Из наследия
А. А. Зиновьева

IB
вд
А. Зиновьев
I

ОМПЛЕКСНАЯ
ОГИКА
Из наследия А. А. Зиновьева
А. А. Зиновьев
КОМПЛЕКСНАЯ
ЛОГИКА
Вступительная статья
академика В. А. Лекторского
Издание второе,
исправленное и дополненное
URSS
МОСКВА
ВВЕДЕНИЕ
§ 1.	Цель книги
В данной книге дается систематическое изложение
теории логического следования (вывода, дедукции), ко-
торая разрабатывалась автором в работах [3—8] и назва-
на комплексной логикой. Сравнительно с упомянутыми
работами здесь внесены значительные изменения и допол-
нения. Кроме того, здесь использованы работы других со-
ветских логиков [1,2, 9—16], посвященные проблемам
комплексной логики. Автор рассматривает излагаемую
теорию не как окончательную по виду отдельных ее раз-
делов и по широте охвата проблем логики, но лишь как
первоначальный вариант, который может быть усовер-
шенствован и развит детальнее.
§ 2.	Предмет логики
Логика изучает термины и высказывания, конкрет-
нее говоря — правила, цо которым из данных терминов и
высказываний образуются новые термины и высказыва-
ния и которые позволяют судить о значениях одних тер-
минов и высказываний на основе сведений, которые име-
ются относительно значений других. Подробнее это рас-
смотрено в [3, 4].
Термины и высказывания образуются из данных тер-
минов и высказываний так, что при этом последние оп-
ределенным образом группируются в пространстве и вре-
мени, модифицируются и соединяются с особого рода
3
предметами, изобретенными специально для этой цели. Эти
предметы мы будем называть логическими операторами.
Логика, определяя свойства различного рода конст-
рукций из терминов и высказываний, определяет тем
самым и свойства логических операторов, поскольку
они являются в известном смысле показателями (или
представителями) типов структур терминов и высказыва-
ний. И в этом смысле логика есть наука о логических
операторах.
§ 3.	Логические операторы
Роль логических операторов в языке выполняют сло-
ва «и», «или», «не», «нет», «но», «все», «некоторые» и т. п.,
а также запятые, точки и другие средства языка. В логи-
ке для изображения логических операторов изобрета-
ются особого рода символы не только для удобства за-
писи и обозримости утверждений логики, но прежде всего
потому, что одни и те же языковые средства выполняют
различные функции, а в качестве одних и тех же логиче-
ских операторов используются различные языковые сред-
ства.
Логические операторы разделяются на две группы:
1) терминообразуюгцие операторы (например, слово
«который» в выражении «число, которое делится на семь»);
2) высказываниеобразующие операторы (например*
слово «не» в предложении «Число тринадцать не де-
лится на семь»).
Имеются логические операторы, которые относятся
только к первой группе (например, оператор «который»),
которые относятся ко второй группе (например, операто-
ры «все» и «некоторые») и которые могут относиться к
первой я второй группе (таковы, например, операторы
«и», «или», «не»). Какими являются операторы в третьем
случае, всецело зависит от их положения в терминах и
высказываниях.
4
Мы в дальнейшем будем рассматривать следующие ло-
гические операторы:
1)	Я, V, |, ? — высказываниеобразующие
операторы соответственно «имеют признак» («характери-
зуется тем, что» и т. п.), «некоторые», «все», «если то», отри-
цание «не» и оператор неопределенности, употребляемые
(последние два) только совместно с предшествующими
четырьмя операторами;
2)	| , [ ] — терминообраэующие операторы «который»,
и «термин (или высказывание)...»;
3)	•, Vi ~ “ логические операторы «и», («каждый из»),
«или» сильное («одно и только одно из»), «или» ослаблен-
ное («по крайней мере одно из») и «не», которые могут иг-
рать роль как терминообразующих, так и высказывание-
образующих операторов.
Будем употреблять также круглые скобки, занятые и
точки, но не в качестве логических операторов, а в качест-
ве подсобных средств языка, регулирующих однознач-
ность чтения сложных символов, определяющих их гра-
ницы и строение.
§	4. Термины
Термины разделяются на субъекты и предикаты. Мы
предполагаем, что даны какие-то предметы, относитель-
но которых известно, что они суть простые субъекты и
простые предикаты. Правила образования субъектов и
предикатов из простых субъектов и предикатов и выска-
зываний задаются определениями такого вида.
Di Предикат:
1)	простые предикаты суть предикаты;
2)	если а есть предикат, то — а и а суть предикаты;
3)	если а1,..., ап (и> 2) суть предикаты, то (а1- ...-ап)
и	суть предикаты;
4)	если а\...,ап (л > 2) суть предикаты, то• (а1,...,ап)
и V	суть предикаты;
5
5)	если х есть высказывание, то х | есть предикат;
6)	если х есть высказывание, а а есть предикат, то
а | х есть предикат;
7)	нечто есть предикат лишь в силу пунктов 1—6.
D2 Субъект:
1)	простые субъекты суть субъекты;
2)	если а есть субъект, то ~ а и а. суть субъекты;
3)	если	(п 2) суть субъекты, то (а1*...♦«*)
и (а1 V ••• V °”) СУТЬ субъекты;
4)	если аг,...,ап (п 2) суть субъекты, то* (а1,...,ап)
и V (аг,...,ап) суть субъекты;
5)	если аг,...,ап (п >> 2) суть субъекты, то (а1,...,^)
есть субъект;
6)	если х есть высказывание, то | х есть субъект.
7)	если х есть высказывание, а а есть субъект, то a J х
есть субъект;
8)	если а есть высказывание, субъект или предикат, то
[а] есть субъект;
9)	нечто есть субъект лишь в силу пунктов 1—8.
D3. Субъекты и предикаты (и только они) суть тер-
мины.
Термины, указанные в DI и D2, читаются так:
1)	~ а — предмет, не обозначаемый термином а.
2)	— предмет, обозначаемый каждым из
терминов а1, ..., ап;
3)	(а1 \/ ... V ап) — предмет, обозначаемый по крайней
мере одним из терминов а1, ...,ап;
4)	• (а1, ..., ап) — каждый из предметов а1, ..., ап;
5)	\/ (а1, ..., ап) — по крайней мере один из предметов
а1, ..., ап;
6)	а — предмет не-а (противоположный а);
7)	| х — тот факт, что х\
8)	х | — такой, что х\
9)	а | х — а такой, что х;
10)	[а] — термин а.

§ 5. Высказывания
Субъект, указанный в пункте 5 определения Д2 пред-
шествующего параграфа, называется одноместным при п =
= 1, двуместным при п = 2 и т. д., вообще — энместным
в зависимости от п.
Предикаты в свою очередь разделяются на одномест-
ные, двуместные и т. д. (вообще на энместные, где п 1)*
Мы предполагаем, что это разделение дано каким-то об-
разом, т. е. предполагаем известным, каким является тот
или иной предикат с этой точки зрения.
Если даны термины и выполнено только что приведен-
ное допущение, то правила образования высказываний из
терминов и высказываний задаются определениями та-
кого вида.
D1. (а ч— &), (а ”*] ч— Ь) и (а? ч— Ь) суть основные вы-
сказывания, если и только если а есть субъект, а b — пре-
дикат, причем, если а есть энместный субъект, то b есть
столь же местный (энместный) предикат.
Высказывания, указанные в D1, читаются так:
1)	(д <_ Ъ) — «а имеет признак Ь»; «а имеет £>»; «а ха-
рактеризуется тем, что &»; «& присущ а» и т. п.;
2)	(а “| ч— Ь) — «а не имеет Ь»;
3)	(а? ч— Ь) — «а неопределенно имеет b (нельзя уста-
новить (а ч— Ь) или (а ч— 6); не известно, (а ч-- Ь) или
(а “I *- Ъ))».
D2. Высказывание:
1)	основные высказывания суть высказывания;
2)	если х есть высказывание, то ~ х есть высказывание;
3)	если х1, .... хп (п > 2) суть высказывания, то (ж1-...
хп), (х1: ... :хп) и (х" V • • • V хП) СУТЬ высказывания;
4)	если л есть термин, а х есть высказывание, то
(Va) х, (Яа) х, (~] Va) х, (~| Яа)х; (?Va) х и (? Яа) х
суть высказывания;
7
5)	если х и у суть высказывания, то (х —> у), (хП ~*У
и (xl —> у) суть высказывания;
6)	нечто есть высказывание лишь в силу 1—5.
2)3. Высказываниеобразующий оператор будем назы-
вать главным в данном высказывании в таких слу-
чаях:
1)	ч- есть главный оператор в (а ч- Ь), (а ч— Ъ) и
(а?	Ь);
2)	• есть главный оператор в (х1 •...• хп), \/ — главный
в (л^Х/’-Л/ яп)): — главный в (х1:... :хп);
3)	V есть главный оператор в (Va) х, Ча)х и (? Va)
Э — главный в (Яа) х, ( |Яа) х и (? Яа) х\
4)->есть главный оператор в (х у), (х"“| -> у) и
(*? ->*/);
5) оператор, являющийся главным в х, является глав-
ным и в ~ х.
Высказывания, указанные в 2)2, читаются так:
1)	~ х — «Пе-х», «Не так, как говорится в х»;
2)	(х1- ...-хп) — «х1 и х2 и...и хп», «Каждое из х1,
♦	хп)»;
3)	(х1 хп) — «Либо х1, либо хп», «Одно и только
одно из х1,	хп»;
4)	(xJV ... Vxn) “ <<xi или... или хп»,«По крайней мере
одно из х1,	хп»;
5)	(Va) х, (Яа) х, (И Va) х, (~| Яа) х, (? Va) х, (? Яа)х
— соответственно «Все а таковы, что х», («Для всех а име-
ет силу х» и т. п.), «Некоторые а таковы, что х», «Не все а
таковы, что х», «Нет таких а, что х», «Неопределенно (нель-
зя установить, не известно и т. п.), (Va) х или(~] Va) х »,
«Неопределенно, (Яа) х или (“| Яа) х»;
6)	(х ->у), (я-1 ~^у), (я? ->у) — соответственно «Если
х, то у» («Признание х обязывает признать у»), «Признание
х не обязывает признать у», «Неопределенно, (х -> у)
или (х~“|	У)»-
8
§ 6.	Расширения алфавита
и правил образования.
Приведенный алфавит логических операторов и пере-
чень правил образования терминов и высказываний не
исчерпывают сферу логики. В частности, помимо кванто-
ров «все» и «некоторые» употребляются операторы «один»,
«два», «большинство», «меньшинство», «третья часть» и т. п.
(см. [3]); помимо обычной конъюнкции «и» употребляются
упорядоченные «и затем», «и до этого», «и справа от этого»
и т. п. Мы привели лишь операторы и правила образова-
ния терминов и высказываний, рассмотрение которых обра-
зует ядро логики, а также основу и образец для рассмот-
рения других операторов и правил. И в дальнейшем по мер©
изложения мы будем осуществлять некоторые расширения
такого рода, каждый раз поясняя их место и отношение к
фундаментальным логическим объектам.
§ 7.	Вхождение
Di. Одно высказывание входит в другое (есть вхожде-
ние в другое), если и только если первое есть графическая
часть второго. Аналогично — для вхождения термина
в высказывание, высказывания в термин, термина в тер-
мин и логического оператора в термин и высказыва-
ние. Высказывание входит само в себя. Термин входит сам
в себя.
Согласно Di не всякая графическая часть высказыва-
ния есть вхождение в него другого высказывания, если
даже в нее и входят высказывания. Например, х : у гра-
фически есть часть высказывания (х : у : z), однако в по-
следнее не входит высказывание (х : {/), ибо по определе-
нию высказывания выражение х : у не есть высказывание
(отсутствуют внешние скобки). Аналогично в высказыва-
ние (x-y-z) не входит высказывание (х-у), хотя в него вхо-
9
дит каждое из х и у. Аналогичное положение имеет силу
для соотношений терминов и высказываний, а также тер-
минов и терминов, являющихся их частями. Короче гово-
ря, не всякая часть термина или высказывания есть вхож-
дение в него термина или высказывания.
§ 8.	Логическое следование
Будем употреблять символ |— как знак логического
следования (в смысле «из... логически следует...»). Выра-
жение вида х |— у будет читаться буквально так: из вы-
сказывания х логически следует высказывание у. Слово
«логическое» («логически») в выражении «логическое сле-
дование» («логически следует») будем для краткости опу-
скать и говорить просто «следование» («следует»).
D1. х |— у есть утверждение (или формула) следования,
если и только если х и у суть высказывания.
D2. Высказывание х в х [— у называется посылкой
для у, высказывание у — заключением (или следствием)
высказывание х.
Утверждение х |— у не есть высказывание, состоящее
из высказываний хи у. Это — высказывание, состоящее из
двух терминов «высказывание х» и «высказывание у»,
обозначающий высказывания соответственно х и у, и двух-
местного предиката «из первого следует второе». Если
записать его в соответствии с определениями, данными в
параграфах 4 и 5, то оно примет такой вид: ([я], [у] ч— (|— )).
Так что оно ^вляется простым высказыванием.
1)3. Вхождение высказывания в формулу следования;
1)	высказывание х входит в формулы следования х\— у
и у}— х;
2)	если высказывание х входит в высказывание у, а
у входит в формулу следования z v, то х входит
В Z Н V.
3)	высказывание входит в формулу следования только
в силу 1 и 2.
10
D4. Вхождение термина в формулу следования: тер-
мин а входит в х |— у, если и только если он входит в х
или (не исключающее «или») в у.
Символ будем употреблять также как знак того, что
высказывания принимаются из чисто логических сообра-
жений. При этом выражение j— х можно рассматривать
как следование х из пустого множества посылок (как вырож-
денное следование).
D5. |—х есть формула вырожденного следования, если
и только если х есть высказывание.
2)6. Высказывание х входит в х\ если высказывание
(или термин) у входит в х, то у входит в х.
Выражение |— х точно также не есть высказывание,
состоящее из высказывания х и оператора . Символ не
есть логический оператор. Это — особый предикат «при-
нимается из логических соображений» («логически истин-
но» и т. п.). А выражение х есть элементарное выска-
зывание ([х]) ч- (|—)), состоящее из субъекта [х] и преди-
ката |—.
Учитывая сказанное, мыв дальнейшем будем рассмат-
ривать только такие формулы следования, которые со-
держат один и только один символ |—. Выражение вида
(х Н (*h У) Н z> (х Н) (*Н)НвМ)и т. п.,
в которых символ |— встречается два и более раза, фигури-
ровать у нас не будут. Такого рода выражения на самом деле
лишь сокращенная запись высказываний соответственно
(Id, [([у], Id) (HD *- (Н. (Kid, [у]) ч- (I—)], Id)
((—) и т. п. Логические правила для таких высказыва-
ний получаются как производные от правил, рассматрива-
емых в данной книге.
§ 9. Классический и неклассический случаи
Будем различать классический и неклассический слу-
чаи в теории следования по такому признаку: в системах
для неклассического случая будут фигурировать два раз-
11
личных оператора отрицания и оператор неопределенности,
в системах же для классического случая операторы отри-
цания не различаются (остается одно отрицание), а опера-
тор неопределенности отсутствует. Смысл различения двух
видов отрицания и введения оператора неопределенности
подробно разъяснен в работах [3, 4].
Такое употребление выражений «классический» и «не-
классический» отличается от принятого в логике их упот-
ребления: неклассическими системами принято называть
системы, которые уже классического исчисления предика-
тов по классу доказуемых формул. Однако упомянутое
сужение класса доказуемых формул поддается разумному
и простому (на наш взгляд) объяснению лишь при условии
различения двух форм отрицания (или двух различных по-
зиций отрицания) в высказываниях. В дальнейшем мы
будем рассматривать системы, которые можно истолковать
как сужение классической логики, но в которых фигури-
рует только один оператор отрицания и отсутствует опе-
ратор неопределенности, а также системы с двумя отрица-
ниями и с оператором неопределенности, содержащие в
себе (в известном смысле) системы классической логики.
Потому принятое деление систем логики на классические
и неклассические оказывается здесь неопределенным и
даже противоречивым. И потому мы от него отказались.
§ 10. Технические замечания
При построении логических систем (исчислений) в даль-
нейшем будем употреблять выражения «аксиомная схе-
ма» и «теоремная схема» в смысле, несколько отличном от
принятого в логике. Дело в том, что мы не будем вводить
в алфавит наших систем переменные символы (пропозицио-
нальные переменные, индивидные переменные и т. п.).
Мы будем использовать употребляемые ниже буквы х, у,
z, х1, х2, ..., а, Ь, с, ... и т. д. как переменные в следующем
смысле: 1) каждая буква по отдельности будет обозначать
12
любое высказывание или любой термин (что именно * будет
ясно из контекста), а также высказывание или термин за-
даваемого контекстом типа; 2) различие же совместно встре-
чающихся (в одном утверждении, в одной формуле, в од-
ном рассуждении) букв будет означать, что термины (или
высказывания) могут как-то различаться (если в контексте
не сказано, как именно они различаются).
Такое использование букв соответствует употреблению
переменных метасимволов. Введение переменных симво-
лов в алфавит логических систем не избавляет от необхо-
димости введения переменных метасимволов, тогда как
употребление последних делает первые практически из-
лишними. В случае индуктивных доказательств мы можем
любую букву использовать в качестве объекта для базисно-
го шага, просто приписав ей необходимые для этого свойст-
ва (сказав, например, «Пусть а есть элементарный термин»).
Кроме того, мы будем использовать употребляемые ни-
же буквы как обозначения именно высказываний и терми-
нов, а не как лишенные значения символы, нуждающиеся
в интерпретации. Поэтому формулируемые нами логи-
ческие системы по способу построения суть теории, описы-
вающие свойства высказываний и терминов определенного
вида. Никаких дополнительных формальных трудностей
из-за этого не возникает, зато с самого начала исключают-
ся спекуляции на счет особенностей логических построе-
ний и их отношения к реальным языкам.
Так что в дальнейшем, принимая х|— у (или |— х) как
аксиомную схему в некоторой логической системе, мы
будем иметь в виду следующее: если х и у суть высказыва-
ния, то формула следования х\— у (или х) принимает-
ся в данной системе. Аналогично для терминов. В прави-
лах вывода будет предполагаться, что употребляемые бук-
вы суть высказывания (или термины).
Конечно, в данном случае можно было бы просто гово-
рить об аксиомах (или постулатах) в том смысле, в каком
говорят о них в научных теориях вообще. Но мы все же бу-
13
дем говорить о схемах аксиом, предполагая связь с логи-
ческой традицией: наши системы легко превращаются в
исчисления, отвечающие традиции (с точки зрения правил
построения, а не содержания), путем незначительных мо-
дификаций. Так, если в излагаемой ниже общей теории
дедукции вместо элементарных высказываний говорить о
пропозициональных переменных, то получим обычные (по
форме) исчисления с аксиомными схемами.
К теоремным схемам относится сказанное выше об ак-
сиомных схемах. Доказатьтеоремную схемух\— у или |— х,
значит доказать, что это утверждение верно для любых вы-
сказываний (терминов) с такой структурой, какая указана
в х и у.
Определения будем нумеровать символами Di и Dikl,
аксиомные схемы — Ai и Aikl, теоремные схемы — Ti и
Tiki, где i есть помер определения, аксиомной или теорем-
ной схемы в данном параграфе, к — номер главы, I — номер
параграфа. При доказательстве теоремных схем в некото-
рых случаях будем под их формулировкой записывать ша-
ги доказательства. Справа от теоремных схем в квадрат-
ных скобках будем писать, на основе каких теоремных
схем и правил вывода получается соответствующая тео-
ремная схема или сделан 'соответствующий шаг в ее дока-
зательстве.
Утверждения о свойствах формул логической системы
суть метаутверждения по отношению к теоремам этой
системы. Будем их нумеровать символами вида MTi и
МТikl, где i, к и I те же, что и выше.
ГЛАВА ПЕРВАЯ
СИЛЬНОЕ СЛЕДОВАНИЕ
§ 1.	Система S1
Логические операторы:
1)	• — конъюнкция («и», «каждое из»);
2)	: — сильная дизъюнкция («либо», «одно и только
одно из»);
3)	~ — отрицание («не», «не так»).
D1. Высказывания, которые нельзя расчленить па дру-
гие высказывания и логические операторы • , : и ~, суть
элементарные относительно S1 высказывания.
D2. Высказывание:
1)	элементарные относительно 51 высказывания суть
высказывания;
2)	если х есть высказывание, то ~ х есть высказыва-
ние;
3)	если х1, ..., хп (и 2) суть высказывания, то (х1-..*
...•хп) и (х1:... :хп) суть высказывания;
4)	нечто есть высказывание лишь в силу 1—3.
Для упрощения записи будем скобки в ряде случаев
опускать, полагая, что конъюнкция связывает сильнее
дизъюнкции, а обе они — сильнее знака следования. Зна-
ки конъюнкции будем опускать записывая соединяемые
ими формулы рядом, без интервала.
Аксиомные схемы 51:
А1. х[— ~— х
А2.-----х[—х
АЗ. ху\—х
15
Л4. ху\—ух
А5. ххх2 ... хп |— у,
где у отличается от (х*х2...хп) лишь какой-то расстановкой
скобок, удовлетворяющей D2.
AQ. у |— ххх2... хп,
где у то жэ, что в Л 5.
Л7. ~ху)|----ху :х~у : ~х —у
Л8. ~ ху : х — у : ~ х —- у (— ~ (ху)
Л9. ~(х:у)|— ху:~х~у
~ (х1: х2: . . . : хп) |— у1: у2:.. . : ут,
где У1, у2,..., ут есть множество попарно различных выска-
зываний, в которые включаются (х1х2 ... зР) и всевозмож-
ные высказывания, отличающиеся от него наличием одного
и только одного оператора отрицания перед всеми х1, х2, ...
хп или перод i из них, где 1 <2 ijC п — 2.
ЛЮ. ху:—'х — у \------(х: у)
у1: у2:...: ут |-(х1: х2:...: хп),
где У1, У2, ..., Ут те же, что и в Л9.
ЛИ. хг : х2:...: хп |— у,
где у отличается от (ж1 : х2: .... :хп) лишь какой-то расста-
новкой скобок, удовлетворяющей определению D2.
Л12. у Н хг: х2:: хп,
где каждое из х1, х2, ..., хп есть либо (a11 z1 • ... • aimzm)
(где ай, ... обозначают наличие или отсутствие отри-
цания, а все (а11^1 • ... • aimzm) попарно различны), либо
— Zi£zl, а у отличается от (х1 : х2: ... :хп) лишь расста-
новкой скобок.
16
Л13. xz : yzj— (x: y) z
xxy : x2y xny [— (x1 : x2 : . . . : xn) у
A14. (x : y) z\— xz : у
(x1: x2: . . .: xn) у |— x*y : x2: . .. : xn
(x1: x2:... : xn) (y1:...: ym) [—
J— xxyl:... tx'y”1: x2:...: xn
Аксиомные схемы Л6, A9, ЛЮ, Л13 и Л14 можно рас-
сматривать как множества аксиомных схем. Но можно так-
же последние строки в них рассматривать как запись общих
случаев, а предшествующие им строки — как частные
случаи, поясняющие общие случаи.
Правила вывода S1:
jRl. Если х |— у и у [— z, то х [— z
R2. Если х |— у и х [— z, то х |— yz
R3. Если х |— у и у |— х, то z |— v,
где v получается из z путем замены вхождения высказы-
вания х (не обязательно всех) в z высказыванием у.
D6. Формула следования х |— у доказуема в S1 (есть
теорема S1), если и только если она есть аксиома 51
или получается из доказуемых в S1 формул следования по
правилам вывода S1.
Система S1 была сформулирована (в несколько ином
виде) автором в работах [3, 5, 8]. Излагаемые ниже доказа-
тельства непарадоксальности, непротиворечивости, неза-
висимости и полноты 51 даны Г. А. Смирновым в работе
(121.
§ 2. Некоторые теоремные схемы
Приведем ряд теоремных схем, которые потребуются в
дальнейшем (доказательство дано Г. А. Смирновым в [12]).
В качестве сокращения для х |— у и у [— х будем употреб-
лять символ х —1|— у.
17
74.	ху\~ У		[Л4, ЛЗ, Я1]
7’2.	X |— X		[Л1, Л2, Я1]
7’3.	х\— XX		[7'2, Я2]
7’4.	2ГХ|— X		[ЛЗ]
7’5.	ух\-ху		[Л4]
7’6.	х-.у\-у:.	С	
	1.~(х:у}	|— yx:~ y-^x	[Л9, Л4, 7’5, ЯЗ]	
	2.~(х:у)\	(у:х)		[1, ЛЮ, Я1]
	3. — (у : х	H ~ •• У)	[2]
	4.	(х	: у) |— ~ (y ; X)	[2, 3, ЯЗ]
	5. х : у |— у: х		[Л1, 4, Я1]
Т7.	у.х\-х.,	J	[7’6],
Т8.	Доказательство правила коммутации для случая		
х1: ... :хп (п > 2)		опирается на Л5, Л6, Л9	-Л12, 7’6, Т7.
Ниже ссылки		на Л1, Л5, Л6, 7’2-7’8	в большинстве
случаев	। опускаются как очевидные.		
7’9.	(х : у) z [- xz : yz		
	1. (х : у) z (у : xz) z		[Л14, 74, Я2]
	2. (x:y)z xz : yz		[1, Л14, Я1]
7'10. Для случая х1: ... : хп (п ;> 2) доказательство
аналогично доказательству T9.
Т11. х[-х:х~х:х~х [ТЗ, Т4, Al, А7, R1, ЯЗ]
Т12. х :х~х: х~х\~ х	[Л13, 74, Я1]
743. х\— х:х~х
1	.—х\——'(х:х — xix—'x)	[741,742, ЯЗ]
2	. х: х — х : х ~ х	х: (х — х\х~х}
[ЛИ, Л12]
3	.—х|--(х : (х— х:х — х))	[1, 2, ЯЗ, Я1]
4	. — х\— х(х~х : х — х): — х~(х~х'.х~-х)
[3, Л9, Я1 ]
18
5	.x—х: х— х—[|—(х:—х)	[ЛЮ]
6	. —- х |— х (х — х : х х): — х (х: — х)
[4, 5, ЯЗ, Я1]
7	.— х |— — х : х~ х: х — х ; х — х
[6, 413, 710, 412, ЯЗ, Я1]
8	. х|—(х:х— х:х — х):х— х	[7, 411, Я1]
$.х\-х:х~ х	[8, 711, 712, ЯЗ, Я1 ]
714.	х:х~х[— х	[413, 71, Я1]
715.	х:у[—х~у:—ху
i	. х: у ~ (ху : ~ х ~ у) [41, 49, ЯЗ, Я1]
2	.х:у\- х~ху~у.~ (ху) ~(~х~у)
[1, 49, Я1]
3	- (х • у) Н х—у : — ху
[2, 47, 413, 710, 411, 412, 713, 714, ЯЗ, Я1 ]
716.	х — у:—ху\—х:у
1	.г — у : ~ху |-(х~ху~у : ~(х~у)~ (ху))
[41, 49, Я1, ЯЗ]
2	. х — у : ~ ху |— — (ху : ~ х ~ у)
[1, 411, 412, 710, 48, 47, 713, 714, ЯЗ, Я1 ]
3	.x — у:—ху\—х:у [2, 410, 41, ЯЗ, Я1].
717.	Для случая х1 : х2: ...: хп (п 2) доказательство
аналогично 715 и 716.]
718.	х(-х(х:~х)	[713, 413, Я1]
719.	х(х:—х)]—х	[43]
720.	xz : у |— (xz :у)(х : — х)
l.	xz:y\—xz~y :—(xz)y	[717]
2.	xz : у [— xz ~ у : — xzy :х — zy .'—х — zy
[1, 48, 413, 710, ЯЗ, 412, 43]
3.	xz : у |— (xz — у :— xzy : х—zy : —х —zy) (х: ~х)
[2, 718, 719, ЯЗ, 413, 43].
4.	xz:p|—x:—x	[3, T2, Л2]
5.	xz : у |— (xz : y) (x : — x)	[4, T2, R2]
7’21.	(xz:y)(x:—x)[—xz:y	[^43]
T22. (x:y)x\---у
l.	(x:j/)x|—x:xy	[TIO]
2.	(x:y)x\- (x: xy)(y: ~y)	[1,7’20,2?!]
3.	(x : y) x |-у '.у :y [2, Л14, Л13, ЛЗ, Ri ]
4.	(x:i/)x|----у	[3, 717, Л13, 71, 7?1]
723. (x : y) ~ x |— у
i	.(x:y)~x[—x — y:—ху	[ЛЗ, Til, 2?1]
2	.(x:y)— x|— — x:~y	[1,7’17,7?!]
3	. (x: y) — x\— (—x:—z/)-~x	[2, Ti, 7?2]
4	.(x:y)~ x|— у	[3, 722, 7?1).
§ 3. Некоторые сокращающие определения
Di. (x zd у) есть сокращение для ху : ~ ху. ~ х ~ у.
Символ zz> есть знак материальной импликации. По-
следняя не имеет никакого иного смысла, кроме указан-
ного в Di.
D2. (х V У) есть сокращение для ~ (~ х ~ у); х1 \/
\/х2\/... \/хп есть сокращение для ~ (—х1 ~ х2 ... ~хп).
Символ V есть знак соединительной дизъюнкции и чи-
тается как «по крайней мере одно из».
Операторы и \/ могут быть приняты как первичные.
Тогда для них потребуется дополнительные аксиомные
схемы:
Л15. xzdi/|— ху :—ху.-'-'Х^'у
Л16. ху:—ху:—х — у\—х-^>у
Л17. х1 \/ х2\/ . .. у хп |-(~ х1 — х2 . .. — хп)
Л18. ^(~л1~х2.. .—x^t-x^y х*у ... V®2
20
§ 4. Непарадоксальность
В отношении S1 имеет силу следующая метатеорема:
MTi. Если х [— у есть теорема S1 (доказуема в 51)»
то в у не входят элементарные высказывания, которые не
входят в х (или в у входят только такие элементарные вы-
сказывания, которые входят в х).
Доказательство MTi. Случай 1: х |— у есть аксиома
51. Легко убедиться путем пересмотра аксиомных схем
51, что в у не входят элементарные высказывания, отсутст-
вующие в х. Случай 2: х [— у получена из х [— z и z у
по правилу 7?1. Очевидно, что если в у не входят элемен-
тарные высказывания, отсутствующие в z, а в z не входят
элементарные высказывания, отсутствующие в х, то в у не
могут входить элементарные высказывания, отсутствующие
в х. Случай 3: х |— у имеет вид х zv и получена из х |— z
и х v по правилу R2. Очевидно, что в zv входят только
такие элементарные высказывания, которые входят в z
или (не исключающее «или» ) v. И если в z и в v не входят
элементарные высказывания, отсутствующие в х\ то в у
точно также не могут входить элементарные высказыва
ния, отсутствующие в х. Случай 4: у в х |— у получено из
х по правилу R3 путем замены вхождения z в х высказы-
ванием v. Если z |— v и v р- z доказуемы, то множества
элементарных высказываний, входящих в z и v, совпадают.
Поэтому в у не могут оказаться элементарные высказыва-
ния, отсутствующие в х.
Из MTi вытекают следующие метатеоремы:
МТ2. Если х [— у и у |— х суть теоремы S1, то множе-
ства элементарных высказываний, входящих в х и у, сов-
падают.
МТЗ. Формулы следования вида х у:~ у, ~ хх Н
Н У, z Н ~ (~УУ)> * Н У => х, х|- — х о у\ х |— у V
V — у недоказуемы в S1. Выражения вида х (у |— х) и
х (~х у) не являются формулами следования, дока-
зуемыми в S1.
21
Согласно МТЗ в S1 исключаются следствия, подобные
парадоксам материальной и сторогой импликации. Поэто-
му MTi мы называем теоремой непарадоксальности, а
систему 51 непарадоксальной в смысле MTi.
§ 5.	Главная семантическая интерпретация
Примем следующую семантическую интерпретацию,
которую будем считать главной (поскольку относительно
ее будет в дальнейшем определяться полнота S1):
1)	элементарным высказываниям приписываются зна-
чения 1 и 0 (соответственно «истинно» и «неистинно»);
2)	если х имеет значение 1, то ~ х имеет значение 0;
если х имеет значение 0, то ~ я имеет значение 1;
3)	(х1-... -хп) имеет значение 1 тогда и только тогда,
когда все х1, ..., хп имеют значение 1;
4)	(х1: ...:хп) имеет значение 1 тогда и только тогда, ког-
да одно и только одно из х{, ..., хп имеет значение 1;
5)	х |— у имеет значение 0 тогда и только тогда, когда
х имеет значение 1, а у — значение 0.
D1. Формула следования есть тавтология, если и толь-
ко если она принимает значение 1 при любых значениях
входящих в нее элементарных высказываний.
D2. Высказывание есть тавтология, если и только если
оно принимает значение 1 при любых комбинациях значе-
ний входящих в него элементарных высказывании.
D3. Высказывание есть противоречие, если и только
если его отрицание есть тавтология.
MTi. Если х [— у — теорема S1, то она является тав-
тологией.
Доказательство MTi. 1 случай: х |— у является акси-
омой 51. Легко проверить, что х у является тавтологи-
ей. Для аксиом, охватываемых схемами Ai — Л8, Л13
и Л14 это тривиально просто сделать. Ограничимся лишь
рассмотрением аксиом, указанных в схемах Л9 — Л12.
22
Пусть в Л9 высказывание у1: ... :у™ принимает значе-
ни е 0. Это возможно лишь при условии, если все у1,	у771
принимают значение 0: если одно из них имеет значение 1,
то все остальные имеют значение 0, и все высказывание
имеет значение 1. А это означает, что одно и только одно
из х1, ..., хп имеет значение 1. Отсюда следует, что х1: ...
хп имеет значение 1, а ~ (х1:...:хп) имеет значение 0.
Таким образом, формулы следования, указанные в Л9,
не могут принять значение 0.
Пусть в ЛЮ высказывание у1: ... :ут принимает зна-
чение 1. Это значит, что одно из у1, ..., у™ принимает зна-
чение 1 (пусть это у1), а остальные принимают значение 0.
Если у1 есть конъюнкция всех х1, ..., хп без отрицаний,
то х{*..,.-.хп имеет значение 0, а ~ (х1: ...:хп) — значение 1.
Если в у{ два или более изд:1, ..., хп имеют впереди отрица-
ние, то возможны два случая. Первый случай — отрицание
стоит перед всеми х1, ..., хп, и тогда все х1, ..., хп прини-
мают значение 0, х1: ... : хп принимает значение 0, ~ (х1:
... хп) принимает значение!. Второй случай — по край-
ней мере перед двумя х1, ..., хп отрицание отсутствует.
Тогда эти два из х1, ..., хп принимают значение 1, х1:
принимает значение 0, ~ (х1: ... : хп) принимает значение 1.
Если в ЛИ высказывание х1: ... : хп принимает значе-
ние 1, то одно и только одно из х1, ..., хп принимает зна-
чение 1. И как бы мы ни расставили скобки, в полученной
дизъюнкции так или иначе только один член будет иметь
значение 1. Следовательно, у примет значение 1, и все ак-
сиомы, соответствующие ЛИ, суть тавтологии.
Если в Л12 высказывание у имеет значение 1, то это
означает, что одной только одно из х1, ..., хп имеет значе-
ние 1: все высказывания вида ~ z^z^z1 имеют значение 0,
а все (a11	... *ai7n zm) попарно различны за счет распре-
деления отрицаний у г1, ..., z™, так что если одно из них
имеет значение 1, то все остальные имеют значение 0. Сле-
довательно, х1: ...: хп принимает значение 1, и аксиомы,
соответствующие Л12, суть тавтологии.
23
2	случай: х |— у получена путем применения правила
из х [— z и z у. Утверждение х у принимает зна-
чение 0 только в том случае, когда х имеет значение 1.
а у — значение 0. Если формулы х |— z и z у являются
тавтологиями, то во всех случаях, когда х имеет значение
1, z и у принимают значение 1. Тогда формула х |— у так-
же является тавтологией.
3	случай: х [— у имеет вид х zv и получена из х [— z
и х I— v путем применения правила R2. Если формулы
х |— z и х (•— v являются тавтологиями, то z и v принимают
значение 1 во всех случаях, когда х имеет значение 1. Тогда
формула х |— zv также является тавтологией.
4	случай: у в х |— у получено из х путем замены вхож-
дения (по крайней мере одного) высказывания z в гг высказы-
ванием v. Если z |— v и v |— z являются тавтологиями, то
z и v принимают одинаковые значения истинности при од-
ной и той же комбинации значений истинности входящих
в них элементарных высказываний. Тогда у будет прини-
мать те же значения истинности, что и х, при одной и той
же комбинации значений истинности входящих в них эле-
ментарных высказываний, так что и х |— у будет являться
тавтологией.
Из MTi вытекают следствия:
МТ2. Если х |— у есть теорема Slmx имеет значение 1,
то у имеет значение 1.
МТЗ. Если х |— у есть теорема S1 ту имеет значение 0,
то х имеет значение 0.
МТк. Если х (— у и у х суть теоремы 51, то х и у
равнозначны (т. е. принимают одно и то же значение при
одной и той же комбинации значений входящих в них эле-
ментарных высказываний).
МТЗ. Еслй х |— у есть теорема 51, то х о у есть тавто-
логия.
24
§ 6. Непротиворечивость
Система 51 непротиворечива в смысле следующих ме~
татеорем:
MTi. Если х |— у есть теорема 51 и при этом х не есть
противоречие, то х\--у не есть теорема 51 (недоказуема
в 51).
МТ2. Если я(—— уу есть теорема 51, то х есть проти-
воречие.
Доказательство MTi. Так как х |— у есть теорема S1,
то на основании MTi предшествующего параграфа она
есть тавтология. При этом, поскольку — х не является
тавтологией, высказывание х принимает значение 1 по
крайней мере при одной комбинации значений входящих в
него элементарных высказываний. Из интерпретации зна-
ка |— следует, что высказывание у при той же комбинации
значений элементарных высказываний также принимает
значение 1. Тогда высказывание ~ у при этой комбинации
значений элементарных высказываний имеет значение 0.
Поэтому при данной комбинации значений входящих в х
элементарных высказываний формула следования х [— ~ у
принимает значение 0. Следовательно, она не является
тавтологией. Поэтому, в силу MTi предшествующего па-
раграфа она не есть теорема S1.
Справедливость МТ2 видна из следующего: ~ у у есть
противоречие, т. е. всегда имеет значение 0; согласно МТЗ
предшествующего параграфа х всегда имеет значение 0,
т. е. есть противоречие.
§ 7.	Цолнота S1
Di. Формула следования х |— у есть сильная тавтоло-
гия, если и только если х|— у есть тавтология в смысле Di
пятого параграфа и при этом в у не входят элементарные
высказывания, отсутствующие в х.
D2. Каноническая форма высказывания:
1)	х\ ~ х находится в канонической форме;
25
2)	л:1:...:д:п(п	1) находится в канонической форме,
если выполнены следующие условия: а) х1, ..., хп суть
высказывания вида (а11	«... • aim aim) (тп 1), где ай,
ai7n означают наличие или отсутствие отрицания;
Ь) все aikaik попарно различны и упорядочены так, что
если в airair и aisais элементарное высказывание air
предшествует в алфавитном порядке элементарному выска-
зыванию ais. то г < 5; если же в air air и ai8 аи элементар-
ные высказывания air и аи совпадают, air означает отсут-
ствие, a ais — наличие отрицания, то г < $; с) все х*
попарно различны;
3)	высказывание находится в канонической форме толь-
ко в силу пунктов 1 и 2.
D3. Высказывание у есть каноническая форма для
высказывания х, если и только если у находится в кано-
нической форме, м х [— у и у [— х суть теоремы S1.
D4. Формула следования х\— у находится в канони-
ческой форме, если и только если х и у находятся в канони-
ческой форме, множества элементарных высказываний,
входящих в х и у, совпадают, и в у входят все те высказы-
вания вида ~ zz, которые входят в х.
D5. Формула следования х* (— у** есть каноническая
форма для х |— у, если и только если х* есть каноническая
форма для х, имеющая вид ж1:	(n > 1), аесть
каноническая форма для y'z (у : ~ г?), где у* есть канони
ческая форма для у, z есть высказывание вида zjza ... zm
0) (где z1 есть высказывание вида ~ aa, входящее в
х*, но не входящее в у*), a v есть конъюнкция элементар-
ных высказываний, которые не входят в у*, но входят в
х*, за исключением таких, которые входят в х1 вместе с
их отрицанием.
Т1. х ~ х : ху |— ху
1. х~х\ху\—у
2. х — х : ху [— х
3. х~х : ху |— ху
[413, Т23 12, Я1]
[ 413, П 12, 7?1]
[1, 2, 7?2]
26
Т2. ху |— х~х : ху
1. ху\-ху(х>.~х)	[718 12, 719 12, ЯЗ]
2. ху\-х~х\ху [1, ПО 12, А13, АЗ, R1]
73. х — xz : у у
1.	х — xz:y\—(x~xz: у) (х : ~^x)(z:— z)
[720 12, R2]
2.	х ~ xz : у (у : х — xz) (xz\x~ z\ —xz : —x •
~z)	[1, A13, 710 12, R3, Rl]
3.	x — xz:y\— (xzy : x ~ xz): x —zy :
\~xzy\—x — zy	[2, A14, All Rl]
4.	x — xz:y\— xzy \x — zy: ~ xzy : — x — zy
[3, A13, T10 12, R3, 71, 72, Rl]
5.	x~xz'.y\-y	[4, A13, 71 12, Rl]
M71. Для любого высказывания x может быть найде-
на его каноническая форма у.
Доказательство М71. 1 случай: х совпадает с у. По
7212 получаем х f— у п у \— х. 2 случай: в х не входит
знак дизъюнкции, а знак отрицания находится только перед
элементарными высказываниями. По T3I2 и T4I2 получаем
х |— у тз. у |— х. 3 случай: х имеет вид х1: хп. Если не
имеет место 1 случай, по 71712, А7, А8, А13, 71012,7 1312,
71412 получаем х\— уиу х.4случай:химествид ~ (х1:...
...: хп). На основании А9, А10, А7, А8, А13, 71012, 71312,
71412 получаем х |— у и у |— х. 5 случай: х имеет вид yz.
Если не имеют места 1 и 2 случаи, по А7—А10, А13, 71012,
71312, 71412 получаем х |— v и v |— х, где v есть высказы-
вание вида х1: ... :хп. По 3 случаю имеем v у и у |— v. От-
сюда на основании правила R1 получаем х [— у и у |— х.
6 случай: х имеет вид ~ (zv). По А7, А8 и далее как в 3
случае получаем х |— у и у |— х.
МТ2. Если х |— у есть сильная тавтология, то для нее
может быть найдена каноническая форма х* у**. По-
следняя также есть сильная тавтология.
27
Доказательство МТ2 . В силу МТ 1 для любой х у
может быть найдена формула х* |— у*, где х* и у* суть
соответственно канонические формы для х и у. Из 2)3,
М7214 и 71/7415 следует, что х пх^уку* соответственно
равнозначны, и множества элементарных высказываний,
входящих в них, совпадают. Поэтому если х |— у есть силь-
ная тавтология, то и х* |— у* есть сильная тавтология.
Так как в у* входят только те элементарные высказывания,
которые входят в то может быть найдено такое y*z
(р: ~ г?), удовлетворяющее условиям 2)5, что множество
элементарных высказываний, входящих в него, совпадет
с множеством элементарных высказываний, входящих в
х. На основании MTi для y*z (v : ~ v) может быть найдена
каноническая форма у**. Если ~ х не есть тавтология, то
у** есть каноническая форма для у* (г? : ~ и). Очевидно,
что в этом случае у** равнозначно у*. Следовательно,
х* |— у** в данном случае является сильной тавтологией.
Если ~ х — тавтология, то х* в х* |— у** принимает
значение 0 при любых комбинациях значений входящих в
него элементарных высказываний. Поэтому и в этом случае
х* [— у** является сильной тавтологией.
71/73. х у есть теорема S1, если и только если ее
каноническая форма х* |— у** есть теорема S1.
Доказательство 71/73. Пусть х (— у есть теорема S*.
Покажем, что в этом случае х* |—у** есть также теорема
S1. Формула х* |— у*, где х* и у* суть канонические формы
для х и у, является теоремой 51, так как она может быть
получена по правилу Ri из х (— у на основании D2 и 71/71.
Если множества элементарных высказываний, входящих
в х и у, совпадают, ива:* нет вхождений вида ~ аа, кото-
рых не было бы в у*, то х* |— у** совпадает с у*. Если
в х* входят высказывания z1, ..., z™, которые не входят в
у*, то на основании Л13, 7112, Л1, R2 получаем х* |—
|—y*z, гдея есть высказывание вида z1 • ... -zm. Если в
входят элементарные высказывания г?1, ..., vk, которые не
входят в у*, то по T20I2 , используя АН и А12 и применяя
28
jRI и R2 получаема* |— у* (v : ~ v), где г? есть г?1 • ... -гА
Таким образом, мы показали, как от х [— у перейти к х* |—
|— i/*z (г? : ~ г>). По 7T0I2 и Ri отсюда следует х* у*\
Пусть х* есть теорема S1. Покажем, что тогда
х у также является теоремой S1. Действительно, на
основании Л13, Z10I2, ЛЗ, T1I2, R2 и 7?3 от х* |—
можно перейти к я* у* и далее в силу D2 и МТ1 полу-
чить х [— у.
MTk. Пусть формула х|—у есть сильная тавтология, в
канонической форме, имеющей вид х1: ...: х1 (— у1: ... : ук.
Если ~ х не является тавтологией, то я1, ..., х{ имеют
такое вхождение в у, что совпадает с некоторыми (не обяза-
тельно* со всеми) из у1, .., у\ так что к^> I.
Доказательство МТ4. Так как ~ z не есть тавтология,
то из D2 следует, что при любой комбинации значений вхо-
дящих в х элементарных высказываний либо все х> прини-
мают значение 0, либо одно и только одно из принимает
значение 1, а остальные принимают значение 0. При этом
каждое из х^ принимает значение 1 при одной и только од-
ной комбинации значений входящих в х элементарных вы-
сказываний. То же самое справедливо и для у1,	у*.
Из Di и D3 следует, что множества элементарных выска-
зываний, входящих в х} и у\ совпадают. На основании Di
отсюда вытекает, что ж1, ..., х1 должны совпадать с выска-
зываниями из у1, ..., ук. Действительно, если не совпадает
ни с одним из j/1, ..., ук, то при некоторой комбинации зна-
чений входящих в х элементарных высказываний х> при-
нимает значение 1, а у — значение 0. Поэтому если х |— у
есть тавтология, то х1, ..., х{ входят в у, так что к >> 1.
МГ5. Если х |— у есть сильная тавтология, находящая-
ся в канонической форме, то она есть теорема S1.
Доказательство МГ5. Пусть в х [— у не входит выска-
зывание вида ~аа. Тогда х |— уимеетвидх1: ...
ук (1 i 2Г, где г есть число элементарных выска-
зываний, входящих в х |— у). В силу МТ4 и на основании
закона коммутации для дизъюнкции ЛИИ достаточно по-
29
казать, что формула я1: ... : я1 [— я1 : ... хк (i к 2Г)
есть теорема 51. В зависимости от к доказательство подра-
зделяется на четыре случая. 1 случай: i = к. Тогда х у
имеет вид я1: ... : х1я1 : х1 и доказуема согласно
7’212. 2 случай: к = 2Г. По 72012, используя АН и 412,
имеем
х1: . . . : xi (— (я1: . . . : х{) (я1: — я1).
Отсюда по 7’112 и R1 получаем:
х1: . . . : я11— я1: —я1
Согласно 47 и 48 отрицание конъюнкции, содержащей г
различных элементарных высказываний, дает канониче-
скую форму, состоящую из2г— 1 члена. Следовательно, на
основании правила /?3 и 412 получаем:
я1: ~ я1 я1 : . . . \хк (к = 2Г).
Отсюда по правилу /?1 имеем:
я1: . . . : я1 (— я1: . . . : хк (к = 2Г).
3 случай: к = 2Г — 1. Согласно 2 случаю имеем:
я1: . . . : я* я1: . . . : я* (Л = 2Г).
Используя 7812, 411, 47, 48 и ДЗ получаем:
я1: . . . : хк |— х1: — х1 (г I 2Г).
По правилу отсюда следует:
я1: . . . : я* я*: — я*.
Применяя правило 7?1 к полученной формуле и к формуле,
доказанной в 1 случае, имеем:
я1: . . . : я1 [х1: —х1) (я1: . . . : я1).
На основании 414 получаем:
(яг: ~ х1) (я1: . .. : я1)я1яг: . . . : х1х*: — я1
30
Отсюда по правилу Ri следует:
х1: ...: х* х1!1: ...: х1х': —- х1.
Так как х1 не входит в х1 : ... :х‘, а все члены канониче-
ской формы различны, то в xlx> (1	i) есть элементар-
ное высказывание вместе с его отрицанием. Используя АН
и применяя i раз T3I5, получаем:
х^1: ...: х1х1: — х11-х1.
По правилу	имеем;
х1 :... : х‘|--х1.
По 47 следует:.
— х11— х1: . ..: х’: . . .: xl~l: xI+1хк (к = 21' — 1).
Следовательно, по правилу 7?1,
х1: . . . : х’ |— х1: . .. : хк (к = 2Г — 1)
4 случай: i < п < 2Г — 1. Пусть I — i + 1.
Согласно 3 случаю,
х1: . . . : х11— х1: . . .: х*: х‘+2: .. . : хк.
Пусть I = i + 2 . Тогда по 3 случаю,
х1: . ..: х* |-х’+2
По правилу R2, используя одновременно T8I2, получаем;
х1: . .. : х11— (xi+2: х1: . .. : х1: х1+3: .. .: хк) — х1+2
На основании 414 имеем:
(xi+ 2: х1:...: хк)	х1+21— х’+2 ~ х1+2: х1:. ..: хк
По T3I5, используя 411, получаем:
х1+2 — xi+2 : х1:...: xk |— х1:...: х* (к = 2Г — 2)
Применяя правило Ri к трем последним формулам, имеем:
х1:...:**!-*1:---:** (Л = 2г-2).
31
Действуя аналогичным образом, можно исключить любой
xl'j <7	2Г) член дизъюнкции
Пусть в х |— у входит высказывание вида ~аа. Тогда
х |— у имеет вид
х1: . . . : х‘Ну1: ...: у* (* < *.< 2*, 1 <	2е),
где $ есть число элементарных высказываний а1, ..., а*,
входящих в х[—у, за исключением а. По Г2012, 7T.I2, Л.11,
Л12 и .R1 имеем:
х1:.. .: х11— z: ~ а,
где а есть конъюнкция а1а4. По Л13, T1I2 и R1 полу-
чаем:
х1:.. .: х* |— w,
где w есть конъюнкция всех высказываний вида ~ аа.
Из полученных формул по R2 следует:
х1: . . . : х11— w (а : — а).
Отсюда по AT, А8, 7T0I2, R3 и R1 получаем:
х1: . . . : х‘ |— у1:. . .: у* (Л = 2е)
На основании Т8\2, Т8\Т, АН и R1 получаем искомую
формулу.
Из МТ2 — МТЬ следует метатеорема:
MTG. Если х |— у есть сильная тавтология, то она есть
теорема «У*.
Система S1 полна в смысле МТ8.
МТТ. Если х zd у есть тавтология, и при этом в у не
входят элементарные высказывания, не входящие в х,
то х |— у есть теорема дУ1.
МТ8. Если х [— у доказуема в «У1 и при этом в х и у
входят одинаковые элементарные высказывания, то ~ у |—
~ х доказуема в «У1.
Теорему МТ8 можно рассматривать как производное
правило вывода (правило контрапозиции). Она есть
следствие МТ6.
32
§ 8.	Независимость S1
Независимость ряда аксиомных схем устанавливается
посредством истинностных таблиц с двумя значениями ис-
тинности 1 и 0 (отмеченное значение 1):
1)	для Ai принимается ~ х = 0 и х1 : ... : хп — х1 • ...
... • хп.
2)	для А2 принимается ~ х = 1 их1 : ... : xn = х1 V ...
...\/а::П)гДе\/есть соединительная дизъюнкция(х1\/...\/хп =
= 0,если и только если все х1, ..., хп имеют значение 0);
3)	для ЛЗ принимается ~ х = х, ху = 1, х1: ... : хп =
= 1
4)	для Л 4 принимается ~х = х, ху = х, х* : ... :хп =
= х1
5)	для Л7 принимается ~ х — х, х1: ... :хп = 0
6)	для Л9 принимается ~ х= х, х1:...: хп— х1 \/ ...\/хп
7) для ЛЮ принимается х1 : ... : хп = х1 \/ ... \/х”
8) для ЛИ принимается х = х, х1 : х2 = 0, х1:...
... : хп = 1, если все х1 = 1, и х1 : ... : хп = 0 в осталь-
ных случаях (п > 2); рассматривается частный случай
а1: а2: ... : ап (— (а1: а2: ...: ап-1): а
Для доказательства независимости Л5 и Л6 можно
воспользоваться трехзначными таблицами с 0 в качестве
единственного отмеченного значения. Следующие таблицы
являются общими для Л5 и Л6: 1) ~ х = 1, если х = 1;
~ х = 2, если х = 0; —х = 0, если х = 2; 2) ху = 0,
если и только если х = 0иу=0;в остальных случаях
ху = 1; 3) х1 : ... : хп = 1 (п ;> 2); 4) (х |— у) = 2, если
х = 0 и у = 1 или у = 2; (х |— у) = 0 в остальных слу*
чаях. Затем:
9)	для Л5 принимается х1 • ... -хп =0 (п > 2)
10)	для Л6 принимается х*> ... -xn = 1 (п > 2).
Независимость Л8 и Л13 устанавливается посредством
трехзначных таблиц с отмеченными значениями 0 и 1.
33
Общие для них таблицы : 1) ~ х = 1, если х = 1; ~ х= 2,
если х = 0; ~ х = 0, если х = 2 ; 2) (х |— у) = 2, если
х = 0 или х = 1, а у = 2; (х |— у) = 0 в остальных слу-
чаях. Затем:
11)	для А8 принимается ху — 2, если и только если
у = 2 (или то и другое); ху = 0 в остальных слу-
чаях; х1 : ... : хп = 0 (п 2), если одно и только одно х4
равно 0, а все остальные х* равны 2; х1 : ... : хп = 2, если
все х' равны 2; х1 : ... :хп = 1 в остальных случаях;
12)	для 413 принимается ху = 2, если и только если
х = 2 или у = 2 (или то и другое); в остальных случаях
ху — 1; х1: ... :хп = 1.
Независимость 412 и 414 доказывается посредством
четырехзначных таблиц с единственным отмеченным зна-
чениемО. Для 412 берется частный случай г/1: (xz/2: ...: ут) |—
j/1 :у2... :ут, и независимость его доказывается при усло-
вии, что 411 имеет вид х1: ... : хп |— х, где х отличается от
х1: ... : хп расстановкой скобок, за исключением случая,
когда в скобки берется и хп. Такой формулировки 411 до-
статочно для доказательства 7812, с помощью которой лег-
ко получить исключенный случай.
Общие для 412 и 414 таблицы: 1) ~ х = х, если х = 1
или х — 2; ~ х — 3; если х = 0; ~ х = 0, если х = 3;
2) ху — 0, если и только если х = 0 и у = 0; в остальных
случаях ху = 1; 3) (х (— у) = 2, если и только если х = 0,
а у =: 1, у = 2 или у = 3; (х у) = 0 в остальных слу-
чаях. Затем:
13)	для 412 принимается х1: ... :хп = 0, если хп = 2;
х1 : ... :хп = 2 в остальных Случаях;
14)	для 414 принимается х1: ... хп = 1, если хотя .бы
одна х* равна 1; х1: ... :хп = 0 в остальных случаях;
Для доказательства независимости правил 7?1 и R2
достаточно двухзначных таблиц. Таблицы для 7?1 : ~ х =
== 0; ху = 0; х1: ... : хп = 0; (х - у) = 0, если и только
если х = 1 и у = 1. При этом а - а не будет тавтологией.
Таблицы для R2\ ~ х = х\ ху = 0;	х1: ... :хп = 0;
34
(х |— у) = 0, если и только если х = 1 и у = 0. При этом
а |— аа не является тавтологией.
Для доказательства независимости ЯЗ воспользуемся
трехзначными таблицами с отмеченным значением 0:
1) ~ х = 1, если л: = 1; ~ л: = 2, если х = 0; —х — 0,
если х = 2; 2) ху = 0, если и только если х = 0 и у = 0;
ху = 1 в остальных случаях; 3) л:1 : ... : хп = 1; 4) (х [—
Н у) = 2, если и только если х = 0, а у = 1 или у — 2;
(х у) = 0 в остальных случаях. При этом а |— а : ~аа
не является тавтологией.
§ 9.	Правило подстановки
MTi. Если х |— у доказуема в 51, то z |— г, получаю-
щаяся из х |— у путем подстановки высказывания а на
место элементарного высказывания Ъ везде, где b входит в
х |— у, доказуема в 51.
Теорему MTi можно использовать как производное
правило вывода (правило подстановки в элементарное вы-
сказывание, аналогичное правилу подстановки в пропо-
зициональную переменную).
ГЛАВА ВТОРАЯ
СИЛЬНОЕ СЛЕДОВАНИЕ
(ДРУГОЙ ВАРИАНТ)
§ 1.	Система
Система отличается от S1 лишь тем, что вместо силь-
ной дизъюнкции используется ослабленная (или соедини-
тельная) дизъюнкция (V). и списком аксиомных схем.
Дизъюнкция \/ читается как «По крайней мере одно
из». Семантически она интерпретируется так: х*у ... \/хп
(п > 2) имеет значение 0, если все х1, ..., хп имеют значе.
ние 0, и значение 1 во всех остальных случаях:
Аксиомные схемы St:
Al. —~xf— х
А2. х|------х
АЗ. ху\—х
А4. ху\—ух
А 5. х1х2 . . . яп|— у,
где у отличается от (xJx2 ... хп) только какой-то (любой)
расстановкой скобок, удовлетворяющей определению 2)211
А6. у)— х1х2. . . хп,
где у то же, что и в А5
А7. (х V у) z)— xz у у
А8. xz V yz |—. (х V У) 2
А9. ~(ху)Р----х\/ ~у
— (ххх2. .. хп) |-х1 \/ — х2 у .. . у — хп
А10. ~ху — у|— — (ху)
~ хх у — х2у . .. V — хП I-(х1х2. . . хп)
АН. хууъ^— (хуУ z)(y У ~у).
I	36
Для 5Х имеют силу метатеоремы непротиворечивости и
непарадоксальности, аналогичные метатеоремам 7WT1I4 —
7ИТ314, МZ1I6 и 7ИТ216. Доказательства их аналогичны
доказательству упомянутых метатеорем, и мы их здесь опу-
скаем. Вместо ЛИ может быть принята «более простая»
аксиомная схема
Л*11. х\/ ~yyz\- х
Сильная дизъюнкция может быть введена посредством
определения:
Di. х : у есть сокращение для х ~ y\f ~ ху; х1 : х2 : ...
хп есть сокращение для у1 \/ ...\/ уп, где у1 (i = 1, ...
...» и) есть конъюнкциях1 и отрицаний всех остальных выс-
казываний из числа х1, ..., хп.
Если сильная дизъюнкция принимается как первичный
оператор, вместо Di принимаются дополнительные аксиом-
ные схемы:
А12. х1: . . . : хп у1 \/ . . . \/ уп,
где у' (i = 1, ..., п) есть конъюнкция х* и отрицаний всех
остальных высказываний из числа х1, ..., хп.
А13. у1 V . . . V Уп Н х1:	: хП1
где z/1, ..., уп те же, что и в Л12.
Система 5Х сформулирована в [4,51.
§ 2.	Полнота
Если х |— у и у |— х, будем для краткости писать, как и
выше, х —| |— у.
Ti. х —| |— х (р V ~ р)» гДе Р входит в х.
Доказательство Ti.
1.	х1 • ... • хп —| [— у, где у отличается от х1 • ... -хп
любой расстановкой скобок, отвечающей определению
высказывания или последовательностью записи х1, ..., хп
37
[44- 46, Hl, ЯЗ].
2.	x1 \/ ... у xn —11— ~ (— x1 • . . . • ~ xn)
[Л9, 410, Al, A2, ЯЗ]
3.	x1 v... v хП —IH y>
где у отличается от x1 V ... у хп расстановкой скобок или
порядком записи х1,..., х" 11, 2, ЯЗ, Я1].
4.	хх-Ц-x	[43, 41, 42, Bl, В2]
5.	хух-Н-х [4, 49, 410, ЯЗ, Я1, 41, 42]
6.	(х V у) z —11— xz\/ yz	[48, 47, 43, Я2]
7.	х—][— х(р У~р)
где р входит в х.
Теорема 7 доказывается индукцией по числу вхождений
логических операторов в х. Пусть х есть р. В таком случае
р._||_р(ру~ Р) Ml, 42, Hl, 411, 6, 7, Я2, 43]
Если х есть~ р, аналогично получим ~р —||— ~ р (р\/
~ р). Пусть х есть у \/ z. Если р входит в у, то по индуктив-
ному предположению у —| [— у (р V — р).
Последовательно получаем:
а)	У Vz—IH у(р \/~p)\/z	[ЯЗ, Я1]
б)	y\/z-\\-yp\/(y~p\/z)	[6, ЯЗ, Я1, 3]
в)	У \/ z -][-(ур\/ у ~ р\/ z)(p\/ ~ р)
[411, 3, ЯЗ, Я1 ]
Г) У V Z—II—(</(р V~P) V2)(p V— Р)	[ЯЗ, Я1, 6]
д) У VZ4H(у Vz)(pV~P) [47, 6, ЯЗ, Я1]
Аналогичный результат получим, если р входит в z.
Пусть далее, де есть yz. Пусть о входит в у. По индуктив-
ному предположению
у -IН у (р у ~ р)
В таком случае получим:
a)	yz-|H
б)	yz Н Н
Аналогичный
!/(PV~P)z	[41, 42, 1, ЯЗ, Я1]
|г/2)(р\/-“Р)	[44, ЯЗ, Я1, 1]
результат получим, если р входит в z. Слу-
за
чай, когда х есть ~ у, сводится К рассмотренным ранее.
Т2. х\/ ~рру —1(—я.
где р входит в х, а в у не входят элементарные вы-
сказывания, отсутствующие в х.
Доказательство Т2.
1.	~(*(PV~P))-HI--* [ЯЗ, 7 из П, Rl, Al, Л2]
2.	—х\/р — р—1|— — х	[ЯЗ, Я1, Л9, ЛЮ, 2 из Tl]
3.	я V Р~РНН*	[ЯЗ, Я1, Al, А2]
4.	xy\/z—ll-------(ху\/ z)	[Л1, А2]
5.	~(ху\/z)H|-(~*\/[Л9, ЛЮ, 2 из Г1]
6.	— (ху\/z) —]|— ~ х—-z\/ — у ~z
[ЯЗ, R1, 5, 6 из 74 |
7.	ху V z —11— <—(<—х — z V—у — z) [ЯЗ, R1, 4, 6]
8.	ху \/ z —11— (-х V ~ z) (-у\/ — ~z)
[ЯЗ, Я1, 7, Л9, ЛЮ]
9.	ху\/ z-{\-(x\/ z)(y \/ z) [8, ЯЗ, Я1, Л1, Л2]
10.	х |— х \/ у, где в у входят только те элементарные
высказывания, которые входят в х [Л1, Л2, Я1, Я3[.
И. х —| [— х \/ ~ РРУ, гДе в ~ РРУ не входят элемен-
тарные высказывания, которые не встречаются в х [10, 9,
ЛЗ, 3].
D1. Будем говорить, что высказывание находится в ка-
нонической форме, если и только если оно имеет вид у1\/...
• Уп (п 2) и удовлетворяет следующим условиям:
1) каждое из у’ есть (а1/?1- ... • ampm), где р1, ..., рт суть
все элементарные высказывания, входящие в х\ а1,..., ат
означают наличие или отсутствие отрицания, и все а1»1,...
.... атрт попарно различны; 2) если р* входит в некоторое
у* без отрицания, то среди у1, ..., уп найдется такое ук
(не обязательно другое), в которое входит ~ р‘, и наоборот;
3) все у1, ..., уп попарно различны.
D2. Будем говорить, что х |— у находится в канониче-
ской форме, если и только если оба х и у находятся в кано-
39
нической форме, и множества входящих в них элементар-
ных высказываний совпадают.
МТ1. Для всякой х у может быть найдена х* |— у*
в канонической форме такая, что х—] |— х* и у—] [—у*
доказуемы в St.
Доказательство MTi.
1	. Для всякого х может быть найдено у, находящееся в
канонической форме такое, чтох—| (—у. Это утверждение
доказывается методом математической индукции по числу
логических операторов, встречающихся в х. Если х есть
Р, то
р—1|— р\/—рр	[ЗизТЗ].
Аналогично
~р-]1—pV~рр-
Пусть х есть г1 \/ ж2. По индуктивному предположению
ж1—1|— у1	х2 —1|— у2,
где у1 и у2 находятся в канонической форме. В таком случае
[ЯЗ, Я1]
У1	V У2 Н Н (У1 V У2)(Я1 V ~ 91)	17 из П],
где есть элементарное высказывание, отсутствующее в
у1 или в у2.
[R3, Я1, б из П]
Пусть у1 есть z1 V ••• V z”> а ’/“ecTbZjX/ ... \/zm. Сцглас-
но 6 из Т1 имеем
У1	V У2 ~IН	V • • • V z"91 \/ z1'—ql\/ . . . \/
\yzn _ qi у Z1gi V . . . V ~ g1
Аналогично для прочих д’, отсутствующих в у1 или у2,
получим
ух V У2 —IН ^Ях • • • V • • • V ^Я1 • • • 9* V • • • V
Vzi — q1. . . — q* V • • • V z™ ~ Я1 • • • ~ Як-
40
Используя 4из И и 5 из Т1, ЙЗ и Д1, получим
у1 W-ll-y,
где у находится в канонической форме, и
х1 V х2 —11— у.
Пусть х есть х*х3. По индуктивному предположению
х1 —]	у1	х2 —11— у2,
где у1 и у3 находятся в канонической форме. Пусть у1 есть
z‘V ••• Vzn, а у3 есть 21\/ ... Имеем
у‘у3 —I I— 2% \/ ... V z‘zm V ••• V z"zl V ••• V znzm
lB3, Bl, 6 из Ш
Используя 1, 4 и 5 из 7*1, получим
у'у2 Ч Н у,
где у находится в канонической форме. Поскольку
хгх2 —11— у1у2,
имеем
хгх2 —11— у.
Случай, когда х есть ~ х1, сводится к рассмотренным выше.
2.	Пусть р1, .... рк суть все элементарные высказыва-
ния, входящие в х и отсутствующие в у.
хН У (Р1 V ~Р1) • • • (Р* V ~ Рк) I7 из
Для х согласно 1 из ТЗ может быть найдено х’ в канони-
ческой форме такое, что
хЧН^*-
Аналогично для у (р1 V ~ р1) ... (p*V ~ Pfc) может быть
найдено у* в канонической форме такое, что
у(рг V — P1). •. (р*У~Рк)ЧН/»
а по определению х* (— у’ есть каноническая форма для
хНу.
41
МТ2. Если х |— у есть тавтология, то х* |— у* есть
тавтология, где х* [— у* та же, что и в МТ1 (теорема оче-
видна).
МТЗ. Если доказуема х* у*, то доказуема х у,
где ж* р у* та же, что и в MTi (теорема очевидна).
МТ^ь. Если х [— у есть тавтология и находится в кано-
нической форме, то х |— у доказуема в
Доказательство Л/Т4. Пусть х есть z1 \/ ... \/ zk, а у
есть zr V ... \/ zt. Возможны два случая: 1) у есть проти-
воречие; 2) у выполнимо (т. е. не есть противоречие).
Рассмотрим первый случай. Если у есть противоречие,
то и х есть противоречие. Значит, все z1 и zj суть проти-
воречия. Пусть v1, ..., vm суть всевозможные противоре-
чия, образованные из элементарных высказываний, входя-
щих в х и у, такие, что г1 \/ ... V v™ находится в каноничес-
кой форме. Очевидно, среди г1, ..., vm имеются все z* и zj.
В доказуема v1 \/ ... \/ vm |— v1 \/ ... \/ vm. По Т2 получа-
ем, ЧТО V* У ... V Vm |— Zj V ... V ZiW. z1 V ... V zk [— vl V •••
... \/ vm доказуемы. Значит, доказуема z1^/--- Vz/l V •••
... V zh t. e. x y.
Для второго случая возможны два подслучая. Первый
— у не есть тавтология. Если у выполнимо, то выполнимы
zn, ..., zir (г > 1), гдег^, ..., zir суть какие-то из z1?..., zz.
Пусть ни одно из zfl, ..., zIr не входит в х. При этом х
должно быть противоречием (иначе оно может быть истин*
ным при неистинном у). Поскольку х \— х, по Т2 имеем
х |— х\/ у и х\— у. Пусть z71, ..., zj8 (s 1) суть все из
zfl, ... zir, входящие в х. Так как у не есть тавтология, в х
не должны входить другие выполнимые z*. Значит, все
остальные z* суть противоречия. Имеем Яд\/ ... \/ ZjS
Н гД V ••• V 2j„ И ПО 7’2 Zi V ... V Z* Н Zjl V V 2j8,
ZjiV VZJsH Z1 V VZb2!\/ ... V ь Z1 V V^!,
t. e. x (— y.
Второй подслучай второго случая — у есть тавтоло-
гия. При этом в у входят всевозможные выполнимые выс-
казывания с соответствующими элементарными высказы-
42
ваниями. Если в я не входит ни одно из выполнимых
то все z1, ...» zk суть противоречия (этот случай уже рас-
смотрен). Если в х входит хотя бы одно выполнимое
то и этот случай рассмотрен выше. Таким образом если
х\— у есть тавтология, то она доказуема в5Р Ив силу МТ2
и МТЗ будет верна метатеорема полноты:
МТЬ, Если х [— у есть тавтология и при этом в у не
входят элементарные высказывания, отсутствующие в
х (т. е. х |— у есть сильная тавтология), то она есть тео-
рема
Теоремы 71, 72, и MTi доказаны в работе А. М. Фе-
диной [14],
МТ6. Если х у \/ z и z v доказуемы в то
х Н У V v Доказуема в
МТ1. Если х у и z [— v доказуемы в Sly то х\/z [—
|— у \/ v доказуемы в
Теоремы МТ9 и МТ1 суть следствия МТЬ. Их можно
использовать как производные правила вывода.
§ 3.	Независимость
Независимость Sx доказана Е. А. Сидоренко 111]. Не-
зависимость большинства аксиомных схем доказывает-
ся посредством интерпретации с двумя истинностными
значениями 1 и 0 (отмеченное значение 1). Формуле следо-
вания х |— у приписывается значение 0 только в одном
случае, когда значение х равно 1, а значение у равно 0. При
этом для доказательства независимости аксиомных схем
А1 — А9 принимаем:
1)	для А1 принимаем, что ~ х 1 (тот факт, что ин-
терпретация логического оператора не указывается, оз-
начает, что имеется в виду принятая выше интерпретация);
2)	для А2 принимаем, что ~х = 0 и что формуле сле-
дования приписывается значение 1 также и в тех случаях,
когда в нее входит по крайней мере один из знаков • или \/;
3)	для Л3 принимаем, что^у --= i, х\/ у = i, ~ х = х;
43
4)	для Л 4 принимаем, что ху = х, х \f у = х, ~ х = х\
5) для Л5 принимаем, что х!х2 ... хп = 1, если п > 2;
6)	для Л6 принимаем, чтох1 х2...хп = 0, если п^>2;
7)	для А1 будем считать, что знак \/ связывает силь-
нее, чем •;
8)	для Л 8 условимся, что формуле х |— у приписывает-
ся значение 0 также в тех случаях, когда она имеет вид
хх V х2 Н У1Уъ’ и ПРИ этом не выполняется ни одно из
следующих условий: а) в х|— у входит знак в) в х
не входят элементарные высказывания, отсутствующие в ух
или z/2; с) хг [ ~ х2 и х2 хг доказуемы в 51;
9)	для Л9 принимаем, что х \/ у = у.
Независимость ЛЮ и ЛИ доказывается посредством
истинностных таблиц с тремя значениями истинности 1, 2,
и 3 (отмеченное значение 1);
10)	для ЛЮ принимаем, что ху = 3, если х = 3 или
у = 3, и ху — 1 в остальных случаях; х\/ у = min (х, у);
— х = 4 — х; формула х |— у получает неотмеченное зна-
чение только е случаях, когда значение х равно 1, а зна-
чение у равно 3, и когда значение х равно 2, а значение у
равно 1 или 3;
11)	для ЛИ принимаем, что ху = max (х, у), х\/ у =
= min (х, у)^' х = 4 — х, формула х |— у принимает
значение 1 тогца и только тогда, когда значение х больше
или равно значению у.
Независимость правила 7?3 доказывается в трехзначных
таблицах: ху = max (х, у), х \/ у = min (х, у), ~ х =
= 4 — х, формула х (— у имеет неотмеченное значение
только в случаэ, когда значение х равно 1 или 2, а значение
у равно 3. При этом теорема р \/ ~ qq р (q V ~ q)
имеет неотмеченное значение при р = 3 и q = 2.
Для доказательства независимости правила ВЛ достаточ-
но воспользоваться двузначными таблицами: ху = 1, х \/
\/у = 1,~х = 1, формула х у имеет значение 0 толь-
ко в одном случае, когда значение обоих х и у равно 0.
При этом теорема р |— р имеет значение 0 при р = 0.
44
Независимрсть правила 7? 2 доказывается с помощью
следующих трехзначных таблиц: ху = 1, когда х = 1 и
у = 1, и ху = 3 в остальных случаях; х\/ у = 3, когда
х = Зи1/ = 31ид;\/1/ = 1 в остальных случаях; — х —
= 4 — х\ х \— у принимает значение 1 тогда и только тогда,
когда значение х больше или равно значению у. При этом
р Н РР принимает неотмеченное значение при р = 2.
§ 4. Эквивалентность и
Если в —принято £>213 или приняты А17 и А18,
bbSj принято £>119 или приняты А12 и А13, то в силу те-
орем полноты MT6I7 и Л/Т5И0 будет иметь силу следую-
щая теорема эквивалентности S1 и ST.
MTi. Если х |— у доказуема в 51 (или в то она
доказуема в (соответственно в 51), т. е. множества теорем
51 и совпадают.
§ 5. Сильное следование
Системы 51 и 5Х суть системы сильного логического сле-
дования. Они определяют правила сильного логического
следования для высказываний с операторами конъюнкции,
дизъюнкции, отрицания и другими, производными от них
операторами. Будем символом S9 обозначать 51, и лю-
бую другую логическую систему, эквивалентную 51 и 51Ф
Возможны различные варианты 5е, отличные от и
51. Приведем некоторые из них, рассмотренные Е. А. Си-
доренко в работе [10].
Система 5J , эквивалентная , получается из 5Х путем
замены аксиомных схем А8 и АН на аксиомную схему А* 11
и правило 7?*4:
А*11. х V ~ z/z/f- х
Если х [— г/, то х |— у \/ z, где в z нет элементар-
ных высказываний, отсутствующих в х.
45
В S[ имеют силу теоремные схемы:
71.	ог|— х(уУ—у), где у входит в х.
1.	— ху — уу\---х	[4’11]
2.	— т|— ~ху — уу	[7?*4|
3.	х|------(-х\/—уу)	[1,2,771]
4.	х\-х(уУ~у)	(3, Л9, ЛЮ, 771; 772]
72.	xy\/z\- (ху\/ г)(уУ — у)	(71]
73.	xz У yz\- (x\/y)z
1.	(ху у)х\—х(уУ— у)	(71, ЛЗ]
2.	х(у \/ ~у)\-(х\/ У)х	[ЛЗ, 77*4, 773]
3.	ху V х —(х \/ — уу ]1, 2, 771, Л9,ЛЮ]
4. xz у yzj— xz\J yz\J zy — уу \/ — хх [77*4]
5. xzy yzy zy — хх'у— уу |3, 4, 771, 772]
6. xzy yz\— z	|5; Л*11, R2\
7.	xz (у \/ — у)(х\/у)\/ yz (х у — х) (х у у) (-
\-xyy	|б]
8.	xz(yy — у)У\~(хг)(уУ — у)(ху у)
]ЛЗ, 77*4, /731
9.	yz (ху— х) НН (У^) (ху—-х)(ху у) [/13,77*4,773]
10. xz (у у — у) у yz(x\/ — х))— xz (у \/ — у) •
•УУу)У У^УУ— х)(х\/у) (8, 9, 771, 772]
11. хг(у\/ — у)\/yz (х у — х)\—х\/у [7, 10, /72]
12. (xz у yz) (х \/ — х) (у \/ — у) Н (у у —у)\/
yyz(xy — x)	[ЛЗ, >17, 7?-2, 7/3]
13. xz \/ yz Н (xz у yz) (х \/ ~ х) (у у — у) [71, 7/2]
14. xz\/ yzyx\/ у	[11, 12, 13, 772]
15. xz\/ yz\~ (х у у) z	[6, 14, 773]
Аксиомная схема ЛИ системы есть частный случай
71, а 73 есть Л8. Отсюда следует эквивалентность Sx и .
Система удобнее, чем 5Х, в таком смысле: благо-
даря 77* 1 многие важные теоремы доказываются проще, чем
;в 5Х. А доказательство 774* в 5Х довольно громоздко.
46
Независимость А *11 доказывается той же интерпрета-
цией, что и независимость ЛИ в
Независимость правила R1 доказывается в трехзнач-
ных таблицах: ху = max (х, у), х\/ у = min (х, у), ~х =
— 4 — х, х\— у принимает неотмеченное значение только
в случае, когда значение х равно 1, а значение у равно 2
или 3. При этом теорема р \/ q (— (р \/ р) (q \/ — q) прини-
мает неотмеченное значение при р = 1 и q — 2.
Независимость правила /?*4 можно доказать, принимая
интерпретацию, с помощью которой в доказывалась
независимость Л8.
Для доказательства независимости остальных аксиом
и правил вывода принимается та же интерпретация, что
и в системе
Система , эквивалентная получается из за-
меной аксиомных схем Л9 — ЛИ и правила /?3 на аксиом-
ные схемы Л9* — Ли и правило 7?3**:
Л** 9. ~(х\/у)\-----х~у
Л**10. ~х~у\- ~ U’V у)
Л**11. х\/ ~уу[_ X
R**3. Если х |— у, то ~у |— ~х, где в х и у входят
одни и те же элементарные высказывания.
В системе 51* правило 7?3 системы получается как
производное, что отвечает традиции.
Независимость схем Л **9 и Л **11 доказывается той же ин-
терпретацией, что и Л9 и ЛИ в
Независимость Л **10 доказывается с помощью трехзнач-
ных таблиц: ху — 1, когда х — 1 и у — 1, и ху = 3 в ос-
тальных случаях; х \/ у = 3, когда х — 3 и у = 3, и
х \/ у = 1 в остальных случаях; ~х равно 3, когда х =
— 1, и—х — 1 в остальных случаях; х\—у прини-
мает неотмеченное значение только в случае, когда значе-
ние х равно 1, а значение у равно 2 или 3.
47
Для доказательства независимости 43 условимся,
что х |— у получает неотмеченное значение, когда в х
входят элементарные высказывания, отсутствующие в у.
Независимость 7?**3 доказывается той же интерпретаци-
ей, что и R3 в Sj.
Независимость остальных аксиом и правил доказывает-
ся тем же способом, что и в
Система S*1, эквивалентная S1, получается из S1 пу-
тем замены R3 на 7?*3:
R*3. Если х |— у : z и z |— v, то х |— у : v, если х |— у1 :...
... : уп: z и z р- v, то х |—у1:	: уп : v.
Система S?, эквивалентная Slt получается из St пу-
тем аналогичной замены R3 (с той разницей, что вместо
знака : фигурирует знак \/)-
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
ОСЛАБЛЕННОЕ СЛЕДОВАНИЕ
§ 1.	Система S2
Система S2 получается из 51 благодаря присоединению
к аксиомным схемам S1 аксиомной схемы Л15 и ограниче-
нию правила 7?1:
Л15. —я|——(ХУ)
7?1. Если х\—уиу\—хи при этом в х, у и z входит
по крайней мере одно одинаковое элементарное высказы-
вание, то х |— z.
Поскольку в S2 доказуемы формулы х |— у такие, что в
у входят элементарные высказывания, отсутствующие в
х, то система S2 может быть названа теорией ослабленного
следования. Система S2,сформулирована в [4, 5]. Ограниче-
ние на Ri предложено Г. А. Смирновым. Им же доказана
в [13] непарадоксальность и полнота S2.
Непротиворечивость S2 следует из того обстоятельства,
что все аксиомы вида ~х |— ~ (ху) суть тавтологии. Не-
зависимость Л15 следует из того, что она есть единствен-
ная аксиомная схема, в которой в формулах х [— у в зак-
лючении у допускаются элементарные высказывания, от-
сутствующие в посылке х.
§ 2.	Непарадоксальность S3
Система S2 непарадоксальна в смысле следующей мета-
теоремы:
MTi. Если х\— у доказуема в 52, то в х и у входит по
крайней мере одно одинаковое элементарное высказывание.
4?
Доказательство MTI. 1 случай: х |—у есть аксиома
системы S2. Путем проверки можно установить, что в х
и у входит по крайней мере одно одинаковое элементарное
высказывание. 2 случай: х\— у получена из х |— z и z }— у
путем применения правила 2?1. Так как правило 2?1 при-
менимо только в том случае, если в х, у и z входит по край-
ней мере одно одинаковое элементарное высказывание, то
в j у яъ хну входит по крайней мере одно одинаковое
элементарное высказывание. 3 случай: х |— у имеет вид
х |— vz и получена по R2 из х |— и и х |— z. Если в послед-
них в х и у, а также в х и z соответственно есть по крайней
мере одно одинаковое вхождение элементарного высказы-
вания, тоивя[- у в хп в у входит по крайней мере одно оди-
наковое элементарное высказывание. 4 случай: у в х у
получено из х путем замены вхождения (по крайней мере
одного) z в х на р, причем z |— v и v \— z. Если в z
и v есть по крайней мере одно одинаковое вхождение эле-
ментарного высказывания, то и в я у в х и у входит
по крайней мере одно одинаковое элементарное высказы-
вание.
Из MTi следует, что формулы вида ~хх у,х\— у :
: ~Уч х\^-у\/— Уч х\— ~ (~уу) недоказуемы в S2. Ана-
логично выражения вида х [— (у |— х) и х [— (~х|— у) не
являются формулами следования, доказуемыми в S2.
Гаким образом, и в S2 исключаются «парадоксы», подобные
(парадоксам» материальной и строгой импликации.
§ 3.	Полнота /S2
Т1. z[— x(j : ~ i/)
Т2. х(у '• ~у)\— х
[Л 15, Л2]
[А2]
Di. х**	г** есть каноническая форма для х |— у,
>сли и только если: 1) Z* есть каноническая форма для
г* (z : ~ z), где .г* есть каноническая форма х, a z есть конъ-
онкция элементарных высказываний z1, ..., zl (Z > 0),
50
которые входят в у, но не входят в х\ 2) г/** есть канони-
ческая форма для y'v (iv : ~ iv), где г/* есть каноническая
форма у, v есть и1- ... • ит (т 0) (где и* есть	ко-
торое входит в я?*, но не входит в i/*), a iv есть конъюнкция
ш1, w‘ (г 0), которые входят в х, но не входят в у,
за исключением элементарных высказываний, входящих в
х* вместе с их отрицанием.
MTi. Если х у — тавтология, и при этом в х и
у есть по крайней мере одно одинаковое вхождение элемен-
тарного высказывания, то для нее может быть найдена
каноническая форма .г** — у". При этом х” [— у**
есть тавтология, причем множества элементарных выска-
зываний, входящих в х" и I/**, совпадают.
Доказательство MTi. В силу MTiYl, для любой х у
может быть найдена х* |— У*» где и У* суть канониче-
ские формы для х и у соответственно. По D3I7, МT2I4,
МГ415 следует, что х и Z, у и у* соответственно равнознач-
ны, и множества элементарных высказываний, входящих в
них, совпадают. Поэтому если х (— у есть тавтология, и в
х и у есть по крайней мере одно одинаковое вхождение эле-
ментарного высказывания, то и х* |— у* есть тавтология,
причем в / и у* входит по крайней мере одно одинаковое
элементарное высказывание. При этом может быть найдено
такое х* (z \ ~z), удовлетворяющее условиям Di, что
множество элементарных высказываний, входящих в него,
совпадает с множеством элементарных высказываний,
входящих в у. С другой стороны, всегда найдется у" v (iv :
: ~ iv ), удовлетворяющее условиям Di, такое, что множе-
ство элементарных высказываний, входящих в него, сов-
падает с множеством элементарных высказываний, вхо-
дящих в х. Приведение этих высказываний к канонической
форме не изменит их значений и множеств, входящих в них
элементарных высказываний. Следовательно, может быть
найдена х** |— у** с одинаковыми вхождениями элемен-
тарных высказываний в х** и у**. Если ~ х не есть тавто-
логия, то х” и у** соответственно равнозначны х* и i/*,
51
так что х'*	у§ ** также есть тавтология. Если ~ х яв-
ляется тавтологией, то х*' всегда принимает значение 0;
следовательно, х** |— у" и в данном случае является тавто-
логией.
МТ2. х\— у доказуема в S2 , если и только если ее ка-
ноническая форма х‘* (— у** цокАъуема в S2.
Доказательство МТ2. Пусть х |— у доказуема в S2.
Тогда на основании M71I7 доказуема х* |— у*, где х*
и у* суть канонические формы для х и у соответственно.
Используя 71 и Т2, можно получить х (z: ~ z) |—
|— у’ (w : ~u’). От этой формулы на основании 413, АЗ,
R2 можно nef ейти к х* (z : ~ z) |— y*v (w : ~ w). Приведе-
ние данной ф эрмулы к канонической форме дает формулу
Пусть х*' — у** доказуема в S2. На основании 413,
71012, 71,72, 43, R3 и R1 можно получить формулу х* J—
|— у'. В силу МТ 117 отсюда имеем, что х |— у также дока-
зуема в S2.
МТЗ. Если х |— у — тавтология, в х и у есть по край-
ней мере одно одинаковое вхождение элементарного выска-
зывания, и при этом х |— у находится в канонической фор-
ме, то она доказуема в S2.
Доказательство МТЗ полностью совпадает с доказа-
тельством аналогичной метатеоремы для системы 51. Из
МТ1 — МТЗ следует:
MT^t. Если х |— у есть тавтология, и в х и у есть по
крайней мере одно одинаковое вхождение элементарного
высказывания, то х |— у доказуема в S2.
§ 4. Система 8^
Система ослабленного следования получается из
так же, как <S’2 из 51 (дополнительная аксиомная схема
будет иметь помер 412). Система 52 сформулирована в
14, 5].
52
Доказательство полноты сохраняет силу и для 52,
как показала А. М. Федина [14], поскольку в доказательст-
ве всех ранее рассмотренных теорем МТ1П2 — МТ 5112
ограничение на /?1 выполняется. Только незначительно
модифицируется доказательство ЛГТ1П2 следующим до-
полнением. Пусть д1, ..., ql суть все элементарные выска-
зывания, входящие в у и отсутствующие в х. В таком случае
Н у (р1 V — р1) • • • (р* V — р*)>
А для х (q1 V ~ Я1) ---(Q1 V имеется х* в канониче-
ской форме такое, что
х (<7Х V ~ У1) • • • (?' V ~ Q1) Ч Н х'
Из полноты S2 и 52 следует и эквивалентность.
§ 5. Системы Sw
Системы ослабленного следования S2 и S2 и другие,
эквивалентные им системы будем обозначать символом Sw.
Е. А. Сидоренко в работе [10] исследовал такие системы
Sw.
Система S2 ослабленного следования получается из
путем снятия ограничения на /?*4 и принятия ограничения
на 2?1, аналогичного ограничению 7?1 в S2.
Если в отбросить А8, снять ограничение на 7?3**, а
правило jRI принять с указанным в S2 ограничением, то
получим систему 52\ эквивалентную S2. В этой системе
правило подстановки эквивалентности (правило /?3) не
является основным.
Аксиомная схема Л8 не является независимой в S2
это видно уже из того, что она не является таковой в 5J .
Независимость Л12 в S2 следует из того факта, что это
единственная схема, которая в правой части формул х [— у
допускает элементарное высказывание, отсутствующее в
левой.
53
Доказательство независимости остальных схем и пра-
вил не отличается от доказательства их независимости в
Проблема независимости SJ решается тем же способом,
что и для SJ .
Для доказательства независимости S2 принимается
та же интерпретация, что и для соответствующих схем и
правил системы Si*.
Доказательство Л8 в S2:
1. х(х\/ у)[-х 2. х |— х	[43] [41, 42, Я11
3. х|— х\/ у	[412]
xj~x(x V у)	[2, 3, Я2]
5. — (ж(а:\/У))Н—*	[1, 4, 7?1]
6. ~ X \/ —X ~ у |—~х	|1, 4, 49, 410]
7. х |— х \/ ху	[412]
8. х V ху |— х	[6]
9. xz V yz\— xz\y yz\J z	[412]
10. xz \/ yz [— z	[7-9, 7?1]
11. xz (x V y) V yz (x V y) ]— x V у	[10]
12. xz (x \/ y) |— xz	[43]
13. xz |— xz (x \/ у)	[412,	43, Л1, 2, Я2]
14. yz |— yz (x\/ y)	[13, 44]
15. yz (x V y) yz	[43]
16. xz \/ yz |— X у	(11-15, 7?1]
17. xz V yz |— {x V y) z	[10, 16, 7?2]
§ 6. Системы, сходные с Sw
Если в системах Аккермана, Андерсона и Белнапа
(см. о них в [8]) только один знак сильной импликации
рассматривать как знак следования в нашем смысле, то
54
полученные системы будут непарадоксальны в том же смы-
сле, что и Sw. Но эти системы не являются полными
в смысле полноты Sw.
Неполнота системы Аккермана видна из такого рас-
суждения. В системе Аккермана доказуемы формулы (стрел-
ка — знак сильного следования)
—	— xx\J — ху
~хх\/ ~ху<-+ ~х(х\/ у).
из которых по транзитивности получилась бы парадок-
сальная формула
—	хх у,
если бы была доказуема формула
~х(х\/ у)->у.
Во избежание парадокса система построена так, что по-
следняя оказалась недоказуемой. Так что целый класс
формул, удовлетворяющих теореме непарадоксальности
5W, здесь выпадает. Аналогично обстоит дело с системами
сильной импликации Андерсона и Белнапа.
Система, непарадоксальная в смысле 5W, но точно так-
же неполная, построена Л. А. Бобровой в работе [2]
(путем ослабления нашей системы S8). Система Бобровой
с точки зрения теории логического следования безусловно
предпочтительнее систем Аккермана, Андерсона и Бел-
напа, в которых исключение парадоксов материальной и
строгой импликации достигается ценой исключения правил
следования, интуитивно непарадоксальных и вообще не
вызывающих сомнений (подробнее об этом см. [8]).
Неполнота систем следования в нашем смысле не исклю-
чает их полноту в некотором другом смысле. Такой яв-
ляется, как показал Е. А. Сидоренко [10], система 51,
в которой принимаются аксиомные схемы А1 — ДЮ
55
системы и следующие правила вывода:
Я1. Если х\—у, то — у|-—
R2. Если х\— у и y\—z, то х\—z
ЯЗ. Если х\—у и z [—у, то х\/ z\— у\/ v.
Выражение «дизъюнктивная нормальная форма» будет
употребляться здесь в обычном смысле: хх\/...\/хп (n > 1)
находится в дизъюнктивной нормальной форме, если и
только если каждое х* (1 i и) есть конъюнкция, обра-
зованная из элементарных высказываний и отрицаний
элементарных высказываний. Элементарные высказывания
и отрицания элементарных высказываний, входящие в я4,
суть конъюнктивные составляющие х*. Высказывание х
приводится к дизъюнктивной нормальной форме у (или
у есть дизъюнктивная нормальная форма х}, если и
только если у находится в дизъюнктивной нормальной
форме, и при этом х |— у и у |— х доказуемы в данной си-
стеме.
Правила R2 и ЯЗ системы тривиально получаются
в 52- Обозначим их соответственно Я*4 и Я*5. Доказу-
ема теоремная схема х [— х \/ у. Доказуема также мета-
тсорема о том, что каждое высказывание в S} приводится
к дизъюнктивной нормальной форме, и все вытекающие
из нее следствия.
Нам важны здесь такие метатеоремы
MTi. Если х\— у доказуема в 5г, и при этом хг\/ ...
... V хп есть дизъюнктивная нормальная форма х, а у1 \/ .,.
... \/ут есть дизъюнктивная нормальная форма у, то для.
каждого х* найдется у^ такое, что х{ yi есть тавтоло-
гия, и каждая конъюнктивная составляющая yi входит
в х1.
.МТ2. Если хг\/ ... \/хп есть дизъюнктивная нормаль-
ная форма х, a	дизъюнктивная нормальная фор-
ма у, и если для каждого х' найдется у-7*такое, что у?
56
есть тавтология, и каждая конъюнктивная составляющая
yJ входит в х\ то х у доказуема в 5^ (теорема пол-
ноты) .
Справедливость MTi видна из того, что она имеет
силу для всех аксиом 8%, а правила вывода 5^ сохраня-
ют это свойство. Справедливость МТ2 видна из следую-
щего: если х* yi есть тавтология указанного вида, то
опа доказуема в 8^ тогда согласно теоремной схеме
а\— а\/b будет доказуема —у1 \/ ... \/ут\ а так как
по условию это имеет место для каждого х\ то доказуемы
X1 [— z/1 V ••• V У™, Н Ух V ••• V У™ и согласно R3 до-
казуема х1 \/ ... \/ хп Н у1 V ... V Ут’ поскольку доказуемы
х—[ Ня1 V • • • V и У Н Н J/1 V • • • V У™, по Я*5 доказуема
х[-у.
В Si является производным следующее интересное
правило вывода:
Л*6. Если х у, где х и у находятся в дизъюнктивной
нормальной форме, то х* |— г/*, которая получается из
х |— у путем подстановки на место конъюнктивных со-
ставляющих в х и в у любых высказываний, причем вме-
сто элементарного высказывания и его отрицания могут
быть подставлены разные высказывания.
МТЗ. Если правило 7Г6 принять в качестве основного,
то присоединение к аксиомам полученной системы любой
недоказуемой формулы позволяет доказать в ней любую
формулу а Ь.
Доказательство МТЗ. Пусть х у недоказуема в 6^.
Пусть х1 \/ ... \/хп и у1 \/ ... V ут суть дизъюнктивные нор-
мальные формы соответственно х и у. В силу теоремы пол-
ноты найдется такое х\ что среди у1, ..., ут нет такого yj,
что все его конъюнктивные составляющие входят в х'.
В противном случае х у была бы доказуема. Добавим
х |— у к аксиомным схемам S\ и добавим к правилам вывода
2Г6. В таком случае будет доказуема х1 \/... \/ хп у1 V ...
... V ут, и в силу теоремной схемы а \— а \/ Ъ получим
х' Hz/1 V ••• V Ут- Тогда во всякое yi будет входить какая-
57
то конъюнктивная составляющая, отсутствующая в аЛ
В силу /ГО мы можем вместо таких составляющих подста-
вить высказывание z с элементарными высказываниями?
отсутствующими в рассматриваемой формуле. В силу АЗ
имеем у> z. Согласно теоремной схеме ас \/ be }—
Н (а\/ Ь) с получим у1 \/ ... \Zy™\—z, и по J?2 получим д4z-
Подставляя вместо конъюнктивных составляющих хг
любое высказывание и по /Гб, получим и |— zt где v и z
суть любые высказывания.
Таким образом, система 5^ с правилом /?*6 полна
в смысле МТЗ.
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
ДРУГИЕ ФОРМЫ СЛЕДОВАНИЯ
§ i. Максимальное следование
Система S3 максимального следования, изложенная
в 13, 5], получается из 51 путем принятия такого огра-
ничения ЛЗ: в у входят только те элементарные высказы-
вания, которые входят в х.
Формулировку S3 можно ослабить, как показал Г. А.
Смирнов [13], приняв такое ограничение к ЛЗ: в х и у
входят одинаковые элементарные высказывания.
Непротиворечивость 53 очевидна (из непротиворечи-
вости 51).
МТ1. Если х |— у доказуема в 53, то множества входя-
щих в х и у элементарных высказываний совпадают.
Доказательство MTi тривиально: все аксиомы 53 обла-
дают указанным свойством, а правила вывода это свойство
сохраняют.
74.	(х : у) z |— xz : yz
1.	(х : у) z |— у \xz	[Л14, 7’8 12, 7?2]
2.	(ri/)zH(r!/)z	[Т2 12]
3.	(х : у) z р- (у : xz) z(x:y)z
[1,2, Л2, 7’312, 7’412, ЛЗ]
4.	(х : у) z (у : xz) z	(3, ЛЗ, Л1 ]
5.	(х : у) z xz : yz	[4, Л14, 7’8 12, Л1]
712.	xz : у |— (xz : j/) (х: ~ х)
1.	xz:y\—xz— у: — (xz)y	[7*17 12]
59
2.	xz : у xz — у :— xzy :x~ zy\~x~zy
[1, 47, 413, 710 12, 7?3, 412, Л1]
3.	xz : у f— (xz — у : — xzy \x — zy:^x~zy)-
-(x-.~x) [2, 718 12, 7’19 12, 7?3, 413, 7?1]
4.	xz : y[— (xz : y) (x: —x) [3, 411, 71712, 7?3, Hi]
Используя данные для 51 определения канонической
формы высказываний, введем определение:
Di. Формула я* |—есть каноническая форма для
х |— у у если и только если х* есть каноническая форма для
х, а у** — для y*z, где у* есть каноническая форма для
у, a z есть высказывание вида ...-zm (т 0) (где
? есть которое входит в каноническую форму для
х, но не входит в каноническую форму для у).
В отношении 53 будут иметь место следующие метатео-
ремы, доказательство которых получается путем очевид-
ных модификаций доказательства MT2I7 и Л77317.
МТ2. Если х |— у есть тавтология, и множества эле-
ментарных высказываний, входящих в х и у, совпадают,
то для нее может быть найдена каноническая форма х* |—
|—у**. При этом в х* |— у** множества элементарных вы-
сказываний, входящих в? и z/**, точно также совпадают.
МТЗ. Формула х у доказуема в 53, если и только
если ее каноническая форма х* у** доказуема в S3.
МТ4. Если х [— у есть тавтология, множества элемен-
тарных высказываний, входящих в х и у совпадают, и
при этом х |— у находится в канонической форме, то х у
доказуема в 53.
Доказательство МТ4 совпадает с доказательством
Л77517, за исключением тех шагов в доказательстве
M75I7, где применяется 7377, недоказуемая в S3. Не-
трудно убедиться, что применение 7317 при доказатель-
стве полноты 53 можно заменить применением выводимых
в 53 теорем 71312 и 71412 с использованием 411, 412
и R3.

Из М Т2 — МТ4 следует:
МТЪ. Если х \— у есть тавтология, и множества входя-
щих в х и у элементарных высказываний совпадают, то
х Р- у доказуема в 53.
Изложенное доказательство МТ5 (т. е. полноты £3)
дано Г. А. Смирновым в [13].
Система S3 максимального следования, эквивалентная
53, образуется из путем аналогичного ограничения.
Для доказательства полноты 53, как показала А. М.
Федина [14], достаточно доказать 7И74П2 так, чтобы вы-
полнилось ограничение на АЗ. Оно примет такой вид.
1.	(x\/y)z\-(x \/у) z
2.	(х\/ у) z\— (xz \/у)
3.	(х V У) z}— (х V У) z (xz \/ у)
4.	(х V У) z (xz V У) Н (xz V У) z
5.	(xz V У) z [— (xz V yz)
6.	(х\/ y)z\— (xz V yz)
7.	(xz \/ yz)\-(x\/ y)z
[Л7]
[7?2, 1, 2]
[A7, A4]
[7?1, 3, 4, 5]
[Л8]
При доказательстве остальных метатеорем ограниче-
ние на АЗ выполняется.
Другой вариант системы максимального следования
5$ , предложенный Е. А. Сидоренко [10], получается из
53 заменой 7?1 и R3 соответственно на 7?*1 и 7?*3 и добав-
лением аксиомной схемы Л*12:
А*12. х\/х\— х
R*3. Если х\— у игр и, то х V z |— у V v.
Эквивалентность 5IJ и 53 получается путем доказатель-
ства Д1 (методом математической индукции по числу вхож-
дений логических операторов в х) и R4 (оно следует из
7ГЗ, Я*1, А9, ЛЮ, А*12) в 5; .
Независимость аксиомных схем и правил 53 доказы-
вается (это сделано в работе Е. А. Сидоренко [11]) той
же интерпретацией, что и независимость соответствующих
61
аксиомных схем и правил системы Независимость
аксиомной схемы АЗ в 53 доказывается при помощи трех-
значных таблиц: ху — 2, когда х или у равно 2, и ху =
- max (х, у} в остальных случаях; х \j у = 2, когда х
или у равно 2, и х \J z/ = m;n {х, у) в остальных случаях;
~ х - 2, когда х' 3, и ~ — 3 в остальных случаях;
х \~ ~ у принимает неотмеченное значение только в случае,
когда значение х равно 1 или 2, а значение у равно 3.
При этом теорема ~ рр р принимает неотмеченное
значение при р = 3. Независимость Л*12 доказывается
при помощи трехзначных таблиц: ху — 1, когда я’-- 1
и у — 1, и ху — 3 в остальных случаях; х \/ у — 3;
когда х =- 3 и у = 3, и х \/ у = 1 в остальных случаях,
~ х — 4 — х\ значение х |— у равно 1 тогда и только тог-
да, когда значение х больше или равно значению у. Не-
зависимость правила 7?*3 доказывается при помощи трех-
значных таблиц: ху — max (х, у)\ х \/ у — 2, когда х и у
равны 2, х V у ~ 3, когда х и у равны 3, и х \/ у — 1
в остальных сдучаях; ~х — 3, когда х — 1, и ~х — 1
в остальных случаях; х |— у принимает неотмеченное зна-
чение только в случае, когда значение х равно 1, а значе-
ние у равно 2 или 3. При этом теорема р \/ q |—
|---— р V Ч принимает неотмеченное значение при р = 2
и 7	3. Для доказательства независимости остальных
аксиомных схем и правил принимается та же интерпре-
тация, что и в 5’р
Системы максимального следования, эквивалентные
53 и £3, обозначим Sm.
§ 2. Конверсное следование
Система конверсного следования, сформулирован-
ная в [4, 5], получается из S3 путем добавления аксиом-
ной схемы
Л15. —z|-----(ху)-
62
Прежде всего заметим, что все теоремы и метатеоремы S3
имеют силу в отношении 54, так как S3 является частью
системы S4. Непротиворечивость S4 следует из того факта,
что все аксиомы вида ~ х |— ~ (х у) суть тавтологии.
В 54 имеет место следующая метатеорема:
MTi. Если х у доказуема в S4, то в х входят только
те элементарные высказывания, которые входят в у.
Доказательство MTi. 1 случай: х |— у — аксиома S4.
Легко проверить, что в х входят только те элементарные
высказывания, которые входят в у. 2 случай: х |— у по-
лучена из х (— z и z\— у путем применения правила Ri.
Если в х входят только те элементарные высказывания,
которые входят в z, а в z входят только те, которые входят
в у, то и в х будут входить только те элементарные выска-
зывания, которые входят в у. 3 случай: х |— у имеет вид
х р- zv и получена из х }— z и х |— v путем применения
правила Я2. Если в посылках х |— z и х [— v в х входят
только те элементарные высказывания, которые входят
в z и р, то и в заключении х |— zv в х будут входить только
те элементарные высказывания, которые входят в zv.
4 случай: у в х у получено из х путем замены вхожде-
ния (по крайней мере одного) z в х на р, причем z |— v
и v р— z. Если в z |— v в z входят только те элементарные
высказывания, которые входят в v, а в р |—~ z в v входят
только те элементарные высказывания, которые входят
в z, то множества элементарных высказываний, входящих
в v и в z, совпадают. Поэтому в заключении х |— у в х
входят только те элементарные высказывания, которые
входят в у.
Т1. хр~х(у : — у)
1. ~х|—-~х~у : ху : ~х— у [Л15, А1, 7?1]
2. х\— ху:~х~у:х~у	[1]
3. х[-(~х~у:ху:Х~у)х	[2, Г212, Г812,
7?2, Я1]
63
4. х\—ху:х~у
5. х|— х(у : ~ у)
(3, Л14, ЛИ - Л13, 7*1012,
7’1312, 7’1412, ЛЗ, Я2]
[4, Л13, /?1]
Введем, далее, определение канонической формы для
формулы следования системы 51.
Di. Формула я** |—у** есть каноническая форма для
х |— у, если и только если: 1) х** есть каноническая форма
для х* (z: ~z), где х* есть каноническая форма для х,
a z есть конъюнкция элементарных высказываний, входя-
щих в у, но не входящих в х\ 2) у** есть каноническая
форма для у*р, где у* есть каноническая форма для у,
a v есть z1- ... • zm (т > 0) (где г^есть^а^, входящее в х*,
но не входящее в у*).
Л/Т2. Если х |— у — тавтология, и в я входят только
те элементарные высказывания, которые входят в у, то
для нее может быть найдена каноническая форма я** (—
Н у**. При этом х” |— у** является тавтологией, и множе-
ства элементарных высказываний, входящих в ж** и у**
совпадают.
Доказательство МТ2. Не основании МТИ7, имеющей
силу и для 54, для любой формулы х у может быть най-
дена формула х* [— у*, где х* и у* суть соответственно
канонические формы для х и у. Из определения канони-
ческой формы для высказываний, МТИЪ и ЛГГ415 сле-
дует, что х и х*, у и у* соответственно равнозначны, и мно-
жества элементарных высказываний, входящих в них,
совпадают. Так как в х входят только те элементарные
высказывания, которые входят в у, то может быть найдено
такое я* (z : ~z), удовлетворяющее условиям 271, что
множество элементарных высказываний, входящих в него,
совпадает с множеством элементарных высказываний,
входящих в у. С другой стороны, может быть найдено та-
кое у*у, удовлетворяющее условиям Z>1, что все выска-
зывания вида ~ входящие в Z, будут входить и в у**.
Для я* (z : ~ z) и у*р может быть найдена их канониче-
64
ская форма. Очевидно, что множества элементарных
высказываний, входящих в ж** и г/**, совпадают. При
этом, если ~х не есть тавтология, г/** имеет вид г/*, и
значение ж** |— у** совпадает с х* |— у*. Следовательно,
ж** |— у" является в данном случае тавтологией. Если
~х есть тавтология, то х** принимает значение 0 при
любых комбинациях значений входящих в него элемен-
тарных высказываний. Поэтому и в этом случае ж** (— у**
есть тавтология.
ЛГТЗ. Формула х |— у доказуема в *У4, если и только
если ее каноническая форма х**	у** доказуема в 54.
Доказательство МТЗ. Пусть х (— у доказуема в 54.
В силу MT1I5, МГ415, МТ2 формула х** (— у** яв-
ляется тавтологией, причем множества элементарных вы
сказываний, входящих в х** и у**, совпадают. Так как
S3 полна относительно тавтологий вида х у, где в х
иву входят одни и те же элементарные высказывания, то
х** |— у** доказуема в 54.
Пусть х** |— у** доказуема в 54. Тогда на основании
Di и Ti доказуема формула х* (— у**. Отсюда по Л13
и АЗ получаем формулу х* (— у*. От этой формулы на
основании MTiYl можно перейти к формуле х \— у.
MTi. Если формула х |— у — тавтология, в х входят
только те элементарные высказывания, которые входят
в у, и при этом х |— у находится в канонической форме, то
она доказуема в 54.
Доказательство МТк совпадает с доказательством
MT5I7. Из МТ2 — MTk следует:
МТЪ. Если х |— у есть тавтология, и в х входят только
те элементарные высказывания, которые входят в у, то
х р— у доказуема в 54.
Изложенное доказательство МТЪ (полноты 54) дано
Г. А. Смирновым [13].
Система конверсного следования, эквивалентная 54,
получается из 53 путем добавления аксиомной схемы
А12. х|— х\/у
«5
Независимость Л12 в 54 (как и в 54) очевидна: она —
единственная схема, допускающая появление в консек-
венте доказуемых формул таких элементарных высказы-
ваний, которые отсутствуют в антецеденте.
Доказательство полноты 54, построенное А. М. Фе-
диной [14], имеет следующий вид.
Пусть х р у — тавтология. Тогда в силу MT1II2
формула х* }— у*, где х* и у* суть канонические формы
х и у соответственно, так же является тавтологией. Под-
становка вместо элементарного высказывания д*, встреча-
ющегося в я, а значит иву, выражений вида g1 (рк \/ — рк),
пде рк — элементарное высказывание, встречающееся в у,
но отсутствующее в х, так же дает нам тавтологию. Приме-
нение 7TII2 и 7?3 к полученным выражениям дает нам
опять-такй дизъюнкцию конъюнкций всех элементарных
высказываний или их отрицаний, встречающихся в
плюс рк. 1
высказыва
В у повторения элементарных высказываний элимини-
руются п
сохраняющая свойство тавтологичности и обладающая!
тем свойст]
ются одни
шее доказательство теоремы о полноте остается тем же, что
и в
Системе. 5J , эквивалентная 54, получается из 5< путем
замены АЗ
вило Я*5:
4**12. я\—х(у\/~у)
х
Гаким образом, в х* вводятся все элементарные
1ния, встречающиеся в у, но отсутствующие в х.
к
При элем получается х** |— у
вом, что в антецеденте и консеквенте встреча-
и те же элементарные высказывания. Дальней-
А8 и All на аксиомную схему 4**12 и пра-
имость /?*5 доказывается той же интерпрета-
независимость АЗ в 5Х. Независимость осталь-
шых схем и правил доказывается так же, как
/Г5. Если х Н и при этом в у не входят элементар-
ные высказывания, отсутствующие в 2, то ху-]— z.
Незавш
цией, что 1
ных аксио]
в 52-
66
Система 84 , эквивалентная S4, получается из 53
добавлением Л*12. При этом отпадает необходимость
в ЛЗ. Системы и S4 найдены и исследованы Е. А. Си-
доренко [10].
Системы конверсного следования, эквивалентные
и 84, будем обозначать символом 8е.
§ 3. Вырожденное следование
Система S6 с вырожденным следованием, сформули-
рованная в [3—5], получается путем принятия 8s и сле-
дующих дополнений к ней.
Di, |—х есть формула вырожденного следования, если
и только если х есть высказывание.
Дополнительная аксиомная схема:
Adi. |— —>(—хх)
Дополнительное правило:
2?dl. Если х [— у и |— z, то [— у,
D2. Формула |—я доказуема (есть теорема) в S5, если
и только если она есть аксиома или получается из доказу-
емых формул по правилу /?dl.
MTi. Если \—х доказуема в 56, то х есть тавтология.
Теорема MTi очевидна: Adi есть тавтология, a
свойство тавтологичности сохраняет.
МТ2, Если х есть высказывание, а у есть его канони-
ческая форма, то х —11— у доказуемы в S5.
Доказательство МТ2, Пусть х есть элементарное вы-
сказывание р, В таком случае каноническая форма для х
есть р\/ ~ рр
1.	р|-р
2.	pHp(pV~p)
з.	pHppV~pp
pHpV~pp
5.	р V — PPHPP V~PP
6.	ppV~ppH(pV~p)p
7.	(pV~P)Pl~P
8.
67
Таким образом, доказуема х —11— у. Аналогично для
~Р-
Пусть х есть у1- ... -уп (п > 2); уг, ..., уп суть
канонические формы соответственно для у1, ..., уп;
у{ —| Н доказуемы; и1 V.. ит есть каноническая форма
для х.
1.	у1 • . . . • упН|-У1 • • • • • Уп
2.	У1 • • • • • Уп ~I |— V1 V • • • V vm
3.	ух - . . . • уп —| [— и1 V . . . ит
Таким образом, х —|у доказуема.
Пусть х есть у1 у ... у уп\ yt и г?1 У ... У vm те же,
что и выше.
1.	у1 V... V*/n—IHj/iV• •. \/Уп
2.	1/1V... Vi/n-HH^V
3.	v^m
Таким образом, доказуема х —11—’ у.
Пусть, наконец, х есть ~z; и есть каноническая форма
для z; z —| и доказуемы; ип у ... у ит есть каноническая
форма для х.
1.	~2—I!----»
2.	~ v —11— Vх у . . . у ит
3.	—z —| f— иг у . .. у ит
Таким образом, х—{|— у доказуема.
МТЗ. Если х находится в канонической форме и есть
тавтология, то |— х доказуема в 5б.
Доказательство МТЗ. Пусть в х входит только одно
элементарное высказывание р. В таком случае х есть
рУ ~р. Но(—(рУ ~р) доказуема в силу Л dl, Л 9, Л10,
Rdl.
Пусть в х входит п элементарных высказываний р1, ...
...,рп (п > 2) и не входят никакие другие. В таком случае
х имеет вид ух У ... У у*, где у1, ..., ук суть всевозможные
68
конъюнкции, образованные из р1, ...» рп и их отрицаний
(к = 2").
1.	H((p1--..-p")V~(p1- ••••/>"))
2.	нар1-...-pn)v(~plv• • • v~pn»
з.	н((р*.... -pn)V (-Р1 V • • • V~pn)) (pnV~pn)
4.	Н((Рг- ••••Pn)(PnV~pn)V
V(~p1 V • • • V ~рп) (Pn V ~ pn))
5.	(p1-... -pn)(pnV~pn)H F-(p1- • • • -Pn)
6.	(_piV - \/-pn)(pnV~Pn)HH
HI—рг(рп V —pn) V • • • V~pn(pn V~pn)
7.	H (pl •... • pn) v (~ P1 (p" V ~ Pn) V • • • V ~ Pn)
Аналогично для остальных n — 1 элементарных выска-
зываний. В результате получим, что
Н (р1 • • • • • рп) V(~ р1 (Pn V ~ р”) • • • (р2 V- р2)) V-
... v (~ р" (pn-‘ V - Р"-1) • •  (р1 V ~ р1))
доказуема в S6. Отсюда в соответствии с А 5 — А8 полу-
чаем, что доказуема Н У1 V • • • V Ук-
Из МТ2 следует: если у есть каноническая форма для
х, и при этом х есть тавтология, то у есть тавтология.
Отсюда получаем: если х есть тавтология, то у есть тавто-
логия^ у доказуема (в силу МТЗ). Но согласно МТ2
формула у \— х доказуема. Отсюда по Rdl получаем, что
х доказуема. Таким образом, верна теорема полноты S6:
МТ4. Если х есть тавтология, то|— х доказуема в 5б.
Изложенное доказательство МТ4 дано Л. А. Бобро-
вой в [1].
Независимость Ad. и Rd и непротиворечивость S5
очевидны.
МТЗ. Если у и \—~у доказуемы в 5б, то|—
доказуема в 5б.
МТЗ. Если |—х и|— у доказуемы в 5б, то |— ху доказу-
ема в S6.
И
Теоремы МТЪ и МТ& следуют из MTi. Их можно ис-
пользовать как производные правила вывода. Поскольку
в дальнейшем в связи с расширением S5 эти правила ока-
жутся независимыми от Rly поэтому мы примем также
следующие правила:
Rd2. Если х |— у и ~ у, то |— ~ х.
Rd3. Если х и Р- у, то [— ху.
МТ7. Если х доказуема в 55, то [— у, образующаяся
путем подстановки высказывания z на место элементар-
ного высказывания v везде, где v входит в х, доказуема
в S5 (правило подстановки).
§ 4. Квазиследование
Система 5е квазиследования, сформулированная в [3—
5], образуется путем присоединения к S& следующего
правила:
Rki. Если xz |— у и |— z, то х |— у.
MTi. Если х у доказуема 5е, то она есть тавто
логия (теорема очевидна)
МТ2. Если х (— у есть тавтология, то она доказуема
в 5е.
Доказательство МТ2. Пусть х |— у есть тавтология.
Возможны три случая вхождения элементарных выска-
зываний в х и у : 1) множество элементарных высказываний,
входящих в у, совпадает с множеством элементарных вы-
сказываний, входящих в х\ 2) в у входят только те элемен-
тарные высказывания, которые входят в х\ 3) в у входит
по крайней мере одно элементарное высказывание, не вхо-
дящее в х. Если имеют место случаи 1 и 2, то х |— у дока-
зуема в 616. Если ж|— у есть тавтология вида 1 или 2, то
х у доказуема в 58 согласно теореме о полноте 58.
Но согласно определению доказуемой формулы квазисле-
дования имеем: если х ~(~рр)НУ и Н ~ (~РР)
доказуемы, то х |—у доказуема. Формула |— ~(~рр)9
очевидно, доказуема. Формула х ~ рр) у доказу-
70
ема согласно и доказанным выше формулам. Таким
образом, х\— у доказуема. Рассмотрим случай 3. Пусть
р1, ..., рп (и 1) суть все элементарные высказывания,
входящие в у и не входящие в х. В таком случае формула
х ((р1, • •• 'Рп) V ~(рх- ••• *рп))|—У будет тавтологией и
будет доказуема в S8 в силу теоремы о полноте. Но фор-
мула |— (р1- ...-pn)V ^(р1- ••• *рп) доказуема в 5е. Сле-
довательно , х |— у доказуема согласно определению дока-
зуемой формулы квазиследования.
Система квазиследования *S*e, эквивалентная 5е, по-
лучается из S2 путем снятия ограничения на /?2.
МТЗ. Если х у есть тавтология, то х |— у доказу-
ема в 5*в.
Доказательство MP3.
1.	x(y\J ~у)\-х
1Л31
2.	х\—zy\! х	[412, 7?1, а\/&|-bV«]
3.	zy\/x\- (zy\/ х)(у\/ — у)	[411]
4.	zy\/ х[- у\/ —у	[43, 7?1J
5.	х\-у\/~у	|2, 3, 4, 7?1]
6.	х\-х	[41, 42, 7?1]
7.	х |— х (у \/ ~ у)	[5, 6, 7?2]
8.	x-jj— х(у У— у)	[1, 7]
Пусть р1, ..., рп суть все элементарные высказывания,
входящие в у и не входящие в я. Если х (рх\/ ~ р1) ...
... (рп \/ рп) |— У есть тавтология, то она доказуема в Sa,
а значит и в S*e. Но х|—х (рх\/ ~ р1) ... (pn V ~ Рп)
доказуема в 5‘® в силу теоремы 8. Следовательно, в си-
лу доказуема х |— у.
Доказательство МТ2 и МТЗ изложено в работе Л. А.
Бобровой [1].
ГЛАВА ПЯТАЯ
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДЕДУКЦИИ
§ 1.	Общая теория дедукции
Рассмотренные выше системы образуют общую теорию
дедукции. Прочие разделы логики будут строиться, как
это и принято в современной логике, путем присоединения
к ней новых элементов алфавита, определений, аксиомных
схем и правил вывода.
§ 2.	Общая теория дедукции
и классическая логика
Интерпретация, приведенная выше для доказательства
непротиворечивости и полноты систем общей теории де-
дукции, образует функционально полную двузначную
пропозициональную алгебру. Причем, знак следования
в ней интерпретировался как знак материальной импли-
кации.
Отсюда в силу теорем полноты и непарадоксальности
для систем общей теории дедукции и в силу дедуктивной
эквивалентности классического пропорционального ис-
числения и двузначной алгебры получаем такие следствия
(выражению «элементарное высказывание» при этом будет
соответствовать выражение «пропозициональная пере-
менная»):
MTi. Формула х\— у доказуема в 5s, если и только
если х зэ у доказуема в классическом пропозициональном
исчислении и при этом в у не входят элементарные выска-
зывания, отсутствующие в х.
72
МТ2. Формула х \— у доказуема в 5™, если и только
если х zd у доказуема в классическом пропозициональном
исчислении и при этом в х и у входят одинаковые элемен-
тарные высказывания.
МГЗ. Формула х |— у доказуема в Sw, если и только
если х зэ у доказуема в классическом пропозициональном
исчислении и при этом в х и у входит по крайней мере одно
одинаковое элементарное высказывание.
МТ4. Формула х \— у доказуема в $с, если и только
если х zd у доказуема в классическом пропозициональном
исчислении и при этом в х не входят элементарные выска-
зывания, отсутствующие в у.
МТ5. Формула [— х доказуема в 5б, если и только если
х доказуема в классическом пропозициональном исчисле-
нии.
МТ6. Формула х \— у доказуема в 5е, если и только
если х zd у доказуема в классическом пропозициональном
исчислении.
Как видим, классическая логика сохраняется в общей
теории дедукции в смысле МТ5 и МТ6.
В силу определений формулы следования выражения
вида (х (у х)), (х ~ Н У))> Н) (у Н) h
|— (х |— z) ит. п., содержащие по два или более знака
следования, не являются формулами следования в систе-
мах общей теории дедукции. Так что не каждой правильно
построенной формуле классического пропозиционального
исчисления вида х zd у соответствует формула х\— у
в системах общей теории дедукции. С этой точки зрения
даже система 5е не совпадает с классическим пропози-
циональным исчислением. В силу теорем непарадоксаль-
ности в системах 5е, Sm и Sc недоказуемы формулы
х Н ~ ~УУ)> ~ хх[— у, х у\/ ~ у и т. п., в которых
посылка и заключение не содержат одинаковых элемен-
тарных высказываний. Тем самым наши системы исклю-
чают парадоксы, подобные парадоксам материальной
импликации.
73
§ 3.	<<Парадоксы» следования
В системах 5s доказуемы формулы вида А: х |— х\ ~ х,
х[—х\/~х, ~ хх |— х. Их иногда рассматривают как
частный случай парадоксальных формул вида В: х |— у :
~ у, х |— У V ~ У, ~хх\—у. Но что такое «частный
случай формулы»? Неявно полагается, что формула а
есть частный случай формулы Ь, если первая получается
из второй подстановкой в элементарные высказывания,
входящие во вторую. Однако, в Ss недоказуемы формулы
вида В, и формулы вида А получаются не из них. И если
формулы вида А не нравятся по каким-то соображениям,
то эти соображения должны быть сформулированы неза-
висимо от формул В.
Разумеется, можно какие-то доказуемые в некоторой
системе формулы отвергнуть по каким-то мотивам и стро-
ить более узкие исчисления. Однако, в этом случае при-
дется просто перечислять исключаемые формулы или ука-
зывать их некоторые общие структурные признаки. Напри-
мер, можно потребовать, чтобы были недоказуемы формулы
вида а |— а : х, а |— а: ж1:	хп. Однако, во всех случаях
такого рода нельзя сформулировать априорные требова-
ния, не зависящие от конкретной структуры формул.
Отношения формул по длине здесь ничего не дают, а вхо-
дить в конкретную структуру формул —- значит отказать-
ся от некоторого априорного (интуитивного) понятия логи-
ческого следования, не зависящего от вида формул и ис-
числений, т, е. снять проблему вообще.
Формулы типа А — законная плата за дедуктивный
метод и за полноту охвата формул определенного вида
в том или ином исчислении.
74
§ 4.	Общая теория дедукции
и интуиционистская логика
В интуиционистском пропозициональном исчислении
доказуемы формулы х о (у о х), х о (~ х zd у), ~ хх
zd у, у о х \/ ~ х, порождающие парадоксы, аналогич-
ные парадоксам материальной и строгой импликации.
Но зато в нем недоказуемы формулы ~ ~ х х и ~ х\/
\/ х. Так что при интерпретации его в качестве системы
общей теории дедукции получается система с бесмыслен-
ным на уровне общей теории дедукции ограничением. Это
не означает, что интуиционистские ограничения клас-
сической логики вообще лишены смысла. В дальнейшем
мы будем постоянно рассматривать неклассические слу-
чаи, соответствующие этим идеям. Это означает лишь то,
что на уровне общей теории дедукции интерпретация
интуиционистского пропозиционального исчисления как
системы следования дает неполную систему, да к тому же
с парадоксальными следствиями.
§ 5.	Неклассический случай
на уровне общей теории дедукции
Различение классических и неклассических случаев
в рамках общей теории дедукции лишено смысла, посколь-
ку операторы | и ? могут стоять только перед оператора-
ми V, и —>• (из тех, которые были указаны во вве-
дении). Перед операторами, рассматриваемыми в общей
теории дедукции (•, :, \/, ~), они не могут стоять в силу
самих правил построения высказываний такого типа.
Однако, мы все же сформулируем добавление к системам
общей теории дедукции, благодаря которому полученные
системы можно рассматривать как системы для некласси-
ческих случаев. Обозначим их символами Sn, $п и т. д*
в зависимости от выбора 5s, Sw и т. д., к которым делается
это дополнение.
75
Дополнение к определению высказывания: если х есть
высказывание с главным оператором V, Я, <- или —>,
не содержащее “] и?, то х и ?х суть высказывания, обра-
зованные из х путем помещения операторов соответственно
~] и ? перед главным оператором х. Например, если х
есть а <— Ь,то—]х есть а —| <— Ь, а ?х есть а? Ь; если х
есть (Va) х, то “] х есть ( | Va) х, а ?х есть (?Va) х.
Дополнительные аксиомные схемы:
Лп1. —х|— |а?\/ ?я:
Ап2. | х \J ? х |-х
Лп3. —“|®|— х\/"?х
Лп4. х\/ ? ----•”|г
Лп5. —?я|— х\/~| г
Лп6. х\/~]х|—~?ж
Главная семантическая интерпретация операторов ~|
и ?:
1)	если одно их г и | х имеет значение 1, то друго
имеет значение 0;
2)	если одно из х и-)ж имеет значение 0, то значение
другого не зависит от первого (не исключается случай,
когда оба они имеют значение 0);
3)	?х равнозначно ~ х ~ | х.
MTi. Все доказуемые в 5^ формулы суть тавтологии
поскольку все Л” — Л« суть тавтологии).
МТ2. Если х у доказуема в Sn, то в у не входят
элементарные высказывания, отсутствующие в х. Анало-
гично для 5™ и Sn имеют силу соответствующие
теоремы непарадоксальности. МТ2 очевидна из вида
Л7-Л”.
Из MTi следует:
МТЗ. Формулы ~ |х|— х и |— х\/ |х недоказуемы
в 5*, (поскольку не являются тавтологиями).
Недоказуемость формул ~ |х|— х и |— х\/ | ж
в 5п соответствует недоказуемости законов снятия двой-
76
ного отрицания и исключенного третьего в интуиционист-
ской логике.
Приведем некоторые интересные теоремные схемы Sn:
Ti.	я—||	? X
Т2.	X |—	| X
73.	я|	? X
74.	“I X —] |	X— ? X
Т5.	~~| х|	X
Тб.	
Т1.	lx—] I	Х~ ~“1 X
Т8.	? х |— ~ X
79.	?ж|— ~]X
710.	
711.	I	(х ? х)
712.	\-^(-]х?х)
ПЗ.	I	(х “1X ? х)
714.	|— хХ/Пх V
Классический случай систем общей теории дедукции
можно получить двумя путями: 1) просто исключить при-
нятые в данном параграфе дополнения; 2) принять допол-
нительную аксиомную схему
Ап1 - х Н ~1
Благодаря Ап7 будут доказуемы ~х —| (—
~ я [—х, V ~ и другие формулы, делаю-
щие излишними оператор неопределенности и различение
двух отрицаний.
§ 6.	Классические и неклассические
отношения высказываний
Di. Будем говорить, что у1, ..., ут не расширяют числа
возможностей по?, ..., хп, если и только если доказуема
формула ~ (х1: ... :хп: у1: ... :ут) или формула х1: ...
...: хп\ у1:..,. :ут\—х1: ... :хк, где х^ ..., хк суть высказы-
вания из множества высказываний х1, ..., хп (1 к п)
или их отрицаний.
MTi. Если у1, ..., ут (zn> 1) не расширяют числа воз-
можностей по?, ..., хп, то у1, ..., ут1 ут+1 точно также не
расширяют числа возможностей по?, ..., хп.
77
Справедливость MTi видна из того, что если доказу-
ема х1: ...:хп:у1: ... :ут х^. ... :хк, то либо доказуема
х1: ... txn:y1: ... tym:ym+11— xj: ... :х|> где 1 I It, а
Xi, ..., xj суть какие-то из хь ..., xk, либо доказуема
р— ~ (х1: ... ,хп'.у1'. ... :ут:ут+1), и если доказуема f—
(х1: ... .х^.у1:... :ут), то доказуема и |— ~ (х1: ... :хп:уг:
... :ут : ym+1).
МТ2. Каждое из ху, ~ху, х у, х, у, ~х, ~ у
не расширяет числа возможностей по х и у.
Теорема верна, поскольку в S5 доказуемы формулы
х: у : ху |— х: у
х •. у : <—ху\—х
х: у :х~у\-у
х:у:х\—у
х:у:у\—х
х:у:~х[-<~у
х‘.у'.~у\-~х
МТЗ. Любая комбинация из ху, ~ ху, х ~ у, х, у,
~ х и ~ у не расширяет числа возможностей по х и у
(следует из MTi и МТ2).
МТк. Высказывание ~х ~у расширяет число воз-
можностей по х и у.
Теорема верна, поскольку в S5 недоказуемы формулы
х: у : ~ х ~ у |— х: у,
х-.у: ~х~у\— х,
х;у: —х~у\—у
|--(х:у:~х~у)
МТЗ. Любая конъюнкция z из х, у и их отрицаний не
расширяет числа возможностей по х, у и ~ х ~ у.
Доказательство МТЗ. Пусть z есть ~ х ~ у. В «5’ь
доказуема х:у: х ~ у: ~х~у\—х: у. Пусть z от-
лично от х у. В таком случае МТЗ верна в силу МТЗ
и MTi.
МТЪ. Любая конъюнкция z изх, у, х у и из отри-
цаний не расширяет числа возможностей по х, у и ~ х ~ у.
Теорема МТЗ есть следствие МТЗ.
п
Из МТЪ и МТ6 следует, что ~х ~у есть единствен-
ное расширение возможностей по х и у и предельное (даль-
нейшее расширение исключено).
МТ7. Расширение числа возможностей по х и ~х
невозможно.
МТ8. Высказывание ~ х ~ ~~] х является единствен-
ным расширением числа возможностей по х и ““|х.
D2. Будем говорить, что высказывания х и у находят-
ся в классическом отношении, если и только если доказу-
ема х:у.
/)3. Будем говорить, что высказывания х и у находятся
в неклассическом отношении, если и только если доказу-
ема х : у : ~ я ~ у, но недоказуема х\у.
МТ§. Высказывания х и ~ х находятся в классическом
отношении, а высказывания х и ""] х — в неклассическом.
МТ10. Классическому отношению высказываний соот-
ветствует одно и только одно неклассическое.
Таким образом, рассматриваемые нами неклассиче-
ские случаи систем следования являются единственно
возможными.
§ 7.	Расширение общей теории дедукции
В дальнейшем мы будем излагать только те дополне-
ния, которые должны быть сделаны к общей теории де-
дукции, чтобы получить соответствующий раздел логики
(подобно тому, как это сделано в § 5). В зависимости от
того, какая система общей теории дедукции будет выбрана,
получатся различные системы и варианты систем данного
раздела логики.
§ 8.	К семантической интерпретации
знака следования
Знак следования в формулах х |— у мы выше семанти-
чески интерпретировали так, что выполнялось утвержде-
ние: х |— у есть тавтология, если и только если х zd у
79
есть тавтология. Это было сделано исключительно из
«технических» соображений и для удобства сравнения
наших логических систем с традиционными системами
классической математической логики, а не как определе-
ние условий истинности высказываний о следовании.
Для наших целей была бы вполне достаточна такая
интерпретация знака следования: х |— у имеет значение 1,
если и только если приписав х значение 1 (у значение 0),
мы вследствие этого вынуждены приписать у значение 1
(х значение 0). Однако и эта интерпретация не есть опре-
деление условий истинности х |— у. Последние опреде-
ляются так: высказывание «Из х следует у» истинно, если
и только если действительно имеется логическое правило
(утверждение), согласно которому из х следует у. А так
как в логике приходится устанавливать сами эти правила,
то семантическая интерпретация знака следования может
быть лишь «техническим» подсобным средством решения
этой задачи, и не более того. Подробно вопрос о семанти-
ческой стороне дела в проблеме следования рассмотрен
в работах [3, 8].
§ 9.	К полноте логических систем
Мы выше определили полноту систем общей теории
дедукции относительно определенных классов формул
х у (эти формулы суть тавтологии в принятой интер-
претации и удовлетворяют определенному ограничению
на соотношения элементарных высказываний, входящих
в х и у). Однако эта полнота является в некотором роде
избыточной: в наших системах доказуемые некоторые фор-
мулы, которые бесполезны с точки зрения использования
правил следования (таковы, например, формулы, указан-
ные в § 3). Поэтому полезно сформулировать другое (более
узкое) понятие полноты, подобно тому, как это сделано
Е. А. Сидоренко (см. § 6 третьей главы).
80
Введем следующую операцию замены отрицаний выс-
казываний. Если в х |— у высказывание х есть противоре-
чие или у есть тавтология (или и то и другое), то из х |— у
получается формула х* |— г/* следующим образом:
1)	все вхождения вида а1: ... \ап в х |— у заменяются на
b1V---Vbn» где каждое (i = 1, ..., и) есть конъюнкция
af и отрицаний всех остальных из а1, ..., ап;
2)	все вхождения вида ~ ~ с заменяются на с до тех
пор, пока не останется высказывание без отрицания во-
обще или только с одним отрицанием;
3)	если в полученной формуле х* |— г/* в х* или в г/*
входит z без отрицания и с отрицанием, то ~ я везде за-
меняется на высказывание и, которое не входит в х* |— у*\
4)	сказанное в пункте 3 делается для всех пар выска-
зываний и их отрицаний, входящих в х* или г/*; получен-
ная формула есть х" |— г/’*.
Системы общей теории дедукции можно считать доста-
точно полными, если в них доказуемы все непарадоксаль-
ные тавтологии х |— у такие, что формулы х" /*,
полученные в результате рассмотренной операции замены
отрицаний высказываний, доказуемы в соответствующих
системах. С этой точки зрения система 5^ не является пол-
ной, поскольку в ней недоказуема формула (х \/ у) •
— х |— у, к которой наша операция замены неприменима (ибо
(я V у) ~ х не есть противоречие, а у не есть тавтология).
Благодаря приведенной операции замены рассматри-
ваются только такие х |— у, в которых х может принять
значение 1, а у —- значение 0. Так что приведенная в § 8
интерпретация оказывается вполне достаточной.
Мы не настаиваем на таком сужении наших систем, что-
бы в них были доказуемы только формулы, отвечающие
третьему условию (т. е. чтобы в них не были доказуемы
формулы, не отвечающие третьему условию), хотя и не
исключаем его. Если та или иная система полна в таком
более узком смысле, то она дает исчерпывающее определе-
ние операторов, рассматриваемых в данном разделе логики.
ГЛАВА ШЕСТАЯ
УСЛОВНЫЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ
§ 1. Условные высказывания
Системы, образующие теорию условных высказываний
получаются благодаря таким дополнениям к системам
общей теории дедукции.
Дополнение к алфавиту:
1)	— высказываниеобразующий оператор «если, то»
(оператор условности);
2)	~| — внутреннее отрицание;
3)	? — оператор неопределенности.
D1. Дополнение к определению высказывания
(х у), (х ""I -> у) и (z? -> у) суть высказывания, если
и только если х и у суть высказывания.
D2. Высказывания хну суть соответственно анте-
цедент и консеквент высказываний (х —> у),	]—>у)и
(х? -> у).
D2. Элементарное высказывание в теории условных
высказываний:
1)	если оператор условности не входит в высказывания
х и у, то эти высказывания суть элементарные высказы-
вания, входящие в (х у), (х “|	у), (xi -> у);
2)	если (х -> у), (х | -+ у) или (х? -+ у) входит в z,
то элементарные высказывания, входящие в х и у, суть
элементарные высказывания, входящие в z;
3)	высказывание элементарно лишь в силу 1 и 2.
Дополнительные аксиомные схемы и правила вывода
укажем ниже. Системы теории условных высказываний
рассматривались в [3—5].
82
§ 2.	Условные высказывания и следование
Высказывания «Если х, то у» обычно смешивают с вы-
сказываниями «Из х следует у». Это смешение — грубая
ошибка: высказывание «Если х, то у» состоит из высказы-
ваний х и у и высказываниеобразующего оператора, тог-
да как высказывание «Из х следует у» состоит из субъек-
тов «высказывание х» и «высказывание у» и предиката «из
первого следует второе».
Имеется еще одно принципиальное их различие. Во-
прос о том, когда истинны высказывания вида «Из х сле-
дует у» есть вопрос, решаемый в рамках логики и только
логики. Установление этого есть главная задача логики.
Тогда как вопрос о том, когда истинны высказывания вида
«Если х., то у», лишь частично решается в логике, да и то
как производный от первого, т. е. лишь в силу принципа:
если верно, что из х следует у, то верно «Если х, то у».
В остальных случаях, когда высказывания «Если х, то
у» получаются не из отношений следования, логика совер-
шенно не компетентна судить об их истинности. И не во
всех случаях, когда истинно «Если х, то у» будет истинно
«Из х следует у».
Известны многочисленные случаи, когда условное выс-
казывание является истинным, а антецедент и консеквент
его не содержат никаких одинаковых терминов и выска-
зываний.
§ 3.	Условные высказывания
и материальная импликация
Оператор условности обычно отождествляют с опера-
тором материальной импликации. Это отождествление
точно так же ошибочно, на что указывали многие логики
(в частности, Айдукевич). Этот вопрос рассматривался
в [3, 8]. Добавим еще несколько примеров, наглядно ил-
люстрирующих ошибочность такого отождествления.
83
Для оператора материальной импликации имеют силу
утверждения:
ху\- (х ZD у),	— Х—у^Х^у), ^Xy\-(XZD у)
^(х~у)|—(х^эу), ~(xzd г/)Ь— х~у, ~х\/у\-(х:зу).
Эти утверждения суть тавтологии и в силу полноты 5е
доказуемы в ней. Но аналогичные утверждения для опера-
тора условности
ху\- (х-^у),	~х~у\-(х-+у), — ху[-(х->у)
~(^~y)H(^->?/)» ~(х->у)\-х~У' ~х\/у\-(х^»у)
ошибочны. Если мы в какой-то ситуации установили истин-
ность х и у, это еще не дает нам права принимать за истин-
ное у всякий раз, когда истинно х (т. е. это не исключает
ситуации, когда истинных и ~ у). Аналогично для случаев
~ х ~ у, ~ ху, ~ (х ~ у) и ~ х\/ у. Отрицание х у
означает, что признание х не дает нам права на признание у.
Но из отрицания этого права не следует, что неверно
X — у.
Для материальной имплцкации верно утверждение
(ху ZD Z V I?) Н (х о z) V (у
являющееся Тавтологией и доказуемое в S8. Но аналогич-
ное утверждение для оператора условности
(ху -> Z V V) |— (х—> z)
ошибочно: возможно верно ху -> z или ху -> и, но невер-
ны оба х -> z и у -> v. В частности, для наступления собы-
тий, фиксируемых в z и р, нужны оба события, фиксиру-
емые в х и у, а по отдельности они для этого недостаточны.
Или возможно, что z и v следуют только из ху, а из х и у
по отдельности нет. Так, в Ss доказуемо ху р- у V
и значит истинно ху —> у \/ х; но в Sa недоказуемы х у
и у |— х, т. е. оба х —> у и у —> х могут оказаться ложными.
Для материальной импликации верно утверждение
(ху о z) Н (х о z) \/ (у о z),
84
являющееся тавтологией и доказуемое в 51. Аналогичное
утверждение для условных высказываний
(xy-+z)\-(xr+z) V
ошибочно: например, высказывание ху -> ху истинно,
а х -> ху и у -> ху могут быть ложными. И такого рода
примеры можно приводить сколько угодно.
Отождествление х -> у и х zd у явилось следствием того
(если не принимать во внимание увлечение идеями и дру-
гие социально-психологические обстоятельства), что в ма-
тематике, для которой в основном и разрабатывалась ма-
тематическая логика, антецеденты и консеквенты услов-
ных высказываний универсальны, т. е. не изменяют значе-
ний истинности в зависимости от условий, места и времени.
Кроме того, в математике условные высказывания прини-
маются исключительно из отношений следования, и при-
ведение примеров такого рода, как выше, априори исклю-
чается. Короче говоря, при этом из класса условных
высказываний выделяются только такие, которые в силу
самой априорной установки (способа выбора) можно рас-
сматривать как материальные импликации. Но употреб-
ляемые в науке (и вне ее) условные высказывания часто
содержат антецеденты и консеквенты, значения истинности
которых зависят от условий, места и времени. И получа-
ются эти высказывания не из отношений следования, а из
наблюдений и экспериментов или просто постулируются
ради каких-то целей (например, для того, чтобы можно
было логически вывести какие-то иные высказывания).
Мы не отвергаем сходства х у vl х у. В частности,
для них имеют силу сходные утверждения
(х о у) X |- у,
(тгэу)~у\--х,
{х о у) |- (~ у => ~ х),
Н (ху=>~(х=)~у),
(х-^у)х\- у
(х-+у')~у\--X
(х->у)|—	X)
Н (ху^~(х^~у)
95
и т. п. Кроме того, между ними имеет место логическая
связь, устанавливаемая утверждениями

Н — (ж=) у) -> — (ж—> у).
Однако, это не отвергает следующее принципиально
важное утверждение: не всякому приемлемому утвержде-
нию я |— у, содержащему оператор о, соответствует приемле-
мое утверждение z (— у, получающееся из х у путем
замены оператора id на оператор по крайней мере
в одном месте. Это —- априорная предпосылка построения
теории условных высказываний.
§ 4.	Интерпретация
Отступим от принятого выше порядка изложения и
сформулируем сначала семантическую интерпретацию вы-
сказываний с оператором условности.
Условным высказываниям значения приписываются
по таким правилам:
1)	если приписали х у значение 1 и при этом при-»
писали х значение 1, то должны приписать у значение 1;
2)	если приписали х -> у значение 1 и при этом
приписали у значение 0, то должны приписать х значе-
ние 0;
3)	если приписали х -> у значение 0 и при этом при-
писали х значение 1, то значение у не зависит от зна-
чения х, т. е. имеем право приписать у как значение 1,
так и значение 0 (если значение у уже не задано), и оба
случая должны быть рассмотрены;
4)	если приписали х -> у значение 0 и при этом при-
писали у значение 0, то значение х не зависит от значения у\
5)	если приписали х значение 1 и вследствие этого вы-
нуждены приписать у значение 1, то должны приписать
х -> у значение 1;
86
6)	если приписали у значение 0 и вследствие этого вы-
нуждены приписать х значение 0, то должны приписать
х —у значение 1;
7)	если приписали х значение 1, и это не обязывает нас
приписывать у значение 1 (т. е. мы можем при этом при-
писать у значение 1 и 0), то можем приписать х -> у зна-
чение 0;
8)	если приписали у значение 0, и это не обязывает нас
приписывать ,х значение 0, то можем х —> у приписать
значение 0;
9)	если х приписали значение 0 (или у приписали зна-
чение 1), то значение х -> у не зависит от значения х
(и, соответственно, у);
10)	если одно из я-у к х у имеет значение 1,
то другое имеет значение 0;
11)	если одно из х у и х | —у имеет значение 0,
то значение другого не зависит от значения первого (т. е.
другое может принять .как значение 1, так и значение 0):
12)	х? у равнозначно ~ (х -> у) ~ (х ~~| —> у).
Рассмотрим несколько примеров использования приве-
денных семантических правил. Возьмем формулу z |—
|— (х -> z). Приписав z значение 1, мы тем самым не опреде-
ляем значение х -> z: последнее при этом может иметь зна-
чение 0 согласно пункту 9; кроме того, здесь z получает
значение 1 не вследствие того, что х приписано значение 1-
В высказывании же ху -> х консеквент принимает значение
1, если антецедент принимает значение 1, и это выска-
зывание согласно пункту 5 имеет значение 1. В формуле
(х —> у) (у —> z) |— (х z) мы, приписав (х —> у), (у —> z)
и х значение 1, вынуждены приписать и z значение 1, так
что должны и х -> z приписать значение 1.
Можно показать, что приведенные во втором парагра-
фе неприемлемые формулы с условными высказываниями
не являются тавтологиями. Так, припишем в формуле
{ху z) р- {х -> z) V {у -> z) высказыванию ху z зна-
чение 1. Согласно пункту 2 мы должны приписать ху зна-
87
чение 0, приписав z значение 0. Но, приписав z значение О,
мы не обязаны вследствие этого приписывать х значение О,
так как ху может иметь значение 0 за счет того, что значе-
ние 0 имеет у. Потому х z можем приписать значение 0.
Аналогичное рассуждение имеет силу для у z. Так что
(х -> z) \/ (у -> z) может иметь значение 0 в то время, как
{ху -> z) имеет значение 1.
Аналогично обстоит дело с формулой
|— {х -> у) V (х z), которая на первый взгляд кажется
приемлемой. Приписав х и х у z значение 1, мы дол-
жны приписать у \/ z значение 1. Но это не означает, что
мы непременно у должны приписать значение 1. Потому
х -> у может иметь значение 0. Это также не означает, что
мы должны непременно z приписать значение 1. Потому
х -> z может иметь значение 0. Значит данная формула не
есть тавтология. Это соответствует тому, что оба х —> у
и х z могут быть ложными, а х —> у \/ z при этом может
быть истинным. В частности, если х, то какая-то из возмож-
ностей у и z непременно реализуется. Но какая именно,
по х судить невозможно. Для материальной импликации
формула, аналогичная рассматриваемой, есть тавтология.
Принятая интерпретация условной импликации отли-
чается от табличного определения материальной импли-
кации. В самом деле, х —> у может иметь значение 0 в слу-
чаях, когда х имеет значение 1 и у имеет значение 1, а
также в случаях, когда х имеет значение 0 и у имеет зна-
чение 1. Единственное, в чем они сходны, если рассматри-
вать исключительно зависимость значения х -> у от зна-
чений х и у, это случай, когда х имеет значение 1, а у —
значение 0. В этом случае х у принимает значение 0.
Таким образом, не всякому х id у, имеющему значение
1, соответствует х г/, имеющее значение 1. Другими сло-
вами, из этого, что х гэ у истинно (имеет значение 1), не
следует, что х у истинно (имеет значение 1). Но если
истинно х —> у, то истинно х zd у.
88
§ 5. Классический и неклассический случаи
Системы для неклассического случая содержат следу-
ющие аксиомные схемы:
Лп1. (х-+у)\---(я П->!/) —(ж?->1/)
Л«2. ~(х“]-+!/)
Лп3. (яП-+у)|-(х-+у)~ (х?-*у)
Ап4. — (х -> у) ~ (х? у) |— (х ~] -► у)
Лп5. (х? —> I/) |-(х -> у) ~ (х ~| -> у)
Лп6. — (х-+у)~(х~(х?->!/)
Системы для классического случая получаются либо
путем исключения Ап 1 — Ап 6, исключения из алфавита
операторов внутреннего отрицания и неопределенности
и исключения из D1—D3 первого параграфа символов
с этими операторами, либо путем принятия дополнитель-
ной аксиомной схемы:
Лп7. ~(х-*у)\-(х—\-+у)
MTi. В системе, полученной за счет присоединения
Ап1 — Ап7 к 56, будет доказуема формула ~ (х? —>- у).
В этой системе будет доказуема также ~ (х “| -> у) |—
Н (^^ !/)•
МТ2. Легко убедиться, что все формулы, указанные
ъ Ап1 — Ап6, суть тавтологии и непарадоксальны в том
смысле, что множества элементарных высказываний, вхо-
дящих в посылки и заключения, совпадают.
МТЗ. Формулы ~	у) |— (х -> у) тавтологией не
является и потому недоказуема в системах, полученных
путем добавления к системам общей теории дедукции акси-
омных схем Ап 1 — Ап 6. Аналогично не является тавто-
логией (а значит недоказуема) ~ (х -> у) |— (х ~| -> у).
Другой вариант систем неклассической логики, экви-
валентный изложенному выше, получится, если вместо
Ап 5 и Ап 6 принять 1, вместо Ап 1 — Ап 4 принять акси-
89
омные схемы А* 1 — А* 4, из алфавита и определений ис-
ключить оператор неопределенности и все символы, со-
держащие его.
D*i. (х?-+ у) есть сокращения для — (х—> у) — (х ~~] —>у).
Л*1. ~ (х -> у) Н {х -> у) V ~ \х -> у) ~ (х “| -> у)
Л-2. (x~|-^)H~(*->!/)
Л-3. — (х ~| у) («-> у) \/ ~ (х-+ у) ~ (х ~IМ-у)
Л*4. (®->у)|— ~(х“\-^у)
§ 6. Система Stf
Дополнительные аксиомные схемы:
Л1. (х -* у) х f— у
А2. (х-+у)}-(~у-+~х)
ЛЗ. (х^ у) (y-^z) |— (ж—> z)
Л4. (ar->pz)|—(z->y)(x->z)
Л5. (хуz)	(т—*(у—>z)
Л6. (х-> (y-+z)) (— (ху—> z)
Al. (x *-> у) (z—> v) \—(xzyv)
Л8. (x—► у) \/ (г -► v) f— (xz у \/ и)
MTi. Все доказуемые в S’f формулы суть тавтологии
(теорема легко доказывается путем перебора всех аксиом-
ных схем Л1 — Л 8).
МТ2. Если х |— у доказуема в 5*/, то в у не входят
элементарные высказывания, отсутствующие в х (теорема
верна, поскольку Л1 — Л8 явно ей удовлетворяют).
МТЗ. Если х |— у доказуема в S*( и в у входит опера-
тор условности, то он входит и в х (теорема очевидна из
вида Л1 — Л9).
Согласно МТЗ в 5'/ не может быть доказуема формула
вида х |— (у —>- z), в которой в х отсутствует оператор ус-
ловности.
90
Приведем некоторые теоремные схемы (в квадратных
скобках укажем лишь аксиомные и теоремные схемы
Sy, позволяющие получить данную теоремную схему).
Т1. (х —> у) (yz -> v) |— (xz —> v)	[Л5, ЛЗ, Л6]
Т2. (x^y\yz)(z-*v)\-(x-+y\/v)	[Л2, Т1, Л2]
ТЗ. (х\/ y-+z)(v-*x)\-(v\/ y-+z)
[Л2, Л4, ЛЗ, Л7, Л2]
74.	----х	[Л2, Л1]
Т5. (х-+у\/ z)~y\-(x-^z)	[А2, Л5, Л1, Л2]
Тб. (ху —> z) х (у —> z)	[Л5, Л1]
Т7. (х\/ y-+z)\-(x^z)(y-*z)	[А2,	Л4,	Л2]
Т8. (х^> z) (y-+z)\—(х\/у^> z)	[А2,	Л7,	А2]
79. (хг+у\/z)\-(~y-+(x->z))	[А2, Л5,	ЛЗ,	А2]
ПО. (~ у -> (х—^ z))H (х-+ (У V z))	[Л2,	Л6,	Л2]
711. (x-+y)(v^z)\-(x\/v-+y \Jz)	[Л2,	Л7,	Л2]
§ 7.	Система 8%
Система Sy образуется путем дополнения к Sy акси-
омной схемы
АО. (x-+y)\—(xz-+ у).
МП. Если х |— у доказуема в Sy, то в х и у входит
по крайней мере одно одинаковое элементарное высказы-
вание (теорема очевидна из вида Л9).
МТ2. Если х |— у доказуема в Sy, что она есть тавто-
логия (поскольку АО есть, очевидно, тавтология).
П. (х-^у)\-(х-^у \/z)
[Л2, АО, А2]
§ 8.	Система 8%
Система S6y получается путем добавления к Sy правила:
7?1. Если х |— у, то |— (х —> у).
91
MTi. Если |— (x -> у) доказуема, то она есть тавтоло-
гия (очевидно в силу 7?1).
МТ2. Если (х -> у) доказуема, то х у есть тав-
тология.
МТЗ. Если |— (х -> у) и |— х доказуемы, то [— у до-
казуемо.
Доказательство МТЗ: (х -> у) х |— у доказуема; в си-
лу доказуема |— ((х -> у) х -> у); доказуема ((х ->-у) я—►
у) ((х у) х) |— у; по условию доказуемы |— (х -> у)
и |— х; значит доказуемо |— ((х -> у) х у) (х -> у) х;
отсюда получаем, что доказуемо |— у.
МТ4. Если |— (х -> у) и }— ~ у доказуемы, то доказу-
емо |---х. Доказательство аналогично. Дополняется лишь
то, что согласно Л 2 системы Sy доказуема |— (~у -> ~ х).
Некоторые теоремные схемы:
n. I- ((x->y)->(xz-> у))
Т2. |— (х~у-*~(х->у))
ГЗ. \-({х^у)-+~(х~у))
Тк. |—((ху —> z) (ху»—> z) —> (х —> z))
T5.	(y->-~x\/x)
Т’б. I- (~yy^x)
T7. j— (x-+(y-+x))
T8.
Т-Э. \~((x:y)^(x-*~y)(~x-+y))
ПО. \-((x->^y)(~x->y)->(x:y))
TH. |-((zVy)-»hx-*y)Fy-»x))
T12. (-((-x-^-^Vy))
T13. [—(ж->х \/ y)
T14.	—	—x)
T15. |—(x->y)(i/->z)->(x->z)
MT5. Если |— (x гэ у) доказуема в S5, то |— (x -> y)
доказуема в Sy.
n
Доказательство МТЪ. Для каж дой аксиомной схемы
х Н у системы S8 в Sy доказуема |— (х -> у). Поскольку
в Sy верна Г13, то каждой аксиомной схеме х у системы
Sw будет соответствовать доказуемая в Sy формула
Н (х у). А так как в Sy доказуема формула Г15, соот-
ветствующая правилу -транзитивности системы Sw без
ограничения, то (в силу эквивалентности Sw с правилом
транзитивности без ограничения классическому исчисле-
нию высказываний) наша теорема верна.
МТ6. Если х и у суть высказывания в S5 и если
|—(х -> у) доказуема в Sy, то (х zd у) доказуема в S5
(теорема верна в силу и Л7ТП5).
МТ1. Если |— х доказуема в Sy, то в 5б доказуема
|— у, где у образуется из х путем замены всех вхождений
оператора условности на оператор материальной импли-
кации.
Однако утверждение «Если в Sby доказуема |— (х -> у),
то в доказуема |— (х zd у)» неверно. Например, в Sy
доказуема (х -> у) (у —>- z) —>- (х -> z), тогда как в 5б
|— (х у) (у z) zd (х —>- z) недоказуема. Неверно так”
же утверждение, обратное МТ1. Например, |— ((ху zd
zd z V 23 (U 23 2) V (У 23 у))) доказуема в 5б, но
|—((ху -> z Vy) ((х z) V (У *)))» конечно, недока-
зуема в Sy.
§ 9.	Система 8%
Система Sy получается путем присоединения к
аксиомных схем А1 — АЗ и правила R1:
Ai. (х->у)х\—у
А2. (х-+у)~у Н ^>х
АЗ. [-((xy^z)-^(x-^(y^z)))
7?1. Если х[-у, то |— (х->{/).
93
В Sy имеют силу теоремные схемы:
Т1. |-((х->у)х->у)
Т2. \-((х-+у)--.(~у-+~х))
ТЗ. |- ((x-+yz) -+ (х-+у)(х-+ z))
74.	Н((^'-*2)-*(а;-ч'(У-*2)))-
75.	Н ((*-*(?-**))-* (*»»-**))
Гб. |-((x->y)(z^n)-»- (xz-> yv))
Tl. ’г{(т-уу)\/(г^и)^(хг^у\/и))
78.	I— ((x-^ y) (y -> z) -► (x-> z))
MTI. Если |— (xу) доказуема в Sy, то она доказу-
ема в Sy; и наоборот (теорема верна, поскольку в S^
имеют силу Т1 — Т8, а в Sy доказуемы А1 и ЛЗ).
§ 10. Парадоксы Sy-
Очевидно, что для |— (х ->• у) имеют силу «парадоксы»,
подобные парадоксам материальной и строгой имплика-
ции, поскольку доказуемы формулы ]—(х -> (у -*• ж)),
|-(х->(~ж-> у)), Н (х-+- у \у ~у), \-(~уу-+х)-
Чтобы избежать их, необходимо из доказуемых формул
исключить формулы вида
(xy^z}\-(x-+(y-+z)
Н ((ху — z) -> (х -> (у -> Z))
(при сохранении остальных элементов систем Sy), или
внести другие ограничения. Но это принципиально ничего
не меняет.
В самом деле, интуитивно несомненно, что если ху -> z
и при этом у истинно, то х -> z, Так что исключив упомя~
нутые парадоксы из логической системы, мы не в состоя-
нии будем исключить их из ситуаций, в которых правила
этой системы будут использоваться.
94
Для исключения указанных формул достаточно акси-
омную схему А 5 системы Sy заменить на аксиомную схе“
му Лф5, а аксиомную схему ЛЗ системы Sy зам енить па
аксиомную схему Л*3:
Л/5. (xy-+z)\—(x-+(y-+z))9
где |— (х-> z) и [— (у-> z) недоказуемы в Sy.
А*3. [-((ху-+ z)-+(x-+(y ->z))),
где |— (х -> z) и [—(у -> z) недоказуемы в Sij.
Можно также аксиомным схемам Л*5 и Л*3 придать
такой вид:
А*5. (ху -+z)~(x-+z)~(y-+z) Н (х -> (у -> z))
А-3, Н ((^ z) ~ (яz) ~ (у z) (х-> (у -> z))).
Для систем с приведенным ограничением неверна тео-
рема, аналогичная теореме МТЬ для Sby. Все доказуемые
в них формулы |— (х -> у) непарадоксальны в том же смы-
сле, что и формулы систем общей теории дедукции.
§11. Полнота
Проблема полноты для формул вида (— (х -> у) ре-
шается метатеоремами, сформулированными выше.
Те критерии полноты, которые мы применяли к систе-
мам общей теории дедукции для формул вида х |— у, не-
достаточны для теории условных высказываний вот по
какой причине. Возьмем формулу (ху -> z) |— (ху -> у).
В ней высказывание ху -> у всегда имеет значение 1, так
что эта формула есть тавтология. Причем, она удовлетво-
ряет требованию непарадоксальности в следующем смы-
сле: в заключение не входят элементарные высказывания,
отсутствующие в посылке. Однако такая формула в ка-
честве правила следования неприемлема: если верно
ху -> z, из этого не следует, что будет верно высказывание,
М
в котором вместо z стоит другой консеквент. И то, что
ху-> у истинно, есть частный случай, в котором истинность
заключения установлена не путем логического следования
его из ху -> z. Неприемлемы также в качестве правил
следования формулы вида (ху ~ х ~ у) |— (у ->
(z-+x ~z) Н (х z) ит. п., которые являются тавто-
логиями и непарадоксальны в упомянутом смысле. По-
этому мы при построении систем теории условных выска-
зываний ориентировались на более узкое понятие полноты.
Логическая теория строится с таким расчетом, чтобы
дать исчерпывающий перечень правил оперирования дан-
ными логическими операторами. И если мы такой пере-
чень нашли, это еще не означает, что свойства этих опера-
торов вообще исчерпаны. Возможно введение нового опе-
ратора, и для комбинаций его с данными операторами по-
требуется новый перечень правил и т. д. Мы уже рассмот-
рели операторы, правила для которых образуют общую
теорию дедукции. И вопрос о полноте теории условных
высказываний может быть здесь решен лишь для комбина-
ций этих операторов и оператора условности. Определим
для этой цели базисную формулу следования.
Di. Формула х |— У является базисной формулой тео-
рии условных высказываний, если и только если она имеет
такой вид:
i.	(a-+b) с d	11. (ab->c)(— z
2.	12. (a-+bc)\—z
3.	(a-+b)(c —(ac-+bd) 13. (a\/ b~+ c)\— z
4.	(a^b)(c^d)\-(a\/ c-^bd) 14. (a-+b\f c)^z
5.	(a-+b)(c —>d)|— (ac-+b\/ d) 15. (ab-+cd)\— z
6.	(a -> b) (c-> d) (a\/c —> b\/d) 16. (db-+ c\/d) |— z
7.	(a —> b) \/ (c —> d) |—- (ac —> bd) 17. (a \/ b-> cd) |— z
8.	(a->b)V(c->d)H (a\/c-+bd) 18. (a\/b-*c\Jd) H z,
9.	(a-+b) V (c-+d)[-(ac-+b\/d)
10.	(a^b)\/ (c-+d)\-(a\y c-+b\/d)
96
где а, Ь, с, d, е, f суть элементарные высказывания или
отрицания элементарных высказываний, a z суть выска-
зывания, образованные из a, b, с, d, их отрицаний и опе-
раторов •, \/, ~ и->•
D2. Теорию условных высказываний мы будем считать
достаточно полной, если и только если выполняются усло-
вия:
1) все базисные формулы х у, являющиеся тавто-
логиями и непарадоксальные, доказуемы;
2) все формулы х у, образующиеся из базисных
путем подстановки любых высказываний на место элемен-
тарных, доказуемы.
Пункт второй выполняется в силу того, что мы исполь-
зуем аксиомные схемы. Распространить правила для ба-
зисных формул на любое число членов дизъюнкций и конъ-
юнкций не представляет труда. Отрицания в антецеден-
тах и консеквентах высказываний х -> у всегда могут быть
доведены до элементарных высказываний. Так что ос-
тается выяснить, удовлетворяют наши системы пункту 1
определения D2 или нет. Мы не будем приводить здесь
доказательство того, что наши системы полны в смысле
JJ2. Оно осуществляется путем пересмотра всех случаев
(что довольно громоздко, хотя и не представляет прин-
ципиальных трудностей), выяснения непарадоксальных
тавтологий и доказательства их.
Указанный метод не отличается таким изяществом, ка-
ким обладают, методы доказательства полноты систем клас-
сической логики. Но он вполне правомерен и даже оказы-
вается незаменимым, стоит только перейти от того крайне
упрощенного подхода к проблемам логики, какой имел
место в классической математической логике, к более
детальному и дифференцированному подходу.
ГЛАВА СЕДЬМАЯ
ТЕОРИЯ КВАНТОРОВ
§ 1. Высказывания с кванторами
Системы теории кванторов комплексной логики рас-
сматривались в [4, 5]. Они образуются благодаря излага-
емым ниже дополнениям к системам общей теории дедук -
ции и модификациям их.
По некоторым соображениям рассмотрение систем тео-
рии кванторов удобнее начать с классического случая, а
неклассический случай затем получить путем дополнений
к алфавиту, определениям и прочим элементам теории
кванторов, а также некоторых их изменений.
Алфавит:
1)	V — квантор общности («все»);
2)	Я — квантор существования 1(<1НеК0Т0Рые*)»
3)	ч---оператор предикативности.
Di. Элементарное высказывание: (а ч- Ь) есть элемен-
тарное высказывание, если и только если а есть субъект,
а b есть соответственно местный предикат.
D2. Высказывание:
1)	элементарное высказывание есть высказывание;
2)	если яг, а1, ..., хп суть высказывания, то (я1* ...
... -яп) и (я*\/ ... \/хп) суть высказывания;
3)	если а есть термин (субъект или предикат), а х
есть высказывание, то (Va) х и (Яа)я суть высказыва-
ния;
4)	нечто есть высказывание лишь в силу 1—3.
2)3. Кванторная группа: (Va) и (Яа) суть кванторные
группы, если а есть термин.
98
Di. Свободные и связанные термины: если термин а
входит в высказывание х, а кванторные группы (Va)
и (За) не входят в я, то а свободен в х (не связан в х\
входит свободно в х); если а входит в х, то а связан (не
свободен; входит связанно) в (Va)x и фа)х.
D5. Свободное и связанное вхождение термина в выс-
казывание: если а связан в х, то все вхождения а в х
суть связанные вхождения; если х входит в у, и при этом
а связан в х, то вхождение а в х есть связанное вхождение
а в у\ в остальных случаях вхождение а в у является
свободным.
Z>6. Кванторная группа (Ка) является вырожденной
в (Ка) х, если и только если в х нет свободных вхождений а
(или а не входит свободно в я); К есть V или 3.
D7. Бескванторная форма формулы х у (формулы
|— х) есть формула, которая образуется из нее путем ис-
ключения всех кванторных групп.
§ 2.	Система S9eq
Система Sscq сильной теории кванторов для классиче-
ского случая получается путем добавления к S3 того, что
приведено в § 1, и следующих аксиомных схем и правил
вывода.
Аксиомные схемы
Al. (Va)xj^x
А2. xf— (Яа)я
АЗ. (Va)#(3a)j/|— (Яа)(яг/)
А4. (Va)(a:V!/)H(Va)x\/(3a)!/
АД (За)х}—(Va)x,
где а не выходит свободно в х.
А 6. (уа)х|—~(3а) — х
АТ. ~(Яа)~ж|—(Va)a;
99
Правила вывода:
/?1. Если а:[— у, то (Va)x|—(Va)y.
R2. Если х\—у, то (Яа)ж|—(Яа)у.
Непротиворечивость, независимость и отчасти про-
блема полноты S‘q рассмотрены в работе Г. М. Щеголь-
ковой [16].
§ 3.	Непарадоксальность
MTi. Система S‘C4 непарадоксальна в том же смысле,
что и S*: в доказуемых формулах х [— у в заключение у
не входят элементарные (в смысле теории кванторов)
высказывания, отсутствующие в посылке х. Теорема оче-
видна из вида дополнительных аксиомных схем и правил:
в аксиомных схемах в заключения и посылки входят одни
и те же высказывания, если отбросить кванторные группы
и отрицания и исключить повторения; правила вывода
это свойство сохраняют.
МТЗ. Формулы.
(Va)(a<-b)H(c<-6)
(сч-&)|-(Яа)(ач-&)
и другие формулы х |— у, в которых в заключение входят
термины, отсутствующие в посылке, недоказуемы в S*cg
(следствие MTi).
МТЗ. Если х |— у доказуема в S^, то ее бескванторная
форма доказуема в S* (теорема очевидна из вида бескван-
торных форм аксиом и получаемых из них бескванторных
формул по правилам вывода).
§ 4.	Непротиворечивость
Для доказательства непротиворечивости достаточно
показать, что бескванторные формы доказуемых формул
S‘cq доказуемы в <$* (т. е. суть тавтологии). А это действи-
100
тельно так, поскольку бескванторные формы аксиом
имеют вид соответственно
х|— х	х\—х
х\—х	х(—~— X
ху[—ху	~— х\—х,
%\/ у Н
а правила вывода из бескванторных формул х у позво-
ляют получить только сами эти формулы.
§ 5.	Независимость S9cq
Для доказательства независимости аксиомных схем,
правил вывода Sscq примем исключающие семантические
правила и общее семантическое правило (в каждом случае
сначала применяется первое, затем — второе).
Для А1: если в х |— у термин а в у входит свободно, а
в а нет, то х [— у имеет значение 0. При этом формула
(Vа) (а ч— Ь) (а ч-н Ь) имеет значение 0.
Для А2; если в х [— у термин а в х входит свободно, а
в у нет, то х р- у имеет значение 0. При этом формула
(а ч— Ь) [— (Яа) (а Ь) имеет значение 0.
Для АЗ: (Va)x заменяется на (Яа) л:; если а входит
свободно в х, то х заменяется на (Яа) х\ если ~ входит
во все аксиомы данной аксиомной схемы, то (Яа) ~ х
заменяется на ~ (Яа) х.
Для А 4: (Яа)х заменяется на (Va)x; если а входит
свободно в х, то х заменяется на (Va) х; если ~ входит
во все аксиомы данной аксиомной схемы, то (Яа) ~ х
заменяется на ~ (Va) х.
Для А5; отбрасывается ограничение на вхождение а
в х.
Для А6: если (ЯЬ) — z имеет значение 1, то (Vft)z имеет
значение 1.
Для А7: если (ЯЬ)—z имеет значение 0, то (V6) z
имеет значение 0.
101
Для Л1: если (V Ь) zv имеет значение 1, и при этом
в z входит термин, отсутствующий в v, то (Vb) z
имеет значение 0. С помощью Ri доказуема формула
(V Ь) (zv) |— (V6) z, принимающая значение 0, если z
есть (Ьч- с), a v есть (b +-d).
Для R2: если (ЯЬ) (zv) имеет значение 1, и при этом z
содержит термин, отсутствующий в г;, то (ЛЬ) z имеет
значение 0. С помощью R2 доказуема формула (ЛЬ) (zv) р—
[—(ЯЬ) z, принимающая значение 0, если z есть (Ь с),
a v есть (Ъ d).
Общее семантическое правило: все прочие формулы^
к которым неприменимо исключающее семантическое пра-
вило, равнозначны своим бескванторным формам.
§ 6.	Некоторые следствия
В дальнейшем будем делать ссылки только на эконом-
ные схемы, правила вывода, теоремные схемы и метатео-
ремы Scq. Что касается соответствующих элементов общей
теории дедукции, то будем ограничиваться лишь ссылкой
на систему (в данном случае — на S8) или вообще будем
их опускать как тривиальные.
MTi. Если х |— yz и 2 Н v доказуемы, то хj— yv
доказуема (в силу Se); если ху |— z и v |— х доказуемы, то
vy |— z доказуема (в силу S’).
МТ2. Если х}— у доказуема в и множества эле-
ментарных высказываний, входящих в х и у, совпадают,
то ~ у |— ~ х доказуема в S*q.
Доказательство МТ2. В имеют силу следующие
теоремные схемы:
Ti. — (Va)x|—(На)—-х
Т2. (Яа)х|-(Уа)~х
ТЗ. ~xf-~(Va)x
7'4. —(Яа)х|— — х
[Л6, Л7]
[Л6, Л7]
[Л2, Т2]
[Л6, A7t Л1]
102
Т5. ~(Яа)(ху)|----((Va)x(Ha)y) [А.4, А6, АТ, Ti, Т2]
Тб. ~((Va)x\/(Aa)y)|----(Va)(zV У)
[АЗ, А6, AT, Ti, Т2]
ТТ ~(Va)z|------(Яа)ж,
где а не входит свободно в х [А5, Ti, Т2, А6, А7]
Т8.----(Яа)~х|---(\а)х	(А6, А7]
T9. ~(Уа)я|-~~(Яа)~х	[А6, А7]
В Sscq имеют силу также следующие утверждения, ко-
торые можно рассматривать как производные правила
вывода:
МТ* 1. Если х |— у доказуема в S^, и при этом мно-
жества элементарных высказываний, входящих в х и у,
совпадают, то ~ (Va) у ~ (Va) х доказуема в Sscq.
МТ'2. Если х\— у доказуема в Я"С9, то при этом же
условии, что и в МТ'1, доказуема и ~ (Яа) у |— ~ (Яа) х.
Справедливость Л/T’l видна из следующего: если
х |— у такова, как сказано в MT*i, то согласно ТЗ—T9
доказуема ~у\— ~ х\ по правилу R2 доказуема (Яа) ~ у |—
|— (Яа) ~ х, откуда по Т1 и Т2 имеем, что доказуема
~ (Va) у ~ (Va) х- Аналогично для МТ*2 (только
используется Ri, А6 и А 7).
Поскольку для каждой аксиомы х [— у доказуема
~ у \— ~ %> (^3 — T9), а правила вывода это сохраняют
(MT*i и ЛГТ*2), то МТ2 доказана.
МТЗ. Если ж[—pVZH2l~ v доказуемы, и множества
элементарных высказываний, входящих в заключения и
посылки этих формул, совпадают, то х |— у \/ v доказуема
(следствие MTi и МТ2).
MTi. Если	доказуемы, то при том
же условии, что в МТЗ, доказуема v \/ у |— z (следствие
MTi и МТ2).
МТЗ. Если ~ х уи®|— v доказуемы, то при том же
условии, что в МТЗ, доказуема ~ v |— у; если х [— ~ у
103
и v |— у доказуемы, то при том же условии, что в МТЗ,
доказуема х |— ~ v (следствие MTi и МТ2).
В Scg имеют силу также следующие теоремные схемы
ПО.	(Va)x(Vd)	x\—(Va)(3b)x	[Al, A2, R1,T17]
та.	(Уа)ж(Яб)	а: (Va) (Я5) х	[A1,R1,T17]
712.	(Яа)х(У5)	x[— (Яа) (Vb)x	[42]
Т13.	(Яа) х (Я&)	x |— (Яа) (Я&) x	[42]
714.	(Va) (Vb)x	|—(V5)(Va)ar	[41.Я1.717]
715. (4a)(V6)x|-(Vb)(4a)x
[41, 42, 7?1, 717, R2, 718]
716.	(Яа) (Я&) x [— (Я6) (Яа) x	[42, R2, 718]
717.	z|— (Va)x, где а не входит свободно в х [42]	
718.	(Яа)ж[— х, где а не входит свободно в х [41]	
719.	(Va) х (Va) у [— (Va) (ху)	[41,Л1,717]
720.	(Va) (ху) [— (Va) х (Va) у	[41,Й1,717]
721.	(Яа) (ху) |— (Яа) х (Яа) у	[Я2]
T22.	(Яа) (sViOHWzVWl'	[719, 720, 46, 47]
723.	(Яа) х V (Яа) у |— (Яа) (х у у)	[719, 720, 46, 47]
724.	(Va) х V (Va) у [- (Va) (х у у)	[721, МТ2, 46, 47]
725.	(Уа)х\уСАа)у\-САа)(хУу)	[723, 41, 42, MTi]
726.	(Яа) х у (Va) у |— (Яа) (х у у)	[723, 41, 42, М74]
727.	(Va)xJ—(Яа)х	[41,42]
728.	(Яа) х |— —- (Va) х	[727, М72]
729.	(Va) (ху) [— (Va) х (Яа) у	[720, 727]
730.	(Va) (ху) (Яа) х (Va) у	[720, 727]
731.	(Vx) (ху) (Яа) х (Яа) у	[720, 727]
732.	(Va) (х у у) |— (Яа) х у (Va) у	[43]
733.	(Яа) (Уд)а:|-(ЗЬ)(Яа)а;	[715, 727]
734.	(Va)(xyy)|-(Sa)®V(aa)y	[43, М73]
735.	(Va) х у (Va) у [— (Яа) (х у у)	[724, 727]
736.	(Va)x(Va)y[—('3.a)(xy)	[719, 727]
104
737.	— (Va)	х |— (За) х	[46, 47]
738.	(Va)(V&)a:|-(Vfe)(Sa)«	[41, 42, Я1, 717]
739.	(Va)(V&)xH(3b)(Va)a:	[41,Я1,Я2, 718]
740.	(Va)(V&)xH(Sb)(3a)z	[41,42]
741.	(Va) (ЯЬ)ж[-(яь)(яа)*	[41,716]
742.	(Яа) х (Ча) у |— (Яа) (ху)	[43]
§ 7.	Главная интерпретация
Возможны две равноценные (по результатам) семан-
тические интерпретации кванторов — прямая и косвен-
ная.
Косвенная заключается в следующем.
Di. Отмеченный термин: если а есть термин, то ia
(i = 0, 1, 2, ...) есть его отмеченный термин.
Символом х (id) будем обозначать высказывание, кото-
рое образуется из х путем замены а на ia везде, где а
входит свободно в х.
D2. Интерпретационная форма данной формулы х |— у
есть формула, которая получается из нее в результате
следующих операций.
1)	если а входит свободно в х |— у, то х |— у заменяется
на (Va)x |— (Va) у или (Яа)я (На) у\ и так для всех
терминов, имеющих свободные вхождения в х [— у;
2)	все вырожденные кванторные группы отбрасыва-
ются;
3)	все вхождения вида (V6) z заменяются конъюнк-
циями z (16)....z (пЬ)\ все вхождения вида (ЯЬ) z заме-
няются дизъюнкциями z (16) V ••• V2 если п = 0, то
(ya)z и (Яа)г заменяются на z.
РЗ. Формула х |— у есть тавтология, если и только
если каждая ее интерпретационная форма есть тавтология
при любом числе отмеченных терминов для каждого тер-
мина, входящего в нее.
105
Прямая интерпретация имеет такой вид:
1)	если (Va) х приписали значение 1, то должны и х
приписать значение 1; если х имеет значение 1, то значение
(Vа) х не зависит от х\
2)	если (Va) х приписали значение 0, то значение х
не зависит от значения (V а) х\ если х имеет значение 0, то
(V а) х имеет значение 0;
3)	если при установлении значения формулы следова-
ния, в которую входит х, мы, приписав посылке значение 1
или заключению значения 0, вынуждены вследствие этого
приписать х значение 1, при этом а не входит свободно в по-
сылку или, соответственно, в заключение; то должны (Va) х,
входящему в ту же формулу, приписать значение 1; если
же мы при этом не вынуждены приписывать х значение 1
(т. е. остается возможность приписать х значение 0), то
(Va) х при писывается значение 0;
4)	(Яа) х равнозначно ~ (Va) ~ х\
5)	если а не входит свободно в х, то х равнозначно
(Va) х и (Яа) х.
2)*3. Формула х |— у есть тавтология, если и только
если она имеет значение 1 для любых комбинаций значе-
ний входящих в нее высказываний, допускаемых правила-
ми приписывания значений.
Рассмотренные интерпретации равноценны в том смы-
сле, что если с помощью одной из них некоторой формуле
приписывается значение 1 (или 0), то и с помощью другой
этой же формуле приписывается значение 1 (соответствен-
но 0). Эти способы приписывать значения высказываниям
и формулам следования эффективны в том смысле, что для
любого высказывания и любой формулы, рассматриваемым
в теории кванторов, можно установить, являются они
тавтологиями или нет. Тот факт, что при построении ин-
терпретационных формул число отмеченных терминов не
ограничено, принципиальных препятствий не создает,
ибо методом математической индукции можно построить
доказательство для любого числа отмеченных терминов.
106
§ 8.	Полнота Scq
В логической системе, определяющей свойства кван-
торов, должны быть доказуемы формулы, которые интер-
претируются так: 1) как правила введения и удаления
кванторов; 2) как правила, разрешающие перестановку
кванторов; 3) как правила замены одних кванторов дру-
гими; 4) как правила, разрешающие вынос кванторов из
дизъюнкций и конъюнкций и внесение их в конъюнкции
и дизъюнкции; 5) как правила введения и удаления отри-
цаний у кванторов. Поэтому специфические правила
следования, определяющие свойства кванторов, должны
быть такими, чтобы в формулах х’ н у*, являющихся
бескванторными формами формул х [— у, посылки х* и.
заключения у* были тождественными или различались бы
только так, что одни из них можно было получить из
других заменой вхождений ~ ~ z на z (или наоборот).
Проблема полноты 5’, в узком смысле выглядит так:
все или не все тавтологии такого типа доказуемы в S*cq-
Покажем, что система Sseq полна прежде всего в этом
узком смысле.
Формула у является базисной формулой, если
и только если она есть одна из формул такого вида:
1.	а (Ка) Pz |— yz
2.	yz а (Ка) pz
3.	«(K^Pzf-r^aJdz
4.	a(K1a)(zv)(—P(K2a)zy(K’a)p
5.	а (K'a) (z \/ v) |— p (K2a) z V T (K3a) v
6.	a (KAa) zP (K2a) v	r (K3a) (zv)
7.	a (Kxa) z V P (K2a) v у (K3a) (z \/ v)
8.	a(KWWr(KW4«)*.
где К, К1, К2 и К3 суть V и Я в любых комбинациях,
а а, Р, у и б означают наличие или отсутствие отрицания
в любых комбинациях.
107
MTi. Если базисная формулах У есть тавтология,
она доказуема в S‘cq.
Теорема MTi доказывается путем пересмотра всех
возможных базисных формул. Поскольку в S‘cq доказуемы
формулы
(Va) х —] |--(Ha) — х
(За) х —11---(Va) — х
-----х—1|— х
~ (*!/) ЧI— х V ~ у
х\/у-\\-----(~х~у)
— (*Vy)-ll------
то число случаев, которые необходимо рассмотреть, сокра-
щается. Эти случаи сводятся к случаям 1—8 без отрицаний
перед кванторами. Кроме того, в 5^ доказуемы формулы
(Ка) х -| J- х (Юа) х -| |- (К2а) х,
в которых а не входит свободно в х.
Дальнейший метод перебора базисных формул таков.
В первом случае остается четыре подслучая
(Va)y[—у
(Ha) у I- у
(Va)-yf-y (На)-— у|- у.
Из них только одна формула (Va) у |— у е.сть тавтология,
и она доказуема в 5сд(Л1).
Во втором случае остается четыре подслучая
х (Va) х
х |— (Ha) х
xf—(Va)—-х	x (Ha) x,
и только в одном из них формула есть тавтология, а имен-
но — х [— (На) х. Она доказуема в 5*, (И 2).
108
В третьем случае остается восемь подслучаев
(Va)zH(Va)z
(Яа)г|— (Va)z
(Va) z|— (Яа) z
(Ча) z |— (Да) z
(Va)z |— (Va) z
(Va)~z[—(Яа)г
(Да)~г|—(Va)z
(Яа) — z (Яа) z
Из них только первый, третий и четвертый суть тавтоло-
гии, и они доказуемы в SaCq (а |— а системы Ss и T27VII6).
В четвертом случае остается восемь подслучаев
(Va) (zv) |— (Va) z (Va) v
(Va) (zv) |— (Va) z (Яа) v
(Va) (zv) |— (Яа) z (Va) v
(Va) (zv) |— (Яа) z (Яа) v
(Яа) (zv) |— (Va) z (Va) v
(Яа) (zv) |— (Va) z (Яа) v
(Яа) (zv) |— (Яа) v (Va) v
(Яа) (zv) |— (Яа) v (Яа) v
Из них только первые четыре и последний суть тавтологии,
и они доказуемы в Sscq (T2Q, Т29, УЗО, Т31, 721 из § 6).
В пятом случае остается восемь подслучаев
(Va) (z у v) [-• (Va) z V (Va) v
(Va) (zVy)H(Va)z\/(Sa)p
(Va) (z V v) [— (Яа) z \/ (Va) v
(У a) (z V v) [— (Яа) z \/ (Яа) v
(Яа) (z V v) H (Va) z V (Va) v
(Да) (z V v) (Va) z \/ (Яа) v
(Яа) (z V v) H (Яа) z V (Va) v
(Яа) (z у v) |— (Яа) z V (Яа) v
Из них только вторая, третья, четвертая и восьмая суть тав-
тологии, и они доказуемы в 5^ (А4, Т32, Т34 и Т 22 из § 6).
В шестом случае остается восемь подслучаев
(Уа) z (Va) v |— (Va) (zv)
(Va) z (Да) v (Va) (zv)
(Яа) z (Va) v |— (Va) (zv)
(Яа) z (Яа) v (Va) (zv)
(Va) z (Va) v |— (Яа) (zv)
(Va) z (Яа) v (Яа) (zv)
(Яа) z (Va) v |— (Яа) (zv)
(Яа) z (Яа) v |— (Яа) (zv)
109
Только первый, пятый, шестой и седьмой из них суть
тавтологии, и они доказуемы в S‘cq (7*19, 7*36, ЛЗ, 742
из § 6).
В седьмом случае остается восемь подслучаев
(Va)z\/(Va)p|-(Va)(zVy)
(Va) z у (Sa) v [— (Va) (z \/ v)
(Sa) z \/ (Va) v |— (Va) (z \/ v)
(Sa) z \/ (Sa) v |— (Va) (z \/ v)
(Va) z V (Va) v f— (Sa) (z \/ v)
(Va) z V (3«) v |- (Sa) (z V v)
(Sa) z \Z (Va) v |— (Sa) (z V v)
(Sa) z V (Sa) v (Sa) (z \/ v)
Из них тавтологиями являются только первый, пятый,
шестой, седьмой и восьмой, и они доказуемы в Sscg (Т24,
7’35, 7’25, 7’26, 7’23 из § 6).
Наконец, в восьмом случае остается шестнадцать под-
случаев
(3a)(Vb)z[—(Vb)(Va)z
(Sa) (Vb) z (Vb) (Sa) z
(Sa)(Vb)z|-(Sb)(Va)z
(Sa) (Vb) z}— (Sb) (Sa) z
(Sa) (Sb) z f—(Vb) (Va) z
(Sa) (Sb) z H (Vb) (Sa) z
(Sa) (Sb) z}—(Sb)(Va) z
(Sa) (Sb) z |— (Sb) (Sa) z
(Va)(Vb)z|—(Vb)(Va)z
(Va)(Vb)z)-(Vb) (Sa)z
(Va)(Vb)z|—(Sb)(Va)z
(Va)(Vb)zH(Sb)(Sa)z
(Va) (Sb) z)—(Vb) (Va) z
(Va) (Sb)z[-(Vb)(Sa)z
(Va) (Sb) z (- (Sb) (Va) z
(Va)(Sb)z|-(3b) (Sa)z
Из них только первый, второй, третий, четвертый, восьмой,
десятый, двенадцатый и шестнадцатый суть тавтологии.
И они доказуемы в S‘g (Т14, 7’38, Т39, 740, 741, 7’15,
7’33, 7’16 из § 6).
МТ2. Если формула
(Ka) (z^2... zn) I- (Кха) z* (К2а) z2... (Kna) zn
есть тавтология, она доказуема в S*g.
110
Доказательство МТ2. Если наша формула есть тавто-
логия, то тавтологиями будут все формулы А1
(Ka)(zlz* . . . zn) |-(К4а) z4,
где I = 1, 2, п. В силу S* доказуемы
(Ka)(z2z2 . . . zn) —j	(Ка) (z4 (z^ . . . Zn-i)),
где zlt znz! суть все остальные изг1,..., zn, отличные от
z*. Очевидно, если будут доказуемы формулы В1
(Ka)(z4(zt. . . гп_х))Н(К‘а)Д
то будут доказуемы и формулы Л1. И если Л1 суть тавто-
логии, то и В1 суть тавтологии, и наоборот. Но если В4
есть тавтология (с ограничением), будет тавтологией ба-
зисная формула
(Ka)(z4(Zi . . . zn_1))|-(Kia)zi(K’a)(z1. . . zn-i).
Согласно МТ1 последняя доказуема. Значит согласно S*
доказуема В4 и Л4. Поскольку это касается всех Л4, то
неоднократным применением ВЗ системы 5е получим, что
наша формула доказуема.
МТЗ. Если формула
(K^z^ajz2. . . (Kna)zn|—(Ka)(z2z2 • • • zn)
есть тавтология, то она доказуема в S‘Cq.
Доказательство МТЗ. Если данная формула есть тав-
тология и К есть V, то все К4 должны быть тоже V. Но
в таком случае последовательно доказываются формулы
(Va) z1(Va)z2|-(Va)(z1z2)
(Va) (zV) (Va) z3|— (Va) ((zxz2) z3)
(Va)(( . . . (ггг2)г8) . . . )zn*1)(Va)zn|—
H (Va)(( . . . (z4z2). .. )zn-4)zn)
(Va)(( . . . ((z2z2) z8) . . . )zn-1)zn)|—(Va)(z4z2 . , , zn).
111
Если К есть 3, то доказательство аналогично (добавля-
ется лишь использование ТЗТУПб).
МТ\. Если формула
(Ka)(z1Vz2V •  • V zn)(-(K1a)zIV (К2<0z2V • • •
. . . V(Knfl)z”
есть тавтология, она доказуема в
Доказательство ЛГГ4. Если К есть V, то данная фор-
мула может быть тавтологией лишь при условии, если ни
один из КХ,...,КП не есть V или только один из них
есть V (в чем легко убедиться, допустив два отмеченных
термина). Если К есть Я, то все К1, ..., Кп должны быть
тоже 2. Пусть К есть V. В таком случае доказуемы
формулы
(Va) (z1 V (z2 V • • • V zn)) Н (Va) z1 V
V(3a)(z2V . . . \/z")
(Va) (z1 V (z2 V ... V zn)) H (Яа) z1 \/
V(Va)(z2\/ . . . УИ-
Если К1 есть V, выбираем первую из них, если К1 есть Я,
выбираем вторую. В первом случае будут доказуемы
(3a)(z2 V(z3 V • • • Vz”))l-
Н (Яа) z2 \/ (Яа) (z3 \/ ... V zn)
(Яа) (z3 V (z4 V •  • Vz"))H
Н (2a)z3V(3a)(z4 V • • • V z”)
(Яа) (zn-1 V zn) H (Яа) z"-1 V (Sa) zn
Отсюда в силу MTI имеем
(Va)(zlV . . . \/zn)|—(Va)z1 \/(Яа)г2\/... V (Sa)zn.
Во втором случае проделываем то же, что и в первом,
но для формулы (Va) (z2\/ ... \/zn). Если К есть Я, то
доказуемы
(Sa)(zi\/(z2\/ . . . \ЛП))Н
н (Яа) z1 V (Яа) (z2 V • • • V *п)
(Яа) (zn~l \/ zn) [— (Яа) zn-1 V(Яа) zn,
откуда по МТ1 имеем
(Яа)(гх\/ • • • \/гп)|-(Яа)21\/ . . . \/(Яа)гп.
МТ5. Если формула
(Юа^ХЛ • • V(Kn«)znb (Ka)(zx \/ • • • V z”)
есть тавтология, она доказуема в S‘cg-
Доказательство МТ5. Если К есть V, то данная форму-
ла может быть тавтологией лишь при условии, если все
К1, Кп суть V (в чем легко убедиться на примере
случая двух отмеченных терминов и п = 3). В таком слу-
чае будут доказуемы
(Va)z»V • • .V(Va)znH
|—(Va)z1V • • • V(Va)(zn~1Vzn)
(Va)z»V - • • V(Va)z"H
|-(Va)z1\/ . . . V (Va)(z’l-a\/(zn-1\/zn))
(Va)zlV • • • V(Va)znH
H (Va) (z1 V (z2 V ( • • • V (г*’1 V*n) • • • ).
откуда no Sa получаем
(Va)z1 V • • • V (Va)zn|-(Va)(z1V • • • \/zn).
Если К есть Я, то данная формула будет тавтологией
при любом наборе К1, Кп. При этом будет иметь силу
рассуждение, отличающееся от предшествующего только
тем, что в нем будет фигурировать по крайней мере один
квантор Я или будет использована ТЗТУПб.
MTQ. Если формула
(КЛа^КЛг2). . . (K^sl- v,
113
где v отличается от посылки лишь иным порядком кванто-
ров, есть тавтология, она доказуема В 5сд.
Доказательство MTfj. Случай 1: v отличается от по-
сылки только порядком двух первых кванторов. В этом
случае формула есть базисная тавтология и согласно МТ1
доказуема. Аналогично в случае 2, когда v отличается от
посылки лишь порядком двух последних кванторов. Слу-
чай 3: v отличается от посылки лишь порядком двух кван-
торов (К'а*) и (К<+1а<+1), где i>l и i + 1 < л. В этом
случае будет доказуема базисная тавтология
(КЛг‘)(КЛ’а‘+1). . . (Knan)z|—
|- (Ki+1a1+1)(KW). . . (Knan)z,
и согласно R1 и R2 доказуема данная формула. Случай 4:
тавтологиями являются формулы
(KV^KV) . . . (Knan)zf—z?
pl |— t>2, . . . , t?m |— v,
где v1 отличается от посылки лишь порядком двух кван-
торов, г?2 отличается от vi лишь порядком двух кванторов
..., v отличается от vm лишь порядком двух кванторов
(т :> 2). Приведенные формулы суть базисные тавтологии,
и согласно МТ1 и S’ будет доказуема наша формула.
МТ1. Если х |— у есть тавтология, х* у* есть ее
бескванторная форма, х* и у* тождественны или одна из
них может быть получена из другой путем замены вхожде-
ний вида ~ ~ z на z, то х у доказуема в S‘cq.
Теорема МТ1 доказывается путем пересмотра всех воз-
можных соотношений структур х и у. Для х возможны
только такие случаи, когда оно есть;
1)	элементарное высказывание;
2)	(Va)z
3)	(Sa)z
4)	zxV . . . Vzn(n>2)
5)	z1- . . . «zn(«>2)
6)	—z
114
Аналогично для у возможны только такие случаи, когда
оно есть:
1)	элементарное высказывание;
2)	(V6)y
3)	(Яд) v
4)	vl\/ . . .	>2)
5)	р1» ... •рт(тп>2)
6)	— v
Шестой случай в силу 8s и аксиомных и теоремных схем
46, А7, T1VII6, T2VII6, T7VII6, T28VII6, T37VII6
системы SaCq сводится к остальным. Комбинации указан-
ных случаев для х |— у будем обозначать символами
i |— к, где 1 i 5 и 1 к sC 5.
Рассмотрим все возможные i |— к. Для 1 |— 1 теорема
верна в силу 8s. Случаи 1|— 2 и 1 |— 3 сводятся к базис-
ным. Случаи 1 |— 4 и 1 |— 5 исключаются. Случай 2 |— 1
сводится к базисному. Для 2 |— 2: если а есть Ь, то 2 |— 2
есть тавтология лишь при условии, что z[— v есть тавто-
логия; если z J— v доказуема, то 2 |— 2 доказуема в силу
R1; если а и Ь различны, то 2 |— 2 может быть тавтологией
лишь при условии, что z [— (Vd) v есть тавтология; а если
z (Vd) v доказуема, то доказуема 2 [— 2 в силу А1.
Для 2 |— 3 рассуждение аналогично предшествующему
(дополнительно используется 7’27VII6). Случай 2 |— 4
сводится к базисному или к случаю, рассмотренному
в Л/7’4. Случай 2 [— 5 сводится к базисному или к случаю,
рассмотренному в МТ2. Случай 3 |— 1 сводится к базис-
ному. Для случая 3 [— 2: если а и Ъ одинаковы, то 3	2
может быть тавтологией лишь при условии, что а не вхо-
дит свободно в z и z |— (Vd) v есть тавтология или а не
входит свободно в v и (Яа) z |— v есть тавтология (или и
то и другое); а если эти формулы доказуемы, то доказуема
данная формула в силу 7’17VII6 или 7’18VII6; если а и
b различны, то 3 |— 2 может быть тавтологией лишь при
условии, что z |— (V6) v есть тавтология, и а не входит
11$
свободно в v\ а если z |— (Vb) v доказуема, то при этом
условии 3 [— 2 доказуема в силу Z18VII6. Для 3	3:
если а и Ъ одинаковы, то 3 |— 3 есть тавтология лишь при
условии, что z |— v есть тавтология; а если z\— v доказу-
ема, то 3 |— 3 доказуема в силу /?2; если а и ^различны,
то 3 |— 3 может быть тавтологией лишь при условии, что
(Ла) z (— v есть тавтология; а если (Яа) z |— г? доказуема,
то 3	3 доказуема в силу R2. Случаи, 3 |— 4 и 3 р 5
сводятся к базисным и к случаям, рассмотренным в МТ2 —
МТЬ. Случаи 4 |— 1, 4 |— 5, 5 |— 1 и 5 |— 4 исключаются.
Случаи 4 |— 2, 4 |— 3, 4 |— 4, 5 [— 2, 5	3 и 5	5 сво-
дятся к базисным и к случаям, рассмотренным в МТ2—
МТ5.
Таким образом, система S3cq определяет исчерпывающим
образом свойства кванторов для высказываний с операто-
рами •, \/ и ~ в смысле МТ1.
§ 9. Проблема разрешимости
Однако полнота 5^, о которой говорилось в предше-
ствующем параграфе, еще но достаточна для решения про-
блемы разрешимости для S3cq, Для этого необходимо пока-
зать, что S3cq полна в смысле Л/Т6, формулируемой ниже.
Z)l. Контрольной формой формулы х [— у будем назы-
вать формулу, которая образуется из нее в результате
таких операций:
1) если бескванторные формы формул [— у и |— ~ х
недоказуемы в *У6, то х |— у оставляется без изменения;
2) если бескванторная форма формулы |— у или ~ я
оказуема в то все вхождения высказываний в х у,
не содержащие кванторов, заменяются их совершенной
дизъюнктивной нормальной формой в обычном смысле;
все вхождения вида ~ ~ а, где а есть элементарное вы-
сказывание, заменяются на а; если элементарное высказы
вание а входит в х (или в у) без отрицания и с отрицанием
(и это — разные вхождения), то~а повсюду заменяется
116
любым элементарным высказыванием сб, не входящим в
х у; полученную формулу у* заменяем на х*сС1— у*с6;
и так для всех пар элементарных высказываний и их
отрицаний, совместно (но в разных местах) входящих в х
(или в у).
MTi. Если х* |— у* есть контрольная форма формулы
х |— у, и х* |— у* при этом есть тавтология, то х у
есть тавтология (но не всегда наоборот).
Теорема MTi очевидна из способа построения кон-
трольной формы: если Ъ есть элементарное высказывание,
подставляемое на место ~ а, и я* |— у* есть тавтология,
то это значит, что она имеет значение 1 для всех четырех
комбинаций значений а и Ь, и в том числе — для двух ком-
бинаций, которые получаются для а и —а. И так для всех
заменяемых элементарных высказываний с отрицаниями.
МТ2. Если ж* |— у* есть контрольная форма формулы
х\— у, а ж** [— у** есть бескванторная форма у*,
то |—У** и Н ~ х“ недоказуемы в S5 (т. е. у** не есть
тавтология, а х** не есть противоречие); недоказуемы
в Sb также х** и |— ~ У** (поскольку ни одно выска-
зывание не входит в х** и в у** совместно с его отрица-
нием).
МТЗ. Если х |— у доказуема в S3cq, то доказуема и
ее контрольная форма (это очевидно из вида аксиомных
схем и правил Sscq).
MTi. Если доказуема контрольная форма х* [— у*
данной формулы х у, то доказуема и сама х |— у (по-
скольку доказательство х* |— у* легко превратить в до-
казательство х |— у, заменив повсюду соответствующие
элементарные высказывания на подходящие элементар-
ные высказывания, входящие в х |— у).
МТЗ. Пусть х |— у есть тавтология, совпадающая со
своей контрольной формой, а ее бескванторная форма
х* у* доказуема в 5е. В таком случае х\— у доказуема
В Slq.
Доказательство МТЗ. Возможны два случая: 1) х* (—
|— у*и у* х* доказуемы обе, и тогда множества элемен-
117
тарных высказываний, входящих в я* и у* (а значит в U
и у), совпадают; 2) х* (— у* доказуема, а у* (— я* нет.
Второй случай сводится к первому следующим образом:
если х у есть тавтология, то х |— ух есть тавтология,
и наоборот; если х \— ух доказуема, то х (— у доказуема;
если х* |— у*х* доказуема, то х |— ух доказуема, посколь-
ку она есть тавтология, и доказуема у*х* (— х\ Для пер-
вого же случая МТЪ доказывается аналогично доказатель-
ству МТ1 предшествующего параграфа. Только при этом
необходимо принять во внимание то, что в силу указан-
ного в МТ5 ограничения ная(—увяиуне входят эле-
ментарные высказывания совместно со своими отрица-
ниями.
Рассмотрим случаи i к. Для 1 |— 1 теорема верна
в силу Ss. Для 1	2: 1 [— 2 есть тавтология лишь при
условии, что Ъ не входит свободно в г?; но если х\— v
доказуема при этом условии, то 1 |— 2 доказуема в силу
T17VII6. Для 1 |— 3: если х\— v доказуема, то 1 |— 3
доказуема в силу Л2. Для 1 |— 4: 1 |— 4 есть тавтология,
если и только если найдется такое г/ (i = 1, ..., ап), что
х |— г/ есть тавтология; а если х |— vl доказуема, то в силу
xSs доказуема 1 |— 4. Для 1	5: 1 |— 5 есть тавтология,
если и только если каждая из х |— (i = 1, ..., ш) есть
тавтология; а если все х [— г? доказуемы, то в силу S
доказуема 1 |— 5. Для 2 р- 1: если z |— х доказуема, то
2 f— 1 доказуема в силу А1. Для 2 |— 2 и 2 |— 3 рассужде-
ние аналогично таким же случаям в доказательстве МТ1
предшествующего параграфа. Для 2 |— 4: 2 |— 4 есть тав-
тология при условии, что найдется такое w, что z\— w
есть тавтология, a (Va) iv |— (г?1 \/ ... \/ vm) есть тавтология
и относится к числу формул 2 |—- 4, рассмотренных в МТ1
предшествующего параграфа; а если z |— w и (Va) w |—
|— (^V ••• V доказуемы, то доказуема 21—4 в силу
Для 2 |— 5: 2 |— 5 есть тавтология при условии, что най-
дется такое w, что z |— w есть тавтология, a (Va) w |— zA
....vm есть тавтология и относится к числу формул
118
2 |— 5, рассмотренных в МТЧ предшествующего парагра-
фа; а если z |— w и (Va) w |— г1* ... •vm доказуемы, то
доказуема 2 |— 5 в силу S3. Случай 3 |— 1 сводится к ба-
зисному. Для 3 (— 2 и 3 |— 3 рассуждение аналогично
таким же случаям в доказательстве МТ1 предшествую-
щего параграфа. Для 3	4 рассуждения аналогично слу-
чаю 2 |— 4, а для 3 }— 5 — случаю 2 |— 5. Для 4 |— 1:
4 |— 1 есть тавтология при условии, что каждое из z* |— у
есть тавтология; а если все z1 j— у доказуемы, то 4 |— 1
доказуема в силу МТ2УПЪ и S*. Для 4 [— 2: 4 |— 2 есть
тавтология при том условии, что найдется такое w, что
w |— v есть тавтология, a z‘V ••• V2”!— (Va) w есть тав“
тология и относится к числу формул 4	2, рассмотрен-
ных в МТЧ предшествующего параграфа; а если zl \/ ...
... V2”H (V6) w и wf— v доказуемы, то доказуема 4|— 2.
Для 4 |— 3 рассуждение аналогично 4 |— 2. Для 4 |— 4:
если 4 (— 4 не содержит кванторов, она доказуема в силу
полноты S*\ если же она содержит кванторы, то она либо
доказуема в силу 5*, либо недоказуема в силу 5'; в послед-
нем случае она есть тавтология лишь при условии, если
найдутся ш1 и w* такие, что zl\/ ...\/ zn\— wi и щ21—
|— v1 V ... \yvm суть тавтологии и относятся к числу формул
4 |— к и i [— 4, рассмотренных в МТ1 предшествующего
параграфа, а ш1 |— w* есть тавтология; если последние
три формулы доказуемы, то доказуема 4 |— 4. Для 4 |— 5
рассуждение аналогично (только нужно сослаться на 4 |— к
и i 5 предшествующего параграфа). Для 5 |— 1: 5 |— 1
есть тавтология при условии, что среди z*, ..., zn найдется
z1 такое, что z11— у есть тавтология; а если z11— у дока-
зуема, то доказуема 5 |— 1 в силу S*. Для 5 |— 2, 5 |— 3,
5 |— 4 и 5 [— 5 рассуждения аналогичны случаям 4 |— 2,
4 |— 3, 4	5 и 4 |— 4.
Из MTi — МТ5 следует полнота в смысле следую-
щей теоремы:
МТ6. Пусть х* |— у* есть контрольная форма формулы
х [— у, а х*’у** есть бескванторная форма формулы
119
x* |— у*. Если х> [— у* есть тавтология, а х" |— у**
доказуема в 5е, то х |— у доказуема в Sscq.
Поскольку для любой данной формулы х [— у можно
(по самому способу приписывания значений входящим
в нее высказываниям или по ее интерпретационной форме)
установить, является она тавтологией или нет, благодаря
МТ6 имеется стандартная процедура, посредством которой
для любой данной формулы х |— у можно установить,
доказуема она в Sscq или нет.
Пусть дана формула х f— у. Чтобы установить, доказу-
ема она в или нет, надо осуществить следующие опе-
рации (а эти операции осуществимы для любой формулы):
1) образовать бескванторную форму х* |— у* формулы
х [— у и установить доказуема она в 5s или нет; если х* |—
|— у* недоказуема в S8, то х - у недоказуема в Sscq\
если же х* |— у* доказуема в 5s, то надо осуществить
следующий шаг;
2) образовать контрольную форму х** |— у** данной
формулы х f— у и установить, является она тавтологией
или нет; если х" у** есть тавтология, то х у дока-
зуема в S&cq\ если х" |— у** тавтологией не является, то
х\— у недоказуема в Sscq.
§ 10. Другие системы
для классического случая
Другие системы теории кванторов для классического
случая получаются путем присоединения к 5W, 5m, 5е,
S5 и S6 таких же дополнений, какие сделаны выше к 5е.
В системе S5cq принимаются еще дополнительные правило
и определения.
7?1. Если х, то |— (Va) х.
D1. Интерпретационной формой формулы х назы-
вается формула, которая получается из нее так: если тер-
мин а входит свободно в х, то |— х заменяется на (Va) х\
и так для всех терминов, имеющих свободные вхождения
120
в х\ в остальном имеют силу пункты 2 и 3 определения
P2VII7.
D2. Формула х есть тавтология, если и только если
х есть тавтология при любом числе отмеченных терминов
для каждого термина, входящего в х.
В случае прямой интерпретации Di и D2 излишни.
MTi. Если |—л доказуема в S^, то она есть тавтология
(теорема очевидна, поскольку если |— х доказуема, то
значит любая х (id) и их конъюнкция есть тавтология).
МТ2. Формулы
(Va) (а ч— Ь) о (с ч- Ъ)
(с ч— Ъ) о (Яа) (а ч— Ь)
недоказуемы в S‘cq (поскольку они не тавтологии).
§ 11. Расширение S’q
Расширим систему 5^, заменив аксиомную схему
Л5 на такую:
Л*5. (Яа)х|—(Va)x,
где а не входит свободно в х или |— х доказуема в S6.
Для такой S%q имеют силу теоремные схемы Ti — Ti,
в которых доказуема |— х (т. е. х есть тавтология):
Ti. x\-(Va)x
Т2. (Яа)х)— х
ТЗ. (Яа)~х|-----X
ТЬ. —х|— (Va)— х
В случае ТЗ и Т4 высказывание — х есть противоречие.
Т5. х |— (Va) (х V ~ х)
TQ. (Яа)(~а:х)[— х
Формулы типа Т5 и Тб недоказуемы в 5^.
121
Систему S‘q можно получить также, добавив к экон-
омным схемам З^дхему А8:(3а)	([х1...хп)— (х1...жп))|—
|— (Va) — ((х1...хп)~~(х1... хп)), где п>>1,
В расширенной таким образом 3’, будет иметь силу
утверждение:
MTi. Если х |— у есть тавтология, а ее бескванторная
форма доказуема в S’, то х |— у доказуема в S’<^.
Доказательство MTi отличается от доказательства
МТЬ из § 9 только двумя случаями, когда в бескванторной
форме х* у* формулы х |— у высказывание у' есть тав-
тология ([— у* доказуема в S6) или х* есть противоречие
(|---х* доказуема в S6).
При рассмотрении i |— к эти случаи охватываются
посредством Л*5 и Ti — Т4.
§ 12. Система Snq
Система сильной теории кванторов для неклассического
случая получается путем следующих дополнений к S‘q
и модификаций последней.
Дополнение к алфавиту:
1) ~] — внутреннее отрицание;
2) ? — оператор неопределенности.
Дополнение к определению высказывания: если а
есть термин, а х есть высказывание, то С-] Va) х, (TVa) х,
(~] Яа) х и (? Яа) х суть высказывания.
Дополнение к определению кванторной группы:
(~] Va), (? Va), (—| Яа) и (? Яа) суть кванторные группы,
если а есть термин.
В определение свободных и связанных терминов добав-
ляется ссыл|ка на кванторные группы (“| Va), (? Va),
(И Яа) и (? Яа).
122
Вместо аксиомных схем Л6 и А7 системы принима-
ются такие аксиомные схемы:
Лг6. (Va) х [—1 (“] Яа) — х
Л’6. (“IVa^H&O — x
Л36. (? Va)x|-(?aa)~x
Л1?. (“]Ha)~xH(Va)x
Л27. (Ha)~x(-nVa)x
Л37. (? Яа)~xf-(? Va)x
Дополнительные аксиомные схемы:
Л18. (Va)x|---(“] Va)x~(?Va)x
Л2 8. (~]Va)x|--(Va)x— (?Va)x
Л3 8. (?Va)x|-(Уа)х~(П Va)x
Лг9. — Va)x~(?Va)x|-(Va)x
Л2 9. — (Va) x ~ (?Va) x |- (“| Va) x
A9 9. ~(Va)x~ (“I Va)x|—(?Va)x
Л10. (“I Va) (xy) I- (“1 Va) x V (~] Va) у
All. (nVa)x\/(-)Va)y|-nVa)(xy)
A12. (~~\Яа)х\/	|Яа)у|— (—|Яа)(ху)
§ 13.	Непротиворечивость Snq
DI. Бескванторная форма x J— у есть формула, кото-
рая образуется из нее так:
1)	все вхождения вида (?V6) z и (?Я&) z заменяются
соответственно на ~ (Vb) z ~	] Vb) z и —' (Tib) z •
~ (И Я&) Z-,
2)	все вхождения вида ( | V6) z и С-] Я6) z заменяются
соответственно на (Vb) z и ~ (3i>)z;
3)	все кванторные группы из полученной формулы ис-
ключаются.
123
Бескванторные формы формул Л *6 — Л36, Л*7 — Л37,
А18 — Л38, Л‘9 — Л39, ЛЮ, АН и Л12 суть соответст-
венно
х\—	— х	~х~ — х\— ~х~ ~х
— а: — х	~ ~х — (— х — — х) |— х
— х — — х|---~->х--------х
— х — (— х-----х) |---х
--------х|— X	—Х-—-—'Х\--X-----X
— X |-------------------------------------------X	—- (ху) |— ~ X V — у
— ~Х'~~-----х\— ~ X — X ~х\/ — у |-----------(ху)
х|—------------------х)	— z — у |-----(ху)
X Р--Г — (— X------х)
Все эти формулы доказуемы в S’. Правила вывода это
свойство сохраняют. Тем самым доказана непротиворечи-
вость S^Q.
§ 14.	Некоторые следствия в
MTi. Если х (— у доказуема в S3nq, то в у не входят
элементарные высказывания, отсутствующие в х (эта
теорема непарадоксальности очевидна из вида аксиомных
схем и правил вывода S^).
Ti. (3a)x-U-(~IVa)~x
Т2. (“|Эа)®-|Н(¥а) — х
ТЗ. (? За)х-1|-(? Na)~x
ТЬ. — (Уа)я-||-(П Va)ar\/(?. Va)x
Т5. ~П Va)x—1|—(Va)x\/(? Na)x
T6. ~(? Va)x-|H(Va)xV(”lVa)x
TI. (aa)(x\/!/)H|-G3a)zV(3a)y
T8. (Va)x\/(Va)y|-(Va)(xVy)
124
§ 15.	Главная семантическая интерпретация
Косвенная интерпретация отличается от таковой для
S*q следующими дополнениями и изменениями:
1)	если х есть высказывание, то {х} есть высказыва-
ние;
2)	если одно из {я} и {~ х} имеет значение 1, то дру-
гое имеет значение 0; если же о дно из них имеет значение 0,
то значение другого не зависит от первого;
3)	интерпретационная форма формулы х у получает-
ся так:
а)	вхождения (?Vb) z и (?ЯЬ) z заменяются соответст-
венно на ~ (V6) z ~ (—] V&) z и ~ (Я&) z ~ (“И ЯЬ) z;
Ь)	вхождения (”| V&) z и ("Я ЯЬ) z заменяются соот-
ветственно на (ЯЬ) ~ z и (Vb) ~ z;
с)	вхождения (Vb) z и (ЯЬ) z заменяются соответст-
венно на {z (!&)}• ... -{z (nb)} и {z (1Ь)} V ... V {z (nb)}.
Прямая интерпретация отличается от таковой для
Sscq тем, что принимаются такие дополнения:
1)	(? Ка) х равнозначно ~ (Ка)г— (~“| Ка) х, где К есть V
или Я;
2)	если одно из (Ка) х и (““] Ка) х имеет значение 1,
то другое имеет значение 0, если же одно из них имеет
значение 0, то значение другого не зависит от первого;
3)	соотношение (Va)x и х аналогично S\q\ если воз-
можно (невозможно) приписать х значение 1, то (Яа) х
имеет значение 1 (значение 0); если (Яа)х имеет значе-
ние 0, то х имеет значение 0; если х имеет значение 0
(или (Яа) я значение 1), то значение (Яа)х (соответствен-
но значение х) не зависит от х (от (Яа) х}.
MTi. Если х |— у доказуема в Ssnqi то она есть тав-
тология.
МТ2. Формулы
~(П Va)z
недоказуемы в Snq (поскольку они не являются тавтоло-
гиями) .
125
МТЗ. В Sng недоказуемы формулы
— (Va) — х[—(Яа)х —(Яа)~'®|— (Vd)x
и т. п., поскольку не являются тавтологиями.
§ 16. Другие системы
для неклассического случая
Другие системы теории кванторов для неклассического
случая образуются аналогично таковым для классиче-
ского случая.
В системе S„q имеют силу теоремные схемы: (К есть
V или Я):
Т1. |-~((Ka)x(_)Ka)x)
Т2. [- — ((Ка)х(?Ка)х)
ТЗ. |--((~|Ka)x(?Ka)x)
Т4. (-(Ka^VClKaJsV^Ka)®
Т5. H(Ka)x:(~|Ka)x:(?Ka)x
ТЗ. |-(Ка)х : (~]Ка)х: ~ (Ка)х~ ( ~|Ка)х
Т1. |-(Ка)®:(?Ка)х:~(Ка)х —(?Ка)х
ТЗ. Н (“| Ка) х : (?Ка) х: — (~| Ка) х ~ (?Ка) х
МТ\. Формулы вида
(а Ка)х: (0Ка) х:~ (а Ка) х ~ (0 Ка) х |- (а Ка) х: (3 Ка) х,
где К есть V или Я, а а и 0 различаются как ~
или отсутствие обоих, в неклассических системах недока-
зуемы. Так что высказывания (aKa)x и (0 Ка)х нахо-
дятся в неклассическом отношении.
МТ2. Если |—х доказуема в S‘nq, она есть тавто-
логия.
МТЗ. Формулы
|---(~]Ka)xz=)(Ka)x
Н (Ka)xV (“1Ка)х
12*
недоказуемы в Snq (поскольку они не тавтологии). Ана-
логично недоказуемы
|—(Ка)х\/(?Ка)х |-(“] Ka)s V (?Ка) х
§17. Другой вариант классического случая
Системы для классического случая можно получить из-
систем для неклассического случая, приняв дополни-
тельную аксиомную схему:
А *13. ~(Va)x|—(~| Va)x
При этом будут иметь силу теоремные схемы:
П. |----(?Ка)х
Т2. (Va)x—1|----(За)— х
ТЗ. }~(Ка)х\/(~~]Ка)х.
§ 18. Полнота Snq
Проблему полноты S^q и Snq мы не рассматриваем.
Ограничимся лишь следующими замечаниями.
Определение базисной формулы для S3nq отличается
от такового для 5'? тем, что перед символами К, К1, К2
и К3 в скобках ставятся буквы, обозначающие наличие
одного из ~| и ? или отсутствие обоих (в любых комбина-
циях). Соответственно увеличивается и число случаев,
которые надо рассмотреть при доказательстве полноты
Snq и S*nq (а они, как мы предполагаем, полны соответ-
ственно в смысле МТ1 восьмого параграфа и МТ£> де-
вятого параграфа).
Возможен другой путь решения проблемы. В аксиом-
ных схемах вхождения вида ( | V6) z заменить на (36) — z,
(? V6) z заменить на ~ (V6 )z ~ (SJ6) ~ z, С-1 Я6) z
заменить на (V6) ~z, (?36) z заменить на ~ (36) z»
~ (V6) ~ z. Принять семантические правила: 1) если
одно из (V6) z и (36) ~ z имеет значение 1, то другое име-
127
ет значение 0; если же одно из них имеет значение 0, то
значение другого не зависит от первого; 2) если (ЯЬ) z
имеет значение 0, то z имеет значение 0; если (Я 6) z имеет
значение 1, то значение z не зависит от (ЯЬ) z; если z
имеет значение 0, значение (Я&)г не зависит от z; если z
может принять значение 1, что (ЯЬ) z принимает значение
1; отношение (Vd)z и z аналогично Sacq.
Аксиомные схемы А*6 — Л’9, А10 — Л12 примут такой
вид:
1.	(Va)x|— (Va)-х
2.	(Яа) — х |— (Яа) — х
3.	— (V а) х — (Яа) — х [—	(Яа) х — (Va) — х
4.	(Va) —— х|—(Va)x
5.	(Яа) — х |— (Яа) — х
6.	— (Яа)х-(Va) —х]--------(Va)x-(Яа)— х
7.	(Va)x|— — (Яа) — х — (—(Va)x— (Яа) — х)
8. (Яа) — х|— — (Va)x— ( —(Va)x—(Яа)— х)
9. — (Va) х — (Яа) — х |---(Va) х — (Яа) — х
10. — (Яа) — х — (— (Va) х — (Яа) — х)}— (Va) х
И. — (Va) х — ( — (Va)x - (Яа) — х) |— (Яа) — х
12. —(Va)x — (Яа) — х|-----(Va)x—(Яа)—х
13. (Яа) — (ху) |—(Яа) — х\/(Яа)— у
14. (Яа) — х \/ (Яа) — у\— (Яа) — (ху)
15. (Va)~ x\/(Va) —у|—(Va) —(ху)]
Очевидно, схемы 1—4, 5, 6, 9, 12 отпадают как зави-
имые. Остальные присоединяются к схемам Sacq (или
5?д), без Л6 и А1. И вопрос о полноте S^q (или Snq)сво-
дится к вопросу о полноте полученной системы.
128
§ 19. Правила подстановки
MTi. Если формула х |— у, не содержащая кванто-
ров, доказуема в Sa, то в S" будет доказуема формула
z |— v, которая образуется из х |— у путем подстановки
любого высказывания Ъ на место элементерного выска-
зывания а везде, где а входит в х |— у.
Справедливость MTi видна из следующего: если
х |— у есть аксиома, то и z |— v есть аксиома; если х |— у
есть теорема, то доказательство ее легко превратить в до-
казательство z |— v, заменив повсюду а на Ъ.
В Scq доказуемы следующие теоремы (где с есть а, Ь,
а1, а2, Ь1 или Ь2, а все а, Ь, а1, а2, Ь1 и Ь2 суть простые
термины):
1.	(¥с) (а
2.	(а 6) Н (Зе) (а Ь)
3.	(¥с)(а«-Ь)|---(Яс)~(а«--Ь)
4.	~(Яс)~(а«-&)НОМ(ач-Ь)
5.	(¥с) (а1 <- b) (Яс) (а2 <- Ъ) |- (Яс) ((а1 Ь) (а2 +- Ь))
6.	(Vc) (а +- Ь1) (Яс) (а Ь2) Н (Яс) ((а «- Ь1) (а Ь2))
7.	(Vc) ((а1 *-» Ь) V (а2 <- 6)) Н (Vc) (а^&) V (9с) (а2<-6)
8.	(¥с)((а Ь1) V (« *- &2))Н W (а *>l) V G*M(o *- Ь2)
!». (Vc) (а *—Ь) (Vc) (Vc) (а Ь)
10.	(S(c) (а •«—Ь) |—(Vc) (Яс) (а <—6)
11.	( Дс) (Яс) (ач-Ь) |—(Яс) (а<—Ь)
12.	(Яс)(¥с)(ач-&)|-(¥с)(а*-Ь)
13.	(a *—fe) |—(Va1) (а^Ь)
14.	(Яа1)(а^.Ь)[_(а«_Ь)
47 7’2. Если х |— у есть одна из Ti — Т12, a v |— z
образуется из нее путем подстановки любого высказыва-
нии на место элементарного высказывания везде, где оно
а ходит в х |— у, то v |— z доказуемо в Sscg.
129
МТЗ. Если х у есть одна из Ti — 712, a v |— z
образуется из нее путем подстановки любого предиката
(субъекта) b на место простого предиката (субъекта) а
везде, где а входит в х |— у, то v |— г доказуема в
MTi. Если х\— у суть одна из 713 и 714, то в
доказуема формула и |— 2, аналогичная таковой в МТ2,
если выполнено условие: в высказывание, которое под-
ставляется на место элементарного, не входит а1.
МТБ. Если х\— у одна из 713 и 7’14, то в Sscq дока-
зуема формула v |— z, аналогичная таковой в МТЗ, если
выполнено условие: подставляемый предикат (субъект)
не есть а1 и не содержит а1.
Теоремы MTi — МТБ можно рассматривать как про-
изводные правила подстановки. Приняв в качестве ак-
сиом Ti — 714 и аксиомы Ss (получаются заменой букв
в аксиомных схемах Ss символами элементарных выска-
зываний), а в качестве правил вывода правила 58, допол-
нительные правила S8cq и MTi — МТБ, получим систе-
му, эквивалентную S^. Аналогично можно сделать для
прочих систем S\q и S\q.
§ 20. Расширения систем теории кванторов
Рассмотренные системы теории кванторов определяют
свойства кванторов только в сочетании их друг с другом
и с высказываниеобразующими операторами общей тео-
рии дедукции. Этим не исчерпываются свойства кванто-
ров, и мы в дальнейшем приведем немало примеров в
подтверждение этого утверждения. Кроме того, мы рас-
смотрели и будем рассматривать здесь лишь кванторы V
и Э, которыми не исчерпываются все виды возможных
кванторов (см. об этом [3]).
В частности, если принимаются во внимание термины
вида (а1,..., ап), то к аксиомным схемам систем теории
кванторов должны быть добавлены схемы AV:
(Ка)(КЬ)хНН(К(а, Ь))х
130
(Ка1) (Ка2) . . . (Ка") х -| |- (К (а1, а2, . . . , а")) х, 
где К есть V или Я.
Можно ввести в рассмотрение кванторные группы вида
((К*а).(К*&)),	((К’а) V (К2*»))
и т. п. Для них возможно принять аксиомные схемы Л* II:
(а (К?а) Р (К2&)) х Н а (КЛа) х ₽ (К2Ь) х
где аир означают наличие п отрицаний ~ (п^О):
(а (Юа) V Р (К2Ь)) Н Н а (К\а) х V Р (К2Ь) х
~ (а (Кха) Р (К2Ь)) х -I Н (~ а (К?а) V — Р (К2Ь)) х
~ (а (КЧ) V Р (К2&)) х Н J- (~ а (Кха) ~ р (К2Ь)) х
Аналогично для любого числа кванторных групп и для
кванторных групп с внутренним отрицанием и оператором
неопределенности.
§ 21. Кванторы и условные высказывания
При соединении теории кванторов и теории условных
высказываний надо добавить определение высказывания
в теории условных высказываний к определению выска-
зывания в теории кванторов и принять следующие ак-
сиомные схемы:
1-	y)F(Va)(x->i/)
2.	(Яа) (а:--]—>у)	(ж-]^->у)
3.	(Яа)(х?->-у)|---(ж-ч-у)
4.	(z->i/)—|H(z->(Va)!/)
5.	(х^у) —|Ь-((Яа)х^1/)
В классическом случае (в зависимости от способа по-
строения систем) либо принимается схема
(Яа) ~ (х-> у) I--------(я->у),
либо она доказывается.
ГЛАВА ВОСЬМАЯ
ТЕОРИЯ ПРЕДИКАЦИИ
§ 1. Системы 8р
Системы Sp теории предикации (сформулированы в
[3—5]) получаются благодаря таким дополнениям к си-
стемам общей теории дедукции, а также к другим систе-
мам, которые рассмотрены или будут рассмотрены ниже.
Дополнение к алфавиту:
1) и ? суть операторы соответственно внутреннего
отрицания и неопределенности;
2) ч---оператор предикативности.
Di. Дополнение к определению высказывания: если
а есть энместный субъект, а b есть соответственно энме-
стный предикат, то (а Ь) , (а ч— Ь) и (а? ч— Ь) суть
высказывания.
D2. Высказывания вида (а <— 6) являются элементар-
ными для теории предикации.
Высказывание (а <— Ь) входит в (а |ч— Ь) и (а?	Ь).
Дополнительные аксиомные схемы:
А1. (ач-6)\--(а 6) ~ (а? 4-6)
А2. ~ (а“~| ч—6) ~ (а? 4-6)Н(ач-6)
ЛЗ. (а П ч-Ь)|-(ач-6)~(а? ч-,6)
Л4. ~(а<-6)~(а? ч-6)Н(я“1«~Ь)
Л5. (а? 4-Ь)|-(а<-6)~(а“"|ч-6)
Л4. ~(а<-6) —(аП^-б)Н(л? ^-Ъ)
MTi. Если х (— у доказуема в Ssp, то в у не входят
элементарные для теории предикации высказывания, от-
сутствующие в х (теорема очевидна из вида А1 — Л6).
132
Для S‘p имеют силу теоремные схемы:
ri.~(a+-b)-||-(‘*n^-W(a?*-b)
7’2.~(а-]ч-&)-||-(ач-Ь)У(а?ч-&)
7’3.~(a?4-&)-||-(a-t-6)V(a_|<-&)
Г4. (a «-&) | (аП<-Ь)
T5. (ач->Ь)|-(а?ч-Ь)
T6. (a ~] ч— b) |-(a ч— b)
TI. (a “1ч- b) J- — (a ? ч- b)
Для Sp имеют силу теоремные схемы:
Тб. Н (а +- b): (a “I Ь):(а ? ч- Ь)
Т7.}-(ач-&)У(а“|ч-&)У(а?<-<&)
Т8.|---((а<-&)(аП-Ь))
Г9.|---((а<-Ь)(а?ч-&))
ТЮ.Н-((а"]-Ь)(а?-Ь))
§ 2. Интерпретация
Примем следующую интерпретацию:
1)	если одну из {а ч— Ъ) и (а ч- Ь) приписывается
значение 1, то другому из них приписывается значение 0;
2)	если одному из (а ч- Ь) и {а ~] ч— Ь) приписывается
значение 0, то значение другого остается неопределенным
(независимым от значения первого);
3)	(а? ч- ft) равнозначно ~ (а ч— Ь) ~ (а ~~| ч- Ь).
Равносильной с приведенной является следующая ин-
терпретация:
1) (а ~~| ч— Ъ) равнозначно ~(а i) х, где х есть
элементарное высказывание, не входящее в формулу, в
которую входит (а | ч- Ь) (и значение которой выясняется);
2) (а? ч— Ь) равнозначно ~(a	~ (а ~| ч— Ь).
Равносильность этих интерпретаций видна из следую-
щего: если (а ч— Ь) имеет значение 1, то ~ (а ч— Ь) имеет
133
значение 0, и ~ (а Ь) х имеет значение О независимо
от значения х\ если ~ (а <—Ь) х имеет значение 1, то
~ (а Ь) имеет значение 1, и (а Ь) имеет значение 0;
если (а Ь) имеет значение 0, то (а <— Ь) имеет зна-
чение 1, и значение ~ (а <— Ь) я оказывается зависимым
исключительно от х, т. е. ~ (а <- b) z может принять как
значение 1, так и значение 0; если ~ (а <— Ь) х имеет зна-
чение 0, то либо ~ (а Ь) имеет значение 0, либо ~ (а «—
<— Ь) имеет значение 1 и х имеет значение 0, либо обе
~ (а д) их имеют значение 0; так что (а Ь) может
принять как значение 1, так и значение 0.
МТ1, Все формулы х |— у и |— х, доказуемые в систе-
мах 5р, суть тавтологии (поскольку все А1 — А6 суть
тавтологии).
МТ2. Формула ~ (а “| Ь) |— (а <— Ь) в Sp недо-
казуема (поскольку не является тавтологией). Формулы
н (а <- ft) V -] <- &), Н (а <- b) V (*? - И-
<— b) V (а? Ь) в Sp недоказуемы (поскольку не явля-
ются тавтологиями).
МТЗ. Высказывания (а <— Ь) и (а | <— Ь) находятся
в неклассическом отношении. Аналогично — пары (а <— Ь)
и (а?	&), (а “] <- Ь) и (а? <- Ь).
§ 3. Классический случай
В классическом случае теория предикации излишня,
поскольку отрицания совпадают, а неопределенность
исключается. Аксиомные схемы Л1 —Л6 принимают вид
(а <— Ь) —~ ~ {а Ь) и ~ (а <— Ь) —] ~ (а Ь).
Тот же эффект получится, если А1 — Л6 добавить эк-
ономную схему (а Ь) р- ~ (а <— Ь).
§ 4. Полнота
Di. Базисные формулы теории предикации суть фор-
мулы вида а |— 6, ab с, с |— ab, а V Ъ с, с |— а \/ b
134
и [— z, где а, Ъ и с суть элементарные для теории преди-
кации высказывания или их отрицания (внешние и внут-
ренние) и неопределенные формы, a z есть высказывание,
образованное исключительно из таких высказываний и
операторов общей теории дедукции.
МТ1. Если базисная формула х |— у есть тавтология,
и в х и у входят одинаковые элементарные для теории пре-
дикации высказывания, то х |— у доказуема в Sp. Если
базисная формула z есть тавтология, то она доказуема
в Sp. Теорема доказывается путем пересмотра всех слу-
чаев базисных формул.
§ 5. Дедуктивно связанные предикаты
Di. Предикаты Ъ та. с дедуктивно связаны, если и толь-
ко если доказуема хотя бы одна из формул (а Ь) )— (а ч—
ч— с) и (а ч— с) )— (а ч— Ь).
D2. Предикат Ъ дедуктивно включается в с, если и
только если доказуема (а ч— с) |— (а ч— Ь).
D3. Предикаты b и с дедуктивно эквивалентны, если
и только если доказуемы обе (а ч— Ь) |— (а ч- с) и (а ч— с) |—
Н (а Ь).
Z>4. Предикат Ъ дедуктивно сильнее предиката с,
если и только если доказуема (а ч— Ъ) |— (а ч— с) и недо-
казуема (а ч— с) |— (а ч— Ъ).
D5. Предикат b дедуктивно категорически сильнее
предиката с, если и только если доказуемы (а ч— Ь) |—
Н (а ч- с), (а ""] ч- с) Н (а ~] ч- Ъ) и (а? ч- с) |- (а ч-t
Ч-Ь).
В классическом случае в D5 достаточно принять (а ч—
ч— Ь) (— (а ч- с) и ~ (а ч— с) |— ~ (а ч— Ь).
§ 6. Теория предикации и кванторы
Как уже отмечалось, в S’ng недоказуемы формулы
— (Va)—х—]|— (Яа)®	—(Яа)—х—(Va)x
135
и т. п. Но в теории кванторов, расширенной за счет до-
полнения, изложенного в § 1, имеют силу следующие тео-
ремные схемы:
Ti. ~ (Va) ~ (а <—Ь) |—
н (-| Va) ~ (а b) V (?Va) ~ (а Ь)
Т2. ~(Va)~(a^&)H(-]Va)((a-|«-b)V
\/(а? ^b))V(?Va)((a“|^&)V(«? -*))
ГЗ. (Va) (а Ь) к- (~| Яа) (а П <- Ь) Q Яа) (а?	Ь)
Т4. (П Va) (а b) Н (За) (а Ь) V (За) (а?	Ь)
Т5. (П Va) (а ~|Ь) |— (Яа) (а <- &) \/ (Яа) (а?	Ь)
Гб. (П Яа) (а <- b) Н (Va) (а~| Ь) V (За) (а? Ь)
§ 7. Расширения теории предикации
Теория предикации может быть расширена, если учесть
строение субъектов и предикатов. Это мы покажем ниже.
Здесь мы хотим обратить внимание читателя на следующее
обстоятельство, которое в какой-то мере оправдывает
употребление названия «комплексная логика» примени-
тельно к излагаемой концепции. Построение логики есть
процесс, протекающий в различных планах («измерениях»),
так что построить логику как одну систему по образцу
Sg, SsCq и т. п. (в одной «плоскости») невозможно. Кроме
того, логические системы остаются всегда незамкнутыми
в том смысле, что определенные в них операторы остают-
ся неопределенными относительно их комбинаций с дру-
гими возможными операторами, отсутствующими в этих
системах.
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ
ТЕОРИЯ ТЕРМИНОВ
§ 1.	Термины
Системы теории терминов S} образуются благодаря из-
лагаемым в этой главе дополнениям к ранее рассмотрен-
ным системам. Эти системы рассматривались в [4—5].
Излагаемая ниже теория терминов есть лишь набросок и
ориентир для отыскания возможной теории, которая мо-
жет быть обработана в соответствии с правилами логиче-
ской техники.
Алфавит:
1)	простые предикаты и субъекты;
2)	sc — универсальный субъект («объект»);
3)	рс — универсальный предикат («признак»);
4)	—* — двухместный предикат включения одного тер-
мина в другой по значению.
Di. Предикат:
1)	простые предикаты суть предикаты;
2)	если а1,..., ап (и 2) суть предикаты, то (а1-...
... -ап), (а1 V ••• VаП)’(’ (а1,..., ап)), (V (а1,..., ап)) суть
предикаты;
3)	если а есть предикат, то ~ а и а суть предикаты;
4)	если х есть высказывание, а а — предикат, то а | х
есть предикат;
5)	если х есть высказывание, то х | есть предикат;
6)	нечто есть предикат лишь в силу 1—5.
Символ —* мы не включили в Di потому, что это про-
стой предикат, и он охвачен пунктом 1.
Р2. Субъект:
137
1)	простые субъекты суть субъекты;
2)	если а1,..., ап (п 2) суть субъекты, то (а1-...-а71),
(а1 V .. V ап), (• (а1,..., ап)), (V (а1,..., ап)) и (а1 ап)
суть субъекты;
3)	если а есть субъект, то ~ а и а суть субъекты;
4)	если х есть высказывание, а а есть субъект, то а | х
есть субъект;
5)	если х есть высказывание, то | х есть субъект;
6)	если а есть субъект или предикат, то [а] есть субъ-
ект;
7)	нечто есть субъект лишь в силу 1—6.
D3. Субъекты и предикаты (и только они) суть тер-
мины.
Определения D1 и D2 отнюдь не исчерпывают всех
возможных субъектов и предикатов. Они означают толь-
ко то, что в данной главе будут рассматриваться только
такие термины. В следующей главе, например, мы будем
рассматривать термины, не охватываемые определением
D2. Как «читаются» введенные в л D2 термины, об этом
сказано во введении. Приведем лишь несколько поясняю-
щих примеров. Пример для различия а и ~а: «стол» —
«не-стол» («не являющийся столом», «не называемый сто-
лом»). Примеры для различия а и а: «знание» — «незна-
ние», «умение» — «неумение», «возможность» — «невоз-
можность» и т. п. Термином (ab) может обозначаться не
всякий предмет, называемый а, и не всякий предмет, на-
зываемый Ь, а лишь такой, который может быть назван и
а и Ь. Например, не всякий писатель и не всякий худож-
ник есть писатель и художник (писатель —- художник)
одновременно. Термин (• (а, Ь)) имеет смысл не сам по се-
бе, а лишь как часть высказывания. Так, в предложении
«Писатель и художник создает духовные ценности» имеет-
ся в виду то, что как писатель, так и художник создает
духовные ценности (т. е. каждый из них). Указать пред-
мет, который обозначает термин (• (а, Ь)) независимо от
его роли в высказываниях, невозможно. Это — термин
138
иного типа, чем (ab). Аналогично для соотношения тер-
минов (а V Ь) и (V(fl> b)). На смешении терминов рассмат-
риваемого типа безируются многочисленные недоразу-
мения и затруднения как в операциях с языком, так и в
исследующей эти операции логике.
Высказывание о том, что термин а включается по зна-
чению в термин Ь, будет иметь вид
([а], [Ь]) *-(-).
В дальнейшем для упрощения будем квадратные скоб-
ки опускать, полагая, что в формулах с предикатом —v
они всегда предполагаются, и будем вместо приведенного
выше символа употреблять более наглядный символ
а Ь,
Знак конъюнкции будем опускать на тех же основаниях,
что и в общей теории дедукции.
Символ а —b можно пояснйть так: каждый предмет,
обозначаемый термином Ь, может быть обозначен также и
термином а. Например, таково отношение пар терминов
«Геометрическая фигура» и «Треугольник», «Равносто-
ронний четырехугольник» и «Ромб». Символ а b чи-
тается так же, как «Ь есть а». Так что теорию терминов
можно рассматривать как теорию высказываний со зна-
ком «есть».
/94. Будем в качестве сокращения для (а Ь) (Ь а)
употреблять символ а Ь.
§ 2. Общая теория терминов S*
Лксиомные схемы Л1:
1.	~— а^а
2.	|— а ab
3.	\—ab-^ba
4.	(а'а? . . . ап)
139
где b отличается от ага2...ап лишь какой-то расстановкой
скобок, удовлетворяющей Di и D2.
5.	|— ~ (аЬ) ^ (~ а V ~ Ь)
6.	|- (а—Ь) -> (—	~ а)
7.	(а b) (Ь-^-с)^(а^ с)
8.	[— (а _ь.с)	с) —> (аЬ-ь. с)
9.	Н(а^а)
11. |— ( — а —* а)
Некоторые теоремные схемы:
П.раХ/^а
Т2. \-а^.а
ТЗ. |— аа .ь. а
ТЬ. |- (ad с) -> (а с)
Т5. |— (а _ь. Ь) (а-* с)-> (а — Ь\/ с)
Тб. [— (а-ь. Ь\/ с) —»(а-^ Ъс)
Т1.\—а\/ Ь^Ь\/ а
Т8.|-(а^ 6)(c^d)->(aVc^bVd)
79. Н а. а V — ЪЬ
MTi. Если доказуема |— (а Ь), то в а и Ь входит
по крайней мере один одинаковый термин.
Справедливость MTi видна из следующего рассужде-
ния. Аксиомы 1—5 удовлетворяют MTi. Из доказуемых
формул вида |— (а —»• аЬ) в соответствии с аксиомами 7
можно получить лишь формулы вида |— ( a ^ab1... Ьп),
а в соответствии с аксиомами 6 — лишь формулы вида
|—(~ (afc1...bn)^ ~ а), удовлетворяющие MTi. Фор-
140
мулы, получающиеся в соответствии с аксиомами 8, явно
удовлетворяют МТ1.
Будем приписывать терминам значения 1 и 0 и будем
считать, что а —* b равнозначна b ю а, где а и b рассмат-
риваются как высказывания.
МТ2. Все доказуемые в 5} формулы суть тавтологии.
Справедливость теоремы легко усматривается из обзора
аксиомных схем.
МТЗ. Если |— (а —Ь) есть тавтология такая, что в а
и Ъ входит хотя бы один одинаковый термин, то она до-
казуема.
Справедливость МТЗ> усматривается из того, что каж-
дой доказуемой в классической пропозициональной ло-
гике формуле Ъ о а (а значит и каждой тавтологии b zd а)
соответствует доказуемая в нашей системе формула
Н (а Ь).
Аксиомные схемы ЛИ:
1. Н (л1, л2, . . . , ап)^Ь,
где b отличается от (а1, а2,..., ап) лишь какой-то расста-
новкой скобок.
3. Н ((а, с) (b9 d)) (а b) (с d)
Аксиомные схемы ЛIII:
1.	[— (Уа)я(ЭЬ) —
2.
где у образуется из х путем замены вхождения а в х на Ь.
§	3. Теория субъектно-предикатных терминов
Система 5? получается путем следующего расшире-
ния S}.
141
Аксиомные схемы AI:
1.	(а-л. b) (Va) (аа <— с)|— (Vb)(ba<— с)
2.	(а -л. Ъ) (ЯЬ) (Ьх ч— с) |— (Яа) (ах ч— с)
3.	(а Ь) (с ч— Ь) (с ч— а)
i. (аb) (с “"] ч—а) |—(с ~] ч—b)
5. (а Ь) (с? ч— а) |-(сч— Ь)
Некоторые следствия:
Ti.	(а ч—(be)) —> (а ч-b) (а ч-с)
Т2. ^(а-]ч-Ь)7(аП^-с)->(а“1*-М
ГЗ. |-(а^-Ь)\/(а*-с)-^(ач-(Ь7с))
Г4. Н(аП-(Ь\/с))^(«П<-Ь)(аП-с)
Т5. |-(а ч—Ь) —~ (а ч-be)
Тб. |-(а^-(Ьус))-+~(ач-Ь)
Аксиомные схемы ЛII:
1. (а ч-(~ bb))
2. [—(а+-Ь)\/(а*--b)
Аксиомные схемы АIII:
1.	(ач—(-(Ь, с))) —11—(ач—Ь) (ач—с)
2.	((.(а, Ь)) ч—с) —11—(а ч—с) (Ь ч—с)
з.	(fl4-(V(V))HH(«-b)V(o-c)
4.	((VMMHHeHVM
5.	(а«Л)ЧН(а-|ч-Ь)
(а-|ч-Ь)НН(«*-Ь)
(а?^-Ь)НН(а?*-Ь)
6.	(Va) (а ч- с) (Vb) (b ч- с) |- (V (ab)) ((ab) ч- с)
7.	(И V (ab)) ((ab) ч- с) Н (“| Va) (а ч-с) V П Vb)
(b^c)
8.	(Я (ab)) ((ab) ч- с) Н (Яа) (а *- с) (ЯЬ) (Ь ч- с)
142
9.	(И Ла) (а ч— с) \/ (“1ЯЬ) (Ь ч- с) |— (~| Я (аЬ))
((ab+-c))
10.	(За) (а ч— с) V (ЯЬ) (Ь +- с) -| Н (Я (а V &)) ((а V
V&M
И. (“] Ла) (а ч-с) (~| ЛЬ) (Ь ч—с) —11—(~] Я (а V Ь))
((aVJ)^c)
12.	(Va) (а с) V (Vb) (Ь <- с) Н (V {а V b)) ((а V Ь) с)
13.	(“J V (а V b)) ((а V b) <- с) Н (“| Vа) (а <- с) 
•OVb)(b<-c)
14.	(Va) (а <— с) (ЗЬ) (Ь <— с) [— (3 (ab)) ((ab) <— с)
15.	(И 3 (ab)) ((ab) -с)Н П Va) (а <- с) V (И ЯЬ)
(Ь<-с)
Некоторые следствия:
Т7. |----(a<-(bb))
78. (ач-Ь)|-----(а^-Ь)
79. (ач—Ь)|-----(ач-Ь)
710.	 Ь)
711. |----((ач-b) (ач-Ь))
Утверждения, аналогичные 78 и 711, для ~Ь непри-
емлемы: предмет а может иметь признак, обозначаемый
термином Ъ, и другой признак, который не обозначается
термином Ь. И оно недоказуемо в нашей системе. Это,
кстати сказать, одна из причин того, почему нельзя
принимать
|— (а ч— Ь) (а ч- с) —> {а ч— (Ьс)).
Приняв такое утверждение, мы должны были бы принять
|— {а ч— Ь) (а  -Ъ) -> (а ч— (— ЬЬ))
и согласно ЛП1 и Ss принять
|---((а^-Ь)(ач-----Ь)),
143
что не соответствует принятому смыслу термина ~ Ь.
Аксиомные схемы ЛIV:
1.	Н(« I	I у) I *
2.	|— х —> (a -s. а | х)
3.	(— {а | х-^а),
а не входит свободно в х или х доказуема.
4.	(|	| у)-|р-(ж |	|)
5.	I—(I I y)-*(*-*y)(y->s)
6.	Н (я—>(а<—(х |))
7.	Н (а +- (х |)) -► х
8.	Н(а | х)ч-(х |)
Di. аа | Ъ есть сокращение для а | (а а Ь),
ba I а есть сокращение для Ъ | (а а Ь), где а озна-
чает наличие или отсутствие | или ?.
Аксиомные схемы AV:
1.	Н~а^(&~| | (рс | а))
2.	|--а--*(&? | (рс | а))
3.	I--а^(Ь | (рс~| | а))
4.	|--а-*(Ь | (рс? | а))
5.	(аа «— с) (60 ч— с) —» — (а-ь.6)
6.	|—(аа <—Ь) (аР ч-с) —> — (Ь-^с)
где аир различны (в 5 и 6).
Аксиомные схемы AVI:
1. (рсх^а),
где а есть предикат.
2.	|— ($с-^а),
144
где а есть субъект.
3.	sc | (рс | а),±а
4.	|— рс | (sc | а)-ь.а
5.	|— (аа <— b) —> (sea | b-^a)
6.	|— (аа <— Ь) —> (рса | а-^Ь)
Аксиомные схемы AVII:
1. (Va) ((аР | &)a«-c)[-(V(aP | &)) ((аР | Ь)а«-с)
2. (V (ар | Ь)) ((аР | Ь) а с) |- (Va) ((аР | Ь) а с)
Аксиомные схемы AV III:
1. (Va)x(V(a | x))y\-(Na)y
2. (Ha)x(W(a | х)) у |— (Яа) у
§ 4. Силлогистика предикатов
Используя правила образования терминов, можно по-
строить силлогистику предикатов.
Неклассическая система при этом образуется путем
присоединения к ранее рассмотренным системам следую-
щих аксиомных схем:
41. (Яа) (а +- Ь) -1 (- (Я (sc | b))((sc | Ь)^(рс | а))
42. (Va)(aa<-&)4H(V(H | b))((scp | Ь)“|*-
<-(рс | a)) (V(scr | b))((scr | Ь)“|^(рс | а))
где а, Р и у означают наличие или отсутствие “1 или?,
причем — все они различны.
Классический случай получается из неклассического
путем замены схем А2 схемами:
А *2. (Va)(a^-b)HH(V(sc~ | Ь))
~((sc~ I b)^(pc I а))
143
Силлогистика предикатов, как видим, довольно гро-
моздка и неудобна в обращении. Фактически рассмат-
риваемая в логике силлогистика является силлогистикой
классов (см. ниже).
§ 5. Определения
Вопросы, связанные с теорией определений, рассмот-
рены в [3, 4]. Здесь же мы ограничимся лишь несколькими
замечаниями.
Определения суть соглашения о том (или намерения
считать), что некоторого заданного вида предметы а1,...
..., ап (п 1) будут терминами такими, что будут верны не-
которые заданные утверждения х1,..., хт (т 1), в ко-
торые входят выражения с а1,..., ап и предикатом
Утверждениях1,..., хт должны быть подобраны так, чтобы
для каждого были верны утверждения а1 —* Ь1 ,...
bk nb1 \/ ... V Ьк а*, где Ь1,..., Ьк суть термины,
через которые определяется а*.
Утверждения х1,..., хЛ, о которых говорилось выше,
имеют такой вид. Случай 1: определяется один термин а
независимо от других определяемых терминов. Простей-
ший вариант этого случая: 1) а —* Ь; 2) b -*> а. Более
сложный (общий) случай — рекурсивные определения:
1,	а^Ь1, . . . , а^Ьг(г>1)
2.	(а^с1)- . . . «(а-^с5)—>
~>(а-^). . . . .(a^d*)(s>l, />1)
3.	• • • WWV • • •
Случай 2: определяются термины а1,..., ап (п^ 2) одно-
временно так, что одни из них используются при опре-
делении других.
Если определение принято, то утверждения х1,..., х™,
указанные выше, принимаются как доказуемые (или ис-
тинные). Так, пусть принято определение: «Предмет а
146
будет термином таким, что а b | с». В таком случае
принято |— (а b J с). Этот принцип позволяет полу-
чать следствия из определений. Так, в нашем примере
имеем:
1)	|— (а^Ь | с)— согласно определению;
2)	[— ((Ь | с)<-с)— согласно S*-,
3)	Н” (V (Ь | с)) ((6 | е) — согласно 5^;
4)	! c)(V(& | с))((6 | с)<-с)->
—>(Va)(a<— с) — согласно 5?;
5)	[— (Va) (о<- с) — согласно 1,2 и Sy.
Частный случай определений — определения с пере-
менными, область значения которых суть термины. Они
имеют вид намерений (соглашений) считать b термином
таким, что верно х, если и только если a1,..., ап (п 1)
суть термины такие, что верно у. Здесь х есть высказы-
вание, содержащее Ь\ у есть высказывание, содержащее
и1,..., ап\ Ъ, а1,..., ап суть переменные, области значения
которых суть термины.
Правило для таких определений: в самом определении
и в вытекающих из него следствиях на место переменных
а1,..., ап нельзя подставлять b и все те термины, которые
содержат b или определяются с использованием Ь. Это
правило есть следствие содержащегося в самом опреде-
лении условия, что а1,..., ап должны быть терминами
независимо от определения Ъ (т. е. b в их число не вклю-
чается).
§	6. Логически взаим о заменимые предикаты
D1. Предикаты b л с логически взаимозаменимы, ес-
ли и только если для них доказуемы формулы
1.	(а 6) |— (аа ч— с)
2.	(а~]ч-Ь)|-(аач-с)
147
3.	(a?<-b)p-(aa?<-c)
4.	(a <—с) - (aa Ь)
5.	(a “"| <— c) (a.a <— b)
6.	(a? <— c) |— (aa? <— b)
в неклассическом случае, и доказуемы формулы
1.	(а <— b) ~ (aa с)
2.	~ (ач—b) (aa<—с)
3.	(а <— с) |-(аа <— Ь)
4.	—(аа<— Ь)
в неклассическом случае (а а означает а, ~а или а).
С примерами дедуктивно связанных и логически взаи-
мозаменимых предикатов мы встретимся ниже. Аналогия'
ные отношения имеют место, как известно, и для логичес-
ких операторов. Таковы, например, операторы конъюнк-
ции и слабой дизъюнкции. Для них имеют силу утвержде-
ния ху |— х \/ у, ~ (я V J/) I----U#), ~ (* V У) Н
~ х ~ у, х \/ у ~ х \/ ~ у) п т. я. Как мы
видели выше, кванторы V и 3 связаны и взаимозамени-
мы также и в смысле определений для неклассического
случая.
§ 7. Логические термины
Логика не ограничивается рассмотрением логических
операторов. Она исследует также особого вида термины и
правила оперирования ими, не сводимые к правилам для
логических операторов. Это — термины существования,
модальностей, классов, отношений и т. д. Так как устано-
вление свойств этих терминов есть дело логики (а не ка-
кой-либо иной конкретной науки), будем называть такие
термины логическими.
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ
ЛОГИКА КЛАССОВ
§ 1.	Классы
Логика классов образуется благодаря излагаемым ни-
же дополнениям к ранее рассмотренным системам. Си-
стемы логики классов рассматривались в [3—5].
Алфавит:
1)	ЕЕ — двухместный предикат включения индивида в
класс;
2)	cz — двухместный предикат включения класса в
класс;
3)	К — классообразующий оператор.
Предикаты £ и с суть простые предикаты.
Di. Если а есть субъект, то Ка есть термин класса
(читается «Класс а»). Термин класса есть субъект.
Высказывания о включении индивидов в классы и
классов в классы имеют вид
(а, КЬ)+-(<=)
(Ка, КЬ) <-(<=)
Мы будем употреблять более наглядные (и общепринятые)
символы
а^КЬ
К a cz КЬ
§ 2.	Система 8%
Система Si получается путем добавления к того,
что сказано в § 1, и следующих аксиомных схем:
149
Аксиомные схемы:
Al. (Яа)(аеХЬ)|-(ЯЬ)(ЬеХа)
А2. ~(а(ЕКЪ)\-(а<ЕК~Ь)
АЗ. (а ЕЕ К~Ь)\—~ (аЕЕ КЬ)
44.	(а е КЬ) (Nb) (Ъ е Кс) Н (« s Кс)
45.	(а К (а\/Ь))
46.	(Va) (a s КЬ) |- (Ка с КЬ)
Al. (Kacz Kb)\-(Va)(a(EKb)
Если 5* строится независимо от теории терминов, не-
обходимо принять следующие правила замены терминов:
7?1. Замена термина ~~ а термином а, и наоборот.
R2. Замена термина ab термином Ьа.
R3. Замена термина а термином аа, и наоборот.
7?4. Замена термина а1-...-а’а’+1-...-an(i 0, п 1)
термином а1-... -a’(ai+1- ,..-ап), и наоборот.
R3. Замена термина ~ (ab) термином ~ а\/ ~ Ь, и
наоборот.
TI. (Va) (а е Kb) (Vb) (b е Кс) |- (Va) (а е Кс)
Т2. (Аа) (а е Kb) (Vb) (b е Кс) |- (Яа) (а е Кс)
ТЗ. (Va) (a ЕЕ Kb) |- (V ~ Ь) ~ (— b е Ка)
Т4. (V ~ Ь) — (— b е Ка) Н (Va) (а & КЬ)
ТЗ. |— аЬ Е- К а
Гб. Н Ка с К (а V Ь)
TI. [—K(ab)czKa
Примем следующую семантическую интерпретацию (ко-
торая в пунктах 1—3 предложена А. М. Фединой):
1)	если а ЕЕ КЬ приписывается значение 1, то а е=
К b приписывается значение 0, значения a G КЬ
и а К Ь пе зависят от а ЕЕ КЬ, ~Ь ЕЕ К ~ а
приписывается значение 1;
ISO
2)	если а ЕЕЕ КЬ приписывается значение 0, то а Е
Е К ~ Ъ приписывается значение 1, а Ъ Е Ка — зна-
чение 0;
3)	если а ЕЕ КЬ и Ъ ЕЕ Кс приписывается значение 1,
то а €ЕЕ Кс приписывается значение 1; если а ЕЕ КЬ при-
писывается значение 1, а Ъ Е Кс — значение 0, то а е Кс
приписывается значение 0; если а ЕЕ КЬ приписывается
значение 0, то значение а ЕЕ Кс остается неопределен-
ным, какое бы значение ни приписали Ъ ЕЕ Кс\
4)	а €= К (а V Ъ) и ab ЕЕ Ка всегда принимают зна-
чение 1;
5)	(Va) (a G= КЬ) и Ка cz КЬ равнозначны;
6)	правила замены дают равнозначные высказывания.
MTi. Все доказуемые в $1 формулы суть тавтологии.
Если принять аксиомные схемы
(a^b)H(Vb) (bEKa)
(Vb)
то некоторые аксиомные схемы Si окажутся зависимыми
в теории терминов, расширенной за счет логики классов.
§ 3.	Система 8%
Система S% отличается от лишь тем, что вместо ак-
сиомной схемы Л4 принимаются аксиомные схемы:
АЧ. (Va)у (b Е Ка) |— х,
где у образуется из х путем замены а на Ъ везде, где a
входит в х.
АЧ. х(Ье Ка)\— (За) у,
где у образуется из х путем замены Ъ на а везде, где Ь
входит в х.
Аксиомная схема Л4 получается в как следствие из
Лг4. В Sk доказуема также формула
(b Е Кс) (Ь Е Ка) |— (Яа) (а Е Кс)
151
§ 4.	Силлогистика классов
Аксиомные схемы А1 — 44 достаточны для полной
силлогистики классов. Доказательство этого утвержде-
ния дано А. М. Фединой в работе [15]. Для доказатель-
ства этого утверждения достаточно взять частичную си-
стему 51.
Аксиомные схемы 5^:
А 1. 37|~— — х
А 2.----xj— х
А 3. ху |— х
А 4. ху\— ух
А 5. (Va).rf— х
А 6. х[— (Ла) х
А 7. (Va) я: |—— (Яа)—х
А 8. —(Яа) — х	(Va) х
А 9. (Va)(ae^6)(V6)(be^c)H(Va)(asAc)
410.	(Яа) (а е КЬ) (V6) (Ь е Кс) Н (За) (а е Кс)
411.	(Va)(ae.Kb)H(V~b)~(~beXa)
412.	(V —&)~(^6е A'a)H(Va)(ae7C&)
413.	(Яа) (а е Kb) Н (ЯЬ) (Ь е Ка)
Правила вывода:
Я1. Если х |— у и у |— л:, то z |— у, где v получается
из z заменой вхождения х в z на у.
R2. Если х |— у и у }— z, то х z.
ЯЗ. Если х |— у и х [— z, то х yz,
R4, Если у образуется из х путем замены на а
(или а на	то х I— у.
Di, Простой категорический силлогизм есть формула
вида
К1^1 (a* е Kbk) K2a2 (а1 е Kbm) Н К3ос3 (а1 е КЬ2).
где а1, а2, а3 означают наличие или отсутствие отрицания;
К1, К2, К3 суть кванторные группы; 3, к 3, I 3,
т 3; высказывания а1 е КЬк и а1 ЕЕ КЬт различны.
152
МТ1. Если простой категорический силлогизм х |— у
есть тавтология, то х |—- у доказуема в S*.
Доказательство МТ\. Посылка х |— у может иметь вид
la. (Va)(aeXc)
За. (Vfe)(b&tfc)
1Ь. (Яй)(веХс)	ЗЬ.	(ЯЬ) (Ъ е Кс)
1с. (Va) — (aeKc)	Зс.	(УЬ)~(Ь(^Кс)
Id. (За) (а ЕЕ Кс)	3d.	(ЯЪ)~(Ъ(^Кс)
2а. (Vc)(ceAa)	4а.	(Vc) (с^КЬ)
2b. (Яс) (с е Kq)	4Ь.	(Яс) (с е КЬ)
2с. (Vc) — (се Ка)	4с.	(Ус) ~ (с е КЬ)
2d. (Яс)-(сеЯа)	4d.	(Яс) ~(СЕ КЬ)
Заключение х |— у может иметь вид:
5а. (Vа) (а КЬ)	5с. (Яа) (а е КЬ)
5b. (Va) ~ (а е Kb)	5d. (Яа) ~ (а е КЬ)
Всего возможно 512 простых категорических силло-
гизмов. Нам достаточно рассмотреть 256, поскольку ос-
тальные 256 получаются из них согласно Л4. Кроме то-
го, имеют силу следующие правила, сокращающие число
рассматриваемых случаев.
jR*l. Если заключение простого категорического сил-
логизма х |—- у имеет вид 5Ь или 5d, и если х у при-
нимает значение 0, то простой категорический силлогизм,
отличающийся от него только тем, что заключение его
имеет вид соответственно 5a или 5с, также принимает
значение 0 (это очевидно из того, что (\fa)x имеет значе-
ние 0, если (Яа)х имеет значение 0).
Л*2. Если один из конъюнктивных членов посылки
простого категорического силлогизма х |— у имеет вид
ia (i = 1, 2, 3, 4) или ic, и если х у имеет значение 0,
то простой категорический силлогизм, отличающийся от
него только тем, что соответствующий конъюнктивный
член посылки имеет вид ib или, соответственно, id, точно
Ш
так же имеет значение 0 (это очевидно из того, что (Яа)л'
имеет значение 1, если (Vа)х имеет значение 1).
Путем пересмотра всех простых категорических сил-
логизмов устанавливаем, какие из них могут принимать
значение 0 и какие нет (т. е. являются тавтологиями). Так,
формулы вида
1а-3а|—55	1а-4а|—5rf	2а-3а|—5а
могут принять значение 0, а формулы
1а-4а [—5а	1а  4с f—5с
суть тавтологии. Одним словом, устанавливаем, что тав-
тологиями являются лишь 19 модусов, категорического
силлогизма. И все эти модусы доказуемы в 5?. Для дока-
зательства необходимо производное правило R*3 и пред-
варительные теоремы L1 — L5.
Производное правило:
R‘3. Если х—1|— у, то —у—1[-----х
[Л1, Al, А2, R5, R4]
Предварительные теоремы:
LI. (Va) — (ae^5)-||-(Va)(aGX~&)
[ЛИ, Л12, R»3, R2, 2?4]
L2.j (Va)(aeO)-|H(V~6)(—ЬеК—a)
i	[R4, All, A12, LIJ
L3
L4.
L5.
~b)(~bf=K~a)\-{Na)(a<=Kb)
[L2, R2, Я3[
(3a) — (a e Kb) 4 H (Sa) (a S К — b)
[LI, R4, Al, Л8, Л1, Л2, 2?*3, R2, ЯЗ]
(Va) — (ae Kb)-I I- (Vfe)~(be Ka)
[LI, R4, R2, L2, L3, 2?5]
Ш
Модусы простого категорического силлогизма:
Ti. (Vc) (с е Kb} (Va) (а е Кс) |- (Va) (а^КЬ)
[Я2, 49, Я1, 44, Я5]
Т2. (Vc) — (с е Kb) (Va) (а е Кс) [- (Va) - (а е КЬ)
[49, LI, L2, R2- 7?5]
УЗ. (Vc) (с е КЬ) (Яа) (а е Кс) |- (Яа) (а £ КЬ)
|44, ЛЮ, Ri, R2, Л5]
У4. (Vc) ~(с£ КЬ) (Яа) (а е Кс) |- (Яа) ~(аЕ КЬ)
[Л7, 48, Li, УЗ, R2, Ri, /?5]
У5. (Vb) ~(b& К с) (Va) (а ЕЕ Кс)	(Va) ~ (а е КЬ)
[А7, 48, L2, Ti, R2, Ri, Я5]
Уб. (Vb) (b е Кс) (Va) ~ (а е Кс)}- (Va) ~(а е КЬ)
[41,42,11, T5,Ri,Ri,R5]
У7. (Vb) — (Ь е Кс) (За) (a е Кс) [- (Яа) ~(а£ КЬ)
[У4,У5, Ri, Я5]
У8. (Vb) (b е Кс) (Яа) ~ (а е Кс) Н (За) — (а е КЬ)
[41, А2, А7, 48, У7, Li, R2, Ri, Я5]
У9. (Vc) (с е Kb) (Vc) (с е Ка) f- (Яа) (а е КЬ)
[43, 45, 46, 413, УЗ, Ri, Ri, R5, Я6]
У10. (Vc) ~(с(= Kb) (Vc) (с (= Ка) |- (Яа) — (а £ КЬ)
[47, 48, У9,£1, R2, Ri, Я5]
УИ. (Яс) (с е КЬ) (Vc) (с е Ка) |- (Яа) (а е КЬ)
[410,413, R2, Ri,R5]
У12. (Vc) (с е КЬ) (Я.с) (с е Ка) Н (Яа)(а s КЬ)
[413, УЗ,Л4, Я5[
У13. (Яс) ~ (с ее Kb) (Vc) (с е Ка) Н (Яа) ~ (а е КЬ)
[47, 48, У11,У1,Я2, Я4,/?5]
У14. (Vc) ~ (с е КЬ) (Яс) (с е Ка) (- (Яа) ~ (а е КЬ)
[47,48, У12, Li, R2, Ri, Я5]
У15. (Vb) (b е Кс) (Vc) (с е Ка) |- (Эр) (а е КЬ)
[46, 49, 413, 45, Ri, R2, Ri, R5]
Т16. (Vb) (b e Kc) (Vc) ~ (с e Ка) H (Va) ~ (a e Kb)
[Я4, Я5, У6, L5J
155
Til. (Я&) (ft eКс) (Ус) (с eКа) H (Яа) (а s Kb)
[Л4,Я5,Т11,Л13]
П8. (V6) ~ (6 e Kc) (Vc) (с e Ка) |- (Яа) — (a e Kb)
[Л4, R5, ПО, £5]
П9. (V&) ~ (beКс) (Яс) (с eКа) H (Яа) ~(а EKb)
[Я4,Я5,П4,£5]
Теоремы Ti — 7*19 суть соответственно модусы Bar-
bara, Celarent, Darii, Ferio, Cesare, Camestres и т. д.
В силу непротиворечивости 5* остальные простые
категорические силлогизмы недоказуемы.
D 2. Категорический силлогизм есть формула вида
KV (а1 е кьг)..... Кпап (ап е КЬп) Ка (а е КЬ),
где п > 2, и все a1 (= КЬ* попарно различны.
МТ2. Если категорический силлогизм х |—-у есть тав-
тология, то х (— у доказуема в 5».
Теорема МТ2 доказывается методом математической
индукции по числу конъюнктивных членов в посылке.
Базисный шаг, когда п = 2, уже доказан выше. Пусть тео-
рема ве^)на для п членов конъюнкции. Рассмотрим кате-
горический силлогизм А
х*хг . . . а^+1 |— х.
Возможны два случая. Случай!:
х1- . . . -хп|—х
есть тавтология и, согласно допущению, доказуема;
очевидно, будет тавтологией и доказуемой формула А.
Случай 2: указанная в случае 1 формула не есть тавтоло-
гия. В этом случае может быть найдена такая z, что
X1. . . . -Хп|—Z	ZXntl [— X.
суть тавтологии и доказуемы, причем — вторая формула
есть простой категорический силлогизм. Отсюда получа-
ем, что будет доказуема А.
156
§ 5.	Силлогистика классов
и силлогистика предикатов
Имеет место связь силлогистики классов и классиче-
ской силлогистики предикатов. Она устанавливается, в
частности, аксиомными схемами:
(а <- (х I)) Н (а е К (sc | #)).
§ 6.	Квазиклассический случай
в теории кванторов
Примем аксиомную схему:
Л1. f-aeXb.
Из А1 следует:
П.|-(Уа) (аеО)
Аксиомная схема А1 означает допущение того, что об-
ласти значения всех простых субъектов совпадают,— до-
пущение, лежащее в основе классического и интуициони-
стского исчислений предикатов. Лишь при условии такого
допущения в этих исчислениях оказываются обще-
значимыми и формулы вида (Va) (а <— Ь) тэ (с <— Ь) и
(с<— Ь) о (Яа) (а <— Ь).
Благодаря А1 на уровне систем двазиследования будут
доказуемы формулы (Va) (а ч— b) (с ч- Ь) и (с ч— Ъ) |—
(Яа) (а ч— Ь), в общем случае — формулы (Va)# у
и у (Яа) х, где у образуется из х путем замены
вхождений а в х на с.
В самом деле, согласно S* доказуемы (Va) (а <— Ь) •
 (с е Ка) |- (с <—Ь) и (с Ь) (с е Ка) [- (Яа) (а ч- Ь).
(Согласно А1 и по правилу квазиследования получим
Va) (а b) J- (с Ь) и (с ч- 6) )- (Яа) (а <- Ь).
1S7
§ 7.	Классы классов
Термин «класс» (будем употреблять буквы kl) интуи-
тивно означает следующее: если а есть термин, то Ка есть
kl, т. е. |— (kl —* Ка). Отсюда получаем, что если а есть
термин, то р- (VKa) (Ка е Kkl). Однако это рассужде-
ние содержит ошибки.
Прежде всего надо различать термин «класс» (буквы
kl) и классообразующий оператор «класс» (буква К),
который термином не является. Определение же термина
kl имеет такой вид.
Di. Пусть kl будет термином таким, что если а есть
термин, то [— (kl —Ка). Поскольку (kl —Ка) (\Ка)
(Ка Ei К kl), определению можно придать такой вид:
D*i. Пусть kl и Kkl будут терминами такими, что
если а есть термин, то |— (уКа) (Ка ев Kkl).
Выражение «Пусть kl будет термином» имеет опреде-
ленные логические свойства: оно превращает вещь вида
kl, которая до этого и независимо от этого не была терми-
ном; в термин. И выражение «если а есть термин» благо-
даря этому позволяет в качестве а брать только такие вещи,
которые уже являются терминами или становятся терми-
нами независимо от принятия Di. Короче говоря, Di
есть определение с переменной, правило для которого ука-
зано выше. Роль переменной здесь играет а (область ее
значения — термины, не зависящие по значению от kl).
Согласно правилу построения определений такого ти-
па из Di не может быть получено следствие «Если а
есть термин, то kl Ка (или Ка ЕЕ Kkl', или (Va)
(kl Ка); или (Va) (Ка ее Kkl))», где а есть любой тер-
мин, в том числе — термин kl. Не могут быть получены и
утверждения kl Kkl и Kkl ее Kkl. Из Di может быть
выведено лишь такое утверждение:
MTi. Если а есть термин, не зависящий по значению
от kl (т. е. значение которого может быть установлено без
Di), то kl Ка (то Ка е Kkl).
158
Вопрос о том, как бытье упомянутыми выше утвержде-
ниями, зависит от внешних для них обстоятельств: они
могут быть приняты или не приняты как аксиомы в зави-
симости от того, нужно это или нет, и в зависимости от
того, приведет это к противоречиям или нет.
§ 8.	Парадокс класса нормальных классов
Выражение «нормальный класс» (или «нормальное
множество») определяют так: класс называется нормаль-
ным, если и только если он не является элементом само-
го себя. Это определение непригодно потому, что в нем
явно не выражено то, что класс есть всегда класс чего-то.
Примем определение, устраняющее этот недостаток:
Di. Если а есть термин и при этом — (Ка е #а),то
Ка будем называть нормальным классом (вместо выраже-
ния «нормальный класс» будем писать буквы пк).
Выражение «Будем называть» имеет логические свой-
ства, которые выражаются в случае с Di таким образом:
D*i. Пусть пк будет термином таким, что пк~^ Ка (или
Ка Е= Кпк), если и только если а есть термин и при этом
~ (Ка е Ка).
Здесь опять-таки имеет место определение с перемен-
ной: роль переменной здесь играет буква а; область зна-
чения а — термины, не зависящие по значению от пк.
При получении парадокса класса нормальных классов
забывают (или не замечают) того, что на место а не может
быть подставлен термин пк и любой другой термин, опре-
деляемый через пк, и определению придают вид утвержде-
ния А: если а есть термин, и — (Ка ЕЕ Ка), то Ка ЕЕ
ЕЕ Кпк-, если а есть термин и Ка ЕЕ Ка, то ~ (Ка е Кпк).
Подставляя на место а термин пк, получают утверждения
В: если — (Кпк ЕЕ Кпк), то (Кпк ЕЕ Кпк)', если (Кпк ЕЕ
ЕЕ Кпк), то ~ (Кпк е Кпк).
Но утверждение А неверно. Верным будет такое след-
ствие Di: если а есть термин, не зависящий по значению
1S9
от пЛ, и — (Ка ЕЕ Ка), то Ка ЕЕ Кпк\ если Ка ЕЕ Ка, то
при том же условии относительно а будет — (Ка €= Кпк).
А так как пк зависит по значению от самого себя (мы не
можем знать значение пк, не определив пк), получить ут-
верждение В нельзя.
Вопрос же о том, принимать или не принимать утвер-
ждение пк —* Кпк (и вытекающее из него следствие Кпк ЕЕ
ЕЕ Кпк), остается открытым. Оно безразлично по отно-
шению к Di в том смысле, что, приняв пк Кпк и Di,
мы еще не можем получить отсюда логическое противоре-
чие. Противоречие не получится и в случае, если мы при-
мем Di и — (Кпк ЕЕ Кпк) и вытекающее из него следствие
— (пк Кпк)).
§ 9.	Производные классы
Расширим понятие «термин класса».
Di. Термин класса:
1)	если а есть субъект, то (Ка) есть термин класса,
2)	если (а) есть термин класса, то (а) есть термин клас-
са;
3)	если а и b суть термины классов, то (a) J (Ь) и
(a) f| (b) суть термины классов; аналогично если а1,...
ап суть термины классов, то (а1) J (a2) U ••• U (дП) и
(а1) f| (a2) f| ... П (а?) суть термины классов.
Принято называть (а) дополнением к (a), (a) J (Ь) —
суммой (а) и (b), (a) f| (b) — произведением (а) и (Ь).
Примем аксиомные схемы:
Al.p-(K^) ^(К^а)
Л2.Н((Ка) U (КЬ))^(К(а\/Ь))
U (^а2) U ••• U
...Ve"))
ЛЗ.Н<да А (Kb))^(K(ab))
П да) А • • • A (Ka*))^(K(aW. . .а"))
Очевидно, знаки —, J и f| обладают свойствами,
аналогичными \/ и • (при соответствии и —| |—).
ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ
ЛОГИКА СУЩЕСТВОВАНИЯ
§ 1. Экзистенциальные предикаты
Предикат существования («существует») является про-
стым (с точки зрения логики) предикатом. Будем изобра-
жать его символом Е. На него распространяется все, что
верно в отношении предикатов вообще. Но он обладает
некоторыми специфическими свойствами, которые яв-
ляются предметом внимания особого раздела логики.
Смысл предиката существования в каждой науке уста-
навливается определенными способами. Эти способы под-
даются, надо думать, обобщению и классификации. Но
для нас здесь достаточно знать, что такие способы имеют-
ся. Рассматриваемые в логике правила от них, однако,
не зависят.
Через Е можно определить другие предикаты, кото-
рые точно так же относятся к числу экзистенциальных, в
частности — предикат «универсально». Будем изобра-
жать его символом U. Предикаты Е и U являются ло-
гически взаимозаменимыми. Первый из них категориче-
ски сильнее второго.
Высказывания, содержащие экзистенциальные преди-
каты, суть экзистенциальные высказывания.
Системы логики существования рассматривались в
[3-5].
В дальнейшем для упрощения записи высказывания
а Ь, а Ь и а? <— Ь будем изображать символами
соответственно b (а), Ъ (а) и ? Ъ (а).
161
§ 2. Система &n
Алфавит:
1) Е — предикат существования;
2) U — предикат универсальности.
Аксиомные схемы 41:
1.	Е(а\ .. ,,ап)}—Е(аУ) • ... • Е(ап)
2.	Е (а1 2 3 4 5)	(ап) |- Е(а1, ...,ап)
3.	-|£(а!....ап) |—~J £ (а1) V • • • V ~I (а”)
4.	-|E(a1)V...V"lb'(en)b_|^(al,...1a")
5.	U (а1,..., ап) Н U (а1) • ...•£/ (ап)
6.	U (а1) • .... 77 (ап) Н U (а1,.. ., ап)
7.	“1U (а1) V ... V “I U (ап) Н J U (a*)V.. -VT («")
8.	“] U (а1,..., ап) Н “| U (а1,..., ап)
Аксиомные схемы 4II:
1.	Е(а)~\Е(а | b) f- Е (а ~| | Ь)
2.	Е(а) ?Е(а | Ь)\-Е(а? | Ь)
3.	Е(а)~Е(а | 6)Н£(а~ | Ь)
Аксиомные схемы 4 III:
1. (Яа) Е(а))— Е (а)
2. ^E(a)[-(Va)^E(a)
Аксиомные схемы 4 IV:
1.	(а) [--]£(-а),
2. -]£(~а)Н^ («),
3. ~]£7(а)|-Я(~«),
4. Е (— а) Н “] U (а),
5. U (а)|— Е(а),
U([
~|Ж;	х)
яа	х)
17(1 х)Н£(|х)
Аксиомные схемы 4 V:
1. [— “|£(—- аа)
2. |-~|£(аа)
162
Аксиомные схемы A IV1
1.	(Яа)х|— Е(а | х)
2.	Е (а | х) (За) х
3.	(—| Яа) х |— ~| Е (а | х)
it. ~\Е(а | х)|-(“]Яа)х,
где (в схемах 1—4) предикат Е не входит в х.
Аксиомные схемы А VII:
1.	Е (ab)\—Е(а) Е (b)	Е (| (х»))Н Е (| х) Е (| у)
2.	E(aV6)4|-^(a)V Е(ь)
£a(*vz/))Hi-£(i *)W у)
3.	-]£(e)V_|£(b)|-_|b,(ob)
-|ЯЦ x)V“l^(!y)H"l^(l(^))
4.	-\Е(а \/b) —|Н -)£(а)~\Е(Ь)
-|£(H*V«/))4|-~|£a х)“|Е(| у)
5.	U (а) Е (b)[—Е (ab) U( | х)Е( | у)[-Е( Цху))
6.	U (а\/b)[—U (а)\/ Е (b) U ( | (xV y))t~U (| x)V
V^(l У)
Аксиомные схемы А VIII:
1.	х |— Е ( | х)
2.	U (| х) |— х
3.	Е ( | х) |— Е (а | х)
4.	Е (а | х) [— Е ( | х)
где (в 3 и 4) а входит свободно в х.
5.	Е (а | х) |— Е (а)
6.	—| Е (а)	—| Е (а х)
7.	? Е (а) [— ~ Е (а | х)
где (в 5—7) Е не входит в х.
Правило вывода:
R1 Если |— х, то Н £7 (| х).
1*>
§ 3.	Некоторые следствия в S*n
1.	Е(аЬс)\— Е(а)
2.	П£(а7Ь\/<0Ч|-_1Я(«)’“1Я(Ь)“|Я(с)
3:	U (ab) -J I- U (a) U (&)
4.	-|E(a)V”l^(&)V“l^(c)H-l^(a&c)
5.	\—(а.^Ь)Е(Ь)-*Е(а)
6.	Н (а ^Ь)~\Е (а)-+~\Е (6)
7.	р(а-^д)?Е(а)-+~Е(Ь)
8.	aab)
9.	\—U(a\/~a)
10.	[—U (а\/~ а\/b)
И. — £ (| х) |-х
12.	U (а)(-П^(~а)
13.	“)£(~а)|-£(а)
14	~Е(а)\--U (а)
15.	U (а)\-Е(а)~\Е(~а)
16.	U(l х)|— -]U( | ~х)
17.	(Va)x(— ~]Е(а J. —х)
18.	(“| Уа)х\-Е(а | ~ х)
19.	|_CZ(J(sV~x))
20.	нг( H*V~®ViO)
21.	НП£( И~**))
22.	|—U ( | (ху —> х))
23.	П Е ( | (х->~х))
24.	II (а) |— (Va) ~ Е (—а)
25.	|--(?Иа)£(а)
§ 4.	Теорема универсальности
MTI. |— U (а) доказуема в таких и только таких слу-
чаях:
1)	если а есть | х, где х есть высказывание, то х есть
тавтология (или х доказуема);
164
2)	если является тавтологией высказывание а*, кото-
рое образуется из а путем замены входящих в него терми-
нов на высказывания (на место разных терминов ставятся
разные и на место одинаковых одинаковые высказыва-
ния).
Для случая, когда а есть | х, теорема очевидна, ибо до-
казуемые |— U ( | х) получаются лишь в силу /?1. Во втором
случае доказуемые	U(а) получаются лишь в силу А V,
Л1У1и A IV2. То, что доказуемой |— U (а) соответствует
тавтология а*, очевидно. С другой стороны, если а* есть
тавтология, то ее каноническая форма \/ ... \/ а*
есть тавтология. Но в общей теории дедукции доказуемы
формулы V ••• V Н ai V ~ ai и	V ~ ai н
Н ai V ••• V	Следовательно, формула	аг \/ ~
есть тавтология. Но в нашей системе доказуема формула
|— U f (ах V ~ aj), что и требовалось доказать.
§ 5.	Кванторы и предикаты существования
Из аксиомных схем ЛШ и Л VI вытекает следующее
важное следствие:
1)	формулы с кванторами всегда могут быть заменены
на бескванторные формулы с предикатами существова-
ния;
2)	формулы вида аЕ(а) и <xU(a) могут быть заме-
нены на формулы с кванторами и без предикатов существо-
вания лишь в случаях, когда (& | х); если же а не-
возможно представить в таком виде, то элиминировать
предикаты существования нельзя.
§ 6.	Семантическая интерпретация
Примем следующую интерпретацию:
1)	субъектам приписываются значения 1 и 0;
2)	Е (а1,..., ап) равнозначна Е (а1)-...-Е (ап);
165
3)	х —> у равнозначна х о у;
4)	Е (а \/ Ь) равнозначна Е (а) \/ Е (Ъ)\
5)	если а и b оба имеют значение 1, то значение аЬ
остается неопределенным; если ab имеет значение 0, то
значения а и Ъ остаются неопределенными; если по край-
ней мере один из а и b имеет значение 0, то ab имеет зна-
чение 0; еслиаЬ имеет значение 1, то а и b имеют значе-
ние 1;
6)	если один из о и —а имеет значение 1 (0), то дру-
гой имеет значение 0 (1);
7)	х, | х и а | х равнозначны;
8)	если значения а и Ъ равны, то равны значения Е (а)
и Е (Ь), а также значения Е (а) и ~”| Е (6);
9)	если Е (а) и а Е (а | Ь) имеют значение 1, то
Е (аа | Ь) имеет значение 1 (а означает наличие ~] или ?
или отсутствие обоих);
10)	если Е (а) имеет значение 1 (0), то а имеет значение
1 (0); если а может (не может) принять значение 1, то
Е (а) имеет значение 1 (значение 0);
11)	U (а) равнозначно ”| Е (— а); *"] U (а) равно-
значно Е (— а); аналогично для U ( | х) и ("“] Е (| **-#),
"1 U([x) и ЕЦ — ж);
12)	(аЯа) Е (а) равнозначно а Е (а);
(аЯа) х равнозначно а Е (а
13)	если а не может принять значение 1, то ? Е (а)
имеет значение 0:
MTi. Все доказуемые в S„ формулы суть тавтологии
(и система непротиворечива).
МТ2. Формулы
Е (а) Е (b)\—Е (ab),	Е([ х) Е ( | у)Н^(1 (^))
-|£(ab)|-“]£(a)V~|£(b),
~Е(аЬ)|-----В(а)\/~^(Ь).
(ху)НПА’(| W”I(U)
недоказуемы в S„9 поскольку не являются тавтологиями.
166
§ 7. Система
Для классического случая достаточно следующих ак-
сиомных схем. Из аксиомных схем AI остаются первые
четыре. Вместо аксиомных схем ЛII принимается
Е(а)~Е(а |	I ~*)
Из аксиомных схем ЛШ остается лишь первая. Вместо
аксиомных схем ЛIV принимаются:
1.	U(a)\-~E(~a),	U а х)Н~Е(| ~ж)
2.	~х) |-£7 (J т)
3.	U(d)\—E(a)
Аксиомная схема Л V принимает вид: (— — Е (— аа).
От аксиомных схем Л VI остаются первые две. От акси-
омных схем Л VII остаются первая, вторая, пятая, седь-
мая и восьмая, а шестая заменяется на такую:
(*У))
Аксиомные схемы Л VII и правило Ri остаются без из-
менения.
ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ
МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА
§ 1. Модальные предикаты
Модальные предикаты суть предикаты «возможно»,
«необходимо», «случайно» и «вероятно (возможно) со сте-
пенью». К ним относится все, сказанное о предикатах
вообще. Кроме того, они обладают специфическими
свойствами, которые фиксируются в логике. Системы
модальной логики такого рода, как излагаемые ниже,
рассматривались в [3 — 5].
§ 2. Система S™1
Алфавит:
1)	М — предикат «возможно»;
2)	/V — предикат «необходимо»;
3)	С — предикат «случайно».
Di. Модальные предикаты суть М, N и С и только они.
D2. Высказывания, содержащие модальные преди-
каты, суть модальные высказывания.
Аксиомные схемы Л1:
1.	А ( | х) х
2.	хН-М( 1 х)
Аксиомные схемы ЛИ:
1-	| х)|— —\М( | — я)
2.	~\М{ | ж)НАГ(| ~х)
I
168
3.	“1ЛГ(|	~«)
4.	МЦ	~х)
Аксиомные схемы АIII:
1.	С(| х) |-ЛШ х)М (| — х)
2.	М (| х)М (| ~i)hC(| х)
3.	~|С( J x)f-M( | х)“1М(| — ®)
4.	М(| х)~|М(| х)Н"1С( I *)
5.	?С(| х)|-М(| х)?М( | ~х)
6.	М(| х) ?2И( | ~х)Н?С(| х)
Аксиомные схемы АIV:
1.	М(\(х\/у))\-М(\х)\/М(\у)
2.	М(| х)уМ(\
3.	ЛЧ1 x)N(\y)y-N(\(xy))
Ь. N(\ х)М(\у)\-М(\ (ху))
5.	N(HxVy))bW(U)VM(|»)
6.	Л/(| x)?;V(U)H?;V(| (ху))
7.	ЛГ(| x)?N(ly)\-?N(\(xy))
8.	?М([х)?М([у)[-?М([(ху))
9,	?ЛГ(|х) ?N( U)H ?ЛЧ I (*!/))
Аксиомные схемы AV:
1.	a Q (a) h- a Q (| (E (a)))
2.	«^(|(E(a)))h^(a).
где (в 1 и 2) Q есть модальный предикат, а а означает на-
личие одного из ~| и ? или отсутствие обоих.
3.	M(a,b)\-M(a)^f(b)
М (а)М (Ь)[-М(а,Ь)
5.	N (a, b) Н N (a) N (Ь)
6.	N (a) N (Ь) |- N (а, Ь)
7.	~\М (а,Ь)1~-)М (а)У ~]М (Ь)
169
8.	И М (а) V И М (b) Н ~| М (а, Ь)
9.	~~]N (a, b)[—~\N (а)\/N (Ь)
10.	“I N (а) V И Л' (b) Н “1N (а, 6)
Аксиомные схемы AVI:
1. <2(И(«Ка)х))Н(“Ка)<2(|г)
2. (аКа)<2( | *) НС В ((<* К *)*)).
где Q есть модальный предикат, К есть V или 3, а а
означает наличие или ? или отсутствие обоих.
Аксиомные схемы XVII:
1-	(х -+ у) Н “IМ ( I (х —у))
2.	М ( |(х ~ у)) Н (* “НЮ
3.	(ж—>jf)/V( |x)|-2V(|y)
4.	(х->у)М (	±у)
5.	(х~* у) ~] М ( | у) Н “1М ( | х)
6.	(x^y)~]N( J у)Н “IW( I *)
7.	(х-+у) ?Л/( | р)|-
8.	(x-»-y)?N([y)\----N ( [ х)
9.	Л4( | х)М( | у)(х -]->~^)(у-|->~*)НИ( | (ху))
Аксиомные схемы AVIII:
1. (аЭа) М (а) а М (а)
2.а. М (а) Н(аЭ а) М (а)
Аксиомные схемы АIX:
1. а<?аа:)Н^(1(аСа*)))
2. М(Н«С( |х)))Н«С( И).
где Q есть модальный предикат, а а есть “] или ? или от-
сутствие обоих.
Правила вывода:
.Я1. Если х Н у , то Л' ( | х) Н А ( | у).
Л2. Если х Н у , то М ( | х) Н М ( | у).
170
§ 3. Некоторые следствия
Tl. N(l(xy))}-N(lx)N(ly)
Т2. Jf(|zy)|-A/(|z)M(|y)
ТЗ. С (\(ху))\—М	х)М (\у)
Tk. -]N{[{xy))\--]N{\x)\/-^N{\y)
Т5. —|ЛГ( | x)V“l^(U)H“l^(H^))
Тб. ЛГ(|т)Н-1С(|х)
Т7. ~|С(|х)НДГ(|х)
Т8. aC(|z)H4f( Jz)
T9. AT(|z)|-AW(|z)
ТЮ. Л/(|х)Н^М( \х)
та. мм( |z)hm(|z)
Т12. MN (| х) Н М (| х)
Т13. ~JV(|z)HAT(| (~2V(|x)))
Т 14. ?2V(| (жр»Н(?ЛГ(! x)V?^V(| у))-
Т15. ?М(| (zy))|-(?M(| ®)V?M(| у))-
~“]M(|z)~-|M(|y)
§ 4. Модальные операторы
Слова «возможно», «необходимо» и «случайно» могут
играть роль логических операторов. Будем для этой цели
употреблять символы соответственно М, N и С.
Система S™2, определяющая свойства модальных опе-
раторов, получается путем добавления к S”1 таких акси-
омных схем.
Аксиомные схемы AI:
1.	(aQa)z|— aQ(a | х)
2.	aQ(a | z)|—(aQa)z
171
3.	(aQ (a, ft)) x [— (aQa) x (aQfe) x
*t. (aQa) x (aQb) x |— (aQ (a, b)) x
5.	(a1Q1a1) .. . (anQnan) я|— (a1Q1aI) x • . . . • (anQ"an) x
6.	(a1Q1a1) x • ... • (anQnan) я|— (a1Q1a1).... (anQna”) x,
где Q, Q1,..., Q* суть модальные операторы, a, a*,..., a”
означают наличие ~~] или ? или их отсутствие, Q есть мо-
дальный предикат, соответствующий Q (если Q есть М,
то Q есть Мит. д.).
Аксиомные схемы АП:
1.	(aQa) х (aQfe) х,
где а и Ъ свободно входят в х, а Q есть модальный опе-
ратор.
2.	(Ma)x(N(a | z))yf-(Ma)y
3.	(Na) х (N (а | ж)) у [— (Na) у
Аксиомные схемы АIII:
1.	(aKa) (pQb) х |- (аКа) ((PQ6) х)
2.	(аКа) ((₽Q6) х)'[- (аКа) (₽Q&) х
3.	(Qa) я (V (а | я)) у (- (Qa) у,
где Q есть модальный оператор, К есть V или Я, а и 0
означают или ? или их отсутствие.
§ 5.	Интерпретация
Примем следующую интерпретацию:
1)	если х приписывается значение 1, то М ( | х) при-
писывается значение 1; если М (| х) имеет значение 1,
то х может принять значение 1; и если х может принять
значение 1, то М (| х) имеет значение 1; если М ( | х)
приписывается значение 0, то х приписывается также
значение 0;
172
2)	N ( j x) равнозначно ~| Af (| ~ x);	| N ( j x)
равнозначно M (| — x);
3)	C (| x) равнозначно M (| x) M (| — x); —| C (| x)
равнозначно M (| x) M (| —- x); ? С (| x) равно-
значно M ( J x) ? M (| — x);
4)	если а и b равнозначны, то равнозначны a Q (a)
и a Q (b);
5)	(a Q a) x равнозначно aQ (a | x);
6)	(a _Q (a, b)) x равнозначно (a Q a) x (a Q b) x;
7)	(a‘Ql a1)... (anQnan) x равнозначно (c^Q^Qx-... •
.(an Qnan) x;
8)	если (Qa) хи (N {a | x)) у имеют значение 1, то
(Qa) у имеет значение 1; аналогично для (Qa) х, (V(a | х)) у
и (Qa) у;
9)	(a Ка) Q (| х) и равнозначно Q (| ((а Ка) х));
10)	(а Ка) (Р Q Ь) х равнозначно (a Ка) ((р Q Ь) х).
MTi. Все доказуемые в S™1 и S™2 формулы суть тав-
тологии.
§ 6.	Классический случай
Система S™1 классической теории модальностей полу-
чается из S™1 путем исключения формул со знаком не-
определенности, замены повсюду внутреннего отрицания
на внешнее и исключения повторений и зависимых схем.
§ 7.	Основная модальная логика
В современной логике в качестве модальной логики
имеется в виду обычно лишь такая часть ее, в которой рас-
сматриваются отношения модальных знаков М и N и опе-
раторов •, V» ° (последний рассматривается как знак
следования или «если, то»). В изложенной нами системе
можно выделить часть, которая будет выполнять функции
модальной логики в традиционном смысле,— основную
модальную логику.
173
Система S™° основной модальной логики образуется из
таких аксиомных схем и правил.
Аксиомные схемы 8”°:
41. N(\,x)[-x
А2. х[~М([х)
АЗ. N(	I
44. ”1^(1	~х)
45. ~|2V(Jz) |-М(|~;г)
А6. М (| ~х) I- ~|ЛГ( | х)
А1.	WUl/)
as. waz)vw(U)wawy»
49. /vaway)wa(*y))
Aio. /v(ix)v^ay)H^a(xvy))
All. N(|(®Vy))Wa*)V^(1?)
412. M(|x)?^(|y)H?^a(®y))
413. ?МЦх)?М( ;р)Н?ЛШ(ху))
414. N x)[—N ( [ (N ( [ x)))
415.
Правила вывода:
/?1. Если х\— у , то /V (| х) |— N( [у)
R2. Если х [— у , то М (| х) |— М ( | у)
Система S™0 основной модальной логики для классиче-
ского случая отличается от S™0 тем, что исключаются ак-
сиомные схемы 412 и А13, а аксиомные схемы 43 — 46 за-
меняются на такие:
ДГ(|х)|-~М(| ~х)
~x)H/va*)
174
§ 8. Логические модальности
Употребляют выражения «логически возможно», «ло-
гически необходимо» и «логически случайно». Введем для
этих предикатов символы LM, LN и LC. Их свойства
определяются аксиомными схемами А* и правилом R*i:
4*1. L N ( [ х)\—— L М ( [ ~ х)
А*2. ~LM(\
4*3. LN( [x)\—N( |z)
4*4 M (| x) I- L M (| x)
4*5. LC([x)\-LM(\x)LM(^ ~x)
4*6. LM([x)LM(\ ^x)\-LC(\x}
7?*1. Если T0
§ 9. Модальность и существование
Соотношение модальных и экзистенциальных преди-
катов (помимо аналогии) определено аксиомными схемами
4VI и 4V2. Кроме того, имеют силу теоремные схемы:
Ti. Е([х)[-М(1х)
Т2. N х)\—Е( [ х)
Z3. и (|x)H/V(|z)
74. ~| (J (| ж) |— АГ(| — z)
Г5. С(|х)НП U (I О
Гб. -|M(|z)|--|£(l*)
§ 10.	Модальность и условность
Формула ] М ( | (х — у)) [— (х у) в S™1 не яв-
ляется доказуемой (поскольку не является тавтологией),
а формула — М ((х ~ у)) j— (х —> у) недоказуема в
S™1. Так что "“171/(1 (х — у)) и — М( | (х — у)) нельзя
рассматривать как сокращение для (х—>у).
175
§ 11.	Модальности и кванторы
Имеет место совпадение теории кванторов и теории
модальностей в следующем смысле. Пусть (х |— y)q есть
формула теории кванторов, а (х |— у)т — формула тео-
рии модальностей. Пусть одна из них образуется из дру-
гой путем следующих замен: 1) все вхождения вида (aVa)z
заменяются на вхождения (a Na) z (или наобо-
рот); 2) все вхождения вида (aHa) z заменяются на вхож-
дения вида (a М a) z (или наоборот). В таком случае будет
иметь силу теорема:
MTi. Если (х |— y)q доказуема, то (х |— у)т доказуе-
ма; и наоборот.
Справедливость MTi усматривается из соответствия
определенных аксиомных и теоремных схем и правил вы-
вода модальной логики с аксиомными схемами и прави-
лами вывода теории кванторов.
Будет иметь силу также теорема МТ2, аналогичная
MTi, но в которой (х |— у)т образуется из (я |— y)q и (на-
оборот) путем следующих замен: 1) все вхождения вида
(aVa) z заменяются на вхождения вида a N (| z) (или
наоборот); 2) все вхождения вида (аЯа) z заменяются на
вхождения вида a М (| z).
§ 12.	Вероятностная логика
К числу модальных предикатов относятся такие пре-
дикаты, в которых фиксируется степень возможности на-
ступления событий или вероятность. Система S™p вероят-
ностной логики образуется благодаря следующим допол-
нениям к S™.
Алфавит: р = л, р > a, р < а, р > а, р < а, где
О а < 1, суть предикаты вероятности («возможно со
степенью а», «возможно со степенью большей, чем а»
и т. д.).
176
Вместо символов вида (| х) *- (р = а), ( | х) <— (р >
> а) ит. п. будем употреблять более удобные адек-
ватные им общепринятые символы вида р ( | х) = а,
р(|х) и т. п. («Вероятность того, что наступит | х,
равна а» и т. д.).
Аксиомные схемы S™p:
Al. f-O<p(J х)<1
А2. |-(р(| т) = 0)->~|М(| х)
АЗ. I- “1 М (| х) -+ (р (| х) = 0)
А4. Н (р ( х) = 1) N ( | х)
Л5. N (| х) -> (р (| х) = 1)
А6 НМ(! ^)->(0<p(U))
А7. Н(0<р(|х))^М(|х)
А8. [— р | (х1-... -xn)<C (р( | х1),---, Р ( | хп})
А9. J-р | (х1\/ ... у хп) >тах(р( | х1),..., р( | хп))
410.	G у) = а))(р(1 •*)== ₽)-*<>(
min. (а,Р))
АН. |-(р( |(х->у)) = а)->(х->(р( |р) =а))
А12. Н(1->(р(Ь) = «))->(р|(^У) = «)
А13. Н р( — х) = 1 — р (х)
Возможны различные соглашения для установления
вероятности событий в случаях, указанных в А12. В част-
ности,
А*12. [_(х->(р( |р) = а)(р( |х) = Р)->(р( 1у) = а-р)
ГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ
ЛОГИКА ОТНОШЕНИЙ
§ 1. Предикаты отношений
Предикаты отношений суть предикаты вида «первый
ближе второго», «первый раньше второго», «первый пра-
вее второго», «первый находится между вторым и третьим»
и т. п. Среди них выделяются две группы предикатов:
1) предикаты сравнения;
2) предикаты порядка.
Свойства этих предикатов рассматриваются в логике от-
ношений.
Выражения «способ сравнения» и «способ установле-
ния порядка» («способ упорядочивания») здесь не опре-
деляется. Заметим лишь, что рассматриваемые ниже пра-
вила логики имеют силу лишь при том условии, что эти
способы так или иначе известны и являются стандартны-
ми для предметов того или иного рода. В частности,
в рамках одного и того же утверждения предполагается
тождество способов установления порядка и сравнения
для всех фигурирующих в них предикатов порядка и
сравнения.
§ 2. Логика сравнения
Система теории сравнения для неклассического слу-
чая образуется благодаря таким дополнениям к ранее
принятым системам.
Алфавит:
1)	> — знак превосходства («превосходит»);
178
2)	<—знак, противоположный превосходству («ус-
тупает»);
3)	= — знак тождества («тождественно»).
D1. Если а есть предикат, то (^> а), « а) и (= а)
суть предикаты сравнения.
2)2. Высказывания, содержащие предикаты сравнения,
суть высказывания сравнения.
Высказывания сравнения читаются так:
1)	(а с) (а, Ь) — «а превосходит (не превосходит,
неопределенно превосходит) в по признаку с»;
2)	(а с) (а, Ь) — «а уступает (не уступает, неопре-
деленно уступает) b по признаку с»;
3)	(а = с) (а, Ь) — «а тождественно (не тождественно,
неопределенно тождественно) b по признаку с».
В дальнейшем вместо символов вида (а с) (а, Ь)¥
(а < с) (а, Ь) и (а = с) (а, Ь) будем для простоты и нагляд-
ности употреблять символы, соответственно (аа ( > с) &);
(а а « с) Ь)и(аа(=с) Ь). Предикат с будем опускать, пола-
гая, что в рамках одного и того же утверждения во всех
высказываниях сравнения имеется в виду один и тот же
предикат с.
Аксиомные схемы 41:
1-	Н(®~1>а)
2.	(а>6)Н(ЬП>а.)
3.	(аП>Ь)Н((&>а): (а = Ь))
4.	(а ? > Ь) |—(Ь ? > а)
5.	(a>b)(b>c) Н(а><0
6.	(а > Ь) (Ъ = с) (— (а > с)
7.	(а-|>Ь)(&-|>С)Н(«“1>с)
8.	{а ? > Ь) (Ь = с) |— (а ?	с)
9.	(а<&)|—(Ь>а)
10.	(а>Ь) |—(6<а)
11.	(а“]<Ь)Ь(®>Ь):(« = Ь)
17»
Аксиомные схемы ЛИ:
((<?< L »)(<?< ®)) — Н ‘qi
((»<<?)(<?<о)) ~Ч 'ы
fa о о 00 о сл
12. (а>Ь): (о = Ь) Н (а И < Ь)
13. (а?<&)Н(*?>а)
14. (&?>а)|-(а?<&)
о-
II V
о- &
7.	(а<&)Н(Ь><*)
8.	(а>Ь)Н(Ь<а)
9.	(а = Ь)|-~(а>Ь)— (&>«)
10.	~(а>Ь)~(Ь>а)|-(а = Ь)
Аксиомные схемы АСП:
1.	(а<-с)~(Ь«-с)Н(а(>с)Ь)
2.	— (а <— с) — (Ь <- с) |— (а ( = с) Ь)
§	3. Логика порядка
Система S„2 теории порядка для неклассического слу-
чая получается благодаря таким дополнениям к ранее
принятым системам.
Алфавит: знаки ^>, и =, как в S^1.
Di. Если с есть субъект, то О'с), «с) и (= с) суть
предикаты порядка.
Высказывания, содержащие предикаты порядка, суть
порядковые высказывания. Они читаются так:
1)	а О с) (а, Ь) — «а превосходит (не превосходит,
неопределенно превосходит) b по порядку относительно
с»;
2)	а (< с) (а, Ь) — «а устуа&ът (не уступает, неопре-
деленно уступает) b по порядку относительно с»;
3)	а (= с) (а, Ь) — «а тождественно (не тождествен-
но, неопределенно тождественно) b по порядку относи-
тельно с».
Как и в § 2, вместо символова О с) (а, Ъ), а (< с)
(а, Ь) и а ( = с) (а, Ь) будем употреблять более простые и
наглядные символы соответственно аа(>с)6,
а а (< с) b и а а (= с) Ь. Символ с будем опускать на тех
же основаниях, что и с в § 2.
Аксиомные схемы логики порядка имеют тот же вид,
что и аксиомные схемы AI логики сравнения, с той лишь
разницей, что в них вместо предиката с повсюду фигури-
рует субъект с. Аналогично для классического случая.
181
§	4. Интерпретация
Примем следующую интерпретацию (в пунктах 1 — 5
знак с есть предикат или субъект):
1)	область значения субъектов — множество нату-
ральных чисел;
2)	а с) b имеет значение 1, если и только если зна-
чение а больше значения Ь\ а “"| Q> с) b имеет значение 1,
если и только если значение а равно или меньше значения
b; ai С> с) b имеет значение 1, если и только если
соотношение а и Ь не известно;
3)	а а « с) b равнозначна формуле, стоящей справа
от знака следования в схемах соответственно 9, 11, 13;
4)	а ос (= с) Ь равнозначна формуле, стоящей справа
от знака следования в схемах соответственно 15, 17, 19;
5)	если с1 и с2 различны, то значения а а (}> с1) b
и а ос О с2) b независимы;
6)	если а с и	с имеют значение 1, то значе-
ние а больше значения Ь; соотношение значений а и b
для пар а < с и 6? <— с, а} ч— с и Ь | <— с не изве-
стно; если а ч— с и & "“| ч— с имеют значение 1, то
значения а и Ъ равны; аналогично для пары а? ч— с и
Ь? ч- с.
MTi. Все доказуемые в принятых системах формулы
суть тавтологии.
МТ2. Если с1 и с2 различны, то формулы а а (> с1) &|—
|— (> с2) Ь недоказуемы, поскольку они не являются
тавтологиями. Аналогично — для < и = .
§ 5. Производные термины порядка
Через предикаты порядка, рассмотренные выше, оп-
ределяется совокупность порядковых терминов «находит-
ся между», «структура», «ряд» и т. п. Они рассматривались
в работах [3, 7].
182
§ 6. Система 8т3
Алфавит: 7?, 7?1, 7?2,... — знаки порядка («до этого»,
«после этого», «в десяти метрах от», «через три часа» и
т. п.)
Di. Если R есть знак порядка, а х есть высказывание,
то (7? J х) есть предикат порядка.
Высказывания вида (7? | х) ( | у) читаются так: « | х
имеет место в отношении R к | х». Например, «Гром про-
гремел через пять секунд после того, как сверкнула мол-
ния». В дальнейшем ради упрощения стрелки будем опус-
кать, полагая при этом, что все употребляемые термины
суть термины типа j х.
Аксиомные схемы Sr3:
1.	— (Их) у |— (Rx) ~ у
2.	(Rx)~y\-----(Rx) у
3.	(Rx) у (Rx) z p (Rx) (yz)
4.	(Rx) (yz) |— (Rx) у (Rx) z
5.	(Rx) у \/ (Rx) z	(Rx) (у \/ z)
6.	(Rx) (у V z) H (Rx) у V (Ях) 2
7.	((R1x)(R2y))z\—(R1x)z(R2y)z
8.	(Rhe) z (R2y) z |— ((Rrx) (R2y)) z
9.	((Rix) \y (R2y)) z H (Rix) z \y (R2y) z
10.	(Rix)z\y(R2y)z[-((Rix)\/(R2y))z
11.	(R (x V y)) z H ((Rx) V (Ry)) z
12.	((Rx) V (Ry)) z H (R (x V y)) z
13.	(R (xy)) z I- ((Rx) (Ry)) z
14.	((Rx) (Ry)) z\—(R (xy)) z
15.	(Rix) у (aRibbR2a) (R2y) x)
183
§ 7. Упорядоченные конъюнкции и дизъюнкции
Встречаются высказывания вида «х и затем у», «х и
перед этим у», «х и слева от этого у» и т. п. Эти своеобраз-
ные упорядоченные конъюнкции нередко употребляются
неявно и смешиваются с обычными. Аналогично обстоит
дело с упорядоченными дизъюнкциями. Именно на этом
смешении базируется, на наш взгляд, исключение некото-
рых законов классической логики в «логике микромира».
В общем случае упомянутые конъюнкции и дизъюнкции
имеют вид
x(Rx)y x\/(Rx)y,
где R есть какое-то отношение порядка («х и в отношении
R к этому у», «х или в отношении R к этому у»).
Для рассматриваемых высказываний не имеют силы
формулы вида
X (Rx) у у (Ry) х X V (Rx) у |— у V (Ry) %
Для них имеют силу лишь формулы вида AI:
1. (х (Rlx) у) (aR^b -> bR2a) |— (у (R2y) х)
2. (х у (R'x) у) (aRlb -+ bR2a) Н (У V <№) *)
В остальном для упорядоченных конъюнкций и дизъ-
юнкций имеют силу правила, аналогичные обычным, на-
пример — такие:
Т1. ~ (х (Rx) у) —11-x\/(Rx)~y
Т2. ~(х\/ (Rx)y)—]\—г-~x(Rx)~y
ТЗ. (х \/ (Rlx) у) (R2a) z [— х (R2a) z \/ (Rlx) у
Примем также аксиомные схемы ЛИ:
1.	х (R'x) у (R2y) z (х (Rxx) у) (у (R2y) z)
2.	(х (R'x) у)(у (R2y) z) х (Rlx) у (R2y) z
3.	x V (R>x) у	(R2y) z J— (x V (R'x) y) (y V (R2y) z)
4.	(* v №) y) (y v m) *) н * v №) y-v *
5.	x\/ (R'x)y (R2y) z\-(x\/ (Rrx)y)(y (R2y) z)
184
6.	(х V (Яхх) У) (у (R2y) z) [— х \/ (R'x) у (R*y) z
7.	х (R1 х) у V (Я2?/) z Н (х (Rxx) у) (у V (Я2у) «)
8.	(х (Rlx) у) (у у (R2y) z) Н- х (Rxx) у V (Я2у) z
Обычные (коммутативные) конъюнкцию и дизъюнкцию
можно рассматривать как частный случай упорядоченных,
приняв аксиомные схемы ЛIII:
1.	(х (Rx) у->у (Ry) х) (у (Ry) х-+х (Rx) у) ху
2.	ху (х (Rx) у-+у (Ry) х) (у (Ry) х-+х (Rx) у)
3.	(х\/ (Rx)y-*y\/ (Ry)x)(y\/ (Ry)x->x\J (Rx)y)\-
\—х\/У
4.	х\/ yh-(*v (Rx)y^y\/ (Ry)x)(y\y (Ry)x-*
->*V (Rx) y)
§ 8.	Логика изменения
Система Sch получается благодаря таким дополнениям
к ранее изложенным системам:
Алфавит: => — предикат превращения.
Высказывание (=>) ( | х, | у) читается так: «Ситуа-
ция, в которой имело место | х (было истинно х), превра-
тилась в ситуацию (или заменилась на ситуацию), в ко-
торой имеет место | у (в которой истинно у)». Вертикаль-
ные стрелки у высказываний будем для упрощения запи-
си опускать, полагая, что буквы х, у, z>... суть термины
я, [У, |z,... Будем употреблять более наглядную за-
пись высказываний в форме х а => у, где а означает “]
или ? или отсутствие обоих. Выражения «вслед за этим»
и «одновременно с этим» здесь не определяются.
Di. Элементарные высказывания изменения суть выс-
казывания Q (а) => Q (а) и ”~] Q (а) => Q (а), где Q есть
предикат, и только эти.
D2. Высказывания изменения:
1)	элементарные высказывания изменения суть выска-
зывания изменения;
185
2)	если х => у и z V суть высказывания изменения,
то (х =^у) (R (х => z/) (и => v)) есть высказывание изме-
нения при условии, что R (х ==> у) есть «одновременно
с | (х=Ф у)» или «вслед за (х => у)»;
3)	нечто есть высказывание изменения лишь в силу 1
и 2.
Аксиомные схемы 41 (символ R означает «вслед за
этим» или «после этого»):
1.	Q (а) (Н (<2 (о))) П <2 (®) Н (<2 («) => ~1 <2 («))
2.	((? (а) =» -| Q (а)) р Q (а) (Я {Q {а))) “| Q (а)
3.	-1 Q (а) (Л ( -1 Q (a))) Q (а) Н ( ~I Q (a)	(а))
4.	О Q (а.) Q (a)) f- “] Q (а) (Л ( “] Q (а))) Q (а)
Аксиомные схемы 41 означают, что предикат превра-
щения (изменения) является производным от предикатов
порядка.
Аксиомные схемы 4II:
1.	(х^у)\-у
2.	(х^=^у)\-(х==$~у)
3.	(х=^~у)[-(х~'\=^у)
4.	(л: ?=>{/) ^^х^у
5.	~х^у\—(х?=$у)
Аксиомные схемы 4III:
1.	(x^y)(R(x=^y))(y=^z)[-(x=^z),
где R есть «вслед за этим» («затем»).
2-	(x^y)(R(x=^y))(z=^v)\—(xz=^yv),
где R есть «одновременно с этим».
3.	((х ^y)-^{R{x^ у)) (z => у)) |— (у —> (Ry) р),
где R есть «вслед за этим».
Для классического случая достаточно в аксиомных
схемах 41, 411 и 4III заменить | на —, а аксиомные
схемы 4114 и 4115 исключить.
186
Интерпретация:
1)	если х =£ у имеет значение 1, то х имеет значение О
и у имеет значение 1; х у имеет значение 0, если у
имеет значение О;
2)	х ~|=>у равнозначно х=$~у\
3)	х ? => у равнозначно —х —у,
4)	(R (х =>у)) (у => z) равнозначно x=$z\
5)	(R (х у)) (z => р) равнозначно xz=^yv .
MTi. Все формулы, доказуемые в изложенной систе-
ме, суть тавтологии (и система непротиворечива).
§ 9. Физическое следование
Система Sph физического следования (рассматривалась
в [3, 4]) получается благодаря таким дополнениям к
ранее принятым системам.
Условные высказывания вида х а -* (Rx) у суть вы-
сказывания о физическом следовании.
Аксиомные схемы AI:
1.	(x-+(Rx)y)\-(V( [x))((Rx)y)
2.	(V([x))((Rx)y\-(x^(Rx)y)
3.	(x-^(Rx)y)\-N([((Rx)y))
it. N( {((Rx)y))[-(x-+(Rx)y)
5.	(x Я -> (Rx) y) |- (Я (| x)) ((Rx) ~ y)
6.	(Э (| x)) ((Rx) ~ у) H (x “| -> (Rx) y)
7.	(z-|-(Ar)y)HM(J ((Rx)~y))
8.	M(| ((Rx)~y))y-(x-^(Rx)y)
Следствия 41:
Ti. (x^(Rx)y)-\V-(^(]tx))((Rx)y)
T2. (x ? -> (Rx) y) -| H ? N (I ((^) У))
ТЗ. (х?->(Ях)У)НЬ(?Э(^х))((Ях)~у)
Ti. (х?->(Ях)1/)Н|-?ЛШ((Я*)~У))
w
Аксиомные схемы АП:
1.	(х -+ (R2x) у) (aR'b -> W?2a) f- ( — у -+ (R2 ~ у) — х)
2.	(х -+ (Rlx) у) (у -> (R3y) z) ((aR'b) (bR2c) (aR3c)) |-
|— (х —► (R3x) z)
3.	(x-*(Rx)y)(y-*z)\— (xr-*(Rx)z)
4.	(x —> (Rlx) y) (x —► (R2x) z) ((aRlb) (aR2c) —>
(aR3 (b,c))) H (x -> (R3x) (yz))
Следствия A II:
Ti. (x^ (Rx) (yz)) —| f— (x-* (Rx) y) (x^(Rx) z)
T2. (x (Rx) y)\/(x-+ (Rx) z) J- (x (Rx) (у у z))
ГЛАВА ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ
НОРМАТИВНЫЕ ПРЕДИКАТЫ
Нормативные высказывания суть высказывания, субъ-
екты которых суть названия действий, а предикаты суть
выражения «обязательно», «разрешено», «запрещено», «без-
различно» и т.п. На эти предикаты распространяются об-
щие правила логики, относящиеся к любым предикатам.
Что касается специфических свойств этих предикатов, то
в рамках логики можно лишь установить их взаимоот-
ношения. Да и то это будет не столько расширение логики,
сколько отнесение нормативных предикатов к определен-
ным логическим типам предикатов (дедуктивно связанных,
логически взаимозаменимых и т. п. ).
Система ££ нормативной логики образуется благодаря
таким дополнениям к ранее рассмотренным системам.
Алфавит:
1)	О — предикат «обязательно»;
2)	Р — предикат «разрешено»;
3)	3 — предикат «запрещено»;
4)	Б — предикат «безразлично»;
5)	Н — предикат «необязательно».
Аксиомные схемы Л1:
1.	<7(а)|—(а)
2.	-|Р(а)Н-|О(а)
3.	?Р(а)|---0(a)
199
Аксиомные схемы ЛИ:
1.	O(a)-||_-jP(5)
2.	-]<?(а)Н|-р(«)
3.	?О(д)НН?р(«)
Аксиомные схемы АIII:
1.	3(а)-||-“]Р(а)
2.	ПЗ(а)Ч|-Р(в)
3.	?3(аНрР(в)
Аксиомные схемы ЛIV:
1.	Я(а)-||-Р(а)Р(а)
2.	-]Б(в)НН~1^(а)УП^(5)
3.	? Б (а) -1Н ( ? Р (а) V ? Р (5)) ~ И Р (<*) ~ "I Р («)
Аксиомные схемы Л.У:
1.	Я(а)ЧН-|О(а)
2.	-]Я(а)Ч|-О(а)
3.	?tf(aHHW)
Согласно Л1 предикаты О и Р дедуктивно связаны,
причем первый категорически сильнее второго. Согласно
ЛИ предикаты О и Р логически взаимозаменимы. Логи-
чески взаимозаменимы также предикаты 3 и Р (согласно
ЛШ) и предикаты Н и О (согласно Л¥). Предикат Б
определяется через Р (согласно ЛIV).
Система 8" для классического случая получается пу-
ем исключения всего, что связано с оператором ?, и за-
мены | на ~. Аксиомные схемы 8" таковы:
1.	<9(а)|-Р(а)
2.	~ Р(а)|---0(a)
3.	0(a) -1|--Р(а)
4.	3(a)-||---Р(а)
5.	2J (a) —11—Р (a) Р(а)
6.	Н (а) -||-0(a)
190
Как видим, нормативная логика сама по себе есть не-
что очень тривиальное. Сложности здесь возникают в ре-
зультате неясности терминологии и неявных допущений.
В частности, в случаях употребления нормативных преди-
катов неявно предполагаются кванторы, которые в логи-
ческих теориях не выявляются. Например, высказывание
«Действие а разрешено» фактически употребляется как
«Всякое действие, называемое а, разрешено » (подобно то-
му, как высказывание «Сумма углов треугольника равна
двум прямым» фактически употребляется как высказы
вание «Сумма углов всякого треугольника равна двум
прямым»).
Собственно говоря, при более полной (чем это сделано
у нас) разработке теории терминов (и теории предикации в
том числе) должен будет измениться, надо думать, и вид
таких разделов логики как модальная и экзистенциаль-
ная логика.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Сформулируем подробнее правила приписывания зна-
чений высказываниям с кванторами и формулам следова-
ния в случае прямой интерпретации.
Пусть дана формула х |— у. В высказываниях х и
у все вхождения вида ~ (а*а2...ап) (где п 2), ~ (л1 V
V а2 V ••• V аП)> ~	( За) Ь заменяем формулами со-
ответственно вида ~ а1 V ~ а2 \/ ... \/— ап, ~а*-
~ а2... ~ ап, а, ~ (V а) ~ Ь. Все вырожденные квантор-
ные группы исключаются. Полученные высказывания z*
и у* равнозначны соответственно х и у, а формула
х |— у равнозначна х* |— у*. Последующие правила от-
носятся к высказываниям и формулам х, у, х |— у, приве-
денным к виду х*, у*, х* |— у*.
Правила для конъюнкции, дизъюнкции и отрицания
обычные (с той лишь разницей, что дизъюнкции и конъ-
юнкции могут быть сколь угодно местными). Дополнитель-
ные правила для кванторов: 1) если вхождению (Va) Ъ
в некоторое высказывание приписали значение 1 (или 0),
то всем остальным вхождениям (Va) Ъ в это же высказы-
вание точно так же приписывается значение 1 (соответ-
ственно )); 2) если (V a) Ъ приписали значение 1, то дол-
жны Ъ приписать значение 1; если (Va) b приписали зна-
чение 0, то этим самым значение b еще не определяется
(оно не зависит в этом случае от значения (V a) fe); 3) если
приписали Ъ значение 0, то должны (V a) Ъ приписать
значение 0; если приписали Ъ значение 1, то значение (Va) Ъ
этим еще не определяется.
192
Правила для формул следования. Выясняем, можно
или нет приписать х значение 1 (или у значение 0) в
формуле х у в силу правил для конъюнкции, дизъюнк-
ции и отрицания, а также кванторов. Если х есть проти-
воречие (или у есть тавтология) в силу этих правил, то
х ]— у есть тавтология. Если же х не есть противоречие в
силу этих правил (х может принять значение 1), а у не
есть тавтология, то поступаем так: приписываем х зна-
чение 1 (или у значение 0) и рассматриваем последствия
этого шага для высказываний, входящих в х (соответст-
венно в Z/), и затем для высказываний, входящих в у (со-
ответственно в х), и для у (для х) в целом. Например, при-
писав х значение 1, мы должны приписать обоим а и b
значения 1, если х есть ab, приписать' b значение 1, если
х есть (Va) b, приписать хотя бы одному из а и b значение 1,
если х есть а \/ Ь, и т. п. В этом случае примем такие
дополнительные правила для кванторов: 4) если припи-
сав х значение 1 (у значение 0), мы вследствие этого вы-
нуждены приписать значение 1 (не имеем возможности
приписать значение 0) некоторому высказыванию Ь, вхо-
дящему в у (входящему соответственно в х), то мы должны
(Va) fe, входящему в у (входящему соответственно в х),
приписать значение 1; 5) если же приписав х значение 1
(у значение 0), мы вследствие этого не вынуждены припи-
сывать Ъ значение 1 (имеем возможность приписать ему
значение 0), то мы должны (Va) Ь приписать значение 0.
2)1. Формула х |—у есть тавтология, если и только
если она принимает значение 1 для всех вариантов (ком-
бинаций) приписывания значений частям х и у по уста-
новленным правилам.
Упомянутые в Di варианты возникают за счет того, что
возможны различные комбинации значений а1,..., ап
для случаев, когда a1 V ... V аП имеет значение 1 и а1...
...ап имеет значение 0, а также различные комбинации зна-
чений (Va) b и b для случаев, когда b имеет значение 1
и (Va) b имеет значение 0.
193
Рассмотрим два примера. Формулу (Va) (ЯЬ) х |—
|— (ЯЬ) (Va) ^приводим к виду (Va)— (Vb) — х\— — (Vb)
~ (у а) х. Приписываем посылке значение 1. Значит дол-
жны ~ (Vb) ~ х приписать значение 1, а (Vb) ~х зна-
чение 0. Значение ~ х не зависит от (Vb) ~ х, т. е. можем
ему приписать как значение 1, так и значение 0. Но в
таком случае (Va) х имеет значение 0, его отрицание —
значение 1, (Vb) ~ (Va) ar — значение 1, а его отрица-
ние — значение 0. Значит, наша формула не есть тавто-
логия. Формула (Va) х (Яа) у |— (Яа) (ху) приводится к
виду (Va) х — (Va) ~ у f- ~ (Va) (~ х V ~ у). При-
писав посылке значение 1, мы должны приписать (Va) х
и ~ (У а) ~ у значения 1, х значение 1 и (Va) ~у зна-
чение 0. Значит обоим х и у можно приписать значение 1,
а ~ х \/ ~ у значение 0. Таким образом, (Va) (~х\/
\/ ~ у) имеет значение 0, а его отрицание — значение 1.
Других вариантов нет, а проверка со стороны заключения
дает тот же результат. Значит формула есть тавтология.
Примем, далее, определения для прямой интерпрета-
ции формул [— х.
D2. Формула |— х есть тавтология, если и только ес-
ли х есть тавтология.
D3. Представительством высказывания х в классе*
формул следования будем называть множество формул
следования, которые получаются так: 1) х путем эквива-
лентных преобразований приводится к виду (KV)...
.. .(Knan) у, где К1,..., Кп есть какая-то комбинация из кван-
торов V и Я, а у есть ~ а, а \/ b или ab; 2) ~ а приво-
дится к виду с\/ d или cd', 3) к каждому из а и Ъ в ab
применяется 1 и 2; все это делается до тех пор, пока не
получится множество формул вида с\/ d*, если а или Ъ
есть элементарное высказывание, заменяем их соответ-
ственно на а \/ а и b \/ Ь; 4) все эти формулы вида с V
\/ d заменяются соответственно на формулы вида ~ с d,
которые и образуют представительство х в классе формул
следования.
194
Очевидно, для каждого высказывания может быть най-
дено его представительство в классе формул следования
(согласно D3). В дальнейшем условимся, что для устано-
вления того, является высказывание тавтологией или нет,
мы будем пользоваться методом отыскания его предста-
вительства в классе формул следования, т. е. примем сле-
дующее дополнение к прямой интерпретации: 5) высказы-
вание имеет значение 1, если и только если все формулы,
образующие его представительство в классе формул сле-
дования, имеют значение 1.
AfZl. Высказывание есть тавтология, если и только
если тавтологиями являются все формулы, образующие
его представительство в классе формул следования.
МТ2. Высказывание (V а) х есть тавтология, если и
только если х есть тавтология; аналогично для (Яа) х,
МТЗ. Высказывание (KW)... (Knan) х есть тавтоло-
гия, если и только если х есть тавтология (следует из
МТ2).
Изложенный способ приписывать значения истинности
формулам х у и х делает излишней гипотезу, соглас-
но которой область значения субъектов (индивидных пере-
менных) непуста.
Рассмотрим систему S*cq с аксиомной схемой А5,
принятой в § 11 седьмой главы.
МТЪ. Если х |— у доказуема в S\q, то она есть тавто-
логия (очевидно из вида аксиомных схем и правил вывода).
МТб. Если х |—- у есть тавтология, то она доказуе-
ма В Scq.
Доказательство МТб отличается от доказательства
полноты S*cq лишь дополнительными случаями, когда в у
фигурирует элементарное высказывание, отсутствующее в
х. Если х |— у есть тавтология, то тавтологией будет
х V ~ zz |— у, где z есть любое высказывание, содержа-
щее все те элементарные высказывания, которые входят
в у и отсутствуют в х. Но в силу полноты S&cq формула
х \/ ~ zz у доказуема в S*cq, а формула х\—х\/ ~zz
195
доказуема в силу 5е. Отсюда по правилу транзитив-
ности получаем, что доказуема х [— у.
МТ1. Если |— х доказуема в то она есть тавтоло-
гия (очевидно из вида аксиомных схем и правил вывода).
MTS. Если |— х есть тавтология, то она доказуема в
9е
м cq-
Доказательство МТ&. если |— х есть тавтология, то х
есть тавтология; если х есть тавтология, то ~ (~уу) |— я
есть тавтология и доказуема в S*q; но |— ~ (~уу) до-
казуема, значит, согласно 5е будет доказуема |— х.
Таким образом, для имеется процедура разреши-
мости: 1) если формула имеет вид х [— у, то достаточно
выяснить, является она тавтологией (и в этом случае она
доказуема) или нет (и тогда она недоказуема); 2) если фор-
мула имеет вид р- х то вопрос о ее доказуемости сводится
к вопросу о доказуемости формул, образующих предста-
вительство х в классе формул следования, т. е. к пункту 1.
Но система S\ еще не эквивалентна классическому
исчислению предикатов: наше определение тавтологии не
совпадает с определением общезначимой формулы для
классического исчисления предикатов. Так, формула
(V а) Р (а) о Р (Ъ) общезначима, но не есть тавтология
в нашем смысле. Ив не будут доказуемы формулы
(Va) Р (a) Н Р (Ь) и Н (V а) Р (а) =э Р (Ь).
Рассмотрим систему Sk, которая образуется так.
В определении D2 VIII в пункте 3 остается только субъект,
т. е. исключается квантификация предикатов. Прини-
мается S^q с этим ограничением и принимаются дополни-
тельные аксиомные схемы Ак: (V а) х [— у и УНСЯ61)^»
где у получается из х путем замены всех свобод-
ных вхождений а в х на Ь, причем, в х нет вхождений
вида (V&) z и (ЯЬ) z таких, что а свободно входит в z.
Система Sk эквивалентна классическому исчислению
предикатов в смысле таких теорем:
МT9. Формула х |— у доказуема в если и только если
х zd у доказуема в классическом исчислении предикатов.
19Ф
МТ10. Формула |— х доказуема в 8к, если и только
если х доказуема в классическом исчислении предикатов.
Построим систему Si с тем же алфавитом и теми же
определениями высказывания и формулы следования, что
и в S^, и таким определением доказуемой формулы:
D'. Формула х\—у доказуема в S' (есть формула пе-
реименования), если и только если у образуется из х
путем замены нуля или более вхождений вида (ya) z и
(да) z соответственно на (у&) и и (д&) v, где v образует-
ся из z путем замены всех вхождений а в z на Ь, при-
чем b не входит в z.
Для S* имеется процедура разрешимости (она три-
вильна и дана в D').
Класс формул следования, доказуемых в Sk, теперь
можно разбить на три подкласса: 1) формулы, доказуе-
мые в Secg', 2) формулы переименования; 3) формулы, не-
доказуемые в S6cq и S' (смешанные формулы). Можно
строить различные системы, в которых будут доказуемы
также и смешанные формулы. Они заключены в интер-
вале между S6cq и Sk. Среди них возможны такие, для
которых имеется процедура разрешимости. Такова, на-
пример, система Sr, задаваемая определением (5*д и
предпола гаются):
Dr. Формула а:|—у доказуема в ST в таких и только
таких случаях: 1) если найдется последовательность
формул х и и v [— у такая, что каждая из этих
формул доказуема в S^ или S'; 2) если х|— у есть одна
из аксиом Ак системы Sk.
Для Sr имеется простая процедура разрешимости.
Для пункта 2 определения Dr она очевидна. Для пунк-
та 1 она заключается в пересмотре всех возможных вы-
сказываний, образуемых из х или у путем переименова-
ния входящих в них связанных субъектов, или всевоз-
можных пар таких высказываний, образуемых из х и у.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Изложенная концепция логики нуждается в дальней-
шей разработке с точки зрения отыскания подходящих
формулировок проблемы полноты для ряда рассмотрен-
ных исчислений и модификаций их в зависимости от ре-
шения этих проблем, с точки зрения выяснения взаимо-
отношений этих исчислений, их возможных вариаций
сужений и расширений. Интересно также выяснить, ка-
кие преимущества дает изложенная концепция в решении
проблем логики и методологии науки. Пути подхода к
последним частично намечены в работах [3, 4, 6, 7].
ЛИТЕРАТУРА
1.	Боброва Л. А. Полнота систем вырожденного следования и ква-
зиследования. «Неклассическая логика» (в печати).
2.	Боброва Л. А, К проблеме логического следования. — «Вест-
ник МГУ», № 2, 1966.
3.	Зиновьев А. А. Основы логической теории научных знаний.
М.» 1967. Изд. 2. М.: Издательство ЛКИ/URSS, 2010.
4.	Зиновьев А. А. Комплексная логика.— «Исследование логи-
ческих систем». М., 1970.
5.	Зиновьев А. А. Комплексная логика (формальное построение).—
«Неклассическая логика» (в печати).
6.	Зиновьев А, А. Классические и неклассические ситуации в нау-
ке.— «Вопросы философии», 1968, № 9.
7.	Зиновьев А. А. О пространственной и временной терминоло-
гии.— «Вопросы философии», 1969, № 5.
8.	Зиновьев А. А, Логическое следование.—«Проблемы логики
и теории познания». М., 1968.
9.	Ивин А. А. Коннексивная импликация.—«Исследование логи-
ческих систем». М., 1970.
10.	Сидоренко Е. А. Варианты систем логического следования.—
«Неклассическая логика» (в печати).
И. Сидоренко Е. А. Независимость в системах логического сле-
дования.— «Неклассическая логика» (в печати).
12.	Смирнов Г» А. Доказательство основных теорем теории силь-
ного логического следования.— «Логическая семантика и мо-
дальная логика». М., 1967.
13.	Смирнов Г. А. О видах логического следования.— «Исследо-
вание логических систем». М., 1970.
14.	Федина А. М. О полноте систем логического следования.—
«Неклассическая логика» (в печати).
15.	Федина А. М. О силлогистике классов.— «Неклассическая
логика» (в печати).
16.	Щеголькова А. М. Некоторые теоремы теории кванторов,—
«Неклассическая логика» (в печати).
О ЛОГИЧЕСКИХ РАБОТАХ
А. А. ЗИНОВЬЕВА
Александр Александрович Зиновьев — большое явление русской
культуры второй половины XX века.
Человек ренессансного таланта — философ, социальный теоре-
тик, глубокий исследователь современной цивилизации, писатель, ху-
дожник, публицист, общественный деятель, — он прожил сложную,
драматическую жизнь и остался верным своим убеждениям.
Однако широкая публика не всегда знает, что А. А. Зиновьев на-
чинал свои исследования с логики. Именно эти проблемы были в тече-
ние длительного времени в центре его интересов. В этой области им
высказано множество идей, некоторые из которых были сразу же под-
хвачены коллегами в нашей стране и за рубежом, другие первоначаль-
но были не поняты, хотя постепенно стали использоваться (нередко без
ссылки на автора), третьи все еще ожидают признания.
Я хочу подчеркнуть, что логика была не просто той областью,
в которой А. А. Зиновьев начинал свою исследовательскую деятель-
ность и которую он затем оставил ради других занятий. В действи-
тельности логика лежит в основе всех его социальных и философско-
этических построений. Не случайно одна из его важнейших книг назы-
вается «Логическая социология». Но саму логику он понимал по-
своему, нередко в противоречии с тем, что считалось общепринятым.
Для А. А. Зиновьева смысл логики не в конструировании фор-
мальных исчислений, а в использовании формальных методов для вы-
работки приемов научного познания. Так было начиная с первых его
работ, посвященных исследованию логического метода в «Капитале»
К. Маркса и кончая работами по логической физике и логической со-
циологии. Именно этот смысл имеют работы А. А. Зиновьева по ком-
плексной логике. В последние годы жизни он разрабатывал программу
интеллектологии, которая должна объединить логику, гносеологию и
онтологию.
Вклад А. А. Зиновьева в логику значителен и далеко не освоен со-
временными исследователями. Многие поставленные им проблемы не
только не исчезли, а стали более острыми. Многие его идеи исключи-
тельно актуальны. Я надеюсь, что переиздание основных логических
работ Александра Александровича привлечет к ним то внимание, кото-
рое они заслуживают.
Академик В. А. Лекторский
СОДЕРЖАНИЕ
О логических работах А. А. Зиновьева (В, А, Лекторский)	1
ВВЕДЕНИЕ	3
§	1.	Цель книги	3
§	2.	Предмет логики	3
§	3.	Логические операторы	4
§	4.	Термины	5
§	5.	Высказывания	7
§ 6.	Расширения алфавита и правил образования	9
§	7.	Вхождение	9
§	8.	Логическое следование	10
§ 9.	Классический и неклассический случаи	11
§ 10.	Технические замечания	12
ГЛАВА ПЕРВАЯ. СИЛЬНОЕ СЛЕДОВАНИЕ	15
§ 1.	Система S1	15
§ 2.	Некоторые теоремные схемы	17
§ 3.	Некоторые сокращающие определения	20
§ 4.	Непарадоксальность	21
§ 5.	Главная семантическая интерпретация	22
§ 6.	Непротиворечивость S1	25
§ 7.	Полнота 51	25
§ 8.	Независимость S1	33
§ 9.	Правило подстановки	35
ГЛАВА ВТОРАЯ. СИЛЬНОЕ СЛЕДОВАНИЕ (другой вариант)	36
§ 1.	Система б1!	36
§ 2.	Полнота	37
§ 3.	Независимость	43
§ 4.	Эквивалентность 51 и	45
§ 5.	Сильное следование	45
ГЛАВА ТРЕТЬЯ, ОСЛАБЛЕННОЕ СЛЕДОВАНИЕ	49
§ 1.	Система S9	49
§ 2.	Непарадоксальность Sa	49
§ 3.	Полнота S2	50
200
1 4. Система 5г	52
§ 5.	Система Sw	53
§ 6.	Системы, сходные с Sw	54
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. ДРУГИЕ	ФОРМЫ	СЛЕДОВАНИЯ	59
§ 1.	Максимальное следование	59
§ 2.	Конверсное следование	62
§ 3.	Вырожденное следование	67
§ 4.	Квазиследование	70
ГЛАВА ПЯТАЯ. ОБЩАЯ	ТЕОРИЯ	ДЕДУКЦИИ	72
§ 1.	Общая теория дедукции	72
§ 2.	Общая теория дедукции и классическая логика	72
§ 3.	«Парадоксы» следования	74
§ 4.	Общая теория дедукции и интуиционистская логика 75
§ 5.	Неклассический случай на уровне общей теории дедукции 75
§ 6.	Классические и неклассические отношения высказываний 77
§ 7.	Расширения общей теории дедукции	79
§ 8.	К семантической интерпретации знака следования 79
§ 9.	К полноте логических систем	80
ГЛАВА ШЕСТАЯ. УСЛОВНЫЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ	82
§ 1.	Условные высказывания	82
§ 2.	Условные высказывания и следование	83
§ 3.	Условные высказывания и материальная импликация 83
§ 4.	Интерпретация	86
§ 5.	Классический и неклассический случаи	89
§ 6.	Система	90
§ 7.	Система	91
§ 8.	Система^	91
§ 9.	Система	93
§ 10.	Парадоксы 5^	91
§ И.	Полнота	95
ГЛАВА СЕДЬМАЯ. ТЕОРИЯ КВАНТОРОВ	98
§ 1.	Высказывания с кванторами	98
§ 2.	Система S3cq	99
§ 3.	Непарадоксальность	1 ^0
§ 4.	Непротиворечивость	^0
§ 5.	Независимость S*	101
§ 6. Некоторые следствия	102
§ 7. Главная интерпретация	105
201
§ 8.	Полнота S3cq	1°7
§ 9.	Проблема разрешимости	116
§ 10.	Другие системы для классического случая	120
§ И.	Расширение S3cq	421
§ 12.	Система Ssnq	122
§ 13.	Непротиворечивость S3nq	123
§ 14.	Некоторые следствия в Ssnq	124
§ 15.	Главная семантическая интерпретация Senq	125
§ 16.	Другие системы для неклассического случая	126
§ 17.	Другой вариант классического случая	127
§ 18.	Полнота S3nq	127
§ 19	Правила подстановки	129
§ 20.	Расширения систем теории кванторов	130
§ 21.	Кванторы и условные высказывания	131
ГЛАВА ВОСЬМАЯ. ТЕОРИЯ ПРЕДИКАЦИИ	132
§ 1.	Системы	132
§ 2.	Интерпретация	133
§ 3.	Классический случай	134
§ 4.	Полнота	134
§ 5.	Дедуктивно связанные предикаты	135
§ 6.	Теория предикации и кванторы	135
§ 7.	Расширения теории предикации	136
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ. ТЕОРИЯ ТЕРМИНОВ	137
§ 1.	Термины	137
§ 2.	Общая теория терминов. Sj	139
§ 3.	Теория субъектно-предикатных терминов	141
§ 4.	Силлогистика предикатов	145
§ 5.	Определения	146
§ 6.	Логически взаимозаменимые предикаты	147
§ 7.	Логические термины	148
Г Л А В А Д	Е С Я Т АЯ. ЛОГИКА КЛАССОВ	149
§ 1.	Классы	149
§ 2.	Система 8%	149
5 3.	Система S%	151
§ 4.	Силлогистика классов	152
§ 5.	Силлогистика классов и силлогистика предикатов 157
§ 6.	Квазиклассический случай в теории кванторов	157
§ 7.	Классы классов	158
§ 8.	Парадокс класса нормальных классов	159
§ 9.	Производные классы	160
202
ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ. ЛОГИКА СУЩЕСТВОВАНИЯ	161
§ 1.	Экзистенциальные предикаты	161
§ 2.	Система S*	162
§ 3.	Некоторые следствия в 5®	164
§ 4.	Теорема универсальности	164
§ 5.	Кванторы и предикаты существования	165
§ 6.	Семантическая интерпретация	165
§ 7.	Система S*	167
ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ. МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА	168
§	1.	Модальные предикаты	168
§	2.	Система	166
§	3.	Некоторые следствия	171
§	4.	Модальные операторы	171
§	5.	Интерпретация	172
§	6.	Классический случай	173
$	7.	Основная модальная логика	173
$	8.	Логические модальности	175
§	9.	Модальность и существование	175
§	10.	Модальность и условность	175
§11.	Модальности и кванторы	176
§ 12.	Вероятностная логика	176
ГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ. ЛОГИКА ОТНОШЕНИЙ	178
§ 1.	Предикаты отношений	178
§ 2.	Логика сравнения	178
§ 3.	Логика порядка	181
§ 4.	Интерпретация	182
§ 5.	Производные термины порядка	182
§ 6.	Система 5ГЗ	183
§ 7.	Упорядоченные конъюнкции	и дизъюнкции	184
§ 8.	Логика изменения	185
§ 9.	Физическое следование	187
ГЛАВА ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ. НОРМАТИВНЫЕ ПРЕДИКАТЫ	189
ПРИЛОЖЕНИЕ	192
ЗАКЛЮЧЕНИЕ	198
ЛИТЕРАТУРА	199
ББК 22.12 87.4
Зиновьев Александр Александрович
Комплексная логика / Вступ. ст. В. А. Лекторского.
Изд. 2-е, испр. и доп. — М.: Издательство ЛКИ, 2010. — 208 с.
(Из наследия А. А. Зиновьева.)
В настоящей книге, написанной выдающимся отечественным философом
и логиком А. А. Зиновьевым, дается систематическое изложение формального
аппарата разработанной автором комплексной логики. Рассматривается общая
теория дедукции и ее расширения, включая теорию предикации, кванторов,
условных форм, модальностей, существования, норм, терминов, отношений
и физического следования. Автор приводит доказательства непротиворечиво-
сти и полноты систем комплексной логики относительно определенных се-
мантических интерпретаций, выясняет место классической и интуиционист-
ской логик в теории логического следования.
Рекомендуется философам, логикам, методологам науки, студентам и ас-
пирантам соответствующих специальностей.
Ответственный редактор
доктор философских наук П. В. Таванец
Издательство ЛКИ. 117312, Москва, пр-т Шестидесятилетия Октября, 9.
Формат 60x90/16. Печ. л. 13. Зак. № 3515.
Отпечатано в ООО «ЛЕНАНД».
117312, Москва, пр-т Шестидесятилетия Октября, ПА, стр. 11.
ISBN 978-5-382-01172-1
© А. А. Зиновьев, 1970, 2010
© В. А. Лекторский,
вступительная статья, 2010
© Издательство ЛКИ, 2010
НАУЧНАЯ И УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА
E-mail: URSS@URSS.ru
Каталог изданий в Интернете:
http://URSS.ru
Тел./факс: 7 (499) 135-42-16
URSS Тел./факс: 7 (499) 135-42-46
Все права защищены. Никакая часть настоящей книги не может быть воспроизведена или
передана в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, будь то элек-
тронные или механические, включая фотокопирование и запись на магнитный носитель,
а также размещение в Интернете, если на то нет письменного разрешения владельцев.
Александр Александрович ЗИНОВЬЕВ
(1922-2006)
Всемирно известный логик, социолог, писатель, публицист. Родился в деревне
Пахтино Чухломского района Костромской области. Участник Великой Отечест-
венной войны с первого до последнего дня, удостоен боевых наград. В 1951 г.
окончил философский факультет МГУ им. М. В. Ломоносова, затем там же
аспирантуру. В 1954 г. защитил кандидатскую диссертацию «Логика “Капитала”
Маркса»; через шесть лет — докторскую диссертацию «Философские проблемы
многозначной логики». Они снискали автору репутацию яркого, смелого, неза-
висимого ученого.
С 1959 по 1976 гг. А. А. Зиновьев — научный сотрудник Института философии
АН СССР; одновременно в 1963-1969 гг. — профессор, заведующий кафедрой
логики философского факультета МГУ. Разработал оригинальную концепцию
логики (комплексная логика). Опубликовал ряд монографий по логике и мето-
дологии науки («Философские проблемы многозначной логики», «Логика вы-
сказываний и теория вывода», «Основы логической теории научных знаний»,
«Комплексная логика», «Логика науки», «Логическая физика»). Многие из них
переведены на иностранные языки. Получил признание в международном научном
сообществе как один из крупнейших логиков XX века.
Параллельно занимался изучением реального коммунизма, построенного в Совет-
ском Союзе. Результатом этих исследований стали вышедшие за рубежом социо-
логические романы «Зияющие высоты» (1976) и «Светлое будущее» (1978). Они
имели огромный резонанс во всем мире.
После выхода этих книг А. А. Зиновьев был лишен советского гражданства и вы-
слан вместе с семьей из СССР; 21 год жил в Мюнхене. В период вынужденной
эмиграции разрабатывал логику и методологию социального познания, создал
теорию коммунистического строя, теорию формирующегося на Западе сверх-
общества. Он стал первым, кто с научных позиций подверг критике горбачевскую
перестройку, точно предсказал ее исход, проанализировал постсоветский этап в
новейшей истории России. Удостоен ряда научных наград и званий, включая
премию А. де Токвиля — высшую международную премию в области социологии.
А. А. Зиновьев — единственный в России обладатель этой премии. Активно зани-
мался публицистической деятельностью. Всего им написано около 50 книг и сотни
статей.
В 1999 г. А. А. Зиновьев вернулся в Москву. В последние годы он активно вел
научную работу, выпустил ряд книг, в числе которых «Очерки комплексной логики»
(URSS, 2000), «Логическая социология» (2002) и «Фактор понимания» (2006),
преподавал в вузах, занимался общественной деятельностью. А. А. Зиновьев
скончался в 2006 году после тяжелой болезни и был похоронен в Москве на Ново-
девичьем кладбище.