МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
имени М.ВЛОМОНОСООВА
ИНСТИТУТ МЕХАНИКИ
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
ОБЩИЙ ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИЙ
ПРАКТИКУМ ПО АЭРОМЕХАНИКЕ
Под редакцией академика РАН Г.Г.Черного
Издательство Московского университета
2005

УДК 531.517.4
ББК 35.114
028
Авторы: Арафайлов СИ., Васильев В.А., Виноградов Ю.А.,
Измоденов В.В., Котелкин В.Д., Некрасов И.В.,
Потапов B.C., Случановская З.П., Стронгин М.М.
Рецензент: доктор физ.-мат. наук, проф. Герценштейн С.Я.
к.ф.-м.н., в.н.с. Сухоруков А.Н.
Общий физико- механический практикум по аэромеханике /Под
редакцией 028 академика РАН Г.Г.Черного. - М: Изд-во Моск.ун-та,
2005.-106 с.
ISBN 5-211-06047-4
Пособие рассчитано на студентов старших курсов механико-
математического факультета, специализирующихся в области юучения
аэромеханики. Пособие будет также полезно для студентов и
преподавателей МАИ, Физико-технического института и других близких по
тематике институтов.
УДК 531.517.4
ББК 35.114
ISBN 5-211-06047-4 © Московский государственный
университет, 2005

ВВЕДЕНИЕ
Помимо классических курсов лекции по ряду разделов математики
и механики на механико-математическом факультете МГУ традиционно
проводятся физико-механические практикумы. Проведение подобных
практических занятий чрезвычайно полезно для студентов. Фактически
они знакомятся с новым для себя подходом к науке. На этих занятиях
студент видит, например, что хорошая экспериментальная установка, на
которой исследуются гидродинамические течения, ничем не хуже
мощного компьютера, на котором проводится расчет подобных течений. Что
на практике есть масса тонкостей, от которых существенно зависит и
характер исследования и конечный результат. И далеко не всегда все эти
тонкости можно реально учесть при численном моделировании
рассматриваемых явлений на ЭВМ. И вообще, одно дело - теоретически
исследовать ударную волну и совсем другое дело - увидеть ударную волну.
Кроме всего прочего хороший эксперимент - это прежде всего красиво!
В целом, широкое знакомство с практикой способствует более
глубокому усвоению основных курсов, формированию нового мышления и
нового взгляда на научные исследования. Знакомство с настоящим
экспериментом несомненно окажет большую практическую поддержку
студентам в их будущей научной и научно-практической деятельности в самых
разных сферах возможного применения их интеллекта и полученного
образования.
3

L АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ТРУБЫ, ИЗМЕРЕНИЕ
ДАВЛЕНИЙ И СКОРОСТЕЙ В ПОТОКЕ
Некрасов И.В.
Аэродинамические трубы являются одним из основных методов
экспериментального изучения взаимодействия воздуха или газа с
разнообразными естественными и искусственными объектами и
сооружениями.
1.1. Аэродинамические трубы
Аэродинамические трубы служат для создания потока воздуха или
другого газа с постоянными параметрами (давлениями, скоростями и
температурами) в рабочей части трубы, где устанавливается объем для
изучения, например, модель самолета. Возможность проведения
аэродинамического эксперимента с моделями объектов и переноса этих
результатов на натурные условия основывается на теории подобия [1].
В большинстве случаев в аэродинамических трубах натурные
явления обращаются. Так, вместо поступательного движения тела в
однородной неограниченной среде изучается обтекание неподвижного тела
равномерным потоком с той же скоростью. По принципу
относительности Галилея-Ньютона механические явления в обоих случаях будут
одинаковыми.
Здесь рассмотрим простейшие трубы малых скоростей, работающие
в условиях практической несжимаемости воздуха при скоростях до 50-60
м/сек. Схемы таких труб показаны на рис. 1.1.1. и 1.1.2.
Рис. 1.1.1
4

Здесь 1 - рабочая часть, где помещается исследуемый объект, 2-
конфузоры, называемые часто коллектором и соплом. 3 - диффузор,
расширяющийся по течению, 4- вентилятор с мотором 5. Труба прямого
действия показана с закрытой рабочей частью, а замкнутая труба - с
открытой рабочей частью.
Рис. 1.1.2
Представление об изменениях величин скоростей и давлений в
отдельных деталях прямоточной аэродинамической трубы, в частностях, в
сечениях диффузора и конфузора, можно получить, предполагая течение
вдоль трубы установившимся, несжимаемым и невязким. Тогда из
уравнения неразрывности вдоль трубы получим
pVS = constx A.1.1)
где S - площадь поперечного сечения, а из интеграла Бернулли будем
иметь
P + -pV2 =const2 A.1.2)
Теперь определим const2 (рис. 1.1.1) вдоль линии тока, начинающейся в
атмосфере, где Va = О, Р -Ра. Получим, пренебрегая потерями, всюду
в трубе до сечения вентилятора
P + ±pV2=Pa A.1.3)
Следовательно, там, где S больше, V будет меньше по A.1.1), а по
A.1.2) там будет Р больше, например, вдоль диффузора.
На рис. 1.1.1 пунктиром показана камера Эйфеля, названная в честь
французского инженера, создателя Эйфелевой башни. Он впервые
применил эту камеру для исследования воздействия ветрового потока на
5

элементы башни, поскольку такая камера позволяет сделать рабочую
часть открытой. Однако прошло более полувека, когда стало ясно, что
классические аэродинамические трубы пригодны в основном для
моделирования взаимодействия с телами безграничного воздушного потока.
Для зданий, сооружений, транспорта, находящихся на поверхности
Земли, требуются совсем другие условия моделирования. Это связано с
тем, что у поверхности Земли существует пограничный слой с высокой
турбулентностью и большим градиентом скоростей. Многочисленные
исследования показали, что аэродинамические характеристики тел в
таком потоке значительно (а порой и качественно) отличаются от
полученных в классических трубах.
Поэтому, если главным достоинством классических труб считалась
малая неоднородность потока и низкая турбулентность (менее 1%), то
здесь перед конструкторами встала противоположная задача. Были
разработаны различные конструктивные решения этих так называемых
метеорологических аэродинамических труб (МАТ) [2].
Простейшая схема МАТ похожа на рис. 1.1.1. Отличия состоят в
следующем. После коллектора начинается длинная (более 20м)
прямоугольная рабочая часть, заканчивающаяся решеткой - глушителем шума
и камерой с вентилятором. На входе в рабочую часть устанавливаются
турбулизаторы, простейшим из которых является поперечная доска.
Нижняя поверхность рабочей части делается шероховатой (например, с
помощью гравия или искусственных элементов). При правильно
подобранных параметрах на расстоянии примерно 8м формируется
пограничный слой толщиной более метра с параметрами близкими к
атмосферному. В частности, интенсивность турбулентности у нижней стенки
превышает 20%.
Здесь возникает вопрос о подобии. Для низкоскоростного потока из
всех параметров подобия существенным остается только число Рей-
нольдса Re = —, где и - скорость потока, d - характерный размер, v -
v
кинематическая вязкость. Для всех сколько нибудь практических задач
подобие по числу Рейнольдса в воздухе не соблюдается. Например,
типичный размер крыла низкоскоростного самолета -Юм, скорость -100
м/с, Re- v - 10 м/с. Типичный размер модели -2 м, скорость в трубе
-50 м/с, Rev = Юм2/с. Таким образом в лучшем случае эти числа
отличаются на порядок. В трубах типа МАТ эти числа отличаются на два
порядка и больше.
6

Выход из этой ситуации заключается в следующем. Для хорошо
обтекаемых тел типа крыла самолета аэродинамические характеристики
мало зависят от числа Рейнольдса, поэтому точное подобие не требуется.
Для шюхообтекаемых тел типа шара, цилиндра и т.п., обладающих
кризисом сопротивления, когда, например, коэффициент сопротивления
почти скачком изменяется в узком диапазоне скорости такое подобие
необходимо.
Существуют методы управления точкой отрыва из-за перемещения
которой возникает скачок сопротивления, которые уменьшают эту
проблему. И, наконец, для шюхообтекаемых тел с острыми гранями,
которые фиксируют точку отрыва потока, также существует большая зона
чисел Рейнольдса (так называемая «зона автомодельности»), где
аэродинамические характеристики остаются постоянными. Однако при
аэродинамическом эксперименте все эти положения требуют
дополнительной проверки в каждом конкретном случае.
1.2. Измерение скоростей потока
1.2.1. Измерение скоростей потока возможно путем наблюдения
перемещения какой-либо метки: твердой взвешенной частицы, магнитной,
электрической, тепловой или какой либо другой метки в течение
определенного времени. Также возможно определение скорости по изменению
частоты акустической или световой волны в связи с эффектом Допплера.
Однако эти методы применяются в основном в специальных
лабораторных установках. Привлекательность этих методов состоит в том, что они
являются прямыми, т.е. не требуют дополнительной калибровки
измерительных приборов. Наибольшее развитие получает сейчас наблюдение за
частицами (PIV - particle imaqe velocimetry), где скорость получают из
школьной формулы как отношение пути ко времени. Также активно
развивается лазер-допплеровская анемометром.
Основным методом определения скорости в аэромеханике остается
косвенный способ, т.е. определение скорости по тому эффекту, который
вызывает движущийся поток: измерение давления, изменение числа
оборотов анемометра, охлаждение нити термоанемометра и т.п. Методы
это типа являются косвенными, т.е. измерительные приборы требуют
калибровки.
1.2.2. Измерение малых скоростей
Измерение малых скоростей от 0,5 до 40 м/с возможно с помощью
различного рода анемометров. Анемометры измеряют скорость враще-
7

ния оси, на которую насажена либо горизонтальная крыльчатка
(маленький вентилятор) на горизонтальную ось, либо крестовина из чашек
на вертикальную ось. В последнем случае вогнутая часть чашки из-за
большего сопротивления движется по направлению потока. Анемометры
применяются, главным образом, для измерения скорости в больших
помещениях (вентиляционных каналах или на наружном воздухе) при
условии, что потребная точность невелика C-5%), а другие способы
оказываются хотя и более точными, но вместе с тем громоздкими. Эти
приборы требуют, как уже указывалось, калибровки, но их достоинством
является то, что калибровка является почти линейной зависимостью.
Дополнительное преимущество заключается в их чувствительности к
перемене направления потока (меняется направление вращения). Такие
свойства датчиков незаменимы при исследовании структуры отрывных
зон за препятствиями, где поток в функции координаты может менять
направление.
1.2.3. Измерение скорости с помощью зондов - трубок
Основным способом определения скорости в аэродинамическом
эксперименте является определение скорости по разности давлений.
Наиболее часто в практике аэродинамических измерений давлений и
скоростей применяются зонды - трубки различной формы [3] с
измерительными трубками, соединенными с измерителями давления. Наиболее
употребительные формы зондов показаны на рис. 1.2.3.
V<=o fi { Vco С
31 1 > ! V
•С
(а)
&Т
с
¦ёт
В
(б)
Рис. 1.2.3.
8
(В)
В

Применение таких зондов для измерения давлений и скоростей
потока в вязкой несжимаемой жидкости основывается на интеграле Бер-
нулли для установившихся течений идеальной несжимаемой жидкости
A.1.2). Если определить const2 при условии v = 0, р = рп , которое
называется полным давлением const 2 = р„, то A.1.2) запишется в форме
Рст+\рГ2~Р* 0-2.3.1)
Тогда скорость на этой линии тока вблизи носика датчика, где
известны полное давление рп и статическое давление в месте измерения
Рст будет равна
У = ]^(Рп~Рст) A2.3.2)
Следовательно, зонд позволяет определить \т, если им точно
измеряется рст, так как всякое отверстие (а, б, в на рис. 1.2.3) обращенное
перпендикулярно к потоку своей плоскостью и присоединенное подводящей
трубкой к манометру измеряет полное давление рп точно. Такие
условия обеспечиваются трубкой Пито (рис. 1.2.3 а), измеряющей /?„, и
отверстием в стенке, измеряющем рст, если стенки канала плоские и
параллельные потоку, а отверстие расположено в одном сечении с носиком
трубки Пито и перпендикулярно к поверхности стенки. Здесь стенки
являются граничными линиями (поверхностями тока), течение
прямолинейно и статическое давление по сечению постоянно. Трубка Пито-
Прандтля (рис. 1.2.3 б) также точно измеряет давление рст, будучи
ориентированной по прямолинейной линии (трубка) тока, т.е. трубка Пито-
Прандтля дает возможность определить в малой области те У,рст,
которые там были до нее (точнее см. [3]). Но трубка (рис. 1.2.3. в) измеряет
донное давление р < рст за счет срывов потока у ее хвостовой части,
поэтому скорость, вычисленная по формуле A.2.3.2) будет завышена.
Датчик может быть оттарирован и поправочный коэффициент лежит в
пределах 0,8-0,9.
Однако, преимуществом этого датчика является его
чувствительность к направлению потока и возможность использовать в течениях с
переменными направлениями (разумеется в одномерных течениях).
Детальное описание методики калибровки различных трубок приведено в
[4].
9

Важной характеристикой любого датчика является
чувствительность его показаний к изменению направления потока, называемой
диаграммой направленности. В частности, для трубки Пито-Прандтля
установлено, что ее показания не чувствительны к направлению потока в
пределах ±15 .
Во многих сложных течениях изначальная ориентация оси датчика
и направления потока неизвестна. В этом случае наличие диаграммы
направленности приводит к погрешностям в измерении средней
скорости. С другой стороны использование этого свойства позволяет
определить направление потока при использовании нескольких датчиков.
Пусть в плоской задаче мы имеем датчик с косинусной диаграммой
направленности с осью чувствительности установленной горизонтально.
Тогда показания датчика, пересчитанные в скорость равны
ud=Vcosa A.2.3.3)
где V - скорость потока, а - угол отклонения вектора скорости от
горизонта (угол между вектором скорости и осью чувствительности датчика).
Расположим два таких идентичных датчика под углами ±<р к
горизонту. Тогда показания этих датчиков будут равны
wl=Fcos(a-9) A.2.3.4)
и2 = V cos(a + ф) A.2.3.5)
Точные знаки углов нас здесь не интересуют. Раскладывая
косинусы и складывая, и вычитая первое и второе соотношения, получим
щ +и2 =2Fcosacos(p = 2!/coscp
щ - и2 = 2V sin asony = 2w sin ф,
где w = Fcosa- горизонтальная компонента скорости, а w = Vsmq> -
вертикальная компонента скорости потока. Таким образом, суммарный и
разностный сигнал пропорциональны составляющим вектора скорости с
известными коэффициентами.
Не будем рассматривать многочисленные конструктивные решения
такого типа. Упомянем только шестиствольный насадок Центрального
аэрогидродинамического института (ЦАГИ). Он представляет собой
аналог трубки Пито-Прандтля, где на сферическом кончике вместе с
трубкой полного напора (в центре сферы) установлены в двух
взаимоперпендикулярных плоскостях с углами ±49 от оси насадка еще
четыре трубки полного напора. Шестой трубкой является измеритель
статического давления.
10

Поскольку многие реальные датчики отклоняются от закона
косинуса, то их характеристики определяются с помощью тарировки. В
частности отметим, что характеристики этого датчика по углам в обеих
плоскостях линейны в диапазоне углов ± 10°.
1.2.4. Измерение давлений.
Методы измерения скорости описанные в предыдущем разделе
опираются в основном на измерении давлений. Существует множество
методов основанных на изменении физических параметров в функции
давления: емкостные, индуктивные, пьезокерамические и т.д.
В аэромеханическом эксперименте малых скоростей давления,
незначительно отличающиеся от атмосферного измеряются жидкостными
микроманометрами, в которых измеряемая разность давления
уравновешивается гидростатическим давлением столба жидкости, заполняющей
микроманометр.
Простейшим микроманометром является U - образный, где к
каждому колену трубки постоянного сечения подводятся давления рх и р 2
с помощью герметических трубок и соединений. Из баланса сил следует
P\-P2=PZQ*x-h) A.2.4.1)
Для измерения скорости потока воздуха со скоростью V « 30 м/с
получим АА « 60 мм, если плотность воздуха 1,25 кг/м3, а в качестве
измерительной жидкости применяется вода с плотностью 1000 кг/м3.
Точность измерений можно увеличить, если установить манометр
под углом а к горизонту. Тогда формула A.2.4.1) переходит в
Р\ -Pi = Pg(hl -h2)sina A.2.4.2)
Неудобство использования U - образного манометра состоит в том,
что при измерениях нужно учитывать изменение высоты столба
жидкости в обеих трубках, что вносит дополнительные погрешности. Эту
трудность можно обойти используя манометры у которых одна из
трубок имеет площадь существенно большую, чем другая. Тогда
изменением высоты жидкости в этой трубке можно пренебречь и A.2.4.2) перехо-
дитв
Ap = pghsina A.2.4.3)
где h - высота жидкости в наклонной трубке.
В действительности следует учитывать много других факторов, в
частности смачиваемость материала трубки, ее нелинейность и пр., в
результате чего устанавливается тарировочный коэффициент Кт, опре-
11

деленный при нормальных атмосферных условиях. При других условиях
скорость вычисляется из выражения
F va-xp^A^^rSina'
где Аро - поправка на плотность воздуха с учетом давления и
температуры; Х- поправка к плотности воздуха, учитывающая влажность; рж -
плотность жидкости (также возможна поправка на температуру); %т -
поправочный коэффициент насадки, определяемый сопоставлением с
эталонным; a - угол наклона манометра.
В простейшем случае установки А-6 скорость измеряется по
формуле
К = 2,53>?й,
где п - высота спирта в наклонной трубке, а с = поправка на дав-
7607*
ление Р в мм ртутного столба и Г - температуру в градусах Кельвина.
1.2.5,Определение скорости термоанемометром
В настоящее время наиболее распространенным прибором для пре-
цезионных измерений скорости является термоанемометр. Особенно это
важно при измерении малых скоростей, при исследовании
неустановившихся течений с колебаниями скорости и при изучении турбулентных
течений.
Датчик термоанемометра представляет собой тонкую нить
диаметром 0,005-0,02 мм и длиной 3-10 мм, изготовленную из тугоплавких
металлов (платина, вольфрам) и закрепленную между двумя
металлическими ножками. Нить разогревается током до температуры 200-400°С и
размещается на державке в потоке перпендикулярно к нему.
Принцип действия термоанемометра основан на конвективной
потере тепла нагретой проволочкой датчика в потоке газа. Датчик образует
одно плечо моста Уинстона, другое плечо состоит из набора
сопротивлений. Мост питается через усилитель, на вход которого подается
возникающее напряжение разбаланса моста. Замкнутая петля обратной связи
образует следящую систему. Если мост разбалансирован, то на входе
усилителя появится напряжение. Это напряжение, усиленное усилителем
постоянного тока, поступает снова на мост в качестве питающего
напряжения моста. Усилитель включен так, что напряжение на выходе
усилителя растет, когда сопротивление датчика мало. Это вызывает уве-
12

личение тока, текущего через датчик. Датчик будет нагреваться, в
результате увеличится сопротивление датчика, а это, в свою очередь,
вызовет уменьшение разбаланса моста. Прибор будет автоматически
настраиваться на определенную температуру датчика, которая для
заданного датчика зависит только от установки набора сопротивлений в
настраиваемом плече моста. Это ~ схема термоанемометра с постоянной
температурой (сопротивлением). Мгновенная величина электрической
мощности равна мгновенным тепловым потерям датчика.
При стационарных условиях в потоке установится состояние
теплового равновесия для нити датчика: тепло, выделяющееся при
прохождении тока по нити, будет отводиться потоком газа или жидкости.
Тепловой баланс будет нарушаться при изменении скорости потока. Для
пересчета результатов термоанемометрических измерений необходимо знать
соотношение между напряжением (пульсациями напряжения) и
скоростью (пульсациями скорости). Это соотношение различно для разных
датчиков, зависит от разных условий, например, от условий контакта
нити датчика с державками при сварке, и определяется эмпирически при
проведении тарировки датчика. Примерный вид зависимости между
напряжением и скоростью может быть установлен из рассмотрения
процесса теплообмена с окружающей средой нити, имеющей форму
цилиндра бесконечной длины, расположенного перпендикулярно к
направлению потока. Этот процесс описывается эмпирическим соотношением:
М/ = 0,42Рг°'2+0,57Рг1/3 Re1/2 A.2.5.1)
Здесь Nu = ad/X- число Нуссельта; Re = pwrf/ji- число Рейнольдса;
Pr = \iCp IX - число Прандгля; d - диаметр цилиндра; р - плотность
газа; а - коэффициент теплообмена; X - коэффициент теплопроводности
газа; ц - динамический коэффициент вязкости; Ср - теплоемкость газа.
Для воздуха и двухатомных газов формула A.2.5.1) справедлива
при
l(T2<Re<104
Уравнение баланса тепла при предположении, что все тепло,
выделяющееся в нити датчика, отводится потоком газа через боковую
поверхность нити, имеет вид:
-у Е2
i2R = ^- = *ndI(T-T„) = XnI(T-Ta0)Nu =
тгТЦГ-7^X0,42Рг°'2 + 0,57Рг1/3 Re1/2)
13

Здесь / -длина нити датчика; Г, Т^ - значения температуры нити
датчика и потока газа, соответственно. Если в потоке изменяется только
скорость, то
Е2 =?$+Ви1/2 A.2.5.3)
В более общем виде, с учетом конкретного экземпляра датчика, можно
предположить зависимость вида:
Е2=Е$+Вит A.2.5.4)
Значения постоянных величин Е$,В,т определяются
экспериментально по тарировочной зависимости Е от и.
Выражение A.2.5.4) называется статической тарировочной
зависимостью датчика. Она связывает напряжение Е, измеряемое
вольтметром постоянного тока, со скоростью потока и, определяемой по
разности статических давлений, измеряемых на стенках ресивера и рабочего
сечения специальной тарировочной трубы, обеспечивающей течение с
пренебрежимо малыми пульсациями скорости.
Считается, что тарировочная кривая, полученная в потоке с очень
низкой интенсивностью турбулентности, может быть использована для
измерений мгновенных значений в потоке с интенсивностью
8 < B0 -30)% с погрешностью 10%. Любое изменение геометрии или
свойств нити датчика (вызванное, например, отложением пыли,
касанием стенки, провисанием нити, окислением материала нити и др.) может
привести к изменению тарировочной характеристики датчика.
Тарировочная характеристика предполагается справедливой для
мгновенных значений напряжения Е и скорости и. При этом, величина
напряжения соответствует нормальной к нити датчика составляющей
скорости. Количественные измерения интенсивности турбулентности
основаны на определении величины производной dEI du тарировочной
характеристики Е = f(u):
Е2=Е$+В(ип)т
Пусть величины пульсаций составляющих скорости потока и) и
напряжения е малы по сравнению с мгновенными значениями и и Е. В
рассматриваемом случае нить датчика расположена перпендикулярно к
направлению продольной составляющей скорости потока.
Предположение о малости пульсационных значений скорости и напряжения -
основное предположение, позволяющее расшифровать показания
термоанемометра. Имеем:
14

? = (?) + <?; un=^({u) + u'Y+vf2 *(w) + w' A.2.5.5)
Выражение A.2.5.5) подставляется в тарировочную зависимость A.2.5.4)
пренебрегается при разложении в ряд величинами второго порядка
малости, в результате получается соотношение
(ЕУ+2(Ее)^Е%+В(и)т
1 + W-TT
A.2.5.6)
<«>J
Осреднение его приводит к соотношению для средних величин
(Е2) = Е20+В{и)т
Тогда для пульсационных значений следует соотношение
и' = U—- = -U-e A.2.5.7)
тВ{и)т-Х d(E)
Выражение для интенсивности продольной пульсации скорости
записывается следующим образом:
Среднеквадратичное значение пульсаций напряжения на выходе термо-
анемометра (е) измеряется вольтметром среднеквадратичных
значений. Зависимости A.2.5.4) и A.2.5.7) используются для определения
значений скорости и пульсаций скорости по измеренным
термоанемометром значениям напряжения и пульсаций напряжения.
Диаграмма чувствительности нити термоанемометра является
косинусной в широком диапазоне углов. Поэтому для двух нитей
расположенных под углами ±ф к оси датчика применимы соображения,
представленные в п. 1.2.3.
Такие датчики, называемые крестообразными (обычно <р = 45 )
применяются для измерения двух компонент скорости. Существуют
трехнитевые датчики для измерения трех компонент и даже четырехни-
тевые для синхронного измерения пульсаций скорости и температуры.
Принципиальным недостатком термоанемометра является его
нечувствительность к направлению потока, поскольку он реагирует на так
называемую «охлаждающую» скорость. Этот дефект приводит к
большим погрешностям измерений в сильно турбулентных потоках. Так при
одномерном течении с нулевым средним u^Asin&t термоанемометр
15

поведет себя как детектор и покажет среднее значение т = — Л .
Поэтому этот прибор не рекомендуется применять при уровне
турбулентности выше 25%.
Свободным от этих недостатков является так называемый пульсаци-
онный анемометр. Датчик этого прибора содержит три нити,
расположенные поперек потока. На среднюю нить подается периодический
электрический сигнал, вызывающий ее нагрев. Нагретый газ сносится
потоком к передней или задней нити, изменяя ее сопротивление и
создавая ответный электрический сигнал. Далее скорость рассчитывается по
принципам изложенным в начале раздела 1.2.3.
Литература
1. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике.
М, «Наука». 1967.
2. Горлин СМ., Слезингер И.И. Аэромеханические измерения.
Методы и приборы. М., «Наука». 1964.
3. Андрианов И.В., Маневич Л.И. Наливайко Л.А. К расчету
круглых цилиндрических орторопных пластин, подкрепленных радиальными
ребрами. Строит.механика и расчет сооружений. 1975. № 5. С.19-23.
4. Попов С.Г. Задачи общего практикума по аэромеханике и
газовой динамике для студентов III курса механико-математических
факультетов государственных университетов. Лабораторный практикум.
Специальность - механика. Изд-во МГУ. 1972. С. 1-115.
16

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛА И
СОПРОТИВЛЕНИЯ, ОБУСЛОВЛЕННОГО ДАВЛЕНИЕМ
Арафайлов СИ.
Одной из наиболее важных аэродинамических характеристик тела
является сила лобового сопротивления. Она определяет во многом
траекторию летательного аппарата и его поведение в потоке. Наиболее
простой способ определить эту величину экспериментально - весовой - с
помощью специальных аэродинамических весов. Однако, в некоторых
случаях весовой способ измерения силы оказывается неприемлемым.
Например, если исследуемое тело находится на земле - это может быть
высотное сооружение типа трубы предприятия, плотины, башни и т.п.
Проблемы с весовым способом возникнут также и в случае, когда
нам понадобится знать детальное распределение сил, например, вдоль
несущей поверхности, которое необходимо для задания прочностных
характеристик материала, из которого изготовлена эта поверхность.
Лобовое сопротивление, обусловленное давлением
Для того чтобы справиться с подобными проблемами, в данной
работе предлагается следующий способ измерения силового воздействия
потока на тело: сначала измеряется давление р на поверхности
исследуемого тела, затем с помощью операции интегрирования по
поверхности измеряется сила, создаваемая этим давлением:
Ffl =-//><«
S
Здесь индекс «д» означает, что сила соответствует только
давлению, минус перед интегралом стоит из-за того, что нормальный вектор п
имеет внешнее направление по отношению к телу, а, значит,
направление элемента интегрирования dS противоположно давлению,
оказываемому обтекаемым потоком на тело (рис. 1).
Очевидно, что полное силовое воздействие потока F не будет
совпадать с силой, обусловленной только давлением - необходимо
учитывать касательные напряжения, обусловленные вязкостью:
S
17

>
Рис.1
В общем случае оба интеграла в правой части этого равенства
сопоставимы. Однако, в некоторых случаях один из них может оказаться
несущественным. Скажем, если мы хотим определить вертикальную
составляющую этой силы Г, называемую подъемной силой, - на
большей части поверхности S тел типа фюзеляжа самолета, ракеты,
крылового профиля и т. п. проекция вектора тя на ось у будет невелика - т. е.
вязкий интеграл для определения подъемной силы можно не учитывать.
Тогда как для х - составляющей силы, которую в дальнейшем будем
называть лобовым сопротивлением X, ситуация совершенно
противоположна - т„ на большей части поверхности практически полностью
проецируется на ось дс, поэтому, вклад вязкой составляющей силы
сопротивления обычно весьма существенен, несмотря на относительную малость
коэффициента вязкости.
Аналогично, расчитывая силу сопротивления при обтекании
плоской пластины, поставленной перпендикулярно вектору скорости
набегающего потока Уда, получаем, что проекция вектора хп в равна нулю
и в данном частном случае плоской пластины:
Х = Ха
Если форма обтекаемого тела похожа на такую плоскую пластину
(например, парашют) - очевидно, мы можем с большой точностью
считать
X «Хд =-\pcosadS,
S
где а - угол между нормалью и поверхностью.
18

Более того - эту аппроксимацию можно применить и для плохооб-
текаемых тел, то есть тел, поперечные потоку размеры которых
сопоставимы с продольными - в частности для шара или для цилиндра.
Конечно, отбрасывать вязкий интеграл можно только когда
вязкость
невелика - то есть при больших числах Рейнольдса.
В данной работе рассматривается обтекание цилиндра и
определяется лобовое сопротивление только за счет давления. Если число
Рейнольдса, соответствующее условиям эксперимента окажется достаточно
большим, то полученное значение будет достаточно хорошо
аппроксимировать полное лобовое сопротивление цилиндра.
Определение давления на поверхности тела
Для определения давления р проводится дренаж поверхности - на
поверхности высверливаются отверстия и в них устанавливается датчик
давления. Это может быть пьезоэлемеят или конденсатор - устройства
преобразующие механическое напряжение в электрический сигнал. В
нашем эксперименте для наглядности используется «древний», но
наиболее наглядный способ измерения давления - с помощью
жидкостного манометра. Отверстие с помощью шланга подсоединяется к U-
образному сосуду с жидкостью известного удельного веса, второй конец
которого либо открыт в атмосферу, либо давление во втором колене р^
известно из каких либо других соображений. Тогда искомое давление
определяется по гидростатической формуле
p-Poo -kyuhsina
где к - коэффициент тарировки манометра, а - наклон манометра к
поверхности горизонта.
Количество отверстий определяется необходимой точностью
аппроксимации интеграла. Основная проблема при таком способе
измерения - техническая. Для измерения давления необходимо просверлить
отверстие строго по нормали к поверхности. Отклонение от
нормального направления приводит к искажению измеряемого давления (рис. 2) -
скос нормали навстречу потоку увеличивает снимаемое давление (за
счет динамического напора потока), скос по потоку уменьшает давление
(за счет срыва вихрей с острой кромки). Конечно нормаль невозможно
19

выбрать абсолютно точно, приемлемое отклонение определяется числом
Рейнольдса и скоростью потока на внешности пограничного слоя.
V
00
гжжтж^^^^^-м w^m^^^^i^mmm^
Я t
Рис.2
Обезразмеривание параметров задачи
В аэромеханике в качестве обезразмеривающих величин обычно
берутся: р - плотность набегающего потока, V^ - скорость
набегающего потока и S - характерная площадь обтекаемого тела (обычно это
максимальное сечение плоскостью х = const). В качестве третьей обез-
размеривающей величины часто используется L - характерная длина -
вместо характерной площади. В случае обтекания цилиндра в силу дву-
мерности задачи обе эти величины можно считать одинаковыми и
равными диаметру цилиндра 2R (под площадью сечения в плоском случае
подразумевается площадь, приходящаяся на единицу длины цилиндра).
С помощью этих трех величин можно обезразмерить любую
размерную величину. Например, вместо размерной динамической вязкости
// можно рассматривать безразмерную ——— (равную, кстати, —).
pV^L Re
Вместо размерного давления мы будем рассматривать безразмерный
коэффициент давления:
Р-Роо
С^1
^pv«
Силе лобового сопротивления соответствует безразмерный
коэффициент сопротивления
20

X
Аналогично, можно ввести коэффициент лобового сопротивления,
обусловленный давлением
схд -"\ср cosadS
s
Интеграл Бернулли для несжимаемой легкой жидкости
1 2
после обезразмеривания (деления на динамический напор — pV? )
превратится в более компактное выражение:
В соответствии с теорией размерности, обезразмеривание
переменных и функций помогает моделированию задачи. В аэродинамике можно
привести наиболее характерный пример - для определения
аэродинамических характеристик летательного аппарата необходимо изготовить его
«натурную» копию и, затем, прицепить его к другому летательному
аппарату. Но такой эксперимент даст неточные результаты, поскольку за
несущей конструкцией образуется турбулентный след и, таким образом,
исследуемая конструкция будет обтекаться неравномерным потоком.
Лучше всего поместить эту конструкцию в аэродинамическую трубу.
Однако, размеры современных летательных аппаратов могут достигать
десятков метров - размеры рабочей части трубы должны хотя бы на
порядок превосходить размеры обдуваемой конструкции - то есть быть
порядка сотен метров. Труба, позволяющая проводить такие натурные
эксперименты имеет гигантские размеры и, кроме того, продувка в такой
трубе со скоростями, соответствующими скорости полета самолетов,
получается достаточно дорогостоящей.
Проще сделать уменьшенную копию - модель исследуемой
конструкции и в относительно небольшой аэродинамической трубе сделать
21

продувку и измерить сх. В результате, можно определить силу,
действующую на реальную, а не модельную, конструкцию по формуле
Х = сх~рф
где /?,Fxh5- плотность, скорость набегающего потока и сечение для
обтекания реальной конструкции.
На вопрос почему сх можно считать одинаковым для маленькой
модели и для реальной конструкции отвечает П - теорема, которая говорит,
что безразмерные величины (типа сх) не могут зависеть от размерных
величин - то есть неважно, каков размах крыльев обтекаемой
конструкции - десять метров или десять сантиметров - безразмерная величина
будет одинакова, если соблюдается геометрическое подобие. Конечно,
кроме геометрического еще должно быть соблюдено физическое
подобие, другими словами должны быть одинаковы все безразмерные харак-
рУ ?
теристики обтекания. В частности, число Рейнольдса Re = -?-2
М
безразмерная комбинация, значит величина сх от него зависит. Таких
безразмерных комбинаций в реальной задаче может быть достаточно
много. К наиболее важным, помимо Re можно отнести число Маха
A/qo = , число Фруда Fr = -^-, число Струхала Sh = харак-
терное время задачи). Однако, если мы будем рассматривать степень
влияния каждого из этих чисел на обтекание, то окажется, что, скажем,
для статических задач (х -»<х>) число Струхаля становится
несущественным; при обтекании тела тяжелой жидкостью (например, водой)
число Фруда влияет на течение, в случае же аэромеханики - обтекания
«легким» газом, число Фруда учитывать не имеет смысла. То же самое
можно сказать о числе Маха при существенно дозвуковых течениях (кд-
гда скорость потока много меньше скорости звука азв . В итоге
получается, что единственным важным параметром для сх является число
Рейнольдса.
Зависимость сх от Re для плохообтекаемых тел весьма характерна.
На рисунке 3 приведена такая зависимость для шара (качественно гра-
22

, dtp .ди/
дх дх
Взяв действительную часть W мы получим х - компоненту
скорости, взяв мнимую часть с обратным знаком - получим у - компоненту.
Для определения коэффициента давления ср необходимо
воспользоваться интегралом Бернулли:
л V t WW
Конечно, для определения течения около произвольного крылового
профиля довольно трудно найти такое конформное отображение w и
обычно такую задачу приходится решать численно (например, можно
заменить профиль ломаной и воспользоваться интегралом Шварца),
однако, для цилиндра данная задача решается достаточно просто.
Обтекание цилиндра идеальной жидкостью
Функция, отображающая внешность круга радиуса R на отрезок на
горизонтальной оси называется функцией Жуковского:
"-К.,
z
Конформность данного отображения обеспечивает условия
непротекания на поверхности тела. На бесконечном удалении от цилиндра должно
выполняться условие однородности поля течения. С помощью
дифференцирования и можно убедиться в справедливости этого условия:
* = ГЛ
( *а\
v z j
При z-?оо сопряженная скорость стремится к Уп. (Таким образом,
сопряжение этого коэффициента в функции Жуковского - граничное
условие на бесконечности).
Далее удобно использовать тригонометрический вид комплексного
ift
числа 2 = re ( г - радиус комплексного числа, 0- его аргумент). Нас
интересуют газодинамические параметры только на поверхности
цилиндра, то есть г = R. Тогда, из безразмерного соотношения,
соответствующего интегралу Бернулли, получится WIV^ = 1 - e~2l° и
28

жидкости пограничный слой должен оторваться от поверхности тела. То
есть, рассмотренное здесь аналитическое решение задачи предполагает
безотрывное обтекание, а в реальной жидкости из-за явления отрыва
пограничного слоя это предположение оказывается неверным.
Тело, двигаясь поступательно и без ускорения, при безотрывном
обтекании не возмущает новые участки жидкости - поэтому на такое
движение на затрачивается энергия и нулевое сопротивление в данном
случае естественный результат. При отрывном обтекании тело при
внедрении в среду «тянет» за собой хвост жидкости, увлекая в движение все
новые и новые участки жидкости. При турбулентном движении точка
отрыва существенно смещается вниз по потоку - поэтому турбулентный
«хвост» занимает существенно меньший объем. Этим и объясняется тот
парадоксальный факт, что при турбулентном течении для многих плохо-
обтекаемых тел существенно - в несколько раз - падает сопротивление
(хотя из-за увеличения вязкого трения при наступлении турбулентности
это сопротивление должно было бы возрасти).
Эксперимент*)
В рабочей части трубы расположен цилиндр перпендикулярно
набегающему потоку. Торцы цилиндра выходят за пределы рабочей части
трубы. Площадь миделева сечения цилиндра много меньше площади
сечения рабочей части трубы, поэтому уменьшение площади живого
сечения трубы мало скажется на распределение скоростей около
цилиндра. Цилиндр дренирован - 30 отверстий, направленных по радиусу
цилиндра, отстоят на равных расстояниях друг от друга по углу. Тонкие
трубки изнутри цилиндра подсоединены к отверстиям и через его торец
выводятся наружу где с помощью резиновых шлангов соединяются со
стеклянными трубками жидкостного батарейного манометра (рис.5). Все
трубки батарейного манометр соединены снизу с бачком, в который
налита жидкость известного удельного веса у. Всю систему трубок бата*
рейного манометра можно считать соединяющимся сосудом и, в
начальный момент времени, когда течения в трубе отсутствует, можно
полагать, что все уровни одинаковы. Однако, закон сообщающихся сосудов
не учитывает капиллярных эффектов, вследствие которых начальные
' При описании эксперимента используется методика, описанная в разделе:
Комаров A.M. «Определение местных давлений и их распределение на
поверхности тела в потоке» [5].
30

показания всех трубок батарейного манометра могут отличаться. До
включения трубы следует записать эти начальные показания hio.
Манометр имеет наклон к горизонту на угол а- при малых углах а
повышается точность измерений, поскольку даже небольшие изменения
давления приводят к существенным отклонениям столбика жидкости в
трубке
J I 1 .1 I М N ¦ 1- --1 Манометр 1
Батарейный манометр
Рис.5
манометра. При увеличении а точность уменьшается, но увеличивается
диапазон измеряемых давлений. Таким образом, а выбирается так,
чтобы соотношение диапазон-точность было оптимальным.
После включения трубы через определенное время течение выйдет
на установившийся режим, движение столбиков жидкости в батарейном
манометре прекратится. По уровням А, по гидростатической формуле
можно определить давление pt около соответствующего /-го
отверстия
Pi - Poo = -ДА**|Г sin a
Здесь kj - тарировочный коэффициент /- й трубки. Перепад
уровней ДА, можно считать равным ht -А,о только тогда, когда суммарное
сечение всех отверстий много меньше сечения бачка, однако в данном
эксперименте это не так и необходимо учитывать изменение уровня в
бачке. Для измерения этого уровня в бачковом манометре
предусмотрены трубки с номерами 0 и 31 - они так же как и бачок открыты в атмо-
31

сферу (либо на них подается полное давление невозмущенного потока в
рабочей части трубы). Таким образом, падение уровня 5 в бачке можно
определить как среднее арифметическое: д =—(AAq + ЛА31). Тогда, в
соответствии с гидростатической формулой, разность давления pt - р^
будет определяться величиной ДА, = ht - A/0 -8.
Зная давление /?, можно посчитать безразмерный коэффициент
давления сп
Pi
с -"'-"•
Для определения динамического напора —pV? в этом соотношении
предназначен манометр 1. Это бачковый манометр, верхний конец
трубки подсоединен к отверстию в рабочей части трубы - то есть измеряется
статическое давление на большом расстоянии от обтекаемого цилиндра.
Бачок открыт в атмосферу, либо подсоединен к трубке Пито,
измеряющей полное давление в потоке в рабочей части трубы. Для незамкнутой
трубы (прямого действия) можно с большой точностью считать, что
полное давление потока равно невозмущенному атмосферному
давлению. Следовательно, из интеграла Бернулли получаем:
pv2
То есть, динамический напор ——, равный перепаду давления
Р ~ Рхт определяется по изменению уровня манометра Ah = h ~ A0 :
°° = tshky sin a
Здесь к - коэффициент тарировки манометра, у - удельный вес
жидкости в манометре, а - угол наклона манометра. Отсюда, кстати, можно
получить и саму скорость потока, которая необходима для расчета числа
Рейнольдса:
¦I
2Ыгку sin a
32

В этой формуле плотность воздуха должна быть определена по
уравнению состояния совершенного газа р = pRT в которой R - газовая
постоянная воздуха. Поскольку известно, что при давлении р = 760 мм рт.
ст. и температуре 15°С (= 288 К) плотность воздуха равна
1 кГс2
—, получаем
Л>«?-
м
Р = Ро
/?(мм) 288
760 ЦК)
Данные об условиях опыта и приборах заносятся в таблицы.
Таблица 1. Условия опыта
Барометрическое давление В =
Температура t = °С
мм рт. ст
Коэффициент кинематической вязкости v =
Диаметр цилиндра d= мм
Число Рейнольдса Re = -^— =
см
Таблица 2. Манометр 1.
sina =
У*
к =
kT/mj
мм
мм
1 2
~РУао=(Рп-Рао) =
= (h-hQ)yksma =
Vao=J—(Pn-Pao) =
кГ/м"
м/с
33

Таблица 3. Батарейный манометр
Г sin a =
У =
*,=
\s-(h-
\ о —
кГ/м3
¦hoH+(h-
2
"Ао)з1
Частично эти таблицы можно заполнять уже после включения
трубы во время ожидания выхода уровней жидкости в батарейном
манометре на стационарный режим. До включения трубы следует заполнить
вторую строчку таблицы 4 - «нулевые» показания hQ.
Таблица 4. Экспериментальные данные и вычисления
1 №тр.
ht мм
hi0 мм
hj - hi0 мм
ht-hn-8
Pi "Poo =
= -{hi - hjo - S)kt у sin a
Pi~ Poo
Cpi 1 2
2pVl
&;
cosi9,
cD = (l-4sin2,9)
У и ж
0
1
2
3
4
5
• •
28
! 29
16
31
34

Для заполнения строки St необходимо знать нахождение
критической точки - для этого во время эксперимента надо повернуть
обтекаемый цилиндр так, чтобы критическая точка совпала с одним из
отверстий дренажа. Это состояние определяется по симметричному
расположению уровней жидкости батарейного манометра. В трубочке,
соответствующей критической точке будет минимальный уровень, в соседних
трубочках - одинаковых уровень (с точностью до 1-2 мм). В ячейке
таблицы, соответствующей критической точке ставится 0, в ячейках слева и
справа 12 и -12 и так далее с шагом 12 градусов.
После заполнения таблицы необходимо построить два графика. На
первом графике (рис.6) строится зависимость ср(8). Сплошной линией
наносится теоретический результат для безотрывного обтекания
цилиндра идеальной жидкостью (формула (*)), крестиками (х) - полученный
экспериментальный результат. Цель такого построения - выяснить
диапазон углов, где наблюдается хорошее совпадение теоретической
формулы с экспериментом.
х - эксперимент
теория
Рис.6
35

На втором графике (рис.7) строится только экспериментальный график
cpC)cos&. Значения наносятся точками и соединяются плавной
линией. Второй график необходим для определения интеграла (**)
графическим способом. Полученное в результате значение с'хд и является
основным результатом данной работы.
Рис.7
ЛИТЕРАТУРА
1. Попов С.Г. Некоторые задачи и методы экспериментальной
аэромеханики. М, ГИТТЛ, 1952.
2. Седов Л.И. Механика сплошной среды, ч. 1 и 2. М. «Наука»,
1976.
3. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая
гидромеханика. М, Гостехиздат, 1955.
4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. VI.
Гидродинамика. М: «Наука». 1986.
5. Лабораторный практикум. Изд.Моск.ун-та, 1972.
36

3. СОПРОТИВЛЕНИЕ ТРЕНИЯ ПРИ ОБТЕКАНИИ
ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНКИ
Котелкин В. Д.
Для практических приложений большой интерес представляют силы
взаимодействия между газом и движущимся в газе телом
(аэродинамические силы). Величина подъемной силы определяет грузоподъемность
летательного аппарата, а от силы сопротивления зависят скорость и
экономичность полета. При полете с постоянной скоростью развиваемая
двигателем мощность равна произведению силы сопротивления на
скорость. Прямое измерение интегральных аэродинамических сил можно
выполнить с помощью аэродинамических весов. Однако для создания
совершенных моделей летательных аппаратов конструктору
недостаточно информации только о полных аэродинамических силах, необходимо
также знать как эти силы распределены по поверхности аппарата. Только
зная детальное распределение сил давления и трения на поверхности
летательного аппарата можно вычислить силы и моменты, действующие
на отдельные элементы конструкции, т. е. получить информацию,
необходимую для обеспечения запаса прочности изделия и безопасности
полета, поскольку крылья большого размаха и площади подвергаются
воздействию как больших сил, так и значительных крутящих и
изгибающих моментов.
Понятно, что проведение местных поверхностных измерений
требует гораздо больших затрат труда, чем интегральные измерения.
Предпринимались попытки прямого измерения локальных сил с помощью так
называемого «плавающего элемента», т. е. элемента заделанного
«заподлицо» с поверхностью и могущего смещаться под действием сил со
стороны потока. Этот подход не получил распространения на практике из-за
своей сложности. Нашли применение подходы, основанные на
измерении статического давления на поверхности и скорости вблизи
поверхности и последующем вычислении поверхностных сил. Измерение
скорости потока на малом расстоянии от обтекаемой поверхности и
вычисление местной силы трения составляет основное содержание настоящей
работы.
Измерение скорости на малых расстояниях от поверхности также
вызывает серьезные трудности, поскольку здесь имеют место большие
градиенты скорости в поперечном направлении, а сама скорость
стремится к нулю. Для измерения скорости в работе используются маленькие
37

зонды-трубки полного давления (трубка Пито, представляющая
усеченный вариант трубки Пито-Прандтля), скорость вычисляется из интеграла
Бернулли, где статическое давление определяется в результате
отдельных измерений. Ясно, что с помощью трубки Пито нельзя провести
измерения на расстоянии меньше радиуса трубки, это в лучшем случае дает
0,1 мм.
Применение для измерения скорости термоанемометров позволяет
приблизиться к поверхности на расстояние порядка 0,01 мм.
Термоанемометром называется зонд, у которого чувствительным элементом
является нагретая электрическим током проволочка из платины, длиной
около 1 мм и диаметром до 0,01 мм и менее. Проволочка натянута на конце
вилочки, ножки которой являются проводниками электрического тока и
присоединены к мостику Уинстона с измерительными приборами и
электропитанием. Под действием воздушного потока проволочка меняет
свою температуру, а следовательно и электрическое сопротивление, что
регистрируется измерительными приборами. Однозначная зависимость
показаний электроприборов от скорости воздушного потока,
перпендикулярного к проволочке, устанавливается тарировкой.
Вязкие внутренние напряжения
Первые уравнения движения жидкостей и газов (Л. Эйлер, 1755), в
качестве внутренних напряжений содержали только силы давления,
хорошо известные из гидростатики ри = -р • glJ . Эти уравнения при
стационарном обтекании тела приводят к парадоксу Даламбера-Эйлера, т. е.
отсутствию силы сопротивления согласно теории и наличию последней в
экспериментах. Понадобилось немало времени и усилий
экспериментаторов для открытия эффекта трения на молекулярном уровне и
измерения коэффициента этого трения, получившего название коэффициента
молекулярной вязкости. Было установлено, см. рис. 1, что при обтекании
на элемент поверхности со стороны потока кроме силы давления -рп
действует сила трения т, называемая касательным напряжением. Со
стороны стенки на поток действует такая же по величине, но
противоположная по направлению сила, которая тормозит поток у стенки, рис. 1,
причем на самой стенке это торможение является полным (за
исключением разреженных газов), что используется в качестве граничного
условия, называемого условием прилипания вязкой жидкости. Естественно
ожидать, что касательные напряжения будут возрастать с увеличением
38

скорости потока, для многих жидкостей и газов справедлива линейная
зависимость (закон трения Ньютона)
п
Рис.1
-ГТТ7Т7
У-рп
Такие среды называются ньютоновскими. Коэффициент
пропорциональности // зависит от молекулярного состава сплошной среды (а также ее
температуры), он измеряется экспериментально и называется
динамическим коэффициентом молекулярной вязкости. Наряду с коэффициентом
динамической вязкости \х используется также коэффициент
кинематической вязкости v = ц/р. Уравнения движения с учетом вязких
напряжений рУ = ~р • giJ+ilJ были выведены Стоксом в 1845 году.
Уравнения пограничного слоя
Как показали опыты, для наиболее интересного с прикладной точки
зрения класса течений, который будет определен далее, существенное
воздействие вязких сил на течение наблюдается только вблизи
поверхности обтекаемого тела, где они поддерживаются силой поверхностного
трения, и их действие быстро убывает при удалении от этой поверхности.
Именно по этой причине область влияния вязких сил, которую назвали
пограничным слоем, рис. 2, и сами вязкие напряжения долгое вркмя
оставались неизвестными, а парадокс Даламбера-Эйлера не раскрытым.
Определение. Если в основном потоке силы трения малы по
сравнению с силами инерции, то пограничным слоем называется тонкая
область вблизи обтекаемой поверхности, в которой силы трения
имеют тот же порядок, что и силы инерции.
39

u
Внешний
4
ПОТОК
ш.
Jl
слой
О
т
-^
Рис.2
Получим уравнения для приближенного описания течения в
пограничном слое классическим приемом механиков, а именно: оценим
отдельные члены в точных уравнениях Навье-Стокса и сохраним только
члены ведущего порядка. Для оценки производных по порядку величины
будем использовать отношение масштаба функции к масштабу
аргумента, на котором происходит изменение функции. В нашем случае
функциями являются компоненты скорости, а аргументами -
пространственные координаты. При проведении оценок будем исходить из
экспериментального факта, заключающегося в том, рис. 2, что поперечный
масштаб изменения скорости - толщина пограничного слоя 8«L -
продольного масштаба изменения скорости.
Тогда для продольной скорости имеем
u-V^ du/dx-Vn/L, ди/ду-V^/S,
C.1)
откуда видно, что д/дх-l/L, д/ду~1/89 т. е. справедливо
неравенство д/ду»д/дх.
Оценки вторых производных получим рассматривая их как
последовательные первые производные
д2и/дх2 =d/dx(du/dx)-Va0/L2, д2и/8у2 ~ VJb2
Для оценки поперечной скорости v и ее производных используем
уравнение несжимаемости течения. Входящие в это уравнение члены
должны быть одного порядка, что достигается при
y = VooS/L
C.2)
40

V„IL V^S/LS
du/dx + dv/dy = Q
Отметим еще одно неравенство справедливое в пограничном слое
W» V
Согласно C.2) для производных поперечной скорости получаем
оценки
dv/dx-V^S/L2, dv/dy-Vn/L, д2\/дх2-V^S/I?, д2\/ду2 -VJ5L
Используя полученные соотношения оценим члены в уравнениях
Навье-Стокса
Силы инерции = Силы давл. + Силы трения.
V2/LV2IL vVc»/L2«vV0,/S2
udu/dx + vdu/dy = -\/pdp/dx + v(d2u/dx2 +д2и/ду2)
V2SII? V2SIL2 vV^S/I? vV^/SL
udv/dx + vdv/dy = -l/pdp/dy + v(d2v/dx2+d2v/dy2)
Откуда при условии 8«L получим уравнения Прандтля
(L.Prandtl, 1904) для течения в пограничном слое.
ди/дх + д\/ду = 0 C.3)
и-ди/дх + уди/ду»-\/р-др/дх + \д2и/ду2 C.4)
др/ду*0 C.5)
Приравнивая, согласно определению пограничного слоя, порядки
ведущих членов сил инерции и сил трения, получим оценку толщины этого
слоя
V2/L~vVO0/82^82~vL/Va>=>
b~JvLIV„ C.6)
41

Из этой оценки видно, как толщина погралслоя растет с
увеличением вязкости и линейного размера обтекаемого тела и убывает с ростом
скорости набегающего потока
Используя определение числа Рейнольдса, характеризующего
отношение сил инерции к силам трения во внешнем потоке,
Re = KQ0L/v
получим оценку относительной толщины пограничного слоя
6/I~l/VRe.
Заметим, что именно это отношение определяет точность погран-
слойного приближения уравнений Навье-Стокса и, в частности,
выполнение условия C.5) постоянства статического давления поперек
пограничного слоя (при этом динамическое давление или скоростной напор
резко изменяется поперек слоя).
Условие C.5) означает, что в пограничном слое давление является
функцией только продольной координаты р « р(х) и совпадает с
давлением во внешнем потоке. Таким образом для расчета хорошо
(безотрывно) обтекаемых тел можно сначала решить задачу обтекания идеальной
жидкостью или газом (уравнения Эйлера) и из интеграла Бернулли найти
распределение давления на поверхности тела, а затем с помощью
уравнений C.3, 3.4) найти скорости и(х,у) и v(x9y) в пограничном слое.
Для более реальных отрывных турбулентных течений распределение
давления на поверхности тела измеряется экспериментально в
аэродинамических трубах и затем распределение вязких касательных напряжений
находится в результате решения уравнений Прандтля C.3,3.4).
Сравнение результатов получаемых из уравнений погранслоя с
опытными данными дает хорошее согласие и подтверждает
правильность уравнений, полученных из нестрогих традиционных оценок. Важно
помнить, что класс течений, описываемых теорией пограничного слоя,
ограничен условием Re »1.
42

Течение в пограничном слое на плоской пластинке
Наиболее простым и удобным для исследования является обтекание
полуплоскости, расположенной параллельно набегающему потоку. Для
обтекания такой бесконечно тонкой пластинки идеальной жидкостью
имеем тривиальное по возмущениям решение - однородный поток,
скорость и давление, в котором везде одинаковы, поэтому член с
градиентом давления в уравнении C.4) тождественно равен нулю.
Отсутствие геометрического масштаба задачи приводит к
автомодельному течению в пограничном слое. Для отыскания этого решения
(Н Blasius, 1908) рассмотрим течение в некотором участке пограничного
слоя, расположенном на расстоянии х = L от начала пластинки.
Перейдем к безразмерным переменным и будем искать решение, зависящее от
одной переменной - безразмерной поперечной координаты
п = >>/§(/:),
и удовлетворяющее оценкам A,2, 6)
и = VJJ(y\\ v = У«У(у\ШIЪ 5 = yjvL/V„ C.7)
Воспользуемся отсутствием линейного размера и заменим в
формулах C.7) масштаб L на координату х, т. е. будем использовать в качестве
продольного масштаба расстояние от начала пластинки до исследуемого
участка. Тогда
8 = JvxlVm9 и = V^Uirj), v = У„У(т?Щх)/х = JvV„/x У(ф
и решение ищется в виде
и(х,у) = VaoUm у(х,У) = JvVmlxV{r,)9 /7 = yJV„/vx. C.8)
Подставим C.8) в уравнения C.3, 3.4) и, используя правило
дифференцирования сложной функции и выражения для частных производных
переменной Блазиуса
7]х=-7]/2х, т)у -^V^Ivx-MS
43

получим
-(tJ/2x)V<cU' + V<cV'S/(xS) = О
- (// / 2x)V2UUf + ФШЗI xW' IS) = vVJW I S2
и после сокращения, искомую (не содержащую х, у !) систему
обыкновенных дифференциальных уравнений
-tiUU'I2 + VU' = U"
где «'» означает обыкновенную производную.
Исключая У(ц)= fr\dU(r\)/2, найдем уравнение для U(rj)
2U' + U'lUdr\ = 0 C.9)
Решение уравнения C.9), определяющее профиль скоростей у
плоской пластинки, должно удовлетворять граничным условиям
С/@) = К@) = 0, С/(оо) ss 1. Это решение было получено численно и
используется при расчете пограничных слоев в табличном виде.
Распределение касательных напряжений на поверхности пластинки найдем,
дифференцируя по у первое соотношение C.8)
г(д) = //_-
ду
= pVl'2UX0hfc7x
у=0
Полное сопротивление трения прямоугольного участка (с одной
стороны пластинки) ширины Ь и длины L представляется интегралом
l L ,
Хтр = * \rdx = bpvfum^ J-2L = 2bpvl2U'(<ShfcL
О (W*
Коэффициент сопротивления трения равен
44

CV-_^E-
~mp J
pvlbL
4U'@)
VRe
Численное решение дает значение U'@) = 0,332.
ЭКСПЕРИМЕНТ
Установка и приборы
Эксперимент проводится в трубе прямого действия А-2 с закрытой
рабочей частью квадратного сечения 125x125 мм и длиной 500 мм.
Схема установки приведена на рис. 3.
Р ТП
и
т~пг
-^?/////////////////////;/7////////////////////z:
Р к
Рис.3
В рабочей части трубы в горизонтальном положении помещается
полированная с верхней стороны стальная пластинка. Ширина пластины
совпадает с шириной рабочей части, толщина равна 10 мм, передний
конец заострен. Пластина установлена с небольшим наклоном так, чтобы
ее верхняя сторона обтекалась безотрывно. Верхняя стенка рабочей час-
45

ти профилирована таким образом, чтобы компенсировать падение
статического давления вдоль трубы расширением сечения и приблизить
градиент давления к нулю. На верхней стенке рабочей части установлен
координатник, позволяющий перемещать трубку Пито полного давления
как в вертикальном, так и в горизонтальном направлении. Перемещение
вдоль пластинки определяется с точностью 1 мм, вертикальное
перемещение с точностью 0,1 мм. Внешний диаметр стальной трубки полного
давления - 0,6 мм, и если трубка касается пластины, то ее центр
находится на расстоянии 0,3 мм от поверхности пластины. Статическое
давление снимается со стенки рабочей части. Для определения скоростного
напора основного течения в рабочей части трубы служит манометр № 1,
измеряющий разность между атмосферным давлением и статическим
давлением в рабочей части; атмосферное давление в случае трубы
прямого действия совпадает с давлением торможения. Скоростной напор в
пограничном слое измеряется манометром № 2, фиксирующим разность
между полным давлением, снимаемым трубочкой Пито, и статическим
давлением в рабочей части. Манометр № 3 измеряет разность давлений в
дренажных отверстиях, расположенных в начале и в конце рабочей
части. Эта разность характеризует градиент статического давления вдоль
пластины, который в случае правильно подобранного расширения
сечения должен равняться нулю.
Порядок проведения эксперимента
Проверить установку и монтаж приборов по схеме на рис. 3;
проверить герметичность соединений шлангов манометров и горизонтальность
расположения манометров по уровням. Горизонтальная установка
манометров достигается регулировкой опорных винтов.
Заполнить таблицы 1 и 2 данными об условиях опыта и о приборах.
Таблица 1 Условия опыта
Барометрическое давление В (мм рт. ст.)
Температура t°C
Коэффициент кинематической вязкости
v(cM2/ceK)
Труба прямого действия с закрытой рабочей
частью сечением (мм2)
Пластинка: ширина b (мм)
Длина L(mm)
46

Таблица 2. Данные манометров
sin а;
ki
у г/см3
h0i мм
Манометр №1
Манометр №2
Манометр №3
Здесь ctj - углы наклона отсчетных трубок манометров, к; -тарировоч-
ные коэффициенты, у - удельный вес жидкости в манометрах, h0i -
нулевые уровни.
Заготовить таблицу 3 для экспериментальных данных и их бработки
Таблица 3. Экспериментальные результаты
ГйГ
X
Ук
У
h,
ht — hot
h2
h2-b(B
h3
h3-b(a
v.
и
4
В этой таблице фиксируются координаты точки, в которой
проводится измерение, и показания манометров; последние столбцы таблицы 3
предназначены дня обработки результатов.
Включить трубу и, медленно регулируя скорость вращения
электромотора вентилятора, установить намеченную для опыта скорость
потока в трубе, которая контролируется с помощью манометра № 1.
Работая координатниками, поместить трубку полного напора на
передний край пластинки так, чтобы трубка касалась пластины и не
загибалась вверх. При этом х = 0, у = 0,3 мм. Записать показания манометров
в таблицу. Скользя трубкой полного напора по пластине, увеличить х и,
когда мениски установятся, снять отсчеты манометров и записать данные
в таблицу. Повторить эту операцию около 10 раз, все более удаляясь от
передней кромки пластины и следя за тем, чтобы трубка касалась
пластины во время снятия отсчетов с манометров.
Установить трубку полного давления как можно дальше от
переднего края пластинки там, где течение в пограничном слое остается
ламинарным и безотрывным. При помощи вертикального координатника
47

найти положение, в котором трубка касается пластинки, но не прижата к
ней. Записать показания координатников и манометров в таблицу 3.
Увеличить показания вертикального координатника на 0,1 мм и, когда
мениски установятся, снять показания. Повторить эту процедуру постепенно
наращивая шаг по у^ , так чтобы за 10 измерений пройти весь
пограничный слой.
Обработка результатов эксперимента
Заполнить оставшиеся графы таблицы 3, проведя необходимые
вычисления. Величина скорости потока в рабочей части трубы
определяется с помощью интеграла Бернулли по формуле
_ l2kiy(fa-hoi
V. Д-Р-
-Aoi)sinoci
где рн - 0,125 кГ с2 / м4 - плотность воздуха при нормальных условиях
А 288-Я _
А = - коэффициент отклонения условий опыта от нормальных
условий.
Величина относительной скорости U = u/Vao и переменная Бла-
зиуса tj рассчитываются по формулам
_ /A:2(A2-/io2)sina2 _ IP*
\ ki(h\-hoi)sinai vvx
Кинематическая вязкость v берется из лабораторной таблицы по
условиям эксперимента.
По двум последним столбцам таблицы 3 построить на
миллиметровке график зависимости U(r\). По оси абсцисс откладывается rj, а
по оси ординат С/, причем по оси U выбирается масштаб в 5 раз больше,
чем по оси tj. Точки, получившиеся в результате первой серии измерений
при фиксированной координате у и второй серии измерений при
фиксированном х, обозначить на графике различными значками. Обе серии
точек, в силу автомодельное™, должны лечь на одну и ту же кривую. По
экспериментальным точкам через начало координат провести (с
помощью лекала) плавную кривую. Построить касательную к полученной
48

кривой в начале координат и найти тангенс ее угла наклона к оси абсцисс
(отношение ординаты к абсциссе), который представляет значение
U'@). Сравнить полученное значение с теоретическим. Используя
экспериментальное значение вычислить коэффициент трения и силу трения,
действующую на одну сторону пластинки. Полученные результаты
занести в таблицу 4.
Таблица 4. Основные результаты эксперимента
1 Скорость набегающего потока (м/сек)
Число Рейнольдса
U'@)
Коэффициент сопротивления трения
Сила трения (кГ)
ЛИТЕРАТУРА
1. Лойцянский Л. Г. Ламинарный пограничный слой. М., Физматгиз,
1962.
2. Попов С. Г. Измерение воздушных пОтокЬв. М.-Л, Гостехиздат,
1947.
3. Седов Л. И. Механика сплошной среды, 2-й том. М, Наука, 1984.
4. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М., Изд-во иностр.
литры, 1956.
49

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОФИЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
ТЕЛА В ПОТОКЕ
I З.П.Случановская |
Кафедра аэромеханики и газовой динамики
МГУ им. М. В. Ломоносова1
1. Цель работы
Целью проведения задачи является определение профильного
сопротивления тела в потоке путем измерения давлений в окрестности
обтекаемого тела.
Способ определения профильного сопротивления бесконечно
длинных цилиндров, обтекаемых плоскопараллельным потоком вязкой
несжимаемой жидкости основан на теореме импульсов. Способ применим
и для определения сопротивления в различных сечениях крыла; может
быть распространен на осесимметричные течения и на дозвуковые
течения. В силу этого он находит применение в лабораторных и натурных
исследованиях.
2. Определение профильного сопротивления
При обтекании тела потоком на каждый элемент поверхности
действует аэродинамическая сила. Система этих сил может быть приведена
к главному вектору сил и к главному моменту их относительно центра
приведения. Проекция главного вектора сил на направление скорости
невозмущенного телом набегающего потока называется полным
лобовым сопротивлением тела.
Элементарную аэродинамическую силу, действующую на элемент
поверхности тела da можно разложить на силу давления pdcr и силу
трения fdcr . Силы давления направлены по внутренним нормалям к
элементам поверхности, силы трения лежат в касательных плоскостях к
рассматриваемым точеам поверхности. Равнодействующая R всех этих
поверхностных сил представляет полное аэродинамическое воздействие
1 Незначительные изменения в оригинальный текст и рисунки были
внесены В.В. Измоденовым.
50

на тело. Составляющая силы R, направленная в сторону, обратную
движению тела относительно среда, называется лобовым
сопротивлением X; составляющая, перпендикулярная направлению скорости
движения тела в плоскости симметрии, - подъемной силой Y ; в случае
несимметричного течения имеется еще боковая сила Z.
Если тело движется равномерно, прямолинейно и поступательно, то в
соответствии с принципом Галлилея, движение может быть обращено,
путем придания среде и телу равной и противоположно направленной
скорости. В частности, при обтекании неподвижного тела равномерным
плоским потоком вязкой жидкости со скоростью V^ в обращенном
движении интеграл проекций элементарных сил давления по всей
поверхности тела в направлении оси X дает сопротивление давления.
Xg = ^pcos(n9VJda A)
то есть часть лобового сопротивления, обусловленную давлением. Если
Ро - статическое давление в невозмущенном потоке, то вместо р обычно
рассматривается величина (р-ро), так как интеграл A) распространяется
на замкнутую поверхность, то интеграл A) будет равен интегралу
Xg = I (p-Po)cos(n,VJda (l)
Аналогично находится сопротивление трения
Xmp=lTcos(H,VJder B)
представляющего часть лобового сопротивления за счет трения.
Для таких тел, как крыло конечного размаха компонента Xg
лобового сопротивления может быть представлена в виде суммы
индуктивного сопротивления Хиидукт, возникающего силе из-за краевых эффектов,
связанных со срывом потока в кромке крыла, и сопротивления давления
Xg, существующего у крыла в плоском потоке.
Сумму сопротивлений трения, Хтр, и давления, Xg, называют
профильным сопротивлением и понимают под этим обычно
сопротивление профиля, вычисленное на единицу длины тела бесконечного
удлинения.
Определение локальных поверхностных сопротивлений,
суммарного лобового сопротивления и его частей существенно для технических
51

характеристик летательных аппаратов (радиуса действия, скорости
полета и др.) Теоретическое и вычислительное определение
аэродинамических сил пока встречает трудности в большинстве случаев. В связи с
этим разработаны экспериментальные методы определения
аэродинамических сил. Так, составляющие равнодействующей аэродинамических
сил R : лобовое сопротивление X, подъемная сила Y, боковая сила Z
и их моменты определяются в аэродинамических трубах на специальных
весах. Этот способ дает суммарные силы, тогда как бывают нужны силы
локальные в точках на поверхности или в сечениях. Известны способы
экспериментального определения сил по измерениям на поверхности
обтекаемого тела местных давлений или трения.
В настоящей задаче определяется сопротивление тела в сечении (на
единицу размаха), если известны скорости потока или давления на
поверхности, ограничивающей объем жидкости или газа, включающий
обтекаемое тело.
2. К теории способа: теорема импульсов
Как известно, теорема общей механики о количестве движения системы
материальных точек состоит в том, что изменение количества движения
ограниченной системы материальных точек равно импульсу сил,
приложенных к системе, или изменение количества движения системы в
единицу времени равно сумме внешних сил, действующую на эту систему:
^¦(LmV)^F. C)
at
Для жидкости, принимаемой за континуум, теорема записывается в
интегральной форме:
^- = -\Vdm = YF. D)
Л dt> z-
Выделим в движущейся жидкости некоторый объем, ограниченный
произвольной поверхностью S, и применим к* жидкости, заключенной
внутри S, теорему о количестве движения. Жидкая поверхность будет
перемещаться с течением времени и изменять форму. Но количество
жидкости, содержащееся в ограничивающей поверхности, должно
сохраняться и состоять из одних и тех же частиц. Количество движения
жидкого объема будет изменяться во времени, так как частицы жидкости
52

будут занимать новые положения и приобретать в них другие значения
скоростей, а также потому, что поле скоростей зависит от времени.
Если движение жидкости установившееся, то изменение количества
движения массы жидкости внутри ограничивающей поверхности S
вызывается только перемещением поверхности. Так за элемент времени
dt поверхность S переместится в положение S . При движении
жидкой поверхности происходит перенос количества движения через
неподвижную поверхность. Сквозь элементарную площадку dS в элемент
времени dt протекает объем жидкости dSVndt и переносится в
единицу времени количество движения, равное pdSVnV, где Я - внешняя
нормаль к dS. Следовательно, изменение количества движения в
единицу времени, обусловленное перемещением жидкой поверхности S,
выразится геометрической суммой количеств движения, протекающих в
единицу времени через неподвижную поверхность:
f-lWdS <3>
Таким образом, при установившемся течении изменение за единицу
времени количества движения жидкого объема равно количеству движения,
перенесенному в единицу времени через контрольную поверхность
(теорема Эйлера).
Если в рассматриваемом объеме жидкости, ограниченном
поверхностью S, находится неподвижное твердое тело с поверхностью Т , то
по доказанной теореме количество движения, протекшее в единицу
времени через контрольную поверхность S + Т, равно сумме сил, равно
сумме сил, действующих извне на массу жидкости в объеме Q,
заключенную между телом и поверхностью S. На выделенный объем
действуют массовые силы, например тяжести pg, силы давления pdS и
трения fdS, приложенные к контрольной поверхности тела, и, наконец,
посторонние силы, передающиеся телу извне через державки,
поддерживающие тело в потоке и обтекаемые им. Уравнение будет иметь вид, если
расписать правую часть в C)-{5),
53

Во многих случаях массовыми силами, например силами тяжести в
воздухе, можно пренебречь по сравнению с силами давления и другими.
Потока количества движения через поверхность Т здесь нет вследствие
ее непроницаемости; интегралы от сил pdS и fdS по поверхности Т
дадут равнодействующую аэродинамическую силу R или
противоположную ей по знаку силу - силу воздействия тела на жидкость —R;
силами трения по контрольной поверхности S можно пренебречь, если
выбрать ее границу там, где нет больших градиентов скорости по
нормали к этой поверхности. Тогда уравнение F) примет вид
[fVfdS^-lpdS + R + Y.F. G)
Последним членом 2-dF правой части, выражающим
аэродинамическую силу поддерживающих тело приспособлений в потоке, обычно
пренебрегают в сравнении с величиной R или исключают другим путем.
3. Определение коэффициента профильного сопротивления модели
крыла
При обтекании цилиндра (крыла) большого удлинения плоским
потоком вязкой несжимаемой жидкости со скоростью ул,
перпендикулярной оси цилиндра, в тонком пограничном слое у поверхности тела
скорость потока изменяется от нуля на стенке тела до величины скорости
при обтекании его жидкостью без трения. Эта скорость асимптотически
стремится к скорости у^ при большем удалении от тела вдоль нормали
к его поверхности. Пограничные слои, сходящие с верхней и нижней
поверхностей цилиндра, сливаются у задней кромки профиля в спутной
зоне. За цилиндром образуется завихренное течение, профиль скоростей
которого имеет впадину (рис. 1). Вследствие вязкости спутное течение
размазывается: при удалении от цилиндра впадина становится широкой и
мелкой.
Определим лобовое сопротивление X элемента цилиндра (крыла)
единичной длины, применяя теорему импульсов, в проекции на ось X
(рис. 1). Проведем в потоке жидкости прямоугольную контрольную
поверхность, внутри которой будет находиться тело. Одну плоскость
X = Cj поверхности расположим на большом расстоянии перед цилин-
54

дром так, чтобы для всех ее точках проекции скорости у} на ось X не
отличались от величины скорости уп.
Рис. 1. Контрольные поверхности перед крылом A), за крылом вблизи C) и на
большом расстоянии B). Показаны также: система координат (х-у), крыловой
профиль, трубка тока, имеющая сечения dybdy2 и dy3 , а также характерный
профиль скорости за крылом.
Вторую плоскость х = С2 возьмем далеко за цилиндром; здесь
проекции скорости на ось X зависят от координаты у, то есть V2(y). Две
другие плоскости у = С3 и у = С4, параллельные вектору скорости
у^, проведем так далеко от цилиндра, что они будут находиться в
невозмущенном потоке. Поскольку контрольная поверхность расположена
на значительном расстоянии от тела, то предполагается, что давление на
поверхности всюду одинаковое.
Найдем количество движения, протекающее в единицу времени
через контрольную поверхность в направлении оси X. Объем, проходящий
через площадку единичной толщины в направлении оси Z, т.е. dy} • 1
первого сечения за элемент времени dt, равен Vxdtdy (где Vx = V^ ), и
количество движения, перенесенное в единицу времени через всю полосу
плоскости, выразится интегралом — I Vyxdyx. Здесь стоит знак минус,
так как положительной взята внешняя нормаль к поверхности. Через
вторую плоскость в единицу времени протечет количество движения,
55

равное — I V^2dy2 • Массовыми силами можно пренебречь, давление на
контрольной поверхности всюду одинаково, т.е. р2 = рх, поэтому
будем иметь одну силу воздействия тела на жидкость —X . На основании
закона равенства действия и противодействия получим силу с которой
жидкость действует на тело,
X'=[pV^dyx-[pV22(fy2 (8)
Так как производить опытные измерения во втором сечении,
находящемся далеко за цилиндром, трудно или даже невозможно, проведем еще
одно сечение на близком расстоянии от задней кромки профиля,
примерно равном половине хорды крыла. И с помощью уравнения
неразрывности для струйки
pVxdy^pV2(fy2=pV3dy, (9)
выразим скорости второго сечения через измеренные скорости в
третьем. Теперь
X' = \spVi{Vx-V2)dy3 (Ю)
Причем интегрирование производится в той части сечения 8, где
скорости отличны от скорости Vw .
По теории размерности и подобия сила сопротивления выражается через
безразмерный коэффициент, зависящий от чисел Рейнольдса, Маха и др.
в виде
х'=c:<pmrx-Pv^b\ do
где Ъ - хорда крыла. Из равенства выражений (9) и A0) коэффициент
профильного сопротивления на единицу размаха крыла (цилиндра)
c;,pro/=2j[|(i-|)^3, 02)
Помня, что статическое давление Р7 принято равным Рх и предполагая,
что течение в спутной струе от сечения 3 до сечения 2 происходит без
потерь, напишем формулы для полных давлений:
56

Р.г = Л + J-/*? = Л + JpV* = р»3 (,3)
Аз=А + 2/*?
Тогда скорости в соответствующих сечениях представятся выражениями:
*2=.Д(Аз-Л) О4)
^з = Л-(Аз-Л)
Подставим эти выражения скоростей в A1), получим окончательно
jVAi~A VAi-Л
Отсюда видно, что для определения Cxprof требуется знать полные и
статические давления в первом и третьем сечениях.
4. Описание установки
Модель крыла или другое тело устанавливается в центре рабочей
части трубы. Перед моделью и за ней ставятся трубки Пито-Прандтля
для измерения полных и статических давлений. Первая трубка
помещается на возможно большем расстоянии от передней кромки модели.
Вторая укрепляется в координатнике на расстоянии нескольких долей хорды
от задней кромки профиля. Координатник фиксирует положение трубки
в плоскости контрольной поверхности, то есть координату у. Полные и
статические давления от обеих трубок Пито-Прандтля подключаются к
бачкам манометров, вторые колена которых оставляются открытыми.
57

Величина коэффициента профильного сопротивления зависит от
положения тела в потоке; поэтому модель монтируется в аэродинамической
трубе в заданном положении, характеризуемом углом установки (атаки)
а, углом скольжения /?. схема установки показана на рис 2.
0) V
р>дф.
Pi
i
i
п
>
i га
! i !
i !
W
I
Рис. 2. Соединения манометров с трубками и их расположение при определении
профильного сопротивления.
5. Порядок выполнения работы
В рабочей части аэродинамической трубы монтируются: модель,
координатник, трубки Пито-Прандтля. Датчики давления соединяются с
манометрами. Для ведения записей заготавливается таблица, в нее
вносятся: данные условий опыта и характеристики манометров. Перед
включением аэродинамической трубы необходимо проверить
правильность подсоединений манометров и надежность крепления деталей. Ра-
58

бота выполнятся при заданном режиме V^ = const. Чтобы найти
пределы изменения полного давления в кильватерной струе по сечению 3,
производится пробное перемещение задней трубки Пито-Прандтля
поперек струи. В зависимости от желаемого числа экспериментальных точек
устанавливается величина шага (по давлению). Шаг надо брать мельче
там, где большее изменение давления. После этого трубка в сечении 3
располагается вблизи одной из границ кильватерной струи. Это будет
первая точка. В таблицу записываются отсчеты, взятые одновременно по
четырем манометрам и координатнику. Затем производятся измерения в
других точках спутной струи. При этом трубка Пито-Прандтля
перемещается каждый раз настолько, чтобы уровень жидкости в манометре
изменялся примерно на одну и ту же величину (шага). Если обнаружатся
явно выпавшие точки, производятся повторные измерения.
6. Таблица записи и обработки данных
Формула коэффициента профильного сопротивления A4)
развернута в таблице в порядке последовательности операций вычисления. Для
каждой экспериментальной точки, определяемой координатой у,
вычисляются разности давлений по показаниям манометров. Например, для
к-ой точки у = / мм находятся разности:
РпХ-Ра=<А-К)КГМПа\*
Pi - Ра = fa- K)k2Ysina2,
Pm - А = (Aj - h30)k3ysina3,
Ръ~Ра= (К ~ K0)k4rsina4.
Далее вычисляются разности рп1 — рх, рпЪ — ръ, рп3 — рх и т.д.;
наконец, определяется величина подынтегральной функции в данной точке.
Аналогично производятся вычисления для всех точек. Графическим
интегрированием находится величина интеграла. С этой целью строится
график Ф(.Уз) (по Д8)™ последним столбцам таблицы). Площадь,
ограниченная кривой и осью абсцисс, вычисляется по правилу трапеций или
другим способом. Таким образом, коэффициент профильного
сопротивления на единицу длины модели крыла на данном угле атаки при
определенном числе Re будет равен:
59

C'Bmf=2F , , A6)
где а и J3 - масштабные коэффициенты по осям Ф и^. Число Рей-
нольдса вычисляется по средней скорости возмущенного потока
V V
Средняя скорость потока находится по формуле:
K=J-(Pnl-Pl)
где р = р0 • A(i?^-), р0 = 0.125-*^- - плотность воздуха при В=
5B73415°)
760мм.рт. ст. и Т =15° С,
760B73°+0
В литературных ссылках [5], [6] можно найти указания на многие
исследования по применениям этого метода и его модификациям, в частности
в газодинамических течениях.
Литература
1. Кочин, Н.Е., Кибель, И.А., Розе, Н.В., Теоретическая гидромеханика.
М., Гостехиздат, 1955 (гл.И, парагр. 13).
2. Попов, СТ., Некоторые задачи и методы экспериментальной
аэромеханики. М., ГИТТЛ, 1952
3. Прандтль, Л., и Титьенс, О., Гидро- и аэромеханика, т. 1, М.-Л., ПТИ,
1933.
4. Седов Л. И., Механика сплошной среды, ч. 1 и 2, М., "Наука", 1970.
5. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя, М., Изд-во иностранной
литературы, 1956.
6. Современнное состояние аэродинамики больших скоростей. Под ред.
Л. Хуорта, М., Изд-во иностр. лит-ры, 1956.
60

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ И ВЫЧИСЛЕНИЯ
Условия опыта: Барометрическое давление
- f \Рт-Рг J л РпЪ~Р\ )^т
'VArt-Pi V Рп\-Р\)
В= мм рт. ст., Температура t= °C, a,/-/?™ = (hrh10) ykx ^ sin
а
Кинематический коэффициент вязкости РгРат = (hrh2o) У k! ^ sin a
V= CM2/ceK РпЗ'РатАЬ^укг §1
sin а
Модель (тело): Хорда b= mm. P3'Pam-(hrh40)yki %\
sin a
Угол атаки а =
Тарировочные коэффициенты трубок
Пито-Прандтля ?i - * ?2 =
Число Рейнольдса Re = = .
V
1 манометр
sin a
у г/см3
к
ho
РпГРат
1
РгРат
2
РпЗ-Рат
3
Pi-Aw*
4
Л»
Л
мм
А;
мм
h2
мм
fc
ММ
Ы
мм
hrhjo
мм
h2o
мм
Аз-
Азо
мм
A-rAvo
мм !
61

РпГ
Рат
кГ/м2
Рг
1 Рат
кГ/м2
РпЗ'
Рат
кГ/м2
Рг
Рат
кГ/м2
Pnl-Pl
кГ/м2
РпЗ'Рз
кГ/м2
РпЗ"/?/
кГ/м2
/Рлз-Рз .
\-bLLEL
s. Pn\~P\j
*-t
62

5. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ СИЛ И МОМЕНТОВ,
ДЕЙСТВУЮЩИХ НА ОБТЕКАЕМОЕ ТЕЛО,
ИЗ ОПЫТОВ В АЭРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТРУБЕ
Потапов B.C.
1. Введение
Очевидно, что для управления летательным аппаратом необходимо
знать, какие динамические нагрузки действуют на него в конкретных
условиях полета. При этом одна из важнейших проблем управления как
раз и состоит в учете этих внешних воздействий и отыскании способов
соответствующих реакций со стороны управления. «Классический»
подход состоит в том, что управляемое тело (например, самолет)
рассматривается как абсолютно твердое тело, подвергающееся действию внешних
сил, сводящихся к их равнодействующей и механическому моменту. При
таком подходе, конечно, не учитываются деформации элементов
конструкции и связанные с этим деформационные колебания, которые в
случае резонанса с внешними пульсациями могут привести к разрушению
конструкции, как, например, это происходит при флаттере.
Из всего многообразия вариантов полета в рамках студенческого
практикума моделируется лишь относительно простой случай
поступательного движения с постоянной скоростью (так называемый
«крейсерский полет»), причем изучается воздействие потока только на крыло
самолета, приводящее к возникновению подъемной силы.
Эксперименты проводятся на установке А-6 Института механики
МГУ, представляющей собой аэродинамическую трубу замкнутого типа
с открытой рабочей частью. Сечением конфузора при входе в рабочую
часть является эллипс с горизонтальным диаметром 4м и вертикальным
2,35. Скорость потока воздуха в рабочей части трубы может достигать
50м/сек.
Основная цель задачи практикума состоит в определении
зависимости аэродинамических сил и их моментов от угла атаки а, который
заданным образом меняется в ходе эксперимента (практически все целые
значения из интервала - 6° < а < 26°). Впервые для студентов эта
работа была поставлена доцентом кафедры аэромеханики и газовой динамики
С.Г.Поповым и завлабораторией общей аэродинамики С.М.Горлиным
[1][2]. В результате обработки экспериментальных данных выявляется
63

важный физико-механический эффект, получивший в аэромеханике на*
звание «кризис подъемной силы». Этот эффект состоит в том, что
монотонный рост подъемной силы с ростом угла атаки от минимального до
некоторого определенного, зависящего от формы крыла т.н.
«критического значения», а,ф, сменяется при а>акр падением подъемной
силы с увеличением угла атаки, так что при а = а^ подъемная сила
оказывается максимальной. Соответственно, относительно малые
значения силы сопротивления в докритической области многократно
увеличиваются в области а > а^. В практическом отношении оба этих явления,
т.е. падение подъемной силы и резкий рост силы сопротивления при
а > а^р, могут привести к катастрофическим последствиям, особенно в
режиме посадки самолета, если эффект кризиса подъемной силы не
учитывается должным образом при управлении самолетом.
Аэромеханический аспект явления кризиса подъемной силы качественно состоит в
переходе от режима безотрывного обтекания крыла при а < а^ (случай
«хорошо обтекаемого тела») к режиму отрывного обтекания при а > а^
(случай «плохо обтекаемого тела»).
2. Описание экспериментальной установки
В открытую рабочую часть аэродинамической трубы помещается
«измерительный прибор» - аэродинамические 6-ти компонентные весы,
представляющие собой жесткую внешнюю раму, на верхней части
которой установлены весовые элементы. Эта рама является также внешней
опорой для системы подвесов, на которых укрепляется исследуемая
модель. Принципиальная схема системы подвесов изображена на рис. 1.
Считается, что эта система подвесов жестко фиксирует в
пространстве три точки: 0,0',03. К этим точкам через шарнирные соединения
прикрепляется исследуемая модель. В рамках физико-механического
практикума изучается модель крыла с конечным размахом L,
прямоугольного в плане и имеющего один и тот же профиль в каждом сечении
по размаху со значением размера хорды Ь и максимальной толщиной А,
как изображено на рис. 2.
64

Рис. 1. Схема системы подвесов исследуемых моделей в рабочей части
трубы А-6. В точках В, В' расположены блоки. М\^Мз ~ достаточно
большие массы соответствующих грузов, {x,y9z}~ лабораторная
система декартовых координат с ортами ех, еу, ez, g = -gey, g > О
- ускорение силы тяжести. Заштрихованные области соответствуют
жесткому креплению с внешней рамой.
О
<о)/
Рис. 2. Общий вид исследуемого крыла с размахом L, хордой b и
толщиной h. Изображены прикрепленные к крылу стержни с
отверстиями
0@HЧОH@)
65

Это крыло крепится на системе подвесов, изображенных на рис. 1,
через шарнирные соединения таким образом, что совпадают точки
{О,О@)}, {О',О'@)}, {03,Of}} . В результате проекция возникающей
механической системы крыло+подвесы на плоскость {х, у) принимает
вид, изображенный на рис. 3.
-ш
ш/
ъ
ъ
V.
со
Oft С_1 /¦.
Рис. 3. Проекция системы крыло+подвесы на плоскость {х, у}. В
точках 0,Оз,04 реализуется шарнирное закрепление.
Эмпирический угол атаки а определяется как угол между отрезком ОО3 и
осьюх
Как видно на рис. 3, при некотором произвольном, но
фиксированном, положении крыла, определяемом положением точки Оэ, отрезок
003 составляет с осью х, по которой считается направленной скорость
потока воздуха V^ при входе в рабочую часть, определенный угол а,
называемый эмпирическим углом атаки. Следует отметить, что по
техническим причинам крыло подвешивается как бы «вверх ногами», так
что изображенная на рис. 3 картина фактически соответствует
положительному углу атаки.
Угол атаки а в опыте является управляемым параметром,
вариация которого осуществляется путем контролируемого изменения
расстояния между точками Оз и О4. При этом наличие закрепления в виде
«тележки» на заднем подвесе обеспечивает условие его параллельности
-66

вертикальному направлению (оси у) при любых а. Реально угол а
может изменяться в диапазоне -6° < а < 26°, принимая любые целые
значения.
3. Экспериментальная методика определения
аэродинамических сил и моментов
На установке, изображенной на рис. 3, непосредственно
измеряемыми величинами являются механические напряжения в подвесах A),
B), C), связанных как с внешней опорой (рамой), так и с исследуемой
моделью. При этом необходимо установить соотношение между этими
напряжениями и аэродинамическими силами, действующими на крыло,
что и делается в этом параграфе. Чтобы не вдаваться в излишние детали,
соответствующий анализ проводится в рамках упрощенной, идеализиро-
ваной схемы подвесов, приводящей однако к правильным
окончательным результатам, к которым можно также прийти, рассматривая и
реальную схему. Такая упрощенная схема изображена на рис. 4.
В этой схеме считается, что подвесы A), B) представляют собой
невесомые, абсолютно жесткие относительно растяжений и сжатий и
абсолютно мягкие относительно изгиба стержни, соединенные друг с другом
под прямым углом через шарнир в точке О, причем оставшиеся их концы
жестко заделаны во внешнюю опору. При этом, очевидно, точка О
является неподвижной точкой, к которой через шарнир присоединяется
крыловой профиль. Фиксация профиля в плоскости {jc, у) происходит путем
присоединения в точке 03 через шарнир груза jjg и вертикального
стержня C), который связан с внешней опорой так, как показано на
рис. 4.
Если рассматривать эту систему с точки зрения теоретической
механики, то подвесы A) и B) играют роль механических связей,
удерживающих неподвижно в плоскости точку О, а подвес C) - точку Оз. При
этом внешними по отношению к данной механической системе являются
сила тяжести //0g, действующая на крыло, и сила тяжести груза //g.
Поскольку в ситуации на рис. 4а крыло и груз находятся в состоянии
механического равновесия, то это означает, что со стороны внешней
опоры к системе оказываются приложенными точечные силы реакции
связей, обозначенные на рис. 4 векторами f* J^ff, направленными по
связям, причем индекс «о» соответствует случаю отсутствия потока
воздуха, V„ = 0.
67

(О
Рис. 4. Упрощенная схема системы подвесов модели крыла. На рис.
(а) изображена ситуация в отсутствие потока. На рис. (б) показана
ситуация, в которой на крыло действуют аэродинамические силы.
Рис. (в) подчеркивает, что аэродинамическая сила лежит в плоскости
{х, у}, а ее момент (тангаж) направлен перпендикулярно этой
плоскости.
^8

Таким образом, ситуация, изображенная на рис. 4(a), с
механической точки зрения представляет собой равновесное состояние системы,
состоящей из крыла и груза, к которой приложена совокупность сил
реакций связей 7]-°(/ = 1,2,3), действующих со стороны внешней опоры.
При этом поскольку система находится в состоянии равновесия, можно
утверждать, что соблюдаются условия механического равновесия,
состоящие, как известно, в том, что сумма всех сил и сумма всех моментов,
действующих на систему, должны равняться нулю. В данном случае:
f1°+f2°+7;30+iu0g + //i = 0,
м0 (моё) + м0 (Mg)+м0 (г3°) = о
причем ради простоты рассматривается момент сил относительно точки
О, к которой приложены силы Тг° и Г2° > так что они обладают нулевыми
моментами.
В проекциях на оси {х, у, z} отсюда следует:
Mz0(Mog) + Mz0(tig) + T3°a = 0 C.2)
где а - "плечо" силы Г3 , которое, как видно из рис. 46 связано с
фиксированным расстоянием /х, называемым базой подвески, очевидным
соотношением:
a = lxcosa C.3)
Для того, чтобы определить характеристики силы тяжести и ее точки
приложения, проводится специальный эксперимент, называемый
«нулевой продувкой». При этом труба выключена, и получаются, в основном,
сведения относительно зависимости момента сил тяжести от угла атаки
крыла, что важно при реальной схеме крепления. Эта часть эксперимента
называется «нулевой продувкой». Измеряя силы Т-" ', на основании
формулы C.1), C.2) получается информация относительно силы тяжести
и ее момента, действующих на систему.
69

Получив эти данные, проводится вторая часть эксперимента, когда
включается труба, так что система оказывается под внешним
воздействием набегающего потока воздуха со скоростью порядка 25 м/с. Этот
поток обтекает изучаемое крыло, так что в результате возникает их
аэродинамическое взаимодействие. Как схематически изображено на
рис.4(б), классический подход описания взаимодействия состоит в том,
что на каждый малый элемент площади крыла с размером d2S около
точки г с внешней нормалью п со стороны потока будет действовать
поверхностная сила
dF = f(n)d2S C.4)
с поверхностной плотностью
/ = /Ч, f*=p4rynj<r) C.5)
где рУ(г)- компоненты тензора механических напряжений в точке
крыла г .
В результате считается, что механическое взаимодействие крыла и
обтекающего его потока воздуха состоит в том, что к поверхности крыла
оказывается приложенной система поверхностных сил C.4),
распределенная по крылу с плотностью C.5). В то же время, поскольку крыло
считается абсолютно твердым телом, то систему сил C.5) достаточно
характеризовать, во-первых, равнодействующей:
F = jf(n)d2S, C.6)
s
где поверхностный интеграл берется по всей замкнутой поверхности
крыла и называется аэродинамической силой. При данной плоской
конфигурации полета эта сила лежит целиком в плоскости {дг, у} и обладает
проекцией X на ось х (скорость), называемой силой сопротивления, и
проекцией Уна осьд>, называемой подъемной силой, так что C.6) можно
записать в виде:
F = Xex + Yey C.7)
Свойство силы сопротивления состоит в том, что она имеет диссипатив-
ную природу, так или иначе связанную с силами трения, и является
всегда положительной:
70

X > 0 C.8)
Возвращаясь к системе C.5), укажем, во-вторых, что распределенная
поверхностная сила создает механический момент относительно оси
вращения крыла. Для определения элементарного момента dM$
относительно точки О, достаточно произвести векторное умножение радиус-
вектора г0, проведенного из точки О в точку приложения силы:
dF = f(r0)d2S. В результате получается:
dM0=[r0*dF] = [r0xf(r0)]ds
Из этой формулы видно, что в случае обтекания симметричного
относительно плоскости z = 0 крыла суммарный момент аэродинамических сил
М0 = fi0 xf]dS = Mzoe2 = M0(F) C.8)
фактически направлен по оси z, перпендикулярной плоскости {х, у}, и
имеет некоторое конкретное значение, обеспечивающее равновесие. В
авиации момент аэродинамических сил C.8) принято называть
«тангажем».
Итак, механическое взаимодействие крыла и потока сводится к
тому, что к крылу оказывается приложенной система поверхностных сил с
равнодействующей C.6) и моментом C.8). При этом из-за наличия
связей такая система сил не приводит к какому-либо перемещению крыла,
так что оно оказывается в том же геометрическом положении, как и в
случае отсутствия потока. Поэтому в ситуации с наличием потока
(рис. 46) можно вновь записать условия механического равновесия,
учитывающие теперь внешние по отношению к системе аэродинамические
силы. Очевидно, по сравнению с C.1), C.2) условия равновесия
модифицируются следующим образом:
{Г2+Г3+У = Си0+//)?,
Тх = -X
M^iMog) + А/Л0«) + Т3а + Mzo(F) - О (ЗЛО)
Вычитая теперь из линейных уравнений C.9), C.10) уравнения C.1),
C.2) и исключая тем самым учет сил тяжести, приходим к основным
соотношениям метода:
71

(Y = T?-T2+T3° -Г3,
\х = -(т1-т]°х (з.п)
(л/20(^) = Л(Г30-Гз)
которые дают линейную связь между непосредственно измеряемыми
напряжениями Т и аэродинамическими взаимодействиями Х9 К, Mzo.
Формулы C.11) составляют основу метода измерения аэродинамических
воздействий на крыло. В связи с C.11) заметим, что в правой части стоят
непосредственно измеряемые реакции связей 7}, имеющие с точки
зрения механики, упругую природу. В то же время левые части C.11) вовсе
не связаны с какими либо связями и зависят фактически лишь от
взаимодействия модели и потока воздуха. Именно на соотношении C.11) и
заключается методика измерения аэродинамических воздействий потока
на крыло.
Таким образом, экспериментальное определение аэродинамических
•воздействий на крыло проводится в два этапа. На первой стадии при
выключенной трубе, согласно C.1), C.2), измеряются напряжения 7, ' в
связях, отвечающие нагрузке системы за счет силы тяжести. На второй
стадии включается пропеллер, создающий поток в трубе, и измеряются
напряжения 7}, определяемые C.9), C.10).
Данные этих двух экспериментов позволяют найти
аэродинамические характеристики по формулам C.11).
4. Способ измерения сил реакций связей и устройство
весового элемента
Для того, чтобы найти аэродинамические воздействия, согласно
C.11), необходимо измерить силы реакций связей. Очевидно, существует
много разных способов их измерения, однако на данной установке силы
измеряются при помощи весов рычажного типа. Чтобы ввести в схему
подвесов (рис. 4) весы, рассмотрим для определенности, узел заделки
стержня B) с внешней опорой. Изначальная цель этого закрепления
состояла в том, чтобы не давать возможности точке О перемещаться в
вертикальном направлении. Ясно, что та же цель будет достигнута, если
вместо непосредственной заделки установить на внешней опоре рычаг
так, как изображено на рис. 5а.
72

(О)
Vl
i
IП5 3. I
-?
-s
V
r

о
60
ff)
Рис. 5. (а) Закрепление точки О относительно перемещения в
вертикальном направлении, уточняющее крепление на рис. 4(a).
(б). Показано образование из рычага рычажных весов, /q - длина
левого плеча, / - равновесное положение груза с весом mg, Т? -
приложенная внешняя сила.
Если на правом плече рычага сделать малый по сравнению с его длиной
зазор и разместить на нем свободно перемещающийся груз с известной
массой т, то рычаг превращается в «примитивные» рычажные весы,
преображенные на рис. 5F). С помощью таких весов можно измерить
силу Т$, если переместить груз в «равновесное» положение /, когда
конец правого рычага не имеет физического контакта с краями зазора, и
поэтому на правое плечо в равновесном состоянии будет действовать
лишь сила тяжести груза mg. Записав условие равновесия рычага в виде
равенства моментов относительно опоры (О), получим соотношение:
T2°l0=mgl,
из которого следует, что при известных /0,/w,g, длина / прямо
пропорциональна измеряемой силе Г2°. На экспериментальной установке
используется модифицированная версия примитивных весов,
изображенных на рис. 5. Основная модификация состоит в том, что процедура
«взвешивания», т.е. переход к равновесному состоянию, осуществляется
автоматически при помощи так называемой следящей системы, которой
снабжаются весы.
73

Эта система представляет собой электромотор с постоянным
током, который укрепляется на той же опоре, что и рычаг. При этом
учитывается такое свойство электромотора, как изменение направления
вращения его ротора при изменении направления электрического тока,
проходящего через его обмотку. Длина ротора электромотора
сопоставима с размахом правого плеча рычага на рис. 5, причем на ротор
нарезается резьба с определенным шагом и на эту резьбу накручивается
соответствующая гайка с вилкой. Эта вилка связана с грузом весов и
способна перемещать груз горизонтально вправо или влево в зависимости
от направления вращения ротора, однако она не действует на груз в
вертикальном направлении (передача вращательного движения в
поступательное).
Принципиальная схема весового элемента изображена на рис. 6.
г
^ *.
к
д В Q Or
т.
1 if
о
CBSZ
W
г ijybi/l лАлгЪ t/bpfro
/7777
М
ТТЛ
t 4
Б.»
<
Рис. 6. Принципиальная схема весового элемента. М - электромотор
постоянного тока, Б+, Б_ - источники питания тока с разными полюсами, Р -
ротор электромотора с нанесенной на него резьбой, С -
электромеханический счетчик оборотов ротора, m - перемещаемый груз.
При этом полюса батарей Б+, Б_ подобраны так, что при замкнутой
верхней цепи (контакт с верхним краем зазора) груз m перемещается
вправо, а при замыкании нижней цепи - влево. Из схемы на рис. 6 ясно,
74

что при фиксированной силе Г2 груз перейдет в конечном счете в
равновесное состояние, в котором будут отсутствовать контакты правого
плеча рычага с краями зазора. Результат измерения фиксируется при
помощи электромеханического счетчика оборотов ротора
электромотора («С» на рис. 6). Этот результат передается через электрический
кабель на пульт управления установкой, где и выдается экспериментатору
в виде печатного числа «По», означающего, сколько оборотов
совершается ротором электромотора для того, чтобы переместить груз т из
«нулевого», исходного положения «О» в равновесное для силы Т2 . Как
видно из рис. 6, По пропорционально расстоянию от «нулевого
положения» до равновесного. Совокупность чисел kq = n0(a) и фиксируется в
«нулевой продувке». При запуске аэродинамической трубы в том же
самом положении крыла с углом атаки а на левый рычаг весов,
изображенных на рис. 6, будет действовать, вообще говоря, другая сила Т2.
При этом весовой элемент отбалансирует эту силу Т2, и счетчик выдает
показание «п» (оборотов) на пульт управления. Очевидно, что разность
показаний (п-п0) пропорциональна разности сил Т2 -Т[?:
Т2-Т?=к(п-п0) D.1)
причем если размер зазора очень мал по сравнению с размахом правого
рычага, то к в D.1) практически не зависит от величины измеряемых
сил и, «путем тарировки», задается для весового элемента в виде кон-
кГ
кретного числа с размерностью [к] = —. Силы здесь определяются в
об
т.н. «технической» системе единиц, в которой 1 кг массы равен 1 кГ
веса, т.е. 1 кГ = 1кг -9,8 — = 9,8 ньютон.
с2
Таким образом, на рассмотренных весах измеряется значение D.1),
входящее в общее выражение для сил C.11). Для того, чтобы
определить другие слагаемые в C.11), необходимо иметь в наличии
достаточное количество весовых элементов, каждый из которых устроен по
описанному выше принципу.
Если вернуться к рис. 4, то экспериментальная схема определения
аэродинамических сил и их момента с учетом измерительных устройств,
будет выглядеть так, как показано на рис. 7.
75

jA.
Рис. 7 (а, б). Установка весовых элементов для измерения
аэродинамических сил и их момента. В случае отсутствия потока
определяются силы J7] j, а при его наличии - силы G)}, i = 1, 2,. Изображен
также блок Б, посредством которого горизонтальный подвес
соединяется с внешней опорой.
Если ввести индекс / = 1,2,3, соответствующий вертикальным
подвесам на рис. 7, то очевидно, что при «нулевой продувке» с каждого из
весовых элементов « X, Y, Л/,» получатся данные и0/, имеющие смысл
количества оборотов соответствующего ротора электромотора, как это
было объяснено выше.
При наличии потока аэродинамические силы уравновешиваются
реакциями связей, согласно C.11). В результате с весов / = 1,2,3,
показанных на рис.7, получатся показания п1, имеющие смысл числа
оборотов соответствующих роторов, и именно эти показания фиксируются
печатными устройствами на пульте управления всей установкой. Так, в
разобранном здесь варианте, сила Т<± отвечает показанию весов п02, а
сила 7^ - показаниям Я2 • в результате имеем согласно схеме,
изображенной на рис. 7,
76

величины равной 0,15 см2/с. В аргумент безразмерных функций
СХ9Су,т2 вязкость v может войти только в безразмерной комбинации
с определяющими параметрами: Re = ——, называемой числом Рей-
v
нольдса, так что
С = (СхСу) = C(a;Re), mz = /wz(a;Re) E.2)
Поскольку число Re содержит линейный размер Ь, то, вообще говоря,
нельзя утверждать, что безразмерные коэффициенты одинаковы для
всех геометрически подобных тел. Необходимо также, чтобы
выполнялись т.н. условия механического подобия течений, критерием которого в
дозвуковых потоках является близость значений чисел Рейнольдса в
геометрически подобных ситуациях. Именно в этом случае на
основании измерений сил на сравнительно малой модели достаточно большого
тела можно делать предсказания о силах, действующих на большой
объект, путем расчета коэффициентов E.2), которые будут одними и теми
же для большого и малого тела.
Для измерения динамического напора q, входящего в определения
E.1), и расчета скорости потока V^ = J2q/ р^ используется трубка
Пито, в критической точке которой статическое давление рп связано с
давлением р^ в набегающем потоке со скоростью V^ интегралом
Бернулли:
Рп =Роо+Я=Ратн+Я E3)
Здесь учтено, что в аэродинамической трубе с открытой рабочей частью
Роо = Ратм* где Ратм~ атмосферное давление во время проведения
эксперимента. При этом на данной установке давление рп измеряется
не с помощью манометра, а прибором типа анероида, изображенным на
рис.8.
78

Рис.8. Устройство для измерения давления на установке А-6.
ТП - трубка Пито, П - объемная пружина, ВЭ - весовой элемент
Трубка Пито (ТП) шлангом Ш соединяется с растянутой объемной
пружиной П, внутри которой давление равно рп. При этом равновесное
состояние пружины пропорционально давлению рп, так что чем
больше рп, тем меньше сила fp, действующая на левое плечо весового
элемента ВЭ, устройство которого такое же, как и на весах для
измерения аэродинамических сил. При этом если давление в пружине рп, то
сипа fp, пропорциональная рп, уравновешивается весовым элементом,
который выдает показание nv. При «нулевой продувке» давление в
пружине будет равно ратм, и весовой элемент даст показания пу .
Очевидно, разность этих показаний пропорциональна разности
давлений, так что можно записать
К - "v0 Ж =Рп~ Ратм = Я E.4)
где kv - заданный тарировочный коэффициент прибора. По этой
формуле и рассчитывается динамический напор.
Таким образом, измеренные на опыте при разных а значения
пх,пу,пт ,лу переносятся в таблицу, где приводится расчет искомых
зависимостей E.2) согласно схеме:
79

Угол атаки а
26
Дополнительные
данные
пу-п,
г =
л„ -
ку(пу-поу)
vo
2
Р»К
00
9 =
Cy=Y/qS
= kv(nv-n0v )
"ox
с
= X'lqS
^х ~"*^х ^х
"о/и,
Л™ -П.
М2
т7
от2
kmz(nms ~потг)
= Y3lx cos а
= M2/qSb
кГ
обм
чэ-
Ч5>
"Чоб
*(м) =
S = M,(m2) =
С*> =
0,0159м2
/»(м) =
5 (мм.рт.ст.)=
f(°C) =
/>оо 288 В |
/?„ (/+273) 760
. кГсек2
Рн =0Д25-
Voo=yl2q/pa
v(cm/c ) =
Re=M
м
80

Прим. Измеренная величина Сх относится к сопротивлению
создаваемой системой крыло плюс подвесы. Эти подвесы не дают вклада в
подъемную силу, однако обладают собственным коэффициентом
сопротивления Сш, который измеряется независимым способом, например,
при удалении модели из потока, и его значение приведено в правом
столбце. Эта поправка учитывается при расчете коэффициента
сопротивления крыла Сх.
Для окончательного оформления работы данные из таблицы
следует представить в графической форме для зависимостей:
1. Сх=Сх\а).
2. Су=Су(а).
3. Считая, что A) и B) являются параметрическим
представлением кривой, построить зависимость Су =Су(Сх) с
нанесенными на этой кривой значениями а - т.н. «поляру крыла».
4. Построить график т2 = т2(а).
ЛИТЕРАТУРА
1. С.Г.Попов. «Определение аэрогидродинамических сил и
моментов обтекаемого тела из опытов в аэродинамической трубе».
Лабораторный практикум под редакцией С.Г.Попова, М., изд. Московского
университета, 1972, п.5
2. «Аэродинамические трубы Института механики» под ред.
С.МГорлина и Г.Е.Худякова. Научные труды №14, Москва, 1971.
81

4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПОТОКА ГАЗА В
СВЕРХЗВУКОВОЙ АЭРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТРУБЕ
Васильев В. А., Измоденов В.В.,
кафедра аэромеханики и газовой
динамики МГУ им. М.В. Ломоносова,
Виноградов Ю. А., Стронгин М.М.,
Институт Механики МГУ им. М.В. Ломоносова
1. Цель работы
Целью проведения задачи является определение параметров потока
газа в рабочей части сверхзвуковой аэродинамической трубы.
2. Теория
/. Скорость звука. Область распространения малых возмущений
Рассмотрим процесс распространения малых возмущений в газе,
заполняющем все пространство. Для простоты будем считать, что в
невозмущенном состоянии газ покоится, а возмущения зависят только от
одной пространственной переменной х и времени t.
Развитие возмущений в этом случае описывается системой
уравнений, состоящем из уравнения неразрывности, уравнения Эйлера и
условия постоянства энтропии:
A)
Параметры возмущенного состояния можно записать в виде
V = V
Р = Р0 + Р' B)
5?+
dt
dV
dt +
S-
дх
дх
=const
)
1 dp
р дх
82

Тогда
откуда
Используя
уравнение
Р
РГ"
-const
<дР;
= уР_
s Р
2 УР
я =— (8)
Р
состояния совершенного газа P=Rp T получаем
а
= JyRf (9)
Таким образом, скорость звука определяется температурой среды. Для
воздуха у = 1.4, Л=287 Дж/(кг К) и, следовательно,
д*20.Ь/Г A0)
где а в м/с, а Т - числовое значение в градусах Кельвина.
Числом Маха называется отношение скорости к скоростью звука M=V/a.
2. Область распространения малых возмущений
Пусть в равномерном установившемся потоке газа имеется
неподвижный точечный источник слабых возмущений. Скорость
распространения возмущений равна скорости звука. Фронтом возмущения будет
сфера радиуса at, где t - время, прошедшее с момента возникновения
возмущения. Область возмущения расширяется и сносится вниз по
течению со скоростью потока V.
Если V < а9 то источник возмущений всегда будет находиться
внутри сферического фронта возмущения и возмущения будут
распространяться по всему газу (см. рис. I). Если же V > а, то источник возмущений
будет находится вне фронта возмущений (см. рис 1). В этом случае
можно построить огибающую фронтов возмущений - так называемый конус
Маха. Угол а называется углом Маха и просто связан с числом Маха
формулой:
since = —. A1)
М
84

°< / о --л v
Рис. 1. Диаграмма распространения малых возмущений
в а) дозвуковом и б) сверхзвуковом потоках газа.
3. Изэнтропические формулы
В случае установившегося изэнтропического течения невесомого
газа интеграл Бернулли имеет вид
V2 у Р у Р0
— + — = — 2-. A2)
2 r-ip y-lpQ
Здесь постоянная в интеграле Бернулли выражена через значения Р0, р0
в точке торможения, где V=0. Значения Р0, р0, а также Г0 = PQ/(RpQ)
называются давлением, плотностью и температурой торможения.
Поделив обе части равенства A2) на
г р
у-\р'
пользуясь выражением для скорости звука совершенного газа и
определением числа Маха получаем:
\+L±M2=?±, A3)
2 Т
а пользуясь условием изэнтропичности в виде
i-faY
Получаем формулы
85

А>_|
1 +
у-\
М2
V-i
A4)
A5)
Формулы A3-15) называются изэнтропическими. Они показывают, как
изменяются Р, р и Т вдоль линии тока при изменении числа Маха.
4. Влияние сжимаемости газа
Рассмотрим два течения: одно - течение несжимаемой жидкости с
давлением Р, плотностью р и скоростью V, а другое - изэнтропиче-
ское течение совершенного газа с теми же параметрами.
В точке торможения первое течение приобретает давление
PV2
а второе
р0=р+<
р'0 = Р\1 + <—-М2
A6)
Разложим в ряд правую часть последнего равенства, получим
r2 ( x,l \
Р\ = Р +
PV1
1+
м1
A7)
Сравнивая A6) и A7) , мы видим, что при малых М величина Р'0 мало
отличается от р0. Аналогично показывается, что плотности в
рассматриваемых потоках также мало отличаются. Следовательно, при малых М
газ можно рассматривать как несжимаемую жидкость, не совершая при
этом большой ошибки. (Отметим, что иногда необходимо учитывать
сжимаемость среды даже при малых скоростях движения частиц среды,
как, например, в акустике.)
Воздух (и другие реальные газы) при скоростях, малых по
сравнению со скоростью звука, можно считать несжимаемой средой, совершая
при этом малую ошибку в определении параметров потока. Для воздуха
86

при Т = 273° К отличие Рг0 от PQ будет меньше 1 % Р0 при
скоростях меньше 70 м/с. При больших дозвуковых скоростях, а также при
сверхзвуковых скоростях необходимо воздух рассматривать как
сжимаемую среду.
5. Ударные волны
Наряду с непрерывными течениями уравнения Эйлера идеальной
жидкости допускают разрывные решения, удовлетворяющие законам
сохранения массы, импульса и энергии. Необходимость введения
разрывов возникает, например, в задачах об обтекании тел сверхзвуковым
потоком газа. В этом случае непрерывное решение в рамках уравнений
Эйлера невозможно, так как условие непротекания Гя=0 в точке
торможения на теле противоречит тому, что возмущения не
распространяются вверх по потоку, и, следовательно, скорость в этой точке должна
равняться скорости в набегающем потоке.
Из законов сохранения массы, импульса и энергии можно получить
соотношения на ударной волне [1,2,3]:
plVi=p2V2 A8)
ut=u2
Pt+prf^Pi+ptf A9)
К2 у R V2 у Р2
-!- + -? L--2- + -L L B0)
2 у-\рх 2 у-\р2
где Р, р, V, U - давление, плотность, нормальная и касательная к
ударной волне компоненты скорости. Индексы " и й соответствуют
параметрам перед и за фронтом ударной волны. Далее будем считать,
что ударная волна прямая и Ux = U2 = 0.
Соотношения Ренкина-Гюгонио позволяют найти параметры за
ударной волной по параметрам газа перед ударной волной. В частности, в
приложении 1 получена формула Рэлея, которая связывает число Маха и
давление до ударной волны с давлением торможения за ударной волной:
87

Г\ _ \y+\lvl\ y+lf
Рю (фм**
3. Создание сверхзвукового потока: сопло Лаваля
Для проведения экспериментов в сверхзвуковом потоке газа,
необходимо создать сверхзвуковой поток в аэродинамической трубе.
Рассмотрим движение газа по каналу с изменяющимся поперечным
сечением. Будем считать поток газа одномерным, т.е. будем считать, что
параметры потока постоянны в сечении и меняются лишь при переходе от
одного поперечного сечения к другому. Одномерная теория во многих
случаях применяется для приближенного расчета течений в
аэродинамических трубах, реактивных двигателях, трубопроводах и т.д. Она
позволяет с помощью простых соотношений изучить важные свойства
рассматриваемых течений.
Для простоты будем считать, что канал имеет ось симметрии.
Скорости в любом поперечном (т.е. перпендикулярном к оси) сечении
будем считать параллельными оси канала. В этом случае при
стационарном течении расход газа через любое поперечное сечение за
единицу времени должен быть одним и тем же, т.е.
pSV = const. B2)
Продифференцировав последнее соотношение получим
dp dS dV л
— + — + = 0 B3)
р S V
Закон сохранения импульса записанный для осредненного вдоль канала
течения дает:
dp = -pVdV B4)
Из условия изэнтропичности Pip7 = const следует
dp = a2dp B5)
Подставляя B4) и B5) в B3) получим уравнение Гюгонио:
i*=i*V-l>. ¦ m
S V
8S

Последние соотношение показывает, что дозвуковой поток ускоряется с
уменьшением, а сверхзвуковой - с увеличением площади поперечного
сечения. Действительно, если М < 1, то dV > О при dS < О, а если
М > 1, то dV > О при dS > О. Отсюда ясно, как создать
сверхзвуковой поток в аэродинамической трубе. Для этого необходимо сужать
сечение потока до тех пор пока М = 1. Затем необходимо расширять
сечение потока газа. Насадки со сужающимся, а затем с расширяющимся
сечением называются соплами Лаваля. Элементы теории сопла Лаваля
приведены в [1,2].
Рис.2 Схема аэродинамической трубы А-11. 1 - воздухозаборная шахта, 2 -
пылевой фильтр, 3- двигатель турбокомпрессора, 4 - турбокомпрессор, 5 -
охладитель, 6 -осушитель, 7 - баллоны, 8 -воздуховод, 9 - регулирующая задвижка
форкамеры, 10 -форкамера, 11 - спрямляющая решетка, 12- сопло Лаваля, 13 -
рабочая часть, 14-перфорированная стенка, 15 -окно, 16 - регулирующая
задвижка, 17 - регулирующая задвижка эжектора, 18 - камера высокого давления
эжектора, 19 - сопло эжектора, 20 - камера смещения, 21- диффузор, 22 -
выхлопная шахта, 23 - поворотные лопатки.
89

4. Описание установки и способов измерения
/. Аэродинамическая труба больших скоростей, А-11
Работа проводится на эжекторной аэродинамической трубе
кратковременного действия с выхлопом в атмосферу (рис.2). Труба позволяет
получать в рабочей части потоки с числами Маха от 0.2- 0.3 до 2.5.
Воздух забирается из атмосферы с помощью шахты 1, очищается в
фильтре 2, сжимается до 8 атмосфер в турбокомпрессоре 4 (марки ОК-
500-92), который вращается электродвигателем 3, имеющим мощность
400 квт. Разогретый при сжатии воздух охлаждается с помощью
охладителя 5, а затем подсушивается в осушителе 6. Далее воздух поступает в
газгольдеры, из которых по воздуховоду 8 подается в аэродинамическую
трубу. Объем баллонов около 43000 м .
Для получения более равномерного потока в рабочей части трубы
перед соплом расположена камера большого поперечного сечения - фор-
камера или ресивер - скорость потока в которой мала. В форкамере
помещена спрямляющая решетка.
Рис. 3. Схема течения в плоском сверхзвуковом диффузоре.
1 - косые ударные волны, 2 - прямой скачок уплотнения, 3 - горло диффузора
Для получения чисел Маха, меньших или равных единице,
используют сопла с минимальным сечением на срезе (простое сопло).
Изменение скорости при заданных давлениях в форкамере и камере высокого
давления эжектора достигается с помощью регулирующей задвижки 16.
Для получения чисел Маха больше единицы используют сопла Лаваля.
Каждое сопло дает возможность получить в рабочей части равномерный
90

поток с определенным числом Маха. Для изменения числа Маха в
рабочей части необходимо поменять сопло. Поэтому труба снабжена набором
сменных сопел, которые позволяют получать воздушные потоки с
различными числами Маха.
Труба имеет рабочую часть прямоугольного сечения 25x32 см2 . В
рабочей части устанавливаются модели и различные приборы для
измерения аэродинамических сил и моментов, действующих на модель,
параметров набегающего потока и т.д.
Поток в рабочей части трубы ограничен сверху и снизу
перфорированными стенками, т.е. стенками с отверстиями, площадь которых
составляет от 15 до 50 % площади стенки. Исследования показали, что
перфорированные стенки выравнивают поток до высокой степени
равномерности.
На боковых стенках рабочей части имеются закрытые оптическими
стеклами окна, через которые с помощью оптических приборов можно
наблюдать газовый поток.
Обычно в сверхзвуковых трубах за рабочей частью следует
сверхзвуковой диффузор (рис 3.), который служит для торможения
сверхзвукового потока с минимальными потерями давления торможения, что
позволяет получать сверхзвуковые течения, создавая минимальные
перепады давления между форкамерой и камерой смешения. Он представляет
собой канал, поперечное сечение которого сначала уменьшается, а затем
увеличивается. Минимальное сечение, площадь которого меньше
площади поперечного сечения рабочей части, называется горлом диффузора.
Поток тормозится сначала в системе простых ударных волн, а затем в
прямом скачке уплотнения, который расположен в горле диффузора
(рис.3). В так называемых регулируемых диффузорах, после
установления в рабочей части трубы сверхзвукового режима, сечение горла
уменьшается, что приводит к уменьшению потерь давления торможения.
Это позволяет после запуска трубы уменьшить перепад давлений между
форкамерой и камерой смешения.
Эжектор состоит из камеры высокого давления, сопла и камеры
смешения. Через сопло в камеру смешения вытекает воздух (эжекти-
рующий) с большой скоростью и малым статическим давлением. После
турбулентного перемешивания эжектирующего воздуха с эжектируемым
(т.е. воздухом, вытекающим из рабочей части) в камере смешения
образуется поток со статическим давлением меньшим, чем в рабочей части.
Следовательно, применение эжектора позволяет получить необходимый
перепад давлений между форкамерой и камерой смешения при более
91

низком давлении в форкамере. Это особенно существенно при
получении больших чисел Маха. Это особенно существенно при получении
больших чисел Маха. Например, для получения потока с числом Маха
М=10 при выхлопе в атмосферу без эжектора в форкамере нужно иметь
давление в 410 атмосфер. При таких высоких давлениях резко возрастает
стоимость трубы, усложняется оборудование и эксплуатация. С
эжектором требуется значительно меньшее давление в форкамере и,
следовательно, стоимость всей установки. Дозвуковой диффузор играет ту же
роль, что и в аэродинамических трубах малых скоростей. Он преобразует
кинетическую энергию потока в потенциальную энергию давления. При
увеличении скорости температура в потоке может понизиться настолько,
что пары воды, содержащиеся в воздухе, будут конденсироваться.
Процесс конденсации протекает очень быстро в узкой зоне, которую можно
рассматривать как поверхность разрыва. Такие поверхности называются
скачками конденсации. Конденсация паров воды в потоке начинается
при довольно сильном переохлаждении (приблизительно на 30° ниже
точки росы). В скачке конденсации происходит выделение скрытой
теплоты парообразования, изменение скорости, плотности, температуры и
давления. Если в аэродинамической трубе образуются скачки
конденсации, то в рабочей части трубы меняются параметры потока, изменяется
число Маха, ухудшается поле скоростей. Поэтому характеристики
исследуемых тел будут отличаться от характеристик этих же тел в сухом
воздухе. Если, например, скачки конденсации возникают на профиле, то при
изменении влажности значительно меняются аэродинамические свойства
профиля. Если, кроме того, воздух содержит большое количество паров
воды, то в аэродинамической трубе образуется туман, который делает
невозможным оптические наблюдения. Предотвратить конденсацию
паров воды можно либо подсушивая на входе в трубу, либо подогревая.
Труба А-11 имеет осушитель, который установлен перед баллонами.
Заметим, что в трубах, рассчитанных на получение больших чисел Маха,
понижение температуры в потоке может привести к конденсации
составляющих воздуха. При давлении торможения 8 атмосфер и температуре
280° К конденсация воздуха начинается при числах Маха 4-5. Первым
начинает конденсироваться кислород. Для предотвращения конденсации
воздух нагревается подогревателями, которые устанавливаются перед
форкамерой. Иногда в сверхзвуковых трубах вместо воздуха
используется гелий, который конденсируется при более низкой температуре, чем
воздух.
92

2. Эффект запирания аэродинамической трубы
В диапазоне чисел Маха от 0.8 до 1.4 при обдувании моделей в
рабочей части, ограниченной сплошными твердыми стенками, происходит
так называемое "запирание" трубы.
Если минимальное сечение канала окажется в рабочей части,
перекрытой моделью, при числе Маха набегающего потока меньше единицы,
на модели возникнут местные сверхзвуковые зоны, которые замыкаются
ударными волнами. При какой-то все еще дозвуковой скорости
сверхзвуковая область на модели достигнет стенок рабочей части. В этом случае
увеличение давление в форкамере или уменьшение давления в камере
смешения эжектора практически не увеличивает скорость набегающего
потока (она остается дозвуковой), а приводит лишь к изменению
положения и формы ударных волн на теле. Это явление называют
"запиранием" трубы. "Запирание" трубы может произойти и без модели за счет
роста пограничного слоя.
При больших числах Маха минимальное сечение сопла настолько
меньше поперечного сечения рабочей части, что остается минимальным
сечением канала даже при довольно сильном загромождении рабочей
части моделью. Поэтому "запирание" трубы при больших числах Маха
не происходит.
В случае перфорированных стенок "запирание" не происходит, т.к.
поток вблизи модели расширяется за счет вытекания части воздуха за
перфорированную стенку. В конце рабочей части вытекший за стенку
воздух вливается в общий поток. (Иногда конец рабочей части делают
несколько расширяющимся. В разогнавшийся на этом участке поток
эжектируют воздух из-за перфорированной стенки. Применяется также и
принудительный отсос воздуха из-за перфорированной стенки, что
делает поток более равномерным и уменьшает пограничный слой.) Кроме
того, перфорированная стенка обладает свойством гасить падающие на
нее ударные волны и волны разрежения.
При обдувании моделей сверхзвуковым потоком головная ударная
волна после отражения от твердой стенки или от свободной границы
струи (в случае трубы с открытой рабочей частью) может попасть на
модель и исказить ее аэродинамические характеристики. Использование
перфорированных стенок позволяет продувать в трубе более крупные
модели и моделировать взаимодействие тел с безграничным потоком.
93

f 1- источник света
? 2- щель
4 3-нож Фуко
4- видеокамера
5- защитные стекла рабочей камеры
б- исследуемая модель
Рис. 4. Схема оптического прибора ИАБ-451
3. Оптическая установка
Изменение плотности газа в потоках с большими околозвуковыми и
сверхзвуковыми скоростями позволяет использовать оптические методы
для получения качественной, а иногда и количественной картины
течения. Одним из самых распространенных методов оптического
исследования потоков является метод полос Теплера, нашедший многие
применения при изучении плоских и осесимметричных газодинамических
течений.
В задаче при получения теневой картины течения используется
зеркально-менисковый прибор Максутова ИАБ-451, схема которого
приведена на рис. 4.
Лучи от источника света 1 проходит через щель 2 с помощью
плоского диагонального зеркала, сферического зеркала и менисковой линзы
преобразуются в параллельный пучок, который, пройдя через рабочую
часть 6 с защитными стеклами 5, фокусируется с помощью менисковой
линзы, сферического зеркала и плоского диагонального зеркала. В
фокальной плоскости наблюдательной трубы параллельно щелевому
источнику света устанавливается непрозрачная пластинка 3 - нож Фуко, рас-
94

стояние до которой от оптической оси может меняться. После
прохождения через фокус лучи с помощью линзы попадают в видеокамеру 4. Если
в рабочей части трубы есть области с градиентом плотности, лучи
отклоняются от своего первоначального направления и не попадут в фокус
наблюдательной трубы. Часть отклонившихся лучей задерживается
ножом. Поэтому на экране области с градиентом плотности, вызывающим
отклонение лучей большее, чем расстояние до ножа от оптической оси,
окажутся затененными. Отсекая ножом все лучи, кроме отклоненных,
можно наоборот, сделать эти области более светлыми. (Заметим, что
вместо ножа Фуко можно использовать тонкую нить. Тогда на экране
окажутся затененными полосы, которые соответствуют градиентам
плотности, отклоняющим лучи на расстояние, равное расстоянию до
нити от оптической оси. Меняя положение нити, можно получить на
экране картину распределения градиента плотности в потоке.) На
теневой картине отчетливо видны ударные волны, линии Маха, точки
перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный, области отрыва
пограничного слоя и т.д.
2. Измерительно-регистрирующая система
Измерительно-регистрирующая система состоит:
1. датчики давления для измерения давления (для данной задачи -
давления в форкамере установки - Рф, полного давления в
рабочей зоне установки - Р п, статического давления в рабочей зоне
установки-Рст),
2. коммутатор сигналов датчиков,
3. аналого-цифровой преобразователь АЦП,
4. контроллер связи с ЭВМ,
5. цифровая видеокамера - для фиксирования теневой картины
течения газа в рабочей части установки,
6. персональный компьютер - ЭВМ.
95

SO
ON
РФ
p„
Per
ь
w
ft*
w
к
0
M
M
У
T
a
T
о
p
few
w
АЦП
контроллер
связи
ЭВМ
видеокамера
Рис 5 Блок-схема измерительно-регистрирующей системы Рф-давление в
форкамере, Рп - полное давление в рабочей части, Рст - статическое давление в
рабочей части АЦП - аналого-цифровой преобразователь

В системе используются датчики полного давления типа ИКД.
Принцип работы, которых заключается в следующем - измеряемое
давление воспринимается упругим чувствительным элементом,
перемещение которого преобразуется индукционным преобразователем в
электрический сигнал, пропорциональный измеряемому давлению.
Unujn. А
wi/м/тлт^
U/Him
С- стабиаизотср.
Г"генератор
В-6*лрВтл»ем>.
ЧЭ-чубстбитеяьныО *ле/т#т.
ип
ы/6*>
\Щ^
в
t**yfim)
Ь{пере*еще*и*)
чэ
I/W/V.
Блочная схема прибора ИКД
Рис. 6. Блочная схема прибора ИКД.
Измерительная часть системы построена на базе модульной
аппаратуры в стандарте фирмы LCard и состоит из коммутатора сигналов LC-
102, аналого-цифрового преобразователя LC-301, контроллера связи с
ЭВМ LCI-01 и LC-010. Теневая картина течения в рабочей части
фиксируется при помощи цифровой видеокамеры КОСОМ с возможностью
наблюдения картины течения на экране монитора ЭВМ и телевизионного
монитора у рабочей части установки.
Программное обеспечение задачи работает в среде операционной
системы Windows-98. Программа написана на языке G -
программирования в среде LabVEIW v6.1 и представляет собой вид виртуального
прибора с возможностью представления результатов измерения и обработки
данных в режиме REAL TIME на экране монитора ЭВМ и записи
результатов исследования в виде протокола в файл. Программа позволяет
оператору производить накопление наблюдений по мере анализа
состояния процесса по показаниям виртуального прибора многократно с
фиксированием результатов в протокол. Теневая картина потока
фиксируется в специальный файл параллельно с работой виртуального прибора. В
97

качестве программного обеспечения работы системы визуализации
используется программа Liev3000.
Порядок включения установки и измерительно-регистрирующей
системы:
1. включить питание ЭВМ,
2. включить питание блока измерительной аппаратуры LCard,
3. включить питание датчиков давления,
4. включить питание осветителя теневого прибора,
5. включить питание видеокамеры и монитора,
6. запустить программу praktika.vi,
7. запустить программу Liev300.exe,
8. открыть задвижки аэродинамической установки и вывести
установку на заданный режим (выполняется оператором установки),
9. по показаниям на виртуальном приборе произвести
фиксирование наблюдений и теневой картины в файлы.
Порядок выключения установки и измерительно-регистрирующей
системы:
1. закрыть задвижки аэродинамической установки (выполняется
оператором установки),
2. произвести распечатку протокола и теневой картины,
3. выключить питание датчиков давления,
4. выключить питание блока измерительной аппаратуры LCard,
5. выключить питание видеокамеры и монитора,
6. включить питание ЭВМ,
7. выключить питание осветителя теневого прибора.
5. Порядок проведения работы
Давление торможения в форкамере измеряется с помощью трубки
Пито. В рабочей части давление торможения за ударной волной
определяется трубкой Пито с прямым срезом, который делается для того, чтобы
входное отверстие трубки полностью находилось за прямой ударной
волной. Статическое давление в рабочей части определяется с помощью
отверстия на боковой стенке.
В качестве источника слабых возмущений используется кончик
иглы, установленной параллельно скорости навстречу потоку и
укрепленной на державке трубке Пито. Температура торможения определяется
термометром.
98

В работе требуется определить следующие величины:
P09P9T09T9p09p9V9a9M.
где P9p9T9V9a9M - давление, плотность, температура, скорость,
скорость звука и число Маха в рабочей части потока, Р090 9р0 - давление,
температура и плотность торможения. Параметры потока определяются
по изоэнтропическим формулам, а число Маха определяется тремя
различными способами.
Определение параметров потока по изоэнтропическим формулам
В этом способе измеряются величины ?0, ? и Г0. Давление
торможение измеряется в форкамере, где поток всегда дозвуковой. Если
течение непрерывно, можно считать, что давление торможения вдоль
линии тока сохраняется. Поэтому Р0, измеренное в форкамере, будет
равно давлению торможения в рабочей части трубы. Давление в рабочей
части трубы, Р, измеряется в рабочей части с помощью отверстия на
стенке. За Т0 приближенно принимается температура воздуха на улице,
так как баллоны, из которых воздух поступает в трубу, находятся под
открытым небом, воздух в баллонах практически покоится, а по пути
движения газа по трубопроводу его температура торможения не
изменяется.
Остальные параметры вычисляются:
1. По формуле A5) определяется число Маха по известным давлению
торможения Р0 и Р.
2. Зная число Маха и температуру торможения по формуле A3)
вычисляется Т.
3. Далее, зная температуру определяем скорость звука, по формуле
а = yJ/RT , где у = 1.4 для воздуха, и R = 287 Дж/(кг К).
4. Пользуясь определением числа Маха определяем скорость: V = аМ .
5. Плотности р0 и р определяются из уравнения состояния
p = P/(RT),p = P0/(RT0).
99

Рис. 6. Пример теневой картинки, получаемой во время проведения практикума.
По теневой картинке необходимо определить число Маха и угол Маха.
Определение числа Маха сверхзвукового потока по углу Маха
По теневой картине потока определяем угол Маха а и находим
число Маха по формуле sina = УМ .
Определение числа Маха сверхзвукового потока по формуле Рэлея
Измерив с помощью отверстия на боковой стенке статическое
давление перед ударной волной Рис помощью трубки Пито с прямым
срезом давление торможение за ударной волной, P0J, определяем число
Маха в набегающем потоке по формуле Рэлея B1). Поскольку из
формулы Рэлея невозможно выразить число Маха явным образом, найти
решение уравнения B1) тем или иным численным способом (например,
методом Ньютона). Полученный результат можно проверить по таблице 2
(приложение 2).
Результаты измерений и вычислений необходимо занести в таблицу 1.
100

Таблица 1. Экспериментальные данные и вычисления


мерность
М>1
М<1
Определение параметров
По изоэнтропическим формулам
^0
р
То
М
т
а
V
Л)
Р
По углу
Маха
Sina
Л/
По формулам
Релея
Р02
Р
^02
м
Список литературы.
1. Седов Л.И., Механика сплошной среды, т.1 и 2, М. "Наука", 1970.
2. Черный Г.Г., Газовая динамика, М. "Наука", 1989.
3. Баранов В.Б., Гидроаэромеханиика и газовая динамика, из-во МГУ,
1989
4. Попов С.Г., некоторые задачи и методы экспериментальной
аэромеханики, М., ГИТТЛ, 1952.
Приложение 1. Вывод Формулы Рэлея
1. Пользуясь' соотношениями Ренкина-Гюгонию, выразим число
Маха за ударной волной, М2, через число Маха перед ударной волной,
Мх. Прежде всего введем понятие критической скорости. Пусть в
некоторой точке скорость потока равна местной скорости звука. Такую
скорость назовем критической и обозначим ее а+. Перепишем Интеграл
Бернулли в виде в виде
V2 у Р V2 а2 а; а] у + \ 2
— + —^ = — + = —+ —— = — а;
2 у-\р 2 у-\ 2 у-\ 2(у-Х)
101

Из последнего соотношения Ренкина-Гюгонио (следствие закона
сохранения энергии) следует, что а, не меняется при переходе через ударную
волну. Запишем уравнение Бернулли перед и за фронтом ударной волны:
К2 у Р. у + \ 2
-1—ь——1- = — а; (П1)
2 у-\рх 20-1)
V* у R у + \ 2
_!_ + _? L = — а; (П2)
2 y-lPi 2(y-l)
Используем также слегка преобразованное второе из соотношений
Ренкина-Гюгонио (следствие закона сохранения импульса):
Рл К Рг К
Исключая Р\1рх и Рг1рг из уравнений (Ш)-(ГО) получим:
!f(v,-W-fy = o. (П4,
Так как при переходе через ударную волну VX^V2 (иначе /?, = р2,
Рх = Р2 и разрыва нет), поэтому
Vx-V2=a]
Пользуясь соотношениями (Ш)и (ГО) получим:
= \t±V}*^LL.\V±v^2?.
Возводя обе части равенства в квадрат и используя определения
скорости звука и числа Маха, получаем равенство
(у +IJ М]М\ = [(у - 1)М2 + 2] • [(Г - 1)М2 + 2].
Разрешая последнее соотношение относительно М2 имеем:
2/ 2/А/,2-(^-1)
v_i 2 + ^
М22=^ + __1^__. (П5)
102

2. Закон сохранения импульса при переходе через ударную волну может
быть переписан через число Маха в виде:
Откуда получаем:
Р1+уРхМ^Р2+ГР2М22
Р2_1 + уМх2
Рх \ + уМ\
(П6)
3. Пользуясь изэнтропической формулой A5):
Н-'тНГ-
и из соотношений E) и F) получаем формулу Рэлея B1):
02
[г^М^1
(П7)
Приложение 2
Таблица 2. Таблица основных газодинамических функций
для воздуха
1 м
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
! 0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
Р/Рв
1,0000
0,9983
0,9930
0,9844
0,9725
0,9575
0,9395
0,9188
0,8956
0,8703
0,8430
0,8142
0,7840
0,7528
0,7209
Т/То
1,0000
0,9995
0,9980
0,9955
0,9921
0,9877
0,9823
0,9761
0,9690
0,9611
0,9524
0,9430
0,9328
0,9221 |
0,9107 !
Р'Ро
1,0000
0,9988
0,9950
0,9888
0,9803
0,9694
0,9564
0,9413
0,9243
0,9055
0,8852
0,8634
0,8405
0,8164
0,7916
1 Po/Poi
[ Р/Р02
\
I
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
103

1 0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
1,05
1,10
1,15
1 1,20
1,25
1,30
1,35
1,40
1,45
1,50
1,55
i 1,60
1,65
1,70
1,75
1,80
1,85
1,90
1,95
2,00 1
2,05
2,10
2,15
2,20
2,25
2,30
2,35
2,40
2,45
2,50
2,55
2,60 1
| 0,6886
0,6560
0,6235
0,5913
0,5595
0,5283
0,4979
0,4684
0,4938
0,4124
0,3861
0,3609
0,3370
0,3142
0,2927
0,2724
0,2533
0,2353
0,2184
0,2026
0,1876
0,1740
0,1612 j
0,1492
0,1381
0,1278
0,1132
0,1094
0,1011
0,09352
0,08648
0,07997
0,07396
0,06840
0,06327
0,05852
0,05415
0,05012 j
1 0,8989
0,8865
0,8737
0,8606
0,8471
0,8333
0,8193
0,8052
0,7908
0,7761
0,7619
0,7474
0,7329
0,7184
0,7040
0,6897
0,6754
0,6614
0,6475
0,6337
0,6202
0,6068
0,5936
0,5807
0,5680
0,5556
0,5433
0,5313
0,5196
0,5081
0,4969
0,4859
0,4752
0,4647
0,4544
0,4444
0,4347
0,4252 1
1 0,7660
0,7400
0,7136
0,6870
0,6604
0,6339
0,6077
0,5817
0,5562
0,5311
0,5067
0,4829
0,4598
0,4374
0,4158
0,3950
0,3750
0,3557
0,3373
0,3197
0,3029
0,2868
0,2715
0,2570
0,2432
0,2300
0,2176
0358
0,1946
0,1841
0,1740
0,1646
0,1556
0,1472
0,1392
0,1317
0,1246
0,11.79 1
| ^Г
|
| .
1
|
1,0000
0,9999
0,9989
0,9967
0,9928
0,9871
0,9794
0,9697
0,9582
0,9448
0,9298
0,9132
0,8952
0,8760
0,8557
0,8346
0,8127
0,7902
0,7674
0,7442 1
0,7209
0,6975
0,6742
0,6511
0,6281
0,6055
0,5833
0,5614
0,5401
0,5193
0,4990
0,4793
0,4601 1
|
|
| |
| |
0,5283
0,4980
0,4689
0,4413
0,4154
0,3911
0,3685
0,3475
0,3280
0,3098
0,2930
0,2773
0,2628
0,2493
0,2368
0,2251
0,2142
0,2040
0,1945
0,1856
0,1773
0,,1695
0,'l622
0,1553
0,1489
0,1428
0,1371
0,1317
0,1266
0,1218
0,1173
0,1130
0,1089 |
104

I 2,65
2,70
2,75
2,80
2,85
2,90
2,95
3,00
3,05
3,10
3,15
3,20
3,25
3,30
3,35
3,40
3,45
3,50
3,55
3,60
3,65
3,70
3,75
3,80
3,85
3,90
3,95
4,00
4,05
4,10
4,15
4,20
4,25
4,30
4,35
4,40
4,45
4,50 |
I 0,04639
0,04295
0,03978
0,03685
0,03415
0,03165
0,02935
0,02722
0,02526
0,02345
0,02177
0,02023
1 0,01880
0,01748
0,01625
0,01512
0,01408
0,01311
0,01221
0,01138
0,01062
0,009903
0,009242
0,008629
0,008060
0,007532 |
0,007042
0,00658$
0,006163
0,005767
0,005405
0,005063
0,004746
0,004440
0,004175
0,003918
0,003678
0,003455 1
1 0,4159
0,4068
0,3980
0.3894
0,3810
0,3729
0,3649
0,3571
0,3496
0,3422
0,3351
0,3281
0,3213
0,3147
0,3082
0,3019
0,2958
0,2899
0,2841
0,2784
0,2729
0,2675
0,2623
0,2572
0,2522
0,2474 ,
0,2427
0,2381
0,2336
0,2293
0,2250
0,2208
0,2168
0,2120
0,2090
0,2053
0,2016
0,1980 |
1 0,1115
0,1056
0,09994
0,09463
0,08962
0,08489
0,08043
0,07623
0,07226
0,06852
0,06499
0,06165
0,058551
0,05554
0,05274
0,05009
0,04759
0,045223
0,04300
0,04089
0,03890
0,03702
0,03524
0,03355
0,03195
0,03044
0,02902
0,02767
0,02638
0,02516
0,02401
0,02292
0,02189
0,02000
0,01998
0,01909
0,01825
0,01745 1
1 0,4416
0,4236
0,4062
0,3895
0,3733
0,3577
0,3428
0,3283
0,3145
0,3012
0,2885
0,2762
0,2645
0,2533
0,2425
0,2322
0,2224
0,2129
0,2039
0,1953
0,1871
0,1792
0,1717
0,1645
0,1576
0,1510 j
0,1448
0,1388
0,1332
0,1276
0,1224
0,1174
0,1126
0,1080
0,1036
0,09952
0,09553
0,09179 1
1 0,1051
0,1014
0,09792
0,09461
0,09147
0,08847
0,08563
0,08291
0,08032
0,07785
0,07549
0,07323
0,07107
0,06900
0,06702
0,06513
0,06331
0,06157
0,05990
0,05829
0,05675
0,05526
0,05384
0,05247
0,05114
0,04987
0,04865
0,04742
0,04628
0,04519
0,04414
0,04312
0,04214
0,04118
0,04027
0,03936
0,03850
0,03764 1
105

ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Введ ение 3
1. Некрасов И.В. Аэродинамические трубы, измерение давлений
и скоростей в потоке 4
2. Арафайлов СВ. Определение давления на поверхности тела и
сопротивления, обусловленного давлением . 17
3. Котелкин В.Д. Сопротивление трения при обтекании
плоской пластины 37
4. Случановская З.П. Определение профильного сопротивления
тела в потоке 50
5. Потапов B.C. Экспериментальные измерения аэродинамических
сил и моментов, действующих на обтекаемое тело,
из опытов в аэродинамической трубе .... 63
6. Васильев В.А., Измоденов В.В., Виноградов Ю.А., Стронгин М.М.
Определение параметров потока газа в сверхзвуковой
аэродинамической трубе 82
106

Учебное издание
«Общий физико-механический практикум
по аэромеханике»
Под редакцией академика Горимира Горимировича Черного
Технический редактор И.В.Топорнина
Подписано в печать 20.01.2005 Печать офсетная. Бумага офсетная №1
Формат 60x90 1/16 Усл.печ.л. 6,2 п.л. Тираж 100 экз.
Ордена «Знак Почета» Издательство Московского университета
125009, Москва, ул.Б.Никитская, 5/7
Отпечатано ООО «Инсайт полиграфик»,
117192, Москва, Мичуринский пр., 1.