Hill1956ru

Хилл Р. Математическая теория пластичности

4. Кривая зависимости между напряжением и деформацией

4. Полные соотношения между напряжениями и деформациями

5. Уравнения Леви—Мизеса и уравнения Рёйсса

6. Соотношения Хенки между напряжениями и деформациями

2. Единственность распределения напряжений при данных граничных условиях

3. Экстремальные и вариационные принципы

3. Совместное кручение и растяжение тонкостенной трубы

4. Совместное кручение и растяжение цилиндрического стержня

5. Сжатие при условиях плоской деформации

6. Изгиб при условиях плоской деформации

9. Кручение стержня переменного поперечного сечения

Глава V. Решение упруго-пластических задач (II

4. Расширение цилиндрической полости в бесконечной среде

Глава VI. Плоская пластическая деформация и теория поля линий скольжения

2. Уравнения плоской деформации, отнесенные к декартовым

3. Уравнения плоской деформации, отнесенные к линиям скольжения

5. Числовой расчет полей линий скольжения

6. Числовые расчеты распределения скорости

7. Аналитическое интегрирование уравнений плоской деформации

Глава VII. Плоские задачи установившегося движения

1. Геометрическое подобие и приведенная диаграмма

4. Расширение полуцилиндрической полости в поверхности

5. Сжатие массы между шероховатыми плитами

3. Течение стержней с вырезом при растяжении

5. Вдавливание и теория испытаний на твердость

2. Выдавливание из сжимающейся цилиндрической втулки

3. Сжатие цилиндра при некоторых распределениях усилий

4. Цилиндрическая труба под действием осевого растяжения и внутреннего давления

6. Распределение напряжения в шейке растягиваемого образца

7. Сжатие цилиндра между шероховатыми плитами

8. Зависимости вдоль линий скольжения и линий течения

3. Плоская деформация обобщенного пластического материала

4. Теория плоского пластического напряженного состояния с приложениями

5. Чисто пластическое напряженное состояние призматического стержня

2, Зависимости между напряжением и приращением деформации

3 Пластическая анизотропия прокатанного листа

5. Ушкообразование при глубокой вытяжке стаканов

б. Изменение параметров анизотропии в течение холодной обработки

7. Теория плоской деформации анизотропных металлов

IV. Преобразование уравнений для компонентов напряжений в плоской задаче

Похожие

Прикладная теория пластичности и ползучести

Гидропрессование металлов

Расчеты на прочность в машиностроении. Том 2. Некоторые задачи прикладной теории упругости. Расчеты за пределами упругости. Расчеты на ползучесть

Синтетические сверхтвердые материалы. Том 1. Синтез сверхтвердых материалов

Текст

P. X И Л Л
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ТЕОРИЯ
ПЛАСТИЧНОСТИ

Р. ХИЛ Л
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
ПЛАСТИЧНОСТИ
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО
Э. И. ГРИГОЛЮКА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1956

THE MATHEMATICAL THEORY
OF PLASTICITY
by
R. HILL
OXFORD
AT THE CLARENDON PRESS
1950

ОГЛАВЛЕНИЕ
От переводчика 6
Из предисловия автора 7
Глава I. Введение 9
1. Определение предмета 9
2. Исторический очерк 10
3. Физические основы 12
4. Кривая зависимости между напряжением и деформацией 17
Глава II. Основы теории 23
1. Идеально-пластическое тело 23
2. Критерий текучести 24
3. Упрочнение 35
4. Полные соотношения между напряжениями и деформациями .... 46
5. Уравнения Леви — Мизеса и уравнения Рёйсса 52
6. Соотношения Хенки между напряжениями и деформациями 61
7. Другие теории 64
Глава III. Общие теоремы 67
1. Пластический потенциал 67
2. Единственность распределения напряжений при данных граничных
условиях 70
3. Экстремальные и вариационные принципы 79
Глава IV. Решение упруго-пластических задач (I) 90
1. Введение 90
2. Теория эксперимента Хоэнемзер 91
3. Совместное кручение и растяжение тонкостенной трубы 94
4. Совместное кручение и растяжение цилиндрического стержня ... 96
5. Сжатие при условиях плоской деформации 97
6. Изгиб при условиях плоской деформации 100
7. Изгиб призматического стержня 103
8. Кручение призматического стержня 106
9. Кручение стержня переменного поперечного сечения 117
Глава V. Решение упруго-пластических задач (11) 121
1. Расширение сферической оболочки 121
2. Расширение цилиндрической трубы 132
3. Теория процесса автоскрепления 141
4. Расширение цилиндрической полости в бесконечной среде 152
1*

4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава VI. Плоская пластическая деформация и теория поля
линий скольжения 155
1. Гипотеза о жестко-пластическом материале 155
2. Уравнения плоской деформации, отнесенные к декартовым
координатам 156
3. Уравнения плоской деформации, отнесенные к линиям скольжения . 160
4. Геометрия поля линий скольжения 164
5. Числовой расчет полей линий скольжения 168
6. Числовые расчеты распределения скорости 178
7. Аналитическое интегрирование уравнений плоской деформации ... 181
8. Разрыв напряжения 187
Глава VII. Плоские задачи установившегося движения 191
1. Формулировка задачи 191
2. Волочение листа 194
3. Обжатие стенки тонкостенного стакана 210
4. Выдавливание листа 213
5. Пробивание 218
6. Прокатка полосы . . . 220
7. Обработка металла резанием 238
8. Течение через сходящийся канал 242
Глава VIII. Плоские задачи неустановившегося движения (I) . . 246
1. Геометрическое подобие и приведенная диаграмма 246
2. Вдавливание клина 248
3. Сжатие клина плоским штампом 254
4. Расширение полуцилиндрической полости в поверхности 256
5. Сжатие массы между шероховатыми плитами 260
Глава IX. Плоские задачи неустановившегося движения (II) , . . 272
1. Введение 272
2. Формулировка задачи 273
3. Течение стержней с вырезом при растяжении 281
4. Пластическое течение вокруг полости 288
5. Вдавливание и теория испытаний на твердость 290
Глава X. Осевая симметрия 300
1. Основные уравнения 300
2. Выдавливание из сжимающейся цилиндрической втулки 302
3. Сжатие цилиндра при некоторых распределениях усилий 304
4. Цилиндрическая труба под действием осевого растяжения и
внутреннего давления 306
5. Обжатие труб 308
6. Распределение напряжения в шейке растягиваемого образца .... 312
7. Сжатие цилиндра между шероховатыми плитами 316
8. Зависимости вдоль линий скольжения и линий течения 318
Глава XI. Смешанные темы 322
1. Глубокая вытяжка 322
2. Общая теория изгиба листа 328
3. Плоская деформация обобщенного пластического материала .... 335
4. Теория плоского пластического напряженного состояния с
приложениями 341
5. Чисто пластическое напряженное состояние призматического
стержня 356

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
Глава XII. Пластическая анизотропия 360
1 Условие текучести 361
2, Зависимости между напряжением и приращением деформации . . . . 363
3 Пластическая анизотропия прокатанного листа 365
4. Изменение длины закрученной трубы 369
5. Ушкообразование при глубокой вытяжке стаканов 372
б. Изменение параметров анизотропии в течение холодной обработки . 376
7. Теория плоской деформации анизотропных металлов 378
Приложения 386
I. Индексные обозначения и правила суммирования 386
II. Системы координат 390
III. Характеристики 391
IV. Преобразование уравнений для компонентов напряжений в плоской
задаче 396
Таблицы 397
Добавление 399
Именной указатель . . . ^ 401
Предметный указатель 404

ОТ ПЕРЕВОДЧИКА
Предлагаемая вниманию читателя книга «Математическая теория
пластичности» написана крупным английским специалистом в области
пластичности металлов Робертом Хиллом. В книге содержится
систематическое исследование важнейших задач пластичности на
основе теории пластического течения Рёйсса — Прандтля; при этом
существенное внимание уделяется разрывным решениям при совместном
рассмотрении поля напряжения и поля скоростей. Большая часть книги
посвящена плоской задаче теории пластичности и ее различным
приложениям. В ней получила отражение также осесимметрическая
задача. Кроме того, даны решения для ряда задач при наличии
направленной анизотропии.
Характерной особенностью книги является, во-первых,
своеобразная трактовка многих вопросов, а во-вторых, категоричность
суждений автора при высказывании своих точек зрения. С последней
особенностью читатель непрерывно будет сталкиваться при чтении
книги.
Книга была написана в 1950 году. С тех пор появилось много
специальных работ по охватываемому книгой кругу вопросов, однако,
мы не сочли целесообразным ни обсуждать эти работы, ни давать
их перечня, так как очевидно, что учет новейших достижений науки
должен решаться не путем дополнения переводов, а путем создания
новых книг.
Считаю своим долгом выразить благодарность Ю. Н. Работнову
за ценные замечания по рукописи настоящего перевода.
Э. Я. Григолюк

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
Хотя первая математическая трактовка пластического
деформирования металлов была намечена в общих чертах приблизительно
восемьдесят лет назад Леви и Сен-Венаном, существенного прогресса
не было до 1920 г. Теория пластичности по-прежнему остается
молодой наукой с незначительным числом серьезных ученых. Я написал
эту книгу в надежде, что она привлечет внимание инженеров и
математиков-прикладников к области, которая хорошо вознаграждает
изучение и исследование и которая находит возрастающее
применение в технологии металлов.
Чтобы придать книге единство, примеры, выбранные для
иллюстрации приложений теории, расположены в порядке возрастающей
трудности, от простых к сложным краевым задачам. Многие из них
связаны с процессами обработки металлов давлением, такими, как
прокатка или волочение, не только вследствие моих собственных
интересов, но также и потому, что здесь пластичность металлов
демонстрируется наиболее замечательно. Я особенно заботился о
получении данных, необходимых научно-исследовательским
работникам промышленности, и всюду, где это казалось оправданным,
я вводил приближения для упрощения задачи и сжато выражал
результаты исследования. Вместо того, чтобы бегло охватывать всю
область пластичности, я предпочел остановиться на избранных темах
и провести их исследование, настолько полное и соответствующее
действительности, насколько это гарантируется современными
знаниями.
Предполагается, что читатель знаком с элементарной теорией
упругости. Два полезных математических технических приема, которые,
вероятно, не знакомы большинству инженеров, объяснены в
приложениях; к ним относятся обозначения индексов вместе с правилами
суммирования и решение гиперболических дифференциальных
уравнений. Первый может быть изучен сначала; он представляет
собой обязательную стенографию для полного обсуждения
зависимостей между напряжениями и деформациями. Второй
фигурирует во многих отраслях механики, и его методы обычно
привлекают вследствие их простоты и возможности непосредственного
применения.

8
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
В таком быстро развивающемся предмете, как теория
пластичности, имеющем литературу, которая часто является неясной и
противоречивой, неизбежно, что имеется много вопросов, при
обсуждении которых я полагался на свое собственное мнение. Более того,
в то время как первый набросок книги был готов, стали
очевидными некоторые серьезные пробелы в теории, и я сделал все
возможное, чтобы восполнить их. Нетрудно установить формулировки,
за которые ответствен только я: любой цитируемый результат из
работ других авторов сопровождается ссылкой на первоначальный
источник, в соответствии с моими сведениями о статьях, появившихся
в научных журналах до осени 1949 г.
Май 1950 г.
Р. Хилл

ГЛАВА I
ВВЕДЕНИЕ
1. Определение предмета
«Теория пластичности» — название, данное математическому
исследованию напряжений и деформаций в пластически
деформированных телах, особенно металлах. Она следует тому образцу, который
создан «теорией упругости», имеющей дело с методами вычисления
напряжений и деформаций в упруго-деформированных телах и не
связанной, как можно было бы заключить при буквальном
истолковании, с физическим объяснением свойств упругости. Зависимость
пластических и упругих свойств металла от кристаллической
структуры и сил сцепления относится к предмету, теперь известному
как «физика металлов».
Теория пластичности принимает за исходную точку зрения
некоторые экспериментальные наблюдения над макроскопическим
поведением пластического тела при однородных состояниях в случае
комбинированного действия напряжений. Задача теории двояка:
во-первых, построить точные соотношения между напряжениями и
деформациями, согласующиеся с этими наблюдениями настолько
близко, насколько это вообще необходимо; во-вторых, развить
математическую технику вычисления неоднородного распределения
напряжений и деформаций в телах, остаточно-деформированных любым
способом. В настоящее время металлы являются единственными
пластическими телами, для которых имеется достаточно данных,
гарантирующих построение общей теории. Поэтому теория особенно
связана со свойствами металлов, хотя она может быть применена
и к другим потенциально пластическим материалам (например, лед,
глина или горная порода).
В противоположность многим другим пластическим телам,
наиболее замечательное свойство металла состоит в его способности
подвергаться обработке давлением в холодном состоянии. Для мягкого
металла при обычных температурах и при надлежащим образом
приложенных напряжениях может быть легко получено изменение
размеров в лвадцать раз, например, путем сжатия или сдвига медного
цилиндра. Более сильные местные деформации создаются, когда

10
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
заготовка металла выдавливается или пробивается. Поэтому теория
пластичности специально интересуется технологическими процессами
формообразования, такими, как прокатка полосы, выдавливание
стержней и труб, волочение проволоки, глубокая вытяжка листа.
Задача исследования заключается в определении внешних усилий,
расхода энергии, а также неравномерности деформации и упрочнения
вследствие холодной обработки. Интенсивные местные пластические
деформации также развиваются в большинстве стандартных
механических испытаний металлов, например, при вдавливании
конического штампа, при изгибе стержня с надрезом или при удлинении
растягиваемого образца после образования шейки. Рациональная
оценка физического значения этих испытаний требует знания
напряженного состояния и размера пластической зоны.
Типичное применение теории в другом крайнем случае, где
сталкиваются предметы теории упругости и пластичности, состоит
в предсказании той критической нагрузки, которая заставляет
элемент конструкции течь пластически в его наиболее слабой точке.
Между этими предельными случаями находятся задачи, где
пластические и упругие деформации являются величинами одного порядка,
как в балке, частично нагруженной выше предела упругости при
изгибе или кручении, или как в резервуарах, находящихся под
давлением, упрочненных вследствие первоначального остаточного
расширения.
2, Исторический очерк
Начало научного изучения пластичности металлов должно быть
по справедливости отнесено к 1864 г. В этом году Треска
опубликовал предварительные итоги экспериментов по штамповке и
выдавливанию, которые привели его к утверждению, что металл
пластически течет, когда максимальное касательное напряжение
достигает критического значения. Критерий течения пластических тел,
главным образом грунтов, предложен раньше, например Кулоном
(1773 г.). Он был применен Понселе (1840 г.) и Ренкиным (1853 г.)
к таким задачам, как вычисление давления земли на подпорные
стенки; однако, по-видимому, ранее важных исследований для металлов
не было. Условие текучести Треска было применено Сен-Венаном
для определения напряжений в частично пластичном цилиндре,
подверженном кручению или изгибу (1870 г.), и в полностью
пластичной трубе, расширяющейся под действием внутреннего давления
(1872 г.) (первый шаг к решению для частично пластичной трубы
был сделан Тернером в 1909 г.). Сен-Венан установил также систему
пяти уравнений, связывающую напряжения и деформации при
двумерном течении, и, признавая, что не хватает однозначного
соотношения между напряжением и полной пластической деформацией,
постулировал, что направления максимальной скорости сдвигающей

2. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
11
деформации совпадают в каждый момент времени с направлениями
максимального касательного напряжения. В 1871 г. Леви, принимая
концепцию Сен-Венана об идеально пластичном материале, предложил
соотношения между напряжением и скоростью пластической
деформации для пространственного течения.
По-видимому, дальнейших важных успехов не было до конца
прошлого столетия, когда Гест исследовал течение полных труб
при совместном действии осевого растяжения и внутреннего давления
и получил результаты, находящиеся в общих чертах в соответствии
с критерием максимального касательного напряжения. В последующее
десятилетие было выполнено много аналогичных экспериментов,
главным образом в Англии, с несколько отличающимися выводами.
Были предложены различные критерии текучести, но для многих
металлов, как показали более поздние и более точные работы,
наиболее удовлетворительным является критерий, выдвинутый Мизесом
(1913 г.) на основе чисто математических соображений; этот критерий
несколько лет спустя был интерпретирован Хенки как означающий,
что текучесть имеет место, когда упругая энергия формоизменения
достигает критической величины. Мизес (независимо) также предложил
уравнения, аналогичные уравнениям Леви.
В период между двумя мировыми войнами проблема активно
разрабатывалась германскими авторами. В 1920 и 1921 гг. Прандтль
показал, что плоская задача пластичности является гиперболической,
и вычислил нагрузки, необходимые для вдавливания плоского штампа
в плоскую поверхность и усеченный клин. Параллельные
эксперименты Надаи находились в соответствии с этими вычислениями,
тем не менее недавно было показано, что работа Прандтля в
определенных отношениях несовершенна. Общая теория, лежащая в основе
специальных решений Прандтля, была дана в 1923 г. Хенки, который
также обнаружил простые геометрические свойства поля линий
скольжения при состоянии плоской пластической деформации. Однако
прошло некоторое время, прежде чем были получены уравнения,
связывающие изменения скорости течения вдоль линий скольжения
(Гейрингер, 1930 г.), при этом они были найдены задолго до того,
как была внесена ясность в корректный подход к решению плоских
задач (1945—1949 гг.). В 1923 г. Надаи исследовал как
теоретически, так и экспериментально пластические зоны в закрученном
призматическом стержне с произвольным контуром. Эффективное
приложение теории пластичности к технологическим процессам было
начато в 1925 г., когда Карман элементарным методом
проанализировал напряженное состояние при прокатке. В следующем году
Зибель и вскоре после него Закс выдвинули аналогичные теории
Для волочения проволоки.
После 1926 г., когда Лоде измерил деформации труб различных
металлов при одновременном растяжении и внутреннем давлении, было
показано, что соотношения Леви — Мизеса межд> напряжениями и

12
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
деформациями верны в первом приближении. Однако результаты
Лоде указывают на определенные отклонения, и они впоследствии
были подтверждены более тщательными экспериментами Тейлора и
Куинни (1931 г.). Теория была тогда же обобщена в двух важных
направлениях: во-первых, Рёйссом (1930 г.), который принял во
внимание упругую часть деформации, следуя более раннему
предложению Прандтля; во-вторых, Шмидтом (1932 г.) и Одквистом (1933 г.),
которые несколько различными способами показали, каким образом
упрочнение может быть введено в систему уравнений Леви — Мизеса.
Первое обобщение было в общих чертах подтверждено
экспериментами Хоэнемзер (1931 —1932 гг.), а второе — исследованиями
Шмидта.
Таким образом, около 1932 г. была создана теория,
отображающая главные пластические и упругие свойства изотропного металла
при обычных температурах и находящаяся в основном в
соответствии с наблюдениями. Однако в решении специальных задач с этого
времени до начала 1940 г. имел место небольшой прогресс. Были
сформулированы дальнейшие обобщения (например, Мизесом в 1928 г.
и Меланом в 1938 г.), однако математические исследования при
отсутствии точных данных экспериментов в это время носили
академический характер.
Между тем предложенная Хенки в 1924 г. конкурирующая
теория вследствие ее аналитического удобства в тех задачах, где
пластические деформации малы, получила распространение, несмотря
на ее противоречия с опытом при установлении однозначного
соотношения между напряжениями и деформациями. Эта теория была
продвинута Надаи в его книге по пластичности (1931 г.) и
впоследствии широко применялась русской школой (после 1935 г.).
Уравнения Хенки ведут к приблизительно правильным результатам только
для некоторых видов путей нагружения, тем не менее большинство
авторов продолжает без различия применять их.
Война стимулировала исследования в Англии и Америке благодаря
таким задачам, как вычисление напряжений в автоскрепленном стволе
орудия и определение сил сопротивления артиллерийского снаряда,
проникающего в броневую плиту. С этих пор предмет интенсивно
разрабатывался во многих странах, при этом были достигнуты такие
успехи, что настоящая книга в большой степени подводит итог
работам последних пяти лет.
3. Физические основы
При построении теории часто ссылаются на пластические
свойства металлических монокристаллов и поликристаллических агрегатов.
Полагая, что читатель имеет о них общее представление, дадим
здесь только кратко необходимые далее сведения. Для более широ-

3. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
13
кого и детального ознакомления с иными точками зрения необходимо
обратиться к специальным работам по физике металлов1).
а. Монокристаллы. В свежевыращенном кристалле металла
наивысшей частоты, изолированном от внешних возмущений, атомы
оказываются в правильном трехмерном расположении с
периодической структурой, характерной для металла, таким образом, что
силы их взаимодействия уравновешиваются. Большинство хорошо
известных металлов имеют структуру решетки, которая представляет
собой или гранецентрированный куб (медь, алюминий, свинец,
серебро, золото), или объемно-центрированный куб (а-железо, ванадий,
вольфрам и щелочные металлы), или гексагональную плотную
упаковку (цинк, магний, кадмий). Согласно общераспространенной
теории силы сцепления, связующие атомы вместе, таковы, что идеальный
металлический кристалл при незначительных перемещениях атомов
от их нормального положения может выдерживать значительно более
высокие приложенные напряжения, чем это замечено у реального
кристалла. Так, в свежеприготовленном кристалле прецизионные
измерения показывают, что упругая (или обратимая) деформация
прекращается после макроскопической деформации сдвига
порядка 10~4, в то время как идеальный кристалл допускает упругую
сдвигающую деформацию порядка 10~\ Это противоречие связано
с дефектами или нарушениями в структуре решетки, образующимися
в течение роста или введенными при последующей обработке.
Полагают, что дефекты отделены промежутком порядка 1000 атомных
расстояний и что каждый из них простирается по объему,
содержащему, может быть, 100—1000 атомов. Некоторые дефекты
считаются относящимися к такому классу, который «ослабляет»
кристалл, и известны как «дислокации». Математическое изучение
возможных атомных расположений в дислокации показывает, что
очень незначительное внешнее напряжение могло бы заставить ее
перемещаться (как геометрическое целое) через кристалл, идеальный
в других отношениях. Результат прохождения дислокации
представляет собой относительное перемещение частей кристалла,
граничащих с ее путем, на величину, равную одному или двум атомным
1) С. S. Barrett, Structure of Metals, N. Y., McGraw-Hill Book Co.,
1943, русский перевод: Ч. С. Б а р р е т, Структура металлов, М., Металлург-
издат, 1948; W. Boas, An Introduction to the Physics of Metals and Alloys,
N. Y., John Wiley a. Sons, Inc., 1947; A. H. Cottrell, Theoretical Structural
Metallurgy, London, Edward Arnold a. Co., 1948; C. F. El am, Distortion of
Metal Crystals, Oxford, Clarendon Press, 1935; W. Hume-Rothery, Atomic
Theory for Students of Metallurgy, London, Institute of Metals; 1946; русский
перевод: В. Юм-Розе ри, Атомная теория для металлургов, М., Метал-
^Ургиздат, 1955; Е. Sen mid и W. Boas, Kristallplastizitat, Julius Springer,
Berlin, 1935, русский перевод: Э. Ш м и д, В. Боа с, Пластичность
кристаллов, в особенности металлических, М.—Л., 1938; F. S e i t z, The Physics
oj Metals, McGraw-Hill Book Co., N. Y., 1943; русский шревод: Ф. 3 e й т ц,
Физика металлов, М. — Л,, Гостехиздат, 1947.

14
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
расстояниям. Таким образом, прохождение через кристалл множества
дислокаций производит полную деформацию, не затрагивая основного
строения решетки; фактическое сохранение строения решетки в
течение пластической деформации подтверждается при исследовании
рентгеновскими лучами. То обстоятельство, что деформация является
пластической и необратимой, связано с «захватыванием» дислокаций
на других дефектах, которые не движутся от внешних напряжений.
Полагают, что дополнительные дислокации создаются или
освобождаются во время деформации, но, несмотря на это, для того
чтобы вызвать пластическую деформацию, обычно необходимо
приложить непрерывно увеличивающееся напряжение (упрочнение);
движение свободных дислокаций все больше и больше задерживается
местным искажением решетки в точках, где аккумулируются
захваченные дислокации. Увеличение потенциальной энергии
деформированного кристалла составляет только небольшую часть (порядка
одной десятой) работы, произведенной приложенными напряжениями;
оставшаяся часть представляет собой энергию колебаний атомов
в движущихся дислокациях или вблизи их (скорость которых должна
быть близка к скорости звука) и в конечном счете рассеивается
по всему кристаллу в виде тепла.
Если внешняя температура достаточно велика, то энергия
активации, необходимая для движения существующих дислокаций, может
также быть создана благодаря термическим колебаниям; влияние
приложенного напряжения главным образом состоит в том, чтобы
сообщить направление происходящему течению (неустановившаяся
ползучесть). Если напряжение удалено, а кристалл в течение
некоторого периода находится при достаточно высокой температуре,
то термические колебания помогают атомам преодолеть их
потенциальный барьер на пути к первоначальному правильному
расположению, которое представляет собой конфигурацию наибольшей
устойчивости. В конечном счете несовершенства, вызванные в течение
предшествующей деформации, удаляются, при этом говорят, что
кристалл является «отожженным».
В теории пластичности деформация рассматривается
макроскопически однородной, но известно, что микроскопическая пластическая
деформация в значительной степени ограничена узкими полосами
(линиями скольжения), которые распространяются по кристаллу и,
по-видимому, вызываются прохождением вдоль близко
сгруппированных плоскостей большого числа дислокаций, многие из которых
становятся захваченными или взаимно заторможенными. Эти полосы
имеют, возможно, толщину, приблизительно равную 100 атомным
расстояниям, а плоскости, которым они параллельны, известны как
плоскости скольжения или течения; они часто являются
кристаллографическими плоскостями с наиболее плотно упакованными атомами.
Средний интервал между полосами скольжения зависит от величины
и скорости деформации, а также от металла, но обычно он имеет

3. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
15
порядок 10 000 атомных расстояний. Решетка между полосами
скольжения фактически еще совершенна и только упруго
деформирована; деформация здесь больше, чем полная деформация на
пределе упругости, так как приложенное напряжение увеличивается
вследствие упрочнения; более того, так как полосы скольжения
распространяются только по небольшой части общего объема даже
после весьма больших деформаций, то при пластической деформации
модуль упругости кристалла как целого изменяется незначительно.
Если кристалл, имеющий форму проволоки, удлиняется при
растяжении, то поперечное сечение его становится эллиптическим.
Макроскопически деформация может быть описана посредством
предположения, что в определенном направлении по некоторому
ряду параллельных плоскостей скольжения кристалл испытывает
сдвиг вместе с вращением, которое способствует еще большему
повороту этих плоскостей к прямой, параллельной оси проволоки.
Всегда наблюдалось только ограниченное число активных
направлений скольжения. По-видимому, при обычных температурах в гране-
центрированных кубических металлах имеются только четыре
возможные плоскости скольжения (октаэдрические плоскости), в каждой
из которых существует по три возможных направления скольжения
(лежащих в кубических плоскостях); скольжение в объемноцентри-
рованном кубическом металле происходит большим числом способов,
в гексагональном металле оно имеет место только по основным
плоскостям и вдоль диагональных осей. Напряжение, необходимое
для того, чтобы пластически деформировать проволоку, сильно
изменяется от ориентации кристалла относительно оси, однако
найдено, что направление скольжения является активным только
тогда, когда достигается некоторая критическая величина (предел
текучести) компонента касательного напряжения, действующего по
плоскости скольжения и в направлении скольжения; для отожженного
кристалла при обычных температурах она имеет порядок 100 г/мм2.
Предел текучести является приблизительно тем же самым для
всевозможных направлений скольжения в кристалле в данном состоянии;
он не зависит от типа испытания (например, от того, будет ли
растяжение или сжатие). Для обычных скоростей деформации и для
температур, при которых ползучесть незначительна, предел
текучести представляет собой главным образом функцию величины
предварительной пластической деформации. В частности, между
касательным напряжением и деформацией сдвига получается одна и та же
зависимость, безотносительно к тому, какая система плоскостей
скольжения является активной; если же приложенное напряжение
впоследствии изменить так, чтобы активной была другая система
плоскостей, то новая кривая упрочнения при сдвиге представляет
собой продолжение предыдущей. Отсюда вытекает, что искажение
решетки воздействует на все плоскости одинаково, независимо
от того, будут они активными или нет; это явлеьле известно как

16
ГЛ, I. ВВЕДЕНИЕ
скрытое упрочнение. Когда к кристаллу прикладывается постепенно
увеличивающееся напряжение (или в его первоначальном состоянии,
или в пластически деформированном), то замечено, что активные
плоскости скольжения суть те, на которых прежде всего
достигается критическая величина касательного напряжения» Двойное
скольжение начинается тогда, когда вращение кристалла переводит
другую систему плоскостей в положение, при котором
соответствующее касательное напряжение равно текущей величине предела
текучести; несомненно, что при комбинированном приложении
напряжений отдельные системы плоскостей могут быть приведены в
действие одновременно.
Ь. Поликристаллические агрегаты. Металл в его обычно
используемом виде представляет собой компактную совокупность
кристаллических зерен различных форм и ориентации, при этом каждое зерно
вырастает из отдельного ядра в расплавленном металле. Металл
может считаться макроскопически изотропным, когда ориентации
зерен распределены беспорядочно и когда средние размеры
отдельных кристаллов малы по сравнению с размерами всего образца
(например 10~3—10~2 см по сравнению с 1—100 см)- Тем не менее
свойства агрегатов не всегда суть просто статистическое среднее
свойств монокристаллов, взятых по всем ориентациям. Если это
приблизительно верно для свойств, которые зависят главным образом
от объема структуры, как, например, коэффициент термического
расширения или модуль упругости, то для явлений пластичности это
выполняется не обязательно.
Теория и эксперимент подсказывают, что переход от одной
ориентации к другой в смежных зернах имеет место только через слой
толщиной в несколько атомов. В этой переходной зоне или границе
зерен атомы занимают положения равновесия, которые представляют
собой компромисс между нормальными положениями в каждой из
двух решеток. Эти атомы имеют большую свободную энергию, чем
атомы внутри зерен, и представляют собой, следовательно, основной
фактор вязкого течения и межкристаллического разрушения при
высоких температурах. Предполагают также, что они являются
потенциальными источниками дислокаций, но в то же самое время
в большей или меньшей степении они служат препятствием к
прохождению других дислокаций. Будучи центром концентрации
напряжения, охватывающим много атомов, дислокация, достигшая границы,
может активизировать скольжение на косой плоскости в смежном
кристалле, и это должно быть тем легче, когда налицо много
плоскостей скольжения близкой ориентации, как это имеет место в гране-
центрированных и объемноцентрированных кубических металлах.
Действительно, кривая упрочнения при сдвиге поликристаллического
кубического металла не лежит выше средней кривой для произвольно
ориентированных монокристаллов более чем в два или три раза.
Если, как в гексагональном металле, может быть активирована

4. КРИВАЯ ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЕМ И ДЕФОРМАЦИЕЙ 17
только одна система плоскостей скольжения, то поликристалл в сто
паз жестче монокристалла, несмотря на вмешательство других и
более удобных механизмов пластической деформации (таких, как
двойникование). Существование в гексагональных металлах таких
механизмов позволяет зернам сохранять контакт (хотя и не
обязательно между теми же самыми зернами, так как маловероятно,
чтобы границы зерен заключали в себе те же самые атомы в
течение всего процесса пластической деформации). Контакт не может
быть сохранен только при скольжении по основным плоскостям
в каждом зерне, так как, если должно быть произведено только
скольжение, то (равномерная) пластическая деформация обычно
требует одновременного действия пяти независимых систем плоскостей.
С другой стороны, в кубических металлах имеется в распоряжении
достаточное число систем, и для них правдоподобно, что
макроскопическая деформация в каждом кристалле имеет сходство с
деформацией агрегата как целого.
Если образец подвергается большой деформации определенного
рода (например, монотонному сжатию), то в каждом зерне одни и
те же кристаллографические направления постепенно поворачиваются
по направлению к общей оси. Благодаря этому создается
предпочтительная ориентация и образец постепенно становится анизотропным.
Когда пластически деформированный образец разгружается, то
в микроскопическом масштабе сохраняются остаточные напряжения,
обусловленные главным образом существованием перед разгрузкой
различных напряженных состояний в различно ориентированных кри-
сталах. Если теперь прикладываются различные нагрузки, то такие
остаточные напряжения должны влиять на пластическое течение.
Например, если предшествующая деформация представляла собой
равномерное удлинение, а образец затем повторно нагружался
сжатием в противоположном направлении, то наблюдается, что текучесть
(образца как целого) происходит при значительно уменьшенном
напряжении. Это известно как эффект Баушингера, и поскольку
у монокристаллов чистых металлов он отсутствует, его относят к
особому роду остаточных напряжений, обусловленных границами зерен.
4. Кривая зависимости между напряжением
и деформацией
Кривая зависимости между напряжением и деформацией
поликристаллического металла при любом простом нагружении имеет
форму, показанную схематично на фиг. 1. Имеется три самых
обычных типа испытания: растяжение стержня, сжатие короткого
цилиндрического бруска и кручение тонкостенной трубы. Если соблюдаются
особые предосторожности (например, относительно соосности нагру-
жения, эффективности смазки и изотропии материала), то
макроскопическая деформация может быть получена действительно равномер-

18
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
ной, исключая зону, где имеет место неустойчивость. Результат
такого испытания представляют в виде графика зависимости среднего
напряжения о (растягивающего, сжимающего или сдвигающего),
возникающего в текущем поперечном сечении, от некоторой
замеренной полной деформации. Если длина растягиваемого образца
увеличивается от /0 до /, то
величина деформации обычно измеряется
или как
где г называется логарифмической
или истинной деформацией, или как
£ =
'о
Фиг. 1. График зависимости
среднего напряжения с от условной
деформации е.
Здесь е — условная или
техническая деформация; очевидно, что
е = 1п(1 + *)-
Когда, как, например, в упругой области, изменение длины мало,
деформации s и е приблизительно одинаковы, однако е становится
все меньше и меньше е с увеличением деформации. Если высота
сжимаемого образца уменьшается от h0 до h, то две аналогичные
меры деформации определяются как
Здесь, однако,
1 Ял
; = 1П -г
h
е = -
l+e
Когда высота образца приближается к нулю, s -> сю, то е~+\. При
кручении обычно используется единственная мера деформации —
техническая деформация сдвига ^ = И), где г — радиус трубы,
а 0 — угол закручивания в радианах на единицу длины. Позднее
будет показано, каким образом кривые зависимости напряжения от
деформации, полученные из различных испытаний одного и того же
материала, могут быть приведены в соответствие на основе
универсального определения деформации.
Напомним теперь основные характеристики кривой зависимости
между напряжением и деформацией, причем в случае растяжения
или сжатия будем подразумевать логарифмическую деформацию.
Когда приложена постепенно увеличивающаяся нагрузка, образец
сперва деформируется упруго и возвращается к своим первоначальным
размерам, если нагрузка удаляется. Напряжение, при котором
деформация перестает быть пропорциональной приложенному напряжению,
известно как предел пропорциональности (точка Р на фиг. 1); его
величина зависит до некоторой степени от чувствительности измери-

4. КРИВАЯ ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЕМ И ДЕФОРМАЦИЕЙ 19
тельной аппаратуры. Упругая область обычно простирается за предел
пропорциональности, и напряжение, при котором наблюдается
заметная остаточная деформация, известно как предел текучести (точка Y
на фиг. 1); положение этой точки также зависит частично от
аппаратуры, поскольку переход от упругого к полностью пластическому
поведению не является мгновенным вследствие последовательной
текучести кристаллических зерен. В большинстве металлов, чтобы
вызвать дальнейшую пластическую деформацию, напряжение должно
непрерывно возрастать, однако, чтобы произвести данное приращение
деформации, обычно нужно все меньшее и меньшее приращение
напряжения. Другими словами, степень упрочнения постепенно падает
и кривая все больше и больше наклоняется. Действительная кривая
зависимости напряжения от деформации для отожженной меди
показана на фиг. 6, стр. 40; кривые для какого-нибудь одного металла,
полученные различными путями, могут разниться приблизительно
на 10%. Имеется основание считать, что при очень больших
деформациях (до самой точки разрыва) степень упрочнения приближается
к малой постоянной величине (может быть нулю); это, возможно,
обусловлено самопроизвольным восстановлением упорядоченности
в сильно искаженной решетке.
Если в процессе пластической деформации напряжение
уменьшается от своего текущего значения в точке 5, то изменение длины
сперва является упругим. Однако вследствие различной ориентации
зерен остаточные напряжения распределяются неравномерно и в
нескольких зернах могут действовать так, что производят очень малую
пластическую деформацию, прежде чем внешнее напряжение будет
полностью удалено (в точке О')- Деформация ООг представляет собой
остаточное изменение формы. При повторной нагрузке имеется снова
участок упругой деформации с новым пределом
пропорциональности Р\ за которым следует интервал малой пластической
деформации (ширина петли гистерезиса на диаграмме сильно преувеличена)*
Когда напряжение доводится почти до его первоначальной величины,
кривая вблизи точки Y' резко изгибается, а часть кривой Y/S/
становится фактически продолжением YS. Действительно, если
напряжение увеличивалось бы непрерывно от S, то была бы описана та же
самая кривая SS' (в пределах обычной экспериментальной
погрешности); состояние образца, соответствующее точке Yf после разгрузки
и последующей нагрузки, отличается от состояния, в котором он
мог бы находиться (если бы напряжение увеличивалось непрерывно)
только благодаря дополнительному искажению решетки в
продолжение петли гистерезиса SO'P', но это различие быстро ликвидируется
при дальнейшей деформации. Поэтому точку 5 и аналогично любую
точку кривой можно рассматривать для практических целей как
предел текучести образца, в котором была вызвана пластическая
Деформация, равная 00'. Кривая зависимости между напряжением и
Деформацией O'Y'S' для такого предварительно деформированного
2*

20
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
металла отличается от кривой для отожженного металла более высо*
ким пределом текучести и более быстрым последующим наклоном.
В нескольких металлах, таких, как отожженная мягкая сталь и
некоторые алюминиевые сплавы, напряжение резко падает после
предела текучести Y. Поэтому величина Y известна как верхний
предел текучести; напряжение, которое необходимо для того, чтобы
вынудить дальнейшую пластическую деформацию, известно как
нижний предел текучести. В опытах на растяжение с отожженной мягкой
сталью имеет место изменение длины на несколько процентов без
значительного увеличения напряжения выше нижнего предела
текучести. Замечено, что падение напряжения совпадает с
распространением линий Людерса по образцу. Эти линии представляют собой
слоистые зоны пластической деформации, наклоненные
приблизительно под углом 45° к оси, в которых макроскопические деформации
являются простым сдвигом; оставшаяся часть образца деформируется
по-прежнему только упруго. Во время распространения нижнего
предела текучести обычно появляются другие полосы. Пока полосы не
распространились по всему образцу, деформация неравномерна и
кривая зависимости между напряжением и деформацией не
возрастает. Предварительно деформированная мягкая сталь не показывает
падения предела текучести, если она не имеет отдыха в течение
определенного времени (старение от деформации). По-видимому, это
явление вызывается растворенными атомами углерода или некоторых
примесей, которые при термической активации располагаются,
внедряясь в решетку так, что нормальная текучесть
металла-растворителя замедляется *). Падение напряжения на пределе текучести
объясняется освобождением дислокаций, которые после этого могут
распространяться через решетку обычным путем при нижнем пределе
текучести. Так как первые линии Людерса возникают в точке, где
имеется местная концентрация напряжения неизвестной величины
(обусловленная незначительной геометрической или структурной
неоднородностью), то верхний предел текучести сильно изменяется
в зависимости от условий опыта. С другой стороны, нижний предел
текучести прекрасно воспроизводим, и для отожженных мягких
сталей он составляет приблизительно 1600—1900 kzjcm% (при
растяжении), тогда как верхний предел текучести может превосходить это
значение в надлежаще поставленном опыте при обычных
температурах и скоростях деформации на 20 или 30°/0.
При испытании на сжатие приложенная нагрузка в течение
пластической деформации постоянно возрастает, так как и напряжение
и площадь поперечного сечения увеличиваются. Если
^—первоначальная площадь поперечного сечения, а А — площадь, когда высота
1) А. Н. Со Иге 11, Report of Bristol Conference, Phys. Soc, 1948,
стр. 30, предложил возможный механизм, зависящий от тенденции
растворенных атомов группироваться вокруг дислокаций.

4. КРИВАЯ ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЕМ И ДЕФОРМАЦИЕЙ 21
оавна hy то в случае постоянства объема (пренебрежение малым
упругим изменением) Ah = A0h0. Усилие поэтому равно
/, = оЛ = о^Р =
A0h0 gA0
h 1-е*
График зависимости нагрузки от деформации искривлен вверх,
кривая растет безгранично, по мере того как цилиндр превращается
в тонкий диск. В опыте на растяжение нагрузка равна
L = ^ = 3M = ^L.
/ 1 -\-е
Она достигает максимума и затем убывает, когда скорость
сокращения площади превосходит степень упрочнения. Максимальное
усилие определяется уравнением dL = 0 или
adA + Ado = 0,
комбинируя которое с
ldA + Adl = Q,
получим:
dA uq dl __ . de
Лае 1 -\-e*
Таким образом, нагрузка является максимальной, когда
■£ <»
или
di a
de !+<?*
(2)
Из последнего уравнения следует, что максимальная нагрузка
соответствует точке контакта касательной к кривой (а, е),
проведенной из точки — 1 на оси е. Обычное испытание на растяжение
становится неустойчивым, когда нагрузка достигает своего максимума;
в некотором месте образца возникает «шейка», в то время как
оставшаяся часть образца упруго восстанавливается при убывающей
силе. Поскольку деформация и распределение напряжения в таком
случае неравномерны, то испытание после образования шейки не
обеспечивает точных размеров кривой зависимости напряжения от
деформации при растяжении. Чтобы получить их, воспользуемся тем
обстоятельством, что текучесть имеет место при напряжении а — р,
если к боковой поверхности растягиваемого образца приложено
гидростатическое давление умеренной величины р. Если, например,
р в течение опыта поддерживается постоянным, небольшое
обобщение предыдущего анализа показывает, что максимальная сила
соответствует точке контакта касательной к кривой (а, ё), проведенной
из точки (—1, р)\ очевидно, что при этом область равномерной
Деформации увеличивается. Найдено также, что при наложении

22
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
гидростатического давления деформация, соответствующая
разрушению, увеличивается 1),
Для аппроксимации кривых зависимости между напряжением и
деформацией было предложено несколько эмпирических формул.
Ранняя формула, данная Людвиком 2), представляет собой степенной
закон
о = а-+~Ьгс, (3)
где а, Ь, с — произвольные константы. Когда (3) применяется к
данным для отожженного металла вплоть до деформации порядка 0,2,
имеется тенденция к преуменьшению действительного напряжения,
если е мало, и к преувеличиванию его, когда s велико, так как
степенной закон не дает достаточно быстрого изменения, У многих
металлов (особенно у высокоуглеродистых и легированных сталей)
кривая (а, е) при очень больших деформациях имеет приблизительно
постоянный наклон 8). Кривая для такого металла, когда
предварительная деформация значительна, точно представляется посредством
уравнения а = а~\~Ьг (с=1). Для некоторых металлов при
умеренных деформациях более удачной является формула
а = а-\- ф — а) (1 — е~<*), (4)
где е означает экспоненциальную константу. Это было независимо
предложено Восом и Палмом 4). Хотя а—►£, когда е-> оо,
маловероятно, чтобы Ь представляло собой предельное напряжение
в металле, у которого действительная степень упрочнения
становится исчезающе малой. Аналогично а = а, когда е = 0, однако
величина а, дающая лучшее приближение в определенной области
деформации, необязательно совпадает с первоначальным пределом
текучести; эта формула, конечно, теряет силу для очень малых или чисто
упругих деформаций.
*) См., например, P. W. В г i d g m a n, Fracture of Metals, American
Society of Metals, 1948, стр. 246.
2) P. L u d w i k, Elemente der technologischen Mechanik, Berlin, J.
Springer, 1909.
3) C. W. M а с G г e g о r, Timoshenko Anniversary Volume, N. Y., Macmil-
lan, 1938; Journ. App. Mech. 1939, т. 6, стр. А—156; Proc. Am. Soc. Test. Mat.,
1940, т. 40, стр. 508; Journ. Franklin Inst., 1944, т. 238, стр. 111. См. также
П. Бриджмен, здесь цит.
4) Е. Voce, Journ. Inst. Metals, 1948, т. 74, стр. 537; см. также
дискуссию на стр. 760. J. H. Palm, Applied Scientific Research, 1949, т. -А—2,
стр. 198.

ГЛАВА II
ОСНОВЫ ТЕОРИИ
1. Идеально пластическое тело
При современных знаниях элемент времени не может быть
должным образом введен в математические расчеты пластичности
металлов. Теория, которая будет описана, верна только при
температурах, для которых восстановлением ползучести и температурными
явлениями обычно можно пренебречь. Отсутствие теории для
высоких температур обусловлено частично недостаточными данными, но
в большей степени тем обстоятельством, что напряжение,
необходимое для того, чтобы вызвать пластическое течение при данной
температуре, не является однозначной функцией скорости
деформации и полной деформации (условно измеряемой) *). Предварительные
попытки включить тепловые эффекты в рамки низкотемпературной
теории всегда основываются на допущении фиктивных уравнений
состояния 2).
Другой класс явлений, который в большинстве приложений
является второстепенным и который здесь рассматриваться не будет,
проистекает из неоднородности в микроскопическом масштабе.
Основными примерами его являются эффект Баушингера и петля
гистерезиса при разгрузке и повторной нагрузке; они обусловлены,
как мы видели, различным упрочнением разным образом
ориентированных кристаллов в течение деформирования. Пренебрежение этими
явлениями в теории не препятствует учету анизотропии,
обусловленной преимущественной ориентацией, в которой местная однородность
может быть в принципе сохранена (пластическая анизотропия иссле-
*) Е. Ого wan, West Scotland Iron and Steel Inst., 1947, February;
J. E. Dorn, A. Goldberg, Т. Е. Tietz, Metals Technology, Tech. Pub.,
2445, 1948.
2) P. Ludwik, Eiemente der technologischen Mechanik, Berlin, Jilius
Springer, 1909; J. H. H о 11 о m о n, Metals Technology, Tech. Pub. 2304, 1946;
Trans. Am. Inst. Min. Met. Eng., 1947, т. 171, стр. 535; J. H. Hollomon,
C. Zener, Journ. App. Phys., 1946, т. 17, стр. 82; J. H. Hollomon,
J. D. L u b a h n, Phys. Rev., 1946, т. 70, стр. 775; J. D. Lu b a h n, Journ. App.
Mech., 1948, т. 14, стр. А—299.

24
ГЛ. II. ОСНОВЫ ТЕОРИИ
дована в главе XII). Несомненно, что анизотропия и эффект Бау-
шингера обычно проявляются одновременно, однако они возникают
вследствие различных причин, причем эффект Баушингера может
быть устранен умеренным отжигом, тогда как преимущественная
ориентация при этом остается 2).
Масштабными эффектами также пренебрегаем; они могут быть
обусловлены размером зерен включений или трудностями
образования зародышей процесса скольжения 2).
В последующих разделах идеально пластическому телу будут
приписаны другие свойства.
2, Критерий текучести
а. Общие соображения. Предполагаем, что если элемент
идеальной сплошной среды пластически деформируется и затем
разгружается, он будет восстанавливаться упруго и таким образом, что
изменение деформации зависит линейно от изменения напряжения.
Если предшествующая обработка незначительна, то
макроскопическое упругое поведение металла может быть только несколько
связано с деформацией решетки. При разгрузке упругая деформация
ограничена пластическим течением благоприятно ориентированных
зерен, однако очевидным образом показывается, что модуль
упругости, вычисленный путем измерения начального наклона кривой
разгрузки, остается неизменным 3). Поэтому предполагается, что
упругие константы идеальной сплошной среды остаются по величине
теми же самыми при условии, что они определены по отношению
к текущей форме элемента. Более того, предполагается, что
элемент принимает сьою первоначальную форму, когда он повторно
нагружается по тому же самому пути до исходного напряженного
состояния, и что петли гистерезиса не существует. Однако
повторное нагружение может быть осуществлено при других комбинациях
напряжений, каждое из которых, если все компоненты напряжений
монотонно увеличиваются, в конечном счете будет производить
дополнительную пластическую деформацию. Например, если тонкая
цилиндрическая труба однородно деформирована при растяжении и
затем частично разгружена, мы можем узнать, какой крутящий
момент должен быть добавлен, чтобы вызвать дальнейшую остаточ-
1) G. Sachs, Zeits. ver. deut. Ing., 1927, т. 71, стр. 1511; О. Sachs,
Н. Shoji, Zeits. Phys., 1927, т. 45, стр. 776. См. также С. F. Е 1 a m,
Distortion of Metal Crystals, Oxford, Clarendon Press, 1934, стр. 90.
2) W. L. Bragg, Nature, 1942, т. 149, стр. 511; E. О г о w a n, J. F. N у е,
W.J. Cairns, научно-исследовательский департамент вооружения
министерства снабжения, Теоретический отчет 16/45.
3) J. V. Howard, S. L. Smith, Proc. Roy. Soc, Series A, 1925, т. 107,
стр. 113; R. W. Mebs, M. J. Mc Adam, Jr., Nat. Adv. Comm. Aero, Techn.
Note 1100, 1947, March.

2. КРИТЕРИЙ ТЕКУЧЕСТИ 25
нуЮ деформацию. Закон, определяющий границу упругости при
любых возможных комбинациях напряжений, известен как критерий
текучести *). Понятие о критерии текучести, конечно, не ограничено
только нагружением непосредственно от отожженного состояния, как
иногда думают.
Предположим теперь, что материал является изотропным. Так
как пластическая текучесть может в таком случае зависеть только
от величин трех главных приложенных напряжений и не зависит от
их направлений, то любое условие текучести выражается в форме
/(Л. Л>Л) = о, (1)
где Jv Л и Л — первые три инварианта тензора напряжения а^.
Они определяются в зависимости от главных компонентов
напряжений ov o2, с3 посредством соотношений
Л = С1+а2+аз'» J2—— (ala2+°2°3 + a3al); Js — al°2a^ (2)
Главные напряжения являются корнями кубического уравнения
ХЗ_у1хз_у2х_уз==о.
Напряжение может быть определено или через три главных
компонента, или через три инварианта тензора. Однако, хотя любая
функция инвариантов может быть выражена в зависимости от главных
напряжений, неправильно полагать, что любая функция главных
напряжений представляет собой возможный критерий текучести, для
этой цели допустимы только функции, симметричные относительно
трех главных напряжений. Функция / характеризует состояние
элемента непосредственно перед разгрузкой, и следовательно, она
зависит от всей механической и тепловой обработки металла, начиная
с того момента, когда он был последний раз в полностью
отожженном состоянии. В дальнейшем необходимо установить точный способ,
по которому / изменяется с величиной предварительной деформации,
однако пока этот вопрос оставим открытым.
Непосредственное упрощение уравнения (1) может быть
достигнуто благодаря использованию того экспериментального факта, что
в первом приближении текучесть металла не зависит от умеренного
гидростатического давления или растяжения, приложенного отдельно
или наложенного на некоторое комбинированное напряженное
состояние 2). Предполагая, что это точно выполняется для идеально
пластического тела, получим, что текучесть зависит только от главных
1) Или «условие пластичности». В дальнейшем будут равным образом
использованы оба термина. (Прим. переводчика.)
s) М. Polanyi, E. Schmid, Zeits. Phys., 1923, т. 16, стр. 336;
P. W. Bridgman, Metals Technology, Tech. Pub. 1782, 1944; Trans. Am.
Inst. Min. Met. Eng., 1945, т. 162, стр. 569; Rev. Mod. Phys., 1945, т. 17, стр. З;
Journ. App. Phys., 1946, т. 17, стр. 201; Trans. Am. Soc. Met., 1948, т. 40,
стр. 246.

26 гл. п. основы теории
компонентов (о^, о£, о'3) тензора девиаторного или приведенного
напряжения г)
°'ч = °ц — °Ь1г (3>
где s = —°п— гидростатический компонент напряжения. Главные
компоненты не являются независимыми, так как ai + a2~r-G3 Т0ЖДе~
ственно равно нулю. Критерий текучести теперь сводится к виду
/(4, Л) = о, (4)
где
■/2=—(V2+02°3 + 330l)=T(ai +°2 +«,)=TV«' I
1 1 J (5)
J3 = aiV3"y(Ji + 4* +08) = -3Vy*3fti- J
На него должно быть наложено дополнительное ограничение,
принимая во внимание предположение, что идеально пластическое
тело не проявляет эффекта Баушингера, так что величина предела
текучести и при растяжении и при сжатии одна и та же. Это, как
мы видели, верно для металлических монокристаллов, где перемена
знака приложенного напряжения изменяет только направление
компонентов сдвига и не меняет активных плоскостей скольжения; то же
самое справедливо для поликристалла, после того как собственные
напряжения, обусловленные различными ориентациями кристаллов,
удалены отжигом. В более общем смысле, когда элемент
разгружается от пластического напряженного состояния а^ и затем
повторно нагружается до состояния —cij при сохранении повсюду
постоянного отношения компонентов напряжения, предполагается, что
элемент деформируется только упруго и, наконец, снова достигает
предела текучести. Поскольку У3 изменяет знак, когда напряжения
меняют знак, то отсюда следует, что / должно быть четной
функцией У3.
Ь. Геометрическое представление напряжения. Здесь полезно
ввести геометрическое представление напряжения. Для этих целей
напряженное состояние полностью определяется значениями трех
главных компонентов, так что любое напряженное состояние может
быть представлено связанным вектором в трехмерном пространстве,
в котором в качестве декартовых координат выбраны главные
напряжения 2). На фиг. 2 OS — вектор (sj, a2, a3), в то время как
1) Объяснения тензорных обозначений и правил суммирования см. в
приложении I.
2) В. P. Haigh, Engineering, 1920, т. 109, стр. 158; Н. М. Wester-
gaard, Journ. Franklin Inst., 1920, т. 189, стр. 627. См. также W. M.
Baldwin, Jr., Metals Technology, Tech. Pub. 1980, 1916; В. В. Соколовский,
ДАН СССР, 1948, т. 61, стр. 223.

2. КРИТЕРИЙ ТЕКУЧЕСТИ
27
~Qp — вектор, представляющий девиатор напряжения (о^, о£, о^).
Вектор ОР всегда лежит в плоскости П, уравнение которой таково:
о + 32-f-33 = 0, тогда как вектор PS, представляющий
гидростатический компонент (а, а, с) напряжения, имеет направляющие
косинусы, равные (1/У"3, 1/У"3, 1/1^3), и является перпендикулярным
к плоскости П. Теперь
критерий текучести (4) для
некоторого состояния
металла может быть
рассмотрен как поверхность в этом
пространстве. Так как
текучесть не зависит от
гидростатической
составляющей напряжения, то
очевидно, что эта поверхность
представляет собой прямой
цилиндр с образующей,
перпендикулярной к
плоскости П и пересекающей ее
по некоторой кривой С.
Достаточно обсудить
возможные формы кривой С
и рассмотреть только
напряженные состояния, для
которых гидростатический
компонент напряжения равен
нулю. На фиг. 3 плоскость П
находится в плоскости чертежа; на ней показаны кривая
текучести С и ортогональные проекции упомянутых осей. Кривая может
быть выпуклой или вогнутой по отношению к началу, тем не менее,
очевидно, не таким образом, чтобы радиус пересекал ее дважды.
Тогда, если (alf o2, о3) представляет собой пластическое
напряженное состояние, то, поскольку элемент изотропен, напряженное
состояние (ох, з2, <з3) также будет пластическим. Поэтому кривая
симметрична относительно прямой LU и подобным же образом
относительно ММ' и Л/7\Г. Это эквивалентно утверждению, что
критерий текучести является функцией инвариантов тензора. Если через
начало .координат для любой точки на кривой проведен радиус
(соответствующий разгрузке с постоянным отношением напряжений),
то он должен пересечь кривую сноза на том же расстоянии от
начала, так как эффект Баушингера отсутствует. Следовательно,
кривая симметрична не только относительно диаметров LL', ММ',
AW, но также и относительно трех диаметров, ортогональных к ним
(показанных пунктиром на фиг. 3). Другими словами, форма кривой
каждого из двенадцати сегментов с центральным тлом в 30°, отде-
Кривая
текучести С
Лс/дерхность
текучести
Плоскость
Фиг. 2. Геометрическое представление
пластического напряженного состояния в
пространстве (аь с2, <*з)> где сг, о2, оп — главные
компоненты. Условие текучести не зависит
от гидростатического компонента
напряжения; в плоскости П, уравнение которой
а1 + а2 + аз — 0> оно представлено кривой С.

28
гл. п. основы теории
ленных шестью диаметрами, одна и та же (не считая отражений),
Поэтому необходимо рассмотреть только напряженные состояния,
векторы которых лежат в одном из двенадцати сегментов.
Например, при экспериментальном определении критерия текучести
достаточно приложить только такие системы напряжений, векторы
напряжения которых лежат в выбранном сегменте. Это может быть
другим способом выражено с
помощью параметра \л, введенного
Лоде *)
При помощи элементарной
геометрии можно показать, что
•V"3tgo,
(7)
где в, как показано на фиг. Ъ ®),
определяет положение вектора
напряжения ОР. Кривая текучести
может быть полностью
определена приложенными системами
напряжений, так что 0 охватывает
область от 0° до 30°, а }х
изменяется от нуля до — 1. Когда ц = 0,
о3 = 1/2(а1-|-а2); в таком случае
напряженное состояние является
чистым сдвигом VqOi — о9, о2 — oj, 0) с наложенным на него
гидростатическим напряжением ^гО^-Н^г)' Когда [х =— 1, о3 = а3, и
напряженное состояние представляет собой одноосное растяжение
0*1— а2' 0> 0)» на которое наложено гидростатическое напряжение а2.
Фиг. 3. Общий вид кривой
текучести для изотропного металла,
который не проявляет эффекта
Баушингера.
1) W. Lode, Zeits. Phys., 1926, т. 36, стр. 913; см также Zeits. ang.
Math. Mech., 1925, т. 5, стр. 142.
2) Если (л:, у) —декартовы координаты точки Р по отношению к
пунктирной линии 9 = 0 и линии ON, тогда
Xs* У"2 ' у~~ Y^ '
Поскольку
то из (7) получим, что —р =*
tg6+/3
■с=. Из этого уравнения когда напра-
, tge-/3
вление ОР задано, могут быть найдены отношения al: a2: о8.

2. КРИТЕРИЙ ТЕКУЧЕСТИ
29
Таким образом, предельные значения |х = 0, —1 соответственно
относятся к чистому сдвигу и чистому растяжению (или сжатию),
тогда как промежуточная область может быть охвачена при
совместном действии кручения и растяжения тонкостенной трубы. Если
з растягивающее напряжение, а х — сдвигающее напряжение,
возникающее в плоскости, перпендикулярной к оси трубы, главные
напряжения суть
и поэтому
Yсг2 -f- 4x3 '
Другой удобный метод, охватывающий упомянутую область,
состоит в деформировании тонкой цилиндрической трубы при
совместном действии растягивающей силы L и внутреннего давления Р.
Здесь средний радиальный компонент напряжения пренебрежимо
мал, а напряженное состояние является, по существу, двухосным,
а именно, окружное напряжение равно
Ра
*1 = —
и осевое напряжение будет
L
' 2nat '
где t — толщина стенки и а — радиус трубы. Тогда
__L 1
и, следовательно, величина L/itaQP должна изменяться от -f- 1
до нуля. Напряженное состояние, соответствующее первому
предельному случаю, может быть реализовано в трубе с закрытыми
краями, находящейся под действием внутреннего давления, тогда
как второй предельный случай соответствует трубе, напряженной
только благодаря внутреннему давлению, концы которой могут
свободно сокращаться.
с Критерий текучести Треска и Мизеса. Экспериментальное
доказательство. Первым исследованием критерия текучести является
большая серия экспериментов Треска (1864 г.), в которых он
измерял усилия, требуемые для выдавливания металлов через матрицы
Различных форм. Распределение напряжения в пластической области
было, конечно, далеко от равномерного, и попытки Треска проана-

30
ГЛ. П. ОСНОВЫ ТЕОРИИ
лизировать его были очень грубыми. Тем не менее, он сделал вывод *),
что текучесть имеет место, когда максимальное касательное
напряжение достигает определенной величины. Здесь, вероятно, на него
оказал влияние несколько более общий закон для разрушения
грунтов, предложенный много лет раньше Кулоном 2). Критерий Треска
Окружность
Иизсса
таков:
const,
(8)
Шести-
■угольник
Треска
где a1^cj2^a3. Можно
написать это условие иначе, через
инварианты J'^ J'v но этот
результат является сложным и не
очень пригодным. Здесь кривая
текучести на плоской диаграмме
представляет собой правильный
шестиугольник (фиг. 4).
Большинство различных
критериев текучести, предложенных
для металлов, представляет
теперь только исторический
интерес, так как они противоречат
более поздним экспериментам,
предсказывая неизменное влияние гидростатического напряжения на
текучесть. Два простейших критерия, которые не обладают этим
недостатком,— это только что описанный критерий Треска и критерий,
предложенный Мизесом 3) (1913 г.). Мизес высказал мысль, что
текучесть имеет место, когда У2 достигает критической величины или,
другими словами, что функция / в уравнении (4) не включает У3-
Этот критерий может быть записан следующим образом:
или
Фиг. 4. Кривые текучести,
соответствующие условию Мизеса
(окружность) и Треска (правильный
шестиугольник).
)
(а, — а2)3 + (а2 — а3Я + (з3 — о^
6ft3,
или
2 I
(9)
где k — параметр, зависящий от величины предварительной
деформации. Физическая интерпретация закона Мизеса была предложена
1) Н. Т re ska, Comptes Rendus Acad. Sci., Paris, 1864, т. 59, стр. 754;
там же, 1867, т. 64, стр. 809; Mem. Sav. Acad. Sci., Paris, 1868, т. 18, стр. 733;
там же, 1872, т. 20, стр. 75 и 281. См. также J. Boussinesq, Comptes
Rendus Acad. Sci., Paris, 1918, т. 166 и 167 (ради некоторых параграфов,
связанных с теорией эксперимента Треска).
2) С. A. Coulomb, Mem. Math, et Phys., 1773, т. 7, стр. 343.
3) R. von Mises, Gottinger Nachrichten, math.-phys. Klasse, 1913, стр. 582,

2. КРИТЕРИЙ ТЕКУЧЕСТИ
31
Хенки1) (1924 г.), который указал, что уравнение (9) означает, что
текучесть начинается, когда упругая (восстанавливаемая) энергия
формоизменения достигает критической величины. Таким образом,
гиДр0статическое давление не вызывает текучести, так как в
изотропном металле оно производит только упругую энергию сжатия.
Тем не менее в анизотропных металлах гидростатическое давление
производит упругое формоизменение, но, вероятно, не приводит
к текучести, если оно умеренно по своей величине. Только по этой
причине интерпретация Хенки, по-видимому, не имеет всеобщего
физического значения. В действительности, конечно, возможно
несколько интерпретаций уравнения (9). Например, по предложению
Надаи2) можно считать, что уравнение (9) выражает тот факт, что
текучесть начинается, когда касательное напряжение, возникающее
по октаэдрическим плоскостям, достигает определенной величины.
Октаэдрическими плоскостями являются такие, которые также
связаны с главными осями напряжения, как грани октаэдра связаны
с его кубическими осями. Октаэдрическое касательное напряжение
на пределе текучести достигает величины у 2/3 к. Критерий Мизеса
был предвосхищен в некоторой степени Хубером3) (1904 г.)
в Польше в статье4), которая не привлекала всеобщего внимания
в течение почти двадцати лет после ее опубликования. Хубер
различал два случая, зависящих от того, будет ли гидростатическая
составляющая напряжения растягивающей или сжимающей. В
последнем случае он предположил, что текучесть5) определяется
упругой энергией формоизменения; в первом случае — что она зависит
от полной упругой энергии (как вообще предложили Бельтрами
и Хейс)). Мизес и Шлейхер ') независимо обобщили уравнение (9),
заменяя k произвольной функцией (a1H-a2-f-a3). Этот критерий
может быть использован для материалов, текучесть которых зависит
от гидростатической составляющей напряжения; он содержит законы
Хубера и Бельтрами как частные случаи.
Полагая в уравнении (9) ох =— a2, a3 = 0, найдем, что k может
быть отождествлено с максимальным касательным напряжением при
текучести в состоянии чистого сдвига, которое может быть,
например, получено при кручении тонкой цилиндрической трубы. Тогда}
1) H. Hen с к у, Zeits. ang. Math. Mech., 1924, т. 4, стр. 323.
2) А. N a d a i, Journ. App. Phys., 1937, т. 8, стр. 205.
3) Частично также Клерком Максвеллом; письмо к В. Томсону от 18
декабря 1856 г.
4) М. Т. Huber, Czasopismo techniczne, Lemberg, 1904, т. 22, стр. 81.
б) Неясно, думал ли Хубер о пластическом течении или о хрупком
Разрушении.
6) Е. Beltrami, Rend. Inst. Lomb., 1885, т. 18, стр. 704; В. P. Haigh,
Brit. Ass. Reports, Section G., 1919.
1Q 7) F. Schleicher, Zeits. ang. Math. Mech., 1925, т. 5, стр. 478; там же,
1УА т. б, стр. 199; R. von M i s e s, там же, 1926, т. 6, стр. 199 (дискуссия
по статье Шлейхера).

32
ГЛ. II. ОСНОВЫ ТЕОРИИ
как можно показать, подставляя в уравнение (9) ах = F, б2 = о3 = 0,
найдем, что предел текучести Y при одноосном растяжении равен]/ 3&.
Таким образом, критерий Мизеса предсказывает, что максимальное
касательное напряжение при чистом кручении больше в 2/]/~3, или
приблизительно в 1,155 раз, чем при чистом растяжении. С другой
стороны, критерий Треска предсказывает, что они равны. В этом
состоит наиболее значительное различие между двумя критериями,
наиболее просто проверяемое экспериментом. Общее сравнение
лучше всего провести на плоской диаграмме при помощи
соответствующих кривых текучести. Было упомянуто, что диаграмма
Треска представляет собой шестиугольник, тогда как из первого
соотношения (9) ясно, что кривая Мизеса — окружность радиуса у 2 k
или V^2/3 Y. При подходящем выборе величин k и постоянной
в уравнении (8) оба критерия могут быть приведены в соответствие
друг с другом и с экспериментом для одного и того же
напряженного состояния. Оно может быть выбрано произвольно; условно
считаем, что окружность проходит через углы шестиугольника,
полагая постоянную в (8) равной К, пределу текучести при простом
растяжении. Тогда обе кривые будут отличаться больше Всего для
состояния чистого сдвига, где критерий Мизеса дает предел
текучести в 2/|/"з раз больший, чем критерий Треска. Для большинства
металлов закон Мизеса более близко соответствует опытным данным,
чем закон Треска, но, однако, часто оказывается, что критерий
Треска проще для использования в теоретических приложениях.
Если принять последний закон, то ббльшую среднюю точность
можно получить, полагая в уравнении (8) константу равной mY,
где т — эмпирически определяемое число, лежащее в пределах
от 1 до 1,155. Поэтому максимальная ошибка в компонентах для
данного напряженного состояния (устанавливаемого определенной
величиной ;х) никогда не превышает 8%*). Однако сравнение
распределений напряжения в теле, соответствующих двум критериям
текучести, проводится для данной точки тела и различие может
быть значительно ббльшим, так как напряженные состояния вообще
нетождественны. С другой стороны, когда напряженные состояния
в частном приложении занимают только ограниченную дугу
окружности, то т возможно выбрать так, чтобы ошибка нигде не
превышала 1 или 2%.
Критерий текучести Мизеса, как показано, находится в
великолепном соответствии с экспериментом для многих ковких металлов,
например, меди, никеля, алюминия, железа, холоднообработанной
мягкой стали, стали со средним содержанием углерода и
легированной стали. Влияние промежуточного главного напряжения на
1) Вообще установлено, что ошибка лишь меньше 15%, при этом т
автоматически принимается равным единице.

2. КРИТЕРИЙ ТЕКУЧЕСТИ
33
текучесть и соответствующая несостоятельность критерия Треска
были впервые отчетливо показаны в работе Лоде1) (1925 г.),
который нагружал стальные, медные и никелевые трубы при совместном
действии растяжения и внутреннего давления. Большая точность
закона Мизеса была впоследствии доказана работами Тейлора
и Куинни*) (1931 г.), Лессельса и Мак-Грегора3) (1940 г.)»
Дейвиса4) (1945 г.).
В качестве примера на фиг. 5 даны результаты Тейлора и Куинни.
Лучшее соответствие иногда может быть получено благодаря доба-
Фиг. 5. Экспериментальные результаты Тейлора и Куинни
из опытоз на совместное кручен ie и растяжение; каждый
металл упрочняется до однэго и того жэ состояния при
всех опытах. Закон Мизеса выражается зависимостью
а2~|1зт;2= К2, тогда как закон Трзска — *з-|-4-с*=* К2, где
с— растягивающее напряжение, х—касательное
напряжение, a У—предел текучести при растяжении.
влению небольшого поправочного члена, зависящего от У3> но,
принимая во внимание другие различия между идеально пластическим
телом и реальным металлом, это было бы едва ли целесообразно
в практических приложениях.
1) W. Lode, Zeits. ang. Math, Mech., 1925, т. 5, стр. 142; Zeits. Phys.,
1926, т. 36, стр. 913; Forschungsarbeiten des Vereines deutscher Ingemeure,
1927 303.
2) G.* I. Taylor, H. Quinney, Phil., Trans. Roy. Soc, серия А, 1931,
т. 230, стр. 323.
3) J. M. Les sells, C. W. MacGregor, Journ. Franklin Inst., 1940,
т. 230, стр. 163.
4) E. A. Davis, Trans. Am. Soc. Mech. Eng., 1940, т. 62, стр. 577; там
же, серия А, 1943, т. 65, стр. 187. См. также Miller, Edwards, Journ.
Am. Petr. Inst.. 1939, стр. 483; Marin, Stanley, Journ. Am. Weld. Soc,
Weld. Res. Suppl., 1940, т. 19, стр. 748.
3 Зак. 1438. P. Хилл

34
ГЛ. II. ОСНОВЫ ТЕОРИИ
Для верхнего предела текучести отожженной мягкой стали закон
Треска показывает соответствие опытным данным лучше, чем закон
Мизеса. Однако положение запутывается благодаря чувствительности
верхнего предела текучести к условиям опыта, например,
эксцентричности нагружения, неоднородности образца, концентрации
напряжений в заплечиках. В частности, Моррисон1) указывает на
необходимость осторожности в признании многих прежних наблюдений
над мягкой сталью, содержащихся в работах Геста2) (1900 г.),
Скобла3) (1906 г.), Сили и Патнама4) (1919 г.), Роса и Эйхингера5)
(1926 г.). В очень тщательных экспериментах с отожженной мягкой
сталью Моррисон нашел, что критерий текучести показывает
разницу в зависимости от абсолютных размеров образца. Кук6),
а также Кук и Робертсон7) отметили, что предел текучести мягкой
стали несколько выше, когда распределение напряжения не
является однородным (как при изгибе или в трубе, расширяющейся
под действием давления). Это может быть справедливо для
металлов вообще, так как имеются теоретические основания
предполагать, что прежде чем скольжение может начаться,
необходимо создать определенный минимальный объем пластического
материала.
Некоторые авторы8) пытались вывести критерий текучести
поликристалла из наблюдений над поведением гранецентрированного
кубического монокристалла. Пока еще не предложено действительно
удовлетворительной теории, принимающей во внимание взаимные
стеснения между зернами.
1) J. L. M. Morrison, Proc. Inst. Mech. Eng., 1940, т. 142, стр. 193;
см. также дискуссию, там же, 1942, т. 144, стр. 33.
2) J. J. Guest, Phil. Mag., 1900, т. 50, стр. 69; см. вместе с тем более
современные заключения Геста, Proc. Inst. Auto. Eng., 1940, т. 35, стр. 33.
3) W. A. Scoble, Phil. Mag., 1906, т. 12, стр. 533.
A F. В. S е е 1 у, W. J. P u t n a m, Univ. Illinois Eng. Exp. Bull., серия 115,
1919.
б) М. Ros, A. Eichinger, Proc. 2-nd Int. Cong. App. Mech., Zurich,
1926, стр. 315. См. также W. Mason, Proc. Inst. Mech. Eng., 1909, т. 4,
стр. 1205; A. J. Becker, Univ. Illinois Eng. Dept. Bull., 1916, т. 85,
стр. 84.
6) О. Go ok, Engineering, 1931, т. 132, стр. 343; Phil. Trans. Roy. Soc,
серия A, 1931, т. 230, стр. 103; Proc. Roy. Soc, серия А, 1932, т. 137,
стр. 559; Trans. Engineers and Shipbuilders in Scotland, 1937, т. 81,
стр. 371.
7) G. Cook, A. Robertson, Engineering, 191), т. 92; стр. 783; A.
Robertson, G. Cook, Proc. Roy. Soc, серия A, 1913, т. 88t стр. 462; см.
также D. M or ko vi n, О. Sidebotham, Univ. Illinois Eng. Exp. Bull.,
серия 372, 1947; J. A. Pope, Engineering, 1947, т. 164, стр. 284.
8) G. Sachs, Zeits. Ver. deut. Ing., 1928, т. 72, стр. 734; H. L. Сох,
D. G. Sop with, Proc. Phys. Soc, 193/, т. 49, стр. 134; U. Dehlinger,
Zeits. Metallkunde, 1943, т. 35, стр. 182; H. К. С н и т к о, ЖТФ, 1948, т. 18,
стр. 857.

3. УПРОЧНЕНИЕ
35
3. Упрочнение
а. Зависимость кривой текучести от истории деформации.
Кривая текучести для данного состояния металла должна зависеть
некоторым сложным образом от всего предшествующего процесса
пластической деформации вслед за последним отжигом. Будем
предполагать, что кристаллы остаются беспорядочно ориентированными,
так что изотропия сохраняется (анизотропией, развивающейся в
процессе холодной обработки, обычно пренебрегают до тех пор, пока
полная деформация не слишком аелика, например меньше 30%
обжатия при прокатке). В поисках математической формулировки
упрочнения мы с самого начала введем широкие упрощения. Полагают,
что безразлично, по какому пути деформации достигается данное
напряженное состояние, — окончательная кривая текучести при этом
одна и та же. Это не может быть справедливым для реального
металла, поскольку при этом кривая текучести зависит от
распределения микроскопических начальных напряжений, а они в свою
очередь зависят от истории деформации. Скрытое упрочнение
неактивных плоскостей скольжения в монокристаллах наводит на мысль,
что кривая текучести была бы функцией только окончательно
приложенного напряжения, если бы не было дополнительных
начальных напряжений, вызванных в течение предшествующей деформации
неоднородной ориентацией кристаллических зерен. Однако
кажется вероятным, что, поскольку умеренный отжиг способен снять
дополнительные начальные напряжения, появившиеся при простом
пути деформации и ответственные за эффект Баушингера, он будет
также удалять их остатки после сложного пути деформации. Так
как мы пренебрегаем эффектом Баушингера, то, чтобы быть
последовательными, мы должны постулировать, что кривая текучести
идеального тела однозначно определяется окончательным
пластическим напряженным состоянием. Кривые текучести для двух
состояний, достигаемых при различных путях деформации, поэтому или
не имеют ни одной общей точки, или совершенно совпадают, так
что с точки зрения пластического течения состояния являются
тождественными. Существует, конечно, много путей деформаций,
которые приводят к данному конечному состоянию упрочнения,
определяемому, скажем, величиной предела текучести при растяжении.
Для всех этих путей деформаций кривые текучести одинаковы,
причем пределы текучести будут равны при любой другой системе
напряжений. Выражаясь иначе, имеется только единственная
бесконечность различных состояний и все они могут быть получены,
например, при различных степенях чистого растяжения.
В процессе непрерывной деформации форма кривой текучести
может изменяться и нельзя молчаливо считать, что она только
увеличивается в размерах. Таким образом, при экспериментальном
исследовании критерия текучести было бы ошибочно предполагать,
3*

36
ГЛ. И. ОСНОВЫ ТЕОРИИ
что существуют одни и те же соотношения, определяемые данными
испытаний при комбинированном нагружении после различной
степени предварительной деформации растяжения, при этом данные
представляются в безразмерной форме (отнесены к пределу
текучести). Возможное изменение формы кривой текучести детально не
исследовалось. Экспериментальные данные для мягкой стали,
рассмотренные в последнем разделе, подтверждают, что с увеличением
степени холодной обработки кривая текучести изменяется повсюду
от шестиугольника до окружностих). Однако для других сталей,
а также для меди и алюминия критерий Мизеса показывает
соответствие опытным данным одинаково хорошо, независимо от степени
предварительной деформации. Поэтому кривые текучести здесь
всегда являются окружностями, постепенно расширяющимися в
течение непрерывного нагружения. Это — простейшая и наиболее
заманчивая гипотеза, мыслимая для идеально пластического тела, и она
будет соответственно использована во всех последующих
приложениях.
Теперь остается установить связь радиуса ^2k окружности
Мизеса с пластической деформацией вслед за последним отжигом.
Очевидная связь, отмечаемая термином2) «упрочнение, созданное
работой», между работой, используемой для того, чтобы произвести
пластическое скольжение, и упрочнением, создаваемым скольжением,
предсказывает гипотезу, что степень упрочнения является функцией
только полной пластической работы и, другими словами, не зависит
от пути деформации. Это, конечно, не означает, что энергия
деформации, связанная с деформацией решетки, ответственная за
упрочнение, равна внешней пластической работе; действительно, как мы
видели в главе I, только небольшая часть внешней работы идет
на остаточное деформирование решетки. Является ли эта гипотеза
правильной, покажет будущее теоретическое исследование, возможно
основанное на рассмотрении образований, размещений и
перемещений несовершенств решетки8). В настоящее время это предположе-
*) Возможное объяснение этому предложил Q. I. Т а у 1 о г, Proc. Roy.
Soc, серия А, 1934, т. 145, стр. 1.
2) Термин «упрочнение, созданное работой» (work hardening) употреблен
в параллель с обычным термином для упрочнения в процессе пластической
деформации — упрочнение вследствие деформации (strain hardening). {Прим.
перев.).
3) G. I. Taylor, Proc. Roy. Soc, серия А, 1934, т. 145, стр. 362 и 388,
показал, что параболический тип кривой зависимости между напряжением
и деформацией гранецентрированных кубических кристаллов при сдвиге
может быть получен при соответствующих предположениях относительно
распределения дислокаций. В более поздней статье (Journ, Inst. Metals, 1938,
т. 62, стр. 307 и TimDshenko Anniversary Volume N. Y. Macmillan, 1938,
стр. 218) он вычислил кривую растяжения поликристаллического алюминия
в зависимости от наблюдаемого упрочнения сдвига монокристалла. Несмотря
на то, что согласие с измеренной кривой растяжения является хорошим,
справедливость отдельных предположений, например касающихся активных

3. УПРОЧНЕНИЕ
37
ние оправдывается его простотой и приблизительным соответствием
наблюдениям.
Теперь выразим эту гипотезу математически. Пусть йгх$
представляет собой бесконечно малое приращение деформации во время
непрерывного нагружения элемента материала. Приращение йг{$
измеряется по отношению к текущей конфигурации и определяется
уравнением
^=M4(rf"i)+^a4 (10)
где йщ (/=1, 2, 3) — вектор, представляющий приращение
перемещения точки с текущим радиусом-вектором xv отнесенным к
декартовым координатам, связанным с элементом. Часть этой
деформации восстанавливается после удаления добавленного напряжениям^.
Это — упругая составляющая деформации, определяемая уравнением
где dcrXi и do имеют значения, принятые в уравнении (3), а Е, G
и v — соответственно модуль Юнга, модуль сдвига и коэффициент
Пуассона. Внешняя работа dW на единицу объема, переданная
элементу при деформации tfs^, равна <^ijdzij, часть которой
dWe = ai.de^j является возвратимой упругой энергией. Оставшаяся
часть называется пластической работой на единицу объема и,
следовательно, согласно определению равна
dWp = dW — dWe = oij(d*ij — dzij) = aiJdzfa (12)
где de^ = de.^ — de|,— приращение пластической деформации.
Величина dWp является существенно положительной, поскольку
пластическая деформация представляет собой необратимый процесс в
термодинамическом смысле. Так как сжимаемость при напряжениях,
превышающих предел упругости, является величиной того же
порядка, что и упругая сжимаемость, полная пластическая работа
на единицу объема, расходуемая в течение определенной конечной
деформации, если пренебречь членом порядка а/Е, равна1)
Wp = !<>ij<l*b. (13)
плоскостей скольжения и взаимных стеснений между зернами, мало очевидна.
Большинство данных, касающихся макроскопического поведения зерен
в агрегатах, относится к поверхностным явлениям, для которых теория
Тейлора не предназначена. Распространение теории на общий случай
напряженного состояния еще не сделано. См. также А. К б с h e n d б rf e г, Metall-
forschung, 1947, т. 2, стр. 173.
1) Здесь и всюду в теории пластических деформаций величиной <з/Е
пренебрегают по сравнению с единицей, точно так же как и в теории
упругости. Так, для меди Е равно приблизительно 12-10й с щ/см\ в то время
как а обычно меньше 5 • 109 дин/см2.

38
гл. и. основы теории
где интеграл берется от некоторого начального состояния металла
по действительному пути деформации. Гипотеза о том, что радиус
окружности Мизеса является функцией только Wp, может быть
поэтому выражена так:
о = У~ (К - о2)3 + (о2 - о3)2 Н- («з - о,)9} =
где согласно традициям под а подразумевают Кили У^З^1).
Напряжение о называют по-разному: как обобщенное напряжение,
эффективное напряжение или эквивалентное напряжение. Предположение
о том, что упрочнение имеет место, если и только в том случае, если
совершена пластическая работа, очевидно, согласуется с тем фактом,
что чисто упругие деформации не производят упрочнения. Тем не менее
имеется одно ограничение, которое уравнение (14), по-видимому,
налагает на возможные пластические деформации. Ранее мы видели,
что обычно можно предполагать независимость критерия текучести
от гидростатической составляющей напряжения. Для той же области
давлений (и величины всестороннего растяжения) это, по-видимому,
справедливо также в отношении пластической деформации и
результирующего упрочнения. Если мы примем это в качестве
дополнительного свойства идеально пластического тела, как мы и сделаем,
то, чтобы быть последовательным, нужно предположить, что
гидростатическая составляющая приложенного напряжения не производит
никакой пластической работы. Это означает, что отсутствует
пластическое или обратимое изменение объема. Согласно
экспериментальным данным это верно с очень большой степенью приближения2),
и, таким образом, фактически никакие ограничения относительно
применимости уравнения (14) не имеют места. Другими словами,
устанавливаем, что изменение объема в течение пластической
деформации является упругим и для нашего идеально пластического тела
tfe£. = 0. Если девиатор приращения деформации определить таким
*) Когда кривая текучести не является окружностью, можно предполагать
более общую связь, что Wp = ср (У2/3). Функция <? должна быть совместима
с требованием, что кривая непрерывно расширяется с увеличением Wp.
2) W. E. Alkins, Journ. Inst. Metals, 1920, т. 23, стр. 381; D. Hanson,
M. A. Wheeler, там же, 1931, т. 45, стр. 229. Обычно плотность сперва
растет, так как отверстия и трещины закрываются, а потом падает.
Уменьшение меньше чем на 0,5% наблюдалось даже после 90% обжатия при
прокатке. Отсутствие какого-либо достоверного изменения в монокристаллах
подтверждает, что уменьшение вызвано «вскрытием» границ зерен, так как
дислокации накапливаются здесь. Экспериментальные трудности настолько
велики, что, вероятно, имеет значение направление изменения, а не его
величина.

3. УПРОЧНЕНИЕ
39
образом:
то из уравнений (11) и (12) имеем:
do,
(15)
d<j = dhj — \jd*> d*=*\dhv
аг = —Б— da,
йг' = rfsfi
dHj
Поэтому приращение пластической работы может быть написано
так:
dW.
dz'iA \ . / , da,.
■.-«K-W-iK-^)-
b. Сравнение кривых зависимости между напряжением и
деформацией при растяжении, союатии и кручении. Неясно,
когда соотношение (14) было впервые введено в литературу, но
Тейлор и Куинни 1) (1931 г.). Шмидт 2) (1932 г.) предложили
гипотезу, к которой сводится уравнение (14), когда упругим
приращением деформации можно пренебречь. Это допустимо, за
исключением случая, когда напряжения изменяются очень быстро с
увеличением деформации, например, когда степень упрочнения является
величиной порядка Е> Функция F может быть определена из кривой
зависимости между напряжением и деформацией для цилиндрического
стержня при растяжении (до тех пор, пока не имеет места
образование шейки). Поэтому а равно приложенному растягивающему
напряжению а, в то время как
г
117 Г idl da\ f ffrf/ a*
h
где / — текущая длина стержня, а /0—его первоначальная длина.
Таким образом,
\ц
dl a2
2Е Г
Если построить график зависимости о от 1п(///0)— о/Я, то
аргумент F является просто площадью, расположенной под этой кривой
До ординаты а.
*) О. I. Taylor, H. Q u i n n е у, Phil. Trans, Roy. Soc, серия А, 1931,
*• 230, стр. 323.
2) R. Schmidt, Ingenieur Archiv, 1932, т, 3, стр. 21о.

40
гл. п. основы теории
При равномерном сжатии короткого цилиндрического образца
приложенное давление равно
где А0 н h — первоначальная и текущая высоты. Очевидно, что
давление р является такой же функцией 1л(А0/А), как а — функцией
' " $~ Ю 15 20 25 30 35
Процент уменьшения площади {растяжение)
или процент уменьшения высоты {сжатие)
Фиг. 6. Экспериментальные данные Людвига
и Шея, показывающие, что, когда напряжение
представлено в виде функции относительного
уменьшения площади при растяжении и
относительного уменьшения высоты при сжатии,
кривые зависимости между напряжением и
деформацией при растяжении и сжатии
отожженной меди совпадают.
in(/0//)- Другими словами, уравнение (14) означает, что кривые
зависимости между напряжением и деформацией при растяжении и
сжатии совпадают, когда истинное напряжение представляется на
графике в зависимости от так называемой логарифмической
деформации, но не совпадают, когда напряжение представлено как
функция условной или технической деформации (/—/0)//0> (h0 — h)/h0.
В более обшем смысле оно означает, что кривые совпадают, когда
о и р изображены графически соответственно в зависимости от
одних и тех же функций ///0 и h0/h, например относительно
уменьшения площади (1—/0//) при растяжении и относительного умень-

3. УПРОЧНЕНИЕ
41
/нения высоты (1 —hjh^) при сжатии. Это находят верным при
нагружении от отожженного состояния (избегая, таким образом,
какого-либо эффекта Баушингера) при условии, что опорные плиты
эффективно смазаны *). Пример, показанный на фиг. 6,
воспроизводит результаты Людвика и Шёя для меди. Сравнение кривых
растяжения и сжатия на основе логарифмической деформации
(называемой иногда также натуральной деформацией) было впервые
предложено Людвиком 2). Очевидно, что сравнение не может
основываться на технической деформации (за исключением случая малых
деформаций), так как, когда она равна единице, длина
растягиваемого образца только удваивается, в то время как сжатый образец
полностью расплющивается.
В качестве следующего примера рассмотрим кручение тонкой
цилиндрической трубы. Образующая трубы, первоначально
параллельная оси, деформируется в винтообразную линию. Если ср — угол,
образованный спиралью с осевым направлением, то работа на
единицу объема, совершенная касательными напряжениями х на
приращении угла закручивания dq>, равна xtf(tgcp), так как d(tgcp) —
относительное перемещение двух поперечных сечений, расположенных
друг от друга на расстоянии единицы.
Тогда а = У~3 т и, таким образом,
УрЗт = /7
Следовательно, Уз х является такой же функцией (tgcp — х/0)/Уъ,
как о — функция (1п(///0)— а/Е). Это подтверждается экспериментом
как в начальной части кривой зависимости между напряжением и
деформацией, где упругой частью деформации нельзя пренебрегать8),
так и в дальнейшей области деформации, где упругую
составляющую деформации можно не учитывать 4). Однако для
логарифмических деформаций, приблизительно больших чем 0,2, кривая кручения
все более и более опускается ниже кривой растяжения. Это,
по-видимому, обусловлено анизотропией, которая при соответствующих
деформациях, возможно, развивается в большей степени при
кручении, чем при растяжении, вследствие того, что поперечные сечения
сохраняют направления максимальной деформации сдвига с начала
х) М. Р. м а 1 a v а 1, Revue de Metallurgie, 1923, т. 20, стр. 46; Comptes
Rendus Acad. Sci., P arfs, 1923, т. 176, стр. 488; P. Ludwik, A. Scheu,
Stahl und Eisen, 1925, т. 45, стр.373; F. Korber, A. Eichinger, Mitt.
Kais. Wilh. Inst. Eisenf., 1943, т. 26, стр. 37.
2) P. Ludwik, Elemente der technologischen Mechanik, Berlin, Julius
Springer, 1909.
3) W. M. Shepherd, Proc. Inst. Mech. Eng., 1948, т. 159, стр. 95.
4) С. Zener, J. H. Hollo топ, Journ. App. Phys.t 2946, r. 17, crp. 2.

42
гл. н. основы теории
до конца закручивания. Вероятно также, что часть отклонения
может быть отнесена за счет неоднородности, вводимой
образованием шейки при растяжении. Для более сложных путей деформации
напряженное состояние должно быть измерено экспериментально для
того, чтобы вычислить Wp и проверить правильность гипотез.
Шмидт (цит. на стр. 39) подтвердил, что они приблизительно
правильны при совместном кручении и растяжении. По-видимому,
для других систем напряжений опубликованных данных нет. В еле-
дующем разделе мы рассмотрим теоретические выражения,
связывающие напряженное состояние с путем деформации; эти выражения
могут быть использованы вместе с уравнением (14) для определения
упрочнения в приложениях.
с. Другая гипотеза для упрочнения. Другая гипотеза, менее
естественная, чем та, которая заключена в уравнении (14), однако
используемая более часто, связывает с с определенной мерой полной
пластической деформации. Величина dsp, известная как обобщенное
или эквивалентное пластическое приращение деформации,
определяется уравнением
При сравнении с определением о, данным формулой (9), видно, что
с точностью до числового коэффициента йгР представляет собой
такую же функцию инварианта компонентов тензора пластического
приращения деформации, как и о — компонентов тензора девиатора
напряжения (напоминаем, что йг'Р. = dzV., так как йг^ = 0), Тогда
эквивалентная деформация Г dzp, проинтегрированная по всему пути
деформации, обеспечивает меру пластической деформации.
Предположим, что
a^H^f dlpy (17)
где И — определенная функция, зависящая от рассматриваемого
металлах). Использование приращений деформации диктуется тем
соображением, что величина упрочнения, очевидно, определяется
не только разницей между начальной и конечной формами элемента.
Если бы это было так, то элемент не упрочнялся бы при
растяжении следующим за равным ему сжатием, а в действительности также
и при любом пути деформации, восстанавливающем его первона-
*) Более общим предположением, когда кривая текучести не является
окружностью, было бы такое:

3. УПРОЧНЕНИЕ
43
чальную форму. Это опровергается экспериментом, который
показывает, что определенный вклад в упрочнение производится при
каждой пластической деформации (не считая эффекта Баушингера).
Значит, для того чтобы удовлетворить этому, мера полной
пластической деформации должна включать суммирование некоторых
непрерывно положительных количеств по всему пути деформации.
Мера деформации, принятая в выражении (17), никоим образом не
является единственно возможной, но, быть может, является
простейшей и наиболее естественной и удовлетворяет всем очевидным
требованиям. Подобное соотношение в зависимости от de, было
предложено Одквистом *) (1933 г.), аналогичное выражению в
компонентах приращения полной деформации. Это эквивалентно
уравнению (17), если только упругими деформациями пренебрегают.
Численный коэффициент в определении d^P выбирается так, что
функция И является тождественной соотношению между истинным
напряжением и логарифмической пластической деформацией при
испытаниях на растяжение или сжатие. При кручении в предыдущих
обозначениях имеем:
и диаграмма зависимости УЪ х от (tg<p — x/0)/Vi совпадает с
кривой зависимости между напряжением и деформацией при
растяжении. В этом случае выражение (17) ведет к тем же самым
результатам, что и уравнение (14); вообще это, конечно, не обязательно
является верным. Однако в следующем разделе будет показано,
что для большинства металлов зависимость напряженного состояния
от пути деформации такова, что эти две гипотезы всегда ведут
приблизительно к одним и тем же результатам. Действительно,
данные Шмидта (упомянутые выше) в пределах экспериментальной
ошибки одинаково хорошо согласуются как с выражением (17), так
и с определением (14).
Стоит отметить, что точное выражение для интеграла в
уравнении (17) может быть также получено, когда главные оси
последующих приращений деформации не поворачиваются относительно
элемента и, далее» когда компоненты любого приращения
деформации сохраняют постоянное отношение друг к другу. Допустим
также, что упругими приращениями деформации можно пренебречь,
так что йгР и ds одни и те же. Пусть dslf dsz и dz3— главные
компоненты приращения деформации. Поскольку изменения объема
!) F. К. G. О d qui st, Zeits. ang. Math. Mech., 1933, т. 13, стр. 360.
Относительно других расчетов см. С. Z e n e r. J. H. H oil om on, Trans.
Атег. Soc. Met., 1944, т. 33, стр. 163; L. R. Jackson, Metals Technology,
Techn. Pub., 2072,1946,

44
ГЛ. И. ОСНОВЫ ТЕОРИИ
не происходит, можно написать:
йгх : йгг : dz3 = 1 : а : — (1 -f- a),
где а — постоянная по всему пути деформации. Тогда, если йгх
является положительным,
Л = }/"|-(Л»+ Л| + Л«) = ^=r V\ +a + a^Sl.
Если б?з1 отрицательно, то должен быть взят отрицательный
радикал. Пусть упомянутые оси выбраны в каждом элементе
совпадающими с главными осями приращения деформации, направление
которых в элементе предполагается постоянным. Согласно
определению (10) dex равно d(dui)[dxv где хх измеряется вдоль первой
главной оси от центра элемента. Аналогичные выражения могут
быть написаны для ds2 и ds.y Если х°х — величина хх перед
деформированием элемента, то t/l=x1—х® и, таким образом,
рассматривая х® как независимую переменную, найдем, что
ds< =
£«-> <$)
1 **Х\ 1 . дих
дх* ~^д/>
Следовательно, например.
Поэтому
Величины tz и е3 могут быть определены из подобных выражений,
поэтому имеем:
е^в^зз-! :<х: — (1+a); t^lnf^fj (18)
dxV
и, в частности,
f*=/y(*;+4+ei>=;
(19)
Величина в может пониматься как эквивалентная полная
деформация, являющаяся такой же функцией е{, какой dz является функцией
от ds}. Очевидно, величины, определяемые в (18), являются
аналогичными логарифмической деформации 1п(///0), уже определенной
при простом растяжении, но модифицированными, принимая во
внимание возможную неоднородность деформации. Если имеет место

3. УПРОЧНЕНИЕ
45
изменение направления пути деформации (а сохраняет одну и ту же
величину), то интегрирование должно быть вновь начато от нового
положения, так что da всегда берется положительным. Точности
ради, следует также заметить, что хотя величины j dzi могут быть
всегда образованы, даже когда оси относительно элемента
поворачиваются, они не могут быть обычно вычислены точно, как в
уравнении (18), и, кроме того, они не обладают каким-либо
геометрическим смыслом.
Значит, если рассматривать пути деформации только этого
специального типа и если упругими приращениями деформации
пренебрегать, то уравнение (17) эквивалентно следующему:
о = //(7), (20)
где г — величина, определяемая согласно выражению (19) в
зависимости от логарифмических конечных деформаций. Функция Н
является как раз соотношением между истинным напряжением а и
логарифмической деформацией \п (///0) при одноосном растяжении
(для которого а = — 11^). Гипотеза упрочнения в форме,
заключенной в выражении (20), была впервые установлена Росом и Эйхин-
гером 1) (1929 г.), хотя они не ограничивали ее применение такими
путями дефррмаций, для которых отношения деформаций являются
постоянными2). Более того, их экспериментальные результаты по
деформированию труб из мягкой стали под действием внутреннего
давления и осевой нагрузки согласуются с (20) приблизительно
в пределах 5°/0 3). Более поздние опыты Дейвиса 4) с отожженными
1) М. R о s, A. Eichinger, Metalle Diskussionsbericht № 34 der Eid-
genossen Materialprufungsanstalt, Zurich, 1929; Proc. 3-rd Int. Congr. App.
Mech., Stockholm, 1930, т. 2, стр. 254.
2) Читатель предупреждается, что некоторые авторы применяют
выражение (20) в случаях, где главные оси поворачиваются относительно элемента
(например, при кручении), в связи с определениями ег-, которые ведут к
результатам, противоречащим (17); см., например, А. N a d a i, Journ. App.
Phys., 1937, т. 8, стр. 205; Е. A. Davis, там же, стр. 213. Такая процедура
математически законна, но ее уместность для деформаций металлов зависит
от ее физического соответствия и согласия с экспериментом. По-видимому,
в настоящее время нет общей теории, заслуживающей рассмотрения,
отличной от той, которая основана на зависимостях (14) или (17).
3) Мягкая сталь была отожжена, и в самом деле, если кривая текучести
изменяется от шестиугольника до окружности, лучшего соответствия
ожидать было нельзя.
4) Е. A. Davis, Trans. Am. Soc. Mech. Eng., 1943, т. 65, стр. А —187;
Journ. App. Mech., 1945, т. 12, стр. А —13. См. также W. Т. Lankford,
J. R. Low, M. Gensamer, Trans. Am. Inst. Min. Met. Eng., 1947, т. 171,
стр. 574; D. M. Cunningham, E. G. T h о m s e n, J. E. D о г n, Proc.
Am. Soc. Test. Math., 1947, т. 47, стр. 546. Эта статья также содержит отчет
об экспериментах, в которых отношения между напряжениями изменялись,
а именно: при расширении трубы под действием внутреннего давления
приложенная осевая растягивающая нагрузка сохранялась постоянной. В этой

46
гл. и. основы теории
медными трубами под действием внутреннего давления и осевой
нагрузки подтверждают эту гипотезу с аналогичной точностью;
отношения деформаций здесь опять не поддерживались строго
постоянными.
Чтобы дальше исследовать точные диапазоны применимости
зависимостей (14) или (17), желательны многочисленные
дополнительные эксперименты. Однако в практических приложениях, где
случайные изменения свойств материала могут значительно
превосходить небольшие неточности теории, использование этих гипотез
представляется надежным.
4. Полные соотношения между напряжениями
и деформациями
а. Общие зависимости между напряжением и деформацией.
В последнем разделе была сформулирована теория для описания
упрочнения металла в течение пластической деформации. Допустим
теперь, что элемент металла был подвергнут холодной обработке
по определенному пути деформации и что его состояние упрочнения
представляется некоторой кривой текучести. Если напряжение
увеличивается к точке, расположенной точно снаружи кривой текучести,
то должно вызываться дополнительное приращение пластической
деформации. Связанное с ней приращение упругой деформации
известно из (11) непосредственно в зависимости от приращения
напряжения, однако мы не обсуждали еще, как вычислить
приращение пластической деформации. Действительно, два условия,
ограничивающие возможные пластические деформации, уже известны:
пластическое изменение объема должно быть равно нулю, а
величина деформации определяется по уравнению (14) или (17)
положением новой кривой текучести. Однако, поскольку следует
определить шесть компонентов тензора приращения деформации, мы должны
найти остальные четыре соотношения.
Выбор возможных соотношений несколько ограничен вследствие
того, что никакая пластическая деформация не может произойти
при любом приращении напряжения, для которого напряжение
остается на той же самой кривой текучести. Это следует из
определения кривой текучести и действительно заключено в уравнениях
(14) и (17), когда кривая является окружностью. Такие изменения
напряжений хорошо характеризуются термином «нейтральный»,
поскольку они не составляют ни нагружение, ни разгрузку г). В
некотором, и в определенном смысле простом, случае, когда главные
связи см. также Н. Е. Davis, E. R. Parker, Journ. App. Mech., 1948,
т, 15, стр. 201; W. R. Osgood, Trans. Am. Soc. Mech. Eng., 1947, т. 69,
стр. А—147; S. J. Fraenkel, Journ. App. Mech., 1948, т. 15, стр. 193.
l) G. H. Handel man, С. С Lin, W. Prager, Quart. App. Math.,
1947, т. 4, стр. 397.

4. ПОЛНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ 47
оси поворачиваются, приведенные главные напряжения, однако,
сохраняют те же самые значения и положение точек на кривой
текучести остается неизменным. Тогда согласно постулату
раздела 3, а кривая текучести зависит от истории деформации
посредством только единственного параметра. Поэтому допустим, что
критерий текучести (4) может быть выражен в форме
W'v J'3) = c, (21)
где / не зависит от истории деформации, которая описывается
только с помощью одного параметра с. Общее нейтральное
изменение поэтому таково, что
df = -^do.4 = ^df9 + ^df4^0.
Условие того, что для нейтрального изменения напряжения ds?
равно нулю, удовлетворяется путем предположения, что
dsfj= Oijdfy
где Q{j—симметрический тензор. Предполагается, что G^-являются
функциями компонентов напряжения и, возможно, предшествующей
истории деформации, но не приращения деформации. Значение этого
последнего предположения должно быть тщательно изучено; оно
означает, что отношения компонентов приращения пластической
деформации являются функциями текущего напряжения, но не
приращения напряжения. Это предположение вызывается следующими
соображениями. В кристаллическом зерне приращение пластической
деформации происходит благодаря взаимодействию сдвигов вдоль
определенных направлений скольжения, зависящих от ориентации
зерна и его внешнего стеснения; для приведения в действие такой
системы скольжения необходимо некоторое напряженное состояние
и, следовательно, как статистическое среднее по всем зернам
определенное макроскопическое напряжение. Приращение напряжения
входит только в определение величины приращения деформации,
измеряемой, например, инвариантом dsp. Как мы увидим позднее,
все экспериментальные определения зависимостей между
напряжением и деформацией проводились при условиях, когда любое влияние
приращения напряжения бывало пренебрежимо малым.
Следовательно, в настоящее время не имеется доказательств того, что
приращение напряжения влияет на отношения компонентов
приращения пластической деформации.
Функции Gtj должны удовлетворять двум необходимым
условиям: а) должно быть наложено ограничение G{i = 0 для того, чтобы
обеспечить нулевое пластическое изменение объема; б) главные оси
тензора приращения пластической деформации и, таким образом,

48
гл. гг. основы теории
Gij должны совпадать с главными осями напряжения, поскольку
элемент является изотропным. Эти условия могут быть
удовлетворены с достаточной общностью благодаря выбору выражения
0„ = h:
где g и h — скалярные функции инвариантов У2 и Л> а возможно,
также и истории деформации. Теперь имеем уравнения
K=hMjdf' (22)
которые были, по-видимому, впервые использованы Меланом 1,
в 1938 г. С учетом определений У2 и J$> Данных уравнениями (5)
уравнение (22) может быть написано так:
где
/ ' '
3
/ ' ' 2 /*
Hi = <5^oA^ — -j y2^ii
— девиатор квадрата приведенного напряжения. Если g и h выбраны,
то эта система уравнений определяет приращение пластической
деформации, соответствующее данному приращению напряжения.
Посредством этого достигается новое состояние упрочнения,
представленное несколько другой кривой текучести. Новая кривая
поддается вычислению в зависимости от изменения параметра с, который
мы можем рассматривать как изменяющийся известным способом
вдоль пути деформации. Так как эта кривая текучести должна
естественно проходить через новое напряжение, то отсюда следует,
что функции g и h не могут быть обе выбраны произвольно, но
должны удовлетворять определенному необходимому условию.
Чтобы найти это условие, мы теперь разовьем этот вопрос.
Одинаково хорошо может быть принята, конечно, противоположная точка
зрения, а именно: отношения между приращением деформации,
напряжением и приращением напряжения могут быть установлены
произвольными, тогда способ, согласно которому изменяется
параметр с в зависимости от истории напряжения и деформации, будет
подразумеваться.
Ь. Геометрическое представление приращения пластической
деформации. Достаточная общность сохраняется, если даже
выражение (22) ограничивается дополнительным предположением, что
отношения компонентов пластической деформации зависят только от
отношений компонентов приведенного напряжения, но не от их
I) E. Me Ian, Ingenieur Archiv, 1938, т. 9, стр. 116.

4. ПОЛНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ 49
абсолютной величины. Другими словами, определяемые одной
и той же величиной \i напряженные состояния, вызванные в элементе
после различной величины предварительной деформации, всегда
приводят к тем же самым отношениям компонентов приращения
пластической деформации. Это обычно молчаливо предполагается
в экспериментальных работах *). Это правдоподобно до тех пор,
пока элемент остается изотропным и деформируется при тех же
самых основных атомных процессах. Поэтому g может быть
выбрана как однородная функция компонентов напряжения, не
зависящая от истории деформации. Поверхность g = const в
пространстве (alf o2, а3) представляет собой цилиндр постоянного
сечения, пересекающий плоскость П ортогонально по некоторой кривой Г.
Тогда приращение пластической деформации также может быть
представлено в том же пространстве с помощью свободного
вектора 2G(dzP, dzg, fifeP), здесь для того, чтобы получить размерность
напряжения, вводится коэффициент 20. Так как dzP-\-йг'Р-\-йг? = О,
то этот вектор лежит в плоскости П. Тогда уравнения (22) могут
быть интерпретированы как утверждающие, что вектор,
представляющий приращение пластической деформации, параллелен
нормали к Г в точке пересечения с вектором напряжения (мы должны,
очевидно, предположить, что Г встречается только один раз
с любым радиусом, проведенным из начала). Тогда для
монокристалла приложение напряжения противоположного знака не дает
изменения активных плоскостей скольжения, но только лишь меняет
направления соответствующих сдвигов; следовательно, приращение
деформации изменяется только по знаку. Это было бы верным
также и для поликристалла, если бы у него не было тех
остаточных напряжений, которые вызваны предварительным
деформированием, в результате различной ориентации кристаллов. Поскольку
мы пренебрегаем их влиянием, то наклон кривой Г на
противоположных концах диаметра должен быть одинаков. Следовательно,
функция g должна быть четной функцией напряжений, а
следовательно, и У3. Более того, если материал изотропен, действие
взаимного обмена ai и а2 сводится только к замене dsx и dz2\ таким
образом, Г симметрично по отношению к трем осям. Отсюда
вытекает, что кривая Г должна быть подобно кривой текучести С
одинаковой в каждом из сегментов с углом 30°, представленным
на фиг. 2.
На фиг. 7 показан типичный сегмент с углом в 30° плоскости П,
отсеченный векторами напряжения [л = 0 и \х = — 1. Разумеется,
абсолютный размер кривой Г несущественен. Вектор приращения
пластической деформации RQ' параллелен нормали в точке R, где
1) См., однако, S. J. Fraenkel, Journ. App. Mech., Г. 18, т. 15, стр.193.
Лоде также измерял v в различных состояниях упрочнения для данного ц.
4 Зак. 1438. Р. Хилл

so
ГЛ. II. ОСНОВЫ ТЕОРИИ
вектор напряжения ОР встречает Г (RQ.' является свободным
вектором и он может быть размещен где угодно в плоскости). Если «Ь
означает угол между RQ' и радиусом jx = 0, то параметр v (не
путать с коэффициентом Пуассона) определяется соотношением
—-у***- V-W - (23)
Определение v аналогично выражению (6) для (л, оно было также
введено Лоде. Когда v задано, приращение пластической деформа-
Фиг. 7. Геометрическое представление
напряжения и приращения пластической
деформации с помощью векторов в плоскости П.
ции полностью установлено (для настоящего обсуждения нам нет
необходимости знать направления общих главных осей тензоров
напряжения и приращения пластической деформации). В случае
чистого растяжения (а = —1) для изотропного элемента, как
следует из симметрии, v ==—1. Для идеального тела деформация,
соответствующая напряжению чистого сдвига (и = 0), должна быть
деформацией чистого сдвига (\ = 0). Это может быть доказано
следующими доводами. Допустим, что деформация (dely de2> dzs)
соответствует напряжению сдвига (а, —а, 0). Если, как мы и
предполагаем, зависящим от направления влиянием собственных
напряжений пренебречь, то изменение знака этих напряжений, а именно
(—а, а, 0), вызывает деформацию (—dzv —de2, —ds3). Но
напряжение (—а, а, 0) также получается из (о, —а, 0) взаимной
переменой осей и, следовательно, в изотропном материале
производит деформацию (rfs2, dzv йгг). Таким образом, деформация
(—йгх, —tfs2, —йг6) эквивалентна (йгг, dzv de3)', это возможно,
если только det = — ds2 и б£з3 = 0, т. е. если деформация является
чистым сдвигом г). Поэтому в идеале тонкая труба, закрученная
*) Следовало бы отметить, что необходимо только предположить, что,
когда напряжение представляет собой чистый сдвиг, изменение знака
напряжения меняет направление деформации на противоположное. Таким образом,
g не обязательно должна быть четной функцией, достаточно, если dgjdJ^
равно нулю, когда Уъ = 0.

4. ПОЛНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ 51
парами, не должна была бы изменять своей длины; если это
изменение наблюдается, то оно обусловлено или анизотропией,
проистекающей от преимущественной ориентации, или начальными
напряжениями, или комбинацией их обоих. Когда труба изотропна, то
направление изменения длины, если крутящий момент меняет знак,
остается тем же; если направление или относительная величина
изменяется, то труба должна быть анизотропной. Возращаясь
к кривой Г, отсюда вследствие непрерывности следует, что она
должна ортогонально пересекать радиусы, ограничивающие 30°-ные
сегменты. Кроме этого, кривая Г может предположительно иметь
любую форму при условии, что вследствие однозначности нормали
в двух точках одного и того же сегмента не параллельны.
Приращение пластической работы на единицу объема может быть найдено
также в зависимости от геометрических величин
Но
|0Р| = ^2+в;а+<-/|«
(24)
\RQ'\ = 20Vd*f-\-d*f + daf = 20 J/ | rfe*
Следовательно,
dWp = 7 7UP cos Щ — 0). (25)
Будем предполагать, что форма кривой текучести в течение
развивающейся деформации также сохраняется, подразумевая при
этом, что / является однородной функцией напряжений, которая
не зависит от истории деформации. Согласно обычаю выберем знак
/ так, что условие непрерывного нагружения пластического элемента
будет d/>0. Функция h определяется в зависимости от способа,
при котором элемент упрочнялся. Для нашего идеально
пластического тела мы предполагаем, что состояние упрочнения зависит
только от полной пластической работы, так что критерий
текучести (21) имеет вид
/с4 л)=/?(1|Ч,лй). (26)
В этом состоит обобщение уравнения (14). Функция Р является
монотонно увеличивающейся положительной функцией; она, как
функция /, установлена и может быть определена из кривой
зависимости между напряжением и деформацией при простом
растяжении. Уравнение (22) может быть теперь написано как
4*

52
ГЛ. II. ОСНОВЫ ТЕОРИИ
где F'— производная по F по отношению к ее аргументу. Умножая
предыдущее уравнение на с^-, в итоге по теореме Эйлера для
однородных функций получим:
a{j dzfj = hF'vi5-^-(?klЛи) = nF'ghokl deft,
где п—степень g. Таким образом,
nF'gh = 1.
Это и есть условие, налагаемое на g и Л, которое мы отыскивали.
После исключения h зависимости для приращения пластической
деформации примут вид
d^i = —^4r W/>0). (27)
Функции f,gnF должны рассматриваться как известные: или
вычисленными из экспериментальных данных, или произвольно
выраженными. Уравнения (27) представляют собой полную
формулировку пластического поведения материала в течение непрерывного
нагружения. Если приращение напряжения таково, что tf/<0, то
элемент разгружается, а изменение деформации не будет больше
определяться уравнением (27), а будет подчиняться уравнениям
теории упругости (11). Дальнейшая пластическая деформация не
имеет места до тех пор, пока напряжение снова не достигнет
кривой текучести, зависящей от напряжения, при котором началась
разгрузка.
б. Уравнения Леви — Мизеса и уравнения Рёйсса
а. Теоретические предположения относительно связи между
напряжением и деформацией впервые были рассмотрены в 1870 г.
в исследовании Сен-Венана по плоской пластической деформации х).
С большой физической интуицией Сен-Венан предположил, что
главные оси приращения деформации (а не полной деформации)
совпадают с осями главных напряжений. Сен-Венан не обсуждал
зависимости а от v ни для плоской деформации, ни для более
общего случая3). Общая зависимость между отношениями
компонентов приращения деформации и отношениями напряжений впервые
*) В. de S ai n t-V e nan t, Comptes Rendus Acad. Sci., Paris, 1870, т. 70,
стр. 473; Journ. Math, pures et app., 1871, т. 16, стр. 308; Comptes Rendus
Acad. Sci., Paris, 1872, т. 74, стр. 1009 и 1083.
2) В приложениях к частным задачам Сен-Венан использовал критерий
текучести Треска и предполагал, что упрочнение равно нулю.

5. УРАВНЕНИЯ ЛЕВИ МИЗЕСА И УРАВНЕНИЯ РЁЙССА 53
была предложена Леви1) (1871 г.). Работа Леви вне его родной
страны осталась в значительной степени неизвестной, такое
положение сохранилось и после того, как Мизес2) независимо в 1913 г.
предложил те же самые уравнения, после чего они стали широко
использоваться в качестве основы теории пластичности. Как известно,
уравнения Леви —Мизеса могут быть выражены в форме
йгх = dzy _ dZz _ diy3 _ dbx _ d*{xy
Qx <зу a^ xyz x$x zxy
или более компактно как
йгч = ^йК (28)
где d\ — скалярный коэффициент пропорциональности3). Поскольку
Леви и Мизес использовали полное приращение деформации, а не
пластическое приращение деформации, эти уравнения строго
применены только для воображаемого материала, для которого упругие
деформации равны нулю. Следовательно, при этом модуль Юнга
должен считаться бесконечно большим и материал при разгрузке —
остающимся жестким. Обобщение уравнений Леви — Мизеса на
случай, когда учитывается упругая составляющая деформации, было
выполнено для плоской задачи Прандтлем 4) (1924 г.) и в самом
общем случае Рёйссом б) (1930 г.). Рейсе предположил, что
^?. = 3;.rf>, (29)
Очевидно, что эти уравнения эквивалентны объединенным
формулировкам, что главные оси напряжения и приращения пластической
деформации совпадают и что \i = n. Исходя из геометрических
представлений фиг. 7, это означает, что RQr параллельно ОР.
1) М. Levy, Comptes Rendus Acad. Sci., Paris, 1870, т. 70, стр. 1323;
Journ. Math, pures et app., 1871, т. 16, стр. 369. Относительно критического обзора
работ Сен-Венана и Леви см. I. Т о d h u n t e r, K. Pearson, A History of
the Elasticity and Strength of Materials, Cambridge,- 1893, т. ii, часть i,
стр. 165 и следующие.
3) R. von Mises, Gottinger Nachrichten, math.-phys. Klasse, 1913,
стр. 582.
8) Читателя следует предостеречь от поспешной аналогии с уравнениями
ньютоновской вязкой жидкости: е.. = crt.v/2{A, где вязкость (А является
постоянной материала, а скорость деформации непосредственно связана с
приложенным напряжением. Хотя уравнение (28) может быть написано как
е.. =\<jijt соотношения между напряжением и деформацией по-прежнему
не зависят от времени, так как они имеют однородное измерение.
Несомненно также, что X не является постоянной материала, а изменяется в
течение деформации.
4) L. Prandtl, Proc. 1-st Int. Cong. App. Mech., Delft, 1924, стр. 43.
*) A. Reuss, Zeits. ang. Math. Mech., 1930, т. 10, стр. 266.

54
ГЛ. II. ОСНОВЫ ТЕОРИИ
Поэтому кривая Г является окружностью и g=zj2, ~- = (з^,
Уравнения (27) примут вид
г* 2J2F'
причем из (25)
Если объединить это с критерием текучести Мизеса
так что уравнение (26) сводится к (14), при этом получим, что
Но, поскольку <з = /7( J a dspJ, следовательно, о является функцией
только Г йгг Другими словами, когда u =v, гипотезы упрочнения
(14) и (17) эквивалентны. Из определения И согласно (17) функция
F' равна Нг/з, где Ит — угол наклона кривой зависимости между
эквивалентным напряжением и эквивалентной пластической
деформацией. Для простоты последнее уравнение лучше написать в
зависимости от //, а не от F\ т. е.
За,-, ds
faf. = У . (30)
С другой стороны, это может быть заменено двумя условиями:
%-% •-«(;=*)■ 0»
Из (15) полные соотношения между напряжением и деформацией
таковы:
3a.,tfa ^a-.
^ 2а//'
2^ (^>0),
(32)
Все приложения теории пластичности, описанные в этой книге,
основаны на этих уравнениях.
Во многих задачах, для того чтобы избежать математических
трудностей, необходимо ввести дальнейшие упрощения.
Упрочнением пренебрегают полностью, так что кривая текучести остается

5. УРАВНЕНИЕ ЛЕВИ МИЗЕСА И УРАВНЕНИЯ РЁЙССА 55
неизменной во всей рассматриваемой области деформации. Поэтому
заявляется константой (обычно заменяется на Y—предел текучести
при растяжении) и Н' = 0. При растяжении материал
деформируется упруго до предела текучести У и затем удлиняется при
постоянном напряжении. Это — идеальный материал классических
теорий. Из (31) уравнения для приращения пластической
деформации имеют вид
Эти уравнения представляют собой полную формулировку задачи,
так как в них заключено, что а=Г (как можно проверить, возводя
в квадрат каждую сторону и производя суммирование). Многие
авторы вводят коэффициент пропорциональности dk\ в этом случае
необходимы два следующих соотношения:
def4 = о'Лк; а' о' = 2 Ц- = 2&э.
Присоединяя к этим выражениям упругие компоненты деформации,
получим уравнения, первоначально данные Рёйссом:
1 2м
d*U = —E-daii>
</.о' =2йа.
(33)
Дифференцируя критерий текучести, найдем, что оСл£. = 0. Таким
образом, бесконечно малое приращение работы деформации ъ^Лг^.
на единицу объема точно равно пластической работе dW =or{dzV
(сравни интерпретацию Хенки критерия пластичности Мизеса, стр. 31).
Так как пластическая работа должна быть положительной, т. е.
dH?rp=2ftadA>0>
данное приращение деформации ds^j приводит к нагружению, если
G'ijdz'j. > 0; поэтому уравнения (33) однозначно определяют
приращение напряжения. Когда работа деформации отрицательна, имеет
место разгрузка. Если, с другой стороны, задано приращение
напряжения, удовлетворяющее условию о*, Ло^. = 0 (так что элемент является
по-прежнему пластическим), то упругое приращение деформации
известно, но d\ и величина приращения пластической деформации
не могут быть определены из (33). Если, например, при растяжении
напряжение сохраняется на пределе текучести, то может быть
получена произвольная величина удлинения. Другие соображения

56
гл. п. основы теории
определяют величину пластической деформации, например
накладываемые стеснения или ограничения, обусловленные смежными элементами
материала. Поэтому уравнения (32) и (33) в этом отношении
противоречивы.
Предположение о том, что упрочнение отсутствует, не
уменьшает практического значения теории настолько, как это можно
предположить. Для предварительно деформированного металла
степень упрочнения сравнительно мала, и поэтому уравнения (33)
представляют хорошее приближение. Если необходимо, к
вычисленным напряжениям может быть введен полуэмпирический
поправочный коэффициент; несколько примеров этого рода будет описано
позднее. Для отожженного металла обычная практика состоит
в решении задачи о произвольно выбранной средней величине
предела текучести, хотя, как мы увидим, иногда возможно даже в
сложных задачах учесть упрочнение более рациональным способом.
Ь. Геометрическое представление напряжения и деформации
на плоской диаграмме. Возвращаясь к уравнениям (32), мы теперь
дадим геометрическое представление напряжения и деформации для
того особого случая, когда главные оси напряжения остаются
в элементе неподвижными 1). Тогда главные оси упругого и
пластического приращений деформации совпадают. Если общие главные
оси выбраны в качестве системы неподвижных осей, то три из
шести уравнений для компонентов девиатора деформации
тождественно равны нулю, оставшиеся три уравнения будут:
3c'2d<i da'2
rfS2==2fF + 2G"'
За 3<tfa dc3
rfS3=2o7^ + 2G'
Так как сумма этих выражений тождественно равна нулю, только
два из них являются независимыми. Ради осторожности, следовало бы
заметить, что dai (/=1, 2, 3), определяемые сперва как нормаль-
1) Для некоторых напряженных состояний были предложены различные
геометрическле представления: для плоской задачи L. РгапсНГем, Ргос. 1-st
Int. Cong. App. Mech., Delft, 1924, стр. 43; для кручения А. N a d a i, Zeits.
ang. Math. Mech., 1923, т. З, стр. 442 и Ргос. Inst. Mech. Eng., 1947, т. 157,
стр. 121; для совместного действия кручения и растяжения W. Prager'oM,
Journ. App. Phys.t 1944, т. 15, стр. 65. Построение, описанное здесь, дано
R. НПГом, диссертация, Cambridge, 1948, стр. 66, выпущенная как отчет 1/48
научно-исследовательским институтом вооружения министерства снабжения.
Оно представляет собою обобщение построения, данного A» Reuss'oM, Zetis.
ang. Math. Mech., 1930, т. 10, стр. 266.
(34)

5. УРАВНЕНИЯ ЛЕВИ МИЗЕСА И УРАВНЕНИЯ РЁЙССА 57
ные компоненты приращения напряжений, отнесенных к системе
осей, неподвижных в элементе, в этом специальном случае равны
также приращениям <1(а{) главных компонентов напряжения. В общем
случае, когда главные оси поворачиваются, конечно, неверно, что
главные компоненты приращения напряжения равны приращениям
главных компонентов напряжения. Так как имеется только два
отличных от нуля независимых соотношения, девиаторы напряжения и
деформации могут быть представлены на плоской диаграмме. Когда
главные оси напряжения и приращения напряжения не совпадают,
обычно для этого было бы необходимо пятимерное пространство,
хотя соотношения между напряжением и приращением пластической
деформации или между приращением напряжения и приращением
упругой деформации могут быть по-прежнему отдельно
представлены в двумерном пространстве.
На фиг. 8 ОР и OQ представляют текущие девиаторы
напряжения и деформации в плоскости П, причем координаты точки Q
будут 2Gs- (/= 1, 2, 3),
где ej определяется
уравнением (18). Вектор ОР
представляет собой также
девиатор упругой
деформации, восстанавливаемой при
полной разгрузке. Поэтому
вектор PQ представляет
собой полную пластическую
деформацию. В процессе
непрерывной деформации Р и Q *
описывают кривые, которые
соответственно
представляют собой пути напряжения
и деформации, или, более
точно, проекции этих путей
в пространстве (ах, о2, о3) на
плоскость П. Гидростатические составляющие а и з представляются
векторами, перпендикулярными к плоскости П (см. раздел 2); они в
дальнейшем могут не рассматриваться. Пусть РР'— приращение напряжения,
a QQ' — соответствующее приращение деформации с
компонентами йг'{. Упругое приращение деформации ~г представляется
вектором QR с компонентами do', и поэтому он равен вектору РР'.
Согласно уравнениям (34) QQ' равен сумме векторов,
представляющих упругие и пластические части деформации, и, таким образом,
RQ' должен быть приращением пластической деформации. Пусть
QS — перпендикуляр, проведенный из точки Q на направление Q'R.
деформации
^Путь
напряжения
Фиг. 8. Представление соотношений Рёйсса
для пластического элемента
упрочняющегося металла, когда главные оси
напряжений в элементе неподвижны.

58
ГЛ. II. ОСНОВЫ ТЕОРИИ
Так как РРГ параллельно QR, а ОР параллельно RQ', согласно
уравнениям Рёйсса острый угол между ОР и РР' равен углу QRS.
Теперь согласно (24) длина ОР равна а/3 и, таким образом,
у | а = РР' cos / QRS = QR cos / QRS = SR.
Но из (24) имеем также:
Приравнивая эти выражения для do* получим уравнение для
определения положения R:
CD LJ/
W-Ш (0<^<оо). (35)
Поэтому построение приращения деформации QQ', производимое
данным приращением напряжения РР', определяющим нагружение,
является следующим. Через точку Q проводим отрезок QR, равный РР' и
имеющий то же направление. Опустим перепендикуляр QS на линию,
проходящую через Р параллельно ОР, Тогда новая точка Q' лежит
на продолжении SR, причем расстояние RQ' определяется
уравнением (35). Если РР' таково, что Р' лежит внутри окружности
текучести, проходящей через Р, то элемент разгружается, а
приращение деформации QQ', являющееся совершенно упругим,
параллельно и равно РР'; тогда точки, соответствующие напряжению и
деформации, до тех пор пока они опять не пересекут окружность,
будут непрерывно вычерчивать те же самые кривые. Если, с другой
стороны, QQ' задано, то проводим Q'S параллельно ОР и
восстанавливаем перпендикуляр QS к этой линии. Положение R
определяется уравнением (35), a QR является приращением упругой
деформации. Тогда приращение напряжения РР' определено, так как оно
равно и параллельно QR. Однако уравнение (35) не фиксирует
однозначно положение /?, поскольку имеются две точки, разделяющие SQr
в данном отношении, одна внутри SQ', а другая снаружи.
Единственность обеспечивается условиями, что или а) Р' должно лежать
снаружи окружности текучести, проходящей через Р, а
пластическая работа OP • RQ' в то же время должна быть положительной
или Ь) оба эти условия не могут быть удовлетворены одновременно
для того или другого положения Р; в этом случае имеет
место разгрузка, а РРГ равно и параллельно QQ\ Когда материал
не упрочняется, точка Р' вынуждена двигаться вдоль окружности,
проходящей через Р. Поэтому вектор QR всегда перпендикулярен

5. УРАВНЕНИЯ ЛЕВИ МИЗЕСА и УРАВНЕНИЯ РЁЙССА 59
к RQ'> а работа OP . QRJ2Q, затраченная на упругую деформацию,
как уже было замечено, равна нулю.
Из (35) ясно, что когда Н' является величиной порядка G,
упругая часть деформации является по крайней мере величиной
того же порядка, что и пластическая составляющая. Это будет так
в начальной части кривой зависимости между напряжением и
деформацией для отожженного металла, хотя после логарифмической
деформации, приблизительно равной 0,05, Н' обычно значительно
меньше G. Однако упругая часть деформации может быть
по-прежнему ощутимой, даже преобладающей. Это будет так всякий раз,
когда QQ' образует большой угол с ОР. В пределе, когда QQr
перпендикулярно к ОР, никакого приращения пластической деформации
нет; S и R совпадают с Q' и точка Р', соответствующая
напряжению, лежит на той же самой окружности текучести. В другом
предельном случае упругая составляющая является наименьшей,
когда QQr параллельно ОР. На практике это может быть
реализовано при монотонном увеличении компонентов напряжения, в то
время как их отношения сохраняются постоянными. В таком случае
точка, соответствующая напряжению, движется наружу вдоль
фиксированного радиуса, соответствующего определенной постоянной
величине р. Какова бы ни была зависимость (u, v), точка,
соответствующая деформации, в соответствии с предыдущим
предположением относительно Г также движется в фиксированном направлении.
Этот тип эксперимента, который часто используется для
определения соотношения (а, \), обладает двумя большими преимуществами:
а) усложняющее влияние упругой составляющей деформации сводится
к минимуму, и оно в целом пренебрежимо мало, если материал
подвергался небольшой предварительной деформации; Ь) так как
выражение (23) для n теперь равно аналогичному выражению для
конечных деформаций (18), то измерение v может быть для большей
точности основано н^ последнем.
с. Экспериментальное доказательство. Первые эксперименты
для исследования обоснованности соотношений Леви — Мизеса были
поставлены только в 1926 г., когда Лоде *) испытал трубы из стали,
меди и никеля при совместном действии растяжения и внутреннего
давления. В каждом опыте поддерживалось приблизительно
постоянное отношение осевого и окружного напряжений. Было найдено,
что упомянутые соотношения верны в первом приближении, однако,
несмотря на заметный разброс данных вследствие анизотропии2)
в протянутых трубах, результаты указывают вероятное отклонение
1) W. Lode, Zeits. Phys., 1926, т. 36, стр. 913.
2) Во многих случаях n при простом растяжении не было равно — 1,
как это только по соображению симметрии должно было бы быть п
изотропном материале.

60
гл. п. основы теории
от этого соотношения. Более поздние опыты Лоде*), поставленные
в 1929 г. с трубами, изготовленными на станке из сплошных
стержней с минимальной анизотропией, подтверждают эту точку зрения.
Это отклонение было подтверждено в 1931 г. классическими
экспериментами Тейлора и Куинни2), которые- деформировали трубы
из алюминия, меди и предварительно напряженной мягкой стали при
fi-W
X-Q2
Фиг. 9. Экспериментальные результаты
Тейлора и Куинни из опытов на совместное
кручение и растяжение тонкостенных труб ({л и
v переменные Лоде).
совместном действии растяжения и кручения. Осевая нагрузка
поддерживалась постоянной, в то время как крутящий момент
увеличивался так, что отношения напряжений не были постоянными.
Степень анизотропии сохранялась в пределах допустимых границ
благодаря наблюдениям за изменением внутреннего объема труб
при чистом растяжении; для строго изотропной трубы он должен
был бы быть равен нулю (упругими деформациями пренебрегают).
Результаты Тейлора и Куинни воспроизведены на фиг. 9. Прагер3)
нашел, что эти наблюдения могут быть приблизительно отображены,
*) W. Lode, неопубликованная работа, упомянутая А. N a d a i, Trans.
Am. Soc. Mech. Eng., 1933, т. 55, стр. 111.
2) G. I. Taylor, H. Quinney, Phil. Trans. Roy. Soc, серия А, 1931,
т, 230, стр. 323.
3) W. Prager, Mem. Sci. Math., 1937, т. 87; Journ, App. Phys., 1945, т. 16,
стр. 837. См. также G. Н. Handelman, С. С. Lin, W. Prager, цит. выше
стр. 46.

6. СООТНОШЕНИЯ ХЕНКИ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ 61
если вместо g= J2 положить
g(j'z, /3) = J'J 1—0,73 4s].
однако соответствующие соотношения между напряжениями и
деформациями (27) были бы очень громоздки для использования. С другой
стороны, Шмидт1) (1932 г.) испытывал трубы из мягкой стали и
меди при совместном кручении и растяжении, когда отношение между
напряжениями было постоянным; при этом полученные результаты
в пределах экспериментальной ошибки согласуются с соотношениями
Леви — Мизеса. Однако современные эксперименты Дэвиса2) (1943 г.)
с медью и Френкеля3) (1948 г.) с мягкой сталью, использовавших
трубы, подверженные внутреннему давлению и осевой нагрузке,
снова показывают отклонения. По-видимому, справедливо считать
соотношения Леви — Мизеса как приемлемо хорошее первое
приближение, хотя требование высокой точности в приложениях в
конечном счете неизбежно приведет к тому, чтобы включить отклонения
в рамки теории. Все же опубликованные к настоящему времени
экспериментальные данные являются слишком незначительными, чтобы
вносить дополнительные математические усложнения, которые бы
стоили потраченного времени.
6. Соотношения Хенки между напряжениями и деформациями
Должна быть также кратко упомянута другая система
соотношений между напряжениями и деформациями, данная Хенки4) (1924 г.),
так как она часто применяется в специальных задачах. Это
применение неудачно из-за того, что соответствующие уравнения, как
мы видели, являются совершенно не подходящими для представления
наблюдаемого поведения металла. Предположим, что деформации
настолько малы, что их квадратами можно пренебречь, тогда тензор
полной деформации определяется так же, как и в теории упругости,
уравнением
»> 2\dxj^dxiJ
где ut — полное перемещение частицы, первоначально направленной
вдоль х{. Уравнения Хенки имеют вид
о . . - н .. I
11 — Е ' ]
1) R. Schmidt, Ingenieur Archiv, 1932, т. 3, стр. 215.
2) Е. A. Davis, Trans. Am. Soc. Mech. Eng., 1943, т. 65, стр. A—187.
3) S. J. Fraenkel, Journ. Appl. Mech., 1948, т. 15, стр. 193.
*) H. He nek у, Zeits. ang. Math. Mech., 1924, т. 4, стр. 323; Proc. 1-st.
Int. Cong. App. Mech., Delft, 1924.

62
ГЛ. if. ОСНОВЫ ТЕОРИЙ
где ср — скалярная величина, существенно положительная в течение
непрерывного нагружения и равная нулю при разгрузке. Уравнения
этого типа были прежде использованы Надаи1) в специальных
задачах кручения. Очевидно, пластическая составляющая деформации
равна
«*,= ?<,• (37)
В качестве гипотезы упрочнения обычно принимается, что <р является
функцией а; это, очевидно, эквивалентно предположению, что
а является данной функцией гР. Если а является константой, а
упрочнение отсутствует (как в первоначальной формулировке Хенки),
то ср представляет собой неопределенный коэффициент
пропорциональности, аналогичный dk в уравнениях (33). Согласно (37)
компоненты полной пластической деформации пропорциональны
соответствующим компонентам девиатора напряжения, тогда как в
уравнениях Рёйсса (29) компоненты приращения пластической деформации
пропорциональны компонентам девиатора напряжений2). К тому же,
в уравнениях Хенки конечное состояние деформации определяется
конечным состоянием напряжения, в то время как в уравнениях
Рёйсса такого однозначного соответствия не существует. Вообще
две указанные системы уравнений приводят к различным
заключениям.
Теории Рёйсса и Хенки могут быть непосредственно
противопоставлены на основе предыдущего геометрического представления,
если для этой цели предположить, что главные оси напряжения
имеют фиксированное направление. Уравнения (36) устанавливают,
что точка Q, соответствующая деформации, лежит на
продолжении вектора напряжения ОР. Таким образом, согласно уравнениям
Хенки, в то время как Q описывает некоторый путь деформации,
вектор напряжения поворачивается так, что он в каждом состоянии
направлен к Q. С другой стороны, согласно уравнениям Рёйсса это
происходит только, когда путь деформации представляет собой
прямую линию, проходящую через начало, т. е. когда отношения
между напряжением и деформацией остаются постоянными3).
Аналитически, если Gij^Ca^j, где о^- — постоянная, а С —монотонно
!) A. Nadai, Zeits. ang. Math. Mech., 1923, т. З., стр. 442. См. также
Plasticity, N. Y., McGraw-Hill Book Co., 1931; русский перевод:
Пластичность, M.—Л., ОНТИ, 1936.
2) А. А. Ильюшин, Прикладная математика и механика, 1945, т. 9,
стр. 207, определяет теории типа Рёйсса и Хенки соответственно как теории
«течения» и «деформации». Так как термин «течение» должен был бы быть
сохранен для обозначения деформации при постоянном напряжении, эта
терминология не может быть рекомендована. Предпочтительнее говорить о теории
«приращения» деформации и о теории «полной» деформации.
3) А. А. Ильюшин, Прикладная математика и механика, 1947, т. 11,
стр. 293; см. также W. Р г a g e r, Journ. App. Phys., т. 19, стр. 540, 1948.

6. СООТНОШЕНИЯ ХЕНКИ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ 63
увеличивающийся параметр, из уравнений Рёйсса имеем:
do'..
Так как деформации малы, то Г d^j равен гц, которая имеет
значение, определенное выше. Следовательно,
<^сл + '$ = (<? + шК'
если через <р обозначить выражение -^ Cdk. Это и есть уравнения
Хенки. Путем небольшого обобщения довода, приводящего к
уравнениям (20), дабы учесть упругие деформации, можно проверить, что
соответствующие гипотезы упрочнения также тождественны. Когда путь
деформации является криволинейным-, теории Рёйсса и Хенки
предсказывают различные напряженные состояния1); возможные
эксперименты предложены Драккером 2).
Очень легко показать, что уравнения Хенки являются
неподходящими для описания полностью пластического поведения металла.
Допустим, что после определенной пластической деформации элемент
разгружается, частично или полностью, а затем повторно
нагружается до другого напряженного состояния на той же самой кривой
текучести. В то время как точка, соответствующая напряжению,
лежит внутри кривой текучести, может происходить только упругое
изменение деформации, а полная пластическая деформация остается
неизменной. Однако согласно (37) отношения пластических
деформаций теперь являются совершенно различными, так как
напряженное состояние изменилось. Это означает, что пластическая
деформация изменяется сама по себе в течение разгрузки и повторной
нагрузки, что является абсурдным. В принципе то же самое
возражение относительно нейтральных изменений напряжения было сделано,
хотя и менее резко, Хандельманом, Лином и Прагером3), которые
показали, что невозможно удовлетворить необходимым условиям
непрерывности между уравнениями для упругих и пластических
напряжений и деформаций даже при самых общих зависимостях для
конечных деформаций. Тем не менее в местах, где нагрузка непрерывна,
!) Обычное заблуждение состоит в предположении, что так как деформации
предполагаются малыми, то в (37) законно заменить е^« на йг^ Это было бы
эквивалентно утверждению, что dyjdx равно у/х, которое, конечно, правильно
только, когда у/х постоянно.
2) D. С. Drucker, Proc. 1-st Annual Symposium for App. Math., Am.
Math. Soc, 1947. См. также раздел 3, e главы V.
3) G. H. H a n d e I m a n, С. С L i n, W. Prager, цит. выше, стр, 46.

64
ГЛ. И. ОСНОВЫ ТЕОРИИ
уравнения Хенки могут приводить к результатам, приблизительно
согласующимся с наблюдениями. Кроме того, в некоторых задачах
теории конечных1) деформаций они имеют определенные
преимущества математической выгоды. Очевидно, по этой причине зависимости
Хенки или более общие соотношения для конечных деформаций в
случае малых деформаций часто были использованы в приложениях,
особенно русскими авторами2). Конечно, когда деформации велики,
уравнения Хенки не могут быть использованы без видоизменения3).
Ради математической последовательности и для физического
соответствия в этой книге будут повсюду использованы уравнения Рёйсса.
7. Другие теории
а. Теория Суэингера, Другая система уравнений, связывающая
напряжения с деформациями и также устанавливающая однозначную
зависимость между полной (малой) деформацией и текущим
напряжением, была предложена на обсуждение Суэингером 4). В наиболее
простой форме уравнения Суэингера таковы:
еу ~~ 2J "^ 2 \Р ~ ~Е) ^ij — °^' Sii — ~ЁТ~ а***
Предполагается, что кривая зависимости между напряжением и
деформацией при растяжении имеет резко выраженный предел текучести
и постоянную степень упрочнения Р. Здесь о?^ — напряжение в
элементе, соответствующее появлению текучести; предполагается, что
имеет силу критерий Мизеса. Система Суэингера неприемлема не
только в связи с возражениями, выдвинутыми против уравнений Хенки,
но также и вследствие ее противоречия с наблюдениями, когда
степень упрочнения очень мала или равна нулю. Например, если Р
очень мало, то существует также разница между о^ и а^- (/, у = 1,
2, 3). Это означает, что независимо от того, каким образом
изменяется пластическая деформация, девиатор напряжения изменяется
t) Имеются в виду теории «полной» деформации. (Прим. перев.).
2) А. А. Ильюшин, Прикладная математика и механика, 1948, т. 7,
стр. 245; 1944, т. 8, стр. 337; 1945, т. 9, стр. 101; 1946, т. 10, стр. 623 (Изгиб
пластин и оболочек); В. В. Соколовский, Прикладная математика и
механика, 1944, т. 8, стр. 141 (Изгиб пластин и оболочек); A. W i n г е г, W. P
rage г, Journ. Appl. Mech., 1947, т. 14, стр. А-281 (Расширение круглого
отверстия в тонкой пластине); А. О 1 е у z а 1, там же, 1946, т. 68, стр. 261; 1948,
т. 15, стр. 288 (Защемленная круговая диафрагма под давлением).
3) По-видимому, никакого обобщения теории на большие деформации
не было предложено. Возможны многие определения конечных деформаций;
может быть, наиболее естественным в этой связи является определение
) d^; где (1ец устанавливается уравнением (10).
4) К. Н. S w a i n g e r, Phil. Mag., 1945, т. 36, стр. 443; 1947, т. 38, стр. 422;
Proc. 7-th Int. Cong. App. Mech., London, 1948.

7. ДРУГИЕ ТЕОРИИ
65
только на бесконечно малую величину, а в пределе он вообще
не изменяется. Это верно только для простого пути деформации,
где отношения деформаций сохраняются постоянными. Если
отношения напряжений сохраняются постоянными, так что оу = С°у, то
Поэтому отношения деформаций являются также постоянными.
Из сравнения с уравнениями (36) видно, что для этого особого типа
пути деформаций уравнения Суэингера тождественны уравнениям
Хенки (с соответствующей гипотезой упрочнения) и, таким образом,
также уравнениям (32).
д. Теория Прагера. Большой интерес представляет система
уравнений для напряжений и деформаций, предложенная Прагером *)
с тем, чтобы избежать математических трудностей, встречающихся
при решении задач с использованием уравнений Рёйсса (33). Эти
трудности (о которых подробнее будет сказано позднее) возникают
вследствие разных систем уравнений в упругой и пластической
областях, когда материал не упрочняется. Прагер во избежание этих
трудностей предложил использовать только одну систему уравнений,
дающую постепенный переход от упругой области в пластическую.
Можно показать, что уравнения Прагера, первоначально выраженные
в его статье в до некоторой степени необычной форме, представляют
особый случай уравнений (32), когда кривая зависимости между
напряжением и деформацией при растяжении имеет вид
o=Yth{^y (38)
где а — напряжение, а е — логарифмическая деформация. Здесь не
имеется резко выраженного предела текучести, при этом кривая,
первоначально имеющая наклон Е, затем изгибается, приближаясь
асимптотически к пределу текучести Y. Приближение является
предельно быстрым; например, когда е равно только 4Y/E, а составляет
уже 0,999К. Таким образом, уравнения Прагера заменяют материал
Рёйсса с пределом текучести материалом, кривая растяжения
которого является гладкой, но быстро изгибающейся и для которой
напряжение Y очень близко достигается, когда деформации имеют
порядок упругих деформаций. Соответствующая зависимость между
о и Г йг'Р такова:
1) W. P rage г, Ргос. 5-th Int. Cong. App. Mech., Cambridge, Mass., 1938,
стр. 234; Duke Math. Journ., 1942, т. 9, ста 228; Rev. Fac. Sci. Univ. Istanbul,
1941, т. 5, стр. 215.
5 Зак 1438. P. Хилл

66
ГЛ. II. ОСНОВЫ ТЕОРИИ
Подставляя это в (32), получим:
20 Л7., = do' + grfq„ a' (39)
что, не считая обозначений, является одной из форм уравнений,
данных Прагером. Эта система получила небольшое приложение
и, по-видимому, желаемое упрощение в действительности не
достигается.

ГЛАВА III
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
1. Пластический потенциал
Функция g(<3ij), определяющая отношение компонент приращения
пластической деформации (уравнение (22) главы II) известна как
пластический потенциал.
В случае, если деформируется поликристаллический элемент, одна
из числа возможных систем пяти независимых направлений
скольжения должна быть активной в каждом кристаллическом зерне,
относительно которого предполагается, что оно деформируется
равномерно. Такая система скольжения требует для своего осуществления
напряженного состояния, в котором только в этих пяти направлениях
достигается критическое напряжение сдвига, для любой другой
системы оно не превзойдено. Система скольжения определяет как
отношения компонентов приращения деформации, так и отношения,
которые компоненты приложенного напряжения должны сохранять
при критическом напряжении сдвига. Вероятно поэтому в
поликристаллах имеется зависимость, которая выводится из среднего
статистического рассмотрения возможной ориентации зерен между
пластическим потенциалом и функцией /(рц)9 определяющей кривую
текучести. Теоретически еще неизвестно, какова она должна быть
для любого определенного металла.
Кажется, однако, что простая связь g = f имеет в математической
теории пластичности особенное значение, так как при этом, как будет
показано позднее, могут быть сформулированы определенные
вариационные принципы и теоремы единственности. Когда £ = /(т. е. когда
кривая Г и кривая текучести имеют подобную форму), зависимости
между пластическими напряжениями и деформациями будут:
H-h^df- (1)
Заметим, что / должна быть независимой от гидростатического
давления, т. е.
5*

68
ГЛ. Ш. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
если пластическое изменение объема равно нулю. Кроме того, если /
является четной функцией, т. е. эффект Баушингера отсутствует,
то уравнение (1) означает, что изменение знака напряжения только
меняет знак приращения деформации; эти свойства взаимно
согласуются, так как каждое верно только при отсутствии одного и того же
рода остаточных напряжений (стр. 17 и 49). Мы уже встречались
с примером зависимости (1) при рассмотрении уравнений Леви-Мизеса
или Рёйсса, где
Теперь предположим, что задано приращение пластической
деформации dzf. и что соответствующее напряжение, определяемое
посредством уравнения (1) и условия текучести, есть о^. Пусть о^-
представляет собой любое другое пластическое напряженное
состояние, так что
Работа, совершенная о*, на деформации dsf., равна dW* = ъ*{.йгР .
Она имеет стационарное значение для различных пластических
состояний о* , когда
4-K,^.-/(a;.)<iM = o.
Здесь, следуя методу Лагранжа, мы ввели постоянный
множитель d\. Отсюда
d*?4 = dk \tJ .
Это уравнение удовлетворяется, когда а* представляет собой
действительное напряжение о^ (dk равно hdf). Таким образом, когда
имеют силу зависимости (1), пластическая работа, совершенная
на данном приращении пластической деформации, имеет в
действительном состоянии стационарное значение по отношению к различным
системам напряжений, удовлетворяющим условию текучести. Эта
теорема дана Мизесом 1) (1928 г.). Она становится очевидной, если
сформулировать ее при помощи геометрических представлений фиг. 7.
Кривая Г согласно гипотезе (1) подобна кривой текучести С, а вектор
RQ\ представляющий приращение пластической деформации,
параллелен нормали в точке Р, где ОР — вектор напряжения о^-. Пластическая
работа, совершенная любым напряжением о*., пропорциональна
проекции соответствующего вектора напряжения ОР* на RQ' (сравни
уравнение (25) главы II). Она, очевидно, имеет стационарное зна-
1) R. von Mises, Zeits. ang. Math. Mech., 1928, т. 8, стр. 161.

1. ПЛАСТИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ
69
чение среди близких состояний, когда Р* совпадает с Р. Более того,
когда кривая С вогнута в точке Р по отношению к началу,
произведенная работа становится максимальной. Теперь кривая С должна
быть вогнутой по отношению к началу во всех точках, если
напряжение, соответствующее данному приращению пластической
деформации, должно быть единственным, и в этом случае произведенная
работа является абсолютно максимальной, т. е. максимальной среди
всех пластически напряженных состояний, а не только среди
бесконечно близких состояний. Это, в частности, верно для уравнений
Рёйсса, где кривая текучести есть окружность1). Теорема о
стационарном значении работы не применима, конечно, когда
используется условие Треска в соединении с соотношением Леви — Мизеса
Если бы пластическое поведение металла было таким, что
условие текучести и пластический потенциал тождественны, то было бы
возможно получить кривую текучести путем экспериментального
определения зависимости (ц, \) (или наоборот). Эта процедура
предложена Тейлором2). В обозначениях фиг. 7 пусть 6 и ^ —
соответственно углы, образованные RQ' и ОР с радиусом ji = 0. Из
уравнений (7) и (23) главы II имеем ji = —1/Ttg6, м = —V^3"tg^.
Предположим, что ф — известная функция 6, вычисленная из
экспериментально установленной зависимости (jx, V). Если С и Г — подобные
кривые, то угол между нормалью к кривой текучести и радиусом
(а = 0 равен 6. Поэтому уравнение кривой текучести
е
7W = tg(»-« или r = r0exp{ Jtg(0—»rf0], (2)
О
где г — длина радиуса, наклоненного на угол 0, а г0 — длина радиуса
при 6=0. Тейлор применил этот метод для получения кривой
текучести меди из зависимости (и, %), замеренной Тейлором и Куинни(фиг. 9).
Вычисленная кривая лежит между кривыми текучести Треска и
Мизеса, однако она ближе к последней (0 <; 6 — ^ < 4°). С другой
стороны, измерения кривой текучести близко согласуются с кривой
Мизеса (фиг. 5). Принимая во внимание разброс данных,
обусловленных изменениями в материале, и другие причины, едва ли
возможно определенно заключить о справедливости уравнения (1). Так
как при пластическом потенциале, сравнительно мало отличающемся
от окружности, могут быть получены большие отклонения от
зависимости {а = v, возможно, что истинное условие текучести для меди
в действительности незначительно отличается от условия Мизеса и
что уравнение (1) верно,
1) R. Hill, Е. Н. Lee, S. J. T upper, Proc. Roy. Soc, серия А, 1917.
т. 191, стр. 278.
2) О. I. Taylor, Proc. Roy. Soc, серия А, 1947, т. 191, стр. 441,

70
ГЛ. III. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
Когда металл течет, согласно условию Треска кривая текучести
является правильным шестиугольником (фиг. 4). Если уравнение (1)
имеет силу, то пластический потенциал представляется аналогичным
шестиугольником, а вектор приращения деформации направлен по
нормали к одной или другой стороне; это направление, как мы
видели, соответствует чистому сдвигу. Отсюда вытекает, что
приращение пластической деформации одно и то же для всех точек
любой из сторон шестиугольника и что оно представляет собой
чистый сдвиг в направлении максимального касательного напряжения.
Работа, произведенная при заданной деформации сдвига, одна и
та же для всех возможных соответствующих напряженных состояний
(так как проекция вектора напряжения на нормаль к стороне является
постоянной), и она больше, чем работа, созершенная любой другой
пластической системой напряжений. Тогда в металле, для
которого условие текучести близко соответствует условию Треска,
а именно в отожженной мягкой стали, последующее приращение
деформации в линиях Людерса представляет собой сдвиг в
направлении наибольшего касательного напряжения. Следовательно, в этом
случае также пластический потенциал и кривая текучести по
меньшей мере приблизительно подобны,
2. Единственность распределения напряжений
при данных граничных условиях1)
а. Упрочняющийся материал. Рассмотрим массу идеального
материала, которая была деформирована любым способом под
действием приложенных поверхностных сил или заданных поверхностных
перемещений. В общем случае часть массы будет пластической,
часть ее будет разгружаться от предшествующего пластического
состояния, но вся оставшаяся часть будет деформироваться упруго.
Истории деформации каждого элемента обычно будут различными
и параметр С (уравнение (21) главы II), устанавливающий
окончательное состояние упрочнения, будет изменяться от точки к точке.
Текущие значения С и напряжения aij рассматриваются как
известные величины. Теперь допустим, что на поверхности
прикладываются бесконечно малые дополнительные приращения напряжения
или сообщаются дополнительные перемещения. Найдем условия,
при которых соответствующие малые изменения напряжения и
деформации по всей массе однозначно определяются при данных
граничных условиях, если зависимости между напряжением и
деформацией сформулированы для идеального материала. Будем
предполагать, что функция f(?ij), определяющая кривую текучести, является
также пластическим потенциалом. Поэтому зависимости между
бесконечно малыми изменениями напряжения и деформации в любом
*) При первом чтении книги оставшаяся часть этой главы может быть
опущена.

2. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ 71
элементе принимаются в виде
d<j=iu+hi^;df' где /М=с и rf/>°;
л;
rfe'y = 977 > где -^^*^ < с>
или где f(?ij) = c и df^.0;
ds =
1—2v
Из везде (йз=-д-*/ви, da = -jdauj. I
(3)
Функция /г, не считая того, что она положительна, не
ограничивается никаким образом; нет также необходимости сохранять то
ограничение, что / является однородной функцией. Компоненты
приращения деформации должны получаться из приращения
перемещений duit так что
аъ=т{щаи*+-щаиА' (4)
Будем говорить, что элементы, напряженные в данное время до
предела текучести (f(^ij) = c)t составляют пластическую область.
В этих элементах создается непрерывная пластическая деформация,
если приращение напряжения таково, что d/>0; если d/=0, то
элемент остается на пределе текучести, в то время как, если d/<0,
он начинает упруго разгружаться. Там, где выполняется условие
/(а^)< Су любое дополнительное малое изменение напряжения
производит только упругое изменение деформации; будем говорить, что
эти элементы составляют упругую область, даже несмотря на то,
что некоторые из них могли быть предварительно пластически
деформированы. Наконец, и первоначальное напряжение и изменение
напряжения должны удовлетворять уравнениям равновесия
где Ъац — изменения напряжения в фиксированной точке. Эта
величина отличается от изменения d3fj в данном элементе на величину
^ц — ^и = ^нщ,
(5)
которая представляет собой изменение напряжения, обусловленное
движением элемента. Таким образом, для величин doij уравнения
равновесия будут:
д д / дзн\ д dajj
■Ш *Ч = Ш {<*«>< дК) = Ш (*«*> Ш •
(б)
так как

72
ГЛ. III. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
В линейной теории упругости правой частью уравнения (6)
пренебрегают, так как изменение деформации имеет порядок величины \/Е,
умноженной на изменение напряжения; однако там, где имеют дело
с пластическими деформациями, правая часть уравнения (6) не
обязательно пренебрежимо мала, если степень упрочнения мала по
сравнению с Е.
Теперь допустим, что (ds^, dui) и (do* du*j) — два различных
распределения приращений напряжения и деформации,
удовлетворяющих уравнениям (3), (4), (6) и соответствующих тем же самым
изменениям напряжения или перемещения на поверхности. Рассмотрим
интеграл
взятый по всему объему массы. Благодаря (4) и симметрии тензора
напряжения интеграл может быть написан как
J (do^-doJ^idu'i-dujdV.
Это, очевидно, равно
J" щ {К* - dai) (d< - dul>}dV -
- j* (du* - du,) jL Щ. _ d%) dV.
Так как малые изменения напряжения и перемещения являются
в упруго-пластическом материале обязательно непрерывными, мы
можем для преобразования первого объемного интеграла в интеграл
по поверхности массы использовать теорему Грина
J" <d°'{J - d«4) (da* - dut) lt dS - j (du* - dut) ± (da*} - d%) dV,
где lj—единичный вектор внешней нормали к поверхности. Тогда
возможность того, что дифференциалы da^ и dc\ являются
разрывными, должна быть принята во внимание, поскольку уравнения (3),
(4) и (6) строго удовлетворяются только тогда, когда изменения dc{j
и rfoj. принимаются бесконечно малыми, имеющими в пределе смысл
дифференциалов. Так часто бывает, например, на поверхности
раздела упругой и пластической областей, так как скорость изменения
напряжения по отношению к внешним нагрузкам или перемещениям
может быть различной в обеих областях; разрыв в любом элементе
является, конечно, только мгновенным, пока элемент переходит из
одной области в другую. Поэтому в пределе d(d<s*. — й<з..)/дх1 на
такой смежной поверхности разрыва становится бесконечно большим,
а поверхности раздела соответствует конечный член в объемном

2. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ 73
интеграле последнего уравнения. Если только интерпретация дается
в применении к объемному интегралу, то уравнение правильно,
когда doij и т. д. являются дифференциалами. С использованием
уравнения (6) получим окончательно:
+ jida*-dui){Fj{(dal-duk)dgi}dV==
= j (rfa*;.- d%)(du*-du.)I. dS = 0, (7)
если граничные условия такие, что на поверхности
h (d6*a—daij) (du*i—dui) = ° • (8)
На любой поверхности раздела S, где градиент напряжения терпит
разрыв, объемный интеграл уравнения (7) возрастает на величину
^dul-du.Xdul-du^yjdl,
где квадратные скобки означают скачок doij[dxk в направлении
единичного вектора нормали \j к 2. В частности, уравнение (8)
удовлетворяется, когда задаются такие внешние перемещения, что
da*i = dui на 5. Если задано внешнее напряжение Р% = 1рХу то
граничное условие таково, что d{lpij) является заданным. Это, если
не допустимо пренебрегать изменением dlj нормали к поверхности
в течение деформации, не означает, что l.da*. равно ljdGij. Таким
образом, когда задается внешнее напряжение, выражение в (7)
отличается от нуля на величину, зависящую от изменения формы
поверхности 1).
Из (3) имеем:
(do*j~da.J)(dz*.-dB.J)^
= (do*.j — do.5) (Л£ — di'J -h 3 (rfa* — do) (dz* — dz) =
= h ^- (d^ — d%) (a* df* — *df) +
+ш К - <? К - d<?+§1Li^ ^ ~ d0)u'
!) С другой стороны, можно принять в качестве основы для
исследования единственности уравнение
j И - ь°ц) Vhj - **ij) av = j (Ц - ь,..) (du* - dut) ij dS
в комбинации с уравнением (5). При обосновании этого уравнения должно
быть обращено внимание на то, что из соображений равновесия величина
^; Ъзц непрерывна на разрывной поверхности раздела.

74
ГЛ. III. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
причем
а=1, где /(а^) = с и d/>0;
а = 0, где /(ai;.)<0 или где /(<з^-) = с и d/<0;
а* =з 1, где /Oty) = с и d/* > 0;
а* = 0, где f(?ij)<c или где /(з^) = с и d/* < 0.
Так как
вышеприведенное выражение равно
Л (rf/* - <*/) (a* J/* — « ^Л + 2S* (dotJ — da'^ (rf°i — do<>> +
+ 3(^)(rf0._da)9
При рассмотрении четырех возможных комбинаций знаков, которые
могут иметь df и df* в любой точке, можно непосредственно
показать, что первый член никогда не является отрицательным !).
Поскольку два последних члена вместе всегда положительны, если не
имеет место равенство do*j = day, то все выражение положительно,
исключая случай, когда dd\j = da^. С другой стороны, если
объемным интегралом в (7) можно пренебрегать, то
j (dc*j - day) (dsjy - d^) dl/ = 0
при условии, что граничное условие (8) удовлетворяется. Отсюда
следует, что в приближении, состоящем в пренебрежении объем-
ним интегралом, не может быть двух различных решений.
Объемный интеграл строго равен нулю, когда
— = 0
т. е. когда распределение напряжения равномерно. Если масса
целиком упругая или если существующее напряженное состояние та-
*) Этот член равен нулю в упругой области или там, где как da^-, так
и da*j производят разгрузку в пластической области, так как a = a* = 0. Там,
где оба они вызывают нагружение (a = cr = l), член равен величине
h(df:— df)2, которая никогда не является отрицательной (п существенно
положительно). Там, где da(j производит нагружение (а == 1), a da**—
разгрузку (з* = 0), член равэн величине k (df* — dj) {—df); он никогда не
является отрицательным, поскольку d/>0, d/*<i0. Там, где dj/v производит
разгрузку (а=0), а day — нагрузку (а*=:1), член равен h(df — df)df*\ он
снова никогда не является отрицательным, так как rf/^0, d/*!>0f

2. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ 75
ково, что упругая область ограничивает приращения деформации
в пластической области величиной порядка \/Е, умноженной на
приращение напряжения, тогда при обычном приближении линейной
теории упругости решение является единственным; эта теорема, по
существу, дана Меланом *) (1938). Однако, когда возможны
большие пластические деформации, для получения определенного ответа
предыдущего анализа недостаточно. Действительно, легко придумать
примеры, где два решения являются вероятными физически, так же
как и математически. Например, если полая сферическая оболочка
расширяется под действием внутреннего давления достаточно сильно,
то достигается стадия, при которой дополнительное пластическое
расширение не требует слишком больших давлений. Ясно, что
после этой стадии существуют два решения, соответствующих
данному малому понижению давления: одно представляет собой
упомянутое пластическое расширение, другое — начинающееся упругое
восстановление всей оболочки. С другой стороны, в этом примере
и также в более общем смысле можно подозревать, что имеется
однозначное решение, соответствующее заданным внешним
перемещениям. Этот вопрос ожидает дальнейшего исследования.
Ь. Не упрочняющийся материал. Зависимости между
напряжением и деформацией для неупрочняющегося материала (с —
константа) будут:
(9)
Когда приращение напряжения сохраняет пластический элемент на
пределе текучести (rf/=0), то связанное с ним приращение
деформации должно быть таким, чтобы пластическая работа была
положительной. Тогда
Скалярное произведение а^ на df/da{j является положительным, так
как вектор, представляющий df/do^, в плоскости П направлен вдоль
внешней нормали к кривой текучести. Поэтому требование
удовлетворяется, если
dA>0. (10)
А' -^й
У - 20 '
или
где
где
где
ds = v—-—- do везде.
Е
f(Pi$) = c
f(°ij) < с,
f(*ij)^c
и df=0;
и df<0;
1) Е. Melan, Ingenieur Archiv, }938,[т. 9, стр. 116,

76
ГЛ. ИГ. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
Из (9) следует, что (принимаются обозначения предыдущего
раздела)
(do'j - dotf (dt*ij - йгф = (df* - df) (a* dk* — a d\) +
+ш К - d<? К - Ч>+^пй*(d0* ~da)3-
Первый член правой части всегда положителен или равен нулю,
тогда как последние два члена вместе положительны, если не имеет
места равенство do*j = daij. Рассуждения приводят, как и прежде,
к заключению, что распределение напряжения единственно, если
возможны только малые деформации; это было доказано
Гринбергом г) для материала Рёйсса и Бауером 2) для материала с
произвольной функцией /. Однако без дополнительного исследования
нельзя заключить, что перемещения также однозначны. В то время
как для упрочняющегося материала приращение деформации в любом
элементе определяется приращением напряжения, величина
пластической составляющей приращения деформации в неупрочняющемся
материале не определяется только из уравнений (9), так как dk
может иметь любую положительную величину. Вообще еще неизвестно,
для каких граничных условий и существующих напряженных
состояний перемещения однозначны; однако доказательство
однозначности может быть дано в особых случаях (см., например, разд. 2, с
главы IX).
с. Жестко-пластический материал. Материал представляется
как жестко-пластический, когда модулю Юнга его приписывается
бесконечно большое значение. В пределе упругая часть деформации
равна нулю (отсюда вытекает, что изменение объема отсутствует),
а поэтому элемент является жестким, когда он напряжен ниже
предела текучести. Во многих задачах, где пластические деформации
велики, распределение напряжения, вычисленное для
жестко-пластического материала, близко аппроксимирует распределение
напряжения для упруго-пластического материала. Так как решение задач
часто гораздо проще для первого, исследование соответствующих
требований для единственности стоит затраченного времени.
Во-первых, теоремы единственности предыдущего раздела, как
и следовало ожидать, попрежнему верны для материала, у которого
Е имеет очень большую, хотя и конечную величину. Если
существующее напряженное состояние таково, что непластический
материал стесняет оставшуюся часть, то вся масса является в пределе
жесткой и существует только одно распределение приращений
напряжения, соответствующее заданным приращениям внешних
нагрузок. С другой стороны, если вся или часть пластической области
1) Н. J. Green berg, Quart. App. Math., 1949, т. 7, стр. 85.
2) F. В. Вайе г., Quart. App. Math., будет опубликовано,

2. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ 77
свободно деформируется, то решение не обязательно является
единственным.
Однако, когда приращения перемещений на поверхности заданы,
мы должны отличать поведение жестко-пластического материала
от поведения упруго-пластического материала с конечным модулем
Юнга* Полезно сослаться на геометрическое представление
напряжения и деформации (разд. 5, b главы 11). Рассмотрим
упруго-пластический элемент, которому сообщается данное приращение
деформации, не вызывающее изменения объема. Если элемент не является
пластическим или если в нем вызывается разгрузка от пластического
состояния, то приращение деформации полностью упруго. Если
элемент остается в пластическом состоянии, то вектор, представляющий
упругую часть приращения деформации, имеет постоянным
компонент, перпендикулярный к соответствующей нормали к кривой
текучести. Отсюда следует, что приращение напряжения, равное
величине 2G, умноженной на упругое приращение деформации, всегда
растет неограниченно при стремлении Е к бесконечности. Поэтому
в пределе напряжения в жестко-пластическом элементе изменяются
разрывно. Единственное исключение существует для пластического
состояния, в котором соответствующая нормаль к кривой текучести
параллельна вектору, представляющему заданное приращение
деформации (и для которого главные оси напряжения и приращения
деформации совпадают); тогда будем говорить, что приращение
деформации совместно с существующим напряжением. Если
приращение деформации не совместно, то вектор напряжения поворачивается
так, что оно становится совместным. Если теперь элемент берется
вдоль определенного пути деформации, то вектор напряжения
поворачивается так, чтобы быть всегда направленным по касательной к пути
деформации; если только путь деформации имеет непрерывно
поворачивающуюся касательную, то напряжение также изменяется
непрерывно х). Значит, вообще, когда поверхности массы
жестко-пластического материала сообщены приращения перемещения (не
вызывающие изменения объема), напряжение изменяется разрывно, так
чтобы стать совместным с приращением деформации во всех точках.
Впредь при условии, что распределение напряжения в зависимости
от поверхностных перемещений изменяется плавно, теоремы,
установленные в предыдущих разделах, применимы.
Естественно выяснить, является ли единственным совместное
распределение напряжения, вызванное перемещениями, приложенными
на поверхности, или оно зависит от напряженного состояния,
существовавшего заранее. В частичном ответе на этот вопрос мы теперь
докажем, что имеется не более одного совместного распределения
*) Отметим, что в неупрочняющемся жестко-пластическом материале при*
ращение напряжения не зависит от изменения длины пути деформации, но
определяется изменением направления пути деформации.

78
ГЛ. III. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
напряжения, для которого вся пластическая масса деформируется*
пластически *). Эта теорема имеет довольно ограниченное примене-
ние, так как масса доводится до полностью пластического состояния
только при особых распределениях перемещений по поверхности,
Допустим, что (рц, dui) и (sjj, dtij) могли бы быть двумя
совместными решениями, соответствующими одним и тем же граничным
условиям. Посредством теоремы Грина и уравнений равновесия
может быть показано, что
j 0U — *<*) (Л* — dfy) dV= j (4 — a{J) {dul — du{) ljdS=*0, (11)
если на поверхности
(/4-/^(^5 — ^) = 0, (12)
где Fi^=-ljdij означает внешнее напряжение. Это условие, в
частности, удовлетворяется, когда перемещения на поверхности заданы.
Тогда, если оба решения таковы, что вся масса является
пластической в каждой точке, то
/<°у) = /(«*) = с
причем с устанавливает местное состояние упрочнения
непосредственно перед приложением бесконечно малых перемещений.
Следовательно,
<?Ъ - °ij) №j - йг$ = tfj - су) (Vdk._*Ldk\ (! з)
где dk и dk* положительны или равны нулю, a dfjdc*j
означает df(o*:)ldo*j (для настоящей цели, когда материал
упрочняется» нам нет необходимости писать dk как hdf). Тогда величина
ipij — Qij) df/dc*j пропорциональна скалярному произведению
внешней нормали к кривой текучести в точке а*, и хорды, соединяющей о^#.
с а!.. Это произведение, очевидно, положительно, так как кривая /
согласно гипотезе никогда не является выпуклой по отношению
к началу. Поскольку (о^- — о*^)д//да^ также положительно, то
величина (13) тоже является положительной, если о'. не равно о* Сле-
довательно, из (11) вытекает, что aij и о*^ могут отличаться в каждой
точке только на гидростатическое напряжение, которое вследствие
равновесия должно быть постоянным.
Граничное условие (12) также удовлетворяется, если заданы
внешние напряжения (Ff = F^ или если заданы нормальный
компонент перемещения и равнодействующая касательного, напряжения
(так как вектор du* — dui лежит в касательной плоскости, а
вектор F* — Fi направлен вдоль нормали, то их скалярное произведе-
1) R. НЛ1, Quart, Journ. Mech. App. Math., 1948, т. 1, стр. 18.

8. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ И ВАРИАЦИСИНЬ'Е ПРИНЦИПЫ 79
ние исчезает). Таким образом, в жестко-пластическом материале
не может быть двух различных пластических напряженных
состояний, удовлетворяющих одним и тем же граничным условиям. С
другой стороны, приращения деформаций не обязательно являются
единственными.
3. Экстремальные и вариационные принципы
а. Упругий материал. Для целей дальнейшего сравнения полезно
проследить доказательства некоторых хорошо известных в теории
упругости экстремальных принципов. Пусть (о^, еф—напряжение
и деформация в упругой массе, которая нагружается от состояния,
свободного от напряжения, посредством внешних сил Fit заданных
на части 6У ее поверхности, и посредством перемещений, заданных
по оставшейся части поверхности Su- Если Xj— начальное
положение элемента, то уравнения равновесия таковы:
где, как обычно в теории упругости, перемещением элемента
пренебрегают. Зависимости между напряжениями и деформациями будут:
причем e{j должны получаться из непрерывных функций
перемещений uit так что
е^~ 2 \dxj~T~dxJ'
Пусть (о* £*.) — любое другое распределение напряжения и
деформации, удов летворяющее уравнениям равновесия, соотношениям
между напряжением и деформацией и граничным условиям для
напряжения, но не обязательно получающееся из функций
перемещения.
Рассмотрим интеграл
f (a!.— a..)*. dV,
взятый по объему массы недеформированной конфигурации. При
использовании последовательно уравнений равновесия и теоремы
Грина, интеграл равен
J v v гу dxj J dXj ^ ij *y if
su

80
ГЛ. III. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
так как Ft = F. по SF. Тогда
вследствие соотношения взаимности
0*е =!ki_4-3(1~2v)gg^a e*
Qifij 2d ^ £ W
Но
<•« - V <<, - *<р - ij <<—<,> (<• - «^)+3J4ru <«•—>">о.
и поэтому для всех напряжений з„ и о*, найдем:
Т (3^« - V«> > (3У — 5У) V
Равенство имеет силу, если и только если о*. ==av. Отсюда, если о!
не равно з^ во всех точках, то
J (°;д- - wdV/ > J <зу - v *v^ = J tn - ^и»d5-
После преобразования и использования теоремы Грина и уравнений
равновесия имеем:
YJ<AdV- jF>i^>i^i.eijdV- JFittidS =
Su St;
= -±- JF^dS — - J FitttdS. (14)
8p Sy
Это — хорошо известный экстремальный принцип, состоящий в том,
что выражение левой части (14) в действительном состоянии
принимает абсолютное минимальное значение (отсюда как
непосредственный вывод следует, что граничные условия определяют
единственное решение). Используя соотношение между напряжением и
деформацией, чтобы выразить левую часть только через <з*. или £?.,
мы получим две дополнительные формы принципа; каждая из них
применяется в зависимости от удобства при приближенном решении
специальных задач.
Более слабое требование иногда дается в форме вариационного
принципа для распределений напряжения а*., отличающихся
бесконечно мало от действительного. Это доказывается следующим
образом. Пусть Е* означает потенциальную энергию 1l2°*i3e*j элемента,

3. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ И ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ 81
в котором напряжение равно о* Найдем, когда выражение
fFdV— j F*u.dS
принимает стационарное значение по отношению к вариациям о*
удовлетворяющим уравнениям равновесия. Вследствие обычного
преобразования это выражение равно
sF
Так как F*iz=zFi на Sp, это выражение имеет стационарное
значение, когда в каждой точке
Поскольку а* и г* связаны зависимостями между напряжением и
деформацией
6ij ** '
то выражение имеет стационарное значение, когда е*. = £. , т. е.
в действительном состоянии.
Второй экстремальный принцип касается распределений (с* е*.),
где е*. выражается через перемещение u*it удовлетворяющее
граничным условиям, но с* не удовлетворяет уравнениям равновесия.
Начнем с интеграла
и преобразуем его в
причем здесь используется то обстоятельство, что ^==tft на Szf.
Тогда благодаря соотношению взаимности имеем:
Следовательно, согласно неравенству, доказанному выше, если о*.
не равно о^, то
$ Зак. 143Ь. Р. Хилл

82
ГЛ. III. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
Интегрируя это по объему и преобразовывая результат, найдем:
( u*F.dS— i- [o*e*dV< \u4F.dS —-J- f o..e..dV =
-y Jf4«.rf5—i (V;M<S. (15)
Сравнивая зто с (14), заметим, что в обоих уравнениях выражения
правой части совпадают и что они представляют абсолютный
минимум функций (о* £*,) в (14) и абсолютный максимум функции
(о*., е*.) в (15). Эти экстремальные принципы заключают в себе
способы получения верхней и нижней границ в приближенном
решении специальных задач.
Наконец, отметим, что аналогичные экстремальные принципы
могут быть доказаны одинаковым образом для приращений
напряжения и деформации.
Ь. Упруго-пластический материал. Ограничим наше внимание
существующими напряженными состояниями, в которых приращения
пластической деформации вынуждены иметь порядок величины \/Е,
умноженной на приращение напряжения. Пусть (doiji de^) —
действительные приращения напряжения и деформации, произведенные
данными приращениями внешнего напряжения dFi по части Sp
поверхности и данными приращениями перемещения по оставшейся
части Sy поверхности. Пусть (da*^, йг*Л — любые приращения,
которые удовлетворяют соотношениям между напряжением и
деформацией, граничным условиям для напряжения и уравнениям
равновесия, но такие, что cfs* не обязательно выражается через
непрерывное перемещение. Другими словами (flfo* йг*\— физически
возможные приращения для элемента, если он был свободен, но не
обязательно возможные, когда он подвержен стеснению
окружающего его материала. Можно показать обычным путем, что
/ f(^-da..)ds..} dV = / {«-*/>,)<*«.} dS.
ftp
Тогда
2(di'K:~d*..)dz..^
53 <<Ч dhj ~ йои </•<,) - \do*4 (A*y - d8y) + dti: (day - da*,)].
Но для упрочняющегося материала
= Ш {К - <Ч} К - d°'J + ^^TT* (d°* ~ d0)*2 +
+ \h df" (a* df — a df) ~f- ah df(df— df)],

3. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ И ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
83
а для неупрочняющегося материала
+ [df*(**d\* — cida)-\-oLdk(df—df*)l
В обоих случаях первые два члена правой части вместе являются
положительными, исключая случай, когда йз*. = йо.„ тогда как
член в квадратных скобках никогда не является отрицательным *).
Отсюда следует, что, исключая случай, когда da*. = da..t
ij ij
-rrido* ds* — do,,ds..) > (da* — da.J)da,,.
Таким образом, до тех пор, пока в каждой точке da* не равного..
J(dc*jds*j-daiudzij)dV> J {(art-dFJduJdS
или
1
I f (rfoj,ds*.)dV- f (dF*da.)dS>\ J (dctf ds..) dV/-
— Jcd^d^dS^-^ jidFtduddS — 1 ((d/^da^dS. (16)
Sjt SF $1-
Этот экстремальный принцип, по существу, дан Ходжем и Праге-
ром для упрочняющегося материала, Гринбергом для
неупрочняющегося материала Рёйсса и Бауэром для неупрочняющегося
материала с произвольной функцией /*). Из (16) можно непосредственно
*) Для обоих материалов этот член равен нулю в упругой области или
там, где как dai , так и ds*j производят разгрузку в пластической области, так
как а = а* = 0. Там, где оба вызывают нагрузку (з=а*=1), член
соответственно равен h(df- — dff или нулю; поэтому он никогда не является
отрицательным. Там, где dvjj доставляет нагружение (а = 1), a daj- приводит
к разгрузке (а* = 0), член соответственно равен h (d/2 — 2dfdfu) и — 2dfdl;
оба эти значения неотрицательны, так как d/>0, d/':'<0, d^>0. Когда do^
производит разгрузку (a = 0), а da*. — нагрузку (ос* = 1), член соответственно
равен hdf^ и нулю; он снова неотрицателен.
2) P. Hodge, W. Prager, Journ. Math, and Phys., 1948, т. 27, стр. 1;
H. J. О r e e n D e r g, цит. выше, стр. 76; F. В. Bauer, цит. выше,
стр. 76, Названные первыми авторы доказали теорему при ограничении, что
ни одна часть пластической области не должна разгружаться; настоящее
доказательство было выполнено автором позднее; письмо к В. Прагеру от
10 июня 1949 г.
§*

84
ГЛ. Ш. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
получить единственность распределения приращения напряжения,
уже доказанную более прямым способом в разделе 2, Ь.
Поучительно сравнить вышеприведенное доказательство с
доказательством более слабого вариационного принципа,
утверждающего существование в действительном состоянии стационарного
значения х)
j\(d^d^)dV- j(dF*du^dS.
Преобразование поверхностного интеграла имеет своим результатом
J (т d«% d*b - d0*v dan)dV + J (dF*i duJdS-
Так как dF*i = dFi на SF, то последний интеграл постоянен, а
выражение имеет стационарное значение для вариаций da*., когда
в каждой точке
з(1</о* Л!, — da*. rfo,) = 0,
Тогда для упрочняющегося материала из (3) следует, что
Поэтому
s(t^"««)=3j^^<*-)+(#+»-<^)*K).
так как
Следовательно,
\ 2 гЭ г3) гу v гу*
также
Таким образом, условие для стационарного значения таково:
ds* = rfs.., т. е. приращения должны быть равны действительным
приращениям.
Точно так же как в чисто упругом материале, здесь имеется
второй экстремальный принцип для распределений (do*., dz*)y где
J) Для случая / = ^2 (материал Рёйсса) это доказано W. Р г а g е г ' о м,
Ргос. 6-th Int. Cong. App. Mech., Paris, 1946.

3. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ И ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
85
dz* выражаются через перемещения du*v удовлетворяющие
граничным условиям, но da*, не удовлетворяет уравнениям равновесия.
Следуя обычному методу, начнем с уравнения
J* {(dz*.-Л„)doj dV = J \(du*.-du.)dFJ dS
и тождества
== (do* dz*. — da..dz..) — \dz*,(da*. — da..) + da..(dz.. — dz*.)].
v 13 13 13 13' l %3v г,; г^7 ' 13^13 %37i
Согласно доводам, использованным прежде, можно показать, что
член в квадратных скобках является положительным и для неупроч-
няющегося и для упрочняющегося материала, пока da* не
равно da{.. Таким образом, исключая случай, когда da*=daij,
получим:
~ (do*. dz*. — do.4 dz,.) > (de% — dz.) da...
2 v tj %з 13 13' ^ v %3 ъз ъз
Отсюда, пока da*, не равно da. , в каждой точке имеем:
%3 i>3
\ {da*. dF.) dS — ±j (da*, dz*.)dV < J (d«<dF<)^S —
— yf(daiJdeii)dK=i JV^d^dS —1 [(d^d^dS. (17)
Сравнивая это выражение с (16), замечаем, что в первом принципе
правая часть является минимумом одной функции от (da* dz*.),
а во втором — максимумом другой. Эта теорема, по существу,
дана Гринбергом для неупрочняющегося материала Рёйсса и Бауе-
ром для произвольного неупрочняющегося материала *).
с. Жестко-пластический материал. В разделе 2, с теорема
единственности была доказана для совместного распределения
напряжения при таких граничных условиях, что вся пластическая
масса деформируется пластически. По аналогии с предыдущими
результатами естественно ожидать двух связанных экстремальных
принципов, относящихся к состоянию совместности. В одном мы
рассмотрим такие пластические состояния (а*,у ds*.), что а*
удовлетворяет уравнениям равновесия и граничным условиям для
напряжения, но ds* не выражаются через перемещения; в другом dz*
t) H. J. Greenberg, цит. выше, стр. 76; F. В. Bauer, цит. выше,
стр. 76. Эти авторы доказали теорему для таких граничных условий, при
которых ни один пластический элемент не разгружается; настоящее
доказательство предложено автором; цит. выше, стр. 83.

86
ГЛ. III. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
выражаются через da*v удовлетворяющее граничным условиям для
перемещения, но распределение а*, не находится в равновесии.
В доказательстве первого принципа естественным исходным
пунктом является уравнение
Тогда в любом элементе векторы, представляющие а!, и а' лежат
согласно гипотезе на одной и той же кривой текучести, тогда
как d^ij параллельно внешней нормали к кривой в точке з' . Отсюда
величина (а*. — ai)dzi. пропорциональна скалярному произведению
внешней нормали к кривой текучести в точке а'., и хорды,
соединяющей а', и а*.; поэтому она отрицательна, так как / является
г j гу J r J
вогнутой по отношению к началу. Таким образом, если о! не
равно с/.., то
Итак, если з* и з.. отличаются только на постоянное
гидростатическое напряжение, то
j(F*ida.)dS< fiF.duJdS. (18)
Таким образом, работа, совершенная действительными
поверхностными силами при заданных перемещениях, больше работы,
выполненной поверхностными силами, соответствующими любому другому
равновесному пластическому напряженному состоянию *). Это
известно, как принцип максимальной пластической работы.
Доказательство второго принципа начнем с уравнения
( {(dz*j-deij)oij)dV= f {(dul — duJFJdS
*) R. Hill, цит. выше, стр. 78. Тот же самый принцип применим также
для зависимостей Хенки между напряжениями и деформациями, когда
материал является несжимаемым и неупрочняющимся; см. А. Н. Philippidi s,
Journ. App. Mech., 1948, т. 15, стр. 241 и обсуждение Н. J. Greenberg'a,
там же, 1949, т. 16, стр. 103. Когда существует упругая область, зависимости
Хенки для пеупрочняющегося материала связаны вариационным принципом,
предложенным А. Н а а г'ом и Th. von К а г m а п'ом, Gottingen Nachrichten,
math.-phys. Klasse, 1909, стр. 204; доказательство принципа Хара — Кармана
при этих условиях дано Гринбергом, Brown University, Division of
App. Math. Rep., A 11—S, 4, 1949. Эвристический принцип максимального
пластического «сопротивления» был установлен М. А. Садовским, Journ.
App. Mech., 1943, т. 10, стр. А — 65, на основе его успеха в нескольких
случаях; условия, при которых из него удается получить точное решение
установлены в статье Хилла*

3. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ И ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
87
и рассмотрим особый случай материала Рёйсса (/==а'з'). Для
этого случая векторы, представляющие о^. и dz{., параллельны,
а их скалярное произведение of..dti (или a..dsr) равно
произведению их длин или модулей | о^. | и \ds.. |, где
Между прочим, можно напомнить, что модули пропорциональны
соответственно эквивалентному напряжению и эквивалентному
приращению деформации; действительно, согласно уравнениям (14)
и (16) главы II
з=/!кл ^-=/"|i^
Тогда скалярное произведение двух непараллельных векторов,
представляющих о'., и dfe*, конечно, меньше, чем произведение их мо-
дулей. Следовательно, если з! не равно о'{., то
Отсюда следует l), что если oij и o{j отличаются не только на
постоянное гидростатическое напряжение, то
J (I *iA I d**j\)dV — f (FtdubdS > / (| aj; | |ds^| )dV —
Я/?
— $(Fidui)dS=$(fidui)dS. (19)
Правые части уравнений (18) и (19) тождественны. В последнем
уравнении величина |з' |, устанавливающая начальное состояние
упрочнения, может быть рассмотрена как известная. Если состояние
упрочнения однородно (| з( .| = const) и если дополнительно
перемещения заданы во всех точках поверхности (5> = 0), уравнение (19)
сводится к
f\d*4\dV> f\dztJ\dV.
В этой ограниченной форме принцип был впервые установлен
Марковым 2). Аналога выражения (19), пригодного для практических
приложений, в случае произвольного материала не опубликовано;
аналог существует, но функция, принимающая минимальное
значение, включает в себя, кроме степени упрочнения, неизвестное
напряжение ziy
1) R. Н \ 11, Joura. App. Mech., 1950, т. 17, стр. 64.
2) А. А. Марков, Прикладная математика и механика, 1947, тч 11,
стр. 339,

88
ГЛ. III. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
d. Обращение соотношений между напряжением и
деформацией. Для приложения уравнений (16) и (17) К специальным задачам
необходимо выразить d3*..dz*~ только через независимые величины
do* или dt*. . соответственно. Покажем теперь, что это можно
всегда сделать.
Чтобы исключить й?г* , умножим
на drs* и просуммируем. Получим:
d3*'.rfs*; = ^|^+a*/^/*2. (20)
Для неупрочняющегося материала hdf* заменяется на dk*. Тогда
л* —0, где f(?ijXc9 или где f(iif) = c \\ df* < 0; где-нибудь
в другом месте dz* ограничено так, что df* = 0. Таким образом,
для неупрочняющегося материала всюду имеем:
do^.Mf.^^U. (21)
го гз 2(j v '
Чтобы исключить dz*. для пластического элемента, испытывающего
непрерывное нагружение (а*=1), сперва образуем произведение
do(j d'iJ - day "'И - { 20 + П <hfi datj ) a} (22)
(/(3W) = c, d/*>0)
для упрочняющегося материала и
^Г** = ^ -Щ ** Wit = <> df* = °' Л*> °> <23>
для неупрочняющегося материала. Так как (df/dzij)(df/dzij)—
величина положительная, равная сумме квадратов, данное приращение
деформации производит непрерывное нагружение пластического
элемента, если
^;>°- <24>
Если приращение деформации таково, что неравенство меняет знак,
то элемент разгружается. Используя уравнения (22) и (23) для
исключения df* и dk* из соответствующих зависимостей между
напряжением и деформацией, получим:
d4 „_• в*(^Л") д/
T--rf8»~ - 1 tf/ а/"»"- (25)
20Л + *>*, <ЭсА,

3. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ И ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
89
для упрочняющегося материала и
AAf
(£*!.)
df
df df \ dc.
\d°ki da
kl
(26)
для неупрочняющегося материала, где а* = 0, когда /(з^) < с или
когда fiPij) = с и ~— dt*j < 0; а* = 1, когда /(ai<?-) = с и
-з—di*.^0. Следовательно,
Г <( df и * V
do*!.dz*!.
г j г j
для неупрочняющегося и
аГз!.Л'
2 а/г ~ да^- dj?-j
df .* \2'
(27)
(28)
для неупрочняющегося материала.
Если уравнения (20), (21), (27) или (28) комбинировать с
тождеством
fo* .ds% — d4 dz*' = ЗЛ* da" = 3(172v) d^2 = ^V dst2, (29)
1 — 2v
то величины do*dz*.. выражаются только через dz\. или rfs*;..

ГЛАВА IV
РЕШЕНИЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ (I)
1. Введение
Полное решение общей задачи пластичности включает в себя
вычисление напряжений и деформаций как в упругой, так и в
пластической областях. В первой напряжения непосредственно связаны
с полной деформацией посредством уравнений теории упругости.
Во второй области, как мы видели, такого однозначного
соответствия не имеется, и дифференциальные соотношения между
напряжениями и деформациями нужно проинтегрировать, следуя за
историей деформации от момента возникновения пластичности в
некоторой точке тела. Математически процесс пластической деформации
должен быть рассмотрен как последовательность малых приращений
деформации даже тогда, когда конечная деформация настолько
мала, что изменением наружной поверхности можно пренебречь.
Когда деформации велики, то определение изменения формы
свободных пластических поверхностей делает необходимым само по
себе следование за ходом деформации от одного момента к
другому.
Решения в упругой и пластической областях взаимно связаны
определенными условиями непрерывности напряжений и
перемещений, которые должны быть удовлетворены вдоль
упруго-пластической границы. Эта граница сама по себе является одной из
неизвестных и оказывается обычно такой неудобной формы, что даже
распределение напряжений в упругой области может быть получено
только благодаря трудоемким численным методам.
Полное и точное решение пластических задач осуществимо
в относительно немногих случаях, и обычно его можно ожидать
только тогда, когда задача имеет некоторую специальную
симметрию или другие упрощающие особенности. Эта глава и следующая
за ней касаются задач, для которых аналитические решения известны
или в явной форме, или таких, для которых решение может быть
завершено непосредственно численным интегрированием, С их
помощью можно получить общее понимание взаимосвязи напряженного
и деформированного состояний в упругой и пластической областях^

2. ТЕОРИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА ХОЭНЕМЗЕР
91
Затем мы сможем сформулировать разумные приближения, которые
помогают решению более сложных технически важных задач.
Задачи, описанные в настоящей главе, особенно просты и
распадаются, вообще говоря, на две группы. В первой группе не
нужно вычислять упруго-пластическую границу, поскольку все
элементы одновременно напряжены до предела текучести. Во второй
группе существуют пластическая и упругая области друг с другом
рядом, однако деформации ограничены малыми величинами,
2. Теория эксперимента Хоэнешер
а. Когда Рейсе сформулировал свои соотношения между
напряжениями и деформациями, он предложил эксперимент, которым
могла быть проверена их обоснованность. Это было необходимо,
так как, несмотря на то, что зависимость |х = v, как показал Лоде,
приблизительно верна, когда пренебрегают приращением
напряжения и упругой составляющей деформации, однако это может быть
не так, когда упругие и пластические составляющие деформации
сравнимы. Другими словами, отношения компонентов приращения
пластической деформации могут зависеть не только от отношений
напряжений, но также и от приращения напряжений. Предложенный
эксперимент состоит в закручивании полой цилиндрической трубы
до предела текучести и затем в растяжении ее в продольном
направлении при постоянном угле закручивания; толщина стенки трубы
должна быть достаточно тонкой, для того чтобы получить
приблизительно равномерное распределение напряжений, причем металл
предварительно деформируется, чтобы гарантировать резко
выраженный предел текучести и уменьшить степень упрочнения до
величины, малой по сравнению с модулем упругости. Если а и е —
осевое напряжение и логарифмическая деформация, а т и у —
касательное напряжение и деформация, то уравнения Рёйсса
(уравнения (33) главы II) дают:
da =y ad\-\-~,
а2 4-Зт2-= г2.
Если нужно, могут быть написаны другие уравнения, из которых
находится поперечное сокращение стенки трубы. Исключение dk
дает;
, Gg , . da

92 ГЛ. IV. РЕШЕНИЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ (i)
Подстановка т из условия пластичности и последующее
интегрирование этого уравнения приводят к
6G 1+S . l—2v
-т*-]"—i+T+^s' (1)
где s = ^т.
В то время как е увеличивается, а растет от нуля (сначала со
скоростью Е) и приближается асимптотически к У, причем настолько
быстро, что а отличается от У не более чем на 1%' когда s
составляет только ЪУ/Е. Касательное напряжение z соответственно
уменьшается от YjY^ Д° нуля. Вследствие такого быстрого
первоначального изменения напряжения приращение упругой деформации
сравнимо с приращением пластической деформации, как это и
требуется. После того как деформация растяжения лишь в несколько
раз превысит деформацию предела текучести У/Е, приращение
упругой деформации станет совершенно незначительным, а
напряженное состояние фактически будет простым растяжением. Заданная
деформация кручения в это время сделается полностью
пластической (необратимой).
Этот эксперимент был выполнен Хоэнемзер *), использовавшей
предварительно деформированную мягкую сталь. Согласие с
предсказаниями уравнений Рёйсса было, вероятно, такое хорошее,
какого можно было бы ожидать, принимая во внимание различные
неопределенности, например, петлю гистерезиса, закругление кривой
растяжения у предела текучести, упругие последействия и
вероятные отклонения от соотношения jx = \, указанного экспериментами
Лоде. Вторичные факторы подобного рода, не отраженные в теории,
могут исказить любое принципиальное исследование влияния
приращения напряжения в том случае, когда деформации малы. Других
опубликованных данных из экспериментов, предназначенных для
проверки уравнений Рёйсса, не появилось 2). Повидимому,
в этом состоит одна из причин использования некоторыми
авторами, несмотря на возражения, упомянутые в последней главе,
уравнений Хенки в задачах о малых деформациях, где нагру-
жение непрерывно. Вместе с тем обнаружилось, что изменение
крутящего момента в эксперименте Хоэнемзер несколько лучше
1) К. Hohenemser, Proc. 3-rd Int. Cong. App. Mech., Stockholm, 1930,
т. 2; Zeits. ang. Math. Mech., 1931, т. 11, стр. 15. См. также К.
Hohenemser, W. Р г a g е г, там же, 1932, т. 12, стр. I.
2) После того как книга пошла в печать, Моррисон и Шеперд
(J. L. M. Morrison, W. M. Shepherd, Proc. Inst. Mech. Eng., 1950)
описали эксперимент с деформированием стальных и алюминиевых труб при
различных комбинациях кручения и растяжения. Пластические и упругие
деформации были сравнимы, а замеренные приращения длины и угла
закручивания были в действительном согласии с предсказаниями уравнений
Рёйсса (упрочнение учитывалось посредством кривой зависимости между
эквивалентными напряжениями и деформациями). В частности, первоначаль-

2. ТЕОРИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА ХОЗНЕМЗЕР
93
согласуется с теорией Хенки, чем с теорией Рёйсса *). Это
согласование случайно и никакого существенного значения этому не
должно придаваться.
b. Когда упрочнение не так мало, как мы предполагали, то
приращение упругой деформации продолжает быть сравнимым
с приращением пластической деформации, пока степень упрочнения
сравнима с Е, совершенно независимо от влияния заданного пути
деформации. Из уравнений (32) главы II имеем:
Л 3rd<j . dx , ada , dv
где
^У^а + Зт9,
a Hr— степень упрочнения (известная функция о). Из первого
уравнения
а _ У/ УЗ
J //'7 ~~ J за* ~ за у^ ■
Это представляет собой соотношение между о и ?, обычно
требующее численного интегрирования. Затем путем исключения а из
основного члена правой части второго уравнения, приведенного
выше, получим дифференциальное соотношение, с помощью которого
может быть вычислено уменьшение крутящего момента с ростом
деформации.
c. Значительный интерес представляет родственная задача
о кручении трубы, растянутой до предела текучести. Предположим,
что труба растянута до предела текучести Y и что затем к ней
прикладывается возрастающий крутящий момент. Растягивающее
напряжение будем сохранять постоянным и равным К. Тогда имеем:
7a = 3xa+rat 7<*7=ЗтЛ,
и уравнения Рёйсса принимают вид
__ ЗГт dz
__ № dx dX
а^~~ 2rt'(3x2+Y*) "Г 20 '
Из последнего уравнения мы видим, что первоначально, когда х = О,
эффективная крутильная жесткость равна все еще О; даже хотя
ная крутильная жесткость трубы, когда труба закручивалась при осевой
нагрузке, доставляющей остаточное удлинение, точно равнялась G (см.
ниже (с)). С другой стороны, уравнения Хенки приводили, как обычно,
к серьезной ошибке.
*) W. P rage г, Mem. Sci. Math., 1937, т. 87; Journ. App. Phys., 1944,
т. 15, стр. 65.

94 ГЛ. IV. РЕШЕНИЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ (l)
труба пластична, когда Иг постоянна, общая зависимость между
I и т может быть определена явным образом. Выполняя
интегрирование, получим:
Вначале зависимость (т, *[) имеет наклон касательной, равный 2G,
затем она постепенно искривляется до тех пор, пока наклон
касательной не станет равным 2/3Иг. Значение у в этом случае должно
быть точно известно. Оно равно
е
[rdb
о
где 6 — относительный угол закручивания концов трубы, а / и г —
текущие значения длины и радиуса трубы, которые могут быть
вычислены посредством использования уравнений Рёйсса для
радиального и окружного приращений деформации. Здесь у не имеет
такой простой геометрической интерпретации, как при чистом
кручении, где оно равно 1/2 tg 9» причем © — угол наклона винтовой
линии, в которую превращается первоначальная образующая трубы.
3. Совместное кручение и растяжение тонкостенной трубы
Теперь мы исследуем напряжения в тонкостенной трубе,
подверженной произвольной комбинации кручения и растяжения. Путь
деформации и степень упрочнения предполагаем такими, что упругими
составляющими деформации можно пренебречь. Пусть /0, г0 и t0 —
первоначальная длина, средний радиус и толщина трубы и пусть
/, г и t — их текущие значения. Из уравнений (32) главы II,
выраженных в цилиндрических координатах (г, 6, z), имеем:
a do . г d§ 3-е da )
(2)
а do , dt а do
~~ Ш% ' *г ~~ ~Г ~~~ ~ 2tf'a ' J
где 0 — относительный угол закручивания крайних поперечных
сечений трубы. Отсюда вытекает, что drjr — —dl/2l и, следовательно,
что
г2/ = const = rjj/0. (3)
dez
de*
dl
I
dr_
r

3. СОВМЕСТНОЕ КРУЧЕНИЕ И РАСТЯЖЕНИЕ ТОНКОСТЕННОЙ ТРУБЫ 95
Поэтому внутренний объем трубы в течение деформации остается
постоянным. Это необходимым образом верно для изотропной трубы
при чистом растяжении, как простое следствие равенства
радиального и окружного приращений деформации. Это справедливо при
совместном действии кручения и растяжения, если только
соотношение ja =: ч удовлетворяется. Тейлор и Куинни х) сделали эти два факта
основой их экспериментального определения зависимости (a, v) и
измеряли внутренний объем труб, наполняя их водой и замечая
передвижение мениска в соединенном с трубой капилляре. При
первоначальном деформировании каждого образца растяжением они были
в состоянии как предварительно деформировать материал до любой
требуемой величины, так и, кроме того, обнаруживать анизотропию
материала.
Из первого и второго уравнений (2) имеем:
.46 1/"/0^_Зх
(4)
Если путь деформации задан, то величина dbjdl может быть
рассмотрена как данная функция длины трубы. Поэтому уравнение (4)
определяет отношение растягивающего и сдвигающего напряжений
на каждом этапе. Теперь
и, таким образом, исключая х из этого уравнения и уравнения (4),
получим:
(5)
3/ \dl.
Подставляя з в первое уравнение (2) и интегрируя, найдем:
у h
где Y—первоначальный предел текучести трубы.
Мы получили зависимость между - и длиной трубы (левая часть
уравнения, очевидно, равна I rfsJ. Когда этот интеграл определен
численным интегрированием или другим способом, то о и х
непосредственно находятся из (4) и (5). Растягивающее усилие равно 2^rh,
а. крутящий момент G составляет 2~г2£т. Поскольку объем
материала трубы 2кг It остается постоянным, то имеем rlt = r0t0t0.
Следовательно, из (3)
£-£-/?• т
l; G. I. Taylor, H. Qninney, Phil. Trans. Roy. Soc, серия А, 1931,
т. 230, стр. 323.

96 ГЛ. IV. РЕШЕНИЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ (l)
Поэтому
L = 2^0(^)0, Q = 2*rfa^(Jf-J- (В)
Обратно, если имеют место некоторые ограничения, накладываемые
на напряжения, приложенные к трубе (например, усилие или
крутящий момент может поддерживаться постоянным), исключение с, а и т
из (4), (5), (6) и (8) дает зависимость между 0 и /, из которой
может быть вычислен получающийся путь деформации.
4. Совместное кручение и растяжение цилиндрического стержня
Предположим, что упругая часть деформации незначительна и что
стержень всюду пластичен. При этих допущениях исследование
тонкостенной трубы приводит нас к предположению, что
цилиндрический стержень ведет себя, как если бы он представлял собой
совокупность концентрических оболочек, в каждой из которых
напряженное и деформированное состояния развиваются независимо.
Поскольку внутренний объем каждой оболочки остается постоянным,
то материал внутри любой оболочки может быть размещен без
образования других компонентов напряжения, а поперечные сечения
будут оставаться плоскими. При строгом исследовании эти
предположения подтверждаются. Для анализа удобно ввести компоненты
a, v, w скорости элемента, отнесенного к цилиндрическим
координатам (г, 0, z). Предполагая, что поперечные сечения остаются
плоскими и что местная скорость деформации является только
функцией радиуса г, мы попытаемся ввести следующие выражения для
скоростей:
/Г вГ2 \z /АЧ
"=-2Г. * = — ' W=— ■ (9)
Здесь начало координат выбирается в центре одного торца, который
считается закрепленным, / — длина стержня, 0 — относительный* угол
закручивания концов стержня, а точка означает производную по
времени. Предполагая далее, что только компоненты напряжения az=o
и тб2 = z отличны от нуля, уравнения (32) главы II сведем к1)
/ са • /■ 6 Зта
21
1
21
1 ос
wV
CG
2Я'а
»
2Я'а
Ти> = 0.
1) Выражения для компонентов скорости деформации в цилиндрических
координатах см. в приложении II.

5. СЖАТИЕ ПРИ УСЛОВИЯХ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ 97
Они все удовлетворяются при условии, что
/ са гЪ Зх
\~ Н'Ъ I ~ a
Напряжения являются функциями только радиуса л и, таким
образом» уравнения равновесия автоматически удовлетворяются. Поэтому
уравнения (9) и (4 ) составляют совместную систему напряжений и
скоростей, а представление о сплошном стержне, как о
совокупности независимых оболочек, подтверждается. Это не будет
справедливо в общем случае для любой зависимости (р., \), так как
внутренний объем оболочки не будет постоянным (радиальное и окружное
приращения деформации не равны). Поперечное сечение неизбежно
должно стать искаженным, исключая случай, когда стержень
нагружен или чистым растяжением (а =: v ==—1), или чистым
кручением (а = v = 0).
Когда упрочнение отсутствует, распределение напряжения
непосредственно находится из уравнений
1 х г do г
где а — величина, не зависящая от г, но изменяющаяся со временем.
Тогда
о = —=т, т= ==г. (10)
Y& -j- Зга у> -f- 3/-2
Эти формулы, повидимому, были впервые установлены Надаи1).
Касательное напряжение растет от нуля на оси стержня до
максимума у поверхности. Если путь деформации задан, то а должна
быть рассмотрена как известная функция длины стержня. Обратно,
если на относительные значения усилия и крутящего момента
наложено некоторое условие, то параметр ос и путь деформаций могут
быть вычислены.
5. Сжатие при условиях плоской деформации
Прямоугольный брусок металла с краями, параллельными осям
х, у и z, сжимается в направлении х между перекрывающими его
жесткими плитами. Удлинение допускается только в направлении у
и предотвращается в направлении z благодаря жестким матрицам.
Все поверхности контакта предполагаются идеально смазанными,
так что деформация является плоской и однородной. Это экспери-
1) A. Nadai, Trans. Am. Soc. Mech. Eng., 1930, т. 52, стр. 193.
Параметр а в формуле Надаи имеет другой смысл, поскольку он использовал
зависимость Хенки между напряжениями и деформациями.
7 Зак. 1438. Р. Хилл
(4')

98 ГЛ. IV. РЕШЕНИЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ (i)
ментальное устройство было применено Бриджменом*). Решение
задачи иллюстрирует обычные особенности всех задач плоской
деформации2). Предполагается, что упрочнение равно нулю и что металл
течет в соответствии с -законом Треска. Пока брусок напряжен еще
упруго, то з„ = ^ж. Впоследствии будет показано, что az всегда
является промежуточным главным напряжением; следовательно,
в начале течения и во время всей последующей пластической дефор-
— Y. Уравнения Рёйсса будут:
Лгх = -3 (2с^ — СУ — °г) dk + ~g (dax — 4doy — 4 doz),
йгу = j (2oy — g2 — ox) dk + -g- (doy — v d?z — v dox),
= dzz = — (2az — ax — ay) dk + -^ (dnz — v dax — v diy).
(П)
Подстановка 3^ =— У\ ^ = 0, исключение dk из первого и третьего
уравнений и последующее интегрирование дают:
где
Y
-о—^
— деформация в момент появления текучести бруска. Если
необходимо, то деформация еу может быть определена из второго
уравнения Рёйсса. Так как сжатие продолжается, последний член
становится несущественным, a az быстро растет от значения — vK в начале
текучести до предельной величины — 11^> Например, если v = 0,3
(типичное значение для металлов), то az уже равно — 0,498Y после
пластической деформации, только в пять раз превышающей
деформацию предела текучести. Благодаря этому быстрому начальному
изменению oz приращение упругой деформации сравнимо с
приращением пластической деформации, когда полные деформации в три-
четыре раза больше деформации предела текучести. С этого времени
приращение упругой деформации быстро уменьшается по
относительной величине, аагв чрезвычайно близком приближении можно
полагать равным —i/2Y или 1/2ох. Поучительно рассмотреть это
посредством геометрических представлений, описанных на стр. 57.
Аналогичные заключения получаются, если металл течет согласно
закону Мизеса
°l — *x*, + £=Y2. (12)
1) P. W. Bridgman, Journ. App. Phys., 1946, т. 17, стр. 225.
2) R. H i 11, Journ. App. Mech., 1949, j. 16, стр. 295.

5. СЖАТИЕ ПРИ УСЛОВИЯХ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ 9Й
Поскольку в упругом состоянии ог = ^аа}, то текучесть начинается,
когда
— —у — — (1 —v2)K
Для обычных значений v напряжение текучести численно меньше
2Y/VS ; таким образом, з^о —— 1,127F, когда v = 0,3. Полагая
в (И) а^ = 0 и исключая dk из первого и третьего уравнений, после
использования (12) и его дифференциальной формы
(2^ — oz) dzx + i2zz — ох) dc2 = 0,
получим:
Отсюда
где постоянная может быть получена подстановкой условий в момент
начала текучести. В то время как гх увеличивается, ах
приближается к —2У/УЗ , при этом средний член быстро становится
пренебрежимо малым. Соответственно cz быстро уменьшается по
направлению к 1/2<зх> практически достигая этого предельного
значения, когда полная деформация имеет порядок упругой.
Экспериментальная проверка этих выводов была бы ценной,
однако абсолютно жестких матриц нет и нужно было бы принять
во внимание их упругость. Уже упомянутые эксперименты Бридж-
мена были недостаточно тонкими в этом отношении, но тем не менее
они подтверждают, что когда упругие деформации незначительны,
предел текучести при плоской деформации среднеуглеродистой стали
примерно на 15% выше предела текучести при одноосном нагру-
жении (до тех пор, пока не развивается анизотропия). Это также
для других металлоз грубо подтверждено Баранскимг), который
растягивал стержни из латуни и мягкой стали при условиях,
близких к плоской деформации; соответствующее исследование для
растяжения получается путем изменения знака Y в вышенаписанных
уравнениях.
Предыдущее исследование подтверждает общее заключение, что
при плоской деформации уже после того, как пластическая
деформация лишь в несколько раз превысит деформацию предела
О G. Ba ran ski, Zeits. Metallkunde, 1934, т. 26, стр. 173. См. также
Н. Ford, Proc. Inst. Mech. Eng„ 1948, т. 159, стр. 115 и дискуссию автора,
там же, стр. 157.
9 , ЗК2 1 .
з^К--^1*!?—~+const> (13)
у1 + а*
7*

100 ГЛ. IV. РЕШЕНИЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ (I)
текучести, напряжение ог, перпендикулярное к плоскости течения, с
очень хорошим приближением может быть взято равным полусумме
*/г (ая+^) ДВУХ Других нормальных напряжений. Упругая часть
деформации соответственно является незначительной и вместо уравнений
Рёйсса могут быть использованы зависимости Леви-Мизеса
(уравнения (22) главы II). Это полезное упрощение продолжает быть верным в
течение последующей пластической деформации, если только не имеется
резкого «изгиба» в пути деформации, где приращение напряжения имеет
порядок модуля упругости Е, умноженного на приращение
деформации. Это заключение не зависит также от наличия упрочнения
при условии, что степень упрочнения мала по сравнению с Е> как
это будет обычно после того, как пластическая деформация достигнет
нескольких процентов. С другой стороны, всякий раз, когда
приращение напряжения имеет порядок модуля упругости /:, умноженного
на приращение деформации, вследствие пренебрежения упругим
приращением деформации будут введены значительные неточности (не
имеет значения, что могла быть предшествующая пластическая
деформация). Это будет дополнительно проиллюстрировано в последующих
примерах.
6. Изгиб при условиях плоской деформации
В качестве первого примера задачи, в которой пластические и
упругие области существуют рядом, рассмотрим изгиб однородной
7ZZZZZZZ$2ZZZZ2
xzzzzzzzzzzzzzzm
( ) <?а 2с ь ^-л ( )
Н uj У*
Фиг. 10. Система координат для
исследования изгиба прямоугольной балки при
плоской деформации; показаны пластические зоны,
которые заштрихованы.
прямоугольной балки или полосы из неупрочняющегося материала
при условиях плоской деформации. Выберем координатные оси так,
что ось z представляет собой направление, в котором
деформация предотвращена (нормально плоскости чертежа фиг. 10), а
плоскость xz совпадает с центральной плоскостью балки. Ось у
выбирается положительной в направлении выпуклой стороны балки,
которая изгибается концевыми парами, как показано. Предположим, что
радиус кривизны настолько велик по отношению к толщине, что
возникающими поперечными напряжениями в направлении у можно
пренебречь; их влияние будет рассмотрено в одной из последующих

б. ИЗГИБ ПРИ УСЛОВИЯХ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ 101
глав, когда будет решена задача для деформаций любой величины.
Нейтральное (недеформированное) волокно Ох изгибается по дуге
круга радиуса R. Из теории упругости известно, что пока балка
напрягается ниже предела текучести, продольное напряжение ох
распределено линейно по поперечному сечению согласно уравнению
ву
^— (1— v2)tf '
причем напряжение ох является растягивающим выше оси Ох и
сжимающим ниже оси. Кроме <зг, которое равно vj^, все остальные
компоненты напряжения равны нулю. Требуемый изгибающий момент
на единицу ширины равен
а
-а
где 2а— толщина балки. Деформация такова, что поперечные
сечения остаются плоскими, пока растягивающая деформация в
продольных волокнах равна yjR\ волокна выше нейтральной плоскости
растягиваются, а ниже — сжимаются. Согласно условию Мизеса (12)
поверхностные волокна балки текут при напряжении
— Y
при этом радиус кривизны RY удовлетворяет уравнению
Еа У
(\ — ^)RY yl — v + v2
Поскольку в дальнейшем момент увеличивается, пластические
области распространяются внутрь от обеих поверхностей. Очевидно, если
2с — ширина оставшейся упругой зоны в любой момент времени, то
соответствующий радиус кривизны R выражается посредством
формулы
Я 0 . г, Vl — v + viEa M-.
_«--, Дг= (1_*)К ' (15)
Это уравнение перестает иметь силу даже приблизительно, когда
деформации более не являются малыми. Естественные
предположения, что поперечные сечения остаются плоскими, в то время как
часть балки является пластической, и что напряженное состояние
представляет собой попрежнему растяжение или сжатие, могут
быть проверены соответствующей подстановкой в уравнения Рёйсса
и уравнения равновесия.
Очевидно, что в действительности анализ аналогичен исследованию
в последнем разделе и что напряженное состояние любого волокна

102 ГЛ. IV. РЕШЕНИЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ (i)
развивается независимо от остальных *), причем деформация гх будет
равна y/R. Поперечное укорочение или удлинение любого волокна
автоматически согласовываются, так как все они свободны
перемещаться в поперечном направлении. В каждой стадии изгиба
ох и cz могут быть вычислены из уравнений (12) и (13) с
соответствующим выбором знака Y в областях сжатия и растяжения.
Продольное напряжение волокна возрастает от значения ох0, когда
волокно впервые становится пластическим, до предельного
значения 2F/V^3. Однако за исключением крайних волокон, в области
деформации, для которой настоящий анализ точен, приближение
к предельному значению не особенно близкое. Интеграл (14) для
изгибающего момента может быть определен численно 2).
Решение задачи значительно упрощается, если принимается
условие текучести Треска, так как продольное напряжение в
пластической области всегда равно =tr Г. В этом случае
'(1—v*) Y*
Момент G на единицу ширины равен
^7£=&Г+».[*>«-■
(1 _■*>■),
0 С
Этот результат был получен впервые Сен-Венаном. Даже несмотря
на то, что материал имеет резко выраженный предел текучести,
зависимость между моментом и кривизной 1/R представляет гладкую
кривую с непрерывно поворачивающейся касательной.
При обычном инженерном решении этой задачи не принимают
во внимание упругую часть деформации в пластической области.
Разрыв вычисленного напряжения zz на упруго-пластической границе
может быть в таком случае обойден только благодаря
предположению о фиктивном значении 0,5 для коэффициента Пуассона. Для
упругой области а2 — \зх, в то время как в пластической области
ог = 1/2аа>» следовательно, если пластическая граница определена
из условия, что на ней ох непрерывно, то аг должно быть
разрывным. Это не влияет на зависимость между моментом и кривизной,
когда используется условие Треска, но, очевидно, влияет в случае
условия Мизеса.
1) Это будет не так, если балка изгибается при постоянной
растягивающей силе. Положение нейтральной оси и отсюда — деформация любого
волокна будут определены в каждом состоянии из условия, что
равнодействующая продольных напряжений равна приложенному усилию.
2) J. W. Craggs, Quart. Journ. Mech. App. Math., 1951, т. 4, стр. 241,

7. ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКОГО СТЕРЖНЯ
103
Значит, продольное напряжение о^ является также разрывным,
поскольку в пластической области оно равно 2Г/|/'з, а на упругой
стороне пластической границы — К/1Л—v+v*. В обычном
исследовании этого избегают ценой противоречия, продолжая формально
«упругое» распределение напряжения
Еу
R
до волокна, в котором vx — 2YlYz.
§ 7. Изгиб призматического стержня
Однородный призматический стержень из неупрочняющегося
материала изгибается равными и противоположными парами О'
приложенными по концам. Для простоты предполагается, что
поперечное сечение балки (плоскость yz фиг. 11) имеет ось симметрии Оу
и что оси пары параллельны Oz.
Начало О возьмем на нейтральном волокне
плоскости ху. Необходимо вычислить
зависимость между кривизной балки и
приложенным моментом, когда часть
балки деформируется пластически.
Деформация ограничена достаточно малыми
значениями, чтобы при рассмотрении
уравнений равновесия кривизной можно
было пренебречь. Естественно
предполагать, что упруго-пластические границы
параллельны нейтральной плоскости и
что все компоненты напряжения, кроме ?2,
равны нулю. При рассмотрении
деформации элемента, расположенного в
данный момент точно на упругой или
пластической стороне общей поверхности
раздела, можно без труда видеть, что ни одно из этих
предположений не является в действительности точным. Пусть продольная
кривизна балки будет \jR\ рассмотрим дополнительно малое
изменение d(\jR). Если бы в действительности напряжение было
простым растяжением, то изменение антикластической (или поперечной)
кривизны будет ^d(\/R). С другой стороны, изменение
антикластической кривизны пластического элемента будет 1l2d(\/R), так как
напряжение после начала текучести остается равным Y и
отсутствует приращение упругой деформации. Поэтому элементы на
противоположных сторонах упруго-пластической поверхности
раздела не будут соответствовать друг другу. Необходимое условие
непрерывности может быть удовлетворено только посредством
введения поперечных напряжений и отклонением первоначальных
Фиг. 11. Система координат
для исследования изгиба
призматической балки;
показаны пластические зоны,
которые заштрихованы
(коэффициент Пуассона равен 0,5).

104 ГЛ. IV. РЕШЕНИЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ (i)
чрезмерно упрощенных предположений. Граница пластической зоны
не может более считаться плоской, и задача становится предельно
трудной; общее решение ее еще неизвестно. Посредством
небольшого распространения этих рассуждений могут быть получены
те же выводы для упрочняющегося материала без резко
выраженного предела текучести.
Когда коэффициент Пуассона равен 7г» трудности не возникают
и простое исследование является точным. Положение нейтральной
плоскости xz определяется из условия, что продольные напряжения
имеют равнодействующую, равную нулю, а именно:
Г Г зх dy dz = 0,
где интеграл берется по всему поперечному сечению. Пока балка
еще упруга, напряжение зх в ней распределено по линейному закону
согласно формуле G = Ey/R, где R— радиус кривизны волокна,
совпадающего с осью х> Следовательно, точка О должна быть
центром тяжести сечения. Волокна, наиболее удаленные от центра
тяжести, текут первыми, и если сечение несимметрично относительно
оси Ог, то пластическая зона проникает некоторым образом внутрь
с этой стороны балки прежде, чем потечет другая сторона.
Напряжение в пластическом волокне, являясь растягивающим или
сжимающим, постоянно и равно К. Когда пары возрастают по величине
так, что появляются две пластические зоны, упруго-пластическая
поверхность раздела находится на расстоянии c = RY/E от
нейтральной плоскости (фиг. 11), Вообще, когда балка частично
пластична, нейтральная (ненапряженная) плоскость изменяется с
течением времени и не обязательно содержит в себе линию центров
тяжестей. Поскольку в процессе предшествующего изгиба волокна
в напряженной плоскости деформируются только упруго (как это
будет для всех обычных форм сечения), результирующая
деформация в нейтральной плоскости равна нулю, а компоненты и, v, w
полного перемещения как в упругой, так и в пластической зонах
будут:
* = lf' * = -^(2*в+^-*^ "--"ЯГ <17>
Это — хорошо известные выражения для чисто упругого изгиба х).
Можно удостовериться, что они совместны с принятым
распределением напряжения в упругой области и что деформация такова,
1) См„ например, S. T i m о s h e n k o, Theory of Elasticity, N. Y.»
McGraw-Hill Book Co., 1934, стр. 224; русский перевод: С. П.
Тимошенко, Теория упругости, М. — Л., ОНТИ, 193/, стр. 251; R. V. S о u [ h-
w е 11, Introduction to the Theory of Elasticity, Oxford, Clarendon Prass,
1936, стр. 327; русский перевод: Р. В. Cay свел л, Взеден-ie в теорию
упругости, М., ИЛ, 1948, стр. 419; I. S. Sokolnikoff, Mathematical Theorv
Of Elasticity, N. Y„ McGraw-Hill Book Co., 1946, стр. 114.

7. ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКОГО СТЕРЖНЯ
105
что поперечные сечения во время изгиба остаются плоскими. В
пластической области мы должны показать, что приращение
деформации, вводимое малым изменением кривизны d(\/R), совместимо
с принятым распределением напряжения на основе уравнений Рёйсса.
Приращения компонентов перемещения пластического элемента
имеют вид
du = xyd(-g} + ~£ dyt
dw = — ^yZd(±) — Jgdy,
так как положение элемента не изменяется (для принятой степени
приближения в предположении малости деформаций), однако,
координата у меняется вследствие относительного перемещения
нейтральной плоскости. Члены с dy представляют собой равномерное
продольное удлинение на величину dy/R; оставшиеся члены характеризуют
приращение деформации, которое появилось бы, если нейтральная
плоскость была бы неподвижна. Поэтому приращения деформации
(имея в виду, что dy одно и то же для всех элементов) будут:
dey=d**--hd(ihi^ = -Yd(i)>
Приращение деформации в каждом волокне состоит из
равномерного удлинения и одинаковых поперечных укорочений вдвое меньшей
величины; это совместно с допущением о том, что волокна
испытывают простое растяжение (независимо от того, упрочняется
материал или нет).
Вычисления изгибающего момента
в балке данного сечения производятся непосредственно; примеры
могут быть найдены в книгах Надаи х) и Соколовского 2). Та же
теория обычно применяется к изгибаемым поперечными силами
i) A. Nadai, Plasticity, N. Y., McGraw-Hill Book Co., 1931, гл. 22;
русский перевод: А. Надаи, Пластичность, ОНТИ, М.— Л., 1936, гл. 22.
2) В. В. Соколовский, Теория Е'ластичности, Изд. АН СССР,
М. —Л., 1946, гл. 11. См. также J. W. Roderick, Phil. Mag., 1948, т. 39,
стр. 529; Н. A. Williams, Journ. Aero.Sci., 1947, т. 14>„стр, 457,

106 ГЛ. IV. РЕШЕНИЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ (i)
балкам, в которых распределение напряжения и положение упруго-
пластической поверхности раздела изменяется вдоль длины балки.
Очевидно, что это влечет за собой дополнительные приближения
неопределенной точности.
8. Кручение призматического стержня
а. Упругое кручение. Во всех до сих пор исследованных задачах
напряжение было функцией самое большее одной геометрической
переменной.
Теперь рассмотрим более трудную задачу, где напряжение
зависит от двух независимых координат. Однородный длинный
призматический стержень произвольного поперечного сечения
(ограниченный единственной кривой) закручивается вокруг оси, параллельной
образующим, равными и противоположно направленными парами
сил. Выбираем декартовы координаты хУ у и z с осью z,
параллельной образующим; начало и ориентировка осей х и у в общем
анализе несущественны.
Для упругой области найдено, что 1) если от нуля отличны
только компоненты напряжения %хг и zyv то деформация состоит
из вращения первоначально плоских сечений относительно прямой,
параллельной оси «г, одновременно с продольным искажением
постоянной величины. Не считая произвольного перемещения как
жесткого тела, компоненты и, v и w полного перемещения имеют
вид
и = — byz, v = Hxz, w~w(xt у, fJ),
где w — функция искажения, а 6 — угол закручивания на единицу
длины вправо вокруг положительной оси z. Очевидно, угловое
перемещение поперечного сечения пропорционально расстоянию от
закрепленного начала. Искажение в упругой области, конечно,
пропорционально углу закручивания, но w написано в более общей
форме, так как нельзя ожидать, что оно сохраняет
пропорциональность, когда стержень становится пластическим. Компоненты
деформации равны
ех = ву ~ гг ~ Чесу — 0»
о dw ,.
2V-£ + 0*.
i) S. Tim os hen ko, Theory of Elasticity, N. Y., McGraw-Hill Book
Co., 1934, стр. 232; русский перевод: СП. Тимошенко, Теория
упругости, М. —Л., ОНТИ, 1937, сгр. 2С0; R. V. Southwell, Introduction to
the Theory of Elasticity, Clarendon Press, 1936, стр. 324; русский перевод:
P. В. С а у с в е л л, Введение в теорию упругости, М., ИЛ, 1948, стр. 425;
I. S. Sokolnikoff, Mathematical Theory of Elasticity, N. Y., McGraw-
Hill Book Co., 1946, стр. 122.

8, КРУЧЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКОГО СТЕРЖНЯ
107
Компоненты касательного напряжения будут:
V = 2GTs,2 = 0(^ + 6*).
Исключая w, получим условие совместности
Уравнение равновесия таково:
= 0.
дх ' ду
Оно удовлетворяется введением функции напряжения у(х, у),
определяемой посредством соотношений
х =^L т = —**- (19)
Результирующее касательное напряжение, действующее в
поперечном сечении, направлено в каждой точке вдоль контура кривых
постоянного <р> которые поэтому называются линиями касательного
напряжения. Величина касательного напряжения равна | grad <p | или
\д<$1дп\, где производная берется нормально к линии контура. На
элементе, принадлежащем поверхности, результирующее касательное
напряжение, действующее в поперечном сечении, должно быть
направлено параллельно границе, так как боковая поверхность
стержня свободна от напряжения. Поэтому граница должна быть
контуром ср, и мы можем, удобства ради, принять постоянную
величину равной нулю. Момент Ж, требуемый для получения угла
относительного закручивания Н, после интегрирования по частям и
использования граничного условия ср = 0 имеет вид
М = J J (хх»*—У^ахаУ =
= ~ J \{xT^ + y%-)dxdy^2\ jfdxdy. (20)
Следовательно, момент равен двойному объему, заключенному между
поверхностью, представляющей функцию напряжения, и плоскостью
£ = 0. Подставляя выражения (19) в условие совместности (18),
окончательно получим:
7-^31^1 +-Й-=-209. (21)
дх* ' ду* v y
Для данного поперечного сечения и угла относительного
закручивания 6 это уравнение вместе с граничным условием ср = 0 достаточно

108 ГЛ. IV. РЕШЕНИЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ (l)
для определения <р и, следовательно, напряжений по всему
поперечному сечению стержня. Прандтль ^(ЧЭОЗ г.) первый указал на
аналогию с прогибами равномерно растянутой мембраны, закрепленной
по краям опорной плоскости той же формы, как и поперечное
сечение стержня, и нагруженной с одной стороны равномерным
давлением. Прогибы удовлетворяют такому же уравнению и
граничному условию, как и функция напряжения ср, причем постоянная
в правой части уравнения зависит от приложенного натяжения и
давления. Таким образом, поверхность, принимаемая мембраной
в положении равновесия, подобна поверхности ср, а линии равного
прогиба соответствуют линиям касательных напряжений, в то время
как наклон мембраны в любой точке пропорционален
равнодействующей касательного напряжения в соответствующей точке стержня.
Мембранная аналогия предоставляет экспериментальный способ
вычисления напряжений для форм поперечных сечений, для которых
исследование с помощью математического анализа затруднительно.
Ь. Распределение напряжений в частично пластичном
стержне. Стержень начинает течь, когда результирующее
касательное напряжение в некотором элементе достигает критического
значения k, равного 1/2У согласно условию Треска или YjY'd в
соответствии с условием Мизеса. Свойство уравнения (21) состоит в том,
что величина |grad<p| достигает наибольшего значения на границе3);
это физически очевидно из мембранной аналогии, поскольку
мембрана, как это естественно ожидать, принимает повсюду выпуклую
форму по отношению к приложенному давлению. Таким образом,
впервые пластическое течение имеет место где-то на границе.
Например, в стержне эллиптического сечения наиболее слабыми
точками являются концы наименьшей оси; в стержне с сечением
прямоугольника или равностороннего треугольника центры сторон
текут первыми (касательное напряжение в выступающих углах равно
нулю). При увеличении приложенного момента пластические зоны
распространяются от этих точек. Предполагая на время, что только
компоненты напряжения ч.хг и iyz попрежнему отличны от нуля,
найдем, что если упрочнение отсутствует, то результирующее
касательное напряжение остается равным к. Следовательно, в
пластической области функция напряжения удовлетворяет уравнению
в то время как в упругой области ср продолжает удовлетворять
уравнению (21). Пластическая граница определяется из условий:
а) что касательное напряжение на ней непрерывно и б) что каса-
1) L. Prandtl, Zeits. Phys., 1903,.т. 4.
2) См., например, 1. S. Sokolnikoff, Mathematical Theory of
Elasticity, N. Y., McGraw-Hill Book Co., 1946, стр. 130.

8. КРУЧЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКОГО СТЕРЖНИ
109
тельные напряжения внутри упругой области не больше к. Иначе
выражаясь, наклон ср поверхности в пластической области должен
быть равен &, а в упругой области не должен быть больше k>
тогда как высота и наклон поверхности на пластической границе
должны быть непрерывными. Как впервые было указано Надаи *),
это наводит на мысль распространить мембранную аналогию для
получения функции напряжения частично пластичного стержня,
когда угол закручивания настолько мал, что изменением внешнего
контура можно пренебречь. Здесь необходимо только соорудить над
мембраной неподвижную крышу постоянного ската с основанием
в виде внешнего контура поперечного сечения. Площадь под той
частью крыши, где мембрана прижата к ней приложенным
давлением, представляет пластическую область, соответствующую
определенному крутящему моменту 2).
Из этой аналогии очевидно, что распределение напряжения для
данного крутящего момента определяется исключительно формой
границы (деформации являются малыми) и что уравнения (21) и (22)
вместе с граничным условием ср = 0 достаточны для вычисления
напряжений без рассмотрения деформации. По этой причине говорят,
что задача кручения является статически определимой. Стоит
заметить, что распределение напряжения и протяженность
пластической области, соответствующие данному крутящему моменту, не
зависят от величины модуля сдвига G, поскольку он встречается
только в сочетании с 0; если крутящий момент задан, то
уравнение (20) доставляет условие для определения в уравнении (21)
постоянного параметра 2G0. Поэтому угол закручивания для
данного крутящего момента обратно пропорционален О.
Из аналитического выражения аналогии с крышей легко видеть,
что напряжение в точке пластической области однозначно
определяется формой внешней границы. Функция напряжения в точке
пластической области равна произведению к на ее расстояние от
границы, измеренное вдоль нормали, проходящей через рассматриваемую
точку. Линии касательного напряжения, т. е. контуры постоянного ср,
ортогональны к нормалям (линии наибольшего наклона) и, очевидно,
проходят параллельно границе на постоянном расстоянии от нее.
Они показаны сплошными кривыми на фиг. 12, а, причем пунктирная
кривая является упруго-пластической границей. Линии касательного
напряжения могут быть также рассмотрены как семейство эволют
эвольвенты границы. Если контур содержит входящий угол (фиг. 12,&),
то вершина его представляет собой особенность для напряжения,
а линии сдвига в пределах определенного углового пространства
являются круговыми дугами. С другой стороны, касательное
3) A. Nadai, Zelts. ang. Math. Mech., 1923, т. З, стр. 442.
2) Дальнейшие примеры см. у А. N a d a i, Plasticity, N. Y., McGraw-
Hill Book Co., 1931, гл. 19; русский перевод: А. Надаи, Пластичность,
M. —Л., ОНТИ, 1936, гл. 19.

НО ГЛ. IV. РЕШЕНИЕ УПРУГО-ПЛАСТЯЧЕСКИХ ЗАДАЧ (i)
напряжение в выступающем угле всегда равно нулю, поэтому он
никогда не становится пластическим.
с. Вычисление перемещений. Итак, поскольку деформации
предполагаются настолько малыми, что изменениями внешнего контура
и перемещениями элементов можно пренебречь (как и в теории
упругости) с тех пор, как элемент стал пластическим, то напряжение
в элементе остается по-
Пластичестя зона
стоянным по величине и
направлению. Поэтому с той
же степенью приближения
приращения упругой
деформации равны нулю, а
уравнения Рёйсса сводятся к
:Лу = </зя = йТ(гу=0;
ZXZ
Фиг. 12. Траектории касательных
напряжений в поперечном сечении закрученного
призматического стержня с а) гладким
контуром и Ь) с входящим углом.
Следовательно, поскольку элемент является упругим, пока
компоненты деформации сдвига -\xz и jy3 пропорциональны
соответствующим компонентам напряжений zxz и iyz, постольку они должны
оставаться такими же, когда он становится пластическим. В
геометрическом представлении фиг. 8 путь деформации — прямая линия,
проходящая через начало, причем направление напряжения остается
фиксированным. Поэтому в пластической области можно написать *):
Чуз
dw fl
dw
Ъх
*yz
(23)
Первоначальное предположение о том, что отличными от нуля
компонентами напряжения являются только xxz и туз, теперь
подтверждается, так как система перемещений, принятая для упругой
области, также совместима с пластическим напряженным состоянием.
Функция искажения определяется из уравнения (23), в котором на
касательные напряжения нужно смотреть как на предварительно
вычисленные функции х и у. Это уравнение является
гиперболическим, а его характеристики суть нормали к внешнему контуру2).
!) Это совпадает с соответствующими уравнениями теории Хенки
(уравнения (36) главы II), которые таким образом, как было замечено Н. Geirin-
ger и W. Prager в Ergebnisse d. exakten Naturwiss., 1934, т. 13, стр. 310,
ведут к той же функции искажения,
2) В обозначениях приложения III, P = tyz\ Q =— ixs% а характеристики
представляют собой семейство нормалей dxjxyz — — dyliX!s.

8. КРУЧЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКОГО СТЕРЖНЯ
111
Если dn означает малое приращение расстояния, измеренное вдоль
нормали наружу, то имеем:
dw , dw . . , dw
— = COS 4 -т \- SHI 6 — ,
dn J дх l * ду
где 6 — угол между нормалью и положительным направлением оси х.
Теперь
ъхг = — & sin 6, туг = & cos'},
и, таким образом, учитывая зависимость (23), имеем
dw xyz dw ixz dw
dn
Fi jt ^ = -£&«*+y*vJ=>4-x^-\-У cos®.
Следовательно, если р означает длину перпендикуляра, опущенного
из начала на нормаль, то
Поэтому искажение меняется линейно вдоль любой нормали *),
в частности, если сечение обладает двумя осями симметрии, то
w равно нулю вдоль них как в упругой, так и в пластической области,
когда центр тяжести принимается за начало. Поскольку для данного
угла закручивания w на упруго-пластической границе известно из
решения для функции искажения в упругой области, постольку
w может быть непосредственно вычислено для всей пластической
области. Принимая во внимание изменение формы
упруго-пластической границы при ее движении внутрь, очевидно, нет причин
ожидать, что w будет пропорциональным углу закручивания.
d. Стержень кругового поперечного сеченая. Для кругового
поперечного сечения искажение равно нулю, а контуры
касательного напряжения представляют собой концентрические окружности.
Решение было первоначально получено Сен-Венаном. Если с — радиус
упруго-пластической границы, соответствующий углу закручивания
О = k/Gc, то распределение касательного напряжения таково:
т = ^ (0<г<с),
x = k (с <;г <;#).
Следовательно, крутящий момент равен
а
М = 2к | r4dr^~T,k[a*—jcAf c^=~-t (25)
!) Это уравнение было применено для вычисления искажения в
двутавровой балке P. G. Hodge, Jorn. App. Mech., 1949, т 16, стр. 399. Видно,
что при больших углах закручивания влияние упругого ядра на искажение
становится незначительным. Следовательно, w может условно считаться
нулем на кривой, представляющей быстро исчезающее упругое ядро.

112 ГЛ. IV. РЕШЕНИЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ (i)
тогда как крутящий момент, соответствующий появлению первой
текучести в стержне, будет:
My = y ~^а3-
Величина крутящего момента, требуемого для того, чтобы вызвать
полную текучесть стержня, теоретически равна
2 4
-5- ъка3 или ^ My»
Это условие, конечно, не может быть осуществлено на практике,
так как независимо от того, насколько велик угол закручивания,
всегда имеется ядро материала, которое еще упруго.
е. Решение Соколовского для стержня овального поперечного
сечения. Остроумный обратный метод решения для некоторого
овального контура был сформулирован Соколовским *). Его метод
состоит в принятии математически удобной формы для
упруго-пластической границы и определения из этого соответствующего
контура сечения. Если упруго-пластическая граница представляет собой
эллипс
а2 "Г ДО — »
то напряжения в упругой области будут:
где 6 — ,как обычно, угол закручивания на единицу длины. Они,
очевидно, удовлетворяют уравнению равновесия и условию
совместности (18). На эллипсе
*+4-(^У(«у+*">-ет.
Поэтому текучесть имеет место вдоль всего эллипса (но не внутри
него), когда угол закручивания равен
е =*<* + *>. (27)
2шЬ v '
Полагая, как и прежде, в пластической области
ixz = — k sin ф, xyz = k cos ф
для величины ф в точке на эллипсе (£, г\), получим:
к у т„„ ^ ' дан-до
1) В. В. Сокол о веки й, Прикладная математика и механика, 1942,
т. 6, стр. 211.

8. КРУЧЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКОГО СТЕРЖНЯ
ИЗ
Следовательно,
£ = acos^, ?] —ftsin<J*.
Так как напряжение на эллипсе должно быть непрерывным, то
нормали к контурам касательного напряжения в пластической области
получаются построением семейства прямых наружу от каждой точки
эллипса с соответствующим углом наклона ty (фиг. 13). Линии
касательного напряжения суть
ортогональные траектории этого
семейства прямых, а любая из линий
касательного напряжения является
соответствующим наружным
контуром. Частное значение угла
закручивания, когда упруго-пластическая
граница совпадает с эллипсом,
дается уравнением (27). Очевидно,
метод будет иметь значение только
тогда, когда для выбранного
контура упруго-пластическая граница
является эллипсом в области
значений 0. Мы всегда можем выбрать
некоторое упругое распределение
напряжения, принять за
упруго-пластическую границу кривую, для которой касательное напряжение
равно к, и, следовательно, построить внешний контур и его
нормали. Вообще, однако, мы решили бы при этом задачу для такого
контура лишь для одной величины 0 и не имели бы ее решения для
других величин. Успех метода Соколовского в этом случае
обусловлен тем обстоятельством, что упруго-пластическая граница
оказывается эллипсом при подобном упругом распределении напряжения
для области углов закручивания. Теперь уравнение нормали к линиям
касательного напряжения таково:
у — ^ = (*—S)tg^
Подстановка £ и т, дает:
yz=xigty — (а — ft) sin ф.
Ортогональные траектории линий этого семейства имеют
параметрические уравнения
Фиг. 13. Пластическая и упругая
зоны в закрученном
призматическом стержне овального сечения
(схематически, по Соколовскому).
где
х = cos ф [Л -f (Л — В) sin2 ф],
у — sin ф [В — (Л — В) cos2 ф].
А — В^±(а — ft).
(28)
8 Зак. 1438. Р. Хилл

П4 ГЛ. IV. РЕШЕНИЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ (l)
Когда 2£^>Л, то контур представляет собой замкнутую овальную
кривую с полуосями А и В; он очень мало отличается от эллипса.
Изменяя нашу точку зрения, рассмотрим контур (28), заданный
посредством определенных значений А и В. Когда угол закручивания
равен в, упруго-пластическая граница является эллипсом с
полуосями а и Ь, определяемыми из уравнений
Следовательно,
*=2-!ё+5-л+/да+(л-^а-
(29)
Очевидно, решение справедливо только, когда эллипс лежит
полностью внутри контура, т. е. когда а^А. Отсюда 0 должен быть
больше, чем
Метод не указывает формы упруго-пластической границы для
меньших значений угла закручивания, когда точки внешнего
контура еще упруги. В конечном счете ясно, что успех метода
обусловлен тем фактом, что уравнение (28) для контура включает
только (а — Ь), разность а и Ь, но не их отдельные значения.
Поэтому значения а и b могут быть найдены соответствующими любому
данному углу закручивания 6 >- 60. Из уравнения (26) и
первоначальных уравнений для функции искажения получим искажение
в упругой области
(а — Ь)
{а + Ь) '
Искажение в пластической области можно теперь вычислить (24),
используя то обстоятельство, что
р (а — 6) sin ^ cos ^.
Численный пример может быть найден в оригинальной статье
Соколовского, где также дана формула для крутящего момента.
/. Другие решения. Единственное другое точное решение,
известное в настоящее время, основано на методе Трефца *)
конформного отображения для определения пластической области у входя-
!) Е. Trefftz, Zeits. ang. Math. Mech., 1925, т. 5, стр. 64.

8. КРУЧЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКОГО СТЕРЖНЯ
115
щего угла балки углового сечения, где имеет место концентрация
напряжений. Трефц также обсуждает распределение напряжения
вокруг малого кругового отверстия, после того как предел
текучести достигнут. Математические трудности в случае поперечного
сечения общей формы настолько велики, что практически неизбежно
численное решение. Недавно методы релаксации были применены
Кристоферсоном х) к стержням треугольного и двутаврового сечений,
а к стержням полого сечения — Шоу, а также Саутуэллом 2).
Прекрасное приближение для максимального крутящего момента,
выдерживаемого стержнем, легко может быть получено в предположении,
что стержень до предела текучести является жестким. Это значит,
что О равно бесконечности и что никакое кручение невозможно до
тех пор, пока стержень не будет полностью пластичным.
Максимальный крутящий момент, таким образом, точно равен объему,
определяемому формулой (20), под пластической крышей,
покрывающей все сечение. Например, когда сечение является квадратным
со стороной 2а, крыша представляет собой четырехгранник
высотой ka> а поэтому крутящий момент равен 8kan/3. Другие примеры
даны Надаи 3) и Соколовским 4). Однако такие вычисления имеют
ограниченные значения, так как реальный стержень упрочняется и
становится непризматическим при деформациях, при которых упругое
ядро незначительно. Стоит отметить, что напряжение разрывно на
линиях, которые представляют собой проекции гребней крыши.
В этом состоит общая особенность распределения напряжения в
закрученном стержне из жесткого материала. Легко видеть, что
компонент касательного напряжения, нормальный к таким линиям,
одинаков с обеих сторон; разрыв имеет место в компоненте напряжения,
параллельного этой линии.
g. Кручение отожженного стержня. Кручение стержня из
отожженного металла, не имеющего хорошо выраженного предела
текучести, не является до конца исследованным. В одном отношении
эта задача более проста, чем для предварительно деформированного
металла, так как здесь нет упруго-пластической границы и одни
и те же уравнения имеют силу для всего сечения. С другой
стороны, окончательное дифференциальное уравнение является более
!) D. G. Christopherson, Journ. App. Mech., 1940, т. 7, стр. А—1;
D. G. Christopherson, R. V. Southwell, Proc. Roy. Soc, серия А,
1938, т. 168, стр. 317.
2) F. S. Shaw, Australian Council for Aeronautics, Rep. АСА—11, 1944;
R. V. Southwell, Quart. Journ. Mech. App. Math., 1949, т. 2, стр. 385. См.
также R. V. Southwell, Relaxation Methods in Theoretical Physics, Oxford,
Clarendon Press, 1946, стр. 193.
3) A. Nadai, Plasticity, N. Y., McGraw-Hill Book Co., 1931, гл. 19;
русский перевод: А. Надаи, Пластичность, М.—Л., ОНТИ, 1936, гл. 19.
4) В. В. Соколовский, Теория пластичности, М.—Л., Изд. АН СССР,
1946, стр. 70.
8*

116 гл. iv. решение упруго-пластических задач (i)
сложным* Из уравнения (32) главы II имеем:
d&x = fey = dzz = d*\xy = 0;
f д'ко) \ 3Giy£d°
Удобно ввести функцию /(а), определяемую уравнением
\ъо£ш (31)
J я'а
Тогда
п (№w \ Id// ч
Вводя функцию напряжений 9 и исключая w, получим уравнение,
данное Прагером г):
Так как
а = УЪ У^РРТ = УЪ | grad <р |,
то функция напряжения с? в уравнении (32) должна рассматриваться
как заданная функция |grad<p|. Вообще интегрирование без помощи
численных методов может быть трудно выполнимым. Исключение
составляет круглое сечение, когда решение тривиально. Когда
стержень не обладает упрочнением, то искажение отсутствует, а линии
касательного напряжения являются окружностями. В инженерном
решении деформации сдвига f на радиусе г равна гО. Касательное
напряжение является известной функцией у, скажем х(т)» получаемой
непосредственно из опытов на кручение тонкостенной трубы или
косвенно из испытания на растяжение. Если а — радиус
поперечного сечения, то крутящий момент равен 2)
а аО
м
(в) = 2* J/*Tdr«j£ J ТМТМТ-
1 W. Prager, Journ. App. Phys., 1947, т. 18, стр. 375.
2) Когда упрочнение существует, теории Рёйсса и Хеики ведут к
идентичным результатам только для круглого сечения (см. сноску на стр. 110).

9. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЯ ПЕРЕМЕННОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ 117
Обратно, если зависимость между крутящим моментом и углом
закручивания для сплошного стержня замерена, то мы можем
получить из нее кривую зависимости между напряжением и деформацией
при чистом сдвиге.
Дифференцируя вышеприведенное уравнение, имеем:
^ (ДМ») = 2-аЧ*х (ab)t
т. е.
^>=2^(9ж+з4 (33)
причем т(аб) — касательное напряжение на границе поперечного
сечения, где касательная деформация равна аЬ. Поскольку
производная dM/db должна быть вычислена численным
дифференцированием замеренной кривой зависимости крутящего момента от угла
закручивания, то этот метод, предложенный Надаи х), не дает
особенно высокой точности в начальной части кривой. Однако точность
здесь можно улучшить, переписывая уравнение (33) так:
Функция М/Ь постоянна в упругой области деформации и затем
постепенно уменьшается. Следовательно, член, включающий
производную, отсутствует в упругой области и очень мал, когда степень
упрочнения высока. В дальнейшей части кривой зависимости между
напряжением и деформацией, где степень упрочнения мала и
довольно постоянна, при использовании уравнения (33)2) может быть
достигнута большая точность.
9. Кручение стержня переменного поперечного сечения
Когда стержень неоднородного кругового поперечного сечения
нагружен кручением ниже предела текучести, то, как известно из
теории упругости8), поперечные сечения остаются плоскими и
круговыми, хотя радиальные линии становятся кривыми. Перемещения,
отнесенные к цилиндрическим координатам, имеют вид
я = 0, v*E=v(r, z), «до = 0,
*) A. Nadai, Plasticity, N. Y., McGraw-Hill Book Co., 1931, гл. 18;
русский перевод: А. Надаи, Пластичность, М.—Л., ОНТИ, 1936, гл. 18.
2) Примеры таких практических приложений и их экспериментальных
проверок см. J. L. M. Morrison, Proc. Inst. Mech. Eng., 1948, т. 159,
стр. 81; см. также дискуссию Н. W. Swift на стр. ПО.
3) S. Timoshenko, Theory of Elasticity, N. Y., McGraw-Hill Book Co.,
1934, стр. 276 и следующие; русский перевод: С. П. Тимошенко, Теория
упругости, М. — Л., ОНТИ, 1937, стр. 305 и следующие.

118 ГЛ. IV. РЕШЕНИЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ (i)
в то время как напряжения будут:
Если их подставить в единственное уравнение равновесия
fab* t dyg I 2vo п
dz *~ dr ^~ r ~~u'
то в результате получим:
Так как внешняя поверхность свободна от напряжений, то
равнодействующая касательных напряжений, действующих на элемент
поверхности как по меридиональному, так и по поперечному сечению,
должна быть касательной к контуру; первое условие автоматически
удовлетворяется, тогда как второе требует, чтобы
где а—угол наклона касательной относительно оси z. Решение
уравнения (34) с этим граничным условием определяет упругое
напряженное состояние.
Когда часть стержня пластическая, то напряжения в пластической
области удовлетворяют уравнению
Удобно ввести параметр tyt определяющий наклон
результирующего касательного напряжения по меридиональной плоскости, так что
тг0 = k sin <j>, тгз = k cos ф.
Уравнение равновесия удовлетворяется при условии, что
Характеристики этого уравнения имеют направление
= 0,
= 0
dv
di = -{z,b

9. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЯ ПЕРЕМЕННОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ 119
и поэтому они ортогональны к линиям касательного напряжения
в меридиональной плоскости. Изменение ф вдоль характеристики
таково:
Это уравнение непосредственно интегрируется, и мы найдем, что
вдоль характеристики
r9sin^ = const, (36)
где значение постоянной определяется из граничного условия <J/ = а.
Этот результат принадлежит Соколовскому1). Поле характеристик
и, следовательно, линии касательного напряжения могут быть
построены путем интегрирования (36) внутрь от поверхности. В
частности, характеристика является прямой линией, ортогональной
поверхности, там, где касательная к поверхности параллельна или
перпендикулярна к оси z. Так как пластическое напряженное
состояние зависит только от формы контура, то напряжение в любом
пластическом элементе остается действительно постоянным до тех пор,
пока общее закручивание остается пренебрежимо малым.
Поперечные сечения продолжают оставаться плоскими, когда
стержень является частично пластичным, при условии, что хорошо
выполняется условие (i = \». Поскольку направление вектора
напряжения не изменяется во время закручивания,
dv
г^ _ дг
^-=^«tg«
Ь, dJL ^z
dz
или
dv , , dv v Л /Q74
a7-tg^-7 = o. (37)
Это уравнение имеет те же характеристики, как и уравнение (35),
изменение v вдоль них будет
^ dr
г
Поэтому вдоль каждой характеристики
vocr. (38)
Таким образом, в пластической области любая поверхность
вращения, образованная характеристиками, просто поворачивается во время
закручивания без какой-либо деформации. Величина поворота равна
1) В. В. Соколовский, Прикладная математика и механика, 1945,
Т. 9, стр. 343.

120 ГЛ. IV, РЕШЕНИЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ (i)
угловому перемещению элементов, где поверхность вращения
встречается с упруго-пластической поверхностью раздела. Недеформиро-
ванные поверхности ортогональны линиям касательного напряжения;
это справедливо также и в упругой области.
Повидимому, нет такого контура, для которого известно полное
аналитическое решение. Соколовский исследовал пластическое
распределение напряжений в коническом стержне и в ступенчатом стержне,
состоящем из двух цилиндров различного радиуса, но он не вычислил
ни пластическую границу, ни перемещения. Эдди и Шоу х) применили
методы релаксации для приближенного вычисления распределения
напряжения и пластической границы вала с кольцом.
1) R. P. Eddy, F. S. Shaw, Journ. App. Mech., 1949, т. 16, стр. 139»

ГЛАВА V
РЕШЕНИЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ (И)
Настоящая глава касается задач сферической и осевой симметрии.
Решение задач со сферической симметрией в принципе является
простым и для обычных граничных условий уравнения могут быть
часто проинтегрированы точно. В качестве конкретного примера мы
проанализируем расширение толстостенной оболочки под действием
внутреннего давления; в предельном случае, когда наружный радиус
считается бесконечно большим, мы имеем дело с образованием
сферической плоскости в бесконечной сплошной среде. Задачи, связанные
с осевой симметрией, являются более трудными даже когда, как
здесь предполагается, что напряжения не изменяются в продольном
направлении. Даже при этом упрощении (точное аналитическое
решение может быть получено только при особых обстоятельствах) обычно
неизбежны продолжительные численные вычисления. Мы будем
заниматься главным образом расширением длинной цилиндрической трубы,
находящейся под действием равномерного внутреннего давления.
Это—-давнишняя задача вследствие ее связи с автоскреплением
сосудов, находящихся под давлением, и оружейных стволов; этот
процесс также использовался для определения влияния градиента
напряжения на условие пластичности. Хотя задача рассматривалась
многими исследователями, точный метод ее решения был сформули»
рован сравнительно недавно,
1. Расширение сферической оболочки
а. Вычисление напряжений. Обозначим внутренний и наружный
радиусы оболочки в состоянии деформации через а и Ъ, а их
первоначальные величины через а0 и Ь0. На величину расширения не
накладывается никаких ограничений. Основная часть задачи исследования
состоит в определении изменения радиусов от давления /?, которое
равномерно распределено по внутренней поверхности. Внешнее
давление считается незначительным по сравнению с пределом текучести
материала. Так как давление постепенно увеличивается от нуля,
оболочка сперва напряжена упруго. Согласно известному решению

122 ГЛ. V. РЕШЕНИЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ (il)
Ляме 1) компоненты напряжения в сферических полярных координатах
определяются уравнениями
<>*.=
39:
!*9 =
iU
3
ь1
1
(1)
Радиальное перемещение, направленное наружу, равно
и = — ~—
2га
(2)
Так как в силу симметрии напряженное состояние всюду представляет
собой просто гидростатическое растяжение (зе, ог„ а0), наложенное
на одноосное сжатие (з9— бг, 0, 0), то условие пластичности будет:
°8~
Г.
(3)
Здесь предполагается, что металл в рассматриваемой области
деформации заметно не упрочняется, так что У — константа. Теперь из (1)
2/-з
1
Так как эта величина достигает наибольшего значения на внутренней
поверхности, то течение начинается там, а соответствующее давление
будет:
/V
^П-А
(4)
1) См., например, S. Timoshenko, Theory of Elasticity, N. Y., McGraw-
Hill Book Co., 1934, стр. 325; русский перевод книги: СП. Тимошенко,
Теория упругости, М. — Л., ОНТИ, 1937, стр. 356; R. V. Southwell,
Introduction to the Theory of Elasticity, Oxford, Clarendon Press,1936, стр. 337;
русский перевод книги: Р. В. С а у с в е л л, Введение в теорию упругости для
инженеров и техников, Mf, ИЛ, 1948, стр. 443.

1. РАСШИРЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
123
Перемещения внутренней и наружной поверхности равны
и0(а0)
Ya^f 2(1 — 2ч)4 ,1+ч
3*Х
+ •
«о(*о):
(l-v)Keg
Ebl
(5)
Когда оболочка очень тонка, она течет при давлении, приблизительно
равном p0 = 2Yt0/a0 (tQ — толщина оболочки). Окружное
напряжение p0a0/2tQ равно Y, и поэтому оно является эффективным фактором,
вызывающим течение. Даже когда оболочка очень толста (£0->оо),
разрушающее влияние окружного напряжения тем не менее ощутимо
и внутренний слой течет при давлении, равном 2/3У.
С увеличением давления пластическая область простирается на
всю оболочку. В однородном материале вследствие симметрии
пластическая граница должна представлять
собой сферическую поверхность; ее
радиус для произвольного момента
деформации обозначим через с (фиг. 14).
Напряжения в упругой области попрежнему
имеют вид
'(*-')•
^А
2/*
+ 1
Фиг, 14. Пластическая
область вокруг
цилиндрической или сферической
полости, расширяющейся под
действием равномерно
распределенного давления.
где А— параметр, подлежащий
определению (для обычного порядка
приближения мы можем естественно еще
пренебречь изменением радиуса Ь0). Тогда
материал непосредственно на упругой
стороне пластической границы должен
быть на пределе текучести и, таким образом, подстановка этих вы
ражений в уравнение (3) дает:
A = 2Y~»
Щ
Поэтому распределение упругих напряжений таково:
2Ус* /Ъ,
ЪЪ\
А— 1
2Ye
Ч
2ri
(с<г<*0).
Перемещение равно
2Ycs
3£К
(1—2v)r-
0+--)*о|
2г2 J
(с < г < Ь0).
(6)
(7)

124 ГЛ. V. РЕШЕНИЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ (п)
Таким образом, решение в упругой области зависит только от
параметра с; в этом состоит особенно простая форма взаимосвязи между
решениями в упругой и пластической областях.
Для последней мы имеем уравнение равновесия
дг ~ г
и условие пластичности (3), связывающие два неизвестных компонента
напряжения. Непосредственно получаем:
зг = 2Г1пг4-Я,
где В— другой параметр. Так как напряжение ог на пластической
границе должно быть непрерывным, из (4) найдем, что
*s
Следовательно,
OVf с 2Y (t с*
ог~— 2К1п 1
г г\ ь1
оА= Г—2Г in — — — Tl —4
г г \ ь"0
(а<г<г). (8)
С увеличением радиуса радиальное напряжение уменьшается по
величине, тогда как вследствие условия пластичности окружное
напряжение соответственно увеличивается. В упругой области оба
компонента напряжения уменьшаются, так что з6 достигает максимального
значения на пластической границе. Подставляя г = а в (8), найдем
внутреннее давление, необходимое для того, чтобы произвести
пластическое течение до радиуса с:
Если отношение bja0 наружного радиуса к внутреннему не
слишком большое (скажем, меньше 4 или 5), то деформации и перемещение
внутренней поверхности малы, поскольку оболочка не течет
полностью. Тогда, так же как и в теории упругости, если интересуются
напряжениями, можно пренебречь изменениями а0. Для заданного
давления распределение напряжений определяется параметрически
через с без необходимости вычисления перемещения в пластической
области. Поэтому рассматриваемая задача является статически
определимой с характерной особенностью, состоящей в том, что лишь
некоторые данные могут быть получены без полного решения задачи.
С другой стороны, полного решения нельзя избежать, если
перемещение на внутренней поверхности рассматривать как независимое
переменное и если требуется установить соотношение между давлением

I . РАСШИРЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
125
и расширением. Для этого простого случая первое правильное
решение было получено Рёйссом1) (хотя он не вычислил перемещения
в явном виде).
Ь. Вычисление деформаций. Однако, чтобы получить
напряжения, когда деформации являются большими, необходимо вычислить
изменение внутреннего радиуса2). Не выписывая ниже соотношений
Рёйсса между напряжениями и деформациями, легко видеть, что
только одно уравнение сжимаемости обеспечивает дополнительные
данные. Вследствие симметрии задачи установим вектор девиатора
напряжений в плоской диаграмме (фиг. 8) в положение,
соответствующее одноосному сжатию; в результате путь деформаций должен
представлять собой прямую линию того же направления (девиатор
приращений упругой деформации равен нулю). При симметричном
расширении это, очевидно, будет так, поскольку два окружных
компонента приращения деформации равны нулю.
Так как параметр с фигурирует в формулах для напряжений,
при вычислении деформации любой отдельной частицы удобно
принять перемещение пластической границы в качестве шкалы «времени»
или развития расширения. Мы можем говорить о скорости v частицы,
подразумевая, что частица перемещается на величину vdc, когда
пластическая граница сдвигается наружу на дополнительное
расстояние dc. Скорость v может быть вычислена непосредственно в
зависимости от полного перемещения и. Приращение перемещения частицы
может быть также написано как
, ди , . да , (да , да\ ,
du = dFdc + Trdr = {W+vdF)dCl
где г и с рассматриваются как независимые переменные.
Приравнивая это выражение vdc, получим:
да
дг
Теперь условие сжимаемости таково:
\ 2v
dzf + dzh -f- dzy = —-— (dor + d4 -f dij,
где мы должны позаботиться о том, чтобы вычислять приращения
напряжения и деформации не в данной точке пространства, а в
данном элементе. Таким образом,
, д .. ч dv , , , da vdc
d*r = sp(da) — oF dc) de) = <*** = 7- =» —;
/dcr dc \ /дет,, до, \
i) A. Reuss, Zeits. ang. Math. Mech., 1930, т. 10, стр. 26G,
2) R. Hill, Journ. App. Mech., 1949, т. 16, стр. 295.

126 ГЛ. V. РЕШЕНИЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ (il)
Следовательно,
Подставляя сюда выражения для аг и о0 из (8), получим
Дифференциальное уравнение для скорости v:
dr r У ' Elr с\ Ь\)\
При этом скорость v на пластической границе известна из решения
для перемещений в упругой области; таким образом из (7) и (10)
У
Е
2(1-2v)£+ (1+-)].
После интегрирования уравнения для V и пренебрежения вторыми и
высшими степенями Y/E имеем в результате
^3(l^,)^_2J1-2v)F/1_£iW
Er2 E \ bd0J с V
Так как на внутренней поверхности v*=* da/dc, зависимость между с
и а такова:
da = 3(l—v) Y& 2(1-~2у)УЛ &\а ,{
dc Eal E \ hi) с*
Интегрируя и пренебрегая членами второго порядка Y/E, после
некоторых преобразований найдем, что
4= 1 + 3(1-уу^—gii^g^^rain^+i —41- о4)
4 Еа60 Е L ao bo*
В приближенном решении необходима осторожность, так как для
очень толстых оболочек член с3/а3 может стать порядка E/Y.
Когда толщина оболочки не слишком велика (bya^<^. E/Y)t
а расширение при частично пластичном состоянии мало, полное
перемещение внутренней поверхности (поскольку первое приложение
давления находится из (14)) равно
«K) = ^[(l-0|-|(l-2,)(l-|)-2(l_2v)ln£
О "0
(15)
Это может быть, с другой стороны, получено путем использования
уравнения сжимаемости в интегральной форме

1. расширение сферической оболочки
127
которая справедлива в данной степени приближения, когда
деформации малы. Оболочка становится полностью пластичной, если
перемещение внутренней поверхности буДет;
Из (7) имеем соответствующее перемещение наружной поверхности
Поэтому относительное увеличение объема материала оболочки в этом
состоянии равно
»[»,(У-«ЯМ 6(1-2у)П„%
ьо~ао
1П
Из (9) найдем, что
^ = 2ГЛ _с*_
дс с \ ь*
Таким образом, когда с = Ь0, др/дс равно нулю и давление
достигает действительного максимума. При последующем расширении
давление равно 2Y\nb/a, и оно, очевидно, монотонно уменьшается.
В практике это состояние расширения не может продолжаться,
поскольку равновесие неустойчиво и любое небольшое местное
ослабление в оболочке вызовет шейкообразование и возможное разрушение
оболочки.
с. Остаточные напряжения. Если оболочка разгружается из
частично пластичного состояния, то остаточные напряжения
получаются (если пренебречь возможным эффектом Баушингера)
вычитанием из (6) и (8) упругих напряжений (1)
2Y (с'
ог = —т(-
pJV*
_2Г/с3 р\( а1 , а1
2Г
3 \р0
!£('-?)■
-31п —
-?{4+»-=-£0+а)|
(с<г<*0);
(а0<г<с);
(16)

128 ГЛ. V. РЕШЕНИЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ (и)
где
и
Сокращение наружных слоев оболочки сдавливает внутренние слои
и оставляет внутреннюю поверхность в состоянии тангенциального
напряжения сжатия, равного К(——1). Последующее приложение
давления, меньшего первоначального максимума, деформирует
оболочку только упруго. Таким образом, оболочка вследствие
первоначального перенапряжения становится более жесткой (когда
материал упрочняется, отмеченное увеличение жесткости
является еще ббльшим). Как и при всех вычислениях остаточных
напряжений, необходимо рассмотреть молчаливое предположение о
том, что ни один элемент не разгружается и не напрягается до
предела текучести в обратном направлении во время удаления
приложенной нагрузки. Для этого нам нужно знать величину а0 — аг,
которая согласно (3) является величиной, влияющей на текучесть.
Из (1), (3) и (6) следует, что в любой промежуточной стадии
разгрузки, когда удалена часть давления ^р(0^>ч^1),
о» —*r=K(l—AJ^) («oO<c),
3, -ог = у(£- A go.) (с < г < *0),
где р0 дается уравнением (4). Когда внутреннее давление снимается,
а к увеличивается от нуля, величина ае — аг постепенно уменьшается,
становясь, наконец, отрицательной внутри радиуса ci0(p/poy^
(который, как можно легко видеть из (4) и (9), меньше с). Численная
величина ое — ог является наибольшей на внутренней поверхности,
и условие того, что во время разгрузки течение здесь не начинается
вновь, очевидно, таково:
P<2/v (17)
Таким образом, единичное приложение давления не может упрочнить
оболочку более чем вдвое; этот оптимум не может быть достигнут,
если оболочка слишком тонка (Ь0/а0 < 4,92), при этом критическая
толщина определяется уравнением
«о 3 V blJ
(9')
(4')

1. РАСШИРЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
129
d. Расширение сферической полости в бесконечной среде.
В другом крайнем случае, когда сферическая полость расширяется
от нулевого радиуса в бесконечной среде, напряжения являются
функцией только г/а, а отношение с/а остается постоянным. Из (14),
или прямо из (13), найдем, что величина
дает достаточное приближение. Из (9) постоянное внутреннее
давление равно
Можно также полагать, что оно представляет собой работу,
необходимую для образования единицы объема полости. Для обычных
предварительно напряженных металлов E/Y имеет порядок 300 -ь- 400,
в то время как м обычно лежит в пределах 0,25 -н 0,35.
Следовательно, с/а обыкновенно лежит между 5 и 6, тогда как р
приблизительно равно 4Y. Выражения (18) и (19) следует рассматривать
как верхнюю границу, к которой приближаются с/а и /?, если
отверстие в очень толстой оболочке расширяется от некоторого
конечного радиуса. Можно показать, что пластические и упругие
деформации сравнимы в большой части пластической области. Это означает,
что не может быть получено особенно хорошего приближения, если
пренебречь изменением объема в пластической области, даже если бы
деформации стали бесконечно большими вблизи внутренней
поверхности. Бишоп, Хилл и Мотт *) вывели при этом предположении
формулу
а V (l+v)K'
которая завышает величину с/а примерно на 20°/0. Более близкое
приближение может быть установлено, если пренебречь изменением
объема во всей оболочке; полагая в (18) n = 1/2, получим
выражение
а V 3 Y '
которое является преувеличенным примерно на 12°/0. С другой
стороны, будут значительные ошибки, если пренебречь изменением
объема при расширении тонкой оболочки, так как в таком случае
по всей пластической области пластические и упругие деформации
будут сравнимы.
1) R. F. Bishop, R. Hill, N. F. Mott, Proc. Phys. Soc, 1945, т. 57,
стр. 147.
9 Зак. 1438. P. Хилл

130 ГЛ. V. РЕШЕНИЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ (il)
е. Учет упрочнения в исследовании. Теперь рассмотрим, как
распространить анализ на случай упрочнения. При этом задача не
является статически определимой и тогда, когда деформации малы,
поскольку решения для напряжений и деформаций связаны законом
упрочнения и должны быть сохранены до конца. Для удобства
зависимость между напряжениями и деформациями материала при сжатии
возьмем в форме
о=Г+Я(в),
где У—предел текучести, а Н—степень упрочнения, выраженная
как функция полной логарифмической деформации е. Было уже
отмечено, что каждый элемент оболочки напрягается, не считая
наложенного гидростатического растяжения ае, при одноосном
сжатии а0 — аг в радиальном направлении. Следовательно, мы можем
прямо применить данные, полученные при простом сжатии, при
условии, что мы учитываем дополнительную упругую деформацию,
производимую гидростатическим растяжением.
При этом допущении имеем:
e9-ar=F4-//j-sr4-(l-2v)^J.
Но
•r + 2e, = i^-(3r+2a0)
И
где г0 — первоначальный радиус элемента. Отсюда
о,—аг=Г + л{21п£ —-!^-(е,г + в4)}. (20)
Полученное соотношение заменяет условие пластичности (3) и вместе
с уравнением равновесия и граничным условием при г =с
определяет напряжения в любой стадии расширения. Включение второго
члена в аргумент для Н существенно, когда пластические и упругие
составляющие деформации сравнимы. Если Н—произвольная
функция, то очевидно, что интегрирование может быть выполнено только
по методу малой дуги; заметим, что никаких исследований этого
рода не опубликовано. Однако, если материал рассматривается как
несжимаемый, так что v = 1/2, то получаются большие упрощения.
Тогда имеем:
о. ч ov 2//J21n-l
da г _ 2(gQ — ar) _ 2Г . I r0\
dr r r ' r
и
„,=-2n„±-2fH(2I„i)i;-f (■_£).
Г О

1. РАСШИРЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
131
Таким образом, внутреннее давление равно
а °
Поскольку материал предполагается несжимаемым, то
г^ — г = а^ — #'*.
о о
Но в упругой области для обычной степени приближения
Отсюда
о voTM/ 'о^ qu 2Е
с* = Щ(а*—а§- <22>
При этом /? может быть вычислено из (21) и (22) как функция
перемещения внутренней поверхности. Предельная ошибка
исследования для реального материала должна быть наименьшей, когда
пластические деформации велики, так как влияние упругой сжимаемости
будет тогда наименьшим. В особенно благоприятном случае, когда
полость расширяется в бесконечной среде от нулевого радиуса,
а V ЗГ'
с/а
= Г>-
fi
р —
-а3
Ла1
1/7
p=_j1 + ln_j+2 J H[^\nw~c)J; t=~. (23)
1
Ha внутренней поверхности /~ 1, a деформация становится бесконечно
большой. Тем не менее интеграл стремится к определенному пределу,
если мы допустим, что при очень больших деформациях степень
упрочнения приближается к постоянной величине или нулю. В частности,
если Я^Я'г, где Н —постоянная степень упрочнения (так что
график зависимости между напряжением и деформацией
аппроксимируется двумя прямыми), Бишоп, Хилл и Мотт показали, что
2Y
+ 1пзк
. 2tcW
~Г 27
Для холоднообработанной меди они полагали У =2700 кг/см*,
И' = 1000 kzjcm*, Е= 1,24 • 106 кг/см?. При этих значениях
приведенная формула дает величину р == 13 100 кг/см2, из которой
744 кг/см? обусловлено упрочнением. Теоретическое значение р дает
оценку установившегося максимального сопротивления сжатию при
глубоком проникании штампа в квазибесконечную среду. Работа,
необходимая для получения единицы объема полости в глубине среды,
9*

132 ГЛ. V. РЕШЕНИЕ УПРУГО-ПЛАСТЙЧЕСКИХ ЗАДАЧ (il)
Не должна сильно зависеть от формы пуансона или, в широких
пределах, от способа образования полости при условии, что трением
пренебрегается. Используя вращающийся конический пуансон
с углом 40°, диаметр ствола которого меньше диаметра основания
конуса, Бишоп, Хилл и Мотт наблюдали в меди с вышеуказанными
свойствами максимальное давление около 13 200 кг\смР\ это было
достигнуто после вдавливания пуансонов пяти различных диаметров;
результаты находятся в близком соответствии с вычисленными
значениями. Повидимому, других надежных опубликованных данных по
глубокому внедрению пуансона не имеется.
2. Расширение цилиндрической трубы
а. Упругое расширение и пластическое течение. В задаче со
сферической симметрией как форма пластической границы, так и
путь деформации определяются исключительно симметрией. В
частных задачах с цилиндрической симметрией, которые будут
исследованы здесь, заранее известна только форма пластической границы.
Пути деформаций для каждой отдельной частицы нужно вычислять
вместе с напряжениями, шаг за шагом, по мере развития
пластической зоны. Это сильно осложняет решение.
Рассмотрим длинную цилиндрическую трубу, одновременно
расширяющуюся от действия внутреннего давления и нагруженную
на обоих концах равными и противоположными силами,
направленными вдоль оси. Предполагается, что длина трубы настолько
велика по сравнению с ее средним радиусом, что распределение
напряжений и деформаций в достаточном удалении от концов не изменяется
вдоль трубы (в пределах любого желательного приближения). Тогда
из симметрии следует, что любое первоначально плоское поперечное
сечение остается плоским и, следовательно, что продольная
деформация ег одинакова для всех элементов в каждой стадии расширения.
Пусть а и Ь суть внутренний и внешний радиусы в
деформированном состоянии (первоначальные их значения соответственно равны а0
и Ь0)> а с — радиус пластической границы (см. фиг. 14). Здесь не
накладывается никаких ограничений на величину расширения. Известно,
что когда труба напряжена упруго, наиболее общее выражение
радиального перемещения записывается в форме
и = Аг 4- —.
1 г
Уравнения упругости в цилиндрических координатах (г, О, z) таковы:
Ев, = Е^ = Е(л —4)=*г-^ + з,),
&, = е£ =е(л+-!)=я'*-*<3г-ЬО.

2. РАСШИРЕНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ТРУБЫ
133
где zYy aQ и a2 — главные напряжения. Решая эти уравнения
относительно напряжений, имеем:
(l+N)(l_2v)J=^-(l-2,)4 + ^.
(l+v)(l-2v)^ = /l + (l —2N)A + Negl
(l_f,)(1_2v)| = 2^ + (l-v)e3.
Заслуживающее внимания свойство распределения напряжения состоит
в том, что как продольное напряжение <з2, так и гидростатический
компонент напряжения l/3(ar-[~3o + az) постоянны по поперечному
сечению. Постоянные А и В определяются из условий: ог = —р
при г = #0 и ог = 0 при г = Ь0:
Л = -*,+
<l+v)(l_2v)/,.
£(-2-1
в =
a + w
4
Тогда окончательные выражения для напряжений будут:
°г
°)
аг
ется
4j* f
*~zr
Нд-0
1-
ч1+о
1- '
«0
— F- -L 2^
4
так:
1 (!+*)* (а
<Н(
■2N)r + -
(24)
(25)
Результирующая продольная сила, приложенная на концах трубы,
равна

134 ГЛ. V. РЕШЕНИЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ (и)
Таким образом, продольная деформация, соответствующая данной
осевой нагрузке и внутреннему давлению, составляет:
(26)
В процессе автоскрепления труба закрыта на обоих концах или
заглушкой, плотно прикрепленной к трубе, или плавающим поршнем,
который допускает свободное ее расширение. Первый метод
представляет собой автоскрепление при условиях закрытых концов,
а второй метод — при условиях открытых концов. Для трубы с
закрытыми концами результирующая продольная сила, действующая
на центральную часть, равна усилию от внутреннего давления на
каждую заглушку, а именно, ъа*р. Следовательно, из (26)
_ {\~2,)р
<1-
Р _ 1
2 (?г + Зч)
;-1
(закрытые концы). (27)
Когда концы трубы открыты, L
О, а
а, = 0
(открытые концы). (28)
Здесь продольная деформация является укорочением. Третье краевое
условие, иногда рассматриваемое вследствие его относительной
математической простоты, представляет собой условие плоской
деформации или нулевого осевого удлинения, в котором
4 = 0,
o« = 40r-T-39):
Ър
1-
(плоская деформация).
(29)
Это г случай — промежуточный между двумя первыми, все же он
более близок к условию закрытых концов, которому он для
несжимаемого материала (v=l/2) строго эквивалентен. Во всех трех
случаях радиальное и окружное напряжения одинаковы и зависят
только от р. Продольное напряжение различно, но надо отметить,

2. РАСШИРЕНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ТРУБЫ
135
что оно всегда является промежуточным по отношению к другим
главным напряжениям.
Если затем принимается условие пластичности Треска, то мы
должны рассмотреть величину
2рЬ\
а0
Так как она имеет наибольшее значение, когда г = а0, текучесть
начинается на внутренней поверхности при давлении
/V
и-?
(30)
которое одинаково для всех концевых условий.
С другой стороны, если принимается условие Мизеса, то
условия на концах влияют на давление, при котором начинается
текучесть. Из (24)
К - а6)2 + (о, - ог? + О, - Ь? = 77Г-^
ЧУ \ "о
Поскольку приведенное выражение имеет наибольшее значение, когда
г = а0, давление /?0, которое вызывает текучесть на внутренней
поверхности, удовлетворяет уравнению
г9.
(31)
Подставляя сюда значения oz для трех условий на концах (27), (28)
и (29), имеем соответствующие значения р0:
/V
А> =
Ро =
(закрытые концы),
(открытые концы),
/
(плоская деформация).
l+(l-2v)2
К
(32)

|3 G ГЛ. V. РЕШЕНИЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ (ll)
Мы видим, что труба с открытыми концами течет при самом
низком давлении. Давление текучести для условий закрытых концов и
плоской деформации при обычных значениях v отличается меньше
чем на 3%' причем в первом случае оно выше; когда Ь0/а0 = 2
(типичный размер ствола орудия), разница составляет около 0,2%,
Разница между тремя давлениями становится исчезающе малой при
Ь0-+оо, но даже для Ь0/а0 = 2 она меньше 1%.
Ь. Частично пластичная труба с деформациями любой
величины. Когда труба частично пластична (см, фиг. 14), напряжения
в упругой области записываются попрежнему в форме
a, = _c(|-l), ae = c(^+l). 35 = £e, + 2vC = const.
ъ
Поскольку г2 определяется из условия, что интеграл j 2izrozdr дол-
а
жен быть равен осевой силе L, отсюда следует, что, за
исключением случая плоской деформации, г3 зависит от напряженного
состояния как в пластической, так и в упругой областях. Параметр С
исключается путем использования условия, что материал
непосредственно на упругой стороне пластической границы г = с находится
на пределе текучести. Предположение о том, что упрочнение
отсутствует и что cz остается промежуточным главным напряжением
(область, в которой это предположение справедливо, будет
исследована позднее), при условии пластичности Треска дает уравнение
вв —зг=К, (33)
справедливое для всей пластической области.
Отсюда
Yc4b\
<V
Ж
УсЧК
-г — I
+ 1
о8 = £в,+ ^с-5
(с<г<*о).
(34)
Радиальное перемещение равно
(l+v)Kc2
- v$,r •
2Ebi
{(1_2,)r+*i}.
(35)

2. РАСШИРЕНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ТРУБЫ
137
В пластической области уравнение равновесия в комбинации с (33)
приводит к
дсг а& — ar ( Y
дг г г
Поэтому после использования условия непрерывности для аг при
г =z с имеем:
ar 1 , С . С2
7B=!___ln7+_,
Ж
т=т-ш7+-
(а < г < с).
(36)
Внутреннее давление, таким образом, равно
Р 1 с
1
+-('-!)■
(37)
По-видимому, эта формула была
впервые получена Тернером 1)
(1909 г.). Если перемещения
на внутренней поверхности так
малы, что мы можем в этой
формуле пренебречь
изменениями радиуса а, то ог и ае
определяются согласно (36)
параметрически через с, в
зависимости от давления /?, без
необходимости вычислять
деформации в пластической
области. Другими словами, ог
и а0 статически определимы.
Более того, это соотношение
не зависит от концевых
условий. По этим причинам
использование условия Треска
сильно упрощает задачу; мы
увидим позднее, что указанные
обстоятельства не имеют
места, когда используется
условие Мизеса. Распределение
-0,5
Фиг. 15. Распределение радиального и
окружного компонентов напряжения по
поперечному сечению частично
пластичной трубы, расширяющейся под
действием внутреннего давления (условие
текучести Треска, упрочнение отсутствует).
компонентов напряжения аг и aQ вдоль радиуса показано на фиг. 15.
С другой стороны, напряжение вг может быть определено только
i) L. В. Turner, Trans. Camb. Phil. Soc, 1909, т. 21, стр. 377; Engineering,
1911, т. 92, стр. 115.

138 ГЛ. V. РЕШЕНИЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ (и)
при применении уравнений Рёйсса и поэтому оно зависит от
истории деформации. В этом действительная трудность задачи, которой
избегали в большинстве исследований посредством предположений,
которые, как теперь известно, дают серьезную ошибку.
Соотношения Рёйсса между напряжениями и деформациями
(уравнение (33) главы II) имеют вид
йгг = — (dor — v tfoQ — v doz) -f- or dk,
бЦ = — (d<3% — v dzz — v dsr) -\-o$dk,
dz2 = — (d?z — v dar — v do()) -\-azdk.
При сложении их мы получаем условие несжимаемости
ди , v . dtz (i_2v)rf , . 0
Тг + - + -Ё = —ЕТс<?г + °* + °*)> (38>
где v—скорость, определяемая уравнением (10), и где для
краткости введено обозначение
jL — JL-l. A
dc дс~* дг
для производной, относящейся к фиксированному элементу.
Исключение dk из последних двух уравнений Рёйсса доставляет второе
независимое уравнение в наиболее удобной форме:
Удобно а2 заменить величиной
1=2? = F =У + 1пТ-Щ- <40>
При этом обозначении с использованием уравнения (3G) уравнение
(38) станет:
дг^ r4^ dc~Ki zvE[dc су ЬЛ
(41)
Здесь мы пренебрегли членом порядка Yv/Er. Аналогично
уравнение (39) сводится к

2. РАСШИРЕНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ТРУБЫ
139
Третье соотношение между неизвестными ег, v и q получается из
условия на концах, если использовать (37) и (40):
^=J2-^^|2^rfr + ^-b,(^-^).{^-^(l-2v)|l.
а а I о]
(43)
Граничное условие при г = с требует, чтобы v и az были
непрерывны. Следовательно,
(?)_=<!+»{>+<>-->!-«!(*")■
1 СЧ
°0
(44)
Уравнения (41)—(44) составляют основу для решения задачи,
с. Метод численного интегрирования общих уравнений. Кроме
особых случаев, об аналитическом решении не может быть и речи,
и уравнения должны быть проинтегрированы численно. Метод
интегрирования следует естественно из того факта, что уравнения
являются гиперболическими (приложение III), причем характеристики
в плоскости (г, с) суть линии с = const, отмечающие стадии
расширения, и траектории частиц dr — vdc = 0 (фиг. 16). Когда
перемещения велики, положения второго семейства характеристик вначале
неизвестны, но они должны быть вычислены при интегрировании.
Из уравнения (42) дифференциальное соотношение вдоль
характеристики семейства dr — vdc==0 таково:
1
.(l—2v)q\dq + [fq—l)d
Yr + V
+ [{^ + d-2v)|)
El
Ее,
Y
2v) 1
+
<*\ /2^ — 1*^
dc^O. (45)
Дифференциальное соотношение вдоль характеристики
dc = 0 получается исключением dqjdc из (41) и (42):
<Ev
семейства
1
>
■Ъ)ц\й
+
+
l+4(l-2^}f + 2,|(^) +
2(l+,)(l_2v)
1 —
bln
dr = 0, (46)
при этом следует помнить, что dsjdc не зависит от г. Для
численного расчета дифференциалы dq, dsz, dv% dr и dc в (45) и (46)
заменяются разностями первого порядка Д# и т. д., а их
коэффициенты— средними значениями между смежными точками сетки
характеристик с произвольно мелкой ячейкой. Вычисления выполняются
путем ряда последовательных операций. Допустим, что полное реше-

140 ГЛ. V. РЕШЕНИЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ (ll)
ние получено для стадии, при которой пластическая граница достигла
радиуса с (АВ на фиг. 16), и что мы желаем продвинуть решение
при следующем приращении расширения, при котором пластическая
граница передвигается дальше на малое расстояние Ас
(положение AfB'). Значение приращения осевой деформации Аз3
приблизительно подсчитывается путем экстраполяции из уже определенного
соотношения между е3 и с. Тогда
граничные условия (44) на г = с
дают значения q w v при С'.
Разностные соотношения,
заменяющие дифференциальные уравнения
(45) и (46), разрешаются теперь
относительно приращений Aq и Ас
вдоль малых дуг СР и С Р
характеристик, проходящих через С
и С'. При известных в точке Р
значениях q и v интегрирование
соотношения dr — v dc = 0 вдоль
СР определяет действительное
положение точки Р. Это есть новое
положение частицы,
находившейся в точке С пластической
границы. Аналогично значения q и v
в точке R могут быть вычислены
по их известным значениям в
точках Р и Q, и так вдоль линии С'АГ
для всех элементов пластической области. Наконец, значение, принятое
для Дг,, должно быть проверено подстановкой в уравнение (43). Это
с
требует численного вычисления интеграла I rqdr. Если концевые
а
условия не удовлетворяются, то должна быть взята новая величина Аз.,
а процесс полностью повторен. Существует несколько схем, при
которых процедура может быть сокращена, но даже в этих случаях
читателю очевидно, что численное решение обычно требует
значительного труда.
После того как труба станет полностью пластичной, параметр с,
естественно, не может быть более использован в качестве шкалы
времени. Перемещение наружной поверхности является на практике
удобной величиной для измерения, и оно может быть использовано
вместо с. Так как эта стадия расширения представляет
незначительный практический интерес (давление в трубе минует свой
максимум), то модификация уравнений (45) и (46) обсуждаться не
будет х).
Фиг. 16. Метод последовательного
приближения для решения уравнений
частично пластичной трубы при
интегрировании вдоль характеристик
в плоскости (г, с).
А) Подробности могут быть найдены в статьях, упоминаемых позднее.

3. ТЕОРИЯ ПРОЦЕССА АВТОСКРЕПЛЕНИЯ
141
3. Теория процесса автоскрепления
а. Общие уравнения, когда деформации малы. Численное
решение заметно сокращается, когда труба имеет умеренную
толщину (скажем, Ь0/а0 меньше 3 или 4), так как деформации остаются
порядка упругой величины, поскольку труба является только частично
пластичной. Затем можно пренебречь перемещениями в пластической
области. Это означает, что мы можем в уравнениях (37) и (43)
писать а0 вместо а; для упрощения индекс нуль впредь будет
опущен. Кроме того, криволинейная система характеристик dr — vdc = 0
может быть рассмотрена как прямолинейная (г = const) и, таким
образом, как известная заранее. Для той же степени приближения
операторы d/dc и д/дс эквивалентны, а уравнение (10) может быть
заменено на
После интегрирования уравнения (41) (или непосредственно)
уравнение несжимаемости получается в более простой форме:
£ + £ + ь_„_*)$(,_Э1..1 + £). (48)
Дифференциальная форма полученного уравнения вдоль линии
с = const, заменяющая (46), такова:
"(т) + [гг + т' + (1-2^(3,п7-Ш-^)]^ = °- ^
Дифференциальное соотношение (45) вдоль линии г = const
упрощается до
[l-|(1-2.„]„ + (|,-1),(f) + |,(f) +
+(1-2.)(?г^!)(1-|)л = о. (50)
Процедура вычисления подобна тому, что было уже описано для
общего случая.
Основные уравнения (36), (37), (43), (44), (49) и (50) написаны
в безразмерной форме. Из рассмотрения ясно, что величины ar/Y,
аь/У, aJY, q, EeJY и Ей/У являются функциями только г/а, Ь\ау
v и L/F, но не Е. Таким образом, простое приведение к
определенному масштабу единственного решения для трубы заданной
толщины и коэффициента Пуассона, подчиненного одному из трех
основных концевых условий, доставляет решения для подобных труб,
выполненных из материала с тем же самым коэффициентом
Пуассона, но с любым пределом текучести и модулем упругости Е.
Когда расширение велико, мы можем, однако, преобразовать одно

142 гл. v. решение упруго-пластических задач (и)
решение к другому, если только отношение YjE остается тем же,
так как формулы для напряжений включают переменный радиус а.
К тому же, при плоской деформации решение для трубы с одним
частным отношением Ь01а0 также доставляет решение для труб
с любым меньшим
отношением bja0\ в этом состоит
свойство, странным образом
не замеченное большинством
авторов. Истинность этого
утверждения физически
самоочевидна, так как
напряжение и деформация в
любом наружном кольце трубы
не зависят от условий
в оставшемся; единственной
связью с внутренним
материалом является радиальное
давление, передаваемое
через общую поверхность
раздела, и, очевидно,
совершенно безразлично, каким
путем это давление
прикладывается. Математическое
выражение этого свойства
состоит в том, что
уравнения являются
гиперболическими и что граничные
условия зависят только от
размеров кольца и давления
на его внутренней границе.
Ясно, что решение для
открытых или закрытых
концов этим свойством не
обладает.
Ь. Условие плоской де-
-0.1
-0,2
Фиг. 17. Распределение осевого компонента
напряжения в частично пластичной трубе,
расширяющейся под действием внутреннего
давления в условиях плоской деформации.
Относящаяся к делу часть графика для
трубы с внутренним радиусом а лежит справа
от абсциссы ajb, где b — наружный радиус. .
Пунктирные кривые соответствуют случаю, формации. Первое полное
когда упругой составляющей деформации решение Этих уравнений
в пластической области пренебрегается. было получено Хиллом, Ли,
Таппером 1) для труб с
отношением радиусов Ь/а^2 и с коэффициентом Пуассона 0,3,
расширяющихся при условиях плоской деформации (зг==0)„ Условие на
концах (43) не обязательно удовлетворяется на каждой стадии
расширения, а просто дает растягивающую силу L, необходимую для
1) R. Hill, E. H. Lee, S. J. T upper, Proc. Roy. Soc, серия А, 1947,
т. 188, стр. 273.

3. ТЕОРИЯ ПРОЦЕССА АВТОСКРЕПЛЕНИЯ
143
Предотвращения продольного сокращения. Поэтому в процессе
повторных попыток нет необходимости, и интегрирование может быть
доведено до конца непосредственно. Фиг. 17 иллюстрирует
распределение осевого напряжения аг при различных стадиях течения,
отмеченных отношением cjb, пока труба частично пластична, и
перемещением наружной поверхности иь, после того как она станет
полностью пластичной. Распределение напряжений в трубе с
отношением радиусов, меньшим 2 для различных величин с/Ь, дано
частями кривых справа от абсциссы ajb. Пока труба полностью
упруга, напряжение аг, как мы видели, постоянно для всей трубы.
Когда внутренняя поверхность находится на пределе текучести, из
уравнений (29) и (30) следует, что напряжение az достигает
значения vKa2/#2, соответствующего горизонтальной линии с^=а. При
последующих стадиях напряжение о2 в упругой области согласно
уравнению (34) равно vFc3/^2; это соответствует горизонтальным
отрезкам для различных значений с/а. Напряжение az принимает
наименьшее значение на внутренней поверхности и становится там
сжимающим при сравнительно малом пластическом расширении.
Пунктирные кривые на фиг. 17 представляют распределение
напряжения, вычисленное Надаи х) в предположении, что в
пластической области упругой сжимаемостью можно пренебречь. Согласно
соотношению Рёйсса для осевого направления это означает, что
az = — (аг -\- оь) или q = 0. Принимая во внимание условие пластичности
(33), найдем, что компоненты девиатора упругого приращения
деформации также равны нулю. Поскольку в упругой области sz = v (cr~f- a0),
то на пластической границе существует разрыв напряжения az на
величину (указанную на фиг. 17 пунктирными вертикальными
линией
ями) (1—2v)-—F, отношение которой к значению упругого осевого
напряжения составляет (1—2v)/2v или 669/3%. Разрыва можно
избежать только, полагая, что и в упругой области v также равно
половине. Общая точность решения Надаи улучшается при
дальнейшем расширении, поскольку q с увеличением пластической
деформации 2) приближается к нулю (хотя неравномерно в элементах,
расположенных близко к внутренней поверхности).
Лицу, управляющему процессом автоскрепления, должны быть
известны соотношения между давлением и перемещением наружной
поверхности для того, чтобы быть уверенным в том, что труба
(или ствол орудия) повсюду одинакового и стандартного качества.
Если расширение, наблюдаемое в точках вдоль и вокруг ствола,
слишким велико, изделие подвергается повторной термообработке.
*) A. Nadai, Trans. Am. Soc. Mech. Eng., 1930, т. 52, стр. 193.
a) Это подтверждает первоначальное предположение о том, что
напряжение ъг является промежуточным главным нормальным напряжением.

144 ГЛ. V. РЕШЕНИЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ (il)
Для условия плоской деформации и условия пластичности Треска
расширение наружной поверхности определяется непосредственно
уравнением (35) без дополнительного исследования
4т = (1~^ж- <51)
Вместе с (37) полученное уравнение определяет иъ в зависимости
от /?. Значения щ, даваемые этой формулой, очень мало отличаются
от соответствующих значений для условий закрытых концов (см.
ниже, уравнение (53)).
с. Приближение к условию пластичности Мизеса. Тот
результат, что gz с увеличением пластической деформации г) приближается
к полусумме двух других главных нормальных напряжений,
находится в соответствии с общими выводами исследования в случае
простого сжатия при плоской деформации (глава IV, разд. 5).
Движение вектора напряжения на плоской диаграмме около
направления, представляющего чистый сдвиг (а = 0), ограничивается углом
меньше 14°. Это позволяет аппроксимировать условие пластичности
Мизеса посредством замены соответствующей дуги круга
пластичности элементом касательной и записать:
0*—, = ^. (52)
Полученное выражение эквивалентно условию Треска с
видоизмененным пределом текучести, отношение которого к пределу
текучести материала равно 2/"|/~3 (см. стр. 32). Чтобы выразить это
более точно, мы должны использовать тождество
и преобразовать условие пластичности Мизеса к виду
Теперь q — разница между значениями oz согласно точному
решению (сплошные кривые фиг. 17) и решению Надаи (пунктирные
кривые). Для частного примера, который мы рассмотрим, будет
видно, что численно наибольшее значение q в любой стадии расши-
*) Представляет исторический интерес отметить, что Сел-Венан в первом
исследовании о совершенно пластичной трубе вывел уравнение
°e = Y (°r + а°)
из соотношений Леви между напряжениями и деформациями; см. В, de
Sain t-Venant, Comptes Rendus Acad. Sci., Paris, 1872, т. 74, стр. 1009
и 1083.

3. ТЕОРИЯ ПРОЦЕССА АВТОСКРЕПЛЕНИЯ
145
рения имеет место на пластической границе, при этом оно равно
(1—2V) ——. Максимум не может сильно отличаться от точного
решения, основанного на условии Мизеса, Следовательно, местная
ошибка, вводимая приближенным выражением (52), ни в коем случае
не более —2%> хотя общая ошибка много меньше1). Поэтому
можно заключить, что, заменяя в предыдущем исследовании Y на
2К/]/3, мы получаем великолепное приближение к решению для
металла, текущего согласно закону Мизеса. Несомненно, что если
бы было использовано точное условие, то работа, затраченная на
численное решение, значительно возросла, поскольку уравнение (36)
более неприменимо и все компоненты напряжения зависят от истории
деформации.
d. Условия за/срытых концов. Согласно численному решению
предыдущего раздела усилие Z,, которое должно быть приложено.
для предотвращения продольного сокращения, меньше значения ъа°р,
соответствующего усилию для закрытых концов. Это различие
уменьшается по мере расширения трубы. Это подтверждает тот
факт, что закрытая труба будет вытягиваться, но величина
удлинения будет ограничена и окончательная стадия расширения будет
приблизительно соответствовать условиям плоской деформации. То
обстоятельство, что с увеличением расширения усилие при плоской
деформации стремится к усилию при закрытых концах, может быть
показано следующим путем. Когда труба полностью пластична, из
уравнения равновесия следует, что
ъ ъ ь
L = § 2vrozdr^ Г J 2nrqdr-\- f*r(or-\-G<>)dr=z
a a a
b b
= Y§2nrqdr+$nr(2or + r^)dr.
a a
Так как с ростом деформации #->0, то
ъ
a
а это в точности соответствует условию закрытых концов.
Численное решение для условия закрытых концов было получено
Хиллом, Ли и Таппером "э) для Ь\а = 2 и коэффициента Пуассона
1) Это может быть проверено путем непосредственных вычислений для
решения, основанного на условии пластичности Мизеса: см. P. G. Hodge,
Jr. and О. N. White, Jr., Graduate Division of App. Math., Brown
University, Tech. Rep. 29, 1949; Journ. App. Mech., 1950, т. 17, стр. 181.
2) R. Hill, E. H. Lee, S. J. T u p p e г, научно-исследовательский
департамент вооружения министерства снабжения, отчет по теоретическому
исследованию 11/46.
Ю Зак. 1438. Р. Хнлл

146 ГЛ. V. РЕШЕНИЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ (и)
\=5=0,3. Распределение напряжения о2 в этом случае показано на
фиг, 18. Для сравнения при соответствующих стадиях расширения
представлены также значения V2(°r~f-ao) (указанные пунктиром).
Видно, что q изменяется даже в более ограниченных пределах
(rt0,075), чем в случае плоской деформации. Этим подтверждается
предположение о том, что аг
является промежуточным
главным напряжением.
Более того, условие Мизеса
аппроксимируется
выражением (52) в пределах 0,3%-
В прежних
исследованиях этой задачи были
сделаны различные
предположения относительно
осевого напряжения. Например,
допускалось, что ог имеет
постоянное значение по всей
трубе, равное р/(5,?/а9—I)1).
Лучшее предположение 9)
состоит в том, что для
всей трубы или q = 0, или
*z = V2 (°r -f «e); это строго
справедливо для
несжимаемого материала, у которого
осевая деформация равна
нулю. Тогда все элементы
находятся в состоянии
чистого сдвига с наложенным
на него гидростатическим
напряжением. Концевые
условия удовлетворяются (см.
-Я/1
-ая-
Фиг. 18. Распределение осевого компонента й параграф)> а усло
напряжения в частично пластичной трубе F к f *tv» j
с закрытыми концами и с отношением ра- вие пластичности Мизеса
диусов, равным 2.
Пунктирные кривые соответствуют случаю
^=?^-((7г+ °е).
приводится точно к (52).
Это предположение дает
для oz точное значение,
когда вся труба упруга (см.
уравнение (27)), но сильно
преувеличенные значения в упругой области с максимальной
ошибкой приблизительно в 18%, когда с = b (фиг. 18).
Напряжение ог занижается почти по всей пластической области, при этом
ошибка будет наибольшей на внутренней поверхности. С другой
*) О. Cook, Phil. Trans. Roy, Soc, серия А., 1931, т. 230,
a) G. Cook, Proc. Inst. Mech. Eng., 1934, т. 126, стр. 407.
стр. 103.

3. ТЕОРИЯ ПРОЦЕССА АВТОбКРЕПЛЕЙИЯ
14?
стороны, здесь имеет место пригодное приближение для радиального
перемещения наружной поверхности иъ, точное значение которого
как следует из (34) и (40), дается формулой (здесь используются
формулы (34) и (40))
Ещ 1
Yb
[j6 — v(<7r+a,)lre,b;
2 (Z
\ с2
>(4)r
.6»
Осевое
расширение
Ш£УЖЖи^
где ^{д)г==ь колеблется с развитием пластической области от 0 до
0,024 (см. фиг. 18). Поскольку главный член изменяется
соответственно от 0,21 до 0,85, то формула
недооценивает истинное радиальное перемещение меньше, чем на 3%
(фиг. 19, на которой а0 означает отношение расширения к
расширению на пределе упругости).
Найдено, что в пластической р/рй
части трубы осевая деформа- г
ция ©г, вычисленная из (50)
в предположении, что # = 0,
или непосредственно из
соотношений Рёйсса, изменяется.
В упругой части трубы эта
фиктивная осевая деформация
равна (1— 2ч)Ус*12ЕЪ\ в то
время как истинное ее
значение будет {УаО—2^) с2/&2 +
-Н}У/£.
Это различие (завышение)
увеличивается с
распространением пластической области,
составляя приблизительно 64%,
когда c = ft; поэтому
указанное предположение
недостаточно для получения
пригодной оценки £г. Истинная
осевая деформация показана на
фиг. 19 как функция давления автоскрепления и на фиг. 20 как функция
увеличения наружного диаметра (на фиг. 20 и0 означает отношение
осевого расширения к его значению на пределе упругости, а и°ь —
отношение расширения наружного диаметра к его значению на
пределе упругости). Отметим разрыв наклона в первый момент полной
пластичности.
Предел упругости трубы при приложении давлений, имеющих
результатом первоначальное перенапряжение, равен давлению
автоскрепления при условии, что не имеет места эффект Баушингера
Фиг. 19. Зависимость диаметрального и
продольного расширения закрытой
трубы от внутреннего давления (отношение
радиусов равно 2, а упрочнение
отсутствует).
J 0*

148 ГЛ. V. РЕШЕНИЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ (il)
и что все элементы трубы упруго деформируются при разгрузке.
Условие для этого состоит в том, что р должно быть меньше 2р01)
(см. вывод уравнения (17) для сферической оболочки). Можно
предположить, что в реальных металлах наличие заметного влияния
эффекта Баушингера после небольшой пластической деформации
понижает предел упругости трубы ниже давления автоскрепления.
3
£
/
и / 2 3 4 5 6 7 8 9 Ю
ЦЬ
Фиг. 20. Связь между внешним
диаметральным расширением и продольной деформацией
закрытой трубы с отношением радиусов,
равным 2, при отсутствии упрочнения.
Действительно, по причинам, недостаточно понятным, автоскреплен-
ные трубы ведут себя почти так, как если бы эффекта Баушингера
не существовало 2).
Точный учет упрочнения в исследовании сильно усложнит
решение, однако практическая оценка соотношения между давлением
и расширением может быть получена следующим методом, данным
Надаи 3). Из уравнения равновесия выводим формулу для
внутреннего давления
ь
Р== J fa — °r)y-*
а
Было показано, что условие пластичности Мизеса, когда материал
не упрочняется, может быть заменено приближенным соотношением
1) L. В. Turner, Trans. Camb. Phil. Soc, 1909, т. 21, стр. 377;
Engineering, 1911, т. 92, стр. 115.
2) A. G. Warren, Symposium on Internal Stresses in Metals and Alloys,
стр. 209 (опубл. Institute of Metals, 1947).
3) A. Nadai, Plasticity, McOraw —Hill Book Co., 1931, гл. 29; русский
перевод: А. Надаи, Пластичность, ОНТИ, М. — Л., 1936, гл. 29.

3. ТЕОРИЯ ПРОЦЕССА АВТОСКРЕПЛЕНИЯ
149
о, —ог«2К/У"3. Можно ожидать, что эта связь будет одинаково
верна, когда материал упрочняется, так что можно написать:
где У—функция эквивалентной деформации. Поскольку напряженное
состояние каждого элемента является приблизительно
гидростатическим растяжением, наложенным на чистый сдвиг, далее
предполагается, что У— функция только максимальной сдвигающей
деформации, могущая быть найденной из испытаний на кручение
тонкостенной трубы (где касательное напряжение равно Y/уЗ). Тогда
максимальная (техническая) деформация сдвига равна f = ц — sr
и в упругой области она пропорциональна 1/г3. Предположим,
наконец, что у пропорциональна 1/г2 для всей трубы в любой
стадии расширения. Действительно, г9у увеличивается по мере
перехода от пластической границы к отверстию, и в соответствии
с точным решением отклонение от постоянного значения достигает
30% Для полностью пластичной трубы. Однако найдено *), что
ошибка, вводимая в вычисляемое значение рх пренебрежением этого
отклонения, не больше 1 или 2°/0, даже когда кривая зависимости
между напряжением и деформацией значительно закруглена.
Следовательно, записывая у = bQ^b/r^t имеем:
Ч
Ч
где Y& — максимальная сдвигающая деформация на наружной
поверхности, а Ча^Ь^ъ/а* — деформация сдвига у отверстия. Из (35)
и (53) имеем приближенное равенство ~)
Тогда кривая зависимости давления от расширения может быть
вычислена из (54) посредством численного интегрирования. Метод
для обратных вычислений — получение кривой зависимости между
напряжением и деформацией при сдвиге по известной зависимости
между давлением и расширением был описан Шепердом 8).
1) J. L. M. Morrison, Proc. Inst. Mech. Eng., 1948, т. 159, стр. 81.
2) Надаи предполагал, что материал несжимаем (v = i/2), так что
величина r2f была точно постоянной.
») W. М. Shepherd, там же, стр. 95,

150 ГЛ. V. РЕШЕНИЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ (и)
Для материала с верхним пределом текучести Куком *) дана
формула
где s — максимальное сдвигающее напряжение в материале перед
течением, а $'— максимальное касательное напряжение по всей
пластической области; это может быть проверено путем простого
преобразования уравнений, приводящего к формуле (37). Здесь на
пластической границе имеет место разрыв окружного напряжения.
Предположим, что пластические деформации ограничены нижним
пределом текучести (это обычно имеет порядок 0,02 или в
несколько десятков раз больше упругой деформации на верхнем
пределе текучести). Из экспериментов с закрытыми трубами с
отношением радиусов b/а, находящимся в диапазоне от 1,17 до 4, Кук2)
нашел, что значение s', полученное из наблюдаемого максимального
давления 2s'In bfа, находится в хорошем соответствии со значением,
замеренным при испытаниях на растяжение. С другой стороны,
Моррисон 8) делает вывод, что нижний предел текучести
подчиняется условию Мизеса. Может иметь значение, что скачок в
напряжении был значительно больше в мягкой стали, использованной
Куком, чем в стали, использованной Моррисоном. Большей частью,
однако, имеется соответствие в том, что начало течения мягкой
стали находится в согласии с условием Треска, но только в
ограниченном смысле, а именно, при аналогичных условиях
промежуточное главное напряжение не оказывает влияния. Замечено, что
максимальное касательное напряжение является более высоким при
кручении, изгибе и автоскреплении, поэтому Кук4) высказал мнение,
что местный градиент напряжения влияет на течение. Этим может
быть также объяснен масштабный эффект, найденный Моррисоном 5)
при кручении.
е. Условия открытых концов. В настоящее время точного
численного решения уравнений для трубы с открытыми краями не
существует. Это решение является более трудным, чем для трубы
с закрытыми краями, в двух отношениях-
Во-первых, здесь напряжение vz не обязательно является
промежуточным главным напряжением. Из общих соображений кажется
вероятным, что для некоторых отношений радиусов осевое напряже-
1) G. Cook, Phil. Trans. Roy. Soc, серия А, 1931, т. 230, стр. 103.
2) G. Cook, Proc. Inst. Mech. Eng., 1934, т. 126, стр. 407; Inst Civil Eng.,
Selected Engineering Paper, 1934, № 170; Trans. Engineers and Shipbuilders in
Scotland, 1937, т. 81, стр. 371.
3) J. L. M. Morrison, цит. выше, стр. 149.
4) G. Cook, Proc. Roy. Soc, серия A, 1932, т. 137, стр. 559; Trans.
Engineers and Shipbuilders in Scotland, 1937, т. 81, стр. 371.
Б) J. J.. M, Morrison, Proc. Inst. Mech. Eng., 1940, т. 142, стр, 193.

3. ТЕОРИЯ ПРОЦЕССА АВТОСКРЕПЛЕНИЯ
151
ние может стать в каком-либо месте меньше радиального напряжения
(т. е. более сжимающим). Если это случится, то из условия Треска
будет следовать, что а0 — о^, а не з9 — зг является константой.
Основные уравнения станут при этом совершенно отличными от тех,
которые мы рассматривали. Однако возможно, что разница между
ог и <zz настолько мала, что условие aQ — аг^У дает достаточную
точность. Кроме того, диапазон отношений радиусов трубы, для
которого ог представляет собой промежуточное главное напряжение,
не является обычным для практики автоскрепления.
Вторая трудность представляется более серьезной. Вектор напря-
жения в плоской диаграмме должен изменяться во много более
широком диапазоне, чем для закрытой трубы. Следовательно,
условие пластичности Мизеса не может быть с требуемой точностью
аппроксимировано уравнением (52). В британской расчетной
практике *) эта трудность преодолевается посредством предположения,
что aQ — or=tnY, где т — эмпирически определяемая величина
(сравни стр. 32), колеблющаяся в пределах от единицы, когда bfa
мало, до 2/]/^3 , когда bja велико.
/. Решения, основанные на соотношениях Хенки между
напряжениями и деформациями» Исследование становится менее
громоздким, когда принимаются соотношения Хенки между напряжениями
и деформациями (уравнения (36) главы II). Вследствие однозначного
соответствия между напряжениями и полной деформацией, которые
устанавливают эти соотношения, трудности, связанные со
следованием за историей деформации, не возникают. Первое полное
решение с учетом сжимаемости дано Беляевым и Синицким 2).
Аналогичное решение было независимо получено Алленом и систематизировано
для численных вычислений Сопуитом 3). Сравнение результатов Сопуита
с результатами, приведенными на фиг. 17 и 18, показывает, что
соотношения Хенки приводят к такому распределению осевого
напряжения, которое дает максимальную ошибку не более чем
приблизительно 5% как для плоской деформации, так и для условий
закрытых концов (сравнение для открытых концов пока еще невозможно).
В ранних стадиях расширения трубы с закрытыми концами имеет
место еще хорошее соответствие для осевой деформации, однако
осевая деформация, найденная из соотношений Хенки, в конце
концов достигает максимума и затем уменьшается. Причину такого,
t) A. G. Warren, цит. выше, стр. 148.
2) Н. М. Беляев, А. К. Синицкий, Изв. АН СССР, 1938, № 2;
ту же самую теорию, распространенную на случай упрочнения материала,
см. там же, 1938, № 4, стр. 21. См. также В. В. Соколовский, Прикл.
мат. и мех., 1943, т. 7, стр. 273; Теория пластичности, Изд. АН СССР, М,—Л.,
1946, гл. 3.
3) D. N. de А 11 е n, D. О. S о р w i t h, Proc. 7-th Int. Congr. AppL Mech.,
London, 1948. См. также С. W. M а с О г е g о г, L. F. Coffin, Jr., J. С.
Fisher, Journ. Franklin Inst., 1948, т. 245, стр. 135.

152 ГЛ. V. РЕШЕНИЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ (и)
до некоторой степени поразительного различия нетрудно понять.
Обе теории предсказывают, что oz с увеличением пластической
деформации стремится к х/2(:!г~\-аь) и> следовательно, что упругая
составляющая осевой деформации каждого элемента достигает
постоянной величины (поскольку ог и а0 постоянны после того, как
труба становится пластичной, перемещения будут малы). Но, тогда
как согласно уравнениям Рёйсса прараш,ение осевой пластической
деформации равно нулю, по уравнениям Хенки равна нулю полная осевая
пластическая деформация. Следовательно, в первой теории осевая
деформация асимптотически приближается к определенной
предельной величине (в соответствии с экспериментами Кука1)), в то время
как во второй она должна в конечном счете достигнуть максимума
и после этого уменьшаться.
В разделе 6 главы II было доказано, что когда путь деформаций
таков, что вектор напряжения сохраняет свое направление,
зависимости Рёйсса и Хенки тождественны. Кажется поэтому, что причина
хорошего соответствия теорий Рёйсса и Хенки при решении трубы
в условиях плоской деформации или с закрытыми краями заключается
в том обстоятельстве, что вектор напряжения ограничен малым
сегментом круга пластичности. Для условия открытых концов следует
ожидать менее хорошего соответствия.
4. Расширение цилиндрической полости в бесконечной среде
Для задачи о расширении цилиндрической полости от нулевого
радиуса в бесконечной среде решение может быть найдено в явной
форме2). Здесь осевая деформация равна нулю, а все зависимые
переменные суть функции единственной величины 6 — г/с, так как
форма напряжения и деформации остается геометрически подобной.
Имеем также:
Уравнение (41) сводится к
г/ + £ = (1 — 2v)-£[(*— 6)?' —3]. (56)
где штрих означает дифференцирование по 6. Из (42)
| (г,_0)9' + (1—2ч)(29 —1) +
+ [4<7 + 0-2v)^]f^O. (57)
"l-|(l-2-v)«7
i) О. Cook, Proc. Inst. Mech. Eng., 1934, т. 126, стр. 407.
?) R. Hill, Journ. App. Mech., 1949, т. 16, стр. 295,

4. РАСШИРЕНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ В БЕСКОНЕЧНОЙ СРЕДЕ 153
Теперь в упругой области (см. уравнение (34)) сумма ог—(— ав равна
нулю и, следовательно, нулю равны также аг и q. Можно ожидать,
что q будет очень мало вблизи поверхности полости, где окружная
деформация бесконечно велика. Впоследствии можно проверить, что
численно наибольшая величина q' имеет место при 6 == 1 и что она
равна примерно 0,4. Так как Ь в пластической области колеблется
в пределах от а/с до 1, тогда как v является величиной порядка Y/E
или меньше, то хорошее приближение состоит в пренебрежении
(v — b)q' в формуле (56) по сравнению с 3. Тогда интегрирование
этого уравнения с граничным условием (см. (44))
у
^ = (l_|_v)_ при 6 = 1
дает:
__ 3(1—2у)Г6 . (5 — 4у)У . а_
V~~~ 2Е > 2£6 ' с
<в<1. (58)
Поскольку на поверхности полости v = da\dc, а величина с/а
постоянна, то непосредственно из уравнения (58) для обычного порядка
приближения имеем выражение
Подставляя (58) в (57), получим дифференциальное уравнение для q:
2(5 —4v)?__Ll—2*__0
4 3e(e«-f)' 6 (6°)
где для упрощения в коэффициенте при qr пренебрегалось членом
2/3(1-—2v)q по сравнению с единицей (максимальная величина q
обычно меньше 0,1)- Интегрирование с граничным условием q = 0
при 6 = 1 ведет к
О
Как было упомянуто на стр. 141, полученное выше распределение v
и q — такое же, как и в случае полости, расширяющейся от конечного
радиуса. Численное вычисление интеграла в (61) показывает, что в то
время как мы перемещаемся внутрь от пластической границы, q
увеличивается до максимума вблизи г/с = 0,71), а затем быстро
уменьшается до нуля на поверхности. Это — другой пример общего
принципа, состоящего в том, что при плоской деформации после того,
как пластическая деформация в несколько раз превысит деформацию
1) Положение максимума чувствительно к изменению EjY\ когда v = 0,3
£/У = 400, максимальная величина q приблизительно равна 0,073,

154 ГЛ. V. РЕШЕНИЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ (п)
предела текучести, зг приближается к полусумме двух других
главных напряжений. Поскольку упругая и пластическая составляющие
деформации еще сравнимы, даже когда г/с = 0,5, то понятно, что q
незначительно по сравнению с
■5-(°г + °е)-7(=,пв)
только в относительно небольшой части пластической области.
Если материал течет согласно условию Мизеса, в вышеуказанных
уравнениях У должен быть заменен на 2К/"|/"3 ; здесь приближение,
в общем, лучше, чем для трубы средней толщины. Для большинства
предварительно напряженных металлов с)а находится между 10 и 15,
тогда как внутреннее давление
[i + ш V3E ] (62)
УЗ L (5-4v)F
находится примерно между 3,ЗК и 3,8К. В боле*е раннем
исследовании Бишопа, Хилла и Мотта *) пренебрегалось изменением объема
в пластической области, однако лучшее приближение, как и для
сферической полости, получается, если всюду пренебрегать
изменением объема.
Когда материал упрочняется, исследование, аналогичное
проведенному для сферической полости (раздел 1, е), приводит к
следующему выражению для давления:
с/а
У_
W'+'vM+TfWw^f (<-f)- <•»>
где а=У~\-И(г) — уравнение кривой зависимости напряжения от
деформации при сжатии. Если степень упрочнения постоянна, так
что Я=Я'8, тогда
^7f[1 + In7IFJ + 1F- (64)
1) R. F. Bishop, R. Hill, N. F. Mott, Proc. Phy». Soc, 1945, т. 57,
стр. 147.

ГЛАВА VI
ПЛОСКАЯ ПЛАСТИЧЕСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ И ТЕОРИЯ
ПОЛЯ ЛИНИЙ СКОЛЬЖЕНИЯ
1. Гипотеза о жестко-пластическом материале
В двух последних главах мы рассмотрели задачи, точное
решение которых известно и для которых упругую часть дефэрмации
в пластической зоне можно было полностью принять во внимание.
Однако для многих задач, представляющих наибольший практический
интерес, вследствие математических трудностей мы принуждены
пренебрегать упругой составляющей деформации. Чтобы быть
последовательными, мы должны также пренебречь чисто упругой
деформацией в непластической области. Следовательно, в
действительности мы имеем дело с материалом, который является жестким, когда
он напряжен ниже предела текучести, и модуль Юнга которого
имеет бесконечно большое значение. Это гипотетическое твердое
тело может быть названо жестко-пластическим материалом в
противоположность упруго-пластическому материалу Рёйсса.
Распределение напряжений в жестко-пластическом теле, вероятно,
чрезвычайно близко к распределению напряжений в реальном металле
при тех же внешних условиях тогда, когда пластический материал
обладает свободой течения в некотором направлении. Если
пластический материал сильно стеснен смежным упругим материалом (как
при расширении толстостенной трубы или при изгибе балки), то
при вычислении некоторых компонентов напряжения пренебрежение
упругой частью деформации вводит серьезные ошибки. С другой
стороны, даже если имеется направление такого облегченного течения, так
что упругие приращения деформации вскоре становятся
незначительными в большей части пластической зоны, должен быть еще
определенный граничный слой или переходная область, ограничивающая
упругую зону, в которой упругие и пластические приращения
деформации сравнимы. Чем ^же эта переходная область, тем лучше общее
приближение. Так как допускаемая ошибка очень сильно зависит от
предполагаемой области приложения решения, более точное правило
не может быть сформулировано. Как показывает опыт, для многих
технологических формирующих процессов (т. е. прокатка, волочение,

156
ГЛ. VI. ПЛОСКАЯ ПЛАСТИЧЕСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
ковка) допущение о жестко-пластическом материале не ведет к
каким-либо значительным ошибкам.
В настоящей главе мы будем рассматривать поведение жестко-
пластического материала при условиях плоской деформации и, в
частности, некоторые общие свойства распределения напряжений и
скоростей в пластической области.
2. Уравнения плоской деформации, отнесенные
к декартовым координатам
Состояние плоской деформации определяется следующими
свойствами: а) течение всюду параллельно данной плоскости, скажем
плоскости (х, у), Ь) движение не зависит от z. Тогда мы имеем дело
с плоской системой (лист представляет типичную плоскость (х, у)
течения), в которой отличные от нуля компоненты скорости суть их
и vy, где для того, чтобы различить декартовы компоненты скорости
от криволинейных компонентов, которые будут применены позднее,
использованы индексы х, у, z. Поскольку zxz и iy> вследствие
симметрии равны нулю, то сг представляет собой главное напряжение.
Если гидростатическая составляющая напряжения является
сжимающей, то плоское деформированное состояние может быть
достигнуто заключением образка между (существенно) жесткими брусками
с поверхностями, параллельными плоскостям течения. Чтобы
позволить образцу свободно расширяться и сокращаться, обе поверхности
контакта должны быть хорошо смазаны. Размеры образца и силы
или перемещения, приложенные к нему, должны быть независимыми
от координаты z. Вообще эти условия могут быть точно реализованы
только в специально спроектированном эксперименте. Однако в
технологических процессах встречаются состояния, близкие к состояниям
плоской деформации, например, когда широкий лист или брусок
уменьшается в толщине при прохождении между цилиндрическими
валками или матрицами. Если относительное боковое расширение
мало по сравнению с относительным уменьшением толщины, то лист,
за исключением узких зон вблизи краев, деформируется в условиях,
близких к плоской деформации.
Так как объем элемента жестко-пластического материала не
изменяется, то каждое приращение деформации в условиях плоской
деформации представляет собой чистый сдвиг. Следовательно, для идеально
изотропного материала напряженное состояние в каждой точке есть
чистый сдвиг с напряжением т, на которое наложено гидростатическое
давление р (см. стр. 50 главы II). Поэтому напряжение ог,
перпендикулярное к плоскостям течения, равно —/?, а другие главные
напряжения будут равны — p±z. В декартовых координатах это
выражается так:

2. УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ 157
Найдено, что эта зависимость, верная строго только для жестко-
пластического материала за пределом упругости, после сравнительно
малой пластической деформации в условиях плоской деформации
очень близко удовлетворяется для упруго-пластического материала,
если только р. = 0, когда v = 0 (переменные Лоде); примеры этого
для материала Рёйсса обсуждались в разделе 5 главы IV и в
разделе '6,Ь главы V; она строго верна, когда коэффициент Пуассона
равен 1/2. Поэтому теория плоской деформации, основанная на
уравнении (1), нередко применима к части пластической области упруго-
пластического материала.
Если упрочнение отсутствует и если гидростатическое давление
не оказывает влияния на текучесть, то напряжение т должно
представлять собой константу, которую мы будем обозначать через k\
при этом его точная величина зависит от условия текучести.
Например, для условия Треска k равно Y/2, тогда как для условия Мизеса k
равно У/У% (в точности, как и для состояния чистого сдвига). Если
условие текучести записано в форме
^ = !(^-V2+<</ = fe2> (2)
то при помощи одной и той же теории могут быть исследованы все
случаи. В окончательном результате вместо к вводится
соответствующее значение. Как обычно, допустим, *что по сравнению с k
инерционные напряжения незначительны и что задача может быть
рассмотрена как квазистатическая. При отсутствии объемных сил
уравнения равновесия сводятся к виду
дъ^ дхТ1, дъТ1/ d<ju
-_^4_-^^0, -^*+ *==(). (3)
дх * ду дх ' ду v '
Условие постоянства объема таково:
дит dv„
Угол наклона 0 главной оси напряжения по отношению к оси х
определяется согласно формуле (приложение IV)
tg20 = ^%-. (5)
тогда как угол наклона 0' главной оси приращения деформации или
скорости деформации удовлетворяет выражению
дх ду

158 ГЛ. VI. ПЛОСКАЯ ПЛАСТИЧЕСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
Для изотропного материала главные оси напряжения и скорости
пластической деформации должны совпадать. Следовательно, 0 = Ь\
а уравнения (5) и (6) дают:
дих dvy
^ху ду ' дх 7
дх ду
Так как уравнения (4) и (7) являются однородными относительно
скоростей, то теория в действительности элемент времени не
учитывает, а вычисленные напряжения не зависят от скорости
деформации; развитие деформации может быть охарактеризовано любой
монотонно изменяющейся величиной, такой, как нагрузка, угол или
характерная длина. Система пяти уравнений (2), (3), (4) и (7) с пятью
неизвестными ох, оу, хху1 их, vy представляет собой основу для
вычисления распределения напряжений и деформаций в пластической области
в условиях плоской задачи; она была впервые установлена Сен-
Венаном х) в 1870 г. Сен-Венан использовал условие Треска и позднее
вывел уравнение (1) из зависимостей Леви между напряжениями
и деформациями.
Следует заметить, что имеются три уравнения, содержащих
только три компонента напряжения; когда последние найдены,
оставшихся двух уравнений достаточно для того, чтобы определить
компоненты скорости. Поэтому мы можем предвидеть, что будем
сталкиваться с двумя основными типами задач плоской деформации.
В первом число граничных условий, включающих только напряжения,
достаточно для того, чтобы определить размеры пластической
области напряженного состояния без рассмотрения скоростей. Такая
задача является статически определимой; при этом скорости могут
быть вычислены впоследствии. Во втором типе обычно для одних
напряжений имеется меньшее число граничных условий и это
компенсируется большим числом граничных условий, относящихся к
скорости. Поэтому решения для напряжений и скоростей проводятся
совместно, и таким образом этот тип плоской задачи является
статически неопределимым2), причем в некоторых статически неопре-
1) В. de Sai n t-V en an t, Comptes Rendus Acad. Sci., Paris, 1870, т. 70,
стр. 473; 1872, т. 74, стр. 1009 и 1083.
2) Термин «статически определимый» был введен в 1923 г. Хенки для
того, чтобы охарактеризовать задачи, где независимо от граничных условий
имеется столько уравнений, содержащих только напряжения, сколько
неизвестных напряжений. Этот термин был позднее использован в этом широком
смысле многими авторами, в том числе и автором этих строк. Однако ввиду
путаницы, которая существует в^задаче о плоской деформации, повидимому,
лучше ввести в предмет новый термин в более узком смысле, который
находится в большем соответствии с буквальным значением слов. Следова-

12. УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ 159
делимых задачах все граничные условия связаны с напряжениями.
Неудачи многих авторов при применении этого различия при решении
специальных задач имели своим результатом большое число
неудовлетворительных работ; детально это будет рассмотрено позднее.
Наконец, нам необходимы уравнения для напряжений в упругой
области. Уравнения равновесия (3) являются теми же самыми, но
условие текучести заменяется здесь уравнением совместности1)
(£ + -5f)<°« + °»> = 0- <8>
Оно представляет собой условие того, что компоненты
деформации выражаются через две непрерывные функции, являющиеся
компонентами перемещения относительно осей х и у. Важно заметить,
что в условии совместности упругие константы не фигурируют,
поэтому оно равным образом справедливо и для
жестко-пластического материала. Мы будем предполагать, что s==1/2, так что
в упругой области и, следовательно, для всего тела
Тогда вследствие равновесия компоненты напряжения, действующие
по нормали и касательной к упруго-пластической поверхности
раздела, должны быть непрерывными. Более того, материал,
расположенный на упругой стороне поверхности раздела, должен быть на
пределе текучести. Поэтому компонент напряжения, параллельный
поверхности раздела (т. е. действующий нормально к плоскости
элемента, перпендикулярного к поверхности раздела), является
также непрерывным, а пластическая граница совпадает с одним из
контуров максимального касательного напряжения в упругой области,
а именно, с контуром, вдоль которого максимальное касательное
напряжение равно величине k. Дальнейшее рассмотрение взаимосвязи
упругого и пластического напряженных состояний будет отложено
до более позднего времени. Оставшаяся часть этой главы посвящена
свойствам уравнений для пластических напряжений и скоростей,
а также методам их интегрирования.
тельно, в то время как в смысле Хенки все задачи о плоской деформации
являются статически определимыми, в новом значении термина статически
определимыми являются только некоторые из них. Это сразу подчеркивает
различие между двумя типами краевых задач, различие, которое прежняя
терминология несомненно оставляла неясным. При ознакомлении с
оригинальными статьями читателю следует быть внимательным, чтобы установить,
какое из этих значений имеется в виду.
l) S. T i m о s h e n k о, Theory of Elasticity, N. Y„ McGraw — Hill Book Co.,
1934, стр. 23; русский перевод: С. П. Тимошенко, Теория упругости,
М., ОНТИ, 1934, стр, 35; R. V. Southwell, Introduction to the theory of
Elasticity, Oxford, Clarendon Press., 1936, гл. XII; русский перевод:
P. В. С а у с в е л л, Введение в теорию угругости, М., ИЛ, 1948, гл. XII.

160 ГЛ. VI. ПЛОСКАЯ ПЛАСТИЧЕСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
3, Уравнения плоской деформации, отнесенные к линиям
скольжения
Для того чтобы разработать методы интегрирования уравнений
пластического состояния, мы сперва должны выяснить, являются ли
они гиперболическими1). Предположим, что всюду внутри площади,
ограниченной замкнутой кривой С, отправляясь от определенных
заданных граничных условий, получены значения напряжений и
скоростей и что мы желаем установить, когда это решение не может быть
без дополнительных данных распространено
за пределы С. Другими словами, мы
разыскиваем условие того, что С является
характеристикой. Вместо приложения
стандартного метода проще воспользоваться тем
обстоятельством, что уравнения для
напряжений и скоростей имеют одну и ту же
форму, независимо от системы осей. Пусть
они выбраны так, что ось х направлена вдоль
внешней нормали в некоторой точке Р на
кривой С, а ось у— по касательной к ней
(фиг. 21). Тогда остановим наше внимание
на изменении напряжения и скорости в
окрестности Р и посмотрим, определяются ли,
исходя из уравнений (2), (3), (4), (7) и
известного пластического состояния в пределах С, однозначно производные
по х от компонентов напряжений и скоростей точно снаружи С. Если
производные по х определяются таким образом, то решение может
быть распространено наружу с помощью дополнительного бесконечно
малого расстояния вдоль нормали, проходящей через Р. С другой
стороны, если для получения каких-либо данных относительно
некоторых или всех производных не хватает уравнений, то решение не
может быть распространено в окрестности Р до тех пор, пока не
будут установлены дополнительные граничные условия точно
снаружи С. Если это сделано, то производные не обязательно должны
быть непрерывными.
Вследствие равновесия ах и чху должны быть непрерывны при
переходе через С. Поэтому могут быть вычислены два значения ау,
удовлетворяющие условию текучести (2), причем одно из них является,
конечно, известным значением непосредственно внутри линии С.
Допустим здесь, что оу является непрерывным 2). Тогда касательные
производные dajdy, дзу/ду и dixyjdy поперек С непрерывны. Из
Фиг. 21. Координатные
оси для исследования
характеристик при
плоской деформации.
1) Читатель, незнакомый с этим термином, найдет его объснение дальше,
в приложении III, однако настоящий раздел является совершенно
независимым.
2) Пластические состояния с разрывами напряжения исследуются в
разделе 8.

3, УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ, ОТНЕСЕН. К ЛИНИЯМ СКОЛЬЖЕНИЯ 161
уравнений равновесия (3) следует, что дзх/дх и дъху/дх являются
также непрерывными. Чтобы вычислить дзу/дх, продифференцируем
условие текучести; это дает:
Все величины в этом уравнении, за исключением дау/дх, уже
известны на обеих сторонах С. Если gx Ф ау, то имеет место
единственное решение для дзу/дх, которое поэтому при переходе через С
должно быть непрерывным. Однако, если <зх = ау, то
вышеуказанное уравнение не дает никаких сведений относительно дзу/дх и
устанавливает, что dixyjdx = 0 в точке Р. Аналогично при
дифференцировании условия текучести по у вытекает, что дтху/ду == 0
в точке Р. Из уравнений равновесия имеем также, что
~w = ° = -^7 • когда °х = v (9)
Здесь равенство зх~ау является условием того, что направления
максимального касательного напряжения в точке Р должны быть
направлены по нормальной и касательной к кривой С. Таким
образом, если касательная в каждой точке кривой С совпадает с
направлением максимального касательного напряжения, то кривая С
представляет собой характеристику для напряжений. Решение может
быть продолжено через такую кривую, если только заданы
дополнительные граничные условия; они могут быть таковы, что дзу/дх
в каждой точке терпит разрыв. Для общего случая системы
декартовых координат, не совпадающих с направлениями максимальных
касательных напряжений в рассматриваемой точке, нормальные
производные от всех соответствующих компонентов напряжения являются,
очевидно, разрывными.
Так как плотность не изменяется, то условие сохранения массы
требует, чтобы нормальный компонент скорости был непрерывным
на любой кривой. С другой стороны, если бы граничные условия
могли быть выбраны соответствующим образом, то касательный
компонент был бы разрывным при условии, что уравнения
пластического состояния удовлетворяются на обеих сторонах кривой. При
этом никакое математическое противоречие не вводится. Однако
физически необходимо, чтобы мы рассматривали
жестко-пластический материал как реальный материал, для которого модуль
упругости мэжет увеличиваться беспредельно. Кривая, на которой
касательный компонент скорости терпит разрыв, должна рассматриваться
как предел узкой переходной области, в которой скорость деформации
сдвига в касательном направлении очень велика. Так как направления
максимального касательного напряжения и скорости деформации
сдвига совпадают, то касательная в любой точке кривой должна
представлять собой направление максимального касательного напряжения.
31 Зак !438. Р. Хялл

162
ГЛ. VI. ПЛОСКАЯ ПЛАСТИЧЕСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
Однако мы должны еще доказать, что граничные условия возможно
выбрать таким образом, что касательный компонент скорости может
в действительности быть разрывным поперек такой кривой. Это
доказано позднее (разд. 6, а); в данную минуту допустим, что оба
компонента скорости всегда непрерывны. Отсюда следует, что
производные dujdy и dvyjdy являются непрерывными и, следовательно,
dujdx также непрерыьен вследствие уравнения несжимаемости (4).
Уравнение (7) служит для однозначного определения dvyfdx до тех
пор, пока зх не равно ау; в последнем случае в точке Р
= 0 = -^, (10)
дх
ду
а dvy/дх может терпеть разрыв.
Следовательно, характеристики напряжений и скоростей
совпадают, и в точке имеется только два различных направления
характеристик, а именно: направления максимального касательного
напряжения или направления скорости деформации сдвига (из системы
четырех дифференциальных уравнений в частных производных было
бы естественно ожидать четырех
направлений). В состоянии плоской деформации два
ортогональных семейства кривых,
направления которых в каждой точке совпадают с
направлениями максимальной скорости
деформации сдвига, известны как линии сколь-
жения. Чтобы подвести итоги, отметим, что
уравнения плоской деформации являются
гиперболическими, а характеристики суть линии
скольжения.
Если мы желаем решать специальные
задачи, то это свойство вынуждает нас
исследовать поле линий скольжения как основной
неизвестный фактор, подлежащий
определению. С этой точки зрения мы приступим
к изложению дифференциальных
зависимостей, имеющих силу вдоль линий
скольжения. Пусть два семейства линий
скольжения характеризуются соответственно параметрами а и (3; для
краткости мы будем гозорить о линии а и линии [3. На фиг. 22 показан
малый криволинейный элемент, ограниченный двумя парами смежных
линий скольжения и подверженный действию системы компонентов
напряжения. Нормальное напряжение на каждой грани равно —pi
где р — среднее сжимающее напряжение —1/2 {al~\-o2)i причем ах
и о2 — главные напряжения, равные—p±k (из уравнения (1)
следует, что р также равно —*/з 0*1 + а2 + аз)» где °л = °г — третье
главное напряжение). Касательные компоненты напряжения равны k.
Мы различаем два семейства линий скольжения согласно правилу
Фиг. 22. Напряжения
в малом криволинейном
элементе, ограниченном
линиями скольжения;
р — среднее сжимающее
напряжение, k — предел
текучести при сдвиге.

3. УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ, ОТНЕСЕН. К ЛИНИЯМ СКОЛЬЖЕНИЯ 163
что если линии аир рассматривать в качестве правой системы
криволинейных осей, то линия действия алгебраически наибольшего
главного напряжения попадает в первый и третий квадранты.
Очевидно, напряженное состояние в точке полностью установлено, если
нам известно направление линий скольжения и величина р. Таким
образом, если <р— направленный против движения часовой стрелки
угол поворота линии а относительно оси х, то декартовы
компоненты напряжения будут:
ох =—р — &sin2'f, \
зу~—/?-f-& sin 2ср, ( (11)
х<гу= &cos29. ]
Эти выражения, первоначально данные Леви, могут быть
непосредственно проверены или из круга напряжений Мора (который при
плоском пластическом состоянии всегда имеет радиус, равный &),
или из уравнений преобразования компонентов напряжения от одной
системы осей к другой (см. приложение IV).
Теперь рассмотрим линию {3 в качестве кривой С и примем,
что оси х и у совпадают соответственно с касательными к линиям
аир. Подставляя выражения (11) в (9), получим:
Следовательно,
ox ' дх dy ду
Это означает, что в точке Р касательная производная от величин
р-(-2&ср и р — 2kv соответственно вдоль линий а и р равна нулю.
Это, очевидно, остается справедливым, если ср отсчитывается от
любого фиксированного направления, не обязательно параллельного
касательной в точке Р. Так как Р является произвольной точкой,
го отсюда следует, что
/?-(--2&<р = const на линии a, p — 2ky = const на линии р. (12)
Эти зависимости полностью эквивалентны уравнениям равновесия.
Конечно, вообще значения констант изменяются от одной линии
скольжения к другой. Эти зависимости обычно приписывают Хенки Ь2)
1) Н. Не ncky, Zeits. ang. Math. Mech., 1923, т. 3, стр. 241.
2) Хенки вывел эти соотношения, относя уравнения равновесия к линиям
скольжения как криволинейным координатам. J, Boussinestj (Comptes
Rendus Acad. Sci., Paris, 1872, т. 74, стр. 242 и 450 и Ann. Ее. Norm. Sup.,
1918, т. 35, стр. 70) и М. А. Садовский (Trans. Am. Soc. Mech. Eng.,
1941, т. 63, стр. А-74) использовали в качестве криволинейных координат
траектории главных напряжений. При этом результирующие уразненля
не ригодны для решения задач, так как линии скольжения представляют
собой естественную систему координат.
И*

164
ГЛ. VI. ПЛОСКАЯ ПЛАСТИЧЕСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
(1923 г.), хотя подобные соотношения, включая (12) в качестве
особого случая, были для пластического напряженного состояния
в грунте выведены Кёттером1) еще в 1903 г.; грунт
идеализировался жестко-пластическим материалом, течение которого зависит
от гидростатического давления и вес которого должен быть принят
во внимание (см. главу XI, разд. 3).
Чтобы аналогичным образом выразить уравнения для скоростей,
введем компоненты скоростей и и г>, отнесенные к линиям аир
(рассматриваемым в качестве правой системы криволинейных
координат). Уравнения, аналогичные (11), имеют вид
ах = и cos ср — v sin cp,
vy — и sin ср -\~ v cos ср.
Подставляя их в (10), имеем:
{--^— (// cos ср — fsincp)} =0, I-?—(Hsincp-f-t/coscp)! =0.
I vx 'J<p = 0 \ Oy ' ^9 = 0
Поступая таким же образом, как и при выводе уравнения (12),
найдем, что
da — T>dcp = 0 вдоль линии а,
dv-\-ud(p = 0 вдоль линии [3.
Эти уравнения даны Гейрингер2) (1930). Они устанавливают только,
что скорость удлинения вдоль линий скольжения равна нулю.
4. Геометрия поля линий скольжения
Поле линий скольжения обладает несколькими замечательными
геометрическими свойствами, которые постепенно используются при
решении специальных задач.
а. Первая теорема Хенки. Рассмотрим криволинейный
четырехугольник ABQP (фиг. 23), ограниченный двумя линиями а — АР и
BQ и двумя линиями (3 — АВ и PQ. Из (12) имеем:
PQ — PA = (PQ — PB) + (PB — pA) = 2k(2vB—<?Q—<?A)-
Таким же образом,
PQ — Ра = (PQ — Рр) + (рр — Ра) = 26 (ср<? + <рд — 2<рР).
Поэтому
¥Q — ?р = Ув — ?а- (15)
*) Е. К Otter, Berlin Akad. Berichte, 1903, стр. 229. Другие оценки работ
Хенки и Кёттера см. у А. N a d a i, Handbuch der Physik, 1928, т. 6; Н. Н е i-
ringer, W. Prager, Ergebnisse d. exakten Naturwiss., 1934, т. 13, стр. 310;
H. Oeiringer, Mem. Sci. Math., 1937, т. 86.
2) H. Gei ringer, Proc. 3-rd Int. Cong. App. Mech., Stockholm, 1930,
т. 2, стр. 185.
(13)
(14)

4. ГЕОМЕТРИЯ ПОЛЯ ЛИНИЙ СКОЛЬЖЕНИЯ
165
Эта зависимость выражает собой тот неизбежный факт, что
разность давления между двумя точками, вычисленная двумя
возможными способами, одна и та же. Уравнение (15) известно как первая
теорема Хенки: она утверждает, что
угол между двумя линиями скольжения
одного семейства в точках пересечения
линиями скольжения другого семейства
постоянен вдоль их длины. Другими
словами, если мы переходим от одной
линии скольжения к другой линии
скольжения того же семейства вдоль любой
пересекающей их линии скольжения, то
изменение угла и изменение давления
остается постоянным. Обратно, любые
два ортогональных семейства кривых с
этим свойством составляют возможное
поле линий скольжения для пластической
массы, находящейся при определенных
граничных условиях в квазистатическом
равновесии; если в одной точке установлена величина
гидростатического давления р, то она с помощью одного из двух уравнений (12)
может быть вычислена по всему полю.
Фиг. 23. Типичное поле линий
скольжения, доказывающее
первую теорему Хенки.
Лита
скольжения а
Ч
1
Фиг. 24. Линии скольжения одного семейства
с прямыми отрезками. Части другого
семейства, пересекающие прямые отрезки, имеют
общую эвольвенту, которой эти отрезки
касаются.
Отсюда непосредственно следует, что, если, скажем, отрезок АВ
линии (3 является прямым (фиг. 24), тогда также прямым является
соответствующий отрезок PQ любой другой линии |3, отсеченный
линиями а, проходящими через А и В. Отметим, что согласно
уравнениям (12) и (14) на каждом прямолинейном отрезке как р,

166
ГЛ. VI. ПЛОСКАЯ ПЛАСТИЧЕСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
так и v являются константами. Если в некоторой области оба
семейства являются прямыми, то по всей области напряжение (но
не обязательно скорость) является равномерным (т. е. имеет место
состояние простого сдвига). Дальнейшее свойство поля, указанного
на фиг. 24, состоит в том, что все прямые отрезки имеют одну
и ту же длину. Это наиболее легко доказывается с помощью
замечания, что линии а, отсекающие отрезки, имеют одну и ту же
самую эвольвенту I, так как линии (3 представляют собой их
обыкновенные нормали. Поэтому линия а, пересекающая отрезок АВ,
может быть описана концом упругой струны соответствующей
длины, размотанной от эвольвенты. Из такого построения следует,
что радиус кривизны линии скольжения BQ в некоторой точке
больше, чем в соответствующей точке на АР на длину линии (3
между двумя точками.
Ь. Вторая теорема Хенки. Последнее свойство представляет
собой специальный случай второй теоремы Хенки, более прямое
доказательство которой состоит в следующем. Радиусы кривизны R
и S линий аи^ определяются из уравнений
R dsa. y S dsa y
(16)
Фиг. 25. Доказательство
второй теоремы Хенки,
где dlds„ и d/ds^ — производные, взятые
соответственно вдоль линий а и (3; их смысл
таков, что они образуют правую связку.
Отметим, что R и 5 являются
алгебраическими величинами, знаки которых зависят от
знаков d/ds^ и d/ds*. Рассмотрим две
смежные линии {3; пусть Аср— постоянный малый
угол между ними в соответствующих точках
пересечения с линиями а (фиг. 25). Тогда
из (16)
где Asa — длина малой дуги линии а, вырезанной двумя линиями fi.
Следовательно, согласно построению фиг. 25 имеем:
д
dso
(Л А?):
д
dso
(Д^) = —Дер.
Так как угол Дер является постоянным, то он может быть вынесен
за знак дифференцирования в левой части уравнения; тогда получим:
Аналогично
3R
dsp
3S
:— 1.
(17)

4. ГЕОМЕТРИЯ ПОЛЯ ЛИНИЙ СКОЛЬЖЕНИЯ
167
Эти уравнения устанавливают, что, в то время как мы перемещаемся
вдэль линии скольжения, радиус кривизны линий скольжения другого
семейства в точках пересечения меняется на величину проделанного
пути1)- В то время как мы перемещаемся по направлению к вогнутой
стороне линии скольжения, радиус кривизны уменьшается по
величине, а линии скольжения одного и того же семейства являются
вогнутыми в том же направлении. Следовательно, если пластическое
состояние распространяется достаточно далеко, то радиус кризизны
в конечном счете должен стать равным нулю. Это означает, что
смежные линии скольжения сходятся, а их огибающая представляет
собой естественную границу аналитического решения. Вырожденным
примером этого, часто встречающимся в приложениях, является поле,
состоящее из радиусов и концентрических дуг, которое, очевидно,
удовлетворяет условию (15). Здесь огибающая представляет собой
единственную точку, которая является также особой точкой для
распределения напряжения.
Другая форма (17), более удобная для численных расчетов,
получается заменой длин дуг Asa и &s^ соответственно на /?Д<р и —SA'f.
Имеем:
dS-\- Rd<? = 0 вдоль линии а, )
dR— Sdy = Q вдоль линии [3. {
Эти зависимости аналогичны предыдущим, полученным для
изменения р, а и v от угла <р.
Если производные* от напряжений поперек линии скольжения
являются разрывными, то терпит разрыв также и кривизна линий
скольжения другого семейства. Это может быть доказано следующим
путем. Примем обозначения и систему координатных осей, как и
з разделе 3. Пусть доу[дх будет разрывным поперек линии (3
(касательные к которым совпадают с осью у). Тогда из (11)
с^О
Но из (12)
Следовательно,
^+2ftir = °-
дзц др ду
L ~ 2 —- = 4к —
дх дх дх
1) Очевидно, уравнение
ds$
= — Дер
может быть интерпретировано так: расстояние между двумя смежными
линиями скэльжения изменяется линейно от их длины дуги; W. Р г а £ е г,
Rev. Fac. ScL Univ. Istanbul, 1939, т. 4, стр. 22.

168 ГЛ. VI. ПЛОСКАЯ ПЛАСТИЧЕСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
Но из (17)
d? ду 1
~дх = dsa 7? *
Таким образом, если производные от напряжений являются поперек
линии р разрывными, то также имеет разрыв кривизна линии а;
аналогично, если производные от напряжений терпят разрыв поперек
линии а, то кривизна линии (3 будет также разрывной. Более того,
скачок п радиусе кривизны равен постоянной величине вдоль всей
линии скольжения, так как уравнение (17) имеет силу в полях на
каждой стороне ее. Такой разрыв в кривизне показан на фиг. 24,
где линии (3 являются прямыми на одной стороне АР или BQ и
кривыми на другой. Вообще пластическая область состоит из большого
количества вспомогательных областей, поперек границ которых
кривизна линий скольжения изменяется; это придает полю линий
скольжения типичный, составленный из лоскутов, вид.
б. Числовой расчет полей линий скольжения
Теперь, используя только что установленные геометрические
свойства, рассмотрим методы построения поля линий скольжения
по известным граничным условиям для напряжений. В приложениях
неоднократно встречается несколько различных типов построения,
Фиг. 26. Первая краевая задача: а) даны
положения двух пересекающихся линий скольжения ОА и
ОВ или Ь) даны линия скольжения ОА и особая
точка О.
причем обычно для одной и той же задачи в различных частях
пластической области.
а. Даны две пересекающиеся линии скольжения. Предположим,
что положения отрезков О А и ОВ двух пересекающих линий
скольжения известны (фиг. 26, а); их можно рассматривать как границу
предварительно вычисленного поля линий скольжения в некоторой

5. числовой расчет полей линий скольжения 169
площади слева. Требуется вычислить поле линий скольжения справа
от ОА и ОВ, предполагая, что эта область также является
пластической. Согласно теории характеристик поле однозначно определяется
внутри криволинейного четырехугольника ОАСВ, ограниченного ОА,
ОБ и двумя пересекающимися характеристиками (линиями
скольжения) АС и ВС, проходящими через точки А и В. Это будет строго
доказано позднее; теперь мы займемся формулировкой приближенного
метода вычисления поля линий скольжения. Если одна из заданных
линий скольжения, скажем линия [3 — ОВ, является прямой, то, как
мы видели, все линии р в ОАСВ — прямые. В этом случае построение
поля не составляет труда: линии [3 являются просто нормалями к ОА,
а линии а — их ортогональными траекториями, каждая из которых
расположена на постоянном расстоянии от ОА. Пусть обе линии
скольжения криволинейны (допустим, что ОА есть линия а) и пусть
каждый из отрезков ОА и ОВ соответственно точками (1, 0), (2, 0), . ..
..., (т, 0), ... и (0, 1), (0, 2), ..., (0, я), ... разделен на произвольное
число малых дуг. Линии скольжения, проходящие через эти исходные
точки, образуют сетку; в произвольном узле (т, п) этой сетки
пересекаются линии скольжения, проходящие через точки (т, 0)
и (0, я). Применяя уравнения (15), мы можем для всех узловых
точек сетки непосредственно определить угол ср следующим образом:
'f т, п = ?т, О Ч~" Фо, п — <Ро, 0-
Часто удобно выбирать исходные точки на постоянном угловом
расстоянии Дер; поэтому угловое расстояние между двумя любыми
смежными точками постоянно и по всему полю равно Д9 (А? означает
численное значение изменения угла). Такие равноугольные сетки
обладают свойством, которое очень полезно для отчетливого
представления распределения среднего давления р: одно семейство
диагональных кривых, проходящих через противоположные узловые точки,
представляет собой контуры постоянного /?, другое семейство является
контурами постоянного срх).
Теперь мы вычислим координаты узловых точек посредством
приближенных и последовательных операций. Положение точки (1, 1)
определяется согласно условию, что оно представляет собой
пересечение двух малых дуг, конечные наклоны которых известны. Наиболее
простое хорошее приближение состоит в замене каждой дуги хордой,
наклон которой равен среднему значению конечных наклонов2).
*) R. von Mises, Zeits. ang. Math. Mech., 1925, т. 5, стр. 147.
2) Много русских работ связано с очень грубым приближением,
состоящим в том, что дуга заменяется хордой, наклон которой имеет
первоначальное значение <р; см., например, В. В. Соколовский, Теория пластичности,
Москва, изд. АН СССР, 1946, стр. 103. Относительно улучшения,
получающегося в результате применения настоящего метода, см., например, P. S. S у-
monds. Journ. App. Phys., 1919, т. 20, стр. 107,

170
ГЛ. VI. ПЛОСКАЯ ПЛАСТИЧЕСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
Таким образом, для дуги, заключенной между точками (0, 1) и (1, 1),
напишем
Уи 1 —J\>, 1 = {tg у (<pi, i + ?о. i)} (*i, 1 — *о, i),
а для дуги, ограниченной точками (1,0) и (1,1), имеем
Уи 1—Уио = — {ctg у (<Рь 1 + ?i. о)} (*i,1 ~ *ь о)»
где мы использовали условие, что в точке (1,1) дуги должны
пересекаться ортогонально. Значения Х\у i и 3/1, i могут быть определены
путем решения этих уравнений (или менее точно посредством
геометрического построения). Точно таким же способом мы можем
вычислить координаты точек (2, 1) и (1,2). Вообще, имея предварительно
определенные координаты точек (т—1, п) и (т, п—1), кооряи-
наты точки (т> п) вычисляются из совместной системы уравнений
Ут, п Ут-1, п === jig" "гГ (<pw, п ~Т~ ¥т — 1, п)\ \Хт, п ~~~ -^m-l, ?i)»
Ут, п Ут, ?i-i = {ctg-g-Opwj, n~T"?w, n-l)j (Xtn, n Xm, n-l)-
Порядок, при котором вычисляются координаты точек, является
произвольным, но в практике находят наиболее удобным вычислять
последовательно координаты всех точек, расположенных на одной
линии скольжения, прежде чем приступить к следующей.
Гидростатическое давление в узловых точках находится посредством
последовательного применения уравнений (12) или непосредственно по
формуле
Рт, п == Рт> 0 ~Т~ Р 0, п Р 0, 0'
Необходимо только знать значение р в одной точке, скажем в
начале.
Метод, который является более точным и в некоторых
отношениях более удобным для применения, зависит от решения
уравнений (18) для кривизн R и S1). Здесь исходные точки выбираются
так, что числовые приращения Дер между узловыми точками являются
постоянными. Уравнения (18) заменяются линейными разностными
соотношениями
S,n, n om_i, n-\- -рт (Rm> п"4~ Rm-l, н) ^ Д? = 0»
Rw, п Rm, n-l —-к (Sm,n-\rSm, H_i){l. Дер = 0,
!) R. Hill, E. H. Lee, S. J. T u p p e г, научно-исследовательский депар-
тамент вооружения министерстза снабже шя; это кратко также доложено
R. Hi 1 Ром, Е. Н. Le e, Proc. 6-th Int. Cong. App. Mech., Paris, 1916. Похожий,
но менее точный метод состоит в использовании только начальных
значений R и S] см., например, W. P rage г, Journ. Aero. Sci., 1948, т. 15, стр. 253.

5. числовой расчет полей линий скольжения 171
где А и (л должны быть приписаны значения -(- 1 или — 1 в
соответствии с тем, будет ли при перемещении в направлении точки {т, п)
рдоль соответствующих линий скольжения угол ср увеличиваться или
уменьшаться. Разрешая их относительно Rm,n и Sm,n и сохраняя
только степени Аср не выше второй, имеем в результате
— -j A{xAcp,3/?w_lt n,
5щ,« = (1 — -4- ^ ДсР9) S»»-i. n — -g- л Аср (#ш, ;г„х + /?m„lt n) —
— — Лр. Дер2 S«», „-1.
Поскольку коэффициенты с правой стороны для всех узловых точек
одни и те же, последовательные вычисления R и 5 являются очень
быстрыми сравнительно с вычислениями х п у в первом методе.
Значения Sm, о на О А и /?0, п на £*# получаются посредством численного
интегрирования соответствующих уравнений (18) вдоль О А и ОВ,
начиная от начальных значений So, о и Ro, о радиуса кривизны ОВ и О Л
в точке О. Заметим, что R и S могут быть разрывными
соответственно поперек ОВ и ОА. Имея вычисленные значения /? и S
в узловых точках, координаты jc и j> их вычисляем по формулам
• иг, n . m, n
а:т, п — *о, п= Г coscpdsa = Г /? cos ср rfcp,
(19)
J'm.» — „Уо, w= j sin ср rf5-a = J Rsinydy.
Если Дер достаточно мало, скажем 5° или 0,08727 радиана, то
достаточно просто использовать средние значения интегрируемой функции
между узловыми точками. С другой стороны, интегрирование может
быть проведено вдоль линии £) в зависимости от S-
Третий метод состоит во введении величин х и у, определяемых
уравнениями1)
^= jccoscp-f-^sin ср, \ (20)
у~—xsincp+^coscp- J
Геометрическая интерпретация х и у показана на фиг. 27; они,
согласно предположению, суть координаты точки Р относительно
*) См. С. А. X р и с т и а н о в и ч, Математический сборник, 1936, т. I,
стр. 511, который приписывает введение этих переменных С. Г. Михлину.

172
ГЛ. VI. ПЛОСКАЯ ПЛАСТИЧЕСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
осей, проходящих через начало и параллельно направлениям линий
скольжения в точке Р. Приращение у вдоль линии а удовлетворяет
уравнению
dy = (— sin <р dx + cos <р dy) — (л; cos <р -\-у sin cp) dy = — х dtp,
так как вдоль линии a dy = tgydx. Аналогично приращение х вдоль
линии р определяется выражением
dx = (cos cp d.r-|-sin <pdy) + (— xsin cp-f-^y cos y)dy = ydy>
так как вдоль линии (3 dy =— ctgcpdx. Следовательно,
rf^y-f-Arrfcp = 0 вдоль линии а, 1
—— —. I ^^* I j
dx — ydv = Q вдоль линии [3. J
В этом выводе не был использован специальный характер поля линий
скольжения; уравнения (21) верны для любых двух ортогональных
Фиг. 27. Определение размеров х к у,
используемых в одном методе построения поля линий
скольжения.
семейств кривых. Теперь введем геометрическое свойство (15), которое
определяет <р во всех точках сетки. Снова выгодно брать сетку
с постоянным числовым приращением Дер. По аналогии с (18) мы
можем непосредственно записать уравнения
*m,n = (l — f ^Д?9)*я», п-1 + ~2^^(Ут, п-1+Ут-\, п) ~
Vm, n = (l — J Ь? Д?9) Jtn-l, п—Т^^Ас? (Хт, п-1 + *т-1, п) —
— -r-^AcP9^w. n-l.

5. ЧИСЛОВОЙ РАСЧЕТ ПОЛЕЙ ЛИНИЙ СКОЛЬЖЕНИЯ 17 3
причем х и у вычисляются через х и у по уравнениям
х = х cos ср —у sin ср,
у = х sin ср —[—^у cos ср.
В смысле точности или скорости между этим методом и последним
существует небольшое различие.
Если радиус кривизны одной из данных линий скольжения,
скажем ОВ, становится бесконечно малым, тогда как изменение ср
между О и В сохраняется постоянным, то получается очень важный
специальный случай. Тогда точка О представляет собой особую
точку, через которую проходят все линии а внутри определенного
углового расстояния (фиг. 26, Ь). Угол <pw.,n, соответствующий общей
Фиг. 28. Вторая краевая задача: а) вдоль
отрезка АВ кривой 2 даны все три
компонента напряжения или Ь) заданы внешние
напряжения, действующие на пластической
поверхности.
точке Р(т, п), определяется посредством той же формулы, как и
прежде, где cp0j n теперь представляет собой угол между линиями
а—О А и ОР — в точке О. При этом метод вычисления координат
точки Р не изменяется. Поле, определяемое посредством линии
скольжения ОА и особенности в точке О, может быть формально
продолжено вокруг О на любой требуемый угол; на практике предел
определяется другими граничными условиями. Отметим, что радиус
кривизны <S всех линий (3 в точке О равен нулю, так что из (17)
или (18) следует, что все линии а имеют в точке О одну и ту же
кривизну.
Ь. Вдоль некоторой кривой заданы напряжения (задача Коти).
Допустим, что вдоль отрезка АВ кривой 2 (фиг. 28, а) заданы все
три компонента напряжения и что они удовлетворяют условию
текучести. Предполагая, что материал на достаточно большой площади
вокруг АВ является пластическим, вычислим поле линий скольжения

174
ГЛ. VI. ПЛОСКАЯ ПЛАСТИЧЕСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
Из теории характеристик известно, что условия, заданные на АВ,
достаточны для однозначного определения поля внутри
криволинейного четырехугольника АСВС\ ограниченного двумя парами
пересекающихся линий скольжения, проходящих через точки А и В,
а именно АС, ВС и АС\ ВС. Это будет строго доказано позднее;
теперь мы сформулируем однозначный метод последовательного
вычисления поля.
Возникают две возможности: кривая £ может лежать в первом
и третьем квадрантах, образованных любой парой линий скольжения,
пересекающихся на Е, или она может лежать во втором и четвертом
квадрантах. Для определенности рассмотрим первую возможность,
так что АС и С В суть линии а. Выберем АС и АС в качестве
криволинейных координатных осей и разделим АВ точками (1, 1),
(2, 2), . . ., (т, т), . . ., (/г, /г), ... на произвольно малые отрезки;
они определяют сетку линий скольжения. Тогда давление рпЪ)П и
угол <pw,n в произвольной узловой точке Р(т, п) связаны с заданными
значениями в точках пересечения линий скольжения, проходящих
через точку Р, с кривой АВ уравнениями
Рш, п Рт, т zr=z *k v¥m, т ¥т, п)>
Рт, п Рп, п == ^ уфт, п ?те. я)»
Отсюда
Рт, п = ~2 (Рм, т "~Ь Рп, п) Ч~ & (?т, т — <f n, n )»
_ 1 1 (22)
'f m, n — *TjT \Рт, т РпУ тг) Н~ "о" (? »Ь т « ?л, n)» J
Значения р и ср здесь однозначно определяются, так как вдоль £
заданы три компонента напряжения. Тогда из двух последних
уравнений р и ср могут быть вычислены в любой узловой точке.
Вычислим поочередно координаты узловых точек, наиболее
близких к X, а именно (1,0), (2,1), (3,2), ... и (0,1), (1,2), (2,3), ...
При этом может быть принят любой из трех методов, аналогичных
тем, которые были описаны в предыдущем разделе. В первом методе
элементарные дуги линий скольжения, связывающие, скажем,
точку (1,0) со смежными точками (0,0) и (1,1) на кривой X,
заменяются прямыми линиями, наклоны которых равны средним значениям
конечных значений ср. Найдя положения узловых точек, смежных
с кривой X, мы приступаем к вычислению следующих двух рядов
точек: (2,0), (3,1), (4,2),... и (0,2), (1,3), (2,4),... Краевая
задача, включающая эту и последующие стадии, была уже
рассмотрена в (а). Второй метод требует определения R и S, используя,
конечно, разностные эквиваленты уравнения (18), описанные в (а).
Начальные значения /? и 5 на кривой X должны быть получены

5. ЧИСЛОВОЙ РАСЧЕТ ПОЛЕЙ ЛИНИЙ СКОЛЬЖЕНИЯ 175
из заданных приращений р и ср. Если д/д$ означает касательную
производную вдоль кривой £ в направлении от А к В, то
где 6 для любой точки на кривой 2 представляет собой направленный
против часовой стрелки угол поворота от направления а до
касательной к 2 (фиг. 28, а). Следовательно (из (16)),
ду t cos б sin 6
и (из (12) и (16))
j)_(P_\ cos 6 sin 6
Поэтому кривизны линии скольжения в точках на кривой 2
определяются в зависимости от известных приращений р и ср вдоль
кривой 2 с помощью соотношений
1_ \_±(£_—гЛ 1
R 2 cos 8 ds \2k *)>
5 2 sin 6 ds\2k TV I
Последовательность вычислений R и 5 в узловых точках та же как
и в первом методе. Координаты получаются в конце концов из
уравнений, аналогичных уравнениям (19). Третий метод зависит от
введения х и у, как, например, в уравнении (20).
Очевидно, что если на кривой 2 заданы компоненты напряжения,
такие, что 2 представляет собой линию скольжения, то
четырехугольник вырождается в отрезок АВ, пройденный дважды, так что
поле линии скольжения в любой окрестности I не может быть
определено без других данных. Это вновь формулирует тот факт,
что линия скольжения является характеристикой.
Настоящая краевая задача наиболее часто встречается, когда
кривая 2 представляет собой часть внешней поверхности образца,
на которой действуют заданные внешние силы (фиг. 28). Тогда
заранее известны только два компонента напряжения, а именно:
нормальное и касательное напряжения, действующие на поверхности.
Два значения третьего компонента могут быть найдены так, чтобы
удовлетворить условию текучести (например, свободная поверхность
может находиться в пластическом состоянии при тангенциальном
сжатии или растяжении); условия задачи будут решать, какая из
двух возможностей является верной. При этом к делу относится
только часть поля линий скольжения АС ВС', лежащая внутри
поверхности, а именно, криволинейный треугольник АСВ (предположим,
что точка С будет внутренней вершиной).

1 76 ГЛ. VI. ПЛОСКАЯ ПЛАСТИЧЕСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
Вообще, невозможно выбрать узловые точки, подразделяющие
кривую 2 так, чтобы сетка была равноугольной. Очевидно, это
может быть сделано, если только кривая Е сама будет контуром
постоянного р или постоянного ср. Распространенный пример первого
случая имеет место, когда 2 представляет собой свободную
поверхность, т. е. поверхность, на которую не действуют никакие
внешние силы. Второй случай встречается редко; здесь возможное
положение таково, что на прямолинейной границе действуют постоянное
напряжение трения и любое распределение нормального напряжения.
Задача, которая является обратной настоящей, состоит в
следующем: задана линия скольжения ОЛ в предположении, что
материал между кривыми £ и ОЛ является пластичным, строится
свободная поверхность, проходящая через точку О (и пересекающая ОЛ
под 45°). Решение является однозначным; при вычислениях может
быть использована равноугольная сетка с узловыми точками,
попадающими на поверхность, так как поверхность является контуром
постоянного р.
с. Задана одна линия скольжения вместе с кривой, вдоль
которой угол ср известен (смешанная задача). Пусть ОЛ (фиг. 29
а) Ь)
Фиг. 29. Третья краевая задача: даны линия
скольжения ОА и кривая 2, вдоль которой
наклоны линий скольжения известны. Для
случая (Ь), но не (а) в точке О имеет место
особенность.
представляет собой заданный отрезок линии скольжения, скажем
линии ос. При этом отрезок ОЛ может быть рассмотрен в качестве
границы ранее определенного поля линий скольжения в некоторой
площади слева. Кривая Е, вдоль которой ср известно (но не р), также
задана; внутренний угол между двумя кривыми в их точке
пересечения О является острым. Предполагая, что область между ОА и £
является пластической, здесь требуется вычислить поле линий
скольжения. Оно однозначно определяется в треугольной области,
ограниченной ОА, £ и линией (3 (АВ), проходящей через А (при условии,
конечно, что данные условия такие, что линии скольжения одного
семейства не совпадают, образуя при этом естественную границу).

5. числовой расчет полей линий скольжения 177
Имеются две возможности, которые нужно рассмотреть. Если
заданное значение ср в точке О на кривой 2 равно значению ср
в точке О на кривой ОА, то мы имеем конфигурацию, приведенную
на фиг. 29, а, С другой стороны, если два значения не равны, то
в точке О существует особенность. Тогда, если направление а
в точке О на кривой 2 лежит во внутреннем угле, образованном
касательными в точке О к кривым 2 и ОА, то получается
конфигурация, данная на фиг. 29, b (то же самое применяется с
соответствующими изменениями, если ОА является линией (3). Поле ОАА'
определяется посредством О А и особенности в точке О; его
построение было уже описано в (а). Отрезок ОА' представляет собой
линию а, направление которой в точке О совпадает с заданным
направлением а на кривой 2; поэтому угол между ОА и ОАТ равен
разности двух значений ср в точке О. Таким образом, задача
сводится к определению поля, характеризующегося отрезком ОА' и
заданным условием вдоль I; это идентично с задачей фиг. 29, а.
Однако, если направление а в точке О на кривой 2 лежит вне
внутреннего угла, образованного касательными в О, то не
существует поля линий скольжения, удовлетворяющего заданным
условиям; поэтому область между О А и 2 не может быть полностью
пластической. Мы увидим позднее, что поле линий скольжения может
быть найдено, если ОА становится огибающей линией а, но в этом
случае для однозначного определения поля заданных условий
недостаточно; более того, р становится в точке О бесконечным.
Возвратимся к фиг. 29, а\ пусть ОА подразделяется на малые
дуги с помощью произвольно выбранных точек (1,0), (2,0), . . . Они
определяют сетку с узловыми точками (1,1), (2,2), ... на кривой 2.
Определение этих точек является более трудной задачей, чем те,
которые мы до сих пор рассматривали, так как вычисления ср и
координат {Ху у) проводятся одновременно. Начнем с точки (1,1),
используя метод последовательного приближения. Через точку (1,0)
проводим прямую линию в направлении [3, пересекающую кривую 2,
скажем, в точке Р\ которая представляет первое приближение
к точке (1,1). Мы можем теперь провести через точку (1,0)
несколько отличную линию с наклоном, соответствующим среднему
из значений <р в точках Р' и (1,0). Это дает новую точку
пересечения Р" с кривой 2, второе приближение к точке (1,1). Процесс
повторяется до тех пор, пока разница между последовательными
приближениями не становится меньше номинальной точности
вычислений. Тогда точки (2,1), (3,1) могут быть вычислены
последовательно обычным путем, при этом вся процедура опять начинается
с точки (2,2).
Ясно, что только в том случае, когда ср вдоль 2 постоянно,
возможно выбрать исходные точки на ОА так, что сетка будет
равноугольной; в этом случае нет необходимости использовать метод
последовательного приближения, поскольку ср и координаты могут
1_ 3dK M.36. Р. Хилл

178
ГЛ. VI. ПЛОСКАЯ ПЛАСТИЧЕСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
быть найдены отдельно. Пример такого положения имеет место,
когда образец находится в соприкосновении с жесткой
прямолинейной поверхностью, вдоль которой касательное напряжение трения
является постоянным. В частности, если поверхность гладкая, то
линии скольжения пересекают ее под 45°, а задача тождественна
с задачей нахождения поля, определяемого посредством ОЛ, и его
зеркального изображения относительно кривой Ё.
Подобная, но несколько более общая краевая задача заключает
в себе линию скольжения и кривую, вдоль которой напряжения
подчинены некоторому условию. Такое условие эквивалентно
зависимости между р и ср. Поэтому вычисление р выполняется
одновременно с вычислением <р и координат (х, у). Для этого применяются
те же правила, но при этом вычисления являются более трудными.
Пример такой краевой задачи имеет место, когда материал
соприкасается с жесткой поверхностью, вдоль которой коэффициент трения
постоянен.
6. Числовые расчеты распределения скорости
Компоненты скорости находятся из уравнений Гейрингер (14) или
раз поле линий скольжения известно, из их конечно-разностных
эквивалентов. Если задача статически определима, то поле линий
скольжения характеризуется однозначно с помощью граничных
условий для напряжений; тогда граничных условий для скоростей как
раз достаточно для вычисления распределения скорости. Этот тип
плоской задачи не представляет большой трудности. Однако, если
задача не является статически определимой, то граничных условий
для напряжений недостаточно для того, чтобы однозначно
определить поле линий скольжения. Однозначность получается при выборе
такого поля, при котором граничные условия для скоростей также
удовлетворяются. Если поле линий скольжения известно, то их
имеется больше, чем это необходимо только для определения
скоростей. Другими словами, граничные условия для скоростей сами
налагают ограничения на поле линий скольжения. Вообще,
приближенное решение таких задач должно заключаться в процессе подбора.
При этом принимаются некоторая пластическая область и связанное
с ней поле линий скольжения, удовлетворяющее всем граничным
условиям для напряжений. Затем вычисляется соответствующее
распределение скорости, используя только те граничные условия
для скоростей, которые необходимы для этой цели (обычно здесь
имеется некоторая свобода выбора). Для того чтобы узнать,
удовлетворяются ли оставшиеся граничные условия для скоростей,
решение теперь может быть проверено. Если не удовлетворяется, то
поле линий скольжения должно быть видоизменено, а процедура
повторена до тех пор, пока соответствие не будет достаточно
близким. Это, очевидно, очень утомительный процесс, и пока ника-

6. ЧИСЛОВЫЕ РАСЧЕТЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТИ 179
кие задачи, нуждающиеся в этом методе повторных попыток, не были
решены. Решения ограничены статически неопределимыми задачами,
где точное поле линий скольжения может быть определено заранее
посредством строгого анализа.
Однако в настоящее время мы интересуемся методами
вычисления компонентов скоростей относительно данного поля линий
скольжения, известного или предполагаемого. Так как линии скольжения
суть характеристики для уравнений скоростей, то здесь краевые
задачи аналогичны задачам, уже описанным для напряжений.
а. Заданы нормальные компоненты скорости вдоль пересекаю-
щихся ланий скольжения. Пусть О А и О В (фиг, 26, а) — отрезки
соответственно линий а и 3. Пусть компонент скорости v задан вдоль О А
а компонент и — вдоль О В. Путем прямого приложения уравнения (14)
мы можем непосредственно найти компонент v вдоль ОА и
компонент и вдоль ОВ, Если одно семейство линий скольжения является
прямым, скажем линии р, то v постоянно на каждой линии
скольжения и поэтому представляет собой функцию только ср.
Следовательно, изменение и между двумя линиями р, а именно I vdv,
является также постоянным. Когда оба семейства линий скольжения
являются кривыми, то мы заменяем уравнения (14) их
конечно-разностными эквивалентами, отнесенными к ранее вычисленной сетке
линий скольжения:
«ш, и — #m»l, n ~ '2^Vu1, n'^~ Vm~u w)(?w,rt— <P»/i-l, n)*
^m, m~~ Vm, n -1 ===: "~ "К (#ш. п Н~ ^ш, u-l) vf ш, п ~~ ?ш, п ~0-
Эти уравнения определяют и и v в узловой точке в зависимости от
значений и и v в точках (w — 1, л) и (т, а—1). Если сетка
является равноугольной, то эти уравнения по аналогии с
предыдущими уравнениями для /?, S и х, у могут быть разрешены так:
«»*,n = (l — -j лу Д<р9)йт-1, „ + j l A<P(v»',n-i +^ш-1, п) —
Поскольку нормальные компоненты скорости могут быть заданы
произвольно (и при этом несовместность не возможна) вдоль двух
пересекающихся линий скольжения, то отсюда следует, что на линии
скольжения в тангенциальном компоненте скорости возможен разрыв.
Такой разрыв может быть рассмотрен как предел бесконечно большой
12»

180 ГЛ. VI. ПЛОСКАЯ ПЛАСТИЧЕСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
скорости деформации сдвига. Таким образом, компонент v может
быть при переходе через линию р разрывным (dv/dsa-*oo), а и — через
линию a(d#/dsp-»oo). Из (14) следует, что скачок в и или v вдоль
соответствующей линии скольжения является постоянным. Эти
разрывы часто встречаются в приложениях и обычно распространяются от
острого угла, вдавливаемого в материал. В неупрочняющемся жестко-
пластическом теле они обладают своеобразной особенностью и
соответствуют тому, что в реальном материале будет более или менее
узкая переходная область, где скорость деформации сдвига является
очень большой; очевидно, такие переходные области менее
отчетливы в металле с высокой степенью упрочнения. Малый элемент
материала, пересекающий разрыв скорости, резко изменяет
направление своего движения и внезапно подвергается конечному сдвигу
параллельно разрыву.
Ь. Вдоль некоторой кривой заданы оба компонента скорости.
Допустим, что и и v заданы вдоль дуги ЛВ кривой £, которая
не является линией скольжения и которая не пересекается дважды одной
и той же линией скольжения (фиг. 28, а). Тогда в криволинейном
четырехугольнике АСВС', образованном линиями скольжения,
проходящими через конечные точки отрезка, решение для скорости
определяется однозначно. Компоненты и и v вычисляются в узловых
точках согласно уравнениям, приведенным в (а).
Этот тип краевой задачи всегда появляется около
упруго-пластической границы. Согласно нашим первоначальным предположениям
материал в упругой области движется как жесткое тело. Если
скорость непрерывна, то материал точно на пластической стороне
границы должен иметь ту же самую скорость, как и жесткий
материал. Рассматривая отрезок АВ на фиг. 28, а как пластическую
границу (верхняя сторона которой представляет собой упругую
область), мы знаем и и v вдоль АВ. Следовательно, распределение
скорости внутри ABC определяется однозначно. Поэтому
пластический материал в ABC перемещается как жесткое целое,
присоединенное к упругому материалу, поскольку такое движение, очевидно,
удовлетворяет уравнениям для скоростей и граничным условиям.
Отсюда следует, что во всех задачах плоской деформации мы
можем различать дв*е части пластической области, общая
поверхность раздела которых состоит из одной или более линий
скольжения: часть, в которой материал действительно подвергается
деформации, и часть, которая является жесткой и защищена от
деформирования благодаря стеснению со стороны прилегающего упругого
материала. Часто случается, что тангенциальный компонент скорости
является разрывным на линии скольжения, отделяющей жесткую и
деформируемую части пластической области. Жесткая часть
соответствует тому, что в реальном материале будет область, где
пластические деформации являются величинами того же порядка, как
и упругие деформации.

7. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ 181
с. Вдоль линии скольжения задан нормальный компонент
скорости одновременно с граничным условием вдоль пересекаю-
щей кривой. Пусть v задано вдоль отрезка ОА линии а (фиг. 29, а)
и пусть S представляет собой некоторую кривую, пересекающую ОА
в точке О и вдоль которой удовлетворяется данное граничное
условие f(u, v) = 0- Например, 2 может быть фиксированной жесткой
поверхностью, так что компонент скорости, нормальный к Е, должен
быть равен нулю. Задача имеет единственное решение при условии,
что не существует промежуточного поля линий скольжения,
соответствующего особенности в точке О. Если бы это было так
(фиг. 29, б), то решение для скорости в поле ОАА' не могло бы
быть построено до тех пор, пока величина и не была бы задана
вдоль отрезка ААГ линии (3 (задача (а)).
Ссылаясь на фиг. 29, а, имеем следующие уравнения для
неизвестных компонентов иХЛ и v\t\ в точке (1,1) на кривой S
f ы — ^1,о = — 2" ^ы + И1.о) (<Ры — <Pi.o).
/(«ы. tfi,i) = 0.
Если, как это обычно бывает, f является линейной относительно и
и v, то эти уравнения могут быть решены непосредственно. Найдя
значения и и v -в точке (1,1), мы можем использовать их для
вычисления и и v в точке (2,1) (задача (а)) и так далее
последовательно для точек (3,1), (4,1),.., Процедура начинается вновь
с точки (2,2).
7. Аналитическое интегрирование уравнений плоской деформации
До сих пор мы рассматривали только приближенные методы
интегрирования уравнений плоской деформации. Теперь в
зависимости от краевых значений мы выведем точные выражения для
координат, кривизн линий скольжения и компонентов скорости в любой
точке поля. Выражения содержат интегралы, которые могут быть
вычислены в явном виде, если только граничные условия
являются особенно простыми. В большинстве специальных задач
интегралы должны быть вычислены численно и это большей частью
будет труднее, чем расчеты поуже описанным приближенным методам.
Следовательно, точное исследование имеет ограниченное практическое
значение. Оно используется главным образом для проверки
относительной точности приближенных методов.
Введем криволинейные координаты (а, |3) точки Р, связанные
линиями а и р как криволинейными осями (ОА и ОВ на фиг. 27).
Значение ср в точке Р возьмем, как обычно, равным отсчитываемому
против часовой стрелки углу между направлением а в точке О и
направлением а в точке Р. Тогда параметры (а, (3) в точке Р опре-*
деляются следующим образом;

182
ГЛ. VI. ПЛОСКАЯ ПЛАСТИЧЕСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
а — значение ср в точке, где линия р, проходящая через точку Р,
отсекает отрезок ОА исходной линии а;
р— значение ср в точке, где линия а, проходящая через точку Р,
отсекает отрезок ОВ исходной линии р.
Таким образом, а является постоянным вдоль линии р, a р является
постоянным вдоль линии а; в частности, случай а = 0 соответствует
исходной линии р, а случай р = 0 относится к исходной линии а,
точно так же как и у обычных декартовых координат.
Соотношение между парами значений (а, Р) и (х, у) однозначно, если только
одно семейство линий скольжения не состоит из прямых; например,
если линия р является прямой, то всем точкам линии соответствуют
одни и те же значения аир.
Из первой теоремы Хенки следует, что
<Р = а + Р )
и что )
2k ? ^ 2k ' )
(24)
где р0— значение р в начале О. Обратно,
Так как dy = da на линии a, a dy = dp на линии р, то
уравнения (14) могут быть переписаны в форме
л ^ = 0, -^ + ^ = 0, (14')
исключая случай, когда одно семейство линий скольжения является
прямым. Аналогично уравнения (18) и (21) примут вид
(180
(210
и
Из (140 имеем:
дадЬ
Из (180 получим:
Из (2Г) найдем:
OOL J
dl '
dl/
= 3F = -fl'
d7
"" д« — *'
d#
а?
dx
d%
da dp :
-5 = 0
-7=о.
da
~ da ~~
OR
~ dp -"
d*
-v.
-S.
—у-

7. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ 183
Таким образом, все величины ut v, R, S, х, у отдельно удовле
творяют одному и тому же дифференциальному уравнению
дад$
-/=0.
(26)
Это — хорошо известное «телеграфное уравнение», связь которого
с задачей о плоской деформации была впервые указана в 1923 г.
Каратеодори и Шмидтомх). Оно не удовлетворяется в поле, где
одно семейство линий скольжения состоит из прямых. Поэтому
решения, соответствующие такому полю, не определяются этим
уравнением и иногда называются «потерянными» решениями.
Это уравнение интегрируется по методу Римана. Рассмотрим
задачу Коши (разделы 5, b и б, Ь), где вдоль кривой 2, которая
не является линией скольжения, даны значения / и одной из его
производных, скажем df/да. Другая производная df/дф
непосредственно вычисляется в зависимости от df/дя, а производная вдоль £
такова;
д/ __ cos 6 д/ sin 0 df
ds~~R(te S дгр '
где 0 — угол между линией а и касательной к X. Как было
первоначально сформулировано, граничные условия таковы, что вдоль X
должна быть задана пара значений (и, v), (/?, S) или (х, у). Это,
очевидно, эквивалентно определению
элемента пары и его производной. Например, ^|
если даны и и v, то из (14') мы знаем
да/да и dv/d$; обратно, если даны а и
да/да (или ди/д$), мы можем вычислить v.
Полезно рассмотреть задачу в
зависимости от элементов плоскости (а, (3)
(фиг. 30), а не действительной
плоскости (х, у), В плоскости (а, Р) линии
скольжения представлены прямыми линиями,
параллельными осям, тогда как кривая £
преобразуется в некоторую другую
кривую. Пусть Р(а, Ь) — точка, в которой
требуется вычислить значения/в зависи- фиг> зо. Представление ли-
мости от данных условий вдоль ЛВ, при- ний скольжения и других
чем АР и ВР представляют собой две кривых в плоскости (а, Р)
линии скольжения, проходящие через Я, для интегрирования по ме-
о . », J* Т°ДУ Римана.
а именно а = а и р = Ь, Метод Римана
зависит от возможности нахождения
частного аналитического решения уравнения (26) со специальными
свойствами, которые будут установлены позднее. Это решение
\£
I 2s
о*-
^^ }
Р(а,Ь)
\
Л
1) С. Carajheodory, E.Schmidt, Zeits. ang. Math. Mech., 1923,
т. 3, стр. 468.

184 ГЛ. VI. ПЛОСКАЯ ПЛАСТИЧЕСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
известно как функция Грина для этого частного дифференциального
уравнения и краевой задачи; она обозначается через G(a, (3).
Во-первых, отметим, что выражение
представляет собой полный дифференциал. Необходимое и
достаточное условие для этого будет:
д$\и да } да) — да{/ дгр ид$
Оно, очевидно, будет удовлетворяться, так как / и G суть решения
уравнения (26), так что
дадгр j j $а ^ •
Следовательно, интеграл от написанного выше выражения по любой
замкнутой кривой равен нулю. В частности, он равен нулю, когда
он берется вокруг АРЕ (скажем, в направлении против часовой
стрелки):
- § 1°%-'%)*Ч'%-°%)«
О
АРВ
АР ' РВ
да да J '
+ .H«-/£)«»+(/f-«!H-
АВ
Предположим, что функция G(a, р) такая, что на АР и ВР G=* 1;
поэтому dG/dfi = 0 на АР и dG/doc = 0 на ВР. Первые два интеграла
могут быть вычислены точно, и при этом мы имеем:
K°£-/£)*+(/$-°SfM
0-(/а—/р) + (/в—/р) +
АВ
или
/,->, + /,>44j{(0g-/§)A + (/£-0$f)<*)-<">
АВ
Это и есть требуемое выражение для / или для любой из величин
a, v, R, 5, х, у.
Остается найти специальную функцию О. Можно показать, что
она имеет вид
О (а, Ь, ее, р) = у0[2]/(а — а)(Ь— р)], (28)

7. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ 185
где J0(z) — функция Бесселя нулевого порядка, определяемая
уравнением
f
Jo+Y + ^o^0' Уо(0)=Ь Уо(0)^0, (29)
где штрих означает дифференцирование J0(z) no z. Разложение J0
по возрастающим степеням (сходящееся для всех z) таково:
1гТ
Уо(г)=У(-1)«кУ-=1_5 + Й
(л1)а 4 " 64
о
причем согласно предположению зависимость функции G от данной
точки Р подчеркивается благодаря обозначению О (а, />, а, |3), Путем
непосредственного интегрирования мы можем проверить, что
функция (28) удовлетворяет дифференциальному уравнению (26):
д£_ __ ./ дг_ ___ ,' fb~ 'p
да ° да % ° I' а — а '
dadV~"J°d$V а-а-Т~2 у{а-.а)(Ь-$) ° *'
дЮ „ J' ,
Более того, когда а = # или (3 = ft, то z = 0 и О^У0(0)=1,
это — граничные условия, которым функция О должна
удовлетворять вдоль АР и ВР. Нужно отметить, что кривизны линий
скольжения могут быть такими, что величина {а — а)(Ь — (3) является
отрицательной. Поэтому, как можно видеть из степенного ряда,
хотя аргумент J0 является комплексным, J0 само по себе является
еще действительным. При числовых вычислениях следует
использовать таблицы функций
IQ(z)*=J0(tz).
Может быть получена соответствующая формула для краевой
задачи разделов 5, а и 6, а, если в качестве двух линий
скольжения ОА и ОБ, вдоль которых значения / заданы, взять кривую Е.
Имеем:
/F^+/ri+^g-/£)*+'/(ojf-/S)«
о о
или, интегрируя по частям, найдем:
f{a, b)=J0(2Vri)f(0, 0) +
а Ь
+ J 70 [2 Vfy-cOft] g да + J ./„ [2 V7W^f)\ Ц d$. (30)

186
VI. ПЛОСКАЯ ПЛАСТИЧЕСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
Значительный интерес для приложений представляет поле линий
скольжения, определяемое двумя линиями скольжения, которые
представляют собой круговые дуги равного радиуса. Если мы выберем
систему осей (х, у), как показано на фиг. 31, то по всему полю а
является отрицательным, а [3 положительным. Допустим, что мы
хотим вычислить координаты (х, у) сетки линий скольжения с
помощью метода (R, S) раздела 5, а. Тогда на О A R равно —г.
Фиг. 31. Поле линий скольжения, определяемое при помощи
равных круговых дуг ОА и ОБ. Показанная сетка является
равноугольной с интервалом в 15°» Точные значения
узловых точек см. в таблице 1 в конце книги.
а на ОБ S равно —/\ Следовательно, из (18') на О A S =— г(1 —а),
в на OB R — — /•(1+Р). Вводя эти граничные условия в (30),
получим следующую формулу для определения величины R в общей
узловой точке (а, Ь)\
ь
— jR(a9 b) = ^[2V^b}-\~ j J0[2l/a(£ — p)]dp.
о
Положим z==2|/ a(b — p), так что
Ь 2 Vab 2 УаМ
Jy0[2/e(*-p)Jrfp = ± J zj0(z)dz = ± J dizJJ,
О 0 0
где Jt(z) — функция Бесселя первого порядка (У1 — — j'Q).
Следовательно,
или
|4| = /o{21/^}4-/"[I[a{2K|'W). (31)

8. РАЗРЫВ НАПРЯЖЕНИЯ
187
Так как ab является отрицательным, то в расчетах должна быть
использована эта форма; значения У0 и Jt могут быть получены
из таблиц. Из соображений симметрии значение S в точке (а, Ь)
равно значению R в точке (—Ь, —а), представляющей отражение
точки (а, Ь) относительно оси симметрии. Формула (31) может быть
использована для проверки точности приближенного метода
вычисления R и S, описанного в разделе 5, а. Найдено, что если
используется равноугольная сетка с интервалом в 5° (А? = 0,08727 радиана),
то в поле, определяемом круговыми дугами с углом 45°, ошибка
меньше 0,1%. Поэтому метод допускает точность высокого порядка
даже при относительно крупной сетке. Уравнение (19) было
использовано для вычисления значений (л:, у) в точках сетки с углом 5°
в поле, определяемом 90° круговыми дугами. Результаты даны
в таблице 1 в конце книги1). Это поле встречается во многих
задачах, решения которых описаны в следующих главах.
Для оценки других свойств уравнений Хенки и Гейрингер и
вывода некоторых специальных решений, представляющих главным
образом академический интерес, читатель отсылается к монографиям
Гейрингер и Прагера2) (1934 г.) и Гейрингер8) (1937 г).
8. Разрыв напряжения
Было показано, что при переходе через линии скольжения могут
быть разрывы скорости, градиента скорости и градиента напряже-
а;
Фиг. 32. Разрыв напряжения в пластической зоне
поперек поверхности.
ния. Мы еще не исследовали возможности того, что напряжение само
по себе поперек некоторой кривой может терпеть разрыв. Соображения
равновесия требуют только, чтобы компонент напряжения зп,
нормальный к кривой (фиг. 32, а), и касательное напряжение т, парал-
х) Вычисления S. J. Tupper'a и автора.
2) Н. Geiringer, W. P r a g e r, Ergebnisse d. exakten Naturwiss., 1934,
т. 13, стр. 310.
я) Н. Geiringer, Mem. Sci. Math., 1937, т, 86.

188
ГЛ. VI. ПЛОСКАЯ ПЛАСТИЧЕСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
лельное кривой, были бы теми же самыми на обеих сторонах ее;
компоненты at и at, действующие параллельно кривой, могут быть
различными. Читатель уже знаком с одним примером, а именно
с изгибом жестко-пластического листа при плоской деформации
(разд. 6 главы IV). Продольное напряжение является растягивающим
по одну сторону центральной (нейтральной) оси и сжимающим —
по другую. По мере того как изгибающий момент увеличивается,
центральная полоса упругого материала сокращается и, наконец,
исчезает. Когда'это происходит, продольное напряжение на стороне
растяжения повсюду равно 2&, тогда как на стороне сжатия оно
равно —2k; поэтому вдоль нейтральной оси имеется разрыв,
равный 4k (мы можем, между прочим, отметить, что вследствие
жесткого внутреннего ядра полоса не начнет изгибаться до тех пор,
пока она не будет совершенно пластичной). Второй пример разрыва
напряжения был отмечен ранее (хотя и не при плоском
деформированном состоянии) при кручении жестко-пластического стержня,
контур которого имеет острые углы (разд. 8, / главы IV).
Тангенциальный компонент касательного напряжения, действующего по
поперечному сечению, является разрывным поперек линии, исходящей
из каждого угла и соответствующей гребням пластической крыши.
Таким образом, установив возможность разрывов напряжений,
мы должны исследовать их общие свойства при условиях плоской
деформации. В реальном упруго-пластическом теле разрыв
заменяется узкой переходной областью упругого материала, при переходе
через которую напряжения изменяются быстро. Известные примеры
этих переходных областей пока ограничивались простыми задачами,
такими, как изгиб и кручение. Это не является неожиданным, так
как они, вероятно, возникают главным образом при граничных
условиях, для которых точное решение для распределения
напряжения было бы невозможным. Однако в течение последних лет с помощью
допущения о жестко-пластическом теле были решены задачи
возрастающей сложности, и возможность появления разрывов напряжения
в будущих работах должна быть рассмотрена. Свойства разрывов
напряжения были, повидимому, впервые систематически исследованы
Прагером х).
Величина разрыва at— ct тангенциального напряжения ограничена
условием, что материал на обеих сторонах линии является
пластическим. Если ап и т рассматривать как заданные величины, то воз-
можные значения of и а^ удовлетворяют условию текучести
(з —3n)9-f-4T9 = 4#J.
Таким образом,
*) W. Prager, R, Courant Anniversary Volume, Interscience Publishers,
N. Y., 1948, стр. 289. J

8. РАЗРЫВ НАПРЯЖЕНИЯ
189
Поэтому касательное напряжение может иметь одно из двух
значений, соответствующих в представлении напряжений по Мору двум
кругам радиуса k, проходящим через точку (ои, т). Следовательно,
если существует разрыв, то он равен 4J/&2 — 'с2* Очевидно, скачок
в среднем сжимающем напряжении р равен половине этого значения,
а именно, 2]//г'3—/?2.
Более интересно и полезно рассмотреть разрыв относительно
линий скольжения. Рассмотрим равновесие четырехугольного
элемента со сторонами, перпендикулярными четырем направлениям
линий скольжения, проходящих согласно предположению через
рассматриваемую точку (фиг. 32, Ь). Из условия равновесия в
тангенциальном направлении следует, что элемент должен быть симметричен
относительно касательной или, другими слозами, что направления а
(или (3) на обеих сторонах суть зеркальные изображения относительно
кривой. Если 0 — острый угол между направлением а и касательной
к кривой, то из уравнения равновесия в перпендикулярном
направлении следует, что
|р — р'| = 2fesin26. (32)
На фиг. 32, Ь алгебраически большее значение р находится на
верхней стороне кривой (р > //); если оно было бы на нижней
стороне, то линии а были бы направлены влево, а не вправо (эта
конфигурация получается просто путем поворота листа на 180°).
Поперек разрыва напряжения кривизны линий скольжения
изменяются резко. Из уравнения (23) кривизны 1//?' и 1/S' на нижней
стороне кривой фиг. 32, Ъ определяются формулами
L[sL
<А 1
1
±(eL
+ ?').
2cosbds\2k • /' 5' 2sin 6 ds\2k
На верхней стороне поворот направления а против движения
часовой стрелки относительно касательной равен —Ь и, таким образом,
R ~
Следовательно,
1
ILlJL
2cos 6 ds \2k
R'
R
1
Ho
2cos 0 ds
1 д
2sin 6 ds
я. | =
p — p
1
2sin6 ds\2k
-(?-?')
2k
p — p' — 2ks\v.2b и ф — «
26
и, таким образом,
db
R'
- + --
■ = — 2sin9tgb^-
2cos0ctg6
ds
(33)

190 ГЛ. VI. ПЛОСКАЯ ПЛАСТИЧЕСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
Эти уравнения связывают скачки в кривизнах с изменением угла О
вдоль разрыва.
Теперь возникает вопрос, может ли существовать разрыв в
тангенциальной скорости поперек разрыва напряжений. Что это не может
быть так, если жестко-пластический материал рассматривается как
упруго-пластический, модуль Юнга которого увеличивается
беспредельно, может быть наглядно показано с помощью следующих до-.
водов1). Допустим, если возможно, существование в
упруго-пластическом теле такой узкой переходной области, при переходе через
которую напряжение и скорость изменяются быстро. Для равновесия
необходимо, чтобы касательный компонент напряжения и нормальный
компонент напряжения были очень близки к постоянной по всей
области (а в пределе точно равны). Поэтому невозможно, чтобы вся
переходная область была бы пластической, так как согласно
гипотезе компонент напряжения, параллельный границе переходной
области, изменяется быстро. Таким образом, большая часть изменения
напряжения должна иметь место поперек центральной упругой полоски.
С другой стороны, изменение скорости должно, очевидно, иметь место
поперек пластической полоски; это требует, чтобы линии скольжения
были направлены действительно вдоль и перпендикулярно к границе
переходной области (так как в пределе скорость деформации сдвига
становится бесконечной). Это приводит к противоречию, так как
напряжение в пластической полоске должно быть очень близко
к константе и равно напряжению непосредственно снаружи
переходной области, к которой согласно гипотезе линии скольжения
наклонены под некоторым конечным углом. Тогда с этой точки зрения
поле линий скольжения, заключающее в себе одновременные разрывы
напряжения и скорости, не может быть допустимо2). Однако такие
воображаемые поля от времени до времени используются в качестве
приближений, когда точное решение неизвестно (см. стр. 203 и 253).
!) Письмо автора к проф. В. Прагеру, Brown University (23 октября
1948 г.).
2) A. Winze r, G. F. Carrier, Journ. App. Mech., 1948, т. 15, стр.261.

ГЛАВА VII
ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
1. Формулировка задачи
В этой и двух следующих главах идеи и техника вычислений
главы VI применяются к решению разнообразных задач плоского
деформированного состояния. Мы начнем с задач установившегося
движения, в которых напряжения и скорости в любой
фиксированной точке (отнесенной к некоторой системе координат, которая может
быть неподвижной или движущейся равномерно) не изменяются. Это
условие осуществляется в непрерывных процессах обработки
металлов давлением, например, при прокатке, волочении, выдавливании.
Так как деформации обычно велики, то предположение о жестко-
пластическом теле, вероятно, является хорошим; ошибка,
обусловленная пренебрежением упрочнения, может быть в значительной
степени устранена, как мы увидим, с помощью простого
поправочного коэффициента. В то время как теория плоской задачи строго
обоснована только для широких брусков или листов, как при
прокатке полосы, она дает полезную качественную картину деформации
в таких процессах, как волочение проволоки или выдавливание
стержня; будет показано также, что теоретические результаты,
видоизмененные соответствующим образом, часто обеспечивают близкую
оценку расхода энергии.
Задачи установившегося движения отличаются от тех задач,
которые мы до сих пор обсуждали, тем, что распределение
напряжений и скоростей, повидимому, не зависит от способа, при котором
установившееся состояние достигается. Доказательство этого
отсутствует; однако в предположении, что внешние условия неизменны,
кажется маловероятным, чтобы окончательное установившееся
состояние могло бы зависеть от изменений вначале (например, при
придании формы концу отрезка полосы, вводимой в зазор между валками).
Однако можно себе представить, что когда условия, при которых
установившееся состояние создается, не могут быть полностью
определены, предшествующая история может иметь влияние.
Например, форма мертвого металла, отделяющегося в начале при прямом

192 ГЛ. VII. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
выдавливании, должна частично зависеть от физических свойств конца
заготовки; так как мертвый металл направляет течение, подобно
шероховатой матрице, он должен обусловливать окончательное
установившееся состояние. Без ясной теоремы единственности мы не
можем быть уверены в том, что условия, при которых мы
разыскиваем установившееся состояние, неизбежно гарантируют
единственное решение. Тем не менее ссылка на эксперимент укажет, когда
мы можем быть уверенными в том, что наши условия будут
окончательными х).
Предполагая теперь, что установившееся состояние является
единственным и что нам нет надобности прослеживать предыдущее
развитие пластической области, получим, что напряжения и скорости
в фиксированной точке являются функциями только положения;
элемент времени или процесс деформации отсутствует. Пластическая
область фиксирована в пространстве (или может быть сделана такой
путем наложения равномерной скорости на всю систему); жесткий
материал поступает в штампы с одной стороны, деформируется при
прохождении между ними и оставляет их с другой стороны
равномерным потоком, который после разгрузки становится снова жестким.
По самой своей природе задача об установившемся движении является
статически неопределимой, так как сохранение равномерного течения
материала до и после пластической области налагает ограничения
на форму и положение пластической границы.
Теперь мы сформулируем задачу точно. Пластическая область,
как мы видели в разделе 6 главы VI, состоит из части, которая
жестко удерживается из-за непластического материала, и части, где
происходит деформация. Линия скольжения, совпадающая с границей,
отделяющей обе части, должна сначала быть построена так, чтобы
удовлетворить всем условиям для напряжений и скоростей, которые
непосредственно связаны с зоной пластически деформированного
материала. Ограничения на распределение напряжений в этой зоне
могут проистекать, например, от отсутствия трения поверхностей
или от заданных внешних нагрузок; обычные ограничения на
скорости сводятся к тому, что компонент скорости, нормальный к
неподвижным границам, должен быть равен нулю и что компонент
скорости, нормальный к жестко-пластической границе, должен быть
совместим с движением материала как жесткого тела снаружи зоны.
Вообще (сравни разд. 6 главы VI), мы с помощью процесса
повторных попыток должны построить поле линий скольжения, сперва
выбирая поле, которое удовлетворяет условиям для напряжений,
затем исследуя, будет ли оно связано с решением для скорости,
^) Этот довод, распространенный в прикладной математике, молчаливо
предполагает, что основные уравнения вполне соответствуют действительному
физическому поведению.

1. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ
193
т. е. совместно с условиями для скоростей1), причем последнее
означает, что скорость работы, затраченной в каждом пластическом
элементе, является положительной.
Может случиться, что одни эти краевые значения неоднозначно
определяют поле линий скольжения или что предположение,
например, относительно обычного расположения пластически
деформированной зоны является неверным (например, мы не знаем заранее,
образуется ли при волочении листа стоячая волна пластического
материала впереди матрицы). Эти вопросы решаются в
предположении, что жесткий материал (который может быть пластическим,
непластическим или претерпевшим разгрузку) должен быть в
состоянии выдерживать силы на его периметре. Таким образом,
обоснованность поля линий скольжения в конечном счете устанавливается
путем доказательства существования установившегося состояния
распределения напряжений в таком жестком материале, что предел
текучести нигде в нем не превышается.
Повидимому, точный метод последовательного приближения для
решения задач установившегося движения сформулировать
невозможно; элемент повторных попыток едва ли может быть устранен.
Каждая задача имеет свои особенности, и они должны быть сперва
оценены качественно. Физическая интуиция указывает на вероятное
общее расположение пластической области, после чего принимается
положение отрезка некоторой линии скольжения; это должна быть
линия скольжения, от которой при данных граничных условиях для
напряжений пластическое поле может быть построено однозначным
образом. Поле распространяется, если не останавливается из-за
несовместимости до тех пор, пока, повидимому, оно не является достаточно
большим, чтобы позволить полную деформацию, требуемую при
устойчивом состоянии; например, при прокатке пластическая область
должна, очевидно, простираться прямо через лист, так как материал,
оставляющий валки, двигается быстрее, чем до входа в валки. Когда
поле линий скольжения угадано, мы строим решение для скорости,
начиная оттуда, где в распоряжении имеется достаточное количество
краевых значений. Имея полученное распределение скорости, мы
исследуем, совместимо ли оно с краевыми значениями, до сих пор
не использованными; так как задача статически неопределима, всегда
граничных условий имеется больше, чем это необходимо для опре-
t) К сожалению, большинство авторов по задачам установившегося
движения пренебрегает этим; см., наприаер, В. В. Соколовский, 4еэрия
пластичности, Москва, изд. АН ССС^, 1946; К. Н. Шевченко, Прикладная
математика и механика, 1941, т. 5, сгр. 439 и 1942, т. б, стр, 381; Изв. АН СССР,
1946, т. 3, стр. ЗД F. К. Т h. von I t е г s о n, Plasticify in Engineering, Blackie,
1947; E. S i e о e 1, Journ. Iron and Steel Inst., 1947, т. 155, стр. 526; G. F. С a r-
rier, Quart. App. Math., 1948, т. 6, стр. 185; H. I. Ansoff, Graduate
Division of App. Math., Brown University, 'lechn. Reps. 14 и z3, 1948. Вообще
можно показать, что предположенные ими поля линий скольжения являются
некорректными; примера этого обсуждаются позднее.
}'3 Зак 1438. Р. Хн.чя

194 ГЛ. VII. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЙ
деления решения для скорости в случае угаданного поля. Если все
условия не могут быть удовлетворены, то первоначальный выбор
линий скольжения должен быть видоизменен. Когда все условия, прямо
затрагивающие пластическую зону, удовлетворяются, то мы должны
затем проверить, что скорость пластической работы всюду является
положительной, и должны окончательно исследовать связанное со
скоростью распределение напряжений в материале. Если все
совместно, то мы нашли возможное установившееся состояние.
После небольшой практики и экспериментирования читатель скоро
приобретет опыт в выборе подходящей исходной линии скольжения,
в то время как известные решения подскажут ему возможные образцы
линий скольжения. Тем не менее каждая новая задача обычно
преподносит дополнительные особенности, и имеется еще много задач
практического значения, для которых неизвестно даже качественное
решение.
2. Волочение листа1)
а. Волочение через гладкую матрицу. Допустим, что матрица
имеет жесткие прямые стенки, угол между которыми равен 2а, и что
трение отсутствует, так
что линии скольжения
встречаются со стенкой
под углом 45°. Мы
разыскиваем форму
установившегося состояния, в
котором толщина листа,
первоначально равная И,
уменьшается до h
благодаря протягиванию листа
через матрицу под
действием силы, направленной
вдоль центральной оси.
Здесь, очевидно, имеет
место установившееся
состояние, при котором
лист симметрично
проходит через матрицу; мы
будем предполагать, что
поверхность ее остается недеформированной, пока она не достигнет
матрицы (фиг. 33). За исходную линию скольжения выберем
линию, проходящую через точку А и встречающую стенку под
углом 45°; при этом допустим, что ее форма всюду представляется
отрезком АС, где С — точки пересечения отрезка с линией скольжения,
Фиг. 33. Поле линий скольжения и
пластическая область для волочения через
гладкую клинообразную матрицу,
дающую умеренное уменьшение толщины.
1) Этот раздел следует близко статье R. Н I i I, S. J. Т и р р е г, Journ
Iron and Steel Inst., 1948, т. 159, стр. 353.

2. ВОЛОЧЕНИЕ ЛИСТА
195
проходящей через В и встречающейся со стенкой под углом 45°.
Посредством этого поле линий скольжения однозначно определяется
внутри ABC (третья краевая задача, разд. 5, с главы VI). Теперь
очевидно, что А и В должны быть особыми точками для
распределения напряжений; это обстоятельство дает возможность
продолжать поле вокруг А и В насколько это необходимо, чтобы
образовать области ACD и ВСЕ (первая краевая задача, особый
случай; разд. 5, а главы VI). Поэтому линии скольжения CD и СЕ
определяют область CDEF (первая краевая задача). Так как
зона пластически деформированного материала должна проходить
сквозь лист, то точка F лежит на центральной линии, так что она
является общей для двух пластических зон, распространяющихся
симметрично с противоположных сторон матрицы. Более того, поскольку
нет причины (в этой стадии) для предположения относительно
разрыва напряжения, то линия скольжения в F должна быть наклонена
под углом 45° к центральной оси. Легко видеть, что эти
ограничения на F устанавливают углы CAD и СВЕ, прежде остававшиеся
произвольными. Здесь, чтобы сделать такое построение возможным,
1ч И—к
относительное уменьшение толщины х) г = —jy— принимается
достаточно малым.
Исходя из предположенного поля линий скольжения, мы приступим
к вычислению распределения скоростей, при этом оставшаяся часть
листа будет считаться жесткой. Если U — скорость волочения, то
скорость приближения к матрице равна Uh/H, поскольку при этом
изменения объема не происходит, а течение является установившимся.
Поэтому нормальный компонент скорости на линиях скольжения2) ADF и
BEF известен, а решение может быть начато в области CDEF (первая
краевая задача; разд. 6, а главы VI)3). Это решение дает
нормальные компоненты на линиях CD и СЕ, которые вместе с
компонентами AD и BE определяют решения в областях ACD и ВСЕ.
Отсюда мы получим нормальные компоненты на АС и ВС, определяющие
скорость в ABC. Вообще вычисленная скорость в ABC не обязательно
окажется направленной по касательной к стенке — вдоль АВ. Чтобы
удовлетворить этому граничному условию, исходная линия
скольжения АС должна быть выбрана правильно; таким путем граничные
условия для скорости налагают ограничения на поле линий
скольжения.
1) В дальнейшем равным образом будет использован термин «обжатие».
(Прим. переводчика.)
2) Это выражение будет использовано как краткая запись другого
выражения «компонент скорости, нормальный к линии скольжения, в точке
на линии скольжения».
8) Нам нет пока надобности различать семейство а и р; распределение
скорости, вычисленное из уравнений Гейрингер, является независимым от
этого правила, так как ее уравнения выражают только то, что скорость
удлинения вдоль линий скольжения равна нулю.
13*

196 ГЛ. VII. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШЕЮСЯ ДВИЖЕНИЯ
В этом случае с помощью прямого исследования без каких-либо
вычислений мы в состоянии показать, что все граничные условия
удовлетворяются, когда АС представляет собой прямую линию. Тогда
все линии скольжения в ABC также являются прямыми, а линии
скольжения в ACD и ВСЕ—-отрезки прямых и концентрические
круговые дуги (разд. 4, а главы VI). Теперь согласно уравнениям Гей-
рингер (уравнение (14) главы VI) компонент скорости вдоль любой
прямой линии скольжения является постоянным, а приращение
нормального компонента при прохождении между двумя прямыми линиями
скольжения также постоянно. Однако, так как материал слева от ADF
является жестким, то его компонент скорости, нормальный к АО,
повсюду является одним и тем же; поэтому на каждой линии
скольжения, проходящей через А, и, в частности, на АС, нормальный
компонент постоянен; это верно, независимо от распределения
скорости вдоль CD. Также постоянным является нормальный компонент
на ВС. Отсюда следует, что скорость постоянна по всей области ABC.
Однако, так как уравнения Гейрингер предполагают нулевое
изменение объема и так как приток материала через ADF должен
быть равен истечению через DEF, вследствие того, что скорость
входа его равна Uh/H, то суммарное течение материала через АВ не
имеется. Следовательно, если АС — прямая, то скорость,
вычисленная в ABC, оказалась бы направленной по касательной к стенке.
Замечательно, что при проведении этого доказательства нет
необходимости в детальных вычислениях ни поля линий скольжения, ни
распределения скорости в CDEF. Будет видно, что имеется
тангенциальный разрыв скорости поперек ADF и BEFf равный rU/]^2;
возможность такого разрыва была установлена в разделе б, а главы VI.
Для того чтобы работа деформации была бы положительной,
направление, в котором элементы при пересечении линии разрыва
сдвигаются, обусловливает, чтобы отрезок ADF представлял собой
линию а. Доказательство того, что скорость работы является
положительной по всему полю, отсутствует, тем не менее разумно
предположить, что, невидимому, это будет так.
Так как линии скольжения CD и СЕ являются круговыми дугами
равного радиуса, то поле CDEF будет таким же, как поле,
приведенное на фиг. 31. При применении первой теоремы Хенки видно,
что если линии скольжения в точке F образуют угол 45° с
центральной линией, то углы CAD = ty и СВЕ = Ъ должны удовлетворять
соотношению
О —ф = а. (1)
Так как координаты равноугольной сетки с ячейкой в 5° вычислены
(таблица 1, стр. 386), то точку F удобно принимать за узловую
точку этой сетки. Согласно (1) это будет так, если только половина
угла матрицы является целым числом, кратным 5°. Поэтому для
каждого из этих углов матрицы мы можем вычислить обжатия, соот-

2. ВОЛОЧЕНИЕ ЛИСТА
197
ветствующие серии значений а от нуля и далее с интервалами в 5°.
Значения 6 и ^ для любого другого обжатия могут быть получены
интерполяцией. Исходя только из геометрических соображений»
найдем, что максимальное обжатие, для которого настоящее поле
правильно, равно
1 Я l+2sin«' {Z)
что соответствует <!/ = 0 и 0 = а (точки Е и F совпадают).
Следует еще определить распределение напряжений в пластической
области, и для этого необходимо значение среднего сжимающего
напряжения р0 в одной точке поля, скажем F. Это дается тем
условием, что лист протягивается без противонатяжения, т. е. к части
листа, приближающейся к матрице, никаких внешних сил не
приложено. Поэтому мы должны приравнять нулю продольный компонент
полного усилия, действующего на ADF\ он находится
интегрированием вдоль ADF найденных компонентов давления р и касательного
напряжения &, используя при этом для определения значения в любой
точке в зависимости от р0 уравнения Хенки (уравнения (12) главы IV).
Найдя таким путем р0, мы можем вычислить напряжения в любой
точке поля. Так как оба семейства линий скольжения в ЛВС являются
прямыми, то давление q на стенки матрицы распределено
равномерно; его зависимость от угла матрицы и уменьшения толщины
показана на фиг. 34. Сила Т (на единицу ширины), необходимая для
волочения листа, равна продольному компоненту q(И—К) силы
давления на матрицу, а среднее растягивающее напряжение t в
протягиваемом листе равно qr/(l—г) (фиг. 35). Правые оконечности
кривых соответствуют обжатию, определяемому формулой (2);
особенность этого случая состоит в том, что для него может быть
получена точная формула для напряжения волочения. Из
рассмотрения равновесия протянутого листа под действием натяжения Т и
напряжений вдоль ВЕВ (Е и F совпадают) мы легко найдем, что
t = k—p0.
Кроме того, согласно уравнениям Хенки, давление q равно
k-\-p0-\-2koi. Комбинируя это с выражением # —(1—f)t и
исключая р0, получим:
Остается проверить, что как протянутая, так и непротянутая
части листа могут выдерживать напряжения, приложенные на их
границах. Для непротянутого листа такими напряжениями будут
напряжения, вычисленные вдоль ADE, при этом внешние нагрузки
везде равны нулю; для протянутого листа они представляют собой
напряжения, вычисленные вдоль BEF, причем на плоских поверхностях
t
2k
__2{\ + a) sin a
"^ 1 + 2 sin a '
2k
_ 1+а
1 + 2 Sin a *

198 ГЛ. VII. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
нагрузки равны нулю и лист подвержен действию только усилия Г.
Жесткая часть пластической области указана на фиг. 33, однако,
так как исследования распределения напряжений еще не проведено,
то пластическая граница указана только схематично. Однако из
вычислений среднего касательного напряжения по наклонным
сечениям кажется, что вообще маловероятно, чтобы предел текучести
в каком-либо месте был превышен. С другой стороны, легко
установить верхнюю границу законности решения. Волочение становится
ю
го зо
% уменьшения площади
10
50
Фиг. 34. Зависимость между давлением на матрицу и
относительным уменьшением толщины дяя различных
значений половины угла при волочении через гладкую
клинообразную матрицу (противонатяжение и упрочнение
отсутствуют).
невозможным, когда обжатие настолько велико, что среднее
растягивающее напряжение, вычисленное в протянутом листе,
превышает 2k\ этот предел не достигается в диапазоне углов и обжатий,
указанных на фиг. 34 и 35. В другом крайнем случае, когда обжатие
достаточно мало, из фиг. 34 ясно, что давление на матрицу может
стать настолько большим, что поверхность листа перед матрицей
раньше становится пластической, как будто матрица была
наконечником прибора для испытания твердости металла вдавливанием.
Позднее будет показано, что (разд. Ь>Ь главы IX) это возможно, когда
давление q равно 2&(1 -f-1/^ — а); кривые на фиг. 34 и 35
ограничены этой величиной q. Теория указывает 1), что для еще меньших
г) R. Hill, диссертация, стр. 158 (Cambridge, 1948), изданная научно-
исследовательским институтом вооружения министерства снабжения в качестве
отчета 1/д8-

2. ВОЛОЧЕНИЕ ЛИСТА
199
обжатий перед матрицей (около А) образуется стоячая волна
пластического материала; это наблюдалось при волочении стержней и
при обжатии стенки толстостенных стаканов1).
Поле линий скольжения, представленное на фиг. 33, не
применимо, когда обжатие больше значения, определяемого формулой (2),
вследствие геометрических соображений, и мы должны обратиться к
полю, указанному на фиг. 36, а. Здесь наиболее подходящей исходной
и /О 20 30 40 50
% уменьшения площади
Фиг. 35. Зависимость между средним напряжением
волочения и относительным уменьшением толщины для
различных значений половины угла при волочении
через гладкую клинообразную матрицу (противонатяже-
ние и упрочнение отсутствуют). Пунктирная линия
справа соответствует равномерной деформации, а
слева— начинающемуся выпучиванию.
линией скольжения является линия BE, и, когда ее форма принята,
мы можем последовательно определить области ВСЕ, ABC, CEDF,
ACFO и AGH (первая и третья краевые задачи). Можно доказать,
что условия для скоростей удовлетворяются, когда BE является
прямой (и поэтому наклоненной под углом 45° к центральной оси);
тогда линии скольжения того же самого семейства в области ВЕС
тоже являются прямыми, так же как оба семейства их в области ABC
и семейство АС в области ACFG. Решение для скорости должно
быть начато в области AGH, единственной области, где в
распоряжении имеются два граничных условия, и продолжено последова-
1) Измерения формы волны, а также исследование ее зависимости от угла
матрицы и обжатия были произведены G. С. В г i g g s и Ы W. Swift
Motor Industry Research Association, отчет 1947 (R) 4.

200 ГЛ. VU. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
тельно в ACFG, ABC, CEDF и ВСЕ. Решение возможно, если только
скорость, вычисленная на BE, совместима с движением протянутого
листа как жесткого тела; это будет так, если компонент скорости,
нормальный к BE, одинаков во всех точках. Согласно доводу
использованному прежде, можно показать, что на каждой прямой линии
скольжения в ACFG нормальный компонент скорости постоянен и,
следовательно, что скорость в ABC является равномерной (третья
краевая задача). Таким образом, на ВС нормальный компонент
скорости является константой и, следовательно, он постоянен на всех
a/ bj
Фиг. 36. (а) — Поле линий скольжения для несколько
больших обжагий. (Ь) — Неправильное поле для еще больших
обжатий с сопутствующим ему разрывом в скорости вдоль
линий скольжений, отмеченных стрелками,
линиях скольжения того же семейства в ВЕС, в частности на BE
это завершает доказательство. Имеет место тангенциальный разрыв
скорости, возникающий в Н и простирающийся вдоль линий
скольжения HGFDB; разрыва поперек BE не существует. Качественное
применение теоремы Хенки показывает, что давление на матрицу
является постоянным по ВА и постепенно растет по АН. Так как
усилие волочения достаточно точно определяется посредством простой
теории Закса (см. ниже), то подробному знанию напряжений здесь
придается небольшое значение.
Для еще больших обжатий (фиг. 36,Ь) естественно ожидать, что
поле линий скольжения будет продолжением поля, приведенного на
фиг. 36, а1). Вообще, однако, это не может быть правильным, так
как разрыв скорости, передаваемый вдоль линий скольжения от входа
в матрицу, отмеченных стрелками, оканчивается (не уменьшаясь) где-
нибудь вдоль выходной линии скольжения. Это, очевидно,
несовместимо с движением протянутого листа как жесткого тела. Решение
является правильным, если только разрыв оканчивается в выходном
углу матрицы, как это случается для некоторых обжатий и углов
1) Независимо это было предложено В. В. Соколовским (Теория
пластичности, Москва, изд. АН СССР, 1946, стр. 184), который, однако, не
подозревал необходимости подтверждения поля линий скольжения путем
рассмотрения решения для скорости. Поля для меньших обжатий В. В. Соколовский
не предлагал.

2. ВОЛОЧЕНИЕ ЛИСТА
201
матрицы, однако в противном случае решение теряет силу; точное
поле еще не известно.
Ь. Деформация и коэффициент полезного действия. Наиболее
эффективным или идеальным средством уменьшения толщины листа
являлось бы равномерное сжатие его между гладкими параллельными
плитами; при этом работа, затраченная на единицу объема, была бы
в условиях плоской деформации равна 2k In (HIК). Тогда внешняя
работа на единицу объема, расходуемая при волочении листа через
матрицу без противонатяжения, равна среднему напряжению
волочения t. Это вытекает сразу из рассмотрения работы, выполненной
-^Й
~^^v
Фиг. 37. Искажение кзадратной сетки при
волочении через гладкую клинообразную
матрицу (половина угла которого равна 15°),
дающую обжатие, составляющее 34,1%,
приложенной силой 7\ когда
некоторый объем материала
площадью А и шириной,
равной единице, проходит через
матрицу; так как к
протянутому листу добавляется
длина A/h, то производимая
работа равна TA/h, т. е. на
единицу объема она
будет Tjh или t. Если лист при
прохождении через матрицу
был бы равномерно сжат, то
напряжение при волочении
было бы равно 2k In (/-///г);
оно представлено
пунктирной кривой на фиг. 35.
Однако равномерное сжатие,
конечно, затруднено
благодаря стеснению со стороны
жесткого материала; различие между пунктирной и сплошной кривыми
соответствует бесполезной работе, расходуемой на искажения, которые
не способствуют окончательному уменьшению толщины; когда обжатие
мало, а угол матрицы большой, то коэффициент полезного действия,
определяемый отношением идеальной работы к действительной работе,
падает до 50%. С другой стороны, когда обжатие является
большим, то кривые для каждого угла матрицы стремятся приблизиться
к пунктирной кривой, а коэффициент полезного действия является
соответственно высоким. Тем не менее это не обязательно означает,
что действительная деформация при волочении приближается к
равномерному сжатию.
Рассмотрим, например, искажение квадратной сетки, нанесенной
на продольном сечении листа (фиг. 37); оно вычислено для а — 15°
и обжатия, равного 34,1%, соответствующего определенному
выражению (2). Метод состоит в вычислении сперва траекторий частиц,
расположенных на продольных линиях, и затем в нахождении
последовательных длин дуг, относящихся к равным временам. Ридно.

202 ГЛ. VH. ПЛОСКИЕ ЗЛДА.ЧИ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
что искажение решетки состоит, по существу, в последовательных
сдвигах по двум наклонным направлениям в элементе, причем первый
происходит на пересечении входной линии скольжения АСЕ, а второй,
направленный в противоположную сторону, — на пересечении
выходной линии скольжения ВЕ\ деформация, испытываемая во время
прохождения через область ВСЕ, сравнительно невелика. Даже несмотря
на то, что путь деформации сильно отличен от равномерного сжатия,
работа, затраченная на искажение (фиг. 35), практически является
идеальной. Повидимому нет никаких экспериментальных
исследований искажения при волочении листа; зуб в поперечных линиях
после волочения1), обусловленный разрывом скорости, вероятно, не
должен был бы наблюдаться в реальном металле, где упрочнение
стремится рассеять зоны интенсивного сдвига. Не считая этой
особенности, повидимому, свойственной исключительно плоской
деформации, имеется качественное сходство с искажением, найденным
Тейлором и Куинни2) в сетках, нанесенных на продольных
поверхностях разреза проволок.
Наиболее ранняя теория распределения напряжений при
волочении, данная Заксом3) (1927 г.), была основана на предположениях,
что весь материал между плоскостями входа и выхода является
пластическим, что главные оси напряжения всюду параллельны и
перпендикулярны к оси листа и что напряжение по любому поперечному
сечению равномерно. Эти допущения приводят к формуле4)
£=2uln^,
/г
которая, как мы видели, представляет собой хорошее приближение
только тогда, когда обжатие достаточно большое. Кёрбер и Эйхин-
гер5) пытались учесть расход бесполезной работы путем добавления
члена, зависящего от а, чтобы таким способом представить работу
сдвига элемента в то время, как он входит и покидает матрицу. Их формула
приводит к тому, что кривая для каждого угла матрицы расположена
*) При рассмотрении искажения малого элемента, расположенного на
центральной оси, можно видеть, что полный угол 2/, заключающий в себе
пик, такой, что ctg x = 4 sin3 а.
2) G. I. Taylor, H. Quinney, Journ. Inst. Metals, 1932, т. 49, стр. 187.
3) G. Sachs, Zeits. ang. Math. Mech. 1927, т. 7, стр. 235. Теория Закса
была построена для волочения проволоки; она представляет собой аналогию
плоской деформации.
4) Та же самая формула получается, когда материал в матрице
рассматривается как часть кольца, которое втягивается внутрь при равномерном
внутреннем напряжении, причем центр кольца является вершиной угла,
образованного стенками матрицы. В таком случае линии главных напряжений
суть радиусы и концентрические круговые дуги с этой вершиной, как
с центром,
5) F. Korber, A. Eichinger, Mitt. Kais, Wilh, Inst. Eisenf., 1940,
T. 22, стр. 27.

2. ВОЛОЧЕНИЕ ЛИСТА
203
параллельно идеальной кривой, которая представляет собой по-
прежнему плохое приближение.
Закс и Клингерх) незначительно распространили элементарную
теорию на случай волочения через шероховатые матрицы любой
формы, в частности кругового контура (если матрица является
гладкой, то напряжение волочения, предсказанное этой теорией,
независимо от формы контура равно 2k In (H/h)). Эта теория снова, вероятно,
представляет собой хорошее приближение для больших значений
обжатия. Точное решение для меньших значений обжатия, где
расходом бесполезной работы пренебречь нельзя, не известно; поле линий
скольжения, несомненно, имеет качественное сходство с фиг. 33,
однако здесь исходная линия скольжения АС будет криволинейной.
Для случая больших значений обжатия распределение давления по
матрице было вычислено Соколовским2), Шевченко3), Каррьером 4) и
Ансоффом 5), при этом все они использовали одинаковое некорректное
поле линий скольжения. Можно показать, что их предположение
о том, что выходная линия скольжения БЕ (сравни с фиг. 36,£)
является прямой, не совместимо с граничными условиями для
скоростей. Тем не менее распределение давления на матрицу близко
согласуется с распределением давления, вычисленным Заксом и Клин-
гером. Этого следует ожидать, когда отношение дуги контакта
к средней толщине полосы больше трех или четырех, поскольку
возможные пластические напряженные состояния сильно
ограничиваются условиями для напряжений только на матрице и не могут
значительно отличаться друг от друга. Заранее не имеется основания
предполагать, что напряжение волочения вычисляется из произвольно
принятого поля менее неточно, чем из поля Клингера и Закса.
Выполнение громоздких вычислений, когда элементарная теория дает
незначительную ошибку, имеет небольшой смысл, если они не будут
сделаны с приемлемой точностью.
г. Учет упрочнения, С помощью метода, который является
одновременно достаточно точным и легким для применения0),
нетрудно принять во внимание влияние упрочнения на усилие
волочения. Мы уже доказали, что когда трение отсутствует, средняя
пластическая работа на единицу объема равна напряжению волочения t.
1) G. S а с h s, L. J. К 1 i n g e r, Journ. App. Mech., 1947, т. 14, стр. А—88
2) В, В. Соколовский, Теория пластичности, Изд. АН СССР
Москва, 1946, стр. 192.
3) К. Н. Шевченко, цит. выше, стр. 193.
4) G. F. Carrier, цит. выше, стр. 193.
б) Н. I. Ansoff, цит. выше, стр. 193. Ансофф также решил задачу,
аппроксимируя гладкий контур многоугольником; он предложил решение
в зависимости от разрывов напряжения (разд. 8 главы VI), но так как
скорость также является разрывной, то его решение необоснованно, хотя оно
представляет собой совершенно надежное приближение.
6) Усложненная поправка была введена в теорию Закса Е. A, D a v i s,
S. JT Dokos, Journ. App, Mech., 1944, т, 11, стр. А—193,

204 ГЛ. VII. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
При этом для неупрочняющегося материала, подчиняющегося
зависимостям Леви — Мизеса, работа на единицу объема равна Y \ йг,
где I (1г — эквивалентная деформация (уравнение (25) главы II).
Поэтому мы можем среднюю эквивалентную деформацию для
протянутого места считать равной tjY или ЦуЪк. В первом
приближении предположим, что матрицей сообщается листу одна и та же
средняя эквивалентная деформация t/УЪк независимо от
характеристик упрочнения материала. Значит, напряжение волочения (или
средняя работа на единицу объема) равно площади, ограниченной кривой
зависимости эквивалентного напряжения от эквивалентной деформации
(кривая зависимости истинного напряжения от логарифмической
деформации при сжатии) до деформации, равной t\Y^k. Эта
деформация равна соответствующей ординате на фиг. 35, умноженной на
коэффициент 2/У"3; в частности, эквивалентная деформация,
соответствующая равномерному плоскому сжатию, равна (2 У~3)\п(Н/Н)
(это значение следует сопоставить с эквивалентной деформацией при
свободном сжатии, которая, как мы видели, тождественна
логарифмической деформации In (////г)). Предел текучести протянутого листа
при одноосном растяжении равен ординате на кривой зависимости
напряжения от деформации при средней эквивалентной деформации,
d. Волочение через шероховатую матрацу. Пусть |х —
коэффициент трения между материалом и матрицей и пусть q' —
давление на матрицу в любой точке. Согласно уравнению (11) главы VI
острый угол В между стенкой и линией (3 определяется по формуле
cos2fJ = ii.g7*. (4)
На фиг. 38 показано поле линий скольжения, которое аналогично
полю для гладкой матрицы (фиг. 33). Когда линия скольжения АС
является прямой, то с помощью рассуждений, использованных выше,
можно доказать, что граничные условия для скоростей
удовлетворяются. Поэтому давление qr на матрицу является равномерным,
и следовательно, приравнивая усилия волочения продольному
компоненту бокового давления на матрицу, найдем, что среднее
напряжение волочения равно
*' = (l-hnctga)(l-r)?V. (5)
Из первой теоремы Хенки мы имеем также условие
9_,^ = lu + a._p, (6)
которое означает, что линии скольжения в точке F образуют угол 45°
с центральной линией. Для решения эгой задачи необходимо иметь

2. ВОЛОЧЕНИЕ ЛИСТА
205
координаты сетки линий скольжения в области CEDF для различных
значений отношения АС/ВС. Хотя никаких вычислений поля,
определяемого неравными круговыми дугами, не было опубликовано,
может быть полезным указание, каким образом решение может
быть продолжено. Угол [3 выбирается соответственно
отношению AC/ВС, для которого известна равноугольная сетка CEDF.
Практическое требование о том, что F должна быть узловой точкой
или что 0 и ^ должны быть кратными углового интервала Дф сетки,
ограничивает а одной или другой из величин Дер — (1/47Г — Р)>
2 Дф — (lU^ — Р) и т. д. Выбирая значение а, мы вычислим обжатия,
Фиг. 38. Поле линий скольжения и
пластическая область при волочении через шероховатую
клинообразную матрицу, дающую умеренное
относительное уменьшение толщины.
соответствующие значениям ф, равным нулю, Дф, 2 Дер и т. д. Тогда
для каждого из этих обжатий среднее сжимающее напряжение pQi
скажем, в точке F, определяется из условия равновесия непротяну-
того листа слева от ADF. Применение уравнений Хенки
непосредственно дает q'. Наконец, \х получается из (4), a tf — из (5).
Результат представляет собой ряд величин tr для определенных а и серию
парных значений г и jj,. Отправляясь от другого значения р, мы можем
получить вторую серию парных значений; вообще, однако, а будет
различным. Если особый ряд отношений AC/ВС таков, что интервал
между соответствующими значениями р равен Дф, то только тогда
этого, очевидно, можно избежать. Допуская, что это так, мы путем
повторения можем смонтировать значения t' для данного угла
матрицы и парных значений [гиг, охватывающих площадь в
плоскости (р, г). Тогда интерполяция дает напряжение волочения для
различных значений обжатия и коэффициента трения.
Теперь мы обратимся к приближенному методу оценки влияния
трения по матрице на напряжение волочения. Он может быть основан

20tj ГЛ. VII. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЙ
на теоретическом указании1) о том, что давление на матрицу только
незначительно зависит от трения, при условии, что [х меньше
приблизительно 0,1 значения, которое обычно является именно таким
в надежной практике волочения. Поэтому мы предположим, что
ч'~ч* (?)
и следовательно, из (5) имеем:
*'-O+pctgaU, (8)
где q и t — давление на матрицу и напряжение волочения в случае
гладкой матрицы, если это необходимо, исправленные с учетом
упрочнения. Закс и другие авторы учитывали трение более сложным
путем, тем не менее их теории сохраняют недостатки, уже
отмеченные в случае гладких матриц.
Для данного обжатия влияние трения на усилие волочения
уменьшается с увеличением угла матрицы; с другой стороны, при этом
возрастает величина бесполезной работы. Поэтому для данного
обжатия и коэффициента трения имеется оптимальный угол матрицы, для
которого усилие волочения является наименьшим. Его можно
непосредственно определить, используя уравнение (8) и одновременно фиг. 35.
Например, для неупрочняющегося материала и коэффициента трения,
равного 0,05, найдено, что зависимость между половиной
оптимального угла а и относительным обжатием г может быть близко
представлена соотношением а0 = 40г(г < 0,5). Когда jx = 0,10, то оптимум
будет приблизительно на 10% больше. Оптимальный угол будет
меньше для отожженного металла, чем для предварительно
деформированного металла; точные значения его для любой заданной кривой
зависимости между напряжением и деформацией могут быть найдены
путем применения к величине t, прежде чем подставлять ее в (8),
поправок (с) на упрочнение. Так как для углов матрицы, меньших
оптимального, нагрузка возрастает резко, постепенно же она растет
только для больших значений углов, то лучше, когда при шлифовке
матриц допускается ошибка в сторону увеличения угла.
е. Влияние противонатяжения. Допустим, что к полосе,
приближающейся к матрице, приложена растягивающая сила F (на
единицу длины). Если трение на матрицу не существует, то все
граничные условия в зоне пластически деформированного материала,
очевидно, удовлетворяются, когда в каждой точке добавляется
гидростатическое растягивающее напряжение f—F/H, причем поле линий
скольжения остается без изменения. Это одинаково справедливо и
для упрочняющегося материала при условии, что закон упрочнения
не зависит от гидростатического компонента напряжения. Жесткая
часть пластической зоны, конечно, изменяется; здесь предполагается,
1) См. R. Hill, S. J. T u p p e г, цит. выше, стр. 194.

2. ВОЛОЧЕНИЕ ЛИСТА
207
что жесткий материал в состоянии выдержать новую систему
краевых напряжений. Благодаря напряжению / давление на матрицу
уменьшается (изменение, стремящееся довести износ матрицы до
минимума), тогда как напряжение увеличивается на /, а усилие
волочения на fh или Fh/H. Условно определяем коэффициент Ь,
выражая зависимость усилия волочения Т и усилия на матрицу Q от
усилия противонатяжения F по формулам
7^Г0 + (1— b)F, Q=r0— bF9 (9)
где Г0—усилие волочения (и нагрузка на матрицу), когда противо-
натяжение не приложено. Следовательно, если трение равно нулю,
[) z== 1 —г? ~ г' когда Т = 2&/г, то величина усилия противонатяжения,
которое может быть приложено, ограничена началом образования
шейки в протянутой полосе.
Однако, если матрица является шероховатой, то задача будет
значительно более трудной. Изменение давления на матрицу меняет
угол пересечения линий скольжения со стенкой (уравнение (4)) и с ним
все поле линий скольжения. Поэтому влияние противонатяжения на
распределение напряжения не является аддитивным. За неимением
точного решения мы получим приближенное значениех) для
коэффициента усилия противонатяжения введением предположения (7);
таким образом, запишем:
Q'^(14-^ctga)(tf — A)?'~0+!*ctga)(tf — h)q = (l+\LCtga)Q.
Следовательно, если Т и Г0 суть усилия волочения для
шероховатой матрицы с противонатяжением и без него, то, имея в виду
формулу (9), получим:
r-Q/ + /7~(l+[^cto:a)Q+^ =
= (l+\Lctga)(T0 — rF)+F&T'o+(\—b)F,
где
ft = (l-|-|ictga)r. (10)
Эту формулу можно сравнить с формулой, данной Лантом и Мак-
Лелланом 2):
b=l—(\—r)1+*ct*a. (П)
Это выражение следует или из теории Закса, или из допущения
0 том, что пластический материал протягивается по направлению
1) R. Hill, Journ. Iron and Steel Inst., 1949, т. 161, стр. 41.
2) R. W. Lunt, G. D. S. Mac Leila n, Journ. Inst. Metals, 1946, т. 72,
стр. 65. Их анализ относится к волочению проволоки; этот случай
представляет собой аналогию плоской деформации. См. также G. D. S. М ас Lei-
1 a n, Journ. Iron and Steel Inst., 1948, т., 158, стр. 347.

208 гл. vii. плоский задачи устанОВИвшьгоСя движения
к фактической вершине матрицы (см. сноску на стр. 202); если
принять во внимание упрочнение, то получается такое же выражение.
Формулы (10) и (11) согласуются (в первом приближении), когда [х
мало, тогда как, если \х велико, то формула (10) предсказывает
ббльшие Ь\ однако обе они основаны на предположениях, которые,
когда ;х большое, являются вероятно менее точными.
Коэффициент полезного действия при волочении с противонатя-
жением зависит от того, может ли работа, произведенная
отрицательным противонатяжением, быть эффективно возвращена листом.
Чтобы установить верхний предел коэффициента полезного действия,
допустим, что это возможно. Поэтому внешняя энергия, затраченная
на единицу объема материала, равна tr—/, последнее из (9) равно
Принимая для Ъ формулу (10), отсюда получим, что имеется
экономия работы, равная j>cAga-r/(\—г) на единицу объема. Экономия
пропорциональна противонатяжению и тем больше, чем более
шероховата матрица.
/. Применение теории плоского деформированного состояния
к волочению проволоки. В настоящее время не существует
исследования распределения напряжений при волочении проволоки (осе-
симметричная задача) такой точности, которая была бы сравнима
с точностью решения для волочения листа. В распоряжении имеется
только теория Закса *), которая, как мы видели, пренебрегает
бесполезной работой искажения. Формула Закса для напряжения
волочения имеет вид
где А и а — соответственно начальное и конечное поперечное
сечение. Допуская, что и стремится к нулю, мы возвращаемся к
выражению
а
соответствующему равномерному удлинению. Отметим, что
(а ) = ехр v'ctg a 1п а ) ~1 ~ *ctg a In а'
То обстоятельство, что для малых углов матрицы и достаточно
больших обжатий теория Закса как для волочения проволоки, так
1) Относительно оценки теории Закса и ее эмпирических модификаций
см. R. W. L u n t, G. D. S. М а с L е 11 а п, цит, выше стр. 207. Обширный
обзор литературы по волочению проволоки был дан Q. D. S. М а с L е 11 а п,
цит. выше, стр. 207.

2. ВОЛОЧЕНИЕ ЛИСТА
209
и для волочения листа представляет собой хорошее приближение,
подсказывает предположение, что величина tjY (для проволоки)
является той же самой функцией уменьшения площади (1—а/А)>
как величина t/2k (для листа) — функцией уменьшения толщины
(1—h/H). Таким образом, когда матрица является гладкой, а
материал неупрочняющимся, напряжение волочения для уменьшения
площади г и угла а равно величине К, умноженной на ординату фиг. 35,
соответствующую тому же самому углу и уменьшению толщины г.
Это эмпирическое правило, очевидно, подходит для таких обжатий, для
которых теория Закса является точной, и при низких обжатиях должно
по крайней мере воспроизводить качественную зависимость
бесполезной работы от угла матрицы. Основанием этому служат данные
Линикуса и Закса г) для латунных проволок. Используя
вращающиеся матрицы, они оценили трение, а также получили кривые
зависимости между напряжениями и деформациями ддя протянутых
проволок; таким образом, они были в состоянии определить грубые
поправки на трение и упрочнение, получив в конечном счете для
неупрочняющегося материала, протянутого через гладкую матрицу,
зависимость между напряжением волочения и уменьшением площади.
Согласие с фиг. 35 является удивительно близким, например, в
расположении кривых для различных углов матрицы, в характерном
изгибе их, в асимптотическом приближении к кривой Закса и даже
в величине.
Трение может быть учтено с помощью коэффициента (8); это
приводит к несколько большей нагрузке, чем та, которую дает
формула Закса в области, где последняя наиболее точна.
Упрочнение может быть принято во внимание согласно методу (с)
(эквивалентная деформация равна соответствующей ординате фиг. 35).
Существование оптимального угла матрицы, определяющего
минимальную нагрузку, наблюдалось во многих экспериментах, например,
Линикусом и Заксом, а также Вейссом 2), который из своих данных
для медных проволок установил соотношение а0 = ЗОг (коэффициент
трения неизвестен). При этом вывод формулы для* коэффициента
усилия противонапряжения может быть принят без изменения.
Несмотря на то, что линейная зависимость усилия от противонатя-
жения хорошо подтверждается, отсутствие экспериментального
определения <х препятствует проверке формулы для b y).
1) W. L i n i с u s, G. S а с h, Mitt, deutschen Materialprufungsanstalten, 1931,
т. 16, стр. 38.
2) L. Weiss, Zeits. Metallkunde, 1927, т. 19, стр. 61. См. также,
Е. L. Francis, F. С. Thompson, Journ. Inst. Metals, 1931, т. 46, стр. 313.
3 См. критический обзор литературы по против.жатяжению, написанный
J. G. Wi strei с Ь'ом, Journ. Iron and Steel Inst., 1947, т. 157, стр. 41/; при
это л здесь также обсуждается влияние прогивонатяжения на механические
свойства.
14 Зак 1438. Р. Хилл

210 ГЛ. VII. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
Прямое определение \х при действительных условиях требует
знания среднего давления на матрицу. При волочении проволоки его
получить труднее, чем при волочении листа, где две половины
матрицы отделены и результирующее усилие может быть измерено
непосредственно. В принципе путем использования матрицы, разрезанной на
две части по плоскости, проходящей через ось, трудность может быть
преодолена; должно быть измерено усилие, необходимое для
удержания во время волочения половин матриц вместе. Пусть Qs —
усилие расщепления, т. е. поперечный компонент реакции между
проволокой и одной половиной матрицы, и пусть Q(=7/ — F) будет
продольным компонентом реакции для всей матрицы. Тогда
Q = q'(A — a)(l+pctga)t (12)
где qr — среднее давление на матрицу. Составляющая сил,
действующих на одну половину матрицы в поперечном направлении, будет:
Ов = £И —a)(ctga — \>).
(13)
(14)
Комбинируя (12) и (13), получим формулу для р> в зависимости от
замеряемых величин:
l-tt(Q,/Q)tgg
tg« +*(Q,/Q) #
3. Обжатие стенки тонкостенного стакана 1)
Специфический процесс обжатия стенки, который будет
проанализирован здесь, является процессом, где толщина стенки стакана
к ш
7/////////////////^
Ы
Фиг. 39. (а)—Обжатие стенки тонкостенной трубы или
стакана. (Ь)—Поле линий скольжения, когда
деформация приближенно рассматривается как плоская.
уменьшается, в то время как внутренний диаметр сохраняется
постоянным. Это достигается благодаря протаскиванию через
матрицу стакана, плотно насаженного на оправке (фиг. 39, а).
Окружная или кольцевая деформация, передаваемая кольцевому
элементу внутренней поверхности стенки, точно равна нулю, тогда
1) R. Hill. Journ. Iron and Steel Inet., 1949, т. 161, стр. 41.

3. ОБЖАТИЕ СТЕНКИ ТОНКОСТЕННОГО СТАКАНА 211
как для кольцевых элементов возрастающего начального радиуса
она постепенно увеличивается. Даже когда толщина стенки является
достаточно малой частью диаметра стакана, кольцевая
деформация всюду незначительна по сравнению с компонентом
деформации, определяемым уменьшением толщины. Таким образом, если
Www суть толщины стенки до и после обжатия стенки, a d —
диаметр штампа, то максимальная кольцевая деформация грубо равна
2(W—w)/dy тогда как уменьшение толщины вызывает деформацию,
равную не меныле чем In (W/w). Для практической области
обжатий, скажем, до 50% кольцевая деформация всегда составляет
приблизительно часть, равную 2w/d от деформации, определяемой
уменьшением толщины. Если d не меньше чем, скажем, 30W, то
в качестве хорошего приближения можно было бы трактовать эту
задачу, как задачу о плоском деформированном состоянии, а кроме
того, в уравнениях равновесия пренебрегать влиянием кольцевого
напряжения.
Мы будем касаться только установившегося состояния, которое
создается, если трения между стенкой и штампом нет и если длина
стакана достаточно велика. Очевидно, что если мы рассматриваем
поверхность штампа как центральную ось листа, то
рассматриваемая зона тождественна с задачей о волочении листа (фиг, 39, Ь).
Усилие на штамп, передаваемое стенке стакана через ее основание,
равно
L == T,w(d-trw)t/,
где t' — среднее напряжение в обжатой стенке. Из (8) имеем:
L= r.w(d-\-w)(l -f-actga)£,
где / следует читать с фиг. 35. Обычно в практике обжатия
стенок тонкостенных сосудов L рассматривают как функцию полного
обжатия для данной начальной толщины стенки. Тогда
соответствующим безразмерным критерием нагрузки будет величина L/2r,dWk,
при этом с достаточной точностью мы можем написать:
^^«(l+pctgaKl-r)^. (15)
Когда ;а = 0, величина L^dWk приведена на фиг. 40 как
функция г = 1—wjW (так как толщина W сохраняется постоянной, то
эта величина представляет собой подходящий безразмерный
критерий полного обжатия). Все кривые будут в конечном счете
проходить через максимум и возвращаться к нулю. Для сравнения на
фиг. 40 проведена пунктирная кривая (1—г)In {1/(1—г)},
представляющая собой усилие при равномерном сжатии; она достигает
максимальной величины 1/е(~ 0,368) для относительного обжатия,
равного 1 — 1/е(~ 0,632). Здесь же приведена кривая £ = 2&, которая
является предельной линией при течении обжатой стенки и пересекает
14*

212 ГЛ. VII. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
нижнюю кривую в ее максимуме. Влияние коэффициента (1+yctga)
сводится к образованию пересечения кривых, указывающего на
оптимальный угол матрицы, для которого нагрузка является
наименьшей (см. выше, пункт (d)). Обычный эффект упрочнения состоит
в увеличении наклонов кривых без изменения их относительных
расположений.
Если штамп является не идеально гладким, то там, где стенка
и штамп двигаются с различными скоростями, будут возникать
напряжения трения, т. е. влево от F, где штамп движется быстрее,
2xdWk
Q5
а*
аз
Q2
а?
и а; о,г ом оа ом ом 07
Относительное обжатие
Фиг. 40. Усилие обжатия в зависимости от
относительного уменьшения толщины для различных значений
половины угла (матрица и штамп являются гладкими,
упрочнение отсутствует).
чем стенка (очевидно, обжатая стенка движется вместе со
штампом). Наличие такого трения может быть узнано благодаря
уменьшению нагрузки, поскольку меньшая часть стенки продолжает
оставаться необжатой. Тогда задача не является строго задачей
установившегося движения, так как поле линий скольжения должно
беспрестанно изменяться. Однако мы можем легко составить
грубую оценку влияния трения. Если поле линий скольжения
пересекает штамп только в одной точке, то напряжения трения
эквивалентны отрицательному противонатяжению. Поэтому сила трения F
о штамп уменьшает напряжение в обжатой стенке на величину
(1—b)F> где Ь — коэффициент противонатяжения, определяемый
формулой (9). Следовательно, усилие на штамп увеличивается, но
не на полную величину усилия трения, а только на часть ее bF,

4. ВЫДАВЛИВАНИЕ ЛИСТА
213
В практике сила трения F должна быть рассмотрена как
неизвестная величина, подлежащая экспериментальному определению. Когда
обжатие стенок настолько велико, что поле линий скольжения
соприкасается с поверхностью штампа на конечной длине, то напряжения
трения не могут больше рассматриваться эквивалентными
отрицательному противонатяжению. Для этого случая исследование,
основанное на простом распространении теории волочения Закса,
которая должна давать прекрасную точность в этой области обжатий,
дано Заксом, Лубаном и Трейсих).
4. Выдавливание листа3)
а. Выдавливание через клинообразную матрацу. При прямом
выдавливании заготовка металла содержится в контейнере и
выталкивается через матрицу по-
ся через матрицу, а в
другом —протягивается че- фиг. 41. Поле линий скольжения для пря-
рез нее. Таким образом, мого выдавливания через клинообразную
все граничные условия, матрицу,
непосредственно влияющие
на пластическую зону, удовлетворяют полю линий скольжения,
использованному в задаче о волочении листа (сравни фиг. 33 и
38). Вследствие нового распределения поверхностных сил жесткая
часть пластической области и напряжения в непластическом
материале являются, однако, различными. Когда матрица гладкая, то
напряженное состояние в деформированной части пластической
области отличается от напряженного состояния в протянутом листе
О G. Sachs, J. D. L u b a h n, D. P. Tracy, Journ. App. Mech., 1944,
т. 11, стр. А—199.
2) R. Hill, Journ. Iron, and Steel Inst., 1948, т. 158, стр. 177.
Некорректное поле линий скольжения было предложено F. К. Т h. van Iterson'oM,
Plasticity in Engineering, Blackie, 1947 и E, S i e b e Тем, Journ. Iron, and Steel
Inst., 1947, т. 155, стр. 526; ни тот, ни другой автор не исследовали
связанного с этим полем решения для скорости.

214 ГЛ. VII. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
только за счет дополнительного гидростатического давления,
величина которого равна напряжению волочения t (посредством этого
результирующее внешнее усилие на выдавленный лист уменьшается
до нуля). Следовательно, если между стенкой контейнера и листом
трения нет, то для той же самой матрицы давление выдавливания
(определяемого как нагрузка, разделенная на площадь пуансона)
равно среднему напряжению волочения. Таким образом, давление
выдавливания для гладкой матрицы может быть непосредственно
определено из фиг. 35, тогда как давление на матрицу в случае
выдавливания в H/h раз больше давления на матрицу в случае
волочения (фиг. 34). Влияние трения о матрицу и упрочнения может
быть оценено методом, описанным в разделах 2, с и 2, d. В этой
области обжатий влияние трения о стенку при определении нагрузки
состоит просто в наложении. Здесь, как и при волочении листа,
существует оптимальный угол матрицы, для которого нагрузка,
приводящая к данному обжатию, является наименьшей.
Когда обжатие мало, то возникают две возможности. Для
упрощения допустим, что как стенка, так и матрица являются гладкими.
Тогда, с одной стороны, линия скольжения AD не может образовать
со стенкой угол, меньший 45°, и, таким образом, ty не может быть
больше чем г/2т: — а; решение для более низких обжатий неизвестно
(за исключением особых значений их1)). С другой стороны,
давление на матрицу может возрастать до тех пор, пока пластическая
область распространяется вокруг края матрицы к поверхности
выдавленного листа; это возможно, когда давление равно 2k(\Jr1l2r,~\-a).
Например, при а = 5° это критическое значение достигается, когда
обжатие понижается приблизительно на 1,8%. Для еще меньших
обжатий осложнение теории состоит в том, что действительное
обжатие меньше номинального вследствие не только упругого
восстановления, но и пластического течения вокруг углов матрицы.
Кроме того, это означает, что восстановление может быть полным
и что тогда большинство заготовок проходит через матрицу неде-
формированными, при этом пластическое искажение имеет место
только вблизи поверхности. Однако для очень малых обжатий
теория может потерять силу, так как влиянием упругой сжимаемости
здесь пренебрегать нельзя.
Ь. Обратное выдавливание через прямую матрицу. Говорят,
что выдавливание является обратным, когда пуансон сохраняется
неподвижным, а матрица вдавливается в заготовку (или когда
контейнер и заготовка могут двигаться одновременно в направлении
неподвижной матрицы). Посредством этого предотвращается
сопротивление трения между заготовкой и контейнером. Было замечено,
что для прямой матрицы (или клинообразной с большим углом
раствора) некоторый материал в контейнере, расположенный между
l) R. Hill, Journ. Iron and Steel Inst., 1947, т. 156, стр. 513.

4. ВЫДАВЛИВАНИЕ ЛИСТА
215
стенкой и матрицей, удерживается и при выходе заготовки не
выдавливается. Край этого материала, называемого мертвым металлом,
характеризуется узкой зоной интенсивного сдвига (обычно здесь
определенная поверхность разрыва не может быть видна, потому
что любой зазор или трещина, которые сперва раскрываются,
замыкаются сильным гидростатическим давлением). В период ранних
стадий выдавливания мертвый металл отделяется от основной заготовки
и с этого времени он стесняет течение так, как если бы оно
происходило в идеально шероховатой матрице (несомненно, его форма
а) Ь)
Фиг. 42. Поле линий скольжения для обратного
выдавливания через прямую матрицу, дающую
обжатие (а) более чем 50% и (Ь) менее чем 50%.
непосредственно после разрыва видоизменяется). Поскольку очевидно,
что помимо прочего поверхность разрыва должна зависеть от
трения по матрице, температуры и скорости выдавливания и
физических свойств конца заготовки, то теоретически невозможно
предсказать ее местоположение. Тем не менее для приемлемой оценки
давления выдавливания мы можем в качестве границы мертвого
металла принять соответствующую простому решению и в то же самое
время достаточно близкую к той, которая действительно
наблюдается. К счастью, доказано, что в весьма широком диапазоне
давление выдавливания лишь незначительно зависит от выбора
границы 1). Для обжатия, соответственно большего и меньшего 50%,
возможные поля линий скольжения показаны на фиг. 42. Границей
мертвого металла должна быть линия скольжения, так как здесь
возникает максимальное напряжение трения. Эта линия скольжения
встречается с контейнером под углом 45°, поскольку согласно
гипотезе напряжения трения по стенке отсутствуют. Теперь мы должны
*) R. Hill, цит. выше, стр. 213.

216 ГЛ. VII. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
проверить, что граничные условия для скоростей удовлетворяются,
когда отрезок ОВ является прямым, так что линии скольжения
в ОАВ суть радиусы и круговые дуги. Для облегчения рассуждений
допустим, что матрица является неподвижной. На фиг. 42, а
решение для скорости должно быть начато в области ACDE, так как
это единственная область, где известны два граничных условия; они
таковы, что нормальный компонент скорости на АС должен быть
равен нулю, тогда как на CD он должен быть равен нормальному
компоненту скорости заготовки. Решение продолжается
последовательно в области BED, AOB. Компонент скорости, нормальный к АО,
постоянен (в действительности равен нулю) и, следовательно, согласно
теперь уже известной теореме, нормальный компонент скорости
является постоянным на каждом радиусе, проходящем через О, и,
в частности, на ОВ. Поэтому решение совместимо с движением
выдавленного листа как жесткого тела. С другой стороны, на фиг. 42, Ь,
используя компонент скорости, нормальный к BD, определяемый
скоростью выдавленного материала, решение должно быть начато
в области BECD. Решение последовательно строится в BECD, АСЕ,
ВЕО, АЕО. По соображениям, использованным в задаче о
волочении листа (стр. 195), можно показать, что скорость в АЕО является
равномерной и что, как следует в результате вычислений, она
параллельна АО, удовлетворяя, таким образом, оставшемуся
граничному условию. Вдоль CD и DO на фиг. 42, а и вдоль OD, DC
и СО на фиг. 42, b имеет место разрыв скорости.
Поле ABCD определяется круговой дугой АВ и условием, что
линии скольжения пересекают ось симметрии под углом 45° в
случае а) или стенку под углом 45° в случае Ь). Таким образом, в обоих
случаях ABCD представляет собой поле, определяемое равными
круговыми дугами (фиг. 31); в случае а) они суть АВ и ее отражение
относительно оси симметрии, тогда как в случае Ь) они суть АВ и
ее отражение относительно стенки. В случае а) отрезок ОВ
наклонен под углом 45° к оси симметрии, а угол ОАВ выбирается так,
что линия скольжения О АС пересекает стенку под углом 45°; в
случае Ь) ОА образует со стенкой угол 45°, а угол АОВ выбирается
так, что OBD пересекает ось симметрии под углом 45°. Когда
обжатие достаточно мало (приблизительно 8%), то пластическая область
продолжается вокруг О к свободной поверхности выдавленной
заготовки. В другом крайнем случае геометрические условия мешают
применению настоящего решения для обжатия, более высокого чем
то, для которого ОА является касательной к матрице.
Значение среднего сжимающего напряжения определяется в одной
точке (скажем, на ОВ) из условия, что результирующее продольное
усилие, действующее на выдавленный лист, должно равняться нулю;
тогда уравнения Хенки дают напряжения в любой точке поля.
Интересно отметить, что среднее давление на матрицу для
относительного обжатия г в случае а) равно среднему давлению на матрицу

4. ВЫДАВЛИВАНИЕ ЛИСТА
217
для обжатия (1 —г), относящегося к случаю Ь)\ это — простое
следствие того свойства, что соответственные поля ABCD суть
отражения одно другого. На фиг. 43 представлено давление выдавливания Р
как функция уменьшения толщи-
ны (1—/г/Я); когда обжатие рав- ^г
Л
но 50%
/> = А(1+л/2*).
2
-^г.П
' У
У
^ Jr' \ h
~~~ 1 1
/
/
го
40 60
% обжатия
80
ЮО
Фиг. 43. Напряжение выдавливания
в зависимости от обжатия при
обратном выдавливании через прямую
матрицу. Пунктирная кривая
соответствует равномерной деформации.
Здесь к представляет собой
предел текучести на сдвиг при
средней температуре и скорости
выдавливания; обычно заготовки
выдавливаются в горячем
состоянии при температурах, при
которых упрочнение невелико.
Пунктирная кривая на фигуре
представляет собой давление 2k In (Hfh),
соответствующее равномерному
сжатию. Видно, что
относительный расход бесполезной работы
является значительным; грубо
говоря, это то же самое, что наблюдалось Эйсбейном и Заксом 1) на
латунных цилиндрических заготовках.
Для обжатия, равного 50°/02), было вычислено искажение
квадратной сетки (фиг. 44). Не считая пика на оси симметрии, здесь
имеет место близкое
сходство с искажением, которое
наблюдалось в
экспериментах с цилиндрическими
заготовками небольшого
размера*3), в частности,
сильное противодействующее
трение поверхностных слоев.
Когда обжатие мало, то пик
выражен менее резко,
причем острый угол между осью
и деформированными
поперечными линиями сетки
равен arcctg (H/h— I)'3 (когда
обжатие меньше 50%). Для поля, представленного на фиг. 45, пик
отсутствует.
Центральная лшия
Фиг. 44. Искажение квадратной сетки при
обратном выдавливании через прямую
матрицу, дающую 50% обжатия.
*) W. E i s b e i n, Q. Sachs, Mitt, deutschen Materialprufungsanstalten,
1931 т. 16, стр. 67.
2) Подробности см. в статье Хилла, цит. выше, стр. 213.
3) С. Е. Pearson, The Extrusion of Metals, Chapman and Hall, 1944.

218 ГЛ. VII. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
с. Прямое выдавливание через прямую матрицу. Так как при
прямом выдавливании заготовка перемещается относительно
контейнера, то при этом возникает сопротивление трения. Давление на
стенку настолько велико, что
если не применяется смазка,
напряжение трения достигает
величины Л, а линии скольжения
одного семейства являются
касательными к стенке. На фиг. 45
показана возможная область
мертвого металла (аналогичная
той, которая наблюдалась в
эксперименте х))\ поле линий
скольжения объяснений не требует.
По аналогии с предыдущими
решениями, можно сразу
заметить, что граничные условия
для скоростей удовлетворяются
(разрыва скорости вдоль CD
и OD теперь не имеется).
Давление выдавливания пока не
вычислено. Заметим, что во
время выдавливания усилие на
пуансон постоянно уменьшается, достигая своей минимальной
величины незадолго перед окончанием выдавливания. Затем следует
быстрый подъем давления, происходящий от затруднений выброса
оставшегося диска. Найдено, что минимальное усилие грубо равно
усилию при установившемся состоянии в случае обратного
выдавливания.
Фиг. 45. Поле линий скольжения для
прямого выдавливания через прямую
матрицу (без смазки).
5. Пробивание
В этом процессе заготовка заключена в контейнере и пробивается
штампом. Когда задача рассматривается как задача о плоском
деформированном состоянии, то единственное различие между
установившимся состоянием обратного выдавливания и пробиванием с гладким
контейнером состоит в том, что положения центральной оси и стенки
взаимно меняются при условии, что мертвый металл (если он есть)
имеет ту же самую форму. Мы будем касаться только пробивания
плоским штампом. Предположим, что ложная передняя часть
мертвого металла, очерченная в виде клина с углом 90°, присоединена
к штампу и в течение установившегося состояния удерживается
здесь; это, повидимому, требует определенной минимальной степени
трения по штампу. На фиг. 46 показано поле линий скольжения для
1) С. Е. Pearson, цит. выше, стр. 217.

5. ПРОБИВАНИЕ
210
обжатия, меньшего 50%; оно должно быть сравнено с полем фиг. 42, 6.
Когда контейнер не является идеально смазанным, то углы, при
которых линии скольжения соприкасаются со стенкой, должны быть
соответствующим образом
видоизменены.
Когда трение о стенку
отсутствует, то давление на штамп,
очевидно, равно давлению
выдавливания, разделенному на
уменьшение толщины, при этом
давление выдавливания есть
давление, соответствующее тому же
самому обжатию при обратном
выдавливании. Из фиг. 43
получена зависимость между
давлением на штамп Р и
относительным уменьшением толщины, т. е.
шириной штампа, разделенной на
ширину контейнера; она
представлена на фиг. 47. Для обжатия,
равного 50%, давление имеет
минимальное значение 2&(1 +1/21Т)'
при этом кривая является симметричной относительно этой точки
(в области, в которой решение имеет силу). Такой не резкий минимум
был получен Зибелем и Фангмейе-
Фиг. 46. Поле линий скольжения
для пробивания шероховатым плоским
штампом (обжатие меньше 50%).
4
ром *) в экспериментах по
пробиванию свинцовых цилиндрических
заготовок с помощью плоских
штампов, соединенных со
стержнем меньшего диаметра. Они
нашли, что давление быстро
растет по направлению к
своему значению, соответствующему
установившемуся состоянию, и что
подъем давления оказывается
наиболее крутым при больших
обжатиях. Установившееся состояние
продолжает существовать до тех
пор, пока штамп не проникает
в пределы половины своей ширины
от основания контейнера. В данной
задаче для обжатий меньше 50%
давление на штамп, необходимое для того, чтобы начать
пробивание, должно быть равно 2&(1+1/2'п) (см. разд. 5, а главы IX), тогда
/
О
,
/+
>
к
2
£0
40 60
60 /ОО
Фиг.
нием
47. Зависимость между
давлена штамп и относительным
уменьшением
толщины
в а нии.
при проои-
«)Е. Siebel, E. Fangmeier, Mitt Kais. Wilh. Inst E/senf., 1931, т. 13, стр. 28.

220 ГЛ. VII. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
как для обжатий, больших 50%, пробивание не начнется до тех
пор, пока не будет приложено давление, соответствующее
установившемуся состоянию. Если принять во внимание закругление кривой
зависимости давления от глубины проникания вследствие упругих
деформаций и упрочнения, то это в обших чертах находится в
соответствии с наблюдениями Зибеля и Фангмейера. Когда обжатие очень
мало, то упругая сжимаемость становится значительной и давление,
соответствующее установившемуся состоянию, должно
аппроксимировать давление, необходимое для глубокого пробивания в
бесконечной среде. Если мы согласимся с теоретическими результатами
Бишопа, Хилла и Мотта (стр. 131), то максимальное давление будет
приблизительно равно 4,5 X 2k (точное значение его зависит от
упругих констант). Неясно, какое предельное давление должно быть
в другом предельном случае, когда обжатие бесконечно увеличивается.
6. Прокатка полосы
а. Сфера применения теории. Последующее обсуждение теорий
прокатки ограничено случаем холодной прокатки полосы. Этот
термин применяется к тонким листам толщиной не более чем
приблизительно 5 мм и с отношением ширины к толщине по крайней
мере равным десяти. Полоса уменьшается в толщине путем
пропускания ее между двумя параллельными цилиндрическими валками
прокатного стана, радиус которых имеет порядок в сто раз
больший толщины полосы. Так как ширина полосы велика по сравнению
с длиной дуги контакта между полосой и валками, то стеснение
непластического материала препятствует боковому расширению его
(оно обычно меньше 1 или 2%). Поэтому деформация полосы является
существенно плоской, за исключением узких зон вблизи краев.
Вычисление напряжений при прокатке прямоугольных стержней, где
уширением нельзя пренебречь, едва ли продвинулось за пределы
эмпирического этапа.
Точное решение задачи о прокатке полосы еще не известно,
и даже качественный вид поля линий скольжения должен быть еще
доказан. Большинство современных теорий, в сущности, допускает,
что материал, в то время как он проходит между валками,
равномерно сжимается. Орован х) сформулировал приближенный метод
(см. ниже, разд. 8) учета затраты расхода работы на неравномерное
искажение, который указывает 2), что эта поправка очень мала,
когда дуга контакта больше, чем средняя толщина полосы (сравни
с теорией волочения листа Закса). (К счастью, не считая припусков,
обжатия, даваемые в индустриальной практике, таковы, что дуга
контакта редко менее чем в три раза больше толщины полосы),
l) E. О row an, Proc. Inst. Mech. Eng., 1943, т. 150, стр. 140.
3) D. R. Bland, H. Ford, там же, 1948, т. 159, стр. 144,

Ь. ПРОКАТКА ПОЛОСЫ
221
В этом диапазоне ошибка в элементарной теории, вероятно, меньше,
чем пределы, внутри которых большинство переменных могут быть
установлены на практике; ограничиваясь несколькими параметрами,
укажем, например, на физические свойства полосы, условия трения,
а также на упругую деформацию валков. Поэтому стоит времени
описать элементарную теорию несколько подробнее.
Ь. Упругая деформация валков. В любом процессе
формообразования металла аппаратура упруго деформируется и при точных
вычислениях нагрузки и расхода энергии это должно быть принято
во внимание. Особенно необходимо это учесть при прокатке полосы,
где валки прокатного стана сплющиваются так сильно, что дуга
(контакта часто увеличивается приблизительно на 10 или 20°/0 и даже
'удваивается, когда уменьшение толщины очень мало. Единственно
практический метод оценки сплющивания валков опубликован Хитч-
коком *), который заменил действительное распределение давления
по валкам эллиптическим, дающим при этом ту же самую полную
нагрузку. Из теории упругого контакта, данной Герцем, известно,
что поверхность валка при этом распределении давления
деформируется в цилиндрическую дугу большего .радиуса 2) (изменение формы,
обусловленное силами трения, вероятно, очень мало и им
пренебрегают). Таким образом, форма сплющенного валка выражается только
посредством одного параметра, а именно, радиуса R'
деформированной дуги контакта. В этом состоит большое математическое и
действительно практическое удобство. Точность метода Хитчкока не
известна, тем не менее трудно себе представить, каким образом
его предположение могло быть улучшено каким-либо простым или
полезным способом.
Если R — радиус недеформированного валка, то изменение
кривизны, обусловленное силой Р, приходящейся на единицу ширины
и действующей на дугу длиной L, равно
где с — постоянная, зависящая от упругих свойств валков и равная
^£/16(1—v2). Если Р измеряется в тоннах на сантиметр, а длина —
в сантиметрах, то для стальных валков с имеет значение,
приблизительно равное 440 т на квадратный сантиметр.
Будем исходить из фиг. 48, которая представляет собой
поперечное сечение валка; пусть О является центром валка, или точкой,
1) J. H. Hi tc he о о k, Am. Soc. Mech. Research Publication, 1930.
Приложение I. Более детальное исследование искажения дуги контакта
показывает, что формула Хитчкока не может быть улучшена без значительных
вычислений: D. R. Bland, Proc. Inst. Mech. Eng., 1950, т. 163, стр. 141
2) См. S. Timoshenko, Theory of Elasticity, N. Y., McGraw-Hill
Book Co., 1934, стр, 349; русский перевод: С. П. Тимошенко, Теория
упругости М., ОНТИ, 1937, стр. 378.

222 ГЛ. VII. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
в которой линия оси пересекает чертеж, и пусть О'—центр
кривизны круговой дуги контакта ЛВ. Так как предполагаемое
распределение давления симметрично относительно средней точки С
дуги контакта, то отсюда следует, что О' лежит на
продолжении СО. Если мы пренебрегаем той частью дуги контакта,
которая обусловлена упругим восстановлением прокатанной полосы,
Фиг. 48. Упругая деформация цилиндрического валка
и (вставка) напряжения, действующие на тонкий слой
полосы. Точка О представляет собой ось шпинделя,
а О'— центр кривизны деформированной дуги контакта
(по Хитчкоку).
то поверхность валка должна быть в точке выхода В горизонтальна.
Таким образом, О'В является вертикалью. Пусть угол дуги
контакта будет обозначен через а (угол АО'В)\ при прокатке полосы а
обычно меньше 0,15 радиана. Очевидно, точка В расположена
приблизительно J) на расстоянии ll2 (Rr — /?)<* впереди линии,
проходящей через центры обоих валков; это составляет 1/2(1—/?//?') части
дуги контакта. Длина дуги контакта и расстояние в отдельности от
центров валков определяются обжатием, данным полосе. Если 8
представляет собой уменьшение толщины или разницу между
начальной и конечной толщинами полосы, то из геометрических сообра-
1) В этой и следующей формуле sin а заменен на а, а сое а — на единицу,
при этом ошибка не больше 1и/о-

б. ПРОКАТКА ПОЛОСЫ
223
жений легко показать, что длина L дуги контакта АВ
приблизительно рава у R'b. Подстановка в (16) дает:
я'-яО+■£■)■ <17>
что представляет собой формулу Хитчкока для радиуса
деформированной дуги контакта. Угловая мера а деформированной дуги
по отношению к ее центру равна L[Rr или YtyR' (отметим также,
что L = о/ос).
с. Общие соображения. Так как скорость полосы при
прохождении через валки увеличивается, то на дуге контакта должна быть
точка Л/, где местные элементы валка и полосы двигаются с одной
и той же скоростью; эта точка называется нейтральной. На входной
стороне N, где валок передвигается быстрее полосы, возникают
напряжения трения, которые тянут материал в зазор между валками;
на стороне выхода от точки N напряжения трения препятствуют
выпуску полосы, которая здесь передвигается быстрее валка. При
установившемся состоянии полоса регулирует свою скорость
относительно скорости, с которой двигаются валки, таким образом, что
внешние напряжения, действующие на полосу, находятся в
равновесии. Это определяет положение нейтральной точки.
Пусть 0—угловое положение произвольной точки на дуге контакта
относительно О'В и пусть ср— угловое положение нейтральной
точки N. Если р(Ь)— распределение нормального давления х) на валки,
то малый элемент поверхности длиной Rdb подвержен действию
нормальной силы pR'db (на единицу ширины) и касательной силы
трения upR'db (и меньше 0,1 для холодной прокатки со смазкой
и, таким образом, напряжение трения up почти всегда меньше
предела текучести на сдвиг k) *2). Уравнение равновесия для
горизонтальных сил, действующих на полосу, имеет вид
а /а ф
Т= 2 Г р sin Ь R'db — 2 [ Г up cos Ь R'dH —[ № cos QR'dH
0 \? О
где T~Tf—Tb — приходящаяся на единицу длины разность
натяжения и противонатяжения, приложенных к полосе. Заменяя sin Ь
*) Величину р нельзя смешивать со средним сжимающим напряжением,
для которого в уравнениях Хенкп был прежде использован тот же символ.
2) Модификация теории, когда \х настолько велико, что напряжения
трения достигают на части дуги контакта величины k (как при горячей
прокатке), дано Е. Orowan'oM (Proc. Inst. Mech. Eng., 1943, т. 150, стр. 140).
А. N a d a i (Journ. App. Mech, 1939, т. 6, стр. А — 55) рассмотрел условия
трения, при которых напряжение трения пропорционально относительной
скорости скольжения.

224 ГЛ. VII. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
углом 6, a cos 0 — единицей, с достаточной степенью приближения
(так как а обычно меньше 0,15 радиана) получим:
JL= j pbdb-p Jp^— \ РЯА. (18)
0 \ ? О /
Результирующая вертикальная сила Я, действующая на валок и
приходящаяся на единицу ширины, определяется по формуле
а /а <р v
Р = Г р cos в/?' dO + ( Г !JP sin 6#' ^9 — Г W sin fj #' db ].
о \? о /
В данной степени приближения члены, заключенные в скобках,
незначительны, и, таким образом, имеем:
~*= \ pdh. (19)
Крутящий момент, действующий на каждый валок и приходящийся
на единицу ширины, находим, подсчитывая моменты относительно
оси валка О сил, действующих на валок. Плечо силы pR' db
приблизительно равно ±(R'— /?)С/2а — ^) в зависимости от того,
на какой стороне точки С лежит элемент. Плечо силы \>pR' db с той же
самой степенью приближения равно R. Следовательно,
(а о \ а
j pdh- J pdo)+(-*L— l) Jpfl —72a)rfO. (20)
ф о ' и
RR
Влияние момента от сил нормального давления в существующих
теориях прокатки обычно не рассматривается; оно или равно нулю,
когда сплющиванием валков пренебрегают, или является
незначительным по другим причинам. Это приближение является
приемлемым, если сплющивание валков мало, однако в последних переходах
серии, где а мало, а R/R велико, желательна поправка. Другое
выражение для крутящего момента, которое часто используется,
может быть выведено из уравнений (18) и (20) путем исключения
члена с <х, общего для обоих уравнений,
G = #'2 j pbdb — ±RT — -^-(Я'9 — R)«P. (21)

(). ПРОКАТКА ПОЛОСЫ
225
Если моментом нормального давления пренебрегают, то формула
для крутящего момента такова:
G = RR' J pddb — ^.RT.
Следовательно,
°-ff['-(f-')(^--f)|- eo
Позднее будет видно, что G ме.ньше G (см. уравнение (33)).
Распределение давления по валку должно, конечно, быть найдено
из рассмотрения пластического напряженного состояния в полосе.
Когда /?(0) известно, усилие прокатки Р определяется из
уравнения (19), а крутящий момент О — из уравнений (20) или (21).
Скорость внешней работы, произведенной над валками и полосой, равна
20»-\-TfU — TbU-£.,
где ш — угловая скорость валков, a U — скорость выхода полосы.
Принято вводить величину /» называемую опережением и
выражающую относительную разность скоростей полосы и валка в точке
выхода,
/==(!; —/?«>)//?«) «^„i. (22)
Исключая случай, когда приложено натяжение, обычно при
прокатке полосы / меньше 0,05» В единицу времени прокатывается
объем полосы, равный Uh (на единицу ширины), и, таким образом,
работа на единицу объема может быть выражена следующим
образом:
2Q
(Г+ЛЛЛ
W=n_:,xDh+tf-tb, (23)
где tf=Tf/h — среднее напряжение натяжения, a tb=^Tb/H —
среднее напряжение противонатяжения. Не вся эта энергия используется
на пластическое деформирование, поскольку часть ее рассеивается
на трение вдоль дуги контакта пропорционально в каждой точке
разности скоростей валка и полосы.
Если мы будем пренебрегать изменением скорости поперек
любого вертикального сечения, то зависимость между опережением
/ и нейтральным углом ср может быть, получена без
детального анализа. Если hn—толщина полосы а нейтральном сечении, то
средняя скорость по соответствующему вертикальному сечению
15 Зак 1438. Р. Хилл

22G ГЛ. VII. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
равна Uh/hn. Эта величина согласно вышеуказанному допущению
равна /?(«, и, таким образом, из (22) имеем:
Но, пренебрегая членами высшего порядка ср> имеем hn—А = Я'срЗ
и, следовательно,
Для очень больших обжатий эта формула несправедлива.
d. Элементарная теория распределения напряжения.
Рассмотрим усилия, действующие на тонкий слой полосы, заключенный
между двумя вертикальными поперечными сечениями,
расположенными на расстоянии х и x~\~dx от плоскости выхода О'В (фиг. 48).
Пусть у(х) — толщина полосы в любой точке. Пусть ^у
—равнодействующая растягивающей силы, действующей по вертикальному
сечению; поэтому q есть средний, взятый по поперечному сечению,
нормальный компонент напряжения в горизонтальном направлении.
Две силы pR'dti, действующие по краям слоя, имеют
горизонтальную равнодействующую, равную 2pR' sin 0 dO или pdy. Две силы
ppR'db имеют равнодействующую, равную 2ppR' cos b db или 2\bpdx.
Поэтому уравнение равновесия слоя будет:
d (qy) -\~pdy± 2up dx = 0, (25)
где верхний знак относится к стороне выхода нейтральной точки iV,
а нижний знак — к стороне входа. До сих пор анализ являлся
точным; теперь мы вводим предположение, характеризующее
элементарную теорию:
p + q=2k, (26)
где к, как обычно, означает предел текучести при сдвиге. Это
уравнение может быть выведено из условия текучести, если принять
три отдельных предположения, а именно: а) что напряжения
равномерно распределены по вертикальному сечению, Ь) что р и #
—значения главных напряжений в любой точке на дуге контакта и с) что
пластическая область распространяется всюду между плоскостями
входа и выхода. Во многих работах второе допущение заменяется
утверждением, что главные оси всюду представляют собой
горизонтали и вертикали и что поэтому величина вертикального главного
напряжения приблизительно равна р. Однако, невидимому,
предпочтительно формулировать только один постулат (26). Если материал
упрочняется, то величина к должна быть рассмотрена как
функция х. Допуская, что деформация является приблизительно
деформацией равномерного сжатия, найдем, что величина 2к в поперечном
сечении х равна ординате (соответствующей абсциссе \n{Hjy)) кри-

б. ПРОКАТКА ПОЛОСЫ
227
вой зависимости между напряжением и деформацией при сжатии,
полученной в условиях плоской деформации. С другой стороны,
2k равно умноженной в 2/|/*3 раз ординате (соответствующей
абсциссе (2/У'д)\п(Н/у)) кривой зависимости между напряжением и
деформацией в случае одноосного напряженного состояния (это есть
эквивалентная деформация, см. стр. 42). Когда к изменяется, то
уравнение (25) должно быть проинтегрировано с помощью способа
малой дуги. Простой метод учета упрочнения описан позже.
Теория прокатки полосы, выраженная в уравнениях (25) и (26),
дана Карманом х) (1925). Допуская теперь, что к является
константой, и исключая #, получим а):
Граничные условия таковы, что q = tb и р = 2к— tb, когда х = Ц
q = tf и p = 2k~—tf, когда х = 0. Поскольку это уравнение
первого порядка, то приведенные граничные условия однозначно
определяют два решения, отправляющихся от точек выхода и входа и
соответственно связанных с верхним и нижним знаками. Решение
должно быть продолжено до тех пор, пока не будет достигнута такая
величина х, при которой два значения р одинаковы; это определяет
нейтральную точку (уравнение равновесия (18) полосы как целого
автоматически удовлетворяется). Так как дуга контакта
представляет собой окружность, то для обычного приближения для малых
углов контакта имеем:
, , *з dy 2x
Подегаковка в (27) дает:
Вводя безразмерные величины
YWh ~ Г h V 1 - г а ■ f| 2ft '
получим:
±(1+Р) $ = «-«„. «^/f^/IZ:, (29)
*) Th. von К arm an, Zeits. ang. Math. Mech., 1925, т. 5, стр. 139.
2) Это уравнение применимо (с верхним знаком) к волочению полосы
или выдавливанию через матрицу любого контура у (*). Когда матрица
является клинообразной (dy/dx = 2 tg а), это уравнение приводит к^аналогу
плоского деформированного состояния, определяемого формулой Закса
(стр. 20S) для напряжения волочения. А. Т. Целиков (Металлург, 1936,
т. 6, стр. 61) основал теорию прокатки на аппроксимации дуги контакта ее
хордой; относительно расчетов в Англии см. L. R. Underwood (Sheet
Metal Industries, 1946, February, стр. 288).
15*

228
ГЛ. VII. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
где г — относительное обжатие 8//7, а а — параметр, величина
которого при прокатке полосы обычно находится между 0,5 и 2,0
(R'lh обычно расположено в диапазоне 50—500). Граничные условия
будут:
т, = 1 •
2k
, $ = 0; y)=1
2k
' * У 1 — г'
В уравнении (29) верхний знак должен быть взят для стороны выхода
нейтральной точки, а нижний знак — для стороны входа. Следуя
обычному методу решения линейных уравнений первого порядка,
найдем, что
\е2а*г—2
rl = e-2a^\fi _|_y«+r_2 f e2aUg6d^
(сторона входа, <Jv !> ^ >• ^п),
(30)
(сторона выхода, фи1>ф>-0), J
где
<> = arctg ; = arctg у — О, 4,. = arctg у y~ = arcsin Vr>
а фп — величина ф, соответствующая нейтральной точке, удовлетворяет
уравнению
«-*1*» [(1 -£) ^-2 J Лгф<ф***»[( iJr^2 J «~ад tg W] .
Так как |х уменьшается, то нейтральная точка передвигается
к выходу. Наименьшая величина jx, для которой прокатка при
данных натяжениях возможна, соответствует 6W = 0 или решению
а = а уравнения
*г
—^) А - 2 J *2a> tg 4 d<f = (l —^
О
Из (19) усилие прокатки равно
а
'2АУ
Vr/а-г)
(31)

6. ПРОКАТКА ПОЛОСЫ
229
Так как радиус R' деформированной дуги контакта зависит от Р
по формуле Хитчкока (17), то он может быть найден только
путем последовательного приближения. Таким образом, сначала
используется при вычислении Р пробная величина R; соответствующее
значение R', определяемое формулой Хитчкока, будет чаще всего
отлично от пробного значения, которое поэтому должно быть
видоизменено. Когда совместные значения Р и R' определены, то крутящий
момент находится из уравнения (21)
О:
а.
R/2 J pbdb — ±RT-±(R'~-R)*P =
о
Vr/a-r)
= 2kR'h \ ritdt—^RT—\{R' — R)aP.
о
Интегралы в уравнении (30) и значения &п могут быть вычислены
только с помощью приближенных методов. Тринкс1) проделал ряд
расчетов, когда приложенные натяжения равны нулю, и графически
представил усилие прокатки и пик давления (но не крутящий момент)
в зависимости от параметров г и jx/cc (номинальная точность
неопределенна). Надаи9) вычислил распределение давлений для различных
значений г, (л/а, а также натяжения и противонатяжения, однако,
чтобы произвести точное интегрирование, он вводит предположение,
что tgu~ty. Полного исследования общей точности метода Надаи
не опубликовано, однако в нескольких случаях было найдено, что
ошибка при определении усилия прокатки около 5—10%8)* Более
близкое приближение было предложено Бландом и Фоодом4), при
этом, если натяжение отсутствует, то ошибка меньше 2%. Их
формула для распределения давления
4 = (l — |П(1 —r^2aC^-+) sec9 ф (сторона входа), \
/ 7[ \ <32>
y| = M —-JLj^a^ sec2<!, (сторона выхода). I
Когда tf=Q = tb> то рассмотрение уравнения (30) обнаруживает,
что это приближение эквивалентно выражению
Ф ф Ф
2 [ е~2^ tg 6 <to = J* e-^cos^ ф d (tg9 6) ~ j d (tg9 ф)
1) W. Trinks, Blast Furnace and Steel Plant, 1937, т. 25, стр. 617.
2) A. Nadai, Journ. App. Mech., 1939, т. б, стр. А —55.
3) L. R. Underwood, Sheet Metal Industries, 1946, April.
4) D. R. Pland, H. Ford, цит. выше, стр. 220,

230 ГЛ. VII. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
4у Фг *г
2 Г е2а* tg 6 dty = f ^2аф cos24 d (tg*6)~£2a(jVCos* фг J* d (tg2 ф).
Влияние интеграла на стороне выхода настолько мало, что одинаково
хорошее приближение получается, если пренебречь им совершенно
(умеренное натяжение). На
фиг. 49 представлены
вычисления Бланда и Форда
при отсутствии натяжений
в зависимости от г и
параметра
»->/£-^-
Если в каждой точке
давление равно пределу
текучести, то усилие прокатки Р0
~1нГ1)в "#'/ 08 Г и КРУТЯШ-ИЙ момент G0
выражаются в зависимости от
их безразмерных значений
Ро и Go- (Значение G0
должно быть откорректировано
с учетом момента от сил
нормального давления (см.
(21!'))• Если упрочнение
отсутствует, то без труда
можно показать, что
P*0=2kVR^ и O*0 = kRb.
Согласно теории Бланда
и Форда наименьшая
величина Ь, для которой
прокатка при данном обжатии
возможна без натяжений, равна
1
Фиг. 49. Теоретические зависимости между
(а) усилием при прокатке и обжатием
и (Ь) крутящим моментом и обжатием для
различных значений Ь = |i У"/?'///.
i/ayi_r!n
arcsln у г
Для этой величины b нейтральная точка попадает в плоскость
выхода. Значение Ь, для которого угол контакта равен углу трения,
будет Yr (ol= р). Эмпирическая формула для Р0/Р0> верная с
точностью ±1% в диапазоне 0,1 < г < 0,6 и Р0/Р0 < 1,7, имеет вид
*!§-= 1,08+ \J9rb— 1,02г.

6. ПРОКАТКА ПОЛОСЫ
231
Формула для О0/О0, правильная с точностью
0,1 < г < 0,6 и G0/Gq < 1,5, имеет вид
: 2% в диапазоне
±Й- = 1,05 + (0,07+1»32г)& —0,85г.
2,0,
Когда натяжения не приложены, то из уравнения (23) энергия,
затраченная на единицу объема, равна 2G/Rh(\ +/) или с
достаточной для практических целей точностью будет 2G/Rh\ таким
образом, ордината фиг. 49, Ь представляет собой также
(l—r)W
2kr •
Следовательно, пунктирная кривая на фиг. 49, Ь, уравнение которой
\ г 1
^п 1 ' пРеДставляет собой величину крутящего момента, если
считать, что внешняя энергия будет совершенно поглощена при
равномерном сжатии полосы. Поэтому коэффициент полезного действия
процесса прокатки для данного г и b равен 100, умноженному
на отношение ординаты, соответствующей точке на пунктирной
кривой, к величине O0/G0.
Общие особенности распределения давления большей частью
легко видны непосредственно из уравнения (28). Знак dp/dx тот же,
что и знак величины (x/Rf) ± (\ьр/2к).
Следовательно, на стороне выхода
нейтральной точки величина dp/dx
всегда положительна, при этом ^
давление постепенно возрастает от
величины 2k — tf у выходного
сечения. В выходном сечении
величина dp/dx отрицательна, когда
ji > а/(1 —tb/2k), и положительна,
когда [i< a/(l— tb/2k). Таким
образом, в первом случае давление вдоль
дуги контакта начинает расти и,
следовательно, так как x/Rf
уменьшается, то оно должно продолжать
оставаться таким. С другой
стороны, во втором случае давление
начинает падать. Однако точное решение
показывает, что оно начинает расти
вновь, если [х не слишком мало, и что
оно становится больше, чем 2k — tft в точке на дуге контакта (х^О)
при условии, что \l больше величины, определяемой уравнением (31).
Поэтому пик давления совпадает с нейтральной точкой. На фиг. 50
показано типичное распределение давления, вычисленное поформуле(ЗО)
Фиг. 50. Типичное распределение
давления на валок согласно
теории Кармана для полосы с
натяжениями (без упрочнения).

232 ГЛ. VII. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
для г = 0,3 и ft = 0,84 ((л/а=1,53) и для различных значений
натяжения и противонатяжения*).
Упрочнение может быть учтено следующим методом. Пусть 2k(e)—
предел текучести при сжатии в условиях плоского деформированного
состояния, рассматриваемый как функция условной деформации
сжатия е (относительное обжатие высоты). Тогда величина е в точке,
характеризующейся на дуге контакта углом 0, определяется следующим
образом:
Я (г — e) = R'b*.
Отсюда, если давление было равно местному значению предела
текучести, то усилие прокатки было бы равно
Pl = R' J 2к(е)М = \Г*?н1у=-
О О
Теперь допустим, что коэффициент, на который параметр Pi
должен быть умножен, чтобы получить величину действительного
усилия прокатки, не зависит от соотношения между напряжением
и деформацией металла и, таким образом, для неупрочняющегося
металла равен ординате по фиг 49, а. Это, очевидно, эквивалентно
использованию среднего предела текучести
- f 2k db.
о
Хотя это допущение недостаточно для воспроизведения истинной
формы пика трения, давление будет преувеличено на стороне входа
и преуменьшено на стороне выхода, причем ошибка при вычислении
усилия прокатки является незначительной. Однако, если для вычисления
крутящего момента используется тот же самый средний предел
текучести, то при первом переходе отожженного металла правильная
величина его преувеличивается приблизительно на 10%2). То
обстоятельство, что крутящий момент должен быть завышенным, ясно из
уравнения (21), так как величина
a
J pb db
о
представляет собой в точности момент от распределения давления /?(6)
относительно точки выхода (0 = 0). Более точно исходить из вычи-
1) Распределение давления для широкого диапазона условий и для
непостоянного значения k было вычислено М. С о о к, Е. С. L а г k e, Journ.
Inst. Metals, 1945, т. 71, стр. 557.
«) D. R. Bland, H. Ford, цит. выше, стр. 220,

6. ПРОКАТКА ПОЛОСЫ
233
слепня крутящего момента О0, для которого давление равно
пределу текучести, и поэтому предполагать, что влияние пика трения
учитывается путем умножения G0 на ординату фиг. 49, Ь. Величина G0,
не откорректированная с учетом момента от сил нормального давления
относительно центра валка, равна
а г
О*0 = /?/?' j pb dO = RH f к (e)de.
о о
Теоретическое предсказание о том, что должен быть пик давления
(пик трения, как его называют), подтверждается экспериментами.
Стержень, передающий давление, поддерживается в контакте с полосой
посредством радиального отверстия в одном из валков прокатного
стана, при этом давление измеряется с помощью пьезоэлектрического
метода *) или метода фотоупругости '2). Распределение давления
найдено более округленным, чем это предсказывает теория, как
у пика, так и во входном и выходном сечениях. Округление, вероятно,
обусловлено частично упругим поведением полосы, а частично
искажениями, присущими методу измерения. Более близкое сравнение
представляется неопределенным вследствие отсутствия
экспериментальных значений jx. Эта трудность возникает также при сравнении
теоретических и экспериментальных значений усилия прокатки или
крутящего момента3). Кажется вероятным, что теории прокатки
нередко приводятся в соответствие с замеренными усилиями
прокатки путем выбора неверных значений \i. Для более
основательной проверки теории желательно сравнить значения как О0,
так и Р0 (следует отметить, что в практическом диапазоне
отношение G0IP0 почти не зависит от ^). Фиг. 51 иллюстрирует успех,
с которым экспериментальные данные4) соответствуют предсказанию
теории. Материал представлял собой полосу из отожженной мягкой
стали с размерами 7,62 сл*Х0,16 см, обжимаемую на различные
значения между валками радиуса 12,7 см, погруженными в смазку.
Теоретические значения основаны на коэффициенте трения, равном 0,08.
Небольшое расхождение может быть приписано6) двум факторам, не
учитывающимся в теории: а) дополнительному усилию, обусловленному
1) Е. Siebel, W. L ц е g, Mitt. Kais. Wilh. Inst. Eisenf., 1933, т. 15, стр. 1.
2) E. Orowan (будет опубликовано).
3) См. H. Ford, Proc. Inst. Mech. Eng, 1948, т. 159, стр. 115, где
представлены экспериментальные значения усилия прокатки и крутящего момента
для медных полос и детальное сравнение со значениями, предсказанными
различными теориями.
4) Они были получены в 1948 г. на экспериментальном прокатном стане
Шеффильдского университета и воспроизводятся здесь благодаря любезному
разрешению директора Британской научно-исследовательской ассоциации
железа и стали.
5) Е. Orowan, Proc. Inst, Mech. Eng., 1948, г. 159, стр. 158.

234 ГЛ. VII. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
контактом между валками и упруго-восстанавливающейся
прокатанной полосой, и Ь) понижению давления по направлению к
свободному краю полосы. Первое преобладает при умеренных обжатиях,
последнее —при больших обжатиях.
е. Влияние приложенных натяжений. Влияние приложенного
натяжения и противонатяжения на распределение давления можно
понять из уравнения (30). За
исключением зоны вблизи
нейтральной точки (фиг. 50),
давление уменьшается на
величину, которая в
точках на стороне входа пика
давления прямо
пропорциональна напряжению
противонатяжения tb, а в точках
на стороне выхода —
напряжению натяжения (это не
вполне точно, так как
изменение усилия прокатки
несколько влияет на длину
дуги контакта). Понижение
давления изменяется
согласно положению на дуге
контакта, будучи
пропорциональным ехр {2а (<ЬГ — 6)} на
стороне входа и ехр (2а6) на
стороне выхода; оба
фактора увеличиваются по
направлению к нейтральной
точке. Вообще, положение
пика давления изменяется,
при этом оно сдвигается
вперед при приложении
противонатяжения и назад
при приложении натяжения.
Допустимая величина натяжения ограничивается только образованием
шейки в прокатанной полосе; величина противонатяжения
обусловливается двумя факторами: образованием шейки в полосе перед
прокаткой и недостаточным трением на валках.
Приближенное решение уравнения Кармана, данное Бландом
и Фордом, удовлетворительно также, когда прикладываются
умеренные натяжения, однако менее удовлетворительно для сильного
противонатяжения (скажем, tb/2k > 1/2)> так как влияние интеграла
в уравнении (30) становится при этом относительно более
значительным. Тем не менее было бы утомительно вычислять и трудно
представить значения усилия прокатки и крутящего момента для
20 3D 40
% обжатия
Фиг. 51. Сравнение теоретических и
экспериментальных значений усилия прокатки
и крутящего момента для 1,6 мм
отожженной полосы из мягкой стали. Радиус
недеформированного валка равен 127 мм,
а коэффициент трения предполагается
равным 0,08.

в. ПРОКАТКА ПОЛОСЫ
235
полос, охватывающих диапазон значений bt r, tfj2k и tb/2k. Другой
метод подхода к этой задаче подсказывается тем соображением,
что при точном распределении давления на валки зависимость
усилия прокатки и крутящего момента от приложенных натяжений,
вероятно, лишь немного изменяется. Это кажется вероятным,
принимая во внимание общую форму пика трения и ограничения,
на него налагаемые уравнениями равновесия полосы в целом.
Теоретические соображения х) указывают, что должна быть приблизительно
линейная зависимость между безразмерными величинами G/PR и TjP
и что абсцисса пересечения этой прямой с осью TjP должна быть
а) 6/
Фиг. 52. Приближенные линейные зависимости
между непосредственно замеряемыми величинами
при холодной прокатке полосы с натяжениями
(схематично),
почти равна углу контакта а (фиг. 52, а). Для широкого диапазона
условий оба предсказания доказаны экспериментально *) (для
вычисления а использовалась формула Хитчкока). Это линейное
соотношение может быть выражено в форме
m-&(i-k)- (33)
где индекс нуль означает соответствующие величины при отсутствии
натяжения. Тот факт, что отрезок на оси Т/Р должен быть
приблизительно равен углу а, можно понять, имея в виду уравнение (21).
Когда О = 0 (это соответствует прокатке по Стекелю или волочению
через холостые валки), имеем:
о
1) R. НП1, Ргос. Inst. Mech. Eng^ 1950, т. 163, стр. 135,

236 ГЛ. VII. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
Поэтому из (19)
2R' Г рЬ db
/г J pdb
Теперь согласно определению угловое положение у центра
распределения давления удовлетворяет условию
т С Pdb = Грвйге.
Следовательно,
^
= a-f *1(2Т-а). (34)
^0 /С
Когда крутящий момент равен нулю, то для любого распределения
давления характерной формы, наблюдаемой экспериментально, центр
давления должен лежать близко к средней точке дуги контакта.
Это следует из уравнения (20), так как, когда О = 0, площади
Г р db и Г р db
на обеих сторонах пика давления почти равны (точно равны, если
сплющивание валков отсутствует). Следовательно, когда у ~ */2а»
(т
(7 = 0
Найдено, что прямая пересекает ось ординат несколько ниже
точки 1/2&', когда Г=0, точка пересечения почти соответствует
угловому положению центра распределения давления.
Алгебраически наименьшее значение Т/Р, для которого прокатка
возможна, находится подстановкой э = 0 в уравнение (20) с учетом
(18) и (19):
7 = ,J^04-(f-l)j^(0-la)^^
о о
=[»*—Кх-0в]^+(4/-1)(2^'+^
^льно,
G
PR'

6. ПРОКАТКА ПОЛОСЫ
237
С другой стороны, мы можем использовать это уравнение для
вывода гх из измерений О и Р при максимально возможном противо-
натяженни. Таким образом,
D \ / Т ^П \
Ф=:0, (35)
(36)
I1
или из (33)
Р
а
- = т(1_ тр-Х*""?"
=
[■+('-£)(4£-
20
Я/?
0]
(•
—)
Если сплющиванием валков пренебрегают, то |*~(-рк) .причем
поправка может составлять приблизительно 5%.
При очень грубом предположении, состоящем в том, что влияние
натяжений уменьшает давление на величину tf со стороны выхода
нейтральной точки и на tb со стороны входа, из уравнения (21) можно
показать, что
О = О0 + уЛ[(1—г)Гй— Tf\ = a0 + ±Rh(tb-tf). (37)
Это и есть уравнение, выражающее зависимость О от натяжений;
оно находится в близком согласии с экспериментом 1) для отожженных
металлов2). Противонатяжение увеличивает, а натяжение уменьшает
крутящий момент на одну и ту же величину, если соответствующие
напряжения одинаковы (фиг. 52, Ь). Уравнению (37) может быть
дана простая интерпретация. Если в выражение (23) для работы W
на единицу объема мы подставим выражение для (i, то в результате
получим:
(1 +/) W=(\ 4-/0) W0 + f(tf- tb),
2G
где \VQ = /i I Л рь • Когда опережение мало (как это обычно
бывает, за исключением случая, когда приложено большое
натяжение), то W—W0. Таким образом, когда приложены натяжения,
то энергия, затраченная на единицу объема материала, остается,
грубо говоря, постоянной. Поэтому, не считая возможной экономии
в приводе, коэффициент полезного действия не может быть
значительно улучшен при прокатке с натяжениями, однако он может быть
существенно понижен, если энергия противонатяжения не может быть
полезно возвращена.
1) R. Hill, цит. выше, стр. 235.
2) Однако для предварительно деформированных металлов G не зависит
линейно от t&, и для получения близкого соответствия должны быть
добавлены квадратичные члены с ^ и tJb.

238 ГЛ. VII. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
Если теперь исключим G из уравнений (33) и (37), то получим
зависимость между Р и натяжениями (фиг. 52, Ь)
P = P0 — ATf — BTb, (38)
где
л-4^-1' я = —(1 —г)-^.
2(jq а а ч 2(J0
Это качественно согласуется с экспериментом; при этом отсюда
вытекает, что усилие прокатки уменьшается больше при противо-
натяжении, чем при том же самом напряжении натяжения.
Количественное согласие здесь является менее хорошим вследствие
увеличения ошибок в (37); поскольку величина GJPqR не слишком
отличается от 1/2%> то небольшое изменение в коэффициентах при Tf
и Ть в уравнении (37) приводит к относительно большому
изменению Л и Б. Лучшее согласие может быть обеспечено внесением
некоторого усложнения посредством учета большего уменьшения
давления около нейтральной точки, которое указывается теорией
Кармана и которым в этом элементарном анализе пренебрегают.
7. Обработка металла резанием1)
В процессе механической обработки металла поверхностный слой
металла удаляется резцом клинообразной формы, который
принужден перемешаться параллельно поверхности металла на выбранной
глубине. Когда смазка ничтожна, то масса мертвого металла
скапливается вокруг режущей кромки, от которой он отламывается от
времени до времени, оставляя грубо обработанную поверхность; с
другой стороны, если металл является хрупким, то стружка может
периодически разрушаться сама по себе 2). Если же металл является мягким,
а смазка хорошей, то стружка представляет собой непрерывную
спираль, а процесс может быть, собственно, рассмотрен как
процесс установившегося движения. Мы ограничим наше внимание
ортогональным резанием, в котором инструмент перемещается под
прямым углом к режущей кромке. Передний угол а резца, который
представляет собой угол между передней гранью и нормалью
к поверхности металла (фиг. 53), может быть или положительным,
или отрицательным. Для простоты предположим, что состояние
трения по площади контакта между резцом и стружкой может быть
достаточно, хотя бы грубо, представлено постоянным
коэффициентом трения ja с соответствующим углом трения X = arctga, при-
!) Последующий расчет касается только механики обработки металла
резанием; для рассмотрения металлургических проблем читателя отсылаем
к сборнику «Conference on Machinability», Proc. Inst. Mech. Eng., 1946, т. 155.
2) H. Ernst, Machining of Metals, Am. Soc. Metals Congress, 1938. См,
также W. Rosenhain, A. C. S t u г n e у, Proc. Inst. Mech. Eng., 1925,
т. 1, стр. 141.

7. ОБРАБОТКА МЕТАЛЛА РЕЗАНИЕМ
239
чем X и [х зависят в том числе и от скорости резания. Поэтому
заданными условиями являются значения а, л и глубина Г, на
которую металл обрабатывается резанием, и характеристика
зависимости между напряжениями и деформациями металла. Задача состоит
в вычислении распределения напряжений по грани резца, формы
пластической области и толщины t стружки. Так как ширина резца
обычно очень большая по сравнению с глубиной 7\ то деформация,
по существу, является плоской.
Линия сдвига
Р §**"?
Фиг. 53. Механическая обработка плоской поверхности; показаны
усилия на резец, когда стружка непрерывна, и ^вставка)
деформация элемента, пересекающего линию сдвига.
Решение задачи, сформулированной таким образом, неизвестно
даже для неупрочняющегося жестко-пластического материала. Однако
полезный анализ может быть основан на экспериментальных
наблюдениях, состоящих в том, что деформация главным образом
сконцентрирована в узкой зоне, которая распространяется от края
резца и, лишь слегка искривляется. Свеже обработанная
резцом поверхность не показывает значительного деформирования, ни,
следовательно, упрочнения» Следуя Эрнсту и Мерчанту1),
идеализируем область пластически деформированного материала и
примем ее за единственную прямую линию (фиг. 53), наклоненную под
некоторым углом ср к поверхности. Поэтому деформация состоит
из простого сдвига. Когда упрочнение не равно нулю, этот
конечный сдвиг не может по соображениям равновесия происходить
внезапно, но тем не менее допускается, что зона сдвига имеет
Ц Н. Ernst, M. E. Merchant, Trans. Am. Soc. Metals, 194b
стр. 299.

240 ГЛ. VII. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЙ
пренебрежимо малую ширину. Из чертежа отношение толщин стружки
равно
r=L^ f* , (39)
г cos (у — а) ч '
Это соотношение в форме
Г COS Of
1 — г sin а
при измерении величины г дает точный способ определения ср. Из
вставки на фиг. 53 видно, что деформация сдвига в инженерном
расчете равна
1 / ч 1 х cos а г2 — 2/" sin а -j- 1 /Ап
у — tor (ср — а) -4- ctg ср = — = *■—. (40)
1 ь VT у 1 ьт sin ср cos (ср — а) Г cos ос v /
Для данного а величина ^ является наименьшей, когда ср = 1/4т, -\~
-\-1/2а<> т. е., когда линия сдвига делит пополам угол между
поверхностями металла и резца. При этом наблюдались значения *
порядка 5. В главе XII (разд. 4) доказано, что направление,
которое испытывает наибольшее результирующее удлинение во время
сдвига, наклонено в стружке на угол 0 с линией сдвига, так что
2 ctg 28 = ?, (41)
Удлинение отдельных кристаллов дает волокнистый внешний вид
микроструктуры стружки, и если кристаллы первоначально
ориентированы беспорядочно, то направление волокон является хорошо
выраженным и можно полагать, что оно совпадает с направлением 6.
Пусть Р и Q — компоненты внешней силы на единицу ширины,
которая приложена к резцу, причем Р параллельна поверхности
металла, a Q нормальна к ней и направлена вниз. Их
равнодействующая согласно гипотезе наклонена на угол 112ъ — к к грани
резца и, следовательно, под углом К — а вниз от горизонтали.
Таким образом,
Q = Ptg(X —а). (42)
Кажущийся коэффициент трения поэтому может быть
найден измерением Р и Q. В экспериментах Мерчанта 1) величина и.
имела приблизительно значение между 0,5 и 0,1. Эти высокие
значения понятны, так как поверхность стружки, соприкасающаяся
с резцом, является свеже образованной и поэтому должна быть
свободной от адсорбированных пленок. Найдено, что увеличение
скорости в пять раз снижает а приблизительно на 20%;
масштабный эффект проявляется также в том, что кажущееся значение а
зависит от глубины механической обработки.
I) M. E. Merchant, Journ. App. Mech., 1944, т. 11, стр. А— 168.

7. ОБРАБОТКА МЕТАЛЛА РЕЗАНИЕМ
241
Пусть к— касательное напряжение в материале,
соответствующее деформации, равной f. Рассматривая равновесие стружки и
разлагая все усилия, действующие на стружку параллельно линии
сдвига, найдем из (42);
кТ\sin ср = Р cos ср — Q sin ср =:
= Р [cos ср — sin cp tg (к — а)] — Р cos (ср -f- X — a)/cos (к — а). (43)
Средняя величина /?, сжимающего напряжения, действующего
поперек линии сдвига, равна
P = /etg(X+-cp — a). (44)
Внешняя работа, произведенная при удалении единицы объема
металла, равна
Р/ Т = к cos (к — a)/sin 9 cos (ср + ^ — ос). (45)
Чтобы закончить исследование, необходимо установить связь ср
с к и а. За неимением полного решения для распределения
напрягший в металле вблизи режущей кромки, должно быть сделано
дополнительное предположение. Мерчант *) постулировал, что угол ср
является таким, что работа, произведенная на единицу объема,
является минимальной. Это условие сводится к
*(f)-°
или к следующему:
1 dk
cos (2cp -f- к — a) = -£- -g~- sin cp cos (ср -(- к — a). (46)
Принимая во внимание уравнение (40), найдем, что к является
известной функцией ср, вычисляемой из кривой зависимости между
напряжением и деформацией в случае сдвига при соответствующей
температуре и скорости деформации. Если бы упрочнение
отсутствовало, то решение 2) уравнения (46) было бы простым:
<Р = Т^ + Т а — ТА' <47>
1) М. Е. Merchant, Journ. App. Phys., 1945, т. 16, стр. 267 и 318.
Подобный анализ дан V. Р i i s p a n e п, там же, 1948, т. 19, стр. 876.
2) Следует отметить, что, если р. рассматривать вдоль резца как
константу, то эта формула означает, что режущая кромка представляет собой
особенность для напряженного состояния в стружке. Таким образом, если
направление максимального касательного напряжения в точке поверхности
стружки, смежной с резущей кромкой, было параллельным линии сдвига, мы
должны иметь: 1
Это означает, что направление результирующего напряжения,
действующего на грань резца, представляет собой главное направление для
напряженного состояния режущей кромки; более того, другой главный компонент
напряжения равен нулю. Эта формула преуменьшает значение ср и
соответственно преувеличивает сопротивление резанию; согласно прежним
соображением она, конечно, не верна для больших отрицательных передних углов
режущего инструмента, поскольку это означает, что 9 отрицательно.
1G Зак. 1438. Р. Хилл

242 ГЛ. VII. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
Из измерений Мерчанта явствует, что в пределах экспериментальной
ошибки ср действительно является функцией единственной
переменной (к — а), но что эта формула в исследованной области
преувеличивает ср приблизительно на 20—40%. Это расхождение не может
быть связано с пренебрежением упрочнением, потому что, если
его учесть, вычисленная величина ср будет еще большей (за
исключением случая, когда X = 0, для которого ср всегда равно 1/4ъ-\-1/2а).
Мерчант пытался улучшить соответствие эксперименту с помощью
допущения о том, что касательное напряжение изменяется в
зависимости от нормального давления в плоскости сдвига, но оказалось,
что требуемое изменение является настолько большим, что
физически о нем не может быть и речи; при этом давление имеет
только порядок предела текучести. Относительная неудача теории
почти несомненно обусловлена недостаточностью гипотезы о
минимуме работы.
8. Течение через сходящийся канал
Рассмотрим клинообразный сходящийся канал (с полным углом 2а),
через который выдавливается пластический материал. Пусть поляр-
Фиг. 54. Компоненты напряжения для
исследования течения пластического материала
через сходящийся канал клинообразной формы.
ные координаты (г, 0) будут связаны с осью симметрии и
действительной вершиной О канала (фиг. 54). Стороны канала являются
шероховатыми; предполагается, что напряжение трения является
постоянным. Когда канал очень длинный, а течение установившееся,
то можно ожидать, что напряженное состояние в материале,
возникающее на удалении от краев, действительно не зависит от
внешних условий и что направления линий скольжения зависят только

8. ТЕЧЕНИЕ 4fiPF3 СХОДЯЩИЙСЯ КАНАЛ
243
от 0 и не зависят от г. Соответствующие линии течения суть
радиусы, проходящие через О. Это и есть то особое распределение
напряжений, которое мы будем рассматривать здесь. Если внешние
условия одни и те же, то поле линий скольжения вблизи краев
канала подобно полю, уже описанному при выдавливании через
клинообразную матрицу (разд. 4, д).
Если ввести параметр ty, зависящий согласно гипотезе только
от 6, то условие текучести удовлетворяется; при этом
Tr0 = &sin2^, ar — a0 = 2ftcos26, (48)
где ф — угол между радиусом и направлением алгебраически
большего главного напряжения. Величина аг — аь берется положительной,
так как элементы на оси подвержены простому окружному сжатию
и равному ему радиальному удлинению. Угол ф должен иметь тот
же самый знак, как и 0, так как действие трения противоположно
относительному движению; <J/ равно нулю на оси и колеблется
между —V^ и 1U'K> если мы для определенности предположим, что
на сторонах канала | тг91 = к (позднее будет видно, как решение
это можно приспособить при напряжении трения, меньшего чем k).
Уравнения равновесия будут:
Комбинируя (48) со вторым из полученных уравнений, найдем, что
■W=^k _cos 2^ = J sin 2ф d'J -h/(r). (49)
Подставляя это в первое уравнение равновесия, имеем:
г//(О + со8 2ф(1+ф,(в)) = 0;
отсюда следует, что
rf (г) = — с, у (6) = с sec 2^ — 1,
где с—постоянная. Таким образом,
/(,) —«1., + А .-/-££^. (50)
О
где Л — другая постоянная. Так как мы выбираем ^ так, чтобы он
имел тот же знак, что и 0, то с должно быть положительным и,
более того, чтобы избежать бесконечности в интеграле, оно должно
быть больше единицы. Интегрируя, имеем:
ь--^у^таг^{/^т^) <с>1>'
(51)
16*

244 ГЛ. VII. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
где значение арктангенса берется в диапазоне от — 72тс до 1/2ъ. Так
как 6 = V^» когда Ь = а, то с удовлетворяет уравнению
arctgj/^ = l* + a. (52)
У"с2~1
Так как а изменяется от нуля до 1/2ъ, то с изменяется от
бесконечности до 1,192 (приблизительно). Наконец, из (49) и (50)
напряжения будут:
^~= — с In r + -g- cos 26 — —-с In (с — cos 2^) -(- Л,
4т-= — с\пг — ycos2^ — "о"с In (с — cos 26)-f-Л.
(53)
Эти уравнения даны Надаи1).
Для того чтобы удовлетворить уравнению несжимаемости,
радиальная скорость а (измеряемая наружу) должна иметь вид
Г
где g(b) определяется из условия, что главные оси напряжения и
скорости деформации совпадают, т. е.
ar ~ J0
. .. _ 9 или ~%У ^ctg2^.
Следовательно, из (50)
g(ft) = ехр (— 2 | tg 2^ dh\ = B/(c — cos 2^),
где Л — положительная константа. Таким образом,
В
г {с — cos 26) '
(54)
Тогда, поскольку течение является радиальным, а касательное
напряжение постоянно вдоль любого радиуса, то распределение
напряжений внутри сектора ±0 представляет собой решение для
канала с углом 20 и напряжением трения, равным £sin2^. Обратно,
если мы нуждаемся в решении, соответствующем каналу с углом 20
и напряжением трения kk (O^A^l), то мы просто решаем (51)
для соответствующего значения с при 26 = arcsin А. Тогда
компоненты напряжения определяются уравнениями (48), (51) и (53).
Если касательное напряжение на сторонах канала каким-либо
образом направлено к вершине, так что оно помогает движению, то
напряженное состояние будет найдено, если мы возьмем ^ противо-
1) A. Nadai, Zeits. f. Phys., 1924 т. 30, стр. 106.

8. ТЕЧЕНИЕ ЧЕРЕЗ СХОДЯЩИЙСЯ КАНАЛ
245
положным по знаку 8. Из уравнения (50) следует, что с должно
быть, несомненно, меньше, чем cos а, и что
8 = — ф , с arctg l/"^i-
Vc% — 1 г с —
У>— 1
• arctg jj/"^
Л[\~&
T*t
ни
учается
(*<—1).
(— 1<С<0).
► (55)
при подстановке 0 = а,
[ от — оо до — 1, то а растет
увеличивается еще дальше, то а
Зависимость между с и а
ti = —1/4^. Когда с увеличивается
от нуля до 1/4тг —1/2\ так как с
непрерывно растет, становясь равным х/4ъ при с = 0. Орован
основал свое исследование прокатки *) на настоящей теории. Он
предположил (в обозначениях разд. 6), что распределение напряжений
по любой круговой дуге с угловым расстоянием 28, которая
ортогонально пересекает валки прокатного стана в точках, где
напряжение трения равно ррф), тождественно распределению напряжений
вблизи центра длинного клинообразного канала с углом 28 и с
постоянным напряжением трения, равным ур(0) (его направление
зависит от того, пересекает ли дуга валки на стороне выхода или на
стороне входа нейтрального сечения). Когда а мало, то sin2'J»~2c8,
с~±112п> а
• k\, ar—3rj = 2ft|/l—-J-.
Аналогичная пара решений для течения материала через
расходящийся канал получается из предыдущего исследования просто
изменением знака cos 2ф (всюду, где он встречается в формуле для
напряжений). Зависимость между 0 и ty принимает вид
и Г cos 2^
с ~f- cos 2<j>
Наконец, нужно заметить, что данное решение для напряжений
со сходными ограничениями применимо к сжатию пластической массы
между двумя наклоненными плитами (для более детального
обсуждения некоторых дополнительных предположений см. разд. 5, а
главы VIII). Распределение скоростей получается путем
дополнительного наложения равномерной скорости Ucosecа параллельно оси,
где U — скорость плит, перпендикулярная к их длинам и
направленная внутрь.
*) Е. О row an, цит. выше, стр. 220.

ГЛАВА Vlll
ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ (I)
1. Геометрическое подобие и приведенная диаграмма
Теперь мы рассмотрим задачи, в которых напряжение и скорость
в любой фиксированной точке изменяются во времени. Прежде
всего мы ограничим наше внимание задачами, где пластическая
область развивается таким образом, что все ее очертание остается
геометрически подобным. Мы уже сталкивались с двумя такими
примерами, а именно, с расширением цилиндрической или
сферической полости от нулевого радиуса в бесконечной среде;
когда форма в любой момент отнесена к постоянному радиусу
полости, то получается одно и то же распределение напряжения.
Другими примерами являются вдавливание в плоскую поверхность
полубесконечного бруска конического или пирамидального штампа.
Для геометрического подобия необходимо, чтобы искажение
возникало в точках или вдоль линии и чтобы образец был бесконечным
по меньшей мере в одном направлении. Несмотря на то, что оба
условия затрудняют точную реализацию подобия на практике, оно
легко достигается с точностью, находящейся в пределах
экспериментальной ошибки. Например, наблюдалось, что твердость по Виккерсу
на вдавливание пирамидых) действительно не зависит от
приложенной нагрузки при условии, что образец является большим по
сравнению с диаметром и глубиной отпечатка и, если только отпечаток
велик, по сравнению с размером зерна и радиусом кривизны
вершины конуса.
Сформулируем идею подобия более точно. Пусть /" — радиус-
вектор элемента, отнесенного к началу деформации, и пусть
с — характерная длина, определяющая стадию деформации; например,
с может быть радиусом пластической области, расширяющейся
сферической полости или глубиной проникания конического
наконечника для испытания твердости металлов вдавливанием. Тогда в общей
задаче неустановившегося движения напряжение и скорость являются
l) P. Field Foster, The Mechanical Testing of Metals and Alloys,
Pitmana. Sons, 1948, 4-е изд., стр. 161.

1 . ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ И ПРИВЕДЕННАЯ ДИАГРАММА 247
определенными функциями г и с. Когда геометрическое подобие
сохраняется, то напряжение и скорость—-функции только
единственной переменной г/с. Следовательно, если конфигурацию в любой
стадии изображать в масштабе с: 1, то мы всегда получим точно такую же
геометрическую фигуру, в фиксированной точке которой
соответствующие напряжение и скорость не изменяются; в частности, область,
представляющая пластический материал, не изменяется. Такую фигуру,
в которой характерная длина равна единице, мы будем называть
приведенной диаграммой1). Элемент, радиус-вектор которого в
действительном пространстве равен г, на приведенной диаграмме
представляется точкой, радиус-вектор которой есть р = г/с.
Существует близкое сходство между задачами, в которых
геометрическое подобие сохраняется, и задачами установившегося
движения. Когда внешние условия полностью установлены, то нет
надобности следить за развитием пластической области, которая
остается неизменной; при этом в обоих случаях могут быть
найдены такие системы координат, что соответствующие распределения
напряжения и скорости являются постоянными. Оба типа задач
являются статически неопределимыми и для построения поля линий
скольжения, удовлетворяющего краевым условиям для напряжения
и скорости, должна быть применена, та же самая процедура
повторных попыток. Поля в обоих случаях в конечном счете
подтверждаются доказательством того, что во всех пластических элементах
производится положительная работа и что в жестком материале
существует такое, связанное со скоростью, напряженное состояние,
что предел текучести нигде не превышается. Единственную
особенность различия в методе решения представляет собой форма,
принимаемая граничными условиями для скорости, выражающими
сохранение подобия. Более выгодно выразить их в зависимости от движения
элементов на приведенной диаграмме, чем в действительном
пространстве. Если скорость элемента в действительном пространстве
равна v = dr/dc (отнесенная к с как к шкале «времени»), а скорость,
соответствующая точке на приведенной диаграмме, равна dp/dc, то
•— d , —ч do , - do — - , 1 ч
v—ЗГ^^с-^ + р или ^=х.-р. (1)
Это уравнение устанавливает, что соответствующая точка на
приведенной диаграмме движется в каждый момент по направлению
к фокусу, радиус-вектор которого равен v, и что его скорость
равна частному от деления его фокального расстояния на
параметр с. Путь элемента в действительном пространстве
представляется некоторой траекторией на приведенной диаграмме, которая
l) R. Hill, E. Н. Lee, S. J, T u р р е г, Proc. Roy, Soc, Series A, 1947,
т. 188, стр. 273.

248 ГЛ. VIII. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ (I)
вычисляется из (1); в частности, путь элемента, который находится
в действительном пространстве в состоянии покоя (например,
элемент еще не настигнут распространяющейся пластической областью),
представляет собой прямую линию, направленную к началу. После
того как элемент стал пластическим, соответствующая точка на
приведенной диаграмме описывает, вообще говоря, криволинейную
траекторию. Очевидно, что все элементы, первоначально
расположенные на одном и том же радиусе, проходящем через начало,
описывают на приведенной диаграмме одинаковую траекторию;
в этом и заключается полное выражение непрерывности
геометрического подобия. Позднее мы увидим, каким образом это свойство
приведенной диаграммы облегчает вычисление искажения квадратной
сетки.
2. Вдавливание клина1)
а. Метод решения. Плоская поверхность полубесконечной массы
жестко-пластического материала вдавливается перпендикулярно
посредством гладкого жесткого клина с полным углом 20. На фиг. 55
ва — основные особенности деформации.
(правая половина) ABDEC представляет собой область пластически
деформированного материала, АС—смещенную поверхность (форму
которой предстоит определить), АВ — линию контакта с клином,
a BDEC—линию скольжения. Наиболее удобной исходной линией
скольжения является линия BD. Когда ее положение принято, то
условие того, что линии скольжения сходятся с клином под углом 45°,
однозначно определяет поле ABD (третья краевая задача). Так как
свободная поверхность не обязательно пересекается с клином под
углом 90°, то точка А должна быть особой точкой для напряжения.
*) R. Hill, Е. Н. Lee, S. J. T upper', цит. выше, стр. 247. Задача
о наклонном проникании с помощью клина была исследована R. H i 1 Гом,
Е. Н. L е е'ем, научно-исследовательский департамент вооружения
министерства снабжения, отчет по теоретическому исследованию 1/46.

2. ВДАВЛИВАНИЕ КЛИНА
249
Это вместе с линией скольжения AD определяет поле ADE,
которое может быть продолжено вокруг А на любой требуемый угол
(первая краевая задача, особый случай). Линия скольжения АЕ
одновременно с требованием, что АС должна быть свободной
поверхностью, определяет поле АЕС и в данном случае форму АС (обратная
вторая краевая задача). Тогда точка С должна лежать на
первоначально плоской поверхности; это определяет угловое
расстояние 6 поля ADE. Затем мы должны исследовать, удовлетворяются
ли при нашем первоначальном выборе BD граничные условия для
скорости. Вдоль АВ компонент скорости, нормальный к клину,
равен нормальному компоненту скорости проникания; вдоль BDEC
нормальный компонент скорости равен нулю, так как материал
внизу является жестким. Поэтому решение задачи для скорости
может быть начато в ABD (тоетья краевая задача) и распространено
последовательно на ADE и АЕС (первая краевая задача).
Вычисленные скорости элементов на свободной поверхности должны быть
такими, чтобы при непрерывном перемещении поверхности
геометрическое подобие сохранялось. Это — условие, которое контролирует
форму исходной линии скольжения BD. В приведенной диаграмме
кривая, соответствующая свободной поверхности, должна быть
траекторией для элементов поверхности. Следовательно, согласно
толкованию уравнения (1) касательная к любой точке этой кривой должна
проходить через связанный с ней фокус, радиус-вектор которого
равен v. Если пробное решение обладает этим свойством, то
подобие сохоаняется.
Ь. Положение смещенной поверхности. Теперь мы проверим,
что существует возможное решение, когда BD является прямой
и имеет некоторую характерную длину. Тогда смещенная
поверхность АС и линии скольжения в ABD и АЕС являются также
прямыми, в то время как ADE представляет собой поле, состоящее из
радиусов и круговых дуг. При данном выборе длины BD величина ф
угла DAE определяется из условия, что С должно попадать на
первоначальную поверхность. Это так, если высота С относительно В
равна с, т. е. если
АВ cos 6 — AC sin (9 — ф) = ОВ
или
h [cos 6 — sin (6 — 4)1 = с- (2)
Так как v на жестко-пластической границе BDEC равно нулю, то
согласно уравнению Гейрингер для вариации v вдоль прямолинейной
линии р оно равно нулю везде. Отсюда следует, что и на каждой
линии а является постоянным и, следовательно, при краевом условии
на АВ он вообще равен ]/*2 sin 0 (направленная вниз скорость клина
в масштабе с равна единице). Таким образом, в любой момент все
элементы движутся вдоль линий а с той же самой скоростью.

250 ГЛ. VIII. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ (i)
Поэтому поверхность АС смещается в параллельное ей положение,
а новая форма конфигурации может быть сделана геометрически
подобной путем соответствующего выбора длины BD или, что
эквивалентно, положения А. Тогда на приведенной диаграмме
(фиг. 56) все фокусы лежат на круговой дуге НК с угловым
расстоянием (Ь — ф) и радиусом, равным | v\ = У 2 sin 0, где ОН и ОК
Фиг. 56. Приведенная диаграмма и пути элементов при
вдавливании клина.
соответственно параллельны ЕС и BD. Точка И представляет собой
фокус для элементов в АЕС, а К—фокус для элементов в ABD.
Так как отрезок ОК имеет длину, равную y^sinO, и он наклонен
на угол 45° к АВ, то точка К должна лежать на АВ. В области ADE
фокус для элемента, расположенного в Я, есть точка F, где дуга НК
пересекается перпендикуляром, опущенным из О на АР. Теперь мы
видим, что вследствие подобия касательная в любой точке,
расположенной на АС, должна быть направлена к связанному с ней фокусу;
отсюда АС должна проходить через точку Н. Условие этого состоит
в том, что проекция АВ, перпендикулярная к СА, должна быть
равна сумме проекций ОН и ОВ, т. е.
или
АВ cos ф = ОН sin -i я + OB cos (в
h cosф = с [sin 6 -f- cos (6 — ф)].
■»
(3)
Исключение из уравнений (2) и (3) отношения h/c дает зависимость
между <|> и 0:
cos ty
cos (20— ф) =
1 -J- sin •{/
(4)

2. ВДАВЛИВАНИЕ КЛИНА
251
Поскольку при этом решении подобие сохраняется и так как
уравнения для скорости выражают несжимаемость, то отсюда обязательно
следует, что объем материала, вытесняемого выше первоначальной
поверхности, равен объему отпечатка ниже ее. В этом можно
непосредственно удостовериться, замечая, что треугольники ЛОС
и ЛОВ имеют равные стороны (АС = АВ) и равные
перпендикуляры (длиной sin 6) к этим сторонам, опушенные из О; поэтому их
площади равны. Этот же результат получается, если из
обоих треугольников вычесть треугольник AOL, где L — точка
пересечения ОС и АВ.
В этом случае легко показать, что скорость, с которой
производится работа, нигде не является отрицательной. Это будет так
для конечного сдвига элементов, пересекающих жестко-пластическую
границу BDEC, если граница есть линия а. Так как скорость в ABD
и АСЕ постоянна, то в элементах, пересекающих эти площади,
скорость работы равна нулю. Наконец, для элементов в ADE
приходящаяся на единицу объема скорость работы равна величине
1/^2 & sin 6, разделенной на расстояние от А (см. формулу для
скорости деформации сдвига в по-
2,5\
прило-
лярных координатах,
жение II).
Среднее сжимающее
напряжение на свободной
поверхности при сжатии равно /г, и
отсюда по теореме Хенки его
значение на поверхности АВ
клина будет &(1-|-26).
Поэтому давление Р на клин
распределено равномерно и равно
Ш
Я = 2*(1+ф).
(5)
W
_ _ i ______
ж
60°
90*8
tt Фиг. 57. Зависимость между давлением
пагрузка, приходящаяся на еди- и половиной угла при вдавливании клина.
ницу ширины, равна 2Phcosb,
и отсюда работа, затраченная на единицу объема отпечатка, равна
Phcos^fifcslnb. На фиг. 57 представлена зависимость между Р и 6;
сила Р с увеличением угла растет постепенно от 2k до 2&(1 -\-11^)-
Это должно быть сопоставлено с экспериментальными наблюдениями
Бишопа, Хилла и Мотта1) потому, что, когда холоднообработанная
медь вдавливается с помощью смазанного конуса, то среднее
давление сопротивления уменьшается, если конус становится менее острым;
для 6 > 30° уменьшение незначительно и давление имеет
приблизительно постоянное значение, равное 2,3 Y.
1) R. F. Bishop, R. Н111, N. F. М о 11, Proc. Phys. Soc, 1945, т. 57,
стр. 147. См. также R. L' Н е г m i t е, Proc. 7-th Int. Cong. App. Mech., 1948,
London,

252 ГЛ. VIII. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ (l)
Распределение напряжения в жестком материале неизвестно, нонет
причин предполагать, что материал не способен выдерживать
напряжения, найденные вдоль BDEC. При вдавливании твердых
материалов посредством гладкого клина замечалось, что пластическая
область распространяется несколько ниже вершины (больше, если
клин шероховатый или если материал является отожженным), но что
деформации малы; это для нашего гипотетического
жестко-пластического тела соответствует жесткой части пластической области
(заштрихованной схематично на фиг. 55). Настоящее решение будет
продолжено для того, чтобы оно имело силу даже для массы
конечных размеров при условии, что оно будет связано с непластическим
напряженным состоянием в жестком материале. Другими словами,
в приближении, достигнутом с помощью гипотетического материала,
напряженное состояние в пластически деформированной области может
оставаться подобным, если даже масса является конечной, хотя
непластическое распределение напряжений, конечно, подобным не
остается. Однако по мере проникания будет достигнута такая стадия,
в которой возможное напряженное состояние в жестком материале не
может быть найдено; это будет означать, что пластическая
деформация началась где-нибудь в другом месте1).
с. Искажение вокруг отпечатка. Рассмотрение траекторий
на фиг. 56 показывает, что элемент, расположенный первоначально
между OD и ОБ, остается в ABD и, таким образом, после того
как он становится пластическим, всегда движется параллельно BD.
Следовательно, материал, первоначально расположенный в OBD,
в конце концов оказывается в KBD, а его деформация эквивалентна
простому сдвигу параллельно BD. Аналогично, элемент, который
в конечном счете находится внутри ЛЕС, после того как он
становится пластическим, всегда движется параллельно ЕС. Материал,
окончательно располагающийся в области ЛЕС, в действительности
сдвигается параллельно ЕС из первоначального положения JEC,
где J—точка пересечения ОС с прямой, параллельной СЕ и
проходящей через точку А. Деформация материала, первоначально
заключенного в ODEJ, не имеет простых свойств, за
исключением того, что элементы поверхности, первоначально находящиеся
на OJ, в конечном счете находятся в соприкосновении с клином
вдоль КА. Таким образом, часть первоначальной поверхности
втягивается под клин; если клин не свободен от трения, то это
явление усиливается.
1) A. P. Green и автор в отчете Британской научно-исследовательской
ассоциации железа и стали (1949) вычислили критическое проникание, для
которого область пластически деформированного материала
распространяется через всю массу. Если / — толщина массы, то критическое значение
tjh равно (я+ 2)/те «1,64 для р = 0°, 2,08 для р = 30°, 4,34 цляр = 60°
и 8,75 для р =s 90° (как для плоского штампа).

2, ВДАВЛИВАНИЕ КЛИНА
25ft
Вычисление искажения квадратной сетки наиболее удобно
проводить на приведенной диаграмме. Задача состоит в нахождении
окончательного положения углов квадрата, первоначальное положение
которых для случая, когда проникание равно с, определяется
радиусом г0. Допустим, что при проникании, равном с0«с),
пластическая граница сперва достигает угла, и пусть р0 = /-0/с0 будет
положение соответствующей точки на приведенной диаграмме. Эта
точка впоследствии движется вдоль траектории, проходящей через р0.
Эту траекторию еще следует вычислить. Пусть 5 — дополнительное
расстояние, пересекаемое точкой, когда проникание увеличивается
до с, и пусть f(s) — соответствующее фокусное расстояние. Тогда
из (1) имеем:
8
«П- = \^г. (6)
о
Это выражение определяет 5 в зависимости от с и, следовательно»
вектор положения г = ср. Этот интеграл в области ADE должен быть
вычислен численно, но в областях KBD и ЛЕС (6) он упрощается
следующим образом:
с __ d
cQ d— s '
где f(s) = d—$, a d — соответственно расстояние от р0 фокуса К
или Н. На фиг. 58 приведено вычисленное искажение для клина
I 1 * I 1 } | 1—^—I • 11 \ )
Фиг. 58. Искажение квадратной сетки при вдавливании клина.
с полным углом, равным 60°. Согласие с экспериментом является
удивительно близким1). Ходж2) нашел, что хорошее приближение
к искажению получается при формальной замене области ADE
произвольно малым числом разрывов напряжений поперек некоторых
!) Фотографии искаженных сеток на свинце см. в статье R. Hill,
Е. Н. Lee, S. J. Tupper, Proc. Roy. Soc. Series A, 1947, т. 188, стр.273.
2) P. G. Hodge, Jr., Graduate Division of App. Math., Brown
University, Tech. Rep. 30, 1949.

254 ГЛ. VIII. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ (l)
радиусов, проходящих через А\ принимается, что материал между
двумя смежными разрывами двигается как жесткое тело. Как можно
было ожидать, этот метод непригоден там, где большая часть
пластического материала фактически деформируется и где, не считая
жестко-пластической границы, не имеется зон сильного сдвига
(например, при сжатии массы между шероховатыми плитами).
d. Влияние трения и упрочнения. Решение в случае, когда
клин является шероховатым (трение скольжения), отличается только
тем, что линии скольжения не подходят к поверхности под углом 45°.
Смещенная поверхность АС является по-прежнему прямой, хотя
и наклоненной на меньший угол, а давление на клин является
равномерно распределенным. Для достаточно тупого клина и достаточно
большого коэффициента трения теория указывает, что конец штампа
закрывается клинообразной шапкой мертвого металла с углом,
равным 90°.
Влияние упрочнения и упругой сжимаемости может быть
оценено только качественно. Полезно отчетливо представлять себе
действительный способ деформации как компромисс между двумя
крайними возможностями. Если перемещенный материал был размещен
вследствие работы деформации, соответствующей пределу упругости
объема образца, то пластические деформации были бы относительно
малы и распространялись по большой площади. Если, с другой
стороны, материал был бы смещен вбок, то деформации были бы
относительно велики. Тогда для отожженного металла упрочнение,
которое будет сопровождать второй вид деформации, настолько
велико, что первая форма возникает при меньшей нагрузке и
получается обычный отпечаток при вдавливании. Для сильно
предварительно деформированного металла дополнительное упрочнение
незначительно, и нагрузка, необходимая для осуществления второго вида
деформации, достигается прежде нагрузки, необходимой для
преодоления упругого сопротивления в первом случае. При вдавливании
со смазкой предварительно деформированного металла всегда
выделяется гребень или венец.
3. Сжатие клина плоским штампом1)
Вершина О бесконечного клина (с полным углом 20)
симметрично сжата гладким плоским штампом (фиг. 59). Пусть АА—линия
контакта в любой момент между штампом и сплющенным клином
и пусть длина ОБ принимается в качестве шкалы времени С.
Поступая так же, как в последнем разделе, мы можем показать, что
имеется возможная пластическая область, сохраняющая подобие, когда
перемещенные поверхности АС суть прямые. Поле линий
скольжения, показанное на фиг. 59, не требует объяснений; очевидно, что
1) R. Hill, Proc. 7-th Int. Cong. App. Mech., 1948, London.

3. СЖАТИЕ КЛИНА ПЛОСКИМ ШТАМПОМ
255
вдоль линии скольжения, параллельной жестко-пластической
границе BDECy элементы двигаются с постоянной скоростью, равной У 2.
Если AB = AC~h, а угол DAE = ty, то требование о том, что С
первоначальной поверхности, удовлетворяется,
должно лежать на
когда
или
АВ +AC sin <\> _
ОВ +AC cosb ~~
tgO,
h (1 + sin 6) = tg О (с + h cos ф). (7)
Фокус лежит на круговой дуге НК с угловым расстоянием 6 и
радиусом, равным У"2, причем O/f и О/С соответственно параллельны
ЕС и BD (мы можем, не внося путаницы, рассматривать правую
половину фиг. 59 или как приведенную диаграмму, или как действи-
Фиг. 59. Поле линий скольжения и деформация клина,
сжатого гладким плоским штампом.
тельную конфигурацию). Так как ОК наклонен под углом 45° к ВА,
то точка К должна быть расположена на плоской поверхности.
Для геометрического подобия точка Н должна лежать на
продолжении СА\ это требует, чтобы проекция АВ, перпендикулярная к СЛ,
была бы равна сумме проекций ОН и ОВУ т. е.
ABcos^ = ОН sin -jk~\~OB sin 6
или
h cos ty = с (1 -f- sin ^).
Разрешая уравнения (7) и (8)» найдем:
tg9= (1 + sin 6)3 . h _ 1 + sin «j,
^ cos ф (2 -J- sin <j0' c cos ^
Давление на клин равно
Я=2А(1+*).
(8)
(9)
(10)

256 ГЛ. VIII. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ (l)
А
2
J
В то время как угол клина уменьшается, ф также уменьшаете!
и в конечном счете, когда tg 0 ===== 1/2 или 6~26,6°, он становитш
равным нулю. Тогда поверхности перемещенного материала будут
вертикальными, а давление Р будет точно равно пределу текучести
при сжатии в случае плоской деформации (фиг. 60). Вид
деформации для еще более узкого клина
неизвестен.
Используя соображения
последнего раздела, можно доказать, что
треугольник KBD в
действительности из своего начального
положения OBD сдвигается
параллельно BD и что треугольник ЛЕС
сдвинут из JEC, где J—точка
пересечения ОС и прямой, параллельной СЕ
и проходящей через точку Л.
Отрезок OJ первоначальной
поверхности в конце концов находится
в соприкосновении со штампом КА*
Имеется, однако, другая
аналитически возможная конфигурация,
удовлетворяющая всем граничным условиям для напряжений и
скоростей. Перемещенная поверхность попрежнему является
прямолинейной, но линия скольжения, идущая из С, проходит не через
среднюю точку В штампа, а через противоположный угол Л
поверхности контакта. Штамп увлекает за собой вниз постепенно
увеличивающуюся клинообразную шапку мертвого металла с углом,
равным 90°. Давление и нагрузка на штамп для этой второй
конфигурации являются большими, чем в первой. Читатель в состоянии
без труда доказать, что
О
\
<
8
Ni
30
60
30 В"
Фиг. 60. Зависимость между
давлением и половиной угла при
сжатии клина штампом.
tg6
__ (1+2 sin б)2
1 + 2 sin ф
2 cos Ф
(ii)
4 cos ф (1 + sin ф) ? с
Можно считать доказанным, что при соответствующем
видоизменении формы вершины клина обе конфигурации могут быть получены
на практике. Эта задача служит примером предыдущего
утверждения, что конечное установившееся состояние может зависеть от
начальных условий.
4. Расширение полуцилиндрической полости в поверхности г)
Полуцилиндрическая полость с текущим радиусом с при
надлежащим образом распределенном нормальном давлении расширяется
от точки на плоской поверхности бесконечной массы материала.
*) R. Hil 1, цит. выше, стр. 254.

4. РАСШИРЕНИЕ ПОЛУЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ В ПОВЕРХНОСТИ 257
На фиг. 61 ВЕВ — поверхность полости, a ABC — венец.
Предполагается, что отпечаток возникает в точке О и что давление
прикладывается только по ВЕВ, а не по АВ. Так как геометрическое
подобие в период образования полости сохраняется, то процесс не
представляет собой аналогии испытания на твердость вдавливанием
шарика в случае плоской задачи.
Исследуем, существует ли возможный вид деформации, в
котором жестко-пластическая граница EDC проходит через наиболее
низкую точку Е отпечатка. Так как согласно гипотезе по
поверхности полости нет касательных напряжений, то линии скольжения
Фиг. 61. Поле линий скольжения и деформация вокруг
полуцилиндрической полости, расширяющейся в
плоской поверхности.
подходят к ней под углом 45°. BD есть наиболее удобная
исходная линия скольжения; когда ее положение выбрано, то поле BED
однозначно определено (третья краевая задача). Тогда, поскольку
поверхность венца свободна от приложенных сил, то элементы
в части по крайней мере венца должны разгружаться от их
предшествующего пластического состояния. Эта часть венца движется
как жесткое тело и переносится наружу на пластический слой ниже;
более того, она должна быть отделена от пластически
деформированного материала линией скольжения.
Естественная гипотеза, которую мы должны проверить,
заключается в том, что BD есть линия скольжения. Тогда отсюда
следует, что линия скольжения CD является прямой, так как венец
движется как жесткое тело. Теперь рассмотрим равновесие ABCD
при напряжениях, действующих на BD и CD. Согласно теореме
Хенки нормальное давление вдоль CD является постоянным и равно,
скажем, /?0. Распределение нормального давления вдоль BD
фиксируется в зависимости от р0, а форма 3D определяется согласно
той же теореме. Касательное напряжение во всех точках на BD
и CD, конечно, равно k\ его знак будет таким, что CD представляет
собой линию скольжения. При небольшом экспериментировании
читатель скоро убедится сам, что, когда BD является прямой,
а р0 = &, ABCD может быть в равновесии только при этом распре-
17 Зак. 1438. Р. Хилл

258 ГЛ. VIII. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ (i)
делении сил. Тогда все линии (3 в области BDE— прямые, а линии а
являются эволютами круга с центром О и радиусом, равным c/Y%
(сравни фиг. 24). Используя свойство, что линии р могут быть
образованы путем разматывания туго натянутой нити по развертке круга,
мы видим (поскольку в пределах углового расстояния 1/2тг линии а
между Е н В являются касательными к развертке), что BD имеег
длину, равную ^/2^2. Если 0 — угловая координата точки на
поверхности полости, измеряемая вокруг О от горизонтали, то угол
поворота при переходе от BD вдоль линии а к точкам поверхности
равен 0. Согласно теореме Хенки среднее сжимающее напряжение на
поверхности равно £(1+2 0),
а необходимое нормальное
давление будет 2k(l~\~b)t
Средняя работа, потребная для
образования единицы объема
полости, равна 2k (\ +1/4/я).
Мы должны еще проверить
гипотезу о том, что BD
представляет собой основание
жесткого венца. Это будет верно,
если деформация материала
ниже BD совместима с
движением венца как жесткого тела,
т. е., если нормальный
компонент скорости на BD является
постоянным. Тогда согласно
одному из уравнений Гейрингер
на каждой прямой линии [3
компонент скорости v является
постоянным и поэтому он вообще равен нулю, так как он равен нулю
на жестко-пластической границе BE. Отсюда согласно второму
уравнению Гейрингер компонент а вдоль каждой линии а является
постоянным. Но так как полость расширяется радиально со
скоростью, равной единице, то на BE и равно У 2, Поэтому
скорость всех элементов в BDE одна и та же, а венец скользит наружу
вдоль DC со скоростью У 2. Между прочим, отметим, что
скорость работы, приходящейся на единицу объема, является
положительной; она равна произведению у 2k на местную кривизну
линии а.
Наконец, для того чтобы сохранялось подобие, мы должны
соответствующим образом определить форму венца. На приведенной
диаграмме (фиг. 62) фокусы расположены на круговой дуге Az,
радиус которой равен У 2, а угловое расстояние —1/2^; фокус
элементов в ABCD есть точка А этой дуги такая, что ОА парал-
Фиг. 62. Приведенная диаграмма и пути
элементов для полуцилиндрической
полости, расширяющейся в плоской
поверхности.

4. РАСШИРЕНИЕ ПОЛУЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ В ПОВЕРХНОСТИ 259
лельна DC и, таким образом, наклонена к горизонтали под углом 45°.
Требование о том, чтобы пути элементов в венце были направлены
к их общему фокусу Л, обусловливает, чтобы поверхности венца
были плоскими и чтобы точка А была вершиной. Длина АВ равна с,
а длина ВС равна л1%ъс (так как BD = ~cj2 У2). Следовательно,
площадь треугольника ABC составляет 114^с1\ это равно половине
площади поперечного сечения полости, как это, естественно, должно
быть, поскольку непрерывность подобия означает, что полость
расширялась от точки.
Чтобы построить фокус F точки Р в BDE, линию скольжения PQ
продолжаем до соприкосновения с разверткой круга в Г;
продолжение радиуса ОТ пересекает фокальная окружность в требуемой
Фиг. 63. Искажение квадратной сетки вблизи полуцилиндрической
полости, расширяющейся в плоской поверхности.
точке F. Очевидно, что QF представляет собой касательную к
поверхности полости и что она имеет длину, равную единице. Точка F
является фокусом для всех точек на прямой линии скольжения,
проходящей через Q. Если (р, 0) — полярные координаты по отношению
к О и горизонтали, то уравнение траектории в BDE таково:
db _ V^ZTf ([2)
d? p(p*-l) ' V '
Если ^ — длина дуги пути, измеренная от ее пересечения с DE, то
ds = V dr*-*c?d№= ^у.
Из фиг. 62 будет видно, что фокальное расстояние f(s) равно р,
и, таким образом, из (6)
с0 J f[s)- J pa—1 2Ш Ра-1 '
О Ро
17*

260 ГЛ. VIII. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ (i)
где р0 — длина радиуса до точки, где траектория пересекает DE.
Поэтому
-cl (13)
г, 2
с (р -
1) = 4(ро— !) = /•<)-
Чтобы найти конечные координаты (р, 6) (когда радиус полости
равен с) точки, настигаемой пластической границей, с прежними
координатами (р0, б0), мы сперва вычислим из (12) соответствующую
траекторию В (р). Из (13) мы получим р и, следовательно, 6.
Конечное положение в действительном пространстве есть (г, 6) или (ср, 0).
Этим способом была вычислена деформация квадратной сетки (фиг. 63).
Поверхность полости образуется из элементов, первоначально
расположенных по вертикали ниже точки О; видно, что эти элементы
подвержены особенно сильному искажению. Отметим также, что
часть венца деформируется при простом сдвиге. Рассмотрение
приведенной диаграммы показывает, что элементы, которые
пересекают CD, всегда остаются в жесткой области OCD и,
следовательно, пока пересечение CD остается неизменным, получается
конечный сдвиг. Поэтому треугольник OCD сдвигается параллельно CD
в свое конечное положение ACD.
б. Сжатие массы между шероховатыми плитами
а. Основные предположения. Прямоугольная масса
жестко-пластического материала сжата между жесткими параллельными плита-
, ми, которые
предполагаются настолько
шероховатыми, что при этом всюду,
где относительное
перемещение превосходит по
величине порядок упругого
перемещения, возникает
максимально возможное
напряжение трения, а именно, предел
текучести при сдвиге. Для
начала допустим, что
масса шире, чем плиты (фиг.
64, а). В этой задаче
подобие не сохраняется и
поэтому мы должны с
самого начала следить за
прогрессивным изменением
конфигурации.
При первом приложении
нагрузки у острых краев
плит возникают пластические зоны и распространяются внутрь. В
упруго-пластическом материале направление распространения и форма
пластической границы обусловлены напряжениями трения, возникаю-
4
!
2>У
i
7^Z^L22LLlJ^a^rr2^nrTT7yrrTTTTr7T
-Zw-
aj
W"(%)
b)
Фиг. 64. Сжатие прямоугольной массы
параллельными плитами; показаны а)
первоначальная форма и Ь) форма в процессе
сжатия.

5. СЖАТИЕ МАССЫ МЕЖДУ ШЕРОХОВАТЫМИ ПЛИТАМИ 261
щими благодаря относительным перемещениям порядка упругих
значений. Зависимость между трением и величиной сдвига в этой области
должна очень сильно зависеть от особенностей металлов массы и плит,
а также от определенного состояния поверхностей контакта. Однако
эксперименты с искусственно шероховатыми плитами для ряда
материалов и свойств трения указывают, что пластические зоны,
распространяющиеся внутрь влево и вправо, постоянно встречаются
сперва в геометрическом центре массы. Никакого теоретического
исследования проведено не было и, в сущности, не имеется ничего
существенного для полезного анализа последующей деформации.
В качестве нашей исходной точки зрения мы примем
экспериментальные наблюдения и допустим, что пластическая область
развивается таким путем, что на некоторой длине вблизи центра
непластическая область остается в соприкосновении с каждой плитой.
0 Наш идеализированный материал является жестким, когда он
напряжен ниже предела текучести, при этом плиты не могут двигаться
вместе с ним, поскольку оставшаяся непластическая полоса конечной
ширины охватывает массу. Даже когда пластические зоны сливаются,
то сжатие может быть еще невозможным. Кроме того, необходимо,
чтобы линии скольжения, проходящие через центр, были бы всецело
заключены внутри пластической зоны, вплоть до их соединения с
плитами. Поскольку эти линии скольжения пересекают непластические
области, то никакая деформация, совместная с уравнениями Гейрингер,
невозможна и масса остается жесткой. Мы можем законно и удобно
связывать момент, когда плиты впервые начинают сближаться одна с
другой, с пределом текучести массы как целого, а
соответствующую нагрузку на плиты — с предельной нагрузкой.
Упруго-пластическая масса неизбежно сжимается при любой
нагрузке, даже незначительной; тем не менее, когда упрочнение
отсутствует, то в кривой зависимости нагрузки от величины сжатия
имеется резко выраженный перегиб, характеризующий начало больших
пластических деформаций. Интервал нагружения, соответствующий
изгибу, является узким и хорошо определенным, а средняя нагрузка
в этом интервале должна близко аппроксимировать предельную
нагрузку жестко-пластической массы. При более низких нагрузках
величина сжатия ограничивается благодаря упругому сопротивлению
непластической полосы, а все пластические деформации имеют
порядок упругих. Перегиб является более закругленным и менее
определенным, когда материал упрочняется более быстро. Если материал
полностью отожжен, то, в общем, невозможно определить нагрузку,
которая может быть сравнимой со значением, вычисленным из теории.
Пластическая деформация также ограничивается благодаря
выступам, часть которых должна быть непластической, поскольку
поверхности свободны от напряжений. Так как мы должны сформулировать
гипотезу относительно развития пластической области в одном
направлении, то мы не можем уклониться от создания другой гипо-

262 ГЛ. VIII. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ (i)
тезы в связи с развитием области в противоположном направлении.
Эксперименты1) подсказывают, что выступ, даже если он частично
пластический, распирается в сторону как жесткое целое. Отсюда
следует, что внешняя жестко-пластическая граница должна проходить
через края О плит (фиг. 65), пересекая горизонтальную ось
симметрии в точке А под углом 45°.
Фиг. 65. Поле линий скольжения и пластическая область
в массе, сжатой между идеально шероховатыми плитами;
одновременно приведено сравнение действительного
распределения давления с распределением давления,
указанным Прандтлем.
Ь. Предельная нагрузка^). Рассмотрим теперь поле линий
скольжения в верхнем левом квадранте (фиг. 65). Линия ОЛ представляет
собой удобную исходную линию скольжения, от которой строится
поле; в качестве наиболее простого пробного предположения
допустим, что она является прямой. Так как точка О должна быть
особой точкой для напряжений, то вокруг О может простираться поле,
состоящее из радиусов и концентрических дуг. Тогда одно семейство
линий скольжения пересекает плиту ортогонально, поскольку
напряжение трения равно k\ следовательно (третья краевая задача), это
радиальное поле может быть продолжено до горизонтали,
проходящей через О, при этом конечная линия скольжения ОВ полностью
совпадает с поверхностью. Дуга АВ и ее отражение относительно
оси симметрии определяют поле ABC (как на фиг. 31). Поле BCD
!) J. F. N у е, Научно-исследовательский департамент вооружения
министерства снабжения, отчет 39/47.
2) R. H i 11, Е. Н. L e e, S. J. T u р р е г, Научно-исследовательский
департамент вооружения министерства снабжения, отчет по теоретическому
исследованию 28/45. Более короткий отчет см. у R. Н i 1 Га, Е. Н. L е е,
Ргос. 6-th Int. Cong. App. Mech. Paris, 1946; R. Hill, E. H. L e e, St J, Tu p-
per, Journ. App. Mech., 1951, т. 18, стр. 46?

5. СЖАТИЕ МАССЫ МЕЖДУ ШЕРОХОВАТЫМИ ПЛИТАМИ 263
определяется с помощью линии скольжения ВС и граничного условия
на плите; линии скольжения одного семейства являются касательными
к плите, которая поэтому оказывается естественной границей
решения (разд. 4, Ь главы VI). Построение поля продолжается подобным
образом вдоль линии скольжения, проходящей через центр массы.
Клинообразная область, заключенная между этой линией скольжения
и ее двойником в правом квадранте, согласно гипотезе является
жесткой; граница пластической области указана схематично пунктирной
кривой. Жесткий клин движется вместе с плитой, вызывая потерю
материала в пластической области; таким образом, он продолжает
сохранять точечный,контакт со своим двойником.
В части поля, смежного с клином, в целях получения решения
для скорости в распоряжении имеются два граничных условия; они
таковы, что компонент скорости, нормальный к горизонтальной оси,
равен нулю и что компонент скорости, нормальный к границе
клина, равен компоненту скорости клина в этом направлении. Если
плита движется с единичной скоростью, то, очевидно, вдоль границы
клина имеется разрыв тангенциальной скорости, равный "[/ 2; его знак
требует, чтобы граница представляла собой линию а. Разрыв не
распространяется дальше, так как граница соприкасается с плитой по
касательной. Решение может быть систематически продолжено вдоль
круговой дуги ЛВ. Так как нормальный компонент скорости на линии
скольжения ОВ является постоянным, он постоянен на ОА, какое бы
распределение скорости на ЛВ ни было. Поэтому искажение
совместимо с перемещениями выступов как жесткого тела; это
подтверждает первоначальный выбор формы О А. Разрыва скорости поперек О А
не существует.
Рассмотрение равновесия выступа показывает, что среднее
сжимающее напряжение вдоль ОА должно быть равно величине k.
Согласно теореме Хенки среднее сжимающее напряжение на ОВ
равно £(1-Ь Vs^); эта величина представляет собой также значение
нормального давления, действующего на плиту. Поле линий
скольжения вдоль линии скольжения DE вычислено по методу (/?, S)
(разд. 5, а главы VI). Точка Е совпадает с центром массы, когда
отношение ширины к высоте равно приблизительно 6,72. На фиг. 65
сплошной кривой представлено соответствующее распределение
давления на плиту. Так как мы не знаем напряженного состояния
внутри жесткого клина, то мы можем только вычислить среднее
давление между плитой и клином; оно получается путем
интегрирования найденных компонентов напряжения, действующих на DE
(нагрузка, приходящаяся на этот отрезок плиты, меньше, чем она
была бы, если бы пластическая область распространялась дальше
вправо, так как в таком случае имеется дополнительное,
направленное вверх боковое усилие от касательных напряжений, действующих
по вертикальному сечению, проходящему через Е). Отсекая поле
линий скольжения при различных точках между С и Я, мы можем

264 ГЛ. VIII. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ (l)
получить из того же решения распределение давления для любой
массы с отношением ширины к высоте, находящимся между 3,64
и 6,72. Вычислено, что среднее давление Р на пластину в
предельном состоянии, зависящее от этого отношения, очень близко следует
уравнению
Р 3 , w (w ^ * \ ,. л.
где 2w— ширина массы, a 2/t — высота ее. Эксперименты1) с
теллуровым свинцом (0,05% теллура) подтверждают эту зависимость
в диапазоне деформаций, для которого скорость упрочнения мала
(&~1,3-108 дин/см2 после приблизительно 30% предварительной
деформации сжатия).
Когда w\h меньше 3,64, но больше единицы, имеется решение,
в котором жесткий клин простирается по всей плите (фиг. 66); пла-
Фиг. 66. Поле линий скольжения и
пластическая область в массе, сжатой между
шероховатыми плитами, когда ширина плиты
составляет от \ до 3,64 высоты массы.
стическая область совместима с перемещениями выступа как
жесткого тела, так как компонент скорости, нормальный к ОВ, лопреж-
нему является постоянным. С уверенностью нельзя сказать, для
какого диапазона условий трения это решение применимо, хотя
подобные зоны сильного сдвига, исходящего от краев плит, часто
наблюдались2). Относительно поля линий скольжения и связанного
с ним распределения скорости, когда w/h меньше единицы, смотри
главу IX (разд. 5, с).
с Искажение массы после конечного сэюатия. Очевидно,
поскольку выступы остаются жесткими, то настоящее решение верно
независимо от величины сжатия. Когда сжатие продолжается, мы
в действительности имеем дело с серией брусков с увеличивающимся
1) J. F. N у е, цит. выше, стр. 262.
2) См., например, А. N a d a i, Plasticity, N. Y., McGraw-Hill Book Co.,
1931, гл. 17; русский перевод: А. Н а д а и, Пластичность, М. — Л., ОНТИ,
1936, гл. 17.

5. СЖАТИЕ МАССЫ МЕЖДУ ШЕРОХОВАТЫМИ ПЛИТАМИ 265
отношением ширины к высоте. Никаких вычислений искажения
квадратной сетки после конечного сжатия произведено не было, за
исключением лишь перемещений при бесконечно малом сжатии
за пределом текучести*). Найдено, что по каждому вертикальному
сечению горизонтальный компонент скорости постепенно
увеличивается от плиты до оси симметрии. Следовательно, вертикальная
линия деформируется в кривую, которая является выпуклой к краю
массы. Конечная величина, полученная при обсчете решения для
скорости, есть внешняя скорость выступа; она может быть сравнена
с точным значением, которое, поскольку материал несжимаем,
в w/h раз больше скорости плит. Было найдено1), что
результирующая ошибка после первого вычисления 5° сетки у Е согласно
методу (R, S), а также вычисления компонентов скорости от Е
наружу согласно уравнениям раздела 6, а главы VI равна лишь 0,2%.
Уравнение контура материала, сдавленного между плитами,
находится легко. Пусть (х, у)— система осей, выбранная так, что ось х
совпадает с горизонтальной осью симметрии, а ось у проходит через
левый край плиты (фиг. 64, £). Пусть 2t — толщина выступа на
расстоянии z от плоскости х = 0. При дополнительном приращении
сжатия выступ выдвигается на расстояние — wdh/h. Поэтому
касательная к поверхности- на краю плиты направлена по диагонали
массы. Это верно во все время сжатия и, следовательно,
4^ = — или t = he^w. (15)
dz w ч ;
Поэтому полное расстояние, на которое выступ перемещается, равно
wln(Hlh), где 2# — первоначальная высота массы.
d. Сжатие между частично шероховатыми плитами. Для
простоты допустим, что условия трения такие, что касательное
напряжение на плитах имеет некоторое постоянное значение, меньшее k.
Тогда линии скольжения пересекают плиты под некоторыми
постоянными углами (если бы коэффициент трения был постоянным, то угол
пересечения изменялся бы в зависимости от нормального давления
вдоль плиты). Читатель не встретит затруднения в построении поля,
аналогичного полю фиг. 65, допуская, что линии скольжения,
проходящие через края плит, суть прямые. Однако это не может
соответствовать точному решению для всех отношений ширины к высоте,
так как разрывы скоростей, возникающие в центре массы, теперь
распространяются последовательным отражением от плит вниз по всей
длине массы. Легко показать, что величина разрыва умножается при
каждом отражении на коэффициент tg6, где Ь(^114т:)— угол, при
котором линия а соприкасается с плитой; поэтому разрыв
прогрессивно уменьшается (если плита не является гладкой), но никогда
1) R. H i 11, E. H, L e e, S. J. Т ц р р е г, цит. выше, стр. 262,

266 ГЛ. VIII. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ (i)
не становится равным нулю. Когда размеры массы таковы, что
разрывы кончаются в краях плиты, то поле оказывается верным. Для
всех других размеров разрывы оканчиваются на выходной линии
скольжения; это несовместимо с движением выступа как жесткого
тела. Точное решение задачи неизвестно; это положение аналогично
отмеченному при обсуждении волочения полосы (разд. 2, а главы VII).
В частности, когда трения по плитам нет, то решение теряет силу,
если отношение ширины к высоте не является целым числом; тогда
масса деформируется на мгновение как большое количество
независимых жестких элементов, которые скользят вдоль перекрещивающихся
линий скольжения. Когда выступа нет, то масса, сжатая между
плитами, свободными от трения, деформируется равномерно.
е. Циклоидальное решение Прандтля. Когда ширина массы очень
велика по сравнению с высотой, то можно ожидать, что с
увеличением расстояния от края поле линий скольжения становится более
равномерным и что в пределе линии скольжения каждого семейства
являются параллельными кривыми. В действительности было
показано1), что такая предельная конфигурация достигается, однако,
неравномерно, но квазиколебательным путем, типичным для
гиперболических дифференциальных уравнений.
Чтобы найти это предельное поле, проще всего вернуться к
декартовой форме основных уравнений (разд. 2, главы VI). Пусть
оси направлены, как на фиг. 64, Ь\ если наклон линий скольжения
от х не зависит, то от х не зависят также и ах — а^, и хху (сравни
с уравнением (11) главы VI). Таким образом, мы можем написать:
где f(y) подлежит определению. Подстановка хху и^в уравнение
равновесия дает:
Эти уравнения совместны, если только
f(y) = ay + b, ьу = — k {ax + c),
где a, b и с — константы. Граничные условия будут та,у==0>
когда у = 0, и ixy = mk, когда j/ = /г, где 0 <; т < 1 (т = 1 для
идеально шероховатых пластин). Следовательно, а = m/h, J = 0 и
^ + 2|/ 1 —
k * h ' \ х №
iy тх
Т^~~С /Г'
ху _ тУ
(16)
1) R. Hill, E. H. Lee, S, J. T u р р е г, цит. выше, стр, 262,

5. СЖАТИЕ МАССЫ МЕЖДУ ШЕРОХОВАТЫМИ ПЛИТАМИ 267
Этими уравнениями мы обязаны Прандтлю *). Можно показать, что
линии скольжения являются циклоидами с наклоном
f\±(my!h)
У 1 =р (my/h)
и радиусом кривизны
Проекция на ось х их длин от плиты до плиты равна тг/г, они
делятся осью х в отношении (1/2ъ-{- 1) : (V2^—1).
Так как левый край массы свободен от напряжений, то
результирующее горизонтальное усилие, действующее на вертикальное
поперечное сечение, должно уравновешиваться сопротивлением
трения, оказываемого плитам. Отсюда
h
Г axdy = — mkx.
о
Это требует, чтобы
arcsinm . лг\ „ /|„ч
с^ г-У1—т • (17)
т l г ч }
Отметим, что ck было бы равно значению давления на краю плиты
(л: —0), если это решение распространялось бы так далеко, т. е.
если бы по краю массы было бы приложено такое распределение
внешних напряжений, которое требуется согласно уравнению (16).
На фиг. 64 решение Прандтля для т = 1 (с = 1/2к) сравнивается
с точным решением. Видно, что решение Прандтля представляет
собой очень хорошее приближение, выравниваясь на расстоянии h
от края; точное распределение давления колеблется около
распределения Прандтля, причем амплитуда, повидимому, постепенно
уменьшается. Этот результат может быть рассмотрен в качестве
аналогии для пластической задачи известного в теории упругости
принципа Сен-Венана.
Если мы считаем поле Прандтля применимым (с незначительной
ошибкой) в центральной части достаточно широкой массы, то
жесткий клин ограничен циклоидами. Соответствующее распределение
скорости в области, близкой к центру, когда /гс=1, построенное,
как объяснено в (6), было вычислено Гейрингер 2), при этом был
использован метод функции Грина (уравнение (30) главы VI). Можно
ожидать, что, когда скорость деформации является не зависящей
от Ху предельное распределение скорости будет достигаться на
1) L. Prandti, Zeits. ang. Math. Mech., 1923, т, З, стр. 401.
2) H. Geiringer, Ргос. 3-rd Int. Cong. App. Mech. Stockholm, 1930,
T. 2, стр. 185; Mem. Sci. Math., 1937, т, 86,

268 ГЛ. VIII. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ (i)
достаточно большом расстоянии от центра (разрыв скорости
уменьшается в незначительном отношении). Это не было исследовано; тем
не менее имеется возможное предельное распределение скорости,
которое в декартовых координатах имеет вид
где U — скорость плит. Эти выражения даны Надаи х); можно
проверить, что они удовлетворяют уравнениям (4) и (7) главы VI.
Вблизи центра они неверны, так как они несовместимы с движением
клина как жесткого тела. Так как скорость работы положительна,
то радикал в уравнениях (16) и (18) должен быть взят с
положительным знаком. Параметр С должен быть определен из условия,
что количество материала, протекающее в горизонтальном
направлении через вертикальное сечение, равно расходу материала,
смещаемого плитами вправо. Это требует, чтобы
ъ
— | udy = (w — x)U
о
или
С = -^ + Н^ + ±/Г^Р. (19)
Из (18) очевидно, что элемент всегда остается на том же
относительном расстоянии от плит к оси, поскольку
d / у \ 1 dy у dh ui yU a
~dt\h)~li~di ^¥"1 ' "Ж ~~
Таким образом, равно расположенные горизонтальные линии остаются
эквидистантными. Рассмотрим теперь горизонтальное перемещение
элемента, для которого yjh имеет постоянное значение т]. Пусть г
в любой момент означает расстояние, при котором впереди
поверхности имеется элемент, который первоначально был расположен
в том же самом вертикальном сечении. Тогда из (18) имеем:
Интегрируя, получим:
•т*
или
т2у2
[в£*+/т=
т?
№
= 1.
l) A. Nad а* (неопубликованная работа).

5. СЖАТИЕ МА<~СЫ МЕЖДУ ШЕРОХОВАТЫМИ ПЛИТАМИ 269
Это — уравнение кривой, в которую искажается первоначально
вертикальная линия. Это — отрезок эллипса, наибольшая полуось
которого равна /г/т, а наименьшая полуось — (Я'2—h'2)/mh. Когда
плиты являются идеально шероховатыми (т = 1), то эллипс на
концах своей наибольшей оси является касательным к поверхности.
При этих условиях вычисленная кривая находится в хорошем
согласии с кривой, наблюдаемой, когда скорость упрочнения невелика 2).
Когда плиты частично шероховаты, то очевидно, что деформация
бруска может быть отчетливо себе представлена, как будто он
является частью большего бруска, первоначальная высота которого
равна Н/т.
/. Решение в случае, когда платы перекрывают массу. Поле
фиг. 65, подчиненное аналогичным условиям, касающимся
предшествующего развития пластической области, является также
верным в предельном состоянии прямоугольной массы, сжатой между
идеально шероховатыми плитами, перекрывающими массу. Область
слева от ОА, представляющая собой прямоугольный треугольник,
подвержена чистому сжатию и, несмотря на то, что она совершенно
пластична, перемещается наружу как жесткое целое. Поэтому
решение продолжает сохранять силу в течение всего последующего
сжатия2), так что до некоторой степени удивительно, что нет
бочкообразования. Можно видеть, что элементы на свободной
поверхности постепенно двигаются вокруг углов поверхностей в месте
касания с плитами. Поле линий скольжения для этой задачи было
впервые дано (качественно) Прандтлем 3), одиако он не знал, что
связанное с ним решение для скорости таково, что плоские края
остаются плоскими.
Если край первоначально является вогнутым, то поле будет
другим. Предполагая, что край является пластическим, найдем, что
решение определяется в области, ограниченной двумя линиями
скольжения, идущими из углов и составляющими с краем угол 45°
(вторая краевая задача). Каждая из этих линий скольжения и
особенность в соответствующих углах определяют область вдоль
(кривой) линии скольжения, которая является касательной к плите.
Построение поля продолжается обычным путем вдоль границы
жесткого центрального клина. Граничные условия для скорости не
налагают никаких ограничений на поле, поскольку край массы
является пластическим (необходимо, конечно, чтобы скорость работы
была бы всюду положительной). В течение последующего сжатия
форма края и с ним поле линий скольжения прогрессивно
изменяются. Если, с другой стороны, край является первоначально
*) J. F. Nye, цит. выше, стр. 262.
2) R. Hill, Диссертация, Cambridge, 1948, стр. 138, изданная Научно-
исследовательским институтом вооружения министерства снабжения как
отчет 1/48.
3) L. Prandtl, ZeiL ang. Math. Mech., 1923, т. З, стр. 401.

270 ГЛ. V11I. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ (l)
выпуклым, то смежная часть массы, повидимому, смещается как
жесткое целое, так что исходная линия скольжения является
прямой, как и на фиг. 65. Поэтому одно и то же поле верно в
течение всего сжатия.
Теперь допустим, что плиты являются шероховатыми только
частично. Если край первоначально является вогнутым или прямым,
то «естественное» поле оказывается верным. Когда разрывы ско1
рости не ограничиваются углами, они автоматически
приспосабливаются вдоль пластического края, форма которого вследствие
этого изменяется. Если край остается пластическим, то аналогичное
поле продолжает сохранять силу в течение последующего сжатия.
Если край первоначально был выпуклым, то решение справедливо
только, если размеры массы таковы, что разрывы оканчиваются
в углах. Соколовский *) вычислил распределение давления на плиты,
когда масса является прямоугольной, однако он не установил
границы области применимости решения.
Если условия трения таковы, что существует коэффициент
трения |л, то мы можем легко получить приблизительную оценку
предельной нагрузки, которая для небольших значений ^ не будет
слишком неточной. Предположения, на которых основано
исследование, аналогичны допущениям теории волочения Закса или теории
прокатки Кармана. Пусть р— давление на плиты на расстоянии х
от левого края массы. Пусть 2qh полное горизонтальное усилие,
приходящееся на вертикальное сечение; тогда q равно среднему
сжимающему напряжению, действующему по поперечному сечению.
Вследствие равновесия слоя массы, заключенного между
вертикальными плоскостями х и x-\-dx,
(q ~\- dq) h — qh = \ipdx
или
dx h ^ '
Теперь предположим (сравни с уравнением (26) главы VII), что
условие текучести может быть написано приблизительно так:
p~-q^2k. (21)
Исключая из этих уравнений q и имея в виду, что при х = 0 q = 0
и /?== 2k, найдем:
|£==:Ji£- или p = 2ke^h. (22)
1) В. В. Соколовский, Теория пластичности, М., изд. АН СССР,
1946, стр. 180.

5. сжлтин массы между шероховатыми плитами 271
Среднее давление равно
о
или, так как согласно гипотезе \х мало,
р^2к[\+^). (23)
Если сжимающие плиты не смазаны тщательно, то кажущийся
предел текучести р может значительно превзойти истинный предел
текучести 2k> особенно когда масса будет широкой по сравнению
с ее высотой. Соответствующее исследование для сжатого
цилиндрического образца см. в разделе 7 главы X.

ГЛАВА IX
ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ (II)
1. Введение
Теперь мы вернемся к плоским задачам, в которых для
упрощения необходимо ограничиться исследованием напряженного
состояния в начальной части пути нагружения, когда полная деформация
еще мала. Действительно, при рассмотрении граничных условий
будем предполагать, что все изменения внешних размеров тела
незначительны. Пластические деформации являются малыми, поэтому
предположение о том, что материал является жестко-пластическим,
вообще говоря, не точно даже при вычислении распределения
напряжения; однако будет показано, что при определенных
обстоятельствах напряжения не зависят от величины модуля Юнга. Поэтому
мы будем проводить исследование для упруго-пластического
материала и предполагать только, что он предварительно деформируется
до такой степени, что в рассматриваемом диапазоне деформаций
упрочнение незначительно. Когда такое тело непрерывно нагружается
от состояния, свободного от напряжений, то пластическая и
упругая составляющие деформации сперва сравнимы. Непластическая
часть тела стесняет перемещения остальной части, а полная
деформация тела имеет порядок величины \/Е, умноженной на среднее
напряжение. Так как нагрузки возрастают, то пластическая область
распространяется до такой величины, при которой это стеснение
становится в данном месте неэффективным; тогда возможны большие
пластические деформации, а полная деформация возрастает при
скорости (относительно приложенных нагрузок), определяемой
только изменением формы образца. В неупрочняющемся материале
интервал нагружения, при котором этот переход осуществляется,
хорошо определяется, когда имеется достаточная свобода течения;
тогда кривая зависимости нагрузки от некоторой меры полной
деформации будет иметь быстрый изгиб, соответствующий этому
переходу. С другой стороны, в жестко-пластическом теле никакая
деформация вообще невозможна, пока пластическая область не
достигнет определенной критической величины; кривая зависимости
нагрузки от деформации имеет разрыв в наклоне, соответствующий

2« ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ
273
нагрузке, при которой начинается деформация. Изгиб кривой всякий
раз, когда он достаточно хорошо определен, будет для каждого
особого пути нагружения связан с предельной нагрузкой тела\
этот термин был уже введен при обсуждении сжатия массы между
шероховатыми плитами (разд. 5, а главы VIII). В большинстве задач
предельная нагрузка представляет собой наиболее интересную
величину, и основная цель исследования будет состоять в вычислении
ее. С точки зрения первоначального предположения предельная
нагрузка представляет собой верхнюю границу области применения
настоящего исследования.
2. Формулировка задачи
a. Предположение о несжимаемости. В упруго-пластическом
теле, находящемся в условиях плоской деформации, напряжение зг
в пластическом элементе зависит от истории деформации. Так как
перемещения в плоскостях течения зависят от ае, то вычисление их
весьма затруднительно. Однако мы видели, что когда коэффициент
Пуассона равен V2» т0 эта трудность исчезает, поскольку ?z всегда
равно ^(Зя + Зу). Повсюду в этой главе мы воспользуемся этим
преимуществом и будем полагать \ = */2- Тогда напряженное
состояние в любом элементе есть чистый сдвиг, сочетающийся с
гидростатическим давлением, тогда как максимальное касательное
напряжение равно константе k по всей пластической области.
Хотя такого упрощения для получения даже приемлемо
правильной величины iz для сжимаемого материала недостаточно
(пластическая деформация является малой), это не имеет большого
значения, так как знание az обычно не представляет большого интереса.
С другой стороны, сопутствующая ошибка в условии текучести для
большинства целей незначительна (сравни с расширением цилиндра
под действием внутреннего давления, обсужденного в главе V).
Таким образом, когда граничные условия такие, что задача является
статически определимой, вычисленные напряжения зх, су и хху
должны быть очень точными. Если даже граничные условия явно
зависят от заданных внешних перемещений, то можно ожидать, что
ошибки при вычислении ох, оу и ixy являются совершенно
незначительными.
b. Основные уравнения. В задаче о неустановившемся движении
вид напряжения и деформации непрерывно изменяется. Задача,
собственно говоря, поставлена, если только установлен полный путь
нагружения (или перемещения), т. е. когда нагрузки (или
перемещения), приложенные к поверхности, даны в течение всего времени или
от того момента, когда тело было первоначально свободно от
напряжений, или от известного начального напряженного состояния. В теле,
подверженном пластическому течению, напряженное состояние зависит
18 Зак. 1438. Р. Хнлл

274 ГЛ. IX. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ (il)
не только от текущих нагрузок; очевидно, что промежуточное
развитие пластической области и, следовательно, ее окончательные
размеры зависят также от пути, при котором текущее нагружение
достигается. Например, отдельные силы могут увеличиваться
пропорционально от нуля; некоторые могут достигнуть своих конечных
значений раньше других; определенные силы могут быть приложены
и впоследствии удалены, так что они не фигурируют в
окончательной системе и т. д. Поэтому на каждом этапе пути деформации
ставится следующая типичная краевая задача: в какой-то момент
по всему телу задано ранее вычисленное напряженное состояние;
спрашивается, каковы будут (бесконечно малые) приращения
напряжения и деформации, вызванные дополнительными приращениями
нагрузок и перемещений, приложенных к поверхности.
Вместо дифференциалов da^, d~y и dzxy мы можем одинаково
хорошо использовать скорости напряжения ах, zy и тху, полученные
делением первых на дифференциал dt, где t означает время или
любую другую монотонно изменяющуюся величину (такую, как
приложенные силы). В приближении, учитывающем незначительные
изменения внешних размеров тела, мы можем пренебрегать
движением любого элемента и считать производную по времени, относя*
щуюся к изменению в фиксированной точке.
Скорости напряжения должны удовлетворять уравнениям
равновесия, которые с той же самой степенью приближения имеют вид
(1)
дх ~* ду
В элементе, который подвержен непрерывной пластической
деформации, при напряжении, равном пределу упругости, мы должны
иметь:
д I x <
У' ] ху
ИЛИ
J (ах — °*) (Рх — V + *xfxy = 0. (2)
С другой стороны, в пластическом элементе, который начинает
разгружаться, или в любом элементе в упругой области скорости
напряжения удовлетворяют условию совместности
выражающему условие существования непрерывной скорости,
удовлетворяющей уравнениям, связывающим упругие напряжения и
деформации. Вследствие равновесия на существующей упруго-
пластической границе (или же на любой кривой) нормальный

2. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ
275
и касательный компоненты скорости напряжения должны быть
непрерывными; однако нормальный компонент, действующий параллельно
границе, может терпеть разрыв (это происходит, например, при
изгибе или кручении стержня). Без труда можно показать, что
уравнения (1) и (2) являются гиперболическими, характеристики
которых представляют собой линии скольжения существующего
напряженного состояния. Поэтому уравнения (1) и (2) могут быть
преобразованы в соотношения, дающие вдоль линий скольжения
нагружаемой части пластической области вариации d(p) и d(cp).
В принципе эти зависимости могут быть проинтегрированы
посредством обычного процесса малой дуги, исходя из известных (или
предполагаемых) значений р и <р на упруго-пластической границе
или на пластической части поверхности.
Однако дифференциальная форма уравнений для напряжений
лучше всего подходит для общих исследований — таких, как
обсуждение единственности (см. ниже), и она обычно более проста при
приближенных вычислениях по сравнению с решением уравнений
в их интегральной форме. Пусть теперь для этой цели <зх, ау, хху
рассматриваются как неизвестные напряжения, значения которых
требуется определить после дополнительно малого, но конечного
изменения внешних нагрузок или перемещений. Уравнения
равновесия будут:
В течение этого интервала упруго-пластическая граница несколько
изменяется и ее новое положение должно быть определено.
Появление этой дополнительно неизвестной величины компенсируется
условием, что все компоненты напряжения поперек границы должны
быть непрерывными, так как элементы непосредственно на упругой
стороне ее должны находиться на пределе текучести. (Это должно
быть тщательно сопоставлено с формулировкой задачи для
скоростей напряжения, где упоминалось, что один компонент скорости
напряжения не обязательно является непрерывным. Там величина
напряжения в данном элементе после малого интервала получается
в принципе посредством интегрирования скорости напряжения; так
как последняя является только на мгновение разрывной, в то время
как элемент пересекается движущейся пластической границей, то
сами компоненты напряжения все непрерывны.) По всей новой
пластической области напряжения удовлетворяют условию текучести
Т(**-%У + Х% = Ь2- (2')
Все теоремы, доказанные в главе VI, относящиеся к полю линий
скольжения, применимы и здесь. Для элемента, который напрягался
18*

276 гл. ix. плоские задачи неустановившегося движения (и)
упруго, с того момента, как он был свободен от напряжений, имеем:
(5+з?0(я*+в»)=о- (3/)
Для элемента, который в течение рассматриваемого интервала или
в любой предшествующий момент времени разгружался от
пластического состояния, получим:
где индекс нуль относится к моменту начала разгрузки.
Перейдем теперь к вычислениям приращений перемещения. Пусть
их и vy будут компонентами скорости. Уравнение несжимаемости
имеет вид
Компоненты скорости пластической деформации будут:
дх 20 ' ду 2о ' 2\ду~Т~ дх) 20 '
где вычитаемые члены представляют упругие части скорости
деформации. Теперь в элементе идеального материала, испытывающего
пластическую деформацию, главные оси скорости пластической
деформации совпадают с главными осями напряжения. Принимая
во внимание тождество ъгх — °^==:=0Х — °у> условие для этого
запишем так:
*их ■ dvy
2^пси д\з '
ху ду ~т~ дх О .-
а» —°У _ ??*, <>Уу (^-gy) '
дл: ду 2<J
Когда вычисляются скорости напряжения, то уравнения (4) и (5)
вместе с соответствующими граничными условиями служат для
определения скоростей в той части пластической области, где
происходит нагружение. Характеристики, конечно, представляют собой
попрежнему линии скольжения, а зависимости вдоль них находятся
методом главы VI. Пусть оси (х, у) выбраны так, что они
совпадают с направлениями (а, (3) в некоторой точке Р. Так как ох = оу,
то уравнение (5) в точке Р сводится к виду

2. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ
277
Решение его совместно с уравнением (4) имеет своим результатом
(6)
Тогда
в обычных
дх
4cj(V
обозначениях
°х~
— Зу) =
ах — и cos cp —
vy = и sin cp -|-
-о, = —
- 2k sin
dw¥
"^
-TJsin cp,
г/coscp,
2cp.
Подстановка этих выражений в уравнения (6) дает:
{^(acos?-os,n<P)),.0=)-5sf|(sin2^)T-0'
(A(«sin?4-^coscp)j о = ^(|(5т2ср)}
откуда
cf// — <pdcp= — p- 9^5oc на линии а,
dv~\-ady = -p ydSp на линии р.
(7)
Эти уравнения аналогичны уравнениям Гейрингер (уравнения (14)
главы VI), к которым они приводятся, когда G равно бесконечности
(а и v не равны нулю) или когда поле линий скольжения не
изменяется во времени (например, в некоторой площади вблизи
свободной пластической поверхности). Для приближенных вычислений эти
уравнения могут быть переписаны в зависимости от малых
приращений перемещений; полное перемещение определяется путем
суммирования по всему пути деформации. Уравнения (7) решаются
обычным путем посредством интегрирования вдоль линий
скольжения от упруго-пластической границы или от поверхности тела,
причем используются в качестве граничных условий значения и п v,
вычисленные в упругой области или заданные на поверхности.
В упругой области и в части пластической области,
претерпевающей разгрузку, зависимости между напряжениями и
деформациями (в дифференциальной форме) имеют вид
ди~ dv
AG — ^ — iG-^-
дх ду
у
сДч^) = т \ (8>
"Кду^дх) х*у }
где было использовано тождество Е = 30, верное для
несжимаемого материала. Уравнение (3), конечно, получается путем исключения

278 ГЛ. IX. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ (il)
их и vy из уравнения (8); обратно, когда нужно найти
скорости напряжения, удовлетворяющие условию (3), то существуют
скорости их и vy, которые удовлетворяют (8).
с. Статически определимые задачи 1). Так как мы
рассматриваем только малые деформации, то теорема единственности главы III
(разд. 2,Ь) гарантирует нам, что если найденное распределение
скорости напряжения будет таким, что все уравнения для напряжений
и скоростей одновременно с условиями непрерывности и краевыми
условиями удовлетворяются, тогда оно является единственным. Теперь
мы должны выяснить, когда задача является статически определимой,
т. е. когда граничные условия таковы, что скорость напряжения
может быть вычислена однозначно только из уравнений для
напряжений безотносительно к связанному с ней решению для скорости 2).
Очевидно, что когда по части границы заданы перемещения
(например, в теле, в которое вдавливается жесткий штамп данной формы),
то напряженное состояние и размеры пластической области обычно
не могут быть найдены независимо от связанных с ними скоростей.
(Имеются некоторые очевидные исключения, отмеченные ниже.) Однако
даже когда все граничные условия относятся только к
напряжениям, то задача еще необязательно является статически определимой.
Для определенности возьмем случай, когда ни один пластический
элемент не разгружается. При этом необходимо, чтобы ни одна
линия скольжения не пересекала бы упруго-пластическую
поверхность более одного раза3); другими словами, каждый пластический
элемент должен быть соединен с поверхностью двумя линиями
скольжения, лежащими целиком внутри пластической области. Если
это условие не выполняется, то одних лишь уравнений для
напряжений недостаточно для определения напряжений и пластической
границы единственным образом.
Чтобы доказать это, рассмотрим фиг. 67, а, где заштрихованная
площадь Р представляет собой пластическую область в некоторый
момент времени, а незаштрихованная площадь Е—упругую область.
Согласно гипотезе некоторая линия скольжения внутри Р пересекает
упруго-пластическую поверхность £ дважды. Пусть АВ будет одна
из этих линий скольжения и пусть CD будет некоторая линия
скольжения другого семейства, которая пересекает АВ и пересекает S
под прямым углом. Допустим, что найдено одно распределение
скорости напряжения, удовлетворяющее всем уравнениям и граничным
!) Последующее обсуждение и теоремы взяты из неопубликованной
работы автора (1949 г.).
2) Не считая проверки, что скорость пластической работы является
положительной.
3) о, что это не является универсальной необходимостью, можно видеть
и уждения того случая, когда тело полностью разгружается; тогда
скорости напряжения повсюду удовлетворяют уравнениям теории упругости и
однозначно определяются ими, если приложенные нагрузки заданы.

2. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ
279
условиям для всего тела. Это решение определяет некоторые
значения риф вдоль АВ.
Пусть теперь на CD будет выбрано произвольное
распределение ср, подверженное только ограничению, что оно непрерывно вдоль
CD и в С; тогда дифференциальная зависимость между р и ср
вдоль CD определяет соответствующие значения р. Так как линии
скольжения суть характеристики для скоростей напряжения, то
значения р и ср вдоль АС и CD определяют решение уравнений для
Фиг. 67. Построения, используемые в
исследовании, когда упруго-пластическое
напряженное состояние однозначно определяется только
из краевых условий для напряжений.
пластических скоростей напряжения по всей области ACD.
Аналогично с помощью значений вдоль ВС и CD определяется решение
в BCD. Комбинируя их с частью известного решения, которое
относится к пластическим элементам снаружи ACDt мы, очевидно, должны
построить в р другое распределение скорости напряжения.
Соответствующие значения р и ср на кривой 2 определяют значения
нормального и касательного компонентов скорости напряжения,
действующей поперек S. Теперь мы заимствуем хорошо известную
теорему теории упругости, следствие которой состоит в том, что
внутри тела для любых внешне приложенных напряжений
(находящихся в равновесии) существует соответствующее распределение
напряжения, удовлетворяющее уравнениям упругости; это, очевидно,
верно также и для скорости напряжения. Прилагая эту теорему
к области Е, мы видим, что решение уравнений для скоростей
напряжения, удовлетворяющих всем краевым условиям, может быть
связано с произвольным выбором ср на CD. Это завершает
доказательство. Тогда теорема единственности главы III указывает, что
действительное распределение скорости напряжения будет то, с
которым может быть связано решение уравнений для скоростей. Чтобы
понять, каким образом это требование налагает ограничения на
скорость напряжения, заметим сперва, что в Ё существует единственное

280 ГЛ. IX. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ (и)
решение для скорости, связанное с любым распределением
скорости напряжения. Согласно теореме раздела 6, Ь главы VI
соответствующие компоненты скорости на AD определяют скорость
повсюду в ACD, тогда как компоненты на BD определяют скорость
повсюду в BCD. Однако заранее не имеется причины, согласно
которой эти два решения должны приводить к той же самой
скорости на CD. Отсюда следует, что непротиворечивое
распределение скорости может быть найдено, если только правильно выбраны
значения ср на CD.
Остается показать, что задача является статически определимой,
когда ни одна из линий скольжения не пересекает кривую Е дважды
(попрежнему это относится к случаю, в котором ни один
пластический элемент не разгружается). Тогда, если зона пластического
материала полностью заключена внутри упругой области, то
кривая Е, очевидно, пересекается любой линией скольжения более чем
один раз. Таким образом, ни одна задача, в которой пластическое
ядро возникает внутри тела, не является статически определимой.
Поэтому рассмотрим пластическую область, охватывающую одну или
более зон, пересекающих поверхность S: на фиг. 67, Ь показана
типичная зона, которая содержит часть ЛВ поверхности S. Так как
согласно гипотезе любая линия скольжения, пересекающая кривую Е,
также пересекает ЛВ, то Р лежит внутри треугольной области,
ограниченной ЛВ и пересекающимися линиями скольжения,
проходящими через Л и В. Следовательно, заданные внешние скорости
напряжения на ЛВ однозначно определяют скорости напряжений по
всей области Р. Тогда соответствующие нормальные и касательные
компоненты скорости напряжений, действующих поперек Е, вместе
с другими граничными условиями для Е однозначно определяют
распределение скорости напряжения в Е (поэтому нормальный
компонент, действующий параллельно Е, будет, как это было упомянуто
прежде, поперек Е обычно разрывным). Таким образом, задача
является статически определимой. Зная в области Е скорости
напряжений, мы можем однозначно вычислить соответствующие скорости
и, в частности, их значения на Е. Последние определяют
распределение скорости внутри Р, которые непосредственно вычисляются
из (7); никакой несовместимости здесь не возникает, поскольку ни
одна линия скольжения не пересекает Е более одного раза.
d. Влияние значения О. Если уравнения для скоростей (7) и (8)
переписать, используя в качестве независимых переменных величины
и' = Gu и v' = Gv> то никакие упругие константы в явном виде не
фигурируют. Отсюда следует, что когда граничные условия не
устанавливают абсолютных значений любых перемещений, то
в приближении, включающем пренебрежение изменением формы тела,
величины и' и v' и распределение напряжений не зависят от О;
таким образом, при нагрузках ниже предельной величина О
действительно не влияет на напряжения и величины и' и v'. Поэтому пере-

3. ТЕЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ С ВЫРЕЗОМ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ 281
мешение элемента в данный момент прямо
пропорционально I/O.
В жестко-пластическом теле распределение напряжения то же
самое, но перемещения, конечно, до предельной нагрузки равны нулю.
Тем не менее, когда задача не является статически определимой
(даже несмотря на то, что граничные условия и связаны только
с напряжениями), величины м/ и vr нужно вводить попрежнему.
Более того, так как в уравнениях (5) и (7), переписанных в
новых переменных а' и v\ члены, содержащие скорость напряжения,
сравнимы с другими членами, они обычно при вычислении
напряжений не могут быть опушены в жесткой части пластической
области без введения заметной ошибки. Это показывает, в частности,
очень ясно, почему жестко-пластический материал следует
рассматривать как упруго-пластический материал с беспредельно
возрастающим модулем £. Если \/Е просто вначале полагать равным нулю,
прежде чем введены и' и v\ то в случае статически неопределимой
задачи было бы слишком мало условий для определения
размеров пластической области; в результате единственность
отсутствовала бы.
3. Течение стержней с вырезом при растяжении
Для иллюстрации вышеизложенных принципов рассмотрим
длинный стержень, вырезанный симметрично на противоположных
сторонах и растягиваемый силами, которые направлены вдоль продольной
оси и-которые равномерно возрастают от нуля. Поверхности стержня,
перпендикулярные к плоскостям течения, свободны от напряжений.
Стержень предполагается настолько длинным, что напряженное
состояние около вырезов в любой требуемой степени приближения не
зависит от точного распределения концевой нагрузки. Все
граничные условия относятся к силам, и, таким образом, из раздела 2, d
следует, что распределение напряжения не зависит от упругих
констант.
Саутуэлл и Аллен *) показали, как при применении методов
релаксации могут быть численно решены уравнения для
напряжений 2). Уравнения равновесия удовлетворяются введением функции
напряжений такой, что
j» tf cj/_ , х«?/ t
где индексы, сопровождающие 6, относятся к частным производным.
При этом плоскость (л;, у) подразделяется на квадратную сетку
*) R. V. Southwell, D. N. de О. Allen, Phil. Trans. Roy. Soc,
Series A, 1950, т. 242, стр. 379.
2) R. V. Southwell, Relaxation Methods in Theoretical Physics,
Oxford, Clarendon Press, 1946.

282 ГЛ. IX. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ (и)
с произвольно малой ячейкой, а уравнения (2') и (3') в форме
заменяются уравнениями в конечных разностях для узловых точек
сетки. В узловых точках в виде пробы назначаются некоторые
значения <\> и видоизменяются до тех
пор, пока после процесса повторных
попыток разностные уравнения и
граничные условия не
удовлетворяются с точностью, гарантируемой
малостью ячейки. Пока стержень еще
целиком упруг, необходимо только
одно такое решение, так как
напряжение в любой точке
пропорционально приложенному напряжению. После
образования пластического ядра
(обычно у корня выреза) должны быть
найдены отдельные решения для
каждой последовательности малых
приращений напряжения. Разумно пред-
положить, что ни один элемент не
разгружается, так что в каждой
стадии одно из условий, помогающее
определить новую пластическую
область, таково, что она должна
полностью окружать
существующую область, таким путем
предшествующая история продолжает
влиять на ход событий. Тогда приращения напряжений можно
вычислить однозначно только, когда шаг приложенного напряжения
бесконечно мал; поэтому шаг должен быть выбран настолько малым,
чтобы неопределенность в местоположении пластической границы
была бы сравнима с ошибками, присущими формуле конечных
разностей.
а. Сперва рассмотрим полукруговой вырез (фиг. 68), радиус г
которого равен одной четвертой ширины w стержня; поэтому
ширина 2а минимального сечения равна 2г или 1l2w. Эта задача была
исследована Саутуэллом и Алленом *). Было найдено, что стержень
деформируется упруго вплоть до среднего напряжения,
приблизительно равного 0,33 X 2&, распределенного по краям (среднее про-
l) R. V. Southwell, D. N. de Q. Allen, цит, выше, стр. 281,
Фиг. 68. Последовательные
положения пластической границы
в растягиваемом стержне с двумя
полукруговыми вырезами (по Са-
утуэллу и Аллену). Числа,
сопровождающие кривые, означают
среднее приложенное напряжение
(предел текучести при одноосном
растяжении взят равным 100).
Плоское деформированное
состояние.

3. ТЕЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ С ВЫРЕЗОМ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ 283
дольное напряжение по минимальному поперечному сечению вдвое
больше этого). Тогда текучесть возникает у основания вырезов;
отсюда вытекает, что форма пластической области первоначально
такова, что задача является статически определимой; так как
поверхность выреза является круговой и свободной от напряжений, то
линии скольжения представляют собой логарифмические спирали, как
в случае симметрично расширяющейся трубы. Положения границы
для различных значений приложенного напряжения грубо указаны на
фигуре. Однако при напряжениях, больших, чем приблизительно
0,45 X 2&, пластические области, полученные Саутуэллом и Алленом,
таковы, что упруго-пластическая поверхность дважды пересекается
некоторыми линиями скольжения. Согласно теореме, доказанной
в разделе 2, с, задача не является больше статически определимой
и положение поверхности раздела может быть найдено только
посредством удовлетворения условия существования решения для скорости.
Поскольку Саутуэлл и Аллен не исследовали этот вопрос, их
результаты с возрастанием нагрузки становятся постепенно менее
надежными. Тем не менее общая протяженность пластической области и
направление ее распространения, вероятно, определяются при этом
не слишком ошибочно, так как они связаны главным образом с
равновесием. Результаты вычислений указывают, что пластическая
граница движется от выреза внутрь со скоростью, грубо говоря,
пропорциональной увеличению нагрузки, до тех пор, пока напряжение
не будет равно приблизительно 0,60 X 2&; в этом случае на
продольной оси, приблизительно на расстоянии а от средней точки
шейки, появляются два пластических ядра. Теперь пластические зоны
развиваются от ядер очень быстро и смешиваются с первичными
зонами к тому времени, когда напряжение увеличивается лишь до
0,61 X 2&. Перед этим благодаря оставшейся сердцевине
непластического материала, не прерывающейся по всей длине стержня,
полное удлинение стержня имеет порядок упругой величины. Вслед
за слиянием первичной и вторичной зон пластическая область должна
продолжать быстро распространяться, и вскоре становятся
возможными большие деформации. Поэтому Предельная нагрузка
приблизительно равна 0,61 X 2&i£> (на единицу ширины нормали к плоскостям
течения).
Отсюда следует, что в предельном состоянии среднее
продольное напряжение, действующее по минимальному поперечному
сечению, равно 1,22 X 2&. Это больше чем предел текучести 2k в
условиях плоской деформации при одноосном растяжении, несмотря на
то обстоятельство, что стержень с вырезом испытывает Местное
течение много раньше. Это находится в соответствии с хорошо
знакомыми экспериментальными наблюдениями, состоящими в том, что
при испытании стержня с вырезом среднее напряжение в шейке,
измеренное на пределе текучести, больше, чем действительный
предел текучести, измеренный на гладком образце. Причина этого явления,

284 ГЛ. IX. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ (и)
вообще говоря, та, что укорочение, которое будет
сопровождать равномерное удлинение в шейке, частично сдерживается
прилегающим объемом материала; благодаря этому вызывается боковое
напряжение, тогда требуемое для текучести касательное напряжение
достигается только путем увеличения осевого напряжения. Когда
материал упрочняется быстро, то любая основа сравнения образцов
с вырезами и без них должна быть до некоторой степени
произвольной, принимая во внимание весьма округленные кривые зависимости
между нагрузкой и удлинением; однако эффект стеснения,
обусловленный вырезом, попрежнему выявляется из общего подъема
кривой !).
Распределение бокового напряжения по минимальному
поперечному сечению непосредственно поддается вычислению внутри той
части пластической области, в которой напряженное состояние
зависит только от формы поверхности (разд. 5, Ъ главы VI). Когда вырез
является круговым, то линии скольжения в этой части, как мы уже
упомянули, суть логарифмические спирали, тогда как траектории
главного напряжения суть нормали к поверхности и концентрические
круговые дуги. Поэтому продольное растягивающее напряжение
распределяется по минимальному поперечному сечению в этой часта
пластической области согласно формуле
a = 2*[l+!n(l+-£)], (9)
где х — расстояние, измеряемое от основания. Напряжение а растет
постепенно от величины 2k у основания. Боковое напряжение является
растягивающим, равным величине а — 2k> которая увеличивается от
нуля, в то время как мы идем внутрь к пластической границе.
Таким образом, пластическое течение рассеивает концентрацию
напряжения вблизи основания, имеющую место в то время, как стержень
еще упруг и изменяет знак градиента распределения напряжения
поперек шейки.
Ь. Далее рассмотрим вырез, основание которого представляет
собой круговую дугу радиуса г; на этот раз относительные
значения w, r и а неопределенны. Напряженное состояние зависит от
двух параметров w/a и г/а, которые определяют форму выреза.
Детальное исследование не будет здесь проведено, однако мы можем
определить, каково будет приемлемо точное значение "3) предельной
нагрузки, когда форма выреза такова, что пластическая область
распространяется непосредственно поперек шейки, до некоторой
степени как на фиг. 69. Для заданного значения rja мы должны,
естественно, ожидать, что это случится, когда w/a достаточно велико.
*) См., например, М. L. Fried, G. Sachs, Am. Soc. Test. Mat., Spec.
Tech. Pub., 1949, N2 87, стр. 83.
2) R. Hill, Quart. Journ. App. Math., 1949, т. 2, стр. 40.

о. ТЕЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ С ВЫРЕЗОМ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ 285
Для данной цели, имея в виду точность, с которой предел текучести
может быть установлен, удобно вновь ввести понятие о
жестко-пластическом материале. Когда пластическая область развивается, как
на фиг. 69, то анализ показывает, что предельное состояние
соответствует моменту, когда линии скольжения из точек s, где
пластическая граница £ достигает поверхности, проникают внутрь и
пересекают геометрический центр О стержня. Никакое удлинение
предварительно невозможно, так как согласно теореме
раздела 2, b главы VI вся пластическая область
жестко связана *). Однако вслед за этим
моментом концы могут свободно смещаться отдельно и
только пластический материал между £ и линиями
скольжения OS остается жестко связанным с
непластическими концами. Очевидно, что
поперек OS существует разрыв в тангенциальном
компоненте скорости; если концы стержня тянуть
наружу со скоростью, равной единице, то разрыв
равен ]/2. Если требуется, то по известным
компонентам скорости, нормальным к OS, путем *иг- 69. Каче-
приближенного интегрирования уравнений Гейрин- лениГпластическо^
гер или аналитически благодаря применению метода области в предель-
Римана (уравнение (30) главы VI) может быть ном состоянии при
найдено распределение скорости внутри SOS. растяжении стерж-
Таким образом, мы видим, что в предельном ня с ^зам™ ВЫ~
состоянии напряженное состояние внутри SOS и,
в частности, в наименьшем поперечном сечении однозначно
определяется контуром основания (положение S зависит, конечно, от
глубины выреза). Поэтому при вычислении предельной нагрузки нет
необходимости знать распределение напряжений по оставшейся части
стержня. Должно быть тщательно отмечено, каким образом эта
возможность зависит от предположения о том, что пластическая
область распространяется непосредственно поперек шейки 2); мы не
можем, как прежде, отложить рассмотрение вопроса о детальных
вычислениях пластической границы в тех случаях, где
невозможно или небезопасно задаваться направлением распространения 3).
!) После обсуждения разд. 2, d будет понятно, что в доказательстве
теоремы должны были бы быть использованы именно уравнения (7)
(переписанные с и' и vf), а не уравнения Гейрингер. Этот мотив является
очевидным, так как в обоих случаях линии скольжения суть характеристики.
2) И также от обстоятельства, что характеристики для напряжения и
скорости совпадают. Эта возможность не обязательно бы существовала,
если бы материал при течении подчинялся условию Мора (см. разд. 3
главы XI).
3) Метод был бы надежным всякий раз, когда вырез достаточно глубок,
при условии, что кривизна основания не меняет знака. Поле линий
скольжения вблизи эллиптического выреза было для различных эксцентриситетов
вычислено В, В. Соколовским (Теория пластичности, М., Изд. АН СССР,

2вб ГЛ. IX. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ (п)
Распределение продольного напряжения по наименьшему поперечному
сечению определяется формулой (9). После интегрирования
предельная нагрузка равна
L=4ka(l 4-—W1 4-~\ (10)
4п1+^-
1+-
1 г
Согласно определению величина LjAka является коэффициентом
стеснения; это — коэффициент, при котором среднее осевое напряжение
в минимальном поперечном сечении превышает истинный предел
текучести 2&. С увеличением а/г коэффициент стеснения растет
постепенно от значения, равного единице. Если
С—центр кругового контура основания,
а 26 — угловое расстояние дуги SS, то из
уравнения линий скольжения в полярных
координатах следует, что
= *•—!.
Фиг. 70. Поле линий
скольжения вокруг глубокого
клинообразного с круговым
основанием.
Тогда, если угловое расстояние круго»
вого основания равно 2а, то формула (10)
верна для Ь <^а или для значений а/г
таких, что
а, большие 1/2,к,
Заметим, что значения
соответствуют вырезу в виде замочной
скважины.
Чтобы понять, каким образом решение может быть
распространено так, чтобы охватить большие значения а/г, допустим в
качестве примера, что стороны выреза являются прямыми, наклоненными
на угол к — 2а(а^1/21Г)» так что они гладко соединяются с
круговым основанием (фиг. 70). Точки S> в которых кривая Е пересекает
поверхность, теперь лежат вне кругового основания RR. Так как
поверхность свободна от напряжений, то линии скольжения в QRS
суть прямые, пересекающиеся с поверхностью под углом 45°, тогда
как в области RTR они являются логарифмическими спиралями.
Область PQRT однозначно определяется линиями скольжения QR
и RT; линии скольжения, нормальные к RT, являются прямыми
равной длины (сравни с фиг. 24). Следовательно* линии скольжения
в ОРТР—прямые и
RS^OT^a — r(e«— I).
1946, сгр. 123), а также P. S. S у m о n d s'om (Journ. App. Phys., 1949, т. 20,
стр. 107). Метод является, вероятно, менее надежным, когда он применяется
к прямоугольной выто ке (R. H i 11, научно-исследовательский департамент
вооружения министерства снабжения, отчет по теоретическому исследованию
9146); при качественном построении поля линий скольжения читатель не
должен был бы испытывать трудностей.

3. ТЕЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ С ВЫРЕЗОМ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ 287
Осевое напряжение по минимальному поперечному сечению растет
постепенно согласно формуле (9) вплоть до точки Г. Однако вдоль
ТО оно является постоянным, так как ОРТР представляет собой
область постоянного напряжения. Посредством подстановки в
формулу (9) х = г(е*—1) или путем прямого приложения теоремы Хенки
можно показать, что эта константа равна 2k(\-\~a). Отсюда
предельная нагрузка будет:
L = ikrae* -f- 4k (1 + а) [а — г 0а— 1)] =
= 4йа[(1 +а)—£-(*«— 1—а)] (-2.>*«_l). (И)
Коэффициент стеснения LjAka увеличивается постепенно в
зависимости от а и является наибольшим, когда вырез имеет параллельные
стороны (а = 1/211)- Максимальный коэффициент стеснения, получаемый
для выреза с параллельными сторонами, соответствует исчезающе
малому радиусу основания (г/а —> 0), а его величина равна 1 -|— 1/2тс»
или приблизительно 2,571. Случайно это согласуется со значением,
найденным экспериментально для цилиндрических стержней с
вырезами, выполненных из металла с резко выраженным пределом
текучести; так, Орован, Най и Кэрнс *) наблюдали для мягкой
отожженной стали максимальный коэффициент стеснения приблизительно
равным 2,6.
Формулы (10) и (11) не зависят от ширины стержня. Они, как
было упомянуто, верны, если только вырез достаточно глубок. При
этом, насколько он глубок, нельзя установить без точного решения;
тем не менее нижний предел может быть установлен сразу.
Очевидно, мы должны иметь L < 2kw, так как, если нагрузка больше
этой, то подразумевается, что стержень уже испытывал бы течение
при равномерном напряжении вблизи его краев. Выражаясь иначе,
скажем, что величина w/2a должна быть не меньше, чем коэффициент
стеснения. Принимая в качестве примера формулу (10), мы должны
иметь:
£>('+£)"('+7>
Когда г/а=1, то наименьшая величина w/2a равна 2 In 2 или
приблизительно 1,39. Однако область применимости уравнения (10),
конечно, не распространяется на такой пологий вырез, так как из
решения Саутуэлла и Аллена для г/а = 1 и w/2a = 2 мы знаем, что
пластическая область распространяется способом, весьма отличным
от способа, подразумевавшегося в выведенной формуле.
Действительно, согласно (10), коэффициент стеснения для г/а = 1 равен 1,39,
1) Е. О го wan, J. F. Nye, W. J. Cairns, научно-исследовательский
департамент вооружения министерства снабжения, отчет по теоретическому
исследованию 16/45.

288 ГЛ. IX. ПЛОСКИЕ ЗАД.\ЧИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ (п)
тогда как значение коэффициента» полученного из численного
решения, равно 1,22. То же заключение может быть получено при
рассмотрении клинообразного выреза с углом 90° (г = 0, а = 1/4~)
и <ш/2а = 2, где дальнейшие вычисления Саутуэлла и Аллена нааолят
на мысль, что пластические зоны распространяются за пределы
оснований в направлениях, параллельных продольной оси, что до
некоторой степени подобно длинным пальцам; повидимому, среднее
напряжение в предельном состоянии будет немного больше, чем 0,64Х2&,
потому что тогда зоны изгибаются резко и быстро к оси, которую
они пересекают на расстояниях от центра, несколько больших а.
Для этого выреза уравнение (11) дает коэффициент стеснения,
равный 1,79, тогда как из численного решения он равен 1,28.
Результаты являются только качественными, так как для этого выреза
задача никогда не является статически определимой в любой стадии.
Используя ту же самую технику вычислений, Джейкобе1) нашел
аналогичные пластические зоны для щелевого выреза (г = 0, а = 1/2~)»
4. Пластическое течение вокруг полости
Если тело, содержащее полость, нагружается извне, то местная
концентрация напряжения на или около периметра полости в конце
концов вызывает текучесть. Допустим, что периметр подвержен
действию заданных напряжений; в практике это обычно будет или нуль,
или равномерное внутреннее давление. Если теперь мы в состоянии
предугадать направление, в котором при заданном пути нагружения
распространяется пластическая область, то мы можем сразу
вычислить распределение напряжений в той части пластической области,
которая зависит только от формы полости. Когда большая часть
некоторых поперечных сечений тела занята полостью, так что нагрузка
поддерживается только двумя узкими полосами, то эти условия
являются наиболее благоприятными для определения предельной
нагрузки с помощью метода, описанного для стержней с вырезом.
С другой стороны, когда полость отстоит на большом расстоянии
от поверхности, то задача обычно состоит в том, чтобы найти, каким
образом местная текучесть уменьшает концентрацию напряжений
при нагрузках, значительно меньших предельной нагрузки для всего
тела; эта задача встречается, например, в теории разрыва (обычно)
ковкого металла, когда важно — если разрушение начинается в момент
возникновения внутренних трещин — оценить глубину и влияние
любых пластических зон. При таких обстоятельствах детального решения
можно с трудом избежать.
Когда полость является круговой и расположенной в бесконечной
среде, поверхности которой равномерно напряжены посредством
нормального давления, то распределение напряжений легко получается
1) J. A. J а с о b $, Phil. Mag., 1950, т. 41, стр. 349 и 458.

4. ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ ВОКРУГ ПОЛОСТИ
289
из очевидной модификации теории автоскрепления трубы (разд. 2
главы V). Галин х) исследовал более трудную задачу, в которой
напряжение на бесконечности представляет собой не просто равномерное
гидростатическое давление, а равномерное напряжение любого рода.
Напряжения в части пластической области, зависящей только от формы
полости, будут (уравнения (36) и (37) главы V):
*r = — /> + 2£in^, oe = — p+2a(l+ln£),
где р — внутреннее давление, а а — радиус полости.
Соответствующая функция напряжения, определяемая посредством выражений
k ~ г дг ' k — дг* '
такова:
Она случайно оказалась бигармонической, т. е. она удовлетворяет
тому же самому уравнению V4'} = 0, как и функция напряжения
в упругой области; конечно, только немногие пластические
состояния обладают этим свойством, другие образуют поле линий
скольжения, состоящее из радиусов и круговых дуг. Галин воспользовался
этим обстоятельством, чтобы совместно исследовать напряжения
в пластической и упругой областях, и заменил <]> посредством
комбинаций функций комплексной переменной 2) z = reiH. Таким
способом он был в состоянии построить упругое напряженное
состояние, удовлетворяющее граничным условиям, когда
упруго-пластическая поверхность раздела является эллипсом, окружающим полость.
Необходимо, чтобы эллипс имел бы не слишком большой
эксцентриситет (отношение осей меньше У~2), так как иначе он дважды
пересекает некоторые линии скольжения и задача уже не будет
статически определимой. Более того, решение может быть применено,
если только внутренние и внешние нагрузки взаимно изменяются
так, что последующие эллипсы содержат в себе их предшественников,
и при условии также, что скорость пластической деформации
является положительной. Галин не исследовал последнего вопроса,
и он не предлагал решения, соответствующего начальной части пути
нагружения, где пластическая область состоит из двух раздельных
!) Л. А. Галин, Прикладная математика и механика, 1946, т. 10, стр. 365.
2) Функция ф, удовлетворяющая бигармоническому уравнению, может
быть всегда выражена в форме Re {zQ, («г) + о> (г)}, где Q и о> —
определенные функции z; А. С. Stevenson (Phil. Mag., 1943, т. 34, стр. 766) показал,
каким образом этот метод может быть систематически применен к решению
плоских задач теории упругости. I. N. Sneddon (там же, 1945, т. 77,
стр. 629) кратко указал, каким образом метод Стивенсона может быть
приспособлен для того, чтобы производить пластические напряженные состояния.
19 Зак. J 438. Р. Хилп

290 ГЛ. IX» ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ (И)
зон. Поэтому неизвестно, каким образом нагрузки могут быть (или
даже могут ли) приложены для того, чтобы образовать первый
эллипс (относительно периметра полости).
Небольшое распространение этого метода построения упругих
напряженных состояний, прилегающих к известному пластическому
состоянию, для случая, когда пластическое состояние не является
бигармоническим, было намечено Парасюком 1). Он кратко указал,
как этот метод может быть применен, когда круговая полость
в дополнение к равномерному давлению подвержена действию
постоянного касательного напряжения mk (O^m^l). Напряжения
в пластической области, окаймляющей полость, будут:
^==3^, ot — ar = 2kVl—m*a4r',
or р , г . 1 . Г 1 — У1 — та 1
2k 2k a ' 2 [ 1 __ у 1 — тЧЦг* J
— 1 [Vi — л4/'4 — i/i—И
Эти уравнения даны Надаи 2).
5. Вдавливание и теория испытаний на твердость
При нагрузках ниже предельной, когда деформация внешних
поверхностей незначительна, распределение напряжений и
деформаций в стержне с вырезом при сжатии, очевидно, то же самое,
за исключением знака, как и соответствующее распределение в
подобном стержне при растяжении. Так как вследствие симметрии по
минимальному поперечному сечению перемещений не происходит, то
действие одной половины стержня на другую эквивалентно действию
плоского жесткого штампа, закрепленного в минимальном сечении
и имеющего ту же самую ширину; поскольку касательное
напряжение равно нулю, штамп, кроме того, должен быть гладким. При
наложении равномерной скорости, чтобы довести один конец стержня
до опоры, мы получим задачу о вдавливании гладкого плоского
штампа в среду. Отсюда следует, что любое решение для
растягиваемого стержня с вырезом непосредственно применимо с
изменением только знака к вдавливанию в среду подобной формы, что
и одна половина стержня. Поэтому мы можем повторить обсуждение
и результаты раздела 3. Должно быть замечено, что хотя
вдавливание с помощью штампа обычно выражается только через
граничное условие для скорости, мы путем рассмотрения среды
одновременно с ее зеркальным изображением в состоянии в этом особом
*) О. С. Пара сю к, Прикладная математика и механика, 1948, т. 13,
стр. 367.
2) А. N a d a i, Zefts. Phys., 1924, т. 30, стр. 106.

5. ВДАВЛИВАНИЕ И ТЕОРИЯ ИСПЫТАНИЙ НА ТВЕРДОСТЬ 291
случае сформулировать задачу исключительно в зависимости от
краевых условий для напряжений; очевидно, это возможно только
тогда, когда штамп является плоским.
а. Полубесконечная среда с плоской поверхностью. Полагая
в (11) а = 1/г'п: и г = 0> получим, что предельная нагрузка для
плоской полубесконечной среды, в которую вдавливается гладкий
плоский штамп, равна
L= 4£a(l 4-утг)~2,571 Х%, (12)
где 2а — ширина штампа1). На фиг. 71, а пунктирной кривой
указана вероятная пластическая граница в предельном состоянии £;.
а) Ъ)
Фиг. 71. Поле линий скольжения и пластическая область
в предельном состоянии полубесконечной среды, в которую
вдавливается плоский штамп; показано: а) точное решение и
Ь) решение Прандтля.
поле линий скольжения объяснений ке требует. Пластический
материал между OPQS и 2 является жестким, тогда как элементы
в OPQSR двигаются вдоль линии скольжения, параллельной OPQS
со скоростью ]/2£/, где U — направленная вниз скорость штампа.
Эта задача была впервые исследована (для жестко-пластического
тела) в 1920 г. Прандтлем а), который отметил гиперболический
характер уравнений для напряжений и установил два специальных
поля, необходимых в решении (эта работа предшествовала
публикации Хенки общих уравнений на три года). Прандтль предложил
поле, указанное на фиг. 71, ft, для которого соответствующая
нагрузка задана попрежнему уравнением (12). Однако со временем
пластическая деформация распространяется до тех пор, пока не
произойдет и деформация поверхности; условие определения пре-
1) Давление сопротивления распределено по штампу равномерно. Едва
ли необходимо отмечать, что пластическая область была бы совершенно
отличной, если бы по сечению шириной 2а было приложено постоянна
увеличивающееся равномерное давление; из теории упругости известно, что
пластическое течение впервые возникает вдоль полукруга при давлении,»
равном 1/2те X 2А.
2) L. Р г a n d 11, Nachr. Qes. Wiss. Oottingen, 1920, стр. 74.
19*

292 ГЛ. IX. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ (и)
дельной нагрузки было, повидимому, неизвестно Прандтлю.
Распределение скорости в форме фиг. 71, b является неопределенным,
и Прандтль предположил, что треугольник RAR двигается вниз как
жесткое тело, присоединенное к штампу. Имеются
экспериментальные данные, показывающие, что это может быть действительно
верным, когда штамп является достаточно шероховатым (сравни
с обсуждением явления пробивания в разд. 5 главы VII); для
промежуточных значений трения не было предложено ни одного
теоретического решения.
b. Усеченный клин. Рассмотрим бесконечный клин с углом 2а,
срезанный плоским сечением шириной 2а, перпендикулярно к его
оси симметрии. Предельная нагрузка в случае, когда клин сжат
гладким плоским штампом шириной не менее чем 2а, получается
из формулы (11) при г = 0:
L = 4Aa(l-f-a). (13)
Поле линий скольжения подобно полю, представленному на
фиг. 71, а, угол PRQ равен а. Зависимость (13) и принятое
направление развития пластической области находятся в прекрасном
согласии с экспериментами Надаи х) на мягкой стали. Однако, когда
суммарная деформация мала, то отожженная мягкая сталь —
недостаточно подходящий материал для сравнения с теорией, так как
линии Людерса возникают на достаточном расстоянии друг от друга.
Линии Людерса требуют меньшего напряжения для своего
распространения, чем для своего образования, и в результате здесь должны
быть значительные отклонения от напряженного состояния,
ожидаемого в металле, который деформируется однородно.
Распределение напряжения в сильно сжатом клине описано
в разделе 3 главы VIII.
c. Конечная среда с плоской поверхностью. Среда высотой h,
лежащая на плоском основании, вдавливается посредством гладкого
плоского штампа шириной 2a (a < h). При условии, что h/a не
слишком велико, эксперименты показывают, что пластические зоны,
возникающие в углах штампа, смешиваются и распространяются
прямо через среду. Допуская это, определим предельную нагрузку
из условия, что линии скольжения должны связывать углы R сосре-
динной точкой 5 опорной плоскости. Форма этих линий скольжения
должна быть выбрана так, чтобы решение для скорости могло быть
найдено таким, что: а) компонент скорости, нормальный к RR,
является постоянным и Ь) нормальный компонент скорости в любой
точке на RS совместим с боковым перемещением попрежнему
жесткого материала. Эти требования выполняются для поля, пока-
!) A. Nadai, Zeits. ang. Math. Mech., 1921, т. 1, стр. 20. См. также
G. Sachs, Zeits. tech. Phys., 1927, т. 8, стр. 132.

5. ВДАВЛИВАНИЕ И ТЕОРИЯ ИСПЫТАНИЙ НА ТВЕРДОСТЬ 293
занного на фиг. 72 *), где линии скольжения в PQR суть радиусы
и круговые дуги и где PQSQ определяется посредством равных
дуг PQ. Так как изменения объема не происходит, то- боковая
скорость жестких концов равна Ua/h, где (У —скорость штампа.
Поэтому мы можем построить решение для скорости в
последовательности PQSQ, PQR и RPR-
Поскольку компонент скорости, нормальной к
прямой линии скольжения RQ, является
постоянным, то компонент, нормальный
к RP, согласно теперь хорошо знакомой
теореме также будет постоянным.
Следовательно, скорость в RPR является
постоянной (и направленной вниз), и поэтому
она совместима с движением жесткого
штампа; эта скорость оказывается
равной U, так как скорость жестких краев
равна Ua(h.
Зависимость между углом PRQ и h/a
дана в таблице 1 (см. конец книги).
Распределение напряжений вычисляется в
зависимости от среднего сжимающего
напряжения в одной точке поля, скажем
в точке Р, согласно теореме Хенки. Оно
определяется из условия, что
горизонтальная равнодействующая напряжения,
действующая в вертикальном сечении, проходящем через точку Sf должна
быть равна сопротивлению скольжения по плоскости основания. Когда
сопротивление равно нулю, то зависимость2) между предельной
нагрузкой и отношением h/a является такой, как показано на
фиг. 73; теоретическая зависимость в случае, когда h/a меньше
единицы, неизвестна. Так как h/a увеличивается от единицы, то
давление, необходимое для того, чтобы началось вдавливание,
возрастает от 2k — предела текучести при сжатии в условиях плоской
деформации— до 2k{\ +1/27Г)> когда h/a—8,75 (угол PRQ~77,3°).
Подразумевается, что для значений h/a, больших, чем это, пласти-
?Ш//////У/////7//////////>//>///Ш
Фиг. 72. Поле линий
скольжения в предельном
состоянии вдавленной массы
конечной высоты, лежащей на
плоском основании.
*) Это поле было впервые предложено L. Р г a n d t Гем, Zeits. ang. Math.
Mech., 1923, т. З, стр. 401, который, однако, не исследовал, будет ли оно
связано с решением для скорости. Поле, имеющее близкое сходство с этим,
наблюдалось на мягкой стали, травленой для того, чтобы получить линии
Людерса, которые приблизительно совпадают с линиями скольжения; см.
F. Korber, E. S i e b e I, Mitt. Kais. Wilh. Inst. Eisenf., 1928, т. 10, стр. 97;
A. Nadai, Plasticity, N. Y., McGraw-Hill Book Co., 1931, стр. 249; русский
перевод: А. Н а д а и, Пластичность, М.—Л., ОНТИ, 1936.
2) R. Hill, Journ. Iron and Steel Inst., 1947, т. 156, стр. 513. Менее
точные вычисления даны В. В. Соколовским, Теория пластичности, М.,
Изд. АН СССР, 1946, стр. 143.

294 ГЛ. IX, ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ (н)
ческая область развивается таким образом, что вдавливание
начинается при нагрузке, определяемой по формуле (12), и
продолжается благодаря смещению материала вбок к свободной
поверхности; пластическая зона под штампом является попрежнему жестко
сдавленной вследствие непластического материала (высота ее
проникания, естественно, зависит от h/a). Таким образом, для
правильных измерений твердости посредством испытания на вдавливание
в условиях плоской задачи толщина материала должна быть не
меньше чем (приблизительно) в 4,4 раза больше ширины
наконечника прибора. Это до некоторой степени больше минимальной
толщины холоднообработанного металла, рекомендованной для
испытания по Бринеллю х), где существует большая свобода течения.
3
^ j I ■
1
1
1
1
1
1
1
j
2
г_
/ V--
/ 2
в 874
Ю$
Фиг. 73. Зависимость между напряжением
вдавливания и отношением h/a для массы
высотой /г, вдавленной плоским штампом
шириной 2а.
Влияние сопротивления трения F по плоскости основания,
очевидно, состоит в увеличении в каждой точке среднего сжимающего
напряжения на величину F/h; поэтому предельная нагрузка равна
L' = L-
2aF
h >
где L — нагрузка, когда плоскость является гладкой. Если
сопротивление трения может быть представлено посредством
коэффициента трения р., то F=-^^Lr и, таким образом,
L'=l/(l _«£-); L'<4*fl(l+i1r).
(14)
i) G. A. H a n k i n s, С. W. A1 d о u s, Journ. Inst. Metals, 1934, т. 54,
стр. 59.

5. ВДАВЛИВАНИЕ И ТЕОРИЯ ИСПЫТАНИЙ НА ТВЕРДОСТЬ 295
Напряженное состояние в прямоугольном бруске высотой 2h, в
который симметрично вдавливаются по противоположным сторонам
оцза штампа, очевидно, тождественно с напряженным состоянием
з бруске высотой h, который вдавливается одним штампом и
расположен на гладком жестком основании; горизонтальная плоскость
:имметрии в первом заменяется опорной плоскостью в последнем.
Гогда кривую зависимости между напряжением и деформацией
полосы в условиях плоской задачи до или после прокатки удобно
получать при вдавливании в полосу двух штампов *). Проведенное
зыше исследование показывает, что ширина штампов должна быть
приблизительно равна толщине полосы, если существует давление
сопротивления, дающее достаточно точное измерение предела
текучести (верхний предел ширины штампа неизвестен). Когда эта
предосторожность соблюдается, то находят, что согласие с кривыми
зависимости между напряжением и деформацией, полученными
другими способами, является хорошим; поэтому кажется, что при
пренебрежении неоднородностью деформации вводится
незначительная ошибка как при прокатке полосы, так и при самом испытании,
когда в любой стадии вдавливания определяется деформация,
соответствующая измеренному напряжению.
d. Значение испытания на твердость. Несмотря на то, что
мы в настоящее время не располагаем детальной теорией
деформации в течение вдавливания (за исключением клина, см. разд. 2, с
главы VIII) или зависимостью между нагрузкой и глубиной
проникания 2), качественное значение испытания на твердость очевидно
из предыдущего исследования. Для малых нагрузок деформация
является упругой и отпечаток исчезает после удаления нагрузки;
диаметр и глубина отпечатка описывается теорией упругого
контакта Герца3). При определенной нагрузке, зависящей от формы
индентера, в некотором элементе не обязательно на поверхности
происходит текучесть. У образца, первоначально свободного от
напряжений, при диаметре D шарика индентера первый элемент
течет на расстоянии приблизительно 0,25 D непосредственно ниже
центра отпечатка; соответствующее среднее давление сопротивления
на шарик приблизительно равно 1,1 К4). Тогда при дальнейшем
!) Н. Ford, Proc. Inst. Mech. Eng., 1948, т. 159, стр. 115.
2) Русские авторы (см. В. В. Соколовский, Теория пластичности,
М., Изд. АН СССР, 1946, стр. 145—160) вычислили поле линий скольжения
и нагрузки для вдавливания штампов различных форм на разную глубину,
но предполагали, что поверхность остается плоской; действительная трудность
задачи — это вычисление деформации поверхности и ее влияния на нагрузку.
3) S. T i m о s h e n k о, Theory of Elasticity, N. Y., McGraw — Hill Book Co.,
1934, стр. 339—350; русский перевод: С. П. Тимошенко, Теория упругости,
М. —Л., ОНТИ, 1937, стр. 372—384.
4) Там же, стр. 344 (и соответственно в русском переводе, стр. 377).
Относительно экспериментального подтверждения этой формулы см.
R. M. D a v i e s, Proc. Roy. Soc, Series A, 1949, т. 197, стр. 416.

296 ГЛ. IX. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ (il)
росте нагрузки пластическая зона распространяется от этого
зародыша. Если нагрузка потом удаляется, то восстановление является
только частичным: происходит остаточное вдавливание и в образце
возникают остаточные напряжения. Тейбор *) экспериментально
доказал, что восстановление в большинстве металлов происходит
упруго, так что повторное приложение той же нагрузки
восстанавливает первоначальный отпечаток, переводит каждый пластически
деформированный элемент обратно в состояние, соответствующее
пределу текучести; он показал далее, что величина упругой де-
формациии находится в соответствии с теорией Герца, Сперва
вследствие непластического материала пластическая деформация
вынуждена оставаться величиной порядка упругой. В
предварительно деформированном металле имеется, как мы видели, довольно
хорошо определяемая предельная нагрузка, при которой
пластическая зона распространяется до тех пор, пока стеснение вблизи
индентера становится недействительным; здесь материал
перемещается вбок по направлению к свободной поверхности,
подвергаясь относительно сильному искажению; при этом образуется
рельефный венец, характеризующий вдавливание в холоднообрабо-
танном металле. Предельная нагрузка обычно значительно больше
нагрузки, при которой появляется первое пластическое ядро, и
соответствует, согласно определению, крутому изгибу кривой
зависимости нагрузки от глубины проникания. Быстрота изгиба частично
зависит от формы индентера, являясь более заметной для плоского
штампа, чем для шарика, где налицо имеется непрерывно
увеличивающаяся поверхность контакта со средой; предельная нагрузка
является бесконечно малой для конуса, где (после проникания
получается огромный радиус кривизны верхушки) вид зависимости
напряжения и деформации остается действительно подобным, а нагрузка—
пропорциональной площади отпечатка. С другой стороны, в
совершенно отожженном металле кривая зависимости нагрузки от глубины
проникания всегда как следует закруглена; переход от малых
к большим пластическим деформациям происходит постепенно. Кроме
того, здесь или имеется небольшое перемещение материала выше
уровня первоначальной поверхности, или оно равно нулю и
получается «погружение» отпечатка. Мы можем понять различное
поведение холоднообработанного и отожженного металлов при
рассмотрении действительного отпечатка как компромисса между: а)
течением наружу поверхности, сопровождающимся неизбежно сильной
и локализованной деформацией, и Ь) направленным внутрь
перемещением, согласующимся благодаря упругости всего образца с
относительно малыми деформациями, распространяющимися по
значительно большему объему. Когда упрочнение незначительно, то
1) D. Tabor, Proc. Roy. Soc, Series A, 1948, т. 192, стр. 247.

5. ВДАВЛИВАНИЕ И ТЕОРИЯ ИСПЫТАНИЙ НА ТВЕРДОСТЬ 297
случай а) имеет место прежде, чем упругое сопротивление объема
может быть преодолено; когда упрочнение сильное, то нагрузка,
которая была бы необходимой, чтобы осуществить случай а),
настолько велика, что сначала происходит случай Ь).
Теперь рассмотрим зависимость давления сопротивления р
(нагрузка, разделенная на проекцию площади отпечатка) от формы
индентера и от свойств материала. Если индентер является
конусом, пирамидой или клином, то геометрическое подобие
означает, что в образце, первоначально свободном от напряжений,
P=^ = consi>
где d — диаметр отпечатка (измеренный в плоскости первоначальной
поверхности), когда нагрузка равна L и где значение константы
зависит от угла 2а при вершине, свойств материала и коэффициента
трения и. Если упрочнением пренебречь, то можно написать:
р = сУ, (15)
где Y—предел текучести при растяжении или сжатии, а с —
константа, значение которой зависит от а, |х и формы индентера. Когда
ос больше приблизительно 60°, а смазка является хорошей, то
найдено, что с лежит приблизительно между 2,5 и 3; точное его
значение мало зависит от а и от формы индентера1); это находится
в согласии с теорией для клина (разд. 2, Ъ главы VIII), где при
а —> 90°, если используется условие Мизеса (k = У/3), давление
равно
2ft(l +yirW2,97F.
Когда индентер представляет собой шарик или плоский штамп, то
рассмотрение размерностей показывает, что для шарика диаметром D
P = ~^ = fWD) (16)
и для штампа шириной D
где t — глубина проникания. Функции fug зависят главным образом
от свойств материала и лишь незначительно зависят от (л. В случае,
когда материал является предварительно напряженным, изменением
давления р с глубиной можно после предела текучести пренебрегать,
поскольку а и t малы по сравнению с D (как это обычно бывает),
и мы можем написать, что p = cY> где с снова, как показывают
1) R. F. Bishop, R. Hill, N. F. М о 11, Proc. Phys, Soc, 1945, т. 57>
стр. 147.

298 ГЛ. IX» ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ (и)
расчеты, имеет порядок З1). Поэтому общее заключение таково, что
количественные измерения при испытании на твердость, а именно
сопротивление прониканию, прямо пропорциональны пределу текучести
при растяжении, когда материал сильно предварительно
деформирован, и что коэффициент пропорциональности зависит от формы
индентера, но не отличается заметно от 3, когда используется смазка,
а образец был первоначально свободен от напряжений. Если перво*
начально в образце было остаточное напряженное состояние
(например, когда испытания на микротвердость выполняются в поперечном
течении прокатанного листа или тянутой проволоки), то это при
данной нагрузке влияет на форму и размер отпечатка; поэтому
давление сопротивления не обязательно равно твердости материала,
свободного от напряжений*
Теперь обратимся к отожженным или слегка предварительно
деформированным металлам. Так как пластическая деформация вокруг
индентера является неоднородной, то различные элементы упрочняются
различным образом, и поэтому твердость является довольно сложной
функцией всей кривой зависимости между напряжением и
деформацией в рассматриваемой области деформации. Мы можем, если
желаем, ввести среднюю эквивалентную деформацию s и написать:
Р*=сУ(г). (17)
где К(е) — зависимость между напряжением и деформацией при
растяжении. В действительности для любой выбранной величины с
формула (17) определяет г в каждой стадии проникания; оправдание
этой процедуры заключается, конечно, в том обстоятельстве, что
в случае, когда для с принимают значение, приблизительно равное 3,
деформация е оказывается приемлемой величиной. Рассмотрим,
например, испытание по Бринеллю. Мейер а) нашел, что для большинства
металлов функция / в формуле (16) может быть близко
аппроксимирована степенным законом
где Л — константа с размерностью напряжения, зависящая только
от материала, а т — положительный безразмерный показатель
степени, обычно меньший 0,5. Показатель т тем меньше, чем больше
величина предварительной деформации, и для сильно обработанных
металлов он почти равен нулю; для последнего случая степенной
закон (18) при малых d/D (соответственно деформациям порядка
упругих за пределом текучести) дает для р очень быстрый подъем,
сменяющийся резким искривлением и почти постоянным значением А
1) D. Tabor, цит. выше, стр. 296.
2) О. Е. Meyer, Zeits. Ver. deutsch. Ing., 1908, т. 52, стр. 645, 740 и 835.

5. ВДАВЛИВАНИЕ И ТЕОРИЯ ИСПЫТАНИЙ НА ТВЕРДОСТЬ 299
от /?. Тогда кривая зависимости напряжения от деформации при
растяжении может быть эмпирически представлена степенным законом
К = 5е», (19)
верным для умеренных деформаций (разд. 4, главы I), Тейбор нашел,
что в очень грубом приближении т~п. Допуская эту зависимость
для общих описательных целей и комбинируя (17), (18) и (19),
получим:
cBln~A(d/D)n
или
в ~ (A/Bc)lfn (djD). (20)
Таким образом, средняя деформация при испытании по Бринеллю
пропорциональна диаметру отпечатка. Для отожженной меди, у
которой А — 60 kzjmm^, B~45 кг/мм*2, n — 0,4, £~2,8, имеем
{AjBc)x!n <-*-'0,15. Отметим, что для сильно обработанного металла,
где п ~> 0, AJBc~l—Xn, причем X — некоторая положительная
константа; следовательно, (А/Вс) -> е~ .

ГЛАВА X
ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ
1. Основные уравнения
При осесимметричном распределении напряжения неисчезающими
компонентами являются ar, o0, az и xrZ, отнесенные к цилиндрический
координатам (г, Ь, z), причем ось z— ось симметрии. Не равные
нулю компоненты скорости и и w соответственно перпендикулярны
и параллельны этой оси; v — компонент скорости в окружном
направлении— равно нулю, так как течение ограничено плоскостями
меридианов. Напряжение и скорость не зависят от Ь и суть функции
только г, z и времени. Если объемные силы отсутствуют, а
инерционные напряжения незначительны, то уравнения равновесия будут:
д<зг f итГ2
ur — "Р а
(1)
Критерий текучести Мизеса (уравнение (9) главы II) сводится к еле-
дующему уравнению:
(Рг — ае) + (ав — oz) -(- 02 — аг) Ч~ 6тГ2 = 6 А • (2)
В цилиндрических координатах зависимости Леви — Мизеса примут вид
(см. приложение II)
да
~дг
а
г
dw
~dF
е,
= ^ (2^е — с2— ог),
^ = Х(2а2 — зг — ое),
о* да . <>ш
2Tr2 = 77 +
dr
(3)
Если пластическая область включает конечный отрезок оси
симметрии, то во избежание бесконечных значений для напряжений
необходимо, чтобы се = аг при г=0. Следовательно, так как ось

1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
301
симметрии является главным направлением напряжения, irz = 0,
а зг — oz= ±\fdk = zt К, когда г = 0; более того, # = 0, поскольку
ось симметрии является линией течения. Уравнения (1), (2) и (3)
составляют систему семи уравнений для определения семи
неизвестных (4 компонента напряжения, 2 компонента скорости и А). Имеется
только три уравнения, содержащих одни напряжения, однако
четвертое может быть получено из уравнений (3) посредством исключения
л, w и к (это приводит к дифференциальному уравнению третьего
порядка). Однако, так как в физической задаче устанавливаются
граничные значения напряжений, а не их производных, то для того,
чтобы быть уверенным в однозначности решения, в любом случае
должны быть рассмотрены уравнения для скоростей. Поэтому, вообще,
задача не является статически определимой.
Легко показать, что задача об осевой симметрии не является
гиперболической1). Допустим, что на кривой С (в любой
меридиональной плоскости) заданы компоненты напряжения и скорости. Если
распределение напряжения является непрерывным, то из (3) ясно,
что, вообще, градиент скорости может терпеть разрыв только тогда,
когда существует разрыв А. Но так как скорость должна быть
непрерывной (исключая, возможно, случай, когда С является
линией скольжения), то, как следует из второго уравнения (3),
А должно быть непрерывным само по себе (за исключением, может
быть, случая, когда и = 0). Поэтому, вообще, градиент скорости
при заданном напряжении и скорости на С определяется однозначно.
Таким образом, задача не может быть гиперболической2).
Следовало бы отметить, что если г увеличивается неограниченно, то
окружная скорость деформации е0 стремится к нулю, и мы в пределе
возвращаемся к уравнениям плоской деформации, которые являются
гиперболическими и для которых Я может быть разрывным. Это
существенное различие между задачами осевой симметрии и плоской
деформации следует непосредственно из того факта, что окружная
скорость деформации является конечной и непрерывной в первой,
но равна нулю во второй.
В то время как теория плоской деформации хорошо развита,
а методы решения специальных задач хорошо известны, ничего
*) R., Hi 11, Диссертация (Cambridge, 1948), стр. 42, выпущенная как
отчет 1/48 Научно-исследовательским институтом вооружения министерства
снабжения.
2) Это заключение было вновь установлено P. S. Symonds'oM, Quart.
Journ. App, Math., 1949, т. 6, стр. 448. Его метод заключается в демонстрации
того, что если на кривой С заданы компоненты напряжения и скорости и их
первые производные, то вторые производные компонентов напряжения и
скорости определяются однозначно. Повидимому, заключение не основывается
только на этой теореме, поскольку без доказательства предполагается, что
первые производные непрерывны; более того, в физических задачах
граничные условия обычно устанавливают только напряжение или скорость, а не
их градиенты.

302
ГЛ. X. ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ
подобного нет в настоящее время для случая осевой симметрии.
Например, неясно, как в принципе строить решение смешанных
краевых задач таких, как вдавливание конуса или волочение
проволоки. Осесимметричные распределения напряжения, установленные
ниже, или приближенны, или получены обратными методами и
впоследствии приведены в соответствие с физической сущностью
явления.
2, Выдавливание из сжимающейся цилиндрической втулки х)
Рассмотрим металлический стержень, который содержится внутри
тесно пригнанной цилиндрической втулки на части ее длины.
Допустим теперь, что втулка сокращается в радиальном направлении,
выдавливая стержень из каждого конца. Этот гипотетический процесс
походит на штамповку стержня между двумя диаметрально
противоположными полуцилиндрическими матрицами. Предположим, что
напряжение трения имеет постоянную величину mk (O^m^l), и
отыскиваем решение, в котором наклон главных осей не зависит
от z. Это по аналогии с циклоидальным решением Прандтля для
массы, сжатой между шероховатыми плитами (глава VIII, разд. 5, d),
должно аппроксимировать действительное распределение напряжения
в длинном стержне, за исключением зон вблизи краев и середины.
Пусть плоскость 2 = 0 выбрана проходящей через один конец
втулки, а ось z направлена внутрь него. Воспользуемся выражениями
хгг т-г и г ^
U ~ а
где U — радиальная скорость втулки, направленная внутрь, и а —
радиус стержня. Тогда имеем er = eQ и, следовательно, ог = а9. Под»
ставляя это в условие пластичности, получим:
г — 0г = °в — ов = Л|/ 3^1 — ^jr).
Вводя эти выражения вместе с уравнениями (4) в уравнения
равновесия, найдем, что они совместны и что
к а |
j (5)
%—!?+/»('-!S1)-«-1
где с — постоянная. Так как концы стержня свободны от
напряжения, то результирующая осевая сила в поперечном сечении должна
х) R. H i 11, цит. выше на стр. 301 (стр. 184 ссылки).

2. ВЫДАВЛИВАНИЕ ИЗ СЖИМАЮЩЕЙСЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ВТУЛКИ 303
быть уравновешена силой сопротивления трению по поверхности
стержня. Таким образом,
а
/
2%roz dr = — 2Tzmkaz
о
и также
2
[1— /(I—/7*2)3]. (6)
|/3ma
Уравнение несжимаемости таково:
dw да и 2U
дг дг г ~а
или
w 2г. , ч
Третье независимое соотношение, которому удовлетворяют и и -ш,
может быть получено, если взять отношение второго и четвертого
уравнений (3):
V —.«-И — JK3K(i-^y
Интегрируя, имеем:
•-* 2/3Vi-^i+c- <7>
U а т
где С — постоянная, которая должна быть определена так, чтобы
количество материала, протекающего в осевом направлении через
поперечное сечение было равно расходу материала вдоль втулки.
Это требует
а
— J* 2vrw dr = 2па (I — z) U9
о
где 2/ — длина втулки» Поэтому
С = -*+-±г-[1-У(1—т*)*]. (8)
а у 3 яг3
Для того чтобы скорость пластической работы была положительной,
в вышенаписанных уравнениях радикалы должны быть все
положительными. Методом, использованным для решения Прандтля, можно
показать, что первоначально плоские поперечные сечения искривляются
в эллипсоид вращения, наибольшая полуось которого равна а/т,
а наименьшая — 2(а0 — а)*/У~Ъта*, где а0—первоначальный радиус
стержня.

304
ГЛ. X. ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ
3. Сжатие цилиндра при некоторых распределениях усилий1)
В настоящем разделе применен обратный метод для получения
возможного пластического состояния в сплошном цилиндре, сжатом
при некотором распределении напряжения по его плоским концам.
Уравнение несжимаемости
dw *ди • и п
удовлетворяется компонентами скорости
и = — А/0 (у) cos ± , w = — AJ0 Щ sin у, (9)
где А и Ь — положительные константы, a J0(x)— функция Бесселя
нулевого порядка, определяемая так:
^ + ^+^о = 0; У0(0)= 1, Уо(0) = 0.
Разложение J0 по возрастающим степеням х дает:
Отметим, что w = 0, когда 2 = 0, и что г/ = 0, когда г = 0;
распределение и по поверхности представляет собой развитие выпучины.
Скорость деформации сдвига
да . дда
повсюду равна нулю и, следовательно,
*« = 0. (Ю)
Это согласуется с требованием, чтобы цилиндрическая поверхность
была свободна от напряжения. Оставшееся независимое уравнение,
вытекающее из соотношений для скоростей (3), таково:
•', »Ч*Л ,1Г\ ,.
где с/ и Oq — как обычно, приведенные напряжения, причем /
принимает значения от —2 до бесконечности, в то время как т\Ь
увеличивается от нуля до 3,83 (приблизительно аргумент второго нуля
функции У0).
1) R. НЩ, щп\ выше, стр. 301 (стр. 182 цитируемой работы).

3. СЖАТИЕ ЦИЛИНДРА ПРИ НЕКОТОРЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯХ УСИЛИЙ 305
Однако, когда тгг = 0, критерий текучести (2) может быть иначе
выражен так:
/2 . /2 , ^/2
<'+< + < =2Л».
но 0; =
■Од — а£, и, таким образом,
/2 | / / | /2
л3.
Комбинируя это с (11), имеем:
Jo —
У1+/+Я
*/_
У1+/+/2
Следовательно,
з = з' — з' = 2з'4-о';
■о =з' — о7 = 2о'-f зЦ =
*(/+2) }
fe(2/+l)
(12)
Наконец, мы должны удовлетворить уравнениям равновесия (1). Так
как тг2 —0, то, как следует из второго уравнения (1), az является
функцией только г, и, таким образом, из (12) видно, что аг и вь также
функции только г. Это совместимо с первым уравнением равновесия
при условии, что
dvr _ ч — *г k (/+2)
dr r
или
а
/+2
dr
Vl-bf+P г '
(13)
так как ог на свободной поверхности (г = а) равно нулю. Условие
того, что д. должно быть положительно, требует, чтобы
А
:tf/3raJ = — /l+/ + /d ^(j)cosj/3ftr> 0-
Таким образом, Jo(r/b) и cos(z/b) не должны менять знака, а радикал
должен быть положителен, так как У0 между первым и вторым нулем
является отрицательным. Если 2/ — длина цилиндра, это требует,
чтобы
Т^~2' "г ^ 3,83 (приблизительно).
Распределение напряжения по концам цилиндра, необходимое для
получения этого пластического Состояния, таково:
*« _ 2/+1. _ f /+2 ^
(14)
20 3*к. 1438. Р. Хылл

306
ГЛ. X. ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ
При этом напряжение с2 является сжимающим в центре, оно
уменьшается численно по направлению к краям, становясь растягивающим
там, если /(#/£) >—V2> т. е, если а/£>2,17. Параметр b остается
произвольным, он определяет полную нагрузку.
Настоящее решение не устанавливает способа, при котором
достигается это окончательное распределение внешнего напряжения;
подразумевается, что для определенных или даже для всех путей
нагружения цилиндр не может оставаться жестким (хотя бы частично
пластичным) до тех пор, пока окончательное состояние не будет
достигнуто. Точно так же для некоторых путей нагружения цилиндр
может не быть в конце концов полностью пластичным, даже хотя бы
и были приложены к нему напряжения, распределенные по закону (14).
Кратко говоря, невозможно сказать точно, какая задача решена;
в этом состоит обычный недостаток многих обратных «решений»
в пластичности.
4. Цилиндрическая труба под действием осевого растяжения
и внутреннего давления
Обычный метод при экспериментальном определении критерия
Текучести или зависимости (u, v) состоит в использовании полой трубы,
подверженной совместному действию осевого напряжения а и
внутреннего давления /?. При условии, что отношение t/a толщины
стенки к среднему радиусу достаточно мало, изменением осевого и
окружного компонентов напряжения по толщине стенки можно
пренебречь. Радиальное напряжение изменяется от —р на внутренней
стороне до нуля на наружной и им или полностью пренебрегают
по сравнению со средним окружным напряжением pajt, или грубо
принимают, что оно равно своему среднему значению —/?/2.
Интересно исследовать действительное изменение напряжений по
толщине в предположении справедливости зависимостей Леви—Ми-
зеса.
При условии, что труба является достаточно длинной,
напряженное и деформированное состояние действительно не зависит от z,
за исключением сечений, расположенных вблизи краев. Более того,
поперечные плоские сечения должны оставаться при деформации
плоскими. Поэтому общая радиальная и осевая деформация должны
выражаться с помощью компонентов скорости
1г . С 1г /1еч
я=— 27 + ~ > ^ = — > (15)
где / — длина базы измерения, а С—параметр, зависящий от
относительных скоростей удлинения и расширения* Уравнение несжимае-

4. ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ТРУБА ПОД ДЕЙСТВИЕМ ОСЕВОГО РАСТЯЖЕНИЯ 307
мости удовлетворяется, а зависимость (3) устанавливает, чтотГ2=0
и что
да —1С
дг
и
г
2/
— /
2/
г3
, с
| гъ
Если это подставить в условие текучести
то в результате найдем:
/г2 1г*
°r ^ 2/C *6 2/С
/■+&' * />
З'Зг*
4/2С2 г т- 4/2^а
где для того, чтобы скорость работы была положительной, радикал
должен иметь тот же знак, как и С. Второе уравнение равновесия (1)
тождественно удовлетворяется (так как irz ~ 0 и напряжения не
зависят от z), а первое дает
dvr ___ ац — or 2k
dr r "~~~
Следовательно,
/
1/ 1 l ЗЛИ 4/С
_ 5^1
* J'У ' + 47^ (»6)
где Ь — текущий внешний радиус. Поэтому внутреннее давление
равно
p = A(arcth|/"l+gJ-arcth/l+|^). (17)
Принимая / стремящимся к нулю, получим вновь хорошо знакомое
выражение
r a
для расширения трубы с закрытыми концами, когда упругими
деформациями пренебрегают. Когда С = 0, р = 0, а труба будет удлиняться
20*

308
ГЛ. X. ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ
под действием одноосного растяжения. Распределение осевого
напряжения таково:
gg _ аг~ (2сУ+°е) _ ^ 2/С
k ~ k
si
' 4/2С2
-arcth/l+|g + arc(h/"l+|^. (18)
Полное осевое усилие и давление /? являются функциями ///С;
другими словами, для получения заданных относительных скоростей
удлинения и расширения должна быть приложена определенная комбинация
нагрузки и давления. Внутренний а и наружный Ъ радиусы
изменяются в течение деформации; согласно (15) их скорости изменения
имеют вид
/ ч la х С : ,,. lb , С
а = и(а) = -ж + т, b = a(b) = -2l+T.
В сущности, это распределение напряжения было получено Надаи х),
использовавшим зависимости Хенки между напряжениями и
деформациями. Поэтому в решении Надаи а и w означают (малые)
перемещения, а /// заменяется полной осевой деформацией г2. Как
показано в главе II (разд. 6, а), соответствующие решения согласуются
только тогда, когда отношения напряжений постоянны, т. е. когда II 1С
является константой (деформации малы).
5. Обжатие труб2)
В то время как для трех предыдущих задач уравнения раздела 1
точно удовлетворяются, распределения напряжений, полученные здесь,
будут удовлетворять им приближенно. Сперва мы рассмотрим
процесс обжатия труб, в котором тонкостенная труба протаскивается
через матрицу, как на фиг. 74, а, или продавливается через нее, как
на фиг. 74, Ь* Стакан может быть подобным же образом протянут
или выдавлен, главная разница состоит в том, что в случае а) стакан
проталкивается через матрицу благодаря свободно установленному
внутреннему сердечнику, соприкасающемуся с основанием стакана,
но не поддерживающему стенку в течение его прохождения через
матрицу. Не считая краевых условий, процесс является тем же самым
как для стакана, так и для трубы. Цель исследования состоит в
вычислении усилия и изменения толщины стенки. Будем предполагать,
1) A. Nadai, Trans. Am. Soc. Mech. Eng„ 1930, т. 5?, стр. 193.
*) H. W. Swift, Phil. Mag., 1949, т. 40, стр. 883. См. также О. Sachs,
W. М. Baldwin, Jr., Trans. Am. Soc. Mech. Eng., 1946, т. 68, стр. 655,
которые, однако, не принимали во внимание изменения толщины.

5. ОБЖАТИЕ ТРУБ
309
что первоначально толщина была постоянной и что она мала по
отношению к длине контакта трубы с матрицей. Поэтому (если труба
достаточно длинна) получается установившееся состояние и по
аналогии с теорией волочения проволоки Закса или с теорией прокатки
полосы Кармана при пренебрежении изменением напряжения по
толщине должно получаться хорошее приближение.
Пусть р — давление в любой точке между матрицей и стенкой,
q — среднее растягивающее напряжение, параллельное стенке матрицы,
а з = —а9 —среднее окружное сжимающее напряжение. Пусть
<t\t
с/
Фиг, 74. Уменьшение отношения толщины к диаметру трубы
при а) волочении и Ь) прессовании. На рис. с) показаны
напряжения в малом элементе стенки.
t — толщина стенки при радиусе г, <х—коэффициент трения,
а а — половина угла матрицы (предполагаемой конической).
Рассмотрим напряжения, действующие на элемент стенки, ограниченный
меридиональными плоскостями, наклоненными на угол АО, и
плоскостями, перпендикулярными к местной образующей матрицы и
отстоящими на расстоянии dr/sin а (фиг. 74, с). Касательные напряжения,
действующие по концам элемента для обычных значений
коэффициентов трения, незначительны, тогда проекция сил, действующих
на элемент, на направление, перпендикулярное к матрице, дает;
o(t -J-Abft cosa ~ p(r ДО —r— i.
\ sin a; * \ sin «У
Следовательно,
a^COS a
(19)
Таким образом, р пренебрежимо мало по сравнению с а, когда t/r
мало, как предполагалось выше. Проекция всех сил, действующих
на элемент, на направление, параллельное матрице, такова:
d (qir М) + о {t£_.) Д6 sin a + ,,p (г Д9 ^ = 0,
Sin a/
sjna

310
ГЛ. X. ОСЕВ\Я СИММЕТРИЯ
или
dr ч * J ' ' sm я
Используя (19) для исключения р, имеем:
^-(r^)-b^(l + -i-ctga) = 0. (20)
Когда труба или стакан протягивается, то з и q оба являются
положительными и, таким образом, критерий текучести Мизеса может
быть аппроксимирован уравнением
q-^- a = mY (волочение), (21)
где т — постоянная, которой можно распоряжаться, чтобы получить
наиболее близкое полное соответствие с точным решением или
экспериментом. Когда стакан продавливается, а является положительным,
однако q—отрицательно. Тогда в последующем может быть
проверено, что а численно больше q для практического диапазона
уменьшений диаметра (< 30%) и, таким образом, критерий Мизеса может
быть аппроксимирован уравнением
a — mY (прессование), (22)
где т — опять означает постоянную, которой можно распоряжаться.
При установившемся состоянии отношение окружной скорости
деформации к скорости деформации в направлении толщины равно
-2s-ff
т. е.
(23)
dt q — a t
~dr ~~q~+YaT'
Исключение t из (20) и (23) приводит к
r dq , g(2q + a) + (1 -f ^ ctg a) <j (g + 2a) ^Q ^
Если теперь с помощью (21) или (22) исключить а, то получим
дифференциальное уравнение для q в функции г. Граничное условие
таково: # = 0, когда г = а (волочение) и q = 0, когда r = b
(прессование), где а и £ —соответственно первоначальный и конечный
радиус трубы. Когда r~b (волочение), q = D, где D — напряжение
волочения; когда г = а (прессование), — q~P, здесь Р—давление,
необходимое для продавливания. Аналогично, путем исключения г
из (20) и (23), получим зависимость между q и t
dt * q — a * ^ '
Граничное условие таково: q = 0, когда t = ta (волочение), ид — — P,
когда t = ta (прессование), где ta — первоначальная толщина стенки.
Интегрирование уравнения (24) дает зависимость q(r) между q и г,
тогда как интегрирование (25) приводит к зависимости q{t) между

5. ОБЖАТИЕ ТРУБ
311
д и t\ комбинируя их, получим зависимость t от г и, следовательно,
окончательную толщину. Формулы слишком сложны, чтобы стоило
их приводить; вычисленные значения напряжения и относительное
увеличение толщины показаны для [ictgcc — 0, 1/2 и 1 на фиг. 75.
Усилия, необходимые для волочения и прессования, соответственно
суть 2тг Dbtb cos а и 2nPatacosa (любопытное свойство настоящей
теории состоит в том, что, когда [х = О, D = Р). Поскольку
напряжение и относительное утолщение в любой точке являются функциями
Фиг. 75. Зависимость а) между нагрузкой и относительным
уменьшением диаметра и Ь) между относительным изменением толщины и
относительным уменьшением диаметра для волочения и прессования
(упрочнение отсутствует).
только г/а, то усилие для данной величины b/а прямо
пропорционально первоначальной толщине. Это является следствием
приближенности исследования и, вероятно, верно только тогда, когда труба
тонкостенная; действительно Болдуин и Говалд1) наблюдали, что
когда tja меньше приблизительно 5, толщина протягиваемой трубы
уменьшается в широком диапазоне обжатия. В практической
области влияние упрочнения на изменение толщины, как показал Свифт,
сравнительно невелико. Усилие может быть вычислено с достаточной
точностью при использовании среднего предела текучести.
Изменение толщины, показанное на фиг. 75, может быть
качественно понято из уравнения (23). При волочении, когда обжатие
*) V. М. Baldwin, Jr., Т. S. How aid, Trans. Am. Soc. Metals, 1944,

312
ГЛ. X. ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ
мало, а является доминирующим напряжением; таким образом,
разность q— о отрицательна и труба утолщается. Для больших обжатий
осевое напряжение q становится превалирующим вблизи выхода из
матрицы; поэтому разность q — с положительна и труба в этой
области утоняется; однако, за исключением очень больших обжатий,
по-прежнему имеет место результирующее утолщение (следовало бы
отметить, что величина t в данном положении г/а не зависит от
окончательного обжатия при волочении и зависит от него при
прессовании). В противоположность сказанному, поскольку при прессовании
осевое напряжение является сжимающим, разность q — а всегда
отрицательна и труба непрерывно утолщается. Таким образом,
результирующее изменение толщины много меньше при волочении, чем при
прессовании; действительно, Свифт показал, что при волочении, если
изменением t в уравнении равновесия (20) пренебречь, то в
вычисленных напряжениях и изменениях толщины существует небольшое
различие.
6. Распределение напряжения в шейке растягиваемого образца
После того как в цилиндрическом растягиваемом образце
образовалась шейка, распределение напряжения по поперечному сечению
не обязательно является равномерным. Величина, представляющая
собой отношение нагрузки к минимальной площади поперечного
сечения, условно нанесенная на диаграмме зависимости напряжения от
деформации, является тогда мерилом не одноосного предела
текучести, а среднего напряжения в шейке. Истинный предел текучести
за точкой максимальной нагрузки может быть определен из этого
испытания, только если напряженное и деформированное состояние
в шейке известно. Даже если материал не упрочняется по аналогии
с действием выточки, описанным в главе IX (разд. 3), то напряжение
по минимальному поперечному сечению, вероятно, переменно. Задача
о вычислении распределения напряжения в шейке является значительно
более сложной, чем для выточки, так как форма шейки неизвестна
и может быть определена только благодаря прослеживанию
постепенного ее развития. Кроме того, элементы шейки вследствие
различной деформации упрочняются на различную величину.
К счастью, если мы признаем экспериментальное доказательство
Бриджмена х), указывающего, что элементы в минимальном
поперечном сечении деформируются равномерно (с некоторой скоростью
в первом приближении), то возможно радикальное упрощение. Эти
элементы должны быть в одном и том же состоянии упрочнения,
с тем же самым пределом текучести Y\ более того, деформация,
t) P. W. Bridgman, Rev. Mod. Phys., 1945, т. 17, стр. 3. См. также
Н. Н. Д а в и д е н к о в, Н. И. Спиридонова, Proc. Am. Soc. Test. Mat.,
1946, т. 46, стр. 1147. Перевод статьи из журнала Заводская лаборатория,
1945, т. 11, стр. 583. {Прим. переводчика).

6. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ШЕЙКЕ РАСТЯГИВАЕМОГО ОБРАЗЦА 313
соответствующая этому пределу текучести, известна непосредственно
из замеренного уменьшения площади в шейке. Дальнейшее следствие
равномерной радиальной деформации состоит в том, что радиальная
скорость пропорциональна г; следовательно, окружная скорость
деформации sG = а/г равна в минимальном сечении радиальной скорости
деформации er ^ ди/дг. Отсюда при условии, что изотропия
сохраняется, следует, что, какой бы ни была зависимость (a, v), аг~оь.
Подставляя это в первое из уравнений равновесия (1), получим
(начало принимаем в центре шейки):
Иг I
dr
dz
О, когда 0 = 0.
(26)
Более того, так как напряженное состояние в каждой точке
минимального поперечного сечения представляет собой точно одноосное
Фиг. 76. а) Координатные оси главных напряжений
в шейке растягиваемого образца и Ь) построение
для вывода формулы Бриджмена.
растяжение с наложенным на него переменным гидростатическим
напряжением, то критерий пластичности будет:
а2 — зг=У, когда 0 = 0, (27)
при условии, что влиянием гидростатического напряжения на
текучесть пренебрегают. Комбинируя (26) и (27), имеем:
dr * dz
0, когда 0 = 0.
(28)
Второе уравнение равновесия, примененное для плоскости z = 0,
устанавливает, что <bz/cte = 0 (xrz равно нулю по симметрии); оно
бесполезно для последующего исследования.
Теперь введем замену переменного, которое характеризует
распределение напряжения в исследовании Бриджмена1). Пусть'!; — угол
наклона главной оси напряжения в меридиональной плоскости с осью
образца (фиг. 76, а). Если а3 и oL означают главные напряжения
1) P. W, Bridgman, Trans, Am. Soc. Metals, 1943, т. 32, стр. 553.

314
ГЛ. X. ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ
(когда z = 0y a3 равно з2), то уравнения преобразования компонентов
напряжения вблизи плоскости z = 0 дают с точностью до величин
первого порядка малости
Теперь условие текучести для элемента, близкого к этой плоскости,
может быть написано как
а3 — ot = F-j-член порядка ^.
Таким образом, т^таУф, и мы получим (точно)
\ dz )gssQ \dzjz=0 p '
где р — радиус кривизны продольной линии главного напряжения
в месте пересечения ею плоскости z = 0. Подставляя это в (28),
имеем:
_» j —о, когда г = 0.
аг ' р
Это уравнение иначе может быть выведено из рассмотрения
напряжений на малом криволинейном элементе, ограниченном главными
плоскостями *). Интегрируя и вводя граничное условие на
поверхности ое= У (так как ог здесь равно нулю), найдем:
(29)
3*
У ~~
У ^ J р
i =1+ \*1L
(30)
где а — радиус шейки, a az—среднее осевое напряжение.
За неимением точного решения для распределения напряжения
в шейке, мы можем оценить az путем произвольного выбора
приемлемой зависимости р от г. На поверхности р равно R — радиусу
кривизны (в осевой плоскости) шейки в ее основании (фиг. 76, а).
Так как главные направления в центре шейки направлены вдоль
осей z и г, кажется неправдоподобным, что р будет изменяться
иначе, чем путем постепенного увеличения от поверхности внутрь.
Следовательно, oz постепенно увеличивается внутрь от величины У
на поверхности. Поэтому радиальное напряжение является растяги-
г) Н. Н. Д а в и д е н к о в, Н. И. Спиридонова, цит. выше (стр. 312)

6. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ШЕЙКЕ РАСТЯГИВАЕМОГО ОБРАЗЦА 315
вающимх), a az больше У. Возможно, что шейка образуется таким
способом, что линии главного напряжения проходят плавно от
совпадения с поверхностью до совпадения с осью. Если это так, едва
ли можно намного ошибиться, предположив, следуя Бриджмену, что
поперечные траектории главного напряжения в окрестности
минимального поперечного сечения являются круговыми дугами,
пересекающими поверхность и ось перпендикулярно (фиг. 76, Ь). Пусть LM
будет такой траекторией в поперечном сечении, бесконечно близком
к минимальному сечению ОЛ, и пусть она пересекает его в N.
Пусть С — центр кривизны Р траектории РТ продольного главного
напряжения. С учетом величин первого порядка малости из
элементарных геометрических соображений имеем:
р2 m СГ2 = ОС2 — О Л/2 «(г -f р)2 — ON'2.
Следовательно, для любой точки Р на ОА> если подставить частные
значения г и р, соответствующие точке А, то
г2 + 2гр = const = а2 -f- 2а/?.
Таким образом,
Р^ 2г ' ( ^
Подставляя это в (29) и (30) и интегрируя, получим формулы,
данные Бриджменом:
*■-('+ ")'■('+&Н
Этот коэффициент стеснения представлен на фиг. 77 нижней кривой.
Приложение этой формулы на практике зависит от возможности
измерения радиуса R кривизны в основании шейки. Для сильно
разнящихся сталей Бриджмен нашел, что в первом приближении a/R
является функцией только уменьшения площади (все образцы имели
отношение длины к диаметру около трех). Его измерения,
простиравшиеся вплоть до уменьшений площади на 95%, показывают
разброс около средних значений, представленных эмпирической
формулой
^- = l/"ln^-0,l, (33)
*) Вследствие трехосного растяжения начало разрушения появляется
в центре шейки. Относительно экспериментального исследования развития
чашеобразного и конического разрушения см. S. L. Pumphrey, Ргос.
Phys. Soc, Series В, 1949, т. 62, стр. 647.

316
ГЛ. X. ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ
где Л0 — первоначальная площадь поперечного сечения, а Л —
текущая площадь минимального поперечного сечения. Согласно (33) R
равно бесконечности, когда уменьшение площади равно
приблизительно 10%; это представляет равномерную деформацию,
предшествующую образованию шейки. Поскольку последняя изменяется
со степенью холодной обработки,
предварительно данной
материалу, эта формула наименее точна,
когда полное уменьшение
площади мало; однако поправочный
коэффициент, применяемый для
замеряемого среднего
напряжения, в таком случае является
относительно незначительным.
Другая формула для az была
выведена Давиденковым и
Спиридоновой х), которые
предположили, что
_ Ra
Фиг. 77. Теоретическая зависимость
между коэффициентом стеснения и
отношением a/R, где а —радиус
минимального поперечного сечения, а
R — радиус кривизны шейки.
Это приводит к
v -i-4/?
У
что несколько больше коэффициента Бриджмена (см. фиг. 76).
7. Сжатие цилиндра между шероховатыми плитами
Зиб'ель2) (1923 г.) получил коэффициент, благодаря которому
среднее напряжение, замеренное в цилиндре при испытании на
сжатие, может быть грубо исправлено учетом влияния небольшой
величины трения о пластины. Анализ аналогичен уже описанному
в главе VIII (разд. 5, /) для испытания при плоском сжатии в том
смысле, что изменением напряжений в продольном направлении
пренебрегают. К тому же, а9 полагается равным а/, величина ошибки,
!) Н. Н. Давиде н ко в, Н. И. Спиридонова (цит. выше, стр. 312).
Они разрезали образец с шейкой и измеряли кривизны (в шейке)
деформированных волокон, первоначально параллельных оси. Они нашли, что
кривизна почти пропорциональна 1/г и поэтому предположили (без объяснения),
что продольные линии главного напряжения совпадают с направлениями
волокон.
2) Е. Siebel, Stahl und Eisen, 1923, т. 43, стр. 1295,

7. СЖАТИЕ ЦИЛИНДРА МЕЖДУ ШЕРОХОВАТЫМИ ПЛИТАМИ 317
вводимой этим предположением, неизвестна. Тогда, интегрируя
первое из уравнений равновесия (1) по z, получим:
где h — высота цилиндра, а р — давление на плиту на радиусе г
(xrz равно — \хр на верхней плите и + «р на нижней). Если \х мало,
то условие текучести может быть приблизительно написано как
где У—предел текучести, соответствующий текущей сжимающей
деформации. Исключая из этих уравнений ог, имеем:
dp 2\хр
W' /Г*
Интегрирование и подстановка граничного условия р = У при г = а
(так как ог = 0) дают:
р= Ye^te-W. (34)
Поэтому с точностью до величин первого порядка относительно jjl
среднее давление на плиты равно
а
J 2ъгр dr
Для получения истинного предела текучести замеренное среднее
напряжение должно быть разделено на коэффициент 1-}-2{ш/3/г; эта
поправка, вероятно, менее надежна, когда имеется заметное бочко-
образование. Линейное соотношение между р и a/h, которое
предсказывает уравнение (35) для образцов, находящихся в одном и
том же состоянии упрочнения, экспериментально в диапазоне a/h
от 0,5 до 1,5 наблюдалось на меди Куком и Ларком 1)\ их
результаты соответствуют величинам ц между 0,2 и 0,3. Экстраполяция
экспериментальной линии назад к нулевому значению a/h кажется
приемлемой и дала бы истинный предел текучести. Таким способом
на основе трех или четырех испытаний на сжатие образцов с
различным соотношением a/h (для большей точности предпочтителен
широкий диапазон их) может быть построена полная кривая
зависимости напряжения от деформации.
1) См. М. Cook, Е. С. Larke, Journ. Inst. Metals, 1945, т. 71, стр. 377,
в частности, фиг. И относительно сравнительных данных для тонкого диска
(a/h простирается до 50). См. также W. Schroeder, D. A. Webster,
Journ. App. Mech., 1949, т. 16, стр. 289. Здесь показано также, какии
образом эта теория должна быть модифицирована, когда напряжение трения
становится равным пределу текучести при сдвиге.

318
ГЛ. X. ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ
8. Зависимости вдоль линий скольжения и линий течения *)
Принимая линии скольжения в меридиональной плоскости за
криволинейные координаты, основные уравнения осесимметричной задачи
можно записать в более симметричной форме, которая полезна для
определенных целей. Обозначим максимальное касательное
напряжение в меридиональной плоскости через х, а среднее сжимающее
напряжение — -х- (ar + oz) в этой плоскости через /?. Тогда главные
напряжения будут —/?±т, с, где а означает окружное
напряжение Ofl, Критерий текучести (2) примет вид
t2 + (a + P)2/3 = & = Г2/3. (36)
Семейства линий скольжения а и р различаются знаком касательного
напряжения т (фиг. 78); правила будут те же самые, как и в тео-
Фиг. 78. Координатные оси в меридиональной
плоскости для осесимметричного пластического состояния.
рии плоской деформации. Угловую координату линии а, измеряемую
от направления г по направлению к положительной оси z,
обозначим через ср. Уравнения равновесия имеют вид
^+*+ji±£.|£__ljL(rt)==o,
ds„ ' R ' г ds„ r dsB v '
dsR • S ■ r dsa r ds„x '
(37)
где d/dsa и dfds* означают производные вдоль линий скольжения;
их общий смысл будет такой, что они образуют правую пару.
R и 5 — (алгебраические) радиусы кривизны линий скольжения,
определяемые посредством формул
1 ду 1 д<?
R ~~ dSa ' s OS* *
(38)
*) R. Hill, диссертация, Cambridge, 1948, стр. 40, выпущенная как
отчет 1/48 Научно-исследовательским институтом вооружения министерства
снабжения.

8. ЗАВИСИМОСТИ ВДОЛЬ ЛИНИЙ СКОЛЬЖЕНИЯ И ЛИНИЙ ТЕЧЕНИЯ 319
Имеют место также геометрические соотношения
дг
sin а ■
ds„
coscp :
дг
dso
(39)
Уравнения, связывающие скорости и напряжения (3), преобразуются в
да v \ / i \
= 2л(а + р),
■X(o-f-p).
: 6ХТ,
dsa
и sin «р + v cos <р
г
(?S
ди
<?S я
*L-U — Ч~ —
(40)
где а и v означают компоненты скорости, отнесенные к линиям
скольжения (значение а в настоящем разделе не должно смешиваться
с его предыдущим значением, как радиальной скорости).
Исключение А из первых двух уравнений (40) дает:
да
a sin cp ~|- v cos cp
С помощью (38) это выражение принимает вид
= 0.
dr
аналогично
da — v dcp -f- (и -|- v ctg cp) -J- = 0 вдоль линии а,
dv~{~ad(o -f-(z;-f-tf tgcp) —= 0 вдоль линии р.
(41)
J
Эти зависимости отличаются от уравнений Гейрингер в теории
плоской деформации только дополнительными членами, содержащими г
(которые исчезают при г-> со). Уравнения (41) представляют два из
трех независимых соотношений, которые могут быть выведены путем
исключения к из (40). Чтобы найти третье соотношение, умножим
четыре уравнения группы (40) соответственно на #3, 1/2 (и2~\- v2) —
— 3uvzj(a-\-p)t v2, uv и все это сложим. Тогда R, S и к исчезают
и мы найдем:
т("^-+*^т)("2 + ^)Н-
+ {—2—
3uvi \
dS„
ds,
-)ln.
Теперь
dsa
daS

320
ГЛ. X. ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ
— производная вдоль мгновенного направления течения. Следовательно,
обозначая через q полную скорость Yu2~-\~v2> вдоль линий
скольжения в данный момент времени имеем:
d№) = ^jdr. (42)
Умножая уравнения (37) соответственно на d$a и ds^t получим:
dp -f- 2т dy + (а + р — xctgcp)— = ^—dsa вдоль линии а,
Г 0Sp
dp — 2т^ср4-(с + /? — xtg?)— = -^—<fcp вдоль линии р.
(43)
Эти соотношения не являются такими простыми, как зависимости для
скоростей благодаря производным от х в правой части.
Если теперь вместо (36) примем критерий Треска, тогда, если о —
промежуточное главное напряжение, то х = у К, а уравнения (43)
станут:
dp-\-2idy-\-(a-\-p — xctgcp)— = 0 вдоль линии а,
dp—2xd<p4~(a + /? — "*£?) — = 0 вдоль линии (3.
(44)
Эти зависимости отличаются от уравнений Хенки для плоской
деформации только членами, содержащими /\ Однако это не означает,
что здесь линии скольжения являются характеристиками и также,
что осесимметричная задача может быть решена с помощью
технических приемов теории плоской деформации. Зависимости для трех
скоростей налагают определенные ограничения непрерывности на
производные от напряжения, и для того, чтобы определить
окружное напряжение а, нужно обратиться к этим зависимостям.
Некоторые авторы для полной аналогии с уравнениями плоской
деформации принимают искусственное и нереальное условие
текучести, первоначально выдвинутое Харом и Карманом 1) (1909 г.). Это
условие не позволяет напряжению свободно перемещаться по
кривой текучести, а требует, чтобы оно было фиксированным в
положении или одноосного растяжения, или одноосного сжатия. В случае
осесимметричной задачи оно устанавливает, что о равно одному из
двух других главных напряжений, так что о-\-р~±112У и
zz=1j2Y. Таким образом, с может быть сразу исключено из (44),
а линии скольжения становятся характеристиками для напряжений.
Однако, если распределение напряжения определяется таким путем,
то, вообще, невозможно найти связанного с ним распределения ско-
!) А. На а г, Th. von К а г m а п, Nachr. Ges. Wiss. Gottingen, Math-
phys. Klasse, 1909, стр. 204.

8. ЗАВИСИМОСТЬ ВДОЛЬ ЛИНИЙ СКОЛЬЖЕНИЯ И ЛИНИЙ ТЕЧЕНИЙ 321
рости, удовлетворяющего зависимостям Леви — Мизеса, так как
имеется три независимых уравнения и только два компонента
скорости. Критерий Хара — Кармана был использован в задаче о
вдавливании плоского цилиндрического штампа в плоскую поверхность.
Напряжение вдавливания было вычислено приблизительно Хенки *),
который предположил, что поле линий скольжения идентично полю
для аналогичной задачи о плоской деформации, и поэтому
интегрировал уравнения (44) вдоль семейства линий скольжения, проходящих
от свободной поверхности к штампу. Ишлинский 2) улучшил
решение Хенки, определив действительное поле численным
интегрированием уравнений (44) вдоль обоих семейств линий скольжения; для
среднего давления вдавливания он получил величину, равную 2,85К.
Ишлинский также вычислил поле под сферическим наконечником
аппарата для испытания твердости металлов вдавливанием,
предполагая, что к моменту деформации там был отпечаток, и, таким
образом, пренебрегая перемещением поверхности. Такие вычисления
имеют небольшое или не имеют никакого значения, так как
гипотеза Хара — Кармана для металлов физически нереальна и она вводит
ошибку неизвестной величины.
1) Н. Не ncky, Zeits. ang. Math. Mech., 1923, т. 3, стр. 241.
2) А. Ю. Ишлинский, Прикладная математика и механика, 1944,
т. 8, стр. 201.
21 Зак. 1438. Р. Хилл

ГЛАВА XI
СМЕШАННЫЕ ТЕМЫ
1. Глубокая вытяжка
В процессе глубокой вытяжки тонкая круглая заготовка
принимает форму цилиндрического стакана, открытого в вершине и
закрытого в основании. Заготовка помещается над матрицей с кру-
а) Ь)
Фиг. 79. Глубокая вытяжка круговой заготовки в
цилиндрический стакан: а) вид сбоку, Ь) план.
говым отверстием и закругленными краями (фиг. 79, а)\ обычно для
доведения сморщивания до минимума употребляется складкодержа-
тель г). Штамп опускают на заготовку, вытягивая для образования
стенки стакана его внешнее кольцо по матрице. Переменными здесь
являются радиус края, форма штампа, смазка, зазор между
штампом и матрицей и между складкодержателем и матрицей 2).
Последующий анализ ограничивается вычислением напряжений и
деформаций во внешнем кольце заготовки, в то время как она радиально
вытягивается по направлению к краям матрицы.
*) Относительно теоретического и экспериментального исследования
сморщивания см. W. М. В а 1 d w i n, Jr., Т. S. H о w a 1 d, Trans. Am. Soc.
Metals, 1946, т. 38, стр. 757.
2) Об оценке влияния этих переменных см. Н, W. Swift, Proc. Inst.
Auto. Eng.; 1939, т. 34, стр. 361.

I. ГЛУБОКАЯ ВЫТЯЖКА
323
а. Плоская деформация. Если между складкодержателем и
матрицей имеется фиксированный зазор, равный толщине материала,
заготовка вытягивается в условиях плоской деформации (на практике
это реализуется редко даже приблизительно вследствие упругости
машины; обычно имеется большее утолщение, чем то, которое
следовало бы ожидать из номинального зазора). Трением между
заготовкой и матрицей пренебрегаем. Пусть аг и а6 — радиальный и
окружной компоненты напряжения в кольце на радиусе г (фиг. 79, Ь).
Уравнение равновесия такое же, как и при расширении толстого
цилиндра,
4F^ 7 '
Если упрочнение отсутствует, то
аг—~<зь — 2&, аг = 2&1п —,
где 6 —наружный радиус заготовки в данный момент. Условие
плоской деформации может быть сохранено благодаря складкодержателю,
если только az является сжимающим напряжением. Это требует,
чтобы
0g = ^(ar + 3e)^2&(lny—у)<0 для я<г<£,
где а — радиус отверстия матрицы. Это справедливо для всех b при
условии, что In (b0fa)4^ 7г» или bja ^ х/2е^ 1,36, где Ь0
первоначальный радиус заготовки. Если bja больше этой величины, то
заготовка вблизи краев матрицы утоняется и теорию нужно
модифицировать. Окружное напряжение численно имеет наибольшую
величину на краю, где оно является сжимающим и равным 2k.
Радиальное напряжение приблизительно там, где заготовка перетягивается
через край матрицы, равно 2k\n{bja)\ оно является наибольшим,
когда вытяжка начинается.
Чтобы исследовать влияние упрочнения, мы должны найти
деформацию, кольца на любом радиусе г. Пусть 5—первоначальный
радиус элемента, который перемещается до радиуса г, когда
внешний радиус заготовки равен Ь. Тогда
s2 — r2 = b20— b2. (1)
Приращение деформации состоит в окружном сжатии, равном (—dr)/r;
это эквивалентно сдвигу, составляющему 2(—dr)/r (техническое
определение). Поэтому эквивалентная полная деформация сдвига
равна 2 In (s/r). Следовательно, если зависимость между сдвигающим
напряжением т и технической деформацией сдвига f есть х = /(-у),
то условие текучести с учетом (1) таково:
or_e, = 2/(21nf) = 2/{ln(l+ib£)}.
21*

324
ГЛ. XI. СМЕШАННЫЕ ТЕМЫ
Подстановка этого выражения в уравнение равновесия и
последующее интегрирование ведут к следующему выражению:
°r = 2 / In 1
Г
Поэтому радиальное напряжение Т на краю (/* = а) равно
Г* )) Г *
а
Если материал перед вытяжкой отожжен, то максимальная
величина Т не возникает в начале вытяжки (т. е. в пределах
перемещений порядка упругих). Наибольший начальный наклон кривой
зависимости между напряжением и деформацией, для которого Т
достигает своего максимума, вначале определяется уравнением
ь0
°-(£Ц-2
f-|v<
Отсюда
/(0)
/'(0) =
а*
Если начальная степень упрочнения сдвига больше этой величины,
то напряжение у краев является наибольшим на некоторой более
поздней стадии вытяжки.
Ъ. Плоское напряженное состояние х). Если к складкодержа-
телю приложена такая фиксированная нагрузка, что среднее
давление, передаваемое на заготовку, мало по сравнению с текущим
пределом текучести материала, то заготовка, в сущности, вытягивается
в условиях плоского напряженного состояния (более общую теорию
плоского напряженного состояния см. в разд. 4 этой главы). Так
как бг является растягивающим, а <jq— сжимающим, то критерий
Треска дает:
о^ — а9 = 2/г,
где k = У/2. Это выражение является также прекрасным
приближением к критерию Мизеса, если вместо 2k мы подставим тУ, где
т — эмпирическая константа, несколько большая единицы (см. стр. 32):
оптимальное значение т возрастает со степенью вытяжки. Впослед-
1) R. H i 11, British Iron and Steel Research Association, Rep. MW/E/48/49;
результаты воспроизводятся здесь благодаря любезно лу разрешению
директора Британской научно-исследовательской ассоциации железа и стали
(BISRA).

1. ГЛУБОКАЯ ВЫТЯЖКА
325
стваи может быть проверено, что эквивалентная деформация
в любом элементе никогда не превышает больше чем
приблизительно на 3% численную величину окружной деформации
| ц | = In (s/r).
Следовательно, если зависимость между напряжением и деформацией
при растяжении будет a = H(s), то мы можем в качестве хорошего
приближения написать (с точностью того же порядка, с которой
известно И в производственной практике):
Подставляя это в уравнение равновесия
A(/n>,)=ft(ge-a,)
dr y r/ r
где h — местная толщина заготовки, получим:
Если v означает радиальную скорость частицы в пластине,
измеряемую по отношению к Ь как к шкале времени, зависимости
Леви — Мизеса дают:
гг dvjdr 2ar — gQ __ сгг + И
ТГ v!r 2c?q — сгг ~~аг — 2Я"
(3)
Изменение толщины находится из уравнения несжимаемости
1 Dh . dv . v л D д . д
J~m+W + 7-0' где Ж^Ж + "дГ-
С использованием (3) дифференциальная форма этого уравнения
станет (взятая вдоль траектории частиц йг — vdb — 0)
dh И — 2 jr dr ,м.
~h ~~~ 2Н—ог У • w
Уравнения (2), (3) и (4) являются гиперболическими и решаются
посредством численного интегрирования вдоль характеристик db = 0
и dr — vdb = 0 в плоскости (/-, Ь). Если начальный радиус заготовки
взять равным единице, то (без потери общности) граничные условия
будут:
с == U, — =:—=, v=l, вдоль края г = Ь\
К Уь
о, = //(0)!п±, J--1. V = ,(l_^lni
Для того чтобы у заготовки на краях не образовалась шейка прежде,
чем она станет полностью пластической, необходимо, чтобы ради-

326
ГЛ. XI. СМЕШАННЫЕ ТЕМЫ
альное растягивающее напряжение не превышало бы И(0); это
гарантируется, если относительная вытяжка меньше е (2,718 . . .). Найдено,
что в уравнениях равновесия изменением толщины заготовки можно
пренебречь в любой момент; при этом, когда относительная вытяжка
меньше 2, наибольшая ошибка при определении ог не превышает 5%.
Максимальная ошибка при установлении положения любой частицы
получается вблизи краев, порядок ее составляет 1/3000, тогда как
максимальная ошибка при нахождении толщины равна приблизительно
1/500. Поэтому для большинства целей достаточно написать:
^= — i/Jln-. (2')
dr r r v ;
Когда И является постоянным, мы получаем аналитическое
выражение для траекторий частиц. Подстановка
arfH=\n(b/r)
в уравнение (3), сопровождаемая простым интегрированием, ведет
к выражению
S:X = t(1 — т,пт)~8; r=s' ког^*==1-
Точный интеграл этого уравнения громоздок и для практических
целей более удобно использовать приближенное решение
rVb\n — = 5 In — ,
г г s '
которое в рассматриваемой области верно с точностью до 1/1000,
Теперь уравнение несжимаемости может быть записано следующим
образом (Ь — константа):
hr dr = h0sds.
Совместно с предыдущей эта формула дает:
А— ^ У"^" 1 — inыг
h0 г 1 — In 1/5'
Однако благодаря увеличению ошибок в эмпирической формуле
для г это выражение преуменьшает суммарную толщину в
некоторых точках приблизительно на 3%. Этого избегают посредством
численного интегрирования уравнения (4), которое дает изменение
толщины. Точные контуры толщины, когда И является константой,
вычисленные по уравнениям (2), (3) и (4), для различных стадий
вытяжки показаны на фиг. 80. Толщина тянутого стакана несколько
меньше найденной вследствие изгиба по матрице х) (см. разд. 2).
1) Н. W. Swift, Engineering, 1948, т. 166, стр. 333 и 357; ту же самую
статью можно также найти в Proc, 7-th Int, Cong. App. Mech., London, 1948,

1. ГЛУБОКАЯ ВЫТЯЖКА
327
Найдено, что положения частиц мало зависят от особенности
зависимости между напряжением и деформацией материала; например,
положения для Н = const и //ос"|/"е отличаются меньше чем на 1%
в большей части области. Большое различие наблюдается в толщине;
при этом общая тенденция деформации упрочнения состоит в умень-
Фиг. 80. Относительное увеличение толщины кольца
при различных стадиях в течение глубокой вытяжки
(без упрочнения).
шении приращения толщины кольца в любой момент. Таким образом,
когда Н ее Yг и & = 0,9, толщина очень немного больше у
матрицы, чем у края; обратное справедливо, когда время b уменьшается
до 0,7. Толщина внешнего края для данного уменьшения наружного
радиуса, конечно, не зависит от деформации упрочнения, так как
он всегда находится в состоянии чистого сжатия. Когда кривая
зависимости напряжения от деформации плавно изогнута, траектории
частиц хорошо аппроксимируются формулой
которая получается благодаря пренебрежению изменением толщины
заготовки в любой момент.
В более раннем исследовании Закса х) предполагалось, что частицы
перемещаются вдоль траекторий (1). Это довольно плохое
приближение, дающее при определении положения частиц ошибку вплоть
*) G. Sachs, Mitt. d. deutschen Materialsprufungsanstalten, 1931, т. ^ 16,
стр. 11. Приближение b — г=1 — 5 было использовано К. L. Jackson'oM,
Journ. Inst. Prod. Eng., 1948, т. 27, стр. 709; Sheet Metal Industries, 1949,
т. 26, стр, 723 и 1447,

328
ГЛ. XI. СМЕШАННЫЕ ТЕМЫ
до 10%. Затем при вычислении толщины Закс использовал
уравнение (4), предполагая, что упрочнение равно нулю; этот результат
преувеличивает истинную теоретическую толщину в данной точке
вытягиваемой заготовки на несколько процентов, но близко
согласуется с окончательной толщиной данного элемента.
2. Общая теория изгиба листа 1)
В элементарной теории изгиба листа (глава IV, разд. б)
предполагается, что деформации настолько малы, что поперечными
напряжениями, вызываемыми кривизной, можно пренебречь. Допускается
также, что в течение всего процесса деформирования нейтральная
поверхность совпадает с центральной плоскостью листа. Эта теория
представляет собой хорошее приближение при условии, что
окончательный радиус кривизны не меньше четырех-пяти толщин листа.
Теперь мы исследуем напряженное состояние, а также перемещение
нейтральной поверхности и отдельных элементов, когда деформации
имеют любую величину. Анализ ограничивается изгибом широкого
листа или стеожня, у которого деформация в направлении ширины
пренебрежимо мала. Вначале предполагается, что изгиб производится
парами сил, приложенными вдоль противоположных краев и что
никаких других внешних сил не имеется. Для большей ясности в опи-
сании основных особенностей процесса допустим, что упругими
деформациями можно пренебречь и что материал не упрочняется.
а. Распределение напряжения. Полагают, что в части листа,
достаточно удаленной от области поиложения моментов, вдоль
каждого поодольного волокна напряжение и деформация одни и те же.
Эта часть листа деформируется таким образом, что ее толщина
остается постоянной, а ограничивающие ее плоские поверхности
становятся цилиндрическими; это мы проверим впоследствии. Пусть
а и Ь—-внутренний и наружный радиусы кривизны в любой момент»
a t — толщина (фиг. 81). Из симметрии деформации следует, что
главные напряжения в плоскостях изгиба действуют в радиальном и
окружном направлениях. Если с0 — окружное, а ог — радиальное
напряжение, то уравнение равновесия таково:
dr r
Пусть с — радиус волокна, которое при дополнительной бесконечно
малой деформации не испытывает изменения длины; цилиндрическая
поверхность, содержащая эти волокна, называется нейтральной по-
*) R. Hill, British Iron and Steel Research Association, Report MW/B/6/49;
результаты воепрэиззодятся благодаря любезному разрешению директора
31SRA. Экспериментальные исследззания оп 1саны О. S. Sangdahl'oM,
Jr., E. L. A u Гом, G. S а с h s'om, Proc. Soc. Exp. Stress Analysis, 1948, т. 6, стр. 1.

2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИЗГИБА ЛИСТА
329
верхностью. Волокна, расположенные снаружи этой поверхности,
мгновенно удлиняются, а внутри — сжимаются. Так как
предполагается, что изгиб имеет место в условиях плоской деформации, то
критерий текучести имеет вид
а6 — аг = 2k (с < г < ft),
2k
X)
(5)
■J% = 4к {а <> ^ с
Подстановка (5) в уравнение равновесия и интегрирование его после
использования того обстоятельства, что zr равно нулю на обеих
поверхностях, дают:
3r = — 2k\nb/r (£</•<£), )
?г = — 2k In г/а (а < г < с). J (6)
Так как по соображениям равновесия на нейтральной поверхности зг
должен быть непрерывным, имеем:
2Aln- = 2&1п~.
с а
Таким образом, радиус нейтральной поверхности равен
с = Yab.
Из (5) и (6) окружное напряжение таково:
а6 = 2k {1 — In (b/r)} (с < г < b),
ав = — 2Л {1 + In (г/а)} (а < г < с).
Распределение зг и ае схематически показано на фиг, 81. На
нейтральной поверхности радиальное напряжение имеет максимальное
■Л
(7)
(8)
Фиг. 81. Распределение радиального и окружного
напряжений в листе при плоской деформации (без
упрочнения).
численное значение, равное k In (b/a). Очевидно, поскольку мы должны
удовлетворить условию, что по поверхностям листа не действуют
никакие внешние силы, распределение напряжений (8) по поперечному

330
ГЛ. XI. СМЕШАННЫЕ ТЕМЫ
сечению листа должно быть автоматически эквивалентно паре сил.
Действительно, результирующее усилие по поперечному сечению
таково:
ь ъ
\^dr^\ IF ^r)dr = ^rt = 0.
a a
Пара сил на единицу ширины равна
ь
G = I зег dr,
а
где для удобства выполнения интегрирования моменты взяты
относительно центра кривизны. Подставляя сюда aQ из (8), после
интегрирования имеем:
Вводя сюда значение с согласно (7), получим:
йг=4<*-в>9=4Л <9>
д. Деформации при изгибе. Пусть и da— радиальный
{направленный внутрь), zvdoi—окружной компонент перемещения элемента
в течение дополнительной малой деформации, при которой угол
изгиба а {на единицу первоначальной длины) увеличивается на da.
Поскольку мы пренебрегаем упругой сжимаемостью, компоненты
перемещения должны быть такими, чтобы объем не изменялся.
Более того, они должны быть совместны с распределением
напряжения (6) и (8); это требует, чтобы связанная с ним деформация
представляла собой окружное удлинение в элементах снаружи
нейтральной поверхности и сжатие их внутри нее. Эти условия
удовлетворяются, если
-5('+г)- —?■ <"»
Где 6 —угол между радиусом и плоскостью симметрии.
Соответствующее приращение деформации имеет компоненты
dee = _dsr = (l —~-)т£, ^г9 = 0. (И)
Поскольку и постоянно при постоянном г, поверхности листа
остаются цилиндрическими, и так как v пропорционально г, то
радиальные сечения остаются плоскими. Чтобы представить перемещение
листа как жесткого тела, целиком параллельного плоскости
симметрии, нужно к и добавить произвольный множитель cos 0, а к v

2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИЗГИБА ЛИСТА
331
добавить тот же множитель sin 6. Таким образом, мы можем
удовлетворить дополнительному условию: например, что некоторая точка
листа фиксирована. Для настоящих целей проще всего сделать
неподвижным центр кривизны, как в (10). Приращение деформации
может быть тогда очевидно представлено как сумма двух
деформаций:
#~ v==0 (a); ^ = 0-, v = —. (b)
Первая представляет собой внутреннее радиальное перемещение, как
при равномерном обжатии полой трубы; второе представляет собой
равномерную окружную деформацию величины da/2a.
Непосредственный вывод из уравнения (10) состоит в том, что
толщина не изменяется. Таким образом, уменьшения внутреннего и
наружного радиусов будут:
- da ~ (я + М ^ ~ (а + ^) о~ >
\ ' а) 2а ч ' ' 2а
и, таким образом, db — da = dt = 0.
Следовательно, с этого времени t можно рассматривать как
константу; из (9) следует, что пара сил G не зависит от величины
пластического изгиба —результат, который верен только для не-
упрочняющегося материала. Зависимость между внутренним радиусом
и углом изгиба находится приравниванием начальной и конечной
продольной площадей; тогда как L — первоначальная длина листа
U = ±(b* — a*)La, ^-^r^* (12)
Поэтому работа, произведенная на единицу ширины листа, равна
4 а-\~Ь
а на единицу объема будет:
ь b — а __^ k
Т^.^~2^' (13)
с. Перемещение отдельных элементов. Хотя толщина листа
остается постоянной, расстояние внутренних элементов от
поверхностей изменяется. Действительно, согласно (11) элементы радиально
сжаты снаружи нейтральной поверхности и радиально растянуты
внутри нее. Рассмотрим перемещение волокна на расстояние mt/2
от центральной плоскости неизогнутой полосы (—1^/ra^l; m
рассматривается как положительная величина на выпуклой стороне).
Пусть г — радиус кривизны волокна, когда внутренний радиус есть а.

332
ГЛ. XI. СМЕШАННЫЕ ТЕМЫ
Так как предполагается, что материал несжимаем, то волокно
должно непрерывно разделять радиальное сечение на две равные
площади. Следовательно,
\+т
■ т
r* — c£
или
^V^jC^ + ^ + ^C»* — **)"*•
(14)
Таким образом, конечный радиус г0 первоначально центрального
волокна (т = 0) равен
г0 = /"-
сР + №
Конечно, это волокно в его конечном положении ближе к выпуклой
поверхности (фиг. 82). Подставляя в (14) /*=£, найдем, что
первоначальное положение волокна,
в конце концов совпадающего
с нейтральной поверхностью,
таково, что
£ — а
Первоначально
центральное
валтно
т ■■
ющееся
вОЛ'ЖНО
Ь + а '
Afj^tf)
Фиг. 82. Относительное перемещение
продольных волокон в течение изгиба
листа.
радиуса с, непрерывно сжимаются.
b
Тогда нейтральная поверхность
первоначально совпадает с
центральной плоскостью и во время
изгиба приближается к
внутренней поверхности. Следовательно,
все волокна, первоначально
расположенные на стороне
растяжения центральной плоскости
(w^>0), непрерывно удлиняются,
тогда как все волокна,
окончательно расположенные внутри
Волокна, для которых
Ь + а
< w < 0
или
с<г<
/■
а* + №
захватываются нейтральной поверхностью в некоторой
промежуточной стадии и поэтому они сначала сжимаются и впоследствии
растягиваются (таким образом, эффект Баушингера будет реализоваться
на практике). Нейтральная поверхность проходит часть толщины
листа, составляющую tjAa.
В каждой стадии изгиба имеется одно волокно, которое
испытывает равные величины сокращения и удлинения, результирующее

2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИЗГИБА ЛИСТА
333
изменение длины которого равно нулю. Из (12) радиус этого волокна
равен
Таким образом, волокно, которое не испытывает результирующего
изменения длины, совпадает в рассматриваемый момент с
центральной поверхностью листа. Согласно (14) его первоначальное
положение таково:
1 Ъ — а
2 b + a
Можно показать, что влияние упрочнения таково, что учет его
приводит к перемещению нейтральной поверхности к вогнутой
стороне и ведет к утонению листа.
d. Изгиб с растяжением. Теперь допустим, что изгиб
производится, когда лист растягивается силами Т (на единицу ширины),
приложенными на краях. Линия действия каждой растягивающей
силы предполагается нормальной к конечному радиальному сечению
(т. е. направлена по касательной к окружному направлению).
Растягивающие силы имеют направленную внутрь равнодействующую,
которая, как предполагается, уравновешивается равномерным
давлением /?, приложенным по внутренней поверхности листа. Из условия
равновесия очевидно, что
Т = ар. (15)
Компоненты напряжения равны
аг = — 2k In у , aft = 2^1-!ny)
аг = —р— 2k In — , cQ = —р— 2k(1 -(-In — J
Гак как ar на нейтральной поверхности должно быть непрерывным,
то радиус с удовлетворяет соотношению
с2 = аЬе~&2к. (16)
Поэтому нейтральная поверхность при приложении растягивающих
напряжений смещается внутрь. Можно показать, что изгибающий
момент G на единицу ширины, отнесенный к центральному волокну,
определяется формулой
|1=!(^ + &3 —2a0e-*V2*a)_g. (17)
Поверхности листа остаются цилиндрическими, а перемещения по-
прежнему определяются посредством выражений (10). Однако тол-
(с < г < by,
(a < г < с).

334
ГЛ. XI. СМЕШАННЫЕ ТЕМЫ
щина листа не остается постоянной. Действительно,
Ь /2а v ' ><!*
и, таким образом,
di ^db t(e^2k~\)
da da t + a(e*l2k+\)' '
Следовательно, приложение растягивающих сил вызывает
уменьшение толщины. Если изменение Г, а также р в зависимости от
внутреннего радиуса задано, то уравнение (18) определяет связь между
t и а.
Когда t/a мало (скажем, меньше 1/5), то, пренебрегая
поперечными напряжениями, а также сокращением и последующим
удлинением волокон, захватываемых перемещающейся нейтральной
поверхностью, можно в первом приближении получить утонение листа;
влияние этих факторов учитывается только во втором приближении.
Пусть среднее приложенное растягивающее напряжение составляет
#-долю от предела текучести, так что
Нейтральная поверхность находится на расстоянии -^ xt от
центральной плоскости. Из (18)
dt_ £0
da 2a* *
Следовательно, если х в течение изгиба сохраняется постоянным, то
относительное утонение таково:
-T-U- <">
При данной степени приближения изменение длины каждого
волокна рассматривается как результат непрерывного удлинения или
сокращения; таким образом, работа деформации на единицу объема
элемента, расположенного на расстоянии у от нейтральной
поверхности, равна 2ку/а, т&к как у/а представляет собой
результирующую деформацию. Поэтому средняя работа на единицу объема всего
стержня будет (с точностью до величин порядка t/a):
2£
at
J ydy+ j ydy
'2a
= 0+**)£. (2°)

8> ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ОБОБЩЕННОГО ПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА 335
Если лист при тех же растягивающих силах выпрямить, то он
получит дополнительное утонение равной величины. Таким образом,
полная работа на единицу объема, производимая утонением на
величину xt/a, равна k{\ -\-x2)t/a. Поскольку работа, необходимая для
того, чтобы произвести то же самое утонение при равномерном
удлинении, равна 2kxtja, коэффициенты полезного действия изгиба
и выпрямления при растяжении, предназначенные для оценки
уменьшения толщины, равны 2х/(1-{-х2'). Коэффициент полезного действия
тем выше, чем больше растягивающее усилие; он становится равным
единице (только для рассматриваемого приближения), когда
приложенное растягивающее напряжение равно пределу текучести (х = 1).
Свифт х) показал, как эти результаты с помощью подходящей
модификации можно приложить к вычислению утонения,
производимого в изгибаемом в условиях растяжения листе при натяжении его
вокруг цилиндра (аналогично тросу по блоку). Часть утонения
происходит в течение изгиба листа непосредственно перед натяжением
на цилиндр, оставшаяся часть —после того как лист выпрямится,
покидая цилиндр. Так как это непрерывный процесс установившегося
движения, в котором там, где имеет место изгиб, происходит
изменение толщины вдоль листа, то деформированное и напряженное
состояния, строго говоря, не тождественны состояниям,
рассмотренным в приведенном выше анализе. Однако, когда t/a мало, разница,
вероятно, незначительна, и действительно, когда деформация
упрочнения соответствующим образом учитывается, Свифт нашел хорошее
соответствие с наблюдаемым утонением (когда приложенные
растягивающие напряжения велики, деформация упрочнения действует таким
образом, чтобы уменьшить величину утонения).
8. Плоская деформация обобщенного пластического
материала
а. Значение огибающей кругов напряжений на диаграмме
Мора. Пластическое течение некоторых неметаллических материалов,
таких, как глина и лед, могут быть в общих чертах описаны (если
пренебречь всеми вторичными явлениями) с помощью критерия
текучести, в котором гидростатический компонент напряжения имеет
существенное влияние. Исследование плоской деформации такого
материала включено в эту книгу потому, что оно иллюстрирует
некоторые особенности плоской деформации металла, которые легко
не заметить в менее общей теории.
Упругими деформациями пренебрегаем и предполагаем, что
отношения приращений пластической деформации зависят только от
приложенного напряжения. Тогда условие того, что деформации
в направлении z отсутствуют, заключает в себе функциональную
г) Н. W. Swift, цит. выше, стр. 326.

336
ГЛ. XI. СМЕШАННЫЕ ТЕМЫ
зависимость о, от главных напряжений зг и а2 в плоскости течения;
в частности, если приложение напряжения обратного знака
приводит к изменению знака приращения деформации (так что \х = 0, когда
v = 0), то as равно 1/2 (^i + a2)- При этом ог может быть исключено
из критерия текучести, которое сводится к
где
1 , . ч 1
(21)
Р = — у (al + a2>>
■(^2 — al)'
rfPSmfc
Здесь р — среднее сжимающее напряжение в плоскости, а ът—
максимальное (алгебраически) касательное напряжение. Критерий
текучести может быть пред-
1Г ставлен кривой,
отнесенной к координатным осям
V2(al~f a2) И 72(32 — °l)
(фиг. 83). Если чистое
гидростатическое
растяжение достаточной
величины вызывает
текучесть, то кривая
замкнута с одной стороны.
Условие текучести для
идеального материала
~т = ±k представляет
собой особый случай,
в котором F не зависит
от р, а кривая F
преобразуется в пару
параллельных линий.
Следуя хорошо известному представлению Мора, мы можем
изобразить на той же диаграмме касательное т и нормальное о
напряжение по любой плоскости, параллельной оси z\ круг
напряжений для пластического состояния будет:
(а + р)а + -9 = х2в. (22)
Для точки (а, т), огибающей Е кругов напряжений, имеем:
(С + р + dp)2 + Т2 = (Т|я + dXmf
ИЛИ
(?-\-P)dp = *md*tn-
Также
dF , , dF .
Следовательно,
Фиг. 83. Огибающая текучести в условиях
плоской деформации материала, текучесть
которого зависит от гидростатического
давления.

3. ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ОБОБЩЁННОГО ПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА 337
Исключение р и тш из (21), (22) и (23) дает уравнение (о, т)
огибающей. Если угол наклона касательной к Е обозначать через ф
(рассматриваемый положительным там, где |т| уменьшается при
увеличении напряжения а), а угол наклона касательной к F — через ^,
то уравнение (23) выражает тот факт, что в соответствующих
точках на Е и F
sin ф = tg х- (24)
Таким образом, если только—-т^^Х^т^' имеет место
действительное касание между кругом напряжений для пластического
состояния и огибающей Е. Эта возможность, по-видимому, была не замечена
Мором *), так как предложенный им критерий текучести заключается
в том, что остаточная деформация имеет место, лишь когда круг
напряжений касается некоторой кривой в плоскости (з, т). Поскольку
существуют возможные пластические состояния, соответствующие
кругам, лежащим целиком внутри огибающей (например, малый круг
на фкг. 83), то в качестве основной величины, которая должна быть
определена экспериментально'2), должна быть рассмотрена кривая F,
а не Е.
Теперь покажем, что уравнения для напряжений являются
гиперболическими или эллиптическими в зависимости соответственно от того,
является касание с огибающей действительным или мнимым. Допустим,
следуя методу главы VI (разд. 3), что задана некоторая кривая С,
вдоль которой напряжения известны, и что требуется найти, будут ли
производные от напряжения по нормали к этой кривой определены
однозначно. Рассмотрим на кривой С любую точку Р и выберем
декартовы координаты (х, у) соответственно параллельно нормали и
касательной в точке Р. Уравнения равновесия ограничивают только
возможность разрыва дау/дх. Однако эта производная может быть
найдена из уравнения
дх дх
1 (1 2 2 )1/21
2" (а* + а*)' {4"(а*—°у) +^J J =
1 dFrdia, д*гл 1 dF J 1 ,дох д^л д^у,
2Тр\дх"Т"дх') I ^^\l{x y'Vte дх)~т~**У дх \'(Z0)
*) О. Mohr, Zeits. Ver. deutsch. Ing., 1900, т. 44.
2) В механике грунтов Е часто аппроксимируется двумя наклонными
прямыми, поэтому касание является всегда реальным. Предлагаемая
модификация формулировки критерия текучести Мора, по-видимому, неизвестна
широкому кругу авторов в этой области, которые обычно рассматривают
испытания на сдвиг в боксе как дающие непосредственные измерения для
точек огибающей. Так как деформации в таком случае стеснены, как это
действительно имеет место при чистом сдвиге в узкой зоне, то при этом,
по-видимому, испытания в случае изотропного материала, у которого
направления максимального касательного напряжения и максимальной скорости
деформации сдвига должны совпадать, дают действительно непосредственные
измерения не для Et а для F.
22 Зэк. 1438. Р. Хилл

338
ГЛ. XI. СМЕШАННЫЕ ТЕМЫ
если только коэффициент при дзу/дх не обращается в нуль. Это
происходит, когда
:+Р
дР J дР
dpiдхт*
(26)
Сравнивая (26) с (23), замечаем, что кривая С является характеристикой,
когда в любой точке нормальный компонент напряжения, действующий
поперек С, соответствует точке касания
с огибающей Е. Поскольку для данного
пластического состояния имеются две
точки касания, существует два
характеристических направления; они
наклонены на угол 1/4тг —[— 1/2!V к направлению
алгебраически большего главного
напряжения (фиг. 84). Таким образом,
уравнения для напряжений являются
гиперболическими, если только касание
действительно. Когда % = zt ll^z и
V^
V2U, характеристики совпадают.
Фиг. 84. Компоненты
напряжения, отнесенные к
характеристическим направлениям.
Эти точки на кривой F соответствуют
максимальному аг и минимальному а2
значениям напряжений; характеристики
совпадают с осями численно меньшего
главного напряжения. Для идеального
металла ty всегда равно нулю, а
характеристики суть линии
скольжения. Зависимость между
характеристиками и огибающей для определенного напряженного состояния
была известна Прандтлю1) (1920 г.) при исследовании задачи о
вдавливании плоского штампа. Первое общее доказательство, по-видимому,
дано Манделем 2) (1942 г.), который получил результат посредством
геометрических рассуждений и также благодаря стандартному методу
определителя характеристик (приложение III). Описанный метод
предложен автором 3).
Ь. Зависимости вдоль характеристик. Когда уравнения являются
гиперболическими, для изменений напряжений вдоль характеристик
существуют соотношения, аналогичные зависимостям Хенки. Пусть
компоненты напряжения, отнесенные к направлениям касательной
и нормали к характеристике в любой точке, будут обозначены
через Р, Q, R (см. фиг. 84). Знак Q и отличия между семействами
характеристик а и р вытекают из правил, принятых в теории идеаль-
1) L. Prandtl,FNachr. Ges. Wiss. Gottingen, 1920, стр. 74.
2) J. M a n d e 1, Equilibres par tranches planes des solides, Paris, Louis—Jean,
1942; Proc. 6-th Int. Cong. App. Mech., Paris, 1946.
3) R. Hill, Phil. Mag., 1949, т. 40, стр. 971.

3. ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ОБОБЩЕННОГО ПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА 339
ного металла. Тогда в точке Р в случае, когда С есть характеристика,
из (25) и (26) имеем (верхний и нижний знаки соответственно
относятся к кривым а и р):
дх ~— gv дх •
С учетом первого уравнения равновесия (весом материала
пренебрегают) это выражение станет:
-^±tg^ = 0. (27)
Если [^-характеристика будет рассмотрена как кривая С и если
ср3 — отсчитываемый против часовой стрелки угол, определяющий
положение любой точки относительно оси х, то (приложение IV)
т*у = у (р—Я)sin 2(?р ~ Qcos 2 V
Теперь из (27) производная от хху вдоль а-характеристики имеет
в точке Р величину
-—^- = COS ф -д-^- SH1 ф -~ = 0.
дзл т дх ' ду
Из последних двух уравнений
Отсюда в Р
д<?3 6Q
Тогда из (83) очевидно, что
£=£-=te6 = -^ (29)
Комбинируя (28) и (29), имеем:
£?/? — 2Q^cp^ = 0 вдоль линии а, (30)
где ер* может быть измерен от любого фиксированного направления.
Аналогично при рассмотрении а-характеристики как кривой С получим:
d/? + 2Qd<ptt = 0 вдоль линии (3, (30')
где сра— отсчитываемый против часовой стрелки угол наклона
кривой а относительно фиксированного направления. Для идеального
металла, где
уравнения (30) и (30') приводятся к обычным зависимостям Хенки»
22*
^д_
dsa
, =0.

340
ГЛ. XI. СМЕШАННЫЕ ТЕМЫ
Если о>—измеряемый против часовой стрелки угол наклона
Главной оси напряжения с некоторым фиксированным направлением, то
<*» = <*(?*+-2 Ф)=^(?р—у*)-
Следовательно, определяя величину л так, что
уравнения (30) и (30') можно записать в более симметричной форме
как
\ — ш z=z const вдоль линии а, \
л-{-ш = const вдоль линии p. J
При этом X является известной функцией ^, поддающейся
вычислению из огибающей Е. Уравнения (32) были выведены Манделем 1).
В механике грунтов огибающая Е часто аппроксимируется двумя
наклонными прямыми
где с — так называемое сцепление, а ф постоянно. Посредством
небольшого обобщения предыдущей теории на случай объемных сил
можно показать, что
cos<J>smU>+ 2"^ — J г\)
d/?— 2Qdu> = j г -gpdh на линии а,
cos 6 cos f со --6 —— тс)
d/? + 2Qdu> = Г~~1— gPdh Ha линии р,
COS («+-* — «)
где р — плотность, h — высота относительно некоторой
фиксированной горизонтали, а из относится здесь к направлению алгебраически
большего главного напряжения. Этими уравнениями мы обязаны
Кёттеру2) (1903 г.). Когда ^ = 0 и Q=c, характеристики суть линии
скольжения и легко видеть, что геометрические теоремы Хенки
применимы и здесь (глава VI, разд. 4).
Если предположить, что материал несжимаем и что главные оси
напряжения и скорости деформации совпадают,^то декартовы
компоненты скорости подчиняются уравнениям Сен-Венана (уравнения (4)
(33)
1) J. M a n d e I, цит. выше, стр. 338.
2) F. Kotter, Berlin Akad. Bericht, 1903, стр. 229. Другой, однако
менее изящный вывод см. у В. В. Соколовского, ДАН СССР, 1939,
т. 32, стр. 153 и 1939, т. 33, стр. 4.

4. ТЕОРИЯ ПЛОСКОГО ПЛАСТИЧЕСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ 341
и (7) главы VI). Поэтому линии скольжения всегда являются
характеристиками для скоростей, изменения которых вдоль линий
скольжения соответствуют уравнениям Гейрингер (уравнения (14) главы VI).
Таким образом, решение задачи, определяемое граничными условиями
как для напряжения, так и для скорости, может или требовать
рассмотрения четырех действительных и различных характеристик, или
только двух, а именно, характеристик, соответствующих уравнениям
для скоростей. Все исследования специальных задач, известные
автору, несовершенны в том смысле, что уравнения для скоростей
там не обсуждаются. Более того, в задачах о начальном движении
(например, устойчивость земляных насыпей1) или вдавливание
плоского штампа2)) полный путь нагружения или точно не установлен,
или не следует из решения, так что, как показано в главе IX,
размер пластической области при рассмотрении в отдельный момент
времени может быть только поводом для догадки. Наконец, так как
критерий текучести и пластический потенциал здесь не тождественны,
то следует заметить, что необязательно может существовать
единственное математическое решение. Единственность доказана пока
только в том случае, когда они тождественны (глава III, разд. 2, Ь
и опять для плоской задачи в главе IX, разд. 2, с, где совпадение
характеристик для напряжения и скорости, по-видимому, является
необходимым свойством для единственности).
4. Теория плоского пластического напряженного состояния
с приложениями
Говорят, что напряженное состояние по отношению к декартовым
осям х, у является плоским, когда компоненты напряжений ог, ixz,
tyz в направлении z равны нулю. Если пластина постоянной толщины
нагружена вдоль ее краев силами, действующими в ее плоскости,
то распределение напряжения достаточно далеко от краев должно
быть очень близко к плоскому. Если в течение пластической
деформации толщина при этих приложенных нагрузках не остается
постоянной, то напряженное состояние может быть по-прежнему рассмотрено
приблизительно как плоское до тех пор, пока dh/ds мало по
сравнению с единицей, где h — местная толщина пластины, a s
—расстояние в любом направлении, параллельном поверхности. Для большей
общности теория плоского пластического напряженного состояния
будет развита для пластин неравномерной толщины в предположении,
что это условие будет удовлетворено.
а. Уравнения для напряжений. Если ах, ау и хху означают
величины компонентов напряжения, оср^дненные по толщине, то
!) В. В. Соколовский, Trans. Am. Soc. Mech. Eng., 1946, т. 68.
стр. А—1; Изв. АН СССР, 1939, т. 2, стр. 107,
2) L. Р г a n d 11, цит. выше, стр. 338,

342
ГЛ. XI. СМЕШАННЫЕ ТЕМЫ
уравнения равновесия (при отсутствии объемных сил) имеют вид
дх
(A^) + iy(Atw) = 0,
д(А^)+^г(И) = °- (34>
Ох
Осредненные напряжения с очень небольшой ошибкой могут быть
введены в условие текучести. Критерий Мизеса сводится к
■ ах°у + °У + З^ху = 01 O^g + а2 = 3ft ,
<U — о^бу -+- с^ -+- от^ = О! — o^g ~f- о2 = о/е , (35)
где ах и а2 — главные напряжения в плоскости пластины, a ft= Y/уЪ.
Уравнение (35), рассмотренное как кривая в плоскости (olf a2),
описывает эллипс (фиг. 85); в действительности он представляет собой
-Утолщение
Утонение-
Фиг. 85. Условие текучести Мизеса (эллипс) и Треска
(шестиугольник) при плоской деформации.
сечение цилиндра Мизеса в пространстве (av a2, а3) плоскостью
о3= 0. Уравнение эллипса, отнесенного к его главным осям, таково:
F(p% tw)==t/>2 + t:
:k\
(36)
где
Р = ~Т^'
■°2)>
= ¥(<V
-а,).
Тогда уравнение (36) формально представляет собой особый случай
критерия текучести (21). Поэтому очевидно, что исследование
характеристик для плоского напряженного состояния математически
аналогично исследованию плоского деформированного состояния для
материала с более общими свойствами. Дополнительные члены с h
существенно не изменяют исследование, так как h можно
рассматривать как известную функцию хну для данного момента, тогда как
dh/dx и dh/dy должны быть вообще непрерывными. Огибающая Е,

4. ТЕОРИЯ ПЛОСКОГО ПЛАСТИЧЕСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ 343
соответствующая (36), как может быть показано из (23),
подчиняется уравнению
£(а, T) = ia2~f ** = k*. (37)
В разделе 3 только что было доказано, что уравнения для
напряжений являются гиперболическими, когда угол наклона у кривой F
с осью а численно меньше 1[4ъ\ это соответствует утолщенным
дугам эллипса на фиг. 85. На оставшейся части эллипса, где оба
напряжения | о11 и |о2| больше к (или, что эквивалентно, где
максимальное касательное напряжение в плоскости численно меньше х\гЩ,
эти уравнения являются эллиптическими. Когда главные напряжения
имеют значения ±(k, 2k), то характеристические направления
совпадают с осью численно меньшего главного напряжения.
Уравнения, аналогичные (30) и (3(У), полученные посредством
преобразования уравнений (34), будут:
dh
d(Rh)— 2<3/г£?<р£ =— (/?sintjj + Qcos^)-s—ds^ вдоль линии a,
d(Rh)-\-2Qhd®a~ — (/? siп ф —f- Qcos^) -5—ds^ вдоль линии
(38)
В данной задаче удобно выразить Р, Q и R в зависимости от ф
или от связанного с ним угла 0, такого, что
tg0=]/"3sin^ (—.^^ф^;^; —А-тг <6<i«). (39)
Теперь из (37)
и, таким образом, из (29)
jfl9-+-Q* = ft*
, . „^-Я_ dQ _ R
g У ~~ 2Q ~~ dR~ 4Q •
Следовательно,
Из (39)
R 2Р 4 sin ^ 4 . п
— = — = ■■/ — = —^ sin О,
k k y^i + з sins ф у г i
к
cos ф Г 4
(40)
где берется положительный радикал. Главные напряжения аг и с2
равны
^ (3 sin ф ± 1) 0, . /л , те\ //МЧ
• г ' = или 2£sin 6±-г . (41)
)Л-f-3 sin^ <V V 6/ '

344
ГЛ. XI. СМЕШАННЫЕ ТЕМЫ
Таким образом,
3sin^ = Vr3tge=^i^a> где 0^02. (42)
Но это — переменная Лоде и, когда а3 = 0. Следовательно, 0 равно
углу, определяющему ориентацию вектора напряжения в плоскости П
относительно положения чистого сдвига (глава II, уравнение (7)).
Поэтому Ь может быть также рассмотрен как вспомогательный угол,
параметрически выражающий координаты точки на эллипсе Z7.
Величина А, определяемая выражением (31), имеет значение
X = arctg(2tg<|0 —1ф =
_arcsin^sin6)_larcsin^tgO), (_!*<*<!*), (43)
где arcsin и arctg означают углы в области (—-утг, — тс). В
таблице 2 в конце книги А протабулировано как функция Ц> или Ь.
Подставляя в (38) значения Р, Q и R из (40), получим окончательно:
а (к — ш) + 2 tg ф
dh
h
dh
d (к 4- о)) -4- 2 tg ф — = ъ ;—- -г -^ на лини
v ' ' ' & т Л 2 cos ф dsa А
1 4- 3 sin2 ф
2 cos ^
1+3 sin2 6
ад
dsp
dh
ds*
h
dsp
на линии a,
и P.)
У (44)
С другой стороны, эти уравнения, выраженные в зависимости от О,
имеют вид
1
d (\ — со)
d(X + «0
, (2/VT)s
V^i
, (2/V3)s
V^i
5in 6
sin^O
на
>ln6
Sin2 6
на
dh
h
линии
dh __
h ~~
линии
2
/Г-
a,
1
2"
sec 6
- 4- sin2 6
sec 6
о
dh
dsp
dh
dsa
h
ds$
h
(45)
Если толщина является заданной, то эти уравнения выражают
изменение компонентов напряжений (определяемые параметром 0) вдоль
характеристик в зависимости от угла, на который поворачиваются
главные оси1), Поле характеристик, соответствующее различным
!) Неопубликованная работа автора (1949 г.). Когда толщина постоянна,
уравнения приводятся к уравнениям, выведенным (в отличной форме)
В. В, Соколовским, ДАН СССР, 1946, т. 51, стр. 175; см, его же Теорию
пластичности, М., Изд. АН СССР, 1946, стр. 201,

4. ТЕОРИЯ ПЛОСКОГО ПЛАСТИЧЕСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ 345
граничным условиям, строится с помощью методов, имеющих близкое
сходство с теми, которые были описаны в главе VI (разд. 5). Когда
толщина постоянна, аналогично первой теореме Хенки может быть
установлено следующее: там, где две данные характеристики одного
семейства пересекаются любой характеристикой другого семейства,
разность величин как X, так и ш постоянна. Отсюда следует, что,
если отрезок одной характеристики является прямым, то
соответствующие отрезки других характеристик того же семейства также
являются прямыми.
Кривая F, соответствующая критерию Треска, представляет
собой шестиугольник, вписанный в эллипс Мизеса (фиг. 85). Когда
сх и с2 имеют один и тот же знак, максимальное касательное
напряжение лежит вне плоскости и большее из напряжений \ог\ и \а2\
равно 2&, где к теперь написано вместо 1/2У* Когда а1 и а2 имеют
противоположные знаки, максимальное касательное напряжение лежит
в плоскости, а
К — о2| = 2й.
Для напряженных состояний таких, что |<з1 — а2\ = 2к, огибающая Е
совпадает с F, однако для всех других состояний она вырождается
в пару точек (±2/е, 0). В первом случае уравнения являются
гиперболическими с линиями скольжения как характеристиками. Полагая
Q=k, Р = /? = —/?, dcpa==dcpp==dcp, ф = 0, из (38) имеем:
d (ph) -\- 2kh dy = k -л— dsa вдоль линии а,
d(ph) — 2khdy = k~^—ds4 вдоль линии (3.
(0<|p|<*).(46)
. /Jo DnnnL пмимм R I
Во втором случае имеется только единственная характеристика,
которая совпадает с направлением численно меньшего главного
напряжения. Возвращаясь к уравнению (25), найдем, что
т2 = 0»
дх
так как в точке Р zxy = 0. Таким образом, в точке Р уравнения
равновесия (34) сводятся к
Р dh
Т ~ду'
R) cos2to,
Тогда
Zocy
1
~ 2
ду
(Я —
= —
Я) Si!
R
Т
2а
dh
дх9
, ау
дхяу
дх
1
~ 2
, <Ч
"Т" ду
(Р + *
где о) означает отсчитываемый против часовой стрелки угол наклона
такого направления главного напряжения, которое является также

346
ГЛ. XI. СМЕШАННЫЕ ТЕМЫ
характеристическим. Подставляя эти выражения в уравнения
равновесия и вводя значения в Р после дифференцирования, найдем:
yr n) ду ~ h дх ' dy'hdy~ ^ "■> дх ■
Так как здесь встречается только производная от ш, то мы можем
о) измерять относительно любой фиксированной оси и записать:
*(*\Р\\- (л _\P±\hP». I (k<\P\<21* <47>
о-
ds\ 2k ) \ 2k ) дп )
где было использовано то обстоятельство, что R является
постоянным и что P/R = | Р |/2&, поскольку Р и R имеют тот же знак.
Здесь ds и dn суть длины дуг, измеряемы- лдоль траекторий
главного напряжения, причем ds направлю вдоль характеристики; их
относительное расположение таково, что направление s наклонено
по отношению к направлению п на угол 90°, повернутый против
часовой стрелки. Когда толщина неизменна, со вдоль каждой
характеристики постоянна, т. е. характеристики являются прямыми
линиями, а их параметрическое уравнение, отнесенное к
прямоугольным осям (Х> Y)y может быть выражено в форме
Y=Xtga-{-F(w)9
где F(a)) — функция, определяемая граничными условиями для
напряжений, заданными вдоль некоторой кривойх). Нетрудно показать,
что кривизна траекторий другого главного напряжения такова:
дь> = 1
дп ' ^Ysec со -f- cos <aFf (со)
Поэтому из второго уравнения (47) вдоль характеристики имеем:
dX\ 2k) ^ ds\ 2k J~X+COS2coF(co)
После интегрирования получим уравнение, данное Соколовским3):
1 \Р\ = G(co)
2k Х + COS2 со/?'(со) > ^°>
где О (ш)—функция, подлежащая определению из граничных
значений Р.
1) Молчаливо предполагалось, что наклон изменяется. Если линии
являются параллельными, то напряжение постоянно; этот случай не включен
в последующий общий интеграл.
2) В. В. Соколовский, ДАН СССР, 1946, т. 51, стр. 421; см. его же
Теорию пластичности, М., Изд. АН СССР, 1946, стр. 211,

4. ТЕОРИЯ ПЛОСКОГО ПЛАСТИЧЕСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ 347
Ь. Уравнения для скоросщей. Пусть компоненты скорости, осред-
ненные по толщине полосы в направлении х w у, обозначены через ах
и vy. Для обычной степени приближения осредненные скорости
вместе с осредненными напряжениями могут быть подставлены
в зависимости Леви — Мизеса
dvy дах dv,t
у
дх ду _ _ду_ дх _ ,49.
^Х ~ *у 2vy — Gx fcxy
Сперва исследуем, обладают ли эти уравнения характеристиками.
Пусть С — кривая, вдоль которой ах, vy и компоненты напряжения
заданы и пусть оси (х, у) взяты соответственно совпадающими
с нормалью и касательной к С в некоторой точке Р. Тогда, если
на С скорости непрерывны, то dajdy и dvyjdy в точке Р известны.
Уравнений (49) достаточно, чтобы в точке Р, пока не имеет места
равенство 2ау — зх = 0, определить однозначно dajdx и dvyjdxs
так что
dvu
J Ов точке P. (50)
*v ~ ду
Таким образом, С является характеристикой для компонентов
скорости, если она совпадает в каждой точке с направлением нулевой
скорости удлинения. Имеются два таких направления, проходящих
через любую точку, однако из-за компонента деформации в
направлении z они вообще не ортогональны и даже необязательно
действительны. Характеристики расположены под углом 11±ъ-{-112^ к оси
главного напряжения а1 (зх > с2), где
0z==zb/ =-?(г1^г-е2) — -сг(г1— e2)sin'i'-
Тогда
2-1 -*а
и, таким образом,
sin^ = -~-*—А = LJ_J , (51)
следовательно, когда ] р | ^ 3 j хт |, 6 является действительным,
а уравнения гиперболическими.
Когда используется критерий текучести Мизеса, характеристики
для напряжений совпадают с характеристиками для скоростей. Это
ясно из сравнения (42) и (51), при этом видно, что они определяют
одну и ту же величину ф; с другой стороны, из (40) ясно, что
характеристики для напряжений суть направления нулевого
удлинения, поскольку Р равно 1/2R и, следовательно, представляет собой
среднее значение двух других нормальных компонентов напряжения,

348
ГЛ. XI. СМЕШАННЫЕ ТЕМЫ
Это положение может быть также продемонстрировано
непосредственно, если вспомнить, что, когда зг = 0, функция /(з^., су, xtey)
в критерии текучести Мизеса (35) тождественна с пластическим
потенциалом. Таким образом, выражение (50) заключает в себе, что
Тогда, если компоненты напряжения на С заданы, то их
производные в направлении у известны. Значит, уравнения равновесия дают
dojdx и дхху/дх, тогда как, если df/ay не равно нулю, то дзу/дх
однозначно определяется из
j¥__^_^,_^_^ д/ дхху ^
дх дъх дх * д?у дх ' d\mj дх
Однако это также является условием того, что С должно быть
характеристикой для скорости. Если используются зависимости
Леви — Мизеса в соединении с критерием Треска, то характеристики
для напряжений и скоростей, вообще говоря, различны.
Пусть (и, v) — компоненты скорости вдоль характеристик для
скорости (а, (3). Тогда, если а-характеристика рассматривается
совпадающей с кривой С, то простое рассмотрение параллелограмма
скоростей показывает, что
Подставляя это выражение в (50) и полагая после
дифференцирования 9а = 1/271:» получим:
, v Л- a sin Ф * а /соч
du ! ;—-dv„ — \) на линии а. (52)
COS ф т
Аналогично, если ^-характеристика рассматривается совпадающей
с кривой С, то
vy — ^[v sin (b — <W — «cos ¥?Ь
Следовательно,
dv+u+e^db=s0 на линии Р- <52'>
Когда распределение напряжения найдено, уравнения (52) и (52')
представляют собой основу для вычисления скорости в зависимости
от заданных граничных условий х). При этом ty должно быть в каждой
точке вычислено заранее из уравнения (51), тогда как dcpa и dy$
равны rffo>zp-o-^l, где со — угол наклона главной оси напряжения,
отсчитываемый против часовой стрелки.
1) Неопубликованная работа автора (1949 г.).

4* ТЕОРИЯ ПЛОСКОГО ПЛАСТИЧЕСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ 349
Знак скорости деформации в направлении z является таким же,
как и знак — (?хЛ~°у) или р (это следует из соотношения Леви —
Мизеса для компонента скорости деформации вдоль оси z).
Величина утолщения или утонения определяется из условия нулевого
изменения объема. Скорость деформации в направлении z, осреднен-
ная по толщине, равна
h Dt ~~ h\dt~T~Ux dx-rvy ду
где DjDt — оператор, означающий скорость изменения при следова
нии за элементом. Поэтому уравнение несжимаемости таково:
дих dvy 1 Dh
"дТ + "ity" "*~ 7Г ~W = °
или \ (53)
^+£(*«.) + £ 0Ч> = <\
Из (53) следует, что где бы ни получился разрыв в градиенте
скорости (т. е. скорости деформации), допускаемый уравнениями (49),
должен быть разрыв также и в dh\dl\ это означает, что в
результате последующего приращения деформации наклон поверхности
изменяется редко.
Как и в теории плоской деформации, где уравнения для
скоростей также являются гиперболическими, пластический материал может
или подвергаться деформации, или быть жестким. С помощью
рассуждений, приведенных в разделе 6, b главы VI, можно показать, что
пластический материал является жестким всюду в пределах
треугольной площади, ограниченной пластической границей и
пересекающимися характеристиками для скорости, проходящими через ее
конечные точки. Изменение толщины листа возможно только за
пределами такой площади; с другой стороны, в упруго-пластическом
материале деформации утолщения могут происходить внутри
соответствующей площади, однако их величина имеет порядок только
упругих деформаций.
с. Расширение кругового отверстия в плите. По-видимому,
единственными работами по специальным задачам плоского
напряженного состояния, в которых учитываются постепенные изменения
толщины, кроме тех, где напряженное состояние однородное, являются
работа по глубокой вытяжке (разд. 1,£)и работа Тейлора1),
описанная ниже. В одной русской работе2) по волочению тонкой полосы
через матрицу в условиях плоского напряженного состояния
игнорируется значительное утолщение, которое должно происходить,
и не показано, что предложенная пластическая область удовлетворяет
!) G. I. Taylor, Quart. Journ, Mech. App. Math., 1948, т. 1, стр. 103.
2) В. В. Соколовский, Trans. Am. Soc. Mech. Eng., 1946, т. 68,
стр. А— 1; Теория пластичности, М„ Изд. АН СССР, 1946, стр. 229—235.

350
ГЛ. XI. СМКШАННЫЕ ТЕМЫ
граничным условиям для скоростей. Другие исследования о
пластических зонах вокруг выточек1) и отверстий2) произвольной формы
в растягиваемой плите подчинены тем же самым ограничениям,
как и подобные работы для плоской деформации, обсужденные
в главе IX; их дополнительный недостаток состоит в том, что
условия, при которых возникает местное утонение, не рассмотрены.
Рассмотрим круговое отверстие радиуса а в однородной
бесконечной плите из жестко-пластического материала, когда
постепенно увеличивающееся давление Р приложено равномерно по
краю отверстия. Пока плита напряжена ниже предела текучести,
радиальные и окружные компоненты напряжения известны из теории
упругости
_ Раз _ РФ
Напряженное состояние в каждом элементе представляет собой
чистый сдвиг. Текучесть начинается впервые на краю отверстия при
давлении, равном &, где к = К/|/*3 согласно критерию Мизеса и
к = Y/2 согласно условию Треска. Если теперь давление растет
дальше, то материал вокруг отверстия в пределах некоторого
радиуса с становится пластическим. Напряжения в непластическом
материале будут:
Мы должны решить, начинает плита немедленно утолщаться или нет;
как показано в предыдущем разделе, если уравнения для скоростей
гиперболические, то плита в некоторой области вблизи пластической
границы не утолщается. Это так, если |/?|^3|тш|, а последнее
условие определенно удовлетворяется на пластической границе, где
р = — -2-(ar-f-oe) = 0. Более того, согласно (51) характеристики
для скоростей в точках на пластической границе наклонены
относительно радиального направления на конечный угол, а именно 45°.
Таким образом, жесткая часть пластической области должна
простираться по конечному кольцу, причем его внутренняя граница
представляет собой окружность, где характеристики для скоростей
совпадают. Тогда в жестко-пластическом кольце толщина не
изменяется, а уравнение равновесия будет просто
1г^ г *
*) R. V. Southwell, D. N. de G. Allen, Phil. Trans. Roy. Soc,
Series A, 1950, т. 242, стр. 379.
a) В. В. Соколовский, Теория пластичности, М., Изд. АН СССР,
1946, гл. X.

4. ТЕОРИЯ ПЛОСКОГО ПЛАСТИЧЕСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ 351
Чтобы облегчить интегрирование при условии пластичности
Мизеса, введем вспомогательный угол 0, определенный в (39). Из (41)
ari — 2ks\n(-jrTz-[-b\ ar = — 2^ sinf -g- тг—b\ а0 — ar = 2kcosb>
где 0 равно нулю на пластической границе. Подстановка в
уравнение равновесия дает:
/ 1 ,.\ db cos О
Интегрирование приводит к
~- = ^-^ecose. (54)
Внутреннее давление, производящее пластическую область радиуса сУ
определяется параметрически посредством соотношений1)
Я = 2А sin (i-тг — 0а), ^^e-yJ««cosba, (55)
причем Ьа с увеличением Р возрастает по абсолютной величине,
будучи отрицательным, а характеристики совпадают, когда Ьа = — -«■ к
или с/а = р, где
Р=|/^**/^~ 1,751. (56)
Соответствующая величина угла ^ равна —V2U» a Урол> ПРИ кото
ром характеристики наклонены к направлению алгебраически
большего главного напряжения (а именно, а0), равен нулю; таким образом,
характеристики огибают край отверстия. Давление, требуемое, чтобы
продвинуть пластическую область до радиуса ра, равно 2k\ тогда
окружное напряжение на краю является сжимающим, равным &.
Если прикладывается еще большая внутренняя нагрузка, то
пластическая граница непрерывно расширяется, а внутренний радиус
жесткого кольца из пластического материала по-прежнему представляет
собой постоянную часть 1/р (~ 0,571) радиуса всей пластической
области (фиг. 86). Материал внутри радиуса 0,571 £ не принужден
оставаться жестким. Он течет наружу, и утолщение становится
возможным. Когда такое утолщение происходит, это обусловлено
тем обстоятельством, что пластический материал при уже
приложенном давлении не может выдерживать напряжения большего, чем 2k]
следовательно, если нагрузка увеличивается, плита, чтобы воспринять
ее, должна утолщаться и можно ожидать, что давление упадет.
0 A. Nadai, Plasticity, N. Y., McGraw-Hill Book Co., 1934, crp. 191;
русский перевод: А. На да и, Пластичность, М. — Л. ОНТИ, 1936, стр. 195.

352
ГЛ. XI. СМЕШАННЫЕ ТЕМЫ
Возвращаясь теперь к соответствующему исследованию для
критерия Треска в некотором кольце вблизи пластической границы,
где главные напряжения имеют противоположные знаки, получим;
с0 — or = 2k.
Таким образом, из уравнения равновесия
ar = —*(l + 2lnf), ae = ft(l— 21nf).
Когда внутреннее давление растет до его максимально возможной
величины 2&, пластическая граница продвигается до радиуса pa, где
р = )ЛГ~ 1,649. (57)
Приложение ббльшей нагрузки вызывает утолщение, причем жесткое
кольцо из пластического материала ограничено радиусами 0,607с
и г. Из уравнения (51) можно видеть, что уравнения для скоростей
в этом кольце являются
гиперболическими, поскольку,
когда с У е ^ г ^ с, угол
Упругая
зона
у = — arcsin
2 t с
-о" Ш —
3 г
является действительным
(arcsin 7з <^<^0); когда
прикладывается большая нагрузка,
o,j на краю отверстия
становится отрицательным, а
критерий текучести изменяется на
а, = —24.
Фиг. 86. Пластическая область вокруг
расширяющегося отверстия в топкой
плите; показано жестко-пластическое
кольцо.
Напряжение а8 на
радиусе 0,607с терпит разрыв от
нуля до—k, величины,
необходимой для сохранения
нулевой окружной деформации при наличии утолщения. Непосредственно
на внутренней стороне окружности этого радиуса ty = — 1/г1Г» а ха-
рактеристики для скорости совпадают с окружным направлением.
Для анализа происходящей при этом деформации имеем
соответственно уравнения равновесия, условие несжимаемости и
соотношения Леви — Мизеса:
SF(Mr) =
h (<3f> — cr)
d/z,
дс "+"
dv 2<jr — J/) v
~dr~~ 2ctq — cr 7 *
(58)

4. ТЕОРИЯ ПЛОСКОГО ПЛ\СТИЧЕСК0ГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ 353
где v означает радиальную скорость, при этом параметр с
определяет шкалу времени1). На внутренней стороне границы жесткого
кольца согласно как критерию Треска, так и условию Мизеса дзг/дг
равно нулю {d?<Jdr остается конечной величиной*, а а> — сг равно k.
Из уравнения равновесия следует, что во внутренней точке
радиуса с/р dhjdr равно —/г0р/2г; таким образом, наклон поверхности
терпит разрыв. Из уравнения Леви — Мизеса можно видеть, что во
внутренней стороне окружности радиуса с/р дц/дг имеет величину
— 3&р/2с, а из уравнения несжимаемости следует, что dv/dr имеет
величину —1/2с (в этой точке dh/dc = —(\/p)dh/dr).
Поскольку, очевидно, не имеет значения, прикладывается давле»
ние на любом радиусе благодаря внешнему фактору или
посредством перемещения внутреннего кольца плиты, то напряжение и
скорость в элементе зависят только от того, что происходит за
пределами этого радиуса. Так как плита бесконечна, напряжение и
леформация становятся функциями только относительного расстояния
от пластической границы, т. е. они являются функциями
единственного параметра г/с. В частности, распределение напряжений вокруг
отверстия, расширяющегося от некоторого конечного радиуса,
тождественно распределению напряжений в соответствующем кольце
плиты, в которой отверстие увеличивается от нулевого радиуса
и поэтому распределение напряжений остается геометрически
подобным2). Последняя задача была исследована Тейлором^),
использовавшим критерий Треска. Пусть
О = г/с, о = — а8/2А (0 < о < 72)
и пусть в (58) аг = — 2k. Тогда
_d_—_I_fL ± JLJL.
дг ~~ с db ' дс ~ с db*
(г,_в)-£ + £ + *' = 0,
-a v
' 2з — 1 О
(59)
1) Эта система является гиперболической, причем dc = 0 и dr—v dc = 0—
направления характернаик в плоскости (г, с). Если система рассматривается
сама по себе, а не как специализация общих (jc, у) уравнений, то основная
причина для существования жесткого кольца из пластического материала
в значительной степени затемнена. Аналогично, внутренняя граница жесткого
кольца существует более не как геометрическое месю точе.с, где
характерна ики скорости совпадают, а только как окружность, на которой 2з,— аг = 0.
2) Если плита является конечной, ю распределение на ряжений в
пластически деформируемом материале будет тем же самым при условии, что
плита не аановится иеликом пластичной; ширина пластического кольца,
конечно, при этом будет различной.
3) G. 1. Taylor, циг. выше, стр. 349.
23 Зак. 1438. Р. Хилл

354 ГЛ. XI. СМЕШАННЫЕ ТЕМЫ
где штрих означает дифференцирование по 0. Исключение отсюда k'/k
дает:
, (2 —с)(а —1) v (2з — 1)(а — 1)
2(а2 — с+1) » 6 2(с2 — d-f 1) "
Исключение г> из выражения (60) приводит к зависимости
(60)
«1
(2,
— l)(g—1)1_ 3(*-1)2
Ja — ff + 1 J о2 ~ а + 1 #
Интегрируя последнее уравнение и используя граничное
условие о = х/2, когда 6 = 1/р, найдем, что
lnj_^ 11—2? . 1 { 3(1 — сг)а 1 1—2?
рО 3 1 — j ^ 2 П аз _ а + 1 ~*~ У"3 afC g У"3
Теперь критерий текучести аг = — 2& верен, если только а^ является
отрицательным. Так как 0 уменьшается, то о постепенно
уменьшается от х/2 и становится равным нулю, когда 0 = 1/р', где
ln-^- = — J--J- — 1п 3 И ^—,— 0,5183; р'~2,769. (62)
р 3 2 6 уЗ
Величина для р/, полученная Тейлором посредством численного
интегрирования уравнений, эквивалентных (59), согласуется очень
хорошо с результатами (62). Нетрудно показать, что
h Лг 1 Г 2 , 1— 2а П
— = 1/ exp —rrr arctg —-— ,
h0 У 2(1-а) ЧУЗ S УЗ J
(63)
где h0—первоначальная толщина плиты. Толщина плиты на радиусе,
на котором ofJ равно нулю, таким образом, будет:
А = Ао|Г|ехр^у=~1,453А0. (64)
Уравнения (60), (61) и (63) параметрически, в зависимости от а,
определяют v и h/h0 в виде функции 0 = г/с. Полное
перемещение а (г, с) удовлетворяет уравнению
Du ( d | д \
Теперь перемещение должно быть представлено в форме
и (г, c) = cF(b).
Следовательно,
%. = F', %L = F-bF'
дг дс
И
(v — b)F' + F = v; F = 0, когда в = 1/р. (65)

4. ТЕОРИЯ ПЛОСКОГО ПЛАСТИЧЕСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ 355
После определения и(0) это уравнение служит для вычисления F (0).
С другой стороны, мы можем исходить непосредственно из (63),
переписывая уравнение несжимаемости в форме (с — постоянная)
h0s ds :
; hr dr,
где s = r — и — первоначальный радиус элемента. Интегрирование
уравнения несжимаемости дает:
1/р
(66)
Когда 0 меньше 1/р', т. е. когда г меньше, чем 0,36k, c0
становится снова положительным, а критерий текучести опять
принимает вид а0 — ог = 2k. Соответствую- 10
щее видоизменение уравнения (59)
таково, что аналитическое решение
становится невозможным и
уравнения должны быть
проинтегрированы численно. Вблизи края
отверстия, где наклон поверхности
становится бесконечным, а нижняя
часть имеет вид ножевой опоры,
теория может быть рассмотрена лишь
в качестве первого приближения.
Результаты показаны на фиг. 87;
они были вычислены заново1),
поскольку метод интегрирования
Тейлора был недостаточно точным. На
краю отверстия (0=0,2805) h/h0
лий и толщины вокруг отверстия,
расширяющегося в тонкой плите
(условие текучести Треска).
имеет приблизительно величину 3,84; фи„г- 87" Распределение напряже
r J нии и толщины вокруг отверстия
почти точное соответствие с
величиной h/hQi найденной
экспериментально Тейлором, является,
конечно, случайным. Отверстие расширялось посредством прокола
свинцовой полосы конусом со смазанной поверхностью и очень
малым сужением. Эксперименты показывают, что вид деформации,
рассмотренный в настоящем анализе, может быть неустойчивым;
однажды, когда отверстие достигло критического размера по
отношению к ширине плиты, конфигурация ее стала несимметричной
и плита изогнулась.
1) R. Hill, Phil. Mag., 1949, т. 40, стр. 971.
23*

356
ГЛ. XI. СМЕШАННЫЕ ТЕМЫ
б. Чисто пластическое напряженное состояние
призматического стержня
Пусть призматический стержень из жестко-пластического
материала с произвольной однородной формой поперечного сечения
деформируется силами, приложенными на его краях. Предположим,
что силы приложены таким способом и в такой комбинации, что
весь стержень находится в пластическом состоянии и что
допускаются поверхности, поперек которых некоторые компоненты
напряжения терпят разрыв (например, нейтральная поверхность при
чистом изгибе). Пусть система декартовых осей выбрана так, что
ось z параллельна образующей, а оси х и у лежат в плоскости
поперечного сечения. Будем рассматривать только такие состояния,
при которых напряжение и скорость деформации не зависят от z.
Это исключает возможность приложения поперечных сил, но
допускает нагружение при определенной комбинации изгибающего и
крутящего моментов и продольной силы. По аналогии с
соответствующей задачей теории упругости в виде пробы предположим,
что ах, Gy и txy тождественны нулю. Тогда уравнения равновесия
требуют существования такой функции напряжения f(x, у), что
t„ = -Ag£. V = *J£' (67)
причем / на контуре сечения равно нулю, поскольку к
цилиндрической поверхности не приложено никаких внешних сил. Согласно
критерию текучести Мизеса продольное напряжение имеет величину
ot = ±VzkVl—f% — fl, (68)
где вместо df/dx и df/dy написано /# и fy, а радикалы берутся
положительными.
Тогда можно без труда показать, что наиболее общие выражения
для компонентов скорости, когда материал несжимаем, а скорости
деформации не зависят от z, будут:
и = -g -72Л(*з + **) — уС*+ Dyz,
w=z^(x, y)-\-Axz-\-Byz-\-Cz.
(69)
Здесь ср и ^—произвольные функции х и у; 6 определяет
искажение поперечного сечения, тогда как Л, Ву С и D суть константы,
имеющие размерность, связанную со скоростями изгиба, растяжения
и кручения. Путем подстановки выражений (67), (68) и (69) в зави-

5, ЧИСТО ПЛАСТИЧЕСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ СТЕРЖНЯ 357
симости Леви — Мизеса легко показать, что
<?(*> У) = Ъ (ЛУВ — Вх^ + \ХУ (Лх — Ву)\
ду х —
Y3(Ax + By + C)fx
Vl-fi-fl
(70)
(71)
Следовательно, комбинируя (69) и (70), найдем возможные скорости
для чисто пластического состояния
и = 1А (у* _ хъ _ 222) _ ^ Вху _ \_ Сх + Dyz,
v = — jAxy^-^B(x'i—y'i — 2z^ — jCy — Dxz,
w =$(x, y)-\-Axz4-Byz -A- Cz.
Уравнения (71) совместны, если
д Г(Ах + Ву + С)/х1
дх L V^fl=7i J
d\(Ax + By + C)fv
~г ду
У\-А
гО/»1.
2D _
7f~
(72)
(73)
или
(Ах + Ву + С) [(1 —fl)fxx+2fjyfxy + (1 — /£)/«,] +
+ (А/х + В/у)(1-/%-~/1)±ЩУ(\-/х-/1)3 = 0. (730
Решение этого (эллиптического) уравнения для данных отношений Л/В,
B/D, C/D при граничном условии /=0 определяет функцию
напряжения/и отсюда распределение напряжения. Когда Л = £ = С = 0,
D Ф 0, получим хорошо знакомое решение /# + /^=1,
соответствующее случаю чистого кручения.
Внешние нагрузки, приложенные на концах стержня, статически
эквивалентны
продольной силе
Z = ± VI k jj Vl —fl — fl dx dy,
крутящему моменту

358
ГЛ. XI. СМЕШАННЫЕ ТЕМЫ
и изгибающему моменту с компонентами
Gx=±V~5bffyVl— /I—fy dxdy,
Gy^^zYl>k^ xV\— /| — f% dxdy.
В написанных выше уравнениях в любом элементе должен быть взят
либо верхний, либо нижний знак. Правильный знак определяется
из условия, что скорость работы должна быть положительной. Таким
образом (из (71))
- —kfv ®x+Dyy±kfx (%—Dx) =t / 3 Л (Ax+By+C)Vl—f%—f2y =
= ±1^3 Л
Ax + By + С
Vl-f2 -/
У
Следовательно, должен быть выбран верхний знак, когда величина
Ах~\~Ву-\~С положительна, а когда она отрицательна — нижний.
Если продольная плоскость
Ах + Ву + С=0
разделяет стержень на две части, то sz является растягивающим
в одной и сжимающим в другой; скорость удлинения элементов,
лежащих в этой плоскости, равна нулю.
Уравнение (73) может быть получено1) иначе, путем простого
приложения принципа наименьшей работы (глава Ш, разд. 3).
Скорость работы внешних сил будет:
W
^ = j j (zxzu + *yzv + azw)dx аУ>
где интеграл берется по концам стержня. Это выражение должно
быть обращено в максимум при напряжениях, удовлетворяющих (67)
и (68), и заданных значениях и, v, w на поверхности, которые,
как было предположено в виде пробы, удовлетворяют
соотношениям (69). В этом интеграле члены, не включающие z, на
противоположных концах стержня сокращаются, тогда как оставшиеся члены
приводят к выражению
kL
^ = ±УЪ j ^Ax + By-\-C)Vl—fl — f$dxdy —
-DJ ^(xfx + yfy)dxdy + ~L\ j(Afy — Bfx)dxdyt
i) R. Hill, Quart. Journ. Mech. App. Math., 1948, т. 1, стр. 18.

5. ЧИСТО ПЛАСТИЧЕСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ СТЕРЖНЯ 359
где L — длина стержня. Третий член правой части уравнения равен
нулю, так как на контуре /=0, тогда как второй член может
быть преобразован к виду
^ = ±/3 [ ^(Ax-{-By-\-C)Vl—f%—fydxdy + 2D J" \fdxdy.
Согласно хорошо известной формуле вариационного исчисления
Эйлера —Лагранжа стационарные значения W соответствуют
функциям /, удовлетворяющим выражению
dx\dfx)~^ ду \dfy) df ~U*
Это тождественно уравнению (73). Если исходить из этого метода,
то необходимо впоследствии проверить, что соответствующие
скорости удовлетворяют уравнениям Леви — Мизеса и что скорость работы
в каждом элементе является положительной. Это подтверждает
допущение о том, что распределение скоростей (69) в конечном виде
приводит к чисто пластическому состоянию, в котором, кроме того,
компоненты напряжения ах, ау и тху равны нулю.

ГЛАВА XII
ПЛАСТИЧЕСКАЯ АНИЗОТРОПИЯ
Имеются некоторые важные и замечательные явления, которые
не могут быть описаны посредством теории, построенной в главе II.
Предположение о том, что каждый элемент материала остается
изотропным, представляет собой приближение, которое с ростом
деформации становится менее надежным. Отдельные зерна кристаллов
удлиняются в направлении наибольшей растягивающей деформации,
при этом текстура образца становится волокнистой. Тогда
монокристалл при деформировании в результате процесса скольжения
поворачивается так, что он вытягивается в направлении
характеристики особого пути деформации. Например, когда шестиугольные
монокристаллы вытягиваются при растяжении, основные плоскости
постепенно поворачиваются к положениям, параллельным
направлениям приложенной нагрузки. Аналогично, зерна поликристаллов
стремятся повернуться к некоторому предельному направлению (не
обязательно эквивалентному направлению в монокристалле вследствие
взаимных стеснений между гранями); таким образом, в металлах
с гранецентрированной кубической решеткой, сжатых между
смазанными плитами, диагонали граней имеют стремление располагаться
параллельно направлению сжатия. Вследствие этого процесса металл,
в котором грани первоначально были ориентированы наугад и
который поэтому был изотропным, превращается во время пластической
деформации в анизотропный. Распределение ориентации между
зернами (например, измеренное на основе процентного отношения) имеет
один или более максимумов. Если такой максимум является хорошо
выраженным, он относится к предпочтительной ориентации. Если
ориентации отдельных кристаллов распределены не беспорядочно, то
предел текучести и макроскопические зависимости между
напряжением и деформацией изменяются с направлением. Например, для сильно
прокатанной в холодном состоянии латуни предел текучести при
растяжении в направлении, перпендикулярном к прокатке, может
быть на 10% выше, чем для направления, параллельного прокатке1).
Большие изменения могут быть получены при критической последо-
1) М. Cook, Journ. Inst. Metals, 1937, т, 60, стр. 159.

1. УСЛОВИЕ ТЕКУЧЕСТИ
361
вательности механических и тепловых обработок, в результате
которых образуется окончательная рекристаллизация текстуры,
приближающаяся к текстуре монокристалла (например, прокатанная полоса
меди может быть подготовлена так, что изменившиеся размеры зерен
делают их кубическими с осями, параллельными краям полосы *)).
Теперь рассмотрим, каким образом основы теоретического
исследования могут быть расширены с тем, чтобы принять во внимание
анизотропию. Как обычно, мы пренебрегаем влияниями тех
начальных напряжений, которые проистекают непосредственно от
различной ориентации зерен. Эти влияния могут быть в значительной
степени устранены посредством среднего отжига, который не изменяет
предпочтительной ориентации. Чтобы изменить последнюю, обычно
проводится тепловая обработка выше температуры рекристаллизации.
1. Условие текучести
Для простоты рассмотрим только те состояния анизотропии,
которые обладают тремя взаимно ортогональными плоскостями симметрии
в каждой точке; пересечения этих плоскостей известны как главные
оси анизотропии. Эти оси могут изменять направления по всему
образцу; например, если анизотропия раззивается в полой трубе,
равномерно расширяющейся под действием внутреннего давления, то
главные оси должны лежать в радиальном, окружном и осевом
направлениях. Полоса, вырезанная из центра холоднокатанного листа,
представляет собой пример равномерно направленной анизотропии;
в согласии с предположениями было замечено, что главные оси лежат
в направлении прокатки, в поперечном направлении в плоскости листа
и нормально к этой плоскости э). Главные оси в данном элементе могут
в процессе непрерывного деформирования изменяться также
относительно самого элемента, как, например, при простом сдвиге.
Остановим наше внимание на отдельном элементе в определенном
состоянии анизотропии и в качестве системы декартовых осей
выберем главные оси. Условие Мизеса приблизительно описывает течение
изотропного материала. Поэтому простейшим условием текучести для
анизотропного материала является то, которое сводится к закону
Мизеса, когда анизотропия исчезающе мала; принятый метод будет
логически вытекать из смысла этой гипотезы и обобщит ее в
дальнейшем, если это будет необходимо. Тогда, если предположить3),
что условие текучести представляет собой квадратичную функцию
компонентов напряжения, оно должно быть представлено в форме
+ 2L?* + 2Л1 т2 -4- 27Vt2 = 1, (1)
1 уг ' zx ' ху ' ч /
1) W. Koster, Zeits. Metallkunde, 1926, т. 18, стр. 112. См. также
W. M. Baldwin, Jr., Trans. Am. Inst. Min. Met. Eng., 1916, т. 166, стр. 591.
2) L. J. К 1 i ng i e г, G.Sachs, Journ. Aero. ScL 1948, т. 15, стр. 599.
») R. Hill, Proc. Roy. Soc, Series A, 1948, т. 193, стр. 281.

362
ГЛ. XII. ПЛАСТИЧЕСКАЯ АНИЗОТРОПИЯ
где F, G, Я, L, Ж, /V—параметры, характеризующие текущее
состояние анизотропии. При этом линейные члены не приняты во внимание,
поскольку, как уже упомянуто, предполагается, что эффект Баушин-
гера отсутствует. Квадратичные члены, в которых любое из
касательных напряжений встречается линейно, отбрасываются из
соображений симметрии. Наконец, если предположить, что наложение
гидростатического напряжения не влияет на текучесть, то здесь может
фигурировать только разность нормальных компонентов напряжения.
Следует напомнить, что условие текучести имеет эту форму, если
только главные оси анизотропии суть исходные; в противном случае
изменение формы его может быть найдено посредством
преобразования компонентов напряжения.
Если X, Y, Z суть пределы текучести при растяжении в главных
направлениях анизотропии, то легко показать, что
~x* = G~*rH> 2/? ^ у* ~^ z^ ~~"X21
-jSi-= //+Л 20 = ^+4*-^' } (2)
Ясно, что только F, G, И могут быть отрицательными и что это
возможно, лишь когда пределы текучести отличаются значительно.
Кроме того, F^zG, если только Х^= Y, причем имеют место еще
два аналогичных неравенства. Если /?, S, Т—пределы текучести
при сдвиге по отношению к главным осям изотропии, то в этом случае
2L = ±, 2M=I, 2yV=4r ^
Таким образом, L, Ж, N являются существенно положительными
величинами. Если в элементе существует круговая симметрия относительно
оси z, то форма выражения (1) остается инвариантной для
произвольной системы осей х, у. Тогда условие (1) может быть иначе написано
так:
KG + H) а2 — 2Нахоц + (F + И) с2 -+- 2Nx2у] —
- 2 (G,x + Fay) az + 2 (LxJ, + M#J + (F + 0) a2 = 1.
Пусть другие оси (л;', у\ z') выбраны так, что ось z' совпадает
с осью z, тогда как ось х' наклонена на угол 0 против движения
часовой стрелки относительно оси х. Уравнения преобразования будут
(приложение IV):
°# = <V cos2 Ь -f- су si l2 6 -f- 2xxryr sin 6 cos 6, oz = ог*
ву = <V sin2 Й -f- Oyf cos2 6 — 2та,'У' sin 0 cos 0, zyz = x^^, cos 0—tz*x* sin 6,
Я*# = (Py* — <v)sin в cos 0 + zX'yr (cos2 fl — sin2 6),
'Сга? = V*' Sin 6 -f- Va?' COS 0.

2. ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЕМ И ПРИРАЩЕНИЕМ ДЕФОРМАЦИИ 363
Очевидно, для того чтобы коэффициент при az> был после
преобразования равен —2(Go£'-f- Fay>), необходимо и достаточно, чтобы
F = О. Тогда коэффициенты членов cw#* и —<зу'~х*уг оба равны
4 (F+ 2Я— TV) sin 6 cos в (cos2 6 — sin2 6).
Так как для всех Ь это выражение равно нулю, то сумма F-j- 2/-/ — N
также должна быть равна нулю. Можно проверить, что тогда коэф-
2 2
фициенты при <v, су и о^а^ инвариантны. Наконец, члены при т^'
и т?//у становятся равными нулю, если только L = Ж, причем в этом
случае коэффициенты при т|у и v^ также инвариантны. Подводя
итоги, найдем, что необходимые и достаточные условия для того,
чтобы анизотропия была симметрична относительно оси z, будут:
N = F+2H=0 + 2 Я, L=M. (4)
Если имеет место полная сферическая симметрия или изотропия, то
I = Ж = N = З/7 = 30 = З/f,
а выражение (1), если 2Z7 приравнять 1/Г2 (глава II, уравнение (9)),
сводится к условию текучести Мизеса. Для того чтобы полностью
описать состояние анизотропии элемента, необходимо знать
направления главных осей и значения шести независимых пределов текучести
X, Y, Z, R, S, Г. Последние должны быть рассмотрены как функции
механической и тепловой обработки, поскольку элемент был
изотропным; обычно они будут изменяться также в процессе дальнейшей
деформации. Пока еще не известно, каким образом количественно
связать пределы текучести с микроструктурой, например со степенью
предпочтительной ориентации, и поэтому нужно предположить, что
пределы текучести определяются посредством эксперимента.
2. Зависимости между напряжением и приращением
деформации
По аналогии с уравнениями Леви—Мизеса для изотропного
материала допустим, что f(Pij) в уравнении (1) представляет собой
пластический потенциал (глава III, разд. 1). Тогда зависимости для
приращений деформации, отнесенные к главным осям анизотропии, будут1):
d*x = dk\H{ix — ay)-\-Q(?x — *d[t diyg = d\Lxyz9 \
d*y = dk[F(?y — az) + H(?y — ox)\, d^zx = dkMzzxy \ (5)
d*z = d\\Q{*z — <*X) + F{QZ — Qy)\, d4xy = d\Nixy. J
1) R. Hill, цит. выше, стр. 361. В специальных случаях аналогичные
соотношения (выведенные на основе других предположений) были установлены
L. R. J а с k s о п'ом, К. F. S m i t h'oM, W. Т. L a n к f о г (Том, Metals
Technology, Tech. Pub. 2440, 1948 и J. E. D о г п'ом, Journ. App. Phys., 1949, т. 20, стр. 15.

364
ГЛ. XII. ПЛАСТИЧЕСКАЯ АНИЗОТРОПИЯ
Следует заметить, что здесь имеет место тождество йгх-\-йгу-\-
-^-dsz = 0 и что если напряжение меняет знак, то знак приращения
деформации также меняется на обратный. Кроме того, если главные
оси напряжения совпадают с осями изотропии, то с последними
совпадают также и главные оси приращения деформации. В противном
случае главные оси напряжения и приращения деформации обычно
не совпадают.
Для экспериментального определения состояния анизотропии
необходимо, чтобы анизотропия была бы распределена равномерно по
объему, достаточному, чтобы можно было вырезать образцы для
испытаний на растяжение в произвольном направлении. Тогда, если
полоса или цилиндр, вырезанные параллельно оси х анизотропии,
находятся в условиях чистого растяжения с напряжением X, то
приращения деформаций относятся, как
dzx:dey:dzz=G-^H: —H: —G.
Деформация в каждом поперечном направлении представляет собой
относительное упрочнение до тех пор, пока пределы текучести
отличаются настолько, что один из двух параметров, G или И, является
отрицательным. Укорочение в направлении у больше, если И > G,
т. е. если Z > К; поэтому деформация в направлении большего
предела текучести меньше. Аналогично испытания на растяжение в
направлениях у и z дают отношения F/H и G/F. В принципе это
допускает непосредственную проверку теории с точки зрения
требования (H/G) X (G/F) X (F/H) = 1. Используя полуторадюймовый
прокатанный алюминиевый лист, Клинглер и Закс 1) измеряли
деформации в растягиваемых образцах, вырезанных в различных
направлениях в плоскости листа и наклонно к нему. Когда образец был
перпендикулярен к плоскости прокатки, то два поперечных компонента
деформации в пределах экспериментальной ошибки были равны;
если х — направление прокатки, а у — поперечное направление
в плоскости прокатки, то это означает, что F~G. Было также
замечено, что одна главная деформация всегда происходила в
направлении, параллельном плоскости прокатки. Там, где теория
применима, измерения отношений деформаций при растяжении образцов,
вырезанных в направлениях х и у, обеспечивают благодаря
уравнению (2) косвенный метод определения отношений трех пределов
текучести при растяжении; это предпочтительно перед прямым
методом, если текучесть недостаточно резко выражена. В частности,
когда материал имеет форму тонкого листа, в этом состоят
удобные способы определения предела текучести в направлении
толщины. С другой стороны, независимые измерения отношений
деформаций и пределов текучести обеспечивают дополнительную проверку
справедливости теории.
1) L. J. Klingler, О. Sachs, цит. выше, стр. 361.

3. ПЛАСТИЧЕСКАЯ АНИЗОТРОПИЯ ПРОКАТАННОГО ЛИСТА Зб5
3. Пластическая анизотропия прокатанного листа
а. Изменение предела текучести от ориентации. Рассмотрим
теперь, какие данные можно получить относительно анизотропии
прокатанного листа из поведения растягиваемых образцов,
вырезанных из его плоскости. Пусть система осей выбрана так, что ось х
представляет собой направление прокатки, ось у— поперечное
направление в плоскости, а ось z — направление, нормальное к
плоскости. Если любой элемент листа теперь подвержен действию
напряжений, приложенных в плоскости листа, условие текучести будет:
(О + И) 4 — 2Нзх*у + (И + F) 4 + 2^4 = 1. (6)
В частности, для растягиваемого образца, вырезанного под углом а
к направлению прокатки, имеем:
ъх = о cos2 a, oy=:osin2a, xxy = о sin a cos a,
где о — предел текучести при растяжении. Подстановка этих
выражений в условие (6) дает:
1^
a = [Fsih2a+GcosSa + // + (2Af — F — G — 4//) sin2 a cos2 a] 2. (7)
Значения F, О, И и N (но не L или М) могут быть выведены из
наблюдаемой зависимости предела текучести от угла наклона. Можно
показать, что максимум и минимум а имеют место вдоль осей
анизотропии и также в направлениях а таких, что
&* = JT=P=M- (8)
Если N > Z7'-f-2// и G-f-2/Y, то предел текучести имеет
максимальные (неравные) значения в направлениях х и j/, а минимальные
(равные) значения — в направлениях а. Кук1), а также Палмер и
Смит9) наблюдали изменения этого рода на латуни после различной
степени прокатки и отжига. Клинглер и Закс у) нашли, что предел
текучести листа из алюминиевого сплава имеет минимум в
направлениях, близких к 45°, и что F — G. Если N < F-\-2H и G-(-2//,
то предел текучести имеет минимальные (неравные) значения в
направлениях х и у, а. максимальные (равные) значения — в
направлениях а. Если N находится между F-\-2H и G-f-2//, то
действительных значений а не существует, а предел текучести имеет
1) М. Cook, Journ. Inst. Metals, 1937, т. 60 стр. 159.
2) Е. W. Р а 1 m е г, С. S. Smith, Trans. Am. Inst. Min. Met, Eng., 1942,
т. 14/, стр. 164.
8) L. J. Klingler, G. Sachs, цит. выше, стр. 361.

366
ГЛ. XII. ПЛАСТИЧЕСКАЯ АНИЗОТРОПИЯ
(9)
максимум в направлении х и минимум в направлении у, когда1) F>G>
и наоборот, когда F < G. Отсюда очевидно, что зависимость М от
величин F~\~2H и G~\-2ti имеет определенный физический смысл
(сравни также с уравнением (4)); в дальнейшем это будет приведено
в качестве примера.
Ь. Отношения деформаций в растягиваемом образце. Уравне-
нения для компонентов приращения деформаций, соответствующих
одноосному растяжению о под углом а к оси х имеют вид
dzx = [(G + Н) cos2 а — И sin2 а] а dX,
dey = \(F -f H) sin2 а — Я cos2 а] а dk>
ds2 = — (F sin2 <x-\~G cos2 a) a dl,
d'{xy = (A/ sin a cos a) a d\.
Главные оси приращения деформации совпадают с главными осями
напряжения (т. е. они направлены вдоль и перпендикулярно к
направлению растяжения), когда
ds^ — dz,
или
(G + 2Я) cos2 g —. (р±2Н) sln2 а __ cos^ а — sin^ a
N sin a cos a Sin a cos a
Это выражение удовлетворяется при a=^0, a или 112ъ> где а имеет
величину, определяемую формулой (8). Таким образом, главные оси
напряжения и приращения деформаций совпадают для направлений,
при которых предел текучести является максимальным или
минимальным.
Отношение деформации в наклонном направлении,
перпендикулярном к плоскости образца, к деформации по толщине будет:
г z=z (с1гх sin2 a + dzy cos2 a — ^d^xy sin a cos o£)jdzz =
_ H+(2N — F — G — 4Я) sin*» a cos* а , {Q.
/^sinSa + GcosSa ' ^ '
Это выражение хорошо согласуется с экспериментальными данными
Болдуина, Говалда, Росса2) для меди с 50%"ной (или меньше)
кубической текстурой перекристаллизации; в этом материале по
симметрии F ~ G, так как кубические оси предпочтительной ориентации
1) Изменения этого рода наблюдались на алюминиевом листе,
предварительно деформированном на 12% при растяжении (направление этой
предварительной деформации было выбрано вдоль оси х). См, L. J, К П n g 1 е г,
О. Sachs, Journ. Aero. Sci., 1948, т. 15 стр. 151.
2) W. М. Bald win, Jr, Т. S. H о w a I d, A. W. Ross, Metals Techno*
logy, Tech. Pub., 1808, 1945 или Trans. Am. Inst. Min. Met. Eng. 1946, т. 166,
стр. 86.

3. ПЛАСТИЧЕСКАЯ АНИЗОТРОПИЯ ПРОКАТАННОГО ЛИСТА 367
параллельны краям листа. Величины N/F и H/F могут быть
выведены путем приспособления выражения (10) к их результатам;
например, для 50%-ной кубической текстуры найдено, что N/F = 2,0
и Я//7 = 0,8, тогда как для меди, которая прокатана так, что
окончательное обжатие составляет 80%, и которая затем была отожжена
при 815° С, N/F = 4,8, a F = G = H. Вообще, если F = G,
зависимость г (а) является вогнутой вверх, когда N < F -\-2Н, и
вогнутой вниз, когда N > F -\-2Н. Последний тип зависимости был
получен Клинглером и Заксомх) на алюминии; это согласуется с их
измерениями пределов текучести (см. выше, пункт а).
с. Образование шейки при растяжении^). Замечено, что когда
растягиваются тонкие полосы (их ширина по меньшей мере
составляет пять толщин), шейка образуется не прямо поперек образца,
а под косым углом, зависящим от состояния анизотропии. После
некоторого предварительного равномерного удлинения образование
шейки начинается в точке, в которой имеется небольшая
неоднородность, или геометрическая, или структурная. Принимая во внимание
свойства характеристик как кривых, вдоль которых
распространяются малые сдвиги, найдем, что теоретически направление шейки
должно совпадать с характеристикой. Поэтому мы должны начать
исследование образования шейки посредством определения
характеристик при плоском напряженном состоянии. Поступая с
компонентами напряжений зи, og, r^s, отнесенных к касательной и нормали
кривой С, как в главе VI (разд. 3), найдем, что, пока df/da8 = 0,
где /(зп, as, zns) = 0 — условие текучести, все производные
напряжений определяются однозначно. Поскольку / представляет собой
также пластический потенциал, то, когда д//дэ8 = 0,
s d°s
Таким образом, кривая С представляет собой характеристику для
напряжений, если она в каждой точке совпадает с направлением
нулевого удлинения. Следовательно, имеются две характеристики,
проходящие через точку, а именно, направления нулевого удлинения.
Аналогично можно показать, что эти направления являются также
характеристиками для скоростей. Вследствие деформации,
нормальной к листу, характеристики обычно не ортогональны, а также не
всегда являются действительными (сравни главу XI, разд. 4). Наклон
dy/dx характеристик удовлетворяет уравнению
dzs = dsx dx^ ~\- 2d^xydx dy -j- dzydy^ = 0
или
[(G + H)ox~Hcy]dx*+2Nxxydxdy+[(F + H)cy~Hox]dy*===0.
(П)
i) L. J. Klingler, G. Sachs, Journ. Aero. Sci., 1948, т. 15, стр. 599.
2) R. Hill, цит. выше, стр. 361.

368
ГЛ. XII. ПЛАСТИЧЕСКАЯ АНИЗОТРОПИЯ
В рассматриваемой задаче, поскольку напряжение равномерно,
характеристики представляют собой прямые линии. Пусть Ь — угол
наклона возможной шейки, измеряемый от направления прокатки (фиг. 88),
it/
trtf
Шейка
х (направление
прокатки)
Фиг. 88. Оси координат для исследования наклонного
образования шейки при растяжении полосы.
так что -т"- = tg(Q-f-a). Подставляя это в уравнение (11) и
принимая во внимание, что 0^ = 3 cos*3 a и т. д., получим:
a tg*3 0 + 2b tg 6 — с = О, (12)
где из уравнения (7)
a = tf+(2/V — F — G — 4tf)sin9acos*a,
b = [(N — Z7 — 2tf)sin2a — (/V— О — 2tf) cos* a] sin a cos a,
с = a -\- F sin2 a -|- G cos9 a = 1 /a9.
Параметры анизотропии отнесены к состоянию анизотропии,
непосредственно предшествующему образованию шейки; по существу,
оно такое же самое, как и в прокатанном листе, поскольку
дополнительная анизотропия, введенная предварительным равномерным
удлинением, обычно незначительна.
В изотропном листе F = 0 = Н= N/Ъ, Ъ = 0, а с = 2#, так
что tgO = ]/"2 или 6 —rt:54,7°. Таким образом, существуют два
одинаково возможных направления образования шейки, равно
наклоненных к оси образца; если источник сдвига, который инициирует
образование шейки, лежит не на краю, а в середине образца, то
иногда наблюдается V-образная шейка, ветви которой совпадают
с частями обеих характеристик.
Когда лист является анизотропным, то существуют по-прежнему
два одинаково возможных направления шейкообразования, соответ-,
ствующих корням квадратного уравнения (12) для tgO, но обычно
различно наклоненных. Корни этого уравнения численно равны, но
противоположны по знаку, если Ь = 0, что происходит, когда a = О,
а или т/2, где а определяется уравнением (8). Для этих значений a
две возможные шейки симметрично расположены по отношению
к оси образца; этого можно было ожидать, поскольку
направления а, как мы видели, такие, для которых главные оси напряжения

4. ИЗМЕНЕНИЕ ДЛИНЫ ЗАКРУЧЕННОЙ ТРУЕЫ 369
и приращения деформации совпадают (и для которых предел
текучести имеет стационарные значения). Если N больше как F-\-2H,
так и (7 4- 2И, то b отрицательно, когда а < а, и положительно,
когда у. > <х. Тогда а обычно положительно (оно может быть
отрицательным в том, мало вероятном случае, когда TV меньше l/2 (F -f- О)). Отсюда
сумма ( —bja) корней является положительной, когда а < а, и
отрицательной, когда а > а. Это означает, что, когда а < а, 0 численно больше
для шейки, имеющей склонность располагаться поперек направления
прокатки, и наоборот, когда а > а. Эти неравенства меняют знак,
когда N меньше как F-\-2H, так и G-\~2H. Измерения Кёрбера
и Хоффа *) углов наклона шеек для алюминия, меди, латуни и
никеля находятся в качественном соответствии с настоящим
исследованием; можно вывести заключение, что состояние анизотропии в их
материалах после 98% холодной прокатки должно быть таково, что
N > G -f- 2Н > F -j- 2H. Это совпадает с их прямыми измерениями
предела текучести, который для этого обжатия был меньше в
направлении прокатки, чем в поперечном направлении (т. е. X <^ У).
Более близкое количественное сравнение затруднено из-за разброса
данных. Биттер2) в исследовании о листах из кремнистого железа
отмечает, что две возможные шейки были приблизительно
симметричны относительно направлений максимального удлинения; это
находится в согласии с теорией, так как шейка расположена в
направлении нулевого удлинения. Можно заключить, что при этом состояние
анизотропии (которое было очень резко выраженным) было таково,
что /V; F~^2H и F — G.
4. Изменение длины закрученной трубы
Полая изотропная труба, закрученная относительно своей оси.
не изменяет длины до тех пор, пока начальные напряжения,
непосредственно проистекающие от различной ориентации зерен,
незначительны (стр. 50). В последующем обсуждении задачи о кручении
анизотропной трубы предполагается, что труба защемлена по краям
таким способом, что она свободно изменяет свою длину (если это
изменение затруднено, то вводят осевые напряжения).
Сперва рассмотрим деформацию малого элемента трубы,
предполагая, что материал остается изотропным. Пусть TTf —
направление сдвига, ON—приведенная длина образующей, проходящей
через центр О элемента (фиг. 89, а). В течение деформации сдвига у
(обычное определение) направление ОР, выбранное в элементе,
поворачивается, занимая новое положение ОР\ такое, что РР' = у,
и одновременно подвергается результирующему удлинению или уко-
1) F. КбгЬег, Н. Hoff, Mitt. Kais. With. Inst. Eisenf., 1928, т. 10, стр. 175
2) V. Bitter, Proc. Roy. Soc, Series A, 1934, т. 145, стр. 668.
24 За к (138. Р. Хилл

370
ГЛ. XII. ПЛАСТИЧЕСКАЯ АНИЗОТРОПИЯ
рочению. Если Q и Q' суть изображения точек Р и Р' относительно ON,
то OQ поворачивается в положение OQ'', удлиняясь в том же самом
отношении, в каком ОР укорачивается; это является просто
следствием того факта, что оди-
^У, >~У, наковая величина сдвига, при-
р Р N Q Q ложенная в обратном
направлении, восстанавливает
первоначальную конфигурацию.
Имеются два направления,
которые не испытывают
результирующего изменения длины:
одно из них, очевидно,
параллельно 7Т\ тогда как
начальное и конечное положения
другого— OD и OD' (фиг. 89,6),
где точки D и D' представляют
собой зеркальные изображения
относительно ON, a DD' = "f-
Очевидно, что между ОТ и OD
должно быть некоторое
направление, которое при
данном сдвиге сокращается больше всего, и некоторое направление
между ОТ и OD, которое более всего растягивается. Пусть ОР
наклонено на угол Ь к ОТ и пусть ОЯ = /0, а ОР' = 1. Тогда
-у,
С D С' i
V £ П' £'
>А ^
А^
Фиг. 89.
О
Ъ)
Деформация малого элемента
при сдвиге.
Отсюда
/0sin6 = 1, /2 = /2_^T2_2/oTcos6.
j = (1 — 2Т sin Ь cos О -f- T2 sin2 Ь)'
Дифференцируя это выражение по 8, найдем, что максимальная
величина lfl0 такова, что
10
где 2 ctg 6
Тогда OQ перпендикулярно к ОР и
(13)
Направление, которое претерпевает наибольшее укорочение,
обозначим через ОС (фиг. 89, Ь)\ направление, испытывающее наибольшее
удлинение, конечно, есть ОЕ, где Е — зеркальное изображение С
относительно ON. Так как
DN
ON
= -T^ctg20,

4. ИЗМЕНЕНИЕ ДЛИНЫ ЗАКРУЧЕННОЙ ТРУБЫ
371
Ось трубы
то отсюда следует, что угол ODN равен 26 и, следовательно, что
ОС и ОЕ представляют собой первоначальную и конечную
биссектрисы угла между OD и ОТ; аналогично ОС и OEf — биссектрисы
угла между ODf и ОТ'.
Теперь предположим*), что
в каждый момент оси анизотропии
совпадают с направлениями
наибольшего удлинения и укорочения. Так
как осевая деформация трубы очень
мала по сравнению с деформацией
сдвига, то эти направления, в
сущности, такие же, как и в
изотропной трубе. Допустим, что в
некоторой стадии оси анизотропии х и у
(соответствующие СгО и OEf)
образуют угол ср с направлением
кручения и осью трубы (фиг. 90). Если
труба вначале изотропна, то <р
увеличивается постепенно от тс/4 до тг/2
жение, то
№?лравлем/е
кручения
Фиг. 90. Оси координат для
исследования изменения длины в
закрученной трубе.
Если z— касательное напря-
: — т sin 2ср, т™ = т cos 2ср
т = [2N-f (F + О + 4//— 2Л/) sin2 2<?] /2. (14)
Компоненты приращения деформации будут:
dbx — —*z dk (О + 2Н) sin 2cp,
dey = т dk (E -f- 2Н) sin 2<?,
de3 = xdk(G —F) sin 2у,
d"iXy = TdkN cos 2cp.
Приращение осевой деформации ds и приращеьие технической
деформации сдвига d*[ определяются посредством формул
dz = dzx sin2 о -f- tfcy cos2 cp — tf^ sin 2cp,
dT = №y— ^)sin2cp-f-2tfT^cos2?.
Отсюда
rfe [(tV — G — 2//) sin2 y — (N~F~-2H) cos2 у] sin 2 у
д?Т — 27V + (/?+G + 4// — 2^)sin22^
(15)
Здесь знаменатель дроби всегда положителен и согласно выражению
(14) равен 1/х2. Таким образом, знак числителя дроби определяет,
будет ли труба удлиняться или укорачиваться. Сначала, когда труба
изотропна, dzjd*[ равно нулю, но для малых углов закручивания,
l) R. H i 11, цит. выше, стр. 361.

372
ГЛ. XII. ПЛАСТИЧЕСКАЯ АНИЗОТРОПИЯ
когда у несколько больше 1/4r,y de имеет знак (F— О) или (X—Y).
Поскольку ср при прогрессивном закручивании приближается к 1/27:»
то, если N > Q-\-2H, (Хг в конечном счете будет положительным.
Способ, согласно которому изменяются параметры анизотропии во
время закручивания, пока еще не известен, однако Свифт1) нашел,
что первоначально изотропные образцы из алюминия, меди, латуни,
мягкой стали, стали с 0,5% содержанием углерода, нержавеющей
стали и мельхиора непрерывно удлиняются на различные величины,
причем для сдвига, равного 3%, удлинение имеет порядок 5—10%.
Исключение составлял свинцовый образец, который укорачивался.
Осевая деформация не может быть отнесена исключительно к
развитию начальных напряжений, обусловленных различными ориента-
циями зерен, так как изменение направления крутящей пары сил
изменяет также направление соответствующего осевого приращения
деформации (см. стр. 51).
5. Ушкообразование при глубокой вытяжке стаканов
Когда посредством глубокой вытяжки из круговой заготовки,
вырезанной из прокатанного листа, образуется стакан, то часто
находят, что высота края выше основания неравномерна, как можно
было бы ожидать при симметричном процессе в случае изотропной
заготовки. Вместо этого замечалось, что в местах, симметрично
расположенных по отношению к направлению прокатки, в первоначальной
полосе образуются «ушки». Обычно находят четыре ушка: или по
концам двух диаметров, составляющих 45е с направлением прокатки,
или по концам диаметров, расположенным под углом 0° и 90° с
направлением прокатки. Расположение и высота ушков зависят, помимо
прочих обстоятельств, от особенностей металла и от предшествующей
механической и тепловой обработки. При помощи соответственно
измененной обработки перед вытяжкой в одном и том же металле,
например в меди и стали, могут быть получены оба типа ушко-
образования2). У латуни в местах, расположенных под 0° и 60° 3),
наблюдалось тоже шесть ушков. Признано, что ушкообразование
обусловлено анизотропией прокатанного листа; было проделано много
попыток, чтобы установить зависимость наблюдаемого поведения от
текстуры кристалла и механических свойств материала. В
последующем анализе4) предполагается, что анизотропия точно определяется
шестью параметрами F, О, Я, L, М, /V, значения которых связаны
некоторым сложным образом с предшествующей обработкой материала.
!) Н. W. Swift, Engineering, 1947, т. 163, стр. 253.
2) С. S. Barre tt, The Structure of Metals, McGraw-Hill Book Co., N. Y,
1943, стр. 443.
3) M. Cook, Journ Inst. Metals, 1937, т. 60, стр. 159.
4) R. Hill, цит. выше, стр. 361.

5, УШК0ОБРАЗОВАНИЕ ПРИ ГЛУБОКОЙ ВЫТЯЖКЕ СТАКАНОВ 373
Ушкообразование начинается в то время, как заготовка
вытягивается по направлению к заплечику матрицы (фиг. 79); замечено, что
окончательные положения ушков приблизительно совпадают с их
первоначальными положениями *). Поэтому достаточно
проанализировать распределение напряжения и деформации непосредственно после
начала вытяжки, когда край только что начал двигаться по
направлению к отверстию матрицы. Утолщение листа контролируется
благодаря складкодержателю. Мы рассмотрим две предельные
возможности: а) складкодержатель закреплен в таком положении, что
расстояние между ним и матрицей равно первоначальной толщине листа
(вследствие упругости инструмента это редко достигается в практике),
и Ь) расстояние между прижимником и матрицей настолько больше
толщины листа, что в ранних стадиях на лист оказывают дазленле
незначительные нормальные силы. Если трением можно пренебречь,
то случай а) соответствует плоской деформации, а случай
Ь)—плоскому напряженному состоянию.
Ушки и углубления должны начинать образовываться в тех точках
на краю, где радиальное направление представляет собой одну из
главных осей приращения деформации. Тогда на краю окружное
напряжение является единственно ненулевым компонентом в плоскости
листа. Следовательно, ушки и углубления формируются там, где
главные оси напряжения и приращения деформации совпадают. Пусть
система осей выбрана совпадающей с осями анизотропии, причем
ось z будет перпендикулярна к заготовке, а ось х устремлена вдоль
направления прокатки. Если заготовка вытягивается в условиях плоской
деформации, то ушки и углубления могут быть только в положениях
под углом 0°, 45° и 90° (см. разд. 7 ниже). Ясно, что или
образуются четыре ушка под углом 0° и 90° с углублениями под углом 45°,
или наблюдается обратная конфигурация. Если заготовка вытягивается
в условиях плоского напряженного состояния, то ушки и углубления
могут быть только под углом 0°, 90° и (90° — а) к направлению
прокатки, где а определяется согласно (8). Таким образом, имеются
четыре ушка в положениях 0° и 90° или в положениях (90° — а).
Заметим, что, когда F = G, a = 45°, независимо от значений /V и И.
Если /V является промежуточной величиной между F~\-2H и G-f-2#,
то а не является действительным числом и существуют только два
ушка или при 0°, или при 90°.
В обоих случаях, как при плоском напряженном состоянии, так
и при плоском деформированном состоянии, касательные в точках,
где развиваются ушки и углубления, расположены вдоль направлений,
для которых предел текучести имеет стационарные значения (так
как они представляют собой направления, в которых главные оси
*) F. Н. Wilson, R. M. Brick, Trans. Am. Inst. Min. Met. Eng., 1945,
т. 161, стр. 173.
25 Згк 1438. P. Хилл

374
ГЛ. XII. ПЛАСТИЧЕСКАЯ АНИЗОТРОПИЯ
напряжения и приращения деформации совпадают). Для того чтобы
провести различие между возможными расположениями ушков в
зависимости от относительных величин параметров анизотропии, мы должны
знать распределение перемещений по краю. За неимением этого,
можно не без оснований предположить, что ушки и углубления
развиваются соответственно от точек, где касательные к краю
представляют собой направления минимального и максимального значений
предела текучести при одноосном растяжении. Эта гипотеза
подкреплена результатами детального исследования ушкообразования,
проведенного Болдуином, Говалдом и Россом1). При этом складкодер-
жатель не использовался, а материал (медь) был такой, что F = О.
Относительные значения N и F-\~2H, как указывается отношением
деформаций в растягиваемых полосах, вырезанных из прокатанного
листа (см. разд. 3,£ выше), были таковы, что для меди, у которой
ушки возникают под углом 0° и 90°, N < F-\-2H, а для меди,
у которой ушки образуются под углом 45°, N>F~\- 2H. В разделе 3, а
было доказано, что, когда N < F ~f-2#, предел текучести имеет
минимальные значения в положениях 0° и 90° и что, когда А/>/74-2Я,
максимальные значения предела текучести будут в положениях 45°
(поскольку здесь а = 45°).
Настоящая теория предсказывает самое большее четыре ушка;
для того чтобы охарактеризовать анизотропию в таком материале,
как прокатанная патронная латунь, у которой после окончательного
отжига около 700°С образуется шесть ушков'2), теория должна быть
обобщена. Предположим, что условие текучести и пластический
потенциал являются многочленами степени п приведенных компонентов
напряжения (предполагается, что полином не является простой
степенью некоторого многочлена более низкой степени). Для плоского
напряженного или деформированного состояния полином выбирается
в форме
2 Л г j к
где степени /, j, к суть положительные целые числа или нуль
(*+У~+-&^я)» а число kt когда направления х, у представляют
собой главные оси анизотропии, должно быть четным. Приращения
деформации будут:
dex = dk-jg- - dk £ '>VJTlo*T^.
йгу = rfX —. = d\ 2j]Ацк°Уу'1'&У>
d4xy — dX -g^- = J dK 2 kAiJkax4z*Vl>
i) W. M. Baldwin, Jr., T. S. Howald, A. W. Ross, Metals
Technology, Tech. Pub., 1808, 1945.
2) H. L. Burgh off, E. C. Boh ten, Trans. Am. Inst. Min. Met. Eng.,
1942, т. 147, стр. 144.

5. УШК00БРА30ВАНИЕ ПРИ ГЛУБОКОЙ ВЫТЯЖКЕ СТАКАНОВ 375
Где н последнее уравнение введен коэффициент 1/2, поскольку при
дифференцировании ix^ и хух должны быть рассмотрены как различные
величины. При одноосном растяжении с напряжением а,
расположенным под углом а к оси х,
сж— а cos9 а, Oy = csmaa, ~ху = з s\n а cos а.
Главные оси напряжения и приращения деформации совпадают в
направлениях а, где
Ух — Qy d*x — dty
ИЛИ
cosaS—smaj 2 АФ к (cos «)2i+A^2(sina)2j4A:-7 (cos S)2* ^(sin 5)^'+A~2I
2 sin a cos 5 ~ ^M^(cosi)2i+/c4(sIni)2^bl '
Это сводится к
2^fc(cosa)2i+*~4sin^^ (16)
Так как k является четным, то коэффициент при sin а и cos а в
каждом члене здесь должен быть таким, что возможными решениями
являются 0° и 90°. Включая эти значения в области 0^а<;2^,
имеем 4м корня, симметрично расположенные по отношению к осям
анизотропии. Эти положения ушков и углублений будут 0°, 90°,
90°—а; если все корни действительны, то число ушков равно 2л.
Для определенных значений параметров Aijk некоторые корни не
будут действительными (сравни плоское напряженное состояние при
д —2 и значении N, находящемся в промежутке между F-\-2H
и G + 2/f). Таким образом, наблюдаемое число ушков дает нам
только возможность установить более низкую границу степени
пластического потенциала.
Интересно отметить, что, какое бы ни было условие текучести,
ушки и углубления образуются там, где касательные к краю
представляют собой направления стационарных значений предела
текучести1). Эти направления определяются из условия do/da = 0 или,
так как
dc __ д/ ,д£
da ~~ да ' дс '
посредством
"faf^x* V ":ху)^{)>
где
a^ = acos2a, ay~asin2a, xxy = a sin a cos a,
i) Теорема, установленная автором в письме (от 10 декабря 1948 г.)
W. М. В а 1 d w i гГу, Case Institute of Technology.
25*

376
Г Л XII. ПЛАСТИЧЕСКАЯ АНИЗОТРОПИЯ
т. е.
или
2а
df dvx д/ дау df dtxu
дзх дъ ~* d<jy д-% дъху да
--s—sinacosa-r-~-sin acosa-+ л (cos2 a — sin2a)
fax fay faxy '}
"у "*ху
После преобразований это выражение принимает вид
COS2 a
2 sin
— sin2 oi
a cos a
=
fax
2-
d*y
df
foxy
что идентично условию совпадения главных осей напряжения и
приращения деформации.
6. Изменение параметров анизотропии в течение
холодной обработки
Очевидно, задача об установлении зависимости значений шести
параметров, характеризующих текущее состояние анизотропии, от истории
деформации предельно сложна. Здесь мы ограничим наше внимание
металлом, в котором резко выраженная предпочтительная ориентация
уже существует, а область деформации такова, что изменением
ориентации можно пренебречь. Поскольку в таком случае состояние
анизотропии остается, по существу, тем же самым, пределы текучести,
по мере того как материал упрочняется, должны расти строго
пропорционально. Мы можем записать, что X—hX0, У = hY0 и т. п.,
где индекс нуль означает начальное значение, а h — параметр,
монотонно возрастающий от единицы и выражающий собой величину
упрочнения. Параметры анизотропии уменьшаются строго пропорционально,
так как из (2) F ~FJh2 и т. п. Таким образом, зависимости между
отношениями приращений деформации и отношениями напряжений
остаются инвариантными; например, при одноосном растяжении
отношения приращений деформации остаются постоянными 1). Для полноты
системы уравнений мы должны только установить способ, согласно
которому h изменяется в зависимости от деформации. Следующее
!) Это наблюдалось в растягиваемых образцах, вырезанных из
прокатанной алюминиевой плиты; L. J. К 1 i n g I е г, О. Sachs, Journ, Aero Sci,
1948, т. 15, стр.599.

6. ИЗМЕНЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ В ТЕЧЕНИЕ ХОЛОДНОЙ ОБРАБОТКИ 377
выражение мы можем рассматривать как безразмерный критерий
эквивалентного напряжения:
/т
(Po+Go + H^
- V 2 (/=■(,+Сг0+Я0) ^Р° (°г/ ~ "г)2 + °0 (аг — °*)3 + #0 (% — -у)2 +
+ 2 V». + *МЛ* + ™Ау}'° (17)
По аналогии с изотропной теорией естественно предположить, что
з является функцией пластической работы х). Тогда, используя
уравнение (I) и теорему Эйлера об однородных функциях, найдем, что
приращение пластической работы на единицу объема равно
dW=oijdeiJ=oij^-dl = 2fdk = dl. (18)
Из (5) вместе с двумя подобными уравнениями, получаемыми
циклической перестановкой, имеем также:
О dzy — Hdzz = (FG + ОН+ HF)(ay — es)dk.
Следовательно,
У
(Gdey-HdBay 2di2y
Г \Fu-tUH+HF) ~^ L
= (dk)2 2 [F (<Jy—3z)2+2Lz\z\ = (dk)'
Это подсказывает следующее определение приращения эквивалентной
деформации для анизотропного материала:
(19)
Из (18) и (19) найдем, что
^-|/"|-(^о + 00 + Я0)1/2^ и dW=ofc. (20)
Таким образом, если имеется функциональная зависимость между о
и W (это должно быть еще доказано), то должна быть также
зависимость между а и Г ds. В этом состоит аналогия для кривой
зависимости эквивалентного напряжения от эквивалентной деформации для
изотропного материала, причем площадь под кривой снова равна
работе, приходящейся на единицу объема.
При одноосном напряжении X, параллельном оси х,
в~У -2F0 + u0 + H0X- d*=V T u0 + H0 d^'
l) L. R. Jackson, K. F. S m i t h, W. T. L a n k f о г d, Metals Technology,
Tech. Pub., 2440, 1948; J. E. D о г n, Journ. App. Phys.. 1949, т. 20, стр. 15.

378
ГЛ. XII. ПЛАСТИЧЕСКАЯ АНИЗОТРОПИЯ
Кроме этого, имеются еще два подобных выражения, получаемых
циклической перестановкой для напряжений У и Z, параллельных
соответственно осям у и z. Сравнение кривых зависимости напряжения
от деформации в направлениях х, у и z обеспечивает
непосредственную проверку предложенной зависимости (а, I йг). Таким
образом, если a = F( I rfsj, то аХ, j3K, 7Z— те же самые функции F
соответственно от е^/а, 6^/(3, e2/f, где
* ~ лГЪ- °о + 7^ р _ /"Т 7J^fP^~
J"~\ 2 /?0 + д0 + Я0' ^ К 2 ^o + Go + Яо'
причем а, ^ 7 могут быть вычислены из отношений FJH0 и О0/Н0,
которые обусловлены отношениями деформаций при опытах на
растяжение в направлениях осей х и у. Если материал имеет форму
тонкого листа, то кривая зависимости между напряжением и
деформацией для направления z (по толщине) может быть удобно получена
в условиях двухосного растяжения в плоскости листа, когда оба
главных напряжения равны между собой; это эквивалентно одноосному
сжатию в направлении, перпендикулярном к листу, с наложенным
на него равным гидростатическим растяжением. Такое двухосное
напряженное состояние может быть приблизительно реализовано при
испытаниях на выпучивание, где круговая пластина, защемленная по
периферии, пластически деформируется давлением, приложенным с одной
стороны х).
7. Теория плоской деформации анизотропных металлов 2)
а. Основные уравнения. Пусть состояние плоской деформации
будет таким, что главная ось z анизотропии нормальна к плоскостям
течения. Полагая в (5) dee=Ot получим:
U+F
(21)
При сжатии хромо-ванадиевого стального бруска в условиях плоской
деформации Бриджмен3) нашел, что сг постепенно становится
больше 1l2Gx (более чем на 20°/0 для деформации, равной 0,4), где
х — направление сжатия; это означает, что G > F. Цилиндрический
1) С. С. Chow, A. W. Dan a, G. Sachs, Journal of Metals, 1949, т. 1,
стр. 49; L. R. Jackson, К. F. Smith, W. T. Lankford, цит. выше,
стр. 377.
2) R. Hill, Proc. Roy. Soc, Series A, 1949, т. 198, стр. 428.
3) P. W. Bridgman, Journ, App. Phys., 1946, т. 17, стр 225. См. также
R. Hill, Proc. Inst. Mech. Eng., 1948, т. 159, стр. 157.

7. ТЕОРИЯ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ АНИЗОТРОПНЫХ МЕТАЛЛОВ 379
образец, вырезанный из сжатого бруска» со своей осью,
первоначально направленной вдоль z> становится при сжатии эллиптическим,
причем наибольшая ось расположена в прежнем направлении х\ это
также означает, что G > F.
Если (21) подставить в (1), полагая iyz~xzx = 0, то в
результате получим:
m + QH+HF _3y + 2N* =,#
f -|_ (J V X У' * Ху
По причинам, которые выявятся позднее, удобно написать:
с = 1-2(Ри+иЛнг> (-°°<«1>- (22)
Если /V больше, чем не только F-\-2H, но и G-\-2H, то с
отрицательно, тогда как, если N меньше и F-\-2H, и G-f-2//, то с
положительно. Если материал является изотропным, то с равно
нулю, так же как в случае, когда анизотропия имеет круговую
симметрию относительно оси z, так что
N = F + 2Я = О + 2Н (F ФН).
Используя выражение (22), условие текучести можно записать так:
4(1 — С) ' «У
= Г'2, (23)
где Т—предел текучести при сдвиге по отношению к осям хну,
определяемый формулой (3).
Предел текучести о на растяжение при плоской деформации
в направлении, составляющем угол Ь с осью х, находится
подстановкой в уравнение (23) следующих выражений:
ах~ a cos'3 ft, ау = a sin3 ft, хху = а sin ft cos ft.
Это приводит к
Очевидно, что а имеет равные значения в любой системе четырех
направлений
и, следовательно, угловое изменение а симметрично относительно
осей анизотропии и относительно направлений, расположенных к ним
под углом 45°. Однако соответствующие значения з2 различны,
если F не равно G. Если с положительно, то с имеет минимальное
значение 27^1—с в направлениях осей анизотропии и
максимальное значение 2Т в направлениях, расположенных к ним под углом 45°.
Если с отрицательно, то с имеет максимум 27^1—с в направле-

380
УЛ. XII. ПЛАСТИЧЕСКАЯ АНИЗОТРОПИЯ
дих
дх
дах
dvy
ду
, dvv
ах аг/
9т
ниях осей анизотропии и минимум 2Т в направлениях, находящихся
под углом 45° к ним.
Если их и vx— компоненты скорости, отнесенные к осям
анизотропии, зависимости между напряжениями и деформациями (5)
сводятся к
дих , dvv „^ „v „
ду ' дл:
Они должны быть сличены с уравнениями Сен-Венана для
изотропного материала (уравнения (4) и (7) главы VI). Если &— угол
наклона направления главного напряжения по отношению к оси х,
а <|/— угол наклона направления главной скорости деформации, то
tg2f = (1 —c)tg2f (26)
Отсюда <j/ = ф, если только ф = О, 45° или 90°; это является
следствием четырехкратной симметрии углового изменения предела
текучести при растяжении.
Уравнения (23) и (25) вместе с уравнениями равновесия среди
пяти неизвестных oxt <зу, txy, их и vy включают только два
параметра, а именно: 7\ который является мерой среднего
сопротивления деформации, и с, который точно определяет состояние анизо--
тропии в плоскостях течения. Значения Тис могут быть
экспериментально определены с помощью двух измерений, например, при
испытаниях на сжатие (в условиях плоской деформации) в
направлениях 0° и 45° к осям анизотропии. Знание отдельных величин
четырех параметров F, G, //, N (или X, Y, Z, Т) необходимо только
тогда, когда требуется вычислить ог.
Ь. Существование характеристик. Как и в теории плоской
изотропной деформации, здесь может быть показано, что существуют
кривые (характеристики), при переходе через которые определенные
производные компонентов напряжения и скорости могут быть при
соответствующих граничных условиях разрывными. Доказательство
аналогично уже приведенному в разделе 3 главы VI. Найдено, что
характеристики для напряжений и скоростей те же самые и что
они суть линии скольжения или направления максимальной скорости
деформации сдвига; обычно они не представляют собой направления
максимального касательного напряжения. Если в некоторой точке Р
линии скольжения выбраны как система осей (£, т}), то найдем
(посредством метода, приводящего к уравнениям (9) гл. VI), что
в точке Р
$=0 = ^, (27)
где а^, <sv t^ — компоненты напряжения, отнесенные к осям (£, tj).

7. ТЕОРИЯ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ АНИЗОТРОПНЫХ МЕТАЛЛОВ 381
Аналогично, если щ и ^—компоненты скорости, отнесенные к этим
осям, то в точке Р имеем:
Наклоны dyjdx линий скольжения относительно оси х анизотропии,
как может быть легко показано, равны корням уравнения
(?х — *?/) (<?х* —- ^У2) + 4 О — с) хху dx dy = 0. (29)
с. Зависимости вдоль характеристик. Теперь предположим,
что анизотропия равномерно распределена как по величине, так и
по направлению. Чтобы сохранить аналогию с изотропной теорией,
введем компоненты напряжения оа, а^, хаоУ отнесенные к линиям
скольжения как криволинейным осям, где два семейства линий
скольжения различаются, исходя из условия, что т^ должна быть
положительной величиной. Если <р представляет собой направленный
против часовой стрелки угол между линией а и осью х> то после
преобразования компонентов напряжения условие текучести (23)
примет вид
+ (К — ^)sin2(p-4-2xa?cos2cp]2=-4r^
Поскольку линии скольжения представляют собой направления
нулевого удлинения, то
или
-^Ут~ [(°« — V cos 2cP — 2т«р sin 2cp] +
+ sin 2cp [(aa — з?) sin 2ф -f- 2ta? cos 2cp] = 0.
Разрешая эти два уравнения относительно т^ и aa — з^, имеем:
^P- = (l_csin3 2<p)I/f!
aa — ад 2c sin 2cp cos 2^
T ~" (1 — с sin* y)1'* ' j
(30)
где берутся положительные квадратные корни. Можно проверить,
что

382 ГЛ. XII. ПЛАСТИЧЕСКАЯ АНИЗОТРОПИЯ
Отсюда
А(ср) = (1— csin22cp)V2
\ ~ dh . I ^ dh ~y.
^ = -^2Г^' «р = — Р + 1"7^. хвр = ГА,
где
(31)
— среднее сжимающее напряжение в плоскости.
Чтобы выразить соотношения (27) вдоль линий скольжения в
зависимости от изменения р и ср, преобразуем компоненты напряжения
согласно уравнениям
*с = — jP + yO* — a?)cos2(cp — cp0) — та? si n 2 (ср — ср0),
S = — Я — ~2 (aa — a?) cos 2 (ср — ср0) + ?ap sin 2 (ср — <р0),
где сро — значение ср в точке Р при обсуждении. Подставляя это
в (27) и используя (31), получим:
[li lP + 7 7--^-cos2(cp-?0)+ Th sin 2(9 —?o)}J?>geo = 0.
[^j-(/'-T7,wcos2(<p_?o)~7'Asin2(?""9o)l],-9=a{>-
Следовательно,
*-),+(т^+^Х*),-«-
Так как точка Р представляет собой обычную точку, то
-£=■-]-g == const на линии а,
I (32)
-£— — g= const на линии (3, !
где
О О
Подставляя сюда значение Н(у) согласно (31), немедленно получаем:
— с sin 29 cos 2? 1
sw = —4 Г7Т^г+те^ ^ (33)
(1—с sin2 2<?)/2 z

7. ТЕОРИЯ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ АНИЗОТРОПНЫХ МЕТАЛЛОВ 383
где
sin 2ср = $п(и, k)\ № = с,
причем §xi(iiy k) есть якобиан эллиптической функции с модулем k
(который, когда с отрицательно, принимает комплексное значение),
а Е(и, k) — стандартный эллиптический интеграл второго рода1):
Е(а9 fy-^jdn^iu, k)du=t(l—k*sin*b?*db.
о о
Для значений ср в области (—1/4izt 1/4iz) и заключено в области
(—К, К), где К — четверть периода эллиптической функции.
Когда ср расположено в области (V^» 1fc'tz)i то и должно быть взято
в области (К> 2К) и так далее для других значений ср. Когда с = О,
уравнения (32) приводятся к зависимостям Хенки (12) главы VI.
Если и и v — компоненты скорости вдэль линий а и $, то
уравнения (28), точно так же как в изотропной теории (уравнения (14)
главы VI), преобразуются к
du — vdy = 0 вдоль линии а,
dv-\-udy = 0 вдоль линии р.
d. Свойства поля линий скольжения. Теперь рассмотрим,
существуют ли в анизотропной теории геометрические теоремы,
аналогичные теоремам Хенки. Согласно методу, использованному
для доказательства первой теоремы Хенки, сразу ясно, что разница
значений g (или р) там, где две данные линии скольжения одного
семейства пересекаются любым элементом другого семейства,
является постоянной. Обратно: любые два ортогональные семейства
кривых, обладающих этим свойством, составляют поле линий
скольжения для пластического состояния при определенных граничных
условиях. Согласно теоремы Хенки разница k значений ср является
постоянной вдоль двух данных линий скольжения. Это несправедливо
для анизотропного металла, за исключением случая, когда эта
разница равна V27r-
Если теперь отрезок, скажем, линии а является прямым, то ср
вдоль него постоянно; отсюда g и р будут вдоль отрезка также
постоянными. Из предыдущего результата следует, что
соответствующие отрезки всех линий а являются также прямыми и таким
образом, как простое следствие этого, они имеют равную длину.
Примером такого поля является поле, состоящее из радиусов и
концентрических круговых дуг, общий центр которых представляет собою
особенность для распределения напряжения.
1) Он табулирован у Е. Jahnke, F. Emde, Funktionentafeln, 2-е
изд., Leipzig, Teubner, 1933, стр. 141.
(34)

384
ГЛ. XII. ПЛАСТИЧЕСКАЯ АНИЗОТРОПИЯ
ч£&
D \
-^R
S
Х^
О'
^и'
V
Аналогия второй теоремы Хенки слишком сложна, чтобы она могла
быть использованной.
е. Вдавливание посредством плоского жесткого штампа.
Очевидно, что настоящая теория применима для всего процесса
пластической деформации только до тех пор, пока состояние
анизотропии не изменяется значительно или изменяется таким путем,
что остается равномерно распределенным. Вдавливание в плоскую
поверхность массы металла
плоского жесткого штампа
удовлетворяет первому
условию. В момент, когда
вдавливание становится
возможным в соответствии
с обсуждением,
приведенным в разделах 3 и 5
главы IX, предполагается, что
пластическая зона
охватывает площадь между
пунктирной кривой и отрезком
поверхности РР' (фиг. 91).
Поэтому напряженное
состояние в пределахтреуголь-
ников OPQ и O'P'Q'', образованных пересекающимися парами линий
скольжения, проходящих соответственно через О, Р и О', Р',
определяется однозначно. Напряженное состояние в каждой из этих
областей представляет собой равномерное сжатие параллельно
поверхности. Пусть у (0 -^ ^ <С а/2тс) — угол между поверхностью
и осью х анизотропии (в смысле, указанном на фиг. 91) и пусть
углы POQ и O'P'Q' будут обозначены через 8. Тогда согласно
(24) и (29)
Фиг. 91. Поле линий скольжения в полу-
бесконечной анизотропной среде,
вдавленной плоским штампом.
\~с
-c)tg2T},
8 лежит
(35)
Легко
между
A>=7U-csln»2TJ ' 8 = T + Tarcctgf(l
где арккотангенс есть угол в интервале (—
показать, что, невзирая на значение -j» угол
arcctgl^l—с и Vs* — arcctgl/"l—с
Линии скольжения в областях OQR и O'Q'R', определяемые
соответственно особенностями О и 0/ и положениями линий
скольжения OQ и O'Q', суть радиусы и концентрические круговые дуги.
Положения OR и OrR' определяются согласно условию, что
поверхность штампа не испытывает трения. Поэтому области ORS и O'R'S'
равномерно напряжены, причем главные оси напряжения будут
параллельны и перпендикулярны к поверхности. Следовательно,
ориентация линий скольжения такая же, как в областях OPQ и O'P'Q',
при этом углы QOR и Q'O'R' равны ifon. Согласно уравнениям
(32) и (33) значение р в ORS и O'R'S' будет /?0 + 27,£, где

7. ТЕОРИЯ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ АНИЗОТРОПНЫХ МЕТАЛЛОВ 385
Е = В(К, k)= \ (1—k*sin20)1/2dh — полный эллиптический инте-
0
грал второго рода. Поэтому давление на штамп распределено
равномерно и равно Р, причем
р / 1 с \Л*
2f ^U-csln^J +й'- (36)
Когда с равно нулю, отсюда получается формула Прандтля
Р = 2г(1+^«).
Для малой степени анизотропии £ может быть вычислено из ряда
где F — гипергеометрическая функция. Разложение в ряд для Р
таково:
4г = 1+7я-т(1+тя+511-22т)--- ^38>
Таблицы для Е как функции с или k2 годны 1) для вычисления Р
при конечных степенях анизотропии. Если с положительно, то Р
меньше, чем 27(1 ~|- 72~), если с отрицательно, то Р больше, чем
27(1 -(-1/2i:). Более того, Р и поле линий скольжения будут теми же
самыми для направлений у и */2~ — 7 относительно осей
анизотропии; это обусловлено симметрией анизотропии относительно
направлений, составляющих 45° с осями анизотропии.
Положение точки 5, до сих пор не установленное, зависит or
напряженного состояния в непластическом материале вследствие
того, что оно определяет развитие пластической зоны. Как и в
изотропной теории, направления линий течения совпадают с линиями
скольжения, параллельными соответственно PQRS и P'Q'R'S', а
пластический материал ниже этих границ принужден оставаться жестким.
Скорость в области O'P'Q'R'S' имеет величину V sec 8, а в области
OPQRS — величину V cosec 8, где V — направленная вниз скорость
штампа.
*) Е. J a h n k e, F. E m d e, Funktionentafeln, 2-е изд., Leipzig, Teubner,
1943, стр. 150.

ПРИЛОЖЕНИЯ
I. Индексные обозначения и правила суммирования
а. Индексные обозначения. В отдельных приложениях
обозначения, использованные в этой книге для девяти компонентов
напряжения в точке, таковы: сх, ау, о,, zyz, rzyy zxzi xzx, zxy, zyx> ПРИ
этом они отнесены к прямоугольным осям х, yf z\ так как xyz = zzy
и т. д., то только шесть компонентов напряжения являются
независимыми. Компоненты приращения деформации обозначены через dzx,
d^yz и т. д. При обсуждении зависимостей между напряжениями и
приращениями деформации нормальные компоненты напряжения
обозначены через <за, с22, о.и, где ои = ах и т. д., а касательные
компоненты — через а2?>, с31, с12, где а23 = т и т. д. Общий
компонент напряжения обозначен через сц, где вместо чисел в виде
индексов используются буквы; отдельный компонент получается
заменой / и j на соответствующие значения 1, 2 или 3; конечно,
вместо / и j могут быть использованы любые другие буквы. Для
краткости напряжение записывается просто в виде его общего
компонента. Компоненты приращения деформаций обозначаются
аналогично через dztj (/, /= 1, 2, 3).
д. Правила суммирования. В сумме такой, как
ZJ aii — aU 4~ °22 +* а33»
i
где / принимает значения 1, 2, 3, знак суммирования опускается и
все выражение записывается просто как аи. В этом состоит
правило суммирования, согласно которому повторяющаяся буква индекса
указывает на то, что сумма должна быть образована из всех
членов, получаемых при приписывании индексу значений 1, 2 и 3. Это
правило не применяется к числовым индексам. Аналогичным образом
в величине, содержащей два повторяющихся индекса, таких, как о^,
dstj, суммирование должно быть проведено для всех значений 1, 2, 3
для обоих индексов / и у. Таким образом,
°ij deij = aU dsU + a22 <^22 ~h a33 ^S33 + 2 (<*23 <*s23 + °31 d4\ + a12 ^312>'

I. ИНДЕКСНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И ПРАВИЛА СУММИРОВАНИЯ 387
где использовано свойство симметрии о^ = о^, йг^ — йг^.
Повторяющиеся буквенные индексы называются «подставными» индексами,
а неповторяющиеся — «свободными» индексами. Например, в
выражении
°ifjk ~ ailalk + Gi262k + ai^Sk
j представляет собой подставной индекс, тогда как i и к —
свободные индексы. Очевидно, подставной индекс может быть заменен
любой другой буквой, которая не встречается нигде в том же самом
члене.
Применение скобок должно быть тщательно оговорено. Так,
но
а2. = а2 -4- с2 -4-а2 .
U UU I u22~ S3*
Прежде чем будет выполнена любая другая операция, внутр^и
скобки должно быть проведено суммирование.
В следующем уравнении
Pifljk ~ rik
свободные индексы (i и Щ должны быть с обеих сторон теми же
самыми; при этом подразумевается, что уравнение имеет силу при
всех значениях свободных индексов. Поэтому вышеприведенное
выражение заключает в себе девять уравнений типа
Pll9tt4rPl2921+Pl3991 = г1* (*== 1. *=1),
/>21<7l3+P22?23 -ЪА>3?33 = ^23 (1 = 2' * = 3)«
Суммирование также будет подразумеваться в выражении,
включающем производную, как, например, dujdxp что означает:
дхл ~^ д^о • dx* *
Аналогично уравнения равновесия
^2l _L dJ?_2 I dg23
bxi ' dx2 ' cU3
^i ^x2 d*e
могут быть написаны как

388
ПРИЛОЖЕНИЯ
Здесь суммирование проводится по подставному индексу /\
а уравнение имеет силу для всех значений 1, 2, 3 свободного
индекса /.
c. Дельта-символ. Иногда выгодно использовать символ 8^,
который согласно определению равен единице, когда i^=j, и нулю,
когда 1Ф]. Например, девиатор напряжения или приведенное
напряжение, которое представляет собой часть напряжения о^, оставшуюся
после вычитания гидростатического напряжения 1/3 (au-[-* o22-j-a33),
имеет компоненты
3П "3" (aU + a22 4- а3з)> a23
и две пары других подобных компонентов, получаемых путем
циклической перестановки индексов. Эти компоненты могут быть
написаны в виде ?ц — "о*аА-/^ когда /==/, и в виде о^-, когда 1ф]\ или
еще более кратко и единообразно, как <sij — -^^ifkk-
d. Тензоры. Декартов тензор рода, встречающегося в этой
книге, представляет собой величину, заключающую в себе девять
компонентов /?^(/\ / = 1, 2, 3), Подразумевается, что существует
некоторое правило (зависящее от частнэй области приложения),
посредством которого определенные компоненты могут быть связаны
с любой даннэй системой пространственных прямоугольных
координат xit проходящих через рассматриваемую точку. Три компонента,
связанных с /-й осью, суть /?^(/, у'=1, 2, 3). Девять компонентов
могут быть наглядно представлены как таблица из трех строк и
трех столбцов, в котором р^ представляет собой элемент i'-й строки
и у-го столбца. Когда Pij==Pji> говорят, что тензор симметричен.
Свойство тензора, служащее его определением, заключается в том,
что его компоненты p{j и ру, соответствующие любим двум
различным системам осей хг и Хи связаны уравнениями
Py^=aikajlPkl. (1)
Здесь aik(k^= 1, 2, 3) — направляющие косинусы оси х% по
отношению к системе осей xt\ поэтому направляющие косинусы оси х{ по
отношению к системе xi суть аы (k= 1> 2. 3). Направляющие
косинусы удовлетворяют хорошо известным геометрическим соотношениям
агч • азк = 3ij> аыЧ$ = V (2)
Уравнения (1) представляют собой уравнения преобразования
компонентов напряжений, отнесенных к различным системам осей.
В обычных обозначениях они имеют вид
* = Ь**х + Р% "г- ^о, + 2 (1^ V + ^zx + ^ссУ)>

I. ИНДЕКСНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И ПРАВИЛА СУММИРОВАНИЯ 389
где а — нормальный компонент напряжения в площадке, нормаль
которой имеет направляющие косинусы (A, jx, \), а т — касательный
компонент напряжения в площадках, нормали которых имеют
направляющие косинусы (к', [х\ »/) и (к", \х\ V). Таким образом, девять
компонентов напряжения (и аналогично приращений деформации)
составляют тензор, который, кроме того, является симметричным,
так как aij = а^ (и de^ = de^). С этими обозначениями уравнения (2)
будут:
Х2 4- р2 -+- n2 = 1, ;///' + |д.У + vv = о.
В главах II и III использована следующая теорема о тензорах.
Если скалярная величина /(Рц) является функцией компонентов
тензора р{р то совокупность производных q^ = dfjdpij составляет
тензор; его компоненты, отнесенные к другой системе осей x'.t
образуются согласно правилу дг^ = df(p )/др'. Тогда
df(Pij) _ W дрм_ df
dpij dpkldPij dpkl J
так как
Следовательно,
^ = aihaji^ = ai^Ji4ki
и теорема доказана.
е. Инварианты тензора. Функция компонентов тензора, которая
сохраняет ту же самую форму при любой другой системе осей
координат, известна как инвариант. Таким образом, функция f(ptj)
представляет собой инвариант, если
fiP{j) = /(«*,«уРи) ^f(P'b)-
Можно доказать, что тензоры рассматриваемого здесь рода имеют
только три независимых инварианта, любая другая инвариантная
функция будет выражаться через них. Наиболее простые
независимые инварианты суть
Pii> PijPji* PijPjkPkv
или любые скалярные кратные их. Принимая во внимание эти
выражения, в свою очередь дадим следующее доказательство их
инвариантности. Из (2) согласно определению дельта-символа и
взаимозаменяемости подставных индексов имеем:
Р'н = агкапРы = hiPki = Ркк = Ра-

390
ПРИЛОЖЕНИЯ
Аналогично
P'ijPji == (aHfljiPkl)ifljnfiinPmn) = (^ikainPkl)(ajlajmPmn) =
= (hnPkl) (hmPmn) = PnlPln = PijPji*
P'ijPjlPki = (ailajmPlm)(ajnakrPnr)(^k8aitPst) =
= (aiiaitPm) (ajmajnpnr) (akrakspst) =
= e>uPlm) (^nnPnr) (KsPst) = PtmPmrPrt = PijPjkPki'
Правило суммирования совершенно незаменимо для доказательств,
подобных вышеприведенному; оно не только экономит время и место,
но выявляет структуру уравнений и подсказывает правильную
группировку членов.
И. Системы координат
а. Цилиндрические координаты (г, 0, z). Уравнения равновесия
(объемные силы не учитываются) имеют вид
=-0,
дзг , 1 dxrfi , dirz . jr — стд
dr ' г <Э6 "T" a? ~r r
dr ^ r d% > dz ~1~ r
где а,., <з0, ar, х0г, тГ2, тг0— компоненты напряжения, отнесенные
к цилиндрическим координатам.
Компоненты тензора скорости деформации таковы:
• ди • \ fdv \ I dw\
**- — !)?> ltis~~'2{dz~i~T Ж у
I (dv . \ • 1 (ди , da/
* ддо • 1 / dv v , 1 d# n
г~ = d7 ' 7'* ~~~12{дг~~'~~г~~^ТдЪ
где а, г;, w — компоненты скорости соответственно в радиальном,
окружном и осевом направлениях.
Ъ. Сферические полярные координаты (г, О, <р). Здесь Ь — угол
между радиусами и положительной осью z, <р— угол, измеряемый
вокруг оси z вправо. Уравнения равновесия (объемные силы не
учитываются) таковы:
dzr I dzra 1 dzf<D 1
dirn 1 д?ц 1 д-z^ 1 г ч
^ + 7Ж + ^^ + 7^-^о + зт,,}==о,
СИ,.,. 1 ^Xfjcp 1 dae 1
IF + 7 Ж + r-ЖТ ЗГ + 7(3X- + 2T- Ctg 0) = 0>

III. ХАРАКТЕРИСТИКИ
391
где аг, о5, а у, т0(р, тг<р, xrQ — компоненты напряжения, отнесенные
к сферическим координатам.
Компоненты тензора скорости деформации будут:
е дЦ ' l ( -~Udw (л I 01/\
е' = ^' ^ = ^nr¥lsin0W-^cos6 + ^j^
e° ~ г Ue"+" "J' T^ ~" "2* 1^Ж¥ ^ "r "^ — T)'
I fdw . . ,. , ,Д • 1 /du v . 1 du\
B^7^b{^asin(i+vcosb)' ^ = -2(^-7 + 7^),
где и, г/, w — компоненты скорости соответственно в направлениях
г, Ь, ср.
III. Характеристики
Начнем с линейного уравнения первого порядка
где .г представляет собой неизвестную зависимую переменную,
X ну — независимые переменные, а Я, Q, /? — непрерывные
однозначные функции х, у, Z. Приращение z в направлении dy/dx
плоскости (л:, у) будет:
** = %йх + ^йу. (2)
Рассмотрим семейство кривых с наклоном
dx dy гч.
из которых одна и только одна кривая проходит через каждую
точку (исключая возможную особенность z). Приращение z вдоль
кривой этого семейства таково:
Следовательно,
dx dy dz_ /дч
Эти уравнения, выражающие приращение z вдоль семейства
кривых (3), полностью эквивалентны первоначальному
дифференциальному уравнению (1). Кривые (3) известны как характеристики.
Если значение z в некоторой точке О плоскости (х, у) задано,
то остальные его значения однозначно определяются во всех точках
вдоль характеристик, проходящих через О. В численном решении

392
ПРИЛОЖЕНИЯ
мы просто заменяем уравнение (4) соотношениями в конечных разностям
Дх ±у Sz
где Ах, \у> bz— малые приращения между двумя соседними точками
характеристики, а Р, Q, R — средние значения на интервале. Если
Р и Q не зависят от z, то сперва может быть вычислена
характеристика, проходящая через О, а потом и значения z\ если функции
Р и Q зависят от z, то вычисления z и характеристик проводятся
одновременно. В первом случае форма характеристики не зависит
от данного значения z в точке О; во втором случае она зависит.
Аналогично, если значения z определены вдоль отрезка JK
некоторой кривой Е, которая не является характеристикой, то
значения z однозначно определяются во всех точках внутри полоски в
плоскости (х, у), охватывающей характеристики, пересекающие У/0 (Очевидно,
отрезок JK должен быть таким, что никакая характеристика не
пересекает его дважды, так как значение z может быть произвольно
назначено только в одной точке характеристики; например, не
существует решения уравнения (1), принимающего произвольные
значения на замкнутой кривой.) В частности, если граничные
значения около точки О на отрезке JK несколько изменяются, то решение
действительно только в соответствующей окрестности
характеристики, проходящей через точку О; поэтому мы можем сказать, что
малые возмущения распространяются вдоль характеристик.
Граничные значения z на отрезке JK не обязательно должны
быть непрерывными, если в частной задаче это не требуется
внешними соображениями. Граничные значения могут быть также такими, что
производная от z вдоль J К является в некоторой точке О разрывной.
Если это случается, то разрыв производной распространяется вдоль
характеристики С, проходящей через точку О; другими словами,
производная в любом направлении, исключая С, имеет различные
значения на противоположных сторонах С. Будет видно, что эта
возможность происходит непосредственно из того факта, что
первоначальное дифференциальное уравнение эквивалентно условию
приращения z только вдоль характеристики. Отсюда следует также,
что если область плоскости (х, у), охватываемая решением, состоит
из нескольких областей, в каждой из которых z является
аналитической (т. е. обладает непрерывными производными), то области
могут смыкаться только вдоль характеристик. Вследствие этих причин
поле характеристик должно быть рассмотрено как основной элемент,
который должен быть вычислен. Когда имеют дело с более
сложными уравнениями, в качестве основного определяющего свойства
характеристики удобно принять то, что она представляет собой
кривую, при переходе через которую определенные производные
при соответствующих граничных условиях могут быть разрывными.

111. ХАРАКТЕРИСТИКИ
393
Чтобы с этой точки зрения исследовать характеристики уравнения
(1), допустим, что вдоль некоторой кривой С даны значения z так,
что дифференциал dz известен во всех точках на кривой С. Тогда
для вычисления dz/dx и dz/ду в распоряжении имеются два
уравнения (1) и (2). Вообще, уравнения имеют единственное решение,
а поэтому производные на обеих сторонах С одинаковы. Однако,
когда детерминант
\dx dz\
Р R
равен нулю, уравнения не имеют единственного решения, а
производные без дополнительных данных не могут быть вычислены; эти
данные могут быть такими, что производные на С являются
разрывными. Когда С представляет собой одну из кривых семейства
(3), то детерминант во всех точках этих кривых равен нулю,
а поэтому они согласно определению суть характеристики. Тогда
условие совместности уравнений (1) и (2)
\dx dz\
R
= 0
представляет собой в точности уравнение (4)» определяющее
изменение Z вдоль характеристики.
Теперь рассмотрим два совместных уравнения первого порядка
"£-нг£+«£+*&-г.
^+<2'f+*'e+5'!-^
(5)
где Р, Р' и т. д. суть функции х, у, и, v. Допустим, что и и v
даны вдоль некоторой кривой С так, что на этой кривой известны
дифференциалы
, ди , , да ,
dv ■
dx 4- — dy.
дх **~ l dy
Первые производные однозначно определяются в любой точке
на С посредством четырех вышеуказанных уравнений, если не
выполняется условие
\dx dy О О
О 0 dx dy
Р Q R S
P' Q' R' S'
Оно представляет собой квадратичную форму dx и dy, имеющую
два корня dyjdx.
= 0.
(6)
26 Зак 1438 Р. Хилл

394
ПРИЛОЖЕНИЯ
Если корни действительны и различны, то имеются два семейства
характеристик и через любую точку проходит элемент каждого
семейства. Тогда говорят, что уравнения являются гиперболическими;
при этом они могут быть приведены к паре дифференциальных
соотношений, выражающих приращения и и v вдоль характеристик.
Они решаются численно путем замены их разностными
соотношениями на сетке характеристик. Если вдоль некоторого отрезка JK
кривой 2, которая не является характеристикой, заданы значения
и и v, то может быть доказано, что и и v однозначно определяются
в криволинейном четырехугольнике, ограниченном двумя парами
пересекающихся характеристик, проходящих через У и К- Приводим
пример гиперболических уравнений
ди dv dv __ да
дх ~~ ду ' дх ~~ ду '
характеристики которых суть dy2 — dx'2 = 0, т. е. линии х -+:у — const.
Вдоль семейства х-\~у = const
, да , , ди , , / ди ди\ , / да dv\
дх ' ду ^ дх ду J дх дх]
, dv , , dv , a (dv dv\ , (dv da .
dx ' dy ^ x дх ду J \ дх дх)'
откуда
du + dv = 0.
Таким образом, u~\-v является константой вдоль каждой линии
х -f у = const и так, что, скажем, и-f-i; = 2f(x-\-y), где
/—произвольная функция, подлежащая определению из граничных условий.
Аналогично ц — v = 2g(x— у), а окончательное решение таково:
*v\=f{x-{-y)+g(x—y).
В этом примере уравнения (х, у) характеристик могут быть
выражены точно, но обычно это, конечно, невозможно.
Если корни уравнения (6) комплексные, то говорят, что
уравнения (5) являются эллиптическими. Приведем пример:
да ^ dv dv __ du
dx ^ dy ' dx ~~ dy
Так как
д*и d2v дги d'*v &la №v
дх* dxdy dy2 dx* dx dy ~~ dy2 '
то и и v связаны решениями уравнения Лапласа. Из этого ясно,
что задачи о краевых значениях и методы решения гиперболических
и эллиптических уравнений совершенно различны (в действительной
плоскости).

III. ХАРАКТЕРИСТИКИ
395
Если корни уравнения (6) равны во всех точках, то говорят, что
уравнения (5) являются параболическими. Примером их являются
уравнения
да dv
дх ох
с характеристиками, представляющими собой прямые,
параллельные оси х.
Тот же метод используется для выяснения, существуют ли
характеристики для системы, состоящей более чем из двух совместных
линейных уравнений. Работа по раскрытию детерминанта может быть
уменьшена посредством следующего приема. Пусть ср = о (х, у) и
6 = 6(лг, у)— параметрические уравнения двух семейств кривых
в плоскости (х, у). Беря в качестве примера уравнения (5), мы можем
рассматривать и и v как функции ср и ty вместо х и у. Теперь
допустим, что и w.v даны вдоль одной из кривых у = const, так
что да/д'Ь и dv/d'b на этой кривой также известны. Поэтому
уравнения (5) могут быть написаны в форме
pe+«$)$+(*£+s3)£+"»«™" ■"""—'■■
(" "И + V $) % +(«■ £ +*%)% + из.естнь,, « = Г.
Производные ди/ду и dvjdy и, следовательно, производные в.
любом направлении однозначно определяются, пока не имеет места
условие
0. (7)
Эквивалентность уравнений (6) и (7) легко установить, если
вспомнить, что вдоль характеристики о = const
dv=*ldx+$dy или dy/dx = -£/$.
С помощью этого метода порядок детерминанта сокращается
наполовину.
Наконец, перейдем к линейному уравнению второго порядка
Соответствующие граничные условия представляют собой условия
для z и его первых производных dz/dxy dz/dy вдоль некоторой
кривой £. Поэтому вдоль кривой £ известны следующие приращения:
, / дг \ d*z , , &z , . f дг \ д*г , . &z
26*

398
ПРИЛОЖЕНИЯ
Для определения вторых производных d*z/dx'J, d^z/dx ду, с?лг/ду4
единственным образом достаточно трех уравнений, если не
выполняется условие
ix
0
А
dy 0
dx dy
2В С
= о
или
Лdy' — 2B dxdy-+Cdx* = 0.
(8)
Поэтому уравнение является гиперболическим (с двумя
семействами характеристик), если корни квадратного уравнения
действительны и различны (В2 > АС), эллиптическим, если они комплексные
(В2 < АС), и параболическим, если они равны (В'2 = АС).
IV. Преобразование уравнений для компонентов напряжений
в плоской задаче
Пусть зж, iyy zxy — компоненты напряжения в плоскости (х, у).
Пусть (;, т|) — другая пара осей в той же плоскости, а ft— угол
наклона оси 5 относительно оси х, измеряемый против часовой
стрелки. Тогда компоненты напряжения, отнесенные к осям (£, tj),
связаны с компонентами напряжения, отнесенными к осям (х, у),
уравнениями
^=с ох cos2 0 -{-Су sin2 ft -\-2хху sin ft cos О,
з.0 == ^ sin2 6 -f- ay cos2 0 — 2zxy sin 6 cos 0,
теч = — (а* — V sin 9 cos 6 + т*у (cos9 ft « sin2 ft).
С другой стороны, они могут быть написаны так:
а* = ■§• (** + S> + "2 (а* —а*)C0S 2H + T^Sin 2Ь'
°ч = ^-(^ + а1г)—jC6* —«ir)cos20 — т^ sin 2ft,
^ "^ — T ^~ alf) Si" 2^ + T^ C0S 20-

ТАБЛИЦЫ
Следующая таблица дает декартовы координаты узловых точек
поля линий скольжения с ячейкой в 15°, определенных посредством
двух пересечений равных круговых дуг единичного радиуса (фиг. 31).
Координаты отнесены к прямоугольным осям (х\ У), проходящим
через О и направленным вдоль и перпендикулярно к оси симметрии
и таким образом, что
V2x' = х+у, У 2/' =у — х,
где хну показаны на фиг. 31. Так как величины а и {3 в узловых
точках представляют собой целые числа, умноженные на 15°, мы
можем написать:
а° = —/и- 15°, р°^м- 15°
и приписывать их отдельной точке с помощью пары положительных
целых чисел (т, п). Это правило принято в таблице.
Вычисления были выполнены для ячейки в 5°, при этом
полагают, что ошибка нигде не превышает единицы в третьем знаке;
в случае больших значений тип точность, вероятно, будет
наименее хорошей для х\
Таблица 1
(1.1)
(1.2)
(1.3)
(1.4)
(1.5)
(1,6)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
хг
0,428
0,647
0,792
0,845
0,789
0,617
1,018
1,333
1,552
1,634
1,545
У'
0
0,286
0,639
1,040
1,464
1,880
0
0,413
0,944
1,571
2,256 1
(3,3)
1 (3,4)
(3,5)
(3,6)
(4,4)
i (4,5)
(4,6)
(5,6)
(6S)
х>
1,867
2,338
2,673
2,804
3,13(4)
3,85
4,37
5,06
6,17
8,04
У'
0
0,615
1,429
2,414
0
0,937
2,205
0
1,453
0

398 ТАБЛИЦЫ
Таблица 2 (см. главу XI, уравнение (43))
<|/,
градусы
0
10
20
30
И)
50
60
70
80
90
ф,
радианы
0
0,175
0,349
0,524
0,698
0,873
1,047
1,222
1,396
1,571
К
радианы
0
0,252
0,455
0,595
0,685
0,737
0.766
0.780
0,784
0,785
0,
градусы
0
10
20
30
40
50
60
0,
радианы
0
0,175
0,349
0,524
0,698
0,873
1,047
К
радианы
0
0,151
0,300
0,447
0,583
0,703
0,785

ДОБАВЛЕНИЕ
Следующие статьи были не замечены или появились в то время,
как книга была в печати:
Гл. II (разд. 3, а). P. W. Bridgman, Journ. App. Phys., 1949,
т. 20, стр. 1241—об изменении объема в течение пластической
деформации.
Гл. VII (разд. 7). D. С. D r u с k e r, Journ. App. Phys., 1949,
т. 20, стр. 1013—о механике обработки резанием.
Гл. VIII (разд. 2, b). R. Hill, Phil. Mag., 1950, т. 41, стр. 745 —
о вычислении минимальных размеров образца для обоснованных
испытаний на твердость.
Гл. VIII (разд. 3). А. Р. Green и автор в неопубликованной
работе1) (1950) показали, что клин с полным углом меньше 45°,
который сжат гладким плоским штампом, может согласно теории
деформироваться несимметрично путем сдвига по единственной
плоскости движения, наклоненной под углом 45° к штампу. Также
возможен и симметричный вид деформации, включающий две
ортогональные плоскости сдвига, но в экспериментах с клинами из пластицина
наблюдалась только несимметричная форма.
P. G. Hodge в частном сообщении (16 января 1950 г.) указал,
что для клина с углами, большими приблизительно чем 71°, второе
решение на стр. 255 требует меньшей нагрузки (хотя и большего
давления), чем первое решение; утверждение на стр. 255 о том, что
второе решение требует большей нагрузки, верно только для углов,
меньших 71°.
Гл. IX (разд. 5). R. Н. Н е у е г, Proc. Am. Soc. Test. Mat., 1937,
т. 19, стр. 145 — о показателе Мейера и о деформации вокруг
сферического наконечника при испытании твердости металлов
вдавливанием.
Гл. X (разд. 6). Е. Siebel, S. Schwaigerer, Archiv Eisen-
hiitten, 1948, т. 19, стр. 145 — о распределении напряжений в шей-
кообразном образце.
1) Повидимому, автор имеет в виду статью А. Р. G г е е n ' a, Philosophical
Magazine, 1951, т. 42, стр. 365. (Прим. переводчика.)

400
ДОБАВЛЕНИЕ
Гл. X (разд. 7). R. Hill, Phil. Mag., 1950, т. 41, стр. 733 —
о неоднородной пластической деформации пластины при испытаниях
на сжатие.
Гл. XI (разд. 2). J. D. Lubahn, G. Sachs, Trans. Am. Soc.
Mech. Eng., 1950, т. 72, стр. 201—о напряжениях в сильно
изогнутой полосе.
Гл. XII (разд. 3 и 5). L. Bourne, R. Hill, Phil. Mag,, 1950,
т. 41, стр. 671—о направленных свойствах медной и латунной
пластин при испытаниях на растяжение и вытяжку.

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алкинс (Alkins W. Е.) 38
Аллен (Allen D. N. de G.) 151, 281,
282, 350
Андервуд (Underwood L. R.) 227, 229
Ансофф (Ansoff H. I.). 193, 203
Баранский (Baranski G.) 99
Барретт (Barrett C. S.) 13, 372
Бауэр (Bauer F. B.) 76, 83, 85
Беккер (Becker A. J.) 34
Бельтрами (Beltrami E.) 31
Беляев Н. M. 151
Биттер (Bitter F.) 369
Бишоп (Bishop R. F.) 129, 131, 132,
154, 251, 297
Бланд (Bland D. R.) 220, 221, 229,
232 234
Болдуин (Baldwin W. M. Jr.) 26, 308,
311, 322, 361, 366, 374, 375
Болен (Bohlen E. C.) 374
Бос (Boas W.) 13
Бриге (Briggs G. C.) 199
Бриджмен (Bridgman P. W.) 22, 25,
98, 312, 313, 3/8
Брик (Brick R. M.) 373
Брэгг (Bragg W. L.) 24
Бургхофф (Burghoff H, L.) 374
Буссине (Boussinesq J.) 30, 163
Вейсс (Weiss L.) 209
Вильсон (Wilson F. H.) 373
Вильяме (Williams H. A.) 105
Boc (Voce E.) 22
Галин Л. А. 289
Гейрингер (Geiringer H.) 11, 110, 164,
187, 267
Генсамер (Gensamer M.) 45
Гест (Guest J. J.) 11, 34
Глейзал (Gleyzal A.) 64
Говалд (Howald T. S.) 311. 322, 366,
374
Говард (Howard J. V.) 24
Голдберг (Goldberg A,) 23
Грин (Green A. P.) 252, 399
Гринберг (Greenberg H. J.) 76, 83,
85, 86
Давиденков Н. H. 312, 314, 316
Дана (Dana A. W.) 378
Дейзис (Davies E. A.) 33, 45, 61, 203
Дейвис (Davies H. F.) 45
Дейвис (Davies R. M.) 295
Делингер (Dehlinger U.) 34
Джейкобе (Jacobs J. A.) 288
Джексон (Jackson K. L.) 43, 327
Джексон (Jackson L. R.) 43, 320, 333,
363, 377, 378
Докос (Dokos S. J.) 203
Дорн (Dorn J. E.) 23, 45, 363, 377
Драккер (Drucker D. C.) 63
Зайтц (Seitz F.) 13
Закс (Sachs G.) 11, 24, 34, 202, 203,
209, 213, 217, 281, 292, 308, 328,
365, 366, 367, 376, 378
Зибель (Siebel E.) 11, 193, 213, 219,
233, 293, 316
Зинер (Zener C.) 41, 43
Ильюшин A. A. 62, 64
Итерсон (Iterson F. K, Th. van.) 193,
213
Ишлинский А. Ю, 321
Каннингем (Cunningham D. M.) 45
Каратеодори (Caratheodory C.) 183
Карман (Karman Th. von.) 11,86, 227,
320
Каррьер (Carrier G. F.) 190, 193, 203
Кербер (Korber F.) 41, 202, 293, 369
Кестер (Koster W.) 361
Кеттер (Kotter F.) 164, 346
Кехендерфер (Kochendorfer A.) 36
Клинглер (Klingler L, J.) 203, 361, 364
365, 366, 367, 376
Кокс (Сох Н. L.) 34
Котрелл (Cottrell A. H.) 13

402
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Коффин (Coffin L. F. Jr.) 151
Краге (Craggs J. W.) 102
Кристоферсон (Christopherson D. G.)
115
Куинни (Quinney H.) 12, 33,39,60,95,
202
Кук (Cook G.) 34, 146, 150, 152
Кук (Cook M.) 232, 317, 360, 365, 372
Кулон (Coulomb C. A.) 10, 30
Кэрнс (Cairns W. J.) 287
Ланкфорд (Lankford W. T.) 45, 363,
378
Лант (Lunt R. W.) 207, 208
Ларк (Larke E. C.) 232, 317
Леви (Levy M.) 7, 11, 53, 163
Лесселс (Lessells J. M.) 33
Ли (Lee E. H.) 69, 145, 170, 247, 248,
253, 262, 235, 266
Линикус (Linicus W.) 209
Линь (Lin С. С.) 63
Лоде (Lode W.) 11, 28, 33, 49, 50, 59,
60
Лоу (Low J. R.) 45
Лубан (Lubahn J. D.) 213
Люг (Lueg W.) 233
Людвик (Ludwik P.) 41
Мак-Адам (McAdam D. J., Jr.) 24
Мак-Грегор (MacGregor C. W.) 33,
151
Мак-Леллан (MacLellan C. D. S.)
207, 208
Максвелл (Maxwell J. Clerk) 31
Малавал (Malaval M, P.) 41
Мандель (Mandel J.) 338, 340
Ма;,ин И. 33
Марков А. А. 8/
Мебс (Mebs R. W.) 24
Мейер (Meyer О. Е.) 298
Мелан (Melan E.) 12, 48, 75
Мерчант (Merchant M. E.) 239, 240,
241
Мизес (Mises R. von.) 11, 12, 30, 31,
53, 68, 169
Миллер (Miller J.) 33
Михлин С. Г. 171
Mop (Mohr О.) 337
Морковин Д. 34
Моррисон (Morrison J. L. M.) 34, 92,
117, 149, 150
Мотт (Mott N. F.) 129, 131, 132, 154,
251, 297
Мэзон (Mason W.) 34
Надаи (Nadai A.) 11, 12, 31, 45, 56,
62, 97, 105, 115, 117, 143, 148, 149,
164, 223, 229, 244, 264, 268, 289, 292,
293, 308, 351
Най (Nye J. F.) 262, 264, 269, 287
Одквист (Odquist F. K. G.) 12, 43
Ол (Aul E. L.) 328
Олдос (Aldous C. W.) 294
Орован (Orowan E.) 220, 223, 233,
245, 287
Осгуд (Osgood VV. R.) 45
Палм (Palm J. H.) 22
Палмер (Palmer E. W.) 365
Памфри (Pumphrey S. L.) 315
Парасюк О. С. 289
Паркер (Parker E. R.) 45
Патнам (Putnam W. J.) 34
Пииспанен (Piispanen V.) 241
Пирсон (Pearson С. Е.) 217, 218
Пирсон (Pearson К.) 53
Поланьи (Polanyi M,) 25
Понселе 10
Поп (Pope J. A.) 34
Прагер (Prager W.) 46, 56, 60, 62, 64,
65, 83, 84, 92, 93, ПО, 116, 164, 167,
170, 187, 188, 190
Прандтль (Prandtl L.) 11, 12, 53, 56,
108, 267, 269, 289, 293, 338, 341
Рейсе (Reuss A,) 53, 56, 91, 125
Ренкин 10
Робертсон (Robertson A.) 34
Родерик (Roderick J. W.) 105
Розенхейн (Rosenhain W.) 238
Рос (Ros M.) 34
Росс (Ross A. W.) 366, 374
Садовский М. А. 86, 163
Сайдботем (Sidebotham О.) 34
Саймондс (Symonds P. S.) 169, 286,
301
Сангдал (Sangdahl G. S. Jr.) 328
Саутуэлл (Southwell R. V.) 104, 106,
115, 117, 122, 159, 281, 282, 350
Свифт (Swift H. W.) 199, 308, 322,
326, 335, 372
Сен-Венан (Saint-Venant В. de) 7, 10,
52, 102, 144, 158
Седзи (Shoji H.) 24
Сили (Seely F. В.) 34
Синицкий А. К. 151
Скобл (Scoble W. А.) 34
Смит (Smith С. S.) 363
Смит (Smith К. F.) 377, 378
Смит (Smith S. L.) 24
Снеддон (Sneddon I. N.) 289
Снитко Н. К. 34

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
403
Сокольников И. С. 104, 106, 108
Соколовский В. В. 26, 64, 105, 112,
115, 119, 151, 169. 193, 200, 203,
270, 285, 293, 295, 340, 341, 344,
346, 349, 350
Сопуит (Sopwith D. G.) 34, 151
Спиридонова Н. И. 312, 314, 316
Стерни (Sturney R. L.) 238
Стивенсон (Stevenson А. С.) 289
Стэнли (Stanley R. L.) 33
Суэйнгер (Swainger К. Н.) 64
Таппер (Tupper S. J.) 69, 142, 145,
170, 187, 194, 206, 247, 248,253, 262,
265, 266
Тейбор (Tabor D.) 296, 298
Тейлоэ (Taylor О. I.) 12, 36, 39, 60,
69, 95, 202, 349, 353
Терне.) (Turner L. В.) 10, 137, 148
Тимошенко С. П. 36, 104, 106, 117,
122, 159, 221, 295
Тиц (Tietz Т. Е.) 23
Тодхантер (Todhunter I.) 53
Томпсен (Thompsen E. G) 45
Томпсон (Thompson F. С.) 209
Трейси (Tracy D. Р.) 213
Треска (Tresca H.) 10, 29, 30
Трефц (Trefftz E.) 114
Тринкс (Trinks W.) 229
Уайт (White G. N., Jr.) 145
Уилер (Wheeler M. А.) 38
Уинзео (Winzer A.) 61, 190
Уистрейк (Wistreich J. G.) 209
Уоррен (Warren A. G.) 148, 151
Уэбстер (Webster D. A.) 317
Уэстергард (Westergaard H. M.) 26
Фангмейер (Fangmeier E.) 219
Филиппидис (Philippidis A. H.) 86
Фише/> (Fischer J. C.) 151
Форд (Ford H.) 99, 220, 229, 232, 233,
234, 295
Фостер (Foster P. Field) 246
Франсис (Francis E. L.) 209
Френкел (Fraenkel S. J.) 45, 49, 61
Фрид (Fried M. L.) 284
Ханделман (Handelman G. H.) 46, 63
Ханкинс (Hankins G. A.) 294
Хаясон (Hanson D.) 38
Xao (Haar A,) 83, 320
Хей (Haigh B. P.) 26, 31
Хенки (Hencky H.) 11, 12, 31, 61,
158, 163, 321
Хилл (Hill R.) 56, 69, 78, 86, 87, 98,
125, 129, 131, 132, 142, 145, 152, 154,
170, 194, 198, 206, 207, 210, 213, 214,
215, 217, 235, 237, 247, 248,251,253,
254, 256, 262, 265, 266, 269, 284, 286,
293, 297, 301, 302, 304, 318,324,328,
338, 348, 355, 358, 361, 363,367,371,
372, 378
Хитчкок (Hitchcock J. H.) 221
Ходж (Hodge P. G.) 83, 111, 145, 253
Холломаи (Hollomon J. H.) 24, 41, 43
Хофф (Hoff HO 369
Хоэнемзер (Hohenemser K.) 12, 92
X .истианович С. А. 171
Хубер (Huber M. T.) 31
Целиков А. T. 227
Чжоу (Chow С. С.) 378
Шевченко К. Н. 193, 203
Шеперд (Shepherd W. M.) 41,92, 149
Шей (Scheu A.) 41
Шлейхер (Schleicher F.) 31
Шмид (Schmid Е.) 13, 25
Шмидт (Schmidt E.) 12, 183
Шмидт (Schmidt R.) 39, 42, 61
Шоу (Shaw F. S.) 115, 120
Шредер (Schroeder W.) 317
Эдди (Eddy R. Р.) 120
Эдуаэдс (Edwards J.) 33
Эйсбейн (Eisbein W.) 217
Эйхингер (Eichinger A.) 34, 41, 45,
202
Эчмит (Hermite R. L.) 251
Эрнст (Ernst H.) 238, 239
Юм-Розери (Hume-Rotheryw) 13

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоскрепление трубы 134 и д.
— — при плоской деформации 142
— — с закрытыми концами 134, 145
— — с открытыми концами 134, 150
Агрегат поликристаллический 16
Аналогия мембранная 108
Анизотропия пластическая 59, 360 и д.
прокатного листа 365 и д.
Баушингера эффект 17, 26, 35
Валки, деформация при прокатке 221
Вдавливание клина 248 и д.
— конуса 251
— плоского штампа 292 и д., 381
цилиндрического 321
— сферы 321
Волочение 191
— листа 194 и д.
, влияние противонатяжения на
него 206
— —, давление на матрицу 198
, деформация 201
, коэффициент полезного
действия 201
, стоячая волна 199
через гладкую матрицу 194
через шероховатую матрицу
204
— проволоки 208 и д.
— трубы 311
Выдавливание 191
— из сжимающейся цилиндрической
втулки 302 и д.
— листа 213 и д.
— обратное 214
— пластического материала через
сходящийся канал 242 и д.
Вытяжка глубокая 322 и д.
, ушкообразование 372
Вязкая жидкость 53
Геометрия поля линий скольжения
164 и д.
Гистерезис, петля 19, 23
Граница упруго-пластическая, условия
вдоль нее 72, 91, 121, 160 и д.,
272 и д.
—- напряжения 25
Девиатор приращения деформации 38
Дельта-символ 390
Деформация логарифмическая
(истинная) 18, 40
— условная (техническая) 18, 91
— эквивалентная 44
, приращение ее 42
Диаграмма поиведенная 247
Дислокация 13
Единственность распределения
напряжений для жестко-пластического
материала 76
для неупрочняющегося
материала 75
для упрочняющегося мате
риала 70
Зависимость между напряжением и
дефо шацией, геометрическое
представление ее 56, 335
__ —t кривые 17
— — теоретическая 52—56,
61—66
— ___ — экспериментальная
59—51
Задачи осесимметричные 300 и д,
— плоские неустановившегося
движения 246 и д., 272 и д.
установившегося движения 191
и д.
— статически определимые 109, 124,
158, 278 и д.
— упруго-пластические 90 и д.
со сферической и осевой
симметрией 121 и д.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
405
Изгиб листа 100, 328 и д.
с растяжением 333
— призматического стержня 103
— при условиях плоской деформации
100 и д.
Изменение напряжений нейтральное
46
Изотропия 16
Инварианты тензора 391
напряжения 25
Испытания на твердость 294, 295 и д.
Канал сходящийся, течение через
него 242 и д.
Коэффициент полезного действия при
волочении листа 201
. — при прокатке 237
— стеснения для стержня с вырезом
287
— трения при волочении 205, 209
Кристаллы i3 и д.
Критерии текучести (пластичности),
влияние гидростатического
напряжения 25
— —, геометрическое представление
26, 336, 342
, для анизотропных металлов
361
— - —, зависимость от холодной
обработки 35 и д.
, определение 24, 25
, экспе иментальное
исследование 29—34
Круг Мора 335
Кручение стержня кругового
поперечного сечения 111
с растяжением 95
овального поперечного сечения
112
— — отожженного 115
_ переменного поперечного
сечения 117 и д.
призматического 106 и д.
— трубы анизотропной 359 и д.
, растянутой до предела
текучести 93
тонкой цилиндрической 41, 91
— совместно с растяжением
94 и д.
Крыша мембранная» аналогия при
кручении 109
Леви — Мизеса уравнения 53
Линии касательного напряжения 107
— Людерса 20
— скольжения 14, 162, 318
— — для анизотропных металлов 300
Линия скольжения, изменение
давления вдоль них 163
, — кривизны их 166—168
1 _- скорости вдоль них 164
, определение их 162
— — при осесимметричном состоя-
нии 318
, теоремы Хенки 164 и д.
, числовые расчеты 168 и д.
Лоде переменные 28, 50, 60, 157
Материал анизотропный 59, 360 и д.,
365 и д,
— жестко-пластический 76, 85, 155,
272 и Д.
— изотропный 16
— неупрочняющийся 75
— упрочняющийся 70
— упругий 79
— упруго-пластический 82
Матрица, волочение лиета через нее
194 и д.
Механика грунтов 335 и д.
Модуль упругости 15, 24
Монокристалл 13
Нагружение нейтральное 46
Напряжение гидростатическое,
влияние на образование шейки 21
_- —} — на текучесть 26
— девиаторное (приведенное) 25
— обобщенное (эквивалентное) 38
Напряжения главные 25
Обжатие стенки стакана 210 и д.
— труб 308
Область пластическая 71
— упругая 71
Обозначения индексные 388
Оболочка сферическая 121 и д.
Обработка резанием 238 и д.
Обращение соотношений между
напряжением и деформацией 88
Огибающая кругов Мора 336
Определимость статическая, задачи
кручения 109
Отверстие круговое в плите, его рас-
ширение 349 и д.
Отжиг 14, 361
Переменные Лоде 28, 50, 60, 157
Петля гистерезиса 19, 23
Пик давления (трения) 233
Плоскость окта^дрическая 15, 31
— скольжения 14
Поверхность нейтральная при изгибе
101, 104, 328, 330

406
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Подобие геометсическое 246
Поле линий скольжения, его
геометрические свойства 164
— циклоидальное 266
—, числовой расчет 168 и д.
Ползучесть, физический механизм ее
13
Полоса скольжения 14
Полость круговая в плите,
расширение ее 349 и д.
— полуцилиндрпческая в поверхности,
расширение ее 256 и д.
-- сферическая в бесконечной среде,
расширение ее 129 и д.
—, течение вокруг нее 288 и д.
— цилиндрическая в бесконечной
среде, расширение ее 152 и д.
Потенциал пластический 67
Правила суммирования индексных
обозначений 388 и д.
Предел пропорциональности 18
— текучести 15
— ■— верхний 20
— — нижний 20
— упругости 25
Принцип максимальной пластической
работы 86
Принципы экстремальные для жестко-
пластическсго материала 85 и д.
для упругого материала 79 и д.
• для упруго-пластического
материала 82 и д.
Пробивание 219 и д.
Прокатка 191, 193
— полосы 221 и д.
, деформация валков 221
, коэффициент полезного
действия 237
— —, распределение давления по
валку 225
П^отивонатяжение, влияние на
волочение листа через матрицу 206
Процесс автоскрепления 141 и д.
Разрыв градиента напряжения 160
— — скорости 162
— кривизны линий скольжения 167
— напряжения 115, 187 и д.
— скорости 180, 190
напряжения 275
Растяжение стержня с вырезом 281
Расширение кругового отверстия
в плите 349 и д.
— осевое автоскрепленной трубы 147
— полуцилпндрической полости в
поверхности 255 и д.
— сферической оболочки 121 и д.
Расширение кругового отверстия в
бесконечной среде 129
— цилиндрической полости в
бесконечной среде 152 и д.
трубы 132 и д.
Рёйсса уравнения 53, 55
Решетка Kt исталлическая 13
Римана метод 183
Сжатие клина плоским штампом 254
и д.
— массы между шероховатыми
плитами 254, 260 и д., 265
— при условиях плоской деформации
97
— цилиндра между шероховатыми
плитами 316
— — под действием распределенной
нагрузки 304
Сжимаемость при пластической
деформации 37, 38
Симметрия осевая 300 и д.
Скольжение пластическое 14
Состояние деформированное
пластическое 155 и д., 191 и д,. 335 и д.
— напряженное осесимметричное 300
и д.
плоское пластическое 341 и д.
Степень уп4очнения 19
Стержень призматический, изгиб 103
~- —, к учение 106
— —, чисто пластическое
напряженное состояние 356
— цилиндрический, совместное
кручение и растяжение 96
— с вырезом, течение при
растяжении 281 ид.
Твердость, испытания 294, 295 и д.
Тело жестко-пластическое 53, 85, 155,
272 п д.
Тензор 390
— девпаторного напряжения 25
Теоремы единственности для жестко-
пластического тела 76 и д.
— — для упруго-пластического тела
70 и д.
— Хенки 164
Теория пластичности, определение 9
— упругости, определение 9
Течение вокруг полости 288 и д.
— стержня с вырезом при
растяжении 281
— через сходящийся канал 242
Труба автоскрепленная, осевое рас*
ширение ее 147
при плоской деформации 142

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
407
Труба автоскреиленная с
закрепленными концами 134, 145
с открытыми концами 134, 150
— закрученная, изменение ее длины
369
— под действием внутреннего
давления 132 и д.
— — — осевого растяжения и
внутреннего давления 306 и д.
— под действием растяжения и
кручения 94 и д.
Упрочнение 35 и д.
—, созданное работой 36
Уравнении для плоской деформации,
отнесенные к декартовым
координатам 156
— — — —-, к линиям скольжения
160
— Леви — Мнзеса 53
Условие пластичности (текучести) 25
Ушкообразование при глубокой
вытяжке стаканов 372
Физика металлов, определение 9
Характеристики, общая теория их
393 и д.
— при глубокой вытяжке 325
— при кручении ПО, 118
— при плоской деформации 160, 338
—- — ~— — анизотропных металлов
380
— при плоском напряженном
состоянии 343 и д.
Хенкп теоремы 164, 166
Шейка, образование при растяжении
тонкой полосы 367
—, — цилиндрического образца
312
Эксперимент Хоэнемзер 91 и д.
Эффект Баушингера 17, 26, 35

Роберт Хилл
Математическая теория пластичности.
Редактор И. К. Снитко.
Техн. редактор И. #. Мурашова.
Корректор А. Н. Нарежная.
Сдано в набор 4/IX 1956 г.
Подписано к печати 3/ХП 1956 г.
Бумага 60х923Дв- Физ. печ. л. 25,5.
Условн. печ. л. 25,5. Уч.-изд. л. 24,02.
Тираж 6000 экз. Т-10082.
Цена книги 14 р.
Заказ № 1438.
Государственное издательство
технико-теоретической литературы
Москва, В-71, Б. Калужская ул., 15.
Главное управление полиграфической
промышленности.
Министерство культуры СССР.
4-я тип. им. Евг. Соколовой
Ленинград, Измайловский пр., 29.