Автор: Голдблатт Р.
Теги: анализ основы математики математическая логика логика топосы категорный анализ логики
Год: 1983
Текст
Stadies in Logic and
the Foundations of Mathematics
volume 98
R. Goldblatt
TOPOI
The categorial analysis of logic
North-Holland Publishing Company
Amsterdam New York Oxford
1979
Р. Голдблатт
топосы
Категорный анализ
логики
Перевод с английского
В. Н. Гришина и В. В. Шокурова
под редакцией
Д. А. Бочвара
Москва «Мир» 1983
ББК 22.12
Г 60
УДК 517.11, 517.12, 519.4
Голдблатт Р.
Г60 Топосы. Категорный анализ логики: Пер. с англ.— М.:
Мир, 1983. —488 с.
Топосы — это специального вида категории, способные служить моделями для
теоретико-множественных конструкций. Они являются математическим средством
унификации и обобщения математических задач и методов их решения. Их мож-
можно рассматривать как главный объект новой концепции оснований математики
Для математиков разных специальностей, аспирантов и студентов универси-
университетов.
_ 1702020000—412 „ оо , ББК 22.12
Г 041 @1)-83 2~83' "• Х 517
Редакция литературы по математическим наукам
North-Holland Publishing Company — 1979
Перевод на русский язык, «Мир», 1983
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Книга Голдблатта знакомит читателя с элементами кате-
горной логики—нового ответвления математической науки,
развившегося на стыке теории категорий, алгебраической
геометрии и математической логики. Несмотря на малый свой
возраст эта бурно развивающаяся область довольно хорошо
отражена в мировой математической литературе, однако на
русском языке она практически не представлена. Поэтому
следует сказать несколько слов о категорной логике вообще.
В конце 50-х — начале 60-х годов была обнаружена связь
между формальными аксиоматическими теориями (или де-
дедуктивными системами) и категориями. Ламбек на некоторых
примерах показал, как исчисление или дедуктивную систему
можно превратить в категорию, морфизмы которой опреде-
определяются выводами в исчислении. Отношение равенства между
морфизмами задается некоторым отношением эквивалент-
эквивалентности на выводах. Это открыло путь для приложений в теории
категории методов, разработанных в теории доказательств и,
наоборот, сделало возможным использование в теории дока-
доказательств категорного языка и категорных идей.
Ловер выдвинул несколько другой взгляд. Он предложил
рассматривать формальные теории как категории, морфизмы
которых определяются термами и формулами, а композиция
морфизмов задается с помощью операции подстановки терма
вместо свободных переменных. Выводимые в формальной тео-
теории формулы задают отношение равенства между морфиз-
морфизмами. Взгляд Ловера на теорию как на определенного сорта
категорию позволил шире поставить вопрос о моделях дан-
данной теории.
В классической теории рассматриваются модели, которые
с категорной точки зрения являются функторами, сохраняю-
сохраняющими дополнительную категорную структуру, из категории, со-
соответствующей данной формальной теории, в категорию всех
множеств. Новый подход основан на возможности рассматри-
рассматривать вместо категории множеств какую-нибудь другую ка-
категорию, обладающую требуемыми свойствами. Очевидно,
Предисловие редактора перевода
этот подход расширяет возможности метода моделирования,
поскольку моделированию могут подвергнуться глубинные
понятия, не затрагиваемые в классической теории моделей.
Категорный подход к моделям как определенного рода
функторам дает единый взгляд на понятие модели. Согласно
ему классическое понятие модели и понятие модели для
интуиционистских теорий, введенное Крипке, различают-
различаются только категорией, в которой принимает значения функ-
функтор.
На других аспектах категорной логики мы останавли-
останавливаться не будем, так как они освещены автором в его пре-
предисловии и введении.
Топосы, которым посвящена настоящая книга, — это кате-
категории, обладающие определенными свойствами. С точки зре-
зрения ловеровского подхода они являются категориями, которые
соответствуют формальным системам, получаемым присоеди-
присоединением к теории типов с интуиционистской логикой произ-
произвольного множества аксиом, сформулированных на теоретико-
типовом языке, содержащем произвольное множество исход-
исходных типов. Заметим, что первоначально топосы (называемые
также элементарными топосами) были введены на совершен-
совершенно ином пути, о котором говорится в предисловии автора.
Аксиоматика топосов идейно проста. Чтобы дать о ней
самое общее представление, рассмотрим класс конечных мно-
множеств как категорию с произвольными отображениями между
множествами в качестве морфизмов. В этом классе сущест-
существуют одноэлементное множество, декартово произведение
двух множеств, прообраз подмножества при любом отобра-
отображении и множество всех подмножеств данного множества.
Эти свойства класса выразимы в определенном смысле в ка-
категории конечных множеств на категорном языке, т. е. с ис-
использованием переменных как по объектам, так и по морфиз-
мам, символа операции композиции морфизмов и символа
отношения равенства между морфизмами. Получающиеся
четыре категорных предложения образуют аксиоматику то-
топосов. Таким образом, категория всех конечных множеств
является топосом.
Книга Голдблатта предназначена для лиц, незнакомых с
теорией категорий. В первых ее параграфах подробно рас-
рассматриваются некоторые элементарные понятия этой теории.
Однако учебником по теории категорий она служить не мо-
может. Такие основные категорные понятия, как понятие пред-
представимости функтора и пары сопряженных функторов, появ-
появляются лишь в последней главе, да к тому же без доказа-
доказательства связанных с ними теорем. Такое расположение
материала объясняется педагогическими соображениями и
стремлением автора поскорее перейти к изложению существа
Предисловие редактора перевода
дела — определению понятия топоса, его свойствам, моделям
в топосе.
Как указывает автор в своем предисловии, его основная
цель—вызвать интерес к предмету. В соответствии с этим
упор в книге сделан на разъяснение идейных основ теории,
а не на развитие технических средств. Книга занимает про-
промежуточное положение между популярным изложением и мо-
монографией. Она содержит много мотивировок вводимых поня-
понятий, обсуждений результатов, примеров, упражнений и рисун-
рисунков. Формально (да и по существу) каких-либо специальных
знаний у читателя не предполагается за исключением, пожа-
пожалуй, элементарных понятий наивной теории множеств — все
необходимые определения и факты приводятся в тексте. Од-
Однако категорные и логические сведения будут, конечно, спо-
способствовать более глубокому пониманию материала книги, в
частности помогут восстановить опущенные или кратко на-
намеченные доказательства.
Книга интересна не только для профессиональных логи-
логиков, но и для более широкой аудитории топологов, алгебраи-
алгебраистов и всех, кто интересуется современным состоянием осно-
оснований математики.
Перевод глав 1, 2, 6, 8, 12, 13 осуществлен В. В. Шокуро-
вым, а глав 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 14, 15 — В. Н. Гришиным.
Д. А. Бочвар.
Посвящается моим родителям
Хотя нам, быть может, никогда не удастся до-
доподлинно узнать, как в своей нескончаемой пляске
неизменно остается самой собой многообразная вез-
вездесущая материя, тем не менее, будучи людьми, мы
подвластны своим желаниям и нет у нас иного вы-
выбора, кроме вечных поисков ясности видения. Окон-
Окончательная форма всех форм, последнее воплощение
изменения может ускользнуть от нашего взора. Но
погоня за идеей формы — даже формы силы, беско-
бесконечного процесса взаимодействия — неистребимая и
насущная потребность человека.
Джон Антерекер
ПРЕДИСЛОВИЕ
Причин, по которым пишутся книги, несомненно, столько же,
сколько пишущих их людей. Одной из причин, побудивших
автора написать эту книгу, явилось его желание глубже ознако-
ознакомиться с предметом. Новая интерпретация предмета часто спо-
способствует лучшему его пониманию, и я считал, что это особенно
справедливо для перевода математических конструкций на язык
теории категорий. Работа над книгой подтвердила это мое мне-
мнение. В конце работы я знал гораздо больше, чем в начале, так
что результатом явилась не только сама книга, но и мои успехи
в понимании предмета. Мне кажется, что по завершении работы
многое, над чем я размышлял, стало на свои места.
Что же касается более «общественной» функции книги, то я
надеюсь, что она предоставит подобную возможность и другим.
Во всяком случае, я пытался изложить материал так, чтобы он
был доступен самому широкому кругу логиков, будучи хорошо
обоснованным как с методической, так и с математической то-
точек зрения. Это, в частности, определило стиль изложения.
В современной литературе наблюдается тенденция преподносить
материал в очень систематизированном виде, когда абстрактные
определения предшествуют примерам, показывающим, откуда
эти определения возникли. С педагогической точки зрения не-
недостатком такого подхода является то, что читатель не видит,
как зарождаются понятия, как и почему они развиваются, а сле-
следовательно, совсем не приобщается к творческому мышлению.
Помимо того что этот подход создает впечатление завершен-
завершенности, часто иллюзорное, он имеет еще одну отрицательную сто-
сторону— для понимания требуется слишком много предваритель-
предварительных сведений.
Все это кажется мне особенно опасным, когда речь идет о
теории категорий — дисциплине, которую часто называют «аб-
«абстрактной чепухой». У меня сложилось впечатление, что такая
реакция вызвана не специфическими особенностями предмета,
а лишь стилем некоторых его изложений. Я всегда стараюсь дви-
двигаться от частного к общему через все ступени процесса
абстракции, пока соответствующее абстрактное понятие не воз-
Предисловие
никнет естественным образом. Книга начинается с достаточно
элементарных положений (в качестве «первичных принципов»),
и было бы вполне уместно, чтобы по ее^прочтении у читателя
осталось чувство, что он лишь приступил к предмету, а не пол-
полностью завершил ознакомление, с ним.
Что касается собственно теории категорий, то я пытался с
самого начала проводить функториальную точку зрения и ис-
использовал при ее изложении элементарный (в смысле теорий
первого порядка) подход, применяющий те же комбинаторные
действия над алгебраической структурой, которые встречаются
при изложении теории любых более известных математических
объектов. В этом смысле категории как структуры — ничуть не
более тонкие объекты, чем группы, решетки, векторные простран-
пространства и т. п.
Мне следует пояснить, что, тогда как в основном рукопись
была закончена к маю 1977 г., § 11.9, 14.7 и 14.8 были написаны
спустя год, когда я находился в Оксфорде (как степендиат
фонда Наффилда, помощь которого я с благодарностью отме-
отмечаю). Этот добавочный материал был просто присоединен к гла-
главам 11 и 14, поскольку хотя это и не идеальное решение пробле-
проблемы, но на данном этапе начинать значительную переделку
книги было уже практически невозможно. Однако, видимо, най-
найдутся читатели, которые заинтересуются конструкцией числовых
систем в § 14.8, но не захотят преодолевать предшествующий
материал гл. 14 по топологиям Гротендика, элементарным сн-
тусам и т. п. На самом деле, чтобы пользоваться определением
вещественных чисел по Дедекинду в топосе Q-множеств и
их представлением классически непрерывными вещественными
функциями, достаточно усвоить описание топоса из § 11.9. Пол-
Полное изложение этой конструкции на языке теории пучков осно-
основано на теории Q-пучков, развитой в § 14.7, однако для чтения
этого параграфа достаточно предварительно просмотреть не-
несколько первых страниц из § 14.1, хотя бы до того места, где
вводится аксиома СОМ.
Замечание по поводу терминологии. В математике употреб-
употребляются два прилагательных от существительного «категория» —
«категорный» и «категоричный», в которые вкладывается совер-
совершенно разный смысл. Второе из них уже давно употребляется
в математической логике в значении, близком к обычному зна-
значению «абсолютный». Из работ Гёделя логики знают, что теория
множеств не имеет категоричной аксиоматизации. Одна из целей
Данной книги — объяснить, почему она имеет категорную аксио-
аксиоматизацию.
Мне хочется выразить признательность ряду людей, оказав-
оказавших мне помощь при подготовке этой книги. Я благодарю
Шелли Карлайл, умело перепечатавшую рукопись, комиссию по
исследованиям и отделение математики Университета Виктории
10 Предисловие
в Веллингтоне, которые в значительной степени возместили мои
материальные затраты, Пата Суппеса, благожелательно ото-
отозвавшегося о рукописи и поддержавшего ее, Эйнара Фред-
рикссона и Томаса ван-дер-Хыовелла, прекрасно организовав-
организовавших ее подготовку к печати и публикацию.
Я заинтересовался категорией логикой в ходе работы с
Майклом Броквеем над его магистерской диссертацией. Обще-
Общение с ним и доступ к его заметкам по ряду разделов принесли
мне большую пользу. В получении других неопубликованных
материалов мне, в частности, помог Гонзало Рейес. Дана Скотт
во время моего пребывания в Оксфорде оказал мне аналогичную
услугу и предоставил благоприятную возможность (за что я ему
очень признателен) ознакомиться с его подходом к пучкам и их
логике. При подготовке материала о структуре континуума мне
очень помогли беседы со Скоттом и Шарлем Бурденом.
И наконец, я рад выразить признательность моим учителям
и коллегам из группы логиков Университета Виктории в Вел-
Веллингтоне, в частности моим научным руководителям Максу
Крессвеллу и Джорджу Хьюгсу, а также Уилфу Малькольму,
вникавшим в мои дела и поощрявшим мои успехи в то время,
когда я изучал математическую логику.
Где же лежат истоки теории топосов? Во введении к недав-
недавней книге Питера Джонстона на эту тему указаны два направ-
направления ее развития — в рамках алгебраической геометрии и в
рамках теории категорий. Как мне кажется, для полноты исто-
исторической картины необходимо выделить третье направление,
наиболее близкое к данной книге, а именно в рамках логики и
особенно теории моделей. Его описание можно начать с работы
Коэна 1963 г. по независимости континуум-гипотезы и т. п. Вве-
Введенный им метод форсинга оказался ключом к изучению универ-
универсума классической теории множеств и вызвал целую волну
исследований. Но как только этот метод был переформулирован
в теории булевозначных моделей Скотта — Соловэя (в 1965 г.),
появилась возможность подставлять «гейтинго-» вместо «бу-
«булево-» и тем самым достичь более высокой степени общности.
И действительно, вскоре Д. Скотт осуществил это в своих лек-
лекционных заметках 1967 г., а затем в статьях Scoti [68], [70] по
топологической интерпретации интуиционистского анализа.
Тем временем у Ловера, работающего над аксиоматизацией
категории множеств, независимо возникло понятие элементар-
элементарного топоса. Эти два исследования связало понятие пучка:
изучение декартово замкнутых категорий с классификатором
подобъектов (топосов) стало серьезным делом, как только выяс-
выяснилось, что они включают в себя все категории пучков, построен-
построенные Гротендиком, а отмеченная выше топологическая интерпре-
интерпретация, как оказалось, дает простейшие примеры общей аксио-
аксиоматической теории Q-моделей над алгебрами Рейтинга, которая
Предисловие 11
впоследствии была создана Д. Скоттом и развита им в сотруд-
сотрудничестве с Майклом Фурмэном (см. § 14.7 и 14.8). В рамках
этой последней теории (многие идеи которой восходят к перво-
первоначальным работам по булевозначным алгебрам) поставлен-
поставленный ранее вопрос о поведении частично определенных объектов
(Scott [68], стр. 208) был элегантно решен введением предиката
существования, имеющего семантическую интерпретацию меры
степени существования некоторого индивида. Завершая данную
картину и пополняя весь этот круг идей, Денис Хиггс A973 г.)
в одной неопубликованной работе показал, что категория пучков
над некоторой полной булевой алгеброй В эквивалентна катего-
категории В-значных множеств и функций в первоначальном смысле
Скотта — Соловэя.
А что дальше? Каково, например, вероятное влияние новей-
новейших результатов о независимости в том смысле, что существуют
топосы, в которых теорема Гейне—• Бореля неверна, веществен-
вещественные числа не являются вещественно замкнутыми, комплексные
числа не имеют квадратных корней и т. п.? Я думаю, что всякие
предсказания в этой области преждевременны и, возможно,
будущие поколения объявят «классическим» то, что сейчас вос-
воспринимается как патология. Интеллектуальная традиция (в ко-
которой теория топосов составляет лишь малую часть) уходит в
далекое прошлое, когда математика была тесно связана с физи-
физическим, видимым миром, а геометрия для греков действительно
имела отношение к измерению земельных участков. И только
сравнительно недавно в связи с появлением неевклидовых гео-
геометрий эта дисциплина обрела право на независимое существо-
существование и значение. Аналогично те исследования структуры, кото-
которые относятся к так называемым «логикам», уже вышли за пре-
пределы своих исходных основ (анализа принципов рассуждений).
Но отделение от этого внешнего воздействия повлияло на истин-
истинную природу рассуждений не более, чем существование неевкли-
неевклидовых геометрий на истинные геометрические свойства реаль-
реального пространства.
Законы алгебры Рейтинга охватывают богатую и глубокую
математическую структуру, появляющуюся в различных контек-
контекстах. Она возникла из эпистемологических ограничений, введен-
введенных Брауэром, топологизации (локализации) теоретико-мно-
теоретико-множественных понятий и категорной формулировки теории мно-
множеств, причем хотя вес эти источники взаимосвязаны, они имеют
независимую мотивировку. Из этой «вездесущести» вытекает не
утверждение, что правильной логикой является интуиционист-
интуиционистская, а не классическая, а скорее вывод, что так вообще нельзя
ставить вопрос, как нельзя говорить о единственной правильной
геометрии.
В то же самое время эти исследования яснее, чем когда-либо,
показали, как свойства изучаемых структур зависят от принципов
12 Предисловие
логики, используемой при их изучении. В частности, очень
впечатляет то уточнение, которому подвергся логико-теоретико-
множественный подход к структуре интуитивно мыслимого кон-
континуума (который для Евклида, разумеется, не был множеством
точек, а тем более объектом топоса). На самом деле создается
впечатление, что чем более глубокий анализ мы проводим, тем
меньше остается у нас оснований говорить о континууме как
о чем-то однозначно определенном.
Другим областям математики (таким, как абстрактная ал-
алгебра, аксиоматическая геометрия) понадобилось много вре-
времени, чтобы стать самостоятельными разделами умственного
творчества, равно как живописи и даже музыке пришлось
пройти долгий путь, чтобы преодолеть предметно-изобразитель-
предметно-изобразительный характер и приобрести субъективные и интеллектуальные
черты. Подобная ситуация, кажется, возникла и в математиче-
математической логике. При отсутствии внешнего воздействия (представ-
(представления о вещах «извне») мы не можем так уж просто определить,,
что здесь ценно и значительно, равно как не всегда способны
вынести суждение о многих современных направлениях в ис-
искусстве. Поскольку значимым принято считать лишь то, что
сохраняет значение длительное время, то, возможно, потре-
потребуется долгий период отвеивания, прежде чем мы сможем отде-
отделить пшеницу от плевел.
Оглядываясь на достижения примерно двух последних деся-
десятилетий, мы видим, что интерес к гейтингозначным структурам
как естественному продукту развития существенной области
математики объединяет сегодня самые различные направления.
Как бы ни обернулось дело в дальнейшем, уже сейчас важ-
важность происходящего не вызывает сомнений — ряд дисциплин
(логика, теория множеств, алгебраическая геометрия, теория
категорий) собираются под одну крышу и вместе с тем уточ-
уточняется наше^ представление о доме, который мы мысленно себе
строим, собираясь в нем жить. Без сомнения, эти замечания
покажутся кому-то спорными или даже неверными. Если это
спровоцирует кого-то на ответ, значит, книга выполнила одну
из своих подразумеваемых функций.
Р. Голдблатт
Веллингтон
День осеннего равноденствия, 1979
ВВЕДЕНИЕ
...все науки, включая и наиболее разви-
развитые, характеризуются непрекращающим-
непрекращающимся становлением.
Жан Пьяже
Цель этой книги — познакомить читателя с понятием топоса
и объяснить, какие применения оно находит в логике и основа-
основаниях математики.
Вначале топосы изучались в рамках теории категорий, ко-
которая сама является относительно новой областью математиче-
математического исследования. Одна из главных перспектив, открытых
теорией категорий, состоит в том, что понятие стрелки, абстра-
абстрагированное от понятия функции или отображения, можно
использовать вместо теоретико-множественного отношения при-
принадлежности в качестве основного строительного блока для про-
проведения математических конструкций и выражения свойств ма-
математических объектов. Вместо того чтобы определять свойства
совокупности через ее элементы, т. е. с помощью ее внутренней
структуры, можно определять их, указывая внешние связи этой
совокупности с другими совокупностями. Связи между совокуп-
совокупностями выражаются функциями, и аксиомы для категории вы-
выводятся из свойств функций относительно операции композиции.
Категорию можно рассматривать прежде всего как универ-
универсум для определенного рода математических рассуждений. Та-
Такой универсум определяется указанием «объектов» и «стрелок»,
связывающих эти объекты. Так, универсум (категория) для топо-
топологических исследований состоит из топологических пространств
(объектов категории) и непрерывных функций (являющихся
стрелками). Универсумом для линейной алгебры служит кате-
категория, стрелками которой являются линейные преобразования
векторных пространств (объектов категории). Соответствующим
универсумом для теории групп будет категория с гомоморфиз-
гомоморфизмами групп в качестве стрелок. Для дифференциальной топо-
топологии стрелками служат гладкие отображения многообразий
и т. д.
Таким образом, можно рассматривать широкий «математи-
«математический спектр» как набор этих универсумов или категорий (по-
(полезный способ придания согласованности и единства дисцип-
дисциплине, которая постоянно разрастается и становится все разно-
разнообразнее). Теория категорий предлагает язык для работы
14 Введение
с этими универсумами и для развития способов перехода от од-
одних универсумов к другим. Основы теории категорий были зало-
заложены Самюэлем Эйленбергом и Сандерсом Маклейном в начале
40-х годов. Ее истоки лежат в алгебраической топологии, разра-
разрабатывающей конструкции, связывающие топологию с алгеброй,
а именно с теорией групп. Изучение категорий быстро преврати-
превратилось, однако, в самостоятельную абстрактную дисциплину и
теперь составляет важную ветвь чистой математики. Кроме
того, она уже оказала значительное влияние на понятийные
основы математики и язык математической практики. Она пред-
предлагает элегантные и мощные средства для выражения связей
между обширными областями математики и снабжает матема-
математиков орудиями математического исследования, занимающими
все большее и большее место в арсенале математики. Сущест-
Существующие теории предстают в новом свете после переформули-
переформулировки их в теоретико-стрелочных терминах (пример такой не-
недавно проведенной модификации в вычислительной математике
и теории управления изложен в Manes [75]). Далее, теория ка-
категорий достигла значительных успехов в выявлении и разра-
разработке основополагающих, мощных математических понятий
(универсальность, сопряженность). И теперь, спустя более чем
тридцать лет, она предлагает новый теоретический каркас для
самой математики.
Наиболее общим универсумом математических рассуждений
является так называемая категория Set, объектами которой слу-
служат множества, а стрелками — теоретико-множественные функ-
функции. Здесь фундаментальные математические понятия находят
свое формальное описание, а выбор аксиом, определяющих свой-
свойства множеств, ведет к так называемым основаниям математики.
Основные теоретико-множественные операции и понятия (пустое
множество, пересечение, произведение множеств, сюръективная
функция, например) могут быть описаны с помощью стрелок в
Set, а эти описания имеют соответствующую интерпретацию в
любой категории. Однако категорные аксиомы слабы в том
смысле, что выполняются в ситуациях, сильно отличающихся от
первоначальных примеров, приведенных выше. В таких катего-
категориях интерпретации теоретико-множественных понятий могут
вести себя совершенно иначе, чем соответствующие понятия в
Set. Поэтому возникает вопрос: когда можно избежать такого
положения, т. е. когда категория по виду и поведению похожа
на Set? Неопределенный ответ: когда она является (по крайней
мере) топосом. Это наше первое пояснение, что же такое «то-
пос». Топос есть категория, строение которой настолько похоже
на строение Set, что интерпретации основных теоретико-мно-
теоретико-множественных конструкций обладают в ней почти такими же свой-
свойствами, как в самой Set.
Введение 15
Слово топос («место» или «участок» по-гречески) было пер-
первоначально использовано Александром Гротендиком в алгебраи-
алгебраической геометрии. Там имеется понятие пучка над топологиче-
топологическим пространством. Совокупность пучков над топологическим
пространством образует категорию. Гротендик и его коллеги
обобщили эту конструкцию, заменив топологическое простран-
пространство более общей категорной структурой. Возникающее обоб-
обобщенное понятие категории пучков было названо топосом (см.
Artin et al. [SGA4]).
Независимо от итого Ф Уильям Ловер взялся за решение
вопроса, каким условиям должна удовлетворять категория, что-
чтобы быть «в сущности такой же», как Set. Первый его ответ
был опубликован в 1964 г. Недостаток этой работы состоял в
том, что одно из условий было по своей природе теоретико-мно-
теоретико-множественным. Так как ставилась цель категорно аксиоматизиро-
аксиоматизировать теорию множеств, т. е. свести теорию множеств к теории
категорий, то результат был неудовлетворительным, поскольку
с самого начала использовал теорию множеств.
В 1969 г. Ловер вместе с Майлсом Тирни начал изучение
категорий, имеющих особую стрелку, называемую классифика-
классификатором подобъектов (в Set эта стрелка устанавливает соответ-
соответствие между подмножествами и характеристическими функция-
функциями). Это понятие оказалось ключом к решению возникшей ранее
проблемы об эквивалентности данной категории категории Set.
Он обнаружил, что все топосы Гротендика имеют классифика-
классификаторы подобъектов, а потому перенял и название «топос». В ре-
результате возникло абстрактное аксиоматическое понятие элемен-
элементарного топоса, сформулированное полностью на основном ка-
тегорном языке и не зависящее от теории множеств. Впослед-
Впоследствии У. Митчелл (Mitchell [72]) и Дж. Коул (Cole [73]) дали
исчерпывающий ответ на упомянутый выше вопрос, описав те
элементарные топосы, которые эквивалентны Set.
Как уже говорилось, теория множеств дает общий понятий-
понятийный каркас для построения математики. Так как теория катего-
категорий через понятие гопоса достигла успеха в аксиоматизации
теории множеств, то возникает совершенно новое категорное
основание математики). Позиция специалистов по теории кате-
категорий, состоящая в том, что функция, а не отношение принад-
принадлежности элемента множеству должна служить основной мате-
математической концепцией, полностью обоснована. Ведущая роль
теории множеств в современной математике вдруг поставлена
под сомнение. Революция (хотя и мирная) уже произошла в
истории математических идей, и это, несомненно, окажет влия-
влияние на направление развития в будущем.
Понятие топоса обладает большой объединяющей силой. Оно
охватывает как Set, так и гротендиковы категории пучков и по-
поэтому объединяет теорию множеств и алгебраическую геометрию.
16 Введение
Но оно имеет также выходы в другую область научного иссле-
исследования, а именно в логику — науку о законах дедуктивного
мышления. Принципы классической логики представлены в Set
операциями на некотором множестве — двухэлементной булевой
алгебре. Каждый топос имеет аналог этой алгебры, и поэтому
можно сказать, что каждый топос определяет свое собственное
логическое исчисление. Оказывается, что это исчисление может
отличаться от классической логики, и вообще логические прин-
принципы, имеющие место в топосе, есть принципы интуиционистской
логики. Интуиционизм представляет собой конструктивистскую
философию природы математических объектов, значения и
истинности математических утверждений. Он per se не имеет
ничего общего с логикой в топосе, так как последняя возникает
в результате переформулировки на категорном языке теоретико-
множественного аспекта классической логики. И тем не менее
обнаружен замечательный факт: два различных направления
приводят к одной и той же логической структуре. Некоторый
намек на то, почему это происходит, дает хорошо известная
связь между интуиционистской логикой и топологией и то об-
обстоятельство, что пучки в первоначальном понимании являются
топологическими объектами. К тому же теоретико-множествен-
теоретико-множественное моделирование интуиционистской логики, предложенное
Саулом Крипке [65], может быть использовано для нахождения
топосов, в которых логические построения, обобщающие соот-
соответствующие построения в Set, оказываются переформулировкой
семантической теории Крипке. Более того, эти топосы для моде-
моделей Крипке могут быть построены как категории пучков.
Упомянутые результаты значительно углубляют понимание
природы множества и связи между интуиционизмом и классиче-
классической логикой. Например, одно из свойств, которым обладают
стрелки в Set, — это экстенсиональность: функция однозначно
определяется значениями, которые она принимает на своих
аргументах. Объекты и стрелки топоса можно рассматривать
как обобщенные множества и функции, которые вполне могут
и не обладать свойством экстенсиональности. Интересно, что
наложение на топос условия экстенсиональности оказывается
одним из способов сделать логику, определяемую топосом, клас-
классической. Другой способ — потребовать выполнимости в топосе
аксиомы выбора, сформулированной на языке стрелок.
Наша цель — осветить подробнее вопросы, затронутые выше.
Литература о топосах, доступная в настоящее время, имеет вид
университетских учебников, научных статей и диссертаций, где
математическая утонченность находит свое адекватное выраже-
выражение. Настоящая работа, напротив, является опытом совсем эле-
элементарного вводного изложения, рассчитанного на широкую
аудиторию. Автор разделяет взгляд, согласно которому появле-
появление теории топосов — событие большой значимости, имеющее
Введение 17
важные применения и оказывающее сильное влияние как на
понятийную, так и на техническую сторону математики. Поэтому
следовало бы сделать эту теорию доступйои как для философов-
логиков, так и математиков. Отсюда очень низкие предваритель-
предварительные требования для чтения этой книги. Все — теория множеств,
логика и теория категорий — излагается в ней с самого начала.
Хотя часть материала, быть может, хорошо известна, следует
помнить, что одной из наших главных задач является изложение
новых взглядов на известные концепции. Поэтому представля-
представляется уместным переосмыслить эти концепции и открыто обсудить
вещи, которые для многих приобретут другой характер.
Имеется несколько теорем, доказательства которых своей
длиной и громоздкостью способны отбить охоту к предмету. Это
относится, в частности, к проверке структурных свойств более
сложных категорий (пучки, модели Крипке). Читателю рекомен-
рекомендуется сначала опустить все эти подробности и обратить внима-
внимание на сам ход мысли. Часто бывает, что хотя доказательства
длинны и скучны, но сами факты и идеи ясны и легко воспри-
воспринимаются. Хочется надеяться, что, проследовав разумно выбран-
выбранным курсом через элементарные места, которые будут скучны
специалистам, через трудные для понимания конструкции, ко-
которые подвергнут серьезному испытанию новичков, и через
подробные проверки, которые изнурят некоторых, читатель пой-
поймет до некоторой степени, «что к чему» в этой новой пленитель-
пленительной области логико-математическо-философского исследования.
Глава 1
МАТЕМАТИКА = ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ?
Никому не изгнать нас из рая,
открытого Кантором.
Давид Гильберт
1.1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
В дисциплине, называемой теорией множеств, основным по-
понятием является понятие принадлежности. Первоначально мно-
множество следует представлять себе как некоторую совокупность
объектов. Эти объекты называют элементами данной совокуп-
совокупности. Принадлежность есть отношение объекта к множеству,
указывающее, что данный объект является элементом этого
множества. Оно обозначается знаком е '). Запись ле/1 озна-
означает, что совокупность А состоит из объектов, среди которых
присутствует х, т. е. х — элемент из А. А запись хф.А выражает
тот факт, что х не является элементом из А. В случае же когда
х^А, также говорят, что х принадлежит А или что х содер-
содержится в А.
Исходя из этих основополагающих идей, можно ввести ряд
определений и конструкций, которые позволяют выделять част-
частные множества и строить новые по уже заданным. При ^том
используют следующие два приема.
(a) Табличная форма задания. Она заключается в явном
указании всех элементов определяемого множества. Список этих
элементов помещают в фигурные скобки. Например,
{О, 1, 2, 3}
обозначает совокупность, элементами которой являются все це-
целые числа от 0 до 3.
(b) Задание признаком. Это гораздо более мощный инстру-
инструмент, позволяющий определять множество по свойству, кото-
которым обладают все элементы данного множества и только они.
Так, например, свойство быть целым неотрицательным числом,
меньшим четырех, определяет множество, записанное выше в
табличной форме. Множества можно определять свойствами
благодаря следующему принципу.
') Стилизаиия греческой буквы е, поэтому оно иногда называется эпси-
эпсилон-отношением. — Прим. перев.
1.1. Теория мнЬжеств 19
Принцип свертывания. Пусть ф(х)— некоторое свойство объ-
объекта х или условие на объект х. Тогда существует множество,
элементами которого являются в точности все объекты, обла-
обладающие данным свойством (или удовлетворяющие данному
условию) ф(х).
Множество, определяемое свойством ф(х), обозначается
через
{х: ф(х)}.
Читается это выражение так: множество всех объектов v, ыкпл,
что ф справедливо для х.
Пример 1. Пусть ф(х) — условие «еЛ и хеВ». Тогда
{х: х е А и jgS}
есть множество всех объектов, принадлежащих А и В одновре-
одновременно, т. е. множество объектов, общих аля А и В. Оно назы-
называется пересечением множеств А а В и обозначается через
л л в.
Пример 2. По принципу свертываш7-: \г.1лг-ие «е/1 или
хеВ> задает множество
{х: х^А или хёР),
состоящее из всех элементов множеств А и В, вместе взятых, и
только Li3 них. Оно называется объединением множеств А и В
и обозначается через А [} В.
Пример 3. Условие «х^А» определяет множество —Л, до-
дополнение к А. Итак,
—А = {х. хфА}
есть множество, элементами которого являются в точности все
объекты, не принадлежащие А.
Во всех предыдущих, примерах новые множества строились
по уже заданным. Кроме того, множества можно определять,
исходя из условий, не упоминающих каких-либо частных мно-
множеств вообще. Например, условие «х=^=х» залает множество
0 = {х: х Ф х)
всех объектов х, для которых х не равен х. Поскольку ни один
объект не может быть отличен от самого себя, свойством хф х
не обладает ничто, т. е. множество 0 не имеет элементов. По
этой причине 0 называют пустым множеством. Отметим, что
тем самым мы уже расширили нашу «онтологию» по сравнению
с первоначальным пониманием множества как чего-либо с эле-
элементами, допустив теперь в качестве множества нечто без эле-
элементов вообще. Понятие пустой совокупности часто сказывается
20 Гл. 1. Математика = теория множеств?
трудным при первом восприятии. Существует тенденция перво-
первоначально представлять себе множества как объекты, построен-
построенные достаточно конкретным способом из своих составляющих
(элементов). Введение множества 0 заставляет рассматривать
множества как абстрактные «вещи в себе». Можно восприни-
воспринимать упоминание множества 0 как способ замены некоторых
словесных выражений, например «ЛП^ = 0»— сокращение
высказывания «Л и В ие имеют общих элементов». Более глубо-
глубокое знакомство с предметом и опыт показывают, что, допуская
0 в качестве актуального объекта, мы тем самым улучшаем и
упрощаем теорию. Подчеркнем, что существует лишь одно мно-
множество без элементов. Это вытекает из определения равенства
множеств, выраженного следующим принципом.
Принцип экстенсиональности. Два множества равны тогда и
только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов.
Из этого принципа видно, что для любых двух различных
множеств всегда найдется некоторый объект, являющийся эле-
элементом одного из этих множеств, но не являющийся элементом
другого. Так как пустые совокупности не имеют элементов, то
они не различаются, а потому в силу принципа экстенсиональ-
экстенсиональности существует только одно пустое множество.
Подмножества
Определение равенства множеств можно сформулировать
иначе, используя понятие подмножества. Множество Л назы-
называется подмножеством множества В или подмножеством в В
(что записывается как А Е В), если каждый элемент из А будет
также элементом из В.
Пример 1. Множество {0, 1, 2} является подмножеством в
{0, 1, 2, 3}, т. е. {0, 1, 2} = {0, 1, 2, 3}.
Пример 2. Очевидно, что А^А для любого множества А,
так как каждый элемент из А есть элемент из А.
Пример 3. Для любого множества А 0 s А, ибо если бы 0
не являлось подмножеством в Л, то существовал бы элемент из
0, не принадлежащий Л. Однако 0 не содержит элементов
вообще.
Используя это понятие, легко убедиться, что для любых
множеств А и В
А = В тогда и только тогда, когда Л s В и 6еЛ.
В том случае когда Л с= В и А ф В, мы пишем Л czB (Л — соб-
собственное подмножество в В).
1.1. Теория множеств 21
Парадокс Рассела
В начале, формулируя и используя принцип свертывания, мы
не дали точного объяснения, что такое «условие на объект л», н
даже не указали, что мы подразумеваем под х. Считаем ли мы
элементами наших множеств физические объекты, такие, как
столы, люди или Эйфелева башня, или это должны быть аб-
абстрактные сущности, такие, как числа, или даже некоторые дру-
другие множества? Как, например, отнестись к совокупности
V = {х: A' = .v}?
Любая вещь, будучи равной себе самой, удовлетворяет усло-
условию, определяющему это множество. Включает ли V тогда все
на свете (в том числе и себя) или его надо ограничить объек-
объектами частного вида, каким-либо универсумом обсуждаемой
задачи?
Чтобы продемонстрировать важность этих вопросов, рассмот-
рассмотрим условие «х^х». Легко придумать множество, не принадле-
принадлежащее самому себе. Например, множество {0, 1} отлично от
двух своих элементов 0 и 1. С примером совокупности, которая
бы включала саму себя в качестве элемента, дело обстоит не-
несколько сложнее. Первое, что приходит в голову, — нечто вроде
«множества всех множеств». Интригующий пример дает следую-
следующее условие:
«х является множеством, заданным по принципу свертыва-
свертывания условием, которое выражено не более чем шестнадцатью
словами русского языка».
Предложение в кавычках содержит ровно шестнадцать слов
русского языка, а поэтому оно задает множество, которое удов-
удовлетворяет условиям, его определяющим.
Используя принцип свертывания, зададим теперь так назы-
называемое множество Рассела
R = {x: хфх).
Все трещит по швам, как только ставится вопрос, удовлетво-
удовлетворяет ли условию хфх само R. Действительно, если R(?R, то
оно удовлетворяет данному условию, а поэтому принадлежит
множеству, определяемому этим условием, т. е. R. Значит, R^R.
Итак, предположение R ф R приводит к противоречащему ему
заключению R e R. Следовательно, это предположение надо
отбросить и допустить противное, т. е. R^R. Но если R^R,
т. е. R является элементом из R, то он должен удовлетворять
условию, определяющему множество R, которое есть х ф. х.
Итак, R^R. На этот раз предположение R^R привело нас
к противоречию, а потому оно должно быть отброшено в пользу
R^R. В результате мы доказали справедливость того, что
22 Гл. 1. Математика = теория множеств?
R^R и R^R, т. е. R одновременно является и не является
своим элементом. Такая ситуация вряд ли приемлема.
Приведенное выше рассуждение, известное как парадокс Рас-
Рассела, было обнаружено Бертраном Расселом в 1901 г. Сама
теория множеств начала свое существование несколькими де-
десятилетиями ранее с работ Георга Кантора. Первоначально ин-
интересы Кантора были сосредоточены на вещественной числовой
прямой, и его теория, быстро вызвавшая значительный отклик,
была ориентирована в основном на выяснение свойств бесконеч-
бесконечных множеств вещественных чисел (типа следующего: мно-
множество иррациональных чисел имеет «больше» элементов, чем
множество рациональных чисел). Примерно в то же время логик
Готлоб Фреге попытался сформулировать определение «числа»
и развить законы арифметики на базе формальной логики и тео-
теории множеств. Система Фреге включает в себя принцип сверты-
свертывания практически в том виде, в котором мы привели его выше,
а потому она противоречива (несовместна), как показывает па-
парадокс Рассела. Появление последнего, а также других теоре-
теоретико-множественных парадоксов вызвало кризис в развитии тео-
теоретических оснований математической науки. Перед математи-
математиками встала задача пересмотреть интуитивное понятие мно-
множества и так его изменить, чтобы не возникали противоречии.
Это послужило одной из основных причин расцвета в нашем
столетии математической логики, предмета, который среди про-
прочего включает в себя детальный анализ самого аксиоматиче-
аксиоматического метода.
NBG
В настоящее время теория множеств имеет строгую аксиома-
аксиоматическую формулировку и даже несколько формулировок, каж-
каждая из которых предлагает конкретный способ разрешения
парадоксов.
Джон фон Нейман предложил свое решение проблемы в се-
середине двадцатых годов, позже оно было уточнено и развито
Полем Бернайсом и Куртом Гёделем. Результат представляет
собой группу аксиом, известную как система NBG. Главная
идея, положенная, в ее основу, очень плодотворна, несмотря на
свою простоту. Она заключается в различении понятий мно-
множества и класса. Все объекты в NBG являются классами. Класс
соответствует нашему интуитивному пониманию совокупности.
Слово же «множество» оставлено для тех классов, которые сами
являются элементами других классов. Утверждение «х есть мно-
множество» служит сокращением утверждения «существует такой
класс у, что хер. Классы, не являющиеся множествами, на-
называются собственными классами. Интуитивно их можно пред-
представлять себе как «очень большие» совокупности. При этом
принцип свертывания видоизменяется требованием, чтобы упо-
1.1. Теория множеств 23
минаемый в нем объект х был множеством. Итак, свойство
ф(д;) задает класс, состоящий из всех множеств (иначе говоря,
элементов других классов), для которых верно ср(х). Этот класс
обозначается через
{х: х — множество и верно
Определение класса Рассела выглядит теперь так:
R — {х: х — множество и хф.х).
Возвращаясь назад к описанию парадокса Рассела, мы теперь
видим выход из создавшегося положения. Чтобы получить при-
принадлежность R^R, надо дополнительно предполагать, что R —
множество. Если это так, то, как и выше, мы приходим к про-
противоречию. Поэтому данное предположение отбрасывается как
ложное. В результате парадокс исчезает, а наши рассуждения
превращаются в доказательство того, что R — собственный
класс, т. е. совокупность R настолько велика, что не является
элементом никакой другой совокупности. В частности, R ф. R.
Другой пример собственного класса V доставляет совокуп-
совокупность, рассматриваемая теперь как класс,
{.г; х — множество и х = х},
элементами которой являются все множества. Более того, из
аксиом NBG вытекает совпадение V = R, т. е. множество не
может быть своим элементом.
ZF
Несколько другой и исторически более ранний подход к
проблеме парадоксов был предложен Эрнстом Цермело в 1908 г.
Его система позже была расширена Абрахамом Френкелем и
известна теперь как система ZF. Неформально говоря, это тео-
теория «построимых множеств». Ее интересуют сущности только
одного вида — множества. Все множества при этом строятся,
исходя из некоторых простых (в действительности можно начи-
начинать даже с одного 0), с помощью операций, таких, как пере-
пересечение П, объединение U и дополнение — Аксиомы ZF уточ-
уточняют, как такие операции можно производить. Они применимы
только к множествам, которые уже построены, и в результате
получаются снова множества. Таким образом, собственные клас-
классы, вроде R, не построимы внутри ZF.
В этом контексте принцип свертывания можно использовать
только по отношению к некоторому заданному множеству, т. е.
мы не имеем права собирать вместе все объекты, удовлетворяю-
удовлетворяющие определенному условию, а можем собирать лишь те, про
которые мы уже знаем, что они являются элементами некото-
некоторого уже заданного множества. В ZF это выражается следую-
следующим образом.
24 Гл. 1. Математика = теория множеств?
Принцип выделения. Для заданного множества А и свойства
ф(л') существует множество, элементы которого есть в точности
такие элементы из А, что для них выполнено ср(х).
Это множество обозначается через
{х: х е А и ф(л-)}.
В этом случае уже нельзя образовать сам класс Рассела. Можно
лишь образовать его фрагмент
R(A) — {x: х<=А и хфх)
для каждого множества А. Чтобы получить противоречие, вклю-
включающее оба утверждения R(A)^R(A) и R(A)q=R(A), необхо-
необходимо знать, что R(A)^A. Мы же, напротив, делаем заключение,
что R(A)(?A. В действительности в ZF, так же как и в NBG,
множество не может быть своим элементом, откуда R(A)= А.
(Отметим близость этого рассуждения к разрешению противо-
противоречия в NBG: заменив V всюду на А, делаем последнее рассуж-
рассуждение формально тождественным первому.)
Системы NBG и ZF предлагают некоторые ответы на вопро-
вопросы, поставленные выше. При практическом использовании тео-
теории множеств в качестве элементов совокупностей могут встре-
встречаться физические объекты. Однако в аксиоматической теории
множеств все объекты существуют скорее в понятийном смысле,
чем материально. Эти сущности представляют собою «абстракт-
«абстрактные» совокупности, элементами которых являются сами же мно-
множества. Система NBG онтологически «богаче», чем ZF. В самом
деле, ZF можно рассматривать как подсистему в NBG, состоя-
состоящую из части NBG, которая относится к множествам (т. е. к не-
несобственным классам). До сих пор мы оставляли в стороне
вопрос о том, что же понимается под «условием на объект х»
(поскольку множество не является своим элементом, условие
«не более чем из шестнадцати слов», упоминавшееся выше, не-
недопустимо в ZF и NBG). Позже мы несколько проясним это по-
понятие, после того как введем формальные языки и дадим более
точное представление об аксиоматике таких систем, как ZF.
Непротиворечивость
Тот факт, что в некоторой системе можно избежать пара-
парадокса Рассела, не гарантирует ее от противоречий вообще, т. е.
не гарантирует ее непротиворечивости. Известно, что из проти-
противоречивости одной из систем ZF и NBG вытекает противоречи-
противоречивость другой из них, поэтому либо обе эти системы годятся, либо
обе они не годятся. Вот уже в течение шестидесяти лет эти
системы подвергаются усиленному и разностороннему изучению,
но противоречий до сих пор не обнаружено. Однако имеется
реальное концептуальное препятствие к возможности доказа-
/./. Теория множеств 25
тельства того, что такое противоречие нельзя найти вообще. Это
установил около 1930 г. Гёдель, показав, что в действительности
доказательство непротиворечивости должно опираться на прин-
принципы, собственная непротиворечивость которых не более досто-
достоверна, чем непротиворечивость самих ZF и NBG. За десятилетие
до работ Гёделя группа математиков во главе с Давидом Гиль-
Гильбертом попыталась установить непротиворечивость арифметики
и даже математики в целом при помощи так называемых финит-
финитных методов. Эти методы ограничиваются описанием явных, кон-
конкретных, непосредственно воспринимаемых объектов и принци-
принципов, истинность которых видна из непосредственного их рассмот-
рассмотрения. Гёдель показал невозможность установить такими
методами непротиворечивость никакой системы, достаточной для
развития арифметики обыкновенных целых чисел. Это открытие
считается одним из важнейших событий в математике 20-го сто-
столетия. Его удар по программе Гильберта был сокрушителен.
Однако многие нашли в этом ободряющий стимул, утверждение
существенно творческой природы математической мысли, а так-
также свидетельство против механического тезиса о том, что ум
можно смоделировать физическим вычислительным устройством.
Говоря словами Гёделя, «либо математика слишком велика для
человеческого ума, либо человеческий ум есть нечто большее,
чем машина» (см. Bergamini [65]).
Хотя, казалось бы, не может существовать абсолютно досто-
достоверного доказательства непротиворечивости ZF, тем не менее
имеются важные свидетельства экспериментального и эписте-
эпистемологического характера в пользу того, что противоречия в этой
системе отсутствуют. В противном случае, конечно, поскольку
теория множеств играет центральную роль во всей современной
математике, под угрозой оказалось бы нечто большее, чем про-
просто совместность некоторой группы постулатов.
Какая из систем ZF и NBG «лучше» для теории множеств?
Выбор главным образом зависит от философских вкусов и прак-
практических нужд. По-видимому, ZF вообще наиболее популярно
среди математиков. Ее принцип конкретизации конструкций на
определенных множествах точно отражает характер реального
использования теории множеств в математике, где множества
задаются в явно математически определенном контексте (уни-
(универсуме). Совокупность всех множеств как объект не очень
интересна для большинства работающих математиков. Более
того, все необходимые им множества содержатся в малом фраг-
фрагменте ZF. Лишь в самое последнее время в связи с появлением
на свет теории категорий у математиков (а не только у специа-
специалистов по теории множеств) возникла реальная потребность
работать с большими совокупностями. Эту потребность более
гибко удовлетворяет дихотомия «класс — множество», что
26 Гл. 1. Математика = теория множеств?
выдвигает на более значительную роль NBG и даже более силь-
сильные системы.
Смысл всего сказанного сводится к тому, что нет какого-то
идеального подхода к разработке теории множеств. Математик
выбирает ту систему, которая более всего согласована с его
интересами и целями.
1.2. ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
Цель изучения оснований математики заключается в выра-
выработке строгого толкования природы математической реальности.
Это включает в себя точное и формальное определение или пред-
представление математических понятий, в результате чего проясня-
проясняются их взаимосвязи и становятся понятнее их свойства. Боль-
Большинство подходов к основаниям математики использует аксио-
аксиоматический метод. Для этого сначала вводят язык, обычно точно
и формально описанный. Затем с помощью этого языка опре-
определяют математические понятия и формулируют постулаты, или
аксиомы, относящиеся к их свойствам.
Аксиомы кодифицируют поведение, которое мы предписы-
предписываем математическим объектам. Затем теория этих объектов
разворачивается в виде серии утверждений, выводимых из ак-
аксиом с помощью методов дедукции, заданных явно.
Было бы неправильно делать отсюда вывод, что системы
оснований математики — первичный фундамент, на котором ма-
математика фактически создана. Искусственность такой точки зре-
зрения станет очевидной, если вспомнить о том, что основное со-
содержание математики существовало и до подведения фунда-
фундамента и его существование не зависит от этого фундамента.
Например, вещественные числа можно мыслить как бесконечные
десятичные дроби или как точки числовой прямой. По-другому
их можно ввеЪти как элементы некоторого полного упорядочен-
упорядоченного поля или как классы эквивалентности последовательностей
Коши, или, наконец, как сечения Дедекинда. Ни один из этих
подходов нельзя назвать единственно правильным для объясне-
объяснения того, что же такое вещественные числа. Каждый из них
воплощает одно из интуитивных пониманий, и оцениваем мы
эти воплощения не в аспекте их правильности, а скорее с точки
зрения их эффективности при объяснении природы системы ве-
вещественных чисел.
Математическое открытие никоим образом не является про-
просто систематической дедуктивной процедурой. Оно требует про-
проницательности, воображения и долгих исследований в разных
направлениях, многие из которых не приводят ни к чему. Аксио-
Аксиоматическое представление служит для описания и «подачи»
плодов этой деятельности, часто в последовательности, отличной
от той, в которой они возникали. Оно вносит в предмет связ-
1.3. Математика как теория множеств 27
ность и единство, а также дает общий взгляд на его объем и
границы.
Формальные структуры, после того как они прольют свет на
нашу интуицию, можно использовать в дальнейших исследова-
исследованиях. Именно на этом уровне аксиоматический метод действи-
действительно созидает. Систематизация некоторой частной теории мо-
может привести к новым открытиям в ней или к осознанию ана-
аналогий с другими теориями и их последующей унификации. Это
относится уже к разработке математики. Что касается изучения
самих «оснований», то здесь аксиоматика играет в основном
описательную роль. Система оснований служит не столько под-
поддержанию всего здания математики, сколько освещению прин-
принципов и методов, с помощью которых было построено это зда-
здание. «Основания» являются дисциплиной, которую можно рас-
рассматривать как ветвь математики, стоящую несколько в стороне
от остальной ее части и созданную для описания мира, в кото-
котором работает математик.
1.3. МАТЕМАТИКА КАК ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Приравнивание математики к теории множеств можно рас-
рассматривать не без некоторых оснований как итог того направ-
направления, которое приняло развитие математики в последнее время.
Многие, вероятно, слышали о революции в школьной программе,
называемой «новой математикой». Она связана главным обра-
образом с введением теории множеств в курс начального образова-
образования и подчеркивает ведущую роль этого предмета для матема-
математиков. Из всего, что было предложено в рамках оснований
математики, теории множеств получили наиболее широкое при-
признание и им уделялось наибольшее внимание. Такие системы, как
ZF и NBG, предлагают изящный формализм и объяснение основ-
основных понятий, используемых математиками. Поль Коэн, работа
которого о независимости континуум-гипотезы в 1963 г. при-
привела к настоящему взрыву активности в теории множеств, ска-
сказал: «Анализируя математические рассуждения, логики пришли
к убеждению, что понятие множества является самым основным
в математике».
Теория множеств помимо, а возможно, и по причине ее цент-
центральной роли в основаниях занимает господствующее положе-
положение в математической практике. Это не означает, что матема-
математики мыслят только в теоретико-множественных терминах, хотя
очень часто это действительно так. Скорее дело в том, что тео-
теория множеств служит основным инструментом при изложении
и сообщении результатов. Она способствовала бурному росту
математики, как в количественном отношении, так и по спектру
ее тем и приложений. Трудно найти современную книгу по лю-
любой из областей чистой математики, будь то алгебра, геометрия,
28 Гл. 1. Математика = теория множеств?
анализ или теория вероятностей, в которой бы не использова-
использовались теоретико-множественные обозначения.
Группа французских математиков, работающих под псевдо-
псевдонимом Никола Бурбаки, взялась в 1935 г. за неимоверно боль-
большой труд «описать аксиоматически все здание математики
целиком». В результате за 40 лет вышло приблизительно
столько же томов, охватывающих алгебру, анализ и топологию.
Первая книга этого авторитетного труда посвящена теории мно-
множеств, которая служит основой всего смелого предприятия.
Бурбаки заявил A949 г.): «...все математические теории можно
рассматривать как расширения общей теории множеств...
я утверждаю, что на этом фундаменте можно построить все зда-
здание сегодняшней математики».
Главное, на что мы хотим обратить внимание читателя —
это то, что с появлением теории категорий перспективы измени-
изменились и утверждение Коэна даже на первый взгляд не кажется
уже очевидным. Конечно, можно мыслить объекты математиче-
математического изучения как множества, однако уже нет уверенности, что
и в будущем их будут рассматривать так. Без сомнения, основ-
основной язык теории множеств останется важным инструментом в
тех случаях, когда надо рассматривать совокупности предметов.
Но понимание самих предметов как множеств потеряло свое
преимущественное значение в силу появления естественной и
привлекательной альтернативы. Кажется очень правдоподобным
ослабление роли теории множеств как универсального языка
оснований математики в последующие годы. Чтобы развеять
неправильное впечатление, которое может создать последняя из
приведенных выше цитат, следует отметить, что французские
математики поняли это одними из первых. Ренэ Том в Thorn
[71] писал, что «старая надежда Бурбаки увидеть математиче-
математические структуры естественно возникающими из иерархия мно-
множеств, из их подмножеств и из их комбинаций является, несом-
несомненно, лишь иллюзией». В речи Жана Дьедонне от 1961 г.
имеется следующее пророчество:
«Как вам известно, в промежуток между 1920 и 1940 годами
произошло полное изменение в классификации различных обла-
областей математики, вызванное новым взглядом на сущность са-
самого математического мышления, который восходит к работам
Кантора и Гильберта. Из последних возникли систематическая
аксиоматизация всей математической науки и фундаментальное
понятие математической структуры. Возможно, вы пока и не
подозреваете, что сейчас математика стоит на пороге второй
революции. Она в некотором смысле завершит дело первой ре-
революции, а именно освободит математику от чрезмерных огра-
ограничений «множества»; она связана с теорией категорий и функ-
функторов, оценивать область применения и все последствия которой
пока еще рано...». (Цитировано по Fang [70].)
Глава 2
ЧТО ТАКОЕ КАТЕГОРИИ
...понимание заключается в сведении
одного типа реальности к другому.
Клод Леви-Стросс
2.1. ЯВЛЯЮТСЯ ЛИ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВАМИ?
Хорошей иллюстрацией того, как в теории множеств проис-
происходит формализация интуитивной математической идеи, может
послужить рассмотрение понятия функции. Функция есть связь
между объектами. Точнее, это — соответствие, сопоставляющее
Выход f{x) _
Рис. 2.1.
заданному объекту точно один другой объект. Последнее можно
мыслить как правило или операцию, применяя которую к
чему-то, мы получаем нечто, связанное с ним. Функцию удобно
изображать в виде процесса «вход — выход», напоминающего
«черный ящик» (см. рис. 2.1). Функция однозначно перерабаты-
перерабатывает вход в выход. Например, предписание «умножить на 6»
определяет функцию, которая по входу 2 дает выход 6X2= 12,
связывает с 1 число 6, сопоставляет 24 числу 4 и т. д. Входы
называются аргументами функции, а выходы — значениями или
образами входных данных, по которым они выработаны. Пусть
f — некоторая функция, а х— вход. Соответствующий выход,
образ х относительно f, обозначается через f(x). Предыдущий
пример тогда можно воспроизвести в виде функции f, заданной
правилом f(x) = 6х.
Если А — множество всех возможных входов функции f
(в нашем примере А включает число 2, но не включает Эйфе-
леву башню), а В — множество, включающее все /-образы эле-
элементов из А (а также, возможно, и Эйфелеву башню), то гово-
говорят, что f является функцией из множества А в множество В.
Это выражают записью /: Л-vB или А-^+В. Множество А
30 Fa. 2, Что такое категории
называется областью определения или источником функции f, a
В — областью значений или целью.
Как обращаются с этим понятием в теории множеств? Преж-
Прежде всего вводится понятие упорядоченной пары, состоящей из
двух объектов, один из которых считается первым, а другой -—
вторым. Через (х, г/> обозначается упорядоченная пара, имею-
имеющая в качестве первого элемента х и у-—в качестве второго.
Существенным свойством этого понятия является то, что <х, уУ—
= <z, w) в том и только том случае, когда х = z я у = га.
Определим теперь (бинарное) отношение как множество, эле-
элементами которого являются упорядоченные пары. Это формали-
формализует интуитивное понятие связи, упоминавшееся выше. Если
R— некоторое отношение (множество упорядоченных пар) и
(х, y)^R (иногда пишут >-Ry), то подразумевается, что эле-
элемент у сопоставлен элементу х с помощью связи, представленной
отношением R. Например, выражение «меньше» устанавливает
связь между числами и определяет множество
{(х, у}: х меньше у).
Заметим, что обе пары <1, 2> и <1, 3> принадлежат этому мно-
множеству, т. е. отношение может связывать несколько объектов
с одним.
Всякая функция /задает отношение
f = {<х, у): у есть f-образ х}.
Чтобы выделить те отношения, которые представляют функции,
нужно воспользоваться характерной чертой функций, а именно
тем, что заданный вход однозначно перерабатывается в соот-
соответствующий выход. Это значит, что каждый элемент х может
быть первым элементом только одной упорядоченной пары
из /, т. е.
(*) если (х, !/>ef и <х, г>е/, то у = z.
Это и есть наша теоретико-множественная характеризация функ-
функции как множества пар, удовлетворяющего условию (*). То, что
происходит потом, представляет собой излюбленный прием ма-
математиков—формальная интерпретация становится настоящим
определением. В книгах всех уровней по математике обычно
где-нибудь вначале имеется утверждение следующего содержа-
содержания: «функцией называется множество упорядоченных пар, та-
такое, что...».
Насколько успешна эта теоретико-множественная формули-
формулировка понятия функции? Технически она работает очень хорошо
и позволяет легко развить теорию функций. Однако существует
ряд второстепенных возражений, возникающих на концептуаль-
концептуальном уровне. Кое-кто может сказать, что множество f — вообще
не фун сция, а график функции /. Этот термин пришел из гео-
2.1. Являются ли функции множествами?
31
Рис. 2.2.
метрии. Нанося на плоскость точки с координатами вида <х, 6х>,
мы получаем прямую линию (см. рис. 2.2), называемую графи-
графиком функции f(x) = 6x. Эта терминология переносится в более
общий контекст, в частности в топологию и анализ, где авторы
часто проводят явное различие между функцией f: A-+B и ее
графиком, под которым понимается множество {{х, f{x}~): хеЛ}.
Сочетание этих двух понятий может легко привести к нераз-
неразберихе.
Другая трудность связана с понятием области значений.
Область определения (множество входов) функции /, заданной
как множество упорядоченных пар, вос-
восстанавливается без труда, а именно
dom f = {х: <х, г/> е f
для некоторого у}.
А как же быть с областью значений за-
заданной таким образом функции f? На-
Напомним, что в качестве таковой можно
взять любое множество, включающее все
выходы функции f. Все выходы сами об-
образуют так называемую область измене-
изменения или образ функции f:
Imf = {у: <х, г/> е / для некоторого х}.
В общем случае f можно называть функцией из множества А в
множество В, где А = dom f, а 1ш f s В. Следовательно, для
функции, заданной как множество упорядоченных пар, область
значений не определяется однозначно. Это может показаться
пустяком, но этот пустяк приводит к некоторым трудностям,
относящимся к очень важному понятию тождественной функции.
Эта функция характеризуется правилом f(x) = x, т. е. выход,
сопоставляемый заданному входу, совпадает с самим входом.
Каждое множество А имеет свою собственную тождественную
функцию, называемую тождественной функцией множества А и
обозначаемую через id/i, областью значений которой является
данное множество А. Образ функции icU также совпадает с А.
С теоретико-множественной точки зрения id.4 = «л:, х): х<=А).
Пусть теперь А — подмножество множества В. Тогда пра-
правило f(x) = х задает функцию из А в В. Эта функция называется
функцией включения подмножества А в множество В и обычно
обозначается через А <=• В. Употребляя новое слово, мы под-
подчеркиваем, что данная функция включает элементы множества
А в совокупность элементов множества В. Несмотря на то что
понятия тождественной функции множества А и функции вклю-
включения подмножества А в В достаточно далеки, с теоретико-мно-
теоретико-множественной точки зрения они совпадают, т е. представляют
собою одно и то же множество упорядоченных пар.
32 Гл. 2. Что такое категории
Один из способов преодоления этой трудности заключается
в следующем изменении определения функции. Для множеств
А и В определим прежде всего произведение, или декартово
произведение, этих множеств как множество всех упорядочен-
упорядоченных пар, первый элемент которых принадлежит А, а второй — В.
Оно обозначается через А X В. Итак,
ЛХ?= {<*, у): х<=А и j/eB).
Определим теперь функцию как тройку / = (.4, В, R), где
R s А X В — отношение между А и В (график функции /), та-
такое, что для каждого хеЛ существует ровно один у е В с
<А', y}^R. В итоге область определения Л и область значений
В вводятся в определение функции с самого начала.
Хотя измененное так определение и приводит все в некоторый
порядок, оно тем не менее сохраняет прежнее представление о
функции как о множестве некоторого рода — фиксированном,
статическом объекте. Оно не отражает «операционный» или пре-
преобразовательный аспект данного понятия. Принято говорить о
«применении» функции к некоторому аргументу или о функции,
действующей на некоторой области. При этом создается опреде-
определенное впечатление действия и даже движения, что подчерки-
подчеркивается использованием стрелок, терминологией типа «источ-
«источник— цель» и такими обычными синонимами слова «функция»,
как «преобразование» и «отображение». Здесь явная аналогия
с физической силой, действующей на объект, чтобы передви-
передвинуть его куда-нибудь или заменить на другой объект. Действи-
Действительно, геометрические преобразования (вращения, отражения,
растяжения и т д.) являются функциями, которые практически
буквально описывают движение, а в прикладной математике
силы фактически моделируются функциями. Описанные здесь
динамические качества представляют собой существенную часть
значения слова «функция», как оно употребляется в математике.
Определение функции через упорядоченные пары не отражает
этого. Оно является формальной теоретико-множественной мо-
моделью интуитивной идеи функции — моделью, которая охваты-
охватывает лишь один аспект этой идеи, а не все ее значение в целом.
2.2. КОМПОЗИЦИЯ ФУНКЦИЙ
Пусть /: А-+В и g: B-+C — две функции, такие, что цель
первой из них совпадает с источником другой. Тогда по правилу
«применить f, а затем g» можно получить новую функцию. Для
элемента х^А выход f(x) является элементом множества В,
а поэтому некоторым входом для g. Применение g дает элемент
g(f(x)) из С. Переход от х к g(f(x)) определяет функцию с
областью определения А и областью значений С. Она назы-
2.2. Композиция функций
33
вается композицией функций j и g, обозначается через go/ и
символически записывается правилом g °f (х) = g(f (х)).
f В
С
Предположим теперь, что имеются три функции f: А-*-В,
¦g: B-+C и h: С-*¦?), области определения и области значений
которых связаны так, что можно применить последовательно
все три функции и получить в результате функцию из А в D.
В действительности это делается двумя способами, так как на
первом этапе мы можем образовать композиции g°f: A-+C и
hog: B-*-D. Далее по правилу «применить f, а затем hog» мы
получим функцию (hog) о/, а по правилу «применить g°f, а за-
затем /г» — композицию h ° (g °f).
f
На самом деле эти две функции совпадают. Анализируя их вы-
выходы, мы убеждаемся, что
l(h°g)°f](x) = fi°g(f(x))=h(g(f(x))).
Итак, данные две функции имеют одинаковые области опреде-
определения и области значений и одинаковые выходы для одинаковых
входов. Обе они равноценны правилу «применить f, затем g, a
затем /г». Иначе говоря, эти функции совпадают, и мы устано-
установили следующее:
Закон ассоциативности для композиции функций, h ° (g « f) =
= (hog) of.
Этот закон позволяет опустить скобки и писать просто
h°g°f, не создавая при этом путаницы. Отметим, что данный
закон неприменим к произвольной тройке функций — равенство
имеет смысл только тогда, когда они «образуют путь», т. е. их
источники и цели расположены, как указано выше.
2 Зак. 651
34 Гл. 2. Что такое категории
Последний рисунок представляет собой пример коммутатив-
коммутативной диаграммы, очень важного понятия, которое в теории кате-
категорий используют для наглядности изложения. Под диаграммой
мы понимаем изображение некоторых объектов вместе с некото-
некоторыми стрелками (обозначающими функции), которые соединяют
эти объекты. Нарисованный ниже «треугольник» стрелок /, g, h
также является диаграммой.
• В
Он называется коммутативным, если h — g°f. Дело в том, что
в данной диаграмме имеются два пути от Л к С: один идущий
по / и затем по g, а другой — прямо по h. Коммутативность
означает, что оба пути приводят к одному и тому же результату.
Более сложная диаграмма, подобная изображенной выше, на-
называется коммутативной, когда все возможные треугольники,
составляющие части данной диаграммы, коммутативны. Это
означает, что любые два пути стрелок данной диаграммы, начи-
начинающиеся в одном и том же объекте и заканчивающиеся в одном
и том же объекте, задают в композиции одну и ту же функцию.
Композиции с тождественными функциями
Что можно сказать о композиции функции с тождественной
функцией? За функцией f: A-+B может следовать ids. Вычисляя
выходы для^еЛ, мы получаем, что
Аналогично функции g: В -> С может предшествовать ids и в
этом случае для х е В
Так как функции idBof и f имеют одинаковые источники и цели
и функции g о idfi и g также шмеют одинаковые источники и цели,
то в результате установлен следующий
Закон тождества для композиции функций. Для любых функ-
функций f: Л->В и g: B-+C выполнены равенства ide°/ = / и
2.3. Категории: первые примеры
35
Закон тождества эквивалентен утверждению о коммутатив-
коммутативности следующей диаграммы:
2.3. КАТЕГОРИИ: ПЕРВЫЕ ПРИМЕРЫ
Как мы уже говорили, категорию первоначально можно пред-
представлять себе в виде универсума для некоторого математиче-
математического обсуждения, и такой универсум задается спецификацией
объектов определенного рода и определенного рода «функций»
между такими объектами. В общей теории категорий вместо
слова «функция» используют более нейтральное слово «стрел-
«стрелка» (а также слово «морфизм»). Следующая таблица перечис-
перечисляет некоторые категории, указывая их объекты и стрелки.
Категория
Объекты
Стрелки
Set
Finset
Nonset
Top
Vect
Grp
Mon
Met
Man
Top Grp
Pos
все множества
все конечные множества
все непустые множества
все топологические простран-
пространства
векторные пространства
группы
моноиды
метрические пространства
многообразия
топологические группы
частично упорядоченные мно
жест в а
все функции между мно-
множествами
все функции между конеч-
конечными множествами
все функции между непус-
непустыми множествами
все непрерывные функции
между топологическими
пространствами
линейные преобразования
гомоморфизмы групп
гомоморфизмы моноидов
сжатия
гладкие отображения
непрерывные гомоморфизмы
монотонные функции
В каждом из этих примеров, кроме трех первых случаев, объек-
объектами являются множества с некоторой дополнительной струк-
структурой. Стрелками для них служат все функции между множест-
множествами, которые в каждом из рассматриваемых случаев удовле-
удовлетворяют условиям, связанным с этой структурой. Совершенно
необязательно, чтобы читатель был хорошо знаком со всеми
этими примерами. Но что действительно важно, — это чтобы
он или она понимали, что общего между всеми ними, что делает
каждый из них категорией. Ключ лежит не в конкретной
36 Гл. 2. Что такое категории
природе заданных объектов и стрелок, а в том, как ведут себя
соответствующие стрелки. В каждом из указанных случаев вы-
выполняется следующее:
(a) с каждой стрелкой связано два специальных объекта —
ее начало и конец;
(b) имеется операция композиции, которая применяется к
определенным парам <g\ /> стрелок данной категории (когда
область определения функции g совпадает с областью значений
функции /) и дает в результате новую стрелку g о /, также при-
принадлежащую данной категории. (Композиция гомоморфизмов
групп есть снова гомоморфизм групп, композиция непрерывных
функций между топологическими пространствами сама непре-
непрерывна и т. д.) Эта операция композиции всегда удовлетворяет
закону ассоциативности, описанному в § 2.2;
(c) с каждым объектом данной категории связана специаль-
специальная стрелка — единичная, или тождественная, стрелка этого
объекта. (Тождественная функция на топологическом простран-
пространстве непрерывна, а на группе является гомоморфизмом групп
и т. д.) В данной категории единичные стрелки удовлетворяют
закону тождества, описанному в § 2.2.
Примеры из нашего списка имеют и другие общие черты. Но
рассматривая их как категории, мы особенно выделяем два
свойства: ассоциативность композиции и существование единиц,
что отражается в следующем определении.
Аксиоматическое определение категории. Категория Ф вклю-
включает в себя
A) совокупность предметов, называемых ^-объектами;
B) совокупность предметов, называемых %?-стрелками;
C) операции, ставящие в соответствие каждой ^-стрелке /
'ё'-объект domf (начало стрелки /) и ^-объект cod/ (конец
стрелки /). Тот факт, что а = dom / и 6 = cod/, изображается
так:
, , f ,
j: a^b, или а—*¦ о;
D) операцию, ставящую в соответствие каждой паре (g, /¦>
^-стрелок с dom g = cod/ ^-стрелку g?f, композицию f и g,
с dom (gof) = dom /и cod (g о f) = cod g, т. e. g ° /: dom / ->- cod g,
причем выполняется следующее условие.
Закон ассоциативности. Пусть
а —*¦ b —*¦ с —*¦ d
— конфигурация ^-объектов и ^-стрелок. Тогда h°(g°f) =
= {hog) of.
2.4. Патология введенной абстракции
37
Закон ассоциативности утверждает, что диаграмма вида
всегда коммутативна;
E) сопоставление каждому "^-объекту Ь ^"-стрелки 1Й:
b —>- b, называемой единичной или тождественной стрелкой, так
что выполнен
Закон тождества. Для любых "й'-стрелок f: a->b и g: Ь-^-с
b°f = f И go1b = g,
т. е. коммутативна диаграмма
2.4. ПАТОЛОГИЯ ВВЕДЕННОЙ АБСТРАКЦИИ
Процесс, с помощью которого только что было введено по-
понятие категории, представляет собой один из основных методов
чистой математики. Он называется абстракцией. Начинается он
с признания (в силу опыта работы и в результате исследования
ряда конкретных ситуаций) того факта, что некоторое явление
повторяется, что существует ряд общих черт, что имеется фор-
формальная аналогия в поведении некоторых разных сущностей.
Затем мы переходим собственно к процессу абстракции, в кото-
котором эти черты выделяются и представляются изолированно —
аксиоматическое описание абстрактного понятия. Это в точности
соответствует тому, как мы получили общее определение кате-
категории, рассматривая список конкретных категорий. Тот же про-
процесс приводит ко всем известным абстрактным структурам
(группа, векторное пространство, топологическое пространство
и т. д.) — предмету исследований математиков.
Введя некоторое абстрактное понятие, мы развиваем затем
его общую теорию и ищем его дальнейшие иллюстрации. Эти
иллюстрации называют примерами данного понятия или моде-
моделями группы аксиом, определяющих данное понятие. Любое
утверждение из общей теории рассматриваемого понятия, т. е.
38 Гл. 2. Что такое категории
утверждение, выведенное из данных аксиом, справедливо для
всех моделей этих аксиом. Обратным к абстракции является
процесс специализации — поиск новых моделей. Прогресс в по-
понимании наступает, с одной стороны, с осознанием того, что
некоторая частная структура дает иллюстрацию более общего
явления, а с другой, — с осознанием того, что несколько различ-
различных структур имеют нечто общее. Наше познание математиче-
математической реальности идет через взаимодействие этих двух процес-
процессов, через движение от конкретного к общему и наоборот. Хоро-
Хорошим наглядным примером, как видно из дальнейшего, может
служить развитие теории топосов.
Важный аспект процесса специализации связан с так назы-
называемыми теоремами представления. Это теоремы о том, что лю-
любая модель данных аксиом, определяющих некоторую абстракт-
абстрактную структуру, должна быть (эквивалентна) одной из моделей
некоторого конкретного списка. Они «измеряют», в какой сте-
степени исходные мотивирующие примеры охватывают все возмож-
возможные модели соответствующей общей теории. Так (в силу тео-
теоремы Кэли), известно, что любую группу можно рассматривать
как группу перестановок некоторого множества, а любую бу-
булеву алгебру — как алгебру подмножеств некоторого множе-
множества. Грубо говоря, чем конкретнее абстракция, т. е. чем больше
условий мы вносим в абстрактное понятие, тем меньше сущест-
существует примеров. В крайнем случае имеется ровно одна модель.
Классический пример — аксиоматическое задание полного упо-
упорядоченного поля. В действительности существует лишь одно
такое поле, а именно система вещественных чисел.
Аксиомы категории задают очень бедную абстракцию. Здесь
нет теоремы представления в терминах нашего первоначального
списка. Мы начинали с рассмотрения «общих универсумов ма-
математических рассуждений». Однако при этом мы выбрали лишь
«голый костяк» исходных примеров, настолько бедный «мясом»,
что допустимы разнообразные «патологические» случаи, совер-
совершенно отличные от Set, Top, Vect и т. д. Легко указать катего-
категории, которые не представляют собой универсума математиче-
математического рассуждения, или категории, в которых объекты не есть
множества, стрелки не похожи на функции, а операция компо-
композиции не имеет ничего общего с композицией функций. Ниже
описываются некоторые из таких категорий. Настоятельная
просьба к читателю—-изучить их внимательно, восполнить не-
недостающие детали в определениях и проверить в каждом из
случаев выполнение аксиом ассоциативности и тождества.
2.5. ОСНОВНЫЕ ПРИМЕРЫ
Пример 1. Категория 1. Она имеет единственный объект и
единственную стрелку. Следует сказать, что этим она опреде-
определяется полностью. Обозначим ее единственный объект через а,
2.5. Основные примеры 39
а единственную стрелку — через f. Тогда обязательно domf =
= cod/ = a, поскольку имеется лишь один объект а. Так как
/ — единственная стрелка, то в качестве единичной стрелки мож-
можно взять лишь ее, т. е. мы полагаем la = /• Единственной парой,
для которой нужно определить композицию, является пара <f, f>,
ii мы полагаем f°f = f- Это дает закон тождества, ибо iaof =
= / о \а = f of = f) и закон ассоциативности, ибо f°(f°f) =
= (f °f) of = f. Итак, мы получили категорию, которую мы изо-
изображаем диаграммой вида
(У
Правда, мы не сказали, что представляют собой аи/. Суть дела
в том, что они могут быть чем угодно. В качестве а можне
взять некоторое множество с тождественной функцией f на нем.
Но также в качестве f можно взять произвольное число или пару
чисел, банан или Эйфслеву башню и даже Ричарда Никсона.
То же самое относится и к а. Как только любые два предмета
выбраны и обозначены через а и /, а затем определены, как и
выше, dom/, cod f, 1a и f >f, так сразу мы приходим к структуре,
удовлетворяющей аксиомам категории. Каковы бы ни были а
и f, данная категория будет похожа на предыдущую диаграмму.
В этом смысле существует «реально» только одна категория
с единственным объектом и единственной стрелкой. Ее обозна-
обозначают через 1. В качестве образца такой категории мы можем
взять категорию, единственным объектом которой служит число
О, а единственной стрелкой — упорядоченная пара <0, 0>.
Пример 2. Категория 2. Эта категория имеет два объекта и
три стрелки и выглядит так:
О О
В качестве двух объектов возьмем числа 0 и 1, а в качестве
стрелок — пары <0, 0>, <0, 1> и <1, 1>. Пусть
@,0): 0^0,
@, 1): 0-И,
A,1): 1-1.
1огда
@, 0) = 10 (единичная стрелка на 0) и A, l) = 1i.
40 Гл. 2. Что такое категории
При наших требованиях композицию на этом множестве можно
ввести только одним способом:
1о°1о = 1о, <0, 1>°1„ = <0, 1>, 1,о<0, 1> = <0,1> и 1,о11 = 11.
Пример 3. Категория 3. Она имеет три объекта и шесть стре-
стрелок, три неединичные стрелки можно расположить в виде тре-
треугольника:
В этом случае композиция также определена однозначно.
Пример 4. Предпорядки в общем случае. В каждом из наших
трех первых примеров композицию можно определить только
одним способом. Причина этого состоит в том, что любые два
объекта связаны не более чем одной стрелкой, а потому выбор
стрелки однозначен, если известны ее начало и конец. В общем
случае категория, в которой любые два объекта р и q связаны
не более чем одной стрелкой p->q, называется категорией пред-
порядка. Если Р есть совокупность объектов категории предпо-
рядка, то на ней определено следующее бинарное отношение R
(т. е. множество R = Р X Р): .
<р, <7> е R тогда и только тогда, когда в данной категории
предпорядка существует стрелка p-*-q.
Отношение R обладает такими свойствами (мы пишем pRq
вместо (р, q} e R):
(i) рефлексивность, т. е. для каждого р выполнено pRp\
(и) транзитивность, т. е. если pRq и qRs, то pRs.
(Условие (i) вытекает из того, что для любого объекта р Суще-
Существует единичная стрелка р-*-р. Для (И) заметим, что стрелка
из р в q дает в композиции со стрелкой из q в s стрелку из
р в s.)
Транзитивное и рефлексивное бинарное отношение обычно
называют отношением предпорядка. Мы только что убедились,
что категория предпорядка определяет естественное отношение
предпорядка на совокупности своих объектов (откуда и ее на-
название). Обратно, если начинать с множества Р, предупорядо-
ченного отношением R (т. е. /?еРХ^ — рефлексивное и тран-
транзитивное отношение), то можно построить категорию предпо-
предпорядка следующим способом. Ее объектами являются элементы
р множества Р, а стрелками — пары (р, ^>, для которых pRq.
Пара (р, q} является стрелкой из р в q. Для компанующихся
пар
<р, ф <q, s> ra
р >-q t-s
положим
2.5. Основные примеры 41
Отметим, что если <р, q.} и (q, s> — стрелки, то pRq и qRs, по-
поэтому pRs (транзитивность), откуда вытекает, что <р, s> также
стрелка. Имеется не более одной стрелки из р в q, причем ее
наличие зависит от того, выполнено или нет pRq, и по транзи-
транзитивности существует единственная композиция стрелок. По реф-
рефлексивности <р, р} — всегда стрелка, каков бы ни был эле-
элемент р. Более того, <р, р> =1Р.
В примерах 1—3 определены категории предпорядка, отно-
отношение предпорядка на которых удовлетворяет следующему до-
дополнительному условию:
(ш) антисимметричность, т. е. если pRq и qRp, то
p = q.
Антисимметричное отношение предпорядка называют отноше-
отношением частичного порядка. Этот вид отношения мы обычно обо-
обозначаем через е, т. е. пишем p^q вместо pRq. По определению
частично упорядоченное множество или, короче, ч. у. множество
есть пара Р = <Р, Е=>, состоящая из множества Р и отношения
частичного порядка с= на Р. Эта структура будет играть цен-
центральную роль в нашем изучении топосов.
Множество {0} превращается в ч. у. множество, если поло-
положить 0е=0. Соответствующей категорией предпорядка является
1 (пример 1). Категория предпорядка 2 соответствует отноше-
отношению частичного порядка на множестве {0, 1} cOcl (и, конечно,
с ОеО и 1^1). Это обычный числовой порядок s?I для чисел
О и 1 (где ^ означает «меньше или равно»), Категория 3 соот-
соответствует обычному упорядочению трех элементов множества
{0, 1, 2}. Эту конструкцию можно продолжить далее, построив
категорию предпорядка 4 по обычному упорядочению множе-
множества {0, 1, 2, 3}, а в общем случае по каждому натуральному
числу п можно построить категорию предпорядка п, используя
обычный порядок на {0, 1, 2, ..., п — 1}. Продолжая эту кон-
конструкцию, рассмотрим бесконечную совокупность
©= {0, 1, 2, 3, ...}
всех натуральных чисел с обычным отношением порядка. Ей
отвечает категория предпорядка с диаграммой
(композиции и единичные стрелки не изображены).
Простейшим примером категории предпорядка, но не частич-
частичного порядка является двухобъектная категория с четырьмя
стрелками
для которой pRq и qRp, но
42
Гл. 2. Что такое категории
Категорная интерпретация условия антисимметричности бу-
будет дана в следующей главе, а предыдущие числовые примерь:
подвергнутся повторному рассмотрению в примере 9.
Пример 5. Дискретные категории. Пусть Ъ — объект некото-
некоторой категории Я>>. Тогда 'Э'-стрелка 1 ь определена однозначно в
силу ее свойства, выраженного законом тождества. Действи-
Действительно, если стрелка Y:b-*b обладает тем свойством, что диа-
диаграмма
f
коммутативна для любых "^-стрелок fug указанного вида, то
в частном случае, когда /=1' и g=\b, коммутативна диа-
диаграмма
откуда 1й=1ь°Г (правый треугольник). Но по закону тож-
тождества (для / = Г) 1 ь о Г = Г. Значит, 1 ь = Г.
Поскольку, как мы выяснили, единичная стрелка 1» опре-
определяется однозначно по объекту Ь, то на практике иногда до-
допускают отождествление объекта b со стрелкой 1 ь и пишут
b: b-*-b, b о f и т. д. Итак, согласно аксиомам категорий, сово-
совокупность ^-стрелок, во всяком случае, включает в себя единич-
единичную стрелку для каждого ^-объекта (почему различные объ-
объекты должны иметь различные единичные стрелки?). Катего-
Категория W называется дискретной, если в ней имеются только такие
стрелки, т. е. каждая стрелка является единичной для некото-
некоторого объекта. Дискретная категория представляет собой пример
категории предпорядка, поскольку, как мы только что убедились,
заданный объект может иметь лишь одну единичную стрелку.
Отождествляя объекты с соответствующими единичными стрел-
стрелками, мы видим, что дискретная категория по существу есть не
что иное, как совокупность объектов. Действительно, любое мно-
множество X можно превратить в дискретную категорию, добавив
единичные стрелки х-тх для каждого х^Х, т. е. А' превра-
превращается в категорию предпорядка, соответствующую отношению
R ^ Х\Х, такому, что xRy тогда и только тогда, когда х = у.
2.5. Основные примеры
43
Пример 6. N. Настало время обратиться к некоторым кате-
категориям, имеющим более одной стрелки между заданными объ-
объектами. Настоящий пример имеет ровно один объект, который
мы обозначаем через N, и бесконечную совокупность стрелок
из N в N. По определению этими стрелками являются нату-
натуральные числа 0, 1, 2, 3 Каждая из стрелок имеет одно
и то же начало и конец, а именно единственный объект N.
Композиция двух стрелок (чисел) тип есть снова число. По-
Положим
т о п = т + п.
Итак, диаграмма
коммутативна по определению. Закон ассоциативности для
стрелок вытекает из ассоциативности сложения, т. е. из того,
что т + {п + К) = {т + п) + k для любых т, п и k.
Единичная стрелка 1 v объекта /V задается числом 0. Диа-
Диаграмма коммутативна, потому что
Пример 7. Моноиды. Категория N из последнего примера
является категорией потому, что структура (N, +, 0) есть при-
пример моноида, известного понятия из абстрактной алгебры.
Моноидом называется тройка М = (М, *, е), где
(i) M — некоторое множество;
(ii) -:;¦ — бинарная операция на М, т. е. функция из МУ(М
в М, ставящая в соответствие каждой паре {х,у) ^МУ^М эле-
элемент х»у из М, которая ассоциативна, т. е. **(</* г) = (x*
-::¦ у) * г ДЛЯ ЛЮбыХ X, у, ZE М\
(Hi) е — элемент множества М, называемый единицей мо-
моноида, для которого е % х = х * е = х при всех хеМ.
По любому моноиду М строится категория с одним объек-
объектом, как в примере 6. В качестве объекта берется множеством,
а в качестве стрелок М-+М — элементы из М, кроме того,
предполагается, что е=\М- Композиция стрелок х, у^М за-
задается по правилу
Хоу = Х*у.
44 Гл. 2. Что такое категории
Обратно, если 92 — категория с единственным объектом а,
а М — совокупность ее стрелок, то тройка (М, °,1а) является
моноидом. Все стрелки имеют одни и те же начала и концы,
а потому для них всегда определена композиция. Итак, в этом
случае композиция представляет собою функцию из М X М
в М, т. е. бинарную операцию на М, ассоциативную по закону
ассоциативности для категорий. По закону тождества 10 яв-
является единицей данного моноида.
Пример 8. Matr(K) (для тех, кто знает линейную алгебру).
Пусть К — коммутативное кольцо. Тогда множество всех мат-
матриц над К можно превратить в категорию Matr(K). Ее объек-
объектами являются целые положительные числа 1, 2, 3, ..., а стрел-
стрелками m->n-—матрицы размера пХяс элементами из К. Для
пары компануемых стрелок
в а
m —* п —*¦ р,
т. е. (рХ п) -матрицы А и (лХ ш) -матрицы В, композиция
А°В определяется как произведение ЛХВ матриц А а В (ко-
(которое является (рХ гп)-матрицей и задает стрелку вида т-*-р).
Категорная ассоциативность получается из ассоциативности
матричного умножения. Единичной стрелкой 1т является еди-
единичная матрица порядка т.
В конце этой главы мы рассмотрим некоторые способы об-
образования новых категорий по уже заданным.
Пример 9. Подкатегории. Пусть W — некоторая категория,
а а и Ь — ее объекты. Обозначим через Ч?(а, Ь) совокупность
^-стрелок с началом а и концом Ь, т. е.
W(a, b\ = {f: f является "^-стрелкой вида а-—> Ь}.
Категория *€ называется подкатегорией категории ЗЬ (обозна-
(обозначается это через <& s 3)), если
(i) каждый "^-объект является ^-объектом и
(И) для любых двух ^-объектов а и Ъ справедливо вклю-
включение Ф(а, Ь)*~ф{а, Ь), т. е. все ^-стрелки а-^-Ь представ-
представлены в ?Ь.
Так, например, Finset Е Set и Nonset s Set, хотя ни Finset,
ни Nonset ие являются подкатегориями одна другой. Категория
Я? называется полной подкатегорией категории 2D, если Ф^З) и
(Hi) для любых ^-объектов а и Ь выполняется равенство
Ч!?(а, Ь) = 3)(а, Ь), т. е. St) не имеет стрелок а->6, не лежа-
лежащих в Я!?.
Пусть 3) — некоторая категория, а С — произвольная сово-
совокупность ^-объектов. Тогда имеется полная подкатегория ф
в 3), "^-стрелками которой являются все ^-стрелки между
2.5. Основные примеры 45
элементами из С. Очевидно, что Finset и Nonset — полные под-
подкатегории Set.
Одной из важных полных подкатегорий в Finset (а значит,
и в Set) является категория Finord всех конечных ординалов.
Под конечными ординалами мы понимаем множества, обычно
используемые в основаниях теории множеств как представи-
представители натуральных чисел. Мы берем натуральные числа в каче-
качестве имен этих множеств, а именно:
0 для 0 (пустое множество),
1 для {О}(={0}),
2 для {0, 1}(={0, {0}}),
3 для {0, 1, 2} (= {0, {0}, {0, {0}}}),
4 для {0, 1,2,3}
и т. д.
Продолжая этот процесс индуктивно, положим, что нату-
натуральное число п есть имя множества
{О, 1, 2 я-1}.
Так образованная последовательность конечных множеств со-
состоит из всех конечных ординалов. Они и являются объектами
категории Finord, а в качестве стрелок берутся все функции
между конечными ординалами.
Разумеется, довольно смешно считать, что число 1 есть мно-
множество {0}, единственным элементом которого является множе-
множество, называемое нулем. Дело, однако, в том, что в аксиомати-
аксиоматической теории множеств, где разыскивается явное и точное опи-
описание математических сущностей и их интуитивно понимаемых
свойств, конечные ординалы дают такое «образцовое» пред-
представление для натуральных чисел. Они обладают сложной, хотя
и вполне изящной структурой, выявляющей все арифметические
и алгебраические свойства системы натуральных чисел. Отно-
Отношение включения и отношение принадлежности связывают их
следующим образом:
0e=l<=2es3<=
На самом деле следующие три утверждения эквивалентны:
(a) п<т (число п в обычном числовом смысле меньше,
чем число т),
(b) пат (множество п — собственное подмножество в т),
(c) п^т (п — элемент множества т).
Итак, п ^ т тогда и только тогда, когда п^т.
Поэтому (множество) ординал п = {0, 1, ..., п—1} имеет
упорядочение ^, которое естественно входит в его теоретико-
множественную структуру. Соответствующая категория предпо-
рядка является не "чем иным, как категорией m из примера 4.
46
Гл. 2. Что такое категории
Отметим, что если п ^ пг, то категория предпорядка п является
полной подкатегорией в т.
Пример 10. Произведения категорий. Объектами категории
Set2 пар множеств служат все пары <Л, В} множеств. Стрел-
Стрелками в Set2 из <Л, ?> в <С, D} являются пары <f, g} функций
вида f: А->С и g: B-»-D. Композиция определяется правилом
<f, §У ° <Г, g"> = <f ° Г. § ° g'}, где fof и g о g' — обычные ком-
композиции функций. Единичной стрелкой объекта <Л, ?> будет
пара <id,4, ids>.
Эта конструкция имеет следующее обобщение. Пусть &
и Ж) — две любые категории. Их произведение %?Х.З) является
категорией, объекты которой представляют собой все пары
<а, Ь), где а — объект из <ё>, a b — объект из 3). В качестве
ФХ ^-стрелок <а, ft>->-<c, d} берутся пары <f, g} стрелок вида
f: a-*-с в *& и g: b—^d в 3). Композиция определяется поком-
покомпонентно в соответствии с композициями в 1? и 3).
Пример 11. Категории стрелок. Объектами категории функ-
функций Set~* являются все функции f: А-*-В. Стрелка из Set^-объ-
екта f: A->B в Set^-объект g: C-+D представляет собой пару
функций <Л, k), такую, что диаграмма
А
В
D
коммутативна^ т. е. g ° h = k° f.
Зададим композицию правилом </, /> о </г, k} = </ о h, I ° k};
в ее корректности можно убедиться с помощью следующей диа-
диаграммы:
Единичной стрелкой Set^-объекта f: A-+B является пара тож-
тождественных функций <icU, idB>.
Эта конструкция также обобщается на любые категории %?,
при этом получается категория стрелок Ч?^, объектами которой
являются все 1?-стрелки.
2.S. Основные примеры
47
Пример 12. Относительные категории. Их можно рассматри-
рассматривать как специализации категорий стрелок, когда мы ограничи-
ограничиваемся стрелками с фиксированным концом или началом.
Так, например, взяв множество вещественных чисел R, мы
получаем категорию вещественнозначных функций Set|R. Ее
объектами являются все функции f: A-+-R с областью значений
R. В качестве стрелок из f: Л->К в g: B->R берутся функции
k: А-*-В, для которых коммутативен треугольник
А-
¦В
т. e. g о k = f.
Объекты категории Set { R иногда удобно представлять
в виде пар (Л,/) для /: Л-vR. Тогда композиция стрелок
(л,/)-Чв, §)-^{с, h)
в Set|R определяется как стрелка l°k: (Л,/)->(С, А),
Единичной стрелкой объекта f: Л-vR будет стрелка id^:
(Л,/)->(Л, f). Категория SetjR в том виде, как мы ее ввели,
не есть подкатегория категории Set"*, ибо имеет совсем другие
стрелки. Однако SetjR-стрелку k: (Л, /)->(fi, g) можно отож-
отождествить с Set""-стрелкой (k, idg), так как треугольник
коммутативен тогда и только тогда, когда коммутативен квад-
квадрат
к
Л
1
в
IR
48 Гл 2. Что такое категории
Это позволяет ввести категорию SetjR как (неполную) подка-
подкатегорию в Set"*.
Аналогично для любого множества X можно определить ка-
категорию SetjX функций со значениями в X. Перейдем теперь
к более общей ситуации, когда 9" — некоторая категория, a a —•
любой ее объект. Тогда объектами категории 9?\а объектов
над а являются все "iP-стрелки с концом в объекте а, а стрел-
стрелками из /: Ь-*-а в g: с-+а—такие "Э'-стрелки k: b-*-c, что
треугольник
коммутативен, т. е. g ° k = /.
Категории этого типа играют важную роль как в обеспече-
обеспечении примерами топосов, так и в развитии их общей теории.
Обращаясь к началам стрелок, можно определить категорию
Я&\ а объектов под а, объектами которой являются все "iP-стрел-
ки с началом а, а стрелками из f: a-*-b в g: a-vс — такие
"^-стрелки k: b~*-c, что треугольник
А
Ъ ^-—-с
коммутативен, т. е. k °,f = g.
Такие категории <&\а и Я2\а принято называть относи-
относительными.
Глава 3
СТРЕЛКИ ВМЕСТО ОТНОШЕНИЯ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ
Мир идей не открывается нам сразу.
Мы должны снова и снова воссоздавать
его в нашем сознании.
Ренэ Том
В настоящей главе мы рассмотрим ряд стандартных теоре-
теоретико-множественных конструкций и переформулируем их на
языке стрелок. Как указано во введении, общая задача при этом
состоит в том, чтобы понятия, определенные в терминах «внут-
«внутренней» структуры отношения принадлежности элемента мно-
множеству, охарактеризовать «внешним образом», в терминах
связей этого множества с другими множествами, связей, выра-
выражаемых функциями. Этот анализ приведет нас к понятию уни-
универсальности и понятию предела, которые охватывают в сущ-
сущности все построения в категориях.
3.1. МОНОМОРФНЫЕ СТРЕЛКИ
Говорят, что теоретико-множественная функция /: А-*-В инъ-
ективна, или взаимно однозначна, если не существует двух
различных входов, дающих один и тот же выход, т. е. если для
любых х, у ^А
из f(x) = f (у) следует х = у.
Предположим теперь, что f: A -> В инъективна, а две «парал-
«параллельные» функции g, h: C=^.A выбраны так, что диаграмма
А т > В
коммутативна, т. е. f о g = f ° ft.
Тогда для всякого хеС имеем /°g{x) = f°h(x), т. е.
f(g(x)) — f(h(x)). Но f инъективна, поэтому g(x) = h(x). От-
Отсюда следует, что g и h, имеющие один и тот же выход при
каждом входе, совпадают. Этим показано, что на инъективные
функции можно «сокращать слева», т. е.
если f°g = f°h, то g = h.
50 Гл. 3. Стрелки вместо отношения принадлежности
С другой стороны, если f такова, что на нее можно сокра-
сокращать слева, то она должна быть инъективна. Чтобы убедиться
в этом, возьмем такие х и у из А, что f(x) = f(y). Предписания
«g@) = *», «/i@)=*/» задают пару функций g, h из {0} (т. е.
из ординала 1) в А, для которых f°g = foh. В силу сократи-
сократимости слева g = А, откуда g @) = А @), т. е. х = у.
Мы видим, таким образом, что инъективные стрелки в Set —
это в точности те стрелки, на которые можно сокращать слева.
Рис. 3.1.
Последнее свойство, формулируемое исключительно с помощью
стрелок, приводит к следующему абстрактному определению.
Стрелка f: a-^-b в категории 9? называется мономорфной
или монострелкой в ЧР, если для любой пары g, A: czXa
^-стрелок из равенства f ° g = f ° h следует g = h. Для указа-
указания того, что / мономорфна, будет использоваться запись
/: а>—* Ь. Этот термин пришел из алгебры: инъективный алгеб-
алгебраический гомоморфизм (алгебраический гомоморфизм — это
стрелка в категориях вроде Моп и Grp) называют мономор-
мономорфизмом.
Пример 1. В категории N (пример 6 гл. 2) каждая стрелка
мономорфна. Сократимость слева здесь означает, что
из m + п = m + р следует п = р,
а это является, очевидно, верным предложением об операции
сложения натуральных чисел.
Пример 2. В категории предпорядка каждая стрелка яв-
является монострелкой. Действительно, для любой пары g, A:
с rt а имеем g = h, так как существует, самое большее, одна
стрелка с-*а.
Пример 3. В категориях Моп, Grp, Met, Top монострелки —
это те стрелки, которые являются инъективными теоретико-
множественными функциями (см., например, Arbib — Manes
[75]).
3.2. Эпиморфные стрелки
51
Пример 4. В относительной категории Ifla стрелка k из
(b.f) в (c,g)
ь-
мономорфна в 9?\а, если и только если k является монострелкой
в <8 как стрелка из Ъ в с. ?
Упражнения. В произвольной категории
A) композиция g о f является монострелкой, если как f, так
и g мономорфны;
B) если композиция g ° f мономорфна, то и f мономорфна.
3.2. ЭПИМОРФНЫЕ СТРЕЛКИ
Теоретико-множественная функция f: А-^В сюръективна,
или является наложением, если ее область значений В совпа-
совпадает с множеством всех ее значений, т. е. для каждого у е В
существует некоторый х^А, такой, что y = f{x), другими
словами, каждый элемент из В появится в качестве выхода f.
Определение этого понятия только в терминах стрелок полу-
получается из определения монострелки просто обращением стре-
стрелок. Формально:
Стрелка f: a-^b называется эпиморфной или эпистрелкой
(сократимой справа) в категории Ч?, если для произвольной
пары 'ё'-стрелок g, h: b=^c из равенства gof=h°f следует
g = h, т. е. всякий раз, когда диаграмма
f
коммутативна, будет g ••-— h. Для обозначения эпиморфизмов
применяется запись f: a-^-b.
В категории Set эпистрелки суть в точности сюръективные
отображения (упражнение или см. Arbib — Manes [75], стр. 2).
В категории N каждая стрелка эпиморфна, так как равен-
равенство л + m = р + m влечет за собой л = р. В категории пред-
порядка все стрелки эпиморфны.
В категориях из нашего исходного списка, в которых стрелки
суть функции, стрелки, являющиеся сюръективными функ-
функциями, будут всегда эпистрелками. Обратное верно в категории
Grp, но не в Моп. Включение натуральных чисел в целые есть
52 Гл. 3. Стрелки вместо отношения принадлежности
гомоморфизм моноидов (по отношению к операции +), не яв-
являющийся наложением, однако он сократим справа в Моп
(Arbib — Manes [75], стр. 57).
3.3. ИЗОСТРЕЛКИ
Теоретико-множественная функция, являющаяся как инъек-
тивной, так и сюръективной, называется биективной. Если
f: А>-^В биективна, то переход из Л в В с помощью f может
быть обращен. Мы можем мыслить / просто как переименова-
переименование элементов из А. Произвольный элемент b e В является
образом f(a) некоторого элемента яе/1 (свойство сюръектив-
ности), а на самом деле единственного такого а (свойство ииъ-
ективности). Значит, правило, ставящее в соответствие произ-
произвольному Ь это единственное а, т. е. гласящее, что
g(b) — а тогда и только тогда, когда f(a) = b,
определяет функцию В-»-Л, которая удовлетворяет равенству
g(f(a)) = а для всех а е А,
а также равенству
f(g(b))= Ь для всех &еВ.
Поэтому
g°f = \&а и f°g = idB.
Функция g, связанная с / указанным образом, называется об-
обратной к f. Эта в сущности «теоретико-стрелочная» идея при-
приводит к новому определению.
Произвольная стрелка /: а^-Ъ называется изострелкой или
обратимой в $? стрелкой, если существует ^-стрелка g: b-*-a,
такая, что g°f=Knf°g='\b-
На самом деле может существовать, самое большее, одна
такая стрелка g. Действительно, если g'°f=\a и fog'=\b,
то g' = 1 а ° g' = (g ° f) °g' = g°(fog') = g°U = g- Таким об-
образом, эта g, когда она существует, называется обратной к f
стрелкой и обозначается через f-1: b-*-a. Она определяется ус-
условиями [-'•[= 1а, f of'1 = Ь. Запись f: ac^b применяется для
обозначения изострелок.
Всякая изострелка является также монострелкой. Действи-
Действительно, если f°g = f°h и существует /-1, то g—\a*g=-
= (f" ° f) ° ё — f~l ° (f ° S) = f'1 ° (f °h) = 1" °h = h и. таким об-
образом, f сократима слева. Аналогичные рассуждения показы-
показывают, что всякая изострелка является эпистрелкой.
Как мы уже видели в начале этого параграфа, функция, яв-
являющаяся в категории Set эпистрелкой и монострелкой, имеет
обратную. Таким образом, в Set «изо» — синоним для «моно
3.4. Изоморфные объекты 55
и эпи». Мы увидим, что так же обстоит дело в топосе, но для
произвольной категории это, конечно, не верно.
Мы уже знаем, что в категории N каждая стрелка моно-
морфна и эпиморфна. Но единственной изострелкой является
0: N-*-N. Действительно, пусть т = п=1лг, т. е. m + п = 0.
Так как тип — натуральные числа и поэтому оба неотрица-
неотрицательны, то равенство может иметь место только при т = п = 0.
Отображение включения, упомянутое в конце предыдущего
параграфа, будет эпиморфным и мономорфным, но не является
изострелкой, так как если бы оно было обратимым, то было бы
биективным.
Если стрелка f: p^-q из категории предпорядка, соответ-
соответствующей ч. у. множеству Р = (Р, |=), имеет обратную стрелку
/""': q-*¦ р, то р!=<7 и qE=p, поэтому в силу антисимметрично-
антисимметричности р = q. Но тогда f должна быть единственной стрелкой \р
из р в р. Таким образом, в частично упорядоченном множестве,
рассматриваемом как категория (будем называть ее катего-
категорией порядка), каждая стрелка мономорфна и эпиморфна, но
изострелками являются только единичные стрелки.
Группы
Группа есть моноид (М, *, е), в котором для каждого х^М
существует у е М, удовлетворяющий равенствам х * у = е =
= у*х. На самом деле может существовать только один такой
у для данного х. Он называется обратным к х и обозначается
через х~\ Рассматривая моноид как категорию с одним объек-
объектом и применяя к нему введенную выше терминологию, прихо-
приходим к такому заключению: группа есть в сущности то же са-
самое, что однообъектная категория, в которой каждая стрелка
является изострелкой.
Упражнение 1. Каждая единичная стрелка является изо-
гтрелкой.
Упражнение 2. Если f — изострелка, то и /-1 — изострелка.
Упражнение 3. Если f и g — изострелки, то и fog —изо-
—изострелка, при этом (/ °g)~1 = g~] °/~'.
3.4. ИЗОМОРФНЫЕ ОБЪЕКТЫ
Объекты а и Ь называются изоморфными в W, символиче-
символически ад^Ь, если существует "^-стрелка f: a^-b, являющаяся изо-
изострелкой в Ч?, т. е. /: a s Ъ.
В категории Set отношение А эё В имеет место, когда суще-
существует биекция между А я В, при наличии которой каждое из
этих множеств можно представлять себе как переобозначение
54 Гл. 3. Стрелки вместо отношения принадлежности
другого. В качестве характерного примера такого переобозна-
переобозначения возьмем произвольное множество А и положим
Фактически В есть множество А с меткой «О», прикрепленной
к каждому его элементу. Правило f(x)= {х, 0> задает биекцию
/: А -> В, устанавливающую, что А ^ В.
В категории Grp две группы изоморфны, если существует
групповой гомоморфизм (функция, сохраняющая групповую
структуру) одной группы в другую, для которого найдется об-
обратное в теоретико-множественном смысле отображение, со-
сохраняющее групповую структуру (и являющееся поэтому об-
обратным в категории Grp). Такая стрелка называется изомор-
изоморфизмом групп.
В категории Тор изоморфные топологические пространства
называются обычно гомеоморфными. Это означает, что суще-
существует гомеоморфизм между ними, т. е. непрерывная биекция,
для которой обратное отображение тоже непрерывно.
В этих примерах изоморфные объекты «одинаковы». Можно
свободно переходить от одного к другому с помощью изострелки
и обратной к ней. Более того, эти стрелки, устанавливающие
взаимно однозначное соответствие между элементами двух
объектов, сохраняют и соответствующую структуру. Это озна-
означает, что мы можем заменить некоторые или все элементы
одного объекта их образами из другого объекта, не внося из-
изменения в структуру объекта. Так, изоморфные группы как
группы одинаковы, гомеоморфные топологические пространства
не различимы с помощью топологических свойств и т. д. В про-
произвольной математической теории изоморфные объекты нераз-
неразличимы с точки зрения этой теории. Цель теории — находить
и изучать построения и свойства, являющиеся инвариантными
при изоморфизмах этой теории (так, топология изучает свой-
свойства, которые не изменяются и не нарушаются при замене про-
пространства другим, гомеоморфным ему, пространством). Гово-
Говорят, что некоторое свойство определяет объект «однозначно
с точностью до изоморфизма», если всякий другой объект, об-
обладающий этим свойством, изоморфен ему. Говорят, что поня-
понятие «определено с точностью до изоморфизма», если его описа-
описание определяет объект не однозначно, а лишь однозначно с точ-
точностью до изоморфизма.
Теория категорий дает абстрактную формулировку идеи ма-
математического изоморфизма и изучает понятия, являющиеся
инвариантными при всех видах изоморфизмов. В теории кате-
категорий выражение «изоморфно» — фактически синоним слова
«есть». В самом деле, как мы увидим, большинство основных
3.5. Начальные объекты 55
определений и построений, которые можно провести в какой-
либо категории, определяют объект не абсолютно однозначно,
а только «с точностью до изоморфизма».
Скелетальные категории
Скелетальная категория — это категория, в которой «изо-
«изоморфный» означает то же самое, что и «равный», т. е. такая
категория, в которой всякий раз, как а ^ Ь, будет а — Ь. Мы
видели в последнем параграфе, что в категории порядка только
единичные стрелки являются изострелками. Это дает нам кате-
горную трактовку антисимметричности в предупорядоченных
множествах. Частично упорядоченное множество — это скеле-
скелетальная категория предпорядка.
Упражнение 1. Произвольные ^"-объекты обладают следую-
следующими свойствами:
(i) a^a,
(И) если а ^ Ь, то b ^ а,
(iii) если й ^ 6 и & = с, то а = с
Упражнение 2. Finord — скелетальная категория.
3.5. НАЧАЛЬНЫЕ ОБЪЕКТЫ
Какие свойства, сформулированные с помощью стрелок, вы-
выделяют 0 (пустое множество) в категории Set? Для данного
множества А можем ли мы найти какую-нибудь функцию
0-*~А? Вспоминая наше определение функции как тройки
(А, В, X}, в которой XS/4XB (§2.1), убеждаемся, что f =
= <0, А,0} является функцией из 0 в Л. График функции f
пуст и / называется пустой функцией для А. Так как 0ХЛ—
пустое множество, то 0 является его единственным подмноже-
подмножеством. Поэтому / — единственная функция из 0 в Л. Это на-
наблюдение приводит к следующему определению.
Определение. Объект 0 называется начальным в категории
(ё>, если для каждого объекта а из? существует одна и только
одна ^-стрелка из 0 в а. ?
Любые два начальных объекта изоморфны в 9$. Действи-
Действительно, если 0 и 0' — такие объекты, то существуют единствен-
единственные стрелки f: 0'-»-0, g: 0-»-0'. Но тогда стрелка fog: 0-^-0
должна совпадать с 1о, так как 0, будучи начальным объектом,
имеет единственную стрелку 0-»-0. Поскольку 0' тоже началь-
начальный объект, то стрелка g°f: O'-^-O' совпадает с 1о~ Таким об-
образом, f имеет обратную стрелку (а именно g), т. е. f: 0' s* 0. ?
Символ 0 выбран, конечно, потому, что в Set он является
именем пустого множества 0 и 0 является начальным объектом
56 Гл. 3. Стрелки вместо отношения принадлежности
в Set. В действительности 0 — единственный начальный
объект в Set. В то время как начальный "^-объект единствен
с точностью до изоморфизма, в категории ЧР = Set он един-
единствен.
В категории предпорядка, соответствующей предупорядочен-
ному множеству (Р, е=), начальный объект — это элемент
ОеР, удовлетворяющий условию Ос=р для всех р^Р (т. е.
наименьший элемент). В частично упорядоченном множестве,
где «изоморфно» означает «равно», может быть, самое большее,
один начальный объект (минимум или нулевой элемент). Так,
в частично упорядоченном множестве {0, ..., п—1} число О
является единственным начальным объектом, в то время как
в двухэлементной категории с диаграммой
оба объекта являются начальными.
В Grp и Моп начальным объектом является произвольная
одноэлементная алгебра (М, *, е), т. е. М = {е} и е*е = е.
Каждая из этих категорий имеет бесконечно много начальных
объектов.
В Set2 (категории пар множеств) начальный объект — это
пара <0, 0>, в то время как в категории Set~* (категории
функций) он имеет вид <0,0,0>, т. е. это пустая функция
из 0 в 0. В категории SetjR вещественнозначных функций
начальный объект — это функция / = <0, R, 0>. Действи-
Действительно, если g: Л—>-R произвольна, то сделать диаграмму
коммутативной можно, лишь если k = <0, Л, 0>, т. е. если k
равно пустому отображению из 0 в Л. D
Обозначение. Восклицательный знак часто используется для
обозначения единственной существующей стрелки. Единствен-
Единственную стрелку из 0 в а обозначим через ! :0-*-а. Ее мы будем
обозначать также через 0а, т. е. 0а: 0-*-а.
3.6. КОНЕЧНЫЕ ОБЪЕКТЫ
Обращая направление стрелок в определении начального
объекта, получаем следующее определение.
Определение. Объект 1 называется конечным в категории ^,
если для каждого "^-объекта а существует одна и только одна
стрелка из а в L
3.7. Двойственность 57
В Set конечные объекты — это синглетоны, т. е. одноэле-
одноэлементные множества {е}. Для данного множества А правило
f(x) = e определяет функцию /: Л->{е}. Так как е является ее
единственным возможным значением, то эта функция является
единственной такой функцией. Таким образом, Set имеет много
конечных объектов. Все они изоморфны между собой (конеч-
(конечные объекты изоморфны в любой категории). Их представите-
представителем является ординал 1 = {0} (отсюда и обозначение конеч-
конечного объекта).
Опять будем обозначать через ! :а-»-1 единственную стрелку
из а в 1. Другое обозначение —это 1а: а-»-1.
В категории предпорядка конечный объект удовлетворяет
условию р ЕЕ 1 Для всех р, т. е. является наибольшим элемен-
элементом. В частично упорядоченном множестве объект 1 единствен
(максимум), если он существует, и называется также единицей
категории Р.
В Grp и Моп конечные объекты — это опять одноэлемент-
одноэлементные моноиды. Поэтому в них конечные объекты — это то же
самое, что начальные объекты (таким образом, равенство
0 = 1 «истинно с точностью до изморфизма»). Объект, являю-
являющийся одновременно начальным и конечным, называется нуле*
вым объектом. Категория Set не имеет нулевых объектов. Тот
факт, что Grp и Моп имеют нулевые объекты, не позволяет им,
как мы увидим, быть топосами.
В SetjR пара (R, i<%) является конечным объектом. Для
данной пары (A, f) имеется только один способ сделать диа-
диаграмму
коммутативной —это положить k = f. ?
Упражнение 1. Доказать, что все конечные объекты изо-
изоморфны.
Упражнение 2. Найти конечные объекты в Set2, Set* и кате-
категории порядка п.
Упражнение 3. Показать, что стрелка 1->-а, началом кото-
которой является конечный объект, должна быть мономорфной.
3.7. ДВОЙСТВЕННОСТЬ
Мы уже видели, что понятие эпистрелки получается из опре-
определения монострелки «обращением стрелок». То же самое спра-
справедливо для понятий конечного и начального объектов. Эти два
примера иллюстрируют понятие двойственности в теории кате-
категорий, которое мы опишем сейчас несколько более подробно.
58 Гл. 3. Стрелки вместо отношения принадлежности
Если 2 — предложение категорного языка, то двойственным
20р назовем предложение, получаемое из 2 заменой «dom»
на «cod», «cod» на «dom» и «h — g°f» на «/t = fog». Таким
образом, все стрелки и композиции, входящие в 2, повернуты
в 20р в другую сторону. Понятие (или конструкция), описывае-
описываемое предложением 2ор, называется двойственным (двойствен-
(двойственной) к понятию (или конструкции), описываемому 2. Так, «эпи-
стрелка»—двойственное понятие к понятию «монострелка».
Двойственным к «начальному объекту» является «конечный
объект» и т. д.
Для данной категории ф построим двойственную категорию
следующим образом.
Категории <8 и "<Рор имеют одни и те же объекты. Для каж-
каждой "^-стрелки /: а-*-Ъ мы вводим ^-стрелку /ор: b -*- а (свою
для каждой f). Так получаемые стрелки исчерпывают все
стрелки категории 4?°v. Композиция fop ° g°P определена тогда
и только тогда, когда в ф определена композиция gof и /ор°
(f
f* ?~^
Заметим, что dom /op = cod f и cod /op = dom f.
Пример 1. Если W дискретна, то ^ор = W.
Пример 2. Если "iP — категория предпорядка (P,R), где
R ? Р X Р, то (<РС'Р есть категория предпорядка (Р,/?-'), в ко-
которой
pR~lq т. и т. т.') qRp,
т. е. R~l — инверсия отношения R.
Пример 3. Для произвольной категории W справедливо
Конструкцию, двойственную к выражаемой предложением 2,
можно интерпретировать как первоначальное построение, при-
примененное к двойственной категории. Если 2 истинно в ^, то
20р истинно в "<Рор. Так, например, начальный объект 0 в Set
является конечным объектом в Setop. Если 2 —теорема теории
категорий, т. е. предложение 2 выводимо из категорных аксиом,
то 2 истинно во всех категориях. Поэтому 20р будет иметь место
во всех категориях вида Фор. Но произвольная категория &
имеет такой вид (положим <iP = iZ)op), поэтому 20р имеет место
во всех категориях. Таким образом, из произвольного истин-
') Для краткости мы иногда используем сокращение т. и т. т. для & тогда
и только тогда, когда» — Прим. перев.
3.8. Произведения 59
ного в теории категорий предложения получается другое истин-
истинное предложение 2ор. В этом состоит принцип двойственности.
Принцип двойственности сокращает, количество доказа-
доказательств вдвое. Например, мы замечаем, что понятие изомор-
изоморфизма самодвойственно. Двойственная к обратимой стрелке —
снова обратимая стрелка: (/ор)~' = (f~l)°p. Так, доказав, что
два произвольных начальных ^-объекта изоморфны,
мы можем сразу утверждать, что верен и двойственный факт:
два произвольных конечных ^-объекта изоморфны.
Принцип двойственности первоначально возник в логике.
Более строго он рассматривается в Hatcher [68], § 8.2.
3.8. ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Мы переходим теперь к вопросу о том, как охарактеризо-
охарактеризовать произведение двух множеств
АХВ= {{х, у}: хееА и i/sB}
с помощью стрелок. Непосвященному трудно поверить, что это
можно сделать без какого-то использования упорядоченных
пар. Однако это возможно (получается характеризация с точ-
точностью до изоморфизма). Способ, позволяющий избежать ис-
использования упорядоченных пар, даст нам возможность выяс-
выяснить, что такое «конструкция» в теории категорий.
Поставим в соответствие произведению А X В два специаль-
специальных отображения (проекции)
рА: АХВ-+А и рв: АХВ-+В,
задаваемые равенствами
Ра «х, у}) = х, рв{<.х,у}) = у.
Допустим теперь, что задано еще одно множество С с парой
отображений f: С-*-A, g: С-*-В. Определим отображение
р: С-*-А X В правилом р(х) = (f{x), g{x)),
Тогда pA(p(x)) = f(x) и рв(р(х))= g{x) для каждого х^С.
Таким образом, pAop = f и pB°p = g, т. е. приведенная выше
60 Гл. 3. Стрелки вместо отношения принадлежности
диаграмма коммутативна. Более того, р является единственной
стрелкой, для которой эта диаграмма коммутативна. Действи-
Действительно, если р(х)= (y,z), то в силу условия pAop = f будет
Ра(р(х))= f(x), т. е. y = f(x). Аналогично если pe°p = g, то
z = g{x).
Отображение р, построенное по f и g, обозначается обычно
через <f, g} и называется произведением отображений fug.
Оно определяется в Set равенством </, g}(x) = (fix), g(x)}.
Эти рассмотрения служат мотивировкой для следующего
определения.
Определение. Произведением в категории W двух объектов а
и b называется ^-объект, обозначаемый через а X Ь, вместе
с парой (рга: а X &-*¦«> рг&: аУ,Ь->-Ь) ^-стрелок, такой, что
для произвольной пары if: c-*~a, g: c-+b) ^-стрелок суще-
существует одна и только одна стрелка <f, g>: c-^-a X b, для кото-
которой диаграмма
.с,
а ¦*¦
коммутативна, т. е. рга ° </, g}. = f и ргй о </, g) = g. Стрелка
</, g} называется произведением стрелок fug относительно
проекций рга, ргв.
Произведение определено с точностью до изоморфизма.
Действительно, допустим, что ^-объект d вместе с парой
(р: d-+a, q: d-*-b) также удовлетворяет приведенному опре-
определению произведения двух объектов а и Ь. Рассмотрим диа-
диаграмму
d
При данных проекциях рга: аУ^Ь-^а и prft: ay^b-^b стрелка
<р, q} однозначно определена. Стрелка <рга, ргг,> также является
однозначно определенным произведением стрелок рга и ргй от-
относительно р: d-+ а и q: d-+ b. Далее, так как d является про-
3.8. Произведения 61
изведением объектов а и Ь, то существует только одна стрелка
s: d-+d, для которой диаграмма
коммутативна. При s = Id эта диаграмма коммутативна. В то же
время, как следует из коммутативности предыдущей диаграм-
диаграммы, при s = <pra, рг6) о <pt <y> последняя диаграмма также бу-
будет коммутативной (подробнее, р ° <рга, ргй> ° <р, q) = рга °
° <р, */> = р и т. д.). В силу единственности s мы должны за-
заключить, что
<рга> рг6> о <р, <7> = Id.
Меняя ролями d и а X Ь в этом рассуждении, приходим к ра-
равенству <р, <7> ° <рга, рг6> = 1ахб. Таким образом, <р, <7>: о! =
^ аУ.Ь. Композиция изострелки <р, <7> с проекциями для
а X Ь дает проекции для d, как показывает предпоследняя диа-
диаграмма. На самом деле <р, q} является единственной стрелкой
d-^-ay^b с этим свойством.
Таким образом, мы определили произведение объектов а и Ь
-«однозначно с точностью до однозначно определенного изомор-
изоморфизма», и с категорной точки зрения этого достаточно: ?
Пример 1. В категориях Set, Finset, Nonset произведение
объектов А и В—-это обычное прямое (декартово) произведение
множеств.
Пример 2. В категории Grp произведение двух объектов —
это стандартное прямое произведение групп с бинарной опера-
операцией, определяемой покомпонентно.
Пример 3. В Тор произведение — это обычное произведение
топологических пространств.
Пример 4. В категории предпорядка (Р, ее) произведение
двух элементов р и q, когда оно существует, определяется сле-
следующими свойствами:
(i) pX VE= P. PX VEE Ц, т. е. рХ Ц является нижней гранью
для р и q;
(ii) если сс=р и c^q, то c^pX.q, т. е. рХ<7 больше лю-
любой другой нижней грани для р и q.
Таким образом. рХ^ — это наибольшая нижняя грань (н. н. г.)
для р и q. В случае когда отношение != является отношением
частичного порядка, соответствующая категория предпорядка
€2
Гл. 3. Стрелки вместо отношения принадлежности
скелетальна. Поэтому н. н. г. единственна. Она будет обозна-
обозначаться через pnq. Ч. у. множество, в котором любые два эле-
элемента имеют н. н. г., называется нижней полурешеткой. В ка-
тегорных терминах нижняя полурешетка — это скелетальная
категория предпорядка, в которой существует произведение лю-
любых двух ее объектов.
Пример 5. Если А и В — конечные множества с m и п эле-
элементами соответственно, то произведение А X В насчитывает
тУСп элементов (здесь символ «X» обозначает умножение чи-
чисел). Это обстоятельство находит интересное проявление в ка-
категории Finord. А именно, произведение ординальных чисел т.
и п существует и совпадает с ординалом т XЛ. ?
Упражнение 1. <рга, рг&> = 10хь-
Упражнение 2. Если </, g) = (k, h), то f == k и
Упражнение 3. </ о h, g о К) = </, g> о h.
Pra
Упражнение 4. Мы видели ранее, что А^Ау^ {0} в Set.
Показать, что если категория <$? имеет конечный объект 1, то
asaXl для произвольного '«Р-объекта а. Более того, <1a, la>
является нзострелкой
а ¦
3.8. Произведения
63
Произведение отображений (функторное)
Для данных теоретико-множественных функций f: A-+B
и g: C-^-D мы определим функцию fXg из ЛХС в B~X.D ра-
равенством
fXg{<x,y»=<f{x),g(y)y
Нетрудно видеть, что fXg является произведением двух ком-
композиций f op a: AX.C-+A-+B и gopc\ ЛХС-*-С-^О. Поэтому
мы даем следующее определение.
Определение. Если f: a-*-b и g: c-^-d — две "ёР-стрелки, то
через /Xg: аХс-^-бХ^ обозначим ^-стрелку <f о pra, g ° ргс>.
(Конечно, стрелка /Xg определена, только когда в 9 суще-
существуют произведения а X с и Ь X d.)
аХс
/
\
а
s
f
Упражнение 5. 10X16= К*ь-
^. а
Упражнение 6. а X & = & X а.
64
Гл. 3. Стрелки вместо отношения принадлежности
Упражнение 7. Показать, что (а X &)Х с = а Х(&Х с).
(а х Ь)хс- -а Х(Ь хс)
Хс)
Упражнение 8. Показать, что
0) (fh) fh
(и)
fxh
bxd
-> b
exe'-^aXcl^lbXd
Уже употреблявшаяся нами пунктирная стрелка имеет в тео-
теории категорий стандартный смысл. Ее использование в диа-
диаграмме означает, что существует одна и только одна стрелка,
занимающая указанное пунктирной стрелкой положение, при
которой диаграмма коммутативна.
Конечные произведения
Распространим понятие произведения множеств на случай
трех сомножителей, определив А X В X С как множество упо-
упорядоченных троек (x,y,z}, в которых на первом месте стоят
3.8 Произведения 65
элементы из А, на втором — из Б и на третьем — из С. Таким
образом, А Х-8Х С= {(х, у, z): лг<=Л, i/бВ и z<=C}. Ана-
Аналогичным образом можно определить произведение произволь-
произвольной конечной последовательности множеств А\, Лг, ..., Ат.
Положим А1 X Л2 X ¦ • ¦ X Ат равным множеству
..., хт): ле/li, х2^А2, ..., хт<=Ат}
всех т-ок, т. е. всех последовательностей длины т, /-е члены
которых принадлежат Л,-.
Как частный случай этого понятия получается т-кратное
произведение множества А на себя
Ат= {<хь ..., im): -vi, A'2, ..., xme/l},
т. е. множество всех /п-ок, члены которых принадлежат А. По-
Поставим в соответствие множеству Ат т различных отображе-
отображений проектирования prj", .. ., рг™ из Ат в Л, задаваемых пра-
правилами
Для произвольных множества С и т отображений /ь С->Л, ...
..., fm: С-*-А можно определить отображение </ь ..., fm> из
С в Ат, полагая
для каждого с^С. Указанная конструкция может быть осу-
осуществлена в любой категории (&, в которой существует произ-
произведение любых двух "^-объектов. Для данного "^-объекта а
определим m-кратное произведение объекта а на себя равен-
равенством
••• Ха.
т раз
Здесь имеется некоторая неопределенность. Что, например, сле-
следует взять в качестве а3, (аХа)Ха или аХ(аХа)? В силу
упражнения 7 это безразлично, так как последние два объекта
изоморфны.
Применяя определение произведения пары объектов к обра-
образованию объекта ат, можно показать, что возникает т стрелок
рг^': ат->а, ..., рг™: ат-^а со свойством универсальности,
состоящим в том, что для произвольных ^-стрелок /ь с^*-а, ...
3 Зак. 651
66
Гл. 3. Стрелки вместо отношения принадлежности
..., fm: с-*-а, имеющих общее начало, существует одна и только
одна стрелка </i, ..., fm>: c-^a, для которой диаграмма
рг
коммутативна. Для m = 1 в качестве а1 возьмем сам а, а
ргJ: а-*а положим равной 1а.
Конечные произведения будут играть важную роль в се-
семантике первого порядка гл. 11.
Упражнение 9. Проанализировать детально образование
стрелок рг™, ..., рг™ и проверить все утверждения, связан-
связанные с последней диаграммой. Для произвольной стрелки вида
с
. т.
оказать, что pr;m°(/,, ..., fm) = ft для 1<
Упражнение 10. Определить произведение а\ X «2 X • • • X «m
объектов (возможно, различных) и функторное произведение
f 1 X fz X • • • X fm стрелок.
3.9. КОПРОИЗВЕДЕНИЯ
Понятие копроизведения, или суммы, объектов является
двойственным к понятию произведения. Его определение полу-
получается непосредственно из определения произведения по прин-
принципу двойственности.
Определение. Копроизведением в категории W двух объек-
объектов а и b называется ^-объект, обозначаемый через а + Ь,
вместе с парой (ia: a-^a-\-b, w. fe-»-a + 6) ^-стрелок, такой,
что для произвольной пары (/: а-+с, g: b-+c) Ф-стрелок су-
существует одна и только одна стрелка [/,?]:. а-{-Ь-^с, для ко-
которой диаграмма
коммутативна, т. е. [f, g] ° ia = f и [f, g] ° h = ,§¦- Стрелка
[f> §] называется копроизведением стрелок fug относительно
инъекций ia и ib-
3.9. Копроизведения 67
В категории Set копроизведение объектов А и В — это их
дизъюнктное объединение А + В, т. е. объединение двух мно-
множеств, изоморфных А и В соответственно, но не пересекаю-
пересекающихся. Точнее, пусть
Л'={<а,0>: ае;Л}=ЛХ{0}
В'= {<6,1>: &еВ} = ВХ{1}.
Положим
А + В = А'\]В'.
Инъекции la- А-*-А-\-В и 1в\ В-*А-\-В определяются пра-
правилами
гл(а)=<а,0>, iB{b)=<b,l>
соответственно.
Упражнение 1. Показать, что дизъюнктное объединение
А + В и инъекции 1а, 1в, определенные выше, удовлетворяют
определению копроизведения. (Прежде всего надо определить
правило вычисления функции [f,g].)
Упражнение 2. Если А Л В = 0, то A U В^ А + В. ?
В категории предпорядка (Р, е=) копроизведение р + q
определяется свойствами
(О р Е= р + #. q 1= р-j-q (т. е. р + # является верхней
гранью для р и q);
(ii) если рЕЕс и qc=LC, то р + д'Е^с, т. е. р-\-q меньше, чем
любая другая верхняя грань для р и q.
Таким образом, р + q является наименьшей верхней гранью
(н. в. г.) для р и q. В ч. у. множестве н. в. г. единственна в слу-
случае, когда она существует. Мы будем ее обозначать через
Р u q- Ч. у. множество, в котором для любых двух элементов
существуют н. в. г. и н. н. г. (§ 3.8), называется решеткой.
В категорных терминах решетка — это скелетальная катего-
категория предпорядка, в которой существует произведение и копро-
пзведение любых двух ее объектов.
Дизъюнктное объединение двух конечных множеств, содер-
содержащих шип элементов соответственно, содержит m плюс п
элементов. В категории Finord копроизведение объектов тип
совпадает с ординальным числом m + n (где «+» означает
«плюс» в обычном смысле). Для ординалов 1 = {0} и 2 =
= {0,1} в скелетальной категории Finord имеет место равен-
равенство
1 + 1=2,
в то время как в категориях Finset и Set было бы точнее ска-
сказать, что
1 + 1 s* 2.
(Копроизведения определены с точностью до изоморфизма.)
68 Гл. 3. Стрелки вместо отношения принадлежности
Позднее в § 5.4 мы увидим, что имеются категории, в кото-
которых это последнее утверждение, при подходящей интерпрета-
интерпретации, оказывается ложным.
Упражнение 3. Определить стрелку / + g: а -\- Ъ —*- с -\- d для
данных стрелок f: a-~c и g: b—>d и сформулировать двой-
двойственные утверждения для всех утверждений из упражне-
упражнений § 3.8.
ЗЛО. УРАВНИТЕЛИ
Пусть f, g: A=? В — пара «параллельных» функций в кате-
категории Set и ? — подмножество в А, состоящее из всех элемен-
элементов, на которых / и g совпадают, т. е.
Е= {х: хе=А и /(*) = ?(*)}•
Тогда функция включения i: Е <=-*¦ А называется уравнителем,
функций f и g. Основанием для такого названия служит тот
факт, что при композиции этих функций с i получается равен-
равенство f ° i — g ° i, т. е. i «уравнивает» данные функции. Более
того, i является «каноническим» уравнителем для / и g. Это
означает, что если h: С-*-А— произвольный другой такой
«уравнитель», т. е. f ¦¦h = g о h, то h однозначно «пропускается»
через /: Е<=-*А, т. е. существует единственная функция k: С-^-Е,
такая, что i - k = h.
Другими словами, для любой данной стрелки h существует
единственная Set-стрелка, подстановка которой вместо пунк-
пунктирной стрелки в последнюю диаграмму делает ее коммутатив-
коммутативной. Ясно, что может существовать не более одной такой
стрелки. Действительно, если i°k совпадает с h, то для вся-
всякого се С имеет место равенство i(k(c)) = h(c), т. е. k(c) =
= h(c) (так как- i — включение). Из последнего равенства
видно также, как определить функцию k. Поскольку f(h(c)) =
= g{h(c)), то А(с)е?
Обобщим рассмотренную ситуацию.
Определение. Стрелка i: е^-а из категории Ч? называется
уравнителем пары f. g: а-*-Ь ^-стрелок, если
(О fci = g°in
(ii) для любой ^'-стрелки h: с-*а, удовлетворяющей равен-
равенству f oh — gоh, существует и притом только одна ^-стрелка
к: с-*~е, такая, что ;' о k = "h.
3.10. Уравнители 69
Произвольная стрелка называется уравнителем в СВ, если
V.уществует пара ^"-стрелок, уравнителем которой она является.
Теорема 1. Всякий уравнитель является монострелкой.
Доказательство. Допустим, что i — уравнитель / и g.
Для доказательства того, что i — монострелка, предположим,
что i ° j = i ° /, где /, /: с =;е.Возьмем в приведенной выше диа-
диаграмме в качестве h стрелку /о/. Тогда /°ft = f ° (/о/) =
= (/ о i) о у = (g о i) о у = g о (/ о у) = g о h и по определению урав-
уравнителя существует единственная стрелка k, удовлетворяющая
равенству iok — h. Однако ioj = h (по определению стрелки
'г>. Поэтому k должно быть равно у. С другой стороны, 1°/ =
= i о у" = h. Следовательно, k = /. Таким образом, j = I. ?
Обращение теоремы 1, вообще говоря, не имеет места. На-
Например, в категории N все стрелки мономорфны, в частности
единица 1 является монострелкой. Однако она не может быть
¦равнителем никакой пары m, n N-стрелок. Если бы это было
т ак, то мы имели бы m = 1 = п ° 1, т. е. m -\-1 = п -\-1. Поэтому
¦г = п. Но тогда /п + 0 = п + 0 и 0 должен был бы пропус-
¦ аться через 1, т. е. существовало бы k, удовлетворяющее ра-
ьеиству 1 -f- k = 0. Но такого натурального числа k не су-
существует.
Как уже отмечалось, в категории N каждая стрелка эпи-
--. орфна. Вместе с тем 0 является единственной изострелкой.
Следующая теорема несколько глубже проясняет эту ситуацию.
Теорема 2. В произвольной категории эпиморфный уравни-
уравнитель является изострелкой.
Доказательство. Так как i — уравнитель пары f и g, то
; -. I = g о /, и если i эпистрелка, то f = g. Положим в диа-
i оамме, определяющей уравнитель, с=аиЛ = 1а. Тогда ввиду
гавенства /о1аг=^о1а существует единственная стрелка k, та-'
1 ая? что /о k == 1a,
-*-a
k\
a
(>i сюда i о k ° i = 1 a ~ i = i = i <> 1 e. Поскольку i — уравнитель
*• па него можно сокращать слева (теорема 1), то k°i=le-
(
70 Г.1. 3. Стрелки вместо отношения принадлежности
Таким образом k является обратной к i стрелкой. Следова-
Следовательно, г—изострелка. ?
Хотя монострелки могут не быть уравнителями в некоторых
категориях, все же в категории Set (и даже во всех топосах)
они являются уравнителями. Действительно, пусть /: Е —> А —
инъективная функция. Определим h: A ->-{0, 1} равенством
h(x)= 1 для всех х е Л, а функцию g: Л->{0, 1} зададим ус-
условиями
1, если х е Im /,
0, если х <? Im
Тогда / будет уравнителем пары g и h. ?
Упражнение 1. Доказать последнее утверждение.
Упражнение 2. Показать, что в категории порядка единствен-
единственными уравнителями будут единичные стрелки.
3.11. ПРЕДЕЛЫ И КОПРЕДЕЛЫ
Определения произведения двух объектов и уравнителя пары
стрелок имеют одну и ту же форму. Как произведение, так
и уравнитель обладают некоторым свойством «канонически»
в том смысле, что через них указанным выше способом «про-
«пропускаются» любые другие вещи с таким же свойством. В слу-
случае уравнителя рассматриваемое свойство состоит в «уравни-
«уравнивании» двух данных стрелок. В случае произведения объектов
а и Ь это свойство быть началом пары стрелок, концами кото-
которых являются а и Ь. Определения указанного сорта называются
универсальной конструкцией. Определяемый объект является
универсальным среди объектов, обладающих некоторым свой-
свойством.
Мы можем несколько уточнить это понятие (не будучи при
этом излишне педантичными), если рассматривать диаграммы.
Под диаграммой D в категории ^ мы понимаем просто сово-
совокупность объектов di, dj, ... вместе с некоторыми "^-стрелками
g: di-t-dj между некоторыми объектами из этой диаграммы.
(Между данной парой объектов может быть несколько стрелок,
а может и не быть их вовсе.)
Определение. Конусом для диаграммы D называется такой
^-объект с вместе с ^-стрелками /«: c->d; для каждого объекта
di из D, что диаграмма
3.11. Пределы и копределы 71
коммутативна для любой стрелки g из диаграммы D. Конус
для диаграммы D будем обозначать через {fr. c-^di}.
Пределом диаграммы D называется D-конус {fr c-^-di),
такой, что для любого другого D-конуса {f'r- с' -*¦ dt} суще-
существует одна и только одна стрелка /: с'->с, для которой диа-
диаграмма
f "
коммутативна при каждом объекте di из D.
Говорят, что этот предельный конус обладает свойством
универсальности относительно всех D-конусов. Он универсален
среди D-конусов. Любой другой D-конус однозначно пропус-
пропускается через универсальный так, как показано на последней
диаграмме. Предел диаграммы D единствен с точностью до
изоморфизма: если {|\: c-*d^ и {f\: cr-*dt} суть пределы
диаграммы D, то однозначно определенная выше стрелка
/: с'-+с является изострелкой (существование обратной к ней
стрелки c—^c' следует из того факта, что {fr с' ~*dt}—пре-
~*dt}—предел). ?
Пример 1. Для данных объектов а и b пусть D — бесстре-
бесстрелочная диаграмма
а Ь
D-конусом является тогда объект с вместе с двумя стрелками
f: c—>- a, g: c-*-b
Предельным ?>-конусом, через который пропускается любой
другой D-конус, является не что иное, как произведение объек-
объектов а и Ь.
Пример 2. Пусть D — диаграмма
f
а '^Х Ь
72
Гл. 3. Стрелки вместо отношения принадлежности
D-конус —это пара h: с-*-а, у. с-*-Ь, для которой коммута-
коммутативны диаграммы
Но это дает j = f °h = g °h. Поэтому мы можем просто ска-
сказать, что ?>-конус в этом случае — это стрелка h: c-+a, для
которой диаграмма
с —*¦ а ^=> Ь
е
коммутативна, т. е. foh = g<=h. Таким образом, D-предел —
это уравнитель пары стрелок / и g.
Пример 3. Пусть D — пустая диаграмма
т. е. диаграмма без объектов и без стрелок. D-конусом будет
тогда просто 'Э'-объект с (нет никаких /,¦, так как D не имеет
di). Предельный конус — это такой объект с, что для любого
другого 'ё'-объекта (D-конуса) с' существует единственная
стрелка с'-+с. Другими словами, пределом для пустой диа-
диаграммы является конечный объект] ?
Двойственным образом определяется коконус {fr. di-^-c)
для диаграммы D, состоящий из объекта с и стрелок /,-: d,->-c,
по одной для,, каждого объекта di из D, удовлетворяющих соот-
соответствующим условиям коммутативности. Копредел для D —
это коконус {/г: dt^>-c} со свойством коуниверсальности, со-
состоящим в том, что для любого другого коконуса {/': di-*-c/)
существует единственная стрелка /: с-+с', такая, что для каж-
каждого d( из D диаграмма
/N
с —Не-
—Некоммутативна. D
Копределом диаграммы из примера 1 является копроизве-
дение объектов а и Ь, в то время как копредел пустой диа-
диаграммы — это начальный ебъект.
3.12. Коуравнители 73
3.12. КОУРАВНИТЕЛИ
Определение. Коуравнителем пары параллельных ^-стрелок
f, g называется копредел диаграммы
f
a =^J b.
е
Коуравнитель можно рассматривать как такую ^-стрелку
q: b-*~e, что
(i) qof = qogH
(ii) для любой стрелки ft: b-*-c, удовлетворяющей равен-
равенству Л of — h°g, существует единственная стрелка k: e-*~c, для
которой диаграмма
коммутативна. П
Результаты, двойственные к результатам § 3.10, позволяют
, тверждать, что коуравнитель является эпистрелкой, что обрат-
обратное утверждение верно в Set и что мономорфный коуравнитель
-шляется изострелкой.
В категории Set коуравнители описываются в терминах от-
отношения е с помощью очень важного понятия отношения экви-
эквивалентности. Отношение эквивалентности на множестве А —
?то по определению отношение R ^АУ^А, обладающее сле-
следующими свойствами:
(a) рефлексивностью, т. е. aRa для каждого а^А;
(b) транзитивностью, т. е. если aRb и bRc, то aRc для лю-
Оых а, Ь, с из А;
(c) симметричностью, т. е. если aRb, то bRa для любых а
¦ ¦ b из А.
Отношения эквивалентности возникают в математике (и в
других областях), когда хотят отождествлять различные вещи,
являющиеся «эквивалентными». "Часто случается, что нас инте-
j ссуют некоторые специальные свойства, по отношению к ко-
которым различные вещи оказываются неразличимыми. Отноше-
Отношение, которое имеет место между двумя вещами, когда они в этом
'- мыслс неразличимы, будет отношением эквивалентности.
Мы уже встречались с этим понятием при обсуждении
1 § 3.4 понятия изоморфизма. Два изоморфных объекта в не-
1 оторой категории можно рассматривать как один объект во
>сем, что касается категорных свойств; отношение
{{а.Ьу. а^Ь в <&}
74 Гл. 3. Стрелки вместо отношения принадлежности
на ^-объектах является рефлексивным, транзитивным и сим-
симметричным (упражнение 3.4.1).
Процесс отождествления эквивалентных вещей воплощается
в объединении в одну всех вещей, связанных друг с другом
отношением эквивалентности. Возникающие совокупности рас-
рассматриваются при этом как новые единые сущности. Формально
для данного а^А определим класс R-эквивалентности как
множество
[а} = {Ь: aRb}
всех элементов из А, находящихся в ^-отношении к а. Одно
и то же множество может быть классом эквивалентности раз-
различных элементов. В общем случае
A) [а] = [Ь] тогда и только тогда, когда aRb;
B) если [а]ф[Ь], то [а](][Ь] = 0;
C) а ее [а]
(доказательство этих утверждений основано на свойствах (а),
(Ь) и (с)). Утверждение A) говорит, что два эквивалентных
элемента находятся в отношении R с одним и тем же множе-
множеством элементов. Предложение B) утверждает, что два раз-
различных класса эквивалентности не имеют общих элементов.
Из этого вместе с утверждением C) (выполняющимся в силу
(а)) следует, что каждый ае/1 является элементом одного
и только одного класса ^-эквивалентности.
Процесс отождествления состоит в переходе от данного мно-
множества к новому, элементами которого являются классы ^-эк-
^-эквивалентности, т. е. мы переходим от множества А к множеству
A/R= {[а): а^А}.
Этот переход осуществляется при помощи естественного ото-
отображения fR: A-+A/R, где fR(a) = [а] для а <=А
Итак, если aRb, то fR(a) = fR(b), т. е. функция fR отожде-
отождествляет ^-эквивалентные элементы.
Какое отношение все это имеет к коуравнителям? Оказы-
Оказывается, что fR является коуравнителем пары /, g: R =^ А функ-
функций проектирования из R в А, т. е. функций, задаваемых ра-
равенствами
/•«а, 6»= а и g«a,b)) = Ь.
Выше было уже фактически объяснено, почему fR°f = fR°g-
Чтобы убедиться в том, что диаграмма
R > A f* - AIR
3.13. Обратный образ 75
может быть «пополнена» только единственной стрелкой k при
заданной стрелке h, удовлетворяющей равенству h°f = h°g,
предположим, что kofRz=h. Тогда для любого [a]^A/R
имеем k{ [а]) = k(fR(a)) = k ofR(a) = h{a). Таким образом,
у нас нет выбора в определении значения функции k в точке
[а]. Единственная проблема состоит в том, будет ли опреде-
определение этой функции с помощью равенства k[a] — h(a) кор-
корректным. Если [а] = [6], то по нашему определению значение
функции k в точке [«] = [&] должно быть также равно h(b).
Для того чтобы обеспечить единственность значения функции
при данном значении аргумента, нам надо было бы знать, что
в этом случае h(a) = h(b). Но это так, ибо если [а] = [&], то
<й,й)еЛ и равенство h(a) = h{b) следует из условия Ь/ =
= h о g на функцию h.
Вопрос корректности определения часто встает при рассмот-
рассмотрении так называемых фактормножеств A/R. Операции на
классах ^-эквивалентности, а также свойства этих классов
определяются с помощью некоторых элементов этих классов
эквивалентности, т. е. через их представителей. При этом всегда
необходимо убедиться, что определение не зависит от выбора
представителя. Другими словами, корректно определенные по-
понятия— это такие понятия, которые устойчивы, или инвари-
инвариантны, относительно R, т. е. не изменяются при замене некото-
некоторых элементов на ^-эквивалентные. ?
Отношения эквивалентности можно использовать для по-
построения в Set коуравнителей. Чтобы построить коуравнитель
пары функций /, g: А =sB, мы должны отождествить jF(jk) с g(x)
для х е А. Рассмотрим поэтому отношение
S={(f(x),g(x)}: x<=A}<=BXB.
Отношение S может не быть отношением эквивалентности на
В. Однако можно расширить S до отношения эквивалентности
и причем минимальным образом. Существует отношение экви-
эквивалентности R на В, такое, что
(i) S = # и
(и) если Т — любое другое отношение эквивалентности на
В, такое, что 5 содержится в Т, то R ? Т
(т. е. R — наименьшее отношение эквивалентности на В, содер-
содержащее S). Естественное отображение fR: B-+B/R будет коурав-
нителем f и g. (Подробности см. в Arbib — Manes [75], стр. 19.)
3.13. ОБРАТНЫЙ ОБРАЗ
f e
Определение. Обратным образом1) пары а—>с*—b
^-стрелок с общим концом называется предел в ^ диаграммы
') Или коамальгамой. — Прим перге.
76
Гл. 3. Стрелки вместо отношения принадлежности
Конус для этой диаграммы состоит из трех стрелок f, h, g',
для которых коммутативна диаграмма
Это означает, что h = g°f' = f°g'. Поэтому мы можем ска-
g' v
зать, что конус — это пара а ¦*— d —> Ь ^-стрелок, для кото-
которых квадрат
коммутативен, т. е. / о g' = g о f.
Таким образом, по определению универсального конуса об-
f S
ратным образом пары а —-> с •*— Ъ будет пара "р-стрело!
(?' V
а *— d —>¦ b, обладающая следующими свойствами:
hi
(ii) для любых а*—-е—* Ь, таких, что f°h = goj, суще-
существует и при том только одна стрелка k; e^*~d, удовлетворяю-
удовлетворяющая равенствам R — g'°knj = fok.
3.13. Обратный образ 77
Другими словами, для любых h и /, для которых внешний квад-
квадрат (т. е. граница приведенной выше диаграммы) коммутати-
коммутативен, имеется одно и только одно пополнение этой диаграммы
стрелкой k, при котором вся диаграмма становится коммута-
коммутативной.
Внутренний квадрат (f, g, f, g') этой диаграммы называется
декартовым квадратом. Говорят также, что /' — обратный об-
образ f относительно g и что /' получается подъемом { вдоль g,
a g' — обратный образ g относительно f и получается подъемом
g вдоль f.
Обратный образ — очень важное и фундаментальное мате-
математическое понятие, вбирающее в себя различные хорошо из-
известные конструкции. Он является наиболее важным случаем
понятия предела диаграммы, используемым при изучении
(и определении) топосов. Следующие примеры, показывающие,
что это очень общее и нужное понятие, заслуживают тщатель-
тщательной проработки. ?
Пример 1. В Set обратный образ
D —?—* В
двух теоретико-множественных функций [ и g определяется
равенствами
D={<.x,y): х€=А, у<=В и
— У, g'{(x,y)}=x.
Таким образом, D является подмножеством произведения
А X В, а /' и g' — функции проектирования. D обозначается
иногда через А X В и называется произведением А и В над С.
с
Обратные образы называются также расслоенными произ-
произведениями (использование слова «расслоенный» объясняется
в гл. 4).
Пример 2. Прообразы. Если /: А—>-В — произвольная функ-
функция и С — некоторое подмножество в В, то прообразом множе-
множества С при отображении /, обозначаемым через /"'(С1), назы-
называется подмножество в А, состоящее из всех тех элементов
х е А, для которых f (л:)е С, т. е.
= {x: х<=А и f(.*jeC}
78
Гл. 3. Стрелки вместо отношения принадлежности
Диаграмма
~'~^B
в которой стрелки с загнутыми концами обозначают, как
обычно, включения, а /* определяется равенством f*(x) = f(x)
Рис. 3.2.
для lef-'(C) (т. е. /* — ограничение функции / на /"'(С)), яв-
является декартовым квадратом в категории Set. Таким образом,
прообраз С при отображении / получается подъемом С вдоль f.
Динамика, присущая понятию функции (ср. § 2.1), прояв-
проявляется в этом примере в полную силу, чего не было бы, если
бы мы понимали функцию как множество пар.
Пример 3. Ядро или ядерное отношение. Поставим в соот-
соответствие каждой функции f: A-+B отношение эквивалентности
на А. обозначаемое через R/ и называемое ядерным отноше-
отношением или ядром функции / (понятие ядра лежит в основе пер-
первой теоремы об изоморфизме из универсальной алгебры). По-
Положим
А и
и f(x) =
или
xRftj, если и только если f{x) =
3.13. Обратный образ
79
В свете нашего первого примера мы видим, что квадрат
где р\ (<х, у}) = х и рг(<Х у}) = у, декартов, т. е. R; получается
подъемом f вдоль самой себя. Это замечание дает ключ к по-
пониманию «эпи-моно-разложения» стрелок в топосе, рассматри-
рассматриваемого в гл. 5. г
Пример 4. Ядра (для алгебраистов). Пусть /: M->-N — го-
гомоморфизм МОНОИДОВ W
К={х: f(x)=e)
— ядро этого гомоморфизма. Тогда в категории Моп квадрат
декартов, где О — одноэлементный моноид (являющийся одно-
одновременно начальным и конечным объектом).
Эта характеризация ядер применима также к категориям
Grp и Vect.
Пример 5. В категории предпорядка (Р, ее) квадрат
декартов тогда и только тогда, когда s является произведением
р и q.
Пример 6. В произвольной категории с конечным объектом,
если квадрат
i ,1'
декартов, то (/, g) будет произведением а и Ь.
80
Гл. 3. Стрелки вместо отношения принадлежности
Пример 7. В любой категории, если квадрат
декартов, то i — уравнитель для fug.
Пример 8. Лемма о квадратах. Пусть диаграмма вида
коммутативна. Тогда
(i) если два малых квадрата декартовы, то внешний «пря-
«прямоугольник» (нижняя и верхняя стороны которого являются
очевидными композициями соответственно нижних и верхних
сторон малых квадратов) также декартов;
(ii) если внешний прямоугольник и правый квадрат декар-
декартовы, то декартов и левый квадрат.
Лемма о квадратах является ключевым фактом и будет не-
неоднократно использоваться в дальнейшем. Ее довольно скучное
доказательство (проведенное самостоятельно) поможет тем не
менее читателю освоиться с обратными образами.
Лемма о квадратах будет часто использоваться для диа-
диаграмм вида
в случае, когда внешний прямоугольник и нижний квад-
квадрат декартовы. Тогда можно утверждать, что верхний квадрат
декартов.
3.15. Полнота
81
Пример 9. Стрелка /: а—>-Ь в произвольной категории моно-
морфна тогда и только тогда, когда квадрат
1„
а
i
а
f
-> а
\f
- Ь
декартов.
Упражнение. Показать, что если квадрат
а —§-* Ъ
декартов и f — монострелка, то g также монострелка.
3.14. АМАЛЬГАМЫ
Понятие амальгамы является двойственным к понятию об-
обратного образа.
Определение. Амальгамой пары стрелок b •*— а —* с с об-
общим началом называется копредел диаграммы
В категории Set амальгама получается построением дизъ-
дизъюнктного объединения b -f- с и отождествлением f(x) с g{x)
для каждого .vec (т. <л амальгама совпадает с коуравните-
лем нары композиций а
b -\- с, а -1* с <=~Ь -\- с).
Упражнение. Сформулировать утверждения, двойственные
к утверждениям из § 3.13.
3.15. ПОЛНОТА
Определение. Категория V называется полной, если в ней
каждая диаграмма имеет предел. Двойственным образом кате-
категория 91? называется кополной, если каждая ^-диаграмма имеет
82 Гл. 3. Стрелки вместо отношения принадлежности
копредел. Биполной называется категория, являющаяся одно-
одновременно полной и кополной.
Конечной диаграммой называется диаграмма, имеющая ко-
конечное число объектов и конечное число стрелок между ними.
Категория называется конечно полной, если она содержит
предел любой конечной диаграммы. Конечная кополнота и ко-
конечная биполнота определяются аналогичным образом. П
Теорема 1. Если Я2 имеет конечный объект и в ней для лю-
любой пары стрелок с общим концом существует обратный образ,
то она конечно полна. ?
Доказательство этой теоремы не входит в нашу задачу
(и лежит в стороне от наших главных интересов). Подробно-
Подробности, а также другие способы характеризации конечной полноты
могут быть найдены в HerfHch — Strecker [73] (теорема 23.7).
Для иллюстрации этой теоремы заметим, что
(A) при наличии конечного» объекта и обратных образов
произведение объектов а и Ь получается как обратный образ
пары стрелок а->-1 -«- Ь (§ 3.13, пример 6);
(B) при наличии обратных образов и произведений мы для
данной пары стрелок /, g: a^Xb образуем сначала стрелки
и а »-аХ6, а затем строим их обратный
d—¦*-* a
аХЪ
Тогда р = q (см. § 3.8) и р (или q) будет уравнителем f и g.
Упражнения. A) Доказать утверждение (В) и проделать
указанные построения в категории Set.
B) Показать, как построить обратный образ с помощью
произведений и уравнителей. Некоторое указание можно по-
почерпнуть из описания обратных образов в категории Set (при-
(пример 1 § 3.13), а для двойственного построения можно исполь-
использовать построение амальгамы в Set в § 3.14.
C) Сформулировать теорему, двойственную к теореме из
этого параграфа.
3.16 ЭКСПОНЕНЦИРОВАНИЕ
Для данных множеств А и В можно образовать в Set сово-
совокупность ВА всех функций, определенных на А и принимающих
значения в В, т. е.
ВА = {/: / — функция из Л в В).
3J6. Экспоненцирование 83
Чтобы охарактеризовать ВА в терминах стрелок, заметим, что
с множеством ВА ассоциируется специальная стрелка
задаваемая правилом ev(<f. х>) = f(л). Стрелка ev называется
функцией значения. Входами такой функции являются пары
</", х), где /: А^>-В и а'ееЛ. Действие функции ev состоит
в применении f к х, т. е. в вычислении / в точке х. На выходе
получается f(x). Категорное описание ВА основано на том
факте, что ev обладает свойством универсальности среди всех
функций вида
С X А -е> В.
Для любой такой. функции g существует одна и только одна
функция д: С->-ВА, для которой диаграмма
ВА хА
СХА
коммутативна, где ^Х^л — (функторное) произведение функ-
функций, описанное в § 3.8. На паре (с,в}ЕСХ^ значение функ-
функции gX 'cU равно (g{c),idA(a)) = (g(c), a).
Такое определение функции g вызвано тем обстоятельством,
что при каждом фиксированном с функция g определяет ото-
отображение А—*-В, которое получается, если первый элемент упо-
упорядоченных пар, являющихся аргументами функции g, поло-
положить равным с, в то время как второй будет пробегать мно-
множество А. Другими словами, для данного с^С определим
gc: A ->- В правилом
gc{a)= g((c, а}) для каждого не!
Функция g определяется теперь равенством g(c) — gc для
сеС. Для произвольной пары <с, а) е СХА оказываются
справедливыми равенства
Таким образом, приведенная выше диаграмма коммутативна.
Кроме того, требование коммутативности этой диаграммы, т. е.
справедливости равенства ev(<?(c), a>) = g(<c, а}), означает,
что g(c) должна быть функцией, которая для данного а дает
g((c, а)), т. е. g(c) должна совпадать с определенной выше
функцией gc.
Определение. Говорят, что категория W допускает экспонен-
экспоненцирование. если в ней существует произведение любых двух
84 Гл. 3. Стрелки вместо отношения принадлежности
объектов и если для любых двух объектов а и Ь существуют
¦^-объект Ьа, называемый экспоненциалом, и ^-стрелка
ev: йаХя-*-й, называемая стрелкой значения, такие, что для
любых ^-объекта с и ^-стрелки g: сУСа-^b существует един-
единственная ^-стрелка g: c-*-ba, для которой диаграмма
коммутативна, т. е. ev о (g X 1 а) = g-
Функция, ставящая в соответствие стрелке g стрелку g,
устанавливает биекцию
между совокупностью ^-стрелок из с X а. в Ь и совокупностью
¦^-стрелок из с в Ъа. Докажем ее инъективность. Если g = Я,
то ev о. (g X 1 а) = ev ° (Н X 1 а), т. е. g = h. Чтобы установить ее
сюръективность, возьмем h: c—>-ba и положим g = ev о (/г X 1а).
В силу единственности g- мы должны иметь h = g\
Две стрелки (g и $), соответствующие друг другу на осно-
основании установленной биекции, называются экспоненциально
присоединенными друг к другу. Причины такого выбора терми-
терминологии выяснятся в гл. 15.
Конечно полная категория, допускающая экспоненцирова-
ние, называется декартово замкнутой категорией. D
Пример 1. Если А и В — конечные множества с m и п эле-
элементами соответственно, то множество ВА также конечно
и имеет п'п элементов. В выражении пт число т называется
экспонентой. Это объясняет выбранную выше терминологию.
Категория Finord декартово замкнута и объект пт совпадает
с числом пт.
Пример 2. Ч. у. множество Р= (Р, Е=), являющееся линейно
упорядоченным (т. е. рЕЕ9 нли ?Е=р для любых р, q^P),
называется цепью. Пусть Р — цепь с конечным объектом 1. По-
Положим
1, если р ЕЕ <7,
q, если qcp (т. е. q ЕЕ р и цфр).
Всякая цепь обладает произведениями (наибольшая нижняя
грань):
( р, если р ЕЕ q,
Р I <?, если q ЕЕ р.
3.16. Экспоненцирование 85
Таким образом, рассматривая ev, получаем два случая:
(i) p != q- Тогда ^р X Р = 1 X Р = Р != <7-
(ii) q ^ Р- Тогда q? X р = q X Р == q.
В обоих случаях ?р X Р Е <?. так что ev будет единственной
имеющейся в Р стрелкой <7рХр—>-<7- Мы оставляем читателю
проверку того, что это определение наделяет Р экспоненциро-
ванпем. В дальнейшем, в гл. 8, этот вопрос будет подробно
рассмотрен для произвольных частично упорядоченных мно-
множеств. П
Теорема 1. Пусть % — декартово замкнутая категория с на-
начальным объектом 0. Тогда
A) О^ОХй для любого объекта а;
B) если существует стрелка а-*~0, то а & 0;
C) если 0^1, то категория W вырожденная, т. е. все
9?-объекты изоморфны между собой;
D) любая стрелка 0 -> а с началом 0 мономорфна;
E) al^a, а0^ 1, Iез* 1.
Доказательство. A) Для любого ^-объекта b множе-
множество W@, ba) имеет только один элемент (так как 0 — началь-
начальный объект). По определению экспоненцирования ^@,6°)^
^W{0X.a,b). Поэтому последнее множество содержит только
один элемент. Таким образом, для любого Ь существует только
одна стрелка 0Хй->6. Следовательно, ОХй является на-
начальным объектом. Так как последний единствен с точностью
до изоморфизма, то 0 X я = 0.
B) Пусть существует стрелка /: а-^-0. Покажем, что а ^
^ОХа. Отсюда в силу A) будет а^0. По определению про-
произведения рГ0 о <f, ta) = 1а
Кроме того, композиция </, 1а>°рго является стрелкой из 0Х а
в 0Х«- Но такая стрелка единственна, так как 0Х я — на-
начальный объект. Таким образом, </, 1а> о рга = 10ха, что дает
(/. 1a) = PI'a1 ИрГа:0Хй = й-
C) Пусть 0^1. Так как для произвольного а существует
стрелка из а в 1, то в силу изоморфизма Osl имеется стрелка
из а в 0. По п. B) а ^ 0. Таким образом, всякий объект изо-
изоморфен 0, т. е. все объекты изоморфны друг другу.
D) Пусть / — стрелка из 0 в а. Предположим, что f°g —
= foh, т. с. диаграмма
S I
b=i() —> а
86 Гл. 3. Стрелки вместо отношения принадлежности
коммутативна. В силу B) Ъ ^ 0. Поэтому Ъ будет начальным
объектом. Следовательно, существует только одна стрелка
Ь-+-0. Таким образом, g = h, т. е. на f можно сокращать
слева. ?
Упражнение. Доказать п. E) этой теоремы и проинтерпре-
проинтерпретировать утверждения A) — E) в категории Set. ?
Заканчивая эту главу, можно вновь просмотреть довольно
длинный список категорных вариантов математических поня-
понятий и конструкций. Мы теперь имеем некоторое представление
о том, как теория категорий воссоздает мир математических
идей и в действительности раздвигает горизонты математиче-
математического мышления. Мы познакомились с некоторыми особенно-
особенностями, отличающими категорию Set от других категорий.
В Set мономорфные эпистрелки являются изострелками — свой-
свойство, не имеющее места в Моп. Однако в категории Grp это
свойство справедливо, но Grp не является декартово замкнутой
категорией (это следует из доказанной теоремы: Grp — невы-
невырожденная категория, но 0^1). Однако не все декартово
замкнутые категории «подобны» Set. Ч. у. множество п =
= {0, ..., п—1}—декартово замкнутая категория (будучи
цепью с конечным объектом), но мономорфные эпистрелки в ней
не обязательно являются изострелками. Казалось бы, чтобы
развивать категорную теорию множеств, мы должны работать
в категориях, обладающих еще целым рядом особенностей,
присущих категории Set, особенностей, которыми по крайней
мере не обладают категории Моп, п и т. д. В действительности
нам необходима лишь еще одна конструкция, простая, но очень
мощная. О ней мы расскажем в следующей главе.
Глава 4
ЧТО ТАКОЕ ТОПОСЫ
4. 1. ПОДОБЬЕКТЫ
Эта теория представляет собой вариант теории то-
посов, основанный на элементарных (т. е. выразимых
в языке первого порядка) аксиомах, вполне доста-
достаточный для применений не только к теории пучков,
алгебраическим пространствам, глобальным спектрам
и т. д., как вначале представляли себе Гротендик,
Жиро, Вердье и Хаким, но и к семантике Крипке,
абстракт ной теории доказательств и методу Коэна —
Скотта — Соловэя получения результатов об отно-
относительной непротиворечивости в теории множеств.
Ф. У. Ловер
Если множество А является подмножеством множества В,
то функция включения А<=+В инъективна и поэтому моно-
морфна. С другой стороны, произвольная мономорфная функ-
функция /: С>—*-В определяет подмножество множества В, а именно
Рис. 4.1.
Imf = {{(х): хеС}. Легко видеть, что f индуцирует биекцию
между С и Im f. Следовательно, CsHrn f.
Таким образом, область определения мономорфной функции
изоморфна некоторому подмножеству области значений этой
функции. Другими словами, область определения является,
с точностью до изоморфизма, подмножеством области значений.
Итак, мы приходим к категорному аналогу понятия подмноже-
подмножества, т. е. к понятию подобъекта: подобъектом "iP-объекта d или
подобъектом в d называется мономорфная ^-стрелка /: а>—*d
с концом d.
Далее, если D — произвольное множество, то множество
всех его подмножеств, обозначаемое через !?(D), называется
множеством-степенью множества D. Таким образом,
= {А: А — подмножество множества D).
Отношение теоретико-множественного включения является час-
частичным порядком на множестве-степени 9>(Р), т. е. пара
(^(D),^) образует ч. у, множество, которое можно рассмат-
88
Гл. 4. Чти такое топосы
ривать как категорию, в которой стрелка А-*-В имеется тогда
и только тогда, когда A е= В. При наличии стрелки А-*-В диа-
диаграмма
коммутативна. Это подсказывает определение отношения вклю-
включения между подобъектами объекта d. Для заданных подобъ-
ектов /: а>—*-d и g: Ъ-—*d положим /sg тогда и толькотогда,
когда существует 'й'-стрелка h: a-*-b, такая, что диаграмма
коммутативна, т. е. f — goh. (Такая стрелка h будет моно-
морфна в силу упражнения 3.1.2, т. е. будет подобъектом
объекта Ь, что усиливает аналогию с теоретико-множественным
случаем.) Таким образом, /Eg тогда и только тогда, когда /
пропускается через g.
Отношение включения на подобъектах
(i) рефлексивно: f^f, так как f = f о 1а,
(и) транзитивно: если fsg и g^k, то
g-o/i к g = koi следует f = k ° (i°h).
Eft, так как из
4,1. Подобъекты 89
Если f s g и g^f, то / и g пропускаются друг через
друга, как показано на диаграмме
f = g°h, g=f<>i. В этом случае h: a-+b будет изострелкой,
a i — обратной к ней (упражнение для читателя). Таким обра-
образом, если /gg и gg/, то стрелки / и g имеют изоморфные
начала. Поэтому мы будем называть их изоморфными подобъ-
ектами и писать f — g. Для того чтобы отношение ?= было ан-
антисимметричным, требуется справедливость равенства f — g
всякий раз, когда f — g. В действительности это, однако, может
быть и не так, поскольку а может быть не равно Ь. Таким об-
образом, '=, есть, вообще говоря, отношение предпорядка на под-
объектах (при данном выше определении подобъекта), а не
отношение частичного порядка. Если мы оставим это положе-
положение без изменения, то в дальнейшем встретимся с определен-
определенными трудностями. Желательно поэтому иметь возможность
считать отношение s антисимметричным. Механизм, который
позволяет сделать это, был построен в § 3.12. Отношение си
является отношением эквивалентности (упражнение — надо ис-
использовать (i) и (ii)). Каждая стрелка f: a>—>d определяет
класс эквивалентности
[f]={g: f-g}-
Образуем множество
Sub(d)= {[/]: f есть монострелка и cod/ = d}.
Будем теперь считать элементы множества Sub(d) подобъек-
тами, т. е. переопределим понятие подобъекта; подобъектами
объекта d будем называть классы эквивалентности моностре-
монострелок с концом в d. Чтобы определить отношение включения на
введенных объектах, положим (используя тот же самый сим-
символ, что и раньше)
[/] = [g] т. и т. т / = g.
Здесь мы сталкиваемся с вопросом, упомянутым в § 3.12. Яв-
Является ли определение, даваемое с помощью представителей
из классов эквивалентности, независимым от выбора предста-
представителя? Ответ: да, является. Если [/] = [Г] и [?] — [?'] > т0
/ s g, если и только если /' = g', т. е. отношение ?= устойчиво
относительное (упражнение).
Нашей целью было сделать отношение ?= антисимметрич-
антисимметричным. Действительно, если [/] Е [g] и [g]s[f], то fsg и ggf,
следовательно, f — g, откуда [f] = [g]. Таким образом,
90 Гл. 4. Что такое топосы
лодобъекты (в смысле нового определения) объекта d образуют
частично упорядоченное множество (Sub(ii), ^).
На этом затянувшаяся методологическая часть еще не за-
закончилась. В дальнейшем мы стираем различие между классом
эквивалентности и представителем этого класса. Будем гово-
говорить «подобъект /» вместо «подобъе-кт [f]» и писать «f^g»,
когда, строго говоря, подразумевается «[/] ? [g]» и т. д. Все
рассматриваемые свойства подобъектов и построения, исполь-
использующие подобъекты, будут, однако, устойчивы относительно —
(на самом деле, будучи категорными, они определены лишь
с точностью до изоморфизма). Таким образом, эта вольность
речи технически оправдана и имеет определенные преимуще-
преимущества, поскольку упрощает понятия и обозначения. Единствен-
Единственный пункт, в котором мы всегда будем точны, — это вопрос
о равенстве. Выражение «f~g» будет использоваться, когда
подразумевается, что f и g являются одним и тем же подобъек-
том, т. е. [f] = [g], в то время как запись f = g будет обозна-
обозначать, что f и g в действительности являются одной и той же
стрелкой.
Упражнение 1. В категории множеств Sub [D) ^ &(D). ?
Элементы
Описав категорию подмножества, обратимся теперь к эле-
элементам множеств. Элемент х множества А (х^А) можно
отождествить с одноэлементным подмножеством {х} множе-
множества А и, следовательно, со стрелкой {*}<=» Л из конечного объ-
объекта {х} в А. Обратно, функция f: 1-»-Л определяет в катего-
категории Set элемент из А, именно /-образ единственного элемента
конечного объекта 1. Итак, если категория 9" имеет конечный
объект 1, точ элементом 'ё'-объекта а называется всякая
^"-стрелка х: 1^-а. (Заметим, что х: 1-^-а всегда монострелка
(упражнение 3.6.3).)
Конечно, возникает вопрос: отражает ли вообще это поня-
понятие свойства элементов в категории Set? Должен ли всякий
объект, не являющийся начальным, иметь элементы? Можно
ли охарактеризовать мономорфные и эпиморфные стрелки
в терминах элементов их начала и конца? Все эти вопросы бу-
будут рассмотрены в дальнейшем.
Имена для стрелок
Функция f: Л-vB из множества А в множестве В является
элементом множества ВА, т. е. f^BA. Поэтому возникает функ-
функция ф : {0}-vSA, такая, что rfl(O)=f. Далее, если х — эле-
элемент из А, то имеется категорный «элемент» х: {0}-*-Л, опре-
определенный равенством х@) = х. Так как ev(<f, x}) = f(x), то
4.2. Классификация подооъектов
91
evc<r/i,x>(O)=ev(r/i(O))x(O)) =
ем равенство функций
и мы име-
имеev =
= f о .г.
Эта ситуация может быть распространена на произвольную ка-
категорию, допускающую экспоненцирование. Для данной
^-стрелки /: а->6 построим стрелку /°рга: \у^а->Ь, являю-
являющуюся композицией /°рга: lXfl->fl->i. Тогда именем f на-
называется стрелка rfi; l-^-ba, являющаяся экспоненциально
присоединенной к стрелке f°pra: l~Xa-*-b. Таким образом,
г/т —это единственная стрелка, для которой диаграмма
Ь"хо
коммутативна. Для произвольного ^-элемента х: 1->-а объекта
а имеет место равенство
ev ° <г/т , х) = f °х.
Упражнение 2. Доказать последнее утверждение. П
4.2. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОДОБЪЕКТОВ
В теории множеств множество-степень i?(D) обозначается
через 2°. Последний символ, согласно нашему прежнему опре-
определению, обозначает совокупность всех функций из В в 2 =
Рис. 4.2.
= {О, 1}. Основание для такого обозначения — в наличии изо-
изоморфизма &>(D)^2D, т. е. взаимно однозначного соответствия
между подмножествами множества D и функциями D->2. Этот
изоморфизм устанавливается следующим образом. Для данного
подмножества A^D определим функцию %а'. D-*-2, называе-
называемую характеристической функцией множества Л, правилом: для
элементов из D, принадлежащих А, значение этой функции
Гл. 4. Что такое топосы
равно 1, а для элементов, не принадлежащих Л, оно равно О,
т. е.
XaW=
Г 1,
ec.i и .??/!.
если хфА.
Отображение, ставящее в соответствие множеству А функцию
y,.i, является инъективным отображением из ZP{D) в 2°, т. е
если %а = %в, то Л = В (почему?). Оно также сюръективно.
Действительно, если /е 2°, то / = хд*> где
Af= {x: x<=D и f(x)= 1}.
Это соответствие между подмножествами и характеристиче-
ческими функциями может быть выражено категорно с по-
помощью понятия обратного образа. Множество Af, определенное
выше, является прообразом при отображении f подмножества
{1} множества {0, 1}, т. е.
= f-4{\}).
Согласно § 3.13, диаграмма
является декартовым квадратом, т. е. Af получается подъемом
стрелки {1}<=-2 вдоль f. Слегка модифицируем эту картину.
Нижнюю стрелку заменим функцией из 1 = {0} в 2 = {0, 1},
принимающей значение 1. По причинам, которые прояснятся
в гл. 6, обозначим эту функцию, через true (истина). Таким
образом, true(O)—1 и внутренний квадрат в диаграмме
декартов. Действительно, допустим, что внешний «квадрат»
коммутативен. Тогда, если ieBn f(g(b)) = true(!(ft)) = 1, то
4.2, Классификация подобъектов
93
g(b)^Af. Поэтому при k: B^-Af, определенном равенством
k(b) — g(b), вся диаграмма будет коммутативна, и ясно, что
она коммутативна только при одном k. Следовательно, если
,4 s D, то квадрат
1
true
декартов, так как подъем true вдоль %а дает множество
{л-. %л(х)=\), равное А. Более того, отсюда, следует, что %л
можно определить как единственную функцию из В в 2, пре-
превращающую приведенную диаграмму в декартов квадрат, т. е.
как единственную функцию, подъем вдоль которой функции
true дает А. Действительно, если для некоторой функции f внут-
внутренний квадрат в диаграмме
декартов, то для х е А будет f(x)= 1, так что х е if. По-
Поэтому A<=Af. Так как внешний «квадрат» коммутативен
(в действительности, как мы уже видели выше, он является
декартовым), то существует единственная функция k, удов-
удовлетворяющая равенству i<>k = j. Поскольку функции i и /
являются включениями, k также должна быть включением.
Таким образом, Af ?Л, что вместе с предыдущим дает А; — А.
Но / является характеристической функцией множества Af. По-
Поэтому f — %A.
Итак, множество 2 вместе с функцией true: l-*-2 играет
особую роль в переходе от подмножеств к характеристическим
функциям. Эта роль может быть выражена на категорном
яхыке, что приводит к следующему определению.
Определение. Пусть <& — категория с конечным объектом 1.
Классификатором подобъектов для <& называется ^-объект Q
¦зместе с ^-стрелкой true: 1-*-й, такой, что выполняется сле-
следующая аксиома.
94
Гл. 4. Что такое топосы
Q-аксиома. Для каждой монострелки f: a^+d существует
одна и только одна ^-стрелка %f. d-+Q, для которой диаграмма
является декартовым квадратом.
Стрелка Xf называется характеристической стрелкой или ха-
характером монострелки f (подобъекта объекта d). Стрелку true
мы будем часто обозначать символом Т ').
Классификатор подобъектов, если он существует, единствен
с точностью до изоморфизма. Пусть Т: 1—>-Q и Т': 1-*-й' оба
являются классификаторами подобъектов. Рассмотрим диа-
диаграмму
Верхний ее квадрат декартов. Он определяет характеристиче-
характеристическую стрелку х'т стрелки Т на основании того, что Т' яв-
является классификатором подобъектов (напомним, что всякая
стрелка, имеющая dom, равный конечному объекту, будет мо-
номорфна). Нижний квадрат также декартов. Он определяет
характеристическую стрелку для Т', используя Т как класси-
классификатор.
По лемме о квадратах (§ 3.13, пример 8) внешний прямо-
прямоугольник
1—т—~ Q
1
Q
декартов. В силу fi-аксиомы имеется только одна стрелка
Q -v Q, для которой этот квадрат декартов. Поскольку для
') Сам объект Q называется классифицирующим объектом — Прим. персе.
4.2. Классификация подобъектов
95
стрелки 1о: Q -»- Q указанный квадрат декартов, %т, °%'т = 1,,.
Меняя ролями Т и Т' в этом рассуждении, получаем, что
Таким образом, %т,: И'^п.
Из предыдущего видно, что для любых двух классификато-
классификаторов подобъектов один из них получается из другого компози-
композицией с некоторой изострелкой, соединяющей их концы.
Переход от f к %f устанавливает взаимно однозначное со-
соответствие между подобъектами объекта d и стрелками d^-Q,
как показывает следующая теорема.
Теорема. Для любых f: а >—»¦ d и g: b >—»• d
f c^ g-тогда и только тогда, когда %f = %g.
Доказательство. Допустим сначала, что %f = %g. Рас-
Рассмотрим диаграмму
Так как yj = %g, внешний квадрат коммутативен (в действи-
действительности он декартов). В силу свойства универсальности внут-
внутреннего декартова квадрата существует стрелка k, пропускаю-
пропускающая g через f. Поэтому g s f. Меняя местами f и g в этой диа-
диаграмме, получаем включение fsg. Следовательно, f^^g-
Обратно, пусть f — g и внутренний квадрат декартов. Тогда
существует изострелка k: b-*-a, для которой верхний треуголь-
треугольник коммутативен. Используя это обстоятельство, можно пока-
показать, что внешний квадрат тоже декартов. По Q-аксиоме, при-
примененной к монострелке g, получаем, что %f = %g. ?
Функция, сопоставляющая %f монострелке f (точнее под-
объекту [f]), вкладывает Sub(d) в ^{d, Q). Кроме того, если
для произвольной стрелки h: d^-Q поднять true вдоль h,
96
F.i. 4. Что такое топосы
то возникающая при этом стрелка / будет мономорфна (так
как true — монострелка и обратный образ монострелки всегда
сам является монострелкой — упражнение из § 3.13). Поэтому
h должна совпадать с Х/- Таким образом, в категории, обла-
обладающей классификатором подобъектов,
Обозначение. Для произвольного ^-объекта а композиция
true°la стрелок !: а-М и true будет обозначаться через trueo
или через Та, или иногда просто через true!.
true
Упражнение 1. Показать, что характеристическая стрелка
для true: 1 >—»• Q есть 1 й ,
Т- е- Xtrue^ 'О-
Упражнение 2. Показать, что х1 = trueQ = true ° 12,
fi
Q
true
Упражнение 3. Показать, что для произвольного /: а -*• Ь
диаграмма
Q
коммутативна, т. е. true* в/ = truea.
4.4. Первые примеры 97
4.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОПОСА
Определение. Элементарным топосом называется категория
&', такая, что
A) & конечно полна,
B) d? конечно кополна,
C) & допускает экспоненцирование,
D) <% имеет классификатор подобъектов.
Как отмечалось в гл. 3, условия A) и C) составляют опре-
определение декартовой замкнутости категории, а условие A) мо-
может быть заменено условием
(Г) & обладает конечным объектом и обратными образами.
Двойственным образом условие B) может быть заменено ус-
условием
B') $ имеет начальный объект и амальгамы.
Приведенное определение — это первоначальное определение,
данное Ловером и Тирни, основываясь на котором они начали
развивать теорию топосов в 1969 г. Позднее Миккелзен обна-
обнаружил, что условие B) следует из остальных (см. Pare [74]).
Таким образом, топос может быть определен как декартово
замкнутая категория с классификатором подобъектов. В § 4.7
будет рассмотрено другое определение, основанное на категор-
ной характеризации множества-степени.
Слово «элементарный» (которое в дальнейшем обычно бу-
будет опускаться) имеет специальный технический смысл, связан-
связанный с природой данного определения топоса. Он будет объяс-
объяснен в гл. 11.
Приводимый ниже перечень топосов призван проиллюстри-
проиллюстрировать высокую степень общности этого понятия. Мы не оста-
останавливаемся на всех деталях и главным образом концентри-
концентрируем внимание на строении классификатора подобъектов.
4.4. ПЕРВЫЕ ПРИМЕРЫ
Пример 1. Set — топос. Это простой пример, который слу-
служит обоснованием введения понятий топоса.
Пример 2. Finset — топос. Пределы, экспоненцирование
и классификатор подобъектов Т: 1->-й точно такие же, как
в Set.
Пример 3. Finord — топос. Каждое конечное множество изо-
изоморфно некоторому конечному ординалу (А ^ п, если А имеет
п элементов). Поэтому все категорные построения в Finset пе-
переносятся в Finord (как мы уже видели это для произведений
и экспоненциалов). Классификатор подобъектов в Finord пред-
представляет собой ту же самую функцию true: {0} ->- {0, 1} что
и в Finset, и в Set.
4 Зак. 65/
98
Гл. 4. Что такое топосы
Пример 4. Set2, т. е. категория пар множеств, — топос. Все
конструкции получаются «удвоением» соответствующих кон-
конструкций в Set (ср. пример 10 из § 2.5).
Конечным объектом служит пара <{0}, {0}> одноэлементных
множеств. Для данных двух стрелок </, g}: <Л, В>-><?, F},
<Л, А>: <С, Z)>^-<?', Fy в Set2 с общим концом построим в ка-
категории Set декартовы квадраты
Тогда квадрат
А
С
Е
Q
В
D
<А, Б)
(h, k)
(Е, F)
будет декартовым в Set2.
Экспоненциалом <С, D}<-A- B> служит пара <СА, Z)B>, а стрел-
стрелкой значения из объекта <С, ?>><<*¦ В>Х <А, В} == <СЛ ХА,
DBXB> в объект <С, D> —пара <е, /> соответствующих стре-
стрелок значения е: САХА^-С и f: DBXB^-D в Set.
Пара <Т, Т>: <{0}, {0}>-><2, 2> является классификатором
подобъектов. Категория Set не играет здесь никакой особой
роли. Если <$\ и <И>ч. — топосы, то произведение категорий
e?i X <?2 также будет топосом.
Пример 5. Set^, т. е. категория функций, — топос. Конечным
объектом служит тождественная функция id{oj из {0} в {0}.
Обратный образ. Рассмотрим «куб»
Р *¦ С
Q
-* D
А
В
4.4. Первые примеры
99
где f, g, h — данные Set^-объекты, <i, /> есть Se^-стрелка из f
в g и <р, </> есть Se^-стрелка из /г в g. Оставшаяся часть диа-
диаграммы получается образованием в Set декартовых квадратов
<Э —S—+J) Г—г—~ С
а стрелка & возникает в силу свойства универсальности обрат-
обратного образа стрелок / и q. Тогда 5е^""-стрелки <«, о> и <r, s>
составляют обратный образ стрелок <i, ;> и <р, q}.
Классификатор. Если /: Л ->- В — подобъект g: C-+D в Set"*
к пара <i, ;> является 5е/^"-монострелкой из / в g, то ее ком-
компоненты будут монострелками в Set и имеет место коммутатив-
коммутативная диаграмма
Можно выбрать монострелки i и / действительными включе-
включениями так, что А ^ С, В ^ D я f является ограничением g, т. е.
f(x) = g(x) Для всех х^А. Получаем следующую картину:
Рис. 4.3.
Элементы х из множества С можно разбить на три следующих
класса:
(i) xe=A;
4*
100
Гл. 4. Что такое топосы
(ii) x(?A, ho
(III) х<?А н g{x)?B.
Итак, введем трехэлементное множество {0, 1/2, 1} и опреде-
определим -ф: С-*- {0, 1/2, 1} условиями
!1, если имеет место (i),
1/2, если имеет место (ii),
0, если имеет место (ш).
Построим теперь куб
40, 1}
где true(O)=f'(O)=l и t@)=0, t{l)= t{l/2)=l. Через %в
обозначена, как обычно, характеристическая функция множе-
множества В.
Нижняя грань куба представляет классификатор подобъек-
тов Т: l->-Q в Set~*. Пара (f, true) является Бег^-стрелкой из
3 = id{0} в Q = t: {0, 1/2, 1}^-{0, 1}. Передняя и задняя
грани куба являются декартовыми квадратами в Set. Вся диа-
диаграмма показывает, что пара <г|), %в} является характеристиче-
характеристической Set^-стрелкой монострелки <t, />.
Экспоненцирование. Пусть /: А-+В, g: C-+D — два Set-*-
объекта. Определим Set^-объект gf: E-*-F. Пусть F = DB (экс-
(экспоненциал в Set), a E — совокупность всех Set^-стрелок из f
в g, т. е.
А
? =
: диаграмма f
б коммутативна},
В
-D
4.5. Расслоения и пучки 101
Произведение в Set"* объектов gf и f равно их функторному про-
произведению gfXf: EXA-*FXB в Set (ср. § 3.8), а пара <«, v)
является стрелкой значения из gf X'f B ?'•
где у — это обычная стрелка значения в Set, а и преобразует
пару <<ft, k), х} в h (х).
Приведенные конструкции для классификатора Т: 1->Q
и экспоненциала gl, как мы увидим в гл. 9, являются частным
случаем более общего определения, дающего целый класс то-
посов.
4.5. РАССЛОЕНИЯ И ПУЧКИ
Истоки теории топосов лежат главным образом в алгебраи-
алгебраической геометрии, в частности в теории пучков. Для понимания
того, что такое пучок, требуется некоторое знание топологии,
и подробное изложение теории пучков и ее связи с топосами
увело бы нас от нашей основной цели. Понятие пучка тесно
связано с моделями интуиционистской логики, но носит значи-
значительно более общий характер. Теория пучков дает целый поня-
понятийный каркас и имеет свой собственный язык, и игнорировать
это полностью даже на данной стадии значило бы исказить
как общее значение, так и внутреннюю направленность теории
топосов.
Ориентируясь на читателей, недостаточно хорошо знакомых
с топологией, мы отложим введение топологических понятий
и рассмотрим сначала теоретико-множественную структуру, на-
называемую расслоением, лежащую в основе понятия пучка.
Предположим, что s4> — совокупность попарно непересекаю-
непересекающихся множеств, т. е. элементами s4> являются множества, не
имеющие общих элементов. Нам нужна удобная система обо-
обозначения этих множеств. Поэтому предположим, что имеется
множество / меток, или индексов, для этих множеств. Для каж-
каждого индекса i е / имеется множество Ai, принадлежащее на-
нашей совокупности, и каждый член совокупности s4> помечен та-
таким образом, так что мы представляем s4> как совокупность
всех этих А г.
*^{At: ie/}.
Тот факт, что члены s& попарно не пересекаются, выражается
условием: для любых двух различных индексов /, 1^1
102
Гл. 4. Что такое топосы
Наглядно можно представлять себе, что множества Л,- «наса-
«насажены» на элементы индексного множества /:
Рис. 4.4.
Если определить А как объединение всех Л,-, т. е.
Л= {х: для некоторого i х
то возникает очевидное отображение р: А-*-1. Если хеЛ, то
поскольку множества Лг- не пересекаются, существует ровно
одно множество Л,-, такое, что ^еЛг. Положим p(x)=i. Та-
Таким образом, все элементы из Л» отображаются в i, все эле-
элементы из Л/ — в у и т. д. Мы можем теперь восстановить Л,-
как прообраз при отображении р множества {*}. Действи-
Действительно, jtH({i})— {*'• р(х) = i} = At- Множество Л,- называется
слоем над i, элементы из Л,- называются ростками в i, а вся
структура — расслоением множеств над базисным простран-
пространством (базой) I. Множество Л называется пространством рас-
расслоения.
Эта конструкция выглядит довольно специальной, однако ее
можно найти везде, где встречаются функции. Мы только что
видели, что с расслоением ассоциировано отображение р из
пространства расслоения в его базу. (В действительности если
каждый слой непуст, то отображение р будет сюръективным,
однако, вообще говоря, мы будем допускать случай, когда
Л,- = 0 для некоторых ie/.) Обратно если р: Л-»-/— произ-
произвольная функция из некоторого множества Л в /, то можно
определить Л,- и s4- равенствами
4.5. Расслоения и пучки 103
Тогда s4< будет расслоением множеств над /, исходное множе-
множество А — пространством расслоения, а исходная функция р —
индуцированным отображением этого расслоения (так как ни
на каком х функция р не может принимать двух различных
значений, то слои не пересекаются).
Таким образом, расслоение множеств над / представляет
собой в сущности функцию, область значений которой есть
множество /. Но, конечно, эти два понятия не идентичны в кон-
концептуальном плане. Истолкование функции как расслоения от-
открывает новые заманчивые перспективы. Чтобы это подчерк-
подчеркнуть, введем новое название Вп(/) для категории всех расслое-
расслоений над /, хотя ранее в примере 12 гл. 2 мы уже описывали эту
категорию, называя ее относительной категорий Set|/. Таким
образом, Вп(/)-объекты представляют собой пары {Atf), где
f: A-+I— теоретико-множественная функция, а Вп(/)-стрел-
Вп(/)-стрелками k: (A, f)-+(B, g) являются такие функции k: А-*-В, для
которых коммутативна диаграмма
т. е. gok = f. Это означает, что если f(x) = i для хеЛ, то
g(k(x))= i, т. е. если лгеЛ,-, то J(i)eSj. Таким образом, k
отображает ростки в i расслоения (A, f) в ростки в i расслое-
расслоения (B,g).
Топос можно мыслить себе как обобщение категории Set,
а объекты топоса — как «обобщенные множества». Категория
Вп(/) является топосом. Его «множества» — это расслоения
множеств. Как мы увидим сейчас, многие категорные понятия,
примененные к Вп(/), оказываются расслоением соответствую-
соответствующих образований в Set.
Конечным объектом 1 в Вп(/) является тождественная
функция id/: /-»-/, и для произвольного расслоения (A, f)
единственной стрелкой (Л,/)-»-(/, id/) оказывается сама функ-
функция f: А-*-1 (ср. § 3.6). Слоем функции id/ над i служит мно-
множество id-'({i}) = W. являющееся конечным объектом в Set.
Таким образом, конечный объект в Вп(/) является расслоением
над / конечных объектов из Set. Единственная стрелка
f: (A, /)->¦(/, id/) может быть представлена как расслоение
{/,: i e /} соответствующих единственных Set-стрелок.
Обратный образ. Для данных Вп(/)-стрелок k: (A,f)^-
->(C,h) и /: (B,g) -+¦ (C,h) с коммутативной в Set диа-
диаграммой
104
Гл. 4. Что такое топосы
построим в Set обратный образ стрелок k и I, представленный
декартовым квадратом
Р ~^— В
Л
!'
с
Тогда диаграмма
Л
В
будет представлять обратный образ в Вп(/) стрелок k и /, где
j = fop = h°kop = h°l°q = goq. Эту диаграмму, вероятно,
полезнее изобразить в виде
Р
-* В
А
J
I i
f/' \ь
с
4.5. Расслоения и пучки
105
Далее, если Л„ ?,, С,- — слои над / расслоений /, g, h соответ-
соответственно, то областью определения обратного образа пары1)
ИВ;
д ъ Г*
будет служить множество «л:,у): x^At, г/е В; и k(x)— 1{у)},
которое, как нетрудно видеть, совпадает с множеством
«х, у}: х^А, у^В и j{x,yy = i} == /—1 ({t}),
т. е. со слоем над i расслоения у: Р-*-1.
Таким образом, обратный образ в Вп(/) является расслое-
расслоением обратных образов в Set.
Классификатор подобъектов. Классификатором для Вп(/)
является расслоение двухэлементных множеств, т. е. расслое-
расслоение Set-классификаторов.
с
с
с
A} x
(о) * j
У
Рис. 4.5.
Определим Q равенством Q=BX/, pi), где р/ — проекция
на второй множитель, р[((х,у}) = у. Множество 2Х/ можно
представить как объединение непересекающихся множеств
{0}Х/={<0,;>: is/}
каждое из которых изоморфно /. Наглядно это изображено на
рис. 4.5. Слоем над i является двуэлементное множество
') Через l\Bt обозначено ограничение функции / на множество В,-.—
Прим. перев.
106
Гл. 4. Что такое топосы
Классифицирующая стрелка Т: 1—>-Q может рассматриваться
как расслоение классифицирующих функций true. Определим
Т: /->2Х/ равенством
В категорных терминах Т равно произведению (true о!, id/>
отображений true0!: / -*- {0} ->¦ {0, 1} и id/. Посмотрим, как Т
классифицирует подобъекты. Возьмем монострелку k: (A, f)->-
-*-{B,g) в Вп(/). Тогда k: А-+В будет монострелкой в Set
и можно считать, что k является включением, т. е. ДсВ
В
2x1
Рис. 4.6.
и f(x) = g(x) для всех xel Мы хотим определить характе-
характеристическую стрелку %k: (В, g)-»-Q = B ХД Pi) так, чтобы
диаграмма
2х/
была коммутативна и являлась декартовым квадратом в Вп(/).
Для произвольного Jtefl имеет место один из двух случаев,
хе/1 или л: 0 Л.
Определяя %к, мы выбираем «1» или «0» в зависимости от
того, какой случай имеет место, и производим такой же выбор
в соответствующем правом слое (см. рис. 4.6). При этом должно
выполняться равенство Pi°%k = g- Формально %k'. S->-2X/
равно произведению <%д,?>: ?-»-2ХЛ гДе №'¦ В-+2 — обыч-
обычная характеристическая функция множества Л, т. е.
ГО, g(x)), если ie/1,
%k{X)~\@, g(x)), если хфА.
4.5. Расслоения и пучки 107
Упражнение 1. Проверить, что эта конструкция удовлетво-
удовлетворяет Q-аксиоме. ?
Сечения. Функция Т: /->-2Х/ обладает интересным свой-
свойством: ее значение T(j) = <1, i> в i является ростком в i. Функ-
Функция из базисного множества / в пространство расслоения, вы-
выбирающая один росток из каждого слоя, называется сечением
данного расслоения. Другими словами, s: I-*-A является сече-
сечением расслоения f: Л-»-/, если s(i)eA- = f-'({[}) для всех
is/, т. е. если f(s(i))= l для всех ie/. На категорном языке
это означает, что диаграмма
/—^— А
коммутативна. Сечение можно рассматривать как Вп(/)-стрелку
из конечного объекта (/, id/) в Вп(/)-объект (A,f). Таким об-
образом, сечение в расслоении (A,f) является элементом Вп(/)-
объекта (A,f) в смысле определения конца § 4.1. Мы уже
видели, что сечение представляет собой расслоение ростков, по
одному из каждого слоя. Поэтому элемент в Вп(/) — это рас-
расслоение обычных элементов.
Элементы из Q, т. е. стрелки 1^-Q в произвольном топосе
$, называются истинностными значениями топоса <В. Они иг-
играют особую роль в логической структуре топоса (см. гл. 6).
(Сам объект Q называется также объектом истинностных зна-
значений.) Мы уже знаем, что существует биективное соответствие
Sub(l)^^r(l,Q) между элементами из Q и подобъектами
объекта 1. Так как для подобъекта k: (A,f)>—>1 объекта 1 то-
топоса Вп(/) диаграмма
коммутативна, то k = f. Таким образом, подобъект объекта 1
может быть отождествлен с инъективной функцией /: А>—>1,
т. е. с подобъектом объекта / в Set. Последний, конечно, есть
з сущности подмножество в /. Поэтому можно утверждать, что
существует биекция
)
т. е. мы можем отождествить истинностные значения (элементы
из Q) в Вп(/) с подмножествами в /. Полезно разъяснить это
подробно.
108
Гл. 4. Что такое топосы
Для данного Л = / пусть Sa'- /->2Х/ будет произведением
(.%л> '^/> отображений %л и id/, т. е.
если i e= А,
если i еЁ Л.
Тогда S.4 является сечением расслоения Q, образ которого по-
показан на рис. 4.7 в виде заштрихованной части. Функция, ста-
ставящая в соответствие множеству Л сече-
сечение Sa'- l-*-Q, инъективна (упражнение
для читателя). Кроме того, если S: 1->
->Q — произвольное сечение и Л = {/:
S(t)=<l,i>}. то S = SA, так что эта
функция будет сюръективна.
Заметим, что, в то время как Set
имеет два истинностных значения, топос
Вп(/) может иметь бесконечно много ис-
истинностных значений (так будет, если
множество / бесконечно).
С
Рис 4 7
Упражнение 2. Каковы истинностные
значения для Set2 и Set^? ?
Произведения. Пусть (Л,/) и (B,g)—расслоения над /.
Построим декартов квадрат в Set
А
Тогда расслоение (ЛХ-8,^) является произведением в Вп(/)
объектов (Л,/) и {B,g), где h = f°p = g°q. Проекциями
этого произведения будут стрелки р и q. Отметим, что слоем
над i служит множество
являющееся произведением слоев над i расслоений (Л, /)
и (B,g). Вот почему обратный образ иногда называют рас-
расслоенным произведением.
Экспоненциалы. Для данных расслоений f: A-*~I и g: B^-I
построим их экспоненциал как расслоение экспоненциалов В,- *
4.5. Расслоения и пучки 109
слоев расслоений А и В. Более точно, пусть D,— совокупность
всех функций k: Ai-+B, таких, что диаграмма
В
коммутативна, т. е. k отображает Л; в слой S,- расслоения g.
(Через f* обозначается функция с тем же «правилом вычис-
вычисления», что и f, но имеющая, возможно, другие области опре-
определения и значения.) Однако Dt могут не быть попарно непере-
непересекающимися. Поэтому определим ?,- = {i} X А- для каждого
z. Тогда {Ее i e /} будет расслоением. Индуцированная им
функция р: E-+I, где Е является объединением этих Eit опре-
определяется равенством p((i,ky)=i. В качестве экспоненциала
(B,?)M,f)
возьмем расслоение (Е,р). Стрелку значения ev: (E, р)Х
Х(Л, f)-+(B, g), т. е. функцию ev: ?X^->-?, определим ра-
равенством ev(«i, ky, x}) = ^(а-).
Читатель, у которого хватит терпения разобраться во всех
подробностях проверки корректности этого определения экс-
поненцирования, без сомнения, будет вознагражден «на небе-
небесах». А пока он, возможно, оценит преимущества категорного
подхода, в рамках которого нам, для того чтобы определить, что
такое экспоненциал, достаточно сказать, что он удовлетворяет
свойству универсальности, приведенному в § 3.16. (Мы вер-
вернемся к этому примеру в гл. 15.) ?
Основная теорема. Если 8 — топос, то для любого &-объ-
&-объекта а категория 8\а всех <?-стрелок над а (§ 2.5, пример 12)
также топос.
Этот факт был назван основной теоремой теории топосов
Фрейдом в Freyd [72]. Читатель, вероятно, сможет перенести
на этот общий случай многие части рассмотрения, проведенного
выше, для случая, когда 8 есть категория Set. Например,
классификатор <Та, 1а> подобъектов в 8\а дается диаграммой
где Та = Т о \а и Т: 1->О — классификатор в 8. Стрелка
1«: а-^-а является конечным объектом, а стрелка рга: ИУ^а^-а
служит объектом Q в 8 | а. Определение экспоненциала в 8 | а
ПО Гл. 4. Что такое топосы
увело бы нас сейчас слишком далеко в сторону. Оно требует
построения категорной теории частичных функций и их класси-
классификации, которую мы рассмотрим в гл. 11 и 15.
ПУЧКИ
Пучок — это расслоение, обладающее некоторой дополни-
дополнительной топологической структурой. Пусть / — топологическое
пространство ив — совокупность его открытых множеств. Пуч-
Пучком над / называется пара (А,р), где А—топологическое про-
пространство и р: А->1 — непрерывное отображение, являющееся
локальным гомеоморфизмом. Последнее означает, что каждая
точка хе/1 имеет открытую окрестность U, которая гомео-
морфно отображается функцией р на множество p(U)= {p(y):
у е U), являющееся открытым в /. Объектами категории Тор(А)
пучков над / служат пары (А,р), являющиеся пучками, а стрел-
стрелками k: (A, р)-+(В, q) — непрерывные отображения k: A-+B,
такие, что диаграмма
коммутативна. На самом деле такое отображение k будет от-
открытым (поскольку это локальный гомеоморфизм). В частности,
множество lmk = k(A) открыто в В.
Категория Тор(/) является топосом и называется простран-
пространственным топосом. Его конечным объектом служит функция
id7: /—>-/. Классифицирующий объект Q топоса Тор(/) назы-
называется пучком ростков открытых в / множеств. Построение
этого пучка иллюстрирует следующий общий метод образования
расслоений над /. Рассматривается некоторое множество X,
и пусть каждая точка i e / определяет отношение эквивалент-
эквивалентности ~i на X. Слой над i определяется как фактормножество
X/~i классов эквивалентности относительно ~,-.
В случае классифицирующего объекта в качестве X берется
совокупность 0 всех открытых в / множеств. Для каждого
г'е/ отношение ~.- определяем следующим образом:
U ~iV если и только если существует некоторое открытое
множество W, такое, что i 6= W и U [\ W = V {] W.
Тогда ~i есть отношение эквивалентности. Интуитивно экви-
эквивалентность U ~ i V означает, что точки из U, близкие к i, сов-
совпадают с точками из V, близкими к i, т. е. «локально» вблизи i
4.5. Расслоения и пички 111
множества U и V неразличимы, иначе говоря, предложение
«U = V» «локально истинно» в L
Класс эквивалентности
[U]t= {V: U ~iV)
называется ростком окрестности U в i. Интуитивно он «пред-
«представляет» совокупность точек из U, «близких» к I.
В качестве слоя над i возьмем множество
fi,- = {<;, [?/],->: U открыто в /}.
Тогда объект Q в Тор(/) определим как соответствующую
функцию р: 1-*-1, где 7— объединение слоев Q,, а р для значе-
/IV
Рис. 4.8.
ний аргумента, принадлежащих Q;, дает L Топология на 7 опре-
определяется базой, состоящей из всех множеств
где V открыто и U <=lV . Отображение р становится тогда
локальным гомеоморфизмом, а каждый слой — дискретным
пространством в относительной топологии.
Обозначим через G; совокупность всех открытых окрестно-
окрестностей точки I. Имеют место следующие факты о ростках откры-
открытых множеств:
(i) [[/],- = [/] тогда и только тогда, когда te U,
(И) [/],- = в;,
(iii) [U]i = [0]i тогда и только тогда, когда i отделено от V
(т. е. существует Уев/, такое, что U[\V = 0). (Читатель,
знакомый с теорией решеток, заметит, что открытые множества
образуют дистрибутивную решетку (©, П. U), в которой в* яв-
является простым фильтром, а слой Q* — это в сущности фактор-
решетка В/в,, т. е. отношение ~« представляет собой решеточ-
решеточную конгруэнцию, определяемую фильтром G,-.)
Прежде чем перейти к исследованию Q как классификатора
подобъектов, посмотрим на истинностные значения s: l-»-Q.
Стрелки такого вида являются непрерывными сечениями рас-
расслоения Q, называемыми обычно глобальными сечениями
112
Гл. 4. Что такое топосы
пучка. (Можно также рассматривать локальные сечения
s: ?/—>-/, определенные на открытых подмножествах U в /.)
Для отрытого в / подмножества U определим Su: I-*-1 равен-
равенством Su(i)= (i, W]i}- Мы видим, что Su является непрерыв-
непрерывным глобальным сечением, т. е. Su'- l->-Q. В силу (i) равенство
Su{i) = (,i, [/];> имеет место тогда и
только тогда, когда i е V. Кроме того,
если s: l->-Q — произвольное непрерыв-
непрерывное сечение Q и U = {г: s(i)= <t, [/]¦>},
го множество U открыто (U = s~l([I, /]))
и Su = s.
Таким образом, истинностные значе-
значения в Тор(/) — это в сущности откры-
открытые подмножества пространства /, в то
время как в Вп(/) ими были все подмно-
подмножества в /. Позднее мы встретимся с
другими конструкциями, имеющими тео-
теоретико-множественный и топологический
варианты, и увидим, что последние полу-
получаются из первых заменой термина «под-
«подмножество» на термин «открытое под-
подмножество».
Стрелка Т: l->-Q определяется как непрерывное сечение
Т :/->-/, для которого Т(?) = <г, [/];> при всех ie/. Пусть
k — монострелка (можно считать, что k — теоретико-множе-
теоретико-множественное вложение), для которой коммутативна диаграмма
Рис. 4.9.
и А — открытое подмножество в В. Характеристическую стрелку
УХ- {B,q)^-Q строим следующим образом. Пусть х^В. Выбе-
Выберем окрестность 5 точки х, в которой q является локальным
гомеоморфизмом. (См. рис. 4.9.) Тогда значение функции %*:
В->/ в точке х положим равным ростку открытого множества
q(A()S) в q(x), т. е.
х* (*) = <?(*). к И ns) ],(„>.
Интуитивно, росток множества q(Af]S) в q(x), где q — локаль-
локальный гомеоморфизм, представляет в / множество точек из А,
4.6. Действия моноида 113
близких к х. Он дает меру отдаленности х от А. В то время как
в теории множеств допускается только две возможности: либо
гёД либо хфА— в топологическом контексте возможно бо-
более тонкое различие по степени близости х к А. Мы рассматри-
рассматриваем ростки в q(x) как меру степени приближенности х к от-
открытым подмножествам в В. Определим на Qe(«> частичный
порядок следующим условием:
[U]q(x)i= [V]q(X) тогда и только тогда, когда существует от-
открытое подмножество W Е /, такое, что q(x)e.
gew и unw^vnw,
т. е. [U]q(X)E=[V]q(X), если и только если предложение «!/ g У»
локально истинно в q{x). Чем «больше» в смысле этого порядка
росток множества q(Af\S), тем ближе х к А. Если хеЛ, то
q(x)^q(Af\S) и по п. (i) росток множества q(Af\S) оказы-
оказывается самым большим из возможных, т. е. [q(A f\S)]q(X) =
~[l]q(x). В другом предельном случае, когда х отделено от А,
росток будет наименьшим из возможных, т. е. [q (A f\ S) ] q(X) =
= [0] <?(*)• С другой стороны, когда х лежит на границе, росток
[q(A f]S)] расположен строго между ростками множеств 0 и /,
т.е. [0]C[q(Af\S)]C[I]. ?
Упражнение 1. Проверить, что определение функции %k(x)
не зависит от выбора окрестности S точки х, в которой q яв-
является локальным гомеоморфизмом.
Упражнение 2. (Другое определение функции %k(x).) Пусть
Ux — {i^I: существует локальное сечение s пучка (В, q),
такое, что s (i) е А и s (q (x)) = х),
т. е. Ux — множество всех точек из /, отображающихся в А не-
некоторым локальным сечением пучка (В, q), проходящим через
точку х. Показать, что [Ux]q(x) = [q{Af\S)]q[X), где S выбрано
так же, как выше. ?
4.6. ДЕЙСТВИЯ МОНОИДА
Пусть М = (М, *, е) — моноид (ср. § 2.5). Для произволь-
произвольного данного пг^М определим функцию Хт: УИ->УИ, называе-
называемую Левым умножением на т, правилом
Хт (п) — т* п для всех п е М.
Получается семейство {hm: tn e M) функций, индексированных
множеством М, которое удовлетворяет следующим условиям:
(i) "Ке = idw, так как "ke{m) = е * т = т,
(И) Я,тоЯ,р = Ят.р, так как \т(кР(п)) = т *(р* п) = (т*
* р) * п.
114 Гл. 4. Что такое топосы
Условие (п) говорит, что семейство функций Хт замкнуто отно-
относительно композиции функций. Это семейство образует моноид
с операцией композиции функций и единичной функцией Хе.
Приведенную конструкцию можно обобщить. Пусть X — неко-
некоторое множество и {Хт: X-+X: т е М}—совокупность функ-
функций Хт из X в X. Эта совокупность индексирована элементами
нашего исходного моноида и выполняются равенства
Хе = idjf и Хт ° Хр = Хт,р.
Такая совокупность Хт, называемая действием моноида М на X,
может быть заменена одной функцией X: МХ,Х-+ X, опреде-
определяемой равенством Х(пг, х) = Хт(х) для всех т е М и xel
Приведенные выше условия переходят в условия
Х(е,х) = х и Х(т, Х(р, х)) = Х(т*р, х).
Пара (Х,Х), где X: МУ(Х-+Х — действие моноида М на X,
называется Ж-множеством.
Пример 1. В качестве М возьмем моноид (N, +> 0) нату-
натуральных чисел с обычным сложением, а в качестве X — множе-
множество всех действительных чисел. Действие X определяется ра-
равенством Х(пг, r) = m + г.
Пример 2. Пусть X — множество векторов некоторого век-
векторного пространства, М — мультипликативный моноид его ска-
скаляров, X — умножение вектора на скаляр.
Пример 3. X — множество точек евклидовой плоскости, М —
множество евклидовых преобразований (вращений, отражений,
переносов) с операцией композиции функций в качестве опера-
операции «, а Х(т,х) равно т(х) — результат применения преобра-
преобразования т к точке х.
Пример 4л X — множество состояний вычислительной ма-
машины, М — множество входных слов (строк) с операцией кон-
конкатенации, или соединения, строк в качестве операции *,
Х(т, л-) — состояние машины, в которое она переходит в ответ
на входное слово т, находясь в состоянии х. ?
Для данного моноида М все М-множества можно рассмат-
рассматривать как объекты категории M-Set, являющейся топосом.
Стрелка /: (X,X)->~(Y, ц) из категории M-Set — это по опреде-
определению эквивариантная функция, т. е. функция, сохраняющая
действие. Это означает, что диаграмма
4.6. Действия моноида 115
коммутативна для каждого теМ. Другими словами, для всех
m и х имеет место равенство f(k(m, х)) = ц(/я, f(x)). Компози-
Композиция стрелок совпадает с композицией функций.
Конечным объектом является одноэлементное М-множество:
1 = ({0}, ко), где ко(пг, 0) = 0 для всех т.
Произведением (Х,к) и (У, (i) является М-множество (XX
X Y, Ь), гле 8т равно kmXlXm: XX Y^XXY.
Обратным образом пары стрелок
(У. Н-)
(X X) —*-~ (Z, ч)
служит М-множество (XXzY, б), где действие 6 такое же, как
выше.
Далее, множество В s М называется левым идеалом в М,
если оно замкнуто относительно левого умножения, т. е. если
т4еВ всякий раз, когда Ъ <= В и т — произвольный эле-
элемент М. Например, М и 0— левые идеалы в М. Пусть Q =
= (Lm, со), где LM — множество всех левых идеалов в М и дей-
действие to: MXLm^>-LM определяется равенством со(т, В) =
= {п: п*т^В}. Классификатором подобъектов является
функция Т: {0}->-Z,m, такая, что Т@) = Л1 Таким образом,
Т отмечает наибольший левый идеал в М.
Посмотрим, как определяются характеристические стрелки
подобъектов. Предположим, что k: (X, "k)-*-(Y, ц) — монострелка.
На самом деле можно считать, что k — включение X <=* Y (ж-
вивариантность k означает тогда, что (i(m, х) = к(ш, х) для
всех ,iel). Характеристическая стрелка %ft: (У, |i)->-Q — это
функция х*: Y-+Lm, определяемая равенством
%k(y)={m: ц(гп,у)^Х} для всех у <= У-
Упражнение 1. Проверить, что со — действие М на LM, что
%k(y) — левый идеал и что %k удовлетворяет Q-аксиоме. ?
Экспоненцирование
Рассуждение, с которого мы начали этот параграф, показы-
показывает, что операция *: М~Х.М-*-М сама является действием М
на М, т. е. что (М, *) есть М-множество. Для данных М-мно-
жеств (Х,к) и (У, |л) в качестве экспоненциала (У, ц)(-х' '¦> возь-
возьмем пару (Е, а), где Е — множество всех эквивариантных ото-
отображений / вида /: (M,*)X(X,k)^>~(Y,\i) и om: E-+E ставит
в соответствие отображению / функцию g = om{f)'- MXX-+Y,
116 Гл. 4. Что такое топосы
задаваемую равенством g(n,x) = f(m*n,x). Стрелка значения
ev: (?,
определяется по формуле ev(/, х) = f(e, x). Для данной стрелки
f: (Х,Х)У((У, ii)—*(Z, v) экспоненциально присоединенная стрел-
стрелка f: (X, i)->-(Z, v)(r' M является функцией, ставящей в соответ-
соответствие данному х^Х эквивариантное отображение fx: My^Y-*-
—>-Z, определяемое равенством fx(tn, y) = f(Xm{x),y).
Категории вида M-Set служат богатым источником примеров
топосов с «неклассическими» свойствами. В гл. 9 мы подойдем
к ним с иных позиций.
Упражнение 2. Описать все левые идеалы в (;V,+, 0).
Упражнение 3. Показать, что М является группой тогда
и только тогда, когда М и 0 — единственные левые идеалы мо-
моноида М, т. е. LM = {М, 0}. О
4.7. ОБЪЕКТЫ-СТЕПЕНИ
В произвольном топосе экспоненциал О±а является аналогом
множества 2А для категории Set. Ввиду изоморфизма 2А ^^(А)
естественно поинтересоваться, будут ли свойства объекта Q"
аналогичны свойствам «множества-степени» «множества» а.
Как мы увидим из независимого категорного определения мно-
множества-степени !?(А), такая аналогия действительно суще-
существует.
Для данных множеств А и В существует биективное соот-
соответствие между функциями из В в !?(А) и отношениями из
В в А. Функция /: ?-*-#*(Л) определяет отношение Rf^B~XA,
задаваемое эквивалентностью
' xRft/ т. и т. т. y<=f(x),
где хёВ и i/eA Обратно, отношение i?EBX^ определяет
функцию fR: B^>-3>{A), задаваемую равенством /«(*)=:{(/: у е
ёД и xRy}. Нетрудно видеть, что два построенные отображе-
отображения (одно переводит R в fR, другое / в Rf) являются обратными
друг другу и устанавливают требуемый изоморфизм.
Чтобы выразить это соответствие в терминах стрелок, рас-
рассмотрим отношение е^ из !Р(А) в А. Отношение е^ является
отношением принадлежности и содержит всю информацию
о том, какие подмножества множества А какие элементы со-
содержат. Точнее
<=л = {(U,xy. ?/<=Л, хеЛ и is U).
Переходя от ?Р(А) к 24 и заменяя условие «Е U» на условие
«%и(х)= Ь>, мы видим, что отношение е^ изоморфно множеству
^а = {<Х„, х): U с= А, х е= А и Хи (х) =1}е2"ХЛ.
4.7. Объекты-степени
117
Что представляет собой характеристическая функция подмно-
подмножества е л множества 24Х^4? Не что иное, как стрелку значе-
значения ev: 2ЛХЛ->-2, так как ev(%и, х) = %и(х). Таким образом,
мы можем охарактеризовать е^ (и, следовательно, с точностью
до изоморфизма, отношение ел) с помощью декартова квад-
квадрата
А
true
Далее, если ]?еВХ^ — произвольное отношение, то
<*,«/> е# т. и т. т. yefR(x) т. и т. т. </«(*),«/> ее л.
Следовательно, R является прообразом множества ел при ото-
отображении JrXU, переводящем пару <х, у} в пару </«(*), #>.
Таким образом, диаграмма
R
ВхА
в которой g обозначает ограничение /«Х^д на R, является
декартовым квадратом (см. § 3.13). Но можно сказать и больше.
Для данного R функция fR — единственная функция, для кото-
которой приведенный выше квадрат декартов.
Упражнение 1. Доказать последнее утверждение. ?
Мы приходим, таким образом, к следующему определению.
Определение. Говорят, что категория <§ имеет объекты-сте-
объекты-степени, если для каждого ^-объекта а существуют "iP-объекты
!Р(а) и ел и монострелка е: go>—>^(a)Xa, такие, что для
произвольного ^-объекта Ъ и отношения г: R >—> &Х# суще-
существует единственная "iP-стрелка fr: b->-!?(a), для которой
квадрат
будет декартовым при некоторой ^-стрелке R ¦
118
Гл. 4. Что такое топосы
Теорема 1. Всякий топос <§ имеет объекты-степени.
Доказательство. Для данного «^-объекта а положим
3>(а)=па, и пусть е: еа>—>&аУ(а — подобъект объекта
Q" X а, имеющий характеристическую стрелку eva: Q"Xa^-S,
т. е. монострелка е такова, что квадрат
QaXa
\
Q
декартов, где eva — стрелка значения. Покажем, что эта кон-
конструкция дает объекты-степени. Возьмем произвольную моно-
монострелку г: R>—> Ъ X о,. Пусть %r: 6Xa-»-Q—¦ ее характеристи-
характеристическая стрелка. Положим />: 6->-йа равным стрелке, экспонен-
экспоненциально присоединенной к %г, т. е. такой единственной стрелке,
для которой диаграмма
й'ха
Ь х а
коммутативна. Рассмотрим диаграмму
К
^ Q
Так как eva ° (/гХ1а) = эе-> т0 «периметр» этой диаграммы де-
декартов (в силу Q-аксиомы), а следовательно, коммутативен.
По свойству универсальности нижнего декартова квадрата су-
существует единственная стрелка 7?^-еа, для которой вся диа-
диаграмма будет коммутативна. В силу леммы о квадратах верх-
верхний квадрат декартов, что и требуется по определению объекта-
степени. Далее, только из того факта, что fr — какая-то стрелка,
при которой верхний квадрат декартов, вытекает (ввиду леммы
о квадратах), что внешний прямоугольник также декартов.
В силу й-аксиомы имеет место равенство eva ° (fr X 1a) = %r,
4.7. Объекты-степени 119
из которого (см. предыдущую диаграмму) f, однозначно опре-
определяется как экспоненциально присоединенная к %г. ?
Имея объекты-степени, мы можем переопределить Я, так как
Я^Я'=^A). Монострелка ер—>Я'Х1 = ?2' представляет
тогда классификатор подобъектов. Кок и Миккелзен показали,
что объекты-степени можно использовать для построения экс-
экспоненциалов и что
категория ^ является топосом тогда и только тогда, когда
она конечно полна и имеет объекты-степени.
(См. Wraith [75].)
В настоящее время эта характеризация используется как
определение топоса, его преимущество — краткость. В педаго-
педагогическом отношении оно, однако, не лучше по многим причинам.
Определение элементарного топоса через классификатор под-
подобъектов исторически более раннее. Оно позволяет дать лучшее
обоснование понятия топоса. Как станет ясно из дальнейшего,
именно Я-аксиома дает ключ к исследованию структуры топоса.
Для дальнейшего развития теории топосов ее, так или иначе,
нужно ввести. Кроме того, как Я-аксиома, так и экспоненциро-
вание проще в идейном отношении, чем понятие объекта-степени.
Имеются и другие причины, обусловленные последними откры-
открытиями в теории рекурсии, а именно построением слабых тео-
теорий множеств (допустимые множества, см. Barwise [75]).
В этих теориях возникают категории, в которых нет общего
понятия объекта-степени. Поэтому интересно исследовать раз-
различные варианты й-аксиомы, не связывая их с объектами-сте-
объектами-степенями. ?
Упражнение 2. Исследовать структуру объектов-степеней
в топосах, описанных ранее в этой главе.
Упражнение 3. Доказать, что категория ^ является топосом
тогда и только тогда, когда
(i) ff имеет конечный объект и обратные образы надле-
надлежащих пар стрелок;
(ii) ff имеет классификатор подобъектов true: 1-vQ;
(Hi) для каждого ^-объекта а существуют 'й'-объект па и
стрелка evQ: Qay^a^-Q, такие, что для каждого ^-объекта Ъ
и «отношения» г: R>—>ЬУСа существует единственная ^-стрелка
fr: b^>-Qa, для которой диаграмма
коммутативна.
120 Гл. 4. Что такое топосы
Упражнение 4. Показать, что единственной стрелкой й"->-
Qa, соответствующей отношению еа >—>Qdy(a, является
. ?
4.8. Q И ПРИНЦИП СВЕРТЫВАНИЯ
Ловер (Lawvere [72]) предложил рассматривать Q-аксиому
как категорную форму принципа свертывания. Поясним это.
Предположим, что В — произвольное множество и ф — свойство
элементов из В. Мы представляем себе ф в категории Set как
функцию ф: В->-2, задаваемую условиями
1, если х имеет свойство ф,
О в противном случае.
Принцип свертывания (выделения) позволяет нам образовать
подмножество {х: хей и ф(х)} всех элементов из В, удовле-
удовлетворяющих ф. Это множество, определяемое ф как функцией,
мы обозначили ранее через А<$ = {х: ф(х)= 1}. Таким образом,
«/<= {х: ф(х)} т. и т. т. ф(«/)= 1,
т. е. квадрат
В
-{
будет декартовым. Аналогично в произвольном топосе <% для
произвольной стрелки ф: b-*-Q определим стрелку {х: ф}: а-^-Ь
как подобъект в Ь, получаемый подъемом стрелки true вдоль ф,
т. е. как такую монострелку а>—> Ь, для которой квадрат
{Х;ф}
декартов.
Пусть в произвольной категории х: \-*-Ь — элемент объ-
объекта Ъ и f: а>—>Ь — некоторый подобъект. Будем говорить, что
х принадлежит /, х е f, если х пропускается через f, т е. если
существует k: \-*-a, для которой диаграмма
4.8. Q и принцип свертывания 121
коммутативна. Это естественное обобщение отношения принад-
принадлежности из категории Set.
Применяя это определение отношения принадлежности к мо-
монострелке {х: ф}: а>—>Ь, получаем следующее: если у: 1->-6 —
произвольный 6-элемент, то у е {х: ф} тогда и только тогда,
когда существует стрелка k, для которой вся диаграмма
Л,
коммутативна. Но внутренний квадрат декартов. Поэтому k су-
существует тогда и только тогда, когда периметр этой диаграммы
коммутативен. Следовательно,
у е {х: ф} т. и т. т. ф ° у = true,
что является аналогом теоретико-множественной ситуации.
Упражнение 1. Для произвольных f: а>—» 6 и g: c>—>6, та-
таких, что f^g, показать, что если хеб (т. е. х: 1-*-Ь или
xelj в смысле введенного выше отношения принадлежности)
и х е /, то х е g.
Упражнение 2. Для произвольных f: а>—> d я х: l-*-d по-
показать, что
х е f т. и т. т. %{о х = true.
Глава 5
СТРОЕНИЕ ТОПОСА: ПЕРВЫЕ ШАГИ
Построение теории элементарных топосов Ловером
и Тирни поразило пишущего эти строки. Оно пред-
представляется ему наиболее важным событием в исто-
истории категорией алгебры с момента ее создания...
И дело как раз не в том, что они доказали эти
вещи, а в том, что они отважились предположить их
доказуемость.
Петер Фрейд
5.1. МОНОСТРЕЛКИ КАК УРАВНИТЕЛИ
В § 3.10 было установлено, что инъективная функция
/: А •>—» В является уравнителем пары функций g и h. Теперь
мы видим, что g— это характеристическая функция %imf' б->-2,
a h — композиция !: ?->-{0} и true: {0}->-{0, 1}. Эта ситуация
непосредственно обобщается на произвольный топос.
Теорема 1. Если /: а>—>Ь — произвольная мономорфная
Ж-стрелка (<В — топос), то f является уравнителем %f и trues =
= true о \ь-
Доказательство. Так как декартов квадрат из диа-
диаграммы
с- ^
^ е
коммутативен и \а = \ь° f, то %f ° /= true& о /. Кроме того, если
%f°g = true&og,
то периметр первой диаграммы коммутативен, так как \b°g =
= \с. В силу свойства универсальности декартова квадрата g
однозначно пропускается через /, что и требовалось доказать. ?
Следствие. В произвольном топосе стрелка является изо-
стрелкой тогда и только тогда, когда она мономорфна и эпи-
морфна.
5.2. Образы стрелок 123
Доказательство. В любой категории изострелка моно-
морфна и эпиморфна (§ 3.3). С другой стороны, в топосе эпи-
морфная монострелка является по только что доказанной тео-
теореме эпиморфным уравнителем, но последний всегда будет изо-
стрелкой (§ 3.10). ?
Упражнение. Доказать, что true: l->-?2 уравнивает 1^: Q->-Q
и trueg: Q-»-Q. ?
5.2. ОБРАЗЫ СТРЕЛОК
Произвольная теоретико-множественная функция может
быть разложена в композицию сюръекции и инъекции, как по-
показано на диаграмме:
где f(A)= Imf = {f(x): х<ееЛ} и f*(x) = f(x) для всех х<ееЛ.
Это «эпи-моно»-разложение единственно с точностью до
единственного «переключающего» изоморфизма, как видно из
следующего упражнения.
Упражнение 1. Если h ° g: А —» С ^^> В и h' ° g': А-»С ^^>
>—>В — два эпи-моно-разложения функции f (т. е. f = h ° g =
= h'°g'), то существует единственная функция k: С-*-С, та-
такая, что диаграмма
A. ft! В
коммутативна; более того, k — изоморфизм в Set (биекция). ?
Читатель может попробовать сопоставить теоретико-множе-
теоретико-множественное доказательство этого упражнения с излагаемым ниже
«чисто стрелочным» подходом.
Во всяком топосе каждая стрелка имеет зпи-моно-разло-
жение.
Чтобы это доказать, вернемся к описанию такого разложе-
разложения в Set, но в категорной формулировке. Для данной функ-
функции /: А-+В определим, как в § 3.13, ядерное отношение
xRfy т. и т. т. f(x) = f(y).
124
Гл. 5. Строение топоса: первые шаги
Отображение h: A/Rf-+B, корректно определенное равен-
равенством h([x]) = f(x), будет инъективно. Если /> — сгоръектив-
ное естественное отображение /я (х) = [х], то диаграмма
A
В
A/Rf
коммутативна.
Далее, как уже отмечалось в § 3.13, Rf определяется декар-
декартовым квадратом
А
-в
В
где р и q — проекции, называемые ядерной парой функции f-
Из результатов § 3.12 следует, что fR является коуравнителем
пары (р, q) и что h — единственная стрелка, при которой диа-
диаграмма
коммутативна. Это подсказывает, что и в более общей катего-
категории можно попытаться разложить стрелку с помощью коурав-
нителя ее обратного образа относительно нее самой. Однако по
техническим причинам удобнее перейти к двойственной кон-
конструкции, т. е. построить уравнитель для амальгамы этой
стрелки с ней самой.
Итак, пусть & — произвольный топос и /: а->Ь — какая-то
^-стрелка. Построим амальгаму
стрелки f с f. Пусть Imf: f(a) >—>b — уравнитель стрелок о
п q (im/ — монострелка (теорема 3.10.1)). Так как q °f = р cf.
5.2. Образы стрелок
125
то существует единственная стрелка /*: а
диаграмма
imf - h q ; г"
f{a), при которой
коммутативна.
Упражнение 2. Проанализировать эту конструкцию примени-
применительно к категории Set.
Упражнение 3. Доказать, что если р = q, то / эпиморфна. ?
Теорема 1. Монострелка im/ является наименьшим подобъ-
ектом объекта Ь, через который пропускается f. Другими сло-
словами, если диаграмма
коммутативна для некоторых стрелки и и монострелки v, то
существует (единственная) стрелка k: f(a)->-c, при которой
диаграмма
f(a)
f>
imf
коммутативна, поэтому im f ? v.
Доказательство. Будучи мономорфной, стрелка v слу-
служит уравнителем некоторой пары s, t: b^-d ^-стрелок (§ 5.1).
Так как sof = s°v°u = t°v°u = t°f, то существует един-
единственная стрелка h: r-+d, такая, что h°p — s и h°q = t.
126 Гл. 5. Строение топоса: первые шаги
Но тогда
s о im f = h о р о im f = h ° q ° im f = t ° im f.
Отсюда и из свойства универсальности уравнителя v следует,
что существует единственная стрелка k, для которой диа-
диаграмма
коммутативна, следовательно, v °k~ imf. Таким образом, k —
единственная стрелка, для которой правый треугольник диа-
диаграммы из теоремы 1 коммутативен. Далее, так как v°k°f* —
= imf о f* = f = v о и и v мономорфна (сократима слева), то
k°f* = u. Таким образом и левый треугольник коммутативен,
что завершает доказательство. ?
Следствие. Стрелка f*: a-^-f(a) эпиморфна.
Доказательство. Применяя процедуру построения об-
образа (т. е. imf) к самой стрелке /*, получаем коммутативную
диаграмму
g(a)
1И1 g
ts
-Smf
ПаУ
где g = f*. Цо композиция im/oimg мономорфна, будучи про-
произведением монострелок, и im g является единственной стрел-
стрелкой, обеспечивающей включение im f ° im g = im /, так как на
im f можно сокращать слева. Применяя доказанную теорему,
получаем, что имеет место обратное включение im / s im f ° im g.
Следовательно, im f ^ im f ° im g и стрелка im g должна быть
изострелкой.
По определению стрелка im g является уравнителем пары
р, q, называемой коядерной парой стрелки g = /*, пары, полу-
получаемой построением амальгамы
Г
5.3. Основные факты 127
Так как p°img = <7°img и im g — изострелка, а потому и эпи-
стрелка, то, сокращая на нее, получаем р = ц. Из свойства
коуниверсальности амальгамы вытекает, что стрелка f* эпи-
морфна (см. упражнение 3 выше). ?
Собирая вместе результаты этого параграфа, получаем сле-
следующую теорему.
Теорема 2. Представление im/°f*: a—»f(a)>—> Ъ яв-
является единственным с точностью до однозначно определенного
«переключающего-» изоморфизма эпи-моно-разложением /. Дру-
Другими словами, если v о и: а —» с >—> Ъ и v ° u = f, то существует
единственная стрелка k: f(a)-+c, такая, что диаграмма
с
коммутативна, и k — изострелка.
Доказательство. Существование и единственность k
вытекает из теоремы 1. Так как v°k = im / мономорфна, то и k
мономорфна (упражнение 2 § 3.1).Так как композиция^ о f* = и
эпиморфна, то, двойственным образом, стрелка k также эпи-
морфна. Поэтому k, будучи монострелкой и эпистрелкой, будет
изострелкой (§5.1). ?
Упражнение 4. Доказать, что стрелка f: a-*-b эпиморфна
тогда и только тогда, когда существует g: f(a)=b, такая, что
f f
5.3. ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ
Если & — топос, то относительная категория & \ а всех объек-
объектов над а также является топосом. Как отмечалось в гл. 4, этот
результат составляет часть так называемой основной теоремы
теории топосов. Ее доказательство основано на конструкциях,
которыми мы пока не владеем. Однако нам уже сейчас нужны
некоторые следствия этой теоремы. Поэтому приведем их без
доказательства.
Факт 1. Эпистрелки сохраняются при обратных образах. Это
означает, что если в топосе квадрат
а b
128
Гл. 5. Строение топоса: первые шаги
декартов и f — эпистрелка, то g, т. е. обратный образ f, также
эпистрелка.
Факт 2. Копроизведения сохраняют обратные образы. Это
означает, что если в произвольном топосе квадраты
f
и g
f
декартовы, то квадрат
тоже декартов.
Доказательство этих результатов можно найти в Коек-
Wraith [71],Freyd [72] и Brook [74].
5.4. ЭКСТЕНСИОНАЛЬНОСТЬ И ДВУЗНАЧНОСТЬ
Так как вообще произвольный топос & похож на категорию
Set, то его начальный объект 0, подобно пустому множеству
0, не должен содержать элементов. Это действительно имеет
место, за исключением одного случая. Если существует стрелка
х: 1-»-0, то в силу результатов § 3.16 о декартово замкнутых
категориях топос & вырожденный, т. е. все его объекты изо-
изоморфны. Вырожденным топосом является, например, катего-
категория 1, содержащая один объект и одну стрелку. Таким образом,
в невырожденном топосе 0 не имеет элементов.
Назовем объект а ненулевым, если он не изоморфен О,
а ^ 0, и непустым, если существует по крайней мере одна
стрелка вида 1-*-а. В случае когда <? = Set, эти два понятия
равнообъемны. Но если с? — топос пар множеств, т. е. <§ —
= Set2, то ситуация другая. Объект <0, {0}> не изоморфен
начальному объекту <0,0>, т. е. ненулевой. Но если бы су-
существовал элемент <f, g): <{0}, {0}>—> <0, {0}> объекта
<0, {0}>, то / должна бы была быть теоретико-множественной
функцией вида {0}->-0, что невозможно. Поэтому объект
<0, {0}> ненулевой, но пустой.
5.4. Экстенсиональность и двузначность 129
Упражнение 1. Имеются ли в Set- другие ненулевые пустые
объекты? Что можно сказать о непустых нулевых объектах?
Упражнение 2. Существуют ли ненулевые пустые объекты
в категориях Set^ и Вп(/)? ?
Вопрос о существовании элементов у объектов связан с прин-
принципом экстенсиональности (объемности), утверждающим, что
множества, содержащие одни и те же элементы, совпадают.
Для функций этот принцип принимает следующую форму (ко-
(которую мы уже неоднократно использовали): если две парал-
параллельные функции /, g: A^-B выдают один и тот же выход
при каждом входе, т. е. если для каждого хеЛ f(x) — g(x),
то эти функции равны. Категорная форма этого принципа
такова.
Принцип экстенсиональности (объемности) для стрелок. Если
стрелки f: a-^-b и g: a-+b различны, то существует элемент
х: 1 -у а, такой, что { * х ф g ° х.
Специалист по теории категорий сформулирует это предло-
предложение так: «1 является образующим». Этот принцип верен
в Set, но не верен в Set2. Легко видеть, что в последней кате-
категории имеются две различные стрелки из <0, {0}} в <0, 2>,
но объект <0, {0}> вообще не имеет элементов, чтобы разли-
различить эти стрелки.
Невырожденный топос, удовлетворяющий принципу экстен-
экстенсиональности для стрелок, называется точечным. Цель этого
параграфа — исследовать свойства таких топосов.
Теорема 1. Если & — точечный топос, то каждый ненулевой
&-объект непуст.
Доказательство. Если а — ненулевой объект, то стрелки
0а: 0>—>а и 1а: а>—>а имеют неизоморфные начала и поэтому
различны как подобъекты в а. Отсюда следует, что характе-
характеристические стрелки Хо : а -*• ^ и %t : a-> Q различны. По
принципу экстенсиональности существует некоторый х: 1-^-а,
для которого X,, ° х Ф х, ° х. В частности, а имеет элемент, т. е.
а 'а
непуст. ?
Ложь
В Set существует ровно две стрелки из 1 = {0} в О, =
= {0, 1}. Одна — это отображение true, такое, что true@) = l.
Другая, которую мы обозначим через false, определяется ра-
равенством false@) = 0. Это отображение с областью значений
Й является характеристической функцией пустого множества
5 Зак. 65!
130 Гл. 5. Строение топоса: первые шаги
0= {х: false(A')= 1}. Таким образом, мы имеем в Set декар-
декартов квадрат
false
Отправляясь от этого, определим в произвольном топосе &
стрелку false: 1-^-Q как единственную ^-стрелку, для которой
квадрат
false
декартов. Таким образом, false = %о, — характеристическая
стрелка подобъекта 0ь 0-М. Будем для этой стрелки исполь-
использовать также символ 1_.
Пример 1. В Set2 стрелка _L: l->-?2 равна (false, false):
Пример 2. В Вп(/) в качестве _L: 1->Q выступает функция
_L: /-»-2ХЛ определяемая равенством _L (i) == <0, t> для всех
IE/.
Пример 3. В Тор(/) функция _L: /-»-/* имеет в точке i зна-
значение, равное ростку пустого множества 0 в точке i, -L (i) =
I0]
Пример 4. В M-Set начальный объект 0 равен пустому мно-
множеству с «пустым действием» 0: MX 0-*-0, 0 = @,0).
Функция _L: {0}->-Lm определяется равенством _L(O)=0. ill
Упражнение 3. Для произвольного ^-объекта а квадрат
1 —L— Q
декартов, т. е. Xoe = J- ° 'а (= -^-а = falsea). (Указание: приме-
применить лемму о квадратах.)
5.4. Экстенсиональность и двузначность 131
Упражнение 4. В невырожденном топосе true ф false.
Невырожденный топос <§ называется двузначным {бивалент-
{бивалентным), если true и false являются единственными истинностными
значениями (т. е. элементами из Я). ?
Теорема 2. Всякий точечный топос двузначен.
Доказательство. Пусть /: 1-»-Я—произвольный эле-
элемент из Q. Построим декартов квадрат
Случай 1. Пусть а ^ 0. Тогда а является начальным объек-
объектом и f = )cg = Zo, = false-
Случай 2. Пусть а ?ё 0. Так как & — точечный топос, то по
теореме 1 а имеет элемент х: 1—*-а. Воспользуемся этим, чтобы
показать, что g— эпистрелка. Действительно, если h, k: \=^-Ъ
и h оg = k оg, то h°g°х — k°g°х. Так как g°x: 1 ->-1 равна 11
A —конечный объект), то h = k. Таким образом, g эпиморфна
и мономорфна (как обратный образ монострелки 1->Я). По-
Поэтому g:asln f = xg = x(i= true.
Мы показали, что произвольный элемент из Q должен сов-
совпадать либо с true, либо с false. ?
В топосе Set копроизведение 1 + 1 содержит только два
элемента и поэтому изоморфно ?2 = 2 (это отмечалось в § 3.9).
Изоморфизм осуществляется стрелкой [Т, _!_]: 1 + 1-»-Я,
Но произвольный топос & имеет копроизведения. Поэтому в нем
также определена стрелка [Т, J.]. Если стрелка [Т, X] яв-
является изострелкой, то топос & называется классическим.
Вскоре мы увидим, что существуют неклассические топосы.
Однако справедлива следующая теорема
Теорема 3. В произвольном топосе стрелка [Т, 1_] монв-
морфна.
5*
132
Гл. 5. Строение топоса: первые шаги
Для доказательства этой теоремы нам понадобятся некото-
некоторые результаты о копроизведении стрелок. Стрелки f: a^*-b
и g: с -*- b называются дизъюнктными, если 0 является их об-
обратным образом, т. е. если квадрат
Ь
декартов. (В Set это означает, что Im / fl Im ё = 0-)
Лемма. Если }: а>-^Ь и g: c>—>b — дизъюнктные моно-
монострелки в <§, то стрелка [f,g]: a-\-c^*-b мономорфна.
Доказательство. Мономорфность стрелки g означает,
что квадрат
декартов. Отсюда и из предыдущей диаграммы в силу факта 2
из § 5.3 получаем, что квадрат
0+с
а+с
[0c,1J
U.tl
декартов. Ввиду изоморфизма [0с, 1С]: 0 + с ==; с (упражнение,
двойственное к упражнению 3.8.4) этот квадрат можно преоб-
преобразовать в декартов квадрат вида
а —с
5.4. Экстенсиональность и двузначность
133
где ic — инъекция, ассоциированная с а + с. Аналогичным об-
образом получаем декартов квадрат
Опять применяя к последним двум диаграммам факт 2, полу-
получаем после соответствующих поворотов и отражений такой де-
декартов квадрат:
а-тс
а ; с
ГУ, «J
[/,§]
Но [ia, ic]= \а+с = 1а + 1с (упражнения, двойственные к упраж-
упражнениям 1, 4 из § 3.8). Отсюда следует, что [f,g] — монострелка
(ср. пример 9 § 3.13). ?
Теперь для доказательства теоремы 3 достаточно заметить,
что квадрат
о,
О
i
1
Q
декартов (он служит определением стрелки _L). Таким образом,
стрелки Т и ± дизъюнктны и по доказанной лемме стрелка
[Т, -L]: 1 + 1 —*- Q мономорфна. ?
Теорема 4. Если <В — точечный топос, то [Т, J.]: 1 + 1 =Q,
т. е. <g — классический топос.
Доказательство. Ввиду теоремы 3 нам достаточно
только установить, что стрелка [Т, _L] эпиморфна. Предполо-
Предположим, что f о [Т, 1] =go [T, -L].
134 Гл. 5. Строение топоса: первые шаги
Л.
Тогда /oT = /o[T,_L]°t = go[T, _L]°t = goT и анало-
аналогично (используя /) f о _|_ = go j_. Так как Ти 1 —единствен-
—единственные элементы из Q (теорема 2) и ни один из них не различает
f и g, то по принципу экстенсиональности f = g. Таким обра-
образом, на [Т, -L] можно сокращать справа. ?
Сформулируем теперь центральную теорему этого пара-
параграфа, устанавливающую связь между введенными в нем по-
понятиями.
Теорема 5. Топос & является точечным тогда и только тогда,
когда он классический и каждый его ненулевой объект непуст.
Часть «и только тогда» этой теоремы составляет содержа-
содержание теорем 4 и 1. Доказательство в другую сторону, требующее
введения новых понятий, откладывается до § 7.6.
Категория Set2 классическая, но недвузначная (она имеет
четыре истинностных значения). В отличие от нее категория
функций Set^ недвузначная (имеет три истинностных значения)
и не классическая (ср. гл. 10), Чтобы построить пример не-
неклассического, но двузначного топоса, воспользуемся следую-
следующим интересным результатом.
Теорема 6. Категория М-Set является классической тогда
и только тогда, когда моноид Ж — группа.
Доказательство. В категории M-Set конечный объект
1=({0}До) является одноэлементным множеством. Объект
1 + 1 представляет собой дизъюнктное объединение двух эк-
экземпляров 1 с независимым действием в каждом экземпляре.
Для определенности положим 1 + 1 = ({0, 1},y). где у(т, 0) = О
и у(т,1)= 1 для всех т^М. Тогда мы имеем следующую
диаграмму копроизведения:
5.4. Экстенсиональность и двузначность 135
в которой ;@) = 0, /@)= 1 и [Т, _L] отображает 0 в М, а 1 —
в 0, Q = (LM, со). Если [Т, ±]— изострелка, т. е. биективное
отображение, то LM содержит только два элемента, LM =
= {М, 0}. Обратно, если LM = {М, 0}, то w(m,M) = M
и со(т,0) = 0 и [T, -L] — эквивариантная биекция, т. е. изо-
изострелка в M-Set. Таким образом, категория M-Set классическая
тогда и только тогда, когда LM = {М,0}. Но последнее усло-
условие означает, что М — группа (упражнение 4.6.3). ?
Таким образом, чтобы построить неклассический топос, надо
только выбрать моноид, не являющийся группой. Естественно
выбрать наименьший такой моноид. Им является двухэлемент-
двухэлементная алгебра, состоящая из чисел 0 и 1 с обычным умножением.
Формально, пусть М2 = B, •, 1), где 2= {0, 1}, а умножение •
определяется равенствами
1-1 = 1, 1-0=« 0-1 = 0-0 = 0
или таблицей
1
0
1
1
0
0
0
0
Алгебра М2 является моноидом. Единицей служит 1, а 0 не
имеет обратного элемента. Категория M2-Set чрезвычайно по-
полезна в иллюстративных целях, являясь своего рода «универ-
«универсальным контрпримером». Будем называть ее просто «то-
«топос М2».
Множество L2 левых идеалов в М2 содержит три элемента 2,
0 и {0} (почему {1} не является левым идеалом?). Таким
образом, в топосе М2 Q = (L2, со) и действие со: 2X^2^-^
определяется формулой
со(т, В)= {п: пе2о'гаеВ}
или таблицей
со
1
0
2
2
2
{0}
{0}
2
0
0
0
Отображение [Т, _1_], как установлено в доказательстве тео-
теоремы 6, не является изоморфизмом. Докажем непосредственно,
что оно не эпиморфно. Рассмотрим отображение fo: L2^-L2,
определенное равенствами /q B) = fa ({0}) = 2 и fa{0)=0
(см. рис. 5.1). Как видно из таблицы для со, отображение /ъ
эквивариантно, следовательно, оно определяет М2-стрелку
/uj_ Q-»Q. Но /о [Т, ±] = 1оо [Т, ±] и Д>=тМй. Поэтому
( I , J_] не эпиморфна.
136
Гл. 5. Строение топоса: первые шаги
Хотя М2 — неклассический топос, он тем не менее двузна-
двузначен. Действительно, если h: l->-Q — произвольная М2-стрелка,
то h: {0} —*¦ L2 — эквивариантное отображение, в частности
0/@)) /i(M0,0)) = /i@). Так как со@, {0}) = 2=^ {0}, то
Таким образом, либо /z@)=2 и, следовательно,
Рис. 5.1.
h = Т, либо /г@)= 0 и, следовательно, h — _L, т. е. Мг имеет
только два истинностных значения.
По теореме 4 М2 не будет точечным топосом. Чтобы это
установить явно, сравним определенное выше отображение fa
и 1q. Очевидно, что ^лф 1 . Но fa ° Т = 1 q ° T (обе эти ком-
композиции принимают значение 2) и /j о 1 = 1 q » i (обе компо-
композиции принимают значение 0). Таким образом, никакой эле-
элемент из Q не различает различные стрелки fa, 1q:Q^#Q.
Упражнение 5. Показать, что если а = (Х,к) — произволь-
произвольный объект в M-Set (M — произвольный моноид), то элемент
х: 1—>-а объекта а может быть отождествлен с некоторой не-
неподвижной точкой из а, т. е. с элементом i/еХ, таким, что
Я, (пг, у) = у для всех m e 714. ?
В свете этого упражнения становится ясным, что обращение
теоремы 1 не имеет места. Если а = (Х,Х) — ненулевой объект
в М2, то X Ф 0. Выберем некоторый х е X и положим у =
= Х@, х). Тогда у будет неподвижной точкой М2-множества а,
так как k{m, у)= К(гп-0, х)-=- Х@, х) = у. Поэтому каждый
ненулевой объект из топоса М2 непуст, но !УЬ неточечный.
5.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОНОМОРФНОСТИ И ЭПИМОРФНОСТИ
ПОСРЕДСТВОМ ЭЛЕМЕНТОВ
Используя наше определение элементов как стрелок вида
1->-а, дадим категорное определение понятий «инъективный»
и «сюръективный».
f-стрелку /: а^>-Ь, где <8 — категория с 1, назовем сюръек-
тивной, если для каждого у: \-*-Ь существует некоторый
х: 1—*-а, удовлетворяющий равенству f°x = y, и инъективной,
если для любых х, у: 1 =^а из f ox = f <>у следует х = у.
5.5. Определение мономорфности и эпиморфности 137
Теорема 1. Если & — точечный топос и f: a^-b — его про-
произвольная стрелка, то
(i) / сюръективна тогда и только тогда, тогда она эпи-
эпиморфна;
(ii) / инъективна тогда и только тогда, когда она моно-
мономорфна.
Доказательство, (i) Предположим, что f сюръективна.
Пусть g. h: b=^c таковы, что gof = h°f. Допустим, что g ф п.
Тогда существует у: 1 —>•Ь, такой, что g°у Ф h°y. Но f сюръ-
сюръективна, поэтому y = fox для некоторого х: 1-*-а. Значит,
g°y = gofox = h°f°x = h°y, что противоречит допущению
и выбору у. Таким образом, g = h, т. е. на f можно сокращать
справа.
Обратно, предположим, что f эпиморфна. Для данного
у. \ —- b построим декартов квадрат
В силу файта 1 из § 5.3 р эпиморфна. Если бы с ^ 0, то
стрелка р была бы мономорфна (теорема 3.16.1) и, следова-
следовательно, являлась бы изострелкой, устанавливающей изомор-
изоморфизм 0=1, что делает топос & вырожденным. Поэтому объект
с должен быть ненулевым. По теореме 1 существует z: 1->-с.
Полагая x = q°z, получаем х: 1—>~а и fox = y (восстановить
опущенные детали).
Упражнение 1. Доказать часть (ii) этой теоремы.
Упражнение 2. Показать, что в М2 стрелка /<> сюръективна,
хотя и не эпиморфна. Аналогичное утверждение справедливо
для [Т, -L].
Упражнение 3. Показать, что стрелка р не мономорфна, но
инъективна. ?
Мы вернемся к принципу экстенсиональности и точечным то-
иосам в гл. 7 и 12.
Глава 6
ЛОГИКА В КЛАССИЧЕСКОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ
Не легко, а быть может, и бесполезно,
кратко объяснять, что такое логика.
Э. Дж. Леммой.
6.1. ПОЯВЛЕНИЕ ЛОГИКИ В ТОПОСЕ
При систематическом изложении теории множеств один из
первых разделов посвящается так называемой алгебре клас-
классов. Это связано с разными способами построения новых мно-
множеств. Применительно к подмножествам заданного множества
D внимание концентрируется на следующих операциях:
пересечение: А |~| В = {х: х е А ихеВ},
объединение: А [} В = {х: х <= А или х<= В},
дополнение: —А = {х:^е D, но х ф. А}.
Множество-степень &>(D) с операциями П, U и — является бу-
булевой алгеброй. Эти алгебры, которые мы вскоре определим,
тесно связаны с классической формулировкой логической ис-
истинности.
Но операции Л, U, — можно охарактеризовать их свойствами
универсальности, а потому определить в любом топосе, что
приводит к алгебре подобъектов. Оказывается, что эта алгебра
в некоторых случаях не удовлетворяет всем законам булевой
алгебры, свидетельствуя об отличии «логики» топоса от класси-
классической. По-видимому, ситуация здесь такова: алгебра подобъ-
подобъектов небулева, потому что логика в топосе неклассическая,
а не наоборЪт. Определяя операции f), U, —, мы употребили
слова «и», «или» и «не». Поэтому все свойства этих операций
определяются смыслом, логическим поведением этих слов.
Именно правила классической логики предписывают алгебре
^(D) быть булевой.
В категории Set правила классической логики можно задать
с помощью некоторых операций на множестве 2= {0, 1}. Ана-
Аналогично можно поступить в любом топосе <В, используя клас-
классифицирующий объект Q вместо 2. Это приведет нас к «логике»
топоса f§', которая, как выясняется, характеризует поведение
подобъектов в If. И именно когда эта логика перестает отра-
отражать принципы классической логики (т. е. логики категории
Set), алгебра подобъектов топоса & перестает быть булевой.
В этой главе (несмотря на предупреждение Леммона) мы
вкратце очертим основы классической логики и покажем, как
все это обобщается в случае топосов. В последующих главах
6.2. Высказывания и истинностные значения 139
мы рассматриваем неклассические логики и их философское
обоснование, что в конце концов приводит к полному описанию
логики топоса общего вида.
6.2. ВЫСКАЗЫВАНИЯ И ИСТИННОСТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
Предложением, утверждением или высказыванием назы-
называется выражение, которое или истинно, или ложно. Поэтому
выражения
«2 + 2 = 4»
и
«2 плюс 2 равно 5»
можно считать высказываниями, а выражения
«Чему равно 2 -f- 2?»
и
«Сложите 2 и 2!»
— нельзя.
Итак, каждое предложение принимает одно из двух истин-
истинностных значений. Это либо истина, обозначаемая числом 1, или
ложь, обозначаемая числом 0. Полным множеством истинност-
истинностных значений будет множество 2 = {0, 1} (отсюда и термины
для стрелок 1-H.-Q, использованные ранее).
Мы можем строить сложные предложения по уже заданным
с помощью логических связок «и», «или» и «не», т. е. из дан-
данных предложений а и Р можно образовать новые предложения
а и р (обозначается алР),
а или |3 (обозначается avf5),
не а (обозначается ~ а),
называемые соответственно конъюнкцией, дизъюнкцией и отри-
отрицанием.
Используя некоторые простые правила, описанные ниже,
можно вычислить истинностные значения сложного предложе-
предложения по истинностным значениям его составляющих.
Отрицание
Предложение ~сс истинно (обозначение 1), когда ложно
(обозначение 0) предложение а, и ложно @), когда а ис-
истинно A).
Представим это правило в виде следующей таблицы:
о
1
140
Гл. 6. Логика в классическом представлении
называемой истинностной таблицей для отрицания. С другой
стороны, ее можно рассматривать как определение функции ~i
из множества 2 в него же, которая для входа 1 (соответственно
0) дает выход 0 (соответственно 1). Эта функция ~~\: 2->-2
с 11 = 0 и —i 0 === 1 называется истинностной функцией отри-
отрицания.
Конъюнкция
Предложение а Л Р истинно только тогда, когда истинна
каждая из его составляющих а и р. В противном случае оно
ложно.
Но для комбинаций истинностных значений двух предло-
предложений аиC имеются ровно четыре возможности, поэтому ис-
истинностная таблица для конъюнкции состоит (по существу) из
четырех строк:
а
1
1
0
0
Р
1
0
1
0
алР
1
0
0
0
Соответствующее истинностное значение предложения аЛр
в каждой из этих строк определяется приведенным выше пра-
правилом.
Данная таблица задает функцию г\ из пар истинностных
значений в истинностные значения, а именно rv 2X2-»-2
с 1 г\ 1 = 1, 1 г>0 = 0г> 1 — ОлчО = 0. Она называется истин-
истинностной функцией конъюнкции и может быть также представ-
представлена таблицей вида
1
0
1
1
0
0
0
0
Дизъюнкция
Предложение а V Р истинно, если истинно по крайней мере
одно из составляющих а, р, и ложно, только если ложны оба
предложения аир.
6.2. Высказывания и истинностные значения
141
Это правило задает следующую истинностную таблицу:
а
1
1
0
0
Р
1
¦0
1
0
avP
1
1
1
0
и соответствующую ей истинностную функцию дизъюнкции
v: 2X2-^2 с l^l = lu0 = 0ul = l, 0w0 = 0, т. е.
1
0
1
1
1
0
1
0
Импликация
Связка «импликация» позволяет образовать предложение
«из а вытекает р», которое мы обозначаем через а гэ р. (Си-
(Синонимы: «если а, то р», «а, только если р».)
В классической интерпретации связки «вытекает» предложе-
предложение а гэ р не истинно, если оно позволяет вывести нечто ложное
из истинного. Поэтому мы считаем а гэ ($ ложным, если a
истинно, а р ложно. Во всех остальных случаях предложение
а гэ р истинно. Соответствующая истинностная таблица такова:
a
1
1
0
0
OQ.
1
0
1
0
az^P
1
0
1
1
Для истинностной функции импликации =>¦: 2X2-»-2 мы имеем
1 =ф- 0 = 0, 1=^1 = 0=>1 = 0=^0=1 или в табличной форме
1
0
1
1
1
0
0
1
Тавтологии
Последовательное применение только что указанных правил
позволяет построить истинностную таблицу для любого сложного
142
Гл. 6. Логика в классическом представлении
предложения. Например,
a
1
0
a
1
1
0
0
~a
0
1
O2.
1
0
1
0
ал~
0
0
a=>p
1
0
1
1
a
O2. 1
aV~a
1
1
=>(«=> P)
1
1
1
1
ала
1
0
avP
1
1
1
0
агэ(аЛа)
1
1
ar>(aVP)
1
1
1
1
Предложение называется тавтологией, если его истинностная
таблица в графе значений содержит только 1. Итак, предложе-
предложения a V ~ а, ап(ала), ргэ(а=>Р) и arD(avp) являются
тавтологиями. Такие предложения истинны независимо от истин-
истинности своих составляющих. Истинность предложения a v -~ a
есть следствие не истинности или ложности его единственной
составляющей а, а логической формы данного предложения,
т. е. того, как расположены его логические связки. Значит, тав-
тавтологии выражают логические законы, т. е. утверждения, истин-
истинность которых имеет чисто логическую природу и не зависит
ни от каких фактов действительного мира.
6.3. ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Чтобы продолжить изучение логики, нам необходимо сей-
сейчас несколько уточнить описание высказываний и их истинност-
истинностных значений. Лучше всего делать это на основе формального
языка. Под таким языком мы понимаем некоторый алфавит
(список основных символов) вместе с правилами образования,
указывающими, как по алфавиту можно строить формулы или
предложения этого языка. Мы используем язык, обозначаемый
через PL и имеющий следующие ингредиенты:
Алфавит языка PL
(i) бесконечная последовательность символов ло, яь л2, ...
..., называемых пропозициональными переменными или пропо-
пропозициональными буквами;
(и) символы ~, л, V, гэ;
(iii) скобки ), (.
6.3. Пропозициональное исчисление 143
Правила образования предложений в PL
A) Каждая пропозициональная буква щ является предло-
предложением.
B) Если а — предложение, то ~а — предложение.
C) Если а и р — предложения, то (ал р), (av P) и (а =>
о р) — предложения.
Отметим, что мы используем здесь буквы аир как общие
имена предложений. Поэтому букву а можно подставлять вме-
вместо, например, буквы Я24 или более сложной формулы вроде
(~(я2Ллц) V (л0 гэ я0)). Совокупность пропозициональных букв
данного языка обозначим через Фо, а через Ф обозначим мно-
множество всех PL-предложений, т. е.
Фо={ л-о, пи я2, ...},
Ф = {а: a — предложение в PL}.
Чтобы развить теорию значений, или семантику, для PL, мы
воспользуемся истинностными функциями, введенными в § 6.2.
Под оценкой (переменных) мы подразумеваем произвольную
функцию V из множества Фо в множество истинностных значе-
значений {0, 1}. Такая функция V: Фо->2 сопоставляет каждой про-
пропозициональной букве я; некоторое истинностное значение
У (я,), а поэтому придает «смысл» или «интерпретирует» каж-
каждый элемент из Фо. Затем эту интерпретацию можно методи-
методически продолжить на все предложения, так что V продолжится
до функции из Ф в 2. Делается это «индукцией по правилам
образования предложений», на основе последовательного при-
применения следующих правил:
(a) У(~а) = нУ(а);
(b) У(алр)
(c) У(а/р)
(d) V(aop)
Пример. Пусть У(яо)= V{ni)= 1, а У(я2) = 0. Тогда
У(~Я1) = ПУ(п1)=П1 = 0,
V(~mA я2)= V{~ni)r\ V(n2)= ОллО = 0,
У(яоэ(~л,
и т. д. П
Этот подход позволяет однозначно «поднять» любую функ-
функцию V: Фо->-2 до функции вида V: Ф-»-2.
Предложение аеф можно назвать тогда тавтологией или
классически общезначимым, если оно принимает единственное
значение «истина» при всех оценках переменных. Итак, a—
тавтология (что обозначается через \=а) в том и только том
случае, когда V(a)= 1 для каждой оценки переменных V.
144 Гл. 6. Логика в классическом представлении
Аксиоматика
Семантика языка PL, описанная выше, позволяет выделить
специальный класс предложений, называемых тавтологиями.
Этот класс можно охарактеризовать и по-другому, а именно,
используя некоторую аксиоматическую систему. Любая аксио-
аксиоматика вводит методы получения новых предложений по уже
заданным с помощью так называемых правил вывода. Эти пра-
правила позволяют выводить или «доказывать» определенные пред-
предложения, воплощая в себе принципы дедукции и технику рас-
рассуждений.
Основные ингредиенты аксиоматической системы таковы:
(i) совокупность предложений, называемых аксиомами дан-
данной системы;
(ii) совокупность правил вывода, которые предписывают,
какие операции следует произвести над предложениями для
получения из них новых предложений.
Предложения, выводимые из аксиом, называются теоремами.
Чтобы немного уточнить это, напомним понятие формального
вывода. Он представляет собою конечную последовательность
предложений, каждое из которых есть либо
(i) аксиома, либо
(ii) предложение, которое можно получить из предыдущих
членов данной последовательности при помощи правил вывода
рассматриваемой системы.
Тогда теоремой можно назвать предложение, являющееся
последним членом в некотором формальном выводе. Говорят,
что множество теорем аксиоматической системы аксиоматизи-
аксиоматизировано этой системой.
Существует ряд аксиоматизаций множества классически об-
общезначимых предложений, т. е. аксиоматических систем, тео-
теоремами которых являются в точности все тавтологии для PL.
Та из них, с которой будем ниже работать, называется клас-
классической логикой CL.
Аксиомы системы CL включают все предложения любой из
следующих двенадцати форм (где а, р и у обозначают произ-
произвольные предложения):
I. а гэ(ал а),
II. (ал Р)=>(Рл а).
III. (а=>р)гэ((
IV. ((а=>Р)л (
V. рз(аэр),
VI. (ал (агэр)
VII. a=3(av P),
VIII. (avp)r)(pva),
IX ((а=>Т)(Р
X. ~а=>(а
6.3. Пропозициональнос исчисление 145
XI. ((агэр) л (а=э ~р))=> ~а,
XII. <xv ~а.
Система CL имеет единственное правило вывода:
Правило отделения. Из предложений а к азр можно вы-
вывести предложение C.
Это правило принято также называть средневековым тер-
термином modus ponens, точнее — modus ponendo ponens. Оно при-
применяется к паре теорем, одна из которых имеет структуру
импликации, а другая представляет собой антецедент этой им-
импликации и состоит в «отделении» консеквента упомянутой им-
импликации как новой теоремы.
Будем обозначать через i—Cl« тот факт, что предложение а
является теоремой в CL. Тогда правило отделения можно за-
записать в следующем виде:
если f— clc* и (—сь(а^>Р), то i—clP-
Доказательство того, что CL-теоремы — это в точности тавто-
тавтологии, распадается на две части:
Теорема о корректности. Если !—clcc, to предложение а
классически общезначимо.
Теорема о полноте. Если предложение а классически обще-
общезначимо, то |—cl«.
В более общей ситуации теоремы о корректности для аксио-
аксиоматических систем показывают, что только предложения опре-
определенного вида выводимы в качестве теорем, а теоремы о пол-
полноте утверждают выводимость всех предложений некоторого
определенного вида. Вместе они могут давать полную характе-
рнзаиию некоторого частного вида предложений в терминах
выводимости. Так, упомянутые выше результаты означают
вместе, что выводимость в CL характеризует классическую
общезначимость.
Приведенная теорема о корректности доказывается до-
довольно просто в том смысле, что это может сделать даже вычис-
вычислительная машина. Прежде всего надо проверить, что все
аксиомы являются тавтологиями (по таблицам из § 6.2 видно,
в частности, что таковы аксиомы вида I, V, VII и XII). Затем
можно показать, что отделение сохраняет общезначимость, т. е.
если аиан р— тавтологии, то C также тавтология. Отсюда вы-
вытекает, что каждый формальный вывод состоит только из обще-
общезначимых предложений. Значит, все теоремы в CL общезначимы.
Доказательство теоремы о полноте не сводится к некоторой
механической процедуре проверки. Впервые результат такого
сорта для классической логики был установлен в 1921 г.
Эмилем Постом. Он показал, что все тавтологии выводимы
146 Гл. 6. Логика в классическом представлении
в системе Рассела и Уйтхеда из Principia Mathematica. С тех
пор было развито много подходов к доказательству полноты раз-
различных аксиоматик классической логики. Обзор относящихся
к этому результатов имеется в Surma [73].
6.4. БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ
Множество 2 вместе с истинностными функциями п , rs, w
образует так называемую булеву алгебру, структуру, которую
мы уже упоминали неоднократно и, наконец, собираемся опре-
определить. Разобьем определение на несколько этапов.
Напомним вначале определение решетки из гл. 3. Это ч. у.
множество Р = (Р, е=), в котором для любых двух элементов
х, у е Р имеется
(i) наибольшая нижняя грань н. н. г. хп у и
(п) наименьшая верхняя грань н. в. г. л; и у.
Н. н. г. хпу называют также пересечением элементов х и у
в данной решетке, а н. в. г. х и у — объединением х и у. Как
было замечено в § 3.8, 3.9, если ч. у. множество Р рассматри-
рассматривать как категорию, то пересечения превратятся в произведе-
произведения, а объединения — в копроизведения.
Напомним также из § 3.5 и 3.6, что элемент 0, для которого
Ое= х при всех хеР, называется нулем или минимумом ре-
решетки, а элемент 1 с хе= 1 при всех х <= Р — единицей или мак-
максимумом. Решетку называют ограниченной, если она имеет еди-
единицу и нуль. С категорией точки зрения 0 — начальный объект,
а 1 — конечный. Но в решетке всегда имеются расслоенные про-
произведения и амальгамы (пример 5 из § 3.13 и двойственный
к нему). Поэтому ограниченная решетка по существу является
(§ 3.15) конечно биполной скелетальной категорией пред-
порядка.
Пример 1. Ч. у. множество (^(D),^) является ограничен-
ограниченной решеткой. Ее единицей будет множество D, нулем — 0,
н. н. г. А к В определяется как пересечение А Л В, а н. в. г.—
как объединение A U В.
Пример 2. Множество 2= {0, 1} имеет естественное упоря-
упорядочение 0^1, которое превращает его в категорию предпо-
рядка 2 (пример 2 из гл. 2).
Я .9
0 1
Нулем этого ч. у. множества является элемент 0, а единицей 1.
Элемент хг\у является одновременно пересечением в данной
решетке и значением истинностной функции конъюнкции на
паре (x,i/)e2X2. Аналогично х w у есть одновременно объ-
объединение элементов х и у и их дизъюнкция.
6.4. Булевы алгебры 147
Пример 3. Пусть / — топологическое пространство, а в —
набор его открытых множеств. Тогда пара (в, s), как и пара
из примера 1, является ч. у. множеством, объединения и пере-
пересечения в котором задаются соответствующими теоретико-мно-
теоретико-множественными операциями, нулем является пустое множество 0,
а единицей — само пространство /.
Пример 4. Ограниченная решетка (LM, s), где Ьм — мно-
множество левых идеалов моноида М. Объединения и пересечения
в ней определяются точно так же, как и в примерах 1 и 3. ?
Решетка называется дистрибутивной, если выполнены сле-
следующие законы (каждый из которых вытекает из другого в лю-
любой решетке):
(a) хп(уиг) = (хпу)и(хпг),
(b) x\j(yn z) = (xUy)n(xUz) для всех х, у, г.
Пример 5. Решетки во всех четырех предыдущих примерах
дистрибутивны. ?
Чтобы завершить описание булевых алгебр, нам необходимо
ввести еще одно понятие, а именно понятие дополнения в ре-
решетке.
Элемент у из ограниченной решетки называется дополне-
дополнением элемента х, если
хну — 1 и хпу = 0.
Решетка называется решеткой с дополнениями, если каждый ее
элемент имеет в ней дополнение.
Пример 6. (tPiD),^) — решетка с дополнениями. Дополне-
Дополнением элемента А в этой решетке будет теоретико-множественное
дополнение —А.
Пример 7. Решетка с дополнениями B, ^). Здесь дополне-
дополнением элемента х является отрицание ~1х (см. истинностную
таблицу для oV ~аиаЛ~а).
Пример 8. В решетке (в, =) имеется лишь один кандидат
на дополнение элемента (/еб, его теоретико-множественное
дополнение. Но —U^Q, если множество U незамкнуто. По-
Поэтому (в, *~) будет решеткой с дополнениями только в том слу-
случае, когда каждое открытое множество исходного топологиче-
топологического пространства также замкнуто.
Пример 9. Пусть М — моноид вида М2 = B, •, 1). Тогда эле-
элемент {0} из (LM, *=) не имеет дополнения, поскольку {1} ф
@ELA!. ?
Упражнение 1. Каждый элемент дистрибутивной решетки
имеет не более одного дополнения, т. е. из того, что хпу =
= лт12 = 0 и хи у = хи z = I, вытекает совпадение у = г. ?
148 Гл. 6. Логика в классическом представлении
Булева алгебра ( ВА ) определяется как дистрибутивная ре-
решетка с дополнениями.
Пример. (^(D),g) и2 = B,<). ?
Пусть В = (В, ЕЕ) — некоторая булева алгебра. Тогда по
предыдущему упражнению каждый элемент хеВ имеет ровно
одно дополнение. Мы обозначаем его обычно через х'.
Упражнение 2. В любой булевой алгебре: A) (х/)' = х;
B) хп у = О т. и т. т. у ЕЕ*'; C) х ЕЕ У т. и т. т. г/'ЕЕ х'\ D) (х п
пг/)' = х'иг/'; E) (*иу)' = л/п у'. П
Булевы алгебры названы так в честь Джорджа Буля A815—
1864), который в своей работе The Mathematical Analysis of
Logic A847) впервые описал законы, которым они удовле-
удовлетворяют.
6.5. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СЕМАНТИКА
В каждой булевой алгебре В = (В, ее) имеются операции п
(пересечение), и (объединение) и ' (дополнение), соответствую-
соответствующие истинностным функциям конъюнкции, дизъюнкции и отри-
отрицания на двухэлементном множестве 2. В булевой алгебре
имеется также операция, соответствующая импликации. Истин-
Истинностная таблица предложения а =э C совпадает с истинностной
таблицей для ~avp. Значит, с классической точки зрения оба
этих предложения равноценны. Поэтому для элементов х, у^В
мы можем определить
х=>у = х'иу.
Упражнение 1. Проверить, что предложения а=>р и ~а Vp
имеют одинаковые истинностные таблицы, а потому предыдущее
определение вдспроизводит истинностную функцию импликации
на двухэлементном множестве 2. ?
Операции решетки В можно использовать для введения се-
семантики, обобщающей семантику из § 6.3.
Назовем В-оценкой функцию V: Фо-+В. Она однозначно
продолжается по следующим правилам:
(a) V(~a)=V{a)',
(b) У(алр)= У(а)п
(c) V{avfi)=V{a)u
(d) V(a=>$)= У(аO(Р) ()(p)
до функции V: Ф—>-В. Предложение а, такое, что V(a)= 1 для
каждой В-оценки V, называют Ъ-общезначимым и обозначают
это через В \= а. Отметим, что 2-оценкой тогда является то, что
мы раньше называли оценкой переменных, и 2 (= а тогда и
только тогда, когда a — тавтология.
6.5. Алгебраическая семантика 149
Теорема о корректности для В-общезначимости. Если
r-cL«, ro В И «
Доказывается это так же, как и для 2-общезначимости. Вна-
Вначале проверяется В-общезначимость всех CL-аксиом, а затем
проверяется, что она сохраняется при отделении.
Но нуль и единица из В задают «изоморфную копию» ре-
решетки 2 в В. B является подобъектом объекта В в категории
булевых алгебр.) С этой точки зрения 2-оценки можно рассмат-
рассматривать как В-оценки, а значит, из В ,= а вытекает, что 2 (= а.
Назовем предложение ВА-общезначимым, если оно обще-
общезначимо для любой булевой алгебры (и в частности, 2-обше-
значимо).
Все эти общезначимости связаны между собой, а именно
каждое из следующих четырех утверждений эквивалентно лю-
любому другому:
а является тавтологией,
а В-общезначимо для некоторой булевой алгебры В,
а ВА -общезначимо.
Упражнение 2 (алгебра Линденбаума). Пусть на множестве
всех формул Ф задано такое отношение ~с:
сс~ср т. и т. т. [—сьОЮ Р и I—clP ^> а.
Показать, что ~с — отношение эквивалентности и что на фак-
фактормножестве Ф/~с корректно определено следующее частич-
частичное упорядочение:
[a]s[P] т. и т. т. Ьсьагэр.
Ч. у. множество ВС = (Ф/~С, ?) называется алгеброй Лин-
Линденбаума классической логики CL. Показать, что оно является
булевой алгеброй, в которой
[][р]
[a] Uip] =
[а]' = [~а],
[а] = 1 т. и т. т. \- cl«.
Пусть Vc есть Вс-оценка, определенная формулой Ус (я,) == [я,].
Доказать, что для ее продолжения Vc(a) = [a] при всех кеФ.
Значит,
Т. И Т. Т. Вс И «• ?
Построенную алгебру Вс можно использовать для доказатель-
доказательства того, что все тавтологии являются CL-теоремами. Соответ-
Соответствующие подробности можно найти в Rasiowa, Sikorski [63]
и Bell, Slomson [69].
350
Гл. 6. Логика в классическом представлении
6.6. ИСТИННОСТНЫЕ ФУНКЦИИ КАК СТРЕЛКИ
Область значений любой классической истинностной функ-
функции есть двухэлементное множество 2. Поэтому такую функцию
можно рассматривать как характеристическую функцию некото-
некоторого подмножества ее области определения. Это наблюдение
приводит нас к чисто стрелочному определению истинностных
функций, которое с помощью й-аксиомы переносится на любой
топос.
Отрицание
Отрицание ~] : 2
жества
-2 есть характеристическая функция мно-
мно{х: Пх=1} = {0} =2.
Но включение {0} <=-* 2 представляет собой функцию false из
§ 5.4. Поэтому в категории Set мы имеем декартов квадрат
a false г,
(напомним, что false представляет собою характеристическую
функцию подмножества 0^1).
Конъюнкция
Единственным входом функции гл: 2Х2->-2, дающим выход
1, является пара <1, 1>. Значит, гл = %а, где А = «1, 1». Но
это одноэлементное множество А можно отождествить со стрел-
стрелкой вида 1->-2Х2. Легко убедиться, что эта стрелка есть
произведение (true, true), которое переводит 0 в <true(O),
irue@)>, откуда вытекает декартовость квадрата
1
\
(true,true)
. true
2X2
- 2
Импликация
Функция :
.множества
2Х2->-2 является характеристической для под-
@={<0,0>, <0,1>, <!,!>}.
6.6. Истинностные функции как стрелки 151
Поэтому имеет место декартов квадрат
2/2
1 true
Обозначение @ выбрано в связи с тем, что данное подмноже-
подмножество как отношение на 2 есть не что иное, как естественное час-
частичное упорядочение ординала 2, т. е.
@= «х,у>: х^у в 2}.
Но в любой решетке
хЕЕу т. и т. т. хпу = х
(почему?). Поэтому
Значит, по § 3.10 включение @ '-> 2 X 2 представляет собой
уравнитель пары
2X2^2,
РГ,
где pri обозначает проекцию на первый сомножитель,
рг,(<х, у}) = х.
Дизъюнкция
Функция w: 2 X 2->-2 совпадает с %д, где D = «1, 1>, <1, 0>,
<0, 1>}. Стрелочное описание подмножества D немного сложнее,
чем описание соответствующих подмножеств во всех других
случаях.
Заметим прежде всего, что D = А {] В, где
А = «1, 1>, <1, 0» и В = «1, 1>, <0, 1».
Но подмножество /Is 2X2 можно отождествить с мономорф-
ным произведением отображений <true2, Ь>: 2->-2Х2, кото-
которое переводит 1 в <1, 1>, а 0 — в <1,0>. Аналогично В можно
отождествить с <12, true2>. Затем можно образовать копроизве-
дение
<12,true2>
2x2
152 Гл. 6. Логика о классическом представлении
т. е. /= [<true2, Ь>, <1г, true2>], и проверить, что Imf = .D.
Итак, мы имеем эпи-моно-разложение
2x2
Все это определяет подмножество D однозначно с точностью до
изоморфизма при помощи свойств, выражаемых на языке тео-
теории категорий, а поэтому мы можем теперь определить следую-
следующее понятие.
Истинностные стрелки в топосе
Пусть d? — некоторый топос с классификатором подобъектов
Т: l-»-Q. Тогда
A) —i : Q->fi есть единственная <!Г-стрелка, для которой
квадрат
1 —L-~ О
декартов в &'. Итак, Н = Хх, где стрелка J. сама является
характером для !: О—>-1.
B) r\: QXQ—>-Q рсть характер произведения стрелок
<~7. т>: 1-^ЙХЙ в топосе^.
C) и: QX^->-Q есть по определению характер образа
^"-стрелки
К^и, 1а>, <1u,Tu>]: Q + Q-^QX^.
D) =^: QX^->Q есть характер монострелки
> ОХЙ> которая является уравнителем пары
где лл обозначает истинностную стрелку конъюнкции, a pn —
проекцию на первый сомножитель произведения QX^.
Пример 1. В категориях Set и Finset определенные выше
истинностные стрелки совпадают с соответствующими классиче-
классическими истинностными функциями.
Пример 2. В топосе Вп(/) с Й = BХЛР/) слой Q, над i
совпадает с 2Х{'}> «копией» множества 2. Истинностные
стрелки в Вп(/) по существу являются расслоениями истинно-
6.6. Истинностные функции как стрелки
153
стных функций, т. е. они состоят из «копий» соответствующих
истинностных функций, действующих на каждом слое. Итак,
-~i : Q—>-Q есть функция из 2Х/ в 2 Х-/, переводящая <l,t>
в <0, г">. а <0, ?> — в <1, i>. Функция r\: QX^-*^ переводит
пару, состоящую из (х, i) и <г/, i>, в элемент (xr\y,i) (напо-
(напомним, что произведение QX& в Вп(/) состоит только из тех
пар, у которых оба элемента принадлежат одному и тому же
слою в Q). Остальные истинностные стрелки в Вп(/) читатель
сможет легко найти самостоятельно.
Итак, в то время как в категории Set объект Q является
двухэлементной булевой алгеброй, в категории Вп(/) объект Q
есть расслоение двухэлементных булевых алгебр, заиндекси-
рованных множеством /.
Пример 3. В топосе M-Set с Q = (LM, со) истинностная стрел-
стрелка отрицания ~1 : Lm->-Lm задается правилом
-i(fi) = {m: m<=Af и csm(fl) = 0} =
= {m: n * m ^ В для всех п}.
Истинностная стрелка конъюнкции задается теоретико-множе-
теоретико-множественным пересечением, т. е. это есть такая функция из Lm X Lm
в Lm, что {В, С} переходит в В ("| С.
Стрелка дизъюнкции определяется теоретико-множествен-
теоретико-множественным объединением.
Импликация =>: ЬмУ(.Ьм—>-Lm имеет следующее описание:
а @ является отношением теоретико-множественного включе-
включения на Lm-
Пример 4. В частном случае нашего канонического (контр)-
примера М2 предыдущие определения приводят к следующим
таблицам для истинностных стрелок:
2
{0}
0
2
{0}
0
П
0
0
2
2
2
2
2
{0}
2
{0}
{0}
0
2
{0}
0
2
{0}
0
2
{0}
0
2
2
{0}
0
2
2
2
2
{0}
{0}
{0}
0
{0}
{0}
2
2
0
0
0
0
0
0
0
2
154
Гл. 6. Логика в классическом представлении
Пример 5. Описание истинностных стрелок топоса Тор(/)
может служить еще одним подтверждением успешности настоя-
настоящей теории в вопросах унификации, однако мы отложим его
до гл. 8. ?
Упражнение 1. Описать истинностные стрелки топоса Set2.
Упражнение 2. Описать классифицирующий объект Q и ис-
истинностные стрелки в Z2-Set, где Z2 = <2, +, 0> — моноид, со-
состоящий из чисел 0 и 1 с операцией сложения. ?
6.7. <У-СЕМАНТИКИ
Сейчас мы уже в состоянии задать пропозициональную ло-
логику в любом топосе 8'. Напомним, что истинностным значением
в топосе 8 называется стрелка вида 1 -*- Q. Совокупность всех
таких ^"-стрелок обозначается через &{\, й).
Назовем Ж-оценкой функцию V: Фо->-^>A, Й), ставящую
в соответствие каждой пропозициональной букве я* некоторое
истинностное значение У(Я]): 1—>-й. Эта функция по следую-
следующим правилам продолжается на множество всех формул Ф:
(а) У(~а)= И °У(а)
V(a)
(b)
(c) V(avp)= w
(d) У(а=эр)==
В результате мы продолжаем оценку V так, что каждому пред-
предложению ставится в соответствие некоторая ^"-стрелка V(a):
6.7. <S-семантики 155
Говорят, что предложение а <о-общезначимо (и обозначают
это через <^(=а). если V(oc)= T: 1-.-Q для всех ^"-оценок V.
Упражнение 1. Set .= а т. и т. т. Finset j= а т. и т. т.
Finord == а — тавтология т. и т. т.
Упражнение 2. Вп (/) \= а т. и т. т. (й3 (/), S) (= а, т. е. обще-
общезначимость для топоса Вп(/) эквивалентна общезначимости для
булевой алгебры (^(/), S). Значит,
т. и т. т. а — тавтология. ?
Во всех топосах из предложенных упражнений множество всех
общезначимых предложений аксиоматизируется системой CL.
Естественный вопрос—-всегда ли это так? Вскоре мы убедимся,
что система CL полна относительно ^"-общезначимости, т. е. лю-
любое ^"-общезначимое предложение (каков бы ни был топос S")
выводимо в CL. Тогда наш вопрос сводится к следующему: кор-
корректна ли система CL относительно ^"-общезначимости? Крат-
Краткий ответ — нет! Уточнением к нему служит тот факт, что
аксиомы I—XI системы CL всегда ^"-общезначимы, но имеются
топосы, в которых закон исключенного третьего av~a необ-
необщезначим. Одним из примеров такого топоса является кате-
категория теоретико-множественных функций Set"*. Это установ-
установлено в гл. 10, в которой подробно обсуждается общезначимость
для топосов, по крайней мере в случае пропозициональных
логик.
Чтобы проверить тавтологичность ^"-общезначимых предло-
предложений, необходимо установить следующий результат, показы-
показывающий, что стрелки Т и _L ведут себя относительно истин-
истинностных стрелок в произвольном топосе d? точно так же, как
в Set. Но сначала договоримся об обозначениях. Пусть {f,g}'-
1->-ЙХЯ — «пара» истинностных стрелок. Мы пишем
f^g вместо r^°(f,g)' 1—>О,
f^jg вместо <j°(f, g),
f=>g вместо =>°(f, g) и т. д.
Теорема 1. В любом топосе & стрелки Т и 1 ведут себя,
согласно следующим таблицам:
-х
Т
1
1
т
Т
-L
Т
Г
1
1
1
1
156
Гл. 6. Логика в классическом представлении
{т. е. Т гч Т = Т, Т гч ± = _L и т. д.)
т
1
т
т
т
т
т
±
т
т
т
_L
±
т
Доказательство. Тот факт, что П ° J. = Т, вытекает
из коммутативности декартова квадрата, определяющего ~]
(см. § 6.6). Чтобы проверить равенство н °Т= _L, рассмот-
рассмотрим диаграмму
О
1
Q
Нижний квадрат декартов по определению стрелки п. Верхний
квадрат декартов по определению стрелки J. как характера
для !: О-»-1 (нужно его соответствующим образом перевернуть).
Значит, в силу леммы о квадратах внешний квадрат декартов
и стрелка ~i ° Т есть характер для !: 0-> 1.
Из соответствующих определений можно вывести и другие
таблицы, однако гораздо проще их получить из более глубоких
фактов, которые будут установлены в гл. 7. Поэтому мы сейчас
опускаем подробности и вернемся к ним ниже (ср. § 7.6). ?
Предположим теперь, что V: Фо->-2-—классическая оценка.
По V можно определить <!Г-оценку V: Фо->^A, Q), положив
V'{nt) =
T, если
1_, если
Лемма. Для любого предложения аеФ
(a) либо V'{a)= T, либо V'(a)= ±,
(b) V'(a) -Ton. Via.) = 1.
Доказательство. Все утверждения этой леммы истинны
при а = я; по определению. Само же доказательство заклю-
заключается в индукции по правилам образования предложений.
Можно проверить, что доказываемые утверждения верны для
а= ~($, если они верны по предположению индукции для р,
верны для а = рлу, если по предположению они верны для р
и у. и т. д. В силу точного соответствия таблиц теоремы 1 клас-
6.7. &-семантики 157
сическим истинностным таблицам понятно, почему данная
лемма верна; подробности мы оставляем читателю в качестве
упражнения. ?
Теорема 2. Для любого топоса &
если & \= ос, то \— а.а.
Доказательство. Пусть V — классическая оценка, а
V — как и выше, отвечающая ей df-оценка. Так как & \= а, то
У'(а)=Т, откуда по предыдущей лемме V(a)=\. Значит,
предложению а каждая классическая оценка ставит в соот-
соответствие 1. Поэтому оно является тавтологией и |—сьа. ?
Теорема 3. Если & — двузначный топос, то
&\=а тогда и только тогда, когда \— cloc.
Доказательство. Часть «только тогда» вытекает из тео-
теоремы 2. Обратно, предположим, что (—cl«, т. е. а— тавтология.
Если V — произвольная dT-оценка, то, беря У(я,)=1 или
1/(я,) = 0, когда V'(ni)= T или V (ni)= ± соответственно, мы
определяем классическую оценку. Данное определение законно,
ибо в силу двузначности <В имеется лишь два истинностных зна-
значения: Т и 1. Но оценки V и V связаны между собой так же,
как и в предыдущей лемме. Поэтому из равенства У(а)=1
следует, что V'(a)= T. D
Последний результат может создать впечатление, что дву-
двузначные топосы больше похожи на категорию Set, чем топосы,
имеющие более двух истинностных значений. Однако рассмот-
рассмотренный выше топос Мг двузначен, но отличается от категории
Set в других отношениях, например он не является классиче-
классическим, поскольку для него сумма 1 -J- 1 не изоморфна Q. С дру-
другой стороны, топос Set2 не двузначен и тем не менее является
классическим, и его общезначимые предложения аксиоматизи-
аксиоматизируются системой CL. Отсюда мы могли бы заключить, что дву-
двузначность сама по себе не приводит к категорной аксиоматиза-
аксиоматизации классической теории множеств. Или, быть может, мы
должны сделать вывод, что наше определение общезначимости
в топосе является неудачным обобщением понятия логической
истинности в Set? Читайте дальше!
ДОБАВЛЕНИЕ
Предложения а и |3 называются логически эквивалентными,
если они имеют одинаковые истинностные таблицы, т. е. если
V(a)= 1/(|3) для каждой классической оценки V. Как мы уже
отметили выше, предложение а ;э р логически эквивалентно
предложению ~сс V р. По этой причине в некоторых изложениях
158 Гл. 6. Логика в классическом представлении
системы CL связка гэ рассматривается не как один из
основных символов, а как дефинитивное сокращение для ком-
комбинации, включающей ~ и V. Аналогично можно ввести л,
используя логическую эквивалентность предложений а л E и
~(~av ~Р)- Напротив, можно исходить из связок ~ и л
и определять связки v и id через них. Возможны и другие ва-
варианты выбора основных связок.
Факт выразимости связки zd через ~ и V находит отраже-
отражение в равенстве операций х=$-у=~\х^>у на множестве 2. Нэ
языке стрелок это означает, что
2X2 iX'd2 2X2
Однако имеются топосы, в которых соответствующие обобщен-
обобщенные истинностные стрелки уже не удовлетворяют этому равен-
равенству. Поэтому встает вопрос, правилен ли вообще подход, опи-
описанный в настоящей главе, и почему не определить в топосе Ш
стрелку =»- просто через стрелки п и \-> в соответствии с пре-
предыдущим равенством.
Дело в том, что связки ~, Л, V, :=> вводились отдельно
в силу достаточной концептуальной разницы между ними и так
как каждой из них присуще собственное внутреннее значение.
Построение соответствующей истинностной таблицы обосновы-
обосновывалось в каждом случае независимо. Взаимоопределимыми они
оказываются постфактум. Это просто признак классической
логики, следствие классического исчисления истинности и об-
общезначимости. Поэтому-то мы и определили все связки неза-
независимо, описывали их независимо на основе Q-аксиомы, а затем
перенесли эти определения в произвольный топос. При этом
оказывается, что (в некоторых случаях) эта взаимоопределяе-
мость пропадает. Позже (в гл. 8 мы встретимся с другой тео-
теорией пропозициональной семантики, в которой данные связки
уже не взаимоопределяемы, но имеют в точности то же самое
категорное описание, что и в Set.
Глава 7
АЛГЕБРА ПОДОБЪЕКТОВ
Так как новое рождается из старого, оно обычно
вбирает в себя многое из словаря и аппарата ста-
старого как в идейном, так и практическом отношениях.
Но оно редко использует эти заимствованные эле-
элементы в их традиционном значении.
Томас Кун
7.1. ДОПОЛНЕНИЕ, ПЕРЕСЕЧЕНИЕ, ОБЪЕДИНЕНИЕ
В начале гл. 6 отмечалось, что строение ч. у. множества
{^(D),^) как булевой алгебры зависит от правил классиче-
классической логики через свойства связок «и», «или» и «не». Эту зави-
зависимость можно сделать совершенно явной с помощью характе-
характеристических функций. Следующий результат показывает, как
теоретико-множественные операции зависят от истинностных
функций.
Теорема 1. Если А и В — подмножества в D с характеристи-
характеристическими функциями %л: D->-2 и %s: D-+2, то
(i) Х-л = ~> °%а>
i ( »
(iii) %a\jb = %a ^>%в-
Доказательство. Если х-д(х) — 1 для i;6fl, то хе—А,
т. е. хфА. Следовательно, %а{х)= О и ~'<ха(х)=1. Если
ЭС_л (х) = 0, то хф—А, т. е. х<=А Следовательно, %д(л:)=1
и ~1%а(х)=0. Таким образом, функции %-а и ~\°%а прини-
принимают одно и то же значение при одном и том же значении входа
и поэтому равны. Доказательство п. (ii) и (iii) проводится ана-
аналогичным образом с использованием определений для П. ^>
U. ^. ?
Теорема 1 подсказывает следующее обобщение (результат
в одном контексте становится определением в другом).
Пусть & — топос и d — его объект. Определим операции на
совокупности Sub(d) всех подобъектов объекта d.
A) Дополнения. Пусть f: а>—> d. Дополнением f (относи-
(относительно d) называется подобъект —/: —а>—>d, характеристиче-
характеристическая функция которого равна п °хг- Таким образом, —f опре-
определяется как обратный образ стрелки Т относительно П °%f,
т. е. x-f = ~1 ° If- . -f .
-а > > А
160
Гл. 7. Алгебра подпбъектов
B) Пересечения. Пересечением подобъектов /: а-—>d и
g: b>—id называется подобъект ff\g'- af\b-+d, получаемый
подъемом Т вдоль ц лл xg = ^ ° (if, %g)-
Q
Таким образом, Xfns = Xl^Xe-
C) Объединения. Через f\Jg: a{)b>—*d обозначается
подъем Т вдоль ц w %g = ^ о <Xf) %gy.
a U
1 —
t
Q
Таким образом, fjng = Xf ^ Хг- П
Имеется также совершенно другой подход, позволяющий
описать операции пересечения и объединения в Set в категорных
терминах.
(а) Пересечения. Диаграмма
А ПВ
В
А
D
является декартовым квадратом в Set. В ч. у. множестве
(^(D),^) пересечение А[\В является наибольшей нижней
гранью А а В, а следовательно, их произведением и даже рас-
расслоенным произведением. Однако мы утверждаем больше,
а именно что приведенная диаграмма будет декартовым квад-
квадратом в Set, а не только в ff'(D). В этом читатель может убе-
убедиться сам.
(Ь) Объединения. В ?P(D) множество А[)В является копро-
изведением А и В. Это описание нельзя обобщить аналогично
предыдущему случаю, так как мы еще не знаем, имеет ли
Sub(f/) копроизведения. Более того, в Set копроизведение А-\-В
является дизъюнктным объединением А и В. Поэтому если А
и В пересекаются, то А + В Ф A U В.
7.1. Дополнение, пересечение, объединение
161
Однако A U В можно охарактеризовать как объединение об-
образов функций включения /: А <-> D и g: В <-*¦ D. В § 6.6 при
определении стрелки дизъюнкции w мы дали общее определе-
определение объединения двух образов. Строим сначала стрелку [f, g):
А + В-*-D, а затем ее эпи-моно-разложение
AUS-
Множество А[)В получается тогда как образ стрелки [f,g].
Хотя мы располагаем двумя определениями операций U и П
в Set, они не предоставляют нам выбора и в произвольном то-
носе Ж и ведут к одним и тем же операциям на Sub(d) (топосы
действительно удачно обобщают Set). Полное доказательство
этого факта довольно длинное и трудоемкое. Поэтому мы при-
приведем лишь план доказательства, оставляя детали заинтересо-
заинтересованному читателю.
Теорема 2. Пусть Ё — топос, f: а>—> d и g: b>—> d — произ-
произвольные монострелки и квадрат
декартов. Тогда стрелка % r\ %g является характеристической
стрелкой подобъекта а: о—-- d, где a = g°f — f°g'. Таким об-
образом, Ха==Хгпе> т- е- а —/f]g, и в 8 существует декартов
квадрат вида
аПЬ
а>
6 Зак. 651
162
Гл. 7. Алсейра подобъектов
План доказательства. Ключевой момент состоит в до-
доказательстве универсальности верхнего квадрата диаграммы
d
1
Нижний квадрат универсален по определению гл. По лемме
о квадратах внешний квадрат будет универсальным, что в силу
Q-аксиомы дает равенство %а = r\ ° <jq, /г>. П
Для аналогичного результата об объединении нужна сле-
следующая лемма.
Лемма. Если в топосе <? квадрат
декартов, то существует стрелка h: f{a)^-g{c), для которой
правый квадрат диаграммы
a *—& 1(a):
h
im/
*b
также декартов.
7.1. Дополнение, пересечение, объединение
163
Доказательство. Рассмотрим диаграмму
f
Правый квадрат получается подъемом im g вдоль v. Поэтому
i — монострелка. Существование f, превращающей всю диа-
диаграмму в коммутативную, следует из свойства универсальности
правого декартова квадрата, так как «граничная» диаграмма,
будучи декартовым квадратом по условию леммы, коммута-
коммутативна. По лемме о квадратах левый квадрат также декартов.
В силу факта 1 из § 5.3 /' — эпистрелка и композиция i°f дает
некоторое эпи-моно-разложение стрелки f. Поэтому существует
единственная изострелка k: e-+f(a), для которой диаграмма
,f(a)
Г
коммутативна. Полагая h = h'ok~\ получаем стрелку, удов-
удовлетворяющую заключению леммы. ?
Теорема 3. Для данных монострелок f: a>—>d и g: 6>—*d
в топосе <§ характеристическая стрелка образа a: c-+d стрелки
[f) bd
равна if \y %e.
Поэтому Ха = Xf
женив
ив, a^fU
ы\
i
с
g и имеется эпи-моно-разло
aUb
6*
164
Гл. 7. Алгебра подобъектов
План доказательства. Докажем, что два малых квад-
квадрата диаграммы
а —-1—^ d* Ъ
9.
q.q
¦Q
декартовы. Тогда в силу факта 2 из § 5.3 квадрат
К el
d
также будет декартов. Доказанная лемма дает нам декартов
квадрат вида
fixQ
где / — образ стрелки [<TSj, 1^>, <1 о, Тя>]. Но по определе-
определению w стрелка v^: QX^->Q является характеристической для
подобъекта /, т. е. квадрат
1
¦+Q
декартов. Из этих последних двух диаграмм по лемме о квад-
квадратах получаем, что %а = ^ ° <%f, Xg>- ?
В свете теоремы 3 мы можем охарактеризовать истинностную
стрелку дизъюнкции как характерлстическую стрелку подобъ-
подобъекта
(То. 1,,)U(lc, To)
Q U Q > " " " -> О X Q.
7.2. Sub (d) как решетка
165
7.2. Sub(d) КАК РЕШЕТКА
Теорема 1. Ч. у. множество (Sub(d),s) является решеткой,
в которой
A) ff\g — наибольшая нижняя грань (решеточное пересе-
пересечение) объектов fug;
B) flig — наименьшая верхняя грань (решеточное объеди-
объединение) объектов fug.
Доказательство. A) Из определения frig как обрат-
обратного образа fug нетрудно вывести, что f(]g является наиболь-
наибольшей нижней гранью f и g. Детали оставляем читателю.
B) Из теоремы 3 и определения стрелки [f, g] следует, что
диаграмма
коммутативна. Значит, f и g пропускаются через f[)g, т. е.
fsfUg и g^fUg, и, таким образом, f[)g является верхней
гранью fug. Докажем, что она наименьшая. Предположим,
что f <=h и g s h. Тогда fug пропускаются через h, т. е. суще-
существуют ha и hb, для которых диаграмма
коммутативна. Имеют место равенства
[f,g] = [hoha, h°hb] =
= h°[ha, hb] (упражнение, двойственное
к упражнению 3.8.3),
166 Гл. 7. Алгебра подобъсктов
из которых видно, что [f, g] разлагается в композицию стрелок
[1га, hb]: а + &->с и h: с>—id. Заменяя [ha, ft&] ее эпи-моно-
разложением, получаем представление стрелки [f,g] в виде
композиции
/ k h
a -f b —»е >—> с >—» d
для некоторых / и ft. Таким образом, мы пришли к еще одному
эпи-моно-разложению [f,g] на стрелки / и h°k. В силу одно-
однозначности с точностью до изоморфизма таких разложений су-
существует изострелка и, для которой диаграмма
а -т
fUg
а\}Ьш
коммутативна. Таким образом, композиция Ьм «пропускает»
fUg через А, т. е. / U g s /i, что и требовалось. ?
Следствие. A) f ^ g т. и т. т. f(]gc^f т. и т. т. f[) gc^g.
B) fsg тогда и только тогда, когда <хь Xg> пропускается
через уравнитель стрелок гл и рп.
QXQ
<Xf,Xg>
/
d
Доказательство. A) В произвольной решетке
хЕу т. и т. т. л:П // == л: т. и т. т. xLly — y
B) f S g т. и т. т. ff|g —f т. и т. T.,Xfn?- = XfT- и т. т.
^ ° <Xf. Х«> = Pri ° <Xf> Хг>-
Доказываемое утверждение следует теперь из свойства универ-
универсальности уравнителя. D
Часть B) этого следствия представляет собой аналог того
факта, что если А и В — два подмножества в D, то включение
A s В выполняется тогда и только тогда, когда %а <! %в (по-
(последнее означает, что %Л (х) ^ %в(х) для всех xeZ)j.
Теорема 2. Ч. у. множество (Sub(d),s) является ограни-
ограниченной решеткой с единицей Id и нулем 0d-
7.2. Sub (d) как решетка
167
Доказательство. Для произвольного /: а:
граммы
¦ d диа-
тогда
коммутативны, а это означает, что Od Е / и f ? Id- ?
Упражнение 1. Для произвольного f из Sub(d) fc^
и только тогда, когда f — изострелка, т. е. /: а = с/. D
На самом деле Sub(d) — дистрибутивная решетка, т. е.
в ней выполняется закон дистрибутивности
Опять-таки его можно было бы доказать непосредственно, но
он следует из некоторых более глубоких результатов, устанав-
устанавливаемых позднее. Мы пока откладываем этот вопрос до § 8.3.
Что можно сказать о дополнениях? Прежде всего докажем
следующую теорему.
Теорема 3. Для произвольной монострелки f: а->—> d имеем
f(\-f~Od.
Доказательство. В диаграмме
нижний квадрат является декартовым квадратом, определяю-
определяющим —i. Внешний, граничный квадрат тоже декартов (он слу-
служит определением —f), в частности он коммутативен. В силу
свойства универсальности нижнего квадрата существует стрелка
—а -> 1, для которой вся диаграмма становится коммутативной.
Следовательно, верхний квадрат декартов. Так как 1—конеч-
168
Гл. 7. Алгебра подобъектов
ный объект, то эта стрелка совпадает с 1_й. Тогда левый и пра-
правый квадраты диаграммы
аи а >
а
f
1
Q
коммутативны (левый на основании определения /Л—/)• Из
коммутативности этих квадратов вытекает коммутативность
внешнего граничного квадрата, т. е. имеет место равенство
-1 "'an-a^fy°f°e- Ho Xf°f = truea (в силу Q-аксиомы). По-
Поэтому xf о fog — truea °g ==trueaf1_a (см. 4.2.3). Из доказанных
равенств следует коммутативность внешнего квадрата диа-
диаграммы
В силу свойства универсальности внутреннего квадрата суще-
существует стрелка k: а[\— а->-0. Но тогда а Л—а = 0 (см. § 3.16)
и объект а Л —а является начальным. Следовательно, диа-
диаграмма
а 0--а ¦
коммутативна, так как существует только одна стрелка из на-
начального объекта, в объект d. Таким образом, /Л—f^Oa, а так
как Od—-наименьший элемент в Sub(d), то имеет место обоат-
ное включение Оа ? f Л —/. Поэтому f f) —f cs 0^. D
Создается впечатление, что мы находимся на пути к уста-
установлению того, что Sub(rf) является булевой алгеброй, полу-
получая, таким образом, полную аналогию с 3>{D) в категории Set.
Мы знаем, что Sub(d) — ограниченная дистрибутивная решетка,
в которой f Л —/ всегда есть нуль. Остается только показать, что
f\)—f — единица. Однако сделать это мы не можем! Имеются
топосы, в которых f U—f не является единицей в Sub(ii). Чтобы
7.2. Sub (d) как решетка
169
продемонстрировать это на соответствующем примере, нам по-
понадобится следующая теорема.
Теорема 4. Для произвольного топоса монострелки _L и —Т
определяют в Sub(Q) один и тот же подобъект, т. е.
Доказательство. %1_ =
(по определению ~]) =
(так как 1Q = xT) =
(по определению —т)- ?
Таким образом, в произвольном топосе TU—T^T(J-L-
В нашем главном примере — топосе Мг единица 1<> из Sub(Q)
может быть отождествлена с множеством Ьм, а решеточное объ-
объединение TU-L, являясь образом стрелки [Т, J_], может
быть отождествлено с множеством {М2,0} ф L2 (описание
отображения [Т, J_] в М2 см. в доказательстве теоремы 5.4.6).
Поэтому Т U J_ gt 1 и и —Т ( = 1.) не является решеточным
дополнением для Т в Sub(Q). Этот факт вместе со следующей
теоремой 5 показывает, что в рассматриваемом примере
Sub(Q) — не булева алгебра.
Теорема 5. В любом топосе, если стрелка Т: 1—>-Q имеет
дополнение в Sub(Q), то оно изоморфно подобъекту _L: I—>-Q.
Доказательство. Пусть
Тогда Tflf' — Of), т. е. квадрат
Т
имеет дополнение, скажем/.
декартов. Q-аксиома и упражнение 5.4.3 дают f = %оа = -1- ° 'я-
Но это означает, что f^_L. Отсюда в силу общерешеточных
свойств получаем TUfsTUl, а так как TUf^^lib то
T[J-L~b.j. По теоремам 3 и 4 Г (J _L =0l>. Таким образом,
L является дополнением для Т. Но в дистрибутивной решетке
дополнение единственно. Поэтому f ~ _L. D
170 Гл. 7. Алгебра подоиъектоа
7.3. БУЛЕВЫ ТОПОСЫ
Топос g называется булевым, если для каждого df-объекта d
решетка (Sub(d),s) является булевой алгеброй.
Теорема 1. Для любого топоса g следующие предложения
эквивалентны:
A) & булев;
B) Sub(Q) является булевой алгеброй;
C) Т: 1 —>-Q имеет дополнение в Sub(Q);
D) ±: l->-Q является дополнением, для Т в Sub(Q);
E) TU ±=М0 в Sub(Q);
F) 8 — классический топос, т. е. стрелка [Т, ±]: 1 + 1-^-Q
является изострелкой;
G) /ь 1 -v 1 + 1 является классификатором подобъектов.
Доказательство. Из A) следует B) по определению
булева топоса. Из B) следует C) по определению булевой
алгебры. Из C) следует D) по теореме 7.2.5. Из D) следует
E) по определению дополнения. Докажем, что из E) следует
F). Так как стрелка [Т, i. ] всегда мономорфна, то диаграмма
1-1
представляет эпи-моно-разложение стрелки [Т, J_], т. е. TU
U-L—[T,-L] в SubQ. Так как Т U J_ ^ 1 о, то [Т,-L]—1
Поэтому [Т, J_] — изострелка (см. упражнение 7.2.1). Доказа-
Доказательство того, что из F) вытекает G), предоставляется чита-
читателю в качестве упражнения. Вообще всякая стрелка, изоморф-
изоморфная классификатору, сама является классификатором. Докажем,
что из G) следует A). Пусть /: а>—> d — произвольная моно-
монострелка. Достаточно показать, что /U—f—Id. Тогда, как мы
уже видели в § 7.2, —/ будет дополнением для /, т. е. Sub(d)
будет булевой алгеброй.
План доказательства виден из диаграммы
a U -а .
ъчу ? М!^
d
Если доказать, что стрелка [/, —/] эпиморфна, то по свойству
универсальности эпи-моно-разложения будет существовать
стрелка k, пропускающая \а через f[)—f. Так как /U—f — мо-
иострелка, то k будет изострелкой, устанавливающей изомор-
изоморфизм /U—/—1<л Предварительно докажем следующую лемму.
7.3. Булевы топосы
171
Лемма. В произвольном топосе квадрат
О > !
1
1 + 1
декартов, где i\ и i2 — две инъекции, соответствующие копроиз-
ведению 1 + 1.
Доказательство. Так как 0 — начальный объект, то
приведенный квадрат коммутативен. В силу свойства коунивер-
сальности пары (м, i2) этот квадрат будет также кодекартовым.
Так как внешний квадрат диаграммы
О
коммутативен и даже декартов (по определению стрелки А.
и в силу Q-аксиомы), то существует единственная стрелка
k: 1 + 1-vQ, для которой последняя диаграмма коммутативна.
Предположим теперь, что внешний квадрат диаграммы
коммутативен. Используя k, можно установить коммутатив-
коммутативность внешнего квадрата диаграммы
Отсюда вытекает существование и единственность стрелки а
необходимой для доказательства леммы. ?
172
Гл. 7. Алгебра подобъектов
Вернемся к доказательству теоремы. Обозначим через /'
1' и т. д, стрелки, определенные так же, как х-и _]_ и т. д., но
с использованием стрелки i\\ 1-»-1 + 1 вместо Т: 1—>-Q. Из
только что доказанной леммы следует тогда, что г"г = -L'. Ис-
Используя те же самые аргументы, которые применялись в на-
начале доказательства теоремы 3 из § 7.2, можно доказать, что
квадрат
декартов. По определению стрелки ¦/' декартовым является
также и квадрат
V
1
1
Так как копроизведение сохраняет обратные образы (см. § 5.3),
то квадрат
Г
1+г:
декартов. Но стрелка [/1,12]= Ь+i эпиморфна, поэтому стрелка
[/,—/], которая получается подъемом эпистрелки, также эпи-
эпиморфна. D
7.4. ВНУТРЕННЕЕ VERSUS') ВНЕШНЕЕ
Теорема 1. Если топос & булев, то <э \= ач ~а. для любого
предложения а,.
'') Versus — против (лат.). — Прим. перев.
7.4 Внутреннее versus внешнее 173
Доказательство. Пусть V — некоторая «^-оценка И
/: а>—>1 — обратный образ стрелки Т: l-»-Q относительно
V(a),
В силу Q-аксиомы Xf = V(a). Так как & булев, то Sub(l)—
булева алгебра. Поэтому / U — / — 1, и XfU_f = Х,1 = Т- Но
XfU-/ = Xf ^ ~"i°Xf — V(a)\j->°V(a)= V(a\'~a).
Следовательно, K(aV~a}= j, ?
Естественно предположить, что если наша теория правильна,
то должно бы иметь место и обращение теоремы 1. Однако это
не так. Топос М2 не булев, так как в нем Sub(Q) не является
булевой алгеброй и, как замечено в конце гл. 6, M2|=aV~a.
В доказательстве теоремы 1 используется на самом деле
только тот факт, что Sub(l)—булева алгебра. Это условие
и необходимо, как показывает следующая теорема:
Теорема 2. В произвольном топосе & следующие три пред-
предложения эквивалентны
A) для всякого предложения а сэ = а тогда и только тогда,
когда \— сьа;
B) (<?|=aV~a для любого а;
C) Sub(l) является булевой алгеброй.
Доказательство. Ясно, что из A) следует B). Предпо-
Предположим, что имеет место B). Пусть /: а>—>1 — произвольный
подобъект 1, т. е. элемент из Sub(l). Заметим, что yj есть
истинностное значение. Беря ^-оценку V, такую, что У(ло)= %;,
мы получаем следующую цепочку равенств:
Xf у _ f = Xf ^ ~1 X; = V (я0) w -, V (ло)|= V (лц / ~ л0) =-=¦/!,,
из которой следует, что /U—/—1ь Но это означает, что
Sub(l)—булева алгебра.
Предположим теперь, что имеет место C), и выведем отсюда
A). «Только тогда» из A) имеет место в произвольном топосе.
Для доказательства в обратную сторону надо проверить, что
все CL-аксиомы ^-общезначимы и что modus ponens сохраняет
^-общезначимость. Позднее мы покажем, что аксиомы I—XI
общезначимы в произвольном топосе и что отделение сохраняет
общезначимость. Сейчас же заметим, что теорема 1 устанавлн-
174 Гл. 7. Алгебра подобъектов
вает «^-общезначимость аксиомы XII, если множество Sub(l)
топоса & является булевой алгеброй. ?
Следствие. Из утверждения «множество Sub(l) топоса &
является булевой алгеброй-» не вытекает, что сам & булев.
На первый взгляд ситуация представляется аномальной (по
крайней мере автору). В категории Set логика основана на бу-
булевой алгебре 2. Кажется, что и вообще в топосе она тесно
связана с Sub(l). В Set имеются изоморфизмы Sub(l)^
^^A)^2 — пока все хорошо. Но предыдущие результаты по-
показывают, что свойства «обобщенного множества-степени»
Sub(d) определяются множеством Sub(Q), тогда как в Set че-
тырехэлементное множество Sub(Q) уже не играет никакой
особой роли в этом вопросе.
Ситуация несколько проясняется, если обратить внимание
на то обстоятельство, что Sub(d) есть совокупность подобъек-
подобъектов топоса & и может не быть настоящим lf-объектом. Будем
мыслить & как некий «универсум математического рассужде-
рассуждения». Тогда живущий в этом универсуме, пользуясь только ин-
индивидами, имеющимися в этом универсуме, вообще не «видит»
Sub(d) как единый объект, Такое образование, как Sub(d),
является внешним по отношению к <?. Но обитатель топоса
видит объект-степень Qd, являющийся «объектом всех подмно-
подмножеств» объекта d. Этот объект Qd, будучи индивидом универ-
универсума &', является внутренним вариантом понятия множества-
степени, в то время как Sub(d) — его внешний вариант.
Закон исключенного третьего также имеет внутренний ва-
вариант. Справедливость этого закона в Set означает, что равен-
равенство .V ^ 1 х = 1 имеет место для любого хе2. Наличие этого
тождества эквивалентно коммутативности диаграммы
(так как <id2, i)(x)= (х, пх>). Но эта диаграмма имеет ана-
аналог в любом топосе 8', п справедлива следующая интересная
теорема.
Теорема 3. Sub(Q) является булевой алгеброй тогда и только
тогда, когда диаграмма
7.4. Внутреннее versus внешнее 175
QxQ
(ЕМ)
1 ¦ >
коммутативна.
Доказательство. Коммутативность диаграммы ЕМозна-
чает, что w о <1о, п> = Т о, т. е. 1 ow ~1 = Т о. Но мы знаем,
что 1„ = zT, ~ = хх и To = %,Q. Поэтому
Sub(Q) есть булева алгебра т. и т. т. Т U -L — 1q (§ 7.3)
т. п т. т. XTUi=X,Q
т. н т. т. /т ^ % =Х1о
Т. II Т. Т. 1„ "^ ~1 = То-
Упражнение 1. Доказать непосредственно, что диаграмма ЕМ
некоммутативна в Мг. П
При изложении нашей теории семантики, использующей то-
топосы, мы рассматривали множество ^A,Q) истинностных зна-
значений. Это опять внешнее образование. Внутренним вариантом
совокупности всех стрелок из 1 в Q должен быть объект истин-
истинностных значений Q1 з* Q. Оценка V: <D->-df(],?2) также внеш-
внешнее понятие, т. е. не является ^"-стрелкой.
Семантическая теория, которую мы развили, является внеш-
внешней. В этом причина того, что существуют топосы, например Мг,
которые выглядят классическими «извне» и все же обладают
неклассическими свойствами (любопытно, что Мг внутренне
двузначен, в то время как (с внешней стороны) Q имеет три
элемента). Теперь мы видим, что топос обладаем внутренней
логикой, выражающейся коммутативными диаграммами вроде
ЕМ (ср. упражнение 2 ниже). Топос будет булевым тогда
и только тогда, когда эта внутренняя логика классическая.
Если придерживаться точки зрения, что топосы предлагают
альтернативу категории Set как контексту, в котором полностью
происходит развитие математики, то важна в конечном счете
именно внутренняя структура топоса. Но и внешняя теория
очень полезна для освещения логических свойств топосов и, как
мы увидим в дальнейшем, для описания связи между топосами
и интуиционистской логикой.
Упражнение 2. Сформулировать общезначимость CL-аксном
I—XI в терминах коммутативности диаграмм, составленных из
176
Гл. 7. Алгебра подобъектов
истинностных стрелок. (Все они коммутативны в произвольном
топосе. Можете ли вы доказать коммутативность некоторых из
них?)
7.5. ИМПЛИКАЦИЯ
Аналогично тому, как мы использовали истинностные стрелки
г\, ^, ~1 для определения операций П. 1)> — на множестве
Sub (d) подобъектов объекта d, мы можем использовать импли-
импликацию => для определения следующей операции: если /: а >—>d
и g:b>-^>d — подобъекты в d, то через f&g: (a&b) >-^>d обо-
обозначим подобъект, получаемый подъемом Т вдоль ^f=*-%g =
= =$- ° </f, %g}. Таким образом, квадрат
1—-L— О
декартов, т.е. х{ |=> g = yw/ => %g.
Для исследования свойств этой новой операции нам пона-
понадобятся некоторые технические результаты.
Лемма 1. Пусть f, g и h — подобъекты объекта d в произ-
произвольном топосе. Тогда
A) f[}h^g[]h т. ит. т. x;ch = %goh,
следовательно,
Доказательство. A) Рассмотрим диаграммы
а Л с
Нижние квадраты в каждой из них декартовы по Q-аксиоме.
Верхние квадраты декартовы по определению пересечения. По
лемме о квадратах и Q-аксиоме %f с h = xftl и %g ° g = %hr Та-
Таким образом, %t°h = xe°h тогда и только тогда, когда
/z!~/i2- Но это последнее условие выполняется тогда и только
7.5. Импликация
177
тогда, когда существует изострелка k, удовлетворяющая ра-
равенству hi = k = h2. Поэтому из существования стрелки k следует
h«hx*'k = h°h2, т. е. (f[\h)=k = g[\h. Отсюда f(]h = g[\h.
Это рассуждение обратимо и из f(]hc^gf\h следует Л,~Л2-
Пункт B) непосредственно вытекает из A). П
Следствие, f Л h s g т. и т. т. xf n g ° h = Xf ° h.
Доказательство. ff)h^g т. и т. т. (f f]h)(]gc^f (] h
т. и т. т. (ff\ g)[\ h~f[\h (общерешеточное свойство)
т. и т. т. xfflg°h = %f°h (лемма 1). П
Теорема 1. Для любых f, g и h из Suh(d)
A) tlS=ffrgT.tlT.T.f[\h?=g,
B) f s g т. и т. т.
C) fsgT. и т. т.
Доказательство. A) Рассмотрим диаграмму
Граница этой диаграммы коммутативна по определению под-
объекта f&g. Нижний квадрат декартов по определению нм-
пликацпн. Поэтому существует стрелка /, для которой вся диа-
диаграмма будет коммутативна. Тогда по лемме о квадратах верх-
верхний квадрат декартов.
План доказательства виден из следующей диаграммы:
Включение h^f&g имеет место тогда и только тогда, когда
существует стрелка k: c->-{a\$> b), для которой верхний тре-
треугольник коммутативен. Так как квадрат этой диаграммы
178 Гл. 7. Алгебра подобъектов
лекартов, то такая стрелка k существует тогда и только тогда,
когда композиция <хь %g} ° h пропускается через е. По свойству
универсальности е как уравнителя последнее выполняется
тогда и только тогда, когда имеет место равенство рп - <х/, х?> э
о k = г\ о <xf, %g) c h, т. е. %f°h. — xfns°h. Но в силу следствия
из леммы 1 это последнее равенство справедливо тогда п только
тогда, когда f(]h^g.
B) Предположим, что f s g. Тогда для произвольного h
из Sub(d) имеют место включения f[\h<=f^g. Отсюда в силу
доказанного п. A) вытекает ftsf^g. Ввиду произвольности h
это включение означает, что f& g является единицей \d в
Sub(d), т. е. f^>g^1d. Обратно, если /Ё>? —1d, то f*~f\$g.
Поэтому ff]f^g,T.e.f^g.
C) Так как ¦/, =trued, то по определению операции t> из
B) вытекает C). П
Упражнение. Дать категорное доказательство п. B), исполь-
используя следствие теоремы 1 из § 7.2 и диаграмму
Следствие теоремы 1.
A) t
B)
Доказательство. A) Из 1 d s 1 d, Od S 1 d, 0d = 0d no
n. B) теоремы 1 вытекают изоморфизмы п. A) настоящего
следствия.
B) Так как ]d\=> 0d s Ut=> Od, то по п. A) теоремы 1 полу-
получаем 1dfl(b Ё>Оа)? Od, т. е. 1dE>0d^0d. Так как 0fi — наи-
наименьший в Sub(d) подобъект, то 1 d ^ Od ^^: Od- D
В множестве всех подмножеств !?(D) множества D множе-
множество А |=> В равно —Л LJS (почему?). Аналогичное утверждение.
для произвольного топоса, вообще говоря, не справедливо. В то-
посе М2, как и в любом топосе, T|=>T^1q в Sub(Q) (по
п. B) теоремы 1). В то же время —Т U Т = _L U Т =
= Т U !_ и, как мы видели в § 7.2, Т U 1 cfc 1Ц в М2.
Чтобы найти условия, при которых операция \^> может быть
выражена через У и —, нам потребуется следующая лемма,
7.5. Импликация 179
Лемма 2. A) Если элементы тип произвольной решетки
удовлетворяют условиям
A) л'Е пг т. и т. т. апхЕ^,
(ii) xt= п т. и т. т. а п хе= b
для любого х, то m = п.
B) В булевой алгебре
x^(a'llb) т. и т. т. апхЕ^.
Поэтому, если пг удовлетворяет (i) п. A) для любого элемента
х, то m = a' U Ь.
Доказательство. A) Упражнение для читателя (ис-
(использовать mt=m).
B) Заметим сначала, что если xE^z, то ynx^ynz для
произвольных х, у, z. Далее, в любой булевой алгебре имеют
место равенства an(a'u6) = (ana')u(un6) = 0u(anft) = an6.
Поэтому, если х^(а'ub), то anxEan(a'Lift) = an6El),
т. е. апх^Ь. Обратно, если onxEft, то х = Aпх) =
= (а' иа)пх = (а'пл;) и (а п х) Е= а'и b. D
Теорема 2. В произвольном топосе <% следующие условия
эквивалентны:
A) 8 булев;
B) для каждого объекта d в множестве Sub(d) имеет место
изоморфизм ft=> g — —f()g;
C) в Sub(Q) имеет место изоморфизм f?>g — —f[}g;
D) Т?> T = TU-L.
Доказательство. Докажем, что из A) вытекает B).
Пункт A) теоремы 1 утверждает, что в произвольной решетке
Siib(d)
h<= f&g т. и т. т. fПh = g.
Но если Sub(d) является булевой алгеброй, то по п. B) леммы 2
h<=— ]\}g т. и т. т. \[\h<=g.
По пункту A) леммы 2 отсюда следует, что f\$> g = —f \j h.
Очевидно, что из B) вытекает C).
Пункт D) вытекает из пункта C) в силу равенства —Т (J
U Т = "!" у J_, упомянутого перед формулировкой леммы 2.
Так как всегда Т ^> Т ~ 1 а , то по п. E) теоремы из § 7.3
из D) следуетA). ?
Таким образом, мы видим, что в небулевых топосах опера-
операция t^> непохожа на операцию булевой импликации. На что по-
похожа эта операция в общем случае, мы выясним в следующей
главе. Предварительно, однако, мы сделаем паузу, чтобы вос-
восполнить два пробела в нашем изложении.
180
Гл. 7. Алгебра подоСгьектов
7.6. ВОСПОЛНЕНИЕ ДВУХ ПРОБЕЛОВ
1. В теореме 1 из § 6.7 были приведены таблицы поведения
функций, соответствующих стрелкам r\, w, =*>, на истинностных
значениях Т и _L. Теперь мы в состоянии убедиться в правиль-
правильности этих таблиц.
Ключевую роль здесь играет решетка Sub(l), в которой
единицей является Ь, а нулем-—0ь В силу общерешеточных
свойств получаем изоморфизмы 11 f) 11 — 11 и 11 R Oj c^ 0, [} 1 j ~
~ 0i П 0i ~ 0i. Так как %h = T и x3, = 1, то
и мы получаем таблицу
о
Т
1
т
т
1
±
1
1
Используя следствие теоремы 1 из § 7.5, мы получаем равенства
и т. д., приводящие к таблице
т
1
т
т
т
±
т
Упражнение. Вывести таблицу
т
1
±
т
т
т
т
1
п
2. В теореме 5 из § 5.4 утверждалось без доказательства, что
всякий классический (т. е. такой, что 1 + 1 = Q) топос, в кото-
котором каждый ненулевой объект непуст, является точечным. Пред-
Предположим, что <§ — классический топос. Тогда по теореме из
§ 7.3 он является булевым. Пусть f, g: a^-b — пара различных.
^"-стрелок. Найдем элемент х: 1->-а, который различает их,
т. е. такой, что f°x=?g°x. Обозначим через А: с >—>а уравни-
уравнитель пары стрелок / и g, а через —h: —о—>а—дополнение h
в Sub (о) (так как & булев, то дополнение существует). Тогда
—с — ненулевой объект (в категории Set —с ф 0, так как / и g
различны в некоторой точке из а). Действительно, если —cs^O,
Пересмотр принципа экстенсиональности
181
то —ft~Oa. Поэтому /i~ftU0a = /iU— h~\a, т. е. /г —изо-
стрелка, а так как f о h = g ° п, то f — g.
Поскольку в $ каждый ненулевой объект непуст, то должна
существовать стрелка у: 1->-—с. Положим х равным компози-
композиции —h о у. 1 ->- а. Тогда если бы f ° x = g °х, то в силу свойства
универсальности уравнителя h существовала бы стрелка
г: 1->-с, такая, что Ьг = х. Но последнее равенство означает
коммутативность границы в диаграмме
позволяя утверждать существование стрелки 1—>-0. Поэтому
топос должен быть вырожденным, в противоречие с тем фактом,
что с ф. 0. Таким образом, f ° х ф g ° х.
7.7. ПЕРЕСМОТР ПРИНЦИПА ЭКСТЕНСИОНАЛЬНОСТИ
В главе 5 мы рассматривали свойство топоса быть точечным
как категориый аналог принципа экстенсиональности для функ-
функции. Этот принцип для множества означает, что множества, со-
содержащие одни и те же элементы, совпадают. Это следует из
того, что равенство множеств определяется с помощью отноше-
отношения включения следующим образом: А = В тогда и только
тогда, когда Лей и'Й^Д так как отношение A s В озна-
означает, что каждый элемент множества А является элементом
множества В.
Определение отношения включения для множеств легко пе-
переносится на произвольную категорию. Если f: a>—> d — под-
объект объекта dux: \-*-d — элемент из d, то, как и в § 4.8,
мы скажем, что х является элементом подобъекта f (обозна-
(обозначается так: х е f), если х пропускается через f, т. е. для неко-
некоторого k: 1 ->- а имеет место равенство х = / - k.
1
Теорема 1. Если f и g — произвольные элементы решетки
Sub(d) произвольного топоса &, то
л:<=/Г|?[ т. и т. т. хе/ и xeg.
182
Гл. 7. Алгебра подобъектов
Доказательство. Пусть х пропускается через f(]g.
Так как f(]g пропускается одновременно и через /, и через g,
то то же самое будет справедливо для х.
Обратно, пусть х е/ и jceg. Тогда х = f °k и х = g °h для
некоторых элементов k: 1->-а и h: 1->-Ь. Так как внутренний
квадрат диаграммы
декартов, то существует стрелка t: 1 ->¦ а {] Ъ, для которой имеет
место равенство f[\got = fok = x. Таким образом, t пропус-
пропускает х через f П g, т. е. х е f f) g- ?
Топос, в котором подобъекты определяются своими элемен-
элементами, будет называться экстенсиональным, т. е. & экстенсиона-
экстенсионален, если для произвольного <!Г-объекта d в Sub (с?) выполняется
условие
/Eg т. и т. т. для всякого х: l-»-d из х е f следует х е g.
Теорема 2. Голос <? является экстенсиональным тогда и толь-
только тогда, когда он точечный.
Доказательство. Пусть f, g: a^b — пара параллель-
параллельных <§Г-стрелок, удовлетворяющих равенству f °x = g <>х для
всех х: 1->-й.чОбозначим через h: о—=> а уравнитель пары fug.
Тогда если хе1„ (что имеет место для произвольного х: 1 —-а),
то х е h по свойству универсальности h как уравнителя. В силу
экстенсиональности топоса & получаем отсюда, что 1а = /!, т. е.
h°k = \a для некоторого k. Так как [ ° h = g ° h, то, беря ком-
композицию с k и принимая во внимание полученное равенство, при-
приходим к равенству / = g.
Обратно предположим, что & — точечный топос. Часть
«только тогда» условия экстенсиональности имеет место в любой
категории. Для доказательства в другую сторону предположим,
что для каждого хе/ имеет место jtEg. Для того чтобы уста-
/.7. Пересмотр принципа экстенсиональности 183
новнть включение f ? g, достаточно показать, что /fig —f, т. е.
%rns = %f- Так как всегда fflg^f, то из п. C) теоремы 7.5.1
следует
ё, %!> = true,,.
Тогда для произвольного элемента х: 1 —*- Ь имеет место ра-
равенство =>- -- <yj n g, %f} э х = true,, - х, т. е.
(XfngoX=>%f °x) = true
(см. упражнение 3.8.3 и 4.2.3).
Обе стрелки %/Пг°х и %f°A; являются истинностными значе-
значениями, а так как & — двузначный топос (будучи точечным), то
каждая из этих стрелок равна true или false. В силу упражне-
упражнения 4.8.2, если r/f ° л: = true, то х е / и по нашему предположе-
предположению xeg. Отсюда по теореме 1 хе f Пg, т. е. %f ng°х = true.
В силу равенства, установленного выше, и таблицы для =>-,
доказанной в § 7.6, стрелки %;as°x и 7J °х должны быть либо
обе равны true, либо обе равны false.
Мы показали, что параллельные стрелки %f!)g> Z/: b ^.?1
неразличимы с помощью элементов х: 1—>-Ь. Так как & — точеч-
точечный топос, то %f n g = %;, что и требовалось. П
Теорема 2 показывает преимущества теории топосов перед
более ранним подходом Ловера из Lawvere [64] к аксиоматиза-
аксиоматизации категории множеств. Его система содержала аксиому «то-
чечности», но для вывода свойства экстенсиональности требо-
требовался некоторый вариант аксиомы выбора (ср. гл. 12).
Примечательно, что аналоги теоремы 1 для других теоре-
теоретико-множественных операций, т. е. утверждения
(a) хе—f тогда и только тогда, когда неверно, что х е /,
(b) x^fljg тогда и только тогда, когда xef или х е g
в некоторых топосах места не имеют. Возьмем, например, булев,
но не двузначный топос. Простейший пример — топос Set2 пар
множеств. Этот топос имеет истинностное значение х: 1—*-Q,
отличное от Т и от 1. Тогда ни одна из следующих двух диа-
диаграмм
не коммутативна. Поэтому х^Т и х ф.—Т (так как всегда
± =—Т). Кроме того, так как топос & булев, то T~U—Т —
~1о и потому х'бТ[|—Т. Таким образом оба утверждения
(а) и (Ь) ложны в этом топосе.
184 Гл. 7. Алгебра подобъектов
Теорема 3. Топос & двузначен тогда и только тогда, когда
утверждение (а) имеет место в каждой решетке Suh(d).
Доказательство Приведенные перед формулировкой
теоремы 3 рассуждения проходят в произвольном недвузначном
топосе. Они показывают, что утверждение (а) ложно в решетке
Sub(Q). С другой стороны, если & двузначен, то для всякого
истинностного значения у: 1->Q, отличного от Т (т. е. уф Т),
будет выполняться равенство ~л °у= Т (так как у=±). Ис-
лользуя это, мы получаем для /: a^^d их: 1 -»-d следующее:
х е — / т. и т. т. X_f°*=T (упражнение 4.8.2)
т. н т. т. ~1°%f°x—T т. и т. т. %{°хфТ
т. и т. т. х ф. f. ?
Теорема 4. Утверждение (Ь) имеет место во всякой решетке
Sub(d) топоса & тогда и только тогда, когда & удовлетворяет
следующему условию:
(с) для произвольных истинностных значений у: l->-Q
и z: I—»-Q равенство у w z = true выполняется тогда и только
тогда, когда у = true или z = true.
Доказательство. Пусть (Ь) выполняется в Sub(l). Вы-
Выберем /: а >—> 1 и g: b >—> 1 такими, что %f = у и %е = z. Тогда
для х: 1 —>¦ 1, т. е. для х = 1 ь имеем
у ^ z = Т т. и т. т. ((/иг)ох = Т т. и т. т. XfugoA:==T
т. и т. т. ^Efy^ т. и т. т. xef или x^g
т. и т. т. %f о х — Т или xg ° х = Т
т. и т. т. у = Т или 2 = Т •
Обратно, если имеет место (с), то для произвольной ре-
решетки Sub (с?) получаем
х е f U g т. и т. т. xfUg ох = Тт. и т. т. wo (Xf> Xg) о л- = Т
т. и- т. т. ^ о (xf <¦ х, xs°x)=J
т. и т. т. */f°A' = T или %g°-A: = T
т. и т. т. ,vef или .veg, ?
Топос, удовлетворяющий условию (с), или, что то же самое,
условию (Ь), будем называть дизъюнктивным. Очевидно, что
каждый двузначный топос дизъюнктивен. Однако обращение
этого утверждения неверно, т. е., вообще говоря, из (Ь) не вы-
вытекает (а). Категория функций Set"* имеет три истинностных
значения. Следовательно, в этом топосе условие (а) не выпол-
7.7. Пересмотр принципа экстенсиональности
185
няется. Однако он удовлетворяет условию (Ь), так как для
дизъюнкции мы имеем такую таблицу:
т
X
1
т
т
т
т
X
т
X
X
±
Т
X
±
в которой через х обозначен третий элемент классифицирую-
классифицирующего объекта Q. Возможно, легче доказать дизъюнктивность
топоса Set", если использовать другое его определение, выте-
вытекающее из материала глав 9 и 10. На самом деле упражнение 4
из § 10.6 дает нам метод построения бесконечного числа дизъ-
дизъюнктивных недвузначных и небулевых топосов.
Теорема 5. Пусть <$ — невырожденный булев топос. Тогда
& дизъюнктивен в том и только том случае, если он двузначен.
Доказательство. Так как в булевом топосе f\j—fes:
~ 1 а, то для произвольного х: 1 ->¦ d имеет место х е f U — f.
Поэтому, если & дизъюнктивен, то х е f или j:g—f. Однако
не может быть, чтобы одновременно х е f и х е —f, так как
тогда x^ff]—f~Od и 1^0, т. е. й1 вырожденный. Таким об-
образом, имеет место один и только один из случаев х е —f
и х е f, что приводит к двузначности топоса <§. О
Упражнение. Пусть & — точечный топос и для всякого эле-
элемента х из х е f следует jteg. Используя теорему 5.5.1, пока-
показать, что обратный образ h монострелки g относительно f яв-
является изострелкой, устанавливающей изоморфизм ff|& —f-
а ПЬ * Ь
Используя это, дать другое доказательство экстенсиональ-
экстенсиональности произвольного точечного топоса.
Глава 8
ИНТУИЦИОНИЗМ И ЕГО ЛОГИКА
Пусть те, кто придет после меня, задаются вопро-
вопросом, почему я построил эти умозрительные конструк-
конструкции и как их можно интерпретировать в некоторой
философии; я же довольствуюсь тем, что их по-
построил, будучи убежден в том, что они содействуют
прояснению человеческого мышления.
Л. Э. Я- Брауэр
8.1. КОНСТРУКТИВИСТСКАЯ ФИЛОСОФИЯ
После того как в конце XVII в. Ньютон и Лейбниц создали
дифференциальное и интегральное исчисление, довольно долго
среди математиков не утихали споры и оставались расхожде-
расхождения во мнениях по поводу его основных понятий. Такие понятия,
как бесконечно малая величина и предел бесконечной последо-
последовательности, были окутаны таинственностью, и некоторые из
утверждений тех лет выглядят довольно странно с современной
точки зрения (например, «величина, которая бесконечно мало
возрастает или убывает, не возрастает и не убывает» (Я. Бер-
нулли)). В XIX в. этот предмет стал, наконец, строго обосно-
обоснованным, первоначально благодаря вкладу Коши, точно опреде-
определившему понятие предела и сходимости. Затем последовала
принадлежащая Вейерштрассу и др. «арифметизация матема-
математического анализа», что привело к чисто алгебраической трак-
трактовке системы натуральных чисел. Важным следствием этого
было начало отделения анализа от физической интуиции как
основания (см. доказательство Вейерштрасса существования
(вопреки интуиции?) непрерывной всюду недифференцируемой
функции). Это наряду с другими факторами, такими, как разви-
развитие неевклидовой геометрии, внесло существенный вклад в при-
признание того, что математические структуры обладают абстракт-
абстрактной концептуальной реальностью, совершенно независимой от
физического мира.
Столь же важными в это время явились работы Дедекинда
и Пеано о числовых системах. Вещественные числа строились по
рациональным, рациональные — по целым, а целые — по нату-
натуральным. Затем аксиомы Пеано дали абстрактное описание при-
природы самих натуральных чисел. Такая редукция привела к раз-
развитию идеи, что в основе всей математики должна лежать
одна аксиоматическая система, которая в свою очередь должна
базироваться на небольшом числе понятий и принципов. С тех
пор эта концепция стала центральной в исследовании оснований
математики. Свою крайнюю форму она принимает в логисти-
логистическом тезисе Фреге и Рассела, что математика есть часть ло-
логики v что математические истины выводимы из чисто логиче-
8.1. Конструктивистская философия 187
ских принципов. Она присутствует и в работах Гильберта,
пытавшегося аксиоматизировать математику и доказать непро-
непротиворечивость этой аксиоматики финитными методами.
К тому времени, когда на сцене появился Кантор, было при-
признано, что упоминания о бесконечности, как, например, в слу-
случае «последовательности п2, стремящейся к бесконечности при
п, стремящемся к бесконечности», можно рассматривать как
наглядные выражения точных, хотя и сложных, утверждений;
о свойствах вещественных чисел («для всякого е найдется б...»
и т. д.). Теория множеств Кантора вышла за эти рамки и стала
рассматривать актуальную бесконечность как объект матема-
математического исследования. Бесконечная совокупность стала
«вещью в себе», которая сама может быть элементом некоторой
другой совокупности. Создание теории трансфинитных карди-
кардинальных и ординальных чисел, арифметика которых включает
операции над бесконечными множествами, распространило по-
понятие числа с конечного на бесконечное. Позиция Кантора за-
заключалась в том, что всякое грамматически правильное и ло-
логически корректно выведенное утверждение имеет концептуаль-
концептуальное значение, даже если оно выходит за рамки нашей основной
интуиции о конечных числах и совокупностях.
Эта теория множеств имела громадный успех, хотя и не обо-
обошлось без критики. Леопольд Кронекер, известный своим вы-
высказыванием: «Бог создал целые числа, все остальное—-творе-
остальное—-творение человека», отрицал такие понятия, как бесконечное множе-
множество и иррациональное число, считая их мистическими, а не
математическими. Он утверждал, что из логической правильно-
правильности теории не вытекает существование объектов ее описания.
Они не имеют никакого значения, если их нельзя построить на
самом деле. Как сказал Кронекер, числа и операции над ними
должны быть «интуитивно обоснованы». Определения и дока-
доказательства должны быть «конструктивными» в буквальном
смысле этого слова. Определения должны показывать явно, как
построить определяемый объект по объектам, существование
которых уже установлено. В классической математике «доказа-
«доказательство существования» часто состоит в установлении того, что
несуществование объекта некоторого определенного вида приво-
приводит к противоречию. С точки зрения конструктивиста это ни-
в коей мере не есть доказательство существования, и, для того
чтобы узаконить последнее, необходимо явно установить суще-
существование данного объекта. Кронекер был уверен, что для нату-
натуральных чисел можно найти такое обоснование, а для веще-
вещественных — нет. С этой точки зрения он действительно пред-
предпринял попытку переработать некоторые части математики.
Концепция вещей как сущностей, построенных из уже дан-
данных сущностей, выразилась также в реакции Анри Пуанкаре
на парадоксы теории множеств. Его точка зрения состояла
188 Гл. 8. Интуиционизм и его логика
в том, что источник противоречия — в употреблении непреди-
непредикативных определений. Это — определения, включающие само-
отнесенне, содержащие круг, т. е. задающие некоторый объект X
при помощи множеств, существование которых зависит от са-
самого объекта X. Пуанкаре считал, что такие определения недо-
недопустимы и что множество не определено, пока не определен
каждый из его элементов. Одна из половин парадокса Рассела
(§ 1.1) состоит в констатации принадлежности R^R. Значит,
с этой точки зрения определение класса R содержит круг, по-
поскольку его можно точно задать лишь тогда, когда он сам уже
определен. Пуанкаре считал, что математика должна разви-
развиваться без использования непредикативных определений на
основе системы натуральных чисел. Поэтому класс Рассела R
даже и не должен возникать как объект законного изучения.
При этом оказывается, что урон очень ощутим, поскольку зна-
значительная часть классического анализа для вещественной чис-
числовой системы связана с непредикативными определениями.
Конструктивистская позиция, проявившаяся в указанных
взглядах Кронекера и Пуанкаре, нашла свое наиболее смелое
выражение в философии интуиционизма, пионером которой
в начале этого века явился датский математик Л. Э. Я. Брауэр.
Он не признавал неконструктивных рассуждений и понятия бес-
бесконечных совокупностей как вещей в себе. Более того, Брауэр
отрицал, что традиционная логика дает правильное представле-
представление математического рассуждения. Как мы уже отмечали, в до-
доказательствах существования так называемый аргумент от про-
противного (а истинно, так как в противном случае возникает про-
противоречие) конструктивистски неприемлем. Для Брауэра же он
неприемлем как принцип рассуждения вообще. То же самое
относится к закону исключенного третьего av ~a.
В классическом описании истинности, представленном в гл.6,
предложения всегда рассматриваются как истинные или ложные
независимо от того, знаем ли мы, что имеет место на самом
деле. Более того, предложение ~а считается истинным, только
если ложно предложение а. Поэтому формулу «а V ~а» можно
интерпретировать высказыванием «а пли истинно, или ложно»,
а это последнее предложение истинно в классической логике.
Однако для интуициониг.та всякое утверждение представляет
собой запись конструкции. Для него заявление об истинности а
равноценно высказыванию: «Я выполнил (умозрительное) по-
построение того, что описывается предложением а». Аналогично
предложение ~а есть запись конструкции, которая показывает,
что а не имеет места. С этой точки зрения закон исключенного
третьего формулируется следующим образом:
«либо я конструктивно доказал а, либо я конструктивно
доказал ложность а».
8.1. Конструктивистская философия 189
Если мы теперь в качестве а возьмем некоторое неразре-
неразрешенное утверждение типа последней теоремы Ферма, то пред-
предложение av~a не истинно. Действительно, про данную тео-
теорему до сих пор неизвестно, верна она или нет.
Следовательно, по Брауэру мы не можем утверждать, что
«а истинно» или «а ложно», пока конструктивно не установ-
установлено, который из этих случаев имеет место. Высказывание, что
а не истинно, подразумевает только, что в настоящий момент а
не установлено конструктивно, а это не совпадает с высказы-
высказыванием «ос ложно». Может быть, завтра конструкция будет най-
найдена.
Упоминавшийся выше тип рассуждения, приводящий к про-
противоречию, можно классически формализовать тавтологией
~~<х—><х. Чтобы доказать а, мы проверяем, что а не может
быть ложным, т. е. что ~~а истинно, а отсюда заключаем,
что а верно. Но интуиционистская трактовка импликации со-
состоит в том, что утверждение об истинности предложения a :z> p
есть утверждение: «Я нашел конструкцию, применение которой
к конструкции для а доставляет конструкцию для р». Но тогда
установление противоречия в предположении несуществования
некоторого предмета (~~а) не равноценно воспроизведению
самого предмета (а). Значит, импликация ~~aaa неверна
в конструктивистской интерпретации.
Точка зрения Брауэра на историю логики заключается в том,
что все известные логические законы были получены абстраги-
абстрагированием структуры математических выводов в то время, когда
ее применение ограничивалось миром конечных объектов. Впо-
Впоследствии этим принципам логики приписали а priori независи-
независимое существование. По этой причине они применялись во всем
последующем развитии, включающем манипулирование и с бес-
бесконечными множествами. Поэтому современная математика
имеет основания и использует процедуры, значимые только для
более ограниченной области. Чтобы достичь подлинного мате-
математического знания и определить правильные способы рассуж-
рассуждения, необходимо вернуться к первоисточнику математической
истины.
Брауэр утверждает, что этот источник находится в нашей
изначальной интуиции относительно математических объектов.
Согласно его воззрениям, математика есть автономная, само-
самостоятельная и не зависящая от языка деятельность. Сущность
этой деятельности состоит в производимых математиком актах
мышления — мысленных конструкциях интуитивных систем сущ-
сущностей. Язык вторичен и служит только для понимания в мате-
математическом общении. Он возникает как словесная параллель
математическому мышлению. Затем этот язык анализируется
и отсюда развиваются формальные языки н аксиоматические
системы.
190 Гл. Ь. Интуиционизм и его логика
Поэтому логика анализирует структуру данного языка, па-
параллельного математическому мышлению. Однако эту лингви-
лингвистическую деятельность гаму по себе нельзя считать частью
математики. Она выполняет определенные практические функ-
функции при описании и общении, но не является предпосылкой
к деятельности, создающей мысленные конструкции. Существо
математики остается интуитивным, а не формальным.
Отказавшись от классической математики и логики, Брауэр
на их месте воздвиг свою собственную позитивную и сильную
философию. Он выделил то, что им названо «двумя актами» ин-
интуиционизма. Первый из этих актов, выделяющий математику
как внеязыковую деятельность, представляет собой интуитивную
мысленную конструкцию различения во времени одной вещи от
другой. Наше четкое осознание двух состояний разума — одно
следующее за другим — составляет самую суть нашего интуитив-
интуитивного восприятия объектов. Второй из упомянутых актов состоит
в узнавании уже завершенной конструкции, если она повторяется.
Такая итерация приводит нас к бесконечно развивающейся по-
последовательности. Таким образом, различая два состояния со-
сознания первым актом и повторяя этот процесс вторым, мы полу-
получаем линейный ряд, и последовательность натуральных чисел
появляется как продукт нашей изначальной интуиции. В интуи-
интуиционизме не существует таких вещей, как актуально завершен-
завершенная бесконечная совокупность. Однако образование неорганичен-
но развивающихся последовательностей приводит к математике
потенциальной бесконечности, что воплощается в конструкциях,
которые можно продолжать беспредельно, хотя они и конечны
на каждом заданном шаге.
На основе этих идей Брауэр и его последователи построили
обширное здание конструктивной математики, которая не яв-
является подсистемой классической, характеризуется чертами
и понятиями,^присущими только ей, и представляет интерес для
современных исследований. Подробнее об этом читатель может
узнать из Heyting [66] (см. также Bishop [67] о конструктив-
конструктивном подходе, даже более «жестком», чем у Брауэра). Другой
вводный курс — книга Dummett [77].
8.2. ИСЧИСЛЕНИЕ ГЕЙТИНГА
В 1930 г. произошло событие, которое значительно повысило
общее понимание интуиционизма. Аренд Рейтинг предложил не-
некоторую аксиоматическую систему пропозициональной логики,
которая, как утверждалось, порождает в качестве теорем в точ-
точности высказывания, общезначимые соответственно интуициони-
интуиционистской концепции истины. Эта система строится на том же
языке PL, что и в гл. 6. Ее аксиомы имеют вид аксиом I—XL
8.2. Исчисление Рейтинга 191
из CL (т. е. это все аксиомы, кроме аксиомы ач~а). Правило
вывода в ней одно — отделение. Эту систему мы обозначаем
через IL.
Конечно, интуиционист допускает формальные системы
только как несовершенные инструменты для описания и сооб-
сообщения знаний. Интуиционист всегда оставляет открытой воз-
возможность обнаружения в процессе размышлений новых, пока
еще не известных, принципов рассуждения. По Рейтингу «по-
«построить формальную систему, которая бы была эквивалентна
интуиционистской математике, в принципе невозможно... ни-
никогда нельзя математически строго доказать, что данная аксио-
аксиоматическая система охватывает все правильные методы дока-
доказательств». Тем не менее исследование системы IL оказало
неоценимую услугу в открытии связей между принципами интуи-
интуиционизма и некоторыми аспектами топологии, теории рекурсив-
рекурсивных функций и вычислимости, моделями теории множеств (фор-
(форсинг), теорией пучков и в последнее время теорией категорий.
Как бы мы не относились к конструктивистской позиции
в математике, нет сомнений в том, что попытки Брауэра при-
привели к прояснению значительной области человеческого мыш-
мышления.
К тавтологиям, не являющимся IL-теоремами, относятся
формулы вида av ~a, ~ ~а:за, ~av ~ ~а. С другой сто-
стороны, выводимы формулы вида a:z>~~a, ~~~азэ ~a
и ~~(av~a). В IL ни одна из связок ~, л, V —> не выра-
выражается через другие.
Доказательство таких утверждений облегчается использо-
использованием некоторой связанной с IL-выводимостью семантической
теории — топологической, алгебраической, теоретико-множе-
теоретико-множественной. Топологические аспекты интуиционистской логики
были обнаружены независимо Альфредом Тарским (Tarski
[38]) и Маршаллом Стоуном (Stone [37]). Они показали, что
открытые множества топологического пространства образуют
«алгебру множеств», операции которой удовлетворяют законам,
соответствующим аксиомам системы IL. Маккинси и Тарский
обратились к разработке этой темы в своих исследованиях по
алгебре топологии (McK'nsey — Tarski [44, 46]). В этих рабо-
работах появляются алгебры с замыканием, которые представляют
собой булевы алгебры с одной дополнительной операцией, свой-
свойства которой абстрагированны от операции образования замы-
замыкания множества в топологическом пространстве. В каждой
алгебре с замыканием имеется множество специальных элемен-
элементов, допускающее операции п, и, =>-, П, которые подчиняются
интуиционистским принципам. Маккинси и Тарский привлекли
особое внимание к этим алгебрам, дали им независимую аксио-
аксиоматизацию и назвали их алгебрами Брауэра. Впоследствии они
показали (McKinsey — Tarski [48]), что класс алгебр Брауэра
192 Гл. 8- Интуиционизм и его логика
характеризует систему IL точно так же, как класс булевых
алгебр характеризует CL.
Алгебраическая семантика Маккинси—Тарского двойствен-
двойственна к использованной в § 6.5 (IL-теоремам соответствует 0, а не
1 и т. д.). Чтобы упростить сопоставление с тем, что уже изло-
изложено, мы переходим к обсуждению не алгебр Брауэра, а двой-
двойственных к ним алгебр Рейтинга.
8.3. АЛГЕБРЫ ГЕЙТИНГА
Для определения этих алгебр необходимо распространить
понятие наименьшей верхней грани с пары элементов на мно-
множество элементов.
Пусть Л— подмножество решетки L = (L, с=). Тогда эле-
элемент j;eL называется верхней гранью для А, что обозначается
через Лсх, если у ЕЕ* для всех j/еЛ. Более того, если
xi=z для всякого А с= z, то х называется наименьшей верхней
гранью (н. в. г.) подмножества Л.
Упражнение 1. А имеет не более одной н. в. г.
Упражнение 2. Определить для Л понятие н. н. г. D
Элемент х называется наибольшим элементом в А, если х
есть н. в. г. А, а также элемент из А. Итак, А имеет наиболь-
наибольший элемент в точности тогда, когда один из элементов под-
подмножества А является его н. в. г.
Упражнение 3. Н. н. г. подмножества Л совпадает с наи-
наибольшим элементом множества нижних граней для Л.
Упражнение 4. Дать определение наименьшего элемента
в л. а
В решетке (??(D),^) подмножество —Л является наиболь-
наибольшим элементом, не пересекающим Л. Это означает, что —А
не пересекает Л, т. е. Л Л —Л = 0, и что если Л f) В = 0, то
В s —Л. Это описание дополнения применимо к любой решетке,
и оно иногда приводит к небулевой операции. Поэтому мы
даем описанному ниже понятию несколько иное название.
Если L = (L, ^) — решетка с нулем 0, а а е L — некоторый
ее элемент, то элемент tei называется псевдодополнением
к а в том случае, когда Ь — наибольший элемент в L, не пере-
пересекающийся с а, т. е. Ь — наибольший элемент в множестве
{iei: апх = 0). Если каждый элемент в L имеет псевдодо-
псевдодополнение, то решетка L называется решеткой с псевдодопол-
псевдодополнениями.
Используя эти определения, легко проверить следующие
утверждения.
8.3. Алгебра Рейтинга 193
Упражнение 5. b есть псевдодополнение к а в точности
тогда, когда этот элемент удовлетворяет следующему условию:
для всех .tel, xc=.b т. и т. т. an x = 0. ?
Пример 1. (<?(D), е). —А есть псевдодополнение к А.
Пример 2. В — (Б, ?=). В любой булевой алгебре
xi=a' т. и т. т. апл=0 (ср. с упражнением 6.4.2),
поэтому булево дополнение всегда является и псевдодополне-
псевдодополнением.
Пример 3. (LM, s). В решетке левых идеалов моноида М
псевдодополнением к В будет идеал ~~iB={/n: (ош(В) = 0}.
(Почему С^~1В т.ит.т. В[)С = 0?)
Пример 4. (в, ?). В решетке открытых подмножеств топо-
топологического пространства каждый элемент 17е0 имеет псев-
псевдодополнение, а именно (—UH—внутренность дополнения —U
(т. е. это наибольшее открытое подмножество в дополнении
к U). Для любого открытого множества V
Fs(-t/)° т. и т. т. U(]V=0.
Пример 5. Sub(d). Для любого топоса в решетке Sub(d)
псевдодополнением к /: а>—>d является монострелка —f:
—а >—bd.
Доказательство. Мы покажем, что
g Е —/ т. и т. т. / П g — Od.
Действительно, если gg—/, то по свойствам решетки ff|g —
sf П—f^^Od (теорема 7.2.3), а потому /fig —Od.
Обратно, предположим, что /("|g —Od- Тогда верхний квад-
квадрат в диаграмме
а > *• а
1 ^* Q
декартов. Но декартов и нижний квадрат. Значит, по лемме
о квадратах внешний прямоугольник декартов. Отсюда по
Q-аксиоме
Xf ° g = У-чь = X о \ь (упражнение 5.4.3).
7 Зак. 651
194 Гл. 8. Интуиционизм и его логика
Следовательно, —. с уа- cg == — с ± о\ь = Т о \ь. Но То|„ =
= Xg : 8 (Q-аксиома) и ~\ °%g = зс-f, поэтому в итоге
С другой стороны, по лемме 1 из § 7.5 —f(] g — gf\ g —g\ по-
поэтому g ~ —/ f] g s —/, что и требовалось доказать. П
Пример 6. Ростки. Совокупность 0/~( = {[?/];: V — откры-
открытое множество в /} ростков открытых множеств в точке i
(ср. с определением Q в Тор(/)) есть решетка с псевдодопол-
псевдодополнениями, в которой
О = [0]« — росток пустого множества 0,
а псевдодополнение к [?/]¦ совпадает с [(—U)°]i (т. е. эта кон-
конструкция задает факторрешетку).
Этим операциям соответствует истинностные функции в
Тор(/). Стрелка ~~| . Й^-Q есть функция из / в I, переводящая
росток открытого множества U в точке I в росток внутренно-
внутренности (—UH в точке i. Стрелки дизъюнкции и конъюнкции из
ЙХЙ в Й задаются в каждом слое операциями пересечения
и объединения, указанными выше. ?
Понятие псевдодополнения можно обобщить, заменив нуль О
некоторым другим элементом b нашей решетки, что приводит
к понятию псевдодополнения к а относительно Ь. Это наиболь-
наибольший элемент, если таковой существует, множества {х: anx E= b
Иначе говоря, псевдодополнение к а относительно Ь есть наи-
наибольший такой элемент с, что апсЕ=Ь. Легко проверить, что
имеет место v
Упражнение 6. с есть псевдодополнение к а относительно Ь
в точности тогда, когда
для всех х х^с т. и т. т. aruEi.
Пример 1. (^(D),s). Множество —А[]В является псевдо-
псевдодополнением к А относительно В.
Пример 2. В = E, ^). В любой булевой алгебре (лемма
2B) §7.5)
A'cr a'u b т. и т. т. апА'Е Ь.
ПримерЗ. (Lai, S). Для В =Ф- С = {от: со«(В)= ют(С)} и
всех левых идеалов X
X <= В =ф- С т. и т. т. В П X ? С.
8.3. Алгебра Гейтинга 195
Пример 4. (G, s). Псевдодополнением к U относительно V
служит (•—U[)V)°, наибольшее открытое подмножество в
—U\] V. Для любого открытого множества W
Гд(-[/иК)° т. и т. т. U[\ fEV.
Пример 5. Sub (d). По теореме 1 из § 7.5
h = f ?> g т. и т. т. / П h = g,
а потому Ь> задает операцию относительного псевдодопол-
псевдодополнения.
Пример 6. Ростки. Для решетки в/~( ростков открытых
множеств в точке i псевдодополнением к ростку [U]i относи-
относительно [V]i служит росток [(—U\JV)°]i. Послойное задание
этой операции приводит к истинностной стрелке =^: QXfi->-Q
в топосе Тор(/). ?
В решетке L общего вида через а =ф- Ь мы обозначаем псев-
псевдодополнение к а относительно Ь, если оно существует. Если
а =ф- Ь существует для любых элементов а и Ь из L, то мы гово-
говорим, что L — решетка с относительными псевдодополнениями
(о. п. д.).
Теория решеток с о. п. д. достаточно подробно обсуждается
в Rasiowa — Sikorski [63] и Rasiowa [74]. Ниже мы приводим
список основных фактов о них, которые читатель может про-
проверить в качестве упражнений.
Упражнения
Пусть L — решетка с о. п. д.
Упражнение 7. L имеет единицу 1 и для каждого элемента
аЕ[ выполнено равенство а =ф- а = 1.
Упражнение 8. а ?= b т. и т. т. а =ф- b = 1.
Упражнение 9. Ь^а =ф- Ь.
Упражнение 10. ап(а=> b) = anb^ b.
Упражнение 11. (а =ф- Ь) П b = Ь.
Упражнение 12. (а =>¦ Ь) п (а =>- с) = а => F п с).
Упражнение 13. (а =>- b) E ((а п с) =>¦ (й п с)).
Упражнение 14. Если 61= с, то а =*- b ^ а => с.
Упражнение 15. (а =>- 6) п F => с) = {а => с).
Упражнение 16. (a=»6)n(ft=>e)E(aud)=!>c.
Упражнение 17. а =^ (& =*- с) ?= (а =*- 6) =^ (а =?~ с). П
7*
196 Гл. 8. Интуиционизм и его логика
Определение решетки с о. п. д. не требует наличия нуля. По
определению алгебра Гейтинга (НА) есть решетка с о. п. д.,
обладающая нулем 0. Если Н = (Я, ^)—алгебра Гейтинга, то
в ней определена операция П : Н->Н с ~~1 а = а =>¦ 0. Тогда
J а есть н. в. г. множества {.v: an.v = 0}, т. е. На есть псевдо-
псевдодополнение к а.
Снова подробности, относящиеся к следующим ниже упраж-
упражнениям, читатель может найти в Rasiowa —• Sicorski [63].
Упражнения
Для любой алгебры Гейтинга Н = (Я, ^):
Упражнение 18. "ll="l(a =*-a) = 0.
Упражнение 19. ~!0= 1, и если ~\а — \, то а = 0.
Упражнение 20. aE"l~lfl.
Упражнение 21. (а => b) ^ (~l b =>¦ ~1 а).
Упражнение 22. ~\ а— ~)~~\~^-а.
Упражнение 23. ап~1а==0.
Упражнение 24. ~\(а Lj b) = ~a п ~\ Ь.
Упражнение 25. I a U ~1 Ъ Е= (а п Ь).
Упражнение 26. Ha-LlftEo^J.
Упражнение 27. ~~| ~ (а и ~1а) = 1.
Упражнение 28. ~ш?(а=»1)).
Упражнение 29. (a=>b)n{a=>~lb) = ~\a. D
Все шесть главных примеров этого параграфа являются ал-
алгебрами Гейтинга. Теперь мы можем описать классифицирую-
классифицирующий объект Q в случае топоса Тор(/) пучков над топологиче-
топологическим пространством как топологическое расслоение на алгебры
Гейтинга, заиндекенрованные при помощи /, каждая из кото-
которых есть факторалгебра алгебры Гейтинга открытых мно-
множеств в /.
Зная теперь, что решетка Sub(d) есть алгебра Гейтинга, мы
можем вернуться к утверждению из § 7.2 о дистрибутивности
этой решетки. Дело в том, что каждая решетка с о. п. д. яв-
является дистрибутивной. Доказательство этого факта можно
найти в Rasiowa — Sikorski [63], стр. 59.
Дополнение в булевой алгебре обладает следующим свой-
свойством: х — (х')'.- Алгебры Гейтинга аналогичным свойством не
обладают. В нашем примере М2 в Sub(Q) выполнено условие
_|_ cfe. — -L, так как Т соответствует подмножеству {2} в Li,
а —J_—подмножеству {2, {0}} (характер стрелки —_L равен
—1 о %_!_ = —| о —1, а это функция fo из § 5.4). Так как _1_ — —Т
всегда, то в Мг мы имеем Т с^ -Т.
Для произвольной алгебры Гейтинга всегда справедливо
включение х^~1 ~~\х, а включение ~~| ~\х^х может и не вы-
выполняться (a ~~aDa не есть IL-теорема). В действитель-
действительности ситуация такова:
8.3. Алгебра Рейтинга 197
Упражнение 30. Если в алгебре Рейтинга Н выполнено вклю-
включение ~~; ixcj; при любом х е Я, то Н — булева алгебра, т. е.
~~\ х есть настоящее дополнение элемента, х. (Указание. Исполь-
Использовать упражнение 27.) ?
В CL формула а логически эквивалентна ~~а, что отра-
отражается в равенстве х = н ~~\х для алгебры 2. Во внутрен-
внутренней логике категории Set это означает, что диаграмма
коммутативна, т. е. ~~1 ° ~l= icb. В произвольном топосе анало-
аналогичная диаграмма не обязана быть коммутативной, так, напри-
например, в М2 композиция i о i равна функции fa из § 6.4, перево-
переводящей 2 в {0}, поэтому ~~1 о —1 Ф 1 .о Эти соображения приводят
к следующему результату.
Теорема 1. В любом топосе & следующие утверждения эк-
эквивалентны:
A) & булев.
B) В Sub(Q) верно соотношение Т ~ — _L.
C) -1 о-1 = 1 в.
Доказательство. Из A) вытекает B). В общем слу-
случае, как видно из декартова квадрата
О *\
определяющего _L, J_ ("| Т = 0ц . Но если топос & булев, то
_L U T~1Q (ср. с § 7.3). Поэтому Т — единственное дополне-
дополнение к _L, а значит, это и есть псевдодополнение —±.
Из B) вытекает C): Если Т^—_L, то %т = %-т, т- е-
1ц= Н °Хх = '"I ° П.
Из C) вытекает A): Пусть f — некоторый подобъект в d.
Тогда / f = п о о Xf- Последнее равно %f, если "lo"i= 1o,
откуда f — f, а тогда, согласно упражнению 30, Sub(rf) —
булева алгебра.
Алгебраическая семантика
Пусть Н = (Я, п=) — некоторая алгебра Рейтинга (известная
также как псевдобулева алгебра). Н-оценкой мы называем про-
произвольную функцию вида V: Фо->-#. С помощью операций объ-
198 Гл. 8. Интуиционизм и его логика
единения и, пересечения П, относительного псевдодополнения
=>- и псевдодополнения ~~|, интерпретирующих связки V, /, гэ,
~, мы можем продолжить эту функцию на все формулы точно
так же, как и в случае булевых алгебр из § 6.5. Предложение сс
называется Н-общезначим.ым, если V(a)=l для каждой
Н-оценки V. Если это справедливо для каждой алгебры Рей-
Рейтинга, то предложение а называется ИА-общезначимым. Имеет
место следующая характеризация:
а является НА -общезначимым т. и т. т. Ни.а.
Часть этого утверждения, относящаяся к корректности, состоит
в проверке НА-общезначимости аксиом I—XI и того, что отде-
отделение сохраняет это свойство. Для проверки последнего заме-
заметим, что по упражнению 8 выше, если V(a) = V{a гэ C) = 1,
то F(a)E=V(P), откуда F(C)=l. Общезначимость аксиом
I—XI получается из других упражнений предыдущего раздела
в сочетании с упражнением 8, например упражнение 15 для
аксиомы IV, 16 для IX, 29 для XI и т. д.
Полнота системы IL относительно НА -общезначимости по-
получается методом из упражнения 2 § 6.5, использующим ал-
алгебру Линденбаума. Отношение
a~ii.p т. и т. т. Нчьа гэ р и HilP => a
задает отношение эквивалентности на Ф. Алгебра Линденбаума
Hil для IL есть пара (Ф/~.ч., *=), где
[a]s[P] т. и т. т. h-iLa=>P-
Как и в булевом случае, Hil является алгеброй Рейтинга и
|а]=Мр] = [а=>р], И [а] = [~а].
Используя оценку V(a) = [а], можно показать, что
Hil<x т. и т. т. Hat=a.
Значит, любое НА-общезначимое предложение Нц.-общезна-
чимо, а потому является IL-теоремой.
Ставя в соответствие подобъекту f его характер Xf> мы полу-
получаем по ?2-аксиом.е (§ 4.2) биекцию
которая переносит структуру Н-алгебры с Sub (с?) на <8 {d, Q) .
В действительности частичное упорядочение на последнем мно-
множестве уже описано в § 7.2 (следствие теоремы 1): ir^Xg
в точности тогда, когда произведение <%/, %г> пропускается че-
через стрелку е: @>—>Q)<Q. Операции Рейтинга на &{d,Q)
задаются при помощи истинностных стрелок. Так, операция
пересечения в решетке & {d, Q) ставит в соответствие двум
стрелкам f, g: d^Q стрелку f ллg = r\ • <f, g}, объединение —
8.3. Алгебра Гейтинга 199
стрелку fug = u=(/,g) и т. д. Определение операций f). U
и т. д. на Sub(d) показывает, что эти две структуры с алгеб-
алгебраической точки зрения одинаковы, т. е. Sub(rf) и <8 {d, Q)
изоморфны как алгебры Гейтинга, а потому они имеют одни
и те же общезначимые предложения.
Связь между семантикой топосов и рассматриваемой тео-
теорией заключается в том, что для любого топоса <%
& И а т. и т. т. с?A, Q)|= а т. и т. т. Sub(l)|= а
(это проливает дополнительный свет на ситуацию, описанную
в теореме 2 из § 7.4).
Итак, общезначимость в топосе <% равносильна НА-обще-
НА-общезначимости в алгебрах Гейтинга с?A,?2) и Sub(l). Дело в том,
что ^-оценка — это то же самое, что и с?A, Q) -оценка, а с?-об-
щезначимость и &(\, Q)-общезначимость приводят к одному
и тому же, поскольку единицей в алгебре Гейтинга ?TA,Q)
является стрелка Т: 1->-?Х Это составляет основу упражне-
упражнения 2 из § 6.7, а именно,
Вп(/)Н« т. и т. т. (?•(/),=)(= а,
так как истинностные значения в Вп(/) есть по существу под-
подмножества в /. В связи с этим напомним, что истинностными
значениями в Тор(/) являются по существу открытые подмно-
подмножества в /, откуда следует, что
Тор(/)|=а т. и т. т. (в, S)|=a,
т. е. общезначимость в топосе пучков над / эквивалентна обще-
общезначимости в алгебре открытых подмножеств в /.
Корректность для «^-общезначимости. Если \— ц.а, то в лю-
любом топосе IS имеем & |= а.
Доказательство. Пусть a — некоторая IL-теорема.
Тогда а НА-общезначимо, В частности, с?A, Q) \= а, откуда
& |= а по предыдущему. D
Упражнение 31. Привести соображения, по которым предло-
предложение aV ~a общезначимо в любом двузначном топосе. ?
Экспоненциалы
Условие
хЕ= а =>- Ъ т. и т. т. an x t= b
означает, что в решетке с о. п. д., если ее рассматривать как
категорию порядка, имеется биективное соответствие между
стрелками х-*~ (а =ф- Ь) и апх—>-Ь (одна или ни одной стрелки
в каждом случае). Это напоминает ситуацию (§ 3.16) в кате-
200 Гл. 8. Интуиционизм и его логика
гории W с экспоненцированием, когда имеется биекция
^(х, Ьа)^Я?{х X «> Ь). Но с категорной точки зрения пересе-
пересечение нпл' = А'па в решетке является произведением ху^а,
а операция а =ф- b в решетке с о. п. д. на самом деле опреде-
определяет экспоненциал Ьа. Стрелка значения ev: ЬаУ^а^>-Ь пред-
представляет собой единственную стрелку (а=Ф-й) па-*~Ь, которая
существует по упражнению 10 выше. Обратно, экспоненциалы
определяют относительные псевдодополнения, откуда мы полу-
получаем, что категорно алгебра Рейтинга есть не что иное, как
декартово замкнутая конечно кополная категория порядка.
Способ, которым мы ввели структуру алгебры Рейтинга на
множестве Sub(d), отличается от исходного метода, описанного
в Freyd [72]. Там операция Ё> получается в основной теореме
при помощи достаточно сложной техники, к рассмотрению ко-
которой мы еще не приступали (функторы, сохраняющие пре-
пределы). При этом мы хотим установить, что Sub(d) как катего-
категория порядка декартово замкнута, так как экспоненциалы за-
задают о. п. д. в ч. у. множествах. Использование истинностной
стрелки =ф- для определения операции ^ позволяет прийти
к тому же результату более простым путем, помимо того, что
при этом показывается, как логика топоса & определяет пове-
поведение его подобъектов, В самом деле, по лемме 2A) из § 7.5
относительное псевдодополнение на решетке можно ввести
только одним способом.
Упражнение 32. Показать, что любая цепь (линейно упоря-
упорядоченное множество) с наибольшим элементом 1 обладает отно-
относительными псевдодополнениями, причем
если рЕЕ<?>
в противном случае.
(Отсюда и происходит пример 2 из § 3.16.)
Упражнение 33. Указать различие между, скажем, элемен-
элементами T|i>T и Т=^Т в Sub(Q) (что объясняет появление
специального символа \
I <7
8.4. СЕМАНТИКА КРИПКЕ
В 1965 г. Саул Крипке опубликовал работу, посвященную
одной новой семантике для интуиционистской логики, в которой
PL-предложения интерпретируются как подмножества некото-
некоторого ч. у. множества. Эта теория появилась как продолжение
семантического анализа, развитого Крипке для модальной ло-
логики. Вкратце, модальная логика связана с понятием необхо-
необходимости и на пропозициональном уровне использует язык PL,
дополненный связкой с интерпретацией «это необходимо ис-
истинно». Здесь подходящими алгебраическими «моделями» слу-
8.4. Семантика Крипке 201
жат булевы алгебры с одной дополнительной операцией для
этой новой связки. Имеется конкретная модальная аксиомати-
аксиоматическая система, обозначаемая через S4, которая алгебраиче-
алгебраически характеризуется классом алгебр с замыканием. Маккинси
и Тарский (McKjnsey — Tarski [48]), используя этот факт, раз-
разработали перевод PL-предложений в модальные, при котором
IL-теоремы соответствуют 54-теоремам. Механизм этого пере-
перевода в свете моделей Крипке для S4 приводит к новым фор-
формальным «значениям» для IL-предложений.
Одна из привлекательных черт этой новой теории состоит
в том, что ее структуры помимо того, что они вообще удобнее
по сравнению с алгебраическими, имеют неформальную интер-
интерпретацию, согласующуюся с интуиционистской точкой зрения
на природу общезначимости. В последней истинности свой-
свойственна временная обусловленность. Предложение не истинно
и не ложно per se, как в классической логике, а является тако-
таковым лишь в определенные моменты времени, т. е. в те моменты,
когда оно конструктивно определено. Теперь каждый момент
времени ассоциируется со специфическим состоянием, или уров-
уровнем, знаний. Он заключает в себе все факты, которые были
конструктивно установлены к данному моменту времени. Тогда
истинные предложения являются таковыми с точки зрения су-
существующего уровня знания. Поэтому мы говорим тогда об
«истинности на определенной стадии» или «истинности на опре-
определенном уровне знаний». Совокупность всех уровней знания
упорядочена временным!,' свойствами. Говорят, что один из
уровней наступает позже другого по времени. Предположение,
истинное на определенной стадии, будет истинным и на более
поздних (т. е. в будущем). Это воплощает идею о том, что
конструктивное знание, будучи однажды получено, сохраняется
навсегда. Если предложение а доказано, то в дальнейшем
нельзя показать, что а ложно.
Заметим теперь, что временное упорядочение уровней есть
частичное упорядочение, не обязательно линейное. Рассматри-
Рассматриваемые уровни не должны всегда следовать один за другим
в линейном порядке, потому что они представляют собой воз-
возможные уровни знания, а не только те, которые действительно
встречаются. Так, в настоящий момент мы можем взглянуть
в будущее и рассматривать два возможных уровня знания: один,
при котором доказана истинность теоремы Ферма, и другой,
при котором установлена ее ложность. Эти уровни не совме-
совместимы друг с другом, а поэтому с точки зрения «постоянства
истинности во времени» они не связаны нашим упорядочением
уровней. Мы не можем перейти от настоящего к одному из них,
а затем к другому.
Значит, в целом совокупность возможных уровней знания,
упорядоченных по времени, образует ч. у. множество. Каждое
202 Гл. 8. Интуиционизм и его логика
предложение соответствует специальному подмножеству в этом
ч. у. множестве, состоящему из тех уровней, на которых данное
предложение истинно. В силу постоянства истинности во вре-
времени это множество должно обладать следующим свойством:
если некоторый уровень принадлежит данному множеству, то
и все более поздние по сравнению с ним уровни принадлежат
данному множеству. Запомнив все это, мы переходим к фор-
формальным деталям семантики Крипке.
Пусть Р = (Р,с=) — ч. у. множество (также называемое
шкалой в нашей ситуации). Множество ЛеР называется на-
наследственным в Р, если оно замкнуто при движении «вверх»
относительно ЕЕ, т. е. если
из реЛ и рЕ=9 следует q^A.
Совокупность всех наследственных подмножеств в Р мы обо-
обозначаем через Р+. По определению ^-оценка есть функция
V: Фо->-Р+, ставящая в соответствие каждой пропозициональ-
пропозициональной букве яг некоторое наследственное подмножество V(n<)sP.
Моделью со шкалой Р называется пара Ж = (Р, V), где V —
некоторая Р-оценка. Это понятие является формальным во-
воплощением интуитивных идей, бегло изложенных выше. Р есть
совокупность уровней знания с упорядочением «по времени» ЕЕ;
V(m)— множество уровней знания, на которых щ истинно. Тре-
Требование наследственности для множества У(я,-) формализует
постоянство истинности во времени. Теперь мы продолжим на
все предложения понятие истинности на определенном уровне.
Выражение «Ж |= ра» читается как «а истинно в М на уровне р»
и определяется индуктивно следующим образом:
A) Л \= рл,- т. и т. т. р (= У(я,-);
B) Л \= рал |3 т. и т. т. Л \= ра и Л \= рр;
C) JC \= ?а V р т. и т. т. Л \= ра или Л f== pp;
D) Л \= Р~ а т. и т. т. для всех q с рЕ Ц неверно, что Ж \=
И «а;
E) Л \= Ра zd ft т. и т. т. для всех q с рЕ= q, если Л \= ?&.
то Ж \= «р.
Итак, на уровне р предложение ~а истинно, если а не уста-
установлено ни на каком другом последующем уровне, а предложе-
предложение а :э р истинно, если р истинно на каждом из более поздних
уровней, на которых истинно а.
Про предложение а говорят, что оно истинно (выполняется)
в модели Л (обозначают это через Л\=а), если Л \= ра для
любого реА Предложение а называется общезначимым
в шкале Р, Р |= а, если а истинно в любой модели Л = (Р, V)
со шкалой Р.
«Л &Рос»—сокращение выражения «неверно, что М |= Ра».
Аналогичное значение имеет «Р &а».
НА. Семантика Крипке 203
Пример. Возьмем в качестве Р ч. у. множество 2 =
= ({0,1}, =?0 (как обычно, 0^1). Пусть V — такая оценка,
что У(я)={1} (наследственное подмножество). Тогда для
Ж — B, V) по A) Ж&ол Но Ж\= in и 0 ^ 1, откуда по D)
Л^0~л. Значит, по C) Ж t^onV~n, а потому в этой шкале
закон исключенного третьего необщезначим. Отметим также,
что Ж'&х'-'п, откуда Ж \= о~ ~л. Так как 0^0, то по E)
Jt&o~~nzDn, откуда 2 ^ -~ ~ я 1Э я.
Обозначим через ^#(а) множество уровней, для которых а
истинно в Ж, т. е. J({a)= {p: ,Ж\=ра}. Тогда семантические
предложения A), B) и C) переписываются в следующем виде:
(Г) Uf(jt/)= V(m),
B') M{ats$)=Jl(a)[\Jl{$),
C') М{аЧ§) = М{а)[)Ж{$).
Чтобы переписать предложения D) и E), мы положим для на-
наследственных множеств S, Т
—\S = {р: q ф S для всех q с p^q}
и
S =ф- Т = {р: для всех q с p^q, если ^eS, to деГ}.
Тогда
D') лГ(~а)=
E') иГ(о=эР) )
Конечно, эти обозначения не случайны. Объединение и пересе-
пересечение двух наследственных множеств снова наследственно,
а потому ч. у. множество Р"г = (Р+, ^) наследственных мно-
множеств, упорядоченных по включению, является (ограниченной
дистрибутивной) решеткой, пересечения и объединения в кото-
которой задаются соответствующими теоретико-множественными
операциями Л и U- В действительности решетка Р+ является
алгеброй Рейтинга, в которой S =$» Т есть псевдодополнение к S
относительно Т. Для всех наследственных множеств U
U<=S=>T т. и т. т. S П U ? Т,
а псевдодополнение для S совпадает с
(все это мы оставляем читателю в качестве упражнения).
Теперь Р-оценку V: Фо->-Р+ со шкалой Р можно также
определить как Р+-оценку для алгебры Рейтинга Р+. Исполь-
Используя операции П. U, 1 и =>-, мы можем обычным способом про-
продолжить ее и получить элементы V(a) из Р+. Но V также за-
задаст модель J?' = (P, V), а потому и множество Ж (а) для
каждого предложения а. Используя оба списка предыдущих
семантических правил, мы получаем, что J?(a)= V{a) для лю-
любого предложения а. Значит.
Ж \= а т. и т. т. Л (а) = Р т. и т. т. V(a) = Р.
204 Гл. 8. Интуиционизм и его логика
Но множество Р является единицей в решетке Р+, а так как
эти рассуждения верны при любой оценке V, то для любого а
Р 1= а т. и т. т. Р+1= а,
т. е. общезначимость в смысле Крипке со шкалой Р равносильна
общезначимости в алгебре Гейтинга Р+. Это помогает в про-
проверке основной теоремы об общезначимости в шкале. Для про-
произвольного предложения ос
hn.a т. и т. т. а общезначимо в любой шкале.
Относительно части этого утверждения, касающейся коррект-
корректности, заметим, что если г-ц.а, то а НА -общезначимо, а по-
потому Р+ \= ос для любого ч. у. множества Р, откуда Р \= а.
Один из способов доказательства полноты сводит алгебры Гей-
Гейтинга к шкалам, используя теорию представлений Стоуна
(Stone [37]). Первоначальное доказательство Крипке основы-
основывалось на технике «семантических таблиц». Еще один подход
опирается на методы, впервые введенные в классической логике
Леоном Генкином (Henkin [49]). Впоследствии они были раз-
развиты, и мы сейчас вкратце их опишем.
Отметим, прежде всего, что если р — некоторый элемент мо-
модели Ж, то множество предложений Гр = {а: Ж\=ра), истин-
истинных в М на уровне р, обладает следующими свойствами:
(i) если '— il.cc, то a e Гр (корректность);
(ii) если г—п.асгр и аеГр, то РеГр (замкнутость отно-
относительно отделения);
(ш) имеется по крайней мере одно предложение а, такое,
что a ^ Гр (непротиворечивость);
(iv) если a vр е ГР, то аеГр или реГр («простота» Гр).
Гр можно было бы назвать уровневым описанием. Это множе-
множество описывает уровень р выделением тех предложений, кото-
которые истинны на уровне р. Множество Г с= Ф, обладающее этими
четырьмя свойствами, мы называем полным. В общем случае
всякое полное множество можно трактовать как уровневое опи-
описание, а именно описание того уровня, на котором все элементы
из Г истинны, а истинность элементов не из Г не установлена.
Это приводит нас' к канонической шкале для системы IL, являю-
являющейся ч. у. множеством
где Pil — совокупность всех полных множеств, а = — обычное
отношение включения. Канонической моделью системы IL мы
называем модель Ж\ь = (Pil, Vil), для которой
VIL(Jt,)= {Г: я„еГ}
— множество всех полных множеств, содержащих элемент я,.
8.4. Семантика Крипке 205
Используя некоторые факты о IL-выводимости и свойства
полных множеств, можно проверить с помощью индукции, что
для любых а и Г
•^il h г а т. и т. т. а е Г.
Чтобы получить отсюда требуемую теорему о полноте, необ-
необходим еще один результат:
Лемма Линденбаума. i— ilcx тогда и только тогда, когда а
принадлежит каждому полному множеству.
Отсюда мы заключаем, что
i—ILCX Т. И Т. Т. Ж\ь Н «•
Значит,
Ьilcs т. и т. т. Pil \= а,
откуда вытекает теорема о полноте. (Отсюда также вытекает
характеризация из гл. 10 класса общезначимых в топосе пред-
предложений.)
Одно из больших преимуществ семантики Крипке состоит
в том, что общезначимость предложений в ней определяется
простыми условиями на шкалы. Например, для ч. у. множества
> I
если V(ni)={l}, а У(л2)={2}, то тавтология (Я11эл2O
(я2=эя1) не истиииа в 0. Заметим, что эта шкала не является
линейно упорядоченной. В действительности можно показать,
что
Р \= (а => Р) V(p =э а) т. и т. т. Р — слабо линейное ч. у.
множество, т. е. если р*~Ц и р^г, то либо q^r, либо r^q.
Добавление аксиомы (а :э {*) v(P=>a) к IL приводит к изве-
известной системе LC, впервые исследованной Майклом Дамметом
(Dummett [59]). Можно приспособить к этой ситуации метод
канонической шкалы и показать, что LC-теоремы есть в точ-
точности предложения, общезначимые для всех слабо линейных
шкал.
Упражнение 1. Показать, что Р \= av ~ос т. и т. т. Р — дис-
дискретное ч. у. множество, т. е. р? q т. и т. т. р = q.
Упражнение 2. Р \= ~av ~ ~a т. и т. т. Р — направленное
ч. у. множество, т. е. если р= q и ре г, то существует элемент s
c7E=SHEEs
206 Гл. 8. Интуиционизм и его логика
Упражнение 3. Построить модели, в которых предложения
вида аэр и ~ocv p имеют разные истинностные значения. Про-
Провести аналогичное построение для предложений вида a vP
и ~ (~аЛ ~Р).
Упражнение 4. Выражение «2\=а» из гл. 6 означает, что
«предложение а общезначимо для булевой алгебры 2= {0, 1}».
Показать, что это равносильно общезначимости в смысле
Крипке на дискретной шкале 2 = {0, 1}, но отлично от обще-
общезначимости на недискретной шкале B, ^) с 0^ 1. ?
Семантика Крипке тесно связана с топологической интерпре-
интерпретацией интуиционизма. Для любой шкалы Р совокупность Р+ на-
наследственных множеств наделяет ее топологией (и достаточно
специальной, поскольку пересечение любого семейства откры-
открытых (наследственных) множеств открыто).
Упражнение 5. Показать, что алгебра Р+ есть алгебра от-
открытых множеств для только что описанной топологии, т. е.
IS совпадает с внутренностью (—SH подмножества —S,
иначе говоря, с наибольшим наследственным подмножеством
в —S, a S =ф- Т совпадает с (—S(jn°, наибольшим наслед-
наследственным подмножеством в —S [} Т. ?
Этот последний параграф является достаточно беглым обзо-
обзором того, что в действительности представляет собой довольно
обширную теорию. Подробности легко почерпнуть в соответ-
соответствующей литературе, например в работах Segerberg [68],
Fitting [69] и Thomason [68].
Модели Бета
Хотя, как оказалось, семантика Крипке — самый удобный
инструмент в решении многих вопросов интуиционистской ло-
логики, тем не менее существует еще одна родственная теория
Эверта Бета (Beth [56, 59]), которая в некоторых приложениях
(ср. с van Dalen [78]) более полезна. Основные идеи теории
моделей Бета можно объяснить, модифицируя семантические
правила, изложенные в этом параграфе для моделей Крипке.
Путем через точку р в ч. у. множестве Р называется содер-
содержащее р подмножество А в Р, которое линейно упорядоченно
(т. е. <?i=r или ге=<? для любых q, г^А), но не расширяется
до большего линейно упорядоченного подмножества в Р. Барье-
Барьером для р называют подмножество В в Р, такое, что каждый
путь через р пересекает В. Интуитивно, если Р представляет
собой возможные уровни знания, которые могут быть достиг-
достигнуты математиком в процессе исследований, то пути представ-
представляют собой законченные ряды исследований. Барьером для р
8.4. Семантика Крипке 207
тогда является всякое множество возможных уровней, неиз-
неизбежных для любого ряда исследований, который включает р,
т. е. любой такой ряд должен приводить к некоторому уровню
из В.
Связки Л, ~ и о интерпретируются в моделях Бета точно
так же, как и в теории Крипке. Однако для пропозициональных
букв и дизъюнкции соответствующие пункты таковы:
Л \= pTii т. и т. т. для р существует барьер В сВе V{ni),
Ж \= pCtV р т. и т. т. для р существует барьер В с М \= да
или Ж Н <?Р для каждого q е В.
Дальнейшие обсуждения моделей Бета в связи с семантикой
Крипке читатель найдет в статье Крипке и в Dummett [77].
Глава 9
ФУНКТОРЫ
Следует отметить прежде всего, что само понятие
категории носит в сущности вспомогательный харак-
характер. Наши основные понятия — это фактически по-
понятия функтора н естественного преобразования.
С. Эйленберг и С. Маклейн
9.1. ПОНЯТИЕ ФУНКТОРА
Функтор — это отображение из одной категории в другую,
сохраняющее категорную структуру. Как видно из приведенного
выше высказывания родоначальников теории категорий, понятие
функтора — одно из самых существенных в этой теории. Перво-
Первоначальные представления уже несколько изменились, по край-
крайней мере для целей данной книги функторы не более важны, чем
сами категории. Действительно, пригодность понятия топоса на
роль основания математики основывается на том, что его можно
определить, не упоминая о функторах. Однако теперь мы уже
находимся на такой стадии, когда игнорировать их больше не-
невозможно. Они обеспечивают необходимый язык для описания
связи между топосами и моделями Крипке и между топосами
и моделями теории множеств.
Функтором F из категории ЯЯ в категорию 3) называется
функция, ставящая в соответствие
(i) каждому "^-объекту о некоторый ^-объект F(a);
(ii) каждой ^-стрелке /: а-+Ь ^-стрелку F(f), F(a)-+F(b),
такая, что
(a) F(U) — 1f(u) для каждого ^-объекта а, т. е. единичной
стрелке, соответствующей объекту а, сопоставляется единичная
стрелка, соответствующая объекту F(a);
(b) F(gof) = F(g) °F{f) для любых g и /, для которых
определена композиция g ; f.
Последнее условие означает, что f-образ композиции двух
стрелок является композицией их F-образов, т. е. всякий раз,
когда диаграмма
9.1. Понятие функтора 209
коммутативна в Я>>, соответствующая диаграмма
НО
F(c)
коммутативна в 3). Для того чтобы выразить тот факт, что F
есть функтор из ф в 3), будем писать F: <&->*2) или &-—> SD.
Таким образом, функтор — это отображение, сохраняющее опе-
операции dom и cod, а также единичные стрелки и композиции.
Пример 1. Тождественный функтор \ >: ty^-ff определяется
правилами 1 % (а) = а, 1 у (/) = /. Эти же правила задают функ-
функтор включения Ф^*3> в случае, когда ?? — подкатегория в 3).
Пример 2. Пренебрегающий функтор. Пусть <& — какая-ни-
какая-нибудь категория из списка § 2.3, например <& = Тор. Тогда
'Э'-объектами служат множества, несущие некоторую дополни-
дополнительную структуру. Пренебрегающий функтор U: ^-^Set ста-
ставит в соответствие каждому ^-объекту его несущее множество,
а каждой ^-стрелке — саму эту стрелку. Таким образом, U пре-
пренебрегает структурой ^-объектов, т. е. «забывает» ее и «по-
«помнит» только, что '«Р-стрелки являются теоретико-множествен-
теоретико-множественными функциями.
Пример 3. Функтор степени 3>: Set-^-Set ставит в соответ-
соответствие каждому множеству А его множество-степень ^(А),
а каждой функции f: Л^-В —функцию 9й(f): ^>{A)^-^>(B),
переводящую любое подмножество ХеЛ в его f-образ
/Wb "
Пример 4. Пусть Р и Q — категории порядка. Тогда функтор
F: P->-Q — это просто функция F: P-*-Q, являющаяся монотон-
монотонной, т. е. такая, что если p^q в Р, то F(p)^ F(q) в Q. Частный
случай этого примера получится, если рассматривать множе-
множества-степени как ч. у. множества (&(А), Е). Для данной функ-
функции [: Л —<- В и произвольных подмножеств X и Y в А из того,
что IeF, следует f(X)sf{Y). Таким образом, функция
9°{f): 5Э(Л)-^^'(В) сама является функтором между соответ-
соответствующими категориями (порядка).
Пример 5. Гомоморфизмы моноидов. Функтор между монои-
моноидами (М,«,е) и (N, П,е'), рассматриваемыми как однообъект-
ные категории, является по существу гомоморфизмом моноидов,
т. е. функцией F: M—>-N, такой, что
F(e) = e',
F(x*y) = F(x)D F{y).
210 Гл. 9. Функторы
Пример 6. Если категория & имеет произведения, то каждый"
объект а определяет функтор — Хй: Ф-^Ф, сопоставляющий
каждому объекту Ь объект Ь X о. и каждой стрелке /: Ъ —>- с —
стрелку f X la: b~X а-^сХа.
Пример 7. hom-функторы. Каждый ^-объект а определяет
функтор Ф(а,—): ^—>-Set, который ставит в соответствие объ-
объекту Ъ множество <&'{а,Ь) всех ^-стрелок из а в Ь, а каждой
^-стрелке /: &-> с —функцию ^{а,}): ^{а, b)-+W(a, с), пере-
переводящую |с в / ¦> g,
с
Название hom-функтор происходит от слова «homomorphism»,
которое используют иногда вместо термина «стрелка» (arrow).
Совокупность ??(a, b) — hom,(a, b) называется hom-множе-
ством.
hom-функтор определен, только когда hom-множества кате-
категории Я? малые, т. е. настоящие множества, а не собственные
классы. ?
Контравариантные функторы
Функторы, которые мы до сих пор рассматривали, назы-
называются также ковариантными функторами. Они сохраняют на-
направление стрелок, т. е. начало переходит в начало, а конец —
в конец. Контравариантный функтор меняет направление, ото-
отображая начало в конец и наоборот.
Таким образом, контравариантный функтор F: Я$^>-3) ста-
ставит в соответствие стрелке /: а—>-Ь стрелку F(f): F(b)-+- F(a)
так, что F(\a) = 1f(a), как и раньше, но теперь
т. е. коммутативная диаграмма
¦Г
переходит в такую коммутативную диаграмму
Ftf)
9.1. Понятие функтора 211
Пример 8. Контравариантный функтор между категориями
порядка представляет собой антитонную функцию F: P—>-Q, т. е.
такую функцию, что
из р != g в Р следует F{q)^F{p) в Q.
Пример 9. Контравариантный функтор степени <Р: Set-*-
—- Set ставит в соответствие каждому множеству А его множе-
множество-степень ?Р(А), а каждой функции f: A-+B — функцию
&{f): ^>{В)->-^>{А), переводящую подмножество Х^В в его
прообраз fl{X)A
Пример 10. Контравариантный hom-функтор %?(—, й): &—*¦
-*- Set, ассоциированный с фиксированным объектом а, ставит
в соответствие объекту b множество Я>>{Ъ, а), а ^-стрелке
/: Ь-+с — функцию $?(/, а): ^{с, а)^>~(§'(Ь, а), переводящую g
а
Пример 11. Функтор Sub: Ч?—¦«-Set ставит в соответствие
каждому ^-объекту а совокупность Sub (а) всех его подобъек-
тов, а каждой '«Р-стрелке f: a-^b — функцию Sub(f): SubF)^-
—>-Sub(a), которая переводит стрелку g: c>—>b в стрелку
h: d>—> а, получающуюся из g подъемом вдоль /. Конечно, эта
конструкция возможна, только если Я? имеет обратные образы
Функтор Sub является обобщением функтора из примера 9. ?
Упражнение. Убедиться, что определенные в примерах 1 —11
отображения действительно являются функторами. ?
Слово «функтор» будет в дальнейшем всегда означать «ко-
варнантный функтор». В принципе контравариантный функтор
F: <&-*-&) может быть заменен ковариантным функтором
F: <&°р^Я), где F{a)= F{a) и для стрелки /ор: b-^'а из ^ор
(здесь /: а^-b — произвольная стрелка из категории 9)
212 Гл. 9. Функторы
¦ F(f°p) = F(f): F{b)-*-F(a). Мы не будем рассматривать контра-
вариантные функторы вплоть до гл. 14.
Для данных функторов F: ^->^> и G: Sb-^T их компози-
композиция как функций дает снова функтор G°F: W-*-&~. Эта опера-
операция ассоциативна
Таким образом, мы можем рассматривать функторы как стрелки
между категориями. Категорию Cat всех категорий, объектами
которой являются категории, а стрелками — функторы, мы вос-
воспринимаем интуитивно. Единичными стрелками в ней являются
тождественные функторы из примера 1.
В связи с рассмотрением категории Cat встают фундамен-
фундаментальные проблемы. Категория Set не должна быть элементом
класса Cat-объектов (если мы хотим считать, что Cat-объекты
образуют класс), так как Set как совокупность является соб-
собственным классом и не является членом никакой совокупности.
Более того, вопрос «Является ли Cat Cat-объектом?» подводит
нас вплотную к парадоксу Рассела. Вообще категория Cat по-
понимается как категория малых категорий, т. е. таких категорий,
для которых совокупность всех стрелок образует множество.
Дальнейшее обсуждение затронутых вопросов можно найти в
Hatcher [68], гл. 8 (ср. также статью Ловера (Lawvere [66])
о категории Cat как основании для математики).
9.2. ЕСТЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Введением функторов между категориями, первоначально
определенными как совокупности объектов и стрелок, мы под-
поднялись на новую ступень абстракции, рассматривая теперь ка-
категории как объекты с функторами между ними в качестве
стрелок. Читателям сейчас предлагается подняться еще на одну
ступень абстракции, так как мы будем рассматривать сами
функторы как объекты!
Для данных категорий W и 3) мы построим категорию, обо-
обозначаемую через Funct(^, &)) или ЗЬ", объектами которой яв-
являются функторы из f в 2). Теперь надо дать определение
стрелки из одного функтора в другой. Рассматривая функторы
F: 'ё'^-ЗУ и G: ^?-»-ib, мы будем считать, что они дают различ-
различные «изображения» категории 93 в 3). Удачное интуитивное
представление о «преобразовании» F в G можно получить, если
вообразить себе попытку «наложения» или «сдвига» F-изобра-
женпя на G-изображение с помощью стрелок категории 3).
Такой сдвиг можно осуществить, ставя в соответствие каждому
^-объекту а ^-стрелку, начинающуюся в ^-образе объекта а
и заканчивающуюся в G-образе объекта а. Обозначим эту
стрелку через та. Таким образом, ха: F'(a)-*- G(а). Для того
9.2. Естественные преобразования
213
чтобы этот процесс сдвига или преобразования «сохранял струк-
структуру», потребуем, чтобы диаграмма
F(a)
F(f)
G(a)
G(f)
G{b)
возникающая для каждой стрелки /: a-*-b, была коммутативна.
Итак, та и %ь представляют категорный способ преобразования
F-изображения стрелки /: й ->- 6 в ее G-пзображение.
Суммируя, можно сказать, что естественное преобразование
функтора F: Ч?-*¦??) в функтор G: ЯЗ-+3) — это функция т, ста-
ставящая в соответствие каждому ^-объекту а ^-стрелку та'
F(a)->- G(a) так, что для любой ^-стрелки /: а-*-Ь приведен-
приведенная выше диаграмма коммутативна в 3), т. е. Xb°F(f)= G(f) о
о та. Будем использовать обозначения т: F —г> G или F-I^G,
чтобы указать на то, что т — естественное преобразование F
в G. Стрелки та называются компонентами преобразования т.
Если оказывается, что все компоненты ха являются изо-
стрелками, то это можно интерпретировать так: «F- и G-изобра-
жения категории W в 3) одинаковы». Будем называть естествен-
естественное преобразование т в этом случае естественным изоморфиз-
изоморфизмом. Тогда каждая стрелка ха. F(a)-*-G(a) имеет обратную
стрелку т: G(a)-^F(a) и эти стрелки т можно рассматри-
рассматривать как компоненты естественного изоморфизма т~': G~r+F.
Будем обозначать естественный изоморфизм через т: F з? G.
Пример 1. Тождественное естественное преобразование
1F; F—^*- F сопоставляет каждому объекту а единичную стрелку
1f(a>: F{a)-*-F(a). Ясно, что такая функция является естествен-
естественным изоморфизмом.
Пример 2. В § 3.4 был определен изоморфизм Л^ЛХ1
для каждого Set-объекта. Этот изоморфизм является естествен-
естественным. Это означает, что если рассмотреть функтор —XI: Set^-
->¦ Set, определенный в примере 6 предыдущего параграфа, то
для каждой Set-стрелки /: А-*-В диаграмма
А
В
xid,
У
В XI
коммутативна, где т4 (х) = <jc, 0> ( т. е. т., = <id.4, U» и анало-
гично определяется тв. Левая сторона квадрата представляет
214 Гл. 9. Функторы
собой образ стрелки / при тождественном функторе. Таким об-
образом, бпекции та являются компонентами естественного изо-
изоморфизма т функтора 1Set в функтор —XI-
Пример 3. В категории Set мы имеем изоморфизм ЛХВ =
^ВХЛ, даваемый отображением twB: ЛХВ->-?ХЛ, где
iws(<x, у}) = {у, х}. Для каждого Set-объекта А аналогично
тому, как определялся функтор правого умножения —ХЛ:
Set-> Set, можно определить функтор левого умножения
ЛХ—• Set-»-Set, ставящий в соответствие множеству В мно-
множество ЛХВ и функции /: В-*-С—-функцию 1л X/: -4ХВ-*-
->ЛХС Тогда для произвольной Set-стрелки /: В-^-С диа-
диаграмма
В АХВ iv>B>BxA
С Ах С "С>СМ
коммутативна, что доказывает, что биекции twB являются ком-
компонентами естественного изоморфизма функтора ЛХ— в функ-
функтор —ХЛ. ?
Эквивалентность категорий
Что значит, что две категории одинаковы? Один из возмож-
возможных ответов состоит в том, что они изоморфны как объекты
в Cat. Будем называть функтор F: W-^-З) изофунктором, если
он имеет обратный функтор, т. е. такой функтор G: ЗУ^-'fe, что
G°f = I» и FoG = \@. Будем называть категории ^ и SD
изоморфными^ и писать %? ^ 2), если существует изофунктор
Приведенное определение «одинаковости» строже, чем это
необходимо. Если F имеет обратный функтор G, то для ^-объ-
^-объекта а справедливо равенство а = G(F(a)), а для ^-объекта
Ь—равенство b = F(G(b)). С точки зрения основного категор-
ного принципа неразличимости изоморфных вещей мы могли бы
считать "g? и 3) «в сущности одинаковыми», если а ^ G(F(a))
в 'F и b ^ F(G{b)) в 3). Другими словами, <<Р и Ф должны
быть категорно эквивалентными, если они «изоморфны с точ-
точностью до изоморфизма». Последнее означает, что изомор-
изоморфизмы а-у G(F(a)) в b->- F(G(b)) являются естественными.
Таким образом, функтор F: Ф -*-<?) называется эквивалент-
эквивалентностью категорий, если существует функтор G: 3)-+ЧЗ и есте-
естественные изоморфизмы т: 1 f ^ G=F но: I j s f » G тождествен-
тождественного функтора на Ч? в композицию функторов G?F и тожде-
тождественного функтора на 3) в функтор F ° G.
9.2. Естественные преобразования 215
Категории называются эквивалентными, W — 2D, если суще-
существует эквивалентность F: W-+3).
Пример. Finord ~ Finset. Пусть F: Finord <=¦ Finset — функ-
функтор включения. Для каждого конечного множества X опреде-
определим G(X):=n, где п — число элементов в X. Для каждого X
пусть та обозначает биекцию множества X на G(X), а в случае,
когда X — ординал, то та — тождественная функция на X. Для
произвольной функции /: X->Y положим G (f) = xY ° f °т^'
Тогда G является функтором из Finset в Finord.
Так как диаграмма
X —*— F(G{X))
/
Y —^ F(d(Y))
коммутативна (по определению G), то отображения тх являются
компонентами естественного изоморфизма т: l-*-F°G. Кроме
того, функтор G о F — тождественный функтор на Finord. ?
Понятие эквивалентности категорий можно пояснить, пе-
перейдя к скелетальным категориям. Напомним (см. § 3.4), что
это категории, в которых изоморфные объекты равны, т. е. если
а'. э* Ь, то а = Ь. Категория Finord скелетальна, так как изо-
изоморфные конечные множества имеют одно и то же число эле-
элементов. Скелетом категории W называется полная подкатегория
Wq категории W, являющаяся скелетальной и такая, что для
каждого 'й'-объекта существует изоморфный ему ^о-объект. Ка-
Категория Finord является скелетом категории Finset. Вообще
скелет Wo категории W отражает всю существенную категорную
структуру категории W. Категории Wo и W эквивалентны. Экви-
Эквивалентность обеспечивается функтором включения Wo^-W, что
можно показать методом последнего примера.
Всякая категория W имеет скелет. Отношение изоморф-
ности разбивает Ф-объекты на классы эквивалентности. Выбе-
Выберем по одному объекту из каждого класса эквивалентности
и положим категорию Wo равной полной подкатегории катего-
категории W, классом объектов которой является совокупность всех
выбранных представителей. Wo-—скелет категории W. (По по-
поводу законности таких процессов выбора в теории множеств
см. гл. 12.) Эквивалентность категорий можно выразить теперь
следующим образом:
категории W и 3) эквивалентны тогда и только тогда, когда
они имеют изоморфные скелеты {W^3) т. и т. т. Wo = 3>o)-
216 Гл. 9. Функторы
Таким образом, эквивалентные категории — это категорно «в
сущности одинаковые» категории. Отметим, что эквивалентные
категории не обязаны находиться в биективном соответствии
друг с другом н вообще быть сравнимыми по величине. Сово-
Совокупность конечных ординалов — малая категория, т. е. множе-
множество, отождествляемое с множеством натуральных чисел, в то
время как объекты категории Finset образуют собственный
класс (так как он, например, содержит {х} для каждого мно-
множества х).
Упражнение 1. Произвольные два скелета данной категории
изоморфны.
Упражнение 2. В любом топосе <S для каждого объекта d
существует биекция Sub(d)^&(d, Q), определенная в § 4.2.
Показать, что эти биекции (при изменяющемся d) образуют
естественный изоморфизм функторов Sub: <!?->-Set и Ж'(—, Q):
«?->Set (функториальная формулировка Q-аксиомы).
9.3. КАТЕГОРИИ ФУНКТОРОВ
Продолжим определение категории 3)^ всех функторов из 93
в 3), начатое в § 9.2. Пусть F, G, Я —функторы из <& в
3) и т: F—r+G, a; G—r*H — естественные преобразования
функторов. Тогда для произвольной ^-стрелки /: а->6 возни-
возникает диаграмма
Мы хотим определить естественное преобразование, являющееся
композицией о°т преобразований т и о. Из диаграммы видно,
как это сделать. Для каждого а положим (о о%)а = аа ° ха- Так
как оба квадрата, этой диаграммы коммутативны, то и внешний
прямоугольник коммутативен, т. е. (о ° т)ь ° F(f) — H(f) о (о о
-т)а. Таким образом, стрелки (ст°т)а служат компонентами
естественного преобразования а о т: F—г* Н. Так определяется
операция композиции в категории ЗУ6 функторов. Для каждого
функтора F: W^>-3) тождественное преобразование 1F: F —.-*¦ F
.(см. пример 1 из § 9.2) является единичной стрелкой на 3)'-объ-
3)'-объекте F.
Упражнение 1. Естественные изоморфизмы и только они яв-
являются изострелками в 3*
9.3. Категории функторов 217
Упражнение 2. Пусть С и D — множества, рассматриваемые
как дискретные категории, содержащие только единичные
стрелки. Показать, что для функторов F, G: C-+D существова-
существование естественного преобразования F —.-*¦ G эквивалентно равен-
равенству F — G и что категория Dc функторов есть просто множе-
множество всех функций C-+D.
Упражнение 3. Если т: F —г>- G мономорфно в Set1, то для
каждого а ха мономорфно в Set. ?
Различные топосы, построенные в гл. 4, могут быть по-
построены как категории «Set-значных функторов» следующим
образом.
A) Set2. Множество 2 = {0, 1} является дискретной катего-
категорией. Функтор F: 2->Set сопоставляет множество Fo объекту О
и множество F\—объекту 1. Так как F как функтор должен
сохранять единичные стрелки, а категория 2 имеет только еди-
единичные стрелки, то можно отождествить F с парой (Fo, ^i>. Та-
Таким образом, функторы 2->- Set являются в сущности объектами
категории Set2 пар множеств. Далее, для двух таких функторов
F и G, отождествленных с парами (Fo,F\} и <G0, Gi> соответ-
соответственно, естественное преобразование т: F~t^G имеет две ком-
компоненты т0: Fo-*-G0 и Ть fi-*-Gi. Можно отождествить т с па-
парой <то, xi>, являющейся не чем иным, как 8е12-стрелкой из
<^о,^> в <Ge, Gi>.
B) Set^. Рассмотрим категорию 2 = {0, 1} с одной нееди-
неединичной стрелкой 0->-1. Функтор F: 2—>-Set определяется мно-
множествами FQ, Fi и функцией /: F0-^F\. Таким образом, F — это
«в сущности» стрелка / категории Set, т. е. объект из категории
Set^. Если G — другой такой функтор, определяемый функцией
g: Go^-Gi, то естественное преобразование т: F—7+G имеет
такие компоненты то и Ть что диаграмма
коммутативна. Таким образом, т, отождествленное с парой
<то, Ti>, является стрелкой из f в g категории Set~*. Таким обра-
образом, последняя категория «представляет собой» категорию Set2
функторов из 2 в Set.
C) M-Set. Пусть М = (М, *, е) — произвольный моноид.
М-множество — это пара (Х,К), где X—-множество, а X —
функция, сопоставляющая каждому m е М функцию %т: Х-*-Х
так, что выполняются следующие условия:
(i) %e = id* и
(ll) Am ° Лр = Ат*р-
218 Гл. 9. Функторы
Моноид М определяет категорию с одним объектом, скажем М,
стрелками служат элементы m множества М, операция •::- яв-
является операцией композиции, а е — единичной стрелкой. Тогда
функцию К можно рассматривать как функтор л: M->Set, та-
такой, что л(М) = Х для единственного объекта категории М,
и Цт)=лт для каждой стрелки т. Условия (i) и (п) выра-
выражают тогда, что К — функтор. Для любого другого функтора
|д: М—>-Set, такого, что yi(M)= У, естественное преобразование
т: Я-^ц ставит в соответствие объекту М функцию f: X-^-Y,
для которой диаграмма
М
м
коммутативна при каждом теЖ. Но это в точности означает,
что / — эквивариантное отображение из (X, К) в (Y, ц). Таким
образом, категорию M-Set можно отождествить с категорией
Setм функторов из М в Set.
D) Вп(/). Если рассматривать множество / как дискретную
категорию, то функтор F: /—>-Set, сопоставляющий каждому
i е / множество Pi, можно отождествить с семейством {Ft: ie/}
множеств, заиндексированных множеством /.
Объект (X, f) из Вп(/) (т. е. функция /: Х^*-1) определяет
функтор f: /^Set, такой, что f{i) равно /~'({0)> т- е- слою
над L
Произвольная стрелка Л: (X, /)->(F, g) является функцией,
отображающей f-слой над i в g-слой над i. Поэтому она опре-
определяет функцию he f{i)-^g{i), являющуюся сужением h на
множество f{i). Эти функции /г,- служат компонентами естествен-
естественного преобразования h: f —:*¦ g. Таким образом, каждое рас-
расслоение над / определяет функтор из / в Set. Обращение этой
конструкции возможно, если все множества Fi попарно не пе-
пересекаются. Поэтому для данного функтора F: /->Set опреде-
определим новый функтор F: /—>-Set, полагая F(i) = F@X {i}> a за"
тем преобразуем семейство {F{i): ie/} в расслоение над /.
Так как ^(i)= -^(OX {i}, то функторы F и F естественно изо-
изоморфны. В итоге получается, что переход от (X, f) к f является
эквивалентностью категорий. Категория Вп(/) расслоений над
1 эквивалентна категории Set' Set-значных функторов, опреде-
определенных на /. О
Приведенные четыре примера иллюстрируют конструкцию,
снабжающую нас самыми разнообразными топосами, а именно:
9.3. Категории функторов
219>
для произвольной малой категории <& категория Set' функ-
функторов является топосолп
Мы посвятим остаток этой главы описанию строения катего-
категории Set*.
Конечный объект
В Setr им является постоянный функтор 1: ^—>-Set, ставя-
щий в соответствие каждому ^-объекту одноэлементное мно-
множество {0}, а каждой ^-стрелке — тождественное отображение
на {0}. Для произвольного функтора F: <<P—>-Set существует
единственная Set'-стрелка F~r*-l, состоящая из единственных
функций !: /7(а)-> {0} для каждого 'й'-объекта а.
Обратный образ
Обратный образ определяется «покомпонентно», как и все
пределы и копределы в Setг. Пусть т: F—т+Н и a: G~r*H —
произвольные естественные преобразования. Для каждого
¦^-объекта а построим обратный образ
К(а)
F(a) ^— Ща)
в Set компонент ха и аа- Сопоставляя объекту а объект К(а)г
получаем функтор К'- ^?->Set, ставящий в соответствие ^-стрел-
^-стрелке f: a-^b единственную стрелку K(f): K(a)-*-K(b), получае-
получаемую по свойству универсальности переднего декартового квад-
квадрата «кубической» диаграммы
220 Гл. 9. Функторы
Стрелки ао и Мл являются компонентами естественных преобра-
преобразований X1 К -t*F и ц: К -~^ G, а диаграмма
н
будет декартовым квадратом в
Упражнение 4. Определить произведение FXG: «g'-^-Set
двух объектов в Set'5'. ?
Классификатор подобъектов
Для его определения нам понадобится новое понятие. Для
данного ^-объекта а обозначим через Sa совокупность всех
^-стрелок, начинающихся в а, т. е.
Sa = {/: dom/ = a}
(Sa является классом объектов относительной категории 9!?\а
объектов над а, определенной в гл. 3).
Заметим, что множество Sa замкнуто относительно левого
умножения, т. е. если f: a-*-b, [eSa, g: b-*-c — произвольная
"^-стрелка, то g ° f e Sa
Корешетом на а или а-корешетом называется всякое подмно-
подмножество S множества Sa, замкнутое относительно левого умно-
умножения, т. е. такое, что если / е S, то j»/ е S. Для всякого объ-
объекта а существует по крайней мере два a-корешета Sa и 0
(пустое корешето).
Пример 1. В дискретной категории имеем Sa={1a}; мно-
множества Sa и 0 являются единственными а-корешетами.
Пример 2. В категории 2 с единственной неединичной стрел-
стрелкой f: 0->-l существуют три корешета на 0, а именно 0, So =
= {W} и {/}.
Пример 3. В однообъектной категории (моноиде) М коре-
корешета на М — это в точности левые идеалы в М. ?
9.3. Категории функторов 221
Определим теперь классифицирующий объект Q: 'g'^Set.
Положим
Q(a)= {S: S есть а-корешето}.
Для произвольной ^-стрелки f: a->-b пусть Q(f): Q(a)-*-Q(b)
обозначает функцию, сопоставляющую a-корешету S 6-коре-
шето {Ь—>-с: g°/eS} (почему это множество является коре-
шетом?)
Так, для категории SetM множество Q(M) равно множеству
Lm левых идеалов в М, а для стрелки ш: М-+-М функция
п(т): L.v^Lm ставит в соответствие левому идеалу S' множе-
множество {л: n*me5} =w(m,S). Таким образом, Q оказывается
действием ш моноида М на LM-
Определим в Set*" стрелку Т:1 —^ О, как естественное пре-
преобразование с компонентами Та: {0} —>-fi(a), задаваемыми
равенством Ta@)—«Sa, т. е. Та@) равно наибольшему коре-
шету на а. Так определенная стрелка Т является классифика-
классификатором в Set*". Докажем это. Предположим, что т: F-^ G ¦—мо-
¦—монострелка в Set*". Тогда для каждого 'й'-объекта а компонента
та: F{a)-*- G{a) является мономорфной в Set стрелкой (см. уп-
упражнение 3). Будем считать, что эта компонента на самом
деле — включение F{a) <-*¦ G(a). Характеристическая стрелка
3(т: G -^-*- Q подобъекта т должна быть естественным преобразо-
преобразованием, каждая компонента (%х)а которого является теоретико-
множественной функцией из G(a) в Q(a). Функция (%х)а сопо-
сопоставляет каждому x^G(a) некоторое a-корешето iix)a(x).
Надо определить, какие стрелки /: а ->- 6, начинающиеся из
объекта а, принадлежат множеству (х-с)а(х). Для каждой
стрелки f: a-*¦ b мы имеем коммутативную диаграмму
1 G(a)
Я/)
G(f)
¦так что F(f) является ограничением G(f) на F(a). Зачислим /'
в множество {ix)a{x), если и только если G(f) переводит х
в F(b), см. рис. 9.1. (Ср. это определение с соответствующим
определением из §4.4 для топоса Set^.) Таким образом, (^т)а(х)=
= {/': a-^b: G(f) (x)^F(b)}. В более общем случае, когда т0 не
обязательно является функцией включения, положим
Ы« (*) = {а "^ Ь: G (f) (х) е= xb (F (Ь))} =--
= {а—*¦ Ь: существует y^F(b), такое, что G (f) (х) = г b (у)}.
Упражнение 5. Проверить, что множество (%х)а(х) является
корешетом и что выполняется Q-аксиома (см. § 10.3).
222
Гл. 9. Функторы
Показать, что "
в —S, a S
Gia1
Упражнение 6. Убедиться, что это определение классифика-
классификатора дает классификаторы для Set2, Set^ и Вп(/), построенные
в гл. 4.
Упражнение 7. Пусть S произвольное а-корешето. Определим
функтор S: ^ —^ Set, полагая 5{b) = S [) 9{а, Ь). Показать, что
включения S(b) <-* W(a, b) являются компонентами мономорф-
ной 8е^-стрелки S>—r*(&{a, —). Показать, что а-корешета
находятся в биективном соответствии с подобъектами hom-
функтора ^(а,—), рассматриваемого как объект категории
Set5.
Упражнение 8. Показать, что для каждого ^-объекта а ч. у.
множество (Q(a),S) является алгеброй Рейтинга, в которой.
f ?
I S = {а—*¦ b: g ° f ф S для всякой стрелки b—>• с},
S=>T = {f: для всякого g из g°f^S следует gof^T}.
S — наибольшее корешето на а, содержащееся
Т — наибольшее а-корешето, содержащееся
в — S U Т. ?
Понятие, двойственное к корешету,
есть а-решето. Таким образом, а-ре-
шето — это совокупность стрелок с
концом в а, замкнутая относительно
правого умножения. Решета исполь-
используются для доказательства того, что
категория контравариантных функ-
функторов из ^ в Set является топосом.
Этот тип функторов естественно воз-
возникает в теории пучков, и работа Гро-
тендика и др. [SG.44] написана в тер-
терминах решет. Мы остановились на
корешетах потому, что они соответствуют соглашениям, при-
принятым для семантик Крипке. Решета будут рассматриваться
в гл. 14.
Экспоненцирование в Set8"
Пусть F: ^^-Stt — произвольный функтор. Для каждого
^-объекта а определим пренебрегающий функтор Fa'- 9\a->
->¦ Set, ставящий в соответствие стрелке /: а-ь-b множество
F(b), а стрелке h: f-*-g, такой, что диаграмма
а
Рис. 9.1.
коммутативна, — функцию F(h).
9.3. Категории функторов 223
Для данных функторов F, G: 'g'-^Set определим функтор
GF: W-^Set. Положим
GF(a) = Nat [Fa,Ga],
где Nat [Fa, Ga] — совокупность всех естественных преобразова-
преобразований функтора Fa в функтор Ga- Для стрелки k: a-^d пусть
GF(k) — функция из Nat[FaGa] в Nat[Fa, Gd], сопоставляющая
естественному преобразованию т: Fa -r-*- Ga преобразование
т': Fd —т* Gd, компонента т' которого для произвольного
^jd-объекта / определяется равенством T.' = Tfofe,
Пример. Пусть F и G — функторы вида 2->-Set, т. е. Setr*-
объекты f: A-+B и g: C-*-D. Так как 2f 1 —дискретная одно-
объектная категория, то F\ можно отождествить с F(l)=B
и подобным же образом G\ — с D. Поэтому
где DB — множество всех функций B-*-D. Так как категория
2 f 0 изоморфна самой категории 2, то можно считать, что Fo
и Go совпадают с F и G соответственно. Тогда
т. е. GF@) равно множеству Е всех Set -стрелок из / в g. На-
Наконец, GF ставит в соответствие стрелке !: 0->1 функцию
g1: E^-DB, определенную следующим образом. Для данного
т: F—t+G, соответствующего Set^-стрелке <то, xi> из f в g,
естественное преобразование Gh' (т): i7, —г*-G| имеет единствен-
единственную компоненту, равную т\, так как категория 2f 1 имеет один
объект 11.
Таким образом, g! ({то, Ti>) = Ti и эта запутанная конструкция
приводит к построению экспоненциала в Set . ?
Мы должны еще определить стрелку значенияev: GFy, F —т*
—> G в категории Set*". Каждая ее компонента evo: GF(a)X.
X F(a)^r G(a) вычисляется по формуле eva((x, x)) = tiq(x), где
224 Гл. 9. Функторы
— произвольный элемент множества F (а), а те
^GF(a) — произвольное преобразование Fa—r>-Ga (заметим,
что компонента т\ , определяемая "S'f а-объектом 1а, является
функцией из F(a) в G(a)). Далее, для каждой Set^-стрелки
т: Н Y^F —т* G компоненты экспоненциально присоединенного
преобразования т: H —т+ GF являются функциями вида
ra: H(a)-*-GF(a).
Для каждого у^Н(а) ха{у) обозначает естественное преоб-
преобразование Fa~r*Ga. Для каждого "Э^а-объекта /: а-*-Ь компо-
компонента естественного преобразования та(у), соответствующая f,
является функцией из F(b) в G(b), переводящей x^F(b)
в Тб«Я(/)(г/),х» (заметим, что xb: H(b)X F(b)-^G(b)
(/)()
Читатель, имеющий склонность к таким вещам, может про-
проверить все детали этого построения и связать его с построением
экспоненциалов в JW-Set, Bn(/) и т. д. Нам будет нужно только
описание объектов-степеней в специальном топосе для моделей
Крипке в гл. 11. Нас главным образом будет интересовать клас-
классификатор подобъеъктов в категориях Set-значных функторов.
Глава 10
ТЕОРЕТИНО-МНОЖЕСТВЕННЫЕ НОНЦЕПТЫ
И ОБЩЕЗНАЧИМОСТЬ
...естественное и полезное обобщение теории мно-
множеств, которое рассматривает множества, находя-
находящиеся во внутреннем развитии.
Ф. У. Ловер
10.1. ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫЕ КОНЦЕПТЫ
Мы видели в гл. 1, что высказывание ф(х) об индивидах х
определяет некоторое множество, а именно множество {х: ф(х)}
всех индивидов, для которых это высказывание истинно. Со-
Согласно представлениям конструктивизма, вкратце изложенным
в гл. 8, истина не есть нечто, приписываемое высказыванию аб-
абсолютно, она выступает скорее как некоторое свойство, «зави-
«зависящее от контекста». Истинностное значение предложения за-
зависит от уровня знания в то время, когда оно рассматривается.
В свете этого мы можем считать, что высказывание ф(х) не
определяет множество per se, а определяет для каждого уровня
знания р совокупность
ФР = {х: известно, что на уровне р верно ф(х)}.
Эта совокупность фр будет называться объемом ф на уровне р.
Таким образом, для данной шкалы Р уровней знания сопо-
сопоставление уровню р множества фр определяет функцию P-»-Set.
Более того, если истинность сохраняется во времени, то из того,
что хо е Фр и р != q, вытекает, что х0 е ф„. Поэтому
(*) если p<=q, то фр Е ф,.
Таким образом, ф определяет функтор P-vSet, сопоставляю-
сопоставляющий каждой стрелке p—>-q из Р функцию включения фр с-» ф„.
Пример. Пусть ф(х) обозначает высказывание «х есть нату-
натуральное число, большее двух, и не существует ненулевых нату-
натуральных чисел а, Ь, с, удовлетворяющих равенству ах + Ьх =
= сх». Знаменитая «последняя теорема» Ферма утверждает,
что высказывание ф(х) верно для каждого натурального числа
х > 2. В настоящий момент не известно, истинно ли это утвер-
утверждение, хотя и известно, что ф(х) истинно для всех х ^ 25 000.
Пока «теорема» Ферма не доказана и не опровергнута, можно
ожидать, что объем ф будет возрастать со временем.
Итак, выражению ф соответствует объект в категории функ-
функторов Setp. Такой объект можно было бы назвать, вслед за
Ловером (Lawvere [75, 76]), изменяющимся множеством. Мы
8 Зак. 651
226 Гл. 10. Теоретико-множественные концепты и общезначимость
могли бы также назвать его интенсиональным множеством или
теоретико-множественным концептом. Эта терминология идет от
семантических теорий типа теории, выдвинутой Рудольфом
Карнапом (Сагпар [47]). В таких теориях экстенсионал, или
объем, выражения является реальной вещью или совокупностью
вещей, которые оно выделяет. Интенсионал же— нечто более
иллюзорное. Иногда его рассматривают как смысл выражения.
Карнап (Сагпар [47], стр. 41) определяет интенсионал данного
выражения как «выражаемый им индивидуальный концепт».
Так, например, если в качестве ф(х) взять высказывание «х
есть конечный ординал», то его интенсионалом служит смысл
(концепт) понятия конечного ординала. Этот концепт представ-
представляется функтором, сопоставляющим каждому р множество ин-
индивидов, про которые известно на уровне р, что они — конечные
ординалы. Можно также сказать, что этот функтор представ-
представляет концепт множества конечных ординалов. Таким образом,
мы строим Setp как категорию концептов множеств.
При таком представлении возникают определенные трудно-
трудности. Рассмотрим, например, выражение «наименьший неконеч-
неконечный ординал». Его концепт (т. е. смысл) совершенно отличен от
концепта «множества конечных ординалов», хотя оба выраже-
выражения имеют один и тот же экстенсионал (объем), так как мно-
множество конечных ординалов является наименьшим неконечным
ординалом. Таким образом, два различных концепта могли
бы быть представлены в Setp одним и тем же объектом, т. е.
Setp не точно представляет все концепты (в качестве примера
можно рассмотреть более простые выражения «2 плюс 2» и
«2 раза по 2»).
Другая трудность связана с обоснованием приведенного
выше принципа (*). Это обоснование оказалось бы просто не-
неверным в случае, когда х0 само является экстенсионалом (объ-
(объемом) некоторого теоретико-множественного концепта, т. е.
в случае, когда х0 = i|)P для некоторого выражения ty{x). Рас-
Рассмотрим в качестве ц>(х) высказывание «х = {у: ty(y)}». Тогда
фр = {г|5р}, т. е. фр равно множеству с единственным элементом
¦фр = хо, а ф,= {tyq} и, если if>p ф tyg, то х0ф-qv Таким обра-
образом, можно утверждать только, что если г|)р е фр, то tyq е ф„.
Возможно, нам следует заменить функцию включения из (*)
отображением, переводящим элемент из фр в соответствующий
ему элемент из ф„. Тогда выражение ф еще определяло бы функ-
функтор. К несчастью, это соответствие многозначно: Хо может также
быть объемом некоторого другого выражения Q(x) (т. е. х0 =
= чрр = 9Р), а на уровне q объем выражения Q(x) отличен от
объема выражения ij>(x) (т. е. ч|5? ф Э?).
Несмотря на указанные трудности, понятие теоретико-мно-
теоретико-множественного концепта все же удачно отражает понимание объ-
объектов категории Setp и соответствует представлению о Setp
10.2. Алгебры Рейтинга, порожденные множеством Р 227
как об универсуме обобщенной «неэкстенсиональной» теории
множеств. Исследование Setp поможет прояснить трудные
с философской точки зрения понятия «индивидуальный концепт»
и «интенсиональный объект» (по поводу трудностей, связанных
с этими понятиями, см. Scott [70i]).
Конечно, понятие изменяющейся структуры математически
важно. Концепт системы окрестностей представляют себе как
сопоставление каждой точке топологического пространства мно-
множества ее окрестностей. Концепт касательного пространства
представляется как сопоставление каждой точке многообразия
пространства векторов, касательного в этой точке.
В этой главе мы предлагаем глубже заглянуть в структуру
топоса Setp и, в частности, в природу его истинностных стрелок.
Логика изменяющихся элементов является интуиционистской —
вот вывод, к которому мы придем.
10.2. АЛГЕБРЫ ГЕЙТИНГА, ПОРОЖДЕННЫЕ МНОЖЕСТВОМ Р
Пусть Р = (Р, ^)— ч. у. множество. Для каждого реР
положим
[р)= {q- P^q},
т. е. [р) равно множеству Р-элементов, лежащих «выше» р
в смысле порядка с=. Если ^е[р) и <? Е= г, то ге[р) по тран-
транзитивности отношения t=. Таким образом, [р) является наслед-
наследственным множеством в Р ([р)еР+), Оно будет называться
главным ^-наследственным множеством, порожденным элемен-
элементом р. Главные множества очень удобны для описания струк-
структуры алгебры Рейтинга Р+, как видно из следующих упраж-
упражнений.
Упражнения
(См. § 8.4 по поводу обозначений.)
Упражнение 1. Для любого S = P из [p)^S следует p^S.
Упражнение 2. р ^ q т. и т. т. [q) S [р).
Упражнение 3. Для произвольного множества S ^ Р сле-
следующие условия эквивалентны:
(i) S является Р-наследственным множеством;
(п) р б S т. и т. т. [р) ^ S для любого р е Р;
(iii) для всякого р е Р из р е S следует [р) ^ S.
Упражнение 4. Для произвольных множеств S, ГеР+ спра-
справедливы равенства
=0}. П
228 Гл. 10. Теоретико-множественные концепты и общезначимость
Отношение =, ограниченное на множество [р), является от-
отношением частичного порядка, так что мы имеем ч. у. множе-
множество ([р),^) и совокупность [р)+, состоящую из всех наслед-
наследственных в [р) множеств. Далее, если q^[p), то главное мно-
множество [q)p, порожденное в [р) элементом q, удовлетворяет
равенствам
[Ч)р={г. г€=[р) и <7=г}=
В силу упражнения 2 оно равно [q). Другими словами, главное
множество, порожденное q в Р, — то же самое, что и главное
множество, порожденное q ъ [р), т. е. [q)=[q)p. Отсюда полу-
получается следующая связь между Р+ и [р)+.
Для произвольного подмножества S в Р положим
5Р = 5П[р)= {д: qeESn p = g).
Теорема 1. A) Если S = [p), то S = Sp и
SeE[p)+ т. и т. т. SeP+.
B) Если S <ее Р+ то Sp <= [р)+.
C) Т е [р)+ т. и т. т. Т = Sp для некоторого S e P+.
D) Если S е Р+, то S = U {Sp: ревР}.
Доказательство. A) Ясно, что если S?[p), то S =
= S П [р) ¦ Более того, в силу п. (III) упражнения 3
Se[p)+ т. и т. т. из q^S следует [q)p^S.
С другой стороны,
SeP+т. н т. т. из q e S следует [q) S 5.
Но так как S s[p), то из q e S следует [q)p = [q).
B) Поскольку [р)е Р+, то из 5 е Р+ следует, что Sf|[p)^
е Р+, т.е. Sp е Р-ь. Так как Sp s [p), то это утверждение выте-
вытекает из п. (\)\
C) Упражнение.
D) Надо показать, что
^eS т. и т. т. q е 5Р = S П [р) для некоторого р.
Так как всегда Sp s S, то одна импликация доказываемой экви-
эквивалентности очевидна. Обратно, если q ^ S и S наследственно,
то <7^[<7)sS, так что gsSfllf?), т. е. мы доказали заключение
рассматриваемой импликации при р = q. ?
Нам известно из § 8.4, что ч. у. множество ([р)+, е) на-
наследственных подмножеств в [р), упорядоченное по включе-
включению, является алгеброй Гейтинга (на самом деле [р) + — под-
прямо неразложимая алгебра Гейтинга — информация для чи-
читателя, знакомого с такими вещами). Решеточное пересечение
ПР и решеточное объединение Up этого ч. у. множества являются
10.3. Классификатор подобъектов в Set1* 229
просто операциями П и U теоретико-множественного пересече-
пересечения и объединения. Псевдодополнение — р: [р) + -*-[р)+ опре-
определяется равенством
-nPS={<7: qf=[p) и [?) = — S},
а относительное псевдодополнение =>р: [р) + Х[р) + -*"[р) + — ра-
равенством
S=>PT = {q: qf=[p) и St][q)P=T},
где S и Т — произвольные элементы из [р)+. Для произволь-
произвольного S <= Р можно сначала релятивизовать S к [р), т. е. обра-
образовать Sp, а затем применить ~\ р, либо сначала применить
~i к S, а потом релятивизовать. Эти две процедуры оказы-
оказываются перестановочными для Р-наследственного множества S.
Вообще справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Пусть S, Г е Р+ произвольны. Тогда
A) (SP)C[P(TP) = (SC\T)P;
B) (SP)[)P{TP) = (S\)T)P,
C) ~]p(Sp) = (^S)p;
D) {SP)=>P(TP) = (S=>T)P.
Доказательство. A) Упражнение.
B) SPUpTp = SPUTP = {St][p))U{T{][p)) = (SUT) П [P) =
= (S[)T)P.
C) Так как [q) = [q)p при рЕ?,то
-i,(Sp)={<7: ?e[p) и [<?)s-S} =
D) Упражнение. П
Алгебраически подготовленный читатель заметит, что тео-
теорема 2 утверждает, что функция, ставящая в соответствие мно-
множеству S множество Sp, является гомоморфизмом алгебры Рей-
Рейтинга Р+ в алгебру Рейтинга [р)+. По п. C) теоремы 1 этот го-
гомоморфизм сюръективен.
10.3. КЛАССИФИКАТОР ПОДОБЪЕКТОВ В Setp
Так как категория Set^" является топосом для произвольной
малой категории *§\ то, в частности, Setp тоже топос. Определе-
Определение классификатора подобъектов, данное в § 9.3 для категории
Set% оказывается выразимым в случае, когда 9 = Р, в терми-
терминах алгебр Рейтинга вида [р)+. Согласно § 9.3, для функтора
Q: P->Set множество Q(p) равно множеству всех р-корешет.
Всякое р-корешето есть некоторое подмножество S множества
Рр = {/: Для некоторого q стрелка р—*¦ q принадлежит Р},
230
Гл. 10. Теоретико-множественные концепты и общезначимость
замкнутое относительно левого умножения, т. е. если feS,
a g: q-*-r — произвольная Р-стрелка, то g°f^S. Так как Р —
категория предпорядка, то стрелка из р в q существует тогда
и только тогда, когда р |= q, и такая стрелка всего одна. По-
Поэтому для фиксированного р мы можем отождествить стрелку
f: р -> q с ее концом q. Тогда множество Рр превращается
в множество {q: рЕ=<7}=[р), а описание S как р-корешета
принимает такой вид:
если q e S и <7 Е= г, то г е S,
т. е. S [р)-наследственно.
Таким образом, Q(p) = [p) + — совокупность наследственных
подмножеств в [р).
Вообще для произвольного функтора F: P->Set обозначим
через Fp значение F(p) функтора F на объекте р. Для любых q
е и р, таких, что p*=q, функтор F опреде-
определяет функцию из Fp в Fq, которую мы
обозначим через Fpq. Функтор F можно
рассматривать как семейство {Fp: p e
е Р} множеств, заиндексированных эле-
элементами из Р и снабженных отображе-
отображениями перехода Fpq: Fp-+Fq при РЕ=<7.
В частности, Fpp — тождественная функ-
функция на Fp.
Применяя описанную выше моди-
модификацию к функтору Q, определен-
Рис. 10.1. ному в § 9.3, получаем, что для р и q,
таких, что рс^, функция Qpq: Qp->
¦Qq сопоставляет каждому Se[p)+ множество S|~][9)s
[q)+, т. е.
Конечным объектом категории Setp служит постоянный функ-
функтор 1: P->Set, определяемый условиями 1Р = {0} для р^Р
и \pq = id {о} при рЕ?. Классификатором подобъектов true:
1->Q является естественное преобразование, р-я компонента
которого truep: {0}->Qp определяется равенством truep(O) =
= [р). Таким образом, функция true выбирает наибольший эле-
элемент из каждой алгебры Рейтинга вида [р)+.
Пусть теперь т: F >-r> G — произвольный подобъект Setp
объекта G. Тогда каждая компонента тр инъективна и можно
считать ее функцией включения Fp<-+ Gp. Опять, модифицируя
определение из § 9.3, получаем, что р-я компонента {%х)р' Gp->
->[р)+ характеристической стрелки %t: G->Q определяется ра-
равенством
(%r)p{x)={q: P^q n Gpq{x)eEFq}
для каждого х е Gp. (См. рис. 10.1.)
10.3. Классификатор подобъектов в Setp
231
Упражнение 1. Показать, что множество {%%)Р(х) наслед-
наследственно в [р).
Упражнение 2. Показать, что определенная выше функция
%х является естественным преобразованием функтора G в функ-
функтор Q, т. е. что диаграмма
коммутативна всякий раз, когда p^q. ?
Заметим, что если х е Fp, то для произвольного q^[p) мы
имеем Gpq(x)= Fpq(x)^Fq ввиду коммутативности диаграммы
р
9»
>¦¦ О,
Таким образом, (%i)P(x) = [p) для х е Fp. С другой стороны,
если x<?Fp, то Gpp(x) = хф. Fp. Поэтому рф.(%х)р(х) и
(%х)р{х)ф [р). В результате получаем, что
FP={x: ЫР(х) = [р)}^«0,х>: (%х)р(х)= truep(O)},
т. е. квадрат
Щ>
trueP
в категории Set является декартовым. Так как это справедливо
для любого р, то квадрат
232 Гл. 10. Теоретико-множественные концепты а общезначимость
будет декартовым в Setp. Проверка оставшейся части Q-акси-
омы несколько труднее. Пусть естественное преобразование
cr: G>—г*- Q таково, что квадрат
1«
true
4 true Л
декартов. Тогда для каждого q будем иметь декартов квадрат
F ~—* G
Это означает, что
(*) Fq={x: aq(x)=[q)}.
Для произвольного р, такого, что РЕЕ <?> диаграмма
Ор
коммутативна. Поэтому
?е(ЦМ т. и т. т. Gpq{x)^Fq,
т. и т. т. oq(Gpq(x)) = [q) (в силу (*))
т. и т. т. Qpq(op(x)) = [q) (в силу последней диагр.
т. и т. т. ор(х)Г\[Я) = [я) (по определению Qpq)
т. и т. т. \q) ^ ор (х)
т. и т. т. q^op(x) (упражнение 10.2.3).
Таким образом, (%х)р(х) = сгр(лг). Так как это равенство спра-
справедливо для любого реР и всякого хе GP, то cr = x-t-
Пример 1. Мы видели в § 9.3, что топос Set^ теоретико-мно-
теоретико-множественных функций в сущности совпадает с категорией Set2,
где 2 — категория порядка, соответствующая ч. у. множеству
{О, 1}, в котором 0с= 1. Для категории 2 имеем
й0 = {{0, 1}, {1}, 0},
10.3. Классификатор подобъектов в SetF
233
и отображение Qoi переводит {0,1} и {1} в {1}, а 0 в 0. Если
обозначить множества {0, 1}, {1} и 0 из Qo через 1, 1/2 и 0
соответственно, а множества {1} и 0 из Qi — через 1 и 0, то Qoi
превращается в функцию t, дающую Set^-классификатор, опре-
определенный в § 4.4.
Пример 2. Пусть to = (со, ^) — ч. у. множество всех конеч-
конечных ординалов 0, 1, 2, ..., пг, ... с их естественным порядком.
Категория Set" названа Маклейном ка-
категорией множеств во времени (Maclane
[75]). Произвольный ее объект можно
представлять в виде нити
р ^Xf -^i/7,-» ->
m+l
Множество [m) в категории со равно
{m, m + 1, пг + 2, ...}. Кроме того, так
как каждое непустое подмножество
S ^ со имеет первый элемент nis, то для
наследственного S имеем равенство S =
= [nis). Таким образом, все непустые
наследственные множества являются
главными и могут быть отождествлены
со своими первыми элементами. Вводя
символ оо для пустого множества, мы можем упростить Q,
отождествляя о4" с множеством
{0, 1, 2, .... т, .... оо}
и полагая
Qm= {пг, т+ 1, ..., оо}
для пг е со. Если пг s=: n, то функция
рис_ j0<2.
вычисляется так:
если пг
если и<р,
если р —°°,
а m-я компонента классификатора определяется равенством
lruem@)= пг.
Для произвольного т: F>~r*G m-я компонента (%т)т: Gm-+
->Qm характеристической стрелки %х определяется так:
(Хх)т(х) = первый п, больший пг, при котором Gmn(x)^ Fn,
если такое ч существует, и
(Хг)т(х) = оо в противном случае, т. е. если Gmn(x)^Fn
всякий раз, когда пг ^ п.
234 Гл. 10. Теоретико-множественные концепты и общезначимость
Таким образом, {%х)т{х) обозначает момент «приземления» х
в подобъект F (рис. 10.2) или, как говорит Маклейн, момент
истинности. Маклейновское определение классификатора под-
объектов для Set™ даже проще, чем только что приведенное. Дей-
Действие отображения Qmm+\ может быть наглядно изображено сле-
следующим образом:
Qm m m+l m+2 m+3 ... «>
\ /
\
/
йт+1 т + 1 т+2
Отображение, определяемое этой картинкой, не зависит от того,
как обозначен первый элемент «порядково-изоморфных» после-
последовательностей Qm и Qm+i. Мы можем заменить поэтому каж-
каждое Qm множеством
Q= {0, 1, 2, .... ос},
а каждое отображение Qmm+i — единственным отображением
t: Q-*-Q, изображаемым так:
О 1 2 п + 1 оо
\/ / / I
О 1 2 п оо
Тогда объект истинностных значений превращается в постоян-
постоянный функтор Q —*¦ Q —>¦ О, —*¦ ... , а стрелкой true служит
естественное преобразование с включением {0}<=*й в качестве
каждой компоненты.
Итак, мы рассмотрели три различных в теоретико-множе-
теоретико-множественном смысле объекта категории Set" , служащих классифи-
классифицирующим объектом. Причина состоит в том, что Q-аксиома
определяет Т: 1->й только с точностью до изоморфизма.
10.4. ИСТИННОСТНЫЕ СТРЕЛКИ
1. Ложь (false)
Начальный объект 0: Р—>-Set категории Setp — это постоян-
постоянный функтор, такой, что Ор = 0 и Op<7 = id0 для p^q. Ком-
Компонентами естественного преобразования 0 -j+ 1 являются вклю-
включения 0 <->¦ {0} (одна и та же компонента для любого р). По
определению стрелка false является характеристической стрел-
стрелкой подобъекта !: О-г* 1. Для ее компоненты falsep: {0}—*-йр
имеем
falsep @) = fo: pE? и 1р,@)е0,} =
= {q: p<=q и Ое0} = 0.
10.4. Истинностные стрелки 235
Таким образом, естественное преобразование false выбирает
нулевой элемент из каждой алгебры Рейтинга [р)+.
II. Отрицание
Стрелка false мономорфна. По определению отрицание
I: Q~t^Q является характеристической стрелкой подобъекта
false. Отождествляя false,, с включением {0} s Qp, выводим,
что р-я компонента —\р: Qp^-Qp отрицания удовлетворяет ра-
равенствам
]p(S) = {q: рЕ=<? и Qp,(S)
= {q: p^q и 5 f] [q) = 0} = [p) Л ~lS = (~1 S)B.
Мы уже использовали символ —ip в § 10.2 для обозначения
операции псевдодополнения в [р)+. Доказанное равенство по-
показывает, что эта последняя операция в точности совпадает
с р-й компонентой истинностной стрелки отрицания в Setp, по-
поэтому и обозначения совпадают.
III. Конъюнкция
Для функтора Q X й имеем
и если p^q, то (QX^)p<7 есть функторное произведение QpqX
ХЙР, (см. §3.8).
Для р-й компоненты <Т, Т>р: {0}-»йРХйР 8е1р-стрелки
<Т, Т): 1т*ЙХ^ имеем равенство <Т, Т>р@)= <[р), [р)>.
По определению конъюнкция лл: QX й -7* ^ является харак-
характеристической стрелкой для <Т, Т>. Ее компонента /"\,: QPX
~X.Qp—>-QP удовлетворяет равенствам
op«S, T)) = {q: рЕ?и (Q.pq(S), Qpq(T)) = ([q), [q))} =
= {q: p^q и S fl [q) = [q) = T П [q)} =
= {q: p = q и [q) = S и [q) s Г} =
= {9: p^9 и geS и </еГ} =
= Snrnb) = En7")P = 5nr (теорема 10.2.1).
IV. Импликация
Рассмотрим уравнитель е: @>-т+ЙХЙ пары стрелок
^: ЙХЙ-т^й и рг,: аХЙ-+й. Начало © Бе^-стрелки е
является функтором ©: P-^-Set, таким, что
©р = {E, Г): ^ «S, Г» = 5} = {E,. Т): S = r}sQpXQ,
236 Гл. 10. Теоретико-множественные концепты и общезначимость
для всякого Р-объекта р, а отображение @рд для рЕ=<7 пере-
переводит <S, T} в <S<,, Tqy. Компонентами естественного преобра-
преобразования е являются включения ер\ (§>р <->-Qp X ^V
Импликация =*-: Q X & -г* Й, являясь по определению ха-
характеристической стрелкой для е, имеет компоненты =^Р, удов-
удовлетворяющие равенствам
=>p((S, T)) = {q: pr=q и (Qpq(S), Qpq(f)> <= ©p} =
Таким образом, р-я компонента импликации =>: Q X й -г*й
является относительным псевдодополнением для алгебры Рей-
Рейтинга [р)+.
V. Дизъюнкция
Упражнение 1. Показать, что р-й компонентой естественного
преобразования
[<TQ> 1о>, <1а>Тй>]
«в сущности» является множество
Поэтому компоненты дизъюнкции ^: QXQv^ определяют-
определяются равенством wp (<S, Г>) = S U Т.
Сделаем небольшую паузу и отметим следующее. Мы теперь
знаем, что истинностными стрелками в Setp являются есте-
естественные преобразования, компоненты которых совпадают с со-
соответствующими связками (операциями) на алгебрах Рейтинга
в Р. Вспомним, однако, что истинностные стрелки были опреде-
определены задолго до упоминания об алгебрах Рейтинга и интуицио-
интуиционистской логике. Они получились из категорного описания клас-
классических истинностных функций в Set. Впоследствии при интер-
интерпретации в конкретном топосе Setp они дали интуиционистские
истинностные функции. Таким образом, теория «топосной ло-
логики» отражает структуру, общую для классической и интуицио-
интуиционистской логики. Что может служить лучшим примером успеха
в понимании, достигнутого посредством взаимодействия обоб-
обобщения и конкретизации (§ 2.4)?
10.5. ОБЩЕЗНАЧИМОСТЬ
В свете результатов последнего параграфа нетрудно пред-
предвидеть тесную связь между общезначимостью в Setp п алгеб-
алгебраической семантикой в алгебрах Рейтинга [р)+. И действи-
10.5. Общезначимость 237
тельно, главный результат этого параграфа (и всей главы) —
следующая теорема.
Теорема об общезначимости. Для произвольного ч. у. мно-
множества Р и пропозициональной формулы а имеет место
Setp |= а т. и т. т. Р [= а.
Выражение, стоящее слева, означает Setp-общезначимость,
как она была определена в § 6.7. Правое выражение означает
общезначимость по Крипке (см. § 8.4).
Имеется некоторый произвол в выборе пути доказательства
этой теоремы. Мы знаем из § 8.4, что
Р |= а т. и т. т. Р+ \= а,
а из § 8.3 — что
Setp \= а т. и т. т. Setp (l,Q)[=a т. и т. т. Sub(l)H a.
Поэтому мы могли бы доказывать эту теорему, устанавливая
надлежащие связи между алгебрами Р+, Setp(l,Q) и Sub(l).
Все эти пути в конечном счете являются вариациями на одну
и ту же тему, лежащую в их основе. Мы выберем подход,
основанный непосредственно на определении общезначимости
в топосе.
Пусть Ж = (Р, V) — произвольная модель со шкалой Р, где
V: Фо—>-Р+ — некоторая Р-оценка. Используя V, определим
SetP-оценку V: Фо-> Setp (I, Q) (см. § 6.7). Функция V сопо-
сопоставляет каждой пропозициональной букве я истинностное зна-
значение V'(jt): 1-.^й в Setp. Компонента V'(n)p: {0}-^Qp этого
истинностного значения определяется равенством
Таким образом, V'(n)P собирает все точки из [р), в которых
л истинно в Ж.
Если р = q, то У(л)П [р)(] [q) = V(n)(] [q) (упражнение 10.2.2).
Поэтому диаграмма коммутативна. Этим доказано, что V(я)—•
естественное преобразование.
{0}
Модель Ж определяет по правилам § 8.4 для каждой пропо-
пропозициональной формулы аеф подмножество Ж(а)= {q: Ж\=ч
\= ца) в Р. Пусть Ж{а)р = Ж(а,)[)[р). С другой стороны,
оценка V определяет по правилам § 6.7 для каждого аеФ
238 Гл. 10. Теоретико-множественные концепты и общезначимость
БеР-стрелку V' (а): 1 —>-Q с компонентами V'{a)p: {0}->-Q
где р<=Р.
Лемма 1. Для произвольного аеФ р-я компонента
V'{a)P: {0}-»-[/>) +
естественного преобразования V'(a) удовлетворяет равенству
Доказательство. Индукция по построению формулы а.
Так как JC{a) = V'(a) для а — я, то утверждение леммы в этом
случае вытекает из (*). Пусть а=~р и для р лемма спра-
справедлива. Тогда
Следовательно,
= '~1Р(Ж(Р)р) (по индз^ктивному предположению) =
= (~]Jf(P))p (раздел II из§ 10.4 и теорема 10.2.2C)) =
Р)Р (D0 § 8.4) = ЛГ(а)р. П
Упражнение 1. Завершить доказательство леммы 1, исполь-
используя при рассмотрении связок л, v, id другие разделы из § 10.4,
оставшиеся пункты теоремы 2 из § 10.2 и случаи B'), C0
и E0 из § 8.4. ?
Следствие 2. Если Setp \=a, то Р Ь= а.
Доказательство. Пусть Л = (Р, V) — модель со шка-
шкалой Р и V — соответствующая V Setp-оценка, определяемая
равенством (*). Так как Setph=a, то V (а) = true. Следова-
Следовательно, для каждого р имеет место V'(a) = truep@) = [p). Так
как ре[р), то лемма 1 дает pel(a)p=l(a). Ввиду про-
произвольности р получаем JC(a) = P. Так как это равенство спра-
справедливо для произвольной модели со шкалой Р, то а тожде-
тождественно истинна на Р. ?
Для доказательства утверждения, обратного к следствию 2,
мы, отправляясь "от Setp-oueHKH V: Фо—>- Setp (I, Q), построим
Р-оценку V: Фо->-Р+. Стрелка V'{n): I -* Q выбирает для каж-
каждого q^P наследственное подмножество V'(n)q@) множества
[<?). Определим V(л) как объединение всех этих подмножеств.
Таким образом,
V(n) = U{V'(n)q@): ?eP},
т. е.
(**) reF(it) т. и т. т. (для некоторого q reV'(n),@)).
Для полученной Р-оценки V мы могли бы применить (*) и по-
построить другую Setр-оценку V", такую, что V" (л) р @) = V (л) (\
10.5. Общезначимость 239
П \р). Однако мы вернемся при этом к исходной оценке V, как
показывает следующая лемма.
Лемма 3. Для произвольного р е Р
где множество V(n) определяется условием (**).
Доказательство. Из условия (**) ясно, что У(я)р@) =
= У(я). Кроме того, так как V{п)\ 1-fQ и V'(n)p: {0}-^Qp,
то V'(n)P@)<=[p). Поэтому V(a),@)=V(n)fl[p). Обратно,
пусть re V(n)f\[p). Тогда per и re V'{n)q@) для некоторого
<7- Так как F/(n),@)s [<?), то <? —Г- Поэтому возникает диа-
диаграмма
{0} -^ Qf
{0} ™^ Qr
являющаяся коммутативной, поскольку V (я) — естественное
преобразование. Из коммутативности этой диаграммы получаем,
что V'{n)q@)[~\[r)= V'(n)r(O). Так как р^г, то аналогичным
образом устанавливается равенство
V'(n)p@)f][r)=V'(n)r@).
Поскольку геУ'(я),@) и re [г), то, применяя два последних
доказанных равенства, мы выводим, что геУ'(л)р@), Таким
образом, V(n)f|[p)s V'(n)p@). D
Пусть У — произвольная Р-оценка и V — оценка, опреде-
определенная равенством (*), т. е. У/(л)р@)= V(n)p. Тогда по пункту
D) теоремы 1 из § 10.2 имеет место равенство
LJ{V(k)p(O): р<=Р} =
Таким образом, применяя (**) к V, мы опять возвращаемся
к V. Этот факт вместе с леммой 3 показывает, что определения
(*) и (*») взаимно обратны и устанавливают биекцию между
Р-оценками и Setp -оценками. В силу этого можно считать, что
оценка V в лемме 1 получается из оценки V, фигурирующей
в этой же лемме, по определению (**).
Следствие 4. Если Р \= а, то Setp \= а.
Доказательство. Пусть V — произвольная Setp-оценка
и Ж = (Р, V) — модель со шкалой Р и оценкой V, определенной
условием (*«). Так как Р\=а, то Ж(а)=Р и, следовательно,
240 Гл. 10. Теоретико-множественные концепты и общезначимость
для произвольного р Ж(а)р = Ж{а)[\[р) = [р) = truep(O). По
лемме 1 l//(a)p@) = truep@), т. е. У (a) = true. D
Следствия 2 и 4 дают вместе теорему об общезначимости.
10.6. ПРИМЕНЕНИЯ
A) Наиболее важным следствием теоремы об общезначимо-
общезначимости является характеризация класса общезначимых в топосах
пропозициональных формул. Пусть PiL — каноническая шкала,
определенная в § 8.4. Тогда для произвольного «еФ
1— IL.CX Т. И Т. Т. Pil \= ОС-
По теореме об общезначимости получаем отсюда, что
г-iloc т. и т. т. SetpiL[= a.
Мы доказали, таким образом, следующую теорему.
Теорема о полноте для общезначимости в топосе. Если про-
пропозициональная формула а &-общезначима для каждого то-
поса <§, то она выводима в исчислении Рейтинга IL, т. е. г-ц.а.
Вместе с теоремой о корректности из § 8.3 эта теорема
о полноте показывает, что класс общезначимых во всех топосах
пропозициональных формул совпадает с классом IL-теорем.
B) В § 6.7 было объявлено, что формула aV~a не обще-
общезначима в категории Set"*. Чтобы это доказать, заметим, что
Set^—-в сущности то же самое, что Set2. В примере из § 8.4
было показано, что 2 t^a v ~a. Теорема об общезначимости
дает тогда Set2 t^av ~a.
C) Логика LC, упомянутая в § 8.4, получается добавлением
к IL-аксиомам следующей классической тавтологии:
Логика LC и подобные ей называются промежуточными логи-
логиками, так как класс их теорем включает все IL-теоремы и вклю-
включается в класс CL-теорем.
Известно (см. Dummett [59] или Segerberg [68]), что
о \= а т. и т. т. |— lccc.
Поэтому
f—lcoc т. и т. т. Set" \= а,
т. е. LC — это логика топоса «множеств во времени», описан-
описанного в § 10.3. Время при этом состоит из дискретных моментов.
Однако логика не изменится, если предположить время плот-
плотным или даже непрерывным. Если через Q и R обозначить ч. у.
множества рациональных и вещественных чисел соответственно
10.6. Применения 241
с их естественным порядком, то из разд. 5 работы Сегерберга
вытекает, что
<л \= а т. и т. т. Q \= а т. и т. т. R \= а.
Таким образом, топосы Seta, SetQ и SetR имеют одну и ту
же логику.
На самом деле можно сделать и более общее заключение.
Если Р — произвольное бесконечное линейно упорядоченное
множество (т. е. для любых р, q из Р имеет место РЕЕ9 или
Я^р), то
Setp \= а т. и т. т. \— lc<x.
Упражнение 1. Пусть {0, 1, 2, ..., оо}—модифицированный
вариант ч. у. множества «+, описанный в § 10.3. Определить
операции алгебры Рейтинга, модифицируя соответствующие
операции на о>+. Связать эти операции с определением «LC-мат-
рицы», введенным в Dummett [59]. ?
Проблема. Пусть ^ — произвольный топос. Положим
Тогда множество L%, будучи замкнутым относительно modus
ponens, является некоторой промежуточной логикой. Для ло-
логики L% может быть определена каноническая шкала Pig. Это
определение получается из определения шкалы Рц. заменой IL
всюду на Lg.
Имеется ли какая-нибудь общая категорная связь между
топосами Ш и Set L?? П
Упражнения
Упражнение 2. Для данного истинностного значения т:
1 —.->¦ Q топоса Setp определим множество ST e Р+ равенством
Показать, что функция, сопоставляющая каждому т: 1 —.~* Q
множество Sx, является изоморфизмом алгебр Рейтинга
Setp(l, Q) и Р+, т. е. Setp(l, Й)^Р+.
Упражнение 3. Пусть о: F >-г>- 1 — подобъект 1 в Setp.
Можно считать, что для каждого р компонента ар является
включением Fp <-*¦ {0}. Поэтому либо Fp = 0, либо ^={0} = !.
Определим Sa = {p: Fp=l}. Показать, что Sa — наследствен-
наследственное множество н что функция а\—>Sa является изоморфизмом
алгебр Рейтинга Sub(l)^P+. Какая функция будет обратной
к построенной?
242 Гл. 10. Теоретико-множественные концепты и общезначимость
Упражнение 4. Пусть ч. у. множество Р имеет наименьший
элемент. Показать, что
5 U Т = Р т. и т. т. 5 = Р или Т = Р
для любых S, Ге Р+.
Вывести отсюда, что топос Setp дизъюнктивен в смысле
§ 7.7.
Глава 11
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ИСТИННОСТЬ
...новая теория, как бы ни был специален круг ее
применения, редко или вообще никогда не бывает
простой добавкой к тому, что уже известно. Она
требует перестройки предшествующей теории и пере-
переоценки предыдущих фактов, подлинно революцион-
революционного процесса, который редко завершается одним
человеком и никогда не бывает одноэтапным.
Томас Кун
Начиная с этой главы, происходит смещение акцента в сто-
сторону подхода, являющегося скорее описательным, нежели стро-
строгим. Нас особо будет интересовать, как обычно, анализ класси-
классических понятий и определение их категорных аналогов, но про-
проверка деталей, проводившаяся в предыдущих главах, будет
часто опускаться. Доказательство того, что эти обобщения ра-
работают, «как должно», мы будем иногда оставлять читателю.
11.1. ПОНЯТИЕ ЯЗЫКА ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Пропозициональный язык PL из § 6.3 совершенно не го-
годится для выражения самых основных рассуждений о матема-
математических структурах. Возьмем, например, структуру <Л, R}, со-
состоящую из бинарного отношения R на множестве А (т. е.
R^Ay^A). Пусть с — некоторый конкретный элемент множе-
множества А. Рассмотрим предложение «если каждый х связан отно-
отношением R с с, то существует некоторый х, с которым с связан
отношением R». Если А является областью изменения перемен-
переменной х, то это предложение, несомненно, истинно. Действительно,
если каждый объект связан с с, то, в частности, с связан с с.
Поэтому с связан с некоторым объектом. Чтобы яснее увидеть
структуру этого предложения, введем следующие сокращения.
Пусть
а обозначает «для всякого х xRc»,
а
Р обозначает «для некоторго х cRx».
Тогда все предложение схематически изображается в виде
Семантическая теория, развитая для PL в гл. 6, не в состоянии
проанализировать приведенное выше рассуждение, т. е. не мо-
может объяснить, почему формула а =э Р истинна. Чтобы узнать
истинностное значение всего предложения, мы должны знать
истинностные значения предложений а и р. Однако последние
244 Гл. 11. Элементарная истинность
выступают здесь как «атомарные» предложения (подобно бук-
буквам л,). Их строение не может быть выражено в языке PL,
и PL-семантика не может сама объяснить, почему р должно
иметь значение «истина», если истинно а. Для того чтобы фор-
формализовать структуру предложений аир, мы вводим следую-
следующие символы:
(i) символ V, называемый квантором всеобщности, кото-
который читается «для всех»;
(ii) символ Э, называемый квантором существования, кото-
который читается «для некоторого» или «существует»;
(ш) символ с, называемый индивидной константой, который
является именем элемента с;
(iv) символ R — символ двухместного отношения или преди-
предикатная буква, являющаяся именем отношения R;
(v) символ и, называемый индивидной переменной, бук-
буквально интерпретируемый как переменная. Любой элемент из А
может быть ее значением. (Мы столкнемся в дальнейшем с бес-
бесконечным числом таких переменных, но сейчас нужна только
одна.)
Мы можем записать с помощью введенных символов пред-
предложение а как (Vu)uRc и предложение р— как Cu)cRu.
Язык, который мы описываем, называется языком первого
порядка или элементарным языком. Слова «элементарный
язык» означают здесь «язык элементов». Переменные языка
первого порядка пробегают элементы некоторой структуры.
В языке высшего порядка кванторы применяются с перемен-
переменными не только по элементам, но и по множествам элементов,
множествам множеств элементов и т. д. Однако, когда говорят,
что предложение
(VK
истинно в структуре, или «интерпретации», <Л, R, с), то подра-
подразумевают при этом, что переменная v принимает значения
в множестве А. Таким образом, нам не надо включать в наш
язык первого порядка символизм для оборотов вида «для вся-
всякого .v, принадлежащего А», т. е. применение элементарного
языка не зависит от формализации теории множеств.
Язык, который мы только что вкратце описали, является
одним из многих языков первого порядка. Выбор языка зависит
от структуры, которую мы хотим изучать. Если мы хотим рас-
рассматривать булевы алгебры, то нам потребуются:
константы 0 и 1, являющиеся именами нулевого и единич-
единичного элементов;
функциональные буквы цля булевых операций. Это одно-
одноместная буква i для дополнения (выражение i(v) читается как
«дополнение к и») и пара двухместных функциональных букв g
и h для пересечения и объединения (запись g(ui,U2) читается
11.1. Понятие языка первого порядка 245
как «пересечение элементов v\ и v2», а выражение h(t>i,u2) —
как «объединение элементов V\ и v2»);
символ равенства « (выражение вида v\ яз v2 читается как
«1 равно Уг»)-
Тогда, например, предложения
должны быть истинны в любой булевой алгебре — они просто
выражают определяющие свойства дополнения элемента.
В принципе функции всегда могут быть заменены отноше-
отношениями (их графиками). В соответствии с этим мы могли бы
вместо функциональной буквы, например h, использовать трех-
трехместный предикатный символ S и читать запись S(ui, v2, v3) так:
«Ui является объединением v2 и о3». Последнее из приведенных
выше предложений может быть заменено тогда формулой
(Vi)
Наиболее важной математической структурой для целей этой
книги является категория. Это понятие также является «поня-
«понятием первого порядка» и имеется некоторый выбор в его фор-
формализации. Мы могли бы ввести два сорта переменных: один —
для объектов, другой — для стрелок, и получить то, что назы-
называется «двусортным языком». Можно было бы использовать
один сорт переменных и следующий список предикатных букв:
Ob (v)
\r(v)
dom (v
cod (u,
id(u,,
com (v
ь v2)
, v2)
V2)
li U2> U3
«U
«U
«U,
«У,
«0,
) <<wl
есть объект»,
есть стрелка»,
= dom v2»,
! = cod o2»,
= 1U;»,
, = Ib° Da».
Среди предложений, которые нам необходимы для аксиомати-
аксиоматизации понятия категории, должны быть тогда следующие фор-
формулы:
(Vo) ((Ob (v) V Аг (и)) Л ~ (Ob (v) Л Аг (и))),
{Vv2)(Ob(v2)z3 3vlld(vl, v2)),
(Vo,) (Vo2) (dom (vu v2) => Ob (о,) Л Аг (w2)),
(Vw,) ... (Vw6) (com (u4, vb v2) Л com (v5, v4, v3) Л com (u6> v2, u3)
Последнее предложение выражает закон ассоциативности
{v\ о v2) о уз = v 1 о (и2 ° v3). Интерпретацию остальных предложе-
предложений мы оставляем читателю.
246 Гл. 11. Элементарная истинность
Заметим, что при добавлении символа равенства мы можем
выразить утверждение i|)(t>i) о том, что индивид v\ является
единственным индивидом, обладающим некоторым данным
свойством ф (это, конечно, крайне необходимо при описания
свойств универсальности). Положим if>(ui)=(q>(ui) Л (Уи2)(ф ("г) =>
гз uj «* u2))> T- e. «ui обладает данным свойством и всякий
элемент, обладающий этим свойством, равен vi». Формула
3ui4>(ai) обозначается иногда через C!ui)<p(ui) и читается «су-
«существует точно один х, такой, что <p(z>i)».
Описанный выше язык несколько неудобен из-за разграни-
разграничения стрелок и объектов. Более простой подход, упоминав-
упоминавшийся ранее, состоит в замене объектов их единичными стрел-
стрелками, предполагая таким образом, что все индивиды являются
стрелками. Можно было бы использовать, как и раньше, пре-
предикатный символ com, а также функциональные буквы D(v)
для dom v и C{v) для cod и. Таким образом, dom v обозначает
теперь стрелку, а именно единичную стрелку. Но dom и cod от
единичной стрелки должны совпадать с ней самой. Поэтому мы
можем определить Ob (и) как сокращение для выражения
(D(o)« v) л (С(о)« v).
Обстоятельное развитие этого типа языков для категорий пред-
представлено Хэтчером (Hatcher [68]). В этой работе с помощью
такого языка обсуждается ранняя работа Ловера Lawvere [64]
об элементарной теории категории множеств. Хэтчер также дает
строгое доказательство принципа двойственности, который в
конце концов является принципом логики (предостережение —
композицию Хэтчер записывает в другом порядке, т. е. вместо
«g°/» пишет «/g»).
Упражнение 1. Выразить закон тождества в рассмотренных
языках.
Упражнение 2. Выписать предложения первого порядка, вы-
выражающие каждую из аксиом для понятия элементарного то-
поса.
П.2. ФОРМАЛЬНЫЕ ЯЗЫК И СЕМАНТИКИ
Все рассмотренные примеры языков содержат некое общее
ядро, входящее во все такие языки.
Базисный алфавит элементарных языков
( i) бесконечный список v\, v2, vi, ... индивидных перемен-
переменных;
(ii) пропозициональные связки л, v, ~,гэ;
(iii) кванторные символы V, 3;
11.2. Формальный язык и семантики 247
(iv) символ равенства «;
(v) скобки ), (.
Имея этот набор базисных символов, мы можем определить
конкретный язык, предназначенный для описания определенной
структуры, путем добавления к базисным символам символов
отношений, функциональных букв и индивидных констант опи-
описываемого конкретного языка. Поэтому язык первого порядка
определяется как множество символов этих трех видов. Для
булевых алгебр мы используем язык {0, l,f, g, h}, в то время
как для категорий могли бы использовать язык {com, С, D}.
Для рассмотрения семантических теорий элементарной логики
мы будем использовать особенно простой язык, а именно
2= {R,c},
имеющий только одну двухместную предикатную букву R и
одну константу с. Это достаточно для иллюстрации главных
моментов и позволяет избежать трудностей, носящих техниче-
технический, а не принципиальный характер.
Термы. Выражения, являющиеся термами, обозначают инди-
индивиды. Для языка 3? термами являются индивидные перемен-
переменные и константа с.
Атомарные формулы. Атомарные формулы являются основ-
основными строительными блоками предложений. Для языка 3? ато-
атомарные формулы состоят из выражений вида t та и и tRu, где
t и и — термы.
Формулы. Формулы строятся индуктивно, согласно следую-
следующим правилам:
(i) каждая атомарная формула является формулой;
(ii) если ф и ф — формулы, то выражения (фЛ1|з), (ф V 1|з),
(фгэ-ф), (~ф) тоже являются формулами;
(iii) если ф — формула и v — индивидная переменная, то
(Уи)ф и (Эи)ф — формулы.
Предложения. Если некоторое вхождение переменной в фор-
формулу находится в области действия квантора, то это вхождение
называется связанным вхождением переменной. В противном
случае вхождение называется свободным. Так, например, пер-
первое вхождение переменной v\ в формулу (ui«i>i)v
v~Cui)uiRui является свободным, в то время как ее третье
вхождение является связанным. Предложением называется фор-
формула, в которой каждое вхождение переменной связанное. Фор-
мере одно свободное вхождение переменной, называется откры-
открытой формулой.
Будем писать <p(v), чтобы указать на то, что переменная
v имеет свободное вхождение в ф (мы уже пользовались таким
мула, не являющаяся предложением, т. е. имеющая по крайней
248 Гл. 11. Элементарная истинность
обозначением неоднократно). Это обозначение можно обобщить
и писать ф(и,1, ..., Vin), указывая этим некоторые (а воз-
возможно, и все) свободные переменные формулы ф.
Интерпретации языка S1. Чтобы придать смысл ^-предло-
^-предложениям (т. е. предложениям языка 5г), необходимо дать интер-
интерпретацию символов R и с, а затем использовать ее для опреде-
определения интерпретации формул индукцией в соответствии с прави-
правилами их образования.
Моделью для 3? или ^-моделью называется структура 91 =
= (A, R, с}, состоящая из
(i) непустого множества Л;
(п) отношения R*=AXA;
(Hi) конкретного индивида с^А.
Если ф есть предложение (Vui)uiRc, то можно спросить, истинно
или ложно ф в структуре 9t. Ответ будет «истинно», если каждый
элемент из А находится в ^-отношении к с, и «ложно» в про-
противном случае. С другой стороны, если qp(ui) обозначает откры-
открытую формулу uiRc, то бессмысленно спрашивать, будет ф истин-
истинной или ложной. Надо придать некоторое значение (интерпре-
(интерпретацию) свободной переменной v\. Можно спросить, будет ли ф
истинной, когда переменной и\ придано значение с. Ответ поло-
положительный, если cRc, и отрицательный в противном случае. Та-
Таким образом, чтобы определить истинностное значение откры-
открытой формулы в некоторой модели, мы должны сначала придать
ее свободным переменным конкретные значения из этой модели.
Изложим метод интерпретации «сразу всех» переменннх
в модели 21. Пусть х— произвольная функция, ставящая в со-
соответствие каждому положительному числу п некоторый эле-
элемент х(п) или просто хп из множества А. Такая функция назы-
называется %-оценЖ.ой и представляется в виде бесконечной последо-
последовательности х=(х\, х2, ..., Xi, .. .>, t'-й член которой является
значением переменной и,-, даваемым оценкой х. В дальнейшем
нам потребуется изменять оценки только в одном месте. Обо-
Обозначим через x(i/a) оценку, получаемую заменой х, элементом
йеА Таким образом, x(i/a)= <хь х2, ..., xi-u a, Xi+u . . .>.
Введя интерпретацию переменных, мы можем теперь вернуться
к вопросу об истинности. Дадим строгое определение высказы-
высказывания «формула ф выполняется в структуре 91 при оценке х»,
записываемого в виде
« Н «Ра-
«Распределение отношения выполнимости интуитивно почти оче-
очевидно, но выразить его точно несколько труднее. Тот факт, что
такое строгое определение действительно необходимо, был впер-
впервые ясно осознан Альфредом Тарским, сформулировавшим его
(
11.2. Формальный язык и семантики 249
в своей работе [36] и положившим тем самым начало важному
направлению математической логики, известному как теория
моделей.
Атомарные формулы. При данной оценке х каждый терм t
определяет элемент xt множества А, задаваемый условиями
xh если t — переменная vh
с, если t — константа с.
Тогда
A) И |= t « и[х] т. и т. т. xt является тем же самым элемен-
элементом, что и Хи.;
B) 21 = tRu[x] т. и т. т. xtRxu.
Таким образом, символ л: интерпретируется одинаково во
всех моделях. Он обозначает тождественное отношение Д =
= {<х,у>: х = у).
Формулы
C) 21 \= ф А 1|з [х] т.ит.т.Я(=фМ hS1H1>W;
D) % )= ф V *ф [х] т. ит.тЛНф [х] или 5С \== -ф [х];
E) 51 \= ~ф[х] т. и т. т. неверно, что 51 \= tp[x];
F) ?1(=фГЭ1|з[х| т. и т. т. 91 Н1!3 [*] или неверно, что % Н=
Н Ф [х];
G) 9t(= (Уо()ф[х] т. и т. т. для каждого аеЛ 9СН
Np[(/)];
(8) SI \= (Bvi)cf[x] т. и т. т. для некоторого а^А 31 \=
|= q>[x(i/a)].
На самом деле выполнимость формулы зависит только от интер-
интерпретации ее свободных переменных, что вытекает из следую-
следующего упражнения.
Упражнение 1. Если х и у — оценки, такие, что для всякой
переменной vi, входящей свободно в ф, xi = г/,, то
% \= Ф [х] т. и т. т. §1 (= ф [у]. ?
В свете этого факта для произвольного предложения ф (т. е.
формулы, не содержащей свободных переменных) может пред-
представиться две возможности: либо
(i) ф выполняется при каждой й-оценке, либо
(н) ни при какой й-оценке ф не выполняется.
В случае (i) мы пишем 31 ^=ф (читается «ф истинна в 9t» или
«Щ. является моделью для ц»>). В случае (И) мы говорим, что
Ф ложна в Ш. или что ф не выполняется в 91.
О некоторых открытых формулах мы хотим говорить, что
они истинны в 9t. Формула v\ « v\ является таким примером.
Она принимает значение «истина» независимо от ее интерпре-
интерпретации, т. е. выполняется при каждой оценке. Чтобы это уточ-
уточнить и отразить тот факт, что необходима только интерпретация
250 Гл. 11. Элементарная истинность
свободных переменных, рассмотрим выполнимость формул ко-
конечными последовательностями. Индексом формулы назовем
число ее свободных переменных. Пусть формула cp(vt , . . ., vt )
имеет индекс п и и,-,, .. ., vln, где ц < i2 < ... < in, — полный
набор ее свободных переменных. Будем писать 31Нф[*ь •••
..., хп], если St Н 4>[у] для некоторой (эквивалентным образом,
любой) оценки у, такой, что yil=xu yti = x2, ..., yin = xn.
Таким образом, запись 3tj=<p[xb ..., хп] означает, что ср вы-
выполняется при значениях х\ для переменной vti, x2 для vt
и т. д. Формула ф называется истинной в 51 (91Нф). если
Щ. \= ф [хи ..., Хп] для любых xi,..., хп.
Упражнение 2. У Н= ф (у,-,, . • ., и* ) т. и т. т. 2l(=(V^)
Упражнение 3. й[=(Уи)ф[х] т. и т. т. 3|= ~ (Эи) -~ ф[х].
11.3. АКСИОМАТИКА
З'-формула ф называется общезначимой, если она истинна
во всех ^-моделях. Для задания общезначимых формул аксио-
аксиоматически нам потребуется операция подстановки терма / вме-
вместо переменной v в формулу ф. Запись <p(v/t) обозначает ре-
результат замены каждого свободного вхождения переменной v
в формуле ф на терм t. Эта операция «сохраняет истинность»,
вообще говоря, только если и свободна для ( в<р. Это означает,
что либо t есть константа, либо t является такой переменной,
что никакое свободное вхождение v не лежит в области дей-
действия квантора по переменной t. Другими словами, t не стано-
становится связанной переменной после подстановки t вместо произ-
произвольного свободного вхождения переменной и.
Классические аксиомы языка 5? делятся на три группы.
Пропозициональные аксиомы. Это все формулы языка 3?,
являющиеся примерами {имеющие вид) схем I—XII из § 6.3.
Кванторные аксиомы. Для каждой формулы ф(у) и терма t,
для которого v свободна в ф, формулы,
(UI) (Vo)cp:Dcp(o/f),
(EG) <p(o/0=>3txp
являются аксиомами.
(Обозначение этих аксиом — первые буквы слов «universal
instantiation» (универсальное подтверждение) и «existential
generalisation» (экзистенциальное обобщение).)
Аксиомы равенства. Для произвольного терма t
(II) t да t есть аксиома.
11.4. Модели в топосе 251
Для произвольной формулы ф(и) и термов t и и, для которых
неременная v свободна в ср,
A2) (t « и) л y(v/t)zD (p{v/u) является аксиомой.
Правила вывода — это
Правило отделения (modus ponens). Из ср и ср гэ ty можно вы-
вывести 1C.
Кванторные правила
(V) из сргэ1|) можно вывести cprD(Vy)i|) при условии, что и не
входит свободно в ср;
(Э) из ср гэ 1|з можно вывести Cu)cp=Dij5 при условии, что v
не входит свободно в ip.
Обозначая факт выводимости формулы ср из приведенных
выше аксиом по указанным правилам символом Нсьф, мы мо-
можем выразить утверждение об аксиоматизируемости класса
общезначимых формул следующим образом:
|—сьф т. и т. т. $ \= ср для любых ^-моделей 2(.
Это утверждение, известное как теорема Гёделя о полноте, было
впервые доказано для элементарной логики Гёделем в Godel
[30]. Теперь имеется несколько ее доказательств, информацию
о которых можно найти в Chang—Keisler [73] и в Rasiowa —
Sikorski [63].
Упражнение. Доказать, что следующие формулы являются
CL-теоремами:
t яз ИПН «* /, (/ » V.) A (U =» «О ZD (t « U'),
11.4. МОДЕЛИ В ТОПОСЕ
Интерпретация языка 3? в топосе, подобно ее классическому
варианту, естественна в идейном плане и трудна в деталях. Она
основана на переформулировке отношения выполнимости 21 (=
\= ф [х\, ..., хп] на языке стрелок. На самом деле удобнее рабо-
работать с несколько более общим понятием. Число m ^ 1 назовем
подходящим для формулы ф, если все переменные этой фор-
формулы, как свободные, так и связанные, встречаются в списке
ии и2, ..., Um- Заметим, что при этом допускается, чтобы список
содержал другие переменные, не входящие в ср, так что если
m ^ /, то / также будет подходящим числом для ф. Для дан-
данного подходящего m мы можем обсуждать выполнимость с по-
помощью /n-членных последовательностей. Положим %\= ц>[х\, ...
..., хт\, если 21 \= ф [у] для некоторой (эквивалентным обра-
образом, для любой) оценки у, такой, что yi = xi всякий раз, когда
252 Гл. 11. Элементарная истинность
tu входит свободно в ф (такое vt будет входить тогда в список
V\, ..., Vm).
Данная модель 91 = <Л,#, с}, формула ф и подходящее для
ср число m определяют подмножество <fm m-кратного произведе-
произведения Ат. А именно, фт = «хь ..., хт}: 91 = ф[хь ..., хт]}
представляет собой множество всех /л-членных последователь-
последовательностей, на которых в модели 91 выполняется формула ф.
Знать множества фт для подходящих т — значит, знать все
о выполнимости формул в модели 91. При этом правила, опре-
определяющие выполнимость для пропозициональных связок, соот-
соответствуют булевым операциям на подмножествах множества
Ат. Так, дополнение к фт (т. е. множество последовательно-
последовательностей, не удовлетворяющих ф) является множеством последова-
последовательностей, удовлетворяющих ~<р, пересечение множеств фт
и i|jm состоит из последовательностей, удовлетворяющих фл ф,
и мы, таким образом, получаем
(~ ф)т = —фт, (фЛ -ф)т = фт П 11>т, (ф\/ i|))m = фт U i|)m и т. д.
(Теперь видно преимущество использования подходящих чисел
т. Если т является подходящим для ф и ifp числом, то оно
будет подходящим и для ф Л -ф, хотя эти три формулы могут
иметь совершенно различные индексы.)
Можно было бы интерпретировать ф в топосе как подобъект
объекта ат для некоторого объекта а и использовать структуру
алгебры Рейтинга Sub(am) для интерпретации связок, а также,
можно надеяться, и кванторов. Этот подход излагается в дис-
диссертациях учеников Гонзало Рейеса и Андрэ Жуаяля из Мон-
Монреаля. Эта теория для элементарной логики представлена
в Robitaille-Giguere [75].
Другой подход основан на рассмотрении не подобъектов,
а их характеристических стрелок. Этот подход согласован
с пропозициональной семантикой гл. 6 и имеет для нас то пре-
преимущество, что на основе начальных'принципов удобно интер-
интерпретировать кванторы. Этот подход развит в Brockway [76].
Возвращаясь к нашей .З'-модели 91, заменим множество ц>т его
характеристической функцией [ф]ш: Ат->2, где
, если vi ИФ№. • • •» хт],
) в противном случае.
На основании теоремы 1 из § 7.1 имеем равенства
[ф л щт = ыт г, тт (= г,
где н, г\, w — классические истинностные функции на 2.
11.4. Модели в топосе
253
Переходя к кванторам, рассмотрим один пример. Предполо-
Предположим, что ф содержит свободно только переменные v\, v2l Уз
и (при условии, что m = 3) функция [ф]3: Л3->2 уже опреде-
определена. Мы хотим определить функцию [Уи2ф13: Л3->2. Возьмем
произвольную тройку <хь хг, х3> е Л3 и положим
В2 = {х е= А: 21 Н Ф [хи х, х3]} = {х е Л: [ф]3((хь х, х3)) = 1}.
Из определения выполнимости следует, что
9t |= Vv2q>[xh х2, х3] т. и т. т. ?2 = А.
Поэтому мы должны положить
1, если В2 = А,
f
г,
О в противном случае.
Сопоставление тройке <хь х2, х3> подмножества В2 s Л опреде-
определяет функцию | ф |3 из Л3 в @(А). Введем теперь новую функ-
функцию У а' &(А)—>-2, полагая
если В = А,
если В ФА.
Тогда функцию [у^ф!3 можно записать в виде [Уо2ф13 =
ая
{1,
О,
W\l
Ввиду изоморфизма ^(Л)^2Д мы можем рассматривать |ф|3
как функцию вида Л3->-2д. Поэтому она является экспонен-
экспоненциально присоединенной к некоторой функции /: А5УСА^-2
(т. е. /: А*—>-2). Тогда f ставит в соответствие 1 или 0 четверке
<a'i, x-i, х3, х4> е Л4 в соответствии с тем, какое из этих значений
сопоставляет функция [ф]3, ((*,, хг, х^)) = Хв« элементу Xs,, т. е.
в соответствии с тем, равно [ф]3((*|, хА, х3)) единице 1 или
нулю 0. Таким образом, если мы определим функцию^: Л4—>
->Л3 равенством Т\ ((х,, х2, х3, х4))=(х{, х4, х3), то получим
коммутативную диаграмму
254 Гл. И. Элементарная истинность
Но функцию Тч можно определить категорно. Напомним (§ 3.8),
что для любого / ^ m мы имеем отображение проектирования
на /-ю координату (/-ю проекцию) prf: Am-> А, сопоставляю-
сопоставляющее /n-членной последовательности ее /-й член. В рассматривае-
рассматриваемом случае значение функции Т\ получится, если поместить
результат применения 4-й проекции к 4-членной последователь-
последовательности на второе место. Этот процесс может быть записан
(см. § 3.8) в виде произведения отображений, т. е. Т\ есть сле-
следующее отображение:
Л4 -> As.
Следовательно, мы получаем категорное определение функции f,
а потому и функции | ф \\. Остается дать категорное определе-
определение для Ул. Такое определение было дано Ловером в Lawvere
[72], где он определил Ул как «характеристическое отображе-
отображение имени функции true,!». В § 4.2 мы определили Tix\iQA^\ 1 ->
->2А— имя функции true-л — как стрелку, выделяющую trueA
из множества 2А. Так как ti-иел = %а: А—>~2, то мы отождеств-
отождествляем хшел с {Л}?^(Л). Характеристическая функция этого
последнего подобъекта есть по определению Ул- Функция "Чгиед1
сама является экспоненциально присоединенной к композиции
true
где ргл (<0, а->) = х. Таким образом, в равенстве [Vу2ф13 = Ул°
о IФ || через Ул обозначена характеристическая функция
подобъекта в 24, определяемого вложением, экспоненциально
присоединенным к 1гиел°ргл, а ! ф || обозначает функцию, экс-
экспоненциально присоединенную к [ф]3 о /prf, pr^, pr*).
Для квантора существования мы аналогичным образом
имеем
St f= Зи2ф [xi, х2, х3] т. и т. т. В2 Ф 0.
Поэтому положим
( 1, если В2Ф&,
[Эи2ф]3«.*ь х9, х3)) = \ .
и. 2тл u I, 2, vi ^ о в противном случае.
Отсюда следует, что диаграмма
11.4. Модели в топосе 255
коммутативна, где
Г 1, если
3а{В)-\0, если В=0.
Функция За является характеристической для множества
С = {В: В^0} =
= {В: существует х, принадлежащий А, такой, что х •= В}.
Если ед<->. 0>(А)У^А — отношение принадлежности на А
(см. § 4.7), т. е.
>: В s Л ихей},
и рл — первая проекция произведения
(рА«В, х» = В), то рл (ел) = С.
Таким образом, Зл является характеристической функцией
образа композиции
Этим наше исследование кванторов поставлено на «чисто
стрелочную» основу. Общее определение функций [Vy;<plm и
[ЗУ;ф])т получается из приведенного подстановкой m вместо 4
и i вместо 2.
Функция [t ^ ujm: Am->2 определяется так:
{1, если х, = хи,
О в противном случае,
где х — некоторая (произвольная) оценка, первые m членов
которой совпадают с Х\, х2, . ¦., хт. Таким образом, получается
коммутативная диаграмма
2
где р^1: Ат-*А, р™: Ат -> А и бл определены соотношениями
1, если х = у,
ь, если хфу, *>У^А-
Функция бд («дельта Кронекера») является характеристической
функцией тождественного отношения (диагонали) Д = {<х, у}:
256 Гл. 11. Элементарная истинность
х = у} ЕЛ2. Заметим, что Д может быть отождествлена с моно-
монострелкой < 1 л, 1.4>: А—>-А2, переводящей х в <х, д'>. Для категор-
ного определения р™ введем функцию fc: {0}—*-Л, положив
fc(O)=c. Тогда
Iprf: Am —> А, если t = viy
К
fco\: Л'"— 1 —>А, если t = c.
(Подобные же равенства справедливы для р™Л
Переходя к предикатной букве R, обозначим через г: А2 ->-2
характеристическую функцию множества R ^ А\А. Тогда диа-
диаграмма
Am
ltRulm
X
2
будет коммутативна.
Последнее понятие, которое надлежит переформулировать,
есть понятие истинности в модели. Пусть формула ф(и;1, ...
...,У;) имеет индекс п. Тогда, определяя [ф] 31: Ап -> 2 усло-
условиями
( 1, если 21Ь=ф[хь ..., хп],
[ф] 21 ((х< хУ) = \
^ 0 в противном случае,
получаем
211= ф т. и т. т. для всяких хи ..., хп^А имеет место
[ф]5,«*1, . . ., Хп))=1
т. и т. т. [ср] 21 = %Ап т. и т. т. [ф] 21 = true An.
Чтобы описать функцию [ф]я в терминах стрелок, заметим, что
если т — подходящее для ф число, то St[= ф[хь ..., хп] тогда
и только тогда, когда для любых уи ..., ут, таких, что
Uil==xu ¦•¦' yin==xn> имеет место ЯИ=ф[г/1, ..., Ут]- Таким
образом, для любого /, удовлетворяющего равенствам prj" о f =
= рг? при 1 ^
11.4. Модели в топосе 257
диаграмма
коммутативна.
Это описание функции [<р!ч пригодно для определения истин-
истинности предложений. Произвольный элемент множества Ап, т. е.
«-членную последовательность, можно рассматривать как функ-
функцию из ординала п = {О, 1 п—1} в А. Поэтому, если
п — О, то А0 является множеством функций из ординала 0 (на-
(начального объекта 0) в А. Таким образом,
Л° = Л* = {0} = 1.
Если ф —¦ предложение, т. е. индекс ф равен 0, то [ф]„(: А0 —> 2
является некоторым истинностным значением 1-+-2; при этом
true, если 91 j= ф,
false в противном случае.
Отсюда следует, что для любого т^ 1 и любого f: 1->-Лт
диаграмма
(
[ф]м — 1
2
коммутативна. Действительно, если §([=ф, то [ф]ш—постоян-
[ф]ш—постоянная функция, принимающая только значение 1, если же неверно,
что 911= ф, то [ф]'" принимает только значение 0.
Упражнение 1. Пусть формула ф {vt, ..., vln) имеет индекс
пит — подходящее для ф число. Объяснить, почему диаграмма
А"
2
коммутативна, где f{(yu ... ,ym)) = {yiu ¦¦¦, yln)- П
9 Зак. 651
258 1л. 11. Элементарная истинность
Общее определение
Пусть & — топос и а — произвольный (^-объект. Введем не-
некоторые стрелки, ассоциированные с а.
Определение 1. Ла: о>—>а X о — произведение Aа, 1а);
6а: а X а-^-О. — характеристическая стрелка
для Да.
Определение 2. Уа: Qa—>-Q— единственная стрелка, делаю-
делающая диаграмму
л true q
декартовым квадратом, где 1гиеат — стрелка, экспоненциально
присоединенная к композиции truea°pra: 1УС а—>- a—>-Q.
Определение 3. За' Qa—>-Q — характеристическая стрелка
образа композиции ра»Е: еа>—>О"Ха->Й°, где ра- ЙаХ
Хй^-й" — первая проекция, а ^а>—*-й°Хй (см. § 4.7) —
подобъект в Qa X ct, характеристическая стрелка которого равна
eva: йа X a. ->Q. Таким образом, имеем диаграмму
QaXa
I,
Ра°е)
true q
в которой нижний квадрат декартов, а верхний—эпи-моно-раз-
ложенпе.
Определение 4. Для любых m и /, таких, что 1 ^ i ^ пг,
обозначим через Til+1: am+[->am стрелку
(%'-моделью для S называется структура % = <a, r, fc>, в ко-
которой
(i) о — произвольный непустой (^-объект, т. е. <§{\, а)ф 0;
11.4. Модели в топосе
259
(и) г: aX<z->Q — произвольная ^"-стрелка;
(iii) fc: I-*-a— произвольный If-элемент объекта а. Для
каждого терма t и подходящего m определим стрелку pf
если t = vr
если /=с.
Для каждой Й'-формулы ф и каждого подходящего m индук-
индуктивно определим ^"-стрелку [ф]т: am—*-Q следующим образом:
A) [f« «f = 6й о (рт, рт),
( pr™: am->a,
р = <
B) [/Ra]m
C) [Ф л tr
D)
E)
F)
G)
Q
¦QxQ-
о
ф]т = П о [ф]'»;
am M" > qo.
где | ф |. — стрелка, экспоненциально присоединенная к компо-
7Г+1 ыт
знции а'п+1 v ат *- Q;
q*
260 Гл. И. Элементарная истинность
Пусть формула ср (и^, ..., vif^ имеет индекс п и g— произ-
произвольная стрелка из а" в а. Выберем какое-нибудь подходящее
для ф число ш. Обозначим через /: ап -> а произведение
<Рь • ••, ртУ, где
(
а, если j = ik для некоторого
в противном случае.
Определим стрелку [ф]Э[: art->Q равенством [ф]я = [ф]т ° f,
Тогда понятие «?[ есть ^-модель для ф» (что записывается
в виде 211=? ф) определяется так:
21 ^гФ т. и т. т. [ф].ч = truean.
Заметим, что если п^\, то мы могли бы взять в качестве g
произвольную проекцию ап—>-а, в то время как при п = 0 надо
предполагать, что а непуст, чтобы существовала стрелка
g: 1->-о.
Проверка того, что определение стрелки [ф],( не зависит от
выбора g и т, состоит в выполнении несколько длинных, но
очевидных упражнений:
Упражнение 2. Если для f, h: an^tam выполняются равен-
равенства prf о / = рг^1 о h = pr^ для любого k, 1 s^ k < n, то [ф]"г о f ==
= [ф]о/г, где Формула фA'[-1, •••, w«n) имеет индекс п.
Упражнение 3. Если т и / — подходящие для ф числа, то
коммутативна диаграмма
a
При УСЛОВИИ, ЧТО prj. of = prj" ДЛЯ ЛЮбоГО I, ТаКОГО, ЧТО Vi ВХО-
ВХОДИТ свободно в ф. Показать, что такое f существует.
11.5. Подстановка и корректность 261
Упражнение 4. Если ф(и,-1, . .., vin) имеет индекс п и m —
подходящее для ф число, то диаграмма
Q
коммутативна (ср. упр. 1). ?
Из этих результатов получаем следующее:
Теорема. Если ф имеет индекс пит — подходящее для ср
число, то
Я|=*ф т. и т. т. [<F]m = truee«.
Доказательство. В силу упражнения 3 § 4.2 всякая
стрелка, которая пропускается через true, сама есть true, т. е.
если диаграмма
Ъ -!—с
Л\ /true,
Q
коммутативна, то h = true*,. Из определения стрелки [ф]й
и упражнения 4 следует, что [ц>]ч и [ф]т пропускаются друг через
друга, следовательно,
[ф].,( = truean т. и т. т. [ф]"! = trueam. ?
11.5. ПОДСТАНОВКА И КОРРЕКТНОСТЬ
^-формула ф называется &-общезначимой, & \= ф, если для
любой If-модели 91 имеет место 21Цгф.
Теорема 1. Если <<?Н:Фы<^Нф;=)'Ф, то ё? \= ty.
Доказательство. Пусть 91-—произвольная <§?-модель.
Тогда 91 (= ф и 9t [= ф zd if и, выбрав какое-нибудь подходящее
для (ф=>ф) число пг, будем иметь [ф]т =^ [¦Щт = [ф => ty]m =
= trueam (по теореме из конца предыдущего параграфа). Но
trueam есть единица (наибольший элемент) алгебры Рейтинга
&(ат, Q). Поэтому (см. упражнение 8.3.8) в этой алгебре Рей-
Рейтинга 1ф]т = [i|)]m. Так как т будет также подходящим для ф
и 511= ф, то [ц>]т = trueam. Таким образом, в алгебре <§{ат, Q)
имеет место равенство [г|з)т = trueam. Отсюда и из того, что
число т подходящее для г|з, вытекает 91 \= if. ?
Мы показали, что правило отделения сохраняет ^-общезна-
^-общезначимость. Так как пропозициональные связки интерпретируются
262 Гл. П. Элементарная истинность
как истинностные стрелки в топосе, то неудивительно, что при-
примеры схем аксиом I—XI общезначимы в любом топосе <%', в то
время как существуют модели в топосах, в которых схема XII
не верна (один такой пример будет дан позднее). Будем писать
I— 1ьф, если ф выводима в системе, имеющей все правила и акси-
аксиомы из § 11.3, за исключением схемы XII. Без аксиом II и 12
получается интуиционистское исчисление предикатов Гейтинга
(Heyting [66]). Аксиомы равенства, эквивалентные приведен-
приведенным, рассматриваются в Rasiowa — Sikorski [63].
Теорема о корректности. Если г~1ьф, то Ж |= ср, где <§ —
произвольный топос.
Мы не будем полностью доказывать эту теорему, а обратим
внимание только на основные моменты доказательства. Как
обычно, надо показать, что аксиомы ^-общезначимы, и правила
вывода сохраняют это свойство. Для доказательства первой
части надо убедиться в том, что если ф — аксиома, то для мо-
модели 31 справедливо равенство [ф] = trueam при некотором
(или любом) подходящем т. Из теоремы последнего параграфа
следует тогда, что 91 \= ф.
Чтобы установить общезначимость кванторных аксиом и ак-
аксиом равенства, мы должны выяснить категорный смысл опе-
операции подстановки. Если if = q>(vi/t), то в Set интерпретация
терма / из if) как Xt дает то же самое, что и интерпретация и,-
из ф как xt. Точнее, 3t^=i|)[xi, ..., хт] тогда и только тогда,
когда а^ф[хь ..., Xi-\, xt, Xi+i, ..., Хт] и диаграмма
коммутативна, где /(<xb .,., xm>)=<*b ..., xi-\, xt, Xi+u ...
..., Хщ) и т — подходящее для i|) и q> число.
В соответствии с этим в произвольном топосе <э для i ^ т
и терма t, для которого т подходящее (т. е. если t = Vj, то
j^m), определим стрелку б [i/t]: am-^-am как произведение
<рг™, -.., рг™_„ р«, рг«+1> .... рг?).
Лемма о подстановке. Если переменная vi свободна для
t в ф, то в любом топосе коммутативна диаграмма
11.5. Подстановка и корректность
263
Упражнение 1. рг™ о б'" [i/v.] = рг™ о 6m [i/v.] = prm.
Упражнение 2. Если для f: b -*- am справедливо равенство
= prm°f, то диаграмма
Ь
коммутативна. (Проинтерпретировать это утверждение в Set.)
Упражнение 3. Если i, j ^ m, то диаграмма
-^- а
коммутативна.
Упражнение 4. Если у,- свободна для Vj в ф и v,- не входит
свободно в ф, то
[ф (vi/vj)]m ° Т? т1 = [ф]"' о 7Т+1
и, следовательно,
Таким образом, если ф и лр получаются друг из друга переиме-
переименованием связанных переменных, то [ф' = [г|)]т. ?
Для проверки общезначимости аксиом равенства нам пона-
понадобятся свойства символа ба Кронекера.
Теорема 2. Для произвольной пары f, g: b ->- а композиция
^а °</, g} является характеристической стрелкой уравнителя
fug.
Доказательство. Рассмотрим диаграмму
с : ^ Ь
(f. g-
a ;/
true
Q
264 Гл. П. Элементарная истинность
Верхний квадрат получается подъемом стрелки <1а, 1а> = Ла
вдоль <f, g>. Используя свойство универсальности этого квад-
квадрата, можно доказать (легкое упражнение), что h является
уравнителем fug. По определению бя нижний квадрат декар-
декартов. Отсюда по лемме о квадратах и Q-аксиоме получаем ба °
o<f,g> = X/, а
Следствие. ба ° <f, f> = true6 для любой стрелки f: b^-a.
Доказательство truej, = %ib> а \ь уравнивает пару
Из этого следствия немедленно вытекает общезначимость
аксиомы II, т. е. & \= tx,t. Действительно, [^я*^1'" = боо
о /р|», pj"\ и в качестве / из этого следствия возьмем стрелку
pm. am_>a
В категории Set формула t » и определяет множество
Dtu = {(xu ..., хт): а^=(* ««)[*„ ..., хт]} =
= {<*!, . .., хт): xt=xu}.
В соответствии с этим в <§ определим dtu: d>—г ат как под-
объект, характеристическая стрелка которого равна [t « и].
Теорема 3. Для подходящего т
bm\i/t] °dtu = bm[i/u) оdtu.
Доказательство. Так как [t ^ и] = ба о (р
d
™, р^у ат
а
-> Q, то по теореме 2 dtu является уравнителем р^ и
Значит, р^1 ° dtu — р™ ° dtu. Но тогда
= (РГ„ .... р», .... prm)od^. D
Следствие. ?сл« т является подходящим числом для t, и,
Ф (vt) и Vi свободна для t и и в ф, то
[ф (vjt)] ^ [/ « и]и = [Ф Ыи)]т r>\t~ u)m.
Доказательство. Применяя лемму о подстановке, по-
получаем
= [ф] » бт [i/u] о dtu = [Ф
11.5. Подстановка и корректность
265
Так как xd == [t «* и], то доказываемое равенство вытекает
из леммы 1 B) § 7.5. ?
Для того чтобы доказать % }= [(t г» г;) л ф (у,-//)] ^э ф (у,-/ы),
надо установить в алгебре Гейтинга <?{am, Q) неравенство
Но оно вытекает из настоящего следствия и решеточных свойств.
Таким образом, схема 12 ^-общезначима. ?
Теперь мы перейдем к проверке общезначимости кванторных
аксиом. Для этого мы установим основные свойства кванторных
стрелок.
Теорема 4. A) (Ve ° ра) => е\а = true,,e ;< а;
B) еуа=^Cаора)=1гие^ха.
Доказательство. A) Рассмотрим диаграмму
d v
*- Q"Xa
\ rtru6gr ^
true
V.
Верхний квадрат получается подъемом Нщеат вдоль ра. Тогда
стандартное рассуждение дает /,- = VacPo. По определению
стрелки rtrue^, как экспоненциально присоединенной к truea °
< рга диаграмма
tn«e орг
266
Гл. 11. Элементарная истинность
коммутативна, что означает коммутативность периметра сле-
следующей диаграммы
Отсюда следует существование стрелки IX я-
щей rtrueaTX1a через ~.
Теперь рассмотрим диаграмму
Ea, пропускаю-
rtrue"} X1-
где р2: Оа X а -> а есть 2-я проекция. Справедливы следующие
равенства:
(rtrueai X 1 а) ° <\d, P2°f)= (Птиеа1 о |d, 1 а о р, о /) =
= (Ра ° /. Pi ° /) = <Ра> /"г) ° / (упражнение 3.8.2) =
= 1„«Хо°[ (упражнение 3.8.3) = f.
Таким образом, / пропускается через rtrueai X 1а> Так как по-
последняя стрелка пропускается через е, то в ч. у. множестве
Sub(QaXa) мы имеем /?=е. Поэтому (теорема 7.5.1)
X о'
что и требовалось доказать.
B) Упражнение-—используя диаграмму, даваемую опреде-
определением За, установить включение е s g, где %г=ЭаоРа. ?
Если взять в Set последовательность (х\, ..., хт}, построить
<А'ь ..., xm,xt}, а затем применить Т?+1, то получится после-
последовательность <л'ь ..., Xi-\, xt, Xi+i, ..., Хщ), совпадающая с ре-
результатом выполнения операции b[i/t] над <xi, ..., xm). Это
утверждение справедливо и в общем случае.
11.5. Подстановка и корректность
267
Теорема 5. Пусть U'P: am~>am+l обозначает произведение
О am< РГ)- Тогда диаграммы
A)
а"
m+1
B)
йт'Хо
fxi.
QaXa
Q"
коммутативны, где f — произвольная стрелка из ат в Qa.
Доказательство. A) Упражнение —вам понадобится
равенство ]ат = (^рг^, ..., рг;;).
B) По определению функторного произведения
где через рг обозначена проекция рг: ат X a -*¦ &т- П
Часть A) этой теоремы и лемма о подстановке приводят
к равенству [ф(у?//)]т = [ф]т ° ^Г4^'°^Т- Из этого равенства
и коммутативности диаграммы
9.
служащей определением стрелки | ср \ как экспоненциально
присоединенной к lq>}m °Т?+\ следует
Положив / = |ф|™ з теореме 5B), выводим
268 Гл. 11. Элементарная истинность
Используя эти два последних равенства и полагая
X 1а) ° U?> мы получаем
lVvtq> zd Ф (Vl/t)}m = =><»< l\fvMm, 1Ф (Of/Ol"') =
= => о (Va о ра о g, evo о g) = =*- о (\fa о pa, eva) о g =
= (Va ° Pa => eVa) ° § = trUe-2a X a ° S (ТвОрвМа 4) =
= trueam {a'n -^ Qa x a).
Отсюда следует общезначимость аксиомы UI. ?
Упражнение 5. С помощью аналогичного рассуждения и ис-
используя вторую часть теоремы 4, доказать общезначимость
EG. D
Проверку корректности правил (V) п C) мы оставляем
заинтересованному читателю. Подробное доказательство раз-
разработано в Brockway [76].
11.6. МОДЕЛИ КРИПКЕ
Алгебраическая и топологическая интерпретации интуицио-
интуиционистской пропозициональной логики без труда распростра-
распространяются на логику предикатов. Вместо истинностных значений
формул рассматриваются функции [ф]т: Лт->Н, где Н — соот-
соответствующая алгебра Гейтинга, например решетка открытых
множеств некоторого топологического пространства. Всесторон-
Всестороннее исследование моделей такого типа предпринято Расевой
и Сикорским (Rasiawa — Sikorski [63]) (о применениях этих
моделей к интуиционистскому анализу см. Scott [68]).
В своей статье 1965 г. Крипке дал семантику для интуицио-
интуиционистской логики первого порядка IL, обобщающую понятие
^-модели, описанное в этой главе. Характерной чертой модели
Крипке является сопоставление для данного ч. у. множества Р
каждому реР классической модели 3tp. Истинностное значение
атомарной формулы в р определяется ее классическим истин-
истинностным значением в 31Р, а связки рассматриваются как и в про-
пропозициональном случае (§ 8.4). В теории Крипке не рассматри-
рассматриваются индивидные константы и предикат равенства. Поэтому,
чтобы мы могли рассматривать их, введем несколько более
общее понятие модели, чем описанное ранее.
Пусть Р — произвольное ч. у. множество. 2?-моделью со
шкалой Р называется структура 91, состоящая из
(а) функции, ставящей в соответствие каждому р^Р клас-
классическую ^-модель % = (Ар, Rp, cp>;
11.6. Модели Крипке 269
(b) функции, ставящей в соответствие каждой стрелке /?ЕЕ<7
из Р функцию Apq: Ap~+Aq, такую, что
(i) если рЕ q, то Аря{ср) = с,,
(ii) если pep xRpy, то Apq(x)RqApq(y),
(iii) АрР есть тождественная функция 1: Ар^-Ар,
(iv) если р ЕЕ q E= Л то диаграмма
коммутативна. Таким образом, условие (i) требует, чтобы
отображение Apq переводило интерпретацию константы с на
уровне р в ее интерпретацию на уровне q. Условие (ii) выра-
выражает требование сохранения истинности атомарных формул
вида tRu. Заметим, что совокупность {Ар: р е Р} множеств
вместе с отображениями перехода Apq составляет функтор
A: P->-Set, т. е. объект топоса Setp. Это следствие определе-
определения, а не его мотивировка. Причина, по которой выбрано такое
определение ^-моделей, состоит в том, что оно, по нашему
мнению, дает естественный способ трактовать символ « как
отношение равенства индивидов. В определении Крипке вместо
(Ь) требуется, чтобы
если рЕ=<7, то ЛрЕ/1, и Rp^Rq.
Это требование будет выполнено, если в качестве Apq взять
включение Ap<-+Aq. Как указано Томасоном в Thomason [68],
если ж интерпретируется как равенство, то в такой модели
должно быть справедливо (t ж u)V ~ {t m и). Действительно,
различные индивиды остаются различными после вложения
и поэтому останутся различными «навсегда». Томасон предло-
предложил интерпретировать » как отношение эквивалентности Ер
па Ар, допуская случай Ер ф Д. Однако введение отображений
перехода Apq позволяет дать символу ?а его естественную
интерпретацию, не получая при этом общезначимости приве-
приведенного выше частного случая схемы XII. Действительно,
вполне возможно, что х{фхи в АР, но Apq(xt) = Apq(xu). Мы,
таким образом, принимаем в расчет ситуацию, при которой, не
зная об идентичности вешей сейчас, мы можем узнать об этом
позднее, и формализуем тем самым некоторые рассуждения
§ Ю.1.
Пусть ф есть ^-формула и т — подходящее для нее число.
Определим отношение
выполнимости ф в 91 на уровне р, где х\, ..., хт^Ар.
270 Гл. 11. Элементарная истинность
В интересах наглядности будем писать х" вместо Лр,(х).
A) Если ф атомарна, то 9?|=рф[х1, ..., хт] т. и т. т. 9tp H
\= ф [хь ..., хт] в классическом смысле.
B) %\=р(рА^[хь ..., хт] т. и т. т. 9tt=P9[xb ..., хт]
II ОС 1= pl|)[Xi, . . . , Хт].
C) 21 |=р ф V т|: [х, хт\ т. и т. т. 9t (= рф [xi, ..., хп] или
2С |= рг|) [Xi, . . . , Xm] •
D) 9?Нр~ф[^ь ••-, *«] т. и т. т. для всякого q, такого, что
рс q, неверно, что 9(|= mfxj7, ..., xq\.
E) 91 (= рф zd ^[x\, ..., Хт] т. и т. т. для всякого q, такого,
чторЕЕ<7'113 ^ Н, Ф f-^f' •••> хт\ следует 911= г|) [xj?, ..., xjjl.
F) 91 1= рЭи,ф[хь ..., xm] т. и т. т. существует а<=Лр, та-
такой, что 91 И рф [хь ..., х,-_ь а, хг+ь ..., xmi].
G) %\= рУс«ф[хь ..., хт] т. и т. т. Я (=9ф [дер, ...,*'_,, а,
х^+1, . . ., х^]для всякого q, такого, что р Е= q, и всякого а е/!,.
Таким образом, Зиф истинна на уровне р, если ф истинна
для некоторого индивида, имеющегося на уровне р, в го время
как истинность \fvq требует истинности ф не только для всех
индивидов, имеющихся на уровне р, но и для всех тех, которые
появятся позднее.
Для формулы ф(у11, ..., vtn), i\<ii< ... < in, имеющей
индекс п, будем писать %\= рц>[х\, ..., хп], если 91Ц=рф[г/ь ...
..., ут] для некоторого (или любого) подходящего т и неко-
некоторой (любой) последовательности у\, ..., ут, такой, что
у. =х,, . . ., у. — х .
Формула ф называется истинной на уровне р (%.\=рср),
если 91(=рф[хь ..., хп] для любых Xi, ..., хпеЛр, а струк-
структура 9( называется моделью для ф (§1Ц=ф), если для всех
р ^ Р имеет место % \= рф.
Упражнений 1. Показать, что это определение сводится
к классическому понятию ??-модели. если Р содержит только
один элемент.
Упражнение 2. Показать, что если 91|=рф[л'! хп] и pE^q,
то 91 [= фГх?, ..., х?1 для произвольного ф. П
Модель Щ. со шкалой Р превращается в Sef-модель 91* =
= (А, г, fc>. если взять
(i) Л: P->-Set—вписанный выше функтор, переводящий р
в Ар,
(и) г: АУСА-^Q — естественное преобразование с компо-
компонентами гр: АрУ(Ар-*-пр, определяемыми равенством
Гр{(х, г/>)= {q: pE^q и Apq(x)RqApq(y)},
(in) fc: 1 -+A — стрелка с компонентами (fc)P: {0}->Лр,
такими, что (fc)p(O) — ср.
11.6. Модели Кринке 271
Упражнение 3. Показать, что гр((х, у})—наследственное
подмножество в [р).
Упражнение 4. Показать, что xRpy тогда и только тогда,
когда гр((х, у}) = [р). Поэтому (см. § 10.3) квадрат
декартов.
Упражнение 5. Проверить, что г и /с являются естественными
преобразованиями. ?
Эти упражнения показывают, как обратить конструкцию
21к->?[*. Для данной Setp-модели <Л, г, fc> мы определим %,
задавая ср равенством из п. (iii), а отношение Rp— равенством
из упражнения 4. Это устанавливает биективное соответствие
между ^-моделями со шкалой Р и Setp-моделями 91* для S.
Несомненно, читатель ожидает, что соответствующие модели
имеют одни и те же истинные формулы. На самом деле связь
между моделями много тоньше. Вычислим [ф]т для модели 51*
и атомарной формулы ср. Стрелка [/R«]m определяется комму-
коммутативной диаграммой
<Pt,Pu>
где произведение Ат является функтором, таким, что А™ = {Лр)т
и т. д., а естественное преобразование р<: Ат->А имеет ком-
компоненты (р,)р: А™ -+ Ар, задаваемые равенством
¦¦¦> ХтУ)= Xt.
Отсюда видно, что компонента {tRu}™: Apn->QP сопоставляет
а {tRu}: An
набору <хь ..., хт) множество
Эта ситуация обобщается на произвольные формулы в следую-
следующей лемме.
272 Гл. И. Элементарная истинность
Лемма об истинности. Для произвольной формулы ф и под-
подходящего m р-я компонента [ф]™: A™->QP SetP -стрелки
[ф]т: Лт->-0, определенной для модели §1*, удовлетворяет ра-
равенству
((*„ ..., xm)) = {q: рЕЕ<? и
Для случаев пропозициональных связок доказательство лем-
леммы об истинности, проводимое индукцией по ф, должно быть
очевидным в силу анализа топоса SetP, данного в гл. 10. Для
случаев квантификацин и равенства необходимо исследовать
стрелки бл, Va и З4, ассоциированные с Setp-o6beKTOM
A: P->Set.
Теорема 1. Компонента
естественного преобразования
6л: AXA-+Q
задается равенством
Доказательство. Компонентой (Ал)р естественного пре-
преобразования Ал: А-+-АХА является отображение (]А , 1л„):
Ар-+А2. Поэтому (Дл)р можно отождествить с отношением
равенства Ар = {{х, у}: х = у}<=АРХАр. По определению
Fа)р является компонентой характеристической стрелки под-
объекта Ал. Поэтому (см. § 10.3)
(ЫД<*. y)) = {q- P^q 'i (Apq{x), ,4и((/))е\}. п
Упражнение 6. Используя теорему 1, проверить лемму об
истинности для случая, когда формула ф имеет вид t я* и. D
Определение стрелки У а использует операцию экспоненци-
рования в Setp. Для данных функторов F и G из Р в Set эта
операция порождает функтор GF: P->Set, состоящий из сово-
совокупности {(GF)P: -p e P} множеств, заиндексированных элемен-
элементами из Р, вместе с отображениями перехода {GF)pq: (GF)p->
-*-(GF)q для p^q. Определим для каждого р ограничение
Ftp'- [p)->Set функтора F на категорию [р) как функтор, ста-
ставящий в соответствие каждому объекту q e [р) множество Fq,
а каждой стрелке q-*-r из [р) (т. е. паре q, r, такой, что р^
^q^.r) — функцию Fqr. Подобным же образом определим
функтор G\p и положим затем (GF)P равным множеству всех
естественных преобразований из F\p в G\p, т. е.
11.6. Модели Крипке 273
Таким образом, элемент а из {GF)P представляет собой сово-
совокупность {aq\ рЕ=<?} функций aq: Fq^-Gq, заиндексированную
элементами из [р), такую, что диаграмма.
коммутативна всякий раз, когда pc^qczr.
Один из способов получения некоторого такого о состоит
в том, чтобы взять произвольную стрелку т: F —^ G в SetP
и ограничить ее на подкатегорию [р), т. е. положить о= {xq\
p^q). Таким же процессом определяется отображение пере-
перехода (GF)pq для рЕЕ</. Именно, положим
{G")M(o)= {ar: qczr},
где a^(GF)p. Стрелка ev: GFX F ~* G имеет р-ю компоненту
evp: (G^pXF^Gp,
задаваемую равенством
evp«0, х>)= Ор(х),
где 0€H(Gf)P ихеРр.
Упражнение 7. Проверить, что (GF)pg{a) есть естественное
преобразование F\q—r-G\q.
Упражнение 8. Сопоставить эту конструкцию с ее аналогом
для топоса Sety из гл. 9. D
Для произвольной стрелки т: Hy^F-^G р-я компонента
экспоненциально присоединенной к ней стрелки t: //->Gf яв-
является функцией вида tp: Hp->-(GF)p. Для каждого у из Нр
тр (у) является естественным преобразованием F \ p ~r*-G \ р,
имеющим вид t (у) = {т^: р Е q\. Его q-я компонентах^: Fq->Gq
вычисляется по формуле
[ де л- ен Fq.
Здесь читатель должен перевести дух и еще раз прочитать
ьто определение. Затем он может проверить, как он усвоил это
определение, на следующих упражнениях.
Упражнение 9. р-я компонента {0} X Ар -*¦ &р стрелки
true,!G Ргл: 1 X Л —г* Q является функцией, сопоставляющей
[/>) каждой паре <0, х> е {0} Х^р-
274 Гл. 11. Элементарная истинность
Упражнение 10. Компонента rtrue^p: {0}->(Q-4)p естествен-
естественного преобразования "Чгиед1: 1 —г* QA может быть отождеств-
отождествлена с естественным преобразованием a: A[p-^Q\p с q-й ком-
компонентой aq: Aq^-Qq (p^q), задаваемой равенством oq(x) =
= [q), где х ^ Aq. Таким образом, a? = truego|^ и, следова-
следовательно, rtrue,,1p@) = {trueGo|^: pE?}. п
Теорема 2. Компонента
естественного преобразования
Ул: QA-+Q
вычисляется по формуле
(Va)p (°) == 1я: P — Q и для каждых г и х, таких, что q *= г и
,te/ln имеет место аг (х) = [г)},
где стен (Q-4)p.
Доказательство. Так как V^ — характеристическая
стрелка для rtrue^, то
=-{q: p^q и (стг: q = r) = {truer о \Ar; q = г}} =
= {q: p^q и для всякого г из </ЕЕ г следует стг = truer о |л \,
откуда (см. также упражнение 10) следует утверждение тео-
теоремы. ?
Если для каждого р определить подмножество (ел)Р?
<= (Q4)PX^p, положив (?л)р= {(а, х}: ор(х) = [р)}, то из ре-
результатов § 10.3 и определения отображения еул, данного выше,
следует, что квадрат
декартов. Таким образом, включения (е)р являются компонен-
компонентами «отношения принадлежности» на А, т. е. компонентами
естественного преобразования е: ел>-7^йлХ^> Для кото-
которого evA служит характеристической стрелкой.
Упражнение 11. Совокупность {(^а)р: р е Р} определяет
функтор (т. е. Setp-объект). Какие у него отображения пере-
перехода (ед)р,?
11.6. Модели Кринке 275
Упражнение 12. Показать, что компонента (рдое)р компо-
композиции & ел>-,.> ?]лХАи первой проекции рА: Q-4 X Л-^йл
удовлетворяет равенству (рА о е)р(<а, х})= а.
Упражнение 13. Пусть i — образ композиции р,,»е. Пока-
Показать, что р-н компонентой естественного преобразования i мо-
может служить включение
где
ip = {о: (а,х)е(ел)р для некоторого х<^Ар}. П
Теорема 3. Компонента (Зд)Р: (Q4)p-»-?2p стрелки 3А:
qa ^ + q задается равенством
(За)р(о)= {Я'- рЧ^Ц и oq(x) = [q) для некоторого хе/!,},
г<3<? oeE{QA)p.
Доказательство. Эл является по определению характе-
характеристической стрелкой образа композиции рл = е. Используя ре-
результат упражнения 13, находим, что
ШР (о) = {?:рд?и (QA)pq (о) е i,} =
= {q: p^q и (a', x)(=(^A)q для некоторого x^Aq}
(где а' = Р^(ст) = {аг: <?ЕЕг}) =
= {q: p^q и a'(x)^[/7) для некоторого хеЛ?}.
Так как а' = а , то этим теорема доказана. D
Описание естественных преобразований Ул и 34, которое
дается теоремами 2 и 3, отражает структуру соответствующих
пунктов определения отношения выполнимости в моделях
Крппке. Следующая теорема уточняет эту связь.
Теорема 4. Для каждой 9?-формулы ср и подходящего m
р-я компонента
fP-. а;^(па)р
SetP-CTpeAKti | ф |m: Am —г* QA ставит в соответствие каждому
(.Vp . . ., х\ е А естественное преобразование
fP((xu -.., xm})={aq: p^q}: A[p->Q\p
с компонентами aq: Aq->-Qq, удовлетворяющими равенству
oq{x) = M^((xf, ..., х?_Л, х, x?+l xl)). и
Упражнение 14. Доказать теорему 4.
276 Гл. 11. Элементарная истинность
Упражнение 15. Показать, что отображение [Зи1-ср]"г: Ат ->
—> й сопоставляет набору (xv ..., ,v \ е Л™ совокупность
{q: pZ=q и ВД™ «*f, .... -*?_„ -Г, дг*+р .... *?» = [?)
для некоторого .v e Л?|.
Упражнение 16. Найти соответствующее описание отобра-
отображения [Уи;ф]'^ в терминах отображений [ср]™.
Упражнение 17. Завершить индуктивное доказательство
леммы об истинности.
11.7. ПОЛНОТА
Применим лемму об истинности к описанию Бе^-стрелки
Ыч: An~r*-Q, где формула <р имеет индекс п.
Теорема 1. Отображение [ф]р: Ap-+Qp удовлетворяет ра-
равенству
1«Р]Д<*1. ••¦• хп)) = {<!¦¦ РЕН «И,фК, •¦¦, а-']}.
Доказательство. Упражнение (использовать факт ком-
коммутативности треугольника вида
&,
где m — подходящее для ф число).
Теорема 2. Пусть 91 — произвольная 3?-модель со шкалой Р
и Ш* — ассоциированная с ней Sti^-модель. Тогда для любой
З'-формулы ф
Set?
91 j= <f т. и т. т. 21* |= ф.
Доказательство. Возьмем произвольные р п х,, ...
..., хп^ Апр, где п — индекс формулы <р. В силу свойств наслед-
наследственных множеств (§ 10.2, упражнение 3 (п))
peMpfoi, ..., *„)) т. и т. т. Шр{(хи ..., хп)) = [р).
теоремы 1 следует, что
РФ[^, ..., *„] т. и т. т. Mp((xlt .... хп)) =
11.7. Полнота 277
Так как эта эквивалентность имеет место для любых я-членных
последовательностей элементов из Ар, то
31|=рФ т. и т. т. Ыр = (true_4«)p.
Поскольку р произвольно, получаем, что
51Н=Ф т. и т. т. [<р]й. =true4«. п
Применяя метод Томасона из Tomason [68] (см. также
Fitting [69]), мы можем построить каноническое ч. у. множе-
множество Р^ и каноническую модель 91 у со шкалой Ру, такие, что
%.у\= ф т. и т. т. h^ii-ф.
(В модели Томасона символ ^ интерпретируется отношением
эквивалентности Ер на Ар. Однако, беря в качестве Ар множе-
множество классов ?р-эквивалентности, а в качестве отображений
перехода Apq—функции, переводящие ?р-класс элемента х в
-Е^-класс этого же элемента х, мы получаем 91 у как канониче-
каноническую IL-модель, в которой символ та интерпретируется диаго-
диагональным отношением Д.) Если %*# — модель в топосе 8х=&*^яг
ассоциированная с этой моделью, то по теореме 2 имеем
21^1= Ф т. и т. т. 1-ц_ф.
Отсюда и из теоремы о корректности следует, что
& X Н ф Т. И Т. Т. |—11.ф.
Из этой эквивалентности вытекает
Теорема о полноте. Ecui ф общезначима в каждом топосе,
то \— аф.
Теперь легко дать пример модели в топосе, в которой не
выполняется закон исключенного третьего. Возьмем в качестве
Р ч. у. множество 2 = <{0, 1}, ^>, являющееся ординалом. По-
Положим
где Ъ и с — различные элементы, a Ro я Ri — произвольные
выбранные по усмотрению читателя отношения на Ао — {Ь, с}
и А\ = {с} соответственно. Отображение ЛОь {Ь, с} -> {с} —
единственное возможное. Если ф есть предложение (Vui) (ui я*
я* с), то ф истинно в 3d, но ложно в %. Таким образом, неверно,
что 91 =оф, и верно, что 91)=1ф. Отсюда получаем: неверно, что
911= о~Ф, и, следовательно, неверно, что 311= 0Ф v ~ Ф-
Для пропозициональной логики мы видели в § 7.4, что в то-
топосе могут быть общезначимыми все примеры схемы av~o
(так как Sub(l) может быть булевой алгеброй), а сам топос
278 Гл. //. Элементарная истинность
может не быть булевым (из-за того, что Sub(Q) — небулева
алгебра). Эта ситуация имеет место, например, для топоса М2.
Подобным же образом М2 \= ф V ~ ф для любого З'-предложе-
ния ф, так как в этом случае [<р]?[ является истинностным зна-
значением 1—>-Q. Однако положение меняется для открытых
формул.
Теорема 3. Если <g \= ф v -~ф для каждой ^-формулы ф, то
& является булевым топосом.
Доказательство. Пусть 91 — произвольная модель вида
<Q, r, true), т. е. модель, в которой с интерпретируется элемен-
элементом true: 1->й объекта Q. Пусть <p(ui) обозначает формулу
(wi « с). Тогда [ф]я: Q->-Q есть 6;> °<1s>, trueu>. В силу упраж-
упражнения 2 из § 5.1 стрелка true: 1 ->Q является уравнителем пары
1 о и trueo. Поэтому (см. теорему 2 из § 11.5) [(р]?с= xtrue =
= 1 ц. Но 21 (== ф v ~<р, следовательно, [ф v ~<р] н= trues, т. е.
[ф]а^(П °[фЬ) = true,,
или
По теореме 3 из § 7.4 отсюда следует, что Sub(Q) является
булевой алгеброй. ?
Упражнение. Доказательство теоремы 3 использовало тот
факт, что 3? содержит индивидную константу. Показать, что
это предположение можно устранить, рассматривая процесс
«добавления» констант к языку.
11.8. СУЩЕСТВОВАНИЕ И СВОБОДНАЯ ЛОГИКА
Предположение о непустоте множества &(\,а) для З'-моде-
лей в топосе необходимо не только для интерпретации констант,
но и для нашего определения стрелки [ф]«, а потому и для по-
понятия истинности в модели. В категории Set единственным пус-
пустым объектом является, конечно, множество 0. Если оно
допускается в качестве модели, то, как заметил Анджей Мос-
товский (Mostowski [51]), правило отделения не сохраняет
более общезначимость. Неформально, мы считаем универсаль-
универсальное предложение Vt'cp или открытую формулу <р(и) истинными
для пустого множества 0, так как не существует элемента из 0,
на котором ф ложна. С другой стороны, экзнстенциональное
утверждение Зиф ложно в 0, так как не существует элемента,
на котором ф истинно. Более формально, так как 2°= {0}, то
\f,z,: {0}—>-2 представляет собой просто отображение true, в то
время как 3 -: {0}->2 равно false. Если ф имеет индекс п~^\,
То 0™ = 0 и, следовательно, [ф]л: 0—>-2 совпадает с пустым
11.8. Существование и свободная логика 279
отображением, т. е. с отображением true -. Так, например, от-
открытые формулы
(U, « t'i)=KUi(yi « U[) И (U, « t'l)
истинны на 0, в то время как предложение
3ui(ui « ui)
ложно.
Имеются два основных метода построения логики, допускаю-
допускающей пустые модели (так называемой свободной логики). Мос-
товский модифицирует правило отделения (modus ponens):
из ф и ф zd г|з выводится г|з яр« условии, что все свободные
переменные формулы ф входят свободно в ^.
(Альтернативным образом мы разрешаем вывести ¦§, только
если также уже выведены формулы 3v(v л? v) для каждой пере-
переменной v, входящей свободно в tp.)
Этот подход используется в топосном изложении монреаль-
монреальской школой (см. Robitaille-Giguere [75], Boileau [75,]). Другой
метод состоит во введении специального понятия — предиката
существования Е (выражение Е(^) читается «^ существует»)
и модификации определения выполнимости, принимающей во
внимание, что «^ может не обозначать ничего». Это понятие
исследовано Д. Скоттом и М. Фурмэном (Scott — Fourman [74])
и имеет очень интересную интерпретацию для случая пучков и
расслоений, равно как и для моделей Крипке.
Рассмотрим произвольный объект a = (A,f) топоса Вп(/)
расслоений над /. Элемент s: l-^a объекта а является гло-
глобальным сечением s: /—>-Л этого расслоения, выбирающим по
одному «ростку» s(() из каждого слоя Л,-. Но если слой пуст,
Л,- = 0, то не существует такого s(i). Таким образом, мы ви-
видим, что если а имеет по крайней мере один пустой слой (/ не
эпиморфно), то этого достаточно для того, чтобы не существо-
существовало элемента l-^-а. (Мы видим также, что Вп(/) имеет много
неизоморфных объектов, являющихся пустыми в категорном
смысле.) В лучшем случае мы можем рассмотреть локальные
сечения s: D->A (т. е. функции, удовлетворяющие равенству
f os = D t-+ I), определенные на некотором подмножестве D
в /. Это возможно, если Л; Ф 0 для всех i <= D. Напомним
(см. § 4.4, пример 6), что множество D <=. I можно рассмат-
рассматривать как подобъект конечного объекта 1, так как в Вп(/)
имеются изоморфизмы
Подобная ситуация возникает при рассмотрении Setp-MO-
дели <Л, г, fc}. Если объект (функтор) Л имеет элемент
/с: 1 -г*Л, то для каждого р множество Ар непусто {Арф0),
так как (/г)р@)еЛр. Таким образом, если хотя бы одно Ло
280 Гл. //. Элементарная истинность
было бы пустым, то А не имело бы элементов. Однако даже
если А имеет элементы, может оказаться нежелательным интер-
интерпретировать константу как стрелку вида \-* А. Мы можем, на-
например, пожелать расширить наш язык S, включив в него
«имя» Со для конкретного элемента с0 из некоторого множества
Ар. Имя со интерпретировалось бы тогда (как eg) только в тех
2V для которых qe.[p). Заметим, что [р), будучи наследствен-
наследственным множеством, может быть отождествлено (упражнение 2
§ 10.6) с некоторым подобъектом D >— -* 1 конечного объекта
из Setp. Интерпретация Со определяет тогда стрелку/: D—т* А
с компонентами (jc\ : Dq —>¦ Aq, выбирающими с* из А при
Р ЕЕ <?• Для q, не удовлетворяющих неравенству р ЕЕ <?, будет
Я« = 0и (/*), = |: 0-Л,.
Мы хотим заменить элементы 1-*-а объекта а стрелками
d—>-а, для которых начала d являются подобъектами конечного
объекта 1. Они называются частичными элементами объекта а.
Это понятие является частным случаем более общего понятия
частичной стрелки. Стрелка f из категории Set называется час-
частичной функцией пз А в В (записывается /: А «^>В), если она
является функцией из некоторого подмножества множества А
р. В, т. е. domf s А и cod f — В. Для произвольной категории 1?
мы будем писать /: a >.w~>-b, если f является "^-стрелкой, такой,
что cod f = b и существует ^-монострелка dom/>—>a. Таким
образом, частичный элемент объекта а есть стрелка s: l-wv^a.
В случае категории Set, если f: Aw^-^B, то могут иметься
элементы хеД такие, что x^domf. Это обстоятельство часто
выражают словами «f(x) не определено». Но если мы введем
новую вещь •», такую, что * ф. В, и положим /(х) = * для
х ф. dom f, то мы можем рассматривать f как всюду определен-
определенную на А функцию (требование * ф. В необходимо, так как
в противном случае могло бы быть f(x)=* для некоторого
A'edom/). Удобно было бы выбрать в качестве * пустое мно-
множество 0 (равенство f(x)=0 означает, что «f(x) имеет пус-
пустой денотат»). Однако может оказаться, что 0gB. Поэтому
мы заменим каждый элемент у из В одноэлементным подмно-
подмножеством {у} (синглетоном) н вместо В будем рассматривать
совокупность таких синглетонов, т. е. заменим В изоморфным
множеством В'= {{у}: у <= В}. Тогда 0фВ', н, добавляя 0
к В', приходим к множеству
В= {{у}: у<=В}{}{0}.
Теперь для данной функции f: D-*-B, где D^A, определим
функцию J: А—>-Б условиями
Г {/(*)}> если xedom/ = /),
(. 0 в противном случае.
11.8. Существование и свободная логика 281
Ясно, что квадрат
D = -л
/
/
коммутативен, где Цв(у)~ {у} для всех цеВ. Более того, об-
область определения обратного образа пары цв я f удовлетворяет
соотношениям
{(У, х): {y} = J{x)} = {(y, х): x^D и */ = /(*)} =
Поэтому, зная /, мы, беря его обратный образ относительно цв,
можем восстановить f. На самом деле можно доказать (дока-
(докажите), что определенное выше f является единственным отобра-
отображением А ->-Б, для которого приведенный квадрат декартов. Та-
Таким образом, стрелка цв'- В-^В является обобщением стрелки
true: I—>-2. Она действует как «классификатор частичных функ-
функций», обеспечивая биективное соответствие между классами
эквивалентности частичных отображений /: Л-^vw-j-B с концом
в В и «тотальными» (всюду определенными) отображениями
f: А -у- В с концом в В.
Теорема о классификаторе частичных стрелок. Пусть & —
произвольный топос. Тогда для каждого ^-объекта Ъ суще-
существуют <S-объект Б и стрелка г\ь: Ь>—> Б, такие, что для произ-
произвольной пары (f, g) показанных на следующей диаграмме стре-
стрелок существует единственная стрелка f: a->6, для которой
квадрат
декартов. ?
Детальное доказательство этой теоремы имеется в Коек —
Wraith [71]. Для определения щ вводится стрелка {•}&: b->Q6
как экспоненциально присоединенная к б&: by(b^>-Q (в Set
отображение {•}& переводит у в {у}). Доказывается, что стрелка
{•}ь мономорфна, поэтому мономорфна стрелка <{•}», 1ь>: Ь-*-
—>-QbXb. Пусть h: QbY,b-^-Q — ее характеристическая стрелка
и Я — экспоненциально присоединенная к h стрелка (в Set
отображение Н тождественно на синглетонах и переводит все
282 Гл. П. Элементарная истинность
другие подмножества множества b в 0). Затем показывается,
что Й= {'}б= {•}*¦ Поэтому, обозначая через В начало стрелки
ft^^Q6, являющейся уравнителем пары 1,)& и И, получаем
единственную стрелку Ь^>~В (она берется в качестве г\ь), про-
пропускающую {•}& через В >—; Q6, т. е.
Упражнение 1. Разобрать детали этого построения в Set.
Упражнение 2. Показать, что т^: 1-vl является классифи-
классификатором подобъектов в произвольном топосе. ?
Вернемся к свободной логике. В классическом случае семан-
семантическую теорию можно построить, разрешив интерпретировать
леременные и константы в модели к = <Л, .. .> элементами
множества /1(J{*}- Предикат существования Е интерпрети-
интерпретируется как множество (одноместное отношение) А, т. е.
21 И Е(и) [а] т. и т. т. а ее А
для всякого a<=A{J {¦*}. Областью изменения кванторных пере-
переменных по-прежнему является само множество А, т. е.
51 И Vuq) т. и т. т. для любого а ^ А имеет место 51 И Ф ia\ ¦
При такой семантике правило отделения сохраняет общезначи-
общезначимость, а аксиомы UI и EG заменяются формулами
(Vv)(fAE(t)=>cf(v/t) и ф(у//) л Е(/)=э(Эа)ф.
Подробности можно найти в Scott [67], где Е(/) обозначает,
как это часто делается, формулу вида 3v(v ж /).
Переходя к моделям 2f = (а, .. .> в произвольном топосе, мы
видим, что вместо частичных элементов 1 ^vw-> а можно рабо-
работать, как это подсказывается рассмотренным примером, с элемен-
элементами 1->-о «объекта частичных элементов объекта а» (а всегда
имеет элементы, так как а имеет частичный элемент 0>—>а).
Предикат Е интерпретируется характеристической стрелкой
е: a- -Q монострелкн ца: а>—?й, а каждая формула определяет
11.8. Существование и свободная логика 283
стрелку вида [<р],(: (а)п —>п. Для данного частичного элемента
fc: 1 jvw-> а имеем [Е (c)]at = е ° /с и, как видно из диаграммы
dom fc > <- 1
f.
а
true
[Е (c)]?r является характеристической стрелкой для dom fc >—> 1.
Отсюда следует, что
511= Е (с) т. и т. т. [Е (с)].,, = true
т. и т. т. dom/с ^^> 1 ~ 1, в Sub(l)
т. и. т. т. fc является «тотальным» элементом а.
В случае расслоения а = <Л,/> объект а является расслоением
(дизъюнктных) экземпляров множеств А,-, а г\а действует на слое
At как отображение цА.: At-^ At. Элемент /с: 1->-а является
в сущности частичным элементом fc: l^w,->a, т. е. локальным
сечением fc: I--w^~*-A, таким, что
dom/c= {i: 1сA)ф0 в At}.
Отождествляя истинностные значения с подмножествами в /,
мы можем сказать, что
[Е (с)]я = dom fc
и
St |= Е (с) т. и т. т. /с является глобальным сечением.
Множество А изоморфно в Set множеству А + 1, являющемуся
дизъюнктным объединением А и {0}. Изоморфизм устанавли-
устанавливается копроизведением [т^, 0а] стрелок щ: А-+-А и 0а: {0} —*
->-Л, где 0а(О)=0. Таким образом, 0А является элементом
объекта А, соответствующим частичному элементу !: 0-+А
объекта А. Возникает очевидный вопрос, будет ли а изоморфно
а -}- 1 в общем случае. Если бы это было так, то мы имели бы,
в частности, Тзё 1 + 1- Но (см. упражнение 2) 1 является объ-
объектом истинностных значений, и мы знаем, что Q ^ 1 + 1 только
в булевых топосах.
284
Гл. 11. Элементарная истинность
Чтобы сформулировать возникающую ситуацию точнее, обо-
обозначим для произвольного объекта а через 0а: 1->-а един-
единственную (^-стрелку, для которой квадрат
0> > 1
4
a
декартов, и построим стрелку [ца, 0а],
а
Лемма. В Sub(a) подобъект 0а является псевдодополнением
подобъекта ца.
Доказательство. Если —ца: —а>—>а является псев-
псевдодополнением к ца, то у\а П—Ца = Оа (см. § 7.2). Следова-
тельно, квадрат
декартов. Из теоремы о классификаторе частичных стрелок вы-
вытекает, что —\]а является единственной стрелкой, для которой
приведенный квадрат декартов. Рассмотрим диаграмму
О
О
— а
Верхний квадрат декартов (упражнение), нижний декартов по
определению 0а- По лемме о квадратах внешний прямоуголь-
11.8. Существование и свободная логика 285
ник является декартовым квадратом. Из единственности —ца,
упоминавшейся выше, следует коммутативность диаграммы
1
показывающей, что —ца ? 0а. Из определения 0а вытекает,
что ца П 0в = Ое- Так как — х\а является наибольшим элементом
решетки Sub (а), не пересекающимся с ца, то 0а S—ца. Вместе
с предыдущим включением это дает 0а~—г\а- П
Теорема. В произвольном топосе следующие условия экви-
эквивалентны:
A) для всякого &-объекта а стрелка [ца,0а\: а + 1->й
является изострелкой;
B) стрелка [rji, 0\]: 1 —]— 1 —>-1 является изострелкой;
C) топос & булев.
Доказательство. Ясно, что A) влечет за собой B).
Но 0i определяется декартовым квадратом
О ^ 1
0,
который показывает, что 0\ является стрелкой false, так как
i|! = true. Поэтому B) утверждает, что копроизведение [true,
false] является изострелкой. Это дает, как мы видели в § 7.3,
булевость.
Наконец, если имеет место C), то, применяя доказанную
лемму к произвольному (^-объекту а, мы получаем
Ца U 0а — Па U — Ца — 1 й-
Но ца и 0а — дизъюнктные монострелки, следовательно, по
лемме, следующей за теоремой 3 из § 5.4, стрелка [ца, 0а]
мономорфна и потому является своим собственным эпи-моно-
разложением, т. е. Ца (J 0а — [Ца, 0а] в Sub(a). Таким образом,
\ц~[Ца,0а] и [г]а, 0а] —изострелка (см. упражнение 7.2.1). ?
Упражнение 3. Пусть а ~ f: A->-B — произвольный объект
топоса Set"* теоретико-множественных функций. Построим ко-
копроизведение
286 Гл. П. Элементарная истинность
и рассмотрим отображение [/, idB]": (А -\- ВУ ->В, опреде-
определяемое ~-конструкцией в Set. Тогда диаграмма
(А + ВУ
где g является композицией iA: A-+A-\-B и Ца+в, коммута-
коммутативна. Показать, что ч\а: а--*-а — классификатор частичных стре-
стрелок для а в Set"*, где а есть [f, idB]~, a r\a равна паре (g", Лв) -
Применяя это построение для конечного объекта 1 в Set"*,
вновь получить описание классификатора подобъектов для Set"*,
данное в гл. 4.
11.9. ГЕЙТИНГОЗНАЧНЫЕ МНОЖЕСТВА
Согласно изложенному в предыдущем параграфе, можно
рассматривать объект в топосе как «множествоподобное» обра-
образование, имеющее потенциально существующие (частично опре-
определенные) элементы, лишь некоторые из которых актуально
существуют (всюду определены). Связанные кванторами пере-
переменные в формулах пробегают тогда актуально существующие
элементы. В рассмотрениях, относящихся к возникающей при
этом «логике частичных элементов», мы различаем две концеп-
концепции одинаковости (равенства). Предложение 3v(v ж с), равно-
равносильное утверждению о существовании элемента с, говорит, что
имеется актуально существующий элемент, равный с. Таким
образом,
(i) E(c)=3o(o«c).
Здесь символ = является связкой равносильности, читаемой,
как «если и только если». Выражение ф = -ф вводится фор-
формально как сокращение формулы
В (i) мы использовали неявно принцип, согласно которому не-
нечто равное существующей вещи само должно существовать.
Сильнее, однако, потребовать, чтобы элементы могли быть рав-
равными, только если они существуют. Таким образом, из равен-
равенства элементов следует их существование, т. е.
(И) v х w zd E(v) Л Е(до).
Другое понятие одинаковости (равенства), для которого мы
используем символ ==, есть более слабое понятие эквивалент-
эквивалентности, которое не дифференцирует элементы по статусу их
11.9. Гейтингозначные множества 287
существования. Так, v и w будут эквивалентны, если либо ни
один из них не существует, либо они оба существуют и равны
(«*). Это можно выразить в положительной форме: если один
из них существует, то они равны и, следовательно (см. (ii)),
второй существует. Значит, эквивалентность определяется сле-
следующим образом:
(Ш) (l)Sffl) = (E(l))VE(ffl)DD«ffl).
Отсюда видно, что, обратно, равенство («) можно выразить
в терминах эквивалентности, так как равные элементы — это
такие элементы, которые существуют и эквивалентны, т. е.
(ill a) а«йУ = ((уззга>)лЕ(а)лЕ(га>)).
Введенные понятия удобно проиллюстрировать на топосе Вп(/).
Пусть / и g— два частичных элемента У-^^->Л расслоения
А—>-/. Положим, [f « g] = {i e /: f (i) = g(i)}. Множество
If ~ g]> будучи подмножеством в /, является истинностным зна-
значением в Вп(/). Мы понимаем его как истинностное значение
предложения «/ та g», или, другими словами, как меру степени
равенства fug. Его можно также считать мерой области, на
которой fug равны. При этом истинность выражения f(i) =
= g(i) означает, что оба значения f(i), g(i) существуют (т. е. i
принадлежит пересечению областей определения функций fug)
и являются одним и тем же элементом множества А. В частно-
частности, мы имеем
[/ « g} <= dom / П dom g.
В силу сказанного в § 11.8 мы можем написать
что согласуется с (ii). Так как
lf~f} = {»: f @ = f @1 = dom / = [Е (/)],
то [f~/l является мерой степени существования f.
Перейдем теперь к более слабому понятию равенства (оди-
(одинаковости). Будем считать локальные сечения fag эквивалент-
эквивалентными, если они равны на объединении областей их определе-
определения. Поэтому в качестве меры степени их эквивалентности возь-
возьмем множество тех точек i, в которых ни одно из этих сечений
не определено или оба сечения определены и совпадают т. е.
lf&g} = - (dom f U dom g) U [/ « g] =
что соответствует A11), так как —В \j С = В =ф- С в
288 Гл. 11. Элементарная истинность
Аналогичным образом, в категории Тор(/) определим меру
степени равенства частичных элементов (непрерывных сечений)
пучка ростков формулой
Оператор взятия внутренности ( )° здесь необходим для того,
чтобы множество [f » g] было открытым, т. е. истинностным
значением. При этом множество [Е (/)] = [/ ~ f] по-прежнему
остается областью определения функции /, так как область
определения локальных сечений всегда является открытым мно-
множеством. Для эквивалентности соответствующая мера опреде-
определяется условием
где В =>¦ С = (—В U С0)— операция относительного псевдодо-
псевдодополнения в /. Заметим, что, в то время как [/ г» /] может быть
собственным подмножеством в / (предложение «f = f» не всюду
истинно), множество [/ s /] всегда равно /.
Эта дискуссия подводит нас к обощенному понятию множе-
множества как совокупности (частичных) элементов с мерой степени
равенства между ними, принимающей значения в некоторой
алгебре Рейтинга. Это понятие допускает следующее абстракт-
абстрактное аксиоматическое описание.
Пусть (Q, ЕЕ) — полная алгебра Рейтинга, т. е. такая алгебра
Рейтинга, в которой каждое подмножество A s Q имеет наи-
наименьшую верхнюю грань, обозначаемую через U А, и наиболь-
наибольшую нижнюю грань, обозначаемую через Г\А. (Определение
этих граней дано в § 8.3.) Q-значным множеством (Q-множе-
ством) называется пара А, состоящая из множества А и такой
функции ЛХ^^-Й, называемой Q-равенством, которая сопо-
сопоставляет каждой упорядоченной паре (х,у) элементов из А эле-
элемент [л- « у]А из Q так, что для всех х, у, г е А
1х « у\ ЕЕ \у « х\к и [.v « у\ п [// « 2]А = {х » 2]А.
Последние два условия означают Q-истинность формул
(х ~ у) ¦=> {у « д;), (х ~ у) А (у « z) zd (х « г),
выражающих симметричность и транзитивность отношения ра-
равенства. Элемент [я » .v:JA часто будет обозначаться через
[?(.t)]A. Введем следующее определение:
1х * 0]А = (I?*]A u [?у]А => [* « //]д.
Соглашение. Индексы А в таких выражениях будут опус-
опускаться, если смысл ясен и без них.
11.9. Гейтингозначные множества 289
Упражнение 1. Доказать, что следующие утверждения спра-
справедливы для любого Q-значного множества:
{х~у} = 1Ех1
{х « {/] = {х si/Jn {Ex} п \Еу\
{Ех} п [х ку]Е IE у],
[х а- а'] есть единица (наибольший элемент) в Q,
{xmyi^lyx jc],
[а- к у] п [г/ к г] = \х s z],
р == [a- г~ г/] т. и т. т. р п [?*] E[j;sy] и р п [?г/] Е= [х зг г/]. п
Оправданием использования символа классифицирующего
объекта для обозначения нашей полной алгебры Рейтинга слу-
служит тот факт, что в категории Q-Set Q-множеств, являющейся
топосом, сама аглебра Q является объектом истинностных зна-
значений! Более точно, этот объект представляет собой Q-множе-
ство Q, получаемое определением функции QX^->-fl с по-
помощью равенства
[р ~9]о = Р<=^,
где р, q e Q и
() ()()
?) р7)
Операция ^=Ф- является интерпретацией связки равносильности
= . Так как элементы из Q будут служить истинностными зна-
значениями, то будем использовать символы 1 н Т для обозначе-
обозначения наименьшего (нуль) и наибольшего (единица) элементов
из Q соответственно.
Упражнение 2. [р «* <7]й = Т т. и т. т. р = q.
Упражнение 3. [fp]Q = Т.
Упражнение 4. [р « Т]й = р.
Упражнение 5. [p~±]Q = ~lp- ?
Стрелку из А в В можно представить себе в первом прибли-
приближении как функцию /: А-+В. Ее график был бы тогда некото-
некоторым подмножеством в А X В и должен был бы соответствовать
функции вида AXB-+Q. Эту функцию будем понимать как
отображение, ставящее в соответствие паре <А", г/> истинностное
значение Ц {х) ^ у\ представляющее собой степень равенства
f(x) и у, т. е. меру области, на которой у является f-образом х.
Имея это в виду, перейдем к формальному определению.
Стрелкой из А в В в категории Q-Set называется функция
f: Ay^B-^-Q, удовлетворяющая условиям
(iv) [x«*']Anf(<*. //»E=f«*'> У)),
(v) f((x, y))nly~y\<=f((x,y')),
(vi) f((x, y))nf((x,y'))Eily~y%,
(vii) lx~x}A = U{f((x, y)): y^B).
10 Зак. 651
290 Гл. 11. Элементарная истинность
Первые два условия представляют собой аксиомы равенства
(аксиомы неразличимости равных элементов). Они утверждают
Q-истинность формул
являющихся частным случаем аксиомы 12 из § 11.3. Условие
(vi) выражает Q-истинность свойства однозначности стрелки
f, которое можно сформулировать так: «каждый из частичных
элементов у и у' является /-образом элемента х только в обла-
области, на которой эти элементы равны». Переходя к объяснению
условия (vii), заметим, что полнота алгебры Рейтинга Q может
быть использована для интерпретации квантора существования,
если его понимать как (возможно, бесконечную) дизъюнкцию
(т. е. как н. в. г.). Таким образом, предложение «существует
jeB, такое, что ф(г/)» рассматривается как дизъюнкция
<«p(#i) или Ф(г/2) или Ф(г/з) или ...», где уи у2, уз ... — пересчет
всех элементов из В. Поэтому истинностное значение этого пред-
предложения дается выражением
LJ{[q>Q/)]: У^В} или LJ [Ф («/)].
у <= В
Двойственным образом, рассматривая квантор всеобщности как
конъюнкцию, предложение «для всех i/eB <p(у)» следовало
бы интерпретировать выражением
П{[ф0/I: У^В} или П [q>Q/)].
у <=В
Таким образом, условие (vii) обеспечивает Q-истинность утвер-
утверждения, что каждое х^А имеет некоторый f-образ у^В, т. е.
/ является всюду определенной функцией. Произвольное равен-
равенство вида [?*] = [ф] будем читать так: «степень существования
х такая же, как и степень верности ф» или так: «л: существует
на той же области, на которой q>». Поэтому мы можем прочи-
прочитать условие (vii) следующим образом: «каждый элемент из А
существует на той области, на которой он имеет образ в В» или:
«каждый элемент из А существует в такой же степени, в какой
он имеет образ В».
Таким образом, стрелка из А в В, представленная своим
графиком, является экстенсиональным (неразличимым с по-
помощью равенств) функциональным всюду определенным Q-знач-
ным отношением из А в В. Из этого определения следует, что
отношение равенства ж на А обладает перечисленными свой-
свойствами, т. е. функция (х, у) >—> \х ~ г/]А является стрелкой
А->-А, согласно условиям Civ) — (vii). На самом деле она будет
единичной стрелкой для А. Истинностное значение формулы
«id(x)=2/» совпадает тогда с истинностным значением фор-
11.9. Гейтингозначные множества 291
мулы «л: = у», как и должно быть для тождественной функции.
Композиция стрелок /: А-к В и g: B->-C есть функция
g °f: AXC-+Q, определяемая равенством
gof((x,z))= U (f((x,y))ng((y, г»)
(ср. с высказыванием «для некоторого i/efi имеет место
f (
f() ygy) )
Этим категория Q-Set описана полностью. Перейдем теперь
к выяснению ее топосной структуры. Для стрелки /: А->-В обо-
обозначения f((x,y}) и Ц(х)жу] будем использовать как сино-
синонимы.
Конечный объект. Q-множество, состоящее из одноэлемент-
одноэлементного множества {0} и функции [• «* •], определяемой условием
[0«0]=Т, является конечным объектом 1 категории fi-Set.
Единственная стрелка f: А->-1 задается равенством
Ш*) « 0] = [?*],
утверждающим, что f(x) равно 0 на области, на которой х су-
существует.
Произведения. Произведение А X В состоит из произведения
множеств А X В с й-равенством
[<*, у) - (х\ у')} = {х « х\ п {у « /]в.
Стрелка проектирования рГд: АХВ-^-А определяется фор-
формулой
[ (< » г] = [д: « г] п [? (*)] П
имеющей следующий смысл: «А-проекция пары <л;, у> равна 2
в такой же степени, в какой х и у существуют и л; равно z».
Обратные образы. Для построения декартова квадрата
с заданными сторонами f и g определим для ;сеЛ и
ED((xy))= U
C
(ср. с высказыванием «существует с^С, такое, что f(x)=c
и g-(j/) = c», выражающим, что «f(x) = g(y)»)- В качестве
ю*
292 Гл. 11. Элементарная истинность
й-множества D возьмем произведение множеств АХ,В с й-ра-
венством, задаваемым формулой
1(х, у) ~ <*', yr)JD = ED((x, y))nED({x', y'
Тогда
1Е{х, y)}D = ED((x, у)),
т. е. «(х,уУ существует в D в такой же степени, в какой f(x) =
— §(у)у>- «Проекция» g' задается равенством
№ «х, у}) ~zj = ED ({х, у)) п {х « z]A.
Подобным же образом определяется f.
Подобъекты. В категории Set обратный образ представляет
собой подмножество D в А У. В, выделяемое условием «f(x) —
= ?(#)*• Мы только что видели, что в категории Q-Set объект
D является некоторым подобъектом в АХ В, который имеет те
же самые, что и АХ В, частичные элементы со степенью суще-
существования, определяемой условием декартовости квадрата. Эта
ситуация типична при описании подобъектов в категории
Q-Set.
Интуитивно произвольное подмножество в А может быть
представлено функцией вида s: A-*-Q. Такая функция ставит
в соответствие каждому х^А некоторый элемент s(x) из Q,
который мы рассматриваем как истинностное значение предло-
предложения «х е s» или как меру степени принадлежности х «мно-
«множеству s». Поэтому мы обозначим s(x) также через [xesj,
Формально подмножеством Q-множества А называется функ-
функция s: A-+Q, удовлетворяющая условиям
(viii) ^еф^^ЙЕ 1У е SI (экстенсиональность)
и
(ix) [xes]E [Ex] (корректность).
Пример. Пусть Е: А -> Q задается условием
Тогда Е представляет множество всех существующих элемен-
элементов из А. Так как
то мы получаем, что «х существует в той степени, в какой он
принадлежит множеству всех существующих элементов из А». ?
Можно показать, что стрелка /: А->В является мономорф-
ной тогда и только тогда, когда для любых х, у е А и z e В
11.9. Гейтингоэначные множества 293
Такой стрелке соответствует подмножество Q-множества В
(«/-образ» А), т. е. функция Sf. B^-Q. Она определяется так:
sf(y)= U lf{x)**yl
т. е. «у принадлежит Sf на такой области, на которой он яв-
является f-образом некоторого хеЛ». Таким образом, Sf(y) есть
истинностное значение предложения «у^ f(A)».
Обратно, подмножество s: B-+Q fi-множества В опреде-
определяет монострелку fs: AS->B следующим образом. Q-множество
As имеет ту же самую совокупность В частичных элементов, что
и Q-множество В, с fi-равенством, определяемым условием
[.v « y\s = {х е= s] п {у е= s] п [* « г/]в,
означающим, что «х и у равны в As на такой области, на кото-
которой они равны в В и принадлежат s». Стрелка «включения» fs
задается условием
Упражнение 6. (i) Доказать, что s, =s.
(ii) Пусть монострелка /„ : \s >—>В построена по подмно-
подмножеству Sf, соответствующему монострелке /: А>—> В указанным
выше образом. Определим g: A->AS формулой
Показать, что g есть изострелка в категории Q-Set и что диа-
диаграмма
А
В
I
коммутативна. ?
Это упражнение устанавливает важный факт, состоящий
в том, что подобъекты А>—> В в В однозначно определяются
подмножествами fi-»-Q fi-множества В. Последние на самом
деле образуют объект-степень ^(В). Определим его. Обозначим
через S(B) совокупность всех подмножеств s: B~*-Q Q-множе-
ства В. Объект ^(В) состоит по определению из множества
S(B) с Q-равенством
Is -tjj, = П (s (x) <=> t (x))
(ср. с предложением «для всякого х, принадлежащего В, xes
тогда и только тогда, когда х е /»).
294 Гл. 11. Элементарная истинность
Упражнение 7.[s —?]^,(в)= Т т. и т. т. s = / (т. е. s и t обо-
обозначают одну и ту же функцию).
Упражнение 8. [?s]^(B)= Т.
Упражнение 9. [xes]n[s«/]E[ie t\. и
Функция е: S(A)X^4->Q, определяемая равенством
e((s,x})= s(x), удовлетворяет условиям (viii) и (ix). Поэтому
она является подмножеством Q-множества ^(А)Х А. Соответ-
Соответствующий подобъект fe возьмем в качестве отношения принад-
принадлежности <=А >—-»^(А)ХА на А. Из определения е получаем:
«<s, x} принадлежит еАв такой же степени, в какой х принад-
принадлежит s».
Классификатор подобъектов. Определим стрелку true: 1->Й
[true(O) « р] = [р « T]Q
(«р есть true на области, на которой р равно Т»). Таким об-
образом,
[true(O)^p]=(p^>T) = p.
Пусть f: A-^-D — произвольная монострелка и s: D->Q — соот-
соответствующее ей подмножество Q-множества D. Характеристиче-
Характеристическая стрелка %f. D->fi определяется соотношением
т. е. «Xf(^) равно р в такой же степени, в какой d существует,
и р является истинностным значением предложения d^f(A)».
Упражнение 10. Показать, что эта конструкция удовлетво-
удовлетворяет fi-аксиоме.
Упражнение 11. [false@) « р] = [р ж _L]q = (p-<=> -L) =
Упражнение 12. Для истинностной стрелки г\ доказать ра-
равенство [pr\q « г] = [(рП^) « г]о.
Упражнение 1.3. Установить аналогичное равенство для kj.
Упражнение 14. Показать, что операция относительного псев-
псевдодополнения =4-: ?2X^->Q на алгебре Гейтинга Q является
подмножеством Q-множества ЙХЯ, т. е. удовлетворяет усло-
условиям (viii) и (ix), и что соответствующий этому подмножеству
подобъект совпадает с подобъектом @>^ЙХЙ. Показать,
что характеристическая стрелка последнего, т. е. истинностная
стрелка импликации =>¦': ЯX&->-&, удовлетворяет соотно-
соотношениям
i'} {) l(p=>q) ~r]Q. a
11.9. Гейтингозначные множества 295
Объект частичных элементов.
В категории Set синглетон — это множество, содержащее ров-
ровно один элемент. При рассмотрении множеств частичных элемен-
элементов более интересны множества, содержащие не более одного
элемента. Формально подмножество Q-множества А (т. е. экстен-
экстенсиональная и корректная функция) s: A-*-Q называется сингле-
тоном, если она удовлетворяет условию
т. е. «элементы из А принадлежат s только на области, на ко-
которой они равны».
Пример 1. Если йеЛ, то отображение {a}: A~>Q, ставя-
ставящее в соответствие каждому х е А степень \х л; а] равенства
его с а, будет синглетоном в смысле данного определения. При
этом [х е {а}] =[«» а].
Пример 2. Пусть Q = !?(I) и А есть fi-множество всех
локальных сечений некоторого расслоения над / с мерой степени
равенства, определенной в начале этого параграфа. Включаемое
в А пустое сечение 0а является единственным сечением, об-
областью определения которого служит пустое подмножество в /.
Для любого другого сечения х мы имеем [* « 0а] = 0. Для
произвольного Q и произвольного fi-множества А отображение
{0а}'- A~>Q, сопоставляющее _L каждому хеЛ, является син-
синглетоном и [хе{0и}] = 1. ?
Упражнение 15. Если s — синглетон, то
Упражнение 16. {а} = {Ь} т. и т. т. [а « bJ = lEaJ =
Упражнение 17. Пусть seS(A) и рей. Ограничением s
на р называется функция s\p: A~>Q, ставящая в соответствие
s(x)np каждому ieA Показать, что s[>eS(A) и что огра-
ограничение s\p является синглетоном, если s — синглетон. ?
Объект А (см. § 11.9) определим как Q-множество всех
подмножеств множества А, являющихся синглетонами. Так как
объект А сам является подобъектом в ^(А), то ему соответ-
соответствует функция sing: S(A)^-fi. Точное определение этой функ-
функции таково:
[sesing]= П (lx<=s]nly€=s]=>lx~y]),
х, у е= Л
где seS(A) (ср. с предложением «для всех х, у^А из того,
что х и у принадлежат s, следует х = у»). Стрелка включения
т)д : А>—-> А объекта А в А определяется равенством
[Ча (а) « s] = {Еа}А п [s - {a} ]
296 Гл. 1J. Элементарная истинность
(«цх{а) есть s в той же степени, в какой а существует и s
равно {а}»).
Упражнение 18. [s(=sing]=T т. и т. т. s — синглетон.
Упражнение 19. [ {a} «s]E[se sing]. ?
Мы уже знаем, что каждое расслоение над / задает й-мно-
жество, где fi = 5z>(/), состоящее из локальных сечений этого
расслоения. Обратно, для данного произвольного &A) -множе-
-множества А каждое I e / определяет на множестве
Л; = {д:еЛ: / е= {Ех} }
отношение эквивалентности ~,- по формуле
х ~ty т. и т. т. / е \х ~ г/].
Беря фактормножество Л,/~,- в качестве слоя над точкой i,
мы получаем расслоение над /. Используя эту конструкцию,
можно доказать, что категории Вп(/) и 5*(/)-Set эквива-
эквивалентны. Можно также приспособить эту конструкцию к случаю
пучков и показать эквивалентность категорий Тор(/) и в-Set,
где в — полная алгебра Гейтинга открытых подмножеств топо-
топологического пространства /. Эти факты являются частным слу-
случаем результата Хиггса (Higgs [73]) о том, что категория
Q-Set для произвольной полной алгебры Гейтинга Q эквива-
эквивалентна категории «пучков над /». Что это означает, будет объ-
объяснено в гл. 14, в которой мы также увидим, что категория
Q-Set эквивалентна некоторой своей подкатегории, в которой
стрелки А->-В могут быть отождествлены с настоящими тео-
теоретико-множественными функциями А~*-В.
Элементарная логика в Q-Set
Мы уже интерпретировали неформально операции П и U
как универсальный и экзистенциальный кванторы для того,
чтобы понимать конструкции, проводимые в топосе Q-Set. Пе-
Переходя к интерпретации языка первого порядка в этом топосе,
мы можем использовать те же самые операции для интерпре-
интерпретации формальных символов V и 3. Кроме того, вместо припи-
приписывания формуле стрелки типа A-»-Q мы можем работать не-
непосредственно с функциями вида Л->й, получая при этом
благодаря мерам существования [Еа] возможность удобной фор-
формализации принципа, согласно которому кванторные перемен-
переменные должны пробегать существующие индивиды.
Чтобы проиллюстрировать этот подход, предположим, что
наш язык 3? имеет единственный двухместный предикатный
символ R. Наш базисный алфавит включает предикат существо-
существования Е и символ равенства ж. Символ эквивалентности s
11.9. Гептингозначные множества 297
вводится соотношением (ш), приведенным в начале этого пара-
параграфа. Альтернативным образом символ л* может быть опреде-
определен соотношением (Hi а) в терминах s= и Ц.
Для этого языка модель в Q-Set есть пара 21 = <А, г>, со-
состоящая из Q-множества А и подмножества г: Ay^A-^-Q
Q-множества АХ А. (В силу упражнения 6 подмножество г
соответствует единственному подобъекту в А ХА и, следова-
следовательно, единственной стрелке АХ А-»-Я. Таким образом, этот
подход согласуется с определением модели из § 11.4.) Расши-
Расширим 2', добавив для каждого элемента сеЛ константу с.
Истинностное значение [ф]3(е Q предложения qp можно вычис-
вычислить тогда следующим образом.
Атомарные предложения.
Пропозициональные связки.
Л, V, =э, ~ интерпретируются операциями п, U, =>, ~] в Q.
Кванторы.
[Vwp]« = П ([Е(с)=><р(о/с)]я)
с е А
(«ф(с) имеет место для всех существующих с»),
[Зуф1,(= LJ ([Е(с)Лф(у/сI,()
с = А
(«ф(с) имеет место для некоторого существующего с»).
ВыПОЛНиМОСТЬ. ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ формулы ф(И1, ..., Vn)
запись 91|=ф[с1, ..., Сп\, где й, ..., сп^А, означает по опре-
определению, что [ф^/с,, ..., о„/с„)]я=Т. Тогда истинность фор-
формулы ф в % Ct 1= ф) определяется, как обычно, условием
для всех си .... с«е/1 51|=ф[с1, ..., с„].
Упражнение 20. Установить истинность в % следующих
формул:
(t ss ы)Лф(у/и)=>ф(и/0,
VVi ((Vt S Vj) = (Vt S Vk)) =3 (Vj S Vk),
Vuf Л Е (t) zd ф (d/0,
Ф (i>/0 AE(/)d Зоф,
E (t) ^3v(v~ t),
Ев(у «t) = 3o(u st),
VtfiVU/ftUi S U/) = (D? « Vt)),
298 Гл. 11. Элементарная истинность
Vu<p нз Vy (E (v) и> ф),
(и) Лф),
(Е (о4) V Е (оу) =э (vt в о,)) =э (о, « 0/).
Упражнение 21. Показать, что следующие правила сохра-
сохраняют истинность в 81:
из ф Л Е (у) id 1K следует ф :э Vyij:, из -ф л Е (и) zd ф следует
Эиф 13 ф,
где переменная а не входит свободно в ф. П
Эта семантическая теория будет использована в гл. 14 для
определения числовых систем в fi-Set. При этом найдут плодо-
плодотворное применение следующие результаты, упрощающие в не-
некоторых случаях вычисление истинностных значений квантор-
ных формул благодаря возможности дальнейшего ограничения
кванторных переменных.
Будем говорить, что подмножество С Й-множества А порож-
порождает А, если для каждого ае/1 справедливо равенство
\Еа\ = U 1а~6\к.
Упражнение 22. Доказать, что если С порождает А, то
н
[Эоф]я = е Ь'с (№ (с) л ф (о/с)]к). п
11.10. ЛОГИКА ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
В заключение этой главы о квантификации и ее логике упо-
упомянем коротко о результатах, устанавливающих связь между
логикой высшего порядка и топосами.
В логике высшего порядка имеются формулы вида (VX)q>
и (ЗХц>), где Х-—переменная по множествам или отношениям,
или множествам множеств, или множествам отношений, или
множествам множеств множеств... и т. д. Так, в классической
модели 31 = (А, .. .> такой логики областью изменения пере-
переменной X может быть какое-либо из множеств &ЧА), !?(An),
^{^{А")) и т. д. Аналоги этих множеств имеются в произволь-
произвольном топосе в виде объектов Qa, Qa и т. д., благодаря чему
логика высшего порядка может интерпретироваться в произ-
произвольном топосе 8. На самом деле весь топос становится мо-
моделью некоторого многосортного языка, имеющего отдельный
сорт (бесконечный список) индивидных переменных для каж-
каждого ^"-объекта. Для данной теории Г (т. е. непротиворечивого
11.10. Логика высшего порядка 299
множества предложений) такого языка может быть построен
топос &т, являющийся моделью этой теории. Обратно, для
данного топоса 8 можно определить теорию Т$, топос 8vt
которой эквивалентен как категория исходному топосу 8'. Эти
результаты были получены Фурмэном (Fourman [74]) для
логики частичных элементов и впоследствии перенесены Буало
(Boileau [75]) на другие подходы к свободной логике. Они сво-
сводятся к демонстрации того, что концепция «элементарного то-
топоса» равнообъемна концепции «модели многосортной интуи-
интуиционистской логики высшего порядка», и являются уточнением
следующего высказывания Ловера: «Понятие топоса представ-
представляет в объективной категорной форме сущность логики высшего
порядка». Работа Фурмэна имеет интересные необычные логи-
логические особенности, которые мы сейчас кратко опишем.
Во-первых, как уже указывалось в § 11.8, переменные про-
пробегают, а константы обозначают потенциальные элементы
^-объекта а. Формула интерпретируется стрелкой вида [qp]:
(a)n~>Q, соответствующей подобъекту всех п-ок потенциальных
элементов, удовлетворяющих формуле qp.
Во-вторых, его система включает аппарат определенных опи-
описаний (дескрипций) как термов формального языка. Определен-
Определенная дескрипция есть выражение вида loqp, которое читается как
«такое единственное v, что qp». Это выражение служит именем
для такого единственного v, когда оно существует. Основная
аксиома, описывающая этот оператор дескрипции, следующая:
Она читается «существующий элемент и эквивалентен элементу
\vq>(v) тогда и только тогда, когда и является единственным
существующим элементом, удовлетворяющим qp» (напомним,
что кванторы пробегают существующие элементы).
Для семантической интерпретации определенной дескрипции
в топосе 8 предположим, например, что индекс формулы ф(у)
равен 1 и ^"-стрелка [qp]: a~>Q уже определена. Пусть /: 1-*¦
->-Qa— имя стрелки [ф]от]а: a-^-Q (см. § 4.1). (В Set стрелка
f соответствует элементу
Iср| = {хеа: ф(х)}
множества-степени Ра, т. е. подмножеству в а, определяемому
формулой ф.)
Построим в 8 обратный образ
3*в Гл. И. Элементарная истинность
стрелки / относительно «синглетонной стрелки» {-}о, определен-
определенной в § 11.8. (В Set стрелку g можно рассматривать как стрелку
включения 6t->a, где Ь = \ц>\, если |ф| — непустой сингдетон,
т. е. если |ф|= {х} для некоторого хеа, я b = 0 в противном
случае.) Заметим,что g: l-wv-->-a, т. е. g является частичным
элементом объекта а и соответствует поэтому некоторой стрелке
g: l->a. Возьмем это g в качестве значения [\v<$]. (В Set a
есть a U {*} и g соответствует элементу х из множества а, если
|ф|= {х}, и «добавленному элементу» * в противном случае.)
Конечно, оператор дескрипции и его семантическая интер-
интерпретация могут быть введены в рамках логики первого порядка.
В логике высшего порядка этот оператор особенно полезен. Он
дает простой и непосредственный способ выражения как прин-
принципа свертывания, так и операции функциональной абстракции.
Последняя является операцией, определяющей терм, который
обозначает функцию, заданную некоторой формулой.
- Рассмотрим принцип свертывания. Предположим, что фор-
формула ф(и) имеет только одну свободную переменную, пробегаю-
пробегающую совокупность элементов некоторого уровня, или типа,
в структуре высшего порядка, состоящей из подмножеств, мно-
множеств подмножеств, множеств множеств подмножеств и т. д.
Пусть область изменения переменной w состоит из подмножеств
области изменения переменной v. Тогда предложение
(ф (у) = w (v))
утверждает существование единственного множества, элемен-
элементами которого являются все те и только те элементы, которые
удовлетворяют формуле «р.
Если формула ф(и, w) имеет две свободные переменные, то
она определяет отношение. Обозначим через ф'(^) терм
Если отношение, определяемое формулой ф, функционально
(т. е. удовлетворяет свойству единственности выхода), то этот
терм служит обозначением для значений функции. Функцио-
Функциональная абстракция представляется выражением
(u, w) = q>'{v) « w)
(которое сокращается до выражения «Ху-ф'(у)»), где и — пере-
переменная, пробегающая отношения из области изменения пере-
переменной v в область изменения переменной w. Выражение
«}.vq>'(v)» можно читать так: «функция, преобразующая вход
v в выход ф'(о)».
Подробности этого языка высшего порядка и его примене-
применение для характеризации топосов как моделей теорий высшего
порядка можно найти в статье Фурмэна «Логика топосов»
в Barwise [77]. Эта работа важна для глубокого понимания
11.10. Логика высшего порядка 301
структурных свойств топосов. Она открывает различные пер-
перспективы, с одной из которых мы здесь познакомились. Наша
цель — развить точку зрения на топос как универсум похожих
на множества обьектов, который поэтому может служить своего
рода обоснованием теории первого порядка с отношением при-
принадлежности элемента множеству. Мы обсудим этот вопрос
детальнее в следующей главе.
Глава 12
КАТЕГОРНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
...математика будущего, как и математика прошлого,
будет включать исследования, относящиеся к филосо-
философии математики.... Их можно встретить и в теории
категорий, в которой мы видим еще одну довольно
успешную попытку свести всю чистую математику
к одной дисциплине.
Абрахам Робинсон
Хотя в общем топос и следует рассматривать как некоторый
обобщенный универсум множеств, однако, как мы уже видели,
многие топосы имеют структуру, заметно отличающуюся от
структуры топоса Set, владений классической теории множеств.
Даже в топосах, имеющих классическую (булеву) логику, мо-
может быть бесконечное число истинностных значений, могут
существовать неначальные объекты без элементов и разные
стрелки, не отличающиеся на элементах их области определе-
определения и т. д. Итак, чтобы выделить топосы, «похожие» на катего-
категорию Set, мы, конечно, должны на них наложить условия типа
точечности и (потому) двузначности.
Однако, чтобы указать точно, какие топосы похожи на ка-
категорию Set, необходимо точно знать, на что походит сама кате-
категория Set. До сих пор мы беспечно говорили о категории всех
множеств как о чем-то вполне определенном, даже не сознавая,
что могут возникнуть некоторые сомнения относительно самого
существования (не говоря уже о его причинах) такой един-
единственной вещи. Введение формального языка первого порядка
для теории множеств, в котором дается точный вариант теоре-
теоретико-множественных принципов, позволяет разрешить этот во-
вопрос (или уклониться от его решения). Вместо обращения
к универсуму Set мы ограничиваемся при обсуждениях интер-
интерпретациями этого языка. Но как отмечалось в последней главе,
понятие топоса также поддается описанию первого порядка,
а потому связи .между теорией топосов и теорией множеств
можно строго проанализировать в терминах соотношения между
моделями этих двух элементарных теорий.
Прежде чем переходить к деталям этой программы, мы об-
обратимся к двум фундаментальным аспектам категории мно-
множеств.
12.1. АКСИОМЫ ВЫБОРА
Пусть /: Л—»/ — сюръективная («на») функция между
множествами. Тогда, рассматривая f как расслоение над /, мы
12.1. Аксиомы выбора 303
можем построить некоторое сечение функции /, т. е. функцию
s: /->-А, такую, что /°s = id/. Дело в том, что для каждой
точки ie/ слой А,- над i непуст (так как / сюръективна), а по-
потому мы можем выбрать некоторый элемент в А,- и взять его
в качестве s{i) (если же / = 0, то А = 0, и мы в качестве s
берем пустое отображение !: 0—>-0). Иногда говорят, что
сечение s расщепляет эпистрелку f. В результате мы получили
доказательство утверждения о том, что в категории Set все
эпистрелки расщепимы. Придадим теперь этому утверждению
категорный вид.
ES. Каждая эпистрелка а—»Ь имеет сечение Ь~>а, т. е.
Упражнение 1. Показать, что каждое сечение является мо-
монострелкой. ?
Принцип ES является одним из вариантов известной акси-
аксиомы выбора. Это название связано с производимым нами выбо-
выбором элемента s(i) в А,-. Сама функция s, производящая выбор
некоторого элемента в каждом слое Аи называется функцией
выбора. Неформально говоря, по аксиоме выбора допустимо
производить неограниченное число произвольных выборов. Впер-
Впервые в качестве принципа математических рассуждений она была
выделена Цермело в 1904 г. и, как было установлено впослед-
впоследствии, она вытекает из многих важных «теорем» классической
математики, а в действительности и эквивалентна им. Для мно-
многих классически мыслящих математиков аксиома выбора яв-
является вполне приемлемым принципом. Любому из них трудно
обнаружить что-нибудь, что могло бы оказаться ошибочным
в приведенном выше рассуждении, цель которого — установить
истинность ES для категории Set.
Тем не менее положение аксиомы выбора оставалось сомни-
сомнительным, пока Поль Коэн [66] не доказал ее невыводимость
в аксиоматике теории множеств Цермело—-Френкеля (ранее
Гёдель [40] установил, что она не противоречит этой системе).
Дело здесь заключается в том, что функция выбора s не может
быть явно определена с помощью теоретико-множественных опе-
операций над /: Л-»-/. Мы не можем в общем случае указать пра-
правило построения функции s в виде «пусть s{i) — элемент из Л,-,
для которого верно Ф», где ф — некоторое свойство, для которого
доказуема его выполнимость ровно для одного элемента из каж-
каждого А,-. Итак, если мы хотим включить ES в наши представле-
представления о том, как выглядит категория Set, мы должны просто взять
этот принцип в качестве одной из аксиом (если, конечно, он не
вытекает из некоторой также недоказуемой аксиомы, принятой
нами).
304
Гл. 12. Кптегорная теория множеств
Если /: Л—>-/— функция, ле являющаяся отображением
«на», то она не имеет сечения. Именно поэтому, как объясня-
объяснялось в § 11.8, Вп(/)-объект a — (A,f), соответствующий такой
функции, пуст, т. е. не имеет элементов 1 -> а. Однако f будет
иметь частичное сечение s: 1-™^->А.
Действительно, рассмотрев эпи-мо-
но-разложение
функции f, мы получим, что сечение
эпистрелки f* является частичной
функцией из / в А.
Образ f(A) иногда называют
носителем расслоения а. Он являет-
является подмножеством в /, над кото-
Рио. 12.1. рым действительно расположены
слои. Как подмножество в / образ
f(A) отождествим с некоторым подобъектом объекта 1 = (/, id/)
из Вп(/). Действительно, так как диаграмма
коммутативна^в Set, то коммутативна и диаграмма
f
1
Г
sup(а)
где объект sup (а)'есть функция (расслоение) }{А)<-*1.
Переходя теперь к общему топосу &, мы определим носитель
с^-объекта а как подобъект sup(a) >—И в 1, заданный эпи-
моно-разложением
sup(в)
единственной стрелки вида !: а~*-\.
12.1. Аксиомы выбора 305
Теперь можно сформулировать аксиому
SS (расщепление носителей). Эпи-часть а —*• sup (а) в эпи-
моно-разложении стрелки а->~\ имеет сечение s: sup(a)—>-a.
Отметим, что сечение s, расщепляющее носитель объекта а,
задает в а частичный элемент s: I-vw-> а, т. е. принцип SS
тесно связан с вопросом (не) пустоты объектов. В связи с этим
мы введем аксиому
NE. Для каждого неначального объекта а имеется стрелка
вида х: l-*-a.
Лемма. В произвольном топосе (§ пусть g: а>—> 1 — неко-
некоторый подобъект объекта 1. Тогда объект а имеет элемент
х: 1—>-а, если и только если g~li и, что эквивалентно, если
и только если g: a si.
Доказательство. Это по существу случай 2 из доказа-
доказательства теоремы 5.4.2. ?
Соглашение. Топос <§ всегда предполагается невырожден-
невырожденным, т. е. 0 9= 1.
Обозначение. Запись <8 \= NE, 8 \= SS и т. д. означает, что
в топосе 8 выполняется аксиома NE (SS и т. п.).
Теврема 1. Для произвольного топоса <8
&"F=NE т. и т. т. & двузначен и & (= SS.
Доказательство. Предположим, что <В j= NE, и рас-
рассмотрим некоторое истинностное значение t: l->-Q. Поднимая t
вдоль стрелки Т, мы получаем подобъект g: а >—> 1 с %g = t.
Но если t ф _1_, то объект а не начален, откуда по NE вытекает
существование стрелки х: 1->-а. А тогда по предыдущей лемме
g~li, откуда % =%h, т. е. t = Т. Значит, топос <g двузначен.
Чтобы проверить расщепление носителей, рассмотрим диа-
диаграмму
sup(а)
Если sup(a)??0, то а =ё 0 (теорема 3.16.1 B)), а потому един-
единственная стрелка sup(a)->a расщепляет единственную стрелку
a —^ sup (а). Если же sup(a)GeO, то по NE существует элемент
l->-sup(a), откуда в силу предыдущей леммы вытекает, что
объект sup(a) конечен, т. е. sup(a)s 1, а потому 1а — эпи-
306 Гл. 12. Категорная теория множеств
стрелка. Если теперь а^О, то |а — монострелка (теорема
3.16.1D)), а значит, в конечном счете изострелка и O^a^l.
Следовательно, в этом случае топос &" вырожден. Поэтому
можно снова прибегнуть к NE и получить элемент х: 1->-а. Так
как sup(a)SE 1, это дает стрелку sup(a)->-a, которая и должна
быть сечением единственной стрелки !: a—»sup(a).
Обратно, если топос <о двузначен, то элемент sup(a)>—И
из Sub(l) может быть равен только 0i или 1ь Но если а 2= 0,
то sup (a) ^0 (как и выше), а потому данный подобъект не
совпадает с 0[. Значит, тогда sup (a) >—>l~1i, откуда sup(a)s
= 1. Предположим теперь, что & Ь= SS. Тогда существует
стрелка вида sup(a)->-a, а потому и стрелка 1->-а. Это уста-
устанавливает NE. D
Следствие. Топос & точечен в том и только том случае, когда
он булев {классический), двузначен и все носители расщеп-
расщепляются.
Доказательство. По теореме 5.4.5 (доказанной в § 7.6)
топос & точечен тогда и только тогда, когда он классичен
и S N NE. ?
Из расщепимости эпистрелок в булевом топосе, имеющем
даже более двух истинностных значений, вытекает принцип
объемности. Мы говорим, что топос & слабо экстенсионален
(слабо объемен), если для любой пары стрелок f, g: а =Ф b из
f ф g следует существование частичного элемента х: 1 -vw-». b с
fox Ф g сх. Напомним, что х: 1 л^->а означает равенство
cod х = а и существование монострелки domx>—*¦ 1 (поэтому х
не равно !: 0->а при f <= х ф g ° х).
Слабая экстенсиональность топоса <$ специалистами по тео-
теории категорий понимается как то, что Sub(l) есть множество
образующих категории <В.
Теорема 2. Если топос <§ булев и <% (= SS, то <§ слабо экс-
экстенсионален.
Доказательство. Пусть h: о—и — уравнитель пары
f, g: azz^-b, а —h: —о—>а — дополнение к h в Sub (a).
Тогда, как и в § 7.6, если f ф g, то —с^О. Если теперь
у: sup(—с)->-—с —сечение эпйстрелки —с-» sup(—с), то ком-
композиция а' = —/г о у из диаграммы
12.1. Аксиомы выбора 307
задает частичный элемент х: 1^-w-^-a. В случае когда f»x =
= g о х, можно рассуждать, как и в § 7.6: в диаграмме
sup(-c)
композиция х пропускается через стрелку h, откуда выводится
изоморфизм sup(—с)^0, а значит, и изоморфизм —с зё 0. Сле-
Следовательно, частичный элемент х различает стрелки f и g. Q
Пример. В общем случае топос Вп(/) не экстенсионален (не
точечен), хотя и булев, ибо в нем может не выполняться акси-
аксиома NE. Однако Вп(/) слабо эстенсионален. Действительно,
пусть а =(А, h) и b = (В, k) — два расслоения, a f, g: a=^b —
различные стрелки. Тогда различающий их частичный элемент
х: 1 -~w-> а, как и в теореме 2, является локальным сечением
расслоения а, определенным на подмножестве —С его носителя
1г(А). Для каждого элемента ie—С, т. е. такого, что Л, ф 0,
сечение х выделяет некоторый элемент xi из слоя Л,, который
различает f и g, т. е. Цх{)ф g{xi). П
Обратимся снова к категории Set. Пусть f: A-+I — произ-
произвольная функция, a s: f(A)-*-A — сечение эпистрелки f*: A —»>
—» f{A), существующее согласно ES. Тогда при А Ф- 0 мы
можем фиксировать некоторый элемент х0 е А и задать функ-
функцию g: I->- А по следующему правилу:
Г s{y), если y
| х9 в противном случае.
Конечно, в том случае, когда имеется элемент у^{(А), функ-
функция g не является сечением для f, так как f(g(y))^ f (Л).
Однако, исходя из элемента ^ёД мы находим, что элемент
6if(*))= s(f(x)) лежит в слое над f{x), а потому / переводит
g{f{x)) в f{x), т. е. f°g°f(x) = f(x). Это дает еще один вариант
аксиомы выбора, предложенный Маклейном и имеющий такую
формулировку:
АС. Если а ^ 0, то для любой стрелки a -U- Ъ существует
стрелка Ь-1*а, такая, что f »gof = f.
Теорема 3. Если % Н АС, то В И NE, & У= ES и S дву-
двузначен.
308 Гл. 12. Категорная теория множеств
Доказательство. Если а^ 0, то применяя АС к !: а->-1,
мы получаем стрелку g: 1->-а. Значит, аксиома NE выпол-
выполнена. Доказательство ES начнем с замечания о том, что если
/: а-^>Ь — эпистрелка, а а ^ 0, то / является монострелкоп
(теорема 3.16.1), и в результате изоморфизмом, который рас-
расщепляется обратной к нему стрелкой. Если же а^О, то по АС
имеется стрелка g: b-+a с f °g°f = f = U°f. Так как стрелка
/ сократима справа, то f°g=lb) а значит, g — сечение эпи-
стрелки /.
Что касается двузначности, то пусть g: а >—> 1 — моно-
монострелка с (!$0, Тогда по АС имеется стрелка 1 ->а. Отсюда,
как н в теореме 1, g—1ь Значит, множество Sub(l) имеет
лишь два элемента 0i и 1 j. ?
Рассуждения, выводящие АС из ES в категории Set, пере-
переносятся только в топосы, достаточно похожие на Set. Чтобы
убедиться в этом, рассмотрим множество /, имеющее по край-
крайней мере два элемента. Тогда топос Вп(/) имеет по крайней
мере четыре истинностных значения (подмножества в /), а по-
потому в силу последнего результата аксиома АС для него неверна
(это также вытекает из того, что в этом топосе неверна аксиома
NE). Но если в Set все эпистрелки расщепимы, то то же самое
справедливо и для Вп(/). Действительно, h: (j4,f)~»¦ (B,g) —
эпистрелка, если h является сюръективной функцией, включаю-
включающейся в коммутативную диаграмму
т. е. g = h = f. Но тогда если s: В>—> Л — сечение функции h,
то диаграмма4
коммутативна, а потому s задает расщепление стрелки h
в Вп(/).
Вместо того чтобы опираться на предположение о справед-
справедливости ES для Set, мы можем использовать результат Гёделя
о существовании моделей формальной теории множеств, в ко-
которых аксиома выбора верна. Исходя из него, можно построить
категорию расслоений на «множества» из такой модели, что
приводит к топосу, в котором аксиома ES верна, а аксиома
АС — нет.
12.1. Аксиомы выбора 309
Теорема 4. Если топос <% точечен и & (= ES, то 8 \= АС.
Доказательство. Возьмем стрелку f: a-+b и разложим
ее в композицию
Так как топос & точечен, то он и булев, а потому im / имеет
дополнение —im/: —/(«)>—> Ь с im/ Q — im/ ^ 1ь в Sub (b). Но
монострелки im / и —im / дизъюнктны (теорема 7.2.3), а по-
потому [im /, —im/]: /(а) + —f(a)-+b— монострелка (лемма из
§ 5.4). Но тогда
[im/, —im /]~im/U — im /^ 16.
Значит, это копроизведение стрелок является изострелкой. Это
позволяет считать объект b копроизведением объектов /(а)
и —/(а) с im / и —im / в качестве соответствующих инъекций.
Предположим теперь, что а 5^ 0. Так как в точечных топосах
выполняется аксиома NE, то имеется стрелка х: 1-»-а. Пусть
h: —f(a)-*-a — композиция х°1: —/(а)->-1->-а. Так как & \=
|= ES, то также имеется сечение s: /(а)-^-а стрелки /*. Тогда
Ля) J=L ь 2-iL _/(e)
/ о [s, /г] = f = im f о f* о [s, h] ° im / ° /* =
= imf°f*°s°f* (im/ как инъекция) =
= im / о /* (так как /* ° s = 11 <a>) = /•
Итак, g = [s, /г] и есть стрелка, требуемая в АС. ?
Допущения в приведенной формулировке теоремы 4 сильнее,
чем это необходимо. Как мы уже знаем, точечность — это NE
плюс булевость. Но, когда верна аксиома ES, последнее из
этих свойств выводимо! Имеется следующий замечательный
факт, обнаруженный Диаконеску (Diaconescu [75]): из аксиомы
выбора вытекает, что логика топоса должна быть классической.
310
Гл. 12. Категорная теория множеств
Теорема 5. Если в топосе & выполняется аксиома ES, то он
булев.
В основе результата Диаконеску лежит тот факт, что если
каждая эпистрелка с началом в (f + rf имеет сечение, то каж-
каждый подобъект /: а>—>d объекта d имеет дополнение в Sub(d).
Соответствующая конструкция, как она описана в Boileau
[75], лучше всего иллюстрируется в Set, где можно показать,
как получается категорная характеризация дополнения —А в D
к подмножеству Ле/).
A) Образуем копроизведение i\, i^: d =S d + d с инъек-
инъекциями i\, h.
В категории Set мы берем два непересекающихся экзем-
экземпляра D\ и ZJ множества D, содержащие копии At и Л2 под
множества А соответственно. Тогда в качестве D -\- D можно
взять объединение Dx U D%
D
D+D
'У
-A
~A
/a \
/ ч
+
Ч2
-A
Рис. 12.2.
B) Пусть g: d + d —»¦ b — коуравнитель (а потому эпи-
эпистрелка) пары ii of: a-+d-{- d, i2of: a~*d-{- d.
В категории Set стрелка f является включением A <-+D.
Действие функции g заключается в амальгамировании двух
копий А\ и Аг множества А в одну А'^А, при этом дополне-
дополнения —А\ и —А2 остаются без изменений.
в + d
Рис. 12.3.
C) Пусть s: b ^^> d-\- d — сечение стрелки g.
В категории Set стрелка s буквально расщепляет множество
А' на две части, одна из которых переходит в Dlt а другая —
12.1. Аксиомы выбора
311
в ?>2. Обозначим через А{ часть s-образа множества А', лежа-
лежащую в D\, а через Л? — лежащую в ZJ.
-А,
f
ы
А
А'*-
1$
i
D-D
Рис. 12.4.
D) Поднимем теперь стрелки i\ и ^ вдоль сечения s.
-A
/К
-4,
/\
г
-А,
/\
S
Рис. 12.5.
-А
1
/к
-А г
В категории Set подъем стрелки й приводит к подобъекту
(включению) в D, область определения которого получается из
D удалением части, изоморфной А'г-
Аналогично подъем стрелки i2 вдоль s задает включение
Рис. 12.6.
An
E) Рассмотрим теперь пересечение (декартов квадрат) для
/i и /2.
В категории Set это задает пересечение
-л
Рис. 12.7.
312 Гл. 12. Категорная теория множеств
областей определения включений Д и /г, т. е. подмножество —А.
Эта конструкция из пяти шагов переносится в произволь-
произвольный топос, где устанавливается, что пересечение подъемов инъ-
инъекций A и i2 вдоль.сечения коуравнителя диаграммы
а>-^*-d-^* d + d
является дополнением к подобъекту f из Sub(d). Итак, если
IS \= ES, то все элементы из Sub(d) имеют дополнения, а так
как решетка Sub(d) дистрибутивна, то она является булевой
алгеброй. Достаточно подробное доказательство теоремы 5, ис-
использующее некоторую модификацию этой конструкции и вос-
восходящее к Келли (G. M. Kelly), приводится в Brook [74]. До-
Доказательство этой теоремы также имеется в Johnstone [77], гл. 5.
Заметим, что по результатам из § 7.3 для булевости топоса
достаточно существования дополнения у подобъекта true: l->-Q
из Sub(Q). Поэтому достаточным условием для булевости
является расщепимость коуравнителя диаграммы
Теорема 6. g \= АС т. и т. т. & \= ES и & \= NE. ?
Как мы уже отмечали, в топосе, например в Вп(/), могут
расщепляться все эпистрелки, но он при этом не будет экстен-
экстенсиональным (точечным). Однако в силу теоремы 5, если & Н
(= ES, то по теореме 2 топос <§ по крайней мере слабо экстен-
экстенсионален, ибо в этом случае IS \= SS и топос <S булев. С другой
стороны, из экстенсиональности не следует выполнение аксиомы
ES или АС. Согласно работе Коэна Cohen [66], существуют
модели теории множеств, а значит, и точечные топосы, в кото-
которых не верна аксиома выбора.
По предыдущим результатам из АС вытекает булевость
любого топоса. Независимо этот факт установлен в Репк [75],
где предложен еще один вариант принципа выбора:
для каждого множества X Ф 0 имеется такая функция
о: J>(X)^-X, что если В — непустое подмножество в X, то
Соответствующее категорное утверждение вытекает из АС,
не зависит от ES и эквивалентно АС (и ES) в точечном топосе.
Мы закончим этот параграф примером
о - и
12.2. Натурально-числовые объекты 313
нерасщепляющейся эпистрелки й + й—»• а в топосе М2. Здесь
а = ({0, 1,2}, л) с К(\,х) = х и 1@, х)= 1 для всех х €Е {0, 1,2}.
Упражнение 2. Показать, что определенное выше к задает
действие на множестве {0, 1, 2}, а изображенная выше эпи-
стрелка является М2-стрелкой (т. е. эквивариантна). Объяснить,
почему она не имеет сечения.
Упражнение 3. Выполнить аналогичный рисунок для ко-
уравнителя пары
в М2 и объяснить, почему он не имеет сечения.
Упражнение 4. Показать, что в Мг выполнена аксиома SS,
а (потому?) также NE.
Упражнение 5. Показать, что SS и (поэтому?) NE не вы-
выполняются в Z2-Set, где Z2 — аддитивная группа целых чисел
по mod 2,
+
0
1
0
0
1
1
1
0
Объяснить, почему данная ситуация типична, т. е. почему акси-
аксиомы SS и NE никогда не выполняются в M-Set, когда М —
произвольная (нетривиальная) группа.
Упражнение 6. Выполнить упражнение 3 для топоса Set"". D
12.2. НАТУРАЛЬНО-ЧИСЛОВЫЕ ОБЪЕКТЫ
Существует очевидное различие между Set и топосами
Finset и Finord, состоящее в том, что все объекты последних —
конечные множества. Разнообразные определения понятия ко-
конечности в топосе были исследованы в Brook [74], а также
в Kock — Lecouturier — Mikkelsen [75]. Теперь мы займемся
существованием бесконечных объектов в теории множеств.
Основным примером служит множество и = {0, 1, 2, ...} всех
конечных ординалов, элементы которого являются теоретико-
множественными представителями интуитивно мыслимых нату-
натуральных чисел.
Можно считать, что множество и порождается, начиная с О,
многократным добавлением 1, что приводит к последователь-
последовательности 1 = 0+1, 2—1 + 1, 3 = 2+1, ... . Процесс добавле-
добавления 1 определяет функцию следования s: и-»-га, которая преоб-
преобразует п era в п + 1, т. е. s(n)= n + 1.
314 Гл. 12. Категорная теория множеств
(Заметим, что п = {0, ..., п—1}, а п + 1 = {©, ..., п}.
Поэтому имеется явное теоретико-множественное определение
функции s: s(n) = п -{- I = n\j {«}.)
Но исходный ординал 0 отождествляется стандартным обра-
образом с некоторой стрелкой О: 1->-и (в действительности эта
стрелка является включением {0}с^.щ). Тогда мы получаем
диаграмму
которая, как заметил Ловер (Lawvere [64]), удовлетворяет не-
некоторому условию коуниверсальности, характеризующему на-
натуральные числа однозначно с точностью до изоморфизма
в Set. Это условие состоит в том, что каждая диаграмма такого
типа, т. е. вида
Y f
1 > А > А
однозначно пропускается через нее. Действительно, рассмотрим
функции х и f из предыдущей диаграммы. Тогда элемент х@)
из А и функция / порождают последовательность
х@), f(x(O)), f((f(x(O))), f(f(f(x))), ...
в А многократным применением /. Но эту последовательность
можно описать как функцию h: со->-Л из © в Л, так что она
примет вид
А@), АA), А B), АC), ....
Функция h определяется индуктивно или рекурсивно в двух
следующих пунктах:
A) в качестве /г@) мы берем первый член х@) нашей по-
последовательности, т. е.
(*) А @) =*(<)),
B) если Л-й член нашей последовательности уже определен
и равен h(ri), то следующий член h(n-\- 1) получается из него
применением f, т. е. h(n + 1) = f(h(n)). Так как п + 1 = s(n),
то это равенство записывается в виде
(**) ho s(n) = f oh(ri).
Равенства (*) и (**) означают вместе коммутативность диа-
диаграммы
СО —> и}
\h jfc
I—A
что дает упомянутое выше «пропускание». Также легко убе-
убедиться, что эта диаграмма коммутативна только в том случае,
12.2. Натурально-числовые объекты 315
когда функция h удовлетворяет (*) и (**), а потому h может
быть только функцией, построенной указанным выше способом.
Про такую функцию h говорят, что она определена рекурсивно
по данным х in f.
Индуктивные определения этого типа называются определе-
определениями по простой рекурсии и, по-видимому, восходят к Деде-
кинду [88]. Это приводит нас к следующей аксиоме, которая,
как мы видели, должна быть верна для Set.
NNO. Существует натурально-числовой объект (НЧО), т. е.
объект N и такие стрелки 1 Д. .V Д- N',что для любого объекта а
и стрелок 1 Д- а 1> а имеется ровно одна стрелка h: N^-a, для
которой диаграмма
т.е.
коммутативна.
Упражнение 1. Если 1 -?> N—> N и 1 -^> N'—*¦ N' — два
НЧО, то единственная стрелка А, делающая диаграмму
N'
коммутативной, является изострелкой. ?
Это упражнение показывает, что в любой категории нату-
натурально-числовой объект единствен с точностью до изоморфизма.
Стрелки h: N—*-а с dom = N иногда мы называем последова-
последовательностями.
Запас примеров НЧО можно почерпнуть в следующей тео-
теореме.
Теорема 1. Set? \= NNO для любой (малой) категории 'W.
Конструкция для доказательства. Пусть N: '?'->-
—*- Set — постоянный функтор с
N (а) = со для всех (^-объектов а,
N(f) = \du> для всех ^-стрелок f.
Возьмем в качестве а: N -г* N постоянное естественное преобра-
преобразование с компонентами ла: N(a)-+N(a), совпадающими при
каждом а с функцией следования s: со-хо.
316 Гл. 12. Категорная теория множеств
Добавляя к этому постоянное естественное преобразование
О: 1 —>-jV, каждая компонента Оа: l{a)-+N(a) которого совпа-
совпадает с включением {0} «-»¦ со, мы получаем объект, удовлетворяю-
удовлетворяющий аксиоме NNO (проверку мы оставляем читателю — опреде-
определение единственной нужной стрелки очевидно, а проверка того,
что она является естественным преобразованием, не так
проста). ?
Упражнение 2. Описать натурально-числовые объекты в Set2,
Set"* и M-Set в терминах, соответствующих первоначальному
способу задания этих топосов. ?
В топосе Вп(/), как и следует ожидать, расслоение N со-
состоит из экземпляров множества со. Формально N есть проекция
рг/: /X ю-*-Л так что слой Ni над i равен {(} Хй = и. Отобра-
Отображение a: N-+N задается по правилу a (<i, n>) = <i, n + 1>, т. е.
действует на слоях как обычная функция следования. Беря
функцию О: 1-»-ЛГ с О,@ = (U 0>, мы получаем коммутативную
диаграмму
- Ixo)
а поэтому функции О и л задают стрелки в Вп(/).
Пусть a==(A,g) — некоторое расслоение, а х: 1->-а, /: а-*-
->- а — стрелки. Тогда можно определить единственную стрелку
h: /Хсо->-Л, делающую диаграмму
коммутативной. Фиксируя внимание на слое над точкой i, мы
рекурсивно определяем на этом слое h соотношениями
Это, очевидно, единственная возможность сделать указанную
диаграмму коммутативной, а потому h доставляет нам един-
единственную стрелку из /if в а в категории Вп(/), определяемую
рекурсивно по данным х и f.
Упражнение 3. Проверить (индуктивно), что h: N-+a, т. е.
goh = pr;.
12.2. Натурально-числовые объекты 317
Упражнение 4. Показать, что функция б является произведе-
произведением id/Xs, а О = <id/, О/>, где Or. /->-со — такая функция,
что Oi (i) = 0 для всех is/. ?
Пространственный топос Тор(/) пучков множеств ростков
над топологическим пространством / также имеет натурально-
числовой объект — тот же, что и в Вп(/). Предполагая тополо-
топологию на со дискретной, введем на пространстве расслоения /Х<а
топологию произведения. В качестве базисных открытых мно-
множеств такой топологии можно взять множества U~X.A, где U —
открытое подмножество в /, a A — произвольное подмножество
1мм
' 1
Рис. 12.8.
в со. Для каждой точки <i, n> и любой открытой окрестности U
точки ( в /(например, U = I) множество LfX {п} будет откры-
открытой окрестностью точки </, п> в / X ы, которая гомеоморф но
проектируется на U. Итак, проекция рг; является локальным
изоморфизмом. Кроме того, каждая из функций s —id/Xs
и О = <id/, O/> представляет собой произведение непрерывных
отображений, а потому она непрерывна и является Тор(/)-
стрелкой. ?
Упражнение 5. Пусть х: 1->-а и f: а^-а — две Тор(/)-
стрелки, так что отображения х и f непрерывны. Показать (ин-
(индуктивно), что единственная стрелка h в Вп(/), определяемая
рекурсивно по х и /, непрерывна, а потому является Тор(/)-
стрелкой. ?
Второй раз мы будем рассматривать структуру НЧО в Тор (/)
в гл. 14 в связи с понятием локально постоянной функции на
/ со значениями в натуральных числах.
В любом топосе, удовлетворяющем NNO, можно развить
довольно большой фрагмент арифметики натуральных чисел.
На этом мы остановимся в следующей главе.
Коуниверсальность натурально-числовых объектов станет
ясной до конца в гл. 15.
318 Гл. 12. Категорная теория множеств
12.3. ФОРМАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Для теории множеств мы используем язык первого порядка
? с единственным бинарным предикатом е и без функциональ-
функциональных символов или индивидных констант. Итак, SF = {е}.
Мы используем здесь несколько более широкое понятие
.^-модели, чем то, которое было введено в § 11.2. В качестве
.^-модели мы берем структуру §1 = <Л, Е, ~>, где Е и ~—
бинарные отношения на.Л, такие, что для Я выполнены аксиомы
равенства II и 12, если символ е интерпретируется отношением
Е, а « — отношением с^. Итак, здесь мы отказываемся от тре-
требования, чтобы предикат равенства всегда интерпретировался
как диагональное отношение А= {{х, у}: х = у} на А. В слу-
случае выполнения аксиом II и 12 отношение ~ является эквива-
эквивалентностью, а потому, заменяя элементы множества А их клас-
классами ~-эквивалентности, мы можем перейти к нормальной мо-
модели, в которой предикат « интерпретируется как диагональ
и которая семантически неотличима от Щ. Однако для некото-
некоторых толкований полезна указанная выше более широкая интер-
интерпретация равенства (отметим параллель с тем, как мы тракто-
трактовали равенство подобъектов в категории).
На языке 3? можно писать предложения (последовательно-
(последовательности символов), формально выражающие свойства множеств.
Выделяя предложения, которые мы интуитивно склонны счи-
считать правильно кодирующими действительное поведение мно-
множеств, и используя точную и строгую процедуру вывода в эле-
элементарной логике, мы можем затем исследовать все следствия
предположений, основанных на нашей интуиции о множествах.
Поэтому, если 2 — совокупность предложений, которые выра-
выражают то, что мы считаем истинным в теории множеств, а (р —
некоторое предложение, истинное во всех ^-моделях совокуп-
совокупности 2, то мы рассматриваем ф как истинное предложение
теории множеств, на что бы ни был похож выбранный «универ-
«универсум множеств».
На следующем этапе мы рассматриваем ^-структуру ЗС =
= {А,Е, ^> как формальную абстрактную модель или пред-
представление интуитивно мыслимого универсума всех множеств, на
основе которой развивается идея категории Set. Существует
одно препятствие, которое, кажется, относится исключительно
к изучению теории множеств. В то время как, скажем, булеву
алгебру нетрудно представить себе как произвольную модель
определенной группы аксиом, поскольку всякая булева алгебра
мыслится как некоторое абстрактное множество с операциями,
удовлетворяющими подходящим законам, модель теории мно-
множеств трудно себе представить, иначе как состоящей из пред-
предметов очень специального вида, а именно множеств. Мы считаем
переменные V\, v?, ... относящимися к совокупностям индивидов,
которые рассматриваются как таковые, т. е. не обладающие
12.3. Формальная теория множеств 319
никакой специальной структурой. Для атомарной формулы
1>1ЕУ2 мы имеем в виду прочтение «Di есть элемент в vx», а по-
понимаем под этим, что Я 1= V\.ev2[x\, X2], т. е. Х\Ехч.
Наше стремление рассмотреть все это подробно надо квали-
квалифицировать не как склонность к педантизму, а как выражение
сущности самого этого предприятия. Рассматривая е как аб-
абстрактное отношение между неопределенными предметами, мы
вынуждаем себя отвлечься от наших предварительных предпо-
предположений по поводу того, что такое «принадлежность», и, таким
образом, строго выявить нужные допущения и установить,
к чему они нас обязывают.
Кроме того, следует внимательно относиться к различию
между метаязыком и языком-объектом, т. е. между языком, на
котором мы говорим, и языком, о котором мы говорим. Нашим
языком-объектом является язык первого порядка &. Под мета-
метаязыком мы понимаем язык, используемый для обсуждения
языка-объекта 3? и значения .SP-предложений (для интерпре-
интерпретаций и моделей). На этом языке мы высказываем утверждения
типа «ф верно для всех оценок в Я». Этот язык состоит в основ-
основном из предложений русского языка и неформальной, интуитив-
интуитивной теории множеств, которая относится к настоящим совокуп-
совокупностям. Так, .^-формулы образуют совокупность, модель Я
строится на основе некоторой совокупности Л индивидов, отно-
отношение Е есть совокупность упорядоченных пар и т. д. Эти сово-
совокупности описываются с помощью метаязыка, Они являются
метамножествами, и для них мы по-прежнему обозначаем отно-
отношение принадлежности символом & В свою очередь индивиды
из Л можно называть множествами в смысле % или просто
^[-множествами.
Различие между этими уровнями можно выразить на обыч-
обычном разговорном языке, сопоставив наше впечатление, когда мы
смотрим на Я извне, и впечатление при взгляде на Я изнутри
воображаемого лица, живущего в St и сознающего существова-
существование только индивидов из Л, т. е. Я-множеств. В то время как
для нас А является множеством-индивидом нашего метаунивер-
сума метамножеств, в мире St-жителя такой индивид отсутствует
вообще. Для Я-жителя А представляет собой, пожалуй, весь уни-
универсум в целом. Аналогично если В — подмножество в А (т. е.
В^А), то метамножество В может не быть Я-множеством
(если ВфА). Однако в некоторых случаях подмножество В
соответствует ^-множеству. Это происходит, когда существует
91-множество Ь (т. е. бе Л), ^-элементами которого являются
в точности е-элементы из В, т. е. В = {х: х <= Л и хЕЬ). Вскоре
мы вернемся к этой тонкости еще раз.
Пусть теперь а и Ъ — элементы множества Л (т. е. a, b e Л).
Тогда утверждение «а есть элемент из Ь» на метауровне озна-
означает а е Ъ. Однако с точки зрения Я-жителя это означает, что
320 Гл. 12. Категорная теория множеств
аЕЪ. В некоторых моделях, называемых стандартными, эти две
интерпретации совпадают. Итак, модель стандартна, если Е
есть просто ограничение отношения метапринадлежност.и на
множество А, т. е. отношение
efA- {<х, у):.кбД, у е А и хе г/}.
В стандартных моделях различие между метауровнем и объект-
уровнем может быть очень тонким. Если у — некоторое 91-мно-
жество и х е у, то мы не можем предполагать, что выражение
J6i/ имеет в Я смысл. Только, если, кроме того, хеД чт©
не обязательно выполняется, элемент х существует для Я-жи-
теля. Итак, он может не признавать ни одного «/-элемента в от-
отличие от нас.
Напомним, что выражение ф = if> служит сокращением
.^-формулы (ф =э \|)) л (\|) =э ф).
Аксиома экстенсиональности (объемности). Это ^-формула
Ext.
формализирующая принцип, что множества, состоящие из одних
и тех же элементов, совпадают.
В модели Я пусть хе/1, и положим
Ех= {г: ге/1 и zEx}.
Тогда Я \= Ext в том и только в том случае, когда из равенства
Ех = Еу вытекает хс^у для всех х, у еА
Пустое множество
«существует множество, не имеющее элементов». Для Я это
верно, когда имеется элемент хеА с пустым метамноже-
ством Ех.
Пары.
«для заданных множеств хну существует множество, элемен-
элементами которого являются лишь х и у», т. е. «множество {х, у}
существует».
Множества-степени. Пусть v^u — сокращение формулы
4w(wev => weu), т. е. «v — подмножество в и».
Аксиома множества-степени записывается предложением
Vu3t[Vv{vet = v ? и)],
формализующим утверждение «для любого множества х суще-
существует множество, элементы которого — это в точности все под-
подмножества из х».
12.3. Формальная теория множеств 321
Объединения.
Vu3t[Vv(vet = 3w(weui\ ve га)].
С интуитивной точки зрения все индивиды универсума являются
множествами, а потому элементы множества х сами являются
множествами. Данная аксиома утверждает существование объ-
объединения всех элементов из х.
Выделение. Пусть ср(и)—-формулы со свободной переменной
v. Следующее выражение является примером схемы аксиомы
выделения:
Берф. Vu3t[Vv(vet = veua (p(v))].
т. е. «для заданного множества х существует множество, со-
состоящее только из тех элементов множества х, которые удов-
удовлетворяют ф». Или «для заданного множества х существует
множество {у: у е х&<р(у)}». Это формальное утверждение
принципа выделения из гл. 1.
Ограниченное выделение. Формула ф называется ограничен-
ограниченной, если любое вхождение квантора V в формулу ф распо-
расположено в подформуле формулы ф следующего вида: Vv(vet^>
^>\J>), а все вхождения 3 имеют вид 3v(vetAty). Итак, кван-
кванторы ограниченной формулы всегда имеют вид «для всех v
из /» и «существует v в t». Схема ограниченного выделения
(До-выделения) берет в качестве аксиом все формулы Sep,
для ограниченных формул ф. Это позволяет выделять подмно-
подмножество в х с помощью формулы, применение каждого квантора
которой ограничено некоторым множеством.
Система Zo аксиоматической теории множеств, помимо клас-
классических аксиом логики первого порядка с равенством (§ 11.3),
включает в себя аксиомы экстенсиональности, пустого множе-
множества, пары, множества-степени, объединения и ограниченного
выделения. Из аксиом Sep,,, и Ext в Zo выводится предложение
V«3! t [Vd (vet = veu Л q>(v))},
утверждающее существование единственного множества такого,
что его элементы есть в точности те элементы в х, для которых
выполнено tp. В соответствии с этим мы вводим выражения вида
{и: ф}, называемые классовыми абстрактами, как сокращения
определенных .^-формул. Использование классовых абстрактов
обусловлено договоренностью писать
v& {и: ф} вместо ф[м/у],
v «а {и: ф} вместо \/t(Uv = ф [и//]),
{и: ф}еу вместо Э/(/ви л / « {«: ф}).
И Зак. 651
322 Гл. 12. Категорная теория множеств
Классовые абстракты играют в языке 3? ту же роль, что
и соответствующие выражения в метаязыке. Если формула <р
имеет только одну свободную переменную и, то интуитивно вы-
выражение {и: ф} обозначает совокупность всех множеств (инди-
(индивидов нашего универсума), обладающих свойством ф. В модели
21 абстракт {и: ф} определяет метаподмножество в Л, а именно
совокупность
«ч = {х: хееА и Я|= ф[х]}.
Как и выше, иногда метамножество 91 ( соответствует 91-множе-
ству. Это случается, когда существует элемент у е Л, такой, что
St.. = Еу = {х: х е Л и хЁу}. Так, для формулы ф вида
~ (и « и) мы видим, что 9tr = 0 (пустое метамножество)
и 21, соответствует некоторому 91-множеству тогда и только
тогда, когда в модели 91 выполнена аксиома пустого множества.
Теперь формулу Sep. можно написать в виде
Vu3t(t fa [v: veuh(f(v)}).
Она выполняется в модели 91, если для каждого ^еД суще-
существует j/еЛ, такой, что Еу = Ех|"|St,[.
Вот несколько известных абстрактов и их сокращений:
0 для {и: ~ (и ~ гг)},
(н, и} для {/: t ~ и V t « и},
{н} для {и, и},
uf]v для {/: /?ил
н U v для {/: ^ен W
и — и для {/: /ей Л
U и для {г: 3t(teu Л ге/)},
П" для {г: V/ (/ей zdze/)},
1 для {0},
и + 1 для и U {и},
^(ы) для {г: z ей).
Упражнение 1.- Пусть ц>{и) — формула вида их {и: u&v}.
Объяснить, почему 911= ф [х] для любого элемента jtei Пока-
Показать, что формула ф(у) является теоремой логики первого
порядка.
Упражнение 2. Пусть <p(t, и, и) — формула вида t^{u,v}.
Показать, что 21 \= ц> [х, у, z] т. и т. т. Ех = {у, z).
Упражнение 3. Показать, что аксиому пары можно записать
в виде
{})
12.3. Формальная теория множеств 323
Упражнение 4. Используя введенные классовые абстракты,
переписать остальные аксиомы системы Zo. ?
Для формализации понятий отношения- и функции обозна-
обозначим через (и, v> абстракт {{и}, {u,v}}. Мы вводим это опреде-
определение просто потому, что оно работает, т. е. в Zo выводимо
предложение
(<«, и> « (t, да>) = (« fa t av fa w),
которое улавливает существенное свойство упорядоченных пар.
Затем вводятся следующие сокращения:
{(и, v): ф} для {/: 3u3v{t^(u, о)Лф)},
/ X а> для {(и, и): uet л vew},
OP (и) для 3f3u(u«</, и»,
Rel(«) для Vv(vru=>OP(v)),
Fn (и) для Rel {и) Л УиУ^Уш {(v, t) ей л (и, ж) ей =э / «- ш),
Dom(u) для {/: Эи((/, v)ш)},
lm(u) для {/: 3v((v, t)eu)},-
\(и) для {(и, и): ие«},
иои для {(^, ш): 3s((/, s)euA(s, M»)eu}.
Используя эти определения, мы можем строить по любой Zo-
модели 91 = (А,Е,~У категорию <?{Щ, формализуя наше опре-
определение категории Set. В качестве & (Щ -объектов мы берем
91-множества, т. е. элементы а^А. Стрелками в категории
S (91) являются тройки / = (a, k, by, где a, k и b — такие 91-мно-
91-множества, что
91 И <p[a,k,b]
для формулы ф(/, и, v) вида
Fn (и) л Dom (и) ~ / /\ Im (и) ^ и.
Началом стрелки / считается объект а, а концом — объект Ь.
Композиция стрелок f-=(a,k,by и g = <6, /, с>, где cod/ =
= dom g, определяется по правилу g°f = {a, h, c>, где АеЛ и
а г|) (/, и, и) обозначает формулу t m v °и.
Единичной стрелкой объекта а является стрелка ida =
= {a, k, a>, для которой
где ф(/, и) обозначает формулу t « Д(и).
Теорема 1. Пусть 91 — некоторая модель всех Zq-ukcuom
Тогда категория S (91) является точечным топосом.
И*
324 Гл. 12. Категорная теория множеств
Упражнение 5. Формализуя описания обратных образов, ко-
конечного объекта, экспоненциала и классификатора подобъектов
для категории Set в языке 3? и интерпретируя затем это в 91,
дать подробное доказательство теоремы 1. ?
Аксиома бесконечности. Обозначим через inf (и) формулу
Оеи Л Vv(veu zd и (J {v}eu).
Интуитивно формула inf (и) утверждает о множестве х, что
начальный ординал 0 является элементом из х и это множе-
множество .V замкнуто относительно функции следования (напомним,
что в категории Set п-\- 1 — n\J {«}). Значит, со Е х и х имеет
бесконечно много элементов. Аксиома бесконечности та-
такова:
Inf. 3u(inf(u)).
В системе Zo + Inf выводима формула
3f (inf (О Л/«П {«: inf (и)}),
а потому в любой Zo-модели 21 с 21 =! Inf существует 2(-множе-
ство, которое 9(-житель мыслит как множество всех конечных
ординалов. Формализуя затем рассуждение из § 12.2, можно
показать, что 21-множество порождает натурально-числовой
объект в &(Щ, т. е .& {%) (== NNO.
Аксиома выбора. Имеется большой выбор предложений, ко-
которые формализуют принцип выбора классической теории мно-
множеств. Может быть, простейшим среди них является следующее
предложение:
VmVc (Fn (и) л — (Dom (и) « 0) л Im («) s v =э Э/ (Fn (/) л Dom (/) «
~ v л Im (/) s Dom (и) hu°i °u ** и),
которое формализует утверждение АС из § 12.1. Для Zo-модели
этого предложения ё?(Щ\= АС.
Аксиома регулярности.
Reg. V«(~ (и « 0)=>3v(veuAv{)u « 0)).
Интуитивно, аксиома Reg утверждает, что любое множество
х Ф 0 имеет такой элемент i/ei, что х и у, рассматриваемые
как множества, не имеют общих элементов. Основой теорий
множеств типа той, которую мы развиваем здесь, является пред-
представление, что множества строятся «снизу» при помощи таких
операций, как объединение, взятие множества-степени, выделе-
выделение и т. д. Аксиома Reg утверждает, что если множество х су-
существует, то его конструкция должна с чего-то начинаться, т. е.
невозможно, чтобы все элементы множества х состояли из эле-
12.4. Транзитивные множества
325
ментов множества х. Эта аксиома запрещает такие отношения,
как л-ел", хеубх, ;'ei/E2E,v и т. п., а также бесконеч-
бесконечные цепи принадлежностей vi э^э^э... .
Аксиома подстановки. Интуитивно, всякая схема аксиомы
подстановки утверждает, что если областью определения функ-
функции является множество (индивид нашего универсума), то
и область ее изменения, или образ, также есть множество.
Функции, с которыми мы здесь встречаемся, представляют со-
собой функциональные отношения, определяемые формулами ф
от двух свободных переменных.
Repcp. VuVuVm' (ф (и, v) л ф {и, ш) э в » га) zd
=> V/3s (s « {v: Эй (uet л ср (и, v))}).
Эта схема утверждает, что если все упорядоченные пары, удов-
удовлетворяющие условию ф, образуют отношение со свойством
«единственности выхода» функций и f(u) обозначает для каж-
каждого u^t единственный индивид, для которого пара <и,/(и)>
удовлетворяет ф, то совокупность {f{u): u^t} является мно-
множеством.
Аксиоматическую систему Цермело — Френкеля ZF для тео-
теории множеств можно определить как Zo + Inf + Reg + схема
подстановки. Итак, мы видим, что ZF есть значительно более
мощная система, чем это необходимо для конструкции топосов.
Формализованное описание категории Set превращает каждую
модель более слабой системы Zo в некоторый точечный топос.
Для обращения этой процедуры и конструкции моделей теории
множеств по топосам необходим дальнейший анализ стрелочной
точки зрения на отношение принадлежности.
12.4. ТРАНЗИТИВНЫЕ МНОЖЕСТВА
Каждое множество В задает структуру метапринадлежно-
сти, которую можно изобразить в виде диаграммы.
Уровень 0 ж Множество В
Элементы множества В
Элементы элементов
множества В
Элементы элементов
элементов множества В
'¦.•роаень 3
326 Гл. 12. Категорная теория множеств
Эта диаграмма называется деревом отношения принадлежности
множества В. Дерево на самом деле стоит корнем вверх —
из каждой точки имеется единственный путь, идущий вверх
к корню (верхней точке) данного дерева. Совокупность Тв всех
точек такого дерева, исключая верхнюю точку В, обладает
одним специальным свойством, называемым транзитивностью.
В общем случае множество А называется транзитивным, если
оно удовлетворяет следующему условию:
из того, что хеЛ, вытекает, что .1еЛ,
т. е. если х — элемент множества А, то и все элементы множе-
множества х являются сами элементами множества А. (Заметим, что
если модель 91 стандартна и построена на основе транзитивной
совокупности А, то все метаэлементы каждого 91-множества х
будут ^-множествами. Поэтому Я-житель видит те же самые
элементы в множестве х, что и мы.)
Предположим теперь, что множество х появляется в Тв на
уровне п. Тогда все элементы из х появляются в Тв на уровне
п-\- 1. Поэтому совокупность Тв транзитивна. Но если А — лю-
любое транзитивное множество, содержащее В, то Тв*=А. Пред-
Предположение В s А означает, что все точки из Тв уровня 1 ле-
лежат в А. Далее, если все точки уровня п лежат в А, то по тран-
транзитивности А все точки уровня п-\- 1 также лежат в А. Итак,
мы доказали по индукции, что Тв содержится во всех транзитив-
транзитивных множествах, содержащих В. Значит, это наименьшее тран-
транзитивное множество, содержащее В. Оно называется транзи-
транзитивным замыканием множества В.
Аксиома транзитивности. Обозначим через Тг(ы) формулу
Vu(ysu zd v s и). Аксиома транзитивности пишется так:
ТА. V/Эи(^нл Тг{и)).
В Zo + ТА выводима формула
VGM «(^илТг(и)аУв(^о л Тг (v)zdu<= v)),
которая при интерпретации утверждает существование транзи-
транзитивного замыкания для любого множества как индивида в соот-
соответствующем универсуме.
Упражнение 1. Вывести в Zo + ТА формулу
V/Эи {и « П {v- t <= v Л Тг (у)}). ?
Роль деревьев в описании отношения принадлежности та-
такова: ЛеВв том и только том случае, когда дерево отношения
принадлежности множества А изоморфно дереву всех точек,
расположенных ниже некоторой точки уровня 1 в дереве отно-
отношения принадлежности множества В. Это наблюдение было
перенесено на топосы Митчеллом (Mitchell [72]) и Колем (Cole
[73]). Они ввели понятие <!Р-дерева, что позволяет строить по
булевым топосам модели теории множеств.
12.4. Транзитивные мнсж"стса 327
Другой подход к теоретико-топосной реконструкции теории
множеств был развит впоследствии Озиусом (Osius [74]) на
основе характеризации Set-объектов, являющихся транзитив-
транзитивными множествами. Транзитивность множества Л означает про-
просто, что если хеЛ, то хе5э(Л), т. е. Л транзитивно тогда
и только тогда, когда As^(A). Это свойство делает транзи-
транзитивные множества удобными в обращении, чего нельзя сказать
о множествах, не замкнутых относительно е. Известно, что все
отношения ?еЛХ/1 на множестве А находятся в биективном
соответствии с функциями вида гЕ: А-*-<Р(А). Для заданного
отношения Е функция гЕ переводит элемент j/еЛ в подмно-
подмножество гЕ(у)= {х: х ее А и хЕу} = Еу из Л. В том случае,
когда ? есть отношение принадлежности
е\А = {<х, у): х е Л, уе/1 и х<= у},
мы видим, что
Г*={У)= {Х- ХеЛ И A" SEE t/}.
Но если множество Л транзитивно, это упрощается: из принад-
принадлежности х^у вытекает принадлежность х ее Л для г/еЛ,
а потому
(tj\ (у Y ff= /A 11
Итак, мы убедились, что для транзитивного множества А отно-
отношение принадлежности е["Л на Л приводит к включению
ЛС^-5Э(Л) в качестве соответствующего отображения ге, кото-
которое превращает А в подобъект множества-степени &*{А).
Теперь мы переходим к рассмотрению задачи определения
отношения принадлежности в топосе S. Нам уже известно, что
означает выражение х ее /, когда а является «элементом» \-*-а
некоторого ^"-объекта а, а /: Ь>—» а — его подобъектом (§ 4.8).
Но как определить, что такое g^f, когда g: с>—> а-—некото-
а-—некоторый другой подобъект в а?
Обращаясь снова к категории Set, мы видим, что если
g: С с-* А и f: В ^- А — два подмножества в Л, а С при этом —¦
элемент из В, т. е. С «ее В, то С^А, поскольку В*=А, откуда
вытекает существование стрелки g: {0} ->• Л с ?@)=С. Но
тогда, зная, что существует g, т. е. зная, что С^А, мы считаем
решение вопроса о принадлежности С е= В эквивалентным ре-
решению вопроса о принадлежности g e f, т. е. о выполнении
условия, что g пропускается через f,
1
Итак, вопрос о принадлежности множества С множеству В
мы сможем решить на языке стрелок, как только будем знать
328 Гл. 12. Кспегорная теория множеств
существует ли стрелка g в категорном смысле. В том случае,
когда множество А транзитивно, данная задача переносится
в & (А) и там преобразуется. В общем случае включение
g: С<-*А как подмножество в А соответствует некоторому «эле-
«элементу» Г?г1: 1->5э(Л) множества-степени множества Л, где
rg1((J) = CT. При отождествлении ?Р(А) с 24 «элемент» fgi пре-
превращается в rxg1, имя стрелки %g'- A-*-2, как оно определено
в § 4.1. Тогда если имеется включение /-е: Л<^-5Э(Л), то С^А,
т. е. стрелка g, определенная выше, есть стрелка из 1 в Л,
в том и только том случае, когда rgier&, т. е. С^А в том
и только том случае, когда существует (единственное) разло-
разложение стрелки rgi на g и г^:
Тогда для транзитивного множества А, собирая все преды-
предыдущее вместе, мы сможем описать «локальную теорию мно-
множеств», относящуюся к подмножествам в А. Если /: В —> А
и g: Cr—*A — включения, то g e / в том и только том случае,
когда имя стрелки g пропускается через композицию ^е°/,
НА)
т. е. когда rgn er3c/.
Как заметил Озиус, для нужд «работающего математика»,
который имеет тенденцию решать любую задачу в рамках не-
некоторого фиксированного «универсального» множества А, до-
достаточно описанной локальной теории множеств некоторого
объекта (множества). Что же касается «глобальных» вопросов
принадлежности в топосе <%, то они сводятся к локальным.
Прежде всего мы введем равенство подобъектов. Если подобъ-
екты /: Ь>—ъ а и g: о—? а имеют одну и ту же область значе-
значений, то мы уже знаем, когда f и g представляют одно и то же
«подмножество», а именно, когда /~g в Sub (а). Но одно и то
же множество могут представлять подобъекты /: Ь >—? а,
g: с >—"d, имеющие различные концы. В категории Set концы
подобъектов /: В>—>Л и g: С>—> D могут перекрываться, что
действительно может привести к равенству f(B) = g(C)^A[)Dt
и в этом случае нам хотелось бы писать f — g. Но в этой ситуа-
12.4. Транзитивные множества 329
ции очевидно, что если Т— любое множество, включающее оба
множества А и D (например, T = A[)D), то имеются включе-
включения i: А <-> Т и /: D ^-» Т, а тогда f(B) = g(C) в том и только
том случае, когда i(f(B)) — j(g(C)). Итак,/ — g тогда и только
тогда, когда iof~jog в Sub (Г).
Поэтому отождествление подобъектов, т. е. определение ра-
равенства f — g в общем случае, сводится при помощи локали-
локализации к теории множеств произвольного объекта, включающего
концы обоих стрелок f и g. Теперь мы можем описать глобаль-
глобальное отношение принадлежности в категории Set. Пусть /: В>—s- A
и g: C^->D — подобъекты. Тогда
«е/т.ит. т. [j(g(C))^T]z=[i(f(B))^T] в & (Т)
для некоторого транзитивного множества Т,
включающего А н D.
Здесь i и '}, как и выше, обозначают соответствующие включе-
включения. В качестве Т можно использовать, например, транзитивное
замыкание суммы А[]В. Хотя стрелки / и l(f(B)) <-* Т и не
совпадают, данное определение принадлежности вполне оправ-
оправдано, поскольку они равны как подобъекты, т. е. они связаны
друг с другом отношением «~». Аналогично стрелки g и
i(g(C))'->- T представляют одно и то же множество.
Упражнение 2. Проверить последнее утверждение.
Упражнение 3. Показать, что определение отношения g e f
не зависит от выбора подходящего множества Т.
Упражнение 4. Для любых множеств А и В показать, что
Л е й т. и т. т. id,< g idB
Упражнение 5. Пусть ТА—транзитивное замыкание множе-
множества А, так что А <-¦ ТА. Показать, что g e f т. и т. т. g~h для
некоторого включения h: Y^-Ta, такого, что /г^(((В)^-*Тд)
в &{Та). Итак, g e f т. и т. т. подобъект g «равен» некоторому
элементу подмножества /(В) в ТА. ?
Чтобы перенести эти рассмотрения в произвольный топос 3",
мы возьмем некоторый <?Г-объект а, являющийся началом под-
объекта г: а>—>Qa своего объекта-степени. Тогда на Sub(a)
определено отношение «принадлежности», а именно если
/: b •>—> а н g: с >—* а — подобъекты, то
g^,f т. и т. т. rgi<=r°f,
Л.
330 Гл. 12. Категорная теория множеств
т. е. если и только если стрелка rgn пропускается через компо-
композицию г»/, где rg~i = rx~1g — стрелка, экспоненциально присо-
присоединенная к %g = pra: lXfl-^-fi-
Предыдущее определение годится для любой стрелки г ука-
указанного вида. Однако простое требование, чтобы г была моио-
стрелкой, не отражает суть транзитивности. Действительно, при
этом никак не отмечен тот факт, что для транзитивного мно-
множества А включение Л<-*^(Л) происходит из отношения мета-
принадлежности е|\Л. Ибо если 91 = <Л,?, А> — произвольная
нормальная .З'-модель, то поскольку ге{у)= {х: х^А и
хЕу} = Еу, отображение ге. А-^^(А) будет монострелкой
в том (и только том) случае, когда 91 |= Ext.
Поэтому остается разрешить вопрос, когда же монострелка
г: Л >—>^°(Л) представляет отношение принадлежности на
транзитивном множестве.
Лемма об изоморфизме (Mostowski [49]). Пусть ?s
<=А)>(А — некоторое отношение на А. Тогда множество В, для
которого
АЕВ
существует в том и только том случае, когда
A) Е экстенсионально и
B) Е фундировано. ?
Пункт A) означает, что отображение гЕ' А-+?Р(А) является
монострелкой. Фундированность же означает, что любое непус-
непустое подмножество в Л имеет ^-минимальный элемент, т. е. если
С^А и СфФ, то существует такой элемент хеС, что Ех |~|
f) С = 0, а значит, если уЕх, то у ф. С.
Смысл изоморфизма <Л, Е) ^ <В, ^\В) заключается в том,
что ^-принадлежность в Л — это в точности то же, что е-при-
надлежность в В. Чтобы это доказать, нужно установить суще-
существование биективного отображения /: Л ^ В, для которого
(*) хЕу т. и т. т. f(x)^f(y) при всех х, у из Л.
Такому отображению / отвечает коммутативная диаграмма
i
04A) -^— 9>(B)
где &>f ставит в соответствие С^$Р(А) (т. е. С^А) его /-об-
/-образ f[C]={f(y): y<EiC} <=&(B). Требование коммутативности
данной диаграммы означает, что для любого Jte/1
f[Ex] = f(x), т. е. {f(y): у Ex} = {z: z^f(x)},
а это в силу биективности / эквивалентно (*).
12.4. Транзитивные множества 331
Лемма Мостовского выражает определенный факт из теории
метамножеств. Его можно выразить в виде предложения фор-
формального языка &. Заменим для этого фразу «Е— некоторое
отношение на Л» формулой Rel(u) л и s v X v, а отношение
^\В— абстрактом вида ef/= {<«,«>: u&thvzthu&v) и т. п.
Получающееся формальное предложение выводимо только в
предположении, что справедливы все аксиомы системы ZF. По-
Поэтому «теорема» Мостовского является действительно теоремой,
только если в нашей теории метамножеств выполнены все
ZF-аксиомы.
Отметим, что из данной леммы, в частности, вытекает фун-
дированность отношения е \В на В. Это, конечно, можно вы-
вывести и непосредственно, если предположить, что в нашей тео-
теории метамножеств выполняется аксиома регулярности, ибо
тогда если С s В непусто, то существует точка х е=: С с х[)С =
= 0, так что уф. С для i/e^, а потому х является е-мини-
мальным в С.
Но для фундированного отношения Е на множестве А можно
строить функции на А по «рекурсии», которая аналогична со-
соответствующей операции в НЧО. Интуитивные соображения
таковы: при определении значения f(x) функции f: A-*~В мы
делаем индуктивное предположение, что f(y) определено для
всех уЕх, т. е. функция f уже определена для всех «?-элемен-
тов» из х. Подставляем совокупность {f{y): уЕх) в некоторую
другую функцию g. Пусть по определению получаемый выход
и есть значение f(x). Итак,
т. е.
Так как f(x)^B и 9>\{ЕХ)^ЗР{В), то g представляет собой
функцию из !?{В) в В. Равенство (**) утверждает коммута-
коммутативность диаграммы
В
^ > 0>(В)
Но при заданной функции g, если н существует функция /, де-
делающая эту диаграмму коммутативной, то она однозначно опре-
определяется равенством (•--*).
Теорема 1. Отношение Е на множестве А фундировано тогда
и только тогда, когда для любого множества В и любой функ-
332 Гл. 12. Категорная теория множеств
ции g: &>(В)—>-В существует ровно одна функция /: А-*-В,
для которой коммутативна последняя диаграмма.
Доказательство этого результата дано Озиусом в Osius
[74]. Это утверждение также можно сформулировать в виде
^-предложения, но на этот раз оно выводимо даже из Z0-aK-
сиом. Итак, мы видим, что в ZF транзитивные множества по
существу совпадают с экстенсиональными (моно-) фундирован-
фундированными отношениями, а фундированность даже в Zo имеет стре-
стрелочную характеризацию.
Это ведет нас к определению транзитивных множеств в то-
посе, которое также использует следующее описание включе-
включений транзитивных множеств.
Теорема 2. Пусть А и В — транзитивные множества. Диа-
Диаграмма
коммутативна тогда и только тогда, когда A s В и f есть вклю-
включение А <-» В.
Доказательство. Очевидно, что если f — включение, то
для любого Jte/l (а значит, .vE/1) f[x]= {у: у s л} = х,
а потому рассматриваемая диаграмма коммутативна. С другой
стороны, если данная диаграмма коммутативна, то f{x) = f[x]
для всех хеА, Чтобы показать, что отображение f есть вклю-
включение, нужно показать, что f(x) = x для всех х из А или что
С = {х: х*=А и f(x) Ф л-} == 0.
Для этого необходимо предполагать, что ^\А фундированно.
Но тогда если С — непустое подмножество в А, то оно обя-
обязательно имеет элемент л'о, ^-минимальный в С. Итак, хо ф
ф{{хо), но (по транзитивности)
если у е л'о, то уф С, откуда f{y) = у.
Поэтому f(xo)= /[л-0]= {f (у): У & х0) ={у: у е х0} =х0 —про-
—противоречие. ?
Теорему 2 можно выразить в виде ^-предложения, выводи-
выводимого в Zo + Reg (регулярность используется для установления
фундированности отношения ef/!). Доказательство этой тео-
теоремы показывает, что скрывается за теоремой 1, т. е. как истин-
истинность индуктивных определений п конструкций зависит от свой-
свойства фундированности.
12.5. Теоретико-множественные объекты 333
12.5. ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫЕ ОБЪЕКТЫ
Образы. Пусть /: а-+Ь — некоторая стрелка в топосе &.
Тогда для каждого подобъекта g: o-^> а в а мы определим его
образ f[g]:. f(g(c))>—>b при f как монострелку в эпи-моно-раз-
ложении
г _ } Ъ _ h
Итак, f[g] = im(f°g).
Эта конструкция определяет отображение множества Sub (а)
в Sub(fr), которое, конечно, имеет и внутренний аналог Qf:
Qa->~Q*. В категории Set стрелка Qf является функцией
53/: 5Э(Л)->^'(В), встречавшейся нам в последнем параграфе.
Отождествляя подобъекты с их характерами, мы получаем,
что предыдущая конструкция образа ставит в соответствие каж-
каждой стрелке h: a->Q стрелку f[h]: b-vQ. Теперь, исходя из
стрелки /: а-^-Ь, образуем произведение 1 X f '¦ fia X «-> fia X &,
а затем рассмотрим образ 1QeX/[eva] стрелки eva: QaXa-vQ
при нем.
По определению Qf есть единственная стрелка, делающая
коммутативной диаграмму
т. е. Q! является стрелкой, экспоненциально присоединенной
к образу VX/[ev0].
Упражнение 1. Если /: а>—>Ь — монострелка, то /[g']^^/0^-
Упражнение 2. Проверить, что в Set данное определение Qf
задает функцию 53/.
Упражнение 3. Показать, что Q1a = 1ua и что если тре-
треугольник
а ¦¦ ?—+Ь
334
Гл. 12. Категорная теория множеств
коммутативен, то треугольник
Q»
Qe
также коммутативен, т. е. Qgof = fi
Упражнение 4. Для стрелок с>-
тативность треугольника
>Qf.
f ,
-а—*-Ь проверить комму-
Q"
fit?* Q
,ь
?
Определение. Транзитивным теоретико-множественным объ-
объектом (ТТМО) мы называем <!Г-стрелку г: а>—>Qa, которая
A) экстенсиональна, т. е. является монострелкой, и
B) рекурсивна, т. е. для любой ^-стрелки вида g: Qb -> b
существует ровно одна ^-стрелка /: а-*-Ь, делающая коммута-
коммутативной диаграмму
п f - h
(говорят, что стрелка f определена рекурсивно по g над г,
и пишут / = recr(g')).
Упражнение 5. Стрелка 0-vQ° всегда является ТТМО.
Упражнение 6. Стрелка _1_: 1-vfi1 всегда является ТТМО
(почему это так в Set?). ?
Пусть г: a->fia и s: b-+Qb-—некоторые «отношения». Тогда
стрелка h: a-*-b называется включением стрелки г в стрелку s
(а записывается это в виде h: r<-»s), если и только если ком-
коммутативна диаграмма
12.5. Теоретике-множественные объекты
335
Мы пишем г <=: s, если существует хотя бы одно включение
h:r^s.
Упражнение 7. Показать, что @->Q°)E(r: a^^>Qa) для
любого ТТМО г.
Упражнение 8. г е г.
Упражнение 9. Если rgss/, то г е /. (Ср. с упражне-
упражнением 3.)
Включение между транзитивными теоретико-множествен-
теоретико-множественными объектами единственно, если оно существует. Чтобы убе-
убедиться в этом, мы введем одну конструкцию, которая каждой
монострелке s: b>-^Qb ставит в соответствие единственную
стрелку 3: Q5—>-5, где 5 обозначает конец классификатора
Ць: b—>~b частичных стрелок, описанного в § 11.8. Стрелка
является всегда монострелкой, так как щ — монострелка (Osius
[74], предложение 5.8(а)). Стрелка 3 определяется тогда как
единственная стрелка, делающая квадрат
декартовым (заметим, что Q11* о s — монострелка в том и только
том случае, когда s — монострелка).
Теорема 1. Пусть г: a->Qa — рекурсивная, a s: b>—>Qb —
экстенсиональная стрелки. Тогда
A) стрелка f: а-+Ъ задает включение в том и только том
случае, когда коммутативна диаграмма
т. е. Лб°/ = recr(s);
B) если г ^ s, то существует ровно одно включение г <-* s
стрелки res.
336
Гл. 12. Категорная теория множеств
Доказательство. A) Рассмотрим диаграмму
¦*¦ Ь.
Правый квадрат в ней всегда коммутативен по определению
стрелки s. Но тогда если f — включение, то и левый квадрат
коммутативен, откуда вытекает коммутативность всей диа-
диаграммы. Обратно, если периметр данной диаграммы коммута-
коммутативен, то это в точности соответствует коммутативности пери-
периметра диаграммы
6> "ь > Ъ
откуда по свойству универсальности внутреннего квадрата, яв-
являющегося декартовым, существует единственная стрелка k,
указанная в диаграмме, которая превращает ее в коммутатив-
коммутативную. В этом случае k = f, поскольку H°k = f. Значит, в силу
коммутативности верхнего треугольника
s о / = пЦь о Qf о г.
Так как Q.^b — монострелка, то s °f = Qf ° r, т. е. левый квадрат
предыдущей диаграммы коммутативен, а потому / задает
включение.
Чтобы завершить разбор A), отметим, что поскольку
o(^bof) — оль о Qf, то из рекурсивности г вытекает, что указан-
указанная диаграмма коммутативна в точности тогда, когда компо-
композиция ць - /' представляет собой единственную стрелку, опреде-
определенную рекурсивно по s над г.
B) Если /у. r^-s и f2: г->¦ s — включения, то по A) r\b °
о/, = ць of2 = recr(^). Но ць — монострелка, откуда fi = f%- ?
Теорема 2. Пусть г и s — ТТМО. Тогда
A) если r^s, то (единственное) включение r^* s является
монострелкой;
B) если r^s^r, то г ^ s, т. е. включения г <^» s и s ^-* r
являются изострелками.
12.5. Теоретико-множественные объекты
337
Доказательство. A) Рассмотрим диаграмму
Ь
Q"
Qb
Q*.
Q°
Стрелка г здесь определена согласно конструкции, предше-
предшествующей теореме 1, откуда foQ'1<ior = ti()oifl = T|a. Значит,
квадрат
Qa
коммутативен, что устанавливает совпадение стрелки ца
с recr(f).
Предположим, что стрелка / в предыдущей диаграмме яв-
является включением r^-s. Тогда левый квадрат этой диаграммы
коммутативен. Возьмем в качестве g стрелку recs(r), заданную
рекурсивно по г над s. В этом случае вся диаграмма стано-
становится коммутативной, а потому g of = тесг(г) = f]a. Следова-
Следовательно, g : f — монострелка, откуда следует, что сама стрелка f
мономорфна (упражнение 3.1.2).
B) Если rsssrjo из диаграммы
мы видим, что g ° f: г'->¦ г. Но, очевидно, 1а: г^-*г. Значит, по
п. B) теоремы 1 gof=]a. Аналогично f^g=\b. Следова-
Следовательно, /: а ^ Ь, а стрелки f и g обратны друг к другу. П
Поэтому, считая, что rc^s тогда и только тогда, когда
г <=s и s ?г, мы получаем определение равенства (классов
изоморфизмов) транзитивных теоретико-множественных объек-
объектов, которое превращает отношение включения в частичный по-
порядок. Затем Озиус предлагает конструкции
(i) пересечения r{]s: a[\b —>-Qanb, что приводит к наиболь-
наибольшей нижней грани ТТМО г и s, упорядоченных по включению;
(п) объединения г Us: a\] b->QaL!b, являющегося наимень-
наименьшей верхней гранью для г и s.
338
Гл. 12. Категорная теория множеств
Для п. (i) рассмотрим куб
апЬ
в котором f является стрелкой recr(s), а верхняя грань полу-
получается подъемом стрелки / относительно г)&. Правая грань есть
квадрат, определяющий s, передняя грань — квадрат, опреде-
определяющий /. Тогда нижний квадрат оказывается декартовым
и его универсальность определяет единственную стрелку
af\b *йаль, дополняющую всю диаграмму до коммутатив-
коммутативной. Это и есть стрелка г П s.
В (ii) объект а\]Ъ получается из амальгамы
апЪ
Q
стрелок gi и g2, а сама стрелка r\js существует в силу свойства
коуниверсальности амальгам.
Определение. Теоретико-множественным объектом, или, ко-
короче, множеством-объектом в топосе & называется пара (f, r)
^-стрелок вида
Ь >-U a >-U Q-,
где г — некоторый ТТМО.
12.5. Теоретико-множественные объекты 339
Равенство теоретико-множественных объектов определяется,
согласно следующему правилу: (f,r)~$(g,s) тогда и только
тогда, когда для некоторого ТТМО t: e—>-Qe, такого, что r^t
с >
*[Л —/[?] B Sub(e) (т. е. i°f~j°g, поскольку i и / — моно-
монострелки), где i и / обозначают включения i: r<-+t\n\: s c-» /.
Озиус установил, что данное определение не зависит от вы-
выбора ТТМО t, содержащего г и s, т. е. данное условие равенства
выполнено для некоторого такого t тогда и только тогда, когда
оно выполнено для всех таких t (а потому тогда и только тогда,
когда оно выполнено для t = r[}s).
Упражнение 10. (Д r)^ s (g, г) т. и т. т. f — g в Sub(a).
Упражнение 11. Предположим, что фег и rgi^s, т. е.
имеются коммутативные диаграммы
для некоторых элементов f и g. Показать, что /ег1а и
Для таких t, что г Е ( и s E (, показать, что
(f, r)~s(g, s) т. н т. т. iof = ]°g,
т. е. коммутативна диаграмма
a
>^ ч
1 е а
«Метапринадлежность» теоретико-множественных объектов
определяется так:
340 Гл. 12. Категорная теория множеств
тогда н только тогда, когда для некоторого ТТМО t:
такого, что г Е t и s s t, будет / -g e ,i °f,
т. е. стрелка г/= gi пропускается через композицию t~-i~-\.
Снова определение не зависит от выбора ТТМО /, в частно-
частности, можно брать t = r\js.
Приведем другие эквивалентные определения отношения
(g.s)Et{f,r):
(i) существуют множества-объекты (g1, t) и (f, t) с
(g,s)--«(?', 0, (f> r)~t(f, t) и g'e,/'
и
(ii) существует такая монострелка g'\ с' >—>a, что
(g,s)~i(g',r) и gf^rf.
Упражнение 12. Для любых множеств-объектов (g, r) и (/, г)
(g,r)E'({f,r) т. и т. т. g-=rf. П
В результате мы определили .??-модель
где Лг обозначает совокупность всех теоретико-множественных
объектов в &'. Отметим, что данное определение годится для
любого топоса <§. Озиус доказал следующее.
Теорема 3. Если Ж — точечный топос, то 9t(^) является мо-
моделью всех Zo-аксиом вместе с аксиомами регулярности и тран-
транзитивности (ТА). Если в топосе Ж выполнена аксиома NNO
(соответственно ES), то в модели 9t(^) выполнена аксиома
бесконечности {соответственно аксиома выбора). D
Кроме того, установлено, что для каждого ТТМО г: а >—>Qa
соответствующий теоретико-множественный объект Aа, г) яв-
является транзитивным множеством в смысле модели 9t(^), т. е.
в 91 (&) верна З'-формула Тг(ы), когда переменная и интерпре-
интерпретируется как 31 {<§)i-множество Aа, г).
12.6. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ МОДЕЛЕЙ
Теперь мы имеем две конструкции
и <Г>-
12.6. Эквивалентность моделей 341
— конструкцию точечных топосов по моделям системы Zo и кон-
конструкцию моделей системы Zo по точечным топосам. Остается
установить, в какой мере эти конструкции обратны друг другу.
Для этого необходимо предположить, что в 51 истинна лемма
Мостовского. Чтобы не ограничивать себя ZF-моделями, мы до-
добавим к аксиомам утверждение этой леммы.
Аксиома транзитивной представимости. Это .^-предложение,
формально выражающее утверждение:
ATR. Любое экстенсиональное фундированное отношение
г: А-+!Р{А) изоморфно отношению принадлежности ге:
В ^iP(B) на некотором транзитивном множестве В.
Такое множество В называется транзитивным представителем
отношения г.
Обозначим через Z систему Zo + Reg + ТА + ATR.
Предположим теперь, что 91 — {А, Е, ~> — некоторая Z-mo-
дель. Рассмотрим произвольное 51-множество be Л. Тогда, ра-
работая «внутри» Я, мы выводим из Zo + TA существование §1-мно-
жества а, являющегося транзитивным замыканием множества Ь
в смысле модели 31, а потому обладающего 31-включением
/: Ь<->а. Кроме того, по аксиомам Ext и Reg отношение 91-при-
надлежности га: а-^-0>{а) на 51-транзитивном объекте а будет
21-монострелкой и 31-фундировано, а значит, и 51-рекурсивно.
Но 51-функции / и га задают стрелки в топосе §"{Щ, а потому
пара <f,ra> задает теоретико-множественный объект <%(Щ, т. е.
некоторый индивид («множество») в З'-модели 9l(IT(St)). Пола-
Полагая Ob(a)= if, гаУ, мы получаем преобразование З'-модели 31
в ^-модель 51(<§ГE()), для которого
а ~ с т. и т. т. ОЬ(а) ~?(.1() 0&(с)
аЕс т. н т. т. ОЬ(а)Е ^ш
В обратную сторону, если нам дан теоретико-множественный
объект X = (f: b >—> а, г. а>-* Q") из 31(^(91)), то г есть рекур-
рекурсивная монострелка в Ж (Щ, т. е. экстенсиональное фундиро-
фундированное отношение в 91. Так как в W верна аксиома ATR, то су-
существует некоторое 31-транзитивное множество се Л и 51-биек-
ция g: a—>~c, устанавливающая 31-изоморфизм между отноше-
отношением г и отношением ^-принадлежности на с. Обозначим через
St(X) соответствующее 31-множество «g{f(a))>>, т. е. 51-образ
Ь и с относительно 91-функции g ° f.
В силу теоремы 2 из § 12.4 транзитивный представитель
(в Z) единствен, а потому задано отображение St из %(§"(%))
в 91, для которого, как можно проверить,
т. и т. т. St{X)~St(Y)
342 Гл. 12. Кспегорная теория множеств
Y т. и т. т. St(X)ESt(Y).
Кроме того, отображения Ob и St почти обратны в том смысле,
что
a~St(Ob(a))
и
X ~и«, ОЬ (St (X)).
Если бы мы «нормализовали» модели 91 и 2t (&(%)), заменив
индивиды их классами ^^-эквивалентности, то получили бы две
полностью изоморфные З'-модели.
Упражнение 1. Показать, что для любой й'-формулы ср
Я|=ф[а] т. и т. т. Я(«'(Я))|=ф[О6(а)]
и
т. и т. т.
Упражнение 2. Показать, что
Я|=ф[а] т. и т. т. «И
и
91 («Г (91)) i= Ф [X] т. и. т. т. »l(g(%))\= y[Ob(St(X))]. D
Теперь, начиная с точечного топоса &, мы построим преобра-
преобразование F: ё?($&,(Ж) )-*¦&. Пусть X — некоторый &(Ч(<%))-объект.
Тогда X является 2t(<lf) -множеством, т. е. множеством-объектом
(f,r), где f: b>—>а и г: a->-fia суть й'-стрелки. Положим
F(X) = dom f = b.
Озиус показал, как определять F на &(Щ.(<%))-стрелках,
чтобы в результате получился функтор из категории &С%,(<э))
в категорию &'. При этом образ функтора F в <$ оказывается
полной подкатегорией категории <?Г, содержащей те <?Г-объекты Ь,
которые частично транзитивны. Под частично транзитивным
объектом мы понимаем объект, для которого существует ТТМО
г: a—>-Qa в 8" и ЙГ-монострелка f: b>—>а из b в а. Это задает
множество-объект (f,r), т. е. объект из &(%.(&)) с F(f,r) = b.
Аксиома частичной транзитивности
APT. Каждый объект частично транзитивен.
Отметим, что если 31 — произвольная Z-модель, то топос
&{Щ, состоящий из 91-множеств и 21-функций, всегда удовле-
удовлетворяет APT. Определение множества-объекта 06F) показы-
показывает, что в этом случае каждый объект b частично транзитивен.
Предположим теперь, что & \= APT. Тогда функтор F, опи-
описанный выше, сюръективен, т. е. его образ совпадает со всей
категорией <g, Более того, в этом случае F будет эквивалент-
12.6. Эквивалентность моделей 343
ностыо категорий, как она определялась в гл. 9. Итак, катего-
категории <§ и <%[%.((%)) эквивалентны. Они «изоморфны с точностью
до изоморфизма». Отождествляя изоморфные объекты каждой
из этих категорий, мы получим две (скелетальные) категории,
изоморфные в категории Cat малых категорий. Кроме того, раз
топос <о частично транзитивен (т. е. ё?|=АРТ), то, используя
функтор F, можно показать, что в 21 (с?) выполняется аксиома
ATR транзитивной представимости, а потому 21 (df) является
Z-моделью. Действительно, если R — некоторое экстенсиональ-
экстенсиональное фундированное отношение на X из 21 {S"), то R соответствует
2t(<lf) -функции г: Х—*-^'(Х), превращающейся в ТТМО в
&{%,(&)). Функтор F преобразует его в ТТМО t: a—>-Qa из &.
Тогда множество-объект <1а, О оказывается транзитивным пред-
представителем исходного отношения на X в модели 2t {&).
Итак, существует точное соответствие между моделями тео-
теории множеств Z и точечными частично транзитивными топосами.
Понятие точечного частично транзитивного топоса можно вы-
выразить на языке первого порядка, описывающего категории,
в силу чего мы получаем точное соответствие между моделями
двух теорий первого порядка. В действительности все это
можно трактовать чисто синтаксически: теоретико-множествен-
теоретико-множественное определение «функции (стрелки)» и категорное определе-
определение «множества-объекта» задают сохраняющие теоремы интер-
интерпретации каждой из этих двух формальных систем в другой.
Данная теория может быть распространена на более силь-
сильные теории множеств. Категорный вариант схемы аксиом под-
подстановки может быть введен для характеризации топосов, кото-
которые соответствуют моделям системы ZF. Дальнейшие резуль-
результаты той же природы приведены в § 9 статьи Озиуса. Когда
в точечном топосе эпистрелки расщепимы, аксиома APT из-
излишня. Перенося в топос <8 теоретико-множественное доказа-
доказательство того, что всякий объект А вполне упорядочен (что
приводит к ТТМО А-*-^(А)), можно из аксиомы ES получить
частичную транзитивность всех объектов в такой категории.
Следовательно, точечные топосы, удовлетворяющие ES, в точ-
точности соответствуют моделям системы ZC (Z+аксиома выбора).
Полное изложение всех технических деталей только что опи-
описанной теории, включающее доказательства всех основных ре-
результатов, можно найти в гл. 9 книги Johnston [77].
Глава 13
АРИФМЕТИКА
Абстракция является решающей чертой [рациональ-
[рационального] знания, потому что при сравнении и классифи-
классификации необъятного многообразия форм, структур и
явлении вокруг нас мы не можем учесть все их осо-
особенности, а отбираем среди них лишь немногие важ-
важные. Так мы строим мысленный образ реальности,
в котором вещи сводятся к их общим очертаниям.
Фритьоф Каира
13.1. ТОПОСЫ КАК ОСНОВАНИЯ
Теория категорий выдвигает точку зрения, что понятие
стрелки следует брать в качестве основного вместо понятия
принадлежности, и развитие теории топосов дает веские осно-
основания для этой позиции. Налагая на топосы вполне естествен-
естественные условия (экстенсиональность, существование сечений эпи-
стрелок, существование натурально-числового объекта), мы при-
приходим к топосам, соответствующим в точности моделям клас-
классической теории множеств. Поэтому в той мере, в которой тео-
теория множеств служит основанием математики, им же может
служить и теория топосов. В чем же привлекательность этой
новой системы?
Прежде всего нужно отметить, что понятия теории топосов
естественны для всех работающих математиков. Теория кате-
категорий первоначально развивалась как язык, используемый
в различных областях топологии и алгебры. Другим наиболее
неотразимым аргументом является то, что теория категорий вы-
вытекает из природы математических структур и их существенных
особенностей. Сущности можно описывать их универсальными
свойствами, которые определяют их роль по отношению к дру-
другим вещам. Так, именно свойство универсальности произведения
лучше всего передает его поведение и назначение по отноше-
отношению к двум объектам, из которых оно получено. Как только
такое «рабочее» описание становится известным, его внутрен-
внутренняя структура, т. е. способ построения, становится менее
важным.
В гл. 1 мы указали, что главная цель исследований но осно-
основаниям состоит в получении строгого объяснения природы мате-
математических понятий и объектов. Конечно, здесь нет единственно
правильного пути. Один из возможных подходов предлагает тео-
теория множеств, другой — теория топосов. Против этого можно
возразить, что мы действительно знаем и всегда знали, что собой
представляют такие вещи, как целые числа. Однако пока суще-
существуют математики, будут предприниматься новые различные
попытки определить и описать их. Контекст и перспективы ме-
меняются в свете новых знаний. Формы языка приспосабливаются
13.1. Топосы как основания 345
к новой перспективе. Когда это происходит, старые идеи пере-
пересматриваются в новом свете. Для некоторых знакомство с топо-
сами явится откровением. Простой перевод известных идей на
новый язык, связывающий их с другими понятиями, несет в себе
некую силу объяснения, даже если эти новые понятия и в ко-
конечном счете сами требуют объяснения. Возможно, в будущем
те, кто был вскормлен на строгой диете «стрелочного языка»,
попытаются переоценить то, что являлось их стандартной пи-
пищей. Когда это произойдет, появятся новые понятия и новые
основания математики.
Один из новых способов анализа математических структур,,
развитый на категорной основе, дает другой взгляд на то, чта
такое множества и как они ведут себя. Вме-
Вместо универсума (ZF)-множеств нам предла- \ д
гается категория множеств. В формальной \ J
теории, такой, например, как система ZF, мно-
жествами являются сущности, имеющие эле-
элементы, имеющие элементы, имеющие элемен-
элементы, имеющие... . Структура отношения при-
принадлежности, заданная некоторым множест-
множеством, может действительно быть очень богатой
(представьте себе, например, дерево отноше-
отношения принадлежности множества ^(ш)). Нефор-
Неформальным изображением универсума для спе- Рис ]3.1.
циалиста по теории ZF-множеств является ко-
конус с пустым множеством в качестве «вер-
«вершины». Исходя из пустого множества 0, мы строим все инди-
индивиды такого универсума многократным применением операций
образования множества-степени и взятия объединения. Повто-
Повторяя эти операции, мы получаем все более и более сложные мно-
множества, лежащие на все более и более высоком уровне, возводя
этот конус ad infinitum.
Конечно, элементы совокупностей, используемых в матема-
математике, в действительности часто сами являются множествами.
Так, обычная топология представляет собой совокупность под-
подмножеств, как и множество-степень и алгебра Рейтинга Р+.
Каждый аналитик работает ежедневно с совокупностями функ-
функций и с функционалами, представляющими собой функции, вхо-
входами которых служат также функции. Однако на практике
редко возникает необходимость более чем в трех или четырех
уровнях отношения принадлежности. Но даже эти примеры
использования теории множеств отличаются от действительной
концепции, от основной идеи того, что же такое множество. Как
выразил это Ловер [76], «абстрактное множество X состоит из
элементов, каждый из которых не имеет никакой внутренней
структуры вообще». В «наивном» представлении множество есть
совокупность неопределенных и достаточно произвольных пред-
346 Гл. 13. Арифметика
метов. И действительно, в алгебре слово «абстрактный» упо-
употребляется в точности для передачи этого смысла. Теория
абстрактных групп, например, изучает группы как совокупно-
совокупности с определенной алгебраической структурой, а природа эле-
элементов этих совокупностей при этом не имеет значения. А в об-
общей топологии элементы топологического пространства принято
называть точками, под которыми, как и у Евклида, понимается
«то, что не имеет частей». Аналогично в категории множеств
иод множеством понимается объект X, элементами которого яв-
являются стрелки вида 1->-.Х, основополагающие и неделимые.
Теория топосов показывает, как можно развить основания стан-
стандартных математических концепций в этих терминах.
Интуитивная теория множеств играет и, несомненно, всегда
будет играть центральную роль в метаязыке работающей мате-
математики. Она составляет часть языка, на котором мы говорим,
идет ли речь о геометрии, алгебре или основаниях, обсуждаем
ли мы топологические пространства, группы или множества.
С этой точки зрения теория топосов является не столько сопер-
соперником теории множеств per se, сколько альтернативой фор-
формальной теории множеств, дающей другое строгое объяснение
или основание для нашего интуитивного понимания «множе-
«множества».
Одно из важнейших достижений теории топосов заключается
в переработке ядра теории множеств в понятие, обнаруживаю-
обнаруживающееся в прежде столь различных контекстах. Так, мы пользуемся
понятием «множества точек» и хорошим знакомством с ним при
работе со структурами алгебраической геометрии, интуиционист-
интуиционистской логики и представлений моноидов. В настоящей главе мы
вкратце обсудим, как можно основания арифметики натураль-
натуральных чисел перенести в любой топос, обладающий натурально-
числовым объектом. Мощь аксиоматического метода и возмож-
возможности абстракции в упрощении и проникновении в суть вещей
можно оценить, лишь если под натуральным числом, т. е. под
элементом I-*-N в N, понимать (с чем мы встретимся ниже) все
что угодно, начиная от некоторых непрерывных функций между
пучками множеств ростков (локальных гомеоморфизмов) и кон-
кончая некоторыми эквивариантными отображениями действий за-
заданного моноида или естественными преобразованиями некото-
некоторых функторов, определенных на произвольной малой катего-
категории и принимающих значения в категории множеств.
13.2. ПРИМИТИВНАЯ РЕКУРСИЯ
Всюду в этом параграфе через & обозначается топос с на-
турально-чнсловым объектом 1 —> N —> N. Поэтому для любой
диаграммы 1 -—*¦ а —>- а из & имеется единственная «^
13.2. Примитивная рекурсия
347
довательность» h: N-*-a, определяемая простой рекурсией из.
стрелок f и х, т. е. делающая коммутативной диаграмму
Многие основные арифметические функции можно опреде-
определить индуктивно с помощью рекурсии более сложного вида, чем
та, что встречается в аксиоме NNO. Рассмотрим, например, про-
процесс вычисления суммы m-\- n двух натуральных чисел. Его
можно производить при фиксированном т многократным до-
добавлением целых чисел от 1 до п, что приводит к последова-
последовательности
т, т -+- 1, т -+- 2, ..., т -+- п
Тогда сумма т + п получается рекурсией по п из двух урав-
уравнений
т-\-0 = т и т -\-(n-f- 1)= (m + n)-j- 1,
т. е.
т + s(n) = s(m + n).
Вид у этих равенств практически такой же, как и у равенств
из § 12.2, которые определяли единственную стрелку h: /Хо>->-
-*-А, использованную при проверке NNO для топоса Вп(/),
и их легко обобщить. Заменим «параметр» т некоторым эле-
элементом х из произвольного множества А, вместо т + п опреде-
определим функцию h(x,n) с входами из произведения ЛХоо и выхо-
выходами, лежащими в некотором другом множестве В. Чтобы на-
начать индукцию по п, необходимо задать функцию вида h0: A->-B,.
так что мы можем положить
A)
h(x,Q) = ho(x).
Тогда, считая функцию /: В—*В уже заданной, мы получаем к
ее последовательным применением. Итак, положим
B) h(x,n+l) = f(h(x,n)).
По A) и B) диаграмма
А Хш
В
348
Гл. 13. Арифметика
коммутативна и функция h, определяемая этими равенствами,
является единственной функцией, которая делает коммутатив-
коммутативной такую диаграмму.
В том случае, когда h0 является тождественной функцией
id0): со—>-со, a f — обычной функцией следования s: со—*-<о, соот-
соответствующая единственная функцгя /г, определяемая рекурсией
из h0 и f по уравнениям A) и B), есть функция сложения
-)-: со X со—>-со.
Теорема 1. (Freyd [72].) Предположим, что & \= NNO.
Тогда для любой диаграммы а ^Х b Л- b имеется ровно одна
&-стрелка h: оХ N -*¦ Ь, дня которой коммутативна диаграмма
где Оа обозначает композицию а --> 1 —> N.
Конструкция для доказательства. В качестве h
надо взять «перекрученную» экспоненциально присоединенную
стрелку к единственной стрелке yV—>-6а, делающей коммутатив-
коммутативной диаграмму
N
Здесь через f обозначена стрелка, экспоненциально присоеди-
присоединенная к композиции f о ev: bay^a^-b,
ЬаХа
¦*- Ь
Так, в категории Set стрелка f ° ev отображает пару (g, x} e
^ВАХА в элемент f(g(x))^ В, а потому стрелка fA отобра-
отображает g е В' в композицию f °g e BA,
13.2. Примитивная рекурсия
349
в п
f
Применим теорему 1 к диаграмме вида Ь —> b —'-*¦ b. В то-
иосе Set соответствующая единственная стрелка h: 6 X N-*-Ь,
определяемая рекурсивно из стрелок 1& и /, имеет рекурсивные
уравнения
h (х, 0) = х,
h(x,n+ l) = f{h(x,n)).
Следовательно, при фиксированном элементе х функция / по-
порождает последовательность
x,f(x),f(f(x)), f(f(f(x))), ....
а потому h называют итератом стрелки /.
Итерат стрелки следования а: N-*¦ N называют стрелкой сло-
сложения 0: NXN-+N.
Упражнение 1. Как выглядит действие стрелки © в Set8
и в Вп(/)?
Упражнение 2. Пусть i(f)—итерат стрелки /. Проверить ком-
коммутативность диаграммы
Hf)
Упражнение 3. Объяснить, почему упражнение 2 в случае
f = а приводит к «закону ассоциативности сложения».
Упражнение 4. Показать, что следующие диаграммы комму-
коммутативны:
Ш*~ bxN
№
Ш)
«¦/)
350 Г.1. 13. Арифметика
Упражнение 5. Показать, что <Олг, 1 лг> ° О = <1лг, ON} ° О =
= <о,оу
Упражнение 6. Ф о <О, О> = О.
Упражнение 7. (О + т = т). Доказать коммутативность диа-
диаграммы
N <О№Н NXN
N
Упражнение 8 (коммутативность сложения). Диаграмма
N
коммутативна. П
Основная идея рекурсии, выраженная теоремой 1, состоит
в том, что некоторая функция / преобразует вход h(x,n), за-
задаваемый этой теоремой, в выход h(x, n-\-\). Однако суще-
существует ряд функций, имеющих естественное индуктивное опре-
определение, в котором значение h(x, п+1) зависит не только от
h(x, п), но также и прямо от переменных х и п, т. е. чтобы
получить выход h(x, п + 1), необходимо знать одно или оба
значения переменных х и п на входе и, конечно, значение
h(x,n). Рассмотрим, например, умножение хУ^п числа х на п,
т. е. «сумму х с самим собой п раз». Соответствующая функ-
функция задается равенствами
хХ(п+ l) = .v + (*Xn),
xXs(n) = f(x,xXn),
где f обозначает функцию сложения.
В качестве примера, в котором h(x, л+ 1) зависит непосред-
непосредственно от п, можно взять функцию предшествования р: со-»-©
с р(я)=я—1 (кроме п = 0, когда мы берем р(я) = 0). Ре-
Рекурсивно функция р задается равенствами
р@) = 0,
Две рассмотренные конструкции можно скомбинировать в одну:
для заданных функций ho'- A-+B и /: ЛХ«"Х^-^ В определим
«примитивной рекурсией» функцию /г. ЛХо»->-В с помощью
13.2. Примитивная рекурсия
351
равенств
h(x, О) = А,(лт),
h(x,n+ \) = f(x, n, h(x, n)).
Беря, например, в качестве функции ho «тождественный нуль»
О(>): со->-о), а в качестве / — проекцию на второй сомножитель
рг^: ш3^-(о, мы получим в качестве функции h функцию пред-
предшествования р. Беря ту же функцию /г0, а функцию / меняя на
, <РП, рг,> „ +
композицию or »- or—>-со, мы получим в качестве функции
h функцию умножения.
Теорема о примитивной рекурсии (Freyd [72]). Предполо-
Предположим, что 8 (= NNO. Тогда для любых 8'-стрелок hQ: a^-b
и /: aX.NX.b->- b существует единственная 8-стрелка h: aX
XN->-b, для которой коммутативны диаграммы
b
axN
а а N .' Ъ
aXN
f
Конструкция для доказательства. По теореме 1
существует единственная стрелка h' с коммутативной диа-
диаграммой
а хЛг
1„ х
а X N
ax-Nxb * aXNxb
где нижняя стрелка равна (ргь а°рг2, /). В категории Set зта
стрелка переводит тройку <х, п, у} в тройку (х, п -\- 1, f(x, n, у)).
Значит, h' = {h[, h'i, Щ удовлетворяет условиям
h[ (x, 0) = х, hi (x, n-\-\) — ti\{x, n); поэтому h[(x, n)=x,
hi{x, 0) = 0, h!-i{x, n -f 1) = h'i(x, «) + 1; поэтому h'i{x, n) = n,
tii{x, 0) = /г()(я). h'z(x, a + 1)^/(х, и, h'i(x, n)).
Требуемая й'-стрелка h есть композиция
стрелки h' и проекции на сомножитель b. ?
352 Гл. 13. Арифметика
Следствие. Пусть h — стрелка, определяемая рекурсивно из
стрелок h0 и /, согласно предыдущей теореме. Тогда для любых
элементов х: 1 -*-а и у: 1 ->¦ N объектов а и N
(ii)
ЯХДГ
Доказательство. Применяя к элементам х: 1->а
и (х,у}: 1 -+- а X Л^ две диаграммы из теоремы о примитивной
рекурсии, а затем используя правила обращения с произведе-
произведениями стрелок, известные по упражнениям из § 3.8, мы полу-
получаем требуемые соотношения. ?
Исходная формулировка теоремы о примитивной рекурсии
принадлежит Ловеру [64] и относится к случаю точечных кате-
категорий. Она утверждает существование и единственность стрелки
/г, удовлетворяющей двум соотношениям из полученного след-
следствия. Полное доказательство дано Хэтчером (Hatcher [68]),
у которого экстенсиональность используется, только чтобы пока-
показать единственность стрелки h.
Некоторые частные случаи
A) (Независимость от п). Для заданных стрелок ho\ a^-b
и /: aXb^-b существует единственная стрелка A: ay^N^-b,
для которой коммутативны диаграммы
aXN aXN
аУ-b —*¦ Ь
(Стрелка h получается примитивной рекурсией из ho и f°
:<pra,pr»>: a~XN X b-^b; для проверки используется равен-
равенство \aXN = <РГО, рГлг>.)
13.2. Примитивная рекурсия 353
B) (Независимость от х). Для заданных стрелок h0: а-*-Ь
и f: Ny(,b-*-b существует единственная стрелка ft: aX N -»-&,
для которой коммутативны диаграммы
я х Л/ а х _/V "X:i> а х /V
Nxb
C) (Зависимость только от п). Для заданных стрелок
п0: 1 -+- b и f: N-+- b существует единственная стрелка ft: N-^b,
для которой коммутативны диаграммы
N
N —^-* N
\h
ь
(Выводится из случая f2). Для этого вначале надо по стрелкам
h0 и /°рг^: NXb-^-b найти стрелку ft': 1~X N-*-b, а затем вос-
воспользоваться изоморфизмом 1Х-^ = Л^.)
D) (Итерация). Теорема 1 сама — частный случай: для за-
заданных стрелок fto: a-*-b и /: b-*-b имеется единственная
стрелка h: аУ( N^- b, получаемая примитивной рекурсией из
/?о и /"pn,: aXNXb-+b.
Пользуясь теоремой о примитивной рекурсии и некоторыми
из ее частных случаев, можно в любом топосе с натурально-
числовым объектом определить аналоги многих арифметических
операций.
Определение (предшествование). Стрелка р: N-*~N опреде-
определяется рекурсией из стрелок О: l-*-N и 1лг: N-+-N (случай
C)) как единственная стрелка с коммутативными диаграммами
N
О
N
Следствие, а — монострелка.
Доказательство. Если a°f=a°g, то p°j°/ =
о 5 ° g, т. е. 1 м ° f — 1 n ° g.
Упражнение 9. Показать, что р — эпистрелка. ?
12 Зак. 651
354
Гл. 13. Арифметика
Определение (вычитание). Стрелка --: Ny^N->¦ N является
итератом стрелки предшествования р, т. е. единственной стрел-
стрелкой, для которой коммутативна диаграмма
On, оя>,
N
N
NxN
Упражнение 10. Проверить, что в категории Set
(in— п при т^п,
т — п = \ .
(О в противном случае.
Упражнение 11. Проверить коммутативность диаграммы
В,рг2)
Упражнение 12. ((п+1) — 1 = /г). Проверить коммутатив-
коммутативность диаграммы
Теорема 2. A) [{т + 1 )-=-(« + 1) = т. -=-«], т. е. коммута-
коммутативна диаграмма
NxN
JVXJV
B) \(m -\- ri)— п = m\, т. е. коммутативна диаграмма
Ргг
13.2. Примитивная рекурсия 355
Доказательство. A) Рассмотрим диаграмму
NXN
Коммутативность верхнего треугольника вытекает из стандарт-
стандартного упражнения C.8.8) о произведениях стрелок. Для другого
треугольника
pX1iv°d X 1iv = P°^X1w°1w по C.8.8) = 1.vX 1лг= 1.vx,v
Но нижняя часть данной диаграммы коммутативна в силу вто-
второй диаграммы (после переворачивания) из упражнения 4
выше. Следовательно, граница данной диаграммы коммута-
коммутативна, что и требовалось установить.
B) Теперь рассмотрим диаграмму
NxJV
Ее верхний квадрат коммутативен по упражнению 11, а ниж-
нижний— по п. A) этой теоремы. Нижний треугольник есть часть
определения стрелки —, а для верхнего треугольника
<®, РГ2> о A N, ON) = <® о AЯ> ON), РГ2 о (\N, ON)) =
= (^n> ON) (no определению ф).
Итак, последняя диаграмма коммутативна, откуда (по тео-
теореме 1) стрелка — ° <Ф, рг2> совпадает с итератом стрелки 1#.
Но, как легко проверить, итерат стрелки ]N есть проекция
ргг. NXN^N. П
Следствие. A) Диаграмма
NXN
NxN
коммутативна.
12*
356 Гл. 13. Арифметика
B) Произведения <©, рг2>: NXN^NXN и <ргь е>: NX
X N ->- N X N являются монострелками.
Доказательство. A)
(—, рг2)о(ф, Рг2)=(— сC3, рг2), рг2°<©, рг2» =
= (рг,,рг2) (п. B) теоремы 2) — \Nxn-
B) Из A) (следуя доказательству того факта, что а — мо-
монострелка) мы получаем, что <®, рг2> — монострелка. Но по
упражнению 8 коммутативна диаграмма
Nx-N
откуда вытекает коммутативность диаграммы
NxN
Так как «перекрученная» стрелка <pr2) prj> является изострел-
кой, то <ргь ®> — монострелка. ?
Отношения порядка
Стандартное упорядочение ^ на а задает отношение
L = {{т, п}: т ^ п}.
Так как т<пв том и только том случае, когда т + р == п для
некоторого р е чу, то
L= {{т,т-\-рУ: т, ре со}.
Но пара <m, m + р> представляет собой выход функции <ргь ф>:
со X <»->-со X со для входа (т, р). Поэтому имеется эпи-моно-
разложение
со Хц>
L
Следовательно, в топосе & можно определить аналогичное отно-
отношение порядка на объекте VV как подобъект в произведении
NXN, получающийся из эпи-моно-разложения стрелки <prt, ф>.
13.2. Примитивная рекурсия 357
Однако, как мы убедились выше, эта стрелка сама является
монострелкой. Поэтому мы можем взять ее в качестве предста-
представителя данного отношения порядка на N.
Строгий порядок < на со задается по ^:
m <Ln т. и т. т. m -+- 1 sg n.
Поэтому в топосе <!Р мы определяем отношение© : Ny(_N>—>
N X N из диаграммы
,/ <Pri, Ф>
IVxJV
Произведение aX1/v является монострелкой, так как оно со-
состоит из монострелок, а потому стрелка 0 действительно задает
подобъект в N X N.
Упражнение 13. Определить <?Г-стрелки, соответствующие от-
отношениям
«т, я>: т ^ п) и {<т, п>: т > п}
на со. ?
Определение (умножения). Стрелка <8>: N>sN->-N опреде-
определяется рекурсивно по стрелкам Он и Ф (частный случай A))
как единственная стрелка, делающая коммутативными диа-
диаграммы
NxN NxN 1flX;l> JVxiV
3 <рг„ <
Упражнение 14. Показать, что для стрелок х: 1 -*¦ N и у:
NxN
1
<х, у} е <ргь ф> т.ит.т.ф» <jc, 2> = у
для некоторой стрелки г: 1-»-ЛЛ
Упражнение 15. Показать, что
(х, уУ е0 т. и т. т. Ф о <d oi, г> = у для подходящей стрелки г.
358 Гл. 13. Арифметика
Упражнение 16. Показать, что для любой стрелки х: 1-+N
Упражнение 17. Определить в топосе & аналоги следующих
арифметических стрелок из Set:
(i) exp(m, n) = тп,
( т — п, если т^п,
(ii) \т-п\ = \
(, п — т в противном случае,
(Hi) max(m, n) = максимум чисел тип,
(iv) min(m, n) = минимум чисел т и п. ?
Дальнейшую информацию о рекурсии на натурально-число-
натурально-числовом объекте в топосе можно почерпнуть в диссертации Брука
(Brook [74]), которая и послужила основой большей части
этого параграфа.
13.3. АКСИОМЫ ПЕАНО
В категории Set можно проверить, что для системы
О s
1 >• СО У СО
A) s (х) ф 0 для всех х е со,
B) для любых х, у е со равенство s(x) = s(y) выполнено
тогда и только тогда, когда х = у,
C) если подмножество A s со таково, что
(i) ОеЛ и
(ii) s(jc)e Л, когда х е А,
то А = со.
Утверждение C) есть формализация принципа конечной ма-
математической индукции. Любое натуральное число получается
из 0 добавлением 1 конечное число раз. Пункты (i) и (ii) ука-
указывают, что этот процесс всегда приводит к элементу из А.
Три утверждения A), B), C), известные как аксиомы
Пеано, лежат в основе аксиоматического описания классической
теории чисел. Они однозначно характеризуют объект со в Set.
О' s'
Это значит, что если 1 —*¦ со'—> со'—любая другая система,
удовлетворяющая.условиям, аналогичным A), B), C), то един-
единственное отображение А:'ю-*-со' для которого коммутативна
диаграмма
(О ^ »- СО
является изострелкой (т. е. биективно) в Set. Условия A)'
и B)' используются при проверке инъективности отображения
13.3. Аксиомы Пеано 359
h, а условие C)', примененное к подмножеству /z(co)scu', по-
показывает, что /z(to)= со', т. е. h сюръективно.
В этом параграфе мы покажем, что НЧО в любом топосе
удовлетворяет условиям, аналогичным A), B), C). Затем мы
обратимся к некоторым более глубоким результатам Фрейда
(Freyd [72]), чтобы доказать, что натурально-числовые объекты
однозначно характеризуются категорными аксиомами Пеано.
Читателю должно быть ясно, как условие s(x)=7^0 абстраги-
абстрагируется в аксиому
РО. О ф д, т. е. диаграмма
не коммутативна ни для какого «натурального числа» х: 1-+-ЛЛ
Иначе говоря, аксиома A) утверждает, что
где г'({0})={л;бш: s(x)=O}—прообраз множества {0}
относительно s. Но, согласно § 3.13, прообраз подмножества из
области значений функции получается подъемом включения
данного подмножества вдоль рассматриваемой функции. По-
Поэтому имеется еще одна абстрактная формулировка акси-
аксиомы A):
Р1. Квадрат
декартов.
Аксиома B) утверждает в точности, что функция следова-
следования инъективна, т. е.
Р2. /V —>- N — монострелка.
В аксиоме C) подмножество A s ю заменяется на моно-
монострелку /: а >—>N. Предположение (i) превращается в предпо-
360 Гл. 13. Арифметика
ложение Oef, т. е. существует некоторая стрелка х: 1—>-а, для
которой коммутативна диаграмма
1
Предположение (И) утверждает, что s(A)^A, где s(i4) =
= {s(x): xeА}— образ множества А относительно s. Вспоми-
Вспоминая начало § 12.5, мы видим, что подходящим обобщением об-
образа s(A) служит подобъект л [f] = im(a °f), а так как а и / —
монострелки, то a [f]~a°f. Итак, предположение (и) превра-
превращается в утверждение, что <j°/sf в Sub(iV), т. е. для некото-
некоторой стрелки g коммутативен треугольник
а
Тогда аксиома C) превращается в аксиому
РЗ. Для любого подобъекта а >—>¦ Л/ в N, если
(i) Ое|а
(ii) aof^f,
то fc^U.
Теорема 1. Любой натурально-числовой объект 1 Д. N Д. /v
удовлетворяет аксиомам Р0, Р2 и РЗ.
Доказательство. Р0. Если д°х=О для некоторой
стрелки х: l-*-N, то
р°доХ~р°О,
откуда \N°x=O, т. е. (по определению р) х = О. Но тогда
ао О = а ох = О, а потому, определяя рекурсивно стрелку h,
для которой коммутативна диаграмма
N —*—* N
Q
по стрелкам false и ~], мы получим, что
true = п о false = /z° a<>0 = h°O = false,
что возможно лишь в случае вырожденного топоса &.
13.3. Аксиомы Пеано
361
P2. Тот факт, что а — монострелка, был установлен в преды-
предыдущем параграфе.
РЗ. Предположим, что [=1», и имеются коммутативные
диаграммы
1 а
Определим стрелку h простой рекурсией по стрелкам х и g,
и рассмотрим диаграмму
Верхние треугольник и квадрат коммутативны в этой диа-
диаграмме по определению стрелки h, а нижние треугольник
и квадрат коммутативны по предположению. Значит, и вся диа-
диаграмма коммутативна. Из нее мы находим, что /°Л есть един-
единственная стрелка, определяемая рекурсией из О и д. Но оче-
очевидно, что эти две последние стрелки определяют по рекурсии
стрелку 1Л-. Следовательно, треугольник
N
N
коммутативен, т. е. 1лг^Д откуда 1w^/. ?
Упражнение 1. Вывести РО из Р1. ?
Элементами объекта N в Set являются конечные ординалы
пеш и только они. Соответственно в топосе S1 мы определим
для каждого натурального числа песо стрелку п: l-*-N как
композицию
fl = d°jo ... о 6 ° О
п раз
Стрелки п мы называем конечными ординалами в топосе
Используя их и более общие натуральные числа х: l-*-N в
362 Гл. 13. Арифметика
мы можем сформулировать следующие два варианта третьей
аксиомы Пеано.
РЗА. Для любого подобъекта а >—> N, если
(i)Oefu
(ii) для всех I —^-Миз принадлежности же/ вытекает, что
то f ~ 1 л,.
РЗВ. Для любого подобъекта а >—> N, если
(i) Os=fu
(ii) для всех леи «з принадлежности пе/ вытекает, что
done/,
то /~1„.
Упражнение 1. Показать, что в топосе Вп(/) ординал п пред-
представляет собой сечение стрелки рг7: /X <»->-/, такое, что
n (i) — <i, n> при всех i.
Упражнение 2. Показать, что в топосе Bn(co) диагональное
отображение А: со—*-<дХ<0 является натуральным числом
А: 1-^Л^иА^п при всех п.
Упражнение 3. Показать, что в общем случае из РЗВ выте-
вытекает РЗА, а из РЗА вытекает РЗ.
Упражнение 4. Показать, что РЗВ выполнена в Sety и в
Вп(/), а также в Тор(/).
Упражнение 5. Используя теорему 7.7.2, показать, что в то-
точечном топосе из РЗ вытекает РЗА. ?
Прежде чем переходить к исследованию аксиомы Р1, мы
остановимся еще на двух свойствах объекта со в Set. Заметим
прежде всего, что диаграмма
id ,
и —? и -—¦ {0}
является коуравнителем в Set. Действительно, если в диа-
диаграмме
f os = f °id<o = f, то для всех пеш верно равенство /(п+ 1)==
= /(п), откуда (по индукции) /(п) = /@) для всех п. Итак, / —
13.3. Аксиомы Пеано
363
постоянная функция с /@) в качестве единственного выхода.
Поэтому, положив х@) = /@), мы сделаем последнюю диа-
диаграмму коммутативной. Кроме того, такая стрелка х всегда
единственна и существует в том и только том случае, когда
f,s = f.
Таким образом, мы формулируем следующую аксиому:
F1. Стрелка W —-*- 1 есть коуравнитель стрелок <з и \n-
Упражнение 6. Согласно § 3.12, конец коуравнителя стрелок
idM и s совпадает с фактормножеством (й/R, где R— наимень-
наименьшее отношение эквивалентности на со с nRs(n) при всех песо.
Показать, что существует только одно такое отношение R,
а именно универсальное отношение R = со X ® с фактормноже-
фактормножеством <a/R = {со}, задающим конечный объект в Set. D
Так как в категории Set Ims={l, 2, 3, ...}, то {0} (J
(JIms = <o. Но (аксиома A)) {0} [\lms- 0, а потому данное
объединение дизъюнктно, т. е. {0} + Im s ^ {0} U Im s = со.
Отождествляя множество {0} со стрелкой О: 1-*-<д, а образ
Ims с монострелкой s, мы получаем, что
[0, s]: l+fflso).
Таким образом, мы формулируем
F2. Копроизведение стрелок [О, а]: l-\-N-*-N является изо-
стрелкой.
Теорема 2. F1 и F2 выполняются для любого натурально-
числового объекта.
Доказательство. F1. Предположим, что f°6 = f.
Положим х = f о О,
N
364
Гл. 13. Арифметика
Тогда коммутативна диаграмма
N
Кроме того, коммутативна диаграмма
а —=-*- а
откуда по аксиоме NNO коммутативен треугольник
что и требовалось установить. Тот факт, что существует ровно
одна стрелка х, делающая данную диаграмму коммутативной,
вытекает из того, что !: JV->-l—эпистрелка. Чтобы убедиться
в последнем, рассмотрим коммутативную диаграмму
и используем тот факт, что \\— эпистрелка (это можно вывести
и непосредственно).
F2. Обозначим через /: 1 + N ->¦ 1 + Л' композицию / ° [О, а],
N
13.3. Аксиомы Пеано
365
где i и / — соответствующие инъекции. Определим стрелку g
рекурсией из i и t и рассмотрим диаграмму
N
N
&¦
N
Так как i — инъекция, то [О, б] °i=*O. Так как / — инъекция,
то [О, a] °t = [О, л\ о/о [О, л] = л о [О, а]. Следовательно, вся
данная диаграмма коммутативна. Тогда по NNO имеем [О, а] °
Но обе диаграммы
1 +JV -Z-^l+N
\
j°°^ i^^-u i+jV
коммутативны. Проверка коммутативности первой остается чи-
читателю в качестве упражнения. Что касается второй, то по ком-
коммутативности предыдущей диаграммы i" g = g^ а. Отсюда вы-
вытекает соотношение t °g° д = gо Лод, что и требовалось, а также
togoO = god°0. Но togoO = } ° [О, S] ° g°O == j ° 1лг ° О =
= / о О, откуда / о О = g ° д ° О, что и требовалось.
Из этих двух последних диаграмм и NNO вытекает равен-
равенство gо р = /. С другой стороны, по предыдущему g<>O = i.
Значит, gc [О, д] = [go О, go a] = [i, j] = Ii+w- Итак, мы пока-
показали, что стрелка g обратна к стрелке [О, <з], а потому послед-
последняя является изострелкой. D
Упражнение 7. В выводе F1 мы использовали тот факт, что
!: N-*-l—эпистрелка. Показать, что в любой категории с 1,
если объект а непуст, т. е. обладает стрелкой х: 1—>-а, то
': а -*-1 — эпистрелка. П
Лемма. В любом топосе, если диаграмма
d
366
Гл. 13. Арифметика
является амальгамой с монострелкой g, то h — монострелка
и данный квадрат декартов.
Доказательство. По теореме о классификаторе частич-
частичных стрелок (§ 11.8) мы, используя классификатор %: Ь—*Б,
ассоциированный с объектом Ь, получаем диаграмму, границей
которой является декартов квадрат. Тогда в силу свойства ко-
универсальности амальгам в указанном месте существует един-
единственная стрелка х, делающая всю диаграмму коммутативной.
Теперь тот факт, что исходный квадрат декартов, проверяется
непосредственно, и мы оставляем это в качестве упражнения.
И наконец, так как композиция х ° h = % является монострел-
монострелкой, то и h— монострелка. ?
Теорема 3. Любой натурально-числовой объект удовлетво-
удовлетворяет аксиоме
Р1. Квадрат
о
N
N
декартов.
Доказательство. Так как по F2 имеется изоморфизм
[О, д]: \ -{- N-+N, то отсюда сразу видно, что диаграмма
задает копроизведение в <§'. Но тогда по свойству коуниверсаль-
ности копроизведений диаграмма из Р1 является амальгамой.
Поэтому требуемый результат вытекает из предыдущей леммы,
поскольку 0-*-1—монострелка (§3.16). ?
13.3. Аксиомы Пеано 367
Теорема 4. Из совокупности условий PI, P2 и РЗ вытекает
справедливость аксиом F1 и F2 (Зля любой диаграммы
о 4
1 —>N—*N
в произвольном топосе.
Доказательство. F1. Предположим, что f°d = f, a g:
Ь >—> N — уравнитель пары стрелок /и f ° Oo\N,
а
Пусть h = f ° О о In. Так как диаграмма
1
коммутативна, т. е. 1лг ° О = 1 j, то h ° О = f о О. Но g — уравни-
уравнитель / и h. Значит, О пропускается через g, откуда Oej.
Заметим теперь, что диаграмма
N '—Ё-*- N
1
коммутативна, т. е. 1# ° <з = 1л-, откуда сразу же вытекает равен-
равенство he а о g = /log-. Но hog = f°g = f°d°g. Значит, /г i,
о (a og) =/о (a og) и стрелка d ¦>g пропускается через уравни-
уравнитель g, т. е. s^g^. Тогда по аксиоме РЗ ?~1Я, так что
g — изострелка и, в частности, зпистрелка. Из последнего выте-
вытекает равенство f — h = f °O ?\N. Значит, диаграмма
коммутативна. Но !: N-*-l—эпистрелка, поскольку N имеет
элемент О: l-*-N. Следовательно, f°O — единственный элемент
объекта а, делающий последнюю диаграмму коммутативной.
Это доказывает F1.
368
Гл. 13. Арифметика
F2. По Р2 и Р1 л и О — дизъюнктная пара стрелок. Отсюда
по лемме, относящейся к теореме 5.4.3, [О, а) — монострелка.
Значит, для доказательства аксиомы F2 достаточно установить,
что [О, dj — эпистрелка.
Предположим поэтому, что f о [О, д] — g » [О, а], и рассмот-
рассмотрим диаграмму
Из этой диаграммы мы видим, что f°0 = g<>0 и f ° 6 = g ° л.
Тогда если h: b>—^N— уравнитель стрелок / и g, то O^h,
а так как f°doh=;g°4oh, то a °h пропускается через h, т. е.
d°h^h. Значит, по аксиоме РЗ /г~1л, откуда f = g. Итак,
стрелка [0, а] сократима справа. ?
Следствие. В любом топосе Ж для диаграммы вида 1 —*¦
об
—>N—>Л' следующие утверждения равносильны:
A) Данная диаграмма задает натурально-числовой объект.
B) Данная диаграмма удовлетворяет аксиомам Пеано Р1,
Р2 и РЗ.
C) Данная диаграмма удовлетворяет аксиомам Фрейда
F1 и F2.
Доказательство. Из A) вытекает B) в силу тео-
теорем 1 и 3. Из B) вытекает C) по теореме 4. Из C) вытекает
A) —см. Freyd [72], теорема 5.4.3. ?
Равносильность пунктов A) и C), установленная Фрейдом,
требует для своего доказательства техники, выходящей за
рамки нашего изложения. Кроме того, Фрейд установил, что
в любом топосе равносильны утверждения:
(a) существует натурально-числовой объект,
(b) существуют монострелка f: a>-^a и элемент х; 1-^-а из
ее конца, такие, что квадрат
О- 1
декартов,
13.3. Аксиомы Пеано 369
(с) существует изоморфизм вида 1 -\- а ^ а.
В отношении (с) заметим, что в категории Finset, не имею-
имеющей НЧО, изоморфными объектами являются конечные множе-
множества с одинаковым числом элементов, при этом сумма 1 -f- a
имеет на один элемент больше, чем само множество а.
Интуитивный смысл (Ь) состоит в том, что все члены по-
последовательности х, f{x), f{f{x)), ... различны, а потому они
образуют подмножество {х, f{x), ...} в а, изморфное со. Тогда
натурально-числовой объект появляется в качестве «пересече-
«пересечения» всех подобъектов g: Ь>—>а, содержащих это множество,
т. е. таких, что x^g и fog^g. Формализация этих идей, при-
приводящая еще к одному направлению в характеризации нату-
натурально-числовых объектов, была развита Озиусом (Osius [75]).
Упражнение 8. Вывести Р1 и Р2 непосредственно из F2. ?
Глава 14
ЛОКАЛЬНАЯ ИСТИННОСТЬ
Топология Гротендика представляется наиболее
естественно как модальный оператор типа «локаль-
«локально имеет место....»
Ф. У. Ловер
Понятие топологического расслоения представляет только
одну сторону теории пучков. Другая связана с понятием пучка
как функтора, определенного на категории открытых множеств
топологического пространства. Наша цель — проследить теперь
развитие идей, связанных с понятием пучка как функтора. Вот
основные моменты этого развития: понятие «топологии» на ка-
категории, данное Гротендиком, общее понятие пучка, выразимая
в языке первого порядка концепция топологии на топосе и, на-
наконец, аксиоматическая теория пучков Ловера и Тирни.
Эта глава носит в основном обзорный характер. Ее цель —
подготовить читателя к изучению соответствующей литературы.
14.1. ПРЕДПУЧКИ И ПУЧКИ
Пусть / — топологическое пространство и 0 — множество
всех его открытых множеств. Ч. у. множество 0, упорядоченное
по включению, определяет, как обычно, категорию порядка,
в которой стрелками являются функции включения f/t—»- V.
Предпучком над I называется контравариантный функтор
из 0 в Set. Таким образом, предпучок F ставит в соответствие
каждому открытому подмножеству V некоторое множество
F(V) и каждому включению U <->¦ V — функцию Flv: F (V) ->
-> F (U), называемую отображением ограничения (обратите вни-
внимание на изменение направления стрелок). При этом выпол-
выполняются следующие условия:
(i) F% = idUt
(ii) если U ^ V s W, то диаграмма
\
F(V)
коммутативна, т. е. Ff> = Fu
14.1. Предпучки и пучки
371
Пример. Пусть /: Л-»-/— пучок в смысле гл. 4, т. е. отобра-
отображение f является локальным гомеоморфизмом. Определим пред-
пучок Ff: 0-»-Set следующим образом.
Fj (V) = (множество локальных сечений над V) =
= {V—*¦ A: s непрерывна и f <> s = V ^-+1).
Пусть U <-* V — включение и функция FVfu — «ограничивающее»
или «локализующее» отображение, ставящее в соответствие
каждому сечению s: V-+A над
V его ограничение s\U: U -*¦ А
на U. Отождествляя сечения s с
их образами s(/)sA, получаем
картину, изображенную на
рис. 14.1.
Построенный предпучок Ff
называется предпучком сечений
над I. Обозначим через St(/) ка-
категорию, объектами которой яв-
являются предпучки F: 0 ->• Set, a
стрелками служат естественные
преобразования т: F -?¦ G, т. е. семейства {ги: f/еб} функций
Xu: F(U)-+G(U), такие, что диаграмма
Рис. 14.1.
и f(u) -^-^ асю
коммутативна, если t/sK.
Поскольку контравариантный функтор 0-^-Set можно рас-
рассматривать как ковариантный функтор из 0°р, т. е. из катего-
категории, двойственной к 6, в Set (см. § 9.1), то категория St(/) экви-
эквивалентна топосу Sete°p.
Упражнение 1. Пусть h: (A,f)-+(B, g) — стрелка из простран-
пространственного топоса Тор(/). Для каждого открытого множества V
определим функцию hv: Ff(V)-+Fs{V) равенством hv{s) =
= h о s, т. е. hv переводит s <s Ff(V) в h ° s,
*• В
Проверить, что bs является сечением отображения g, т. е.
/i,/(s)e Fg(V), и что функции hv при 1^е6 могут служить
372 Гл. 14. Локальная истинность
компонентами некоторой St(У)-стрелки тЛ: Ff—^-Fg. Показать,
что отображения f<—>Ff и ht—>Th образуют функтор 9? из Тор(/)
в StG). D
Возникает вопрос, когда данный предпучок F изоморфен
некоторому предпучку сечений, т. е. при каком условии на F
существует локальный гомеоморфизм /, такой, что F ^ Ff в ка-
категории St(/). Ответ зависит от ответа на другой вопрос о по-
поведении локальных сечений отображения /: Л->/. Предполо-
sx
жим, что {VX—^A: х <= X} — произвольная совокупность ло-
локальных сечений отображения /, заиндексированных множе-
множеством X, и пусть каждая из областей определения Vx есть под-
подмножество некоторого открытого множества V, т. е. Vx E V
и sx <= Ff(Vx) для всякого iel Упомянутый выше другой во-
вопрос таков: когда мы можем «склеить» вместе все сечения s.x
и образовать единое сечение s: V->/leFf(F)? Правило, опре-
определяющее требуемое сечение s, должно быть следующим: если
i е V, то выберем некоторое Vx, такое, что t e Vx, и положим
s(i) = sx(i). Для того чтобы получилось равенство doms=V,
потребуем, чтобы каждый i'e V был элементом по крайней мере
одного Vх. Другими словами, потребуем, чтобы V было объеди-
объединением совокупности множеств Vx, т. е.
V = U {Vx'- x^X} = {i: ieK, для некоторого iel}.
Вообще семейство открытых множеств, объединение которых
есть V, будет называться открытым покрытием V.
Для того чтобы определяемое s удовлетворяло условию
«единственности выхода», s(i) не должно зависеть от выбора
множества Vx, содержащего i. Таким образом, если i e Vx
и (' е Vs, то мы потребуем, чтобы sx(i) =¦ sy(i). Следовательно,
два любых наших локальных сечения sx и sy должны быть со-
согласованы на общей части Vx(]Vy их областей определения,
для всех х, i/el При наличии этого условия совместимости
или склеиваемости функция s будет корректно определенным
элементом множества F;(V), таким, что s|'VJ[; = sx для всех
х е X. Более того, s является единственным сечением над V,
ограничение которого на Vx всегда совпадает с sx. Действи-
Действительно, если /: V-+-A имеет ограничение t\Vx, совпадающее
с sx, для всех х е X, то в силу определения s имеем t = s.
Условие склеиваемости сечений sx может быть выражено
в терминах отображений ограничения FVu функтора F. Пусть
F*y- F{Vx)-*F{Vx(\Vy) и Fx: F (Vy) ^ F (Vx(]Vy) будут F-обра-
зами включений Vx Л Vy <-* Vx и Vx Л Vy ^ Vy, и пусть Fx:
F(V)-+F(VX) есть Лобраз включения Vx <-> V. Как мы уже
14.1. Предпучки и пучки 373
видели, если функтор F имеет вид Ff, то он удовлетворяет сле-
следующему условию:
СОМ. Пусть {Vx- х е X} — произвольное открытое покрытие
произвольного открытого множества V и {sx: xeX} — любое
семейство попарно совместимых элементов sx e F (Vx), т. е.
F*y {sx) = Fx (sy) для любых х, jel Тогда существует един-
единственный s^F(V), такой, что Fx{s)=sx для всех iel
Заметьте, что предложение СОМ может быть сформулировано
для произвольного предпучка F: 6->Set. Произвольный пред-
пучок F, удовлетворяющий условию СОМ, будем называть
пучком над I, а полную подкатегорию категории St(/), обра-
образованную пучками, будем обозначать через ShG).
Упражнение 2. Показать, что постоянный предпучок 1: в->
-*- Set, где 1([/)= {0}, является пучком.
Упражнение 3. Рассмотрим пространство / = {0, 1} с дис-
дискретной топологией (т. е. 6 = ^G)). Пусть F(U)— {0,1} для
всех непустых U е @ и F@)={O}. Для любых U, Уе0, та-
таких, что U s V и U ф V, положим Fu = /, где / определена
равенствами /@) = /A) = 0. Рассматривая покрытие {{0},
{1}} пространства /, показать, что F не является пучком, т. е.
условие СОМ не выполнено.
Упражнение 4. Почему F@) должно быть одноэлементным
множеством для произвольного пучка F? 1)
Упражнение 5. Показать, что диаграмма
F(V)
коммутативна, т. е. F(V) вместе с отображениями Fx и Fxy при
х и у, пробегающих X, образует конус для диаграммы, со-
состоящей из объектов F(VX), F(Vxf\ Vу) и стрелок вида Fxy:
F (VX)-*F (Vxf\ Vy). Показать, что условие СОМ эквивалентно
требованию универсальности этого конуса, т. е. требованию, что-
чтобы F(V) был пределом указанной диаграммы (ср. § 3.11). ?
Для произвольного предпучка F: в-vSet может быть опре-
определен соответствующий пучок в смысле гл. 4 pF: AP-*-I, назы-
называемый пучком, ростков сечений, следующим образом. Для
') Рассмотреть пустое покрытие множества 0 и пустое семейство
{sx :«е|}. Тогда посылка условия СОМ будет выполнена, так как X пусто.—
Прим. перев.
374 Гл. 14. Локальная истинность
каждого ie/ семейство {F{V)\ ie V} ^-образов окрестностей
точки i вместе с их отображениями ограничения F% образует
диаграмму в Set. Можно считать, что множества F(V) попарно
не пересекаются. Слой над i в АР определим как копредел
V\mieVF(V) указанной диаграммы. Подробнее, определим от-
отношение эквивалентности ~; на множестве U {F(V): ieV}
следующим образом: если sx<=F{Vx) и s,eF(l/s) (где Vx
и Vy — какие-то две открытые i-окрестности), то положим
sx~iSy т. и т. т. Fxz(sx) = Fyz(sy)
для некоторой j-окрестности Vz s V х П Vу.
Интуитивно Fz(sx) есть «локализация» элемента sx ^ F(VX)
к \'z. Элементы sx и sy эквивалентны в точке i (это обозна-
обозначается через sx ~iSy), если они «локально равны», т. е. имеют
одну и ту же локализацию к некоторой окрестности точки L
Класс эквивалентности [s], элемента se F(V) в смысле отно-
отношения ~,-, т. е. множество [s]«= {t: s ~ it}, называется рост-
ростком s в точке i. Слой для pF над i будет тогда множеством
Ft = {{[, [s]i): s s U {F (V): i s V}}. Пространство расслоения AF
определим равенством AF = {j{Fi: / e/}, а проекцию AF на /
возьмем в качестве отображения pF. Для каждого открытого
1/еб и каждого s^F(V) положим N(s, V)= «г, [s]«>: ieV}.
Семейство всех множеств вида N(s, V) порождает топологию
на Af, относительно которой отображение pF является локаль-
локальным гомеоморфизмом.
Упражнение 6. Проверить, что отношение ~,- является отно-
отношением эквивалентности.
Упражнение 7. Определим отображение р\,: F{V)->-Fi равен-
равенством
Piv(s) = (i,[s]l),
где s^F(V) — произвольный элемент. Показать, что если
U ? V, то диаграмма
F(V) ——* F(U)
Pi
коммутативна, так что отображения р\ образуют коконус для
диаграммы, состоящей из множеств F(V) при i'eVh стрелок
вида F\i. Доказать, что для указанной диаграммы этот коконус
коуниверсален, т. е. что F,- есть ее копредел, Ft = lim i s v F {V)
(cp. §3.11). ~*
14.1. Предпучки и пучки
375
Упражнение 8. Пусть sef(F). Определим sv: V-+AF, по-
положив sv(i) = (i,[s]i\ = ptv(s) для всех ie V. Показать, что sv
является сечением над V локального гомеоморфизма pF: Ar+I.
Упражнение 9. Пусть Fp — предпучок сечений над / локаль-
локального гомеоморфизма pF. Для каждого V определимav: F(V)—*-
-^Fp (V), полагая av(s) = sv для каждого seF(l/), где
sv — сечение отображения рр, определенное в упражнении 8.
Показать, что функции ov являются компонентами некоторой
стрелки a: F-^>~FP в категории St(/).
Упражнение 10. Пусть т: F —^- G — произвольная стрелка
в категории St(/). Определим отображение hx: AF-+A0 следую-
следующим образом: если <i, [s] ,¦> — росток в точке г, принадлежащий
множеству Ар, и sef(V), то через hx((i, [s],->) обозначим рос-
росток <г, [ту(«)Ь> из множества Ао, где
xv: F(V)-+G{V) — компонента естествен-
ного преобразования т. Проверить кор-
корректность определения hx, убедитьсл в
коммутативности диаграммы
'Ра
f(a)
Рис. 14.2.
п показать, что hx является Тор (/)-стрелкой из (AF, pF)
(Ag,Pg).
Упражнение 11. Доказать, что отображения Ft-^»pF и
y->hx образуют функтор 9 из St(/) в Тор(/).
Упражнение 12. Пусть /: Л->/ — произвольный локальный
гомеоморфизм, F; — его предпучок сечений и pF,: AF.->I —
ассоциированный с этим предпучком локальный гомеоморфизм.
Определим отображение k: A->AF, следующим образом. Пусть
а€вА. Используя тот факт, что / — локальный гомеоморфизм,
можно показать, что f имеет локальное сечение s: V-+A, про-
проходящее через точку а в том смысле, что a^s(V). Пусть k{a)
обозначает росток сечения s в /(а), т. е. k{a)= (j(a), [s]/un>.
(См. рис. 14.2.) Проверить, что определение k(a) не зависит от
выбора сечения, проходящего через а. Показать, что диаграмма
А
376 Гл. 14. Локальная истинность
коммутативна и отображение k непрерывно, т. е. k является
Тор(/) стрелкой из (A,f) в (AFf, pFfy
Упражнение 13. Доказать, что отображение k из последнего
упражнения является биекцией, а следовательно, изострелкой
в Тор(/), устанавливающей изоморфизм (Л, f)^(AFf, Pff),
Упражнение 14. Пусть av: F(V)->Fp (V) — компонента есте-
естественного преобразованиям F-^FP , определенного в упраж-
упражнении 9. Показать, что av является биекцией в том и только
том случае, когда функтор F удовлетворяет условию СОМ. Та-
Таким образом, а является изострелкой тогда и только тогда,
когда предпучок F является пучком, т. е.
F^Fp т. и т. т. F<=Sh(I). О
Упражнения 1 и 11 снабжают нас функторами 9": Тор(/)->
-^StG) и &: St(/)->Top(/), причем образ функтора 9" содер-
содержится в Sh(/). В силу упражнения 13
для всякого Тор(/)-объекта /.
Кроме того, как показывает упражнение 14, для FeStG)
имеем
т. и т. т. Fe=ShG).
Таким образом, функторы S? и ограничение 9 на ShG) яв-
являются эквивалентностями категорий (см. § 9.2). Эти функторы
устанавливают, что категория пучков над / эквивалентна про-
пространственному топосу ТорG).
Завершим это короткое введение в предпучки и пучки двумя
важными иллюстрациями поведения Sh(/)-объектов.
I. НЧО в Sh(I)
Категория ShG) имеет натурально-числовой объект — пучок
локально постоянных функций на I, принимающих значения
в множестве натуральных чисел. Подробнее, обозначим через
./V: в-^-Set функтор, значения которого на объектах опреде-
определяются равенством
N(V) = {V—>¦ со: g — непрерывная функция},
где предполагается, что натуральный ряд со снабжен дискрет-
дискретной топологией. Если ?/? V, то положим Nj/(g) = g \ U.
Требование непрерывности g в случае дискретной топологии
на со означает, что g — локально постоянная функция, т. е. такая
функция, что для каждого i e V существует окрестность Ui
точки I, Ui s V, на которой функция g принимает одно и то же
14.1. Предпучки и пучки 377
значение (gWi—-постоянная функция). Это требование на
функцию g можно выразить иначе, сказав, что предложение
«g есть постоянная функция» локально истинно в области опре-
определения V функции g, т. е. истинно в некоторой окрестности
каждой точки из V. Стрелка О: 1 —^*- N является естественным
преобразованием, каждая компонента Ov: {Q}-*-N(V) которого
выбирает функцию У->со, тождественно равную нулю. Компо-
Компонента av: N(V)-+ N(V) стрелки следования л: N—+N опреде-
определяется равенством av {g) = s ° g, где s: со -»- со — функция следо-
следования на со. (Заметим, что s«g локально постоянна, если g ло-
локально постоянна).
Упражнение 15. Проверить аксиому NNO для этой кон-
конструкции.
Упражнение 16. Для каждого лею обозначим через nv:
У->-со функцию, тождественно равную п, т. е. tiv{i) = n для всех
/G V. Используя функции «v, определить в Sh(/) для каждого
п ординальную стрелку п: 1 -^ N.
Упражнение 17. Показать, что для каждой функции g^
€^N(V) существует открытое покрытие {Vx: x^X}, состоящее
из попарно не пересекающихся множеств (т. е. Vx Л Vy = 0
для хфу), на каждом из которых g является постоянной
функцией. П
Рассмотрим отображение рг/: / X ш->/, которое, как мы
видели в § 12.2, является НЧО в топосе Тор(/). Для каждой
непрерывной функции g: V -> со отображение <idy, g>: V -+¦ I X to.
как легко видеть, будет сечением пучка рг;, т. е. элементом мно-
множества Fpr (V) локальных сечений, определенных на V. По-
Построенное отображение N{V)-+Fpri(V) на самом деле для каж-
каждого Уев является биекцией. Поэтому ,V ^ Fpr/ = 9" (рг/)
в категории Sh(/). Отсюда ${N)^&(9"(рг;))^ рг7.
Упражнение 18. Пусть pN: AN-+I является пучком ростков
локально постоянных со-значных функций, т. е. 9 (N) = pN.
Определим /: /Хи->ЛЯ равенством /«i, n>) = <г, [л;],->, где
iii^N(I) — функция, определенная в упражнении 16, тожде-
тождественно равная п. Дать прямое доказательство того, что / уста-
устанавливает ИЗОМОрфиЗМ рГ; ^ ^ (Л^) . ?
II. Setp и Sh(P)
Если Р — ч. у. множество, то совокупность Р+ Р-наслед-
ственных подмножеств является топологией на Р. Для этой
топологии мы имеем категорию (топос) пучков вида F: Р+-*-
378 Гл. 14. Локальная истинность
->- Set, которую обозначим через Sh(P). Для произвольного
пучка F: P+-^-Set определим модель Крипке "(изменяющееся
множество) F*: P->Set, являющуюся семейством {F*p: р е Р)
множеств, заиндексированных элементами из Р, вместе с ото-
отображениями перехода fp,: FP—*-F*q для рЕ=9- Положим
FP = F([p)) (заметим, что [р) е= P+).
Если p^q, то [q)^[p) и ь качестве отображения F*pq\ F ([р))->
—*-F([q)) возьмем образ включения [q) <->• [р) для контрава-
риантного функтора F, т. е. F*pq = F\pq].
Так как F — пучок и для каждого УбР+ семейство {[р):
pel'} является покрытием V, то аналогично упражнению 5
можно доказать, что
Это равенство показывает, как определить пучок F, исходя из
F*: P^-Set. В Set все диаграммы имеют пределы. Поэтому мы
действительно можем определить F(V), имея семейство
{FP: ре V), с помощью равенства (*). Более того, если U s V,
то {FP: р е U} ? {Fp: peF} и универсальный конус с верши-
вершиной F{V) для диаграммы, определяемой последним множеством,
будет давать конус для диаграммы, определяемой первым мно-
множеством. Поэтому можно определить Fv как единственную
«пропускающую» стрелку из F(V) в F(U)
F(V)
F(U)
Мы получаем, таким образом, точное соответствие между
объектами категорий Setp и Sh(P). Если перейти с помощью
функтора $ от пучка F: P+->-Set к локальному гомеомор-
гомеоморфизму pF: Ap-^P, то можно увидеть, что слой в AF над точкой
р е Р оказывается изоморфным экземпляром исходного мно-
множества FP —F ([р)). Биекция F{[p)) = Fp (напомним, что Fp —
слой над р) дается функцией pfp), определяемой равенством
где s^F{[p)) (см. упражнение 7). Причина этого обстоятель-
обстоятельства состоит в том, что р-окрестность [р) лежит во всех других
р-окрестностях (упражнение 10.2.3), так что росток произволь-
произвольного элемента s'ef(F) в точке р тот же самый, что и росток
в р его локализации s = F^] {s') к [р).
14.2. Классификация предпучков и пучков 379
В упражнении 7 была дана характеризация слоя Fp как ко-
копредела. Поэтому если F связан с F* равенством (*), то для
каждого р е Р
Упражнение 19. Доказать биективность функции р" .
Упражнение 20. Доказать коммутативность диаграммы
F(V) -^* F(U)
F*
при р еЕ U s У, показывающей, что F'p является вершиной ко-
конуса для {F(V)\ ре У}. Проверить свойство коуниверсаль-
ности этого коконуса. ?
Читателю, интересующемуся истоками и историей теории
пучков, следует обратиться к статье «Что такое пучок»? Зибаха
и др. (Zeebach et al. [70]).
14.2. КЛАССИФИКАЦИЯ ПРЕДПУЧКОВ И ПУЧКОВ
Объект истинностных значений (классифицирующий объект)
категории St(/) получается с помощью описания, двойственного
описанию этого объекта для категории Sete°p, данного в § 9.3
(или в § 10.3, так как вор — категория порядка).
Для Уев положим Qy = S[]^(V)= {t/ев: U s= V}, т. е.
0у — совокупность открытых подмножеств в V. (Так как V
открыто, то множество V с топологией ву является подпростран-
подпространством пространства /.) Совокупность С s Qv У-открытых мно-
множеств называется V-решетом, если она замкнута относительно
перехода к открытым подмножествам, т. е. если
из Ue^C, Wf=U и Wee» следует W<=C.
Для предпучка Q: e->Set имеем
Q(V)= {С: С является У-решетом},
и о?(С) = СПви = {Г: W еС и W S У} при ?/<= у.
Упражнение 1. Qv = ©и т. и т. т. V = U.
Упражнение 2. Если в упорядочено с помощью отношения,
обратного к отношению включения, т. е. Уе= U т. и т. т. t/sF,
то ev = [V).
Упражнение 3. Если U = У, то @и есть У-решето и (J@u = U-
380 Гл. 14. Локальная истинность
Упражнение 4. Ч. у. множество (?2(У),е) У-решет с отно-
отношением включения в качестве отношения порядка является
алгеброй Рейтинга, в которой пересечение и объединение У-ре-
шет С и D являются теоретико-множественным пересечением
C[]D и объединением C{JD соответственно. Какими множе-
множествами являются п С и С =*- D? ?
Стрелка true: 1-^-Q имеет компоненты true^: {0}->?2(У),
определяемые равенством tmev@) = Qv, т. e. truev(O) — наи-
наибольшее У-решето.
Для монострелки т: F>-^>G, компоненты %v которой можно
считать включениями F(V) ^ G(V), У-я компонента (^t)v:
G(V)-*-Q(V) характеристической стрелки %х: G —^ Q удовле-
удовлетворяет равенству
(xdv(x) = {U^V: GVv(x)<=F(U)},
Упражнение 5. Проверить, что множество (xr)v(*) является
У-решетом. П
В категории Sh(/) пучков над / имеется классификатор под-
объектов, не совпадающий с классификатором для St(/). На
этот раз объект истинностных значений Q/, т. е. контравариант-
ный функтор Q/\ 6->Set, определяется на объектах равенством
Q,(V) = @v (ву — совокупность всех открытых подмножеств У).
Функтор Q;- ставит в соответствие каждому включению U <-*¦ V
отображение ограничения Q/(y)-»-Q/([/), переводящее I^eQv
в ГП^еву.
Компонента true/V/{0} ->9v стрелки true^: l-^Q/ опреде-
определяется так:
1:гие/у@)=ьУ — наибольшее У-открытое множество.
Если т: F>-r^-G — монострелка в Sh(/), то ее характеристи-
характеристическая стрелка х{: <J-r^Q/ имеет компоненты (%'x)v- G(V)->
->Q;.(y), определяемые следующим образом:
(Х0„ (х) = U'{^ = V: GI (х) s F Щ = U (xx)v (x).
(Семейство в, будучи топологией, замкнуто относительно объ-
объединений произвольных подсемейств.)
Упражнение 6. Доказать, что функтор Q, удовлетворяет ус-
условию СОМ, т. е. является пучком.
Упражнение 7. Проверить Q-аксиому в категории Sh(/) для
стрелки true,-: I -^ Q,-. (Условие СОМ используется для дока-
доказательства того, что если х ф. F(У)s G(У), то (l[)v(x)?=V.) ?
14.2. Классификация предпучков и пучков 381
Отметим, что если {F\—>pF)-конструкцию, т. е. функтор Ъ',
применить к Q,, то получим в сущности пучок ростков откры-
открытых множеств, описанный в гл. 4 и являющийся классификато-
классификатором для пространственного топоса Тор(/).
Для того чтобы описать связь между функторами Q,- и О
в категорных терминах, определим функцию /V: O(V)->O(V),
полагая для каждого V-решета Cs0^
/V (С) = {?/<= в: ?/с=уС} = вис.
Упражнение 8. Показать, что ;V@t/) = ©у для ?/е6у, так
что jv (truey @)) = truey @).
Упражнение 9. C^jv(C), т. е. C(]jv{C)— С.
Упражнение 10. jv(jv(C))= jv{C).
Упражнение П. jv(C(]D) = jv(C)(]jv{D) и, следовательно,
Упражнение 12. Если CsD, то jv{C)^jv(D) для любых
С, DeQ(F).
Упражнение 13. К-решето вида ву, где Уев^, называется
главным V-решетом. Доказать, что
jv(C)—C т. и т. т. С —главное У-решето
(ср. упражнение 8).
Упражнение 14. /у(С) = ву тогда и только тогда, когда С
является покрытием V (т. е. \JC = V)-
Упражнение 15. Пусть С — произвольное У-решето YiU<=V.
Положим
Си= {WWU: WzeC}.
Доказать, что Си S Qy (С).
Упражнение 16. Показать, что
U S \JC т. и т. т. Си — открытое покрытие U
т. и т. т. U^UCu^UiWnU: W еС}.
Упражнение 17. Доказать, используя два последних упраж-
упражнения, что
t/e/v(C) т. и т. т. U имеет открытое покрытие D, такое,
что D = Qy(C).
382 Гл. 14. Локальная истинность
Упражнение 18. Пусть t/еУ, Доказать коммутативность
диаграммы
Q(V) —k— Q(V)
О(.10 -JjL- .0.A/)
Если E <-*Q(V) — уравнитель в Set пары функций id: Q(V)->-
->-Q(V) и jv: Q(V)-*-Q(V), то, используя упражнение 13, по-
получаем
?{СЙ(У): jv(C)= С} = {&и: U
Но отображение ?у: 0i/->-Q(V), определяемое равенством
?>v((y)=GG, мономорфно (см. упражнение 1) и устанавливает
поэтому биекцию между 0у = Й/(У) и Е. Мы получаем, таким
образом, диаграмму уравнителя
iv
в категории Set. Из упражнения 18 следует, что функции yV
можно рассматривать как компоненты St (/)-стрелки /в: Q —^-Ll.
Функции ev также являются компонентами монострелки
е: Q,;*-^ Q. Поэтому диаграмма
i'e
будет диаграммой уравнителя в категории St(/). Таким обра-
образом, в St(/) объект Q/ возникает как подобъект Q, получаемый
уравниванием/в и 1sr Более того, как /в о true = true (упражне-
(упражнение 8), то существует единственная стрелка т, для которой диа-
диаграмма
коммутативна. Ясно, что т — это на самом деле стрелка true/.
Стрелка ув не только определяет Q/, она также определяет
с помощью свойства, выразимого в языке первого порядка,
те предпучки над /, которые являются пучками, т. е. удовлетво-
удовлетворяют условию СОМ. Чтобы это показать, заметим сначала, что
}в индуцирует оператор /: Sub(G)->-Sub(G) на алгебре Рей-
Рейтинга подобъектов каждого St(/)-объекта G.
14.2. Классификация предпучков и пучков 383
Оператор / ставит в соответствие каждому подобъекту
т: F >~г* G подобъект 7(т): J(F)>~>- G, получаемый подъе-
подъемом стрелки true вдоль / о %т,
j(F)^J<lL G
Таким образом, %цх) = }°%х-
Упражнение 19. В алгебре Рейтинга Sub(G) имеет место
A) т = /(т),т. е. тП/(т)=т,
(а) /(/(т))=/(т),
(iii) / (т П о) = /(т) П /(о), отсюда
(iv) если тЕо, то 7(т)е/(о)
(ср. упражнения 9—12).
Вообще для произвольной решетки оператор, удовлетворяю-
удовлетворяющий условиям (i), (ii) и (iv) (соответствующим упражнениям 9,
10, 12), называется оператором замыкания. Примером такого
оператора может служить оператор на булевой алгебре f?(I),
где / — топологическое пространство, сопоставляющий каждому
подмножеству X его топологическое замыкание (наименьшее
замкнутое надмножество) с\(Х) в /. Если cl(X) = /, то X назы-
называется плотным подмножеством пространства /. По аналогии
с этим St(/)-монострелку т: F >—*¦ G назовем плотной, если
J(T)~1G в Sub(G).
Упражнение 20. Показать, что функтор J(F): 6->-Set сопо-
сопоставляет каждому Vей подмножество
{х: (Xx)v(x) является покрытием V}
множества G(V), а компонентами естественного преобразова-
преобразования J (т) являются соответствующие включения.
Упражнение 21. Доказать, что монострелка т: F>-r->G
плотна тогда и только тогда, когда для всяких 7g0 и хе
е G (V) множество (%^v (х) = {U: GVu (x) e F (?/)} является по-
покрытием V. ?
Предложение «Gy (x) <= F (U)» можно рассматривать как
локализацию к Us V предложения «ef(V)». Поэтому если
(%t)v{x) есть покрытие V, то предложение «ef(F)» локально
истинно в V, т. е. истинно в некоторой окрестности каждой точки
из V. Таким образом, условие плотности монострелки т озна-
означает, что каждый элемент из G(V) локально является элемен-
элементом множества F(V).
384 Гл. 14. Локальная истинность
Теорема (Ловер). Предпучок Н является пучком (т. е. удов-
удовлетворяет условию СОМ) тогда и только тогда, когда для лю-
любого G, любой плотной монострелки т: F >-;-> G и любой St(/)-
стрелкиа: F—^> Н существует единственная стрелка af: G —+ Н,
для которой диаграмма
н
коммутативна. О
Таким образом, предпучок Н является пучком тогда и только
тогда, когда произвольная стрелка, заканчивающаяся в Я, мо-
может быть продолжена единственным способом со своей области
определения, являющейся плотным подобъектом какого-нибудь
объекта, на этот объект.
Можно показать (Тирни), что доказательство этого харак-
характеристического свойства основано исключительно на том факте,
что следующие три диаграммы
Q-^ Q
Q Q
QXQ ^%- QXQ
Q ^—Q
коммутативны. Эти диаграммы соответствуют упражнениям 9,
10, 11 и условиям (i) — (Hi) из упражнения 19. Будем называть
локальным оператором произвольный оператор, действующий
на решетке, который удовлетворяет условиям (i)—-(Hi) упраж-
упражнения 19.
Упражнение 22. Пусть St(F, Н) — совокупность всех St(/)-
стрелок из F в Я. Для произвольной стрелки т: F—+ G функ-
функцию т0: St(G, #)->-St(i\ Я) определим равенством т0(сг)=сгоТ.
Я
Показать, что Я является пучком тогда и только тогда, когда
для каждой плотной монострелки т отображение to является
биекцией.
14.3. Топосы Гротендика 385
Упражнение 23. Пусть Н = (Я, е=) — произвольная алгебра
Гейтинга. Показать, что функция, сопоставляющая каждому
а <=// его «двойное псевдодополнение»п на, является локаль-
локальным оператором на Н. ?
14.3. ТОПОСЫ ГРОТЕНДИКА
Обобщение функторного понятия пучка над топологическим
пространством, предложенное Гротенднком (см. Artin et al.
[SGA4]), основано на наблюдении, что аксиома СОМ выразима
в терминах категорных свойств открытых покрытии {Vx: х t~ Л'}
или {Vx'—- V: ,rel} объекта V в категории в. Требуются сле-
следующие существенные свойства покрытий:
A) Одноэлементное множество {V} является покрытием V.
B) Если {Vx'- ^eI} —открытое покрытие V и для каждого
ieI Cx = {V*: у se Y,} — открытое покрытие Vx, то
U {С,: х е= X} = {Vxy: х е= X и у е К,}
будет открытым покрытием У.
C) Если {Vx: igI}—открытое покрытие V, то для произ-
произвольного включения U -+ V семейство {U f\ Vх- х ^ X) является
покрытием U. Заметим, что U (]VX c-> U можно получить как
обратный образ включения V* <->• V относительно U <-*¦ V,
Предтопологией на категории ф называется функция, сопо-
сопоставляющая каждому 'ё'-объекту а совокупность Cov(a) мно-
множеств 'ё'-стрелок, оканчивающихся в а, такая, что
A) одноэлементное множество {\а: а-+а} принадлежит
Cov(a);
B) если {ах—+ а: х <= X) е Cov (a) и для каждого .ve!
f*
то
С гХ
{а* ¦*- а: х s
13 Зак. 651
386 Гл. 14. Локальная истинность
C) если {ах —> а: х е X} ~ Cov (а) и g: Ъ —>¦ а — произволь-
произвольная ^-стрелка, то для каждого хе! существует обратный об-
образ стрелки fx относительно g
b >' ах * ах
а
Категория <§* вместе с предтопологией Cov, т. е. пара С?7, Cov),
называется ситусом, а элементы из Cov — покрытиями.
Примеры ситусов
Упражнение 1. Пусть 0 — топология на / и для каждого
1/g8 пусть Cove(V) = {С: С = в и \JC = V} — семейство всех
открытых покрытий множества V. Тогда @, Cove) — ситус.
Упражнение 2. Пусть & — произвольная категория и для
каждого'й'-объекта a 'Cov(a)= {{1a: a->-a}}. Тогда (9VCov) —
ситус.
Упражнение 3. Для произвольного объекта а некоторой кате-
категории ff пусть dCov(a) = ?P{{f: codf = a}) — семейство всех
множеств 'ё'-стрелок с концом в а. Тогда (ЧР, rfCov) — ситус.
Упражнение 4. Пусть 2 — категория порядка ({0,1},^)
с единственной неединичной 2-стрелкой !: 0—>-1. Доказать, что
на 2 имеются только две предтопологии: 'Cov и йСоу.
Предпучком множеств над категорией ff называется контра-
вариантный функтор F: ^-J-Set. Категория St C^) всех пред-
пучков над ЯЗ эквивалентна топосу Set;op.
Пусть Cov — предтопология на "g7 и {ах-^-а: л;ёА'}ё
s= Cov (a). Для каждых х, i/el построим декартов квадрат
*
->• a
Пусть F — предпучок над %'. Он определяет функции Fxy: F {ах) ->
¦*F(ax\av) и Fy\ F (ay) -^ F (ах X ау), являющиеся F-обра-
14.3. Топосы Гротендика 387
зами двух новых стрелок, получаемых при построении декар-
декартова квадрата. Обозначим также через Fx стрелку F(fx):
F(a)^F(ax).
Предпучок F называется пучком над ситусом (W, Cov), если
он удовлетворяет следующему условию:
СОМ. Пусть {ах —> a: iel}? Cov (a) — произвольное по-
покрытие ^-объекта а и {sx: xel}—произвольное семейство
элементов sx^.F{ax), являющихся попарно совместимыми, т. е.
для любых х, j/gX выполняется равенство Fy(sx) = Fx{sy).
Тогда существует единственный s^F(a), удовлетворяющий
равенству Fx(s) = sx при любом ieI
Полную подкатегорию категории StСё7), образованную пучками
над ситусом С?7, Cov), обозначим через Sh(Cov). Топосом Гро-
Гротендика называется категория, эквивалентная категории вида
Sh(Cov).
Упражнение 5. Показать, что Sh('Cov) = St{(e>), где !'Ccv —
предтопология, определенная в упражнении 2.
Упражнение 6. Пусть F: 2—>- Set — произвольный предпучок
над категорией 2 и sogF(O), sjeF(l) — произвольные эле-
элементы. Рассмотрим покрытие {Ь, !: О—>¦ 1} <= dCov(l). Пока-
Показать, что s0 и S] совместимы тогда и только тогда, когда
Fo(si) = so, где Fo есть F-образ стрелки !: 0~>1.
Упражнение 7. Используя последнее упражнение, доказать,
что St B) = Sh(rfCov), т. е. каждый предпучок над категорией 2
является пучком над ситусом B, dCov). D
а-решетом называется совокупность С стрелок с концом в а,
замкнутая относительно композиции справа, т. е. такая сово-
совокупность, что если /: Ъ —* а е С, то f ° g: с -> а е С для лю-
любой ЧР-стрелки g: c-*-b. Для классифицирующего предпучкэ
Q: 'g'-v Set имеем
Q(a)= {С: С есть а-решето}
и для каждой 'ё'-стрелки f: Ъ -*- а
где Qf. Q(a)-+Q(b) — значение функтора Q на стрелке f. C)
стрелка true: I-;-> Q имеет компоненты Та- {0} -+Q(a), такие,
что
Та @) = Са ={/: cod / = а}—-наибольшее я-реш.-то.
Упражнение 8. Показать, что если СеЩй), то Qf
GQ(i), и что если f: b-+a <= С, то Qf{C)= Cb. ?
13*
388 Гл. 14. Локальная истинность
Пучки над ситусом {W, Cov) могут быть определены с по-
помощью стрелки /cov: Q —-* Q точно так же, как в классическом
случае, когда Cov = Cove- Компонента jcova'- Q(a)-+Q(a)
определяется так. Если СеЙ(а), то
lcova{C) = {b—>а: существует покрытие Cf e Cov (b),
такое, что Cf^
Это определение является прямым обобщением определения
jv{C) для Fe0, данного в упражнении 17 предыдущего па-
параграфа.
Упражнение 9. Проверить, что /cov, определенное выше, яв-
является St С?3)-стрелкой.
Упражнение 10. Показать, что
A) ^o<1Q,/Cov> = 1Й,
B) /cov ° /cov = /cov,
C) Г\ о (/cov X /cov) = /Cov ° ,-\. П
Теорема характеризации из предыдущего параграфа для
пучков в St(/) справедлива и „ля Cov-пучков в St CS7), если /е
заменить в ней на /COv- Для доказательства этой теоремы необ-
необходимы только свойства A) — C) из упражнения 10, так же как
и в классическом топологическом случае.
Заметим, что, согласно упражнениям 5 и 7, различные пред-
топологии на одной и той же категории могут приводить к оди-
одинаковым категориям пучков, т. е.
Sh(Covi)= Sh(Cov2).
Однако можно показать, что последнее равенство имеет
место тогда и только тогда, когда /cov, = /cov.. Таким образом,
стрелка /Cov соответствует только одному топосу Гротендика.
Понятие предтопологии было в дальнейшем улучшено Вердье
(см. Artin et al. [SGA4]), который ввел такое понятие топологии
на категории, что различным топологиям соответствуют различ-
различные категории пучков. Топологиями Вердье являются такие
подфункторы функтора Q (и только они), характеристические
стрелки которых удовлетворяют условиям A) — C) упражне-
упражнения 10. Подробное вводное изложение этой теории дано в
Shlomiuk [74].
Пространное обсуждение ситусов и логических операций на
соответствующих категориях можно найти в статье Reyes [74].
14.4. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СИТУСЫ
Топологией на элементарном топосе W называется стрелка
/: Q—>-Q, удовлетворяющая следующим условиям:
A) /оtrue = true,
14.4. Элементарные ситусы
389
B) h-j = i.
C) гч=(/Х/)=/^.
Пара <%\ = {!?, j) называется элементарным ситусом. Отме-
Отметим, что условие A) из упражнения 14.3.10 заменено более
простым условием / о Т = Т. Эта замена обосновывается в тео-
теореме 1, для которой нам понадобится следующий результат.
Упражнение 1. В категории с 1 квадрат вида
Л-в)
коммутативен, т. е. g°f = h, тогда и только тогда, когда он
декартов. ?
Теорема 1. В произвольном топосе для любой стрелки вида
j: Q->-Q имеет место
г\ о <1Q, /> = 1<> т. и т. т. /о true = true.
Доказательство. Рассмотрим диаграмму
Q
Если г\°(]г>, /> = 1 , то граница этой диаграммы коммута-
коммутативна. По определению стрелки гл нижний квадрат декартов.
По свойству универсальности этого квадрата получаем, что
стрелка !: 1->-1 является единственной стрелкой, для которой
верхний квадрат коммутативен. Но тогда <Т, Т> = <1 .,/> °
° Т = <Т, / ° Т>. Следовательно, Т = / ° Т •
Обратно, если / = Т = Т, то верхний квадрат коммутативен
и, следовательно (упражнение 1), декартов. По лемме о квад-
квадратах граница приведенной диаграммы является декартовым
квадратом. В силу Q-аксиомы гл ° <1 q, /> = % j — 1 а- ?
Примеры элементарных ситусов
Упражнение 2. Для произвольного ситуса (ф, Cov) пара
(StC??),/cov) является элементарным ситусом.
Упражнение 3. Стрелка \ <_,: Q-vQ является топологией для
произвольного топоса Ж
390 Гл. 14. Локальная истинность
Упражнение 4. Стрелка trueQ: Q->-Q есть топология.
Упражнение 5. Для произвольного топоса & стрелка
Поп : Q^Q является топологией — топологией двойного от-
отрицания (ср. упражнение 14.2.23). ?
Топология /: Q—>-Q индуцирует локальный оператор / на
алгебре Рейтинга Sub(d) для произвольного ^"-объекта d точно
так же, как в случае / = /в. Оператор / ставит в соответствие
подобъекту f: а>—г d подобъект J{f): J(а) >—> d, определяемый
равенством
Монострелка /: а>—> d называется j-плотной, если в алгебре
Suh(d) имеет место 7(f)~1d.
Упражнение 6. Монострелка f /-плотна тогда и только
тогда, когда / о v = trued.
Упражнение 7. В произвольном топосе <S монострелка
[Т, ±]\ 1 + 1>—>О является " ° 1 -плотной. (Указание. По-
Показать, что Х[т, 1] — 1а ^ "~I, и использовать упражнение 8.3.27.)
Упражнение 8. Если / = 1ц, то /(f)~f, гак что /-плотность f
означает, что /~1<г-
Упражнение 9. В ситусе (^,truea) справедливо равенство
= trued. Поэтому каждая монострелка плотна.
Упражнение 10. В элементарном ситусе !?-л-\ = (($,~~\°~л)
монострелка / плотна тогда и только тогда, когда —(—/)~1<г
в алгебре Sub(d). Используя это, дать другое доказательство
упражнения J.
Упражнение 11. Показать, что для произвольного подобъекта
f: a ^^d подобъект f\j —f n ° П-плотен. ?
Объект Ь топоса g называется j-пучком, если для произ-
произвольного <§Г-объекта d, произвольной /-плотной монострелки
/: a>—id и произвольной df-стрелки g: а^>-Ъ существует един-
единственная б?-стрелка g': d-+b, для которой коммутативна диа-
диаграмма
f
Ъ '
Упражнение 12. Конечный объект 1 является /-пучком.
14.4. Элементарные ситусы 391
Упражнение 13. Если диаграмма а ¦>—>Ь 1~? с является диа-
диаграммой уравнителя в^и/mc суть /-пучки, то и а есть /-пучок.
Упражнение 14. Если а и Ъ суть /-пучки, то а X b тоже
/-пучок.
Упражнение 15. Если диаграмма
является декартовым квадратом и с, d, Ь — некоторые /-пучки,
то а тоже /-пучок.
Упражнение 16. Если /=1U, то каждый of-объект будет
/-пучком.
Упражнение 17. В ситусе {Ж, true,>) только конечные объекты
являются пучками. Указание. Рассмотреть диаграмму
Упражнение 18. Доказать, что Ь является /-пучком тогда
и только тогда, когда каждая /-плотная монострелка /: а>—> d
индуцирует биекцию — ° f: <g(d, b)^ &{a, b). ?
Теорема (Ловер — Тирни). Полная подкатегория shj(&)
элементарного ситуса ё", образованная j-пучками, является эле-
элементарным топосом. Более того, существует функтор «пучкови-
зации» ^hf. of->-s/i/(<§f), такой, что ^h^b) s± b для каждого
j-пучка b. Этот функтор сохраняет все конечные пределы.
Из этого результата следует, что всякий топос Гротендика
является элементарным топосом. В случае элементарного си-
ситуса (St(/),/e) функтор g^h: St(/)->-Sh(/) представляет собой
композицию ??о^, сопоставляющую предпучку F пучок FPp_
Доказательство этой теоремы можно найти в Freyd [72]
или в Kock — Wraith [72] '). Тот факт, что shf{&) имеет все ко-
конечные пределы, вытекает из упражнений 12—15. Существова-
Существование экспоненциалов вытекает из того, что для любого /-пучка Ь
l) См. также статью В. Veil в J. Symb. Logic, 1981, v. 46, № I. —Прим.
персе.
392 Гл. 14. Локальная истинность
объект Ъа является /-пучком. Классификатор true/: l-»-Q, под-
объектов строится с помощью уравнителя пары / и 1.2.
true:ч
Важное применение конструкции пучков получается в слу-
случае, когда / == —iо —i. Tonoc sh-^-\{%>) —ю —i-пучков всегда бу-
лев\ Это можно установить, доказав, что в топосе shj(<g)
стрелка [Т/, _]_,•] изоморфна стрелке ?7i/([T, J.]) и что функ-
функтор 9"hj переводит /-плотные монострелки в изострелки в shj{<§).
Сформулированный результат следует тогда из упражнения 7
и представляет собой аналог того факта, что регулярные (т. е.
такие, что П а = а) элементы алгебры Рейтинга Н обра-
образуют булеву подалгебру алгебры Н.
Таким образом, произвольный топос & можно преобразовать
с помощью функтора 9"hj в классический подтопос sh-\--]{co).
Этот процесс был применен Тирни [72] для получения категор-
ного аналога коэновского доказательства невыводимости кон-
континуум-гипотезы в классической теории множеств. Работа Тирни
показывает, что технику «слабого вынуждения» Коэна можно
рассматривать как вариант техники перехода от предпучка
к ассоциированному с ним пучку. Этот метод был затем исполь-
использован в Bungue [74] для получения теоретико-топосного дока-
доказательства независимости гипотезы Суслина.
Упражнение 19. Пусть <S — Setp и / = Н ° Н. Показать, что
классифицирующий объект Q-|~l: P—*Set Для "П о —i-пучков
удовлетворяет равенству
Показать, что Q-^fp) образует булеву подалгебру алгебры Гей-
тинга всех наследственных подмножеств в [р).
Упражнение 20. Показать, что в Тор(/) слой над i для Q-\~[
образует булеву подалгебру алгебры Рейтинга ростков откры-
открытых множеств в точке L
Упражнение 21. Показать, что в топосеМ-Set Q~\-\={M, '/)}¦
14.5. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ МОДАЛЬНОСТЬ
Модальная логика занимается изучением одноместной про-
пропозициональной связки, имеющей разные значения, включая та-
такие, как «необходимо, чтобы» (алетическая модальность), «из-
«известно, что» (эпистемическая модальность), «верят, что» (докса-
стическая модальность), «должно быть, чтобы» (деонтическая
14.:}. Геометрическая модальность 393
модальность). Поясним теперь, что мы понимаем под геометри-
геометрической модальностью. Семантически модальная связка соответ-
соответствует стрелке вида Q-+Q аналогично тому, как одноместная
связка отрицания соответствует стрелке ~\: Q-+Q. Если стрел-
стрелка /: й—>-Q является топологией на топосе, то для соответствую-
соответствующей модальной связки Ловер предложил «естественное» чтение:
«локально имеет место, что».
Расширим теперь пропозициональный язык PL гл. 6, вклю-
включив в него новую связку V и соответствующее правило образо-
образования формул:
если а — формула, то Va тоже формула
(формула Va читается: «локально имеет место, что а»).
Пусть ~Ч? — класс всех формул, порожденных из пропозицио-
пропозициональных букв с помощью связок Л, V, ~, =э, V. Пусть <?j =
= (&,}) — элементарный ситус и V: Ф0->^A,й) — произволь-
произвольная ^,-оценка. Используя семантические правила § 6.7, а также
правило, выражаемое равенством
или диаграммой
V(V\Q/
эту оценку можно единственным образом распространить на
весь класс W. Формула ае? называется общезначимой на си-
гусе Si (символически <gj\=a), если V(a)=true для любой
^/-оценки V.
Пусть f обозначает аксиоматическую систему с единствен-
единственным правилом вывода modus ponens и аксиомами I—XI си-
системы IL, а также со следующими схемами:
V (а =э C) =э (Va =э VP), а =э Va, VVa =э Va.
(Система f может быть определена так же, как система, по-
получающаяся заменой первых двух схем на схемы
(а=э |3)iD(Va=D VP) и У(аэа).)
Имеется следующая характеризация общезначимости на эле-
элементарных ситусах: если aef, то
f—^a т. и т. т. (ё> j\-а для всякого сит уса & j).
Доказательство этого факта (изложенное в Goldblatt [81]) ис-
использует теорию моделей в стиле Крипке для языка ~*?, разви-
развитую на основе анализа понятия «локальной истинности». На
самом деле существуют два смысла этого понятия: один
394 Гл. 14. Локальная истинность
связан с пучками ростков (т. е. с накрытиями), другой — с пуч-
пучками как функторами.
(I) Напомним определение отношения эквивалентности ~,-,
с помощью которого образуется росток [?/]; открытого множе-
множества [/ё6 в точке i, принадлежащий слою над i классифици-
классифицирующего объекта Q топоса Тор(/) (гл. 4). Мы считаем, что
U ~iV тогда и только тогда, когда U и V имеют одно и то же
пересечение с некоторой г-окрестностью. Отношение f/ —;- V
можно интерпретировать как локальную истинность предложе-
предложения «?/ = V» или предложения ае U т. и т. т. х е V» в точке
i, т. е. как истинность этого предложения в некоторой окрестно-
окрестности точки i. Последнее выражает интуитивное понимание того,
что значит, что данное предложение истинно во всех точках,
«близких» к I. Такая интерпретация упоминалась в § 14.1 при
определении ростков сечений seF(V).
Таким образом, предложение «а локально истинно в р» мо-
может быть переведено как
(i) «а истинно во всех точках, близких к р»,
(П) «а истинно в некоторой окрестности точки р».
Интуитивно предложения (i) и (Н) эквивалентны. Под р-окрест-
ностью понимают произвольное множество, содержащее все
точки, близкие к р, в то время как точка считается близкой к р,
если она принадлежит всем р-окрестностям. Конечно, для боль-
большинства важных классических топологических пространств (яв-
(являющихся по крайней мере ^-пространствами) не существует
точек, близких к р в этом смысле и отличных от самой точки р.
Понятие близости может быть определено, однако, в рамках
теории Абрахама Робинсона, имеющей дело с нестандартными
топологическими пространствами, получаемыми пополнением
обычных пространств «бесконечно близкими» точками. В его
статье Robinson [69] росток окрестности U в точке р опреде-
определяется как подмножество в U, получающееся пересечением U
с монадой точки р (т. е. с множеством точек, бесконечно близ-
близких к р).
На данном ч. у. множестве Р введем бинарное отношение
p-<^q, которое читается «q близко к р». В модели Ж = (Р, V)
со шкалой Р связке V мы даем следующую интерпретацию:
Ж '=р\'а т. и т. т. для всякого q из р <^ q следует Л ~q a,
формализующую условие (i).
Вводя обозначение ц(р)= {q: р -< q} для монады точки р,
это условие можно переписать так:
JfHpVct т. и т. т. ц(р)Е Jf (ее),
где
(а)= {q: Ж\= qa).
14.5. Геометрическая модальность 395
Для того чтобы структура (Р, =, <<) могла служить моделью
логики f % достаточно потребовать, чтобы
(a) если р << q, то р = q, т. е. |я(р)? [р) для всех р;
(b) если р-< </, то для некоторого г имеет место p-^r^q
(т. е. отношение <^ плотно);
(c) если p^q, то ц(<7)^|л(р) (это необходимо для того,
чтобы обеспечить ^-наследственность множества Ж (а)).
Заметим, что мы не требуем, чтобы р-^р (т. е. peji(p)).
Если бы это потребовать, то мы имели бы эквивалентность
р «^ q т. и т. т. р Е= </. Таким образом, слова «q близка к р»
означают «q близка к р, но не совпадает с р», что сродни топо-
топологическому понятию «р есть предельная точка множества {q}»,
формализующему высказывание «р близко к q».
Чтобы формализовать условие (и), мы могли бы ввести
совокупность Np подмножеств в Р (р-окрестностей) и положить
Ж |= pVcc т. и т. т. существует C^NP, такое, что С^Ж(а).
Такое множество Np можно было бы построить с помощью отно-
отношения «^, положив для каждого р
N< = {C: Mp)sC}.
Упражнение 1. Показать, что структуры (Р, -<) и (Р, Л/^)
определяют одно и то же множество общезначимых формул.
Упражнение 2. Для произвольного ч. у. множества (Р, е=)
положим р -<^ q, тогда и только тогда, когда р есть предельная
точка множества {q} в топологии Р+ (в которой открытые мно-
множества совпадают с наследственными множествами).
Показать, что
р «^ q т. и т. т. рС ^ (т. е. р?= q n p ф q). ?
(II) Смысл слов «локально истинный» применительно к пуч-
пучкам сечений относится скорее к открытому множеству или объ-
объекту ситуса, чем к точке. Так, например, говорят, что класси-
классическое топологическое пространство локально связно, если каж-
каждое открытое множество имеет покрытие, состоящее из связных
открытых множеств.
В этой главе уже рассматривались «локально постоянные»
функции, определенные на открытых подмножествах, т. е. функ-
функции, допускающие покрытие своей области определения откры-
открытыми множествами, на каждом из которых функция постоянна
(упражнение 14.1.17).
Пусть F — предпучок и {Vx: x^X}—покрытие V. Требо-
Требование, состоящее в том, что для всех s, t^F(V) и всех iel
выполняется равенство
Fx(s)=Fx(t),
396 Гл. 14. Локальная истинность
можно принять в качествг смысла фразы «предложение «s = /»
локально истинно в V». Таким образом, локальная истинность
означает истинность на всех членах некоторого покрытия мно-
множества V. Из условия СОМ следует, что если F — пучок, то
локальное равенство сечений пучка F дает их настоящее ра-
равенство.
Тот же самый смысл локальной истинности как истинности
на всех членах некоторого покрытия множества V имеется
в виду в § 14.2 при обсуждении определения /в-плотности мо-
монострелок.
Если ч. у. множество Р = (Р, ее) рассматривать как катего-
категорию открытых множеств некоторого топологического простран-
пространства с отношением е=, двойственным к отношению включения,
то можно формализовать указанное понимание локальной ис-
истинности, вводя структуры (Р, Cov), где Cov ставит в соответ-
соответствие каждому р^Р совокупность Cov(p) ? ^(Р) покрытий
объекта р. Для модели Ж = (Р, V) определим
С)
т. и т. т. существует Се Cov
такое, что С ^ Ж (а).
Заметим, что формально это определение совпадает с изложен-
изложенным выше в п. (и) определением через «систему окрестностей».
Чтобы можно было гарантировать наследственность множе-
множества Ж {а), оператор Cov должен удовлетворять условию,
если p4=q, то Cov(p)^ Cov(q).
Пример 1. Топология Гротендика. Возьмем в качестве
(Р, Cov) ситус (9, Cove), определенный в упражнении 14.3.1.
Если jv есть V-я компонента естественного преобразования
/е, то для любого F-решета С имеет место эквивалентность
jv(C) = ву = truey(O) т. и т. т. С покрывает V
(см. упражнение 14.2.14). Если Ж —модель со шкалой в, то
множество Ж (a) v = Ж{а){\ в(/ всегда является V-решетом. Из
(*Х
определения I I вытекает, что
J(\=v Va т. и т. т. ]у(Ж(а)у = truev(O).
Отождествляя множество Ж(а)у, являющееся элементом мно-
множества Q(V), со стрелкой {0} ->-Q(V), мы получаем St(Cove)-
стрелку Ж {а): 1—»-Q. Роль оператора /в как модального опера-
оператора видна тогда из следующей эквивалентности:
Ж\= Va
14.6. Семантики Крите — Жуаяля 397
тогда и только тогда, когда диаграмма
1 -^1- О
t;u\ А*
О
коммутативна.
Пример 2. Конфинальность. Ловер заметил (Lawvere [70]),
что топологию двойного отрицания ~~] о -\ удачнее передавать
словами «конфинальным образом оказывается, что».
Если S и Т — подмножества ч. у. множества Р, то говорят,
что S конфинально в Т, если
для всякого р^Т существует q^S, такое, что p^q,
т. е. за каждым элементом из Т расположен некоторый эле-
элемент из S.
Если положить
Cov(p)= {S e P: S конфинально в [р)},
то для произвольной модели Л со шкалой Р имеет место
j?\=pya т. и т. т. Л\= Р~ ~cl.
Доказательство основано на том факте, что
Л |=р~~а т. и т. т. Ж (а) конфинально в [р).
Адаптируя технику, изложенную в § 8.4, можно определить
каноническую структуру Р7 = (Р, ?, <), для которой Р;И«
тогда и только тогда, когда Ьуа- На топосе Setpy возникает
тогда топология /: Q-v?2, определяемая покомпонентно равен-
равенством
jP{S)= {q: p^q и \x(q)^S},
где Se=[p)+. „
Мы получаем, таким образом, канонический сит у с & , для
логики /, для которого можно показать, что
^[=а т. и т. т. Pj\= a.
Отсюда следует теорема о полноте, упомянутая выше.
14.6. СЕМАНТИКИ КРИПКЕ —ЖУАЯЛЯ
Локальный характер свойств пучков служит отправным
пунктом семантической теории, предложенной Андрэ Жуаялем,
соединяющей некоторые аспекты IL-семантик Крипке с принци-
принципом, согласно которому истинностное значение предложения
определяется его локальными истинностными значениями.
Мы уже отмечали, что формула «s = t», выражающая ра-
равенство сечений пучка, истинна на открытом множестве V тогда
398 Гл. 14. Локальная истинность
и только тогда, когда она локально истинна в V, т. е. истинна
на каждом элементе некоторого покрытия множества V. Суть
концепции пучка составляет тот факт, что стрелка s: V —>- А
является сечением для f: A-^-I тогда и только тогда, когда
локально она является сечением над V. Другими словами,
s^Ff(V) тогда и только тогда, когда существует покрытие
{Vx: feJf), такое, что Fx{s) <= Ff (Vx), т. е. такое, что формула
«seFf(F)» оказывается истинной, будучи локализованной
к Vx, для каждого jtel
Рассмотрим пример локализации, связанной с квантором
существования (Lawvere [76]). Пусть дано отображение h пуч-
пучков ростков
и t^Fg(V) — произвольное сечение пучка g над V. Возникает
вопрос: когда существует сечение sefj(F) над V пучка /, та-
такое, что h о s = t? Ответ: тогда и только тогда, когда суще-
существуют покрытие {Vx: jteX} множества V и семейство {sx:
xel} сечений s* e Ff(Vx), удовлетворяющие равенству h°sx=
= t\Vx при каждом iel Таким образом, формула 3s(/z°s =
= t) истинна в V, если и только если она локально истинна в V.
Принципы семантики Жуаяля можно изложить кратко сле-
следующим образом. Рассматриваются интерпретации формул
ф(^1>У2) в ситусе (W, Cov). Предположим, что для стрелок
/: а —>- 6 и g: a^>- с известно, что означает, что пара </, g) удов-
удовлетворяет формуле ф на объекте а (символически, а (== ф [f, g]).
Тогда для фиксированной стрелки f: a-*-b положим
1Х
а|=3у2ф[/] т. ,и т. т. существуют а-покрытие {ах—*¦ а: х s X}
и стрелки {ах—>- сх: х^Х), такие, что
ах^= 4>[f° fx, gx\ для всех iel
Дизъюнкция интерпретируется подобным же образом:
а \= (ф v "ф) [/] т. и т. т. существует покрытие {ах —> а: х е X] е
eCov(o), такое, что при каждом хе!
имеет место ал|= Ф [/°/*] или ax\^ty[f ° fx].
Другие связки и квантор всеобщности интерпретируются ана-
аналогично их интерпретации в моделях Крипке, т. е.
а \= (ф =э я|з) [f] т. и т. т. для любой стрелки b —*¦ а из Ъ |= ф [f ° g]
вытекает Ъ \— г|з [f " g],
h ц
ар=Уу2ф[/] т. и т. т. для всяких стрелок Ъ—*¦ а и о —*¦ с имеет
место Ъ И ф[/° h, g].
14.7. Пучки как полные Q-множества 399
Локальный характер истинности воплощается в следующем
следствии этого определения. Если ер (и) произвольная фор-
формула, то
а 1=Ф [/] т- и т. т. существует покрытие {ах —> а: х е ,V} sCov (a),
такое, что ах\= q>[f°fx] для всякого х<=Х.
Подробно семантики Крипке — Жуаяля представлены в
Reyes [76] для ситусов, в Boileau [75] для топосов общего
вида и в Osius [75(i)] для категорной теории множеств. По
поводу приложений см. Коек [76]. Так как указанные семан-
семантики дают неклассическую интерпретацию для I и 3, более
близкую к интерпретациям в моделях Бета, то, вероятно, пра-
правильнее было бы называть их семантиками Бета—Жуаяля. Мо-
Модель Бета для логики первого порядка имеет единое множество
А индивидов, а не свое для каждого уровня р е Р, как в струк-
структурах из § 11.6. Квантор всеобщности имеет стандартную ин-
интерпретацию
J?\=pVvq, т. и т. т. для каждого а^А Ж\=рц>[а],
а квантор существования интерпретируется так:
Ж\= рЗуф т. и т. т. существует барьер В для р, такой, что для
каждого q e В найдется некоторое а еД
СО СВОЙСТВОМ Jl\= q(f [d] ) .
Вопросы о приложении этого способа моделирования к ин-
интуиционистской метаматематике и о связи его с топологическими
интерпретациями можно найти в van Dalen [78].
14.7. ПУЧКИ КАК ПОЛНЫЕ Q-МНОЖЕСТВА
Пусть А — произвольное Q-множество, где Q — полная ал-
алгебра Рейтинга. Как было определено в § 11.9, синглетоном
для А называется функция s: A-+Q, удовлетворяющая усло-
условиям
(i) s(x)n[x « y}^s{y),
(ii) s(x)^[Ex],
(iii) s (x) n s (у) Е \x ~ y\
при любых х, у е А. (Эти условия совпадают с условиями
(viii) — (х) из § 11.9. Заметим, что условие (ii) вытекает из
условия (iii) при х = у.) Каждый элемент а^А определяет
синглетон {а}, сопоставляющий произвольному х е А элемент
\х « а] из Q. Q-множество А называется полным, если каж-
каждый его синглетон имеет вид {а} для единственного а е А.
Пример 1. Пусть Q = в есть полная алгебра Рейтинга
открытых подмножеств топологического пространства /.
400 Гл. 14. Локальная истинность
С каждым топологическим пространством X можно ассоцииро-
ассоциировать 0-множество Сх непрерывных А'-значных частичных функ-
функций на /. Множество Сх состоит из всех непрерывных функций
вида /: V-*-X, где У'еб, а степень совпадения функций f и g
измеряется множеством
If ^g) = {i
т. е. внутренностью множества {t: f(i) = g(i)}. Предположим,
что функция s: C^-vO является синглетоном. Для каждого
/еСх обозначим через fs = f\s(f) ограничение функции f на
открытое множество s(f). По условию (ii) s(f) является под-
подмножеством множества [f да f], т. е. области определения функ-
функции f. Поэтому dom/s есть само s(f). Но тогда из условия (Hi)
видно, что функции fs составляют совместимое семейство функ-
функций, так как если i принадлежит domfs и domgs, то он должен
принадлежать [/ да g], а следовательно, fs(i) = f(i)~ g(i) =
= gs(i).
Таким образом, мы можем «склеить» все функции fs в одну
и получить элемент a(s) из Сх, ограничение которого на каж-
каждое s\f) равно fs. Другими словами, элемент a{s) согласован
с каждой функцией / на множестве s(f), т. е. s (f) ~{f ~ u{s)J.
Докажем обратное включение. Если/ =|/ » a(,v)|, то isdomps=
= s (g) s lg ~ a (s)] для некоторой g e CY. Так как [/ «= a (s)] П
n|g- ~ a(s)} ¦= [/ ~ g], то / e= I/ «* g]. Но тогда из условия
экстенсиональности (i) следует, что i'es(/).
Таким образом, наш исходный синглетон s совпадает с функ-
функцией {a(s)}. Для доказательства единственности элемента
a(s), обладающего этим свойством, заметим, что если {f} =
= {g}, т. е. / и g имеют одинаковые меры степени совпадения
с любым другим элементом h из Сх, то при h = f и h = g по-
получаем
ц ** g] = li ** f\ = ig ~ R\
Таким образом, f и g имеют одну и ту же область определения
и совпадают на ней, следовательно, f = g.
Этим доказана полнота Q-множества С*.
Пример 2. Аналогичным образом для данной непрерывной
функции k: Л-v/ получается 6-множество С/г, элементами ко-
которого являются локальные (частичные) непрерывные сечения
/-^—>Л функции k. Полнота этого 9-множества устанавли-
устанавливается совершенно так же, как выше. Таким образом, каждому
объекту из Тор(/) соответствует полное в-множество. Само
множество Сх из примера 1 можно рассматривать как множе-
множество локальных сечений функции проектирования X^I-^-I,
если отождествить функцию f: V-^-X с сечением <f, V>-^/>:
V—^Xy^I. (Заметим, что проектирование не является локаль-
локальным гомеоморфизмом и поэтому не будет Тор (/)-объектом.) ?
14.7. Пучки как полные Q-множества 401
Свойство полноты Q-множеств позволяет дать абстрактную
формулировку понятия ограничения функции на открытое мно-
множество. Эта теория разработана Д. Скоттом и М. Фурманом.
Для данных а е А и peQ обозначим через {а} \р функцию,
сопоставляющую элементу х^А элемент [х да а] пр из Q.
Функция {&}\р является синглетоном (§ 11.9, упражнение 17).
Если А — полное Q-множество, то существует единственный
бе Л, такой, что {b} = {a} fp. Назовем Ъ ограничением, эле-
элемента а на р и обозначим его через а\р. (Будем теперь писать
вместо [Еа\ просто Еа.)
Упражнение!. (a\p)\q = a\(pnq).
Упражнение 2. а \Еа = а.
Упражнение 3. Е{а\р) = Еатлр.
Упражнение 4. а\[а х Ь\= Ь\[а « Ь\.
Упражнение 5. а\(Еап ЕЬ)— а\ЕЬ.
Упражнение 6. Будем называть элементы а и b совмести-
совместимыми и писать а\Ь, если
а\ЕЬ = Ь [Еа.
Доказать, что
afb т. и т. т. Еап ЕЬ^[а да Ь\.
Упражнение 7. Доказать, что а \ Ь тогда и только тогда,
когда
!*e{a}]nL</e{b}]E|[*~f/]
для любых х, у ^ А.
Упражнение 8. Показать, что отношение ^, определенное
условием
a sj b т. и т. т. а = b \Ea,
является отношением частичного порядка на Л и удовлетво-
удовлетворяет следующим условиям:
(i) a\p^a,
(ii) если а ^ Ь, то Еа ^ ЕЬ и а \р ^ b \p,
(iii) если а ^ с и b ^ с, то а \ Ь,
(iv) a sc: b т. и т. т. Ea^z\a да b\,
(v) а г=: Ь\р т. и т. т. (а ^ Ъ и Еа^ р),
(vi) а \р = а т. и т. т. Еа nz p,
(vii) а < И. и т. т. (а $6 и Еа^ЕЬ).
Упражнение 9. Будем называть элемент а^А объединением
множества ВеД н писать а = VB, если
(i) b ^ а для всех беВи
(ii) ?o = }
402 Гл. 14. Локальная истинность
Показать, что полное Q-множество А удовлетворяет следую-
следующему абстрактному варианту условия СОМ:
каждое подмножество В ^А попарно совместимых элемен-
элементов имеет единственное объединение.
Указание. Доказать, что функция
s(x)= U [*«&]
определяет синглетон, если В имеет попарно совместимые эле-
элементы (использовать упражнение 6), и что соответствующий
этому синглетону s элемент из А является объединением \/В.
Замечание. Для решения этого, а также следующих упраж-
упражнений необходимо знать, что полные алгебры Гейтинга удовле-
удовлетворяют следующему закону дистрибутивности операции П
относительно U :
x;i(UC)= U (xnc), CsQ.
csC
Упражнение 10. (i) Доказать, что элемент VB, если он су-
существует, является наименьшей верхней гранью множества В
в смысле отношения ^. Вообще множество В имеет объедине-
объединение тогда и только тогда, когда оно имеет наименьшую верхнюю
грань.
(ii) (VB)fp= V{b[p: b^B}. ?
Для каждого полного й-множества А определим предпучок
FA: Q —> Set над категорией порядка Q. Положим
для каждого рей. Если рЕ=<7, то, сопоставляя элементу х
элемент х\р,у получаем функцию из F\(q) в F\(p) (упражне-
(упражнение 3). Возьмем эту функцию в качестве /-"д-образа Q-стрелки
/>-><?¦
Чтобы иметь возможность рассматривать пучки над катего-
категорией Q, определим Covg(p) как совокупность всех подмножеств
Сей, таких, что U С = р. Очевидно, что это определение яв-
является обобщением определения Cove, данного в § 14.3, и пара
(Q, Cov.i) образует ситуг. Соответствующую категорию пучков
над Q обозначим через Sh(Q).
Упражнение 11. Пусть CeCov;>(p) и {xq: q е С)—семей-
С)—семейство попарно совместимых элементов xq<= F\(q). Используя
конструкцию объединения, данную в упражнении 9, построить
единственный х <= FA(p), удовлетворяющий равенству x\q — xq
при каждом q e С. Убедиться, что предпучок Fд является пуч-
пучком (т. е. удовлетворяет условию СОМ из § 14.3). ?
14.7. Пучки как полные п-множества 403
Построим теперь по данному пучку F над О, соответствую-
соответствующее Я-множество Ар. Положим
Лр= {<x,q}: x<=F(q)},
т. е. AF равно дизъюнктному объединению множеств F{q) при q,
пробегающем Q. Для а — <х, q} положим Е(а) = q. Далее для
произвольного р определим
а I Р = (РЯрПр(х)> pnq)
и положим
Мера [а «* Ь\х степени совпадения элементов а и Ь может
быть определена теперь равенством
\а**Ъ\к =[«si]A п
F F
Упражнение 12. la ~ а}к =Е(а).
Упражнение 13. [a s й]д = (?(а)и ? F)) =^>[а « 6JXp.
Упражнение 14. Проверить, что AF является й-множеством.
Упражнение 15. Пусть s: Л^->-й — синглетон. По аналогии
с примером 1 показать, что элементы afs(a) при aeAf по-
попарно совместимы. Используя свойство СОМ для пучка F, по-
показать, что s = {а} для единственного а (являющегося на са-
самом деле объединением элементов a\s(a)). Этим будет дока-
доказана полнота Q-множества Af. ?
Пример 3. Пусть й = 6 и X — топологическое пространство,
как в примере 1. Определим пучок FX'- в-*-Set непрерывных
Х-значных (частичных) функций на /. Пусть
Fх (V) = {V ~^* X: f непрерывна},
а каждому включению V <-+W функтор Fx сопоставляет обыч-
обычный оператор ограничения функций. В этом случае множества
Fx{V) и Fx(W) уже не пересекаются, когда V ф W, так как
они состоят из множеств функций с различными областями
определения. Поэтому при построении ассоциированного Q-mho-
жества можно просто взять объединение множеств FX(V). Мы
видим, таким образом, что Q-множество \F является не чем
иным, как в-множеством С* из примера 1. ?
Упражнение 16. Построить правильную аксиоматическую тео-
теорию «ограничений элементов над полной алгеброй Рейтинга»,
определив предпучок над Q как множество А вместе с парой
404 Гл. 14. Локальная истинность
функций
\: ЛХ?3-»-Л, Е: A-+Q,
удовлетворяющих равенствам из упражнений 1—3. Определить
совместимость, отношение ограничения и объединение (см. уп-
упражнения 6, 8 и 9) для такой структуры и назвать ее пучком.
если она удовлетворяет условию СОМ, сформулированному
в упражнении 9. Используя определение меры степени совпа-
совпадения для й-множества AF, показать, что пучок является пол-
полным Q-множеством, операция а\р (определяемая через сингле-
тоны) и функция [Еа\ которого совпадают с исходными функ-
функциями \ и Е.
Упражнение 17. Пусть Afp есть Q-множество с несущим мно-
множеством
Л^р— {аеЛ: Еа^р}
и таким же Я-равенством, как в А. Показать, что если В^А\р
имеет объединение в А, то оно принадлежит множеству А\р.
Вывести отсюда, что если А — полное Q-множество, то и А\р
полное. D
Конструкции А .-и* fA и F i—=»/\у можно распространить на
стрелки и получить эквивалентность между Sh(Q) и подкатего-
подкатегорией категории Q-Set, порожденной полными Q-множествами.
На самом деле Sh(Q) эквивалентна всей категории Q-Set (ре-
(результат Хиггса из Higgs [73]). Это объясняется тем, что любое
Q-множество А изоморфно в категории Q-Set некоторому пол-
полному й-множеству А*. В качестве А* возьмем множество всех
спнглетонов s: A-*-Q и определим
Is «/],.= U (s(x)nt(x))
(«существует к, принадлежащее одновременно s и t». В Set пе-
пересекающиеся синглетоны совпадают.)
Упражнение 18. {Esb,= U fl> e= si = U fs ~ {a}IA«.
х = А а~ А
Упражнение 19. [{а} ~ s]A« = s(a).
Упражнение 20. [{а} ~ {b}]A, = [a ~ й]А.
Упражнение 21. [?{а}|д, — {Еа}^.
Упражнение 22 (ср. пример 1). Пусть s: A*-*?l — синглетон
для А*. Для каждого /еА* пусть /s обозначает синглетон
f\s(f), определенный в упражнении 17 из § 11.9, так что
fs(x) = f(x)ns{f). Положим
as{x)= U fs(x).
f<=A*
14.7. Пучки как полные Q-множсства 405
(i) Доказать, что A
(ii) Показать, что синглетоны fs попарно совместимы в том
смысле, что они удовлетворяют условию
(iii) Показать, что as является синглетоном для А, таким,
что [/ « as]A« = s (/) при любом f <= А*.
(iv) Пусть АеЛ* таково, что [/ ~h} = s(f) для всех /. По-
Показать, что для всякого f выполняется равенство hfs(f) = fs
(т. е. h (х) п s (/) = fs (х)). Отсюда h = as. Таким образом, А* —
полное Й-множество.
*
Упражнение 23. В силу полноты А* каждый элемент s e A
имеет для каждого рей ограничение s\p, определяемое как
единственный элемент (еА*, соответствующий синглетону
{s} fp для А* (т. е. / определяется равенством
Показать, что это t совпадает с синглетоном s\p из упражне-
упражнения 17 из § 11.9 (т. е. что t{x) = s(x) np).
Упражнение 24. Показать, что если s ^ А* и аЕ/1, то
s\s{a)={i}\s{a).
Упражнение 25. В свете упражнения 23 дать другое доказа-
доказательство полноты й-множества А*, используя при этом идеи
упражнения 16.
Упражнение 26. Доказать, что в категории Q-Set стрелка
/: А X В ->¦ Q из А в В будет
(i) мономорфной тогда и только тогда, когда она удовле-
удовлетворяет условию f((x, y))nf((z, y))^lx « z]j,
(ii) эпиморфной тогда и только тогда, когда она удовлетво-
удовлетворяет равенству
1Еу\= U f«x, у))
Х€Б.Л
(«у существует в В в той же степени, в какой он является /-об-
/-образом некоторого х из А»).
Упражнение 27. Определить гл: .4ХЛ*—>-?2 равенством
i\((x, s) =s(x). Используя последнее упражнение, доказать,
что Й-Бе^стрелка гд: А-»А* является изострелкой в fi-Set. D
Топос CQ-Set
Из последнего упражнения вытекает, что с точки зрения
категорных конструкций можно ограничиться полными Q-множс-
ствами (называемыми также ii-пучками). При этом мы можем
406 Гл. 14. Локальная истинность
избрать другой подход к стрелкам, используя [/(*) ~ у} вместо
!«х,у».
Пусть А и В суть й-множества и g: A-+B — функция из
множества А в множество В, удовлетворяющая условиям
(i)
(ii) B A
Определим функцию g: ЛХЙ-^-Q равенством
g((x, y)) = lg{x)~y\.
Упражнение 28. Доказать, что {Eg (x)J = \_ExJ.
Упражнение 29. Показать, что g есть Q-Set-стрелка из А и В,
т. е. является экстенсиональным функциональным всюду опре-
определенным й-значным отношением из А в В (условия (iv) — (vii)
из § 11.9). ?
Во избежание путаницы функцию g, удовлетворяющую усло-
условиям (i) и (ii), будем называть сильной стрелкой, а ^-Set-
стрелки— слабыми стрелками. Эти два понятия эквивалентны,
когда область значений полна. Для данной слабой стрелки
f: ЛХ^-^-Й определим для каждого а <= Л функцию: sa: B-+-Q
равенством
sa{y) = f«a,y».
Упражнение 30. Используя свойства слабых стрелок, дока-
доказать, что sa является синглетоном для В. D
Если В — полное й-множество, то существует единственный
бей, для которого {b} = sa- Положим gf(a) — b.
Упражнение 31. Показать, что функция gf: А^-В является
сильной стрелкой из А в В, такой, что ^f = /.
Упражнение 32. Доказать, что если g — сильная стрелка
и cod g — полное множество, то gg = g.
Упражнение 33. Доказать, что g^ ¦= id^ для полного й-мно-
жества А.
Упражнение 34.-Если /: А->В и h: В ->¦ С — слабые стрелки
с полными множествами В и С, то функция ghof равна обычной
композиции gh ° gf функций gf и gh-
Упражнение 35. Пусть каждая слабая стрелка, оканчиваю-
оканчивающаяся в В, имеет вид g для единственной сильной стрелки g.
Доказать, что В — полное Q-множество. (Указание: рассмотреть
одноэлементное Q-множество {0}, в котором [0 » 0] = [?&'ЦВ„
а также слабую стрелку /: {0}Х-^-^й, определяемую равен-
равенством f«O,y»=: S(y).)
14.7. Пучки как полные Q-множества 407
Упражнение 36. Пусть А и В — полные Я-множества. Пока-
Показать, что функция g: А-*-В является сильной стрелкой тогда
и только тогда, когда она сохраняет операции Е и f, т. е.
Eg{a) = Ea, g{a\p) = g{a)\p
для любых йе^ирей ?
Обозначим через СЯ-Set категорию, объектами которой яв-
являются полные Я-множества, а стрелками — сильные стрелки.
Композиция стрелок и единичные стрелки определяются так
же, как в категории Set.
Упражнение 37. Пусть f: A->-B — слабая стрелка и s^A*.
Пусть функция fs' B-*-Q определена равенством
fs(y)= U (f(x, y)ns(x)).
x<sA
Показать, что fs является синглетоном для В («у принадлежит
fs в той же степени, в какой он является /-образом некоторого
элемента из s»). Показать, что равенство f*{s) = fs определяет
сильную стрелку f*: A*->-B*, для которой
B = /(a, b)
при любых а <= А, Ъ <= В.
Упражнение 38. Пусть F: СЙ-Set-^Q-Set — функтор, тожде-
тождественный на объектах, и пусть F(g) = g на стрелках. Пусть
функтор F*: Q-Set-> Сй-Set определяется равенствами /^(А)
АР ) /
(/) /
Показать, что функторы F и F* устанавливают эквивалент-
эквивалентность категорий.
Упражнение 39. Пусть g: А-*-В — сильная стрелка, где А
и В — полные множества. Показать, что функция g сохраняет
также отношение ^ и операцию V, т. е.
(i) если jcs? у, то g(x)^ g(y),
(ii) VCV{C}C
Упражнение 40. Пусть s — синглетон для А. Показать, что
в А* элементы вида (a}fs(a) попарно совместимы и их объеди-
объединение равно s, т. е.
s = V{{a}rs(a): a^A}.
Упражнение 41. (i) Пусть f: A-^Q — произвольное (экстен-
(экстенсиональное и корректное) подмножество Q-множества А
в смысле § 11.9. Определить f*: A*-*-Q, полагая
ГE)= U (f(a)ns(a)).
а ^ Л
408 Гг. 14. Локальная истинность
Показать, что f* является подмножеством Я-множества А*, та-
таким, что /*({а}) = f(a) для любого яе!
(ii). Показать, что для данного подмножества g: A*-*-Q
Q-множества А* равенство
определяет подмножество g* Q-множества А. При этом
g(s)= U (g.(a)ns(a)).
а <н А
Таким образом, подмножества полного Q-множества А* нахо-
находятся во взаимно однозначном соответствии с подмножествами
Q-множества А.
Упражнение 42. Пусть гА: А X А* —> Q — слабая изострелка
упражнения 27. Показать, что соответствующая ей сильная
стрелка (обозначаемая также через i\) переводит а в {а}.
Упражнение 43. Пусть g: А->-С — сильная стрелка и С —
полное Q-множество. Показать, что существует в точности одна
стрелка h: A*->C, для которой коммутативна диаграмма
С
(Указание. Рассмотреть элементы g(a)\s(a) для любых ае^
и s e Л* и использовать упражнение 39 и 40.)
Упражнение 44. Доказать непосредственно или с помощью
последнего упражнения, что функция f* из упражнения 37 одно-
однозначно определяется равенством [/* ({а}) ss{b}]==j(a, b), спра-
справедливым для любых а еЛ и b e В. П
Топосную структуру категории CQ-Set можно было бы по-
получить применением функтора пополнения F* к Й-Set. Соответ-
Соответствующие конструкции, однако, допускают упрощенное описа-
описание, к которому мы сейчас перейдем.
Конечный объект
Конечным объектом 1 служит множество Q, в котором
[о « qji = р п q. При этом Ер = р, p\q = рп q и [р szq] =
()
(pq)
Заметим, что в этом случае отношение s^' оказывается ре-
решеточным отношением е= на полной алгебре Рейтинга Q,
а операция V — решеточным объединением (наименьшей верх-
верхней гранью) U.
14.7. Пучки как полные Q-множестоа 409
Единственной стрелкой А-М является функция а>—>
|—>\а ж а]А.
Упражнение 45. Пусть Q = 0 — топология на / и X— произ-
произвольное топологическое пространство. Для всякой непрерывной
функции f: 1-*-Х через /0 обозначим функцию из в в Сх, сопо-
сопоставляющую каждому V ограничение f\V функции f на V. Ин-
Интерпретируя два условия, определяющие сильные стрелки,
в этом конкретном случае, показать, что в Св-Set мы имеем
/0: 1 -*- Сх. Обратно, для произвольного «элемента» g: l-*-Cx
Я-множества Сх показать, что V является областью определе-
определения функции g(V) и что функции g(V) попарно совместимы.
Вывести отсюда, что существует единственная f^Cx, для ко-
которой /о = g.
Этим устанавливается биективное соответствие между кате-
горными элементами 1 -*- Сх й-множества Сх в Св-Set и гло-
глобально определенными непрерывными функциями 1-*-Х.
Упражнение 46. В свете последнего упражнения естественно
назвать а е А глобальным, элементом объекта А категории
CQ-Set, если Еа = Т. Для такого элемента определить функ-
функцию fa: Q-*-A равенством fa(p)— a\p и показать, что fa: l-»-A.
Обратно, для данной стрелки Л: 1->А, используя упражне-
упражнение 6, показать, что значения h(p) при рей попарно совме-
совместимы. Вывести отсюда, что существует единственный глобаль-
глобальный элемент а объекта А, удовлетворяющий равенству fa = h.
Упражнение 47. Через \\е обозначается (упражнение 17)
полное fi-множество с несущим множеством
= {q: q^e}.
Показать, что множество Q[e является полной алгеброй Рей-
Рейтинга с теми же самыми операциями U и П. что и в алгебре Q,
но с псевдодополнением ~\е и относительным псевдодополнением
=>-е, определяемыми формулами
—\eq = —^,q\e= ~lqne
где q, r (= Qfe.
Начальный объект
Напомним (см. § 11.9), что функция из А в Q, ставящая
в соответствие _L каждому а^А, является синглетоном. Ей
соответствует в случае полного А единственный элемент
0АеЛ, для которого [х « 0д| = J_ при всех х.
410 Гл. 14. Локальная истинность
Начальным объектом 0 в категории CQ-Set служит одноэле-
одноэлементное множество {!_} с Я-равенством, определяемым соотно-
соотношением [_L «_L] = J_. Единственная стрелка 0->-А перево-
переводит 1 В 0д.
Упражнение 48. (i) 0А является объединением пустого под-
подмножества в Л.
(п). Если Еа = -L, то а = 0А.
Произведения
й-множество А X В определяется так:
Л-В={(а,6)еЛХВ: Еа = ЕЬ},
= [а ж с]п [6 ж d].
Очевидно, что ?<а, Ь} = ЕапЕЬ и <а, Ь} [р = <а|1р, 6 h/?>- Про-
Проекции и произведение стрелок определяются так же, как в Set.
Копроизведения
Копроизведение А + В определяется равенствами
А + В = {{а, ЬУ^АХВ: Еап ЕЬ = _1_},
[<o,ft>«<cpd>] = [a«c]u[6«4
Из этих равенств вытекает
Е(а, Ь} = Еаи ЕЬ и <a, 6>fp = <а [>, 6^р>.
Инъекция г'д: А + В ставит в соответствие каждому а е Л пару
<а, 0в>, аналогичным образом определяется /в, «в(&)= <0а, Ь>
для любого йеВ.
Копроизведение [/, g]: А + В-*-С двух сильных стрелок f
и g сопоставляет паре <a, ft) объединение в С элементов f(a)
и ?(&).
Упражнение 49. Проверить, что /(а) и g(fr) совместимы в С,
если (а, Ь} ^ А -\- В и f и g — сильные стрелки. ?
Обратный образ
Вершина D обратного образа
D—1— В
С
14.7. Пучки как полные Q-множестоа 411
стрелок f и g является й-множеством D = {(х, у} <= А-В: f(x) =
= 8(У)} с й-равенством на нем, наследуемым из АХ В.
Стрелки f и g' — очевидные проекции.
Упражнение 50. Показать, что если оеД то a\p^D для
всех рей. Доказать, что если подмножество в D имеет объ-
объединение, принадлежащее А-В, то это объединение принадле-
принадлежит D. Вывести отсюда, что D — полное Q-множество. ?
Классификатор подобъектов
Объект истинностных значений ?} определяется следующим
образом:
lip, e)~(q, е')]-=(Р<=М)пепе'.
Из этого определения вытекает, что
Е{р,е) = е и (р, е) \ q = (pnq, enq).
Стрелка true: l->-Q задается равенством
true(p)= (p,p>, рей.
Если f: А^-В — монострелка в категории Сй-Set (это означает,
что она инъективна как теоретико-множественная функция —
упражнение читателю), то для каждого ieB истинностное
значение высказывания «бе f{A)» определяется равенством
lb<=f{A)J= U [f(a)«ft]
а е А
(«Ь принадлежит f(A) в той степени, в какой он равен [-образу
некоторого аеЛ»). Характеристическая стрелка %{•. B->-Q для
f определяется тогда так:
Xf{b) = (lbe=f{A)b Eb).
Упражнение 51. Доказать, что
и{й: as Л и
(«b принадлежит f(A) в той же степени, в какой некоторое
ограничение элемента b лежит в f(A)»). Показать, что образ
f(A) множества А при отображении f равен множеству
Используя это, определить подобъект в В, который классифи-
классифицируется данной стрелкой В->0.
Упражнение 52. Показать, что пропозициональные связки
топоса Сй-Set определяются следующим образом:
412 Гл. 14. Локальная истинность
(i) монострелка, задаваемая равенством false(p)= <_L, р>,
определяет false: 1 ->-й;
(ii) отрицание Н : Q-^-Q вычисляется согласно равенствам
~\((р, е)) = (~Пер, е) — (~\р\~\е, ё) (см. упражнение 47);
(iii) конъюнкция, дизъюнкция и импликация, рассматривае-
рассматриваемые как стрелки QXfJ->-Q, определяются равенствами
(р, е) r\(q, e\ = (pnq, e),
(р, е) kj (q, e) =(pUq, e),
(р, e)=>(q, e) = (p=>eq, е). Г]
Экспоненциалы
Объект ВА является множеством [Л->В] пар <f, е>, таких,
что eeQ и /: А-+В — теоретико-множественная функция,
удовлетворяющая для любых а<=А и psQ условиям
p и Ef(a)=Eane.
Q-равенство определяется так:
Ш е) - (g, e')J = П (Ex => If (х) - g (x)J )пеп/.
X ЕЕ А
Отсюда
?(/, е) = е и (f, e) f р = (/ \ р, епр).
где ffp обозначает функцию х >—> f (х)п /;.
Стрелка значения ev: [A-*~ В] • А-*-В задается равенством
с
Упражнение 53. Показать, что стрелка, экспоненциально при-
присоединенная к "g: CXA-*-B, ставит в соответствие элементу
С пару (gc,Ec), где gc: A-+B определяется равенством
gc{a) = g{(c\Ea,a\Ec}).
Упражнение 54. Показать, что глобальный элемент </, Т>
объекта ВА — это в сущности функция f, сохраняющая операции
I и Е. Вывести отсюда, что глобальными элементами объекта
8А в сущности служат сильные CQ-Set-стрелки А^-В.
Объект-степень
Объект-степень допускает более простое описание, чем опи-
описание объекта QA. Несущее множество объекта .^(А) состоит из
пар </, е>, где f: A -> Q — теоретико-множественная функция, та-
такая, что
14.7. Пучки как полные Q-множества 413
И
(t) f(atp)=f(a)nP
для любых аеЛ HpeQ.
Q-равенство и операции Е и \ такие же, как в случае экс-
экспоненциала.
Упражнение 55. Показать, что функция, ставящая в соответ-
соответствие паре <f, e} пару (g,e), где функция g: A-+Q удовлетво-
удовлетворяет равенству
g(a)= (f(a),Eane),
устанавливает изоморфизм объектов ^(А) и Q*.
Упражнение 56. Глобальными элементами объекта ^(А)
в сущности являются функции f: A -*¦ Q, удовлетворяющие усло-
условию (f). Показать, что такие функции экстенсиональны и кор-
корректны, т. е.
lx^y]nf(x)i=f(y) и f(x)<=Ex.
Обратно, всякая экстенсиональная корректная функция удов-
удовлетворяет условию (f).
Другими словами, доказать, что глобальные элементы объ-
объекта-степени ^(А) в топосе CQ-Set — это в сущности подмно-
подмножества Q-множества А, т. е. элементы «слабого» объекта-сте-
объекта-степени для А в Q-Set, описанного в § 11.9.
Упражнение 57. Доказать, что объект ^(А) «вялый», т. е.
каждый его элемент может быть расширен до (является огра-
ограничением) некоторого глобального элемента.
Упражнение 58. Доказать, что «синглетонная стрелка»
{•}д:А ->.^(А)
(см. ^ 11.8) ставит в соответствие элементу а^А пару
{}?
Объект частичных элементов
Объект А имеет несущее множество
Л= {<а, е>: а^А, eeQ и Еа^е}
с ^-равенством
{{а, е) ж <а', е')] = [а s а'] п о пе'.
Как обычно,
Е(а, е> = е и (а, е}\р = (а \р, е п р>-
414 Гл. 14. Локальная истинность
Вложение r|A: А>—> А удовлетворяет равенству ц (а)=(а, Еа).
Отсюда непосредственно видно, что \ = tl.
Упражнение 59. Пусть g — частичная стрелка из А в В.
С ^—* А
Показать, что ее характеристическая стрелка g: A->-B удов-
удовлетворяет равенству
g(a)= <ga,Ea}, где ga=\/{g(x): x < а}.
Формальная логика в CQ-Set
Будем интерпретировать кванторные языки в категории
CQ-Set аналогично тому, как они интерпретировались в § 11.9
для случая категории Q-Set. Так, модель % для нашего стан-
стандартного языка 9? = {R} соотносит предикатному символу R
сильную стрелку г: AXA->Q категории CQ-Set. В силу упраж-
упражнений 55 и 54 такая стрелка г соответствует единственному гло-
глобальному элементу объекта ^(АХА). Поэтому, согласно
упражнению 56, можно отождествить ее с подмножеством объ-
объекта АХ А (т. е. с экстенсиональной и корректной функцией
Л X-4->-Q), что позволяет развивать без изменений тео-
теорию § 11.9.
Переход в семантических вопросах к полным, Q-множествам
имеет одно замечательное преимущество, состоящее в том, что
можно дать естественную интерпретацию термам вида 1иф(и)
(см. § 11.10). Если 31 = <А, г> есть ^-модель в топосе CQ-Set
и ф(и) — формула со свободной переменной, то можно опреде-
определить функцию7Ф: Л-^Q равенством
Mc) = [E(c)AVw(q>(w)s(w~c))].
Упражнение 60. Показать, что fv — синглетон для А. Это
можно сделать прямым вычислением, или выражая доказывае-
доказываемое утверждение в терминах 2[-истинности формулы, являю-
являющейся выводимой из 3[-истинных формул упражнения 20 из
§ 11.9, и используя правила вывода, сохраняющие 31-истинность.
Так как А — полное Q-множество, то существует единствен-
единственный элемент alf^A, такой, что {a.|} = f,r,. Возьмем этот эле-
элемент в качестве интерпретации терма \vq>(v).
Упражнение 61. Проверить 2[-истинность формул
v{ as \Vj {vt з Vj), iUjtp s ]vt (E (vi) А ф),
E (lvi4>) ^ Hw/Vw, ((v,- s Vi) = ф (p,)). П
14.7. Пучки как полные Q-множества 415
Пусть теперь 91 = <А, г> — произвольная ^-модель в кате-
категории Q-Set. Свяжем с ней полную модель 91* = <А*, г*>, где
г* —¦ подмножество объекта А* X А*, соответствующее г в смысле
упражнения 41. Упражнение 18 показывает, что в Л*
т. е. множество {{а}: аеЛ} порождает в смысле упражне-
упражнения 22 из § 11.9 Q-множество А*. Это обстоятельство может
быть использовано при выполнении следующего упражнения.
Упражнение 62. Для произвольного предложения <р, замкну-
замкнутые термы которого обозначают только элементы из А,
M?t = ИФ 81*-
Упражнение 63. Пусть А—полное Q-множество. Доказать,
что для произвольной формулы ф(оь ..., Vn) и для любых
элементов с\, ..., сп^А и peQ имеет место равенство
[Ф(с„ ..., сЛ,(пр = [ф(с1 \р, ..., сп \р)\пр. П
Свертывание
Для данной модели §1 = <А, г> формула ф(о) с одной сво-
свободной переменной определяет подобъект Аф <-» А объекта А,
именно Q-множество Л-элементов, обладающих «свойством» ф.
В свете трактовки Q-аксиомы как некоторой формы принципа
свертывания (§ 4.8) Ач, долл<но получаться подъемом стрелки
true вдоль стрелки
[ф]: A-^Q,
семантически интерпретирующей ф. В категории CQ-Set соот-
соответствующее определение получится, если в качестве [ф] взять
функцию, сопоставляющую каждому с^А пару <[ф(с)]яп
пЕс, Ее}.
Упражнение 64. Доказать, что [ф] — сильная стрелка.
Упражнение 65 (утомительное). Описать стрелки trueA, Va,
За в категории CQ-Set и проверить, что функция [ф], опреде-
определенная выше, совпадает с интерпретацией предложения ф, полу-
получающейся по семантическим правилам § 11.4. П
Так как Аф является подъемом true вдоль [ф], то в соответ-
соответствии с упражнением 51 мы получаем, что
c<=Av т. и т. т. [ф(с)]?(п Ее = Ее.
Поэтому
ЛФ = {сеЛ: ?сс[Ф(с)]}
с Q-равенством на Лс[, таким же, как в А.
416 Гл. 14. Локальная истинность
В обозначении, введенном для классификаторов подобъек-
тов, мы имеем
Упражнение 66. МеЛ,] =[[Эи(ф(и) ли да d)j,(. 1
Простые пучки
Произвольное множество X можно превратить в Q-множе-
ство, снабдив его жестким Q-равенством
Т, если X —- .у.
1, если л =/-- у.
Обозначим возникающее жесткое Q-множество через X. По-
Пополнение (синглетонами) множества X будет обозначаться про-
просто через X*. Объект категории CQ-Set, получаемый таким спо-
способом, называется простым пучком.
В случае Q = 9 Q-множество Х* имеет естественное пред-
представление в виде пучка Сх непрерывных Х-значных частичных
функций на / (пример 1). При этом на X берется дискретная
топология, в которой одноэлементные подмножества {х} <= X
являются открытыми.
Для данной непрерывной функции f: V-^-X w каждого хе!
определим
i,W=f-'(W)e8.
Множества Sf(x) не пересекаются для различных х. А так как
Ех = Т = / в X, то функция sf является синглетоном для X.
Обратно, если s: X-+© — элемент из X*, то для хфу будет
s(;c)n s(y) — 0. Поэтому на множестве V=\J{s(x): х ^ X}
можно определить функцию fs: V-*-X, однозначно соответствую-
соответствующую s в изложенной выше конструкции. Правило, определяю-
определяющее значение функции fs в точке /, таково:
fs(i) равно единственному xel, такому, что ies(j[).
Тогда прообраз f ({х}) = s(x) открыт и fs непрерывна в дис-
дискретной топологии.
Упражнение 67. Проверить, что операции s>—>'s и j>—>s,
взаимно обратны. П
Мы отмечали в § 14.1 при обсуждении натурально-числовых
объектов в топосе Sh(/), что непрерывные функции для дис-
дискретной топологии в их области значений — это в точности
локально постоянные функции (т. е. постоянные в некоторой
окрестности каждой точки из их области определения). Таким
образом, в топологическом случае простой G-пучок можно мыс-
мыслить как пучок локально постоянных Х-значных функций на /.
14.7. Пучки как полные Q-множестса 417
Его глобальными (Еа = Т) элементами, разумеется, являются
глобально (т. е. всюду на /) определенные такие функции.
Можно отождествить элементы исходного множества X с неко-
некоторыми такими функциями, ассоциируя с элементом aeJ[
функцию fa: I-+-X, тождественно равную а, т. е. fa{i)= а для
всех I e / (по приведенной выше конструкции fa соответствует
синглетону {а} в X*). Таким образом, X отождествляется с мно-
множеством всюду определенных постоянных функций. В X*
имеются, однако, и другие глобальные элементы.
Если / распадается на непересекающиеся открытые части, то
имеются всюду определенные локально постоянные функции,
принимающие различные постоянные значения в каждой из
этих частей.
Вообще жесткое Q-множество Х обладает следующим свой-
свойством:
если {а} = {Ь}, то а = Ь,
где а и Ь — произвольные элементы из X. Из этого свойства
следует, что функция а*—* {а} является инъекцией X в X*.
А так как (см. упражнение 20)
то мы можем просто отождествить а с {а} и рассматривать X
как подмножество в X*, т. е. Х^Х*. Согласно упражнению 18,
а е X
при любом seX', Это означает, что X порождает X*. Это зна-
значительно упрощает вычисление формальных истинностных зна-
значений для модели Я, основанной на простом пучке X*, так как
в силу упражнения 22 из § 11.9 справедливы равенства
4 с^Х Л
Ршр]„,== U [Е(с)лф(сI,.
Из этих равенств следует, что мы можем ограничить область
квантификации элементами исходного (жесткого) множества X.
Но последние элементы являются глобальными элементами
в X*. Поэтому приведенные равенства сводятся (с помощью ра-
равенства Т =>- р = р) к следующим равенствам:
(t) [У»Ф1,= П [ф(с)]ч, Р1>ф1„= U [Ф(с)]„г
Мы используем эти факты позднее, когда перейдем к построе-
построению числовых систем в категориях й-пучков.
V214 Зак. 651
418 Гл. 14. Локальная истинность
Топосы как категории пучков
Когда элементарный топос <э можно рассматривать как ка-
категорию пучков над некоторой полной алгеброй Рейтинга?
Чтобы ответить на этот вопрос, исследуем некоторые свойства
топосов вида CQ-Set.
Алгеброй Рейтинга, наиболее естественно связанной с топо-
сом 8, является алгебра Qg =Sub(l) подобъектов и>—> 1 ко-
конечного объекта (алгебру Qg можно задать также как алгебру
&{\,Q) глобальных истинностных значений топоса &). Но для
построения теории пучков над Q нам требуется ее полнота как
решетки. Для этого достаточно, чтобы категория 8 содержала
произвольные копроизведения подобъектов конечного объекта
1, т. е. чтобы для произвольного множества {их: хеХ} ^-объ-
^-объектов, для которых стрелка их-+\ мономорфна, существовало
их копроизведение, обозначаемое через lim K(SX их. Решеточное
объединение LJ их может быть тогда получено как эпи-моно-
разложение
М -?—-]
U их
этого копроизведения (ср. подобную конструкцию для объеди-
объединения в § 7.1).
Для того чтобы топос <§ был категорией пучков, существо-
существование копроизведений произвольных подмножеств алгебры Qj
также необходимо, так как топос CO-Set обладает копроиз-
ведениями любых множеств объектов. Определение копроиз-
копроизведения \\mx^\kx множества {Ах: jeX) пучков получается
обобщением приведенного выше определения объекта А -}- В.
Элементами этого копроизведения являются последовательно-
последовательности а = {ах: igX} элементов ахе Ах, таких, что
Еах п Еау = ± при х ф у.
Q-равенство определяется формулой
[а»Ь]= U \ах~Ьх1
а инъекция Ay-+\imXSBX A.x сопоставляет каждому ау^Ау по-
последовательность а, такую, что
если х = у,
в противном случае.
Ч
14.7. Пучки как полные 0.-Ш01,
419
Упражнение 68. Для данной совокупности {Av -—* С: .t s X)
стрелок в CQ-Set описать стрелку, вида iimvsV.Ax -->С, являю-
являющуюся копроизведением стрелок fx. П
Другое свойство, присущее топосу CQ-Set и необходимое
для ответа на наш вопрос, — это свойство слабой экстенсио-
экстенсиональности. Объект а категории <§ называется слабо экстен-
экстенсиональным, если для любых двух различных параллельных
стрелок f, g: a-*-b существует частичный элемент х: 1 -^—> а,
различающий их, т. е. такой, что f ° х ф g° x. Таким образом,
весь топос оказывается слабо экстенсиональным в смысле § 12.1,
если каждый его объект слабо экстенсионален.
Докажем, что топос CQ-Set слабо экстенсионален. Пусть
f, g: A—>-B — различные сильные стрелки, т. е. f(a)?=g{a) для
некоторого ае! Но тогда функция, сопоставляющая каждому
g<=;Ea элемент a\g, является сильной стрелкой х: \[Еа-+А,
различающей f и g (так как х(Еа)= а).
Объект \\Еа имеет несущее множество QfEa={q^Q:
q^Ea} (упражнение 47). Следовательно, существует включе-
включение 1 \ Еа <-» 1, так что х: 1 -\~-> А.
Упражнение 69. Для любых подобъекта и >—> 1 и стрелки
f: u—>3 топоса <§ построим обратный образ g стрелки f относи-
относительно Х\а
Ъ > U
Пусть g.— единственная стрелка, для которой граница диа-
диаграммы
а ¦>-
является декартовым квадратом. Доказать коммутативность
треугольника в правой части этой диаграммы.
Упражнение 70. Используя последнее упражнение, показать,
что если а слабо экстенсионалрк то две различные стрелки,
начинающиеся в а, различимы глобальными элементами объ-
объекта а. ?
7214*
420 Гл. 14. Локальная истинность
Назовем ё?-объект а экстенсиональным, если произвольные
две различные параллельные стрелки a rj b, начинающиеся в а,
различимы некоторым глобальным элементом 1-*-а. (Таким
образом, категория & является точечной тогда и только тогда,
когда каждый ее объект экстенсионален.) Последнее упражнение
показывает, что объект а частичных элементов всегда экстен-
экстенсионален, если он слабо экстенсионален. В категории пучков
каждый объект А под экстенсионален, т. е. является подобъек-
том экстенсионального объекта (ввиду наличия стрелки А >—> А).
Два условия, состоящие в том, что топос & слабо экстенсио-
экстенсионален и имеет копроизведения произвольных семейств подобъ-
ектов конечного объекта 1, достаточны для того, чтобы $ был
категорией пучков. На самом деле он оказывается эквивалент-
эквивалентным топосу CQg-Set. Первоначальное доказательство этого ре-
результата использовало тяжелую технику «геометрических мор-
физмов» ef-^Set и подобный «абстрактный нонсенс». Однако
недавняя работа Броквея дает значительно более доступное до-
доказательство, имеющее то преимущество, что позволяет увидеть,
как объект топоса становится пучком, и обратно.
Множество Аа Qg-пучка Аа, соответствующего ^-объекту а,
состоит из частичных ^-элементов объекта а, Qg-равенство час-
частичных элементов х, у: 1 ^^-*-а определяется как уравнитель
диаграммы
dom х
dom х Л dor»! у и
doin у
Как обычно, пересечение dom х и domy определяется как обрат-
обратный образ
dom х Л dom у > dom у
dom x>
монострелок с1отл:>—» 1 и dom у >—• 1. Так как концом этих
монострелок является конечный объект, то пересечение dom x П
Г) dom г/ оказывается произведением объектов domx и dom у.
Поскольку обратный образ можно получить с помощью уравни-
уравнителя и произведения, то Qs-равенство [х да у] можно иначе оха-
охарактеризовать как обратный образ
14.7. Пучки как полные Q-множества
421
dom у
\
dom х
стрелок хну.
В случае 8 = Тор (/) эта конструкция дает уже знакомый
пучок локальных сечений топологического расслоения (пример 2
этого параграфа). В случае & = Set с каждым множеством X
поставляется множество X (J {*} его частичных элементов.
Рис. 14.3.
Рис. 14.4.
Здесь, конечно, Q есть 2-элементная булева алгебра, состоящая
из Т = 1 и J. = 0.
Множество X U {-»}> рассматриваемое как 2-пучок, является
на самом деле простым пучком X*, получаемым пополнением
жесткого 2-множества X. Нетрудно видеть, что синглетонами
s: Х-*-2 будут синглетоны, соответствующие элементам множе-
множества X, а также единственный синглетон, область существова-
существования Es которого пуста (Es = _L). Этот синглетон обозначен
символом *. На самом деле каждый объект топоса C2-Set ока-
оказывается простым пучком. Действительно, если Y — произволь-
произвольный 2-пучок и Х= Y—{0y}, to 2-равенство пучка Y является
жестким на X (все элементы из X глобальны и [х « у] = -L
для различных хну). Таким образом, X* = Y.
Упражнение 71. Доказать последнее утверждение. ?
Чтобы категорным образом восстановить Set-объект Х по
С2-8е^объекту X* = X\j {*}, рассмотрим копроизведение (дизъ-
(дизъюнктное объединение) Set-объектов Ех при х е X*. Если /еХ,
то Ех = Т = {0}. Поэтому можно отождествить Ех с {х}.
Если х = *, то Ех = -L = 0. Следовательно, копроизведением
служит объединение
Таким образом, мы реконструируем множество X, представляя
элементы X* дизъюнктными копиями их областей существова-
14 Зак. 651
422
Гл. 14. Локальная истинность
Рис. 14.5.
ния (являющихся подобъектами 1), а затем соединяя вместе
эти области. Эта конструкция правильно восстанавливает X
из-за того, что в X* все элементы жестко отделены (дизъюнкт-
(дизъюнктны). То же самое построение не проходит, однако, если эле-
элементы пучка перекрываются и становятся поэтому равными
в некоторой области. Рассмотрим, например, случай <§Г=Тор(/).
Тогда Qjj = 9 — множество открытых подмножеств в /.
Отождествляя локальные сечения с их образами в
Es пространстве расслоения, получаем изображенную
на рис. 14.3 примерную картину пучка частичных
элементов расслоения А—*-1. Если теперь отожде-
отождествить каждое s с его областью существования Es
и взять копроизведение всех этих областей Es, то
получится пространство, большее, чем А. Два пока-
показанных на рис. 14.3 элемента s и t будут пред-
представлены дизъюнктными копиями в новом про-
пространстве. В этих копиях общая часть s и t ока-
окажется задублированной. Чтобы восстановить А, мы должны
«привести» копроизведение, склеивая копии s и t по области,
на которой они в действительности совпадают.
Заметим, что области существования элементов s и t рас-
расположены в общем случае так, как это изображено на рис. 14.5,
где заштрихованная область изображает часть [s ~ tj пере-
пересечения Es П Et, на которой s и t согласованы. Это не отражает
правильно соотношения между s и t, так как области Es и Et
могут перекрываться также в точках, в которых s я t различны.
Чтобы «привести» копроизведение и построить из Es и Et
объект, точно отражающий структуру пары элементов s я t,
надо коуравнять диаграмму
Es + Et
получив следующую картину:
IT.s-t J
14.8. Числовые системы как пучки 423
В случае произвольного Qjg-пучка А из стрелок вида
\_s я* t] >—*¦ Es и [s » f]| >—» О с помощью конструкции ко-
произведения получаем пару стрелок
liin [s ~ /]=>lim Es.
s.T^A sITa
Коуравнитель этой диаграммы дает ^-объект, для которого
исходный пучок А служит пучком частичных элементов.
Развивая эти идеи, Броквей построил функторы между ка-
категориями ё и CQjrSet, устанавливающие, что последняя экви-
эквивалентна полной подкатегории категории <%', состоящей из под-
экстенсиональных <§Г-объектов. Для этого требуется лишь,
чтобы & имела произвольные копроизведения подобъектов ко-
конечного объекта 1. Но если категория Ж также слабо экстен-
экстенсиональна, то в силу упражнения 70 каждый объект вида а
экстенсионален. Поэтому каждый объект а подэкстенсионален
и топос CQg-Set эквивалентен топосу <%.
Можно показать, что для существования копроизведений
произвольных подмножеств множества Qg достаточно существо-
существования произвольных костепеней конечного объекта 1, т. е. ко-
копроизведений произвольных семейств конечных объектов. При-
Придадим указанной характеризации Q-пучков сильнейшую форму
при слабейших предположениях. Для того чтобы топос & был
категорией пучков над алгеброй Гейтинга подобъектов 1 (или
глобальных истинностных значений), достаточно, чтобы & имел
произвольные костепени 1 и каждый объект а частичных эле-
элементов был слабо экстенсионален.
14.8. ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ КАК ПУЧКИ
В категории Set классические числовые системы могут быть
построены, отправляясь от множества ш натуральных чисел.
Так получаются целые числа Z, рациональные числа Q, веще-
вещественные числа R и, наконец, комплексные числа С- Эти по-
построения могут быть проведены «внутри» произвольного топоса
(о, имеющего натурально-числовой объект. Таким образом, лю-
любой такой топос содержит аналоги этих числовых систем. Пол-
Полное осуществление этой программы выходит за рамки нашей
тематики, но мы осветим некоторые ее аспекты в связи с Q-mho-
жествами, в которых соответствующие построения проще, а ре-
результаты более впечатляющие.
В топосе Ж объект N+ положительных целых чисел опреде-
определяется как подобъект д : N >—> N объекта iV (в Set подобъект,
определяемый мономорфной функцией следования, равен ш+ =
= {1, 2, 3, ...}). Объект целых чисел определяется как копро-
изведение Z = N + N+ (Z представляется в виде дизъюнкт-
дизъюнктного объединения со+ и изоморфной копии {... —3, —2, —1, 0}
14*
f
424 Гл. 14. Локальная истинность
множества со). Классически рациональные числа получаются
в результате некоторой факторизации множества Z X ©+, в ко-
котором пара <т, п> представляет рациональное число гп/п. Пары
(m,iiy и (т',п'у отождествляются, если т-п' = т'-п. Реализуя
эту идею в топосе &', получают рационально-числовой объект Q.
В топосе Q-Set_ этиобъекты оказываются жесткими Q-mho-
жествами ш, со+, Z и Q, а в топосе CQ-Set они будут соответ-
соответствующими простыми пучками со*, со+*, Z* и Q*. В частности,
в категории Св-Set они представляются подходящими локально
постоянными частичными функциями на /.
Упражнение 1. Жесткая слабая стрелка следования d :<»—>• со
определяется равенством
Т, если п =
А. в противном случае.
Определить слабую «нуль-стрелку» О: 1->со в категории Q-Set
аналогичным образом. Проверить аксиому NNO в этой кате-
категории.
Упражнение 2. Определить стрелки О: 1->со* Яд : со*->со*
в категории CQ-Set и проверить аксиому NNO в CQ-Set. ?
Для вещественных чисел ситуация сложнее. Имеются два
наиболее известных способа определения вещественных чисел:
как классов эквивалентности последовательностей Коши рацио-
рациональных чисел и как дедекиндовых сечений множества рацио-
рациональных чисел. Эти подходы, реализованные в топосе &, при-
приводят к объекту Rc «вещественных чисел Коши» и объекту Rd
«дедекиндовых вещественных чисел». В общем случае эти объ-
объекты не изоморфньй Мы имеем только монострелку Rc •>—> Rd.
В топосе Q^Set построение последовательностей Коши N->Q
рациональных чисел основано на тех же принципах, что и в Set,
и приводит к заключению: Rc — это жесткое множество R.
Определение Rd, формулируемое также по аналогии с класси-
классическим случаем, использует подмножества в Q, т. е. функции
Q->-Q, которых может быть много больше, чем элементов R.
В категории Set вещественное число геК однозначно опре-
определяется множествами
t7r={ce=Q: r<c), Lr={ce=Q: r>c),
называемыми верхним и нижним сечениями соответственно
числа г. Вообще упорядоченная пара <?/, L> g=^)(Q)X^>(Q)
подмножеств в Q называется дедекиндовым вещественным чис-
числом, если она удовлетворяет следующим условиям:
F1) ЗуЭйу (veV л wbL) («непустота»),
F2) Vu ~ (veV AueL) («дизъюнктность»),
14.8. Числовые системы как пучки 425
F3) Vd (deL = 3w (йуеЬ л ш > у) ) («открытость нижнего се-
сечения»),
F4) Vw(deU = 3tn>(o>?U v w < w)) («открытость верхнего
сечения»),
F5) VvVw(v > до id(yellv weL)) («близость сечений»),
где символы U и L обозначают подмножества U и L соответ-
соответственно, е обозначает обычное отношение принадлежности, а пе-
переменные v n w пробегают множество Q. Для такой пары (И, L>
существует одно и только одно вещественное число reR, для
которого Uг = U и Lr — L.
Конъюнкцию предложений F1) — F5) можно рассматривать
как предложение 6(г), где г = <U, L> — «символ упорядочен-
упорядоченной пары», обозначающей элемент г = (\J, L} множества
(^(Q)J. При аксиоматическом построении классической теории
множеств система дедекиндовых вещественных чисел опреде-
определяется по принципу свертывания как множество
Rd={r: в (г) истинно} s Es (Q)J.
По аналогии с этим в категории Q-Set мы определяем Rd как
подобъект в 5a(Q)X^a(Q),задаваемый формулой б(г). Согласно
принципу свертывания для Q-множеств, обсуждавшемуся ранее,
этот подобъект определяется множеством
Rd = {г. Ег е [6 (г)]} = 9 (Q) X ^ (Q).
В топосе Q-Set объекты-степени, а потому и их произведения
имеют только глобальные элементы (§ 11.9, упражнение 8).
Следовательно, формула, определяющая Rd, упрощается:
Для того чтобы вычислить истинностное значение [6 (г)] для
данного г, заметим, что кванторные переменные v и до в фор-
формуле 6 пробегают жесткое множество Q, т. е. стандартные ра-
рациональные числа. Поэтому нам надо знать «атомарные» истин-
истинностные значения [с < d], [с > d], [сеЩ, [ceL] для с, d^Q.
Упорядочение < интерпретируется как стандартное (жесткое)
упорядочение
Г Т, если с < d,
[с <<!] = ¦{ ,
I -L в противном случае.
Аналогичным образом интерпретируется упорядочение >•. Так
как г = <?/, L> есть пара подмножеств Q-множества Q, т. е.
пара корректных экстенсиональных функций Q-»-Q, то в соот-
соответствии с теорией, развитой в § 11.9, положим
[сеЩ = ?/(с), [ceL]=L(c).
Заметим, что так как Q — жесткое Q-множество, то каждая
функция Q->-Q является корректной и экстенсиональной. При-
426 Гл. 14. Локальная истинность
нимая во внимание отмеченные выше обстоятельства и исполь-
используя семантические правила § 11.9, а также общерешеточные
свойства, мы приходим к заключению, что дедекиндово веще-
вещественное число в Q-Set есть пара r=(U,L} функций Q->Q,
такая, что
U{U(c)nL(d): с, dGQ} = T,
Fii) U (с) п L (с) — J_ для всякого ceQ,
Fiii) L (с) = U {L (d): d > с} для всякого ceQ,
Fiv) U(с) = U {U{d): d <c) для всякого ceQ,
Fv) U (с) u L {d) = T для любых с > d
(напомним, что Ее = Т для всех ceQ), В случае Q = в мы
можем, отправляясь от вещественной функции f: /->R, полу-
получить такую пару, полагая
Uf (с) = [cell,] = {/: с е f/f „,} = {»: / (/) < с) = /"'(- оо, с)
и
Lf(c) = [ceLf]=={/: с eLf „,} = {»: /(/) > с) =/"' (с, оо),
где
(— оа, c) = {x<=R: с> х} и (с, оо) = {х <= R: с < х).
Если / непрерывна в смысле обычной топологии на R (т. е. про-
прообраз открытого множества открыт), то rf = (Uf,Lf} будет па-
парой функций, удовлетворяющей условиям (8i) — Fv). Обратно,
для данного вещественного по Дедекинду числа г =(Ur, Ь,У
в G-Set и элемента i e / положим
C/,- = HQ: te=[ceUr]},
1, = {сб=С: /e[ceLr]|}.
Тогда пара <У/, L;> является классическим дедекиндовым сече-
сечением в Q, определяющим единственное вещественное число
г, е R. Равенство fr{i) = ri определяет функцию />: 7->-R.
Упражнение 3 (обязательное). Проверить, что
(i) rf удовлетворяет условиям (8i) — Fv);
(ii) пара (Ui,Li} является классическим дедекиндовым се-
сечением;
(Hi) операции fi—>rf и ry->fr взаимно обратны;
(iv) функция fr непрерывна (заметим, что множества вида
(с, оо), (—оо, с) порождают обычную топологию на R). ?
Таким образом, мы установили, что Rd в в-Set можно пред-
представлять как множество всех всюду определенных непрерывных
вещественных функций на I. «Дедекиндово вещественное число»
является непрерывной функцией вида /—*R, которую мы рас-
рассматриваем как стандартное вещественное число, «непрерывно
14.8. Числовые системы как пучки 427
изменяющееся» на / (проходя по слоям некоторого расслоения).
В частности, среди этих «глобальных вещественных чисел» со-
содержатся постоянные функции, тождественно равные фиксиро-
фиксированному числу а, для каждого aeR. На этом пути можно по-
показать, что Rc>—>Яф
Приведенный анализ непосредственно распространяется на
частичные непрерывные функции на /. Если Кеб, то подпро-
подпространство, определяемое V, является топологическим простран-
пространством <У, 6у>, где
вк= {W<=B: W<=V}.
Заметим, что, в терминологии упражнения 47, множество @v
является полной алгеброй Рейтинга Q\V всех элементов «ниже
У» в полной алгебре Рейтинга 6. Обозначим также через 6r
множество всех открытых подмножеств из R в обычной то-
топологии.
Говоря, что f: V-+-R является непрерывной частичной функ-
функцией на /, где / наделено топологией в/, мы имеем в виду, что
для каждого W e 6r выполняется равенство
f-i(W)={i<=V: f(i)^W}^S,.
Но на самом деле это последнее условие эквивалентно тому, что
}~1(W)<^@v- Поэтому частичные непрерывные R-значные функ-
функции на (/, в/) с областью определения V являются просто гло-
глобальными R-значными функциями на {V, 0V). Но последние
в соответствии с изложенным выше в точности соответствуют
дедекиндовым вещественным числам в топосе 6V-Set!
Другими словами, если мы возьмем частичную непрерывную
функцию /: /~ч—>R и релятивизуем наши рассмотрения к @\Ef
(сделав, таким образом, / глобальной), то f будет дедекиндо-
дедекиндовым вещественным числом в QfEf-Stt. Более того, в последней
категории все элементы из Rd могут быть получены таким об-
образом. ?
Перейдем теперь к топосу CQ-Set полных Q-множеств. Здесь
объект Rc — просто пучок R*, так что вещественные числа
Коши — это локально постоянные R-значные вещественные
функции. Объект Rd опять определяется нашими аксиомами для
дедекиндовых сечений как подобъект
{г. ?r = [6(r)]}s^(Q)X^(Q).
На этот раз Q является простым пучком Q*. А мы видели, рас-
рассматривая модели на простых пучках, что QsQ* есть порож-
порождающее множество для Q*. Поэтому при определении истин-
истинностного значения формулы б (г) мы можем ограничить кван-
кванторы множеством Q (см. равенства (f) из раздела о простых
пучках § 14.7).
428 Гл. 14. Локальная истинность
Произвольный элемент г из ^(Q*J —это пара (U,L}<=
e^(Q*) -^(Q*) элементов множества ^(Q) с одной и той же
областью существования, скажем е, т. е. Ег = ELJ = EL = е.
Само U — это пара (Ur,e}, где функция Ur: Q*->-Q удовлетво-
удовлетворяет условиям
(i) Ur(a)i=e,
(ii) Ur(a\P) = Ur(a)np
для всех oeQ'HpeQ.
Положим
1сгЩ = иг(с) для всех сеО.
Подобным же образом для L = <Lr, e> положим
[ceL] = Lr(c).
На самом деле условие (ii) не существенно для наших целей,
так как оно в точности означает (см. упражнение 14.7.56), что
Ur есть корректная экстенсиональная функция на Q*, а такие
функции однозначно соответствуют (см. упражнение 14.7.41)
корректным экстенсиональным функциям на Q. Но мы знаем,
что последние — это просто все Q-значные функции на Q. По-
Поэтому нам потребуются только ?/г-значения элементов порож-
порождающего множества Q. Таким образом, мы можем рассматри-
рассматривать &>(Q*) как множество всех пар </,<?>, где f: Q->Q удов-
удовлетворяет условию f{c)c=e для всех cgQ.
Имея истинностные значения атомарных предложений и не
забывая, что значения функций Ur и Lr «ограничены сверху»
множеством е = Ег, мы можем установить, что определяющее
Rd условие Ег Е= [6 (г)] эквивалентно конъюнкции условий
' (б1е) U {U, (с) п L, (d): с, d <= Q} = е,
(fliij Ur(c)nLr(c)= L,
Fiiie) Lr(c\ = U{Lr{d): d > с} для всех cgQ,
Five) Ur(c) = \J{Ur(d): d < с) для всех ceQ,
Fve) Ur (c) U Lr (d) = e для всех с > d.
Упражнение 4. Проверить условия Fi«) — Fve). (Проверка
немного сложнее, чем для случая Fi) — (Sv)). П
Связь между 'Fi) — Fv) и Fi«) — Fve) очевидна. Различие
между этими наборами условий состоит только в том, что
в Fi) и Fv) стоит единица Т алгебры U там, где в Fie) и Fve)
стоит с. Но, переходя к полной алгебре Рейтинга
Q,\e = {q: q^e} (упражнение 14.7.47),
мы релятивизуем построение к алгебре, в которой е является
единицей. Мы видим, таким образом, что условия Eie) — (8ve)
е точности означают, что пара (Ur,Lr} является дедекиндовым
вещественным числом в топосе Qfe-Set.
14.8. Числовые системы как пучки 429
Обратно, если пара (Ur,Lr} функций Q-^-Qfv? является де-
декиндовым вещественным числом в Qfe-Set, то выполняются
Fie) — Fve) и, конечно, условие (i), так что г— <<?Л, e>, <Lr, e»
будет дедекиндовым вещественным числом в CQ-Set с областью
существования Ег = е.
Мы установили, таким образом, что для данной полной ал-
алгебры Рейтинга Q и данного еей
множество дедекандовых вещественных чисел в CQ-Set с об-
областью существования е может быть отождествлено с множе-
множеством всех дедекиндовых вещественных чисел в Qfe-Set.
В топологическом случае, когда Q = в/, элемент r^Rd множе-
множества Ra в CQ-Set с областью существования Ег, равной, скажем,
V, является в сущности дедекиндовым вещественным числом
в ©fV-Set, т. е. непрерывной R-значной функцией, определенной
на всем пространстве (V, 6/). Итак,
дедекиндовы вещественные числа в C6/-Set с областью су-
существования V — это в точности непрерывные R-значные час-
частичные функции на I с областью определения V.
Собирая вместе эти «локальные числа» для всех Кеб, мы
приходим к заключению, что
Rd в C0/-Set является пучком С к всех R-значных непрерыв-
непрерывных частичных функций на I.
Среди непрерывных R-значных функций на / имеются, разу-
разумеется, постоянные функции. Это наблюдение подтверждает,
что Rc >—>Rd в Св-Set.
В случае произвольной полной алгебры Рейтинга также су-
существует полезная связь между Rd и классическими веществен-
вещественными числами. Но, чтобы показать это, нам понадобится поня-
понятие n-U-отображения. Таковым является всякая функция f
между двумя полными алгебрами Рейтинга, сохраняющая опе-
операции п и U, т. е. такая, что
: b<=B).
Эти функции являются естественными объектами исследования
при рассмотрении топологических пространств, поскольку то-
топологиями на множестве / являются подмножества решетки
^,s>, замкнутые относительно п и |_1,и только они.
Упражнение 5. Доказать, что оператор ограничения ge: Q->
-*-Q\e, определяемый равенством ge(p) = рпе, есть (сюръек-
тивное) n-LJ-отображение.
430 Гл. 14. Локальная истинность
Упражнение 6. Пусть /: 7->-R непрерывна. Определим g •
0R->0; равенством
gf(W) = f~l(W) для всех W<=%.
Показать, что g> есть n-U-отображение и для произвольного
УеЭ; диаграмма
коммутативна (этот факт можно записать в виде равенства
\V). D
В свете этого последнего упражнения и данного ранее пред-
представления Ra в 0-Set понятно следующее определение.
Для произвольного n-U-отображения («и-или»-отображе-
ния) g: 0r—>Q (Q — произвольная полная алгебра Рейтинга)
положим
= g(-oo( с),
= g(c, oo).
Тогда пара rg—(Ug,Lg}, удовлетворяя условиям Fi) — (8v),
будет дедекиндовым вещественным числом в Q-Set.
Обратно, для данной пары r=(Ur,Lr), удовлетворяющей
условиям Fi) — Fv), определим n-LJ-отображение gr: &R~>-Q,.
Интуитивно, gr сопоставляет каждому открытому подмножеству
FeR истинностное значение предложения «r<^W», и соответ-
соответствующее определение использует тот факт, что каждое W
представляется в виде объединения интервалов (с, d) с рацио-
рациональными концами. Для с, deQ положим
Ire (с, d)] = [ceLr]n[deUr]
(так как классически
г е (с, d) т. и т. т. г > с и г < d
т. и т. т. с е Lr и dG Ur).
Тогда gr определяется равенством
g,W = (=[reW]) = U{[re(c, d)]: с, d e Q и (c,d)sW}.
Используя компактность замкнутых интервалов [с, d] в R,
можно показать, что gr будет n-LJ-отображением. Конструкции
g>—i*rg и n~^gr, как всегда, взаимно обратны, и мы имеем,
таким образом, представление Ra в Q-Set как множество всех
п-и-отображзний вчла B,?~>Q.
14.8. Числовые системы как пучки
431
Упражнение 7. Вы теперь можете сами догадаться, в чем
состоит это упражнение.
Упражнение 8. Доказать, что в Cfi-Set элементами Rd с об-
областью существования е являются n-LJ-отображения ®8->п\е
и только они.
Следует подчеркнуть, что далеко не ясно, какими свойствами
обладает объект «континуум вещественных чисел» в произволь-
произвольном топосе <§. Одно из классических
свойств, которое может не выполняться
для Rd — это порядковая полнота, т. е.
свойство
всякое непустое множество чисел,
ограниченное сверху (в смысле поряд-
порядка ^), имеет наименьшую верхнюю
грань.
Соответствующий контрпример (из
Stout [76]) имеет место в ©/-Set, где 7
есть единичный интервал [0, ljsR.
Основная идея ясна из рис. 14.7. Рис- 14-7*
Упорядочение ^ на Rd (равном множеству всех глобальных
непрерывных функций вида 7->-R) есть 6-значное отношение
'/2
В этой модели, поскольку все глобально, «f ^ g» истинно, т. е.
it =^ g) = Т, тогда и только тогда, когда
(iii) f(i)^g(i) для всех ie/.
На рисунке г: 7->-R является характеристической функцией по-
полуинтервала [0, 1/2), т. е.
( 1, если 0<i< 1/2,
Г W ~" \ 0, если 1/2 < i < 1.
Рассмотрим множество В ^Rd всех непрерывных функций, ле-
лежащих ниже г в смысле (iii). Множество В имеет верхние
грани в смысле отношения ^ (например, функцию, тождествен-
тождественно равную 1). Но очевидно, что г может быть аппроксимирована
«снизу как угодно близко» элементами из В, так что единствен-
единственной возможной наименьшей верхней гранью множества В яв-
является сама функция г. Но г имеет разрыв в i = 1/2 и поэтому
вообще не принадлежит Rd.
Упражнение 9. Выписать формальное предложение <р(В),
выражающее «В имеет наименьшую верхнюю грань в смысле
отношения г?Г», и показать, что [<p(fi)I = 7 — {1/2} ф Т-
Понятно, что этот контрпример применим к пучку Ra
в Свг-Set, так как то, с чем мы имели дело в случае 6/-Set,
есть как раз множество глобальных элементов этого пучка.
432 Гл. 14. Локальная истинность
На самом деле возможно «заткнуть щели» в Rd и перейти
к его порядковому пополнению *R, удовлетворяющему прин-
принципу существования наименьших верхних граней. Определение
в стиле дедекиндовых сечений порядково полного расширения
рациональных чисел в конструктивном анализе, кажется, впер-
впервые было дано Стэплзом в Staples [71]. Малвей модифициро-
модифицировал этот подход для того, чтобы показать, что *R может быть
получено заменой аксиомы F5) предложениями
{66) Vu (veL = 3w (v < w л Vu (ueV zd w < «))),
F7) \/v (yeU = 3w (v > w л V« (meL dei> u))).
Объект *R использовался Бурданом для вывода некоторого ва-
варианта теоремы Хана •— Банаха в категориях пучков и более
общих топосах, подобных Q-Set. Джонстон дал характеризацию
тех топосов, в которых множество дедекиндовых вещественных
чисел, как мы их определили, является порядково полным.
Эта характеризация показывает, как лежащая в основе логика
определяет структуру числовых систем. Характеризация, о ко-
которой идет речь, устанавливает, что Rd = *R тогда и только
тогда, когда внутренняя логика топоса делает общезначимыми
закон де Моргана
Мы вернемся еще к дедекиндовым сечениям и порядковой пол-
полноте ниже, когда придадим б-аксиомам более удобный вид.
Что касается комплексных чисел, то классически они пред-
представляются упорядоченными парами <jc, у) = х-\-iy веществен-
вещественных чисел, и поэтому для данного объекта вещественных чисел
R мы определяем ассоциированный с ним объект комплексных
чисел С = R'XR. Так как всякая пара непрерывных R-значных
функций с одной и той же областью определения может быть
представлена в виде одной С-значной функции с той же самой
областью определения, то в C©/-Set объект Cd = RdXRd ока-
оказывается пучком непрерывных комплекснозначных функций на /.
Комплексный анализ в топосе развит Руссо, доказавшей для
& некоторый вариант теоремы Вейерштрасса о делении для
функций одного комплексного переменного и установившей, что
этот результат для топоса пучков над С"" эквивалентен клас-
классической теореме для функции п переменных. Она также заме-
заметила, что понятие «голоморфная функция» приводит к объ-
объекту Н,
на котором можно развивать комплексный анализ, хотя этот
«объект комплексных чисел» и не может быть сам задан в виде
R2 ни для какого R >—> Rd-
14.8. Числовые системы как пучки 433
В завершение этого обсуждения использования формальной
логики в построении числовых систем вернемся к натуральным
числам еще раз и напишем следующий вариант аксиом Пеано,
взятый из Fourman [74]:
Е@),
Vo ~ (л (о) « 0),
(j (v) ~ d (a.») id v « ic1),
VS ((OeS л Vo (yeS zd d (v) eS)) zd Vu (oeS)).
Здесь символ 5 является переменной второго порядка, область
изменения которой есть множество всех подмножеств множества
натуральных чисел, т. е. область изменения S есть
Упражнение 10. Пусть |j, обозначает конъюнкцию написан-
написанных выше аксиом. Показать, что в топосе CQ-Set тройка
A, dA, О Л является моделью |л тогда и только тогда, когда она
Чизоморфна тройке (&*, аа„ Ош»), причем изоморфизм опреде-
определяется единственным образом. D
Упорядочение континуума
Стандартные отношения ф, <., ^, >, ^ могут быть об-
обобщены до в-значных отношений на 0-множестве функций
г: /-*-R следующим образом:
[г *5б s] =
и аналогично для >, ^ (если обе функции г и s непрерывны,
то оператор взятия внутренности можно опустить, так как мно-
множество в скобках уже открыто).
Будем отождествлять каждое рациональное число ceQ
с постоянной функцией /-*-R, принимающей единственное зна-
значение с. Изложение упростится, если мы допустим некоторые
двусмысленности в языке, разрешив использовать буквы с, г, ...
и как неформальные обозначения элементов, и как индивидные
константы в формальных выражениях, и даже как переменные
в таких предложениях. Буквы с, d, b, e всегда обозначают ра-
рациональные числа, а г, s, t — произвольные вещественные числа.
Упражнение 11. Показать, что введенные выше определения
дают
(u4c<d] = [ (c<d%
(и) lc<d]=T или [~(c<d)]|=T,
(iii) [с < d\ = Т или [с ~ d\ = Т или {с> d\ = Т ,
(iv) {с < rf] = [(с < d) V (с * cf)]. D
434 Гл. 14. Локальная истинность
Важность этих фактов состоит в том, что структура рацио-
рациональных чисел жестко детерминирована (постоянна). Это часто
выражается словами «упорядочение рациональных чисел раз-
разрешимо». Это означает, что мы можем рассуждать с 0-знач-
ными рациональными числами так же, как в Q, и применять
классическую логику (например, утверждение (И) дает закон
исключенного третьего).
Отношение э& называется отделимостью (apartness) —тер-
—термин, пришедший из конструктивной математики, где он обозна-
обозначает отношение, выражающее положительный конструктивный
смысл различия между элементами. (Быть отделимыми элемен-
элементами— значит, иметь конструктивное доказательство их разли-
различия.) Структуры этого сорта были впервые предложены Скот-
Скоттом в Scott [68, 70] для построения моделей интуиционистских
теорий континуума вещественных чисел и, в частности, для полу-
получения модели, в которой справедлива теорема Брауэра о конти-
континууме, гласящая: все функции R-+R равномерно непрерывны
на замкнутых интервалах.
Упражнение 12. Показать, что следующие формулы истинны
(т. е. принимают истинностное значение Т = /):
(i) ~(r<sAs<r),
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
(vii)
(viii)
(ix)
(x)
(xi)
(r
((r
(r
(r
(r
(r
(/¦
(r
(r
<
<
<
(r
<
<
<
<
s)v{s <
s) = ~ (.
S)^~(,
s) = ((r s
S</)=)
S</)rD
t)^r<t,
¦ // ~~ * '7^' ^ >
5 < Г),
r?6s),
^s)A(r?S s)),
^s)A(s<r)),
(r</),
(r < 0,
(r<t).
Упражнение 13. Если г и s непрерывны, то
[(г gfe s) zd ((r <s)y(s< г))] *= Т
(обращение п. (iii) предыдущего упражнения).
Упражнение 14. Если г, s, t непрерывны, то
A) [(r<s)z>(r</)V(/<s)]=T,
(ii) [(r < s) гэ Зс (г < с < s)] = Т.
Упражнение 15. Если г непрерывна, то следующие формулы
истинны:
(i) Зс, d(c <r <d),
(ii) (с <r) = 3d(c <d < г),
14.8. Числовые системы как пучки
435
(Hi) (с < г) = Vd (г < d =з с < d),
(iv) (с < г) = Vrf (d < с =з rf < r)
(где Зс, d— сокращение для 3c3d). П
Предостережение: мы имели дело в этих упражнениях с гло-
глобальными элементами. Для локальных вещественных чисел
приведенные утверждения должны быть модифицированы.
Утверждение 12(vi) истинно независимо от того, является г
глобальным или нет, так как в любом случае [гз6г]| = 0. Но
утверждения (v) и (vi) вместе дают [г «* rJ — T, что по опре-
определению ложно для неглобальных эле-
элементов. Вместо (v) имеем
(для частичных элементов следует при-
принять в расчет их области существования),
так что оказывается истинным универ-
универсальное замыкание
VrVs((г ж s)= ~(ri^s)),
Рис. 14.8.
Упражнение 16. Сформулировать оставшиеся пункты упраж-
упражнений 12—14 для частичных элементов. ?
Принципы
(г <s)v(r « s)v(r> s),
оба несправедливы в общем случае. Контрпример для обоих по-
получится, если взять показанные на рисунке 14.8 непрерывные
функции г и s на / = [0, 1]. Мы имеем
= /, [r
=0 и
= /-{1/2},
[r>s]==0.
?
Вернемся теперь к аксиомам F1) —F5), характеризующим
те пары <?/, L> множеств рациональных чисел, которые яв-
являются парами <?/,-, ?г> сечений для единственного веществен-
вещественного числа г. Принимая во внимание определение множеств Ur
и Lr, мы можем переписать эти аксиомы, производя надлежа-
надлежащие перестановки, следующим образом:
01. Эс, d (c<r<d),
02. Vc ~(c< r<c),
03. Vc ((c<r)=3cf(c<d<r)),
04. Vc((r< c)= 3d(r<rf<c)),
05. Vc, rf ((c < d) =. (с < г V r < d)).
436 Гл. 14. Локальная истинность
Мы видели в предыдущих упражнениях, что на самом деле
01—05 имеют место для произвольной непрерывной функции
г: /-*-R и, как можно надеяться, характеризуют непрерывные
функции.
Упражнение 17. Пусть г: /-*-R удовлетворяет условиям
01 —-05. Доказать, что для всех i
г(/) = н. н. г. {с: ie[r<c]) =
— н. в. г. {d: ie[(f< r]}.
Вывести отсюда, что
так что г непрерывна. П
Таким образом, подмножество ©-множества Aj? всех R-знач-
ных функций на /, определяемое формулой 0(г), представляю-
представляющей собой конъюнкцию условий 01—05, является в точности
объектом Rd дедекнндовых вещественных чисел для топоса
0-Set.
Необходимость непрерывности для выполнения условия 05
иллюстрируется нашим прежним примером отсутствия свойства
порядковой полноты у Rd при / = [0, 1]. Если г — характеристи-
характеристическая функция полуинтервала [0,1/2), то [1/2 < 1] = /, в то
время как [1/2 < r]U[r < 11 = [0, 1/2IH/2, 1] = /-{1/2}.
На самом деле для произвольного рационального числа d,
удовлетворяющего неравенствам 0^d^ 1, имеет место
[(rf<r)v (г<ё)]фТ,
так что принадлежность d либо Lr = {с: с<Сг}, либо Ur =
= {с: г <С с} не обусловлена жестко. Между этими двумя сече-
сечениями имеется большая щель.
Заметим также, что если d расположено строго между 0 и 1,
то в этом примере [d т& г] = Т. Поэтому предположение непре-
непрерывности в упражнении 13 существенно. Это означает, что до-
допуская функции, не являющиеся непрерывными, мы выходим из
области интуиционистской теории континуума. Последняя обла-
обладает свойством «близости сечений» 05 и вводит отделимость по
определению как (г <i. s) v (s <C r).
Перейдем теперь к более абстрактному аксиоматическому
уровню и изучим порядковые свойства, скрытые в 0-аксиомах.
Будем предполагать только, что мы работаем с некоторым рас-
расширением R рациональных чисел, на котором имеется бинарное
отношение порядка <, удовлетворяющее условиям 01—04,
такое, что при ограничении иа Q получается классическое раз-
разрешимое упорядочение чисел. Мы хотим выяснить, какие свой-
свойства отношения <; можно вывести с помощью одних лишь
принципов интуиционистской логики.
14.8. Числовые системы как пучки 437
В силу 01 множества Lr и V\ непусты. Часто употребляется
в таких случаях слово «населенный». Оно является интуицио-
интуиционистским термином, выражающим положительный смысл отно-
отношения принадлежности. Знать, что А населено, — значит, иметь
конструктивное доказательство утверждения Эа(йе.4), в то
время как знать, что А непусто, — значит, иметь только доказа-
доказательство утверждения ~(Д = 0), т. е. ~Ча{а еД), что экви-
эквивалентно
~ ~ За(а е А).
Из 03 вытекают два утверждения об Lr. Во-первых,
{c<d<r)=>{c<r),
означающее, что Lr не ограничено влево (все, что находится
левее некоторого элемента из Lr, также принадлежит Lr). Во-
вторых, из
(c<r)=> 3d(c<d<r)
следует, что Lr не имеет последней точки справа и поэтому
должно совпадать с Q или в противном случае иметь вид
Условие 04 дает двойственное утверждение для Ur, а из 02 сле-
следует, что эти два множества не пересекаются. Поэтому Q не
может получиться, и мы должны иметь
Линейная картина, возможно, вводит в заблуждение в отноше-
отношении того, что мы не допускаем закон трихотомии
{с <.r) v(c« г) v {г<.с).
На самом деле мы заполняем разрыв между Lr и Ur только
точками, про которые мы безусловно знаем, что они располо-
расположены между этими двумя сечениями, т. е. такими, про которые
мы знаем, что они меньше, чем каждый член U,, и больше, чем
каждый член Lr. Разрыв определяется тогда конъюнкцией пред-
предложений
{г <d-=>c <d),
Чтобы рассматривать отрицательное отношение (~(cel/r)),
введем символ ^ так, чтобы s ^ t было сокращением для
~ (t <s) (ср. упражнение 12(iv)), и определим
438 Гл. 14. Локальная истинность
По условию 02 (с <. г) =э ~ (г <. с), откуда Lr s L<r. Подобным
же образом Ur s ?/<г. Так как L<r определяется отрицательно
(~(г<с)) в терминах элементов из Ur, то его порядковые
свойства зависят от аксиомы 04. Из последней вытекает
(d<c)=>((r<d)ZD(r<c)),
откуда контрапозицией получаем
(</<с)=>(~(г<с)=э ~(r<d))
и, далее, транзитивный закон
(d < с < г) гэ d < г.
Он устанавливает, что L<r не ограничено влево. Двойственное
свойство для U^t выражается выводимой из 03 формулой
(г s^c<d)=>(rs^d).
Получается такая картина:
-^ч ь-^-
Легко видеть, что все члены L^r расположены положительно
левее множества Ur. Действительно, если с ^ г и г < d (по-
(поэтому Лфс), но неверно, что с < d, то d < с (Q разрешимо)
и, следовательно, г < с по 04. Но это противоречит предполо-
предположению ~(г<с). Таким образом, мы доказали, что
(с < г)г> Vd((г < d) => (с < d)).
В обратную сторону, если с меньше, чем каждый член из Ur,
то предположение г <С. с приводило бы к противоречию с <.с.
Поэтому мы и,меем ~(г<.с). Этим установлено, что
<d)=>{c<d))
и, двойственным образом,
(r^c)= Vd((d< r)=D(d< с)).
Картина теперь имеет вид
Вспомним аксиомы 66 и 67, сформулированные раньше для
описания порядково полных вещественных чисел *R. Б наших
обозначениях 66 принимает вид
14.8. Числовые системы как пучки 439
Аксиома 67 принимает двойственный вид. Как установлено
выше, V6((r < b)=>(d <. b)) эквивалентно d^.r. Поэтому мы
имеем
06. \/с({с < r)= ^d(c <d*^r)),
07. Vc((r<c)s
Из 06 получаем
т. е. каждый элемент из L^r обладает тем свойством, что всё
расположенное слева от него принадлежит Lr. Это сводит раз-
разрыв между Lr и L^r (самое большее) к одной точке
-г г
и поэтому ликвидирует щель в прямой линии. Альтернативным
образом контрапозицией из последней формулы получаем
что можно интерпретировать как сведение перекрытия мно-
множеств L<r и U>r к одной точке.
Упражнение 18. Предполагая только разрешимость Q, дока-
доказать, что 02 следует из
02'. Vc, d(c<r<dzDc<d).
Показать, что 02 вместе с 03 или 04 влечет 02'.
Упражнение 19. Забыв отрицательное определение отноше-
отношения ^ и предполагая только, что с^ги г ^ с имеют положи-
положительный смысл
Vd(r<dzic<d),
Vd{d<r=>d <c)
соответственно, доказать, что
(i) 02' эквивалентно каждому из условий
У с (с < г zd
У с {г < с zd г^.
(И) из 06 и 02' вытекает 03;
(ш) из 07 и 02' вытекает 04;
(iv) из 06 или 07 вытекает 02'.
Упражнение 20. Показать, что
(i) 02', 03 и 05 вместе дают 06,
(ii) 02', 04 и 05 вместе дают 07. ?
440 Гл. 14. Локальная истинность
Обсуждение, предшествовавшее этим упражнениям, можно
было бы подытожить, сказав, что в сечении, определяемом веще-
вещественным числом, не существует положительных разрывов.
Чтобы посмотреть, как эти аксиомы приводят также к порядко-
порядковой полноте, продолжим вывод порядковых свойств с помощью
одних только принципов интуиционистской логики.
Определим *R как множество всех пар г = <?/,-, Lr} подмно-
подмножеств в Q, удовлетворяющих 01, 06 и 07, где г < с и с <; г
означают, что cet/, и с е Lr соответственно, а с^Гг и г ^ с
имеют положительный смысл, как в упражнении 19. Тогда, как
следует из упражнений 18 и 19, пара г удовлетворяет усло-
условиям 02, 02', 03 и 04, и отсюда мы могли бы снова получить
отрицательную характеризацию отношения ^. Преимущество
настоящего подхода состоит, конечно, в том, что мы имеем дело
с меньшим числом аксиом. Заметим также, что в силу упраж-
упражнения 20 Ra^*R.
Упражнение 21. Пусть г, s^R*. Показать, что условие
(a) Vc(s <сг> г<.с)
вместе с 06 приводит к
(b) Vc{c<r^c<s),
и, двойственным образом, (Ь) и 07 вместе дают (а). ?
Для г, s ^*R будем теперь считать, что г ^ s означает, что
имеет место одно из двух эквивалентных условий (а), (Ь) по-
последнего упражнения.
Упражнение 22. Доказать, что г ^ s тогда и только тогда,
когда каждая рациональная верхняя грань множества Ls яв-
является верхней гранью множества Lr, т. е.
Vrf(rf<sr>rf< c)r> Vd(d<r=5d< с).
Показать, что это условие эквивалентно утверждению о том,
что каждая рациональная нижняя грань множества 1)г является
нижней гранью для Us. ?
Пусть В — подмножество в *R и В ^ s означает, что s яв-
является верхней гранью для В, т. е.
Предположим, что В населено Cs(sefi)) и имеет верхнюю
грань. Чтобы определить для В наименьшую верхнюю грань го,
мы должны указать ее верхнее и нижнее сечения. Обозначая
для рационального числа d через В <С d выражение
14.8. Числовые системы как пучки 441
ПОЛОЖИМ
го<с т. и т. т. 3d {В <d < с),
с <г0 т. и т. т. 3d (с < d Л ~{В < d)).
Прежде всего мы должны убедиться, что го принадлежит *R.
Проверка условия 01. Верхнее сечение для г о населено. Дей-
Действительно, существует s, такое, что В ^ s, и в силу 01, при-
примененного к s, существует d > s. Тогда, если t ^ В, то t ^
^ s < d, значит, t <. d по определению отношения ^ ^ s. Этим
установлено B<id, поэтому, беря произвольное c>'cf, полу-
получаем Го < С.
Для нижнего сечения мы пользуемся фактом существова-
существования /еВ. Снова по 01 существует d<.t. Если бы В < d, то
/<йв противоречие с 02. Поэтому ~ (В <; d) и для произволь-
произвольного с <с d получаем с < го. П
Проверка условия 06. Пусть с <; г0. Тогда существует неко-
некоторое rf, такое, что c<d и ~ (В <; d). Докажем, что d ^ го.
Если г0 < е, то найдется е0, такое, что В <. во<. е. Если бы
е ^ rf, то для произвольного t^B было бы t<Ceo<Cd и, сле-
следовательно, / <С d по 04. Но это означает, что В <; d в проти-
противоречие с установленным ранее ~ {В <; d). Таким образом, если
г0 < е, то должно быть d < е, т. е. d ^ го, что и требовалось.
В обратную сторону, предположим, что с < d ^ г0 для не-
некоторого d. Возьмем произвольное рациональное число е, такое,
что с <; е <; d. Тогда, если бы В << е, то В <^ е <С d и, следо-
следовательно, го <С d, что вместе с rf^r0 приводило бы к противо-
противоречию с d < d. Таким образом, должно быть с<еи ~ (В < е),
т. е. с < г0.
Проверка условия 07. Если г0 < с, то В <С d < с для неко-
некоторого d. Чтобы доказать неравенство го ^ d, возьмем произ-
произвольное е < г0. Тогда для некоторого ео будет е < е0 и ~ (В <
< во). Если бы d ^ е, то 5 < d < е0 и по 04 Л < е0 — проти-
противоречие. Поэтому должно быть e<d, что и требовалось.
В обратную сторону, предположим, что го ^ d < с и выбе-
выберем е, такое, что d <C e <с с. Если мы сможем показать, что
В <С е, то получим требуемое неравенство го < с. Пусть t e В.
Если е0 < t, то в силу 03 во <. е\ < ^ для некоторого еь Но
тогда предположение В <. е\ приводило бы к /< е\, в проти-
противоречие с е\ < t. Поэтому ~ (В < ei), что дает во <. г0 и в силу
неравенства r0 ^ d приводит к ео ^ d. Это доказывает, что
t ^ d. Но так как d < е, то из 07 для ^ следует t < e, что
и требовалось. ?
Докажем, что г0 является наименьшей верхней гранью для
В, т. е. для произвольного s^*R
В ^ s т. и т. т. го ^ s.
442 Гл. 14. Локальная истинность
Доказательство. Пусть В <; s. Тогда из s < с следует
s < d < с для некоторого d @4). Отсюда для любого feB
получаем t ^ s < d и, следовательно, t <.d. Это доказывает,
что В < с? < с, т. е. /-0 < с.
Обратно, пусть /-0 ^ s и (еВ. Тогда, если s < с, то го < с
и для некоторого d будет В <. d <. с. Отсюда t <.d <. с и, сле-
следовательно, / < с по 04. Этим доказано, что t ^ s. D
Упражнение 23. Показать, что 01 и аксиома 05 «близости
сечений» дают свойство
05'. Vn3c, d(c<r<dAd — с <^,
где п — переменная для положительных целых чисел (предпо-
(предполагаем классическую теорию арифметики рациональных чисел).
Показать, что 05', 03 и 04 вместе дают 05.
Упражнение 24. Доказать, что из каждого из условий 06
и 07 вытекает, что для любого натурального числа п > 0 мно-
множество
{(с, d): c<r<dAd-c<±-}
непусто в слабом смысле. Последнее означает
05". Vn Зс,
Упражнение 25. Построить примеры чисел г, se *R, удовле-
удовлетворяющих
(i) 01, 04, 06, 05", но не 07
(И) 01, 03, 07, 05", но не 06. ?
Вернемся теперь к результату, упоминавшемуся ранее,
о том, что */?' = Rd, если справедлив закон де Моргана
~(<хл P) = (~av ~P).
Так как Rd E *R, то в силу предыдущих результатов достаточно
показать, что произвольное г е */? удовлетворяет 05. После того
что уже сделано, доказательство оказывается совсем коротким.
Для произвольного рационального числа е мы имеем @2)
~ (е < г Л г < е). В силу закона де Моргана отсюда следует
— (е < /¦) V ~ (г < е), что, как было установлено ранее, эквива-
эквивалентно в силу 03 и 04 дизъюнкции (г ^ е) v (е ^ г). Допустим
теперь, с целью доказать 05, что с < d. Взяв произвольное е,
удовлетворяющее неравенствам с < е < d, мы тогда имеем либо
е ^ г, а следовательно, с < е ^ г и поэтому с < г по 06, либо
г<еи поэтому г < d по 07. ?
Мы упорно избегали рассмотрения упорядочения < для
произвольных членов *R. В классическом случае плотность Q
14.8. Числовые системы как пучки 443
в R гарантирует неравенство г < s тогда и только тогда, когда
3c(/-<c<s).
Это последнее условие используется для того, чтобы определить
отношение < на Rd в общем случае (см. упражнение 28 ниже).
Для *R, однако, определение другое. Оно использует арифмети-
арифметическую структуру Q, а именно
г < s т. и т. т. 3d (d > О Л г + d < s),
где г -\- d определяется заданием его верхнего и нижнего сечений
(очевидными?) условиями
с <; г + d т. и т. т. с — с? < /¦,
/¦ + ^ < с т. и т. т. г < с — d.
Упражнение 26. Показать, что если г е */?, то г + (ie */?.
Упражнение 27. Дать примеры чисел г, se *i?, для которых
/¦ + d ^ s при некотором d > 0, ио для всякого с неверно, что
/¦< с< s.
Упражнение 28. Используя данное выше условие плотности,
определить < на Ra в CQ-Set, считая, что ^ имеет либо по-
положительный, либо отрицательный смысл, а г #s s означает
(г < s) V (s < г). Показать, что в топологическом случае Q = в,
это приводит к 6-значному отношению, с которого мы начали
этот раздел.
Упражнение 29. Пусть X обозначает одно из множеств
со, Z, Q, R. Показать, что стандартные жесткие отношения ф,
< и т. д. на X приводят к простому пучку X*, в котором
[s 36*] = U{|[s«a]|n[/«&]: а Ф b e= X),
[s </] = U{[s« а] п [*«&]: а<Ь<=Х)
и т. д. Исследовать свойства этого Q-значного отношения по-
порядка на рациональных числах. ?
Точки
Важной особенностью исследования числовых систем в CQ-Set
является обобщение понятия точки топологического простран-
пространства. Данный элемент i'e/ определяет функцию /,•: в/-»-2, за-
задаваемую условиями
0, если
Функция fi будет n-LJ-отображением. Поэтому в общем случае
точкой полной алгебры Рейтинга Q называется n-LJ-отображе-
444 Гл. 14. Локальная истинность
ние вида Q->-2. Переход от 6 к Q побуждает нас рассмат-
рассматривать обобщенное «пространство» как образованное своими
частями (открытыми множествами), а не точками (Ловер [76]).
В некоторых классических топологических пространствах каж-
каждая точка в/-*-2 имеет вид /,- для некоторого ie/. Такие про-
пространства называются спокойными (все точки в фокусе). Среди
них содержатся все хаусдорфовы пространства, и в частности R.
Имеется категорная двойственность между категорией спо-
спокойных пространств с непрерывными функциями в качестве стре"
лок и категорией полный алгебр Рейтинга с п-|_|-отображе-
ниями, задаваемая естественным изоморфизмом между первой
и полными алгебрами Рейтинга вида в. Для произвольной пол-
полной алгебры Рейтинга Q обозначим через P(Q) множество всех
точек Q-+2 алгебры Q. (Спокойные пространства — это про-
пространства, для которых /^(Цв/).) Для произвольного рей
пусть
f(p)=l} = {f: «f<
— множество точек /, «принадлежащих р».
Упражнение 30. Доказать, что
для всех р, q<=Q,
U VP = VUC для всех С <= Q. ?
ре С
Из этих результатов следует, что совокупность
в,, = {Vp: peaQ}
замкнута относительно конечных пересечений п произвольных
объединений, т. е. является топологией на )
Упражнение 31. Для данной точки g: в..>->-2 определим
fg: Q->-2 равенством
Показать, что fg^$ (й) и
g{Vp)=\ т. и т. т. /8еУ, ?
Таким образом, мы видим, что <P(Q),6_q> является спокой-
спокойным топологическим пространством. Кроме того, из предыду-
предыдущего упражнения следует, что функция pt—>VP будет сюръек-
тивным n-U-отображением. Говорят, что Q имеет достаточно
точек, если
из Vp = Vq следует р = q для всех р, q e Q.
Это условие представляет собой некоторый принцип экстенсио-
экстенсиональности, утверждающий, что если две части имеют одни
и те же точки («f ^ р т. и т. т. /eg»), то они равны. Очевидно,
M.S. Числовые системы как пучки 445
что любая топология в имеет достаточно точек и, обратно, из
этого условия следует, что функция р\—*-Ур является изомор-
изоморфизмом между Q и во.
Таким образом, пространственные полные алгебры Рейтинга
(т. е. топологии) — это алгебры, имеющие достаточно точек,
и только они. С другой стороны, существуют полные алгебры
Рейтинга, совсем лишенные точек. Ассоциированные с ними ка-
категории пучков могут обнаруживать совершенно патологическое
поведение. Например, Фурман и Хиланд построили на этом пути
топосы, в которых не имеют места такие стандартные матема-
математические факты, как: «каждое комплексное число имеет квад-
квадратный корень», «уравнение х3 + ах + Ь = 0 имеет веществен-
вещественное решение для любых а, Ь е R» и «единичный интервал [0, 1]
компактен».
Описание построения числовых систем в топосах дано в гл. 6
книги Johnstone [77]. Дальнейшие подробности о порядковых
и топологических свойствах объекта Rd можно найти в Stout
[76] (см. также Mulvey [74] для пространственных пучков).
Главный источник информации в этой области — это Труды Да-
ремской конференции по теории пучков (Fourman, Mulvey,
Scott [79]), содержащие детали всех результатов, упоминав-
упоминавшихся в этом параграфе без ссылок.
Глава 15
СОПРЯЖЕННОСТЬ И КВАНТОРЫ
... сопряженные понятия встречаются почти всюду
в разных областях математики.
... систематическое использование всех этих сопря-
сопряжений освещает и проясняет предмет.
С. Маклейн
Выделение и точное определение понятия сопряженности
является, возможно, наиболее значительным вкладом теории
категорий в сокровищницу общих математических идей. В этой
последней главе мы познакомимся с природой этого понятия
и продемонстрируем его широкое распространение на ряде при-
примеров, охватывающих почти все обсуждавшиеся в книге поня-
понятия. Мы увидим, какую роль оно играет в доказательстве
основной теоремы о топосах, и, наконец, исследуем его роль
в специфическом анализе кванторов в топосе.
15.1. СОПРЯЖЕНИЯ
Исходными данными ситуации сопряжения или просто со-
сопряжения служат пара категорий 1? и Й) и функторов F и G
между ними в обеих направлениях
а
дающих возможность взаимно заменять их объекты и стрелки.
Для данных '«Р-объекта а и ^-объекта Ъ мы получаем объект
G(b) в & и объект F(a) в 0.
Сопряженность возникает тогда, когда имеется точное соот-
соответствие между стрелками для этих объектов, направленными
так, как показано на рис. 15.1, так что переход из а в G{b)
в категории & однозначно определяется переходом из F(a) в Ь
категории ЗУ. Другими словами, мы требуем, чтобы для каждых
объектов а и Ь категорий У и2) соответственно существовала
биекция
A) Qab: 3>{F{a), b)^V(a, G(b))
между множеством ^-стрелок вида F(a)^-b и множеством
¦^-стрелок вида a->-GF). Более того, сопоставление биекции
даь каждой паре а, Ь должно быть «естественным по а и 6».
15.1. Сопряжения
447
Это означает, что оно сохраняет категорную структуру при
варьировании как а, так и Ъ. Подробнее, функция, ставящая
в соответствие паре (а, Ь} «hom-множество» 2)(F(a), b), порож-
порождает функтор из произведения ^?°рХ D в Set (почему <&°v, а не
9*? Разобраться детально), а функция, переводящая (а,ЬУ
в W(a,G(b)), порождает другой такой же функтор. Мы тре-
требуем, чтобы отображения 8as являлись компонентами есте-
естественного преобразования 8 между этими функторами1).
Когда такое 8 существует, мы называем тройку (F, G, 0> со-
сопряжением от ^ к 3). Функтор F называется тогда сопряжен-
сопряженным слева к G, что обозначается через F —! G, а функтор G —
Рис. 15.1.
сопряженным оправа к F (обозначается через G \~ F). Отноше-
Отношение между F и G, задаваемое 8в A), представляется схематиче-
схематически в виде
делающим наглядным различие «слева-справа».
Ситуация сопряжения выразима в терминах поведения спе-
специальных стрелок, ассоциированных с каждым объектом из V
и из Ф
Пусть а — произвольный ^-объект, и положим в A) Ь =
= F(a). Применяя Э (т. е. соответствующую компоненту)
к единичной стрелке для F(a), мы получаем ^-стрелку ца =
= 0A/ча)), называемую единицей над а. Тогда мы знаем, что
для произвольного b из 20 всякой стрелке g: a^>-G(b) одно-
однозначно соответствует стрелка f: F(a)-*-b, переходящая при
отображении 8а6 в g. Пользуясь естественностью 0 по а и Ь, мы
обнаруживаем, что ца обладает некоторым свойством коунивер-
П Таким образом, требуется, чтобы для любых объектов а', Ъ' и стрелок
a: a'-* a, $:b-+b' из категории <g и 3) соответственно и любой ^-стрелки
f : F(a) -+ b имело место равенство
Прим. перев.
448 Гл. 15. Сопряженность и кванторы
сальности. Именно, для любой такой g существует и притом
только одна стрелка f: F(a)->6, для которой диаграмма
G(F(a)) Fia)
B)
G(b) Ь
коммутативна. Действительно, g = Ьаь (/) и потому
Из естественности 9 следует также, что диаграмма
а —^ G(F(a))
G(F(k))
a 7<a> G(F(a'))
коммутативна для любой ^-стрелки k2). Поэтому стрелки т^
образуют компоненты некоторого естественного преобразова-
преобразования т): \<g—т*- GoF, называемого единицей сопряжения.
Двойственным образом для произвольного ^-объекта b по-
положим в A) a = G(b). Пусть т обозначает естественный изо-
изоморфизм, обратный к 0 (тай=0<Гь)- Тогда, применяя т
к единичной стрелке для G(b), получаем коединицу е&=
= хAс(Ь)) над Ь. Стрелка ъь обладает свойством универсаль-
универсальности, состоящим в том, что для произвольной ^-стрелки
/: F(a)->-b существует только одна 'ё'-стрелка g: a-*-G(b), для
которой диаграмма
F(G(b)) —^-~ Ь G(b)
* / *
D) Hg)j
F(a)
коммутативна. Так как f = tab(g), то
E)
') Это равенство получается из равенства предыдущего примечания, если
вместо a', bub' подставить соответственно a, F(a) н t, а вместо а, C и
/ — соответственно^, f и ^F(a)- — Прим. перев.
2) Имеем G (F (k))or\a = QaFla,)(F (k)) (в силу равенства, выражающего
в через G и т\) = 9eF(e0 (b(e0f (a,, » F Щ = G (Лра.) °Qa'Fa'V F(a'))°k
(в силу естественности 9 по а и b) = y\a,°k по определению т|).
— Прим. перев.
15.1. Сопряжения 449
и стрелки еь составляют компоненты некоторого естественного
преобразования е: F ° G—т*- \з> — коединицы сопряжения.
С другой стороны, для данных естественных преобразований
г] и е указанного вида мы могли бы определить естественные
преобразования Э и т, задавая их компоненты равенствами C)
и E). Если выполняются свойства коуниверсальности и уни-
универсальности, представленные диаграммами B) и D) соответ-
соответственно, то Qab и Tab будут взаимно обратными, т. е. биекциями,
определяющими сопряжение Э от 'ё' к Ф.
Таким образом, для указанных выше F и G следующие усло-
условия эквивалентны:
(a) F является сопряженным слева к G, F H G;
(b) G является сопряженным справа к F, G '— F;
(c) существует сопряжение (F, G, 0> от Ч? к 2?>\
(d) существуют естественные преобразования ц: \<g—r>~ G°F
и е: FoG-^Xsi, компоненты которых обладают свойствами ко-
коуниверсальности и универсальности, представленными диаграм-
диаграммами B) и D).
Диаграммы B) и D) выражают частные случаи более об-
общего факта. Предположим, что G: S>->®' — произвольный
функтор и а — некоторый объект из Я2. Тогда пара <6, т)>, со-
состоящая из ^-объекта Ъ и ^-стрелки tj: a-vGF), называется
свободной над а относительно G, если для любой ^-стрелки
вида g: a->-G(c) существует единственная 55-стрелка f: b^-c,
такая, что диаграмма
G(b) ь
F)
с
коммутативна. Такая пара <6, ti> называется также универсаль-
универсальной стрелкой от а к G. Таким образом, если F Ч G, то пара
(F(a),t]a} будет свободна над а относительно G.
Двойственным образом, для данных функтора F: V-*-@>
и ^-объекта b пара {а, е>, состоящая из "^-объекта а и стрелки
е: F(a)—b, называется косвободной над b относительно F,
если для каждой пары (с, f), состоящей из ^-объекта с и стрел-
стрелки f: F(c)-^b, существует и притом только одна g: c->a из <€,
такая, что диаграмма
р.
а
G)
F(c)
450 Гл. 15. Сопряженность и кванторы
коммутативна. Такая пара называется также универсальной
стрелкой от F к Ь.
Упражнение 1. Описать правый сопряженный G к F в терми-
терминах пар, косвободных над ^-объектами относительно F.
Упражнение 2. Пусть <6,л> — универсальная стрелка от а
к G: Sb-^S. Показать, что эта универсальная стрелка ц: а-»-
->GF) является начальным объектом категории а \ G, объек-
объектами которой служат пары (c,f}, где f: a->G(c), а стрелками
являются ^-стрелки g: с-^-Ф, такие, что диаграмма
G(c) —^—* G(d)
коммутативна.
Упражнение 3. Проделать упражнение, двойственное к упраж-
упражнению 2.
Упражнение 4. Пусть для каждого ^-объекта а существует
универсальная стрелка от а к G: iZJ-v®'. Построить функтор
F-.'F-^a), такой, что F Ч G.
Упражнение 5. Проделать двойственное упражнение. ?
Из существования для данного функтора сопряженного
к нему вытекают важные следствия о свойствах этого функтора.
Например, если F —' G, то G сохраняет пределы (т. е. отобра-
отображает предел диаграммы в 2) в предел G-образа этой диа-
диаграммы в (ё), a F сохраняет копределы.
Подробности, опущенные в этом кратком обзоре теории со-
сопряженности, можно найти в любом стандартном учебнике по
теории категорий.
15.2. НЕКОТОРЫЕ СИТУАЦИИ СОПРЯЖЕНИЯ
Начальные объекты
Пусть <8 = 1 — категория с одним объектом, скажем 0,
и одним морфизмом 10, a G — единственный функтор 2)-*-1.
Пусть функтор F: \-+Й) является сопряженным слева к G.
Тогда
0н>0 (Ь)
F(O)~>b '
Так как существует ровно одна стрелка 0->G(b), то имеется
ровно одна стрелка F@)—*b. Поэтому .F(O) является начальным
объектом в 3). Коединицей е& служит единственная стрелка
F(O)b
15.2. Некоторые ситуации сопряжения 451
Упражнение 1. Показать, что в 2D существует конечный
объект тогда и только тогда, когда функтор !: iZ)-»-l имеет со-
сопряженный справа. ?
Произведения
Пусть А: Ч? -^'FyCF обозначает диагональный функтор, ста-
ставящий в соответствие объекту а пару <а, а>, а стрелке f: a-^-b —
пару стрелок (f,f}: <а, «>-»-<&, 6>. Предположим, что Д имеет
правый сопряженный G: Ф'Х®'-^®'. Тогда
(с, с) -> х '
где с из ^, а х=(а,Ь} из ^Х®1- Коединица е*: A(G(jc))->-
-*-(a,b} есть пара ^-стрелок р: G(x)->a и <7- G (*)->&. По
свойству косвободности стрелки ех для произвольных стрелок
/: с-^а, g: c^*-b существует единственная стрелка h: c-*-G(x),
такая, что диаграмма
A(G(x)) —^г-* * G(x)
Л (с) с
коммутативна, следовательно, коммутативна и диаграмма
Таким образом, G(x) есть произведение аХ& объектов а и b
с парой е* ассоциированных с ним проекций. Мы имеем сопря-
сопряжение
с -> а, с —> b '
единицей %: с -+¦ с X с которого служит произведение <1с, 1е>-
Упражнение 2. Показать, что ¦?? обладает копроизведениями
тогда и только тогда, когда функтор А: 'йР-^'S'X®' имеет со-
сопряженный слева. D
Можно показать, что предел и копредел диаграммы какого-
либо типа в категории ^ возникает вследствие существования
сопряженного справа и слева к «диагональному» функтору
cS'-!>-'FJ, где / — каноническая категория, имеющая тот же
«вид», что и данная диаграмма (для произведений / будет дис-
дискретной категорией {0, 1}). Единицей в случае существования
452 Гл. 15. Сопряженность и кванторы
сопряженного слева служит универсальный коконус, а коедини-
цей в случае существования сопряженного справа — универсаль-
универсальный конус.
Топология и алгебра
Имеется много важных конструкций, выступающих как со-
сопряженные функторы к пренебрегающим функторам. Функтор,
сопряженный слева к пренебрегающему функтору U: Grp-»-Set
из категории групп в категорию множеств ставит в соответствие
каждому множеству свободную группу, порожденную этим мно-
множеством («свобода» здесь понимается так же, как и выше при
рассмотрении единиц сопряжения).
Построение поля частных области целостности дает функтор,
сопряженный слева к пренебрегающему функтору из категории
полей в категорию областей целостности.
Задание дискретной топологии на множестве дает сопряжен-
сопряженный слева к U: Тор-> Set, а введение антидискретной (три-
(тривиальной) топологии дает сопряженный справа к U.
Пополнение метрического пространства определяет сопря-
сопряженный слева к пренебрегающему функтору из полных метриче-
метрических пространств в метрические пространства.
Читатель найдет значительно больше примеров сопряжен-
сопряженных функторов из топологии и алгебры в Maclane [71] и в
Herrlich — Strecker [73].
Экспоненцирование
Если ?> допускает экспоненцирование, то существует (§ 3.16)
биекция
V(cXa,b)^V(c,ba)
для любых объектов а, Ь, с, указывающая на наличие сопря-
сопряжения.
Пусть F: <&'^>~<&' — функтор умножения справа — Х<з из
§ 9.1, переводящий произвольное с в сХй. Тогда F имеет со-
сопряженный справа функтор ( )а: <&-^-сё, переводящий Ь в Ьа,
а произвольную стрелку f: c^-b— в стрелку fa: ca^-ba, являю-
являющуюся экспоненциально присоединенной к композиции f°ev':
саУС a-^-c-^b, т. е. в единственную стрелку вида са->6°, для
которой диаграмма
коммутативна.
15.2. Некоторые ситуации сопряжения
453
Коедпшщей е&: F(b")—>-b является стрелка значения ev: 6aX
Ха-+Ь, ее свойство косвободы дает аксиому экспоненцирова-
ния из § 3.16. Ситуация сопряжения имеет вид
с » Ъа
с X а -> Ь '
Таким образом, ?? допускает экспоненцирование тогда и только
тогда, когда функтор — Хо имеет сопряженный справа для
каждого ^-объекта а.
Относительные псевдодополнения
Относительные дополнения являются частным случаем экс-
поненцирования (см. § 8.3). В произвольной решетке с относи-
относительным псевдодополнением условие
сГ\а<=кЬ т. и т. т. cE
дает сопряжение
с - > а
Решетка имеет относительные псевдодополнения тогда и только
тогда, когда функтор — п о, переводящий ев с па, обладает
сопряженным справа для каждого объекта а.
Натурально-числовые объекты (ср. Ловер [69])
¦^-стрелка / называется эндострелкой (от «эндоморфизм»),
если dom/ = cod/, т. е. f имеет вид f: а-+а или a Qf. Обозна-
Обозначим через ^ О категорию, объектами которой являются 'ё'-эндо-
стрелки, а ^Q-стрелкой из йО' в b Qg будет всякая ??-стрел-
ка h: a-*-b, такая, что диаграмма
т. е. диаграмма
— пренебрегающий функтор,
коммутативна. Пусть G: WQ-
переводящий f: a -*- а в а.
Предположим, что G имеет сопряженный слева
а ¦¦> G (Ь)
/¦' (а) -+ Ь '
454
Гл. 15. Сопряженность и кванторы
и пусть эндострелка F(l) обозначена через N Qd, а единица
r)i: 1->G(FA)) — через О: l-*-N. Такие обозначения, конечно,
введены умышленно. Свойство свободы пары (/-"A), rji) над 1
G(A)
у
А
означает, что для произвольной эндострелки А = (а —> а)
и произвольной ^-стрелки х: l->a = G(A) существует един-
единственная стрелка h: F(l)-+A, т. е. h: jVQ^^-aQf такая, что
диаграмма
а следовательно, и диаграмма
N'
коммутативны. Таким образом, (FA),tii) является натурально-
числовым объектом.
Обратно, если % \= НЧО, то пусть F: <&-+Я8 О обозначает
функтор, переводящий а в эндострелку
а X 'V ^+ а X N,
а /: a-vft — в fX1w- Тогда по теореме Фрейда 13.2.1,
(см. Freyd [72]) если ^ допускает экспоненцирование, то для
произвольной эндострелки f: b-*-b и произвольной стрелки
h0: a-^-b существует единственная стрелка h, для которой диа-
диаграмма
a xN"
15.2. Некоторые ситуации сопряжения 455
коммутативна. Мы имеем ситуацию
а -Л С (Ь О')
F (а) -А- Ь Of
указывающую на то, что F н G. Единицей r)i теперь становится
стрелка <1i, О>: 1 —>• 1 X N, от которой мы снова возвращаемся
к О: l-»-iV ввиду естественного изоморфизма lXN^Af.
Таким образом, декартово замкнутая категория 9? имеет на-
натурально-числовой объект тогда и только тогда, когда прене-
пренебрегающий функтор из W О в Я!> имеет сопряженный слева.
Мы также получаем характеризацию натурально-числового
объекта как универсальной стрелки из конечного объекта в этот
функтор.
Сопряженности в ч. у. множествах
Пусть (Р, Е=) и (Q, с=)—ч. у. множества. Функтор из Р
в Q — это монотонная функция /: P~*-Q, т. е.
если рЕ?, то f(p)^f(q).
Тогда g: Q-+P будет сопряженным справа к f,
если и только если для всех psPnr
p^g(r) т. и т. т.
С другой стороны, g будет сопряженным слева к /,
если
g(r) = p т. и т. т. г^ /(р).
Рассмотрим пример. Пусть /: А -> В — произвольная функция.
Тогда для подмножеств X ^ A, Y ¦= В мы имеем
X^f^(Y) т. и т. т.
Поэтому функтор /-': 5Э(В)->5Э(Л), переводящий У?Й в
/~'(У), является сопряженным справа к функтору &*{!): 9*{А)-*-
->-fr(B) из § 9.1, переводящему 1еЛ в его /-образ f(X)^B.
Функтор f имеет также и сопряженный справа
задаваемый равенством }+(Х) = {у е В: /-'{у}— ^}. гДе /"Ч^}1^
-={л': [(л')= //} —прообраз {у}. Соотношение /-' Н [;- следует из
того, что
= X т. и т. т. У =
456 Гл. 15. Сопряженность и кванторы
Классификатор подобъектов
Запись (Lawvere [72])
d
где ?>—*d обозначает произвольный подобъект в d, указывает
на то, что Q-аксиома выражает свойство, связанное с сопря-
сопряженностью.
Функтор Sub: 'S'-vSet, описанный в § 9.1, пример 11, ставит
в соответствие каждому объекту d совокупность его подобъек-
тов, а каждой стрелке /: c->d — функцию Sub(f): Sub(d)->-
-vSub(c), переводящую каждый подобъект в d в его обратный
образ относительно f. Так определенный функтор является
контравариантным. Однако переходом к двойственной катего-
категории мы выражаем Sub как ковариантный функтор
Sub: ^P-vSet.
Теперь в случае, когда 9? — <? (некоторый топос), стрелка
true: l->-Q определяет подобъект в Q и соответствует поэтому
некоторой функции г\: 1 = {0} -»-Sub(Q). Рассмотрим диа-
диаграмму
Sub(Q) * Q
Sub(f) If
Sub(d) d
Показанная на ней функция g выбирает подобъект go: а >—: d
в d, для которого мы имеем характеристическую стрелку хй,»
определяемую декартовым квадратом
g0
в <?'. Тогда / = (х )ор является ^ор-стрелкой из Q в d и функция
Sub(f) (равная исходной Sub (хе)) переводит true в ее обратный
образ относительно xgo, T- е. в подобъект g0- Поэтому рассмот-
рассмотренная выше треугольная диаграмма коммутативна. Но в силу
однозначности характеристической стрелки для go стрелка х,
является единственной, подъемом вдоль которой стрелки true
получается g0. Поэтому единственной ^Гор-стрелкой, для которой
эта треугольная диаграмма коммутативна, является стрелка
15.3. Основная теорема 457
Таким образом, пара <Q, т]>, т. е. <Q, true: l-*-Q> будет сво-
свободной над 1 относительно Sub.
Обратно, из того, что пара <Q, т]> свободна, вытекает, что
г)@) классифицирует подобъекты, и мы можем сказать, что ка-
категория <8, допускающая обратные образы, имеет классифика-
классификатор подобъектов тогда и только тогда, когда существует уни-
универсальная стрелка из 1 в Sub: ^"P-^Set (ср. Herrlich —
Strecker [73], теорема 30.14).
Упражнение 1. Пусть Rel(—, a): "gP-vSet ставит в соответ-
соответствие каждому '«Р-объекту Ь совокупность всех "^-стрелок вида
/?^->&Хй («отношений» от Ъ к а). Для произвольной стрелки
f: c-*-b функция Rel(f, а) переводит R >—>&Хй в его обратный
образ относительно /Х1а, так что Rel(—, а) является контра-
вариантным функтором. Показать, что (конечно полная) кате-
категория % имеет объекты-степени тогда и только тогда, когда для
каждого ^-объекта а существует универсальная стрелка от 1 к
Rel(—, a): "g^-vSet.
Упражнение 2. Можно ли охарактеризовать классификатор
частичных стрелок т]а: а>—>а в терминах универсальных
стрелок? ?
Заметим, что Q-аксиома утверждает, что
Sub (d) s*&(d,Q)si <Г°р(Q, d)
и аналогично
Rel (b, a)^&(b, Qa) ^ &°* {Qa, b),
так что ковариантные варианты функторов Sub и Rel (—, а)
естественно изоморфны «horn-функторам» вида (^(с, —) (§ 9.1,
пример 7). Вообще Set-значный функтор, изоморфный hom-
функтору, называется пред ставимым. Представимые функторы
всегда характеризуются своими объектами, свободными иад 1
в Set.
15.3. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
Пусть "й7 — категория, допускающая обратные образы, и
/: а ->¦ b — произвольная "gP-стрелка. Тогда / индуцирует функ-
функтор обратного образа f*: Я$\Ь-*~<8\а, обобщающий функтор
/-1: ^(В)^-^(А) из примера предыдущего параграфа. Опреде-
1ение функтора /* ясно из диаграммы
<\~ * d. ,
f*(g)
a —
15 Зак. 651
¦ m.
458
Гл. 15. Сопряженность и кванторы
где k есть ^б-стрелка из g в h, f*(g) и f*(h) — обратные об-
образы стрелок g и h относительно f, однозначно определяющие
показанную пунктиром стрелку с^-т, которую мы обозначим
через/*(?):/*(?) + /*(й).
Функтор «композиция с /->
сопоставляет 93 \ а-объекту g: с-+а Ч? \ й-объект
9S \ 6-стрелку
й-стрелку
Произвольная стрелка
1 °g
из 2f(g) в ^:
k',
категории &\Ь соответствует единственной
4 a
из g в /*(^), определяемой свойством универсальности обрат-
обратного образа f*(t), и мы имеем поэтому сопряжение
2f (g) -> / '
показывающее, что 2f H /*.
Для теоретико-множественных функций функтор /* имеет
также сопряженный справа
П,:
15.3. Основная теорема 459
Для данного g: X-+A SetjB-объект U.f(g) является стрелкой
вида k: Z-*-B, которую мы рассматриваем как расслоение над
В. Понимая подобным же образом и g, мы можем сказать, что
слой в Z над бей, т. е. множество krl{6}, определяется как
множество всех локальных сечений расслоения g, определен-
определенных на f~l{b} = A.
Формально, Z есть множество всех пар (b,h), таких, что h
является функцией, определенной на f~l{b}, для которой диа-
диаграмма
\/
А
коммутативна. Функция k является проекцией на В.
Заметим, что если g — включение g: X —>• А, то единствен-
единственным возможным сечением h будет включение f~l{b}^*X при
условии, что /~' {b} s X. Поэтому слой над Ъ в Z пуст, если не-
неверно, что f~l{b} s X, и имеет один элемент в противном случае.
Таким образом, k можно отождествить с включением множества
{b: f~x{b} ?= X} = /+(Х)
в В, и функтор f+ оказывается частным случаем функтора Hf.
Для данных стрелок g: X-+A и /г: У-»-В рассмотрим диа-
диаграмму
р -^ у
А
т /
где t является SetjS-стрелкой из h в nf(g). Стрелка f*(h) —
обратный образ h относительно f — является проекцией в А
множества
Р={(а,уУ. f(a)=h(y)},
так что если (a,j)eP, то у лежит в слое над f(a) в В и по-
поэтому t(y) лежит в слое над f(a) расслоения Ilf(g). Таким
образом, t(y) будет сечением s расслоения g над множеством
/-'{/(«)}, содержащим а. Положим /'(<а,у}) = s{a). Тогда V
является стрелкой из f*(h) в g, принадлежащей категории
SetjA
Этим установлено соответствие
h— -> nf(g)
приводящее к сопряженности f*4 Ilf.
15*
460
Гл. 15. Сопряженность и кванторы
Упражнение. Как перейти от t'\ f*(h)^-g к t: /z->IIf(g)? ?
Полная формулировка основной теоремы теории топосов
(Freyd [72], теорема 2.31) такова.
Для любого топоса & и любого ^-объекта b относительная
категория <5\Ъ является топосом, и для произвольной стрелки
f: a-^-b функтор обратного образа f*: <?\b^>-<S\a имеет как
сопряженный слева 2/, так и сопряженный справа Л;.
Существование сопряженного слева требует только обрат-
обратные образы. Построение функтора Ilf основано на всех аксио-
аксиомах топоса и использует классификатор частичных стрелок
(локальные сечения являются ведь частичными функциями).
Для данной стрелки f: a->b пусть k обозначает единствен-
единственную стрелку 6 X а-»-а, для которой квадрат
Ьу а
декартов, где х\а обозначает теперь классификатор частичных
стрелок из § 11.8 (почему </, 1а> — монострелка?) Пусть h: 6->
-*¦ а" — стрелка, экспоненциально присоединенная к k. (В Set h
переводит b^B в стрелку, соответствующую частичной функ-
функции f-x{b}<^- А из А в А.)
Тогда для произвольной стрелки g: с-+а определим Hf(g)
как обратный образ стрелки ga относительно h
Щ(с) са
где g — единственная стрелка, определяемая декартовым квад-
квадратом
с >
а ga — результат применения функтора ( )"'• <§'-+8 к стрел-
стрелке g.
Читатель может убедиться, что это определение отражает
определение П/ в Set.
15.3. Основная теооема 461
Функтор Uf используется также для проверки того, что &\Ь
допускает экспоненцирование. Проиллюстрируем это опять на
категории Set. Для данных Set | В-объектов \: A-*-B и h: У->5
их экспоненциал ftf имеет вид Ы: Е—>-В. В соответствии с гл. 4
слой в Е над Ъ состоит из всех пар 0, t}, таких, что функция t:
f {b} —*¦ Y удовлетворяет условию коммутативности диаграммы
В
Если теперь построить обратный образ f*(h)
Р —*-+ Y
f-Ць]
и определить t'\ /-'{ftJ-^-P равенством t'(a)=(a, t(a)}, где
(b, t} e E, то, вспоминая определение Р, данное выше, можно за-
заметить, что f является сечением расслоения f*(h) над f~l{b},
т. е. элементом из слоя над Ъ расслоения Ilf(f*(h)). Кроме того,
t = gof, что приводит к изоморфизму между hf и Ylf(f*(h)) в
Set.
В категории <?\Ъ для данных /: а -*-Ь и h: с-*- b <о\Ь-объект:
П; (f* (/г)) служит экспоненциалом №. Это можно пояснить,
пользуясь языком сопряженностей, так как функтор произве-
произведения
-X/: 8\§-
является композицией вида
Последнее объясняется тем, что произведение h X f в 8 \ Ь
& \ ^-объектов h и / есть расслоенное произведение
n f*lh) „
/°/*(/г)= 2/(f*(/z)) в 8. Но каждый из функторов /* и 2f имеет
сопряженный справа Ylf и f* соответственно, а их композиция
Uf of* дает сопряженный справа к —Xf-
Детали доказательства основной теоремы можно найти в
Freyd [72] или Kock —Wraith [71].
462 Гл. 15. Сопряженность и кванторы
15.4. КВАНТОРЫ
Если 91=<Л, . ..> — модель языка первого порядка, то про-
произвольная формула cp(u1(i'2) индекса 2 определяет подмноже-
подмножество
Х={(х,уУ.% =ф
в А2. Формулы ЭУгф и Уигф, имея индекс 1, определяют соот-
соответствующим образом подмножества в А. Эти множества опре-
определяются через множество X следующим образом:
3Р(Х) = {х: существует у, такой, что (х, у)<^Х},
УР(Х)= {х: для всякого у (х,уУ^Х).
Здесь р обозначает первую проекцию из А2 в А, определяемую
равенством р((х, г/>)= х. Множество ~3Р(Х) является на самом
деле образом р(Х) множества X при отображении р и удовле-
удовлетворяет поэтому, как мы знаем, для любых X <=, А2 и Y <= А
условию
Л'с=р-1(У) т. и т. т. ЭР{Х)<= У,
т. е. Зр: $Р{А2)-+ ?Р(А) является функтором, сопряженным сле-
слева к функтору р-1: &>(А)-*&(А2) (см. § 15.2).
Так как для произвольного х е А справедливо равенство
i {} {Л}
VP(X) = {x: p-i{x}s=X}=p+(X)
(см. § 15.2). Поэтому
р-'(У)ЕХ т. и т.т. Y<=\/p(X)
и это вместе с предыдущим дает Зр Н р~{ Ч VP.
Вообще, для произвольной функции /: А-+В сопряженный
слева !P(f) к /-1: 5э(В)-»-5э(Л) обозначим теперь через ~ f, a
сопряженный справа /+ — через Vf. Связь с кванторами этих со-
сопряженных функторов становится явной в результате следую-
следующей характеризации множеств Tf(X)= f(X) и Vf (X) = f+{X):
3f{X) = {y: Зх(х^Х и f{x) = y)},
Vf{X) = {y: Vx (из f{x) = y следует х<=Х)}.
Для произвольного топоса <? стрелка /: а-*¦ b индуцирует
функтор
f-h Sub (&)->¦ Sub (a),
переводящий произвольный подобъект из b в его обратный об-
образ относительно / (обратные образы сохраняют мономорф-
.н.ость). Сопряженный слева 3f: Sub (a)->- Sub (b) к /-1 полу-
15.4. Кванторы 463
чится, если определить 3f(g) для g: о—>а как образ im(f ° g)
стрелки f e g, так что мы имеем
с - fcg > Ь
Используя тот факт, что образ стрелки является наименьшим
подобъектом, через который она пропускается, читатель может
проделать следующие упражнения.
Упражнение 1. Показать, что из g <= h следует 3f(g)^ 3f (h),
т. e. 3f — функтор.
Упражнение 2. Разобрать ситуацию сопряжения
где g: с =—>а и h: d>—*-b, показывающую, что 3fHf~'. ?
Сопряженный справа Vf: Sub (a)-^ SubF) к f-1 получается
из функтора П^: <В \ а-*-05 \Ъ (напомним, что в Set функция f+
является частным случаем функции П^). Функтор Vf ставит в со-
соответствие подобъекту g: о—*¦ а подобъект Uf(g). Строго го-
говоря, g как подобъект есть класс эквивалентности стрелок. Эта
неопределенность, однако, несущественна в силу следующего
упражнения:
Упражнение 3. Если g ? h, то Vf(g)^ Vf (А) и поэтому
если g — h, то Vf (gO — Vf (/г). ?
Сопряжение
Г (Л)-
устанавливающее f-' Н V,-, выводится из того факта, что /* —I
ЧП/.
Выбирая для каждого подобъекта представляющую его мо-
монострелку, мы получаем функтор ia: Sub {a)-*- &\ а. Действую-
Действующий в противоположном направлении функтор аа: <? \ а ->¦ Sub (a)
переводит g: с-*-а в aa(g) = img: g(c)>—*a, a ^|а-стрелку
464
Гл. 15. Сопряженность и кванторы
в стрелку включения oa{k),
с —
- d
существующую в силу того, что img является наименьшим под-
объектом, через который пропускается g. По той же причине
для данных g: с-^а и A: d >—>а образ im g пропускается че-
через h
g(c)
*
d
т. е. aa(g)^h тогда и только тогда, когда g пропускается че-
через h, т. е. когда существует <^]-а-стрелка
Мы имеем, таким образом, ситуацию
g -»
показывающую, что аа сопряжен слева к ia.
Собирая вместе результаты последних двух параграфов, мы
получаем для любой стрелки /: а -*• Ъ следующую «диаграмму-
доктрину» Кока и Райта (см. Kock — Wraith [71]):
в которой Э,
Sub(a)
H Vf, Sf Ч f* -\ Пь a H L
15.4. Кванторы 465
Упражнение 4. Показать, что 3/ °оа — Ob°%f, 1ь ° Vf =
= П, о iat ia о f-l = р. о ib> f-l oOb = Oa°f*. П
Возможна даже более общая трактовка кванторов, чем из-
изложенная выше. Для данного отношения R S А X В в Set мы
определим кванторы
3Л:
равенствами
3
Уд (X) = {г/: Vx (из xRy следует
Для данной стрелки г: i? >—* а X b в топосе существуют
стрелки
Vr: Qa-^Q6,
являющиеся внутренними вариантами Зд и V* в Set. Построе-
Построение их дано в Street [74], а исследованы они в Brockway [76].
Для данной стрелки f: a-*~b, применяя это построение к от-
отношению
<1e>f>: a^+aXb
(«графику» стрелки /), получаем стрелки вида Qa-^Qb, являю-
являющиеся внутренними вариантами функторов Vf и 3f.
Беря в качестве f стрелку !: а-*-\, мы получаем стрелки
вида Qa—>-Q1, которые в сущности являются (в силу изомор-
изоморфизма Q1 s*Q) кванторными стрелками
Va: Qa-^Q, 3a: Qa-^Q,
использовавшимися в гл. 11 для построения семантик в топосе.
Функторы Vf и 3f в случае, когда f — проекция, применя-
применялись при построении семангик в топосах монреальской школой.
Более подробно об этих функторах см. Reyes [74].
ЛИТЕРАТУРА
Arbib M. A., Manes E. G.
[75] Arrows, Structures, and Functors, Academic Press, 1975.
Artin M., Grothendieck A., Verdier J. L.
[SGA4] Theorie des topos et cohomologie etale des schemas, Vols. 1, 2,
and 3, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 269 A972), Vol. 270
A972) and Vol. 305 A973), Springer-Verlag.
Barwise Jon
[75] Admissibe Sets and Structures, Springer-Verlag, 1975.
[77] Handbook of Mathematical Logic (ed.), North-Holland, 1977.
[Имеется первод: Справочная книга по математической логике
(в четырех частях) под редакцией Дж. Барвайза ч. I—III. — М.:
Наука, 1982; готовится к перводу ч. IV].
Bell J. L., Slomson А. В.
[69] Models and Ultraproducts, North-Holland, 1969.
Beth E. W.
[56] Semantic construction of Intuitionistic logic, Mededelingen der Ko-
ninklijke Nederlandse Ak. van Wetenschappen, 1956, 357—388.
[59] The Foundations of Mathematics, North-Holland, 1959.
Bergamini D.
[65] Mathematics, Time-Life International, 1965.
Bishop E.
[67] Foundations of Constructive Analysis, McGraw-Hill, 1967.
Boileau Andre
[75] Types Versus Topos, These de Philosophiae Doctor, Universite de
Montreal, 1975.
Brockway M. J.
[76] Topoi and Logic, M. Sc. Thesis, Victoria University of Wellington,
1976.
Brook T. G.
[74] Finiteness: Another Aspect of Topoi, Ph. D. Thesis, Australian Na-
National University, 1974.
Brouwer L. E. J.
[75] Collected Works, Vol. 1 (A. Heyting, ed.), North-Holland, 1975.
Bunge Marta C.
[74] Topos Theory and Souslin's Hypothesis, J. of Pure and Applied Al-
Algebra, 4, 1974, 159—187.
Burden Charles W.
[78] The Hahn-Banach theorem in a category of sheaves, J. of Pure and
Applied Algebra (to appear).
Capra Fritjof
176] The Tao of Physics, Fontana, 1976.
Carnap R.
[47] Meaning and Necessity, University of Chicago Press, 1947. [Имеет-
[Имеется перевод: Карнап Р., Значение и необходимость. — М.: 19591.
Литература 467
Chang С. С, Keisler H. J.
[73] Model Theory, North-Holland, 1973. [Имеется первод: Кейслер Г.,
Чен Ч. Ч. Теория моделей.—М.: Мир, 1977].
Cohen Paul
[66] Set Theory and the Continuum Hypothesis, Benjamin, 1966. [Имеет-
[Имеется перевод: Коэн П. Теория множеств и континуум — гипотеза. —
М.: Мир, 1969].
Cole J. С.
[73] Categories of Sets and Models of Set Theory, in The Proceedings of
the Bertrand Russell Memorial Logic Conference, Denmark 1971;
School of Mathematics, Leeds, 1973, 351—399.
Dedekind R.
[88] Was sind und was sollen die Zahlen A888). English translation by
W. W. Beman in Essays on the Theory of Numbers, Chicago, Open
Court, 1901. [Имеется перевод: Дедекинд Р. Что такое числа и
для чего они служат. — В кн.: Сборник научно-популярных ста-
статей Пуанкаре, Гельмгольца, Кронекера и др. по основаниям ариф-
арифметики (философия числа) под редакцией приват-доцента
Н. Н. Парфентьева. — Издание студенческого математического
кружка при императорском Казанском Университете. Казань, ти-
типолитография импер. Университета, 1906 г., с. 101—178.]
Diaconescu R.
[75] Axiom of choice and complementation, Proc. A. M. S., 51 A975),
176—178.
Dummett Michael
[59] A propositional calculus with denumerable matrix, J. of Symbolic
Logic, 24, 1959, 97—106.
[77] Elements of Intuitionism, Oxford University Press, 1977.
Eilenberg S., Maclane S.
[45] General theory of natural equivalences, Trans. Amer. Math. Soc,
58, 1945, 231—294.
Fang J,
[70] Bourbaki, Paideia Press, 1970.
Fitting M. С
[69] Intuitionistic Logic Model Theory and Forcing. North-Holland, 1969.
Fourman Michael P.
[74] Connections between category theory and logic, D. Phil, thesis, Ox-
Oxford University, 1974.
[77] The Logic of Topoi in: Barwise [77], r. IV, 1053—1090.
Fourman M. P., Mulvey С J., Scott D. S.
[79] Applications of Sheaf Theory to Algebra, Analysis and Topology
(eds.), Lecture Notes in Mathematics, Vol. 753, Springer — Verlag,
1979.
Freyd Peter
[72] Aspects of topoi, Bulletin of the Australian Mathematical Society,
7, 1972, 1-76.
Godel K.
[30] Die Vollstandigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalkiils,
Monastsch. Math. Phys., 37, 349—360.
[40] The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalised
Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory, Ann. Math.
Studies 3 (Princeton Univ. Press). [Имеется перевод: Гёдель К.
Совместимость аксиомы выбора и обобщенной континуум-гипо-
континуум-гипотезы с аксиомами теории множеств. — УМН, 1948, 3, № 1, с. 96—
149.]
Goldblatt Robert
[81] Grothendieck Topology As Geometric Modality. Z. math. Log. und
Grundl. d. Math, 27, 1981, № 6, 495—529.
468 Литература
Hatcher William S.
[68] Foundations of Mathematics, W. B. Saunders Co., 1968.
Henkin L. A.
[49] The completeness of the first-order functional calculus, J. Svmbolic
Logic, 14, 1949, 159—166.
Heyting A.
[66] Intuitionism, 2nd, revised edition, North-Holland, 1966. [Имеется
перевод первого издания: Рейтинг А. Интуиционизм. Введение.—
М.: Мир, 1965.]
Herrlich Horst, Strecker George E.
[73] Category Theory, Allyn and Bacon, 1973.
Higgs D.
[73] A category approach to Boolean-valued set theory (unpublished).
Johnstone P. T.
[77] Topos Theory, Academic Press, 1977.
Kock A.
[76] Universal projective geometry via topos theory. J. Pure and Applied
Algebra, 9, 1976, 1—24.
Kock A., Lecouturier P., Mikkelson C. J.
[75] Some Topos Theoretic Concepts of Finiteness, in Lawvere [75 (i) ],
209—283.
Kock A., Wraith G. С
[71] Elementary Toposes, Aarhus Lecture Note Series, No. 30, 1971.
Kripke S. A.
[65] Semantical Analysis of Intuitionistic Logic I, in Formal Systems
and Recursive Functions, ed. by J. N. Crossley and M. A. E. Dum-
mett, North-Holland, 1965, 92—130.
Lawvere F. W.
[64] An elementary theory of the category of sets, Proc. National Aca-
Academy of Sciences of the U. S. A., 51, 1964, 1506—1510.
[66] The Category of Categories as a Foundation for Mathematics, Pro-
Proceedings of the Conference on Categorical Algebra, (La Jolla,
1965), Springer-Verlag, 1966, 1—20.
[69] Adjointness in foundations, Dialectica, 23, 1969, 281—296.
[70] Qunatifiers and Sheaves, Actes des Congres International des
Mathematiques, 1970, tome 1, 329—334.
[72] Introduction and ed. for: Toposes, Algebraic Geometry and Logic,
Lecture Notes in Mathematics, Vol. 274, Springer-Verlag, 1972.
[75] Continuously variable sets; Algebraic Geometry = Geometric Logic,
in Logic Colloquium' 73, ed. by H. E. Rose and J. С Shepherdson,
North-Holland, 1975, 135—156.
[75(i)] Introduction and ed. (with С Maurer and G. С Wraith) for Mo-
Model Theory and Topoi, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 445,
Springer-Verlag, 1975.
[76] Variable Quantities and Variable Structures in Topoi, in Algebra,
Topology and Category Theory, A Collection of papers in Honor
of Samuel-Eilenberg, Academic Press, 1976.
Lemmon E. J.
[65] Beginning Logic, Nelson, 1965.
McKinsey J. С. С, Tarski A.
[44] The Algebra of Topology, Annals of Mathematics, 45, 1944, 141—
191.
[46] On Closed Elements in Closure Algebras, Annals of Mathematics,
47, 1946, 122—162.
[48] Some Theorems About the Sentential Calculi of Lewis and Lang-
ford, J. Symbolic Logic, 13, 1948, 1—15.
Maclane Saunders
[71] Categories for the Working Mathematician, Graduate Texts in Ma-
Mathematics 5, Springer-Verlag, 1971.
Литература 469
[75] Sets, Topoi, and Internal Logic in Categories, in Logic Colloquium
73, ed. by H. E. Rose and J. С Shepherdson, North-Holland 1975,
119—134.
Manes E. G.
[75] Category Theory Applied to Computation and Control, Lecture No-
Notes in Computer Science, Vol. 25, Springer-Verlag, 1975 (ed )
Mitchell William
[72] Boolean Topoi and the Theory of Sets, J. Pure and Applied Algebra,
9, 1972, 261—274.
Mostowski A.
[49] An undecidable arithmetical statement, Fundamenta Mathematicae,
36, 1949, 143—164.
[51] On the rules of proof in the pure functional calculus of the First
Order, J. Symbolic Logic, 16, 1951, 107—111.
Mulvey Christopher
[74] Intuitionistic algebra and representations of rings, Memoirs of the
A. M. S., Vol. 148, 1974, 3—57.
Osius Gerhard
[74] Categorical set theory: a characterisation of the category of Sets,
J. Pure and Applied Algebra, 4, 1974, 79—119.
[75] Logical and Set Theoretical Tools in Elementary Topoi, in: Lawvere
[75(i)], 297—346.
[75(i)] A Note on Kripke-Joyal Semantics for the Internal Language of
Topoi, in: Lawvere [75 (i)], 349—354.
Pare Robert
[74] Co-limits in topoi, Bulletin of the A. M. S., 80, 1974, 556—561.
Penk Anna Michaelides
[75] Two forms of the Axiom of Choice for an elementary topos, J. Sym-
Symbolic Logic, 40, 1975, 197—212.
Rasiowa H.
[74] An Algebraic Approach to Non-Classical Logics. North-Holland,
1974.
Rasiowa H., Sikorski R.
[63] The Mathematics of Metamathematics, Polish Scientific Publishers,
1963. [Имеется перевод: Расёва X., Сикорский Р. Математика ме-
метаматематики.— М.: Наука, 1972.]
Reyes Gonzalo E.
[74] From Sheaves to Logic, in Studies in Algebraic Logic, ed. by Au-
bert Diagneault, MAA Studies in Mathematics. Volume 9. 1974.
[76] Theorie Des Modeles et Faisceaux, Rapport no. 63, Juin 1976, In-
stitut de Mathematique Pure et Appliquee, Universite Catholique de
Louvain.
Robinson Abraham
[69] Germs, in Applications of Model Theory to Algebra, Analysis and
Probability, ed. by W. A. J. Luxemburg; Holt, Rinehart, and Win-
Winston, 1969, 138—149.
[75] Concerning Progress in the Philosophy of Mathematics, in Logic
Colloquim 73, ed. by H. E. Rose and J. С Shepherdson, North-
Holland, 1975, 41—52.
Robitaille-Giguere Monique
[75] Modeles d'un Categorie Logique dans des Topos de Pre faisceaux
et d'Ensembles de Heyting, Memoire de la Maitrise es Sciences,
Universite de montreal, 1975.
Scott Dana
[67] Existence and Description in Formal Logic, in Bertrand Russell:
Philosopher of the Century, ed. by Ralph Schoenman, George Allen
and Unwin, 1967.
[68] Extending the topological interpretation to intuitionistic analysis,
Compositio Math., 20, 1968, 194—210.
470 Литература
[70] Extending the Topological Interpretation to Intuitionistic Analysis,
II, in Proof Theory and Inflationism, A. Kino, J Myhill and
R. E. Vesley (eds.), North-Holland, 1970, 235—255.
[70(i)] Advice on Modal Logic, in Philosophical Problems in Looqc, ed hv
Karel Lambert, Reidel, 1970, 143—173.
Segerberg Krister
[68] Propositional logics related to Heyting's and Johansson's. Theo-
ria, 34, 1968, 26—61.
Schlomiuk Dana J.
[74] Topos di Grothendieck e topos di Lawvere e Tierney. Rendiconti de
Matematica, 7, 1974, 513—553.
Seebach J,, Seebach L., Steen L.
[70] What is a sheaf?, American Math. Monthly, 77, 1970, 681—703.
Staples John
[71] On constructive fields, Proc. London Math. Soc, Series 3, vol 23
A971), 753—768.
Stout Lawrence N.
[76] Topological properties of the real numbers object in a topos, Ca-
hiers de Topologie et Geometrie Differentielle, vol. XVII-3, 1976,
295—326.
Stone M. H.
[37] Topological representation of distributive lattices and Brouwerian
logics, Casopis pro Pestovani Matematiky a Fysiky, 67, 1937, 1 —
25.
Street Ross
[74] Lectures in Topos Theory, unpublished notes, Monash University,
January 1974.
Surma Stanislav.-
[731 Studies in the History of Mathematical Logic, Polish Academy of
Sciences, 1973.
Tarski A.
[36] Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen, Studia Philo-
sophica, 1, 1936, 261—405. (English translation in Logic, Seman-
Semantics and Metamathematics, Oxford. 1956, 152—278).
[38] Der Aussagenkalkiil und die Topologie, Fundamenta Mathematicae,
31, 1938, 103—134. (English translation: ibid., 421—454).
Thorn Rene
[71] «Modern» mathematics: an educational and philosophic error? Ame-
American Scientist, Nov-Dec 1971, 695—699.
Thotna-?on Richmond H.
[68] On the strong semantical completeness of the intuitionistic predi-
predicate calculus. J. Symbolic Logic, 33, 1968, 1—7.
Tierney Myles
[72] " Sheaf Theory and the Continuum Hypothesis, in: Lawvere [72],
13—42.
Unterecker John
[73] Foreword to Einstein and Beckett by Edwin Schlossberg, Links
Books, 1973.
van Dalen D.
[781 An interpretation of intuitionistic analysis, Annals of Mathematical
Logic, vol. 13, 1978, 1—43.
Wraith G. C.
[75] Lectures on Elementary Topoi, in: Lawvere [75@], 114—206.
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Как правило, буквы
Л, В, С, D
а, Ь, с, d
f, g, h, i, j, k, I
*&', 3)
<T
F, G, H
H
В
p
P, Q
S, T
a, P, У, ф, Ч1
Я
Ж
M
А, В, С
п, т
х, а
х<=А
хфА
{х: ф(*)}
А[\В
лив
—А
0
А<=В
Л с=В
fix)
обозначают
множества
объекты категории
функции или стрелки
категории
топосы
функторы
алгебры Гейтинга
булевы алгебры
ч. у. множества
элементы ч. у. множества
подмножества ч. у. множестве
формулы
i
модели языка 3? (классические, Q-mo-
дели, модели Крипке, модели в
У-Set)
модели Крипке языка PL
моноиды
У-множеств а
натуральные числа
естественные преобразования
ров
18 /: А-+В
18
19
19
19
19
19
20
20
29
(х, УУ
dom f
Im/
Л <->В
АХВ
ёЧ'
Set
функто-
29
29
30
31, 36
31
31
31
32
33, 36
35
472
Указатель обозначений
Finset
Nonset
Top
Vect
Grp
Mon
Met
cod f
b: b-»i
c=
1
2
(»
N
9 (a,b)
Finord
n
n
Set2
Set-
Set \ R
f fa
f: a^
f: a-^-b
f-1: b->
0
!: 0->a
1
!: a-M
35
35
35
35
35
35
35
36
37
41
41
41
41
Л Л
44
л л
44
45
45
46
46
46
46
46
47
47
48
48
50
51
52
53
55
56
56
57
57
57
58
58
я-1
аХЬ
ргй: аХЬ-^а
рГь; ay^b-yb
(f,g): c->aXb
pnq
fXg- aXc-^bXd
A \y A \/ \/ A
ft ! /\ r\ 2 y\ . . ¦ /\ i\-m
am
pi 1 . U-m * w
prm. am-+a
a + b
ia: a->a + b
it: b-+a + b
[f,g): a + b-^c
PUq
A/R
AXB
с
Ri
BA
ev: BA XA-+B
g: C->BA
ba
ev: ba X a~*~ b
й' с—>ba
f-g
Sub(d)
2D
УЖ- D-+2
true: l-*-2
true: 1->Q
Q
58
60
60
60
60
62
63
64
65
65
65
65
66
66
66
66
67
74
75
77
77
78
82
83
83
84
84
84
87
88
89
89
91
91
91
92
93
93
Указатель обозначений
473
%f- d-+
T
truej
T
Bn(/)
Top(/)
M-Set
9 (a)
{(A)
im/: f(a)->b
f*: a-^f(a)
false: 1->Q
1
-i: 2->2
w:
Фо
Ф
PL
V(a)
CL
r-ci.a
В = a
©
-i: Q-»-Q
94
94
96
96
103
110
110
111
114
116
117
117
!)Xfl 117
120
123
123
124
125
130
130
139
140
140
140
141
141
141
141
143
143
143
143, 148, 154, 198
143
144
145
148
150
152
- = a
-f: -a
IL
a =*- b
P+
M "= a
Pa
P^a
PlL
LC
F(a)
F(f):F(a)-»F{b)
|Л2)
V- ^-^^
<& t-* Ф
&: Set-> Set
9: Set-> Set
f (—, a): 'g' — Set
Sub: f-^Set
G°F
Cat
152
152
152
152
155
155
155
155
159
160
160
176
191
195
202
202
202
202
202
202
203
204
204
205
208
208
209
209
209
209
209
210
210
210
211
211
212
212
212
474
Указатель обозначений
Xa. F -+G
x: F-+G
F s* G
fo
ян: F-t->H
Set*
Nat[/\ G]
Gf
b)
ipq. If q ^~ i q
V
3
с
R
f i, U 2) ^ 3 • • *
Л, V, ~, =)
S
Ф(и)
ф(и? , 0/ )
х(('/а)
SI - q>[x]
X(
SI — ф
SI -=ф[хь ..., д:
Ф(у/О
Фт
[ф]т
V,
э.
[ф]я
&а
б.
212,216
213
213
213
214
215
215
216
219-224
223
223
227
230
230
244
244
244
244
245, 247, 286
246
246
247, 318
247
248
248
248
248
249
249, 270
п] 250
250
252
252, 259
253
255
255, 259
256, 260, 297
258
258
Va
Ра
За
Тт4-1
1 i
& ,=:ф
г-ц,ф
6m[i/t]
d,u: d^~
Urn. am_
Sip
SI ^рц>[х
SI -=pq>
E(t)
f: A 'vv^-
В
/: Л-+В
Б
y\y. b>—*-
0а: 1->
ил
ПА
[x яг у]А
[E(*)]A
IX » у},
Ix&y]
Q-Set
[/(JC)» (
[x e s]
sf: B->Q
/s: As->
s fp
SI - tp[ci
Ьф
ES
258
258
258
258
260
261
262
262
*am 264
,«"¦+' 267
268
j, ..., xm] 269
270
279
-*B 280
>b 280
280
281
281
В 281
a 284
286
286
288
288
288
288
288
[E (jc)], 288,
Соглашение
289
/] 291
292
293
В 293
295
..., cn] 297
299
303
Указатель обозначений
475
SS
NE
АС
л
со —> со
NNO
1 О
?
Ext
Sep ф
Zo
{и: Ф}
О
и Г! и
mU "
w — а
и»
п«
1
и+1
{('-', v}:
ОР(н)
Rel(«)
Fn(M)
Dom(w)
Im (и)
\(u)
v ° и
inf(u)
Inf
Reg
305
305
307
314
315
315
315
318
320
321
321
321
322
322
322
322
322
322
322
322
322
322
323
323
323
323
323
323
323
323
323
323
323
323
324
324
324
Rep
ZF
TB
Тг(н)
ТА
rE
e=U
8 ^rf
f[C]
TTMO
/ = recr(g)
h: r c->s
r s s
(/, r)~g(g-, s)
(g,s)Ez(f,r)
ATR
Z
APT
o: K-+N
©
P0
PI
P2
P3
n: 1->Л'
P3A
P3B
Fl
F2
Fl: F(V)-»F(U)
F,
St(/)
9>
COM
Sh(/)
pF: Af-*-I
325
325
326
326
326
327
327
329
330
b 333
333
334
334
334
335
339
339
341
341
342
353
357
357
359
359
359
360
361
362
362
363
363
370
371
371
372
373, 387, 402
373
373
476
Указатель обозначений
Sh(P)
Q/
/V: L2(V)-+Q(V)
/e: Q -r> Q
/: Sub @)-»- Sub (G)
Cov(a)
I®7, Cov)
Sh(Cov)
/cov: H -7* Q
/: Q->Q
<°i
J: Sub (d) —Sub (d)
shj(e')
9>hy. &-*-shi№)
Va
7
&i ,= a
ц(р)
{a}
c^
vs
Sh (Q)
Mp
378
380
381
382
382
385
386
386
387
388
388
389
390
391
391
393
393
393
394
399
400
401
401
401
401
402
404
A*
CQ-Set
0A
A-B
Q
X
X*
Q
N+
Q
Re
Ra
Ur
Lr
6(r)
*R
F-t.G
GV-F
el
f *' Я? X h >¦ 4$
Uf: <& \a-+4
3,
vf
? \b
4 \ b
404
407
409
410
411
416
416
418
423
424
424
424
424
424
425
432, 440
444
447
447
447
447
457
458
458
462
462
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аксиома бесконечности 324
— выбора 303, 324
— выделения 321
— множества-степени 320
— пары 320
— подстановки 325
— пустого множества 320
— регулярности 324
— транзитивной представимости 341
— транзитивности 326
— частичной транзитивности 342
— экстенсиональности 320
Q-аксиома 94
Аксиомы классической логики (систе-
(системы CL) 144, 250
— Пеано 358
— системы IL 191, 262
— равенства 250, 251
Алгебра Брауэра 192
— Гейтинга 196
— Линденбаума для CL 149
IL 198
Амальгама пары стрелок 81
Антисимметричность 41
Аргумент функции 29
Атомарные формулы 247
База расслоения 102
Бивалентный топос 131
Биективная функция 52
Булев топос 170
Булева алгебра 148
Верхнее сечение вещественного числа
424
Взаимно однозначная функция 49
Включение стрелки г в стрелку s 334
Вход 29
До-выделение 321
Выполнимость ф в Я на уровне р
269
Выход 29
Вялый объект 413
Главное Р-наследственное множество
227
— V-решето 381
Глобальное сечение пучка 112
— сечение расслоения 279
Глобальный элемент Q-множества 409
График функции 30, 32
Группа 53
Двойственная категория 58
— конструкция 58
Двойственное предложение 58
Двузначный топос 131
Действие моноида на множестве 114
Декартово замкнутая категория 84
— произведение множеств 32
Декартов квадрат 77
Дерево отношения принадлежности
326
Дизъюнктивный топос !84
Дизъюнктные стрелки 132
Дизъюнкция 139, 140
Дискретная категория 42
— топология 416
478
Предметный указатель
Дистрибутивная решетка 147
Дополнение в решетке 147
— к множеству 19
— подобъекта 159
Истинностное значение 139
Истинностные значения топоса
Итерат стрелки 349
107
Единица над о 447
Единица решетки 146
— сопряжения 448
Единичная стрелка 36, 37
Естественное преобразование 213
Естественный изоморфизм 213
Жесткое Q-множество 416
Закон ассоциативности 36
— тождества 37
Значение функции 29
Q-значное множество 288
Изменяющееся множество 225
Изоморфные в Ч? объекты 53
— категории 214
— подобъекты 89
Изострелка 52
Импликация 14!
Имя стрелки 91
Индекс формулы 250
Индивидная константа 244, 247
— переменная 244, 246
Инъектнвная функция 49
Истинная в % формула 250
— на уровне р формула 270
Истинное в 31 предложение 249
Истинностная стрелка дизъюнкции
152
— — импликации 152
конъюнкции 152
— — отрицания 152
— функция дизъюнкции 141, 151
— — импликации 141, 150
— — конъюнкции 140, 150
— — отрицания 140, 150
Каноническая модель системы IL
204, 277
Каноническая шкала для системы IL
204
Категория 36
— вещественно-значных функций 47
— допускающая экспопенцирование83
— имеющая объекты-степени 117
— объектов над а 48
— — под а 48
— предпорядка 40
— порядка 53
— стрелок 46
— функций 46
Квантор общности 244. 2-Я
— существования 250
Кванторные аксиомы 250
— правила 251
Класс 22
— /?-эквивалентности 74
Классификатор подобъекпи 93
— частичных стрелок 2Н1
Классифицирующий объект 94
Классическая общезначимость 143
Классические аксиомы языка 2 250
Классический топос 131
Классовые абстракты 321
Ковариантный функтор 210
Коеднница над b 448
— сопряжения 449
Коконус 72
Коммутативная диаграмма 34
Композиция функций fug 33
Компоненты естественного преобра-
преобразования 213
Конец стрелки 36
Конечно биполная категория 82
— кополпая категория 82
— полная категория 82
Конечные ординалы 45
— — топоса 36!
Конечный объект 56
Предметный указатель
479
Контравариантный функтор 210
Конус для диаграммы 70
Конфинальность в Т 397
Конъюнкция 139, 140
Кополная категория 81
Копредел для диаграммы 72
Копроизведение объектов 66
— стрелок относительно инъекций
ia и h 66
Корешето на а 220
а-корешето 220
Корректность подмножества Q-множе-
ства 292
Коуравнитель 73
m-кратное произведение множества
на себя 65
— — объекта на себя 65
Модель в Q-Set 297
— для предложения 249
31 248
ф 270
— Крипке языка PL = молель со
шкалой Р 202
— eg = ^-модель со шкалой
Р 268
— со шкалой Р 202
^-модель для 9? 258
— для ф 260
2>-модель 248
— со шкалой Р 268
Modus ponens 145
Моноид 43
Мономорфная стрелка 50
Монострелка 50
Левый идеал 115
Лемма Линденбаума 205
— о квадратах 80
— — подстановке 262
— об изоморфизме 330
— — истинности 272
Логика высшего порядка 298
Логически эквивалентные предложе-
предложения 157
Логические связки 139
Ложная в Я формула 249
Локальная истинность 393, 395
Локальные сечения 112
Локальный оператор 384, 390
Метаязык 319
Множество 18
Множество-объект в топосе 338
Множество-степень 87
Множество в смысле Я 319
— Рассела 21
Я-множество 319
М-множество 114
Q-множество 288
hora-множество 210
Модальная логика 392
Наибольший элемент 57
Наименьший элемент 56
Наложение 51
Населенное множество 437
Наследственное подмножество 202
Натурально-числовой объект (НЧО)
315
Начало стрелки 36
Начальный объект 55
Н. в. г. для р и q 67
— подмножества 192
Ненулевой объект 128
Непрерывная частичная функция на
/ 427
Непустой объект 128
Нижнее сечение вещественного чис-
числа 424
Нижняя полурешетка 62
Нормальная модель 318
Носитель расслоения 304
Нулевой объект 57
Нуль решетки 146
Область значений функции 30, 32
— определения функции 30, 32
480
Предметный указатель
Образ функции 31
— подобъекта при / 333
Обратимая стрелка 52
Обратная к f стрелка 52
функция 52
Обратный образ g : Ь —э
тельно I: а —*¦ с 77
f
относи-
е
Ъ 75
пары стрелок а-
Общезначимая на ситусе формула 393
— Й'-формула 250
с?-общезначимая Й'-формула 261
Общезначимое в шкале предложение
202
В-общезначимое предложение 148
В А-общезначимое предложение 149
«У-общезначимое предложение 155
Н-общезначимое предложение 196
НА-общезначимое предложение 196
Объединение в Q-множестве 401
— множеств 19
— подобъектов 160
f-объект 36
Объект истинностных значений 107
Объект-степень 117
Объект частичных элементов объек-
объекта а 282
Ограничение элемента а на р 401
— s на р 295
Ограниченная решетка 146
—• формула 321
Однозначно с точнЬстью до изомор-
изоморфизма 54
Оператор замыкания 383
Операция композиции 36
Основная теорема теории топосов
109, 460
Открытая формула 247
Открытое покрытие 372
Относительные категории 47,
Отношение 30
— включения на подобъектах
— предпорядка 40
— принадлежности 18
— частичного порядка 41
— эквивалентности 73
Отображение 32
48
П-LJ-отображение 429
Отображения ограничения предпуч-
ка 370
— перехода 230
Отрицание 139
Оценка 143
Я-оценка
В-оценка
<if-оценка
Р-оценка
Н-оценка
Переменная v свободна для терма t
в формуле ф 250
Пересечение множеств 19
— подобъектов 160
/-плотная монострелка 390
Плотное подмножество пространства
/ 383
Подкатегория 44
Подмножество в множестве 20
— Q-множества 292
Подобъект <!?-объекта 87, 89
Подходящее числе для формулы 251
Подъем /: а—>с вдоль g: Ъ—>с 77
Подэкстенсиональный ?2-пучок 420
Покрытие объекта 386
Полная алгебра Рейтинга 288
— категория 81
— подкатегория 44
Полное множество формул 204
— Q-множество 399
Порядковая полнота 431
Последовательность 315
Правило отделения 145
Предел диаграммы 71
Предложение 139, 142, 143, 247
Предпучок множеств над категорией
386
— над / 370
— сечений над / 371
Представимый функтор 457
Предтопология на категории 385
Пренебрегающий функтор 209
Преобразование 32
Принадлежать подобъекту 120
Предметный указатель
481
Принцип двойственности 59
— выделения 24
—¦ свертывания 19
— экстенсиональности 20
для стрелок 129
Произведение категорий 46
— объектов категории 60
— отображений 60
— стрелок относительно проекций
рГа И рГЬ 60
— — (функторное) 63
Прообраз множества при отображе-
отображении 77
Пропозициональные аксиомы языка
2 250
Пропозициональные буквы 142
— переменные 142
Простая рекурсия 315
Простой пучок 416
Пространственный топос 110
Пространство расслоения 102
Псевдобулева алгебра 197
Псевдодополнение 192
— к а относительно Ъ 194
Пунктирная стрелка 64
Пустая функция 55
Пустое множество 19
Пучок над ситусом 387
/ ПО, 373
Q 402
— ростков сечений 373
/-пучок 390
Q-пучок 405
Q-равенство 288
Разрешимое упорядочение 434
Расслоение 102
Расслоенное произведение 77
Расщепление эпистрелки 303
Рационально-числовой объект 424
Рекурсивная стрелка г: а —>- Q" 334
Рекурсивно определенная функция 315
а-решето 222, 387
У-решето 379
Решетка 67
— с относительными псевдодополне-
псевдодополнениями 195
— с о. п. д. 195
Рефлексивность 40
Росток в i 102
— окрестности U в i 111
— sb точке i 374
Свободное вхождение переменной 247
Свойство свободы 449
— косвободы 449
— универсальности 65, 71, 449, 450
Связанное вхождение переменной 247
Сечение расслоения 107
Сильная стрелка 406
Символ равенства 247
Синглетон 57
— для Q-множества 295, 399
Система Цермело — Френкеля 325
Ситуация сопряжения 446
Ситус 386
Скелет категории 215
Скелетальная категория 55
Слабая стрелка 406
Слабо экстенсиональный объект 419
Слой над i 102
Собственное подмножество 20
Собственный класс 22
Совместимые элементы Q-множества
401
от
Сопряжение
Стрелка 35
— значения 84
— предшествования 353
в'-стрелка 36
— f: а —>- b рекурсивно
к SD 447
определен-
g: Q* ¦—* b над
пая по стрелке
г: а >—>Q" 334
Схема аксиом выделения 321
подстановки 325
— ограниченного выделения 321
Сюръективная функция 51
Тавтология 142, 143
482
Предметный указатель
Теорема Диаконеску 309
— Ловера о характеризации пучков
384
— Ловера — Тирни (об ассоцииро-
ассоциированном пучке) 391
— о классификаторе частичных стре-
стрелок 281
корректности для CL 145
— В-общезначимости 149
— — <Sf-общезначимости 199
— (предикатный случай)
262
— — полноте для CL 145
— — — — общезначимости в топо-
сах 240
— — — — — — — (предикатный
случай) 277
примитивной рекурсии 351
— об общезначимости 237
Теоретико-множественный объект в
топосе 338
Терм 247
Тождественная стрелка 37
— функция 31
Тождественный функтор 209
Топология двойного отрицания 390
— на элементарном топосе 388
Топос Гротендика 387
Точечный топос 129
Транзитивное замыкание 326
— множество 326
Транзитивность 40
Транзитивный представитель отноше-
отношения 341
— теоретико-множественный объект
334
Универсальная конструкция 70
— стрелка от а к G 449
F к Ь 450
Упорядоченная пара 30, 323
Уравнитель в категории 69
— пары стрелок 68
Условие склеиваемости сечений
(СОМ) 372, 373, 387, 402
— совместимости сечений (СОМ)
372, 373, 387, 402
Фактормножество 75
Формула 142, 247
— выполняется в структуре И при
оценке х 248
— ф истинна на уровне р 270
Функтор 208, 211
— сопряженный слева к ... 447
справа к ... 447
— степени 209
контравариантный 211
hom-функтор 210
Функциональные буквы 244, 247
Функция 29
— включения 31
— выбора 303
— значения 83
Функция из Л в В 29
— следования 313
Характер подобъекта 94
Характеристическая стрелка подобъ-
подобъекта 94
— функция 91
Цепь 84
Частичная стрелка 280
— функция 280
Частично транзитивный ^"-объект 342
— упорядоченное множество 41
Частичный элемент 280
Ч. у. множество 41
Эквивалентность категорий 214
Эквивалентные категории 215
— элементы 286
Эквивариантная функция 114
Экспоненциал 84
Предметный указатель
483
Экспоненциально присоединенная
стрелка 84
Экстенсиональная стрелка г : а>—?Qa
Экстенсиональность подмножества
Q-множества 292
Экстенсиональный объект 420
— топос 182
Элемент множества 18
— подобъекта 181
— 'й'-объекта 90
Элементарный ситус 389
— топос 97
— язык 244, 247
Эпи-моно-разложенне 123
Эпиморфная стрелка 51
Эпистрелка 51
Ядерное отношение функции 78
Ядро функции 78
Язык высшего порядка 244
— первого порядка 244, 247
Язык-объект 319
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие 8
Введение 13
Глава 1. Математика = теория множеств? 18
1.1. Теория множеств 18
1.2. Основания математики 26
1.3. Математика как теория множеств 27
Глава 2. Что такое категории 29
2.1. Являются ли функции множествами? 29
2.2. Композиция функций 32
2.3. Категории: первые примеры 35
2.4. Патология введенной абстракции 37
2.5. Основные примеры 38
Глава 3. Стрелки вместо отношения принадлежности . . 48
3.1. Мономорфные стрелки 48
3.2. Эпиморфные стрелки 51
3.3. Изострелки 52
3.4. Изоморфные объекты 53
3.5. Начальные объекты 55
3.6. Конечные объекты 56
3.7. Двойственность 57
3.8. Произведения 59
3.9. Копроизведения 66
3.10. Уравнители 68
3.11. Пределы и копределы 70
3.12. Коуравнители 73
3.13. Обратный образ 75
3.14. Амальгамы 81
3.15. Полнота 81
3.16. Экспоненцирование 82
Глава 4. Что такое топосы 87
4.1. Подобъекты 87
4.2. Классификация подобъектов 91
4.3. Определение топоса 97
4.4. Первые примеры 97
4.5. Расслоения и пучки 101
Оглавление 485
4.6. Действия моноида 11 3
4.7. Объекты-степени 116
4.8. Q и принцип свертывания 120
Глава 5. Строение топоса: первые шаги 122
5.1. Монострелки как уравнители 122
5.2. Образы стрелок 123
5.3. Основные факты 127
5.4. Экстенсиональность и двузначность 128
5.5. Определение мономорфности и эпиморфности посредством эле-
элементов 136
Глава 6. Логика в классическом представлении 138
6.1. Появление логики в топосе 138
6.2. Высказывания и истинностные значения 139
6.3. Пропозициональное исчисление 142
6.4. Булевы алгебры 146
6.5. Алгебраическая семантика 148
6.6. Истинностные функции как стрелки 150
6.7. <У-семантики 154
Глава 7. Алгебра подобъектов 159
7.1. Дополнение, пересечение, объединение 159
7.2. Sub(d) как решетка 165
7.3. Булевы топосы 170
7.4. Внутреннее versus внешнее 172
7.5. Импликация 176
7.6. Восполнение двух пробелов 180
7.7. Пересмотр принципа экстенсиональности 181
Глава 8. Интуиционизм и его логика 186
8.1. Конструктивистская философия 186
8.2. Исчисление Гейтинга 190
8.3. Алгебры Гейтинга 192
8.4. Семантика Крипке 200
Глава 9. Функторы 208
9.1. Понятие функтора 208
9.2. Естественные преобразования 212
9.3. Категории функторов 216
Глава 10. Теоретико-множественные концепты и общезначимость . . 225
10.1. Теоретико-множественные концепты 225
10.2. Алгебры Гейтинга, порожденные множеством Р 227
10.3. Классификатор подобъектов в Setp 229
10.4. Истинностные стрелки 234
10.5. Общезначимость 236
10.6. Применения 240
Глава 11. Элементарная истинность 243
11 1. Понятие языка первого порядка 243
11.2. Формальный язык и семантики 246
486 Оглавление
11.3. Аксиоматика 250
11.4 Модели в топосе 251
11.5. Подстановка и корректность 261
11.6. Модели Крипке 268
11.7. Полнота 276
11.8. Существование и свободная логика 278
11.9. Гейтингозначные множества 286
11.10. Логика высшего порядка 298
Глава 12. Категорная теория множеств 302
12.1. Акс\>мы выбора 302
12.2 Н?-урально-числовые объекты 313
12.3. Формальная теория множеств 318
12.4. Транзитивные множества 325
12.5. Теоретико-множественные объекты 333
12.6. Эквивалентность моделей 340
Глава 13. Арифметика 344
13.1. Топосы как основания 344
13.2. Примитивная рекурсия 346
13.3. Аксиомы Пеано 358
Глава 14. Локальная истинность 370
14.1. Предпучки и пучки 370
14.2. Классификация предпучков и пучков 379
14.3. Топосы Гротендика 385
14.4. Элементарные ситусы 388
14.5. Геометрическая модальность 392
14.6. Семантики Крипке — Жуаяля 397
14.7. Пучки как полные Q-множества 399
14.8. Числовые системы как пучки 423
Глава 15. Сопряженность и кванторы 446
15.1. Сопряжения 446
152. Некоторые ситуации сопряжения 450
15.3. Основная теорема 457
15.4. Кванторы 462
Литература 466
Указатель обозначений 471
Предметный указатель 477
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании кни-
книги, ее оформлении, качестве перевода и
другие просим присылать по адресу:
129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Риж-
Рижский пер., д. 2, издательство «Мир».