваемых многочленов от переменной X. Пусть
фр(Х, j)-(X-n(X"-j) = ^^(j)X\
где i|)v (/) g Z [/]. Тогда коэффициенты степенных рядов i|)v (/* (q))
делятся на 1 — g, и так как эти коэффициенты —целые рацио-
рациональные числа, то они делятся на р. Этим соотношение сравни-
сравнимости Кронекера доказано.
§ 3. Связь с изогениями
Пусть Л, В—эллиптические кривые над полем комплексных
чисел. Если Aq^C/L и MczL—такая подрешетка решетки L,
что Bq^C/M, to имеем изогению Я: В—>Л и коммутативную
диаграмму
С/М

60 МОДУЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ [ГЛ. 5
где верхний гомоморфизм является каноническим. Его ядро есть
конечная группа L/M. Пусть L = [t, 1]. Тогда
где а=(а .) есть некоторая матрица из М? (Z), и, следова-
тельно,
В частности, / (ал) является корнем многочлена
Ф»(Х, /W)€2[/(t), X].
Вычисления функций в точке т показывают, что для каждого
частного значения т g <§ корнями многочлена Ф„ (X, / (т)) являются
в точности значения
Подрешетка М решетки L называется примитивной, если
матрица а из Л1? (Z), дающая выражение Z-базиса решетки М
через Z-базис решетки L, является примитивной матрицей.
Легко проверить, что М примитивна в L тогда и только тогда,
когда фактор-группа L/M есть циклическая группа (используя
теорему об элементарных делителях). Таким примитивным под-
решеткам решетки L соответствуют изогении с циклическим ядром,
порядок которого равен определителю матрицы а или, что то же
самое, индексу (L:M).
Таким образом, для любого заданного т?<§ корнями многочлена
в точности являются /-инварианты всех эллиптических кри-
кривых 5, которые допускают циклическую изогению
X: В-+ А
степени п. Другими словами, имеет место
Теорема 5. Пусть Л, В—эллиптические кривые над полем
комплексных чисел. Тогда для существования изогении X: В —> А
с циклическим ядром степени п необходимо и достаточно, чтобы
j-инвариант jB являлся корнем уравнения
Эта теорема справедлива для любого поля характеристики 0,
поскольку такое поле вкладывается в поле комплексных чисел.
Игуса [22] показал, каким образом это справедливо в характе-
характеристике р при р\п, В более поздней работе [24] он рассмотрел
ситуацию, когда п является степенью р.

§1] КОНГРУЭНЦ-ПОДГРУППЫ 61
Глава 6
ВЫСШИЕ УРОВНИ
§ 1. Конгруэнц-подгруппы
Пусть снова Г = SL2(Z). Для каждого положительного цело-
целого N определим Гд, (или Г (Л/)) как подгруппу группы Г, состоя-
состоящую из матриц, удовлетворяющих условию *)
или, другими словами, условиям
a = d= I (mod Л/) и с ==Ь = О (mod Л/).
Назовем Г^конгруэнц-подгруппой уровня N **). Под SL2 (Z/NZ)
будем понимать группу матриц с компонентами из кольца Z/NZ
и определителем 1 в этом кольце. Редукция SL2 (Z) (mod N) ото-
отображает группу SL2(Z) в группу SL2(Z/NZ)> и ядром этого ото-
отображения по определению является TN. Более того, имеет место
точная последовательность
О -> Г^ -+• SL2 (Z) — SL2 (Z/NZ) -^ 0,
и сюръективность в правой части доказывается следующим обра-
образом. Пусть
а —
является целочисленной матрицей, представляющей собой неко-
некоторый элемент группы SL2(Z/NZ), так что
ad—be = 1 (mod N).
По теории элементарных делителей существуют такие элементы
Y, y'€SL2(Z), что матрица Ya?' является диагональной, и если
удастся найти такую матрицу P€«SL2(Z), что
то матрица y^Py'"* Даст решение задачи. Без уменьшения общно-
общности можно считать теперь, что а является диагональной матри-
матрицей, скажем,
'а 0>
a=vo
*) С этого момента единичная матрица /= I « - ) обозначается 1.— Прим.
перев.
**) Подгруппу Гдг иногда называют также главной конгруэнц-подгруппой
уровня N. В общем случае подгруппа группы Г называется конгруэнц-под-
конгруэнц-подгруппой, если она содержит Г^у при некотором N.— Прим. перев.

62 ВЫСШИЕ УРОВНИ [ГЛ. 6
Тогда достаточно будет найти такие целые рациональные х, у,
чтобы матрица
(a + xN yN\
[ N d )
имела определитель 1. Это равносильно разрешимости уравнения
x—yN = 0,
где ad= I -\-rN. Но поскольку (d, N) — l, то последнее уравне-
уравнение разрешимо в целых х, у, и этим сюръективность установлена.
Простые вычисления показывают, что порядок группы
SL2(Z/NZ) равен
лгз ПО-1/р2).
Этот общий факт в дальнейшем не используется в данной книге.
Под GL2 (Z/NZ) будем подразумевать группу матриц с компо-
компонентами из кольца Z/NZ и с определителем, являющимся еди-
единицей кольца Z/NZ. Таким образом, SL2 (Z/NZ) является под-
подгруппой группы GL2(Z/NZ). В действительности, если обозна-
обозначить GN группу матриц
.0 d,
где d?(Z/NZ)*, так что GN« (Z/NZ)*, то
GL% (Z/NZ) = GN. SL2 (Z/NZ) - SL2 (Z/NZ) • GN.
В самом деле, любую матрицу из GL2(Z/NZ) можно умножить,
скажем слева, на подходящую матрицу из GN и в результате
получить матрицу с определителем 1 в Z/NZ. Ясно, что указан-
указанное представление в виде произведения единственно. Кроме того,
мы имеем точную последовательность
0 -* SL2 (Z/NZ) -> GL2 (Z/NZ) ^ (Z/NZ)* — 0.
§ 2. Поле модулярных функций над С
Пусть /—мероморфная функция на верхней полуплоскости §
и инвариантная относительно группы ГЛг, т. е. такая, что
Положим q = e2nix и qU^ = е2тх/м^ Отображение
задает голоморфное отображение множества &в (множества точек
т?«§ с 1т(т)>5) на проколотый круг, и это отображение опре-
определено на § по модулю сдвигов на число N. Так как матрица
\0 1 J

§2] ПОЛЕ МОДУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ НАД С 63
является элементом группы TN и ее действие на ф равносильно
сдвигу на N, то функция f индуцирует мероморфную функцию /*
на рассматриваемом проколотом круге. Если существует такая
положительная степень qM, что величина | /* (q) qM | ограничена
в малой окрестности точки 0, то функция /* является мероморф-
ной на круге и имеет разложение в степенной ряд по парамет-
параметру Q1/Ny содержащее лишь конечное число членов с отрицательньши
степенями. Если для каждого y^SL2(Z) функция (f о у)* также
имеет такое разложение в ряд по степеням q1^, то / называется
модулярной функцией уровня N на $).
Обозначим FN ? поле модулярных функций уровня N. Груп-
Группа Г действует как группа автоморфизмов поля F^ q по пра-
правилу fi—>foy. В самом деле, пусть ^Г и a?TN. Так как TN
является нормальной подгруппой группы Г, то 7a = a'v Аля
некоторой матрицы а' ? TN. Если f?Fpj q, to
/ Gост) == / (ос'^т) =
и тогда функция f оу инвариантна под действием группы TN.
Очевидно, что f оу мероморфна на §, и последнее условие о ^-раз-
ложении непосредственно следует из определения. Таким обра-
образом, / о у является модулярной функцией уровня N и группа Г
действует посредством композиции.
По определению, Fl9c является полем автоморфных функций
веса 0, определенных в гл. 3. Обозначим Fq объединение всех
полей FNy ? и назовем Fq полем модулярных функций над С.
Теорема 1. Имеем
Доказательство. Пусть f?FltQ. При некотором много-
многочлене P(j) функция fP(j) будет голоморфной на $. (Например,
если / имеет полюс в точке г0, то при достаточно большом т
функция / (/ — / (го))т не имеет полюса в zft, и число возможных
полюсов f в фундаментальной области конечно, поскольку f меро-
мероморфна на бесконечности.) Предположим, что / не имеет полюсов
на § и имеет полюс порядка п в бесконечности. Воспользовав-
Воспользовавшись тем, что функция / имеет в бесконечности полюс порядка 1,
можно найти такую константу с, что функция /—cjn будег
иметь в бесконечности полюс порядка ^п—1. Действуя по
индукции, можно найти такой многочлен Q (/), что функция
/—Q (/) не будет иметь полюсов ни на Jp, ни на бесконечности.
Тогда f—Q (/) принадлежит пространству автоморфных форм
веса 0 и, следовательно, является константой. Отсюда f?C(j)>
и этим теорема доказана.

64 ВЫСШИЕ УРОВНИ [ГЛ. 6
Найдем теперь порождающие элементы поля FNiq. Положим
так что w?C и т^^р. Эта функция называется первой функцией
Вебера. Далее, для фиксированного N > 1 и для /-, sgZ, не
делящихся одновременно на N, положим
f (r)~f (
/Г,5 V1/— /ol
Множители gf2, g, А введены для того, чтобы результирующая
функция являлась однородной функцией степени 0 от вектора
(т, 1). Ввиду этой однородности иногда будем также писать
Ir,s \l) — /oi pj » Ш1> с
если T^cOj/cOg. При фиксированном т указанная функция даст
нормализованные х-координаты точек периода N на соответствую-
соответствующей эллиптической кривой. Если (г, s, N) = ly то fn s назы-
называется примитивной функцией уровня N. Из периодичности $ -функ-
-функции следует, что fn s зависит только от классов вычетов г, s по
модулю N. Поэтому целесообразно использовать обозначение,
подчеркивающее это свойство. Если
то будем писать
- ¦ ¦ - " ,; т).
Каждая функция /fl является голоморфной на $& и /fl зависит
только от класса вычетов a (mod Z2). Назовем /fl функцией Фрикке.
Иногда также полезно применять вертикальное обозначение
и писать
Если ag5L2(Z), то при таком обозначении становится очевидным
следующее соотношение:
/**(*) = Мат).
Из предложения 5 гл. 4 следует, что функция Фрикке имеет
^У^-разложение, содержащее лишь конечное число членов с отри-
отрицательными степенями. Кроме того, степени числа 2ш по опре-
делеБШО функции /0 сокращаются, и тогда все коэффициенты
этого разложения лежат в поле корней степени N из единицы
над полем Q, так как для w=^~ имеем
где qs/N = l)sNi a ZiN = e2nilN — примитивный корень степени N из
единицы. В данный момент нас, однако, не интересует эта спе-

§2] ПОЛЕ МОДУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ НАД С 65
циальная природа коэффициентов, так как мы развиваем теорию
лишь для поля комплексных чисел С.
Во всяком случае мы доказали, что функция Фрикке яв-
является модулярной функцией уровня N, поскольку при
а = 1 (mod N) имеем аа = а (mod N). Тогда faa = fa^fa (ат) = fa (T)-
Соотношение fa (ax) = faa (т) показывает также, что модуляр-
модулярная группа действует как группа перестановок функций fa. Кроме
того, если знаменатель у a = (r/N> s/N) в точности есть N (т. е.
(г, s, Ы) = 1)у то знаменатель у аа также в точности будет N
и, следовательно, группа 5L2(Z) переставляет примитивные функ-
функции Фрикке между собой.
Конечно, T = SL2(Z) является группой аналитических авто-
автоморфизмов полуплоскости $g и, следовательно, действует на FNt @
посредством композиции
/«-»/ о а.
Поскольку при этом TN действует на FN^ q тривиально, то в ка-
качестве группы, действующей на FN% q, можно взять конечную
группу Г/Гдг, содержащую в себе ядро ±1.
По существу мы находимся в рамках теории Галуа с груп-
группой Г/Гдг, действующей на поле FNt <q, и неподвижным полем Fit ?.
Теорема 2. Имеем
Группой Галуа поля FNt q над полем /7li q является группа
Доказательство. Пусть Е—подполе поля Fn%q9 порож-
порожденное над С (/) всеми функциями fn s. Так как Г переставляет
функции fn sy то Г/Гдг является группой автоморфизмов поля Е.
При этом, поскольку ?° есть четная функция, то элементы ±1
действуют тривиально. Докажем теперь, что любой элемент у g Г,
действующий тривиально на Е> лежит в ± Гдг. Рассмотрим дейст-
действие у на две функции /1э 0 и /0>1. Поскольку &° (и) = ft (v) тогда
и только тогда, когда u = v(modL), видно, что если доставляет
/ъ о и /о, 1 неподвижными, то
Отсюда следует, что
а так как y?SL2(Z), то у^==± 1 (modM). Следовательно, имеет
место инъекция
Г/± IV— Gal (?•/<>(/)),

66 ВЫСШИЕ УРОВНИ [ГЛ. 6
и неподвижным полем является поле С(/). Но тогда имеем
инъекцию Г/± TN в группу Gal (Z7^, с/С (/)), и в таком случае
FN q = Е и группа Галуа совпадает с Г/± YN.
§ 3. Поле модулярных функций над Q
Пусть /—модулярная функция (уровня 1). Будем говорить,
что / определена над полем k, если /€&(/).
Зафиксируем, как и ранее, целое N > 1 и рассмотрим многочлен
П (*-/„,).
где произведение берется по всем (г, s) (mod N) (можно было бы
взять произведение по тем (/-, s), которые удовлетворяют допол-
дополнительному условию (г, s, N)=\). Поскольку Г переставляет
функции /г>5, то полученный многочлен от переменной X имеет
коэффициенты, инвариантные относительно группы Г. Следова-
Следовательно, эти коэффициенты являются модулярными функциями
уровня 1, голоморфными на <§. Кроме того, их коэффициенты
Фурье лежат в поле Q (?^).
Из теоремы 2 гл. 5 следует, что эти коэффициенты суть много-
многочлены от / с коэффициентами из поля Q(?^), и тогда fns есть
алгебраические функции над полем Q (/).
Положим QN = Q(t>N) и FN = Q(j, fns). Будем называть FN
полем модулярных функций уровня N над Q и, если это ясно
из контекста, будем опускать упоминание о поле Q.
Из функциональной теории § 2 известно, что группа Галуа
этого поля содержит группу
Теорема 3. Группа Галуа поля FN/Q (/) есть в точности
GL2(Z/NZ)/±1.
Алгебраическим замыканием поля Q в FN является поле QN=
Q= (lN). Если a?GL2(Z/NZ), то автоморфизм поля QNi инду-
индуцированный матрицей а, задается ее определителем, т. е. если
а (а) есть автоморфизм поля FN, задаваемый матрицей а, то
Группа Галуа поля FN над QN(j) есть SL2(ZlNZ)l± 1.
Доказательство. Докажем, что Gal {FNlF^) содержит
группу
Рассмотрим <7~Разложение> данное для функции Вебера в гл. 4.
В точке
N

§3] ПОЛЕ МОДУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ НАД Q 67
это разложение есть произведение степенного ряда от qx с це-
целыми рациональными коэффициентами на степенной ряд
т, п=\
где q = qx. Следовательно, этот степенной ряд содержится в поле
степенных рядов Qjv((Q1/n))-
Если k—произвольное поле иХ— переменная, то любой авто-
автоморфизм а поля k продолжается до автоморфизма поля степенных
рядов k ((X)) с помощью отображения
Для d € (Z/iVZ)* обозначим ad автоморфизм поля QN ((<71/iV))> полу-
полученный указанным способом из автоморфизма ?дг *-*•?& поля QN.
Тогда g2, g, / остаются неподвижными при этом автоморфизме,
поскольку их ^-разложения принадлежат полю Q((q)). С другой
стороны, из (/-разложения функции Вебера
Другими словами, ad определяет элемент группы Gal (FNfQ (/))
и ad представляется матрицей
/1 0\
[о d) '
Поэтому группа GN содержится в группе Gal (FN/Q (/)). Отсюда
сразу же следует, что
Gal (F V/Q (/)) = GL2 (Z/NZ)/± 1.
Кроме того, из определения ad и из представления каждого эле-
элемента группы GL2(Z/NZ) в виде произведения элемента из GN
и элемента из SL2 (Z/NZ) видно, что действие матрицы из
GL2(Z/NZ) на корни из единицы задается определителем этой
матрицы.
Наконец, пусть k—алгебраическое замыкание поля Q в FN,
так что k = Cf)FN. Тогда
Gal (FN/k (/)) « Gal (FNt C/C (/)) « SL2 (Z/NZ)/± 1
и, следовательно,
[ft 0):Q (/)]== [*:Q]= порядок
Так как FNaQN((q1/N)), то kaQNy а поскольку k я QN имеют
одинаковую размерность над Q, мы получаем равенство k = QN.
Это определяет группу Галуа поля FN/QN(j) (рис. 6.1).
Дадим теперь формулировки теорем 2 и 3 в терминах точек
конечного порядка на «общей» эллиптической кривой.

ВЫСШИЕ УРОВНИ
[ГЛ. 6
Пусть точка т?<!р такова, что значение /(т) трансцендентно
над Q. Тогда отображение
задает изоморфизм поля FN (являющегося алгебраическим рас-
расширением поля Q (/)) на поле, которое мы обозначим FN(x).
Ft/(n Пусть Ах—эллиптическая кривая надпо-
надполем Q(/(t)) с инвариантом / (т), заданная,
скажем, в форме Вейерштрасса с коорди-
координатами (ху у). Пусть, далее, h—первая
¦ €(]) функция Вебера, так что
LK€
*UV
Рис. 6.1.
и пусть ф: C/L —> Aq есть аналитическая
параметризация кривой, задаваемая функ-
функциями Вейерштрасса. Положим Д =
= ф(оз2/Л/'). Тогда
и в общем случае
Следовательно, поле FN(%) есть не что иное, как поле
^-координат точек порядка N на кривой Ах. Группа Галуа этого
поля, как мы видели в гл. 2, является подгруппой группы
GL2(Z/NZ)/±L
Следствие 1. Пусть число j трансцендентно над Q
и пусть А—эллиптическая кривая с инвариантом /, определен-
определенная над полем Q(/). Положим
KN^Q(j, AN).
1) Группа Галуа поля Км над Q (/) изоморфна полной группе
GL2 (Z/NZ) в ее представлении на AN« (Z/NZJ.
2) Алгебраическое замыкание поля Q в Км ecmb ^(Zm)-
3) Группа Галуа поля KN над Q (?^, /) есть SL2 (Z/NZ).
Доказательство. Пусть G = Gal (Км/® (/))• ^3 резуль-
результата, установленного для FN, видим, что
Пусть
0 -1
1 О
так что y?SL2(Z/NZ) и у2 = —1. Тогда у или —у лежит в G
и, следовательно, —1 ? G, откуда G = GL2 (Z/NZ). Это доказывает

§ 3] ПОЛЕ МОДУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ НАД Q 69
первое утверждение; те же аргументы приводят к доказатель-
доказательству следующей леммы.
Лемма. Пусть G— подгруппа группы GL2(Z/NZ) (соответ-
(соответственно SL2(Z/NZ))y которая отображается на GL2(ZlNZ)l±l
(соответственно на SL2(Z/NZ)/±4 при каноническом гомомор-
гомоморфизме. Тогда G = GL2(Z/NZ) (соответственно G = SL2 (Z/NZ)).
Для а ? GL2 (Z/NZ) обозначим аа соответствующий автомор-
автоморфизм поля /Сдг над Q (/) относительно фиксированного базиса
группы AN над Z/NZ. Пусть k—алгебраическое замыкание поля Q
в Км- Из теоремы 3 известно, что k содержит ^N и что
Пусть, далее, G±—группа Галуа поля KN над k(j). Если oa?Glt
то аа оставляет корни степени N из единицы неподвижными
и тогда deta=l. Следовательно, G1cz SL2BjNZ) и Gx естест-
естественно изоморфна группе Галуа поля С(/, AN) над С (/) (считая
/ трансцендентным над С, т. е. расширяя поле констант от k до С).
Из теоремы § 2 заключаем, что
и из леммы следует, что G1 = SL2(Z/NZ). Отсюда, принимая во
внимание, что указанная в конце § 1 последовательность является
точной, получаем, что порядок группы Галуа поля k(j) над Q (/)
равен порядку группы (Z/NZ)*. Это означает, что
[k:Q] есть порядок (Z/NZ)*,
и так как k содержит корни степени N из единицы, то k = Q (?>n).
Тем самым справедливость утверждений 2), 3), а следовательно,
и следствия 1, доказана.
Пусть k—алгебраически замкнутое поле характеристики О
и пусть элемент /0 трансцендентен над k. Предположим, что мощ-
мощность k не выше мощности поля С. Тогда можно вложить поле k
в С, причем таким образом, что С будет иметь бесконечную степень
трансцендентности над полем k. Пусть А—эллиптическая кривая
с инвариантом /0, определенная над полем k (/0). Взяв подходящий
изоморфизм поля k (/0) над А, можно считать, что элемент /0 транс-
трансцендентен над полем С. Выберем %?$) таковым, чтобы значение
/ (т) было трансцендентно над А, и обозначим FN% k = kFN композит
поля модулярных функций над Q с полем k. Отображение /н->f(t)
индуцирует изоморфизм поля FNi k с подполем FNr k (т) поля С.
Кроме того, имеет место изоморфизм между k (j0) и А(/(т)), пере-
переводящий /0 в / (т) и преобразующий эллиптическую кривую А
в эллиптическую кривую Лт, определенную над полем k (j (т))
и имеющую инвариант /(т). Таким образом, имеем изоморфизмы
k(h, An) ~k (}(%), А\)

70 ВЫСШИЕ УРОВНИ [ГЛ. 6
и
k(jQ, Л(ЛЛ,))«
Из предположения о трансцендентности /0 над С следует, что
поле С линейно свободно от алгебраического замыкания поля k (/0)
над k. Расширяя поле констант от k до С, видим, что
С(/„
Следствие 2. Пусть k—алгебраически замкнутое поле
характеристики 0 и пусть элемент j трансцендентен над k.
Пусть у далее, А—эллиптическая кривая с инвариантом /, опре-
определенная над полем k(j). Тогда группа Галуа поля &(/, AN) над
k (/) изоморфна группе SL2 (Z/NZ) в ее представлении на AN«
«(Z/NZJ.
Доказательство. Существует такое подполе k0 поля k>
конечно порожденное над Q, что кривая А определена над ko(j)
и k0 алгебраически замкнуто в &0(/, AN), т, е. kQ есть поле кон-
констант поля kQ(j, AN). Тогда можно заменить k на алгебраическое
замыкание поля kQ и считать, что поле k имеет конечную степень
трансцендентности над Q. Кроме того, можно предположить, что
k содержится в поле комплексных чисел, и отождествить / с / (т),
где ттаково, что / (т) трансцендентно над полем k. Введем анали-
аналитическую параметризацию ф: C/L—•>¦ Aq кривой А и положим, как
обычно, Рг = ф (со1/Л/г), Р2 = ф (<oa/N). Пусть G—группа Галуа поля
С(/, AN) над С(/). Элемент crgG можно представить матрицей
a?GL2(Z/NZ) относительно базиса \Pl9 P2\ и отождествить под-
подполе С (/, h(AN)) с Fat,q. Тогда а индуцирует автоморфизм поля
FNt c, который в свою очередь индуцирован некоторым элементом
$?SL2(Z/NZ). Докажем сначала, что а=±|3. Положим
Для любого Pri s имеем
Л (Лг. s) р) - огЛ (Pr, s) = h (aPr% s) = ft (P(r, s) а),
и тогда (г, s)a = ±(/\ s)p. Пусть
/a 6\
a= , .
Vc d)
Положив (г, s) равным A,0) и @, 1) соответственно, видим, что
Р = ± а, или
Допустим, что р=:(~"а ~~ Л . Тогда, взяв (г, s) = (l, 1), имеем,
что (а + с, b + d) = (—a + cy ~b + d) (mod N), откуда 2a^=0(modN)
и 26^0 (mod N). Если W = 2, то 1^—1 (mod 2), и в этом случае

JJ ПОЛЕ МОДУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ НАД Q 71
GL2(Z/NZ)=SL2(Z/NZ). Следовательно, можно считать, что iV> 2.
Если N—нечетное число, то имеем а = fe== 0 (mod N), что невоз-
невозможно. Если же N—четное, то а = й = 0 (mod N/2), что также
невозможно. В таком случае Р = ±а и, тем самым,
По лемме имеем G = SL2(Z/NZ). Следствие 2 доказано.
Замечание. Для доказательства следствия 2 необходимы
дополнительные рассуждения. В самом деле, пусть Л, В—две
эллиптические кривые, определенные над полем С ('/), где элемент /
трансцендентен над С, и пусть они изоморфны, но не над полем
С (/) (т. е. над некоторым конечным расширением поля С (/)). Тогда
поля С(/, h(AN)) и С(/, h(BN)) равны, но нам неизвестно, будут
ли при N > 2 различны поля <С(/, AN) и <С(/, BN). Эта задача
связана с неквадратичными расширениями, и ответ может зави-
зависеть от делимости N на 2. В любом случае это показывает, что
для доказательства следствия 2 нельзя применить без некоторых
дополнительных рассмотрений модель доказательства следствия 1,
которая определена над полем С(/).
Основная часть приведенных выше рассуждений состояла в том,
чтобы показать, что группа Галуа поля С(/, AN) над С (/) содер-
содержится в группе SL2(Z/NZ). Можно использовать совсем другой
подход, основанный на каноническом кососимметрическом невы-
невырожденном спаривании
ANx AN~+ \iN,
где \ln—группа корней степени N из единицы. Этот подход вос-
восходит к исследованиям Вейля по абелевым многообразиям.
Сравните книгу автора по абелевым многообразиям и книгу Ши-
муры [К 12], в которой этот подход выделен в качестве отдельного
вопроса. Таким образом, представляется целесообразным описать
в настоящей книге другой путь. Аналитическое описание этого
спаривания будет дано в гл. 18. Указанное спаривание совместимо
с действием группы Галуа, т. е.
Отсюда непосредственно следует, что если а есть матрица, пред-
представляющая элемент а при его действии на AN относительно базиса
группы AN над Z/NZ, то
Поэтому в случае поля комплексных чисел сразу же видно, что
образ группы Галуа в GL2 (Z/NZ) содержится на самом деле
в SL2(Z/NZ).
Приведенные в этом параграфе доказательства являются клас-
классическими. Веберу [К 16] была известна структура группы Галуа
для точек порядка А" как над полем комплексных чисел, так

72 ВЫСШИЕ УРОВНИ [ГЛ. 6
и над полем рациональных чисел, п частности, ему оыло известно,
что корни из единицы появляются в качестве новых констант.
Фрикке ([К 2], т. 2, 1,4), использовал в точности те же рассуж-
рассуждения, которые выбраны здесь, действуя на коэффициенты #-раз-
ложения с помощью автоморфизмов на корнях из единицы.
Шимура в работе [38] возродил исследования по теории полей
модулярных функций. Эта работа оказала большую помощь со-
современному поколению в понимании книг Вебера и Фрикке.
Аналогичные результаты в характеристике р получил Игуса
[22], [25], метод которого применим даже к кольцу Z[/]. Этот
метод основан на теории ветвления и состоит в том, что сначала
выявляются унипотентные элементы группы Галуа над полем комп-
комплексных чисел и затем из этого выводится, что эта группа совпа-
совпадает с SL2(Z/NZ). Мы вернемся к теории ветвления позже, когда
будем обсуждать параметризацию Тейта.
Одной из причин, затрудняющих чтение книги Вебера, яв-
является то, что по сравнению с данной книгой в ней более широко
используются эллиптические функции Якоби и в меньшей степени
функция Вейерштрасса.
В действительности использование функций, которые применял
Вебер, или аналогичных функций, построенных из тета-функций,
более предпочтительно, поскольку их значения являются специ-
специальными алгебраическими числами, которые при подходящей нор-
нормализации становятся единицами. В этом смысле Вебер превос-
превосходно знал, что он делает (ср. [К 16] § 157). Этот вопрос будет
рассмотрен в заключительной части книги, так как он является
более тонким, чем общий вопрос о построении полей классов
с помощью значений модулярных функций определенного уровня.
В этой книге мы интересуемся исключительно конгруэнц-под-
группами группы Г, т. е. подгруппами, которые содержат неко-
некоторую группу TN. Известно, что имеется бесконечно много подгрупп
конечного индекса, которые не являются конгруэнц-подгруппами.
Можно профакторизовать по ним верхнюю полуплоскость <?)
и получить накрытие проективной прямой, разветвленное в точках
О, 1 и оо. Действие любой из этих подгрупп на модель некоторой
модулярной кривой подходящего уровня дает неразветвленное
накрытие этой кривой, и обратно, всякое неразветвленное накры-
накрытие модулярной кривой любого уровня принадлежит некоторой
подгруппе конечного индекса группы Г.
К настоящему времени известно очень мало о кривых, которые
получаются из подгрупп, не являющихся конгруэнц-подгруппами.
Ихара [Кб] рассмотрел редукцию кривых по mod р и высказал
глубокое предположение, состоящее, грубо говоря, в том, что
«суперсингулярньге» значения модулярной функции / не могут
полностью распадаться в этих накрытиях, если только они не
возникают из конгруэнц-подгрупп. Первые вычислительные данные
для случая накрытий, соответствующих подгруппам, не являю-

§4] ПОДПОЛЯ ПОЛЯ МОДУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ 73
щимся конгруэнц-подгруппами, были предложены Аткиным и Свин-
нертоном-Дайером (AMS Proceedings of Symposia in Pure Mathe-
Mathematics, XIX, 1971, 1—26).
§ 4. Подполя поля модулярных функций
Под полем модулярных функций F понимаем объединение всех
полей FN. Аналогичным образом под Fq подразумевается объе-
объединение всех полей Fn, о Мы в основном будем иметь дело
с полем FN.
Обозначим М? (Z) множество Bх2)-матриц с компонентами
из Z и с положительным определителем. Аналогичным образом
положим Mi (Q) = GL2 (Q).
Теорема 4. Если а ? Mt (Z) и deta = N, то j о а является
модулярной функцией уровня N. Далее, для любой матрицы а?
g Mi (Z) отображение
/н->/ о а
является автоморфизмом поля F (или Fq), оставляющим кон-
константы неподвижными.
Доказательство. Запишем матрицу у ? TN в виде у =
= 1+Аф. Тогда матрица
имеет целые компоненты и определитель 1, а потому лежит
в SL2(Z). Далее, из равенств
следует, что функция / о а инвариантна относительно TN. Другие
условия модулярности функции / о а проверяются непосредствен-
непосредственным образом, и этим первое утверждение доказано. Второе утверж-
утверждение доказывается аналогично. Заметим, что если а б М2 (Q)
и т—такое целое число, что magM2(Z),TO для любой функции
на верхней полуплоскости имеем
/ о а == / о (та)
(т сокращается в дробно-линейном преобразовании). Поэтому
обратным к автоморфизму
/ь->/ о a
будет автоморфизм
/н->/ о а.
Хотя Фрикке ([К 2], т. 2, 1.4) также рассматривал подполя
полей модулярных функций, его рассуждения не совсем ясны
(для меня), и я следую Шимуре ([38], [К 12]).
При выборе т, для которого / (т) является трансцендентным
числом, само число т всегда можно взять также трансцендентным

74 ВЫСШИЕ УРОВНИ [ГЛ. 6
(из очевидных соображений о мощности, поскольку множество
алгебраических значений / на $$ счетно). Отсюда следует, в част-
частности, что эллиптическая кривая А1 с трансцендентным инвари-
инвариантом / (т) всегда имеет тривиальное кольцо эндоморфизмов, т. е.
End (Ах) « Z.
Сначала рассмотрим случай, когда величина / (Л/т) является
инвариантом эллиптической кривой с решеткой
[ЛГт, 1]~[т, 1/N].
Пусть г = (дг/(д2 и пусть /, = [©!, co2] есть решетка кривой Ах.
Положим, как и ранее,
где ф: C/L —> Л^ есть аналитическое представление эллиптической
кривой Ах. Из рассмотрения связанной с кривой ANx решетки
видно, что
АМхж АХ/(Р2).
Далее, из предложения 3 § 2, гл. 2 известно, что Л/дх« Л/да
в том и только в том случае, если gir=== бг (всякий раз, когда glt
g2—конечные подгруппы одного и того же порядка и когда А
имеет тривиальное кольцо эндоморфизмов). Отсюда следует, что
матрица
(
оставляет / (Л/т) неподвижным в том и только в том случае, если
она отображает (Р2) в себя. Но
d
и, следовательно, это случается тогда и только тогда, когда
с = 0 (mod N). Из сказанного следует:
Теорема 5. Группой Галуа поля FN над полем Q(/, / о N)
является группа
ra b^
Следствие 1. Неподвижным подполем поля FNотносительно
группы GN, состоящей из матриц
«;
d € (Z/NZ)*,
является поле
Доказательство. Элементы группы Галуа из теоремы 5,
которые оставляют неподвижной функцию /1ч0, представляются

§4] ПОДПОЛЯ ПОЛЯ МОДУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ 75
теми матрицами
,а Ъ\
[О d)>
для которых
о.о>с ;)-<±i.o>.
Следствие 1 доказано.
Следствие 2. Поле из следствия 1 есть максимальное под-
подполе поля FN, состоящее из функций, чьи коэффициенты Фурье
в q^N-разложении являются рациональными.
Доказательство очевидно.
Теорема 6. Группой Галуа поля FN над полем Q (/, /о а),
где а пробегает все элементы из Mt (Z) с deta = iV, является
диагональная группа
е0 °)}mod(±l), e?(Z/NZ)*.
Доказательство. Диагональная матрица еЛ действует
на точку конечного порядка Р по правилу Р*—>еР и, следова-
следовательно, отображает каждую подгруппу группы AN в себя. По-
Поэтому, поскольку / (ат) является инвариантом некоторой фактор-
кривой Л/й, где g c= AN, отсюда следует, что функция /оа
остается неподвижной при действии такой диагональной матрицы.
Обратно, если автоморфизм, представляемый матрицей
(k n
оставляет функцию / о а неподвижной для всех а, то он остав-
оставляет /оа неподвижной для специальных а, соответствующих
фактор-кривым AKPJ, A/(P2) и А/(Р1 + Р2). Матрица
'k l
должна отображать каждый из векторов A, 0), @, 1), A, 1) в его
скалярное кратное, откуда сразу же следует, что эта матрица
должна быть диагональной. Этим теорема доказана.
Обычно группа элементов у g Г = SL2 (Z), состоящих из матриц
(а Ь
с c = 0(modiV), обозначается TO(N).
Теорема 7. Неподвижным подполем поля FN относительно
T0(N) является полепЦ, joN, t>N).
Доказательство. Утверждение теоремы немедленно сле-
следует из теоремы 5, а также из того, что элементы группы SL2(Z)
оставляют константы неподвижными и что группа из теоремы 5

76 АВТОМОРФИЗМЫ ПОЛЯ МОДУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. 7
представляется в виде
где GN состоит из матриц
Глава 7
АВТОМОРФИЗМЫ ПОЛЯ МОДУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ
§ !. Рациональные адели группы OL2
Если N, М — положительные целые и N\M, то имеет место
канонический гомоморфизм
GL2(Z/MZ)-+GL2(Z/NZ),
и тогда можно перейти к проективному пределу. Пусть N =
^Пр?—разложение числа N на простые множители. Тогда по
китайской теореме об остатках
GL2 (Z/NZ) « П GL2 (ZlppZ),
и поэтому взятие проективного предела может быть осуществлено
«покомпонентно» относительно всех простых р(. Проективный пре-
предел колец ZlprZ при г —> оо является кольцом целых р-адических
чисел Zp. Пусть Z*p—группа р-адических единиц (обратимых
элементов кольца Zp). Тогда
HmGL2(Z/NZ)=JlGL2(Zp),
N Р
где GL2(Zp)—группа матриц с компонентами из кольца Zp
и с определителями в Zp. Обозначим для краткости
Lp llt(p)
р р
Определим группу конечных аделей группы GL2 как
GL2(Af)^H GL2(Qp),
р
где штрих означает, что рассматривается ограниченное произве-
произведение. Значит, /^-компонента каждого элемента группы GL2 (Af)
для почти всех р лежит в GL2(Zp). Обозначим GL} (Q) группу
рациональных Bх2)-матриц с положительным определителем.

§ 1] РАЦИОНАЛЬНЫЕ АДЕЛИ ГРУППЫ GLt 77
Точно таким же образом можно получить обычные идели
с р-адическими компонентами в Q*, почти все из которых лежат
в Zp. Из теоремы о разложении целых чисел на простые мно-
множители сразу же следует, что
где Aq—подгруппа иделей с положительной компонентой в R.
Докажем аналогичный результат для GL2 и SL2.
Теорема 1. Имеем
SL2(Af)=SL2(Q)USL2(Zp).
р
Доказательство. Докажем сначала второе равенство.
Для любого поля k легко видеть, что группа SL2 (k) порож-
порождается элементами
где 6, с ?k. В самом деле, умножение произвольной матрицы
из SL2 (k) справа и слева на указанные матрицы соответствует
элементарным операциям над ее строками и столбцами (т. е. при-
прибавлению скалярного кратного одной строки к другой и т. д.).
Поэтому данная матрица с помощью таких умножений может быть
приведена к виду
'а О
О а-1
Положив W (а) = X (a) Y (— а*) X (а), получаем
откуда следует утверждение о группе SL2 (k).
Пусть теперь для данного a?SL2(Af) простое число р таково,
что ар не является р-целым. Запишем а в виде произведения
a = Z(b1)...Z(bmL
где Z(bi) суть X(bt) или Y{bt), a bt^Qp. Для каждого i выберем
рациональное число гь имеющее знаменателем степень числа р
и близкое к bt в точке р*). Положим, далее, хр = Z{r^).. .Z (rm).
Тогда xp?SL2(Q) и матрица х~га будет близка в SLz(Qp) к еди-
единичной матрице, откуда следует, что хрга лежит в SL2 (Zp). Кроме
*) Другими словами, близкое к Ь[ в топологии поля Qp, задаваемой
/?-адической нормой.— Прим. перев.

78 АВТОМОРФИЗМЫ ПОЛЯ МОДУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. 7
того, матрица хр является /-целой для каждого простого 1фр
Теперь можно повторить процедуру для конечного числа простых р,
при которых /^-компоненты элемента а не являются целыми,
и получить в результате такой элемент x?SL2(Q), что
как и требовалось.
В случае группы GL2 умножим элемент a?GL2(Af) на такой
элемент C вида
что |3а б 5L2 (Л f). Аппроксимируя идель s = (..., sp, ...) для
конечного числа простых р рациональными числами, можно найти
такую матрицу
0>
что ya?SL2(Af) U. Это сводит задачу к предыдущему случаю
и доказывает теорему.
Мы рассматриваем Q2 = QxQ как пространство вектор-строк
и действуем 2x2 матрицами справа, так что группа GL2(Q) дей-
действует на Q2. Аналогично группа GL2 (Qp) действует справа на Qp.
Имеем естественный изоморфизм
р
который соответствует примарному разложению периодической
группы (Q/ZJ. Элемент up?GL2(Zp) действует на Q2/Zp? и, сле-
следовательно, если
то и действует на Q2/Z2 в соответствии с указанным разложением.
§ 2. Действие рациональных аделей
на поле модулярных функций
Пусть А% — А—эллиптическая кривая с инвариантом /(т),
те«&» и пусть А определена над полем G(/(t)). Положим Lx =
= [т, 1]. Тогда мы имеем аналитическое представление
При a = (alJ a2)?Q2 скалярное произведение

§2] ДЕЙСТВИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ АДЕЛЕЙ 79
дает элемент из QLt, и тогда получаем изоморфизм
Q2/Z2 — QLX/LX.
Группа QLrjLx является периодической подгруппой группы C/Lx
и ее образ при отображении фт состоит из точек конечного по-
порядка на кривой А. Будем обозначать также ф гомоморфизм
Q2/Z2 —¦*¦ А, полученный в результате композиции отображений
Отсюда видно, что рассматриваемое аналитическое представле-
представление дает координатную систему для точек конечного порядка на
эллиптической кривой Л. Если a?Q2 и а—класс элемента а в
Q2/Z2, то запишем
Поэтому можно также рассматривать ф как гомоморфизм
q>: Q2 —* QLX/LX -* А.
Предположим, что End (A) « Z. Тогда любая другая анали-
аналитическая параметризация
\р\ C/LT —> Aq
должна быть такой, что г|) = ±ф, поскольку отображение г|э о ф-1
является изоморфизмом кривой А. Пусть А задана в форме
Вейерштрасса и пусть h—функция Вебера,
h (х, у) = —273
так что к инвариантна при изоморфизмах. Тогда мы имеем
где /л—функция Фрикке.
Теорема 2. Пусть F—поле модулярных функций и fa
(agQ2/Za? афО)—функции Фрикке. Тогда для каждого элемента
u?U существует автоморфизм а (и) поля F над полем Q (/) такой,
что
Р а («) f
/ а /аа»
и отображение
есть гомоморфизм U на группу Gal (F/Q (/)) с ядром ± 1.
Это всего лишь переформулировка результатов предыдущей
главы с учетом проективного предела
U = limGLt(Z/NZ).

80 АВТОМОРФИЗМЫ ПОЛЯ МОДУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. 7
Теорема 3. Пусть т?«§ таково, что / (т) трансцендентно
над Q, и пусть А—эллиптическая кривая с инвариантом jA =
= / (т), определенная над полем Q (/ (т)). Пусть, далее, ф: C/Lx —*
~+ Aq—аналитическая параметризация кривой А и пусть U
определено, как в § 1. Тогда для каждого u?U существует та-
такой автоморфизм а (и) поля точек конечного порядка на кривой
Л, что
Ф(а)а(в) = Ф(<ш),
и отображение u-^g (и) является изоморфизмом V на группу
Галуа поля точек конечного порядка над 0(/(т)).
Доказательство. Это есть переформулировка теорем 2
и 3 предыдущей главы с учетом проективного предела.
Из сказанного, в частности, получаем формулу
Имеются изоморфизмы и другого типа. Для каждого а ? GL2+(Q)
обозначим сг(а) такой автоморфизм, что для любой функции / ? F
Другими словами,
Это приводит к гомоморфизму GL} (Q) в АиЦ/7), ядром которого
является подгруппа матриц
Замечание 1. Заметим, что U (]GL? (Q) = SL2 (Z), и если
a?SL2(Z), то оба определения автоморфизма сг(а), рассматри-
рассматриваемого как элемент группы U или как элемент группы GL? (Q),
совпадают.
В самом деле, для функций Фрикке имеет место очевидное
соотношение
и для любой матрицы agSL2(Z), рассматриваемой как элемент
группы 0, соответствующий автоморфизм оставляет / неподвиж-
неподвижным, поскольку /(оп;) = /(т).
Замечание 2. Пусть u?U и пусть, кроме того, ир g SL2(Zp)
для всех простых р. Пусть, далее, /—модулярная функция уровня
N. Тогда существует такой элемент a?SL2(Z), что если п(р) —
порядок числа N в точке /?, то
а = ир (mod рп{р])
для всех р | N. Отсюда видно, что
fa (в) _. fa (a) = f o a

§2] ДЕЙСТВИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ АДЕЛЕЙ 81
сначала для функций Фрикке fay где а имеет точный знамена-
знаменатель N, а затем для всех функций / g FN, так как fa порождает
поле FN.
Если о", о'—два автоморфизма поля F, то для того, чтобы
иметь ассоциативность в экспоненциальных обозначениях, опре-
определим их композицию правилом
/<"' = (/Т'.
Имеется еще одно важное соотношение—соотношение сов-
совместимости.
Теорема 4 (Шимура). Пусть a, $?GL} (Q) и пусть мат-
матрицы и, v^U таковы, что аи —1>|3. Тогда о (а) а (а) = а (v) о (|3) „
Доказательство. Выясним сначала смысл этого соотно-
соотношения и рассмотрим его интерпретацию в терминах изогений.
Пусть y?M2(Z)— целочисленная Bx2)-матрица. Тогда у дей-
действует на Q2/Z2 и ее ядро представляют те элементы agQ2, ко-
которые удовлетворяют условию
ау ? Z2,
т. е. ее ядро есть
ZZ
Следующая лемма является основным формальным средством
для изучения изогений эллиптических кривых и их точек конеч-
конечного порядка.
Лемма. Пусть agGZ,3+(Q), А% и Аа(Х)—эллиптические кри-
кривые с инвариантами j (т) и j (a (%)) соответственно, и
<р: C/Lx -+ АЪ, я|>: C/La (Т) — Ag x)
— аналитические представления этих кривых. Предположим, что
матрица a gM2(Z) имеет целые коэффициенты. Пусть, далееу
с dj
и fx = ^T + d. Тогда существует единственная изогения
для которой следующая диаграмма
является коммутативной. Здесь средняя строка означает умно-
жение на [л*.

82 АВТОМОРФИЗМЫ ПОЛЯ МОДУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. 7
Доказательство. Имеем
откуда
и-(Т)--'("?•)¦
Так как по предположению a ?M2(Z), то умножение на [г *
отображает C/LT в C/La(T), и существует единственная изогения
Яа, которая делает диаграмму
коммутативной. Далее,
li (аг, а2) ( J ) = (at, а2) [г ( * ) = (а^, а2) а (^а [т
и, следовательно, левый квадрат диаграммы также коммутативен.
Этим лемма доказана.
Так как эллиптическая кривая Аа (т) имеет инвариант / (а (т)),
то можно считать, что она определена над полем Q(j(a(x))).
Это всегда возможно сделать, определив, например, эллиптическую
кривую с трансцендентным инвариантом / при помощи уравнения
#*=:4л;3— gx—g,
так что g/(g—27) = у/123. Если теперь Ла (т) определена над по-
полем О(/(а(т))), то любой автоморфизм поля F (т) над полем
F1(x), например о (и), может быть применен к Аа (т).
Теорема 5 (Шимура). Пусть и, v?U и пусть а,
|3gGL2+(Q) таковы, что au = vfi. Предположим, что j (т) транс-
цендентно над Q а <imo эллиптическая кривая Ах (соответст-
(соответственно Аа (т)) определена над полем Q (/ (т)) (соответственно над
О(/(а(т))). Тогда кривая а(и)Аа{х) имеет инвариант /(C(т)).
Далее, пусть А${х)~о(и) Аа(Х) и пусть Ха, Я3—изогении, кото-
которые делают диаграмму в указанной выше лемме коммутативной.
Тогда
Доказательство, Сначала докажем, что независимо от
выбора Л13 (т) изогении
Аа ' И
«меют одно и то же ядро.

§2] ДЕЙСТВИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ АДЕЛЕЙ 83
Ядром Ха является cp(Z2a/Z2), Следовательно,
Кег Я* <"> = (Кег Ха)° <м> = ф (Z2a/Z2)a (w) =
- Ф (Z2au/Z2) = ф (Z2t>p/Z2) = Ф (Z2P/Z2) - Кег Xfi
и утверждение будет доказано, как только мы объясним обозна-
обозначение
Z2au/Z2.
Напомним, что Q2/Z2 = 2 Q^/Zj; и что элемент up?GL2(Zp)
р
действует на /^-компоненту Q2pfZ2p. Далее, под Z2<zu/Z мы под-
подразумеваем прямую сумму
атак как aup=vp$, то имеем Z2pa,up=Z2pvp$=Zp$. Из сказанного сле-
следует, что все приведенные нами обозначения имеют смысл, и
тогда все равенства в данном выше доказательстве справедливы.
Поскольку две изогении А,?(и) и Х$ имеют одно и то же ядро,
то их образы изоморфны. Тогда эти образы имеют одинаковый
/-инвариант и, следовательно, первое утверждение теоремы спра-
справедливо. Далее, можно взять А^^Х) = а(и) Аа(Х). Поскольку изо-
изогении Ха{и) и Яр отображают Ах на один и тот же образ и имеют
одно и то же ядро, то они различаются лишь автоморфизмом
этого образа. Но мы выбрали т таким, что значение / (т) транс-
цендентно, и как мы знаем, в этом случае единственными авто-
автоморфизмами могут быть лишь автоморфизмы ±1. Этим теорема
5 доказана.
Теперь можно вернуться к теореме 4 и проверить справед-
справедливость указанного в ней соотношения для функций / и fa.
Имеем
/ (Т)*<«>*<") = /(а (Т))*<«>
и
j (Т)сг (и) а C) = j (Т)а (9> = j ф (Т)) ф
По теореме 5 правые части этих выражений равны и, следова-
следовательно, для /-функции соотношение доказано.
Далее, рассмотрим a?Q2 и й = аа. Тогда
фт ф)о <«> о («О ^ фа (т) F)а («) = фа (т) (fla-i)a «.) =
= (%а (Фт (а)))^ («> = Kiu) (Фт (а))°(ш = ± Хг о Фт (аи) -
= ± фр (т) ИР) = ± Фэ (
и взятие /i-координаты дает
Это означает, что
Этим теорема 4 доказана.

<84 АВТОМОРФИЗМЫ ПОЛЯ МОДУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. 7
§ 3* Точная последовательность Шимуры
Для произвольного конечного аделя х g GL2 (Af) запишем
х~аи или х = и|3,
где и, v?U и a, (SgGLJCQ). Тогда теорема 4 показывает, что
можно определить на F автоморфизм а(х) правилом
а (х)=*о(а) g(u) = g (v) а ({$).
Тривиальные вычисления показывают, что
дает гомоморфизм группы GL2(Af) в группу Aut(F). Далее, ис-
используя результаты предыдущей главы, легко доказать, что яд-
ядром этого гомоморфизма является группа диагональных матриц
а О
О
Мы оставляем эти утверждения в качестве упражнений.
Теорема 6 (Шимура). Последовательность
О — Q* -> GL2 (Af) -* Aut (F) -> О
точна. Другими словами, каждый автоморфизм поля F имеет
вид аи (т. е. а (а) а (и)) при некоторых a^GLi (Q) и u?U.
Доказательство. Предложенное здесь доказательство
сюръективности отображения отличается от доказательства Ши-
Шимуры и основано на другом принципе.
Пусть а—автоморфизм поля F. Если oj = jy то e?o(U) и
в этом случае утверждение справедливо.
Можно считать, что автоморфизм а оставляет неподвижными
корни из единицы, поскольку этим свойством обладает компо-
композиция а с некоторым а (и). В таком случае достаточно доказать,
что существует такой автоморфизм а (ос), что композиция а с а (а)
оставляет функцию / неподвижной. Так как теперь предполага-
предполагается, что автоморфизм а оставляет неподвижными корни из еди-
единицы, то этот автоморфизм можно расширить до автоморфизма
поля модулярных функций Fq над полем С, который оставляет
неподвижными константы.
Пусть А—эллиптическая кривая с инвариантом /, опреде-
определенная над полем С(/), скажем, стандартным уравнением Вейер-
штрасса. Отождествим поле модулярных функций уровня N над
С с С(/, h{AN)). Поле
есть подполе поля Fq, полученное из точек на Л, порядки ко-
которых являются степенями р. Это поле является р-расширением

§3] ТОЧНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ШИМУРЫ 85
лоля С(/, Ар) и о Fq ) ^ есть соответствующая р-башня над
(/MJ)
Положим ? = С(/, /ff, Ля, Л?). Тогда ? (/г (Л(^)) и ? (ft (A^))
являются р-башнями над Е. Докажем, что существует такое
конечное расширение К поля Е, что
Группа Галуа поля Fq над Е содержит открытую подгруппу
вида
W = ILWlxUSL2(ZlI
les i$s
где 5—конечное множество простых чисел, a Wt —такая малая
открытая окрестность 1 в SL2(Zt) для всех /?S, что Wt есть
/-группа без кручения.
Возьмем множество 5 настолько большим, чтобы оно содер-
содержало 2, 3, р, и обозначим К неподвижное поле группы W. Пусть
Нр—группа Галуа поля /С(ft (Аа{Р])) над К- Тогда имеем сюръек-
тивный гомоморфизм
который соответствует в теории Галуа включению полей
При этом гомоморфизме каждый множитель Wl для / ? S, 1фру
отображается на 1, так как /-группа может отображаться в
р-группу лишь тривиальным образом. Если /(?S, то подгруппа
группы SL2(Zi), отображающаяся при проектировании в 1 группы
SL2(Z//Z), является /-группой, и те же рассуждения показы-
показывают, что эта подгруппа отображается при гомоморфизме \р на
1. Наконец, любой гомоморфный образ
SL2 (Z//Z) — Нр
должен быть тривиальным, поскольку ±1 отображаются в 1
(так как Нр—группа без кручения) и поскольку при /^5
группа SL2 (Z//Z)/ ± 1 является простой.
Таким образом, Нр является по существу гомоморфным об-
образом группы Wp, и в терминах расширений поля это означает,
что
Заменяя поле /С, если необходимо, его конечным расширением
и используя соображения симметрии, видим, что рассматриваемые
поля на самом деле совпадают. (Это можно доказать также по-
другому, если воспользоваться тем, что алгебра Ли группы
SL2(Zp) является простой. Тогда рассматриваемое расширение

86 АВТОМОРФИЗМЫ ПОЛЯ МОДУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. 7
конечно, и так как W р—группа без кручения, то степень этого
расширения равна 1.)
Теперь из теоремы, которая будет доказана совсем другим
методом позже (теорема 7 из § 5, гл. 16), следует, что эллипти-
эллиптические кривые А и А° должны быть изогенны. Следовательно,
существует такая целочисленная матрица а, что j°= j о а, и тогда
^(а)^ будет автоморфизмом поля F, оставляющим функцию /
неподвижной, что и требовалось показать.
Группы автоморфизмов бесконечных полей модулярных функ-
функций рассматривались И. Р. Шафаревичем и И. И. Пятецким-Ша-
пиро [31], [32]. Последний рассматривал поле всех функций / о а
с рациональными матрицами а. Раздел, посвященный автомор-
автоморфизмам, не совсем ясен. Например, результат, который приведен
в данной книге в виде теоремы 5 и которым мы обязаны Шимуре,
по-видимому, вовсе не был замечен Пятецким-Шапиро. С другой
стороны, последняя часть работы касается редукции по mod/?
поля модулярных функций и содержит результаты, связанные с
законом взаимности Шимуры, который будет доказан в гл. 11.

Часть вторая
КОМПЛЕКСНОЕ УМНОЖЕНИЕ. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ
С СИНГУЛЯРНЫМИ ИНВАРИАНТАМИ
В этой части изучаются специальные кривые, кольца эндо-
эндоморфизмов которых строго больше Z. Сюда относится (приводя-
(приводящий к теории комплексного умножения) случай эллиптических
кривых с /-инвариантом /(г), где z—мнимая квадратичная ир-
иррациональность над Q, а также случай эллиптических кривых
над конечными полями. Мы свяжем эту специальную теорию с
общей теорией предыдущей части и покажем, каким образом
различные отображения арифметической природы, которые мы
получим, соотносятся друг с другом на всех трех уровнях: в об-
общем случае, в случае числовых полей и в случае конечных полей
(специализируясь при этом от одного уровня к последующему).
Термин комплексное умножение возник потому, что алгебры
эндоморфизмов эллиптических кривых, строго большие Z, должны
быть комплексными, т. е. не могут иметь действительных вложе-
вложений. Над полем комплексных чисел комплексное умножение
возникает из эндоморфизмов, индуцированных умножением на
комплексное число а, переводящим заданную решетку на себя.
Развитие теории будет проводиться в основном методом
редукции Дойринга. Однако отдельные результаты будут выве-
выведены старым аналитическим методом Кронекера, Вебера и Хассе.
Например, перед рассмотрением алгебраического подхода, исполь-
использующего редукцию по mod/?, или одновременно с этим полезно
ознакомиться с аналитическим выводом соотношения сравнимости,
воспроизведенным в § 3 гл. 12, а также с результатами по за-
законам разложения из § 2 гл. 12, которые носят самостоятель-
самостоятельный характер.
Глава 8
РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
В этой главе предполагается, что читатель знаком с обычной
теорией идеалов в числовых полях (см., например, [К7]). Пер-
Первые два параграфа необходимы для понимания § 2 гл. 10. С дру-
другой стороны, несмотря на то, что мы стремимся к опреде-
определенной полноте изложения, читатель же, как только увидит, что
собственные о-решетки образуют мультипликативную группу, мо-
может опустить другие результаты этой главы до тех пор, пока
они ему не понадобятся.

88 РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ [ГЛ. 8
Все эти результаты классические, и были известны Дедекинду,
за исключением, быть может, того факта, впервые отмеченного,
по-видимому, Ихарой [26], что собственная о-решетка является
локально главной. Техника локализации будет использована во
всей силе для формулировки теории комплексного умножения
на языке иделей, как это сделано в книге Шимуры [К12].
§ 1. Решетки в квадратичных полях
Собственные я-идеалы. Пусть k — числовое поле, т. е. конеч-
конечное расширение поля рациональных чисел Q. Обозначим ok кольца
целых алгебраических чисел поля k. Под порядком о в поле k
будем понимать подкольцо кольца ok, размерность которого над
Z равна степени [k:Q]. Под решеткой в k понимается аддитив-
аддитивная подгруппа поля k, являющаяся свободной группой над Z
ранга [k:Q]. Если L—решетка в &, то порядком решетки L на-
назовем множество таких элементов k?k, что XLczL. По одному
из определений целых алгебраических чисел видно, что порядок
решетки L содержится в .ok (легко проверяется, что это дейст-
действительно порядок, т. е. рассматриваемое множество имеет ранг
[?:€}] над Z).
До конца этого параграфа будем предполагать, что т —квад-
—квадратичная иррациональность над Q и что k = Q(%). Обозначим
ЯЯ' нетривиальный автоморфизм поля k.
Пусть т удовлетворяет квадратному уравнению
где Л, В, С—взаимно простые целые рациональные числа и
А > 0. Пусть D = B2—4ЛС—дискриминант многочлена Ах2 +
+ Вх+Су так что __
B+VD
т
2Л
Очевидно,
5 = D (mod 2). A)
Теорема 1. Пусть
Тогда о есть порядок решетки [т, 1].
Доказательство. Справедливость равенства в правой
части следует из сравнения A). Далее, прямое перемножение
показывает, что l-LcL и что

§ 1] РЕШЕТКИ В КВАДРАТИЧНЫХ ПОЛЯХ 89
Следовательно, 1, "^— содержится в порядке решетки [т, 1].
Для доказательства обратного утверждения докажем сначала
следующий важный результат.
Теорема 2. Пусть L'=[x'y 1], где %'—сопряженный к %
элемент, и пусть г> определено, как в теореме 1. Тогда
Доказательство. Имеем
LL'-Ггг' х т' U
p-, — , — ,
что и требовалось доказать.
В частности, мы видим, что решетка L обратима (относи-
(относительно о). Другими словами,
Для завершения доказательства теоремы 1 предположим, что
KLczL. Тогда
и, следовательно, Косо. Далее, поскольку о содержит 1, то
Xgo, и это доказывает, что
0 = {%€ky ILczL}.
Пусть о—заданный порядок в поле k. Будем говорить, что
решетка L принадлежит порядку о, или что L является собст-
собственной ъ-решеткой, если
o = {lek, XLczL}.
Под о-идеалом понимаем обычный идеал а с о, который является
решеткой.
Следствие 1. Пусть о — порядок в квадратичном поле k.
Каждая собственная о-решетка в k является ъ-обратимой, и
обратно, каждая о-обратимая решетка является собственной
о-решеткой. Множество собственных о-решеток образует муль-
мультипликативную группу.
Если а, с—собственные о-идеалы, то запись с|а означает,
что существует такой о-идеал 6, что Ьс = а. Умножение на с
показывает, что Ь необходимо является собственным ?>-идеалом.
Кроме того, как обычно, легко видеть, что это условие эквива-
эквивалентно условию acre. Неприводимый собственный о-идеал р есть
собственный о-идеал, отличный от о, который нельзя разложить
в произведение # = ab собственных о-идеалов а, Ь таких, что
а фр и Ъф$. Если р неприводим, а, Ъ — собственные о-идеалы

90 РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ [ГЛ. 8
и ^|а6, то р\а или :р|Ь. (Позже, из теоремы 4, будет видно,
что всякий неприводимый собственный о-идеал, взаимно про-
простой с кондуктором, является простым идеалом.)
Следствие 2. Каждый собственный о-идеал раскладывается
в произведение неприводимых собственных о-идеалов, и это раз-
разложение единственно с точностью до порядка следования сомно-
сомножителей.
Доказательство. Допустим, что не всякий собственный
о-идеал имеет разложение в произведение неприводимых собст-
ственных о-идеалов. Так как кольцо о нетерово, то сущест-
существует максимальный идеал а с таким свойством, и он не может
быть неприводимым, так что a —be, где Ь, с—собственные
о-идеалы, собственно содержащие идеал а. Ввиду максимально-
максимальности идеала а отсюда следует, что бис обладают желаемым разло-
разложением и тогда таким разложением обладает также и идеала. Этим
доказано, что каждый собственный о-идеал раскладывается в про-
произведение неприводимых собственных о-идеалов. Единственность
разложения следует обычным образом из упомянутого выше
свойства, состоящего в том, что если :р| ab, то р\а или р\Ь.
Кондуктор и идеалы, взаимно простые с кондуктором.
Теорема 3. Пусть о— порядок в k и пусть ok = [z, 1].
Тогда существует единственное положительное целое рациональ-
рациональное число с такое, что
Доказательство. Заметим, что о является подрешеткой
решетки ok конечного индекса. Пусть с>0—такое единственное
положительное целое рациональное число, что
Мы утверждаем, что число с обладает нужным нам свойством.
Действительно, пусть Xgo, % = m-\-nz. Тогда
nz — X—т?о nZz,
откуда с\п и X^Z + Zcz. Это доказывает теорему.
Число с из теоремы 3 называется кондуктором порядка о*).
Пусть о—порядок и а—некоторый о-идеал. Пусть, далее, с —
кондуктор порядка о. Будем говорить, что идеал а взаимно прост
с с, если а + со = о, или же а + сок = о. На самом деле эти два
условия эквивалентны. Действительно, предположим, что а-\-со=о.
Если а-\-сокфо> то a-\-cok содержится в максимальном идеале р,
который содержит также а-{-со, что невозможно. Обратно, пред-
предположим, что а+со& = о. Если а-\-соФ о, тогда а+со содер-
содержится в некотором максимальном идеале #, и, так как кольцо
*) Часто кондуктором порядка о называют идеал со^.— Прим, перев.

§ 1] РЕШЕТКИ В КВАДРАТИЧНЫХ ПОЛЯХ 91
ok целое над о, существует максимальный идеал кольца ок, лежа-
лежащий на :р. Но это противоречит тому, что а+сок = о.
Обозначим Ik(c) множество о^-идеалов, взаимно простых с с>
и обозначим /а (с) множество о-идеалов, взаимно простых с с.
Теорема 4. Имеется мультипликативная биекция между
моноидом идеалов кольца ofe, взаимно простых с с, и моноидом
о~идеалову взаимно простых с с, задаваемая следующими двумя
взаимно обратными отображениями:
си—>ctofcl а?/а (с)-
Каждый идеал кольца о, взаимно простой с с, является собст-
собственным о-идеалом.
Доказательство. 1) Пусть а—некоторый о-идеал и
а-\-сок = о. Докажем, что а = аок(]о. Включение асао^По оче-
очевидно. С другой стороны,
aok П о = (аок П о) о = (аокПо) (а + со^са + ао^сга + аосга,
и этим первое утверждение доказано.
2) Пусть а—такой о-идеал, что а + сок — ок. Докажем, что
тогда (а П о) ок = а. Имеем
Отсюда следует, что идеал а П о взаимно прост с с. Далее,
а = ао = а ((а п о) + cok) с ок (а (]о) + са,
и так как ассапо, то ас(аг\о)ок. Обратное включение оче-
очевидно, и этим 2) доказано.
3) Докажем теперь, что всякий о-идеал а, взаимно простой
с с, является собственным. Пусть X?k и Хааа. Тогда
и так как 1 С о, то A,go.
4) В 1) и 2) мы получили желаемую биекцию, и эта биекция
сохраняет умножение. Действительно, пусть аа = а По, Ьа = 6 П о
суть о-идеалы, взаимно простые с с, причем о^-идеалы а, Ь также
взаимно просты с с. Тогда идеал aobfl взаимно прост с с и
Этим теорема доказана.
Замечание. Указанные рассуждения применимы к любому
числовому полю k с порядком о, если определить кондуктор с
как наибольший идеал кольца о, который одновременно является
о^-идеалом.
Теорема 5. Пусть L—собственная о-решетка и т—поло-
т—положительное целое число. Тогда существует такой элемент % С &,

92 РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ [ГЛ. 8
что kLczo и
Другими словами, в классе подобных с L решеток существует
целая решетка, взаимно простая с т.
Доказательство. Будем исходить из решетки L = [x, 1],
где т удовлетворяет уравнению
со взаимдо простыми целыми Л, В, С и А > 0. Тогда
L-X[A> 2 J L ' 2 >
и без потери общности можно считать, что L является о-идеалом
В таком случае aaf = Ад. Наконец, можно заменить т с помощью
преобразования из SL2(Z), т. е. доказать утверждение для ре-
решетки Li^fTj, 1], где
агг + b
Такое тх удовлетворяет уравнению
0 = А (а%1 + ЬJ + В (ахх + Ъ) (схг + d) + С (схг+ df =
где Ах~ Аа2-\-Вас-\-Сс2. Следовательно, достаточно доказать,
что можно выбрать взаимно простые а, с такими, что (Аъ т)~\.
Возьмем числа а, с по отношению к простым /?, делящим т,
следующим образом. Если р X А, выберем число а взаимно про-
простым с ру а число с—делящимся на р. Если р\А, но рХС,
возьмем число с взаимно простым с р, а число а—делящимся
на р. Если же р \ А и р \ С, то необходимо р X В- В этом слу-
случае возьмем а и с одновременно взаимно простыми с р. Это дает
нам желаемые целые а, с и доказывает теорему.
Классы собственных ^-идеалов. Пусть /а — мультипликатив-
мультипликативный моноид собственных о-идеалов и Ра — подмоноид главных
о-идеалов (автоматически собственных). Положим
и назовем Ga группой классов собственных о-идеалов. Пусть
/а (с)—моноид собственных о-идеалов, взаимно простых с кон-
кондуктором с, и пусть Ро (с) — подмоноид главных о-идеалов, взаимно
простых с кондуктором с. Тогда по теореме 5 имеет место изо-
изоморфизм
Ga да /0 (с)/Ра (с).

§ 1] РЕШЕТКИ В КВАДРАТИЧНЫХ ПОЛЯХ 93
Выразим Go в виде обобщенной группы классов идеалов кольца ok.
Обозначим Р% (с) моноид главных {^-идеалов а вида
где ct = a (modco^) для некоторого agZ, (а, с) = 1.
Лемма 1. Пусть а?Р%(с). Тогда
Доказательство. Так как а ? о, то oacafio. Обратно,
пусть x?ok и ха?о. Представим х и а в виде
# = т + /гг и a = a + cbz
с целыми рациональными /п, /г, а, Ь такими, что (а, с) = 1. Тогда
ха ^ та + /гга (mod coft)
и, следовательно, па делится на с. Отсюда с\п и поэтому х?о~
Лемма доказана.
Теорема 6. Рассмотрим гомоморфизм
Ih(c)-+h(c)9
такой, что а«—>аПя. Тогда прообразом Ра (с) является Р%(с)»
Доказательство. Предыдущая лемма показывает, что
Р%(с) содержится в прообразе. С другой стороны, если а(]о==оау,
где а = а (modcoj и a?Z, то a = oAa, и тогда &?Р%(с).
Из теоремы 6 следует, что имеет место изоморфизм
Заметим, что Р% (с) содержит главные идеалы, порожденные эле-
элементом, сравнимым с 1 (mode). Моноид таких идеалов обозначим
Рг(с). Тогда получаем башню
Ik(c)z>Pz(c)z>Pt(c).
Теперь легко определить порядок группы Ga.
Теорема 7. Порядок группы Ga равен
где h—число классов поля ky с—кондуктор порядка о, ol и о*—
группы единиц в ok и о соответственно, и (—)—обычный сим-
— 1 = 1, если простое число р полностью распадается
в поле k, (—)=—1, если р остается простым в ky и (—)=0>
если р разветвлено в поле k.

94 РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ [ГЛ. 8
Доказательство основано на гех же аргументах, кото-
которые были использованы Фютером и Вебером. Сама теорема
является вполне классической. Из общей теории алгебраических
чисел известно, что порядок обобщенной группы классов идеалов
h(c)/Pi(c) равен
* (OklUe)
где ф—функция Эйлера и Uc состоит из тех единиц в кольце okJ
которые сравнимы с 1 по modc%. Доказательство этого резуль-
результата можно найти, например, в книге автора «Теория алгебраи-
алгебраических чисел» (гл. VI, § 1, теорема 1). Кроме того, имеем
Для простоты предположим сначала, что в кольце о^ нет других
единиц, кроме ±1. Мы имеем отображение
задаваемое соответствием а*—>класс аок no modP1(c)9 ядро кото-
которого состоит из ±1 и имеет порядок 2 при с > 2. Пусть р—про-
р—простое число, рт\с и рт+гXс- Тогда р-вклад в (Z/cZ)* равен
рт A — 1/р). Пусть р полностью распадается в поле k. Тогда
pok = W' и поля ok/p, ok/p' имеют порядок р. Следовательно,
р-вклад в ф (сон) равен
порядку
Деление этих р-вкладов один на другой дает соответствующий
множитель в произведении. С другой стороны, если —1 = 1
(mode), то 0^ = 0* и с=1 или 2. Тогда 1-вклад является пра-
правильным вкладом. Если же —1 =? 1 (mode), то 1-вклад также
является правильным. Далее, если число р остается простым
в кольце ok, то р-вклад в ф (сок) равен порядку мультиплика-
мультипликативной группы ok/pmok, т. е. равен рт (\ — 1/р2). Тогда снова
результат деления этого вклада на р-вклад в (Z/cZ)* дает желае-
желаемый множитель
Если теперь рок = р%, то аналогичные рассуждения опять при-
приводят к правильному вкладу в наш множитель. Наконец, если
кольцо ok содержит единицы i или р, то рассуждения прово-
проводятся таким же образом. Предоставляем провести их читателю.
Замечание. Выше мы рассматривали идеалы кольца о,
т. е. идеалы, содержащиеся в о. Конечно, можно также рас-
рассматривать группу собственных о-решеток относительно обычной
эквивалентности: L ~ М тогда и только тогда, когда существует
элемент k?k такой, что KL = M. Если a?k и а = 1 (mod*с),

§ П РЕШЕТКИ В КВАДРАТИЧНЫХ ПОЛЯХ 95
что означает выполнимость неравенств
ord» (а—1)
для всех простых идеалов р кольца ок> делящих с, то можно
представить а в виде сс = C/у, где
(Если d—положительный целый рациональный знаменатель алге-
алгебраического числа а, взаимно простой с с, то по китайской
теореме об остатках можно найти целое рациональное число dly
делящееся на все простые р Xс таким же образом, как и d,
и dx=\ (mode). Тогда djagoft и dxa=\ (modcjoft)). Если а,
Ь—собственные о-идеалы такие, что act = 6, то $а = уЬ.
Следствие. Имеется лишь конечное число мнимых квадра-
квадратичных иррациональностеи т?«!р, неэквивалентных относительно
модулярной группы, для которых j (т) лежит в заданном число-
числовом поле К-
Доказательство. Известно, что число классов мнимого
квадратичного поля k стремится к бесконечности вместе с дис-
дискриминантом, а именно, по теореме Зигеля,
\ogh{D)~\og\DVl2.
Поэтому степень j (ок) стремится к бесконечности при |D|—*оо.
Для любого порядка ^ocok из теоремы 7 следует, что число
классов порядка jo также стремится к бесконечности вместе
с кондуктором. Но степень / (о) над полем k равна этому числу
классов (будет доказано позже, гл. 10), и следствие доказано.
Заметим, что теорема 7 дает очень точную зависимость роста
степени / (о) как функции от кондуктора, если только известно
абсолютное число классов. Хорошую оценку для абсолютного
числа классов можно получить из гипотезы Римана. Однако
к настоящему времени гипотеза Римана не доказана, и потребо-
потребовалось много изобретательности, чтобы доказать теорему Зигеля
(см., например, [К7], гл. 13, § 4, и гл. 16, а также [К15]).
Локализация. Рассмотрим, наконец, локализацию для про-
простого числа р. Пусть Sp—множество положительных целых, не
делящихся на р. Определим локализацию решетки L в р как
До конца этого раздела вместо L{p) мы будем писать для удоб-
удобства Lp. Когда в следующем параграфе будем рассматривать
пополнения, то Lp будет обозначать пополнение L{p).
Если L, М—две решетки, то имеем тривиальным образом
Включение левой части в правую очевидно. Обратно, если неко-
некоторый элемент может быть записан в виде х/т = у/пу где x^L%

96 РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ [ГЛ. 8
у я тп не делится на р, то ту=пх лежит в L(]M, и рас-
рассматриваемый элемент равен тогда пх/тпу что и требовалось
установить.
Как обычно, LM состоит из всех сумм
где Х;?Ь, У;?М. Это произведение является аддитивной под-
подгруппой поля ky конечно порожденной над Z, и, следовательно,
оно будет решеткой.
Имеет место равенство
{LM)p = LpMp.
Теорема 8. Пусть L, М—решетки в поле k. Тогда если
LpdMp для всех простых чисел р, то LczM.
Доказательство. Пусть x?L. Тогда можно записать х
в виде х = ур/пр, где ур?М и целое пр взаимно просто с р,
так что прх?М. Числа пр рассматриваемого семейства являются
взаимно простыми. Тогда существуют числа mp?Z такие, что
YimpnP= 1-
Отсюда следует, что
х=^трпрхеМ.
Теорема доказана.
Эта теорема показывает, что для того, чтобы установить ра-
равенство двух решеток, достаточно сделать это локально для
каждого простого р. Далее, рассуждения, аналогичные исполь-
использованным в теореме, приводят к соотношению
L = [\Lr
р
Заметим, что если р не делит кондуктор с порядка г>, то
и в частности, если L—собственная о-решетка, то обычная тео-
теория идеалов дает, что L является локально главной, т. е. суще-
существует такой элемент a g k, что
Для квадратичного поля, как было замечено Ихарой [26],
это свойство остается справедливым, даже если р | с.
Теорема 9. Пусть L—решетка в поле ky принадлежащая
порядку о. Тогда существует элемент a?k такой, что Lp=opay
т. е. решетка L является локально главной.
Доказательство. Пусть снова ок = [г, 1]. Можно счи-
считать, что р\с. Так как LpL^^Op, то существуют такие y^L'1 и
x^Lpj что ух = т-{-псгу где т, п—целые рациональные и (т, р) =

§ 2] ПОПОЛНЕНИЯ 97
= 1. Деля обе части последнего равенства на т, получаем, что
Умножение на элемент сгу лежащий в о (так что czLpaLp), дает
cz?yLp + c*z\,
и тогда по индукции
для всех положительных целых v. Следовательно, opczyLp-\-
+ pvop для всех v, и так как индекс (ор: yLp) есть степень
числа р, то opczyLp. Тогда op = yLp, и теорема доказана.
Следующая лемма оказывается иногда полезной при отыска-
отыскании локально порождающих элементов для собственных я-идеалов.
Лемма 2. Пусть a?Ik(c) и пусть для некоторого простого
р имеет место равенство ap = okiPa, где a get. Пусть, далее,
х> y?$kip каковы, что
ха + ус = 1.
Тогда
ьр П *V = °рха-
Доказательство. Заметим, что 1^ор1 ус?др, так что
ха?др. Тогда имеем включение з. Обратное включение доказы-
доказывается с помощью рассуждений, аналогичных тем, которые были
использованы при доказательстве теоремы 9.
§ 2. Пополнения
Пусть k—числовое поле и пусть L—решетка в k. Для прос-
простого числа р обозначим Zp кольцо целых р-адических чисел и
положим
г у (Я^ I
Будем также употреблять запись
Обозначим L^^S^L локализацию решетки L в р, которая
определена в предыдущем параграфе. Тогда Lp можно рассмат-
рассматривать как пополнение L{p)i и имеется естественное вложение
которое мы трактуем как включение.
Пусть Qv—поле р-адических чисел. Определим
kp = Qp®k
и будем записывать также

98 РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ [ГЛ. 8
Под Zp-решеткой в k» будем понимать Z^-подмодуль в kp раз-
размерности [k: Q] над Zp. Заметим, что
так что степени простого р, которые появляются в знаменателях
элементов Z^-решетки, ограничены. Следовательно, если Мр
является Zjp-решеткой, то существует степень рг такая, что
С другой стороны, существует степень ps такая, что
поскольку ok%p и Мр имеют одну и ту же размерность над Zp.
Под Z{р)-решеткой в поле k мы понимаем Z(«)-подмодуль
поля k размерности [k: Q] над Z(/?). Тогда, если Мр есть Zp-
решетка в kp, то
Mp(\k
является Z{/?)-pemeTKofl в k. Указанное пересечение рассматри-
рассматривается при условии, что поле k естественным образом вложено
в kp. Это утверждение более или менее очевидно, поскольку
пересечение Мр f]k является модулем над Zip), содержащим psokAp)
при некотором s и содержащимся в prok, {p). В таком случае
модуль Mp[\k имеет правильную размерность над Z(/?).
Теорема 10. 1) Пусть для каждого простого р в поле k
заданы 2{р)-решетки М{р) такие, что М{р)*=окч{р) для почти
всех р. Тогда существует единственная решетка L в k такая,
что Lip) — M{p) для всех р.
2) Пусть в kp заданы решетки Мр такие, что Мр = окщрдля
почти всех р. Тогда существует единственная решетка L такая,
что Lp = Mp для всех р.
Доказательство. Чтобы доказать 1), положим L = Г)М(р).
Тогда легко проверяется, что L есть решетка и что L{p) = M{p>
для всех /7. Второе утверждение следует из первого ввиду заме-
замечаний, сделанных относительно Z(/?)-peujeTOK и Z^-решеток.
Пусть L — решетка в k. Для каждого р имеется естественный
изоморфизм
поскольку Lip) = Lp(]k. Далее, так как (]L{p) = L9 получаем
р
канонический изоморфизм
В самом деле, поскольку каждый элемент х ?k лежит в oktip>
для почти всех /?, то мы имеем отображение поля k в прямую

§21 ПОПОЛНЕНИЯ 99
сумму факторов kp/Lp. Указанный изоморфизм дает р-примарное
разложение периодической группы k/L.
Напомним, что идели Jk поля k могут быть определены как
ограниченное произведение
где k*u—группа обратимых элементов из ku = R(/)k и ft*—груп-
ft*—группа обратимых элементов из kp. Если
s = (..., spi ...)
есть некоторый идель с компонентами sp^kpy то для любой Zp-
решетки Lp мы можем рассмотреть произведение
которое снова является Z^-решеткой.
Если L-решетка в fe, то spLp = %1/7 для почти всех р, и тогда
существует единственная решетка М такая, что
Решетка М обозначается sL. Отметим, что s суть идель, так что
нет никакого естественного умножения, определенного непосред-
непосредственно для s и L. Поэтому обозначение sL является чисто сим-
символическим.
Умножение на sp индуцирует изоморфизм, обозначаемый также
через sp,
sp: kp/Lp-+kp/spLpy
который задается отображением xp\-*spxp. Используя разложение
р
можно определить изоморфизм
s: k/L—+k/sL,
позволяя иделю s действовать покомпонентно, т. е. с помощью
умножения на sp в каждой компоненте kp/Lp.
Пусть L = a—дробный идеал кольца целых алгебраических
чисел ок. Тогда можно ограничиться рассмотрением простых ком-
компонент в поле k. Если а* — алгебраическое замыкание а в локаль-
локальном поле fe^j и если s—идель с ^-компонентой Sj,, то произведение
определено, и так как
то
k/sa « 2 h Is»

100 РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ [ГЛ. 8
Пусть с—идеал кольца %. Тогда с^агэа и фактор-группа
является конечной подгруппой группы k/a. Кроме того, k/a
является объединением таких конечных подгрупп по возрастаю-
возрастающим идеалам с (идеалы упорядочены по делимости). Пусть fa, ...
..., фт—простые идеалы, делящие с или входящие в разложе-
разложение идеала а. Локализируя кольцо $к в этих простых идеалах,
получим дедекиндово кольцо о', имеющее лишь конечное число
простых идеалов и, следовательно, являющееся кольцом главных
идеалов. Тогда сг>'в=(с) для некоторого элемента с и сш'в=(а).
Следовательно, имеет место изоморфизм
где (х)—идеал, порожденный в кольце о' элементом х. Пусть
х?о' такой элемент, что хао'*=ао\ и пусть w^c^ct/a. Тогда хи
можно определить естественным образом умножением м на х и,
следовательно, хи*=и для всех и??~га/а тогда и только тогда,
когда
х= 1 (mod* с).
Это сразу же следует из определений. Сравнение по mod* озна-
означает обычное сравнение в локальном кольце для каждой простой
компоненты идеала с.
§ 3. Группа разложения к автоморфизм Фробениуса
В этом параграфе дается обзор основных фактов о группах
разложения простых идеалов в расширениях Галуа. Изложенные
здесь результаты являются основой для дальнейшего, и мы хотим
подчеркнуть, что хотя они иногда устанавливаются лишь для
дедекиндовых колец, например в числовых полях, эти результаты
справедливы в более широкой ситуации, что оказывается важ-
важным, когда мы рассматриваем эллиптические кривые над коль-
кольцом Z [/].
На протяжении этого параграфа под кольцом понимается
коммутативное кольцо без делителей нуля.
Предложение 1. Пусть R—кольцо, целозамкнутое в его
поле частных /С, и пусть L—конечное расширение Галуа поля
К с группой Галуа G. Пусть, далее, :р—максимальный идеал
кольца R и 9$, ?1 — простые идеалы из целого замыкания S коль-
кольца R в L, лежащие над р. Тогда существует элемент б^О такой,
что а$ = ?1.
Доказательство. Предположим, что ^5Фcr?l для каждого
cr?G. Тогда найдется такой элемент х б 5, что
х = 1 (mod oG) для всех а б G

§3] ГРУППА РАЗЛОЖЕНИЯ И АВТОМОРФИЗМ ФРОБЕНИУСА 101
(по китайской теореме об остатках). Норма элемента х
ое G
лежит в S()I( = R (поскольку кольцо R целозамкнуто) и при-
принадлежит ^ = ^3п^?. Но х (j^otl для всех cr?G и, следовательно,
ax^Sl для всех crgG. Это противоречит тому, что норма х
лежит в :p = ?ln#, тем самым предложение доказано.
Следствие. Пусть R—кольцо, целозамкнутое в своем поле
отношений /С, и пусть Е—конечное сепарабельное расширение
поля /С. Пусть, далее, S—целое замыкание R в поле Е и # —
максимальный идеал кольца R. Тогда существует лишь конечное
число простых идеалов кольца 5, лежащих над р.
Доказательство. Пусть L — наименьшее расширение
Галуа поля /С, содержащее в себе Е. Если ?}1? ?}2— различные
простые идеалы кольца 5, лежащие над :р, и $pif У$2—простые
идеалы из целого замыкания кольца R в L, лежащие над ?}х
и ?}2 соответственно, то 9$1ф9$2' Это замечание сводит вопрос
к случаю, когда Е является расширением Галуа поля /С, и
тогда утверждение сразу же следует из предыдущего предло-
предложения.
Пусть кольцо R целозамкнуто в своем поле отношений К
и пусть 5—целое замыкание кольца R в конечном расширении
Галуа L с группой G. Тогда oS = S для каждого элемента cr?G.
Пусть р—максимальный идеал кольца R и ^}—максимальный
идеал кольца S, лежащий над -р. Обозначим G$ подгруппу груп-
группы G, состоящую из тех автоморфизмов, для которых а§р = ^}.
Группа G$p естественным образом действует на поле классов
вычетов 5/^5 и оставляет неподвижным поле /?/р. Тогда каждому
элементу о ? G$ можно поставить в соответствие автоморфизм о
поля 5/^5 над полем R/$, и отображение, задаваемое этим соот-
соответствием
индуцирует гомоморфизм группы G% в группу автоморфизмов
поля S/Sj} над /?/р.
Группа Gsp называется группой разложения идеала 9$. Ее не-
неподвижное поле обозначим Ld и назовем его полем разложения
идеала $р. Пусть Sd—целое замыкание кольца R в поле Ld и
пусть D = $n«Srf. Из предложения 1 следует, что ^5 является
единственным идеалом кольца S, лежащим над О.
Пусть G= (Jtf/Gsp—разложение группы G на смежные классы
по подгруппе G$. Тогда простые идеалы ау-^3 являются простыми
идеалами кольца 5, лежащими над ;р. Действительно, если о, т ? G,
то равенство оф = т$Р имеет место тогда и только тогда, когда
т~1сг^3 = ^5, т. е. когда элемент т-1а лежит в G^. Но в этом

102 РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ [ГЛ. 8
случае т и о принадлежат одному и тому же классу смежности
по mod Gjjj .
Отсюда сразу же следует, что группой разложения простого
идеала а^р является группа oG^ct'1.
Предложение 2. Поле Ld есть наименьшее из подполей Е
поля L, содержащих К и таких, что ^3 является единственным
простым идеалом кольца S, лежащим над идеалом 9$Г\Е (кото-
(который является простым в кольце SnE).
Доказательство. Пусть Е — подполе с указанным свойст-
свойством и пусть Н — группа Галуа поля L над Е. Пусть, далее,
& = 9$(}Е. По предложению 1 все простые идеалы кольца 5,
лежащие над ?1, сопряжены между собой под действием элемен-
элементов из Н. Но так как имеется лишь один простой идеал, а
именно ^}, то группа Н оставляет ^3 инвариантным, и тогда
HaG$. Следовательно, Ez^Ld. Но, как было отмечено ранее,
поле Ld обладает тем же свойством. Предложение доказано.
Предложение 3. При указанных выше обозначениях имеет
место равенство R/$ = Sd/Q, (при каноническом вложении R
Sd&)
Доказательство. Если с—элемент группы G, не лежа-
лежащий в G$, то о$ф<$ и сг^Фф. Положим
Тогда Ga=?D. Пусть х—некоторый элемент поля Sd. Тогда
существует такой элемент у ? Srf, что
у~х (mod ?1)
и
у = 1 (modQa)
для всех <j?G и o^GVs. В частности,
у^х
у=\
для каждого o(?G%. Тогда
ay=l
Нормой элемента у из Ld в К является произведение у и эле-
элементов ш/ с o^G^. В таком случае
Но норма лежит в поле К и даже является элементом кольца R
как произведение элементов, целых над R. Поскольку теперь
х и JV*c (у) лежат в Sd, то последнее сравнение выполняется
по modQ, что эквивалентно утверждению предложения 3.

§ 3] ГРУППА РАЗЛОЖЕНИЯ И АВТОМОРФИЗМ ФРОБЕНИУСА ЮЗ
Если х—элемент кольца 5, то обозначим #—его образ при гомо-
гомоморфизме S—+S/9$. Тогда "а является автоморфизмом поля
удовлетворяющим соотношению
Далее, если / (X)—многочлен с коэффициентами из кольца S,
то обозначим f (X) — образ этого многочлена при указанном выше
гомоморфизме, т. е. если
то
Т(Х)=ьях»+...+ь0.
Предложение 4. Пусть кольцо R целозамкнуто в своем
поле отношений К и пусть S—целое замыкание кольца R в ко-
конечном расширении Галуа L поля К с группой Галуа G. Пусть,
далее, <р—максимальный идеал кольца R и 9$—максимальный
идеал кольца 5, лежащий над р. Тогда S/9$—нормальное расши-
расширение поля R/p и отображение о\-> о индуцирует гомоморфизм
группы С<ц на группу Галуа поля 5/^3 над R/$.
Доказательство. Пусть S = Sffi и R = R/$. Каждый
элемент поля 5 может быть представлен в виде х при некотором
x?S. Пусть х порождает сепарабельное подрасширение в поле 5
над R и пусть /—неприводимый многочлен элемента х над по-
полем/С. Так как элемент х является целым над R, то коэффици-
коэффициенты многочлена / лежат в кольце /?, и все корни многочлена /
также являются целыми над R. Тогда
раскладывается на линейные множители в кольце 5, и так как
где X{?Sy 1^/^m, то / раскладывается на линейные множи-
множители в поле 5. Заметим, что из равенства f(x) = O следует, что
f (x)=z§. В таком случае поле 5 нормально над R и
K]<[L: К].
Это означает, что максимальное сепарабельное подрасширение
поля R в S имеет конечную степень над R (здесь используется
теорема о порождающем элементе из элементарной теории полей).
Фактически эта степень ограничена величиной [L: /С].

104 РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ [ГЛ. 8
Остается доказать, что отображение а\^а задает сюръектив-
ный гомоморфизм группы G^ на группу Галуа поля 5 над R .
Для этого сведем вначале задачу к случаю, когда ^3 является
единственным простым идеалом кольца S, лежащим над р. В са-
самом деле, по предложению 3 поле классов вычетов основного
кольца совпадает с полем классов вычетов кольца Sd из поля
разложения, и тогда можно взять Ld в качестве основного поля.
Это дает нам желаемое сведение задачи, и можно считать, что
/C = L* и G = GV,.
Возьмем теперь порождающий элемент х максимального сепа-
рабельного подрасширения поля R в S для некоторого x^S.
Пусть /-*-неприводимый многочлен элемента х над К. Каждый
автоморфизм-поля S определяется его действием на х и перево-
переводит х в некоторый корень многочлена /. Будем считать, что
х = х1. Для каждого корня х{ многочлена / существует такой эле-
элемент а из группы G = G$, что ox = xh и тогда вх = Х;. В таком
случае, автоморфизмы поля S над /?, индуцированные элемен-
элементами группы G = G^, действуют на корнях многочлена / .тран-
зитивно и, следовательно, они дают все автоморфизмы поля
классов вычетов, как и нужно было показать.
Следствие 1. Пусть кольцо R целозамкнуто в своем поле
отношений К и пусть S — целое замыкание кольца R в конечном
расширении Галуа L поля К. Пусть, далее, ,р—максимальный
идеал кольца R, cp: R—+R/)r)—канонический гомоморфизм и tyl9
if>2—гомоморфизмы кольца S, полученные расширением <р в задан-
заданном алгебраическом замыкании поля R/p. Тогда существует
такой автоморфизм о поля L над /С, что
Доказательство. Ядрами гомоморфизмов tyly ф2 явля-
являются простые идеалы кольца 5, которые сопряжены по предло-
предложению 1. В таком случае существует такой элемент т из группы
Галуа G, что ^ и -ф2от будут иметь одно и то же ядро. Без
уменьшения общности можно считать, что ^ и я];2 имеют одно
и то же ядро Щ. Но тогда существует такой автоморфизм со
кольца ^ (S) на кольцо г|JE), что соог^ = if2, и, по предложе-
предложению 4, существует такой элемент а из группы C%, что соо^ =
^ij^ocr. Этим следствие доказано.
Замечание. Во всех приведенных выше предложениях
можно считать ^ простым идеалом, а не обязательно максималь-
максимальным. Тогда для применимости указанных выше доказательств
нужно рассмотреть локализацию в р. В приложениях к числовым
полям в такой локализации нет необходимости, поскольку в этом
случае каждый простой идеал является максимальным.

§3] ГРУППА РАЗЛОЖЕНИЯ И АВТОМОРФИЗМ ФРОБЕНИУСА 105
Возвращаясь к приведенным выше рассуждениям, заметим,
что ядро отображения
Gy, -> G$
называется группой инерции Т% идеала ^3. Эта группа состоит
из тех автоморфизмов группы G$, которые индуцируют триви-
тривиальный автоморфизм на поле классов вычетов. Неподвижное поле
группы инерции называется полем инерции и обозначается D.
Если группа инерции идеала Щ> тривиальна, т. е. состоит
лишь из 1, то говорят, что идеал У$ неразвепгвлен над р. Если
каждый простой идеал ^3 над р неразветвлен, то идеал р назы-
называется неразветвленным в поле L.
Пусть снова ^ — максимальный идеал кольца R и пусть S —
целое замыкание кольца R в конечном расширении Галуа L сте-
степени N поля К. Скажем, что идеал р полностью распадается
в L, если имеется точно N различных простых идеалов кольца 5,
лежащих над р. Идеал р полностью распадается в L тогда и
только тогда, когда G%~ 1, так как группа G переставляет про-
простые идеалы У$/р транзитивно.
Если расширение L/K абелево, то неподвижное поле группы
разложения характеризуется следующим образом.
Следствие 2. Пусть расширение LjK абелево с группой G
и пусть р—простой идеал поля К- Пусть Щ—простой идеал
поля L, лежащий над р, и G^—его группа разложения. Пусть,
далее, Е —неподвижное поле группы G^. Тогда Е является макси-
максимальным подполем поля L, содержащим К, в котором р полно-
полностью распадается.
Доказательство. Пусть
G= LK-Gs
— разложение группы G на классы смежности по подгруппе G<$
и пусть с|=:^п?. Так как группа Галуа транзитивно пере-
переставляет простые идеалы, лежащие над данным простым идеа-
идеалом, то ^5 является единственным идеалом поля L, лежащим
над с). Далее, для каждого i простой идеал о$$ является един-
единственным идеалом, лежащим над а,-с|, и так как ах^3, ..., вД$
различны, то простые идеалы cr^i, ..., orq также различны.
Кроме того, так как G — абелева группа, то простые идеалы о$
являются простыми идеалами поля ?, и так как [Е: /С] = г, то
р полностью распадается в поле Е. Обратно, пусть F—проме-
F—промежуточное поле между К и L, в котором идеал р полностью рас-
распадается, и пусть Я —группа Галуа поля L/F. Если o?G$ и
Ц$Г\Р = У$Г, то элемент о оставляет идеал ^F неподвижным. Но
группа разложения идеала ^F над р должна быть тривиальной,
так как р полностью распадается в поле F, и, следовательно,
ограничение элемента а на поле F является тождественным

106 РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ [ГЛ. 8
автоморфизмом. В таком случае G#аН и тогда FaE. Эгим следст-
следствие доказано.
Пусть снова L//C — произвольное расширение Галуа. Предпо-
Предположим теперь, что поле классов вычетов /?/р конечно и состоит
из q элементов. Запишем q = Np. Эго число является степенью
простого числа р, лежащего в идеале р. Из теории конечных
полей известно, что имеется единственный автоморфизм поля
5/^J над R/p, порождающий группу Галуа расширения поля
классов вычетов и действующий по правилу
В термитах сравнений этот автоморфизм сг может быгь записан
в виде
Но, как мы только что вид эли, существует смежный класс аТ^
в группе G|}, который индуцирует ст на расширении поля клас-
классов вычетов. Элементы этого класса смежности называются ав-
автоморфизмами Фробениуса идеала ^5 и будут обозначаться
(^J, L/K). Если группа инерции 7% тривиальна, то (^3, L/K)
определяется единственным образом, как элемент группы разло-
разложения G^.
Если ?)—другой простой идеал, лежащий над р, и элемент
t]€G таков, что г|р = ?1, то группа разложения идеала D задается
в виде
Аналогичное утверждение справедливо для группы инерции и для
автоморфизмов Фробениуса,
Это непосредственно следует из определений. Кроме того, если
группа Т$ тривиальна, то (^J, L/K)=l тогда и только тогда,
когда р полностью распадается, т. е. когда G# = l.
Если L/K—абелево расширение и если группа инерции Т<$
тривиальна для одного из ^3|р (а следовательно, для всех $| р),
то с каждым простым идеалом р в поле К, ассоциирован един-
единственный элемент группы G, лежащий в G$ (один и тот же для
всех 9$|J>), который обозначим
а = (р, LIK)
и назовем автоморфизмом Артина идеала р в группе G. Этот
элемент ст характеризуется сравнением
С помощью леммы Цорна все указанные результаты легко
распространяются на бесконечные алгебраические расширения

§4] КРАТКИЙ ОБЗОР ТЕОРИИ ПОЛЕЙ КЛАССОВ 10?
Галуа L//C. В этом случае справедливы предложения 1—4, и
тогда получаем автоморфизм Фробениуса (^3, L//C), определен-
определенный по модулю группы инерции Т$.
Рассмотрим случай конечного расширения Галуа, не обяза-
обязательно абелева, и обозначим
автоморфизм Фробениуса идеала $р. Предположим, что ty нераз-
ветвлен. Тогда а% определен как элемент группы G^. Пусть
кольцо 5 задается порождающими элементами хх, ..., хп над
кольцом /?,
S = R[x19 ..., хп],
и пусть т—такой элемент группы Галуа G, что
Есех 1 = 1, 2, ..., п. Предположим также, что $ не делит
ты каждого из элементов хь т. е. не делит ненуле-
ненулевые разности
Тогда
ххi = o^xt (mod ^3)
и, следовательно, хх{ = о^х{ для всех /. Но xt порождают поле L
над /С, и тогда т=о\;]з.
§ 4. Краткий обзор теории полей классов
Изложение теории полей классов, данное в книге «Алгебраи-
«Алгебраическая теория чисел», является классическим и наиболее подхо-
подходящим для приложений в данной книге. Дадим краткий обзор
основных результатов.
Пусть k—числовое поле, не имеющее для простоты действи-
действительных вложений в поле комплексных чисел, и пусть К —
абелево расширение, для начала, конечной степени). Если р —
простой идеал поля k, неразветвленный в /С, то можно сопоста-
сопоставить идеалу р автоморфизм Фробениуса
вр = (р, К Ik)
из группы Gal (/С/А). Пусть с — идеал кольца ок, делящийся на
достаточно высокие степени всех простых идеалов поля k, раз-
разветвленных в поле К, и пусть Ik (с) — группа дробных идеалов,
взаимно простых с идеалом с. По мультипликативности, отобра-
отображение Рг-»(#, К Ik) можно расширить до отображения
4 (с) — Gal (КIk),

108 РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ [ГЛ. 8
называемого отображением Артина. Можно показать, что это
отображение является сюръективным гомоморфизмом.
Обозначим Рг (с) подгруппу группы /fe(c), состоящую из тех
главных идеалов (а), для которых
а = 1 (mod* с).
Это означает, что а = 1 (mod tn${p)), где тр — максимальный идеал
локального кольца о$ , р|с, и г(р)—порядок идеала с в р. Пусть
Ш (с) — группа, порожденная нормами всех простых идеалов поля /С,
взаимно простых с с. Тогда ядром отображения Артина является
группа
и это утверждение составляет закон взаимности Артина.
Все сказанное можно сформулировать в терминах иделей.
Идель s есть элемент ограниченного произведения
мультипликативных групп полей kvr полученных пополнением
поля k по всем его нормированиям, которые являются или рас-
расширением обычной абсолютной величины в поле Q, или р-ади-
ческой нормы в поле Q такой, что | р \р=* l/р. Заметим, что не-
неархимедовы нормирования поля k соответствуют простым идеалам
кольца ok. Ограниченное произведение означает, что рассматри-
рассматриваются такие элементы
что Sp являются р-единицами для почти всех (всех, кроме конеч-
конечного числа) простых идеалов р. Определим символ Артина для
иделей (s, K/k) следующий образом. Выберем такой элемента ?&,
чтобы идель as имел ^-компоненты asj,, очень близкие к 1 для
всех р, разветвленных в К. Близость к 1 определяется тем же
типом сравнимости, с помощью которой задавалась группа Pf (с).
Определим затем идеал
где m(p) — порядок ots$ относительно идеала р. Тогда символ
Артина (s, K/k) задается равенством
(s, /С/Л) = ((as), К Ik).
Этот символ вполне определен и дает гомоморфизм группы иде-
иделей Jk на группу Gal (K/k). Ядро этого гомоморфизма порож-
порождается мультипликативной группой &* поля &, вложенной в груп-
группу Jk диагональным образом, и группой норм иделей из /С,
т. е. ядро есть
k*NKikA*K.

§4] КРАТКИЙ ОБЗОР ТЕОРИИ ПОЛЕЙ КЛАССОВ Ю9
Норма и дел я определяется естественным способом, каким именно,
здесь это не важно.
ЕслиТСзТСзй—абелевы расширения, то ограничение (s, K'lK)
на К есть в точности (s, Klk). Такая согласованность позволяет
определить (s, k) в группе Галуа поля kab над полем &, т. е.
в группе Галуа максимального абелева расширения поля k.
Для заданного простого идеала р рассмотрим значения отоб-
отображения Артина на иделях
(... 1, 1, s,f 1, 1, ...),
где все компоненты, за исключением s^,, равны 1. Эти значения
принадлежат группе разложения простого идеала ^3, лежащего
над р, и дают инъективный гомоморфизм kl на плотную под-
подгруппу этой группы разложения. Указанное отображение яв-
является сюръективным для каждого конечного абелева расшире-
расширения. Этот локальный факт нам здесь не потребуется, и читатель
может пока что не обращать на него внимания.
Для случая поля рациональных чисел все изложенное легко
описать элементарным способом. Рассмотрим круговое поле Qn =
= Q (?я), где ?я—примитивный корень степени п из 1. Все идеалы
кольца целых чисел Z являются главными, и мы получаем отобра-
отображение Артина следующим образом. Если а ? Z, а > 0 и (а, п) = 1,
то ((а), Qn/Q) есть тот автоморфизм ст, для которого
В частности, для простого р\п имеем
Й-й-
Отсюда следует, что закон разложения простого числа р в поле
Qn определяется соответствующей арифметической прогрессией.
Соотношения сравнимости, определяющие обобщенные группы
классов идеалов, позволяют распространить эту идею на произ-
произвольные числовые поля.
Наконец, напомним характеризацию расширений Галуа с по-
помощью простых идеалов, полностью распадающихся в них. Пусть
М—некоторое множество простых идеалов. Тогда предел
—1))
(если он существует) называется плотностью Дирихле множества М.
Можно доказать (с помощью, например, теории полей классов,
см. [К7], гл. 8, § 4), что каждый класс идеалов из /(c)/Pi(c)
имеет плотность Дирихле и что эта плотность равна 1//1с(где
А2 — порядок группы /(с)/Рх(с)). Пусть S, Т—некоторые мно-
множества простых идеалов поля k. Запишем 5<Г, если существует
множество простых идеалов Z с плотностью Дирихле 0, содер-

110 редукция эллиптических кривых [гл.9
жащееся в 5 и такое, что 5—ZaT. Другими словами, это озна-
означает, что множество 5 содержится в Т, за исключением множе-
множества простых идеалов плотности 0.
Пусть К Ik—расширение Галуа и пусть SK/k—множество про-
простых идеалов поля ft, полностью распадающихся в К- Если
LzdK—другое расширение Галуа поля ft, то тривиальным обра-
образом SL/kc:SK/k. Если же
то L = /C. Действительно, SLjk имеет плотность l/[Lik] и тогда
[L:ft]<[7C:ft],
откуда L = /C. Более того, справедливо следующее утверждение
(см., например, [К7], теорема 9, гл. 8, § 4):
Пусть K/k—расширение Галуа и Е—конечное расширение
поля ft. Тогда SKik<SEjk <s том и только в том случае, если
ЕаК.
Далее, можно охарактеризовать поле классов лучей, принадле-
принадлежащее идеалу с (или, как говорят, с кондуктором с) как такое
абелево расширение К поля ft, для которого множество SK/k
состоит лишь из простых идеалов, лежащих в единичном
классе группы классов I(t)/P1(c), т. е. из тех простых идеалову
которые являются главными и порождающие элементы которых
а удовлетворяют условию а == 1 (mod с).
Для определенных целей (например, для конструкции абеле-
вых расширений) такая характеризация оказывается достаточной.
Позже, когда автоморфизм Артина анализируется в терминах
его действия на значения некоторых аналитических функций,
такой характеризации, конечно же, недостаточно и нужно знать
некоторые другие факты из теории полей классов, чтобы полно-
полностью понимать, что происходит.
Глава 9
редукция эллиптических кривых
§ 1. Невырожденная редукция. Общий случай
Свойства редукции, приведенные в этой главе (за исключе-
исключением § 3), указаны Дойрингом и были использованы им для ал-
алгебраического доказательства результатов комплексного умноже-
умножения. Здесь мы не приводим никаких доказательств. Эти доказа-
доказательства можно дать ad hoc, следуя Дойрингу, для случая
эллиптических кривых. Можно также развить общую теорию
редукции, следуя Шимуре [39]. Безотносительно к указанным
случаям, трудности лежат в построении фундамента, а сами ре-
результаты могут быть установлены просто. Хотя в классической

§ 1] НЕВЫРОЖДЕННАЯ РЕДУКЦИЯ. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ \\\
ситуации требуется редукция над дискретно нормированным коль-
кольцом, полезно рассмотреть случай произвольного локального
кольца.
Пусть о—локальное кольцо (всегда без делителей нуля)
с максимальным идеалом т. Эллиптическая кривая Л, опреде-
определенная в проективном пространстве неприводимым неособым
уравнением
/fa», #i, х2)**0
с коэффициентами из о, обладает невырожденной редукцией по
modm, если редукция /modnt снова дает абсолютно неприводи-
неприводимое уравнение^ определяющее кривую без особенностей, которая
обозначается А.
Если кривая определена уравнением Вейерштрасса
#2 = 4*3—g2x—ft,
g, g ? о, и характеристика поля о/т отлична от 2, 3, то
невырожденная редукция означает, что дискриминант A=g|—27gl
является единицей кольца о. В дальнейшем читатель может
ограничиться рассмотрением лишь этого случая.
Пусть К—поле, содержащее кольцо о. Обозначим
w —>• w
«точку» поля /С*), являющуюся расширением на К канонического
гомоморфизма t> —* о/т. Тогда эта «точка» индуцирует гомомор-
гомоморфизм
/(-рациональных точек кривой А в /(-рациональные точки кри-
кривой Л. Если кривая задана уравнением Вейерштрасса, то ука-
указанное отображение точек кривой имеет вид
(*, #)-*(*, у).
Если х=^оо или #=оо, то точка с координатами (х, у) лежит
в ядре рассматриваемого гомоморфизма. Пусть точки периода N
на кривой А рациональны над К и пусть р—характеристика
поля о/ха. Если положительное целое N взаимно просто с /?,
то отображение
является изоморфизмом. По существу это происходит по той
причине, что точки группы AN можно представить в виде
*) Переводу «точка» поля К в оригинале соответствует словосочетание
«place of /С». Под этим в классической ситуации понимается класс эквива-
эквивалентных нормирований поля /С. Слово «точка» при таком понимании берется
в кавычках, чтобы не возникло путаницы с точками кривой.—Прим. перев.

112 редукция эллиптических кривых [гл.9
обратного образа
и благодаря тому, что редукция по modm коммутирует с опе-
операциями алгебраической геометрии, в частности, со взятием
обратного образа. Отсюда следует, что точки группы AN отобра-
отображаются на точки группы AN, и поскольку рассматриваемые
абелевы группы состоят из одного и того же числа элементов,
то они должны быть изоморфными.
§ 2. Редукщш гомоморфизмов
Пусть Л, В—эллиптические кривые с невырожденными ре-
редукциями Л и В над локальным кольцом о. Мы знаем, что
группа Нот (Л, В) является конечно порожденной. В характе-
характеристике 0 ее ранг не превосходит числа 2 над Z, и этот случай
наиболее интересен для нас. Если X: А —> В—гомоморфизм, то
X определен над некоторым алгебраическим расширением L поля
частных кольца о. Можно показать, что для любой «точки», яв-
являющейся расширением канонического гомоморфизма о —> о/т
до поля L, гомоморфизм X имеет невырожденную редукцию
X: А —> Б, и что сопоставление
дает инъективный гомоморфизм
Нот (Л, В) -* Нот (Л, В).
Предостережение. Последнее отображение не обяза-
обязательно сюръективно. Здесь возникают два случая: когда Л, В
имеют трансцендентный /-инвариант, но редуцируются к специ-
специальным эллиптическим кривым над полем комплексных чисел
с инвариантом /(т), где т—мнимая квадратичность, а также
когда Л, В сами являются уже специальными и редуцируются
к эллиптическим кривым в характеристике р. Тогда появляются
новые эндоморфизмы, отличные от тех, которые возникают из
комплексного умножения. Первый из этих случаев относится
к собственно теории комплексного умножения. Второй восходит
К теории Дойринга и будет рассмотрен в гл. 13.
Можно дать эвристические соображения для объяснения того
факта, что редукция гомоморфизма снова приводит к гомомор-
гомоморфизму. Пусть Г—график гомоморфизма X. Тогда ГсгЛхВ и
р^Г^Л. Если редукция будет сохранять операции алгебраи-
алгебраической геометрии, то ргхГ~Л. Кроме того, множество Г должно
быть связным (как деформация Т) и, следовательно, Г также
является графиком отображения А в В.

f 31 НАКРЫТИЯ УРОВНЯ N 113
Рассмотрим пересечение
Г.(Лх<2)
с общей точкой Q кривой В. Степень этого цикла (т. е. число^
точек в нем, взятых с кратностями) является степенью гомомор-
гомоморфизма К и, поскольку редукция совместима с пересечением, от-
отсюда следует, что гомоморфизмы X и X имеют одинаковую степень.
Пусть характеристика поля классов вычетов отлична от 2, 3
и пусть /? о, но /е=?0 (modtn), \ф 1728 (mod m). Тогда можно
найти эллиптическую кривую, определяемую уравнением у2 =
= 4xs—сх—с, имеющую инвариант / и невырожденную редук-
редукцию по mod m. Для этого достаточно взять
27/
с ^
/ — 1728 5
и мы получаем «универсальную» параметризацию таких кривых*
Для случаев / = 0(modm) и /== 1728 (mod m) возьмем у2 = 4х*—х
и i/2 = 4x3—1.
Пусть А—эллиптическая кривая в характеристике 0, опре-
определенная над локальным кольцом о и имеющая невырожденную
редукцию. Пусть g—конечная подгруппа группы А. Тогда кри-
кривая Л/g имеет много моделей. Ее инвариант является целым
элементом над кольцом Z[jA] и, следовательно, является целым
над о, поскольку jA?o. В таком случае можно найти модель В
кривой Л/g, определенную над целым расширением 5 кольца jo
и имеющую невырожденную редукцию в каждом максимальном
идеале кольца 5, лежащем над т. Для этого достаточно записать
такие же простые уравнения, какие были Еыписаны в § 4, гл. 1
(предполагая при этом, что характеристика поля д/т отлична
от 2 и 3, хотя можно указать нормализованные уравнения и
в этих случаях).
§ 3. Накрытия уровня N
Теорема 1. Пусть А—эллиптическая кривая, определен-
определенная над целозамкнутым локальным кольцом о и имеющая невы-
невырожденную редукцию по mcdin, где тп—максимальный идеал
кольца о. Пусть р—характеристика поля о/тп и пусть N —
натуральное число, взаимно простое с р. Пусть, далее, К —
поле частных кольца о, G — Gal (К (AN)/K)y Ш—максимальный
идеал целого замыкания S кольца о в поле К {AN) и w*~>w —
редукция по mod SIR элементов w?S. Тогда
1) Идеал т неразветвлен в K(AN).
2) Для любых o?Gw и Р € AN имеет место равенство

114 редукция эллиптических кривых [гл.9
3) Если сг ? G и оР = Р для всех Р ? AN, то а = 1.
Доказательство. Утверждение 2) следует из определения
действия элемента сг на расширение поля классов вычетов. Так
как отображение Р\~->Р инъективно на ANj то из условий
утверждения 3) следует, что вР = Р. Но координаты точек из
AN порождают поле K{AN), и тогда сг=1. Заметим, что в ут-
утверждении 3) мы не предполагаем, что с обязательно лежит
в группе Gm. Это оказывается полезным в приложениях. Нако-
Наконец, тот факт, что идеал пт неразветвлен в поле K{AN), следует
из 3).
В приложениях часто возникает ситуация, когда для задан-
заданных элементов о^, cr2gG и для всех Р ? AN имеют место равен-
равенства
а[р=1^Р.
Тогда рассмотрение элемента сг^1^ дает, что о1 = а2.
Следствие. Пусть эллиптическая кривая А имеет такой
инвариант j?o, что ]фО, /=^=123, и пусть характеристика
поля о/rn отлична от 2, 3. Пусть, далее, h—первая функция
Вебера, т. е. h = ^x.
Если элемент cr?G такое, что
ah(P)=h(P)
для всех P?AN, то ог=1 на K(h(AN)).
Доказательство. Для некоторой точки Q?AN имеем
ah(P)=h(Q). Тогда по условию теоремы h(P)=h(Q) и, следо-
следовательно,
где h—функция Вебера редуцированной кривой Л. Это означает,
что Q=*±P (ввиду того, что я-координаты точек Р и Q сов-
совпадают), и тогда Q=zzkP* Отсюда следует, что h (Q) =h(P),
и в таком случае ah(P) =/i(P). Последнее равенство имеет место
для всех P?AN, и тогда or = 1 на K(h(AN)).
В дальнейшем нам встретятся два исключительных случая,
которые будут изучены лишь в характеристике ноль.
Мы увидим позже, что /1/3 и J/V—1 являются модулярными
функциями уровня 6, что следует по существу из разложения А
в бесконечное произведение, позволяющего установить голомоф-
ность Д1/3 и Д1/2 на верхней полуплоскости. В терминах точек
конечного порядка это означает, что поле FN имеет ветвление
порядка 3 над /=0 и имеет ветвление порядка 2 над / = 1,
если 617V (см. гл. 18, § 5). Исходя из этого, докажем справед-
справедливость сказанного выше для всех N и определим группу раз-
разложения.

§3] НАКРЫТИЯ УРОВНЯ N 115
Мы можем определить эллиптическую кривую уравнением
f = 4х3— 3j/7 х — УТ^Л,
которое имеет, очевидно, невырожденную редукцию относительно
/»-»1 и /н->0. Отсюда следует отсутствие каких-либо других
ветвлений, кроме указанных (для конечных значений j). Далее,
теорема 1 показывает, что расширение, полученное присоедине-
присоединением координат точек порядка N над Q(\/J, VJ—1), является
неразветвленным всюду, кроме бесконечности.
Ветвление в бесконечности будет выяснено в гл. 15, где ис-
используется другая параметризация для точек эллиптической кривой-
Назовем, как и ранее,
Й 2 „ |3 з
А А
второй и третьей функциями Вебера соответственно, определен-
определенными для эллиптической кривой в форме Вейерштрасса. Обозна-
Обозначим FN поле модулярных функций уровня N, отождествив его
с полем Q(/, h(AN)), где А—эллиптическая кривая с инвариан-
инвариантом / и h—первая функция Вебера.
Теорема 2. Поле FN (для N > 1) разветвлено над полем
Q (/) при /=123 и имеет индекс ветвления 2. Пусть h—вторая
функция Вебера, SW—максимальный идеал целого замыкания кольца
С[/] в поле FN, лежащий над идеалом (/—123), и пусть черта
сверху обозначает редукцию по mod 9Ji. Пусть, далее, Тщ—группа
инерции идеала 3DI. Равенство
для agGal (FN/Q(j)) и для всех P?.AN имеет место тогда и
только тогда, когда о^Тщ.
Доказательство. Возьмем сначала N достаточно боль-
большим (в отношении делимости), чтобы можно было гарантировать
разветвленность поля FN при /=123. Можно представить эле-
элемент а матрицей, действующей на AN. Если oh(P)*=h(P) для
всех Р ^ AN, то при аналитическом представлении имеем
для всех целых г и s, не сравнимых одновременно с нулем по
mod N. Здесь а, 6, с, d—компоненты матрицы, представляющей
элемент ст. Положив в этом равенстве r = 0, s= 1, мы видим, что
его выполнимость равносильна тому, что матрица представляет
собой умножение на ±1 и ±г. В случае умножения на/матрица
имеет вид
0 —Г
1 О,

116 редукция эллиптических кривых [гл.9
Но ±1 действует на FN тривиальным образом и, следовательно,
только ±i приводит к возможным нетривиальным автоморфиз-
автоморфизмам поля FN. Далее, мы знаем, что имеется нетривиальная группа
инерции Т%1, и тогда порождающий элемент этой группы необ-
необходимо должен представляться одной из этих матриц. Для любого
n\N та же самая матрица, действуя на Ап, представляет огра-
ограничение элемента а на Fn, итак как она действует нетривиально,
то мы будем иметь также ветвление порядка 2 в поле Fn. Для
данного п можно теперь взять N, делящееся на п, и тогда ука-
указанные выше рассуждения дают утверждение теоремы.
Теорема 3. Поле FN (для А/">1) разветвлено над полем
Q (/) при /=:0 и имеет индекс ветвления 3. Пусть h—третья
функция Вебера, Ш—максимальный идеал целого замыкания кольца
Q[/] в поле FN, лежащий над идеалом (/), и пусть черта сверху
обозначает редукцию по moduli. Пусть, далее, Тш—группа инер-
инерции идеала ЯЛ. Равенство
ah(P)=h(P)
для a?Ga\(FN/Q(j)) и для всех P$AN имеет место тогда и
только тогда, когда а ? 7\да.
Доказательство вполне аналогично доказательству пре-
предыдущей теоремы, за исключением того, что в рассматриваемом
случае элемент о* представляется матрицей, соответствующей ум-
умножению на р или р2, где p = e27li/s, например, матрицей
/-1 
Мы сформулировали теоремы 2 и 3 в терминах точек конеч-
конечного порядка. Можно также сформулировать их в терминах мо-
модулярных функций.
Теорема 2'. Пусть FN—tio/i3 мэдугярнык функций уровня
N > 1 и пусть точка z эквивпяентнг i отнэситгльчэ модуляр-
модулярной группы в полуплоскости «?>. Пусть, далее,
— вторая функция Фрикке с a?(Q2/Z2),y, афО. Если элемент
a g Gal (Fx/FJ таков, что
(°fa)(*)=fa(*)
для всех a?(Q2/Z2)N, афО, то
для всех функций f ? Fм, которые определены в точке г. Группа
таких элементов а является циклической группой порядка 2 и
состоит из тех элементов, которые представляются матрицами
yg5L2(Z), удовлетзоряюцими условию yz^z.

§ 4] РЕДУКЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ 117
Теорема 3'. Пусть FN определено, как в предыдущей тео-
теореме, и пусть точка z эквивалентна р относительно модуляр-
модулярной группы в полуплоскости ,!р. Пусть, далее,
-^третья функция Фрикке с a?(Q2/Z2)N, афО. Если элемент
а ? Gal (Ftf/Fj) таков, что
для всех a?(Q2/Z2)Nt афО, то
для всех функций f ? FN, которые определены в точке z. Группа
таких элементов а является циклической группой порядка 3 и
состоит из тех элементов, которые представляются матрицами
у (zSLz(Z), удовлетворяющими условию yz = z.
§ 4. Редукция дифференциальных форм
Пусть V—кривая над полэм k0 (предполагается, что V—не-
осебая проективная кривая). В поле функций k0 (V) можно опре-
определить дифференциальные формы как дуальное пространство к про-
пространству дифференцирований поля k0 (V), тривиальных на k0. Пред-
Предположим, что k0 (V) = &0 (х, у), где элемент х трансцендентен над k0
и элемент у является сепарабельным алгебраическим элементом над
полем ko(x). Тогда дифференциальные формы образуют 1-мерное
пространство над kQ (V) и элемент dx является k0 (V)-базисом
этого пространства, где dx играет роль элемента Dx при диф-
дифференцировании D. Каждая дифференциальная форма поля k0 (V)
имеет вид zdx при некотором z?ko(V).
Нули и полюса дифференциальной формы определяются обыч-
обычным образом с помощью разложения ее в данной точке в сте-
степенной ряд по локальному параметру.
Если А —эллиптическая кривая в форме Вейерштрасса
то dxly яв^яэтся ди^эренциальной формой первого рода, дру-
другими словами, dxjy не имзег полюсов. Над полем комплексных
чисел С дифференциальная форма dxly при параметризации Вей-
Вейерштрасса соотвэтсгвует дифференциальной форме du на C/L,
что сразу жэ следует из того, что х = $>(и) и у = ^'(и).
Вернемся к общему случаю кривой над полем &а. Пусть
/: V-+W
является рациональным отображением V на другую кривую W,
и предположим, что отображение / не постоянно. Тогда поле

118
РЕДУКЦИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРИВЫХ
[ГЛ.9
k0 (W) содержится в поле kQ (V) и дифференциальная форма на W
приводит к дифференциальной форме на V. Если со — zdx, где
г, x(tko(W), то можно рассматривать г, х как функции на V
(т.е. как го/, хо/), и тогда мы получим дифференциальную
форму
которую, допуская определенную вольность в обозначениях, мы
также будем записывать в виде zdx. Если отображение / сепа-
рабельно, т.е. kQ(V) является сепарабельным расширением поля
kQ(W), и если гйхфО, то /*со=т^О. С другой стороны, если
гйхфО, но /—несепарабельное отображение, т.е. kQ(V) имеет
над k0 (W) степень несепарабельности, большую 1,то /*со^=О.
Типичный пример несепарабельного расширения получает с
следующим способом. Пусть поле k0 имеет характеристику р
пусть kQ(V) = k0(x, у), где элемент у сепарабелен над ko(x
Тогда kQ(x)—чисто несепарабельное расширение поля k0 (xP
степени р. Кроме того, так как элемент у сепарабелен над kQ (x)
мы имеем k0 (х, у) = kQ (x, ур), и элемент уР сепарабелен над k0 )
Далее, из диаграммы
ко(х)
следует, что [ko(xP,
1 y):ku(x)] и что
[kQ(x9 y):ko(xP
Подполе k0 (хру уР) является полем функций на некоторой кри-
кривой, которую обозначим V{p\ Таким образом, имеем чисто несепа-
несепарабельное рациональное отображение
п
р: V
называемое отображением Фробениуса. Аналогичным образом
если q = pr есть степень простого р, получаем рациональное
чисто несепарабельное отображение nq степени q, положив
(х, У)•->(*«, У)-
Предположим, что k0—совершенное поле, так что k% = k0.
Тогда возведение в степень q дает изоморфизм поля k0 (x, у) на
поле ко(х^, у**). Отсюда следует, что имеется в точности одно
подполе поля k0 (x, у)у над которым k0 (x, у) чисто несепарабельно
степени <?, и этим полем является ко(х^у yq).

§4] РЕДУКЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ 119
Если V = A—эллиптическая кривая, то отображение nq яв-
является гомоморфизмом эллиптических кривых.
Пусть
к. А-^В
является изогенией, определенной над полем k0. Можно пока-
показать, что пространство дифференциальных форм первого рода
(т.е. без полюсов), определенных над k0, является 1-мерным
пространством над полем kQ. Следовательно, если со#—ненулевая
дифференциальная форма первого рода на В, то
при некотором с 6 k0. Далее, изогения X сепарабельна в том и
только в том случае, если сфО.
Когда мы хотим подчеркнуть зависимость с от А,, мы будем
писать
Тогда Х^-^-Сх является гомоморфизмом подгруппы группы
Нога (Л, В), состоящей из этих гомоморфизмов, определенных
над k0, в поле констант. Отметим, что с — с^ не зависит от вы-
выбора дифференциальной формы сод^0, поскольку любая другая
форма первого рода на В отличается от со# лишь постоянным
множителем. Аналогичное замечание справедливо и для сол. Таким
образом, гомоморфизм Яь-»ся задает представление подгруппы
изогений.
Пусть ф: C/L—+ Aq—аналитическое представление фактора
C/L. Пусть, далее, а—такое комплексное число, что aLczL, и
пусть Я: А^*-А—-эндоморфиз кривой Л, делающий следующую
диаграмму:
а
коммутативной. Тогда для каждого дифференциала первого рода
о на кривой Л имеем
со о Я = асо,
и, значит, число а совпадает с числом с%, упомянутым выше.
Предположим, что End (A)q изоморфно мнимому квадратич-
квадратичному полю k (подполю поля комплексных чисел). Тогда можно
определить такой изоморфизм
9: ?!-
что соо9 (а) = око для всех дифференциальных форм первого рода со
и для всех ос?&. Если это условие выполняется, назовем пару

120 РЕДУКЦИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРИВЫХ [ГЛ. 9
(Л, 0) нормализованной парой. Имеют место следующие простые
функториальные свойства.
Свойство 1. Если (Л, 0) и (Л;, 6')—нормализованные
пары и
X: А-+А1
есть гомоморфизм, то
Яо9(а) = 6'(а)оЯ
для всех a?k.
Это свойство очевидно, поскольку со о X о 9 (а) = асо о X и.
со о 6' (а) о Я = асо о X по определению нормализации.
Свойство 2. Если пара (Л, 9) является нормализованной
и а—изоморфизм поля, над которым определена кривая А и все
элементы из End (Л), то пара (Л0, 6°) также является норма-
нормализованной.
Доказательство непосредственно следует из определения нор-
нормализованной пары.
Свойство 3. Пусть (Л, 0) — нормализованная пара. Если
кривая А определена над полем &ос:С, то каждый элемент [из
End (Л) определен над полем kQk.
Доказательство. Можно найти дифференциальную форму
первого рода, определенную над полем k0. Пусть с—автомор-
с—автоморфизм поля С над kok. Тогда со0 = со, откуда
со о 6 (оH s= со0 о G (а)° ^ (со о 6 (а)H = (асоH = асо *= со о 6(а).
Следовательно, 9 (а) = 9 (аH для всех а, и тогда эндоморфизм
9 (а) определен над полем kok.
Чтобы можно было редуцировать дифференциальные формы
при заданной невырожденной редукции кривой Л по modm, мы
должны задать на Л некоторую целую структуру над локальным
кольцом jo. При этом в основу может быть положено рассмот-
рассмотрение колец вместо полей, т. е. можно работать в рамках теории
схем, или же можно выделить порождающие элементы (х, у)
поля функций на кривой Л. Последний подход удобен, напри-
например, для случая кривых, заданных уравнением Вейерштрасса,
когда характеристика поля о/тп отлична от 2, 3. Тогда можно
поступить, как Дойринг, используя ad hcc простые уравнения.
Во всех случаях «ясно», что дифференциальная форма ® = dxly
правильным образом редуцируется к дифференциальной форме
(o = dxly, и для каждого элемента с? о мы имеем
С(д = со).
Пусть кривые Л, В имеют невырожденную редукцию рад
кольцом о с полем частных /С, и пусть отображение
X: А-+В
является гомоморфизмом, определенным над К (и следовательно,
над о). Тогда, если со—дифференциальная форма на В, такая, что

§ 4] РЕДУКЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ 121
(й^О и (йоХ — ссо, где с?о, то
сооЯ = сооЯ —ссо.
В частности,
тогда и только тогда, когда гомоморфизм К несепарабелен. Это
имеет место, например, для случая, когда К является эндомор-
эндоморфизмом Фробениуса nq для некоторого д = рг.
Если эллиптическая кривая А определена над полем К и если
семейство дискретных нормирований поля К таково, что каждый
элемент поля К имеет лишь конечное число нулей и полюсов
в этом семействе, то для почти всех колец дискретного норми-
нормирования из этого семейства редукция кривой А невырождена и
заданная дифференциальная форма редуцируется в ненулевую
дифференциальную форму на кривой А. В дальнейшем мы в ос-
основном будем использовать редукцию такого типа, опуская ко-
конечное множество плохих простых идеалов. Примером такого
семейства является семейство всех колец нормирования в число-
числовом поле.
Мы уже упоминали, что кривая А может иметь больше эндо-
эндоморфизмов, чем кривая А. В некоторых случаях важно знать,
когда эндоморфизм кривой А получается в результате редукции
некоторого элемента из End (Л). Для нормализованной пары
(Л, 6) определим отображение
в; k -+ End (Л)
равенством
Свойство 4. Предположим, что ЕпсЦЛ^ есть мнимое
квадратичное поле. Если некоторый элемент из End (A)q ком-
коммутирует со всеми элементами из End (Л), т.е. со всеми реду-
редуцированными эндоморфизмами кривой Л, то этот элемент лежит
в End(i4)Q.
Чтобы доказать это свойство, нужно знать, что End (A)q яв-
является или квадратичным полем, или алгеброй с делением раз-
размерности 4 над полем Q. Эго будет доказано позже с использо-
использованием Z-адических представлений и при единственном предпо-
предположении, что v (N8) = N2. Если считать этот результат известным,
то мы видим, что End {A)q есть квадратичное подполе поля
End^)<g, и тогда свойство 4 следует отсюда непосредственным
образом.

122 КОМПЛЕКСНОЕ УМНОЖЕНИЕ [ГЛ. 10
Глава 10
КОМПЛЕКСНОЕ УМНОЖЕНИЕ
§ 1. Построение полей классов. Подход Дойринга
Сначала рассмотрим значения /-функции в мнимых квадра-
квадратичных полях и покажем, что эти значения порождают абелевы
расширения квадратичных полей.
Пусть k—мнимое квадратичное поле и ok—кольцо алгебраи-
алгебраических целых этого поля. Будем рассматривать / как изоморфный
инвариант эллиптических кривых. Здесь нам не нужен анализ,
и если Aq ^ C/L, где L = [zly z2], z = z1/z2^kr\^y то мы запишем
для всех k?k*.
Теорема 1. Пусть а—идеал кольца ok. Тогда j (а) порож-
порождает абелево расширение поля k. Более того, /(а) порождает
максимальное не разветвленное абелево расширение поля k. Если
а,-, I ^ i ^ /г,— представители из классов идеалов поля k, то числа
j (а,-) сопряжены над полем k и для почти всех простых идеа-
идеалов р поля k, таких, что (р) — рр'9 РФР', Np = py имеет места
соотношение сравнимости Кронекера
j (ГЧ) ^j(a)P (mod ^P)
для каждого простого идеала Щ поля &(/(а)), лежащего над р.
Поэтому, если а^ — автоморфизм Артина идеала р в поле k (j (а)),
то
Доказательство. Пусть К—наименьшее расширение
Галуа поля ky содержащее все числа /(ct;). Для каждого /(а/)
возьмем эллиптическую кривую, определенную над полем К урав-
уравнением Вейерштрасса и имеющую инвариант /(ct/). Если а-—один
из идеалов а,-, то соответствующая эллиптическая кривая анали-
аналитически изоморфна С/а, и мы предполагаем заданным аналити-
аналитическое представление
С/а — Ас.
Выберем такое простое рф2, 3, что (р) = рр' в поле k,
Np = pt Тогда все рассматриваемые эллиптические кривые будут
иметь невырожденную редукцию по простому идеалу Щ, лежа-
лежащему над р в поле К, если только р взаимно прост с дискри-
дискриминантами чисел / (ct/) для всех i. Далее, если В—эллиптическая
кривая, выбранная указанным способом и имеющая инвариант
/(^"ха), то существует такая изогения Я: А—^В, что следую-
следующая диаграмма

§1]
ПОСТРОЕНИЕ ПОЛЕЙ КЛАССОВ. ПОДХОД ДОЙРИНГА
с/а *~Ае
123
коммутативна, где левое вертикальное отображение является
каноническим отображением, соответствующим вложению ас=^"'1а.
Пусть Ь—взаимно простой с р идеал такой, что ,рЬ = (а) есть
главный идеал. Тогда указанная выше диаграмма приводит к диа-
диаграмме
а
а
где [х: В —> А — некоторая изогения, делающая эту диаграмму
коммутативной. Левое отображение является умножением на а.
Степени отображений X и ji вычисляются по формулам
v 0г) = (а: 6а) ==ЛГЬ, (Л^б, р)=1.
Мы утверждаем, что отображение К (черта сверху обозначает
редукцию по mod^P) является чисто несепарабельным. Пусть со —
дифференциальная форма первого рода на кривой ?, скажем,
(o = dx/y. Тогда
и так как а?,р, то
= асо = 0.
Следовательно, отображение \юХ несепарабельно. Но степень изо-
гении (I (которая равна степени \i) взаимно проста с р, и тогда
изогения X несепарабельна. Далее, так как % имеет степень р,
то изогения % чисто несепарабельна.
Отсюда следует, что кривая В изоморфна А'р\ Но инвариан-
инвариантом А{р] является /^ (это получается применением изоморфизма
««возведения в степень р») и, следовательно,

124 КОМПЛЕКСНОЕ УМНОЖЕНИЕ [ГЛ. 10
Последнее равенство эквивалентно соотношению сравнимости
Кронекера. Автоморфизм Фробениуса о$ действует на /(а) тем
же самым способом, и следовательно, мы получим равенство
если только р взаимно просто с дискриминантом чисел /(а).
Поскольку в каждом классе идеалов поля k имеется простой
идеал степени 1 над Q, из сказанного выше следует, что все
числа /((X;) сопряжены между собой. Кроме того, поскольку /
принимает одно и то же значение на двух решетках тогда и
только тогда, когда они линейно эквивалентны, то указанный
простой идеал $ полностью распадается в поле К в том и только
в том случае, если J) является главным идеалом. Отсюда по тео-
теории полей классов следует, что поле К является максимальным
неразветвленным абелевым расширением поля k, и этим теорема 1
доказана.
Нашей ближайшей целью будет доказательство теоремы, ана-
аналогичной теореме 1 для точек конечного порядка на эллипти-
эллиптической кривой А с инвариантом jA = j (а), где а —идеал кольца ok.
Напомним, что два аналитических представления С/а —> Aq от-
отличаются лишь автоморфизмом кривой А. Точками конечного
порядка в С/а являются точки из к/а. Точки порядка N обозна-
обозначаются обычно (k/a)N.
Имеет место коммутативная диаграмма (как в теореме 1)
где левое отображение является каноническим и Я—такая изо-
изогения, что Я—чисто несепарабельная изогения степени р. Из опре-
определения 0 следует также, что
В самом деле, если кривая А определена уравнением
у*=4х3—g,x—g3J
то А° определяется уравнением
y* = 4x*—g!x—gS,
и редукция по mod^ дает следующее уравнение для А°:

1] ПОСТРОЕНИЕ ПОЛЕЙ КЛАССОВ. ПОДХОД ДОЙРИНГА 125
Следовательно, существует такой автоморфизм s кривой А{р\ что
Мы утверждаем, что ? является редукцией некоторого эле-
элемента из kui{AG). Так как кольцо End (A°) я^ ок целозамкнуто,
то достаточно доказать, что s лежит в End (Ao)q, а для этого
достаточно доказать по свойству 4, § 4, гл. 9, что е коммути-
коммутирует со всеми эндоморфизмами кривой А{р\ полученными редук-
редукцией эндоморфизмов кривой А°. Можно считать, что пара (Л, 9)
является нормализованной, так что (Ла, 6а)—также нормализо-
нормализованная пара. Тогда по свойствам 1 и 2, § 4, гл. 9 получаем
для любого y?k, откуда
гопов (у) = 9 (у)°огоп. A)
Но из определения отображения Фробениуса следует
sojto9(y) = 8o9 (у)° о п. B)
Сравнивая теперь правые части равенств A) и B), получаем
требуемое утверждение.
Если изменить Я, используя в", то мы получим более точное
соотношение
Это достигается ценой замены нижней стрелки, дающей анали-
аналитическое представление Aq, на автоморфизм кривой А°. Таким
образом, нами установлен следующий результат.
Лемма 1. Пусть А—эллиптическая кривая с инвариантом
/л = /(а), где а—идеал кольца ok в поле k, и пусть
ср: С/а —> Ас
является аналитическим представлением. Пусть, далее, А опре-
определена над полем k(jA). Если о = о$ — автоморфизм Фробениуса
идеала р в поле k (jA), то для почти всех простых идеалов р
степени 1 поля k можно найти такое аналитическое представ-
представление

126 КОМПЛЕКСНОЕ УМНОЖЕНИЕ [ГЛ. 10
и такую изогению К, что диаграмма
с/&А
€/За-
€/Заявляется коммутативной, и если черта сверху обозначает редук-
редукцию по некоторому простому идеалу У$ поля k(jA), лежащему
над $, тогда К = яр.
Теорема 2. Пусть А—эллиптическая кривая, кольцом
эндоморфизмов которой является кольцо целых чисел ok мнимого
квадратичного поля k, и пусть А определена над полем k(jA).
Пусть, далее, h — функция Вебера на А, задающая фактор-
факторгруппу А по ее группе автоморфизмов. Тогда k (jA, h (AN))
является полем классов лучей поля k с кондуктором N.
Доказательство. Пусть К — наименьшее расширение
Галуа поля k, содержащее jA = j(a) и все координаты h(AN).
Рассмотрим, как и прежде, все простые идеалы $ степени 1
поля k, опуская только конечное их число, например, те идеалы,
которые разветвлены в /С, все идеалы p\N и р\а, а также все #,
в которых мы имеем плохую редукцию, и их сопряженные.
Возьмем эллиптическую кривую ? = Ла, имеющую инвариант j%
где о=в#—автоморфизм Фробениуса некоторого простого идеала 9$
поля К, лежащего над р. Черта сверху снова будет обозначать
редукцию по mod^}.
Если t б AN, то по определению автоморфизма Фробениуса,
лримененному к координатам точки t, имеем
ш так как редукция индуцирует инъекцию на AN, то X = а
на AN. Следовательно, коммутативная диаграмма из леммы 1
переходит в диаграмму
C)
Докажем, что идеал р полностью распадается в поле К лишь
в том и только в том случае, если р = (а) для некоторого oc(~ok
такого, что а= 1 (mod* Nok).
Предположим сначала, что р = (а), где a?k. Тогда $ пол-
полностью распадается в поле k(jA), и в таком случае А°=А. Про-

§ 1] ПОСТРОЕНИЕ ПОЛЕЙ КЛАССОВ. ПОДХОД ДОЙРИНГА 127
должая левую вертикальную стрелку в диаграмме из леммы 1
с помощью умножения на а, мы получим коммутативную диаграмму
D)
где а|/—аналитическое представление множества Aq. Если а =
= 1 (mod* Nok), то составное вертикальное отображение слева
является тождественным отображением. Кроме того, отображе-
отображение г|/ отличается от ср лишь автоморфизмом кривой А. Отсюда
следует, что с% действует на координатах Вебера h(t) тож-
тождественным образом для всех t ? AN, и тогда о$ = 1 на /С =
ЬЦМА)
Обратно, предположим, что идеал р полностью распадается
в К, и в частности, полностью распадается в &(/^). Тогда по
теории полей классов р является главным идеалом, ? = (а), и по
лемме 1 имеем А° = А. Умножение на а дает нам указанную
выше диаграмму D). Далее, мы можем определить функцию
Вебера h над полем k(jA), и тогда fta = ft. В таком случае для
каждого элемента и ? (k/a)N получаем
h (Ф (и)) = h (Ф (u)y = h° (Ф (иГ)= h (Ф (и)*)
и по коммутативности диаграммы D)
h (ф (и)°) = h («ф' (аи)) = h (ф (аи)).
Заметим, что k/a является с^-модулем, и локализация показы-
показывает, что (k/o)N есть главный модуль, порожденный, скажем,
элементом и0. Последнее равенство означает, что существует
такой корень из единицы ?, что
(если й-координаты двух точек ф (и0) и ср (аи0) равны, то эти две
точки отличаются лишь автоморфизмом кривой А). Заменим
теперь порождающий элемент а идеала р на а^". Тогда, обо-
обозначая а^" снова а, получим, что аг/0 = г/0 и, следовательно,
аи = и для всех и € (k/a)N. Последнее утверждение следует из
того, что и=Хи0 при некотором *k?dk, и из того, что а комму-
коммутирует с X. Отсюда мы заключаем, что а= 1 (mod*Nok).
Наконец, из теории полей классов следует, что К является
полем классов лучей поля k с кондуктором N (см. [К7], гл. 8У
§ 4, теорема 9). Этим теорема 2 доказана.

128 КОМПЛЕКСНОЕ УМНОЖЕНИЕ [ГЛ. 10
Следствие. Пусть FN—поле модулярных функций уровня N
и k—мнимое квадратичное поле. Пусть, далее, к FN—композит
полей ky FN и а—некоторый ок-идеал, а = [гх, г2], г = г1/г2?$.
Тогда поле kFNy порожденное над k всеми значениями f (z), где
f(zFN и f определена в г, является полем классов лучей над
полем k с кондуктором N.
Доказательство. Пусть /? kFN и пусть $Щ —ядро «точки»
/ь->/(г). Пусть, далее,
G=*Gal(kFN/k(j))
и пусть Gm—группа разложения. Из общей теории групп раз-
разложения известно, что индуцированная группа G^ является
группой Галуа расширения поля классов вычетов. Мы знаем
также по теореме 2, что поле классов вычетов содержит упомя-
упомянутое выше поле классов лучей. Пусть e?Gm—такой элемент,
что а действует тождественным образом на этом поле классов
лучей. В частности, сг действует тождественным образом на все
элементы fa(z) и /(г), где fa есть функции Фрикке (a?(Q2/Z2)N,
афО). Из теорем 2' и 3' § 3 гл. 9 следует тогда, что о лежит
в группе инерции и тогда сг действует тождественным образом
на поле классов вычетов. Это означает, что поле классов вычетов
в точности является указанным полем классов лучей, и этим
следствие доказано.
Как хорошо известно, история комплексного умножения на-
началась с работ Кронекера. Вебер дал первое систематическое
изложение результатов, известных в то время. В значительной
мере эти результаты были незавершенными. Например, так на-
называемое соотношение сравнимости Кронекера из теоремы 1 было
известно лишь в слабой форме, а именно
^(Xp-j)(X-jp) (modp),
и на самом деле было доказано Вебером (Acta Mathematica 6,
1885, p. 390). В том виде, в котором это соотношение приведено
здесь, оно было доказано Хассе [19], который указал также все
абелевы расширения поля ky получающиеся с помощью значений
функции Вебера. Самому Веберу при его рассмотрениях недо-
недоставало квадратичных расширений. До появления работы Хассе
некоторые частные случаи были исследованы Фрикке [K2J и Фю-
тером [K5J с помощью аналитических методов. Их подход до сих
пор представляет определенный интерес.
Для ознакомления с основными результатами, полученными
аналитическими методами, а также для ознакомления с некото-
некоторыми полезными вычислительными аспектами теории мы отсылаем
читателя к книге [К17].
Дойринг в своей монографии [К1], которая является превос-
превосходным справочником по аналитической теории комплексного

§2] ИДЕЛЬНАЯ ФОРМУЛИРОВКА ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ РЕШЕТОК 129
умножения, значительно упростил доказательства Хассе. Для
удобства читателя мы воспроизведем аналитическое доказательство
соотношения сравнимости в § 3, гл. 12. Оно не потребует ника-
никаких дополнительных сведений, кроме тех, которые там изложены.
Таким образом, читатель может рассматривать эти разделы как
альтернативный подход к некоторой части результатов по комп-
комплексному умножению. Основной вклад Дойринга состоял, однако,
в том, чтобы развить алгебраический подход, которому мы
следуем, на основе редукции по mod/? (сравните все его статьи,
указанные в библиографии). Этот подход был распространен на
абелевы многообразия Шимурой и Таниямой [К 13], см. также
книгу Шимуры [К12].
§ 2. Идельная формулировка для произвольных решеток
В предыдущем параграфе мы привели основную теорему
комплексного умножения в терминах идеалов кольца ок. По при-
причинам технического характера, а также для того, чтобы связать
случай квадратичного поля k с общим случаем, необходима фор-
формулировка, позволяющая описывать значения / (L) для произ-
произвольных решеток L, а также дающая возможность выявить связь
с теорией полей классов при помощи иделей. Для этого мы
приведем теорему, указанную Шимурой в его книге [К12]. Перво-
Первоначально эта теорема была сформулирована Шимурой в терминах
конечного числа точек на кривой. Окончательной формулировкой
мы обязаны А. Роберту. Здесь предполагается, что читатель
знаком с §§ 1, 2 гл. 8, и в частности с тем, каким образом
идели действуют на k/a, где а—произвольная решетка в k. Если
s—идель, то под символом (s, k) понимается символ Артина на
максимальном абелевом расширении kab.
Теорема 3. Пусть <р: С/а —> Aq —аналитическое представ-
представление эллиптической кривой Л, где а—решетка в поле k. Пусть,
далее, s — идель поля k и а—автоморфизм поля комплексных
чисел, ограничение которого на kab совпадает с (s, k). Тогда
существует такое аналитическое представление
что следующая диаграмма:
А/а ^Аг
яр
является коммутативной.

130
КОМПЛЕКСНОЕ УМНОЖЕНИЕ
[ГЛ.10
Доказательство. Редуцируем сначала теорему к случаю,
когда а является идеалом кольца ок. Пусть b—идеал кольца ок,
содержащийся в а. Пусть, далее, ?: С/Ь—>Bq есть аналитическое
представление эллиптической кривой с решеткой Ь и пусть
Я: В—* А—изогения, которая делает верхнюю часть диаграммы,
изображенной на рис. 10.1, коммутативной. Левая часть этой
диаграммы коммутативна тривиальным образом. Отображение Ка
делает коммутативной правую часть диаграммы. Если задача ре-
решена для Ь, то можно найти ?', делающие переднюю часть диаг-
диаграммы коммутативной. Определим теперь if> таким образом, чтобы
нижняя часть диаграммы также была коммутативной. Это можно
сделать, так как ядра двух нижних отображений, левого и правого,
совпадают. Отсюда следу-
следует, что задняя часть ди-
диаграммы будет коммута-
коммутативной, и это дает реше-
решение нашей задачи для а.
Заметим, что указанная
редукция показывает, что
если можно решить задачу
для одной эллиптической
кривой Л « С/а, то ее мож-
можно решить и для любой
другой эллиптической кри-
кривой Л', изоморфной Л.
Конечно, в этом случае могут быть даны и более простые аргу-
аргументы.
Предположим теперь, что а—идеал кольца ол. Пусть т—по-
т—положительное целое число, обладающее свойством, что единствен-
единственным автоморфизмом кривой Л, оставляющим подгруппу Ат не-
неподвижной (поточечно), является тождественный автоморфизм.
Так как А имеет лишь конечное число автоморфизмов, то такое
целое т всегда существует. Пусть, далее, N—положительное
целое такое, что т \ N. Докажем, что существует аналитическое
представление *ф: C/selct —*Л?, для которого диаграмма
ф
Рис. 10.1.
является коммутативной. Поскольку достаточно доказать теорему
для любой кривой А из класса изоморфных между собой кри-
кривых, то можем считать, что кривая А определена над полем
k (/л), и после этого рассуждать таким же образом, как при
доказательстве теоремы 1 и при доказательстве первой части

§ 2] ИДЕЛЬНАЯ ФОРМУЛИРОВКА ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ РЕШЕТОК 131
теоремы 2. Возьмем поле Галуа К над k, содержащее поле
^(/(а))> а также поле классов лучей с кондуктором N такое,
что k (AN) cz К- Заметим сразу же, что по теореме 2 последнее
условие влечет за собой предыдущее. Существует такое простое
число р, которое полностью распадается в k, т. е. (р) = №\
$ф$\ что идеал р не разветвлен в поле /С, и для некоторого
ф|р в К рассматриваемые нами (в конечном числе) эллипти-
эллиптические кривые имеют хорошую редукцию по mod$. Возьмем
также $ взаимно простым с JV и с идеалом а.
Из соотношения сравнимости Кронекера имеем / (р~1а) = / (а)а,
и первая часть доказательства теоремы 2 показывает, что имеет
место коммутативная диаграмма C), которая почти совпадает
с нужной нам диаграммой, за исключением того, что необходимо
связать между собой р~1а и s"^.
Пусть с=(..., 1, Ср, 1, ...) — идель, все компоненты кото-
которого вне $ равны 1 и компонента Ср в $ имеет порядок 1, так
что на максимальном абелевом подполе поля К над к, которое
мы обозначим (K/k)afr имеем
Тогда при некотором Р?& и при некотором иделе &== 1 (mod*A0
выполняется равенство
и, так как s~1ct = Ca, мы получаем коммутативную диаграмму
где ^ — аналитическое представление и нижнее левое отображение
есть умножение на C.
При доказательстве теоремы 2 мы видели, что отображение К
можно выбрать таким, что к = п, и тогда на точках порядка N
отображение X действует таким же образом, как и а.
Итак, мы получаем коммутативную диаграмму

132 КОМПЛЕКСНОЕ УМНОЖЕНИЕ [ГЛ. 10
и остается лишь показать, что умножение на Р совпадает на
точках порядка N с умножением на s, т. е. что если и ? (k/a)Ny
то $u = s~1u. Это нужно проверить локально для каждого про-
простого идеала q поля k (так как мы имеем дело с идеалом а
кольца r)fe, можно использовать q-компоненты). Если с\Фру тогда
с,= 1 и s~1 = p(tfe(t. Далее, так как pq== I (mod Nok), то Ьцщ =^щ ,
ч в этом случае утверждение справедливо. Если q = J), тогда
#%N и щ = 0. Этим теорема 3 доказана для случая, когда
вместо k/a берется (k/u)N.
Однако, если мы нашли два аналитических представления
r^i и г|J: C/s"^—->¦ Aq, которые делают рассматриваемую диаграмму
коммутативной на (k/a)m, то эти представления должны быть
равны ввиду выбора числа т. В таком случае решение рассмат-
рассматриваемой задачи на уровне т совпадает с решением этой задачи
на уровне N при любом N, делящемся на т, и этим теорема 3
доказана.
§ 3. Построение полей классов при помощи
сингулярных значений модулярных функций
Укажем прямые приложения теоремы 3. Приведенные в этом
параграфе результаты являются классическими, при их изложе-
изложении мы следуем книге Шимуры [К12].
Теорема 4. Для каждой решетки а в поле k число /(о)
лежит в поле kab и для каждого иделя s имеет место равенство
Доказательство. Возьмем сначала s=l и обозначим а
любой автоморфизм поля С, тождественный на kab. Тогда по
теореме 3
и, следовательно, j(u)?kab. Приведенная в теореме формула
выражает тот факт, что если А « С/а, то Аа » C/s^cr, который
также содержится в утверждении теоремы 3.
Замечание. Для каждой собственной о-решетки и для
каждого изоморфизма а поля Q (/ (а)) над Q мы имеем а/ (а) =
= / (Ь) при некоторой собственной о-решетке Ь.
Доказательство. Пусть А « С/а. Тогда End (Л) ^ о и,
следовательно, End (А0) & о. Если Ь—такая решетка, что С/Ь»
^(Ла)с, отсюда следует, что о совпадает с множеством комп-
комплексных чисел а, для которых аЬ с: Ь и, следовательно, Ь также
является собственной о-решеткой. Кроме того,
и этим замечание доказано.

§ 3] СИНГУЛЯРНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ МОДУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ 133
Для формулировки следующего результата введем новое по-
понятие. Пусть 6—собственный я-идеал, взаимно простой с кондук-
кондуктором порядка о. Пусть, далее, bft = bcfc—расширение идеала Ъ
до идеала кольца ок. Обозначим (Ь, k) автоморфизм Артина
(bfe, К Ik) в максимальном абелевом расширении К поля &, в ко-
котором все простые идеалы, делящие Ь, неразветвлены. Данное
определение корректно ввиду согласованности автоморфизма
Артина при его ограничении на подполя. В частности, символ
F, k) определен на поле классов лучей, кондуктор которого есть
кондуктор порядка о.
Теорема 5. Пусть о—порядок в поле k и пусть {а/},
1 ^ i^.ha,— представители различных классов собственных о-ре-
о-решеток. Тогда все числа j (а,-) сопряжены над полем k и над
полем Q. Группа Галуа поля k (/ (а)) для каждой собственной
о-решетки а изоморфна группе классов собственных о-решеток
при отображении Ь *—> о% таком, что оь j (а) = / (Ь"^. Кроме
того, а* является ограничением автоморфизма F, k) на поле
k (j (о)), так что имеет место равенство
Доказательство. Из теоремы 4, § 1, гл. 8 известно, чю
каждая собственная о-решетка Ь является локально главной, ска-
скажем, bp = spop. Пусть s—идель с р-компонентой sp. Тогда
6~1a = sa, и все утверждения, кроме последнего, следуют из
теоремы 1. Для доказательства последнего утверждения возьмем
идель s, у которого sp~\ для всех простых, делящих кондук-
кондуктор порядка о, и такой, что
для всех остальных простых р. Так как Ьр^=(Ъок)р для всех
простых, делящих Ь (поскольку такие простые не делят кондук-
кондуктор), отсюда следует, что
sjo = 6 и sok~ bofe.
В таком случае выводимая нами формула является частным слу-
случаем формулы из теоремы 4. Утверждение о том, что значения
функции j на классах собственных о-решеток сопряжены над
полем Q, уже было упомянуто в замечании, предшествующем
теореме.
Замечание 1. Пусть U—комплексно-сопряженная решетка
к решетке L в поле k и w'—комплексно-сопряженное к w число.
Из представления g2 и g3 в виде рядов следует, что
и тогда
/(L') = /

134 КОМПЛЕКСНОЕ УМНОЖЕНИЕ [ГЛ. 10
Далее, так как о = о' для любого порядка я, отсюда следует,
что число / (о) является вещественным. Мы видели, что все со-
сопряженные для / (о) над Q совпадают с сопряженными для / (о)
над k. Следовательно, Q (/ (о)) является вещественным подполем
поля k (j (о)).
Замечание 2. Пусть К = k(/ (о)), где о— порядок в k.
Пусть, далее, р—автоморфизм комплексного сопряжения поля С.
Тогда для каждой собственной я-решетки а имеем
а так как cta'~Ju), где %—некоторое комплексное число, то
/(а)' -/(а-1).
Отсюда следует, что К является полем Галуа над Q. Докажем,
что для каждого автоморфизма a?Gal(/C/Q) имеет место формула
pap"*1 в от*1.
Действительно, для каждого собственного о-идеала Ь и для каж-
каждого собственного я-идеала а такого, что o = aQy имеем
-Ч F) - pa/ (Ь-1) = р/ (а-1^1) - / (аЬ) = а;1/ F),
и этим утверждение доказано.
Поскольку р не является тождественным автоморфизмом
поля &, то группа Галуа поля k (j (о)) над Q является расшире-
расширением группы Gal (k(j (o))/k), полученным при помощи группы
порядка 2, и структура группы Галуа над Q полностью опреде-
определяется группой Галуа над полем k и формулой, дающей правило
коммутирования между а и комплексным сопряжением.
Теорема 6. Пусть о, о'—порядки в поле k и пусть осо'.
Тогда
Доказательство. Мы должны показать, что всякий авто-
автоморфизм а поля kab, оставляющий неподвижным /(о), оставляет
неподвижным также и /(о'). Для некоторого иделя s запишем
<r=(s, k). Тогда so — ao при некотором ag&, и, заменяя s на sa",
без уменьшения общности мы можем считать, что o = (s,k) и
$0 = 0. В этом случае для каждого простого р имеем оог~о\
дро'р~Ор и SpOp — o'p. Тогда so' = o\ и коммутативная диаграмма
из теоремы 3 показывает, что автоморфизм (s, k) оставляет / (о')
неподвижным. Этим теорема доказана.
Следуя книге Шимуры, можно теперь указать критерий для
группы Галуа, оставляющей неподвижными точки порядка N,
в терминах иделей.
Теорема 7. Пусть А—такая эллиптическая кривая, что
<р: С/а —+ Aq является аналитическим представлением для неко-
некоторой решетки а в поле k. Пусть, далее, h—функция Вебера,

3] СИНГУЛЯРНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ МОДУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ 135
связанная с кривой Л, и пусть s—некоторый идель поля k.
Тогда для некоторых и ? k/a автоморфизм (s, k) является тож-
тождественным на поле k(j(a), h(q>(u))) в том и только в том
случае, если s?k*Vu,u, где Va,u—подгруппа группы иделей Ъ та-
таких, что ba — а и Ьи = и.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай поля k (/(a)).
Пусть Va — подгруппа иделей Ъ таких, что Ьа=а. Если s—идель,
который удовлетворяет условию sa = cr, то sa = a и
Отсюда следует, что образ k*Va в группе Gal (kab/k) оставляет
поле k(j(a)) неподвижным. Обратно, если автоморфизм (s,k) = a
оставляет j(u) — jA неподвижным, то
и, значит, А°жА. Отсюда следует, что s~1a и а различаются
лишь множителем из &, т. е. s""*ct = aa, где a?k. В таком слу-
случае s ? k*Va, и этим утверждение в рассматриваемой ситуации
доказано.
Если/i—функция Вебера, то по теореме 2 ее значение h((p(u))
порождает абелево расширение поля k. Предположим сначала,
что sa = a и su~u. Положим a=(s, fe). Тогда
ф(и)а = 1|)(S~1W) =i|)(w) =8ф (и),
где е—некоторый автоморфизм кривой Л, поскольку отображе-
отображения ф и ty отличаются лишь автоморфизмом кривой Л. Далее,
так как hG = h, то
Обратно, пусть ajA « jA uoh(<p(u))=h(q)(u)). Из равенства ojA=jA
выводим, что s^a^aa, где a?k*. Заменим теперь s на as. Это
сводит утверждение к случаю, когда sa = a, поскольку (s, k) =
= (sa, k) = а. Тогда
(Уф (и) ss-ф (s"^) = 8ф (S^U),
8—снова некоторый автоморфизм кривой Л. Отсюда
и, следовательно, s^ и и отличаются друг от друга автомор-
автоморфизмом фактора С/а. Это означает, что существует корень из
единицы ?, для которого s~1u = Z>u- Но тогда sXji — u и, следо-
следовательно, s? лежат в Va, u и s?k*Vu, u- Теорема доказана.
Следствие. Пусть с — идеал кольца ok. Тогда полем клас-
классов лучей с кондуктором с над k является поле
где а—произвольный идеал кольца ok.

136 КОМПЛЕКСНОЕ УМНОЖЕНИЕ [ГЛ. 10
Доказательство очевидным образом следует из теоремы 3
и замечаний в конце § 2, гл. 8. Заметим, что идеал с-1а/а, рас-
рассматриваемый как модуль над ок, является главным, поэтому
указанное поле классов может быть получено присоединением
к полю k числа / (а) и образа одной из точек, лежащих в са/а.
§ 4. Эндоморфизм Фробениуса
Для эллиптической кривой с комплексным умножением Дой-
ринг [13] доказал предположение Вейля о том, что эндоморфизм
Фробениуса должен быгь характером Гекке. Как было указано
Вейлем, это означает, что дзета-функция Хассе является по
существу L-рядом Гекке.
Читатель, интересующийся лишь построением полей классов
с помощью значений модулярных функций, может пропустить
этот параграф и перейти к закону взаимности Шимуры.
На протяжении всего параграфа считается, что А—эллипти-
А—эллиптическая кривая с комплексным умножением, определенная над
числовым полем К-
Пусть k—мнимое квадратичное поле и пусть
0: ?-
является нормализованным изоморфизмом поля k с алгеброй
эндоморфизмов кривой А.
Напомним, что нормализованный изоморфизм—это такой изо-
изоморфизм, что
G)oO(f4,) = [lG), \x?k,
для каждой дифференциальной формы со первого рода кривой А.
При этом дифференциальную форму со можно всегда выбрать
такой, чтобы она была определена над К-
Замечание. Включение kczK имеет место тогда и только
тогда, когда каждый элемент из End (Л) определен над /С.
Доказательство. Пусть а—автоморфизм алгебраического
замыкания Ка над /С. Тогда, выбрав дифференциальную форму со,
определенную над /С, имеем
и, следовательно, 9 (|ш)а = 0 (|ы) тогда и только тогда, когда
fxa = |ii. Отсюда замечание следует непосредственным образом.
Напомним, что характер Гекке (или квазихарактер) есть не-
непрерывный гомоморфизм
%: А*к-+С*
из группы иделей поля К в мультипликативную группу комп-
комплексных чисел, тривиальный на /С*, т. е. такой, что %(/(*) =1
(мы не требуем, чтобы характер по абсолютной величине был
равен 1). Рассматриваемый характер называется неразветвленным

§ 4J ЭНДОМОРФИЗМ ФРОБЕНИУСА 137
в простом идеале р, если он тривиален на локальных ^-едини-
^-единицах (вложенных в р-компоненту иделей, имеющих в качестве
остальных компонент 1). Для неразветвленных характеров поло-
положим %(P) = %(S)> где s—идель, у которого р-компонентой явля-
является элемент порядка 1 в р, а остальные компоненты равны 1,
т, е. положим
Х($=х(..-, 1, s*. !, •••)> ordcts^ = 1.
Рассмотрим сначала случай, когда kaK. Пусть р—простой
идеал поля /С, в котором кривая А имеет невырожденную ре-
редукцию А = А(р). Пусть, далее, о—такой порядок в поле kf
что 0(o) = End (Л), и пусть идеал р взаимно прост с кондукто-
кондуктором порядка д. Положим ftr = Р П о, pk = pf\k и обозначим
f = f(p/pk} степень расширения поля классов вычетов. Тогда
Поле К содержит поле k(jA), и из теории комплексного умно-
умножения, а также из элементарных свойств автоморфизма Фробе-
ниуса следует, что символ Артина идеала р{ является тождест-
тождественным на k(jA). В таком случае р{—главный идеал и сущест-
существует такой элемент [х^о, что
Теорема Дойринга утверждает, что можно выбрать порождающий
элемент |x = jx(p) таким образом, что эндоморфизм 0(jx) приводит
к эндоморфизму Фробениуса кривой А и что значения jx(:p)
являются значениями характера Гекке. Для доказательства тео-
теоремы Дойринга мы используем следующую ее идельную версию,
указанную в книге Шимуры [К 12], которая может быть также
обобщена на абелевы многообразия.
Как обычно, Ai0T обозначается множество точек кручения
кривой Л. Обозначим К (р) поле классов вычетов поля К по
простому идеалу р.
Теорема 8. Пусть kaK и пусть s—идель поля К. Пусть,
далее,
есть аналитическая параметризация кривой А. Тогда К (Aiot)
является абелевым расширением поля К и имеется единственный
элемент jx(s)g&, который делает следующую диаграмму
"А юг
к/а—^Аш
коммутативной.

138 КОМПЛЕКСНОЕ УМНОЖЕНИЕ [ГЛ. 10
Доказательство. Пусть о"—-автоморфизм поля ^(^tor)
над К, индуцирующий (s, К) на максимальном абелевом подполе
поля К(АШ). Ограничение а на kab равно (AT^(s), k). Положим
Согласно идельной формулировке основной теоремы комплекс-
комплексного умножения (теорема 3 из § 2, гл. 10) существует аналити-
аналитическая параметризация
¦ф: C/t~la-+Ac,
которая делает диаграмму
с А°=А коммутативной. Так как А° = А, то t~1a = aa для не-
некоторого a G k.
Далее, отображение г|> определено по автоморфизму кривой Л,
и умножение ^ на единицу из End (А) соответствует умножению
элемента а на корень из единицы в поле k. Тогда мы можем
получить диаграмму, в которой нижнее отображение есть ф, а
левое отображение есть (x(s) N§ (s), где элемент (x(s) лежит в
k и определен единственным образом, поскольку ф и or являются
изоморфизмами. Предположим, что ограничение автоморфизма or
на максимальном абелевом подполе поля К (Aiot) является тож-
тождественным автоморфизмом. Тогда можно взять s = l, (ji(s) = l,
и так как автоморфизм or определяется его действием на Ai0T,
отсюда следует, что o = id. Следовательно, К (Ator) является абе-
левым расширением поля К; теорема 8 доказана.
Мы продолжаем считать, что Ас/С. Заметим, что указанное
в теореме 8 соответствие
s н-> \i (s)
является гомоморфизмом, и определим функцию %At % на группе
А\ равенством
где /^—архимедова компонента иделя t?A*K. Как и в случае
характера %, скажем, что гомоморфизм |х неразветвлен в р, если
(л тривиален на локальных р-единицах. В этом случае [х (р) можно
определить таким же образом, как и %(#)•
Теорема 9. Пусть kczf(. Тогда функция % = %АК непре-
непрерывна и является тривиальной на К*- Другими словами, она
является характером Гекке классов иделей поля К- Если $—про-
$—простой идеал, в котором кривая А имеет невырожденную редук-

§4J ЭНДОМОРФИЗМ ФРОБЕНИУСА 139
цию, то % и \i неразветвленыв р и%(р) = р(р). Далее, если черта
сверху обозначает редукцию по mod р, то
есть автоморфизм Фробениуса кривой А над полем классов вы-
вычетов К(р).
Доказательство. Ясно, что % является гомоморфизмом.
Если s?/C*, то (s, /C) = l, и можно взять \i(s) = N?(s), так что
X(s) = l. Следовательно, функция % тривиальна на К*. Если
S) = 1 для всех (неархимедовых) простых идеалов р, тогда можно
взять (i(s) = 1, а
так что % непрерывна на архимедовой части иделей. С другой
стороны, предположим в теореме 8, что Sp очень близки к 1 для
всех р, делящих а. Тогда норма N^is) также близка к 1 и
Имеем также
откуда следует, что \i(s) есть корень из единицы в поле k.
Если, кроме того, выбрать s таким, что (s, k) является тож-
тождественным автоморфизмом на точках кривой А порядка N, где
N—большое число, а также таким, что s и, следовательно,
N$ (s") близки к 1 в простых идеалах, делящих N, то умно-
умножение на N$(s~l) является тождественным отображением на
(k/a)N. Тогда fi(s) также должен быть равен 1. Это показывает^
что ядро гомоморфизма % содержит открытую подгруппу из ко-
конечной части группы иделей поля /С. Следовательно, гомомор-
гомоморфизм х непрерывен и является в таком случае характером
Гекке.
Пусть р—простой идеал поля К, в котором А имеет невы-
невырожденную редукцию. Из теоремы 1 § 3, гл. 9 известно, что
идеал р неразветвлен в поле K(Aiot). Пусть s—идель, у кото-
которого все компоненты, за исключением ^-компоненты, равны 1 и
ordj,sj,=l. Заметим, что N§(sHO=\ и тогда x(s) = |x(s). Далее,
0(|x(s)) является эндоморфизмом кривой А. Докажем, что его
редукция по mod p является эндоморфизмом Фробениуса кри-
кривой А. Обозначим его
Яр = я: А —> А.
Пусть /—простое число, не делящееся на #. Так как /-компо-
/-компонента иделя s равна 1, то умножение на ^(s) N^ (s) совпадает
на группе /-примарных элементов k^ui с умножением на \i(s).

140 КОМПЛЕКСНОЕ УМНОЖЕНИЕ [ГЛ. 10
Далее, так как Э—нормализованный изоморфизм, то диаграмма
€
является коммутативной. Пусть Лш—группа Г-примарных
точек на Л, т. е. образ kl/al при отображении ф. Тогда комму-
коммутативная диаграмма из теоремы 8 показывает, что для каждой
точки Р?ЛШ и cr=(s, К) мы имеем
и так как эти эндоморфизмы имеют одно и то же значение на
то
Если Up — единица в kp и s'p=UpSp, то из сказанного выше
следует, что 9(fi(s')) и 0(fi(s)) имеют одну и ту же редукцию я,
и в таком случае Q(\i(up)) = id. Далее, так как редукция по
mod|) инъективна на кольце End (Л), то \i(up)=l и тогда ха-
характер % неразветвлен в р. Этим теорема доказана.
Замечание. Дойринг доказал также, что характер % раз-
разветвлен, если Л не обладает хорошей редукцией по mod р.
В наши дни это свойство может быть выведено сразу же из
/-адических представлений, которые будут обсуждаться позже
в гл. 13, с помощью результата Серра—Тейта [27]. В самом
деле, результат Серра—Тейта утверждает, что если /—простое
число, не делящееся на р, и если идеал р неразветвлен в рас-
расширении /С(Ли)), порожденном над К точками порядков
1Г на Л, тогда Л имеет модель над полем К с невырожден-
невырожденной редукцией в J). Пусть (k/a){l) — группа точек кручения
порядков 1Г в k/a. Из определений и из теоремы 8, примененной
к иделю Sp, имеющему все компоненты 1, за исключением ком-
компоненты в р, получаем коммутативную диаграмму
w*f-
Правая часть этой диаграммы зависит только от порядка Sp в
р лишь в том случае, если \i(sp) также зависит только от по-
порядка Sp в р, т. е. лишь в том случае, когда характер Гекке
неразветвлен в р. Критерий Серра—Тейта показывает, что это

§4]
ЭНДОМОРФИЗМ ФРОБЕНИУСА
может случиться тогда и только тогда, когда А имеет невырож-
невырожденную редукцию в р.
Теперь рассмотрим случай, когда поле k не содержится в
поле определения кривой Л. Снова будем следовать Дойрингу [13].
Теорема 10. Пусть кривая А определена над числовым
полем Ко, не содержащим k, и пусть K = Kok. Пусть р0—простой
идеал поля /Со, в котором А имеет невырожденную редукцию.
Тогда идеал pQ неразветвлен в /С. Пусть% далее, р: E^—>•?'
является автоморфизмом поля К над Ко и пусть р, р'—про-
р'—простые идеалы поля /С, лежащие над pQ. Пусть \х(р) = %А к(р) и
(Ю = Хл.к(Ю- Тогда
I* («' = !
Наконец, пусть яо = яРо—эндоморфизм Фробениуса редукции
Л(р0) над /С (Ро) и пусть qo=Npo.
1) Если идеал р0 остается простым в К, так что р = р\ то
л0 не является рациональным числом и
п% = щ , п0 = ± У—q0.
2) Если идеал pQ полностью распадается в К, так что
', то по = пр. Кроме того,
Доказательство. Мы знаем, что имеется эндоморфизм
а кривой Л, который определен над /С, но неопределен над/Со,
и такой, что ар^=а. Предположим, что идеал р0 разветвлен в
поле К» Автоморфизм р действует на поле классов вычетов три-
тривиально, и тогда редукция по mod^ дает
ра=а,
что противоречит инъективности отображения, задающего редук-
редукцию на кольце End (А). Это показывает, что идеал р0 неразветв-
неразветвлен в /С.
Докажем, что
Пусть /—простое число, взаимно простое с р0, и пусть Лш —
точки кручения кривой Л, порядки которых равны степеням 1Г
простого числа /. Подобным же образом определим (k/a)u). Из
определений и из теоремы 8 мы имеем коммутативную диаграмму
(К/*)(

142 КОМПЛЕКСНОЕ УМНОЖЕНИЕ [ГЛ. 10
и аналогичную диаграмму для $'. Тогда 0 (jx (#)) = (ру К) на
К(Аи)), и так как #' = рр, то аналогичным образом
на К(Аи)). Для краткости обозначим 0([д,($) через а и расши-
расширим автоморфизм р на К(Л{1)). Из формулы (X (x))Q = № (х9) по-
получаем, что № = р(#, /С) р"*1 на /С(ЛШ), и поскольку эндомор-
эндоморфизмы 0 ([х (р')) и 0(цСр))' действуют одинаковым образом на
Л"\ то
Отсюда следует, что 1*>(Р') = \ь($У, так как по определению нор-
нормализованного отображения имеем
<о о 0 (jx) t= [ко.
Рассмотрим случай р = #'. Тогда элемент [х(р) поля А остается
неподвижным относительно сопряжения и, следовательно, (х (:р) —
рациональное число. Отсюда следует, что Яр =±<7(Д гАе Яо—Ра~
циональное (а следовательно, целое) число и б—тождественный
на Л эндоморфизм. В таком случае nl — ±qQ, и мы утверждаем,
что я0 не может быть тривиальным эндоморфизмом. Действи-
Действительно, если бы я0 был тривиальным, то он коммутировал бы
со всеми эндоморфизмами кривой А. Но если а—такой эндо-
эндоморфизм кривой Л, что а9фа, то!$фа и эндоморфизм а не
определен над К($о). Поэтому а не коммутирует с п0 и, следо-
следовательно, эндоморфизм зт0 не тривиален. С другой стороны,
яоЯо = <7о» и так как отображение ?н->?' является автоморфизмом
поля О(зт0), отсюда следует, что поф±]^до. В таком случае
и этим утверждение 1) доказано.
Предположим теперь, что идеал р0 полностью распадается
в поле /С. Тогда расширение поля классов вычетов имеет сте-
степень 1 и, следовательно, яо = зт^. Из теоремы 9 мы имеем в та-
таком случае, что п0 является редукцией по mod:p изоморфизма
9 (fx D^)) и, кроме того,
Переходя к редукции по modp и учитывая, что
мы получаем, что 0(jx ($))' редуцируется к п'о. Этим теорема
доказана.
Замечание. Как и в случае теоремы 9, можно использо-
использовать результат Серра—Тейта и доказать следующий критерий
Дойринга:

§4] ЭНДОМОРФИЗМ ФРОБЕНИУСА 143
Если идеал р0 неразветвлен в К и кривая А имеет невырож-
невырожденную редукцию в р, где р—простой идеал поля /С, полученный
расширением р0, то А имеет невырожденную редукцию в :р0.
Дойринг [13] затратил много усилий для доказательства
этого критерия и даже назвал его «самой трудной частью» своей
работы, подчеркивая различие с вполне формальными рассужде-
рассуждениями, которые воспроизведены выше в виде теоремы 10.
Теоремы 9 и 10 были доказаны Дойрингом для описания
дзета-функции эллиптической кривой в виде L-функции Гекке.
Мы продолжаем формальные рассуждения.
Пусть F—конечное поле из q элементов и пусть А—эллип-
А—эллиптическая кривая, определенная над F. Пусть N—число F-pa-
циональных точек кривой А и пусть
я: Л"—* А
есть эндоморфизм Фробениуса я = я(?. Тогда
N = v (я—б) = (я—б) (я'—б) ^q + 1 —Тг (я),
где Тг(я) = я + я'—след элемента я0.
Пусть 9: О(я)—^С—вложение в поле комплексных чисел
такое, что 0((х)=я. Следуя Хассе, определим дзета-функцию
кривой А следующим образом:
F у\ ._A-Е*)A-е'Х)
Заметим, что (х, \i' входят в определение дзета-функции симмет-
симметричным образом, так что ее числитель часто записывается в виде
Я(ЛТ F, Х) = A— пХ)A— л'Х).
Взятие логарифмической производной дает
^logZ(I, F, X) = ?tfrfX'-i,
где Nd—число Fd—рациональных точек кривой A (Fd—расши-
(Fd—расширение поля F степени d). Положив X — q~s, мы видим, что
дзета-функция принимает обычный вид
Z(A, F, <Г*) = (^
где эйлерово произведение берется по всем простым дивизорам р
кривой Л, рациональным над F, а сумма берется по всем поло-
положительным дивизорам (циклам) а на Л, рациональным над F
Как уже было упомянуто в гл. 2, Хассе определил корни
этой дзета-функции как собственные значения отображения

144 КОМПЛЕКСНОЕ УМНОЖЕНИЕ [ГЛ. 10
Фробениуса. Это затем было обобщено Вейлем на произвольные кри-
кривые и абелевы многообразия.
Пусть снова А—эллиптическая кривая, определенная над
числовым полем К или /Со. Следуя опять Хассе, определим
дзета-функцию в виде произведения
СИ, К, *) = Ш(Л (*)), *(*). Xrs),
р
взятого по всем простым идеалам #, в которых А имеет невы-
невырожденную редукцию. Тогда, в соответствии с указанными опре-
определениями, теорема 9 показывает, что
С (Л, К, s) = ^(s)^(s-
а теорема 10 показывает, что
С (Л, Ко, s) =
Здесь ?^—дзета-функция Дедекинда числового поля /С, a L(s,%)
есть L-функция Гекке
соответствующая характеру Гекке классов иделей поля К-
Иногда удобно рассматривать характер Гекке, имеющий абсо-
абсолютную величину 1. Тогда можно определить
и заменить L(s, %) на L(s—1/2, Т).
Приложение. Соотношение Кронекера
Результаты этого приложения не будут использованы в даль-
дальнейшем и могут быть опущены читателем. Эти результаты уста-
установлены Кронекером (ср. Вебер [К16], §§ 115, 116).
Докажем другое свойство модулярного многочлена Фт (X, X)
для произвольного положительного целого т. Пусть z ?<§—мни-
?<§—мнимая квадратичность. Выясним кратность / (г) как корня много-
многочлена Фт(Х, X). Конечно, эта кратность может быть равна 0.
Запишем z в виде z = z1/z2y где zly z2—элементы мнимого квад-
квадратичного поля k. Положим Ci = \zly z2] и обозначим о порядок
решетки а (или, эквивалентно, решетки Lz = [z, 1]). Назовем
элемент jx € о примитивным, если он не лежит в по для любого
положительного целого пф\. Если (х?о, то
где а = а11 — целочисленная матрица, откуда видно, что (х при-
примитивен тогда и только тогда, когда (а, 6, с, d) = \. Далее, на-

П.] СООТНОШЕНИЕ КРОНЕКЕРА 14S
зовем ^-эквивалентными два элемента из я, если их частное
является единицей порядка о.
Теорема 11. Пусть z?$—мнимая квадратичность и.
пусть о—порядок решетки L2 = [z, 1]. Тогда кратность j (z)f,
как корня многочлена Фт(Х, А), равна числу примитивных:
классов ^-эквивалентных элементов \i?d таких, что N\i = m.
Доказательство. Пусть {a,-}, l^i^^(m), представи-
представители левых смежных классов множества А^ относительно группы Г.
Ясно, что / (г) является корнем многочлена Ф^ (X, X) в том и
только в том случае, если
для некоторого ос,-. В свою очередь последнее равенство имеет
место тогда и только тогда, когда существует элемент -у ? Г
такой, что ya{z = z. Без уменьшения общности можем считать,
что если atz и z лежат на одной и той же орбите группы
SL2(Z), то они равны между собой (этого можно добиться умно-
умножением ос, на подходящий элемент группы SL2 (Z)).
Используя обозначение, указанное перед теоремой, мы видим,
что сопоставление jxi—>ай индуцирует биекцию между прими-
примитивными классами n-эквивалентных элементов |х?я таких, что
#[i = m, и теми представителями ah для которых a(z=z. Сле-
Следовательно, достаточно доказать, что число г таких представи-
представителей в точности есть кратность /(г) в многочлене Фт(Х, X),
т. е. что Фт (X, X) в точности делится на (X—/ (г))г. В свою
очередь для этого достаточно показать, что
т. е. достаточно доказать следующую лемму.
Лемма. Пусть элемент ag^m таков, что az = z. Тогда
^)/^т) 0
Т_« 1 (т) — /
Доказательство. По формуле Тейлора имеем
П- 1
«=1 /1=1
Так как уравнение ост—т = 0 имеет два различных решения
(а именно, т = г и его сопряженное), то указанные выражения

146 КОМПЛЕКСНОЕ УМНОЖЕНИЕ [ГЛ. 10
имеют при т = г нуль одного и того же порядка. Этим лемма
доказана.
Пусть Ga — группа классов собственных п-идеалов для порядка о
в мнимом квадратичном поле k. Положим
На{Х)=
<
Известно, что все числа }(Л), A?GOi сопряжены над полем Q.
Следовательно, многочлен Яо (X) имеет целые рациональные ко-
коэффициенты и неприводим над Q. Пусть г (т, о)—число прими-
примитивных классов ^-эквивалентных элементов (х ? о таких, что Njx = т.
Тогда из теоремы 11 следует, что при подходящей константе ст
имеет место равенство
Подсчет степеней даст искомое соотношение. Сделаем несколько
дополнительных замечаний относительно степени многочлена
Фт(Х, X), так как полученные в этом направлении результаты
в гл. 5, § 2 преследовали более узкие цели, чем те, к которым
мы стремимся сейчас.
Имеем
mU>i)JIUii)
Предположим, что матрица а имеет треугольный вид
где od = m, a, d>0, O^b^d—1, и что а примитивна. Тогда
наименьший член <7'Разл°жения функции / — / о а равен
1) _e-2Mb/dg-a/di если a>d,
2) q-1, если a <d,
3) A— e™Wd)q-\ если a = d.
Третья возможность возникает лишь в случае, когда т яв-
является квадратом, и ранее игнорировалась. Теперь мы должны
ее учитывать. Заметим, что в этом случае коэффициент при q
отличен от нуля, так как из примитивности матрицы а следует,
что ЬфО. Тогда наименьший член ^-разложения функции Фт (/, /)
будет Cq~N, где С—некоторая ненулевая константа, и
N=
а>d a <d
Здесь е = (а, т/а) и для удобства положено ф({/т) = 0, если
т не является квадратом, и ф {VTn) есть обычная функция Эйлера,

П.] СООТНОШЕНИЕ КРОНЕКЕРА 147
если т—квадрат целого числа. Таким образом, имеет место сле-
следующая теорема.
Теорема 12. Степень многочлена Фт(Х,Х) равна
а 1 т
а>Ут
и имеет место соотношение Кронекера
5> (Ху X),
где сумма взята по всем порядкам о и h0 — число элементов
группы Gfl.
Из элементарной теории порядков известно, что порядок 0
имеет вид
где D—дискриминант порядка о и D = 0 или I(mod4). При
D = D(o) будем писать также г (m, o) = r(my D). Если задаться
вопросом, каково наибольшее возможное значение |D| (при за-
заданном т), для которого имеет место неравенство r (m, D) > О,
то ответ на этот вопрос даст следующая теорема.
Теорема 13. Пусть т>1. Наибольшими значениями \D\
такими, что г (m, D)>0, являются те, для которых D = — 4т
и D = — 4m+ 1. Соответствующие значения г (т, D) суть
г (т, —4т) =1, и при этом представляющим примитивным ре-
решением уравнения N\i — т является VDJ2, а также г(т, —4т+1) =
= 2, и при этом представляющими примитивными решениями
уравнения N\i = m являются A + 1Ло)/2 и A—]/^))/2.
Доказательство. Запишем примитивное решение урав-
уравнения N\i = m в виде
Тогда 4т = х2—Dy2. Из примитивности \х имеем, что если у = 0г
то х = ±2. Но тогда /п=1, что невозможно. Следовательно,,
| у | > 0 и в таком случае
| D |<4т.
Далее, так как D==0(mod4) или D=l(mod4), то наибольшие
возможные значения для | D | соответствуют D = — 4т и D =
= — 4т+1. Определим кратности в этих двух случаях.
Случай 1: D — — 4т. Из соотношения 4m = x2 + 4my2 сле-
следует, что х = 0 и у^=± 1. Значит, [x = J/"d/2, т. е.
D D + VD

148 закон взаимности шимуры [гл. и
Число [х лежит вой является примитивным, так как
имеет коэффициент 1. Таким образом, мы нашли одно решение,
и его кратность равна 1.
Случай 2: D = — 4m+l. В этом случае 4/я = х2 + itny2 — у2
и из примитивности [г следует, что уФ±2 и уфО. Но тогда
г/ = ±1 и лг== ± 1. Следовательно,
и |ы является элементом порядка я.
Далее, так как D = 1 (mod 4), то D является нечетным числом и
±1 Т D
2
является целым. Другой член имеет коэффициент 1 и тогда \i —
примитивный элемент порядка о. Отсюда следует, что уравнение
N\x=^m имеет два неэквивалентных примитивных решения
я, следовательно, г (т, —4m+1) = 2.
Глава 11
ЗАКОН ВЗАИМНОСТИ ШИМУРЫ
§ 1. Соотношение между общими
и специальными расширениями
Пусть F —поле модулярных функций, изученное в гл. 6. Мы
видели, что поле F может быть отождествлено с полем %-коор-
динат (или /i-координат, где h—функция Вебера) точек конечного
порядка на кривой Л, определенной над Q (/) и имеющей инва-
инвариант /. Пусть k—мнимое квадратичное поле и пусть z^kf)^.
Тогда основная теорема комплексного умножения утверждает, что
поле F (г), состоящее из всех значений /(г), /?/\ есть поле kab.
Пусть о — локальное кольцо в k(j) «точки» ft—.>f(z), где f ? k (/),
и пусть 5—целое замыкание кольца о в поле F. Тогда каждая
функция f?S определена в 2. Обозначим Ш ядро гомоморфизма
f*->f(z), f(zS. Мы имеем ситуацию, подобную той, которая при-
приводит к группам разложения, за исключением лишь факта, что
автоморфизмы поля F не обязательно оставляют поле Q (/) не-
неподвижным. Мы хотим в этой ситуации определить некоторым
образом группу разложения, которая, как мы увидим, будет
изоморфна группе Gal(&^&/&), т. е. группе Галуа поля классов
вычетов, так что данная ситуация является по существу нераз-
ветвленной, за исключением случаев, когда точка z эквивалентна i
или р относительно модулярной группы.

§1] ОБЩИЕ И СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ 149
Если | ? k*, то существует такая рациональная матрица q (|) ?
?GL2+(Q), что
Таким образом, мы имеем вложение
удовлетворяющее указанному свойству. Заметим, что z является
неподвижной точкой группы q(k*). В силу непрерывности можно
продолжить q до вложения
Чг.р = ЯР. k;-+GL2(Qp)
и, значит, до вложения группы иделей, снова обозначаемого q = qz
(зависящего от г),
q: AI-+ GLt(A),
хотя на самом деле будет использован гомоморфизм
q: A*k-+G
который опускает комплексную компоненту и совпадает с ука-
указанным вложением на р-компонентах.
Образ группы А1 лежит в аделизованной группе GL2, так как
для всех р
и для почти всех р
ok,p=Zpz®Zp.
Теорема 1 (Шимура). Пусть s—идель поля k и (s", k) —
символ Аршина на каЪ. Пусть, далее, z?kr\Sj и a=^a(qz(s)) —
автоморфизм поля F мз § 3, гл. 7. Тогда для каждой функции
f(zF, определенной в точке г, имеет место равенство
Доказательство. Сначала покажем, что указанное в тео-
теореме соотношение выполняется для всех функций Фрикке fa из
гл. 7, а также для самой функции /. После этого с помощью
формальных рассуждений, касающихся группы разложения, мы
покажем, что это соотношение выполняется для всех функций /.
Запишем
где а ? GLt (Q) и w 6 TI ^2 (ZP) — U& соответствии с теоремой 1
р
§ 1, гл. 7. Пусть a?Q2, a^Z2. Напомним, что

150 ЗАКОН ВЗАИМНОСТИ ШИМУРЫ [ГЛ. 11
Локально мы имеем
где \i—некоторый элемент поля k (фактически \i = cz + d).
Запишем, как обычно, Lz = ]z, 1]. Что тогда представляет
собой sL2? Мы утверждаем, что
sLz= l^Laizi.
Достаточно проверить это равенство локально для каждого р.
Имеем
и это доказывает утверждение.
Мы имеем теперь обычную диаграмму комплексного умножения
Q2/Z2 *~@LZ/LZ '
JL-.
Заметим, что
так что можно выбрать
Мы утверждаем, что умножение на и в левой части делает
диаграмму коммутативной. Это тривиальным образом проверяется
на основе предыдущих вычислений.
Следовательно, если цJ: C/L2 —^ AZ? — обычная параметризация
кривой А2 и если q(s) = ua, мы получаем
где 8—некоторый автоморфизм. Взяв теперь функцию Вебера
и переписав последнее равенство в терминах fa, где/а—функция
Фрикке, а также вспоминая, что q(s) = ua, имеем
Этим теорема доказана для специальных функций fa и /. Заметим,
что указанные соотношения выполняются для функций Вебера.
любого из трех типов.

§1] ОБЩИЕ И СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ 151
Докажем, далее, что соотношение теоремы справедливо для
всех элементов поля F. Пусть 5—целое замыкание кольца R =
= &[/] в поле Т7. Так как элемент joa является целым над k [/],
то от отображает 5 на кольцо, которое будет целым над k[j о а],
и тогда о индуцирует автоморфизм кольца S. Обозначим тп мак-
максимальный идеал в кольце &[/], а ЗЛ обозначим максимальный
идеал в 5, которые являются ядрами гомоморфизма
/>-*/ =/(z).
Если р—автоморфизм кольца 5, отображающий Ш на 9Л, т. е.
если р принадлежит группе изотропии идеала 9Л, то р индуцирует
автоморфизм поля классов вычетов, который мы обозначим
р: S-+S.
Отождествим 5 с множеством всех элементов /, f?S.
Докажем, что существует такой элемент p?Aut(.F), который
обладает свойствами:
1) р отображает Ш на 93?,
2) р = а на ?(/),
3) p = (s-\ *).
Пусть Gа—такой автоморфизм поля F, что oaf = f о а. Тогда
Gа индуцирует автоморфизм кольца 5 (тем же образом, что и о).
Так как оа оставляет неподвижными константы, то формула
показывает, что ват а Ш. Отсюда тп с a~^M и из обычной тео-
теории Галуа (см. § 3, гл. 8) следует, что существует такой элемент
x€GsLl(F/k(f)), что хт = о-т. Тогда
и (Тат = сг на k(j). Таким образом, первые два свойства удовлет-
удовлетворяются. Пусть G = Gal (F/k(j)). Поле классов вычетов R = R/m
совпадает с полем k(j(z)). Далее, по свойству сюръективности
из предложения 4 § 3, гл. 8 мы знаем, что существует такой
автоморфизм X ? Ggjt, что X обладает предписанным действием на
поле классов вычетов. В данном случае это действие задается
равенством
Xcf^i^is-1, k).
Возьмем р=ХGат. Тогда р удовлетворяет всем трем свойствам.
Далее, для всех афО, a?Q2/Z2, автоморфизм р^ст удовлет-
удовлетворяет условию
и оставляет неподвижным поле Q (/). Из теорем 2' и 3' § 3, гл. 9
заключаем, что р~*в лежит в группе инерции. Поскольку теперь

152 ЗАКОН ВЗАИМНОСТИ ШИМУРЫ [ГЛ. 11
соотношение
справедливо для р и для всех / ? 5, оно справедливо также для а,
и этим теорема доказана.
В доказательстве закона взаимности Шимура [К 12] сначала
показал, что соотношение взаимности выполняется для / и для
функций fa. Чтобы распространить это соотношение на все эле-
элементы поля F, Шимура использует довольно сложные рассуждения
и даже привлекает параметризации моделей функциональных по-
полей FN над Q из верхней полуплоскости. Трудности такого ха-
характера возникали и ранее, с какой бы позиции ни рассматри-
рассматривалось комплексное умножение. Мы обходим эту трудность с по-
помощью привлечения формализма групп разложения, аналогичного
обычному формализму расширений Галуа.
Имеет смысл также описать группу инерции в полной группе
автоморфизмов.
Теорема 2. Пусть г?$)—мнимая квадратичность и пусть
k = Q(z). Пусть, далее, Ш—ядро «точки» /н-»/(г)=/ в поле
модулярных функций /\ Пусть G—группа автоморфизмов поля F
над k и Gm—группа изотропии идеала Ш. Тогда отображение
является гомоморфизмом группы Gm на группу Gal (kab/k), ядро
которого состоит из тех элементов оа, a?GL? (Q), для которых
az *= z.
Доказательство. По теореме 6 § 3, гл. 7 (точная после-
последовательность Шимуры) можно записать элемент a ? Gm в виде
<г = <г(ма),
где u^J\GL2(Zp) и a?GLf(Q). Тогда oj = j оа. Предположим,
что ^т= id. В таком случае
и, следовательно, az = yz для некоторого y?SL2(Z). Для каждой
функции Фрикке fa мы имеем /?(^) = /й(г), и тогда
Но fau (az) = fau (yz) = fauy (г), и из теорем 1, 2', 3' § 3 гл. 9 полу-
получаем, что иу = у1У где y1^SL2(Z), так что yxz = z. Следовательно,
а = а (YiY~la) и элемент 7i7""la оставляет точку z неподвижной.
Обратно, если |3 ?GL% (Q) и рг = г, то ясно, что аф) принадлежит
ядру гомоморфизма в\-^-а. Сюръективность этого гомоморфизма
следует из теоремы 1. Теорема доказана.
Следствие. Пусть А\—группа иделей поля k. Тогда Ош
является образом А\ при вложении qz.

§2] ПРИЛОЖЕНИЕ К ЧАСТНОМУ ДВУХ МОДУЛЯРНЫХ ФОРМ 153
Доказательство. Теорема 1 показывает, что образ ото-
отображения qz содержится в Gm- Кроме того, если cr^Ggjt, то
для некоторого иделя s, и в таком случае от и o(qz(s)) разли-
различаются лишь на элемент ядра из теоремы 2, который, как мы
знаем, является элементом типа оа. Если
а Ь*
с dj
то положим \i = cz-jrd и отождествим \i с иделем, имеющим \х
в каждой компоненте. Тогда a(qz(\i))=a\ этим утверждение след-
следствия доказано.
§ 2. Приложение к частному двух модулярных форм
Будем снова следовать книге Шимуры [К12]. Если /—авто-
морфная функция веса 2t (см. § 2, гл. 3), то рассмотрим / как
однородную функцию
двух переменных, степень однородности которой равна —2t, т. е.
Если отвлечься от условий мероморфности, то функциональное
уравнение для автоморфной функции / относительно группы Г =
= SL2(Z) можно записать в однородных обозначениях в виде
Теорема 3. Пусть /, g—автоморфные функции одного
и того же веса и пусть а?М$ (Z), deta = Af. Положим
Тогда h—модулярная функция уровня N и, кроме того,
1) функция h неподвижна при действии группы а^Г
2) если, как и ранее, положить U = Ц GL2 (Zp), то h непо-
неподвижна при действии группы aUar\U-
Доказательство. Пусть у ?TN, т. е. у?Г и 7 = 1+Л^р, где
|5 — некоторая целочисленная матрица. Тогда матрица

154 закон взаимности шимуры [гл. и
является целочисленной и ее определитель равен 1. В таком
случае
h(r)= K)xl{J * V1^ =h(yx)
[
и, следовательно, ft является модулярной функцией уровня N.
Далее, элемент а"гуа^Т оставляет функцию h инвариантной.
Этим первое утверждение доказано.
Доказательство второго утверждения несколько длиннее. Сна-
Сначала редуцируем задачу к случаю диагональной матрицы а. Су-
Существуют такие у, 6?«SL2(Z), что
Г j
где r^Q и т—целое положительное число. Тогда
= Аро б,
и в таком случае достаточно доказать, что функция Лр неподвижна
под действием б (a~1UanU) б, т. е. под действием р~1(/рп^,
так как ба" = р*7~1 и y~1Uy = U. Таким образом, достаточно
доказать, что функция
где
инвариантна относительно группы Р ?/р Л U, Пусть и ? U и пред-
предположим, что р~1^р также принадлежит U. Запишем ир в виде
Тогда
и эта матрица принадлежит Uр в том и только в том случае,
если bp = mbp, где fyj,—некоторая р-адическая единица. Тем самым
нами доказано следующее утверждение:
Лемма. Если

§2] ПРИЛОЖЕНИЕ К ЧАСТНОМУ ДВУХ МОДУЛЯРНЫХ ФОРМ 155
то группа a" Ua[\U состоит из всех элементов v?U таких, что
и а Га П Г = Го (т), т. е. а" Га П Г состоит из всех матриц вида
Переходя теперь к сравнениям по модулю т, мы редуцируем
доказательство теоремы 3 к следующему частному случаю.
Теорема 4. Пусть /, g—автоморфные функции одного
и того же веса относительно группы r = «SL2(Z), имеющие ра-
рациональные коэффициенты Фурье. Пусть, далее, т—целое поло-
положительное число. Тогда функция
имеет уровень т и инвариантна относительно группы всех авто-
автоморфизмов поля F, предетавимых матрицами
о d) €OL2(Z/mZ). (x)
и а/
Доказательство. Так как функция h имеет рациональные
коэффициенты Фурье, то она неподвижна относительно автомор-
автоморфизмов поля F, представляемых матрицами вида
Умножая матрицу вида A) на такую диагональную матрицу, мы
приходим к случаю, когда матрица A) является элементом группы
SL2 (Z/mZ). Такой элемент имеет по лемме в качестве предста-
представителя из SL2(Z) некоторый элемент из группы
Воспользовавшись теперь первым утверждением теоремы 3, мы
получаем утверждение теоремы.
Следствие 1. Функция f {mx)lg (т) является элементом
поля Q(/, /от).
Доказательство. В соответствии с теоремой 5 из § 4,
гл. 6 неподвижным полем группы автоморфизмов поля Fm в тео-
теореме 4 является поле Q (/, /от). Отсюда следствие вытекает
очевидным образом.
Следствие 2. Пусть А—дискриминант эллиптической
кривой и пусть
, ч А(тт)
Тогда Q(/, /o/n) = Q(/, фот).

156 ЗАКОН ВЗАИМНОСТИ ШИМУРЫ [ГЛ. 11
Доказательство. Возьмем в теореме / = g-=Bjc)~12A.
Тогда по теореме 5 из § 4, гл. 6 мы видим, что функция цт
лежит в поле Q (/, / о т). Рассматривая теперь сопряженные
этой функции относительно модулярной группы и коэффициенты
Фурье ее ^-разложения в бесконечности, мы видим, что все
of>(m) сопряженных функций различны между собой, и это дает
требуемое равенство полей.
Арифметические результаты, соответствующие функциональ-
функциональным результатам следствия 2, будут доказаны в теореме 3 из
§ 1, гл. 21.
Следующая теорема представляет собой упражнение 6.37 книги
Шимуры [К12]. В этой книге Шимура доказал свой результат
только для идеалов кольца всех целых алгебраических чисел.
Для приложений необходим более точный результат.
Теорема 5 (Шимура). Пусть /, g—автоморфные функ-
функции одного и того же веса относительно группы Г, имеющие
рациональные коэффициенты Фурье. Пусть, далее, а?М? (Z)>
dt = Af, и
'M
Пусть k—мнимое квадратичное поле, L*=[zly z2]—решетка в k
с z — zjz2 ? Q и s—такой идель поля k, что sp = 1 для всех р \ N.
Тогда существует такой элемент r)?GL2+(Q), что
1) гц является базисом решетки
\Z2 /
2) аца ^GL2(Zp) для всех p\N.
Кроме того, если функции f о а и g определены в точке г,
то для каждого элемента rj, удовлетворяющего условиям 1) и 2),
имеем
Доказательство. Докажем сначала существование эле-
элемента т] с указанными свойствами. Элемент т|, удовлетворяющий
условию 1), отыскивается тривиальным образом. Нам нужно до-
доказать, что существует такой элемент 7^Г, что уп удовлетво-
удовлетворяет условию 2), т. е.
аут]» 6 GL2 (Zp)
для всех p\N. Для этого заметим, что умножение справа на эле-
элемент ир б GL2 (Zp) приводит к автоморфизму множества Z2P, ив
таком случае мы имеем изоморфизм
Z?Z/2a « 2

§2] ПРИЛОЖЕНИЕ К ЧАСТНОМУ ДВУХ МОДУЛЯРНЫХ ФОРМ 157
Далее, существует такая подрешетка М из Z2, что Mp = Z2pouip
для всех р, и тогда
Z7Z2a « Z2/M.
Их элементарной теории делителей имеем, что Z2ay = M для не-
некоторого элемента у?Т. Другими словами,
для всех /? и, следовательно,
для всех простых р. В частности, если p\N, то мы знаем, что
Up1 = v\, и этим существование элемента т] с желаемыми свойст-
свойствами доказано.
Чтобы задать действие автоморфизма (s, k), надо сначала
разобрать смысл отображения <7(s~x), чтобы применить затем
теорему 1. Имеем
и, следовательно, ^ (Sp1) = ирх\ при некотором г^ € GL2 (ZJ «= f/^.
Отсюда ир —г] для всех p|iV и gis'1) = ur\. По теореме f мы на-
находим
и тогда достаточно доказать, что hG(u) — h. По теореме 3, для
этого нужно лишь показать, что и ? a'Wa f| U, т. е. чтоаг/a ? ?/.
Проверим это для каждого простого р. Если р | N, то это равно-
равносильно второму условию на ц. Если же p\N, то элемент а сам
лежит в Up, и тогда утверждение очевидно. Теорема 5 доказана.
Пусть о—порядок в поле k и 6—собственный я-идеал, взаимна
простой с кондуктором порядка о. Напомним обозначение из § 3,
гл. 10, а именно (b, k) = (bki k), bft = boft, где (bk, k)—автомор-
k)—автоморфизм Артина абелева расширения поля k, в котором простые
множители идеала bk неразветвлены (таким расширением явля-
является, в частности, k(j(o))).
Теорема 6. Пусть /, g—автоморфные функции одного и
того же веса относительно группы Г, имеющие рациональные
коэффициенты Фурье. Предположим, что они голоморфны на
верхней полуплоскости «?) и что g не обращается на $ в ноль.
Пусть, далее, о—порядок поля k и а, Ь—собственные о-идеалы,
причем Ь взаимно прост с кондуктором порядка о. Для каж-
каждого собственного а-идеала с определим

158 закон взаимности шимуры [гл. и
Тогда ha (о) лежит в поле k (/ (о)) и
Доказательство. Пусть о = [г,1] и пусть а—такая цело-
целочисленная матрица, что
является базисом идеала а. Пусть, далее, det a = N. Предположим
сначала, что идеал 6 взаимно прост с N. Пусть s—такой идель,
что sp=l для всех p\N и spop = bp для всех р. Пусть, далее,
h—функция, определенная в теореме 5. Имеем
Ж = 1
8@) J г
1
Докажем, что ат)^ j являются базисом идеала Ь'Ч. Про-
Проверим это для каждого простого р. Если p\N, то Ьр = др и
\ ) = 21*ч*а ( ^ ) = ар -
по определению матрицы а. С другой стороны, если р\ N, то
ар-=0р и Zla = Z2pi так что
Это дает нам желаемый базис для идеала б^ст. Из теоремы 5
получаем
Пусть K = k(j(o), ha(o)) и пусть S—конечное множество
простых, содержащее все простые числа р, делящие N и кон-
кондуктор порядка о, а также простые, разветвленные в поле /С.
Предположим, что идеал 6 взаимно прост со всеми числами из
множества S. Применим указанное выше соотношение к идеалу
Ь и выберем s таким, что sp— 1 для всех p?S. Тогда

§ 1] ПОВЕДЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ АВТОМОРФИЗМА АРТИНА 159
Предположим, что автоморфизм (s, k) оставляет величину / (о)
неподвижной. Соотношение сравнимости Кронекера дает
и, следовательно, идеал 6 = Хо является главным. Приведенная
выше формула показывает тогда, что величина ha(o) также
остается неподвижной под действием (s, k). Отсюда следует, что
hv (о) лежит в поле k (j (о)).
Если теперь 6 — собственный о-идеал, взаимно простой с кон-
кондуктором порядка о (следовательно, он содержит лишь простые
множители в k, которые не разветвлены в k (/(о)), то по тео-
теореме 5 из § 1, гл. 8 существует такой элемент k?k, что о-идеал
'кЬ будет взаимно прост со всеми элементами множества S. Сим-
Символы F, k) и (кЬ, к) действуют на поле k(j(o)) одинаковым об-
образом, и это сводит теорему к рассмотренному ранее случаю.
Следствие. Величина А (ао)/А (о) лежит в поле k (/ (о)),
причем
А (ао)уь> fe) А (Ь1)
А () У "" А
у
А (о) У "" А (Ь-1) *
Доказательство. Положим в теореме6 f=g= Bя)~12А.
Г лава 12
ФУНКЦИЯ А(сст)/А(т)
§ 1. Поведение под действием автоморфизма Артина
В этом параграфе дается пример к теореме Шимуры о част-
частном двух автоморфных функций. На протяжении всего параграфа
будем обозначать k мнимое квадратичное поле, a ok—порядок
ок = [г, 1].
Рассмотрим частный случай, когда a=f^ j J , так что а(г)=тг„
и когда
является порядком с кондуктором т.
Если 6—собственный о-идеал, то используем обозначения и&
§ 3, гл. 10, а именно, F, k) — (bk, k), 6ft = 6% где (bk, k)—авто-
k)—автоморфизм Артина.
Теорема 1. Величина А (о)/А (ok) принадлежит полю k (j (o))t
и для каждого собственного о-идеала Ь, взаимно простого с кон-
кондуктором т порядка jo, имеем
А (а) \(Ь. *)__ AF-iq)
A (aid) ~~ А(Ь^)
где а—любой о-идеал, взаимно простой с т.

160 ФУНКЦИЯ Д(ат)/Д(т) [ГЛ. 12
Доказательство. Докажем сначала частный случай фор-
формулы, а именно
А(о) \(В. *) A (ft-1)
A(ok)J "" A(bjfi) '
Покажем, что эта формула является частным случаем теоремы
5 из § 2, гл. 11 для / — ? = Bя)~1аД. Заметим, что множитель
Bя)~12 обеспечивает рациональность коэффициентов Фурье чис-
числителя и знаменателя. Возьмем матрицу т|, удовлетворяющую ус-
условиям теоремы 5, так что
будет базисом идеала 6&1 и arja g GL2 (Zp) для всех р \ N.
Тогда теорема 5 дает нам желаемое равенство
А(о)
если только ац( *)—базис идеала б. Проверим это условие
для каждого простого р. Если р\ т, то матрица а локально
обратима в /?, и в этом случае условие выполняется. Если р\т,
запишем
ат|
(;)-ала-1а(;). а)
По условию матрица ащ'1 является р-целой и ее определитель
есть р-единица. Тогда локально в р мы имеем, что локальная
решетка, базис которой задан выражением A), совпадает с ре-
решеткой ор, которая в свою очередь совпадает с Ьр1 ввиду взаим-
взаимной простоты Ь и т.
Общая формула получается теперь повторным применением
доказанной формулы к автоморфизму (ba-1, k) вместо (b, k).
Наконец, чтобы убедиться в том, что А (о)/А (ok) лежит в поле
k{j(o))> обозначим о автоморфизм поля классов лучей km над&,
который оставляет величину j (о) неподвижной. Возьмем такой
г^-идеал ък, взаимно простой с т, что o = (bk1 kjk). Так как
ограничение а на поле k (/ (mz)) является тождественным авто-
автоморфизмом, то из теоремы 5 § 3, гл. 10 следует, что собствен-
собственный о-идеал Ь = bk Г) о должен быть главным идеалом. Далее, из
формулы, задающей действие автоморфизма (b, k), и из свойства
однородности дискриминанта А следует, что автоморфизм F^, k)
является тождественным на А (о)/A (ofe). В таком случае А (о)/А (ok)
содержится в поле k(j(o)). Теорема 1 доказана.

§2] РАЗЛОЖЕНИЕ НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ 161
Следствие. Числа / (о), / (ok), А (о)/A (ok) являются вещест-
вещественными и
Доказательство. Исходное определение g, gs в виде
рядов показывает, что
gt(L')=gt(LY, g,(Lt)=g,(L)'
для каждой решетки L в поле k и ее комплексно-сопряженной
решетки L'. Вещественность указанных в следствии чисел следует
из того, что о' = о. Второе утверждение вытекает из того, что
Q (/ (о)) является максимальным вещественным подполем поля
§ 2. Разложение на простые множители
Нашей целью является описание разложения на простые мно-
множители значений
когда г пробегает элементы мнимого квадратичного поля и
agM2+(Z). Это описание было полностью дано Хассе. Здесь же
мы рассмотрим только наиболее важный специальный случай.
Полный список читатель может найти в книге Дойринга [К1,
§ 22, стр. 43]. Начнем со свойств целочисленности, аналогич-
аналогичных тем, которые имеют место для функции /. Пусть матрица а
имеет определитель | а | = п. Положим
(I)
Для любого элемента y?SL2(Z) имеем <pva = <pa, так что значе-
значение ф зависит лишь от левого класса смежности элемента а, при-
причем можно считать, что последний является примитивным. Кроме
того, как в § 1, гл. 5, будем полагать, что матрица а является
треугольной,
(а
Но
Тогда
Теорема 2. Функция сра является целой над кольцом Z[j].
Доказательство. Пусть ai9 ...,a^(rt)—представители
левых классов смежности примитивных матриц в M2(Z), имею-
имеющих определитель п, относительно модулярной группы 5L2(Z).

162 ФУНКЦИЯ Д(ат)/Д(т) [ГЛ. 12
Будем считать, как и выше, что эти представители имеют тре-
треугольный вид. Воспользуемся методом § 2, гл. 5. Функция А
имеет q-разложение:
где A (q)—степенной ряд с целыми рациональными коэффициен-
коэффициентами, и отлична от нуля на .§. Каждая из функций <ра. голо-
голоморфна на «? и имеет <71/л"Разложение в бесконечности. Далее,
те же самые аргументы, которые были использованы для функ-
функции / (теорема 4 из § 4, гл. 6), показывают, что каждая из функ-
функций фа имеет на самом деле уровень п. Следовательно, симмет-
симметрические функции от фа. являются модулярными функциями
уровня 1, и, будучи голоморфными на <?), они лежат в кольце С [/].
Чтобы показать, что эти функции лежат в Z [/], используем
^-разложение. Для треугольной матрицы а вида B) замена
преобразует ^-разложение функции А таким образом, что
-а Qd l + A{q) • W
Коэффициенты Фурье этого выражения лежат в кольце Z[?,d].
Далее, каждый автоморфизм а5, переводящий ?d в ?j (где
(s, n) = 1), можно расширить до автоморфизма поля
степенных рядов от qlin, который переставляет между собой
q1 /"-разложения г|) (л) функций фа., 1^/<г|)(д). Элементарные
симметрические функции от фа1, ..., фа инвариантны относи-
относительно таких автоморфизмов и, следовательно, их коэффициенты
Фурье лежат в кольце Z. Отсюда и из голоморфности каждой
функции фа на <§ следует, что фа являются целыми над коль-
кольцом Z[/]. Теорема доказана.
Проанализировав доказательство теоремы 2, можно убедиться,
что оно справедливо и в более общей ситуации для частного
двух автоморфных функций одного и того же веса, если только
выполнены следующие условия.
Теорема 3. Пусть /, g—автоморфные функции одного и
того же веса т относительно группы SL2(Z). Предположим, что
1) обе функции /, g имеют целые рациональные коэффициенты
Фурье,
2) функции /, g голоморфны на JQ и g не обращается в ноль
на полуплоскости <@,
3) функция g имеет q-разложение вида
где у—целое число и B(q)—степенной ряд от q с целыми ра-
рациональными коэффициентами.

§ 2] РАЗЛОЖЕНИЕ НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ 163
Тогда функция
является целой над кольцом Z [/'].
Теорема 4. Если z—мнимая квадратичность, то значения
функции фа (z) являются целыми алгебраическими числами, деля-
делящими |а|12.
Доказательство. Так как значения функции / (z) — целые
алгебраические и так как функция фа (г) является целой над
кольцом Z[/], то ее значения также будут целыми алгебраи-
алгебраическими. Чтобы доказать указанную в теореме делимость, возь-
возьмем такую целочисленную матрицу а', что
а а = |а|« 1 = ( 0
и рассмотрим произведение
А (а'а ( \
'('г
КОИ
Если сократить числитель и знаменатель на А ( а( f ) 1 и вос-
воспользоваться свойством однородности функции А, а также тем,
что a'a = | а | • 1, получим
Утверждение теоремы следует теперь из того, что фа (z) есть
целое алгебраическое число.
Будем использовать следующее обозначение. Если ?—целое
алгебраическое число и a-некоторый ok—идеал, то запись
будет означать, что 1ок=аокв некотором большем числовом поле
К. Аналогично, если |х, |2—алгебраические числа, то запись
будет означать, что ?]Д2 является единицей. В этом случае бу-
будем говорить, что 11У 12 ассоциированы.
Пусть о — порядок в поле k и пусть а, Ь — собственные
jo-идеалы. Пусть b = [zu z2] и пусть матрица agMJ(Z) такова,

164 ФУНКЦИЯ Д(ат)/Д(т) [ГЛ. 12
ЧТО
а (*)
является базисом идеала аЬ. Обозначим Na индекс (о:а). Тогда
ясно (из элементарной теории делителей), что Na = \a\. Поэтому
мы используем обозначение
Теорема 5. Пусть р—простое число, полностью распа-
распадающееся в поле k и не делящее кондуктор порядка о. Пусть
po = ppf—его разложение на простые сомножители в порядке о,
рфр'. Тогда
для любого собственного о-идеала а.
Доказательство. Пусть Ь—такой собственный о-идеал,
взаимно простой с р, что Ър суть главный идеал, скажем,
Ь|) = ^о. Тогда
А(!>)а) r A (a) r A (a)
По теореме 4 первый множитель в левой части равенства делит
число ЛПз12, которое взаимно просто с /7, а второй множитель
делит р12. С другой стороны, из разложения ?a> = bj) следует,
что простой идеал р входит в это разложение с кратностью 1,
а идеал р' не входит в указанное разложение, так как идеал Ь
взаимно прост с р. Значит, вклад простого идеала р' в разло-
разложение на простые сомножители правой части рассматриваемого
равенства в точности равен р'12. Этим теорема доказана.
Следствие. Для каждого собственного о-идеала Ь число
т |Л(оI2
является единицей.
Доказательство. Положим
Мы видим, что г(Щ = е(Ь) для каждого h^k, Я=?0, т. е. г(Ь)
зависит лишь от класса, содержащего идеал 6. Далее, всегда
можно найти такое число X, что идеал М) будет равен простому
идеалу р степени 1, т. е.
где рФрг и р—простое число, не делящее кондуктор (здесь мы
используем результат из теории полей классов о существовании

§2] РАЗЛОЖЕНИЕ НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ 165
простых идеалов в обобщенных арифметических прогрессиях;
нужное нам утверждение получается из теоремы 5, примененной
к 0ft, и теоремы 5 из § 1, гл. 8). Заменив теперь Ь на указан-
указанный простой идеал р и взяв произведение приведенного в тео-
теореме 5 выражения на его сопряженное выражение, получаем
утверждение следствия.
Докажем другое утверждение, которое оказывается иногда
полезным в приложениях.
Теорема 6. Пусть р—простое число, z—мнимая квадра-
тичность и a,-?iWj(Z), O^t^p,— представители левых клас-
классов смежности матриц с определителем р относительно группы
SL2(Z). Тогда
ПЧЧ-И-!)*-1/?12.
Доказательство. Мы знаем, что г|)(р)=р+1 и что в
качестве представителей можно взять матрицы
Тогда получаем ^"разложения для фа. из соответствующих ^-раз-
^-разложений C). Ведущим членом для сра., O^t^p—1, является
Q/ 12x О
p-i^ ведущим членом для сра является p12qP"x. Отсюда сле-
следует, что указанное в теореме произведение имеет ^-разложение,
которое начинается с константы
Далее, так как это произведение является модулярной функцией,
не имеющей полюса в бесконечности, то оно должно быть кон-
константой, и теорема доказана.
Следствие. Пусть а—собственный о-идеал и пусть р —
простое число, взаимно простое с кондуктором и полностью
распадающееся в поле k, так что ро = рр', $Фрг. Пусть а =
= Гг1» гъ\ и ^> Р*—матрицы с определителем р такие, что
суть базисы идеалов Щ и р'а соответственно. Если матрица
а g MJ(Z) имеет определитель р и не лежит в орбите матриц
Р или Р' относительно группы SL2(Z), то фа(г1/22) является
единицей.
Доказательство. Вклады в произведение, указанное в
геореме 6, от двух членов qty (а) и qy (а) из теоремы 5 уже дают
р12 в разложении этого произведения на простые множители. Так
как по теореме 6 в этом разложении не может быть никаких

166 ФУНКЦИЯ Д(ат)/Д(т) [ГЛ. 12
других простых множителей, то все остальные члены в рассма-
рассматриваемом произведении должны быть единицами, поскольку по
теореме 3 все они являются целыми алгебраическими числами.
Чтобы найти значения фа (zjz2) в общем случае, можно ис-
использовать индуктивный процесс. Действительно, пусть ос = C^,
где |3, у ? М} (Z). Тогда для любой решетки L = [zl4 г2], где
z = zjz2 ? fa, имеем
A (
или, другими словами,
Для данной решетки L и ее подрешетки М можно найти це-
цепочку решеток
L = L03 LX3 L23 ... z> Lr = M
таких, что (Ь{:Ь1+1) = р; есть простое число. Далее, если
(L:M)=p, то решетка М имеет базис
¦С).
где Р—матрица с определителем /?, и тогда вычисление значе-
значений функций фа сводится к вычислению значений фР, где матри-
матрица Р имеет своим определителем простое число.
§ 3. Аналитическое доказательство соотношения сравнимости
для функции j
Для удобства читателя мы воспроизведем здесь классическое
доказательство Хассе [19] соотношения сравнимости для/-функции.
Теорема 7. Пусть о—порядок в поле k и пусть р—простое
число, не делящее кондуктор порядка о, так что /н> = ДО',
рФ$'. Пусть, далее, а—собственный идеал порядка о и пусть
К—конечное расширение Галуа поля k, содержащее все числа
/(с), где с пробегает собственные идеалы порядка о. Тогда
= iWa) (mod рок).
Доказательство. Без уменьшения общности можно счи-
считать, что поле /С расширено до большего поля, также являюще-
являющегося расширением Галуа поля k и содержащего все алгебраиче-
алгебраические числа, которые будут появляться в ходе доказательства,
например, значения функции фа(г), где а—примитивная цело-
целочисленная матрица с определителем р. Выберем те же самые
представители, как и ранее, для левых классов смежности таких

§33 СООТНОШЕНИЕ СРАВНИМОСТИ ДЛЯ ФУНКЦИИ/ 167
матриц относительно группы SL2(Z), а именно
1 '
а'= о
Если /—функция на верхней полуплоскости, то /* (q) обозна-
обозначает ее разложение по степеням q (или qxip = e2nixlp). Условимся, что
сравнение
означает принадлежность всех коэффициентов степенного ряда
/* (q) идеалу р. Кроме того, будем считать, что сравнение тако-
такого типа по mod/? или по mod(l—?), где ?—примитивный ко-
корень степени р из 1, означает, что указанные коэффициенты
принадлежат идеалу, порожденному числами р или 1 — ?.
Рассмотрим многочлен от двух переменных
У) = Д (X—j о а,-) (К-фв1)... (Г^Фа.) • • • (К-Ф«р,
где в каждом произведении опущен множитель Y—сра.. Коэф-
Коэффициенты этого многочлена являются модулярными функциями
уровняр на полуплоскости §, и перестановки / о а. ь-> /оа^, у ? Г,
порождают перестановки фа.н->фа.7. Следовательно, коэффициенты
многочлена /^(Х, F) инвариантны относительно группы Г. Кроме
того, если (d, р) = 1, то автоморфизм с^: arfg==gd действует по
правилу
j о at i-» у о а^., фа. н-» фа^.
для i — 0, 1,..., р—1 (mod/?) и оставляет /оа^ и фа непод-
неподвижными. Поэтому коэффициенты многочлена F (X, F) являются
модулярными функциями, которые инвариантны относительно*
группы Г и имеют рациональные коэффициенты Фурье. Следо-
Следовательно,
F(X,Y)=F(X,Y,j)eZ[X,Y,j],
т. е. F можно рассматривать как многочлен от X, Y, j с целыми
рациональными коэффициентами.
Заметим, что если
является степенным рядом от q с коэффициентами из Z, то
(/ о a,.)* (q) = A (qi'ptf) = Л (^/о) (mod I — t)
для всех t = 0, 1, ..., р—1. С другой стороны,
(/ о og* (q)=A (qp) ^ A (q)p (mod p).

168 ФУНКЦИЯ Д(ат)/Д(т) [ГЛ. 12
Здесь ? — примитивный корень степени р из 1 и соответствующие
сравнения означают, что все коэффициенты делятся на 1—? в
кольце целых алгебраических чисел поля /С, взятого настолько
большим, что оно содержит корни степени р из 1. Отсюда сле-
следует, что первые р слагаемых в многочлене F(X, Y) сравнимы
между собой по modi—?.
Последнее слагаемое содержит в качестве множителя (X —¦
— 1*(я)р)- Если вместо X поставить jp, to этот множитель ста-
становится сравнимым с нулем по mod p. Поэтому
F(j*(q)P, Г, /•(?)) Es 0 (mod 1-Е),
т. е. это выражение лежит в A—?J[?]((<71/р))[У]. Далее, так
как коэффициенты Фурье этого выражения являются целыми
рациональными числами, то
F(}*(q)P, Y, j*(q))^
Следовательно,
jp, Y, j)?PZ[Y,
Пусть а = [г19 z2], где z = z1/z2?$. Так как (a:pa) и (а:р'а)
имеют индекс р, можно найти такие две матрицы ah скажем Р
и Р\ что
являются базисами идеалов pa и р'а соответственно. Подставим
/ (а) вместо / и фр*- (г) вместо Y. Получим
С другой стороны, в исходной сумме, определяющей многочлен
F(X9 F), все слагаемые, кроме одного, становятся равными нулю,
и тогда
П (Фр-(г)—фа/(г))^
ФР' 1
Из § 2 мы знаем, что фр> (г) ^^ р12 и что фа. (г) являются едини-
единицами для всех а,{фР, Р'. Отсюда утверждение теоремы следует
очевидным образом.
В своей работе Хассе дал дальнейшее развитие этих рас-
рассуждений и показал, что поле k (/ (о)) является абелевым над k
и что автоморфизм Фробениуса для почти всех р действует по
правилу
<W(a) = /(P'a).
Дойринг [К1] заметил, что это следует из указанных рассуждений
тривиальным образом. В самом деле, отбросим конечное число
простых идеалов, делящих все разности / (av)—/ (a^) и разности
их сопряженных, где av представляют различные классы собствен-

§ 3] СООТНОШЕНИЕ СРАВНИМОСТИ ДЛЯ ФУНКЦИИ / 169
ных я-идеалов. Из общих свойств автоморфизма Фробениуса
(см. § 3, гл. 8) следует, что для всех $, делящих р в поле К,
имеет место равенство
Так какумнождние классов собственных о-идеалов коммутативно,
то отображение
является гомоморфизмом из свободной абелевой группы, порожден-
порожденной почти всеми простыми идеалами, в группу Галуа наимень-
наименьшего расширения Галуа поля k, содержащего / (а). Используя
теперь теоремы о существовании простых идеалов с заданным
элементом Фробениуса, мы заключаем, что это расширение яв-
является абелевым, и что группа классов собственных я-идеалов
изоморфна группе Галуа при отображении, индуцированном как
элементом Фробениуса на почти всех простых идеалах, так и
свойством
для классов собственных о-идеалов Л и 3d.
Глава 13
/-АДИЧЕСКОЕ И /ьАДИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДОЙРИНГА
Хассе доказал впервые, что даже в характеристике р > О
при N, взаимно простом с р, точки порядка N на эллиптической
кривой А образуют циклическую группу типа Z/NZxZ/NZ.
С другой стороны, Хассе открыл также, что может вовсе не
быть точек периода /?, а если таковая имеется, то группа то-
точек порядка рг является циклической. По существу это можно
видеть из представления эндоморфизма
N8:
степень которого равна N2. Если представить этот эндоморфизм
в локальном касательном пространстве в начальной точке или,
что то же самое, в пространстве дифференциальных форм, то лег-
ко видеть, что он должен быть сепарабельным, если (N, р)=\,
и несепарабельным, если р делит N. Таким образом, в характе-
характеристике р > 0 не может существовать двух линейно независимых
над Z/pZ точек периода р. Следовательно,
или Ар = 0, или ApttZlpZ.
Первый случай называется суперсингулярным. Второй случай
называется общим или сингулярным соответственно тому, будет
ли /-инвариант трансцендентным над простым полем или нет.

170 /-АДИЧЕСКОЕ И р-АДИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. 13
Хассе обнаружил также, что над конечными полями алгебра
эндоморфизмов должна быть или мнимым квадратичным полем,
или алгеброй с делением ранга 4 над полем Q, в зависимости
от этих двух случаев.
Используя /-адические и /7-адические представления, Дойринг
[4] предложил более общую теорию и, в частности, изучил по-
поведение кольца эндоморфизмов эллиптической кривой при ре-
редукции по mod р. Мы будем следовать работе Дойринга, за
исключением того, что для получения векторов Тейта и модуля
Тейта, дающего естественное представление эндоморфизмов над
кольцом целых р-адических чисел, будет использован, как это
сейчас принято, проективный предел.
§ 1. /-адические пространства
Пусть Л—эллиптическая кривая, определенная над полем
характеристики р. Точки кривой А берутся из фиксированного
алгебраического замыкания. Для каждого простого числа / оп-
определим 1-адическпй модуль Tt(A) как множество бесконечных
векторов
(av а2, ...),
где a^Aii (т. е. 11а{ = 0) и 1а[+1 = а{. Определим сложение та-
таких векторов покомпонентно. Тогда Тг (А) есть группа. Ясно,
что Т1 (А) является модулем над кольцом целых /-адических чи-
чисел Zv Умножение вектора на /-адическое число определим по-
покомпонентно. Для этого аппроксимируем /-адическое число целым
рациональным числом по mod V и умножим i-ю компоненту на
это целое рациональное число. Непосредственная проверка по-
показывает что такое умножение определено корректно и задает
действие Z, на ТЬ(А).
Теорема 1. Если 1фру mo Tt(A) является свободным ZL-
людулем размерности 2. С другой стороны, Тр (А) = 0, или Тр (А)
является свободным модулем размерности 1, соответственно тому,
имеет ли место суперсингулярный или сингулярный случай.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай 1Фр.
Пусть х19 х2—элементы модуля Тг(А), первые компоненты #1а,
а.,а которых линейно независимы над полем XIIX. Тогда векторы
хх, х2 линейно независимы над кольцом Zt. Действительно, если
имеется линейная зависимость между хг и х2 над Zz, можно, счи-
считать, что не все коэффициенты, дающие эту зависимость, делятся
на /.Тогда проекция этой зависимости на первую компоненту
дает линейную зависимость между аии a2ll; приходим к про-
противоречию.
Покажем, что х1У х2 образуют базис модуля Т1 (А) над Zr
Докажем это индукцией по я, где я=1, 2, ... означают номера
компонент. Предположим, что каждый элемент w модуля TL(A)

§ 1] /-АДИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 171
представляется в виде линейной комбинации
w = гххг + z2x2 (mod lnTl (Л)) A)
с коэффициентами Zj ? Z. Пусть w = (bx, ..., bn9 bn+1, ...). По
определению имеем для первых п + 1 компонент
= &,¦.., Ьп% Ья+1)+@ О, Ся+1-),
где ега+1—некоторая точка порядка /. Далее, согласно выбору
векторов xh существуют такие целые рациональные числа dlt
d2, что
d l
Заменим теперь г±1 г2 на zx + dxln, z2 + d2ln. Тогда сравнение A)
заменится таким же сравнением, но только по mod ln+1Tt(A)9 и
индукция по п дает нам требуемый результат.
Если / = /?, тогда простая проверка показывает, что Ар* яв-
является циклической группой порядка р1 в сингулярном случае
и что Тр (А) является в этом случае свободным модулем раз-
размерности 1 (проще, чем для 1фр). Если же точек порядка р
нет, то Тр(А) = 0.
С этого момента мы считаем, что I—простое число, от-
отличное от р.
Пусть X: А—>В—гомоморфизм эллиптических кривых. Тогда
X индуцирует гомоморфизм, также обозначаемый X,
X: Т1(А)^Т1(В).
Аналогичное утверждение имеет место и для Тр. Действие этого
гомоморфизма на вектор (аХ1 а2, ...) задается правилом
Х(ах, а2, ...) = (Ал1, Ха2, ...).
Теорема 2. Если Х19 ..., Хг—линейно независимые над Ъ
эндоморфизмы кривой Л, то, как эндоморфизмы модуля Тг(А)9
они линейно независимы над кольцом Zt.
Доказательство. Пусть
схХх+... +сгХг = 0,
где c^Zt. Тогда достаточно доказать, что все коэффициенты с{
делятся на / (сокращая на / и начиная все сначала, мы получим
в итоге, что все ci = 0). Запишем
где d;?Zj и /П/б Z. Достаточно тогда доказать, что l\mt для
всех i. Эндоморфизм
% = пг1Х1+... +/пЛ= — l(dxXx+ ... +drXr)
лежит в кольце End (Л). Действуя на кривой Л, этот эндомор-
эндоморфизм X уничтожает группу Аь и, следовательно, Х = 1а при

172 /-АДИЧЕСКОЕ И р-АДИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. 13
некотором а ? End (Л). Но Xti ..., Кг порождают пространство
над Q, и пересечение
является решеткой ранга г в этом пространстве. Без уменьшения
общности достаточно, следовательно, доказать, что базис рас-
рассматриваемой решетки линейно независим над кольцом Zj, т. е.
мы предполагаем, что %г, ..., %г сами образуют базис этой ре-
решетки. Но в таком случае а лежит в 2^+ • • • + Z^r, и поэтому
/1 /П/ для всех *', что и требовалось установить.
Данная теорема показывает, что указанное представление
кольца End (А) в Ть (А) соответствует тензорному умножению на
Zj, т. е. получаем инъекцию
Обозначим Аи) множество точек кривой Л, порядки которых
есть степени простого числа /.
Пусть Vt(A)—множество векторов
(а09 а1у а2, ...),
где ао?Аш—точка порядка, равного степени простого числа /,
Ясно, что
V i /</ %Ui [?) ?jii i.
Для любой точки х ? Vl можно найти такую степень /5, что
вектор Isх имеет в качестве первой компоненты 0. Отождествив
векторы из Vt
@, Of, fl2, ...)
такие, что 1а± = ^, с элементами модуля Т1% получаем точную
последовательность
0 _>. Т1 (А) — Vt (А) -* А'1) -> 0,
в которой правое отображение является проекцией на первую
компоненту.
Конечно, такая же последовательность имеет место для Тр и
Vp. Однако, когда Тр = 0, мы не получаем точного представле-
представления кольца End (Л). При Тр=?0 точное представление имеется,
так как изогения обладает конечным ядром.
Для произвольного / имеем точное представление
End (Л) = End (A)Q -+ EndQ^ (Vt).
Так как dimQ (Vl) = 2i то dirriQ End(V;) = 4. Таким образом,
имеет место следующий результат.

§2] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ХАРАКТЕРИСТИКЕ р 173
Теорема 3. В любой характеристике
diniQ End (A)Q < 4
и
dimz End(.4)<4.
Это дает доказательство результата, упомянутого нами ранее.
Из § 2, гл. 2 мы знаем, что каждый элемент кольца End (A)
обратим в End^)Q. Следовательно, End (A)q является алгеброй
с делением размерности <!4 над полем Q. Размерность такой
алгебры может быть лишь 1, 2 или 4. В первых двух случаях
алгебра коммутативна. Если же размерность равна 4, то рас-
рассматриваемая алгебра не может быть коммутативной, так как
при ее представлении в Vt мы имеем инъекцию
Ql(g)End(A)u-.M2(Ql).
§ 2. Представления в характеристике р
Сначала дадим (используя лишь свойства отображения он—>а')
доказательство следующего факта, справедливого в любой ха-
характеристике.
Пусть а ? End (А)—нетривиальный эндоморфизм. Тогда Q (а)
является мнимым квадратичным полем.
Доказательство. Так как Q (ос) является коммутативным
подполем алгебры с делением размерности 4 над Q, то [Q (a):Q]=2,
и тогда а—квадратичная иррациональность. Отображение
на Q(a) (где V—такой эндоморфизм, что М/ = v (^)б, см. гл. 2)
определяет автоморфизм поля Q (а), и это отображение не явля-
является тождественным, так как иначе имели бы
для всех ?^?Z[o&], что очевидным образом неверно. Следова-
Следовательно, Хь~>Х' есть нетривиальный автоморфизм поля Q(a).
Кроме того, поле Q (а) должно быть мнимым (при любом вложе-
вложении в С), так как
для всех ?^€Z[a], ^
Теорема 4. Пусть эллиптическая кривая А определена над
конечным полем из q элементов и пусть nq—ее эндоморфизм
Фробениуса. Если nq?Z> то Тр = 0. Таким образом, если Трф0,
mo nq является нетривиальным эндоморфизмом.
Доказательство. Пусть q = pr» Мы знаем, что степень nq
равна q. Если nq = n8, то

174 /-АДИЧЕСКОЕ И р-АДИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. 13
а тогда п = рт при некотором целом т. Но эндоморфизм nq яв-
является чисто несепарабельньгм, и в таком случае отображение
рт8 имеет ядро 0. Отсюда 7^ = 0. Теорема доказана.
Теорема 5. Пусть А —эллиптическая кривая над конеч-
конечным полем F характеристики р и пусть Тр(А)ф0. Тогда:
1) End (А)$ = к является мнимым квадратичным полем и
End (A) = о есть порядок в поле k,
2) простое число р не делит кондуктор с порядка о,
3) простое число р полностью распадается в поле k.
Доказательство. Теорема 4 показывает, что существует
нетривиальный эндоморфизм кривой Л, а именно пд. Представ-
Представление алгебры End (A)q в Vp (или кольца End (А) в Тр) явля-
является точным и задает вложение кольца End (Л) в Zp, которое
показывает, что кольцо End (Л) = о коммутативно. Отсюда сле-
следует, что кольцо End (Л) имеет размерность 2 над Z и, следо-
следовательно, поле End (A)q является квадратичным. Далее, так как
поле k допускает вложение в Qp, то простое число р полностью
распадается в k. Остается лишь доказать, что р не делит кон-
кондуктор с порядка о. Мы знаем, что o = Z + cok. Тогда сущест-
существует такое целое рациональное число т, что
и nq =
где а—некоторый элемент кольца х>к. В таком случае
q§ == л^=т2 (mod cok).
Предположим теперь, что р делит с. Рассматривая кольцо ок
как вложенное в Zpi получаем, что р делит т. Тогда из пред-
представления в Тр (Л) следует, что эндоморфизм nQ уничтожает точки
порядка р на кривой Л. Но это противоречит тому, что эндо-
эндоморфизм nq чисто несепарабелен, и этим теорема доказана.
Следствие. Пусть q = pd—число элементов поля F. Пусть,
далее, n=nq—эндоморфизм Фробениуса. Если ро = Щг—разло-
Щг—разложение числа р на простые идеалы в кольце о = End (Л), то
ш) = / или no==pfdy
и все порождающие элементы идеала по исчерпываются элемен-
элементами ±я.
Доказательство. Так как nnf = q8, то из однозначности
разложения на простые идеалы (не делящие кондуктор) в кольце
о следует, что лишь делители числа р могут быть делителями
элементов я и я'. Далее, так как р не делит п (поскольку
эндоморфизм п чисто несепарабелен, а /?6 имеет нетривиальное
ядро), то существует такое целое положительное число т, что
(после соответствующей перестановки р и р')
по — рт и nfo = pf/n.

5 2] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ХАРАКТЕРИСТИКЕ р 175
В таком случае nn'o = pdo и m=d. Так как кривая А не супер-
суперсингулярна, ее единственными автоморфизмами являются 4=6
(согласно списку Приложения 1), и тогда я определяется одно-
однозначно с точностью до ±1. Этим следствие доказано.
Рассмотрим теперь суперсингулярный случай. Заметим, что
если Т/7(Л) = 0 и кривая В изогенна Л, тоТ/7(В) = 0 (очевидно).
Теорема 6. Пусть кривая А определена над полем харак-
характеристики р. Если Т/?(Л) = 0, то Ja = J1C-
Доказательство. Если Тр = О, то эндоморфизм р8 дол-
должен быть чисто несепарабельным эндоморфизмом степени р2.
Тогда существует изоморфизм
Я: Л-*лу (Л)
и, следовательно, jA = j%2. Здесь мы используем в характерис-
характеристике р тот факт, что jA является инвариантом класса изоморф-
изоморфных эллиптических кривых.
В частности, мы видим, что если Тр (Л) = 0, то инвариант \А
должен быть элементом поля Fy», состоящего из р2 элементов.
Отсюда следует, что в характеристике р имеется лишь конечное
число классов изоморфных между собой эллиптических кривых Л
таких, что Тр(А) = 0.
Следствие. Пусть А—суперсингулярная кривая с инвари-
инвариантом j и пусть А определена над полем Fp(j) = F. Тогда при
рФ2, 3 имеем:
я2 = —/?б, если j?Fp,
V = ±/76» если iiFf
Доказательство. Предположим сначала, что F = F/7, т. е,
что j?Fp. Положим я = я/7. Так как р8 и я2 имеют одну и ту
же степень р2, то они различаются на автоморфизм кривой Л.
Далее, так как рф2, 3 и кривая Л суперсингулярна, то из
Приложения 1 следует, что единственными автоморфизмами кри-
кривой Л являются ± б. Отсюда я2 = — /?б, и первая формула до-
доказана.
Пусть теперь / — элемент степени 2, так что F=Fp(j) = Fp*
и ^ = /?2. Тогда nq и р8 имеют одну и ту же степень р2 и, значит,
отличаются лишь на автоморфизм кривой Л. Из Приложения 1
снова следует, что в супер сингулярном случае единственными
автоморфизмами являются ± б, и поэтому nq=±p8. Этим вто-
вторая формула также доказана.
Замечание. В характеристике 2 и 3 указанные в следст-
следствии формулы имеют несколько другой вид. Рассмотрим, напри-
например, случай характеристики 2. Кривая Л, определенная над F2
уравнением

176 /-АДИЧЕСКОЕ И р-АДИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. 13
имеет 5 рациональных точек (считая бесконечно удаленную
точку). Если N—число рациональных точек, то
N = v(n—6)*= (я—б) (я'—6) = <7+1 — (я+я').
В данном случае 5 = 2-f-l— (я+я') и Тг(я) =—2. Таким обра-
образом, я = —l±i и я2 = ±2*. В общем случае, когда я2 = ре, где
е—некоторая единица, надо взять некоторую степень указан-
указанного выражения, чтобы избавиться от этой единицы.
Теорема 7. Если Тр(А) = 0, mo End (A)q является алгеб-
алгеброй с делением размерности 4 над полем Q.
Доказательство. Докажем сначала существование нетри-
нетривиальных эндоморфизмов. Пусть llt /2, ...—последовательность
различных простых, отличных от р, и пусть а19 а2, ...—после-
...—последовательность таких точек, что а{ имеет порядок 1{. Обозначим
(а() циклическую группу, порожденную элементом а{. Каждая
фактор-кривая А/(а{) не имеет точек порядка р, и по теореме 6
мы должны тогда иметь изоморфизм
при некотором 1ф\. Рассмотрим составной гомоморфизм
А-, AKaDnAHflj)-* Л,
где первое отображение является каноническим гомоморфизмом
%t степени /,, а последнее отображение является гомоморфизмом
%'j степени /у. Тогда получаем эндоморфизм кривой А степени
1;1у, который не может быть эндоморфизмом вида /гб, п ? Z, так
как его степень не является квадратом. Следовательно, мы по-
получили нетривиальный эндоморфизм кривой А.
Докажем теперь, что End (A)q не может быть квадратичным
полем. Допустим обратное, т. е. что End (A)q является квадра-
квадратичным полем k. Пусть plt p2, ...—последовательность простых,
отличных от р, которые остаются простыми в поле k, и пусть
at—точка порядка р( на кривой Л. Рассмотрим фактор-кривые
А/(аг)9 А/(а19 а2), А/(а19 а29 а3), ...,
ни одна из которых не имеет точек периода р. Тогда по тео-
теореме 6 для некоторой пары целых г < s имеет место изоморфизм
A/(alt ..., аг) « А/(а19 ..., аг, аг+1, ..., as).
Пусть В = А/(а11 ..., аг) и пусть Ь19 ..., bs—образы в В точек
аг+1, ..., ar+s при каноническом отображении. Имеем эндомор-
эндоморфизм
X: В-+В/(Ь19 ..., bs)^B
кривой В степени рг...р8. Пусть

§3] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ИЗОГЕНИИ 177
является разложением идеала Кок на простые идеалы кольца ok.
Тогда
и, следовательно, простые идеалы qy. должны быть делителями
чисел рг, ..., ps и должны входить в них в первой степени.
Далее, так как числа р{ остаются простыми в поле k для всех iy
то N<\j будет квадратом простого числа, и мы приходим к про-
противоречию, которое доказывает теорему.
Теорема 8. Пусть Тр(А) = 0 и пусть D = End (A)q. Тогда
алгебра с делением D разложима во всех простых 1Фр.
Доказательство. Если 1фр, то мы знаем, что D пред-
представляется в Vt(A) как кольцо эндоморфизмов Qt(?)D и что
Vt(A) имеет над Q, размерность 2. Отсюда следует, что локально
в / мы должны иметь Ql@D ^ M2(Ql).
Для читателя, знакомого с теоремой Хассе о простых алгеб-
алгебрах, заметим, что алгебра D разветвлена в простом рив бес-
бесконечности (т. е. становится обычной кватернионной алгеброй
над R), так как сумма ее инвариантов равна 0, и что D не мо-
может быть расщепимой всюду, так как в противном случае она
была бы глобально матричной алгеброй, чего в действительности
нет.
Теорема 9. Если Тр(А) = 0, mo End (Л) является макси-
максимальным порядком в ЕгкЦЛ^.
Данная теорема не будет использована в этой книге, и мы
опускаем ее доказательство, которое можно найти в работе
Дойринга [4] и которое зависит от вычислений, относящихся к
левым идеалам.
Для знакомства с дальнейшими свойствами суперсингулярных
инвариантов мы отсылаем читателя к основной работе Дойринга
[4], а также к более современному и более ясному обзору
Ю. И. Манина [30]. Заметим, что если в характеристике р
группа автоморфизмов эллиптической кривой имеет порядок
> 2, то / = 0 или / = 123 (как можно убедиться из таблиц,
указанных в приложении). Если к тому же кривая су-
суперсингулярна, то необходимо / = 0. Связь с инвариантом
Хассе будет обсуждаться позже.
§ 3. Представления и изогении
Мы продолжаем считать, что 1фр, где р—характеристика
поля, над которым определена кривая А.
Посмотрим, чему соответствуют модули Т1 при изогениях. Во
многих отношениях эти модули играют ту же роль, что и ре-
решетка L в С. Пусть К: А-^В является изогенией. Умножая
Нош (Л, В) тензорно на Q, получаем Нот (Л, B)q. В этом слу-
случае можно найти в Нот (Л, В)п обратное отображение К.

178 /-АДИЧЕСКОЕ И р-АДИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. 13
Докажем сначала простую лемму, дающую критерий /-целост-
/-целостности элемента а ? End (A)q в терминах его представления в
Т,(А).
Лемма 1. Пусть St—мультипликативный моноид положи-
положительных целых, взаимно простых с I, o = End (А) и ${l)=Sj1o —
локализация кольца о в I. Пусть, далее, а?ЕпA(А)$. Тогда
аТ1аТ1 в том и только в том случае, если а?о(/). Другими
словами, ot есть множество таких элементов а?Епй(А)$, что
аТь<=.Тг.
Доказательство. Если а?о(/), то ясно, что аТ1аТ1.
Обратно, пусть аТ\аТ\. Существует такой элемент Х?о, что
mlra = K для некоторого целого т, взаимно простого с /. Тогда
mlraTtc:lrTt,
следовательно, lkTlczlrTl и % = 1Г$ для некоторого |3?о. Отсюда
и тогда ma=|3. Это показывает, что a^S^o. Таким образом,
а является /-целым, и лемма доказана.
Лемма 2. Пусть Я: А—>В—изогения и пусть Mt—мно-
Mt—множество таких векторов (а0, аъ ...) в Vt(A), что ао?КегЯ.
Тогда 7,М1=Т1{В).
Это утверждение очевидным образом следует из определения
модуля Т\, оно дает нам описание прообраза модуля Т1 (В) в
Vt (А) относительно отображения Я.
Теорема 10. Пусть X: А—+В—изогения и пусть а ? End (A) q.
Пусть, далее, Мг—прообраз в V\ (А) модуля Т1 (В) относительно X.
Тогда hxk'1 ^End (В) в том и только в том случае, если
аМ1аМ1 для всех I.
Доказательство. Предположим сначала, что p\v(%).
Пусть ХаХ~1€ End (В). Тогда для всех / получаем
аМ1 = 'К-1Ы'к-1Ж1с:'к-1Т, (B)cMt.
Обратно, пусть aMlczMl для всех /. Тогда
и по лемме 1 элемент Хак является /-целым для каждого /.
Остается доказать, что ЫК является также р-целым.
Предположим, что
при некотором |3^End(B), и пусть m=v(^). Тогда
где у б End (В), и, следовательно, ЯаЯ~1=— у. Но

§3] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ИЗОГЕНИИ 179
для всех 1\п, и по лемме 1 заключаем, что у = пу' при некото-
некотором у' G End (В). Таким образом,
tad = у' G End (В),
что и доказывает теорему в случае p\v(X).
Докажем теперь следующий результат, который будет ис-
использован для доказательства оставшегося случая и который
представляет самостоятельный интерес.
Теорема 11. Пусть X: А —> В—изогения и v (K) = pr. Тогда
отображение а н-> ХаХ является изоморфизмом между End (A)
и End (В).
Доказательство. Можно разложить X в композицию
изогений, каждая из которых имеет степень /?, и тогда доста-
достаточно доказать теорему в предположении, что v(X)=p. Далее,
достаточно показать, что если а ? End (Л), то ХаХ'1^ End (В).
Обратное отображение получается, если использовать X' и тот
факт, что
Пусть а ? End (Л), и предположим, что изогения X сепарабельна.
Пусть, далее, М/=/?6. Тогда гомоморфизм V чисто несепарабе-
лен и Х~1 = /7~1Я/. Предположим, что
'1 = — р,
где p?End (В). Тогда
и, следовательно, ХаХ* = |3. Но гомоморфизм X' чисто несепара-
белен, изогения X сепарабельна, и тогда Кег|3 содержит точки
периода р. Следовательно, fi = py, где у ? End (В), так что
и в этом случае теорема доказана.
Если изогения X чисто несепарабельна, то для некоторого
изоморфизма е имеем Х = гп, и тогда Х~1 = ле"*1, так что
ХаХ'1 =еяш1"?<1.
Для любой точки х ? п (Л) имеем
шхл-1 (*) - п (а (ха^)) - а^(х),
где а(^}—образ а при автоморфизме сн^с/7 универсальной об-
области, и тогда
пап'1 = а(^ б End (яЛ).
Следовательно, еяаяе6 End (В); этим теорема 11 доказана.

180 /-АДИЧЕСКОЕ И р-АДИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. 13
Возвращаясь к теореме 10, разложим произвольную изогению
в произведение изогений: степень одной из них взаимно проста
с р, а степень другой равна рг при некотором г. Тогда утвер-
утверждение теоремы сразу же следует из доказанного первого слу-
случая и из теоремы 11.
§ 4. Редукция кольца эндоморфизмов
Исследуем теперь соотношение между эллиптическими кри-
кривыми в характеристике 0 и кривыми в характеристике р. При этом
особое внимание обратим на редукцию кольца эндоморфизмов.
Пусть А—эллиптическая кривая, определенная над числовым
полем. Пусть, далее, 9$—«точка» поля всех алгебраических чи-
чисел aQ (алгебраического замыкания поля Q в С) со значениями
в алгебраическом замыкании aFp поля из р элементов. На каждом
конечном над Q поле «точка»
индуцирует дискретно нормированное кольцо. Предположим, что
кривая А имеет невырожденную редукцию по mod ^5. Снова обо-
обозначим I простое число, отличное от р. Тогда имеет место изо-
изоморфизм
1
где Аа)—группа точек кривой А в заданном алгебраическом
замыкании aQ, порядки которых являются степенями I. Следо-
Следовательно, имеем изоморфизм
Если мы хотим подчеркнуть тот факт, что редукция проводится
по mod ^5, будем писать также
С другой стороны, мы имеем лишь гомоморфизм
Тр(А)-+Тр(А).
Если Тр(А) фО, то ядром этого гомоморфизма является 1-мер-
1-мерный модуль над Zp.
Заметим, что результат, подобный теореме 10, дает возмож-
возможность проверить свойство целостности вверху и внизу, т. е. на
А и 17
Теорема 12. Пусть А—эллиптическая кривая над чис-
числовым полем и пусть End (А) « о, где о—порядок в мнимом
квадратичном поле k. Пусть, далее, ^—«точка» поля aQ, ле-
лежащая над простым числом /?, в которой А имеет невырожден-
невырожденную редукцию А. Кривая А суперсингулярна тогда и только

§4] РЕДУКЦИЯ КОЛЬЦА ЭНДОМОРФИЗМОВ \g\
тогда, когда имеется лишь один идеал поля k, лежащий над р
(число р разветвлено или остается простым в поле k). Пусть,
далее, простое р полностью распадается в k. Пусть с—кондук-
с—кондуктор порядка о и пусть с = ргс0, где р\с^. Тогда:
1) End (i4) = Z+cooft является порядком eke кондуктором с0,
2) если р\с, то отображение A,i—»А, задает изоморфизм
End (Л) на End (Л).
Доказательство. Предположим, что простое число пол-
полностью распадается в поле &, скажем pok = ДО', р Ф р' и ^5 Г) ок = р.
Чтобы доказать, что Л имеет точку периода /?, достаточно дока-
доказать это для любой эллиптической кривой, изогенной кривой А. Из-
Изменяя Л с помощью изогении над некоторым числовым полем,
можно считать без уменьшения общности, что имеет место нор-
нормализованное вложение
6: k-+End(A)Q
такое, что Q(ok) = End (А). Пусть т—такое положительное це-
целое, что идеалы рт и р'т являются главными, скажем,
^ОТ=[И)Л И p'm=p'j)k.
Тогда fxfx'— рт. Заметим, что |а'(?$), и так как 0—нормализован-
0—нормализованное вложение, то эндоморфизм 6 (|л/) является сепарабельным,
поскольку редукция дифференциальной формы fx'co (где со—диф-
со—дифференциальная форма первого рода) по mod ^ не равна 0. Так
как 6(fx') имеет степень /?г, то степень его редукции равна рг,
и в таком случае кривая Л имеет нетривиальную точку порядка р.
Это показывает, что А не является суперсингулярной кривой.
С другой стороны, если простое число р не распадается пол-
полностью в поле &, то по теореме 9 из § 4, гл. 10 существует та-
такой элемент \i^oky что 0 (jx) редуцируется в эндоморфизм Фро-
бениуса. Так как pok — pm и так как произведение щ' равно
степени числа /?, то jx' отличается от fx на единицу кольца ok и
6 (jx) 0 ((х') =: #6, где q есть степень числа р. Это означает, что эндомор-
эндоморфизм qb чисто несепарабелен и, значит, кривая Л суперсингулярна.
Пусть теперь число р полностью распадается в поле k и пусть
End (Л) « о, где о—порядок в k с кондуктором c = prc0, p\cQ.
Найдем кольцо End (Л).
Из общей теории редукции известно, что отображение редук-
редукции
End (Л) -> End (Л)
является инъекцией, так что кольцо End (Л) содержит по мень-
меньшей мере End (Л). Теорема 5 из § 2 накладывает определенное
ограничение на End (Л), ибо End (^4)q есть мнимое квадратичное

182 /-АДИЧЕСКОЕ И р-АДИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. 13
поле. В таком случае имеет место индуцированный редукцией
изоморфизм
Предположим теперь, что р не делит кондуктор порядка о
= Ег^(Л). Для каждого простого 1фр имеем изоморфизм
и из леммы 1 § 3 следует, что кольца End (Л) и End (Л) имеют
одну и ту же локализацию в /. С другой стороны, если р не
делит кондуктор, то oktip) = o{p) и, следовательно, кольцо о{р)
целозамкнуто,_а тогда оно должно совпадать с локализацией в р
кольца End (Л). Так как теперь End (Л) и End (Л) имеют одну
и ту же локализацию во всех простых /, это показывает, что
End (Л) « End (Л).
Если р делит кондуктор порядка о = End (Л), то рассужде-
рассуждения аналогичны. Кольца End (Л) и End (Л) имеют одинаковые
локализации во всех 1фр. Далее, из теоремы 5 § 2 имеем, что
р не делит кондуктор порядка End (Л), это и доказывает тео-
теорему 12.
Пусть 3—множество всех инвариантов jA эллиптических кри-
кривых А над полем комплексных чисел, имеющих нетривиальные
эндоморфизмы. Если /6 3, обозначим kf мнимое квадратичное
поле, изоморфное той алгебре эндоморфизмов, которая соответ-
соответствует данному инварианту /. Множество 3 содержится в целом
замыкании кольца Z в поле всех алгебраических чисел; обозна-
обозначим это целое замыкание aZ.
Для каждого простого числа р обозначим Зя множество тех
/6 3, для которых число р полностью распадается в поле kj и
р не делит кондуктор кольца эндоморфизмов оу- эллиптической
кривой Л с инвариантом /. Иногда мы будем использовать обо-
обозначение Ихары и записывать
если простое число р полностью распадается в поле k и не де-
делит кондуктор порядка о в поле к.
Пусть ty—«точка» поля aQ, лежащая над р. В соответствии
с теоремой 12 получаем отображение
Ч —+aF
обычно обозначаемое

§5] ТЕОРЕМА ПОДНЯТИЯ ДОЙРИНГА 183
в множестве сингулярных (и не суперсингулярных) инвариантов
в характеристике р. Одним из основных результатов Дойринга
является следующий результат.
Теорема 13. Отображение 3 —*aFpявляется биещией мно-
множества Зя с множеством сингулярных инвариантов в характе-
характеристике р.
Доказательство. Докажем сначала, что это отображение
инъективно.
Предположим, что \к = \а = \в = \~в- Из теоремы 12 известно,
что поле kj сохраняется при редукции, и тогда кривые Л и В
имеют одно и то же поле k. Следовательно, существует изогения
X: А —*- В, приводящая к редуцированной изогении
а также изоморфизм е: В —> А. По теореме 12 End (Л) = End (Л),
а тогда существует такой элемент a g End (Л), что
Пусть С—образ отображения кха: АхА—^ВхА. Тогда С
есть образ отображения Яха. Проекция С на каждый множи-
множитель индуцирует изоморфизм С с его проекцией, т. е. имеет
степень 1. По общей теории редукции это должно также выпол-
выполняться для С, и, следовательно, С является графиком изомор-
изоморфизма между Л и В. Отсюда следует, что jA = jB; этим инъек-
тивность установлена.
Сюръективность будет доказана в следующем параграфе с по-
помощью метода, который отличен от методов, используемых нами
ранее. При этом мы снова будем следовать работе Дойринга [4].
На самом деле будет доказано нечто большее, так как показы-
показывается, что если заданы эллиптическая кривая в характеристике р
и некоторый ее эндоморфизм, то они могут быть подняты в ха-
характеристику 0. Тогда для заданной сингулярной эллиптической
кривой Л в характеристике р выберем такой эндоморфизм а,
что End (Л) = [а, 1], и поднимем его до эндоморфизма а эллип-
эллиптической кривой Л. В таком случае редукция кольца End (Л)
в точности будет равна кольцу End (Л) (редукция содержится
в End (Л) и не может быть больше, чем End (Л)).
§ 5. Теорема поднятия Дойринга
Теорема 14. Пусть А0—эллиптическая кривая в характе-
характеристике р, обладающая нетривиальным эндоморфизмом а0. Тогда
существуют эллиптическая кривая Л, определенная над числовым
полем, эндоморфизм а кривой А и невырожденная редукция кри-
кривой А в «точке"» ^, лежащей над /?, такие, что кривая Ло

184 /-АДИЧЕСКОЕ И р-АДИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. 13
изоморфна кривой А, и при этом изоморфизме эндоморфизм а0
соответствует эндоморфизму а.
Доказательство. Мы докажем теорему только для тех
случаев, которые влекут за собой сюръективность из теоремы 13.
Это несколько проще, чем доказательство общей теоремы, отно-
относительно которой мы сделаем необходимые замечания в конце
параграфа.
Можно считать для начала, что степень v(a0) взаимно проста
с р. Для этого достаточно рассмотреть эндоморфизм ао + п8 при
таком я, чтобы степень
v К + п8) = аоа; + п(ао + а'о) + п2
была взаимно простой с р. В самом деле, если можно поднять
эндоморфизм ао + я6, то можно поднять и эндоморфизм а0, так
как тривиальные эндоморфизмы поднимаются тривиальным об-
образом.
Далее, будем считать, что эндоморфизм а0 является цикли-
циклическим. В противном случае можно было бы выделить в нем
в качестве множителя некоторое кратное тождественного отобра-
отображения. Положим n = v(a0) и пусть А (/)—эллиптическая кривая
с трансцендентным инвариантом / над Q. Обозначим Zx, ..., Z^ (Л)
циклические подгруппы кривой А порядка п. Пусть
V- A(j)-+A(jt)
являются гомоморфизмами с ядрами Zh I ^ t ^ яр (п). Обозна-
Обозначим R целое замыкание кольца
в подходящем конечном расширении поля Q(/).
Пусть }(iaFp—инвариант кривой Ло. Тогда существует гомо-
гомоморфизм
ядро которого содержит число р и который переводит / в /.
Так как все элементы j{ являются целыми над кольцом Z[/],
этот гомоморфизм можно продолжить до гомоморфизма R—+R.
Далее, можно взять такие модели для кривых A(jj), что они
имеют невырожденную редукцию в локальном кольце гомомор-
гомоморфизма R-^R. Без потери общности можно взять A0 = A(j)=A,
так как эти кривые имеют один и тот же инвариант /. Для
одного из индексов i ядро Z( эндоморфизма К{ будет ядром
эндоморфизма а0. Будем считать, что таким индексом является
i=l. Тогда

§5] ТЕОРЕМА ПОДНЯТИЯ ДОЙРИНГА 185
Обозначим через ЯЛ ядро гомоморфизма R—+R. Мы имеем вклю-
включение
и если qR — минимальный простой идеал, содержащий идеал
(/—]\), то qR имеет размерность 1 (геометрически это означает,
что с(д определяет компоненту гиперповерхности / = /i). В таком
случае q^nZ = {0}. Действительно, если бы идеал qR содержал
простое число q, то он имел бы размерность 2, что невозможно.
Пусть q— расширение идеала qR до простого идеала целого
замыкания aR кольца R в алгебраическом замыкании поля Q(/).
Проведем редукцию по modq. При этой редукции /—j± перехо-
переходит в 0 и кривая A (jt) редуцируется к эллиптической кривой
A (/x)q, в то время как А редуцируется к кривой Aq. Следова-
Следовательно, имеет место изоморфизм
A (yx)q « At.
Мы имеем изогению
с ядром Ziq, следовательно, кривая Ац обладает эндоморфизмом а
с ядром Ziq. Проводя теперь редукцию по mod9Jt, заключаем,
что кривая А обладает эндоморфизмом а с ядром Zx, являю-
являющимся также ядром эндоморфизма а0.
Если кривая А — Ао не имеет автоморфизмов, отличных от
±1, то в этом случае доказательство теоремы завершено, по-
поскольку два эндоморфизма с одним и тем же ядром различаются
на ±1.
Доказанного вполне достаточно для поднятия сингулярных,
т. е. не суперсингулярных инвариантов. В самом деле, если
в характеристике р > 0 эллиптическая кривая допускает авто-
автоморфизмы, отличные от ±1, то из приложения 1 следует, что
возможны два случая.
Характеристика не равна 2 или 3. Если кривая не супер-
суперсингулярна, то она определяется типичными уравнениями
у* = хъ—х или у2 = х3 — 1.
В этом случае кольцо эндоморфизмов поднимается очевидным
образом.
Характеристика равна 2 или 3. В этом случае кривая необ-
необходимо суперсингулярна и даже / = 0.
Отметим совместимость данной ситуации с теоремой 12. Если
А—эллиптическая кривая над числовым полем с кольцом эндо-
эндоморфизмов Z[i], то ее редукция по mod 2 или по mod3 должна
быть суперсингулярной, так как число 2 разветвлено в поле Q G),
а число 3 остается простым в Q(i). Аналогично, если кривая А

186 ТЕОРИЯ ИХАРЫ [ГЛ. 14
допускает в качестве эндоморфизмов кольцо Z[p], то ее редук-
редукция по mod 2 или по mod3 должна быть суперсингулярной, так
как число 3 разветвлено в Q(p), а число 2 остается простым
в поле Q (р).
Глава 14
ТЕОРИЯ ИХАРЫ
Можно редуцировать поле модулярных функций по mod/? и
получить бесконечное расширение поля Fp(j), где элемент /
трансцендентен над Fp. Игуса [22] определил группу Галуа,
показав, что она имеет ту же самую SL2-4acTb, как и в харак-
характеристике 0, а также что часть, действующая на корнях из еди-
единицы, порождается элементами Фробениуса, т. е. теми матри-
матрицами, определитель которых равен степени простого числа р.
Идея Ихары состояла в поднятии сингулярных значений / инва-
инварианта / в алгебраическом замыкании aFp с помощью теоремы
поднятия Дойринга и в представлении автоморфизма Фробениуса
в группе разложения поля модулярных функций в характерис-
характеристике р элементом группы изотропии точки z?JQ такой, что
j(z) = j для подходящей «точки» поля алгебраических чисел, обо-
обозначаемой также чертой сверху. Это привело его к глубокой
гипотезе для неабелевых расширений рационального поля Fp (/),
с которой читатель может познакомиться по его книге [Кб]*).
Однако, как показано в работе [28], некоторые идеи Ихары
могут быть использованы в контексте с расширениями кольца
Z[j] в характеристике 0, что дает возможность изучать расши-
расширения числовых полей, порожденных координатами точек конеч-
конечного порядка на эллиптических кривых без комплексного умно-
умножения. Здесь мы учитываем этот контекст и будем следовать
изложению работы [28].
§ 1. Представители Дойринга
Следуя Ихаре, начнем с канонической биекции Дойринга
из множеста сингулярных инвариантов в числовых полях на
множество сингулярных инвариантов в поле aFp относительно
фиксированной «точки» 9$ поля aQ со значениями в aFp, Мы рас-
рассматриваем здесь aQ как алгебраическое замыкание поля Q в С.
*) Имеется русский перевод: Их ар а Я- О задачах конгрузнц-монодро-
мии. —Математика. —Сборник перев. 14: 3, 40—98; 14: 4, 48—77; 14: 5, 62—
101 A970); 16: 3, 54—96; 16: 4, 50—73; 16: 5, 42—104 A972). —Прим. перев.

§1] ПРЕДСТАВИТЕЛИ ДОЙРИНГА 187
Элементами множества Зя являются такие значения функции
/(г), что порядок о решетки [г, 1] имеет кондуктор, который
не делится на /?, и простое число р полностью распадается в
мнимом квадратичном поле k = Q(z). Запишем эти два последних
условия сокращенно в виде (о/р) = \.
Сопоставление / (г) н^ / (г) задает по теореме 13 предыдущей
главы биекцию между Зя и множеством сингулярных инвариан-
инвариантов в поле aFp. Точка 2g«!p такая, что /B) = /, будет назы-
называться представителем Дойринга элемента / в полуплоскости $.
Рассмотрим такую точку г, и пусть порядок о определен
указанным выше образом. Положим
так что ро = ^'. Заметим, что идеал р определяется начально
выбранной «точкой» 9$.
Теорема 1. Пусть ^—фиксированная «точка» поля aQ.
Пустьу далее, z —представитель Дойринга для j?aFpi о—поря-
о—порядок решетки [г, 1] и #=^П0. Тогда период D идеала $ в группе
классов собственных идеалов порядка о равен степени элемента j
над полем Fp. Кроме того, элементы
Щ), ТЩ, .... HPD-Ia),
где а = [г, 1], образуют полное множество сопряженных элемен-
элементов для j над Fp.
Доказательство. Соотношение сравнимости Кронекера
и тот факт, что выписанные выше элементы различны (ввиду
инъективности отображения редукции Дойринга на Зя), показы-
показывают, что эти элементы образуют полное множество сопряженных
между собой над Fp элементов, а также что D есть степень эле-
элемента
над полем Fp. Теорема доказана.
Обозначим M? = M%(Z) множество целочисленных 2x2 мат-
матриц, определитель которых равен степени простого числа р.
Множество Мр действует на полуплоскости (q. Обозначим Щ
множество изотропии точки г, т. е. подмножество матриц а ?Мр
таких, что a(z) = z.
Теорема 2. Пусть z — точка верхней полуплоскости $, о—
порядок решетки [z, 1] и пусть (о//?)=1. Тогда существуют
такие два элемента а, а' множества МР2У что Мрг представля-
представляется в виде дизъюнктного объединения двух прямых произведений

188 теория ихары [гл. 14
где {а}, {а'}—множества всех положительных степеней матриц
а, а' соответственно, р^—множество всех положительных це-
целых степеней простого числа р и Т — множество, изоморфное
группе единиц в порядке о решетки [г, 1].
Доказательство. Будем использовать обозначения тео-
теоремы 1. Пусть ;pD = |io. Тогда существует единственная матрица
М такая, что
и a(z) = z. Пусть Lz = [z, 1] и пусть Az—эллиптическая кривая
с инвариантом / (г), имеющая невырожденную редукцию по mod У$.
Отождествим поле k = Q(z) с полем Еп&{Аг)§ с помощью нор-
нормализации и рассмотрим, как в § 2, гл. 7, гомоморфизм
задающий на Az координатную систему. Если
так что \i = cz + d> то по лемме из § 2, гл. 7 существует такая
изогения X: Аа {z) -+ Az, что диаграмма
a(z)
является коммутативной. Другими словами,
В рассматриваемом случае а(г) = г, и редукция по mod ^5 дает
Кроме того, поскольку \i g $, то эндоморфизм X является чисто
несепарабельным и поэтому X отличается от отображения Фро-
бениуса npD на автоморфизм е кривой Az. Следовательно, полу-
получаем соотношение
(pz(aa) =гцг(а)Р .
Далее, так как \i не лежит в идеале ро (не делится на сопря-
сопряженный идеал р')9 то отсюда следует, что матрица а имеет бес-
бесконечный период по модулю р^хТ (Т—группа кручения).
Пусть Рб^2- Поделив, если это необходимо, элементы мат-
матрицы Р на положительную степень числа р, можно считать ее

§2] ОБЩАЯ СИТУАЦИЯ 189
примитивной. Тогда
где (лх gо. Но [li^po и, следовательно, если р'—сопряженный
к р идеал, то
\Хг0 = $т ИЛИ \к±0 = ? ,
где т—некоторое целое положительное число. Так как D есть
период простого идеала $ в группе классов собственных идеалов
порядка о, то D\m. Следовательно,
(Х1 = |хда/^ или Hl = |x/m/\
где ?—единица порядка о, и тогда fi = amiDy1 где у—матрица
конечного периода, соответствующая единице порядка о, или же
Р = а' у, где а' соотносится с [г', как а соотносится с \х. Этим
теорема 2 доказана.
Отметим, что различие между а и а' обусловливается опре-
определением идеала р как пересечения ^5По. Назовем матрицу а
^-порождающей матрицей множества Щ. Она определена по
модулю Т и характеризуется тем, что если D—период идеала ?
в группе классов собственных идеалов порядка о и $D = \xo, то
§ 2. Общая ситуация
Пусть /—модулярная функция, F1 = Q(j) и FN—поле моду-
модулярных функций уровня N. Как обычно, обозначим F объеди-
объединение всех полей FN. Положим R1 = Z[j~\ и обозначим R целое
замыкание кольца /?х в поле F.
Теорема 3. Пусть z^^ —мнимая квадратичность, k =
= Q(z) и У$—«точка» поля kaby обозначаемая чертой сверху и
лежащая над простым числом р. Пусть, далее, о — порядок
решетки [г, 1] и пусть (о/р) = 1. Для каждого элемента f?R
положим f = f(z) и обозначим Ш ядро отображения fv+f в коль-
кольце R. Пусть ? = $РП0 и пусть а есть ^-порождающая матрица
множества М%. Тогда автоморфизм Фробениуса (9Ji, F/F^, огра-
ограниченный на тех подполях FNy для которых p^N, задается
автоморфизмом
на функциях Фрикке fa, где а 6 (Q2/Z2)w> p\N.
Доказательство. Пусть, как и ранее, pD = \io и пусть
s—идель вида
S=(.. ., [X, fl, 1, fl, fl, ...),

190 ТЕОРИЯ ИХАРЫ [ГЛ. 14
имеющий ^-компоненту 1, а все другие компоненты \х. Для вся-
всякого простого 1фр вложение qt(s) в группу GL2(Zt) есть сама
матрица а. По закону взаимности Шимуры из гл. 11 известно,
что для любой функции /?/\ определенной в точке z, имеет
место равенство
/(г)<»-|-*) = ^(г),
где a = a(q(s)). Заметим, что а = и1у так что правая часть ука-
указанного соотношения дает нужное нам действие на функции /.
Что касается левой части то автоморфизм (s, k) совпадает с
автоморфизмом (г, /г), где идель
имеет в ^-компоненте число jx, а в остальных компонентах —
число 1. Из локальной теории полей классов известно (см. [К7],
гл. И, § 4), что автоморфизм (г, k) лежит в группе разложения
идеала % к действует как автоморфизм (^5, kab/k) по модулю
группы инерции идеала У$. Так как |л имеет порядок D в р,
находим теперь, что
Теорема доказана.
Замечание 1. Ясно, что на подполе поля F, которое
является объединением всех полей FN при р\ N, группа инер-
инерции идеала ^C\FN совпадает с группой Т из теоремы 2.
Замечание 2. Из рассуждений теоремы 3 получаем также
описание автоморфизма Фробениуса в /7-части поля F. В самом
деле, этот автоморфизм есть матрица qp(sp)> где sp — (\i, 1) с \i
в р и с 1 в р'.
§ 3. Специальные ситуации
Пусть снова F—поле модулярных функций и кольца Rif R
определены, как в § 2. Пусть /—сингулярное значение в поле
aFp и rrt — ядро гомоморфизма
в кольце /??. Обозначим 9Л максимальный идеал кольца R, лежа-
лежащий над т. Если q—простой идеал размерности 1 в тп и D —
простой идеал в Ш, лежащий над q, то возможна редукция по
тосШ. Пусть G = Gal (F/Fj). Тогда те элементы группы G^, кото-
которые оставляют идеал ?1 инвариантным, индуцируют автоморфизм
Фробениуса кольца R/?) над /^/q. Таким образом, мы приходим
к теореме Ихары в характеристике р, если только возьмем в ка-
качестве q идеал, порожденный числом р, и воспользуемся теоре-
теоремой неприводимости Игусы [23], которая утверждает, что поле

§3] СПЕЦИАЛЬНЫЕ СИТУАЦИИ 191
модулярных функций редуцируется по mod p невырожденным
образом.
Можно, однако, взять простой идеал q, который дает расши-
расширения числового поля. Начнем с рассмотрения точки z^S), для
которой значение / (г) является алгебраическим и для которой
эллиптическая кривая с инвариантом / (г) не имеет комплекс-
комплексного умножения. Возьмем снова «точку» 9$ поля flQ и пред-
предположим, что значение / (г) является ф-целым. Положим Ц$г =
= $nQ(/(z)). Предположим, далее, что значение j (г) не
суперсингулярно, и положим
/ = /(*)¦
Обозначим F (г) поле всех значений / {г) для функций f g F
определенных в точке г. Группа Галуа поля F (г) над Q (/ (г))
есть фактор-группа группы разложения «точки»
Пусть Ш2—максимальный идеал кольца R, являющийся ядром
отображения
Обозначим г' представитель Дойринга для /, а Шг>—ядро отоб-
отображения
в кольце R. Оба идеала Шг и Ш2' лежат над ш, и автомор-
автоморфизмы Фробениуса
сопряжены между собой. Тогда можно применить к г' теорему 3
и получить описание автоморфизма Фробениуса в поле F (г).
Таким образом, мы получаем соответствие из некоторых неабе-
левых расширений поля Q (/ (z)) в абелевы расширения поля
Q (z1, ]{z')). В некотором смысле изучение неабелева автомор-
автоморфизма Фробениуса может быть сведено тогда к изучению абе-
лева автоморфизма Фробениуса, который, однако, изменяется
вместе с р. В таком случае главной задачей становится задача
об установлении законов распределения автоморфизмов с измене-
изменением р при фиксированном г. Это касается как распределения г'^9
так и распределения значений j (г^). Например, можно начать
с данного целого /0?Z такого, что эллиптическая кривая с ин-
инвариантом /0 не имеет комплексного умножения. Тогда возникает
вопрос о распределении значений / (г'р) (где г'р—представители
Дойринга) таких, что

192 ТЕОРИЯ ИХАРЫ [ГЛ. 14
где значение jQ(modp) не суперсингулярно. Можно предполо-
предположить, что множество простых чисел /?, для которых jQ(modp)
имеет в качестве алгебры эндоморфизмов заданное мнимое квад-
квадратичное поле k, обладает нулевой плотностью, но является
бесконечным. Троттером и автором проведены большие вычисле-
вычисления, связанные с этой задачей, и полученные результаты будут
опубликованы в совместной работе*). Для случая суперсингу-
суперсингулярной редукции Серр показал, что рассматриваемая плотность
равна 0 (ср. [35]).
Можно указать также проблему из абелевой теории полей
классов над конечно порожденными кольцами над Z, с которой
мне пришлось столкнуться много лет назад и которая состоит
в том, чтобы описать соответствующее соотношение эквивалент-
эквивалентности между максимальными идеалами для определения того,
какие из них имеют один и тот же символ Артина в абелевом
расширении. Оказывается, что мы получаем здесь неабелеву ситуа-
ситуацию размерности Кронекера 2, т. е. ситуацию, когда изменяются
как /?, так и /, а не только р при фиксированном /, как в обыч-
обычном комплексном умножении, или не только / при фиксирован-
фиксированном /?, как в работе Ихары. Таким образом, комплексное умно-
умножение имеет, по-видимому, более широкую сферу приложения,
чем представлялось ранее, так как оно затрагивает самую общую
неабелеву ситуацию.
*) По-видимому, автор имеет в виду работу: Lang S., Trotter H.
Distribution of Frobenius elements in GL2-extensions of the rational numbers.—
Lect. Notes in Math., № 504, Springer, 1975.—Прим. перев.

Часть третья
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ
С НЕЦЕЛЫМИ ИНВАРИАНТАМИ
В предыдущей части изучались эллиптические кривые с син-
сингулярными инвариантами, имеющие комплексное умножение из
мнимого квадратичного поля. Здесь же мы изучим случай эллип-
эллиптических кривых с нецелым инвариантом в заданной «точке».
Этот случай является одновременно и специальным, и общим. Как
показал Тейт, в этом случае имеется очень удобный способ па-
параметризации кривых над полем с неархимедовым нормирова-
нормированием. На самом деле, как указано в работе [28], все рассужде-
рассуждения можно проводить в полных локальных кольцах с тем
свойством, что если / — инвариант кривой, то 1// лежит в макси-
максимальном идеале. Это позволяет рассмотреть также и общий
случай, так как трансцендентный элемент / всегда можно устре-
устремить к бесконечности.
Для знакомства с теорией более высокой размерности мы от-
отсылаем читателя к работам: Morikawa Н, On theta functions
and abelian varieties over valuation fields of rank one, I, II.—
Nagoya Math. Journ. 20 A962), pp. 1—27 and 231—250; Mum-
ford D. An analytic construction of degenerating curves over
complete local rings.— Composito Math. 24, Fasc. 2 A972),
pp. 129—174.
Глава 15
ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ТЕЙТА
§ 1. Эллиптические кривые с нецелыми инвариантами
В этом параграфе мы, по существу, воспроизводим неопубли-
неопубликованную рукопись Тейта. Более полное изложение результа-
результатов Тейта читатель может найти в книге Роккета [К9]. Мы же
ограничиваемся здесь изложением лишь той части, которая бу-
будет необходима в дальнейшем для доказательства теоремы об изо-
гении.

194
ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ТЕЙТА
[ГЛ. 15
Рассмотрим формальные ряды от переменных q, w, определен-
определенные следующим образом:
n= 1
П—\
(I
Наличие в этих рядах знаменателей, содержащих простые числа
2, 3, создает некоторые неудобства, и чтобы избавиться от них,
сделаем соответствующие преобразования. Рассмотрим уравнение
Вейерштрасса
02 = 4*3— g2x — g3
и избавимся сначала от числа 4 в 4х3, положив у*—>у/2. Затем
избавимся от 1/12, положив х*->х—1/12. Сделаем, наконец,
сдвиг на у и введем, таким образом, новые переменные
Тогда уравнение Вейерштрасса перейдет в уравнение Тейта
где
Y(w)= V {qnw)'2 У J^-
(IX)
A50
Заметим, что последний член может быть переписан в виде
со со
V^ nqn v^ qn

§ 1] ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ С НЕЦЕЛЫМИ ИНВАРИАНТАМИ 195
Ряды (IX) и (IF) параметризуют эллиптическую кривую Л,
определенную уравнением Тейта, над каждым полем k, полным
относительно неархимедова нормирования, и в любой характе-
характеристике.
Пусть q—такой элемент поля k, что 0<|^|< 1. Рассмотрим
ряд X (w) вида (IX), где w—переменная величина из &*. Исполь-
Используя тождество
(\-wJ = w + w-1 — 2 = A — w-1J'
этот ряд можно переписать в виде
у / \ w \ \* f Qnw | qnw1 o qn
и тогда сравнение с рядом 2 9" показывает, что он сходится
абсолютно для всех w б k* и равномерно для всех ш из круго-
кругового кольца
0<г1<)ш|<г2.
Далее, из (IX) и BХ) получаем функциональные уравнения
X (<7ш) = X (w) = X (ш). (ЗХ)
В области )<7| < 1^| < | ^l имеем [<7гаш|<1, \qnw~1\<\ для
всех я> 1, и тогда согласно BХ)
т—\ п — 1
для |G|<|ш| <|^Г1.
Аналогичным образом для всех w?k* имеем
Y(w)- w2 1 У С ^'ш ^-1 чп ) BY)
п — 1
Y(qw) = Y (ш), Y(w~1) + Y(w) = — X(w). CY)
Так как ряды /г2, /г3 имеют целые коэффициенты (и значит,
их норма ^1), то они сходятся.
Исходя из соотношения
получаем
А = К + hi + 72h2h3 — 432/11 + 64ft» = q—Щг + 252q3 + ...,

195 ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ТЕЙТА [ГЛ. 15
а так как A = q(modq2) и рассматриваемая нами норма неархи-
неархимедова, то А =7^=0. Следовательно, для абсолютного инварианта
1 А А q — 2
имеем, как и ожидалось,
/=-I/1+744^+196884?*+.. .).
Уравнение Тейта определяет эллиптическую кривую, которая
называется кривой Тейта.
Теорема 1. Пусть q^—бесконечная циклическая группа,
порожденная в k* элементом q. Пусть, далее, А—кривая Тейта
и пусть
ф (w) = (X (w), У (w)), если w^q% ,
ф(до) = 0, если w?q^,
где 0 — начальная точка (точка в бесконечности) на кривой А.
Тогда отображение ф является гомоморфизмом k* в Ak с ядром q z.
Доказательство. Докажем сначала, что ф отображает
группу k* в А. Так как 0?Ak, это равносильно доказательству
того, что точки ф(ш) для w^q% удовлетворяют уравнению кри-
кривой. Поскольку, далее, функции X (w) и Y (w) имеют мультипли-
мультипликативный период q, достаточно рассмотреть лишь такие значения
переменной w, что j<7| <|^|^ 1 и хюф\.Ъ этой области можно
пользоваться формулой BХ), которая дает представление для X
в виде степенного ряда от <? с коэффициентами, являющимися
рациональными функциями от w. Аналогичное замечание имеет
место и для F. Следовательно, задача будет решена, если пока-
показать, что уравнение Тейта является формальным тождеством при
интерпретации X, У, /г2, /г3 в виде формальных степенных рядов
от q с коэффициентами, которые есть рациональные функции от
неизвестного w. На самом деле коэффициенты рассматриваемых
формальных степенных рядов выражаются в виде элементов кольца
Z[w, or1, A— ад)].
Канонический гомоморфизм Z —> k продолжается до гомоморфизма
этого кольца в поле k(w). Следовательно, формальное тождество,
которое мы устанавливаем, является «универсальным» тождеством
и будет выполняться в любой характеристике, если только оно
выполняется в характеристике 0.
Из классической теории для поля комплексных чисел известно,
что точка ф (w) удовлетворяет уравнению Тейта, если в качестве
w, q взять любую пару комплексных чисел ы)ф\, q фО таких, что
\я\<\и>\<\ч\~1.

§ 1] ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ С НЕЦЕЛЫМИ ИНВАРИАНТАМИ 197
Фиксируя w, |ш|< 1, и считая q переменной величиной, видим,
что коэффициенты получающихся степенных рядов от q равны
между собой. Заставляя затем изменяться w, мы заключаем, что
эти коэффициенты равны формально, как рациональные функции
от неизвестного w, что и нужно было показать.
Теперь докажем, что отображение ср является гомоморфизмом.
Для заданных wl9 w2?k* положим ws = w1w2 и покажем, что
ф (щщ) = ф Ю + ф (щ) • E)
Пусть Р/. = ф(ш/), i= 1, 2, 3. Ввиду периодичности ц> (gw) = (p (w)9
можно считать, что
|?|<K|<i, l^l^Kkl.
Тогда
kKKKM
и, следовательно, w19 w2y w3 лежат в области сходимости рас-
рассмотренных ранее степенных рядов для функций X и Y.
По определению, ф A) = 0, следовательно, соотношение E)
тривиальным образом выполняется ляяии1=1 или w2=l. Далее,
алгебраическая формула сложения для ^-функции дает формулу
сложения для точек на кривой Тейта.
Пусть p. = (Xh Yf)y f=l, 2, 3. Если /\, Р2—точки кривой,
то Рг + Р2 = 0 лишь в том случае, когда
Х1 = Х2 и Y. + Y^-X,. F)
Отсюда следует, что соотношение E) выполняется, если w1w2= 1.
Пусть теперь все три точки Pt отличны от нуля. Если Х1 Ф Х2,
то формула сложения для ^-функции дает формулу сложения
точек на кривой Тейта, а именно
(Х1-Х^Х, = (К1-К1)«-
-(?,-?,) (Х1-Х2)-(Х1-Х2J (Хх+Х,), G)
(Хх-Х2) К, = - (Хх-Х,) (Y. + X,)+ (?,-?,) (Х.-Хз). (8)
Будем рассуждать таким же образом, как и при доказательстве
того, что ф (w) лежит на кривой. Соотношения G) и (8) выпол-
выполняются в классическом случае поля комплексных чисел. Следо-
Следовательно, эти соотношения являются тождествами в кольце
формальных степенных рядов от q с коэффициентами в кольце
Z[wl9 юг1, ш2, w2\ (I— wj-1, (I— w2)~\ A— w1w%)'1\
и тогда соотношение E) является функциональным тождеством
в каждом полном поле k. Случай Хг = Х2 может быть рассмот-
рассмотрен с использованием аналогичных точных формул, или исходя
из соображений непрерывности.
Если w^q^, то X(w)f Y (w) лежат в &*, так что Ц)(хю)Ф§.
Следовательно, ядром гомоморфизма ф является группа q^. Тейт

198 ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ТЕЙТА [ГЛ. 15
доказал также, что ф отображает k* на Ак. Доказательство этого
факта и, кроме того, описание поля функций в терминах функ-
функционального уравнения читатель может найти в книге Роккета[К9].
Теорема 2. Пусть A (q) —кривая Тейта, соответствующая
значению q?ky где |^|<1. Тогда при любом положительном
целом N кривые A(q) и A (qN) изогенны.
Доказательство. Пусть Ф^(ТУ /) = 0—модулярное урав-
уравнение порядка N. Обозначим ^-разложение функции / через j (q).
Тогда из теории функций комплексного переменного следует, что
для формальных степенных рядов имеет место соотношение
ФИ/Ю, /(?)) = о-
В таком случае это соотношение справедливо для q?k*, \q\ < 1,
и в характеристике 0 утверждение следует из теоремы 5 § 3,
гл. 5. На самом деле теорема справедлива в общем случае, и мы
снова отсылаем читателя к книге Роккета.
Указанное доказательство приведено здесь из соображений
удобства. При рассмотрении теоремы 2 с позиций общей теории
мы видим, что группа q^ играет роль решетки и при такой ана-
аналогии каждая подрешетка естественным образом приводит к изо-
гении.
Пусть элемент / ? k* таков, что |/|>1. Тогда формальное
^-разложение для модулярной функции может быть обращено,
и мы получим
J ' \ 1
где f—степенной ряд с коэффициентами из Z. В таком случае
можно определить q ? k* и кривую Тейта по заданному нецелому
инварианту.
§ 2. Эллиптические кривые
над полным локальным кольцом
В этом параграфе предполагается, что R—целозамкнутое пол-
полное нётерово локальное кольцо без делителей нуля с максималь-
максимальным идеалом тп и полем частных /С.
Пусть элемент j?K таков, что У бит. Тогда можно получить
такой элемент q?m, что
где f—степенной ряд, указанный в конце § 1. Обратно, если
задан элемент q?my то ряд j (q) сходится в кольце R.
Всегда можно найти дискретное нормирование поля /С, кото-
которое индуцирует такую топологию на R, что степени идеала пт
образуют фундаментальную систему окрестностей нуля. Например,
если кольцо R регулярно, то для каждого элемента a?R опре-

§2] ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ НАД ЛОКАЛЬНЫМ КОЛЬЦОМ 199
делим orda как наибольший показатель г, при котором a?mr,
и продолжим функцию orda на поле частных таким образом, чтобы
она давала гомоморфизм. В общем случае можно воспользоваться
структурной теоремой Коэна, которая утверждает, что кольцо R
рассматриваемого вида является конечным модулем над его под-
кольцом Ro, удовлетворяющим тем же условиям и, кроме того,
регулярным. Тогда можно задать дискретное нормирование в поле
частных кольца Ro указанным выше способом, и затем продол-
продолжить его до нормирования поля частных кольца R. Такое нор-
нормирование удовлетворяет нужным требованиям, и в дальнейшем
будем называть его допустимым.
С другой стороны, можно также воспользоваться процедурой,
известной геометрам как раздутие точки, соответствующей m в
пространстве Spec(R). Один из способов такого раздутия состоит
в рассмотрении порождающих элементов идеала т = (а1У ...уат).
По меньшей мере для одного из порождающих элементов ah
скажем для аи идеал
(аг, ..., ат, а2/а1У ..., ат/аг)
не является единичным идеалом в кольце R[a2/al9 ..., aj
Обозначим 5 целое замыкание кольца R [а2/аи ..., ат/а±] в поле
и пусть $—минимальный простой идеал, содержащий идеал Salu
Тогда при каноническом гомоморфизме 5 —> S/$ имеем at —* О,
и локальное кольцо S$ будет являться кольцом дискретного
нормирования, максимальный идеал которого индуцирует макси-
максимальный идеал m в кольце R.
Геометрически указанная конструкция равносильна следую-
следующему. Мы имеем морфизм Spec E) —*¦ Spec (R) и пересечение 5
с гиперповерхностью аг = 0. Тогда все компоненты этого пересе-
пересечения имеют размерность dim Spec E) — 1, и так как кольцо 5
целозамкнуто, эти компоненты являются невырожденными диви-
дивизорами на Spec E). Один из них лежит над точкой в Spec (R)
и порождает дискретное нормирование (ср.: Z а г i s k i O. A simple
analytical proof of a fundamental property of birational transfor-
transformations, Proc. Nat. Acad. Sci. USA A949), pp. 62 — 66).
Необходимые сведения по коммутативной алгебре, которые
требуются для понимания изложенного выше, читатель может
найти в книге: Grothendieck A., Dieudonne J. Elements
de Geometrie Algebrique, EGA I, Publ. Math. IHES, 4 A960).
Ситуация здесь такова, что кольца со всеми указанными выше
свойствами получаются пополнением, локализацией, переходом
к конечно порожденным расширениям или к целым замыканиям,
исходя из определенного типа колец, включающих в себя кольцо
Z, поле или полное нётерово локальное кольцо. Например, мы
использовали тот факт, что целое замыкание кольца i?[b1? ..., bm]
является конечным над этим кольцом (bi = ai/a1). В дальней-
дальнейшем мы продолжим использование таких основных фактов из

200 ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ТЕЙТА [ГЛ. 15
коммутативной алгебры. Другие сведения читатель может найти
в книге: Matsumura. Commutative Algebra, Benjamin, Reading,
.Mass., 1970.
Пусть А—эллиптическая кривая с инвариантом / = / (q), опре-
определенная над полем К, и пусть Dq = q%. Обозначим Dl/N под-
подгруппу группы /С*, состоящую из всех элементов, N-я степень
которых принадлежит Dq. Эта подгруппа порождается корнем
степени N из единицы и любым корнем степени N из q, скажем,
gi/w фактор-группа
Dl/NlDq
изоморфна прямому произведению циклических групп порядка N,
порожденных соответственно примитивным корнем ?# и элементом
q^N mod q^, если характеристика поля К не делит число N.
Теорема 3. Пусть А—эллиптическая кривая с инвариан-
инвариантом j (q) и пусть q лежит в максимальном идеале т кольца R.
Пусть, далее, Rn— целое замыкание кольца R в поле Kn =
= K(?,Nj q1/N). Тогда отображение Тейта, определенное теми
же формулами, как в теореме 1, сходится в Rn и индуцирует
гомоморфизм группы Dl/N в An. Если число N взаимно просто
с характеристикой поля /С, это отображение индуцирует изо-
изоморфизм Галуа фактор-группы wxqINlDq на AN, и
K(An)=K(Zn, q1/N).
Доказательство. Пусть w = Zqs/N, где ?—корень степени
N из единицы и s—целое число. Ряды для X (w) и Y (w) § 1
оказываются сходящимися в Rn и даже в i?[?w, qllN\ и дают
элементы из K(Zn, q1/N). Сходимость этих рядов следует из фор-
формул BХ) и BY). Заметим, что конечное число членов являются
рациональными функциями от q, w, и что почти все члены лежат
в максимальном идеале кольца Rn и стремятся к нулю. Повто-
Повторяя рассуждения теоремы 1 или же сводя данную ситуацию
к предыдущей ситуации с помощью построенного выше дискрет-
дискретного нормирования, мы видим, что рассматриваемое отображение
является гомоморфизмом группы DlJN. Следовательно, получаем
ннъективный гомоморфизм фактор-группы Dg/N/D4 в An. Если Л^
не делится на характеристику поля /С, этот гомоморфизм должен
быть сюръективным, так как группа An имеет порядок N2.
Пусть G—группа Галуа поля K(AN) над /С. Тогда действие
группы G совместимо с параметризацией Тейта, т. е. если
w^D]jIN', то для g?G имеем
X {aw) = X (w)°, Y (aw) = Y (w)G,
что легко следует из непрерывности. Отсюда ясно, что
K(An) = K(Zn, q1/N).
Теорема доказана.

§2] ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ НАД ЛОКАЛЬНЫМ КОЛЬЦОМ 20?
Пример. Пусть А — эллиптическая кривая с трансцендентным
над Q инвариантом /. Рассмотрим кольцо Z[l//] и его пополне-
пополнение в максимальном идеале, порожденном элементами р и 1//.
Обозначим это пополнение R, так что
Пусть Кг— поле частных кольца R и пусть Kn = K± (AN). Тогда
Kn = K1(Zn, q1/N).
Группа Галуа этого расширения может быть легко определена.
Над полем KxC^n) это расширение является расширением Кум-
мера, группа Галуа которого порождается отображением
Пусть ф = (Х, Y) — отображение Тейта и пусть P1 = y(Z)N)T
^2 — Ф (Q1/N)- Тогда указанный элемент группы Галуа представ-
представляется матрицей
1 1
О 1
С другой стороны, предположим для простоты, что p\N. Тогда
элемент ^N порождает неразветвленное расширение кольца
^р [[Q1/nJ\i группа Галуа которого порождается автоморфизмом
Фробениуса
представимым на точках периода N матрицей
'р 0>
.о
Полная группа Галуа Gal (К^/Кх) есть подгруппа группы
GL2 (Z/A/Z), порожденная указанными двумя элементами (когда
р\ N). Если p\N, то корни из единицы разветвлены, но группа
снова может быть легко определена, так как поле Км наА полем
частных кольца Z^ffg1^]] имеет ту же группу Галуа, что и
поле 0^ (lN) над Q^.
Объединение всех полей KN дает поле, которое мы обозна-
обозначим К- Группа всех матриц
.о!)' ^nz,,
содержится в группе инерции максимального идеала ЗЛ, лежа-
лежащего над идеалом (р, q) кольца Rx. Если рассмотреть ограниче-
ограничение этой группы на подполе, полученном при объединении всех
полей Kn c P^N, то это ограничение будет группой инерции
этого подполя, так как корни степени N из единицы при p\N
порождают неразветвленное расширение.
Впервые присутствие таких унипотентных элементов в группе
Галуа в случае плохой редукции было замечено Игу сой "*

202 ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗОГЕНИИ [ГЛ. 16
Глава 16
ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗЭГЕНИИ
Будем предполагать на протяжении всей этой главы, что
К—поле характеристики 0.
§ 1. /7-адические представления Галуа
Вернемся к /?-адическим представлениям. Пусть А—эллипти-
А—эллиптическая кривая, определенная над полем К- Рассмотрим точки
кривой А в фиксированном алгебраическом замыкании Ка- Имеем
/7-адические пространства Тр (А) и Vp (А) над Zp и 0^ соответ-
соответственно. Напомним, что пространство Тр (А) состоит из всех
векторов
(а19 а2, ...), а(?А,
таких, что pl'ai = 01 pai+1 = ah a Vp(A) состоит из всех векторов
(а01 а1У а21 ...)
таких, что а0—произвольная точка, порядок которой есть сте-
степень /?, и pal+1 = ai. Известно, что Тр (А) (соответственно Vp(A))
есть свободный модуль размерности 2 над Zp (сооответственно
над Qp).
Группа Галуа Gal(/Ca//C), обозначаемая также GK, действует
непрерывно как на ТР(А), так и на Vp(A). Если e?GKi то
о(а1, а2У ...) = (оа1, оа2у ...). Тогда получаем представление
р: GK-+GL2(ZP)
в группу Aut^ {Tp (Л)) независимо от того, выбран ли базис
пространства Тр {А) над Zp или нет.
Для удобства будем писать Тр, Vpy опуская Л, если в ходе
обсуждений имеется в виду одна и та же кривая А. Назовем
указанные выше представления р-адическими представлениями
{Галуа), связанными с А над полем К.
Если X: А—> В—изогения, определенная над полем /С, то X
индуцирует G^-изоморфизм
Vp(k): Vp(A)-+Vp(B),
и лишь инъекцию Тр(А) в Тр{В). В самом деле, если изоге-
изогения X определена над К и g?Gk, to для любой точки а кри-
кривой А из алгебраического замыкания поля К имеем
Тогда ясно, что индуцированное отображение на Vр {А) комму-
коммутирует с действием группы Галуа. Для краткости обозначений
мы также будем писать Vр {X) = X.

§ 1] р-АДИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГАЛУА 203
Основная проблема состоит в том, чтобы доказать обратное
утверждение над полями, которые интересны с арифметической
точки зрения. Впервые прогресс в этом направлении был до-
достигнут Серром [КН], чьи результаты и методы мы воспроиз-
воспроизводим в этой главе.
Замечание 1. Отметим, что все результаты будут таковы,
что они позволяют нам переходить к открытым подгруппам
группы Галуа над полем /С. Таким образом, всякий раз, когда
мы хотим доказать теорему об изогении, достаточно будет сде-
сделать это над конечным расширением поля /С, которое мы выбе-
выберем удобным для нас образом. Можно также ограничиться рас-
рассмотрением конечно порожденных расширений, так как группа
Галуа расширения Галуа не изменяется при поднятии этого
расширения над чисто трансцендентным расширением поля /(.
Замечание 2. Представление Галуа группы GK в Vp может
быть профакторизовано по группе Галуа, оставляющей непод-
неподвижным поле К(А{р]), где А{р]— группа точек на кривой Л, по-
порядки которых есть степени числа р. Поэтому на самом деле мы
касаемся представления группы Галуа поля К (А{р]) над К.
В частности, если А, А'—эллиптические кривые, определенные
над полем /С, и если пространства Vp(A) и Vp(A) являются
GK— изоморфными, то К(А{р)) = К(Аг{р)).
В некоторых случаях предыдущее замечание допускает обра-
обращение.
Теорема 1. Пусть А, А'—эллиптические кривые, определен-
определенные над полем /С, и пусть К (А(р]) = К (А'(р)). Пусть, далее, G —
группа Галуа поля К (А{р]) над К и пусть представления груп-
группы G в Тр (А) и Тр (Аг) отображают группу G на открытые
подгруппы группы SL2(Zp). Тогда Vp(A) и Vp(A') являются
Gр-изоморфными пространствами для некоторого конечного рас-
расширения Е поля К.
Теорема очевидным образом выводится из следующей леммы.
Лемма. Пусть G — открытая подгруппа группы SL2(Zp) и
пусть
Pl: G-*SL2(Zp), p2: G-+SL2(ZP)
суть непрерывные инъекттные представления. Тогда существует
такой элемент g ^GL2(Qp), что g~1p2g = Pi на открытой под-
подгруппе группы G.
Доказательство. Без уменьшения общности можно счи-
считать, что рх является тождественным отображением и р2 = р.
Тогда р индуцирует локальный изоморфизм группы SL2 (Zp) в
себя. Рассмотрим его действие на алгебре Ли. Пусть X = (q q
( ) и tf = (J _?)• Тогда [X, Н] = 2Х, [Y, H] = -2Y и
[X, Y] = H. Так как р отображает Н на полупростой элемент,

204 ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗОГЕНИИ [ГЛ. 16
то заменяя в случае необходимости отображение р его сопряже-
сопряжением на элемент из GL2(Qp), можем считать, что р переводит Я
в скалярное кратное матрицы Я. Рассмотрение указанных выше
квадратных скобок показывает, что этот скаляр равен ±1, и
другое сопряжение приводит нас к случаю, когда отображение р
оставляет матрицу Я неподвижной. Рассматривая вновь действие
отображения р на квадратные скобки, мы видим, что отображе-
отображение р переводит X в аХ и Y в ЬУ и что Ь = а~1. Тогда сопря-
сопряжение на элемент (q _Л переводит аХ в X и ЪУ в Y. Следо-
Следовательно, действие отображения р на алгебру Ли является внут-
внутренним. Значит, локально это отображение задается с помощью
сопряжения.
Следствие. Пусть Л, А'—эллиптические кривые над К и
пусть пересечение полейК(А{Р]) и К(А '(р)) имеет бесконечную степень
над полем К. Предположим, что представления групп Gal (K(A{p]/K)
в Тр(А) и Gal(K(A'{p))/K) в Тр(А') отображают эти группы
Галуа на открытые подгруппы группы SL2(Zp). Тогда сущест-
существует такое конечное расширение Е поля /С, что
и имеет место теорема 1.
Доказательство. Так как алгебра Ли группы SL2 (Zp)
является простой, то существует открытая подгруппа W группы
Gal (К (A^lK) со следующими свойствами:
1) W не имеет конечных подгрупп, отличных от 1;
2) всякая замкнутая нормальная нетривиальная подгруппа
группы W является также открытой, и, следовательно, имеет
конечный индекс.
Пусть Кг—неподвижное поле подгруппы W. Рассмотрим
включение полей:
Промежуточное поле имеет бесконечную степень над Кг и явля-
является неподвижным полем замкнутой нормальной подгруппы
группы W. По указанным выше свойствам оно должно быть
равно пблю К1(А{р)). Проводя аналогичные рассуждения для А',
т. е. выбирая открытую подгруппу W', можно найти такое ко-
конечное расширение К2 поля К, что
Это доказывает следствие при Е = К2-
Предположения следствия относительно кривой А и поля К
выполняются в следующих случаях.
1) Поле К получено из числового поля присоединением к
нему всех корней из единицы и взятием затем конечного расши-

§2] РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗ ТЕОРИИ КУММЕРА 205
рения. Кривая А не имеет комплексного умножения. Это со-
составляет содержание теоремы Серра, доказательство которой в
случае нецелого инварианта над Z будет воспроизведено в сле-
следующей главе.
2) Поле К является конечно порожденным над алгебраически
замкнутым полем характеристики 0, и кривая имеет трансцен-
трансцендентный над этим полем инвариант, что следует из гл. 6.
§ 2. Результаты из теории Куммера
Обозначим \хп группу корней из единицы степени рп в алгеб-
алгебраическом замыкании Ка- Таким образом, мы используем /?-ло-
гарифмическое обозначение. Аналогичным образом, пусть Ап—
группа точек порядка рп на эллиптической кривой А.
На протяжении этого параграфа G = GK = Gal (KjK). Пред-
Предположим, что К является полем частных кольца R, где R —
алгебраически замкнутое полное нётерово локальное кольцо.
Кроме того, предположим, что простое число р лежит в макси-
максимальном идеале m этого кольца.
Пусть q, q'—элементы идеала m и пусть Л = A (q), A' = A (qf) —
эллиптические кривые с параметризацией Тейта, определенные
над полем /С. Пусть, далее, Dq = q^- Известно, что имеется изо-
изоморфизм DxqipniDq« Ап. В действительности эллиптические кри-
кривые не будут иметь прямого отношения к излагаемому в этом
параграфе материалу, и все утверждения можно перефразиро-
перефразировать в терминах расширений Куммера, считая указанное выше
соотношение « равенством.
Если г^ОурПч то грП лежит в группе Dq, и тогда существует
такое целое с, что
zpn — qc.
Сопоставление z к-> класс числа с по mod/^Z определяет гомо-
гомоморфизм группы Ап на XlpnZ и, следовательно, приводит к точ-
точной последовательности
—0 A)
G-модулей при тривиальном действии группы Галуа на ZlpnZ.
Переходя к пределу, получаем точную последовательность
0 — Тр (fi) -* Тр (А) -. Zp — 0, B)
где G действует тривиально на Zp. Тензорное умножение с Q^
дает точную последовательность G-модулей
0-+Vp(ii)-+Vp(A)-+Qp-+0. C)
Лемма 1. Указанная выше последоват льность не расщеп-
расщепляется.

206 ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗОГЕНИИ [ГЛ. 16
Доказательство. Введем инвариант х, принадлежащий
группе НтЯ1 (G, ц,„).
Пусть d—кограничный гомоморфизм
d: H*(G, ZlpnZ)-+H*(G, |х„),
соответствующий точной последовательности A), и пусть xn = d(l).
Тогда инвариант х, как элемент НтЯ1(С/, \кп), определяется
семейством элементов \хп), п^\.
Лемма 2. 1) Изоморфизм Куммера
б: /(*/#*"" — Я1 (С iin)
отображает класс qmodJK*p в элемент хп.
2) Элемент х имеет бесконечный порядок.
Доказательство. Напомним, что б индуцируется когра-
ничным отображением, связанным с точной последовательностью
Первое утверждение леммы 2 сразу же следует из определе-
определений, так как изоморфизм Куммера отображает элемент ag/C* в
класс коцикла aa/a, e?G.
Чтобы доказать второе утверждение, рассмотрим на К до-
допустимое дискретное нормирование v (индуцирующее заданную
топологию на R). Это нормирование определяет гомоморфизм
и, следовательно, гомоморфизм
/: limKVK'*n-+Zp.
Если отождествить х с соответствующим элементом группы
ИтК*/К*рП, как в утверждении 1), то будем иметь f{x) = v(q). Сле-
Следовательно, порядок элемента х бесконечен. Лемма 2 полностью
доказана.
Продолжим доказательство леммы 1. Предположим, наоборот,
что последовательность C) расщепляется. Существует G-подпро-
странство W пространства V (А), изоморфно отображающееся
на Q,. UyzThWT = W[\Tp(A). Образ пространства WT в Zp
имеет вид pNZp для некоторого N^0. Но тогда легко видеть,
что pNx = 0, а это противоречит тому, что порядок элемента х
бесконечен.
Лемма 3. Пусть R^ — целое замыкание кольца R в поле

§2] РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗ ТЕОРИИ КУММЕРА 207
и пусть Ш—максимальный идеал кольца 7?^, лежащий над т.
Пусть, далее, I—группа инерции идеала Ш в Gal (KjK). Тогда
I имеет конечный индекс в группе Gal (KjK)-
Доказательство. Пусть v—допустимое дискретное нор-
нормирование поля К- Обозначим его продолжение на поле /См
той же самой буквой v. Пусть Iv—группа инерции для этого
продолженного нормирования. Так как Iz>Iv, то достаточно до-
доказать тогда, что Iv имеет конечный индекс в группе Gal {К JK)»
Без уменьшения общности можно считать, следовательно, что
R — дискретно нормированное кольцо. Пусть Kv—пополнение
поля К по нормированию v и пусть L—пополнение максималь-
максимального неразветвленного расширения поля Kv. Тогда поле L снова
имеет дискретное нормирование v. В таком случае достаточно
доказать, что группа Gal {A^lА), отождествленная обычным
образом с подгруппой группы Gal (К (Л^/L), имеет конечный
индекс. Картину теории Галуа можно представить в виде
К(А(Р))
Из элементарной теории алгебраических чисел известно, что
если ?—примитивный корень степени рп из единицы, то элемент
1—? имеет порядок 1/ф (рп) = lip*1'1 (р—1) относительно р-ади-
ческого нормирования, при котором р имеет порядок 1. Так как
v—дискретное нормирование, отсюда следует, что существует
такая константа с, что
для всех п и что индекс ветвления поля L (\кп) над L удовлет-
удовлетворяет аналогичному неравенству. Действие группы Галуа на
Тр (А) представляется относительно базиса матрицей
а Ь\
0 d)
с компонентами из кольца Ър. Далее, существует такое положи-
положительное целое число г, что уравнение Хрг—q = Q неразрешимо
в поле L([x(^}). Предположим, что это не так. Тогда

208 ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗОГЕНИИ [ГЛ. 16
и группа Галуа поля L (А{р]) над L будет абелевой. Но в таком
случае указанная выше матрица должна быть диагональной.
Следовательно, рассматриваемое представление приводимо, что
противоречит лемме 1, примененной к полю L с его кольцом
дискретного нормирования. Из элементарного критерия неприво-
неприводимости, или же из теории Куммера, следует, что степень поля
L^p\ ql/pn)
над L (\i{p)) удовлетворяет неравенству указанного выше вида,
т. е. эта степень не меньше срп при некоторой константе с. Сле-
Следовательно, существует такая константа с, что
[L(An): L]^cp*»
для всех п. Так как группы Галуа поля К (Ап) над К и поля
L(An) над L имеют порядки, не превосходящие величины с'р2п,
где с' — некоторая константа, отсюда следует, что группа
Gal
имеет конечный индекс в группе Gal (К (А{р])/1(). Далее, так как
L—максимальное неразветвленное расширение, то расширение
L (А{р]) вполне разветвлено над L. Лемма доказана.
§ 3. Локальные теоремы об изогении
Серр [35] обнаружил, что над ^-адическим полем эллипти-
эллиптическая кривая с нецелым /-инвариантом удовлетворяет следую-
следующей теореме об изогении: Если А, В—такие эллиптические
кривые, что их р-адические представления в пространстве Vp
G-изоморфны, то эти кривые изогенны. Оказывается, что дока-
доказательство Серра справедливо с небольшими модификациями над
более общим типом локальных колец [28а].
Теорема 2. Пусть R—нётерово полное локальное кольцо,
целозамкнутое, без делителей нуля и характеристики 0. Пусть
К—поле частных кольца R. Предположим, что максимальный
идеал т кольца R содержит простое число р и что поле R/xn
конечно. Пусть Л, А'—эллиптические кривые, определенные над
полем /С, с инвариантами /, /' такими, что элементы 1// и 1//'
содержатся в идеале т. Предположим, далее, что пространства
Vp{A) и Vp(A') й^изоморфны. Тогда кривые А и А' изогенны.
Доказательство. По теореме 2 гл. 15 достаточно дока-
доказать, что существуют такие целые i, V, для которых q^—q1'.
Пусть
Ф: Vp(A)-+Vp(A')
есть G^-изоморфизм. По лемме 1 известно, что Vp(\i) являеася
1-мерным подпространством пространства Vp(A) (соответственно
Vp(A')), неподвижным относительно группы GK. Следовательно,

§3] ЛОКАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗОГЕНИИ 209
Ф отображает Vp (\x) в себя. Более того, после умножения ср на
некоторое целое /?-адическое число можно считать, что ср отобра-
отображает Тр (Л) в Тр(А'). Имеем тогда следующую коммутативную
диаграмму:
1 'I -I
D)
где вертикальные стрелки на концах являются уможением на
целые р-адические числа г и s соответственно. Пусть х, х'—эле-
х'—элементы группы lim^1(G, \\n), ассоциированные с кривыми Л и Л'.
Тогда из коммутативности диаграммы D) следует, что
rx=sx''.
Так как дискретное нормирование v задает гомоморфизм
limtf^G, |iw) = lim/t7/fp"-* Zpf
при котором х переходит ву((/), а/ в у(<7')> то
rv(q)=sv(q').
Достаточно теперь доказать, что элемент
является корнем из единицы.
Рассмотрим образ элемента а в группе lim К*/К*рП- Этот образ
имеет вид ^~
v(qr)x—v(q)x\
и умножая его на s, получаем 0 в силу предыдущих соотноше-
соотношений. Следовательно, образом элемента а в группе lim К*/К*рп
является 0. Таким образом, доказательство сводится к установ-
установлению того факта, что ядро канонического отображения
К*-+ \\тК*1К*рП
конечно. Если элемент а лежит в этом ядре, то а должен быть
рп-й степенью в поле К для всех п. Если а не лежит в R, то
элемент 1/а не порождает единичный идеал в кольце R[l/a].
В противном случае элемент а должен быть целым над R и^
следовательно, должен принадлежать R, что противоречиво.
Минимальный простой идеал над идеалом A/а) в целом замыка-
замыкании кольца R[l/a] приводит к дискретному нормированию, при
котором элемент а имеет полюс, а значит, не может быть рп-и

210 ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗОГЕНИИ [ГЛ. 16
степенью для достаточно большого п. Таким образом, а лежит в
кольце R. Аналогично а не может лежать в максимальном
идеале пт, иначе элемент 1/а не принадлежал бы кольцу ^.Сле-
^.Следовательно, элемент а является единицей кольца R. Так как
поле классов вычетов конечно и R является полным кольцом, то
существует такая конечная подгруппа k* в R, представляющая
ненулевые элементы поля /?/т, что группа единиц U кольца R
изоморфна произведению
где /73 — группа единиц, сравнимых с 1 по mod т. Если w?my
то элемент (l-\-w)Pn лежит в 1+т", и тогда ясно, что элемент
а должен лежать в k*. Этим теорема 2 доказана.
Замечание 1. Если две целые степени элементов q и q'
равны, то соответствующие кривые будут изогенны над полем К.
Это следует из общей теории Тейта, рассматривающей q^ и q'^
как «решетки».
Замечание 2. В большей размерности можно определить
аналог указанной здесь «мультипликативной» параметризации для
некоторых абелевых многообразий. Однако Рибэ указал пример,
когда над обычным р-адическим полем соответствующая ло-
локальная теорема об изогении неверна в размерности 2. Остается
выяснить, будет ли она справедлива для «общих» абелевых мно-
многообразий.
Теорема 3. Пусть R—алгебраически замкнутое полное
нётерово локальное кольцо без делителей нуля, с максимальным
идеалом т и полем частных К характеристики 0. Предположим,
что поле R/m конечно. Пусть А—эллиптическая кривая над
полем К с инвариантом j?R и пусть А'—эллиптическая кри-
кривая над К с таким инвариантом /', что 1//' ? ттт. Тогда представле-
представления группы GK в пространствах Vp (А) и Vр (Аг) не изоморфны для
всякого простого числа р.
Доказательство. Переходя, если это необходимо, к ко-
конечному расширению поля К и к целому замыканию кольца R
в этом расширении, можно считать, что кривая А имеет невы-
невырожденную редукцию по modnr. Кроме того, кривая А' изоморфна
над некоторым конечным расширением поля К кривой с пара-
параметризацией Тейта относительно q', и тогда без уменьшения
общности полагаем, что А' является кривой Тейта. Будем раз-
различать два случая.
Редукция А кривой А по mod ttt имеет точку порядка р в
алгебраическом замыкании поля классов вычетов R —Rjxa. Тогда
поле /С (А(р]) со держит бесконечную неразветвленную часть, соот-
соответствующую бесконечному расширению поля классов вычетов
R(A{p]). С другой стороны, по лемме 3 поле К (А'(р)) почти
вполне разветвлено. Следовательно, кривые Л и Л' не могут

§4] СУПЕРСИНГУЛЯРНАЯ РЕДУКЦИЯ 211
быть изогенными (если р отлично от характеристики поля R/m,
то поле К (А(р]) неразветвлено полностью и указанные рассужде-
рассуждения можно привести в более сильной форме).
Редукция А кривой А по modm является суперсингулярной,
т. е. точек порядка р нет, так что А{р] = 0. В этом случае
используем допустимое дискретное нормирование v. Представле-
Представление группы GK в пространстве Vр (Ar) является треугольным и,
в частности, имеет инвариантное подпространство размерности 1,
соответствующее подпространству Vp{\k). С другой стороны, Серр
[36] доказал, что представление группы GK в пространстве Vp (A)
неприводимо (для удобства читателя мы воспроизведем это до-
доказательство в § 4). Следовательно, эти представления не могут
быть изоморфными, и тогда кривые не изогенны. Теорема
доказана.
Замечание. Предположение о конечности поля классов
вычетов может быть ослаблено и заменено предположением о ко-
конечной его порожденности над простым полем, так как известно,
что для такого поля k расширение k (A{p]) поля k имеет беско-
бесконечную сепарабельную часть при условии, что кривая А не супер-
суперсингулярна. Однако в дальнейшем это нам не потребуется.
§ 4. Суперсингулярная редукция
Изучим теперь упомянутое выше свойство неприводимости.
До конпа этого параграфа под А понимается эллиптическая кри-
кривая, определенная над полем К характеристики 0 с дискретньш
нормированием. Обозначим ок кольцо целых элементов относи-
относительно этого нормирования, а тк—максимальный идеал кольца
ок. Чтобы установить GK—неприводимость пространства Vp(A),
достаточно сделать это для каждой замкнутой подгруппы группы GK.
Таким образом, можно предполагать без уменьшения общности,
что поле К является полным. Обозначим о кольцо целых эле-
элементов в алгебраическом замыкании поля /С, a m — максималь-
максимальный идеал кольца о. Предположим, что поле о/т имеет харак-
характеристику р.
Пусть кривая А имеет невырожденную редукцию по mod mK.
Мы хотим найти подходящую параметризацию точек группы А{?\
которая будет показывать их свойства ветвления. Она устанав-
устанавливается с помощью формального закона, определенного кривой
А над кольцом ок (см. Serre J.-P., Lie Algebras and Lie
Groups*)). Предположим для простоты, что характеристика
поля классов вычетов отлична от 2, 3 и что кривая А задана
в форме Вейерштрасса
*) Имеется русский перевод: Серр Ж- П. Алгебры Ли и группы Ли.—
М.: Мир, 1969.— Прим. перев.

212 ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗОГЕНИИ [ГЛ. 16
и имеет невырожденную редукцию. Начальная точка представ-
представляется точкой в бесконечности. Пусть (х19 уг)—точка группы Ак,
принадлежащая ядру отображения редукции. Тогда элементы
xi> Уг не могут лежать в кольце ок.
Из сравнения полюсов следует, что
где т — некоторое положительное целое число, ul9 vt—единицы
и я —элемент порядка 1 относительно дискретного нормирова-
нормирования поля /С. Пусть t = x/y и s=\/y. Соответствие (%, у)н-•>(/, s)
переводит модель Вейерштрасса в кривую, определенную урав-
уравнением s = t3 + bts2-\-cs3. Ядро отображения редукции представ-
представляется тогда точками в (s, /)-плоскости с координатами, лежа-
лежащими в идеале тп, а начальная точка группы Ак имеет в (s, t)-
плоскости координаты @, 0). Отметим, что t является локальным
униформизирующим параметром в начальной точке кривой А.
Предположение о том, что характеристика поля о/т отлична от
2 и 3, существенно лишь для задания этого точного параметра.
В остальном все рассуждения имеют общий характер. Начало
р-адическому аналитическому изучению точек на эллиптической
кривой было положено в работе: Lutz E. Sur Г equation y2=
= х3 — Ах—В sur les corps p-adiques.— J. reine angew. Math.
177 A937), p. 204.
Пусть z—точка на Л с аффинными координатами (х, у).
Запишем t = t(z). Простые вычисления показывают, что умноже-
умножение на р точки z представляется степенным рядом с коэффици-
коэффициентами из ок. Другими словами,
где аг = р и ап € ок для всех п. [В общем случае формальный
групповой закон задается степенным рядом от двух переменных
и ряд f (t) получается отсюда /?-кратной итерацией ряда F при
z = zf. См. Приложение 1, § 3.]
Предположим, что абсолютное значение*) на поле /С, опре-
определенное дискретным нормированием, нормализовано таким обра-
образом, что \р\ = 1/р. Пусть
представляет собой степенной ряд с коэффициентами из кольца ок.
Пусть, далее, h—такое положительное целое число, что \а(\ < 1
для l^i^/i—1, и пусть ah является единицей и. Тогда по
подготовительной теореме Вейерштрасса ряд / можно представить
*) Абсолютное значение называется часто нормой или метрикой поля /С.—
Прим. перев.

§4] СУПЕРСИНГУЛЯРНАЯ РЕДУКЦИЯ 213
в виде
где g(t)—многочлен степени h и ty(t)—единица в кольце сте-
степенных рядов ок[[t]], т. е. степенной ряд, начинающийся с еди-
единицы. В частности, нули f в идеале m суть корни многочлена g.
Доказательство этого утверждения можно найти в книге: Fro-
1 i ch A. Formal Groups.— Lecture Notes, 74, Springer-Verlag, 1968.
Применим изложенное выше к степенному ряду
t (pz)=f(t) = pt + a2t2 + ... +ah_1th-i + uth +
где и—единица и |а?.|<1, l^/^/i—1. Точка Q ? АКа лежит
в ядре отображения редукции в том и лишь в том случае, если
Г@)=0, т.е. если t(Q)?m.
Предположим теперь, что кривая А имеет суперсингулярную
редукцию, т. е. что группа А{?] состоит лишь из начальной точки.
Тогда все точки группы А{р] лежат в ядре редукции и, в част-
частности, так как в группе Ар имеется р2 элементов, то h^p2.
Действительно, если pQ=O, то t (Q) является нулем функции /,
поскольку t (О)=0.
Теорема 4. Пусть кривая А имеет суперсингулярную
редукцию, т. е. А{р]=О. Пусть, далее, w = (w19 до2, .. .)$Тр(А),
так что pwn+1 = wn, и пусть т^ФО. Тогда существует такое
число С > 0, что для индекса ветвления vn поля К (w) над К
имеет место неравенство vn^Cp2n.
Доказательство. Пусть ln = t (wn). Тогда | tn \ < 1, и мы
имеем соотношение
Докажем сначала, что
lim |^| = 1.
Если предположить, что |^+il^=U«l> T0 правая часть указан-
указанного соотношения будет иметь абсолютное значение, строго мень-
меньшее | /„ |. Приходим к противоречию. Значит, | tn+1 \ > | tn \.
Далее, так как абсолютное значение правой части этого соотноше-
соотношения не выше
max{\p\-\tn+1\, K+1|2},
то I tn+i I ^ Р Un I» ли^° I ^и+i I ^ \*п 11/2» и в таком случае] /„ | —> 1
при п —> оо.
Если величина \tn\ достаточно близка к 1, то из условия
| aL | < 1, 1 ^ i ^ h— 1, следует, что абсолютное значение члена
u^n+i B правой части рассматриваемого соотношения строго больше
абсолютных значений других членов. Тогда
I / I __ I f,fh I — \f \h

214 ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗОГЕНИИ [ГЛ. 16
и, следовательно, начиная с некоторого номера п0, индекс ветв-
ветвления на м-м шаге умножается на величину h^ р2. Это доказы-
доказывает теорему 4.
Теорема 5. Пусть А—эллиптическая кривая, определенная
над полем К характеристики О, полным относительно дискрет-
дискретного нормирования. Предположим, что кривая А имеет невырож-
невырожденную суперсингулярную редукцию А. Тогда пространство Vp (A)
является Gк-неприводимым.
Доказательство. Пусть w = (wl9 w2, . . .) $Тр (А) и пусть
хюгФ§. Для доказательства теоремы достаточно показать, что
существует такой элемент e?GK, что точка ow не лежит в 1-мер-
1-мерном модуле над Zp, порожденном точкой w. Действительно,
тогда w я ow образуют базис пространства Vp (А) над полем Q^
и, значит, Vp (А) будет G^-неприводимым. Далее, из теоремы 4
имеем
Предположим, что точка ow р-адически кратна точке w при каж-
каждом а ? GK. Тогда для каждого o?GK точка own является целой
кратной точке wn. Но таких кратных точке имеется не более
чем рп, и при достаточно большом п мы приходим к противоре-
противоречию с указанным выше неравенством для степени поля К (wn).
Значит, пространство Vр (А) является б^-неприводимым, и тео-
теорема доказана.
§ 5. Глобальные теоремы об изогении
Покажем теперь, что теорема об изогении выполняется гло-
глобально, а именно, над числовым полем для эллиптической кри-
кривой с нецелым инвариантом и над функциональным полем для
эллиптической кривой с трансцендентным инвариантом, когда
поле констант функционального поля есть или числовое поле,
или поле комплексных чисел. Первым случаем, т. е. случаем
кривых над числовыми полями, мы обязаны Серру.
Теорема 6. Пусть А, А'—эллиптические кривые над чис-
числовым полем К с инвариантами /, /'. Предположим, что инва-
инвариант j не является у-целым для некоторого простого идеала р
поля /С, делящего р. Предположим, далее, что пространства
Vp(A) и Vp(Ar) являются GK—изоморфными. Тогда кривые А и
А' изогенны.
Доказательство. Из§3 видно, что инвариант /' необ-
необходимо является не р-целым. Так как представления Галуа изо-
изоморфны по группе GK, то они изоморфны по каждой ее замкну-
замкнутой подгруппе и, в частности, по подгруппе, являющейся группой
Галуа над р-адическим полем К$- Этим задача сводится к локаль-
локальному случаю, и утверждение следует теперь из теоремы 2.

§5] ГЛОБАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗОГЕНИИ 215
Рассмотрим теперь общий случай. Делинь [2] доказал его над
полем комплексных чисел, используя структуры Ходжа. Мною
было показано [28а], что рассуждения Серра для р-адических
полей переносятся на этот случай, если ввести в рассмотрение
кольцо Z [1//].
Теорема 7. Пусть А, А'—эллиптические кривые над полем
Ку конечно порожденным над полем рациональных чисел, и пусть
они имеют трансцендентные j-инварианты. Пусть р—простое
число и предположим, что пространства Vp(A) и Vp(A') явля-
являются Gк-изоморфными. Тогда кривые А и А' изогенны.
Доказательство. Ясно, что инварианты / и /' должны
быть алгебраически зависимы. Следовательно, поле К можно
выбрать как конечное расширение поля G(/, /') степени трансцен-
трансцендентности 1 над Q.
Докажем, что элемент /' является целым над Z[/]. Допустим,
что это не так. Существует гомоморфизм кольца Z[/], который
продолжается до гомоморфизма кольца Z[/, 1//'], переводящего
1//' в 0. Пусть R— целое замыкание кольца Z[/, 1//'] в поле К-
Продолжим гомоморфизм до гомоморфизма кольца R. Взяв,
в случае необходимости, композицию этого гомоморфизма с дру-
другим гомоморфизмом, можно считать, что рассматриваемый гомо-
гомоморфизм принимает значения в конечном поле. Пусть m—его ядро
в кольце R. Тогда пополнение Rm не имеет делителей нуля (см.
EGA, гл. 4, 7.8.3 и 7.8.6). Так как представления Галуа изо-
изоморфны по группе GK, то они изоморфны по отношению к каж-
каждой ее замкнутой подгруппе и, в частности, по отношению к
подгруппе, возникающей из расширения Km (AW) = Кт {А'^), где
/Cm—поле частных кольца Rm. Но это противоречит теореме 3
и, следовательно, элемент /' является целым над кольцом Z[/].
Рассмотрим кольцо Z[l//, 1//']. Мы утверждаем, что идеал,
порожденный элементами р, 1//, 1//', не является единичным
идеалом. Пусть о — локальное кольцо в Q (/) гомоморфизма кольца
Z[l//], переводящего р и 1// в 0. Каждая «точка» поля Q (/)
над этим гомоморфизмом должна переводить 1//' в 0. Предполо-
Предположим, что это не так, и пусть 1//' переходит в конечный элемент
сфО. Тогда /' переходит в 1/с, а / переходит в бесконечность,
что, как мы уже видели, невозможно. Аналогичным образом,
элемент 1//' не может переходить в бесконечность. Этим утверж-
утверждение доказано.
Пусть R—целое замыкание кольца Z[l//, 1//'] в поле К и
пусть m—максимальный идеал кольца R, содержащий р, 1// и
1//'. Рассуждая теперь, как в первой части доказательства
с кольцом Rnu мы сведем задачу к локальному случаю. Приме-
Применяя затем теорему 2, получаем утверждение теоремы.
Теорема 8. Пусть К—конечно порожденное поле над алгеб-
алгебраически замкнутым полем k характеристики 0. Пусть Л, А'—

216 ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗОГЕНИИ [ГЛ. 16
эллиптические кривые, определенные над полем К, с трансцен-
трансцендентными над k инвариантами j и ]'. Предположим, что про-
пространства Vp(A) и Vp{A') являются Ок-изоморфными. Тогда
эллиптические кривые А и А' изогенны.
Доказательство. Как и в теореме 7, инвариантны / и /'
должны быть алгебраически зависимыми над полем k, и можно
считать, что поле К конечно над полем &(/,/'). Без1 уменьше-
уменьшения общности можно считать, что кривая А определена уравне-
уравнением Вейерштрасса у2 = 4х3—gx—g и что кривая А' определена
уравнением у2 = 4х3—g'x—g-'. Этого можно добиться переходом,
в случае необходимости, к конечному расширению поля К- Тогда
k(j) = k(g) и k(j') = k(gf). Существует такое поле функций Ко
с полем констант k01 что k0 содержится в поле k и конечно
порождено над Q, Ко является конечным расширением поля
&о (/>/')> и поле К получается из поля /Со расширением поля
констант от k0 до k. Картина здесь такова:
к
Единственными новыми константами, которые вносятся над Q
точками А(р\ являются корни из единицы (гл. 6, § 3). Пусть
&!—поле констант поля /С0(Л(^), т. е. алгебраическое замыкание
поля k0 в К0(А(р)). Пусть, далее, K1 = k1K0—соответствующее
расширение этого поля констант. Тогда мы должны иметь
В самом деле, если расширить поле констант до k, то поля
Кг(А^) И Кг(А'^)
становятся равными. Чтобы доказать это, положим
Если Е—собственное подполе поля /(^(Л^), то найдется отлич-
отличный от 1 элемент группы Галуа поля Кг (А{р]) над Е, который
можно продолжить до элемента группы Галуа поля IA(A{p\ A'W)
над Кг (A'W), действующего тривиально на А' (р\ Но это противо-
противоречит предположению о том, что представления Галуа над К
в пространствах Vp(A) и Vp(A') изоморфны.
Из сказанного следует, что
KQ() K0()
Пусть G — группа Галуа расширения К0{А{р]) над /Со. Мы имеем
два представления
р: G-^AutT^^), p': G

§5] ГЛОБАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗОГЕНИИ 217
на открытые подгруппы этих групп автоморфизмов, каждая из
которых изоморфна группе GL2 (Zp) при некотором выборе базиса
над Zp. Пусть S—группа Галуа поля Кг (А{р)) над Kt- Тогда
образом группы S, как при отображении р, так и при отобра-
отображении р\ является открытая подгруппа специальной линейной под-
подгруппы групп Aut Тр (А) и Aut Тр (Аг) соответственно, т. е. этот об-
образ открыт в SL2(ZP) при указанных представлениях. Центр группы
S отображается на открытые подгруппы диагональных групп,
образованных единицами в кольце Zp. Если W—открытая под-
подгруппа центра группы G, не содержащая —1, то W Л 5=1 и,
следовательно, подгруппа SxW открыта в G.
Представление группы W в пространствах Vp (А) и Vp (Ar)
приводит к характерам ty, i|/ группы W в группу /?-адических
единиц таким, что если e?W, то матрица представления эле-
элемента а в Тр (А) является диагональной матрицей
/яр(о) 0 \ ^
Аналогично для а'. Действие элемента а на корень ? степени рг
из единицы, как было показано, задается правилом
cr(S) = Sdetp(o).
Отсюда следует, что \|з (а2) =г|/ (а2) для всех а ? W. Так как индекс
(W:W2) конечен, то, переходя в случае необходимости к откры-
открытой подгруппе группы W, можно считать без уменьшения общ-
общности, что \|з = г|/ на W.
По предположению имеется Q^-изоморфизм
ft: vp(A)-*Vp(A'),
который является также S-изоморфизмом. Так как группа W
действует в Vp (А) и Vp (Ar) как группа умножения на р-адиче-
ские числа, то отображение h является также lF-изоморфизмом.
Другими словами, отображение h есть G-изоморфизм для группы
G = SxW. Неподвижным полем группы G является конечное
расширение поля К0У конечно порожденное над полем рациональ-
рациональных чисел. Таким образом, мы свели условия теоремы 8 к усло-
условиям предыдущей теоремы, и тогда теорема 8 следует из теоремы 7.
Приведенные в конце доказательства рассуждения дают также
следующий результат.
Теорема 9. Пусть А, А'—эллиптические кривые, опреде-
определенные над полем К. Предположим, что представления
р: GK-+AutVp(A), p': GK~^AutVp(A')
отображают группу GK на открытые подгруппы групп Aut Vp (A)
и Aut Vp (А') соответственно. Пусть, далее, Ь = К(\л{р))—поле,
полученное присоединением к полю К всех корней из единицы
степеней рг. Если ограничения представлений р и р' до группы

218 ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗОГЕНИИ [ГЛ. 16
GL изоморфны, то р и р' изоморфны на открытой подгруппе
группы GK.
Результат Серра устанавливает, что предположения теоремы 9
выполняются в случае числовых полей для эллиптических кри-
кривых без комплексного умножения.
В теоремах 7 и 8 кривые изогенны в действительности над
данным полем /С. Это следует из следующего результата Серра.
Теорема 10. Пусть А, А'—эллиптические кривые, опре-
определенные над полем К характеристики 0. Предположим, что
пространства Vp (А) и V^ (Ar) являются Gк-изоморфными и что
образы группы Gal(Kjf() в End % (Vp(A)) и в End ъ (Vp(A'))
Vp(A)) и в End ъ (Vp
SL (Z) Е X А
ъ p
содержат открытую подгруппу группы SL2 (Zp). Если X: А —-»• А'—
изогения кривых А и А1', то К определена над полем К.
Доказательство. Изогения X должна быть определена
над конечным расширением поля К (иначе К имели бы беско-
бесконечно много различных сопряженных, соответствующих различ-
различным образам наименьшего поля определения при изоморфизмах
в достаточно большое алгебраически замкнутое поле). Пусть она
определена над расширением Галуа L поля К с группой G=
= Gal (L/K) и пусть GL и GK—группы Галуа поля Ка над L и К
соответственно. Достаточно тогда доказать, что k° = k для всех
о ? G, а так как
№ {а°) = К {а)°
для каждой точки кривой Л, рациональной над алгебраическим
замыканием поля /С, то достаточно доказать, что гомоморфизм
Vp(K): Vp(A)^Vp(A')
коммутирует со всеми элементами o?G. Как отмечено в § 1,
гомоморфизм Vp (k) лежит в группе Нота (V, V) (где V = Vp(A)
и V = Vp(A')), и тогда достаточно доказать, что
HomGl(F, V')=HomGK(V, V).
Но пространства V и V G^-изоморфны, и в таком случае доста-
достаточно показать, что
Из предположения, что образ группы GK (а следовательно, группы
Gj) в End(V) содержит открытую подгруппу группы SL2(Zp),
следует, что единственными G^-эндоморфизмами пространства V
являются скалярные кратные тождественного отображения, т. е.
эндоморфизмы вида ос -1, где а ? 0^. Таковыми же являются и
0л-эндоморфизмы. Теорема доказана.
В общем случае из функциональной теории известно, что образ
группы Галуа GK (когда поле К конечно порождено над Q)
в кольце End (V) содержит открытую подгруппу группы SL2(Zp).
В следующей главе это будет доказано над числовыми полями

§ 1] ТЕОРЕМА ШАФАРЕВИЧА 219
для кривых с инвариантом, не являющимся р-целым, так что
сделанное замечание применимо и к указанному случаю. Как
упомянуто ранее, доказательство для случая, когда инвариант /
является целым над Z (и кривая А не имеет комплексного умно-
умножения), много сложнее и не приводится в этой книге.
Глава 17
точки конечного порядка над числовыми полями
Мы уже знаем из § 1, гл. 2, что группа Галуа поля, полу-
полученного присоединением к данному полю К всех координат точек
конечного порядка на эллиптической кривой Л, определенной
над /С, представляется как замкнутая подгруппа произведения
взятого по всем простым числам I. В этой главе мы воспроиз-
воспроизведем фундаментальную работу Серра, показывающую, что над
числовым полем указанная группа Галуа открыта в этом произ-
произведении, если эллиптическая кривая имеет нецелый инвариант
в некотором простом р. Серр доказал также общую теорему,
когда кривая не имеет комплексного умножения, но его доказа-
доказательство требует привлечения более сложной техники. Специаль-
Специальный случай, который приводится здесь, достаточно важен и
тесно связан с предыдущими главами. Кроме того, доказатель-
доказательство этого случая довольно короткое, что делает возможным
привести его в данной книге.
§ 1. Теорема Шафаревича
Пусть К—числовое поле, ок—кольцо целых алгебраических
чисел поля К и S—конечное множество простых идеалов поля /С.
Обозначим os кольцо S-целых элементов, т. е. элементов поля /С,
являющихся целыми для всех р (? S. Далее, обозначим Os группу
единиц кольца os.
Пусть А—эллиптическая кривая, определенная над полем К.
Мы скажем, что кривая А имеет хорошую редукцию в простом
идегле р поля К (или в идеале дискретного нормирования v
поля К) у если кривая А изоморфна над К эллиптической кри-
кривой, определенной уравнением, имеющим невырожденную редук-
редукцию в локальном кольце ор (соответственно ог). Если идеал р
не делит числа 2 или 3, то это уравнение может быть выбрано,
как уравнение Вейерштрасса, дискриминант которого есть еди-
единица в локальном кольце.
Теорема 1 (И. Р. Шафаревич). Существует лишь конеч-
конечное число классов К-изоморфных эллиптических кривых над полем КУ

220 ТОЧКИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА НАД ЧИСЛОВЫМИ ПОЛЯМИ [ГЛ. 17
имеющих хорошую редукцию во всех простых идеалах поля /С,
лежащих вне множества S.
Доказательство. И. Р. Шафаревич вывел свою теорему
из теоремы Зигеля о целых точках на кривой рода 1. Подробное
доказательство, которое дается здесь, принадлежит Тейту и при-
приведено в книге Серра [КН]*).
Предположим, что кривая А определена уравнением
где g2, gs^Ky и имеет хорошую редукцию вне S. Без уменьше-
уменьшения общности можно считать, что множество S содержит все
простые идеалы, делящие числа 2 и 3. Для каждого нормиро-
нормирования v^S существует эллиптическая кривая, изоморфная кри-
кривой А над полем К и определенная уравнением
у* = 4х*—gMx—g8l*,
гДе ё*2,г/> ёз,у принадлежат локальному кольцу оу1 причем дискри-
дискриминант Д^ является единицей этого кольца. Тогда существует
такой элемент cv?K, что
Можно также расширить множество S таким образом, чтобы
кольцо os было кольцом главных идеалов. Далее, для почти
всех v^S можно взять cv=l. Запишем
где uv—единица в кольце ov, и положим
V
Положим затем
(У /-|~" 4 /-Y /у' /1 — 6 fy
&2—С g%, gs~C §ЗУ
так что А' = с~12 А. Отсюда следует, что кривая Л', определен-
определенная уравнением
у2 = 4х3—g'2x—g8,
/С-изоморфна кривой А и имеет невырожденную редукцию всюду
вне S. Можно, далее, заменить кривую А' на кривую А\ полу-
полученную умножением коэффициентов g!2 и gz на б4 и б6 соответст-
соответственно, где Ь 6 0s, так что А' «~->Ь12А' = А". Тогда кривая Л будет
/(-изоморфна эллиптической кривой А" с коэффициентами из
кольца о5 и дискриминантом из fls/fls12. Таким образом, можно
считать, что А" находится среди конечного множества представи-
представителей F этой фактор-группы S-единиц.
*) Имеется русский перевод: Серр Ж. П. Абелевы /-адические пред-
представления и эллиптически^ кривые.— М.: Мир, 1973.— Прим. персе.

§ 1] ТЕОРЕМА ШАФАРЕВИЧА 221
По теореме Зигеля (обобщенной Малером и Ленгом, см. L a ng S.
Diophantine Geometry, Intersc. Tracts, № 11, New York, 1962)
уравнение U3—27V2 = r для данного r?F имеет лишь конеч-
конечное число решений в os. Этим теорема И. Р. Шафаревича дока-
доказана.
Замечание. Теорема И. Р. Шафаревича может быть обоб-
обобщена следующим образом. Пусть R— конечно порожденное кольцо
над Z, целозамкнутое и без делителей нуля. Минимальный простой
идеал кольца R называется простым дивизором. Он порождает
дискретное нормирование поля частных К- Можно, как обычно,
ввести группу классов дивизоров, которая является конечно
порожденной. С помощью локализации, рассматривая, например,
кольцо /?[1/х] для некоторого х g R, можно уничтожить конечное
число порождающих элементов этой группы и получить в резуль-
результате факториальное кольцо. Назовем X = Spec(i?) абсолютной
аффинной моделью поля /С. Обобщение теоремы 1 приводит к сле-
следующему утверждению.
Пусть S—конечное множество простых дивизоров абсолютной
аффинной модели поля /С, конечно порожденного над Q. Тогда
множество классов изоморфных эллиптических кривых над полем К',
имеющих хорошую редукцию во всех простых дивизорах этой
модели, лежащих вне S, конечно.
Доказательство этого утверждения аналогично доказа-
доказательству теоремы 1, так как нам нужна лишь однозначность раз-
разложения на простые идеалы в R, конечная порожденность группы
единиц, а также конечность числа точек в R кривой U3 — 27V2=r,
следующая из обобщения Малера—Ленга теоремы Зигеля.
Важность теоремы 1 для дальнейшего состоит в том, что
можно соединить ее с известным результатом:
Если А—эллиптическая кривая над полем К с невырожденной
редукцией в кольце дискретного нормирования о поля К и если
В—эллиптическая кривая над К, изогенная кривой А над /С, то
кривая В имеет хорошую редукцию в о.
Эта теорема была доказана в работах Койцуми — Шимуры [27]
и Серра—Тейта [37] для абелевых многообразий. Автору не-
неизвестно прямое (возможно, связанное с вычислениями) доказа-
доказательство этого утверждения для эллиптических кривых, хотя
возможность такого доказательства весьма правдоподобна. Напри-
Например, очевидно, что кривая В имеет хорошую редукцию в кольце
нормирования в конечном расширении, в качестве которого можно
взять расширение степени 4 или 6.
Дадим теперь другое доказательство теоремы И. Р. Шафаревича,
для чего нам потребуются следующие леммы.
Лемма 1. Пусть К—числовое поле, S—конечное множество
простых идеалов в К и пусть d — положительное целое число.
Тогда имеется лишь конечное число расширений поля К степени
не выше d, неразветвленных вне S.

222 ТОЧКИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА НАД ЧИСЛОВЫМИ ПОЛЯМИ [ГЛ. 17
Доказательство. Возьмем достаточно большое множество
простых чисел, содержащее все простые, делящиеся на простые
идеалы из S, и все простые, разветвленные в поле /С. Тогда
каждое расширение поля /С, удовлетворяющее условиям леммы,
приводит к расширению поля рациональных чисел, удовлетво-
удовлетворяющему аналогичным условиям. В таком случае можно считать,
что /С = Q- Следовательно, достаточно доказать, что имеется лишь
конечное число расширений Галуа поля Q ограниченной степени,
неразветвленных вне конечного множества простых чисел S. Для
каждого простого числа р ? S обозначим Ер наименьшее расши-
расширение Галуа поля Qp, содержащее все расширения поля Q^ сте-
степени ^d (таких расширений имеется лишь конечное число; см.,
например, [К7]). Пусть Е—расширение Галуа поля Q, пополне-
пополнения которого по всем простым идеалам, делящим простые числа
из S, содержит поле Ер. Если F—расширение Галуа Q степени
^d, неразветвленное вне S, то пополнение F$ для каждого
простого идеала р, делящего p?S, имеет степень ^d над Q^,
и содержится, следовательно, в поле Ер. Отсюда следует, что
поле FE не разветвлено над Е (фактически полностью распадается)
в каждом простом идеале, лежащем над простым числом р из S.
Если предположить, что поле F не разветвлено над Q вне S, то
поле FE над Е будет не разветвлено всюду. Дифферента поля Е
над Q фиксирована и равна дифференте поля FE над Q (см. [К7]).
Ее норма из поля FE в поле Q является дискриминантом поля FE
над Q и, значит, ограничена. Но классическая элементарная тео-
теорема Минковского утверждает, что имеется лишь конечное число
расширений поля Q ограниченной степени и с ограниченным
дискриминантом ([К7]). Этим лемма 1 доказана.
Лемма 2. Пусть К—числовое поле и /0 ? К- Пусть S —
конечное множество простых идеалов поля К. Тогда существует
лишь конечное число классов К-изоморфных эллиптических кри-
кривых над К с инвариантом /0, имеющих хорошую редукцию вне S.
Доказательство. Пусть Л, В — изоморфные кривые. Имеет
место изоморфизм
определенный над расширением поля К степени < 6. Мы утверж-
утверждаем, что изоморфизм а определен над расширением, которое не
разветвлено вне S. Чтобы доказать это, заменим поле К его
пополнением К$ для JXjEjS. Пусть о^ос, .. ., опа—различные сопря-
сопряженные изоморфизма а над Кх>, где alf ..., оп—автоморфизмы
алгебраического замыкания поля К$ над К$. Тогда изоморфизмы
различны и равны axa, ..., опа соответственно, где av—автомор-
av—автоморфизм на расширении поля классов вычетов, определенный по

§ 1] ТЕОРЕМА ШАФАРЕВИЧА 223
автоморфизму crv. Следовательно, вложения сг1т ..., оп различны.
Отсюда следует, что наименьшее поле определения для а, содер-
содержащее поле К$, не разветвлено над К$.
По лемме 1 заключаем, что имеется такое конечное расшире-
расширение Е поля К (которое можно считать расширением Галуа), что
любые две эллиптические кривые Л, В над К с хорошей редук-
редукцией вне 5 и с одним и тем же инвариантом /0 становятся изо-
изоморфными над Е. Если а: А-^В—изоморфизм над Е, то сопо-
сопоставление
-1 о аа, а б Gal (E/K),
является функцией на Gal (E/K) со значениями в Aut(A), и мно-
множество таких функций конечно. Если зафиксировать кривую А
и рассмотреть эллиптические кривые Вг, В2, имеющие одну и ту
же функцию указанного выше вида, скажем, при изоморфизмах
а: А —> Вг и Р: А —>¦ В2,
то кривые В19 В2 будут изоморфны над /С. В самом деле, пусть
Х^Ра. Из равенства а о о^^Р о ра следует, что Ха = ^,
и тогда X является изоморфизмом, определенным над полем /С.
Это доказывает лемму 2.
Для вывода теоремы И. Р. Шафаревича из этих лемм возьмем
такое целое N, чтобы род поля модулярных функций FN был
не ниже 1. Обозначим RN целое замыкание кольца Z [/] в поле FN.
Расширим множество 5 таким образом, чтобы оно содержало все
простые делители числа N. Пусть А—эллиптическая кривая, опре-
определенная над К и имеющая хорошую редукцию вне 5. Тогда рас-
расширение К (AN) поля К не разветвлено вне 5, и его степень
ограничена числом Л/'4. Следовательно, имеется такое конечное
расширение Е поля К (которое можно считать расширением Галуа),
что для всех эллиптических кривых А над К с инвариантом
/о ? 0л> 5 и с хорошей редукцией вне 5 имеет место включение
K(AN)c:E.
Пусть оЕi5—целое замыкание кольца ок% s в поле Е. Тогда каж-
каждая специализация / —> /0 в oKi s может быть расширена до точки
из Spec (RN) в кольце оЕ, s. Из теоремы Зигеля—Малера—Ленга
следует, что /0 может принимать в оКч s лишь конечное число
значений, и тогда теорема И. Р. Шафаревича получается при-
применением леммы 2.
Преимущество данного доказательства над предыдущим состоит
в том, что оно лучше проявляет связь этой теоремы со схемой
модулей, которая в данном случае совпадает со Spec (RN). Ана-
Аналогичное доказательство можно было бы дать для абелевых много-
многообразий более высокой размерности, если была бы известна конеч-
конечность числа целых точек на соответствующих схемах модулей.

224 ТОЧКИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА НАД ЧИСЛОВЫМИ ПОЛЯМИ [ГЛ. 17
§ 2. Теорема о неприводимости
Теорема 2. Пусть А—эллиптическая кривая без комплекс-
комплексного умножения, определенная над числовым полем К, и пусть
G = Ga\(Ka/K). Тогда:
1) для почти всех простых р пространство Ар является
G-неприводимым,
2) для всех простых р пространство Vp (А) является G-непри-
водимым.
Доказательство. Предположим, что пространство Ар не
является неприводимым для бесконечного числа простых р, и пусть
Wр—его неприводимое над полем Fp подпространство, необходимо
размерности 1. Тогда Wp является циклической группой порядка/?,
а фактор A/Wp есть эллиптическая кривая, которая может быть
определена над полем К и которая изогенна кривой А над
полем /С. Если W, W—циклические подгруппы группы А раз-
различных простых порядков, то кривые A/W и AjW не могут
быть изоморфными, иначе, как видно из диаграммы
где XX'=v(X), мы получим нетривиальный эндоморфизм кривой А
вида V о ж о а. Но это противоречит предположению о том, что
кривая А не имеет комплексного умножения. Теорема 1 (теорема
И. Р. Шафаревича) и замечание к ней показывают теперь, что
число групп Wp конечно. Другими словами, имеется лишь конеч-
конечное число простых чисел /?, для которых пространство Ар при-
приводимо.
Доказательство утверждения 2) вполне аналогично доказатель-
доказательству утверждения 1). Предположим, что пространство Vp (A)
приводимо. Тогда в нем имеется G-неприводимое 1-мерное под-
подпространство над полем Q^. Умножая порождающий элемент этого
подпространства на подходящее р-адическое целое число, получим
1-мерное Z^-подпространство Z пространства Тр(А). Пусть Zn —
проекция Z в группу Арп. Тогда порядок группы Zn стремится
к бесконечности вместе с я, и каждая группа Zn является цикли-
циклической группой, инвариантной относительно группы G. Рассмотрим
фактор-кривую A/Zn = Bn, определенную над полем К и имеющую
хорошую редукцию. Кривые Вп не могут быть изоморфны между
собой, так как если бы имел место изоморфизм Втж Вп, скажем,

§ 3] ГОРИЗОНТАЛЬНАЯ ГРУППА ГАЛУА 225
при ZmaZn, то получили бы последовательность изогений
л _ « л _ сап . _
AlZn -+ A/Zm — Л/Z^,
композиция которых имеет циклическое ядро и, стало быть, яв-
является комплексным умножением. Но это противоречит предпо-
предположению о кривой Л, и утверждение 2) следует снова из тео-
теоремы И. Р. Шафаревича.
§ 3. Горизонтальная группа Галуа
Пусть А—эллиптическая кривая, определенная над числовым
полем К- Для каждого простого числа / обозначим Аи) группу
точек на кривой А в фиксированном алгебраическом замыкании,
порядки которых являются степенями числа / (когда мы рас-
рассматриваем кривую А с инвариантом jAi не являющимся р-целым
для некоторого простого идеала р поля К> удобно в качестве
этого замыкания брать алгебраическое замыкание пополнения /С»).
Пусть Aiot—группа точек кручения кривой А и К (Ai0T)—поле,
порожденное над К всеми координатами этих точек кручения
кривой А. Пусть G = Gal (К {Aiot)lK)—группа Галуа точек круче-
кручения кривой А. При представлении в произведении
взятом по всем простым числам /, мы получаем вложение
р: G - П GL, (lt)
группы G в виде замкнутой подгруппы произведения линейных
групп GLi (%t). В каждом / получаем аналогичное вложение
где Gt^Gal (К (Аш)/К). Часто будем отождествлять G и Gt с их
образами при этом представлении.
Серр доказал следующий результат.
Теорема 3, Пусть А —эллиптическая кривая без комплекс-
комплексного умножения над числовым полем К. Тогда группа Галуа
К (Лtor) на>д К открыта в произведении
U.GL, (Zi).
взятом по всем простым числам L
Докажем теорему Серра только для кривых Л, инвариант
которых / = /л не является целым в некотором простом идеале #
поля К. Доказательство общего случая требует использования
других технических средств.
Шаг 1. Группа Галуа поля К (At) над К есть GL2
для почти всех I.

226 ТОЧКИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА НАД ЧИСЛОВЫМИ ПОЛЯМИ [ГЛ. 17
Заметим, что локальное расширение К$ (At) имеет локальную
группу, которая действует на Аг и, как мы знаем, изоморфна
при параметризации Тейта группе DylDq (см. гл. 15, § 2). Здесь
Dq—циклическая группа, порожденная элементом q\ q = neu
имеет порядок е>0 в идеале р и q выражается в виде этого
произведения с некоторой единицей и в поле К\>. Для всех I, не
делящих число е, поле
обладает автоморфизмом о над К*>, который оставляет неподвиж-
неподвижным корень из единицы ?j и для которого aq1/l =^9г//- Тогда
в подходящем базисе кривой А матрица автоморфизма а имеет вид
(J0-
С другой стороны, Аь является векторным пространством раз-
размерности 2 над полем Ft, и по теореме 2 оно неприводимо для
почти всех L Так как автоморфизм о оставляет 1-мерное подпро-
подпространство пространства Аг (соответствующее корню из единицы ?j,
неподвижным, то существует элемент т? Gal (К (А^/К), который
переводит это подпространство в другое подпространство. Это
другое подпространство неподвижно относительно автоморфизма
сг' = тсп;. Если за базис взять собственные векторы автомор-
автоморфизмов а и а' соответственно, то матрицы для оно* будут
иметь вид
/1 Ь\ /1
где Ь, с^/=0. Эти матрицы порождают группу SL2(Z//Z), и тем
самым мы показали, что группа
Gal
содержит группу 5L2(Z//Z).
Мы знаем также, что корни из единицы лежат в поле К (А?).
Получаем подгруппу (Z/Ж)* как фактор-группу группы Галуа.
Отсюда следует, что группа Gal (К (Ал)/К) должна совпадать
с группой
GL2(Z//Z).
Шаг 2. Для почти всех I группа Галуа поля К (Аш) над К
содержит открытую подгруппу группы GL2CZt).
Доказательство. Сначала рассмотрим вопрос локально
нал полем К\>* Если г стремится к бесконечности, то элемент qi/ir
порождает расширение произвольно высокой степени над полем,
порожденным над К$ всеми корнями степени lv (при 1*=р это
следует, например, из результата леммы 1 § 2, гл. 16 о нерас-

$3J ГОРИЗОНТАЛЬНАЯ ГРУППА ГАЛУА 227
щепляемости точной последовательности
при 1Фр расширение, полученное присоединением корней 1г-й
степени из единицы, не разветвлено, и в этом случае утвержде-
утверждение очевидно).
Следовательно, имеется автоморфизм а алгебраического замы-
замыкания поля К$, оставляющий поле К$ и все корни из единицы
степени 1Г неподвижными и имеющий матрицу вида
GO.
где а—отличный от нуля элемент кольца Ъг. По теореме 2 B)
о неприводимости существует такой элемент т gGal (К (Аш)/К),
который переставляет 1-мерное подпространство пространства Vpt
инвариантное относительно а, а элемент тат" оставляет ин-
инвариантным другое подпространство. Значит, в соответствующем
базисе существуют автоморфизмы из глобальной группы Галуа
Gal (К (Аш)/К), которые представимы матрицами
/1 а\ /1
(о i) и U
b
В таком случае замыкание подгруппы, порожденной этими мат-
матрицами, содержит аналитические подгруппы
о 1 ) и
а также их произведение. Поэтому это замыкание является 3-мер-
3-мерной аналитической подгруппой группы SL2(Zt) и, значит, оно
открыто в SL2(Zt) (см. Серр Ж. П, Алгебры Ли и группы
Ли.— М.: Мир, 1969).
Чтобы получить открытую подгруппу группы GL~2(Zt), рас-
рассмотрим точную последовательность
О — SL-2 (It) — GL§ (li) — Z? — О
и заметим, что так как группа Галуа поля всех корней из еди-
единицы степеней V (для всех г) над полем рациональных чисел
изоморфна группе Z/ , то трансляция этого поля к числовому
полю имеет группу Галуа, открытую в группе Z*. Отсюда сразу
же следует, что группа Gal (К(АШ)/К) открыта в GL2(Z^).
Шаг 3. Для данного положительного целого числа N обозна-
обозначим AKN) группу точек, порядки которых являются степенями
простых чисел, делящих N. Тогда группа Галуа поля К (AiN))
над К содержит открытую подгруппу группы

228 ТОЧКИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА НАД ЧИСЛОВЫМИ ПОЛЯМИ [ГЛ. 17
Доказательство. Снова рассмотрим вначале 57„2-часть.
Для каждого l\N соответствующим образом выбранная малая
открытая подгруппа Wt группы SL2(Xt) является про-/-группой
(элементы которой сравнимы с 1 (mod /)). Поле К (A{N)) является
композитом полей К (Аш) для l\N, и переход к конечному рас-
расширению Е поля К (соответствующему открытой подгруппе группы
Галуа) дает поле Е{АШ))У которое является композитом полей
Е(АЦ)) для l\N. Взяв поле Е достаточно большим, мы видим,
что поле Е (Аш) является объединением конечных расширений
Галуа поля Е степеней /г. Следовательно, для различных / эти
расширения линейно разделены. Утверждение доказано.
Используя снова корни из единицы, получаем утверждение
для GL2-4acTH.
§ 4. Вертикальная группа Галуа
Докажем теперь, что для почти всех I вся группа SL2 (Zt)
содержится в группе Галуа. Доказательство опирается на сле-
следующую лемму.
Лемма. Пусть Н—замкнутая подгруппа группы GL2(Zt)t
проекция которой по mod / содержит группу SL2 (Z/IZ) • Тогда,
если /^5, то Н содержит группу SL2 (Zf).
Доказательство. Пусть s?SL2(Zt). Мы должны пока-
показать, что s?#. Существует такой элемент хг?Н, что
хг = s(mod /),
так что
xf'ssa I (mod /).
Без уменьшения общности можно считать тогда, что s ээ 1 (mod /),
и представить s в виде
где
Тогда
dets= l +1 {a + d) {mod P)
и, следовательно, a+d = tr (u) = 0 (mod /).
Далее, матрицу и можно записать в виде суммы
где u^M^di) и и} = 0, tr(az.) = O для всех L Например,
/а Ь\/0 Ь\ /0 0\ (а 0

§4] ВЕРТИКАЛЬНАЯ ГРУППА ГАЛУА 229
и последняя матрица может быть записана в виде скалярного
кратного матрицы
1 °\ = ( 1 1 \ _, /0 —1\ /0 (Г
0 -\) [-1 -\)-т-[о о) + [\ 0,
Тогда
(l+luj.. .(l+/^)^s(mod/2).
Пусть si=l + lui. Тогда det s{= 1 +/ tr (ut) + /2 det (щ) = 1 и s
является произведением матриц sh так что задача сводится
к изучению каждой матрицы s,-.
Предположим, следовательно, что s=l+/w, где ^2 = 0 и
tv(u) = O. Надо показать, что существует такой элемент #2?Я,
что
x2 = s(mod/2).
По условию существует элемент у ? Я такой, что у=\-\-и (mod /),
так что
Тогда подгруппа Я содержит элемент //*, и
Биномиальные коэффициенты ( ) содержат множитель /, 2^
^v^/—1, а каждый член (u-\-lv)v содержит или и2 = 0 или /,
так что каждый член в сумме содержит множитель /2. Послед-
Последний член при 1^Ъ содержит множители (u + lvK и (u + lvJ =
= 0 -|— / (uv-\-vu)-\~l2v2, так что он содержит множитель
Это доказывает, что Я содержит //' = s (mod/2).
Воспользуемся теперь индукцией по л, записав s=\+lnu и
взяв
Индуктивный процесс дает нам желаемое включение, и этим лемма
доказана.
Объединим теперь доказанную лемму с результатом предыду-
предыдущего параграфа:
Шаг 4. Пусть А — эллиптическая кривая, определенная над
полем /С и имеющая нецелый инвариант в некотором простом
идеале ?. Обозначим Аи) группу точек на кривой Л, порядки
которых являются степенями простого числа /. Тогда группа
Gal (К(АШ)/К) содержит SL2(Z2) для почти всех I.
Пусть G = Gal (К (Aior)/K). Тогда имеем замкнутое вложение
группы G в произведение всех групп GL2(ZL). Для каждого /

230 ТОЧКИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА НАД ЧИСЛОВЫМИ ПОЛЯМИ [ГЛ. 17
задан гомоморфизм det: Gl2(Zl)—^Zl, который, будучи расширен
покомпонентно на произведение по всем /, индуцирует гомоморфизм
группы G на подгруппу Z группы JJZ/. Обозначим W ядро этого
гомоморфизма. Заметим, что подгруппа Z открыта в указанном
произведении, так как все корни из единицы лежат в поле
/С (Лtor)- Таким образом, получаем пару точных последователь-
последовательностей
О *~ W
I I I
Кроме того, из предыдущих результатов известно, что имеется
такое конечное множество F простых чисел /, что проекция
группы G на
П GL2 (Z,)
IZF
является открытой подгруппой этого произведения. Далее, про-
проекция группы G на /-й множитель содержит группу SL2 (ZL) для
почти всех /.
§ 5. Конец доказательства
Окончание доказательства зависит лишь от формальной тео-
теории групп. Положим снова
G = Gal(/tDt0r)//t).
Шаг 5. Группа G содержит
Г, = (..., 1, 1.SMZ,), 1, 1,...)
для почти всех р.
Доказательство. Группа X называется проконечной, если
она является проективным пределом конечных групп. Группы
Галуа бесконечных расширений Галуа являются группами такого
типа. Если X—проконечная и 5—конечная простая группа,
будем говорить, что 5 входит в X, если существуют такие под-
подгруппы ХгаХ2с:Х, что Хг нормальна в Х2 и Х2/Хг« S.
Используя элементарные теоремы об изоморфизме, мы видим,
что если X — замкнутая нормальная подгруппа проконечной
группы Y, то 5 входит в X или 5 входит в Y/X.
Пусть Sp = SL2(ZlpZ)l±\, где р—простое число. Хорошо
известно, что группа 5^ является простой при р^5.
Воспользуемся точной последовательностью из предыдущего
параграфа. Известно, что Sp входит в G для почти всех р при
проектировании на р-сомножители. Требуется показать, что группа

§5] КОНЕЦ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА 231
G содержит сомножитель
Гя=(..., 1, 1.SMZ,), 1, 1, •••)
для почти всех р. Покажем сначала, что Sp входит в группу
G n Vp. Пусть
*/, = (..., 1, 1, GL2(Zp), I, 1, ...).
Тогда имеет место инъекция
Но Sp не входит в группы GL2(Zl) при 1фр, р > 5. Следова-
Следовательно, 5^ не входит в G/(G(]Up) и поэтому 5^ входит в G[\Up.
Тогда 5^ входит в группу G(]Tpi которая замкнута в Тр и ко-
которая проектируется в группу PSL2(Z/pZ) = SL2(Z/pZ)/±l. Обо-
Обозначим Нр образ группы G[\Tp при этой проекции. Мы утверж-
утверждаем, что Hp = PSL2(Z/pZ). Если это не так, то Нр будет собст-
собственной подгруппой, так что Sp будет входить в ядро проекции,
т. е. в группу
{u?SL2(Zp), u^limodp)},
что невозможно ввиду того, что эта группа разрешима, в то время
как Sp—простая группа.
Мы показали, следовательно, что группа Gf]Tp проектируется
на группу SL2 (Z/pZ). Учитывая предыдущие результаты, полу-
получаем по лемме § 4, что G (]Tp = SL2(Zp) для всех достаточно
больших р. Этим доказательство 5-го шага закончено.
Итак, группа G содержит конечные произведения
(..., 1, 1,5L2(ZJ, 5L2(ZJ, ...,SLz(Zim), 1, 1, ...)
для всех достаточно больших /,-. Так как группа G замкнута
в XlGL2(Zj), отсюда следует, что имеется такое конечное мно-
множество простых чисел 5, что группа G содержит произведение
USLt(Zt).
US
Шаг 6. Группа G содержит открытую подгруппу группы
USLt(Zt).
Доказательство. Пусть множество 5 определено, как и
выше. Обозначим Gs проекцию группы G в произведение
Tl
US
и обозначим Gs—ее проекцию в дополнительное произведение

232 ТОЧКИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА НАД ЧИСЛОВЫМИ ПОЛЯМИ [ГЛ. 17
Пусть
les
так что HsaGs и H'saG's. Имеют место канонические изомор-
изоморфизмы
Gs/Hs « G/(HsxH's) «
Шаг 5 показывает, что группа H's содержит Д SL2(Zt), так что
i$s
фактор-группа G'slH's абелева. Следовательно, группа Gs/Hs тоже
абелева и Hs содержит замыкание коммутанта группы Gs. Но
алгебра Ли группы SL2 совпадает с ее собственной производной
алгеброй Ли. Следовательно, замыкание коммутанта открытой
подгруппы группы SL2(Zl) содержит открытую подгруппу группы
SL2(Z^). Это означает, что Hs содержит открытую подгруппу W
группы
tes
Объединяя это с шагом 5, получаем шаг 6.
Заключительный шаг. Рассмотрим отображение
IT
IT
Так как поле К (Аог) содержит все корни из единицы, то это
отображение переводит группу G на открытую подгруппу группы
HZ*, необходимо имеющую конечный индекс. Из шага 6 сле-
i
дует, что ядро этого отображения содержит открытую подгруппу
группы IISL2 (Zj), которая также имеет конечный индекс. Из
коммутативности точной последовательности из § 4 вытекает,
что G имеет конечный индекс в JJ[GL2(Zl). Тогда группа G
должна быть открытой, так как G замкнута в этом произведе-
произведении. Теорема 3 доказана.

Часть четвертая
ТЭТА-ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ КРОНЕКЕРА
Эта последняя часть относится к мультипликативной теории
эллиптических функций и к ее связи с L-рядами. Главы 18 и 19
являются непосредственными продолжениями глав 1 и 4 и могли
бы быть изложены более просто, за очевидным исключением
арифметического приложения закона взаимности Шимуры к спе-
специальным значениям функции Зигеля. Сначала мы рассматриваем
аналитическое построение модулярных функций «мультиплика-
«мультипликативными» средствами и затем изучаем специальные значения в
точках из мнимого квадратичного поля.
Для понимания первой предельной формулы Кронекера тре-
требуется лишь знакомство с гл. 18, а для понимания второй пре-
предельной формулы Кронекера необходимо прочитать главу, посвя-
щенную основной тэта-функции. При изложении этих предельных
формул мы следуем книге Зигеля [К15]. Более полное изложение,
вскрывающее связь предельных формул Кронекера с L-рядами
и с вещественными квадратичными полями, дано в книге Мей-
ера [К8].
Глава 18
БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
§ 1. Сигма-функция и дзета-функция. Кососимметрическое
спаривание
Как в теории чисел, так и в анализе возникают разложения
в произведениях простых элементов. В анализе это означает, что
функция может быть разложена в бесконечное произведение,
соответствующее ее нулям и полюсам. При переходе к значениям
в специальных точках такое аналитическое представление прояв-
проявляет себя в специальных свойствах этих значений, для которых
появляется возможность определить законы разложения в число-
числовых полях.
В этой главе мы рассмотрим аналитические представления.
Наша первая задача состоит в том, чтобы дать универсаль-
универсальный способ для представления эллиптических функций в виде
отношения двух целых функций, близких к периодическим.
Определим тэта-функцию (на С) по отношению к решетке L
как целую функцию Э, удовлетворяющую условию
и) = 6 (г) e2ni №- ">+'<">], z б С, и ? L,

234 БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ [ГЛ. 18
где функция / является С-линейной по г и R-линейной по и,
а с (и) — некоторая функция, зависящая только от и. Займемся
построением тэта-функций.
Запишем сигма-функцию Вейерилтрасса, которая имеет нули
порядка 1 во всех точках решетки, в виде произведения Вейер-
штрасса
*(г) = г II (Ь
CQ6L' V
Здесь U — решетка L, из которой удален нуль, т. е. произведе-
произведение берется по всем ненулевым периодам. Заметим, что функ-
функция а зависит от решетки L. Поэтому будем также писать
or (г) = or (г, L). Далее, функция сг(г, L) является однородной функ-
функцией степени 1, а именно
or \kz, KL) = j
Формальное взятие логарифмической производной приводит
к дзета-функции Вейерилтрасса
?(z, L) = ? (z) =-57^- =j+ 2^ \JZ^ + "^ + 55 r
Ясно, что сумма в правой части сходится абсолютно и. равно-
равномерно для всех г из компактного множества, не содержащего
точек решетки. Следовательно, возвращаясь с помощью интегри-
интегрирования и взятия экспоненты к функции сг(г), мы видим, что
бесконечное произведение для or (г) сходится абсолютно и равно-
равномерно в той же области. Почленное дифференцирование функ-
функции ?(г) дает
coeZ/LV ; J
Из указанных выше представлений видно, что а и ? явля-
являются нечетными функциями, т.е.
а (-2) = -а (г) и ?(_г) = _?
Из представления функции ? (г, L) в виде ряда следует также,
что она является однородной функцией степени —1, т.е.
Производная функции ?(г + оо) — ? (г) при любом co?L равна
нулю, ввиду периодичности ^°(г), и, следовательно, существует
такая константа г| (со) (иногда записываемая как т]ю), что
Ясно, что т] (со) является Z-линейной функцией от со. Если L =
= [®1» ^г]» то ПОЛОЖИМ 1]^) = % И Л^^Лг-

§ 1] СИГМА-ФУНКЦИЯ И ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ 235
Как и функция ? (z, L), форма г| (со) удовлетворяет соотно-
соотношению однородности
т] (Хсо) = _ п (со),
которое следует из аналогичного соотношения для ?(z, L). Отме-
Отметим, что при строгих обозначениях должна присутствовать ре-
решетка L, так что полностью указанные выше соотношения запи-
записываются следующим образом:
^-ti(co, I).
Замечание. Заметим, что отображение
(z, 0^A, f(z), Г (г), *-?(z))
переводит С2 на 2-мерное групповое многообразие, которое про-
проектируется на эллиптическую кривую, параметризованную функ-
функциями &° и &0'. Отметим, что указанное отображение является
периодическим с периодами (со^, %) и (со2, т]2). Групповое много-
многообразие связано с интегралами второго рода на эллиптической
кривой и является групповым расширением эллиптической кри-
кривой посредством аддитивной группы.
Теорема 1. Функция а является тэта-функцией и
где
•ф (со) = 1, если со/2 ? L,
я|5 (со) == — 1, если со/2 ^ L.
Доказательство. Имеем
и тогда
Отсюда
а (г + со) = а (г)
и, следовательно, су (г) является тэта-функцией. Запишем
= ih (со)
и найдем функцию 'ф(со).
Пусть со/2 не является периодом. Положим г = —со/2. Тогда
из нечетности а (г) следует, что -ф (со) = —1. С другой стороны,

236 БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ [ГЛ. 18
рассмотрим выражение
а (г + со)
a(z) ~~
Используя дважды функциональное уравнение и сравнивая левую
и правую части, находим, что г|эBсо) = г|)(соJ. В частности, если
со/2 gL, то
Будем продолжать деление на 2 до тех пор, пока не получим
элемент решетки, отличный от удвоенного периода. Тогда гр (со) =
= (—1Jя=1, и этим теорема доказана.
Числа % и т]2 называются основными квазипериодами функции ?.
Соотношение Лежандра. Имеет место равенство
Доказательство. Рассмотрим интеграл по сторонам ос-
основного параллелограмма Р:
[ + <i> x + СО г
Р г=
Интеграл равен
? (г) йг = 2я/ 2 Res ? (г) - 2ш\
дР
так как ? (г) имеет вычет 1 в точке 0 и не имеет других полю-
полюсов в основном параллелограмме, содержащем 0. С другой сто-
стороны, интегрирование по противоположным сторонам с учетом
квазипериодичности дает
Соотношение Лежандра доказано.
Далее покажем, каким образом сигма-функция может быть
использована для факторизации эллиптических функций. Мы
знаем, что сумма нулей и полюсов эллиптической функции срав-
сравнима с нулем по модулю решетки L. Выбирая подходящим об-
образом эти нули и полюсы, можно сделать сумму равной нулю.
Для любого а ? С
о (z -f- a)

§ 1] СИГМА-ФУНКЦИЯ И ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ 237
причем член г\ (со) а входит в экспоненту линейным образом. От-
Отсюда следует, что если \а(\, {&;}, 1 <л^Аг,— такие семейства
комплексных чисел, что
то функция
будет периодической по отношению к решетке L и, следова-
следовательно, является эллиптической функцией. Обратно, каждая
эллиптическая функция может быть представлена в виде част-
частного двух выражений, каждое из которых есть произведение
сигма-функций. Рассмотрим частный случай, относящийся к
If-функции.
Теорема 2. Для каждого а?С, a(?L, имеет место ра-
равенство
Ь \z) Ь W— а2 (г) а2 (я) '
Доказательство. Функция ft°(z) — ft3 (а) имеет нули в точ-
точках а и —а и имеет двойной полюс в нуле. Следовательно,
при некоторой константе С. Умножим обе части этого равенства
на г2 и устремим г к нулю. Функции а2(г)/г2 и г2&° (г) стре-
стремятся к 1, и тогда С=—1/сх2(я). Этим теорема доказана.
Кососимметрическое спаривание
В качестве приложения сигма-функции дадим детальное опи-
описание кососимметрического спаривания между точками порядка N
на эллиптической кривой, о котором упоминалось в § 3, гл. 6.
Напомним, что дивизор (или 0-цикл) на эллиптической кри-
кривой (торе) А есть элемент свободной абелевой группы, порож-
порожденной точками, и, следовательно, может быть записан в виде
с целыми коэффициентами mt. В качестве ai берется точка в С,
представляющая точку на Aq = C/L. Скажем, что дивизор а имеет
степень 0, если ^т—О. Если а — дивизор функции, то запи-
запишем а ~ 0 и будем говорить, что а линейно эквивалентен нулю.
Обозначим
точку на торе, полученную суммированием точек а( в С (эта
сумма отличается от формальной суммы, задающей дивизор).

238 БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ [ГЛ. 18
Тогда представление функции в виде произведения сигма-мно-
сигма-множителей показывает, что а ~ 0 тогда и только тогда, когда
5(а) = 0.
Пусть g—такая ненулевая функция на кривой Л, что ни
одна из компонент (а/) дивизора а не является нулем или по-
полюсом g. Определим затем
Если /, g—ненулевые рациональные функции на кривой Л, то
имеем закон взаимности
при условии, конечно, что эти выражения определены, т. е.
дивизоры функций / и g не имеют общих точек. Этот факт спра-
справедлив для произвольных кривых (А. Вейль, 1940), и соответ-
соответствующим образом сформулированное обобщение имеет место для
произвольных многообразий (Ленг, 1958). В случае эллиптиче-
эллиптических кривых это соотношение очевидно, если воспользоваться
сигма-функцией. В самом деле, если (/) = 2т/(а/) и (§)=
==Sny(^/)» где аь bj — комплексные числаТ* соответствующие
точкам на торе и такие, что 2mia/ = 2nA" = 0, то
i
где с—некоторая константа. Следовательно,
» = ПогFу-а|.)т'1|/ =
поскольку а—нечетная функция и 2^ = 0.
Пусть теперь а, Ь—такие дивизоры, что Л/"а — 0 и ЛП)~О,
скажем, Na = (f) и Nb = (g). Предположим, что а и Ь не имеют
общих точек, и определим
<»¦ *>-ш-
Теорема. Символ <а, 6> зивисит только от классов линей-
линейной эквивалентности дивизоров а и Ь и индуцирует кососим-
метрическое невырожденное спаривание
где |%—группа корней степени N из единицы.
Доказательство. Если Ъ' ~ 6 и дивизоры а, V не имеют
общих точек, то из закона взаимности следует, что <а, 6> =
= <а, Ь'>. Таким образом, спаривание <а, 6> зависит лишь от
классов линейной эквивалентности дивизоров а и Ь соответст-
соответственно. В частности, если а, Ь—точки порядка N на кривой Л,

§ 1] СИГМА-ФУНКЦИЯ И ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ 239
можно положить а = (а) — @), Ъ = (Ь)—@) и определить
где а' ~а, Ъ' ~Ъ и а', 6' не имеют общих точек (такие диви-
дивизоры а', 6' всегда можно найти с помощью соответствующего
сдвига).
Из закона взаимности следует также, что спаривание <а, 6>
кососимметрично и его значениями являются корни степени из
единицы. Укажем для этих корней аналитическое выражение, из
которого автоматически будет следовать, что спаривание не
вырождено.
Символ <а, 6> зависит лишь от классов линейной эквивалент-
эквивалентности дивизоров а и Ь соответственно. Обозначим а, Ь комплекс-
комплексные числа, представляющие точки 5 (а) и 5F) соответственно,
так что числа
являются периодами. Чтобы вычислить <а, Ь>, можно взять
дивизоры а и Ь в виде а = (и + а) — (и) и b = (v + b) — (у), где
и, v—точки достаточно общего вида. Положив снова Na = (f)
и A/6=s(g"), мы видим, что / и g" представляются через сигма-
функции следующим образом:
Z — U)N-1 G (Z —И —
Если теперь сделать соответствующую подстановку и воспользо-
воспользоваться функциональным уравнением для сигма-функции, учиты-
учитывая к тому же, что функция а (г) нечетная, то для частного
f{u)lg{b) получим выражение
/(а)
Возьмем теперь со^со^ со'=со2и воспользуемся соотношением
Лежандра. Тогда для специальным образом выбранных дивизо-
дивизоров cti, a2 таких, что S(a1) представляется комплексным числом
(ot/N и 5 (а2) представляется комплексным числом со2/А/, мы
находим
Выражая, наконец, числа со и со' в виде линейных комбинаций
чисел ©!, со2 с целыми коэффициентами, получаем, что спарива-
спаривание <а, Ь> не вырождено. Этим теорема доказана.
Замечание. Символ <а, by может быть задан в терминах
теории Куммера (сравни книгу автора «Abelian varieties», где
дано общее утверждение для более высоких размерностей).

240 БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ [ГЛ. 18
Читатель может в качестве упражнения дать соответствующие
доказательства в терминах сигма-функции на эллиптических кри-
кривых. Шимура [К12] трактует спаривание непосредственно с
точки зрения Куммера.
§ 2. Нормализация и ^-произведение
для функции a(z)
Нормализуем решетку, положив Lt = [t, 1], и обозначим
а (г; т) соответствующую ей сигма-функцию. Умножим а (г) на
такую тривиальную тэта-функцию вида
чтобы результирующая функция
имела период 1 (позже рассмотрим поведение функции ф относи-
относительно сдвига на т). Эта задача решается тривиальным образом.
Достаточно рассмотреть ф(г+1)/ф(г) и воспользоваться функ-
функциональным уравнением для (У (г). Тогда указанное свойство
выполняется при
а =— y^O) и b = ni.
Таким образом, мы установили первую часть следующей теоремы.
Теорема 3. Пусть
ф(г;т, \) = ц)(г) = е ^ q*o(z;%),
где т] = т]A) ( = г]2 для решетки [т, 1J) и qz = e2niz. Тогда
Ф (z + 1) = ф (z) и ф (г +т) = — 1 ф (г).
Доказательство. Первое соотношение выполняется по
построению. Вторая часть теоремы следует из разложения
Действительно, используя соотношение Лежандра
получаем
Тем самым теорема доказана.
Сформулируем теорему 3 в однородной форме.
Теорема 3'. Пусть L = [co1, co2] и
, ч -^2«2B/С02J 4"
<p(z; ®i, юя) = « 2 922/Сй2^(^; ^).

§2] НОРМАЛИЗАЦИЯ И ^-ПРОИЗВЕДЕНИЕ -ДЛЯ ФУНКЦИИ о(z) 241
Тогда
; со±, со2) = ф(г; сох, со2)
v, ©!, соа) = — <p(z; с^, со2).
9/
Замечание. В соотношении между ф и с? функция с? имеет
степень однородности 1, а экспоненциальный множитель имеет
степень однородности 0 (таковую степень имеют выражения т]2со2
и г/со2). Отсюда следует, что ср (г) является однородной функцией
степени 1, т. е.
q)(kz; taOi, tao2) = tap (г; со^ со2).
Найдем разложение функций <т (г) и ф (г) в бесконечные произ-
произведения. Эти функции являются целыми и имеют нули порядка 1
в точках решетки [т, 1]. Положим qx = e27iix и qz = e2niz.
Теорема 4. Пусть функция ср(г) определена, как в теоре-
теореме 3. Тогда
Ф (г; т) = Bт)-1 (?,-1) П °~?У ^^
где г) = г)A) = т)а относительно решетки [т, 1].
Доказательство. Обозначим выражение в правой части
первой формулы через g(z) и покажем, что оно равно ср(г).
Ясно, что, как и ф, функция g(z) имеет период 1, т. е.
= ff (г).
Вычислим g(z + r). Заменяя в произведении г на г + т, получим
те же самые члены, кроме членов, содержащих q%qz, начиная
с /г = 2, и членов, содержащих qyqz, начиная с л = 0. Учитывая
все это, а также тот факт, что qz—1 в члене перед произведе-
произведением преобразуется в qzqx—1, находим, что g (г) удовлетворяет
тому же самому уравнению, что и <p(z), а именно
г(г).
Следовательно, функция ф/g" имеет своим периодом решетку
[т, 1]. С другой стороны, разложение в бесконечное произведе-
произведение функции g показывает, что функция g(z) имеет те же самые
нули порядка 1, что и функция а (а следовательно, и функ-
функция ф). В таком случае <p/g = const, и, устремляя z к нулю, мы
видим, что <p/g=l. Теорема доказана.
Дадим снова однородную формулировку теоремы 4.

242
БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
[ГЛ. 18
Теорема 4'. Пусть L = [со^ со2] и пусть функция ф (г; со1, со2)
определена, как в теореме 3\ Тогда
ч @2 / i\TT ^—"
; со,, оJ) =^-(9z/@2_l) П
Замечание. Подчеркнем, что во всех рассмотренных нами
^-разложениях множитель 2ш входит в степени, равной степени
однородности соответствующих функций, взятой со знаком минус.
Так, мы имеем BШ) в ^-разложении для а (г), BшJ в <7
ложении для $> (z) в гл. 4 и Bя/L в ^-разложении для g2.
§ 3. ^-разложения
При желании этот параграф может быть опущен. В нем
даются ^-разложения для gf т]2, jp, исходя из ^/-произведения
для функции о (г). Результаты этого параграфа в большей части
повторяют соответствующие результаты о ^-разложениях, полу-
полученные в гл. 4.
Взятие логарифмической производной от ^-произведения для
а (г) (что возможно в силу абсолютной его сходимости) дает
iqz+l
q"lq*
где т]2 = г|2(т, 1). С другой стороны, вспоминая аддитивное раз-
разложение для ?(г), полученное из логарифмической производной
функции о (г), находим
B)
где
Кроме того,
sin
и по формуле Тейлора
45 5Т21
Чтобы получить степенной ряд по г для суммы в формуле A),
положим для простоты qT = q и qz = до. Тогда для | q \ < | до | <

§4] ^-ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДЛЯ А 243
< l^l имеем
°* „. „ -, со со
л=1 w=il
и, подставляя в полученное разложение w = e2niz, находим для
функции ? (г) другой степенной ряд от г. Сравнение коэффи-
коэффициентов этих двух степенных рядов при z дает ^-разложение
Аналогичным образом сравнение коэффициентов при г3 и г5 дает
разложения для g2 и g9y найденное в гл. 4.
Дифференцирование разложения A) по г дает нам второе раз-
разложение для функции 1^ (г; т), указанное в гл. 4. Отметим, что
разложение B) является необходимым промежуточным шагом для
получения г]2. Нет нужды выписывать заново эти разложения,
так как они были уже приведены ранее.
§ 4. ^-произведение для Л
Найдем разложение в бесконечное произведение для функции
А = Д(т, 1).
Теорема 5. Имеет место равенство
@7тПG)
/1=1
Доказательство. По определению имеем
Д = 16 [(е,—^) (е3-е2) (е3-е1)]\
где
Мы докажем несколько большее, а именно, найдем ^"пР°изведе-
ния для разностей et—ek и даже для их корней степени 2. Как
и ранее, рассматриваем решетку [т, 1]. Тогда по теореме 2
т+1\ /1-т

244 БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ [ГЛ. 18
a2
а2/м •
Преобразуем числители, используя функциональное уравнение
для сигма-функции из теоремы 1. Например,
и аналогично в других случаях. Учтем также, что а (г) является
нечетной функцией. Тогда получим:
/? — р
2 1 "
•чм*
V 2 ;
о*
V 2
Замечание 1. Каждое выражение справа является полным
квадратом, и, значит, квадратные корни ]/~ek—et есть голоморф-
голоморфные на $ функции.
Замечание 2. Используя <7-пРоизвеДение Для функции а,
найденное в теореме 4, и подставляя в это разложение соответ-
соответствующие частные значения для г, мы получаем соответствую-
соответствующие разложения в ^-произведения для разностей ек—et.
Положим q = qx и

И-l (/ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДЛЯ Д 245
Тогда
I I _
?4 ^ (а _/> L — l/'ftP Р2
21 ' V 2 1/ г о* 3»
1_ 1
F4 /л ^^z? \Т — I/'ttP Р2
1_ _L _
?4 в /^ _^.)Т -— ^/*д 2а1/8Р Р2.
Так как PQPXP2PZ -== Ро, мы видим, что
Отсюда следует указанное в теореме разложение функции Д в бес-
бесконечное произведение. Ниже, однако, мы дадим прямой вывод
этого разложения.
Замечание 3. Из представления разностей ek—ei в терми-
терминах jf-функции видно, что эти разности являются модулярными
формами соответствующих весов. Классики идут в этом направ-
направлении дальше. В книге Вебера вслед за выводом формулы, даю-
дающей разложение функции Д в бесконечное произведение, пред-
предпринято детальное изучение этих разностей, а числителям и
знаменателям выражений Е2ь Е2з и E3i присвоены свои названия
(они являются тэта-функциями с различными индексами). Эти
модулярные формы низких уровней очень полезны в приложе-
приложениях и дают числовые данные, которыми не только не стоит
пренебрегать, но для которых следовало бы составить отдельные
таблицы.
Перемножим теперь между собой все выражения E2i, Е2з и
Езь Тогда после соответствующих сокращений получим
Воспользуемся ^-произведением для функции а (г), найден-
найденным в теореме 4. Чтобы вычислить Д, мы должны, следовательно,
рассмотреть отдельно экспоненциальный член, рациональную функ-
функцию от q и три типа бесконечных произведений.
Вопрос с экспоненциальным членом решается с помощью соот-
соотношения Лежандра
Учитывая его, легко видеть, что все трансцендентные элементы
в экспоненте сокращаются друг с другом. Мы не будем загромож-
загромождать изложение соответствующими детальными выкладками.
Положим
п= 1

246 БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ [ГЛ. 18
Нам нужно изучить произведение
р=°р(т)р(т)р (Ч1) -П A +^)(i-^+1)(i+<?")(i-'?2B-1).
Пусть Р0=5 Д A—qn). Тогда получаем полезное соотношение
«si
р2
РР2 °
так что (удивительным образом)
р
Этот вклад от бесконечного произведения сводит задачу к рас-
рассмотрению вклада рациональной функции от q совместно с вкла-
вкладом от других рациональных функций, которые возникают из
выражения для а-функции, указанного в теореме 4. Остается,
таким образом, лишь произведение
00
П A-<7")а4.
Если выписать рациональную функцию от q9 которая появляется
перед этим произведением, то оказывается, что все члены сокра-
сокращаются и остается один член q = qx- Далее, 2ш входит в сте-
степени 12 (соответственно степени однородности функции Д), и тем
самым мы получаем желаемое ^произвеДение для функции Д.
§ 5. ц-функция Дедекинда
Символ ц будет использован для обозначения новой функции,
а не для обозначения квазипериода ^-функции.
Определим ц-функцию Дедекинда выражением
где д = <7х = ?2ШХ. Она голоморфна на верхней полуплоскости JQ.
Теорема 6. ц-функция удовлетворяет соотношениям
где квадратный корень определен таким образом, что он поло-
положителен для положительных значений подкоренного выражения.
Доказательство. Первое соотношение тривиально следует
из ^-произведения. Что касается второго соотношения, то функ-

S.61 П-ФУНКЦИЯ ДЕДЕКИНДА 247
ция А == А ГС°11 , рассматриваемая как функция двух переменных,
является однородной функцией степени —12, так что
Извлечение корня 24-й степени дает
Заметим, что функция ]Гх голоморфна на §, и, следовательно,
функция
/tti(t)
является голоморфной на ф и равна по абсолютной величине 1.
Тогда по принципу максимума модуля она должна быть констан-
константой, скажем С, Положив т«=?, видим, что 1=С|/Т> и значит,
С = 1/|/Т=:|/ — i. Теорема доказана.
Теперь можно восстановить один факт, упомянутый нами при
анализе ветвления в поле модулярных функций. По определению
имеем
Покажем, что /1/3 является модулярной функцией уровня 3. Так
как g2t как функция двух переменных, является однородной
функцией степени —4, то
С другой стороны, из теоремы б получаем
Т)8(—1/т) = Т*Т)8(т).
Кроме тога, ць(т + I) = e231i/3r\b (т) и g2 (т + 1) = g2 (т). Таким об-
образом, мы получаем следующее правило преобразования функции
/1/3 под действием модулярной группы.
Теорема 7. Пусть Jl^ = gj\f. Тогда
/1/3 (X + 1)вв2Л</*/1/8 (т) и /1/3 (_1/т) e yi/8(T)#
Аналогичным образом имеет место следующее утверждение.
Теорема 8. Пусть [ = УТ^Т= 27#3/П12- Тогда
Следствие. Функции /1/3 « Vj — 1 являются модулярными
функциями уровней 3 и 2 соответственно.
Доказательство. Пусть, как обычно, F = SL2(Z) и пусть
gsszj1/*^ [=У.1—1 Мы имеем абелево представление группы Г
в пространстве, порожденном над нолем С функциями /, g, с ха-

248
БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
[ГЛ. 18
рактерами порядков 3 и 2 соответственно. Известно, что отобра-
отображения 5 (т) = —1/т и Г(т) = т+1 порождают модулярную группу.
Отображения S, ST порождают ту же группу и имеют порядки
2 и 3 соответственно. Следовательно, указанное абелево пред-
представление имеет порядок не выше 6. Пусть Г3 и Г2—конгруэнц-
подгруппы группы Г уровней 3 и 2 соответственно. Тогда фактор-
факторгруппа Г/± Г3 имеет порядок 12 и фактор-группа Г/Г2 имеет поря-
порядок 6. Далее, Г/± Г3 имеет нормальную подгруппу, чья фактор-груп-
фактор-группа является циклической группой порядка 3, а Г/Г2 имеет нормаль-
нормальную подгруппу, чья фактор-группа является циклической группой
порядка 2. Таким образом, получаем другое представление груп-
группы Г в циклическую группу порядка 6, ядро которого должно
совпадать с ядром предыдущего представления. Это доказывает,
что подгруппы Г3 и Г2 оставляют функции / и g неподвижными,
что и требовалось показать.
§ 6. Модулярные функции уровня 2
Этот параграф не будет нигде использован в дальнейшем и
включен для полноты изложения, а также потому, что содержит
вычисления, относящиеся к ег, е2, е%.
Рассмотрим конгруэнц-подгруппу Г B), состоящую из всех
элементов а группы SL2 (Z), которые удовлетворяют условию
а= 1 (mod 2).
Такие элементы а могут быть записаны в виде
а
где a, d—нечетные и Ь, с—четные числа. Используя рассужде-
рассуждения, аналогичные тем, которые были приведены при определении
фундаментальной области для моду-
модулярной группы, мы видим, что Г B)
порождается элементами
Iх 2\ с
и что фундаментальной областью
для Г B) является область, обо-
обозначенная на рис. 18.1. Отображе-
Отображение S2 переводит левую полуокруж-
полуокружность в правую полуокружность.
Пусть Gq = G = Г/ГB)— фактор-группа, которая является
й 6 О
Рис. 18.1.
у q ()фрру р
группой порядка 6. Она представляется матрицами
/1 04 / 0 1\ / 1 1\ /1 IX /1 ON /0 1\
\о 1/' V—1 о;» \—i о;» \о \J* \\ i;» \—i \)ш

§6] МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ УРОВНЯ 2 249
Определим функцию
Свойства однородности квазипериодов дзета-функции Вейер-
штрасса и or-функции показывают, что указанное отношение
является однородной функцией степени 0 и что обозначение в виде
функции от т законно. В самом деле, в выражениях Е/& экспонен-
экспоненциальные множители являются однородными функциями степени О,
а каждый множитель, содержащий or, является однородной функ-
функцией степени 2, так что при взятии частного мы получаем однородную
функцию степени 0.
Проверим теперь непосредственно вычислением, что шесть
преобразований группы G6 переводят функцию X в следующие
шесть функций:
к =
?з ' 1-Я е2 — <?!*
Л» 1 В\ В2 1 ??j — €3
X е3—е2 ' X е2—е3 5
X е3— ?
1—к=-
Это дает нам точное представление группы G6 на указанных шести
функциях, и неподвижное поле состоит из рациональных функ-
функций от /, имеющих рациональные коэффициенты. Функция X
порождает поле модулярных функций уровня 2, которое мы обо-
обозначим F2. Выразим У(т) в виде рациональной функции от Х(т),
а именно докажем, что
98
Для вывода указанного выражения поступим, как в книге
Форда*). Рассмотрим рациональную функцию
(Х+1)НХ—2JBЯ,— IJ
В терминах elt e2, е3 эта функция имеет вид
Но
*) См. Ф о р д Л. Р. Автоморфные функции.— М.: ОНТИ, 1935.

250 БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ [ГЛ. 18
Тогда числитель равен
знаменатель равен
а следовательно,
Q =27 A — J).
Имея исходное выражение для Q в виде рациональной функции
от X, легко теперь получить рациональное выражение для / (т)
в терминах X, которое будет совпадать с приведенным выше
выражением.
Функция X была использована Дойрингом [8]. Игуса [25] взял
X в качестве одного из основных параметров в своей теории
абстрактных эллиптических функций. Преимущество такого вы-
выбора состоит в том, что функция X может быть использована
вместо / для параметризации эллиптических кривых невырожден-
невырожденным образом посредством уравнения
Точка Х = 0 лежит над /=оо и является точкой ветвления по-
порядка 2. Можно увидеть непосредственно (и этим подтвердить
общий факт), что поле Q(X) разветвлено над полем Q(J) = Q(j)
и имеет порядок ветвления 3 над / = 0 и порядок 2 над /=123,
т. е. над J = 1. Прямое вычисление показывает, что /—инвариант
указанной выше кривой—совпадает с / для ^=^=0, 1. Как ука-
указал Игуса, та же самая параметризация справедлива для всех
характеристик, отличных от 2.
Можно посмотреть на функцию X с другой точки зрения, а
именно как на аналог «единицы Минковского» в поле функций.
Это можно обобщить следующим образом. Для целого N> 1 по-
положим
Выражение справа является однородной функцией степени 0 и,
следовательно, приводит к модулярной функции от т € «!р уровня N.
Функция XN не имеет, очевидно, нулей или полюсов на верхней
полуплоскости «!р. Было бы интересно определить ту часть
группы единиц, которую она порождает в целом замыкании коль-
кольца Z[/] в поле модулярных функций уровня N, и исследовать
ее специальные значения в точках мнимого квадратичного по-
поля, чтобы посмотреть, будут ли они порождать поля классов
лучей.

§ 1] ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА 251
Г лава 19
ОСНОВНАЯ ТЭТА-ФУНКЦИЯ
§ 1. Основные свойства
Пусть L = [col5 co2]. Положим
A1/19 /о)Л 2я1 2 , ч
Д1/12 1 = Т]2(Т),
где т = со1/со2, а т] есть rj-функция Дедекинда. Тогда А1/12 является
однородной функцией степени —1, т. е.
Определим функцию
f{z- со,, со2) ^^"^
= ^2 А1/12 К» ©.) Ф (*> ©1. ©.). (^
где ф—функция, рассмотренная в § 2, гл. 18 (полученная кор-
корректировкой функции о*(г)). Функция / является однородной
функцией степени 0, т. е.
f(Xz\ Хсо15 ko2)=f(z; ©lf (o2). B)
Следовательно, по теореме 4 из § 2, гл. 18 она имеет разложе-
разложение в ^-произведение
f(z; %) = qv" ffl'-q;**) ft (\—<fiqt) (l-fflq,). C)
l
Замена z на —z показывает, что
f(-z\ t)=-/(z;t). D)
Чтобы легче было применять модулярные преобразования, запи-
запишем аргументы функции / в вертикальных обозначениях
Теорема 1. Пусть а=(^ А—элемент группы 5L2(Z).
Тогда имеется такой корень степени 12 из единицы е(а), что
В частности, если S=f "" J м Г=(о .j—обычные порож-

252 ОСНОВНАЯ ТЭТА-ФУНКЦИЯ [ГЛ. 19
дающие элементы группы SL2(Z), то
U
где ег, е5—корни из единицы степени 12.
Доказательство. Воспользуемся определением A) и тем,
что функция / (z; L) инвариантна при модулярных преобразова-
преобразованиях. Корень 12-й степени из А при модулярном преобразовании
приобретает множитель, являющийся корнем степени 12 из еди-
единицы (который легко определяется из функционального уравне-
уравнения для т]-функции). Экспоненциальный множитель не изменяется
под действием 7, и под действием S переходит в множитель
который отличается от исходного множителя на
что сразу же видно из соотношения Лежандра. Случай общего
преобразования а рассматривается таким же образом. Теорема
доказана.
Замечание. Мы рассмотрели здесь тэта-функции с мульти-
мультипликативной точки зрения из-за приложений, которые собираемся
сделать или уже сделали (скажем, к дискриминанту А, или чтобы
увидеть, что \/"j — 1 является модулярной функцией). Тэта-функ-
Тэта-функции обладают интересными аддитивными разложениями, с кото-
которыми можно познакомиться по многим источникам, например, по
книге Зигеля [К14] или книгам по анализу, таким, как книга
Гурвица—Куранта. Эти разложения можно использовать для
построения модулярных форм. Статья Макдональда [29], допол-
дополняющая работу Дайсона, устанавливает также связь мультипли-
мультипликативных и аддитивных разложений с общей теорией аффинных
систем корней. Учитывая объем данной книги и определенную
направленность рассмотренных в ней результатов, мы опускаем
аддитивную теорию и ее связь с мультипликативной теорией,
так как изложение этого материала потребовало бы, вероятно,
написания еще одной такой книги.
§ 2. Функции Зигеля
Пусть и, v—вещественные параметры. Определим
6 (и, v; т) «в (( " ) ; т) =f(u-vx\ т) «**<"-«>. G)

S2] ФУНКЦИИ ЗИГЕЛЯ 253
Можно переписать эту функцию в виде
в (a, v; т) = /(-(и, f)
Вторая запись функции в терминах (*\ показывает с большей
ясностью, что множитель / является однородной функцией сте-
степени 0. Однако вертикальный способ записи относительно и, v
более удобен для установления формулы преобразования функ-
функции 6 относительно элемента agSL2(Z), которая имеет вид
где еа—некоторый корень степени 12 из единицы.
Эту формулу легко получить отдельно для а==Т и a = S,
используя определения и формулы из теоремы 1 предыдущего
параграфа. Тогда желаемый результат следует очевидным образом.
Полезны также следующие две формулы:
6(и+1, v\ т) = —е-п*в(и, v\ т), (9)
9 (и, v+U т) = —ея'и9(н, v\ т). A0)
Они следуют из периодичности функции ф (г; т, 1) и из опреде-
определения функции /(г; т, 1).
Мы будем использовать указанные функции, когда {и, v) есть
пара рациональных чисел, не являющихся одновременно целыми.
Обозначим эту пару через а = (а19 а2), т. е. точно так же, как
и в случае функций Фрикке. Пусть Af—точный знаменатель а
(т. е. наименьшее общее кратное знаменателей чисел аг и а2).
Возведение обеих частей равенства (8) в степень \2N уничтожает
корень из единицы, а возведение в эту степень выражений в ра-
равенствах (9), A0) делает их периодическими с периодом 1 от-
относительно и и v. Таким образом, мы приходим к определению
функций Зигеля примитивного уровня N
Н (а; т)^Яа(т) = е(я; т)»*\
если N—точный знаменатель пары а = (а1У а2). Соотношения (9),
A0) показывают, что функция Н (а\ т) является периодической
и, следовательно, зависит лишь от класса вычетов а по mod (Z2).
Если (и, v) — пара рациональных чисел с точным знаменателем N,
то для функции Зигеля будем употреблять также обозначения
Из соотношения (8) следует аналогичное соотношение для функ-
функции Зигеля, однако без корня из единицы. Им но если а?
€5L2(Z), то
ж. н(а(иА™)-и(D);ч

254 ОСНОВНАЯ ТЭТА-ФУНКЦИЯ [ГЛ. 19
Заменяя а на а~га при a?SL2(Z), получаем
Н2. Я(а-1а; т) = Н(а; ат).
Далее, взяв а= 1 (modN), мы видим, что На является моду-
модулярной функцией уровня N. Как и в случае функций Фрикке,
модулярная группа, действующая на верхней полуплоскости,
индуцирует перестановки функций Зигеля примитивного уровня N.
Используя определение функции /(г; т) в виде произведения
C) из § 1, легко находим разложение функции На в бесконечное
произведение. Пусть г, s—целые числа, не делящиеся одновре-
одновременно на N. Тогда
-s/N i\l2N
Qt —1/ X
где ?tf = e2JWV.
Как и при изучении функций Фрикке и автоморфизмов поля
модулярных функций, обозначим ad (для d, взаимно простого с N)
автоморфизм поля модулярных функций F, индуцированный
отображением
на корнях из единицы и оставляющий неподвижным локальный
униформизирующий параметр qiIN. Из ^-произведения НЗ видно,
что в данном случае, если и, v имеют знаменатель N, то
Н4. edHuv = Hduv.
Напомним, что нами были определены автоморфизмы поля
модулярных функций, а именно в (а) для a?GLj (Q) Hcr(g") для
g?U = ЦGL2(Zp) (так как буква и уже занята, то обозначаем
v
элементы этого произведения по всем простым числам р буквой g).
Автоморфизм a(g) был определен относительно координатных
функций Фрикке. Легко определить действие этих автоморфизмов
на функции Зигеля.
Н5. Если а б GL+ (Q), то
Это соотношение является просто определением того, каким об-
образом а (а) действует на модулярные функции.
Н6. Пусть g?U и пусть
°d)a(modN),

§3] СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИЙ ЗИГЕЛЯ 255
где d—положительное число, удовлетворяющее условию d =
= detgp (modN) при всех p\N, и а ?SL2(Z). Тогда на элементах
поля FN имеем
и для всех рациональных чисел и, v со знаменателем N
Доказательство. Первое утверждение есть» просто повто-
повторение того факта, что мы имеем гомоморфизм группы U в группу
автоморфизмов поля FN и матричное представление автоморфизма ad
на функциях Фрикке, как это было описано в § 3, гл. 6. Второе
утверждение следует из определения и равенства Н4.
Наконец, функции На можно использовать в качестве порож-
порождающих элементов поля модулярных функций.
Теорема 2. Функции Зигеля Ha(a?Q2, a^Z2y а имеет точ-
точный знаменатель N) лежат в поле модулярных функций FN и
порождают F^ над полем Q (/). Эти функции являются целыми
над кольцом Z [/].
Доказательство вполне аналогично доказательству соот-
соответствующего утверждения для функций Фрикке. Для установ-
установления свойства целостности рассмотрим произведение
по всем a(modZ2), имеющим точный знаменатель N. Коэффици-
Коэффициенты этого многочлена неподвижны как относительно действия
SL2 (Z), так и относительно действия автоморфизма ad (d—взаимно
простое с Af число). Следовательно, они являются модулярными
функциями из кольца Z[j]. Утверждение о том, что функции На
порождают поле F^, почти очевидно, и мы оставляем его чита-
читателю в качестве упражнения.
§ 3. Специальные значения функций Зигеля
На протяжении этого параграфа k означает мнимое квадра-
квадратичное поле. Пусть Ь—дифферента поля k над Q и f—некото-
f—некоторый идеал кольца целых алгебраических чисел $ = $k поля k
такой, что f =т^= о.
Напомним, что b~1 = o-L состоит из таких элементов Х?&, что
Tr (b)cZ.
Это условие эквивалентно тому, что
е*Щ (Тг (X о))._- J#
Пусть с—дробный идеал кольца о. Если с = [г1? z2], где
$» то> следуя Зигелю [К14] и Рамачандре [33], положим

256 ОСНОВНАЯ ТЭТА-ФУНКЦИЯ [ГЛ. 19
Свойство HI показывает, что данное определение не зависит от
выбора базиса идеала с. Далее, пусть 6 — идеал (не дробный),
взаимно простой с f. Определим инвариант Рамачандры
Легко видеть, что если N является наименьшим положительным
целым числом, содержащимся в идеалах f и c = bb~1\~1—[z1, z2],
то N—точный знаменатель пары
(и, v)^(TtB1), Тг (*,)).
В частности, функция HUt v имеет уровень N.
Лемма. Значение Of(b) зависит только от класса лучей
деала Ь по модулю f.
Доказательство. Пусть а — идеал из того же класса
лучей, так что существуют такие целые алгебраические числа
(х, v?0> взаимно простые с f, что fx = v(modf) и
va = fxb.
Тогда
и, следовательно,
есть базис идеала ab"!. Ввиду того, что функция На зависит
только от класса вычетов по modZ2, достаточно доказать, что
/=1, 2.
Для каждого простого идеала р обозначим о9 локальное кольцо
В р И ПОЛОЖИМ ^=|0|). ЕСЛИ J)|f, ТО
^—1^0 (mod f,).
Отсюда следует, что
и в таком случае след этого элемента принадлежит кольцу Z.
Этим лемма доказана.
Пусть /(f)—моноид идеалов, взаимно простых с f. Обозна-
Обозначим Pi(f) подмножество моноида /(f), состоящее из главных
идеалов, порожденных элементами |i=l(modf), и обозначим Gf
группу классов лучей /(f)/Pt(f)- Если R — класс лучей, то по
предыдущей лемме значение Of (Ь) не зависит от выбора идеала
b?R, взаимно простого с f, и значит, можно определить вели-
величину Of (R).

§3] СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИЙ ЗИГЕЛЯ 257
Теорема 3. Пусть f — отличный от о идеал в мнимом
квадратичном поле k. Для каждого класса лучей R ? Gf пусть R'
означает его комплексно-сопряженный класс, и пусть (R, k) —
автоморфизм Артина на поле классов лучей с кондуктором f.
Тогда элемент Ф\ (R) лежит в поле классов лучей с кондуктором
Доказательство. Пусть а—идеал из класса лучей S'
идеала f, взаимно простой с ff. Пусть d = Na, так что do = act',
и пусть, как и ранее,
Положим f = HUtV, где (и, v)^=(Yt(z1), Tr(z2)), и обозначим s
такой идель поля k, что spop — ap и sp=l при всех p\d, так
что, в частности, sp=l, если p\N (в качестве s^ можно взять,
например, порождающий элемент локально главного идеала а{р)
над 0{р)). Тогда s/?i)b~1f== (abh^1)^ Пусть q (s) — вложение
иделя s в группу GL2 (Aj) такое же, как в законе взаимности
Шимуры из § 1, гл. 11, так что
Тогда qp(sp) = l, если p\d, и можно применить закон взаимности
Шимуры
-i, k)=fo(g(s)) (Zi/Za)e
Пусть матоица a€^2"(Z) такова, что
о
есть базис идеала abb!. Тогда deta — Na — d и, кроме того,
"Mil) и -Й
являются базисами идеала (аЬЬ"т1^)р над 2Р при всех р. Сле-
Следовательно, существует такой элемент gp e GL2 (Zp), что gpqp (sp)=a
для всех р. Из определения имеем q (s)=g~1a и a (q (s))=or (g-*) or (a).
Действие элемента g- на функции в поле FN определяется era
классом вычетов по modAf, так как на функциях Фрикке /
имеем Й» = /ч.
Далее, для всех p\N имеет место равенство gp = а. Пусть
SL(Z)—такой элемент, что
l °d)(modN).

258 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ КРОНЕКЕРА [ГЛ. 20
Тогда a (g) — cr (|3) crrf, и если е—такое положительное целое число,
что
ed=l(modN),
то на FN имеем cr(g-) = crecr(P). Следовательно, по Н6
) (гг/гй) = HeUi v (p-»a (zj22)) =
Класс лучей (по модулю f) идеала а' содержит еа. Следова-
Следовательно,
a
Так как На зависит только от класса вычетов а по modZ2,
достаточно теперь проверить, что
Но это очевидно, так как для р|# имеем gp = a> и поэтому
°)(modN).
d
Таким образом, мы показали, что если а?Р1(УI то символ
(s~\ k) действует тривиальным образом на Of(/?), а также что
в общем случае его действие описывается формулой, указанной
в теореме. Это доказывает, что Ф| (R) лежит в поле классов
лучей с кондуктором f, и доказывает также приведенную в тео-
теореме формулу.
Указанная теорема принадлежит Рамачандре [33]. Здесь она
получена, подобно другим теоремам такого рода, как непосред-
непосредственное следствие закона взаимности Шимуры. Отметим, что
Рамачандра столкнулся с обычными в этих вопросах трудностями
в двух «особых» точках i и р. Эти трудности были преодолены
нами в теоремах из § 3, гл. 9, описывающих различные группы
инерции, и в законе взаимности Шимуры, где уже нет никакого
различия в этих точках.
Глава 20
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ КРОНЕКЕРА
§ 1. Формула суммирования Пуассона
Пусть /—функция на R. Скажем, что / быстро стремится
к нулю на бесконечности, если для каждого положительного
целого т функция
ограничена. Определим пространство Шварца S как множество
функций на R, которые являются бесконечно дифференцируемыми

§ 1] ФОРМУЛА СУММИРОВАНИЯ ПУАССОНА 259
и быстро стремятся к нзлю на бесконечности вместе со всеми
своими производными.
Пример. Функция е~х% лежит в пространстве Шварца. Всякая
функция из класса С°° с компактным носителем также лежит
в пространстве Шварца.
Определим преобразование Фурье функции / из пространства S
с помощью интеграла
— 00
Дифференцирование под знаком интеграла показывает, что / яв-
является функцией класса С00 и быстро стремится к нулю на бес-
бесконечности (таким образом, / лежит в пространстве Шварца,
но это нам в дальнейшем не потребуется).
Формула суммирования Пуассона. Пусть f —
функция из пространства Шварца. Тогда
2 /(/i)= 2 f(n).
й
Доказательство. Пусть
g(x)=
Этот ряд сходится абсолютно и равномерно на каждом компакт-
компактном множестве. Далее, функция g является периодической с пе-
периодом 1 и принадлежит классу С00. Коэффициенты Фурье функ-
функции g определяются по формуле
1
с*= \g(x)e-™imxdx.
о
Интегрируя по частям, видим, что \ст\^С/\т\2, где С—неко-
С—некоторая константа (являющаяся по существу верхней гранью норм
двух первых производных функции g). Следовательно, ряд Фурье
функции g сходится к g. Имеем
m = g(O)= 2 f(m).
С другой стороны, меняя местами суммирование и интегрирова-
интегрирование, получаем
1 1
ст =$?(*) e-2nCmxdx = 2 J / (х + п) e-2™mxdx =
о п о
1 оо
= 2 \f {х + п)е-2™т(<х+пЫх = J f(x)e-2nimxdx=f(m).
п 0 -оо
Формула доказана.

260 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ КРОНЕКЕРА [ГЛ. 20
§ 2. Примеры
Функция h(x)=e-nx* двойственна себе, т. е. h = h. Действи-
Действительно, дифференцируя под знаком интеграла и интегрируя по
частям, получаем
h'(y) = -2nyh(y).
Отсюда следует, что
Принимая во внимание значение стандартного интеграла й@),
имеем с = 1.
Пусть /—функция из пространства Шварца и пусть g(x) =
= f(x + c), где с—некоторая константа. Тогда
g (у) = е*™
что легко получается заменой переменного в интеграле, опреде-
определяющем функцию g.
Аналогично, если g(x)—f(bx)> где Ь>0, то
Эта формула тоже получается с помощью замены переменного.
Если положим
п €Z
где ?>0, то получим соотношение 6(^") = ^1/20@, или
п*% пе% У t
известное как функциональное уравнение для тэта-функции.
Выведем из него функциональное уравнение для дзета-функ-
дзета-функции Римана, заданной при Re(s)> 1 рядом
Напомним, что
о
Если а > 0 и функция / абсолютно интегрируема, то

§3] ФУНКЦИЯ Ks(x) 261
Возьмем а = пп и положим
F (s) = л-Т (|) S (s) = J
О
Под интегралом в правой части равенства имеем по существу
тэта-функцию (за исключением члена с п = 0). Пусть
ф @ = 2 е-™\
л = 1
так что 2ф @ = 8 (*) — 1. Тогда
§ § ^
О 1 1
и функциональное уравнение для тэта-функции дает
Интеграл, стоящий справа, абсолютно сходится для всех s, и
указанное выражение инвариантно относительно замены s*—> 1—s.
Отсюда получаем аналитическое продолжение и функциональное
уравнение для дзета-функции Римана.
Приведенные здесь рассуждения являются типичными при вы-
выводе функциональных уравнений для функций типа дзета-функций
Римана и в особенности для тех функций, которые будут рас-
рассмотрены в следующем параграфе и потребуются нам для вывода
предельных формул Кронекера.
§ 3. Функция Ks(x)
Пусть а, Ь—положительные вещественные числа. Определим
Kl. Ks(a9 b)
Этот интеграл похож на интеграл, задающий гамма-функцию, но,
однако, обладает рядом преимуществ. Во-первых, он более сим-
симметричен, так как содержит t и l/t, и, во-вторых, он сходится
абсолютно для всех комплексных s, так как присутствие l/t
устраняет возможность неограниченного возрастания, которая
имеется в интеграле для гамма-функции в окрестности нуля.
Воспользуемся инвариантностью интеграла при умножении /
на положительное число и сделаем замену переменного tv-*—t.

%2 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ КРОНЕКЕРА [ГЛ. 20
Тогда получим
К2.
где при с > 0
КЗ, *v?vl//— 1ь ' • '* ~~j~*
В общем случае последний интеграл не может быть приведен
к более простому виду. Заметим, однако, что
К4. Кз(с) = К-з(с)-
Это свойство доказывается с помощью замены th-^t и с учетом
инвариантности интеграла на положительной полуоси R+ при
этой замене.
Кроме того, при s=y рассматриваемый интеграл приводит
к значению
К5.
и, следовательно,
Кб. Кг (а, Ь) = ^-е^аК
Доказательство равенства К5 очень простое и проводится
следующим образом. Пусть
Тогда замена переменного tt—*-t/x дает
Положим h(x) = ]/"х g (х). Дифференцирование под знаком ин-
интеграла приводит к равенству
h
' (x) = — 2х С е- (*+*•/<)/-i/« М.
и после замены ti-^t'1, используя инвариантность интеграла,
а затем после замены t>—>t/x мы получаем
h'(x = — 2k (x .

§3] ФУНКЦИЯ Ks(x) 263
Отсюда
h(x) = Ce-**,
где С—некоторая константа. Для вычисления С положим х = 0
в интеграле для функции h(x) (но не в интеграле для g(x)).
Этот интеграл приводит к т(-^)=Уп. Равенство К5 доказано.
Полезно также иметь оценку функции Ks(x)y а именно:
К7. Пусть #0>0 и ао^а^аг. Тогда существует такое
число С (x0J а0, ог) — С, что если x^xOf то
Доказательство. Заметим сначала, что t + l/t^2 при
/ > 0. Запишем интеграл в виде
оо 1/8 8 оо
J-J + J+J-
0 0 1/8 8
Средний интеграл очевидным образом оценивается величиной Ce"ix.
Для оценки первого интеграла заметим, что если /^1/8, то
Следовательно,
1/8 1/8
О О
О
и мы снова получаем оценку нужного вида. Аналогичным обра-
образом оценивается интеграл по бесконечному промежутку.
Последующие формулы описывают основные формальные свой-
свойства /(-функций. Читатель может пока опустить их и вернуться
к этим формулам в тот момент, когда они ему потребуются.
Читатель может дать также другие доказательства этих тождеств.
К8.
Доказательство. Рассмотрим интеграл
г»
- со О
Сделаем замену t\—>(u2-\-l)t и воспользуемся инвариантностью
выражения dt/t относительно умножения переменной t на поло-
положительное число. Тогда формула К8 следует очевидным образом.

264
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ КРОНЕКЕРА
[ГЛ. 20
Приведенная формула позволяет найти первый член разложе-
разложения правой части в точке s=l, который нам потребуется
в дальнейшем. Имеются, конечно, другие доказательства этого
факта (использующие функциональное уравнение для гамма-
функции), но мы дадим вывод, более соответствующий духу
данного параграфа. При s = 1 интеграл К8 дает значение я, так
как в этом случае интегрирование приводит к арктангенсу. Для
получения в разложении коэффициента при s — 1 продифферен-
продифференцируем подынтегральное выражение по s и оценим интеграл
1
Чтобы сделать это, воспользуемся приемом, указанным мне
Си ли. Пусть
так что g@) = 0. Дифференцируя под знаком интеграла и исполь-
используя тривиальное разложение на элементарные дроби, получаем
Следовательно, g(l) = ftlog2, и тогда
T(s)
Наконец, в вопросах, связанных со второй предельной фор-
формулой Кронекера, иногда полезно знать следующее тождество.
К9. ГE)
Re(s)>i.
Доказательство. Как и при выводе К8, запишем Г(s)
в виде интеграла, поменяем порядок интегрирования, сделаем
замену tv-^(u2-\-\)t и воспользуемся тем фактом, что функция
е-х*/2 двойственна себе при преобразовании Фурье, нормализо-
нормализованном следующим образом:
f(x)e-ixydx.
Тогда замена /н->xt приводит к желаемой формуле.

§4] ПЕРВАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ФОРМУЛА КРОНЕКЕРА 265
§ 4. Первая предельная формула Кронекера
Пусть % = x-\-iy—точка верхней комплексной полуплоскости,
у > 0. Рассмотрим функцию ?(т, s), определенную рядом
Re(e)>l.
где сумма берется по всем целым (т, п)Ф@у 0).
Найдем постоянный член разложения этой функции в точке
s=l. Для этого дадим аналитическое выражение для Е(х, s),
которое покажет нам, что Е(%, s) имеет простой полюс в точке
s=l с вычетом я и что эта функция голоморфна во всех дру-
других точках комплексной плоскости. Полученное выражение даст
возможность найти первые два члена разложения.
Первая предельная формула Кронекера. Пусть
i
р
qx = e2niT и пусть
п =1
Пусть, далее, у—постоянная Эйлера. Тогда
Доказательство. Пусть % = x-\-iy, так что
\тх + п |2 = (п + тхJ + т2у2.
Как и при выводе функционального уравнения для дзета-функции
Римана, рассмотрим сначала
n-T(s) ? м, fltdt
f
о
Суммируя ?"(т, s) вначале при т==0у а затем при тфОу находим:
At
Применим теперь к сумме, стоящей под знаком интеграла, фор-
формулу суммирования Пуассона. Тогда получим
Квадратный корень из t совместно с ts дает ts~1/2. Разобьем
сумму по п на две части для тг=О и для пфО. При п = 0

266 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ КРОНЕКЕРА [ГЛ. 20
получаем по существу выражение для дзета-функции,
так что соответствующий член в правой части равенства A)
равен
m=l
= 2я-<*~ */*>у-2 <s~ 1/2)Г( s—4- )S Bs— 1). B)
V * /
Рассмотрим теперь член Пп^о» который есть
= 222 eMrixmnR t {Ynytn, Vn\n\). C)
Отсюда следует, что выражение C) является целой функцией
от s, как можно легко видеть из оценки для соответствующей
/(-функции. В частности, это выражение является голоморфной
функцией в точке s=l. Используя соотношения A), B) и C),
получаем аналитическое продолжение функции Е (т, s). Можно
было бы легко получить также и функциональное уравнение,
которое имеет вид, аналогичный функциональному уравнению для
дзета-функции Римана. Мы, однако, сосредоточим свое внимание
на точке s—1. В этом случае слагаемое Ппфо равно
00
2 У У еШтпх1_е-2ут\п\т D)
АтЛ *~* ту х г
Напомним, что
Рассматривая члены q™njrqxmn (возникающие от положительных
и отрицательных значений п) и используя формулу Кб, находим,
что слагаемое IIn^0 при s—1 равно
f E)
4 S ~Л* S ^"= -j E log| l-^j =
m = l J л = 1 ^«=1
Учитывая теперь все члены, получаем
л-*Г (s) гг*? (т, s) = 2л-*Г (s) С Bs) +
loghWI—J + O(s-1). F)

§ 5] ВТОРАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ФОРМУЛА КРОНЕКЕРА 267
Так как ?B) = я2/6, мы видим, что член, возникающий из ?Bs),
уничтожает член —я/3. Разделим обе части полученного равен-
равенства на n~sT(s). Из известных тождеств для гамма-функции, или
же по К8, имеем
Далее,
С Bs-1) = 5^
Учитывая эти разложения, получаем, что
?(т> S) = ^T—я log у + 2л G—log2)—4jtlog|r!(T)|+O(s— 1).
Последнее разложение лишь записью отличается от формулы
Кронекера.
Замечание. Эта формула, соответствующая случаю поля
рациональных чисел, может быть обобщена на произвольные
числовые поля. Нужно рассмотреть сумму по парам целых чисел
этого поля. Для каждого вещественного абсолютного значения
берется экземпляр верхней комплексной полуплоскости. До са-
самого последнего времени не было известно, что делать с комп-
комплексными абсолютными значениями, но, как показал Асаи [1],
нужно просто взять в этом случае кватернионную верхнюю
полуплоскость. Кватернионная верхняя полуплоскость может
быть представлена матрицами
где г—комплексное число, г'—его сопряженное и и > 0. Это
приводит к кратному интегралу от /С-функций, который не сво-
сводится к показательной функции и дает функцию, аналогичную
log|r](T)]. Асаи рассмотрел различные аспекты этой аналогии.
Однако остается еще найти связь с абелевыми функциями и мо-
модулями.
§ 5. Вторая предельная формула Кронекера
Пусть иу v—действительные числа, из которых хотя бы одно
не является целым рациональным. Для T = x + iy из верхней
комплексной полуплоскости определим
Eu.v(t, S)= X Л
lm, п)Ф@, 0)
Этот ряд сходится при Re(s)> 1.

268 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ КРОНЕКЕРА [ГЛ. 20
Вторая предельная формула. Функция Eu%v{xy s)
продолжается до целой функции от s и
где
/(г, т) = ?'/12(<7г/а-<7г/2) П A-
представляет собой функцию, рассмотренную в § 1, гл. 19.
Доказательство. Будем следовать книге Зигеля [КН].
От функции / нам не потребуется ничего, кроме ее определения
в виде указанного выше произведения. Проведем доказательство
сначала для значений
1 и 0<о< 1.
Общий случай будет получен отсюда позже.
Как и при доказательстве первой предельной формулы, вы-
выделим слагаемое, соответствующее т = 0, так что, записывая для
краткости ?(т, s) вместо Ett%v(%, s), получаем
nф0 тФО
При s=l первая сумма представляет собой стандартный ряд
Фурье
пФО
Второй член при помощи гамма-функции может быть записан
в виде
Так как x==x + iy, то \тт + п\*~(п + тхJ + т2у2, и второй член
равен тогда
00
q n
^ g ^ ^ g-л/ (n+mx-iv/t)e-n (ty*m* + v*/t) fs ^j
W тФО q n
Применим к внутренней сумме формулу суммирования Пуассона.
Тогда эта сумма будет равна
= _JL V1 e-nns/te27tin (mx-iv/t)
n
и, следовательно, второй член равен выражению, содержащему
интеграл для функции /C5-i/a, которая является целой функцией

§5] ВТОРАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ФОРМУЛА КРОНЕКЕРА 269
от s. При s=l второй член равен
СО 1
тФО п о
Внутренний интеграл есть интеграл вида К t (а, Ь)=^— е~ыь
и, следовательно, второй член равен 2
n-v\-\m\
Каждый из присутствующих здесь рядов сходится показатель-
показательным образом, и можно изменить порядок суммирования. Это
единственное место, где используется условие v=^=0. При t> = 0
нужно отдельно рассмотреть член с п = 0 и только затем менять
порядок суммирования. Дальнейшие рассуждения аналогичны
рассуждениям для случая v=^=0. При v=^=0 получаем
п т Ф О
Далее, при | г | < 1 имеем
-log(l-r)- ? ^.
т = 1
При оценке двойной суммы по п и тфО рассмотрим различные
случаи, взяв сначала п = 0 и затем рассмотрев четыре случая,
соответствующие пфО, тфО.
Пусть сначала /z = 0. Тогда имеем две суммы
СО — 00
2 = 2 + 2 .
0 1
т=1
которые дают
ОО СО
V^ JL g2nim[(u~vx) + iyv] i \^ _J^
т=1 т=1
— —log A — e2ni(«-«)) (l —е-2Ш" ("-^)).
Положим z — u—vx. Тогда член, соответствующий п — 0, может
быть переписан в виде
—log(l— e "
Но
=- (ея^_е-я/^ ^niz_eni^ eni (ж-г) — | ^/2_?-i

270 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ КРОНЕКЕРА [ГЛ. 20
и, следовательно, член, соответствующий п = 0, равен
Заметим теперь, что член 2n*vy уничтожается членом —2n2vyf
возникающим из самого первого выражения.
Далее, рассмотрим отдельно четыре суммы, соответствующие
случаям
n>0, n<0, m>0, т<0.
Пусть сначала п > 0 и т > 0. Суммирование по т дает
со со
\* g2ni [u-vx+nx+iy (n-v)] m __ \* _ ^2Ш' (u-vx+nx) т __ log(l
^ () log(l ## )
т=1 т=1
Один из оставшихся случаев даст комплексно сопряженное для
указанного выражения, а два других случая дадут множители
вида A—qVqz) и их комплексно сопряженные. Это приводит
к двойному произведению в функции /(г; т).
Остается доказать, что
2n*yv+1 я2у = -я log | <?f/Чг'Т-
Это легко сделать следующим образом:
Взяв логарифм этого выражения и умножив его на —я, полу-
получим член 2я2у/6. Другой член вычисляется аналогичным образом.
Сделаем теперь необходимые замечания для случая, когда и,
v не лежат между 0 и 1. Заметим, что ряд, определяющий
функцию ?И|1)(т, s), является периодичным по и и v. С дру-
другой стороны, из определения функции / (г; т) в виде произ-
произведения мы видим, что правая часть формулы периодична по и.
Небольшие вычисления, снова использующие определения / (г; т)
в виде произведения, показывают, что функция / периодична
также и по v. Это сводит общий случай к уже рассмотренному
нами ранее.
Вторая предельная формула будет применяться, когда иу v
являются рациональными числами с точным знаменателем N > 1.
Возвращаясь назад к определению функции Зигеля Н из § 2,
гл. 19, мы видим, что в этом частном случае предельная формула
может быть записана в виде
Полученная формула будет использована позже при рассмотре-
рассмотрении L-рядов.

§1] СВЯЗЬ С L-РЯДАМИ 271
Г лав а 21
ПЕРВАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ФОРМУЛА И L-РЯДЫ
§ 1. Связь с L-рядами
Пусть k—мнимое квадратичное поле с дискриминантом —dfe<0,
так что dk есть его абсолютная величина. Пусть ok—поря-
ok—порядок в поле k и пусть Л— некоторый класс собственных о-идеа-
о-идеалов. Определим дзета-функцию выражением
где сумма берется по всем собственным о-идеалам а из класса Л.
Можно определить No. как единственное положительное целое
число, которое порождает идеал аа\ где а'—сопряженный идеал
к идеалу а (см. гл. 8, § 1). Зафиксируем некоторую собственную
D-решетку Ьв обратном классе Л. Тогда аб = (ga) является
главным идеалом, и сопоставление
задает биекцию между собственными я-идеалами из класса Л и
классами ^-эквивалентных элементов из Ь (два элемента поля k
называются о-эквивалентными, если их частное является едини-
единицей в порядке о). В дальнейшем Ь будет входить во все выра-
выражения однородным образом степени 0, и будем считать для удоб-
удобства, что Ь-=[т, 1]. Каждая собственная я-решетка эквивалентна
решетке такого типа. Следовательно, дзета-функцию можно пере-
переписать в виде
Us ^-AVV
где wa—число корней из единицы в порядке о (все единицы
в мнимом квадратичном поле исчерпываются корнями из еди-
единицы). Дзета-функция может быть записана также в виде
to,
где сумма берется по всем парам целых чисел (т, п)=т^=(О, 0).
Заметим, что ЛГаЛГб = iVga, так что решетка Ь появляется
лишь как удобное средство для перехода к главным идеалам.
Дискриминант решетки Ь задается выражением
если x = x + iy и у>0. С другой стороны, имеем

272 ПЕРВАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ФОРМУЛА И L-РЯДЫ [ГЛ. 21
где D(o)—дискриминант порядка jo. Отсюда получаем третье вы-
выражение для дзета-функции, а именно
В этом выражении присутствует ряд Эйзенштейна, для которого
мы знаем предельную формулу Кронекера. Здесь d0 обозначает
абсолютную величину дискриминанта порядка о.
Вместо функции rj удобнее рассматривать функцию А. Заме-
Заметим, что знак абсолютной величины в предельной формуле Кро-
Кронекера устраняет неопределенность, которая появляется из-за
корней из единицы. Определим, как в гл. 12,
Эта функция является инвариантом класса эквивалентности ре-
решетки Ь, так как, рассматривая КЬ вместо Ь, мы видим, что|Я|1а
появляется из символа нормы, а |Я|~12 появляется из |Д|. Тогда
можно записать
где SB — класс собственных я-решеток, содержащий Ь.
Воспользуемся разложением
°8 +
и найдем нужное нам и соответствующим образом нормализован-
нормализованное выражение для ?(s, Л), а именно
B)
Пусть х—характер группы классов собственных я-идеалов
Go. Определим L-ряд
л
где произведение берется по всем собственным неприводимым
я-идеалам. Обозначим 1 тривиальный характер. Если %ф1, то
сумма 2%(^) по всем «^ Дает нуль и, следовательно, в ука-
указанной выше сумме независящие от Л члены (т. е. член, дающий
полюс, и абсолютные постоянные) исчезают, что приводит к сле-
следующей теореме.
Теорема 1. Пусть %—нетривиальный характер группы
классов собственных идеалов Go порядка о в поле k. Тогда
1;
Л

§1] СВЯЗЬ С L-РЯДАМИ 273
С другой стороны, если h0 —порядок группы Go, то
L0(s, 1) = Ш ЫА
Wo
Удобно будет отделить в произведениях для L-ряда и для
дзета-функции множители, содержащиеся в кондукторе, и мно-
множители, не содержащиеся в кондукторе. Таким образом, если
с—кондуктор порядка о, то положим
Второе произведение берется по всем неприводимым собственным
О-идеалам р, делящим кондуктор с. Аналогичные обозначения
будем использовать и для L-ряда. Тогда для дзета-функции
имеем
Sd («) = So (S, C)PO(S, С),
а для кольца всех целых алгебраических чисел
С» (s) = ?*(*, c)Pk(s, с).
Для L-рядов соответствующие множители обозначим Ро (s, %, с)
и Pk(s, ъ с).
Пусть K = k(j(o)) — поле классов, соответствующее порядку
с. Оно содержится в поле классов лучей с кондуктором с, и
тогда все простые идеалы, не делящие с, не разветвлены в поле
/С. Если идеал р взаимно прост с кондуктором, то имеет место
формальное равенство
доказательство которого мы воспроизведем для удобства читателя.
Положим
Тогда Л^=а(ЛГр)Л и наше равенство равнозначно тому, что
если рок=Ч$1-. .^Зг. По определению автоморфизма Фробениуса
циклическая группа, порожденная в Go идеалом р, имеет поря-
порядок /. Пусть I]?!, . ...^—различные характеры этой циклической
группы. Если t,f—примитивный корень степени f из единицы,
то можно считать, что эти характеры задаются следующим образом:

274 ПЕРВАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ФОРМУЛА И L-РЯДЫ [ГЛ. 21
Пусть Хи • • •» Хг — характеры группы Gfl/{^}, т. е. характеры
группы GD, тривиальные на $. Тогда произведения %^у задают
все характеры группы Go и, следовательно,
П
v=0
Этим равенство доказано. В терминах L-рядов получаем отсюда
следующий результат.
Теорема 2. Имеет место соотношение
?*(s, c)=lk{s, c)Jl Lk(Sj x, с).
Обе части последнего равенства имеют полюс в точке s=l.
Следовательно, их вычеты должны быть равны. Из элементарной
аналитической теории чисел известно, что эти вычеты задаются
выражениями
_ Bn)r*hKRK = 2nhk
где 2ra = [К: Q] = 2hD, так как [К - Щ = /i0. Таким образом, rz = hQ.
Далее, ш^ обозначено, как обычно, число корней из единицы в
поле /С. Используя указанные выше определения, находим тогда,
что
Рк= Рк (с) Рк(\, с) и р^ = р^ (с) PkA, с),
в то время как
Следовательно, из теоремы 2 получаем соответствующее соотно-
соотношение для вычетов.
Теорема 3. Пусть о — порядок с кондуктором с и К= k (/ (о)).
д
ХФ I \ ouv r -* л
\ A '
Отметим, что поскольку вычет дзета-функции отличен от нуля,
то отсюда следует, что для каждого нетривиального характера
% группы Go сумма
2 х (Л) log g (л-*)
А
также отлична от нуля.
В следующем параграфе мы изложим некоторые элементар-
элементарные алгебраические факты относительно определителя Фробени-
уса, которые позволят нам несколько преобразовать произведе-
произведение из теоремы 3.

§ 1] СВЯЗЬ С L-РЯДАМИ 275
Приведенные результаты принадлежат по существу Фютеру
[14], который получил неявное соотношение для числа классов
указанного выше вида. Наше изложение следует книгам Зигеля
[К14] и [К15], который сформулировал свои результаты в тер-
терминах абсолютного поля классов. Общий случай не требует ни-
никаких изменений, так как достаточно, как и выше, учесть про-
простые идеалы, делящие кондуктор с, в качестве отдельных мно-
множителей. Мейер [К8] дал изложение этих результатов в общей
ситуации.
Вернемся к значениям А-функции. Для каждого собственного
о-идеала а положим
Напомним, что ak=aok.
Следуя идее Рамачандры [33], покажем, каким образом из
теоремы 3 следует утверждение о невырожденности значений
( Д()Д)
) ()(л)
Теорема 4. Пусть о—порядок в поле k. Тогда
Доказательство. Установим сначала следующую лемму.
Для класса A?GQ обозначим^его естественный образ в группе GOft,
Лемма. Пусть S—ядро гомоморфизма Go —> Go и пусть
%—характер группы Go, нетривиальный на S. Тогда
2 х (Л) fog * (Л*)=о.
л
Доказательство. Сумма по d?GQ может быть разбита
на две суммы
2 2
d
Различные элементы Л такие, что элемент Лк равен фиксирован-
фиксированному S3, составляют смежный класс по подгруппе S, и так как
характер % нетривиален на 5, то внутренняя сумма равна нулю,
что и требовалось доказать.
Сделаем теперь два замечания о том, каким образом преоб-
преобразовать сумму по Л в теореме 3. Можно заменить Л на Л
и х на Х"х> тогда видно, что если % — нетривиальный характер
на Go, то
Л
Кроме того, если С—положительное число, то
Л

276 ПЕРВАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ФОРМУЛА И L-РЯДЫ [ГЛ. 21
Перейдем собственно к доказательству теоремы 4. Мы имеем
башню полей
с группой Галуа Go для всей башни К над k и с группой GOfe
для нижнего уровня между k и k(j(ok)). Группа Галуа верхнего
уровня совпадает с ядром 5 гомоморфизма
Предположим, что имеется элемент cr?S, аф 1, оставляющий
значение гр (о) неподвижным. Возьмем такой элемент 93 6 Go,
что сг = а(^) есть автоморфизм Артина. Пусть %—характер
группы Go, для которого % (^3) =7^1» и пусть идеал а является
представителем класса Л, взаимно простым с кондуктором. Ввиду
сделанных замечаний можно заменить g(d) в сумме
на
I А /л\ I
= i^(a) \g(a
Эта замена не изменяет сумму. В частности, полученная сумма
будет отлична от нуля. Напомним, что если а (а) — (а, к) —
автоморфизм Артина, то по теореме 1 из § 1 гл. 12
и по лемме
2
л
Пусть {931\ — подгруппа, порожденная элементом ffi. Пусть, далее,
{civ}—представители смежных классов фактор-группы в/{93{}
Тогда сумма по Л может быть заменена на двойную сумму
так как ^{Л) зависит лишь от смежного класса элемента Л по
mod^,®''}. Поскольку характер % был выбран нетривиальным
на 9д% то последняя сумма должна равняться нулю, и мы при-
приходим к противоречию, которое доказывает теорему 4.
§ 2. Определитель Фробениуса
Пусть G—конечная абелева группа и G = {%\—ее группа
характеров. Имеет место следующее утверждение для определи-
определителя Фробениуса:

§2] ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ФРОБЕНИУСА 277
Теорема 5. Пусть f—произвольная (комплекспозначная)
функция на группе G. Тогда
П 2 %(a)f(a-*) = fetf(cr4>).
^G а, Ь
Доказательство. Пусть F—пространство функций на G.
Оно является конечномерным векторным пространством, размер-
размерность которого совпадает с порядком группы G. Это пространство
обладает двумя естественными базисами. Первый базис образован
характерами {%}, а второй—функциями {6J, b?G, где
Ьь(х)~ 1, если х = Ь,
бь (jc) = 0, если
Для каждого элемента a?G рассмотрим функцию TJ такую, что
Taf М=/ \ах)- Имеем (Та%) (Ь) = % (ab)=% (а) % (Ь), и, следовательно,
Таким образом, характер % является собственным вектором отоб-
отображения Та. Положим
Т=Е f(a-i)Ta.
ае G
Тогда Т является линейным отображением на пространстве Fr
и для каждого характера % имеет место равенство
Следовательно, % есть собственный вектор отображения Т, а зна-
значит, определитель отображения Т равен произведению по всем %
выражений 2 X (а) f (я") •
ae G
С другой стороны, рассмотрим действие отображения Т на
второй базис. Имеем ТаЬь (х) = бь (ах), так что Табь есть характе-
характеристическая функция элемента а~гЬ, и Та8ь = 8а-гЬ. Следовательног
aeG aeG
Отсюда находим выражение для определителя отображения Ту
совпадающее с правой частью доказываемого равенства. Этим
теорема 5 установлена.
Теорема 6. Для определителя из теоремы 5 имеет места'
разложение
det/(flft-») = r2/(a)l det [/ (ab^)-f(a)].
a, b laeG ]a, b Ф 1
Следовательно,
П 2%(a)f(a-*)~ det U(ab~*)-f(a)l
ХФ1 aeG а, ЪФ \

278
ПЕРВАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ФОРМУЛА И L-РЯДЫ
[ГЛ. 21
Доказательство. Пусть аг=\у а2, ..., ап—элементы
группы G. Прибавим в определителе
f
det / (а^Т) =
к первой строке остальные п—1 строк. Тогда первая строка будет
состоять из одних и тех же элементов 2/ (а~*) ==2/!(а)'
Вынося из определителя элементы первой строки, получим
[Е
laeG
1)
f
Вспомним теперь, что элемент at выбран равным 1. Вычитая
первый столбец из всех остальных, мы получим первое утвержде-
утверждение теоремы.
С другой стороны, функция / может быть выбрана таким
образом, чтобы элементы {/(a)}, a?G, были алгебраически неза-
независимы над полем Q. Поэтому разложение, указанное в первом
утверждении, можно применить к полиномиальному кольцу,
порожденному над Z переменными / (а). Объединяя первое утверж-
утверждение теоремы с теоремой 5, получаем второе соотношение, в ко-
котором произведение берется по характерам %Ф\.
§ 3» Приложение к Z,-рядам
Применим результаты из § 2 к случаю, когда G = G0 является
группой классов собственных идеалов порядка о в поле k и
где g (Л) = Bя) ~2 Na61A (a) | есть указанный ранее инвариант
класса А, определенный любым собственным о-идеалом этого
класса. Тогда
где
g{A)
-е |A(ttb-*)|
IA (a) I
Вспомним теперь следствие теоремы 5 из § 2 гл. 12, которое
утверждает, что указанное число является единицей. Тогда про-
произведение из теоремы 3 можно интерпретировать как регулятор
системы единиц.

§1] СУММЫ ГАУССА 279
Глава 22
ВТОРАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ФОРМУЛА И 1-РЯДЫ
§ 1. Суммы Гаусса
Пусть k—числовое поле и D = ofe—кольцо целых алгебраи-
алгебраических чисел поля k. Пусть f—идеал кольца о (если не оговорено
особо, понимается, что идеал содержится в о). Мы будем рас-
рассматривать суммы Гаусса, образованные характерами (обобщение
Гекке на числовые поля).
Пусть х—характер мультипликативной группы (fl/f)*. Расши-
Расширим х до функции на o/f, положив х(а) = 0, если элемент а не
взаимно прост с f.
Пусть g — идеал, делящий f. Тогда имеет место естественный
гомоморфизм D/f—>o/g, переводящий (o/f)* в (o/g)*. Если-ф—ха-
Если-ф—характер группы (о/g)*, то можно определить характер % на группе
(o/f)* с помощью композиции г|) с указанным естественным гомо-
гомоморфизмом и положить затем %(а) = 0, если а не взаимно прост
с идеалом f. Характер % группы (o/f)*, который не может быть
получен композицией указанного выше вида с характером ty для
некоторого собственного делителя g идеала f, называется собст-
собственным характером*), а идеал f в этом случае называется его
кондуктором. Функция на о, определенная указанным выше
образом по характеру на (o/f)*, называется характером по мо-
модулю f.
Характер % по модулю f является собственным в том и
только в том случае, если он удовлетворяет следующему условию:
Для каждого собственного делителя g идеала f существуют
такие целые алгебраические числа к, |л?о, взаимно простые с f,.
что X = (x(modg) и х(к)Ф%(\1).
Это сразу же следует из определения.
Пусть f—идеал кольца о и пусть b = bk/Q—дифферента поля k.
Напомним, что если о —о^ является кольцом целых алгебраиче-
алгебраических чисел, то о-1 есть множество таких элементов К ? к, что
Тг (ко) с Z, где по определению Ь~х — 0х. Приведенное выше-
условие на след эквивалентно условию е2я1Тт (Хо)= 1.
Пусть у—фиксированный элемент поля k такой, что идеал у\Ь-
взаимно прост с f. Таким образом, уЬ имеет точный знамена-
знаменатель f.
Если X ? f, то Тг (ку) б Z, и, следовательно,
e2ni 1 ш
Это доказывает вторую часть следующего тождества.
*) Такой характер часто называют примитивным.— Прим. перев.

280 ВТОРАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ФОРМУЛА И L-РЯДЫ [ГЛ. 22
GI. Пусть Х?о. Тогда
2[ 0, если Ji=?0(mod f),
z mod f \ iVf, ео/ш Я, = 0 (mod f).
Доказательство. Предположим, что A,E=?0(mod f). Ото-
Отображение гн->г—1 переставляет классы вычетов по mod f, и по
приведенному выше замечанию видим, что значение суммы не
изменяется в результате такой перестановки. Следовательно,
рассматриваемая сумма равна
e~2ni Tr (A,v) V e2ni Тг ^zv)
2modf
Но Тг(Ху) не является целым рациональным числом, так как
в противном случае мы имели бы Ху? о1 = Ь", что противо-
противоречит выбору у и условию на X. В таком случае сумма должна
равняться нулю. Свойство G1 доказано.
Для каждого характера % по модулю f определим сумму
Гаусса следующим образом:
х mod f
Нижний индекс у при Т показывает, что сумма зависит от у
и также от f. Если х^у (mod f), то Тг (хау) = Тг(уау) (modZ)
и, следовательно, каждый член в сумме определен правильным
образом. Указанная сумма зависит от выбора элемента у. Однако
в приложениях эта сумма появляется с множителем, который
снимает эту зависимость. Именно, характер % появится из ха-
характера класса лучей, и тогда можно проверить, что выражение
xCybf)
Ту (г, 1)
не зависит от выбора у, как это легко видно из следующего
свойства.
G2. Пусть %—характер по модулю f. Если элемент X взаимно
прост с f, то
Ту(%, оЛ) = х(ЬO\(Х.а)
Доказательство. Отображение хь-*хХ переставляет
классы вычетов кольца o/f, откуда утверждение следует очевид-
очевидным образом (заметим, что х^Х")-
G3. Л^усть х—собственный характер по модулю f. Если элемент
а?ъ не взаимно прост с f, то 7\(х, а)=0. Если же а—вза-
а—взаимно простой с f элемент, то
Доказательство. Предположим, что а не является вза-
взаимно простым с f, и запишем

§2] ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ L-РЯДА 281
где g — наибольший общий делитель идеалов (а) и f. Так как
X — собственный характер, то существуют такие элементы к, |i?o,
что X = [I (mod f) и %(Х)ф% Qx). Тогда
^v (X. °^) = Х (*) rv (X. °0 и rv (X. <Ч*) = Х О*) rv (X. «)-
Но ak = ajj, (mod f) и поэтому Tr (mA/y) = Tr (m(iy) (modZ). Сле-
Следовательно, T"v(x, a^) = Tv(x, a|i), и мы приходим к противо-
противоречию, которое доказывает первое утверждение.
Что касается второго утверждения, то для произвольного
z ? о, представляющего класс вычетов по mod f, имеем
Ту(х,г)Ту(%,г)= 2 xWx(j),
х, г/ mod f
причем левая часть равна нулю, если z не взаимно прост с f.
Возьмем сумму по г из o/f. Левая часть дает величину
ф(!I^(хП)|2 = ф(!)|г7(х, а)|2,
где ф (f)—функция Эйлера, указывающая порядок группы (o/f)*.
В правой части рассмотрим сумму по z в качестве внутренней
суммы. Если XE=#(modf), то каждая экспонента имеет значе-
значение 1, и, следовательно, суммирование по z для Jt = #(modf)
дает вклад
Ф (f) ЛГ|,
так как Щ есть порядок фактор-кольца o/f. С другой стороны,
эта же сумма при x^y(modf) равна по G1 нулю, и этим свой-
свойство G3 доказано.
§ 2. Выражение для L-ряда
Пусть снова k—мнимое квадратичное поле с ok = o и пусть
f—идеал кольца о, \фо. Пусть Gf = / (f)APx (f)—группа классов
лучей, где I (f)—моноид идеалов, взаимно простых с f, и Рг (|) —
подмножество множества главных идеалов (а) таких, что
a=l(modf). Пусть, далее, %—характер группы Gt.
Определим
(О, f)=rl
Пусть {Л}—элементы обычной группы классов идеалов I/P = G.
Для каждого обычного класса идеалов Л пусть Ь^ — идеал из Л,
взаимно простой с f. Тогда для каждого взаимно простого с f
идеала а?Л идеал аЬ^ = (|Л) является главным и сопоставление
a*-* (la)
задает биекцию между элементами класса Л, взаимно простыми
с {, и ненулевыми главными подидеалами идеала Ь^, взаимно

282 ВТОРАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ФОРМУЛА И L-РЯДЫ [ГЛ. 22
простыми с f. Мы можем записать
Пусть bji (f)—множество ненулевых элементов из Ь^, взаимно
простых с f. Тогда
Lf(s,%)=^NbU%(W ? -Л-. A)
Л
где до—число корней из единицы в кольце о. Найдем, следуя
Зигелю [К14], подходящее преобразование этого выражения.
Отображение, которое каждому элементу кольца о сопоставляет
его главный идеал, индуцирует инъекцию
и, следовательно, характер группы Gr- индуцирует характер
группы (o/f)*. Значение % (?) в приведенном выше выражении
для L-ряда может быть рассмотрено тогда или как значение %
на главном идеале (|), или как значение % на классе вычетов
элемента I в (o/f)*.
Лемма 1. Пусть %—собственный характер группы Gf.
Тогда
где сумма по R есть сумма по всем классам лучей R б Gf; Ъя —
фиксированный идеал в R, взаимно простой с f; w^—число кор-
корней из единицы в кольце о, сравнимых с 1 (modf); элементы 1?ЪЯ
отличны от нуля и элемент у выбран (как в § 1) таким, что
идеал yffe является целым и взаимно простым с f.
Доказательство. По свойствам G2 и G3 предыдущего
параграфа
[ ©гт(Х. 1), если (Е, f)=l,
0, если (Е
Следовательно, из A) находим
2- 2-

§2] ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ L-РЯДА 283
Заметим, что произведения Ь^г представляют все элементы
R группы
в точности по w/Wf раз. Это видно из рассмотрения последова-
последовательности подгрупп
где Z—группа корней из единицы в кольце о, a Z± (f)—под-
(f)—подгруппа тех единиц, которые сравнимы с l(modf).
Умножим и разделим найденное выражение на Nzs, чтобы
получить N(zl)s. Мы видим, что произведение z\ пробегает
элементы идеала гЬ^, когда z пробегает элементы группы (o/f)*
и \ пробегает элементы идеала Ь^. При этом, конечно, рассмат-
рассматриваются лишь ненулевые элементы. Теперь ясно, что выраже-
выражение, которое мы получили для L-ряда, переходит в выражение,
указанное в лемме.
Замечание. Предположение о том, что k есть мнимое
квадратичное поле, сделано нами лишь для простоты. Те же
рассуждения позволяют дать аналогичное выражение для случая
произвольного числового поля. Подобным же образом имеется
выражение, аналогичное тому, которое указано в теореме 1. Эти
выражения могут быть использованы при рассмотрении вещест-
вещественных квадратичных полей, как это сделано в работе Гекке
(ср. Зигель [К14]), или же при рассмотрении общих числовых
полей (см., например, [33]).
Пусть R—класс лучей в Gf и пусть Ь — идеал из этого класса,
взаимно простой с f. Определим
Ef (Я, s) = У ±
где подразумевается, что кфО. Это обозначение оправдано, так
как сумма справа не зависит от выбора идеала Ь в R, взаимно
простого с f. В самом деле, если а—другой идеал из R, то
существуют такие элементы |х, vgo, взаимно простые с f, что
ji = v(moclf) и |ift = vct. Те же рассуждения, что и в лемме из
§ Я, гл. 19, показывают, что следы в экспоненте, соответствую-
соответствующие элементам из ЬЬ! и из abf~1, сравнимы по modZ,
а мультипликативность нормы показывает, что другие члены
также не зависят от выбора идеала Ь.
Теорема 1. Пусть %—собственный характер группы Gf.
Тогда
Доказательство. Сделаем в лемме 1 замену переменного
= %у. Тогда, если X пробегает элементы идеала 7Ь = ЬЬ1|1

284 ВТОРАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ФОРМУЛА И L-РЯДЫ [ГЛ. 22
где q =='ybf, то | пробегает элементы идеала Ь. Заметим, что
% (q) = % (vbf) имеет смысл, так как идеал q взаимно прост с f.
Воспользовавшись теперь леммой и замечая, что отображение
R*->Rq переставляет классы лучей, получаем утверждение тео-
теоремы 1.
Пусть b—взаимно простой с f идеал из класса лучей R. Пусть
ЬЬ| = [г1, г2] и пусть tx^zjz^x + iy, y>0.
Элементы X g bb~xf""х могут быть записаны в виде mz1-\-nz2
с (т, п)Ф@, 0). Как обычно, дискриминанты имеют вид
Z2
а также
DFbf) = i\r(bbf-1JD(o).
Отсюда
Так как NX = Nz21 mxR + п |2, то из определения из § 5, гл.20
получаем
d/ \
ak (m, n) Ф @, 0) i
где а^Тг^) и v = Tr(z2).
Использование второй предельной формулы Кронекера дает
теперь значение функции ?f(/?, s) в точке s=l в терминах
функции Зигеля и инварианта Рамачандры.
Теорема 2. Пусть k—мнимое квадратичное поле и f — идеал,
отличный от ok. Пусть R—класс лучей по модулю f и пусть N—
наименьшее положительное целое число, содержащееся в идеале f.
Тогда
где Н—функция Зигеля из § 3, гл. 19, ft—любой идеал из класса
лучей R, взаимно простой с f, и Ф$ (R) — инвариант Рамачандры.
В частности, если %—собственный характер группы Gf, то
По всей видимости, не известно, будет ли инвариант Фг (R)
порождать поле классов лучей по модулю f. Трудность заклю-
заключается в том, что приведенная выше теорема применяется к соб-

§ 2] ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ L-РЯДА 285
ственному характеру %, тогда как необходимо аналогичное утверж-
утверждение для нетривиального характера. Если быть точным, имеет
место следующий формальный результат Рамачандры.
Теорема 3. Пусть для каждого класса лучей R по модулю f
задан элемент W (R) в классе лучей по модулю f, удовлетворяю-
удовлетворяющий условиям:
1) Y(/?)GE')=:?(/?S), где S—любой класс из Gf и o(S')~ae~
томорфизм Артина,
2) для каждого нетривиального характера % группы Gf имеет
место неравенство
2 X (Я) log |? (Я) 1=^0.
Тогда W (R) порождает поле классов лучей по модулю f.
Доказательство. Достаточно доказать, что для любого R
величина W (R) отлична от всех своих сопряженных. Далее,
ввиду 1), достаточно доказать это для R = Я0» где Ro—единичный
класс. Предположим, что имеется класс S=?R0, для которого
W(R0S) = 4(R0). Тогда 4(RS) = 4(R) для всех R. Пусть % —
характер группы GT, который не тривиален на S и, следова-
следовательно, на подгруппе <S> = {S''}, порожденной классом S. Пусть
\R{\ — представители смежных классов фактор-группы Gf/<S>,
Тогда
2 х (Я) log | v (/?) | = 2 2 х (Я/50 log | w (я^о I =
ReGf ft
поскольку 2% E0 = 0, и мы приходим к противоречию, которое
i
доказывает теорему.
Взяв подходящее произведение инвариантов Of/e при g/f, Pa-
мачандра построил такие инварианты "У (Я), которые удовлетво-
удовлетворяют условиям теоремы 3.
Рамачандра определил также закон разложения числа Of (Я),
показав, что если f есть степень простого идеала, скажем #, то
где т—некоторое целое числа, а если f не является степенью
простого идеала, то <Pf (Я) есть единица. Для доказательства
этого факта он использовал рассуждения, подобные тем,
которые применялись в данной книге для доказательства анало-
аналогичного результата для А-функции, а также тонкие результаты
Хассе (воспроизведенные в книге Дойринга [К1]) относительно
степеней простых идеалов, входящих в такие величины. Мы не
будем приводить доказательство указанного результата, а под-
подчеркнем только аналогию с ранее рассматриваемым случаем и не

286 ВТОРАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ФОРМУЛА И L-РЯДЫ [ГЛ. 22
забудем аналогию с простейшим случаем корней из единицы, для
которого мы знаем, что если ?—примитивный корень степени N
из единицы, то 1 — ? является единицей, если N не есть степень
простого числа, и в противном случае 1—? имеет очевидный
порядок в р.
Гекке изучал значение L-ряда в точке s=l для веществен-
вещественных квадратичных полей (ср. [К8], [К14]). В этом случае отсут-
отсутствует трансцендентный член, подобный логарифму от трансцен-
трансцендентной функции, а появляется рациональное число, которое
интересно было бы вычислить точно. Подобные результаты должны
иметь место для других числовых полей. (Точные гипотезы чи-
читатель может найти в докладе Старка на Международном кон-
конгрессе в Ницце, 1970.) Данную главу можно рассматривать как
введение в указанный круг вопросов посредством изучения пер-
первого нетривиального случая, возникающего вслед за круговым
случаем.

Приложения
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ В ХАРАКТЕРИСТИКЕ р
Два приложения составляют по существу часть пятую книги
и концентрируют внимание на результатах, относящихся собст-
собственно к характеристике р.
Первое приложение дает основные формулы, описывающие
эллиптические кривые алгебраическими средствами. Нормальные
формы были указаны Дойрингом [8]. Удобный, полный, систе-
систематический список этих форм и автоморфизмов дан Тейтом, чья
(неопубликованная) работа воспроизведена здесь (см. также [41]).
Второе приложение связывает эндоморфизм Фробениуса с р-м
коэффициентом в разложении дифференциала первого рода. Это
приложение содержит три основных момента (обсуждение «фор-
«формальных групп» в § 1, операция Картье и инвариант Хассе),
которые логически не зависят друг от друга и с которыми чи-
читатель может ознакомиться в любом порядке.
Предполагается, что читатель знаком с основными фактами
теории функциональных полей от одного переменного, например,
с теоремой Римана—Роха для полей рода 1.
Приложение 1
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
В ПРОИЗВОЛЬНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ
Дж. Тейт
§ 1. Обобщенная форма Вейерштрасса
Пусть К—поле. Эллиптическая кривая над полем К есть
связная, гладкая, собственная алгебраическая кривая Л над
полем К рода 1. Абелево многообразие размерности 1 над полем
К есть то же самое, что и эллиптическая кривая А с выделен-
выделенной на ней /(-рациональной точкой О. Если задана кривая Л,
то существуют такие функции х и у на Л, определенные над
полем /С, что х (соответственно у) имеет двойной (соответственно
тройной) полюс в О и не имеет никаких других полюсов. Кроме
того, если соФО—дифференциал первого рода на Л и © = Л+ ...
есть его разложение по степеням униформизующего параметра
в точке О, то можно считать (после умножения х и у на под-
подходящие константы), что x=t~2-\-..., у = — t~s~\-... .Тогда
при проективном вложении с помощью дивизора 3 (О) уравнение

288 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ [П. 1
кривой А будет иметь вид
у2 + а1ху + агу = х3 + а2х2 + а^х + а„ A.1)
где а€.%- Условие однородности, а именно: функция у имеет
вес 3* х—вес 2 и at имеют вес i,—означает, что если мы заме-
заменим со на и®, то х заменится на игЧ, у на а*/ и т. д.
Если дано уравнение вида A.1), то определим соответствую-
соответствующие величины 62, 64, 6в, 68, с^ сл, А и / следующими формулами:
*
с4=&2—2464, ^6= — ЬЦ-3662&4—2166в, A.3)
д = _ b!b8—8bt—27bl + 9b2b,bG, A.4)
3
/ = -~- (если А обратим). A.5)
Эти величины связаны соотношениями
4b8=b2b6—bi и 1728А = с2—с\. A.6)
Если характеристика отлична от 2 или 3 и если положить
A.7)
то уравнение A.1) примет вид
ч1-* 3+т-2+т
Связь с классической теорией Вейерштрасса задается в виде
1=9 (и), c, = l2g2i &=gl-27gl
2т)=Г(и), св=216г„ /=1728/ A>У)
и (d = 7p=du (см. ниже).
Первые результаты даются следующими теоремами.
Теорема 1. Плоская кубическая кривая A.1) является гладкой
{и, следовательно, определяет абелево многообразие А размерно-
размерности 1 над полем К с начальной точкой О в бесконечности) в том
и только в том случае, если Д^О. При выполнении последнего
условия дифференциал первого рода со задается в виде
dx = dy = dy(] Ю\
где
F'y
есть уравнение кривой.
Теорема 2. Пусть А и А'—абелевы многообразия раз-
размерности 1 над полем К, заданные уравнениями вида A.1), и

UJ обобщенная форма вейерштрасса 289
пусть j и /' — их «инварианты». Тогда А и А' изоморфны над
некоторым расширением поля К в том и только в том случае,
если / = /'. При выполнении этого условия они изоморфны над
сепарабельным расширением, степень которого делит число 24
и равна на самом деле 2, если ]фО и /^=1728.
Теорема 3. Для каждого j?K существует абелево много-
многообразие А размерности 1 над полем К с инвариантом j. Если
}фО, /^1728, то А может быть задано, например, уравнением
A.12)
для которого
c —r — ] и A= l*
4 — '-б — у — 1728 (/ —1728K *
Теорема 4. Группа автоморфизмов абелева многообразия
размерности 1 конечна. Ее порядок делит число 24, а если j фО,
]'ф 1728, то порядок этой группы равен 2 и порождающим эле-
элементом служит автоморфизм х^^хи у^>—у—агх—а3 (т. е.
)
Эти теоремы (и даже их более точные варианты) могут быть
доказаны с помощью прямых подсчетов, если рассматривать наи-
наиболее общую допустимую замену координат в A.1). Это делается
следующим образом. Пусть А и А' — абелевы многообразия раз-
размерности 1 над /С, заданные уравнениями у2-\-агху-[-... =0 и
у'2 + а[х'у'+ ... =0, и пусть /: А' ^ А — изоморфизм этих кри-
кривых, определенный над полем К. Тогда имеются такие элементы
ag/C* и г, s, t?K, что
(Oo/ = tt-V. A.13)
Коэффициенты а\ связаны с а{ следующим образом:
u2a2 = a2—sax + 3r—s2,
u*al = a4 — sa3 + 2ra2—(t + rs) аг + 3r2—2st =
= -F'x{r, t) — sF'y(r, t),
uQaf6==af. + rai + r2a2 + rs — ta3 — t2—rta1 = — F(r, t).
Далее,
A.15)
u% = b8 + 3rb6 + Sr% + r% + 3r4,
и тогда
u% = Ct, u% = c6, a12A' = A. A.16)

290 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ [П. 1
Следовательно, /' = / на самом деле является инвариантом; j (А)
зависит лишь от класса изоморфности многообразия Л, а не от
частного выбора уравнения A.1), определяющего Л.
§ 2. Канонические формы
Пусть р—характеристика основного поля К. Рассмотрим
случай рф2, 3. Тогда всегда можно выбрать координаты таким
образом, чтобы кривая А задавалась уравнением
B, co = |, B.1)
и
с4 = - 48а4, с6 = - 864аб, А = - 16 Dа43 + 27а§). B.2)
Кривая вида A.1) является гладкой в бесконечно удаленной
точке О, и она будет гладкой всюду в том и только в том слу-
случае, если многочлены F, F'x и F'y не имеют общих нулей. В слу-
случае уравнения вида B.1) при рф2 это условие равнозначно
тому, что многочлены G (х) = Xs + а±х + а6 и G' (х) = 3х2+а^ не
имеют общего корня, а так как A = 16D(G), где D (G)—дискри-
(G)—дискриминант многочлена G, то это равносильно тому, что А=^=0, как
в теореме 1.
Пусть кривые Л и Л' заданы уравнениями вида B.1) с оди-
одинаковыми инвариантами / = /'. Тогда изоморфизм /: А' ^ А за-
задается в виде
Xof = u2x^ yof = uzy>y B.3)
где и таково, что и^а\ = а^ и и6а'в = а6.
Предположим, что /=т^=0, /=7^=1728 (т.е. а4=^=0, а6ф0). Тогда
кривые Л и Л' изоморфны лишь в том случае, если a^a\ia\a^
есть квадрат. Наименьшим полем, над которым кривые Л и Л'
становятся изоморфными, является поле, полученное присоеди-
присоединением к полю К квадратного корня из этой величины. Авто-
Автоморфизмы кривой Л задаются значениями a = 4hl.
Пусть / = 1728 (т. е. аб = 0). Тогда кривые Л и Л' изоморфны
над К в том и только в том случае, если aja[ ? (/С*L. Автомор-
Автоморфизмы кривой Л соответствуют тем значениям и, для которых
м4=1. Типичной кривой такого вида является кривая, заданная
уравнением f/2 = x3—х.
Пусть / = 0 (т. е. а4=0). Тогда А^А' лишь в случае, если
#в/#б € (^С*N- Автоморфизмы соответствуют таким и, что а6 = 1.
Типичная кривая задается уравнением уг = хг—1.
Пусть теперь р = 3. В этом случае (и в более общем случае,
если рф2) кривую Л можно записать в виде
G{xL ® = -y. B.4)

§2J КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ 29]
Используя то, что /7=3, находим
Здесь снова А—дискриминант многочлена G (х) с точностью до
обратимого множителя, так что неравенство Л=?0 является до-
достаточным условием для гладкости.
Пусть А и А' — кривые вида B.4) с /=/'.
Предположим, что ]фО (т. е. а2ф0). Тогда можно обратить
в ноль коэффициент при х и получить приведенную форму для А
B.6)
Автоморфизм /: А' ^Х А задается следующим образом:
xof = u*x'f yof = u*y\ B.7)
где и2а2 = а2. Следовательно, А' = А в том и лишь в том случае,
если aja'z ? (/С*J, а автоморфизмы соответствуют а = ±1-
Предположим, что / = 0 (т. е. а2 = 0). Приведенная форма:
+ав, А=-а1 со=^ . B.8)
Изоморфизмы:
xo/=A'+r, yof = u3y', B.9)
где а4а4 = а4, и6а'& = а6 + га^ + г3. Следовательно, кривые Л и А'
изоморфны лишь тогда, когда (aja±) ? (/С*L и (а4/а4K/2<2б—ае =
= г3 + га4. Это всегда выполняется над сепарабельным расшире-
нием, степень которого делит 12. Автоморфизмы кривой А за-
задаются наборами (и, г) такими, что:
+ 4 = 0 и и = ±1,
или
г3 + а4г + 2а6 = 0 и u=±i. B.10)
Над сепарабельным замыканием поля К эти наборы образуют
группу порядка 12, которая является полупрямым произведением
С4 (циклической группы порядка 4) и С3, где С3 — нормальная
подгруппа, на которую элементы из С4 действуют единственным
нетривиальным образом—сопряжение С3 с помощью порождаю-
щего элемента группы С4 переводит элементы из С3 в их обратные.
Типичной кривой такого вида является кривая у2 = д;3 — х.
Автоморфизмы в этом случае соответствуют значениям #4=1,
гз_г = о (т. в. rgF3).
Пусть /7 = 2. В этом случае ^1 = % (см. A.14)) и с^=Ь\ = а\
(см. A.2) и A.3)). Следовательно, / = 0Ф^а1=0.
Пусть а±ф0 (т. e. j?=0). Тогда, выбирая подходящим об-
образом г, s и /, можно добиться, чтобы ах=1, а3=0, а4 = 0.

292 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ [П. 1
Следовательно, кривая Л может быть задана в виде
co = ^, B.11)
&2 = 1, &4 = &6 = 0, 68 = а6, с4 = 1, А = а6, j =1/ав.
Многочлены F'x = y-\-x* и Fy = x имеют единственный нуль при
х = у = 0, и он лежит на кривой лишь тогда, когда а6=Д = 0.
Следовательно, условие А^О есть условие гладкости. Изомор-
Изоморфизмы:
xof = x\ yof = y' + sx',
где
—s, a; = a6. B.12)
Кривые Л и Л' с одним и тем же / изоморфны в том и только
в том случае, если а2—a2=s2—s. Последнее соотношение выпол-
выполняется над сепарабельным расширением поля К степени ^2.
Группа автоморфизмов кривой Л состоит из двух элементов,
соответствующих s = 0 и s = l. Типичная кривая имеет вид
Пусть аг=0 (т. е. / = 0). Выбирая подходящим образом эле-
элемент г, можно добиться, чтобы а2=0. Тогда кривая А задается
уравнением
со = ^, B.13)
Так как Ffx = x2 + a^ и Fry = az, то кривая будет гладкой тогда и
только тогда, когда адф0, т. е. А=^0. Кривые Л и Л' с одним
и тем же / изоморфны лишь в случае, если следующие уравне-
уравнения разрешимы относительно и, s и t:
B.14)
Эта система разрешима над сепарабельным расширением поля К
степени не выше 24. Типичной кривой такого вида является
кривая
У2—У =хъ.
Ее группа автоморфизмов (над сепарабельным замыканием поля К)
имеет порядок 24, и элементы этой группы соответствуют набо-
наборам (и, s, t) таким, что а3=1, s4 + s = O и t2 t + 2 O

§3] РАЗЛОЖЕНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ О. ФОРМАЛЬНАЯ ГРУППА 293
Эта группа изоморфна полупрямому произведению циклической
группы порядка 3 с кватернионной группой. Кватернионная
группа является нормальной подгруппой, и действие на нее группы
порядка 3 задается очевидным образом.
§ 3. Разложение в окрестности О. Формальная группа
Пусть кривая А определена уравнением Вейерштрасса A.1).
Положим
X 1 Z 1 /о i\
2== w = , так что х — —, и = . C.1)
Уравнение кривой А в аффинной (г, ^-плоскости будет тогда
w = г3 + #1^ + a2z2w + a3w* + a^zw2 + a6w*. C.2)
Точка О имеет координаты (г, w) = @, 0) и г является локаль-
локальным параметром в точке О. Из C.2) получаем формальное раз-
разложение
w = г3 + а^ + (at + а2) г5 + (al + 2ага2 + а,) г* +
2+...), C.3)
где Ап—многочлен веса п от а( с целыми положительными коэф-
коэффициентами. Из C.3) и C.1) получаем формальное разложение
для х и у:
x = z-2—a1z-1—a2—a3z—(a4 + a1a3)z2+ ..., „
y^ — z-iXz= — г'—а^-2 + ... . { }
Ясно, что коэффициенты этих разложений лежат в кольце
Z[aly a2, а3, а4, а6]. То же самое справедливо для разложения
инвариантного дифференциала со:
(d^H(z)dz, C.5)
где
Я (z) = 1 + а,г + (п\ + а2) z2 + (al + 2аА + 2а3) г3 +
+ (at + 3afa2 + 6аЛ + ai + 2a,) z* + ...,
так как выражение
со __ dx/dz __— 2г-3+-- dy/dz =— Зг~4+. ¦.
dz ~ 2у+агх+ а3 ~ —2г+ ... ~~ З
имеет коэффициенты в ZU-, fl^, ..., fle , а также в кольце
Z l-g-, Ог, . . -, ^6J.
Наконец, если Рд^Л + ^г и Pi = (zh wd> то" можно выразить
zB = F(z1, z2) в виде формального степенного ряда от zx и г2
с коэффициентами из кольца Z[al9 ..., а6]. Это разложение имеет

294 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ [П. 1
следующие начальные члены:
F (гх, гя) = гг + z2- а^2-а2 (zjz2 + г1г2)-
- 2а3 (г?г2 + zxzS) + (о^ - За3) z'zj +... C.6)
и приводит нас к «формальной однопараметрической группе»,
связанной с кривой А,
Для каждого целого п ^ 1 имеем формально
г(пР) = Цп(г(Р))у C.7)
где ряд я|)п определяется индуктивным образом
ik(z) = z, *n+i(z) = F(z,i|)l,B))- C-8)
Например, мы имеем
фя(г) = 2z-aiz2- 2a2z* + {ага%- 7а3) z4+ ... C.9)
и
г|?3 (г) = 3г-3а1г2+(а1-8а2) г3 + 3 DаА-13а3)г4+ C.10)
В характеристике р > 0 ряд ^ имеет вид
где с^фО и h—целое число, равное 1 или 2, так как изогения
рб; А—>А
имеет степень р2 и не сепарабельна.
Это означает, что z о р8 лежит в несепарабельном подполе
степени р или р2 поля функций кривой А. Утверждение следует
отсюда очевидным образом.
Упражнение. Пусть р = char (К) является произвольным
и пусть /?/С, /=7^=0, / =7^1728. Пусть, далее, Aj—абелево мно-
многообразие размерности 1 над полем/С, заданное уравнением A.12),
т. е. уравнением
2 I _ 3 36 *
У +ХУ — Х —j__i72sX~j—\728'
Покажите, что для каждого сепарабельного квадратичного рас-
расширения L поля /С существует такое абелево многообразие Лл L
размерности 1 над полем /С, что A/yL изоморфно многообразию
Aj над полем L, но не изоморфно Aj над /С, и что Ajt L одно-
однозначно определяется с точностью до изоморфизма по / и L. По-
Покажите также (обозначая А (К) группу /С-рациональных точек
на Л), что имеет место равенство
где а—нетривиальный автоморфизм расширения L//C (и где
— Р=(х, —у — с^х — па), если Р = (х, у)).

§ И СЛЕД ФРОБЕНИУСА 295
Приложение 2
СЛЕД ФРОБЕНИУСА И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ПЕРВОГО РОДА
§ 1. След Фробениуса
Теорема 1. Пусть А—эллиптическая кривая, определенная
над простым конечным полем Fp характеристики р, и пусть
t—локальный параметр в начальной точке в поле функций Fp(A).
Пусть со—дифференциал первого рода в поле Fp (А) с разложением
v=l
нормализованным таким образом, что сг=1. Пусть, далее,
п = пр—эндоморфизм Фробениуса кривой А. Тогда
со о л' = ср(?> и to (рд) == cptP (mod t2P).
Доказательство. Поднимем уравнение эллиптической
кривой до уравнения над кольцом целых чисел Z. Тогда кривую
в характеристике р будем обозначать А, а А — ее поднятие.
Мы делаем это наивным образом, поднимая коэффициенты в урав-
уравнении Вейерштрасса, если рф2, 3, или же в нормализованном
уравнении, если /7 = 2, 3. Обозначим t параметр в начальной
точке О, a t—параметр в нача ной точке О, который редуци-
редуцируется к t. Тогда
и дифференциальная форма ш на А имеет разложение
V=l
где cliee= 1 (mod/?).
С одной стороны, мы имеем
со о (р8) = /7(о = ph (t) dt.
Пусть o = Zip)—локальное кольцо для Z в р. Существуют такие
степенные ряды U (t)9 V(t) ?o[[t]], что
to(p8)**U(tP)+pV(t),
так что с другой стороны,
ph (t) dt = h(U (tf) + pV (/)) (?/' (tP) ptP-* + pV @). A)
Пусть зт + я' —fr Так как
Jo nr = j 11

296 СЛЕД ФРОБЕНИУСА И ДИФФЕРЕНЦИАЛ 1-ГО РОДА [П. 2
и так как яя' = рб, то
U (tP)=gptP (mod t*P), B)
где gp == fp (mod p). Разделим обе части равенства A) на р и рас-
рассмотрим полученное равенство по mod/? и по mod tP одновременно.
Нас интересует коэффициент при tP'1. Множитель h (U (tp)-\-V (t))
сравним с 1. Постоянный член в U' (tP) равен gpj a V' (t) не имеет
члена степени р—1. Сравнивая тогда коэффициенты при №~г,
находим, что
Теорема доказана.
Данное доказательство принадлежит Тейту и обобщается на
формальные группы. Другое доказательство, основанное на исполь-
использовании нормальной формы Вейерштрасса, читатель найдет в ра-
работе Ю. И. Манина [30].
Во всех последующих параграфах этого приложения рассмот-
рассмотрения ведутся в характеристике р. В то время как в данном
параграфе редуцированная эллиптическая кривая рассматривалась
над простым полем, в дальнейшем мы будем иметь дело с общим
случаем эллиптических кривых в характеристике р.
§ 2. Двойственность
Пусть К—поле функций эллиптической кривой в характери-
характеристике р над алгебраически замкнутым полем констант k0. Пусть,
далее, {Р}—точки кривой в поле kQ (другими словами—«точки»
поля К над kQ). Обозначим Кр пополнение в «точке» Р. Адель ?
поля К есть элемент ограниченного топологического произведения
JJ/Cp такой, что компоненты |я являются Р-целыми для почти
всех Р. Группа аделей обозначается А. Между дифференциаль-
дифференциальными формами и аделями имеется спаривание, задаваемое сле-
следующим образом:
(со, |)н-»<со, g>=2
Теорема 2. Пусть со—дифференциал первого род2 в поле /С.
Пусть Q—произвольная точка кривой Л, t—локальный параметр
в Q и пусть со имеет разложение
нормализованное таким образом, что сг=\. Тогда для любого
аделя g имеет место равенство
<со, Ър>=ср«о, ly.

§3] СЛЕД ТЕЙТА 297
Доказательство. Мы предполагаем, что читатель знаком
с доказательством Вейля теоремы Римана—Роха (приведенным
в книгах по алгебраическим функциям Артина, Шевалле и Ленга).
Обозначим А @) группу целых аделей (т. е. аделей, у которых
\р являются целыми для всех Р). В доказательстве Вейля тео-
теоремы Римана — Роха среди всего прочего показывается, что
где квадратные скобки означают размерность фактор-простран-
фактор-пространства А/(А @) -{-/С) над полем констант kQ. Поэтому это фактор-
пространство порождается аделем
*! = (..., 0, 1//, 0, ...),
имеющим во всех компонентах 0, кроме Q-компоненты, в кото-
которой v\q— i/t. Так как со—дифференциал первого рода, обе части
формулы, указанной в теореме, равны нулю, когда адель ? лежит
в А @)-{-/(. Кроме того, обе части р-степенным образом линейны
относительно констант. Следовательно, достаточно доказать фор-
формулу для случая ? = г). Но в этом случае она очевидна.
§ 3. След Тейта
Этот параграф является подготовительным к следующему па-
параграфу, посвященному оператору Картье, и содержит леммы,
касающиеся чисто несепарабельных расширений степени р. Пусть
К—поле характеристики р и пусть к—алгебраический, чисто
несепарабельный элемент над полем /С, так что хр является
элементом поля /С, но х^К. Каждый элемент у поля К (х) един-
единственным образом может быть представлен в виде
Определим отображение, заменяющее след,
и выясним, следуя Тейту [42], свойства Sx.
Заметим вначале, что для O^i^p—1 имеют место равен-
равенства yi=zSx(yxP"~1"i) и, следовательно,
y Hx(y)
i=0
Кроме того, отображение 5^ является /С-линейным, а значит,
оно линейно по отношению к р-м степеням в поле К(х).
Если / (X)—многочлен от переменной X над полем /С, то,
как обычно, f (X) обозначает его формальную производную.
Тогда можно определить отображение

298 СЛЕД ФРОБЕНИУСА И ДИФФЕРЕНЦИАЛ 1-ГО РОДА [П. 2
Если f(x) = 0, то многочлен f(X) делится на Хр—а, где
а^хР, а тогда /' (х) = 0. Отсюда сразу же следует, что это ото-
отображение является дифференцированием поля К (х) и является
единственным дифференцированием, тривиальным на К и отобра-
отображающим х в I. Обозначим это дифференцирование Dx. Если
элемент у?К(х) представлен указанным выше образом, то
Степени х\ О^л^/?—2, могут быть «проинтегрированы» так,
что элемент у?К(х) можно записать в виде y = Dxz при неко-
некотором z(tl((x) в том и лишь в том случае, если ур_т1 = 0. Мы
имеем следующие свойства.
51. SXDX = O.
52. Sx(yP~1Dxy) = (Dxy)Py или, что то же самое, Sx(Dxy/y) =
= (Dxy/y)P.
Доказательство. Свойство S1 очевидно.
Обозначим R множество элементов у?К(х), для которых S2
выполняется, и заметим, что R является ядром аддитивного ото-
отображения
Ненулевые элементы множества R образуют мультипликативную
группу. Кроме того, если y€R, то y-\-l?R. В самом деле,
(у-\-\)Р~Юху—ypDxy состоит из членов, которые могут быть
проинтегрированы, так что
и Dxy = Dx(y-{-l). Наконец, если у, z?R и гфО, то у+г =
= z (гу-\-1) ?R. Следовательно, R является полем, содержащим
/Сил;. Свойство S2 доказано.
S3. Пусть К(х)=К (w). Тогда Sw (z) = Sx (z (Dxw)^p) для всех
K или, другими словами,
Sx(zDxw)^Sw(z)(Dxw)P.
Доказательство. Обе части формулы К-линейны по пе-
переменной z. Следовательно, достаточно доказать ее для случая,
когда z = o>', 0^/^р—1, или, что то же самое, достаточно
доказать справедливость равенства
Если i < р—1, то w{Dxw = Dx (wi+1/(i+ I)) (т. е. выражение wl'Dxw
может быть проинтегрировано), и обе части формулы равны нулю.
Если i=-p—1, то левая часть равна (Dxw)p, а это выражение
равно по S2 правой части. Этим свойство S3 доказано.
В следующем параграфе будет дана более естественная интер-
интерпретация свойства S3 в терминах дифференциальных форм.

§4] ОПЕРАТОР КАРТЬЕ 299
§ 4. Оператор Картье
Пусть k0—совершенное поле характеристики р > 0 и пусть
kQ(t)—чисто трансцендентное расширение поля k0 от одной пере-
переменной t. Тогда kQ (Ol/p = ^o (t1/p)- Аналогично тому, как мы уже
видели в § 4, гл. 9, если К—поле функций от одной перемен-
переменной над k, то К имеет единственное чисто несепарабельное рас-
расширение степени р, а именно К1/р. Можно посмотреть на этот
факт другим образом, и рассматривать поле Кр как единственное
подполе поля /С, над которым К является чисто несепарабельным
степени р. Если х—такой элемент поля /С, что х^КрУ то
К=Кр(х).
Пусть х 6 К- Обозначим dx функционал на дифференцированиях
D поля /С, тривиальных на kQy заданный спариванием
(dx, D)*->Dx.
Тогда дифференциальная форма & = ydx также является функ-
функционалом, значение которого в D есть #Дх; = <со, D>. Если К —
поле функций от одной переменной над совершенным полем кон-
констант kQ и если х(^Кр1 то существует такое единственное диф-
дифференцирование D = DX поля К, тривиальное на k0, что Dx = l.
Произвольная дифференциальная форма поля К может быть за-
записана тогда при некотором у?К в виде ydx, или, другими
словами,
о) = (У$ + Урх + ... + у*-!**-1) dxy yt ? К-
Определим оператор Картье С на дифференциальных формах,
положив
С(о = уршл1с1х.
В терминах следа Тейта это определение записывается в виде
C(ydx) = Sx(yI/pdx.
Формула S3 показывает, что значение Ссо не зависит от пред-
представления дифференциальной формы, т. е. мы получаем то же
самое значение, если запишем форму в виде zdw при некотором
Оператор Картье очевидным образом аддитивен и линеен от-
относительно простого поля. Если z—произвольный элемент поля /С,
то справедливы следующие свойства:
С1. С (г?®) =
С2. C(dz) =
С4. C(zP~1dz) = dz.
С5. C(z"-1dz) = 0, если (п, р) = \.

300 СЛЕД ФРОБЕНИУСА И ДИФФЕРЕНЦИАЛ 1-ГО РОДА [П. 2
Первое свойство очевидным образом следует из /Ср-линейно-
сти Sx. Если z?Kp, то dz=0. Если же z^Kp, то применим
определение оператора Картье к формам dz и zP~1dzi подставляя
z вместо х. Тогда получим С2 и С4. Далее, свойство СЗ следует
из С4 и С1, а свойство С5 следует из С2 и из того факта, что
zn-1dz = d(zn/n).
Полезно разложить дифференциальную форму co = z/d;t в сумму
где /, g(zK. Существование такого разложения очевидным обра-
образом следует из того, что члены ур{хс, 0^/^р—2, могут быть
проинтегрированы. Единственность также очевидна. Если форма со
записана таким образом, то
Сб. Если дифференциальная форма со регулярна в некоторой
«точке» поля К над k0, то форма Ссо также регулярна в этой
«точке».
Доказательство. Будем считать, что х является локаль-
локальным параметром в данной «точке». В выражении co = #dx все
коэффициенты ур должны быть регулярны в этой «точке». В про-
противном случае yptx1' имеет полюс порядка mtp—i, где mt > 0 —
целое число, и этот полюс не может быть уничтожен никаким
другим полюсом выражения у$+ ... + у^-гХР.
Заметим, что при расширении поля констант рассматриваемого
поля функций определение оператора остается тем же самым, и
без уменьшения общности можно считать, что поле констант kQ
алгебраически замкнуто.
С7. Пусть Р—«точка» поля К над kQ. Тогда
ReSpCco=(RespcoI^.
Доказательство. Выберем х в качестве локального пара-
параметра в «точке» Р и запишем
так что Ca = gdx. Раскладывая теперь g в степенной ряд
мы видим, что Respco=^x, и тогда RespCco (Respco)/.
В терминах двойственности между дифференциальными фор-
формами и аделями свойство С7, учитывая С1, можно выразить
следующим образом:
<Ссо, ?>'=<©, &>.

§4] ОПЕРАТОР КАРТЬЕ 301
Теорема 3. Пусть К — поле функций кривой рода 1 (эл-
(эллиптической кривой) над алгебраически замкнутым полем кон-
констант kQ характеристики р. Пусть со—дифференциал первого
рода в поле К и пусть
ос
v^ ndx ,
— его разложение по степеням локального параметра х?К в
некоторой «точке» поля К. Тогда с1ф0, и если со нормализо-
нормализовано таким образом, что с1=1, то С(х) = ср^.
Доказательство. По С6 имеем, что Ссо = оо при неко-
некоторой константе с. С другой стороны, оператор Картье непреры-
непрерывен, очевидно, в топологии, индуцированной на К дискретным
нормированием, возникающим из «точки» поля /С. Тогда по С4
и С5 находим
Это приводит к равенству сс1 = ср. Если бы с — О, то дифферен-
дифференциал первого рода имел бы нуль в данной «точке», а в силу
инвариантности при сдвигах он имел бы нуль в каждой «точке»,
что невозможно. Стало быть, сфО1 и теорема доказана.
Те же рассуждения приводят к соотношениям
Спр —СрСп-
Такие соотношения для сравнений были найдены Аткином и
Свиннертоном-Дайером, которые предположили также выполни-
выполнимость указанных выше равенств. Серр заметил, что для доказа-
доказательства этих соотношений можно использовать оператор Картье.
Относительно указанных соотношений см. доклад Картье на
Международном конгрессе математиков 1970 г.
Теорема 4. Пусть К — поле функций от одной перемен-
переменной над алгебраически замкнутым полем констант характерис-
характеристики р и пусть со—ненулевая дифференциальная форма в поле К'.
Тогда:
1) Ссо = 0 в том и только в том случае, если существует
такой элемент z?/C, что co = dz;
2) Ссо = со в том и лишь в том случае, когда существует
такой элемент г?КУ что (d = dz/z.
Доказательство. Указанные утверждения равносильны
обращению свойств С2 и СЗ. Если Ссо = 0, то из разложения
следует, что g = 0 и тогда co = d/\ Этим первое утверждение
доказано.

302 СЛЕД ФРОБЕНИУСА И ДИФФЕРЕНЦИАЛ 1-ГО РОДА [П. 2
Доказательство второго утверждения несколько сложнее. Оно
равносильно тому, что существует такой элемент г?/С, что для
любого дифференцирования D поля К над полем констант мы
имеем <со, D> = Dz/z. Если (?> = ydx, то указанное соотношение
достаточно доказать для D = DX, и тогда задача сводится к тому,
чтобы показать, что элемент yDx поля К является логарифмичес-
логарифмической производной. Для доказательства этого утверждения отно-
относительно элемента w?K достаточно доказать, что существует
такой элемент г ? /С, что
поскольку в таком случае wz-\-Dz=0 и
Dz DzP-1
w = = -
г zP
Если w?K, то обозначим L (w) линейное отображение, соот-
соответствующее умножению на w.
Лемма. Пусть К—поле характеристики р, ш?/С, и пусть
D—дифференцирование поля /С. Тогда
(L (w) + D)p = L (w)p + Dp + L(Dp-1w).
Прежде чем доказывать лемму, покажем, каким образом из
нее следует второе утверждение теоремы 4. Положим в указан-
указанных выше обозначениях w=yDx и D = DX. Тогда D? = 0. Из
разложения w=df-)rgpdx/x видно сразу же, что
Далее, из предположения Ссо = со следует, что а^= — О^-1а, и
тогда
Этим второе утверждение доказано.
Остается доказать лемму. Пусть «, v—элементы некоторого
кольца (не обязательно коммутативного) характеристики р. Обо-
Обозначим L = L(u) и R = R(u) соответственно левое и правое умно-
умножение на и. Тогда L и R коммутируют друг с другом, и
Если t—новая переменная, то имеем
р-1
(tu + v)p = tPuP + i^+2 ci (и.v)tl
i= 1
с соответствующими коэффициентами Ci(u,v).
Заменяя теперь t на t-\-h и рассматривая в соответствующем
разложении коэффициент при h (т. е. дифференцируя по t), мы

§4] ОПЕРАТОР КАРТЬЕ 303
получаем
2 (tu + vYu(tu + v)P-1-?= ^ic^v)^.
i = 0 t = 1
Обозначая теперь Adu оператор вида
(Ada) (v) = uv—vu = (L—R) (v),
мы видим, что
(Ad(tu + v))P-1(u)= 2 iCiiUtV)^-1.
i = i
Положим теперь в кольце эндоморфизмов поля К (как аддитив-
аддитивной группы) u = L(w) и v = D. Из формулы
|Х(ш)+1>, L(z)] = L(Dz)
видно, что
(Ad (tL (w) + D))p^{L(w)) = L (D^1^)
и, в частности, что это выражение не зависит от t. Отсюда сле-
следует, что
Ci(L(w), D)=0 при i> 1.
Наконец, положив ^—1, получаем для u = L(w), v*=*Dy что
(u, v),
а так как, по доказанному выше, сг (и, v) = L(Dp~1w), to это
дает утверждение леммы и доказывает теорему 4.
При изложении данного параграфа мы следовали работе Картье
(Cartier P. Sur la rationalite des diviseurs en geometrie algeb-
rique. —Bull. Soc. Math. France A958), pp. 177—251).
Пусть А—эллиптическая кривая, определенная над простым
полем Fp. Если кривая Л и ее эндоморфизм Фробениуса полу-
получены редукцией по mod/7, как в § 1, то cp = fp, и, следова-
следовательно, класс вычетов элемента fp может быть определен из
локального разложения дифференциала в какой-либо точке. Если
опустить редукцию по mod /?, то необходимо вместо нее ввести
в рассмотрение инварианты Хассе, которые будут обсуждены
в следующем параграфе. В любом случае мы видим, что если
кривая А определена над Fp, то
Ссо = со о л'.
Оператор Картье является перестановкой эндоморфизма Фро-
Фробениуса.
В частности, равенство Ссо=0 имеет место тогда и только
тогда, когда эндоморфизм л' является чисто несепарабельным, а
это означает, что кривая А суперсингулярна, т. е. не имеет
точек порядка р.

304 СЛЕД ФРОБЕНИУСА И ДИФФЕРЕНЦИАЛ 1-ГО РОДА [П. 2
С другой стороны, пусть кривая А не суперсингулярна.
Тогда ср является редукцией целого рационального числа vmod/?,
где I^v^/?<1. Запишем v в виде v = bx~P при некоторой
константе Ъ. Тогда формализм оператора Картье показывает, что
С (ко) = ко.
Другими словами, можно нормализовать дифференциал первого
рода со таким образом, что он остается неподвижным под дейст-
действием оператора Картье. Таким образом, два случая теоремы 4
соответствуют сингулярному и суперсингулярному случаям соот-
соответственно, т. е. дифференциал первого рода (нормализованный
подходящим образом) является логарифмическим или точным
соответственно тому, будет ли эллиптическая кривая сингуляр-
сингулярной или суперсингулярной.
§ 5. Инвариант Хассе
В этом параграфе мы следуем работам Хассе [18] и Хассе,
Витта [20].
Пусть k0—алгебраически замкнутое поле характеристики р
и К—поле функций эллиптической кривой А над k0. Другими
словами, К есть поле функций от одной переменной рода 1.
Зафиксируем точку Q кривой А в поле k0 (т. е. «точку» поля К
над k0) и обозначим t локальный параметр «точки» Q в поле К.
Если а — дивизор поля /(, обозначим 3? (а)—векторное прост-
пространство функций г?/( таких, что (г) ^—а. В частности, J? (pQ)
есть векторное пространство функций, имеющих в Q полюс по-
порядке не выше р.
По теореме Римана—Роха для любого положительного це-
целого т пространство Л? (mQ) имеет размерность т. Далее, для
каждого т^2 существует функция из J?(mQ)y имеющая в
«точке» Q полюс в точности порядка т. Следовательно, сущест-
существует функция хт, разложение которой в Q (в виде степенного
ряда от t) выглядит как
В частности, существует такая функция у(zJ?(pQ), что
_ 1 а ,
У — Jp t^ *"'
где а—некоторая константа. Разность двух таких функций имеет
в Q полюс порядка не выше 1 и не имеет никаких других полю-
полюсов. Значит, эта разность должна быть константой и, следова-
следовательно, функция у определяется однозначно по модулю констант.
Назовем такую функцию функцией Хассе поля К (или на кри-
кривой А). Константа а однозначно определяется выбором параметра t.

§5] ИНВАРИАНТ ХАССЕ 305
Теорема 5. Пусть со — дифференциал первого рода в К
с разложением в «точке» Q вида
нормализованным таким образом, что ^=1. Пусть —а— вычет
функции Хассе у относительно параметра t. Тогда а = ср.
Доказательство. Единственным вычетом выражения г/со
является вычет в «точке» Q, равный ср—а. Он должен быть
равен нулю, и этим теорема доказана.
Константа ср называется инвариантом Хассе в «точке» Q
относительно параметра /. Если умножить параметр / на 6, то
ср заменится на CpbP.
Введенный таким образом инвариант Хассе связан с сущест-
существованием на кривой А точек порядка р. Если такая точка су-
существует, то изогения рЬ разбивается в чисто сепарабельную
часть степени р и чисто несепарабельную часть степени р. Сепа-
рабельная часть не разветвлена, и, следовательно, кривая А
имеет неразветвленное накрытие степени р (т. е. К имеет нераз-
ветвленное расширение степени р). Обратно, если такое нераз-
неразветвленное расширение поля К существует, то оно имеет род 1
(скажем, по формуле Гурвица для рода). Пусть X: В-~+А —
соответствующее накрытие эллиптических кривых, нормализован-
нормализованное таким образом, что Х(О) = О. Тогда К является гомомор-
гомоморфизмом с ядром порядка р. В самом деле, если Р±, Р2—точки
кривой В, то дивизор
является дивизором функции на 5, а тогда его образ
есть дивизор функции на А (который является нормой, как ясно
из элементарной теории нормирования). Следовательно, по тео-
теореме Римана — Роха на кривой Л, получаем
и тогда К—гомоморфизм (этот факт следует также из общих
свойств абелевых многообразий, указанных Вейлем, что всякое
рациональное отображение одного абелева многообразия в дру-
другое представляет собой гомоморфизм).
Ясно, что ядро гомоморфизма X имеет порядок р.
Функция Хассе дает естественный способ построения нераз-
ветвленных расширений в случае, когда инвариант Хассе отли-
отличен от нуля.
Для каждой «точки» Р поля К обозначим снова КР попол-
пополнение поля К (которое изоморфно полю степенных рядов над kQ

306 СЛЕД ФРОБЕНИУСА И ДИФФЕРЕНЦИАЛ 1-ГО РОДА [П. 2
от локального параметра в Р). По аддитивной теории Куммера
в характеристике р (теория Артина—Шрейера) циклическое рас-
расширение поля К степени р получается присоединением корней
многочлена Хр—X — г, где г?К- Положим
и обозначим if^ корень многочлена Хр—X—г. Расширение
поля К является неразветвленным в Р тогда и только тогда,
когда оно полностью распадается в «точке» Р (так как по усло-
условию поле k0 алгебраически замкнуто). Следовательно, оно не-
разветвлено в том и лишь в том случае, если z K
Положим
р
Тогда {/гэ^/С и неразветвленные расширения поля К совпадают
с теми расширениями, которые получаются присоединением к
полю К «ft°-x корней» элементов из U (фактически фактор-группа
U 1^К дуальна группе Галуа максимального неразветвленного
расширения поля К показателя /?, но это нам здесь не нужно).
Теорема 6. Аддитивная группа 3? (pQ) П V?Kq содержится
в U, и вложение индуцирует изоморфизм
Доказательство. Если элемент z поля К является целым
в Р, то корень а многочлена f(X) = Xp—X—z неразветвлен
в Р, поскольку /'(а) = —1 есть единица. Это доказывает ука-
указанное в теореме включение. Если z?J? (pQ) n ffK, то сущест-
существует такой элемент х?К, что z = x?—х. Следовательно, элемента
является Р-целым для всех Рф($. Далее, если х имеет полюс
в «точке» Q, то порядок этого полюса не выше 1 и тогда х
является константой. Этим доказано, что гомоморфизм 2 (pQ) f]
(]Kq в группу U/ffK имеет в качестве ядра поле констант k0.
Наконец, для заданного элемента z?U мы хотим доказать, что
существует такой элемент w^S (pQ), что z = w (modjf/C). Возь-
Возьмем сначала P=??=Q. Так как z?ffKp, если элемент г не явля-
является целым в «точке» Р, то z имеет в Р полюс порядка тр, где
т—некоторое положительное целое число. Пусть
и*Р
где и—локальный параметр в Р. По теореме Римана—Роха для
некоторого достаточно большого п существует такой элемент
x^^imP + nQ), что
Тогда элемент z—ffx имеет в «точке» Р полюс меньшего порядка,

§5] ИНВАРИАНТ ХАССЕ 307
чем г. Повторяя эту процедуру несколько раз, можем считать
без уменьшения общности, что z имеет полюс лишь в «точке» Q.
Так как z ? &°Aq, to z имеет в Q разложение вида
где т—некоторое положительное целое число и Ь—константа.
Если т=1, то нужное нам утверждение выполняется. Если же
т> 1, то существует такой элемент %?J?(mQ), что
и тогда элемент z—ffx имеет в Q полюс меньшего порядка,
чем г. Продолжая этот процесс, мы можем добиться, чтобы
z?J?(pQ), и это доказывает теорему 6.
Теорема 7. Следующие условия эквивалентны:
1) пространство 3? (pQ) (]fKQ совпадает с полем констант,
2) не существует циклических не разветвленных расширений
поля К степени /?,
3) инвариант Хассе равен нулю.
Доказательство. По теореме 6 циклическое неразвет-
вленное расширение поля К получается присоединением «?°-х
корней» элементов из 3 (pQ) CifKQ. Следовательно, 1) влечет 2).
Далее, если инвариант Хассе а отличен от нуля, обозначим
через Ь такую константу, что Ь1~^? = а, и положим z — Ыу, где
У—функция Хассе,
_ 1 а
У — tp T + * • *
Тогда z ? J?(/?Q) и так как
то z?ffKQ, т. е. каждое уравнение Хр—X—v = 0 со степенным
рядом ^€^о[[^]] имеет корень в &0 [[?]]. Далее, «?°-й корень»
из z порождает по теореме 6 неразветвленное расширение сте-
степени р. Этим доказано, что 2) влечет 3). Наконец, предполо-
предположим, что имеет место 3). Если & (pQ) П fKQ содержит элемент г,
не являющийся константой, то z может быть представлен в виде
z = xp—х при некотором x?ffKQ. Раскладывая х в степенной
ряд по t, мы получаем
где b—некоторая отличная от нуля константа. Разделив этот
степенной ряд на Ьр, получаем функцию Хассе, и значит, инва-
инвариант Хассе отличен от нуля. Этим теорема доказана.
Приведенные выше рассуждения доказывают также следую-
следующий результат:

308 СЛЕД ФРОБЕНИУСА И ДИФФЕРЕНЦИАЛ 1-ГО РОДА [П. 2
Теорема 8. Предположим, что инвариант Хассе отличен
от нуля. Тогда по модулю констант существует единственная
ненулевая функция
Эта функция имеет разложение
ЬР Ь
где Ь—некоторая константа, и циклическое неразветвленное
расширение поля К степени р имеет вид I((^>~1z).
Подведем теперь итоги полученным результатам над простым
полем, отождествляя различные определения элемента ср.
Теорема 9. Пусть А — эллиптическая кривая, определенная
над простым полем Fp, и со—дифференциал первого рода в поле
функций Fp(A). Пусть, далее, Q — рациональная точка кривой А
в поле Fp, a t — локальный параметр в Q в поле Fp (А). Положим
@ =
л?=1
и будем считать, что дифференциал со нормализован таким
образом, что ^=1. Наконец, пусть п = пр— эндоморфизм Фро-
бениуса кривой А над полем Fp и С— оператор Картье. Тогда
= со о я' =
Если элемент y^S (pQ) имеет разложение
1 а .
y=tP-j + --->
то а = ср.
Кривая А суперсингулярна в том и только в том случае,
ъсли ^ = 0.
Имеет место также разложение
to (pb)==cptP (mod/2^).
Теорема 9 объединяет результаты теоремы 1 из § 1, теоремы 3
из § 4 и теоремы 5 из § 5, которые касались различных опре-
определений инварианта Хассе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Книги и монографии
Kl. DeuringM. Die Klassenkorper der Komplexen Multiplikation.— In:
Enzyklopadie der Math. Wiss.—Stuttgart: 1958, Bd. 1—2, Heft 10—11.
K2. Fr i с ke R. Die Elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen. Leipzig—
Berlin: Teubner, 1916, Bd. 1; 1922. Bd. 2.
КЗ. F r i с k e R. Analytisch-Funktionentheoretische Vorlesungen.— Leipzig:
Teubner Verlag, 1900.
K4. Fricke R., Klein F. Vorlesungen uber die Theorie der automorphen
Funktionen, I, II.—Teubner Verlag, 1897, 1912.
K5. Fueter R. Vorlesungen uber die Singularen Moduln und die Komplexe
Multiplikation der Elliptischen Funktionen.— Leipzig—Berlin: Teubner,
1924.
K6. Ihara V. On Congruence Monodromy Problems. Vols I and II, Ch. 5,
University of Tokyo, 1968. (И x a p а Я- О задачах конгруэнц-монодро-
мии.—Математика, 1970, 14:3, с. 40—98; 14:4, с. 48—77; 14:5, с. 62—
101; 1972, 16:2, с. 54—96; 16:4, с. 50—73; 16:5, с. 42—104).
К7. Lang S. Algebraic Number Theory.— Reading, Mass.: Addison Wesley,
1970.
K8. Meyer C. Die Berechnung der Klassenzahle abelscher Korper uber quad-
ratischen Zahlkorper.— Berlin: Akademie Verlag, 1957.
K9. Roquette P. Analytic theory of elliptic functions over local fields.—
Hamb. Math. Einzelschriften, Neue Folgen, 1970.—Heft 1.
КЮ. Serre J. P. Cours d'Arithmetique.— Presses Universitaires de France,
1970. (Есть русск. перев.: Серр Ж.-П. Курс арифметики./Перев. с
франц.— М.: Мир, 1972.)
КП. Serre J.-P. Abelian /-adic Representations and Elliptic Curves.— Rea-
Reading, Mass.: Benjamin, 1968. (Есть русск. перев.: Серр Ж.-П. Абе-
левы /-адические представления и эллиптические кривые./Перев. с
англ.—М.: Мир, 1973.)
К12. Shimura G. Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphic
Functions.— Iwanami Shoten and Princeton University Press, 1971. (Есть
русск. перев.: Ш и м у р а Г. Введение в арифметическую теорию авто-
морфных функций./Перев. с англ.— М.: Мир, 1973.)
К13. Shimura G., Taniyama Y. Complex Multiplication of Abelian Varie-
Varieties and its Applications to Number Theory.— Math. Soc. Japan, 1961.
K14. Si eg el С L. Lectures on advanced analytic number theory.— Tata In-
Institute, 1961.
K15. Siegel C. L. Analitische Zahlentheorie II. Course at the University of
Gottingen, 1963/1964, notes by K. Kurten and G. Kohler.
K16. Weber H. Lehrbuch der Algebra, Bd. Ill, reprinted from the second
ed., 1908.—New York: Chelsea, 1968.
K17. Seminar on Complex Multiplication.— Lect. Notes in Math. 21, Berlin —
Heidelberg — New York: Springer-Verlag, 1966.
Статьи
1. Asa i Т. On a certain function analogous to log | ц (z) (.— Nagoya Math.
J., 1970, 40, p. 193—211.
2. Deligne P. Hodge Structures.—Publ. IHES, 1971.
3. Deligne P. Varietes abeliennes ordinaires sun un corps fini.— Invent.
Math., 1969, 8, p. 238—243.

310 список литературы
4. Deuring M. Die Typen der Multiplikatorenringe elliptischer Funktionen-
Funktionenkorper.—Abh. Math. Sem. Hamb., 1941, 14, s. 197—272.
5. Deuring M. Teilbarkeitseigenschaften der singularen Moduln der ellipti-
schen Funktionen und die Diskriminante der Klassengleichung.— Commen-
tarii Math. Helv., 1946, 19, s. 74—82.
6. Deuring M. Die Struktur der elliptischen Funktionenkorper und die Klas-
senkorper der imaginaren quadratischen Zahlkorper.— Math. Ann., 1952,
124, s. 393—426.
7. Deuring M. Die Anzahl der Typen von Maximalordnungen einer defini-
ten Quaternionenalgebra mit primer Grundzahl.— Jahrsbericht Deutschen
Math. Ver., 1944, 54, s. 24—41.
Deuring M. Invarianten und Normalformen elliptischer Funktionenkor-
Funktionenkorper.—Math. Zeitschr., 1941, 47, s. 47—56.
Deuring M. Zur Theorie der Moduln algebraischer Funktionenkorper.—
Math. Zeitschr., 1940, 46, s. 34—46.
D e u r i n g M. Zur Theorie der elliptischen Funktionenkorper.— Hamb. Abh.,
1942, 15, s. 211—261.
Deuring M. Algebraische Begrungung der komplexen Multiplication.—
Hamb. Abh., 1946, 16, s. 32—47.
Deuring M. Reduktion algebraischer Funktionenkorper nach Primdiviso-
ren des Konstantenkorpers.—Math. Zeitschr., 1942, 47, s. 643—654.
Deuring M. Die Zetafunktion einer algebraischen Kurve vom Geschlechte
Eins.— Nachr. Akad. Wiss. Gottingen, 1953, s. 85—94; 1955, s. 13—42;
1956, s. 37—76; 1957, s. 55—80.
Fueter R. Die verallgemeinerte Kroneckersche Grenzformel und ihre An-
wendung auf die Berechung der Klassenzahl.— Rend. Palermo, 1910, 29,
s. 380—395.
H a s s e H. Beweis des Analogous der Riemannschen Vermutung fur die Artin-
schen und F. K- Schmidtschen Kongruenzzetafunktionen in gewissen ellipti-
elliptischen Fallen.—Nachr. Ges. Wiss. Gottingen, Math.—Phys. Kl. 1933,
s. 253—262.
Hasse H. Abstrakte Begrundung der komplexen Multiplikation und Rie-
mannsche Vermutung in Funktionenkorpern.— Abh. Math. Sem. Hamb.,
1934, 10, s. 325—348.
Hasse H. Zur Theorie der abstrakten elliptischen Funktionenkorper.—
J. Reine Angew. Math., 1936, 175, s. 55—62, 69—88, 193—208.
Hasse H. Existenz separabler zyklischer unverzweigter Erweiterungskorper
vom Primzahlgrade p uber elliptischen Funktionenkorpern der Charakteristik
/7.— J. Reine Angew. Math., 1934, 172, s. 77—85.
Hasse H# Neue Begrundung der komplexen Multiplikation, I, II.— J.
Reine Angew. Math. 1927, 157, s. 115—139; 1931, 165, s. 64—88.
Hasse H., Witt E. Zyklische unverzweigte Erweiterungskorper vom
Primzahlgrade p uber einem algebraischen Funktionenkorper der Charakte-
Charakteristik p.— Mon. Math. Physik, 1936, 43, s. 477—492.
Hecke H. Zur Theorie der elliptischen Modulfunktionen.— Math. Ann.,
1926, 97, s. 210—242.
Igusa J. Kroneckerian model of fields of elliptic modular functions.—
Amer. J. Math., 1959, 81, p. 561—577.
Igusa J. On the transformation theory of elliptic functions.— Amer. J.
Math., 1959, 81, p. 436—452.
Igusa J. On the algebraic theory of elliptic modular functions.— J. Math.
Soc. Japan, 1968, 20, p. 96—106.
Igusa J. Fibre system of Jacobian Varieties III (Fibre system of elliptic
curves).—Amer. J. Math. 1959, 81, p. 453—476.
Ihara Y. Hecke polynomials as congruence zeta function in elliptic mo-
modular case.—Ann. Math., 1967, 85, p. 267—295.
Koizumi K., ShimuraG. On specializations of abelian varieties.—
Scienific Papers of the College of General Education, Univ. of Tokyo, 1959,
9, p. 187—211.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 311
28а. Lang S. Isogenous generic elliptic curves.— Amer. J. Math., 1972, 94,
№ 3, p. 861—874.
28b. Lang S. Frobenius automorphisms of modular function fields.— Amer. J.
Math., 1973, 95, № 1, p. 165—173.
29. McDonald I. Affine root systems and Dedekind's r]-function.— Invent.
Math., 1972, 15, p. 91—143.
30. Манин Ю. И. О матрице Хассе—Витта алгебраической кривой.—
Изв. АН СССР. Сер. матем., 1961, 25, с. 153—172.
31. Пятецкий-ШапироИ. И., Шафаревич И. Р. Теория Галуа
трансцендентных расширений и униформизация.— Изв. АН СССР. Сер.
матем., 1966, 30, с. 671—704.
32. Пятецкий-Шапиро И. И. О редукции по простому модулю полей
модулярных функций.— Изв. АН СССР. Сер. матем., 1968, 32, с. 1264—
1274.
33. Ramachandra К. Some application of Kronecker's limit formulas.—
Ann. Math., 1964, 80, p. 104—148.
34. Ramachandra K. On the class number of relative abelian fields.—
J. Reine Angew. Math., 1969, 236, p. 1—10.
35. Serre J.-P. Groupes de Lie /-adiques attaches aux courbes elliptiques.
Colloque, Clermont-Ferrand, Les tendances geometriques en algebre et theorie
des nombres, 1966, p. 239—256.
36. Serre J.-P. Sur les groupes de Galois attaches aux groupes p-divisibles.—
Proc. Conf. on Local Fields, Springer-Verlag, 1967, p. 113—131.
37. Serre J.-P., Tate J. Good reduction of abelian varieties.— Ann. Math.,
1968, 88, p. 492—517.
38. Shimura G. Correspondances modulaires et les fonctions zeta de courbes
algebriques.—J. Math. Soc. Japan, 1958, 10, p. 1—28.
39. Shimura G. Reduction of algebraic varieties with respect to a discrete
valuation of the basic field.—Amer J. Math., 1955, 77, p. 134—176.
40. S h i m u r a G. A reciprocity law in non-solvable extensions.— J. Reine
Angew. Math., 1966, 221, p. 209—220.
41. T a t e J. The arithmetic of elliptic curves.— Colloquium lectures, AMS,
Dartmouth, 1972.
42. Та te J. Genus change in pure inseparable extensions of functions fields.—
Proc. AMS, 1952, 3, p. 400—406.
Список литературы, добавленной при переводе
1. Lang S. Elliptic Curves. Diophantine Analysis.— Berlin — Heidelberg — New
York: Springer-Verlag, 1978.
2. ЛенгС. Введение в теорию модулярных форм.— М.: Мир, 1979.
3. Robert A. Elliptic Curves. Lect. Notes in Math, 326, Springer-Verlag,
1973.
4. SchoenebergB. Elliptic modular functions.— Berlin — Heidelberg —New
York: Springer-Verlag, 1974.
5. Modular functions of one variables.— In: Lect. Notes in Math.— Berlin —
Heidelberg —New York: Springer-Verlag, 1973, 320, 349, 350; 1975, 476; 1977,
601, 627.

Серж Лет
Эллиптические функции
Редактор И. Е. Морозова
Техн. редактор И. Ш. Аксельрод
Корректоры О. А. Бутусова, И. А. Шагас
ИБ № 12218
Сдано в набор 16-04.84. Подписано к печати 03.09.84.
Формат 60x90Vie- Бумага тип. № 1. Литературная
гарнитура. Высокая печать. Усл. печ. л. 19,5. Усл.
кр.-отт. 19,5. Уч.-изд. л. 18,66. Тираж 5 500 экз.
Заказ № 2946. Цена 2 р. 60 к.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового
Красного Знамени Первая Образцовая типография
имени А. А. Жданова Союзполиграфпрома при
Государственном комитете СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли. 11305 4 Москва,
Валовая, 28
Отпечатано во 2-й типографии изд-ва «Наука»
121099 Москва Г-99, Шубинский пер., 10. Зак. 615.