Текст
                    Stadies in Logic and
the Foundations of Mathematics
volume 98
R. Goldblatt
TOPOI
The categorial analysis of logic
North-Holland Publishing Company
Amsterdam New York Oxford
1979


Р. Голдблатт топосы Категорный анализ логики Перевод с английского В. Н. Гришина и В. В. Шокурова под редакцией Д. А. Бочвара Москва «Мир» 1983
ББК 22.12 Г 60 УДК 517.11, 517.12, 519.4 Голдблатт Р. Г60 Топосы. Категорный анализ логики: Пер. с англ.— М.: Мир, 1983. —488 с. Топосы — это специального вида категории, способные служить моделями для теоретико-множественных конструкций. Они являются математическим средством унификации и обобщения математических задач и методов их решения. Их мож- можно рассматривать как главный объект новой концепции оснований математики Для математиков разных специальностей, аспирантов и студентов универси- университетов. _ 1702020000—412 „ оо , ББК 22.12 Г 041 @1)-83 2~83' "• Х 517 Редакция литературы по математическим наукам North-Holland Publishing Company — 1979 Перевод на русский язык, «Мир», 1983
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА Книга Голдблатта знакомит читателя с элементами кате- горной логики—нового ответвления математической науки, развившегося на стыке теории категорий, алгебраической геометрии и математической логики. Несмотря на малый свой возраст эта бурно развивающаяся область довольно хорошо отражена в мировой математической литературе, однако на русском языке она практически не представлена. Поэтому следует сказать несколько слов о категорной логике вообще. В конце 50-х — начале 60-х годов была обнаружена связь между формальными аксиоматическими теориями (или де- дедуктивными системами) и категориями. Ламбек на некоторых примерах показал, как исчисление или дедуктивную систему можно превратить в категорию, морфизмы которой опреде- определяются выводами в исчислении. Отношение равенства между морфизмами задается некоторым отношением эквивалент- эквивалентности на выводах. Это открыло путь для приложений в теории категории методов, разработанных в теории доказательств и, наоборот, сделало возможным использование в теории дока- доказательств категорного языка и категорных идей. Ловер выдвинул несколько другой взгляд. Он предложил рассматривать формальные теории как категории, морфизмы которых определяются термами и формулами, а композиция морфизмов задается с помощью операции подстановки терма вместо свободных переменных. Выводимые в формальной тео- теории формулы задают отношение равенства между морфиз- морфизмами. Взгляд Ловера на теорию как на определенного сорта категорию позволил шире поставить вопрос о моделях дан- данной теории. В классической теории рассматриваются модели, которые с категорной точки зрения являются функторами, сохраняю- сохраняющими дополнительную категорную структуру, из категории, со- соответствующей данной формальной теории, в категорию всех множеств. Новый подход основан на возможности рассматри- рассматривать вместо категории множеств какую-нибудь другую ка- категорию, обладающую требуемыми свойствами. Очевидно,
Предисловие редактора перевода этот подход расширяет возможности метода моделирования, поскольку моделированию могут подвергнуться глубинные понятия, не затрагиваемые в классической теории моделей. Категорный подход к моделям как определенного рода функторам дает единый взгляд на понятие модели. Согласно ему классическое понятие модели и понятие модели для интуиционистских теорий, введенное Крипке, различают- различаются только категорией, в которой принимает значения функ- функтор. На других аспектах категорной логики мы останавли- останавливаться не будем, так как они освещены автором в его пре- предисловии и введении. Топосы, которым посвящена настоящая книга, — это кате- категории, обладающие определенными свойствами. С точки зре- зрения ловеровского подхода они являются категориями, которые соответствуют формальным системам, получаемым присоеди- присоединением к теории типов с интуиционистской логикой произ- произвольного множества аксиом, сформулированных на теоретико- типовом языке, содержащем произвольное множество исход- исходных типов. Заметим, что первоначально топосы (называемые также элементарными топосами) были введены на совершен- совершенно ином пути, о котором говорится в предисловии автора. Аксиоматика топосов идейно проста. Чтобы дать о ней самое общее представление, рассмотрим класс конечных мно- множеств как категорию с произвольными отображениями между множествами в качестве морфизмов. В этом классе сущест- существуют одноэлементное множество, декартово произведение двух множеств, прообраз подмножества при любом отобра- отображении и множество всех подмножеств данного множества. Эти свойства класса выразимы в определенном смысле в ка- категории конечных множеств на категорном языке, т. е. с ис- использованием переменных как по объектам, так и по морфиз- мам, символа операции композиции морфизмов и символа отношения равенства между морфизмами. Получающиеся четыре категорных предложения образуют аксиоматику то- топосов. Таким образом, категория всех конечных множеств является топосом. Книга Голдблатта предназначена для лиц, незнакомых с теорией категорий. В первых ее параграфах подробно рас- рассматриваются некоторые элементарные понятия этой теории. Однако учебником по теории категорий она служить не мо- может. Такие основные категорные понятия, как понятие пред- представимости функтора и пары сопряженных функторов, появ- появляются лишь в последней главе, да к тому же без доказа- доказательства связанных с ними теорем. Такое расположение материала объясняется педагогическими соображениями и стремлением автора поскорее перейти к изложению существа
Предисловие редактора перевода дела — определению понятия топоса, его свойствам, моделям в топосе. Как указывает автор в своем предисловии, его основная цель—вызвать интерес к предмету. В соответствии с этим упор в книге сделан на разъяснение идейных основ теории, а не на развитие технических средств. Книга занимает про- промежуточное положение между популярным изложением и мо- монографией. Она содержит много мотивировок вводимых поня- понятий, обсуждений результатов, примеров, упражнений и рисун- рисунков. Формально (да и по существу) каких-либо специальных знаний у читателя не предполагается за исключением, пожа- пожалуй, элементарных понятий наивной теории множеств — все необходимые определения и факты приводятся в тексте. Од- Однако категорные и логические сведения будут, конечно, спо- способствовать более глубокому пониманию материала книги, в частности помогут восстановить опущенные или кратко на- намеченные доказательства. Книга интересна не только для профессиональных логи- логиков, но и для более широкой аудитории топологов, алгебраи- алгебраистов и всех, кто интересуется современным состоянием осно- оснований математики. Перевод глав 1, 2, 6, 8, 12, 13 осуществлен В. В. Шокуро- вым, а глав 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 14, 15 — В. Н. Гришиным. Д. А. Бочвар.
Посвящается моим родителям Хотя нам, быть может, никогда не удастся до- доподлинно узнать, как в своей нескончаемой пляске неизменно остается самой собой многообразная вез- вездесущая материя, тем не менее, будучи людьми, мы подвластны своим желаниям и нет у нас иного вы- выбора, кроме вечных поисков ясности видения. Окон- Окончательная форма всех форм, последнее воплощение изменения может ускользнуть от нашего взора. Но погоня за идеей формы — даже формы силы, беско- бесконечного процесса взаимодействия — неистребимая и насущная потребность человека. Джон Антерекер ПРЕДИСЛОВИЕ Причин, по которым пишутся книги, несомненно, столько же, сколько пишущих их людей. Одной из причин, побудивших автора написать эту книгу, явилось его желание глубже ознако- ознакомиться с предметом. Новая интерпретация предмета часто спо- способствует лучшему его пониманию, и я считал, что это особенно справедливо для перевода математических конструкций на язык теории категорий. Работа над книгой подтвердила это мое мне- мнение. В конце работы я знал гораздо больше, чем в начале, так что результатом явилась не только сама книга, но и мои успехи в понимании предмета. Мне кажется, что по завершении работы многое, над чем я размышлял, стало на свои места. Что же касается более «общественной» функции книги, то я надеюсь, что она предоставит подобную возможность и другим. Во всяком случае, я пытался изложить материал так, чтобы он был доступен самому широкому кругу логиков, будучи хорошо обоснованным как с методической, так и с математической то- точек зрения. Это, в частности, определило стиль изложения. В современной литературе наблюдается тенденция преподносить материал в очень систематизированном виде, когда абстрактные определения предшествуют примерам, показывающим, откуда эти определения возникли. С педагогической точки зрения не- недостатком такого подхода является то, что читатель не видит, как зарождаются понятия, как и почему они развиваются, а сле- следовательно, совсем не приобщается к творческому мышлению. Помимо того что этот подход создает впечатление завершен- завершенности, часто иллюзорное, он имеет еще одну отрицательную сто- сторону— для понимания требуется слишком много предваритель- предварительных сведений. Все это кажется мне особенно опасным, когда речь идет о теории категорий — дисциплине, которую часто называют «аб- «абстрактной чепухой». У меня сложилось впечатление, что такая реакция вызвана не специфическими особенностями предмета, а лишь стилем некоторых его изложений. Я всегда стараюсь дви- двигаться от частного к общему через все ступени процесса абстракции, пока соответствующее абстрактное понятие не воз-
Предисловие никнет естественным образом. Книга начинается с достаточно элементарных положений (в качестве «первичных принципов»), и было бы вполне уместно, чтобы по ее^прочтении у читателя осталось чувство, что он лишь приступил к предмету, а не пол- полностью завершил ознакомление, с ним. Что касается собственно теории категорий, то я пытался с самого начала проводить функториальную точку зрения и ис- использовал при ее изложении элементарный (в смысле теорий первого порядка) подход, применяющий те же комбинаторные действия над алгебраической структурой, которые встречаются при изложении теории любых более известных математических объектов. В этом смысле категории как структуры — ничуть не более тонкие объекты, чем группы, решетки, векторные простран- пространства и т. п. Мне следует пояснить, что, тогда как в основном рукопись была закончена к маю 1977 г., § 11.9, 14.7 и 14.8 были написаны спустя год, когда я находился в Оксфорде (как степендиат фонда Наффилда, помощь которого я с благодарностью отме- отмечаю). Этот добавочный материал был просто присоединен к гла- главам 11 и 14, поскольку хотя это и не идеальное решение пробле- проблемы, но на данном этапе начинать значительную переделку книги было уже практически невозможно. Однако, видимо, най- найдутся читатели, которые заинтересуются конструкцией числовых систем в § 14.8, но не захотят преодолевать предшествующий материал гл. 14 по топологиям Гротендика, элементарным сн- тусам и т. п. На самом деле, чтобы пользоваться определением вещественных чисел по Дедекинду в топосе Q-множеств и их представлением классически непрерывными вещественными функциями, достаточно усвоить описание топоса из § 11.9. Пол- Полное изложение этой конструкции на языке теории пучков осно- основано на теории Q-пучков, развитой в § 14.7, однако для чтения этого параграфа достаточно предварительно просмотреть не- несколько первых страниц из § 14.1, хотя бы до того места, где вводится аксиома СОМ. Замечание по поводу терминологии. В математике употреб- употребляются два прилагательных от существительного «категория» — «категорный» и «категоричный», в которые вкладывается совер- совершенно разный смысл. Второе из них уже давно употребляется в математической логике в значении, близком к обычному зна- значению «абсолютный». Из работ Гёделя логики знают, что теория множеств не имеет категоричной аксиоматизации. Одна из целей Данной книги — объяснить, почему она имеет категорную аксио- аксиоматизацию. Мне хочется выразить признательность ряду людей, оказав- оказавших мне помощь при подготовке этой книги. Я благодарю Шелли Карлайл, умело перепечатавшую рукопись, комиссию по исследованиям и отделение математики Университета Виктории
10 Предисловие в Веллингтоне, которые в значительной степени возместили мои материальные затраты, Пата Суппеса, благожелательно ото- отозвавшегося о рукописи и поддержавшего ее, Эйнара Фред- рикссона и Томаса ван-дер-Хыовелла, прекрасно организовав- организовавших ее подготовку к печати и публикацию. Я заинтересовался категорией логикой в ходе работы с Майклом Броквеем над его магистерской диссертацией. Обще- Общение с ним и доступ к его заметкам по ряду разделов принесли мне большую пользу. В получении других неопубликованных материалов мне, в частности, помог Гонзало Рейес. Дана Скотт во время моего пребывания в Оксфорде оказал мне аналогичную услугу и предоставил благоприятную возможность (за что я ему очень признателен) ознакомиться с его подходом к пучкам и их логике. При подготовке материала о структуре континуума мне очень помогли беседы со Скоттом и Шарлем Бурденом. И наконец, я рад выразить признательность моим учителям и коллегам из группы логиков Университета Виктории в Вел- Веллингтоне, в частности моим научным руководителям Максу Крессвеллу и Джорджу Хьюгсу, а также Уилфу Малькольму, вникавшим в мои дела и поощрявшим мои успехи в то время, когда я изучал математическую логику. Где же лежат истоки теории топосов? Во введении к недав- недавней книге Питера Джонстона на эту тему указаны два направ- направления ее развития — в рамках алгебраической геометрии и в рамках теории категорий. Как мне кажется, для полноты исто- исторической картины необходимо выделить третье направление, наиболее близкое к данной книге, а именно в рамках логики и особенно теории моделей. Его описание можно начать с работы Коэна 1963 г. по независимости континуум-гипотезы и т. п. Вве- Введенный им метод форсинга оказался ключом к изучению универ- универсума классической теории множеств и вызвал целую волну исследований. Но как только этот метод был переформулирован в теории булевозначных моделей Скотта — Соловэя (в 1965 г.), появилась возможность подставлять «гейтинго-» вместо «бу- «булево-» и тем самым достичь более высокой степени общности. И действительно, вскоре Д. Скотт осуществил это в своих лек- лекционных заметках 1967 г., а затем в статьях Scoti [68], [70] по топологической интерпретации интуиционистского анализа. Тем временем у Ловера, работающего над аксиоматизацией категории множеств, независимо возникло понятие элементар- элементарного топоса. Эти два исследования связало понятие пучка: изучение декартово замкнутых категорий с классификатором подобъектов (топосов) стало серьезным делом, как только выяс- выяснилось, что они включают в себя все категории пучков, построен- построенные Гротендиком, а отмеченная выше топологическая интерпре- интерпретация, как оказалось, дает простейшие примеры общей аксио- аксиоматической теории Q-моделей над алгебрами Рейтинга, которая
Предисловие 11 впоследствии была создана Д. Скоттом и развита им в сотруд- сотрудничестве с Майклом Фурмэном (см. § 14.7 и 14.8). В рамках этой последней теории (многие идеи которой восходят к перво- первоначальным работам по булевозначным алгебрам) поставлен- поставленный ранее вопрос о поведении частично определенных объектов (Scott [68], стр. 208) был элегантно решен введением предиката существования, имеющего семантическую интерпретацию меры степени существования некоторого индивида. Завершая данную картину и пополняя весь этот круг идей, Денис Хиггс A973 г.) в одной неопубликованной работе показал, что категория пучков над некоторой полной булевой алгеброй В эквивалентна катего- категории В-значных множеств и функций в первоначальном смысле Скотта — Соловэя. А что дальше? Каково, например, вероятное влияние новей- новейших результатов о независимости в том смысле, что существуют топосы, в которых теорема Гейне—• Бореля неверна, веществен- вещественные числа не являются вещественно замкнутыми, комплексные числа не имеют квадратных корней и т. п.? Я думаю, что всякие предсказания в этой области преждевременны и, возможно, будущие поколения объявят «классическим» то, что сейчас вос- воспринимается как патология. Интеллектуальная традиция (в ко- которой теория топосов составляет лишь малую часть) уходит в далекое прошлое, когда математика была тесно связана с физи- физическим, видимым миром, а геометрия для греков действительно имела отношение к измерению земельных участков. И только сравнительно недавно в связи с появлением неевклидовых гео- геометрий эта дисциплина обрела право на независимое существо- существование и значение. Аналогично те исследования структуры, кото- которые относятся к так называемым «логикам», уже вышли за пре- пределы своих исходных основ (анализа принципов рассуждений). Но отделение от этого внешнего воздействия повлияло на истин- истинную природу рассуждений не более, чем существование неевкли- неевклидовых геометрий на истинные геометрические свойства реаль- реального пространства. Законы алгебры Рейтинга охватывают богатую и глубокую математическую структуру, появляющуюся в различных контек- контекстах. Она возникла из эпистемологических ограничений, введен- введенных Брауэром, топологизации (локализации) теоретико-мно- теоретико-множественных понятий и категорной формулировки теории мно- множеств, причем хотя вес эти источники взаимосвязаны, они имеют независимую мотивировку. Из этой «вездесущести» вытекает не утверждение, что правильной логикой является интуиционист- интуиционистская, а не классическая, а скорее вывод, что так вообще нельзя ставить вопрос, как нельзя говорить о единственной правильной геометрии. В то же самое время эти исследования яснее, чем когда-либо, показали, как свойства изучаемых структур зависят от принципов
12 Предисловие логики, используемой при их изучении. В частности, очень впечатляет то уточнение, которому подвергся логико-теоретико- множественный подход к структуре интуитивно мыслимого кон- континуума (который для Евклида, разумеется, не был множеством точек, а тем более объектом топоса). На самом деле создается впечатление, что чем более глубокий анализ мы проводим, тем меньше остается у нас оснований говорить о континууме как о чем-то однозначно определенном. Другим областям математики (таким, как абстрактная ал- алгебра, аксиоматическая геометрия) понадобилось много вре- времени, чтобы стать самостоятельными разделами умственного творчества, равно как живописи и даже музыке пришлось пройти долгий путь, чтобы преодолеть предметно-изобразитель- предметно-изобразительный характер и приобрести субъективные и интеллектуальные черты. Подобная ситуация, кажется, возникла и в математиче- математической логике. При отсутствии внешнего воздействия (представ- (представления о вещах «извне») мы не можем так уж просто определить,, что здесь ценно и значительно, равно как не всегда способны вынести суждение о многих современных направлениях в ис- искусстве. Поскольку значимым принято считать лишь то, что сохраняет значение длительное время, то, возможно, потре- потребуется долгий период отвеивания, прежде чем мы сможем отде- отделить пшеницу от плевел. Оглядываясь на достижения примерно двух последних деся- десятилетий, мы видим, что интерес к гейтингозначным структурам как естественному продукту развития существенной области математики объединяет сегодня самые различные направления. Как бы ни обернулось дело в дальнейшем, уже сейчас важ- важность происходящего не вызывает сомнений — ряд дисциплин (логика, теория множеств, алгебраическая геометрия, теория категорий) собираются под одну крышу и вместе с тем уточ- уточняется наше^ представление о доме, который мы мысленно себе строим, собираясь в нем жить. Без сомнения, эти замечания покажутся кому-то спорными или даже неверными. Если это спровоцирует кого-то на ответ, значит, книга выполнила одну из своих подразумеваемых функций. Р. Голдблатт Веллингтон День осеннего равноденствия, 1979
ВВЕДЕНИЕ ...все науки, включая и наиболее разви- развитые, характеризуются непрекращающим- непрекращающимся становлением. Жан Пьяже Цель этой книги — познакомить читателя с понятием топоса и объяснить, какие применения оно находит в логике и основа- основаниях математики. Вначале топосы изучались в рамках теории категорий, ко- которая сама является относительно новой областью математиче- математического исследования. Одна из главных перспектив, открытых теорией категорий, состоит в том, что понятие стрелки, абстра- абстрагированное от понятия функции или отображения, можно использовать вместо теоретико-множественного отношения при- принадлежности в качестве основного строительного блока для про- проведения математических конструкций и выражения свойств ма- математических объектов. Вместо того чтобы определять свойства совокупности через ее элементы, т. е. с помощью ее внутренней структуры, можно определять их, указывая внешние связи этой совокупности с другими совокупностями. Связи между совокуп- совокупностями выражаются функциями, и аксиомы для категории вы- выводятся из свойств функций относительно операции композиции. Категорию можно рассматривать прежде всего как универ- универсум для определенного рода математических рассуждений. Та- Такой универсум определяется указанием «объектов» и «стрелок», связывающих эти объекты. Так, универсум (категория) для топо- топологических исследований состоит из топологических пространств (объектов категории) и непрерывных функций (являющихся стрелками). Универсумом для линейной алгебры служит кате- категория, стрелками которой являются линейные преобразования векторных пространств (объектов категории). Соответствующим универсумом для теории групп будет категория с гомоморфиз- гомоморфизмами групп в качестве стрелок. Для дифференциальной топо- топологии стрелками служат гладкие отображения многообразий и т. д. Таким образом, можно рассматривать широкий «математи- «математический спектр» как набор этих универсумов или категорий (по- (полезный способ придания согласованности и единства дисцип- дисциплине, которая постоянно разрастается и становится все разно- разнообразнее). Теория категорий предлагает язык для работы
14 Введение с этими универсумами и для развития способов перехода от од- одних универсумов к другим. Основы теории категорий были зало- заложены Самюэлем Эйленбергом и Сандерсом Маклейном в начале 40-х годов. Ее истоки лежат в алгебраической топологии, разра- разрабатывающей конструкции, связывающие топологию с алгеброй, а именно с теорией групп. Изучение категорий быстро преврати- превратилось, однако, в самостоятельную абстрактную дисциплину и теперь составляет важную ветвь чистой математики. Кроме того, она уже оказала значительное влияние на понятийные основы математики и язык математической практики. Она пред- предлагает элегантные и мощные средства для выражения связей между обширными областями математики и снабжает матема- математиков орудиями математического исследования, занимающими все большее и большее место в арсенале математики. Сущест- Существующие теории предстают в новом свете после переформули- переформулировки их в теоретико-стрелочных терминах (пример такой не- недавно проведенной модификации в вычислительной математике и теории управления изложен в Manes [75]). Далее, теория ка- категорий достигла значительных успехов в выявлении и разра- разработке основополагающих, мощных математических понятий (универсальность, сопряженность). И теперь, спустя более чем тридцать лет, она предлагает новый теоретический каркас для самой математики. Наиболее общим универсумом математических рассуждений является так называемая категория Set, объектами которой слу- служат множества, а стрелками — теоретико-множественные функ- функции. Здесь фундаментальные математические понятия находят свое формальное описание, а выбор аксиом, определяющих свой- свойства множеств, ведет к так называемым основаниям математики. Основные теоретико-множественные операции и понятия (пустое множество, пересечение, произведение множеств, сюръективная функция, например) могут быть описаны с помощью стрелок в Set, а эти описания имеют соответствующую интерпретацию в любой категории. Однако категорные аксиомы слабы в том смысле, что выполняются в ситуациях, сильно отличающихся от первоначальных примеров, приведенных выше. В таких катего- категориях интерпретации теоретико-множественных понятий могут вести себя совершенно иначе, чем соответствующие понятия в Set. Поэтому возникает вопрос: когда можно избежать такого положения, т. е. когда категория по виду и поведению похожа на Set? Неопределенный ответ: когда она является (по крайней мере) топосом. Это наше первое пояснение, что же такое «то- пос». Топос есть категория, строение которой настолько похоже на строение Set, что интерпретации основных теоретико-мно- теоретико-множественных конструкций обладают в ней почти такими же свой- свойствами, как в самой Set.
Введение 15 Слово топос («место» или «участок» по-гречески) было пер- первоначально использовано Александром Гротендиком в алгебраи- алгебраической геометрии. Там имеется понятие пучка над топологиче- топологическим пространством. Совокупность пучков над топологическим пространством образует категорию. Гротендик и его коллеги обобщили эту конструкцию, заменив топологическое простран- пространство более общей категорной структурой. Возникающее обоб- обобщенное понятие категории пучков было названо топосом (см. Artin et al. [SGA4]). Независимо от итого Ф Уильям Ловер взялся за решение вопроса, каким условиям должна удовлетворять категория, что- чтобы быть «в сущности такой же», как Set. Первый его ответ был опубликован в 1964 г. Недостаток этой работы состоял в том, что одно из условий было по своей природе теоретико-мно- теоретико-множественным. Так как ставилась цель категорно аксиоматизиро- аксиоматизировать теорию множеств, т. е. свести теорию множеств к теории категорий, то результат был неудовлетворительным, поскольку с самого начала использовал теорию множеств. В 1969 г. Ловер вместе с Майлсом Тирни начал изучение категорий, имеющих особую стрелку, называемую классифика- классификатором подобъектов (в Set эта стрелка устанавливает соответ- соответствие между подмножествами и характеристическими функция- функциями). Это понятие оказалось ключом к решению возникшей ранее проблемы об эквивалентности данной категории категории Set. Он обнаружил, что все топосы Гротендика имеют классифика- классификаторы подобъектов, а потому перенял и название «топос». В ре- результате возникло абстрактное аксиоматическое понятие элемен- элементарного топоса, сформулированное полностью на основном ка- тегорном языке и не зависящее от теории множеств. Впослед- Впоследствии У. Митчелл (Mitchell [72]) и Дж. Коул (Cole [73]) дали исчерпывающий ответ на упомянутый выше вопрос, описав те элементарные топосы, которые эквивалентны Set. Как уже говорилось, теория множеств дает общий понятий- понятийный каркас для построения математики. Так как теория катего- категорий через понятие гопоса достигла успеха в аксиоматизации теории множеств, то возникает совершенно новое категорное основание математики). Позиция специалистов по теории кате- категорий, состоящая в том, что функция, а не отношение принад- принадлежности элемента множеству должна служить основной мате- математической концепцией, полностью обоснована. Ведущая роль теории множеств в современной математике вдруг поставлена под сомнение. Революция (хотя и мирная) уже произошла в истории математических идей, и это, несомненно, окажет влия- влияние на направление развития в будущем. Понятие топоса обладает большой объединяющей силой. Оно охватывает как Set, так и гротендиковы категории пучков и по- поэтому объединяет теорию множеств и алгебраическую геометрию.
16 Введение Но оно имеет также выходы в другую область научного иссле- исследования, а именно в логику — науку о законах дедуктивного мышления. Принципы классической логики представлены в Set операциями на некотором множестве — двухэлементной булевой алгебре. Каждый топос имеет аналог этой алгебры, и поэтому можно сказать, что каждый топос определяет свое собственное логическое исчисление. Оказывается, что это исчисление может отличаться от классической логики, и вообще логические прин- принципы, имеющие место в топосе, есть принципы интуиционистской логики. Интуиционизм представляет собой конструктивистскую философию природы математических объектов, значения и истинности математических утверждений. Он per se не имеет ничего общего с логикой в топосе, так как последняя возникает в результате переформулировки на категорном языке теоретико- множественного аспекта классической логики. И тем не менее обнаружен замечательный факт: два различных направления приводят к одной и той же логической структуре. Некоторый намек на то, почему это происходит, дает хорошо известная связь между интуиционистской логикой и топологией и то об- обстоятельство, что пучки в первоначальном понимании являются топологическими объектами. К тому же теоретико-множествен- теоретико-множественное моделирование интуиционистской логики, предложенное Саулом Крипке [65], может быть использовано для нахождения топосов, в которых логические построения, обобщающие соот- соответствующие построения в Set, оказываются переформулировкой семантической теории Крипке. Более того, эти топосы для моде- моделей Крипке могут быть построены как категории пучков. Упомянутые результаты значительно углубляют понимание природы множества и связи между интуиционизмом и классиче- классической логикой. Например, одно из свойств, которым обладают стрелки в Set, — это экстенсиональность: функция однозначно определяется значениями, которые она принимает на своих аргументах. Объекты и стрелки топоса можно рассматривать как обобщенные множества и функции, которые вполне могут и не обладать свойством экстенсиональности. Интересно, что наложение на топос условия экстенсиональности оказывается одним из способов сделать логику, определяемую топосом, клас- классической. Другой способ — потребовать выполнимости в топосе аксиомы выбора, сформулированной на языке стрелок. Наша цель — осветить подробнее вопросы, затронутые выше. Литература о топосах, доступная в настоящее время, имеет вид университетских учебников, научных статей и диссертаций, где математическая утонченность находит свое адекватное выраже- выражение. Настоящая работа, напротив, является опытом совсем эле- элементарного вводного изложения, рассчитанного на широкую аудиторию. Автор разделяет взгляд, согласно которому появле- появление теории топосов — событие большой значимости, имеющее
Введение 17 важные применения и оказывающее сильное влияние как на понятийную, так и на техническую сторону математики. Поэтому следовало бы сделать эту теорию доступйои как для философов- логиков, так и математиков. Отсюда очень низкие предваритель- предварительные требования для чтения этой книги. Все — теория множеств, логика и теория категорий — излагается в ней с самого начала. Хотя часть материала, быть может, хорошо известна, следует помнить, что одной из наших главных задач является изложение новых взглядов на известные концепции. Поэтому представля- представляется уместным переосмыслить эти концепции и открыто обсудить вещи, которые для многих приобретут другой характер. Имеется несколько теорем, доказательства которых своей длиной и громоздкостью способны отбить охоту к предмету. Это относится, в частности, к проверке структурных свойств более сложных категорий (пучки, модели Крипке). Читателю рекомен- рекомендуется сначала опустить все эти подробности и обратить внима- внимание на сам ход мысли. Часто бывает, что хотя доказательства длинны и скучны, но сами факты и идеи ясны и легко воспри- воспринимаются. Хочется надеяться, что, проследовав разумно выбран- выбранным курсом через элементарные места, которые будут скучны специалистам, через трудные для понимания конструкции, ко- которые подвергнут серьезному испытанию новичков, и через подробные проверки, которые изнурят некоторых, читатель пой- поймет до некоторой степени, «что к чему» в этой новой пленитель- пленительной области логико-математическо-философского исследования.
Глава 1 МАТЕМАТИКА = ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ? Никому не изгнать нас из рая, открытого Кантором. Давид Гильберт 1.1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ В дисциплине, называемой теорией множеств, основным по- понятием является понятие принадлежности. Первоначально мно- множество следует представлять себе как некоторую совокупность объектов. Эти объекты называют элементами данной совокуп- совокупности. Принадлежность есть отношение объекта к множеству, указывающее, что данный объект является элементом этого множества. Оно обозначается знаком е '). Запись ле/1 озна- означает, что совокупность А состоит из объектов, среди которых присутствует х, т. е. х — элемент из А. А запись хф.А выражает тот факт, что х не является элементом из А. В случае же когда х^А, также говорят, что х принадлежит А или что х содер- содержится в А. Исходя из этих основополагающих идей, можно ввести ряд определений и конструкций, которые позволяют выделять част- частные множества и строить новые по уже заданным. При ^том используют следующие два приема. (a) Табличная форма задания. Она заключается в явном указании всех элементов определяемого множества. Список этих элементов помещают в фигурные скобки. Например, {О, 1, 2, 3} обозначает совокупность, элементами которой являются все це- целые числа от 0 до 3. (b) Задание признаком. Это гораздо более мощный инстру- инструмент, позволяющий определять множество по свойству, кото- которым обладают все элементы данного множества и только они. Так, например, свойство быть целым неотрицательным числом, меньшим четырех, определяет множество, записанное выше в табличной форме. Множества можно определять свойствами благодаря следующему принципу. ') Стилизаиия греческой буквы е, поэтому оно иногда называется эпси- эпсилон-отношением. — Прим. перев.
1.1. Теория мнЬжеств 19 Принцип свертывания. Пусть ф(х)— некоторое свойство объ- объекта х или условие на объект х. Тогда существует множество, элементами которого являются в точности все объекты, обла- обладающие данным свойством (или удовлетворяющие данному условию) ф(х). Множество, определяемое свойством ф(х), обозначается через {х: ф(х)}. Читается это выражение так: множество всех объектов v, ыкпл, что ф справедливо для х. Пример 1. Пусть ф(х) — условие «еЛ и хеВ». Тогда {х: х е А и jgS} есть множество всех объектов, принадлежащих А и В одновре- одновременно, т. е. множество объектов, общих аля А и В. Оно назы- называется пересечением множеств А а В и обозначается через л л в. Пример 2. По принципу свертываш7-: \г.1лг-ие «е/1 или хеВ> задает множество {х: х^А или хёР), состоящее из всех элементов множеств А и В, вместе взятых, и только Li3 них. Оно называется объединением множеств А и В и обозначается через А [} В. Пример 3. Условие «х^А» определяет множество —Л, до- дополнение к А. Итак, —А = {х. хфА} есть множество, элементами которого являются в точности все объекты, не принадлежащие А. Во всех предыдущих, примерах новые множества строились по уже заданным. Кроме того, множества можно определять, исходя из условий, не упоминающих каких-либо частных мно- множеств вообще. Например, условие «х=^=х» залает множество 0 = {х: х Ф х) всех объектов х, для которых х не равен х. Поскольку ни один объект не может быть отличен от самого себя, свойством хф х не обладает ничто, т. е. множество 0 не имеет элементов. По этой причине 0 называют пустым множеством. Отметим, что тем самым мы уже расширили нашу «онтологию» по сравнению с первоначальным пониманием множества как чего-либо с эле- элементами, допустив теперь в качестве множества нечто без эле- элементов вообще. Понятие пустой совокупности часто сказывается
20 Гл. 1. Математика = теория множеств? трудным при первом восприятии. Существует тенденция перво- первоначально представлять себе множества как объекты, построен- построенные достаточно конкретным способом из своих составляющих (элементов). Введение множества 0 заставляет рассматривать множества как абстрактные «вещи в себе». Можно восприни- воспринимать упоминание множества 0 как способ замены некоторых словесных выражений, например «ЛП^ = 0»— сокращение высказывания «Л и В ие имеют общих элементов». Более глубо- глубокое знакомство с предметом и опыт показывают, что, допуская 0 в качестве актуального объекта, мы тем самым улучшаем и упрощаем теорию. Подчеркнем, что существует лишь одно мно- множество без элементов. Это вытекает из определения равенства множеств, выраженного следующим принципом. Принцип экстенсиональности. Два множества равны тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов. Из этого принципа видно, что для любых двух различных множеств всегда найдется некоторый объект, являющийся эле- элементом одного из этих множеств, но не являющийся элементом другого. Так как пустые совокупности не имеют элементов, то они не различаются, а потому в силу принципа экстенсиональ- экстенсиональности существует только одно пустое множество. Подмножества Определение равенства множеств можно сформулировать иначе, используя понятие подмножества. Множество Л назы- называется подмножеством множества В или подмножеством в В (что записывается как А Е В), если каждый элемент из А будет также элементом из В. Пример 1. Множество {0, 1, 2} является подмножеством в {0, 1, 2, 3}, т. е. {0, 1, 2} = {0, 1, 2, 3}. Пример 2. Очевидно, что А^А для любого множества А, так как каждый элемент из А есть элемент из А. Пример 3. Для любого множества А 0 s А, ибо если бы 0 не являлось подмножеством в Л, то существовал бы элемент из 0, не принадлежащий Л. Однако 0 не содержит элементов вообще. Используя это понятие, легко убедиться, что для любых множеств А и В А = В тогда и только тогда, когда Л s В и 6еЛ. В том случае когда Л с= В и А ф В, мы пишем Л czB (Л — соб- собственное подмножество в В).
1.1. Теория множеств 21 Парадокс Рассела В начале, формулируя и используя принцип свертывания, мы не дали точного объяснения, что такое «условие на объект л», н даже не указали, что мы подразумеваем под х. Считаем ли мы элементами наших множеств физические объекты, такие, как столы, люди или Эйфелева башня, или это должны быть аб- абстрактные сущности, такие, как числа, или даже некоторые дру- другие множества? Как, например, отнестись к совокупности V = {х: A' = .v}? Любая вещь, будучи равной себе самой, удовлетворяет усло- условию, определяющему это множество. Включает ли V тогда все на свете (в том числе и себя) или его надо ограничить объек- объектами частного вида, каким-либо универсумом обсуждаемой задачи? Чтобы продемонстрировать важность этих вопросов, рассмот- рассмотрим условие «х^х». Легко придумать множество, не принадле- принадлежащее самому себе. Например, множество {0, 1} отлично от двух своих элементов 0 и 1. С примером совокупности, которая бы включала саму себя в качестве элемента, дело обстоит не- несколько сложнее. Первое, что приходит в голову, — нечто вроде «множества всех множеств». Интригующий пример дает следую- следующее условие: «х является множеством, заданным по принципу свертыва- свертывания условием, которое выражено не более чем шестнадцатью словами русского языка». Предложение в кавычках содержит ровно шестнадцать слов русского языка, а поэтому оно задает множество, которое удов- удовлетворяет условиям, его определяющим. Используя принцип свертывания, зададим теперь так назы- называемое множество Рассела R = {x: хфх). Все трещит по швам, как только ставится вопрос, удовлетво- удовлетворяет ли условию хфх само R. Действительно, если R(?R, то оно удовлетворяет данному условию, а поэтому принадлежит множеству, определяемому этим условием, т. е. R. Значит, R^R. Итак, предположение R ф R приводит к противоречащему ему заключению R e R. Следовательно, это предположение надо отбросить и допустить противное, т. е. R^R. Но если R^R, т. е. R является элементом из R, то он должен удовлетворять условию, определяющему множество R, которое есть х ф. х. Итак, R^R. На этот раз предположение R^R привело нас к противоречию, а потому оно должно быть отброшено в пользу R^R. В результате мы доказали справедливость того, что
22 Гл. 1. Математика = теория множеств? R^R и R^R, т. е. R одновременно является и не является своим элементом. Такая ситуация вряд ли приемлема. Приведенное выше рассуждение, известное как парадокс Рас- Рассела, было обнаружено Бертраном Расселом в 1901 г. Сама теория множеств начала свое существование несколькими де- десятилетиями ранее с работ Георга Кантора. Первоначально ин- интересы Кантора были сосредоточены на вещественной числовой прямой, и его теория, быстро вызвавшая значительный отклик, была ориентирована в основном на выяснение свойств бесконеч- бесконечных множеств вещественных чисел (типа следующего: мно- множество иррациональных чисел имеет «больше» элементов, чем множество рациональных чисел). Примерно в то же время логик Готлоб Фреге попытался сформулировать определение «числа» и развить законы арифметики на базе формальной логики и тео- теории множеств. Система Фреге включает в себя принцип сверты- свертывания практически в том виде, в котором мы привели его выше, а потому она противоречива (несовместна), как показывает па- парадокс Рассела. Появление последнего, а также других теоре- теоретико-множественных парадоксов вызвало кризис в развитии тео- теоретических оснований математической науки. Перед математи- математиками встала задача пересмотреть интуитивное понятие мно- множества и так его изменить, чтобы не возникали противоречии. Это послужило одной из основных причин расцвета в нашем столетии математической логики, предмета, который среди про- прочего включает в себя детальный анализ самого аксиоматиче- аксиоматического метода. NBG В настоящее время теория множеств имеет строгую аксиома- аксиоматическую формулировку и даже несколько формулировок, каж- каждая из которых предлагает конкретный способ разрешения парадоксов. Джон фон Нейман предложил свое решение проблемы в се- середине двадцатых годов, позже оно было уточнено и развито Полем Бернайсом и Куртом Гёделем. Результат представляет собой группу аксиом, известную как система NBG. Главная идея, положенная, в ее основу, очень плодотворна, несмотря на свою простоту. Она заключается в различении понятий мно- множества и класса. Все объекты в NBG являются классами. Класс соответствует нашему интуитивному пониманию совокупности. Слово же «множество» оставлено для тех классов, которые сами являются элементами других классов. Утверждение «х есть мно- множество» служит сокращением утверждения «существует такой класс у, что хер. Классы, не являющиеся множествами, на- называются собственными классами. Интуитивно их можно пред- представлять себе как «очень большие» совокупности. При этом принцип свертывания видоизменяется требованием, чтобы упо-
1.1. Теория множеств 23 минаемый в нем объект х был множеством. Итак, свойство ф(д;) задает класс, состоящий из всех множеств (иначе говоря, элементов других классов), для которых верно ср(х). Этот класс обозначается через {х: х — множество и верно Определение класса Рассела выглядит теперь так: R — {х: х — множество и хф.х). Возвращаясь назад к описанию парадокса Рассела, мы теперь видим выход из создавшегося положения. Чтобы получить при- принадлежность R^R, надо дополнительно предполагать, что R — множество. Если это так, то, как и выше, мы приходим к про- противоречию. Поэтому данное предположение отбрасывается как ложное. В результате парадокс исчезает, а наши рассуждения превращаются в доказательство того, что R — собственный класс, т. е. совокупность R настолько велика, что не является элементом никакой другой совокупности. В частности, R ф. R. Другой пример собственного класса V доставляет совокуп- совокупность, рассматриваемая теперь как класс, {.г; х — множество и х = х}, элементами которой являются все множества. Более того, из аксиом NBG вытекает совпадение V = R, т. е. множество не может быть своим элементом. ZF Несколько другой и исторически более ранний подход к проблеме парадоксов был предложен Эрнстом Цермело в 1908 г. Его система позже была расширена Абрахамом Френкелем и известна теперь как система ZF. Неформально говоря, это тео- теория «построимых множеств». Ее интересуют сущности только одного вида — множества. Все множества при этом строятся, исходя из некоторых простых (в действительности можно начи- начинать даже с одного 0), с помощью операций, таких, как пере- пересечение П, объединение U и дополнение — Аксиомы ZF уточ- уточняют, как такие операции можно производить. Они применимы только к множествам, которые уже построены, и в результате получаются снова множества. Таким образом, собственные клас- классы, вроде R, не построимы внутри ZF. В этом контексте принцип свертывания можно использовать только по отношению к некоторому заданному множеству, т. е. мы не имеем права собирать вместе все объекты, удовлетворяю- удовлетворяющие определенному условию, а можем собирать лишь те, про которые мы уже знаем, что они являются элементами некото- некоторого уже заданного множества. В ZF это выражается следую- следующим образом.
24 Гл. 1. Математика = теория множеств? Принцип выделения. Для заданного множества А и свойства ф(л') существует множество, элементы которого есть в точности такие элементы из А, что для них выполнено ср(х). Это множество обозначается через {х: х е А и ф(л-)}. В этом случае уже нельзя образовать сам класс Рассела. Можно лишь образовать его фрагмент R(A) — {x: х<=А и хфх) для каждого множества А. Чтобы получить противоречие, вклю- включающее оба утверждения R(A)^R(A) и R(A)q=R(A), необхо- необходимо знать, что R(A)^A. Мы же, напротив, делаем заключение, что R(A)(?A. В действительности в ZF, так же как и в NBG, множество не может быть своим элементом, откуда R(A)= А. (Отметим близость этого рассуждения к разрешению противо- противоречия в NBG: заменив V всюду на А, делаем последнее рассуж- рассуждение формально тождественным первому.) Системы NBG и ZF предлагают некоторые ответы на вопро- вопросы, поставленные выше. При практическом использовании тео- теории множеств в качестве элементов совокупностей могут встре- встречаться физические объекты. Однако в аксиоматической теории множеств все объекты существуют скорее в понятийном смысле, чем материально. Эти сущности представляют собою «абстракт- «абстрактные» совокупности, элементами которых являются сами же мно- множества. Система NBG онтологически «богаче», чем ZF. В самом деле, ZF можно рассматривать как подсистему в NBG, состоя- состоящую из части NBG, которая относится к множествам (т. е. к не- несобственным классам). До сих пор мы оставляли в стороне вопрос о том, что же понимается под «условием на объект х» (поскольку множество не является своим элементом, условие «не более чем из шестнадцати слов», упоминавшееся выше, не- недопустимо в ZF и NBG). Позже мы несколько проясним это по- понятие, после того как введем формальные языки и дадим более точное представление об аксиоматике таких систем, как ZF. Непротиворечивость Тот факт, что в некоторой системе можно избежать пара- парадокса Рассела, не гарантирует ее от противоречий вообще, т. е. не гарантирует ее непротиворечивости. Известно, что из проти- противоречивости одной из систем ZF и NBG вытекает противоречи- противоречивость другой из них, поэтому либо обе эти системы годятся, либо обе они не годятся. Вот уже в течение шестидесяти лет эти системы подвергаются усиленному и разностороннему изучению, но противоречий до сих пор не обнаружено. Однако имеется реальное концептуальное препятствие к возможности доказа-
/./. Теория множеств 25 тельства того, что такое противоречие нельзя найти вообще. Это установил около 1930 г. Гёдель, показав, что в действительности доказательство непротиворечивости должно опираться на прин- принципы, собственная непротиворечивость которых не более досто- достоверна, чем непротиворечивость самих ZF и NBG. За десятилетие до работ Гёделя группа математиков во главе с Давидом Гиль- Гильбертом попыталась установить непротиворечивость арифметики и даже математики в целом при помощи так называемых финит- финитных методов. Эти методы ограничиваются описанием явных, кон- конкретных, непосредственно воспринимаемых объектов и принци- принципов, истинность которых видна из непосредственного их рассмот- рассмотрения. Гёдель показал невозможность установить такими методами непротиворечивость никакой системы, достаточной для развития арифметики обыкновенных целых чисел. Это открытие считается одним из важнейших событий в математике 20-го сто- столетия. Его удар по программе Гильберта был сокрушителен. Однако многие нашли в этом ободряющий стимул, утверждение существенно творческой природы математической мысли, а так- также свидетельство против механического тезиса о том, что ум можно смоделировать физическим вычислительным устройством. Говоря словами Гёделя, «либо математика слишком велика для человеческого ума, либо человеческий ум есть нечто большее, чем машина» (см. Bergamini [65]). Хотя, казалось бы, не может существовать абсолютно досто- достоверного доказательства непротиворечивости ZF, тем не менее имеются важные свидетельства экспериментального и эписте- эпистемологического характера в пользу того, что противоречия в этой системе отсутствуют. В противном случае, конечно, поскольку теория множеств играет центральную роль во всей современной математике, под угрозой оказалось бы нечто большее, чем про- просто совместность некоторой группы постулатов. Какая из систем ZF и NBG «лучше» для теории множеств? Выбор главным образом зависит от философских вкусов и прак- практических нужд. По-видимому, ZF вообще наиболее популярно среди математиков. Ее принцип конкретизации конструкций на определенных множествах точно отражает характер реального использования теории множеств в математике, где множества задаются в явно математически определенном контексте (уни- (универсуме). Совокупность всех множеств как объект не очень интересна для большинства работающих математиков. Более того, все необходимые им множества содержатся в малом фраг- фрагменте ZF. Лишь в самое последнее время в связи с появлением на свет теории категорий у математиков (а не только у специа- специалистов по теории множеств) возникла реальная потребность работать с большими совокупностями. Эту потребность более гибко удовлетворяет дихотомия «класс — множество», что
26 Гл. 1. Математика = теория множеств? выдвигает на более значительную роль NBG и даже более силь- сильные системы. Смысл всего сказанного сводится к тому, что нет какого-то идеального подхода к разработке теории множеств. Математик выбирает ту систему, которая более всего согласована с его интересами и целями. 1.2. ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ Цель изучения оснований математики заключается в выра- выработке строгого толкования природы математической реальности. Это включает в себя точное и формальное определение или пред- представление математических понятий, в результате чего проясня- проясняются их взаимосвязи и становятся понятнее их свойства. Боль- Большинство подходов к основаниям математики использует аксио- аксиоматический метод. Для этого сначала вводят язык, обычно точно и формально описанный. Затем с помощью этого языка опре- определяют математические понятия и формулируют постулаты, или аксиомы, относящиеся к их свойствам. Аксиомы кодифицируют поведение, которое мы предписы- предписываем математическим объектам. Затем теория этих объектов разворачивается в виде серии утверждений, выводимых из ак- аксиом с помощью методов дедукции, заданных явно. Было бы неправильно делать отсюда вывод, что системы оснований математики — первичный фундамент, на котором ма- математика фактически создана. Искусственность такой точки зре- зрения станет очевидной, если вспомнить о том, что основное со- содержание математики существовало и до подведения фунда- фундамента и его существование не зависит от этого фундамента. Например, вещественные числа можно мыслить как бесконечные десятичные дроби или как точки числовой прямой. По-другому их можно ввеЪти как элементы некоторого полного упорядочен- упорядоченного поля или как классы эквивалентности последовательностей Коши, или, наконец, как сечения Дедекинда. Ни один из этих подходов нельзя назвать единственно правильным для объясне- объяснения того, что же такое вещественные числа. Каждый из них воплощает одно из интуитивных пониманий, и оцениваем мы эти воплощения не в аспекте их правильности, а скорее с точки зрения их эффективности при объяснении природы системы ве- вещественных чисел. Математическое открытие никоим образом не является про- просто систематической дедуктивной процедурой. Оно требует про- проницательности, воображения и долгих исследований в разных направлениях, многие из которых не приводят ни к чему. Аксио- Аксиоматическое представление служит для описания и «подачи» плодов этой деятельности, часто в последовательности, отличной от той, в которой они возникали. Оно вносит в предмет связ-
1.3. Математика как теория множеств 27 ность и единство, а также дает общий взгляд на его объем и границы. Формальные структуры, после того как они прольют свет на нашу интуицию, можно использовать в дальнейших исследова- исследованиях. Именно на этом уровне аксиоматический метод действи- действительно созидает. Систематизация некоторой частной теории мо- может привести к новым открытиям в ней или к осознанию ана- аналогий с другими теориями и их последующей унификации. Это относится уже к разработке математики. Что касается изучения самих «оснований», то здесь аксиоматика играет в основном описательную роль. Система оснований служит не столько под- поддержанию всего здания математики, сколько освещению прин- принципов и методов, с помощью которых было построено это зда- здание. «Основания» являются дисциплиной, которую можно рас- рассматривать как ветвь математики, стоящую несколько в стороне от остальной ее части и созданную для описания мира, в кото- котором работает математик. 1.3. МАТЕМАТИКА КАК ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ Приравнивание математики к теории множеств можно рас- рассматривать не без некоторых оснований как итог того направ- направления, которое приняло развитие математики в последнее время. Многие, вероятно, слышали о революции в школьной программе, называемой «новой математикой». Она связана главным обра- образом с введением теории множеств в курс начального образова- образования и подчеркивает ведущую роль этого предмета для матема- математиков. Из всего, что было предложено в рамках оснований математики, теории множеств получили наиболее широкое при- признание и им уделялось наибольшее внимание. Такие системы, как ZF и NBG, предлагают изящный формализм и объяснение основ- основных понятий, используемых математиками. Поль Коэн, работа которого о независимости континуум-гипотезы в 1963 г. при- привела к настоящему взрыву активности в теории множеств, ска- сказал: «Анализируя математические рассуждения, логики пришли к убеждению, что понятие множества является самым основным в математике». Теория множеств помимо, а возможно, и по причине ее цент- центральной роли в основаниях занимает господствующее положе- положение в математической практике. Это не означает, что матема- математики мыслят только в теоретико-множественных терминах, хотя очень часто это действительно так. Скорее дело в том, что тео- теория множеств служит основным инструментом при изложении и сообщении результатов. Она способствовала бурному росту математики, как в количественном отношении, так и по спектру ее тем и приложений. Трудно найти современную книгу по лю- любой из областей чистой математики, будь то алгебра, геометрия,
28 Гл. 1. Математика = теория множеств? анализ или теория вероятностей, в которой бы не использова- использовались теоретико-множественные обозначения. Группа французских математиков, работающих под псевдо- псевдонимом Никола Бурбаки, взялась в 1935 г. за неимоверно боль- большой труд «описать аксиоматически все здание математики целиком». В результате за 40 лет вышло приблизительно столько же томов, охватывающих алгебру, анализ и топологию. Первая книга этого авторитетного труда посвящена теории мно- множеств, которая служит основой всего смелого предприятия. Бурбаки заявил A949 г.): «...все математические теории можно рассматривать как расширения общей теории множеств... я утверждаю, что на этом фундаменте можно построить все зда- здание сегодняшней математики». Главное, на что мы хотим обратить внимание читателя — это то, что с появлением теории категорий перспективы измени- изменились и утверждение Коэна даже на первый взгляд не кажется уже очевидным. Конечно, можно мыслить объекты математиче- математического изучения как множества, однако уже нет уверенности, что и в будущем их будут рассматривать так. Без сомнения, основ- основной язык теории множеств останется важным инструментом в тех случаях, когда надо рассматривать совокупности предметов. Но понимание самих предметов как множеств потеряло свое преимущественное значение в силу появления естественной и привлекательной альтернативы. Кажется очень правдоподобным ослабление роли теории множеств как универсального языка оснований математики в последующие годы. Чтобы развеять неправильное впечатление, которое может создать последняя из приведенных выше цитат, следует отметить, что французские математики поняли это одними из первых. Ренэ Том в Thorn [71] писал, что «старая надежда Бурбаки увидеть математиче- математические структуры естественно возникающими из иерархия мно- множеств, из их подмножеств и из их комбинаций является, несом- несомненно, лишь иллюзией». В речи Жана Дьедонне от 1961 г. имеется следующее пророчество: «Как вам известно, в промежуток между 1920 и 1940 годами произошло полное изменение в классификации различных обла- областей математики, вызванное новым взглядом на сущность са- самого математического мышления, который восходит к работам Кантора и Гильберта. Из последних возникли систематическая аксиоматизация всей математической науки и фундаментальное понятие математической структуры. Возможно, вы пока и не подозреваете, что сейчас математика стоит на пороге второй революции. Она в некотором смысле завершит дело первой ре- революции, а именно освободит математику от чрезмерных огра- ограничений «множества»; она связана с теорией категорий и функ- функторов, оценивать область применения и все последствия которой пока еще рано...». (Цитировано по Fang [70].)
Глава 2 ЧТО ТАКОЕ КАТЕГОРИИ ...понимание заключается в сведении одного типа реальности к другому. Клод Леви-Стросс 2.1. ЯВЛЯЮТСЯ ЛИ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВАМИ? Хорошей иллюстрацией того, как в теории множеств проис- происходит формализация интуитивной математической идеи, может послужить рассмотрение понятия функции. Функция есть связь между объектами. Точнее, это — соответствие, сопоставляющее Выход f{x) _ Рис. 2.1. заданному объекту точно один другой объект. Последнее можно мыслить как правило или операцию, применяя которую к чему-то, мы получаем нечто, связанное с ним. Функцию удобно изображать в виде процесса «вход — выход», напоминающего «черный ящик» (см. рис. 2.1). Функция однозначно перерабаты- перерабатывает вход в выход. Например, предписание «умножить на 6» определяет функцию, которая по входу 2 дает выход 6X2= 12, связывает с 1 число 6, сопоставляет 24 числу 4 и т. д. Входы называются аргументами функции, а выходы — значениями или образами входных данных, по которым они выработаны. Пусть f — некоторая функция, а х— вход. Соответствующий выход, образ х относительно f, обозначается через f(x). Предыдущий пример тогда можно воспроизвести в виде функции f, заданной правилом f(x) = 6х. Если А — множество всех возможных входов функции f (в нашем примере А включает число 2, но не включает Эйфе- леву башню), а В — множество, включающее все /-образы эле- элементов из А (а также, возможно, и Эйфелеву башню), то гово- говорят, что f является функцией из множества А в множество В. Это выражают записью /: Л-vB или А-^+В. Множество А
30 Fa. 2, Что такое категории называется областью определения или источником функции f, a В — областью значений или целью. Как обращаются с этим понятием в теории множеств? Преж- Прежде всего вводится понятие упорядоченной пары, состоящей из двух объектов, один из которых считается первым, а другой -— вторым. Через (х, г/> обозначается упорядоченная пара, имею- имеющая в качестве первого элемента х и у-—в качестве второго. Существенным свойством этого понятия является то, что <х, уУ— = <z, w) в том и только том случае, когда х = z я у = га. Определим теперь (бинарное) отношение как множество, эле- элементами которого являются упорядоченные пары. Это формали- формализует интуитивное понятие связи, упоминавшееся выше. Если R— некоторое отношение (множество упорядоченных пар) и (х, y)^R (иногда пишут >-Ry), то подразумевается, что эле- элемент у сопоставлен элементу х с помощью связи, представленной отношением R. Например, выражение «меньше» устанавливает связь между числами и определяет множество {(х, у}: х меньше у). Заметим, что обе пары <1, 2> и <1, 3> принадлежат этому мно- множеству, т. е. отношение может связывать несколько объектов с одним. Всякая функция /задает отношение f = {<х, у): у есть f-образ х}. Чтобы выделить те отношения, которые представляют функции, нужно воспользоваться характерной чертой функций, а именно тем, что заданный вход однозначно перерабатывается в соот- соответствующий выход. Это значит, что каждый элемент х может быть первым элементом только одной упорядоченной пары из /, т. е. (*) если (х, !/>ef и <х, г>е/, то у = z. Это и есть наша теоретико-множественная характеризация функ- функции как множества пар, удовлетворяющего условию (*). То, что происходит потом, представляет собой излюбленный прием ма- математиков—формальная интерпретация становится настоящим определением. В книгах всех уровней по математике обычно где-нибудь вначале имеется утверждение следующего содержа- содержания: «функцией называется множество упорядоченных пар, та- такое, что...». Насколько успешна эта теоретико-множественная формули- формулировка понятия функции? Технически она работает очень хорошо и позволяет легко развить теорию функций. Однако существует ряд второстепенных возражений, возникающих на концептуаль- концептуальном уровне. Кое-кто может сказать, что множество f — вообще не фун сция, а график функции /. Этот термин пришел из гео-
2.1. Являются ли функции множествами? 31 Рис. 2.2. метрии. Нанося на плоскость точки с координатами вида <х, 6х>, мы получаем прямую линию (см. рис. 2.2), называемую графи- графиком функции f(x) = 6x. Эта терминология переносится в более общий контекст, в частности в топологию и анализ, где авторы часто проводят явное различие между функцией f: A-+B и ее графиком, под которым понимается множество {{х, f{x}~): хеЛ}. Сочетание этих двух понятий может легко привести к нераз- неразберихе. Другая трудность связана с понятием области значений. Область определения (множество входов) функции /, заданной как множество упорядоченных пар, вос- восстанавливается без труда, а именно dom f = {х: <х, г/> е f для некоторого у}. А как же быть с областью значений за- заданной таким образом функции f? На- Напомним, что в качестве таковой можно взять любое множество, включающее все выходы функции f. Все выходы сами об- образуют так называемую область измене- изменения или образ функции f: Imf = {у: <х, г/> е / для некоторого х}. В общем случае f можно называть функцией из множества А в множество В, где А = dom f, а 1ш f s В. Следовательно, для функции, заданной как множество упорядоченных пар, область значений не определяется однозначно. Это может показаться пустяком, но этот пустяк приводит к некоторым трудностям, относящимся к очень важному понятию тождественной функции. Эта функция характеризуется правилом f(x) = x, т. е. выход, сопоставляемый заданному входу, совпадает с самим входом. Каждое множество А имеет свою собственную тождественную функцию, называемую тождественной функцией множества А и обозначаемую через id/i, областью значений которой является данное множество А. Образ функции icU также совпадает с А. С теоретико-множественной точки зрения id.4 = «л:, х): х<=А). Пусть теперь А — подмножество множества В. Тогда пра- правило f(x) = х задает функцию из А в В. Эта функция называется функцией включения подмножества А в множество В и обычно обозначается через А <=• В. Употребляя новое слово, мы под- подчеркиваем, что данная функция включает элементы множества А в совокупность элементов множества В. Несмотря на то что понятия тождественной функции множества А и функции вклю- включения подмножества А в В достаточно далеки, с теоретико-мно- теоретико-множественной точки зрения они совпадают, т е. представляют собою одно и то же множество упорядоченных пар.
32 Гл. 2. Что такое категории Один из способов преодоления этой трудности заключается в следующем изменении определения функции. Для множеств А и В определим прежде всего произведение, или декартово произведение, этих множеств как множество всех упорядочен- упорядоченных пар, первый элемент которых принадлежит А, а второй — В. Оно обозначается через А X В. Итак, ЛХ?= {<*, у): х<=А и j/eB). Определим теперь функцию как тройку / = (.4, В, R), где R s А X В — отношение между А и В (график функции /), та- такое, что для каждого хеЛ существует ровно один у е В с <А', y}^R. В итоге область определения Л и область значений В вводятся в определение функции с самого начала. Хотя измененное так определение и приводит все в некоторый порядок, оно тем не менее сохраняет прежнее представление о функции как о множестве некоторого рода — фиксированном, статическом объекте. Оно не отражает «операционный» или пре- преобразовательный аспект данного понятия. Принято говорить о «применении» функции к некоторому аргументу или о функции, действующей на некоторой области. При этом создается опреде- определенное впечатление действия и даже движения, что подчерки- подчеркивается использованием стрелок, терминологией типа «источ- «источник— цель» и такими обычными синонимами слова «функция», как «преобразование» и «отображение». Здесь явная аналогия с физической силой, действующей на объект, чтобы передви- передвинуть его куда-нибудь или заменить на другой объект. Действи- Действительно, геометрические преобразования (вращения, отражения, растяжения и т д.) являются функциями, которые практически буквально описывают движение, а в прикладной математике силы фактически моделируются функциями. Описанные здесь динамические качества представляют собой существенную часть значения слова «функция», как оно употребляется в математике. Определение функции через упорядоченные пары не отражает этого. Оно является формальной теоретико-множественной мо- моделью интуитивной идеи функции — моделью, которая охваты- охватывает лишь один аспект этой идеи, а не все ее значение в целом. 2.2. КОМПОЗИЦИЯ ФУНКЦИЙ Пусть /: А-+В и g: B-+C — две функции, такие, что цель первой из них совпадает с источником другой. Тогда по правилу «применить f, а затем g» можно получить новую функцию. Для элемента х^А выход f(x) является элементом множества В, а поэтому некоторым входом для g. Применение g дает элемент g(f(x)) из С. Переход от х к g(f(x)) определяет функцию с областью определения А и областью значений С. Она назы-
2.2. Композиция функций 33 вается композицией функций j и g, обозначается через go/ и символически записывается правилом g °f (х) = g(f (х)). f В С Предположим теперь, что имеются три функции f: А-*-В, ¦g: B-+C и h: С-*¦?), области определения и области значений которых связаны так, что можно применить последовательно все три функции и получить в результате функцию из А в D. В действительности это делается двумя способами, так как на первом этапе мы можем образовать композиции g°f: A-+C и hog: B-*-D. Далее по правилу «применить f, а затем hog» мы получим функцию (hog) о/, а по правилу «применить g°f, а за- затем /г» — композицию h ° (g °f). f На самом деле эти две функции совпадают. Анализируя их вы- выходы, мы убеждаемся, что l(h°g)°f](x) = fi°g(f(x))=h(g(f(x))). Итак, данные две функции имеют одинаковые области опреде- определения и области значений и одинаковые выходы для одинаковых входов. Обе они равноценны правилу «применить f, затем g, a затем /г». Иначе говоря, эти функции совпадают, и мы устано- установили следующее: Закон ассоциативности для композиции функций, h ° (g « f) = = (hog) of. Этот закон позволяет опустить скобки и писать просто h°g°f, не создавая при этом путаницы. Отметим, что данный закон неприменим к произвольной тройке функций — равенство имеет смысл только тогда, когда они «образуют путь», т. е. их источники и цели расположены, как указано выше. 2 Зак. 651
34 Гл. 2. Что такое категории Последний рисунок представляет собой пример коммутатив- коммутативной диаграммы, очень важного понятия, которое в теории кате- категорий используют для наглядности изложения. Под диаграммой мы понимаем изображение некоторых объектов вместе с некото- некоторыми стрелками (обозначающими функции), которые соединяют эти объекты. Нарисованный ниже «треугольник» стрелок /, g, h также является диаграммой. • В Он называется коммутативным, если h — g°f. Дело в том, что в данной диаграмме имеются два пути от Л к С: один идущий по / и затем по g, а другой — прямо по h. Коммутативность означает, что оба пути приводят к одному и тому же результату. Более сложная диаграмма, подобная изображенной выше, на- называется коммутативной, когда все возможные треугольники, составляющие части данной диаграммы, коммутативны. Это означает, что любые два пути стрелок данной диаграммы, начи- начинающиеся в одном и том же объекте и заканчивающиеся в одном и том же объекте, задают в композиции одну и ту же функцию. Композиции с тождественными функциями Что можно сказать о композиции функции с тождественной функцией? За функцией f: A-+B может следовать ids. Вычисляя выходы для^еЛ, мы получаем, что Аналогично функции g: В -> С может предшествовать ids и в этом случае для х е В Так как функции idBof и f имеют одинаковые источники и цели и функции g о idfi и g также шмеют одинаковые источники и цели, то в результате установлен следующий Закон тождества для композиции функций. Для любых функ- функций f: Л->В и g: B-+C выполнены равенства ide°/ = / и
2.3. Категории: первые примеры 35 Закон тождества эквивалентен утверждению о коммутатив- коммутативности следующей диаграммы: 2.3. КАТЕГОРИИ: ПЕРВЫЕ ПРИМЕРЫ Как мы уже говорили, категорию первоначально можно пред- представлять себе в виде универсума для некоторого математиче- математического обсуждения, и такой универсум задается спецификацией объектов определенного рода и определенного рода «функций» между такими объектами. В общей теории категорий вместо слова «функция» используют более нейтральное слово «стрел- «стрелка» (а также слово «морфизм»). Следующая таблица перечис- перечисляет некоторые категории, указывая их объекты и стрелки. Категория Объекты Стрелки Set Finset Nonset Top Vect Grp Mon Met Man Top Grp Pos все множества все конечные множества все непустые множества все топологические простран- пространства векторные пространства группы моноиды метрические пространства многообразия топологические группы частично упорядоченные мно жест в а все функции между мно- множествами все функции между конеч- конечными множествами все функции между непус- непустыми множествами все непрерывные функции между топологическими пространствами линейные преобразования гомоморфизмы групп гомоморфизмы моноидов сжатия гладкие отображения непрерывные гомоморфизмы монотонные функции В каждом из этих примеров, кроме трех первых случаев, объек- объектами являются множества с некоторой дополнительной струк- структурой. Стрелками для них служат все функции между множест- множествами, которые в каждом из рассматриваемых случаев удовле- удовлетворяют условиям, связанным с этой структурой. Совершенно необязательно, чтобы читатель был хорошо знаком со всеми этими примерами. Но что действительно важно, — это чтобы он или она понимали, что общего между всеми ними, что делает каждый из них категорией. Ключ лежит не в конкретной
36 Гл. 2. Что такое категории природе заданных объектов и стрелок, а в том, как ведут себя соответствующие стрелки. В каждом из указанных случаев вы- выполняется следующее: (a) с каждой стрелкой связано два специальных объекта — ее начало и конец; (b) имеется операция композиции, которая применяется к определенным парам <g\ /> стрелок данной категории (когда область определения функции g совпадает с областью значений функции /) и дает в результате новую стрелку g о /, также при- принадлежащую данной категории. (Композиция гомоморфизмов групп есть снова гомоморфизм групп, композиция непрерывных функций между топологическими пространствами сама непре- непрерывна и т. д.) Эта операция композиции всегда удовлетворяет закону ассоциативности, описанному в § 2.2; (c) с каждым объектом данной категории связана специаль- специальная стрелка — единичная, или тождественная, стрелка этого объекта. (Тождественная функция на топологическом простран- пространстве непрерывна, а на группе является гомоморфизмом групп и т. д.) В данной категории единичные стрелки удовлетворяют закону тождества, описанному в § 2.2. Примеры из нашего списка имеют и другие общие черты. Но рассматривая их как категории, мы особенно выделяем два свойства: ассоциативность композиции и существование единиц, что отражается в следующем определении. Аксиоматическое определение категории. Категория Ф вклю- включает в себя A) совокупность предметов, называемых ^-объектами; B) совокупность предметов, называемых %?-стрелками; C) операции, ставящие в соответствие каждой ^-стрелке / 'ё'-объект domf (начало стрелки /) и ^-объект cod/ (конец стрелки /). Тот факт, что а = dom / и 6 = cod/, изображается так: , , f , j: a^b, или а—*¦ о; D) операцию, ставящую в соответствие каждой паре (g, /¦> ^-стрелок с dom g = cod/ ^-стрелку g?f, композицию f и g, с dom (gof) = dom /и cod (g о f) = cod g, т. e. g ° /: dom / ->- cod g, причем выполняется следующее условие. Закон ассоциативности. Пусть а —*¦ b —*¦ с —*¦ d — конфигурация ^-объектов и ^-стрелок. Тогда h°(g°f) = = {hog) of.
2.4. Патология введенной абстракции 37 Закон ассоциативности утверждает, что диаграмма вида всегда коммутативна; E) сопоставление каждому "^-объекту Ь ^"-стрелки 1Й: b —>- b, называемой единичной или тождественной стрелкой, так что выполнен Закон тождества. Для любых "й'-стрелок f: a->b и g: Ь-^-с b°f = f И go1b = g, т. е. коммутативна диаграмма 2.4. ПАТОЛОГИЯ ВВЕДЕННОЙ АБСТРАКЦИИ Процесс, с помощью которого только что было введено по- понятие категории, представляет собой один из основных методов чистой математики. Он называется абстракцией. Начинается он с признания (в силу опыта работы и в результате исследования ряда конкретных ситуаций) того факта, что некоторое явление повторяется, что существует ряд общих черт, что имеется фор- формальная аналогия в поведении некоторых разных сущностей. Затем мы переходим собственно к процессу абстракции, в кото- котором эти черты выделяются и представляются изолированно — аксиоматическое описание абстрактного понятия. Это в точности соответствует тому, как мы получили общее определение кате- категории, рассматривая список конкретных категорий. Тот же про- процесс приводит ко всем известным абстрактным структурам (группа, векторное пространство, топологическое пространство и т. д.) — предмету исследований математиков. Введя некоторое абстрактное понятие, мы развиваем затем его общую теорию и ищем его дальнейшие иллюстрации. Эти иллюстрации называют примерами данного понятия или моде- моделями группы аксиом, определяющих данное понятие. Любое утверждение из общей теории рассматриваемого понятия, т. е.
38 Гл. 2. Что такое категории утверждение, выведенное из данных аксиом, справедливо для всех моделей этих аксиом. Обратным к абстракции является процесс специализации — поиск новых моделей. Прогресс в по- понимании наступает, с одной стороны, с осознанием того, что некоторая частная структура дает иллюстрацию более общего явления, а с другой, — с осознанием того, что несколько различ- различных структур имеют нечто общее. Наше познание математиче- математической реальности идет через взаимодействие этих двух процес- процессов, через движение от конкретного к общему и наоборот. Хоро- Хорошим наглядным примером, как видно из дальнейшего, может служить развитие теории топосов. Важный аспект процесса специализации связан с так назы- называемыми теоремами представления. Это теоремы о том, что лю- любая модель данных аксиом, определяющих некоторую абстракт- абстрактную структуру, должна быть (эквивалентна) одной из моделей некоторого конкретного списка. Они «измеряют», в какой сте- степени исходные мотивирующие примеры охватывают все возмож- возможные модели соответствующей общей теории. Так (в силу тео- теоремы Кэли), известно, что любую группу можно рассматривать как группу перестановок некоторого множества, а любую бу- булеву алгебру — как алгебру подмножеств некоторого множе- множества. Грубо говоря, чем конкретнее абстракция, т. е. чем больше условий мы вносим в абстрактное понятие, тем меньше сущест- существует примеров. В крайнем случае имеется ровно одна модель. Классический пример — аксиоматическое задание полного упо- упорядоченного поля. В действительности существует лишь одно такое поле, а именно система вещественных чисел. Аксиомы категории задают очень бедную абстракцию. Здесь нет теоремы представления в терминах нашего первоначального списка. Мы начинали с рассмотрения «общих универсумов ма- математических рассуждений». Однако при этом мы выбрали лишь «голый костяк» исходных примеров, настолько бедный «мясом», что допустимы разнообразные «патологические» случаи, совер- совершенно отличные от Set, Top, Vect и т. д. Легко указать катего- категории, которые не представляют собой универсума математиче- математического рассуждения, или категории, в которых объекты не есть множества, стрелки не похожи на функции, а операция компо- композиции не имеет ничего общего с композицией функций. Ниже описываются некоторые из таких категорий. Настоятельная просьба к читателю—-изучить их внимательно, восполнить не- недостающие детали в определениях и проверить в каждом из случаев выполнение аксиом ассоциативности и тождества. 2.5. ОСНОВНЫЕ ПРИМЕРЫ Пример 1. Категория 1. Она имеет единственный объект и единственную стрелку. Следует сказать, что этим она опреде- определяется полностью. Обозначим ее единственный объект через а,
2.5. Основные примеры 39 а единственную стрелку — через f. Тогда обязательно domf = = cod/ = a, поскольку имеется лишь один объект а. Так как / — единственная стрелка, то в качестве единичной стрелки мож- можно взять лишь ее, т. е. мы полагаем la = /• Единственной парой, для которой нужно определить композицию, является пара <f, f>, ii мы полагаем f°f = f- Это дает закон тождества, ибо iaof = = / о \а = f of = f) и закон ассоциативности, ибо f°(f°f) = = (f °f) of = f. Итак, мы получили категорию, которую мы изо- изображаем диаграммой вида (У Правда, мы не сказали, что представляют собой аи/. Суть дела в том, что они могут быть чем угодно. В качестве а можне взять некоторое множество с тождественной функцией f на нем. Но также в качестве f можно взять произвольное число или пару чисел, банан или Эйфслеву башню и даже Ричарда Никсона. То же самое относится и к а. Как только любые два предмета выбраны и обозначены через а и /, а затем определены, как и выше, dom/, cod f, 1a и f >f, так сразу мы приходим к структуре, удовлетворяющей аксиомам категории. Каковы бы ни были а и f, данная категория будет похожа на предыдущую диаграмму. В этом смысле существует «реально» только одна категория с единственным объектом и единственной стрелкой. Ее обозна- обозначают через 1. В качестве образца такой категории мы можем взять категорию, единственным объектом которой служит число О, а единственной стрелкой — упорядоченная пара <0, 0>. Пример 2. Категория 2. Эта категория имеет два объекта и три стрелки и выглядит так: О О В качестве двух объектов возьмем числа 0 и 1, а в качестве стрелок — пары <0, 0>, <0, 1> и <1, 1>. Пусть @,0): 0^0, @, 1): 0-И, A,1): 1-1. 1огда @, 0) = 10 (единичная стрелка на 0) и A, l) = 1i.
40 Гл. 2. Что такое категории При наших требованиях композицию на этом множестве можно ввести только одним способом: 1о°1о = 1о, <0, 1>°1„ = <0, 1>, 1,о<0, 1> = <0,1> и 1,о11 = 11. Пример 3. Категория 3. Она имеет три объекта и шесть стре- стрелок, три неединичные стрелки можно расположить в виде тре- треугольника: В этом случае композиция также определена однозначно. Пример 4. Предпорядки в общем случае. В каждом из наших трех первых примеров композицию можно определить только одним способом. Причина этого состоит в том, что любые два объекта связаны не более чем одной стрелкой, а потому выбор стрелки однозначен, если известны ее начало и конец. В общем случае категория, в которой любые два объекта р и q связаны не более чем одной стрелкой p->q, называется категорией пред- порядка. Если Р есть совокупность объектов категории предпо- рядка, то на ней определено следующее бинарное отношение R (т. е. множество R = Р X Р): . <р, <7> е R тогда и только тогда, когда в данной категории предпорядка существует стрелка p-*-q. Отношение R обладает такими свойствами (мы пишем pRq вместо (р, q} e R): (i) рефлексивность, т. е. для каждого р выполнено pRp\ (и) транзитивность, т. е. если pRq и qRs, то pRs. (Условие (i) вытекает из того, что для любого объекта р Суще- Существует единичная стрелка р-*-р. Для (И) заметим, что стрелка из р в q дает в композиции со стрелкой из q в s стрелку из р в s.) Транзитивное и рефлексивное бинарное отношение обычно называют отношением предпорядка. Мы только что убедились, что категория предпорядка определяет естественное отношение предпорядка на совокупности своих объектов (откуда и ее на- название). Обратно, если начинать с множества Р, предупорядо- ченного отношением R (т. е. /?еРХ^ — рефлексивное и тран- транзитивное отношение), то можно построить категорию предпо- предпорядка следующим способом. Ее объектами являются элементы р множества Р, а стрелками — пары (р, ^>, для которых pRq. Пара (р, q} является стрелкой из р в q. Для компанующихся пар <р, ф <q, s> ra р >-q t-s положим
2.5. Основные примеры 41 Отметим, что если <р, q.} и (q, s> — стрелки, то pRq и qRs, по- поэтому pRs (транзитивность), откуда вытекает, что <р, s> также стрелка. Имеется не более одной стрелки из р в q, причем ее наличие зависит от того, выполнено или нет pRq, и по транзи- транзитивности существует единственная композиция стрелок. По реф- рефлексивности <р, р} — всегда стрелка, каков бы ни был эле- элемент р. Более того, <р, р> =1Р. В примерах 1—3 определены категории предпорядка, отно- отношение предпорядка на которых удовлетворяет следующему до- дополнительному условию: (ш) антисимметричность, т. е. если pRq и qRp, то p = q. Антисимметричное отношение предпорядка называют отноше- отношением частичного порядка. Этот вид отношения мы обычно обо- обозначаем через е, т. е. пишем p^q вместо pRq. По определению частично упорядоченное множество или, короче, ч. у. множество есть пара Р = <Р, Е=>, состоящая из множества Р и отношения частичного порядка с= на Р. Эта структура будет играть цен- центральную роль в нашем изучении топосов. Множество {0} превращается в ч. у. множество, если поло- положить 0е=0. Соответствующей категорией предпорядка является 1 (пример 1). Категория предпорядка 2 соответствует отноше- отношению частичного порядка на множестве {0, 1} cOcl (и, конечно, с ОеО и 1^1). Это обычный числовой порядок s?I для чисел О и 1 (где ^ означает «меньше или равно»), Категория 3 соот- соответствует обычному упорядочению трех элементов множества {0, 1, 2}. Эту конструкцию можно продолжить далее, построив категорию предпорядка 4 по обычному упорядочению множе- множества {0, 1, 2, 3}, а в общем случае по каждому натуральному числу п можно построить категорию предпорядка п, используя обычный порядок на {0, 1, 2, ..., п — 1}. Продолжая эту кон- конструкцию, рассмотрим бесконечную совокупность ©= {0, 1, 2, 3, ...} всех натуральных чисел с обычным отношением порядка. Ей отвечает категория предпорядка с диаграммой (композиции и единичные стрелки не изображены). Простейшим примером категории предпорядка, но не частич- частичного порядка является двухобъектная категория с четырьмя стрелками для которой pRq и qRp, но
42 Гл. 2. Что такое категории Категорная интерпретация условия антисимметричности бу- будет дана в следующей главе, а предыдущие числовые примерь: подвергнутся повторному рассмотрению в примере 9. Пример 5. Дискретные категории. Пусть Ъ — объект некото- некоторой категории Я>>. Тогда 'Э'-стрелка 1 ь определена однозначно в силу ее свойства, выраженного законом тождества. Действи- Действительно, если стрелка Y:b-*b обладает тем свойством, что диа- диаграмма f коммутативна для любых "^-стрелок fug указанного вида, то в частном случае, когда /=1' и g=\b, коммутативна диа- диаграмма откуда 1й=1ь°Г (правый треугольник). Но по закону тож- тождества (для / = Г) 1 ь о Г = Г. Значит, 1 ь = Г. Поскольку, как мы выяснили, единичная стрелка 1» опре- определяется однозначно по объекту Ь, то на практике иногда до- допускают отождествление объекта b со стрелкой 1 ь и пишут b: b-*-b, b о f и т. д. Итак, согласно аксиомам категорий, сово- совокупность ^-стрелок, во всяком случае, включает в себя единич- единичную стрелку для каждого ^-объекта (почему различные объ- объекты должны иметь различные единичные стрелки?). Катего- Категория W называется дискретной, если в ней имеются только такие стрелки, т. е. каждая стрелка является единичной для некото- некоторого объекта. Дискретная категория представляет собой пример категории предпорядка, поскольку, как мы только что убедились, заданный объект может иметь лишь одну единичную стрелку. Отождествляя объекты с соответствующими единичными стрел- стрелками, мы видим, что дискретная категория по существу есть не что иное, как совокупность объектов. Действительно, любое мно- множество X можно превратить в дискретную категорию, добавив единичные стрелки х-тх для каждого х^Х, т. е. А' превра- превращается в категорию предпорядка, соответствующую отношению R ^ Х\Х, такому, что xRy тогда и только тогда, когда х = у.
2.5. Основные примеры 43 Пример 6. N. Настало время обратиться к некоторым кате- категориям, имеющим более одной стрелки между заданными объ- объектами. Настоящий пример имеет ровно один объект, который мы обозначаем через N, и бесконечную совокупность стрелок из N в N. По определению этими стрелками являются нату- натуральные числа 0, 1, 2, 3 Каждая из стрелок имеет одно и то же начало и конец, а именно единственный объект N. Композиция двух стрелок (чисел) тип есть снова число. По- Положим т о п = т + п. Итак, диаграмма коммутативна по определению. Закон ассоциативности для стрелок вытекает из ассоциативности сложения, т. е. из того, что т + {п + К) = {т + п) + k для любых т, п и k. Единичная стрелка 1 v объекта /V задается числом 0. Диа- Диаграмма коммутативна, потому что Пример 7. Моноиды. Категория N из последнего примера является категорией потому, что структура (N, +, 0) есть при- пример моноида, известного понятия из абстрактной алгебры. Моноидом называется тройка М = (М, *, е), где (i) M — некоторое множество; (ii) -:;¦ — бинарная операция на М, т. е. функция из МУ(М в М, ставящая в соответствие каждой паре {х,у) ^МУ^М эле- элемент х»у из М, которая ассоциативна, т. е. **(</* г) = (x* -::¦ у) * г ДЛЯ ЛЮбыХ X, у, ZE М\ (Hi) е — элемент множества М, называемый единицей мо- моноида, для которого е % х = х * е = х при всех хеМ. По любому моноиду М строится категория с одним объек- объектом, как в примере 6. В качестве объекта берется множеством, а в качестве стрелок М-+М — элементы из М, кроме того, предполагается, что е=\М- Композиция стрелок х, у^М за- задается по правилу Хоу = Х*у.
44 Гл. 2. Что такое категории Обратно, если 92 — категория с единственным объектом а, а М — совокупность ее стрелок, то тройка (М, °,1а) является моноидом. Все стрелки имеют одни и те же начала и концы, а потому для них всегда определена композиция. Итак, в этом случае композиция представляет собою функцию из М X М в М, т. е. бинарную операцию на М, ассоциативную по закону ассоциативности для категорий. По закону тождества 10 яв- является единицей данного моноида. Пример 8. Matr(K) (для тех, кто знает линейную алгебру). Пусть К — коммутативное кольцо. Тогда множество всех мат- матриц над К можно превратить в категорию Matr(K). Ее объек- объектами являются целые положительные числа 1, 2, 3, ..., а стрел- стрелками m->n-—матрицы размера пХяс элементами из К. Для пары компануемых стрелок в а m —* п —*¦ р, т. е. (рХ п) -матрицы А и (лХ ш) -матрицы В, композиция А°В определяется как произведение ЛХВ матриц А а В (ко- (которое является (рХ гп)-матрицей и задает стрелку вида т-*-р). Категорная ассоциативность получается из ассоциативности матричного умножения. Единичной стрелкой 1т является еди- единичная матрица порядка т. В конце этой главы мы рассмотрим некоторые способы об- образования новых категорий по уже заданным. Пример 9. Подкатегории. Пусть W — некоторая категория, а а и Ь — ее объекты. Обозначим через Ч?(а, Ь) совокупность ^-стрелок с началом а и концом Ь, т. е. W(a, b\ = {f: f является "^-стрелкой вида а-—> Ь}. Категория *€ называется подкатегорией категории ЗЬ (обозна- (обозначается это через <& s 3)), если (i) каждый "^-объект является ^-объектом и (И) для любых двух ^-объектов а и Ъ справедливо вклю- включение Ф(а, Ь)*~ф{а, Ь), т. е. все ^-стрелки а-^-Ь представ- представлены в ?Ь. Так, например, Finset Е Set и Nonset s Set, хотя ни Finset, ни Nonset ие являются подкатегориями одна другой. Категория Я? называется полной подкатегорией категории 2D, если Ф^З) и (Hi) для любых ^-объектов а и Ь выполняется равенство Ч!?(а, Ь) = 3)(а, Ь), т. е. St) не имеет стрелок а->6, не лежа- лежащих в Я!?. Пусть 3) — некоторая категория, а С — произвольная сово- совокупность ^-объектов. Тогда имеется полная подкатегория ф в 3), "^-стрелками которой являются все ^-стрелки между
2.5. Основные примеры 45 элементами из С. Очевидно, что Finset и Nonset — полные под- подкатегории Set. Одной из важных полных подкатегорий в Finset (а значит, и в Set) является категория Finord всех конечных ординалов. Под конечными ординалами мы понимаем множества, обычно используемые в основаниях теории множеств как представи- представители натуральных чисел. Мы берем натуральные числа в каче- качестве имен этих множеств, а именно: 0 для 0 (пустое множество), 1 для {О}(={0}), 2 для {0, 1}(={0, {0}}), 3 для {0, 1, 2} (= {0, {0}, {0, {0}}}), 4 для {0, 1,2,3} и т. д. Продолжая этот процесс индуктивно, положим, что нату- натуральное число п есть имя множества {О, 1, 2 я-1}. Так образованная последовательность конечных множеств со- состоит из всех конечных ординалов. Они и являются объектами категории Finord, а в качестве стрелок берутся все функции между конечными ординалами. Разумеется, довольно смешно считать, что число 1 есть мно- множество {0}, единственным элементом которого является множе- множество, называемое нулем. Дело, однако, в том, что в аксиомати- аксиоматической теории множеств, где разыскивается явное и точное опи- описание математических сущностей и их интуитивно понимаемых свойств, конечные ординалы дают такое «образцовое» пред- представление для натуральных чисел. Они обладают сложной, хотя и вполне изящной структурой, выявляющей все арифметические и алгебраические свойства системы натуральных чисел. Отно- Отношение включения и отношение принадлежности связывают их следующим образом: 0e=l<=2es3<= На самом деле следующие три утверждения эквивалентны: (a) п<т (число п в обычном числовом смысле меньше, чем число т), (b) пат (множество п — собственное подмножество в т), (c) п^т (п — элемент множества т). Итак, п ^ т тогда и только тогда, когда п^т. Поэтому (множество) ординал п = {0, 1, ..., п—1} имеет упорядочение ^, которое естественно входит в его теоретико- множественную структуру. Соответствующая категория предпо- рядка является не "чем иным, как категорией m из примера 4.
46 Гл. 2. Что такое категории Отметим, что если п ^ пг, то категория предпорядка п является полной подкатегорией в т. Пример 10. Произведения категорий. Объектами категории Set2 пар множеств служат все пары <Л, В} множеств. Стрел- Стрелками в Set2 из <Л, ?> в <С, D} являются пары <f, g} функций вида f: А->С и g: B-»-D. Композиция определяется правилом <f, §У ° <Г, g"> = <f ° Г. § ° g'}, где fof и g о g' — обычные ком- композиции функций. Единичной стрелкой объекта <Л, ?> будет пара <id,4, ids>. Эта конструкция имеет следующее обобщение. Пусть & и Ж) — две любые категории. Их произведение %?Х.З) является категорией, объекты которой представляют собой все пары <а, Ь), где а — объект из <ё>, a b — объект из 3). В качестве ФХ ^-стрелок <а, ft>->-<c, d} берутся пары <f, g} стрелок вида f: a-*-с в *& и g: b—^d в 3). Композиция определяется поком- покомпонентно в соответствии с композициями в 1? и 3). Пример 11. Категории стрелок. Объектами категории функ- функций Set~* являются все функции f: А-*-В. Стрелка из Set^-объ- екта f: A->B в Set^-объект g: C-+D представляет собой пару функций <Л, k), такую, что диаграмма А В D коммутативна^ т. е. g ° h = k° f. Зададим композицию правилом </, /> о </г, k} = </ о h, I ° k}; в ее корректности можно убедиться с помощью следующей диа- диаграммы: Единичной стрелкой Set^-объекта f: A-+B является пара тож- тождественных функций <icU, idB>. Эта конструкция также обобщается на любые категории %?, при этом получается категория стрелок Ч?^, объектами которой являются все 1?-стрелки.
2.S. Основные примеры 47 Пример 12. Относительные категории. Их можно рассматри- рассматривать как специализации категорий стрелок, когда мы ограничи- ограничиваемся стрелками с фиксированным концом или началом. Так, например, взяв множество вещественных чисел R, мы получаем категорию вещественнозначных функций Set|R. Ее объектами являются все функции f: A-+-R с областью значений R. В качестве стрелок из f: Л->К в g: B->R берутся функции k: А-*-В, для которых коммутативен треугольник А- ¦В т. e. g о k = f. Объекты категории Set { R иногда удобно представлять в виде пар (Л,/) для /: Л-vR. Тогда композиция стрелок (л,/)-Чв, §)-^{с, h) в Set|R определяется как стрелка l°k: (Л,/)->(С, А), Единичной стрелкой объекта f: Л-vR будет стрелка id^: (Л,/)->(Л, f). Категория SetjR в том виде, как мы ее ввели, не есть подкатегория категории Set"*, ибо имеет совсем другие стрелки. Однако SetjR-стрелку k: (Л, /)->(fi, g) можно отож- отождествить с Set""-стрелкой (k, idg), так как треугольник коммутативен тогда и только тогда, когда коммутативен квад- квадрат к Л 1 в IR
48 Гл 2. Что такое категории Это позволяет ввести категорию SetjR как (неполную) подка- подкатегорию в Set"*. Аналогично для любого множества X можно определить ка- категорию SetjX функций со значениями в X. Перейдем теперь к более общей ситуации, когда 9" — некоторая категория, a a —• любой ее объект. Тогда объектами категории 9?\а объектов над а являются все "iP-стрелки с концом в объекте а, а стрел- стрелками из /: Ь-*-а в g: с-+а—такие "Э'-стрелки k: b-*-c, что треугольник коммутативен, т. е. g ° k = /. Категории этого типа играют важную роль как в обеспече- обеспечении примерами топосов, так и в развитии их общей теории. Обращаясь к началам стрелок, можно определить категорию Я&\ а объектов под а, объектами которой являются все "iP-стрел- ки с началом а, а стрелками из f: a-*-b в g: a-vс — такие "^-стрелки k: b~*-c, что треугольник А Ъ ^-—-с коммутативен, т. е. k °,f = g. Такие категории <&\а и Я2\а принято называть относи- относительными.
Глава 3 СТРЕЛКИ ВМЕСТО ОТНОШЕНИЯ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ Мир идей не открывается нам сразу. Мы должны снова и снова воссоздавать его в нашем сознании. Ренэ Том В настоящей главе мы рассмотрим ряд стандартных теоре- теоретико-множественных конструкций и переформулируем их на языке стрелок. Как указано во введении, общая задача при этом состоит в том, чтобы понятия, определенные в терминах «внут- «внутренней» структуры отношения принадлежности элемента мно- множеству, охарактеризовать «внешним образом», в терминах связей этого множества с другими множествами, связей, выра- выражаемых функциями. Этот анализ приведет нас к понятию уни- универсальности и понятию предела, которые охватывают в сущ- сущности все построения в категориях. 3.1. МОНОМОРФНЫЕ СТРЕЛКИ Говорят, что теоретико-множественная функция /: А-*-В инъ- ективна, или взаимно однозначна, если не существует двух различных входов, дающих один и тот же выход, т. е. если для любых х, у ^А из f(x) = f (у) следует х = у. Предположим теперь, что f: A -> В инъективна, а две «парал- «параллельные» функции g, h: C=^.A выбраны так, что диаграмма А т > В коммутативна, т. е. f о g = f ° ft. Тогда для всякого хеС имеем /°g{x) = f°h(x), т. е. f(g(x)) — f(h(x)). Но f инъективна, поэтому g(x) = h(x). От- Отсюда следует, что g и h, имеющие один и тот же выход при каждом входе, совпадают. Этим показано, что на инъективные функции можно «сокращать слева», т. е. если f°g = f°h, то g = h.
50 Гл. 3. Стрелки вместо отношения принадлежности С другой стороны, если f такова, что на нее можно сокра- сокращать слева, то она должна быть инъективна. Чтобы убедиться в этом, возьмем такие х и у из А, что f(x) = f(y). Предписания «g@) = *», «/i@)=*/» задают пару функций g, h из {0} (т. е. из ординала 1) в А, для которых f°g = foh. В силу сократи- сократимости слева g = А, откуда g @) = А @), т. е. х = у. Мы видим, таким образом, что инъективные стрелки в Set — это в точности те стрелки, на которые можно сокращать слева. Рис. 3.1. Последнее свойство, формулируемое исключительно с помощью стрелок, приводит к следующему абстрактному определению. Стрелка f: a-^-b в категории 9? называется мономорфной или монострелкой в ЧР, если для любой пары g, A: czXa ^-стрелок из равенства f ° g = f ° h следует g = h. Для указа- указания того, что / мономорфна, будет использоваться запись /: а>—* Ь. Этот термин пришел из алгебры: инъективный алгеб- алгебраический гомоморфизм (алгебраический гомоморфизм — это стрелка в категориях вроде Моп и Grp) называют мономор- мономорфизмом. Пример 1. В категории N (пример 6 гл. 2) каждая стрелка мономорфна. Сократимость слева здесь означает, что из m + п = m + р следует п = р, а это является, очевидно, верным предложением об операции сложения натуральных чисел. Пример 2. В категории предпорядка каждая стрелка яв- является монострелкой. Действительно, для любой пары g, A: с rt а имеем g = h, так как существует, самое большее, одна стрелка с-*а. Пример 3. В категориях Моп, Grp, Met, Top монострелки — это те стрелки, которые являются инъективными теоретико- множественными функциями (см., например, Arbib — Manes [75]).
3.2. Эпиморфные стрелки 51 Пример 4. В относительной категории Ifla стрелка k из (b.f) в (c,g) ь- мономорфна в 9?\а, если и только если k является монострелкой в <8 как стрелка из Ъ в с. ? Упражнения. В произвольной категории A) композиция g о f является монострелкой, если как f, так и g мономорфны; B) если композиция g ° f мономорфна, то и f мономорфна. 3.2. ЭПИМОРФНЫЕ СТРЕЛКИ Теоретико-множественная функция f: А-^В сюръективна, или является наложением, если ее область значений В совпа- совпадает с множеством всех ее значений, т. е. для каждого у е В существует некоторый х^А, такой, что y = f{x), другими словами, каждый элемент из В появится в качестве выхода f. Определение этого понятия только в терминах стрелок полу- получается из определения монострелки просто обращением стре- стрелок. Формально: Стрелка f: a-^b называется эпиморфной или эпистрелкой (сократимой справа) в категории Ч?, если для произвольной пары 'ё'-стрелок g, h: b=^c из равенства gof=h°f следует g = h, т. е. всякий раз, когда диаграмма f коммутативна, будет g ••-— h. Для обозначения эпиморфизмов применяется запись f: a-^-b. В категории Set эпистрелки суть в точности сюръективные отображения (упражнение или см. Arbib — Manes [75], стр. 2). В категории N каждая стрелка эпиморфна, так как равен- равенство л + m = р + m влечет за собой л = р. В категории пред- порядка все стрелки эпиморфны. В категориях из нашего исходного списка, в которых стрелки суть функции, стрелки, являющиеся сюръективными функ- функциями, будут всегда эпистрелками. Обратное верно в категории Grp, но не в Моп. Включение натуральных чисел в целые есть
52 Гл. 3. Стрелки вместо отношения принадлежности гомоморфизм моноидов (по отношению к операции +), не яв- являющийся наложением, однако он сократим справа в Моп (Arbib — Manes [75], стр. 57). 3.3. ИЗОСТРЕЛКИ Теоретико-множественная функция, являющаяся как инъек- тивной, так и сюръективной, называется биективной. Если f: А>-^В биективна, то переход из Л в В с помощью f может быть обращен. Мы можем мыслить / просто как переименова- переименование элементов из А. Произвольный элемент b e В является образом f(a) некоторого элемента яе/1 (свойство сюръектив- ности), а на самом деле единственного такого а (свойство ииъ- ективности). Значит, правило, ставящее в соответствие произ- произвольному Ь это единственное а, т. е. гласящее, что g(b) — а тогда и только тогда, когда f(a) = b, определяет функцию В-»-Л, которая удовлетворяет равенству g(f(a)) = а для всех а е А, а также равенству f(g(b))= Ь для всех &еВ. Поэтому g°f = \&а и f°g = idB. Функция g, связанная с / указанным образом, называется об- обратной к f. Эта в сущности «теоретико-стрелочная» идея при- приводит к новому определению. Произвольная стрелка /: а^-Ъ называется изострелкой или обратимой в $? стрелкой, если существует ^-стрелка g: b-*-a, такая, что g°f=Knf°g='\b- На самом деле может существовать, самое большее, одна такая стрелка g. Действительно, если g'°f=\a и fog'=\b, то g' = 1 а ° g' = (g ° f) °g' = g°(fog') = g°U = g- Таким об- образом, эта g, когда она существует, называется обратной к f стрелкой и обозначается через f-1: b-*-a. Она определяется ус- условиями [-'•[= 1а, f of'1 = Ь. Запись f: ac^b применяется для обозначения изострелок. Всякая изострелка является также монострелкой. Действи- Действительно, если f°g = f°h и существует /-1, то g—\a*g=- = (f" ° f) ° ё — f~l ° (f ° S) = f'1 ° (f °h) = 1" °h = h и. таким об- образом, f сократима слева. Аналогичные рассуждения показы- показывают, что всякая изострелка является эпистрелкой. Как мы уже видели в начале этого параграфа, функция, яв- являющаяся в категории Set эпистрелкой и монострелкой, имеет обратную. Таким образом, в Set «изо» — синоним для «моно
3.4. Изоморфные объекты 55 и эпи». Мы увидим, что так же обстоит дело в топосе, но для произвольной категории это, конечно, не верно. Мы уже знаем, что в категории N каждая стрелка моно- морфна и эпиморфна. Но единственной изострелкой является 0: N-*-N. Действительно, пусть т = п=1лг, т. е. m + п = 0. Так как тип — натуральные числа и поэтому оба неотрица- неотрицательны, то равенство может иметь место только при т = п = 0. Отображение включения, упомянутое в конце предыдущего параграфа, будет эпиморфным и мономорфным, но не является изострелкой, так как если бы оно было обратимым, то было бы биективным. Если стрелка f: p^-q из категории предпорядка, соответ- соответствующей ч. у. множеству Р = (Р, |=), имеет обратную стрелку /""': q-*¦ р, то р!=<7 и qE=p, поэтому в силу антисимметрично- антисимметричности р = q. Но тогда f должна быть единственной стрелкой \р из р в р. Таким образом, в частично упорядоченном множестве, рассматриваемом как категория (будем называть ее катего- категорией порядка), каждая стрелка мономорфна и эпиморфна, но изострелками являются только единичные стрелки. Группы Группа есть моноид (М, *, е), в котором для каждого х^М существует у е М, удовлетворяющий равенствам х * у = е = = у*х. На самом деле может существовать только один такой у для данного х. Он называется обратным к х и обозначается через х~\ Рассматривая моноид как категорию с одним объек- объектом и применяя к нему введенную выше терминологию, прихо- приходим к такому заключению: группа есть в сущности то же са- самое, что однообъектная категория, в которой каждая стрелка является изострелкой. Упражнение 1. Каждая единичная стрелка является изо- гтрелкой. Упражнение 2. Если f — изострелка, то и /-1 — изострелка. Упражнение 3. Если f и g — изострелки, то и fog —изо- —изострелка, при этом (/ °g)~1 = g~] °/~'. 3.4. ИЗОМОРФНЫЕ ОБЪЕКТЫ Объекты а и Ь называются изоморфными в W, символиче- символически ад^Ь, если существует "^-стрелка f: a^-b, являющаяся изо- изострелкой в Ч?, т. е. /: a s Ъ. В категории Set отношение А эё В имеет место, когда суще- существует биекция между А я В, при наличии которой каждое из этих множеств можно представлять себе как переобозначение
54 Гл. 3. Стрелки вместо отношения принадлежности другого. В качестве характерного примера такого переобозна- переобозначения возьмем произвольное множество А и положим Фактически В есть множество А с меткой «О», прикрепленной к каждому его элементу. Правило f(x)= {х, 0> задает биекцию /: А -> В, устанавливающую, что А ^ В. В категории Grp две группы изоморфны, если существует групповой гомоморфизм (функция, сохраняющая групповую структуру) одной группы в другую, для которого найдется об- обратное в теоретико-множественном смысле отображение, со- сохраняющее групповую структуру (и являющееся поэтому об- обратным в категории Grp). Такая стрелка называется изомор- изоморфизмом групп. В категории Тор изоморфные топологические пространства называются обычно гомеоморфными. Это означает, что суще- существует гомеоморфизм между ними, т. е. непрерывная биекция, для которой обратное отображение тоже непрерывно. В этих примерах изоморфные объекты «одинаковы». Можно свободно переходить от одного к другому с помощью изострелки и обратной к ней. Более того, эти стрелки, устанавливающие взаимно однозначное соответствие между элементами двух объектов, сохраняют и соответствующую структуру. Это озна- означает, что мы можем заменить некоторые или все элементы одного объекта их образами из другого объекта, не внося из- изменения в структуру объекта. Так, изоморфные группы как группы одинаковы, гомеоморфные топологические пространства не различимы с помощью топологических свойств и т. д. В про- произвольной математической теории изоморфные объекты нераз- неразличимы с точки зрения этой теории. Цель теории — находить и изучать построения и свойства, являющиеся инвариантными при изоморфизмах этой теории (так, топология изучает свой- свойства, которые не изменяются и не нарушаются при замене про- пространства другим, гомеоморфным ему, пространством). Гово- Говорят, что некоторое свойство определяет объект «однозначно с точностью до изоморфизма», если всякий другой объект, об- обладающий этим свойством, изоморфен ему. Говорят, что поня- понятие «определено с точностью до изоморфизма», если его описа- описание определяет объект не однозначно, а лишь однозначно с точ- точностью до изоморфизма. Теория категорий дает абстрактную формулировку идеи ма- математического изоморфизма и изучает понятия, являющиеся инвариантными при всех видах изоморфизмов. В теории кате- категорий выражение «изоморфно» — фактически синоним слова «есть». В самом деле, как мы увидим, большинство основных
3.5. Начальные объекты 55 определений и построений, которые можно провести в какой- либо категории, определяют объект не абсолютно однозначно, а только «с точностью до изоморфизма». Скелетальные категории Скелетальная категория — это категория, в которой «изо- «изоморфный» означает то же самое, что и «равный», т. е. такая категория, в которой всякий раз, как а ^ Ь, будет а — Ь. Мы видели в последнем параграфе, что в категории порядка только единичные стрелки являются изострелками. Это дает нам кате- горную трактовку антисимметричности в предупорядоченных множествах. Частично упорядоченное множество — это скеле- скелетальная категория предпорядка. Упражнение 1. Произвольные ^"-объекты обладают следую- следующими свойствами: (i) a^a, (И) если а ^ Ь, то b ^ а, (iii) если й ^ 6 и & = с, то а = с Упражнение 2. Finord — скелетальная категория. 3.5. НАЧАЛЬНЫЕ ОБЪЕКТЫ Какие свойства, сформулированные с помощью стрелок, вы- выделяют 0 (пустое множество) в категории Set? Для данного множества А можем ли мы найти какую-нибудь функцию 0-*~А? Вспоминая наше определение функции как тройки (А, В, X}, в которой XS/4XB (§2.1), убеждаемся, что f = = <0, А,0} является функцией из 0 в Л. График функции f пуст и / называется пустой функцией для А. Так как 0ХЛ— пустое множество, то 0 является его единственным подмноже- подмножеством. Поэтому / — единственная функция из 0 в Л. Это на- наблюдение приводит к следующему определению. Определение. Объект 0 называется начальным в категории (ё>, если для каждого объекта а из? существует одна и только одна ^-стрелка из 0 в а. ? Любые два начальных объекта изоморфны в 9$. Действи- Действительно, если 0 и 0' — такие объекты, то существуют единствен- единственные стрелки f: 0'-»-0, g: 0-»-0'. Но тогда стрелка fog: 0-^-0 должна совпадать с 1о, так как 0, будучи начальным объектом, имеет единственную стрелку 0-»-0. Поскольку 0' тоже началь- начальный объект, то стрелка g°f: O'-^-O' совпадает с 1о~ Таким об- образом, f имеет обратную стрелку (а именно g), т. е. f: 0' s* 0. ? Символ 0 выбран, конечно, потому, что в Set он является именем пустого множества 0 и 0 является начальным объектом
56 Гл. 3. Стрелки вместо отношения принадлежности в Set. В действительности 0 — единственный начальный объект в Set. В то время как начальный "^-объект единствен с точностью до изоморфизма, в категории ЧР = Set он един- единствен. В категории предпорядка, соответствующей предупорядочен- ному множеству (Р, е=), начальный объект — это элемент ОеР, удовлетворяющий условию Ос=р для всех р^Р (т. е. наименьший элемент). В частично упорядоченном множестве, где «изоморфно» означает «равно», может быть, самое большее, один начальный объект (минимум или нулевой элемент). Так, в частично упорядоченном множестве {0, ..., п—1} число О является единственным начальным объектом, в то время как в двухэлементной категории с диаграммой оба объекта являются начальными. В Grp и Моп начальным объектом является произвольная одноэлементная алгебра (М, *, е), т. е. М = {е} и е*е = е. Каждая из этих категорий имеет бесконечно много начальных объектов. В Set2 (категории пар множеств) начальный объект — это пара <0, 0>, в то время как в категории Set~* (категории функций) он имеет вид <0,0,0>, т. е. это пустая функция из 0 в 0. В категории SetjR вещественнозначных функций начальный объект — это функция / = <0, R, 0>. Действи- Действительно, если g: Л—>-R произвольна, то сделать диаграмму коммутативной можно, лишь если k = <0, Л, 0>, т. е. если k равно пустому отображению из 0 в Л. D Обозначение. Восклицательный знак часто используется для обозначения единственной существующей стрелки. Единствен- Единственную стрелку из 0 в а обозначим через ! :0-*-а. Ее мы будем обозначать также через 0а, т. е. 0а: 0-*-а. 3.6. КОНЕЧНЫЕ ОБЪЕКТЫ Обращая направление стрелок в определении начального объекта, получаем следующее определение. Определение. Объект 1 называется конечным в категории ^, если для каждого "^-объекта а существует одна и только одна стрелка из а в L
3.7. Двойственность 57 В Set конечные объекты — это синглетоны, т. е. одноэле- одноэлементные множества {е}. Для данного множества А правило f(x) = e определяет функцию /: Л->{е}. Так как е является ее единственным возможным значением, то эта функция является единственной такой функцией. Таким образом, Set имеет много конечных объектов. Все они изоморфны между собой (конеч- (конечные объекты изоморфны в любой категории). Их представите- представителем является ординал 1 = {0} (отсюда и обозначение конеч- конечного объекта). Опять будем обозначать через ! :а-»-1 единственную стрелку из а в 1. Другое обозначение —это 1а: а-»-1. В категории предпорядка конечный объект удовлетворяет условию р ЕЕ 1 Для всех р, т. е. является наибольшим элемен- элементом. В частично упорядоченном множестве объект 1 единствен (максимум), если он существует, и называется также единицей категории Р. В Grp и Моп конечные объекты — это опять одноэлемент- одноэлементные моноиды. Поэтому в них конечные объекты — это то же самое, что начальные объекты (таким образом, равенство 0 = 1 «истинно с точностью до изморфизма»). Объект, являю- являющийся одновременно начальным и конечным, называется нуле* вым объектом. Категория Set не имеет нулевых объектов. Тот факт, что Grp и Моп имеют нулевые объекты, не позволяет им, как мы увидим, быть топосами. В SetjR пара (R, i<%) является конечным объектом. Для данной пары (A, f) имеется только один способ сделать диа- диаграмму коммутативной —это положить k = f. ? Упражнение 1. Доказать, что все конечные объекты изо- изоморфны. Упражнение 2. Найти конечные объекты в Set2, Set* и кате- категории порядка п. Упражнение 3. Показать, что стрелка 1->-а, началом кото- которой является конечный объект, должна быть мономорфной. 3.7. ДВОЙСТВЕННОСТЬ Мы уже видели, что понятие эпистрелки получается из опре- определения монострелки «обращением стрелок». То же самое спра- справедливо для понятий конечного и начального объектов. Эти два примера иллюстрируют понятие двойственности в теории кате- категорий, которое мы опишем сейчас несколько более подробно.
58 Гл. 3. Стрелки вместо отношения принадлежности Если 2 — предложение категорного языка, то двойственным 20р назовем предложение, получаемое из 2 заменой «dom» на «cod», «cod» на «dom» и «h — g°f» на «/t = fog». Таким образом, все стрелки и композиции, входящие в 2, повернуты в 20р в другую сторону. Понятие (или конструкция), описывае- описываемое предложением 2ор, называется двойственным (двойствен- (двойственной) к понятию (или конструкции), описываемому 2. Так, «эпи- стрелка»—двойственное понятие к понятию «монострелка». Двойственным к «начальному объекту» является «конечный объект» и т. д. Для данной категории ф построим двойственную категорию следующим образом. Категории <8 и "<Рор имеют одни и те же объекты. Для каж- каждой "^-стрелки /: а-*-Ъ мы вводим ^-стрелку /ор: b -*- а (свою для каждой f). Так получаемые стрелки исчерпывают все стрелки категории 4?°v. Композиция fop ° g°P определена тогда и только тогда, когда в ф определена композиция gof и /ор° (f f* ?~^ Заметим, что dom /op = cod f и cod /op = dom f. Пример 1. Если W дискретна, то ^ор = W. Пример 2. Если "iP — категория предпорядка (P,R), где R ? Р X Р, то (<РС'Р есть категория предпорядка (Р,/?-'), в ко- которой pR~lq т. и т. т.') qRp, т. е. R~l — инверсия отношения R. Пример 3. Для произвольной категории W справедливо Конструкцию, двойственную к выражаемой предложением 2, можно интерпретировать как первоначальное построение, при- примененное к двойственной категории. Если 2 истинно в ^, то 20р истинно в "<Рор. Так, например, начальный объект 0 в Set является конечным объектом в Setop. Если 2 —теорема теории категорий, т. е. предложение 2 выводимо из категорных аксиом, то 2 истинно во всех категориях. Поэтому 20р будет иметь место во всех категориях вида Фор. Но произвольная категория & имеет такой вид (положим <iP = iZ)op), поэтому 20р имеет место во всех категориях. Таким образом, из произвольного истин- ') Для краткости мы иногда используем сокращение т. и т. т. для & тогда и только тогда, когда» — Прим. перев.
3.8. Произведения 59 ного в теории категорий предложения получается другое истин- истинное предложение 2ор. В этом состоит принцип двойственности. Принцип двойственности сокращает, количество доказа- доказательств вдвое. Например, мы замечаем, что понятие изомор- изоморфизма самодвойственно. Двойственная к обратимой стрелке — снова обратимая стрелка: (/ор)~' = (f~l)°p. Так, доказав, что два произвольных начальных ^-объекта изоморфны, мы можем сразу утверждать, что верен и двойственный факт: два произвольных конечных ^-объекта изоморфны. Принцип двойственности первоначально возник в логике. Более строго он рассматривается в Hatcher [68], § 8.2. 3.8. ПРОИЗВЕДЕНИЯ Мы переходим теперь к вопросу о том, как охарактеризо- охарактеризовать произведение двух множеств АХВ= {{х, у}: хееА и i/sB} с помощью стрелок. Непосвященному трудно поверить, что это можно сделать без какого-то использования упорядоченных пар. Однако это возможно (получается характеризация с точ- точностью до изоморфизма). Способ, позволяющий избежать ис- использования упорядоченных пар, даст нам возможность выяс- выяснить, что такое «конструкция» в теории категорий. Поставим в соответствие произведению А X В два специаль- специальных отображения (проекции) рА: АХВ-+А и рв: АХВ-+В, задаваемые равенствами Ра «х, у}) = х, рв{<.х,у}) = у. Допустим теперь, что задано еще одно множество С с парой отображений f: С-*-A, g: С-*-В. Определим отображение р: С-*-А X В правилом р(х) = (f{x), g{x)), Тогда pA(p(x)) = f(x) и рв(р(х))= g{x) для каждого х^С. Таким образом, pAop = f и pB°p = g, т. е. приведенная выше
60 Гл. 3. Стрелки вместо отношения принадлежности диаграмма коммутативна. Более того, р является единственной стрелкой, для которой эта диаграмма коммутативна. Действи- Действительно, если р(х)= (y,z), то в силу условия pAop = f будет Ра(р(х))= f(x), т. е. y = f(x). Аналогично если pe°p = g, то z = g{x). Отображение р, построенное по f и g, обозначается обычно через <f, g} и называется произведением отображений fug. Оно определяется в Set равенством </, g}(x) = (fix), g(x)}. Эти рассмотрения служат мотивировкой для следующего определения. Определение. Произведением в категории W двух объектов а и b называется ^-объект, обозначаемый через а X Ь, вместе с парой (рга: а X &-*¦«> рг&: аУ,Ь->-Ь) ^-стрелок, такой, что для произвольной пары if: c-*~a, g: c-+b) ^-стрелок суще- существует одна и только одна стрелка <f, g>: c-^-a X b, для кото- которой диаграмма .с, а ¦*¦ коммутативна, т. е. рга ° </, g}. = f и ргй о </, g) = g. Стрелка </, g} называется произведением стрелок fug относительно проекций рга, ргв. Произведение определено с точностью до изоморфизма. Действительно, допустим, что ^-объект d вместе с парой (р: d-+a, q: d-*-b) также удовлетворяет приведенному опре- определению произведения двух объектов а и Ь. Рассмотрим диа- диаграмму d При данных проекциях рга: аУ^Ь-^а и prft: ay^b-^b стрелка <р, q} однозначно определена. Стрелка <рга, ргг,> также является однозначно определенным произведением стрелок рга и ргй от- относительно р: d-+ а и q: d-+ b. Далее, так как d является про-
3.8. Произведения 61 изведением объектов а и Ь, то существует только одна стрелка s: d-+d, для которой диаграмма коммутативна. При s = Id эта диаграмма коммутативна. В то же время, как следует из коммутативности предыдущей диаграм- диаграммы, при s = <pra, рг6) о <pt <y> последняя диаграмма также бу- будет коммутативной (подробнее, р ° <рга, ргй> ° <р, q) = рга ° ° <р, */> = р и т. д.). В силу единственности s мы должны за- заключить, что <рга> рг6> о <р, <7> = Id. Меняя ролями d и а X Ь в этом рассуждении, приходим к ра- равенству <р, <7> ° <рга, рг6> = 1ахб. Таким образом, <р, <7>: о! = ^ аУ.Ь. Композиция изострелки <р, <7> с проекциями для а X Ь дает проекции для d, как показывает предпоследняя диа- диаграмма. На самом деле <р, q} является единственной стрелкой d-^-ay^b с этим свойством. Таким образом, мы определили произведение объектов а и Ь -«однозначно с точностью до однозначно определенного изомор- изоморфизма», и с категорной точки зрения этого достаточно: ? Пример 1. В категориях Set, Finset, Nonset произведение объектов А и В—-это обычное прямое (декартово) произведение множеств. Пример 2. В категории Grp произведение двух объектов — это стандартное прямое произведение групп с бинарной опера- операцией, определяемой покомпонентно. Пример 3. В Тор произведение — это обычное произведение топологических пространств. Пример 4. В категории предпорядка (Р, ее) произведение двух элементов р и q, когда оно существует, определяется сле- следующими свойствами: (i) pX VE= P. PX VEE Ц, т. е. рХ Ц является нижней гранью для р и q; (ii) если сс=р и c^q, то c^pX.q, т. е. рХ<7 больше лю- любой другой нижней грани для р и q. Таким образом. рХ^ — это наибольшая нижняя грань (н. н. г.) для р и q. В случае когда отношение != является отношением частичного порядка, соответствующая категория предпорядка
€2 Гл. 3. Стрелки вместо отношения принадлежности скелетальна. Поэтому н. н. г. единственна. Она будет обозна- обозначаться через pnq. Ч. у. множество, в котором любые два эле- элемента имеют н. н. г., называется нижней полурешеткой. В ка- тегорных терминах нижняя полурешетка — это скелетальная категория предпорядка, в которой существует произведение лю- любых двух ее объектов. Пример 5. Если А и В — конечные множества с m и п эле- элементами соответственно, то произведение А X В насчитывает тУСп элементов (здесь символ «X» обозначает умножение чи- чисел). Это обстоятельство находит интересное проявление в ка- категории Finord. А именно, произведение ординальных чисел т. и п существует и совпадает с ординалом т XЛ. ? Упражнение 1. <рга, рг&> = 10хь- Упражнение 2. Если </, g) = (k, h), то f == k и Упражнение 3. </ о h, g о К) = </, g> о h. Pra Упражнение 4. Мы видели ранее, что А^Ау^ {0} в Set. Показать, что если категория <$? имеет конечный объект 1, то asaXl для произвольного '«Р-объекта а. Более того, <1a, la> является нзострелкой а ¦
3.8. Произведения 63 Произведение отображений (функторное) Для данных теоретико-множественных функций f: A-+B и g: C-^-D мы определим функцию fXg из ЛХС в B~X.D ра- равенством fXg{<x,y»=<f{x),g(y)y Нетрудно видеть, что fXg является произведением двух ком- композиций f op a: AX.C-+A-+B и gopc\ ЛХС-*-С-^О. Поэтому мы даем следующее определение. Определение. Если f: a-*-b и g: c-^-d — две "ёР-стрелки, то через /Xg: аХс-^-бХ^ обозначим ^-стрелку <f о pra, g ° ргс>. (Конечно, стрелка /Xg определена, только когда в 9 суще- существуют произведения а X с и Ь X d.) аХс / \ а s f Упражнение 5. 10X16= К*ь- ^. а Упражнение 6. а X & = & X а.
64 Гл. 3. Стрелки вместо отношения принадлежности Упражнение 7. Показать, что (а X &)Х с = а Х(&Х с). (а х Ь)хс- -а Х(Ь хс) Хс) Упражнение 8. Показать, что 0) (fh) fh (и) fxh bxd -> b exe'-^aXcl^lbXd Уже употреблявшаяся нами пунктирная стрелка имеет в тео- теории категорий стандартный смысл. Ее использование в диа- диаграмме означает, что существует одна и только одна стрелка, занимающая указанное пунктирной стрелкой положение, при которой диаграмма коммутативна. Конечные произведения Распространим понятие произведения множеств на случай трех сомножителей, определив А X В X С как множество упо- упорядоченных троек (x,y,z}, в которых на первом месте стоят
3.8 Произведения 65 элементы из А, на втором — из Б и на третьем — из С. Таким образом, А Х-8Х С= {(х, у, z): лг<=Л, i/бВ и z<=C}. Ана- Аналогичным образом можно определить произведение произволь- произвольной конечной последовательности множеств А\, Лг, ..., Ат. Положим А1 X Л2 X ¦ • ¦ X Ат равным множеству ..., хт): ле/li, х2^А2, ..., хт<=Ат} всех т-ок, т. е. всех последовательностей длины т, /-е члены которых принадлежат Л,-. Как частный случай этого понятия получается т-кратное произведение множества А на себя Ат= {<хь ..., im): -vi, A'2, ..., xme/l}, т. е. множество всех /п-ок, члены которых принадлежат А. По- Поставим в соответствие множеству Ат т различных отображе- отображений проектирования prj", .. ., рг™ из Ат в Л, задаваемых пра- правилами Для произвольных множества С и т отображений /ь С->Л, ... ..., fm: С-*-А можно определить отображение </ь ..., fm> из С в Ат, полагая для каждого с^С. Указанная конструкция может быть осу- осуществлена в любой категории (&, в которой существует произ- произведение любых двух "^-объектов. Для данного "^-объекта а определим m-кратное произведение объекта а на себя равен- равенством ••• Ха. т раз Здесь имеется некоторая неопределенность. Что, например, сле- следует взять в качестве а3, (аХа)Ха или аХ(аХа)? В силу упражнения 7 это безразлично, так как последние два объекта изоморфны. Применяя определение произведения пары объектов к обра- образованию объекта ат, можно показать, что возникает т стрелок рг^': ат->а, ..., рг™: ат-^а со свойством универсальности, состоящим в том, что для произвольных ^-стрелок /ь с^*-а, ... 3 Зак. 651
66 Гл. 3. Стрелки вместо отношения принадлежности ..., fm: с-*-а, имеющих общее начало, существует одна и только одна стрелка </i, ..., fm>: c-^a, для которой диаграмма рг коммутативна. Для m = 1 в качестве а1 возьмем сам а, а ргJ: а-*а положим равной 1а. Конечные произведения будут играть важную роль в се- семантике первого порядка гл. 11. Упражнение 9. Проанализировать детально образование стрелок рг™, ..., рг™ и проверить все утверждения, связан- связанные с последней диаграммой. Для произвольной стрелки вида с . т. оказать, что pr;m°(/,, ..., fm) = ft для 1< Упражнение 10. Определить произведение а\ X «2 X • • • X «m объектов (возможно, различных) и функторное произведение f 1 X fz X • • • X fm стрелок. 3.9. КОПРОИЗВЕДЕНИЯ Понятие копроизведения, или суммы, объектов является двойственным к понятию произведения. Его определение полу- получается непосредственно из определения произведения по прин- принципу двойственности. Определение. Копроизведением в категории W двух объек- объектов а и b называется ^-объект, обозначаемый через а + Ь, вместе с парой (ia: a-^a-\-b, w. fe-»-a + 6) ^-стрелок, такой, что для произвольной пары (/: а-+с, g: b-+c) Ф-стрелок су- существует одна и только одна стрелка [/,?]:. а-{-Ь-^с, для ко- которой диаграмма коммутативна, т. е. [f, g] ° ia = f и [f, g] ° h = ,§¦- Стрелка [f> §] называется копроизведением стрелок fug относительно инъекций ia и ib-
3.9. Копроизведения 67 В категории Set копроизведение объектов А и В — это их дизъюнктное объединение А + В, т. е. объединение двух мно- множеств, изоморфных А и В соответственно, но не пересекаю- пересекающихся. Точнее, пусть Л'={<а,0>: ае;Л}=ЛХ{0} В'= {<6,1>: &еВ} = ВХ{1}. Положим А + В = А'\]В'. Инъекции la- А-*-А-\-В и 1в\ В-*А-\-В определяются пра- правилами гл(а)=<а,0>, iB{b)=<b,l> соответственно. Упражнение 1. Показать, что дизъюнктное объединение А + В и инъекции 1а, 1в, определенные выше, удовлетворяют определению копроизведения. (Прежде всего надо определить правило вычисления функции [f,g].) Упражнение 2. Если А Л В = 0, то A U В^ А + В. ? В категории предпорядка (Р, е=) копроизведение р + q определяется свойствами (О р Е= р + #. q 1= р-j-q (т. е. р + # является верхней гранью для р и q); (ii) если рЕЕс и qc=LC, то р + д'Е^с, т. е. р-\-q меньше, чем любая другая верхняя грань для р и q. Таким образом, р + q является наименьшей верхней гранью (н. в. г.) для р и q. В ч. у. множестве н. в. г. единственна в слу- случае, когда она существует. Мы будем ее обозначать через Р u q- Ч. у. множество, в котором для любых двух элементов существуют н. в. г. и н. н. г. (§ 3.8), называется решеткой. В категорных терминах решетка — это скелетальная катего- категория предпорядка, в которой существует произведение и копро- пзведение любых двух ее объектов. Дизъюнктное объединение двух конечных множеств, содер- содержащих шип элементов соответственно, содержит m плюс п элементов. В категории Finord копроизведение объектов тип совпадает с ординальным числом m + n (где «+» означает «плюс» в обычном смысле). Для ординалов 1 = {0} и 2 = = {0,1} в скелетальной категории Finord имеет место равен- равенство 1 + 1=2, в то время как в категориях Finset и Set было бы точнее ска- сказать, что 1 + 1 s* 2. (Копроизведения определены с точностью до изоморфизма.)
68 Гл. 3. Стрелки вместо отношения принадлежности Позднее в § 5.4 мы увидим, что имеются категории, в кото- которых это последнее утверждение, при подходящей интерпрета- интерпретации, оказывается ложным. Упражнение 3. Определить стрелку / + g: а -\- Ъ —*- с -\- d для данных стрелок f: a-~c и g: b—>d и сформулировать двой- двойственные утверждения для всех утверждений из упражне- упражнений § 3.8. ЗЛО. УРАВНИТЕЛИ Пусть f, g: A=? В — пара «параллельных» функций в кате- категории Set и ? — подмножество в А, состоящее из всех элемен- элементов, на которых / и g совпадают, т. е. Е= {х: хе=А и /(*) = ?(*)}• Тогда функция включения i: Е <=-*¦ А называется уравнителем, функций f и g. Основанием для такого названия служит тот факт, что при композиции этих функций с i получается равен- равенство f ° i — g ° i, т. е. i «уравнивает» данные функции. Более того, i является «каноническим» уравнителем для / и g. Это означает, что если h: С-*-А— произвольный другой такой «уравнитель», т. е. f ¦¦h = g о h, то h однозначно «пропускается» через /: Е<=-*А, т. е. существует единственная функция k: С-^-Е, такая, что i - k = h. Другими словами, для любой данной стрелки h существует единственная Set-стрелка, подстановка которой вместо пунк- пунктирной стрелки в последнюю диаграмму делает ее коммутатив- коммутативной. Ясно, что может существовать не более одной такой стрелки. Действительно, если i°k совпадает с h, то для вся- всякого се С имеет место равенство i(k(c)) = h(c), т. е. k(c) = = h(c) (так как- i — включение). Из последнего равенства видно также, как определить функцию k. Поскольку f(h(c)) = = g{h(c)), то А(с)е? Обобщим рассмотренную ситуацию. Определение. Стрелка i: е^-а из категории Ч? называется уравнителем пары f. g: а-*-Ь ^-стрелок, если (О fci = g°in (ii) для любой ^'-стрелки h: с-*а, удовлетворяющей равен- равенству f oh — gоh, существует и притом только одна ^-стрелка к: с-*~е, такая, что ;' о k = "h.
3.10. Уравнители 69 Произвольная стрелка называется уравнителем в СВ, если V.уществует пара ^"-стрелок, уравнителем которой она является. Теорема 1. Всякий уравнитель является монострелкой. Доказательство. Допустим, что i — уравнитель / и g. Для доказательства того, что i — монострелка, предположим, что i ° j = i ° /, где /, /: с =;е.Возьмем в приведенной выше диа- диаграмме в качестве h стрелку /о/. Тогда /°ft = f ° (/о/) = = (/ о i) о у = (g о i) о у = g о (/ о у) = g о h и по определению урав- уравнителя существует единственная стрелка k, удовлетворяющая равенству iok — h. Однако ioj = h (по определению стрелки 'г>. Поэтому k должно быть равно у. С другой стороны, 1°/ = = i о у" = h. Следовательно, k = /. Таким образом, j = I. ? Обращение теоремы 1, вообще говоря, не имеет места. На- Например, в категории N все стрелки мономорфны, в частности единица 1 является монострелкой. Однако она не может быть ¦равнителем никакой пары m, n N-стрелок. Если бы это было т ак, то мы имели бы m = 1 = п ° 1, т. е. m -\-1 = п -\-1. Поэтому ¦г = п. Но тогда /п + 0 = п + 0 и 0 должен был бы пропус- ¦ аться через 1, т. е. существовало бы k, удовлетворяющее ра- ьеиству 1 -f- k = 0. Но такого натурального числа k не су- существует. Как уже отмечалось, в категории N каждая стрелка эпи- --. орфна. Вместе с тем 0 является единственной изострелкой. Следующая теорема несколько глубже проясняет эту ситуацию. Теорема 2. В произвольной категории эпиморфный уравни- уравнитель является изострелкой. Доказательство. Так как i — уравнитель пары f и g, то ; -. I = g о /, и если i эпистрелка, то f = g. Положим в диа- i оамме, определяющей уравнитель, с=аиЛ = 1а. Тогда ввиду гавенства /о1аг=^о1а существует единственная стрелка k, та-' 1 ая? что /о k == 1a, -*-a k\ a (>i сюда i о k ° i = 1 a ~ i = i = i <> 1 e. Поскольку i — уравнитель *• па него можно сокращать слева (теорема 1), то k°i=le-
( 70 Г.1. 3. Стрелки вместо отношения принадлежности Таким образом k является обратной к i стрелкой. Следова- Следовательно, г—изострелка. ? Хотя монострелки могут не быть уравнителями в некоторых категориях, все же в категории Set (и даже во всех топосах) они являются уравнителями. Действительно, пусть /: Е —> А — инъективная функция. Определим h: A ->-{0, 1} равенством h(x)= 1 для всех х е Л, а функцию g: Л->{0, 1} зададим ус- условиями 1, если х е Im /, 0, если х <? Im Тогда / будет уравнителем пары g и h. ? Упражнение 1. Доказать последнее утверждение. Упражнение 2. Показать, что в категории порядка единствен- единственными уравнителями будут единичные стрелки. 3.11. ПРЕДЕЛЫ И КОПРЕДЕЛЫ Определения произведения двух объектов и уравнителя пары стрелок имеют одну и ту же форму. Как произведение, так и уравнитель обладают некоторым свойством «канонически» в том смысле, что через них указанным выше способом «про- «пропускаются» любые другие вещи с таким же свойством. В слу- случае уравнителя рассматриваемое свойство состоит в «уравни- «уравнивании» двух данных стрелок. В случае произведения объектов а и Ь это свойство быть началом пары стрелок, концами кото- которых являются а и Ь. Определения указанного сорта называются универсальной конструкцией. Определяемый объект является универсальным среди объектов, обладающих некоторым свой- свойством. Мы можем несколько уточнить это понятие (не будучи при этом излишне педантичными), если рассматривать диаграммы. Под диаграммой D в категории ^ мы понимаем просто сово- совокупность объектов di, dj, ... вместе с некоторыми "^-стрелками g: di-t-dj между некоторыми объектами из этой диаграммы. (Между данной парой объектов может быть несколько стрелок, а может и не быть их вовсе.) Определение. Конусом для диаграммы D называется такой ^-объект с вместе с ^-стрелками /«: c->d; для каждого объекта di из D, что диаграмма
3.11. Пределы и копределы 71 коммутативна для любой стрелки g из диаграммы D. Конус для диаграммы D будем обозначать через {fr. c-^di}. Пределом диаграммы D называется D-конус {fr c-^-di), такой, что для любого другого D-конуса {f'r- с' -*¦ dt} суще- существует одна и только одна стрелка /: с'->с, для которой диа- диаграмма f " коммутативна при каждом объекте di из D. Говорят, что этот предельный конус обладает свойством универсальности относительно всех D-конусов. Он универсален среди D-конусов. Любой другой D-конус однозначно пропус- пропускается через универсальный так, как показано на последней диаграмме. Предел диаграммы D единствен с точностью до изоморфизма: если {|\: c-*d^ и {f\: cr-*dt} суть пределы диаграммы D, то однозначно определенная выше стрелка /: с'-+с является изострелкой (существование обратной к ней стрелки c—^c' следует из того факта, что {fr с' ~*dt}—пре- ~*dt}—предел). ? Пример 1. Для данных объектов а и b пусть D — бесстре- бесстрелочная диаграмма а Ь D-конусом является тогда объект с вместе с двумя стрелками f: c—>- a, g: c-*-b Предельным ?>-конусом, через который пропускается любой другой D-конус, является не что иное, как произведение объек- объектов а и Ь. Пример 2. Пусть D — диаграмма f а '^Х Ь
72 Гл. 3. Стрелки вместо отношения принадлежности D-конус —это пара h: с-*-а, у. с-*-Ь, для которой коммута- коммутативны диаграммы Но это дает j = f °h = g °h. Поэтому мы можем просто ска- сказать, что ?>-конус в этом случае — это стрелка h: c-+a, для которой диаграмма с —*¦ а ^=> Ь е коммутативна, т. е. foh = g<=h. Таким образом, D-предел — это уравнитель пары стрелок / и g. Пример 3. Пусть D — пустая диаграмма т. е. диаграмма без объектов и без стрелок. D-конусом будет тогда просто 'Э'-объект с (нет никаких /,¦, так как D не имеет di). Предельный конус — это такой объект с, что для любого другого 'ё'-объекта (D-конуса) с' существует единственная стрелка с'-+с. Другими словами, пределом для пустой диа- диаграммы является конечный объект] ? Двойственным образом определяется коконус {fr. di-^-c) для диаграммы D, состоящий из объекта с и стрелок /,-: d,->-c, по одной для,, каждого объекта di из D, удовлетворяющих соот- соответствующим условиям коммутативности. Копредел для D — это коконус {/г: dt^>-c} со свойством коуниверсальности, со- состоящим в том, что для любого другого коконуса {/': di-*-c/) существует единственная стрелка /: с-+с', такая, что для каж- каждого d( из D диаграмма /N с —Не- —Некоммутативна. D Копределом диаграммы из примера 1 является копроизве- дение объектов а и Ь, в то время как копредел пустой диа- диаграммы — это начальный ебъект.
3.12. Коуравнители 73 3.12. КОУРАВНИТЕЛИ Определение. Коуравнителем пары параллельных ^-стрелок f, g называется копредел диаграммы f a =^J b. е Коуравнитель можно рассматривать как такую ^-стрелку q: b-*~e, что (i) qof = qogH (ii) для любой стрелки ft: b-*-c, удовлетворяющей равен- равенству Л of — h°g, существует единственная стрелка k: e-*~c, для которой диаграмма коммутативна. П Результаты, двойственные к результатам § 3.10, позволяют , тверждать, что коуравнитель является эпистрелкой, что обрат- обратное утверждение верно в Set и что мономорфный коуравнитель -шляется изострелкой. В категории Set коуравнители описываются в терминах от- отношения е с помощью очень важного понятия отношения экви- эквивалентности. Отношение эквивалентности на множестве А — ?то по определению отношение R ^АУ^А, обладающее сле- следующими свойствами: (a) рефлексивностью, т. е. aRa для каждого а^А; (b) транзитивностью, т. е. если aRb и bRc, то aRc для лю- Оых а, Ь, с из А; (c) симметричностью, т. е. если aRb, то bRa для любых а ¦ ¦ b из А. Отношения эквивалентности возникают в математике (и в других областях), когда хотят отождествлять различные вещи, являющиеся «эквивалентными». "Часто случается, что нас инте- j ссуют некоторые специальные свойства, по отношению к ко- которым различные вещи оказываются неразличимыми. Отноше- Отношение, которое имеет место между двумя вещами, когда они в этом '- мыслс неразличимы, будет отношением эквивалентности. Мы уже встречались с этим понятием при обсуждении 1 § 3.4 понятия изоморфизма. Два изоморфных объекта в не- 1 оторой категории можно рассматривать как один объект во >сем, что касается категорных свойств; отношение {{а.Ьу. а^Ь в <&}
74 Гл. 3. Стрелки вместо отношения принадлежности на ^-объектах является рефлексивным, транзитивным и сим- симметричным (упражнение 3.4.1). Процесс отождествления эквивалентных вещей воплощается в объединении в одну всех вещей, связанных друг с другом отношением эквивалентности. Возникающие совокупности рас- рассматриваются при этом как новые единые сущности. Формально для данного а^А определим класс R-эквивалентности как множество [а} = {Ь: aRb} всех элементов из А, находящихся в ^-отношении к а. Одно и то же множество может быть классом эквивалентности раз- различных элементов. В общем случае A) [а] = [Ь] тогда и только тогда, когда aRb; B) если [а]ф[Ь], то [а](][Ь] = 0; C) а ее [а] (доказательство этих утверждений основано на свойствах (а), (Ь) и (с)). Утверждение A) говорит, что два эквивалентных элемента находятся в отношении R с одним и тем же множе- множеством элементов. Предложение B) утверждает, что два раз- различных класса эквивалентности не имеют общих элементов. Из этого вместе с утверждением C) (выполняющимся в силу (а)) следует, что каждый ае/1 является элементом одного и только одного класса ^-эквивалентности. Процесс отождествления состоит в переходе от данного мно- множества к новому, элементами которого являются классы ^-эк- ^-эквивалентности, т. е. мы переходим от множества А к множеству A/R= {[а): а^А}. Этот переход осуществляется при помощи естественного ото- отображения fR: A-+A/R, где fR(a) = [а] для а <=А Итак, если aRb, то fR(a) = fR(b), т. е. функция fR отожде- отождествляет ^-эквивалентные элементы. Какое отношение все это имеет к коуравнителям? Оказы- Оказывается, что fR является коуравнителем пары /, g: R =^ А функ- функций проектирования из R в А, т. е. функций, задаваемых ра- равенствами /•«а, 6»= а и g«a,b)) = Ь. Выше было уже фактически объяснено, почему fR°f = fR°g- Чтобы убедиться в том, что диаграмма R > A f* - AIR
3.13. Обратный образ 75 может быть «пополнена» только единственной стрелкой k при заданной стрелке h, удовлетворяющей равенству h°f = h°g, предположим, что kofRz=h. Тогда для любого [a]^A/R имеем k{ [а]) = k(fR(a)) = k ofR(a) = h{a). Таким образом, у нас нет выбора в определении значения функции k в точке [а]. Единственная проблема состоит в том, будет ли опреде- определение этой функции с помощью равенства k[a] — h(a) кор- корректным. Если [а] = [6], то по нашему определению значение функции k в точке [«] = [&] должно быть также равно h(b). Для того чтобы обеспечить единственность значения функции при данном значении аргумента, нам надо было бы знать, что в этом случае h(a) = h(b). Но это так, ибо если [а] = [&], то <й,й)еЛ и равенство h(a) = h{b) следует из условия Ь/ = = h о g на функцию h. Вопрос корректности определения часто встает при рассмот- рассмотрении так называемых фактормножеств A/R. Операции на классах ^-эквивалентности, а также свойства этих классов определяются с помощью некоторых элементов этих классов эквивалентности, т. е. через их представителей. При этом всегда необходимо убедиться, что определение не зависит от выбора представителя. Другими словами, корректно определенные по- понятия— это такие понятия, которые устойчивы, или инвари- инвариантны, относительно R, т. е. не изменяются при замене некото- некоторых элементов на ^-эквивалентные. ? Отношения эквивалентности можно использовать для по- построения в Set коуравнителей. Чтобы построить коуравнитель пары функций /, g: А =sB, мы должны отождествить jF(jk) с g(x) для х е А. Рассмотрим поэтому отношение S={(f(x),g(x)}: x<=A}<=BXB. Отношение S может не быть отношением эквивалентности на В. Однако можно расширить S до отношения эквивалентности и причем минимальным образом. Существует отношение экви- эквивалентности R на В, такое, что (i) S = # и (и) если Т — любое другое отношение эквивалентности на В, такое, что 5 содержится в Т, то R ? Т (т. е. R — наименьшее отношение эквивалентности на В, содер- содержащее S). Естественное отображение fR: B-+B/R будет коурав- нителем f и g. (Подробности см. в Arbib — Manes [75], стр. 19.) 3.13. ОБРАТНЫЙ ОБРАЗ f e Определение. Обратным образом1) пары а—>с*—b ^-стрелок с общим концом называется предел в ^ диаграммы ') Или коамальгамой. — Прим перге.
76 Гл. 3. Стрелки вместо отношения принадлежности Конус для этой диаграммы состоит из трех стрелок f, h, g', для которых коммутативна диаграмма Это означает, что h = g°f' = f°g'. Поэтому мы можем ска- g' v зать, что конус — это пара а ¦*— d —> Ь ^-стрелок, для кото- которых квадрат коммутативен, т. е. / о g' = g о f. Таким образом, по определению универсального конуса об- f S ратным образом пары а —-> с •*— Ъ будет пара "р-стрело! (?' V а *— d —>¦ b, обладающая следующими свойствами: hi (ii) для любых а*—-е—* Ь, таких, что f°h = goj, суще- существует и при том только одна стрелка k; e^*~d, удовлетворяю- удовлетворяющая равенствам R — g'°knj = fok.
3.13. Обратный образ 77 Другими словами, для любых h и /, для которых внешний квад- квадрат (т. е. граница приведенной выше диаграммы) коммутати- коммутативен, имеется одно и только одно пополнение этой диаграммы стрелкой k, при котором вся диаграмма становится коммута- коммутативной. Внутренний квадрат (f, g, f, g') этой диаграммы называется декартовым квадратом. Говорят также, что /' — обратный об- образ f относительно g и что /' получается подъемом { вдоль g, a g' — обратный образ g относительно f и получается подъемом g вдоль f. Обратный образ — очень важное и фундаментальное мате- математическое понятие, вбирающее в себя различные хорошо из- известные конструкции. Он является наиболее важным случаем понятия предела диаграммы, используемым при изучении (и определении) топосов. Следующие примеры, показывающие, что это очень общее и нужное понятие, заслуживают тщатель- тщательной проработки. ? Пример 1. В Set обратный образ D —?—* В двух теоретико-множественных функций [ и g определяется равенствами D={<.x,y): х€=А, у<=В и — У, g'{(x,y)}=x. Таким образом, D является подмножеством произведения А X В, а /' и g' — функции проектирования. D обозначается иногда через А X В и называется произведением А и В над С. с Обратные образы называются также расслоенными произ- произведениями (использование слова «расслоенный» объясняется в гл. 4). Пример 2. Прообразы. Если /: А—>-В — произвольная функ- функция и С — некоторое подмножество в В, то прообразом множе- множества С при отображении /, обозначаемым через /"'(С1), назы- называется подмножество в А, состоящее из всех тех элементов х е А, для которых f (л:)е С, т. е. = {x: х<=А и f(.*jeC}
78 Гл. 3. Стрелки вместо отношения принадлежности Диаграмма ~'~^B в которой стрелки с загнутыми концами обозначают, как обычно, включения, а /* определяется равенством f*(x) = f(x) Рис. 3.2. для lef-'(C) (т. е. /* — ограничение функции / на /"'(С)), яв- является декартовым квадратом в категории Set. Таким образом, прообраз С при отображении / получается подъемом С вдоль f. Динамика, присущая понятию функции (ср. § 2.1), прояв- проявляется в этом примере в полную силу, чего не было бы, если бы мы понимали функцию как множество пар. Пример 3. Ядро или ядерное отношение. Поставим в соот- соответствие каждой функции f: A-+B отношение эквивалентности на А. обозначаемое через R/ и называемое ядерным отноше- отношением или ядром функции / (понятие ядра лежит в основе пер- первой теоремы об изоморфизме из универсальной алгебры). По- Положим А и и f(x) = или xRftj, если и только если f{x) =
3.13. Обратный образ 79 В свете нашего первого примера мы видим, что квадрат где р\ (<х, у}) = х и рг(<Х у}) = у, декартов, т. е. R; получается подъемом f вдоль самой себя. Это замечание дает ключ к по- пониманию «эпи-моно-разложения» стрелок в топосе, рассматри- рассматриваемого в гл. 5. г Пример 4. Ядра (для алгебраистов). Пусть /: M->-N — го- гомоморфизм МОНОИДОВ W К={х: f(x)=e) — ядро этого гомоморфизма. Тогда в категории Моп квадрат декартов, где О — одноэлементный моноид (являющийся одно- одновременно начальным и конечным объектом). Эта характеризация ядер применима также к категориям Grp и Vect. Пример 5. В категории предпорядка (Р, ее) квадрат декартов тогда и только тогда, когда s является произведением р и q. Пример 6. В произвольной категории с конечным объектом, если квадрат i ,1' декартов, то (/, g) будет произведением а и Ь.
80 Гл. 3. Стрелки вместо отношения принадлежности Пример 7. В любой категории, если квадрат декартов, то i — уравнитель для fug. Пример 8. Лемма о квадратах. Пусть диаграмма вида коммутативна. Тогда (i) если два малых квадрата декартовы, то внешний «пря- «прямоугольник» (нижняя и верхняя стороны которого являются очевидными композициями соответственно нижних и верхних сторон малых квадратов) также декартов; (ii) если внешний прямоугольник и правый квадрат декар- декартовы, то декартов и левый квадрат. Лемма о квадратах является ключевым фактом и будет не- неоднократно использоваться в дальнейшем. Ее довольно скучное доказательство (проведенное самостоятельно) поможет тем не менее читателю освоиться с обратными образами. Лемма о квадратах будет часто использоваться для диа- диаграмм вида в случае, когда внешний прямоугольник и нижний квад- квадрат декартовы. Тогда можно утверждать, что верхний квадрат декартов.
3.15. Полнота 81 Пример 9. Стрелка /: а—>-Ь в произвольной категории моно- морфна тогда и только тогда, когда квадрат 1„ а i а f -> а \f - Ь декартов. Упражнение. Показать, что если квадрат а —§-* Ъ декартов и f — монострелка, то g также монострелка. 3.14. АМАЛЬГАМЫ Понятие амальгамы является двойственным к понятию об- обратного образа. Определение. Амальгамой пары стрелок b •*— а —* с с об- общим началом называется копредел диаграммы В категории Set амальгама получается построением дизъ- дизъюнктного объединения b -f- с и отождествлением f(x) с g{x) для каждого .vec (т. <л амальгама совпадает с коуравните- лем нары композиций а b -\- с, а -1* с <=~Ь -\- с). Упражнение. Сформулировать утверждения, двойственные к утверждениям из § 3.13. 3.15. ПОЛНОТА Определение. Категория V называется полной, если в ней каждая диаграмма имеет предел. Двойственным образом кате- категория 91? называется кополной, если каждая ^-диаграмма имеет
82 Гл. 3. Стрелки вместо отношения принадлежности копредел. Биполной называется категория, являющаяся одно- одновременно полной и кополной. Конечной диаграммой называется диаграмма, имеющая ко- конечное число объектов и конечное число стрелок между ними. Категория называется конечно полной, если она содержит предел любой конечной диаграммы. Конечная кополнота и ко- конечная биполнота определяются аналогичным образом. П Теорема 1. Если Я2 имеет конечный объект и в ней для лю- любой пары стрелок с общим концом существует обратный образ, то она конечно полна. ? Доказательство этой теоремы не входит в нашу задачу (и лежит в стороне от наших главных интересов). Подробно- Подробности, а также другие способы характеризации конечной полноты могут быть найдены в HerfHch — Strecker [73] (теорема 23.7). Для иллюстрации этой теоремы заметим, что (A) при наличии конечного» объекта и обратных образов произведение объектов а и Ь получается как обратный образ пары стрелок а->-1 -«- Ь (§ 3.13, пример 6); (B) при наличии обратных образов и произведений мы для данной пары стрелок /, g: a^Xb образуем сначала стрелки и а »-аХ6, а затем строим их обратный d—¦*-* a аХЪ Тогда р = q (см. § 3.8) и р (или q) будет уравнителем f и g. Упражнения. A) Доказать утверждение (В) и проделать указанные построения в категории Set. B) Показать, как построить обратный образ с помощью произведений и уравнителей. Некоторое указание можно по- почерпнуть из описания обратных образов в категории Set (при- (пример 1 § 3.13), а для двойственного построения можно исполь- использовать построение амальгамы в Set в § 3.14. C) Сформулировать теорему, двойственную к теореме из этого параграфа. 3.16 ЭКСПОНЕНЦИРОВАНИЕ Для данных множеств А и В можно образовать в Set сово- совокупность ВА всех функций, определенных на А и принимающих значения в В, т. е. ВА = {/: / — функция из Л в В).
3J6. Экспоненцирование 83 Чтобы охарактеризовать ВА в терминах стрелок, заметим, что с множеством ВА ассоциируется специальная стрелка задаваемая правилом ev(<f. х>) = f(л). Стрелка ev называется функцией значения. Входами такой функции являются пары </", х), где /: А^>-В и а'ееЛ. Действие функции ev состоит в применении f к х, т. е. в вычислении / в точке х. На выходе получается f(x). Категорное описание ВА основано на том факте, что ev обладает свойством универсальности среди всех функций вида С X А -е> В. Для любой такой. функции g существует одна и только одна функция д: С->-ВА, для которой диаграмма ВА хА СХА коммутативна, где ^Х^л — (функторное) произведение функ- функций, описанное в § 3.8. На паре (с,в}ЕСХ^ значение функ- функции gX 'cU равно (g{c),idA(a)) = (g(c), a). Такое определение функции g вызвано тем обстоятельством, что при каждом фиксированном с функция g определяет ото- отображение А—*-В, которое получается, если первый элемент упо- упорядоченных пар, являющихся аргументами функции g, поло- положить равным с, в то время как второй будет пробегать мно- множество А. Другими словами, для данного с^С определим gc: A ->- В правилом gc{a)= g((c, а}) для каждого не! Функция g определяется теперь равенством g(c) — gc для сеС. Для произвольной пары <с, а) е СХА оказываются справедливыми равенства Таким образом, приведенная выше диаграмма коммутативна. Кроме того, требование коммутативности этой диаграммы, т. е. справедливости равенства ev(<?(c), a>) = g(<c, а}), означает, что g(c) должна быть функцией, которая для данного а дает g((c, а)), т. е. g(c) должна совпадать с определенной выше функцией gc. Определение. Говорят, что категория W допускает экспонен- экспоненцирование. если в ней существует произведение любых двух
84 Гл. 3. Стрелки вместо отношения принадлежности объектов и если для любых двух объектов а и Ь существуют ¦^-объект Ьа, называемый экспоненциалом, и ^-стрелка ev: йаХя-*-й, называемая стрелкой значения, такие, что для любых ^-объекта с и ^-стрелки g: сУСа-^b существует един- единственная ^-стрелка g: c-*-ba, для которой диаграмма коммутативна, т. е. ev о (g X 1 а) = g- Функция, ставящая в соответствие стрелке g стрелку g, устанавливает биекцию между совокупностью ^-стрелок из с X а. в Ь и совокупностью ¦^-стрелок из с в Ъа. Докажем ее инъективность. Если g = Я, то ev о. (g X 1 а) = ev ° (Н X 1 а), т. е. g = h. Чтобы установить ее сюръективность, возьмем h: c—>-ba и положим g = ev о (/г X 1а). В силу единственности g- мы должны иметь h = g\ Две стрелки (g и $), соответствующие друг другу на осно- основании установленной биекции, называются экспоненциально присоединенными друг к другу. Причины такого выбора терми- терминологии выяснятся в гл. 15. Конечно полная категория, допускающая экспоненцирова- ние, называется декартово замкнутой категорией. D Пример 1. Если А и В — конечные множества с m и п эле- элементами соответственно, то множество ВА также конечно и имеет п'п элементов. В выражении пт число т называется экспонентой. Это объясняет выбранную выше терминологию. Категория Finord декартово замкнута и объект пт совпадает с числом пт. Пример 2. Ч. у. множество Р= (Р, Е=), являющееся линейно упорядоченным (т. е. рЕЕ9 нли ?Е=р для любых р, q^P), называется цепью. Пусть Р — цепь с конечным объектом 1. По- Положим 1, если р ЕЕ <7, q, если qcp (т. е. q ЕЕ р и цфр). Всякая цепь обладает произведениями (наибольшая нижняя грань): ( р, если р ЕЕ q, Р I <?, если q ЕЕ р.
3.16. Экспоненцирование 85 Таким образом, рассматривая ev, получаем два случая: (i) p != q- Тогда ^р X Р = 1 X Р = Р != <7- (ii) q ^ Р- Тогда q? X р = q X Р == q. В обоих случаях ?р X Р Е <?. так что ev будет единственной имеющейся в Р стрелкой <7рХр—>-<7- Мы оставляем читателю проверку того, что это определение наделяет Р экспоненциро- ванпем. В дальнейшем, в гл. 8, этот вопрос будет подробно рассмотрен для произвольных частично упорядоченных мно- множеств. П Теорема 1. Пусть % — декартово замкнутая категория с на- начальным объектом 0. Тогда A) О^ОХй для любого объекта а; B) если существует стрелка а-*~0, то а & 0; C) если 0^1, то категория W вырожденная, т. е. все 9?-объекты изоморфны между собой; D) любая стрелка 0 -> а с началом 0 мономорфна; E) al^a, а0^ 1, Iез* 1. Доказательство. A) Для любого ^-объекта b множе- множество W@, ba) имеет только один элемент (так как 0 — началь- начальный объект). По определению экспоненцирования ^@,6°)^ ^W{0X.a,b). Поэтому последнее множество содержит только один элемент. Таким образом, для любого Ь существует только одна стрелка 0Хй->6. Следовательно, ОХй является на- начальным объектом. Так как последний единствен с точностью до изоморфизма, то 0 X я = 0. B) Пусть существует стрелка /: а-^-0. Покажем, что а ^ ^ОХа. Отсюда в силу A) будет а^0. По определению про- произведения рГ0 о <f, ta) = 1а Кроме того, композиция </, 1а>°рго является стрелкой из 0Х а в 0Х«- Но такая стрелка единственна, так как 0Х я — на- начальный объект. Таким образом, </, 1а> о рга = 10ха, что дает (/. 1a) = PI'a1 ИрГа:0Хй = й- C) Пусть 0^1. Так как для произвольного а существует стрелка из а в 1, то в силу изоморфизма Osl имеется стрелка из а в 0. По п. B) а ^ 0. Таким образом, всякий объект изо- изоморфен 0, т. е. все объекты изоморфны друг другу. D) Пусть / — стрелка из 0 в а. Предположим, что f°g — = foh, т. с. диаграмма S I b=i() —> а
86 Гл. 3. Стрелки вместо отношения принадлежности коммутативна. В силу B) Ъ ^ 0. Поэтому Ъ будет начальным объектом. Следовательно, существует только одна стрелка Ь-+-0. Таким образом, g = h, т. е. на f можно сокращать слева. ? Упражнение. Доказать п. E) этой теоремы и проинтерпре- проинтерпретировать утверждения A) — E) в категории Set. ? Заканчивая эту главу, можно вновь просмотреть довольно длинный список категорных вариантов математических поня- понятий и конструкций. Мы теперь имеем некоторое представление о том, как теория категорий воссоздает мир математических идей и в действительности раздвигает горизонты математиче- математического мышления. Мы познакомились с некоторыми особенно- особенностями, отличающими категорию Set от других категорий. В Set мономорфные эпистрелки являются изострелками — свой- свойство, не имеющее места в Моп. Однако в категории Grp это свойство справедливо, но Grp не является декартово замкнутой категорией (это следует из доказанной теоремы: Grp — невы- невырожденная категория, но 0^1). Однако не все декартово замкнутые категории «подобны» Set. Ч. у. множество п = = {0, ..., п—1}—декартово замкнутая категория (будучи цепью с конечным объектом), но мономорфные эпистрелки в ней не обязательно являются изострелками. Казалось бы, чтобы развивать категорную теорию множеств, мы должны работать в категориях, обладающих еще целым рядом особенностей, присущих категории Set, особенностей, которыми по крайней мере не обладают категории Моп, п и т. д. В действительности нам необходима лишь еще одна конструкция, простая, но очень мощная. О ней мы расскажем в следующей главе.
Глава 4 ЧТО ТАКОЕ ТОПОСЫ 4. 1. ПОДОБЬЕКТЫ Эта теория представляет собой вариант теории то- посов, основанный на элементарных (т. е. выразимых в языке первого порядка) аксиомах, вполне доста- достаточный для применений не только к теории пучков, алгебраическим пространствам, глобальным спектрам и т. д., как вначале представляли себе Гротендик, Жиро, Вердье и Хаким, но и к семантике Крипке, абстракт ной теории доказательств и методу Коэна — Скотта — Соловэя получения результатов об отно- относительной непротиворечивости в теории множеств. Ф. У. Ловер Если множество А является подмножеством множества В, то функция включения А<=+В инъективна и поэтому моно- морфна. С другой стороны, произвольная мономорфная функ- функция /: С>—*-В определяет подмножество множества В, а именно Рис. 4.1. Imf = {{(х): хеС}. Легко видеть, что f индуцирует биекцию между С и Im f. Следовательно, CsHrn f. Таким образом, область определения мономорфной функции изоморфна некоторому подмножеству области значений этой функции. Другими словами, область определения является, с точностью до изоморфизма, подмножеством области значений. Итак, мы приходим к категорному аналогу понятия подмноже- подмножества, т. е. к понятию подобъекта: подобъектом "iP-объекта d или подобъектом в d называется мономорфная ^-стрелка /: а>—*d с концом d. Далее, если D — произвольное множество, то множество всех его подмножеств, обозначаемое через !?(D), называется множеством-степенью множества D. Таким образом, = {А: А — подмножество множества D). Отношение теоретико-множественного включения является час- частичным порядком на множестве-степени 9>(Р), т. е. пара (^(D),^) образует ч. у, множество, которое можно рассмат-
88 Гл. 4. Чти такое топосы ривать как категорию, в которой стрелка А-*-В имеется тогда и только тогда, когда A е= В. При наличии стрелки А-*-В диа- диаграмма коммутативна. Это подсказывает определение отношения вклю- включения между подобъектами объекта d. Для заданных подобъ- ектов /: а>—*-d и g: Ъ-—*d положим /sg тогда и толькотогда, когда существует 'й'-стрелка h: a-*-b, такая, что диаграмма коммутативна, т. е. f — goh. (Такая стрелка h будет моно- морфна в силу упражнения 3.1.2, т. е. будет подобъектом объекта Ь, что усиливает аналогию с теоретико-множественным случаем.) Таким образом, /Eg тогда и только тогда, когда / пропускается через g. Отношение включения на подобъектах (i) рефлексивно: f^f, так как f = f о 1а, (и) транзитивно: если fsg и g^k, то g-o/i к g = koi следует f = k ° (i°h). Eft, так как из
4,1. Подобъекты 89 Если f s g и g^f, то / и g пропускаются друг через друга, как показано на диаграмме f = g°h, g=f<>i. В этом случае h: a-+b будет изострелкой, a i — обратной к ней (упражнение для читателя). Таким обра- образом, если /gg и gg/, то стрелки / и g имеют изоморфные начала. Поэтому мы будем называть их изоморфными подобъ- ектами и писать f — g. Для того чтобы отношение ?= было ан- антисимметричным, требуется справедливость равенства f — g всякий раз, когда f — g. В действительности это, однако, может быть и не так, поскольку а может быть не равно Ь. Таким об- образом, '=, есть, вообще говоря, отношение предпорядка на под- объектах (при данном выше определении подобъекта), а не отношение частичного порядка. Если мы оставим это положе- положение без изменения, то в дальнейшем встретимся с определен- определенными трудностями. Желательно поэтому иметь возможность считать отношение s антисимметричным. Механизм, который позволяет сделать это, был построен в § 3.12. Отношение си является отношением эквивалентности (упражнение — надо ис- использовать (i) и (ii)). Каждая стрелка f: a>—>d определяет класс эквивалентности [f]={g: f-g}- Образуем множество Sub(d)= {[/]: f есть монострелка и cod/ = d}. Будем теперь считать элементы множества Sub(d) подобъек- тами, т. е. переопределим понятие подобъекта; подобъектами объекта d будем называть классы эквивалентности моностре- монострелок с концом в d. Чтобы определить отношение включения на введенных объектах, положим (используя тот же самый сим- символ, что и раньше) [/] = [g] т. и т. т / = g. Здесь мы сталкиваемся с вопросом, упомянутым в § 3.12. Яв- Является ли определение, даваемое с помощью представителей из классов эквивалентности, независимым от выбора предста- представителя? Ответ: да, является. Если [/] = [Г] и [?] — [?'] > т0 / s g, если и только если /' = g', т. е. отношение ?= устойчиво относительное (упражнение). Нашей целью было сделать отношение ?= антисимметрич- антисимметричным. Действительно, если [/] Е [g] и [g]s[f], то fsg и ggf, следовательно, f — g, откуда [f] = [g]. Таким образом,
90 Гл. 4. Что такое топосы лодобъекты (в смысле нового определения) объекта d образуют частично упорядоченное множество (Sub(ii), ^). На этом затянувшаяся методологическая часть еще не за- закончилась. В дальнейшем мы стираем различие между классом эквивалентности и представителем этого класса. Будем гово- говорить «подобъект /» вместо «подобъе-кт [f]» и писать «f^g», когда, строго говоря, подразумевается «[/] ? [g]» и т. д. Все рассматриваемые свойства подобъектов и построения, исполь- использующие подобъекты, будут, однако, устойчивы относительно — (на самом деле, будучи категорными, они определены лишь с точностью до изоморфизма). Таким образом, эта вольность речи технически оправдана и имеет определенные преимуще- преимущества, поскольку упрощает понятия и обозначения. Единствен- Единственный пункт, в котором мы всегда будем точны, — это вопрос о равенстве. Выражение «f~g» будет использоваться, когда подразумевается, что f и g являются одним и тем же подобъек- том, т. е. [f] = [g], в то время как запись f = g будет обозна- обозначать, что f и g в действительности являются одной и той же стрелкой. Упражнение 1. В категории множеств Sub [D) ^ &(D). ? Элементы Описав категорию подмножества, обратимся теперь к эле- элементам множеств. Элемент х множества А (х^А) можно отождествить с одноэлементным подмножеством {х} множе- множества А и, следовательно, со стрелкой {*}<=» Л из конечного объ- объекта {х} в А. Обратно, функция f: 1-»-Л определяет в катего- категории Set элемент из А, именно /-образ единственного элемента конечного объекта 1. Итак, если категория 9" имеет конечный объект 1, точ элементом 'ё'-объекта а называется всякая ^"-стрелка х: 1^-а. (Заметим, что х: 1-^-а всегда монострелка (упражнение 3.6.3).) Конечно, возникает вопрос: отражает ли вообще это поня- понятие свойства элементов в категории Set? Должен ли всякий объект, не являющийся начальным, иметь элементы? Можно ли охарактеризовать мономорфные и эпиморфные стрелки в терминах элементов их начала и конца? Все эти вопросы бу- будут рассмотрены в дальнейшем. Имена для стрелок Функция f: Л-vB из множества А в множестве В является элементом множества ВА, т. е. f^BA. Поэтому возникает функ- функция ф : {0}-vSA, такая, что rfl(O)=f. Далее, если х — эле- элемент из А, то имеется категорный «элемент» х: {0}-*-Л, опре- определенный равенством х@) = х. Так как ev(<f, x}) = f(x), то
4.2. Классификация подооъектов 91 evc<r/i,x>(O)=ev(r/i(O))x(O)) = ем равенство функций и мы име- имеev = = f о .г. Эта ситуация может быть распространена на произвольную ка- категорию, допускающую экспоненцирование. Для данной ^-стрелки /: а->6 построим стрелку /°рга: \у^а->Ь, являю- являющуюся композицией /°рга: lXfl->fl->i. Тогда именем f на- называется стрелка rfi; l-^-ba, являющаяся экспоненциально присоединенной к стрелке f°pra: l~Xa-*-b. Таким образом, г/т —это единственная стрелка, для которой диаграмма Ь"хо коммутативна. Для произвольного ^-элемента х: 1->-а объекта а имеет место равенство ev ° <г/т , х) = f °х. Упражнение 2. Доказать последнее утверждение. П 4.2. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОДОБЪЕКТОВ В теории множеств множество-степень i?(D) обозначается через 2°. Последний символ, согласно нашему прежнему опре- определению, обозначает совокупность всех функций из В в 2 = Рис. 4.2. = {О, 1}. Основание для такого обозначения — в наличии изо- изоморфизма &>(D)^2D, т. е. взаимно однозначного соответствия между подмножествами множества D и функциями D->2. Этот изоморфизм устанавливается следующим образом. Для данного подмножества A^D определим функцию %а'. D-*-2, называе- называемую характеристической функцией множества Л, правилом: для элементов из D, принадлежащих А, значение этой функции
Гл. 4. Что такое топосы равно 1, а для элементов, не принадлежащих Л, оно равно О, т. е. XaW= Г 1, ec.i и .??/!. если хфА. Отображение, ставящее в соответствие множеству А функцию y,.i, является инъективным отображением из ZP{D) в 2°, т. е если %а = %в, то Л = В (почему?). Оно также сюръективно. Действительно, если /е 2°, то / = хд*> где Af= {x: x<=D и f(x)= 1}. Это соответствие между подмножествами и характеристиче- ческими функциями может быть выражено категорно с по- помощью понятия обратного образа. Множество Af, определенное выше, является прообразом при отображении f подмножества {1} множества {0, 1}, т. е. = f-4{\}). Согласно § 3.13, диаграмма является декартовым квадратом, т. е. Af получается подъемом стрелки {1}<=-2 вдоль f. Слегка модифицируем эту картину. Нижнюю стрелку заменим функцией из 1 = {0} в 2 = {0, 1}, принимающей значение 1. По причинам, которые прояснятся в гл. 6, обозначим эту функцию, через true (истина). Таким образом, true(O)—1 и внутренний квадрат в диаграмме декартов. Действительно, допустим, что внешний «квадрат» коммутативен. Тогда, если ieBn f(g(b)) = true(!(ft)) = 1, то
4.2, Классификация подобъектов 93 g(b)^Af. Поэтому при k: B^-Af, определенном равенством k(b) — g(b), вся диаграмма будет коммутативна, и ясно, что она коммутативна только при одном k. Следовательно, если ,4 s D, то квадрат 1 true декартов, так как подъем true вдоль %а дает множество {л-. %л(х)=\), равное А. Более того, отсюда, следует, что %л можно определить как единственную функцию из В в 2, пре- превращающую приведенную диаграмму в декартов квадрат, т. е. как единственную функцию, подъем вдоль которой функции true дает А. Действительно, если для некоторой функции f внут- внутренний квадрат в диаграмме декартов, то для х е А будет f(x)= 1, так что х е if. По- Поэтому A<=Af. Так как внешний «квадрат» коммутативен (в действительности, как мы уже видели выше, он является декартовым), то существует единственная функция k, удов- удовлетворяющая равенству i<>k = j. Поскольку функции i и / являются включениями, k также должна быть включением. Таким образом, Af ?Л, что вместе с предыдущим дает А; — А. Но / является характеристической функцией множества Af. По- Поэтому f — %A. Итак, множество 2 вместе с функцией true: l-*-2 играет особую роль в переходе от подмножеств к характеристическим функциям. Эта роль может быть выражена на категорном яхыке, что приводит к следующему определению. Определение. Пусть <& — категория с конечным объектом 1. Классификатором подобъектов для <& называется ^-объект Q ¦зместе с ^-стрелкой true: 1-*-й, такой, что выполняется сле- следующая аксиома.
94 Гл. 4. Что такое топосы Q-аксиома. Для каждой монострелки f: a^+d существует одна и только одна ^-стрелка %f. d-+Q, для которой диаграмма является декартовым квадратом. Стрелка Xf называется характеристической стрелкой или ха- характером монострелки f (подобъекта объекта d). Стрелку true мы будем часто обозначать символом Т '). Классификатор подобъектов, если он существует, единствен с точностью до изоморфизма. Пусть Т: 1—>-Q и Т': 1-*-й' оба являются классификаторами подобъектов. Рассмотрим диа- диаграмму Верхний ее квадрат декартов. Он определяет характеристиче- характеристическую стрелку х'т стрелки Т на основании того, что Т' яв- является классификатором подобъектов (напомним, что всякая стрелка, имеющая dom, равный конечному объекту, будет мо- номорфна). Нижний квадрат также декартов. Он определяет характеристическую стрелку для Т', используя Т как класси- классификатор. По лемме о квадратах (§ 3.13, пример 8) внешний прямо- прямоугольник 1—т—~ Q 1 Q декартов. В силу fi-аксиомы имеется только одна стрелка Q -v Q, для которой этот квадрат декартов. Поскольку для ') Сам объект Q называется классифицирующим объектом — Прим. персе.
4.2. Классификация подобъектов 95 стрелки 1о: Q -»- Q указанный квадрат декартов, %т, °%'т = 1,,. Меняя ролями Т и Т' в этом рассуждении, получаем, что Таким образом, %т,: И'^п. Из предыдущего видно, что для любых двух классификато- классификаторов подобъектов один из них получается из другого компози- композицией с некоторой изострелкой, соединяющей их концы. Переход от f к %f устанавливает взаимно однозначное со- соответствие между подобъектами объекта d и стрелками d^-Q, как показывает следующая теорема. Теорема. Для любых f: а >—»¦ d и g: b >—»• d f c^ g-тогда и только тогда, когда %f = %g. Доказательство. Допустим сначала, что %f = %g. Рас- Рассмотрим диаграмму Так как yj = %g, внешний квадрат коммутативен (в действи- действительности он декартов). В силу свойства универсальности внут- внутреннего декартова квадрата существует стрелка k, пропускаю- пропускающая g через f. Поэтому g s f. Меняя местами f и g в этой диа- диаграмме, получаем включение fsg. Следовательно, f^^g- Обратно, пусть f — g и внутренний квадрат декартов. Тогда существует изострелка k: b-*-a, для которой верхний треуголь- треугольник коммутативен. Используя это обстоятельство, можно пока- показать, что внешний квадрат тоже декартов. По Q-аксиоме, при- примененной к монострелке g, получаем, что %f = %g. ? Функция, сопоставляющая %f монострелке f (точнее под- объекту [f]), вкладывает Sub(d) в ^{d, Q). Кроме того, если для произвольной стрелки h: d^-Q поднять true вдоль h,
96 F.i. 4. Что такое топосы то возникающая при этом стрелка / будет мономорфна (так как true — монострелка и обратный образ монострелки всегда сам является монострелкой — упражнение из § 3.13). Поэтому h должна совпадать с Х/- Таким образом, в категории, обла- обладающей классификатором подобъектов, Обозначение. Для произвольного ^-объекта а композиция true°la стрелок !: а-М и true будет обозначаться через trueo или через Та, или иногда просто через true!. true Упражнение 1. Показать, что характеристическая стрелка для true: 1 >—»• Q есть 1 й , Т- е- Xtrue^ 'О- Упражнение 2. Показать, что х1 = trueQ = true ° 12, fi Q true Упражнение 3. Показать, что для произвольного /: а -*• Ь диаграмма Q коммутативна, т. е. true* в/ = truea.
4.4. Первые примеры 97 4.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОПОСА Определение. Элементарным топосом называется категория &', такая, что A) & конечно полна, B) d? конечно кополна, C) & допускает экспоненцирование, D) <% имеет классификатор подобъектов. Как отмечалось в гл. 3, условия A) и C) составляют опре- определение декартовой замкнутости категории, а условие A) мо- может быть заменено условием (Г) & обладает конечным объектом и обратными образами. Двойственным образом условие B) может быть заменено ус- условием B') $ имеет начальный объект и амальгамы. Приведенное определение — это первоначальное определение, данное Ловером и Тирни, основываясь на котором они начали развивать теорию топосов в 1969 г. Позднее Миккелзен обна- обнаружил, что условие B) следует из остальных (см. Pare [74]). Таким образом, топос может быть определен как декартово замкнутая категория с классификатором подобъектов. В § 4.7 будет рассмотрено другое определение, основанное на категор- ной характеризации множества-степени. Слово «элементарный» (которое в дальнейшем обычно бу- будет опускаться) имеет специальный технический смысл, связан- связанный с природой данного определения топоса. Он будет объяс- объяснен в гл. 11. Приводимый ниже перечень топосов призван проиллюстри- проиллюстрировать высокую степень общности этого понятия. Мы не оста- останавливаемся на всех деталях и главным образом концентри- концентрируем внимание на строении классификатора подобъектов. 4.4. ПЕРВЫЕ ПРИМЕРЫ Пример 1. Set — топос. Это простой пример, который слу- служит обоснованием введения понятий топоса. Пример 2. Finset — топос. Пределы, экспоненцирование и классификатор подобъектов Т: 1->-й точно такие же, как в Set. Пример 3. Finord — топос. Каждое конечное множество изо- изоморфно некоторому конечному ординалу (А ^ п, если А имеет п элементов). Поэтому все категорные построения в Finset пе- переносятся в Finord (как мы уже видели это для произведений и экспоненциалов). Классификатор подобъектов в Finord пред- представляет собой ту же самую функцию true: {0} ->- {0, 1} что и в Finset, и в Set. 4 Зак. 65/
98 Гл. 4. Что такое топосы Пример 4. Set2, т. е. категория пар множеств, — топос. Все конструкции получаются «удвоением» соответствующих кон- конструкций в Set (ср. пример 10 из § 2.5). Конечным объектом служит пара <{0}, {0}> одноэлементных множеств. Для данных двух стрелок </, g}: <Л, В>-><?, F}, <Л, А>: <С, Z)>^-<?', Fy в Set2 с общим концом построим в ка- категории Set декартовы квадраты Тогда квадрат А С Е Q В D <А, Б) (h, k) (Е, F) будет декартовым в Set2. Экспоненциалом <С, D}<-A- B> служит пара <СА, Z)B>, а стрел- стрелкой значения из объекта <С, ?>><<*¦ В>Х <А, В} == <СЛ ХА, DBXB> в объект <С, D> —пара <е, /> соответствующих стре- стрелок значения е: САХА^-С и f: DBXB^-D в Set. Пара <Т, Т>: <{0}, {0}>-><2, 2> является классификатором подобъектов. Категория Set не играет здесь никакой особой роли. Если <$\ и <И>ч. — топосы, то произведение категорий e?i X <?2 также будет топосом. Пример 5. Set^, т. е. категория функций, — топос. Конечным объектом служит тождественная функция id{oj из {0} в {0}. Обратный образ. Рассмотрим «куб» Р *¦ С Q -* D А В
4.4. Первые примеры 99 где f, g, h — данные Set^-объекты, <i, /> есть Se^-стрелка из f в g и <р, </> есть Se^-стрелка из /г в g. Оставшаяся часть диа- диаграммы получается образованием в Set декартовых квадратов <Э —S—+J) Г—г—~ С а стрелка & возникает в силу свойства универсальности обрат- обратного образа стрелок / и q. Тогда 5е^""-стрелки <«, о> и <r, s> составляют обратный образ стрелок <i, ;> и <р, q}. Классификатор. Если /: Л ->- В — подобъект g: C-+D в Set"* к пара <i, ;> является 5е/^"-монострелкой из / в g, то ее ком- компоненты будут монострелками в Set и имеет место коммутатив- коммутативная диаграмма Можно выбрать монострелки i и / действительными включе- включениями так, что А ^ С, В ^ D я f является ограничением g, т. е. f(x) = g(x) Для всех х^А. Получаем следующую картину: Рис. 4.3. Элементы х из множества С можно разбить на три следующих класса: (i) xe=A; 4*
100 Гл. 4. Что такое топосы (ii) x(?A, ho (III) х<?А н g{x)?B. Итак, введем трехэлементное множество {0, 1/2, 1} и опреде- определим -ф: С-*- {0, 1/2, 1} условиями !1, если имеет место (i), 1/2, если имеет место (ii), 0, если имеет место (ш). Построим теперь куб 40, 1} где true(O)=f'(O)=l и t@)=0, t{l)= t{l/2)=l. Через %в обозначена, как обычно, характеристическая функция множе- множества В. Нижняя грань куба представляет классификатор подобъек- тов Т: l->-Q в Set~*. Пара (f, true) является Бег^-стрелкой из 3 = id{0} в Q = t: {0, 1/2, 1}^-{0, 1}. Передняя и задняя грани куба являются декартовыми квадратами в Set. Вся диа- диаграмма показывает, что пара <г|), %в} является характеристиче- характеристической Set^-стрелкой монострелки <t, />. Экспоненцирование. Пусть /: А-+В, g: C-+D — два Set-*- объекта. Определим Set^-объект gf: E-*-F. Пусть F = DB (экс- (экспоненциал в Set), a E — совокупность всех Set^-стрелок из f в g, т. е. А ? = : диаграмма f б коммутативна}, В -D
4.5. Расслоения и пучки 101 Произведение в Set"* объектов gf и f равно их функторному про- произведению gfXf: EXA-*FXB в Set (ср. § 3.8), а пара <«, v) является стрелкой значения из gf X'f B ?'• где у — это обычная стрелка значения в Set, а и преобразует пару <<ft, k), х} в h (х). Приведенные конструкции для классификатора Т: 1->Q и экспоненциала gl, как мы увидим в гл. 9, являются частным случаем более общего определения, дающего целый класс то- посов. 4.5. РАССЛОЕНИЯ И ПУЧКИ Истоки теории топосов лежат главным образом в алгебраи- алгебраической геометрии, в частности в теории пучков. Для понимания того, что такое пучок, требуется некоторое знание топологии, и подробное изложение теории пучков и ее связи с топосами увело бы нас от нашей основной цели. Понятие пучка тесно связано с моделями интуиционистской логики, но носит значи- значительно более общий характер. Теория пучков дает целый поня- понятийный каркас и имеет свой собственный язык, и игнорировать это полностью даже на данной стадии значило бы исказить как общее значение, так и внутреннюю направленность теории топосов. Ориентируясь на читателей, недостаточно хорошо знакомых с топологией, мы отложим введение топологических понятий и рассмотрим сначала теоретико-множественную структуру, на- называемую расслоением, лежащую в основе понятия пучка. Предположим, что s4> — совокупность попарно непересекаю- непересекающихся множеств, т. е. элементами s4> являются множества, не имеющие общих элементов. Нам нужна удобная система обо- обозначения этих множеств. Поэтому предположим, что имеется множество / меток, или индексов, для этих множеств. Для каж- каждого индекса i е / имеется множество Ai, принадлежащее на- нашей совокупности, и каждый член совокупности s4> помечен та- таким образом, так что мы представляем s4> как совокупность всех этих А г. *^{At: ie/}. Тот факт, что члены s& попарно не пересекаются, выражается условием: для любых двух различных индексов /, 1^1
102 Гл. 4. Что такое топосы Наглядно можно представлять себе, что множества Л,- «наса- «насажены» на элементы индексного множества /: Рис. 4.4. Если определить А как объединение всех Л,-, т. е. Л= {х: для некоторого i х то возникает очевидное отображение р: А-*-1. Если хеЛ, то поскольку множества Лг- не пересекаются, существует ровно одно множество Л,-, такое, что ^еЛг. Положим p(x)=i. Та- Таким образом, все элементы из Л» отображаются в i, все эле- элементы из Л/ — в у и т. д. Мы можем теперь восстановить Л,- как прообраз при отображении р множества {*}. Действи- Действительно, jtH({i})— {*'• р(х) = i} = At- Множество Л,- называется слоем над i, элементы из Л,- называются ростками в i, а вся структура — расслоением множеств над базисным простран- пространством (базой) I. Множество Л называется пространством рас- расслоения. Эта конструкция выглядит довольно специальной, однако ее можно найти везде, где встречаются функции. Мы только что видели, что с расслоением ассоциировано отображение р из пространства расслоения в его базу. (В действительности если каждый слой непуст, то отображение р будет сюръективным, однако, вообще говоря, мы будем допускать случай, когда Л,- = 0 для некоторых ie/.) Обратно если р: Л-»-/— произ- произвольная функция из некоторого множества Л в /, то можно определить Л,- и s4- равенствами
4.5. Расслоения и пучки 103 Тогда s4< будет расслоением множеств над /, исходное множе- множество А — пространством расслоения, а исходная функция р — индуцированным отображением этого расслоения (так как ни на каком х функция р не может принимать двух различных значений, то слои не пересекаются). Таким образом, расслоение множеств над / представляет собой в сущности функцию, область значений которой есть множество /. Но, конечно, эти два понятия не идентичны в кон- концептуальном плане. Истолкование функции как расслоения от- открывает новые заманчивые перспективы. Чтобы это подчерк- подчеркнуть, введем новое название Вп(/) для категории всех расслое- расслоений над /, хотя ранее в примере 12 гл. 2 мы уже описывали эту категорию, называя ее относительной категорий Set|/. Таким образом, Вп(/)-объекты представляют собой пары {Atf), где f: A-+I— теоретико-множественная функция, а Вп(/)-стрел- Вп(/)-стрелками k: (A, f)-+(B, g) являются такие функции k: А-*-В, для которых коммутативна диаграмма т. е. gok = f. Это означает, что если f(x) = i для хеЛ, то g(k(x))= i, т. е. если лгеЛ,-, то J(i)eSj. Таким образом, k отображает ростки в i расслоения (A, f) в ростки в i расслое- расслоения (B,g). Топос можно мыслить себе как обобщение категории Set, а объекты топоса — как «обобщенные множества». Категория Вп(/) является топосом. Его «множества» — это расслоения множеств. Как мы увидим сейчас, многие категорные понятия, примененные к Вп(/), оказываются расслоением соответствую- соответствующих образований в Set. Конечным объектом 1 в Вп(/) является тождественная функция id/: /-»-/, и для произвольного расслоения (A, f) единственной стрелкой (Л,/)-»-(/, id/) оказывается сама функ- функция f: А-*-1 (ср. § 3.6). Слоем функции id/ над i служит мно- множество id-'({i}) = W. являющееся конечным объектом в Set. Таким образом, конечный объект в Вп(/) является расслоением над / конечных объектов из Set. Единственная стрелка f: (A, /)->¦(/, id/) может быть представлена как расслоение {/,: i e /} соответствующих единственных Set-стрелок. Обратный образ. Для данных Вп(/)-стрелок k: (A,f)^- ->(C,h) и /: (B,g) -+¦ (C,h) с коммутативной в Set диа- диаграммой
104 Гл. 4. Что такое топосы построим в Set обратный образ стрелок k и I, представленный декартовым квадратом Р ~^— В Л !' с Тогда диаграмма Л В будет представлять обратный образ в Вп(/) стрелок k и /, где j = fop = h°kop = h°l°q = goq. Эту диаграмму, вероятно, полезнее изобразить в виде Р -* В А J I i f/' \ь с
4.5. Расслоения и пучки 105 Далее, если Л„ ?,, С,- — слои над / расслоений /, g, h соответ- соответственно, то областью определения обратного образа пары1) ИВ; д ъ Г* будет служить множество «л:,у): x^At, г/е В; и k(x)— 1{у)}, которое, как нетрудно видеть, совпадает с множеством «х, у}: х^А, у^В и j{x,yy = i} == /—1 ({t}), т. е. со слоем над i расслоения у: Р-*-1. Таким образом, обратный образ в Вп(/) является расслое- расслоением обратных образов в Set. Классификатор подобъектов. Классификатором для Вп(/) является расслоение двухэлементных множеств, т. е. расслое- расслоение Set-классификаторов. с с с A} x (о) * j У Рис. 4.5. Определим Q равенством Q=BX/, pi), где р/ — проекция на второй множитель, р[((х,у}) = у. Множество 2Х/ можно представить как объединение непересекающихся множеств {0}Х/={<0,;>: is/} каждое из которых изоморфно /. Наглядно это изображено на рис. 4.5. Слоем над i является двуэлементное множество ') Через l\Bt обозначено ограничение функции / на множество В,-.— Прим. перев.
106 Гл. 4. Что такое топосы Классифицирующая стрелка Т: 1—>-Q может рассматриваться как расслоение классифицирующих функций true. Определим Т: /->2Х/ равенством В категорных терминах Т равно произведению (true о!, id/> отображений true0!: / -*- {0} ->¦ {0, 1} и id/. Посмотрим, как Т классифицирует подобъекты. Возьмем монострелку k: (A, f)->- -*-{B,g) в Вп(/). Тогда k: А-+В будет монострелкой в Set и можно считать, что k является включением, т. е. ДсВ В 2x1 Рис. 4.6. и f(x) = g(x) для всех xel Мы хотим определить характе- характеристическую стрелку %k: (В, g)-»-Q = B ХД Pi) так, чтобы диаграмма 2х/ была коммутативна и являлась декартовым квадратом в Вп(/). Для произвольного Jtefl имеет место один из двух случаев, хе/1 или л: 0 Л. Определяя %к, мы выбираем «1» или «0» в зависимости от того, какой случай имеет место, и производим такой же выбор в соответствующем правом слое (см. рис. 4.6). При этом должно выполняться равенство Pi°%k = g- Формально %k'. S->-2X/ равно произведению <%д,?>: ?-»-2ХЛ гДе №'¦ В-+2 — обыч- обычная характеристическая функция множества Л, т. е. ГО, g(x)), если ie/1, %k{X)~\@, g(x)), если хфА.
4.5. Расслоения и пучки 107 Упражнение 1. Проверить, что эта конструкция удовлетво- удовлетворяет Q-аксиоме. ? Сечения. Функция Т: /->-2Х/ обладает интересным свой- свойством: ее значение T(j) = <1, i> в i является ростком в i. Функ- Функция из базисного множества / в пространство расслоения, вы- выбирающая один росток из каждого слоя, называется сечением данного расслоения. Другими словами, s: I-*-A является сече- сечением расслоения f: Л-»-/, если s(i)eA- = f-'({[}) для всех is/, т. е. если f(s(i))= l для всех ie/. На категорном языке это означает, что диаграмма /—^— А коммутативна. Сечение можно рассматривать как Вп(/)-стрелку из конечного объекта (/, id/) в Вп(/)-объект (A,f). Таким об- образом, сечение в расслоении (A,f) является элементом Вп(/)- объекта (A,f) в смысле определения конца § 4.1. Мы уже видели, что сечение представляет собой расслоение ростков, по одному из каждого слоя. Поэтому элемент в Вп(/) — это рас- расслоение обычных элементов. Элементы из Q, т. е. стрелки 1^-Q в произвольном топосе $, называются истинностными значениями топоса <В. Они иг- играют особую роль в логической структуре топоса (см. гл. 6). (Сам объект Q называется также объектом истинностных зна- значений.) Мы уже знаем, что существует биективное соответствие Sub(l)^^r(l,Q) между элементами из Q и подобъектами объекта 1. Так как для подобъекта k: (A,f)>—>1 объекта 1 то- топоса Вп(/) диаграмма коммутативна, то k = f. Таким образом, подобъект объекта 1 может быть отождествлен с инъективной функцией /: А>—>1, т. е. с подобъектом объекта / в Set. Последний, конечно, есть з сущности подмножество в /. Поэтому можно утверждать, что существует биекция ) т. е. мы можем отождествить истинностные значения (элементы из Q) в Вп(/) с подмножествами в /. Полезно разъяснить это подробно.
108 Гл. 4. Что такое топосы Для данного Л = / пусть Sa'- /->2Х/ будет произведением (.%л> '^/> отображений %л и id/, т. е. если i e= А, если i еЁ Л. Тогда S.4 является сечением расслоения Q, образ которого по- показан на рис. 4.7 в виде заштрихованной части. Функция, ста- ставящая в соответствие множеству Л сече- сечение Sa'- l-*-Q, инъективна (упражнение для читателя). Кроме того, если S: 1-> ->Q — произвольное сечение и Л = {/: S(t)=<l,i>}. то S = SA, так что эта функция будет сюръективна. Заметим, что, в то время как Set имеет два истинностных значения, топос Вп(/) может иметь бесконечно много ис- истинностных значений (так будет, если множество / бесконечно). С Рис 4 7 Упражнение 2. Каковы истинностные значения для Set2 и Set^? ? Произведения. Пусть (Л,/) и (B,g)—расслоения над /. Построим декартов квадрат в Set А Тогда расслоение (ЛХ-8,^) является произведением в Вп(/) объектов (Л,/) и {B,g), где h = f°p = g°q. Проекциями этого произведения будут стрелки р и q. Отметим, что слоем над i служит множество являющееся произведением слоев над i расслоений (Л, /) и (B,g). Вот почему обратный образ иногда называют рас- расслоенным произведением. Экспоненциалы. Для данных расслоений f: A-*~I и g: B^-I построим их экспоненциал как расслоение экспоненциалов В,- *
4.5. Расслоения и пучки 109 слоев расслоений А и В. Более точно, пусть D,— совокупность всех функций k: Ai-+B, таких, что диаграмма В коммутативна, т. е. k отображает Л; в слой S,- расслоения g. (Через f* обозначается функция с тем же «правилом вычис- вычисления», что и f, но имеющая, возможно, другие области опре- определения и значения.) Однако Dt могут не быть попарно непере- непересекающимися. Поэтому определим ?,- = {i} X А- для каждого z. Тогда {Ее i e /} будет расслоением. Индуцированная им функция р: E-+I, где Е является объединением этих Eit опре- определяется равенством p((i,ky)=i. В качестве экспоненциала (B,?)M,f) возьмем расслоение (Е,р). Стрелку значения ev: (E, р)Х Х(Л, f)-+(B, g), т. е. функцию ev: ?X^->-?, определим ра- равенством ev(«i, ky, x}) = ^(а-). Читатель, у которого хватит терпения разобраться во всех подробностях проверки корректности этого определения экс- поненцирования, без сомнения, будет вознагражден «на небе- небесах». А пока он, возможно, оценит преимущества категорного подхода, в рамках которого нам, для того чтобы определить, что такое экспоненциал, достаточно сказать, что он удовлетворяет свойству универсальности, приведенному в § 3.16. (Мы вер- вернемся к этому примеру в гл. 15.) ? Основная теорема. Если 8 — топос, то для любого &-объ- &-объекта а категория 8\а всех <?-стрелок над а (§ 2.5, пример 12) также топос. Этот факт был назван основной теоремой теории топосов Фрейдом в Freyd [72]. Читатель, вероятно, сможет перенести на этот общий случай многие части рассмотрения, проведенного выше, для случая, когда 8 есть категория Set. Например, классификатор <Та, 1а> подобъектов в 8\а дается диаграммой где Та = Т о \а и Т: 1->О — классификатор в 8. Стрелка 1«: а-^-а является конечным объектом, а стрелка рга: ИУ^а^-а служит объектом Q в 8 | а. Определение экспоненциала в 8 | а
ПО Гл. 4. Что такое топосы увело бы нас сейчас слишком далеко в сторону. Оно требует построения категорной теории частичных функций и их класси- классификации, которую мы рассмотрим в гл. 11 и 15. ПУЧКИ Пучок — это расслоение, обладающее некоторой дополни- дополнительной топологической структурой. Пусть / — топологическое пространство ив — совокупность его открытых множеств. Пуч- Пучком над / называется пара (А,р), где А—топологическое про- пространство и р: А->1 — непрерывное отображение, являющееся локальным гомеоморфизмом. Последнее означает, что каждая точка хе/1 имеет открытую окрестность U, которая гомео- морфно отображается функцией р на множество p(U)= {p(y): у е U), являющееся открытым в /. Объектами категории Тор(А) пучков над / служат пары (А,р), являющиеся пучками, а стрел- стрелками k: (A, р)-+(В, q) — непрерывные отображения k: A-+B, такие, что диаграмма коммутативна. На самом деле такое отображение k будет от- открытым (поскольку это локальный гомеоморфизм). В частности, множество lmk = k(A) открыто в В. Категория Тор(/) является топосом и называется простран- пространственным топосом. Его конечным объектом служит функция id7: /—>-/. Классифицирующий объект Q топоса Тор(/) назы- называется пучком ростков открытых в / множеств. Построение этого пучка иллюстрирует следующий общий метод образования расслоений над /. Рассматривается некоторое множество X, и пусть каждая точка i e / определяет отношение эквивалент- эквивалентности ~i на X. Слой над i определяется как фактормножество X/~i классов эквивалентности относительно ~,-. В случае классифицирующего объекта в качестве X берется совокупность 0 всех открытых в / множеств. Для каждого г'е/ отношение ~.- определяем следующим образом: U ~iV если и только если существует некоторое открытое множество W, такое, что i 6= W и U [\ W = V {] W. Тогда ~i есть отношение эквивалентности. Интуитивно экви- эквивалентность U ~ i V означает, что точки из U, близкие к i, сов- совпадают с точками из V, близкими к i, т. е. «локально» вблизи i
4.5. Расслоения и пички 111 множества U и V неразличимы, иначе говоря, предложение «U = V» «локально истинно» в L Класс эквивалентности [U]t= {V: U ~iV) называется ростком окрестности U в i. Интуитивно он «пред- «представляет» совокупность точек из U, «близких» к I. В качестве слоя над i возьмем множество fi,- = {<;, [?/],->: U открыто в /}. Тогда объект Q в Тор(/) определим как соответствующую функцию р: 1-*-1, где 7— объединение слоев Q,, а р для значе- /IV Рис. 4.8. ний аргумента, принадлежащих Q;, дает L Топология на 7 опре- определяется базой, состоящей из всех множеств где V открыто и U <=lV . Отображение р становится тогда локальным гомеоморфизмом, а каждый слой — дискретным пространством в относительной топологии. Обозначим через G; совокупность всех открытых окрестно- окрестностей точки I. Имеют место следующие факты о ростках откры- открытых множеств: (i) [[/],- = [/] тогда и только тогда, когда te U, (И) [/],- = в;, (iii) [U]i = [0]i тогда и только тогда, когда i отделено от V (т. е. существует Уев/, такое, что U[\V = 0). (Читатель, знакомый с теорией решеток, заметит, что открытые множества образуют дистрибутивную решетку (©, П. U), в которой в* яв- является простым фильтром, а слой Q* — это в сущности фактор- решетка В/в,, т. е. отношение ~« представляет собой решеточ- решеточную конгруэнцию, определяемую фильтром G,-.) Прежде чем перейти к исследованию Q как классификатора подобъектов, посмотрим на истинностные значения s: l-»-Q. Стрелки такого вида являются непрерывными сечениями рас- расслоения Q, называемыми обычно глобальными сечениями
112 Гл. 4. Что такое топосы пучка. (Можно также рассматривать локальные сечения s: ?/—>-/, определенные на открытых подмножествах U в /.) Для отрытого в / подмножества U определим Su: I-*-1 равен- равенством Su(i)= (i, W]i}- Мы видим, что Su является непрерыв- непрерывным глобальным сечением, т. е. Su'- l->-Q. В силу (i) равенство Su{i) = (,i, [/];> имеет место тогда и только тогда, когда i е V. Кроме того, если s: l->-Q — произвольное непрерыв- непрерывное сечение Q и U = {г: s(i)= <t, [/]¦>}, го множество U открыто (U = s~l([I, /])) и Su = s. Таким образом, истинностные значе- значения в Тор(/) — это в сущности откры- открытые подмножества пространства /, в то время как в Вп(/) ими были все подмно- подмножества в /. Позднее мы встретимся с другими конструкциями, имеющими тео- теоретико-множественный и топологический варианты, и увидим, что последние полу- получаются из первых заменой термина «под- «подмножество» на термин «открытое под- подмножество». Стрелка Т: l->-Q определяется как непрерывное сечение Т :/->-/, для которого Т(?) = <г, [/];> при всех ie/. Пусть k — монострелка (можно считать, что k — теоретико-множе- теоретико-множественное вложение), для которой коммутативна диаграмма Рис. 4.9. и А — открытое подмножество в В. Характеристическую стрелку УХ- {B,q)^-Q строим следующим образом. Пусть х^В. Выбе- Выберем окрестность 5 точки х, в которой q является локальным гомеоморфизмом. (См. рис. 4.9.) Тогда значение функции %*: В->/ в точке х положим равным ростку открытого множества q(A()S) в q(x), т. е. х* (*) = <?(*). к И ns) ],(„>. Интуитивно, росток множества q(Af]S) в q(x), где q — локаль- локальный гомеоморфизм, представляет в / множество точек из А,
4.6. Действия моноида 113 близких к х. Он дает меру отдаленности х от А. В то время как в теории множеств допускается только две возможности: либо гёД либо хфА— в топологическом контексте возможно бо- более тонкое различие по степени близости х к А. Мы рассматри- рассматриваем ростки в q(x) как меру степени приближенности х к от- открытым подмножествам в В. Определим на Qe(«> частичный порядок следующим условием: [U]q(x)i= [V]q(X) тогда и только тогда, когда существует от- открытое подмножество W Е /, такое, что q(x)e. gew и unw^vnw, т. е. [U]q(X)E=[V]q(X), если и только если предложение «!/ g У» локально истинно в q{x). Чем «больше» в смысле этого порядка росток множества q(Af\S), тем ближе х к А. Если хеЛ, то q(x)^q(Af\S) и по п. (i) росток множества q(Af\S) оказы- оказывается самым большим из возможных, т. е. [q(A f\S)]q(X) = ~[l]q(x). В другом предельном случае, когда х отделено от А, росток будет наименьшим из возможных, т. е. [q (A f\ S) ] q(X) = = [0] <?(*)• С другой стороны, когда х лежит на границе, росток [q(A f]S)] расположен строго между ростками множеств 0 и /, т.е. [0]C[q(Af\S)]C[I]. ? Упражнение 1. Проверить, что определение функции %k(x) не зависит от выбора окрестности S точки х, в которой q яв- является локальным гомеоморфизмом. Упражнение 2. (Другое определение функции %k(x).) Пусть Ux — {i^I: существует локальное сечение s пучка (В, q), такое, что s (i) е А и s (q (x)) = х), т. е. Ux — множество всех точек из /, отображающихся в А не- некоторым локальным сечением пучка (В, q), проходящим через точку х. Показать, что [Ux]q(x) = [q{Af\S)]q[X), где S выбрано так же, как выше. ? 4.6. ДЕЙСТВИЯ МОНОИДА Пусть М = (М, *, е) — моноид (ср. § 2.5). Для произволь- произвольного данного пг^М определим функцию Хт: УИ->УИ, называе- называемую Левым умножением на т, правилом Хт (п) — т* п для всех п е М. Получается семейство {hm: tn e M) функций, индексированных множеством М, которое удовлетворяет следующим условиям: (i) "Ке = idw, так как "ke{m) = е * т = т, (И) Я,тоЯ,р = Ят.р, так как \т(кР(п)) = т *(р* п) = (т* * р) * п.
114 Гл. 4. Что такое топосы Условие (п) говорит, что семейство функций Хт замкнуто отно- относительно композиции функций. Это семейство образует моноид с операцией композиции функций и единичной функцией Хе. Приведенную конструкцию можно обобщить. Пусть X — неко- некоторое множество и {Хт: X-+X: т е М}—совокупность функ- функций Хт из X в X. Эта совокупность индексирована элементами нашего исходного моноида и выполняются равенства Хе = idjf и Хт ° Хр = Хт,р. Такая совокупность Хт, называемая действием моноида М на X, может быть заменена одной функцией X: МХ,Х-+ X, опреде- определяемой равенством Х(пг, х) = Хт(х) для всех т е М и xel Приведенные выше условия переходят в условия Х(е,х) = х и Х(т, Х(р, х)) = Х(т*р, х). Пара (Х,Х), где X: МУ(Х-+Х — действие моноида М на X, называется Ж-множеством. Пример 1. В качестве М возьмем моноид (N, +> 0) нату- натуральных чисел с обычным сложением, а в качестве X — множе- множество всех действительных чисел. Действие X определяется ра- равенством Х(пг, r) = m + г. Пример 2. Пусть X — множество векторов некоторого век- векторного пространства, М — мультипликативный моноид его ска- скаляров, X — умножение вектора на скаляр. Пример 3. X — множество точек евклидовой плоскости, М — множество евклидовых преобразований (вращений, отражений, переносов) с операцией композиции функций в качестве опера- операции «, а Х(т,х) равно т(х) — результат применения преобра- преобразования т к точке х. Пример 4л X — множество состояний вычислительной ма- машины, М — множество входных слов (строк) с операцией кон- конкатенации, или соединения, строк в качестве операции *, Х(т, л-) — состояние машины, в которое она переходит в ответ на входное слово т, находясь в состоянии х. ? Для данного моноида М все М-множества можно рассмат- рассматривать как объекты категории M-Set, являющейся топосом. Стрелка /: (X,X)->~(Y, ц) из категории M-Set — это по опреде- определению эквивариантная функция, т. е. функция, сохраняющая действие. Это означает, что диаграмма
4.6. Действия моноида 115 коммутативна для каждого теМ. Другими словами, для всех m и х имеет место равенство f(k(m, х)) = ц(/я, f(x)). Компози- Композиция стрелок совпадает с композицией функций. Конечным объектом является одноэлементное М-множество: 1 = ({0}, ко), где ко(пг, 0) = 0 для всех т. Произведением (Х,к) и (У, (i) является М-множество (XX X Y, Ь), гле 8т равно kmXlXm: XX Y^XXY. Обратным образом пары стрелок (У. Н-) (X X) —*-~ (Z, ч) служит М-множество (XXzY, б), где действие 6 такое же, как выше. Далее, множество В s М называется левым идеалом в М, если оно замкнуто относительно левого умножения, т. е. если т4еВ всякий раз, когда Ъ <= В и т — произвольный эле- элемент М. Например, М и 0— левые идеалы в М. Пусть Q = = (Lm, со), где LM — множество всех левых идеалов в М и дей- действие to: MXLm^>-LM определяется равенством со(т, В) = = {п: п*т^В}. Классификатором подобъектов является функция Т: {0}->-Z,m, такая, что Т@) = Л1 Таким образом, Т отмечает наибольший левый идеал в М. Посмотрим, как определяются характеристические стрелки подобъектов. Предположим, что k: (X, "k)-*-(Y, ц) — монострелка. На самом деле можно считать, что k — включение X <=* Y (ж- вивариантность k означает тогда, что (i(m, х) = к(ш, х) для всех ,iel). Характеристическая стрелка %ft: (У, |i)->-Q — это функция х*: Y-+Lm, определяемая равенством %k(y)={m: ц(гп,у)^Х} для всех у <= У- Упражнение 1. Проверить, что со — действие М на LM, что %k(y) — левый идеал и что %k удовлетворяет Q-аксиоме. ? Экспоненцирование Рассуждение, с которого мы начали этот параграф, показы- показывает, что операция *: М~Х.М-*-М сама является действием М на М, т. е. что (М, *) есть М-множество. Для данных М-мно- жеств (Х,к) и (У, |л) в качестве экспоненциала (У, ц)(-х' '¦> возь- возьмем пару (Е, а), где Е — множество всех эквивариантных ото- отображений / вида /: (M,*)X(X,k)^>~(Y,\i) и om: E-+E ставит в соответствие отображению / функцию g = om{f)'- MXX-+Y,
116 Гл. 4. Что такое топосы задаваемую равенством g(n,x) = f(m*n,x). Стрелка значения ev: (?, определяется по формуле ev(/, х) = f(e, x). Для данной стрелки f: (Х,Х)У((У, ii)—*(Z, v) экспоненциально присоединенная стрел- стрелка f: (X, i)->-(Z, v)(r' M является функцией, ставящей в соответ- соответствие данному х^Х эквивариантное отображение fx: My^Y-*- —>-Z, определяемое равенством fx(tn, y) = f(Xm{x),y). Категории вида M-Set служат богатым источником примеров топосов с «неклассическими» свойствами. В гл. 9 мы подойдем к ним с иных позиций. Упражнение 2. Описать все левые идеалы в (;V,+, 0). Упражнение 3. Показать, что М является группой тогда и только тогда, когда М и 0 — единственные левые идеалы мо- моноида М, т. е. LM = {М, 0}. О 4.7. ОБЪЕКТЫ-СТЕПЕНИ В произвольном топосе экспоненциал О±а является аналогом множества 2А для категории Set. Ввиду изоморфизма 2А ^^(А) естественно поинтересоваться, будут ли свойства объекта Q" аналогичны свойствам «множества-степени» «множества» а. Как мы увидим из независимого категорного определения мно- множества-степени !?(А), такая аналогия действительно суще- существует. Для данных множеств А и В существует биективное соот- соответствие между функциями из В в !?(А) и отношениями из В в А. Функция /: ?-*-#*(Л) определяет отношение Rf^B~XA, задаваемое эквивалентностью ' xRft/ т. и т. т. y<=f(x), где хёВ и i/eA Обратно, отношение i?EBX^ определяет функцию fR: B^>-3>{A), задаваемую равенством /«(*)=:{(/: у е ёД и xRy}. Нетрудно видеть, что два построенные отображе- отображения (одно переводит R в fR, другое / в Rf) являются обратными друг другу и устанавливают требуемый изоморфизм. Чтобы выразить это соответствие в терминах стрелок, рас- рассмотрим отношение е^ из !Р(А) в А. Отношение е^ является отношением принадлежности и содержит всю информацию о том, какие подмножества множества А какие элементы со- содержат. Точнее <=л = {(U,xy. ?/<=Л, хеЛ и is U). Переходя от ?Р(А) к 24 и заменяя условие «Е U» на условие «%и(х)= Ь>, мы видим, что отношение е^ изоморфно множеству ^а = {<Х„, х): U с= А, х е= А и Хи (х) =1}е2"ХЛ.
4.7. Объекты-степени 117 Что представляет собой характеристическая функция подмно- подмножества е л множества 24Х^4? Не что иное, как стрелку значе- значения ev: 2ЛХЛ->-2, так как ev(%и, х) = %и(х). Таким образом, мы можем охарактеризовать е^ (и, следовательно, с точностью до изоморфизма, отношение ел) с помощью декартова квад- квадрата А true Далее, если ]?еВХ^ — произвольное отношение, то <*,«/> е# т. и т. т. yefR(x) т. и т. т. </«(*),«/> ее л. Следовательно, R является прообразом множества ел при ото- отображении JrXU, переводящем пару <х, у} в пару </«(*), #>. Таким образом, диаграмма R ВхА в которой g обозначает ограничение /«Х^д на R, является декартовым квадратом (см. § 3.13). Но можно сказать и больше. Для данного R функция fR — единственная функция, для кото- которой приведенный выше квадрат декартов. Упражнение 1. Доказать последнее утверждение. ? Мы приходим, таким образом, к следующему определению. Определение. Говорят, что категория <§ имеет объекты-сте- объекты-степени, если для каждого ^-объекта а существуют "iP-объекты !Р(а) и ел и монострелка е: go>—>^(a)Xa, такие, что для произвольного ^-объекта Ъ и отношения г: R >—> &Х# суще- существует единственная "iP-стрелка fr: b->-!?(a), для которой квадрат будет декартовым при некоторой ^-стрелке R ¦
118 Гл. 4. Что такое топосы Теорема 1. Всякий топос <§ имеет объекты-степени. Доказательство. Для данного «^-объекта а положим 3>(а)=па, и пусть е: еа>—>&аУ(а — подобъект объекта Q" X а, имеющий характеристическую стрелку eva: Q"Xa^-S, т. е. монострелка е такова, что квадрат QaXa \ Q декартов, где eva — стрелка значения. Покажем, что эта кон- конструкция дает объекты-степени. Возьмем произвольную моно- монострелку г: R>—> Ъ X о,. Пусть %r: 6Xa-»-Q—¦ ее характеристи- характеристическая стрелка. Положим />: 6->-йа равным стрелке, экспонен- экспоненциально присоединенной к %г, т. е. такой единственной стрелке, для которой диаграмма й'ха Ь х а коммутативна. Рассмотрим диаграмму К ^ Q Так как eva ° (/гХ1а) = эе-> т0 «периметр» этой диаграммы де- декартов (в силу Q-аксиомы), а следовательно, коммутативен. По свойству универсальности нижнего декартова квадрата су- существует единственная стрелка 7?^-еа, для которой вся диа- диаграмма будет коммутативна. В силу леммы о квадратах верх- верхний квадрат декартов, что и требуется по определению объекта- степени. Далее, только из того факта, что fr — какая-то стрелка, при которой верхний квадрат декартов, вытекает (ввиду леммы о квадратах), что внешний прямоугольник также декартов. В силу й-аксиомы имеет место равенство eva ° (fr X 1a) = %r,
4.7. Объекты-степени 119 из которого (см. предыдущую диаграмму) f, однозначно опре- определяется как экспоненциально присоединенная к %г. ? Имея объекты-степени, мы можем переопределить Я, так как Я^Я'=^A). Монострелка ер—>Я'Х1 = ?2' представляет тогда классификатор подобъектов. Кок и Миккелзен показали, что объекты-степени можно использовать для построения экс- экспоненциалов и что категория ^ является топосом тогда и только тогда, когда она конечно полна и имеет объекты-степени. (См. Wraith [75].) В настоящее время эта характеризация используется как определение топоса, его преимущество — краткость. В педаго- педагогическом отношении оно, однако, не лучше по многим причинам. Определение элементарного топоса через классификатор под- подобъектов исторически более раннее. Оно позволяет дать лучшее обоснование понятия топоса. Как станет ясно из дальнейшего, именно Я-аксиома дает ключ к исследованию структуры топоса. Для дальнейшего развития теории топосов ее, так или иначе, нужно ввести. Кроме того, как Я-аксиома, так и экспоненциро- вание проще в идейном отношении, чем понятие объекта-степени. Имеются и другие причины, обусловленные последними откры- открытиями в теории рекурсии, а именно построением слабых тео- теорий множеств (допустимые множества, см. Barwise [75]). В этих теориях возникают категории, в которых нет общего понятия объекта-степени. Поэтому интересно исследовать раз- различные варианты й-аксиомы, не связывая их с объектами-сте- объектами-степенями. ? Упражнение 2. Исследовать структуру объектов-степеней в топосах, описанных ранее в этой главе. Упражнение 3. Доказать, что категория ^ является топосом тогда и только тогда, когда (i) ff имеет конечный объект и обратные образы надле- надлежащих пар стрелок; (ii) ff имеет классификатор подобъектов true: 1-vQ; (Hi) для каждого ^-объекта а существуют 'й'-объект па и стрелка evQ: Qay^a^-Q, такие, что для каждого ^-объекта Ъ и «отношения» г: R>—>ЬУСа существует единственная ^-стрелка fr: b^>-Qa, для которой диаграмма коммутативна.
120 Гл. 4. Что такое топосы Упражнение 4. Показать, что единственной стрелкой й"->- Qa, соответствующей отношению еа >—>Qdy(a, является . ? 4.8. Q И ПРИНЦИП СВЕРТЫВАНИЯ Ловер (Lawvere [72]) предложил рассматривать Q-аксиому как категорную форму принципа свертывания. Поясним это. Предположим, что В — произвольное множество и ф — свойство элементов из В. Мы представляем себе ф в категории Set как функцию ф: В->-2, задаваемую условиями 1, если х имеет свойство ф, О в противном случае. Принцип свертывания (выделения) позволяет нам образовать подмножество {х: хей и ф(х)} всех элементов из В, удовле- удовлетворяющих ф. Это множество, определяемое ф как функцией, мы обозначили ранее через А<$ = {х: ф(х)= 1}. Таким образом, «/<= {х: ф(х)} т. и т. т. ф(«/)= 1, т. е. квадрат В -{ будет декартовым. Аналогично в произвольном топосе <% для произвольной стрелки ф: b-*-Q определим стрелку {х: ф}: а-^-Ь как подобъект в Ь, получаемый подъемом стрелки true вдоль ф, т. е. как такую монострелку а>—> Ь, для которой квадрат {Х;ф} декартов. Пусть в произвольной категории х: \-*-Ь — элемент объ- объекта Ъ и f: а>—>Ь — некоторый подобъект. Будем говорить, что х принадлежит /, х е f, если х пропускается через f, т е. если существует k: \-*-a, для которой диаграмма
4.8. Q и принцип свертывания 121 коммутативна. Это естественное обобщение отношения принад- принадлежности из категории Set. Применяя это определение отношения принадлежности к мо- монострелке {х: ф}: а>—>Ь, получаем следующее: если у: 1->-6 — произвольный 6-элемент, то у е {х: ф} тогда и только тогда, когда существует стрелка k, для которой вся диаграмма Л, коммутативна. Но внутренний квадрат декартов. Поэтому k су- существует тогда и только тогда, когда периметр этой диаграммы коммутативен. Следовательно, у е {х: ф} т. и т. т. ф ° у = true, что является аналогом теоретико-множественной ситуации. Упражнение 1. Для произвольных f: а>—» 6 и g: c>—>6, та- таких, что f^g, показать, что если хеб (т. е. х: 1-*-Ь или xelj в смысле введенного выше отношения принадлежности) и х е /, то х е g. Упражнение 2. Для произвольных f: а>—> d я х: l-*-d по- показать, что х е f т. и т. т. %{о х = true.
Глава 5 СТРОЕНИЕ ТОПОСА: ПЕРВЫЕ ШАГИ Построение теории элементарных топосов Ловером и Тирни поразило пишущего эти строки. Оно пред- представляется ему наиболее важным событием в исто- истории категорией алгебры с момента ее создания... И дело как раз не в том, что они доказали эти вещи, а в том, что они отважились предположить их доказуемость. Петер Фрейд 5.1. МОНОСТРЕЛКИ КАК УРАВНИТЕЛИ В § 3.10 было установлено, что инъективная функция /: А •>—» В является уравнителем пары функций g и h. Теперь мы видим, что g— это характеристическая функция %imf' б->-2, a h — композиция !: ?->-{0} и true: {0}->-{0, 1}. Эта ситуация непосредственно обобщается на произвольный топос. Теорема 1. Если /: а>—>Ь — произвольная мономорфная Ж-стрелка (<В — топос), то f является уравнителем %f и trues = = true о \ь- Доказательство. Так как декартов квадрат из диа- диаграммы с- ^ ^ е коммутативен и \а = \ь° f, то %f ° /= true& о /. Кроме того, если %f°g = true&og, то периметр первой диаграммы коммутативен, так как \b°g = = \с. В силу свойства универсальности декартова квадрата g однозначно пропускается через /, что и требовалось доказать. ? Следствие. В произвольном топосе стрелка является изо- стрелкой тогда и только тогда, когда она мономорфна и эпи- морфна.
5.2. Образы стрелок 123 Доказательство. В любой категории изострелка моно- морфна и эпиморфна (§ 3.3). С другой стороны, в топосе эпи- морфная монострелка является по только что доказанной тео- теореме эпиморфным уравнителем, но последний всегда будет изо- стрелкой (§ 3.10). ? Упражнение. Доказать, что true: l->-?2 уравнивает 1^: Q->-Q и trueg: Q-»-Q. ? 5.2. ОБРАЗЫ СТРЕЛОК Произвольная теоретико-множественная функция может быть разложена в композицию сюръекции и инъекции, как по- показано на диаграмме: где f(A)= Imf = {f(x): х<ееЛ} и f*(x) = f(x) для всех х<ееЛ. Это «эпи-моно»-разложение единственно с точностью до единственного «переключающего» изоморфизма, как видно из следующего упражнения. Упражнение 1. Если h ° g: А —» С ^^> В и h' ° g': А-»С ^^> >—>В — два эпи-моно-разложения функции f (т. е. f = h ° g = = h'°g'), то существует единственная функция k: С-*-С, та- такая, что диаграмма A. ft! В коммутативна; более того, k — изоморфизм в Set (биекция). ? Читатель может попробовать сопоставить теоретико-множе- теоретико-множественное доказательство этого упражнения с излагаемым ниже «чисто стрелочным» подходом. Во всяком топосе каждая стрелка имеет зпи-моно-разло- жение. Чтобы это доказать, вернемся к описанию такого разложе- разложения в Set, но в категорной формулировке. Для данной функ- функции /: А-+В определим, как в § 3.13, ядерное отношение xRfy т. и т. т. f(x) = f(y).
124 Гл. 5. Строение топоса: первые шаги Отображение h: A/Rf-+B, корректно определенное равен- равенством h([x]) = f(x), будет инъективно. Если /> — сгоръектив- ное естественное отображение /я (х) = [х], то диаграмма A В A/Rf коммутативна. Далее, как уже отмечалось в § 3.13, Rf определяется декар- декартовым квадратом А -в В где р и q — проекции, называемые ядерной парой функции f- Из результатов § 3.12 следует, что fR является коуравнителем пары (р, q) и что h — единственная стрелка, при которой диа- диаграмма коммутативна. Это подсказывает, что и в более общей катего- категории можно попытаться разложить стрелку с помощью коурав- нителя ее обратного образа относительно нее самой. Однако по техническим причинам удобнее перейти к двойственной кон- конструкции, т. е. построить уравнитель для амальгамы этой стрелки с ней самой. Итак, пусть & — произвольный топос и /: а->Ь — какая-то ^-стрелка. Построим амальгаму стрелки f с f. Пусть Imf: f(a) >—>b — уравнитель стрелок о п q (im/ — монострелка (теорема 3.10.1)). Так как q °f = р cf.
5.2. Образы стрелок 125 то существует единственная стрелка /*: а диаграмма imf - h q ; г" f{a), при которой коммутативна. Упражнение 2. Проанализировать эту конструкцию примени- применительно к категории Set. Упражнение 3. Доказать, что если р = q, то / эпиморфна. ? Теорема 1. Монострелка im/ является наименьшим подобъ- ектом объекта Ь, через который пропускается f. Другими сло- словами, если диаграмма коммутативна для некоторых стрелки и и монострелки v, то существует (единственная) стрелка k: f(a)->-c, при которой диаграмма f(a) f> imf коммутативна, поэтому im f ? v. Доказательство. Будучи мономорфной, стрелка v слу- служит уравнителем некоторой пары s, t: b^-d ^-стрелок (§ 5.1). Так как sof = s°v°u = t°v°u = t°f, то существует един- единственная стрелка h: r-+d, такая, что h°p — s и h°q = t.
126 Гл. 5. Строение топоса: первые шаги Но тогда s о im f = h о р о im f = h ° q ° im f = t ° im f. Отсюда и из свойства универсальности уравнителя v следует, что существует единственная стрелка k, для которой диа- диаграмма коммутативна, следовательно, v °k~ imf. Таким образом, k — единственная стрелка, для которой правый треугольник диа- диаграммы из теоремы 1 коммутативен. Далее, так как v°k°f* — = imf о f* = f = v о и и v мономорфна (сократима слева), то k°f* = u. Таким образом и левый треугольник коммутативен, что завершает доказательство. ? Следствие. Стрелка f*: a-^-f(a) эпиморфна. Доказательство. Применяя процедуру построения об- образа (т. е. imf) к самой стрелке /*, получаем коммутативную диаграмму g(a) 1И1 g ts -Smf ПаУ где g = f*. Цо композиция im/oimg мономорфна, будучи про- произведением монострелок, и im g является единственной стрел- стрелкой, обеспечивающей включение im f ° im g = im /, так как на im f можно сокращать слева. Применяя доказанную теорему, получаем, что имеет место обратное включение im / s im f ° im g. Следовательно, im f ^ im f ° im g и стрелка im g должна быть изострелкой. По определению стрелка im g является уравнителем пары р, q, называемой коядерной парой стрелки g = /*, пары, полу- получаемой построением амальгамы Г
5.3. Основные факты 127 Так как p°img = <7°img и im g — изострелка, а потому и эпи- стрелка, то, сокращая на нее, получаем р = ц. Из свойства коуниверсальности амальгамы вытекает, что стрелка f* эпи- морфна (см. упражнение 3 выше). ? Собирая вместе результаты этого параграфа, получаем сле- следующую теорему. Теорема 2. Представление im/°f*: a—»f(a)>—> Ъ яв- является единственным с точностью до однозначно определенного «переключающего-» изоморфизма эпи-моно-разложением /. Дру- Другими словами, если v о и: а —» с >—> Ъ и v ° u = f, то существует единственная стрелка k: f(a)-+c, такая, что диаграмма с коммутативна, и k — изострелка. Доказательство. Существование и единственность k вытекает из теоремы 1. Так как v°k = im / мономорфна, то и k мономорфна (упражнение 2 § 3.1).Так как композиция^ о f* = и эпиморфна, то, двойственным образом, стрелка k также эпи- морфна. Поэтому k, будучи монострелкой и эпистрелкой, будет изострелкой (§5.1). ? Упражнение 4. Доказать, что стрелка f: a-*-b эпиморфна тогда и только тогда, когда существует g: f(a)=b, такая, что f f 5.3. ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ Если & — топос, то относительная категория & \ а всех объек- объектов над а также является топосом. Как отмечалось в гл. 4, этот результат составляет часть так называемой основной теоремы теории топосов. Ее доказательство основано на конструкциях, которыми мы пока не владеем. Однако нам уже сейчас нужны некоторые следствия этой теоремы. Поэтому приведем их без доказательства. Факт 1. Эпистрелки сохраняются при обратных образах. Это означает, что если в топосе квадрат а b
128 Гл. 5. Строение топоса: первые шаги декартов и f — эпистрелка, то g, т. е. обратный образ f, также эпистрелка. Факт 2. Копроизведения сохраняют обратные образы. Это означает, что если в произвольном топосе квадраты f и g f декартовы, то квадрат тоже декартов. Доказательство этих результатов можно найти в Коек- Wraith [71],Freyd [72] и Brook [74]. 5.4. ЭКСТЕНСИОНАЛЬНОСТЬ И ДВУЗНАЧНОСТЬ Так как вообще произвольный топос & похож на категорию Set, то его начальный объект 0, подобно пустому множеству 0, не должен содержать элементов. Это действительно имеет место, за исключением одного случая. Если существует стрелка х: 1-»-0, то в силу результатов § 3.16 о декартово замкнутых категориях топос & вырожденный, т. е. все его объекты изо- изоморфны. Вырожденным топосом является, например, катего- категория 1, содержащая один объект и одну стрелку. Таким образом, в невырожденном топосе 0 не имеет элементов. Назовем объект а ненулевым, если он не изоморфен О, а ^ 0, и непустым, если существует по крайней мере одна стрелка вида 1-*-а. В случае когда <? = Set, эти два понятия равнообъемны. Но если с? — топос пар множеств, т. е. <§ — = Set2, то ситуация другая. Объект <0, {0}> не изоморфен начальному объекту <0,0>, т. е. ненулевой. Но если бы су- существовал элемент <f, g): <{0}, {0}>—> <0, {0}> объекта <0, {0}>, то / должна бы была быть теоретико-множественной функцией вида {0}->-0, что невозможно. Поэтому объект <0, {0}> ненулевой, но пустой.
5.4. Экстенсиональность и двузначность 129 Упражнение 1. Имеются ли в Set- другие ненулевые пустые объекты? Что можно сказать о непустых нулевых объектах? Упражнение 2. Существуют ли ненулевые пустые объекты в категориях Set^ и Вп(/)? ? Вопрос о существовании элементов у объектов связан с прин- принципом экстенсиональности (объемности), утверждающим, что множества, содержащие одни и те же элементы, совпадают. Для функций этот принцип принимает следующую форму (ко- (которую мы уже неоднократно использовали): если две парал- параллельные функции /, g: A^-B выдают один и тот же выход при каждом входе, т. е. если для каждого хеЛ f(x) — g(x), то эти функции равны. Категорная форма этого принципа такова. Принцип экстенсиональности (объемности) для стрелок. Если стрелки f: a-^-b и g: a-+b различны, то существует элемент х: 1 -у а, такой, что { * х ф g ° х. Специалист по теории категорий сформулирует это предло- предложение так: «1 является образующим». Этот принцип верен в Set, но не верен в Set2. Легко видеть, что в последней кате- категории имеются две различные стрелки из <0, {0}} в <0, 2>, но объект <0, {0}> вообще не имеет элементов, чтобы разли- различить эти стрелки. Невырожденный топос, удовлетворяющий принципу экстен- экстенсиональности для стрелок, называется точечным. Цель этого параграфа — исследовать свойства таких топосов. Теорема 1. Если & — точечный топос, то каждый ненулевой &-объект непуст. Доказательство. Если а — ненулевой объект, то стрелки 0а: 0>—>а и 1а: а>—>а имеют неизоморфные начала и поэтому различны как подобъекты в а. Отсюда следует, что характе- характеристические стрелки Хо : а -*• ^ и %t : a-> Q различны. По принципу экстенсиональности существует некоторый х: 1-^-а, для которого X,, ° х Ф х, ° х. В частности, а имеет элемент, т. е. а 'а непуст. ? Ложь В Set существует ровно две стрелки из 1 = {0} в О, = = {0, 1}. Одна — это отображение true, такое, что true@) = l. Другая, которую мы обозначим через false, определяется ра- равенством false@) = 0. Это отображение с областью значений Й является характеристической функцией пустого множества 5 Зак. 65!
130 Гл. 5. Строение топоса: первые шаги 0= {х: false(A')= 1}. Таким образом, мы имеем в Set декар- декартов квадрат false Отправляясь от этого, определим в произвольном топосе & стрелку false: 1-^-Q как единственную ^-стрелку, для которой квадрат false декартов. Таким образом, false = %о, — характеристическая стрелка подобъекта 0ь 0-М. Будем для этой стрелки исполь- использовать также символ 1_. Пример 1. В Set2 стрелка _L: l->-?2 равна (false, false): Пример 2. В Вп(/) в качестве _L: 1->Q выступает функция _L: /-»-2ХЛ определяемая равенством _L (i) == <0, t> для всех IE/. Пример 3. В Тор(/) функция _L: /-»-/* имеет в точке i зна- значение, равное ростку пустого множества 0 в точке i, -L (i) = I0] Пример 4. В M-Set начальный объект 0 равен пустому мно- множеству с «пустым действием» 0: MX 0-*-0, 0 = @,0). Функция _L: {0}->-Lm определяется равенством _L(O)=0. ill Упражнение 3. Для произвольного ^-объекта а квадрат 1 —L— Q декартов, т. е. Xoe = J- ° 'а (= -^-а = falsea). (Указание: приме- применить лемму о квадратах.)
5.4. Экстенсиональность и двузначность 131 Упражнение 4. В невырожденном топосе true ф false. Невырожденный топос <§ называется двузначным {бивалент- {бивалентным), если true и false являются единственными истинностными значениями (т. е. элементами из Я). ? Теорема 2. Всякий точечный топос двузначен. Доказательство. Пусть /: 1-»-Я—произвольный эле- элемент из Q. Построим декартов квадрат Случай 1. Пусть а ^ 0. Тогда а является начальным объек- объектом и f = )cg = Zo, = false- Случай 2. Пусть а ?ё 0. Так как & — точечный топос, то по теореме 1 а имеет элемент х: 1—*-а. Воспользуемся этим, чтобы показать, что g— эпистрелка. Действительно, если h, k: \=^-Ъ и h оg = k оg, то h°g°х — k°g°х. Так как g°x: 1 ->-1 равна 11 A —конечный объект), то h = k. Таким образом, g эпиморфна и мономорфна (как обратный образ монострелки 1->Я). По- Поэтому g:asln f = xg = x(i= true. Мы показали, что произвольный элемент из Q должен сов- совпадать либо с true, либо с false. ? В топосе Set копроизведение 1 + 1 содержит только два элемента и поэтому изоморфно ?2 = 2 (это отмечалось в § 3.9). Изоморфизм осуществляется стрелкой [Т, _!_]: 1 + 1-»-Я, Но произвольный топос & имеет копроизведения. Поэтому в нем также определена стрелка [Т, J.]. Если стрелка [Т, X] яв- является изострелкой, то топос & называется классическим. Вскоре мы увидим, что существуют неклассические топосы. Однако справедлива следующая теорема Теорема 3. В произвольном топосе стрелка [Т, 1_] монв- морфна. 5*
132 Гл. 5. Строение топоса: первые шаги Для доказательства этой теоремы нам понадобятся некото- некоторые результаты о копроизведении стрелок. Стрелки f: a^*-b и g: с -*- b называются дизъюнктными, если 0 является их об- обратным образом, т. е. если квадрат Ь декартов. (В Set это означает, что Im / fl Im ё = 0-) Лемма. Если }: а>-^Ь и g: c>—>b — дизъюнктные моно- монострелки в <§, то стрелка [f,g]: a-\-c^*-b мономорфна. Доказательство. Мономорфность стрелки g означает, что квадрат декартов. Отсюда и из предыдущей диаграммы в силу факта 2 из § 5.3 получаем, что квадрат 0+с а+с [0c,1J U.tl декартов. Ввиду изоморфизма [0с, 1С]: 0 + с ==; с (упражнение, двойственное к упражнению 3.8.4) этот квадрат можно преоб- преобразовать в декартов квадрат вида а —с
5.4. Экстенсиональность и двузначность 133 где ic — инъекция, ассоциированная с а + с. Аналогичным об- образом получаем декартов квадрат Опять применяя к последним двум диаграммам факт 2, полу- получаем после соответствующих поворотов и отражений такой де- декартов квадрат: а-тс а ; с ГУ, «J [/,§] Но [ia, ic]= \а+с = 1а + 1с (упражнения, двойственные к упраж- упражнениям 1, 4 из § 3.8). Отсюда следует, что [f,g] — монострелка (ср. пример 9 § 3.13). ? Теперь для доказательства теоремы 3 достаточно заметить, что квадрат о, О i 1 Q декартов (он служит определением стрелки _L). Таким образом, стрелки Т и ± дизъюнктны и по доказанной лемме стрелка [Т, -L]: 1 + 1 —*- Q мономорфна. ? Теорема 4. Если <В — точечный топос, то [Т, J.]: 1 + 1 =Q, т. е. <g — классический топос. Доказательство. Ввиду теоремы 3 нам достаточно только установить, что стрелка [Т, _L] эпиморфна. Предполо- Предположим, что f о [Т, 1] =go [T, -L].
134 Гл. 5. Строение топоса: первые шаги Л. Тогда /oT = /o[T,_L]°t = go[T, _L]°t = goT и анало- аналогично (используя /) f о _|_ = go j_. Так как Ти 1 —единствен- —единственные элементы из Q (теорема 2) и ни один из них не различает f и g, то по принципу экстенсиональности f = g. Таким обра- образом, на [Т, -L] можно сокращать справа. ? Сформулируем теперь центральную теорему этого пара- параграфа, устанавливающую связь между введенными в нем по- понятиями. Теорема 5. Топос & является точечным тогда и только тогда, когда он классический и каждый его ненулевой объект непуст. Часть «и только тогда» этой теоремы составляет содержа- содержание теорем 4 и 1. Доказательство в другую сторону, требующее введения новых понятий, откладывается до § 7.6. Категория Set2 классическая, но недвузначная (она имеет четыре истинностных значения). В отличие от нее категория функций Set^ недвузначная (имеет три истинностных значения) и не классическая (ср. гл. 10), Чтобы построить пример не- неклассического, но двузначного топоса, воспользуемся следую- следующим интересным результатом. Теорема 6. Категория М-Set является классической тогда и только тогда, когда моноид Ж — группа. Доказательство. В категории M-Set конечный объект 1=({0}До) является одноэлементным множеством. Объект 1 + 1 представляет собой дизъюнктное объединение двух эк- экземпляров 1 с независимым действием в каждом экземпляре. Для определенности положим 1 + 1 = ({0, 1},y). где у(т, 0) = О и у(т,1)= 1 для всех т^М. Тогда мы имеем следующую диаграмму копроизведения:
5.4. Экстенсиональность и двузначность 135 в которой ;@) = 0, /@)= 1 и [Т, _L] отображает 0 в М, а 1 — в 0, Q = (LM, со). Если [Т, ±]— изострелка, т. е. биективное отображение, то LM содержит только два элемента, LM = = {М, 0}. Обратно, если LM = {М, 0}, то w(m,M) = M и со(т,0) = 0 и [T, -L] — эквивариантная биекция, т. е. изо- изострелка в M-Set. Таким образом, категория M-Set классическая тогда и только тогда, когда LM = {М,0}. Но последнее усло- условие означает, что М — группа (упражнение 4.6.3). ? Таким образом, чтобы построить неклассический топос, надо только выбрать моноид, не являющийся группой. Естественно выбрать наименьший такой моноид. Им является двухэлемент- двухэлементная алгебра, состоящая из чисел 0 и 1 с обычным умножением. Формально, пусть М2 = B, •, 1), где 2= {0, 1}, а умножение • определяется равенствами 1-1 = 1, 1-0=« 0-1 = 0-0 = 0 или таблицей 1 0 1 1 0 0 0 0 Алгебра М2 является моноидом. Единицей служит 1, а 0 не имеет обратного элемента. Категория M2-Set чрезвычайно по- полезна в иллюстративных целях, являясь своего рода «универ- «универсальным контрпримером». Будем называть ее просто «то- «топос М2». Множество L2 левых идеалов в М2 содержит три элемента 2, 0 и {0} (почему {1} не является левым идеалом?). Таким образом, в топосе М2 Q = (L2, со) и действие со: 2X^2^-^ определяется формулой со(т, В)= {п: пе2о'гаеВ} или таблицей со 1 0 2 2 2 {0} {0} 2 0 0 0 Отображение [Т, _1_], как установлено в доказательстве тео- теоремы 6, не является изоморфизмом. Докажем непосредственно, что оно не эпиморфно. Рассмотрим отображение fo: L2^-L2, определенное равенствами /q B) = fa ({0}) = 2 и fa{0)=0 (см. рис. 5.1). Как видно из таблицы для со, отображение /ъ эквивариантно, следовательно, оно определяет М2-стрелку /uj_ Q-»Q. Но /о [Т, ±] = 1оо [Т, ±] и Д>=тМй. Поэтому ( I , J_] не эпиморфна.
136 Гл. 5. Строение топоса: первые шаги Хотя М2 — неклассический топос, он тем не менее двузна- двузначен. Действительно, если h: l->-Q — произвольная М2-стрелка, то h: {0} —*¦ L2 — эквивариантное отображение, в частности 0/@)) /i(M0,0)) = /i@). Так как со@, {0}) = 2=^ {0}, то Таким образом, либо /z@)=2 и, следовательно, Рис. 5.1. h = Т, либо /г@)= 0 и, следовательно, h — _L, т. е. Мг имеет только два истинностных значения. По теореме 4 М2 не будет точечным топосом. Чтобы это установить явно, сравним определенное выше отображение fa и 1q. Очевидно, что ^лф 1 . Но fa ° Т = 1 q ° T (обе эти ком- композиции принимают значение 2) и /j о 1 = 1 q » i (обе компо- композиции принимают значение 0). Таким образом, никакой эле- элемент из Q не различает различные стрелки fa, 1q:Q^#Q. Упражнение 5. Показать, что если а = (Х,к) — произволь- произвольный объект в M-Set (M — произвольный моноид), то элемент х: 1—>-а объекта а может быть отождествлен с некоторой не- неподвижной точкой из а, т. е. с элементом i/еХ, таким, что Я, (пг, у) = у для всех m e 714. ? В свете этого упражнения становится ясным, что обращение теоремы 1 не имеет места. Если а = (Х,Х) — ненулевой объект в М2, то X Ф 0. Выберем некоторый х е X и положим у = = Х@, х). Тогда у будет неподвижной точкой М2-множества а, так как k{m, у)= К(гп-0, х)-=- Х@, х) = у. Поэтому каждый ненулевой объект из топоса М2 непуст, но !УЬ неточечный. 5.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОНОМОРФНОСТИ И ЭПИМОРФНОСТИ ПОСРЕДСТВОМ ЭЛЕМЕНТОВ Используя наше определение элементов как стрелок вида 1->-а, дадим категорное определение понятий «инъективный» и «сюръективный». f-стрелку /: а^>-Ь, где <8 — категория с 1, назовем сюръек- тивной, если для каждого у: \-*-Ь существует некоторый х: 1—*-а, удовлетворяющий равенству f°x = y, и инъективной, если для любых х, у: 1 =^а из f ox = f <>у следует х = у.
5.5. Определение мономорфности и эпиморфности 137 Теорема 1. Если & — точечный топос и f: a^-b — его про- произвольная стрелка, то (i) / сюръективна тогда и только тогда, тогда она эпи- эпиморфна; (ii) / инъективна тогда и только тогда, когда она моно- мономорфна. Доказательство, (i) Предположим, что f сюръективна. Пусть g. h: b=^c таковы, что gof = h°f. Допустим, что g ф п. Тогда существует у: 1 —>•Ь, такой, что g°у Ф h°y. Но f сюръ- сюръективна, поэтому y = fox для некоторого х: 1-*-а. Значит, g°y = gofox = h°f°x = h°y, что противоречит допущению и выбору у. Таким образом, g = h, т. е. на f можно сокращать справа. Обратно, предположим, что f эпиморфна. Для данного у. \ —- b построим декартов квадрат В силу файта 1 из § 5.3 р эпиморфна. Если бы с ^ 0, то стрелка р была бы мономорфна (теорема 3.16.1) и, следова- следовательно, являлась бы изострелкой, устанавливающей изомор- изоморфизм 0=1, что делает топос & вырожденным. Поэтому объект с должен быть ненулевым. По теореме 1 существует z: 1->-с. Полагая x = q°z, получаем х: 1—>~а и fox = y (восстановить опущенные детали). Упражнение 1. Доказать часть (ii) этой теоремы. Упражнение 2. Показать, что в М2 стрелка /<> сюръективна, хотя и не эпиморфна. Аналогичное утверждение справедливо для [Т, -L]. Упражнение 3. Показать, что стрелка р не мономорфна, но инъективна. ? Мы вернемся к принципу экстенсиональности и точечным то- иосам в гл. 7 и 12.
Глава 6 ЛОГИКА В КЛАССИЧЕСКОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ Не легко, а быть может, и бесполезно, кратко объяснять, что такое логика. Э. Дж. Леммой. 6.1. ПОЯВЛЕНИЕ ЛОГИКИ В ТОПОСЕ При систематическом изложении теории множеств один из первых разделов посвящается так называемой алгебре клас- классов. Это связано с разными способами построения новых мно- множеств. Применительно к подмножествам заданного множества D внимание концентрируется на следующих операциях: пересечение: А |~| В = {х: х е А ихеВ}, объединение: А [} В = {х: х <= А или х<= В}, дополнение: —А = {х:^е D, но х ф. А}. Множество-степень &>(D) с операциями П, U и — является бу- булевой алгеброй. Эти алгебры, которые мы вскоре определим, тесно связаны с классической формулировкой логической ис- истинности. Но операции Л, U, — можно охарактеризовать их свойствами универсальности, а потому определить в любом топосе, что приводит к алгебре подобъектов. Оказывается, что эта алгебра в некоторых случаях не удовлетворяет всем законам булевой алгебры, свидетельствуя об отличии «логики» топоса от класси- классической. По-видимому, ситуация здесь такова: алгебра подобъ- подобъектов небулева, потому что логика в топосе неклассическая, а не наоборЪт. Определяя операции f), U, —, мы употребили слова «и», «или» и «не». Поэтому все свойства этих операций определяются смыслом, логическим поведением этих слов. Именно правила классической логики предписывают алгебре ^(D) быть булевой. В категории Set правила классической логики можно задать с помощью некоторых операций на множестве 2= {0, 1}. Ана- Аналогично можно поступить в любом топосе <В, используя клас- классифицирующий объект Q вместо 2. Это приведет нас к «логике» топоса f§', которая, как выясняется, характеризует поведение подобъектов в If. И именно когда эта логика перестает отра- отражать принципы классической логики (т. е. логики категории Set), алгебра подобъектов топоса & перестает быть булевой. В этой главе (несмотря на предупреждение Леммона) мы вкратце очертим основы классической логики и покажем, как все это обобщается в случае топосов. В последующих главах
6.2. Высказывания и истинностные значения 139 мы рассматриваем неклассические логики и их философское обоснование, что в конце концов приводит к полному описанию логики топоса общего вида. 6.2. ВЫСКАЗЫВАНИЯ И ИСТИННОСТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ Предложением, утверждением или высказыванием назы- называется выражение, которое или истинно, или ложно. Поэтому выражения «2 + 2 = 4» и «2 плюс 2 равно 5» можно считать высказываниями, а выражения «Чему равно 2 -f- 2?» и «Сложите 2 и 2!» — нельзя. Итак, каждое предложение принимает одно из двух истин- истинностных значений. Это либо истина, обозначаемая числом 1, или ложь, обозначаемая числом 0. Полным множеством истинност- истинностных значений будет множество 2 = {0, 1} (отсюда и термины для стрелок 1-H.-Q, использованные ранее). Мы можем строить сложные предложения по уже заданным с помощью логических связок «и», «или» и «не», т. е. из дан- данных предложений а и Р можно образовать новые предложения а и р (обозначается алР), а или |3 (обозначается avf5), не а (обозначается ~ а), называемые соответственно конъюнкцией, дизъюнкцией и отри- отрицанием. Используя некоторые простые правила, описанные ниже, можно вычислить истинностные значения сложного предложе- предложения по истинностным значениям его составляющих. Отрицание Предложение ~сс истинно (обозначение 1), когда ложно (обозначение 0) предложение а, и ложно @), когда а ис- истинно A). Представим это правило в виде следующей таблицы: о 1
140 Гл. 6. Логика в классическом представлении называемой истинностной таблицей для отрицания. С другой стороны, ее можно рассматривать как определение функции ~i из множества 2 в него же, которая для входа 1 (соответственно 0) дает выход 0 (соответственно 1). Эта функция ~~\: 2->-2 с 11 = 0 и —i 0 === 1 называется истинностной функцией отри- отрицания. Конъюнкция Предложение а Л Р истинно только тогда, когда истинна каждая из его составляющих а и р. В противном случае оно ложно. Но для комбинаций истинностных значений двух предло- предложений аиC имеются ровно четыре возможности, поэтому ис- истинностная таблица для конъюнкции состоит (по существу) из четырех строк: а 1 1 0 0 Р 1 0 1 0 алР 1 0 0 0 Соответствующее истинностное значение предложения аЛр в каждой из этих строк определяется приведенным выше пра- правилом. Данная таблица задает функцию г\ из пар истинностных значений в истинностные значения, а именно rv 2X2-»-2 с 1 г\ 1 = 1, 1 г>0 = 0г> 1 — ОлчО = 0. Она называется истин- истинностной функцией конъюнкции и может быть также представ- представлена таблицей вида 1 0 1 1 0 0 0 0 Дизъюнкция Предложение а V Р истинно, если истинно по крайней мере одно из составляющих а, р, и ложно, только если ложны оба предложения аир.
6.2. Высказывания и истинностные значения 141 Это правило задает следующую истинностную таблицу: а 1 1 0 0 Р 1 ¦0 1 0 avP 1 1 1 0 и соответствующую ей истинностную функцию дизъюнкции v: 2X2-^2 с l^l = lu0 = 0ul = l, 0w0 = 0, т. е. 1 0 1 1 1 0 1 0 Импликация Связка «импликация» позволяет образовать предложение «из а вытекает р», которое мы обозначаем через а гэ р. (Си- (Синонимы: «если а, то р», «а, только если р».) В классической интерпретации связки «вытекает» предложе- предложение а гэ р не истинно, если оно позволяет вывести нечто ложное из истинного. Поэтому мы считаем а гэ ($ ложным, если a истинно, а р ложно. Во всех остальных случаях предложение а гэ р истинно. Соответствующая истинностная таблица такова: a 1 1 0 0 OQ. 1 0 1 0 az^P 1 0 1 1 Для истинностной функции импликации =>¦: 2X2-»-2 мы имеем 1 =ф- 0 = 0, 1=^1 = 0=>1 = 0=^0=1 или в табличной форме 1 0 1 1 1 0 0 1 Тавтологии Последовательное применение только что указанных правил позволяет построить истинностную таблицу для любого сложного
142 Гл. 6. Логика в классическом представлении предложения. Например, a 1 0 a 1 1 0 0 ~a 0 1 O2. 1 0 1 0 ал~ 0 0 a=>p 1 0 1 1 a O2. 1 aV~a 1 1 =>(«=> P) 1 1 1 1 ала 1 0 avP 1 1 1 0 агэ(аЛа) 1 1 ar>(aVP) 1 1 1 1 Предложение называется тавтологией, если его истинностная таблица в графе значений содержит только 1. Итак, предложе- предложения a V ~ а, ап(ала), ргэ(а=>Р) и arD(avp) являются тавтологиями. Такие предложения истинны независимо от истин- истинности своих составляющих. Истинность предложения a v -~ a есть следствие не истинности или ложности его единственной составляющей а, а логической формы данного предложения, т. е. того, как расположены его логические связки. Значит, тав- тавтологии выражают логические законы, т. е. утверждения, истин- истинность которых имеет чисто логическую природу и не зависит ни от каких фактов действительного мира. 6.3. ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Чтобы продолжить изучение логики, нам необходимо сей- сейчас несколько уточнить описание высказываний и их истинност- истинностных значений. Лучше всего делать это на основе формального языка. Под таким языком мы понимаем некоторый алфавит (список основных символов) вместе с правилами образования, указывающими, как по алфавиту можно строить формулы или предложения этого языка. Мы используем язык, обозначаемый через PL и имеющий следующие ингредиенты: Алфавит языка PL (i) бесконечная последовательность символов ло, яь л2, ... ..., называемых пропозициональными переменными или пропо- пропозициональными буквами; (и) символы ~, л, V, гэ; (iii) скобки ), (.
6.3. Пропозициональное исчисление 143 Правила образования предложений в PL A) Каждая пропозициональная буква щ является предло- предложением. B) Если а — предложение, то ~а — предложение. C) Если а и р — предложения, то (ал р), (av P) и (а => о р) — предложения. Отметим, что мы используем здесь буквы аир как общие имена предложений. Поэтому букву а можно подставлять вме- вместо, например, буквы Я24 или более сложной формулы вроде (~(я2Ллц) V (л0 гэ я0)). Совокупность пропозициональных букв данного языка обозначим через Фо, а через Ф обозначим мно- множество всех PL-предложений, т. е. Фо={ л-о, пи я2, ...}, Ф = {а: a — предложение в PL}. Чтобы развить теорию значений, или семантику, для PL, мы воспользуемся истинностными функциями, введенными в § 6.2. Под оценкой (переменных) мы подразумеваем произвольную функцию V из множества Фо в множество истинностных значе- значений {0, 1}. Такая функция V: Фо->2 сопоставляет каждой про- пропозициональной букве я; некоторое истинностное значение У (я,), а поэтому придает «смысл» или «интерпретирует» каж- каждый элемент из Фо. Затем эту интерпретацию можно методи- методически продолжить на все предложения, так что V продолжится до функции из Ф в 2. Делается это «индукцией по правилам образования предложений», на основе последовательного при- применения следующих правил: (a) У(~а) = нУ(а); (b) У(алр) (c) У(а/р) (d) V(aop) Пример. Пусть У(яо)= V{ni)= 1, а У(я2) = 0. Тогда У(~Я1) = ПУ(п1)=П1 = 0, V(~mA я2)= V{~ni)r\ V(n2)= ОллО = 0, У(яоэ(~л, и т. д. П Этот подход позволяет однозначно «поднять» любую функ- функцию V: Фо->-2 до функции вида V: Ф-»-2. Предложение аеф можно назвать тогда тавтологией или классически общезначимым, если оно принимает единственное значение «истина» при всех оценках переменных. Итак, a— тавтология (что обозначается через \=а) в том и только том случае, когда V(a)= 1 для каждой оценки переменных V.
144 Гл. 6. Логика в классическом представлении Аксиоматика Семантика языка PL, описанная выше, позволяет выделить специальный класс предложений, называемых тавтологиями. Этот класс можно охарактеризовать и по-другому, а именно, используя некоторую аксиоматическую систему. Любая аксио- аксиоматика вводит методы получения новых предложений по уже заданным с помощью так называемых правил вывода. Эти пра- правила позволяют выводить или «доказывать» определенные пред- предложения, воплощая в себе принципы дедукции и технику рас- рассуждений. Основные ингредиенты аксиоматической системы таковы: (i) совокупность предложений, называемых аксиомами дан- данной системы; (ii) совокупность правил вывода, которые предписывают, какие операции следует произвести над предложениями для получения из них новых предложений. Предложения, выводимые из аксиом, называются теоремами. Чтобы немного уточнить это, напомним понятие формального вывода. Он представляет собою конечную последовательность предложений, каждое из которых есть либо (i) аксиома, либо (ii) предложение, которое можно получить из предыдущих членов данной последовательности при помощи правил вывода рассматриваемой системы. Тогда теоремой можно назвать предложение, являющееся последним членом в некотором формальном выводе. Говорят, что множество теорем аксиоматической системы аксиоматизи- аксиоматизировано этой системой. Существует ряд аксиоматизаций множества классически об- общезначимых предложений, т. е. аксиоматических систем, тео- теоремами которых являются в точности все тавтологии для PL. Та из них, с которой будем ниже работать, называется клас- классической логикой CL. Аксиомы системы CL включают все предложения любой из следующих двенадцати форм (где а, р и у обозначают произ- произвольные предложения): I. а гэ(ал а), II. (ал Р)=>(Рл а). III. (а=>р)гэ(( IV. ((а=>Р)л ( V. рз(аэр), VI. (ал (агэр) VII. a=3(av P), VIII. (avp)r)(pva), IX ((а=>Т)(Р X. ~а=>(а
6.3. Пропозициональнос исчисление 145 XI. ((агэр) л (а=э ~р))=> ~а, XII. <xv ~а. Система CL имеет единственное правило вывода: Правило отделения. Из предложений а к азр можно вы- вывести предложение C. Это правило принято также называть средневековым тер- термином modus ponens, точнее — modus ponendo ponens. Оно при- применяется к паре теорем, одна из которых имеет структуру импликации, а другая представляет собой антецедент этой им- импликации и состоит в «отделении» консеквента упомянутой им- импликации как новой теоремы. Будем обозначать через i—Cl« тот факт, что предложение а является теоремой в CL. Тогда правило отделения можно за- записать в следующем виде: если f— clc* и (—сь(а^>Р), то i—clP- Доказательство того, что CL-теоремы — это в точности тавто- тавтологии, распадается на две части: Теорема о корректности. Если !—clcc, to предложение а классически общезначимо. Теорема о полноте. Если предложение а классически обще- общезначимо, то |—cl«. В более общей ситуации теоремы о корректности для аксио- аксиоматических систем показывают, что только предложения опре- определенного вида выводимы в качестве теорем, а теоремы о пол- полноте утверждают выводимость всех предложений некоторого определенного вида. Вместе они могут давать полную характе- рнзаиию некоторого частного вида предложений в терминах выводимости. Так, упомянутые выше результаты означают вместе, что выводимость в CL характеризует классическую общезначимость. Приведенная теорема о корректности доказывается до- довольно просто в том смысле, что это может сделать даже вычис- вычислительная машина. Прежде всего надо проверить, что все аксиомы являются тавтологиями (по таблицам из § 6.2 видно, в частности, что таковы аксиомы вида I, V, VII и XII). Затем можно показать, что отделение сохраняет общезначимость, т. е. если аиан р— тавтологии, то C также тавтология. Отсюда вы- вытекает, что каждый формальный вывод состоит только из обще- общезначимых предложений. Значит, все теоремы в CL общезначимы. Доказательство теоремы о полноте не сводится к некоторой механической процедуре проверки. Впервые результат такого сорта для классической логики был установлен в 1921 г. Эмилем Постом. Он показал, что все тавтологии выводимы
146 Гл. 6. Логика в классическом представлении в системе Рассела и Уйтхеда из Principia Mathematica. С тех пор было развито много подходов к доказательству полноты раз- различных аксиоматик классической логики. Обзор относящихся к этому результатов имеется в Surma [73]. 6.4. БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ Множество 2 вместе с истинностными функциями п , rs, w образует так называемую булеву алгебру, структуру, которую мы уже упоминали неоднократно и, наконец, собираемся опре- определить. Разобьем определение на несколько этапов. Напомним вначале определение решетки из гл. 3. Это ч. у. множество Р = (Р, е=), в котором для любых двух элементов х, у е Р имеется (i) наибольшая нижняя грань н. н. г. хп у и (п) наименьшая верхняя грань н. в. г. л; и у. Н. н. г. хпу называют также пересечением элементов х и у в данной решетке, а н. в. г. х и у — объединением х и у. Как было замечено в § 3.8, 3.9, если ч. у. множество Р рассматри- рассматривать как категорию, то пересечения превратятся в произведе- произведения, а объединения — в копроизведения. Напомним также из § 3.5 и 3.6, что элемент 0, для которого Ое= х при всех хеР, называется нулем или минимумом ре- решетки, а элемент 1 с хе= 1 при всех х <= Р — единицей или мак- максимумом. Решетку называют ограниченной, если она имеет еди- единицу и нуль. С категорией точки зрения 0 — начальный объект, а 1 — конечный. Но в решетке всегда имеются расслоенные про- произведения и амальгамы (пример 5 из § 3.13 и двойственный к нему). Поэтому ограниченная решетка по существу является (§ 3.15) конечно биполной скелетальной категорией пред- порядка. Пример 1. Ч. у. множество (^(D),^) является ограничен- ограниченной решеткой. Ее единицей будет множество D, нулем — 0, н. н. г. А к В определяется как пересечение А Л В, а н. в. г.— как объединение A U В. Пример 2. Множество 2= {0, 1} имеет естественное упоря- упорядочение 0^1, которое превращает его в категорию предпо- рядка 2 (пример 2 из гл. 2). Я .9 0 1 Нулем этого ч. у. множества является элемент 0, а единицей 1. Элемент хг\у является одновременно пересечением в данной решетке и значением истинностной функции конъюнкции на паре (x,i/)e2X2. Аналогично х w у есть одновременно объ- объединение элементов х и у и их дизъюнкция.
6.4. Булевы алгебры 147 Пример 3. Пусть / — топологическое пространство, а в — набор его открытых множеств. Тогда пара (в, s), как и пара из примера 1, является ч. у. множеством, объединения и пере- пересечения в котором задаются соответствующими теоретико-мно- теоретико-множественными операциями, нулем является пустое множество 0, а единицей — само пространство /. Пример 4. Ограниченная решетка (LM, s), где Ьм — мно- множество левых идеалов моноида М. Объединения и пересечения в ней определяются точно так же, как и в примерах 1 и 3. ? Решетка называется дистрибутивной, если выполнены сле- следующие законы (каждый из которых вытекает из другого в лю- любой решетке): (a) хп(уиг) = (хпу)и(хпг), (b) x\j(yn z) = (xUy)n(xUz) для всех х, у, г. Пример 5. Решетки во всех четырех предыдущих примерах дистрибутивны. ? Чтобы завершить описание булевых алгебр, нам необходимо ввести еще одно понятие, а именно понятие дополнения в ре- решетке. Элемент у из ограниченной решетки называется дополне- дополнением элемента х, если хну — 1 и хпу = 0. Решетка называется решеткой с дополнениями, если каждый ее элемент имеет в ней дополнение. Пример 6. (tPiD),^) — решетка с дополнениями. Дополне- Дополнением элемента А в этой решетке будет теоретико-множественное дополнение —А. Пример 7. Решетка с дополнениями B, ^). Здесь дополне- дополнением элемента х является отрицание ~1х (см. истинностную таблицу для oV ~аиаЛ~а). Пример 8. В решетке (в, =) имеется лишь один кандидат на дополнение элемента (/еб, его теоретико-множественное дополнение. Но —U^Q, если множество U незамкнуто. По- Поэтому (в, *~) будет решеткой с дополнениями только в том слу- случае, когда каждое открытое множество исходного топологиче- топологического пространства также замкнуто. Пример 9. Пусть М — моноид вида М2 = B, •, 1). Тогда эле- элемент {0} из (LM, *=) не имеет дополнения, поскольку {1} ф @ELA!. ? Упражнение 1. Каждый элемент дистрибутивной решетки имеет не более одного дополнения, т. е. из того, что хпу = = лт12 = 0 и хи у = хи z = I, вытекает совпадение у = г. ?
148 Гл. 6. Логика в классическом представлении Булева алгебра ( ВА ) определяется как дистрибутивная ре- решетка с дополнениями. Пример. (^(D),g) и2 = B,<). ? Пусть В = (В, ЕЕ) — некоторая булева алгебра. Тогда по предыдущему упражнению каждый элемент хеВ имеет ровно одно дополнение. Мы обозначаем его обычно через х'. Упражнение 2. В любой булевой алгебре: A) (х/)' = х; B) хп у = О т. и т. т. у ЕЕ*'; C) х ЕЕ У т. и т. т. г/'ЕЕ х'\ D) (х п пг/)' = х'иг/'; E) (*иу)' = л/п у'. П Булевы алгебры названы так в честь Джорджа Буля A815— 1864), который в своей работе The Mathematical Analysis of Logic A847) впервые описал законы, которым они удовле- удовлетворяют. 6.5. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СЕМАНТИКА В каждой булевой алгебре В = (В, ее) имеются операции п (пересечение), и (объединение) и ' (дополнение), соответствую- соответствующие истинностным функциям конъюнкции, дизъюнкции и отри- отрицания на двухэлементном множестве 2. В булевой алгебре имеется также операция, соответствующая импликации. Истин- Истинностная таблица предложения а =э C совпадает с истинностной таблицей для ~avp. Значит, с классической точки зрения оба этих предложения равноценны. Поэтому для элементов х, у^В мы можем определить х=>у = х'иу. Упражнение 1. Проверить, что предложения а=>р и ~а Vp имеют одинаковые истинностные таблицы, а потому предыдущее определение вдспроизводит истинностную функцию импликации на двухэлементном множестве 2. ? Операции решетки В можно использовать для введения се- семантики, обобщающей семантику из § 6.3. Назовем В-оценкой функцию V: Фо-+В. Она однозначно продолжается по следующим правилам: (a) V(~a)=V{a)', (b) У(алр)= У(а)п (c) V{avfi)=V{a)u (d) V(a=>$)= У(аO(Р) ()(p) до функции V: Ф—>-В. Предложение а, такое, что V(a)= 1 для каждой В-оценки V, называют Ъ-общезначимым и обозначают это через В \= а. Отметим, что 2-оценкой тогда является то, что мы раньше называли оценкой переменных, и 2 (= а тогда и только тогда, когда a — тавтология.
6.5. Алгебраическая семантика 149 Теорема о корректности для В-общезначимости. Если r-cL«, ro В И « Доказывается это так же, как и для 2-общезначимости. Вна- Вначале проверяется В-общезначимость всех CL-аксиом, а затем проверяется, что она сохраняется при отделении. Но нуль и единица из В задают «изоморфную копию» ре- решетки 2 в В. B является подобъектом объекта В в категории булевых алгебр.) С этой точки зрения 2-оценки можно рассмат- рассматривать как В-оценки, а значит, из В ,= а вытекает, что 2 (= а. Назовем предложение ВА-общезначимым, если оно обще- общезначимо для любой булевой алгебры (и в частности, 2-обше- значимо). Все эти общезначимости связаны между собой, а именно каждое из следующих четырех утверждений эквивалентно лю- любому другому: а является тавтологией, а В-общезначимо для некоторой булевой алгебры В, а ВА -общезначимо. Упражнение 2 (алгебра Линденбаума). Пусть на множестве всех формул Ф задано такое отношение ~с: сс~ср т. и т. т. [—сьОЮ Р и I—clP ^> а. Показать, что ~с — отношение эквивалентности и что на фак- фактормножестве Ф/~с корректно определено следующее частич- частичное упорядочение: [a]s[P] т. и т. т. Ьсьагэр. Ч. у. множество ВС = (Ф/~С, ?) называется алгеброй Лин- Линденбаума классической логики CL. Показать, что оно является булевой алгеброй, в которой [][р] [a] Uip] = [а]' = [~а], [а] = 1 т. и т. т. \- cl«. Пусть Vc есть Вс-оценка, определенная формулой Ус (я,) == [я,]. Доказать, что для ее продолжения Vc(a) = [a] при всех кеФ. Значит, Т. И Т. Т. Вс И «• ? Построенную алгебру Вс можно использовать для доказатель- доказательства того, что все тавтологии являются CL-теоремами. Соответ- Соответствующие подробности можно найти в Rasiowa, Sikorski [63] и Bell, Slomson [69].
350 Гл. 6. Логика в классическом представлении 6.6. ИСТИННОСТНЫЕ ФУНКЦИИ КАК СТРЕЛКИ Область значений любой классической истинностной функ- функции есть двухэлементное множество 2. Поэтому такую функцию можно рассматривать как характеристическую функцию некото- некоторого подмножества ее области определения. Это наблюдение приводит нас к чисто стрелочному определению истинностных функций, которое с помощью й-аксиомы переносится на любой топос. Отрицание Отрицание ~] : 2 жества -2 есть характеристическая функция мно- мно{х: Пх=1} = {0} =2. Но включение {0} <=-* 2 представляет собой функцию false из § 5.4. Поэтому в категории Set мы имеем декартов квадрат a false г, (напомним, что false представляет собою характеристическую функцию подмножества 0^1). Конъюнкция Единственным входом функции гл: 2Х2->-2, дающим выход 1, является пара <1, 1>. Значит, гл = %а, где А = «1, 1». Но это одноэлементное множество А можно отождествить со стрел- стрелкой вида 1->-2Х2. Легко убедиться, что эта стрелка есть произведение (true, true), которое переводит 0 в <true(O), irue@)>, откуда вытекает декартовость квадрата 1 \ (true,true) . true 2X2 - 2 Импликация Функция : .множества 2Х2->-2 является характеристической для под- @={<0,0>, <0,1>, <!,!>}.
6.6. Истинностные функции как стрелки 151 Поэтому имеет место декартов квадрат 2/2 1 true Обозначение @ выбрано в связи с тем, что данное подмноже- подмножество как отношение на 2 есть не что иное, как естественное час- частичное упорядочение ординала 2, т. е. @= «х,у>: х^у в 2}. Но в любой решетке хЕЕу т. и т. т. хпу = х (почему?). Поэтому Значит, по § 3.10 включение @ '-> 2 X 2 представляет собой уравнитель пары 2X2^2, РГ, где pri обозначает проекцию на первый сомножитель, рг,(<х, у}) = х. Дизъюнкция Функция w: 2 X 2->-2 совпадает с %д, где D = «1, 1>, <1, 0>, <0, 1>}. Стрелочное описание подмножества D немного сложнее, чем описание соответствующих подмножеств во всех других случаях. Заметим прежде всего, что D = А {] В, где А = «1, 1>, <1, 0» и В = «1, 1>, <0, 1». Но подмножество /Is 2X2 можно отождествить с мономорф- ным произведением отображений <true2, Ь>: 2->-2Х2, кото- которое переводит 1 в <1, 1>, а 0 — в <1,0>. Аналогично В можно отождествить с <12, true2>. Затем можно образовать копроизве- дение <12,true2> 2x2
152 Гл. 6. Логика о классическом представлении т. е. /= [<true2, Ь>, <1г, true2>], и проверить, что Imf = .D. Итак, мы имеем эпи-моно-разложение 2x2 Все это определяет подмножество D однозначно с точностью до изоморфизма при помощи свойств, выражаемых на языке тео- теории категорий, а поэтому мы можем теперь определить следую- следующее понятие. Истинностные стрелки в топосе Пусть d? — некоторый топос с классификатором подобъектов Т: l-»-Q. Тогда A) —i : Q->fi есть единственная <!Г-стрелка, для которой квадрат 1 —L-~ О декартов в &'. Итак, Н = Хх, где стрелка J. сама является характером для !: О—>-1. B) r\: QXQ—>-Q рсть характер произведения стрелок <~7. т>: 1-^ЙХЙ в топосе^. C) и: QX^->-Q есть по определению характер образа ^"-стрелки К^и, 1а>, <1u,Tu>]: Q + Q-^QX^. D) =^: QX^->Q есть характер монострелки > ОХЙ> которая является уравнителем пары где лл обозначает истинностную стрелку конъюнкции, a pn — проекцию на первый сомножитель произведения QX^. Пример 1. В категориях Set и Finset определенные выше истинностные стрелки совпадают с соответствующими классиче- классическими истинностными функциями. Пример 2. В топосе Вп(/) с Й = BХЛР/) слой Q, над i совпадает с 2Х{'}> «копией» множества 2. Истинностные стрелки в Вп(/) по существу являются расслоениями истинно-
6.6. Истинностные функции как стрелки 153 стных функций, т. е. они состоят из «копий» соответствующих истинностных функций, действующих на каждом слое. Итак, -~i : Q—>-Q есть функция из 2Х/ в 2 Х-/, переводящая <l,t> в <0, г">. а <0, ?> — в <1, i>. Функция r\: QX^-*^ переводит пару, состоящую из (х, i) и <г/, i>, в элемент (xr\y,i) (напо- (напомним, что произведение QX& в Вп(/) состоит только из тех пар, у которых оба элемента принадлежат одному и тому же слою в Q). Остальные истинностные стрелки в Вп(/) читатель сможет легко найти самостоятельно. Итак, в то время как в категории Set объект Q является двухэлементной булевой алгеброй, в категории Вп(/) объект Q есть расслоение двухэлементных булевых алгебр, заиндекси- рованных множеством /. Пример 3. В топосе M-Set с Q = (LM, со) истинностная стрел- стрелка отрицания ~1 : Lm->-Lm задается правилом -i(fi) = {m: m<=Af и csm(fl) = 0} = = {m: n * m ^ В для всех п}. Истинностная стрелка конъюнкции задается теоретико-множе- теоретико-множественным пересечением, т. е. это есть такая функция из Lm X Lm в Lm, что {В, С} переходит в В ("| С. Стрелка дизъюнкции определяется теоретико-множествен- теоретико-множественным объединением. Импликация =>: ЬмУ(.Ьм—>-Lm имеет следующее описание: а @ является отношением теоретико-множественного включе- включения на Lm- Пример 4. В частном случае нашего канонического (контр)- примера М2 предыдущие определения приводят к следующим таблицам для истинностных стрелок: 2 {0} 0 2 {0} 0 П 0 0 2 2 2 2 2 {0} 2 {0} {0} 0 2 {0} 0 2 {0} 0 2 {0} 0 2 2 {0} 0 2 2 2 2 {0} {0} {0} 0 {0} {0} 2 2 0 0 0 0 0 0 0 2
154 Гл. 6. Логика в классическом представлении Пример 5. Описание истинностных стрелок топоса Тор(/) может служить еще одним подтверждением успешности настоя- настоящей теории в вопросах унификации, однако мы отложим его до гл. 8. ? Упражнение 1. Описать истинностные стрелки топоса Set2. Упражнение 2. Описать классифицирующий объект Q и ис- истинностные стрелки в Z2-Set, где Z2 = <2, +, 0> — моноид, со- состоящий из чисел 0 и 1 с операцией сложения. ? 6.7. <У-СЕМАНТИКИ Сейчас мы уже в состоянии задать пропозициональную ло- логику в любом топосе 8'. Напомним, что истинностным значением в топосе 8 называется стрелка вида 1 -*- Q. Совокупность всех таких ^"-стрелок обозначается через &{\, й). Назовем Ж-оценкой функцию V: Фо->-^>A, Й), ставящую в соответствие каждой пропозициональной букве я* некоторое истинностное значение У(Я]): 1—>-й. Эта функция по следую- следующим правилам продолжается на множество всех формул Ф: (а) У(~а)= И °У(а) V(a) (b) (c) V(avp)= w (d) У(а=эр)== В результате мы продолжаем оценку V так, что каждому пред- предложению ставится в соответствие некоторая ^"-стрелка V(a):
6.7. <S-семантики 155 Говорят, что предложение а <о-общезначимо (и обозначают это через <^(=а). если V(oc)= T: 1-.-Q для всех ^"-оценок V. Упражнение 1. Set .= а т. и т. т. Finset j= а т. и т. т. Finord == а — тавтология т. и т. т. Упражнение 2. Вп (/) \= а т. и т. т. (й3 (/), S) (= а, т. е. обще- общезначимость для топоса Вп(/) эквивалентна общезначимости для булевой алгебры (^(/), S). Значит, т. и т. т. а — тавтология. ? Во всех топосах из предложенных упражнений множество всех общезначимых предложений аксиоматизируется системой CL. Естественный вопрос—-всегда ли это так? Вскоре мы убедимся, что система CL полна относительно ^"-общезначимости, т. е. лю- любое ^"-общезначимое предложение (каков бы ни был топос S") выводимо в CL. Тогда наш вопрос сводится к следующему: кор- корректна ли система CL относительно ^"-общезначимости? Крат- Краткий ответ — нет! Уточнением к нему служит тот факт, что аксиомы I—XI системы CL всегда ^"-общезначимы, но имеются топосы, в которых закон исключенного третьего av~a необ- необщезначим. Одним из примеров такого топоса является кате- категория теоретико-множественных функций Set"*. Это установ- установлено в гл. 10, в которой подробно обсуждается общезначимость для топосов, по крайней мере в случае пропозициональных логик. Чтобы проверить тавтологичность ^"-общезначимых предло- предложений, необходимо установить следующий результат, показы- показывающий, что стрелки Т и _L ведут себя относительно истин- истинностных стрелок в произвольном топосе d? точно так же, как в Set. Но сначала договоримся об обозначениях. Пусть {f,g}'- 1->-ЙХЯ — «пара» истинностных стрелок. Мы пишем f^g вместо r^°(f,g)' 1—>О, f^jg вместо <j°(f, g), f=>g вместо =>°(f, g) и т. д. Теорема 1. В любом топосе & стрелки Т и 1 ведут себя, согласно следующим таблицам: -х Т 1 1 т Т -L Т Г 1 1 1 1
156 Гл. 6. Логика в классическом представлении {т. е. Т гч Т = Т, Т гч ± = _L и т. д.) т 1 т т т т т ± т т т _L ± т Доказательство. Тот факт, что П ° J. = Т, вытекает из коммутативности декартова квадрата, определяющего ~] (см. § 6.6). Чтобы проверить равенство н °Т= _L, рассмот- рассмотрим диаграмму О 1 Q Нижний квадрат декартов по определению стрелки п. Верхний квадрат декартов по определению стрелки J. как характера для !: О-»-1 (нужно его соответствующим образом перевернуть). Значит, в силу леммы о квадратах внешний квадрат декартов и стрелка ~i ° Т есть характер для !: 0-> 1. Из соответствующих определений можно вывести и другие таблицы, однако гораздо проще их получить из более глубоких фактов, которые будут установлены в гл. 7. Поэтому мы сейчас опускаем подробности и вернемся к ним ниже (ср. § 7.6). ? Предположим теперь, что V: Фо->-2-—классическая оценка. По V можно определить <!Г-оценку V: Фо->^A, Q), положив V'{nt) = T, если 1_, если Лемма. Для любого предложения аеФ (a) либо V'{a)= T, либо V'(a)= ±, (b) V'(a) -Ton. Via.) = 1. Доказательство. Все утверждения этой леммы истинны при а = я; по определению. Само же доказательство заклю- заключается в индукции по правилам образования предложений. Можно проверить, что доказываемые утверждения верны для а= ~($, если они верны по предположению индукции для р, верны для а = рлу, если по предположению они верны для р и у. и т. д. В силу точного соответствия таблиц теоремы 1 клас-
6.7. &-семантики 157 сическим истинностным таблицам понятно, почему данная лемма верна; подробности мы оставляем читателю в качестве упражнения. ? Теорема 2. Для любого топоса & если & \= ос, то \— а.а. Доказательство. Пусть V — классическая оценка, а V — как и выше, отвечающая ей df-оценка. Так как & \= а, то У'(а)=Т, откуда по предыдущей лемме V(a)=\. Значит, предложению а каждая классическая оценка ставит в соот- соответствие 1. Поэтому оно является тавтологией и |—сьа. ? Теорема 3. Если & — двузначный топос, то &\=а тогда и только тогда, когда \— cloc. Доказательство. Часть «только тогда» вытекает из тео- теоремы 2. Обратно, предположим, что (—cl«, т. е. а— тавтология. Если V — произвольная dT-оценка, то, беря У(я,)=1 или 1/(я,) = 0, когда V'(ni)= T или V (ni)= ± соответственно, мы определяем классическую оценку. Данное определение законно, ибо в силу двузначности <В имеется лишь два истинностных зна- значения: Т и 1. Но оценки V и V связаны между собой так же, как и в предыдущей лемме. Поэтому из равенства У(а)=1 следует, что V'(a)= T. D Последний результат может создать впечатление, что дву- двузначные топосы больше похожи на категорию Set, чем топосы, имеющие более двух истинностных значений. Однако рассмот- рассмотренный выше топос Мг двузначен, но отличается от категории Set в других отношениях, например он не является классиче- классическим, поскольку для него сумма 1 -J- 1 не изоморфна Q. С дру- другой стороны, топос Set2 не двузначен и тем не менее является классическим, и его общезначимые предложения аксиоматизи- аксиоматизируются системой CL. Отсюда мы могли бы заключить, что дву- двузначность сама по себе не приводит к категорной аксиоматиза- аксиоматизации классической теории множеств. Или, быть может, мы должны сделать вывод, что наше определение общезначимости в топосе является неудачным обобщением понятия логической истинности в Set? Читайте дальше! ДОБАВЛЕНИЕ Предложения а и |3 называются логически эквивалентными, если они имеют одинаковые истинностные таблицы, т. е. если V(a)= 1/(|3) для каждой классической оценки V. Как мы уже отметили выше, предложение а ;э р логически эквивалентно предложению ~сс V р. По этой причине в некоторых изложениях
158 Гл. 6. Логика в классическом представлении системы CL связка гэ рассматривается не как один из основных символов, а как дефинитивное сокращение для ком- комбинации, включающей ~ и V. Аналогично можно ввести л, используя логическую эквивалентность предложений а л E и ~(~av ~Р)- Напротив, можно исходить из связок ~ и л и определять связки v и id через них. Возможны и другие ва- варианты выбора основных связок. Факт выразимости связки zd через ~ и V находит отраже- отражение в равенстве операций х=$-у=~\х^>у на множестве 2. Нэ языке стрелок это означает, что 2X2 iX'd2 2X2 Однако имеются топосы, в которых соответствующие обобщен- обобщенные истинностные стрелки уже не удовлетворяют этому равен- равенству. Поэтому встает вопрос, правилен ли вообще подход, опи- описанный в настоящей главе, и почему не определить в топосе Ш стрелку =»- просто через стрелки п и \-> в соответствии с пре- предыдущим равенством. Дело в том, что связки ~, Л, V, :=> вводились отдельно в силу достаточной концептуальной разницы между ними и так как каждой из них присуще собственное внутреннее значение. Построение соответствующей истинностной таблицы обосновы- обосновывалось в каждом случае независимо. Взаимоопределимыми они оказываются постфактум. Это просто признак классической логики, следствие классического исчисления истинности и об- общезначимости. Поэтому-то мы и определили все связки неза- независимо, описывали их независимо на основе Q-аксиомы, а затем перенесли эти определения в произвольный топос. При этом оказывается, что (в некоторых случаях) эта взаимоопределяе- мость пропадает. Позже (в гл. 8 мы встретимся с другой тео- теорией пропозициональной семантики, в которой данные связки уже не взаимоопределяемы, но имеют в точности то же самое категорное описание, что и в Set.
Глава 7 АЛГЕБРА ПОДОБЪЕКТОВ Так как новое рождается из старого, оно обычно вбирает в себя многое из словаря и аппарата ста- старого как в идейном, так и практическом отношениях. Но оно редко использует эти заимствованные эле- элементы в их традиционном значении. Томас Кун 7.1. ДОПОЛНЕНИЕ, ПЕРЕСЕЧЕНИЕ, ОБЪЕДИНЕНИЕ В начале гл. 6 отмечалось, что строение ч. у. множества {^(D),^) как булевой алгебры зависит от правил классиче- классической логики через свойства связок «и», «или» и «не». Эту зави- зависимость можно сделать совершенно явной с помощью характе- характеристических функций. Следующий результат показывает, как теоретико-множественные операции зависят от истинностных функций. Теорема 1. Если А и В — подмножества в D с характеристи- характеристическими функциями %л: D->-2 и %s: D-+2, то (i) Х-л = ~> °%а> i ( » (iii) %a\jb = %a ^>%в- Доказательство. Если х-д(х) — 1 для i;6fl, то хе—А, т. е. хфА. Следовательно, %а{х)= О и ~'<ха(х)=1. Если ЭС_л (х) = 0, то хф—А, т. е. х<=А Следовательно, %д(л:)=1 и ~1%а(х)=0. Таким образом, функции %-а и ~\°%а прини- принимают одно и то же значение при одном и том же значении входа и поэтому равны. Доказательство п. (ii) и (iii) проводится ана- аналогичным образом с использованием определений для П. ^> U. ^. ? Теорема 1 подсказывает следующее обобщение (результат в одном контексте становится определением в другом). Пусть & — топос и d — его объект. Определим операции на совокупности Sub(d) всех подобъектов объекта d. A) Дополнения. Пусть f: а>—> d. Дополнением f (относи- (относительно d) называется подобъект —/: —а>—>d, характеристиче- характеристическая функция которого равна п °хг- Таким образом, —f опре- определяется как обратный образ стрелки Т относительно П °%f, т. е. x-f = ~1 ° If- . -f . -а > > А
160 Гл. 7. Алгебра подпбъектов B) Пересечения. Пересечением подобъектов /: а-—>d и g: b>—id называется подобъект ff\g'- af\b-+d, получаемый подъемом Т вдоль ц лл xg = ^ ° (if, %g)- Q Таким образом, Xfns = Xl^Xe- C) Объединения. Через f\Jg: a{)b>—*d обозначается подъем Т вдоль ц w %g = ^ о <Xf) %gy. a U 1 — t Q Таким образом, fjng = Xf ^ Хг- П Имеется также совершенно другой подход, позволяющий описать операции пересечения и объединения в Set в категорных терминах. (а) Пересечения. Диаграмма А ПВ В А D является декартовым квадратом в Set. В ч. у. множестве (^(D),^) пересечение А[\В является наибольшей нижней гранью А а В, а следовательно, их произведением и даже рас- расслоенным произведением. Однако мы утверждаем больше, а именно что приведенная диаграмма будет декартовым квад- квадратом в Set, а не только в ff'(D). В этом читатель может убе- убедиться сам. (Ь) Объединения. В ?P(D) множество А[)В является копро- изведением А и В. Это описание нельзя обобщить аналогично предыдущему случаю, так как мы еще не знаем, имеет ли Sub(f/) копроизведения. Более того, в Set копроизведение А-\-В является дизъюнктным объединением А и В. Поэтому если А и В пересекаются, то А + В Ф A U В.
7.1. Дополнение, пересечение, объединение 161 Однако A U В можно охарактеризовать как объединение об- образов функций включения /: А <-> D и g: В <-*¦ D. В § 6.6 при определении стрелки дизъюнкции w мы дали общее определе- определение объединения двух образов. Строим сначала стрелку [f, g): А + В-*-D, а затем ее эпи-моно-разложение AUS- Множество А[)В получается тогда как образ стрелки [f,g]. Хотя мы располагаем двумя определениями операций U и П в Set, они не предоставляют нам выбора и в произвольном то- носе Ж и ведут к одним и тем же операциям на Sub(d) (топосы действительно удачно обобщают Set). Полное доказательство этого факта довольно длинное и трудоемкое. Поэтому мы при- приведем лишь план доказательства, оставляя детали заинтересо- заинтересованному читателю. Теорема 2. Пусть Ё — топос, f: а>—> d и g: b>—> d — произ- произвольные монострелки и квадрат декартов. Тогда стрелка % r\ %g является характеристической стрелкой подобъекта а: о—-- d, где a = g°f — f°g'. Таким об- образом, Ха==Хгпе> т- е- а —/f]g, и в 8 существует декартов квадрат вида аПЬ а> 6 Зак. 651
162 Гл. 7. Алсейра подобъектов План доказательства. Ключевой момент состоит в до- доказательстве универсальности верхнего квадрата диаграммы d 1 Нижний квадрат универсален по определению гл. По лемме о квадратах внешний квадрат будет универсальным, что в силу Q-аксиомы дает равенство %а = r\ ° <jq, /г>. П Для аналогичного результата об объединении нужна сле- следующая лемма. Лемма. Если в топосе <? квадрат декартов, то существует стрелка h: f{a)^-g{c), для которой правый квадрат диаграммы a *—& 1(a): h im/ *b также декартов.
7.1. Дополнение, пересечение, объединение 163 Доказательство. Рассмотрим диаграмму f Правый квадрат получается подъемом im g вдоль v. Поэтому i — монострелка. Существование f, превращающей всю диа- диаграмму в коммутативную, следует из свойства универсальности правого декартова квадрата, так как «граничная» диаграмма, будучи декартовым квадратом по условию леммы, коммута- коммутативна. По лемме о квадратах левый квадрат также декартов. В силу факта 1 из § 5.3 /' — эпистрелка и композиция i°f дает некоторое эпи-моно-разложение стрелки f. Поэтому существует единственная изострелка k: e-+f(a), для которой диаграмма ,f(a) Г коммутативна. Полагая h = h'ok~\ получаем стрелку, удов- удовлетворяющую заключению леммы. ? Теорема 3. Для данных монострелок f: a>—>d и g: 6>—*d в топосе <§ характеристическая стрелка образа a: c-+d стрелки [f) bd равна if \y %e. Поэтому Ха = Xf женив ив, a^fU ы\ i с g и имеется эпи-моно-разло aUb 6*
164 Гл. 7. Алгебра подобъектов План доказательства. Докажем, что два малых квад- квадрата диаграммы а —-1—^ d* Ъ 9. q.q ¦Q декартовы. Тогда в силу факта 2 из § 5.3 квадрат К el d также будет декартов. Доказанная лемма дает нам декартов квадрат вида fixQ где / — образ стрелки [<TSj, 1^>, <1 о, Тя>]. Но по определе- определению w стрелка v^: QX^->Q является характеристической для подобъекта /, т. е. квадрат 1 ¦+Q декартов. Из этих последних двух диаграмм по лемме о квад- квадратах получаем, что %а = ^ ° <%f, Xg>- ? В свете теоремы 3 мы можем охарактеризовать истинностную стрелку дизъюнкции как характерлстическую стрелку подобъ- подобъекта (То. 1,,)U(lc, To) Q U Q > " " " -> О X Q.
7.2. Sub (d) как решетка 165 7.2. Sub(d) КАК РЕШЕТКА Теорема 1. Ч. у. множество (Sub(d),s) является решеткой, в которой A) ff\g — наибольшая нижняя грань (решеточное пересе- пересечение) объектов fug; B) flig — наименьшая верхняя грань (решеточное объеди- объединение) объектов fug. Доказательство. A) Из определения frig как обрат- обратного образа fug нетрудно вывести, что f(]g является наиболь- наибольшей нижней гранью f и g. Детали оставляем читателю. B) Из теоремы 3 и определения стрелки [f, g] следует, что диаграмма коммутативна. Значит, f и g пропускаются через f[)g, т. е. fsfUg и g^fUg, и, таким образом, f[)g является верхней гранью fug. Докажем, что она наименьшая. Предположим, что f <=h и g s h. Тогда fug пропускаются через h, т. е. суще- существуют ha и hb, для которых диаграмма коммутативна. Имеют место равенства [f,g] = [hoha, h°hb] = = h°[ha, hb] (упражнение, двойственное к упражнению 3.8.3),
166 Гл. 7. Алгебра подобъсктов из которых видно, что [f, g] разлагается в композицию стрелок [1га, hb]: а + &->с и h: с>—id. Заменяя [ha, ft&] ее эпи-моно- разложением, получаем представление стрелки [f,g] в виде композиции / k h a -f b —»е >—> с >—» d для некоторых / и ft. Таким образом, мы пришли к еще одному эпи-моно-разложению [f,g] на стрелки / и h°k. В силу одно- однозначности с точностью до изоморфизма таких разложений су- существует изострелка и, для которой диаграмма а -т fUg а\}Ьш коммутативна. Таким образом, композиция Ьм «пропускает» fUg через А, т. е. / U g s /i, что и требовалось. ? Следствие. A) f ^ g т. и т. т. f(]gc^f т. и т. т. f[) gc^g. B) fsg тогда и только тогда, когда <хь Xg> пропускается через уравнитель стрелок гл и рп. QXQ <Xf,Xg> / d Доказательство. A) В произвольной решетке хЕу т. и т. т. л:П // == л: т. и т. т. xLly — y B) f S g т. и т. т. ff|g —f т. и т. T.,Xfn?- = XfT- и т. т. ^ ° <Xf. Х«> = Pri ° <Xf> Хг>- Доказываемое утверждение следует теперь из свойства универ- универсальности уравнителя. D Часть B) этого следствия представляет собой аналог того факта, что если А и В — два подмножества в D, то включение A s В выполняется тогда и только тогда, когда %а <! %в (по- (последнее означает, что %Л (х) ^ %в(х) для всех xeZ)j. Теорема 2. Ч. у. множество (Sub(d),s) является ограни- ограниченной решеткой с единицей Id и нулем 0d-
7.2. Sub (d) как решетка 167 Доказательство. Для произвольного /: а: граммы ¦ d диа- тогда коммутативны, а это означает, что Od Е / и f ? Id- ? Упражнение 1. Для произвольного f из Sub(d) fc^ и только тогда, когда f — изострелка, т. е. /: а = с/. D На самом деле Sub(d) — дистрибутивная решетка, т. е. в ней выполняется закон дистрибутивности Опять-таки его можно было бы доказать непосредственно, но он следует из некоторых более глубоких результатов, устанав- устанавливаемых позднее. Мы пока откладываем этот вопрос до § 8.3. Что можно сказать о дополнениях? Прежде всего докажем следующую теорему. Теорема 3. Для произвольной монострелки f: а->—> d имеем f(\-f~Od. Доказательство. В диаграмме нижний квадрат является декартовым квадратом, определяю- определяющим —i. Внешний, граничный квадрат тоже декартов (он слу- служит определением —f), в частности он коммутативен. В силу свойства универсальности нижнего квадрата существует стрелка —а -> 1, для которой вся диаграмма становится коммутативной. Следовательно, верхний квадрат декартов. Так как 1—конеч-
168 Гл. 7. Алгебра подобъектов ный объект, то эта стрелка совпадает с 1_й. Тогда левый и пра- правый квадраты диаграммы аи а > а f 1 Q коммутативны (левый на основании определения /Л—/)• Из коммутативности этих квадратов вытекает коммутативность внешнего граничного квадрата, т. е. имеет место равенство -1 "'an-a^fy°f°e- Ho Xf°f = truea (в силу Q-аксиомы). По- Поэтому xf о fog — truea °g ==trueaf1_a (см. 4.2.3). Из доказанных равенств следует коммутативность внешнего квадрата диа- диаграммы В силу свойства универсальности внутреннего квадрата суще- существует стрелка k: а[\— а->-0. Но тогда а Л—а = 0 (см. § 3.16) и объект а Л —а является начальным. Следовательно, диа- диаграмма а 0--а ¦ коммутативна, так как существует только одна стрелка из на- начального объекта, в объект d. Таким образом, /Л—f^Oa, а так как Od—-наименьший элемент в Sub(d), то имеет место обоат- ное включение Оа ? f Л —/. Поэтому f f) —f cs 0^. D Создается впечатление, что мы находимся на пути к уста- установлению того, что Sub(rf) является булевой алгеброй, полу- получая, таким образом, полную аналогию с 3>{D) в категории Set. Мы знаем, что Sub(d) — ограниченная дистрибутивная решетка, в которой f Л —/ всегда есть нуль. Остается только показать, что f\)—f — единица. Однако сделать это мы не можем! Имеются топосы, в которых f U—f не является единицей в Sub(ii). Чтобы
7.2. Sub (d) как решетка 169 продемонстрировать это на соответствующем примере, нам по- понадобится следующая теорема. Теорема 4. Для произвольного топоса монострелки _L и —Т определяют в Sub(Q) один и тот же подобъект, т. е. Доказательство. %1_ = (по определению ~]) = (так как 1Q = xT) = (по определению —т)- ? Таким образом, в произвольном топосе TU—T^T(J-L- В нашем главном примере — топосе Мг единица 1<> из Sub(Q) может быть отождествлена с множеством Ьм, а решеточное объ- объединение TU-L, являясь образом стрелки [Т, J_], может быть отождествлено с множеством {М2,0} ф L2 (описание отображения [Т, J_] в М2 см. в доказательстве теоремы 5.4.6). Поэтому Т U J_ gt 1 и и —Т ( = 1.) не является решеточным дополнением для Т в Sub(Q). Этот факт вместе со следующей теоремой 5 показывает, что в рассматриваемом примере Sub(Q) — не булева алгебра. Теорема 5. В любом топосе, если стрелка Т: 1—>-Q имеет дополнение в Sub(Q), то оно изоморфно подобъекту _L: I—>-Q. Доказательство. Пусть Тогда Tflf' — Of), т. е. квадрат Т имеет дополнение, скажем/. декартов. Q-аксиома и упражнение 5.4.3 дают f = %оа = -1- ° 'я- Но это означает, что f^_L. Отсюда в силу общерешеточных свойств получаем TUfsTUl, а так как TUf^^lib то T[J-L~b.j. По теоремам 3 и 4 Г (J _L =0l>. Таким образом, L является дополнением для Т. Но в дистрибутивной решетке дополнение единственно. Поэтому f ~ _L. D
170 Гл. 7. Алгебра подоиъектоа 7.3. БУЛЕВЫ ТОПОСЫ Топос g называется булевым, если для каждого df-объекта d решетка (Sub(d),s) является булевой алгеброй. Теорема 1. Для любого топоса g следующие предложения эквивалентны: A) & булев; B) Sub(Q) является булевой алгеброй; C) Т: 1 —>-Q имеет дополнение в Sub(Q); D) ±: l->-Q является дополнением, для Т в Sub(Q); E) TU ±=М0 в Sub(Q); F) 8 — классический топос, т. е. стрелка [Т, ±]: 1 + 1-^-Q является изострелкой; G) /ь 1 -v 1 + 1 является классификатором подобъектов. Доказательство. Из A) следует B) по определению булева топоса. Из B) следует C) по определению булевой алгебры. Из C) следует D) по теореме 7.2.5. Из D) следует E) по определению дополнения. Докажем, что из E) следует F). Так как стрелка [Т, i. ] всегда мономорфна, то диаграмма 1-1 представляет эпи-моно-разложение стрелки [Т, J_], т. е. TU U-L—[T,-L] в SubQ. Так как Т U J_ ^ 1 о, то [Т,-L]—1 Поэтому [Т, J_] — изострелка (см. упражнение 7.2.1). Доказа- Доказательство того, что из F) вытекает G), предоставляется чита- читателю в качестве упражнения. Вообще всякая стрелка, изоморф- изоморфная классификатору, сама является классификатором. Докажем, что из G) следует A). Пусть /: а>—> d — произвольная моно- монострелка. Достаточно показать, что /U—f—Id. Тогда, как мы уже видели в § 7.2, —/ будет дополнением для /, т. е. Sub(d) будет булевой алгеброй. План доказательства виден из диаграммы a U -а . ъчу ? М!^ d Если доказать, что стрелка [/, —/] эпиморфна, то по свойству универсальности эпи-моно-разложения будет существовать стрелка k, пропускающая \а через f[)—f. Так как /U—f — мо- иострелка, то k будет изострелкой, устанавливающей изомор- изоморфизм /U—/—1<л Предварительно докажем следующую лемму.
7.3. Булевы топосы 171 Лемма. В произвольном топосе квадрат О > ! 1 1 + 1 декартов, где i\ и i2 — две инъекции, соответствующие копроиз- ведению 1 + 1. Доказательство. Так как 0 — начальный объект, то приведенный квадрат коммутативен. В силу свойства коунивер- сальности пары (м, i2) этот квадрат будет также кодекартовым. Так как внешний квадрат диаграммы О коммутативен и даже декартов (по определению стрелки А. и в силу Q-аксиомы), то существует единственная стрелка k: 1 + 1-vQ, для которой последняя диаграмма коммутативна. Предположим теперь, что внешний квадрат диаграммы коммутативен. Используя k, можно установить коммутатив- коммутативность внешнего квадрата диаграммы Отсюда вытекает существование и единственность стрелки а необходимой для доказательства леммы. ?
172 Гл. 7. Алгебра подобъектов Вернемся к доказательству теоремы. Обозначим через /' 1' и т. д, стрелки, определенные так же, как х-и _]_ и т. д., но с использованием стрелки i\\ 1-»-1 + 1 вместо Т: 1—>-Q. Из только что доказанной леммы следует тогда, что г"г = -L'. Ис- Используя те же самые аргументы, которые применялись в на- начале доказательства теоремы 3 из § 7.2, можно доказать, что квадрат декартов. По определению стрелки ¦/' декартовым является также и квадрат V 1 1 Так как копроизведение сохраняет обратные образы (см. § 5.3), то квадрат Г 1+г: декартов. Но стрелка [/1,12]= Ь+i эпиморфна, поэтому стрелка [/,—/], которая получается подъемом эпистрелки, также эпи- эпиморфна. D 7.4. ВНУТРЕННЕЕ VERSUS') ВНЕШНЕЕ Теорема 1. Если топос & булев, то <э \= ач ~а. для любого предложения а,. '') Versus — против (лат.). — Прим. перев.
7.4 Внутреннее versus внешнее 173 Доказательство. Пусть V — некоторая «^-оценка И /: а>—>1 — обратный образ стрелки Т: l-»-Q относительно V(a), В силу Q-аксиомы Xf = V(a). Так как & булев, то Sub(l)— булева алгебра. Поэтому / U — / — 1, и XfU_f = Х,1 = Т- Но XfU-/ = Xf ^ ~"i°Xf — V(a)\j->°V(a)= V(a\'~a). Следовательно, K(aV~a}= j, ? Естественно предположить, что если наша теория правильна, то должно бы иметь место и обращение теоремы 1. Однако это не так. Топос М2 не булев, так как в нем Sub(Q) не является булевой алгеброй и, как замечено в конце гл. 6, M2|=aV~a. В доказательстве теоремы 1 используется на самом деле только тот факт, что Sub(l)—булева алгебра. Это условие и необходимо, как показывает следующая теорема: Теорема 2. В произвольном топосе & следующие три пред- предложения эквивалентны A) для всякого предложения а сэ = а тогда и только тогда, когда \— сьа; B) (<?|=aV~a для любого а; C) Sub(l) является булевой алгеброй. Доказательство. Ясно, что из A) следует B). Предпо- Предположим, что имеет место B). Пусть /: а>—>1 — произвольный подобъект 1, т. е. элемент из Sub(l). Заметим, что yj есть истинностное значение. Беря ^-оценку V, такую, что У(ло)= %;, мы получаем следующую цепочку равенств: Xf у _ f = Xf ^ ~1 X; = V (я0) w -, V (ло)|= V (лц / ~ л0) =-=¦/!,, из которой следует, что /U—/—1ь Но это означает, что Sub(l)—булева алгебра. Предположим теперь, что имеет место C), и выведем отсюда A). «Только тогда» из A) имеет место в произвольном топосе. Для доказательства в обратную сторону надо проверить, что все CL-аксиомы ^-общезначимы и что modus ponens сохраняет ^-общезначимость. Позднее мы покажем, что аксиомы I—XI общезначимы в произвольном топосе и что отделение сохраняет общезначимость. Сейчас же заметим, что теорема 1 устанавлн-
174 Гл. 7. Алгебра подобъектов вает «^-общезначимость аксиомы XII, если множество Sub(l) топоса & является булевой алгеброй. ? Следствие. Из утверждения «множество Sub(l) топоса & является булевой алгеброй-» не вытекает, что сам & булев. На первый взгляд ситуация представляется аномальной (по крайней мере автору). В категории Set логика основана на бу- булевой алгебре 2. Кажется, что и вообще в топосе она тесно связана с Sub(l). В Set имеются изоморфизмы Sub(l)^ ^^A)^2 — пока все хорошо. Но предыдущие результаты по- показывают, что свойства «обобщенного множества-степени» Sub(d) определяются множеством Sub(Q), тогда как в Set че- тырехэлементное множество Sub(Q) уже не играет никакой особой роли в этом вопросе. Ситуация несколько проясняется, если обратить внимание на то обстоятельство, что Sub(d) есть совокупность подобъек- подобъектов топоса & и может не быть настоящим lf-объектом. Будем мыслить & как некий «универсум математического рассужде- рассуждения». Тогда живущий в этом универсуме, пользуясь только ин- индивидами, имеющимися в этом универсуме, вообще не «видит» Sub(d) как единый объект, Такое образование, как Sub(d), является внешним по отношению к <?. Но обитатель топоса видит объект-степень Qd, являющийся «объектом всех подмно- подмножеств» объекта d. Этот объект Qd, будучи индивидом универ- универсума &', является внутренним вариантом понятия множества- степени, в то время как Sub(d) — его внешний вариант. Закон исключенного третьего также имеет внутренний ва- вариант. Справедливость этого закона в Set означает, что равен- равенство .V ^ 1 х = 1 имеет место для любого хе2. Наличие этого тождества эквивалентно коммутативности диаграммы (так как <id2, i)(x)= (х, пх>). Но эта диаграмма имеет ана- аналог в любом топосе 8', п справедлива следующая интересная теорема. Теорема 3. Sub(Q) является булевой алгеброй тогда и только тогда, когда диаграмма
7.4. Внутреннее versus внешнее 175 QxQ (ЕМ) 1 ¦ > коммутативна. Доказательство. Коммутативность диаграммы ЕМозна- чает, что w о <1о, п> = Т о, т. е. 1 ow ~1 = Т о. Но мы знаем, что 1„ = zT, ~ = хх и To = %,Q. Поэтому Sub(Q) есть булева алгебра т. и т. т. Т U -L — 1q (§ 7.3) т. п т. т. XTUi=X,Q т. н т. т. /т ^ % =Х1о Т. II Т. Т. 1„ "^ ~1 = То- Упражнение 1. Доказать непосредственно, что диаграмма ЕМ некоммутативна в Мг. П При изложении нашей теории семантики, использующей то- топосы, мы рассматривали множество ^A,Q) истинностных зна- значений. Это опять внешнее образование. Внутренним вариантом совокупности всех стрелок из 1 в Q должен быть объект истин- истинностных значений Q1 з* Q. Оценка V: <D->-df(],?2) также внеш- внешнее понятие, т. е. не является ^"-стрелкой. Семантическая теория, которую мы развили, является внеш- внешней. В этом причина того, что существуют топосы, например Мг, которые выглядят классическими «извне» и все же обладают неклассическими свойствами (любопытно, что Мг внутренне двузначен, в то время как (с внешней стороны) Q имеет три элемента). Теперь мы видим, что топос обладаем внутренней логикой, выражающейся коммутативными диаграммами вроде ЕМ (ср. упражнение 2 ниже). Топос будет булевым тогда и только тогда, когда эта внутренняя логика классическая. Если придерживаться точки зрения, что топосы предлагают альтернативу категории Set как контексту, в котором полностью происходит развитие математики, то важна в конечном счете именно внутренняя структура топоса. Но и внешняя теория очень полезна для освещения логических свойств топосов и, как мы увидим в дальнейшем, для описания связи между топосами и интуиционистской логикой. Упражнение 2. Сформулировать общезначимость CL-аксном I—XI в терминах коммутативности диаграмм, составленных из
176 Гл. 7. Алгебра подобъектов истинностных стрелок. (Все они коммутативны в произвольном топосе. Можете ли вы доказать коммутативность некоторых из них?) 7.5. ИМПЛИКАЦИЯ Аналогично тому, как мы использовали истинностные стрелки г\, ^, ~1 для определения операций П. 1)> — на множестве Sub (d) подобъектов объекта d, мы можем использовать импли- импликацию => для определения следующей операции: если /: а >—>d и g:b>-^>d — подобъекты в d, то через f&g: (a&b) >-^>d обо- обозначим подобъект, получаемый подъемом Т вдоль ^f=*-%g = = =$- ° </f, %g}. Таким образом, квадрат 1—-L— О декартов, т.е. х{ |=> g = yw/ => %g. Для исследования свойств этой новой операции нам пона- понадобятся некоторые технические результаты. Лемма 1. Пусть f, g и h — подобъекты объекта d в произ- произвольном топосе. Тогда A) f[}h^g[]h т. ит. т. x;ch = %goh, следовательно, Доказательство. A) Рассмотрим диаграммы а Л с Нижние квадраты в каждой из них декартовы по Q-аксиоме. Верхние квадраты декартовы по определению пересечения. По лемме о квадратах и Q-аксиоме %f с h = xftl и %g ° g = %hr Та- Таким образом, %t°h = xe°h тогда и только тогда, когда /z!~/i2- Но это последнее условие выполняется тогда и только
7.5. Импликация 177 тогда, когда существует изострелка k, удовлетворяющая ра- равенству hi = k = h2. Поэтому из существования стрелки k следует h«hx*'k = h°h2, т. е. (f[\h)=k = g[\h. Отсюда f(]h = g[\h. Это рассуждение обратимо и из f(]hc^gf\h следует Л,~Л2- Пункт B) непосредственно вытекает из A). П Следствие, f Л h s g т. и т. т. xf n g ° h = Xf ° h. Доказательство. ff)h^g т. и т. т. (f f]h)(]gc^f (] h т. и т. т. (ff\ g)[\ h~f[\h (общерешеточное свойство) т. и т. т. xfflg°h = %f°h (лемма 1). П Теорема 1. Для любых f, g и h из Suh(d) A) tlS=ffrgT.tlT.T.f[\h?=g, B) f s g т. и т. т. C) fsgT. и т. т. Доказательство. A) Рассмотрим диаграмму Граница этой диаграммы коммутативна по определению под- объекта f&g. Нижний квадрат декартов по определению нм- пликацпн. Поэтому существует стрелка /, для которой вся диа- диаграмма будет коммутативна. Тогда по лемме о квадратах верх- верхний квадрат декартов. План доказательства виден из следующей диаграммы: Включение h^f&g имеет место тогда и только тогда, когда существует стрелка k: c->-{a\$> b), для которой верхний тре- треугольник коммутативен. Так как квадрат этой диаграммы
178 Гл. 7. Алгебра подобъектов лекартов, то такая стрелка k существует тогда и только тогда, когда композиция <хь %g} ° h пропускается через е. По свойству универсальности е как уравнителя последнее выполняется тогда и только тогда, когда имеет место равенство рп - <х/, х?> э о k = г\ о <xf, %g) c h, т. е. %f°h. — xfns°h. Но в силу следствия из леммы 1 это последнее равенство справедливо тогда п только тогда, когда f(]h^g. B) Предположим, что f s g. Тогда для произвольного h из Sub(d) имеют место включения f[\h<=f^g. Отсюда в силу доказанного п. A) вытекает ftsf^g. Ввиду произвольности h это включение означает, что f& g является единицей \d в Sub(d), т. е. f^>g^1d. Обратно, если /Ё>? —1d, то f*~f\$g. Поэтому ff]f^g,T.e.f^g. C) Так как ¦/, =trued, то по определению операции t> из B) вытекает C). П Упражнение. Дать категорное доказательство п. B), исполь- используя следствие теоремы 1 из § 7.2 и диаграмму Следствие теоремы 1. A) t B) Доказательство. A) Из 1 d s 1 d, Od S 1 d, 0d = 0d no n. B) теоремы 1 вытекают изоморфизмы п. A) настоящего следствия. B) Так как ]d\=> 0d s Ut=> Od, то по п. A) теоремы 1 полу- получаем 1dfl(b Ё>Оа)? Od, т. е. 1dE>0d^0d. Так как 0fi — наи- наименьший в Sub(d) подобъект, то 1 d ^ Od ^^: Od- D В множестве всех подмножеств !?(D) множества D множе- множество А |=> В равно —Л LJS (почему?). Аналогичное утверждение. для произвольного топоса, вообще говоря, не справедливо. В то- посе М2, как и в любом топосе, T|=>T^1q в Sub(Q) (по п. B) теоремы 1). В то же время —Т U Т = _L U Т = = Т U !_ и, как мы видели в § 7.2, Т U 1 cfc 1Ц в М2. Чтобы найти условия, при которых операция \^> может быть выражена через У и —, нам потребуется следующая лемма,
7.5. Импликация 179 Лемма 2. A) Если элементы тип произвольной решетки удовлетворяют условиям A) л'Е пг т. и т. т. апхЕ^, (ii) xt= п т. и т. т. а п хе= b для любого х, то m = п. B) В булевой алгебре x^(a'llb) т. и т. т. апхЕ^. Поэтому, если пг удовлетворяет (i) п. A) для любого элемента х, то m = a' U Ь. Доказательство. A) Упражнение для читателя (ис- (использовать mt=m). B) Заметим сначала, что если xE^z, то ynx^ynz для произвольных х, у, z. Далее, в любой булевой алгебре имеют место равенства an(a'u6) = (ana')u(un6) = 0u(anft) = an6. Поэтому, если х^(а'ub), то anxEan(a'Lift) = an6El), т. е. апх^Ь. Обратно, если onxEft, то х = Aпх) = = (а' иа)пх = (а'пл;) и (а п х) Е= а'и b. D Теорема 2. В произвольном топосе <% следующие условия эквивалентны: A) 8 булев; B) для каждого объекта d в множестве Sub(d) имеет место изоморфизм ft=> g — —f()g; C) в Sub(Q) имеет место изоморфизм f?>g — —f[}g; D) Т?> T = TU-L. Доказательство. Докажем, что из A) вытекает B). Пункт A) теоремы 1 утверждает, что в произвольной решетке Siib(d) h<= f&g т. и т. т. fПh = g. Но если Sub(d) является булевой алгеброй, то по п. B) леммы 2 h<=— ]\}g т. и т. т. \[\h<=g. По пункту A) леммы 2 отсюда следует, что f\$> g = —f \j h. Очевидно, что из B) вытекает C). Пункт D) вытекает из пункта C) в силу равенства —Т (J U Т = "!" у J_, упомянутого перед формулировкой леммы 2. Так как всегда Т ^> Т ~ 1 а , то по п. E) теоремы из § 7.3 из D) следуетA). ? Таким образом, мы видим, что в небулевых топосах опера- операция t^> непохожа на операцию булевой импликации. На что по- похожа эта операция в общем случае, мы выясним в следующей главе. Предварительно, однако, мы сделаем паузу, чтобы вос- восполнить два пробела в нашем изложении.
180 Гл. 7. Алгебра подоСгьектов 7.6. ВОСПОЛНЕНИЕ ДВУХ ПРОБЕЛОВ 1. В теореме 1 из § 6.7 были приведены таблицы поведения функций, соответствующих стрелкам r\, w, =*>, на истинностных значениях Т и _L. Теперь мы в состоянии убедиться в правиль- правильности этих таблиц. Ключевую роль здесь играет решетка Sub(l), в которой единицей является Ь, а нулем-—0ь В силу общерешеточных свойств получаем изоморфизмы 11 f) 11 — 11 и 11 R Oj c^ 0, [} 1 j ~ ~ 0i П 0i ~ 0i. Так как %h = T и x3, = 1, то и мы получаем таблицу о Т 1 т т 1 ± 1 1 Используя следствие теоремы 1 из § 7.5, мы получаем равенства и т. д., приводящие к таблице т 1 т т т ± т Упражнение. Вывести таблицу т 1 ± т т т т 1 п 2. В теореме 5 из § 5.4 утверждалось без доказательства, что всякий классический (т. е. такой, что 1 + 1 = Q) топос, в кото- котором каждый ненулевой объект непуст, является точечным. Пред- Предположим, что <§ — классический топос. Тогда по теореме из § 7.3 он является булевым. Пусть f, g: a^-b — пара различных. ^"-стрелок. Найдем элемент х: 1->-а, который различает их, т. е. такой, что f°x=?g°x. Обозначим через А: с >—>а уравни- уравнитель пары стрелок / и g, а через —h: —о—>а—дополнение h в Sub (о) (так как & булев, то дополнение существует). Тогда —с — ненулевой объект (в категории Set —с ф 0, так как / и g различны в некоторой точке из а). Действительно, если —cs^O,
Пересмотр принципа экстенсиональности 181 то —ft~Oa. Поэтому /i~ftU0a = /iU— h~\a, т. е. /г —изо- стрелка, а так как f о h = g ° п, то f — g. Поскольку в $ каждый ненулевой объект непуст, то должна существовать стрелка у: 1->-—с. Положим х равным компози- композиции —h о у. 1 ->- а. Тогда если бы f ° x = g °х, то в силу свойства универсальности уравнителя h существовала бы стрелка г: 1->-с, такая, что Ьг = х. Но последнее равенство означает коммутативность границы в диаграмме позволяя утверждать существование стрелки 1—>-0. Поэтому топос должен быть вырожденным, в противоречие с тем фактом, что с ф. 0. Таким образом, f ° х ф g ° х. 7.7. ПЕРЕСМОТР ПРИНЦИПА ЭКСТЕНСИОНАЛЬНОСТИ В главе 5 мы рассматривали свойство топоса быть точечным как категориый аналог принципа экстенсиональности для функ- функции. Этот принцип для множества означает, что множества, со- содержащие одни и те же элементы, совпадают. Это следует из того, что равенство множеств определяется с помощью отноше- отношения включения следующим образом: А = В тогда и только тогда, когда Лей и'Й^Д так как отношение A s В озна- означает, что каждый элемент множества А является элементом множества В. Определение отношения включения для множеств легко пе- переносится на произвольную категорию. Если f: a>—> d — под- объект объекта dux: \-*-d — элемент из d, то, как и в § 4.8, мы скажем, что х является элементом подобъекта f (обозна- (обозначается так: х е f), если х пропускается через f, т. е. для неко- некоторого k: 1 ->- а имеет место равенство х = / - k. 1 Теорема 1. Если f и g — произвольные элементы решетки Sub(d) произвольного топоса &, то л:<=/Г|?[ т. и т. т. хе/ и xeg.
182 Гл. 7. Алгебра подобъектов Доказательство. Пусть х пропускается через f(]g. Так как f(]g пропускается одновременно и через /, и через g, то то же самое будет справедливо для х. Обратно, пусть х е/ и jceg. Тогда х = f °k и х = g °h для некоторых элементов k: 1->-а и h: 1->-Ь. Так как внутренний квадрат диаграммы декартов, то существует стрелка t: 1 ->¦ а {] Ъ, для которой имеет место равенство f[\got = fok = x. Таким образом, t пропус- пропускает х через f П g, т. е. х е f f) g- ? Топос, в котором подобъекты определяются своими элемен- элементами, будет называться экстенсиональным, т. е. & экстенсиона- экстенсионален, если для произвольного <!Г-объекта d в Sub (с?) выполняется условие /Eg т. и т. т. для всякого х: l-»-d из х е f следует х е g. Теорема 2. Голос <? является экстенсиональным тогда и толь- только тогда, когда он точечный. Доказательство. Пусть f, g: a^b — пара параллель- параллельных <§Г-стрелок, удовлетворяющих равенству f °x = g <>х для всех х: 1->-й.чОбозначим через h: о—=> а уравнитель пары fug. Тогда если хе1„ (что имеет место для произвольного х: 1 —-а), то х е h по свойству универсальности h как уравнителя. В силу экстенсиональности топоса & получаем отсюда, что 1а = /!, т. е. h°k = \a для некоторого k. Так как [ ° h = g ° h, то, беря ком- композицию с k и принимая во внимание полученное равенство, при- приходим к равенству / = g. Обратно предположим, что & — точечный топос. Часть «только тогда» условия экстенсиональности имеет место в любой категории. Для доказательства в другую сторону предположим, что для каждого хе/ имеет место jtEg. Для того чтобы уста-
/.7. Пересмотр принципа экстенсиональности 183 новнть включение f ? g, достаточно показать, что /fig —f, т. е. %rns = %f- Так как всегда fflg^f, то из п. C) теоремы 7.5.1 следует ё, %!> = true,,. Тогда для произвольного элемента х: 1 —*- Ь имеет место ра- равенство =>- -- <yj n g, %f} э х = true,, - х, т. е. (XfngoX=>%f °x) = true (см. упражнение 3.8.3 и 4.2.3). Обе стрелки %/Пг°х и %f°A; являются истинностными значе- значениями, а так как & — двузначный топос (будучи точечным), то каждая из этих стрелок равна true или false. В силу упражне- упражнения 4.8.2, если r/f ° л: = true, то х е / и по нашему предположе- предположению xeg. Отсюда по теореме 1 хе f Пg, т. е. %f ng°х = true. В силу равенства, установленного выше, и таблицы для =>-, доказанной в § 7.6, стрелки %;as°x и 7J °х должны быть либо обе равны true, либо обе равны false. Мы показали, что параллельные стрелки %f!)g> Z/: b ^.?1 неразличимы с помощью элементов х: 1—>-Ь. Так как & — точеч- точечный топос, то %f n g = %;, что и требовалось. П Теорема 2 показывает преимущества теории топосов перед более ранним подходом Ловера из Lawvere [64] к аксиоматиза- аксиоматизации категории множеств. Его система содержала аксиому «то- чечности», но для вывода свойства экстенсиональности требо- требовался некоторый вариант аксиомы выбора (ср. гл. 12). Примечательно, что аналоги теоремы 1 для других теоре- теоретико-множественных операций, т. е. утверждения (a) хе—f тогда и только тогда, когда неверно, что х е /, (b) x^fljg тогда и только тогда, когда xef или х е g в некоторых топосах места не имеют. Возьмем, например, булев, но не двузначный топос. Простейший пример — топос Set2 пар множеств. Этот топос имеет истинностное значение х: 1—*-Q, отличное от Т и от 1. Тогда ни одна из следующих двух диа- диаграмм не коммутативна. Поэтому х^Т и х ф.—Т (так как всегда ± =—Т). Кроме того, так как топос & булев, то T~U—Т — ~1о и потому х'бТ[|—Т. Таким образом оба утверждения (а) и (Ь) ложны в этом топосе.
184 Гл. 7. Алгебра подобъектов Теорема 3. Топос & двузначен тогда и только тогда, когда утверждение (а) имеет место в каждой решетке Suh(d). Доказательство Приведенные перед формулировкой теоремы 3 рассуждения проходят в произвольном недвузначном топосе. Они показывают, что утверждение (а) ложно в решетке Sub(Q). С другой стороны, если & двузначен, то для всякого истинностного значения у: 1->Q, отличного от Т (т. е. уф Т), будет выполняться равенство ~л °у= Т (так как у=±). Ис- лользуя это, мы получаем для /: a^^d их: 1 -»-d следующее: х е — / т. и т. т. X_f°*=T (упражнение 4.8.2) т. н т. т. ~1°%f°x—T т. и т. т. %{°хфТ т. и т. т. х ф. f. ? Теорема 4. Утверждение (Ь) имеет место во всякой решетке Sub(d) топоса & тогда и только тогда, когда & удовлетворяет следующему условию: (с) для произвольных истинностных значений у: l->-Q и z: I—»-Q равенство у w z = true выполняется тогда и только тогда, когда у = true или z = true. Доказательство. Пусть (Ь) выполняется в Sub(l). Вы- Выберем /: а >—> 1 и g: b >—> 1 такими, что %f = у и %е = z. Тогда для х: 1 —>¦ 1, т. е. для х = 1 ь имеем у ^ z = Т т. и т. т. ((/иг)ох = Т т. и т. т. XfugoA:==T т. и т. т. ^Efy^ т. и т. т. xef или x^g т. и т. т. %f о х — Т или xg ° х = Т т. и т. т. у = Т или 2 = Т • Обратно, если имеет место (с), то для произвольной ре- решетки Sub (с?) получаем х е f U g т. и т. т. xfUg ох = Тт. и т. т. wo (Xf> Xg) о л- = Т т. и- т. т. ^ о (xf <¦ х, xs°x)=J т. и т. т. */f°A' = T или %g°-A: = T т. и т. т. ,vef или .veg, ? Топос, удовлетворяющий условию (с), или, что то же самое, условию (Ь), будем называть дизъюнктивным. Очевидно, что каждый двузначный топос дизъюнктивен. Однако обращение этого утверждения неверно, т. е., вообще говоря, из (Ь) не вы- вытекает (а). Категория функций Set"* имеет три истинностных значения. Следовательно, в этом топосе условие (а) не выпол-
7.7. Пересмотр принципа экстенсиональности 185 няется. Однако он удовлетворяет условию (Ь), так как для дизъюнкции мы имеем такую таблицу: т X 1 т т т т X т X X ± Т X ± в которой через х обозначен третий элемент классифицирую- классифицирующего объекта Q. Возможно, легче доказать дизъюнктивность топоса Set", если использовать другое его определение, выте- вытекающее из материала глав 9 и 10. На самом деле упражнение 4 из § 10.6 дает нам метод построения бесконечного числа дизъ- дизъюнктивных недвузначных и небулевых топосов. Теорема 5. Пусть <$ — невырожденный булев топос. Тогда & дизъюнктивен в том и только том случае, если он двузначен. Доказательство. Так как в булевом топосе f\j—fes: ~ 1 а, то для произвольного х: 1 ->¦ d имеет место х е f U — f. Поэтому, если & дизъюнктивен, то х е f или j:g—f. Однако не может быть, чтобы одновременно х е f и х е —f, так как тогда x^ff]—f~Od и 1^0, т. е. й1 вырожденный. Таким об- образом, имеет место один и только один из случаев х е —f и х е f, что приводит к двузначности топоса <§. О Упражнение. Пусть & — точечный топос и для всякого эле- элемента х из х е f следует jteg. Используя теорему 5.5.1, пока- показать, что обратный образ h монострелки g относительно f яв- является изострелкой, устанавливающей изоморфизм ff|& —f- а ПЬ * Ь Используя это, дать другое доказательство экстенсиональ- экстенсиональности произвольного точечного топоса.
Глава 8 ИНТУИЦИОНИЗМ И ЕГО ЛОГИКА Пусть те, кто придет после меня, задаются вопро- вопросом, почему я построил эти умозрительные конструк- конструкции и как их можно интерпретировать в некоторой философии; я же довольствуюсь тем, что их по- построил, будучи убежден в том, что они содействуют прояснению человеческого мышления. Л. Э. Я- Брауэр 8.1. КОНСТРУКТИВИСТСКАЯ ФИЛОСОФИЯ После того как в конце XVII в. Ньютон и Лейбниц создали дифференциальное и интегральное исчисление, довольно долго среди математиков не утихали споры и оставались расхожде- расхождения во мнениях по поводу его основных понятий. Такие понятия, как бесконечно малая величина и предел бесконечной последо- последовательности, были окутаны таинственностью, и некоторые из утверждений тех лет выглядят довольно странно с современной точки зрения (например, «величина, которая бесконечно мало возрастает или убывает, не возрастает и не убывает» (Я. Бер- нулли)). В XIX в. этот предмет стал, наконец, строго обосно- обоснованным, первоначально благодаря вкладу Коши, точно опреде- определившему понятие предела и сходимости. Затем последовала принадлежащая Вейерштрассу и др. «арифметизация матема- математического анализа», что привело к чисто алгебраической трак- трактовке системы натуральных чисел. Важным следствием этого было начало отделения анализа от физической интуиции как основания (см. доказательство Вейерштрасса существования (вопреки интуиции?) непрерывной всюду недифференцируемой функции). Это наряду с другими факторами, такими, как разви- развитие неевклидовой геометрии, внесло существенный вклад в при- признание того, что математические структуры обладают абстракт- абстрактной концептуальной реальностью, совершенно независимой от физического мира. Столь же важными в это время явились работы Дедекинда и Пеано о числовых системах. Вещественные числа строились по рациональным, рациональные — по целым, а целые — по нату- натуральным. Затем аксиомы Пеано дали абстрактное описание при- природы самих натуральных чисел. Такая редукция привела к раз- развитию идеи, что в основе всей математики должна лежать одна аксиоматическая система, которая в свою очередь должна базироваться на небольшом числе понятий и принципов. С тех пор эта концепция стала центральной в исследовании оснований математики. Свою крайнюю форму она принимает в логисти- логистическом тезисе Фреге и Рассела, что математика есть часть ло- логики v что математические истины выводимы из чисто логиче-
8.1. Конструктивистская философия 187 ских принципов. Она присутствует и в работах Гильберта, пытавшегося аксиоматизировать математику и доказать непро- непротиворечивость этой аксиоматики финитными методами. К тому времени, когда на сцене появился Кантор, было при- признано, что упоминания о бесконечности, как, например, в слу- случае «последовательности п2, стремящейся к бесконечности при п, стремящемся к бесконечности», можно рассматривать как наглядные выражения точных, хотя и сложных, утверждений; о свойствах вещественных чисел («для всякого е найдется б...» и т. д.). Теория множеств Кантора вышла за эти рамки и стала рассматривать актуальную бесконечность как объект матема- математического исследования. Бесконечная совокупность стала «вещью в себе», которая сама может быть элементом некоторой другой совокупности. Создание теории трансфинитных карди- кардинальных и ординальных чисел, арифметика которых включает операции над бесконечными множествами, распространило по- понятие числа с конечного на бесконечное. Позиция Кантора за- заключалась в том, что всякое грамматически правильное и ло- логически корректно выведенное утверждение имеет концептуаль- концептуальное значение, даже если оно выходит за рамки нашей основной интуиции о конечных числах и совокупностях. Эта теория множеств имела громадный успех, хотя и не обо- обошлось без критики. Леопольд Кронекер, известный своим вы- высказыванием: «Бог создал целые числа, все остальное—-творе- остальное—-творение человека», отрицал такие понятия, как бесконечное множе- множество и иррациональное число, считая их мистическими, а не математическими. Он утверждал, что из логической правильно- правильности теории не вытекает существование объектов ее описания. Они не имеют никакого значения, если их нельзя построить на самом деле. Как сказал Кронекер, числа и операции над ними должны быть «интуитивно обоснованы». Определения и дока- доказательства должны быть «конструктивными» в буквальном смысле этого слова. Определения должны показывать явно, как построить определяемый объект по объектам, существование которых уже установлено. В классической математике «доказа- «доказательство существования» часто состоит в установлении того, что несуществование объекта некоторого определенного вида приво- приводит к противоречию. С точки зрения конструктивиста это ни- в коей мере не есть доказательство существования, и, для того чтобы узаконить последнее, необходимо явно установить суще- существование данного объекта. Кронекер был уверен, что для нату- натуральных чисел можно найти такое обоснование, а для веще- вещественных — нет. С этой точки зрения он действительно пред- предпринял попытку переработать некоторые части математики. Концепция вещей как сущностей, построенных из уже дан- данных сущностей, выразилась также в реакции Анри Пуанкаре на парадоксы теории множеств. Его точка зрения состояла
188 Гл. 8. Интуиционизм и его логика в том, что источник противоречия — в употреблении непреди- непредикативных определений. Это — определения, включающие само- отнесенне, содержащие круг, т. е. задающие некоторый объект X при помощи множеств, существование которых зависит от са- самого объекта X. Пуанкаре считал, что такие определения недо- недопустимы и что множество не определено, пока не определен каждый из его элементов. Одна из половин парадокса Рассела (§ 1.1) состоит в констатации принадлежности R^R. Значит, с этой точки зрения определение класса R содержит круг, по- поскольку его можно точно задать лишь тогда, когда он сам уже определен. Пуанкаре считал, что математика должна разви- развиваться без использования непредикативных определений на основе системы натуральных чисел. Поэтому класс Рассела R даже и не должен возникать как объект законного изучения. При этом оказывается, что урон очень ощутим, поскольку зна- значительная часть классического анализа для вещественной чис- числовой системы связана с непредикативными определениями. Конструктивистская позиция, проявившаяся в указанных взглядах Кронекера и Пуанкаре, нашла свое наиболее смелое выражение в философии интуиционизма, пионером которой в начале этого века явился датский математик Л. Э. Я. Брауэр. Он не признавал неконструктивных рассуждений и понятия бес- бесконечных совокупностей как вещей в себе. Более того, Брауэр отрицал, что традиционная логика дает правильное представле- представление математического рассуждения. Как мы уже отмечали, в до- доказательствах существования так называемый аргумент от про- противного (а истинно, так как в противном случае возникает про- противоречие) конструктивистски неприемлем. Для Брауэра же он неприемлем как принцип рассуждения вообще. То же самое относится к закону исключенного третьего av ~a. В классическом описании истинности, представленном в гл.6, предложения всегда рассматриваются как истинные или ложные независимо от того, знаем ли мы, что имеет место на самом деле. Более того, предложение ~а считается истинным, только если ложно предложение а. Поэтому формулу «а V ~а» можно интерпретировать высказыванием «а пли истинно, или ложно», а это последнее предложение истинно в классической логике. Однако для интуициониг.та всякое утверждение представляет собой запись конструкции. Для него заявление об истинности а равноценно высказыванию: «Я выполнил (умозрительное) по- построение того, что описывается предложением а». Аналогично предложение ~а есть запись конструкции, которая показывает, что а не имеет места. С этой точки зрения закон исключенного третьего формулируется следующим образом: «либо я конструктивно доказал а, либо я конструктивно доказал ложность а».
8.1. Конструктивистская философия 189 Если мы теперь в качестве а возьмем некоторое неразре- неразрешенное утверждение типа последней теоремы Ферма, то пред- предложение av~a не истинно. Действительно, про данную тео- теорему до сих пор неизвестно, верна она или нет. Следовательно, по Брауэру мы не можем утверждать, что «а истинно» или «а ложно», пока конструктивно не установ- установлено, который из этих случаев имеет место. Высказывание, что а не истинно, подразумевает только, что в настоящий момент а не установлено конструктивно, а это не совпадает с высказы- высказыванием «ос ложно». Может быть, завтра конструкция будет най- найдена. Упоминавшийся выше тип рассуждения, приводящий к про- противоречию, можно классически формализовать тавтологией ~~<х—><х. Чтобы доказать а, мы проверяем, что а не может быть ложным, т. е. что ~~а истинно, а отсюда заключаем, что а верно. Но интуиционистская трактовка импликации со- состоит в том, что утверждение об истинности предложения a :z> p есть утверждение: «Я нашел конструкцию, применение которой к конструкции для а доставляет конструкцию для р». Но тогда установление противоречия в предположении несуществования некоторого предмета (~~а) не равноценно воспроизведению самого предмета (а). Значит, импликация ~~aaa неверна в конструктивистской интерпретации. Точка зрения Брауэра на историю логики заключается в том, что все известные логические законы были получены абстраги- абстрагированием структуры математических выводов в то время, когда ее применение ограничивалось миром конечных объектов. Впо- Впоследствии этим принципам логики приписали а priori независи- независимое существование. По этой причине они применялись во всем последующем развитии, включающем манипулирование и с бес- бесконечными множествами. Поэтому современная математика имеет основания и использует процедуры, значимые только для более ограниченной области. Чтобы достичь подлинного мате- математического знания и определить правильные способы рассуж- рассуждения, необходимо вернуться к первоисточнику математической истины. Брауэр утверждает, что этот источник находится в нашей изначальной интуиции относительно математических объектов. Согласно его воззрениям, математика есть автономная, само- самостоятельная и не зависящая от языка деятельность. Сущность этой деятельности состоит в производимых математиком актах мышления — мысленных конструкциях интуитивных систем сущ- сущностей. Язык вторичен и служит только для понимания в мате- математическом общении. Он возникает как словесная параллель математическому мышлению. Затем этот язык анализируется и отсюда развиваются формальные языки н аксиоматические системы.
190 Гл. Ь. Интуиционизм и его логика Поэтому логика анализирует структуру данного языка, па- параллельного математическому мышлению. Однако эту лингви- лингвистическую деятельность гаму по себе нельзя считать частью математики. Она выполняет определенные практические функ- функции при описании и общении, но не является предпосылкой к деятельности, создающей мысленные конструкции. Существо математики остается интуитивным, а не формальным. Отказавшись от классической математики и логики, Брауэр на их месте воздвиг свою собственную позитивную и сильную философию. Он выделил то, что им названо «двумя актами» ин- интуиционизма. Первый из этих актов, выделяющий математику как внеязыковую деятельность, представляет собой интуитивную мысленную конструкцию различения во времени одной вещи от другой. Наше четкое осознание двух состояний разума — одно следующее за другим — составляет самую суть нашего интуитив- интуитивного восприятия объектов. Второй из упомянутых актов состоит в узнавании уже завершенной конструкции, если она повторяется. Такая итерация приводит нас к бесконечно развивающейся по- последовательности. Таким образом, различая два состояния со- сознания первым актом и повторяя этот процесс вторым, мы полу- получаем линейный ряд, и последовательность натуральных чисел появляется как продукт нашей изначальной интуиции. В интуи- интуиционизме не существует таких вещей, как актуально завершен- завершенная бесконечная совокупность. Однако образование неорганичен- но развивающихся последовательностей приводит к математике потенциальной бесконечности, что воплощается в конструкциях, которые можно продолжать беспредельно, хотя они и конечны на каждом заданном шаге. На основе этих идей Брауэр и его последователи построили обширное здание конструктивной математики, которая не яв- является подсистемой классической, характеризуется чертами и понятиями,^присущими только ей, и представляет интерес для современных исследований. Подробнее об этом читатель может узнать из Heyting [66] (см. также Bishop [67] о конструктив- конструктивном подходе, даже более «жестком», чем у Брауэра). Другой вводный курс — книга Dummett [77]. 8.2. ИСЧИСЛЕНИЕ ГЕЙТИНГА В 1930 г. произошло событие, которое значительно повысило общее понимание интуиционизма. Аренд Рейтинг предложил не- некоторую аксиоматическую систему пропозициональной логики, которая, как утверждалось, порождает в качестве теорем в точ- точности высказывания, общезначимые соответственно интуициони- интуиционистской концепции истины. Эта система строится на том же языке PL, что и в гл. 6. Ее аксиомы имеют вид аксиом I—XL
8.2. Исчисление Рейтинга 191 из CL (т. е. это все аксиомы, кроме аксиомы ач~а). Правило вывода в ней одно — отделение. Эту систему мы обозначаем через IL. Конечно, интуиционист допускает формальные системы только как несовершенные инструменты для описания и сооб- сообщения знаний. Интуиционист всегда оставляет открытой воз- возможность обнаружения в процессе размышлений новых, пока еще не известных, принципов рассуждения. По Рейтингу «по- «построить формальную систему, которая бы была эквивалентна интуиционистской математике, в принципе невозможно... ни- никогда нельзя математически строго доказать, что данная аксио- аксиоматическая система охватывает все правильные методы дока- доказательств». Тем не менее исследование системы IL оказало неоценимую услугу в открытии связей между принципами интуи- интуиционизма и некоторыми аспектами топологии, теории рекурсив- рекурсивных функций и вычислимости, моделями теории множеств (фор- (форсинг), теорией пучков и в последнее время теорией категорий. Как бы мы не относились к конструктивистской позиции в математике, нет сомнений в том, что попытки Брауэра при- привели к прояснению значительной области человеческого мыш- мышления. К тавтологиям, не являющимся IL-теоремами, относятся формулы вида av ~a, ~ ~а:за, ~av ~ ~а. С другой сто- стороны, выводимы формулы вида a:z>~~a, ~~~азэ ~a и ~~(av~a). В IL ни одна из связок ~, л, V —> не выра- выражается через другие. Доказательство таких утверждений облегчается использо- использованием некоторой связанной с IL-выводимостью семантической теории — топологической, алгебраической, теоретико-множе- теоретико-множественной. Топологические аспекты интуиционистской логики были обнаружены независимо Альфредом Тарским (Tarski [38]) и Маршаллом Стоуном (Stone [37]). Они показали, что открытые множества топологического пространства образуют «алгебру множеств», операции которой удовлетворяют законам, соответствующим аксиомам системы IL. Маккинси и Тарский обратились к разработке этой темы в своих исследованиях по алгебре топологии (McK'nsey — Tarski [44, 46]). В этих рабо- работах появляются алгебры с замыканием, которые представляют собой булевы алгебры с одной дополнительной операцией, свой- свойства которой абстрагированны от операции образования замы- замыкания множества в топологическом пространстве. В каждой алгебре с замыканием имеется множество специальных элемен- элементов, допускающее операции п, и, =>-, П, которые подчиняются интуиционистским принципам. Маккинси и Тарский привлекли особое внимание к этим алгебрам, дали им независимую аксио- аксиоматизацию и назвали их алгебрами Брауэра. Впоследствии они показали (McKinsey — Tarski [48]), что класс алгебр Брауэра
192 Гл. 8- Интуиционизм и его логика характеризует систему IL точно так же, как класс булевых алгебр характеризует CL. Алгебраическая семантика Маккинси—Тарского двойствен- двойственна к использованной в § 6.5 (IL-теоремам соответствует 0, а не 1 и т. д.). Чтобы упростить сопоставление с тем, что уже изло- изложено, мы переходим к обсуждению не алгебр Брауэра, а двой- двойственных к ним алгебр Рейтинга. 8.3. АЛГЕБРЫ ГЕЙТИНГА Для определения этих алгебр необходимо распространить понятие наименьшей верхней грани с пары элементов на мно- множество элементов. Пусть Л— подмножество решетки L = (L, с=). Тогда эле- элемент j;eL называется верхней гранью для А, что обозначается через Лсх, если у ЕЕ* для всех j/еЛ. Более того, если xi=z для всякого А с= z, то х называется наименьшей верхней гранью (н. в. г.) подмножества Л. Упражнение 1. А имеет не более одной н. в. г. Упражнение 2. Определить для Л понятие н. н. г. D Элемент х называется наибольшим элементом в А, если х есть н. в. г. А, а также элемент из А. Итак, А имеет наиболь- наибольший элемент в точности тогда, когда один из элементов под- подмножества А является его н. в. г. Упражнение 3. Н. н. г. подмножества Л совпадает с наи- наибольшим элементом множества нижних граней для Л. Упражнение 4. Дать определение наименьшего элемента в л. а В решетке (??(D),^) подмножество —Л является наиболь- наибольшим элементом, не пересекающим Л. Это означает, что —А не пересекает Л, т. е. Л Л —Л = 0, и что если Л f) В = 0, то В s —Л. Это описание дополнения применимо к любой решетке, и оно иногда приводит к небулевой операции. Поэтому мы даем описанному ниже понятию несколько иное название. Если L = (L, ^) — решетка с нулем 0, а а е L — некоторый ее элемент, то элемент tei называется псевдодополнением к а в том случае, когда Ь — наибольший элемент в L, не пере- пересекающийся с а, т. е. Ь — наибольший элемент в множестве {iei: апх = 0). Если каждый элемент в L имеет псевдодо- псевдодополнение, то решетка L называется решеткой с псевдодопол- псевдодополнениями. Используя эти определения, легко проверить следующие утверждения.
8.3. Алгебра Рейтинга 193 Упражнение 5. b есть псевдодополнение к а в точности тогда, когда этот элемент удовлетворяет следующему условию: для всех .tel, xc=.b т. и т. т. an x = 0. ? Пример 1. (<?(D), е). —А есть псевдодополнение к А. Пример 2. В — (Б, ?=). В любой булевой алгебре xi=a' т. и т. т. апл=0 (ср. с упражнением 6.4.2), поэтому булево дополнение всегда является и псевдодополне- псевдодополнением. Пример 3. (LM, s). В решетке левых идеалов моноида М псевдодополнением к В будет идеал ~~iB={/n: (ош(В) = 0}. (Почему С^~1В т.ит.т. В[)С = 0?) Пример 4. (в, ?). В решетке открытых подмножеств топо- топологического пространства каждый элемент 17е0 имеет псев- псевдодополнение, а именно (—UH—внутренность дополнения —U (т. е. это наибольшее открытое подмножество в дополнении к U). Для любого открытого множества V Fs(-t/)° т. и т. т. U(]V=0. Пример 5. Sub(d). Для любого топоса в решетке Sub(d) псевдодополнением к /: а>—>d является монострелка —f: —а >—bd. Доказательство. Мы покажем, что g Е —/ т. и т. т. / П g — Od. Действительно, если gg—/, то по свойствам решетки ff|g — sf П—f^^Od (теорема 7.2.3), а потому /fig —Od. Обратно, предположим, что /("|g —Od- Тогда верхний квад- квадрат в диаграмме а > *• а 1 ^* Q декартов. Но декартов и нижний квадрат. Значит, по лемме о квадратах внешний прямоугольник декартов. Отсюда по Q-аксиоме Xf ° g = У-чь = X о \ь (упражнение 5.4.3). 7 Зак. 651
194 Гл. 8. Интуиционизм и его логика Следовательно, —. с уа- cg == — с ± о\ь = Т о \ь. Но То|„ = = Xg : 8 (Q-аксиома) и ~\ °%g = зс-f, поэтому в итоге С другой стороны, по лемме 1 из § 7.5 —f(] g — gf\ g —g\ по- поэтому g ~ —/ f] g s —/, что и требовалось доказать. П Пример 6. Ростки. Совокупность 0/~( = {[?/];: V — откры- открытое множество в /} ростков открытых множеств в точке i (ср. с определением Q в Тор(/)) есть решетка с псевдодопол- псевдодополнениями, в которой О = [0]« — росток пустого множества 0, а псевдодополнение к [?/]¦ совпадает с [(—U)°]i (т. е. эта кон- конструкция задает факторрешетку). Этим операциям соответствует истинностные функции в Тор(/). Стрелка ~~| . Й^-Q есть функция из / в I, переводящая росток открытого множества U в точке I в росток внутренно- внутренности (—UH в точке i. Стрелки дизъюнкции и конъюнкции из ЙХЙ в Й задаются в каждом слое операциями пересечения и объединения, указанными выше. ? Понятие псевдодополнения можно обобщить, заменив нуль О некоторым другим элементом b нашей решетки, что приводит к понятию псевдодополнения к а относительно Ь. Это наиболь- наибольший элемент, если таковой существует, множества {х: anx E= b Иначе говоря, псевдодополнение к а относительно Ь есть наи- наибольший такой элемент с, что апсЕ=Ь. Легко проверить, что имеет место v Упражнение 6. с есть псевдодополнение к а относительно Ь в точности тогда, когда для всех х х^с т. и т. т. aruEi. Пример 1. (^(D),s). Множество —А[]В является псевдо- псевдодополнением к А относительно В. Пример 2. В = E, ^). В любой булевой алгебре (лемма 2B) §7.5) A'cr a'u b т. и т. т. апА'Е Ь. ПримерЗ. (Lai, S). Для В =Ф- С = {от: со«(В)= ют(С)} и всех левых идеалов X X <= В =ф- С т. и т. т. В П X ? С.
8.3. Алгебра Гейтинга 195 Пример 4. (G, s). Псевдодополнением к U относительно V служит (•—U[)V)°, наибольшее открытое подмножество в —U\] V. Для любого открытого множества W Гд(-[/иК)° т. и т. т. U[\ fEV. Пример 5. Sub (d). По теореме 1 из § 7.5 h = f ?> g т. и т. т. / П h = g, а потому Ь> задает операцию относительного псевдодопол- псевдодополнения. Пример 6. Ростки. Для решетки в/~( ростков открытых множеств в точке i псевдодополнением к ростку [U]i относи- относительно [V]i служит росток [(—U\JV)°]i. Послойное задание этой операции приводит к истинностной стрелке =^: QXfi->-Q в топосе Тор(/). ? В решетке L общего вида через а =ф- Ь мы обозначаем псев- псевдодополнение к а относительно Ь, если оно существует. Если а =ф- Ь существует для любых элементов а и Ь из L, то мы гово- говорим, что L — решетка с относительными псевдодополнениями (о. п. д.). Теория решеток с о. п. д. достаточно подробно обсуждается в Rasiowa — Sikorski [63] и Rasiowa [74]. Ниже мы приводим список основных фактов о них, которые читатель может про- проверить в качестве упражнений. Упражнения Пусть L — решетка с о. п. д. Упражнение 7. L имеет единицу 1 и для каждого элемента аЕ[ выполнено равенство а =ф- а = 1. Упражнение 8. а ?= b т. и т. т. а =ф- b = 1. Упражнение 9. Ь^а =ф- Ь. Упражнение 10. ап(а=> b) = anb^ b. Упражнение 11. (а =ф- Ь) П b = Ь. Упражнение 12. (а =>¦ Ь) п (а =>- с) = а => F п с). Упражнение 13. (а =>- b) E ((а п с) =>¦ (й п с)). Упражнение 14. Если 61= с, то а =*- b ^ а => с. Упражнение 15. (а =>- 6) п F => с) = {а => с). Упражнение 16. (a=»6)n(ft=>e)E(aud)=!>c. Упражнение 17. а =^ (& =*- с) ?= (а =*- 6) =^ (а =?~ с). П 7*
196 Гл. 8. Интуиционизм и его логика Определение решетки с о. п. д. не требует наличия нуля. По определению алгебра Гейтинга (НА) есть решетка с о. п. д., обладающая нулем 0. Если Н = (Я, ^)—алгебра Гейтинга, то в ней определена операция П : Н->Н с ~~1 а = а =>¦ 0. Тогда J а есть н. в. г. множества {.v: an.v = 0}, т. е. На есть псевдо- псевдодополнение к а. Снова подробности, относящиеся к следующим ниже упраж- упражнениям, читатель может найти в Rasiowa —• Sicorski [63]. Упражнения Для любой алгебры Гейтинга Н = (Я, ^): Упражнение 18. "ll="l(a =*-a) = 0. Упражнение 19. ~!0= 1, и если ~\а — \, то а = 0. Упражнение 20. aE"l~lfl. Упражнение 21. (а => b) ^ (~l b =>¦ ~1 а). Упражнение 22. ~\ а— ~)~~\~^-а. Упражнение 23. ап~1а==0. Упражнение 24. ~\(а Lj b) = ~a п ~\ Ь. Упражнение 25. I a U ~1 Ъ Е=  (а п Ь). Упражнение 26. Ha-LlftEo^J. Упражнение 27. ~~| ~ (а и ~1а) = 1. Упражнение 28. ~ш?(а=»1)). Упражнение 29. (a=>b)n{a=>~lb) = ~\a. D Все шесть главных примеров этого параграфа являются ал- алгебрами Гейтинга. Теперь мы можем описать классифицирую- классифицирующий объект Q в случае топоса Тор(/) пучков над топологиче- топологическим пространством как топологическое расслоение на алгебры Гейтинга, заиндекенрованные при помощи /, каждая из кото- которых есть факторалгебра алгебры Гейтинга открытых мно- множеств в /. Зная теперь, что решетка Sub(d) есть алгебра Гейтинга, мы можем вернуться к утверждению из § 7.2 о дистрибутивности этой решетки. Дело в том, что каждая решетка с о. п. д. яв- является дистрибутивной. Доказательство этого факта можно найти в Rasiowa — Sikorski [63], стр. 59. Дополнение в булевой алгебре обладает следующим свой- свойством: х — (х')'.- Алгебры Гейтинга аналогичным свойством не обладают. В нашем примере М2 в Sub(Q) выполнено условие _|_ cfe. — -L, так как Т соответствует подмножеству {2} в Li, а —J_—подмножеству {2, {0}} (характер стрелки —_L равен —1 о %_!_ = —| о —1, а это функция fo из § 5.4). Так как _1_ — —Т всегда, то в Мг мы имеем Т с^ -Т. Для произвольной алгебры Гейтинга всегда справедливо включение х^~1 ~~\х, а включение ~~| ~\х^х может и не вы- выполняться (a ~~aDa не есть IL-теорема). В действитель- действительности ситуация такова:
8.3. Алгебра Рейтинга 197 Упражнение 30. Если в алгебре Рейтинга Н выполнено вклю- включение ~~; ixcj; при любом х е Я, то Н — булева алгебра, т. е. ~~\ х есть настоящее дополнение элемента, х. (Указание. Исполь- Использовать упражнение 27.) ? В CL формула а логически эквивалентна ~~а, что отра- отражается в равенстве х = н ~~\х для алгебры 2. Во внутрен- внутренней логике категории Set это означает, что диаграмма коммутативна, т. е. ~~1 ° ~l= icb. В произвольном топосе анало- аналогичная диаграмма не обязана быть коммутативной, так, напри- например, в М2 композиция i о i равна функции fa из § 6.4, перево- переводящей 2 в {0}, поэтому ~~1 о —1 Ф 1 .о Эти соображения приводят к следующему результату. Теорема 1. В любом топосе & следующие утверждения эк- эквивалентны: A) & булев. B) В Sub(Q) верно соотношение Т ~ — _L. C) -1 о-1 = 1 в. Доказательство. Из A) вытекает B). В общем слу- случае, как видно из декартова квадрата О *\ определяющего _L, J_ ("| Т = 0ц . Но если топос & булев, то _L U T~1Q (ср. с § 7.3). Поэтому Т — единственное дополне- дополнение к _L, а значит, это и есть псевдодополнение —±. Из B) вытекает C): Если Т^—_L, то %т = %-т, т- е- 1ц= Н °Хх = '"I ° П. Из C) вытекает A): Пусть f — некоторый подобъект в d. Тогда / f = п о  о Xf- Последнее равно %f, если "lo"i= 1o, откуда f — f, а тогда, согласно упражнению 30, Sub(rf) — булева алгебра. Алгебраическая семантика Пусть Н = (Я, п=) — некоторая алгебра Рейтинга (известная также как псевдобулева алгебра). Н-оценкой мы называем про- произвольную функцию вида V: Фо->-#. С помощью операций объ-
198 Гл. 8. Интуиционизм и его логика единения и, пересечения П, относительного псевдодополнения =>- и псевдодополнения ~~|, интерпретирующих связки V, /, гэ, ~, мы можем продолжить эту функцию на все формулы точно так же, как и в случае булевых алгебр из § 6.5. Предложение сс называется Н-общезначим.ым, если V(a)=l для каждой Н-оценки V. Если это справедливо для каждой алгебры Рей- Рейтинга, то предложение а называется ИА-общезначимым. Имеет место следующая характеризация: а является НА -общезначимым т. и т. т. Ни.а. Часть этого утверждения, относящаяся к корректности, состоит в проверке НА-общезначимости аксиом I—XI и того, что отде- отделение сохраняет это свойство. Для проверки последнего заме- заметим, что по упражнению 8 выше, если V(a) = V{a гэ C) = 1, то F(a)E=V(P), откуда F(C)=l. Общезначимость аксиом I—XI получается из других упражнений предыдущего раздела в сочетании с упражнением 8, например упражнение 15 для аксиомы IV, 16 для IX, 29 для XI и т. д. Полнота системы IL относительно НА -общезначимости по- получается методом из упражнения 2 § 6.5, использующим ал- алгебру Линденбаума. Отношение a~ii.p т. и т. т. Нчьа гэ р и HilP => a задает отношение эквивалентности на Ф. Алгебра Линденбаума Hil для IL есть пара (Ф/~.ч., *=), где [a]s[P] т. и т. т. h-iLa=>P- Как и в булевом случае, Hil является алгеброй Рейтинга и |а]=Мр] = [а=>р], И [а] = [~а]. Используя оценку V(a) = [а], можно показать, что Hil<x т. и т. т. Hat=a. Значит, любое НА-общезначимое предложение Нц.-общезна- чимо, а потому является IL-теоремой. Ставя в соответствие подобъекту f его характер Xf> мы полу- получаем по ?2-аксиом.е (§ 4.2) биекцию которая переносит структуру Н-алгебры с Sub (с?) на <8 {d, Q) . В действительности частичное упорядочение на последнем мно- множестве уже описано в § 7.2 (следствие теоремы 1): ir^Xg в точности тогда, когда произведение <%/, %г> пропускается че- через стрелку е: @>—>Q)<Q. Операции Рейтинга на &{d,Q) задаются при помощи истинностных стрелок. Так, операция пересечения в решетке & {d, Q) ставит в соответствие двум стрелкам f, g: d^Q стрелку f ллg = r\ • <f, g}, объединение —
8.3. Алгебра Гейтинга 199 стрелку fug = u=(/,g) и т. д. Определение операций f). U и т. д. на Sub(d) показывает, что эти две структуры с алгеб- алгебраической точки зрения одинаковы, т. е. Sub(rf) и <8 {d, Q) изоморфны как алгебры Гейтинга, а потому они имеют одни и те же общезначимые предложения. Связь между семантикой топосов и рассматриваемой тео- теорией заключается в том, что для любого топоса <% & И а т. и т. т. с?A, Q)|= а т. и т. т. Sub(l)|= а (это проливает дополнительный свет на ситуацию, описанную в теореме 2 из § 7.4). Итак, общезначимость в топосе <% равносильна НА-обще- НА-общезначимости в алгебрах Гейтинга с?A,?2) и Sub(l). Дело в том, что ^-оценка — это то же самое, что и с?A, Q) -оценка, а с?-об- щезначимость и &(\, Q)-общезначимость приводят к одному и тому же, поскольку единицей в алгебре Гейтинга ?TA,Q) является стрелка Т: 1->-?Х Это составляет основу упражне- упражнения 2 из § 6.7, а именно, Вп(/)Н« т. и т. т. (?•(/),=)(= а, так как истинностные значения в Вп(/) есть по существу под- подмножества в /. В связи с этим напомним, что истинностными значениями в Тор(/) являются по существу открытые подмно- подмножества в /, откуда следует, что Тор(/)|=а т. и т. т. (в, S)|=a, т. е. общезначимость в топосе пучков над / эквивалентна обще- общезначимости в алгебре открытых подмножеств в /. Корректность для «^-общезначимости. Если \— ц.а, то в лю- любом топосе IS имеем & |= а. Доказательство. Пусть a — некоторая IL-теорема. Тогда а НА-общезначимо, В частности, с?A, Q) \= а, откуда & |= а по предыдущему. D Упражнение 31. Привести соображения, по которым предло- предложение aV ~a общезначимо в любом двузначном топосе. ? Экспоненциалы Условие хЕ= а =>- Ъ т. и т. т. an x t= b означает, что в решетке с о. п. д., если ее рассматривать как категорию порядка, имеется биективное соответствие между стрелками х-*~ (а =ф- Ь) и апх—>-Ь (одна или ни одной стрелки в каждом случае). Это напоминает ситуацию (§ 3.16) в кате-
200 Гл. 8. Интуиционизм и его логика гории W с экспоненцированием, когда имеется биекция ^(х, Ьа)^Я?{х X «> Ь). Но с категорной точки зрения пересе- пересечение нпл' = А'па в решетке является произведением ху^а, а операция а =ф- b в решетке с о. п. д. на самом деле опреде- определяет экспоненциал Ьа. Стрелка значения ev: ЬаУ^а^>-Ь пред- представляет собой единственную стрелку (а=Ф-й) па-*~Ь, которая существует по упражнению 10 выше. Обратно, экспоненциалы определяют относительные псевдодополнения, откуда мы полу- получаем, что категорно алгебра Рейтинга есть не что иное, как декартово замкнутая конечно кополная категория порядка. Способ, которым мы ввели структуру алгебры Рейтинга на множестве Sub(d), отличается от исходного метода, описанного в Freyd [72]. Там операция Ё> получается в основной теореме при помощи достаточно сложной техники, к рассмотрению ко- которой мы еще не приступали (функторы, сохраняющие пре- пределы). При этом мы хотим установить, что Sub(d) как катего- категория порядка декартово замкнута, так как экспоненциалы за- задают о. п. д. в ч. у. множествах. Использование истинностной стрелки =ф- для определения операции ^ позволяет прийти к тому же результату более простым путем, помимо того, что при этом показывается, как логика топоса & определяет пове- поведение его подобъектов, В самом деле, по лемме 2A) из § 7.5 относительное псевдодополнение на решетке можно ввести только одним способом. Упражнение 32. Показать, что любая цепь (линейно упоря- упорядоченное множество) с наибольшим элементом 1 обладает отно- относительными псевдодополнениями, причем если рЕЕ<?> в противном случае. (Отсюда и происходит пример 2 из § 3.16.) Упражнение 33. Указать различие между, скажем, элемен- элементами T|i>T и Т=^Т в Sub(Q) (что объясняет появление специального символа \ I <7 8.4. СЕМАНТИКА КРИПКЕ В 1965 г. Саул Крипке опубликовал работу, посвященную одной новой семантике для интуиционистской логики, в которой PL-предложения интерпретируются как подмножества некото- некоторого ч. у. множества. Эта теория появилась как продолжение семантического анализа, развитого Крипке для модальной ло- логики. Вкратце, модальная логика связана с понятием необхо- необходимости и на пропозициональном уровне использует язык PL, дополненный связкой с интерпретацией «это необходимо ис- истинно». Здесь подходящими алгебраическими «моделями» слу-
8.4. Семантика Крипке 201 жат булевы алгебры с одной дополнительной операцией для этой новой связки. Имеется конкретная модальная аксиомати- аксиоматическая система, обозначаемая через S4, которая алгебраиче- алгебраически характеризуется классом алгебр с замыканием. Маккинси и Тарский (McKjnsey — Tarski [48]), используя этот факт, раз- разработали перевод PL-предложений в модальные, при котором IL-теоремы соответствуют 54-теоремам. Механизм этого пере- перевода в свете моделей Крипке для S4 приводит к новым фор- формальным «значениям» для IL-предложений. Одна из привлекательных черт этой новой теории состоит в том, что ее структуры помимо того, что они вообще удобнее по сравнению с алгебраическими, имеют неформальную интер- интерпретацию, согласующуюся с интуиционистской точкой зрения на природу общезначимости. В последней истинности свой- свойственна временная обусловленность. Предложение не истинно и не ложно per se, как в классической логике, а является тако- таковым лишь в определенные моменты времени, т. е. в те моменты, когда оно конструктивно определено. Теперь каждый момент времени ассоциируется со специфическим состоянием, или уров- уровнем, знаний. Он заключает в себе все факты, которые были конструктивно установлены к данному моменту времени. Тогда истинные предложения являются таковыми с точки зрения су- существующего уровня знания. Поэтому мы говорим тогда об «истинности на определенной стадии» или «истинности на опре- определенном уровне знаний». Совокупность всех уровней знания упорядочена временным!,' свойствами. Говорят, что один из уровней наступает позже другого по времени. Предположение, истинное на определенной стадии, будет истинным и на более поздних (т. е. в будущем). Это воплощает идею о том, что конструктивное знание, будучи однажды получено, сохраняется навсегда. Если предложение а доказано, то в дальнейшем нельзя показать, что а ложно. Заметим теперь, что временное упорядочение уровней есть частичное упорядочение, не обязательно линейное. Рассматри- Рассматриваемые уровни не должны всегда следовать один за другим в линейном порядке, потому что они представляют собой воз- возможные уровни знания, а не только те, которые действительно встречаются. Так, в настоящий момент мы можем взглянуть в будущее и рассматривать два возможных уровня знания: один, при котором доказана истинность теоремы Ферма, и другой, при котором установлена ее ложность. Эти уровни не совме- совместимы друг с другом, а поэтому с точки зрения «постоянства истинности во времени» они не связаны нашим упорядочением уровней. Мы не можем перейти от настоящего к одному из них, а затем к другому. Значит, в целом совокупность возможных уровней знания, упорядоченных по времени, образует ч. у. множество. Каждое
202 Гл. 8. Интуиционизм и его логика предложение соответствует специальному подмножеству в этом ч. у. множестве, состоящему из тех уровней, на которых данное предложение истинно. В силу постоянства истинности во вре- времени это множество должно обладать следующим свойством: если некоторый уровень принадлежит данному множеству, то и все более поздние по сравнению с ним уровни принадлежат данному множеству. Запомнив все это, мы переходим к фор- формальным деталям семантики Крипке. Пусть Р = (Р,с=) — ч. у. множество (также называемое шкалой в нашей ситуации). Множество ЛеР называется на- наследственным в Р, если оно замкнуто при движении «вверх» относительно ЕЕ, т. е. если из реЛ и рЕ=9 следует q^A. Совокупность всех наследственных подмножеств в Р мы обо- обозначаем через Р+. По определению ^-оценка есть функция V: Фо->-Р+, ставящая в соответствие каждой пропозициональ- пропозициональной букве яг некоторое наследственное подмножество V(n<)sP. Моделью со шкалой Р называется пара Ж = (Р, V), где V — некоторая Р-оценка. Это понятие является формальным во- воплощением интуитивных идей, бегло изложенных выше. Р есть совокупность уровней знания с упорядочением «по времени» ЕЕ; V(m)— множество уровней знания, на которых щ истинно. Тре- Требование наследственности для множества У(я,-) формализует постоянство истинности во времени. Теперь мы продолжим на все предложения понятие истинности на определенном уровне. Выражение «Ж |= ра» читается как «а истинно в М на уровне р» и определяется индуктивно следующим образом: A) Л \= рл,- т. и т. т. р (= У(я,-); B) Л \= рал |3 т. и т. т. Л \= ра и Л \= рр; C) JC \= ?а V р т. и т. т. Л \= ра или Л f== pp; D) Л \= Р~ а т. и т. т. для всех q с рЕ Ц неверно, что Ж \= И «а; E) Л \= Ра zd ft т. и т. т. для всех q с рЕ= q, если Л \= ?&. то Ж \= «р. Итак, на уровне р предложение ~а истинно, если а не уста- установлено ни на каком другом последующем уровне, а предложе- предложение а :э р истинно, если р истинно на каждом из более поздних уровней, на которых истинно а. Про предложение а говорят, что оно истинно (выполняется) в модели Л (обозначают это через Л\=а), если Л \= ра для любого реА Предложение а называется общезначимым в шкале Р, Р |= а, если а истинно в любой модели Л = (Р, V) со шкалой Р. «Л &Рос»—сокращение выражения «неверно, что М |= Ра». Аналогичное значение имеет «Р &а».
НА. Семантика Крипке 203 Пример. Возьмем в качестве Р ч. у. множество 2 = = ({0,1}, =?0 (как обычно, 0^1). Пусть V — такая оценка, что У(я)={1} (наследственное подмножество). Тогда для Ж — B, V) по A) Ж&ол Но Ж\= in и 0 ^ 1, откуда по D) Л^0~л. Значит, по C) Ж t^onV~n, а потому в этой шкале закон исключенного третьего необщезначим. Отметим также, что Ж'&х'-'п, откуда Ж \= о~ ~л. Так как 0^0, то по E) Jt&o~~nzDn, откуда 2 ^ -~ ~ я 1Э я. Обозначим через ^#(а) множество уровней, для которых а истинно в Ж, т. е. J({a)= {p: ,Ж\=ра}. Тогда семантические предложения A), B) и C) переписываются в следующем виде: (Г) Uf(jt/)= V(m), B') M{ats$)=Jl(a)[\Jl{$), C') М{аЧ§) = М{а)[)Ж{$). Чтобы переписать предложения D) и E), мы положим для на- наследственных множеств S, Т —\S = {р: q ф S для всех q с p^q} и S =ф- Т = {р: для всех q с p^q, если ^eS, to деГ}. Тогда D') лГ(~а)= E') иГ(о=эР) ) Конечно, эти обозначения не случайны. Объединение и пересе- пересечение двух наследственных множеств снова наследственно, а потому ч. у. множество Р"г = (Р+, ^) наследственных мно- множеств, упорядоченных по включению, является (ограниченной дистрибутивной) решеткой, пересечения и объединения в кото- которой задаются соответствующими теоретико-множественными операциями Л и U- В действительности решетка Р+ является алгеброй Рейтинга, в которой S =$» Т есть псевдодополнение к S относительно Т. Для всех наследственных множеств U U<=S=>T т. и т. т. S П U ? Т, а псевдодополнение для S совпадает с (все это мы оставляем читателю в качестве упражнения). Теперь Р-оценку V: Фо->-Р+ со шкалой Р можно также определить как Р+-оценку для алгебры Рейтинга Р+. Исполь- Используя операции П. U, 1 и =>-, мы можем обычным способом про- продолжить ее и получить элементы V(a) из Р+. Но V также за- задаст модель J?' = (P, V), а потому и множество Ж (а) для каждого предложения а. Используя оба списка предыдущих семантических правил, мы получаем, что J?(a)= V{a) для лю- любого предложения а. Значит. Ж \= а т. и т. т. Л (а) = Р т. и т. т. V(a) = Р.
204 Гл. 8. Интуиционизм и его логика Но множество Р является единицей в решетке Р+, а так как эти рассуждения верны при любой оценке V, то для любого а Р 1= а т. и т. т. Р+1= а, т. е. общезначимость в смысле Крипке со шкалой Р равносильна общезначимости в алгебре Гейтинга Р+. Это помогает в про- проверке основной теоремы об общезначимости в шкале. Для про- произвольного предложения ос hn.a т. и т. т. а общезначимо в любой шкале. Относительно части этого утверждения, касающейся коррект- корректности, заметим, что если г-ц.а, то а НА -общезначимо, а по- потому Р+ \= ос для любого ч. у. множества Р, откуда Р \= а. Один из способов доказательства полноты сводит алгебры Гей- Гейтинга к шкалам, используя теорию представлений Стоуна (Stone [37]). Первоначальное доказательство Крипке основы- основывалось на технике «семантических таблиц». Еще один подход опирается на методы, впервые введенные в классической логике Леоном Генкином (Henkin [49]). Впоследствии они были раз- развиты, и мы сейчас вкратце их опишем. Отметим, прежде всего, что если р — некоторый элемент мо- модели Ж, то множество предложений Гр = {а: Ж\=ра), истин- истинных в М на уровне р, обладает следующими свойствами: (i) если '— il.cc, то a e Гр (корректность); (ii) если г—п.асгр и аеГр, то РеГр (замкнутость отно- относительно отделения); (ш) имеется по крайней мере одно предложение а, такое, что a ^ Гр (непротиворечивость); (iv) если a vр е ГР, то аеГр или реГр («простота» Гр). Гр можно было бы назвать уровневым описанием. Это множе- множество описывает уровень р выделением тех предложений, кото- которые истинны на уровне р. Множество Г с= Ф, обладающее этими четырьмя свойствами, мы называем полным. В общем случае всякое полное множество можно трактовать как уровневое опи- описание, а именно описание того уровня, на котором все элементы из Г истинны, а истинность элементов не из Г не установлена. Это приводит нас' к канонической шкале для системы IL, являю- являющейся ч. у. множеством где Pil — совокупность всех полных множеств, а = — обычное отношение включения. Канонической моделью системы IL мы называем модель Ж\ь = (Pil, Vil), для которой VIL(Jt,)= {Г: я„еГ} — множество всех полных множеств, содержащих элемент я,.
8.4. Семантика Крипке 205 Используя некоторые факты о IL-выводимости и свойства полных множеств, можно проверить с помощью индукции, что для любых а и Г •^il h г а т. и т. т. а е Г. Чтобы получить отсюда требуемую теорему о полноте, необ- необходим еще один результат: Лемма Линденбаума. i— ilcx тогда и только тогда, когда а принадлежит каждому полному множеству. Отсюда мы заключаем, что i—ILCX Т. И Т. Т. Ж\ь Н «• Значит, Ьilcs т. и т. т. Pil \= а, откуда вытекает теорема о полноте. (Отсюда также вытекает характеризация из гл. 10 класса общезначимых в топосе пред- предложений.) Одно из больших преимуществ семантики Крипке состоит в том, что общезначимость предложений в ней определяется простыми условиями на шкалы. Например, для ч. у. множества > I если V(ni)={l}, а У(л2)={2}, то тавтология (Я11эл2O (я2=эя1) не истиииа в 0. Заметим, что эта шкала не является линейно упорядоченной. В действительности можно показать, что Р \= (а => Р) V(p =э а) т. и т. т. Р — слабо линейное ч. у. множество, т. е. если р*~Ц и р^г, то либо q^r, либо r^q. Добавление аксиомы (а :э {*) v(P=>a) к IL приводит к изве- известной системе LC, впервые исследованной Майклом Дамметом (Dummett [59]). Можно приспособить к этой ситуации метод канонической шкалы и показать, что LC-теоремы есть в точ- точности предложения, общезначимые для всех слабо линейных шкал. Упражнение 1. Показать, что Р \= av ~ос т. и т. т. Р — дис- дискретное ч. у. множество, т. е. р? q т. и т. т. р = q. Упражнение 2. Р \= ~av ~ ~a т. и т. т. Р — направленное ч. у. множество, т. е. если р= q и ре г, то существует элемент s c7E=SHEEs
206 Гл. 8. Интуиционизм и его логика Упражнение 3. Построить модели, в которых предложения вида аэр и ~ocv p имеют разные истинностные значения. Про- Провести аналогичное построение для предложений вида a vP и ~ (~аЛ ~Р). Упражнение 4. Выражение «2\=а» из гл. 6 означает, что «предложение а общезначимо для булевой алгебры 2= {0, 1}». Показать, что это равносильно общезначимости в смысле Крипке на дискретной шкале 2 = {0, 1}, но отлично от обще- общезначимости на недискретной шкале B, ^) с 0^ 1. ? Семантика Крипке тесно связана с топологической интерпре- интерпретацией интуиционизма. Для любой шкалы Р совокупность Р+ на- наследственных множеств наделяет ее топологией (и достаточно специальной, поскольку пересечение любого семейства откры- открытых (наследственных) множеств открыто). Упражнение 5. Показать, что алгебра Р+ есть алгебра от- открытых множеств для только что описанной топологии, т. е. IS совпадает с внутренностью (—SH подмножества —S, иначе говоря, с наибольшим наследственным подмножеством в —S, a S =ф- Т совпадает с (—S(jn°, наибольшим наслед- наследственным подмножеством в —S [} Т. ? Этот последний параграф является достаточно беглым обзо- обзором того, что в действительности представляет собой довольно обширную теорию. Подробности легко почерпнуть в соответ- соответствующей литературе, например в работах Segerberg [68], Fitting [69] и Thomason [68]. Модели Бета Хотя, как оказалось, семантика Крипке — самый удобный инструмент в решении многих вопросов интуиционистской ло- логики, тем не менее существует еще одна родственная теория Эверта Бета (Beth [56, 59]), которая в некоторых приложениях (ср. с van Dalen [78]) более полезна. Основные идеи теории моделей Бета можно объяснить, модифицируя семантические правила, изложенные в этом параграфе для моделей Крипке. Путем через точку р в ч. у. множестве Р называется содер- содержащее р подмножество А в Р, которое линейно упорядоченно (т. е. <?i=r или ге=<? для любых q, г^А), но не расширяется до большего линейно упорядоченного подмножества в Р. Барье- Барьером для р называют подмножество В в Р, такое, что каждый путь через р пересекает В. Интуитивно, если Р представляет собой возможные уровни знания, которые могут быть достиг- достигнуты математиком в процессе исследований, то пути представ- представляют собой законченные ряды исследований. Барьером для р
8.4. Семантика Крипке 207 тогда является всякое множество возможных уровней, неиз- неизбежных для любого ряда исследований, который включает р, т. е. любой такой ряд должен приводить к некоторому уровню из В. Связки Л, ~ и о интерпретируются в моделях Бета точно так же, как и в теории Крипке. Однако для пропозициональных букв и дизъюнкции соответствующие пункты таковы: Л \= pTii т. и т. т. для р существует барьер В сВе V{ni), Ж \= pCtV р т. и т. т. для р существует барьер В с М \= да или Ж Н <?Р для каждого q е В. Дальнейшие обсуждения моделей Бета в связи с семантикой Крипке читатель найдет в статье Крипке и в Dummett [77].
Глава 9 ФУНКТОРЫ Следует отметить прежде всего, что само понятие категории носит в сущности вспомогательный харак- характер. Наши основные понятия — это фактически по- понятия функтора н естественного преобразования. С. Эйленберг и С. Маклейн 9.1. ПОНЯТИЕ ФУНКТОРА Функтор — это отображение из одной категории в другую, сохраняющее категорную структуру. Как видно из приведенного выше высказывания родоначальников теории категорий, понятие функтора — одно из самых существенных в этой теории. Перво- Первоначальные представления уже несколько изменились, по край- крайней мере для целей данной книги функторы не более важны, чем сами категории. Действительно, пригодность понятия топоса на роль основания математики основывается на том, что его можно определить, не упоминая о функторах. Однако теперь мы уже находимся на такой стадии, когда игнорировать их больше не- невозможно. Они обеспечивают необходимый язык для описания связи между топосами и моделями Крипке и между топосами и моделями теории множеств. Функтором F из категории ЯЯ в категорию 3) называется функция, ставящая в соответствие (i) каждому "^-объекту о некоторый ^-объект F(a); (ii) каждой ^-стрелке /: а-+Ь ^-стрелку F(f), F(a)-+F(b), такая, что (a) F(U) — 1f(u) для каждого ^-объекта а, т. е. единичной стрелке, соответствующей объекту а, сопоставляется единичная стрелка, соответствующая объекту F(a); (b) F(gof) = F(g) °F{f) для любых g и /, для которых определена композиция g ; f. Последнее условие означает, что f-образ композиции двух стрелок является композицией их F-образов, т. е. всякий раз, когда диаграмма
9.1. Понятие функтора 209 коммутативна в Я>>, соответствующая диаграмма НО F(c) коммутативна в 3). Для того чтобы выразить тот факт, что F есть функтор из ф в 3), будем писать F: <&->*2) или &-—> SD. Таким образом, функтор — это отображение, сохраняющее опе- операции dom и cod, а также единичные стрелки и композиции. Пример 1. Тождественный функтор \ >: ty^-ff определяется правилами 1 % (а) = а, 1 у (/) = /. Эти же правила задают функ- функтор включения Ф^*3> в случае, когда ?? — подкатегория в 3). Пример 2. Пренебрегающий функтор. Пусть <& — какая-ни- какая-нибудь категория из списка § 2.3, например <& = Тор. Тогда 'Э'-объектами служат множества, несущие некоторую дополни- дополнительную структуру. Пренебрегающий функтор U: ^-^Set ста- ставит в соответствие каждому ^-объекту его несущее множество, а каждой ^-стрелке — саму эту стрелку. Таким образом, U пре- пренебрегает структурой ^-объектов, т. е. «забывает» ее и «по- «помнит» только, что '«Р-стрелки являются теоретико-множествен- теоретико-множественными функциями. Пример 3. Функтор степени 3>: Set-^-Set ставит в соответ- соответствие каждому множеству А его множество-степень ^(А), а каждой функции f: Л^-В —функцию 9й(f): ^>{A)^-^>(B), переводящую любое подмножество ХеЛ в его f-образ /Wb " Пример 4. Пусть Р и Q — категории порядка. Тогда функтор F: P->-Q — это просто функция F: P-*-Q, являющаяся монотон- монотонной, т. е. такая, что если p^q в Р, то F(p)^ F(q) в Q. Частный случай этого примера получится, если рассматривать множе- множества-степени как ч. у. множества (&(А), Е). Для данной функ- функции [: Л —<- В и произвольных подмножеств X и Y в А из того, что IeF, следует f(X)sf{Y). Таким образом, функция 9°{f): 5Э(Л)-^^'(В) сама является функтором между соответ- соответствующими категориями (порядка). Пример 5. Гомоморфизмы моноидов. Функтор между монои- моноидами (М,«,е) и (N, П,е'), рассматриваемыми как однообъект- ные категории, является по существу гомоморфизмом моноидов, т. е. функцией F: M—>-N, такой, что F(e) = e', F(x*y) = F(x)D F{y).
210 Гл. 9. Функторы Пример 6. Если категория & имеет произведения, то каждый" объект а определяет функтор — Хй: Ф-^Ф, сопоставляющий каждому объекту Ь объект Ь X о. и каждой стрелке /: Ъ —>- с — стрелку f X la: b~X а-^сХа. Пример 7. hom-функторы. Каждый ^-объект а определяет функтор Ф(а,—): ^—>-Set, который ставит в соответствие объ- объекту Ъ множество <&'{а,Ь) всех ^-стрелок из а в Ь, а каждой ^-стрелке /: &-> с —функцию ^{а,}): ^{а, b)-+W(a, с), пере- переводящую |с в / ¦> g, с Название hom-функтор происходит от слова «homomorphism», которое используют иногда вместо термина «стрелка» (arrow). Совокупность ??(a, b) — hom,(a, b) называется hom-множе- ством. hom-функтор определен, только когда hom-множества кате- категории Я? малые, т. е. настоящие множества, а не собственные классы. ? Контравариантные функторы Функторы, которые мы до сих пор рассматривали, назы- называются также ковариантными функторами. Они сохраняют на- направление стрелок, т. е. начало переходит в начало, а конец — в конец. Контравариантный функтор меняет направление, ото- отображая начало в конец и наоборот. Таким образом, контравариантный функтор F: Я$^>-3) ста- ставит в соответствие стрелке /: а—>-Ь стрелку F(f): F(b)-+- F(a) так, что F(\a) = 1f(a), как и раньше, но теперь т. е. коммутативная диаграмма ¦Г переходит в такую коммутативную диаграмму Ftf)
9.1. Понятие функтора 211 Пример 8. Контравариантный функтор между категориями порядка представляет собой антитонную функцию F: P—>-Q, т. е. такую функцию, что из р != g в Р следует F{q)^F{p) в Q. Пример 9. Контравариантный функтор степени <Р: Set-*- —- Set ставит в соответствие каждому множеству А его множе- множество-степень ?Р(А), а каждой функции f: A-+B — функцию &{f): ^>{В)->-^>{А), переводящую подмножество Х^В в его прообраз fl{X)A Пример 10. Контравариантный hom-функтор %?(—, й): &—*¦ -*- Set, ассоциированный с фиксированным объектом а, ставит в соответствие объекту b множество Я>>{Ъ, а), а ^-стрелке /: Ь-+с — функцию $?(/, а): ^{с, а)^>~(§'(Ь, а), переводящую g а Пример 11. Функтор Sub: Ч?—¦«-Set ставит в соответствие каждому ^-объекту а совокупность Sub (а) всех его подобъек- тов, а каждой '«Р-стрелке f: a-^b — функцию Sub(f): SubF)^- —>-Sub(a), которая переводит стрелку g: c>—>b в стрелку h: d>—> а, получающуюся из g подъемом вдоль /. Конечно, эта конструкция возможна, только если Я? имеет обратные образы Функтор Sub является обобщением функтора из примера 9. ? Упражнение. Убедиться, что определенные в примерах 1 —11 отображения действительно являются функторами. ? Слово «функтор» будет в дальнейшем всегда означать «ко- варнантный функтор». В принципе контравариантный функтор F: <&-*-&) может быть заменен ковариантным функтором F: <&°р^Я), где F{a)= F{a) и для стрелки /ор: b-^'а из ^ор (здесь /: а^-b — произвольная стрелка из категории 9)
212 Гл. 9. Функторы ¦ F(f°p) = F(f): F{b)-*-F(a). Мы не будем рассматривать контра- вариантные функторы вплоть до гл. 14. Для данных функторов F: ^->^> и G: Sb-^T их компози- композиция как функций дает снова функтор G°F: W-*-&~. Эта опера- операция ассоциативна Таким образом, мы можем рассматривать функторы как стрелки между категориями. Категорию Cat всех категорий, объектами которой являются категории, а стрелками — функторы, мы вос- воспринимаем интуитивно. Единичными стрелками в ней являются тождественные функторы из примера 1. В связи с рассмотрением категории Cat встают фундамен- фундаментальные проблемы. Категория Set не должна быть элементом класса Cat-объектов (если мы хотим считать, что Cat-объекты образуют класс), так как Set как совокупность является соб- собственным классом и не является членом никакой совокупности. Более того, вопрос «Является ли Cat Cat-объектом?» подводит нас вплотную к парадоксу Рассела. Вообще категория Cat по- понимается как категория малых категорий, т. е. таких категорий, для которых совокупность всех стрелок образует множество. Дальнейшее обсуждение затронутых вопросов можно найти в Hatcher [68], гл. 8 (ср. также статью Ловера (Lawvere [66]) о категории Cat как основании для математики). 9.2. ЕСТЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Введением функторов между категориями, первоначально определенными как совокупности объектов и стрелок, мы под- поднялись на новую ступень абстракции, рассматривая теперь ка- категории как объекты с функторами между ними в качестве стрелок. Читателям сейчас предлагается подняться еще на одну ступень абстракции, так как мы будем рассматривать сами функторы как объекты! Для данных категорий W и 3) мы построим категорию, обо- обозначаемую через Funct(^, &)) или ЗЬ", объектами которой яв- являются функторы из f в 2). Теперь надо дать определение стрелки из одного функтора в другой. Рассматривая функторы F: 'ё'^-ЗУ и G: ^?-»-ib, мы будем считать, что они дают различ- различные «изображения» категории 93 в 3). Удачное интуитивное представление о «преобразовании» F в G можно получить, если вообразить себе попытку «наложения» или «сдвига» F-изобра- женпя на G-изображение с помощью стрелок категории 3). Такой сдвиг можно осуществить, ставя в соответствие каждому ^-объекту а ^-стрелку, начинающуюся в ^-образе объекта а и заканчивающуюся в G-образе объекта а. Обозначим эту стрелку через та. Таким образом, ха: F'(a)-*- G(а). Для того
9.2. Естественные преобразования 213 чтобы этот процесс сдвига или преобразования «сохранял струк- структуру», потребуем, чтобы диаграмма F(a) F(f) G(a) G(f) G{b) возникающая для каждой стрелки /: a-*-b, была коммутативна. Итак, та и %ь представляют категорный способ преобразования F-изображения стрелки /: й ->- 6 в ее G-пзображение. Суммируя, можно сказать, что естественное преобразование функтора F: Ч?-*¦??) в функтор G: ЯЗ-+3) — это функция т, ста- ставящая в соответствие каждому ^-объекту а ^-стрелку та' F(a)->- G(a) так, что для любой ^-стрелки /: а-*-Ь приведен- приведенная выше диаграмма коммутативна в 3), т. е. Xb°F(f)= G(f) о о та. Будем использовать обозначения т: F —г> G или F-I^G, чтобы указать на то, что т — естественное преобразование F в G. Стрелки та называются компонентами преобразования т. Если оказывается, что все компоненты ха являются изо- стрелками, то это можно интерпретировать так: «F- и G-изобра- жения категории W в 3) одинаковы». Будем называть естествен- естественное преобразование т в этом случае естественным изоморфиз- изоморфизмом. Тогда каждая стрелка ха. F(a)-*-G(a) имеет обратную стрелку т: G(a)-^F(a) и эти стрелки т можно рассматри- рассматривать как компоненты естественного изоморфизма т~': G~r+F. Будем обозначать естественный изоморфизм через т: F з? G. Пример 1. Тождественное естественное преобразование 1F; F—^*- F сопоставляет каждому объекту а единичную стрелку 1f(a>: F{a)-*-F(a). Ясно, что такая функция является естествен- естественным изоморфизмом. Пример 2. В § 3.4 был определен изоморфизм Л^ЛХ1 для каждого Set-объекта. Этот изоморфизм является естествен- естественным. Это означает, что если рассмотреть функтор —XI: Set^- ->¦ Set, определенный в примере 6 предыдущего параграфа, то для каждой Set-стрелки /: А-*-В диаграмма А В xid, У В XI коммутативна, где т4 (х) = <jc, 0> ( т. е. т., = <id.4, U» и анало- гично определяется тв. Левая сторона квадрата представляет
214 Гл. 9. Функторы собой образ стрелки / при тождественном функторе. Таким об- образом, бпекции та являются компонентами естественного изо- изоморфизма т функтора 1Set в функтор —XI- Пример 3. В категории Set мы имеем изоморфизм ЛХВ = ^ВХЛ, даваемый отображением twB: ЛХВ->-?ХЛ, где iws(<x, у}) = {у, х}. Для каждого Set-объекта А аналогично тому, как определялся функтор правого умножения —ХЛ: Set-> Set, можно определить функтор левого умножения ЛХ—• Set-»-Set, ставящий в соответствие множеству В мно- множество ЛХВ и функции /: В-*-С—-функцию 1л X/: -4ХВ-*- ->ЛХС Тогда для произвольной Set-стрелки /: В-^-С диа- диаграмма В АХВ iv>B>BxA С Ах С "С>СМ коммутативна, что доказывает, что биекции twB являются ком- компонентами естественного изоморфизма функтора ЛХ— в функ- функтор —ХЛ. ? Эквивалентность категорий Что значит, что две категории одинаковы? Один из возмож- возможных ответов состоит в том, что они изоморфны как объекты в Cat. Будем называть функтор F: W-^-З) изофунктором, если он имеет обратный функтор, т. е. такой функтор G: ЗУ^-'fe, что G°f = I» и FoG = \@. Будем называть категории ^ и SD изоморфными^ и писать %? ^ 2), если существует изофунктор Приведенное определение «одинаковости» строже, чем это необходимо. Если F имеет обратный функтор G, то для ^-объ- ^-объекта а справедливо равенство а = G(F(a)), а для ^-объекта Ь—равенство b = F(G(b)). С точки зрения основного категор- ного принципа неразличимости изоморфных вещей мы могли бы считать "g? и 3) «в сущности одинаковыми», если а ^ G(F(a)) в 'F и b ^ F(G{b)) в 3). Другими словами, <<Р и Ф должны быть категорно эквивалентными, если они «изоморфны с точ- точностью до изоморфизма». Последнее означает, что изомор- изоморфизмы а-у G(F(a)) в b->- F(G(b)) являются естественными. Таким образом, функтор F: Ф -*-<?) называется эквивалент- эквивалентностью категорий, если существует функтор G: 3)-+ЧЗ и есте- естественные изоморфизмы т: 1 f ^ G=F но: I j s f » G тождествен- тождественного функтора на Ч? в композицию функторов G?F и тожде- тождественного функтора на 3) в функтор F ° G.
9.2. Естественные преобразования 215 Категории называются эквивалентными, W — 2D, если суще- существует эквивалентность F: W-+3). Пример. Finord ~ Finset. Пусть F: Finord <=¦ Finset — функ- функтор включения. Для каждого конечного множества X опреде- определим G(X):=n, где п — число элементов в X. Для каждого X пусть та обозначает биекцию множества X на G(X), а в случае, когда X — ординал, то та — тождественная функция на X. Для произвольной функции /: X->Y положим G (f) = xY ° f °т^' Тогда G является функтором из Finset в Finord. Так как диаграмма X —*— F(G{X)) / Y —^ F(d(Y)) коммутативна (по определению G), то отображения тх являются компонентами естественного изоморфизма т: l-*-F°G. Кроме того, функтор G о F — тождественный функтор на Finord. ? Понятие эквивалентности категорий можно пояснить, пе- перейдя к скелетальным категориям. Напомним (см. § 3.4), что это категории, в которых изоморфные объекты равны, т. е. если а'. э* Ь, то а = Ь. Категория Finord скелетальна, так как изо- изоморфные конечные множества имеют одно и то же число эле- элементов. Скелетом категории W называется полная подкатегория Wq категории W, являющаяся скелетальной и такая, что для каждого 'й'-объекта существует изоморфный ему ^о-объект. Ка- Категория Finord является скелетом категории Finset. Вообще скелет Wo категории W отражает всю существенную категорную структуру категории W. Категории Wo и W эквивалентны. Экви- Эквивалентность обеспечивается функтором включения Wo^-W, что можно показать методом последнего примера. Всякая категория W имеет скелет. Отношение изоморф- ности разбивает Ф-объекты на классы эквивалентности. Выбе- Выберем по одному объекту из каждого класса эквивалентности и положим категорию Wo равной полной подкатегории катего- категории W, классом объектов которой является совокупность всех выбранных представителей. Wo-—скелет категории W. (По по- поводу законности таких процессов выбора в теории множеств см. гл. 12.) Эквивалентность категорий можно выразить теперь следующим образом: категории W и 3) эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют изоморфные скелеты {W^3) т. и т. т. Wo = 3>o)-
216 Гл. 9. Функторы Таким образом, эквивалентные категории — это категорно «в сущности одинаковые» категории. Отметим, что эквивалентные категории не обязаны находиться в биективном соответствии друг с другом н вообще быть сравнимыми по величине. Сово- Совокупность конечных ординалов — малая категория, т. е. множе- множество, отождествляемое с множеством натуральных чисел, в то время как объекты категории Finset образуют собственный класс (так как он, например, содержит {х} для каждого мно- множества х). Упражнение 1. Произвольные два скелета данной категории изоморфны. Упражнение 2. В любом топосе <S для каждого объекта d существует биекция Sub(d)^&(d, Q), определенная в § 4.2. Показать, что эти биекции (при изменяющемся d) образуют естественный изоморфизм функторов Sub: <!?->-Set и Ж'(—, Q): «?->Set (функториальная формулировка Q-аксиомы). 9.3. КАТЕГОРИИ ФУНКТОРОВ Продолжим определение категории 3)^ всех функторов из 93 в 3), начатое в § 9.2. Пусть F, G, Я —функторы из <& в 3) и т: F—r+G, a; G—r*H — естественные преобразования функторов. Тогда для произвольной ^-стрелки /: а->6 возни- возникает диаграмма Мы хотим определить естественное преобразование, являющееся композицией о°т преобразований т и о. Из диаграммы видно, как это сделать. Для каждого а положим (о о%)а = аа ° ха- Так как оба квадрата, этой диаграммы коммутативны, то и внешний прямоугольник коммутативен, т. е. (о ° т)ь ° F(f) — H(f) о (о о -т)а. Таким образом, стрелки (ст°т)а служат компонентами естественного преобразования а о т: F—г* Н. Так определяется операция композиции в категории ЗУ6 функторов. Для каждого функтора F: W^>-3) тождественное преобразование 1F: F —.-*¦ F .(см. пример 1 из § 9.2) является единичной стрелкой на 3)'-объ- 3)'-объекте F. Упражнение 1. Естественные изоморфизмы и только они яв- являются изострелками в 3*
9.3. Категории функторов 217 Упражнение 2. Пусть С и D — множества, рассматриваемые как дискретные категории, содержащие только единичные стрелки. Показать, что для функторов F, G: C-+D существова- существование естественного преобразования F —.-*¦ G эквивалентно равен- равенству F — G и что категория Dc функторов есть просто множе- множество всех функций C-+D. Упражнение 3. Если т: F —г>- G мономорфно в Set1, то для каждого а ха мономорфно в Set. ? Различные топосы, построенные в гл. 4, могут быть по- построены как категории «Set-значных функторов» следующим образом. A) Set2. Множество 2 = {0, 1} является дискретной катего- категорией. Функтор F: 2->Set сопоставляет множество Fo объекту О и множество F\—объекту 1. Так как F как функтор должен сохранять единичные стрелки, а категория 2 имеет только еди- единичные стрелки, то можно отождествить F с парой (Fo, ^i>. Та- Таким образом, функторы 2->- Set являются в сущности объектами категории Set2 пар множеств. Далее, для двух таких функторов F и G, отождествленных с парами (Fo,F\} и <G0, Gi> соответ- соответственно, естественное преобразование т: F~t^G имеет две ком- компоненты т0: Fo-*-G0 и Ть fi-*-Gi. Можно отождествить т с па- парой <то, xi>, являющейся не чем иным, как 8е12-стрелкой из <^о,^> в <Ge, Gi>. B) Set^. Рассмотрим категорию 2 = {0, 1} с одной нееди- неединичной стрелкой 0->-1. Функтор F: 2—>-Set определяется мно- множествами FQ, Fi и функцией /: F0-^F\. Таким образом, F — это «в сущности» стрелка / категории Set, т. е. объект из категории Set^. Если G — другой такой функтор, определяемый функцией g: Go^-Gi, то естественное преобразование т: F—7+G имеет такие компоненты то и Ть что диаграмма коммутативна. Таким образом, т, отождествленное с парой <то, Ti>, является стрелкой из f в g категории Set~*. Таким обра- образом, последняя категория «представляет собой» категорию Set2 функторов из 2 в Set. C) M-Set. Пусть М = (М, *, е) — произвольный моноид. М-множество — это пара (Х,К), где X—-множество, а X — функция, сопоставляющая каждому m е М функцию %т: Х-*-Х так, что выполняются следующие условия: (i) %e = id* и (ll) Am ° Лр = Ат*р-
218 Гл. 9. Функторы Моноид М определяет категорию с одним объектом, скажем М, стрелками служат элементы m множества М, операция •::- яв- является операцией композиции, а е — единичной стрелкой. Тогда функцию К можно рассматривать как функтор л: M->Set, та- такой, что л(М) = Х для единственного объекта категории М, и Цт)=лт для каждой стрелки т. Условия (i) и (п) выра- выражают тогда, что К — функтор. Для любого другого функтора |д: М—>-Set, такого, что yi(M)= У, естественное преобразование т: Я-^ц ставит в соответствие объекту М функцию f: X-^-Y, для которой диаграмма М м коммутативна при каждом теЖ. Но это в точности означает, что / — эквивариантное отображение из (X, К) в (Y, ц). Таким образом, категорию M-Set можно отождествить с категорией Setм функторов из М в Set. D) Вп(/). Если рассматривать множество / как дискретную категорию, то функтор F: /—>-Set, сопоставляющий каждому i е / множество Pi, можно отождествить с семейством {Ft: ie/} множеств, заиндексированных множеством /. Объект (X, f) из Вп(/) (т. е. функция /: Х^*-1) определяет функтор f: /^Set, такой, что f{i) равно /~'({0)> т- е- слою над L Произвольная стрелка Л: (X, /)->(F, g) является функцией, отображающей f-слой над i в g-слой над i. Поэтому она опре- определяет функцию he f{i)-^g{i), являющуюся сужением h на множество f{i). Эти функции /г,- служат компонентами естествен- естественного преобразования h: f —:*¦ g. Таким образом, каждое рас- расслоение над / определяет функтор из / в Set. Обращение этой конструкции возможно, если все множества Fi попарно не пе- пересекаются. Поэтому для данного функтора F: /->Set опреде- определим новый функтор F: /—>-Set, полагая F(i) = F@X {i}> a за" тем преобразуем семейство {F{i): ie/} в расслоение над /. Так как ^(i)= -^(OX {i}, то функторы F и F естественно изо- изоморфны. В итоге получается, что переход от (X, f) к f является эквивалентностью категорий. Категория Вп(/) расслоений над 1 эквивалентна категории Set' Set-значных функторов, опреде- определенных на /. О Приведенные четыре примера иллюстрируют конструкцию, снабжающую нас самыми разнообразными топосами, а именно:
9.3. Категории функторов 219> для произвольной малой категории <& категория Set' функ- функторов является топосолп Мы посвятим остаток этой главы описанию строения катего- категории Set*. Конечный объект В Setr им является постоянный функтор 1: ^—>-Set, ставя- щий в соответствие каждому ^-объекту одноэлементное мно- множество {0}, а каждой ^-стрелке — тождественное отображение на {0}. Для произвольного функтора F: <<P—>-Set существует единственная Set'-стрелка F~r*-l, состоящая из единственных функций !: /7(а)-> {0} для каждого 'й'-объекта а. Обратный образ Обратный образ определяется «покомпонентно», как и все пределы и копределы в Setг. Пусть т: F—т+Н и a: G~r*H — произвольные естественные преобразования. Для каждого ¦^-объекта а построим обратный образ К(а) F(a) ^— Ща) в Set компонент ха и аа- Сопоставляя объекту а объект К(а)г получаем функтор К'- ^?->Set, ставящий в соответствие ^-стрел- ^-стрелке f: a-^b единственную стрелку K(f): K(a)-*-K(b), получае- получаемую по свойству универсальности переднего декартового квад- квадрата «кубической» диаграммы
220 Гл. 9. Функторы Стрелки ао и Мл являются компонентами естественных преобра- преобразований X1 К -t*F и ц: К -~^ G, а диаграмма н будет декартовым квадратом в Упражнение 4. Определить произведение FXG: «g'-^-Set двух объектов в Set'5'. ? Классификатор подобъектов Для его определения нам понадобится новое понятие. Для данного ^-объекта а обозначим через Sa совокупность всех ^-стрелок, начинающихся в а, т. е. Sa = {/: dom/ = a} (Sa является классом объектов относительной категории 9!?\а объектов над а, определенной в гл. 3). Заметим, что множество Sa замкнуто относительно левого умножения, т. е. если f: a-*-b, [eSa, g: b-*-c — произвольная "^-стрелка, то g ° f e Sa Корешетом на а или а-корешетом называется всякое подмно- подмножество S множества Sa, замкнутое относительно левого умно- умножения, т. е. такое, что если / е S, то j»/ е S. Для всякого объ- объекта а существует по крайней мере два a-корешета Sa и 0 (пустое корешето). Пример 1. В дискретной категории имеем Sa={1a}; мно- множества Sa и 0 являются единственными а-корешетами. Пример 2. В категории 2 с единственной неединичной стрел- стрелкой f: 0->-l существуют три корешета на 0, а именно 0, So = = {W} и {/}. Пример 3. В однообъектной категории (моноиде) М коре- корешета на М — это в точности левые идеалы в М. ?
9.3. Категории функторов 221 Определим теперь классифицирующий объект Q: 'g'^Set. Положим Q(a)= {S: S есть а-корешето}. Для произвольной ^-стрелки f: a->-b пусть Q(f): Q(a)-*-Q(b) обозначает функцию, сопоставляющую a-корешету S 6-коре- шето {Ь—>-с: g°/eS} (почему это множество является коре- шетом?) Так, для категории SetM множество Q(M) равно множеству Lm левых идеалов в М, а для стрелки ш: М-+-М функция п(т): L.v^Lm ставит в соответствие левому идеалу S' множе- множество {л: n*me5} =w(m,S). Таким образом, Q оказывается действием ш моноида М на LM- Определим в Set*" стрелку Т:1 —^ О, как естественное пре- преобразование с компонентами Та: {0} —>-fi(a), задаваемыми равенством Ta@)—«Sa, т. е. Та@) равно наибольшему коре- шету на а. Так определенная стрелка Т является классифика- классификатором в Set*". Докажем это. Предположим, что т: F-^ G ¦—мо- ¦—монострелка в Set*". Тогда для каждого 'й'-объекта а компонента та: F{a)-*- G{a) является мономорфной в Set стрелкой (см. уп- упражнение 3). Будем считать, что эта компонента на самом деле — включение F{a) <-*¦ G(a). Характеристическая стрелка 3(т: G -^-*- Q подобъекта т должна быть естественным преобразо- преобразованием, каждая компонента (%х)а которого является теоретико- множественной функцией из G(a) в Q(a). Функция (%х)а сопо- сопоставляет каждому x^G(a) некоторое a-корешето iix)a(x). Надо определить, какие стрелки /: а ->- 6, начинающиеся из объекта а, принадлежат множеству (х-с)а(х). Для каждой стрелки f: a-*¦ b мы имеем коммутативную диаграмму 1 G(a) Я/) G(f) ¦так что F(f) является ограничением G(f) на F(a). Зачислим /' в множество {ix)a{x), если и только если G(f) переводит х в F(b), см. рис. 9.1. (Ср. это определение с соответствующим определением из §4.4 для топоса Set^.) Таким образом, (^т)а(х)= = {/': a-^b: G(f) (x)^F(b)}. В более общем случае, когда т0 не обязательно является функцией включения, положим Ы« (*) = {а "^ Ь: G (f) (х) е= xb (F (Ь))} =-- = {а—*¦ Ь: существует y^F(b), такое, что G (f) (х) = г b (у)}. Упражнение 5. Проверить, что множество (%х)а(х) является корешетом и что выполняется Q-аксиома (см. § 10.3).
222 Гл. 9. Функторы Показать, что " в —S, a S Gia1 Упражнение 6. Убедиться, что это определение классифика- классификатора дает классификаторы для Set2, Set^ и Вп(/), построенные в гл. 4. Упражнение 7. Пусть S произвольное а-корешето. Определим функтор S: ^ —^ Set, полагая 5{b) = S [) 9{а, Ь). Показать, что включения S(b) <-* W(a, b) являются компонентами мономорф- ной 8е^-стрелки S>—r*(&{a, —). Показать, что а-корешета находятся в биективном соответствии с подобъектами hom- функтора ^(а,—), рассматриваемого как объект категории Set5. Упражнение 8. Показать, что для каждого ^-объекта а ч. у. множество (Q(a),S) является алгеброй Рейтинга, в которой. f ? I S = {а—*¦ b: g ° f ф S для всякой стрелки b—>• с}, S=>T = {f: для всякого g из g°f^S следует gof^T}. S — наибольшее корешето на а, содержащееся Т — наибольшее а-корешето, содержащееся в — S U Т. ? Понятие, двойственное к корешету, есть а-решето. Таким образом, а-ре- шето — это совокупность стрелок с концом в а, замкнутая относительно правого умножения. Решета исполь- используются для доказательства того, что категория контравариантных функ- функторов из ^ в Set является топосом. Этот тип функторов естественно воз- возникает в теории пучков, и работа Гро- тендика и др. [SG.44] написана в тер- терминах решет. Мы остановились на корешетах потому, что они соответствуют соглашениям, при- принятым для семантик Крипке. Решета будут рассматриваться в гл. 14. Экспоненцирование в Set8" Пусть F: ^^-Stt — произвольный функтор. Для каждого ^-объекта а определим пренебрегающий функтор Fa'- 9\a-> ->¦ Set, ставящий в соответствие стрелке /: а-ь-b множество F(b), а стрелке h: f-*-g, такой, что диаграмма а Рис. 9.1. коммутативна, — функцию F(h).
9.3. Категории функторов 223 Для данных функторов F, G: 'g'-^Set определим функтор GF: W-^Set. Положим GF(a) = Nat [Fa,Ga], где Nat [Fa, Ga] — совокупность всех естественных преобразова- преобразований функтора Fa в функтор Ga- Для стрелки k: a-^d пусть GF(k) — функция из Nat[FaGa] в Nat[Fa, Gd], сопоставляющая естественному преобразованию т: Fa -r-*- Ga преобразование т': Fd —т* Gd, компонента т' которого для произвольного ^jd-объекта / определяется равенством T.' = Tfofe, Пример. Пусть F и G — функторы вида 2->-Set, т. е. Setr*- объекты f: A-+B и g: C-*-D. Так как 2f 1 —дискретная одно- объектная категория, то F\ можно отождествить с F(l)=B и подобным же образом G\ — с D. Поэтому где DB — множество всех функций B-*-D. Так как категория 2 f 0 изоморфна самой категории 2, то можно считать, что Fo и Go совпадают с F и G соответственно. Тогда т. е. GF@) равно множеству Е всех Set -стрелок из / в g. На- Наконец, GF ставит в соответствие стрелке !: 0->1 функцию g1: E^-DB, определенную следующим образом. Для данного т: F—t+G, соответствующего Set^-стрелке <то, xi> из f в g, естественное преобразование Gh' (т): i7, —г*-G| имеет единствен- единственную компоненту, равную т\, так как категория 2f 1 имеет один объект 11. Таким образом, g! ({то, Ti>) = Ti и эта запутанная конструкция приводит к построению экспоненциала в Set . ? Мы должны еще определить стрелку значенияev: GFy, F —т* —> G в категории Set*". Каждая ее компонента evo: GF(a)X. X F(a)^r G(a) вычисляется по формуле eva((x, x)) = tiq(x), где
224 Гл. 9. Функторы — произвольный элемент множества F (а), а те ^GF(a) — произвольное преобразование Fa—r>-Ga (заметим, что компонента т\ , определяемая "S'f а-объектом 1а, является функцией из F(a) в G(a)). Далее, для каждой Set^-стрелки т: Н Y^F —т* G компоненты экспоненциально присоединенного преобразования т: H —т+ GF являются функциями вида ra: H(a)-*-GF(a). Для каждого у^Н(а) ха{у) обозначает естественное преоб- преобразование Fa~r*Ga. Для каждого "Э^а-объекта /: а-*-Ь компо- компонента естественного преобразования та(у), соответствующая f, является функцией из F(b) в G(b), переводящей x^F(b) в Тб«Я(/)(г/),х» (заметим, что xb: H(b)X F(b)-^G(b) (/)() Читатель, имеющий склонность к таким вещам, может про- проверить все детали этого построения и связать его с построением экспоненциалов в JW-Set, Bn(/) и т. д. Нам будет нужно только описание объектов-степеней в специальном топосе для моделей Крипке в гл. 11. Нас главным образом будет интересовать клас- классификатор подобъеъктов в категориях Set-значных функторов.
Глава 10 ТЕОРЕТИНО-МНОЖЕСТВЕННЫЕ НОНЦЕПТЫ И ОБЩЕЗНАЧИМОСТЬ ...естественное и полезное обобщение теории мно- множеств, которое рассматривает множества, находя- находящиеся во внутреннем развитии. Ф. У. Ловер 10.1. ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫЕ КОНЦЕПТЫ Мы видели в гл. 1, что высказывание ф(х) об индивидах х определяет некоторое множество, а именно множество {х: ф(х)} всех индивидов, для которых это высказывание истинно. Со- Согласно представлениям конструктивизма, вкратце изложенным в гл. 8, истина не есть нечто, приписываемое высказыванию аб- абсолютно, она выступает скорее как некоторое свойство, «зави- «зависящее от контекста». Истинностное значение предложения за- зависит от уровня знания в то время, когда оно рассматривается. В свете этого мы можем считать, что высказывание ф(х) не определяет множество per se, а определяет для каждого уровня знания р совокупность ФР = {х: известно, что на уровне р верно ф(х)}. Эта совокупность фр будет называться объемом ф на уровне р. Таким образом, для данной шкалы Р уровней знания сопо- сопоставление уровню р множества фр определяет функцию P-»-Set. Более того, если истинность сохраняется во времени, то из того, что хо е Фр и р != q, вытекает, что х0 е ф„. Поэтому (*) если p<=q, то фр Е ф,. Таким образом, ф определяет функтор P-vSet, сопоставляю- сопоставляющий каждой стрелке p—>-q из Р функцию включения фр с-» ф„. Пример. Пусть ф(х) обозначает высказывание «х есть нату- натуральное число, большее двух, и не существует ненулевых нату- натуральных чисел а, Ь, с, удовлетворяющих равенству ах + Ьх = = сх». Знаменитая «последняя теорема» Ферма утверждает, что высказывание ф(х) верно для каждого натурального числа х > 2. В настоящий момент не известно, истинно ли это утвер- утверждение, хотя и известно, что ф(х) истинно для всех х ^ 25 000. Пока «теорема» Ферма не доказана и не опровергнута, можно ожидать, что объем ф будет возрастать со временем. Итак, выражению ф соответствует объект в категории функ- функторов Setp. Такой объект можно было бы назвать, вслед за Ловером (Lawvere [75, 76]), изменяющимся множеством. Мы 8 Зак. 651
226 Гл. 10. Теоретико-множественные концепты и общезначимость могли бы также назвать его интенсиональным множеством или теоретико-множественным концептом. Эта терминология идет от семантических теорий типа теории, выдвинутой Рудольфом Карнапом (Сагпар [47]). В таких теориях экстенсионал, или объем, выражения является реальной вещью или совокупностью вещей, которые оно выделяет. Интенсионал же— нечто более иллюзорное. Иногда его рассматривают как смысл выражения. Карнап (Сагпар [47], стр. 41) определяет интенсионал данного выражения как «выражаемый им индивидуальный концепт». Так, например, если в качестве ф(х) взять высказывание «х есть конечный ординал», то его интенсионалом служит смысл (концепт) понятия конечного ординала. Этот концепт представ- представляется функтором, сопоставляющим каждому р множество ин- индивидов, про которые известно на уровне р, что они — конечные ординалы. Можно также сказать, что этот функтор представ- представляет концепт множества конечных ординалов. Таким образом, мы строим Setp как категорию концептов множеств. При таком представлении возникают определенные трудно- трудности. Рассмотрим, например, выражение «наименьший неконеч- неконечный ординал». Его концепт (т. е. смысл) совершенно отличен от концепта «множества конечных ординалов», хотя оба выраже- выражения имеют один и тот же экстенсионал (объем), так как мно- множество конечных ординалов является наименьшим неконечным ординалом. Таким образом, два различных концепта могли бы быть представлены в Setp одним и тем же объектом, т. е. Setp не точно представляет все концепты (в качестве примера можно рассмотреть более простые выражения «2 плюс 2» и «2 раза по 2»). Другая трудность связана с обоснованием приведенного выше принципа (*). Это обоснование оказалось бы просто не- неверным в случае, когда х0 само является экстенсионалом (объ- (объемом) некоторого теоретико-множественного концепта, т. е. в случае, когда х0 = i|)P для некоторого выражения ty{x). Рас- Рассмотрим в качестве ц>(х) высказывание «х = {у: ty(y)}». Тогда фр = {г|5р}, т. е. фр равно множеству с единственным элементом ¦фр = хо, а ф,= {tyq} и, если if>p ф tyg, то х0ф-qv Таким обра- образом, можно утверждать только, что если г|)р е фр, то tyq е ф„. Возможно, нам следует заменить функцию включения из (*) отображением, переводящим элемент из фр в соответствующий ему элемент из ф„. Тогда выражение ф еще определяло бы функ- функтор. К несчастью, это соответствие многозначно: Хо может также быть объемом некоторого другого выражения Q(x) (т. е. х0 = = чрр = 9Р), а на уровне q объем выражения Q(x) отличен от объема выражения ij>(x) (т. е. ч|5? ф Э?). Несмотря на указанные трудности, понятие теоретико-мно- теоретико-множественного концепта все же удачно отражает понимание объ- объектов категории Setp и соответствует представлению о Setp
10.2. Алгебры Рейтинга, порожденные множеством Р 227 как об универсуме обобщенной «неэкстенсиональной» теории множеств. Исследование Setp поможет прояснить трудные с философской точки зрения понятия «индивидуальный концепт» и «интенсиональный объект» (по поводу трудностей, связанных с этими понятиями, см. Scott [70i]). Конечно, понятие изменяющейся структуры математически важно. Концепт системы окрестностей представляют себе как сопоставление каждой точке топологического пространства мно- множества ее окрестностей. Концепт касательного пространства представляется как сопоставление каждой точке многообразия пространства векторов, касательного в этой точке. В этой главе мы предлагаем глубже заглянуть в структуру топоса Setp и, в частности, в природу его истинностных стрелок. Логика изменяющихся элементов является интуиционистской — вот вывод, к которому мы придем. 10.2. АЛГЕБРЫ ГЕЙТИНГА, ПОРОЖДЕННЫЕ МНОЖЕСТВОМ Р Пусть Р = (Р, ^)— ч. у. множество. Для каждого реР положим [р)= {q- P^q}, т. е. [р) равно множеству Р-элементов, лежащих «выше» р в смысле порядка с=. Если ^е[р) и <? Е= г, то ге[р) по тран- транзитивности отношения t=. Таким образом, [р) является наслед- наследственным множеством в Р ([р)еР+), Оно будет называться главным ^-наследственным множеством, порожденным элемен- элементом р. Главные множества очень удобны для описания струк- структуры алгебры Рейтинга Р+, как видно из следующих упраж- упражнений. Упражнения (См. § 8.4 по поводу обозначений.) Упражнение 1. Для любого S = P из [p)^S следует p^S. Упражнение 2. р ^ q т. и т. т. [q) S [р). Упражнение 3. Для произвольного множества S ^ Р сле- следующие условия эквивалентны: (i) S является Р-наследственным множеством; (п) р б S т. и т. т. [р) ^ S для любого р е Р; (iii) для всякого р е Р из р е S следует [р) ^ S. Упражнение 4. Для произвольных множеств S, ГеР+ спра- справедливы равенства =0}. П
228 Гл. 10. Теоретико-множественные концепты и общезначимость Отношение =, ограниченное на множество [р), является от- отношением частичного порядка, так что мы имеем ч. у. множе- множество ([р),^) и совокупность [р)+, состоящую из всех наслед- наследственных в [р) множеств. Далее, если q^[p), то главное мно- множество [q)p, порожденное в [р) элементом q, удовлетворяет равенствам [Ч)р={г. г€=[р) и <7=г}= В силу упражнения 2 оно равно [q). Другими словами, главное множество, порожденное q в Р, — то же самое, что и главное множество, порожденное q ъ [р), т. е. [q)=[q)p. Отсюда полу- получается следующая связь между Р+ и [р)+. Для произвольного подмножества S в Р положим 5Р = 5П[р)= {д: qeESn p = g). Теорема 1. A) Если S = [p), то S = Sp и SeE[p)+ т. и т. т. SeP+. B) Если S <ее Р+ то Sp <= [р)+. C) Т е [р)+ т. и т. т. Т = Sp для некоторого S e P+. D) Если S е Р+, то S = U {Sp: ревР}. Доказательство. A) Ясно, что если S?[p), то S = = S П [р) ¦ Более того, в силу п. (III) упражнения 3 Se[p)+ т. и т. т. из q^S следует [q)p^S. С другой стороны, SeP+т. н т. т. из q e S следует [q) S 5. Но так как S s[p), то из q e S следует [q)p = [q). B) Поскольку [р)е Р+, то из 5 е Р+ следует, что Sf|[p)^ е Р+, т.е. Sp е Р-ь. Так как Sp s [p), то это утверждение выте- вытекает из п. (\)\ C) Упражнение. D) Надо показать, что ^eS т. и т. т. q е 5Р = S П [р) для некоторого р. Так как всегда Sp s S, то одна импликация доказываемой экви- эквивалентности очевидна. Обратно, если q ^ S и S наследственно, то <7^[<7)sS, так что gsSfllf?), т. е. мы доказали заключение рассматриваемой импликации при р = q. ? Нам известно из § 8.4, что ч. у. множество ([р)+, е) на- наследственных подмножеств в [р), упорядоченное по включе- включению, является алгеброй Гейтинга (на самом деле [р) + — под- прямо неразложимая алгебра Гейтинга — информация для чи- читателя, знакомого с такими вещами). Решеточное пересечение ПР и решеточное объединение Up этого ч. у. множества являются
10.3. Классификатор подобъектов в Set1* 229 просто операциями П и U теоретико-множественного пересече- пересечения и объединения. Псевдодополнение — р: [р) + -*-[р)+ опре- определяется равенством -nPS={<7: qf=[p) и [?) = — S}, а относительное псевдодополнение =>р: [р) + Х[р) + -*"[р) + — ра- равенством S=>PT = {q: qf=[p) и St][q)P=T}, где S и Т — произвольные элементы из [р)+. Для произволь- произвольного S <= Р можно сначала релятивизовать S к [р), т. е. обра- образовать Sp, а затем применить ~\ р, либо сначала применить ~i к S, а потом релятивизовать. Эти две процедуры оказы- оказываются перестановочными для Р-наследственного множества S. Вообще справедлива следующая теорема. Теорема 2. Пусть S, Г е Р+ произвольны. Тогда A) (SP)C[P(TP) = (SC\T)P; B) (SP)[)P{TP) = (S\)T)P, C) ~]p(Sp) = (^S)p; D) {SP)=>P(TP) = (S=>T)P. Доказательство. A) Упражнение. B) SPUpTp = SPUTP = {St][p))U{T{][p)) = (SUT) П [P) = = (S[)T)P. C) Так как [q) = [q)p при рЕ?,то -i,(Sp)={<7: ?e[p) и [<?)s-S} = D) Упражнение. П Алгебраически подготовленный читатель заметит, что тео- теорема 2 утверждает, что функция, ставящая в соответствие мно- множеству S множество Sp, является гомоморфизмом алгебры Рей- Рейтинга Р+ в алгебру Рейтинга [р)+. По п. C) теоремы 1 этот го- гомоморфизм сюръективен. 10.3. КЛАССИФИКАТОР ПОДОБЪЕКТОВ В Setp Так как категория Set^" является топосом для произвольной малой категории *§\ то, в частности, Setp тоже топос. Определе- Определение классификатора подобъектов, данное в § 9.3 для категории Set% оказывается выразимым в случае, когда 9 = Р, в терми- терминах алгебр Рейтинга вида [р)+. Согласно § 9.3, для функтора Q: P->Set множество Q(p) равно множеству всех р-корешет. Всякое р-корешето есть некоторое подмножество S множества Рр = {/: Для некоторого q стрелка р—*¦ q принадлежит Р},
230 Гл. 10. Теоретико-множественные концепты и общезначимость замкнутое относительно левого умножения, т. е. если feS, a g: q-*-r — произвольная Р-стрелка, то g°f^S. Так как Р — категория предпорядка, то стрелка из р в q существует тогда и только тогда, когда р |= q, и такая стрелка всего одна. По- Поэтому для фиксированного р мы можем отождествить стрелку f: р -> q с ее концом q. Тогда множество Рр превращается в множество {q: рЕ=<7}=[р), а описание S как р-корешета принимает такой вид: если q e S и <7 Е= г, то г е S, т. е. S [р)-наследственно. Таким образом, Q(p) = [p) + — совокупность наследственных подмножеств в [р). Вообще для произвольного функтора F: P->Set обозначим через Fp значение F(p) функтора F на объекте р. Для любых q е и р, таких, что p*=q, функтор F опреде- определяет функцию из Fp в Fq, которую мы обозначим через Fpq. Функтор F можно рассматривать как семейство {Fp: p e е Р} множеств, заиндексированных эле- элементами из Р и снабженных отображе- отображениями перехода Fpq: Fp-+Fq при РЕ=<7. В частности, Fpp — тождественная функ- функция на Fp. Применяя описанную выше моди- модификацию к функтору Q, определен- Рис. 10.1. ному в § 9.3, получаем, что для р и q, таких, что рс^, функция Qpq: Qp-> ¦Qq сопоставляет каждому Se[p)+ множество S|~][9)s [q)+, т. е. Конечным объектом категории Setp служит постоянный функ- функтор 1: P->Set, определяемый условиями 1Р = {0} для р^Р и \pq = id {о} при рЕ?. Классификатором подобъектов true: 1->Q является естественное преобразование, р-я компонента которого truep: {0}->Qp определяется равенством truep(O) = = [р). Таким образом, функция true выбирает наибольший эле- элемент из каждой алгебры Рейтинга вида [р)+. Пусть теперь т: F >-r> G — произвольный подобъект Setp объекта G. Тогда каждая компонента тр инъективна и можно считать ее функцией включения Fp<-+ Gp. Опять, модифицируя определение из § 9.3, получаем, что р-я компонента {%х)р' Gp-> ->[р)+ характеристической стрелки %t: G->Q определяется ра- равенством (%r)p{x)={q: P^q n Gpq{x)eEFq} для каждого х е Gp. (См. рис. 10.1.)
10.3. Классификатор подобъектов в Setp 231 Упражнение 1. Показать, что множество {%%)Р(х) наслед- наследственно в [р). Упражнение 2. Показать, что определенная выше функция %х является естественным преобразованием функтора G в функ- функтор Q, т. е. что диаграмма коммутативна всякий раз, когда p^q. ? Заметим, что если х е Fp, то для произвольного q^[p) мы имеем Gpq(x)= Fpq(x)^Fq ввиду коммутативности диаграммы р 9» >¦¦ О, Таким образом, (%i)P(x) = [p) для х е Fp. С другой стороны, если x<?Fp, то Gpp(x) = хф. Fp. Поэтому рф.(%х)р(х) и (%х)р{х)ф [р). В результате получаем, что FP={x: ЫР(х) = [р)}^«0,х>: (%х)р(х)= truep(O)}, т. е. квадрат Щ> trueP в категории Set является декартовым. Так как это справедливо для любого р, то квадрат
232 Гл. 10. Теоретико-множественные концепты а общезначимость будет декартовым в Setp. Проверка оставшейся части Q-акси- омы несколько труднее. Пусть естественное преобразование cr: G>—г*- Q таково, что квадрат 1« true 4 true Л декартов. Тогда для каждого q будем иметь декартов квадрат F ~—* G Это означает, что (*) Fq={x: aq(x)=[q)}. Для произвольного р, такого, что РЕЕ <?> диаграмма Ор коммутативна. Поэтому ?е(ЦМ т. и т. т. Gpq{x)^Fq, т. и т. т. oq(Gpq(x)) = [q) (в силу (*)) т. и т. т. Qpq(op(x)) = [q) (в силу последней диагр. т. и т. т. ор(х)Г\[Я) = [я) (по определению Qpq) т. и т. т. \q) ^ ор (х) т. и т. т. q^op(x) (упражнение 10.2.3). Таким образом, (%х)р(х) = сгр(лг). Так как это равенство спра- справедливо для любого реР и всякого хе GP, то cr = x-t- Пример 1. Мы видели в § 9.3, что топос Set^ теоретико-мно- теоретико-множественных функций в сущности совпадает с категорией Set2, где 2 — категория порядка, соответствующая ч. у. множеству {О, 1}, в котором 0с= 1. Для категории 2 имеем й0 = {{0, 1}, {1}, 0},
10.3. Классификатор подобъектов в SetF 233 и отображение Qoi переводит {0,1} и {1} в {1}, а 0 в 0. Если обозначить множества {0, 1}, {1} и 0 из Qo через 1, 1/2 и 0 соответственно, а множества {1} и 0 из Qi — через 1 и 0, то Qoi превращается в функцию t, дающую Set^-классификатор, опре- определенный в § 4.4. Пример 2. Пусть to = (со, ^) — ч. у. множество всех конеч- конечных ординалов 0, 1, 2, ..., пг, ... с их естественным порядком. Категория Set" названа Маклейном ка- категорией множеств во времени (Maclane [75]). Произвольный ее объект можно представлять в виде нити р ^Xf -^i/7,-» -> m+l Множество [m) в категории со равно {m, m + 1, пг + 2, ...}. Кроме того, так как каждое непустое подмножество S ^ со имеет первый элемент nis, то для наследственного S имеем равенство S = = [nis). Таким образом, все непустые наследственные множества являются главными и могут быть отождествлены со своими первыми элементами. Вводя символ оо для пустого множества, мы можем упростить Q, отождествляя о4" с множеством {0, 1, 2, .... т, .... оо} и полагая Qm= {пг, т+ 1, ..., оо} для пг е со. Если пг s=: n, то функция рис_ j0<2. вычисляется так: если пг если и<р, если р —°°, а m-я компонента классификатора определяется равенством lruem@)= пг. Для произвольного т: F>~r*G m-я компонента (%т)т: Gm-+ ->Qm характеристической стрелки %х определяется так: (Хх)т(х) = первый п, больший пг, при котором Gmn(x)^ Fn, если такое ч существует, и (Хг)т(х) = оо в противном случае, т. е. если Gmn(x)^Fn всякий раз, когда пг ^ п.
234 Гл. 10. Теоретико-множественные концепты и общезначимость Таким образом, {%х)т{х) обозначает момент «приземления» х в подобъект F (рис. 10.2) или, как говорит Маклейн, момент истинности. Маклейновское определение классификатора под- объектов для Set™ даже проще, чем только что приведенное. Дей- Действие отображения Qmm+\ может быть наглядно изображено сле- следующим образом: Qm m m+l m+2 m+3 ... «> \ / \ / йт+1 т + 1 т+2 Отображение, определяемое этой картинкой, не зависит от того, как обозначен первый элемент «порядково-изоморфных» после- последовательностей Qm и Qm+i. Мы можем заменить поэтому каж- каждое Qm множеством Q= {0, 1, 2, .... ос}, а каждое отображение Qmm+i — единственным отображением t: Q-*-Q, изображаемым так: О 1 2 п + 1 оо \/ / / I О 1 2 п оо Тогда объект истинностных значений превращается в постоян- постоянный функтор Q —*¦ Q —>¦ О, —*¦ ... , а стрелкой true служит естественное преобразование с включением {0}<=*й в качестве каждой компоненты. Итак, мы рассмотрели три различных в теоретико-множе- теоретико-множественном смысле объекта категории Set" , служащих классифи- классифицирующим объектом. Причина состоит в том, что Q-аксиома определяет Т: 1->й только с точностью до изоморфизма. 10.4. ИСТИННОСТНЫЕ СТРЕЛКИ 1. Ложь (false) Начальный объект 0: Р—>-Set категории Setp — это постоян- постоянный функтор, такой, что Ор = 0 и Op<7 = id0 для p^q. Ком- Компонентами естественного преобразования 0 -j+ 1 являются вклю- включения 0 <->¦ {0} (одна и та же компонента для любого р). По определению стрелка false является характеристической стрел- стрелкой подобъекта !: О-г* 1. Для ее компоненты falsep: {0}—*-йр имеем falsep @) = fo: pE? и 1р,@)е0,} = = {q: p<=q и Ое0} = 0.
10.4. Истинностные стрелки 235 Таким образом, естественное преобразование false выбирает нулевой элемент из каждой алгебры Рейтинга [р)+. II. Отрицание Стрелка false мономорфна. По определению отрицание I: Q~t^Q является характеристической стрелкой подобъекта false. Отождествляя false,, с включением {0} s Qp, выводим, что р-я компонента —\р: Qp^-Qp отрицания удовлетворяет ра- равенствам ]p(S) = {q: рЕ=<? и Qp,(S) = {q: p^q и 5 f] [q) = 0} = [p) Л ~lS = (~1 S)B. Мы уже использовали символ —ip в § 10.2 для обозначения операции псевдодополнения в [р)+. Доказанное равенство по- показывает, что эта последняя операция в точности совпадает с р-й компонентой истинностной стрелки отрицания в Setp, по- поэтому и обозначения совпадают. III. Конъюнкция Для функтора Q X й имеем и если p^q, то (QX^)p<7 есть функторное произведение QpqX ХЙР, (см. §3.8). Для р-й компоненты <Т, Т>р: {0}-»йРХйР 8е1р-стрелки <Т, Т): 1т*ЙХ^ имеем равенство <Т, Т>р@)= <[р), [р)>. По определению конъюнкция лл: QX й -7* ^ является харак- характеристической стрелкой для <Т, Т>. Ее компонента /"\,: QPX ~X.Qp—>-QP удовлетворяет равенствам op«S, T)) = {q: рЕ?и (Q.pq(S), Qpq(T)) = ([q), [q))} = = {q: p^q и S fl [q) = [q) = T П [q)} = = {q: p = q и [q) = S и [q) s Г} = = {9: p^9 и geS и </еГ} = = Snrnb) = En7")P = 5nr (теорема 10.2.1). IV. Импликация Рассмотрим уравнитель е: @>-т+ЙХЙ пары стрелок ^: ЙХЙ-т^й и рг,: аХЙ-+й. Начало © Бе^-стрелки е является функтором ©: P-^-Set, таким, что ©р = {E, Г): ^ «S, Г» = 5} = {E,. Т): S = r}sQpXQ,
236 Гл. 10. Теоретико-множественные концепты и общезначимость для всякого Р-объекта р, а отображение @рд для рЕ=<7 пере- переводит <S, T} в <S<,, Tqy. Компонентами естественного преобра- преобразования е являются включения ер\ (§>р <->-Qp X ^V Импликация =*-: Q X & -г* Й, являясь по определению ха- характеристической стрелкой для е, имеет компоненты =^Р, удов- удовлетворяющие равенствам =>p((S, T)) = {q: pr=q и (Qpq(S), Qpq(f)> <= ©p} = Таким образом, р-я компонента импликации =>: Q X й -г*й является относительным псевдодополнением для алгебры Рей- Рейтинга [р)+. V. Дизъюнкция Упражнение 1. Показать, что р-й компонентой естественного преобразования [<TQ> 1о>, <1а>Тй>] «в сущности» является множество Поэтому компоненты дизъюнкции ^: QXQv^ определяют- определяются равенством wp (<S, Г>) = S U Т. Сделаем небольшую паузу и отметим следующее. Мы теперь знаем, что истинностными стрелками в Setp являются есте- естественные преобразования, компоненты которых совпадают с со- соответствующими связками (операциями) на алгебрах Рейтинга в Р. Вспомним, однако, что истинностные стрелки были опреде- определены задолго до упоминания об алгебрах Рейтинга и интуицио- интуиционистской логике. Они получились из категорного описания клас- классических истинностных функций в Set. Впоследствии при интер- интерпретации в конкретном топосе Setp они дали интуиционистские истинностные функции. Таким образом, теория «топосной ло- логики» отражает структуру, общую для классической и интуицио- интуиционистской логики. Что может служить лучшим примером успеха в понимании, достигнутого посредством взаимодействия обоб- обобщения и конкретизации (§ 2.4)? 10.5. ОБЩЕЗНАЧИМОСТЬ В свете результатов последнего параграфа нетрудно пред- предвидеть тесную связь между общезначимостью в Setp п алгеб- алгебраической семантикой в алгебрах Рейтинга [р)+. И действи-
10.5. Общезначимость 237 тельно, главный результат этого параграфа (и всей главы) — следующая теорема. Теорема об общезначимости. Для произвольного ч. у. мно- множества Р и пропозициональной формулы а имеет место Setp |= а т. и т. т. Р [= а. Выражение, стоящее слева, означает Setp-общезначимость, как она была определена в § 6.7. Правое выражение означает общезначимость по Крипке (см. § 8.4). Имеется некоторый произвол в выборе пути доказательства этой теоремы. Мы знаем из § 8.4, что Р |= а т. и т. т. Р+ \= а, а из § 8.3 — что Setp \= а т. и т. т. Setp (l,Q)[=a т. и т. т. Sub(l)H a. Поэтому мы могли бы доказывать эту теорему, устанавливая надлежащие связи между алгебрами Р+, Setp(l,Q) и Sub(l). Все эти пути в конечном счете являются вариациями на одну и ту же тему, лежащую в их основе. Мы выберем подход, основанный непосредственно на определении общезначимости в топосе. Пусть Ж = (Р, V) — произвольная модель со шкалой Р, где V: Фо—>-Р+ — некоторая Р-оценка. Используя V, определим SetP-оценку V: Фо-> Setp (I, Q) (см. § 6.7). Функция V сопо- сопоставляет каждой пропозициональной букве я истинностное зна- значение V'(jt): 1-.^й в Setp. Компонента V'(n)p: {0}-^Qp этого истинностного значения определяется равенством Таким образом, V'(n)P собирает все точки из [р), в которых л истинно в Ж. Если р = q, то У(л)П [р)(] [q) = V(n)(] [q) (упражнение 10.2.2). Поэтому диаграмма коммутативна. Этим доказано, что V(я)—• естественное преобразование. {0} Модель Ж определяет по правилам § 8.4 для каждой пропо- пропозициональной формулы аеф подмножество Ж(а)= {q: Ж\=ч \= ца) в Р. Пусть Ж{а)р = Ж(а,)[)[р). С другой стороны, оценка V определяет по правилам § 6.7 для каждого аеФ
238 Гл. 10. Теоретико-множественные концепты и общезначимость БеР-стрелку V' (а): 1 —>-Q с компонентами V'{a)p: {0}->-Q где р<=Р. Лемма 1. Для произвольного аеФ р-я компонента V'{a)P: {0}-»-[/>) + естественного преобразования V'(a) удовлетворяет равенству Доказательство. Индукция по построению формулы а. Так как JC{a) = V'(a) для а — я, то утверждение леммы в этом случае вытекает из (*). Пусть а=~р и для р лемма спра- справедлива. Тогда Следовательно, = '~1Р(Ж(Р)р) (по индз^ктивному предположению) = = (~]Jf(P))p (раздел II из§ 10.4 и теорема 10.2.2C)) = Р)Р (D0 § 8.4) = ЛГ(а)р. П Упражнение 1. Завершить доказательство леммы 1, исполь- используя при рассмотрении связок л, v, id другие разделы из § 10.4, оставшиеся пункты теоремы 2 из § 10.2 и случаи B'), C0 и E0 из § 8.4. ? Следствие 2. Если Setp \=a, то Р Ь= а. Доказательство. Пусть Л = (Р, V) — модель со шка- шкалой Р и V — соответствующая V Setp-оценка, определяемая равенством (*). Так как Setph=a, то V (а) = true. Следова- Следовательно, для каждого р имеет место V'(a) = truep@) = [p). Так как ре[р), то лемма 1 дает pel(a)p=l(a). Ввиду про- произвольности р получаем JC(a) = P. Так как это равенство спра- справедливо для произвольной модели со шкалой Р, то а тожде- тождественно истинна на Р. ? Для доказательства утверждения, обратного к следствию 2, мы, отправляясь "от Setp-oueHKH V: Фо—>- Setp (I, Q), построим Р-оценку V: Фо->-Р+. Стрелка V'{n): I -* Q выбирает для каж- каждого q^P наследственное подмножество V'(n)q@) множества [<?). Определим V(л) как объединение всех этих подмножеств. Таким образом, V(n) = U{V'(n)q@): ?eP}, т. е. (**) reF(it) т. и т. т. (для некоторого q reV'(n),@)). Для полученной Р-оценки V мы могли бы применить (*) и по- построить другую Setр-оценку V", такую, что V" (л) р @) = V (л) (\
10.5. Общезначимость 239 П \р). Однако мы вернемся при этом к исходной оценке V, как показывает следующая лемма. Лемма 3. Для произвольного р е Р где множество V(n) определяется условием (**). Доказательство. Из условия (**) ясно, что У(я)р@) = = У(я). Кроме того, так как V{п)\ 1-fQ и V'(n)p: {0}-^Qp, то V'(n)P@)<=[p). Поэтому V(a),@)=V(n)fl[p). Обратно, пусть re V(n)f\[p). Тогда per и re V'{n)q@) для некоторого <7- Так как F/(n),@)s [<?), то <? —Г- Поэтому возникает диа- диаграмма {0} -^ Qf {0} ™^ Qr являющаяся коммутативной, поскольку V (я) — естественное преобразование. Из коммутативности этой диаграммы получаем, что V'{n)q@)[~\[r)= V'(n)r(O). Так как р^г, то аналогичным образом устанавливается равенство V'(n)p@)f][r)=V'(n)r@). Поскольку геУ'(я),@) и re [г), то, применяя два последних доказанных равенства, мы выводим, что геУ'(л)р@), Таким образом, V(n)f|[p)s V'(n)p@). D Пусть У — произвольная Р-оценка и V — оценка, опреде- определенная равенством (*), т. е. У/(л)р@)= V(n)p. Тогда по пункту D) теоремы 1 из § 10.2 имеет место равенство LJ{V(k)p(O): р<=Р} = Таким образом, применяя (**) к V, мы опять возвращаемся к V. Этот факт вместе с леммой 3 показывает, что определения (*) и (*») взаимно обратны и устанавливают биекцию между Р-оценками и Setp -оценками. В силу этого можно считать, что оценка V в лемме 1 получается из оценки V, фигурирующей в этой же лемме, по определению (**). Следствие 4. Если Р \= а, то Setp \= а. Доказательство. Пусть V — произвольная Setp-оценка и Ж = (Р, V) — модель со шкалой Р и оценкой V, определенной условием (*«). Так как Р\=а, то Ж(а)=Р и, следовательно,
240 Гл. 10. Теоретико-множественные концепты и общезначимость для произвольного р Ж(а)р = Ж{а)[\[р) = [р) = truep(O). По лемме 1 l//(a)p@) = truep@), т. е. У (a) = true. D Следствия 2 и 4 дают вместе теорему об общезначимости. 10.6. ПРИМЕНЕНИЯ A) Наиболее важным следствием теоремы об общезначимо- общезначимости является характеризация класса общезначимых в топосах пропозициональных формул. Пусть PiL — каноническая шкала, определенная в § 8.4. Тогда для произвольного «еФ 1— IL.CX Т. И Т. Т. Pil \= ОС- По теореме об общезначимости получаем отсюда, что г-iloc т. и т. т. SetpiL[= a. Мы доказали, таким образом, следующую теорему. Теорема о полноте для общезначимости в топосе. Если про- пропозициональная формула а &-общезначима для каждого то- поса <§, то она выводима в исчислении Рейтинга IL, т. е. г-ц.а. Вместе с теоремой о корректности из § 8.3 эта теорема о полноте показывает, что класс общезначимых во всех топосах пропозициональных формул совпадает с классом IL-теорем. B) В § 6.7 было объявлено, что формула aV~a не обще- общезначима в категории Set"*. Чтобы это доказать, заметим, что Set^—-в сущности то же самое, что Set2. В примере из § 8.4 было показано, что 2 t^a v ~a. Теорема об общезначимости дает тогда Set2 t^av ~a. C) Логика LC, упомянутая в § 8.4, получается добавлением к IL-аксиомам следующей классической тавтологии: Логика LC и подобные ей называются промежуточными логи- логиками, так как класс их теорем включает все IL-теоремы и вклю- включается в класс CL-теорем. Известно (см. Dummett [59] или Segerberg [68]), что о \= а т. и т. т. |— lccc. Поэтому f—lcoc т. и т. т. Set" \= а, т. е. LC — это логика топоса «множеств во времени», описан- описанного в § 10.3. Время при этом состоит из дискретных моментов. Однако логика не изменится, если предположить время плот- плотным или даже непрерывным. Если через Q и R обозначить ч. у. множества рациональных и вещественных чисел соответственно
10.6. Применения 241 с их естественным порядком, то из разд. 5 работы Сегерберга вытекает, что <л \= а т. и т. т. Q \= а т. и т. т. R \= а. Таким образом, топосы Seta, SetQ и SetR имеют одну и ту же логику. На самом деле можно сделать и более общее заключение. Если Р — произвольное бесконечное линейно упорядоченное множество (т. е. для любых р, q из Р имеет место РЕЕ9 или Я^р), то Setp \= а т. и т. т. \— lc<x. Упражнение 1. Пусть {0, 1, 2, ..., оо}—модифицированный вариант ч. у. множества «+, описанный в § 10.3. Определить операции алгебры Рейтинга, модифицируя соответствующие операции на о>+. Связать эти операции с определением «LC-мат- рицы», введенным в Dummett [59]. ? Проблема. Пусть ^ — произвольный топос. Положим Тогда множество L%, будучи замкнутым относительно modus ponens, является некоторой промежуточной логикой. Для ло- логики L% может быть определена каноническая шкала Pig. Это определение получается из определения шкалы Рц. заменой IL всюду на Lg. Имеется ли какая-нибудь общая категорная связь между топосами Ш и Set L?? П Упражнения Упражнение 2. Для данного истинностного значения т: 1 —.->¦ Q топоса Setp определим множество ST e Р+ равенством Показать, что функция, сопоставляющая каждому т: 1 —.~* Q множество Sx, является изоморфизмом алгебр Рейтинга Setp(l, Q) и Р+, т. е. Setp(l, Й)^Р+. Упражнение 3. Пусть о: F >-г>- 1 — подобъект 1 в Setp. Можно считать, что для каждого р компонента ар является включением Fp <-*¦ {0}. Поэтому либо Fp = 0, либо ^={0} = !. Определим Sa = {p: Fp=l}. Показать, что Sa — наследствен- наследственное множество н что функция а\—>Sa является изоморфизмом алгебр Рейтинга Sub(l)^P+. Какая функция будет обратной к построенной?
242 Гл. 10. Теоретико-множественные концепты и общезначимость Упражнение 4. Пусть ч. у. множество Р имеет наименьший элемент. Показать, что 5 U Т = Р т. и т. т. 5 = Р или Т = Р для любых S, Ге Р+. Вывести отсюда, что топос Setp дизъюнктивен в смысле § 7.7.
Глава 11 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ИСТИННОСТЬ ...новая теория, как бы ни был специален круг ее применения, редко или вообще никогда не бывает простой добавкой к тому, что уже известно. Она требует перестройки предшествующей теории и пере- переоценки предыдущих фактов, подлинно революцион- революционного процесса, который редко завершается одним человеком и никогда не бывает одноэтапным. Томас Кун Начиная с этой главы, происходит смещение акцента в сто- сторону подхода, являющегося скорее описательным, нежели стро- строгим. Нас особо будет интересовать, как обычно, анализ класси- классических понятий и определение их категорных аналогов, но про- проверка деталей, проводившаяся в предыдущих главах, будет часто опускаться. Доказательство того, что эти обобщения ра- работают, «как должно», мы будем иногда оставлять читателю. 11.1. ПОНЯТИЕ ЯЗЫКА ПЕРВОГО ПОРЯДКА Пропозициональный язык PL из § 6.3 совершенно не го- годится для выражения самых основных рассуждений о матема- математических структурах. Возьмем, например, структуру <Л, R}, со- состоящую из бинарного отношения R на множестве А (т. е. R^Ay^A). Пусть с — некоторый конкретный элемент множе- множества А. Рассмотрим предложение «если каждый х связан отно- отношением R с с, то существует некоторый х, с которым с связан отношением R». Если А является областью изменения перемен- переменной х, то это предложение, несомненно, истинно. Действительно, если каждый объект связан с с, то, в частности, с связан с с. Поэтому с связан с некоторым объектом. Чтобы яснее увидеть структуру этого предложения, введем следующие сокращения. Пусть а обозначает «для всякого х xRc», а Р обозначает «для некоторго х cRx». Тогда все предложение схематически изображается в виде Семантическая теория, развитая для PL в гл. 6, не в состоянии проанализировать приведенное выше рассуждение, т. е. не мо- может объяснить, почему формула а =э Р истинна. Чтобы узнать истинностное значение всего предложения, мы должны знать истинностные значения предложений а и р. Однако последние
244 Гл. 11. Элементарная истинность выступают здесь как «атомарные» предложения (подобно бук- буквам л,). Их строение не может быть выражено в языке PL, и PL-семантика не может сама объяснить, почему р должно иметь значение «истина», если истинно а. Для того чтобы фор- формализовать структуру предложений аир, мы вводим следую- следующие символы: (i) символ V, называемый квантором всеобщности, кото- который читается «для всех»; (ii) символ Э, называемый квантором существования, кото- который читается «для некоторого» или «существует»; (ш) символ с, называемый индивидной константой, который является именем элемента с; (iv) символ R — символ двухместного отношения или преди- предикатная буква, являющаяся именем отношения R; (v) символ и, называемый индивидной переменной, бук- буквально интерпретируемый как переменная. Любой элемент из А может быть ее значением. (Мы столкнемся в дальнейшем с бес- бесконечным числом таких переменных, но сейчас нужна только одна.) Мы можем записать с помощью введенных символов пред- предложение а как (Vu)uRc и предложение р— как Cu)cRu. Язык, который мы описываем, называется языком первого порядка или элементарным языком. Слова «элементарный язык» означают здесь «язык элементов». Переменные языка первого порядка пробегают элементы некоторой структуры. В языке высшего порядка кванторы применяются с перемен- переменными не только по элементам, но и по множествам элементов, множествам множеств элементов и т. д. Однако, когда говорят, что предложение (VK истинно в структуре, или «интерпретации», <Л, R, с), то подра- подразумевают при этом, что переменная v принимает значения в множестве А. Таким образом, нам не надо включать в наш язык первого порядка символизм для оборотов вида «для вся- всякого .v, принадлежащего А», т. е. применение элементарного языка не зависит от формализации теории множеств. Язык, который мы только что вкратце описали, является одним из многих языков первого порядка. Выбор языка зависит от структуры, которую мы хотим изучать. Если мы хотим рас- рассматривать булевы алгебры, то нам потребуются: константы 0 и 1, являющиеся именами нулевого и единич- единичного элементов; функциональные буквы цля булевых операций. Это одно- одноместная буква i для дополнения (выражение i(v) читается как «дополнение к и») и пара двухместных функциональных букв g и h для пересечения и объединения (запись g(ui,U2) читается
11.1. Понятие языка первого порядка 245 как «пересечение элементов v\ и v2», а выражение h(t>i,u2) — как «объединение элементов V\ и v2»); символ равенства « (выражение вида v\ яз v2 читается как «1 равно Уг»)- Тогда, например, предложения должны быть истинны в любой булевой алгебре — они просто выражают определяющие свойства дополнения элемента. В принципе функции всегда могут быть заменены отноше- отношениями (их графиками). В соответствии с этим мы могли бы вместо функциональной буквы, например h, использовать трех- трехместный предикатный символ S и читать запись S(ui, v2, v3) так: «Ui является объединением v2 и о3». Последнее из приведенных выше предложений может быть заменено тогда формулой (Vi) Наиболее важной математической структурой для целей этой книги является категория. Это понятие также является «поня- «понятием первого порядка» и имеется некоторый выбор в его фор- формализации. Мы могли бы ввести два сорта переменных: один — для объектов, другой — для стрелок, и получить то, что назы- называется «двусортным языком». Можно было бы использовать один сорт переменных и следующий список предикатных букв: Ob (v) \r(v) dom (v cod (u, id(u,, com (v ь v2) , v2) V2) li U2> U3 «U «U «U, «У, «0, ) <<wl есть объект», есть стрелка», = dom v2», ! = cod o2», = 1U;», , = Ib° Da». Среди предложений, которые нам необходимы для аксиомати- аксиоматизации понятия категории, должны быть тогда следующие фор- формулы: (Vo) ((Ob (v) V Аг (и)) Л ~ (Ob (v) Л Аг (и))), {Vv2)(Ob(v2)z3 3vlld(vl, v2)), (Vo,) (Vo2) (dom (vu v2) => Ob (о,) Л Аг (w2)), (Vw,) ... (Vw6) (com (u4, vb v2) Л com (v5, v4, v3) Л com (u6> v2, u3) Последнее предложение выражает закон ассоциативности {v\ о v2) о уз = v 1 о (и2 ° v3). Интерпретацию остальных предложе- предложений мы оставляем читателю.
246 Гл. 11. Элементарная истинность Заметим, что при добавлении символа равенства мы можем выразить утверждение i|)(t>i) о том, что индивид v\ является единственным индивидом, обладающим некоторым данным свойством ф (это, конечно, крайне необходимо при описания свойств универсальности). Положим if>(ui)=(q>(ui) Л (Уи2)(ф ("г) => гз uj «* u2))> T- e. «ui обладает данным свойством и всякий элемент, обладающий этим свойством, равен vi». Формула 3ui4>(ai) обозначается иногда через C!ui)<p(ui) и читается «су- «существует точно один х, такой, что <p(z>i)». Описанный выше язык несколько неудобен из-за разграни- разграничения стрелок и объектов. Более простой подход, упоминав- упоминавшийся ранее, состоит в замене объектов их единичными стрел- стрелками, предполагая таким образом, что все индивиды являются стрелками. Можно было бы использовать, как и раньше, пре- предикатный символ com, а также функциональные буквы D(v) для dom v и C{v) для cod и. Таким образом, dom v обозначает теперь стрелку, а именно единичную стрелку. Но dom и cod от единичной стрелки должны совпадать с ней самой. Поэтому мы можем определить Ob (и) как сокращение для выражения (D(o)« v) л (С(о)« v). Обстоятельное развитие этого типа языков для категорий пред- представлено Хэтчером (Hatcher [68]). В этой работе с помощью такого языка обсуждается ранняя работа Ловера Lawvere [64] об элементарной теории категории множеств. Хэтчер также дает строгое доказательство принципа двойственности, который в конце концов является принципом логики (предостережение — композицию Хэтчер записывает в другом порядке, т. е. вместо «g°/» пишет «/g»). Упражнение 1. Выразить закон тождества в рассмотренных языках. Упражнение 2. Выписать предложения первого порядка, вы- выражающие каждую из аксиом для понятия элементарного то- поса. П.2. ФОРМАЛЬНЫЕ ЯЗЫК И СЕМАНТИКИ Все рассмотренные примеры языков содержат некое общее ядро, входящее во все такие языки. Базисный алфавит элементарных языков ( i) бесконечный список v\, v2, vi, ... индивидных перемен- переменных; (ii) пропозициональные связки л, v, ~,гэ; (iii) кванторные символы V, 3;
11.2. Формальный язык и семантики 247 (iv) символ равенства «; (v) скобки ), (. Имея этот набор базисных символов, мы можем определить конкретный язык, предназначенный для описания определенной структуры, путем добавления к базисным символам символов отношений, функциональных букв и индивидных констант опи- описываемого конкретного языка. Поэтому язык первого порядка определяется как множество символов этих трех видов. Для булевых алгебр мы используем язык {0, l,f, g, h}, в то время как для категорий могли бы использовать язык {com, С, D}. Для рассмотрения семантических теорий элементарной логики мы будем использовать особенно простой язык, а именно 2= {R,c}, имеющий только одну двухместную предикатную букву R и одну константу с. Это достаточно для иллюстрации главных моментов и позволяет избежать трудностей, носящих техниче- технический, а не принципиальный характер. Термы. Выражения, являющиеся термами, обозначают инди- индивиды. Для языка 3? термами являются индивидные перемен- переменные и константа с. Атомарные формулы. Атомарные формулы являются основ- основными строительными блоками предложений. Для языка 3? ато- атомарные формулы состоят из выражений вида t та и и tRu, где t и и — термы. Формулы. Формулы строятся индуктивно, согласно следую- следующим правилам: (i) каждая атомарная формула является формулой; (ii) если ф и ф — формулы, то выражения (фЛ1|з), (ф V 1|з), (фгэ-ф), (~ф) тоже являются формулами; (iii) если ф — формула и v — индивидная переменная, то (Уи)ф и (Эи)ф — формулы. Предложения. Если некоторое вхождение переменной в фор- формулу находится в области действия квантора, то это вхождение называется связанным вхождением переменной. В противном случае вхождение называется свободным. Так, например, пер- первое вхождение переменной v\ в формулу (ui«i>i)v v~Cui)uiRui является свободным, в то время как ее третье вхождение является связанным. Предложением называется фор- формула, в которой каждое вхождение переменной связанное. Фор- мере одно свободное вхождение переменной, называется откры- открытой формулой. Будем писать <p(v), чтобы указать на то, что переменная v имеет свободное вхождение в ф (мы уже пользовались таким мула, не являющаяся предложением, т. е. имеющая по крайней
248 Гл. 11. Элементарная истинность обозначением неоднократно). Это обозначение можно обобщить и писать ф(и,1, ..., Vin), указывая этим некоторые (а воз- возможно, и все) свободные переменные формулы ф. Интерпретации языка S1. Чтобы придать смысл ^-предло- ^-предложениям (т. е. предложениям языка 5г), необходимо дать интер- интерпретацию символов R и с, а затем использовать ее для опреде- определения интерпретации формул индукцией в соответствии с прави- правилами их образования. Моделью для 3? или ^-моделью называется структура 91 = = (A, R, с}, состоящая из (i) непустого множества Л; (п) отношения R*=AXA; (Hi) конкретного индивида с^А. Если ф есть предложение (Vui)uiRc, то можно спросить, истинно или ложно ф в структуре 9t. Ответ будет «истинно», если каждый элемент из А находится в ^-отношении к с, и «ложно» в про- противном случае. С другой стороны, если qp(ui) обозначает откры- открытую формулу uiRc, то бессмысленно спрашивать, будет ф истин- истинной или ложной. Надо придать некоторое значение (интерпре- (интерпретацию) свободной переменной v\. Можно спросить, будет ли ф истинной, когда переменной и\ придано значение с. Ответ поло- положительный, если cRc, и отрицательный в противном случае. Та- Таким образом, чтобы определить истинностное значение откры- открытой формулы в некоторой модели, мы должны сначала придать ее свободным переменным конкретные значения из этой модели. Изложим метод интерпретации «сразу всех» переменннх в модели 21. Пусть х— произвольная функция, ставящая в со- соответствие каждому положительному числу п некоторый эле- элемент х(п) или просто хп из множества А. Такая функция назы- называется %-оценЖ.ой и представляется в виде бесконечной последо- последовательности х=(х\, х2, ..., Xi, .. .>, t'-й член которой является значением переменной и,-, даваемым оценкой х. В дальнейшем нам потребуется изменять оценки только в одном месте. Обо- Обозначим через x(i/a) оценку, получаемую заменой х, элементом йеА Таким образом, x(i/a)= <хь х2, ..., xi-u a, Xi+u . . .>. Введя интерпретацию переменных, мы можем теперь вернуться к вопросу об истинности. Дадим строгое определение высказы- высказывания «формула ф выполняется в структуре 91 при оценке х», записываемого в виде « Н «Ра- «Распределение отношения выполнимости интуитивно почти оче- очевидно, но выразить его точно несколько труднее. Тот факт, что такое строгое определение действительно необходимо, был впер- впервые ясно осознан Альфредом Тарским, сформулировавшим его
( 11.2. Формальный язык и семантики 249 в своей работе [36] и положившим тем самым начало важному направлению математической логики, известному как теория моделей. Атомарные формулы. При данной оценке х каждый терм t определяет элемент xt множества А, задаваемый условиями xh если t — переменная vh с, если t — константа с. Тогда A) И |= t « и[х] т. и т. т. xt является тем же самым элемен- элементом, что и Хи.; B) 21 = tRu[x] т. и т. т. xtRxu. Таким образом, символ л: интерпретируется одинаково во всех моделях. Он обозначает тождественное отношение Д = = {<х,у>: х = у). Формулы C) 21 \= ф А 1|з [х] т.ит.т.Я(=фМ hS1H1>W; D) % )= ф V *ф [х] т. ит.тЛНф [х] или 5С \== -ф [х]; E) 51 \= ~ф[х] т. и т. т. неверно, что 51 \= tp[x]; F) ?1(=фГЭ1|з[х| т. и т. т. 91 Н1!3 [*] или неверно, что % Н= Н Ф [х]; G) 9t(= (Уо()ф[х] т. и т. т. для каждого аеЛ 9СН Np[(/)]; (8) SI \= (Bvi)cf[x] т. и т. т. для некоторого а^А 31 \= |= q>[x(i/a)]. На самом деле выполнимость формулы зависит только от интер- интерпретации ее свободных переменных, что вытекает из следую- следующего упражнения. Упражнение 1. Если х и у — оценки, такие, что для всякой переменной vi, входящей свободно в ф, xi = г/,, то % \= Ф [х] т. и т. т. §1 (= ф [у]. ? В свете этого факта для произвольного предложения ф (т. е. формулы, не содержащей свободных переменных) может пред- представиться две возможности: либо (i) ф выполняется при каждой й-оценке, либо (н) ни при какой й-оценке ф не выполняется. В случае (i) мы пишем 31 ^=ф (читается «ф истинна в 9t» или «Щ. является моделью для ц»>). В случае (И) мы говорим, что Ф ложна в Ш. или что ф не выполняется в 91. О некоторых открытых формулах мы хотим говорить, что они истинны в 9t. Формула v\ « v\ является таким примером. Она принимает значение «истина» независимо от ее интерпре- интерпретации, т. е. выполняется при каждой оценке. Чтобы это уточ- уточнить и отразить тот факт, что необходима только интерпретация
250 Гл. 11. Элементарная истинность свободных переменных, рассмотрим выполнимость формул ко- конечными последовательностями. Индексом формулы назовем число ее свободных переменных. Пусть формула cp(vt , . . ., vt ) имеет индекс п и и,-,, .. ., vln, где ц < i2 < ... < in, — полный набор ее свободных переменных. Будем писать 31Нф[*ь ••• ..., хп], если St Н 4>[у] для некоторой (эквивалентным образом, любой) оценки у, такой, что yil=xu yti = x2, ..., yin = xn. Таким образом, запись 3tj=<p[xb ..., хп] означает, что ср вы- выполняется при значениях х\ для переменной vti, x2 для vt и т. д. Формула ф называется истинной в 51 (91Нф). если Щ. \= ф [хи ..., Хп] для любых xi,..., хп. Упражнение 2. У Н= ф (у,-,, . • ., и* ) т. и т. т. 2l(=(V^) Упражнение 3. й[=(Уи)ф[х] т. и т. т. 3|= ~ (Эи) -~ ф[х]. 11.3. АКСИОМАТИКА З'-формула ф называется общезначимой, если она истинна во всех ^-моделях. Для задания общезначимых формул аксио- аксиоматически нам потребуется операция подстановки терма / вме- вместо переменной v в формулу ф. Запись <p(v/t) обозначает ре- результат замены каждого свободного вхождения переменной v в формуле ф на терм t. Эта операция «сохраняет истинность», вообще говоря, только если и свободна для ( в<р. Это означает, что либо t есть константа, либо t является такой переменной, что никакое свободное вхождение v не лежит в области дей- действия квантора по переменной t. Другими словами, t не стано- становится связанной переменной после подстановки t вместо произ- произвольного свободного вхождения переменной и. Классические аксиомы языка 5? делятся на три группы. Пропозициональные аксиомы. Это все формулы языка 3?, являющиеся примерами {имеющие вид) схем I—XII из § 6.3. Кванторные аксиомы. Для каждой формулы ф(у) и терма t, для которого v свободна в ф, формулы, (UI) (Vo)cp:Dcp(o/f), (EG) <p(o/0=>3txp являются аксиомами. (Обозначение этих аксиом — первые буквы слов «universal instantiation» (универсальное подтверждение) и «existential generalisation» (экзистенциальное обобщение).) Аксиомы равенства. Для пр